title: Скачать презентацию или конспект Геометрические фигуры и их свойства в школьном курсе математики

extracted_text:
Геометрические фигуры и их свойства в школьном курсе математики
ТМОМ
Методика изучения
основных разделов предметного содержания школьного курса математики
Тема 5

План
Роль геометрии в обучении
Методическая схема изучения геометрической фигуры и ее свойств
Методические особенности первых уроков геометрии 7 класса
Технология обучения доказательствам
Технология обучения решению геометрических задач
Цели изучения математики
Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности. Изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
Интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, таких как: ясность и точность мысли, критичность мышления, способность преодолевать трудности, а также развитие алгоритмической культуры и пространственных представлений;

Цели изучения математики
Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
Воспитание математической культуры, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.
«Все вокруг геометрия!»                                             (Ле Карбюзье)
Значимость геометрических знаний
Геометрические знания и умения, геометрическая культура значимы для многих современных специальностей (конструкторы, дизайнеры и т.п.), т.е. значимы для достижения 1, 3, 4 компонентов цели обучения.
Геометрия – мощное средство развития личности в широком диапазоне, поскольку развивает такие качества как
творчество,
независимость суждений и поведения
Опасные тенденции
Сужение пространства учебных целей курса геометрии;
Сокращение содержания программ по геометрии;
Обывательская позиция «моя хата с краю» значительной части учительства по отношению к геометрии

В итоге –  разрушение сложившейся в прошлом системы математического образования
Возможности дифференциации обучения детей с разным уровнем развития и разными способностями с помощью геометрии
С 1 по 6 класс
геометрия по сути является «интеллектуальной физкультурой»;
включаться в занятие геометрией можно в любой момент;
геометрические интерпретации позволяют лучше понять, запомнить и сделать наглядным арифметический материал.
Возможности индивидуализации обучения детей с разными психо-физиологическими особенностями с помощью геометрии
Традиционные методики часто перегружают левое полушарие мозга, что очень опасно для детей с преобладающим правополушарным типом мышления
Геометрические возможности детей младшего возраста не зависят от уровня их математической подготовки
Занятия геометрией развивает воображение и повышает творческий потенциал.

Возможности создания условий для развития познавательного интереса учащихся с помощью геометрии
С 7 класса
Требование «систематичности» вступает в противоречие с задачей формирования заинтересованности, возникает опасность «отбить интерес»
Геометрия имеет хорошие «инструменты» для создания заинтересованности:
красивая картинка,
хорошая задача,
живой язык общения, опора на инуицию
Возможности создания условий для эмоционального развития учащихся с помощью геометрии
Эмоциональное развитие – основа интеллектуального развития, т.к. интеллектуальное удовлетворение является мощным мотивационным стимулом
Эмоционально заинтересовывать школьников геометрией можно практически до окончания школы

Возможности обеспечения полноценного математического образования с помощью геометрии в условиях профилизации обучения
В 10 -11 классах
Занятия геометрией на основе принципа наглядности дает возможность предоставить полноценное математическое образование учащимся с гуманитарными склонностями
В геометрии расстояние между наукой и школьной математикой наименьшее, что позволяет обеспечить высокий уровень подготовки математически одаренным детям, дает им возможность заниматься научными исследованиями со школьной скамьи
Подводя итог сказанному…
Для нормального развития ребенку нужно полноценное питание
Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища
Геометрия – один из немногих «экологически чистых» и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования
Геометрия – учебный предмет, который может сбалансировать работу головного мозга
Геометрия – это витамин для мозга
Подводя итог сказанному…
Чтобы витамины не утратили свои питательные  качества, они должны использоваться умелыми кулинарами

Стать такими «кулинарами»  -
ваша задача!
0бщие цели изучения геометрических фигур в школьном курсе математики
Систематическое изучение свойств плоских и пространственных  геометрических  фигур, методов их изучения и применения для решения практических и прикладных задач;
Развитие познавательных процессов
восприятия,
представления,
воображения,
мышления,
внимания,
памяти,
речи,
умения учиться;
0бщие цели изучения геометрических фигур в школьном курсе математики
Формирование и развитие интереса к математической деятельности;
Формирование элементов творческой деятельности и конструктивных умений;
  Формирование элементов научного мировоззрения:
Развитие и совершенствование математического аппарата под влиянием практики,
Влияние развития науки на практику;
Развитие чувства прекрасного;
Воспитание культуры общения, активности, самостоятельности
Технологическая цепочка изучения геометрической фигуры
Подготовительный этап – рассмотрение объектов. Имеющих форму данной фигуры, вычерчивание. Моделирование. Конструирование. Выявление характеристических свойств;
Описание, введение термина и формулирование определения понятия фигуры, выделение ближайшего рода и видовых отличий;
Изображение фигуры на основе определения, распознавание на моделях, чертежах и т.п.
Технологическая цепочка изучения геометрической фигуры
Решение задач на усвоение определения
Через подведение под понятие,
Через приведение примеров и контрпримеров;
Составление родословной и классификации понятий;
Решение задач с использованием определения и классификации;
Текущий контроль и коррекция знаний и умений;
Технологическая цепочка изучения геометрической фигуры
Выявление свойств и признаков фигуры, не указанных в определении путем наблюдения, построения, измерения;
Формулировка утверждения, основанного на догадке (гипотезе)
Краткая запись и доказательство признаков или  свойств
Рассмотрение частных случаев (свойств);
Решение задач на усвоение каждой теоремы и ее следствий;
Технологическая цепочка изучения геометрической фигуры
Решение математических и прикладных задач с применением всех  свойств и признаков фигуры (т.е. на применение определения и всех изученных теорем);
Текущий контроль и коррекция знаний и умений;
Анализ, обобщение и  систематизация изученного, выделение главного;
Итоговый контроль усвоения, определение уровня овладения материалом.
Уровни овладения и усвоения материала
Наглядно-практический
информация добывается из опыта,
 главный результат усвоения:
наглядно-оперативное знание предмета (без заучивания формулировки),
умение правильно оперировать материалом.

Логико-теоретический
 полное логическое обоснование изученному материалу,
главный результат усвоения:
владение доказательством большинства теорем,
установление логических связей между понятиями
Умение правильно оперировать материалом.

Основная причина трудностей первых уроков геометрии в 7 классе
В пропедевтическом курсе геометрии ведущую роль играют практические, наглядные и индуктивные методы обучения;

В систематическом курсе геометрии, при сохранении практических, наглядных и индуктивных методов, осуществляется постепенный переход к преобладанию дедуктивных методов обучения
Особенности первых уроков геометрии
При систематизации сведений о геометрических фигурах, накопленных в пропедевтическом курсе математики, подчеркивается и закрепляется в сознании учащихся абстрактный характер понятия «геометрическая фигура»;
Накопленный учащимися запас сведений о геометрических фигурах для формирования понятия конкретных геометрических фигур используется в форме «подводящих» задач, чаще всего, практического характера;
Особенности первых уроков геометрии
«Подводящими» задачами чаще всего являются задачи:
на построение объектов с заданными свойствами;
на измерение длин сторон, величин углов фигуры;
на вычисление длин сторон или углов фигуры;
на конструирование и моделирование (разрезание, складывание, перегибание и т.п.)
Выделяются основные неопределяемые, а только описываемые и наблюдаемые геометрические фигуры (точка, прямая), свойства которых разъясняются на моделях, рисунках, предметах окружающей обстановки
Особенности первых уроков геометрии
Разъясняется, что всем другим фигурам в геометрии даются определения, как правило, через указание рода и видовых отличий или через способ их построения;
Свойства всех геометрических фигур, кроме неопределяемых, тоже не только рассматриваются непосредственно, но обязательно выводятся или обосновываются с помощью рассуждений с опорой на свойства известных уже фигур.

Особенности первых уроков геометрии
Таким образом, к концу «первых уроков» геометрии:
учащиеся постепенно подводятся к пониманию логического строения геометрии;
вводится и предполагается усвоение учащимися таких понятий как «определение», «аксиома», «теорема»;
усвоенные понятия являются основой для изучения дедуктивным методом свойств всех остальных геометрических фигур, начиная с треугольника
Некоторые рекомендации к первым урокам геометрии
Свойства простейших геометрических фигур целесообразно изучать через организацию лабораторных и практических работ, т.к. важно дать возможность учащимся строить геометрические объекты своими руками, конструировать их свойства.
Задачи на первые уроки подбираются так, чтобы процесс ее решения содержат все элементы триады: «увидел, понял, доказал»
Для предотвращения формализма сократить число формулировок для обязательного заучивания
Некоторые рекомендации к первым урокам геометрии
Не спрашивать на отметку формулировок и доказательств до тех пор, пока учащиеся не привыкнут к терминам  «определение» «теорема», «доказательство» и не поймут их смысл;
Доказательства целесообразно рассматривать фронтально (или в парах)  по готовым чертежам или с использований заданий с пропусками (есть в печатных рабочих тетрадях)
Доказательства у доски спрашивать только по желанию и если есть уверенность, что ответ будет близким к образцу;
Некоторые рекомендации к первым урокам геометрии
При доказательстве теорем учителем очень важно раскрывать состав действия доказательства:
анализировать условия,
выводить из него следствия,
выявлять условия, при которых возможно заключения (достаточные условия),
обосновывать правомерность выводов;
Проверку овладения первичными навыками доказательства целесообразно проводить в форме зачета по темам «Равенство треугольников» и «Параллельность прямых» или вообще в конце года
Основы технологии обучения доказательствам
Проблема обучению доказательствам – одна из центральных в теории и методике обучения математике
Как в теории, так и в практике традиционного обучения доказательствам преобладает логический подход
Основу современного подхода к решению проблемы обучения доказательствам составляет единство логики и эвристики
В последнее время все чаще  акцентируется внимание и на эвристической составляющей обучения доказательствам
Основные положения современной  концепции методик обучения доказательствам
Обучение доказательству есть обучение
анализу доказательства,
его воспроизведению,
самостоятельному открытию фактов,
поиску и конструированию доказательств,
опровержению готовых доказательств.
Важное условие результативности обучения доказательствам – единство логики и эвристики.
Обучение доказательствам -  деятельность, имеющая специфическое строение, условия и формы существования.
Основные положения современной  концепции методик обучения доказательствам
Обучение доказательствам требует целенаправленного формирования всех составляющих действий:
вычленение в формулировках теорем или задач их объектов, условий, заключений и запись их в краткой форме;
выбор системы признаков, необходимых и достаточных для подведения под понятия и  соответствующих условиям теоремы или задачи;
развертывание условий (т.е. выведение из них следствий);
 построение умозаключений таким образом, чтобы вывод любого из них использовался бы в качестве посылки в одном или нескольких последующих;
 пользование логическими правилами отделения, импликации, дедукции, контрапозиции;

Основные положения современной  концепции методик обучения доказательствам
Развитие доказательного мышления проходит две стадии:
в подростковом возрасте скорее усваиваются готовые доказательства, чем их использование или создание,
 в юношеском возрасте более заметно выступает критическое отношение к готовым доказательствами стремление к собственным доказательствам.
Процесс доказательства формируется постепенно: от простых  к более сложным структурам, поэтому и уровень строгости учебных доказательств тоже должен усложняться постепенно.
Иерархия обучения доказательствам
Основы технологии обучения доказательствам
         Сложное логическое умение вести доказательство утверждений (в теоремах или задачах  на доказательство) целесообразно разделить на составляющие:
Поиск доказательства;
Проведение доказательства

Основы технологии обучения доказательствам
Поиск доказательства включает умения :
анализировать условие теоремы (задачи),
выводить следствия из условия,
выявлять достаточные условия для  заключения,
высказывать правдоподобные гипотезы
Проведение доказательства включает умения:
выполнять последовательность умозаключений (рассуждений),
обосновывать правомерность выводов

Основы технологии обучения доказательствам
Для формирования каждого из умений необходимо раскрывать состав действий, лежащих в его основе.

