title: Скачать презентацию или конспект Геометрические термины

extracted_text:
Из истории геометрических терминов

pptcloud.ru
ГЕОМЕТРИЯ
   «Гео» означает «Земля», «метр» - это единица измерения длины (от греческого слова «метрео» - «измеряю». Таким образом, получается, что геометрия в переводе с греческого означает «измерение земли» или «землемерие».

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ

     Почти все названия геометрических фигур греческого происхождения, как и само слово геометрия, происходящее от греческого слова геометрия – землемерие. Однако эти слова вошли в русский язык не непосредственно с греческого, а через латинский язык.

ТОЧКА
   Слово "точка" происходит от латинского глагола "ткнуть", а равнозначное слово "пункт" - от латинского глагола punktum ("укол"), то есть первоначально под точкой понимали укол.
    Точка – в русском языке означало конец заточенного гусиного пера.

ЛИНИЯ
   «ЛИНИЯ» происходит от латинского слова  «линеа» - льняная (имеется в виду льняная нить).
     От этого же корня происходит наше слово линолеум, первоначально означавшее льняное полотно.

КВАДРАТ
     КВАДРАТ произошел от латинского слова  «кваттуор» (четыре) - фигура с четырьмя сторонами.

РОМБ
    РОМБ происходит от латинского слова «ромбус», означающего бубен.
    Мы привыкли к тому, что бубен
    имеет круглую форму , но раньше
    бубны имели форму квадрата или
    ромба , о чем свидетельствуют
    изображения «бубен»
    на игральных картах.

ТРАПЕЦИЯ
    ТРАПЕЦИЯ происходит от латинского слова  «трапезиум» -столик.
    От этого же слова происходит наше слово « трапеза», означающее стол.

КОНУС
    Конус - от греческого слова "конос" (сосновая шишка, остроконечная верхушка шлема).

КУБ
   Термин "куб" происходит от греческого слова в переводе означающего - "игральная кость". Она имела форму кубика, и название это перешло на любое тело той же формы. Этот термин впервые встречался у пифагорейцев (VI-IV вв. до н. э.).

ПИРАМИДА
     Пирамида - от греческого слова "пюрамис", которым греки называли египетские пирамиды. А это слово происходит от древнеегипетского слова "пурама", которым эти пирамиды называли сами египтяне.
     Средневековые ученые считали, слово "пирамида" происходит от греческого слова"огонь", так как пламя иногда напоминает по форме пирамиду, в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамиду называли "огнеформенное тело".

ПРИЗМА
  Призма - от слова «присма» ("опиленная", "отпиленная часть").

ЦИЛИНДР
   Цилиндр - от латинского слова "цилиндрус" (валик, каток).

СФЕРА
   Сфера - от греческого слова "сфайра" - "шар", "мяч". Термин этот встречается у древнегреческих математиков еще до Евклида.

ГИПОТЕНУЗА И КАТЕТ
Гипотенуза - от греческого слова "гипотенуза", что означает "тянущаяся под чем-либо". Название происходит, очевидно, от способа построения прямоугольных египетских треугольников с помощью натягивания веревки. Евклид вместо термина "гипотенуза" так и писал: "сторона, которая стягивает прямой угол".
   Катет - от греческого "катетос" ("отвес", "опущенный перпендикулярно"). В средние века словом "катет" называли высоту прямоугольного треугольника, а его стороны - "гипотенузой" и "основанием". В современном смысле этот термин (т.е. "катет") вошел в употребление в XVII в. и получил широкое распространение в XVIII в.

РАДИУС И ЦЕНТР
     Радиус - от латинского слова "радиус", которым называли спицу в колесе. Это слово вошло в математический обиход лишь в конце XVII в. Во времена Евклида говорили "прямая из центра". Позднее пользовались термином "полудиаметр". И лишь в 1569 г. слово "радиус" впервые употребил в своих работах французский ученый Рамус, а несколькими годами позднее - Виет.
     Центр - от греческого слова, обозначающего палку с заостренным концом, которой погоняли быков, а позднее - острие циркуля. До Евклида это слово употреблялось не только в математике, оно служило также для обозначения точки, важной по каким-либо соображениям. Евклид этим термином называл центр окружности и центр сферы, а Архимед - центр эллипса и эллипсоида.
ДИАГОНАЛЬ
     Диагональ - от греческих слов "через" и "угол", т.е. "проходящая через угол". Этим термином пользовался Евклид. Другие же греческие геометры употребляли слово "диаметр", имея в виду четырехугольники, вписанные в круг.
     В средние века в работах математиков встречались оба термина. И лишь в XVIII в. они стали употребляться в современном смысле.


title: Скачать презентацию или конспект Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения

extracted_text:
Учитель: Ходырева В.Н.
Урок алгебры
в 8 классе
по теме:
«Квадратное уравнение.
Неполные квадратные уравнения»
Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным сопряжением. Извне он может получить только возбуждение.                                   А. Дистервег.

Устные упражнения:
   1. Вычислите:
а) √49+√9;
б) √121-√1;
в) (√17)²+(√3)²;
г) 2√64-36;
д) (√0,01+√0,81)²-4²

2. Реши уравнение:
 х²=16;         х²=-4;         х²=0;
 х²=7;          3х²=48;       4х²=-16;
 5х²=0;        2х²-14=0

Устные упражнения:
3. Проверь решение уравнений и найди ошибки:
 а). х²-2х=0                       б). х²+7х=0
      х(х+2)=0                           х(х+7)=0
      х=0 или х+2=0                  х=0 или х=7
                   х=-2                    Ответ: х₁ =0; х₂=7
    Ответ: х₁=0;   х₂=-2
 в). 5х²+10х=0                   г). 8х²+16=0
      5х(х+10)=0                       8х²=-16
      х=0 или х+10=0                х²=-16:8
                   х=-10                  х²=-2
      Ответ: х₁=0;   х₂=-10        Ответ: корней нет
 д). 7х²-14=0
       7х²=14
       х²=14:7
       х²=2
       х₁= √2  х₂=- √2
Ответ: х₁= √2  х₂=- √2
Объяснение нового материала
ах²+bх+с=0 - квадратное уравнение, где х – переменная,
а,  b, с – некоторые числа, а≠0
ах²+bх+с=0 – уравнение второй степени.
а,  b, с – коэффициенты квадратного уравнения.
а – первый коэффициент;
b – второй коэффициент;
с – свободный член.

Приведённое квадратное уравнение
          Если а=1, то уравнение называется приведённым.
                       Примеры:
                                      х²+7-4=0
                                      х²-4+1=0
                                      5х+х²-3=0
                                      -8+4х+х²=0

Среди квадратных уравнений найди приведённые

                  а).  3х²+х-7=0
                  б).  х²-11х+0,2=0
                  в).  7х+х²-4=0
                  г).  х+5х²-14=0
                  д).  3х²+3х-5=0
                  е).  0,1х²-4х-0,7=0
Историческая справка
     Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне (2тыс. лет до н.э.)
     Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их к геометрическим построениям.
     Диофант Александрийский в 6, дошедших до нас из  13 книг «Арифметика», объясняет как решать уравнения вида ах²=b. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились (IIIв)
Историческая справка
         Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду ах²+bх=с, где а>0 дал индийский учёный Брахмагупта (VIIв)
         В трактате «Китаб аль –
джебр валь- мукабала»
хорезмский математик
аль – Хорезми разъясняет
приёмы решения уравнений
 вида
ах²=bх, ах²=с, ах²+с=bх, ах²+bх=с, bх+с=ах² (а>0; b>0; с>0).
Историческая справка
 Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487 - 1567).
          Выводом формулы
решения квадратных
уравнений общего вида
 занимался Виет.
Историческая справка
 После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

   Рене Декарт                       Исаак Ньютон

(1596 – 1650 г.)                     (1643 – 1727г.)

