title: Скачать презентацию или конспект Индивидуальные образовательные траектории в образовательной программе школы

extracted_text:
Индивидуальные  образовательные траектории в образовательной программе школы
Опыт работы учителя математики
МОУ «Цивильская СОШ №1 имени М.В. Силантьева» Цивильского района Чувашской Республики
Ермеева Валерия Александровича

Педагогические поддержка и сопровождение учащихся.
Индивидуальные образовательные траектории (ИОТ)
Самостоятельность учения
Сознательность учения
Разрешение проблемных ситуаций

Этапы создания ИОТ
5 – 6 классы
 определение предметного поля успешности

7 – 8 классы
 формирование предметной траектории,
 создание модели ИОТ

9 класс
 корректировка ИОТ,
 принятие решений по выбору ИОТ

10 – 11 класс
 формирование ИОТ,
 профессиональное самоопределение

Поддержка, сопровождение и развитие учащихся 5 – 6 классов
5 часов в неделю: обеспечение содержания стандарта образования
1 час в неделю: факультативный курс для всего класса
15 часов факультативных занятий для одарённых детей в ЛШЮМ «Сильное звено»
Внеклассные предметные мероприятия
Факультативный курс 5 – 6 класс
Четность и нечётность
Взвешивания, переливания
Перебор
Принцип Дирихле
Система счёта
Алгебраические дроби
Комбинаторика
Алгоритм Евклида
НОД и НОК
Деление с остатком
Делимость натуральных чисел
Задачи на проценты
Модуль числа
Логические задачи
Поддержка, сопровождение и развитие учащихся 7 – 8 классов
5 часов в неделю: обеспечение содержания стандарта образования
1 час в неделю: факультативный курс «А» для всего класса
2 часа в неделю: факультативный курс «Б» для группы учащихся имеющих устойчивый интерес к предмету
Заочные физико – математические школы при ВУЗах
15 часов факультативных занятий для одарённых детей в ЛШЮМ «Сильное звено»
Внеклассные предметные мероприятия

Факультативный курс 7  класс
Уравнения и системы уравнений содержащих модуль
Уравнения и системы уравнений содержащих параметр
Уравнения в целых числах
Графики функций содержащих модуль
Метод интервалов
Индукция
Формулы сокращённого умножения.
 Делимость чисел.
Простые и составные числа.
Основная теорема арифметики.
Теорема о делимости с остатком.
Сравнения.
Текстовые задачи на смеси и сплавы

Факультативный курс «А» для всего контингента учащихся 8 класса.
Формулы сокращенного умножения.
Различные методы разложения многочлена на множители.
Деление многочлена на многочлен
Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание алгебраических дробей.
Умножение дробей.
 Возведение дроби в степень.
 Деление дробей.
Преобразование рациональных выражений.
Решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Функция у = | х |. Графики функций  у = | f (х)| и у = f (| х |).
Квадратные уравнения. Теорема Виета.
 Решение  квадратных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
Решение дробно – рациональных уравнений.
 Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Неравенства.
Решение  неравенств с одной переменной, содержащих переменную под знаком модуля.
Решение  систем неравенств с одной переменной, содержащих переменную под знаком модуля.

Содержание учебного материала факультативного курса «Б»для учащихся, имеющих устойчивый интерес к предмету
Формулы сокращённого умножения. Различные методы разложения многочлена на множители. Деление многочлена на многочлен

Натуральные числа. Делимость чисел. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения. Простые и составные числа. Признаки делимости. Разложение чисел на простые множители.

Основная теорема арифметики. НОК и НОД двух и нескольких чисел, их свойства. Теорема о делимости с остатком. Алгоритм Евклида.

Сравнения. Решение задач с помощью сравнений. Периодичность остатков при возведении в степень.

Арифметический квадратный корень. Уравнения; задачи на доказательство отсутствия рационального корня уравнения. Квадратный корень из произведения, дроби и степени.

Неравенства. Доказательство неравенств. Решение линейных неравенств с одной переменной, содержащих знак модуля. Решение систем линейных неравенств с одной переменной, содержащих знак модуля.

Содержание учебного материала факультативного курса «Б»для учащихся, имеющих устойчивый интерес к предмету

Уравнения, приводимые к линейным и к квадратным. Исследование квадратного уравнения. Теорема  Виета.

Вынесение множителя из-под знака корня, внесение под знак корня. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Избавление от квадратной иррациональности в знаменателе.

Функция. Свойства функций. Функция  у =| х |. Дробно- линейная функция. Построение графиков. Элементарные преобразования графиков. Графики, связанные с модулем. Исследование функции по её графику.

     Тематика занятий. 8 класс. Лето- 2007.

Метод математической индукции.
Доказательство неравенств.
Уравнения с двумя переменными.
Задание фигур на координатной плоскости уравнениями и неравенствами.
Наибольшие и наименьшие значения выражений.
Суммирование.
Уравнения в целых числах.
Теорема косинусов.
 Теорема синусов.
Теорема Менелая.
Теорема Чевы.
Соотношения между сторонами и углами в треугольнике.
Геометрические неравенства.
Неравенства, включающие медианы и высоты треугольника.
Неравенства, включающие площадь треугольника.
Углы и окружность.

Поддержка, сопровождение и развитие учащихся 9 классов
5 часов в неделю: обеспечение содержания стандарта образования
1 час в неделю: элективный курс  для всего класса
1 часа в неделю: элективный курс  для группы учащихся имеющих устойчивый интерес к предмету
Заочные физико – математические школы при ВУЗах
Внеклассные предметные мероприятия

Элективный курс. 9 класс.
Делимость многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни многочленов, следствия из теоремы Безу.
Теорема о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.
Деление многочлена на многочлен. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини – Горнера.
Формулы сокращенного умножения. Разложение методом неопределенных коэффициентов.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением.
 Теорема о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Симметрическое, кососимметрическое и возвратные многочлены и уравнения.
Метод использования монотонности при решении уравнений.

Элективный курс. 9 класс.
Дробно – рациональные алгебраические уравнения. Общая  схема решения. Метод замены при решении дробно – рациональных уравнений.
Дробно – рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов дробно – рациональных неравенств.

Однородные уравнения с двумя переменными. Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Метод разложения при решении систем уравнений. Системы с тремя переменными.

Условия педагогического сопровождения
Сотрудничество учителя и ученика
Изменение позиции учителя – он консультант занятий
Разрешение проблемных ситуаций «Не хочу, не могу»
Важнейшая задача цивилизации – научить человека мыслить.
Т.Эдисон

Элективный курс. 11 класс.
Использование областей существования функций для решения уравнений и неравенств
ограниченности функций для решения уравнений и неравенств
Использование неотрицательности функций для решения уравнений и неравенств
Использование свойств синуса и косинуса для решения уравнений и неравенств

Использование числовых неравенств для решения уравнений и неравенств
Использование производной для решения уравнений   и неравенств
Нестандартные задачи в ЕГЭ

Немногие умы гибнут от износа, по большей части они ржавеют от неупотребления.                                                               Кристин Боуви
Система работы с одаренными детьми:
Дифференциация параллелей
Выделение группы одаренных учащихся
Обогащение обучения для обучения для группы учащихся за счет сокращения времени на прохождение обязательной программы

Основные принципы работы:
Обучение при ведущей роли теоретических знаний
Обучение на высоком уровне сложности
Изучение программного материала быстрым темпом

Настоящее познание дается сердцем. Мы знаем только то, что любим.                                                          Л. Н. Толстой
Поддержка, сопровождение и развитие учащихся
Овладение учащимися содержанием стандартов образования
Развитие индивидуальных способностей учащихся
Совершенствование дифференцированных форм обучения
Овладение программой математики на повышенном уровне
Условия для продолжения образования
Профессиональное самоопределение
Результаты учебных достижений учащихся2006 – 2007 учебный год

Результаты учебных достижений учащихся

Результаты итоговой аттестации учащихся 9 классов по алгебре. 2007 г. Решаемость заданий.Учитель математики 9 «А» Ермеев В. А.
Результаты внеурочной деятельности обучающихся. 2006 – 2007 учебный год.
    Районный этап Всероссийской олимпиады школьников 2007:
Иванова Светлана – 1 место
Талызин Илья – 2 место
Емельянов Сергей – 2 место
    Районная олимпиада «Юные дарования»
Варламова Ирина -1 место
Ермеева Анастасия – 3 место
Петрова Мария – 3 место
Результаты внеурочной деятельности обучающихся. 2006 – 2007 учебный год.
       Победители Международной дистанционной олимпиады «Авангард»
Емельянов Сергей
Иванова Светлана
Фельдина Евгения
Талызин Илья
Ермеева Анастасия

Международная математическая олимпиада «Турнир городов»
Емельянов Сергей – 3 место
Дачева Мария – Похвальный отзыв
Гаврилов Павел – Похвальный отзыв
Талызин Илья – Похвальный отзыв
Григорьев Саша – Похвальный отзыв
Иванов Николай – Похвальный отзыв
Захваткин Саша - Похвальный отзыв

Турнир юных математиков Чувашии» -
2 и 3 места в командной олимпиаде

Республиканская олимпиада
«Юные дарования»
Петрова Мария – Похвальный отзыв
Меценатова Вера - Похвальный отзыв

Программа на ближайшую перспективу
Завершение темы «Создание целостной системы работы с одаренными детьми»
Работа над методической темой «Активные методы обучения учащихся»
Системное отслеживание результатов обучения по авторским факультативным, элективным курсам
Приглашаю к сотрудничеству!
Эл. почта: civ—sosh @ cbx. ru

Контактный адрес:
        Россия, Чувашская  Республика,
        г. Цивильск, ул. М. Горького, дом №1
        МОУ «Цивильская средняя   общеобразовательная школа имени
        М. В. Силантьева» Цивильского района Чувашской Республики

Рабочий телефон: (8245) 21-2-44, 21-2-16


title: Скачать презентацию или конспект Квадрат и куб

extracted_text:
Квадрат и куб
Учитель математики и информатики МКОУ «Верхнечеренская СОШ» Клетского района Волгоградской области Мараховская Ангелина Ивановна
10

+15
25
- 10
+13
: 2
- 16
6
  3
:15

75
20
7
14
30
5

Задача:
В кинотеатре на дневной сеанс продали 210 билетов, на утренний сеанс – на 60 билетов меньше, чем на дневной, а на вечерний сеанс – в 2 раза больше, чем на утренний.
Поставьте вопрос и решите задачу.
Сколько всего продано билетов?
Условие задач:
Дневной сеанс  - 210 билетов,
Утренний сеанс – на 60 м,
Вечерний сеанс – в 2 раза б.
Сколько всего продано билетов?
Решение:
210 – 60 =150 билетов (утренний)
150 * 2 = 300 билетов (вечерний)
210+150+300 = 660 билетов (всего)
Ответ: 660 билетов

Геометрия

«ГЕО» - земля, «МЕТРИЯ» - измерение

На какие 2 группы делятся
геометрические фигуры?

Плоские
Объёмные

Квадрат
Куб
Тема:
 Квадрат и куб

Цели:
Познакомиться с «квадратом» и «кубом»;
Рассмотреть грани, ребра и вершины куба;
Научиться изображать куб;
Научиться находить объем куба.

а
а
S =
а
а
а
2
=
.
мм
2
см
2
м
2
дм
2

а
а
а
V=
объём
а
а
а
а
3
=
.
.
мм
3
см
3
м
дм
3
3
А
D
C
B
5 см
5 см
5 см
5 см
D
D
D
D
D
C
C
D
N
M
M
N
L
B
A
C
D
O
Куб

1
6
5
4
3
2
У куба 6 граней
D
C
O
A
B
L
N
M
Вершины куба
У куба 6 граней

У куба 6 граней;
У куба 8 вершин;

Ребра куба
У куба 6 граней

У куба 6 граней;
У куба 8 вершин;
У куба 12 ребер.

