حساب المتغيرات
{{لا صندوق معلومات}}
[[ملف:VC3.png|تصغير|واحدة من أربع صور تم إنشاؤها كمثال على صفحة الأبعاد.]]
'''حساب التغيرات''' {{إنج|Calculus of variations}} هو من مجالات [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]] الذي يتعامل مع زيادة أو تقليل تابعي الدوال التي هي عبارة عن تعيينات من مجموعة من الدوال إلى [[عدد حقيقي|أعداد حقيقية]]. غالباً ما يتم التعبير عن تابعات الدوال هذه [[تكامل|بتكاملات محددة]] تشمل الدوال و[[مشتق (رياضيات)|مشتقاتها]]. ويكون الاهتمام بالمتغيرات التي تجعل الدوال تصل إلى قيمة عظمى أو صغرى التي يكون فيها معدل التغير صفر.

مثال بسيط لهذه المشكلة هو إيجاد منحنى له أقصر طول يربط بين نقطتين. إذا لم يكن هناك أية قيود، فمن الواضح أن الحل خط مستقيم بين نقطتين. ومع ذلك، إذا كان المنحنى مقيد بأن يقع على سطح في الفضاء، إذا فالحل أقل وضوحاً، وربما العديد من الحلول قد تكون موجودة. هذه الحلول معروفة باسم [[جيوديسي|الخطوط الجيوديسية]] . ومن المشاكل ذات الصلة يعرضها [[مبدأ فيرما]] : الضوء يتبع طريق أقصر طول ضوئي يربط بين نقطتين، حيث أن الطول الضوئي يعتمد على المادة المكونة للوسط .من المفاهيم في [[ميكانيكا|الميكانيكا]] هو مبدأ أقل عمل.

العديد من المشاكل الهامة تشمل دوال بها عدة متغيرات. حلول المشاكل التي بها قيمة للحدود [[معادلة لابلاس|لمعادلة لابلاس]] تلبي مبدأ ديريتشليت. مشكلة بلاتو تتطلب إيجاد مساحة أقل منطقة التي تمتد في محيط معين في الفضاء. على الرغم من أن مثل هذه التجارب سهلة نسبياً للتنفيذ، فإن تفسيرها الرياضي أبعد ما يكون عن البساطة: قد يكون هناك واحد أو أكثر من الأسطح ذي [[طوبولوجيا|مساحة]] دنيا.

