متباينة المجموع لتشيبيشيف
[[ملف:Chebyshev.jpg|تصغير|200بك|يسار]]
{{ميز|متراجحة تشيبيشيف}}

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''متراجحة المجموع لتشيبيشيف''' {{إنج|Chebyshev's sum inequality}} المسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي [[بافنوتي تشيبيشيف]]، تنص على ما يلي:
إذا توفر
:<math>a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n</math>

و

:<math>b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,</math>

فإن

:<math>{1\over n} \sum_{k=1}^n a_k b_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).</math>

وبشكل مشابه، إذا توفر

:<math>a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n</math>

و

:<math>b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,</math>

فإن

:<math>{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).</math><ref>{{استشهاد بكتاب|mr=0944909|الأخير=Hardy|الأول=G. H.|الأخير2=Littlewood|الأول2=J. E.|الأخير3=Pólya|الأول3=G.|عنوان=Inequalities|مسار=https://archive.org/details/inequalities0000hard_s5h4|سلسلة=Cambridge Mathematical Library|ناشر=Cambridge University Press|مكان=Cambridge|سنة=1988|ردمك=0-521-35880-9}}</ref>

== البرهان ==
ليكن [[مجموع (علم الحساب)|المجموع]] التالي

:<math> S = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n (a_j - a_k) (b_j - b_k).</math>

The two sequences are non-increasing, therefore {{تعبير رياضي|''a''<sub>''j''</sub>&nbsp;−&nbsp;''a''<sub>''k''</sub>}} and {{تعبير رياضي|''b''<sub>''j''</sub>&nbsp;−&nbsp;''b''<sub>''k''</sub>}} have the same sign for any {{تعبير رياضي|''j'',&nbsp;''k''}}. Hence {{تعبير رياضي|''S''&nbsp;≥&nbsp;0}}.

Opening the brackets, we deduce:

:<math> 0 \leq 2 n \sum_{j=1}^n a_j b_j - 2 \sum_{j=1}^n a_j \, \sum_{k=1}^n b_k,</math>

whence

:<math> \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j b_j \geq \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j\right) \, \left(\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n b_k\right).</math>

An alternative proof is simply obtained with the [[rearrangement inequality]].

== الصيغة المتصلة ==
هناك أيضا صيغة متصلة لمتراجحة المجموع لتشيبيشيف.

إذا كانت ''f'' و''g'' دالتين ذات قيم حقيقية وقابلتين للتكامل على المجال [0,1], كلاهما تنازلي، أو كلاهما تصاعدي، فإن:

:<math> \int_0^1 f(x)g(x)dx \geq \int_0^1 f(x)dx \int_0^1 g(x)dx,\, </math>

with the inequality reversed if one is non-increasing and the other is non-decreasing.

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|إحصاء|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:احتمالات]]
[[تصنيف:متباينات]]
[[تصنيف:متتاليات ومتسلسلات]]
في الرياضيات، متراجحة المجموع لتشيبيشيف  المسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف، تنص على ما يلي:
إذا توفر

و

فإن

وبشكل مشابه، إذا توفر

و

فإن

 البرهان 
ليكن المجموع التالي

The two sequences are non-increasing, therefore  and  have the same sign for any . Hence .

Opening the brackets, we deduce:

whence

An alternative proof is simply obtained with the rearrangement inequality.

 الصيغة المتصلة 
هناك أيضا صيغة متصلة لمتراجحة المجموع لتشيبيشيف.

إذا كانت f وg دالتين ذات قيم حقيقية وقابلتين للتكامل على المجال [0,1], كلاهما تنازلي، أو كلاهما تصاعدي، فإن:

with the inequality reversed if one is non-increasing and the other is non-decreasing.

 مراجع 

تصنيف:احتمالات
تصنيف:متباينات
تصنيف:متتاليات ومتسلسلات