title: Скачать презентацию или конспект Свойства арифметического квадратного корня

extracted_text:
Тема урока: Свойства арифметического квадратного корня
Цели урока:
 1) образовательная: обобщение и систематизация знаний и умений по данной теме;
 2) воспитательная: повышение интереса к познавательному процессу, воспитание математической культуры;
 3) развивающая: развитие логического мышления, памяти, внимания.

Куда: г. Стерлитамак, МБОУ «СОШ №8»

Кому: 8  классу

Прочитайте выражения:
  х+75
             (15-8)+у
                                 34-(х+10)

        (а-12)-(х-86)               (х-у)-(7+а)

(у+99)+(76-4)            (25+у)-х

                      (89-17)-(х+у)
Дорогие ребята!

Мы, жители волшебной страны Мудрецов, хотим пригласить Вас в гости. Но добраться до нас смогут только самые умные и находчивые. На пути Вам встретятся разные препятствия, преодолеть которые можно только с помощью знаний по математике! Очень надеемся на скорую встречу!

А полетим мы  на воздушном шаре
Проверка готовности к          путешествию

Дайте определение арифметического квадратного корня.
Сформулируйте свойство арифметического квадратного корня из произведения.
Сформулируйте свойство арифметического квадратного корня из дроби.
Как извлечь корень из степени с четным показателем?

                       Найдите

7

Найди ошибку:

Найди ошибку:
Корней нет

Математический диктант
В - 1
В - 2
1. Какое из чисел является рациональным:
2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу
Какая это точка?
7
9
8

А
B
C
D
3. Найдите значение выражения:

Математический диктант
В - 1
В - 2
4. Решите уравнение:
5. Замените корень произведением:

ПРОВЕРКА
В - 1
В - 2
1. Какое из чисел является рациональным:
2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу
Какая это точка?
7
9
8

А
B
C
D

ПРОВЕРКА
В - 1
В - 2
3.
3.
4.
4.
5.
5.

Физкультминутка

Физкультминутка

=

Вычислите значение квадратного корня, используя
     теорему о корне из произведения:
Решаем примеры:

=

2. Найдите значение выражения:
Решаем примеры:

Решаем примеры:

3. Вычислите значение квадратного корня, используя теорему о корне из частного

Решаем примеры:
4. Вычислите значение выражения

Решаем примеры
5. Упростите выражение:

2

Вот мы и встретились!!!
Самостоятельная работа

1 уровень
2 уровень

Проверка
1 уровень

Проверка
2 уровень

Спасибо за урок!


title: Скачать презентацию или конспект Развитие математики в России

extracted_text:
Развитие математики в России
«Стоит только показать, что какая-либо вещь невозможна, как найдется математик, который ее сделает.»
У. У. Сойер
Работу выполнил ученик 9-го класса
филиала МОУ Спицынской СОШ
п.Ленинская Искра
ООШ с.Красногорье
Елизаров Алексей
учитель математики, физики и информатики
Болотова Светлана Витальевна
Идея возникновения проекта:
Меня заинтересовали исторические сведения, которые на уроках математики излагает наш учитель. Среди названных фамилий нередко звучат и русские.
Мне стало интересно как развивалась в России наука математика, и у меня возникла идея создать этот проект.

Цели:
Найти и изучить исторические сведения о развитии математики в России с самого ее зарождения;
Найти и изучить библиографические данные о русских ученых математиках;
Обобщить полученные сведения и сделать выводы.

Задачи:
Изучить материал по данной теме;
Обобщить полученные данные;
Сформулировать выводы.

Актуальность:
Меня заинтересовало развитие математики в России в самом ее зарождении, поэтому я решил изучить подробнее этот материал и получить определенные результаты.
Я решил воспользоваться технологией ИКТ, создать презентацию и познакомить моих одноклассников с результатами моей работы.

Трудно сказать, когда появились у того или иного народа первичные математические представления. Нужно думать, что потребность в счете предметов, а также в сравнении расстояний относится к самым ранним стадиям развития человеческого общества. Сомнительно, чтобы какой-либо определенный народ впервые изобрел искусство счета, или искусство измерения и затем путем общения передал свое изобретение другим народам. По-видимому, каждый народ самостоятельно проходил этот первый этап своего развития. Эта стадия человеческой культуры теряется в глубине тысячелетий и имеет, должно быть, не меньшую давность, чем выработка речи и использование простейших орудий труда.
Другое дело - развитие абстрактных понятий, разработка правил действий на числами, создание правил для вычисления площадей и объемов. Здесь заимствование неизбежно, и более развитые народы являются источником таких более квалифицированных познаний.
В давным-давно минувшие времена поселились славянские
	племена на территории, занимаемой ныне Украиной, Беларусью, Европейской частью России, образовали свою государственность и завязали тесные торговые отношения не только с ближними соседями, но и с далеко живущими народами. По свидетельству арабских писателей IX века, славянские купцы со своими товарами (мехами, мечами и пр.) посещали страны, расположенные  по берегам Черного и Каспийского морей, и добирались даже до Багдада.
Историки не располагают славянскими письменными памятниками тех времен; первые известные нам летописи принадлежат лишь к X и XI векам. Однако, и эти дошедшие до нас сведения только в слабой степени помогают судить о культурности наших предков, об их быте, их международных связях и пр. Несравненно больше данных дают результаты археологических изысканий. Эти изыскания полностью подтверждают сообщения арабских писателей: в местах раскопок находят монеты из Средней Азии, Ирана, Месопотамии, а также некоторые предметы обихода, произведенные в тех местах. Полученные таким образом данные позволили ученым составить представление о том живом общении, в котором находились наши предки с народами названных стран, стоявших в те времена на весьма высоком культурном и техническом уровне развития.
На математическое развитие древней Руси
	огромное влияние оказало введение
	(конец X века) славянского алфавита,
	основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации.
Судя по структуре русских числительных, счёт в России издавна вёлся десятками и сотнями: три+на+дцать, шесть+десят, четыре+ста. Вместе с кириллицей появился и греческий обычай обозначать цифры помеченными специальным значком буквами; использовались буквы, аналогичные греческим, а специфически-славянские (Б, Ж, Ш и др.) числовых значений не получили. Исключение было сделано для букв Ч и Ц, перенявших числовые значения архаичных греческих букв каппа и сами. Числа записывались, как в римско-греческой системе, аддитивно, например, МГ обозначало 40+3. Для больших чисел (начиная с 1000) использовались особые пометки.
Славянская нумерация использовалась в России до XVIII века, после чего всюду, за исключение церковной литературы, была заменена на современную.
Впервые в русской литературе математические сведения появляются в юридическом сборнике «Русская правда» (XI век), где приведен ряд расчётных примеров.
В 1134году новгородский монах Кирик написал математико-астрономическое сочинение с подробным расчётом даты сотворения мира. Полное наименование его сочинения таково: «Кирика диакона и доместика Новгородскаго Антониева монастыря учение им-же ведати человеку числа всех лет». Помимо хронологических расчётов, Кирик привёл пример геометрической прогрессии, возникающей от деления суток на всё более мелкие доли; на одной миллионной Кирик остановился, заявив, что «более сего не бывает».
Кирик использовал наследие учеников Константина Философа (св. Кирилла), список календарно-математического «семитысячника», который он использовал в качестве отдалённого образца своего «Учения о числах».
«Учение о числах» считается древнейшим русским научно —
математическим и астрономическим — трактатом.
Оно посвящено проблемам летосчисления. Кирик Новгородец
систематизировал известные ему способы подсчёта лет, месяцев,
дней и часов, привёл теоретические основы для календарного счёта.
Цель создания «Учения о числах» исследователи определяют по-разному.
Трактат рассматривали и как «учебник» для интересующихся
летосчислением, как факультативное пособие для составителей
Пасхальных таблиц, и как «диссертацию» молодого учёного, а
авторитетный историк церкви Евгений Голубинский полагал, что
«Учение о числах» написано «единственно для бесцельного обнаружения
учёности» («Это же пишем для любителей мудрости и для желающих
всё хорошо усвоить»).Высокий уровень научных знаний на Руси позволил
Кирику Новгородцу свободно оперировать понятием цикличности времени,
сложными дробями, арифметическими суммами в пределах от 1/5
в 7-ой степени до десятков миллионов.

После монгольского нашествия научное развитие России затормозилось. Конфликты с католическими соседями вызвали изоляцию русских княжеств от западной культуры, а связь с единоверной Византией была затруднена. Грамотность даже среди духовенства, где она требовалась по уставу, была удручающе низкой.

В XVI—XVII веках государство укрепилось, и положение стало меняться. Потребности экономики и армии, особенно артиллерии, настоятельно требовали повысить уровень образования, в том числе математического.
Имеются весьма веские основания считать, что в XVI веке, а может быть и в конце XV века потребности в измерении земель привели к необходимости создания рукописей геометрического содержания.
Однако до наших дней дошли математические рукописи только XVII века. Тем не менее, историки XVIII века утверждают, что они имели в своих руках рукописи XVI века.

Заведомо погибли для науки рукописи, принадлежавшие московскому профессору Баузе, - они сгорели во время пожара Москвы в 1812 году. Среди ценностей этого собрания находилась, по - видимому, древнейшая из известных нам русских арифметик. Вот что по поводу этой рукописи было сказано в каталоге собрания рукописи Баузе: "№189. Арифметика. "Сия книга рекома по гречески Арифметика, а по немецки Алгоризма, а по русски Цыфирная счетная мудрость" писано, сколько по всему догадываться можно, в XVI веке и есть без сомнения старейшая из всех математических рукописей, которые находятся или найтись могут на Российском языке".
Одной из самых замечательных математических книг, созданных русскими авторами в течение XVIII века, является  «Арифметика» Магницкого, которая впервые была напечатана в 1703 году в Москве и почти сразу после выхода в свет стала основным математическим учебником России на долгие годы.
Название книги- «Арифметика» - значительно уже ее содержания,
так как, помимо арифметических сведений, в ней давались также
значительные алгебраические, геометрические, тригонометрические,
метеорологические, астрономические, а также навигационные сведения.
Таким образом, произведение Магницкого являлось скорее
энциклопедией математических знаний, чем простым учебником
арифметики.

Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739) был одним из самых выдающихся людей России петровского времени как по своему общему образованию, так и по математическим познаниям. Первоначальное образование Магницкий получил в Московской славяно-греко-латинской академии. Там он изучил латинский и греческий языки, а затем уже самостоятельно голландский, немецкий и итальянский. Самостоятельно же изучил и математику, притом в объеме, значительно большем, чем сообщалось в русских арифметических, астрономических и геометрических рукописях XVII века. Несомненно, что Магницкий в полной мере был знаком с современной ему европейской учебной литературой, а также с произведениями греческих и латинских авторов.
Выписка начала текста титульного листа:
	«Арифметика, сиречь наука численная. С разных диалектов на славянский язык переведенная, и во едино собрана, и на две книги разделена...».
Для нашего времени несколько необычен стиль этого учебника: наряду с систематическим изложением курса математики, в нем значительное внимание уделяется общим рассуждениям, изложенным в стихотворной форме; необычны для нас также символические картинки, помещенные в тексте. Так, на обороте титульного листа изображен букет из неведомых цветов, окруженный виньеткой со словами: "Тако цветет человек, яко цвет сельный".
Под виньеткой же помещено стихотворение, дающее возможность судить об отношении автора к арифметике как к науке, помогающей человеку во всей его практической деятельности, позволяющей проникнуть в подлинную сущность вещей и потому дающей возможность избирать правильный образ действий.
	«...Арифметике любезно учися, в ней разных правил и штук придержися.
	Ибо в гражданстве к делам есть потребно, лечити твой ум аще числит вредно.
	Та пути в небе, решит и на море, еще на войне полезна и в поли.
	Общее всем людям образ дает знати, дабы исправно в размерах ступати».
Несколько поколений в России обучались математике по этой книге; Ломоносов цитировал её наизусть и называл «вратами учёности».
Кроме собственно арифметики, учебник Магницкого содержал материал по алгебре, геометрии, тригонометрии, метеорологии, астрономии и навигации. Впервые на русском языке появились квадратные и биквадратные уравнения, прогрессии, тригонометрические функции и многое другое. Занятно, что хотя в книге используются только арабские цифры, однако её листы пронумерованы по старой славянской системе.