Начинать формирование целесообразно на конкретных примерах
Например,
состав умения «находить достаточные основания»  можно выявить при изучении признаков равенства треугольников.
Необходимо каждый раз использовать словесную конструкцию «для того, чтобы доказать равенство треугольников, достаточно доказать:
Равенство двух сторон и углов между ними в рассматриваемых треугольниках;
Равенство одной стороны и двух прилежащих к ним углов в рассматриваемых треугольниках,
Равенство трех сторон в рассматриваемых треугольников
Основы технологии обучения доказательствам
Обучение умению осуществлять дедуктивные выводы целесообразно осуществлять начиная с 5-6 класса с помощью заданий, направленных на формирование
умения по двум данным посылкам сделать заключение с использованием различных правил вывода;
умения строить доказательство, состоящее из одного умозаключения;
умения строить доказательство, состоящее более чем из одного умозаключения
Примеры заданий на отыскание посылок и выводов
Задания с пропусками:
  1.  Вертикальные углы равны
        ……………?………
                     1  =      2
2.   ……………?……………
            1  и     2 – вертикальные
                     1  =      2
                                      3.  Вертикальные углы равны
                                              1  и     2 – вертикальные
                                                                       ?

Примеры заданий на отыскание посылок и выводов
Задания  для построения выводов
                            А

      О                             В

                                С

         АОС = 78 0
         ВОС = 30 0
Сформулируйте несколько утверждений

Примеры заданий на отыскание посылок и выводов
Одношаговая задача:     лежат ли точки А, В и С на одной прямой,
                                            если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?
Примеры заданий на отыскание посылок и выводов
Двушаговая задача: один из двух смежных углов равен 40 0,
                                        найдите другой угол.

1 шаг:   Сумма двух смежных углов равна 180 0
                                                                                1 +     2  = 180 0
                1 и     2 -  смежные

2 шаг:        1 +     2  = 180 0
                                                                 2  =  140 0
                  1  =  40 0

Основы технологии обучения доказательствам
Начиная с 7класса необходимо формировать в мышлении учащихся специальные ассоциации, позволяющие осуществлять продвижение в доказательствах:
«доказать» – выделить условие и заключение теоремы или задачи, зафиксировать их словесно и графически;
«доказать» – преобразовать требование теоремы (задачи) в новое, из которого старое вытекает как следствие, и т.п.

Примеры заданий, направленные на овладение умениями извлекать информацию из условий и требований
Задание 1.
     На луче АВ отложен отрезок АС. При каких условиях точка С лежит между точками А и В?
Задание 2.
      Даны углы АОВ и АОС . При каком условии луч ОС проходит между сторонами угла АОВ?
Задание 3.
     Из вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены отрезки: СА1 – на стороне СА и СВ1 на стороне СВ. Дополните условие так, чтобы из него следовало равенство треугольников САВ1 и СВА1
Методика работы с заданиями данного типа на примере задания  1
Примеры заданий, направленные на овладение действием выведения следствий из данных условий
Задание 4.
     Точка Х принадлежит отрезку АВ и не совпадает с его концами. Что следует из этого?
Задание 5.
     Известно, что сумма двух вертикальных углов равна 180 градусам. Какие выводы можно сделать из этого?
Задание 6.
Треугольники АВС и АВС1 равнобедренные с общим основанием АВ. Что отсюда следует?
Методика работы с заданиями данного типа на примере задания  4
Акцентируется внимание на выводимых следствиях и основаниях для полученных выводах:
Х лежит между А и В (по определению отрезка);
АХ + ХВ = АВ (по свойству измерения отрезков);
АХ < АВ, ВХ <АВ (по свойству величин)

В случае необходимости следует прибегнуть к развертке получения следствий, например, для следствия 2:
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается
         любой его точкой;
Х разбивает отрезок АВ на части  АХ и ХВ
                           АХ + ХВ = АВ

Основы технологии обучения доказательствам
При обучении доказательствам предметом специального формирования должен быть прием переформулировки заключения теоремы (требования задачи).
Использование этого приема предполагает владение
навыками анализа ситуации,
приемом выведения следствий,
приемом подведения объекта под понятие,

Примеры заданий, направленные на овладение приемом переформулировки требования
Задание 7.
        Замените требования задачи новыми так, чтобы из них следовали первоначальные требования.
Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О. Докажите, что если отрезки АС, СВ,В D  и АD равны, то прямые АВ и СD  перпендикулярны.
Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от прямых, содержащих боковые стороны.
Основы технологии обучения доказательствам
Большое внимание следует уделять умению читать геометрические чертежи.
Умение читать чертеж – сложное умение, включающее такие действия:
Простое вычленение фигур;
Сопостовимое вычленение фигур;
Распознавание фигур;
Переосмысление элементов чертежа с точки зрения другого понятия;
Сравнение фигур;
Изменение взаимного расположения образов;
Изменение структуры образов

Примеры заданий, направленные на овладение умением читать чертеж
Задание 8.
Запишите множество изображенных на рисунке 1
а) отрезков; б) лучей, в) прямых.

Задание 9.
Сколько изображено на рисунке 2 треугольников и сколько четырехугольников?

Задание 10.
Элементами каких фигур является отрезок АN на рисунке 3?

Рис.1
Рис.2
Рис.3
Основы технологии обучения доказательствам
Формирование умения читать чертеж должно осуществляться в единстве с формированием умения анализировать требования и условия доказываемого утверждения.
Эта цель хорошо достигается при систематической работе с готовыми чертежами
при доказательстве утверждений, условия и требования которых заданы с помощью чертежа;
при составлении задач по готовым чертежам
Примеры заданий по готовым чертежам
Задание 11
Используя данные рисунка, докажите, что ВС ║АD
Задание 12
Используя данную конфигурацию, составьте задачу

А
А
В
С
D
A
B
C
C1
A1
D

Состав действий, необходимых при оформлении решения задачи или доказательства теоремы
Выполните чертеж  и, если необходимо, дополнительные построения;
Опишите построенный чертеж и дополнительные построения;
Введите все необходимые обозначения для чертежа и записи решения;
Обоснуйте выбранные для решения свойства и зависимости;
Следите за правильным использованием символики, приема решения, приема построения и вычислений.
Состав обобщающего анализа приема решения задачи на доказательство
Если «да», то
Был ли вам известен прием решения задачи?
Использовали ли вы его?
Были ли трудности?
Допустили ли ошибки?
Как преодолели их?
Если «нет», то
Какой способ решения использовали?
Является ли он рациональным?
Какие теоретические знания использовали при решении?
Были ли трудности?
Как  преодолели их ?
Обобщая решение задачи, ответьте на вопросы:
Относится ли решенная задача к какому-либо известному типу?

Состав обобщающего анализа приема решения задачи на доказательство (продолжение)
Какой новый прием получили?
В каких задачах его можно использовать в дальнейшем?
Чему научились, решая эту задачу?

Благодарю за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Теорема о вписанном угле

extracted_text:
Теорема о вписанном угле.

М
К
Е
N
Дано: ◡МКЕ в два раза
 меньше ◡MNE.
Найти: ◡МКЕ, ◡MNE.
х
2х
 х+2х=360°
    х=120°
Ответ: ◡МКЕ=120°, ◡MNE=240°.
Устное решение задач.

А
К
Е
Р
О
Дано: ◡АКЕ на 140° меньше ◡АРЕ.
Найти: ◡АРЕ.
х
( х+140°)
 х + (х + 140°)= 360°
 х = 110°
Ответ: ◡АРЕ=250°.
2)

3) Дано: ◡АВ : ◡ВС : ◡АС=2:3:4
    Найти: ∠АОВ, ∠ВОС, ∠АОС.
О
А
В
С
2х
3х
4х
360°:9=40°
Ответ: ◡АВ=80°, ◡ВС=120°, ◡АС=160°.

О
В
А
С

50°
40°
D
Найдите: ◡АDС,

                ∠АВС.
25°
20°

Ответ: ◡АDС=90°
∠АВС=45°

О

В

А

С
 ∠АВС- вписанный угол
 окружности с центром в т.О
 ∠АВС опирается на ◡АС

1.
2.
3.
4.

О
О
О
О
А
В
С
Е
Назовите вписанный угол.

Теорема: «Вписанный угол измеряется половиной
                   дуги, на которую он опирается».

О
А
В
С
Дано: ∠АВС- вписанный,
         опирающийся на ◡АС;
         О- центр окружности.
Доказать: ∠АВС= ◡АС : 2.

Луч ВО совпадает
 с одной из сторон
 ∠АВС.
2) Луч ВО делит
∠ АВС
на два угла
3) Луч ВО не делит ∠АВС
 на два угла и не
 совпадает со стороной
 этого угла.

О
О
О
В
В
В
А
С
А
С
А
С
D
D

Вписанный угол измеряется половиной дуги,
 на которую он опирается.

Доказательство:
Проведем радиус ОА.
 ∆АОВ
- равнобедренный
 ОА=ОВ,
 значит ∠1 = ∠2

О
В
А
С
 ∠АОС- внешний угол ∆АОВ,
 ∠АОС=∠1+∠2

=2·∠1
=2∠АВС
 ∠АОС- центральный,
 ∠АОС=◡АС,
 значит
 ∠АОС=2∠АВС=◡АС,
 ∠АВС=◡АС : 2.
Вписанный угол измеряется
 половиной дуги, на которую
 он опирается.

 1
2

О
А
В
С
D
Доказательство:
Луч ОВ делит ◡АС=◡АD+◡CD
По доказанному
 ∠АВD=◡AD : 2
 ∠CBD=◡CD : 2
+

∠ABD+∠CBD=(◡AD+◡CD):2
 или
∠АВС=◡АС : 2

О
А
В
С

D
По доказанному
∠ABD = ◡AD : 2
∠CBD = ◡CD : 2
-

∠ABD-∠CBD=(◡AD-◡CD):2
 или
∠АВС = ◡АС : 2

О
А
В
С
1. ◡ВС=48°, найди ∠ВАС

О
М
N
К
2. ∠МNК=20°, найди ◡МК

О
А

С
N
3. ∠АОС=86°, найди ∠АNC
О

F
E
N
C
4. ∠FCN=47°, найди ∠FEN

О

В
А
С

АС- диаметр,  ∠АВС=?
Ответ: ∠АВС=90°.

М

Е
Вписанный угол,
 опирающийся на полуокружность
 прямой.
Решение задач:
№656,
№658.

О

В
А
С

О

А
В

С
№656

О
В
А
С

Решение:
∠ВАС- вписанный,
∠ВАС= ◡ВС : 2.
115°
43°
◡ВС=360°-(115°+4°)=202°,
 значит ∠ВАС=101°

О
В
А
С

Решение:
∠ВАС- вписанный,
∠ВАС= ◡ВС : 2.
115°
43°
◡ВС=115° - 43° = 72°
 значит ∠ВАС= 36°

Ответ: 101°  или  36°.

№658.

О

В
А

D
◡BD=110°20´.
Найти:  ∠ВAD,
             ∠ADB.
№658.

О

В
А

D
◡BD=110°20´.
Найти:  ∠ВAD,
             ∠ADB.

∠DOB=110°20´,

∆DOB- равнобедренный,
1
2
  ∠ВDО=(180°-110°20´) : 2
∠АDВ=34°50´.
∆ВОА,
∠В=90°,
∠О=69°40´
∠ВАО=90° - 69°40´ = 20°20´.
Ответ: ∠ВАО=20°20´; ∠АDВ=34°50´.
№658.
Домашнее задание: п.71, вопросы 11-13,

                                  №654, 655.


title: Скачать презентацию или конспект Построение графиков тригонометрических функций

extracted_text:
 «Преобразование графиков тригонометрических функции».10 класс
5klass.net

 формирование знаний и умений преобразовать графики тригонометрических функций.

Цель:

Закрепить применение программы MS Excel для построения графиков функций;
Задачи:
Закрепить преобразование графиков тригонометрических функций;
Развитие умения использовать компьютер при изучении математики.
Задание:
Постройте  в одной координатной  плоскости графики функций на [-3,6; 3,6] с шагом 0,2:
y1 = sinx;
у2 = sinx + 2;
у3 = sinx - 2.
y1 = sinx;
у2 = sin(x + 1,5);
у3 = sin(x – 4,5).
y1 = sinx;
у2 = 2sinx
    у3 = ¼ sinx
Построение графика функции
 у = sinx + m

1
1
1
Параллельный перенос графика вдоль оси Оу
График функции y=f(x)+m получается  параллельным переносом графика функции y=f(x), вверх на m единиц, если m>0,
или вниз, если m<0.

