فرضية الخط المتعرج
{{لا مصدر|تاريخ=أغسطس 2019}}
{{يتيمة|تاريخ=أغسطس 2019}}
{{ترجمة آلية}}
'''فرضية الخط المتعرج''' في [[رياضيات|الرياضيات]] ، ولا سيما [[جبر تماثلي|الجبر التماثلي]]، هي التي تؤكد وجود [[متتالية منضبطة|تسلسل طويل محدد]] [[تماثل (رياضيات)|بمجموعات تماثل]] [[مجمع سلسلة|مركبات متسلسلة]] بعينها، والنتيجة صالحة في كل [[زمرة أبيلية]] .

== البرهان ==
في أي صيغة أبيلية (كصيغة [[زمرة أبيلية|المجموعات الأبيلية]] أو فئة [[فضاء متجهي|الفضاءات المتجهة]] على [[حقل (رياضيات)|حقل]] محدد) ، اجعل <math>(\mathcal{A},\partial_{\bullet}), (\mathcal{B},\partial_{\bullet}')</math> ،<math>(\mathcal{C},\partial_{\bullet}'')</math> مركبات متسلسلة تناسب [[متتالية منضبطة|المتتالية القصيرة التحديدية]] الآتية:

<math>0 \longrightarrow \mathcal{A} \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \mathcal{B} \stackrel{\beta}{\longrightarrow} \mathcal{C}\longrightarrow 0</math>

ومثل هذا التسلسل مختصر [[مخطط تبادلي|للمخطط التبادلي]] الآتي:

[[ملف:complex_ses_diagram.png|commutative diagram representation of a short exact sequence of chain complexes]]

على اعتبار الصفوف [[متتالية منضبطة|متتاليات منضبطة]] وكل عامود مركبًا تسلسليًّا.
تفترض فرضية الخط المتعرج أن هناك مجموعة من خرائط الحدود:

: <math> \delta_n : H_n(\mathcal{C}) \longrightarrow H_{n-1}(\mathcal{A}), </math>

وخرائط الحدود هذه تجعل المتتابعة الآتية [[متتابعة منضبطة]]:

[[ملف:complex_les.png|long exact sequence in homology, given by the Zig-Zag Lemma]]

إن الخرائط <math>\alpha_*^{ }</math> و <math>\beta_*^{ }</math> هي الخرائط المعتادة المستحدثة بالتجانس، وخرائط الحدود <math>\delta_n^{ }</math> مشروحة أدناه.
== التسمية ==
أتى اسم الفرضية من سلوك '''الخط المتعرج''' الذي تنحو نحوه خرائط الحدود في المتتابعة. في طفرة لم تعهد في علم الاصطلاح، تعرف هذه النظرية على نحو شائع أيضًا باسم '''فرضية الأفعى'''، مع أن هناك نتيجة أخرى في الجبر التجانسي بهذا الاسم. يمكن استخدام فرضية الأفعى الأخرى لإثبات فرضية الخط المتعرج بطريقة مختلفة عما سيذكر أدناه.
== تكون خرائط الحدود ==
الخرائط <math>\delta_n^{ }</math> معرفة ب
اجعل <math>c \in C_n</math> تستعرض طائفة في <math>H_n(\mathcal{C})</math> لتكون <math>\partial_n''(c) = 0</math>. انضباط الصف يتضمن أن تكون <math>\beta_n^{ }</math> [[دالة شمولية|شمولية]]، لذلك يجب أن تكون هناك بعض عناصر <math>b \in B_n</math> على اعتبار أن <math>\beta_n^{ }(b) = c</math>.

بتبادلية المخطط:

:<math> \beta_{n-1} \partial_n' (b) = \partial_n'' \beta_n(b) = \partial_n''(c) = 0. </math>

بالانضباط:

:<math>\partial_n'(b) \in \ker \beta_{n-1} = \mathrm{im} \alpha_{n-1}.</math>

ولأن <math>\alpha_{n-1}^{}</math> [[دالة تبادلية|تبادلية]]، فهناك عنصر وحيد <math>a \in A_{n-1}</math> لتكون <math>\alpha_{n-1}(a) = \partial_n'(b)</math>.
هذه دورة، لأن <math>\alpha_{n-2}^{ }</math> [[دالة شمولية|شمولية]] وكذلك

:<math>\alpha_{n-2} \partial_{n-1}(a) = \partial_{n-1}' \alpha_{n-1}(a) = \partial_{n-1}' \partial_n'(b) = 0,</math>

ولأن <math>\partial^2 = 0</math>، فإن <math>\partial_{n-1}(a) \in \ker \alpha_{n-2} = \{0\}</math>.