Работа с учебником
Стр. 78 №258
Стр. 79 №262
Работа с тетрадью
Стр. 63 №116
Из скольких квадратов  состоит поверхность куба?
Как называются эти квадраты в кубе?
Сколько вершин имеет куб?
Сколько рёбер у куба?
Какие виды фигур знаете?
Как найти S  грани куба?
А всей поверхности куба?
V  куба?

Итог урока
В тетради
стр.63 №115, 117.
Домашнее задание


title: Скачать презентацию или конспект Развитие пространственного мышления

extracted_text:
Развитие пространственного мышления
Один из показателей развития пространственного мышления
Умение создавать исходный геометрический образ, т.е. в графической модели передавать форму, размеры и взаимное расположение отдельных элементов объекта.
Олимпийские кольца
Умение мысленно производить различные преобразования над исходным геометрическим образом
Используются следующие геометрические преобразования:
-     перенос,
-     сжатие,
-     растяжение,
-     поворот,
-     симметрия,
-     гомотетия.
Мозаика «Остров»
Умение мысленно изменять структуру геометрического образа
Вначале мысленное, а затем реальное удаление или добавление на экране компьютера некоторых элементов построенной фигуры.
Разрежьте квадраты разными способами на 4 равные части.

Построение сечения куба плоскостью
Воспитание информационной культуры школьников
Не убий
Не укради
Не сотвори себе кумира
Не лжесвидетельствуй
Возлюби ближнего, как самого себя
Интернет! Интернет? Интернет…
Виды учебной работы в сетях
Мероприятия
Проекты
Курсы

Эстетическая роль информатики
Дизайн
Золотое сечение

Глаза сломаешь!

НИКОГДА!


title: Скачать презентацию или конспект Взаимообратные задачи

extracted_text:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Ясногорская средняя общеобразовательная школа

УРОК МАТЕМАТИКИ

тема: «Взаимообратные задачи»

Работу выполнила: учитель начальных классов
Смоленцева Наталья Владимировна

2012 год

Условие
Вопрос
Схема
Выражение
Решение
Ответ
На кормушке сидело 2 синички.Прилетела ещё 1синичка. Сколько синичек прилетело?
На кормушке сидело 2 синички.Прилетела ещё 1синичка. Сколько синичек стало?
Спасибо за урок!


title: Скачать презентацию или конспект Функции алгебры логики

extracted_text:
1
Методы дискретного анализа в организационных системах. Алгоритмический подход.
Институт проблем управления РАН,
Физический факультет МГУ
http://www.ipu.ru/
http://www.phys.msu.ru/rus/about/structure/div/div-experimental/chair-upravleniya/
http://www.orsot.ru/
Лазарев Александр Алексеевич
2009-2010 учебный год
pptcloud.ru
2
План
Функции алгебры логики
Элементы комбинаторики
Элементы теории графов
Три контрольные работы (в редакторе ТеХ, http://miktex.org/2.8/setup)
3
Рекомендуемая литература
1. Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А. Дискретный анализ. Часть I: Учебное пособие. – М.: МФТИ, 1999.
2. Стэнли Р. Перечислительная  комбинаторика. -М.: Мир, 1990.
3. Липский  В. Комбинаторика  для программистов. - М.: Мир, 1988.
4. Рыбников  К.А. Введение  в комбинаторный  анализ. - М.: МГУ,1985.
5. Гаврилов Г.И., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. -М.: Наука, 1992.
6. Риордан  Дж. Введение  в комбинаторный анализ. - М.: ИЛ, 1963.
7. Холл М. Комбинаторика. - М.: Мир, 1970.
8. Мендельсон Э. Введение в математическую логику.- М.: Наука, 1976.
9.  Дискретная   математика   и   математические   вопросы кибернетики/
      Под  ред. С.В.Яблонского,  О.В.Лупанова, Т.1,  -М.; Наука, 1974.
10. Яблонский  С.В. Введение  в дискретную  математику.  -М.: Наука, 1986.
11. Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1968.
12. Кристофидис Н. Теория графов. Алгоритмический подход. -М.: Мир, 1987.
13. Емеличев В.А., Мельников О.И. и др. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
14. Уилсон Р.Дж. Введение в теорию графов. - М.: Мир, 1977.
15. Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир,1973.
16. Журавлёв Ю.И., Флёров А.А., Федько О.С., Дадашев Т.М. Сборник задач по дискретному анализу. – М.: МФТИ, 2000.
17. Гжегорчик А. Популярная логика.- М.: Наука, 1979.
18. Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. – М. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.
19. Лазарев А.А. Теория расписаний. Оценки абсолютной погрешности и схема приближённого решения задач теории расписаний: Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2008.
20. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. – М.: Мир. – 1982.
21. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ. – М. – 2005. 1293 с.
4
Функции алгебры логики
Джордж Буль (1815-1864)
“Математический анализ логики, являющийся очерком, касающимся исчисления дедуктивных рассуждений”, (1847 г.),
“Исследования законов мысли. на которых основываются математические теории логики и вероятностей”, (1854 г.).
Аугустус (Огастес, Август) де Морган (1806-1871)
“Формальная логика или исчисление выводов, необходимых и возможных” (1847 г.).

5

БУЛЬ, ДЖОРДЖ (Boole, George) (1815-1864), английский математик. Родился 2 ноября 1815 в Линкольне. В возрасте 16 лет стал помощником учителя частной школы в Донкастере, в 1835 открыл собственную школу в Линкольне. В свободное время читал математические журналы, работы И.Ньютона, П.Лапласа и Ж.-Л.Лагранжа, начал вести самостоятельные алгебраические исследования. В 1839 написал первую научную работу Исследования по теории аналитических преобразований (Researches on the Theory of Analytical Transformations), которая была опубликована "Кембриджским математическим журналом" ("Cambridge Mathematical Journal"). В 1844 появилась его первая работа, где высказывалась идея объединения алгебры и логики, а в 1847 вышла в свет статья Математический анализ логики (The Mathematical Analysis of Logic), которая положила начало созданию "алгебры высказываний", получившей впоследствии название булевой алгебры. Благодаря этой публикации Буль в 1849 был назначен профессором математики Куинз-колледжа (Корк, Ирландия), где преподавал до конца жизни. В 1857 был избран членом Лондонского королевского общества. Основные идеи Буля суммированы в его работе Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей (An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, 1854). Здесь впервые определено в явном виде исчисление классов (или множеств), введено обозначение для их пересечения, объединения и т.д., показано, что исчисление классов можно интерпретировать как исчисление высказываний. Булевы алгебры — особые алгебраические системы, для которых определены две операции, — нашли широкое применение в различных разделах математики: в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе, а также в создании вычислительных машин. Умер Буль в Баллинтемпле (графство Корк, Ирландия) 8 декабря 1864.

6
Огастес (Август) де Морган (англ. Augustus de Morgan, 27 июня 1806), Мадура, Индия — 8 марта 1871, Лондон) — шотландский математик и логик; профессор математики университетского колледжа в Лондоне (1828—1831, 1836—1866); первый президент (1866) Лондонского математического общества.
Основные труды: по математической логике и теории рядов; к своим идеям в алгебре логики пришёл независимо от Дж. Буля; изложил (1847) элементы логики высказываний и логики классов, дал первую развитую систему алгебры отношений; с его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана).
7
 Функции  алгебры логики. Табличное задание функций. Элементарные функции,  их свойства, таблица операций, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность элементарных функций.
   Формулы и функции алгебры логики. Теоремы о разложении функций по одной и нескольким переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Задача о ВЫПОЛНИМОСТИ. Определение понятия NP-трудности задач.
   Функциональная полнота систем  функций алгебры логики. Замкнутые классы. Пять предполных замкнутых классов T0, T1, L, S, M. Пересечение данных классов. Теорема о функции двойственной к суперпозиции. Критерий функциональной полноты систем функций алгебры логики (теорема Поста). Примеры полных систем функций алгебры логики. Основная лемма. Лемма о несамодвойственной функции. Лемма о немонотонной функции. Лемма о нелинейной функции. Следствия из критерия полноты.
8
Функции  алгебры логики.
Область определения логических или булевых переменных 0  и 1
Область значений функций также 0  и 1
Функция от одной переменной f(x)
    x         f(x)
    0          0     0    1    1
    1          0     1    0    1
                0     x     x  1

9
Операции над двумя переменными (двухместные, бинарные операции)
x   y  x y   x  y  xy  xy  x+y   x|y  xy
0   0     0        0       1        1      0      1      1
0   1     0        1       1        0      1      1      0
0    0        1       0        0      1      1      0
1   1     1        1       1        1       0     0      0

2n       конъюнкция  & и min(x,y)  дизъюнкция  max (x,y)  импликация            эквивалентность        сумма по модулю 2  +     
                         штрих (Шеффера) | “не x или не y”   стрелка (Пирса)    “не x и не y”.
10
Индуктивное определение формулы:
Пусть U - множество переменных. Тогда множество формул алгебры логики над U определяется следующим образом:
1. Всякая переменная - формула.
2. Константы 0 и 1 - формулы.
3. Если А - формула, то  А (или в другой записи ) - формула.
4. Если А и В - формулы, то (АВ), (АВ), (АВ), (А+В), (АВ), (АВ), (АВ) - формулы.
5. Формулами являются те и только те выражения, которые могут быть получены из констант, переменных и логических связок за конечное число шагов 1- 4.

11
Определение. Функция  от n переменных

  определенная на множестве

и принимающая значения из множества {0, 1}, называется функцией алгебры логики или булевой функцией.

F(x1 ,x2 ,x3,…, xn),

12
   «Табличное» задание функции

  x1  x2 ... xn-1 xn    f(x1,  x2, ... xn-1, xn)
   0   0  ...  0     0     f(0, 0, ... , 0, 0)
   0   0  ...  0     1     f(0, 0, ... , 0, 1)
   0   0  ...  1     0      f(0, 0, ... , 1, 0)

  ......................
  1    1 ...  1      1       f(1, 1, ... , 1, 1)
             2n
13
Алгебраические свойства элементарных операций
1. Коммутативность (или перестановочность) операции  означает, что             . Логическая операция  коммутативна, если связка  принадлежит следующему множеству связок (существенно только, чтобы символ  в равенстве всюду имел один и тот же смысл):

14
2. Ассоциативность операции  означает, что                      .Свойство ассоциативности позволяет записывать формулы, содержащие одинаковые ассоциативные связки, без скобок, например,                                    .
Логическая операция  ассоциативна, если связка  принадлежит следующему множеству связок (существенно только, чтобы символ  в равенстве всюду имел один и тот же смысл):
.

15
3. Дистрибутивность (распределительный закон) операции  относительно операции  означает, что                                              .
Дистрибутивность конъюнкции:

                                              - дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;
                                               - дистрибутивность конъюнкции относительно суммы по модулю 2.
Дистрибутивность дизъюнкции:
                                               - дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции;
                                               - дистрибутивность дизъюнкции относительно импликации;
                                               - дистрибутивность дизъюнкции относительно эквивалентности.

16
Дистрибутивность импликации:
                                              - дистрибутивность импликации относительно конъюнкции;
                                              - дистрибутивность импликации относительно дизъюнкции;
                                                - дистрибутивность импликации относительно импликации.

17
4. Имеет место следующее соотношение для двойного отрицания:

18
5. Имеют место следующие соотношения между отрицанием, конъюнкцией и дизъюнкцией:

закон (правила) де Моргана.

