هلال أبقراط
[[ملف:Lune.svg|تصغير|400px|هلال أبقراط هو المساحة الملونة أعلاه الواقعة في أقصى يسار الشكل. للهلال نفس مساحة مثلث قائم الزاوية، الملون في أسفل الشكل.]]

في [[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]]، '''هلال أبقراط''' {{إنج|Lune of Hippocrates}} هو [[هلال (رياضيات)|هلال]] محدود بقوسين لدائرتين، أصغرها قطره هو عبارة عن وتر مولد لزاوية قائمة على الدائرة الكبيرة. وبالمثل، فهي منطقة مستوية غير محدبة يحدها قوس دائري قياسه 180 درجة وقوس دائري قياسه 90 درجة. كان هذا أول شكل منحني حُسِب مساحته بدقة رياضيًا. سمي هذا الهلال هكذا نسبة إلى [[أبقراط الخيوسي]].<ref>{{استشهاد|عنوان=The problem of squarable lunes|صحيفة=[[الرياضيات الأمريكية الشهرية|American Mathematical Monthly]]|المجلد=107|العدد=7|سنة=2000|صفحات=645–651|jstor=2589121|الأول=M. M.|الأخير=Postnikov|مؤلف-وصلة=Mikhail Postnikov|doi=10.2307/2589121}}. Translated from Postnikov's 1963 Russian book on [[نظرية غالوا|Galois theory]].</ref>

== التاريخ ==
أراد أبقراط حل المشكلة الكلاسيكية المتمثلة في تربيع الدائرة، أي إنشاء مربع باستخدام مسطرة وفرجار، بحيث يكون له نفس مساحة دائرة معينة.<ref name="heath"/><ref name="eb"/> أثبت أن القمر المحدود بالأقواس المسمى E وF في الشكل له نفس مساحة المثلث ABO. وقد أتاح هذا بعض الأمل في حل مشكلة تربيع الدائرة، حيث أن القمر محدود فقط بأقواس الدوائر. ويستنتج هيث أنه بإثبات نتيجته، كان أبقراط أيضًا أول من أثبت أن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها.<ref name="heath"/>

لقد ضاع كتاب أبقراط عن الهندسة الذي تظهر فيه هذه النتيجة، العناصر<ref name="eb">{{استشهاد|الفصل=Hippocrates of Chios|سنة=2012|عنوان=[[الموسوعة البريطانية]]|مسار الفصل=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/266646/Hippocrates-of-Chios|تاريخ الوصول=2012-01-12}}.</ref>، ولكن ربما شكل النموذج لعناصر إقليدس. جرى الحفاظ على دليل أبقراط من خلال تاريخ الهندسة الذي جمعه [[أوديمس الرودسي]]، والذي لم يصل إلينا أيضًا، ولكنه أقتُبس من قبل سيمبليسيوس القيليقي في تعليقه على فيزياء أرسطو.<ref name="heath">{{استشهاد|الأول=Thomas L.|الأخير=Heath|مؤلف-وصلة=Thomas Little Heath|عنوان=A Manual of Greek Mathematics|ناشر=Courier Dover Publications|سنة=2003|isbn=0-486-43231-9|صفحات=121–132|مسار= https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|مسار أرشيف= http://web.archive.org/web/20231011192300/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|تاريخ أرشيف=2023-10-11}}.</ref><ref>{{MacTutor Biography|id=Hippocrates|title=Hippocrates of Chios}}</ref>

لم يثبت أن تربيع الدائرة أمر مستحيل إلا في عام 1882، مع إثبات [[فيردينوند فون ليندمان]] لتجاوز π ([[ط (رياضيات)|ط]]).<ref>{{استشهاد|عنوان=Invitation to Mathematics|الأول=Konrad|الأخير=Jacobs|ناشر=Princeton University Press|سنة=1992|isbn=978-0-691-02528-5|الفصل=2.1 Squaring the Circle|صفحات=11–13|مسار= https://books.google.com/books?id=Mgajuf62voQC&pg=PA11|مسار أرشيف= http://web.archive.org/web/20241202004308/https://books.google.com/books?id=Mgajuf62voQC&pg=PA11|تاريخ أرشيف=2024-12-02}}.</ref>

