الموسيقى والرياضيات
[[ملف:Spectrogram_of_violin.png|تصغير|350x350بك|[[تحليل طيفي]] لشكل موجة الكمان، مع تردد خطي على المحور العمودي والوقت على المحور الأفقي. توضح الخطوط الساطعة كيف تتغير المكونات الطيفية مع مرور الوقت. تلوين الكثافة هو لوغاريتمي (الأسود هو -120 ديسيبل).]]
'''[[نظرية الموسيقى]]''' ليس لديها أسس بديهية أو مُسَلَّمَات في [[رياضيات|الرياضيات]] الحديثة، ومع ذلك يمكن وصف أساس [[صوت|الصوت]] الموسيقي رياضيا (في [[علم الصوت|علم الصوتيات]]) بحيث يعرض «مجموعة رائعة من خصائص الأعداد».<ref>[[Reginald Smith Brindle]], ''The New Music'', Oxford University Press, 1987, pp 42-3</ref> عناصر الموسيقى من [[شكل موسيقي|الشكل]]، و[[إيقاع|الإيقاع]]، والمتر، وطبقات [[درجة موسيقية|النوتات]]<nowiki/> ووتيرة نبضها يمكن أن تكون مرتبطة بقياس الوقت والتردد، وتقدم نظائر جاهزة في الهندسة.

أدت محاولة إنشاء طرق جديدة لتركيب الموسيقى وسماعها والتواصل معها إلى تطبيقات موسيقية [[نظرية المجموعات|لنظرية المجموعات]] [[جبر مجرد|والجبر التجريدي]] [[نظرية الأعداد|ونظرية الأعداد]]. قام بعض الملحنين بدمج [[نسبة ذهبية|النسب الذهبية]] [[عدد فيبوناتشي|وأعداد فيبوناتشي]] في عملهم.<ref>Reginald Smith Brindle, ''The New Music'', Oxford University Press, 1987, Chapter 6 ''passim''</ref><ref>{{استشهاد ويب
| مسار = http://www.eric.ed.gov/ERICWebPortal/recordDetail?accno=ED388615
| عنوان = Eric - Math and Music: Harmonious Connections
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200203133301/https://www.eric.ed.gov/ERICWebPortal/recordDetail?accno=ED388615 | تاريخ أرشيف = 3 فبراير 2020 }}</ref>
== التاريخ ==
على الرغم من أن الصينيين والهنود والمصريين وبلاد ما بين النهرين قد درسوا المبادئ الرياضية للصوت، فإن الفيثاغوريين (ولا سيما [[فيلولاوس]] و<nowiki/>[[أرخيتاس]]) في اليونان القديمة كانوا أول باحثَيْن عُرِفَ أنهم حققوا في التعبير عن المقاييس الموسيقية من حيث النسب العددية، ولا سيما نسب الأعداد الصحيحة الصغيرة. كان مذهبهم المركزي هو أن «الطبيعة كلها تتكون من [[انسجام (موسيقى)|انسجام]] ناشئ عن أعداد».

منذ زمن [[أفلاطون]]، كان التناغم يُعتبر فرعًا أساسيًا [[فيزياء|للفيزياء]]، يُعرف الآن باسم [[علم الصوت|الصوتيات الموسيقية]]. يُظهر منظِّرو الهنود والصين الأوائل مناهِج مماثلة: سعى الجميع إلى إظهار أن القوانين الرياضية [[توافق|للتوافقيات]] [[إيقاع|والإيقاعات]] كانت أساسية، ليس فقط لفهمنا للعالم انما أيضاً لرفاهية الإنسان.<ref>Alain Danielou, ''Introduction to the Study of Musical Scales'', Mushiram Manoharlal 1999, Chapter 1 ''passim''.</ref> [[كونفوشيوس]]، مثل [[فيثاغورس]]، اعتبر الأعداد الصغيرة 1,2,3,4 مصدراً لكل الكمال.<ref>Sir James Jeans, ''Science and Music'', Dover 1968, p. 155.</ref>