Построение графика функции
y= sin(x+t)

2
2
2
Параллельный перенос графика вдоль оси Ох
График функции y  = f(x + t) получается  параллельным переносом графика функции y=f(x)  по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t > 0
  и вправо, если t < 0.

x
y

-1
1

-2

y1 = sinx;            у2 = sinx + 2;

2

- 3
  3
- 1,5

x
y

-1
1

-2

y1 = sinx;               у3 = sin(x + 1,5).

2

- 3
  3

- 1,5

x
y

-1
1

-2

y = sin(x + 1,5) +2

2

- 3
  3
- 1,5

Построение графика функции у = asinx,а > 1  и  0< а < 1
3
3
3

Построение графика функции у=аf(x)
График функции у=аf(x) получаем растяжением графика функции у=f(x) с коэффициентом а от оси Ох,если а>1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0< а <1.

x
y

-1
1

y1 = sinx;                   у2 = 2sinx;

2

x
y

-1
1

y = 2sin(x + 1,5) + 2

2
- 3
- 1,5
  3
Постройте самостоятельно графики функций:
      Вариант 1.                    Вариант 2.

1. у = cos(x –  1  ) + 2;        1. y=sin(x – 0,75) + 2;

2. у = ¼sin(x – 1,5 ) + 2;   2. y=2,5cos(x + 1,5) - 1;

x
y

-1
1

-2

Вариант 1.1   Проверка.       у =cos(x – 1) + 2.

2

- 3
  3
  1

x
y

-1
1

Вариант 1.2  Проверка.     у = ¼sin(x – 1,5) + 2

2

1,5
  3
- 3
0,75

x
y

-1
1

-2

Вариант 2.1  Проверка.       y=sin(x - 0,75) + 2;

2

- 3
 3
0,75

x
y

-1
1

Вариант 2.2 Проверка.    у = 2,5cos(x + 1,5 )-1;

2

- 3
  3
1,5
- 1,5

Вывод:

График функции y=f(x + t) + m может быть получен из графика функции y=f(x) с помощью двух последовательных сдвигов
на t единиц вдоль оси Ох и на m единиц вдоль оси Оу.
Спасибо за урок!


title: Скачать презентацию или конспект Однозначные и двузначные числа

extracted_text:
урок математики
1 класс
Презентацию разработала
учитель начальных классов
МОУ «СОШ №1»
Андреева Н.М.
Однозначные
и двузначные
числа.
Урок - путешествие
"Сказочная поляна".
Ход урока.
Организация работы.
Разминка.
Новая тема.
Повторение.
Итог урока.
Изобразить форму листьев, написать на них нужную цифру.
разминка
Игра "Внимание"
6
4
5
3
2
1
Определи, какая здесь закономерность между числами?

Составь всевозможные равенства на вычитание с этими числами.
На лесной полянке.
    5      1       4
    4       2      2
    9       3      ?

Почему число 6 можно назвать
загадочным?
6
9
 Как разделить 9 морковок двум зайчикам?
Предложи свои варианты.
Объяснение нового материала

1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 ?
...

Записать двумя цифрами число десять.

Выберите только двузначные числа.

На привале.
10
5
12
9
14
7
11
8
Собери числа в два кузовка.
1
2
4
10
12
16
8
11
14
18
На опушке.
Определи, какое число лишнее?
Перейди овраг.
1
10
6
8

Найди неизвестное число и перейди мостик
Повторение.
2 + х = 7
х = ?

2=3
1+2=3
5-2=3
2=3-1
Ошибки- невидимки.
Назовите знакомые геометрические фигуры.
Страна "Геометрия"

4

1
Наведи порядок.

1

2

5

6

3

4

7
Преодолев все трудности, и помогая друг другу мы вышли на сказочную поляну.
Что нового вы узнали, какие открытия сделали?
Итог урока.
Нарисуй улыбку и
подари
Мишутке.


title: Скачать презентацию или конспект Основные теоремы теории вероятностей

extracted_text:
Министерство образования и науки Российской ФедерацииФедеральное бюджетное государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Уральский государственный педагогический университет»Математический факультетКафедра математического анализаТеория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС). Часть 3. Основные теоремы теории вероятностей. Повторные испытания. Теоремы Муавра  Лапласа.Бодряков Владимир Юрьевич, д.ф.-м.н.зав. кафедрой математического анализа МФ УрГПУ E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru

Екатеринбург – 2011-2012
Литература и интернет - ресурсы
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учебное пособие. М.: Академия, 2003. – 448 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 404 с.
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Фазис, 1998. – 144 с.
http://e-lib.uspu.ru
www.exponenta.ru
§1. Основные теоремы теории вероятностей

§1. … продолжение

§1. … продолжение

§1. … продолжение
Определение: Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из них обозначено как событие A, то противоположное к нему принято обозначать как Ā. Традиционными являются также обозначения P(A) = p, P(Ā) = q.
Теорема о сумме вероятностей противоположных событий. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P(A + Ā) = P(A) + P(Ā) = p + q = 1.
Док-во: СРС.
Замечание: Нередко найти вероятность события, противоположного к интересующему нас, т.е. P(Ā) = q, оказывается проще, чем найти P(A) = p. Тогда искомую вероятность P(A) находят как
P(A) = 1  P(Ā),
или
p = 1  q.
§1. … продолжение
Пример 3. Из полного набора костей домино наудачу берут пять. Найти вероятность того, что среди отобранных будет хотя бы одна кость с шестеркой (событие A).
Решение: Как известно, полный набор костей домино содержит 28 костей, причем среди них имеется семь костей, содержащих шестерку, а именно, 6:6, 6:5, 6:4, 6:3, 6:2, 6:1, 6:0.
Задача, конечно, может быть решена «в лоб». Сложное событие A может быть представлено как сумма более простых несовместных событий:
A = A1 A2 A3 A4 A5,
где
A1  «Среди отобранных 5-ти костей ровно одна содержит шестерку»;
A2  «Среди отобранных 5-ти костей ровно две содержит шестерку»;
………………………………………………………………………….
A5  «Среди отобранных 5-ти костей ровно пять содержит шестерку».
Число способов извлечь 5 каких-либо костей из полного набора домино составляет
n = С528.
§1. … продолжение
Число возможностей осуществления события A1 составляет согласно комбинаторному принципу умножения
m1 = С17  С421,
т.е. из взятых 5 карт домино 1 – из 7, содержащих шестерку; 4  из 21, не содержащих шестерки.
Аналогично, число возможностей осуществления события A2 равно
m2 = С27  С321,
и т.д. Наконец, число возможностей осуществления события A2 равно
m5 = С57  С021.
Полное число возможностей осуществления события A составляет согласно комбинаторному принципу сложения
m = m1 + m2 + m3 + m4 + m5.
Искомая вероятность события A равна
P(A) = m/n.
§1. … продолжение
ОДНАКО! Существует гораздо более короткий путь решения задачи. Вычислим вероятность противоположного к событию A события Ā  «Среди отобранных пяти костей не будет ни одной кости с шестеркой». Число способов осуществления противоположного события Ā есть
¬m = С521,
т.е. из взятых 5 карт – все 5  из 21, не содержащих шестерки.
Искомая вероятность события Ā равна
P(Ā ) = ¬m/n = С521/С528 0,207.
Соответственно, вероятность искомого («прямого») события равна
P(A) = 1  P(Ā )  0,793.
Ответ: P(A)  0,793.

§1. … продолжение
Определение: Произведением (пересечением) событий A и B называется событие AB = AB = AB, состоящее в совместном появлении этих событий. Иными  словами,  событие AB состоит из элементарных событий, являющихся частью как события A   (пространство исходов), так и события B   (см. рис.).

Определение: Произведением (пересечением) событий A, B, C, …, N  называется событие ABC…N, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Определение: Условной вероятностью PA(B) события B при условии осуществления события A называется вероятность события B, вычисленная в предположении, что событие A уже наступило.

A
B
AB

§1. … продолжение
Теорема об условной вероятности. Условная вероятность PA(B) события B при условии осуществления события A может быть найдена по формуле:
PA(B) = P(AB)/P(A).

Док-во: Будем считать, что пространство элементарных событий  состоит из n = || элементов – исходов. Событие A   состоит из mA + mAB исходов («собственные» исходы A плюс исходы, совместные с событием B, т.е. благоприятствующие как A, так и B)). Событие B   состоит из mB + mAB исходов («собственные» исходы B плюс исходы, совместные с событием A).
Вероятность события AB равна по определению вероятности
P(AB) = mAB /n;

A
B
AB

§1. … продолжение
вероятность события AB равна по определению
P(A) = (mA + mAB)/n.
Событию B, при условии осуществления события A благоприятствует mAB исходов из mA + mAB (событие A осуществилось!). Согласно тому же классическому определению вероятности для условной вероятности события B при условии осуществления A имеем:
PA(B) = mAB /(mA + mAB).
А это, как легко получить, разделив почленно выражения для вероятностей P(AB) и P(A), и есть доказываемый результат:
PA(B) = P(AB)/P(A),		ч.т.д.
Полученный результат можно обобщить и распространить за пределы классической схемы с конечным числом равновероятных исходов. Вообще, для условной вероятности справедливо следующее
Определение: Условная вероятность PA(B) события B при условии осуществления события A по определению равна:
PA(B) = P(AB)/P(A), 	(P(A) > 0).

§1. … продолжение
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий A и B равна произведению (безусловной) вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое уже произошло:
P(AB) = P(A)PA(B).
Док-во: Справедливость утверждения теоремы немедленно вытекает из определения условной вероятности PA(B) = P(AB)/P(A), откуда
P(AB) = P(A)PA(B), 		ч.т.д.
Замечание. Применив теорему об умножении вероятностей к событию BA = AB, убеждаемся, что
P(BA) = P(B)PB(A) = P(AB) = P(A)PA(B).
Следствие из теоремы умножения вероятностей. Вероятность совместного появления событий A1,  A2, …, An равна:
P(A1A2A3… An ) = P(A1)PA1(A2) PA1A2(A3) …  PA1A2…A(n-1)(An).
В частности, для вероятности совместного осуществления трех событий A, B, C имеем:
P(ABС) = P(A)PA(B)PAB(C).

§1. … продолжение
Пример 4. В урне 4 белых (Б) и 3 черных (Ч) шара. Из урны один за другим вынимают два шара. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие B), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие A).
Решение: Поскольку после первого опыта (извлечен один Ч шар) в урне осталось шесть шаров (4Б + 2Ч), вероятность извлечь Б шар при втором 				испытании составляет:
			PA(B) = 4/6 = 2/3.
		С другой стороны, согласно общей 		формуле условной вероятности:
			PA(B) = P(AB)/P(A),
		где вероятность извлечения Ч шара при 		первом испытании (событие A) равна:
P(A) = 3/7.
Вероятность извлечения пары шаров в указанном порядке (Ч, затем Б) равна P(AB) = С31  С41 / A72 = 3  4 / 42 = 2/7. Отсюда
PA(B) = P(AB)/P(A) = (2/7)/(3/7) = 2/3, как и ранее.
Ответ: PA(B) = 2/3.