Число образованных людей в России стало быстро расти.
В 1725 году была учреждена Петербургская академия наук, куда пригласили, в числе прочих, крупнейших математиков Европы — Эйлера и Даниила Бернулли.
Присутствие в Академии такого научного колосса, как Эйлер, сказалось быстро. Появился первый русский научный журнал: «Комментарии Санкт-Петербургской Академии».
1755: по инициативе Ломоносова появился Императорский Московский университет, и при нём две гимназии.
В 1760 году открылась кафедра математики, однако из-за отсутствия квалифицированных кадров лекции по высшей математике были включены в курс только в начале XIX века.

Первыми академиками-математиками России стали
	С. К. Котельников,
	В. И. Висковатов и
	С. Е. Гурьев. Хотя научный уровень этих академиков ещё не достигал «европейских стандартов», но педагогами они были добросовестными, и следующее поколение российских учёных оправдало их надежды.
Котельников Семен Кириллович(1723-1806)
Семен Кириллович был человеком, свободно владевшим современным математическим анализом. Многие работы его по этому предмету были высоко оценены Эйлером. В 1752 Котельников был отправлен к Эйлеру на обучение. В 1753 году Эйлер, очень довольный Котельниковым, отправил его работу в «Комментарии», а позже посоветовал Семена Кирилловича, как лучшего кандидата на кафедру механики для русской Академии. Хотя Котельников самостоятельным творчеством не занимался, он вполне заслужил звание великого математика. Вряд ли можно требовать большего от первого ученого, выросшего в стране, где не было научной среды.

Висковатов Василий Иванович(1779-1812)
Будучи ученым Василий Иванович не внес серьезных вкладов в науку, но основательно изучил математику, преподавал в учебных заведениях. При учреждении Института путей сообщения он был назначен профессором. Висковатов опубликовал несколько мемуаров в изданиях Академии, а так же руководство по элементарной алгебре. Он перевел и издал «Основы механики» Боссю и выпустил новое издание алгебры Эйлера. Несмотря на короткую жизнь (Василий Иванович скончался на 34 году жизни), имел много учеников и заслужил их большое уважение.

Гурьев Семен Емельянович(1766-1813)
Будучи современником Висковатова, сделал смелую попытку улучшать Евклида. В 1798 году он выпустил сочинение «Опыт усовершенствования элементов геометрии». Книга эта в обширную библиотеку изданий Евклида вносит немного, но она свидетельствует о глубокой вдумчивости и умении разбираться в весьма отвлеченных вопросах. Так же ему принадлежит вторая книга «Морского курса», учебников для морского кадетского корпуса. Но это сочинение представляет собой не просто заурядный учебник, а носит на себе печать самостоятельной мысли и стремление систематизировать и научно разработать материал

Итогом усилий по развитию российской математики в XVIII века можно считать написанный
	Т. Ф. Осиповским (1801) содержательный «Курс математики» в 4 томах, выдержавший три издания.

Осиповский Тимофей Федорович(1765 – 1832)
Тимофей Федорович был весьма образованным математиком из провинции. Приехал он В Петербург из Владимира. Длительное время преподавал в Учительской гимназии, в 1805 году ему была поручена организация всего преподавания в Харьковском университете. К его трудам можно отнести «Курс математики» в четырех томах. Это было первое русское полное руководство по математике, не уступающее многим хорошим иностранным сочинениям того времени. По этому сочинению, впоследствии, обучались лучшие русские математики в первой половине XIX века.

В начале второй половины XIX века многие московские математики, осознавая необходимость объединения, присоединились к Московскому обществу испытателей природы и публиковали свои статьи в его Бюллетене. Однако математика была «далеко не в характере занятий этого Общества».
15(27) сентября 1864 года на квартире уже ушедшего в отставку заслуженного профессора Московского университета, члена-корреспондента Петербургской академии наук Николая Дмитриевича Брашмана собралось 12 человек. Ими и было принято решение о создании Московского математического общества, а также первый его устав. Целью Общества первоначально было положено «взаимное содействие в занятиях математическими науками». Каждому его члену вменялось в обязанность «следить за успехами избранного им отдела науки и сообщать в заранее назначенные сроки письменные отчеты и словесные объяснения о своих занятиях». Так начиналась деятельность одного из самых знаменитых и старейших из существующих сегодня математических обществ мира.
Вскоре накопилось большое количество докладов и сообщений разного рода, возникла мысли об их издании, и уже в апреле 1865 г. решено было издавать журнал под названием «Математический сборник» ежегодно по два выпуска.

Август Юльевич Давидов,
президент Московского математического
общества в 1866—1886
Василий Яковлевич Цингер,
 президент Московского математического
общества в 1886—1891
Николай Дмитриевич Брашман
(1796—1866), первый президент
Московского математического общества

В XIX веке молодая российская математика уже выдвинула учёных мирового уровня.
Михаил Васильевич Остроградский разрабатывал преимущественно прикладной математический анализ. В его работах исследуется распространение тепла, волновое уравнение, теория упругости, электромагнетизм. Занимался также теорией чисел. Академик пяти мировых академий.
Николай Иванович Лобачевский прославился своей самоотверженной борьбой против догмата евклидовости пространства. Он построил геометрию Лобачевского и глубоко исследовал её необычные свойства.
Виктор Яковлевич Буняковский — чрезвычайно разносторонний математик, изобретатель, признанный авторитет по теории чисел и теории вероятностей. Автор фундаментального труда «Основания математической теории вероятностей».
Пафнутий Львович Чебышёв, выдающийся русский математик-универсал. Он сделал множество открытий в самых разных, далёких друг от друга, областях математики — теории чисел, теории вероятностей, теории приближения функций. Учитель А. М. Ляпунова и А. А. Маркова.
Остроградский Михаил Васильевич (1801-1861)
Михаил Васильевич был одним из первых русских ученых, оставивших глубокий след в науке. С отличием окончил физико-математическое отделение Харьковского университета. Важнейшие работы Остроградского относятся к области интегрального и дифференциального исчисления. Он изучал случаи распространения тепла, распространения волнообразного движения в цилиндре и вопросы, касающиеся законов движения упругого тела. Его труды конкурируют с сочинениями наиболее выдающихся математиков, часто опережая и улучшая их.

Буняковский Виктор Яковлевич(1804 – 1889)
Виктор Яковлевич после домашнего обучения в 1820 году отправился заграницу. После проживания в Германии и в Лозанне отправился в Париж, где встретился с Остроградским. Буняковский уже в 1825 году был удостоен Парижским университетом степени доктора математики. Большая часть работ Буняковского относится к теории чисел. Другие работы относятся к теории вероятностей. Он написал по этому предмету обширный трактат «Основания математической теории вероятностей». Влияние Виктора Яковлевича, как преподавателя, было очень велико. Благодаря его мягкому характеру и отзывчивому сердцу, он пользовался большой симпатией.

Лобачевский Николай Иванович(1793-1856)
Николай Иванович изучал теоретическую основу математики, и на его трудах лежит печать великого гения. Уже спустя четыре года после поступления в Казанский университет (в 1811 году) Совет университета признал его магистром математики. В 1812 году написал работу «Теория эллиптических движений небесных тел» и работа о решении двучленных уравнений. После упорного труда пришел к выводу, что возможна другая геометрия, совершенно отличная от нашей,- геометрия, в которой сохраняются все постулаты Евклида, кроме постулата о параллельных прямых. Он развил эту геометрию до уровня Евклидовой. В ней была своя тригонометрия, и аналитическая геометрия. Несмотря на притязания со стороны математиков, Лобачевский продолжал работать и опубликовал ряд своих сочинений на эту тему и даже перевел на разные языки (в 1837г. – на французский, а в 1840 – на немецкий). Только спустя время его работы удивили мир.  Сам же Николай Иванович не дожил до их признания, уже потеряв зрение, он еще раз продиктовал обработку своих идей под заголовком «Пангеометрия».

Чебышев Пафнутий Львович (1821-1894)
Пафнутий Львович начальное образование получил дома. В 1837 поступил в Московский университет, в 1846 защитил магистерскую диссертацию Опыт элементарного анализа теории вероятностей. В 1847 был приглашен в Петербургский университет на кафедру математики, где читал лекции по алгебре и теории чисел. В 1849 вышла книга Чебышева Теория сравнений, по которой он в том же году защитил докторскую диссертацию в Петербургском университете.  Чебышев сумел создать новые направления в разных областях: теории вероятностей, теории приближения функций многочленами, интегральном исчислении, теории чисел и т.д.  Известны работы ученого в области математического анализа.Среди прикладных задач, которыми занимался Чебышев, — построение точных географических карт, вопросы деформации поверхностей, вопросы теоретической и практической механики. В 1878 Чебышев изобрел счетную машину нового типа (хранится в Музее искусств и ремесел во Франции).

Андрей Андреевич Марков (1856-1922)
Увлечение математикой у Маркова началось в гимназические годы. Уже тогда он приступил к самостоятельному изучению высшей математики.
Университет Марков окончил в 1878 г. с золотой медалью за научную работу «Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей». Через два года после этого он защитил магистерскую диссертацию и начал преподавать в Петербургском университете, сначала в качестве приват-доцента, а с 1886 г. – в качестве профессора.
Первые работы А.А. Маркова по теории вероятностей являются непосредственным продолжением и завершением исследований П.Л. Чебышева и относятся, во-первых, к установлению наиболее общих условий, при которых имеет место закон больших чисел, и, во-вторых, к доказательству центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Лучшим памятником для ученого является развитие его исследований. А.А. Маркову такой памятник создан: его работы как в теории чисел и теории вероятностей, так и в других частях математики продолжают жить и развиваться спустя много лет после смерти их автора.
Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918)
Краткий очерк о развитии математики в России и наиболее выдающихся ее представителях я закончу изложением жизни и деятельности гениального ученика Чебышева – Александра Михайловича Ляпунова.
Начальное образование Ляпунов получил дома и в гимназию поступил только в 1870 г. сразу в третий класс.
Окончил ее в 1876 г. с золотой медалью. В том же году он поступил на физико-математический факультет Петербургского университета.
В 1880 г., будучи студентом четвертого курса, Ляпунов за первое свое научное сочинение был награжден факультетом золотой медалью и оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию по механике.
В 1884 г. Ляпунов защитил магистерскую диссертацию. Его магистерская диссертация, а также все работы, написанные им, начиная с 1901 г., посвящены одной единственной задаче – построению теории фигур равновесия однородной вращающейся жидкости.
Другой большой темой, поглотившей на свою разработку добрый десяток лет его жизни, было создание общей теории устойчивости движения, до Ляпунова, можно сказать, совершенно не существовавшей.
 В теории вероятностей Ляпунову удалось доказать центральную предельную теорему в исключительно широких условиях. Для доказательства этой замечательной теоремы Ляпунов разработал новый метод, явившийся зародышем современного, очень мощного метода теории вероятностей – метода так называемых характеристических функций.
В математической физике Ляпунов исследовал так называемую задачу Дирихле, к которой сводятся основные проблемы движения жидкости, электричества и др.
Последний период его жизни насыщен научными открытиями первостепенной важности, исключительными по яркости руководящих идей, виртуозности аналитических выкладок и тонкости употребленных методов.
Основные выводы работы:
В сравнительно ранний период жизни русского государства элементарные математические знания были довольно широко распространены среди населения; в стране имелись числолюбцы, Кирик был не одинок. Интересно заметить, что уже в эти годы арифметика являлась не только средством удовлетворения утилитарных потребностей, но также средством удовлетворения чисто духовных запросов.