== الوقت والإيقاع والمتر ==
بدون حدود التركيب الإيقاعي - وهو ترتيب أساسي متساوٍ ومنتظم لتكرار النبض واللكنة [[جملة (موسيقى)|والعبارة]] والمدة - لن تكون الموسيقى ممكنة.<ref>Arnold Whittall, in ''The Oxford Companion to Music'', OUP, 2002, Article: ''Rhythm''</ref> الاستخدام الموسيقي الحديث لمصطلحات مثل المترِ (أي الأنماط واللكنات المتكررة) [[ميزان (موسيقى)|والميزان]] يعكس أيضًا الأهمية التاريخية للموسيقى، جنبًا إلى جنب مع علم الفلك، في تطوير العد والحساب والقياس الدقيق للوقت [[تردد|والتردد]] الأساسي للفيزياء. {{بحاجة لمصدر|date=October 2015}}

غالبًا ما تبني عناصر [[شكل موسيقي|الشكل الموسيقي]] أو الصيغة الموسيقية أبعاداً صارمة دقيقة أو هياكل متشابهة (قوى الرقمين 2 و 3).<ref>{{استشهاد ويب
| مسار = https://www.morebooks.de/store/gb/book/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%8F%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9-%D0%BC%D1%83%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0/isbn/978-3-659-48005-8
| عنوان = Александр Виноград, Многообразие проявлений музыкального метра (LAP Lambert Academic Publishing, 2013)
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191212231555/https://www.morebooks.de/store/gb/book/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%8F%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9-%D0%BC%D1%83%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0/isbn/978-3-659-48005-8|تاريخ أرشيف=2019-12-12}}</ref>

== شكل موسيقي ==
الشكل الموسيقي هو الخطة التي يتم من خلالها تمديد قطعة قصيرة من الموسيقى. يستخدم مصطلح «الخطة» أيضًا في الهندسة المعمارية، والتي غالباً ما يتم مقارنة الشكل الموسيقي بها. مثل المعماري، يجب على الملحن أن يأخذ في الاعتبار الوظيفة التي يهدف العمل من أجلها والوسائل المتاحة وممارسة الاقتصاد والاستفادة من التكرار والترتيب.<ref>Imogen Holst, ''The ABC of Music'', Oxford 1963, p.100</ref> تُظهر الأنواع الشائعة من الأشكال المعروفة باسم «الثنائية» و«الثلاثية» مرة أخرى أهمية القيم الصغيرة في وضوح الموسيقى وجاذبيتها.{{بحاجة لمصدر|date=October 2015}} 
== التردد والانسجام ==
[[ملف:Chladini.Diagrams.for.Quadratic.Plates.svg|بديل=|تصغير|281x281بك|أشكال كلادني التي تنتجها الاهتزازات الصوتية في مسحوق ناعم على لوحة مربعة. ([[إرنست شلادني]] ، الصوتيات، 1802)]]
[[سلم موسيقي|السُّلم الموسيقي]] عبارة عن مجموعة منفصلة من [[حدة (موسيقى)|الدرجات الموسيقية]] المستخدمة في صنع الموسيقى أو وصفها. السلم الموسيقي الأكثر أهمية في التقاليد الغربية هو "[[:en:Diatonic scale|diatonic scale]]" لكن تم استخدام مقاييس أخرى كثيرة في عصور تاريخية مختلفة وأجزاء من العالم. كل درجة تقابل تردد معين، معبراً عنه بالهرتز (Hz)، يشار إليه أحيانًا بدورات في الثانية (cps). السلم له فاصل زمني من التكرار، عادة ما يكون [[جواب (موسيقى)|الأوكتاف]]. يشير [[جواب (موسيقى)|اوكتاف]] أي درجة إلى تردد مرتين بالضبط لهذه الدرجة.

النجاحات في الموجات فوق الصوتية هي نوتات موجودة عند الترددات أربعة وثمانية وستة عشر مرة، وما إلى ذلك، من التردد الأساسي. تسمى النوتات أو الدرجات الموسيقية على ترددات نصف، وربع، وثمانية، وما إلى ذلك من الأساسيات، أوكتافات فرعية. لا توجد حالة في التناغم الموسيقي حيث إذا اعتبرت درجة معينة من التوافق، تعتبر أوكتافاتها غير ذلك. لذلك، عادةً ما يتم العثور على أي نوتة أو نغمة وأوكتافاتها بشكل مشابه في الأنظمة الموسيقية (على سبيل المثال، سيتم تسمية كل شيء باسم '''doh''' أو '''A''' أو '''Sa''' ، حسب الحالة).