Объяснение нового материалаI. неполные квадратные уравнения
         ах²+с=0,    где с≠0;  в=0
         ах²=-с
         х²=-с/а
    1). -с/а>0 – 2 корня
          х₁=-√-с/а
          х₂=√-с/а
    2). -с/а<0 – решений нет.
Пример 1:                           Пример 2:
-3х²+15=0                           4х²+3=0
-3х²=-15                             4х²=-3
х²=5                                   х²=-3/4
х₁=√5                                 Ответ: Решений нет
х₂=-√5
Ответ: х₁=√5
           х₂=-√5

   II. ах²+bх=0  b≠0, с=0
х(ах+b)=0
                  х=0 или ах+b=0
                               ах=-b
                               х=-b/а
          Пример 3:
                         4х²+9х=0
                       х(4х+9)=0
                       х=0 или 4х+9=0
                                    4х=-9
                                    х=-9:4
                                    х=-2,25
                       Ответ: х₁=0,  х₂=-2,25

                  III. ах²=0, b=0, с=0

                    х²=0:а
                    х²=0
                    x=0

                             Пример 4:
                                             3х²=0
                                             х²=0
                                             х=0

Неполные квадратные уравнения

              aх²+c=0,     b=0,   c≠0

               ax²+bx=0,   c=0,   b≠0

              ax²=0,        c=0,    b=0
Какое уравнение лишнее?
3х²-4х+5=0                    8х²-7х+1=0
-7х²+8х-3=0                   6х²+8х=0
1,1х²-0,3х-0,5=0            5х²-7=0
х²-4х+3=0                      8х²-3=0
-0,2х²-х+11=0                5х²+8=0
                       9х²+3х=0
                       6х²=0
                       -0,3х²-4=0
                       -2х²-8х=0
                       11х²+8=0
проверка
№ 515
         б). -х²+3=0
               -х²=-3
               х²=3
               х₁=√3,  х₂=-√3
Ответ: х₁=√3,  х₂=-√3
         г). у²-1/9=0
              у²=1/9
              у₁=√1/9;   у₁=1/3,
              у₂=-√1/9;  у₂=-1/3
Ответ: у₁=1/3,  у₂=-1/3

проверка
№ 517
             б). -5х²+6х=0
                    х(-5х+6)=0
                    х=0 или -5х+6=0
                                 -5х=-6
                                 х=1,2
                   Ответ: х₁=0,  х₂=1,2
            г). 4а²-3а=0
                 а(4а-3)=0
                 а=0 или 4а-3=0
                              4а=3
                              а=3:4
                              а=0,75
                 Ответ:а₁=0,  а₂=0,75

Что общего у уравнений?
3х²+7х+5=0                        х²+7х+5=0
0,2х²-4х+1=0                      х²4х+1=0
17х²-5х+3,2=0                    х²-5х+3,2=0
8,7х²-11х+4,8=0                 х²-11х+4,8=0
15х+4х²-9=0                       х²+4х²-9=0

                      3х²+7х=0
                      0,2х²+1=0
                      17х²=0
                      8,7х²-11х=0
                      4х²=0

вопросы?:

Какое уравнение называется квадратным?

Какое уравнение называется приведённым?

Какие уравнения называются неполными квадратными?
Задание на дом:
§8,п.21,
 № 518, № 519, Историческая задача
Спасибо за урок!


title: Скачать презентацию или конспект Конус и его свойства

extracted_text:
Проект подготовила ученица 11 класса
Ламонова Светлана
Руководитель: учитель математики
Стрельникова Л.П.
Проект на тему:
"Конус".
2009 год.
Новотроицкая СОШ.
Ко́нус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Понятие.
Определения.
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания .Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности
Виды конусов.
Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом. Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
Виды конусов.
Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
— угол раствора конуса (то есть удвоенный угол между осью конуса и любой прямой на его боковой поверхности).
Теорема 1.
Площадь боковой и полной поверхности конуса с радиусом R и образующей L выражаются формулами:  Sбок= πRL;      Sполн=πR(R+L)
Объем кругового конуса равен
Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости). В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество K векторного пространства V над полем F, для которого для любого
λK = K
Теорема 2.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса .В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса
Теорема 3.
Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность  - по окружности с центром на оси конуса.
Касательной  плоскостью  к  конусу  называется  плоскость, проходящая через образующую  конуса  и  перпендикулярная плоскости   осевого   сечения,   содержащей   эту   образующую
Теорема 4.


title: Скачать презентацию или конспект Округление чисел

extracted_text:
Округление чисел
  Округление натуральных чисел
  Округление десятичных дробей

0                                            1                                           2

11                                           12                                         13

  А                         С                        В                    М                        N
D                         E                         F                     H                        L
  А (    )                  С(   )            В(   )            М(   )               N(   )
D (  )              E (   )                  F (   )           H (   )                L(   )
1. Пользуясь десятичными дробями, вырази:
а) в километрах
523 м
64 м
8 км
4 км 35 м
2 м 5 мм
б) в килограммах
486 г
4 г
67 г
2 кг 45 г
4 кг 7 г
Приближенные равенства
ПРИМЕРНО   ≈  знак приближенного равенства
Для чего нужны приближенные значения?
Прикидка арифметических действий
В практических расчетах значение имеет не столько удобство вычислений, сколько степень точности ответа.
В математике существуют правила округления (приближения), позволяющие заменять числа их ближайшими «достаточно круглыми» числами с наибольшей точностью.

Каким круглым числом с одним или несколькими нулями, следует заменить 2583, чтобы ошибка была как можно меньше?
Рассмотрим случай, когда мы хотим иметь в записи только один нуль.
         2580 < 2483 < 2590.

2583

2580
2590

2583 ≈ 2580  (с точностью до десятков)
Округлить натуральное число – значит отбросить одну или несколько цифр младших разрядов, заменив их нулями.
Не  забудь!!!
Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя сохраняемая цифра остается без изменений.
Если первая из отбрасываемых цифр 5 или больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.
№ 747. Прочитай приближенные равенства. До какого разряда округлено каждое число?
1) 356 082 ≈ 356 080
    356 082 ≈ 356 100
    356 082 ≈ 356 000
    356 082 ≈ 360 000
    356 082 ≈ 400 000

Определи, до какого разряда могли округлить числа?

12300;    4570;     9800;      127.
До какого разряда выполнено округление? Найди ошибку.
23 574 ≈ 23 600;                     45 468 ≈ 45460;
2 340 673 ≈ 2 341 600;            5 632 ≈ 5 600;
823 ≈ 100;                                89 124 ≈ 90 000;
8 420 ≈ 8 400;                        12 006 703 ≈ 12 000 000.
Вырази число в десятках и округли до единиц:
75,   34,   816,   421,   1859,   6394.
ОБРАЗЕЦ:
538 = 53,8 дес.≈ 54 дес.

0                                           0,1                                        0,2
3,7                                        3,8                                         3,9

  A                         B                        C                    D                        K
   G                         S                        U                    V                        X
  A (    )                 B (    )                 C (    )             D(    )           K(    )
   G (     )               S (    )               U (    )               V (    )          X(    )
Приближенные равенства
Что означает знак   ≈  ?
Для чего нужны приближенные значения?
Прикидка арифметических действий
В практических расчетах значение имеет не столько удобство вычислений, сколько степень точности ответа.
Какие в математике существуют правила округления (приближения), позволяющие заменять числа их ближайшими «достаточно круглыми» числами с наибольшей точностью?
Математический диктант
1 вариант
2 вариант
1. Округлите до десятков:
237 856
  237860
453 965
  453 970
2. Округлите до сотен:
541 823
  541 800
692 743
  692 700
3. Округлите до тысяч:
481 536
  482 000
257 691
  258 000
4. Округлите до сотен тысяч:
532 451
  500 000
396 524
  400 000
5. Округлите до десятков:
7 999 999
  8 000 000
6 999 999
  7 000 000
Проверьте себя:
http://www.ziimag.narod.ru/
№ 747. Прочитай приближенные равенства. До какого разряда округлено каждое число?
2) 75,0395 ≈ 80
    75,0395 ≈ 75
    75,0395 ≈ 75,0
    75,0395 ≈ 75,04
    75,0395 ≈ 75,040
Вырази число в сотнях и округли до десятых:
612,   871,   1304,   4950,   78,   45
Вычислить площадь фигуры, выразить ее в квадратных сантиметрах и округлить до десятых.