Говоря об арифметических рукописях XVII века, следует отметить таблицы сложения и умножения, которые постоянно прилагались к ним, а порой и составляли предмет содержания особых книг.

XVIII  век можно отметить появлением первого поколения русских ученых – математиков.

В IX веке в России начинает вырабатываться преемственная школа математиков.

Молодые русские математики вносят большой вклад в математический анализ Европы и всего мира.

XIX век показывает, что в России живут по истине гениальные умы.


title: Скачать презентацию или конспект Пространство и размерность

extracted_text:
Пространство и размерность

Учитель математики МОУ «СОШ с.Березово Пугачевского района Саратовской области»
Цели урока
Познакомить с понятием «пространство», «размерность»
Показать их взаимосвязь и взаимосвязь с геометрическими фигурами

ПРОСТРАНСТВО
Трехмерное пространство
Двухмерное пространство
Одномерное пространство
Современные дома
Трехмерное пространство

Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения

Трехмерное пространство

Двухмерное пространство
Попробуем убрать одно измерение- высоту
Мир стал плоским, как лист бумаги. Осталось два измерения- длина и ширина

Двухмерное пространство

Плоскость является двухмерным пространством
Какие фигуры могут жить в этом мире?

Двухмерное пространство
Рисунки
Выкройка
Задание 5

Одномерное пространство
Попробуем убрать еще одно измерение
Осталось одномерное пространство с одним измерением -длиной

Одномерное пространство

Этот мир полностью лежит на прямой.
Какие фигуры могут жить в этом мире?
Жители его- отрезки, лучи,точки

А
С
В

Нуль измерений
Давайте уберем и длину
В мире геометрии существует фигура, которая не имеет измерений.
Что же это за фигура?

А
Это точка
Пространство и размерность

0 измерений
Одномерное
 пространство
Двухмерное
 пространство
Трехмерное
 пространство

точка
+длина

отрезок

треугольник
+ширина
+высота

куб
Задание7
Разделите тетрадь нам 2 части
Слева напишите(нарисуйте) фигуры , которые можно поместить в плоскость
Справа, которые  нельзя поместить в плоскость
Перспектива

С давних времен люди пытались показать пространственные фигуры на плоскости
Разработана научная теория перспективы, которая позволяла обмануть зрение
Линии, уходящие вдаль –сходятся в одной точке

Рисунки венгерского художника Виктора Вазарели
Рисунок в стиле Вазалери.Голенкины Юля и Вика 10 кл
Изображение пространственных фигур
В геометрии принято изображать линии, скрытые от взора наблюдателя, пунктирными

Задание 7
Задача
Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы сложить квадрат в два раза больший данного?
Сколько одинаковых кубиков надо взять, чтобы составит куб в два раза больший данного куба?

Задача
Домашнее задание
Творческая работа «Я- в двухмерном пространстве»


title: Скачать презентацию или конспект Теория множеств

extracted_text:
2. Элементы теории множеств
Понятие множества
pptcloud.ru
Элементы теории множеств
2
© Аликина Е.Б.
Основу теории математики составляют понятия и отношения между этими понятиями, которые устанавливаются при помощи соответствующих аксиом и определений.
Дальнейшее построение математической теории осуществляется последовательной системой теорем и новых определений, устанавливающей свойства изучаемых математических объектов.
Элементы теории множеств
3
© Аликина Е.Б.
Определение
Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества.
Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку:
множество учащихся класса,
множество букв алфавита,
множество натуральных чисел,
 множество точек на прямой,
 множество книг на полке и т.д..
Элементы теории множеств
4
© Аликина Е.Б.
Определение
Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами
например, буква К – элемент множества букв русского алфавита.
Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).
Элементы теории множеств
5
© Аликина Е.Б.
Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы.
Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:
А; {а, b, c}; {∗,s,h,g}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Элементы теории множеств
6
© Аликина Е.Б.
Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа  (в противном случае используется символ ∉).
Запись а А означает, что а есть элемент множества А.
Аналогично имеем: Δ{Δ,ο}.
Запись 4∉{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.
Элементы теории множеств
7
© Аликина Е.Б.
Основными способами задания множества являются:
1) перечисление всех его элементов: А={а1, а2, …, аn};
2) описание (указание характеристического свойства его элементов).
Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество.
Элементы теории множеств
8
© Аликина Е.Б.
Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов.
Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов:
М={х∈ N | х׃2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.
Элементы теории множеств
9
© Аликина Е.Б.
Определение 3
Множества, состоящие из одних и тех же элементов (одинаковыми). Пишут А=В.
Определение 4
Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅.
Элементы теории множеств
10
© Аликина Е.Б.
Слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл.
Множество может состоять из небольшого количества элементов.
Будем обозначать количество элементов в некотором множестве А через m(А).
Например, если А={а, b, c}, то m(А)=3. Если N – множество всех натуральных чисел, то m(N) = ∞.
Элементы теории множеств
11
© Аликина Е.Б.
Подмножество. Основные числовые множества
Определение 1.
 Множество В, состоящее из некоторых элементов данного множества А (и только из них), называется подмножеством (частью) этого множества.
Иначе, если любой элемент множества В принадлежит также множеству А, то множество В называется подмножеством множества А.
Это записывается так: В⊂ А или А⊃В. Говорят, что «В – подмножество А» или «В содержится в А» или «А содержит В».
 Заметим, что m(В) ≤m(А).
Элементы теории множеств
12
© Аликина Е.Б.
Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А: В⊄А.
Например, отрезок [а, b] не является подмножеством полуинтервала (а, b], т.к. а[а, b], но а∉(а, b].
Элементы теории множеств
13
© Аликина Е.Б.
Из опр. 1 следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение АА.
 Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Пустое множество не содержит ни одного элемента, а значит в нем нет элемента, не принадлежащего любому другому множеству.
Элементы теории множеств
14
© Аликина Е.Б.
Знак  называется знаком включения.
Отметим основные свойства отношения включения между множествами:
1) ∅⊂А для любого множества А;
2) АА для любого множества А (рефлексивность);
3) из того, что ВА не следует АВ (не симметричность);
4) если АВ и ВА, то А=В (антисимметричность);
5) если А⊂В и В⊂С, то А⊂С (транзитивность).
Элементы теории множеств
15
© Аликина Е.Б.
Основные числовые множества:
N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел;
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные), N⊂Z;
Q={x ׀х = p/q , где p∈Z, q∈N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде дроби), N⊂Z⊂Q;
R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа.
Элементы теории множеств
16
© Аликина Е.Б.
Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси).
Координатная прямая – это всякая прямая (обычно горизонтальная), на которой указаны положительное направление, начало отсчета и единичный отрезок.
Элементы теории множеств
17
© Аликина Е.Б.
Элементы теории множеств
18
© Аликина Е.Б.
Операции над множествами
Два множества могут иметь одинаковые элементы,
 из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество,
также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.
Элементы теории множеств
19
© Аликина Е.Б.
Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася.
 Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят;
 коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе;
 множество наклеек Пети, которых нет у Васи.
Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.
Элементы теории множеств
20
© Аликина Е.Б.
Определение
Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х ׀ хА и хВ}. Обозначается А∩В.
Элементы теории множеств
21
© Аликина Е.Б.
Определение
Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х׀ хА или хВ}.
Обозначается, АВ.
Элементы теории множеств
22
© Аликина Е.Б.
Если множества А и В не содержат одинаковых элементов, т.е. не пересекаются (А∩В=∅), то m(АВ) = m(A) + m(B) (1).
В противном случае, когда множества имеют m(А∩В) одинаковых элементов, следует пользоваться более общей формулой:
m(АВ) = m(A) + m(B) - m(А∩В) (2).
Элементы теории множеств
23
© Аликина Е.Б.
Определение
Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х ׀ хА и х∉В}.
Обозначается, А\В.
В случае, когда В является подмножеством А, т.е. В⊂А, разность А\В называется дополнением множества В до множества А (или относительно множества А).
Элементы теории множеств
24
© Аликина Е.Б.
Определение
Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются.
Обозначают U.
При работе с числовыми множествами в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.
Элементы теории множеств
25
© Аликина Е.Б.
Определение
Дополнением множества А называется разность U\А..
Обозначается, А’ или А и читается «не А» .
Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.
Элементы теории множеств
26
© Аликина Е.Б.
Элементы теории множеств
27
© Аликина Е.Б.
Диаграммы Эйлера-Венна
Для наглядного представления множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).
При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника.
Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.
Элементы теории множеств
28
© Аликина Е.Б.
Элементы теории множеств
29
© Аликина Е.Б.
Элементы теории множеств
30
© Аликина Е.Б.
Элементы теории множеств
31
© Аликина Е.Б.
Формула для подсчета числа элементов в объединении трех множеств:
m (АВС) = m (А) + m (В) + m (С) - m (А∩В) – m (А∩С) – m (В∩С) + m (А∩В∩С)
Элементы теории множеств
32
© Аликина Е.Б.
Примеры
Пример 1. Записать множество всех натуральных делителей числа 15 и найти число его элементов.
Решение: А={1, 3, 5}, m (А)=3.
Элементы теории множеств
33
© Аликина Е.Б.
Пример 2
Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8,16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}.
Найти А∪В, С∪D, В∩С, А∩D,А\С, D\В, А∪В∪С, А∩В∩С, В∪D∩С, А∩С\D.
Решение:
Учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем объединение или разность.
Получим
АВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16},
 С∪D={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20},
В∩С={16}, А∩D=∅, А\С={2, 3, 5, 8}, D\В={0, 20},
А∪В∪С={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16},
А∩В∩С=∅,    В∪D∩С={1, 3, 4, 8, 16},      А∩С\D={13, 15}
Элементы теории множеств
34
© Аликина Е.Б.
Пример 3.
Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?
Решение: Пусть А – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, В – множество абитуриентов, получивших оценку ниже 5, по условию m (A)=210, m (В)=180, m (A∪B)=250. Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество А∩В.
 Из формулы (2) находим m (A∩B) = m (A) + m (В) - m (A∪B) = 210 + 180 – 250 = 140.
Элементы теории множеств
35
© Аликина Е.Б.
Пример 4.
В школе 1400 учеников.
 Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках.
Не умеют кататься 60 учащихся.
 Сколько учащихся умеют кататься и на коньках и на лыжах?
Решение: Множество учеников школы будем считать основным множеством U, А и В – соответственно множества учеников, умеющих кататься на лыжах и на коньках .
Элементы теории множеств
36
© Аликина Е.Б.

