title: Скачать презентацию или конспект История тригонометрии

extracted_text:
Развитие тригонометрии с XVI века до нашего времени
Проект выполнен учащимися 10 А класса СОУ СОШ № 27 Ганновой Еленой и Животовой Кристиной
5klass.net
Издавна установилась такая практика, что при систематическом обучении математике ученику приходится встречаться с тригонометрией трижды. Соответственно её содержание представляется состоящим из трех частей. Эти части при обучении отделены друг от друга по времени и не похожи друг на друга как по смыслу, вкладываемому аппарату, так и по служебным функциям (приложениям).
     В самом деле, в школе тригонометрический материал впервые появляется в курсе планиметрии. С помощью тригонометрии решают плоские треугольники. Тригонометрические соотношения получают названия «синус», «тангенс» и т.д., а их значения предстают перед школьниками уже вычисленными и сведенными в таблицы. Остается лишь выработать навык пользования этими таблицами, что и оказывается основной целью на этом первом этапе занятий тригонометрией в рамках учебного предмета геометрии.

Однако проходит время, и тригонометрия возвращается к школьникам. Но эта тригонометрия не похожа на ту, что  изучали ранее. Её соотношения определяются теперь с помощью окружности (её обычно называют производящей окружностью), а не прямоугольного треугольника. Хотя они по-прежнему определяются как функции углов, но эти углы уже произвольно велики, их меры выражаются в радианах. Иначе выглядит и тригонометрические тождества, и постановка задач, и трактовка их решений. Вводится графики тригонометрических функций. Наконец, появляются тригонометрические уравнения. И весь этот материал представлен перед учащимися уже как часть алгебры, в не геометрии, как прежде.
 Третье обличие принимает тригонометрия, когда она появляется в системе начал математического анализа. Здесь речь идет о классе аналитических функций, называемых тригонометрическими, об их структуре, свойствах и приложениях. Их специфические свойства (периодичность, четность или нечетность и др.) позволяют с помощью формул приведения и иных формул тригонометрии и существенно упрощать аналитический аппарат выражений, связанных с этими функциями, и значительно облегчают операцию с ними.
     К настоящему времени структура тригонометрических частей математики сделалась весьма разветвленной, а связи их с другими частями математики – многообразными и взаимопроникающими. Поэтому все чаще отходят от первоначального смысла термина «тригонометрия»  (который происходит от греческого triywvov – треугольник и uetpew – измеряю, что вместе означает измерение треугольников) и называют эту часть математики гониометрией или даже перестают использовать эти, очевидным образом, устаревшие, но сохраняющиеся в силу исторических традиций термины.
Рано и естественно определились направления развития плоской тригонометрии. Они состояли во введении других тригонометрических характеристик, кроме  птолемеевских хорд; в отыскании формул, выражающих связи между  этими характеристиками: в разработке вычислительных приемов, имеющих целью составления таблиц тригонометрических функций.
     По этим направлениям и происходило накопление тригонометрических знаний в последующие века. Процесс накопления замедлялся или ускорялся в зависимости от общего хода развития математических и вообще научных знаний.
До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась под определяющим влиянием астрономии. Положение в этом смысле мало изменилось даже тогда, когда самостоятельное существование тригонометрии стало общепризнанным фактом. Вслед за Региомонтаном, тригонометрией много занимался Коперник, посвятивший ей две главы своего знаменитого капитального труда «Об общепринятых небесных тел» (1543). К таблице тангенсов Региомонтана Коперник добавил таблицу секансов, что позволило ему заменять деление на синус и косинус умножением в целях облегчения вычисления. Знаменитый астроном Тихо-Браге (1546-1601) разработал много вычислительных приемов, облегчающих задачу решения треугольников как плоских, так и сферических. Таблицы тригонометрических функций, по форме и составу близкие к ныне употребляемым,  составил в 1551 году Ретик, ученик Коперника. К концу 16 века в устойчивый характер приобрели названия всех тригонометрических функций.
Техника оперирования с тригонометрическими функциями достигла к этому времени высокого уровня, и математики не встречали в этом вопросе принципиальных трудностей. В сочинениях И.Кеплера, Й.Бюрги, Ф.Виета и других математиков встречаются сложные преобразования с тригонометрическими функциями, выведены многие формулы. Особенно примечательным для тематики, рассматриваемой в настоящей главе, представляются работы Виета.
     Исходя из известных уже формул для синуса и косинуса двух углов, Виет получил выражения для этих же функций в случае кратных аргументов, а также многие формулы, в том числе рекуррентные. Среди результатов Виета появились и такие, в которых устанавливались связи между тригонометрией и алгеброй. Он сумел установить связь между задачами о делении угла на равные части и задачами выделения классов алгебраически разрешимых уравнений.

Новое обогащение содержания тригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после первых ошеломляющих открытий понадобилось привести в систему математический анализ, пришлось сделать тоже и с тригонометрическими уравнениями. Эта работа, ее результаты нашли свое отчетливое выражение в трудах Л.Эйлера.
     Эйлер ввел близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безразмерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, получающиеся из круга.
     Теперь тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций как действительных, так и комплексных аргументов.
     В 1770 году появилось и удерживающее до наших дней название тригонометрические функции. Его ввел Г.С. Клюгель в работе «Аналитическая тригонометрия».
В то же примерно время (т.е. во второй половине 18 века)  построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний развивалось и в несколько ином направлении. И.Г. Ламберт (1728-1777) в «Очерках об употреблении математики и её приложений» (1770) провел обобщение тригонометрии на четырехугольники, создав, таким образом, тетрагонометрию. Еще через несколько лет, в 1774-1776 годах, в работах А. И. Лекселя (1741-1784) было произведено дальнейшее обобщение и построена полигонометрия.
     Результаты Лекселя были существенно дополнены С.Люилье  (1750-1840) в книге «Полигонометрия, или об измерении прямолинейных фигур» (1789). Основную роль в исследованиях Люилье играло выражение для площади многоугольника, которую он вычислял так: откинув одну из n сторон, он составил все парные произведения остальных n-1 сторон на синусы углов между этими сторонами и, складывая полученные (n-1)(n-2)/2 произведений, нашел удвоенную площадь многоугольника. Исходя из этой формулы, Люилье получил все  формулы полигонометрии, в том числе и формулы Лекселя. Свои теоремы Люилье применил к решению n-угольника: по n-1 сторонам и n-2 углам; по всем углам и n-2 сторонам; по всем сторонам и n-3 углам.
Наконец, Люилье обобщил  и эти результаты на пространственные случаи и, развивая работы Эйлера о многогранниках, создал (в 1799-1805) полиэдрометрию  - учение об измерении многогранников (полиэдров), описав её в работе «Теоремы полиэдрометрии». Основной теоремой полиэдрометрии является следующая: «Площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с этой гранью.
     Таким образом, к 19 веку тригонометрия приобрела разнообразные интерпретации, не теряя своей теоретической целостности, а наращивая её.
Леонард Эйлер

Леонард Эйлер ввел и само понятие функции и принятую в наши дни символику.
 Он придал всей тригонометрии ее современный вид.
Якоб Бернулли

Якоб Бернулли, совместно с братом  Иоганном, положил начало вариационному исчислению.  Они доказал в 1713г.  так называемую теорему Бернулли - важный частный случай закона больших чисел.

Якоб Бернулли
Франсуа Виет
Франсуа Виет дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических  треугольников, открыл формулы для тригонометрических функций от кратных углов.
Итоги
Мы узнали о различных ученых, которые внесли вклад в развитие тригонометрии. Подробно узнали о том, как происходило развитие тригонометрии с 16 века до настоящего времени.
Ресурсы.
Материл : Большой энциклопедический словарь по математике
Картинки : http://www.sduto.ru/87/http://www.rezko.ru/other/oth16/002   http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s2node2.html


title: Скачать презентацию или конспект Множество. Элемент множества

extracted_text:
Множество.Элемент множества.

Множество:
множество четных чисел;
множество двузначных чисел;
множество правильных дробей со знаменателем 5;
множество диагоналей многоугольника;
множество точек координатной плоскости;
множество прямых, проходящих через данную точку.
	Объекты или предметы, составляющие множество, называют элементами множества.

	Например: число 89 – элемент множества двузначных чисел.
	Множества бывают конечные и бесконечные.
	Например: множество двузначных чисел – конечное множество (оно содержит 90 элементов),
	а множество четных чисел – бесконечное множество.
Пустое множество
	Конечные множества обычно записывают с помощью фигурных скобок.

	Например, множество вершин шестиугольника можно записать так:
	Множества принято  обозначать  большими буквами латинского алфавита.

	Например, можно записать так
	Для основных числовых множеств введены специальные обозначения: множество натуральных чисел обозначают буквой N (от латинского слова natural – «естественный», множество целых чисел – буквой Z (от немецкого слова zahl – «число», множество рациональных чисел – буквой Q (от латинского слова quotient – «отношение»).
	В тех случаях, когда задание множества перечислением элементов невозможно (как для бесконечного множества) или громоздко (как для конечного множества с большим числом элементов), множество задают описанием, указав его характеристическое свойство, т.е. свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.
множество всех натуральных чисел от 1 до 14 включительно;
множество всех натуральных чисел, меньших 15;
множество значений х, где 		  и
	Тот факт, что множество А состоит из элементов х, удовлетворяющих этим условиям, будем записывать так:


title: Скачать презентацию или конспект График движения

extracted_text:
Урок математики 4 класс УМК «Школа 2100»
Автор:
Михайлова Татьяна Ивановна
учитель начальных классов,
МБОУ «СОШ № 2 с углубленным
изучением отдельных предметов»,
город Лысьва, Пермский край
mixailovatania@mail.ru
математика
Расположи ответы в порядке убывания
42: 3 х 5
80: 16 х 13
72: 6 х 2
96: 24 : 4
76: 19 х 18
68: 4 х 3
15 х 6: 18
14х 6 : 7
18х 3 :27
48: 3 х 4
О
И
Н
Т
Р
А
Д
К
А
О
Укажите координаты
вершин многоугольника
А (0;3)
В (1;7)
С (5;8)
D (6;6)
K (3;0)

Сиропчик, Тюбик и Незнайка вышли
одновременно из Солнечного города
по одной дороге со скоростями
соответственно 3 км/ч,4км/ч и 5км/ч.
Изобрази их движение на координатном луче и определи расстояние между малышами через 4 ч после начала движения.