Указанные соотношения отражают отношение двойственности между дизъюнкцией и конъюнкцией.

19
6. Имеют место следующие соотношения, связанные с “навешиванием отрицания” на элементарные логические функции:

20
7.	Константы могут быть выражены следующим образом:

21
8. Правила поглощения:

22
9. Выполняются следующие свойства конъюнкции и дизъюнкции:

23
Все указанные тождества могут быть проверены путем сопоставления функций, реализуемых правой и левой частями формул, сопоставление таблиц значений функций.

Все элементарные функции могут быть выражены через одну-единственную: штрих Шеффера или стрелку Пирса.
24
Определение. Через P2(n) будем обозначать множество всех разных булевых функций размерности n.
Теорема. Число p2(n) всех функций из P2(n), зависящих от переменных x1, x2, ... , xn , равно            .

25
Переменная xi (1 i  n) функции f(x1, x2, ... ,xi-1, xi , xi+1, ... , xn ) из P2(n)называется существенной, если можно указать такие наборы
и

значений переменных, что

 В противном случае переменную xi называют несущественной или фиктивной переменной функции f.
Две функции f(x1, x2, ... ,xi-1, xi , xi+1, ... , xn )           и
                            g(x1, x2, ... ,xi-1, xi , xi+1, ... , xn )
     называются равными, если множества их существенных переменных совпадают и на любых двух наборах
                          (x1, x2, ... ,xi-1, xi , xi+1, ... , xn ) и
                          (y1, y2, ... ,yi-1, yi , yi+1, ... , yn ),
различающихся быть может только значениями несущественных переменных, значения функций одинаковы: f(x)=g(y).
Если f(x)  и g(y)  - равные функции, то одну из них можно получить из другой путем добавления и/или изъятия несущественных переменных.

26
8. Правила поглощения:

27
Разложение функций алгебры логики по переменным
Чтобы иметь возможность единообразно записывать переменные с отрицанием и без отрицания введем следующее обозначение:

28
Легко видеть, что x = 1 тогда и только тогда, когда x = , то есть значение “основания” равно значению “показателя”.
29
Лемма. (О разложении функции по одной переменной). Пусть f(x1 , ... , xn) - произвольная функция алгебры логики, тогда справедливо следующее представление f в форме разложения по переменной x1 :

                                                                                (2.1)
30
 Доказательство. Отметим прежде всего, что представление (2.1), естественно, справедливо для произвольной переменной xi из множества переменных функции f. Для доказательства рассмотрим произвольный набор значений переменных (1, ... , n) и покажем, что левая и правая части соотношения (2.1) принимают на нем одно и то же значение.
Рассмотрим набор значений переменных (1, 2, ... , n). Левая часть (2.1) принимает на этом наборе значение  f(1, 2 ,..., n ), а правая часть - значение
            1f(1, 2, ... , n )  0f(0, 2, ... , n ) = f (1, 2, ... , n ).
     Таким образом, на наборах (1, 2, ... , n) левая и правая части (2.1) принимают одинаковые значения.
Рассмотрим набор значений переменных (0, 2, ... , n). Левая часть (2.1) принимает на этом наборе значение  f(0, 2 ,..., n ), а правая часть - значение
     0f(1, 2, ... , n )  1f (0, 2, ... , n ) = f (0, 2, ... , n ).
    Таким образом, на наборах (0, 2, ... , n) левая и правая части (2.1) принимают одинаковые значения.
Тем самым мы доказали, что левая и правая части соотношения (2.1) принимают одинаковые значения на всех наборах (1, ... , n). 
31
Лемма 2.3. Конъюнкция (произведение)
                    тогда и только тогда, когда
                                                           .
Доказательство. Произведение (конъюнкция) равно 1 тогда и только тогда, когда каждый сомножитель равен 1, но x = 1 тогда и только тогда, когда  x = . 

32
В дальнейшем будем употреблять следующие обозначения:

33
Теорема 2.4.  (О разложении функции по нескольким переменным).Пусть  f(x1 , ... , xn) - произвольная функция алгебры логики. Тогда ее можно представить в следующей форме:

(2.2)
34
Доказательство. Рассмотрим произвольный набор значений переменных (1, ... , n) и покажем, что левая и правая части соотношения (2.2) принимают на нем одно и то же значение. Левая часть дает
f(1 ,..., k , k+1 ,..., n).
Правая часть дает

35
Представление (2.2) называется дизъюнктивным разложением функции по   k   переменным.
Пример. Для k = 2 разложение в дизъюнктивную форму имеет вид:

36
Выпишем такое разложение для конкретной функции трех переменных по переменным x2 и x3:

37
Если  k = n , то получаем разложение

Оно может быть преобразовано при f(x1, ... , xn)  0 следующим образом:

38
Итак, в этом случае разложение имеет вид:

Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (совершенная ДНФ.). Оно определено для любой функции f, не равной константе 0.

39
Теорема 2.5.  Произвольную функцию алгебры логики можно выразить формулой при помощи операций , , , причем операция    применяется только к переменным
40
Доказательство.
1. Пусть f(x1, ... , xn) = 0. Тогда, очевидно,
f(x1, ... , xn) = x1   x1 .
2. Пусть f(x1, ... , xn)  0. Представим ее в форме совершенной ДНФ:

Таким образом, в обоих случаях функция f выражается в виде формулы через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, причем отрицание применяется только к символам переменных. 

41
Любую булеву функцию можно выразить формулой над множеством операций
   {, ,  }, состоящим из трех функций: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Данная теорема носит конструктивный характер, так как она позволяет для каждой функции построить реализующую ее формулу (совершенную ДНФ). А именно, берем таблицу для функции f(x1, ... , xn) (f 0)  и отмечаем в ней все строки (1, ... , n), в которых f(1, ... , n) =1, для каждой такой строки образуем логическое произведение

а затем соединяем все полученные конъюнкции знаком дизъюнкции.

42
Пример. Построить совершенную ДНФ для функции, заданной таблицей:
Имеем:

43
Задача выполнимости булевых формул (SAT или ВЫП) — задача распознавания, важная для теории вычислительной сложности.
Экземпляром задачи SAT является булева формула, состоящая только из имен переменных, скобок и операций   (И),   (ИЛИ) и   (HE). Задача заключается в следующем: можно ли назначить всем переменным, встречающимся в формуле, значения ЛОЖЬ и ИСТИНА так, чтобы формула стала истинной.
Согласно теореме Кука, доказанной Стивеном Куком в 1971-м году, задача SAT NP-полна.
44
Чтобы четко сформулировать задачу распознавания, необходимо условиться об алфавите, с помощью которого задаются экземпляры языка. Этот алфавит должен быть фиксирован и конечен. Обычно используют следующий алфавит:
{ , ,  , (, ), x, 0, 1}.
При использовании такого алфавита скобки и операторы записываются естественным образом, а переменные получают следующие имена: x1, x10, x11, x100 и т. д., согласно их номерам, записанным в двоичной системе счисления.
Пусть некоторая булева формула, записанная в обычной математической нотации, имела длину N символов. В ней каждое вхождение каждой переменной было описано хотя бы одним символом, следовательно, всего в данной формуле не более N переменных. Значит, в предложенной выше нотации каждая переменная будет записана с помощью                   символов. В таком случае, вся формула в новой нотации будет иметь длину            символов, то есть длина строки возрастет в полиномиальное число раз.
Например, формула

 примет вид
45
Вычислительная сложность
В 1971-м году в статье Стивена Кука был впервые введен термин «NP-полная задача», и задача SAT была первой задачей, для которой доказывалось это свойство.
В доказательстве теоремы Кука каждая задача из класса NP в явном виде сводится к SAT. После появления результатов Кука была доказана NP-полнота для множества других задач. При этом чаще всего для доказательства NP-полноты некоторой задачи приводится полиномиальное сведение задачи SAT к данной задаче, возможно в несколько шагов, то есть с использованием нескольких промежуточных задач.

46
Две задачи
47
48
49
50
51
Функциональная полнота систем функций алгебры логики
Выше мы видели, что всякая функция алгебры логики может быть выражена в виде формулы через элементарные функции       , xy, xy. В связи с этим возникает вопрос, какими свойствами должна обладать система функций, чтобы через функции этой системы можно было выразить произвольную функцию алгебры логики?
Новые функции получаются из имеющихся в заданной системе функций с помощью операций замены переменных и суперпозиции. Опишем эти две операции.

52
1. Замена переменных.
Пусть f(x1, x2, ... , xn) - заданная функция алгебры логики. Будем говорить, что функция (y1, y2, ... , yn) получена операцией замены переменных из функции f(x1, x2, ... , xn), если осуществлена подстановка переменных
53

Пример. Пусть  имеется функция
Тогда при замене переменных
  из функции
 можно получить функцию
.
54
2. Суперпозиция функций алгебры логики.
Пусть имеется функция f(x1, x2, ... , xn) и функции
                                         ,
тогда функцию

будем называть суперпозицией функции f(x1, x2, ... , xn) и функций                                             .
Другими словами: пусть F = { fj }   - набор функций алгебры логики, не обязательно конечный. Функция f называется суперпозицией функций из множества F  или функцией над F, если она получена из функции

путем замены одной или нескольких ее переменных функциями из множества F.

55
Пример.
Пусть задано множество функций
   F = {f1(x1), f2 (x1 ,x2 ,x3 ), f3(x1 ,x2 )}.
Тогда суперпозициями функций из F будут, например, функции:
φ1(x2, x3) = f3( f1(x2), f1(x3));
φ2(x1, x2) = f2 (x1 , f1(x1 ), f3(x1 ,x2 )).
Cовершенная ДНФ - суперпозиция функций из множества
                                                        . 

56
Система функций называется полной, если при помощи операций суперпозиции и замены переменных из функций этой системы может быть получена любая функция алгебры логики. 
57
Мы уже имеем некоторый набор полных систем:

{x+y, xy, 1}.
Как определить условия, при которых система полна?
58
Замкнутые классы.
Множество (класс) K функций алгебры логики называется замкнутым классом, если оно содержит все функции, получающиеся из K операциями суперпозиции  и замены переменных, и не содержит никаких других функций.
Пусть K - некоторое подмножество функций из P2(n). Замыканием K называется множество всех булевых функций, представимых с помощью операций суперпозиции и замены переменных функций из множества K. Замыкание множества K обозначается через [K].
В терминах замыкания можно дать другие определения замкнутости и полноты (эквивалентные исходным):
K- замкнутый класс, если K = [K];
K - полная система, если [K] = P2(n).
59
Примеры.
  {0}, {1} - замкнутые классы.
  Множество функции одной переменной - замкнутый класс.
                     - замкнутый класс.
  Класс {1, x+y} не является замкнутым классом.

60
Замкнутые классы.
1. Т0 - класс функций, сохраняющих 0.
Обозначим через Т0  класс всех функций алгебры логики f(x1, x2, ... , xn), сохраняющих константу 0, то есть функций, для которых f(0, ... , 0) = 0.

0, x, xy, xy, x+y  T0;
1,   T0. Из того, что    T0 следует, например,  что      нельзя выразить через дизъюнкцию и конъюнкцию.

61
Поскольку таблица для функции f  из класса Т0 в первой строке содержит фиксированное значение 0, то для функций из Т0 можно задавать произвольные значения только на 2n - 1 наборе значений переменных, то есть
                                                                        ,
где           - множество функций, сохраняющих 0 и зависящих от n переменных.
Покажем, что Т0 - замкнутый класс. Так как xT0 , то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x.

62

63
2. T1 - класс функций, сохраняющих 1.
f(1, ... , 1) = 1

1, x, xy, xy, xy  T1;
0,
, x+y  T1
Из того, что x + y  T1 следует, например,  что x + y нельзя выразить
через дизъюнкцию и конъюнкцию.
64
Т1 - замкнутый класс

65
3. L - класс линейных функций.