Ч
Б
§1. … продолжение
Пример 4. Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность, что студент правильно ответит на три предложенных вопроса из 25?
Решение: СРС.
Ответ: P(A) = 57/115  0,496.
Определение: Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности события B, т.е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:
PA(B) = P(B).
Замечание: При этом и PB(A) = P(A), т.е. свойство независимости событий взаимно.
Док-во: СРС.
Следствие из теоремы умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)P(B).
Определение: Два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий: 	P(AB) = P(A)P(B).
§1. … продолжение

§1. … продолжение
Если события A, B и C независимы, то попарно независимы события A и B, A и C, B и C, а также независимы A и BС, B и AC, C и AB.
Замечание: Из попарной независимости событий A, B и C еще не следует их независимость в совокупности.
Док-во: Пусть полное пространство элементарных событий состоит четырех равновероятных исходов:  = {1, 2, 3, 4}; соответствующие  вероятности p1 = p2 = p3 = p4 = p = ¼.
Пусть событие A состоит из двух элементов: A = {1, 2}; аналогично, события B и C также двухэлементны: B = {1, 3}; C = {1, 4}. При этом P(A) = p1 + p2 = ¼ + ¼ = ½. Аналогично, P(B) = P(C) = ½.
Убедимся в попарной независимости событий A, B и C:
AB = {1}  P(AB) = ¼ = ½  ½ = P(A)P(B). Аналогично,
AС = {1}  P(AС) = ¼ = ½  ½ = P(A)P(С).
BС = {1}  P(BС) = ¼ = ½  ½ = P(B)P(C).
Эти равенства и означают попарную независимость событий A, B и C.
С др. стороны, ABС = {1}  P(ABС) = ¼  ½½½ = P(A)P(B)P(B),
т.е. события A, B и C не являются независимыми в совокупности, ч.т.д.
§1. … продолжение
Следствие из теоремы умножения вероятностей независимых  событий: Если события A1, A2, A3, …, An независимы в совокупности, то
P(A1A2A3…An) = P(A1)P(A2)P(A3) … P(An).
Док-во: СРС.
Замечание: Если события A, B, C, …, N  попарно независимы, то попарно независимыми будут также противоположные к ним события ¬A, ¬B, ¬C, …, ¬N.
Пример 5. Найти вероятность выпадения в сумме 12 очков при однократном бросании двух игральных кубиков. Изменится ли ответ, если дважды бросается один кубик?
Решение: СРС.
Ответ: P(AB) = 1/36.
§1. … продолжение
Теорема «Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий». Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2, A3, …, An, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Ā1, Ā2, Ā3, …, Ān:
P(A) = 1  q1q2q3… qn,
q1 = P(Ā1); q2 = P(Ā2); q3 = P(Ā3); …; qn = P(Ān).
Док-во: Обозначим через A интересующее нас событие A  «В результате испытаний появилось хотя бы одно из независимых в совокупности событий A1, A2, A3, …, An».
Противоположным к событию A является событие Ā  «В результате испытаний не появилось ни одно из событий A1, A2, A3, …, An, т.е. реализовалась одновременно вся совокупность противоположных событий Ā1, Ā2, Ā3, …, Ān».
Вероятность противоположного события, с учетом независимости,
P(Ā) = P(Ā1Ā2Ā3 … Ān) = P(Ā1)P(Ā2)P(Ā3) … P(Ān) = q1q2q3… qn.
С другой стороны для вероятностей противоположных событий имеем: P(A) + P(Ā) = 1, откуда и вытекает требуемый результат P(A) = 1  P(Ā) = 1  q1q2q3… qn, ч.т.д.
§1. … продолжение
Следствие: Если вероятности событий A1, A2, A3, …, An одинаковы: P(A1) = P(A2) = P(A3) = … = P(An ) = q, то вероятность появления хотя бы одного события есть:
P(A) = 1  qn.
Пример 6: Вероятность поражения цели первым стрелком p1 = 0,8; вторым  p2 = 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена при одновременном выстреле обоих стрелков (для  поражения цели достаточно одного попадания).
Решение: Противоположным к интересующему нас событию A  «В цель попал по крайней мере один стрелок» является событие Ā  «В цель не попал ни один из стрелков».
Вероятность противоположного события, с учетом независимости событий, состоящих в попадании каждого из стрелков, равна:
P(Ā) = q1q2 = (1  p1)(1  p2) = 1  p1  p2 + p1p2.
Соответственно, вероятность «прямого» события A равна:
P(A) = 1  P(Ā) = 1  q1q2 = 1  (1  p1)(1  p2) = p1 + p2  p1p2 = 0,92.
Ответ: P(A) = p1 + p2  p1p2 = 0,92.

§1. … продолжение
Пример 7: Вероятность того, что стрелок попадет в цель, равна p = 0,4 при каждом выстреле. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение: Обозначим через A1, A2, …, An события, состоящие в попадании стрелком при 1-ом, 2-ом, … n-ом выстреле. По условию нас интересует вероятность попадания в цель хотя бы один раз при сделанных n выстрелах (событие A = A1+ A2 + … + An).
Найдем вероятность противоположного события Ā  «В цель не попал ни один из n выстрелов»: P(Ā) = qn, где q = 1  p = 0,6. Соответственно, вероятность «прямого» события A равна P(A) = 1  qn. Необходимое число выстрелов n найдем из условия P(A) > 0,9 (см. табл.):

Ответ: n = 5.

§1. … продолжение
§1. … продолжение
§1. … продолжение
Теорема «Формула полной вероятности». Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события A:
P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … + P(Bn)PBn(A), 
формула полной вероятности.
Док-во: По условию теоремы
A = AB1 + AB2 + … + ABn,
причем события AB1, AB2, … ABn, несовместны вследствие несовместности событий B1, B2, …, Bn. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий
P(A) = P(AB1) + P(AB2) + … + P(ABn).
По теореме умножения вероятностей P(AB1) = P(B1)PB1(A), P(AB2) = P(B2)PB2(A), …, P(ABn) = P(Bn)PBn(A), откуда и следует формула полной вероятности:
P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … + P(Bn)PBn(A),	 ч.т.д.

§1. … продолжение
Пример 9. В первой урне 4 белых (Б.) и 6 черных (Ч.) шаров. Во второй урне – 3 Б. и 7 Ч. шаров. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что он белый (Б.)?
Решение: Обозначим: 	Урна I: 4 Б. + 6 Ч. шаров; урна II: 3 Б. + 7 Ч. шаров. Событию A  «Из выбранной наудачу урны вынут Б. шар» предшествуют два события B1, B2, образующие полную группу. А именно: B1  «Выбрана урна I, и шар вынут из нее»; B2  «Выбрана урна II, и шар вынут из нее»;
Согласно условию одна из урн выбрана случайно (наудачу). Поэтому
P(B1) = P(B2) = ½;
как и должно быть, P(B1) + P(B2) = 1. Если выбрана урна I (событие B1), то (условная вероятность вынуть Б. из нее равна:
PB1(A) = 4/10.
Если выбрана урна II (событие B2), то (условная вероятность вынуть Б. из нее равна:
PB1(A) = 3/10.
По формуле полной вероятности, полная вероятность события A:
P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) = ½(4/10) + ½(3/10) = 7/20.
Ответ: P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) = 7/20.

§1. … продолжение
Пример 10. В первой урне 4 белых (Б.) и 6 черных (Ч.) шаров. Во второй урне – 3 Б. и 7 Ч. шаров. Из каждой урны вынимают по одному шару, а затем случайным образом из этой пары шаров выбирают один. Какова вероятность того, что он белый (Б.)?
Решение: СРС.
Ответ: P(A) = 7/20.

§1. … продолжение
Пример 11. Вторая смена в цехе производит в два раза меньше изделий, чем первая, а процент брака у нее в 1,5 раза больше.  Детали от обеих смен в не рассортированном виде сложены (для предъявления ОТК). Наудачу взятая оттуда деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она сделана второй сменой?
Решение: Пусть первая (I) смена произвела N деталей, причем среди них kN бракованных; здесь k – доля (процент) брака.
Тогда по условию вторая (II) смена произвела N деталей, причем среди них k N = kN.
Таким образом, среди деталей, произведенных I и II сменами имеется kN + kN = (7/4)kN бракованных изделий.
Доля I смены в (7/4)kN бракованных изделиях составляет
kN / (7/4)kN = 4/7.
Доля II смены в (7/4)kN бракованных изделиях составляет
kN / (7/4)kN = 3/7.
Это и есть вероятность события A  «Брак. изделие сделано II сменой».
Ответ: P(A) = 3/7.
Прим. Задачи такого рода подразумевают вычисление Бейесовской вероятности некоторого события (см. далее).

§1. … продолжение
Вероятность гипотез. Формула Бейеса. Пусть событие A может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу. Пусть опыт проведен и событие A уже фактически наступило. Возникает вопрос, с какой вероятностью событию A предшествовало событие B1, с какой – событие B2, …, с какой, наконец,  событие Bn?
Ответ на поставленный вопрос может быть найден с помощью формулы Бейеса (см. далее).
Определение: Предположения о том, какое из событий полной группы B1, B2, …, Bn предопределило появление события A называются вероятностными (бейесовскими) гипотезами.
Определение: Вероятностями бейесовских гипотез называются соответствующими бейесовскими вероятностями. Иными словами, бейесовскими вероятностями называются условные вероятности PA(B1), PA(B2), …, PA(Bn) того, что событие A осуществилось совместно с событием: либо B1, либо B2, …, либо Bn, соответственно.

§1. … продолжение
Историческая справка:
Бейес (Байес) Томас
English: Bayes Thomas

Томас Бейес (Байес, англ. Reverend Thomas Bayes [beɪz]) (1702  17.04.1761)  английский математик и пресвитерианский священник, член Лондонского королевского общества (1742). Родился в 1702 году в Лондоне. Обучался дома, в 1719 году поступил в Эдинбургский университет. Затем Байес помогал отцу проводить службу, а вскоре, в 30-х годах, сам стал священником в пресвитерианской церкви. В 1752 году он вышел в отставку; умер в 1761 году. 	Достижения: Математические интересы Байеса относились к теории вероятностей (ТВ). Он сформулировал и решил одну из основных задач этого раздела математики (теорема Бейеса). Работа, посвящённая этой задаче, была опубликована в 1763 году, уже после его смерти. Формула Бейеса, дающая возможность оценить вероятность событий эмпирическим путём, играет важную роль в современной математической статистике (МС) и ТВ. Другая крупная его работа  «Очерки к решению проблемы доктрины шансов». Используется терминология: бейесовская вероятность, бейесовская оценка решения, и др.

§1. … продолжение
Решение задачи Бейеса (вывод формул(ы) Бейеса): Согласно формуле полной вероятности, полная вероятность события A, которое может быть реализовано лишь совместно с одним из событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна:
P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … + P(Bn)PBn(A).
Пусть, например, событие A произошло совместно (вследствие) события B1. По теореме умножения вероятностей,
P(AB1) = P(B1)PB1(A) = P(A)PA(B1).
Отсюда для условной вероятности события B1, при том условии, что событие A произошло, имеем:
PA(B1) = P(B1)PB1(A)/P(A).
Аналогично для событий B2, …, Bn имеем:
PA(B2) = P(B2)PB2(A)/P(A);
…………………………….
PA(Bn) = P(Bn)PBn(A)/P(A).
Выписанные формулы и являются формулами Бейеса. Задача решена.

§1. … продолжение
Пример 12. Число грузовых машин, проезжающих мимо колонки, относится к числу легковых машин как 3:2. Вероятность того, что проезжающая машина будет заправляться равна 0,1 для грузовой машины и 0,2 для легковой. У бензоколонки заправляется машина. Найти вероятность того, что это грузовик.
Решение: Результатом наблюдения (вероятностного эксперимента) является событие A  «Машина остановилась для заправки». Событие A является результатом предшествующих событий полной группы:
	B1  «Проезжающая мимо заправки машина  грузовая»;
	B2  «Проезжающая мимо заправки машина  легковая».
По условию, вероятности событий B1 и B2 есть: P(B1) = 3/5; P(B2) = 2/5.
Условные вероятности того, что машина остановится для заправки (событие A) равны: PB1(A) = 0,1 (для грузовой машины); PB2(A) = 0,2 (для легковой машины). Полная вероятность события A есть:
P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) = (3/5)0,1 + (2/5)0,2 = 0,7/5.
По формуле Бейеса:
PA(B1) = P(B1)PB1(A)/P(A) = (3/5)0,1/(0,7/5) = 3/7;
PA(B2) = P(B2)PB2(A)/P(A) = (2/5)0,2/(0,7/5) = 4/7.
Ответ: Вероятность того, что заправляется грузовик PA(B1) = 3/7.

