شغل افتراضي
نظرية '''الشغل الافتراضي''' {{إنج|Virtual work}} تنشأ عند تطبيق مبدأ الفعل الأدني عند دراسة [[قوة|القوي]] [[انحناء (هندسة)|والحركه]] [[نظام ميكانيكي|لنظام ميكانيكي]]، [[شغل (فيزياء)|الشغل]] الناشئ من [[قوة]] تؤثر علي جسيم يتحرك في نفس اتجاه الحركة تختلف باختلاف مقدار الحركة. بين كل الحركات الممكنة توجد حركة تؤدي الي الفعل الأدني وتسمي [[إزاحة افتراضية|الإزاحة الإفتراضية]]. وفي هذه الحالة يكون الشغل الناتج هو الشغل الافتراضي.

تاريخيا، الشغل الافتراضي وما يصاحبه من [[حساب المتغيرات|تفاضل المتغيرات]] تم استنتاجهم لدراسة [[جسم جاسئ|الاجسام الجاسئه]]<ref name=Lanczos>[https://books.google.com/books?id=ZWoYYr8wk2IC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false C. Lánczos, The Variational Principles of Mechanics, 4th Ed., General Publishing Co., Canada, 1970] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140108002212/http://books.google.com/books?id=ZWoYYr8wk2IC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0 |date=08 يناير 2014}}</ref>، وبعد ذلك تم تعديلهم ليناسبوا الأجسام القابلة للتشكل.<ref>Dym, C. L. and I. H. Shames, ''Solid Mechanics: A Variational Approach'', McGraw-Hill, 1973.</ref>

== تاريخ ==
[[ملف:Langrange portrait.jpg|تصغير|يسار|300px|عالم الرياضيات لاجرانج]]
تم استخدام مبدأ الشغل الافتراضي في دراسة علم [[علم السكون|الاستاتيكا]] منذ القدم بواسطة [[يونانيون|الاغريق]]، [[عرب|العرب]]، الايطاليين في [[عصر النهضة]]. وتم استخدام المبدأ بواسطة علماء [[فيزياء]] مشهورين بالقرن السابع عشر أمثال [[غاليليو غاليلي|جاليليو]].<ref name=capecchi>Danilo Capecchi, History of Virtual Work Laws, Springer-Verlag, Italy, 2012</ref>
في عام 1768 قام [[جوزيف لوي لاغرانج|لاجرانج]] بتقديم المبدأ في صورة أكثر كفاءة عن طريق استخدام المتجهات العامة.

== مقدمة ==

نفرض جزئ ''P'' يتحرك من نقطة ''A'' لنقطة ''B'' علي مسار ('''r'''(''t'' في حين أن القوة (('''F'''('''r'''(''t'' تؤثر علية، فان الشغل المبذول ''W'' بواسطة هذة القوة يعطي بالتكامل:<math> W = \int_{\mathbf{r}(t_0)=A}^{\mathbf{r}(t_1)=B}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}~dt = \int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}~dt</math>

حيث ''d'''''r''' هو العنصر التفاضلي علي طول منحني حركة الجزئ ''P'' و '''v''' هو سرعتة. من المهم ملاحظة ان الشغل المبذول ''W'' يعتمد علي مسار حركة الجزئ ''P''

الآن نفرض الجزئ ''P'' يتحرك من نقطة ''A'' لنقطة ''B'' مرة أخرى، لكنه هذه المرة يتحرك علي مسار مقارب للمسار الأول ('''r'''(''t'' باختلاف بسيط (''δ'''''r'''(''t'')=''ε'''''h'''(''t'' حيث ''ε'' هو مقدار ثابت يمكن فرضة بقيمة صغيرة جدا، و ('''h'''(''t'' هي دالة عشوائية تحقق
''h'''(''t''<sub>0</sub>) = '''h'''(''t''<sub>1</sub>) = 0 , نفرض القوة (('''F'''('''r'''(''t'')+''ε'''''h'''(''t'' هي نفسها (('''F'''('''r'''(''t'' فان الشغل المبذول ''W'' في هذة الحالة يحسب من التكامل:
:<math>\bar{W} = \int_{\mathbf{r}(t_0)=A}^{\mathbf{r}(t_1)=B}\mathbf{F}\cdot d(\mathbf{r}+\epsilon \mathbf{h})=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\cdot \frac{d(\mathbf{r}(t)+\epsilon\mathbf{h}(t))}{dt}~dt=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\cdot  (\mathbf{v}+\epsilon \dot{\mathbf{h}})~dt  .</math>

ويكون الاختلاف في الشغل ''δW'' عن الحالة الأولي:<math> \delta W = \bar{W}-W = \int_{t_0}^{t_1}(\mathbf{F}\cdot \epsilon\dot{\mathbf{h}})~dt.</math>

وهو ما يعرف ب '''الشغل الافتراضي'''.

