مبرهنة ليندمان-فايرشتراس
{{عن|مبرهنة ليندمان فايرستراس||مبرهنة فايرستراس (توضيح)}}{{شريط جانبي الثابت باي}}

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''مبرهنة ليندمان-فايرشتراس''' {{إنج|Lindemann–Weierstrass theorem}} هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات [[عدد متسام|تسامي]] عدد ما من عدمه.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html | عنوان = معلومات عن مبرهنة ليندمان-ويرستراس على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190821202438/http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html | تاريخ أرشيف = 21 أغسطس 2019 }}</ref>

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات [[فيردينوند فون ليندمان]] و[[كارل فايرشتراس]].

== البرهان ==
ظهر أول برهان على تسامي العدد <nowiki/>[[ه (رياضيات)|e]] سنة <nowiki/>[[1873]]. سنتبع هنا طريقة <nowiki/>[[ديفيد هيلبرت]] ([[1862]] - <nowiki/>[[1943]]) والذي بسط البرهان الأصلي <nowiki/>[[شارل آرميت|لتشارلز هيرمت]]. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد [[E]] هو [[عدد جبري]]، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد [[مجموعة منتهية]] من المعاملات الصحيحة <math>c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\,</math> التي تحقق المعادلة:
: <math>c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0\,</math>
بحيث يكون كلا العددان <math>c_0</math> و<math>c_n</math> مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب [[طرفا معادلة|طرفي المعادلة]] بـ <math>\int^{\infty}_{0}\,</math>، في حين سنستعمل الترميز التالي <math>\int^{b}_{a}\,</math> كاختصار <nowiki/>[[تكامل|للتكامل]]:
: <math>\int^{b}_{a} =\int^{b}_{a}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,</math>.
سنصل إلى المعادلة:
: <math>c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{0} = 0\,</math>
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
: <math>P_{1}+P_{2}=0\,</math>
حيث
: <math>P_{1}=c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{1}+c_{2}e^{2}\int^{\infty}_{2}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}\,</math>
: <math>P_{2}=c_{1}e\int^{1}_{0}+c_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{n}_{0}\,</math>
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> هو [[عدد صحيح]] يخالف الصفر، في حين العدد <math>\frac{P_{2}}{k!}\,</math> ليس كذلك.

والسبب في أن <math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
: <math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,</math>
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق <nowiki/>[[تكامل بالتجزئة|مكاملة بالأجزاء]].

ولكي نبرهن على أن:
: <math>\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|<1\,</math> من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن <math>x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,</math> هو جداء الدوال <math>[x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k}\,</math> و<math>(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}\,</math>. وباستعمال المحد العلوي لـ <math>|x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)|\,</math> و<math>|(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}|\,</math> على المجال <math>[n,0]</math> وبما أن:
: <math>\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0\,</math> لكل <nowiki/>[[عدد حقيقي]] G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:أعداد متسامية]]
[[تصنيف:باي]]
[[تصنيف:مبرهنات في نظرية الأعداد]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:ه (رياضيات)]]
في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس  هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان وكارل فايرشتراس.

 البرهان 
ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة  التي تحقق المعادلة:
 
بحيث يكون كلا العددان  و مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ ، في حين سنستعمل الترميز التالي  كاختصار للتكامل:
 .
سنصل إلى المعادلة:
 
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
 
حيث
 
 
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن : هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد  ليس كذلك.

والسبب في أن  عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
 
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:
  من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن  هو جداء الدوال  و. وباستعمال المحد العلوي لـ  و على المجال  وبما أن:
  لكل عدد حقيقي G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

 مراجع 

تصنيف:أعداد متسامية
تصنيف:باي
تصنيف:مبرهنات في نظرية الأعداد
تصنيف:مقالات تحوي براهين
تصنيف:ه (رياضيات)