учебник
С. 69
Тема урока:
График движения
Цель:
Познакомиться с графиком движения
Научиться строить график движения
Анализировать график движения

А
График движения

9 ч
16 км
12ч 20 мин
28 км
нет
12 км/ч
8 км
24 км
Самостоятельная работа
Тема урока:
График движения
Цель:
Познакомиться с графиком движения
Научиться строить график движения
Анализировать график движения
начало
урока
середина
урока
конец
урока
О

3
5
4

Рефлексия


title: Скачать презентацию или конспект Предел числовой последовательности

extracted_text:
Числовые последовательности
Автор: Елена Юрьевна Семёнова
МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный
pptcloud.ru
Содержание
Понятие числовой последовательности
Примеры числовых последовательностей
Способы задания последовательностей
Ограниченность числовых последовательностей
Возрастание и убывание числовых последовательностей
Предел числовой последовательности
Гармонический ряд
Свойства  пределов
Примеры
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Предел функции на бесконечности
Предел функции в точке
Непрерывность функции в точке

Понятие числовой последовательности
Рассмотрим ряд натуральных чисел N:
1,  2,  3,  …,  n – 1,  n,  п + 1,  …
Функцию y = f(x), x  N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают      y = f(n) или  y1,  y2, …, yn, … или {уn}.

Величина уn называется общим членом последовательности.

Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

Примеры числовых последовательностей
1,  2,  3,  4,  5, … –  ряд натуральных чисел;
2,  4,  6,  8,  10, … – ряд чётных чисел;
1,  4,  9,  16,  25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5,  10,  15,  20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5, ... – ряд вида 1/n, где nN;
и т.д.

Способы задания последовательностей
Перечислением членов последовательности (словесно).
Заданием аналитической формулы.
Заданием рекуррентной формулы.
Примеры:
Последовательность простых чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q

Ограниченность числовой последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Пример:  -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≤ М
Число М называют верхней границей последовательности.
Ограниченность числовой последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Пример:  1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.

Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≥ m
Число m называют нижней границей последовательности.
Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Возрастание и убывание числовой последовательности
Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.
Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными
Предел числовой последовательности
Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел.
Это понятие имеет более строгое определение.
Число а называется пределом числовой последовательности {уn}:

если для любого ε > 0  найдется такое число
N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│< ε при n > N

Предел числовой последовательности
Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a – ε, a + ε).
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Рассмотрим  последовательность:

– гармонический ряд
Если │q│< 1, то
Если │q│> 1, то последовательность  уn = q n
расходится

Свойства  пределов

предел частного равен частному пределов:
предел произведения равен произведению пределов:
предел суммы равен сумме пределов:

постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Примеры:

Если mN, kR, то

 Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Пример:
Дано:  b1 + b2 + b3 + b4 + … + bn + … = 9;
(b1)2 + (b2)2 + (b3)2 + (b4)2 + … + (bn)2 + … = 40,5.
Найти:  b5.
Решение:

  Предел функции на бесконечности
В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).
х
у

y = f(x)
0
у = b
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

Предел функции в точке
Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех    x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε.
х

y = f(x)
0
b
у
а

Непрерывность функции в точке
Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке
x = a, если выполняется условие
Примеры:


title: Скачать презентацию или конспект Божественная мера красоты

extracted_text:
Божественная мера красоты
Выполнила:
студентка 2 курса ФИиХО
Сотникова Евгения

Что общего?
Последовательность Фибоначчи
	 Одна из задач гласила
     «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится»..

Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит
на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется
по достижению двухмесячного возраста
В итоге получается такая последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
где показано количество пар кроликов в каждом месяцев.
Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго.
Её суть в том, что каждое следующее число (начиная с третьего)
 является суммой двух предыдущих. А отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Древнегреческий скульптор Фидий
(начало V века до н.э.).
Руководил строительством храма Парфенон в Афинах.
В пропорциях храма многократно присутствует число φ

Ф = 1,618034…  ≈   1,62
1/Φ= φ
φ≈0,61803398≈0,62
Золотое сечение обозначают Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия.
К чему всё это? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение. Под золотым сечением понимается такое пропорциональное деление отрезка на неравные части. При котором длина всего отрезка так относится к его большей части, как длина большей части относится к длине меньшей.

a+b
   a                     b
(a+b) : b = b : a=Ф
     38%                                  62%

 пропорции, близкие к золотому сечению

«Пристальное и глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». 					Фурье Ж
	Все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Разумеется, есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению

Числа управляют  мировым порядком. На числах основана гармония Вселенной.                        			Пифагор
Отношение высот нижней и верхней частей, на которые статую делит пупок, равно золотому сечению; в свою очередь, основание шеи делит верхнюю часть также в золотом сечении; колени делят нижнюю часть в золотом сечении, и т. д.

Статуя Поликлета «Дорифор»
Пропорции фигуры
человека и отдельных
ее частей подчинены правилам «Золотого сечения»

«Сравнение математических фигур и величин служит материалом для игр и обучения мудрости»        						Песталоцци И.Г.
Аполлон Бельведерский
Знаменитая статуя Аполлона Бельведерского также состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.
Венера Милосская

«Венера Милосская»И целомудренно и смело,До чресл сияя наготой,Цветет божественное телоНеувядающей красой.Под этой сенью прихотливойСлегка приподнятых волосКак много неги горделивойВ небесном лике разлилось!Так, вся дыша пафосской страстью,Вся млея пеною морскойИ все победной вея властью,Ты смотришь в вечность пред собой.

Афанасий Фет
 Сандро Ботичелли  «Рождение Венеры» (около 1485 г).

«Поистине живопись – наука и законная дочь природы…»						Леонардо да Винчи
Пропорции Венеры выполнены в золотом сечении
«Гёте удачно назвал благородный собор «окаменелой музыкой», …»
  Церковь Покрова Богородицы на Нерли 1165 год «Простая» красота пропорций золотого сечения.

	На этом плане хорошо видно, что части здания соотносятся в пропорции золотого сечения
«…, НО, БЫТЬ МОЖЕТ, ЕЩЁ ЛУЧШЕ БЫЛО БЫ НАЗВАТЬ ТАКОЙ СОБОР
«ОКАМЕНЕЛОЙ МАТЕМАТИКОЙ»
ЮНГ Д.
Собор Василия Блаженного
«Витрувийский человек» Леонардо да Винчи
Разрабатывая правила изображения человеческой фигуры, Леонардо да Винчи пытался на основе литературных сведений древности восстановить так называемый «квадрат древних».
Он выполнил рисунок, в котором показано, что размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг.
При исследовании рисунка можно заметить, что комбинация рук и ног в действительности составляет четыре различных позы.
Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение длины к ширине даёт число Ф, называется золотым прямоугольником.
Золотой прямоугольник

А                               В
Д                               С

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников. Так, выбирая размеры картины,
художники старались,
чтобы отношение ее сторон
равнялось  Ф

Прямоугольная форма книг, бумажников, тетрадей, фотографических
карточек, рамок для картин,
столы, шкафы, ящики, окна, двери –
более или менее удовлетворяют пропорции золотого сечения.
Золотое сечение в живописи и фотографии
На живописном полотне существуют четыре точки повышенного внимания.
Зрительные центры расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев любой картины и фотографии.
Тайная вечеря Леонардо да Винчи
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль  единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо это свойство послужило причиной того, что в живой природе она встречается чаще других. По логарифмической спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, она встречается в соцветиях растений, даже пауки , сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали. В основе структуры далеких космических галактик так же лежит золотая спираль.

Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).
Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.
Золотая спираль в картине Рафаэля"Избиение младенцев»
«Золотая спираль выбрана
как композиционная основа рисунка Рафаэля
А
В
С
Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

Золотой треугольник
    Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи.
   Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618.

Также таким пропорциям подчиняются и мексиканские пирамиды. Только в поперечном сечении пирамиды видна форма, подобная лестнице. В первом ярусе 16 ступеней, во втором 42 ступени и в третьем - 68 ступеней.
Пирамида Хеопса
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
 Золотое сечение в пентаграмме.

красный
синий
синий
зеленый
зеленый
фиолетовый

Ф=------=-------=-------

«Не знающий геометрии да не войдёт в Академию».                                                                                Платон
	Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.
Пентаграмма – тайный знак пифагорейского братства – была выбрана ими в качестве символа жизни и здоровья.

Пентаграмму  изображали для того,  чтобы  спастись  от проникновения в дом злых духов.
          Отрывок из «Фауста»:
   М е ф и с т о ф е л ь
Трудновато выйти мне теперь.
Тут кое – что мешает мне немного:
Волшебный знак у вашего порога.
                          Ф а у с т
Так пентаграмма этому виной?
Но как же бес пробрался ты за мной?
Каким путём впросак попался?
М е ф и с т о ф е л ь
Изволили её вы плохо начертить.
И промежуток в уголку остался,
Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить.
Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.
Микеланджело
«Святое семейство»
Портрет «Мона Лиза» (Джоконда) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
«Кто любит учиться – никогда не проводит время в праздности»                                                                                Монтескье Ш
«Ни тридцать лет ни тридцать столетий не оказывают                    никакого влияния на ясность или на красоту геометрических тел»                                                                                Кэррол Л.
	Раифский мужской монастырь – единственный в Татарии сохранившийся монастырский комплекс, построенный в XVII веке. Комплекс имеет форму пятиугольника.