Элементы теории множеств
37
© Аликина Е.Б.
Учащиеся, не умеющие кататься ни на лыжах, ни на коньках, составляют множество А’∩В’= (А∪B)’
 m (А∪B) = m(U) - m (А∪B)’=1340.
m (А∩B) = m (А) + m (В) - m (А∪B) = 862
Элементы теории множеств
38
© Аликина Е.Б.


title: Скачать презентацию или конспект Уравнение плоскости в пространстве

extracted_text:
Уравнение плоскости в пространстве
Теорема. Плоскость в пространстве задается уравнением
где a,  b, c, d - действительные числа, причем a, b, c одновременно не равны  нулю и составляют координаты вектора    , перпендикулярного этой плоскости и называемого вектором нормали.
ax + by + cz + d = 0,

Угол между двумя пересекающимися плоскостями, заданными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0 можно найти, используя формулу

Упражнение 1
         Дана плоскость: а) 5x-y-1=0; б) 3x+18z-6=0; в) 15x+y-8z+14=0; г) x-3y+15z=0. Назовите координаты вектора нормали.
Ответ: а) (5, -1, 0);

б) (3, 0, 18);
в) (15, 1, -8);
г) (1, -3, 15).
Упражнение 2
         Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1, 2, 1), с вектором нормали, имеющим координаты: а) (0, -5, 2); б) (6, -1, 3); в) (-4, -2, -1); г) (-3, -8, 0).
Ответ: а) -5y+2z+8=0;

б) 6x-y+3z+5=0;
в) -4x-2y-z+1=0;
г) -3x-8y+13=0.
Упражнение 3
         В каком случае два уравнения a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0 задают: а) одну плоскость; б) две параллельные плоскости?
Ответ: а) Если для некоторого числа t выполняются равенства a2=ta1,  b2=tb1,  c2=tc1, d2=td1;
б) Если для некоторого числа t выполняются равенства a2=ta1,  b2=tb1,  c2=tc1 и неравенство d2      td1;

Упражнение 4
         В каком случае две плоскости, заданными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0, перпендикулярны?

Ответ: Если выполняется равенство a1a2 + b1b2 + c1c2 =0.
Упражнение 5
         Найдите уравнения координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz.

Ответ: z = 0, y = 0, x = 0.
Упражнение 6
         Дана плоскость x + 2y - 3z – 1 = 0. Найдите ее точки пересечения с осями координат.

Упражнение 7
         Точка H(-2, 4, -1) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Напишите уравнение этой плоскости.

Ответ: 2x-4y+z+21=0.

Упражнение 8
         Напишите уравнение плоскости, которая: а) проходит через точку M (1,-2,4) и параллельна координатной плоскости Oxz; б) проходит через точку M (0,2,0) и перпендикулярна оси ординат; в) проходит через точки A(3,0,0), B(0,3,0) и параллельна оси аппликат.

Ответ: а) y=-2;

 б) y=2;
 в) x+y=3.
Упражнение 9
         Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны между собой:
а) x + y + z - 1 = 0, x + y + z + 1 = 0;
б) x + y + z - 1 = 0, x + y - z - 1 = 0;
в) -7x + y + 2z = 0, 7x - y - 2z - 5 = 0;
г) 2x + 4y + 6z - 8 = 0, -x - 2y - 3z + 4 = 0.

Ответ: а), в).

Упражнение 10
         Как расположены относительно друг друга следующие плоскости: а) 5x-y+7z-8=0 и  5x-2y+14z-16=0; б) x-y+z=0 и -6x+12y-24z=0; в) 15x+9y-30z+12=0 и -10x-6y+20z-8=0; г) -2x-2y+4z+14=0 и 3x+3y-6z+21=0?

Ответ: а) Пересекаются;

б) пересекаются;
в) совпадают;
г) параллельны.
Упражнение 11
         Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(1,3,-1) параллельно плоскости: а) 3x + y – z + 5 = 0; б) x – y + 5z – 4 = 0.

Ответ: а) 3x+y-z-7=0;

б) x-y+5z+7=0.
Упражнение 12
         Перпендикулярны ли плоскости: а) 2x - 5y + z + 4 = 0 и 3x + 2y + 4z – 1 = 0; б) 7x – y + 9 =0 и  y + 2z – 3 = 0?

Ответ: а) Да;

б) нет.
Упражнение 13
         Найдите угол φ между плоскостями, заданными уравнениями: а) x + y + z + 1 = 0, x + y - z - 1 = 0; б) 2x + 3y + 6z –  5 = 0, 4x + 4y + 2z - 7 = 0.

Упражнение 14
         Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки: а) A (1,0,0), B (0,1,0) и C (0,0,1); б) M(3,-1,2), N(4,1,-1) и K(2,0,1).

Ответ: а) x+y+z–1=0;

 б) x+4y+3z-5=0.
Упражнение 15
         Плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0. Напишите уравнение плоскости, симметричной данной относительно: а) координатных плоскостей; б) координатных прямых; в) начала координат.

Ответ: а) ax+by-cz+d=0, ax-by+cz+d=0, -ax+by+cz+d=0;
б) ax-by-cz+d=0, -ax+by-cz+d=0, -ax-by+cz+d=0; в) –ax-by-cz+d=0.
Упражнение 16
         Вычислите расстояние от начала координат до плоскости: а) 2x – 2y + z – 6 = 0; б) 2x + 3y – 6z + 14 = 0.

Ответ: а) 2;
б) 2.
Упражнение 17
         Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы x2 + y2 + z2 = 9 в точке с координатами: а) (0,3,0); б) (2,-2,1).

Ответ: а) y=3;
б) 2x-2y+z-9=0.


title: Скачать презентацию или конспект История возникновения числа

extracted_text:
История возникновения числа.
Система счисления:

позиционные
непозиционные
Самая простая система счисления была еще у древних людей.
Аддитивная система счисления.
Алфавитная аддитивная система счисления.
Мультипликативная система счисления.
способ записи чисел
в позиционных системах счисления
Здесь собраны наиболее известные нумерации мира:
Первый тип:
XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10-1+10 = 219;
Второй тип:

Система счисления:
(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)Здесь дважды использован иероглиф "2", и в каждом случае он принимал разные значения "2000" и "20".

2 1000 + 4 100+2 10+5 = 2425
Аддитивная система счисления
1

2
3
4
…
9
10

11

И
А ведь всего-то это 1457  2026.Удобств для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались Египтяне, Ацтеки, племена Майя.
Например 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, …, 99, 100, 101 …
Запись числа 1999 означает, что 1 1000 + 9 100 + 9 10 + 9.
 Для того, чтобы "собрать" такое число используется умножение
(multiplication англ.), из-за чего систему и назвали "мультипликативной".
Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо
развитой математикой. По сей день мы используем только такую систему
счисления.
Мультипликативная система счисления.
Египетская нумерация
1 Как и большинство людей для счета небольшого количества
предметов Египтяне использовали палочки.
10. Такими путами египтяне связывали коров
Если нужно изобразить несколько десятков,
 то иероглиф повторяли нужное количество раз.
Если палочек нужно изобразить несколько,
 то их изображали в два ряда
100. Это мерная веревка, которой
измеряли земельные участки после разлива Нила.
1 000. Египтяне присвоили такое значение изображению этого
 цветка.
10 000. "В больших числах будь внимателен!" –
говорит поднятый вверх указательный палец.
100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень
удивится и возденет руки к небу.
 Это и изображает этот иероглиф
10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра,
богу Солнца, и, наверное,
 поэтому самое большое свое число они
изобразили в виде восходящего солнца

- 1207,
- 1 023 029
В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством

вертикальных полосок:         ,       ,        ,        . Число 5

записывалось знаком          (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков:

Число 10 обозначалось          - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000,.
Древняя греческая нумерация
Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита:

числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами :ѓ

числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.
Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.
Вавилонская нумерация
В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков:
для единицы, и

Эти знаки повторялись нужное число раз, например
для десятка.
-3
-20
-32
а это число 59.
Вавилонский способ обозначения чисел больше 60 .
Цифры записываются по разрядам, с небольшими пробелами между:
Так записывается число 302
При отсутствии разряда вставлялся значок :
игравший роль нуля.
это запись числа 7203
Нумерация индейцев Майя
Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления,
а потом ее приспособили для двадцатеричной.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 или 20
 Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков
 затем знаки
, а потом
больших значений и заканчивая меньшими.
,
59
16
23
 20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59; 5+5+5+1 = 16; 20+1+1+1 = 23
Славянская кириллическая нумерация
Интереснее всего записывались числа
второго десятка:
Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и пишем:
не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19.
Таким образом у славян мы прослеживаем десятеричную систему счисления.
Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только
сложение:

= 800+60+3
Тысяща - 1 000, Леон - 10 000, Одр - 100 000, Вран (ворон) - 1 000 000, Колода - 10 000 000,
Тьма - 100 000 000.
Китайская нумерация
1
2
3
4
5


6
7
8
9
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими
10
100
1000
- 1 000;
- 548
Такая запись числа мультипликативная, то есть в ней используется умножение:
1 1 000 и 5 100+4 10+8
Самая простая система счисления
В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки , кружочка , или любой другой фигуры. Числа будут записываться примерно так:

Латинская (Римская) нумерация
Возникла эта нумерация в древнем Риме. Использовалась она для аддитивной алфавитной
 системы счисления
Прежде знак M изображался знаком Ф, потому то 500 и стал изображать знак D как "половина" Ф. Так же построена и пары L и C, X и V.
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо.
Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание.
CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237НоXXXIX = 10+10+10-1+10 = 39
Есть правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры,
такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания, например:
XXXX = XC (50-10)
IIII = IV (5-1)
CCCC = CD (500-100)
Новая или арабская нумерация
 В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных
на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари".

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …,
 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа.
Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Переменная и кванторы

extracted_text:
Переменная и кванторы

Увеличьте число 1,5 в 10 раз
Уменьшите число 13,6 в 100 раз
Умножьте 2,6 на 0,1
Во сколько раз число 9,6 больше числа 3,2
Округлите до десятых следующие числа 13,67; 0,24; 0,521; 38,59.
Математический диктант
Утверждение: Для того чтобы найти пройденный путь нужно скорость движения умножить на время движения
Утверждение на математическом языке: S=Vt
Переменная
∃-существует такой, что (квантор существования)
∀-для любого, для каждого (квантор общности)

Русский язык
Логический язык
Все люди смертны

Цветок требуют полива

Всякое натуральное число больше 2

∀ x ∈ L: x-смертен (L-множество людей)
∀ у∈ С: у требует полива (C-множество цветов)

∀ n∈ N:n>2
Из предложения с переменной
«Натуральное число n-простое»
можно получить общее высказывание
«Всякое Натуральное число n-простое»
И высказывание о существовании
«Существует Натуральное число n-простое»


title: Скачать презентацию или конспект Закон больших чисел и Центральная предельная теорема

extracted_text:
Список литературы
1. Гнеденко б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, 1988.
2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. 2-е изд. М., 1992.
3. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 3-е изд., –  Спб.: Издательство «лань», 2004 –  256 с.
4.  Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. –  М.: Гардарика, 1998. –  328 с.

2
5. Гмурман В.Е.  Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002. – 405 с.
6. Гмурман  В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для студентов вузов/ М.: Высшая школа, 2002. – 405 с.
Список литературы

Лекция №1

Закон больших чисел и
Центральная предельная теорема
4
Неравенство Чебышева

5
Неравенство Чебышева
6
Сходимость по вероятности
Последовательность случайных величин

Сходится по вероятности к величине a если
для любых
			 > 0 и  > 0
существует  такое n( ,  ),
начиная с которого выполняется неравенство:

или
7
Сходимость по вероятности
8
Графическая иллюстрация сходимости по вероятности

9
Теорема Чебышева

При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к её математическому ожиданию.