== التاريخ ==
حساب المتغيرات يمكن القول أنه بدء مع مشكلة منحنى براتشيستوتشروني التي أثارتها [[يوهان برنولي|يوهان بيرنولي]] (1696).<ref name=GelfandFominP3>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1-الأخير=Gelfand|مؤلف1-الأول=I. M.|مؤلف1-وصلة=Israel Gelfand|مؤلف2-الأخير=Fomin|مؤلف2-الأول=S. V.|مؤلف2-وصلة=Sergei Fomin|عنوان=Calculus of variations|سنة=2000|ناشر=Dover Publications|مكان=Mineola, New York|ردمك=978-0486414485|صفحة=3|مسار= https://store.doverpublications.com/0486414485.html|إصدار=Unabridged repr.|محرر1-الأخير=Silverman| محرر1-الأول=Richard A.|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190503235216/http://store.doverpublications.com:80/0486414485.html|تاريخ أرشيف=2019-05-03}}</ref> احتل فورا انتباه [[ياكوب برنولي|ياكوب بيرنولي]] و[[غييوم دي لوبيتال]]، ولكن[[ليونهارت أويلر|ليونارد أويلر]] الذي بدأت اسهاماته عام 1733 شرح أولا هذا الموضوع. ساهم [[جوزيف لوي لاغرانج|لاجرانج]] إلى حد كبير في النظرية، و [[أدريان ماري ليجاندر|ليجاندر]] (1786) وضع نظرية ولكنها ليست بالكامل مرضية للتفريق بين القيمة القصوى والدنيا. [[إسحاق نيوتن]] و[[غوتفريد لايبنتس|جوتفريد لايبنتز]] أعطوا أيضا بعض الاهتمام المبكر لهذا الموضوع.<ref name="brunt">{{استشهاد بكتاب |الأخير = van Brunt |الأول = Bruce |عنوان = The Calculus of Variations |مسار = https://archive.org/details/springer_10.1007-b97436 |ناشر = Springer |سنة = 2004  |ردمك= 0-387-40247-0| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20220411044902/https://archive.org/details/springer_10.1007-b97436 | تاريخ أرشيف = 11 أبريل 2022 }}</ref> لهذا التمييز فينتشنزو بروناكسي (1810)، [[كارل فريدريش غاوس|كارل فريدريش جاوس]] (1829)، [[سيميون بواسون]] (1831)، وميخائيل أوستروجرادسكي (1834)،و [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي|كارل جاكوبي]] (1837) كانو من بين المساهمين. وكان هناك عمل هام من ساروس (1842) الذي كثف وتم تحسينه بواسطة [[أوغستين لوي كوشي|كوشي]] (1844). ومن بعض الاطروحات القيمة كتبت بواسطة ستراك (1849)، جيليت (1850)، أوتو هيس (1857)، الفريد كليبش (1858)، و كارل ((1885 ، ولكن ربما كان أهم أعمال القرن هو الذي قام به ويرستراس. احتفل بالطبع بالنظرية لكونها صانعة عهداَ جديداً، وأنه قد أكد أنه كان أول من وضع النظرية على أساس راسخ ولا يرقى إليه الشك. [[مسائل هيلبرت|مشكلة هيلبرت]] العشرين والثالثة والعشرين نشرت في عام 1900 شجعت على زيادة التطوير.[2] في القرن العشرين قام [[ديفيد هيلبرت|دايفيد هيلبرت]] , [[إيمي نويثر]]، ليونيد تونيلي، [[هنري لوبيغ|هنري ليبيسج]] و[[جاك هادامار]]د بين أخرين ممن قدموا مساهمات كبيرة.<ref name="brunt"/> طبق [[مارستون مورس]] حساب المتغيرات في ما يسمى الآن بنظرية مورس.<ref name="ferguson">{{cite arXiv |الأخير=Ferguson |الأول=James |وصلة مؤلف=|eprint= arXiv:math/0402357 |عنوان=  Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications |سنة=2004 }}</ref> ليف بونترياجين، رالف روكافيلرو كلارك طوروا أداه رياضية جديدة لحساب المتغيرات في [[نظرية التحكم]] الأمثل.<ref name="ferguson"/> [[برمجة ديناميكية|البرمجة الديناميكية]] للريتشارد بيلمان هي بدله لحساب المتغيرات.<ref>Dimitri P Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.</ref><ref name="bellman">{{استشهاد بدورية محكمة |الأخير=Bellman |الأول=Richard E. |عنوان= Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations |سنة=1954 |صحيفة= Proc. Nat. Acad. Sci. | العدد=4 | صفحات=231–235|مسار=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC527981/pdf/pnas00731-0009.pdf |pmc=527981 |pmid=16589462 |المجلد=40| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191218053041/https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC527981/pdf/pnas00731-0009.pdf | تاريخ أرشيف = 18 ديسمبر 2019 }}</ref><ref name='Kushner2004'>{{استشهاد بخبر | الأول = Harold J. | الأخير = Kushner | عنوان = Richard E. Bellman Control Heritage Award  | سنة = 2004 | مسار = https://a2c2.org/awards/richard-e-bellman-control-heritage-award | عمل = American Automatic Control Council | تاريخ الوصول = 2013-07-28 | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171119162632/http://a2c2.org/awards/richard-e-bellman-control-heritage-award | تاريخ أرشيف = 19 نوفمبر 2017 }} See '''2004: Harold J. Kushner''': regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."</ref>

== القيم القصوى ==
حساب المتغيرات معني بالحدود العظمى أو الدنيا للدوال، التي تسمى مجتمعة القيم القصوى. تعتمد تابعة الدالة الرياضية على دالة، مشابهة إلى حد ما للطريقة التي يمكن أن تعتمد بها دالة على [[متغير (رياضيات)|متغير]] عددي، وهكذا تم وصف تابعة الدالة الرياضية كدالة لدالة. تابعات الدوال لها قيم قصوى سواء عظمى أو دنيا بالنسبة للعناصر {{تعبير رياضي|''y''}} لفضاء دالة معطاة ومعرفة عبر [[منطلق دالة|مجال]] معطى.