Пентагон в США
Комплекс имеет форму правильного пятиугольника, сотканного из золотых пропорций.
Два главных Платоновых тела, додекаэдр и икосаэдр, основаны на Золотом Сечении.
Икосаэдр и додекаэдр
    «Если бы мне пришлось начать вновь своё обучение,                               то я последовал бы совету Платона                                                                     и принялся бы сперва за математику».                                                                                Галилей  Г.
Платон считал додекаэдр самым «правильным» из всех правильных многогранников,     т. к. его грани – правильные пятиугольники – сотканы из золотых пропорций.

По Платону: пять правильных  многогранников – пять стихий. Додекаэдр олицетворяет вселенную.

	Кристаллы пирита имеют форму  додекаэдра – поверхности, составленной из 12 правильных пятиугольников.
     Как показывают раскопки в Италии, пирит был любимой игрушкой этрусских детей во времена Пифагора.

Рисунок кристалла пирита
Кристаллы пирита
«Мышление начинается с удивления»                                                                             Приписывается Аристотелю
	Леонардо да Винчи любил мастерить каркасы правильных тел и преподносить их в дар знатным особам, возможно пытаясь таким образом приобщить сильных мира сего к философским размышлениям о красоте вечных истин.
Рисунки Леонардо да Винчи
из книги Луки Пачоли
«Божественная пропорция»
	Бог – отец «оберегает» вселенную,
имеющую форму додекаэдра.
	12 граней додекаэдра и 12 апостолов  Христа
не просто совпадение –
в картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря»
заключён глубокий религиозный смысл.
СОХРАНИТЬ ЗЕМЛЮ- ЗНАЧИТ СОХРАНИТЬ ЗОЛОТЫЕ ПРОПОРЦИИ
 Земля как планета в процессе развития оставила себе явления, основанные на "золотом сечении".
      Например, соотношения суши и воды на поверхности Земли находятся в золотой пропорции. Случайно ли это? Наверное нет, так как за 4,5 миллиарда лет планета должна была достичь оптимального состояния. И это выразилось в том, что, с соотношение суши и воды на ее поверхности стало равным отношению золотой пропорции.
62%
38%

«Высшее назначение математики…состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает».                                                                                Винер Н.
О выборе длины юбки
Длину юбки можно рассчитать по следующим формулам:
Микро-мини: ДИ =  0,18 * Р
Мини: ДИ =  0,26 * Р
Группа мини-юбок довольна широка, поэтому выбор нужной длины можно делать в диапазоне - от 0,22 * Р до 0,3 * Р.
Длина до колена: ДК = 0,35 * Р
                                    ДИ = ДК – 3
Юбка-миди: ДИ= 0,5 * Р
Длину "миди" можно выбирать из диапазона - от 0,4 * Р до 0,55 * Р
Юбка-макси: ДИ = 0,62 * Р
Все приведенные выше формулы разработаны на основе Золотого сечения и позволяют создавать модели поясной группы, идеально подходящие любой девушке.

*ДИ – длина изделия; ДК – уровень колена; Р - рост


title: Скачать презентацию или конспект Столбчатые диаграммы

extracted_text:
Методическая разработка Басаевой В.С., учителя математики
МОУ СОШ п.В.Фиагдон Алагирского района
2010г
ДИАГРАММЫ
СТОЛБЧАТЫЕ
«Скажи мне и я забуду,Покажи мне и я запомню,Вовлеки меня и я научусь».                  Китайская мудрость.

1
2
3
4
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5

B(-3;4)
A(4;3)
D(0;3)
F(5;4)

C(1;0)

E(-3;-2)
0
Х
У
Круговая диаграмма площадей океанов (млн.кв.км.)

Численность населения на 1января 1996г.
Продолжительность жизни некоторых животных
Выполните в тетради:
3)
2)

1) №1425.
Алгоритм построения диаграмм:

1.Заполнить таблицу данных.

2.Выделить ее.

3. Подвести указатель мышки к
   кнопке «Мастер диаграмм» и щелкнуть левой клавишей.

4.Выбрать тип диаграммы.

5.Задать различные параметры.

6.Оформить по своему вкусу.

Смотри и
Запоминай !

МОЛОДЦЫ !
Ответьте по рисунку на вопросы :
Домашнее задание:  п.46
СПАСИБО  ЗА  УРОК !
Литература:
1.Н.Я.Виленкин. «Математика 6».

2.Математика. Справочник школьника.

3.Различные интернет – источники.


title: Скачать презентацию или конспект Как возникли дроби

extracted_text:
КАК  ВОЗНИКЛИ
ДРОБИ…
Роман Корженевский, 5 класс
2
Слыхали ли Вы о том, как ломают числа? А ведь ломаными числами пользуются и теперь, только называют их иначе. Попробуйте из торта получить четвертинку! Для этого надо разломить или разрезать весь торт на четыре равные части.
     Так и с числами:  чтобы из одного получить половину, надо разделить или «разломить» единицу на два. Вот отсюда и пошло название ломаные числа. Теперь их называют дробями. Если единицу «разломим» на две части, получим дробь ½. Если разделим единицу на три, то получим дробь ⅓. И так далее…
Роман Корженевский, 5 класс
3
И в «Арифметике» преподавателя навигацкой школы Леонтия Филипповича Магницкого были изложены сведения о дробях как о ломаных числах. Вот что там можно прочесть: «Число ломаное… есть токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется ещё  ½ рубля…»
Магницкий первым среди русских математиков рассказал, как производить действия с дробями и обыкновенными, и десятичными.
Роман Корженевский, 5 класс
4
Существовало понятие «ломаное число» и в других странах. Оно ведёт своё начало от арабов.

А в Европе
это название распространилось благодаря работам Фибоначчи.
Роман Корженевский, 5 класс
5
     Дроби  появились в то время, когда человек стал измерять различные величины – длину, массу, площадь… Ведь часто было недостаточно использовать единицу меры длины целое число раз: приходится учитывать доли или части единицы.

Самая первая дробь, введенная  раньше других, была половина. Даже  ребёнку ясно, что такое половина яблока или булочки, и как сделать такое деление пополам на самом предмете. Похожие ситуации помогли и нашим далёким предкам понять, что такое половина.
«Как будем делить бизона???»
Роман Корженевский, 5 класс
6
За половиной последовало знакомство с половиной половины или 1/4, затем с половиной четверти - 1/8,.. а затем появились и 1/3, 1/6, 1/9…

… это были  так называемые единичные дроби:  их числитель всегда выражен единицей.

Вот и поделили!
Роман Корженевский, 5 класс
7
Первые упоминания о дробях найдены на глиняных табличках Древнего Вавилона. Так как сама система исчисления в Вавилоне была шестидесятеричная, то вавилоняне предпочитали постоянный знаменатель «60».
Но через шестидесятеричные дроби было довольно сложно точно выразить такие дроби, как 1/7, и  их выражали приближенно.

Роман Корженевский, 5 класс
8
1/7  ≈   1/60
          +1/60
          +1/60
          +1/60
          +1/60
          +1/60
          +1/60
          +1/60
          +1/120
   Да-а-а-а, дело  небыстрое, но, похоже, нашим предкам суета была неведома…
Роман Корженевский, 5 класс
9
     Вавилонские мудрецы додумались разделить сутки на 24 часа. А затем час разделили на 60 минут и значительно позже минуту – на 60 секунд. Так же они разделили свою меру весов талант на 60 мин, а мину – на 60 шекелей.
     Соотношение часов, минут и секунд, принятое в Вавилоне, впоследствии перешло в Индию и в страны Европы и сохранилось в первоначальном виде до наших дней!
Роман Корженевский, 5 класс
10
    Древние египтяне тоже умели считать единичные дроби. Но они уже знали и дроби ⅔ и ¾.

     Египтяне пользовались единичными дробями даже тогда, когда имели дело с бОльшим количеством долей. Такую дробь они представляли в виде суммы единичных дробей,  т.е. дробей вида 1/n.
    Например, вместо 8/15 они писали 1/3+1/5, упуская знак «+»:

8/15 = 1/3  1/5.

Египтяне имели и умножать дроби, и делить их.

Роман Корженевский, 5 класс
11
     А вот в старинном папирусе Ахмеса есть такая задача:
              "Разделить 7 хлебов между 8 людьми".
     Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.
     А по-египетски эта задача решалась так.
     Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.
Роман Корженевский, 5 класс
12

     Методы подсчетов при помощи единичных дробей перешли от египтян в Грецию, от греков к арабам, а от них уже в Западную Европу.
     Только спустя тысячелетия греки стали пользоваться дробями, которые мы сегодня называем обыкновенными.  Правда, для их записи древние греки применяли порядок, обратный нашему: знаменатель они писали вверху, а числитель – внизу.  В V веке до н.э. греки выполняли все арифметические действия с обыкновенными дробями.

Роман Корженевский, 5 класс
13
Интересная система дробей была принята в Древнем Риме. Путь, время и другие величины сравнивали с весом.  Единицу веса «асс» римляне делили на двенадцать долей. Одна двенадцатая называлась «унцией». Поэтому римлянин мог сказать, что он прошёл семь унций пути или прочёл пять унций книги.
При этом
имелось
в виду, что
пройдено
7/12 частей всего пути
или прочтено 5/12 объёма
всей книги.

Роман Корженевский, 5 класс
14
Двенадцатые доли дробились на двенадцать ещё и ещё…
Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось.
А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус".
Роман Корженевский, 5 класс
15
     Современная система записи дробей с числителем вверху и знаменателем внизу была создана в древней Индии, только дробной черты индийцы не писали. Правила действий с дробями были изложены индийским учёным Брахмагуптой в 8 веке н. э. и немногим отличаются от наших.
Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в арабских странах в 9 веке благодаря узбекскому учёному Мухаммеду Хорезмскому
(аль-Хорезми).

Роман Корженевский, 5 класс
16
Первый, кто применил ныне принятую запись дробей с
разделительной дробной чертой,
стал итальянский
математик
Леонардо Пизанский, известный под
прозвищем Фибоначчи.
     Но дробная черта стала  общеупотребительной лишь в XVI веке.

