title: Скачать презентацию или конспект Зеркальная симметрия

extracted_text:
Лозовой Андрей

«Симметрия…есть идея, с помощью
 которой человек веками пытался
 объяснять и создавать порядок,
 красоту и  совершенство»
                                   (  Герман Вейль)
Зеркальная симметрия
Историческая справка
Симметрия - от греч. соизмеримость. В обиходе: соразмерность, правильное соотношение частей. В древности понятия симметрии не существовало; в частности, у Евклида не рассмотрены свойства симметрии квадрата, ромба, прямоугольника, параллелограмма и правильных тел. В "Элементах геометрии" Лежандра (1752-1833) впервые введено понятие симметрии (многогранников относительно плоскости).
Определение
Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости  точку М1.

ММ

м
М
М
М1
О
О
М
М
К
К



ОМ=ОМ1 ;   ММ1 
МК=М1К1

М1
К1
Фигуры, симметричные относительно плоскости
 Фигура симметрична относительно некоторой плоскости, если при симметрии относительно этой плоскости фигура переходит сама в себя. Такая плоскость называется плоскостью симметрии фигуры.

 цилиндр и конус симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их ось.
 сфера и шар симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их центр.

Симметрия в пирамиде
 Правильная n-угольная пирамида при четном числе граней симметрична относительно любой плоскости, проходящей через ее высоту и наибольшую диагональ основания.

Термин зеркальная симметрия употребляется также для описания соответствующего типа симметрии объекта, то есть, когда объект при операции отражения переходят в себя.Это математическое понятие описывает соотношение в оптике объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале, а также многие законы симметрии (в кристаллографии, химии, физике, биологии и т. д., а также в искусстве и искусствоведени

Зеркальная симметрия в архитектуре и природе
        Оптическое отражение в реке прибрежных      деревьев
        Отражение прибрежных зданий
Отражение
свечи в зеркале


title: Скачать презентацию или конспект Из жизни четырёхугольников

extracted_text:
Из жизни четырёхугольников
Урок обобщения и систематизации зун

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия.»

                                   Ле Корбюзье

Четырехугольником  называется  фигура,  состоящая из четырёх точек (никакие три не лежат на одной прямой) и четырёх отрезков, которые не пересекаются.

С
А
В

А,В,С,D — вершины,

АВ, ВD, CD, AC– стороны
                   четырехугольника
AD, BC     диагонали

D

в

Параллелограмм

Параллелограммом  называется
Четырехугольник, у которого  противолежащие   стороны  попарно параллельны
B
C
A
D
AB=CD, AB||CD

Прямоугольник

B
C
A
D

Прямоугольник– это  параллелограмм,  у  которого  все  углы  прямые
<А=<В=<С=<D=90°

AD=CB

Ромб

A
B
C
D

Ромбом   называется  параллелограмм , у  которого  все  стороны  равны
AB=BC=CD=AD
1. <AOB=<BOC=<COD=<DOA=90º
2. <ABO=<CBO=<CDO=<ADO
<BAO=<DAO=<DCO=<BCO

o

Квадрат

A
C
B
D

Квадрат - это  прямоугольник,  у  которого  все  стороны  равны

Трапеция

Трапецией—называется  четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

A
B
C
D
AB||CD
AB, CD– основания
                трапеции
AC  не  параллельна  BD
AC,  BD—боковые  стороны

        Четырёхугольники
 Квадрат
Прямоугольник
Ромб
Трапеция

Параллелограмм

практикум

30ْْ
30ْْ
30ْْ
30ْْ
30ْْ
30ْْ
30ْ
a
c
a = 1\2 c

6

                                       150ْ
A
B
C
D
N

                                      15см
              Сторона параллелограмма равна 15 см, высота
         параллелограмма , проведенная к ней - 6 см,
              а один из углов 150ْ.
             Найти периметр параллелограмма.

В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А делит
сторону ВС на отрезки 3 см и 5 см, начиная от
вершины В. Найти периметр прямоугольника.
 А
В
N
C
D
3
5

                      60ْ
5
Угол между диагональю и стороной ромба равен 60ْ, а половина этой диагонали равна 5 см. Найти периметр ромба.
Паркетчик вырезал квадраты из дерева и проверял свою работу, сравнивая длины их сторон. Если все четыре стороны были равны, то он считал квадрат вырезанным правильно. Надежна ли такая проверка?
Другой паркетчик проверял свою работу иначе. Он мерил не стороны квадрата, а их диагонали. Если обе диагонали оказывались равными, паркетчик считал квадрат, вырезанным правильно. Прав ли он в этом случае?
Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольника, пересекаясь, образуют квадрат.

мы
знаем

МЫ
умеем

мы
знаем

МЫ
умеем
РЕШИ ЗАДАЧУ

 Перпендикуляр, опушенный из вершины угла A прямоугольника ABCD на не проходящую через эту вершину диагональ, делит её в отношении 1:3 считая от вершины B. Диагональ прямоугольника
8 см. найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до A большей стороны.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
П.13-16(повторить) с.108 №1,2,5
Задача 1. Представьте, что в результате кораблекрушения вы попали на необитаемый остров. Чтобы где-то жить, нужно построить хижину. Для этого необходимо наметить на местности участок прямоугольной формы. У вас нет транспортира, чтобы отметить прямые углы, но есть четыре колышка и 3 веревки разной длины. С помощью этих предметов наметьте участок прямоугольной формы.


title: Скачать презентацию или конспект Две окружности

extracted_text:
Две окружности
а) не иметь общих точек;
Две окружности могут:
б) иметь только одну общую точку. В этом случае  окружности касаются к окружности. Общая точка называется точкой касания;
в) иметь две общие точки. В этом случае говорят, что окружности пересекаются.
Теорема 1
Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов или меньше их разности, то эти окружности не имеют общих точек.
Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1 + R2 < O1O2. Рассмотрим точку С на первой окружности, О1С = R1. Тогда O2C  O1O2 - O1C > R1 + R2 - R1 = R2 и, следовательно, точка С не принадлежит второй окружности. Значит, эти окружности не имеют общих точек. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 < R1- R2 (R1 > R2), то окружности также не имеют общих точек.
Теорема 2
Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме или разности их радиусов, то эти окружности касаются.
Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1+R2 = O1O2. Рассмотрим точку С на отрезке О1О2, для которой О1С = R1, O2C = R2. Она будет общей точкой для данных окружностей. Если D – точка на первой окружности, отличная от С, то из неравенства треугольника следует, что О2D > O1O2 - O1D = R1 + R2 - R1 = R2, следовательно, точка D не принадлежит второй окружности. Значит, данные окружности имеют только одну общую точку, т.е. касаются. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 = R1- R2 (R1 > R2), то окружности также касаются.
Теорема 3
Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей, то эти окружности пересекаются.
Вопрос 1
Сколько общих точек могут иметь две окружности?
Ответ: Ни одной, одну или две.
Вопрос 2
Какие две окружности называются касающимися?
Ответ: Две окружности называются касающимися, если они имеют только одну общую точку.
Вопрос 3
Какие две окружности называются пересекающимися?
Ответ: Две окружности называются пересекающимися, если они имеют две общие точки.
Вопрос 4
Какие окружности называются концентрическими?
Ответ: Окружности называются концентрическими, если они имеют общий центр.
Вопрос 5
В каком случае две окружности не имеют общих точек?
Ответ: Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов или меньше их разности.
Вопрос 6
В каком случае две окружности касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом?
Ответ: а) Если расстояние между их центрами равно сумме радиусов;
             б) если расстояние между их центрами равно разности радиусов.
Вопрос 7
В каком случае две окружности пересекаются?
Ответ: Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей.
Упражнение 1
Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см, от центра окружности. Найдите радиус окружности, касающейся данной и имеющей центр в точке А.
Ответ: 2 см.
Упражнение 2
Расстояние между центрами двух окружностей равно 5 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 2 см и 3 см; б) 2 см и 2 см?
Ответ: а) Касаются;
б) не имеют общих точек.
Упражнение 3
Расстояние между центрами двух окружностей равно 2 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 3 см и 5 см; б) 2 см и 5 см?
Ответ: а) Касаются;
б) не имеют общих точек.
Упражнение 4
Чему равно расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 4 см и 6 см, если окружности: а) касаются внешне; б) касаются внутренне?
Ответ: а) 10 см;
б) 4 см.
Упражнение 5
Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 3:7. Найдите диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 24 см.
Ответ: 36 см и 84 см.
Упражнение 6
Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся как 2:3. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между их центрами равно 10 см.
Ответ: 8 см и 12 см.
Упражнение 7
Две окружности касаются внутренним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если они относятся как 5:2, а расстояние между центрами равно 15 см.
Ответ: 25 см и 10 см.
Упражнение 8
Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наименьшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.
Упражнение 9
Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наибольшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.
Ответ: d + R1 + R2.
Упражнение 10
Расстояние между центрами двух окружностей равно d и меньше разности R1 – R2 их радиусов. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.
Ответ: R1 – R2 – d; R1 + R2 + d.
Упражнение 11
Могут ли попарно касаться друг друга: а) три окружности; б) четыре окружности; в) пять окружностей?
Ответ: а) Да;
в) нет.
Упражнение 12
Могут ли попарно касаться друг друга четыре окружности одинакового радиуса?
Ответ: Нет.
Упражнение 13
Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь а) две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности?
Ответ: а) 2;
б) 6;
Упражнение 14
На какое наибольшее число частей могут делить плоскость: а) одна окружность; б) две окружности; в) три окружности?
Ответ: а) 2;
б) 4;
Упражнение 15
Две окружности с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2 разбили плоскость на четыре области. Какой области принадлежит точка A, для которой выполняются неравенства:
а) AO1 < R1 и AO2 < R2;
б) AO1 < R1 и AO2 > R2;
в) AO1 > R1 и AO2 < R2;
г) AO1 > R1 и AO2 > R2;
Ответ: а) 1;
б) 2;
в) 3;
г) 4.
Упражнение 16
Три окружности разбили плоскость на восемь областей. Напишите неравенства, которым удовлетворяет точка A, принадлежащая области: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
Ответ:
а) AO1 < R1, AO2 < R2, AO3 < R3;
б) AO1 < R1, AO2 < R2, AO3 > R3;
в) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3 < R3;
г) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3 > R3.


title: Скачать презентацию или конспект Числа 1-5

extracted_text:
Числа 1-5
Математический диктант
Напишите число, следующее за числом 4.
Напишите число, предыдущее для числа 2.
Запишите число, которое стоит между 2 и 4.
Первое слагаемое 1, второе слагаемое 3. Чему равна сумма?
Число 4 увеличьте на 1.
Найдите разность чисел 5 и 3.
Я задумала число, из него вычла 2 и получила 3. Какое число я задумала?
Найдите сумму чисел 1 и 3.
Найдите часть, если целое равно 3, а вторая часть равна 2.
5
1
3
4
5
2
5
4
1
Установите закономерность
… 3  4  6  7 … …  …
12
9
10
1
«Заблудилось»  число
 1  2  4  5  3 6  7  8  9 10
Придумайте числовые выражения, значения которых равны 3.
Разбейте на части по размеру
М
+
Б
=
К
+
=

-
=

-

=

К
3
+
2
=
+
=
=
5
3
-
=
-

Фигуры из палочек
Из 8 палочек составьте 3 треугольника.

