مبرهنة الجذر النسبي
في [[جبر|الجبر]]، '''مبرهنة الجذر النسبي''' {{إنج|Rational root theorem}} هي مبرهنة تتعلق [[حل (معادلة)|بالحلول]] [[عدد كسري|الجذرية]] لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة.<ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://www.britannica.com/science/rational-root-theorem | عنوان = معلومات عن مبرهنة الجذر النسبي على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190327185226/https://www.britannica.com/science/rational-root-theorem | تاريخ أرشيف = 27 مارس 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/RationalZeroTheorem.html | عنوان = معلومات عن مبرهنة الجذر النسبي على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200318180205/https://mathworld.wolfram.com/RationalZeroTheorem.html | تاريخ أرشيف = 18 مارس 2020 }}</ref>
لتكن [[معادلة جبرية|المعادلة الحدودية]]
:<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0</math>
حيث المعاملات أعداد صحيحة (<math>a_i\in\mathbb{Z}</math>) وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر (<math>a_0,a_n \neq 0</math>).

كل حل [[عدد كسري|نسبي]] لـ''x'' يمكن كتابته على شكل [[كسر (توضيح)|كسر]] ''x=p/q'' في ابسط صورة تحقق أن ''p'' [[عدد صحيح]] يقسم <math>a_0</math> و ''q'' عدد صحيح يقسم [[معامل]] <math>a_n</math>.<br/>
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال <math>a_n=1</math>.

== البرهان ==
نعرف كثيرة الحدود <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0</math> حيث <math>a_n,\cdots,a_0</math> أعداد صحيحة ولنفرض أن ''p/q'' حل <math>P(x)</math> حيث ''p,q'' [[أولية نسبيا|أوليان نسبياً]].

بالتعويض في <math>P(x)</math> نحصل على

<math>P(p/q)=a_n(p/q)^n+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+\cdots+a_1(p/q)+a_0 = 0</math>

وبنقل <math>a_0</math> للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في <math>q^n</math> وأخذ <math>p</math> كعامل مشترك نصل إلى

<math> p(a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1}) = -a_0q^n.</math>

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون ''p,q'' أوليان نسبياً نصل إلى أن <math>p</math> تقسم a<sub>0</sub>.
و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد <math>a_n</math> للطرف الآخر وبالضرب في <math>q^n</math> نصل إلى

<math> q(a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1}) = -a_np^n.</math>

و بالمثل نستنتج أن ''q'' تقسم a<sub>n</sub> .

== مثال ==

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة<br />
:<math>3x^3 - 5x^2 + 5x - 2 = 0\,\!</math>
يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد <br />
:± <math>\tfrac{1,2}{1,3}\,,</math>
والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:<br />
:<math>1, -1, 2, -2, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\,.</math>
يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال [[طريقة هورنر]].
== مراجع ==

{{مراجع}}

== روابط خارجية ==

* {{ماثوورلد|urlname=RationalZeroTheorem|title=Rational Zero Theorem}}
{{شريط بوابات|جبر|رياضيات}}

{{بذرة جبر}}

[[تصنيف:خوارزميات إيجاد الجذور]]
[[تصنيف:مبرهنات في الجبر]]
[[تصنيف:متعددات الحدود]]
في الجبر، مبرهنة الجذر النسبي  هي مبرهنة تتعلق بالحلول الجذرية لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة.
لتكن المعادلة الحدودية

حيث المعاملات أعداد صحيحة () وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر ().

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم  و q عدد صحيح يقسم معامل .
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال .

 البرهان 
نعرف كثيرة الحدود  حيث  أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل  حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في  نحصل على

وبنقل  للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في  وأخذ  كعامل مشترك نصل إلى

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن  تقسم a0.
و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد  للطرف الآخر وبالضرب في  نصل إلى

و بالمثل نستنتج أن q تقسم an .

 مثال 

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة

يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد 
± 
والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:

يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال طريقة هورنر.
 مراجع 

 روابط خارجية 

 

تصنيف:خوارزميات إيجاد الجذور
تصنيف:مبرهنات في الجبر
تصنيف:متعددات الحدود