§2. Повторные испытания
Определение: Если производится несколько испытаний, причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события A.
Постановка задачи (схема испытаний Бернулли). Пусть производится серия из n независимых относительно события A испытаний, в каждом из которых событие A может с одной и той же вероятностью p появиться или не появиться с вероятностью q = 1  p.  Требуется найти вероятность Pn(k) того, что событие A осуществится ровно k раз (0  k  n) и, следовательно, не осуществится n  k раз.
Решение: Вероятность сложного события, состоящего в том, что событие A появится ровно k раз (с вероятностью p) и не появится (событие Ā) n  k раз (с вероятностью q = 1  p раз), равна:
Pn(k) = P(AA …A: k раз)P(Ā  Ā  …  Ā : n  k раз) = pkqnk.
С учетом, однако, того, что порядок появления события A безразличен (важно только, чтобы оно произошло ровно k раз) вероятность Pn(k) следует умножить на число перестановок из n элементов по k элементов, т.е. на Cnk. В результате получаем окончательно выражение, известно как формула Бернулли:
Pn(k) = Cnkpkqnk.

§2. … продолжение
Историческая справка:
Якоб Бернулли
Deutch: Jakob Bernoulli

	Я́коб Берну́лли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654,
Базель,  16 августа 1705, там же)  швейцарский математик,
старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики
Базельского университета (с 1687 года).
 	Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта
Николая Бернулли. Вначале учился богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В 1677 году совершил поездку во Францию для изучения идей Декарта, затем в Нидерланды и Англию, где познакомился с Гуком и Бойлем. Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем. В 1684 году женился на Юдит Штупанус (Judith Stupanus), у них родились сын и дочь.
	С 1687 года — профессор физики (позже — математики) в Базельском университете. 1684: штудирует первый мемуар Лейбница по анализу и становится восторженным адептом нового исчисления. Пишет письмо Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года (Лейбниц тогда был в командировке в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступает в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират — Лейбниц и братья Бернулли — 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ. 1699: оба брата Бернулли избраны иностранными членами Парижской Академии наук. В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер Bernoulli на Луне.

§2. … продолжение
Историческая справка: Якоб Бернулли (продолжение)
	Научная деятельность: Первое триумфальное
выступление молодого математика относится к 1690 году.
Якоб решает задачу Лейбница о форме кривой, по которой
тяжелая точка опускается за равные промежутки времени
на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже
установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб
Бернулли опубликовал доказательство средствами нового
анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное
уравнение. При этом впервые появился в печати термин
«интеграл». Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие
аналитической геометрии и зарождение вариационного
исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли. Он
исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль. Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числа Бернулли».
	«Искусство предположений». Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под названием «Искусство предположений». Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применении, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли. Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.

.

§2. … продолжение
Пример 13. Монета брошена n = 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет k (k = 0, 1, …, 6) раз.
Решение: При каждом очередном бросании монеты событие A  «Выпал герб (Г.)» может осуществиться с вероятностью p =  и не осуществиться с вероятностью q = 1  p = . Ясно, что событие A является независимым относительно испытаний. Иными словами, испытания осуществляются по схеме Бернулли.
Согласно формуле Бернулли, вероятность того, что из n бросаний Г. выпадет ровно k раз равна:
P6(k) = C6kpkq6k = C6k()k()6k = C6k()6.
Результаты расчетов удобно свести в таблицу:

Ответ: См. табл. и рис.

§3. Теоремы Муавра  Лапласа
§3. Теоремы Муавра  Лапласа
§3. Теоремы Муавра  Лапласа
Спасибо за внимание! Данный раздел закончен.
Ваши вопросы, замечания, предложения …


title: Скачать презентацию или конспект Теорема синусов и теорема косинусов

extracted_text:
Теорема
синусов и
теорема косинусов
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα .
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα .
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα .
Учитель Деменская С.А.

Экскурс в историю
Сформулировать и доказать теорему синусов
Сформулировать и доказать теорему косинусов
Научиться применять данные теоремы к решению задач
Цель урока
В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа сформулировал теорему синусов. Насир-эд-Дин из Туса (1201-1274) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников и указал ряд новых способов решения. В 12 в. был переведен с арабского на латынь ряд астрономических работ, что позволило ознакомиться с ними европейцам. Но, к сожалению, многое осталось непереведенным, и выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Мюллер (1436 -1476), которого современники знали под именем Региомонтана (именно так переводится на латынь название его родного города Кенигсберга), через 200 лет после Насир-эд-Дина заново открыл его теоремы.
Немного из истории
ФРАНСУА ВИЕТ (1540 – 1603) Виет встал у истоков создания новой науки - тригонометрии. Многие тригонометрические формулы впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал в словесной форме теорему косинусов.
  Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)).
Современные обозначения синуса и косинуса знаками  sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Придя к выводу, что эти обозначения весьма удобны, он стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x.

Сформулируйте  теорему о площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Запишите, чему равна площадь треугольника АВС
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
Запишите теорему синусов для треугольника MNF
Запишите теорему синусов  для треугольников:
АВС

KLM

PQH

Замечание
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего
угла равно диаметру описанной окружности.

Доказательство:
Проведем диаметр           . Рассмотрим                ,     С - прямоугольный =>
ВС=          × sin       . Если т.       лежит на дуге ВАС, то      А1=      А, если на дуге BDC,
 то         A1= 180° -       A.
И в том, и в другом случае sin       =  sin A => BC=        *sin A,  BC= 2RsinA   или

Дано:
R – радиус описанной окружности, ВС = a,         - диаметр
Доказать:
                                       (BC=2RsinA)
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

M
F
N
Доказательство:
у
х
(0;0)
(с;0)
(bcos A;bsin A)
Дано:
ΔАВС
АВ=с
АС=b
BC=a
Доказать:
Запишите теорему косинусов  для треугольников:
АВС

KLP

Выразим  косинус  угла  из  теоремы косинусов
Выразите
Обобщенная теорема Пифагора.
Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС угол А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и
по теореме косинусов a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα получаем:
a 2 = b 2 + c 2 ,
т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.
C
Задача№ 1025 (б)
Дано:
Найти:
Домашнее задание:
П.97-98
П.99 законспектировать в тетрадь задачи с 1 по 3
Выполнить №1025(а,ж,з)
Спасибо за урок


title: Скачать презентацию или конспект Единицы измерения массы

extracted_text:
Единицы массы и времени
Сделала ученица 5 б класса
Нагорнова Татьяна
			грамм
Грамм — единица измерения массы, одна из основных единиц .
Её кратная единица, килограмм (1000 граммов),

		килограмм
Килогра́мм — единица измерения массы, одна из семи основных единиц Международной системы единиц (СИ).
Действующее определение килограмма принято III Генеральной конференцией по мерам и весам в 1901 году .
Килограмм есть единица массы, равная массе международного прототипа килограмма.

			центнер
Центнер — метрическая единица измерения массы, равная 100 килограммам.
Хотя слово «центнер» немецкого происхождения, в Германии под центнером понимают 100 метрических фунтов, то есть 50 кг.
Наиболее часто центнер применяется в сельском хозяйстве — для количественной характеристики урожая и урожайности.

			тонна
То́нна — название некоторых единиц измерения веса, массы и объёма.
Тонна  = 10 центнеров = 1000 килограммов.

Приборы для измерения			массы
Устаревшие весы
Современные весы
			секунда
Секу́нда — единица измерения времени, одна из основных единиц Международной системы .

			минута
Минута — единица измерения времени. По современному определению, минута равна 60 секундам (1/60 часа или 1/1440 суток). Минута не является единицей СИ, но её использование допускается совместно с СИ. В старых астрономических работах минута может также обозначать единицу времени, равную 1/60 дня (то есть 24 современные минуты). Существуют особые термины для обозначения минуты в различных ситуациях.
				час
Час — единица измерения времени. Час не является единицей СИ, но его использование допускается совместно с СИ. По современному определению, час равен 3600 секундам или 60 минутам
			сутки
Су́тки — единица измерения времени, приблизительно равная периоду обращения Земли вокруг своей оси.
Обычно под сутками подразумевают астрономическое понятие солнечные сутки. В обиходе сутки часто называют днём.
Сутки делятся на 24 часа  и состоят из дня, вечера, ночи и утра.

			неделя
времени, большая, чем день, и меньшая месяца. Семидневное устройство недели подчёркивается русским словом седми́ца (семь дней), хотя число семь в отношении дней недели не является константой.
			месяц
Ме́сяц — единица измерения времени, связанная с обращением Луны вокруг Земли.
Лунные месяцы являются основой многих календарей. В результате раскопок исследователи заключили, что люди считают дни в соответствии с фазами Луны, как минимум, с палеолита.
Поскольку удобство счёта требует целого числа дней в месяце, а различные периоды обращения луны, перечисленные ниже, составляют 27,2—29,6 суток.

				год
Год — единица измерения времени, в большинстве случаев приблизительно равная периоду обращения Земли вокруг Солнца.
				век
Век (столетие) — единица измерения времени, равная 100 годам. Десять веков составляют тысячелетие.
В более узком смысле веком называют не вообще столетний интервал времени, а конкретный, номерной отрезок, повторяющийся каждые 100 лет.

Приборы измерения время
Старинные часы
(ПЕСОЧНЫЕ)

Современные часы
(ЭЛЕКТРОННЫЕ)
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !


title: Скачать презентацию или конспект Старинные меры веса

extracted_text:
Старинные
меры ВЕСА
Единицы измерения на Руси!!!
К 18 веку насчитывалось до 400 различных по величине единиц мер, употребляемых в разных странах.
Разнообразие мер затрудняло торговые операции. Поэтому каждое государство стремилось установить единообразные меры для своей страны!
Старинные меры веса!!!
Золотник
Берковец
Фунт
Доля
Лот
Пуд
Золотник равнялся 1/96 фунта, в современном исчислении 4,26 г.
Это слово, первоначально обозначало золотую монету.

Золотник
«Мал золотник,
да дорог»
Берковец – это большая мера веса, употреблялась в оптовой торговле преимущественно для взвешивания воска и мёда и других.
Берковец
Берковец – от названия острова Бьерк. Так на Руси называлась мера веса в 10 пудов, как раз стандартная бочка с воском, которую один человек мог закатить на купеческую ладью, плывущую на этот самый остров        (163,8 кг).
Фунт равнялся:
32 лотам, 96 золотникам, 1/40 пуда,
в современном исчислении 409,50 г.

Русский фунт был принят
при Алексее Михайловиче.

Сахар продавали фунтами.
Фунт
«Не фунт изюма»
«Узнать почём фунт лиха»
Доля – самая мелкая старорусская единица измерения массы, равная           1/96 золотника или 0,044 граммам.
Доля
Лот – старорусская единица измерения массы, равная трём золотникам или 12,797 граммам.
Лот
Пуд равнялся 40 фунтам, в современном исчислении – 16,38 кг. Применялся уже в 12 веке.
Пуд – это не только мера, но и весоизмерительное устройство. Даже когда результаты взвешиваний являлись десяткам и сотням пудов, их не переводили в берковцы.

Пуд - разновидность весов с переменной точкой опоры и неподвижной гирей.

Пуд как единица массы был отменён в СССР в 1924г.
Пуд


title: Скачать презентацию или конспект Составление таблиц прибавления и вычитания двух

extracted_text:
МОУ «Мещеринская средняя общеобразовательная школа №1 с углубленным изучением отдельных предметов» Ступинского муниципального района Московской области
Урок математики в 1 классе
Тема: «Составление таблиц  прибавления и вычитания двух »
Автор: учитель начальных классов
Ларкина Людмила Дмитриевна
2010 г.
 6

 9
 2
 3
 8
 4
 5
6,
9,
3,
2,
5,
10,
9,
1,
7,
4
2,
8,
1
6,
4,
1
1,
8,
3
7,
1,
8
1,
3,
9
5,
6,
1
 а
 о
 к
 п
 р
 о
 з

8
1
6
3
2
7
5

Помоги крокодилу добраться до калош

1
+
2
=
-
1

=
+
3
=
-
1
=
+
2
=
-
1
=

+

2
=

7
3
2
5
4
6
5

8
6
0
2
5
10
1
3
7
4
9

Назови  числа в порядке их                    уменьшения

Назови соседей чисел
1
2
3
2
3
4
4
5
6
7
8
9
3
5
7
6
1
2
0
5
7
9
6
8
3
4
2
4
Увеличь каждое число на 2

Решите примеры и запомните их
     наизусть!