عند التعبير عن عرض النطاق الترددي، يمتد أوكتاف '''A <sub>2</sub> –A <sub>3</sub>''' من 110 &nbsp; هرتز إلى 220 &nbsp; هرتز (الامتداد = 110 &nbsp; هرتز). الاوكتاف التالي يمتد من 220 &nbsp; هرتز إلى 440 &nbsp; هرتز (الامتداد = 220 &nbsp; هرتز). يمتد الاوكتاف الثالث من 440 &nbsp; هرتز إلى 880 &nbsp; هرتز (الامتداد = 440 &nbsp; هرتز) وهلم جرا. يمتد كل أوكتاف متتالي إلى ضعف نطاق التردد الخاص بأوكتاف سابق.

[[ملف:4Octaves.and.Frequencies.svg|مركز|تصغير|504x504px| الطبيعة الأسية للأوكتافات عند قياسها على مقياس تردد خطي.]]
[[ملف:4Octaves.and.Frequencies.Ears.svg|مركز|تصغير|500x500بك| يعرض هذا المخطط أوكتافات كما تظهر بمعنى الفواصل الموسيقية، متباعدة بشكل متساوٍ.]]
نظرًا لأننا مهتمون غالبًا بالعلاقات أو [[نسبة (رياضيات)|النسب]] بين النوتات (المعروفة [[مسافة (موسيقى)|بالفواصل الزمنية]]) بدلاً من النوتات الدقيقة نفسها في وصف السلم، فمن المعتاد الإشارة إلى جميع درجات السلم من حيث نسبتها من درجة معينة، والتي يتم إعطاء قيمة واحدة (غالبًا ما تتم كتابتها '''1/1''')، وبشكل عام النوتة تعمل [[قرار (موسيقى)|كمنشط]] أو قرار للسلم أو المقام الموسيقي. للمقارنة بين حجم الفاصل، وغالبا ما تستخدم سنتا (cents).

{| class="wikitable"
! نصف تون 
! النسبة 
! [[مسافة (موسيقى)|الفترة]] 
! طبيعي 
! نصف خطوة 
|-
! 0 
| 1: 1 
| [[يونيسون (انسجام)|انسجام]] 
| 480 
| 0 
|-
! 1 
| 16:15 
| نصف طفيفة 
| 512 
| 16:15 
|-
! 2 
| 9: 8 
| الثانية الكبرى 
| 540 
| 135: 128 
|-
! 3 
| 6: 5 
| طفيفة الثالثة 
| 576 
| 16:15 
|-
! 4 
| 5: 4 
| الرئيسية الثالثة 
| 600 
| 25:24 
|-
! 5 
| 4: 3 
| الرابعة كاملة 
| 640 
| 16:15 
|-
! 6 
| 45:32 
| تريتون سلم موسيقي 
| 675 
| 135: 128 
|-
! 7 
| 3: 2 
| الخامس الكامل 
| 720 
| 16:15 
|-
! 8 
| 8: 5 
| السادس طفيفة 
| 768 
| 16:15 
|-
! 9 
| 3: 5 
| السادس الكبرى 
| 800 
| 25:24 
|-
! 10 
| 9: 5 
| القاصر السابع 
| 864 
| 27:25 
|-
! 11 
| 15: 8 
| السابعة الكبرى 
| 900 
| 25:24 
|-
! 12 
| 2: 1 
| [[جواب (موسيقى)|اوكتاف]] 
| 960 
| 16:15 
|}
الضبط الفيثاغوري يعتمد فقط على التوافق التام، أوكتاف (مثالي)، خامس، رابع مثالي. وبالتالي فإن الثلث الرئيسي لا يعتبر ثلثًا ولكنه ديتون، حرفيًا «نغمتان»، وهو (9: 8) <sup>2</sup> = 81:64، بدلاً من المستقل والتوافقي فقط 5: 4 = 80:64 أدناه مباشرة. النغمة بأكملها هي فاصل ثانوي، مشتق من أخمسي الكمال، (3: 2) <sup>2</sup> = 9: 8.