Задачи в стихах
Два щенка-баловника
Бегают, резвятся.
К шалунишкам два дружка
С громким лаем мчатся.
Вместе будет веселей.
Сколько же всего друзей?
4
Пять лодок было у причала.
Волна их весело качала.
Три лодки взяли рыбаки,
Чтоб переплыть простор реки.
А сколько лодок у причала
Волна по-прежнему качала?
2
Крэкс-пэкс-фэкс!
И вот мы в стране чисел!
Задания подготовлены по книге  «Устные упражнения на уроках математики. 1 класс» (авт. Л.Г. Петерсон, И.Г. Липатникова)Презентация выполнена Галановой Е.В., учителем начальных классов ГОУ школы №328 Санкт-Петербурга


title: Скачать презентацию или конспект Табличное умножение

extracted_text:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Ярцевская средняя общеобразовательная школа №4
Имени Героя Советского Союза О.А.Лосика
ТРЕНАЖЁР
Разработала: учитель начальных классов
                         Клюшина Елена Валентиновна
Табличное умножение
2
3
4
5
6
7
8
9
9 • 2
9 • 7
9 • 4
9 • 9
9 • 6
9 • 8
9 • 3
9 • 5
Молодцы!

8 • 4
8 • 6
8 • 9
8 • 7
8 • 5
8 • 2
8 • 8
8 • 3
Молодцы!

7 • 4
7 • 7
7 • 5
7 • 8
7 • 9
7 • 3
7 • 6
7 • 2
Молодцы!

6 • 3
6 • 7
6 • 4
6 • 9
6 • 2
6 • 8
6 • 5
6 • 6
Молодцы!

5 • 2
5 • 7
5 • 9
5 • 3
5 • 8
5 • 4
5 • 5
5 • 6
Молодцы!

4 • 4
4 • 7
4 • 2
4 • 9
4 • 5
4 • 3
4 • 8
4 • 6
Молодцы!

3 • 3
3 • 5
3 • 8
3 • 2
3 • 4
3 • 6
3 • 9
3 • 7
Молодцы!

2 • 7
2 • 3
2 • 9
2 • 4
2 • 5
2 • 8
2 • 2
2 • 6
Молодцы!


title: Скачать презентацию или конспект Все действия с натуральными числами".

extracted_text:
Все действия с натуральными числами.Устная работа 5 класс
Ответ: Сумма
Сложение 10
Как называется результат сложения?
    ответ:  перестановки слагаемых

Сложение 20
Сумма не изменится от ….

Сложение 30
Если к числу а прибавить это число, то сумма станет равной а. Найдите это число.
Ответ: Число 0

 ответ: увеличится на 20
Сложение 40
Если оба слагаемых увеличить на 10, то сумма …..
 ответ: увеличится на 20
Ответ : не изменится
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое уменьшить на столько же единиц, то сумма…
Сложение 50
Ответ : не изменится
Вычитание 10
Как называется число :
-  из которого вычитают;
которое вычитают;
результат вычитания.
 ответ: -Уменьшаемое;
-вычитаемое;
разность
Разность двух чисел показывает на сколько первое число……
Вычитание 20
 ответ:  больше второго
Чтобы из числа вычесть сумму,
надо из числа…
Вычитание 30
 ответ:   вычесть каждое слагаемое
Вычитание 30
Если уменьшаемое увеличить на п единиц, то разность ……..
 ответ:  увеличится на п единиц
Вычитание 40
Вычитание 50
Если вычитаемое уменьшить на п единиц, то разность ……..
 ответ:  увеличится на п единиц
Ответ: 6х
Умножение 10
Сумму х + х + х + х + х +х можно записать с помощью произведения
Чтобы сумму умножит на число, надо каждое слагаемое …….
Ответ: умножить на это число и результаты сложить
Умножение 20
Свойство умножения  а∙(b∙c)=(a∙b)∙c
Называется…
Ответ: сочетательное
Умножение 30
Ответ : увеличиться в к раз
Умножение 40
Если один из множителей увеличить в к раз, то произведение …..
Ответ: один из множителей равен 0
Умножение 50
Произведение нескольких множителей равно 0, если….
Ответ : делимое;делитель;частное.
Деление  10
Число, которое делят, называют...
Число, на которое делят, называют…
Результат деления называют……
Деление  20
На какое число нельзя делить?
Ответ: 0
Ответ: 1
Деление  30
Число не изменится, если его поделить, именно на это число.
Деление  40
Чтобы разделить сумму на число, надо
Ответ: можно разделить каждое слагаемое на число и результаты сложить

Ответ : Только один из множителей поделить на это число и результат умножит на второй множитель

Деление  50
Чтобы произведение разделить на число, можно
1)4∙63∙25=                           2)24∙2∙50 – 7200 : 8 =     3)333 + (777 – 110)=          4)39∙418∙(321 – 321)=       5)55555 – (5500+55)=    6)150∙32 - 150∙22 =
7)308∙89 + 308∙11 =             8)1313 – (1013 – 45)=    9)(37∙22):11 =                        10)10000 : 5 – 125 ∙ 8 =      11)1210 :( 11∙ 5) =           12)100 : 20 ∙300 =
А	Д	И	Н	Ц	Ь	Ш	У	Х
74	22	1500	1000	6300	0	50000	345	30800
Терракотовая армия
7500
воинов
Мемфис – город в Египте, одна из древнейших столиц страны.
   Основан в начале 3 тысячелетия до н.э. на границе Верхнего и Нижнего Египта.
В эпоху Древнего царства город был столицей Египта и резиденцией фараона.

Кри́шна — одна из форм Бога в индуизме, один из наиболее популярных богов. (5 – 6 век до нашей эры). В индуистском искусстве Кришну изображают как мальчика-пастуха, играющего на флейте или как молодого воина-принца.


title: Скачать презентацию или конспект Задачи по математике для 4 класса

extracted_text:
Электронное  сопровождение заданий учебника математики
4 класса, часть 2 (автор Н. Б. Истомина)для фронтальной работы с интерактивной доской3-я четверть Нумерация заданий в электронном сопровождении совпадает с нумерацией заданий в учебнике математики  4 класса, часть 2

ДЕЙСТВИЯ С ВЕЛИЧИНАМИ

Задание 3. Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные равенства.
Задание 7. Запиши единицы, которыми пользовались при измерении величин.
Задание 13. Отметь  схему, соответствующую условию задачи.
Задание 15. Отметь разности, значения которых можно найти.
Задание 23.  Вставь пропущенные единицы величин и запиши верные равенства
Задание 47. Найди  правило, по которому составлена первая строка таблицы. Заполни таблицу по тому же правилу.
Задание 53. Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные равенства.
Задание 71. > или < ?
Задание 75. Сравни выражения, не вычисляя их значений.
Задание 97. Из 100 кг яблок при переработке получают 24 кг сухофруктов.
Используя эти данные, заполни таблицу.
Задание 98. Составь текст задачи, используя её решение.
Задание 101. Заполни таблицу, пользуясь условием задачи.

СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

Задание 136. Пешеход проходит расстояние 12 км за 4 ч.
Отметь схему, соответствующему данному условию, если отрезок АВ обозначает 12 км.
Задание 139. «Волга» проехала 180 км за 2 ч, а «Москвич» это же расстояние проехал за 3 ч. Скорость какой машины больше и на сколько?
Заполни таблицу, пользуясь условием задачи.

___________________________________________________
Задание 168. Сравни выражения, не вычисляя  их значений.
Задание 173. Сравни выражения, не вычисляя  их значений.
Задание 175. Отметь схему к данному условию.
Из гаража одновременно в одном направлении выехали две машины.

Задание 192. Мотоциклист за 6 ч проехал 480 км. За сколько часов он проедет 2880 км, двигаясь с той же скоростью?
Заполни таблицу, чтобы она соответствовала данной задаче.

Задание 196. Сравни выражения, не вычисляя их значений.
Задание 198. Из двух городов навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста и встретились через 4 часа. Скорость одного  15 км/ч, а скорость другого – 10 км/ч.

Отметь  схему, которая соответствует данному условию.
ТПО «Учимся решать задачи»
Задание 73.  Впиши пропущенные в задаче числа, используя данную схему.
ТПО «Учимся решать задачи»
Задание 76.  Впиши в текст задачи пропущенные  числа, используя её решение.
ТПО «Учимся решать задачи»
Задание 78.  а) Прочитай задачу.

                         б) Заполни таблицу.
ТПО «Учимся решать задачи»
Задание 84. а) Прочитай условие задачи.

                         б) Запиши, что обозначают выражения.
ТПО «Учимся решать задачи»
Задание 93. Используя решение задачи, впиши в её текст пропущенные слова и числа.

Задание 202. Скорость машины 2 км/мин. Какое расстояние она проедет за 3 ч?

Поясни, что обозначают выражения:
2 • 180                2) 120 • 3

Заполни таблицу, выразив величины в соответствующих
 наименованиях.

Задание 209.
Две моторные лодки отошли от пристани на озере одновременно в противоположных направлениях. Через 3 ч расстояние  между ними было 87 км. Найди скорость второй лодки, если скорость первой 14 км/ч.

Обозначь на схеме известные величины.


title: Скачать презентацию или конспект Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения

extracted_text:
Жанатаева Алина
9 «с»
Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения.
Диофантовы уравнения
Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых чисел, вошли в историю математики как диофантовы.
Диофантовы уравнения названы по имени последнего древнегреческого математика античности Диофанта Александрийского (III в.)

Биография Диофанта.
 Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э.
До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
 «Арифметика»
 «Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.
Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители
    Суть метода: сначала первоначальное уравнение путём группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число.
    Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения, затем решается система и выводится ответ.

Решить уравнение в целых числах с помощью разложения на множители.

Найти все пары натуральных чисел,    удовлетворяющих уравнению:
 Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида:
Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что
Получим две системы:

При решении данных систем получим: 1)                        2)
Ответ:
Использование свойств простых чисел
Решить в натуральных целых  числах :19х+89у=1989
1.    19х+89у=1989
       19х-1900=89-89у
       19(х-100)=89(1-у)

2.    (19;89) взаимно-простые, то равенство 19(х-100)=89(1-у)    возможно в  3 случаях
3.
        а)  х-100=89          b)  х-100=-89       c)   х-100=0
              1-у=19                   1-у=-19                 1-у=0

        a) х = нет               b)  х=11                c)  х=100
        решений                     у=20                     у=1
ОТВЕТ: (11;20), (100;1)

Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с последующим выделением целой части
 Решить уравнение в целых числах: х2-ху+5х-9=0.
              х2+5х-9                 9
y=                 = x+5-   x  , y Є Z.