Роман Корженевский, 5 класс
17
А в Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер. Дробь обозначали, используя меры длины:
чи, цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки.
Дробь вида 2,135436 выглядела так:
2 чи,
1 цунь,
3 доли,
5 порядковых,
4  шерстинки,
3 тончайших,
6 паутинок.

Роман Корженевский, 5 класс
18
В XV веке, в Узбекистане, вблизи города Самарканда жил математик Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Он наблюдал за движением звезд, планет и Солнца.  В этой работе ему необходимы были десятичные дроби.
В 1424 году  ал_Каши издал книгу "Ключ к арифметике", в которой показал запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Для отделения целой части от дробной ученый то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов.

Но этот труд до европейских ученых своевременно не дошел.

Роман Корженевский, 5 класс
19
В 1585 г., независимо от ал-Каши, фламандский  ученый Симон Стевин предложил свой вариант записи десятичных дробей и разработал правила действий над ними. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом разделяя их буквами или нумеруя.

Например, число 12,761 записывалось так:
120761
или число 5,3752 записывалось так:
5⓪3752.
  Именно Симона Стевина и считают изобретателем десятичных дробей.
Роман Корженевский, 5 класс
20
     Теперь все математики Европы пытались найти удобную запись десятичной дроби.
    В книге "Математический  канон" французского математика Франсуа Виета десятичная дробь записана так:

2 135436
Здесь дробная часть
и подчеркивалась,
и записывалась
выше строки
целой части числа.

Роман Корженевский, 5 класс
21
Отделение целой части запятой предложил  Иоганн Кеплер в 1571  г., а в 1617 г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.
В англоязычных странах (Англия, США, Канада и др.) и сейчас вместо запятой пишут точку, например:
2.3  и  читают:  two point three.

Джон Непер
Иоганн
Кеплер
Роман Корженевский, 5 класс
22
Действия с дробями и сейчас не всем легко даются. Но ведь пятьсот лет назад умение обращаться с дробями было вершиной арифметики, великие умы гордились этим знанием! А сейчас мы изучаем дроби уже в младших классах…

Между прочим, со средних веков в немецком языке сохранилась поговорка «попасть в дроби», равнозначная нашей «попасть в переплёт»,  - о трудном, а то и вовсе безвыходном положении…
Роман Корженевский, 5 класс
23
При подготовке презентации мне посчастливилось прочитать интересные книги:

1. Занимательная математика в рассказах для детей / авт.-сост. А.П.Савин и др. –М.: АСТ: Астрель, 2011
2. Депман И.Я. Мир чисел. - М.: Детская литература, 1966
3. Свечников А. А. Путешествие в историю математики, или Как люди научились считать -: М., Педагогика-Пресс, 1995.
Роман Корженевский, 5 класс
24
СПАСИБО
ЗА ВНИМАНИЕ!


title: Скачать презентацию или конспект Конус

extracted_text:
Тема: «КОНУС»
Государственное образовательное автономное учреждение для детей-сирот и детей,
 оставшихся без попечения родителей, специальная (коррекционная) школа-интернат № 5
 для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, с ограниченными возможностями здоровья,
пгт.Новобурейский
Выполнила учитель математики:
Лысенко Татьяна Авхалтдиновна
Цель урока:
Познакомиться с понятием конус как геометрическое тело.
Рассмотреть основные элементы конуса.
Научиться различать полный и усеченный конусы.

Как называются тела, изображенные на рисунке?

R

1. Понятие конус  как геометрическое тело.Какую геометрическую форму напоминают эти предметы?
Рассмотрите рисунок.

Полный конус
Усечённый конус
2. Основные элементы конуса.
Полный конус имеет:
основание;
полную и боковую поверхности;
вершину;
высоту.

Основание
Вершина
Полный конус:
Усечённый конус:
Основание
Усечённый конус имеет:
два основания – верхнее и нижнее;
высоту;
полную и боковую поверхности.

Основания конусов -  круги.

 Высота в полном конусе – это отрезок, который соединяет вершину с центром круга (основания).

Высота  в усечённом конусе – это отрезок, который соединяет центры кругов (нижнего и верхнего оснований).
Физминутка

Если правильно названа фигура – руки вверх, ноги под стул.
Если ответ неправильный – руки вниз, ноги вперед.
   Множество всех точек, принадлежащих боковой поверхности конуса, называются боковой поверхностью данного конуса.

4. Понятие поверхности конуса.
Боковая поверхность
Вывод: Полную поверхность усеченного конуса составляет боковая поверхность и два основания – верхнее и нижнее.
Верхнее основание
Нижнее основание
Боковая поверхность

Из чего состоит полная поверхность полного конуса?

Практическая работа

Размышляем
Подумай и зарисуй, что будет, если валики будут такой формы
Итог урока:
Конус как геометрическое тело.
Основные элементы конуса.
Полная поверхность конуса.

Домашнее задание:
выучить определение полной
поверхности полного и усеченного
конуса.
Назовите ещё предметы, имеющие форму конуса.
СПАСИБО
ЗА ВНИМАНИЕ!


title: Скачать презентацию или конспект Сложение и умножение числовых неравенств

extracted_text:
Сложение и умножение числовых неравенств
МАОУ Ильинская средняя общеобразовательная школа
Учитель математики и информатики: С.А. Абрамкина
31.01.2017
Алгебра. 8 класс.
Цель урока:
рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств.
31.01.2017
Проверка домашнего задания
31.01.2017
Д.м. стр.84 С-33
1. Запишите верное неравенство, которое получится, если:

Проверка домашнего задания

31.01.2017
Проверка домашнего задания

31.01.2017
Устная работа
Оцените значение выражений и заполните пропуски, напишите знаки сравнения.

31.01.2017
Если x>-3, то

2x

Устная работа
Оцените значение выражений и заполните пропуски, напишите знаки сравнения.

31.01.2017

31.01.2017
Физкультминутка
Ребята, встаньте, подготовьтесь к физкультминутке
31.01.2017
Самостоятельная работа
Пожалуйста присядьте к компьютерам
31.01.2017
Давайте подведем итоги урока
Сформулируйте теорему о почленном сложении числовых неравенств
31.01.2017
Сформулируйте теорему о почленном умножении числовых неравенств
Как вы думаете, данные теоремы справедливы только для двух числовых неравенств?
Что значит оценить значение выражения?
Домашнее задание
Д.м. С-34, стр.35: №№1, 2, учебник: №769
31.01.2017
Закончите предложение
Я сегодня познакомился с ...
У меня сегодня получилось ...
Но, хотелось бы ...
31.01.2017


title: Скачать презентацию или конспект Декартова система координат на плоскости

extracted_text:
Декартова система координат на плоскости
Математика, 6 класс
 Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом друг к другу:
О – точка пересечения
       осей  х и у,
       начальная точка
       системы координат.

Ось х – ось абсцисс
Ось у – ось ординат

х
у
О

Плоскость, на которой задана декартова система координат, называется координатной плоскостью
     Пусть А – произвольная
точка плоскости.
     Проведем через точку А
прямые, параллельные
осям координат.
     Прямая, параллельная
оси у, пересечет ось х    в
точке А1.
     Прямая, параллельная
оси х, пересечет ось у    в
точке А2.
А1 –   абсцисса точки А
А2 –  ордината точки А

у
х
О
1

1
-1
-1
2
3
4
2
3
4
-2
-3
-4
-2
-3
-4
.
А

А1
А2
А (4; 3)

А (х; у)

у
х
О
1

1
-1
-1
2
3
4
2
3
4
-2
-3
-4
-2
-3
-4
.
.
.
.
.
А
В
С
D
Е
Определите координаты точек:
Проверка:
                А (2; 3)
                В (-1; 2)
                С (-1; 0)
                D (-3; -2)
                Е (3; -4)
Прямоугольная система координат   хОу   разделяет плоскость на четыре угла, называемые координатными углами или координатными четвертями

I     x>0, y>0
II    x<0, y>0
III   x<0, y<0
IV   x>0, y<0

х
у
О
I
II
III
IV
Если на плоскости задана прямоугольная система координат  хОу, то:
каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

.

х1
у1
х
у
О
А
А (х1; у1)
Если на плоскости задана прямоугольная система координат  хОу, то:
разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

х
у
О
.
.
А (х1; у1)
В (х2; у2)

 (х1; у1)
у
х
О
х1
у1

А
Если на плоскости задана прямоугольная
система координат  хОу, то:
 каждая упорядоченная пара
   чисел соответствует
   некоторой одной
   точке плоскости
.
Если на плоскости задана прямоугольная система координат  хОу, то:

каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);
разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;
каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой одной точке плоскости

          Иначе говоря, между точками плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие
Ответьте на вопросы:
где находятся точки, абсциссы которых равны нулю?
где находятся точки, ординаты которых равны нулю?
в каких координатных углах находятся точки, абсциссы которых положительны?
в каких координатных углах находятся точки, ординаты которых положительны?
Проверьте себя:

1) где находятся точки, абсциссы которых равны нулю?
2) где находятся точки, ординаты которых равны нулю?
3) в каких координатных углах находятся точки, абсциссы которых положительны?
4) в каких координатных углах находятся точки, ординаты которых положительны?
1) на оси у; 2) на оси х; 3)  I, IV;  4) I, II

Ренэ Декарт (1598 – 1650)
Французский философ и математик.
В области точных наук Декарту принадлежат:
введение более простых обозначений в алгебру;
основная теорема в теории определения числа положительных и отрицательных корней уравнения;
методы проведения касательных к кривым;
изобретение аналитической геометрии и многочисленных ее приложений.
В физике:
установление закона инерции;
сложение движений;
закон преломления и отражения света и др.