45 мм
49 мм
24 мм
70 мм


title: Скачать презентацию или конспект Банкиры

extracted_text:
Воспитательное мероприятие  по математике
«БАНКИРЫ»
Краткие правила :
Команды банкиров отвечают на вопросы по очереди.
Отвечать на вопрос может только тот участник команды, который не отвечал на прошлый вопрос.
За каждый верный ответ команда получает некоторое количество монет.
Команда набравшая наибольшее количество монет объявляется победителем.
Ячейки (вопросы) банкиров.
Последняя ячейка!
1
2
3
Красный сейф (5 золотых)
 В нашей квартире есть часы с боем. Они отбивают полные часы и одним ударом полчаса. Сколько ударов делают в сутки эти часы?
180 раз
Сколько килограммов в 100 пудах?
1638 кг
Чёрный сейф (5 золотых)
Какую единицу длины ввел в русский быт
 Петр I?
Чему равно произведение всех цифр?
Фут
0
Белый сейф (5 золотых)
Сколько углов образуют 5 различных лучей, направленных из одной точки?
20
Чему равна сумма всех целых чисел?
0
Ячейка №1 (1 золотой)
Какие числа употребляются при счете?
Натуральные
Ячейка №2 (2 золотых)
Математика – царица всех наук, а царица математики ...
Арифметика
Ячейка №3 (1 золотой)
Сколько граней у не заточенного карандаша?
8
Ячейка №4 (1 золотой)
Сколько нужно сделать распилов, чтобы распилить бревно на 12 частей?
11
Ячейка №5 (1 золотой)
Сколько будет
4+4*4
20
 Ячейки №6 (1 золотой)
Произведи умножение числа 17  на число 8
136
Ячейка №7 (2 золотых)
Вычисли, чему равно 28+45+38
111
Ячейка №8 (2 золотой)
Ячейки №9 (1 золотой)
Немецкий ученый, которого называют "королем математики".
Гаусс
Ячейка №10 (1 золотой)
Кто автор книги "Начала"?
Евклид
Ячейка №11 (2 золотых)
Три сотни умножили на две сотни. Сколько будет сотен?
600 сотен
Клад 12 (1 золотой)
Крышка стола имеет 4 угла. Один из них отпилили. Сколько углов стало?
5
Ячейка №13 (3 золотой)
Клад 14 (1 золотой)
Чему равен периметр треугольника со сторонами
 8 см, 5 см, 4 см
17
Ячейка №15 (1 золотой)
На какой угол поворачивается солдат по команде "кругом"?
180
Спасибо за игру!


title: Скачать презентацию или конспект Бийская крепость в цифрах и фактах

extracted_text:
Урок математики
5 класс
Решение задач на сложение и вычитание натуральных чисел
Деменева Алена Васильевна
учитель математики
МОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа»
Бийский район
Алтайский край
Конспект урока
Бийская крепость в цифрах и фактах
Цели урока:
 Познакомиться с историей возникновения родного города
 Научиться определять временные промежутки и даты
Научиться использовать правила математики для решения бытовых задач
Отрабатывать навыки счета
Присоединение верховьев Оби к России
«В устьях рек Бии и Катуни есть Красный яр, а в то де место угодно быть Великого Государя городу или острогу: потому что места пашенные и всякого зверья великое множество и прибыль будет немалая…»
Воевода П. И. Годунов 1667г

Первые попытки проникновения русских в верховья Оби –
1625г
1709 г (18 век)
С чего начинался наш родной город?
Указ о строительстве острога – 29 февраля 1708г
Экспедиция
2 июня 1709г – 18 июня 1709г
Строительство острога было завершено за 16 дней
Командиры – ?
Конные – 94, в 2 р >  ↑
Пешие – на 68 > ↑
Барабанщики -  4
Военных – 307 человек
Мастера  – ?
Крестьяне  – 48, в 4 р >  ↑
Добровольцы  – на 231 > ↑
Строителей – 339 человек
В экспедиции участвовало
646 человек
С чего начинался наш родной город?
Указ о строительстве острога – 29 февраля 1708г
Бикатунский острог 1709г – 1710г
Бийская крепость – начало июня 1718г
Площадь крепости –
 4850 кв. м
Площадь острога –
 1825 кв. м
Родной город
Работы Ю. Коробейникова
Крепость - город

Бикатунский острог –
Бийская крепость –
Реконструкция крепости –
Потеря стратегических функций крепости и превращение в крупный торговый центр -
Окружной город Колыванской губернии –
Уездный город Томской губернии –
1709г
1718г
1748г -1751г
1782г
1804г
1848г
1709-1848
Длина стен острога -
Длина стен крепости 1718г -
Длина бульвара Петра I -
Площадь острога -
Площадь крепости 1718г -
Площадь современного города -
Высота укреплений острога -
Высота башен крепости 1718г -
Высота Успенского собора -
И вширь и в высь…
170м
280 м
970 м
1825 кв. м
4850 кв. м
150 кв. км
4 м
13 м
20 м
Жизнь города
100 чел.
5200 чел.
233048 чел.
Население города в 1709г -
Население города в 1859г -
Население города в 2003г -
Мой город
Верь в звезду, город мой.
Еще больше – в себя!
И тогда на родном небосклоне
Ты отыщешь ее. Как ребенок любя,
К ней протянешь в молитве ладони.
Расправляй, город мой,
Крылья веры своей
Над рекою таежною синей
И надейся всегда на своих сыновей
В них – великое завтра России

Г. Рябченко


title: Скачать презентацию или конспект Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

extracted_text:
9.4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
Согласно теореме Вейерштрасса, если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на нем наибольшего и наименьшего значений.
Эти значения могут быть достигнуты на концах отрезка или в точках экстремума.

схема нахождения наибольшего
и наименьшего значения
функции на отрезке:
1
Найти производную функции.

2
Найти критические точки, в которых
производная равна нулю или не существует.
3
Найти значения функции в критических
точках и на концах отрезка, и выбрать из
них наибольшее и наименьшее значения.

пример.
Найти наибольшее и наименьшее
значения функции

на отрезке

решение:
1
Находим производную функции:
2
Находим критические точки:

критические
точки

3
Находим значения функций в критических точках и на концах отрезка:

ЗАМЕЧАНИЕ
Если функция непрерывна на интервале (а;в),
то она может не принимать на нем наибольшее
 и наименьшее значения. В частности, если
дифференцируемая функция y=f(x) на интервале
(а;в) имеет лишь одну точку максимума (или
минимума), то наибольшее (или наименьшее)
значение функции совпадает с максимумом
(минимумом) этой функции.


title: Скачать презентацию или конспект Угол между прямыми в пространстве

extracted_text:
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.
Дана прямая в пространстве, на ней взята точка. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?
Ответ: Бесконечно много.
Упражнение 1
Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?
Ответ: Бесконечно много.
Упражнение 2
Даны плоскость и параллельная ей прямая. Сколько прямых, перпендикулярных этой прямой, можно провести в данной плоскости?
Ответ: Бесконечно много.
Упражнение 3
Из планиметрии известно, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для стереометрии?
Ответ: Нет.
Упражнение 4
Чему равен угол между пересекающимися ребрами: а) куба; б) правильного тетраэдра?
Ответ: а) 90о;
Упражнение 5
б) 60о.
Найдите угол между диагональю грани куба и пересекающимся с ней ребром этой грани.
Ответ: 45о.
Упражнение 6
Найдите угол между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.
Ответ: 90о.
Упражнение 7
Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух соседних граней куба.
Ответ: 60о.
Упражнение 8
Найдите угол между диагональю куба и пересекающим ее ребром куба.
Упражнение 9
Дан куб A...D1.  Найдите углы,  которые  образуют  прямые: а) AA1 и B1C1; б) AA1 и CD.
Упражнение 10
Ответ: а) 90о;
б) 90о.
В кубе A...D1 найдите углы между прямыми: а) AD и A1C1; б) AC1 и DD1; в) AB1 и BC1.
Упражнение 11
Ответ: а) 45о;
в) 60о.
В пирамиде, все грани которой правильные треугольники, найдите угол между высотами этих треугольников, проведенными к общему ребру.
Упражнение 12
В треугольной призме, боковыми гранями которой являются квадраты, найдите угол между пересекающимися диагоналями боковых граней.
Упражнение 13
В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной боковому ребру, найдите угол между стороной основания и скрещивающимся с ней боковым ребром.
Упражнение 14
Ответ: 60o.
A, B, C - точки на попарно перпендикулярных лучах OA, OB, OC. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что OA=OB=OC.
Упражнение 15
Ответ: 60o.
На поверхности куба найдите точки, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.
Упражнение 16
Ответ: Вершины куба, не принадлежащие диагонали.


title: Скачать презентацию или конспект Основные свойства логарифмов

extracted_text:
Урок по теме:ЛОГАРИФМ.

pptcloud.ru
Логарифм
Логари́фм числа     по основанию     (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание      , чтобы получить число     . Обозначение:             , произносится    : "логарифм         по основанию      ".
Логарифм
    Из определения следует, что нахождение
                     равносильно решению уравнения
            .    Например
 потому что
Логарифм

   График двоичного логарифма.
Логарифмирование и потенцирование
Логарифмированием называется математическая операция, с помощью которой, зная число, определяют логарифм этого числа.

Потенцированием называется математическая операция, с помощью которой, зная логарифм числа, определяют само число.

Джон Непер

  В 1614 году опубликовал определение логарифмов и таблицу их значений.
«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».
Значение логарифмической функции.
    Со временем выяснилось, что логарифмическая функция                          незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основанием е(натуральный логарифм), 10 (десятичный) и 2 (двоичный).

Действительный логарифм.
Действительный логарифм         имеет смысл при

    Отсюда следует, что значение действительного логарифма положительного числа всегда существует и определённо однозначно.
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов:
Натуральные:        , основание: число
    Эйлера
Десятичные:       , основание: число 10.
Двоичные:              или           , основание: 2
    Они применяются, например, в теории информации, информатике, во многих разделах дискретной математики.

Свойства.

