معادلة الزخم لكوشي
'''معادلة الزخم لكوشي''' هي '''معادلة تفاضلية''' [[معادلة تفاضلية جزئية|جزئية]] متجهية وضعها [[أوغستين لوي كوشي|كوشي]] تصف انتقال الزخم غير النسبي في أي [[ميكانيكا الأوساط المتصلة|مادة متصلة]] .<ref name="Acheson">{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Acheson|الأول=D. J.|عنوان=Elementary Fluid Dynamics|ناشر=[[دار نشر جامعة أكسفورد]]|سنة=1990|صفحة=205|ISBN=0-19-859679-0}}</ref> بشكل لاغراني أو بالحمل تكتب:

: <math> \frac{D \mathbf{u}}{D t} = \frac 1 \rho \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{g}</math>

حيث:

{{Mvar|ρ}} :تمثل الكثافة عند نقطة داخل المادة المتصلة (التي تطبق عليها [[معادلة الاستمرارية]])،

{{Math|'''σ'''}}: تمثل ممتد الإجهاد،

{{Math|'''g'''}}:تحتوي كل قوى الجسم لكل وحدة كتلة (غالبًا [[تسارع الجاذبية]])،

{{Math|'''u'''}}: تمثل [[سرعة تدفق|سرعة التدفق]] (المتجهي)، وتعتمد على الموقع والزمن.

بعد التغيير المناسب للمتغيرات، يمكن أيضًا كتابتها في شكل حفظ (أو Eulerian):

:<math> \frac {\partial  \mathbf j }{\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf F  = \mathbf s </math>
: حيث:
:{{Math|'''j'''}}: تمثل [[كثافة الزخم]] في زمن ووقت محددين،:{{Math|'''F'''}}: التدفق المرتبط بالكثافة الزخمية،:{{Math|'''s'''}}: تحتوي كل قوى الجسم لكل وحدة حجم.

== استنتاج ==

تطبيق [[قوانين نيوتن للحركة|قانون نيوتن الثاني]] إلى [[حجم دراسي]] في مادة متصلة يعطي:

: <math>m a_i = F_i</math>
:

واستنادا إلى نظرية نقل رينولدز وعلى ترميز مشتقة المواد:

<math>\begin{align}
\int_{\Omega} \rho \frac{D u_i}{D t} \, dV &= \int_{\Omega} \nabla_j\sigma_i^j \, dV + \int_{\Omega} \rho g_i \, dV \\
\int_{\Omega} \left(\rho \frac{D u_i}{D t} - \nabla_j\sigma_i^j - \rho g_i \right)\, dV &= 0 \\
\rho \frac{D u_i}{D t}- \nabla_j\sigma_i^j - \rho g_i &= 0 \\
\frac{D u_i}{D t}- \frac {\nabla_j\sigma_i^j}{\rho} - g_i &= 0 \end{align}</math>

حيث {{Mvar|Ω}} تمثل الحجم الدراسي.

: بما ان هذه المعادلة يجب ان تنطبق على كل حجم دراسي، فانه يجب ان يكون قيمة التكامل لها صفرًا، ومن هنا تكمل معادلة الزخم لكوشي.

الخطوة الأهم في استنتاج هذه المعادلة هو البدء بأن مشتقة ممتد الإجهاد هو واحد من القوى التي تكون {{Mvar|F<sub>i</sub>}}

== شكل الحفظ ==
يمكن كتابة معادلات كوشي بالشكل التالي،

<math> \frac {\partial  \mathbf j }{\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf F  = \mathbf s </math>

ببساطة عن طريق تعريف:

<math> \begin{align} {\mathbf j}&= \rho \mathbf u \\
{\mathbf F}&=\rho \mathbf u \otimes \mathbf u - \boldsymbol \sigma \\
{\mathbf s}&= \rho \mathbf g
\end{align}</math>

حيث:

{{Math|'''j'''}}: هو كثافة الزخم عند نقطة محددة في المادة المتصلة (التي تطبق عليها [[معادلة الاستمرارية]] ) ،

{{Math|'''F'''}} : يمثل التدفق المرتبط بكثافة الزخم،

ويحتوي {{Math|'''s'''}} على كل قوى الجسم لكل وحدة حجم. {{Math|'''u''' ⊗ '''u'''}} هو ناتج من السرعة '''u'''.