إذا لم يكن هناك أي قوي تقييد فانه يلزم وجود 6 معملات لتعريف حركة الجسيم ''P'' وإذا كان هناك ''k'' قوة تقييد حيث (k'' ≤ 6'') في هذه الحالة يلزم وجود (''n'' = (6 - ''k'' معامل. وحيث انه يمكن تعريف ''n'' متجه عام (''q''<sub>''i''</sub> (''t'') (''i'' = 1, 2, ..., ''n'' ثم تعريف ('''r'''(''t'' و (''δ'''''r'''=''ε'''''h'''(''t'' بدلالة هذه المتجهات العامة، فان:
:<math>\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(q_1,q_2,...,q_n;t)</math>
:<math>\mathbf{h}(t) = \mathbf{h}(q_1,q_2,...,q_n;t)</math>

في هذه الحالة فان مشتقة التغير (''δ'''''r'''=''ε'''''h'''(''t'' تعطي ب:<math> \frac{d}{dt}\delta \mathbf{r} = \frac{d}{dt}\epsilon\mathbf{h} = \sum_{i=1}^n\frac{\partial \mathbf{h}}{\partial q_i}\epsilon\dot{q}_i,</math>

ثم:<math> \delta W = \int_{t_0}^{t_1}\left(\sum_{i=1}^n \mathbf{F}\cdot\frac{\partial\mathbf{h}}{\partial q_i}\epsilon\dot{q}_i\right)dt = \sum_{i=1}^n\left(\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\cdot\frac{\partial\mathbf{h}}{\partial q_i}\epsilon\dot{q}_i ~dt\right).</math>

وحيث انه مطلوب ان يكون الشغل الافتراضي بقيمة صفر لاي تغير عشوائي (''δ'''''r'''(''t'')=ε'''h'''(''t'' فانه ينتج أن:
:<math> Q_i = \mathbf{F}\cdot \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial q_i} = 0, \quad i=1, \ldots, n.</math>

حيث ''Q<sub>i</sub>'' تسمي القوي العامه المصاحبة [[إزاحة افتراضية|للازاحة الافتراضية]] δ'''r'''

== بعض التطبيقات ==

=== قانون الروافع ===

[[ملف:Archimedes lever (Small).jpg|تصغير|يسار|300px|هذة لوحة من مجلة ''Mechanics Magazine'' تم نشرها في لندن سنة 1842.]]

عند اعتبار [[رافعة|الرافعه]] [[جسم جاسئ|كجسم جاسئ]] وباستخدام الشغل الافتراضي يمكن استنتاج قانون الروافع كالتالي:<math> MA = \frac{F_B}{F_A} = \frac{a}{b}</math>
حيث '''F'''<sub>''A''</sub> هي القوة المؤثرة و '''F'''<sub>''B''</sub> هي القوة الناتجه و ''a'' و ''b'' هما طولي ذراع كل قوة علي التوالي.

يظهر هذا القانون انه إذا كان ذراع القوه أطول من ذراع العزم فانه يمكن تكبير قوة الرفع والعكس صحيح، ويمكن استخدام هذا القانون في العديد من التطبيقات لمضاعفة القوه.
هذا القانون تم اثباته بواسطة [[أرخميدس]] باستخدام [[هندسة|الهندسية التطبيقية]].<ref name="Usher1954">{{استشهاد بكتاب|مؤلف=Usher, A. P.|عنوان=A History of Mechanical Inventions|مسار=https://books.google.com/books?id=Zt4Aw9wKjm8C&pg=PA94|صفحة=94|تاريخ الوصول=7 April 2013|سنة=1929|ناشر=Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988)|isbn=978-0-486-14359-0|oclc=514178| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191007011134/https://books.google.com/books?id=Zt4Aw9wKjm8C | تاريخ أرشيف = 7 أكتوبر 2019 }}</ref>

== انظر أيضا ==
* [[ميكانيكا لاغرانج|ميكانيكا لاجرانج]]
* [[حساب المتغيرات]]
* [[شغل (ديناميكا حرارية)]]
* [[شغل (فيزياء)]]
* [[نظام ميكانيكي|نظام ميكاني]]
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|طاقة}}

[[تصنيف:أنظمة حركية]]
[[تصنيف:الطاقة في الفيزياء]]
[[تصنيف:تحليل إنشائي]]
[[تصنيف:فيزياء تمهيدية]]
[[تصنيف:ميكانيكا]]
نظرية الشغل الافتراضي  تنشأ عند تطبيق مبدأ الفعل الأدني عند دراسة القوي والحركه لنظام ميكانيكي، الشغل الناشئ من قوة تؤثر علي جسيم يتحرك في نفس اتجاه الحركة تختلف باختلاف مقدار الحركة. بين كل الحركات الممكنة توجد حركة تؤدي الي الفعل الأدني وتسمي الإزاحة الإفتراضية. وفي هذه الحالة يكون الشغل الناتج هو الشغل الافتراضي.