9  Є  Z, если х= ±1, ±3, ±9.
       x
3 )  Следовательно:
а) х=-1, у=13      г) х=3, у=5
б) х=1, у=-3,       д) х=-9, у=-3
в) х=-3, у=5        е) х=9,  у=13

Ответ(-1;13);(1;-3);(-3;5);(3;5);(-9;-3);(9;13).

x

Учет четности, нечетности чисел.
Решить в целых числах уравнение: х3+у3-3ху=2
1)Если х, у нечетны   =>    х3-нечетное число
                                            у3-нечетное число
                                            3ху-нечетное число
=> Получаем: нечет+нечет-нечет  ≠ чет
2)Если х-четное, у-нечетное    =>  х3-четное число
                                                          у3-нечетное число
                                                          3ху-четное число
=> Получаем: чет+нечет-чет  ≠ чет
(аналогично, если х-нечетное, у-четное)
3)Если х-четное, у-четное, тогда пусть х=2m, y=2n
   8m3+8n3-12mn=2
   4(2m3+2n3-3mn)=2/:2
   2(2m3+2n3-3mn)=1/:2
    2m3+2n3-3mn= 0,5
 => невозможно ни при каких целых m и n
ОТВЕТ: решений нет
Учет четности, нечетности чисел.
Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах: х!+у!=10z+9 (x! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (x − 1) ⋅ x )
Решение:
Так как правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или x , или y меньше 2, т.е.=1
Пусть х!=1 =>y!=10z+8
 Правая часть последнего равенства не делится на 5 => y≤4 , но ни одно из целых чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения.
=>данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Учёт ограниченности выражений
 Решить уравнение в целых числах:
                     2(х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7
                     (х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7/2
РЕШЕНИЕ:
1.Заметим что:
            1) х4-2х2+3=х4-2х2+1+2=(х2-1)2+2≥2

           2)

 2.  =>   Значит левая часть ≥ 7.
 3.  => уравнение равносильно системе :

Откуда х =±1,у =

ОТВЕТ: уравнение не имеет решений в целых числах.

- 3

 -
+

Уравнения, решаемые с помощью представления левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых
Решить в целых числах уравнение:

  Решение:
Представим левую часть уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых.

Составим систему уравнений

 Т.к. х  и у не принадлежат Z => уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: нет решений

Учет свойств делимости.
 Решить в целых числах уравнение х3-100=225у
РЕШЕНИЕ:
Очевидно, что х3 должен быть кратен 5
Пусть х= 5z, z Є  Z, тогда 125z3-100=225y                                             =>  5z3-4=9y
Очевидно,что левая часть уравнения должна быть
кратна 9,т.е
a) z=3t                b) z=3t+1                            c) z=3t-1,x=5z =>
5(3t)3-4=9y         5(3t+1)3-4=9y                     5(3t-1)3-4=9y
135t3-4=9y          5(27t3+27t2+9t+1)-4=9       5(27t3-27t2+9t-1)-4=9y
                           135t3+135t2+45t+1=9y       135t3-135t2+45t-9=9y
                                                                        с)кратно 9
а) Не кратно 9    б)не кратно 9                    => х=15t-5,
                                                                       y=15t3-15t2+5t-1
ОТВЕТ: (15t-5; 15t3-15t2+5t-1), t Є  Z

Решить уравнение в целых числах: 7(х+у)=3(х2-ху+у2)
РЕШЕНИЕ:
Пусть х+у=р, х-у=q. =>,
Подставим в исходное уравнение:                                                             7р=                                                                                28p=3(p2+3q)
 Т.к. 28p=3(p2+3q), то p–неотрицательное и p кратно 3, т.е p=3k, k Є Z
Пусть p=3k, тогда получим                                                            28*3k=3((3k)2 +3q2);                                                                             28k=3(3k2 +q2).
Отсюда следует, что k кратно  3 => k=3m, m Є Z;
 Пусть k=3m, получим 28*3m=3(3(3m)2 + q2;
                                                 28m=27m2+q2 ;
                                                 m(28-27m)=q2;
так как q2≥0, то m=0, или m=1 (решаем неравенство m(28-27m) ≥0 c
помощью метода интервалов)
7.    а) При m=0, k=0 (т.к. k=3m), p=0 (т.к. p=3k), q=0(т.к. 28p=3(p2+3q)),
=> х=0, у=0 (т.к.                          )
      b)При m=1, k=3, p=9, q2=1(т.к. m(28-27m)=q2) =>
1)При q= 1, получаем х=5; у=4;                b) при q= -1, получаем х=4; у=5;
ОТВЕТ:(5:4);(4:5);(0:0)

Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Учебный проект по геометрии

extracted_text:
Учебный  проект по геометрии.

Геометрия приближает
 разум  к истине.
                       Платон
Автор: Захарова С.З., учитель математики МОУ «Средняя общеобразовательная школа №7»
Г.Каменск-Уральский
2007г.
ОБЪЁМ ЦИЛИНДРА

Творческое название проекта:
Пригласим
геометрию
в дом
     Методические задачи проекта:
формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, социально-бытовой;
приобретение навыков самостоятельной работы с большими объемами информации;
умение видеть проблему и наметить пути ее решения;
приобретение навыков экспериментальной работы.

   Дидактические цели:

 *  Формирование умения использовать формулу объёма цилиндра при решении практических задач;
 *  научить представлять результаты исследования с помощью информационных технологий.

   Основополагающий вопрос:
  Помогают ли знания геометрии  в жизни?
Участники проекта:
           ученики 11 класса,
                   учитель математики
Время проведения
            уроки геометрии по
            расписанию
Место проведения
          кабинет математики
Учебный план проекта
Урок № 1:
    *  Презентация проекта.
    *  Осознание проблемы и формулировка                        основополагающего вопроса.
    *  Выдвижение гипотез решения.
    *  Формулировка проблемных вопросов.
    *  Создание групп.
Урок № 2:
    *  Проведение эксперимента.
    *  Представление презентаций, буклета.
Урок № 2:
    *  Обсуждение результатов.
    *  Формулировка выводов.
    *  Оценка результатов.

 Экспериментальный этап
1 группа: Решить практическую задачу.

2 группа: Решить задачу и изучить терминологию по данной теме.

3 группа: Показать использование формулы объёма цилиндра при решении различных практических задач.
ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ:
Группа № 1:  создание презентации.

Группа № 2:   создание буклета.

Группа № 3:  составление кроссворда.

Задание для 1 группы

Рассчитать, выгодно ли экономически устанавливать счётчики воды в семье из четырёх человек?
Задание для 2 группы
Стог сена имеет форму цилиндра. Радиус его
основания 2,5 м, высота -4 м.
 Удельный вес сена 0,03.
Определить вес стога.
Задание для 3 группы
25 м медной проволоки весят 100,7 г. Найти диаметр проволоки. (удельный вес меди 8,9)
При постройке городского водопровода длиной 1 км были использованы трубы d=60см. Определить объём земли, подлежащей вывозу при прокладке водопровода.
Граната имеет форму цилиндра длиной 3,5 калибра и толщину стенок в 0,125 калибра. Определить в кубических сантиметрах объём взрывчатого вещества, наполняющего внутреннюю пустоту гранаты полевой пушки калибра в 76 мм.

Этапы и сроки проведения проекта
На выполнение проекта программой выделяется 3 часа  (большая часть выполняется за счет вне учебного времени)
Подготовительный этап:
«Мозговой штурм» (Выбор творческого названия проекта (совместно с учащимися) формирование тем исследований учеников) – 1 урок, 15 минут.
Обсуждение индивидуального плана работы учащихся, возможных источников информации- 1 урок, 10 минут.
Этапы обучения:
Консультации по выполнению самостоятельных исследований.
Проведение домашних экспериментов, наблюдений.
Заключительный этап:
Представление на защиту самостоятельных исследований (2 урок).
Обсуждение результатов проекта. Поощрение лучших работ.

Структура учебного проекта
Описание проекта
Примеры работ учащихся:
презентация
буклет
кроссворд
Критерии оценивания презентации, буклета, кроссворда.
 Дидактические материалы
План работы по проекту
Список использованных материалов


title: Скачать презентацию или конспект Виды симметрии

extracted_text:
ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ        СИММЕТРИЯ
Выполнила: Тиханова Дарья ученица средней школы номер 5
Определение
В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Действительно, по-гречески оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».
Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

AA1  a
AO = OA1
O
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.
Пример фигуры, обладающей осью симметрии:

Прямая а называется осью симметрии

а
Центральная симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

AO = OA1
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
Пример фигуры, обладающей центром симметрии:
Точка О называется центром симметрии
Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии.
а

а
Прямая а - ось симметрии
С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, природе, технике, быту.

а
Среди архитектурных сооружений фасады зданий и целые композиции обладают центральной и осевой симметрией
Обратите внимание на симметричность ансамбля Дворцовой площади
Михайловского дворца


title: Скачать презентацию или конспект Задачи на делимость натуральных чисел

extracted_text:
Задачи на делимость натуральных чисел
(по материалам ЕГЭ)

         Кретова Д.Н. МОУ «Лицей №47» г.Саратов
Задача 1. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).
   Для решения используем формулу нахождения числа (количества) делителей какого-либо числа :

    где y - количество делителей
    - показатель степени в разложении на простые
    множители-

1) Разложим число 42 на простые множители:
				42 = 2 · 3 · 7
2) Пусть А - некоторое число. Раз 42 – делитель числа А, то число А делится на 2, 3 и 7, значит разложение числа А на множители можно записать в виде:
                                          где Q - некоторое число
3) Применим формулу нахождения количества делителей какого-либо числа:
   где у = 42

Получим:

4) Заменим 42 на его разложение на простые множители:

5) Т.к. 42 раскладывается на 3 простых множителя, значит k = 3

5) Т.к. левая и правая части состоят из произведения одинакового числа простых множителей, тогда сами множители равны с точностью до порядка.
6) Найдем показатели степеней в разложении
        числа A:
7) Решив системы, получим, что

     Задача 2.
Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

 Решение
 Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11.
1) Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5.
        9+7+3+1=25 , 8+6+4+2+0=20 ,  25-20=5
2) Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 1, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.
   Ответ: Да.
     Задача 3.
Натуральные числа удовлетворяют условию ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?

Решение.
Выразим переменную а через остальные

    переменные из равенства             :            .

 Подставим этот результат в выражение

Заметим, что последняя дробь является целым числом (т.к. исходно мы преобразовали целое число a+b+c+d). Следовательно, числитель должен нацело делиться на знаменатель, или, иначе говоря, данную дробь можно сократить так, чтобы в знаменателе осталась единица. При сокращении этой дроби, часть делителей числа b (имеются в виду делители, присутствующие в каноническом представлении числа b) сократится с первой скобкой, оставшаяся часть – со второй. Предположим, что после сокращения от первой скобки осталось натуральное число m от второй натуральное число n.
    В этом случае можно утверждать, что

    (                           , аналогично – c n).

Следовательно, число a+b+c+d=mn, где m,n>1.
 Значит, это число не простое.
Ответ: это число не может быть простым.
     Задача 4.
Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.