الدالة {{تعبير رياضي|''J'' [ ''y'' ]}} يقال أن يكون لها قيمة قصوى في الدالة {{تعبير رياضي|''f''&nbsp; }} إذا كان{{تعبير رياضي|''ΔJ'' {{=}} ''J'' [ ''y'' ]  - ''J'' [ ''f'']}} له نفس [[إشارة (رياضيات)|الإشارة]] لكل {{تعبير رياضي|''y''}} في أحد الأحياء العشوائية الصغيرة المجاورة عند {{تعبير رياضي|''f'' .}} والدالة {{تعبير رياضي|''f''}} تسمى دالة قصوى. والقيم القصوى للدالة {{تعبير رياضي|''J'' [ ''f'' ]}} تكون عظمى إذا كان {{تعبير رياضي|''ΔJ'' ≤ 0}} في كل مكان في أحد الاحياء العشوائية الصغيرة المجاورة، ودنيا إذا كان {{تعبير رياضي|''ΔJ'' ≥ 0}} . لفضاء دالة متصلة، قيم قصوى مقابلة لتابعة دالة تسمى ضعيفة أو قوية اعتماداً على إذا كان المشتقات الأولى للدالة المتصلة هيه أيضا متصلة أم لا.<ref name='GelfandFominPP12to13'>{{Harvard citation|Gelfand|Fomin|2000|pp=12–13}}</ref>

لتعريف أكثر تفصيلاً لقيم القصوى الضعيفة والقوية يشتمل على مفهوم المعيار لدالة في فضاء الدالة، الذي له دور مشابه لطول متجه في [[فضاء متجهي|فضاء المتجه]]. إذا كان {{تعبير رياضي|''y''}} عنصر من عناصر فضاء الدالة {{تعبير رياضي|''C''(a,b)}} لجميع الدوال المتصلة التي تم تعريفها في [[مجال فاصل (رياضيات)|فترة زمنية مغلقة]] [a,b] ، فالمعيار '''norm {{تعبير رياضي| <nowiki>||</nowiki> ''y'' <nowiki>||</nowiki><sub>0</sub>}}''' المعرف على {{تعبير رياضي|''C''(a,b)}} هو قيمة [[قيمة مطلقة|الحد الأقصى المطلق]] {{تعبير رياضي|''y'' (''x'')}} عند {{تعبير رياضي|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}}.<ref name='GelfandFominP6'>{{Harvard citation | Gelfand|Fomin| 2000 | p=6 }}</ref>

<math> \| y \|_0 \equiv \max_{a \le x \le b} |y(x)| \qquad \text{where} \ \ y \in C(a,b) \,  </math>

وبالمثل، إذا كان {{تعبير رياضي|''y''}} عنصر من عناصر فضاء الدالة {{تعبير رياضي|''D''<sub>1</sub>(a,b)}} لجميع دوال من {{تعبير رياضي|''C''(a,b)}} التي لديها المشتقات الأولى متصلة، فالمعيار'''norm {{تعبير رياضي| <nowiki>||</nowiki> ''y'' <nowiki>||</nowiki><sub>1</sub>}}'' المعرف في {{تعبير رياضي|''D''<sub>1</sub>(a,b)}} هو مجموع قيمة الحد الأقصى المطلق {{تعبير رياضي|''y'' (''x'')}} وقيمة الحد الأقصى المطلق [[مشتق (رياضيات)|للمشتقة الاولى]] المطلقة {{تعبير رياضي|''y'' ′(''x'')}} عند {{تعبير رياضي|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}}.<ref name='GelfandFominP6' />

<math> \| y \|_1 \equiv \max_{a \le x \le b} |y(x)| \ + \max_{a \le x \le b} |y\,'(x)| \qquad \text{where} \ \ y \in D_1(a,b) \, </math>

الدالة {{تعبير رياضي|''J'' [ ''y'' ]}} يقال أن لها قيم قصوى ضعيفة في الدالة {{تعبير رياضي|''f''}} إذا وجد بعض {{تعبير رياضي|''δ''> 0}} ، حيث أن {{تعبير رياضي| ''J'' [ ''y'' ] - ''J'' [ ''f'']}} لها نفس الإشارة لكل الدوال {{تعبير رياضي|''y'' ∈ ''D''<sub>1</sub>(a,b)}} مع {{تعبير رياضي| <nowiki>||</nowiki> ''y'' - ''f'' <nowiki>||</nowiki><sub>1</sub> <''δ''}}. وبالمثل، الدالة {{تعبير رياضي|''J'' [ ''y'' ]}} يقال أن لها قيم قصوى عظمى في الدالة {{تعبير رياضي|''f''}} إذا وجد {{تعبير رياضي|''δ''> 0}} حيث أن {{تعبير رياضي| ''J'' [ ''y'' ] - ''J'' [ ''f'']}} لها نفس الإشارة لكل الدوال {{تعبير رياضي|''y'' ∈ ''C'' (a,b)}} مع{{تعبير رياضي| <nowiki>||</nowiki> ''y'' - ''f'' <nowiki>||</nowiki><sub>0</sub> <''δ''}}.