هذا يعني أن <math>a</math> دورة، ولذلك فهي تمثل طائفة في <math>H_{n-1}(\mathcal{A})</math>، ويمكننا الآن أن نعرف

:<math> \delta_{ }^{ }[c] = [a].</math>

يمكن بخريطة من خرائط الحدود المذكورة إظهار أنها واضحة التعريف (أي أنها مستقلة عن الخيارين c و b). يستخدم البرهان إثباتات مطاردة المخططات المشابهة لما ذكر أعلاه. وتستخدم أيضًا مثل هذه الإثباتات لإظهار أن المتتابعة المتجانسة منضبطة لدى كل مجموعة.
== المراجع ==
* {{استشهاد بكتاب | الأول = Allen | الأخير = Hatcher | مؤلف-وصلة = Allen Hatcher | سنة = 2002 | عنوان = Algebraic Topology | ناشر  = Cambridge University Press | isbn = 0-521-79540-0 | مسار = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20180519001501/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|تاريخ أرشيف=2018-05-19}}
* {{Lang Algebra}}
* {{استشهاد بكتاب | الأول = James R. | الأخير = Munkres | مؤلف-وصلة = James Munkres | سنة = 1993 | عنوان = Elements of Algebraic Topology | ناشر = Westview Press | مكان = New York | isbn = 0-201-62728-0}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:جبر تماثلي]]
[[تصنيف:موضوعات]]
فرضية الخط المتعرج في الرياضيات ، ولا سيما الجبر التماثلي، هي التي تؤكد وجود تسلسل طويل محدد بمجموعات تماثل مركبات متسلسلة بعينها، والنتيجة صالحة في كل زمرة أبيلية .

 البرهان 
في أي صيغة أبيلية (كصيغة المجموعات الأبيلية أو فئة الفضاءات المتجهة على حقل محدد) ، اجعل  ، مركبات متسلسلة تناسب المتتالية القصيرة التحديدية الآتية:

ومثل هذا التسلسل مختصر للمخطط التبادلي الآتي:

commutative diagram representation of a short exact sequence of chain complexes

على اعتبار الصفوف متتاليات منضبطة وكل عامود مركبًا تسلسليًّا.
تفترض فرضية الخط المتعرج أن هناك مجموعة من خرائط الحدود:

 

وخرائط الحدود هذه تجعل المتتابعة الآتية متتابعة منضبطة:

long exact sequence in homology, given by the Zig-Zag Lemma

إن الخرائط  و  هي الخرائط المعتادة المستحدثة بالتجانس، وخرائط الحدود  مشروحة أدناه.
 التسمية 
أتى اسم الفرضية من سلوك الخط المتعرج الذي تنحو نحوه خرائط الحدود في المتتابعة. في طفرة لم تعهد في علم الاصطلاح، تعرف هذه النظرية على نحو شائع أيضًا باسم فرضية الأفعى، مع أن هناك نتيجة أخرى في الجبر التجانسي بهذا الاسم. يمكن استخدام فرضية الأفعى الأخرى لإثبات فرضية الخط المتعرج بطريقة مختلفة عما سيذكر أدناه.
 تكون خرائط الحدود 
الخرائط  معرفة ب
اجعل  تستعرض طائفة في  لتكون . انضباط الصف يتضمن أن تكون  شمولية، لذلك يجب أن تكون هناك بعض عناصر  على اعتبار أن .

بتبادلية المخطط:

بالانضباط:

ولأن  تبادلية، فهناك عنصر وحيد  لتكون .
هذه دورة، لأن  شمولية وكذلك

ولأن ، فإن .

هذا يعني أن  دورة، ولذلك فهي تمثل طائفة في ، ويمكننا الآن أن نعرف

يمكن بخريطة من خرائط الحدود المذكورة إظهار أنها واضحة التعريف (أي أنها مستقلة عن الخيارين c و b). يستخدم البرهان إثباتات مطاردة المخططات المشابهة لما ذكر أعلاه. وتستخدم أيضًا مثل هذه الإثباتات لإظهار أن المتتابعة المتجانسة منضبطة لدى كل مجموعة.
 المراجع 
 
 
 

تصنيف:جبر تماثلي
تصنيف:موضوعات