Решение.
1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b имеем 13∙78=a∙b.
2. Разложим левую часть равенства на простые множители 13∙13∙2∙3=а∙b
3. Подбором находим искомые пары чисел a=13∙3=39 b=13∙2=26 или a=13∙3∙2=78 b=13
Ответ: 39 и 26, 78 и 13.

     Задача 5.
Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

Решение
1. Пусть p натуральное число, удовлетворяющие условию задачи. Если натуральное число p имеет 15 различных делителей и кол-во делителей определяется по формуле p=(m+1)(n+1), где m, n кратности простых делителей.

2. По условию задачи должны быть по меньшей мере 2 простых делителя – 2 и 5.
3. 15=(m+1)(n+1); m=2, n=4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям).
Существуют 2 числа                               и

    Ответ: 2500; 400
    Задача 6.
Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

Решение
Пусть m и n натуральные числа и                      ,
тогда  (m-n)(m+n)=5∙11 или (m-n)(m+n)=55∙1.
Рассмотрим системы:
1)                              3)

2)                               4)

   2 из 4 систем не имеют решения в натуральных числах, следовательно m=8, n=3 и m=28, n=27.
Ответ: m=8, n=3 и m=28, n=27.


title: Скачать презентацию или конспект В стране логарифмов

extracted_text:
В стране
логарифмов
Автор: Артамонова Л.В.,
              учитель математики
МОУ «Москаленский лицей»
Заполни пропуски
Log? b + Logx ? = Log?  (?a)

Logx ? - Log? b = Log?  (a/?)
Logx b? = pLog?  (?)
х
а
х
b
а
х
х
b
p
х
b
Вычисли
Lg 2 + lg 5
Log3 3 – 0,5 log3 9
Log 2 1/8
Log4 16 + log3 27

Реши уравнения
Lg2 x -2 lg x – 3 =0
Log½ ( 3x – 5 ) = -1
Log 2 x + log2  (x - 3) = 2
Log2 (2-x)- Log2 x= Log2 x-2

ответы
Найти график функции
  y = Log2 x
y
y
y
y
x
x
x
x
  0
  0
  0
  0

Ответы решения уравнений
1000;    0,1

4
             ;


title: Скачать презентацию или конспект Решение неравенств с параметрами методом областей

extracted_text:
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ ОБЛАСТЕЙ
 ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
                    ЛИСНЯК АНАСТАСИИ
                    МОУ СОШ №2
 РУКОВОДИТЕЛЬ: БОЛГОВА Л.Ф.
«Но когда эти науки (алгебра и геометрия) объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству».
                                                     Ж.А. Лагранж
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ определяется включением подобных задач в ЕГЭ.
ПРОБЛЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ: возможность применения координатного метода при решении задач с параметрами.
ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: классы неравенств и систем уравнений и неравенств, содержащих параметры и методы их решения.
«МЕТОД ОБЛАСТЕЙ»
один из частных случаев
координатного метода.

Идея «МЕТОДА ОБЛАСТЕЙ» заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к  решению совокупности более простых задач в каждой из областей, из которых составляется исходная область.

Применение «МЕТОДА ОБЛАСТЕЙ» при решении неравенств с параметрами аналогично применению «МЕТОДА ИНТЕРВАЛОВ» для решения неравенств с одной переменной.
Найти все значения а,
при которых неравенство

выполняется для всех х
из промежутка 2 ≤ х ≤ 3.
Ответ:

Найти все значения параметра а,
при которых в множестве решений неравенства
нельзя расположить 2 отрезка
длиной 2 и длиной 5,
которые не имеют общих точек.

Ответ:
Решение:

Найти все значения параметра а,
при каждом из которых множество
решений неравенства
не содержит ни одного решения
неравенства

Решение:
Ответ:

−

Найти все значения параметра а, при которых множество решений неравенства
содержит все неотрицательные решения неравенства

Решение:

1)

2)

 не удовлетворяет условию

Ответ:

Найти все значения параметра р,
при которых область определения функции
состоит из одной точки
Решение:

Ответ:
Таким образом, при решении
 неравенств «методом областей»
 необходимо:
разложить данное неравенство на
   множители;
найти и построить уравнения заданных
   функций, разбивающих координатную
   плоскость на«частичные области»;
определить знак неравенства в каждой из
   получившихся областей;
ответить на заданный вопрос.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ


title: Скачать презентацию или конспект Устами младенца

extracted_text:
Устами младенца
Математическая игра
для 8-х классов
1-й конкурсРАССУЖДАЛКИ
По две «рассуждалки» каждой команде
На каждую «рассуждалку» - две попытки ответа
Ответ с первой попытки –            15 баллов
Ответ со второй попытки –           10 баллов
Команда 8А

Это такая штука, в которой что-то не знаешь, а потом вдруг узнаешь, если захочешь это сделать  - и сделаешь.
Иногда задачи решаются только с его помощью. Я не люблю их решать, потому что плохо это умею.
Не знаю, есть ли у него листья и стебли, но корни у него есть. Может быть один, а может быть и больше.
Во 2-м классе они – простые, в 7-м – линейные, в 8-м – квадратные.
Команда 8А
Если взять нитку или веревку двумя руками так, чтобы она провисла, то, в общем-то, ее получим.
Люди давно ее знают и используют, когда подковывают лошадей. Ведь подкова – ее часть.
Это такая кривая, уходящая в бесконечность.
А вообще-то, эта красивая кривая – график квадратичной функции.
Команда 8Б
Она названа по имени ученого. Ученый этот известный, его знают даже те, кто ее еще не изучал.
В ней говорится про фигуру одну, которую все знают с детства, а потом еще в школе изучают.
Ее нужно доказывать. А зачем? Ведь он ее доказал давным-давно.
А над самим ученым часто смеются, говорят, что у него штаны – во все стороны равны.
Команда 8Б
Это такая фигура, интересная, красивая, у которой нет ни начала, ни конца.
Эта фигура применяется везде: в быту, в технике, в архитектуре.
Если пойдешь по нему, то говорят, сколько бы ни шел, все равно придешь туда же, откуда ушел.
А еще он есть на кораблях, катерах, пароходах. Он там называется спасательным.
2-й конкурсОБЪЯСНЯЛКИ
По одной для каждой команды.
Ответ с первой попытки –                           50 баллов.
Ответ со второй попытки –           25 баллов.
Команда 8А
Сначала делили, потом опять делили. А потом между ними ставили равно. И она получается. Изучается она в 6 классе. С ее помощью можно и уравнения решать, и задачи. Если готовят какое-нибудь лекарство, то нужно знать, какой она должна быть. Или еще когда варишь что-нибудь. А в математике мы так называем равенство двух отношений.
Команда 8Б
Оно содержит две части. Между ними равно ставят. А еще доказывают, что оно – это оно. Поэтому в нем все меняют местами. Иногда оно становится меньше. Некоторые преобразования носят его имя.
3-й конкурсЗАГАДАЛКИ

По очереди, пять «загадалок» каждой команде.
Каждый правильный ответ – 10 баллов.

8А. Ничего не стоящий, не значащий человек.
Ничего, ничто.
Цифра та - не колобок, а просто он – пустой кружок.

8Б. Чертежный инструмент.
Сговорились две ноги делать дуги и круги.

8А. Детская игрушка.
Одно из чудес света – гробницы египетских фараонов.
Геометрическое тело – многогранник.
8Б. В детстве из них строили.
Бывают игральными.
Ими измеряют объем воды или леса

8А. Бывает барабанная или охотничья.
Отношение двух выражений.
Число 3/5 – это…
8Б. Ими пользуются в магазине.
На лесенке-стремянке развешаны баранки, щелк да щелк, пять да пять, так мы учимся считать.

8А. Он бывает солнечный.
Бывает координатным или числовым.
Это часть прямой.
8Б. Функция, которая изучается в школе.
С ним встречаются в прямоугольном треугольнике.
Ее название одной буквой отличается от слова «минус».

8А. Он встречается в географии.
Он часть минуты.
Единица измерения углов.
8Б. Утверждение в математике.
Первое знакомство -   в 7-м классе.
Ее надо доказывать.
4-й конкурсОБГОНЯЛКИ
Отвечает команда, первая подавшая сигнал.
Правильный ответ – 20 баллов.
Если ответ неверный, то у другой команды есть право ответа – 10 баллов.

1. Некоторым хочется, чтобы он скорее кончился, и они были свободны, а он все никак не кончается.
Кто-то их любит, а кто-то – нет, потому что надо много думать головой, писать, решать, отвечать.
Иногда что-то делаешь-делаешь. А когда проверят, то «двойку» поставят.
А может времени не хватило, ведь он всего 40 минут.

2. Это такой крестик, который можно сделать из двух палочек. Такой знак есть на элементах питания.
А в математике это знак действия.

3. Иногда она происходит в жизни человека, и даже несколько раз.
Она может касаться места работы, учебы, места жительства.
Особенно её любят ученики, потому что у них они бывают каждый день, причем                   по нескольку раз.
Иногда ученики их                   ждут не дождутся.
И тогда звенит звонок                   и начинается она.

4. его можно всегда сложить из спичек и палочек.
Это фигура такая, у которой четыре оси симметрии.
Так называется еще и вторая степень числа.

5. Эта вещь нужна каждому ученику, да и дошколята любят, когда она у них есть. Она и учителям нужна тоже.
У учеников старших классов их много, но у некоторых она бывает одна на несколько уроков.
Они бывают тонкие и толстые.

6. А эта вещь нужна ученикам 3-11 классов.
Эта вещь похожа на записную книжку. В нее записывают, чтобы не забыть.
А еще в нее ставят баллы за домашнее задание, за контрольную работу.
Подведем итоги

Слово – жюри.
Игра окончена

Поздравляем победителей!


title: Скачать презентацию или конспект Великие математики

extracted_text:
Неманова Е.Г.,
 учитель математики
МОУ «Харитоновская СОШ»
Великие математики
АРХИМЕД (ок. 287-212 гг. до н.э.)
Об Архимеде - великом математике и механике - известно больше, чем о других ученых древности. Прежде всего достоверен год его смерти - год падения Сиракуз, когда ученый погиб от руки римского солдата.
Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Созданный им метод вычисления длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.
Архимед нашел также сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4. В математике это был первый пример бесконечного ряда.

ПИФАГОР (ок. 570-ок. 500 гг. до н.э.)
Было доказано, что у 2 не является рациональным числом, т.е. не выражается через натуральные числа.
Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике, это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов в геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.
Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учения о подобии.
С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях, средних.
Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца. Когда в XVI в. церковь начала ожесточенно преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским.