كلا القيم القصوى القوية والضعيفة على حد سواء لدالة هم لفضاء دالة متصلة ولكن القيم القصوى الضعيفة لها احتياجات إضافية حيث تكون المشتقات الأولى للدالة في الفضاء متصلة . ولذا القيم القصوى العظمى هي أيضاً قصوى ضعيفة، ولكن لا يجوز إجراء العكس. إيجاد القيم القصوى العظمى أصعب من العثور على القيم القصوى الضعيفة.<ref>GelfandFominP13</ref> مثال على [[شرط ضروري وشرط كاف|الشرط الضروري]] الذي يتم استخدامها للعثور على القيم القصوى الضعيفة هي معادلة أويلر – لاغرانج.<ref name='GelfandFominPP14to15'>{{Harvard citation | Gelfand|Fomin| 2000 | pp=14–15 }}</ref>

== معادلة أويلر-لاغرانج ==
العثور على القيم القصوى تابعي الدوال مشابه لإيجاد القيم العظمى والصغرى للمعادلات. الحدود القصوى والدنيا للمعادلة يمكن العثور عليها من خلال إيجاد النقاط حيث تختفي مشتقاتها (أي تساوي الصفر). والحدود القصوى لتابعي الدوال يمكن الحصول عليها من خلال إيجاد معادلات مشتقتها تساوي الصفر. وهذا يؤدي إلى حل معادلة [[ميكانيكا لاغرانج|اويلر-لاغرانج]] .
انظر في المعادلة :

<math> J[y] = \int_{x_1}^{x_2}  L[x,y(x),y'(x)]\, dx  \, </math>

حيث ان
:{{تعبير رياضي|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>}} ثوابت
:{{تعبير رياضي|''y'' (''x'')}} قابلة للتفاضل مرتين
:{{تعبير رياضي|''y'' ′(''x'') {{=}} ''dy / dx'' &nbsp;}},
:{{تعبير رياضي|''L''[''x'', ''y'' (''x''), ''y'' ′(''x'')]}} قابلة للتفاضل مرتين بالنسبة إلى {{تعبير رياضي|''x'',  &nbsp;''y'',  &nbsp;''y'' ′}}.
إذا كانت الدالة {{تعبير رياضي|''J''[''y'' ]}} تؤول إلى [[النقاط الحدية|حد ادنى محلي]] عند {{تعبير رياضي|''f'' ,}} و {{تعبير رياضي|''η''(''x'')}} عبارة عن معادلة تعسفية التي لدبها ما لايقل عن مشتقة واحدة وتختفي عند نقاط النهاية {{تعبير رياضي|''x''<sub>1</sub>}} و {{تعبير رياضي|''x''<sub>2</sub> ,}} ولأي رقم {{تعبير رياضي|''ε''}} قريب من الصفر.
<math>J[f] \le J[f + \varepsilon \eta] \, </math>

{{تعبير رياضي|''εη''}} هو تغير الدالة {{تعبير رياضي|''f''}} ويعبر عنه {{تعبير رياضي|''δf'' .}}.<ref name='CourHilb1953P184'>{{Harvard citation|Courant|Hilbert|1953|p=184}}</ref> بالتعويض عن {{تعبير رياضي|''f'' + ''εη''}} في {{تعبير رياضي|''y''}} في المعادلة {{تعبير رياضي|''J''[ ''y'' ] ,}} تكون النتيجة

<math> \Phi(\varepsilon) = J[f+\varepsilon\eta] \,  </math>

بما ان المعادلة {{تعبير رياضي|''J''[ ''y'' ]}} لها حد ادنى عند {{تعبير رياضي|''y'' {{=}} ''f'' ,}} و الدالة {{تعبير رياضي|Φ(''ε'')}} لها حد ادنى عند {{تعبير رياضي|''ε'' {{=}} 0}} فبالتالي