0, 1, x, x+y, x1  x2 = 1+ x1 + x2,
 = x+1  L;
xy, xy  L .
66
Докажем,  что xy  L .
Предположим противное. Будем искать выражение для xy в виде линейной функции с неопределенными коэффициентами:

При x = y = 0 имеем =0,
при x = 1, y = 0 имеем  = 1,
при x = 0, y = 1 имеем  = 1,
но тогда при x = 1, y = 1 имеем 1 1  1 + 1, что доказывает нелинейность функции дизъюнкция  xy.
Доказательство замкнутости класса линейных функций очевидно.
67
Поскольку линейная функция однозначно определяется заданием значений n+1 коэффициента 0,  ... , n , число линейных функций в классе L(n)  функций, зависящих от  n переменных равно 2n+1.

68
4. S - класс самодвойственных функций.
Функция       , определяемая равенством
 называется двойственной к функции

Таблица для двойственной функции (при стандартной упорядоченности наборов значений переменных) получается из таблицы для исходной функции инвертированием (то есть заменой 0 на 1 и 1 на 0) столбца значений  функции и его переворачиванием.
69
0* = 1,
1* = 0,
x* = x,

(x1   x2)* =  x1    x2,
(x1    x2)* = x1    x2.
(f*)* = f
функция f является двойственной к f*.
70
Теорема.  Если функция  получена как суперпозиция функций f, f1, f2, ... , fm, то функция, двойственная к суперпозиции, есть суперпозиция двойственных функций.

71
Доказательство.
φ*(x1 ,..., xn) =  f(x1 ,..., xn) =

72
Обозначим через S класс всех самодвойственных функций из P2:
S = {f | f* = f }
x,
   S;
0, 1, xy, xy  S .
Для самодвойственной функции имеет место тождество

73
На наборах                 и                            , которые мы будем называть противоположными, самодвойственная функция принимает противоположные значения. Отсюда следует, что самодвойственная функция полностью определяется своими значениями на первой половине строк стандартной таблицы. Поэтому число самодвойственных функций в классе S(n)  функций, зависящих от  n переменных, равно:

74
Докажем теперь, что класс S замкнут. Так как xS , то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x.
75
Пусть                               . Тогда достаточно показать, что

 Последнее устанавливается непосредственно:

76
5. М - класс монотонных функций.
Набор                                         предшествует набору,

если i   i для всех i = 1, ... , n.

Наборы α  и β называются сравнимыми, если либо α≤β либо β≤α.В случае, когда ни одно из этих оотношений не выполняется, то наборы называются несравнимыми.

77

78
Функция алгебры логики  называется монотонной, если для любых двух наборов    и   , таких, что , имеет место неравенство           . Множество всех монотонных функций алгебры логики обозначаетcя через М, а множество всех монотонных функций, зависящих от n переменных - через М(n).

79
0, 1, x, xy, xy  M;
x+y, xy, xy  M .
Покажем, что класс монотонных функций М - замкнутый класс. Так как xМ, то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x.
80

наборы переменных, соответственно, функций , f1, ... , fm , причем множество переменных функции   состоит из тех и только тех переменных, которые встречаются у функций f1, ... , fm .


title: Скачать презентацию или конспект Математический диктант № 9

extracted_text:
2 классМатематический диктант № 9
Выполнила
Кирилова С.Г.
Учитель начальных классов
Школы «Ученики Пифагора»
г. Лимассол, р.Кипр.
Мама  купила  несколько
 кг  яблок  и  5 кг груш.
 Сколько всего кг фруктов купила мама,
если известно,
что  яблок  было  на 2 кг меньше ,
чем груш.
Индюк весит 7 кг,
 а утка на 4 кг
легче индюка.

Сколько весят 3 таких утки?
Чему равно вычитаемое, если уменьшаемое сотня,
а разность равна
3 десяткам?
Когда в бидон налили
8 литров молока, бидон заполнился
 до половины.

Сколько всего литров
 молока входит в бидон?
Велосипедист проехал
на двухколёсном велосипеде
 14 км.
Сколько км проехало каждое колесо?
В  классе  27  учащихся
выполняли  проверочную  работу
 по  математике.
1 вариант  решали  15 учащихся.
Сколько человек  решали 2 вариант?
В  автомастерскую  для  замены
колёс  приехали  4  автомобиля.
В  мастерской  имеется  20  колёс.
Сколько колёс останется в мастерской
после замены
 на  поступивших  автомобилях?
Соловьи улетели
 в тёплые края 12 сентября,
а ласточки задержались
 ещё на 2 недели.
Какого числа  улетят ласточки?
Юра задумал число,

прибавил к нему наибольшее
однозначное число
и получил 24.

Какое  число задумал Юра?
Когда в бочку налили 9 вёдер воды,
бочка  заполнилась наполовину.

Сколько ещё вёдер воды
надо налить в бочку,
чтобы  она наполнилась полностью?
ПРОВЕРЬ  СВОИ  ОТВЕТЫ:
8, 9, 70, 16л, 14,
12, 4, 26, 15, 9.

Огромная благодарность
автору сборника
ГОЛУБЬ ВАЛЕНТИНЕ ТИМОФЕЕВНЕ
за кропотливую и  системную работу.


title: Скачать презентацию или конспект Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника

extracted_text:
Тема урока:
Внешний угол треугольника.
Теорема о внешнем угле треугольника.

I. Cумма углов треугольника
1.  На доске доказать теорему о сумме углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 1800
2.  Решить  задачу № 749 (чёт 1в., нечёт 2в.)
3.  Решить устно:
Вычислите все неизвестные углы треугольника:
Вычислите все неизвестные углы треугольника:
Вычислите все неизвестные углы треугольника:
Вычислите все неизвестные углы треугольника:
II. Изучение нового материла
   Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким- нибудь углом этого треугольника
   На рис. ∠4- внешний
Докажем теорему:
    Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Условие теоремы:

Дано: треугольник,
 ∠4 – внешний угол.

Доказать:
    ∠ 4=∠ 1+∠ 2
Доказательство:
   ∠4 – внешний угол, смежный с  ∠3 данного треугольника. Так как ∠ 4+∠ 3=1800  , а по теореме о сумме углов треугольника
     (∠ 1+∠ 2)+ ∠ 3=1800  ,
     то ∠ 4=∠ 1+∠ 2,
     что и требовалось доказать.
Устно решить задачу:
   Найдите внутренние и внешний угол CДF
   треугольника KCД.
Решение задач
Решить задачу .

Дано: ∠СВЕ –внешний
          угол  ΔАВС;
        ∠СВЕ = 2∠А.
Доказать:  ΔАВС – равнобедренный.
Решение
     Проведем биссектрисы BF и ВД смежных углов СВЕ и ABC, тогда ВF||ВД    (см. задачу № 83).
     BF || АС, так как ∠ l = ∠ 2 = ∠ 3, а углы 1 и 3 соответственные при пересечении прямых BF и АС секущей АВ.
     ВД ⊥ АС, так как BД⊥ BF, a BF||AC. В
     ΔABC биссектриса ВД является высотой, следовательно,
      ΔABC – равнобедренный
       (см. задачу № 133).

IV.Самостоятельная работа
Вариант I
1.  Один из углов равнобедренного треугольника равен 96°.     Найдите два других угла треугольника.
2.     В треугольнике СДЕ с углом ∠ E = 32° проведена биссектриса CF,
     ∠ СЕД =72°. Найдите  ∠Д.
Вариант II
1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 108°.    Найдите два других угла треугольника.
2. В треугольнике СДЕ проведена биссектриса CF, ∠ Д = 68°,    ∠E =32°. Найдите   ∠СFД.
Вариант III
1.  В равнобедренном треугольнике MNP с основанием МР  и      углом  ∠N = 64° проведена высота МН. Найдите  ∠РМН.
2.  В треугольнике СДЕ проведены биссектрисы СК и ДР,
 пересекающиеся в точке F, причем  ∠ ДРК = 78°. Найдите  ∠ СЕД.


title: Скачать презентацию или конспект Устные упражнения на уроках геометрии. Признаки параллельности прямых

extracted_text:
Признаки параллельности прямых
Устные упражнения
Багрецова Валентина Борисовна

Усть-Чуласская основная школа,
структурное подразделение
МБОУ «Лешуконская средняя
общеобразовательная школа»

п.Усть-Чуласа,
Лешуконского района,
Архангельской области
Признаки параллельности прямых
Ответ
Признаки параллельности прямых
Ответ
Признаки параллельности прямых
Ответ
Признаки параллельности прямых
Ответ
Признаки параллельности прямых
Ответ
Ответ
Признаки параллельности прямых
Признаки параллельности прямых
Ответ
Признаки параллельности прямых
Ответ
Признаки параллельности прямых
Ответ
Признаки параллельности прямых
Ответ


title: Скачать презентацию или конспект Приемы устного сложения и вычитания чисел

extracted_text:
Приемы устного сложения и вычитания чисел

	Усвоение учащимися смысла сложения и вычитания ,позволяет организовать их деятельность, направленную на овладение приемами устного сложения и вычитания чисел. Содержанием этой деятельности являются:
Сложение и вычитание «круглых» десятков : 30+20 , 50 – 30
Сложение и вычитание двузначных и однозначных чисел без перехода  в другой разряд : 75+4 , 75 – 4
Сложение и вычитание двузначных чисел и круглых десятков : 46 + 30
Дополнение любого двузначного числа до «круглого» десятка: 28 + 2
Вычитание однозначного числа из «круглых» десятков : 30 – 4
Сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел с переходом в другой разряд : 29 + 7
Сложение и вычитание двузначных чисел с переходом в другой разряд :
   38 + 27

Сложение и вычитание двузначных и однозначных чисел без перехода  в другой разряд:
Задания:
Увеличь число 32 на 1, на 2, на 3, на 4, на 5.

Наблюдай, какая цифра изменилась в числе 32. Какие другие числа можно прибавить к числу 32, чтобы изменилась цифра, обозначающая единицы?
На сколько можно увеличить числа 72, 86, 58, 33, чтобы изменилась только цифра , обозначающая единицы?
Обобщая результаты наблюдений и анализируя записанные равенства, дети самостоятельно делают вывод о том, как нужно действовать при сложении однозначных и двузначных чисел(единицы нужно складывать с единицами, оставив данное количество десятков без изменения).
Сложение двузначного числа с «круглыми» десятками:
Задания:
По какому правилу составлены суммы во всех парах?
Составь три пары выражение по тому же правилу. Найди значения всех выражений.
66+3			44+5			22+6
66+30			44+50			22+60
На сколько можно увеличить каждое число, чтобы в нем изменилась только цифра, обозначающая единицы, а цифра, обозначающая десятки , осталась та же: 38, 57 ,68, 29
Овладев приемом сложения и вычитания
двузначных и однозначных чисел без перехода через разряд, учащиеся
Легко справляются с дополнением двузначных чисел до «круглых»
десятков.
Вычитание однозначных чисел из «круглых» десятков
	Запиши выражения , которые соответствуют каждому рисунку. Чем похожи эти выражения? Найди их значения, пользуясь рисунком.

Дети описывают сходство и различие данных рисунков.(Везде только треугольники – модели десятков; на каждом рисунке в последнем треугольнике зачеркнуты круги(единицы): на первом –два круга, на втором – три.) В тетрадях учащиеся выполняют записи, соответствующие рисункам:
30-2=28
40-4=36

	В результате выполнения такого задания, дети приходят к обобщению: если мы вычитаем однозначное число из «круглых» десятков, то количество десятков в результате всегда уменьшается на 1, а чтобы определить количество разрядных единиц, нужно вычесть это однозначное число из 10.