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:
Например:

1)3=log28, так как 2³=8;
                 __                                                     ½               __
2)½=log3√3 , так как 3   = √ 3;
      log3 1/5
3)3       =1/5;

4)2=log√ 5 5, так как (√5)²=5.

Можно выделить три формулы
Из определения логарифма следует следующее тождество:
Примеры:
Свойства логарифмов
1. Логарифм произведения.
2. Логарифм частного.
3. Логарифм степени.
4. Логарифм корня.
5. Переход от одного показателя к другому.
6. Свойства натуральных логарифмов.
1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:
2. Логарифм частного равен логарифмов делимого без логарифма делителя:

3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
4. Логарифм  корня равен отношению логарифма подкоренного выражения  и показателя корня:

5. Переход от одного основания к другому

Десятичный логарифм.

Логарифм.Немного из истории.

Предшественники
Предшественники
Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт (известный ещё Архимеду), что при перемножении степеней их показатели складываются
Индийский математик VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для оснований 2, 3, 4.
Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» (1544) Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным (первые шаги в этом направлении сделали Николай Орем в XIV веке и Николас Шюке в XV веке).

Джон Непер и его «удивительная таблица логарифмов»
Джон Непер и его «удивительная таблица логарифмов»
В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.
Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций.
Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом: Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

Джон Неперсобственной персоны

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением:

где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения).Непер взял M= 10 000 000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию
то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

Очевидно,                                 то есть логарифм «полного синуса» (соответствующего 90°) есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. Также он хотел, чтобы все логарифмы были положительны; нетрудно убедиться, что это условие для                 выполняется.
Основное свойство логарифма Непера
Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:
Дальнейшее развитие
Дальнейшее развитие
Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц (лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos). Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц, которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии.

Математик Николас Меркатор (Кауфман) открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechniaразложение логарифма в бесконечный ряд. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:
Формирование и признание общего понятия иррациональных и трансцендентных чисел.
Появление показательной функции и общего понятия числовой функции, числа Эйлера, развитие теории разностных уравнений.
Начало работы с бесконечными рядами.
Общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов.
Существенное развитие теории численных методов, требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.

Обратное возведение в степень
Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694), а окончательно было узаконено Эйлером. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

СОБЫТИЕ
   Под    СОБЫТИЕМ   понимается явление, которое происходит в результате   осуществления какого-либо   определенного комплекса   условий.

    ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик.
    Определим события:
    А {выпало четное число очков};
    В {выпало число очков, кратное 3};
    С {выпало более 4 очкков}.

Эксперимент (опыт)
   ЭКСПЕРИМЕНТ (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений).

ПРИМЕРЫ
сдача экзамена,
наблюдение за дорожно-транспортными происшествиями,
выстрел из винтовки,
бросание игрального кубика,
химический эксперимент,
и т.п.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ
   Эксперимент называют СТАТИСТИЧЕСКИМ, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
   СЛУЧАЙНЫМ называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).  Обозначают заглавными буквами А, В, С, Д,… (латинского алфавита).

Рассмотрим несколько наиболее «излюбленных» в теории вероятностей примеров случайных экспериментов.
Опыт 1:
   Подбрасывание монеты.
   Испытание – подбрасывание монеты;  события – монета упала «орлом» или «решкой».

«решка» - лицевая сторона монеты (аверс)
«орел» - обратная сторона монеты (реверс)
Опыт 2:
   Подбрасывание кубика.
   Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент.
   Испытание – подбрасывание кубика;  события – выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков (и другие).

  Типы событий
ДОСТОВЕРНОЕ
НЕВОЗМОЖНОЕ
СЛУЧАЙНОЕ

Примеры событий
досто-
верные
слу-
чайные
невоз-
можные
1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА.
2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО.
3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ.
4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ.
1. НАЙТИ КЛАД.
2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ.
3. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ.
4. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ.
5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА.
 З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ.
2. ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ КУБИКА ВЫПАДАЕТ  7 ОЧКОВ.
3. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.
Однозначные исходы предполагают единственный результат того или иного события: смена дня и ночи, смена времени года и т.д.
Неоднозначные исходы  предполагают несколько различных результатов того или иного события:

При подбрасывании кубика выпадают разные грани; выигрыш в Спортлото; результаты спортивных игр.
Информатика и вычислительная техника

                                         Log2 N + 1

Фракталы и размерность
    Треугольник  Серпинского :

Размерность результата определяется по формуле:

Механика и физика
 Принцип Больцмана:

Формула Циолковского:

Химия и физическая химия
     Уравнение Нернста:

 Показатель константы автопротолиза:

Теория музыки
Психология и физиология

Закон Вебера-Фехнера:

   Закон Фиттса:

    Закон Хикса:

Биология

Раковина  наутилуса
                                                                                Цветная капуста Романеско

                                                                                Расположение семян на
                                                                                подсолнечнике
Логарифм
 Логарифмическая шкала.    Логарифмическая линейка.   Логарифмическая таблица.
История создания логарифмической шкалы.
Первую попытку упростить и ускорить работу с логарифмическими таблицами предпринял Эдмунд Гюнтер, профессор астрономии Грэшемского колледжа. Он разработал шкалу, состоящую из нескольких отрезков, располагающихся параллельно на деревянной или медной пластине. На каждый отрезок наносились деления, соответствующие логарифмам чисел или тригонометрических величин.

Логарифмическая шкала и её применение.
Шкала называется логарифмической, если на ней нанесены логарифмы чисел, а отметками шкалы являются сами числа.

Акустика-уровень звукового давления и интенсивность звука
Астрономия-шкала яркости звезд
Химия-активность водородных ионов
Сейсмология-шкала Рихтера
Сельское хозяйство-основная гидрофизическая характеристика почвы.
Шкала выдержек и диафрагм в фотографии.

Логарифмическая шкала

Логарифмическая шкала
Логарифмическая шкала также широко применяется для оценки показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.
Графики трёх функций при различном выборе шкал по осям координат:
обе линейные,
 (2) логари-фмическая (x) и линейная (y),
(3) линейная (x) и логарифмическая (y),
(4) обе логари-фмические.
График функции логарифма
Логарифмические таблицы
Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам (раздел «Антилогарифмы») выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются.
История логарифмической таблицы
Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Йост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера).
Джон Непер
Логарифмическая таблица Непера
История логарифмической таблицы
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.
1.Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы.
2.Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов
3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы
Логарифмические таблицы

Логарифмическая линейка
Логарифми́ческая лине́йка, Счётная линейка — аналоговое вычислительное устройство, позволяющее выполнять несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в степень (чаще всего в квадрат и куб) и вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и другие операции.
История логарифмической линейки
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием тригонометрических функций. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Задачи по многочленам

extracted_text:
Многочлены. Решение олимпиадных задач по теме «Многочлены»

Понятие многочлена. Многочлен n-ой степени.
Разложения многочлена на множители.
Схема Горнера
Умножения многочленов
Деление многочленов
Алгоритм Евклида
Основная теорема Алгебры.
Корни многочлена. Теорема Безу
Следствие из Теоремы Безу
Теорема о корнях многочлена.

Теория
     Многочлен ах + b, где а ≠0,  a, b − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени.
     Многочлен ах2+bх+с, где а ≠0, a, b, c − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).
     Многочлен ах3+bх2+сх+d, где а ≠0, a, b, c, d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.
    Многочлен: Pn(x) =anxn + an – 1x n – 1 + an – 2xn –2 + ... + a1x + a0, где an ≠0, аk=0,1,2,..,n-числа, х-      переменная, называется многочленом n-ной степени.
        аn-старший коэффициент, а0-свободный член.
    Действительное число a называется корнем многочлена Pn(x), если Pn(a) = 0.
    Число α-k-кратный корень многочлена f(x), если f(x)=(x-α)kφ(x), φ(α)≠0.
    Необходимые теоретические выдержки для                     разложения  многочлена на множители.
 Теорема. Любой многочлен степени n вида Pn(x) =anxn + an – 1x n – 1 + an – 2xn –2 + ... + a1x + a0 , представляется произведением постоянного множителя при старшей степени аn и n линейных множителей (х-хi), i=1, 2, …, n, то есть Pn(x)= аn(х-хn)(х-хn-1)…(х-х1), причём хi, i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.
Схема Горнера.
   Если f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, g(x)=x-c,                                         то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид g(x)=b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1, где b0=0, bk=cbk-1
    +ak, k=1,2…,n-1. Остаток r находится по формуле r=cbn-1+an

Умножение многочленов.Pn(x)Qm(x)
   Пусть Pn(x) и Qm(x) два многочлена степени n и m   cответственно.
     Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,
     Qm(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b0,
    Предположим, что n≥ m.
        Pn(x)Qm(x)=(anxn+an-1xn-1+…+a0)(bmxm+bm-1xm-1+…+b0)=
     anxn(bmxm+bm-1xm-1 +…+b0)+an-1xn-1(bmxm+
     +bm-1xm- 1+…+b0)+…+ a0 (bmxm+bm-1xm-1+…+b0).