=== تناغم المزاجية المتساوية ===
في الحالة المزاجية المتساوية، ينقسم الأوكتاف إلى أجزاء متساوية على مقياس لوغاريتمي. في حين أنه من الممكن بناء مقياس مزاج متساوٍ مع أي عدد من النوتات (على سبيل المثال، نظام النغمات العربية ذو 24 [[درجة موسيقية|نغمة]])، فإن الرقم الأكثر شيوعًا هو 12، والذي يشكل [[سلم كروماتيكي|مقياس لوني]] متساوي المزاج. في الموسيقى الغربية، يُفترض عادةً التقسيم إلى اثني عشر فاصلًا ما لم يتم تحديد خلاف ذلك.

بالنسبة إلى المقياس اللوني، يتم تقسيم الأوكتاف إلى 12 جزءًا متساويًا، كل نصف نغمة (نصف [[درجة موسيقية|درجة]]) هو الفاصل الزمني للجذر الثاني عشر لخطوتين بحيث تضيف اثنا عشر من هذه الخطوات النصفية المتساوية إلى أوكتاف بالضبط. باستخدام الأدوات المقلقة، من المفيد جدًا استخدام مزاج (temperament) متساوٍ بحيث ينتقل التوتر بالتساوي عبر الأوتار. في التقليد الموسيقي الأوروبي، تم استخدام مزاج مساو لموسيقى العود والإيتار في وقت أبكر بكثير من الآلات الموسيقية الأخرى، مثل لوحات المفاتيح الموسيقية. بسبب هذه القوة التاريخية، أصبح الآن مزاجه المتساوي الإثني عشر نغمة هو نظام التجويد السائد في العالم الغربي، وفي كثير من دول العالم غير الغربي.

== وصلات رياضية ==
=== نظرية المجموعات ===
تستخدم نظرية المجموعات الموسيقية لغة [[نظرية المجموعات]] الرياضية بطريقة أولية لتنظيم الأشياء الموسيقية ووصف علاقاتها. لتحليل بِنية قطعة من الموسيقى (عادةً ال atonal) باستخدام نظرية المجموعة الموسيقية، يبدأ الفرد عادةً بمجموعة من النغمات التي قد تشكل دوافع أو عصب. من خلال تطبيق عمليات بسيطة مثل التبديل [[انقلاب (موسيقى)|والانقلاب]]، يمكن للمرء اكتشاف هياكل عميقة في الموسيقى. وتسمى العمليات مثل التحول والانعكاس [[تقايس|متساوي القياس]] لأنها تحافظ على الفواصل الزمنية بين النغمات في المجموعة.

=== الجبر المجرد ===
للتوسع في أساليب نظرية المجموعة الموسيقية، استخدم بعض المنظرين الجبر المجرد لتحليل الموسيقى. على سبيل المثال، تشكل فصول الملاعب في أوكتاف مقسّم بالتساوي [[زمرة أبيلية|مجموعة أبيلية تضم]] 12 عنصرًا. من الممكن وصف «التجويد فقط» من خلال [[زمرة أبيلية حرة]].<ref>{{استشهاد ويب
| مسار = http://sonantometry.blogspot.com/2007_05_01_archive.html
| عنوان = Algebra of Tonal Functions.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181112223716/http://sonantometry.blogspot.com:80/2007_05_01_archive.html | تاريخ أرشيف = 12 نوفمبر 2018 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب
| مسار = https://xenharmonic.wikispaces.com/Harmonic+Limit
| عنوان = Harmonic Limit| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190710034915/https://xenharmonic.wikispaces.com/Harmonic+Limit | تاريخ أرشيف = 10 يوليو 2019 }}</ref>

نظرية التحول هي فرع من نظرية الموسيقى التي وضعها ديفيد لوين. تسمح النظرية بعمومية رائعة لأنها تؤكد على التحولات بين الكائنات الموسيقية، بدلاً من الكائنات الموسيقية نفسها.