Другой способ вычитания однозначного числа из «круглых» десятков:

Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы?
30-1-3			60-1-5			90-1-6
30-4			60-6			90-7
Выполняя действия, ученики убеждаются, что значения выражений одинаковы. После этого дети могут ответить на вопрос - чем похожи все пары?

ЗДЕСЬ ВАЖНО ОБРАТИТЬ ВНИМАНИЕ НА ТО,ЧТО ЧИСЛО «КРУГЛЫХ» ДЕСЯТКОВ В ПЕРВОМ ВЫРАЖЕНИИ КАЖДОЙ ПАРЫ УМЕНЬШАЕТСЯ НА 1.

Преимущество данного способа вычислений заключается в том, что, вычитая единицу, дети легко находят предыдущее число и тем самым получают случай вычитания, где нужно из двузначного числа вычесть однозначное без перехода в другой разряд.

Для обобщения приемов устного сложения (вычитания) полезны задания на анализ выражений и выявление в них сходства и различия, на классификацию выражений, на нахождение закономерностей:

Разгадай правила, по которым составлены ряды чисел. запиши в каждом ряду еще 4 числа:
19, 23, 27, 31…
54, 50, 46, 42, 38…

Приемы сложения и вычитания двузначных чисел с переходом в другой разряд включают в себя уже известные детям вычислительные приемы сложения(вычитания) двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд и сложения(вычитания) двузначных чисел и «круглых» десятков.
Для закрепления можно предложить задание:
Вставь числа в окошки, чтобы получились верные равенства:
(37+4)+50=…+50
(46+5)+30=…+30

Усвоение структуры трехзначного числа в десятичной системе счисления может являться основой устного сложения и вычитания выражений с трехзначными числами.

Полезно выполнять задания:
Запиши все трехзначные числа. У которых в разряде единиц стоит цифра 8, а в разряде сотен – цифра 1. Назови эти числа. Чему равна разность двух соседних чисел в это ряду?
На сколько можно увеличить число 308, чтобы изменилась только цифра, стоящая в разряде десятков?
Увеличивай число 827 на 1 дес., на 2 дес., на 3 дес., на 4 дес. Наблюдай, какая цифра изменяется в числе 827.какие еще числа можно прибавить к числу 827, чтобы изменилась только цифра, обозначающая десятки?
Для нахождения значений выражений 900-600, 500+400 дети пользуются
Выводом , который был сделан ими при изучении нумерации трехзначных
Чисел(считать сотнями можно так же, как и единицами и десятками).
Аналогичные задания они могут выполнять и в области четырехзначных,
Пятизначных и шестизначных натуральных чисел.
Таким образом:
 процесс формирования вычислительных умений ориентирован на усвоение общего способа действий, в основе которого лежит осознание детьми записи чисел в десятичной системе счисления (разрядный состав числа) и смысла действий сложения и вычитания.

Основным способом введения нового вычислительного приема является не показ образца действия, а выполнение учащимися действий с моделями десятков и единиц и соотнесение этих действий с математической записью.

Наблюдение за изменением в записи чисел сопровождается активным использованием приемов анализа и синтеза, сравнения, классификации, обобщения. Средством организации этой деятельности является система учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся сами «открывают» способ действия и овладевают вычислительными умениями.


title: Скачать презентацию или конспект Методы оптимизации

extracted_text:
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
§ 1. Основные понятия
Под оптимизацией понимают
 процесс выбора наилучшего варианта
из всех возможных
В процессе решения задачи оптимизации
обычно необходимо найти оптимальные значения
 некоторых параметров, определяющих данную задачу.
При решении инженерных задач их принято называть
 проектными параметрами,
 а в экономических задачах их обычно называют
 параметрами плана.
Выбор оптимального решения или
 сравнение двух альтернативных решений
 проводится с помощью
некоторой зависимой величины (функции),
определяемой проектными параметрами.
Эта величина называется целевой функцией
(или критерием качества).
В процессе решения задачи оптимизации
должны быть найдены такие значения
проектных параметров, при которых
целевая функция имеет минимум (или максимум).

Задачи оптимизации.
Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции от n действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов
Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями, — это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве.
Теория и методы решения задач оптимизации
при наличии ограничений
 составляют предмет исследования
 одного из важных разделов прикладной математики —
математического программирования.
§ 2. Одномерная оптимизация
Одномерная задача оптимизации в общем случае
формулируется следующим образом:
 Найти наименьшее (или наибольшее)
значение целевой функции у = f(x),
 заданной на множестве
и определить значение проектного параметра
при котором целевая функция принимает
экстремальное значение.
Существование решения поставленной задачи
 вытекает из следующей теоремы:
Теорема Вейерштрасса.

Всякая функция f(x), непрерывная на отрезке
 принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее
значения, т. е. на отрезке
 существуют такие точки
 и
что для любого
 имеют место неравенства

.
Методы поиска.
Будем предполагать, что целевая функция
 унимодальна,
 т. е. на данном отрезке она имеет только один минимум.
Численные методы поиска экстремальных значений
 функции рассмотрим на примере нахождения
 минимума функции f(x) на отрезке

Погрешность приближенного решения задачи определяется
 разностью между оптимальным значением   х
проектного параметра и приближением к нему
Потребуем, чтобы эта погрешность была
 по модулю меньше заданного допустимого значения

Процесс решения задачи методом поиска
состоит в последовательном сужении
интервала изменения проектного параметра,
 называемого интервалом неопределенности
В начале процесса оптимизации его длина равна b – a,
 а к концу она должна стать меньше
т. е. оптимальное значение проектного параметра
 должно находиться в интервале неопределенности —
отрезке
причем

Тогда для выполнения условия
 в качестве приближения к оптимальному значению
 можно принять любое
Например,
 или
, или
В последнем случае достаточно выполнения неравенства
Метод золотого сечения.
Метод состоит в построении
последовательности отрезков
,
,…, стягивающихся к точке минимума
функции f(x).
На каждом шаге, за исключением первого,
вычисление значения функции f(x)
проводится лишь в одной точке.
 Эта точка, называемая золотым сечением,
выбирается специальным образом.
1 шаг

внутри отрезка
 выбираем некоторые внутренние точки
 и
 и вычисляем значения целевой функции
 и

Поскольку в данном случае
<
очевидно, что минимум расположен
на одном из прилегающих к
 отрезков:
 или
Поэтому отрезок
 можно отбросить, сузив тем самым
первоначальный интервал неопределенности.
Второй шаг

 проводим на отрезке
где

Нужно снова выбрать две внутренние точки,
но одна из них
осталась из предыдущего шага,
поэтому достаточно выбрать лишь одну точку
вычислить значение
 и провести сравнение.
Поскольку здесь
<
 ясно, что минимум находится на отрезке
Обозначим этот отрезок
снова выберем одну внутреннюю точку
и повторим процедуру сужения
интервала неопределенности.
 Процесс оптимизации повторяется до тех пор,
 пока длина очередного отрезка
 не станет меньше заданной величины

Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек
 на каждом отрезке
Пусть длина интервала неопределенности равна l,
 а точка деления разбивает его на части
,
 >

Золотое сечение интервала неопределенности
 выбирается так, чтобы отношение длины
большего отрезка к длине всего интервала
 равнялось отношению длины меньшего отрезка
 к длине большего отрезка:

Из этого соотношения можно найти точку деления,
 вычислив отношения

Преобразуем выражение и найдем значения
 и

Поскольку нас интересует только положительное решение, то

Очевидно, что интервал неопределенности можно
разделить в соотношении золотого сечения двояко:
в пропорциях
:
 и
:
В данном случае имеем

Аналогично,

Начальная длина интервала неопределенности составляет
После первого шага оптимизации получается
новый интервал неопределенности — отрезок
Его длина равна
На втором шаге отрезок
 также делится в соотношении золотого сечения.
При этом одной из точек деления будет точка
Покажем это:

Последнее равенство следует из соотношения

Вторая точка деления
 выбирается так же, как выбирается точка
 при делении отрезка
 т. е.
И снова интервал неопределенности
уменьшается до размера
По аналогии можно записать координаты
точек деления у и z отрезка
 на к-м шаге оптимизации (у < z):

Вычислению, естественно,
подлежит только одна из координат у, z
 другая координата берется с предыдущего шага.
 При этом длина интервала неопределенности равна

Как и в общем случае метода поиска,
процесс оптимизации заканчивается
при выполнении условия
Тогда проектный параметр оптимизации
В качестве приближения к оптимальному значению
 можно принять
 или
, или
В последнем случае для достижения
 требуемой точности достаточно, чтобы


title: Скачать презентацию или конспект Все о цилиндре и конусе сфере и т.д

extracted_text:
Корниенко Татьяна Федоровна
Геометрия 11 класс

Если в одной из 2 параллельных плоскостей взять окружность, и из каждой ее точки восстановить перпендикуляр до пересечения со второй плоскостью, то получится тело, ограниченное двумя кругами и поверхностью, образованной из перпендикуляров, это тело называется цилиндром.

1.Как можно получить цилиндр
Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований –называются образующими цилиндра.

А можно так получить цилиндр
Вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон

2.Понятие цилиндрической поверхности

1
2
3
4
1. Основание цилиндра
2. Образующие
3.Ось цилиндра
4. Радиус основания

4

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
Образующая цилиндра при вращении вокруг своей оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра.

1
2
3
4

4

2. Образующие

Поверхность, состоящая из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра.
Если сечение проходит через ось цилиндра, то оно имеет форму прямоугольника и называется «осевым»
Сечение плоскостью, перпендикулярной к оси или  параллельное основаниям, является кругом.

β

α
β

о
о1
γ
3.Сечения цилиндра
Сечение , параллельное оси цилиндра-прямоугольник

5.Касательная плоскость цилиндра

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами Н и С, где Н – высота цилиндра, а С – длина окружности основания.

н
С=2πR
S=πR²
S=πR²
6.Плошадь поверхности цилиндра

S(полн.поверхн.)=2πR(R+h)
S(бок.поверхн.)= 2πRh
Sосн=πR²

н
С=2πR
S=πR²
S=πR²
S(полн.поверхн.)=2πR²+2πRh
Конус

Пусть прямоугольный треугольник  вращается вокруг одного из катетов, тогда второй катет описывает окружность.
Полученная при вращении фигура называется конусом.
3. Гипотенуза данного треугольника-образующая конуса
4.Катет, вокруг которого вращается треугольник – ось конуса,
Второй катет- радиус описываемой окружности основания
Конус и его развертка

L
H
R
L-образующая     H-высота
R-радиус основания

L

R
Sбок=πRL
S=πR²
Нахождение Sбок
Sполн=πRL+πR²=
=πR(R+L)

Осевое сечение конуса-равнобедренный треугольник
Сечение конуса, перпендикулярное оси конуса имеет форму круга

S

   Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью,параллельной основанию.
Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.
Осевое сечение ус. конуса-
-равнобедренная трапеция

   Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.
ℓ
h
R
r
   Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

           Сферой
   называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Сфера и шар

о
о
м
м
с

О(0;0;0)
M(x;y;z)
Уравнение
 сферы

d>R
d=R
d<R
α
α
α
ПЛОСКОСТЬ КАСАЕТСЯ ШАРА
ПЛОСКОСТЬ НЕ ИМЕЕТ С ШАРОМ НИ ОДНОЙ ОБЩЕЙ ТОЧКИ
ПЛОСКОСТЬ ПЕРЕСЕКАЕТ ШАР
о
о
о
С(0;0;d)
С(0;0;d)
С(0;0;d)

R
d
Взаимное расположение сферы и плоскости

О
А
α
Плоскость , имеющая со сферой одну общую точку, называется касательной к сфере
Радиус сферы, проведенный к точке касания сферы и плоскости перпендикулярен к касательной плоскости.
ОА┴α
А′
ОА=R, если ОА┴α, то любая другая ОА′- наклонная, а любая наклонная больше , чем ОА, т.е. условие не выполняется( ОА′>R)
Обратная теорема : Если ОА┴α, α-касательная плоскость
Т.к. перпендикуляр и плоскость имеют одну общую точку, то α- касательная плоскость

Шаровой слой

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.
Шаровой сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой - нибудь плоскостью.