<math> \Phi'(0) \equiv \left.\frac{d\Phi}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} = \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx = 0 \, . </math>

بأخد [[تفاضل كامل|المشتقة الكاملة]] ل {{تعبير رياضي|''L''[''x'', ''y'', ''y'' ′] ,}} حيث ان {{تعبير رياضي|''y'' {{=}} ''f'' + ''ε η''}} و {{تعبير رياضي|''y'' ′ {{=}} ''f'' ′ + ''ε η''′}} هم دوال في {{تعبير رياضي|''ε''}} وليس {{تعبير رياضي|''x''}}
:<math>
\frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{dy}{d\varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial y'}\frac{dy'}{d\varepsilon}
</math>

وبما ان {{تعبير رياضي|''dy'' /''dε'' {{=}} ''η''}} و {{تعبير رياضي|''dy'' ′/''dε'' {{=}} ''η' ''}}

<math>
\frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\eta'
</math> .

لذلك

<math>
\begin{align}
\int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx 
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta + \frac{\partial L}{\partial f'} \eta'\right)\, dx \\
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta - \eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right)\, dx + \left.\frac{\partial L}{\partial f'} \eta \right|_{x_1}^{x_2}\\
  \end{align}
</math>

حيث ان {{تعبير رياضي|''L''[''x'', ''y'', ''y'' ′] → ''L''[''x'', ''f'', ''f'' ′]}} عندما تكون ''ε'' = 0 و لذلك استعملنا [[تكامل بالتجزئة|التكامل بالأجزاء]] . أخر حد اختفى بسبب ان {{تعبير رياضي|''η'' {{=}} 0}} عند {{تعبير رياضي|''x<sub>1</sub>''}} و {{تعبير رياضي|''x<sub>2</sub>''}} من التعريف . أيضا، كما ذكر من القبل أن الجانب الأيسر من المعادلة يساوي الصفر لذلك

<math> \int_{x_1}^{x_2} \eta \left(\frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) \, dx = 0 \,  </math>

من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من الاختلافات يكون التكامل بين القوسين يساوي الصفر
<div style="{{divstylewhite}}; width:15em; margin:.3em"><div style="text-align: center;"><math> \frac{\partial L}{\partial f} -\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'}=0 </math></div></div>

وهي التي يطلق عليها معادلة اويلر-لاغرانج . الجزء الأيسر من النعادلة يطلق عليه مشتقة تابعة الدالة {{تعبير رياضي|''J''[''f'']}} ويعبر عنها {{تعبير رياضي|''δJ''/''δf''(''x'') .}}
بشكل عام يكون الناتج [[معادلة تفاضلية عادية]] من الدرجة الثانية التي يمكن حلها للحصول على الدالة القصوى {{تعبير رياضي| ''f''(''x'') .}} . معادلة لاغرانج [[شرط ضروري وشرط كاف|ضرورية]] ولكن ليست [[شرط ضروري وشرط كاف|كافية]] للحصول على النقاط القصوى ل {{تعبير رياضي|''J''[''f'']}} . الشروط الكافية تم مناقشتها في المراجع.

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{الرياضيات الصناعية والتطبيقية}}


{{ضبط استنادي}}
{{روابط شقيقة|commons=Calculus of variations}}

{{شريط بوابات|فيزياء الأرض|رياضيات|تحليل رياضي|الفيزياء}}
[[تصنيف:حساب المتغيرات| ]]
حساب التغيرات  هو من مجالات التحليل الرياضي الذي يتعامل مع زيادة أو تقليل تابعي الدوال التي هي عبارة عن تعيينات من مجموعة من الدوال إلى أعداد حقيقية. غالباً ما يتم التعبير عن تابعات الدوال هذه بتكاملات محددة تشمل الدوال ومشتقاتها. ويكون الاهتمام بالمتغيرات التي تجعل الدوال تصل إلى قيمة عظمى أو صغرى التي يكون فيها معدل التغير صفر.