10
Теорема Чебышева
11
Обобщенная теорема Чебышева
При неограниченном увеличении числа независимых испытаний над случайными величинами, имеющими ограниченные дисперсии, среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий эти величин.
12
Обобщенная теорема Чебышева
13
Теорема Бернулли
При неограниченном увеличении числа
независимых опытов в постоянных условиях частота
рассматриваемого события А сходится по
вероятности к его вероятности p в отдельном
испытании.
14
Индикатор События И Его Свойства
Индикатор события – это случайная величина, принимающая значение, равное единице, если событие произошло и равное нулю – в противном случае.
15
Ряд распределения Индикатора События

Математическое ожидание и дисперсия индикатора
16
Теорема Пуассона
При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в переменных условиях частота события сходится по вероятности к среднему арифметическому
его вероятностей при данных испытаниях
Центральная Предельная Теорема
Рассматривается вопрос о законе распределения суммы случайных величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает
18
Теорема Ляпунова
Если случайные величины
взаимно независимы и имеют один и
тот же закон распределения с математическим ожиданием m  и дисперсией 2, причем существует ограниченный третий абсолютный момент 3 то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы приближается к нормальному.
19
Пример
Складываются 24 независимых случайных величины, имеющих равномерное распределение на интервале (0, 1). Написать приближенное выражение для плотности распределения суммы этих случайных величин. Найти вероятность того, что сумма будет заключена в пределах от 6 до 8.


title: Скачать презентацию или конспект Теория графов

extracted_text:
Теория графов
Соколовская Анастасия Юрьевна
6 «Б» класс
Что такое теория графов?
Теория графов – это раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами.
Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах  (ГИС).
		Существующие или вновь проэктируемые дома, сооружения, кварталы и т.п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети и т.п. – как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или  ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.
История возникновения теории графов.
Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсберских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Изображение графов на плоскости
При изображении графов чаще всего используется следующая система обозначений:
	каждой вершине сопоставляется точка на плоскости, и если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки соединяют отрезком. В случае ориентированного графа отрезки заменяют стрелками.

Неориентированный граф -
граф, вершины которого соединены ребрами. С помощью таких графов могут быть представлены схемы двухсторонних (симметричных) отношений.

Граф, отражающий отношение «переписываются» между объектами класса «дети»
Ориентированный граф -
граф, вершины которого соединены дугами. С помощью таких графов могут быть представлены схемы односторонних отношений.

Маша
Юра
Аня
Витя
Коля
Граф, отражающий отношение «пишет письма».
Приведите примеры цепи и цикла.
граф, у которого вершины или рёбра (дуги) несут дополнительную информацию (вес).
Москва, 1147
Переславль Залесский, 1152
Владимир, 1108

Взвешенный граф -

182
158
127
Дерево – граф иерархической структуры. Между любыми двумя его вершинами существует единственный путь. Дерево не содержит циклов и петель.

Задача   «Подружки»
У трёх подружек - Ксюши, Насти и Оли - новогодние карнавальные костюмы белого, фиолетового и синего цветов, и шапочки тех же цветов. У Насти цвет костюма и шапочки совпали, у Ксюши ни костюм, ни шапочка не были фиолетового цвета, а Оля была в белой шапочке, но цвет костюма у неё не был белым.
Как были одеты девочки?
Решение:
Будем изображать множество подружек, шапочек и костюмов прямоугольниками, а элементы множеств - точками, помещенными в эти прямоугольники.
1. Костюм и шапочка Насти одного цвета.
2. Костюм и шапочка Ксюши не фиолетового цвета.
3. Оля в белой шапочке.
4. Костюм у Оли не белый.

подружки
костюмы
шапочки
Ксюша      Оля     Настя
Бел.

Фиол.

Син.

Бел.

Фиол.

Син.

Ксюша не в фиолетовой шапочке и не в белой, значит, в синей, а у Насти – фиолетовая шапочка.

У Насти цвета шапочки и костюма совпадают по условию, а у Оли – не совпадают.
Вывод:   Настя в фиолетовом костюме и шапочке,
                        Ксюша в белом костюме и синей шапочке,
                        Оля в синем костюме  и белой шапочке.
Три учительницы - Ирина Васильевна, Дарья Михайловна и Софья Петровна - преподают химию, биологию и физику в школах Ярославля, Владимира и Краснодара. Известно, что

   И.В. работает не в Ярославле, а Д.М. - не во       Владимире;
   та, которая живет в Ярославле, преподает не       физику;
   работающая во Владимире – учитель химии;
   Д.М. преподает не биологию.

Кто в каком городе живет и какой предмет преподает?
Задача  «Учительницы»

И.В.	  Д.М.  С.П.
Яр.

Вл.

Кр.
хим.

биол.

физ.
 1.  И.В. работает не в Ярославле, а Д.М. - не во Владимире;
та, которая живет в Ярославле,    преподает не физику;

3. работающая во Владимире – учитель химии;

4.  Д.М. преподает не биологию.

Вывод:  Д.М. не биолог и не химик, следовательно, преподает физику.

Вывод: в Ярославле живет учитель биологии (т.к. не физика и не химия), тогда физик - в Краснодаре.

Итак,  Д.М. – физик из Краснодара, И.В. – живет во Владимире (т.к. не в Ярославле) и преподает химию, тогда С.П. – ярославна - биолог.

Теория графов и анализ художественного текста
Давайте определим, как фразы одного писателя или поэта отличаются от других. А точнее, при анализе художественного текста можно использовать математические методы. Покажем на примере творчества нескольких писателей, как на язык деревьев переводятся трудноуловимые, и на первый взгляд неформализуемые особенности стиля, которые кладутся в основу стилистической диагностики. Например, основная черта синтаксиса А.С. Пушкина – её ритмизованность и подчинённый ей лаконизм выражений.
Семантическая сеть
В прозаических произведениях Пушкина преобладают краткие фразы, часто встречаются нераспространенные предложения. Так если взять «Капитанскую дочку», то для неё типично расположенное дерево подчинения следующего вида:
	Пушкинский текст в основном состоит из предложений, в которых не более 11 слов, а рисунки этих деревьев либо симметричны, либо имеют длинный правый отросток. При этом даже для длинных фраз громоздкие деревья практически не возникают. Как мы видим, интуитивное ощущение прозаичности пушкинской фразы соответствует строгому понятию синтаксической простоты.
Деревья лермонтовской прозы во многом  похожи на пушкинские, хотя расчёты показывают, что в среднем предложения Лермонтова чуть-чуть длиннее и чуть-чуть сложнее. Впрочем, есть важное различие в рисунках деревьев, свойственных этим авторам. Ширина ветвления корня дерева для фразы из «Героя нашего времени» гораздо больше, чем для фразы из «Капитанской дочки». Это означает, что дерево лермонтовской фразы растёт вширь, в то время как в пушкинской фразе оно растёт вглубь. Большая ширина ветвления возникает вследствие того, что сказуемые в лермонтовской фразе подчиняют себе не только дополнения, но и разнообразные по структуре и значению обстоятельства.
Признаки И.Л. Севбо
А теперь выясним; по какому принципу лингвисты проводят анализ художественного текста. И.Л. Севбо привёл 7 таких признаков, мы приведём для примера 4.
1. Количество узлов дерева (т.е. количество слов во фразе).
2. Количество простых предложений в сложном (помечание стрелок, соответствующих связям между частями сложного предложения)
3. Число уровней в дереве (длина самого длинного из путей дерева)
4.  Ширина ветвления корня (число узлов подчинённых корню)
Проведём эксперимент. Перед нами строки из произведения «Кавказский пленник» А.С. Пушкина и М.Ю. Лермонтова. Нам нужно определить, какой граф принадлежит Пушкину, а какой Лермонтову. Мы это сделаем с помощью Севбо.

Из данных таблицы ясно, что дерево на рисунке В сложнее дерева на рисунке А. Как было сказано выше, язык Лермонтова немного сложнее языка Пушкина. Следовательно, граф на рисунке А принадлежит А.С. Пушкину, а граф на рисунке В – М.Ю. Лермонтову. Как видите, с помощью графов, зная особенности стиля того или иного писателя, можно определить, кому принадлежит фраза.
выводы
Теория графов помогает решать логические задачи.
С помощью теории графов можно определить автора произведения.
Теория графов широко применяется в географии, истории, генеалогии.


title: Скачать презентацию или конспект Функция у = cos х, ее свойства и график

extracted_text:
  Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.
                  ( А. М. Маркушевич)
Устно
А) Для ф-ции у=f(х),гдеf(х)=sinх, найти:
f(п\6), f(3п\2), f(-п)
Б)Упростить: sin(п + х), sin( 3п\2-х),
сos(п\2+х), cos(2п-х).
В)Как построить график функции
У=sin(х+п\3)-2?

Графиком функции у = sin x  является синусоида
Свойства функции:
D(y) =R
Периодическая (Т=2p)
Нечетная (sin(-x)=-sin x)
Нули функции:
     у=0, sin x=0 при х = pn, nÎZ
y=sin x
Тема урока:
«Функция у = cos х, ее свойства и график»
Цель урока:
Изучить свойства функции у= cosх, выработать умение изображать график схематически и по графику находить область определения и область значения функции, промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции, наименьшее и наибольшее значение функции.
Выработать прочные навыки применения полученных знаний при решении уравнений графическим способом, вычислении значения функции и выполнении преобразований графика функции у= cosх.

Как построить график функции у=sin(х+п\2)?
Как можно преобразовать с помощью формулы приведения sin(х+п\2)?
Вывод.

Графиком функции у = cos x  является косинусоида

 sin(x+p/2)=cos x
Перечислить свойства.


title: Скачать презентацию или конспект Устные приемы вычислений в пределах 100

extracted_text:
Урок математики во 2 классе«Устные приемы вычисленийв пределах  100»
Выполнила: учитель начальных классов МОУ «СОШ № 43»
Города Саратова
Дунаева Юлия Николаевна
Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений( урок закрепления )

Цель урока: совершенствовать вычислительные навыки учащихся, развивать познавательную активность

Задачи урока:
Образовательные: формировать навыки устного счета в пределах 100;совершенствовать навыки решения задач;
Развивающие: развивать мышление, внимание, навыки самостоятельной работы, самоконтроля и самооценки, творчества;
Воспитательные: воспитывать любовь к природе, чувство коллективизма и взаимопомощи.

48
   - 40
         +90
              - 50
                    +2
                        -30
                             - 12
                                      = 8

1уровень      2 уровень      3уровень

73-1=           74-70=         72-70+20=
42+1=          43-40=         80+4+6=
50-10=         62-2=           59-50-9=
40+10=        90+8=          25+5+40=
30-1=           37-3=           40+40+2=

1уровень      2 уровень      3уровень

73-1= 72          74-70= 4        72-70+20=22
42+1=43          43-40=3         80+4+6=90
50-10= 40        62-2= 60         59-50-9=0
40+10= 50       90+8= 98        25+5+40=70
30-1= 29          37-3= 34         40+40+2= 82

9 дм=
2 м 6 дм=
1дм 2 см=
7 м 5 дм=
1 ч 3 мин=
Sos!   Sos!   Sos!