هنا {{Math|'''j'''}} و {{Math|'''s'''}} لهما نفس عدد الأبعاد {{Mvar|N}} كسرعة التدفق و تسارع الجسم،

بينما {{Math|'''F'''}} ، كونه [[موتر|ممتد (موتر)]] ، لديه {{Math|''N''<sup>2</sup>}} . <ref group="note">In 3D for example, with respect to some coordinate system, the vector {{Math|'''j'''}} has 3 components, while the tensors {{Math|'''σ'''}} and {{Math|'''F'''}} have 9 (3x3), so the explicit forms written as matrices would be:
</ref>

في صيغ أويلريان، من الواضح أن افتراض عدم وجود إجهاد منحرف يجعل معادلات كوشي تمثل معادلات أويلر.

== تسارع الحمل ==
[[ملف:ConvectiveAcceleration_vectorized.svg|تصغير|مثال على تسارع الحمل. يكون التدفق ثابتًا (مستقل عن الوقت) ، لكن السائل يتباطأ أثناء تحركه لأسفل القناة المتباعدة (بافتراض تدفق غير قابل للضغط ).]]

== ملاحظات ==
{{ملاحظات|group= note}}

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|الفيزياء}}

[[تصنيف:معادلات تفاضلية جزئية]]
[[تصنيف:معادلات فيزيائية]]
[[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]
[[تصنيف:ميكانيكا استمرارية]]
معادلة الزخم لكوشي هي معادلة تفاضلية جزئية متجهية وضعها كوشي تصف انتقال الزخم غير النسبي في أي مادة متصلة . بشكل لاغراني أو بالحمل تكتب:

 

حيث:

 :تمثل الكثافة عند نقطة داخل المادة المتصلة (التي تطبق عليها معادلة الاستمرارية)،

: تمثل ممتد الإجهاد،

:تحتوي كل قوى الجسم لكل وحدة كتلة (غالبًا تسارع الجاذبية)،

: تمثل سرعة التدفق (المتجهي)، وتعتمد على الموقع والزمن.

بعد التغيير المناسب للمتغيرات، يمكن أيضًا كتابتها في شكل حفظ (أو Eulerian):

 حيث:
: تمثل كثافة الزخم في زمن ووقت محددين،:: التدفق المرتبط بالكثافة الزخمية،:: تحتوي كل قوى الجسم لكل وحدة حجم.

 استنتاج 

تطبيق قانون نيوتن الثاني إلى حجم دراسي في مادة متصلة يعطي:

 

واستنادا إلى نظرية نقل رينولدز وعلى ترميز مشتقة المواد:

حيث  تمثل الحجم الدراسي.

 بما ان هذه المعادلة يجب ان تنطبق على كل حجم دراسي، فانه يجب ان يكون قيمة التكامل لها صفرًا، ومن هنا تكمل معادلة الزخم لكوشي.

الخطوة الأهم في استنتاج هذه المعادلة هو البدء بأن مشتقة ممتد الإجهاد هو واحد من القوى التي تكون 

 شكل الحفظ 
يمكن كتابة معادلات كوشي بالشكل التالي،

ببساطة عن طريق تعريف:

حيث:

: هو كثافة الزخم عند نقطة محددة في المادة المتصلة (التي تطبق عليها معادلة الاستمرارية ) ،

 : يمثل التدفق المرتبط بكثافة الزخم،

ويحتوي  على كل قوى الجسم لكل وحدة حجم.  هو ناتج من السرعة u.

هنا  و  لهما نفس عدد الأبعاد  كسرعة التدفق و تسارع الجسم،

بينما  ، كونه ممتد (موتر) ، لديه  . In 3D for example, with respect to some coordinate system, the vector  has 3 components, while the tensors  and  have 9 (3x3), so the explicit forms written as matrices would be:

في صيغ أويلريان، من الواضح أن افتراض عدم وجود إجهاد منحرف يجعل معادلات كوشي تمثل معادلات أويلر.

 تسارع الحمل 
تصغير|مثال على تسارع الحمل. يكون التدفق ثابتًا (مستقل عن الوقت) ، لكن السائل يتباطأ أثناء تحركه لأسفل القناة المتباعدة (بافتراض تدفق غير قابل للضغط ).

 ملاحظات 

 المراجع 

تصنيف:معادلات تفاضلية جزئية
تصنيف:معادلات فيزيائية
تصنيف:مفاهيم فيزيائية
تصنيف:ميكانيكا استمرارية