Деление многочленов.

   Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x) = g(x)q(x)+r(x).
Историческая справка. Алгоритм Евклида.
    Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное вычитание». Этот алгоритм не был открыт Евклидом, так как упоминание о нём имеется уже в Топике
     Аристотеля. В «Началах Евклида» он описан дважды — в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры
     двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.
     Историками математики было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений.
Евклид
Аристотель
  Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x)
Тогда  rk(x)- наибольший общий делитель f(x) и g(x).
                  Основная теорема алгебры.Всякий многочлен степени n имеет по крайней мере один корень (комплексный или действительный).
         Теорема Безу. Корни многочлена.
    При делении P(x) на (x-α) в остатке может получится лишь некоторое число r (если r=0, то деление выполняется без остатка). Так как степень двучлена (x-α) равна 1, то степень остатка должна быть меньше 1. P(x)= (x-α) Q(x)+r (1)
    Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х= α. При этом двучлен x-α обращается в нуль, получаем, что P(α)=r.

Следствие из теоремы Безу.Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x-α без остатка.

    По теореме Безу остаток от деления P(x) на x-α  равен P(α), а по условию P(α)=0. Отсюда видно, что задача решения уравнения P(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена Р, имеющих первую степень (линейных делителей).

Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни α1, α2, …, αn, то он делится без остатка на произведение (х- α1)…(х- αn)
    Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии из Теоремы Безу. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, и пусть P(х) имеет k+1 попарно различных корней: α1, α2,…, αk, αk+1. По предположению индукции многочлен делится на произведении (х- α1)…(х- αk): P(x)=(x- α1)…( х- αk)Q(x). При этом αk+1  - корень многочлена P(x), т.е. P(αk+1) =0. Значит, подставляя αk+1  вместо х, получаем верное равенство. P(αk+1)= (αk+1 –α1)…( αk+1 –αk)Q(αk+1)=0. Но αk+1  по условию отлично от чисел α1,…, αk, и => ни одно из чисел αk+1 –α1,…, αk+1 –αk ≠0.  Значит Q(αk+1)=0, т.е. αk+1 – корень многочлена Q(х). По следствию из Теоремы Безу Q(х) делится на х-αk+1 без остатка, Q(х)= (х- αk+1) Q1(х), и поэтому P(x)= (х- α1)…(х- αk) Q(х)= (х- α1)…(х- αk)(х-αk+1) Q1(х). Это и значит, что P(x)делится на (х- α1)…(х- αk+1). Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из ее справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. теорема верна при любом случае корней.
Задача №1 (на нахождение корней)
Задача №2
Задача №3 (нахождение корней 3хчлена)
Задача №4
Задача №5 (нахождение параметра)
Задача №6
Задача №7
Задача №8(нахождение неизвестных по условию на корни и одно из неизвестных)
Задачи
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа  a2+2cd+b2 и c2+2ab+d2 являются полными квадратами.
   Предположим, что ab=cd. Тогда a2+2cd+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2, c2+2ab+d2=c2+2cd+d2=(c+d)2. Таким образом, достаточно найти четыре различных натуральных числа a, b, c и d, для которых ab=cd. Для этого найдем число n, разлагающееся в произведение двух множителей различными способами. Например, таким числом является n=6; в этом случае можно взять a=1, b=6, c=2, d=3.
Ответ: 1,2,3,6

   Найти все целые неотрицательные значения n и k, удовлетворяющие уравнению 5n4+k5=81k
5n4+k5=81k, nϵZ, kϵZ, k≥0, n≥0.*
5n4=81k-k5
5n4= k(3-k)(3+k)(9+k2)
Т.к 5n4≥0, то k(3-k)(3+k)(9+k2)≥0                                                                                0≤k≤3

Если k=0, 5n4=0, n=0.
Если k=1, 5n4=80, n4=16, n=2; n=-2(не удовл. условию*)
Если k=2, 5n4=162-32, 5n4=130, n4=26 ø
Если k=3, 5n4=0, n=0. Ответ:k=0,n=0;k=1,n=2;k=3,n=3.

-3
0
3
0≤k≤3

Квадратный трёхчлен f(x)=x2+px=q имеет 2 различных целых корня. Один из корней трёхчлена и его значение при х=11 являются простыми числами. Найти корни трёхчлена.
Пусть х1 и х2- корни многочлена, f(x)=(x-x1)(x-x2)
а) пусть х1=2-простой корень
f(11)=(11-x1)(11-x2)-простой по условию(противоречие)
f(11)= g(11-х2) - составное
б) пусть х1-нечётное
f(11)=(11-x1)(11-x2)-простое, (11-x1)(11-x2)=2
  11-х1=1         11-х1=-1        11-х1=2        11-х1=-2
  11-х2=2         11-х2=-2        11-х2=1        11-х2=-1
    х1=10             х1=12            х1=9             х1=13
    х2=9               х2=13            х2=10           х2=12
Ответ: х1=13,х2=12.

{
{
{
{

Найдите целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x4-2y2=1.
    Знаки x и y можно выбирать произвольно, поэтому будем искать только неотрицательные решения. Ясно, что x - нечётное число, x=2t+1. Перепишем уравнение в виде x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1)=2t(2t+2)(4t2+4t+2)=2y2.
    Теперь видно, что y - чётное число, y=2u. Получаем уравнение на неотрицательные t, u:
    2) t(t+1)(2t(t+1)+1)=u2.
   Числа t, t+1 и 2t(t+1)+1 попарно взаимно просты, а их произведение - полный квадрат. Значит, каждое из них также является полным квадратом. Это возможно только при t=0 (единственная пара последовательных полных квадратов - это 0 и 1). Тогда и u=0. Значит, x=+1, y=0.
    Ответ:x=1, y=0 или x=-1, y=0.

Найдите все значения параметра а,при каждом из которых все корни уравнения3ax2(3a3 -12a2-1)x- a(a- 4)= 0удовлетворяют неравенству x |x|≤1.
1) Пусть 3a = 0, т.е. a = 0, тогда
получаем линейное уравнение –x= 0, которое
имеет единственный корень x = 0, причем
0ϵ[-1;1]. Значение a = 0 удовлетворяет
условию задачи.
2)При a≠0 получаем квадратное уравнение,
дискриминант которого равен
D=(3a3-12a2-1)2+ 12a2(a- 4)=(3t-1)2-12t=(3t-1)2 , где t= a3- 4a2.
а)Тогда найдём корни
x

=
=
-(3t-1)-(3t+1)
6a
–t

=
a
=
4a-a2,
=
x
=
-(3t-1)-(3t+1)

6a
=
–t

a
1

3a
б)Теперь поставим условия   для корней
-1≤4a-a2≤1
-1≤
1

3a
≤1
{
Решим систему
Ответ{0} ͜    [2+√3;2+√5]
Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, которые удовлетворяют уравнению (x+y√2)6+(u-v√2)6=7+5√2 ?
  (x+y√2)6=x6+6x5(y√2)+15x4(y√2)2+20x3(y√2)3+15x2(y√2)4+6x(y√2)5+(y√2)6=A+B√2.  (u-v√2)6=u6-6u5(v√2)+15u4(v√2)2-20u3(v√2)3+15u2(v√2)4-6u(v√2)5+(v√2)6=A-B√2, то выполняется  (x-y√2)6+(u-v√2)6= 7-5√2
    Но 7-5√2˂0, а левая часть положительна. Противоречие. Следовательно, исходного равенства быть не может.
    Ответ: таких чисел нет.