Решим задачи:
Один гектар леса в год поглощает 5 тонн углекислого газа и выделяет 10 тонн кислорода. На сколько тонн больше выделяется кислорода?
Чтобы спасти спутник Деймос, надо посадить 10 лип, а берез на 20 больше. Сколько всего деревьев надо посадить?

Решим математические ребусы:

100
лица
40 а
Про 100 р
По
100
вой
Ко 100 чка
100 лб
Почему планета Марс красного цвета?

 4 см

6 см

Подведение итогов
Какие цели и задачи мы с вами ставили в начале урока?
Что интересного было сегодня на уроке?
Какие открытия вы для себя сделали?
Какое настроение оставил этот урок?
      Спасибо за урок!            Молодцы!


title: Скачать презентацию или конспект Пересечение и объединение множеств

extracted_text:
Пересечение и объединение множеств
Подготовила:
учитель математики
МОУ сош №30 имени А.И.Колдунова
Кутоманова Е.М.
2009-2010 учебный год

1.Пересечение  множеств
А- множество натуральных делителей числа 24,
В- множество натуральных делителей числа 16.
А={1,2,3,4,6,8,12,24},
В={1,2,3,6,9,18},
С- множество общих делителей чисел 24 и 18,
С={1,2,3,6}.

	Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.

Множество, составляющее общую часть множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают так : А∩В=С.

Соотношение между множествами А,В и С можно проиллюстрировать с помощью специальных схем, называемых кругами Эйлера.

	Множества А и В изображены на рисунке кругами.

	Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С.
Замечание.
	Некоторые множества Х и Y не имеют общих элементов. Тогда говорят, что пересечением множеств Х и Y является пустое множество.
	Ø- обозначение пустого множества.
	И пишут тогда так: Х∩Y=Ø

Например:
А={1,3,5,7,9},
В={2,4,6,8},
А∩В = Ø.
2.Объединение множеств

	А- множество натуральных делителей числа 24,
	В- множество натуральных делителей числа 16.
	А={1,2,3,4,6,8,12,24},
	В={1,2,3,6,9,18},
	D- множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В.
	Т.е. D={1,2,3,4,6,8,9,12,18,24}.

	Говорят, что множество D является объединением множеств А и В.

Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, называют объединением этих множеств и обозначают  АUВ=D.

	Множества А и В изображены на рисунке кругами.

	Фигура, закрашенная на рисунке, является объединением множеств А и В.

Например:
Х-множество простых чисел, не превосходящих 25;
Y- множество двузначных чисел, не превосходящих 19.
Найдите пересечение и объединение множеств Х и Y.
Решение:
X={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
Y={10,11,12,13,14,15,16,17,18};
Общие элементы: 11,13,17,  значит,
X∩Y={11,13,17};
XUY ={2, 3, 5, 7,10,11,12,13,14,15, 16,17,18,19,23}.


title: Скачать презентацию или конспект Ментальная карта

extracted_text:
Ментальная карта.
МКОУ «Буткинская средняя общеобразовательная школа»
Проект на тему: «Ментальные карты» Выполнили: Кокшаров Алексей, Анисовец Екатерина, Филимонова Наталия.
с.Бутка 2012г.
Цель проекта:
Предполагалось, что к концу работы над проектом,  мы будем знать историю возникновения ментальных карт, освоим правила  их составления (рисования) и сможем поделиться новыми знаниями со своими одноклассниками .
Задачи проекта:
1. Изучить:
Что такое ментальная карта?
Кто её создатель?
Каковы правила составления ментальных карт?
Где эти карты применяются?
2. Рассмотреть примеры  ментальных карт.
3. Потренироваться  самим в составлении ментальных карт
4. Познакомить с правилами составления карт своих одноклассников.

Ментальные карты
Ментальная карта.
Ментальные карты (Mind maps) - это разработка Тони Бьюзена - известного писателя, лектора и консультанта по вопросам интеллекта, психологии обучения и проблем мышления. Ментальные карты позволяют визуализировать ситуацию и более системно подойти к решению, стоящих перед нами задач!
Биография Тони Бьюзена.
      Бьюзен родился в Лондоне, он является выпускником средней школы Китсилано. В 1964 году Тони получил двойной диплом с отличием в области психологии, английского языка, математики и общих наук в Университете Британской Колумбии.
Тони Бьюзен создал свое собственное программное обеспечение для поддержки создания «карт ума» под названием iMindMap в декабре 2006 года.
Его книги !

Правила составления интеллект- карт.
Правила составления ментальных карт (интеллект-карт)
Центральный образ (символизирующий основную идею) рисуется в центре листа
От центрального образа отходят ветки первого уровня, на которых пишутся слова ассоциирующиеся с ключевыми понятиями, раскрывающими центральную идею.
От веток первого уровня при необходимости отходят ветки 2 уровня разукрупнения, раскрывающие идеи написанные на ветках 1-го уровня.
По возможности используем максимальное количество цветов, для рисования карты.
Везде, где возможно, добавляем рисунки, символы, и другую графику, ассоциирующиеся с ключевыми словами.
При необходимости рисуем стрелки, соединяющие разные понятия на разных ветках.
Для большей понятности нумеруем ветки и добавляем ореолы.

Применение ментальных карт
Спектр применения интеллект-карт обширный. Они помогают решать такие задачи, как проведение презентаций, принятие решений, планирование своего времени, запоминание больших объемов информации, проведение мозговых штурмов, самоанализ, разработка сложных проектов, собственное обучение, развитие и многие другие.

Ментальные карты еще по другому называются:
    картами ума,
    интеллект-картами,
    картами знаний,
     мыслительными картами,
     картами структурирования информации,
     картами головы.

Пример ментальной карты понятия «Презентация»
Например:
Мозговой штурм:генерация новых идей, творчество;коллективное решение сложных задач.
Принятие решений:четкое видение всех «за» и «против»;более взвешенное и продуманное решение.

Этапы работы с ММ
Создание
Воссоздание с целью повторения
Сравнение с
оригиналом

Для того, чтобы карта отложилась в долговременной памяти необходимо ее  повторить несколько раз.
По Тони Бьюзену: после одного часа учебной работы оптимальными интервалами времени для повторения пройденного материала являются следующие:
Спустя 10 минут – повторение в течение 10 минут
Спустя 1 сутки – повторение в течение 2-4 минут
Спустя 1 неделю – повторение в течение 2 минут
Спустя 1 месяц – повторение в течение 2 минут
Спустя 3 месяца – повторение в течение 2 минут
Спустя 6 месяцев – повторение в течение 2 минут
Спустя 1 год – повторение в течение 2 минут
В результате усвоенный материал окажется закрепленным в долговременной памяти.
Повторение подразумевает, что вы пробуете
по памяти воссоздать карту,  и лишь потом сравниваете то, что вы вспомнили с оригиналом.

Вывод::
	Первое знакомство с ментальными картами у нас произошло и мы поняли, что это очень полезное  изобретение, пользоваться которым нам ещё стоит поучиться. Кроме рисованных ментальных карт, есть ещё составляемые с помощью специальных компьютерных программ с одной из них мы «шапочно» познакомились.  Думаем, что эту работу стоит продолжить.
Используемые источники.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8C%D1%8E%D0%B7%D0%B5%D0%BD,_%D0%A2%D0%BE%D0%BD%D0%B8
http://go.mail.ru/search?q=%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0

http://go.mail.ru/search?q=%D1%84%D0%BE%D1%82%D0%BE+%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B8+%D0%B1%D1%8C%D1%8E%D0%B7%D0%B5%D0%BD%
Спасибо
 за внимание!


Скачать презентацию или конспект Длина окружности


title: Скачать презентацию или конспект СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ВАРИАЦИЯ

extracted_text:
Средние величины и показатели вариации

Понятие средней величины
Средняя величина
Обобщающий показатель, который дает количественную характеристику признака в статистической совокупности в условиях конкретного время и места
Условия правильного применения средней величины

Средняя величина должна исчисляться лишь для совокупностей, состоящих из однородных единиц

Совокупность, неоднородную в качественном отношении, необходимо разделять на однородные группы и вычислять  для них групповые типичные средние, характеризующие каждую из этих групп. В этом проявляется связь между методами группировок и средних величин
Средняя величина сглаживает индивидуальные значения и тем самым может элиминировать различные тенденции в развитии, скрыть передовое и отстающее, поэтому кроме средней величины следует исчислять другие показатели
Среднюю величину целесообразно исчислять не для отдельных единичных фактов, взятых изолированно друг от друга, а для совокупности фактов
Виды средних величин

Степенные
Структурные
Гармоническая
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая
Биквадратическая
Мода
Медиана
Квартили
Децили
Квинтили
Перцентили

Средняя степенная простая

где К – показатель степени Применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности один или одинаковое число раз
Средняя степенная взвешенная

где fi – показатель повторяемости вариант (веса, частоты). Применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности не одинаковое число раз, т.е. по сгруппированным данным.

К=-1;				илигде ω=xi*fi	Средняя гармоническая применяется в случае, если известны варьирующие обратные  значения признака.
Средняя гармоническая
К=0;                    или		Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения
Средняя геометрическая
К=1;                    или		Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака отдельных ее единиц.
Средняя арифметическая
К=2;или
Средняя квадратическая
К=3;			   или
Средняя кубическая
К=4;или
Средняя биквадратическая
Для одной и той же совокупности существуют строго определенные соотношения между разными видами средних. Эти соотношения называют правилом мажорантности средних.
Правило мажорантности средних
При исчислении средней величины в вариационном ряду с равными интервалами часто используется способ моментов
Способ моментов
где m1 – величина момента первого порядка;      i – величина интервала;     А – центральная варианта ряда (условный 0)

Понятие моды
Мода
Величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности.
В вариационном дискретном ряду модой выступает варианта, имеющая наибольшую частоту
Понятие медианы
Медиана
варианта, которая находится в середине вариационного ряда. 	Медина делит ряд пополам, по обе стороны от нее (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц совокупности.