ИСААК НЬЮТОН (1643-1727)
Чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач-метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г. В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа. Ньютон также находит формулу для различных степеней суммы двух чисел (см. Ньютона бином), причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел (см. Ряды). Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.
СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ (1850-1891)
Первая русская женщина-математик.
В 1888г. Ковалевская написала работу «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки», присоединив к двум движениям гироскопа, открытым Л. Эйлером и Ж. Лагранжем, еще одно. За эту работу ей была присуждена премия Парижской академии наук - премия Бордена, причем сумма премии была увеличена ввиду высокого качества работы.
Через год по настоянию П. Л. Чебышева и других русских математиков Петербургская академия наук избрала Ковалевскую своим членом-корреспондентом. Предварительно для этого было принято специальное постановление о присуждении женщинам академических званий.
С. В. Ковалевская мечтала о научной работе в России, но ее мечта не сбылась, в 1891 г. она умерла в Стокгольме.

АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ (1903-1987)
В возрасте 19 лет Колмогоров сделал крупное научное открытие построил всюду расходящийся тригонометрический ряд. Его имя становится известным в научном мире. Занятия теорией множеств и тригонометрическими рядами пробудили у А. Н. Колмогорова интерес к теории вероятностей.
А. Н. Колмогоров обогатил науку во многих других областях: в математической логике, в топологии, математической статистике, функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений и динамических систем, теории информации, занимался применением математических методов в теории стрельбы, лингвистике, биологии.


title: Скачать презентацию или конспект Как выполняли арифметические действия в Древнем Риме?

extracted_text:
« Как выполняли арифметические действия в Древнем Риме?»
составила:                               ученица 5 класса Вязова Луиза.

МОУ: Муниципальное Общеобразовательное Учреждение №18
Научно – исследовательская работа на тему:
узнать как выполнялись арифметические действия в Древнем Риме.
Цель:

Актуальность:
Я считаю необходимым проведение этого исследования, так как:
Я интересуюсь историей математики и хотела бы быть более просвещёнными в этой области.
Я хотела бы узнать, как древние трудились для создания науки математики, и что они для этого делали.

Предмет исследования:
Арифметические действия в Древнем Риме.
Гипотеза:

Я считаю, что в Древнем Риме выполнялись арифметические действия с помощью алгоритмов и таблиц, которые помогали римлянам не забыть порядок вычислений и что – то напомнить в данном действие. Ещё мне ,кажется, что присутствовал какой -  то специальный предмет для счёта, так как запомнить всё не возможно.
Напомню римские цифры, некоторые из них встречаются редко:
 I - единица, V - пять, X - десять,            L - пятьдесят, С - сто, D - пятьсот,               М - тысяча.
Числа выглядят так:
IIII = IV - четыре; VIIII = IX - девять; ХХХХ = XL - сорок; VХХХХ =               ХС- девяносто и т. д.
127 на 37
 СХХVI на XXXVII?

X
X
X
V
Абак – прибор напоминающий наши русские счёты.
МСLХХVI : XXVIII = ?                 1176 : 28 = ?
 XXVIII на С = ММ...
1) XXVIII на X = ССLХХХ                       XXVIII на XX = СССС L L ХХХХХ'Х = D LX (Здесь мы для простоты удваиваем каждую цифру предыдущего результата.)
 2)
3) XXVIII на L = МСССL ХХХХХ = МСD

 4) MCL XXVI
-
     MC XX
        L    VI
5) XXVIII на I = XXVIII                            XXVIII на II = ХХХХVVIIIIII = LVI.
Результат: МСLХХVI : XXVIII = ХLII.
Сравните:
ВЫВОДЫ:
Изучение старинных способов умножения и деления показало, что эти арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.
Современный способ умножения прост и доступен всем.
При знакомстве с научной литературой обнаружили более быстрые и надежные способы умножения и деления. Поэтому изучение действия умножения и деления – тема перспективная.
Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
Преклонимся же перед трудолюбием и настойчивостью наших далёких предков, которые шли к знанию тернистым путём и, преодолевая препятствия, создали стройную и ясную логическую науку, называемую современной математикой.


title: Скачать презентацию или конспект Ломаные

extracted_text:
Ломаные
    Ломаной называется …
                                        фигура, образованная конечным набором отрезков, расположенных так, что …
Сами отрезки называются…
сторонами ломаной, а их концы –
                                                                                конец первого является началом второго, конец второго – началом третьего и т.д.
вершинами ломаной.
Ломаная обозначается …
последовательным указанием ее вершин
 Ломаная называется простой, если …
                                                                 она не имеет точек самопересечения.
 Ломаная называется замкнутой, если …
                                                                    начало первого отрезка ломаной совпадает с концом последнего.
Многоугольники
 Многоугольником называется …
                                                          фигура, образованная простой замкнутой ломаной и …
вершинами многоугольника.
Вершины ломаной называются …
сторонами многоугольника.
Стороны ломаной называются …
углами многоугольника.
Углы, образованные соседними сторонами называются …
                                                           ограниченной ею внутренней областью.
последовательным указанием его вершин.
Многоугольник обозначается …
Правильные многоугольники
у него все стороны равны и все углы равны.
Многоугольник называется правильным, если …
Выпуклые многоугольники
вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок.
Многоугольник называется выпуклым, если …
На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого четырехугольника.
Диагональ многоугольника
отрезок, соединяющий его несоседние вершины.
Диагональю многоугольника называется …
Выпуклый многоугольник содержит все свои диагонали. Невыпуклый многоугольник может не содержать некоторые свои диагонали.
Звездчатые многоугольники
      Иногда многоугольником называется замкнутая ломаная, у которой возможны точки самопересечения. К числу таких многоугольников относятся правильные звездчатые многоугольники, у которых все стороны и все углы равны.
Вопрос 1
Что называется ломаной, сторонами и вершинами ломаной?
Ответ: Ломаной называется фигура, образованная конечным набором отрезков, расположенных так, что конец первого является началом второго, конец второго – началом третьего и т.д. Сами отрезки называются сторонами ломаной, а их концы – вершинами ломаной.
Вопрос 2
Как обозначается ломаная?
Ответ: Ломаная обозначается последовательным указанием ее вершин.
Вопрос 3
Что называется длиной ломаной?
Ответ: Длиной ломаной называется сумма длин ее сторон.
Вопрос 4
Какая ломаная называется простой?
Ответ: Ломаная называется простой, если она не имеет точек самопересечения
Вопрос 5
Какая ломаная называется замкнутой?
Ответ: Ломаная называется замкнутой, если начало первого отрезка ломаной совпадает с концом последнего.
Вопрос 6
Какая ломаная называется простой замкнутой?
Ответ: Простой замкнутой ломаной называется замкнута ломаную, у которой точками самопересечения являются только начальная и конечная точки.
Вопрос 7
На сколько частей разбивает плоскость простая замкнутая ломаная?
Ответ: Простая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две области – внутреннюю и внешнюю.
Вопрос 7
Какая фигура называется многоугольником? Что называется: вершинами; сторонами; углами многоугольника?
Ответ: Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней областью, называется многоугольником. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, стороны ломаной - сторонами многоугольника, а углы, образованные соседними сторонами, - углами многоугольника.
Вопрос 8
Какой многоугольник называется n-угольником?
Ответ: n – угольником называется многоугольник, у которого n углов.
Вопрос 9
Какой многоугольник называется правильным?
Ответ: Многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Вопрос 10
Какой многоугольник называется выпуклым?
Ответ: Многоугольник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок.
Вопрос 11
Что называется диагональю многоугольника?
Ответ: Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.
Упражнение 1
Незамкнутая ломаная имеет 10 вершин. Сколько у нее сторон?
Ответ: 9.
Упражнение 2
Замкнутая ломаная имеет 20 сторон. Сколько у нее вершин?
Ответ: 20.
Упражнение 3
Укажите, какие фигуры, изображенные на рисунке, являются простыми ломаными.
Ответ: 1, 2, 3, 5, 7.
Упражнение 4
Верно ли, что любая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две области?
Ответ: Нет.
Упражнение 5
Проверьте, что линия, изображенная на рисунке, является простой замкнутой ломаной. Выясните, какие из данных точек лежат: а) внутри; б) вне этой ломаной.
Ответ: а) B, D и F;
б) A, C и E.
Упражнение 6
Укажите, какие из представленных на рисунке фигур являются: а) выпуклыми многоугольниками; б) невыпуклыми многоугольниками.
Ответ: а) 1, 3; б) 2, 4, 7.
Упражнение 7
Какая имеется зависимость между числом вершин и числом сторон многоугольника?
Ответ: Число вершин равно числу сторон.
Упражнение 8
Сколько диагоналей имеет:
а) треугольник?
0;
б) четырехугольник?
2;
в) пятиугольник?
5;
г) шестиугольник?
9;
д) n-угольник?
Упражнение 9
Может ли многоугольник иметь ровно:
а) 10 диагоналей?
нет;
б) 20 диагоналей?
да;
в) 30 диагоналей?
нет.
Упражнение 10
Существует ли многоугольник, число диагоналей которого равно числу его сторон?
Ответ: Да, пятиугольник.
Упражнение 11
Выпуклый многоугольник имеет 35 диагоналей. Сколько у него сторон?
Ответ: 10.
Упражнение 12
На сколько треугольников делится выпуклый: а) 4-угольник; б) 5-угольник; в) 6-угольник; г)* n-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?
Ответ: а) 2;
б) 3;
в) 4;
г) n-2.
Упражнение 13
На рисунке изображен многоугольник ABCDE. Из точки O видны полностью стороны AB, DE и AE и лишь частично сторона  CD. Нарисуйте какой-нибудь многоугольник и точку O внутри него так, чтобы ни одна из сторон не была видна из нее полностью.
Упражнение 14
Приведите пример, когда общей частью (пересечением) двух треугольников является: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник.
Ответ:
Упражнение 15
Может ли пересечением двух треугольников быть семиугольник?
Ответ: Нет.
Упражнение 16
Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырехугольника является восьмиугольник.


title: Скачать презентацию или конспект Циклоида

extracted_text:
Циклоида
Сворачивает парадокс куда захочет,
Рассудок здравый он , смеясь, морочит.
В.С. ДЖИЛЬБЕРТ
Парадоксы странные, но истинные
Немного истории
Философ Аристотель
Галилео Галилей
Циклоида

Построение циклоиды
Элементы циклоиды
Спутница циклоиды.
Родственницы циклоиды
Эпициклоиды.
Перициклоида.
Кардиоида. «Улитки Паскаля».
«Таутохронная» гора.


title: Скачать презентацию или конспект Сложение и вычитание в пределах 100

extracted_text:
Математика
 2 класс
«Повелеваю в моём Сказочном Математическом Королевстве ребятам  2 Б класса выполнить мои желания!»
Прочитайте примеры, решите их.
Запиши ответы:
1. На сколько надо увеличить 30, чтобы получить 70 ?
2. Число в котором 4 десятка и 8 единиц. Уменьши его на 2 десятка.
3. Уменьшаемое 7 десятков, вычитаемое 7 единиц. Найди разность.
4. Первое слагаемое 23, второе 3. Найди сумму.
5.  Найди разность чисел 50 и 30.
6. Увеличь 47 на 3.
7. Какое число меньше 15 на 7?;
8.Какое число надо увеличить на 5, чтобы получилось 77.
9. Из какого числа вычли 9 и получили 80?

