تربيع (مساحات)
{{عن|3=تربيع (توضيح)}}
{{لا صندوق معلومات}}
{{عن||معانٍ أخرى في الرياضيات|تربيع (رياضيات)}}

في ال[[رياضيات]] وبالضبط في [[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]] و[[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]]، '''التربيع''' {{إنج|Quadrature}} هو مصطلح تاريخي يعني عملية إنشاء مربع مساحته مساوية لمساحة دائرة أو شكل آخر تحده خطوط (مستقيمات أو منحنيات)؛ أشهر عملية تربيع هي عملية [[تربيع الدائرة]].<ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://www.britannica.com/science/quadrature-mathematics | عنوان = معلومات عن تربيع (رياضيات) على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160312055704/http://www.britannica.com/topic/quadrature-mathematics | تاريخ أرشيف = 12 مارس 2016 }}</ref> لا يزال يستخدم هذا المصطلح في الوقت الحاضر في سياق [[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]]، حيث تعني «حل المعادلة من خلال التربيع» التعبير عن حلها بدلالة [[تكامل|التكاملات]].

تُعد مشكلات التربيع أحد المصادر الرئيسية للمعضلات في تطوير حساب [[تفاضل وتكامل|التفاضل والتكامل]]، وتقدم مواضيع مهمة في [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]].

== التاريخ ==
[[ملف:Lune.svg|تصغير| [[هلال أبقراط]] كان أول شكل منحني حُسِبت مساحته بدقة رياضيا.]]
حل [[الرياضيات عند الإغريق|الرياضيون اليونانيون]] مسألة حساب [[مساحة]] أي شكل عن طريق إنشاء [[مربع]] بنفس المساحة ومن هنا جاء أصل المصطلح (''تربيع''). لم تنجح طريقة التربيع في حساب مساحة بعض الأشكال [[تربيع الدائرة|كالدائرة]] كمثال، لكنها نجحت في أشكال أخرى لها جوانب منحنية، مثل تربيع [[هلال أبقراط]] و[[تربيع القطع المكافئ]]. وفقًا لتقليد يوناني ما، كان يستلزم إنشاء المربع [[إنشاء بمسطرة وفرجار|بالمسطرة والفرجار]] فقط، ومع ذلك لم يلتزم جميع الرياضيين اليونانيين بهذا التقليد.

[[ملف:Quadrature rectangle.jpg|تصغير|تربيع مستطيل]]

لتربيع [[مستطيل]] له جانبين a ''و'' b، يلزم إنشاء مربع بطول ضلع <math>x =\sqrt {ab}</math> ([[متوسط هندسي|المتوسط الهندسي]] لكل من جانبي المستطيل ''a'' و ''b''). بالمسطرة والفرجار يمكن تربيع المستطيل بالخطوات التالية:

# مُد المستقيم AD لليمين، ثم ركز الفرجار عند النقطة D واقطع المستقيم AD في النقطة E بحيث يكون طول DC هو نفس طول DE.
# قم بتنصيف المستقيم AE عند النقطة O.
# ارسم نصف دائرة مركزها O وتتقاطع مع المستقيم في A و E.
# مُد المستقيم CD ليتقاطع مع نصف الدائرة في النقطة H، وبذا يصبح DH هو طول المربع المراد إنشاؤه ويكون المربع DHGF هو التربيع المطلوب.

بطرق شبيهة يمكن إنشاء مربعات لمتوازي الأضلاع والمثلث.
[[ملف:Quadrature_parabole2.png|تصغير| أثبت [[أرخميدس]] أن مساحة القطع المكافئ تساوي 4/3 مساحة المثلث الداخلي.]]
مسائل تربيع الأشكال [[إحداثيات منحنية|المنحنية]] أكثر صعوبة. أثبت الرياضيون في القرن التاسع عشر استحالة تربيع الدائرة بالفرجار والمسطرة. ولكن يمكن تربيع بعض الأشكال المنحنية الأخرى. شكَّل تربيع سطح الكرة و[[قطع مكافئ|القطع المكافئ]] على يد [[أرخميدس]] إنجازا كبيرا للتحليل الرياضي في العصور القديمة، حيث توصل إلى أن:

:* مساحة سطح الكرة تساوي أربعة أضعاف مساحة الدائرة المكونة من [[دائرة عظمى]] من هذه الكرة.
:* مساحة قطعة محددة بخط مستقيم يقطع القطع المكافئ هي 4/3 مساحة المثلث المرسوم داخل هذا المقطع.

