مبرهنة الساندويتش
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''مبرهنة الساندويتش''' أو '''مبرهنة العصر''' أو '''مبرهنة الحصر''' {{إنج|Squeeze theorem أو Sandwich theorem|}}، هي مبرهنة تتعلق ب[[نهاية دالة]].

تستخدم مبرهنة الساندويتش في [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]] و[[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]].  تُستَخدَم عادةً للتأكد من نهاية دالة من خلال المقارنة مع دالتين أخريين نهايتهما معلومة أو تُحسَب بسهولة.  استخدمت لأول مرة هندسيًا من قبل علماء الرياضيات [[أرخميدس]] و[[إيودوكسوس من كنيدوس|إيودوكسوس]] في محاولة لحساب [[ط (رياضيات)|الثابت π]]، وتم صياغتها بمصطلحات حديثة من قبل [[كارل فريدريش غاوس]].

== أمثلة ==

=== المثال الأول ===
[[ملف:Inst_satsen.png|يسار|تصغير|253x253بك|رسم بياني للدالة <math>x^2 \sin(\tfrac{1}{x})</math> (بالأسود) و<math>x^2</math> (بالأحمر) و<math>-x^2</math> (بالأزرق).]]

النهاية التالية:

: <math>\lim_{x \to 0}x^2 \sin(\tfrac{1}{x})</math>

لا يمكن تحديده من خلال قانون النهاية:

: <math>\lim_{x \to a}(f(x)\cdot g(x)) = 
\lim_{x \to a}f(x)\cdot \lim_{x \to a}g(x),</math>

لأن <math>\lim_{x\to 0}\sin(\tfrac{1}{x})</math> غير موجودة.

لكن، من خلال تعريف دالة [[جيب (رياضيات)|الجيب]]:

: <math>-1 \le \sin(\tfrac{1}{x}) \le 1. </math>

نستنتج بأن

: <math>-x^2 \le x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) \le x^2 </math>

بما أن <math>\lim_{x\to 0}-x^2 = \lim_{x\to 0}x^2 = 0</math>

بتطبيق مبرهنة الساندويتش:

<math>\lim_{x\to 0} x^2 \sin(\tfrac{1}{x})</math> يجب أن تكون 0 أيضًا.

=== المثال الثاني ===
هاتان الأمثلة ربما تكون أفضل الأمثلة المعروفة لإيجاد النهاية بالضغط (Squeeze):

: <math>
\begin{align}
& \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} =1, \\[10pt]
& \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = 0.
\end{align}
</math>

بتطبيق مبرهنة الساندويتش، تنتج أن:

: <math> \cos x \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 </math><ref>Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: ''Vorstufe zur höheren Mathematik''. Springer, 2013, {{ردمك|9783322986283}}, pp. [https://books.google.de/books?id=-yXMBgAAQBAJ&pg=PA80 80-81] (German). See also [[سلمان خان (تربوي)|سلمان خان]]: [https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/limits-from-equations-ab/squeeze-theorem-ab/v/proof-lim-sin-x-x ''Proof: limit of (sin x)/x at x=0''] (video, [[أكاديمية خان]]) {{استشهاد ويب |مسار=https://books.google.de/books?id=-yXMBgAAQBAJ&pg=PA80 |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=26 مارس 2020 |تاريخ أرشيف=26 مارس 2020 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200326230204/https://books.google.de/books?id=-yXMBgAAQBAJ&pg=PA80 |حالة المسار=bot: unknown }}</ref>

و:

: <math> 0 \leq  \frac{1 - \cos(x)}{x}  \leq  x </math>
: تُستخدَم هاتين النهايتين لبرهان على حقيقة أن [[مشتق (رياضيات)|مشتق]] دالة [[جيب (رياضيات)|الجيب]] هو دالة [[جيب التمام]]. 
:

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}

{{روابط شقيقة}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:الرياضيات والثقافة]]
[[تصنيف:دوال]]
[[تصنيف:مبرهنات في التحليل الحقيقي]]
[[تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:مبرهنات في نظرية الأعداد]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:نهايات (رياضيات)]]
في الرياضيات، مبرهنة الساندويتش أو مبرهنة العصر أو مبرهنة الحصر ، هي مبرهنة تتعلق بنهاية دالة.

تستخدم مبرهنة الساندويتش في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي.  تُستَخدَم عادةً للتأكد من نهاية دالة من خلال المقارنة مع دالتين أخريين نهايتهما معلومة أو تُحسَب بسهولة.  استخدمت لأول مرة هندسيًا من قبل علماء الرياضيات أرخميدس وإيودوكسوس في محاولة لحساب الثابت π، وتم صياغتها بمصطلحات حديثة من قبل كارل فريدريش غاوس.

 أمثلة 

 المثال الأول 
يسار|تصغير|253x253بك|رسم بياني للدالة  (بالأسود) و (بالأحمر) و (بالأزرق).

النهاية التالية:

 

لا يمكن تحديده من خلال قانون النهاية:

 

لأن  غير موجودة.

لكن، من خلال تعريف دالة الجيب:

 

نستنتج بأن

 

بما أن 

بتطبيق مبرهنة الساندويتش:

 يجب أن تكون 0 أيضًا.

 المثال الثاني 
هاتان الأمثلة ربما تكون أفضل الأمثلة المعروفة لإيجاد النهاية بالضغط (Squeeze):

 

بتطبيق مبرهنة الساندويتش، تنتج أن:

 Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, , pp. 80-81 (German). See also سلمان خان: Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (video, أكاديمية خان) 

و:

 
 تُستخدَم هاتين النهايتين لبرهان على حقيقة أن مشتق دالة الجيب هو دالة جيب التمام. 

 مراجع 

تصنيف:الرياضيات والثقافة
تصنيف:دوال
تصنيف:مبرهنات في التحليل الحقيقي
تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل
تصنيف:مبرهنات في نظرية الأعداد
تصنيف:مقالات تحوي براهين
تصنيف:نهايات (رياضيات)