== البرهان ==
يمكن إثبات نتيجة أبقراط على النحو التالي: مركز الدائرة التي يقع عليها القوس AEB هو النقطة D، وهي منتصف وتر [[مثلثات قائمة خاصة|المثلث القائم ومتساوي الساقين]] ABO. لذلك، يبلغ قطر AC للدائرة الكبرى ABC {{يسار إلى يمين|√2}} مرة قطر الدائرة الصغيرة التي يقع عليها القوس AEB. وبالتالي، فإن الدائرة الصغيرة لها نصف مساحة الدائرة الكبرى، وبالتالي فإن ربع الدائرة AFBOA يساوي مساحة نصف الدائرة AEBDA. إن طرح مساحة شبه الهلال AFBDA من ربع الدائرة يعطي المثلث ABO وطرح نفس شبه الهلال من نصف الدائرة يعطي الهلال. بما أن المثلث والهلال يتشكلان بطرح مساحات متساوية من مساحة متساوية، فإنهما متساويان في المساحة.<ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد|الأول=Thomas L.|الأخير=Heath|مؤلف-وصلة=Thomas Little Heath|عنوان=A Manual of Greek Mathematics|ناشر=Courier Dover Publications|سنة=2003|isbn=0-486-43231-9|صفحات=121–132|مسار= https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200621064740/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|تاريخ أرشيف=2020-06-21}}.</ref><ref>{{استشهاد|الأول1=Lucas Nicolaas Hendrik|الأخير1=Bunt|الأول2=Phillip S.|الأخير2=Jones|الأول3=Jack D.|الأخير3=Bedient|عنوان=The Historical Roots of Elementary Mathematics|ناشر=Courier Dover Publications|سنة=1988|isbn=0-486-25563-8|صفحات=90–91|مسار= https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA90|الفصل=4-2 Hippocrates of Chios and the quadrature of lunes|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20171211065518/https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA90|تاريخ أرشيف=2017-12-11}}.</ref>

== تعميمات ==
[[ملف:LunesOfAlhazen.svg|تصغير|يسار|هلِالا [[ابن الهيثم|الحسنِ ابنِ الهيثم]]: مجموع مساحة الهلالين (بالأزرق) مُساوٍ لمساحة المثلث الأخضر.]]

باستخدام برهان مماثل لما سبق، أظهر عالم الرياضيات العربي المسلم [[ابن الهيثم|الحسن ابن الهيثم]] أن الهلالين، التي تشكلّت على ضلعي [[مثلث قائم|المثلث القائم]]، والتي حدودها الخارجية هي عبارة عن أنصاف الدوائر والتي تتشكل حدودها الداخلية من [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطة]] بالمثلث، عندها تكون مساحة هذين الهلالين معًا مساوية لمساحة المثلث. يعرف الهلالان المشَكَلَّان بهذه الطريقة من المثلث القائم باسم '''هلالي ابن الهيثم'''.<ref>[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagoreanLune.shtml Hippocrates' Squaring of the Lune] at [[cut-the-knot]], accessed 2012-01-12. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200220110045/https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagoreanLune.shtml|date=2020-02-20}}</ref><ref>{{استشهاد|عنوان=Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics|المجلد=42|سلسلة=Dolciani mathematical expositions|الأول1=Claudi|الأخير1=Alsina|الأول2=Roger B.|الأخير2=Nelsen|ناشر=Mathematical Association of America|سنة=2010|isbn=978-0-88385-348-1|الفصل=9.1 Squarable lunes|صفحات=137–144|مسار= https://books.google.com/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA137|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20181113172817/https://books.google.com/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA137|تاريخ أرشيف=2018-11-13}}.</ref> حساب مساحة هلال أبقراط هو الحالة الخاصة لهذه النتيجة بالنسبة [[مثلثات قائمة خاصة|للمثلث القائم ومتساوي الساقين]].<ref>{{استشهاد|الأول=W. S.|الأخير=Anglin|عنوان=Mathematics, a Concise History and Philosophy|ناشر=Springer|سنة=1994|isbn=0-387-94280-7|صفحات=51–53|مسار= https://books.google.com/books?id=13dKav77vGsC&pg=PA51|الفصل=Hippocrates and the Lunes|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20170407183420/https://books.google.com/books?id=13dKav77vGsC&pg=PA51|تاريخ أرشيف=2017-04-07}}.</ref>