Назад
Об авторе

    Новую тему объясняла Исайчева Анастасия

Февраль, 2009 г


title: Скачать презентацию или конспект Отображение плоскости на себя

extracted_text:
.
Бабакова Надежда Сергеевна
 учитель математики МОУ СОШ №17
   с. Сухая Буйвола Петровского района.

Движение.
pptcloud.ru

Комбинированный урок геометрии в 9 классе общеобразовательной школы по учебнику Л.Г. Атанасяна с применением проблемных ситуаций и решением задач исследовательского характера.
Отображение плоскости на себя.
Осевая симметрия.

Отображение плоскости на себя.
Центральная симметрия.

В1
В
А
С
С1
А1

О
Наложения и движения.
Наложение -это отображение плоскости на себя, т.е. любое наложение является движением.

 Любое движение является наложением.
При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Параллельный перенос.
Параллельный перенос является движением.

а

А
В

А1
В1

1
2
3
А
В
С
К
Р
М
D
Поворот.
Поворот является движением, т.е.отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

А
В
М
О
А
В
С
D
Построить треугольник КРМ, который является отображением треугольника АВС
при повороте на угол 180° по часовой стрелке (против часовой стрелки).
Проверь себя.
1. В трапеции АВСД боковые стороны АВ и СД равны.
   а. Постройте отрезок СА1, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор ВС.
   б. Найдите площадь треугольника А1СД, если АД=10 см, ВС=4см, АВ=6см.

     2.Построить треугольник АВС, который является отображением треугольника МРК при его повороте на угол 120°.

  1. Сегодня на уроке я узнал, что…
  2. Мне понравилось…
  3.Мне не понравилось…

Вопросы 14-17, с.281, №1163а).
     Построить отрезок КР, на который     отображается отрезок АВ при повороте на
     вокруг точки О на угол 60°.

итоги урока.
домашнее задание.


title: Скачать презентацию или конспект Теория вероятности в школе

extracted_text:
Теория вероятностей для основной и средней школы
pptcloud.ru
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: в теории надёжности, теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок, теории управления, теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит для обоснования математической статистики.
Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз.
Результатом испытания является событие. Конкретный результат испытания называется элементарным событием (исходом).
Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний происходят все  элементарные события, принадлежащее сложному.
Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.
Событие бывает:- Достоверное (всегда происходит в результате испытания);- Невозможное (никогда не происходит);- Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Примеры событий
досто-
верные
слу-
чайные
невоз-
можные
1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА.
2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО.
3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ.
4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ.
1. НАЙТИ КЛАД.
2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ.
3. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ.
4. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ.
5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА.
 З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ.
2. ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ КУБИКА ВЫПАДАЕТ  7 ОЧКОВ.
3. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.
Определение вероятности.Вероятность события А — это отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу несовместных элементарных исходов, которые образуют полную группу:P(A) = m / n,где m— число элементарных исходов, которые благоприятствуют А;n — число всех возможных элементарных исходов испытания.
Следовательно, можно записать следующие   три свойства.1. Вероятность достоверного события равна единице. Следовательно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, тогда m = n, и Р(A) = m / n = n / n = 1.2. Вероятность невозможного события равна нулю. Следовательно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию, тогда m = 0, и Р (А) = m / n = 0 / n = 0.3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Следовательно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания, тогда 0 < m < n, стало быть, 0 < m / n < l, и0 < Р (А) < 1 и 0≤ Р (А)≤ 1.
Противоположное событие По отношению к рассматриваемому событию А – это событие , которое не происходит, если А происходит. И наоборот.Например, событие А – «выпало четное число очков» и  B –  «выпало нечетное число очков» при бросании игрального кубика – противоположные.Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Т.е.:                   или p+q=1.Пример: Вероятность того, что день будет дождливым p=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.Решение: События «день будет дождливым» и «день будет ясным» противоположные. Поэтому искомая вероятность: q=1-p=1-0,7 = 0,3.

Типы событий

 События А и В называют совместными,
если они могут произойти одновременно в одном испытании.

 События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

Пример. А – «идет дождь»,                  В –  «на небе нет ни облачка»                – несовместные.

Пример. Коля и Саша играют в шашки.             А – «Коля проиграл»,              В – «Саша выиграл»,              С – «Витя наблюдал за игрой»             – совместные.
Действия над событиями 1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. На диаграмме Венна сумма А+В изображается:Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе.Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить только А или В, тогда + заменяется словом «или».

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ)
Пример: Вероятности  попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны р1=0,7 и р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий.
Решение: Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.
Вероятность события А*В (оба орудия дали попадание)
Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=0,7*0,8=0,56
Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,7+0,8-0,56=0,94
Данный пример можно было бы решить другим способом, используя формулу вероятности появления хотя бы одного события.Допустим, в результате испытания могут появиться 2 независимых в совокупности событий или некоторые из них. При этом вероятности появления каждого из этих событий даны. Для нахождения вероятности того, что наступит хотя бы одно из этих событий, воспользуемся следующей теоремой.Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 и А2, которые независимы в совокупности, равняется разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий : P(A) = 1—q1*q2.
Теорема сложения вероятностей несовместных событийЕсли события А и В несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить А или В, тогда + заменяется словом «или». Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.   Соб. А – появление красного шара. Вероятность появления соб. А: Р(А)=10/30=1/3. Соб. В – появление синего шара. Вероятность появления соб. В: Р(В) = 5/30=1/6. События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность: Р(А+В)= Р(А)+Р(В)= 1/3+1/6=1/2.
2. Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B (т.е. состоящие в совместном наступлении всех этих  событий в результате испытания)На диаграмме Веннапроизведение изображается:
Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А*В означает «вынута дама пик».Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков < 5», В – «число выпавших очков > 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда А*В*С – «выпало 4 очка».
        Если случайное событие представлено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти, и если при вычислении вероятности события, кроме условий S, никаких других ограничений нет, то такая вероятность называется безусловной.         Если же налагаются и другие дополнительные условия, то в таком случае вероятность события будет условной. Например, нередко подсчитывают вероятность события В при дополнительном условии, что совершилось событие А.
Вероятность события В, подсчитанная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается Условная вероятность события В при условии, что событие А уженаступило вычисляется:= Р(А*В) / Р(А), если Р(А) > 0.

2. Теорема умножения вероятностей.Допустим известны вероятности Р(А) и          двух событий А и В. Для нахождения вероятности того, что появится и событие А, и событие В можно воспользоваться теоремой умножения.Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, подсчитанную в догадке, что первое событие уже наступило:Р(А*В) = Р(А)*

Независимые события. Теорема умножения для независимыхсобытий.Положим, что вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называется независимым от события А в том случае, если появление события А не меняет вероятности события В, другими словами, если условная вероятность события В  равняется его безусловной вероятности:            = Р(В).Теорема умножения Р(А*В) = Р(А)*             для независимых событий выглядит следующим образом:Р(А*В) = Р(А)*Р(В).

Формула Бернулли
Если осуществляется несколько испытаний, к тому же вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания носят название независимых относительно события А.Событие А в различных независимых испытаниях может иметь или различные вероятности, или одну и ту же вероятность.
Допустим, делается n независимых испытаний. В каждом из них событие А может появиться или не появиться. Будем думать, что во всяком испытании вероятность события А одна и та же, равная р. Значит, вероятность того, что событие А не наступит в каждом испытании также постоянна, причем равна она q = 1—p.Пусть необходимо подсчитать вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно k раз, а не осуществится (n — k) раз.
К примеру, если события А появилось 3 раза в четырех испытаниях, то допустимы следующие сложные события:

Таким образом,  соответственно обозначает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А появилось, а в четвертом испытании оно не наступило.

Здесь под         понимают искомую вероятность. К примеру,             обозначает вероятность того, что в семи испытаниях событие появится ровно 2 раза, причем не наступит 5 раз. Искомую вероятность можно найти благодаря формуле Бернулли.

Формула Бернулли:где n – общее количество испытаний,к – количество наступивших испытаний.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит менее k раз  вычисляется по формуле:

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит более k раз  вычисляется по формуле:

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее k раз  вычисляется по формуле:

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не более k раз  вычисляется по формуле:

Формула полной вероятностиВероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий                  , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из событий на соответствующую условную вероятность события А.

Формула полной вероятностигде

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытанияхНаивероятнейшее число      определяют из двойного неравенства:

                  Причем:а) если число np-q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число     ;б) если число np-q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно      и         ;в) если число np – целое, то наивероятнейшее число       = np

КОМБИНАТОРИКА
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combination» - соединение.Группы, составленные из каких-либо предметов (букв, шаров, кубиков и т.д.), называются соединениями.