اقترح المنظرون أيضًا تطبيقات موسيقية ذات مفاهيم جبرية أكثر تطوراً. تم تطوير نظرية المزاجات العادية على نطاق واسع مع مجموعة واسعة من الرياضيات المعقدة، على سبيل المثال عن طريق ربط كل مزاج منتظم مع نقطة عقلانية على Grassmannian .
==انظر أيضا==
* [[مسافة (موسيقى)|الفاصل الزمني (الموسيقى)]]
* الجسر الثالث (الرنين التوافقي القائم على أقسام السلسلة المتساوية) 
* ''[[لعبة الكريات الزجاجية|لعبة حبة الزجاج]]'' 
* [[روبرت شنايدر (مغني)|مقياس غير فيثاغوري]]
* الإغفال والعظمة 
* إيقاعات إقليدية (إيقاعات موسيقية تقليدية تتولد عن [[خوارزمية أقليدس|خوارزمية إقليدس]]) 
* [[إيقاع|ضربات]]
== المراجع ==
{{مراجع}}
== روابط خارجية ==
* [http://www.harmonics.com/scales قاعدة بيانات لجميع المقاييس الموسيقية 2048 الممكنة في 12 لاحظ مزاجه على قدم المساواة وغيرها من البدائل في التضبيط meanone] 
* [http://www-personal.umd.umich.edu/~tmfiore/1/musictotal.pdf ''الموسيقى والرياضيات'' بواسطة توماس فيوري] 
* [http://thinkzone.wlonk.com/Music/12Tone.htm اثني عشر نغمة مقياس الموسيقية.] 
* [http://sonantometry.blogspot.com مقياس السونومتر أو الموسيقى كتخصص في الرياضيات.] 
* [https://logosfoundation.org/kursus/music_math.pdf الموسيقى: عرض رياضي بقلم ديف بينسون] . 
* [https://web.archive.org/web/20070513102544/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1313&bodyId=1470 نيكولاس مركاتور استخدام نظرية النسب في الموسيقى] عند [https://web.archive.org/web/20080713080038/http://mathdl.maa.org/convergence/1/? التقارب] 
* [http://sites.google.com/site/abimepublications/home/maths-and-music ''The Glass Bead Game''] أعطى هيرمان هيس للموسيقى والرياضيات دورًا مهمًا في تطوير لعبته Glass Bead. 
* [http://www.aboutscotland.com/harmony/prop.html الانسجام والنسب. فيثاغورس، الموسيقى والفضاء] . 
* [http://web.mit.edu/18.06/www/Essays/linear-algebra-and-music.pdf «الجبر الخطي والموسيقى»] 
* [http://www.deimos.ca/notefreqs Notefreqs] - جدول كامل للترددات ونسب [http://www.deimos.ca/notefreqs الملاحظات للميدي] والبيانو والإيتار والباس والكمان. يتضمن قياسات الحنق (في سم وبوصة) لأدوات البناء. 
* مناقشة [https://www.bbc.co.uk/programmes/p003c1b9 الرياضيات والموسيقى] ، إذاعة بي بي سي راديو 4 مع ماركوس دو سوتوي، وروبن ويلسون وروث تاتلو (''في عصرنا'' ، 25 مايو 2006) 
{{روابط شقيقة|commons=Mathematics of music}}
{{الرياضيات والفن}}
{{شريط بوابات|رياضيات|موسيقى}}

[[تصنيف:الرياضيات في موسيقى]]
[[تصنيف:الرياضيات والثقافة]]
[[تصنيف:الرياضيات والفن]]
نظرية الموسيقى ليس لديها أسس بديهية أو مُسَلَّمَات في الرياضيات الحديثة، ومع ذلك يمكن وصف أساس الصوت الموسيقي رياضيا (في علم الصوتيات) بحيث يعرض «مجموعة رائعة من خصائص الأعداد».Reginald Smith Brindle, The New Music, Oxford University Press, 1987, pp 42-3 عناصر الموسيقى من الشكل، والإيقاع، والمتر، وطبقات النوتات ووتيرة نبضها يمكن أن تكون مرتبطة بقياس الوقت والتردد، وتقدم نظائر جاهزة في الهندسة.

أدت محاولة إنشاء طرق جديدة لتركيب الموسيقى وسماعها والتواصل معها إلى تطبيقات موسيقية لنظرية المجموعات والجبر التجريدي ونظرية الأعداد. قام بعض الملحنين بدمج النسب الذهبية وأعداد فيبوناتشي في عملهم.Reginald Smith Brindle, The New Music, Oxford University Press, 1987, Chapter 6 passim
 التاريخ 
على الرغم من أن الصينيين والهنود والمصريين وبلاد ما بين النهرين قد درسوا المبادئ الرياضية للصوت، فإن الفيثاغوريين (ولا سيما فيلولاوس وأرخيتاس) في اليونان القديمة كانوا أول باحثَيْن عُرِفَ أنهم حققوا في التعبير عن المقاييس الموسيقية من حيث النسب العددية، ولا سيما نسب الأعداد الصحيحة الصغيرة. كان مذهبهم المركزي هو أن «الطبيعة كلها تتكون من انسجام ناشئ عن أعداد».

