حساب التفاضل والتكامل من الاختلافات
{{وصلات قليلة|تاريخ=أكتوبر 2015}}
{{يتيمة|تاريخ=يناير 2015}}

== معادلة يولر-لاغرانج ==
العثور على القيم القصوى للعمليات مشابه لإيجاد القيم العظمى والصغرى للمعادلات. الحدود القصوى والدنيا للمعادلة يمكن العثور عليها من خلال إيجاد النقاط حيث تختفي مشتقاتها (أي تساوي ال[[صفر (توضيح)|صفر]]). والحدود القصوى للعمليات يمكن الحصول عليها من خلال إيجاد معادلات مشتقتها تساوي الصفر. وهذا يؤدي إلى حل معادلة يولر-لاغرانج .
انظر في المعادلة :

<math> J[y] = \int_{x_1}^{x_2}  L[x,y(x),y'(x)]\, dx  \, </math>

حيث ان 
:{{تعبير رياضي|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>}} ثوابت
:{{تعبير رياضي|''y'' (''x'')}} قابلة للتفاضل مرتين
:{{تعبير رياضي|''y'' &prime;(''x'') {{=}} ''dy / dx'' &nbsp;}}, 
:{{تعبير رياضي|''L''[''x'', ''y'' (''x''), ''y'' &prime;(''x'')]}} قابلة للتقاضل مرتين بالنسبة إلى {{تعبير رياضي|''x'',  &nbsp;''y'',  &nbsp;''y'' &prime;}}.
إذا كانت الدالة {{تعبير رياضي|''J''[''y'' ]}} تؤول إلى حد ادنى محلي عند {{تعبير رياضي|''f'' ,}} و {{تعبير رياضي|''&eta;''(''x'')}} عبارة عن معادلة تعسفية التي لدبها ما لايقل عن مشتقة واحدة وتختفي عند نقاط النهاية {{تعبير رياضي|''x''<sub>1</sub>}} و {{تعبير رياضي|''x''<sub>2</sub> ,}} ولأي رقم {{تعبير رياضي|''&epsilon;''}} قريب من الصفر.
<math>J[f] \le J[f + \varepsilon \eta] \, </math>
 
{{تعبير رياضي|''&epsilon;&eta;''}} هو تغير الدالة {{تعبير رياضي|''f''}} ويعبر عنه {{تعبير رياضي|''&delta;f'' .}}.<ref name='CourHilb1953P184'>{{Harvard citation|Courant|Hilbert|1953|p=184}}</ref> بالتعويض عن {{تعبير رياضي|''f'' + ''&epsilon;&eta;''}} في {{تعبير رياضي|''y''}} في المعادلة {{تعبير رياضي|''J''[ ''y'' ] ,}} تكون النتيجة

<math> \Phi(\varepsilon) = J[f+\varepsilon\eta] \,  </math>

بما ان المعادلة {{تعبير رياضي|''J''[ ''y'' ]}} لها حد ادنى عند {{تعبير رياضي|''y'' {{=}} ''f'' ,}} و الدالة {{تعبير رياضي|&Phi;(''&epsilon;'')}} لها حد ادنى عند {{تعبير رياضي|''&epsilon;'' {{=}} 0}} فبالتالي

<math> \Phi'(0) \equiv \left.\frac{d\Phi}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} = \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx = 0 \, . </math>

بأخد المشتقة الكاملة ل {{تعبير رياضي|''L''[''x'', ''y'', ''y'' &prime;] ,}} حيث ان {{تعبير رياضي|''y'' {{=}} ''f'' + ''&epsilon; &eta;''}} و {{تعبير رياضي|''y'' &prime; {{=}} ''f'' &prime; + ''&epsilon; &eta;''&prime;}} هم دوال في {{تعبير رياضي|''&epsilon;''}} وليس {{تعبير رياضي|''x''}}
:<math>
\frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{dy}{d\varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial y'}\frac{dy'}{d\varepsilon}
</math>

وبما ان {{تعبير رياضي|''dy'' /''d&epsilon;'' {{=}} ''&eta;''}} و {{تعبير رياضي|''dy'' &prime;/''d&epsilon;'' {{=}} ''&eta;' ''}}

<math>
\frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\eta'
</math> .