 КАК различить: задачи на перестановки или
размещения (или сочетания)?
перестановки
размещения
Перестановками из n элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком их расположения
Размещениями из n элементов
 по k элементов называются такие соединения, состоящие из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов. (Порядок важен)
сочетания
Сочетаниями из n элементов по k называются такие соединения, составленные из k элементов, выбранных из данных  n элементов. (Порядок не важен).
Рассмотрим три элемента а, b, с:Число размещений из 3 элементов по 2 (    ) – это ab, ac, ba, be, ca, cb.Число сочетаний из 3 элементов по 2 (     )  - это ab, ac, bc

СОЧЕТАНИЯ
Несложные преобразования
 приводят полученную формулу к виду:
Запомним 0!=1
СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

РАЗМЕЩЕНИЯКраткая запись формулы

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

ПЕРЕСТАНОВКИ

ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Пусть даны        элементов  первого типа,
           — второго типа, ...       ,  — k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по  различным местам называются перестановками с повторениями. Их количество обозначается
Число перестановок с повторениями есть

Правило произведенияПусть требуется выполнить одно за другим k действий. При этом первое действие можно выполнить n1 способами, второе n2 способами и так до k-го действия. Тогда число m способов, которыми могут быть выполнены все k действий, по правилу произведения комбинаторики равно


title: Скачать презентацию или конспект Устные и письменные приёмы вычислений

extracted_text:
Урок математики
Тема:
Устные и
письменные
приёмы
вычислений
Устный счёт.
b+0=b
0+c=c
a-0=a
k-k=0
Реши уравнение:

x-85=350+150
Укажи порядок действий.

a:b-cхd+ m:n

a:(b-c)хd+kх(m:k)
ЗАДАЧА №1
Матери k лет, а дочери c лет.
На сколько лет дочь моложе
матери?  Во сколько раз мать
старше дочери?
Задача№2.
Чему равна третья часть отрезка
длиной 48 мм?
Задача№3
В двух лодках разместились 12 человек,в одной в два раза больше, чем в другой. Угадай, сколь-
ко человек в каждой
лодке.
Задача№4
Найди площадь
прямоугольника,
если его ширина 4см
а длина в 2 раза
больше.


title: Скачать презентацию или конспект Основные труды и биография Декарта

extracted_text:
Презентация
«Основные труды и биография Декарта»
Ученицы 9-го класса школы
при генеральном консульстве России в Бонне
Марковой Евгении
Учитель : Дронова Е.А.
2009 год
Рене́ Дека́рт (31 марта 1596, Лаэ (провинция Турень) — 11 февраля 1650, Стокгольм) — французский математик, философ, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики.
Биография
Математика
Математика(продолжение)

Физика и механика
Рене Декарт (1596 - 1650) – математик (основатель аналитической геометрии), физик, философ.
Родился Рене Декарт 31 марта 1596 года в французском городе Лаэ в семье с дворянскими корнями. В своей биографии Рене Декарт после смерти матери воспитывался бабушкой. Учился в колледже Ла Флеш, где получал религиозное образование. В 1618 году начал изучать юридические вопросы, также занимаясь математикой. В 1617 году поступил в голландскую армию. Вместе с немецкой армией выступал в битве за Прагу.
В 1637 году был напечатан труд Декарта «Рассуждение о методе». Вслед за ним в биографии Р. Декарта вышли: «Размышления о первой философии», «Начала философии». Многие годы биографии математика Декарта его труды не признавались. Вскоре после переезда в 1649 году в Стокгольм Декарт скончался.
Основные математические труды Декарта – «Рассуждение о методе» (в книге изложены вопросы аналитической геометрии), приложения к книге. Также ученый рассматривал символику Виета, многочлены, решения алгебраических уравнений, комплексные числа (их математик называл «ложными»). Кроме того в своей биографии Рене Декарт изучал механику, оптику, рефлекторную деятельность человека.

Биография
Назад
В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»).
В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.
Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — нуль).
Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере».
Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.
В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его.

Основные труды

Математика
Назад
Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует.
Комплексные числа ещё не рассматривались Декартом на равных правах с положительными, однако он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней уравнения равно его степени. Отрицательные корни Декарт по традиции именовал ложными, однако объединял их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошёл в математику. Впрочем, Декарт проявил некоторую непоследовательность: коэффициенты a, b, c… у него считались положительными, а случай неизвестного знака специально отмечался многоточием слева.
Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Этот анахронизм был вскоре отброшен его учениками, прежде всего — английскими, для которых геометрические построения — чисто вспомогательный приём.
Книга «Метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что издана она была на французском, а не на латинском языке. Приложение «Геометрия» было, однако, тут же переведено на латинский и неоднократно издавалось отдельно, разрастаясь от комментариев и став настольной книгой европейских учёных. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.
Назад
Прямоугольная система координат на плоскости  образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X'X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y'Y.
Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами (см. рис. 1).

Рис. 1
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так:            .
Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей(что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.
Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. рис. 2).

Рис. 2
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так:                .


title: Скачать презентацию или конспект Окружность в аксонометрии

extracted_text:
Окружность в аксонометрии

Разработка
учителя черчения школы 76
Выборгского района Санкт-Петербурга
Солдатовой
Веры Васильевны

Фронтальная диметрическая проекция

Z
X

Y

V
H
W
НЕТ
НЕТ
Изометрическая проекция

Z

X

y

Построение овала в горизонтальной плоскости проекции

окружность делим на 6 частей
из точек пересечения оси Z и окружности
 строим вспомогательные радиусы

строим большие дуги овала
строим малые дуги овала
Построение овала в фронтальной плоскости проекции
основная ось Y
она перпендикулярна плоскости V

Построение овала в профильной плоскости проекции
основная ось Х
она перпендикулярна плоскости W


title: Скачать презентацию или конспект Закрепление. Решение текстовых задач

extracted_text:
Закрепление.
Решение текстовых задач.

                            Учитель:  Соколова И.В.
Математический диктант
5
Математический диктант
8
9

Математический диктант
6
5

Математический диктант
7
8
9
Математический диктант

6
Математический диктант
8
Математический диктант
1
2
2
5
Прибавить число 3
4+3=
4+2
+1=
7
7
4+1
+2=
7
Вычесть число 3
6-3=
6-2
-1=
3
3
6-1
-2=
3
3+3=6
4+3=7
5-3=2
8-3=5
Письмо цифры 2
Графический диктант

Задача
условие

вопрос

решение

ответ

Варя – 5 фонариков
Алёна – 3 фонарика

8 фонариков

5+3=8
Сколько фонариков
всего?


title: Скачать презентацию или конспект Предел функции в точке

extracted_text:
Предел функции в точке
Одна и та же кривая,                      три разные функции
Отличие – поведение в точке  х = а
f(a) – не существует, т.к. в точке х =а функция у = f(х)  не определена
f(a) существует, но отличается от  b
f(a) = b

            27.02.2017
2
Какую из трех функций естественно считать непрерывной?
Определение.  Функцию у = f(х) называют непрерывной в  точке х = а, если  выполняется соотношение

Если выражение f(х) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция у = f(х) непрерывна в любой точке , в которой определено выражение f(х).
27.02.2017
3

Функцию у = f(х) называют непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Если                                ,                                  , то
Предел суммы равен сумме пределов.
                                                                            +                       = b+c

Вычисление пределов функции

2. Предел произведения равен произведению пределов
                                                                                = b • c

3. Предел  частного равен частному  пределов (с0)

                                                                                = b/c

4.

Правила вычисления пределов.

27.02.2017
4

Примеры вычисления пределов

27.02.2017
5

Выполнить задания
В классе:
№39.23(а,б)- №39.25(а,б);
№ 39.29(а,б)
Дома:
№39.23(в,г);
№ 39.27(в,г);
№39.29(в)
27.02.2017

6
Использованная литература
Мордкович А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень».  10 класс.
7


title: Скачать презентацию или конспект Песенка Винни-Пуха

extracted_text:
песенка
 Винни - Пуха
Сюжетная интерактивная
игра «Я САМ!»
Упал Винни-Пух
и потерял свою песенку!
Давай, найдем песенку Винни-Пуха!
Может быть ее забрали пчелы?
Где пчелок больше вверху или внизу?
Сколько пчелок на верхнем  рисунке?
А сколько на нижнем?
Выбери нужный знак: >, < ,= ?
Выполни задание и пчелки
скажут,
где песенка Винни-Пуха!
11
11
Правильно!
Но пчелки не видели песенку
Винни – Пуха!
А может,
песенка упала под дерево?
А деревьев – то много! Сравни дубы по высоте и расставь их номера,
начиная с самого высокого.  Винни – Пух был на третьем по счету дереве.

Покажи самое высокое дерево. Оно будет первым по счету. Под номером 1
Покажи дерево чуть пониже первого.  Оно будет вторым - под номером 2
А где дерево чуть пониже?  Оно будет третьим - под номером 3
Найди дерево ещё пониже.  Оно будет четвертым - под номером 4
Покажи дерево еще ниже.  Оно будет пятым - под номером 5
А где самое низкое дерево?  Оно будет шестым - под номером 6
Молодец! Ты определил высоту деревьев.
Давай поищем песенку Винни – Пуха  под этим деревом.
Покажи дуб под номером 3.
Под дубом песенки нет!
Зато оказалось много чьих-то следов.
Но как ты думаешь, кто бы мог оставить эти следы?
Сова? Ослик ИА? Или Кролик? Покажи.
Давай, у него и спросим.
Может
быть
Кролик
Нашел песенку
Винни – Пуха ?
Это следы Кролика!

Кролик в это время наводил порядок в буфете.
Помоги ему!
Расставь на нижней полке горшочки с медом в ряд,
начиная с самого маленького слева - направо.
Где самый
маленький горшочек?

Где горшочек
побольше?

Где самый
большой горшок?

А вазу  поставь посредине  верхней полки

Полный порядок!
Теперь Кролик может угощать друзей!
Винни - Пух
так увлекся,
что совсем забыл
про свою песенку!
Когда у Кролика уже не осталось никакого угощения,
Винни – Пух решил помочь убрать тарелки,
но нечаянно разбил одну.
Помоги медвежонку собрать осколки и склеить тарелку
Всё !

Тарелка разбилась
на 4 части –
четвертинки
И тут Винни – Пух вспомнил про песенку и решил сходить к Сове
Отлично!
Тарелка снова
целая!
Винни - Пух рассказал Сове, что потерял песенку.
Сова уже и не помнит, находила ли ее.
Все свои находки она складывала у себя в домике.
И чего только не было в домике Совы!
Открой коробку.
Может быть, там и есть песенка.

Да! В таком беспорядке трудно что-то отыскать!
На какие 2 группы можно разделить то,
что лежит в коробке?
Всё!
Разберись, что съедобное,
а что несъедобное.
Убери в холодильник всё съедобное.
И у Совы не оказалось песенки!
Где же она?
И все решили сходить к ослику Иа.
О, чудо! На полянке стоял ослик Иа
и слушал песенку Винни – Пуха!
Песенка сразу нашла своего хозяина!
И Винни – Пух запел!
конец


title: Скачать презентацию или конспект Смешная Математика

extracted_text:
Смешная Математика
В этой презентации Вы узнаете смешные случаи из жизни известных математиков, необычные задачки,
математические анекдоты
и много интересного.