منذ زمن أفلاطون، كان التناغم يُعتبر فرعًا أساسيًا للفيزياء، يُعرف الآن باسم الصوتيات الموسيقية. يُظهر منظِّرو الهنود والصين الأوائل مناهِج مماثلة: سعى الجميع إلى إظهار أن القوانين الرياضية للتوافقيات والإيقاعات كانت أساسية، ليس فقط لفهمنا للعالم انما أيضاً لرفاهية الإنسان.Alain Danielou, Introduction to the Study of Musical Scales, Mushiram Manoharlal 1999, Chapter 1 passim. كونفوشيوس، مثل فيثاغورس، اعتبر الأعداد الصغيرة 1,2,3,4 مصدراً لكل الكمال.Sir James Jeans, Science and Music, Dover 1968, p. 155.

 الوقت والإيقاع والمتر 
بدون حدود التركيب الإيقاعي - وهو ترتيب أساسي متساوٍ ومنتظم لتكرار النبض واللكنة والعبارة والمدة - لن تكون الموسيقى ممكنة.Arnold Whittall, in The Oxford Companion to Music, OUP, 2002, Article: Rhythm الاستخدام الموسيقي الحديث لمصطلحات مثل المترِ (أي الأنماط واللكنات المتكررة) والميزان يعكس أيضًا الأهمية التاريخية للموسيقى، جنبًا إلى جنب مع علم الفلك، في تطوير العد والحساب والقياس الدقيق للوقت والتردد الأساسي للفيزياء. 

غالبًا ما تبني عناصر الشكل الموسيقي أو الصيغة الموسيقية أبعاداً صارمة دقيقة أو هياكل متشابهة (قوى الرقمين 2 و 3).

 شكل موسيقي 
الشكل الموسيقي هو الخطة التي يتم من خلالها تمديد قطعة قصيرة من الموسيقى. يستخدم مصطلح «الخطة» أيضًا في الهندسة المعمارية، والتي غالباً ما يتم مقارنة الشكل الموسيقي بها. مثل المعماري، يجب على الملحن أن يأخذ في الاعتبار الوظيفة التي يهدف العمل من أجلها والوسائل المتاحة وممارسة الاقتصاد والاستفادة من التكرار والترتيب.Imogen Holst, The ABC of Music, Oxford 1963, p.100 تُظهر الأنواع الشائعة من الأشكال المعروفة باسم «الثنائية» و«الثلاثية» مرة أخرى أهمية القيم الصغيرة في وضوح الموسيقى وجاذبيتها. 
 التردد والانسجام 
بديل=|تصغير|281x281بك|أشكال كلادني التي تنتجها الاهتزازات الصوتية في مسحوق ناعم على لوحة مربعة. (إرنست شلادني ، الصوتيات، 1802)
السُّلم الموسيقي عبارة عن مجموعة منفصلة من الدرجات الموسيقية المستخدمة في صنع الموسيقى أو وصفها. السلم الموسيقي الأكثر أهمية في التقاليد الغربية هو "diatonic scale" لكن تم استخدام مقاييس أخرى كثيرة في عصور تاريخية مختلفة وأجزاء من العالم. كل درجة تقابل تردد معين، معبراً عنه بالهرتز (Hz)، يشار إليه أحيانًا بدورات في الثانية (cps). السلم له فاصل زمني من التكرار، عادة ما يكون الأوكتاف. يشير اوكتاف أي درجة إلى تردد مرتين بالضبط لهذه الدرجة.

النجاحات في الموجات فوق الصوتية هي نوتات موجودة عند الترددات أربعة وثمانية وستة عشر مرة، وما إلى ذلك، من التردد الأساسي. تسمى النوتات أو الدرجات الموسيقية على ترددات نصف، وربع، وثمانية، وما إلى ذلك من الأساسيات، أوكتافات فرعية. لا توجد حالة في التناغم الموسيقي حيث إذا اعتبرت درجة معينة من التوافق، تعتبر أوكتافاتها غير ذلك. لذلك، عادةً ما يتم العثور على أي نوتة أو نغمة وأوكتافاتها بشكل مشابه في الأنظمة الموسيقية (على سبيل المثال، سيتم تسمية كل شيء باسم doh أو A أو Sa ، حسب الحالة).