استخدم أرخميدس [[طريقة استنفاد|طريقة الاستنفاد]] المنسوبة إلى [[إيودوكسوس من كنيدوس|إيودوكسوس]] للوصول لهذه النتائج.<ref name="Katz1">{{استشهاد بكتاب
| عنوان = A History of Mathematics: An Introduction
| مؤلف1 = Katz
| ناشر = Addison Wesley Longman
| سنة = 1998
| isbn = 0321016181
| طبعة = 2nd
| مسار = https://archive.org/details/historyofmathema00katz
| مؤلف1-الأول = Victor J.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210513105813/https://archive.org/details/historyofmathema00katz | تاريخ أرشيف = 13 مايو 2021 }}</ref>

في العصور الوسطى في أوروبا، كان التربيع يعني حساب المساحة بأي طريقة. في الغالب استخدمت [[مبدأ كافالييري|طريقة الأجزاء غير القسومة]]<ref>معجم الرياضيا.ت، انكليزي - عربي - فرنسي، الجزء الثاني، إ بوروفسكي، وج . بورفاين، ترجمة/ د. على مصطفى بن الاشهر، مراجعة وإشراف د. محمد دبس، أكاديميا بيروت - لبنان، 1995، ص 310</ref>؛ وهي طريقة أقل دقة رياضيا من الطرق اليونانية القديمة، لكنها كانت أبسط وأكثر فعالية. بتلك الطريقة، حَسَبَ [[غاليليو غاليلي|جاليليو]] [[جيل بيرسون دي روبرفال|وجيل دي روبرفال]] مساحة قوس [[دويري|دائري]]، وبحث جريجوار دو سان فنسان "Grégoire de Saint-Vincent" المساحة أسفل [[قطع زائد|القطع الزائد]] (''Opus Geometricum'' ، 1647)، <ref name="Katz">{{استشهاد بكتاب|عنوان=A History of Mathematics: An Introduction|مؤلف1=Katz|مؤلف1-الأول=Victor J.|ناشر=Addison Wesley Longman|سنة=1998|طبعة=2nd|isbn=0321016181|مسار=https://archive.org/details/historyofmathema00katz}}</ref> {{صفحات مرجع|491}} كما لاحظ ألفونس أنطونيو دي ساراسا "Alphonse Antonio de Sarasa"، تلميذ وشارح أعمال دو سان فنسان، إلى علاقة هذه المساحة [[لوغاريتم|باللوغاريتمات]].<ref name="Katz" /> {{صفحات مرجع|492}}<ref>Enrique A. Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics'', § 2.4 Hyperbolic Logarithms, page 117</ref>

استخدم [[جون واليس]] هذه الطريقة جبريا؛ حيث كتب في''Arithmetica Infinitorum'' (1656) بعض المتسلسلات التي تكافيء ما يعرف حاليًا [[تكامل|بالتكامل المحدود]]، وقام بحساب قيمها. [[إسحاق بارو]] [[جيمس غريغوري (عالم)|وجيمس جريجوري]] أحرزوا مزيدًا من التقدم بتربيع بعض [[منحنى جبري|المنحنيات]] الجبرية [[حلزون (هندسة)|والأشكال الحلزونية]]. كما قام [[كريستيان هوغنس]] بتربيع مساحة سطح بعض [[مجسم دوراني|المواد الصلبة اللفيفة]].

قدم تربيع دي ساراسا للقطع الزائد [[دالة]] جديدة، وهي [[لوغاريتم طبيعي|اللوغاريتم الطبيعي]]، شديدة الأهمية. باختراع [[تكامل|حساب التفاضل والتكامل]] أصبح الطريقة المعتمدة لحساب المساحة. ورويدًا أصبح مصطلح ''التربيع'' تراثيًا، وحل محله مصطلح حساب المساحة المستخدم في ''حساب التكامل المحدود''.

== انظر أيضًا ==
* [[تربيع غاوسي]]
* [[زاوية زائدية]]
* [[تكامل عددي]]
* [[تربيع الظل الزائدي للجيب الزائدي]]
* [[صيغة تربيع كافالييري]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:تاريخ الرياضيات]]
[[تصنيف:تاريخ الهندسة الرياضية]]
[[تصنيف:حساب تكاملي]]
[[تصنيف:دوال خاصة]]
[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]
[[تصنيف:مصطلحات الرياضيات]]
في الرياضيات وبالضبط في الهندسة الرياضية والتحليل الرياضي، التربيع  هو مصطلح تاريخي يعني عملية إنشاء مربع مساحته مساوية لمساحة دائرة أو شكل آخر تحده خطوط (مستقيمات أو منحنيات)؛ أشهر عملية تربيع هي عملية تربيع الدائرة. لا يزال يستخدم هذا المصطلح في الوقت الحاضر في سياق المعادلات التفاضلية، حيث تعني «حل المعادلة من خلال التربيع» التعبير عن حلها بدلالة التكاملات.

تُعد مشكلات التربيع أحد المصادر الرئيسية للمعضلات في تطوير حساب التفاضل والتكامل، وتقدم مواضيع مهمة في التحليل الرياضي.