Шаровой сектор
Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 900, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.


title: Скачать презентацию или конспект Клуб весёлых математиков

extracted_text:
Клуб весёлых математиков
1 конкурс

Приветствие
2 конкурс

РАЗМИНКА
1) Найди существенное.Сумма    (минус, плюс, равенство, слагаемое, делитель)2) Проверка определений.Чтобы найти слагаемое надо….Квадрат это…..3) Назови группу чисел одним словом:а) 2, 4, 7, 9, 6;б) 13, 18, 25, 33, 48, 57.
1) Найди существенное.Разность     (вычитание, плюс, минус, сумма, слагаемое)2) Проверка определений.Чтобы найти уменьшаемое надо….Прямоугольник  это…..3) Назови группу чисел одним словом:а) 2, 4, 8, 12, 44;б) 1, 13, 21, 25, 35, 47.
3 конкурс

ВЕСЁЛЫЕ  ЗАДАЧКИ
1)  Посылали молодицу по холодную водицу.    А водица далеко и носить-то нелегко:    Два ведра по 10 раз – сколько ведер?    Не зевай, молодице помогай.

20
2) Сеть тяну, рыбу ловлю    Попало немало:    7 окуней, 10 карасей, 1 ершок –    И того в горшок.    Уху  сварю, всех угощу,    Сколько рыб я сварю?

18
3)  В зоопарке отстоял,    Обезьянок всё считал:   Две играли на песке,   Три уселись на доске,   А двенадцать спинки грели.  Сосчитать вы всех успели?

17
4)Мышка зерна собирала.  По 2 зернышка таскала.  Принесла уж девять раз.  Каков Мышкин стал запас?

18
5) Пять зайчат сидят в углу,    Чистят репу на полу.    Насчитали 20 штук,    Как делить, забыли вдруг.    Мамы с папой нет нигде    Помогите им в беде.

4
6) Со двора 16 веток    Принесла коза для деток,    Положила на пол их.    Как делить на четверых?

4
4 конкурс

КОНКУРС  КАПИТАНОВ
5 конкурс

ПОИГРАЕМ
 В  ЭВМ
х – 26 = 40

66
94 – х = 15

79
х + 18 = 52

34
76 + х = 100

24
6 КОНКУРС

Шестиклеточный логикон

6
1
7
14
4
?

18

35
7
5
48
8
?
6

16
7
9
36
11
?
25

92
46
2
72
?
12
6
6 КОНКУРС

ЗАГАДОЧНЫЕ ВОПРОСЫ
1) Две сардельки варятся шесть минут. Сколько времени будут вариться восемь таких сарделек?

6
2)Шла баба в Москву и повстречала трёх мужиков. Каждый из них нес по мешку, в каждом мешке – по коту.
 Сколько направлялось в Москву?
одна бабка
3)Пять лампочек тускло горели в люстре. Хлопнули двери – и две перегорели. Сделать нужно вам малость: сказать, сколько ламп осталось?
5
4) На столе стояло три стакана с вишней. Коля съел один стакан вишни, поставив пустой стакан на стол. Сколько стаканов осталось?
3
5) В клетке находилось 4 кролика. Четверо ребят купили по одному из этих кроликов и один кролик остался в клетке. Как это могло случиться?
6) У одного мужчины спросили, сколько у него детей. Он ответил: у меня 4 сына и у каждого из них есть сестра. Cколько же детей у него было?
5
8 КОНКУРС

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ  ЗАДАНИЕ
6
6
9 КОНКУРС

НАБОРЩИК

МОЛОДЦЫ


title: Скачать презентацию или конспект Разложение квадратного трёхчлена на множители

extracted_text:
Разложение квадратного
трёхчлена на множители
Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области
Корень квадратного трёхчлена

Корнем многочлена называется значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль.
Для того, чтобы найти корни квадратного трёхчлена ах2 +вх + с, надо решить квадратное уравнение ах2 +вх + с = 0.
Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области
Разложение квадратного трехчлена на множители
Если  х1  и х2   корни квадратного трехчлена   ах² + bх + c , то

Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области
Алгоритм разложение квадратного трёхчлена на множители
1. Приравнять квадратный трёхчлен к нулю  и найти его корни , т.е.решить квадратное уравнение: ах² + bх + c = 0
а) Выделить коэффициенты а; b; и c
б) Находим дискриминант по формуле:  D = b2 – 4ас
Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области
Алгоритм разложение квадратного трёхчлена на множители
2. Подставить корни уравнения в формулу разложения квадратного трехчлена:  ах2 + bx + с = а(х – х1)(х – х2)
Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области
Примеры:
2х2 – 5х + 8
Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.

Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области
Примеры:
2х2 – 8х + 8
2х2 – 8х + 8 = 2(х – 2)2

Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области
Примеры:
2х2 + 7х – 4
Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области
Я
понял ...
знаю ...
умею ...
Козак Татьяна Ивановна, учитель математики МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области


title: Скачать презентацию или конспект Признаки делимости

extracted_text:
Признаки делимости на 2, на 5, на 10( 6 класс)
Симакова И.Н.
учитель математики
МБОУ «СОШ № 19 с УИОП»
г. Старый Оскол
Какие из записанных на доске понятий вам известны и вы можете объяснить их смысл?
Делимость произведения
Делимость суммы
Делимость разности
Признаки делимости
Как вы думаете какие из чисел делятся на 10?
34560
53064
30346
42650
65403
65540

Можете ли вы, не выполняя деления, доказать, что
34560
42650
65540
Кратны числу 10?

34560 = 3456 · 10
42650 = 4265· 10
65540 = 6554 · 10

Почему, например, числа 53064, 30346, 65403 не кратны числу 10?

Признак делимости на 10
Натуральное число делится на 10, если его запись оканчивается цифрой 0.
Если запись числа оканчивается любой другой цифрой, то оно на 10 не делится.
Признак делимости на 5
Группа 1
Какие числа будут делиться на 5?
					48732
					54270
					30876
					84785
	Докажите свое утверждение и 						сформулируйте признак 					     делимости на  5

Признак делимости на 5
Натуральное число делится на 5, если его запись оканчивается цифрой 0 ли 5.
Если запись числа оканчивается любой другой цифрой, то оно на 5 не делится.
Признак делимости на 2
Группа 2
Какие числа будут делиться на 2?
					48732
					54270
					30876
					84785
					36781
	Докажите свое утверждение и 	сформулируйте признак 			делимости на  2

Признак делимости на 2
Натуральное число делится на 2, если его запись оканчивается четной цифрой.
Если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то оно на 2 не делится.

а) на 10
3670
605870
543870
6007540
90787140
б) на 5
3670 или 3675
605870 или 605875
543870 или 543875
6007540 или 6007545
90787140 или 90787145

Самостоятельная  работа
ВАРИАНТ – 1
1.Выберите из чисел 4,5,10,25,50, 75,
105,120:
а) кратные 2;
б) нечетные числа;
в) кратные 5;
г) кратные 10.
         2.Напишите все двузначные,     числа, в запись которых входят лишь цифры 2, 4, 5 и которые:
             а) делятся на 2;
            б) делятся на 5;
              в) делятся на 10.
ВАРИАНТ – 2
1.Выберите из чисел 3,5,15,20,93,115,
200,286:
а) четные числа;
б) числа не кратные 2;
в) кратные 5;
г) кратные 10.
  2.Напишите все двузначные,  числа, в запись которых входят лишь цифры 3, 5, 8  и которые:
             а) делятся на 2;
            б) делятся на 5;
                 в) делятся на 10.

Шкала усвоения знаний

Высокий уровень

Средний уровень

Низкий уровень

Домашнее задание

П. 2, стр.9 – 10,
Стр. 12 – 13. №№ 55, 57,58
           дополнительно: № 49.


title: Скачать презентацию или конспект Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом

extracted_text:
Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом
Лекции 8, 9
Решение  симплекс-методом экономической задачи.
Решение
     Составим ЦФ и ограничения.
     Найти максимум функции

   Запишем задачу  в форме основной задачи линейного программирования. Введем дополнительные переменные по числу ограничений

  Теперь запишем задачу в векторной форме.

   Так как есть три единичных вектора , то можно сразу записать опорный план
          Х=(0,0,0,360,192,180).
Составим нулевую симплекс-таблицу

  Полученный опорный план проверяем на оптимальность.
  Вычисляем значение целевой функции и  симплекс-разности.

    Как видно из 0-й таблицы отличными от нуля являются переменные                         а                      равны нулю, т.к. они небазисные,  а свободные.  Дополнительные же переменные
    принимают свои значения в соответствии с ограничениями.
        Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не производится, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю, т. е. стоимость произведенной продукции отсутствует.
        Такой план, конечно, не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки таблицы, в которой имеется три отрицательных оценки -9, -16 и -10.

    Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции (в столбцах над отрицательными оценками стоят положительные числа), но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или иного вида продукции.
   Так, число -9 означает, что при включении в план производства одного изделия А обеспечивается увеличение стоимости продукции на 9 д.е.
      Если включить в план производства по одному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой продукции возрастет соответственно на  10 и 16 д.е. Поэтому с экономической точки зрения целесообразным является включение в план изделий С.
      Это же необходимо сделать и с той точки зрения, что -16 является наименьшей отрицательной оценкой. Значит, в базис введем вектор      .

     Найдем число       .

    Введем его в последний столбец таблицы. Число 24 соответствует вектору      .
   192/8=24 с экономической точки зрения означает, какое количество изделий С предприятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида.

   Так как сырья каждого вида имеется соответственно 360, 192 и 180  кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида 12, 8 и 3  кг, то максимальное число изделий С, которое может быть изготовлено предприятием равно min{360/12,192/8,180/3}=192/8=24, т.е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья 2-го вида.  С учетом его предприятие может производить 24 изделия С.При этом сырье  2-го вида будет полностью использовано и , значит, вектор  подлежит исключению из базиса.

   Составляем следующую таблицу. В ней разрешающей является вторая строка, а разрешающим столбцом –третий. На их пересечении стоит элемент 8.
   Разделим вторую строку на 8, а затем обнулим по методу Жордана- Гаусса или по формулам треугольника  третий столбец.

   Подсчитаем симплекс-разности и заполним 4-ю строку таблицы.
   При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неиспользованным 72 кг сырья 1-го и 108 кг сырья 3-го вида. 2-й вид сырья использован полностью. Стоимость всей продукции при этом плане составляет 384 д.е. Указанные числа записаны в столбце План. Это опять параметры задачи, но они претерпели изменения. Изменились и данные других столбцов. Их экономическое содержание стало еще более сложным .

   Имеется одна отрицательная оценка -2. План можно улучшить. Введем в базис вектор    .  Вычислим

   Выводим из базиса       .
.

   Разрешающими будут 1-я строка и 2-й столбец. Разрешающий элемент 9. Разделим на 9   1-ю строку , заполним 1-ю строку новой таблицы, затем обнулим 2-й столбец. Для этого умножим 1-ю строку на (-1/2) и прибавим ко 2-й, а затем умножим 1-ю строку на (-3/2) и прибавим к 3-й строке. Заполним таблицу 2.