تاريخيا، الشغل الافتراضي وما يصاحبه من تفاضل المتغيرات تم استنتاجهم لدراسة الاجسام الجاسئهC. Lánczos, The Variational Principles of Mechanics, 4th Ed., General Publishing Co., Canada, 1970 ، وبعد ذلك تم تعديلهم ليناسبوا الأجسام القابلة للتشكل.Dym, C. L. and I. H. Shames, Solid Mechanics: A Variational Approach, McGraw-Hill, 1973.

 تاريخ 
تصغير|يسار|300px|عالم الرياضيات لاجرانج
تم استخدام مبدأ الشغل الافتراضي في دراسة علم الاستاتيكا منذ القدم بواسطة الاغريق، العرب، الايطاليين في عصر النهضة. وتم استخدام المبدأ بواسطة علماء فيزياء مشهورين بالقرن السابع عشر أمثال جاليليو.Danilo Capecchi, History of Virtual Work Laws, Springer-Verlag, Italy, 2012
في عام 1768 قام لاجرانج بتقديم المبدأ في صورة أكثر كفاءة عن طريق استخدام المتجهات العامة.

 مقدمة 

نفرض جزئ P يتحرك من نقطة A لنقطة B علي مسار (r(t في حين أن القوة ((F(r(t تؤثر علية، فان الشغل المبذول W بواسطة هذة القوة يعطي بالتكامل:

حيث dr هو العنصر التفاضلي علي طول منحني حركة الجزئ P و v هو سرعتة. من المهم ملاحظة ان الشغل المبذول W يعتمد علي مسار حركة الجزئ P

الآن نفرض الجزئ P يتحرك من نقطة A لنقطة B مرة أخرى، لكنه هذه المرة يتحرك علي مسار مقارب للمسار الأول (r(t باختلاف بسيط (δr(t)=εh(t حيث ε هو مقدار ثابت يمكن فرضة بقيمة صغيرة جدا، و (h(t هي دالة عشوائية تحقق
h(t0) = h(t1) = 0 , نفرض القوة ((F(r(t)+εh(t هي نفسها ((F(r(t فان الشغل المبذول W في هذة الحالة يحسب من التكامل:

ويكون الاختلاف في الشغل δW عن الحالة الأولي:

وهو ما يعرف ب الشغل الافتراضي.

إذا لم يكن هناك أي قوي تقييد فانه يلزم وجود 6 معملات لتعريف حركة الجسيم P وإذا كان هناك k قوة تقييد حيث (k ≤ 6) في هذه الحالة يلزم وجود (n = (6 - k معامل. وحيث انه يمكن تعريف n متجه عام (qi (t) (i = 1, 2, ..., n ثم تعريف (r(t و (δr=εh(t بدلالة هذه المتجهات العامة، فان:

في هذه الحالة فان مشتقة التغير (δr=εh(t تعطي ب:

ثم:

وحيث انه مطلوب ان يكون الشغل الافتراضي بقيمة صفر لاي تغير عشوائي (δr(t)=εh(t فانه ينتج أن:

حيث Qi تسمي القوي العامه المصاحبة للازاحة الافتراضية δr بعض التطبيقات 

 قانون الروافع 

تصغير|يسار|300px|هذة لوحة من مجلة Mechanics Magazine تم نشرها في لندن سنة 1842.

عند اعتبار الرافعه كجسم جاسئ وباستخدام الشغل الافتراضي يمكن استنتاج قانون الروافع كالتالي:
حيث FA هي القوة المؤثرة و F'''B هي القوة الناتجه و a و b'' هما طولي ذراع كل قوة علي التوالي.

يظهر هذا القانون انه إذا كان ذراع القوه أطول من ذراع العزم فانه يمكن تكبير قوة الرفع والعكس صحيح، ويمكن استخدام هذا القانون في العديد من التطبيقات لمضاعفة القوه.
هذا القانون تم اثباته بواسطة أرخميدس باستخدام الهندسية التطبيقية.

 انظر أيضا 
 ميكانيكا لاجرانج
 حساب المتغيرات
 شغل (ديناميكا حرارية)
 شغل (فيزياء)
 نظام ميكاني
 مراجع 

تصنيف:أنظمة حركية
تصنيف:الطاقة في الفيزياء
تصنيف:تحليل إنشائي
تصنيف:فيزياء تمهيدية
تصنيف:ميكانيكا