При каких целых n число n2 - 7n + 10 простое?
   Разложим многочлен x2 - 7x + 10 на множители: x2 - 7x + 10 =(x - 5)(x - 2). Отсюда при любом целом n число n2 - 7n + 10 делится на n - 5 и на n - 2. Оно может быть простым только в том случае, если одно из чисел n - 5 и n - 2 равно 1 или -1, а другое – простое:если n - 5 = 1,то n = 6, n - 2 = 4, n2 - 7n + 10 = 4 – составное;если n - 5 = -1, то n = 4, n - 2 = 2, n2 - 7n + 10 = -2 – простое;если n - 2 = 1, то n = 3, n - 5 = -2, n2 - 7n + 10 = -2 – простое;если n - 2 = -1, то n = 1, n - 5 = -4, n2 - 7n + 10 = 4 – составное.
Ответ: при n = 3 и n = 4.
Даны три уравнения с действительными коэффициентами. 1) x2-(a+b)x+8=0; 2) x2-x(b+1)+c=0; 3) x4-b(b+1)x2+c=0.Каждое из них имеет по крайней мере один действительный корень. Корни 1го уравнения больше единицы.  Также, корни 1го уравнения являются корнями 3го и хотя бы один корень 1го уравнения удовлетворяет 2ому уравнению. Найти числа a,b,c, если известно, что b>3.
    Обозначим корни первого уравнения x1 и x2. Причем пусть за x1 обозначен тот, который является корнем уравнения 2. Заметим, что если x1 является корнем уравнения 3, то и -x1 является корнем уравнения 3. -x1 не может равняться x2, поскольку и x1, и x2 положительны. Значит, у уравнения 3 мы нашли уже 4 корня: x1, -x1, x2 и -x2. У многочлена 4 степени больше корней и не может быть.Заметим, что x1 - корень уравнения 2. А значит, он является квадратом двух из корней уравнения 3. Поэтому x1=x12 либо x1=x22. Из первого уравнения следует, что x1=0 или 1. Но этого быть не может, т.к. x1 больше 1. Значит, x1=x22.Из теоремы Виета для первого уравнения следует, что x1x2=8. Поэтому x23=8. Откуда получаем, что x1=4; x2=2.Отсюда понятно, что a+b=6.Корни уравнения 3 - это ±2 и ±4. Поэтому корни уравнения 2 это 4 и 16. Поэтому с=64; а b(b+1)=20. Получаем b=4 или b=-5 (не подходит, так как b>3).Ответ: a=2;b=4;c=64.


title: Скачать презентацию или конспект Многочлены и уравнения высших степеней

extracted_text:
Муниципальное  общеобразовательное учреждение гимназия № 3
 Элективный курс для 9 класса «Многочлены и уравнения высших степеней»
      Утверждаю: Директор школы:
                   Руководитель МО:
Составитель: учитель  математики       Лобова Лилия                                                                                Николаевна.
г.Грязи 2008г
Пояснительная записка
За минувший век в математике произошли грандиозные изменения, она (впрочем, как и все другие науки) шагнула необыкновенно  далеко вперед. Математические методы стали более общими и разнообразными, математические  модели природных явлений, технических процессов, общественных ситуаций стали полноценнее, точнее и надежнее отображать существо дела. Математика все увереннее превращается в мощный инструментарий анализа, исследования  и прогнозирования, повышается прикладное значение. Сочетание с гигантскими возможностями компьютеров позволило оформиться принципиально новому направлению научного познания- математическому моделированию. Математика должна быть прагматичной, учить людей правильно ориентироваться в жизни, обеспечивать свою безопасность в самом широком смысле слова.
Между алгебраическими решениями  и многочленами имеется тесная связь. Изучение основных положений теории многочленов позволяет выполнять действие деление многочленов, что облегчает в дальнейшем решение таких задач математического анализа как нахождение асимптот, интегралов, производных. Изучение схемы Горнера дает общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит значительно расширить круг показательных, тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. Решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математике не имеется общих правил, определяющих точный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для решения задач. Данный курс позволит многим учащимся успешно подготовиться к сдаче экзамена в новой форме (тестирования). Кроме того, изучение курса поможет учителю подготовить учащихся к выполнению заданий ЕГЭ, связанных с решением различного вида уравнений и задач с параметрами.
Курс «Многочлены и уравнения высших степеней» рассчитан на 18 часов.
Цели: знакомство учащихся с основами теории многочленов, формирование представления о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне превышающем уровень государственных образовательных стандартов, создание ориентационной мотивационной основы для осознанного выбора дальнейшего профиля обучения.
Задачи: углубить теоретические знания учащихся по теории многочленов, расширить методы и приемы решения алгебраических уравнений высших степеней, продолжить развитие исследовательских умений и навыков учащихся.
Виды обучения предполагают следующие формы организации обучения: коллективные, групповые, самообучение, отчеты в форме презентации работ.
Формы и организации занятий: лекции, консультации, практимумы, самостоятельная работа.
Содержание
Тема1  Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов.
Сообщается цель и значение данного курса. Вводится понятие многочлен n-ой степени, старший член, свободный член, многочлен нулевой степени, нулевой многочлен, определение тождественно равных многочленов, деление многочленов «уголком»,формула деления многочленов нацело и с остатком, свойства делимости многочленов.
Тема2  Схема Горнера.
Алгоритм вычисления по схеме Горнера, алгоритм разложения многочлена по степеням разности.
Тема3 Многочлен Рn(х) и его корень. Теорема Безу.
Определение корня многочлена, теорема Безу и ее применение, связанное с числом корней, равенство многочленов, понятие кратного корня, кратность корня.
Тема4  Алгебраическое уравнение. Следствия из теоремы Безу.
Определение алгебраического уравнения , следствия из теоремы Безу.
Тема5  Решение алгебраических уравнений.
Теорема о целых корнях (делители свободного члена)алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, теорема о рациональном числе, являющемся корнем  целочисленного многочлена. Понижение степени алгебраического уравнения, зная один из его корней.
Тема6 Делимость двучленов хm am на ха.
Признаки делимости двучленов.
Тема7 Симметрические многочлены.
Понятие симметрических многочленов, элементарных симметрических многочленов от 3-х переменных, теорема Виета для многочленов третьей степени с одной переменной.
Тема8 Множители  от нескольких переменных .
Определение многочлена от нескольких переменных, степени одночлена, степени многочлена, понятие однородного многочлена, разложение однородного многочлена на множители, применяя подстановку у=tx, x=ty,а а также другие приемы разложения.
Тема9 Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона.
Формула бинома Ньютона, понятие биноминальных коэффициентов, связать данное  понятие с треугольником Паскаля, понятие факториала, вычисление биноминальных коэффициентов с помощью формулы , свойство биноминальных коэффициентов.
Тематическое планирование
Литература
Галицкий М.Л, Гольдман А. М, Звалич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики-М: Просвещение,1992г.
Деменчук В.В Многочлены и микрокалькулятор-Мн: Высшая школа,1988г
Виленкин Н.Я, Ивашев-Мусатов О.С, Шварцбурд С.И  Алгебра и математический анализ 10 класс, для углубленного изучения математики 13-издание,стереотипное, Москва 2006г.


title: Скачать презентацию или конспект Площади

extracted_text:
Образовательный проект
 по теме ”Площади”

Андреянова Е.А.
Учитель математики

Нижний Новгород

Личные данные
Образование:       высшее
 механико-математический факультет ГГУ имени Лобачевского
 специальность математика
 присвоена квалификация математик-преподаватель

Педагогический стаж:        21 год
Категория:             высшая
Место работы: МБОУ СОШ № 47 г. Нижнего Новгорода
Содержание
Пояснительная записка
Дидактические цели
Ожидаемые результаты освоения темы
Психолого-педагогическое объяснение специфики
    восприятия и освоения учебного материала учащимися в
     соответствии с возрастными особенностями
Обоснование проекта
Планирование
Проект урока
Литература

Пояснительная записка

         С понятием площади и формулами для вычисления площадей некоторых многоугольников учащиеся уже встречаются с 3 класса. При изучении курса геометрии обучающиеся с 8 класса расширяют и углубляют свои представления и знания об измерении площадей, выводят формулы площадей через доказательства теорем и через решение задач.
          Хорошие знания и  практические навыки вычисления площадей плоских фигур помогают в успешном овладевании курса стереометрии, при решении задач нахождения поверхностей пространственных фигур.
         Включение задач на вычисление площадей плоских фигур в состав КИМ на итоговой аттестации выпускников требует от учителей и от обучающихся повышенного внимания к изучению этого раздела геометрии.
Дидактические цели
	Познавательная:

 сформировать у учащихся понятие площади  многоугольника,

 сформировать умение вычислять площади фигур, применять изученные свойства и формулы.

Дидактические цели:
	Развивать:

      логическое и алгоритмическое мышление,

     способность к контролю и самоконтролю,

     стремление к творческому решению учебных  и  практических задач,

        умение сравнивать, выявлять, обобщать закономерности.
Дидактические цели
	Воспитывать:

 трудолюбие, волю, настойчивость для достижения конечных результатов,

 способность к преодолению трудностей,

 отношение к математике как к части общечеловеческой культуры.

В результате изучения темы

	Учащиеся должны знать:
  формулировки и доказательства теорем нахождения площадей некоторых многоугольников.

 	Учащиеся  должны  уметь:
  точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные;
 решать простейшие задачи на нахождение  площадей многоугольников.

	Учащиеся должны овладеть:
   элементами исследовательских процедур, связанных с поиском, отбором, анализом, обобщением собранных данных.

