إهليلج جاكوبي
{{لا صندوق معلومات}}
{{يتيمة|تاريخ=يوليو 2019}}
[[ملف:Haumea Rotation.gif|تصغير|200بك|يسار]]
'''إهليلج جاكوبي''' هو إهليلج متوازن ثلاثي المحاور ينشأ عندما يدور جسم سائل ذو [[جاذبية]] ذاتية وكثافة موحدة مع [[سرعة زاوية]] ثابتة. سمي على اسم [[رياضيات|عالم الرياضيات]] الألماني [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي|كارل غوستاف جاكوب جاكوبي]].<ref>Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193–217.</ref>

== التاريخ ==
قبل جاكوبي، كان [[سطح ماكلورين شبه الكروي]] الذي أُصيغ عام [[1742]]، هو النوع الإهليلجي الوحيد الذي يمكن أن يكون في حالة توازن. نظر لاغرانج في عام [[1811]] في إمكانية وجود إهليلج ثلاثي المحاور في حالة توازن، لكنه خلص إلى أن محورين خط الاستواء الإهليلجي يجب أن يكونا متساويين، مما يؤدي إلى حل سطح ماكلورين شبه الكروي. لكن جاكوبي أدرك أن إثبات لاغرانج كان كافيًا ولكنه ليس ضروريًا، وعلق قائلاً: «يمكن للمرء أن يرتكب خطأً جسيمًا إذا افترض أن الأجسام شبه الكروية هي الشكل الوحيد المقبول في حال توازن حتى في ظل الافتراض المقيد للأسطح من الدرجة الثانية»، ويضيف كذلك «في الواقع، هناك اعتبار بسيط يدل على أن القطع الإهليلجية مع ثلاثة محاور غير متكافئة يمكن أن تكون صورة للتوازن.»<ref>Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251–265.</ref><ref>Chandrasekhar, S. (1969). ''Ellipsoidal figures of equilibrium'' (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.</ref><ref>Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8–16), 229–233.</ref>

== معادلة جاكوبي ==
بالنسبة للإهليلج ذي المحاور شبه الرئيسية a, b, c, السرعة الزاوية <math>\Omega</math> حول محور z تُعطى بالمعادلة الآتية
:<math>\frac{\Omega^2}{\pi G\rho} = 2 abc \int_0^\infty \frac{udu}{(a^2+u)(b^2+u)\Delta}\ , \quad \Delta^2 = (a^2+u)(b^2+u)(c^2+u),</math>

حيث <math>\rho</math> هي الكثافة، وG هو ثابت الجاذبية بالنسبة للحالة
:<math>a^2 b^2 \int_0^\infty \frac{du}{(a^2+u)(b^2+u)\Delta} = c^2\int_0^\infty \frac{du}{(c^2+u)\Delta}.</math>

بالنسبة للقيم الثابتة a و b، فيمكن الحصول على c من الحالة السابقة
:<math>\frac{1}{c^2}>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}.</math>

يمكن التعبير عن التكاملات من حيث التكاملات الإهليلجية غير المكتملة. بالنسبة لتكامل الإهليلج لشكل كارلسون المتماثل (رمز)، تصبح صيغة السرعة الزاوية
:<math>\frac{\Omega^{2}}{\pi G \rho} = \frac{4 a b c}{3 (a^{2} - b^{2})} (a^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2}) - b^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))</math>

وحالة الحجم النسبي للمحاور شبه الرئيسية a, b, c
:<math>\frac{2}{3} \frac{a^{2} b^{2}}{b^{2} - a^{2}} (R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2}) - R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})) = \frac{2}{3} c^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).</math>

ويُعطى الزخم الزاوي L لجسم الإهليج جاكوبي بواسطة
:<math>\frac{L}{\sqrt{GM^3\bar{a}}} = \frac{\sqrt 3}{10}\frac{a^2+b^2}{\bar{a}^2}\sqrt{\frac{\Omega^2}{\pi G\rho}} \ , \quad \bar{a}=(abc)^{1/3},</math>

حيث M هي كتلة الإهليلج، و (رمز) هو نصف القطر المتوسط.