عند التعبير عن عرض النطاق الترددي، يمتد أوكتاف A 2 –A 3 من 110   هرتز إلى 220   هرتز (الامتداد = 110   هرتز). الاوكتاف التالي يمتد من 220   هرتز إلى 440   هرتز (الامتداد = 220   هرتز). يمتد الاوكتاف الثالث من 440   هرتز إلى 880   هرتز (الامتداد = 440   هرتز) وهلم جرا. يمتد كل أوكتاف متتالي إلى ضعف نطاق التردد الخاص بأوكتاف سابق.

مركز|تصغير|504x504px| الطبيعة الأسية للأوكتافات عند قياسها على مقياس تردد خطي.
مركز|تصغير|500x500بك| يعرض هذا المخطط أوكتافات كما تظهر بمعنى الفواصل الموسيقية، متباعدة بشكل متساوٍ.
نظرًا لأننا مهتمون غالبًا بالعلاقات أو النسب بين النوتات (المعروفة بالفواصل الزمنية) بدلاً من النوتات الدقيقة نفسها في وصف السلم، فمن المعتاد الإشارة إلى جميع درجات السلم من حيث نسبتها من درجة معينة، والتي يتم إعطاء قيمة واحدة (غالبًا ما تتم كتابتها 1/1)، وبشكل عام النوتة تعمل كمنشط أو قرار للسلم أو المقام الموسيقي. للمقارنة بين حجم الفاصل، وغالبا ما تستخدم سنتا (cents).

 نصف تون  النسبة  الفترة  طبيعي  نصف خطوة  0  1: 1  انسجام  480  0  1  16:15  نصف طفيفة  512  16:15  2  9: 8  الثانية الكبرى  540  135: 128  3  6: 5  طفيفة الثالثة  576  16:15  4  5: 4  الرئيسية الثالثة  600  25:24  5  4: 3  الرابعة كاملة  640  16:15  6  45:32  تريتون سلم موسيقي  675  135: 128  7  3: 2  الخامس الكامل  720  16:15  8  8: 5  السادس طفيفة  768  16:15  9  3: 5  السادس الكبرى  800  25:24  10  9: 5  القاصر السابع  864  27:25  11  15: 8  السابعة الكبرى  900  25:24  12  2: 1  اوكتاف  960  16:15 
الضبط الفيثاغوري يعتمد فقط على التوافق التام، أوكتاف (مثالي)، خامس، رابع مثالي. وبالتالي فإن الثلث الرئيسي لا يعتبر ثلثًا ولكنه ديتون، حرفيًا «نغمتان»، وهو (9: 8) 2 = 81:64، بدلاً من المستقل والتوافقي فقط 5: 4 = 80:64 أدناه مباشرة. النغمة بأكملها هي فاصل ثانوي، مشتق من أخمسي الكمال، (3: 2) 2 = 9: 8.

 تناغم المزاجية المتساوية 
في الحالة المزاجية المتساوية، ينقسم الأوكتاف إلى أجزاء متساوية على مقياس لوغاريتمي. في حين أنه من الممكن بناء مقياس مزاج متساوٍ مع أي عدد من النوتات (على سبيل المثال، نظام النغمات العربية ذو 24 نغمة)، فإن الرقم الأكثر شيوعًا هو 12، والذي يشكل مقياس لوني متساوي المزاج. في الموسيقى الغربية، يُفترض عادةً التقسيم إلى اثني عشر فاصلًا ما لم يتم تحديد خلاف ذلك.