Возрастные особенности учащихся

Стойкий интерес к отдельным предметам
Низкая мотивация
Интересы за пределами школьной программы
Выбор данного раздела обусловлен:
 1. наличием богатого материала для реализации основных принципов педагогических технологий:  проблемного обучения, развивающего обучения, традиционной классно-урочной технологии, компьютерных технологий;
 2. возможностью применения разнообразных типов уроков при изучении этой темы;
 3. накоплением большого дидактического материала данного раздела геометрии;
 4. возможностью использования различных  современных средств  обучения;
 5. значимостью умения решения задач по данной теме
   (практико-ориентированные задачи,  включение задач этого раздела в КИМ на ЕГЭ) .

Планирование

8 класс 14 часов
9 класс 1 час
10 класс (профильный уровень) 4 часа

Планирование раздела “Площади” 8 класс

Площадь многоугольника         2ч
Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции             6ч
Теорема Пифагора                    3ч
Решение задач                           2ч
Контрольная работа                  1ч

Типы уроков

Урок ознакомления с новым материалом
Урок закрепления изученного
Урок применения знаний и умений
Урок обобщения и систематизации знаний
Комбинированный урок
Урок-лекция
Урок-практикум
Урок проверки и оценки знаний
(по С.Г. Манвелову)

Урок решения задач по теме “Площади”
Тип урока:

Урок-практикум
Цели урока
Формировать умения находить площади фигур,
Формировать умения оперативно принимать решения,
Развивать умение анализировать и систематизировать имеющуюся информацию,
Развивать гибкость мышления,
Показать многообразие и красоту математических решений,
Создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей.

Методы обучения:
  репродуктивный, проблемный, частично-поисковый.

Формы обучения:
  индивидуальная, фронтальная, коллективная

Средства обучения:
компьютер, проектор, экран, доска, мел, таблицы
Структура урока
Мотивационно-ориентировочная часть
       Актуализация знаний.
       Мотивация. Постановка учебной задачи.
Операционно-познавательная часть
        Решение задач по готовым чертежам.
        Решение текстовых задач.
        Решение задач самоконтроля.
Рефлексивно-оценочная часть
        Подведение итогов.        Тренажер-самооценка.
        Задание на дом.
Актуализация знанийУстная работа

S=0.5ah

S=0.5(a+b)h

S=ab

S=ah

Решение задач по готовым чертежам

Вычислите площади изображенных фигур
Решение задач по готовым чертежам

Вычислите площади изображенных фигур
Решение текстовых задач
Задача 1. Вычислите площадь данной фигуры, если сторона квадратной клетки равна 1.
Решение текстовых задач
   Задача 2.
Определите площадь треугольника АВС, у которого АВ=9, АС=12, =100, С=50.

   Задача 3.
Определите площадь трапеции, у которой параллельные стороны   соответственно равны 10 и 20, а непараллельные  6 и 8.
Решение задачи 1.
Решение задачи 1.
Решение задачи 2.

Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=9, АС=12, В=100, С=50.
                                             Решение:
                                                       1. Проведем высоту ВН.
                                                       2.А=1800-(В+С)=30.
                                                       3. В треугольнике АВН                                                                                АН=½АВ=4,5.
                                                        4.S=½AC*BH=27

А
 С
В
9
12

Н
Решение задачи 3
Способ 1.
1. Проведем ВНАD, CKAD,
HBCK- прямоугольник.
2.Пусть AH=x, тогда KD=10-x.
Используя теорему Пифагора
Для треугольников ABH и CKD
h2=36-x2 , h2=64-(10-x)2. Составим и решим уравнение
36-x2=64-(10-x)2. Получим h=4,8.
3. S=½(AD+BC)h=72
Решение задачи 3
Способ 2.
1. Проведем СК||АВ и соединим точки К и В отрезком.

2.Треугольники АВК, ВКС и KCD равные и прямоугольные.
3. S=3SBKC=3*½*BK*CK=72
Тренажер 1
Вариант 2
Вариант 1
Вариант 3
Найдите площадь изображенных на рисунках фигур.
Тренажер 2
Вариант 2
Вариант 1
Вариант 3
Найдите площадь изображенных на рисунках фигур.
Домашнее задание
п.48-54, повторить формулы.
Найти площадь выпуклого четырехугольника с вершинами:      (1;2), (1;4), (5;3), (5;1).
Записать второй способ решения задач.
Найти другие способы решения задач.
Ответы
Вариант 2

   Тренажер 1
8
10,5
   Тренажер 2
5
9
Вариант 1

  Тренажер 1
6
   9
  Тренажер 2
4,5
8
Вариант 3

   Тренажер 1
4,5
8
   Тренажер 2
10
16
Шкала - самооценка
Прекрасно
Хорошо
Плохо
Я огорчен
Надо стараться
Литература
Геометрия 7-9  классы: программы общеобразовательных учреждений. Сост. Т.А.Бурмистрова  М. Просвещение 2009
Геометрия 10-11 классы: программы общеобразовательных учреждений. Сост.  Т.А.Бурмистрова  М. Просвещение 2009
Геометрия: учебник для 7-9 классов. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М. Просвещение 2004-2008
Зив Б.Г. Геометрия: дидактические материалы для 7-9 кл. М. Просвещение 2004-2008
Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: методические рекомендации: книга для учителя М. Просвещение 2003-2008
Иванова Т.И.  ”Современный урок математики:теория, технология, практика” Н.Новгород изд-во НГПУ 2010
Манвелов С.Г. ”Конструирование современного урока математики” М. Просвещение 2005
Смирнов В.А. ”Геометрия. Планиметрия: пособие для подготовки к ЕГЭ” М., изд-во МЦНМО 2009
    “Живая математика” Учебно-методический комплект


title: Скачать презентацию или конспект Перпендикулярность в пространстве

extracted_text:
МОУ СОШ № 7
Подготовила:
Ученица 10 класса «б»
Лаврова Дарья
Учитель:
Архипова Елена Сергеевна

Перпендикулярность
в пространстве
Интеллектуальный марафон по геометрии
Перпендикулярность
в жизни

Перпендикулярность в
плоскостях

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.

a
b
c
Перпендикулярные прямые a и b пересекаются, а перпендикулярные прямые a и c скрещиваются.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Параллельные прямые,
перпендикулярные
к плоскости

a
α
ТЕОРЕМА
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна  плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

a
a1
x
α
ТЕОРЕМА
Если две прямые перпендикулярны
к плоскости,
то они параллельны.
Признак перпендикулярности
 прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежавшим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Рассмотрим прямую a, которая перпендикулярна к прямым p и q, лежавшим в плоскости α и пересекающимся в точке О.

a
.
q
O
α
m
p
Докажем, что a перпендикулярна α. Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна к произвольной прямой m  плоскости α.

Рассмотрим случай, когда прямая а проходит  через точку О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m (если прямая m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму прямую m).
l
m
.
O
α
Отметим на прямой а точку А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.
Будем считать, для определенности, что точка Q лежит между точками P и L.
а
А
В
р
q
P
Q
L

l
m
.
O
α
а
А
В
р
q
P
Q
L
Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР = ВР и AQ = BQ. Следовательно, ∆APQ = ∆BPQ по трем сторонам. Поэтому угол APQ = углу BPQ.
Сравним ∆APL и ∆BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AP = BP, PL – общая сторона, угол APL = углу BPL), поэтому AL = BL. Но это означает, что треугольники ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. l перпендикулярна к а. Так как l ║ m и l перпендикулярна а, то m перпендикулярна а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третей). Итак, прямая а перпендикулярна к любой прямой m плоскости α, т. е. а перпендикулярна α.

l
m
.
O
α
а
А
В
р
q
P
Q
L
Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а1, параллельную прямой  а. По упомянутой лемме а1 перпендикулярна к р и а1 перпендикулярна к q, поэтому по доказанному в первом случае а1 перпендикулярна α.
ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.


title: Скачать презентацию или конспект Аксиомы стереометрии

extracted_text:
Учитель математики
МБОУ «СОШ№31»
г. Норильск Шеер Елена Анатольевна
 Аксиомы стереометрии.
Повторить аксиомы планиметрии
Познакомиться с аксиомами стереометрии
Уметь соотносить математическую формулировку аксиомы с графическим изображением
Уметь формулировать ответы, используя строгость математического языка
Продолжать учиться работать в группах
Совершенствовать навыки работы с тестами
Цели урока
Что изучает планиметрия?
Как обозначают прямые и точки на плоскости?
Какие аксиомы планиметрии вы помните?
Планиметрия

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

A
B
Аксиома №1

Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
Аксиома №2
а
Из трех точек только одна лежит между двумя другими.