   В этом мы убеждаемся ,
   вычисляя симплекс-разности

   Оптимальным планом производства не предусмотрен выпуск изделий А. Введение в план выпуска продукции вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости . Это видно из 4-й строки столбца , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению общей величины стоимости на 5 д.е.
   Итак, план предусматривает выпуск 8 изделий В и 20 изделий С. Сырье видов 1 и 2 используется целиком, а вида 3-неиспользованным остается 96 кг.
ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
   Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие задачу, называемую двойственной к исходной задаче.
   Рассмотрим задачу об использовании ресурсов. Предположим, что предприятие А производит n видов продукции, величина выпуска которых определяется переменными
                                                   .
   В производстве используются m различных видов ресурсов, объем которых ограничен величинами                        .

    Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого вида продукции, образующие матрицу    ,

     а также стоимость единицы продукции каждого вида

    Требуется организовать производство так, чтобы предприятию А была обеспечена максимальная прибыль.

   Задача сводится к нахождению неотрицательных переменных
                                            ,
   при которых расход ресурсов не превышает заданного их количества, а стоимость всей продукции достигнет максимума.

   В математической форме задача записывается следующем виде:

     при условиях

    По этим же исходным данным может быть сформулирована другая задача.
    Предположим, что предприятие В решило закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие А. В этом случае предприятию В необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из следующих условий:
    общая стоимость ресурсов для предприятия В должна быть минимальной;
    за каждый вид ресурса предприятию А надо уплатить не менее той суммы, которую это предприятие может получить при переработке данного вида ресурса в готовую продукцию.

   Если обозначить через
   цены, по которым предприятие В покупает ресурсы у предприятия А, то задача сводится к следующему: найти такие значения переменных                   , при которых стоимость ресурсов, расходуемых на единицу любого вида продукции не меньше прибыли (цены) за эту единицу продукции, а общая стоимость ресурсов достигает минимума,

   т.е.какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов                      ,  чтобы при заданных объемах имеющихся ресурсов     , при заданных стоимостях                           единицы продукции  и нормах расходов  минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию.

Мат. модель двойственной задачи
 В математической форме задача записывается в виде:

 при ограничениях

Экономический смысл переменных двойственной задачи
    Переменные         двойственной задачи  в литературе могут иметь различные названия :учетные, неявные, теневые, объективно обусловленные оценки, двойственные оценки или «цены» ресурсов.
    Эти две  задачи образуют пару взаимно двойственных задач, любая из которых может рассматриваться как исходная. Решение одной задачи дает оптимальный план производства продукции, а  решение другой – оптимальную систему оценок сырья, используемого для производства этой продукции.

   Двойственные задачи линейного программирования называют симметричными, если они удовлетворяют следующим свойствам:
    число переменных в двойственной  задаче равно числу ограничений исходной  задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу равно числу переменных в исходной;
    в одной задаче ищется максимум целевой функции, в другой – минимум;
    коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи;

    в каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем, в задаче на отыскание максимума, все неравенства вида «≤», а в задаче на отыскание минимума, все неравенства вида «≥»;
    матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путем транспонирования;
    каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи, номер переменной совпадает с номером ограничения;
    условия не отрицательности переменных сохраняются в обеих задачах;
Решение симметричных двойственных задач
   Первая теорема двойственности.
         Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то оптимальное решение имеет и другая задача, при этом значения целевых функций задач равны между собой.
        Если целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача вообще не имеет решения
Экономическое содержание первой теоремы двойственности
        Если задача определения оптимального плана , максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукта, полученного в результате реализации оптимального плана , совпадает с суммарной оценкой ресурсов.
      Совпадения значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными.
        Решая ЗЛП симплекс-методом, мы одновременно решаем и исходную и двойственную задачи.
Метод одновременного решения пары двойственных задач
  Исходная задача: Двойственная задача:

   Число переменных в задачах одинаково и равно m + n. В исходной задаче базисными переменными являются вспомогательные неотрицательные переменные                                       ,      а  в двойственной задаче – вспомогательные неотрицательные переменные                               .
   Базисным переменным одной задачи соответствуют свободные переменные другой задачи, и наоборот.

   При решении ЗЛП табличным симплекс-методом решение двойственной задачи содержится в последней строке таблицы.
    Это           .
    Причем основные переменные двойственной задачи содержатся в столбцах, соответствующих дополнительным переменным исходной задачи, а дополнительные переменные двойственной задачи содержатся в столбцах, соответствующих основным (первоначальным ) переменным исходной задачи.

Пример.
   Сформулируем модель задачи, двойственной к задаче из примера 2 (начало лекции):
   Найти максимум функции

   Переменные исходной задачи                       -
   это количество изделий А,В и С. Введем переменные двойственной задачи
           Найти минимум функции

   при ограничениях

Рассмотрим последнюю таблицу исходной задачи

  Значение        в последней строке столбца     ,               т.е.             ;
значение             в последней строке столбца   ,
значение            в последней строке столбца    .
Остальные значения находим в столбцах 1,2,3.

При этом

-это минимальные затраты на всю продукцию.
2/9 и 5/3 –это теневые цены сырья 1-го и 2-го видов соответственно.


title: Скачать презентацию или конспект История геометрии

extracted_text:
ГЕОМЕТРИЯ
разработал: преподаватель математики
ГБОУ НПО РО ПУ№62Тарасенко Валентина Петровна

" Геометрия является самым
 могущественным средством
для изощрения наших умственных
способностей и дает нам
возможность правильно мыслить
и рассуждать".
                 Галилео Галилей.
«геометрия»
- «земледелие»
Евдем Родосский (IV в. до н. э.)
«Геометрия открыта египтянами и
 возникла при измерении земли.…
Нет ничего удивительного в том,
что эта наука, как и другие,
возникла из потребностей человека…»

          V в. до н.  э.

Гиппократ Хиосский

Вавилонские
астрономы –жрецы
наблюдают затмение.
Вавилоняне не только
знали планеты - Венеру,
Меркурий, Юпитер,
Марс, Сатурн, -но даже
пытались вычислять,
предугадывать наперед
пути их движения на
небе.

Пифагор

Фалес

Архимед

ГЕОМЕТРИЯ
Планиметрия
Стереометрия
Планиметрия
«план» - место и «метрос» - мера
Стереометрия
«стерео» - тело, и «метрос» - мера
А	       В
            С
И. Тропфке

Евклид
 (III в. до н. э.)
«Начала»
325-300-м годам
до н. э.

«Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньше двух прямых, при продолжении в туже сторону пересекаются».
Николай Иванович
Лобачевский
1792-1856
       Геометрия Евклида – геометрия земных пространств и расстояний.
     Геометрия Лобачевского – геометрия гигантских меж-
планетных и исчезающих малых атомных пространств, она включает геометрию Евклида как составную часть, как частный случай.
Z
X
У
О

Мир, в котором мы живем,
наполнен геометрией домов
и улиц, гор и полей, творениями
 природы и человека. Я думаю,
что никогда до настоящего
времени мы не жили в такой
геометрический период.
Все вокруг - геометрия


title: Скачать презентацию или конспект Уроки геометрии в 5-6 классе

extracted_text:
Уроки геометрии в 5-6 классе.
Овчарова Ю. А. , учитель математики
 СОШ №288, Мурманская область, г. Заозёрск

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Вокруг нас – геометрия».
Ле Корбюзье.
Цели уроков:
Развитие геометрической интуиции,
   пространственного воображения,
   глазомера и изобразительных навыков.

Основные приемы:
Наблюдение.
Конструирование.
Эксперимент.
Исследование.
Игра.
Исследование «Осевая симметрия».
C
D

О
Исследование «Осевая симметрия»

О
m

О

А
В
С
D
Прямоугольный параллелепипед.
8 см
4см
3см
А
С
В
D
К
Р
E
F
К


title: Скачать презентацию или конспект Линейные уравнения с двумя неизвестными и их системы

extracted_text:
Линейные уравнения с двумя неизвестными и  их системы
Диктант
алгебра  7 класс
(дополнительно)
1.
Что является
графиком уравнения
3у = 2
2.
Запишите систему уравнений
 х +  у = 4  и   2ху = 6
Является ли пара чисел (1;3)  решением этой системы
3.
Графики  двух уравнений с двумя неизвестными пересекаются в одной точке с ординатой -2  и абсциссой  0.
Запишите решение системы  этих  уравнений.
4.
Сколько решений имеет
система уравнений

5.
Сколько решений имеет
система уравнений

6.
Сколько решений имеет система уравнений


title: Скачать презентацию или конспект Свойства равнобедренного треугольника

extracted_text:
Свойства равнобедренного треугольника
Урок 16.
Теоретический опрос
Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.
Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.
Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?
Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?
Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

Решение задач
Дано: ВЕ – медиана       АВС .
           АЕ = 5 см,
           ВС = 7 см,
______АС ^ BF_____________
Найти: РАВС

Решение задач
Дано: ВD – высота и медиана            АВС .
        Р  BCD = 40o30'
Найти: Р  BАD.

Практическое задание
Начертите отрезок, являющийся общей высотой для всех треугольников, изображённых на рисунке.
Определение
Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным.

Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника
    АВС – равнобедренный:
АВ =ВС – боковые стороны равнобедренного     АВС,
 АС – основание равнобедренного     АВС,
Р А, Р С – углы при основании равнобедренного     АВС,
Р В – угол при вершине равнобедренного     АВС.

Определение
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
                                                   АВС -
                                               равносторонний,
                                               АВ = ВС = АС

Теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике углы при  основании равны.
Теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника
Дано:    АВС
             АВ = ВС
Доказать: Р А = Р С

Доказательство:
Проведем биссектрису из вершины В к основанию АС
Далее
самостоятельно
Доказательство:
Р 1 = Р 2, т.к.  ВD –биссектриса) Ю
Ю Р А = Р С.
Ч.т.д.
Проведем BD – биссектрису    АВС.
     ABD =   CBD
(АВ = ВС по условию,
 ВD – общая сторона,

Биссектриса треугольника делит угол пополам. Но а равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, обладает ещё одним очень важным свойством. В чём заключается это свойство?

Каждая ли биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и биссектрисой?

Является ли высота равнобедренного треугольника его биссектрисой и медианой? Если да, то какая из трёх?
Свойство биссектрисы
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Свойство высоты
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
Свойство медианы
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Решение задач
№ 109.
Дано:
         АВС – равнобедренный,
         ВС – основание.
         АМ – медиана.
          РАВС = 32 см.
          РАВМ = 24 см.
Найдите:
           АМ.

Решение.
    АВС – равнобедренный,
ВС – основание Ю АВ = АС;
АМ – медиана Ю ВМ = МС.
РАВС = АВ + АС + ВС =
= 2АВ + (ВМ + МС) =
= 2 АВ + 2ВМ =
2(АВ + ВМ)=32 см Ю
Ю АВ + ВМ = 16 (см).
РАВМ = АВ + ВМ +АМ =
= 16 см + АМ = 24 см Ю
Ю АМ = 8 см.
Ответ: АМ = 8 см.

№ 113

Дано: b – прямая; М, Р по одну сторону от b; MN ^ b  PQ^ b; MN = PQ; О – середина NQ.
Р МОР = 105о.
а) доказать: Р ОМР = Р ОРМ.
б) найти: Р NОМ.

тестирование
1. Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
тестирование
2. Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
тестирование
3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
тестирование
4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
тестирование
5. Если треугольник равнобедренный, то:
а) он равносторонний;
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) ответы а и б неверны.
тестирование
6. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.