  На сколько см периметр треугольника меньше периметра
четырёхугольника, если длина стороны каждой фигуры
4 см?

   Красной Шапочке нужно пройти до домика бабушки
100 м. Она уже прошла 70 м. Сколько метров осталось пройти
Красной Шапочке до домика бабушки?
  У Красной Шапочки в корзине 5 пирожков с яблоками и
4 с мясом. А с капустой столько, сколько с яблоками и
мясом вместе. Сколько пирожков с капустой в корзине?
  После того, как мама вытащила из духовки 10 пирожков,
ей осталось вытащить ещё 14. Сколько пирожков испекла
мама?
5 см 6 мм =    мм


title: Скачать презентацию или конспект Графики линейного уравнения с двумя переменными

extracted_text:
График линейного
уравнения
с двумя переменными

Цель урока:
ввести понятие графика уравнения с двумя переменными;
повторить построение графика линейной функции по двум точкам;
 закрепить навыки нахождения одной переменной через другую.

Устные упражнения
а) 3х – у = 14
б) 5у + х² = 16
в) 7ху – 5у = 12
г) 5х + 2у = 16

Ответ: 3х – у = 14
             5х + 2у = 16

Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения

2х + 5у = 12

А(-1; -2),   В(2; 1),   С(4; -4),   D(11; -2).

D(11; -2).
x

8

6

4

2

-2

е      ж      з      и        к      л      м
а       б     в        г       д
 у     ф      х      ц      ч       ш      щ
й      э      ю     я      п       р       с
н      о               т       й

(6;4) (-2;-2) (4;4) (-2;-2) (4;6) (-6;4) (0;2)
М     О     Л     О     Д     Е    Ц

y

             -8      -6       -4      -2      0         2       4        6       8

Построение графика функции y=3x.
-независимая переменная (придумываем)
-зависимая переменная (считаем)
0
2
0
6

х
у
-4         0      2    4    6     8
 6
 4
 2

-2
-4

Построение графика функции y=-2x.

Построение графика функции
		y=-2x+3.

0      2
0
-4
0       2
3
-1

Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными х и у, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит пара чисел. Все эти точки образуют график уравнения.
Выясним, что представляет собой график уравнения  3х+2у=6
Выразим переменную у через х      у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 задается линейная функция, графиком которой служит прямая.

Уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6

Построим график функции y=-1,5x+3.

х
у
 3
 2
 1

-1
-2

Пары точек (0;3) и (2;0)
Являются решением
данного уравнения 3х+2у=6
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения
Если в линейном уравнении коэффициент при х равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая

y=kx +b – линейная функция.
y=0x +b, тогда   y=b
Прямые параллельны оси х

х
у
 6
 4
 2

-2
-4

у=6
у=4
у=-4
Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая
y=kx +b – линейная функция.
0y+kx=b, тогда   х=b/ k
Прямые параллельны оси у

у
 6
 4
 2

-2
-4

х=-4
х=4
х=2
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
Уравнение ax+by=c, в котором оба коэффициента при переменных равны нулю, имеет вид 0x+0y=c. При с=0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком -вся координатная плоскость.

При с≠0 уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки

ФизкультминуткаУпражнение 1 «Глядя в небо»

Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

Поза: стоя
В положении стоя положите руки на бедра.
Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.
Вернитесь в исходное положение.
Повторите 10 раз.
 №1048(Б)

е
№1051

Самостоятельная работа
1 вариант
1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения
       5х – 4у - 1 =0?
2. Постройте график функции 2х + у = 4.
2 вариант
1. Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения
         7х – 3у - 1 =0?
2. Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.

Самостоятельная работа
1 вариант

№1
(1;1), (9;11)

2 вариант

№1
         1. (1;2)

Х
У

2
0
1 в
№2
4

Х
У

1
0
2 в
№2
4

Оцените свои знания, полученные на уроке

У меня все отлично
У меня все хорошо
Возникли трудности
Домашняя работа.
П.41, №1045, 1048 (а, в,д)


title: Скачать презентацию или конспект Счет и вычисления — основа порядка в голове

extracted_text:
"Счет и вычисления — основа порядка в голове"
Внеклассное мероприятие
по математике в 6-м классе
Презентацию подготовил
учитель математики МОУ
«Средняя общеобразовательная
школа №5 г. Михайловка» Волгоградской области
Крюкова Вера Михайловна

Цель мероприятия:

рассмотреть некоторые способы устного счета
развитие навыка быстрого счета
повышение вычислительной культуры

Устный счет - гимнастика ума.
Умеете ли Вы считать?
Каждый, конечно скажет:
"Да!"

Об умении считать можно судить по:
умению производить устные и письменные вычисления;
рациональной организации хода вычисления;
умении убеждаться в правильности полученных результатов.

Качество вычислительных умений определяется двумя вещами:
знанием правил;
знанием алгоритмов вычислений

Устные вычисления
ускоряют письменные вычисления
 приобретают опыт рациональных вычислений
 дают выигрыш в вычислительной работе.

Итак, считаем все, считаем устно!
задумайте двузначное число;
умножьте его на 2;
к произведению прибавьте 4;
сумму умножьте на 4;
из произведений вычтете 16;
разность разделите на задуманное число.

Должно у всех получиться 8.
У кого не получилось число 8, тот очень плохо считал.

Умножьте устно:

 Рассмотрим следующий прием.  Возведение в квадрат  двузначных чисел, оканчивающихся на 5.
Выполните умножение и определите правило:

	Умножение на 5, на 50, на 25.
Умножьте:

Умножение чисел, оканчивающихся на 5

Сумма квадратов двух первых чисел равна квадрату третьего числа.
Например, тройки чисел 5,12 и 13 называются пифагоровыми числами. Для них справедливо равенство: 52+122=132
                    25+144=169
                    169=169
Проверьте, будут ли следующие тройки пифагоровыми?

Самостоятельная работа
Вычислите устно:

Желаем успехов в вычислениях!


title: Скачать презентацию или конспект Знакомство с рядами Фурье

extracted_text:
Ряды Фурье
Лекции 15, 16
Определение ортогональной системы функций
     Тригонометрическая система функций

       называется ортогональной на отрезке    [-,] и на всяком отрезке длины 2 тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π .

Примеры
    Рассмотрим несколько примеров таких интегралов.
                     в силу нечетности подынтегральной функции.

Определение ряда Фурье
  Тригонометрический ряд
                                                                          ,

    коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е.

   называется рядом Фурье периодической с периодом 2π  функции.

Определение кусочно-монотонной функции
   Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, в каждом из которых функция монотонна.
   Примеры кусочно-монотонных функций:1)                            , 2)sinx, 3)cosx .

Достаточный признак сходимости ряда Фурье
    Если периодическая с периодом 2 функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [-,] или имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = c – точка разрыва, то
                                                       .

Разложение в ряды Фурье четных функций
    Если f(x) –четная функция, то функции
                         являются нечетными,  а функции                        -четными при любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла :
                        , если f(x) – нечетна, и

                               , если f(x) – четна

Продолжение
   получим

   Тогда имеем:                                         ,
   где

   для четной функции.

Ряд Фурье нечетной функции
    Если функция f(x) является нечетной и периодической с периодом 2π , то ее ряд Фурье имеет вид:
                                                   ,

   где коэффициенты

Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции
   Если функция f(x) имеет период 2l , где l-любое число, большее нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π    функции, положив           . Тогда
   функция                           имеет период 2 π. В самом деле:

π

Продолжение
    Разложим в ряд Функцию         , а затем вернемся к старой переменной. Имеем
                                                                   , где

                                                          ,

                                                            ,

Ряд Фурье четной функции
    Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы:                                           , где

Ряд Фурье нечетной функции
   Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно записать в следующем виде:

                                                    , где

Разложение в ряд Фурье непериодических функций
    Если функция не является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную.
     Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.
Пример разложения функции в ряд Фурье
      1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а) по синусам  и б) по косинусам. Доопределим функцию  до периодической нечетным образом.

Решение
    Тогда                                     , где

    Вычислим интеграл по частям:

Продолжение
    Таким образом,                       , а

                                        , где               или

де
ли

Продолжение
   Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. Тогда                                       .

Продолжение

     При четном n выражение в скобках равно нулю и, значит,                , а при  – нечетном, т.е. при              ,

                                         . Тогда
    Мы получили разложение  функции в ряд Фурье на промежутке (0,).


title: Скачать презентацию или конспект Равносторонний треугольник

extracted_text:
Равносторонний треугольник
pptcloud.ru

Провести исследование, можно ли построить равносторонний треугольник на листе клеточной тетради с помощью линейки
найти и изучить различные соотношения в равностороннем треугольнике
выбрать наиболее интересные и представить их одноклассникам, и показать в своей работе

Цели работы

   Посетили библиотеку, нашли необходимую научно-популярную литературу, прочли статьи в журналах «Квант» и «Математика в школе».
   Научились искать информацию в Интернете.
   Выбрали  способы доказательства некоторых соотношений, используя дополнительные построения.
   Создали презентацию.

Как мы шли к этой цели?
Можно ли построить равносторонний треугольник только при помощи линейки?
Оказывается, можно, расположив его вершины в узлах клеточной бумаги. В таком случае возникает ещё один вопрос: на самом ли деле стороны равны
Правда, изображенный на рисунке треугольник очень близок к равностороннему – длины его сторон различаются меньше, чем на 3%.
К сожалению, нарисовать равносторонний треугольник в узлах клеточной бумаги, нельзя.

удивительные
соотношения в
равностороннем
треугольнике
 1 .Теперь возьмём т. Р внутри равностороннего треугольника и отпустим из неё на стороны  перпендикуляры PE, PL, PF. Оказывается, что сумма этих отрезков не зависит от выбора т. Р и равняется высоте треугольника.

A
B
C
P
E
L
F
Дано:  ∆ АВС – равносторонний
h – высота, a - сторона
РЕ, РL, PF – перпендикуляры
Доказать: h = РF +  PL +  PE

A
C
B
P
E
F
L
Проведем MN || AC, KD || AB, RS || BC.
∆KPS, ∆MPR , ∆NPD  - равносторонние, т.к. прямые, параллельные сторонам правильного треугольника, образуют правильные треугольники. МР=АК, PN=SB, PD = RC т.к. замкнуты между параллельными прямыми и сами тоже параллельны. АК +КS + SB= AC, а потому и сумма высот  этих треугольников равна высоте  ∆ АВС, т.е.  PE+ PL+ PF = h
Что и требовалось доказать.

М
N
K
D
M
R
S
II способ
2 . Внутри равностороннего треугольника взята точка Р, и проведены перпендикуляры PE, PF, PL к сторонам этого треугольника. Сумма длин отрезков AF, BE и CL  равна сумме длин отрезков CF, BL и AE.