مثال بسيط لهذه المشكلة هو إيجاد منحنى له أقصر طول يربط بين نقطتين. إذا لم يكن هناك أية قيود، فمن الواضح أن الحل خط مستقيم بين نقطتين. ومع ذلك، إذا كان المنحنى مقيد بأن يقع على سطح في الفضاء، إذا فالحل أقل وضوحاً، وربما العديد من الحلول قد تكون موجودة. هذه الحلول معروفة باسم الخطوط الجيوديسية . ومن المشاكل ذات الصلة يعرضها مبدأ فيرما : الضوء يتبع طريق أقصر طول ضوئي يربط بين نقطتين، حيث أن الطول الضوئي يعتمد على المادة المكونة للوسط .من المفاهيم في الميكانيكا هو مبدأ أقل عمل.

العديد من المشاكل الهامة تشمل دوال بها عدة متغيرات. حلول المشاكل التي بها قيمة للحدود لمعادلة لابلاس تلبي مبدأ ديريتشليت. مشكلة بلاتو تتطلب إيجاد مساحة أقل منطقة التي تمتد في محيط معين في الفضاء. على الرغم من أن مثل هذه التجارب سهلة نسبياً للتنفيذ، فإن تفسيرها الرياضي أبعد ما يكون عن البساطة: قد يكون هناك واحد أو أكثر من الأسطح ذي مساحة دنيا.

 التاريخ 
حساب المتغيرات يمكن القول أنه بدء مع مشكلة منحنى براتشيستوتشروني التي أثارتها يوهان بيرنولي (1696). احتل فورا انتباه ياكوب بيرنولي وغييوم دي لوبيتال، ولكنليونارد أويلر الذي بدأت اسهاماته عام 1733 شرح أولا هذا الموضوع. ساهم لاجرانج إلى حد كبير في النظرية، و ليجاندر (1786) وضع نظرية ولكنها ليست بالكامل مرضية للتفريق بين القيمة القصوى والدنيا. إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنتز أعطوا أيضا بعض الاهتمام المبكر لهذا الموضوع. لهذا التمييز فينتشنزو بروناكسي (1810)، كارل فريدريش جاوس (1829)، سيميون بواسون (1831)، وميخائيل أوستروجرادسكي (1834)،و كارل جاكوبي (1837) كانو من بين المساهمين. وكان هناك عمل هام من ساروس (1842) الذي كثف وتم تحسينه بواسطة كوشي (1844). ومن بعض الاطروحات القيمة كتبت بواسطة ستراك (1849)، جيليت (1850)، أوتو هيس (1857)، الفريد كليبش (1858)، و كارل ((1885 ، ولكن ربما كان أهم أعمال القرن هو الذي قام به ويرستراس. احتفل بالطبع بالنظرية لكونها صانعة عهداَ جديداً، وأنه قد أكد أنه كان أول من وضع النظرية على أساس راسخ ولا يرقى إليه الشك. مشكلة هيلبرت العشرين والثالثة والعشرين نشرت في عام 1900 شجعت على زيادة التطوير.[2] في القرن العشرين قام دايفيد هيلبرت , إيمي نويثر، ليونيد تونيلي، هنري ليبيسج وجاك هادامارد بين أخرين ممن قدموا مساهمات كبيرة. طبق مارستون مورس حساب المتغيرات في ما يسمى الآن بنظرية مورس. ليف بونترياجين، رالف روكافيلرو كلارك طوروا أداه رياضية جديدة لحساب المتغيرات في نظرية التحكم الأمثل. البرمجة الديناميكية للريتشارد بيلمان هي بدله لحساب المتغيرات.Dimitri P Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005. See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."

 القيم القصوى 
حساب المتغيرات معني بالحدود العظمى أو الدنيا للدوال، التي تسمى مجتمعة القيم القصوى. تعتمد تابعة الدالة الرياضية على دالة، مشابهة إلى حد ما للطريقة التي يمكن أن تعتمد بها دالة على متغير عددي، وهكذا تم وصف تابعة الدالة الرياضية كدالة لدالة. تابعات الدوال لها قيم قصوى سواء عظمى أو دنيا بالنسبة للعناصر  لفضاء دالة معطاة ومعرفة عبر مجال معطى.

الدالة  يقال أن يكون لها قيمة قصوى في الدالة  إذا كان له نفس الإشارة لكل  في أحد الأحياء العشوائية الصغيرة المجاورة عند  والدالة  تسمى دالة قصوى. والقيم القصوى للدالة  تكون عظمى إذا كان  في كل مكان في أحد الاحياء العشوائية الصغيرة المجاورة، ودنيا إذا كان  . لفضاء دالة متصلة، قيم قصوى مقابلة لتابعة دالة تسمى ضعيفة أو قوية اعتماداً على إذا كان المشتقات الأولى للدالة المتصلة هيه أيضا متصلة أم لا.