1  +  2  =
2  +  2  =
3  +  2  =
4  +  2  =
5  +  2  =
6  +  2  =
7  +  2  =
8  +  2  =

3  -  2  =
4  -  2  =
5  -  2  =
6  -  2  =
7  -  2  =
8  -  2  =
9  -  2  =
10  -  2 =
3
4
5
6
7
8
9
10

1
2
3
4
5
6
7
8

-
2
=
4
+
2
=
6

-
2
3

8
-
=
=
6
6

=
8

2
=
7
4

=
6

2
=
0
6
4
5
2
+
2
5
+
+
2
2
-

Ребята!
Справитесь с задачами?
У Кати                     . У Вити столько же

зелёных шариков.
Сколько шариков у Вити и у Кати вместе?

2 + 2 = 4 (ш.)
 У Вити и у Кати 4 шарика.
               Условие
                Вопрос

Решение

Ответ

Задача на смекалку


title: Скачать презентацию или конспект Неевклидова геометрия

extracted_text:
неевклидова  геометрия

Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.
Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского.
Об истории понятия см. Аксиома параллельности Евклида

Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.7 февраля 1826 Лобачевский представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829—1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.

Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из нее получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.

Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 г. советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку. Среди коллег его почти никто не поддерживает, растут непонимание и невежественные насмешки. Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль, появившийся в журнале Ф.Булгарина «Сын отечества» в 1834 г. Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего.

Но Лобачевский не сдается. В 1835—1838 он публикует в «Ученых записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем выходит наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».Не найдя понимания на родине, он пытается найти единомышленников за рубежом. В 1840 г. Лобачевский печатает на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится четкое изложение его основных идей. Один экземпляр получает Гаусс, «король математиков» той поры. Как много позже выяснилось, Гаусс и сам тайком развивал неевклидову геометрию, однако так и не решился опубликовать что-либо на эту тему. Ознакомившись с результатами Лобачевского, он выразил свою симпатию к идеям русского учёного косвенно: рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества. Восторженные отзывы о Лобачевском Гаусс доверил только своим дневникам и самым близким друзьям. Это избрание состоялось в 1842 году. Однако положения Лобачевского оно не укрепило. Ему осталось работать в родном университете ещё четыре года.

Лобачевский не был единственным исследователем в этой новой области математики. Венгерский математик Янош Бойяи независимо от Лобачевского в 1832 году опубликовал своё описание неевклидовой геометрии. Но и его работы остались неоценёнными современниками.Лобачевский умер непризнанным. Спустя несколько десятилетий ситуация в науке коренным образом изменилась. Большую роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Появление модели Клейна доказало, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

спасибо за внимание


title: Скачать презентацию или конспект Округление десятичных дробей

extracted_text:
6 класс
о
к
р
у
г
л
е
н
и
е
десятичных
         дробей

Сегодня
мы научимся округлять десятичные дроби.

Выполни номер 167 стр.36

Прочитай правила.
На сколько частей его можно его  разделить?
Объясни, почему ты так разделил правило?

3,1243≈3,0000
3,1243≈3,1200
3,1243≈3.1240
3,1243≈3,1000

До какого разряда округлили данное число в каждом случае?

Выполни округление
3281≈
6348≈
2341≈
3,235≈
1,234≈
Какую часть правила вы использовали при округлении первого столбика?

3561≈
6368≈
2349≈
3,275≈
1,238≈
Какую часть правила вы использовали при округлении второго столбика?

Проверь свой ответ
3281≈ 3000
6348≈6300
2341≈2340
3,235≈3,200
1,234≈1,230

3561≈ 4000
6368≈6400
2349≈2350
3,275≈3,300
1,238≈1,240

Округли число 385178
Сравни свой ответ с ответом Маши и Миши №168.
Кто из них прав?
Почему?

Реши самостоятельно №169(а,б)

Взаимопроверка по шаблону
а)6,7854
6,7854 ≈ 7
6,7854≈ 6,8
6,7854≈ 6,79
6,7854≈ 6,785

б).4,7218
4,7218≈ 5
4,7218≈ 4,7
4,7218≈ 4,72
4,7218≈ 4,722

Задачи-шутки.
Округлим вес игрушечного медведя
до десятков.

2,15кг

≈ 0
До какого разряда надо округлить вес
медвежонка, чтобы он не улетел?

2,15кг

≈ 2кг

4325,7кг

≈ 43кг
00
Ученик округлил массу слона до сотен.
Слону это не понравилось. Почему?

438,7кг

≈
000
Ученик округлил массу
динозаврика до тысяч.
А массу снеговика до сотен.
                             Справедливо?
0

131,2кг

≈
100
00

≈
00
Поступим справедливо. Округлим
массу каждого до сотен.
400

131,2кг

≈
100
438,7кг
00

438,7кг

131,2кг

≈
0
Округлим
массу каждого до десятков.

≈
130
+1
0
440
Спасибо за работу


title: Скачать презентацию или конспект Углы

extracted_text:
УГОЛ
Угол.
pptcloud.ru
Угол
1
Угольник

Треугольник
3
Четырёхугольник
4
Пятиугольник
5
Шестиугольник
6


title: Скачать презентацию или конспект Функции

extracted_text:
Обобщающий урок –путешествие в 7классе
Тема урока : Функции
Цели урока:
Обучающие: повторить знания по теме
« Функция»;
Развивающие: развивать интерес к предмету, показать практическое применение темы;
Воспитывающие: воспитывать критическое отношение к своим знаниям, учить сравнивать, делать выводы.
задание №1:
Решите анаграммы:
 ФФИИЦЭОКТНЕ, АЯРПЯМ,
АДЧААЗ,
АНЛИЯНЕЙ,
КЦНУФЯИ
Правильные ответы:
ФФИИЦЭОКТНЕ
АЯРПЯМ
АДЧААЗ
АНЛИЯНЕЙ
КЦНУФЯИ

Коэффициент
прямая
 задача,
 линейная
функция.

Задание№2:
Дать определение независимой переменной.

 Дать определение зависимой переменной.

Что называется функцией?

 Как по -другому наз. независимая переменная?

Как по-другому наз. зависимая переменная?

Как называется значение зависимой переменной?

Задание№2:
Что называется областью определения функции?
Что называется графиком функции?
Какая функция называется линейной?
Что является графиком линейной функции?
 Какая функция наз. прямой пропорциональностью?
Что является графиком прямой пропорциональности?
Где расположен график прямой пропорциональности, если а) к>0 б) к<0?
Когда графики двух линейных функций пересекаются?
Задание№3:
Повторение понятия « Функция».
1ученик------------1лист бумаги;
1ученик------------4 листа бумаги;
На всех------------1лист ватмана?
Какие из этих зависимостей –функции?
Задание№4
Начертить маршрут вашего движения на учениях, если ваш путь описывается формулой у=100х. Масштаб: по оси ОХ в 1см-1единица, по оси ОУ –в 1см-100единиц.
Узнайте, на каком расстоянии от базы вы должны быть через 2 часа, через 4 часа?
Через сколько часов вы будете на расстоянии 600км, 800км от базы?
 Задание№5: ( на схематическое изображение графика)
Движение кораблей противника описывается прямой пропорциональностью, в случае к<0.
 к>0 ?
Движение описывается формулой у =4
Движение описывается формулой у=5х; у=5х+4
Движение описывается формулой у=-2х ; у= -2х-8
Моделируем движение нашего корабля и движение кораблей противника:
Наше движение задано формулой у=6х, движение корабля противника задано формулой у=6х+2.Встретятся ли корабли?
 наш: у=2х, противника: у=-3х. Встретятся ?
Задание№6.
Известны формулы движения нашего судна и судна противника, как узнать координаты точек встречи?
 у=10х-8; у=-3х+5
 у=14-2,5х; у=1,5х-18
  У=14х; у=х+26
Задание№7
Известно, что движение корабля противника можно
описать линейной функцией.
 Какой из этих графиков может быть графиком движения корабля условного противника?
Выбери нужный график
Задача
Наш корабль получил сигнал о нахождении в близлежащих водах 4 кораблей. Удалось расшифровать формулы движения одной пары.
Другая пара движется по тому же правилу, но одна формула неизвестна. Установите ее.
У=5х+2; у=5х
У=-3х+8    у= ?
Задание №8
Радист получил от головного корабля задание, в котором указаны координаты 5 кораблей  условного противника. Вот они:
В(2;-1); С( 3;2); К(-4;-2); Д(0;4); М(-5;0)
 Задача –уничтожить эти корабли. Для этого вы должны составить  такую формулу, чтобы смогли «попасть» в указанные точки.
( например, у=-0,5х;   у=4х-10;   у=2х+6;  у=8х+4; у=2х+10)
         Домашнее задание
Повторить теорию п.п.13-15.
Решить №№373, 374,381,383
Подготовиться к к/работе.
Спасибо за урок!
Использованная литература
Учебник алгебры 7 класса . Авторы: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г
Приложение « Математика» к газете « 1сентября».
Интерактивный плакат « Графики функций».
Автор презентации
Венскович Алла Сергеевна, учитель математики МОУ СОШ
п. Пяльма Пудожского района
Республики Карелия.
2009г.


title: Скачать презентацию или конспект Числа от 1 до 10. Закрепление

extracted_text:
Урок математики в 1 классеТема «Числа от 1 до 10. Закрепление»
Шундулиди А.А.
учитель начальных классов,
МБОУ «СОШ» № 77
Г. Кемерово

2012-2013г

2 + 3 = 5


title: Скачать презентацию или конспект Линейная функция в рисунках

extracted_text:
Линейная функция
в рисунках
Y
x
Линейная функция
в рисунках
x
Y
Авторы проекта:  учащиеся 7-го класса:
Горин Роман,
Свешникова Екатерина,
Спасюк Анастасия,
Спренгель Дарья.
Руководители:
Кузнецова Галина Алексеевна – учитель математики;
Орлова Ольга Федоровна – учитель математики;
Горелова Галина Александровна – учитель информатики
Возраст учащихся: от 12 до 14 лет
Цель проекта: создание рисунков с помощью графиков линейной функции на координатной плоскости.
Задачи проекта: уметь находить  коэффициенты и строить графики линейных функций.
Краткая аннотация проекта: в данном проекте мы решили показать на конкретных примерах как с помощью рисунка можно изучать свойства линейной функции. Каждый из нас придумал картинку из прямых линий, создал эскиз этой картинки, а затем на миллиметровой бумаге выполнил точное построение. После этого определил коэффициенты  прямых и подписали уравнение к каждой прямой. В группе мы обсудили полученные результаты и решили создать презентацию, чтобы ознакомить с нашим опытом других  учащихся 7-х классов. Эта презентация может быть использована учителями математики на уроках математики при изучении темы «График линейной функции».
Длительность: всего потребовалось 3 часа для создания рисунков и 4 часа для создания и защиты презентации.
Необходимое оборудование: учебник по алгебре за 7 класс;
миллиметровая бумага; линейка, карандаш, ручка, маркер, компьютер, проектор, программа PowerPoint. для создания презентации.

Этапы работы над проектом:

1)создание эскиза
         	2)определение коэффициентов линейной функции
                3)создание рисунков на   миллиметровой бумаге
                4)обсуждение в группе по проекту
                5)создание презентации
                6)защита презентации

Форма продуктов проектной деятельности:
рисунки в координатной плоскости на миллиметровой бумаге,
слайдовая презентация.
Источник информации: Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс в 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.
Вопросы:
1)Интересно  ли тебе изучать свойства линейных функций?
2)Умеешь ли ты строить графики линейных функций?
3)Умеешь ли ты определять коэффициенты функций?
До
После
До нашей работы с графиками линейных функций 40% учащихся не могли справится с представленной темой.
После нашей работы затруднений  почти не осталось
Результаты проекта
Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Применение подобия треугольников в жизни

extracted_text:
Геометрический проект на тему:
Применение подобия треугольников в жизни

Выполнили проект:
Кривецкий Ян
Кулик Дмитрий
Ломов Кирилл
Румянцев Владислав
Хабаров Александр

Основополагающий вопрос: «Как и где можно применять признаки подобия треугольников в жизни?»