بالنسبة إلى المقياس اللوني، يتم تقسيم الأوكتاف إلى 12 جزءًا متساويًا، كل نصف نغمة (نصف درجة) هو الفاصل الزمني للجذر الثاني عشر لخطوتين بحيث تضيف اثنا عشر من هذه الخطوات النصفية المتساوية إلى أوكتاف بالضبط. باستخدام الأدوات المقلقة، من المفيد جدًا استخدام مزاج (temperament) متساوٍ بحيث ينتقل التوتر بالتساوي عبر الأوتار. في التقليد الموسيقي الأوروبي، تم استخدام مزاج مساو لموسيقى العود والإيتار في وقت أبكر بكثير من الآلات الموسيقية الأخرى، مثل لوحات المفاتيح الموسيقية. بسبب هذه القوة التاريخية، أصبح الآن مزاجه المتساوي الإثني عشر نغمة هو نظام التجويد السائد في العالم الغربي، وفي كثير من دول العالم غير الغربي.

 وصلات رياضية 
 نظرية المجموعات 
تستخدم نظرية المجموعات الموسيقية لغة نظرية المجموعات الرياضية بطريقة أولية لتنظيم الأشياء الموسيقية ووصف علاقاتها. لتحليل بِنية قطعة من الموسيقى (عادةً ال atonal) باستخدام نظرية المجموعة الموسيقية، يبدأ الفرد عادةً بمجموعة من النغمات التي قد تشكل دوافع أو عصب. من خلال تطبيق عمليات بسيطة مثل التبديل والانقلاب، يمكن للمرء اكتشاف هياكل عميقة في الموسيقى. وتسمى العمليات مثل التحول والانعكاس متساوي القياس لأنها تحافظ على الفواصل الزمنية بين النغمات في المجموعة.

 الجبر المجرد 
للتوسع في أساليب نظرية المجموعة الموسيقية، استخدم بعض المنظرين الجبر المجرد لتحليل الموسيقى. على سبيل المثال، تشكل فصول الملاعب في أوكتاف مقسّم بالتساوي مجموعة أبيلية تضم 12 عنصرًا. من الممكن وصف «التجويد فقط» من خلال زمرة أبيلية حرة.

نظرية التحول هي فرع من نظرية الموسيقى التي وضعها ديفيد لوين. تسمح النظرية بعمومية رائعة لأنها تؤكد على التحولات بين الكائنات الموسيقية، بدلاً من الكائنات الموسيقية نفسها.

اقترح المنظرون أيضًا تطبيقات موسيقية ذات مفاهيم جبرية أكثر تطوراً. تم تطوير نظرية المزاجات العادية على نطاق واسع مع مجموعة واسعة من الرياضيات المعقدة، على سبيل المثال عن طريق ربط كل مزاج منتظم مع نقطة عقلانية على Grassmannian .
انظر أيضا
 الفاصل الزمني (الموسيقى)
 الجسر الثالث (الرنين التوافقي القائم على أقسام السلسلة المتساوية) 
 لعبة حبة الزجاج 
 مقياس غير فيثاغوري
 الإغفال والعظمة 
 إيقاعات إقليدية (إيقاعات موسيقية تقليدية تتولد عن خوارزمية إقليدس) 
 ضربات
 المراجع 

 روابط خارجية 
 قاعدة بيانات لجميع المقاييس الموسيقية 2048 الممكنة في 12 لاحظ مزاجه على قدم المساواة وغيرها من البدائل في التضبيط meanone 
 الموسيقى والرياضيات بواسطة توماس فيوري 
 اثني عشر نغمة مقياس الموسيقية. 
 مقياس السونومتر أو الموسيقى كتخصص في الرياضيات. 
 الموسيقى: عرض رياضي بقلم ديف بينسون . 
 نيكولاس مركاتور استخدام نظرية النسب في الموسيقى عند التقارب 
 The Glass Bead Game أعطى هيرمان هيس للموسيقى والرياضيات دورًا مهمًا في تطوير لعبته Glass Bead. 
 الانسجام والنسب. فيثاغورس، الموسيقى والفضاء . 
 «الجبر الخطي والموسيقى» 
 Notefreqs - جدول كامل للترددات ونسب الملاحظات للميدي والبيانو والإيتار والباس والكمان. يتضمن قياسات الحنق (في سم وبوصة) لأدوات البناء. 
 مناقشة الرياضيات والموسيقى ، إذاعة بي بي سي راديو 4 مع ماركوس دو سوتوي، وروبن ويلسون وروث تاتلو (في عصرنا ، 25 مايو 2006) 

تصنيف:الرياضيات في موسيقى
تصنيف:الرياضيات والثقافة
تصنيف:الرياضيات والفن