- это
	В интервальных рядах с равными интервалами мода вычисляется по формулегде X0 – минимальная граница модального интервала;      i – величина модального интервала;      fm – частота модального интервала;      fm-1 – частота интервала, предшествующего модальному;      fm+1 – частота интервала, следующего за модальным;	Модальный интервал в интервальном ряду определяется по наибольшей частоте.
Мода
	В дискретном вариационном ряду определение медианного значения признака сводится к определению номера медианной единицы рядагде n – объем совокупности.	Полученное значение показывает, где точно находится номер медианной единицы (номер середины ряда). Медианное значение характеризуется тем, что его кумулятивная частота равна половине суммы всех частот или превышает ее.
Медиана
	В интервальных рядах с равными интервалами медиана исчисляется по формулегде X0 – начальное значение медианного интервала;      i – величина медианного интервала;      Σf – сумма частот ряда;      Sm-1 – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующего медианному;      fm – частота медианного интервала.	Для определения медианного интервала необходимо рассчитать сумму накопленных частот. Медианный интервал характерен тем, что его кумулятивная частота равна полусумме всех частот ряда или превышает ее.
Медиана
	Значения признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равные части.	Различают нижний квартиль (Q1), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и верхний квартиль (Q3), отсекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака.	Средний квартиль (Q2) совпадает с медианой (Me).Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы
Квартили
					  ;где XQ1 (XQ3) – нижняя граница интервала, содержащего нижний (верхний) квартиль;      i – величина интервала;      SQ1-1 (SQ3-1) – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащий нижний (верхний) квартиль ;     fQ1(fQ3) – частота интервала, содержащего нижний (верхний) квартиль.
Квартили
	Варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей; они вычисляются по той же схеме, что и квартили:
Децили
- это
Понятие квинтилей и перцентилей
Квинтили
значения признака, делящие ряд на 5 равных частей.
Они вычисляются по той же схеме, что и квартили и децили.
- это
Перцентили
Значение признака, делящий ряд на 100 равных частей.
Понятие вариации
Вариация
колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у отдельных единиц совокупности.
- это
Показатели вариации

Абсолютные
Относительные
размах вариации
среднее линейное отклонение
дисперсия
среднее квадратическое отклонение
коэффициент вариации
коэффициент осцилляции
линейный коэффициент вариации

Размах вариации
Характеристика границ вариации изучаемого признака. Определяется по формуле
R= Xmax –Xmin ,
где Xmax- максимальное значение варьирующего признака;
	Xmin- минимальное значение варьирующего признака.
Показывает, сколь велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака, основан на крайних значениях варьирующего признака и не отражает отклонений всех вариант в ряду.
Дисперсия
Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средних величин. Вычисляется по следующим формулам:
1-й способ:

				      или

где Xi – индивидуальное значение варьирующего признака (варианты);
		- среднее значение варьирующего признака;
	n – количество разновидностей вариант;
	fi -  показатель повторяемости вариант (частоты, веса).
где       – средняя из квадратов индивидуальных значений;            –   квадрат средней величины признака.
2-ой способ определения дисперсии
3-й способ определения дисперсии - метод моментов
где m1 – величина момента первого порядка;      i – величина интервала в интервальном ряду;      m2 – величина момента второго порядка:
Обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности определяется по формуле
Среднее квадратическое отклонение
Показывает, на какую величину в среднем значение признака отличается от стандартного значения, и выражается в тех же единицах, что и признак.
Среднее линейное отклонение
Показывает на какую величину отклоняется признак в изучаемой совокупности от средней величины признака:

Показатель рассчитывается по модулю.
Коэффициент вариации
Характеристика меры вариации значений признака вокруг средней величины:

Чем этот показатель меньше, тем однороднее совокупность, а средняя величина признака типична для данной совокупности. Чем коэффициент вариации больше, тем неоднороднее совокупность.

Линейный коэффициент вариации и коэффициент осцилляции
Линейный коэффициент вариации:

Коэффициент осцилляции:

Математические свойства дисперсии
Свойство минимальности дисперсии
Свойство минималь-ности дисперсии
дисперсия средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин.
- это

Понятие альтернативного признака
признак, которым обладают одни единицы и не обладают другие единицы совокупности
Альтернативный признак

так как

Средняя и дисперсия альтернативного признака

Среднее значение
Дисперсия

p – доля единиц, обладающих признаком, в численности всей совокупности;q – доля единиц совокупности, не обладающих этим признаком.
Общая дисперсия

				или

характеризует вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию

Межгрупповая дисперсия
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Закон сложения (разложения) дисперсий
Характеризует вариацию изучаемого признака под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки:
Межгрупповая дисперсия
где       - общая средняя;            - средняя i - группы;        fi – частота i - ой группы.
Отражает случайную вариацию, обусловленную неучтенными факторами и не зависящую от признака-фактора, положенного в снование группировки
Средняя из внутригрупповых дисперсий
где       					- внутригрупповая дисперсия i – ой группы
Эмпирическое корреляционное отношение
Эмпирическое
корреляционное
отношение
и характеризует влияние признака, положенного в основание группировки. Если η=0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если η=1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.
изменяется в пределах
[0,1]
Шкала значений эмпирического корреляционного отношения
Эмпирическое корреляционное отношение может быть только положительным. Качественная интерпретация показателя осуществляется посредством шкалы Чэддока
Эмпирический коэффициент детерминации
Эмпирический коэффициент детерминации
показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака


title: Скачать презентацию или конспект Число ноль

extracted_text:
Братищев Илья
9-а класс
2010 год
26.01.2017
1
http://aida.ucoz.ru
Число ноль
Цифра вроде буквы О –
    Это нуль, иль ничего,
    Круглый нуль
           такой хорошенький,
    Но не значит ничегошеньки!
    Если ж слева рядом с ним
    Единицу примостим,
    Он побольше станет весить,
    Потому что это –

десять
0 (ноль, нуль от лат. nullus — никакой) — число, обозначающее точку на числовой прямой, слева от которой все числа отрицательные, а справа - положительные
В Вавилоне (современный Ирак) ученые изобрели число ноль в 4 веке до нашей эры. Но их изобретение не получило широкого распространения, потому что их математический аппарат базировался не на десятичной, а на 60-ричной системе счисления. Иными словами, в их математике было не 10, а 60 цифр. Зато из их математики мы взяли принципы учета времени — 60 минут по 60 секунд составляют 1 час.
Происхождение числа
В доколумбовой Америке индейцы Майя также пришли к понятию числа ноль, произошло это примерно в 5 веке нашей эры. Но так как их цивилизация была закрыта для посторонних и территориально обособлена, а впоследствии попросту исчезла, это изобретение снова было потеряно.
Только в 6 веке нашей эры в Индии также изобрели число ноль, после чего разработали позиционную систему счисления. Эта система была перенята арабами, которые называли цифры «индийскими знаками». В период до 10 века их отображение немного изменилось, прийдя к привычным нам цифрам 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Европа же получила эти цифры уже от арабов, и мы пользуемся нашей системой счисления благодаря им, называя цифры арабскими.
Ноль — это нейтральный элемент для операции сложения. Умножение любого элемента множества на ноль дает ноль. Ноль не изменяет значения числа при прибавлении к нему. Деление на ноль невозможно, так как приводит к противоречию, — исходя из определения Деления, произведение делителя и частного должно давать делимое.
Обычно имеют в виду действительный ноль, то есть ноль в контексте множества действительных чисел; комплексный ноль; ноль-многочлен; ноль-вектор.
Действительный ноль является границей между областью положительных и областью отрицательных чисел. Ноль не имеет знака. Иногда множество действительных чисел разделяют на три подмножества: положительные, отрицательные и беззнаковые числа. При этом беззнаковые числа --- множество, состоящее лишь из ноля. Множество беззнаковых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.
Напрасно  думают  что  ноль  играет  маленькую  роль!

Ноль как натуральное число
Существуют два подхода к определению натуральных чисел, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам.
Нулевое число Фибоначчи, нулевое число Мерсенна, нулевое треугольное число и т. д.
а в степени 0=1, если а не равно 0
0 является целым числом и делится на все натуральные числа.
0! (ноль факториал) определяется как 1.

В математике
Абсолютный ноль температуры.
В науке
ASCII-код управляющего символа NUL
Музыкальный интервал прима охватывает 0 ступеней
Нулевого года в юлианском и григорианском календаре не было.
−0 и +0 — фиктивные понятия в математическом анализе.
Машинный ноль
Отрицательное число
Беззнаковое число
В других областях
Крылатые выражения
Ноль без палочки (прост.). Ничего не стоящий, не значащий человек.
Ноль внимания (прост.). Полное равнодушие, безразличие со стороны кого-либо к кому-либо или чему-либо.
Абсолютный нуль, круглый ноль. Человек ничтожный, совершенно бесполезный в каком-либо деле.
Сводить к нулю, свести к нулю. Лишать всякого смысла, значения. (сравн. "сводить на нет").

http://ru.wikipedia.org/wiki/Ноль_(число)
http://aida.ucoz.ru/publ/5-1-0-21
http://www.genialnee.net/themes/chisla/
Картинки использованные в презентации с сайта http://www.google.ru
Информационные ресурсы

Спасибо
 за
внимание!!!
26.01.2017
15
http://aida.ucoz.ru


Скачать презентацию или конспект Полет на планету математика


title: Скачать презентацию или конспект Лабиринты

extracted_text:
ЛАБИРИНТЫ

Автор работы:
Тихонова Кристина Сергеевна
 ученица  11А класса
МОУ СОШ №1Г.Московский

Руководитель:  учитель
математики и информатики
Левченко Светлана Петровна

Цели проекта:
1. Ознакомление с  историей возникновения лабиринтов.

2. Рассмотрение различных видов лабиринтов.

3. Исследование методов прохождения лабиринтов.

4. Рассмотрение лабиринтов в жизни человек

~ЛАБИРИНТЫ~
Что такое лабиринт?
Лабири́нт (др.-греч. λαβύρινθος) — название, обозначавшее у древних греков и римлян сооружение, занимающее более или менее обширное пространство и состоящее из многочисленных залов, камер, дворов и переходов, расположенных по столь сложному и запутанному плану, что незнакомый близко с его устройством легко может заблудиться в нём и не найти из него выхода.
Первый рассказ о лабиринте находим в "Истории" древнегреческого историка и путешественника Геродота (ок. 484-425 до н. э.), где описана история создания огромного Фаюмского лабиринта на севере Египта. В III в. до н. э. греки составили список грандиознейших сооружений - "семи чудес света" - и включили в него знаменитый лабиринт.
На севере нашей страны - на Кольском полуострове, Соловецких островах, в Карелии на побережье Белого моря, а также в Англии, Дании, Германии, Швеции, Норвегии и Финляндии открыли более ста лабиринтов - подковообразных, круглоспиральных, почкообразных и концентрически круговых. На рисунке изображены:
I. Подковообразные лабиринты - лабиринты так называемого "классического типа": (1), Швеция; (2), Финляндия; (3), Англия; (4), Карельский полуостров, СССР. К этой группе относятся дерново-растительные лабиринты: (5), Англия; (6-8), Соловецкие острова; (9), ГДР. В центре таких сооружений непременно помещалась каменная пирамидка.
II. Круглоспиральные лабиринты: (10), (13), Соловецкие острова; (11), Греция; (12), Югославия; (14), Англия.

III. Почкообразные лабиринты - взаимно вписанные спирали: (15), Соловецкие острова; (16), (17), Кольский полуостров.
IV. Концентрически-круговые лабиринты: (18), Кольский полуостров; (19), (20), Соловецкие острова.
На этом же рисунке представлены аналоги каменных лабиринтов: (21), подковообразный лабиринт на кносских серебряных монетах III-I вв. до н. э.; (22), лабиринт в одном из соборов на территории Финляндии; (23), лабиринт на северорусском скальне, Архангельская область.

В чем их загадка?
Лабиринты бывают разные. В одних извилистые дорожки сообщаются между собой и ведут к единому центру. В других - наряду с проходами могут быть и тупики, и для идущего по нему задача состоит в том, чтобы, минуя тупики, найти выход в противоположном конце лабиринта.