Гипотеза: «Если человек знает признаки подобия треугольников, возникнет ли необходимость их применять в жизни?»

Дидактические цели:
формирование компетентности в сфере познавательной деятельности;
усвоение навыков самостоятельной и коллективной работы;
приобретение навыков самостоятельной работы с большим объёмом информации;
развитие интереса учащихся к  геометрии как к предмету;
формирование критического мышления.

Этапы проведения проекта:
Мозговой штурм (формирование тем исследований учащихся).
Формирование групп для проведения исследований, выдвижение гипотез, обсуждение путей решения проблем.
Выбор творческого названия проекта.
Обсуждение плана теоретической и практической работы учащихся в группе.
Обсуждение с учащимися возможных источников информации.
Самостоятельная работа групп.
Подготовка учащимися презентаций и докладов по отчёту о проделанной работе.
Представление исследовательских работ.

Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:
Исследовательская работа
Как измерить высоту дерева?
Как измерить высоту дерева с помощью картонки?

Как измерить высоту дерева с помощью тени?
Как измерить высоту дерева с помощью зеркальца (лужи)?
Практическая работа.
    Мы выбрали объект для измерения высоты предмета.

Практическая работа.
   Изготовили шест для измерения длиной 1 м 40 см.

Практическая работа.

Результаты измерений
Результат приблизительно равен 7,98 или 8 метрам.
Гулливер и его задачи
 «…по приказанию императора для меня была изготовлена постель. Ко мне были привезены шестьсот матрацев обыкновенной (для лилипутов) величины; сто пятьдесят штук были сшиты вместе, и таким образом образовался один матрац, подходящий для меня в длину и ширину; четыре таких матраца положили один на другой... По такому расчету были сделаны также простыни, одеяла и покрывала…»

Определить точность вычислений в задаче
 «…в последнем пункте условий моего освобождения император постановляет выдавать мне еду и питье в количестве, достаточном для прокормления 1724 лилипутов…»
Гулливер
Решение
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату подобия, отношение их объемов – кубу коэффициента подобия. Точные расчеты показывают, что на изготовление матраца для  Гулливера должно пойти 12 ·12 · 4 = 576 лилипутских матрацев, а за обедом главный герой должен был бы съедать и выпивать  в   12 · 12 · 12=1728 раз больше любого лилипута.

Задача 4.   Тень, которую отбрасывает розовый куст в саду  короля страны великанов на поверхность  земли равна  20 м.  Гулливер,  рост которого равен 1,8 м  отбрасывает  тень в 2 м. Какова высота розового куста?
Задача 5. Здание высотой 15 м Гулливер закрыл монетой диаметром 2 см, держа её
    на расстоянии 70 см от глаза. На каком расстоянии от здания находился Гулливер?

Выводы:
изучили признаки подобия треугольников;
оценили важность предмета «геометрия»;
развивали умение применять теоретический материал при решении практических задач;
формировали умения определять признаки подобия треугольников при решении геометрических задач;
закрепили полученные теоретические знания на практике;
расширили математический кругозор и изучить новые подходы к решению задач;
приобрели навыки исследовательской работы.


title: Скачать презентацию или конспект Нумерация. Счёт предметов. Разряды

extracted_text:
Тема:«Нумерация. Счёт предметов. Разряды»

26.01.2017
1
Урок 1
Быстренько проверь, дружок:– Ты готов начать урок?– Всё ль на месте,– Всё ль в порядке,– Ручка, книжка и тетрадки?
Мотивация к учебной деятельности
Эй, девчонки и мальчишки!
Жизнь сегодня не проста,
Зацифрованная слишком –
Важно в ней уметь считать,
Ведь без правильных расчётов
Не построишь школ, домов,
Не отправиться в полёты,
Не открыть других миров.
Чтобы сделать симпатичней
И комфортней мир вокруг.
Нужнос тать математичней,
С королевою наук –
Математикой – сдружиться.
Навести суметь мосты,
На уроках потрудиться,
Чтобы с нею быть на ты ….

3
2   152   172   162   145    41 132    1   98   182   5   30
26.01.2017
4
   145   152   172
182
с.
д.
ед.
26.01.2017
5
Посчитайте количество точек за 1 минуту
Тема:«Нумерация. Счёт предметов. Разряды»
26.01.2017
Урок 1
слагаемое
слагаемое
сумма
180
230
70
430
120
40
410
360
80
Актуализация опорных знаний
уменьшаемое
вычитаемое
разность
270
30
500
20
25
40
240
520
15

30
+20
∙2
:20
+19
50
100
5
24
а)17,  27,  37,  47,  …,  …,  …
Найдите закономерность и продолжите ряды чисел
б)19,  28,  37,  46,  …,  …,  …
в)12,  21,  34,  43,  …,  …,  …
Девушки – Мария, Екатерина и Елена – одеты в платья разных цветов = синее, жёлтое и розовое.
У Марии платье не розовое, у Екатерины платье не розовое и не жёлтое. У кого какое платье?
+
-
-
-
-
-
-
+
+
26.01.2017
12
10ед. = 1д.
10д.= 1с.
10с. = 1т.
26.01.2017
13
Мы используем десятичную систему счёта.
Другими словами, 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу следующего разряда ( 10 единиц образуют 1 десяток, 10 десятков – одну   сотню,
         10 сотен – 1 тысячу и
так   далее)
Запись многозначных чисел
        Система записи чисел является позиционной : в ней значение цифры зависит от места (позиции), которую она занимает. Благодаря этому любое число можно записать при помощи 10 цифр :      0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
              Цифра 0 обозначает   отсутствие единиц
какого-либо разряда
в десятичной записи числа.
15
  2с.                  6д.              3ед.
 263=200+60+3
   200                60              3
Назови в таблице числа:

Классная работа.    2.09.

26.01.2017
19
Самостоятельная работа
№3(2) с.4
в 1 числе подчеркните цифру единиц
 во 2 числе подчеркните количество единиц I разряда
в 3 числе подчеркните цифру десятков
в 4 числе подчеркните количество единиц IIIразряда
в 5числе укажите количество сотен

672
206
840
400
590
26.01.2017
20

Работа в учебнике
№7 с.5
Реши задачи:
с. 5, № 6, 7

Тест
1) Число, которое при счёте идёт за числом 569:
а) 669      б) 579       в) 570
2) Число, в котором 6 сот. и 9 ед.:
а) 609     б) 906      в) 690
3) Укажи верное неравенство:
а) 713> 731              б) 371< 317            в) 137 <173
4) Какое число надо прибавить к числу 300, чтобы получить 370?
                    а) 70              б) 7              в) 700
5) Укажи значение х, которое получится при решении уравнения х+46=846
                        а) х=80             б) х=800            в) х= 8
Проверь себя:
1) в
2) а
3) в
4) а
5) б

Итог урока
Над какой темой работали?
Какие задания выполняли?
Какие из них вызвали затруднения? Почему?
Что помогло справиться с выполнением заданий?
с.
д.
ед.
Оцени свою работу на уроке:
Работал отлично, всё понимаю.

Работал хорошо, но есть проблемы. Буду работать над ними.

Есть существенные проблемы.  Прошу            помощи.

Домашнее задание :

Т. с.3
Звенит, заливаясь, весёлый звонок.
Как жаль, что так быстро закончен урок…


title: Скачать презентацию или конспект Математика «Линии»

extracted_text:
2014 год,
15 октября,
среда.
К задуманному числу прибавили 1 и получили 10. Какое число задумали?
Какое число при счёте следует за числом 7?
Число на 1 меньше, чем 5.
Какое число имеет соседей 6 и 8?
 Какое число предшествует числу 9?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1

1
2

2

1
3

2
1

3

1
4

2
2

3
1

4

1
5

2
3

3
2
На плетень взлетел пётух,
Повстречал еще там двух
Сколько  стало петухов?
У кого ответ готов?
1+2=3
В кормушке сидели
Только  две птицы.
Но к ним прилетели
Еще три синицы.
Так сколько же птиц
Здесь в кормушке у нас?
Пусть скажет скорее
Каждый из вас.

2+3=5
Четыре урока ребята сидели:
Два учебника было в портфеле.
Два дома стояли на  полке….
Их вместе сложили- получится сколько?
2+2=4
Раз, два, три, четыре, пять….
Вышли зайцы погулять.
Двое зайцев потерялись.
Сколько до дому добрались?
5-2=3
Отдыхай-ка

С.17
Сегодня точек  очень много,
Я через них веду дорогу.
Соединяя точку с точкой,
Я начертил дорожку – строчку.
Дорожка, изгибаясь, вьётся,
Дорожка линией зовётся.

 Линии.

С.17

1
2
3
4
6
5
Отдыхай-ка

- Составьте  из 6 палочек 2 треугольника.

- Теперь догадайтесь, как составить 2 треугольника из 5 палочек.

Что мы узнали?
Что повторили?
Оцени свою работу на уроке.
Наше настроение


title: Скачать презентацию или конспект В мире чисел

extracted_text:
Проект «В мире чисел»
Автор проекта
учитель математики МОУ  «Средняя школа №16» Иванцова Е.А.
  Математика — это наука, имеющая дело с числами, количеством, формой. Без знания математики вся современная жизнь была бы невозможна. Например, у нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать и сооружать.
        Наша одежда была бы очень грубой, так как ее нужно хорошо скроить, то есть точно все измерить. Не было бы ни железных дорог, ни кораблей, ни самолетов, никакой большой промышленности, ни коммерции. И, конечно, не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысяч других вещей, составляющих часть нашей цивилизации. Использование математики, измерение «насколько?», «как долго?» являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем.
       Жизнь наших предков была много проще, но даже они вынуждены были прибегать к использованию цифр.
       Древний человек хотел учитывать вещи, которыми он владел. Сколько у него инструментов? Сколько оружия? Сколько животных? Как только появилась необходимость передавать идеи, связанные с количеством, он начал пользоваться математикой. Вообще счет стал началом математики. Это искусство счета развивалось на протяжении длительного времени. Сначала для этого делались зарубки на стене или отметки на папирусе (вид бумаги). Древний человек мог сказать «сколько?», глядя на эти зарубки, хотя не имел даже слов, чтобы назвать это.

   Нет практически ни одной сферы человеческой деятельности и жизни, где не использовались бы (или не стремились бы к использованию) чисел и законов их употребления.