Презентацию подготовила:
Волошко Жанна 9-б класс
Интересное это дело-математика
Все привыкли считать что математика это скучная, трудоемкая работа. Великие математики –умные немного скучные  люди, которые были зациклены на математике. Но на самом деле это не так! В этой презентации я докажу вам что математика очень увлекательная, занимательная наука.
Изучая математику можно весело и интересно провести время, узнав много нового и интересного!
Учитель математики
В школе заболела преподавательница русского языка и поставили на замену математика, приходит он на урок к ученикам.Математик: Какая тема последнего задания?Ученики: Падежи.Математик: Повторяем падежи:Именительный: кто, что.Родительный: кого, чего.Дательный: кому, ...?(пишет на доске)кто/чтокого/чегокому/?
Математик: А дальше кто знает?Ученики: Не помним (прикалываются).Математик: Тогда выведем.Пусть неизвестное слово Х, тогда:кто/чтокого/чегокому/Хсоставляем пропорцию:кого/чего = кому/Х(го) сокращается, получаем:ко/че = кому/Ханалогично сокращаем (ко), получаем:1/че = му/ХПеремножим:1 * Х = че * муПолучаем:Х = чему

Вот так, человек, знающий математику преодолеет любые трудности!
Норберт Винер
Отец кибернетики Норберт Винер славился чрезвычайной забывчивостью. Когда его семья переехала на новую квартиру, его жена положила ему в бумажник листок, на котором записала их новый адрес, - она отлично понимала, что иначе муж не сможет найти дорогу домой. Тем не менее, в первый же день, когда ему на работе пришла в голову очередная замечательная идея, он полез в бумажник, достал оттуда листок с адресом, написал на его обороте несколько формул, понял, что идея неверна и выкинул листок в мусорную корзину. Вечером, как ни в чем не бывало, он поехал по своему прежнему адресу. Когда обнаружилось, что в старом доме уже никто не живет, он в полной растерянности вышел на улицу. Внезапно его осенило, он подошел к стоявшей неподалеку девочке и сказал: - Извините, возможно, вы помните меня. Я профессор Винер, и моя семья недавно переехала отсюда. Вы не могли бы сказать, куда именно? Девочка выслушала его очень внимательно и ответила: - Да, папа, мама так и думала, что ты это забудешь.
Альберт Эйнштейн
Одна знакомая попросила Альберта Эйнштейна позвонить ей по телефону, но предупредила, что её телефон очень трудно запомнить: 24361 - И чего же тут трудного? - удивился Эйнштейн. - Две дюжины и 19 в квадрате.
Давида Гильберта
Давида Гильберта как-то спросили об одном из его бывших учеников. - Ах, этот-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом, для математики у него было слишком мало воображения.
Две легенды о Остроградском
Известно, что талант замечательного русского математика Михаила Васильевича Остроградского проявился еще во время пребывания его в Париже. Обстоятельства пребывания Остроградского в Париже недостоверны, хотя на сей счет существуют две легенды. Вот они.    Когда на пути в Париж Остроградский был обобран своим попутчиком, то не стал возвращаться домой, а продолжил свой путь "по способу пешего хождения" и прибыл к цели своего путешествия без гроша в кармане. В Париже он нанялся в лакеи к Лапласу.    В то время Лаплас был постоянно занят решением одного весьма трудного вопроса из небесной механики. Он бился несколько дней, исписывая мелом большую доску, но вычисления оказывались слишком длинными, и желанного результата Лаплас так и не смог получить. Каковы же были его удивление и радость, когда однажды, придя домой, он увидел на доске доведенное до конца преобразование его формул с давно уже предвиденным им результатом. Лаплас был изумлен, когда выяснилось, что этот результат получен его лакеем.       А вот другая легенда.    Лаплас имел обыкновение задавать своим слушателям задачи для решения в аудитории. Одно время он стал замечать, что едва он успевает продиктовать задачу, как поднимается большая фигура "с целой копной на голове" и отвечает на поставленную задачу. После одного из таких случаев Лаплас заинтересовался "большою фигурою" настолько, что пригласил незнакомца к себе домой. Им оказался не кто иной, как Михаил Васильевич Остроградский.    Так было или иначе, но два больших ученых стали большими друзьями.
Треугольник и квадрат
Жили-были два брата: Треугольник с квадратом Старший — квадратный Добродушный, приятный Младший — треугольный, Вечно недовольный. Стал расспрашивать квадрат: — Почему ты злишься, брат? Тот кричит ему: — Смотри, Ты полней меня и шире, У меня углов лишь три, У тебя же их четыре! Но квадрат ответил: — Брат! Я же старше, я — квадрат: Я сказал еще нежней:
— Неизвестно, кто нужней! Но настала ночь, и к брату, Натыкаясь на столы, Младший лезет воровато Срезать старшему углы. Уходя сказал: — Приятных я тебе Желаю снов! Знать, ложился — был квадратным, А проснешься без углов! Но наутро младший брат Страшной мести был не рад. Поглядел он — нет квадрата, Онемел, стоял без слов... Вот так месть! Теперь у брата Восемь новеньких углов.
Стихотворная математика
Площади многоугольниковДрузья мои, легко найти S параллелограмма: Вы помножьте а на b И на синус гамма. (S=absin) S трапеции ты знаешь. Посчитай, я подожду. Полусумму оснований Ты умножь на высоту. (S = (а+b/2)h) Площадь треугольника Знать, конечно, надо: Мы умножим А на Н И разделим на два.

Гимн Гипотенузе
ГИМН ГИПОТЕНУЗЕ Как символ вечного союза, Как вечный символ знак простой, Связала гипотенуза Навеки катеты собой. Путей окольных избегая И древней истине верна, Ты по характеру — прямая И по обычаю — точна. Скрывала тайну ты, но скоро Явился некий мудрый грек И теоремой Пифагора Тебя прославил он навек. Хранит тебя, безмолвно, чинно Углов сторожевой наряд, И копья — острые вершины На обе стороны грозят. И если двоечник, конфузясь, Немеет пред твоим лицом. Пронзит его, гипотенуза, Своим отточенным копьем.

Медиана, высота и биссектриса
Три девицы, три сестрицы В треугольнике живут. Речь такую там ведут: — Всех главнее высота! Говорю вам неспроста. Видят все, как сторонам Нужен перпендикуляр. Тогда они, сменив названья, Зовутся гордо — основанья! — Нет, — сказала медиана, — Спорить я не перестану. И на это есть причина: Я треугольника вершину Соединяю с серединой Стороны. К тому же я Делю всю площадь пополам! В спор вступила биссектриса: — Спорить не имеет смысла! Если трое соберемся, В точке мы пересечемся. Эта точка непростая. Серединка золотая; Если циркулем владеешь, Окружность ты списать сумеешь! Значит, всех я вас главнее! В спор вмешался треугольник: — Что вы, знает каждый школьник, Что для меня вы все равны. Будьте же всегда дружны!
Немного анекдотов
                              ***
Встречаются как-то физик и математик. Физик и спрашивает: - Слушай, почему у поезда колеса круглые, а когда он едет они стучат. - Это элементарно. Формула круга - пи эр квадрат, так вот этот квадрат как раз и стучит.
В армии сержант: Так всем копать. Кто тут склонен к математике? Ты Сидоров? Так бери лопату будешь корни извлекать...
                                      ***
                      ***
В студенческой столовой:– Мне три вторых.– А корень из минус двух не хочешь?
                  ***
- Как избавиться от корней сорняков? - Надо возвести огород в квадрат!
Отец пpовеpяет тетpадкy маленького сына:- Почему ты так неровно пишешь крючочки? - Это не крючочки, папа, это интегралы и корни.
***
    Задачи
Мы привыкли решать умные задачи, узнавая в них часть реальной жизни.
А я вам предлагаю решить следующие задачки, в которых сочетаются математические способы решения и смешные, а иногда и глупые и несуразные ситуации
Задача 1. Пожарных учат надевать штаны за три секунды. Сколько штанов успеет надеть хорошо обученный пожарный за пять минут?
Задача 2. Папа, мама и старшие сестры ужинают, а младший бpат Васенька сидит под столом и пилит ножку стола со скоростью 3 см в минуту. Через сколько минут закончится ужин, если толщина ножки стола 9 см?
Задача 3. Инопланетяне, посетившие школу N, резко отличаются от жителей Земли. У каждого из них по 4 pуки, 4 ноги и по 2 совести. Hа сколько меньше всего перечисленного у ученика этой школы Степана Стульчикова, если известно, что pук и ног у него столько же, сколько у обычного человека, а совести нет совсем?

Задача 4. Во время сильного дождя на остановке автобуса стояли 12 человек. Подкатил автобус и забрызгал грязью пятерых. Остальные успели попрыгать в колючие кусты. Сколько исцарапанных пассажиров поедет в автобусе, если известно, что трое так и не смогли выбраться из колючих кустов?
Задача 5. Кощей Бессметный, Баба Яга и Змей Горыныч выпили соpоковедеpную бочку пепси-колы. Кощей выпил 6 ведер, Баба Яга - 4, а остальное честно разделил между собой трехголовый Змей Горыныч. По сколько ведер пепси-колы досталось каждой голове?
Задача 6. Во время игры в прятки 5 мальчиков спрятались в бочку из под извёстки, 7 - в бочку из-под зелёной краски, 4 - в бочку из-под красной и девять - в ящик из-под угля. Мальчик, который пошёл их искать, нечаянно упал в бочку из-под жёлтой каски. Сколько разноцветных мальчиков и сколько черно-белых мальчиков играло в прятки?

А вот задачки по- серьезнее
Задача для второго класса церковно приходской школы. придумана Львом Толстым.Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников, только 20% студентов ВУЗов и только 10% работников банков и кредитных учреждений...Условие:Продавец продает шапку. стоит 10 р. подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. одной купюрой.Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке, разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5.Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб.Через какое то время приходит соседка и говорит что 25р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Мужик лезет в кассу и возвращает ей деньги.Вопрос:На сколько обманули продавца?