== العلاقة مع إهليلج ديديكايند ==
إن إهليلج جاكوبي وديديكايندن كلاهما شكلان في حالة توازن لجسم من سائل الجاذبية الذاتية المتجانس. ومع ذلك، في حين يدور الإهليلجي جاكوبي جسديًا -مع عدم وجود تدفق داخلي للسائل في الإطار الدوار- يحافظ الإهليلجي ديديكيند على اتجاه ثابت، حيث يدور السائل المكون في داخله. وهذه نتيجة مباشرة لنظرية ديديكايند.

لأي إهليلج جاكوبي مُعطى، يوجد إهليلج ديديكايند له نفس المحاور شبه الرئيسية a, b, c ونفس الكتلة مع مجال سرعة تدفق<ref name="Chandrasekhar1965">{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير          = Chandrasekhar
 |الأول         = Subrahmanyan
 |مؤلف-وصلة    = Subrahmanyan Chandrasekhar
 |عنوان         = The Equilibrium and the Stability of the Dedekind Ellipsoids
 |صحيفة       = [[المجلة الفيزيائية الفلكية]]
 |المجلد        = 141
 |تاريخ          = 1965
 |صفحات         = 1043–1055
 |bibcode       = 1965ApJ...141.1043C
 |مسار           = http://adsabs.harvard.edu/full/1965ApJ...141.1043C
|doi= 10.1086/148195
 | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190506201720/http://adsabs.harvard.edu/full/1965ApJ...141.1043C | تاريخ أرشيف = 6 مايو 2019 }}</ref>
:<math>\mathbf{u} = \zeta \frac{- a^{2} y \mathbf{\hat{x}} + b^{2} x \mathbf{\hat{y}}}{a^{2} + b^{2}},</math>

حيث (رمز) هو ال[[دوامية]]، وهو موحد على طول الجسم الكروي (معادلة). ترتبط السرعة الزاوية (رمز) لإهليلج جاكوبي والدوامية لإهليلج ديديكايند المقابل بواسطة<ref name="Chandrasekhar1965" />
:<math>\zeta = \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) \Omega.</math>

أي أن كل جسيم من سائل الإهليج ديديكايند يصف دائرة إهليلجية مماثلة في نفس الفترة التي يؤدي فيها الجسم الكروي جاكوبي دورة واحدة.

في الحالة الخاصة a=b، يصبح إهليلج جاكوبي وديديكايند متماثلين؛ من حيث الدوران الجسدي وكمية تدفق دائرية لنفس الشيء. في هذه الحالة (معادلة) تكون دائمًا صحيحة لجسم دوار متصلب.

في الحالة العامة، تتمتع الإهليلج جاكوبي وديديكايند بنفس الطاقة ولكن الزخم الزاوي للكروي جاكوبي هو الأكبر بعامل<ref name="Bardeen">{{استشهاد بكتاب
 |الأخير          = Bardeen
 |الأول         = James M.
 |مؤلف-وصلة    = James M. Bardeen
 |محرر1-الأخير  = DeWitt
 |محرر1-الأول = C.
 |محرر2-الأخير  = DeWitt
 |محرر2-الأول = Bryce Seligman
 |عنوان         = Black Holes
 |سلسلة        = Houches Lecture Series
 |ناشر     = CRC Press
 |تاريخ          = 1973
 |صفحات         = 267–268
 |الفصل       = Rapidly Rotating Stars, Disks, and Black Holes
 |isbn          = 9780677156101
 |مسار           = https://books.google.co.uk/books?id=sUr-EVqZLckC&lpg=PA268&pg=PA268#v=onepage&q&f=false
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191220060448/https://books.google.co.uk/books?id=sUr-EVqZLckC&lpg=PA268&pg=PA268 | تاريخ أرشيف = 20 ديسمبر 2019 }}</ref>
:<math>\frac{L_{\mathrm{Jac}}}{L_{\mathrm{Ded}}} = \frac{1}{2} \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right).</math>

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تربية وتعليم|رياضيات|علم الفلك}}

[[تصنيف:سطوح تربيعية]]
[[تصنيف:جريان الموائع]]
[[تصنيف:فيزياء فلكية]]
إهليلج جاكوبي هو إهليلج متوازن ثلاثي المحاور ينشأ عندما يدور جسم سائل ذو جاذبية ذاتية وكثافة موحدة مع سرعة زاوية ثابتة. سمي على اسم عالم الرياضيات الألماني كارل غوستاف جاكوب جاكوبي.Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193–217.