А
В
С
Е
L
F
P
Дано:          ∆ АВС – равносторонний
Доказать: AF + CL + BE = CF + BL + AE
II способ. Проведем MN || AC, KD || AB, RS || BC.∆KPS, ∆MPR , ∆NPD  - равносторонние, т.к. прямые, параллельные сторонам правильного треугольника, образуют правильные треугольники. МР=АК, PN=SC, PD = RB, АМ=КР т.к. замкнуты между параллельными прямыми и сами тоже параллельны. АК +КS + SB= AC. Пусть АК=х, КS=y, SC=z, то  АE=у+0,5х, ВL=х+0,5z, CF=z+0,5yAE+BL+CF= 1,5(x+y+z).AF=x+0,5y, CL=y+0,5z, BE=z+0,5x, тогда AF+CL+BE=1,5(x+y+z).Следовательно, AF+CL+BE=AE+BL+CF Что и требовалось доказать.
Если на сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры  будут вершинами равностороннего треугольника. Этот факт верен и в том случае, если равносторонние треугольники строить внутрь данного.

Немецкий механик Франз Рело заметил, что если провести дуги окружностей с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие его вершины, то полученная (она получила название треугольник Реле) будет обладать свойством постоянства ширины, т.е. расстояние между двумя параллельными касательными к этой кривой будет постоянной величиной, равной стороне треугольника.
заключение
Равносторонний треугольник можно поворачивать  внутри лупочки, составленной из двух дуг окружности, каждая из которых равняется 120, а радиус равен стороне треугольника.

Если же взять лупочку из двух дуг вдвое меньшего размера (60), а радиус равен высоте треугольника, то такую лупочку можно вращать внутри этого треугольника, так, что она всё время будет касаться всех его сторон.

Использованные ресурсы
.
   Скопец З.А. «Геометрические миниатюры», М. «Просвещение», 1991 г.
Биографический указатель ХРОНОСа
http://www.hrono.ru/da/cd_rom.html
 Ж.«Квант» №5, М, «Наука», 1991 г.
Н. Лэнгдон, Ч. Снейп, «С математикой в путь», М. «Педагогика», 1987 г.
К. У. Шахно, «Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности», Минск «Вышэйшая школа», 1968 г.


title: Скачать презентацию или конспект Прямая пропорциональная зависимость

extracted_text:
Прямая
пропорциональная
зависимость

Устный счёт:
1. Найдите:0,3 от 140,5 от 3001,2 от 44,3 от 22. Составьте верные пропорции из чисел 10, 14, 15, 21.
ЗАДАЧА 1

Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 10 кг клубники, если по рецепту на 4 кг ягод нужно 5 кг сахара?

Запишем решение I способом:

Решение:

1) 5:4=1,25 (кг) – нужно сахара на 1кг ягод.
2) 1,25*10=12,5 (кг) – нужно сахара на 10 кг клубники.
Ответ: 12,5 кг сахара.
II способАлгоритм решения задач на пропорции
1) Искомую величину обозначить за x.
2) По условию составить таблицу.
3) Указать вид зависимости, поставив стрелочки (в одном направлении, если прямая пропорц. зависимость, в разных, если обратная пропорц. зависимость).
4) Записать пропорцию, следуя по стрелочкам.
5) Решить пропорцию.
6) Записать ответ.
4 кг ягод
5 кг сахара
10 кг ягод
x кг сахара
x=(10∙5):4
x=12,5
Ответ:12,5 кг
II способ:
Запишем кратко условие задачи в виде таблицы.
Пусть х кг – нужно сахара на 10 кг ягод.

2)
3) Прямая пропорциональная зависимость.
4)
ДВЕ ВЕЛИЧИНЫ НАЗЫВАЮТСЯ ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ, ЕСЛИ ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ (УМЕНЬШЕНИИ) ОДНОЙ ИЗ НИХ В НЕСКОЛЬКО РАЗ ДРУГАЯ УВЕЛИЧИВАЕТСЯ (УМЕНЬШАЕТСЯ) ВО СТОЛЬКО ЖЕ РАЗ.
ЕСЛИ ДВЕ ВЕЛИЧИНЫ ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ, ТО ОТНОШЕНИЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ЗНАЧЕНИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН РАВНЫ.

Задача №2

Ученик 6 класса за 5 дней съедает 1,5 кг яблок. Сколько дней ему потребуется, чтобы съесть поспевшие у него на даче за лето 30 кг яблок?

Решение задачи №2
1)Пусть x дн.потребуется,чтобы съесть 30 кг яблок
2)   5дн.– 1,5 кг
     х дн. – 30 кг
3) Прямая пропорциональная зависимость.
      4)5:х= 1,5:30
        x =(5*30):1,5
         Х = 100
        Ответ: потребуется 100 дней.

        Задача №3
Площадь поля 80 га. Кукурузой засеяли 45% всей площади. Сколько гектаров поля  засеяно кукурузой?

                            Решение:
1) Пусть х га засеяли кукурузой
2) 80 га-100%
     х га-45%
80:х=100:45
Х = (80* 45) :100
Х = 36 (га)
Ответ: 36 га засеяно кукурузой.

Закрепление материала:
№ 783, 784, 794, 803 (а,б)

Домашнее задание:
§22(прямая пропорциональная зависимость), № 811,813


title: Скачать презентацию или конспект Функции и их графики

extracted_text:
Функции  и  их  графики
Содержание
pptcloud.ru
Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции
Содержание
Понятие функции
Общие свойства функции
Понятие обратной функции
Непрерывность
Элементарные функции
Введение
 При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объём, массу, температуру, время и т. д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными.
 Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса.
 Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц.

Введение
на главную
Понятие функции
 Пусть D и E – непустые числовые множества, а x и y – соответственно их элементы. Если каждому xÎD (x принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение yÎE, то говорят, что между переменными x и y существует функциональная зависимость, и x называют независимой переменной (или аргументом), а y – зависимой переменной (или функцией).
 Символическая запись функции: y = f(x) (xÎD, yÎE). Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество E называют областью изменения функции – E(f). Говорят еще, что функция f отображает множество D на множестве E.

на главную
Общие свойства функции
Четность и нечетность
на главную
Периодичность
Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Монотонность
Четность и нечетность
 Определение: Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x).
 Примеры четных функций:
 y = x2; y = x2 + 5; y = -3x2 + 1; y = ½x½; y = 3.
(y = x2; y(1) = 12 = 1; y(-1) = (-1)2 = 1; y(1) = y(-1)).

 Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат.
 График четной функции симметричен относительно оси ординат:

y
x
O
x0
- x0
назад
далее
 Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x).
  Примеры нечетных функций:
  y = x3; y = x3 + x.
(y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)).
 График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

f(-x0)
O
y = f(x)
далее
назад

 При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции.
 Произведение двух четных или двух нечетных функций представляет собой четную функцию, а произведение четной и нечетной функций – нечетную функцию.
 Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными.
 Пример:
	y = x3 + x2
	y(-1) = (-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0
	y(1) = (1)3 + (1)2 = 1 + 1 = 2

назад
Периодичность
 Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T¹0, что для любого значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство
 f(x) = f(x + T) = f(x – T):

y

1
2
4
3
-1

T
y = f(x)
далее
назад
 Число T называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное число периодов.В самом деле, числа вида nT при любом целом n также являются периодом функции f(x), так как f(x + nT) = f(x + (n - 1)T + T) = f(x + (n – 1)T) = f(x + (n - 2)T + T) = f(x + (n - 2)T) = … = f(x).
 Иногда периодом называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее данному выше определению. Примеры периодических функций:
 y = sin x; y = ctg x; y = sin3x.
 Периодической является и всякая постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое число. Например: y = 2; y = 10.

назад
Нули функции
Определение: Нулем функции называется такое действительное значение x, при котором значение функции равно нулю.
назад
 Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0.       Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x), и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью.
х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).
Промежутки знакопостоянства
Определение: Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.
 Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0.
назад
Монотонность
Функцию называют монотонно возрастающей, если с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается.
y = f(x)

далее
назад
Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) < f(x1). Интервал (a, b) предполагает взятым из области определения функции.
назад
Понятие обратной функции
 Функция, принимающая каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой. Таким образом, при k≠0 функция   f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x2 не является обратимой.
 Если между величинами х и у существует функциональная зависимость, то, вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую – функцией.
 Пусть задана функция y = f(x), где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная зависимость между x и y запишется так: x = Y(y). Функция x = Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x).
на главную

y
x
O

1
-1

-p
p
p/2
-p/2

y = sin x
Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции
 Точка x0 называется точкой максимума (точкой минимума) для функции f(x), если значение в этой точке больше (меньше), чем значение функции в ближайших соседних точках.
 для обозначения максимума и минимума существует общий термин «экстремум» (от латинского «крайний»).
далее
на главную
Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]. Говорят, что функция имеет максимум в точке x0Î [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).
 Под окрестностью точки x0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x0, т. е. (x0 – e ; x0 + e), где e – произвольное положительное число.
далее
назад
Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]. Говорят, что функция имеет минимум в точке x0Î [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).
 Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b.
Признак максимума функции:
Если функция непрерывна в точке x0
и ее производная, переходя через нее,
меняет знак с плюса на минус,
 то x0 есть точка максимума.
Признак минимума функции:
Если функция непрерывна в точке x0
и ее производная, переходя через нее,
 меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка
минимума.

назад
Непрерывность
 Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке промежутка.
 Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции.
 Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать.
на главную
Элементарные функции
Линейная
Обратная пропорциональность
Квадратичная
Степенная
Показательная
Логарифмическая
Тригонометрические
на главную
Линейная функция
Определение: Функция вида y = kx + b, где k и b некоторые числа, называется линейной функцией.

1. Если k = 0, тогда y = b.
 Эта функция определена на множестве R и для каждого X принимает одно и то же значение, равное b.
 Графиком является прямая, параллельная оси Оx и отстоящая от нее на ½b½ единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0; если b = 0, то прямая совпадает с осью Ox.
далее
назад
2. Если b = 0, то y = kx.
 Линейная функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью. Она определена на множестве R. Функция является монотонно возрастающей, если k > 0, и монотонно убывающей, если k < 0. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 точки графика принадлежат I и III координатным четвертям. При k < 0 точки графика принадлежат II и IV координатным четвертям.

O
y
x
y = kx
k < 0

назад
далее
3. Если k ¹ 0 и b ¹ 0, то y = kx + b.
 Функция определена на множестве всех действительных чисел. Функция имеет единственный нуль в точке x = -b/k (т. е. график функции пересекает ось Ох в единственной точке (-b/k; 0). Функция является монотонно возрастающей при k > 0 и монотонно убывающей при k < 0.
назад
далее
Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента b определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла a, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой.

назад
Обратная пропорциональность

Определение: Функция вида x = k/x, k ¹ 0, называется обратной пропорциональностью.
 Область определения этой функции совпадает с ее областью значений и представляет собой объединение двух промежутков: (-¥; 0) È (0; + ¥).
 Функция не имеет нулей, так как уравнение k/x = 0 не имеет корней.
 Если k > 0 , то функция монотонно убывает на всей области определения. Если k < 0, то функция монотонно возрастает на всей области определения функции.
далее
назад

y = k / x
k > 0
y = k / x
k < 0
График обратной пропорциональности называется гиперболой. Участки кривой при x > 0 и x < 0 называются ветвями гиперболы.
назад
Квадратичная функция
Определение: Функция вида y = ax2 + bx + c, где a, b,c – некоторые числа, a ¹ 0, называется квадратичной.