Ответ
Правильный 40 рублей, так как он отдал сдачи 15рублей и 25рублей соседке
Эту загадку задают детям(1 класс) при поступлении в одну из школ города-героя Москва. Если ребенок отвечает на нее - его определяют в физико-математический класс. Корова - 2 Овца - 2 Свинья - 3 Собака - 3 Кошка - 3 Утка - 3 Кукушка - 4 Петух - 8 Ослик -?

2
И в конце немного смешных фотографий
Для настоящей математики все сгодиться
Математическая любовь
А вот так и 5 копеек можно сделать 50
Один вопрос: Кто и как это все написал?
Математика-царица наук!
Почему торжественность вокруг?
Слышите, как быстро смолкла речь?
Это о царице всех наук Начинаем мы сегодня вечер.
Не случайно ей такой почет.
Это ей дано давать ответы.
Как хороший выполнить расчет Для постройки здания, ракеты.
 Есть о математике молва, Что они в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
 Ты нам, математика, даешь
Для победы трудностей закалку,
Учится с тобою молодежь Развивать и волю, и смекалку.
 И за то, что в творческом труде Выручаешь в трудные моменты,
 Мы сегодня искренне тебе Посылаем гром аплодисментов.
Презентацию подготовила:
Волошко Жанна(9-б класс)


title: Скачать презентацию или конспект Арифметическая прогрессия

extracted_text:
Арифметическая прогрессия
Москаленко Людмила Александровна,
учитель математики
МБОУ Лаишевской СОШ №2
г. Лаишево Республики Татарстан
Выявите закономерность и задайте последовательность рекуррентной формулой
1) 1, 2, 3, 4, 5, …
2) 2, 5, 8, 11, 14,…
3) 8, 6, 4,  2, 0, - 2, …
4) 0,5;  1;  1,5;  2;  2,5; …

an = a n -1 +1
an = a n -1 + 3
an = a n -1 + (-2)
an = a n -1 + 0,5
Определение арифметической прогрессии
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией.
Число d называют разностью арифме-тической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии

Задание арифметической прогрессии формулой n – ого члена
Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1-первый член прогрессии, d – разность.
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d =(a1 + d) + d = a1+2d
a4 = a3 + d =(a1+2d) +d = a1+3d
a5 = a4 + d =(a1+3d) +d = a1+4d
   .    .    .
an = a1+ (n-1)d     - формула n – ого члена арифметической прогрессии

Формула n – ого члена арифметической прогрессии
an = a1+ (n-1)d
Формула n – ого члена арифметической прогрессии
an = a1+ (n-1)d
Формула n – ого члена арифметической прогрессии
an = a1+ (n-1)d
Формула n – ого члена арифметической прогрессии
an = a1+ (n-1)d
Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
№ 16.1 – устно.
№ 16.3 (а,г)
№ 16.4 (а,б)
№ 16.5 (а,б)
№ 16.7 (а,б)
№ 16.14 (а,б)
№ 16.16 (а,б)
№ 16.34 (а,б)
№ 16.35 (а,б)
Домашнее задание:
	№ 16.3 (б,в)
		16.4 (в,г)
		16.14 (в,г)

Интернет ресурсы
http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/matematika/algebra_9_klass_uchebnik_mordkovich_a_g/44-1-0-362  - электронная версия Алгебра. 9 класс. Учебник. Мордкович А.Г., Семенов П.В.
http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/matematika/algebra_9_klass_chast_2_zadachnik_mordkovich_a_g_semenov_p_v/44-1-0-413 - электронная версия Алгебра. 9 класс. Задачник. Мордкович А.Г., Семенов П.В.


title: Скачать презентацию или конспект Транспортная задача (продолжение)

extracted_text:
Кафедра математики и моделирования
Старший преподаватель Е.Г. Гусев
Курс «Высшая математика»

Лекция 19.
Тема: Транспортная задача.
Цель: Рассмотреть метод «северо-западного угла». Узнать понятие цикла пересчета и его свойства. Метод потенциалов решения транспортной задачи.
Метод Северо-западного угла. Метод минимальной стоимости (элемента).
ПРИМЕР. В резерве трех железнодорожных станций A, B, C находятся соответственно 60, 80, 100 вагонов. Составить оптимальный план перегона этих вагонов к 4-ем пунктам погрузки хлеба, если пункту №1 необходимо 40 вагонов, №2 – 60, №3 – 80,  №4 – 60. Стоимость  перегонов одного вагона со станции A в в указанные пункты соответственно равны 1, 2, 3, 4 ден.ед., со станции B – 4, 3, 2, 0 ден.ед. и со станции C – 0, 2, 2, 1 ден.ед..

m = 3;     n = 4;    m+n –1 = 6       =>  План опорный

Общая стоимость составленного плана:
Z=40·1+20·2+40·3+40·2+40·2+60·1=
  40+40+120+80+80+60=420
	Это не оптимальное решение.
Если при составлении опорного плана учитывать стоимость перевозки единицы груза, то очевидно, что план будет ближе к оптимальному.
Суть метода минимальной стоимости (элемента) заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ему соответствует, помещают меньшее из чисел     и      .
Затем из рассмотренного исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец. Затем из оставшейся части опять выбирают наименьшую стоимость и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Итак, опорный план трансформированной задачи построен, теперь надо из него получит оптимальный. Можно было получить оптимальный план используя симплекс-метод, но в нашем случае симплексная таблица будет содержать mn неизвестных, что приведет к громоздким вычислениям.
Поэтому для нахождения оптимального плана транспортной задачи используют другие методы, самый распространенный из которых метод потенциалов.
Метод потенциалов.
Числа        и        называют потенциалами поставщиков и потребителей.
Для того чтобы план был оптимальным, необходимо выполнение следующих условий:
1.) для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна быть равно стоимости единицы перевозки, стоящей в этой клетке;
2.) для каждой незанятой клетки сумма потенциалов должна быть меньше, либо равна стоимости единицы перевозки, стоящей в этой клетке.
Если хотя бы одна незанятая клетка удовлетворяет условию (2), то опорный план не является оптимальным, и его улучшают, перемещая в клетку некоторое количество единиц груза).
Проверяем условие оптимальности для незанятых клеток: если                , то план не является оптимальным, и для каждой клетки, в которой не выполняется условие оптимальности, находим величину                          и записываем в левый нижний угол.
Выбор клетки в которую необходимо послать перевозку: транспортная задача линейного программирования решается на min  линейной функции, поэтому алгоритм ее решения тот же, что и алгоритм симплекс-метода.
Загрузке подлежит в первую очередь клетка, которой соответствует
Построение цикла и определение величины перераспределения груза: отмечаем знаком  « + » незанятую клетку, которую надо загрузить (знаки (-;+) чередуются). Затем находим min      , где     – перевозки, стоящие в вершинах цикла, отмеченных знаком « - ».
Величина min       определяет сколько единиц груза надо перераспределить.
После перераспределения должно получиться m+n-1 занятых клеток.

Если для какой-либо клетки условие оптимальности не выполняется, то можно улучшить решение двойственной задачи, а заодно и исходной задачи, сделав эту клетку занятой и перебросив груз по циклу.
Для свободных клеток сумма потенциалов меньше, либо равна стоимости, следовательно в последней таблице должно быть  получено оптимальное решение исходной транспортной задачи.
Открытая модель транспортной задачи.
Стоимость перевозки единицы груза в этих случаях полагают равными нулю, т.к. груз в обоих случаях не перевозится.
Вопросы:
1)Чем различаются открытая и закрытая модели транспортной задачи?
2)В чем заключается метод потенциалов решения транспортной задачи?


title: Скачать презентацию или конспект Контрольные работы

extracted_text:
Контрольные работы
Контрольная работа №1
Вариант №1

1. Дано натуральное число:
(a) найти сумму цифр этого числа;
(b) верно ли, что число начинается и заканчивается одной и той же цифрой.

2. Найти все трехзначные числа, такие, что сумма цифр равна А, а само число делится на В (А и В вводятся с клавиатуры).
3.  Дано натуральное число. Приписать к нему такое же число.
Вариант №2

1.   Дано натуральное число:
(a) найти произведение цифр числа;
(b) верно ли, что в данном числе нет данной цифры А (цифру А вводить с клавиатуры).

2. Найти все трехзначные числа, которые при увеличении на 1 делятся на 2, при увеличении на 2 делятся на 3, при увеличении на 3 делятся на 4, а при увеличении на 4 делятся на 5.
3. Из данного натурального числа удалить все цифры А (А вводится с клавиатуры).
Вариант №3

1.  Дано натуральное число:
(a) найти количество цифр данного числа;
(b) верно ли, что данное число заканчивается на нечетную цифру.

2. Найти количество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна А, а само число заканчивается цифрой В (А и В вводятся с клавиатуры).

3. Найти все трехзначные симметричные натуральные числа из промежутка от А до В (А и В вводятся с клавиатуры).
Контрольная работа №2
Вариант № 1
1. Найти количество делителей натурального числа. Сколько из них четных?
2. Найти все натуральные числа а, b и с из интервала от 1 до 20, для,  которых выполняется равенство: a2+b2=с2.
Вариант № 2
 Найти сумму нечетных делителей натурального числа.
 Найти все равновеликие прямоугольники, стороны которых выражены целыми числами а и b, а площадь равна S (а и b принадлежат интервалу от 1 до 20, а S вводится с клавиатуры).
Вариант №3
Найти все натуральные числа из промежутка от 1 до 200, у которых количество делителей равно N (N вводить с клавиатуры).
Найти все натуральные числа а, b  и с из интервала от 1 до 20, для которых выполняется равенство: а+b2=с2.
Вариант № 4

Найти количество делителей натурального числа, больших К (К ввод. с клавиатуры).
Найти все такие тройки натуральных чисел х, у и z из интервала от 1 до 20, для которых выполняется равенство: х2—у =z2.