Из сокровищницы мудрых мыслей
                              "Всё есть число"   Пифагор

 "Мы никогда не стали бы разумными,
  если бы исключили число из
  человеческой  природы"
   Платон

Из сокровищницы мудрых мыслей
"Человек есть дробь. Числитель - это сравнительно с другими - достоинства человека; знаменатель - это оценка человеком самого себя. Увеличить свой числитель - свои достоинства, не во власти человека, но всякий может уменьшить свой знаменатель - свое мнение о себе, и этим уменьшением приблизиться к совершенству"
Л. Н. Толстой

Из сокровищницы мудрых мыслей
"Твой ум без числа ничего не постигает"    Н. Кузанский
   "Говорят, что числа правят миром. Нет, они только показывают, как правят миром"
И.Гёте
   "Власть чисел тем могущественнее, чем меньше в них разбираются"                      Вольтер


title: Скачать презентацию или конспект Кенгуру

extracted_text:
Выполнила: Панфилова Ольга Юрьевна.Учитель математики. МКОУ «Петуховская средняя общеобразовательная школа №1»
          Виды  заданий:1. Классификация2. Наглядные задачи (Что мы видим на картинке?)3. Логика4. Комбинаторика5. Конструкции
     1.Задания на классификацию В каждой из следующих задач надо подсчитать количество каких-то объектов: геометрических фигур, стрелок, точек и т.д. Прежде, чем начать такой подсчет, полезно разбить эти объекты на группы и сначала провести нужные подсчеты по каждой группе отдельно.
Пример: 1. На рисунке отмечены вершины и центр правильного шестиугольника. Назовем тройку отмеченных точек хорошей, если эти точки образуют равнобедренный треугольник. Сколько хороших троек на рисунке? (A) 6  (B) 18  (C) 20  (D) 30  (E) 36
       2.Наглядные задачи (Что мы                видим на картинке?)Чтобы решить эти задачи обычно достаточно просто внимательно рассмотреть рисунок. А иногда надо придумать нужный рисунок самостоятельно.
Пример наглядной задачи
 Поль выиграл футболку, на которой написано слово . Он надел ее и подошел к зеркалу. Какую запись он увидел?
 (A) (B) (C) (D)  (E)
 3. Логика Задачи этой серии требуют умения рассуждать, доказывать, а иногда и просто перебрать варианты: «Что будет, если …».
Пример задачи на логику: 1. Какие из следующих трех утверждений верны?   (1)Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.   (2)Сумма одного отрицательного числа и одного положительного числа всегда положительна.   (3)Сумма одного отрицательного числа и двух положительных чисел всегда положительна. (А) все неверны  (В) только (1)  (С) только (1) и (3)  (D) только (2) и (3)  (E) все три верны
Пример на логику:2. В группе 40% ребят имеют плохое зрение. 70% из них носят очки, остальные 30% носят контактные линзы. Общее число ребят в очках - 21. Что верно: (A) 30 человек имеет плохое зрение  (B) 30 человек имеет хорошее зрение  (C) всего в группе 100 человек  (D) 10 человек носят линзы  (E) ни один ответ не подходит
КомбинаторикаДля решения этих задач нужно подсчитать количество комбинаций (наборов) каких-то объектов: монет, палочек, клеточек или просто чисел.
Пример комбинаторной задачи1. Сколькими способами можно расположить 4 шашки на нарисованной доске так, чтобы никакие две из них не находились в одном ряду или одной колонке? (A) 64  (B) 28  (C) 16  (D) 8  (E) 4
КонструкцииЧтобы решить эти задачи, нужно либо придумать какую-то подходящую конструкцию, либо внимательно рассмотреть уже готовую конструкцию.
Пример задачи на конфигурацию1. 1. Какое наименьшее количество клеток нужно дополнительно закрасить в квадрате, чтобы полученная картинка имела центр симметрии? (А) 1  (В) 2  (С) 3  (D) 4  (E) 5
2. Правильную пирамиду с квадратом в основании разрезали пополам плоскостью, а потом половинки сложили так, что заштрихованные треугольники совпали. Тело, которое получилось, имеет

 (A) 4 грани
 (B) 5 граней
 (C) 6 граней
 (D) 7 граней
 (E) 8 граней


title: Скачать презентацию или конспект Иррациональные уравнения

extracted_text:
Иррациональные уравнения
Урок алгебры и начал анализа
11 класс
Преподаватель: Фардиева Л. Р.
Цели урока
Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения;

Выработать умение мыслить, делать выводы, применять теоретические знания для решения задач; развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес;

Воспитание устойчивого интереса к математике, культуры поведения и общения, трудолюбия, аккуратности, положительного отношения к окружающим.
Устная   работа
Сколько корней имеет уравнения:

а)

б)

в)

Найди ошибки
Тема урока
Иррациональные уравнения
Определение
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

При возведении обеих частей уравнения
    • в четную степень (показатель корня – четное число) – возможно появление постороннего корня (проверка необходима).
    • в нечетную степень (показатель корня – нечетное число) – получается уравнение, равносильное исходному (проверка не нужна).

Решая иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований – проверка не нужна.

Посторонние корни
Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др.
По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.
Решим уравнения

Проверка:
Х = -1, тогда                                1=-1 ложно;

Х=2, тогда                                      2=2 верно.

Ответ: х=2.

Проверка:
 1) х=0, то

 2) х=3, тогда

Ответ: х=3

Ответ: нет корней
Устно:
Какие из следующих уравнений являются иррациональными?

 а)                                   б)

  в)                              г)

Является ли число x корнем уравнения?
Решение упражнений
№ 417 (б, в),
418 (а, г),
№ 419 (в)
ДОМАШНЕЕ   ЗАДАНИЕ
п. 33
№ 417 (г),
№ 419 (г)
Ответы   теста:
Итоги  урока
Рефлексия
Ваше настроение


title: Скачать презентацию или конспект Декартова система координат на плоскости

extracted_text:
Проект по алгебре
Автор проекта: Кабелькова Аня, ученица 7 класса
5klass.net
Декартова система координат на плоскости
Мыслю, следовательно существую
Декарт
Вступление
Одна  из  ярких  страниц  VΙΙ  века  связана  с  работами  французского  математика,  физика  и  философа  Рене  Декарта. Он  предложил   геометрическое   истолкование  алгебраических  задач,  ввел  координатную   прямую  с  положительными  и  отрицательными  числами  (1637 год),  систему  таких  прямых,  которые  в  последствии  получила  широкое  применение  в  математике,  физике,  химии,  географии,  астрономии  и  других  дисциплинах  под  названием  «декартова»  система  координат
Система  координат  на  плоскости  позволяет  решать  задачи,  связанные  с  положением   точек   на  плоскости,  построение  графиков,  геометрических  фигур,   нахождением   расстояния  между  точками  и  т.д.
Ученые, которые являются авторами координат.

Линия времени
Гиппарх
Птолемей
Рене Декарт
100 лет до н. э.
II век до н. э.
XVII век
Гиппарх
Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.

Во II веке н.э. знаменитый древнегреческий астроном Клавдий Птолемей уже пользовался долготой и широтой в качестве географических координат
Биография Рене Декарта
XVII  в. – век  создания  математики,  переменных  величин,  высшей  математики.  Развитие  торговли  и   мореплавания,  вызванное  новыми  географическими   открытиями,  и  связанное  с  ним  дальнейшее  развитие  астрономии,  рост  промышленности  и  техники  способствовали  зарождению  новых  математических  идей  и  методов,  отвечающих  запросам  естествознания  людей.
Одним  из  создателей  высшей  математики  был  Рене  Декарт  (1596-1650),  гениальный  французский  ученый  и  мыслитель  XVII  века. Декарт  далеко  не  сразу  нашел  свое  место  в  жизни
В области точных наук Декарту принадлежат:- введение более простых обозначений в алгебру;- основная теорема в теории определения числа положительных и отрицательных корней уравнения- методы проведения касательных к кривым- изобретение аналитической геометрии и многочисленных ее приложенийВ физике :-установление закона инерции- сложении движений- закон преломления и отражения света и др.
Координаты в жизни людей

Те, кто в детстве играл в морской бой, помнят , что каждая клетка на игровом поле определялась двумя координатами - буквой и цифрой
Чтобы правильно занять свое место в кинотеатре, нужно знать две координаты - ряд и место;

Система географических координат
широта – параллели,  долгота -меридианы

Координатная плоскость

О – точка пересечения
       осей  х и у,        начальная точка        системы координат.

Ось х – ось абсцисс
Ось у – ось ординат
у
х
О
Плоскость, на которой задана декартова система координат,называется координатной плоскостью
Пусть А – произвольная
точка плоскости.
     Проведем через точку А
прямые, параллельные
осям координат.
     Прямая, параллельная
оси у, пересечет ось х    в
точке А1.
     Прямая, параллельная
оси х, пересечет ось у    в
точке А2.
А1 –   абсцисса(отсекаемый)
точки А
А2 –  ордината(упорядоченный)
точки А

-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4

А
А2
А1
А (4;3)
A (x;y)

Названия координат были введены в употребление в 70-80-х годах XVII века Г.В. Лейбницем. Им же абсцисса вместе с ординатой были названы координатами.

у
х
О
1

1
-1
-1
2
3
4
2
3
4
-2
-3
-4
-2
-3
-4
.
.
.
.
.
А
В
С
D
Е
Определите координаты точек:
Проверка:
                А (2; 3)
                В (-1; 2)
                С (-1; 0)
                D (-3; -2)
                Е (3; -4)
Прямоугольная система координат xOy разделяетплоскость на четыре угла, называемые координатнымиуглами или координатными четвертями

y
x
O
II
III
IV
+;+
-;+
-;-
+;-
I
Заключение
Трудно  переоценить  значение  декартовой  системы  координат  в  развитии  математики  и  ее  приложений.  Огромное  количество   задач,  требовавших  для  решения  геометрической  интуиции,  специфических   методов,  получило  решения,  состоящее  в  аккуратном  проведении  алгебраических  выкладок. Открытие метода координат сыграло огромную роль в дальнейшем развитии математики, в частности геометрии. С помощью метода координат стало возможным строить графики.


title: Скачать презентацию или конспект Задачи на составление уравнений

extracted_text:
Муниципальное образовательное учреждение «Монастырская средняя общеобразовательная школа»Шегарский район Томской области
6 класс
математикатема урока
Решение задач на составление уравнений

учитель математикиЗельчан Татьяна Викторовна
pptcloud.ru
Цели урока
закрепление вычислительных навыков;
закрепление умений решения уравнений;
формирование умений решения текстовых задач путем выделения трех этапов математического моделирования;
формирование умений записи обоснования уравнения, полученного в ходе решения задачи;
демонстрация возможности использования информационных технологий в процессе обучения математики;
экономия времени на уроке засчет использования компьютера на уроке;
демонстрация аккуратных, четких образцов оформления решений;
повышение уровня наглядности в ходе обучения.
 Реши уравнение.

Подумай и выполни задание
     В одном бидоне х литров молока, а в другом у литров молока.
А) Расшифруйте выражения:
 х + у;         х + 3;         у – 2;         х – у.
В) расшифруйте равенства:
 х + у = 90;         х + 5 = у;          3х = у;
  х – 15 = у + 25.
Задача 1
. В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. Когда из одного бидона перелили в другой 5литров, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?
Краткое условие задачи
Пусть х литров – количество молока во втором бидоне до переливания. Тогда:
3х литров – количество молока в первом бидоне до переливания;
(3х – 5) литров – осталось в первом бидоне;
(х + 5) литров – стало во втором бидоне.
По условию задачи, после переливания молока в обоих бидонах стало поровну.
Составим уравнение:
      З х – 5 = х + 5
Решение уравнения
Зх – 5 = х + 5
Зх – х = 5 + 5
2х = 10
Х = 10 : 2
Х = 5
5 литров молока было во втором бидоне
3 · 5 = 15 (л) молока было в первом бидоне.
Ответ: 15л, 5л.
Задача 2
на одной автостоянке было в 4 раза меньше машин, чем на другой. Когда со второй стоянки на первую перевели 20автомобилей,  машин на стоянках стало поровну. Сколько машин было на каждой автостоянке первоначально?
Краткое условие задачи
Уравнение
х + 12 = 4х - 12
Решение уравнения задачи 2.

х – 4х = -12 – 12
- 3х = - 24
Х = - 24 : (- 3)
Х = 8
8 машин было на 1 – ой стоянке первоначально
4 · 8 = 32 (м) было на 2 – ой стоянке первоначально.
V. Задание творческого характера.
Придумать
 аналогичную
задачу.

VІІ. Домашнее
задание.
Итог урока
Что нового узнали сегодня на уроке?
Чему научились на этом уроке?


title: Скачать презентацию или конспект Вычитание вида 13

extracted_text:
4 мая.Классная работа.
Тема.
 Вычитание вида 13 -
МАТЕМАТИКА

Цели урока:
продолжить работу по запоминанию табличных случаев вычитания ;
повторять состав чисел;
решать задачи изученных видов.
Устный счёт
15, 12, 16.
9         4
8         5
7         6
13 – 4 = 9
13 – 5 = 8
13 – 6 = 7
13 – 7 = 6
13 – 8 = 5
13 – 9 = 4
Запомни
1
3
Сравни: >  <  =
17 *  10 + 7
19 *  20 – 1
1 дм 2 см * 13 см
1 дм 5 см * 20 см
=
=
<
<
Домашнее задание
с. 76 № 1, 4
тетрадь на ПО с. 33
Итог урока
Что нового для себя вы узнали на уроке?

Как вы оцениваете свою работу ?