لتعريف أكثر تفصيلاً لقيم القصوى الضعيفة والقوية يشتمل على مفهوم المعيار لدالة في فضاء الدالة، الذي له دور مشابه لطول متجه في فضاء المتجه. إذا كان  عنصر من عناصر فضاء الدالة  لجميع الدوال المتصلة التي تم تعريفها في فترة زمنية مغلقة [a,b] ، فالمعيار norm  المعرف على  هو قيمة الحد الأقصى المطلق  عند .

وبالمثل، إذا كان  عنصر من عناصر فضاء الدالة  لجميع دوال من  التي لديها المشتقات الأولى متصلة، فالمعيار'norm  المعرف في  هو مجموع قيمة الحد الأقصى المطلق  وقيمة الحد الأقصى المطلق للمشتقة الاولى المطلقة  عند .

الدالة  يقال أن لها قيم قصوى ضعيفة في الدالة  إذا وجد بعض  ، حيث أن  لها نفس الإشارة لكل الدوال  مع . وبالمثل، الدالة  يقال أن لها قيم قصوى عظمى في الدالة  إذا وجد  حيث أن  لها نفس الإشارة لكل الدوال  مع.

كلا القيم القصوى القوية والضعيفة على حد سواء لدالة هم لفضاء دالة متصلة ولكن القيم القصوى الضعيفة لها احتياجات إضافية حيث تكون المشتقات الأولى للدالة في الفضاء متصلة . ولذا القيم القصوى العظمى هي أيضاً قصوى ضعيفة، ولكن لا يجوز إجراء العكس. إيجاد القيم القصوى العظمى أصعب من العثور على القيم القصوى الضعيفة.GelfandFominP13 مثال على الشرط الضروري الذي يتم استخدامها للعثور على القيم القصوى الضعيفة هي معادلة أويلر – لاغرانج.

 معادلة أويلر-لاغرانج 
العثور على القيم القصوى تابعي الدوال مشابه لإيجاد القيم العظمى والصغرى للمعادلات. الحدود القصوى والدنيا للمعادلة يمكن العثور عليها من خلال إيجاد النقاط حيث تختفي مشتقاتها (أي تساوي الصفر). والحدود القصوى لتابعي الدوال يمكن الحصول عليها من خلال إيجاد معادلات مشتقتها تساوي الصفر. وهذا يؤدي إلى حل معادلة اويلر-لاغرانج .
انظر في المعادلة :

حيث ان
 ثوابت
 قابلة للتفاضل مرتين
,
 قابلة للتفاضل مرتين بالنسبة إلى .
إذا كانت الدالة  تؤول إلى حد ادنى محلي عند  و  عبارة عن معادلة تعسفية التي لدبها ما لايقل عن مشتقة واحدة وتختفي عند نقاط النهاية  و  ولأي رقم  قريب من الصفر.

 هو تغير الدالة  ويعبر عنه . بالتعويض عن  في  في المعادلة  تكون النتيجة

بما ان المعادلة  لها حد ادنى عند  و الدالة  لها حد ادنى عند  فبالتالي

بأخد المشتقة الكاملة ل  حيث ان  و  هم دوال في  وليس 

وبما ان  و 

 .

لذلك

حيث ان  عندما تكون ε = 0 و لذلك استعملنا التكامل بالأجزاء . أخر حد اختفى بسبب ان  عند  و  من التعريف . أيضا، كما ذكر من القبل أن الجانب الأيسر من المعادلة يساوي الصفر لذلك

من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من الاختلافات يكون التكامل بين القوسين يساوي الصفر

وهي التي يطلق عليها معادلة اويلر-لاغرانج . الجزء الأيسر من النعادلة يطلق عليه مشتقة تابعة الدالة  ويعبر عنها 
بشكل عام يكون الناتج معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية التي يمكن حلها للحصول على الدالة القصوى  . معادلة لاغرانج ضرورية ولكن ليست كافية للحصول على النقاط القصوى ل  . الشروط الكافية تم مناقشتها في المراجع.

 المراجع