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:تربيع الدائرة]]
[[تصنيف:دوائر]]
[[تصنيف:هندسة الدائرة]]
في الهندسة الرياضية، هلال أبقراط  هو هلال محدود بقوسين لدائرتين، أصغرها قطره هو عبارة عن وتر مولد لزاوية قائمة على الدائرة الكبيرة. وبالمثل، فهي منطقة مستوية غير محدبة يحدها قوس دائري قياسه 180 درجة وقوس دائري قياسه 90 درجة. كان هذا أول شكل منحني حُسِب مساحته بدقة رياضيًا. سمي هذا الهلال هكذا نسبة إلى أبقراط الخيوسي.. Translated from Postnikov's 1963 Russian book on Galois theory.

 التاريخ 
أراد أبقراط حل المشكلة الكلاسيكية المتمثلة في تربيع الدائرة، أي إنشاء مربع باستخدام مسطرة وفرجار، بحيث يكون له نفس مساحة دائرة معينة. أثبت أن القمر المحدود بالأقواس المسمى E وF في الشكل له نفس مساحة المثلث ABO. وقد أتاح هذا بعض الأمل في حل مشكلة تربيع الدائرة، حيث أن القمر محدود فقط بأقواس الدوائر. ويستنتج هيث أنه بإثبات نتيجته، كان أبقراط أيضًا أول من أثبت أن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها.

لقد ضاع كتاب أبقراط عن الهندسة الذي تظهر فيه هذه النتيجة، العناصر.، ولكن ربما شكل النموذج لعناصر إقليدس. جرى الحفاظ على دليل أبقراط من خلال تاريخ الهندسة الذي جمعه أوديمس الرودسي، والذي لم يصل إلينا أيضًا، ولكنه أقتُبس من قبل سيمبليسيوس القيليقي في تعليقه على فيزياء أرسطو..

لم يثبت أن تربيع الدائرة أمر مستحيل إلا في عام 1882، مع إثبات فيردينوند فون ليندمان لتجاوز π (ط)..

 البرهان 
يمكن إثبات نتيجة أبقراط على النحو التالي: مركز الدائرة التي يقع عليها القوس AEB هو النقطة D، وهي منتصف وتر المثلث القائم ومتساوي الساقين ABO. لذلك، يبلغ قطر AC للدائرة الكبرى ABC  مرة قطر الدائرة الصغيرة التي يقع عليها القوس AEB. وبالتالي، فإن الدائرة الصغيرة لها نصف مساحة الدائرة الكبرى، وبالتالي فإن ربع الدائرة AFBOA يساوي مساحة نصف الدائرة AEBDA. إن طرح مساحة شبه الهلال AFBDA من ربع الدائرة يعطي المثلث ABO وطرح نفس شبه الهلال من نصف الدائرة يعطي الهلال. بما أن المثلث والهلال يتشكلان بطرح مساحات متساوية من مساحة متساوية، فإنهما متساويان في المساحة...

 تعميمات 
تصغير|يسار|هلِالا الحسنِ ابنِ الهيثم: مجموع مساحة الهلالين (بالأزرق) مُساوٍ لمساحة المثلث الأخضر.

باستخدام برهان مماثل لما سبق، أظهر عالم الرياضيات العربي المسلم الحسن ابن الهيثم أن الهلالين، التي تشكلّت على ضلعي المثلث القائم، والتي حدودها الخارجية هي عبارة عن أنصاف الدوائر والتي تتشكل حدودها الداخلية من الدائرة المحيطة بالمثلث، عندها تكون مساحة هذين الهلالين معًا مساوية لمساحة المثلث. يعرف الهلالان المشَكَلَّان بهذه الطريقة من المثلث القائم باسم هلالي ابن الهيثم.Hippocrates' Squaring of the Lune at cut-the-knot, accessed 2012-01-12. . حساب مساحة هلال أبقراط هو الحالة الخاصة لهذه النتيجة بالنسبة للمثلث القائم ومتساوي الساقين..

 مراجع 

تصنيف:تربيع الدائرة
تصنيف:دوائر
تصنيف:هندسة الدائرة