1. Функция вида y = x2 – простейшая квадратичная функция. Это четная функция, у которой D = (-¥; + ¥), а E = [0; + ¥). При x > 0  она возрастающая, а при x < 0  - убывающая. Ее график называется параболой. График проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх.

назад
далее
2. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график также парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно оси ординат. Но при a > 0 ветви ее направлены вверх и E = [0; + ¥), а при  a < 0 ветви направлены вниз и E = (-¥; 0). Чем меньше абсолютная величина a, тем дальше отходят ветви параболы от оси ординат, тем «шире» она. Чем больше абсолютная величина a, тем плотнее ветви параболы прижаты к оси ординат, тем «уже» она.

назад
далее
3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график – парабола, симметричная относительно прямой x = x0 (x0 – абсцисса вершины параболы), параллельной оси ординат. Если a > 0, то ее ветви направлены вверх и E = [y0; + ¥) или вниз при a < 0 и тогда E = (-¥; y0), где y0 – ордината вершины параболы. Только вершина этой параболы находится не в начале координат, а в точке (-b / 2a; (4ac- b2) / 4a). Парабола пересекает ось ординат в точке (0; c). Если дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c отрицательный, т. е. B2 – 4ac < 0, то график функции y = ax2 + bx + c  не пересекает ось абсцисс.
назад
далее
y = ax2 + bx +c
a < 0
Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a; 0). Если дискриминант положительный, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, являющихся корнями уравнения 0= ax2 + bx + c.
назад
Степенная функция
Определение: Функция, заданная формулой y = xn , называется степенной.

 1. При n, равном 1; 2; -1, имеем соответственно функции y = x, y = x2; y = -1 / x, уже рассмотренные ранее.
 2. Если n – число целое и четное, то функция y = xn – четная; при нечетном n она нечетная. При положительных n эта функция определена для всех действительных значений аргумента x, при отрицательных n она определена для всех x, кроме x = 0.
 При любом n ¹ 0 степенная функция неограниченная, график каждой из них проходит через точку (1; 1).
 Если n – число иррациональное, то функция y = xn определена только для положительных значений аргумента x или для неотрицательных x, если n > 0.
назад
Показательная функция
Определение: Функция, которую можно задать формулой y = ax, a > 0, a ¹ 1, называется показательной.
 Эта функция определена для любых действительных x, а областью значений является промежуток (0; + ¥).
 График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0; 1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее.
 При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.
назад
Логарифмическая функция
Определение: Функция вида y = logax, где a > 0, a ¹ 1, называется логарифмической.
 Эта функция определена на промежутке (0; + ¥), а областью значений является промежуток (-¥; + ¥).
 Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1; 0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

y = logax
a > 1

O
y
x

1

O
y
x

1
y = logax
0 < a < 1
назад
Тригонометрические функции
	1.Функция синус.
        Определение: Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется синусом.
         Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ½sin x½£  1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n Î Z: sin( x + 2pn) = sin x, n Î Z. Функция y = sin x – нечетная: sin (-x) = -sin x ее график симметричен относительно начала координат. График этой функции называется синусоидой.
         Функция принимает нулевые значения
          При  х = pn, n Î Z.
        Функция y = sin x возрастает
          на промежутках
         [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn], n Î Z
        и убывает на промежутках
          [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], n Î Z
далее
назад
  2.Функция косинус.
Определение: Числовая функция, заданная формулой y = cos x, называется       косинусом.
Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ½cos x½£  1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n Î Z: cos( x + 2pn) = cos x, n Î Z. Функция y = cos x – четная: cos (-x) = cos x ее график симметричен относительно оси ординат. График этой функции называется косинусоидой.
Функция принимает нулевые значения
при  х = p/2 + pn, n Î Z.
Функция y = cos x возрастает
на промежутках
[p + 2pn; 2p + 2pn], n Î Z
и убывает на промежутках
[2pn; p + 2pn], n Î Z

y
x
O

1
-1

-p
p
p/2
-p/2
y = cos x

5p/2

T = 2p
3p/2

2p

назад
далее
  3.Функция тангенс.
Определение: Числовая функция, заданная формулой y = tg x, называется       тангенсом.
Функция определена при x ¹ p/2 + pn, n Î Z. Ее областью значений является интервал (-¥; + ¥). Она периодическая, ее период T = pn, n Î Z: tg( x + pn) = tg x, n Î Z. Функция y = tg x – нечетная: tg (-x) = -tg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = p/2 + pn, n Î Z функция y = tg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется тангенсоидой.
Функция принимает нулевые значения при  х = pn, n Î Z. Функция y = tg x возрастает на всех интервалах определения (-p/2 + pn; p/2 + pn), n Î Z.

назад
далее

  4.Функция котангенс.
Определение: Числовая функция, заданная формулой y = ctg x, называется       котангенсом.
Функция определена при x ¹ pn, n Î Z. Ее областью значений является интервал (-¥; + ¥). Она периодическая, ее период T = pn, n Î Z: ctg( x + pn) = ctg x, n Î Z. Функция y = ctg x – нечетная: ctg (-x) = -ctg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = pn, n Î Z функция y = ctg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется котангенсоидой.
Функция принимает нулевые значения при  х = p/2 + pn, n Î Z. Функция y = ctg x убывает на всех интервалах определения (2pn; p + pn), n Î Z.

y
x
O

1
-1

p/2
-p/2
y = сtg x

p
3p/2

-p

назад


title: Скачать презентацию или конспект Математика «Деление»

extracted_text:
         УРОК
МАТЕМАТИКИ
       4  КЛАСС
Автор:   Четкина Г. В.
               учитель начальных классов
              МБОУ «Атратская СОШ»

1
4
55
+

23
99
100
5
=

560 : 7
250 * 200
15 0* 200
20180 : 10
800 * 60
200 : 2
3500 : 5
30 * 20
50150 : 10
90 * 3000
500 * 40
320 : 8
810 : 9
5400 : 6
600
5015
70
80
900
270000
40
20000
90
48000
100
30000
2018
50000
30000
2018
700
100
48000
50000
5015
900
270000
40
20000
90
ВСЕХ
2
5
3
4
,
ЦАРИЦА
,
МАТЕМАТИКА
,
НАУК.
  Вычислите, запишите ответ:
         355 – 50*7
Реши задачу, запиши ответ:
     Ученик решает 10 примеров за 40 минут. Сколько
минут  в среднем идёт на решение одного примера?
Запишите номер примера, в котором допущена
ошибка:      1.   96000 :  100 = 960
                    2.   1250  :   10  =  125
                    3.  95000 :  1000 = 950

Запишите номер верного утверждения:
     Чтобы найти делитель, нужно:
       1. Делимое умножить на частное.
       2. Делимое разделить на частное.
-
3,  5,  2,  4.
Чтоб врачом, моряком
Или лётчиком стать,
Надо твёрдо на «5»
Математику знать!

                                       Добро
                                      пожало
                                        вать!

МАТЕМАТИКА

Частное чисел 350 и 7 увеличь на 20.
Из 800 вычти произведение чисел 30 и 9.
К 50 прибавь частное чисел 36 и 6.
Чему равно 3/5 тонны?
Найди периметр квадрата со стороной 9 см.
Чему равна ширина сада, если его S=54 кв.м, а его
длина 9 м?
70
530
56
600 кг
36 см
6 м
Сколько дм в 240 см?
24 дм
500 * 6 : 100
4000 * 3 : 100
950 – 720 + 42
140 : 7 * 2
(270 – 50) * 10
Е
Н
Д
И
Л
272
30
2200
30
120
40
30
Д                             е                 л                   е                  н                и                       е
  Деление числа
на произведение
 познакомиться и отработать
 приёмы деления числа
на произведение

Составь задачу и реши её.

12км/ч                          t=2ч                                   13км/ч

?
 Молодцы!
Спасибо
 за урок!

Д/З
№ 90, с. 20

Рефлексия
ВО ВРЕМЯ ПУТЕШЕСТВИЯ БЫЛО ИНТЕРЕСНО И ЛЕГКО, ПОТОМУ ЧТО УМЕЮ БЫСТРО И ПРАВИЛЬНО ВЫЧИСЛЯТЬ, РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

ПУТЕШЕСТВИЕ БЫЛО ИНТЕРЕСНОЕ,
НО НЕКОТОРЫЕ ЗАДАНИЯ ВЫЗЫВАЛИ
ЗАТРУДНЕНИЯ

МНЕ  БЫЛО  СКУЧНО!  Я МЕДЛЕННО
СЧИТАЮ, МНЕ ТРУДНО БЫЛО
ВЫПОЛНИТЬ ЗАДАНИЯ.


title: Скачать презентацию или конспект Единицы измерения длины и массы

extracted_text:
Тренажёр
Начать тест
Использован шаблон создания тестов в PowerPoint
«Единицы измерения длины и массы»
3 класс

Результат теста
Верно: 0
Ошибки: 0
Отметка: 0
Время: 0 мин. 25 сек.
ещё
исправить

Сколько  сантиметров содержится
 в 5 дм?
50 см
55 см
15 см

Какова  общая  масса в килограммах  и  граммах?
1кг 750 г
1 кг 850 г
1 кг 550 г
1 кг
500 г
250 г

 Переведи  массу
1 кг 412 г    в  граммы

1412 г
1421 г
10412 г

Какова  длина  ломанной, если её звенья равны  5 см, 2 см, 8 см, 3 см ?
18 см
15 см
17 см

Сумка с продуктами весит 7 кг 300г, а
пакет – 3 кг 250 г.  На сколько сумка тяжелее пакета?
4кг 50 г
 4 кг 500 г
3 кг 50 г

Первый отрезок  9 см, второй на 6 см длиннее.  Какова  длина  второго  отрезка?
15 см
14 см
13 см

Какое число надо вставить вместо точек, чтобы равенство было верным?
1дм 7 см =  … см

17 см
107 см
71 см

Пачка  тетрадей  весит 600 г. Сколько  весит 7 таких  пачек?
4 кг 200 г
4800 г
4300 г

Сколько  граммов  содержится  в 7 кг ?
 7000 г
700 г
70000 г

Стороны прямоугольника  равны 4 см и 7 см.
Чему равен периметр прямоугольника?

22 см
28 см
11 см

 Сколько  дециметров в 70 м?

700 дм
7 дм
7000 дм

Сколько  килограммов  и граммов в мешке?

7 кг 73 г
7 кг 730 г
70 кг 73 г
7073 г

Длина  первого  отрезка  6 см, длина второго  отрезка  14 см.   На  сколько второй  отрезок  длиннее  первого?
на 8 см
на 7 см
на 9 см

Какой  знак  надо поставить  вместо точек, что бы запись  была  верной?
1дм 3 см….15 см

<
=
>

Что тяжелее:
1кг ваты или 1 кг  железа?
равны
железо
вата