لذلك

<math>
\begin{align}
\int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx 
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta + \frac{\partial L}{\partial f'} \eta'\right)\, dx \\
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta - \eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right)\, dx + \left.\frac{\partial L}{\partial f'} \eta \right|_{x_1}^{x_2}\\
  \end{align}
</math>

حيث ان {{تعبير رياضي|''L''[''x'', ''y'', ''y'' &prime;] &rarr; ''L''[''x'', ''f'', ''f'' &prime;]}} عندما تكون ''&epsilon;'' = 0 و لذلك استعملنا التكامل بالأجزاء . أخر حد اختفى بسبب ان {{تعبير رياضي|''&eta;'' {{=}} 0}} عند {{تعبير رياضي|''x<sub>1</sub>''}} و {{تعبير رياضي|''x<sub>2</sub>''}} من التعريف . أيضا، كما ذكر من القبل أن الجانب الأيسر من المعادلة يساوي الصفر لذلك

<math> \int_{x_1}^{x_2} \eta \left(\frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) \, dx = 0 \,  </math>

من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من الاختلافات يكون التكامل بين القوسين يساوي الصفر
<div style="{{divstylewhite}}; width:15em; margin:.3em"><div style="text-align: center;"><math> \frac{\partial L}{\partial f} -\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'}=0 </math></div></div>

وهي التي يطلق عليها معادلة يولر-لاغرانج . الجزء الأيسر من النعادلة يطلق عليه المشتقة الوظيفية ل {{تعبير رياضي|''J''[''f'']}} ويعبر عنها {{تعبير رياضي|''δJ''/''δf''(''x'') .}}
بشكل عام يكون الناتج معادلة تفاضلية اعتيادية التي يمكن حلها للحصول على الدالة القصوى {{تعبير رياضي| ''f''(''x'') .}} . معادلة لاغرانج ضرورية ولكن ليست كافية للحصول على النقاط القصوى ل {{تعبير رياضي|''J''[''f'']}} . الشروط الكافية تم مناقشتها في المراجع.

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:رياضيات]]
معادلة يولر-لاغرانج 
العثور على القيم القصوى للعمليات مشابه لإيجاد القيم العظمى والصغرى للمعادلات. الحدود القصوى والدنيا للمعادلة يمكن العثور عليها من خلال إيجاد النقاط حيث تختفي مشتقاتها (أي تساوي الصفر). والحدود القصوى للعمليات يمكن الحصول عليها من خلال إيجاد معادلات مشتقتها تساوي الصفر. وهذا يؤدي إلى حل معادلة يولر-لاغرانج .
انظر في المعادلة :

حيث ان 
 ثوابت
 قابلة للتفاضل مرتين
, 
 قابلة للتقاضل مرتين بالنسبة إلى .
إذا كانت الدالة  تؤول إلى حد ادنى محلي عند  و  عبارة عن معادلة تعسفية التي لدبها ما لايقل عن مشتقة واحدة وتختفي عند نقاط النهاية  و  ولأي رقم  قريب من الصفر.

 
 هو تغير الدالة  ويعبر عنه . بالتعويض عن  في  في المعادلة  تكون النتيجة

بما ان المعادلة  لها حد ادنى عند  و الدالة  لها حد ادنى عند  فبالتالي

بأخد المشتقة الكاملة ل  حيث ان  و  هم دوال في  وليس 

وبما ان  و 

 .

لذلك

حيث ان  عندما تكون ε = 0 و لذلك استعملنا التكامل بالأجزاء . أخر حد اختفى بسبب ان  عند  و  من التعريف . أيضا، كما ذكر من القبل أن الجانب الأيسر من المعادلة يساوي الصفر لذلك

من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من الاختلافات يكون التكامل بين القوسين يساوي الصفر

وهي التي يطلق عليها معادلة يولر-لاغرانج . الجزء الأيسر من النعادلة يطلق عليه المشتقة الوظيفية ل  ويعبر عنها 
بشكل عام يكون الناتج معادلة تفاضلية اعتيادية التي يمكن حلها للحصول على الدالة القصوى  . معادلة لاغرانج ضرورية ولكن ليست كافية للحصول على النقاط القصوى ل  . الشروط الكافية تم مناقشتها في المراجع.

 المراجع 

تصنيف:رياضيات