Лабиринты могут запутывать, пугать и даже доводить до отчаяния тех, кто в них попадает. Кроме того, древние лабиринты имеют тесную связь с суеверными традициями и поверьями.
Египетский лабиринт
	Что было самой выдающейся постройкой египтян? По словам некоторых писателей, это были не пирамиды, как полагает большинство, а огромный лабиринт. Он был построен рядом с озером Мойрис, известным сегодня как озеро Биркет-Карун, расположенным к западу от реки Нил - в 80 километрах к югу от современного города Каира. 	Лабиринт был построен на заре египетской истории. В нем было 3000 помещений, поровну поделенных между подземным и надземным этажами. Лабиринт занимал пространство общей площадью 70 тысяч квадратных метров. Сложная система коридоров, дворов, комнат и колоннад была такой запутанной, что без проводника посторонний человек никогда не смог бы найти в нем дорогу или выход. Большей частью лабиринт был погружен в абсолютный мрак, а когда открывали некоторые двери, то они издавали ужасный звук, похожий на раскаты грома. После падения Египетской мировой державы впечатляющие колонны красного гранита, огромные каменные плиты и отполированный известняк были украдены и использованы для строительства других построек.
	Хотя есть сведения, что лабиринт был центром, из которого цари управляли страной, но, главным образом, он служил религиозным целям. Это был храмовый комплекс, в котором приносились жертвы всем богам Египта. Посетителям не разрешалось осматривать подземные помещения лабиринта, в которых находились гробницы царей, а также гробницы священных крокодилов.
	Связь лабиринта с мифами лучше всего понимаешь, когда знакомишься с религиозными ритуалами, посвященными египетскому богу Осирису, который, по представлениям древних египтян, когда-то был царем Египта. В первоначальном египетском мифе об Осирисе говорится о силах, угрожавших жизни бога-царя как на земле, так и в загробном мире. Считалось, что лабиринт с его запутанной системой переходов защищал бога-царя в этой и в следующей жизни от врагов и даже от самой смерти.

Критский лабиринт
	Лабиринт в Кносе на острове Крит, очевидно, был построен после египетского лабиринта. Хотя его местонахождение до сих пор не определено, согласно сообщениям, он был похож на египетский образец, только его размеры были намного меньше (В I веке нашей эры римский ученый Плиний заметил, что жители Крита построили свой лабиринт в одну сотую величины египетского лабиринта). Слово "лабиринт", вероятно, связано со словом лабрис, которым называли двусторонний топор, символизировавший два рога священного быка. Поклонение этому быку было частью минойской (критской) религии, находившейся под сильным влиянием мифологии.
	Критский лабиринт был известен в мифологии тем, что считался жилищем Минотавра - мифического человека с головой быка. Согласно мифу, Пасифая, жена Миноса, царя Крита, родила это существо; его назвали Минотавром, что означает "бык Миноса". Согласно мифу, Афины потерпели поражение в войне с Критом и каждые 9 лет афиняне должны были посылать 7 девушек и 7 юношей на Крит, чтобы там их приносили в жертву Минотавру. Этих молодых людей отправляли в лабиринт, и, как предполагалось, там их съедал Минотавр.

	Но однажды юноша по имени Тесей осмелился войти в лабиринт с целью покончить с этим чудовищем. Согласно мифу, столкнувшись с Минотавром, Тесей убил его своим мечом. Он выбрался из лабиринта благодаря золотой нити, которую юноша тянул за собой от самого входа. Эту нить ему дала Ариадна, дочь царя Миноса.
	Майкл Эртон, который предложил свою модель критского лабиринта, пишет: "Жизнь каждого человека - лабиринт, в центре которого находится смерть, прежде чем окончательно перестать существовать, человек проходит последний лабиринт". В свете такого понимания мифологическое избавление Тесея из лабиринта символизировало его второе рождение, избавление от смерти.

                      Лабиринт в Китае
	Крупнейший и древнейший в мире лабиринт подземных пещер в Гуанси-Чжуанском автономном районе (ГЧАР) на Юго-Западе КНР.. Пещерный лабиринт находится в уезде Лэе в 460 Особый интерес вызывают протекающие через пещерный лабиринт подземные реки и их обитатели, - слепые рыбы, а также крабы и другие ракообразные. Кроме того, в пещерах живут летучие мыши различных видов. Пещерный лабиринт образовался около 65 миллионов лет назад в результате систематического подмыва поверхностными водами сводов подземных пустот. Общая площадь подземных пещер превышает 10 тыс. кв. м. Самая большая и глубокая пещера лабиринта, Дашивэй, достигает глубины 613 м, ее площадь - 420 кв. м. Пещерные лабиринты, относящиеся к той же геологической эпохе, помимо Китая, открыты также в Мексике и Папуа-Новой Гвинее
Лабиринты Беломорья
Лабиринты есть во всех частях света у народов, стоящих на самых разных ступенях исторического развития - от каменного века до современности. Особое место в этой многоликой картине занимают каменные лабиринты Северной Европы, известные в Англии, Эстонии, Швеции, Норвегии, Финляндии, Северной России на побережьях Балтийского, Баренцева и Белого морей. Общее число северных лабиринтов превышает 500, из них в Швеции находится около 300, Финляндии - примерно 140, России - около 50, Норвегии - 20, Эстонии - 10, Англии - отдельные лабиринты.

Все северные лабиринты сложены из некрупных камней, имеют в плане вид овала, а внутри затейливые ходы, ведущие к центру сооружения. Все исследователи отмечают связь лабиринтов с морским побережьем и островами, местами активной рыбной ловли.
Методы прохождения
	1. Метод проб и ошибок. Выбираете любой путь, а если он заводит вас в тупик, то возвращаетесь назад и идете другим путем.

	2. Метод зачеркивания тупиков. Последовательно зачеркиваете тупики, т.е. маршруты, не имеющие ответвлений и заканчивающиеся перегородкой. Незачеркнутая часть коридоров  оказывается маршрутом к выходу.

	3. Правило одной руки. Оно состоит в том, что по лабиринту надо двигаться, не отрывая одной руки(правой или левой) от стены. Это правило не универсальное, но часто бывает полезным. Его используют, когда все стены хотя и имеют сложные повороты и изгибы, но составляют непрерывное продолжение наружной стены. Лабиринты не должны содержать замкнутых маршрутов.
Сквозь лики мира
Вот уже более 25 столетий миф о Тесее (Тезее) и Ариадне вдохновляет художников, писателей, поэтов, драматургов и архитекторов.

Мозаиками в форме лабиринтов украшены полы многих средневековых соборов Европы, например

                  Шартрского,                           Сиенского,                 святого Квентина и других.

В Англии знаменитым архитектурным лабиринтом была беседка Розамунды.
К началу нового времени вошли в моду парковые лабиринты из кустов, деревьев или решеток. О таких лабиринтах упоминается в пьесах английского драматурга У. Шекспира (1564-1616).

Самый знаменитый и существующий до сих пор кустарниковый лабиринт был сооружен в 1690 году при дворе Вильгельма Оранского в Хэмптон-Корте.

Лабиринт как культовый танец.
	Лабиринт также связывается и с орхестрой для танцев в Кносском дворце с нанесенными на ней лабиринтными линиями (Минотавр - Астерий - Звездный - линии лабиринта - линии Звезд, линии судьбы. Танцуя следуешь звездам), облегчавшими танцорам проявить их искусство. "...тот же Дедал научил Тезея и его спутников священному танцу, исполнявшемуся по расходящимся и круговым линиям, что имитировало странствование в лабиринте и освобождение после убийства Минотавра"(8). В текстах есть упоминание об этом танце, названного делосцами "журавль" (геранос). "Те, кто на Крите избег ревущего дикого сына Пасифаи и мест извивного вкось Лабиринта, вкруг, владыка, твоих алтарей под звуки кифары танец вели круговой, и Тезей дирижировал хором."(9) [Calli, Hymn IV, 310-315] Надо полагать, что "танец журавля" - психофизиологическая подготовка происхождения Лабиринта. Пройти ловушки Лабиринта мог только человек достаточно хорошо владеющий своим телом и психикой. "Танец журавля", как алгоритм Лабиринта, также должен иметь троичную структуру - Аид-Земля-Небо. Создать и обучить танцу мог только Дедал - искусный мастер-наставник.
     Лабиринты в искусстве
Лабиринты в христианской традиции
Лабиринты в поэзии
В лабиринте

О ужас, эти каменные сети
И Зевсу не распутать. Изможденный,
Бреду сквозь лабиринт. Я осужденный.
На бесконечно-длинном парапете
Застыла пыль. Прямые галереи,
Измеренные долгими шагами,
Секретными свиваются кругами
Вокруг истекших лет. Хочу быстрей
Идти, но только падаю. И снова
Мне чудятся в сгущающемся мраке
То жуткие светящиеся зрачки,
То рев звериный. Или эхо рева.
Иду. За поворотом, в отдаленье,
Быть может, затаился наготове
Тот, кто так долго жаждал свежей крови.
Я столь же долго жажду избавленья.
Мы оба ищем встречи. Как и прежде,
Я верю этой меркнущей надежде.

                                                            Хорхе Луис Борхес
                                                                     (перевод с испанского В. Алексеева)
Лабиринт

Мир - лабиринт. Ни выхода, ни входа,
Ни центра нет в чудовищном застенке.
Ты здесь бредешь сквозь узкие простенки
На ощупь, в темноте - и нет исхода.
Напрасно ждешь, что путь твой сам собою,
Когда он вновь заставит сделать выбор,
Который вновь заставит сделать выбор,
Закончится. Ты осужден судьбою.
Вдоль бесконечных каменных отростков
Двуногий бык, роняя клочья пены,
Чей вид приводит в ужас эти стены,
Как ты, блуждает в чаще перекрестков.
Бреду сквозь лабиринт, уже не веря,
Что повстречаю в нем хотя бы зверя.

Лабиринт замка Во-ле-Виконт во Франции

           Рейньяк-сюр-Индр (Франция)
Лабиринтология в жизни
	Лабиринтология используется психологами для изучения поведенческих реакций человека и животных. Муравьи после короткого обучения легко преодолевают лабиринт с 10 разветвлениями (очевидно потому, что любой муравейник - объемный лабиринт...). Несколько медленнее и с большим количеством проб и ошибок работают люди.
	Отметим еще одно важное  свойство лабиринта: с его помощью был найден метод изучения поисковой деятельности живых организмов, животных. В естественной среде животные часто вынуждены преодолевать всевозможные препятствия и запоминать сложные пути. Опыты показали, что животные сначала медленно разведывали, изучали лабиринт, затем преодолевали маршрут все быстрее ,наконец, наступал момент, когда они автоматически преодолевали весь путь. 	Таким образом, лабиринты оказались средством для изучения сложных механизмов памяти, а также поведения животных в различных ситуациях.

	"Большие лабиринты" используются в авиации, при подготовке космонавтов и в других случаях, требующих концентрации внимания. Большой лабиринт" - тренажер для развития внимания и терпения .
	Лабиринты используют и разработчики вычислительных машин. Один из первых самообучающихся роботов получил имя "Тесей".
	Конструкторы ЭВМ рассматривают роботов, умеющих находить дорогу в лабиринтах, как составную часть программы создания самообучающихся машин, то есть машин, способных, подобно живым организмам, извлекать ценную для себя информацию из опыта.
	Модели лабиринтов как неупорядоченных структур пространства нашли многочисленные применения в технике.
Математика помогает и под землей. Спелеолог, попадая в сложный лабиринт, использует метод проб и ошибок, здесь не зазорно использовать "нить Ариадны", не забывая только сматывать ее на обратном пути, чтобы не разводить плесень.	В XX столетии мотив лабиринта используется в рекламе, компьютерных играх и фильмах. Таким образом, лабиринт совершил полный оборот - от бронзового века к веку компьютерному.

Список использованных информационных ресурсов:
1. Всё о лабиринтах
http://www.art-labirint.msk.ru/pages/about-labs.htm
2. «Пути и лабиринты. Очерки по истории математики» Даан-Дальмедико А.,Пейффер Ж.
3. «По следам Пифагора» Щ.Еленьский, изд-во «Детская литература», Москва,1971г.
4. «Математика, занятия школьного кружка», О.Шейнина, изд-во «НЦ ЭНАС», Москва, 2003 г.
5. «Увлекательная математика» И.Лейман, изд-во «Знание», Москва, 1985 г.