 التاريخ 
تصغير| هلال أبقراط كان أول شكل منحني حُسِبت مساحته بدقة رياضيا.
حل الرياضيون اليونانيون مسألة حساب مساحة أي شكل عن طريق إنشاء مربع بنفس المساحة ومن هنا جاء أصل المصطلح (تربيع). لم تنجح طريقة التربيع في حساب مساحة بعض الأشكال كالدائرة كمثال، لكنها نجحت في أشكال أخرى لها جوانب منحنية، مثل تربيع هلال أبقراط وتربيع القطع المكافئ. وفقًا لتقليد يوناني ما، كان يستلزم إنشاء المربع بالمسطرة والفرجار فقط، ومع ذلك لم يلتزم جميع الرياضيين اليونانيين بهذا التقليد.

تصغير|تربيع مستطيل

لتربيع مستطيل له جانبين a و b، يلزم إنشاء مربع بطول ضلع  (المتوسط الهندسي لكل من جانبي المستطيل a و b). بالمسطرة والفرجار يمكن تربيع المستطيل بالخطوات التالية:

 مُد المستقيم AD لليمين، ثم ركز الفرجار عند النقطة D واقطع المستقيم AD في النقطة E بحيث يكون طول DC هو نفس طول DE.
 قم بتنصيف المستقيم AE عند النقطة O.
 ارسم نصف دائرة مركزها O وتتقاطع مع المستقيم في A و E.
 مُد المستقيم CD ليتقاطع مع نصف الدائرة في النقطة H، وبذا يصبح DH هو طول المربع المراد إنشاؤه ويكون المربع DHGF هو التربيع المطلوب.

بطرق شبيهة يمكن إنشاء مربعات لمتوازي الأضلاع والمثلث.
تصغير| أثبت أرخميدس أن مساحة القطع المكافئ تساوي 4/3 مساحة المثلث الداخلي.
مسائل تربيع الأشكال المنحنية أكثر صعوبة. أثبت الرياضيون في القرن التاسع عشر استحالة تربيع الدائرة بالفرجار والمسطرة. ولكن يمكن تربيع بعض الأشكال المنحنية الأخرى. شكَّل تربيع سطح الكرة والقطع المكافئ على يد أرخميدس إنجازا كبيرا للتحليل الرياضي في العصور القديمة، حيث توصل إلى أن:

 مساحة سطح الكرة تساوي أربعة أضعاف مساحة الدائرة المكونة من دائرة عظمى من هذه الكرة.
 مساحة قطعة محددة بخط مستقيم يقطع القطع المكافئ هي 4/3 مساحة المثلث المرسوم داخل هذا المقطع.

استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد المنسوبة إلى إيودوكسوس للوصول لهذه النتائج.

في العصور الوسطى في أوروبا، كان التربيع يعني حساب المساحة بأي طريقة. في الغالب استخدمت طريقة الأجزاء غير القسومةمعجم الرياضيا.ت، انكليزي - عربي - فرنسي، الجزء الثاني، إ بوروفسكي، وج . بورفاين، ترجمة/ د. على مصطفى بن الاشهر، مراجعة وإشراف د. محمد دبس، أكاديميا بيروت - لبنان، 1995، ص 310؛ وهي طريقة أقل دقة رياضيا من الطرق اليونانية القديمة، لكنها كانت أبسط وأكثر فعالية. بتلك الطريقة، حَسَبَ جاليليو وجيل دي روبرفال مساحة قوس دائري، وبحث جريجوار دو سان فنسان "Grégoire de Saint-Vincent" المساحة أسفل القطع الزائد (Opus Geometricum ، 1647)،   كما لاحظ ألفونس أنطونيو دي ساراسا "Alphonse Antonio de Sarasa"، تلميذ وشارح أعمال دو سان فنسان، إلى علاقة هذه المساحة باللوغاريتمات. Enrique A. Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics, § 2.4 Hyperbolic Logarithms, page 117

استخدم جون واليس هذه الطريقة جبريا؛ حيث كتب فيArithmetica Infinitorum (1656) بعض المتسلسلات التي تكافيء ما يعرف حاليًا بالتكامل المحدود، وقام بحساب قيمها. إسحاق بارو وجيمس جريجوري أحرزوا مزيدًا من التقدم بتربيع بعض المنحنيات الجبرية والأشكال الحلزونية. كما قام كريستيان هوغنس بتربيع مساحة سطح بعض المواد الصلبة اللفيفة.

قدم تربيع دي ساراسا للقطع الزائد دالة جديدة، وهي اللوغاريتم الطبيعي، شديدة الأهمية. باختراع حساب التفاضل والتكامل أصبح الطريقة المعتمدة لحساب المساحة. ورويدًا أصبح مصطلح التربيع تراثيًا، وحل محله مصطلح حساب المساحة المستخدم في حساب التكامل المحدود.

 انظر أيضًا 
 تربيع غاوسي
 زاوية زائدية
 تكامل عددي
 تربيع الظل الزائدي للجيب الزائدي
 صيغة تربيع كافالييري

 مراجع 

تصنيف:تاريخ الرياضيات
تصنيف:تاريخ الهندسة الرياضية
تصنيف:حساب تكاملي
تصنيف:دوال خاصة
تصنيف:رياضيات ابتدائية
تصنيف:مصطلحات الرياضيات