Д.з.
п. 18
№ 108, 110, 112
Индивидуальные задания.


title: Скачать презентацию или конспект Задача В-9 ЕГЭ. Многогранники

extracted_text:
Задача В9. Многогранники
Выполнил:
Учитель математики МБОУ «Славская СОШ»
Киселев Виктор Иванович
08.01.2017
Условие.
Найдите угол ЕАД2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Построим треугольник ЕАД2:
Прямоугольные треугольники AFE, FED2, AFD2 равны по катетам.
AF=FD2=FE=2(катеты);

Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:
гипотенуза и острый угол;
катет и противолежащий угол;
катет и прилежащий угол;
два катета;
гипотенуза и катет.
В данном случае прямоугольные треугольники равны по двум катетам:

Треугольник EAD2-равносторонний  все углы равны 60.
Ответ:60.


title: Скачать презентацию или конспект Уравнение

extracted_text:
Уравнение
Учитель математики МОУ СОШ № 74
 г.Краснодара Толочко Г.П.

Уравнение ?

Уравнение – равенство, содержащее переменную

Решить уравнение?
Надо найти такое значение х, при котором выполняется это равенство.
Х + 5 = 7
корень уравнения

Уравнение

Х = 7 - 5
Х = 2

Найти корень уравнения?

х
+
44
=
97
х
-
Х = 53

Решили уравнение !

Как найти неизвестное слагаемое?
х + а = b
… надо из суммы вычесть известное слагаемое.
х = b - а

Как найти неизвестное уменьшаемое?
х - а = b
х = b + а
… надо сложить вычитаемое и разность

Как найти неизвестное вычитаемое?
а - х = b
х = а - b
… надо из уменьшаемого вычесть разность
Решите уравнения:
Х + 64 = 102
104 - Х = 22
Х - 49 = 115
Решите задачу:
В двух корзинах было
52 килограмма яблок. Сколько килограммов  яблок  было во второй  корзине, если в первой корзине было 27 килограммов?

?
х
27 кг

52 кг
Решите задачу:
В рулоне было несколько метров ткани. После того, как отрезали 11 м, осталось 35 м.Сколько метров ткани было в рулоне?

?

х
11 м
35 м
Решите уравнение
I способ :

12  +  (Х +64) = 102

слагаемое

неизвестное слагаемое

сумма
Х +64
=
102
-
12
Х +64
=
90
Х
=
26
Решите уравнение
II способ :

12  +  (Х +64) = 102
воспользуемся свойством сложения

Х +64 + 12
=
102
Х +76
=
102
Х
=
26
Решите уравнение:
222 + (Х + 18 )= 432
Х + 18  = 210
Х =

???
192
Решите уравнение
I способ :

 (Х +64)  -  12 = 72

неизвестное уменьшаемое

вычитаемое

разность
Х +64
=
72
+
12
Х +64
=
84
Х
=
20
Х
=
84 - 64
Решите уравнение
II способ :

 (Х +64)  -  12 = 72
воспользуемся свойством вычитания

Х +64 - 12
=
72
Х +52
=
72
Х
=
20
Решите задачу:
В сказочном пруду живет
35 лягушек. Несколько лягушек умеют играть на гитаре, 12 лягушек умеют петь, 14 лягушек умеют танцевать. Сколько лягушек умеют играть на гитаре ?

?
Х
12
14

35
Решите уравнения:
58 – (Х + 16) = 12
(104 – Х) + 27 = 112
(Х – 49) - 15 = 115

30
19
179
Прошел дождь и залил Васину тетрадку. Помогите Васе восстановить решение уравнения.
75 – (х + 18) = 23
Х + 18 =
75
- 23
Х + 18 =

х
=

18
х
=

52
34
52-

Спасибо за урок!


extracted_text:
Признаки делимости
Учитель математики
МКОУ « Москаленский лицей»
Бадюк Ольга Ярославна

Счет и вычисления – основа порядка в голове.
И. Песталоцци
Цели и задачи урока
 - повторить свойства деления;
познакомиться с признаками деления на 2, 5, 10, 3, 9, 4, 25;
закрепить изученный материал;
развитие у обучающихся абстрактного мышления.

Найдите неизвестные числа
2 ∙ а = 2050 ;   5005 : х = 5 ;

С ∙ 4 = 72 ;       1000 : х = 25;

111: х = 37;     2700 ∙ у =  13500.
а = 1025
х = 1001
с = 18
х = 40
х = 3
у = 5
Вспомним свойства деления
1. Если один из множителей делится на третье число, то и произведение делиться на ………...
2. Если каждое из двух чисел делиться на третье число,     ………………………………..   делятся на третье число.
3. Если одно из двух чисел делится на третье число, а другое не делится, то их сумма и разность …………………………………………
третье число
то их сумма и разность
не делятся на третье число.
Среди данных чисел выпиши числа
1; 2; 5; 6; 10; 12 ; 15; 18; 20; 35; 36; 40
Кратные 2 :
Кратные 5 :
Кратные 10:
Попробуй сформулировать признаки делимости на 2, 5, 10.
2, 6, 10, 12, 18, 20, 36, 40.
5, 10, 15, 20, 35, 40.
 10, 20, 40.

1. Если запись натурального числа оканчивается    ………………………. ,   то это число делится на 2 без остатка, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число без остатка на два не делится.

четной цифрой

Числа , делящиеся без остатка на два, называются четными, а числа, которые при делении на два дают остаток 1, называют нечетными.
    ………….......      четные цифры
    ……………….       нечетные цифры

0, 2, 4, 6, 8
1, 3, 5, 7, 9

2. Если запись натурального числа оканчивается цифрой             0 или 5     ,то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

0 или 5

3. Если запись натурального числа оканчивается    …………………    , то                     это число делится без остатка на 10. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 10 не делится.

цифрой 0
Среди данных чисел выпиши числа
3, 12, 18, 23, 27, 35, 36, 40, 45, 48, 99
Кратные 3:

Кратные 9:

Попробуй сформулировать признаки делимости на 3 , 9
3, 12,18, 27, 36, 45 48, 99
18, 27, 36, 45, 99

4. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

5. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Число делится

Верно ли, что
число 10378 делится на 2?
число 113975 делится на 5?
число 82 907 делится на 10?
число 1354 делится на 3?
число 252 делится на 9?
да
да
нет
нет
да
Какие из чисел 18, 35, 70, 102, 504, 6930 делятся :
на 5 , но не делятся на 2
на 2 и на 5
на 2, но не делятся на 5
на 5 и на 10
на 5, но не делятся на 10
на 3 и на 9
на 3 , но не делятся на 9
35
70, 6930
18, 102, 504
70, 6930
35
18, 504, 6930
102
В пустые клетки вписать числа 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.
17
57
48
22
77
36
88
81
42

Спасибо
 за работу.


title: Скачать презентацию или конспект Веселая математика

extracted_text:
Веселая   математика
1. Разминка     «Веселый урок»
2. Конкурс    художников
Нарисуйте фигуры, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии.

3. Конкурс   «Допиши,   как   можешь»
Заметить закономерность в рядах чисел, записать в каждую строчку по два следующих числа:

2,3,4,5,6,7,
10,9,8,7,6,5,
5,10,15,20,25,30,
9,12,15,18,21,
8,8,6,6,4,4,
3,7,11,15,19,23,
9,1,7,1,5,1,
4,5,8,9,12,13,
25,25,21,21,17,17,
1,2,4,8,16,32,

4. Конкурс    «Сообрази»
1. В выражении 4+32:8+4-3 расставьте скобки так, чтобы в результате получилось:
а) число 28;
б) как можно большее число;
в) как можно меньшее число.

2. Проставьте, где требуется знаки действий, скобки, чтобы равенства были верными:
5 5 5 5 = 26
5 5 5 5 = 30
5 5 5 5 = 50
5 5 5 5 = 55
5 5 5 5 = 120
5 5 5 5 = 130
5 5 5 5 = 625
5 5 5 5 = 111
5. Гонка за лидером


title: Скачать презентацию или конспект В стране сказочных героев

extracted_text:
Познавательная игра«В стране сказочных героев»
На каком материке лечил зверей доктор Айболит?

а) Антарктида
б) Евразия
в) Африка
г) Австралия
Какова скорость орла, если за 5 часов он пролетел 600км?
Какую рыбу поймал Емеля в реке?
а) судака
б) ерша
в) щуку
г) карпа

Угадайте анаграммы:

   тьроксос,
    мервя,
   стерисоная.
В какое море бросал невод старик из сказки А.С.Пушкина «Сказка о рыбаке и рыбке»?

а) черное
б) синее
в) белое
Найдите значение выражения:
            а : 7если а = 350
Вставьте пропущенные слова вместо точек, вспомнив сказку «Золушка»
Золушка побежала в огород, выбрала самую большую ………  и принесла фее.
…….превратилась в карету, крыса в кучера, а  ………. превратились в коней.
    Юннаты собрали с одной грядки 4 корзины репы, а с другой грядки 3 корзины.  Всего собрали 175 кг репы. Все корзины с репой были одинаковой массы. Сколько кг репы собрали юннаты?
Под каким деревом укрылись от гусей брат с сестрой в сказке «Гуси-лебеди»?
а) яблоня;
б) дуб;
в) груша;
г) слива.

Какое число лишнее?     80, 560, 870, 40.
Буратино лег спать пораньше, в семь часов вечера, предварительно заведя будильник на восемь часов с тем, чтобы встать утром.
Сколько часов он проспал, пока его не разбудил будильник?

      Утром Буратино отправился в путь. На окраине города он увидел харчевню «Три пескаря» и решил подкрепиться. Войдя в харчевню, он увидел Карабаса Барабаса, лису Алису и кота Базилио. У Буратино совсем не было денег и тогда Карабас Барабас сказал, что если Буратино правильно ответит на вопрос, то он его накормит и даст еще 7 золотых монет. Если Буратино неправильно ответит на вопрос, то его кинут в огонь для приготовления блюда. Вот какой вопрос задал Карабас Барабас:

       Одна утка на вертеле жарится до готовности один час. За сколько часов зажарятся на одном вертеле сразу две утки?
В окрестностях пруда четыре болота. В каждом болоте по 50 кочек, а на каждой кочке живет по шесть лягушек. Каждая лягушка мечтает стать лягушкой-путешественницей. Сколько нужно уток, чтобы осуществилась их мечта?

 Если бы один козленок побежал за мамой, двое других за ним, а еще двое ушли без разрешения купаться, то сколько козлят нашел бы волк в избушке?

Как называется эта сказка?
1.Какой путь пролетел Кай на своих санях вместе со Снежной королевой за 10 минут,  если их скорость была 20 м/с?
Назовите автора сказки «Золушка»
Фея подарила Золушке туфельки.
Две пары волшебных туфелек стоят 6840рублей.
 Что можно узнать?
( Цену, количество, стоимость)
Сказка «Колобок»
Каким прибором можно измерить массу колобка?
Какие единицы измерения массы вы знаете?

Сколько литров воды зачерпнул из речки Емеля, если в ведро входит 12 литров воды.
У Красной Шапочки было 200 рублей. Она купила 2 бутылки масла по 56 рублей и 3 пирожка по 24 рубля. Сколько сдачи получила Красная Шапочка?

Назовите сказку и решите задачу
Лиса бежала из леса в деревню, а из деревни в лес катился колобок. Кто из них будет дальше от деревни, когда они встретятся, если скорость лисы 25 км/ч, а колобка 2 км/ч?
Помогите Вовочке решить задачу
 Что тяжелее?
 5 кг теста или
 5 кг железа.
Скажи сколько квадратов в этой фигуре?

Какая величина лишняя?

Ребусы
ли100к

7я

С3ЖИ

Р1НА

по100вой
Дополнительные вопросы
Спасибо!До новых встреч!