 التاريخ 
قبل جاكوبي، كان سطح ماكلورين شبه الكروي الذي أُصيغ عام 1742، هو النوع الإهليلجي الوحيد الذي يمكن أن يكون في حالة توازن. نظر لاغرانج في عام 1811 في إمكانية وجود إهليلج ثلاثي المحاور في حالة توازن، لكنه خلص إلى أن محورين خط الاستواء الإهليلجي يجب أن يكونا متساويين، مما يؤدي إلى حل سطح ماكلورين شبه الكروي. لكن جاكوبي أدرك أن إثبات لاغرانج كان كافيًا ولكنه ليس ضروريًا، وعلق قائلاً: «يمكن للمرء أن يرتكب خطأً جسيمًا إذا افترض أن الأجسام شبه الكروية هي الشكل الوحيد المقبول في حال توازن حتى في ظل الافتراض المقيد للأسطح من الدرجة الثانية»، ويضيف كذلك «في الواقع، هناك اعتبار بسيط يدل على أن القطع الإهليلجية مع ثلاثة محاور غير متكافئة يمكن أن تكون صورة للتوازن.»Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251–265.Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal figures of equilibrium (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8–16), 229–233.

 معادلة جاكوبي 
بالنسبة للإهليلج ذي المحاور شبه الرئيسية a, b, c, السرعة الزاوية  حول محور z تُعطى بالمعادلة الآتية

حيث  هي الكثافة، وG هو ثابت الجاذبية بالنسبة للحالة

بالنسبة للقيم الثابتة a و b، فيمكن الحصول على c من الحالة السابقة

يمكن التعبير عن التكاملات من حيث التكاملات الإهليلجية غير المكتملة. بالنسبة لتكامل الإهليلج لشكل كارلسون المتماثل (رمز)، تصبح صيغة السرعة الزاوية

وحالة الحجم النسبي للمحاور شبه الرئيسية a, b, c

ويُعطى الزخم الزاوي L لجسم الإهليج جاكوبي بواسطة

حيث M هي كتلة الإهليلج، و (رمز) هو نصف القطر المتوسط.

 العلاقة مع إهليلج ديديكايند 
إن إهليلج جاكوبي وديديكايندن كلاهما شكلان في حالة توازن لجسم من سائل الجاذبية الذاتية المتجانس. ومع ذلك، في حين يدور الإهليلجي جاكوبي جسديًا -مع عدم وجود تدفق داخلي للسائل في الإطار الدوار- يحافظ الإهليلجي ديديكيند على اتجاه ثابت، حيث يدور السائل المكون في داخله. وهذه نتيجة مباشرة لنظرية ديديكايند.

لأي إهليلج جاكوبي مُعطى، يوجد إهليلج ديديكايند له نفس المحاور شبه الرئيسية a, b, c ونفس الكتلة مع مجال سرعة تدفق

حيث (رمز) هو الدوامية، وهو موحد على طول الجسم الكروي (معادلة). ترتبط السرعة الزاوية (رمز) لإهليلج جاكوبي والدوامية لإهليلج ديديكايند المقابل بواسطة

أي أن كل جسيم من سائل الإهليج ديديكايند يصف دائرة إهليلجية مماثلة في نفس الفترة التي يؤدي فيها الجسم الكروي جاكوبي دورة واحدة.

في الحالة الخاصة a=b، يصبح إهليلج جاكوبي وديديكايند متماثلين؛ من حيث الدوران الجسدي وكمية تدفق دائرية لنفس الشيء. في هذه الحالة (معادلة) تكون دائمًا صحيحة لجسم دوار متصلب.

في الحالة العامة، تتمتع الإهليلج جاكوبي وديديكايند بنفس الطاقة ولكن الزخم الزاوي للكروي جاكوبي هو الأكبر بعامل

 المراجع 

تصنيف:سطوح تربيعية
تصنيف:جريان الموائع
تصنيف:فيزياء فلكية