Аксиома №3
а
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Аксиома №4
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Аксиома №5
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180º.  Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Аксиома №6
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и только один.
Аксиома №7
а
На любой полупрямой от начальной точки можно отложить угол с заданной градусной меры, меньшей 180º и только один.
Аксиома №8
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно заданной полупрямой.
Аксиома №9

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Аксиома №10
Что изучает стереометрия?
Основные фигуры в пространстве?
Плоскость на рисунке изображается в виде…?
Приведите примеры моделей плоскостей, окружающих нас.
Стереометрия

C1
C2
C3
Аксиомы стереометрии
А є α
В є α
Аксиома №1
Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома №2
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
А

Аксиома №3
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.
А) Как бы ни было, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Б) Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
В) Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости.
Г) Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, не принадлежащие ей.
Задание №1
ТЕСТ №1
А) Если плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Б) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
В) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Задание №2
А) Через две прямые можно провести плоскость и притом только одну.
Б) Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.
В) Если прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость.
Задание №3
1 – Б) Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
2 – В) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3 – Б) Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.

ПРОВЕРЬ СЕБЯОтветы на Тест №1
	Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.
Задание №1
ТЕСТ №2
	Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

В)
Б)
А)
Задание №2
	Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Задание №3
	1) – В

	2) – А

	3) – Б
ПРОВЕРЬ СЕБЯОтветы на Тест №2
Группа 1, 4 – задача №1
Группа 2, 5 – задача №2
Группа 3, 6 – задача №3
Практическая работа
(Для самопроверки)
Из задач №1-4 (две обязательные для решения)
Третья задача по выбору
Составить задачу на применение аксиом (по желанию).
Домашнее задание
Итог урока

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ


title: Скачать презентацию или конспект Турнир смекалистых

extracted_text:
      Чтоб водить корабли,
    Чтобы в небо взлететь,
    Надо многое знать,
    Надо многое уметь.
    И при этом, и при этом
    Вы заметьте-ка,
    Очень важная наука – АРИФМЕТИКА.
Турнир смекалистых
Внеклассное мероприятие по математике в 4 классе

Учитель начальных классов МОУ «Раковская основная общеобразовательная школа Буинского района РТ» Нестерова Татьяна Петровна
Разминка.Игра «Бегущие минутки»

Сколько пальцев на руке?
Сколько букв в слове «школа»?
Сколько дней в неделе?
Сколько сторон у квадрата?
Как назвать число, в котором 10 десятков?
Как называется результат при сложении?
Сколько сантиметров в двух дециметрах?
Сколько месяцев в году?

РазминкаИгра «Угадай фигуру»
Три стороны, три угла, один из которых прямой.
Четыре стороны, четыре угла, все углы прямые.
Три стороны, три угла, один из которых тупой.
Три стороны, три угла, все углы острые.
Учимся диктант писать на «4» и на «5»
Между какими числами в числовом ряду находится число 26379?
На сколько 1000 больше, чем 100?
Какое число надо прибавить к 1510, чтобы получить 1515?
Найдите сумму чисел 120 и 600.
Увеличьте число 10300 на 200.
Задумали число. Если его увеличить на 90, то получится 150. Какое число задумали?
Чему равна площадь твоего листка?

Успей за 1 минуту
     Запишите два уравнения, решением которых является:

  1 вариант – число 14;
2 вариант – число 16.
Какая цифра спряталась за звёздочкой?
                      5*48
                  +  *794
                      9242

          3*4
      -   *8*
          109

Умеете ли вы составлять выражения?
      Составьте выражение:
  Число умножить на сумму двух чисел.
  Найдите его значение.
Заполни таблицу:
Ребусы
  По 2 л              У .
  7 я                   Лас .
  100 лб            Р 1 а
  100 лица        Э 100 ния
  Чи 100 та       С 3 ж
Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Масса и вместимость

extracted_text:
Урок математики
4 «В» классе
25
3 000
14 000
25 000 г =     кг
3 т =          кг
14 кг =            г
20 т =       ц                2 000 кг =    т               350 ц =      т
200
2
35
12 ц =         кг                                                     35 000 кг =       ц                                                               300 000 г =   ц
1200
350
3
Тема урока
«Масса и вместимость»
Килограмм                      1 кг =1 000г
Центнер             1 ц =100кг=100 000г Тонна      1 т=10 ц=1 000кг=1 000 000г
3
1 л = 1 дм


title: Скачать презентацию или конспект Числа и точки на координатной прямой

extracted_text:
Тема урока:
Числа и точки на координатной прямой

Пусть a - некоторое число. Часть координатной прямой левее точки a вместе с точкой a (черный (закрашенный) кружок)
Называют замкнутый луч
(-∞; а]

Часть координатной прямой левее точки a, но не включая точку(незакрашенная точка)
Называют открытый луч
(-∞;а)

Часть координатной прямой левее точки a, но не включая точку

Аналогично, если x находится правее

х€[а;+∞)
х€(а;+∞)

Часть координатной прямой левее точки a, но не включая точку

Промежуток от -6 до плюс бесконечности, включая -6;                                      x ≥ -6

Промежуток от минус бесконечности до 16;
x <16
 Выберите правильное изображение промежутка [-2;4] на координатной прямой
Назовите неравенство, соответствующее

Числовому промежутку

 Выберите промежуток, изображенный на координатной прямой
а) Х ≥8;    б) х<8; в) х>8; г) х≤8.

Яндекс.Директ
 Выберите правильное изображение промежутка [-2;4] на координатной прямой
а) -9;       б) -8;          в) -5,5;       г)-5;        д)-4;           е)-7,5?

Принадлежит ли промежутку [-8;-5] число…

Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают АВ. Промежуток [3;5] является пересечением промежутков [1;5] и [3;7]. Это можно записать так: [1;5]∩[3;7]=[3;5].
Промежутки [0;4] и [6;10] не имеют общих элементов. Если множество не имеет общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто. Значит, пересечение промежутков [0;4]∩[6;10]=0.


title: Скачать презентацию или конспект Числительное сорок

extracted_text:
   Числительное сорок.
 Вероятно, вы задумывались над тем, почему числительное сорок непохоже на другие числительные. Но можно ли объяснить его значение исходя только из внутренней его формы? Прочитайте рассказ о происхождении этого слова.

Л.В. Успенский
Давайте приглядимся к тем русским словам, которые обозначают у нас числа, кратные десяти.
два + дцать,
три + дцать,
сорок
пять + десят,
шесть + десят,
семь + десят,
восемь + десят,

Очень легко понять, как построено большинство этих числительных.
В первое, второе, четвертое, пятое, шестое и седьмое из них обязательно входит измененное слово десять:
Начнем с того, что заглянем в словари родственных нам славянских языков. Как те же числительные построены у них?

    По-болгарски
20 двадесэт
30 тридесэт
40 четиридесэт
    По-чешски
двацет
тршицет
чтуржицет
    По-польски
двадзесця
тршидзесци
чтэрдзесци

30, 50, 60, 70, 80. Но на наше сорок не похоже ни одно из них.
Очевидно, слово сорок является не общеславянским, происходит не от общего для всех этих языков корня, а создалось только у нас на Руси и только в русском языке.
Мало того, судя по сходству остальных числительных во всех славянских языках, кроме русского, правильно будет допустить, что и у нас когда-то существовало для числа 40 слово, также похожее на них, что-то вроде четырьдесят или четыредцать. Но затем по причинам, сейчас уже неясным, его вытеснило слово совсем другого происхождения – таинственное сорок.

Прежде всего мы часто сталкиваемся в древнерусских письменных документах с несколько особым значением его. Некогда оно было не числительным, а существительным мужского рода и означало особую меру счета дорогих мехов.
Читая древние грамоты и летописи, то и дело встречаешься с тогдашними сороками:
«...Да пять сороков соболя...», «Да еще двадцать семь сороков бобра...».
Это было особое существительное, применявшееся, однако, только при счете.

Сколько же шкурок-единиц входило в сорок?
Этого мы в полной точности не знаем. Но нам известно, что из сорока драгоценных шкурок можно было как раз сшить одно из тогдашних мужских меховых платьев, по-видимому, длинный кафтан.
Можно думать, что и такой кафтан носил тоже название сорок. Это тем более вероятно, что мы и сейчас знаем один из видов одежды, обозначаемый этим названием. Это длинная ночная рубаха – сорочка.
Вероятно, в ее покрое или мерке сохранилось что-то от покроя той меховой одежды, на которую когда-то шел сорок соболей или куниц.
Весьма возможно, что на пошивку старинного мехового сорока шло примерно 40 собольих или куньих шкурок. И вот постепенно слово оторвалось от первого своего значения и приобрело второе: сорок стало значить уже не «кафтан из 40 шкур», а простое число: 40 шкурок. А затем – не 40 собольих шкурок, а 40 любых предметов вообще.
              Пословицы.
СОРОК

Бабий век - сорок лет.
Без узла и в сорок сажен вервь порвется.
Дороги твои сорок соболей, а на правду цены нет.
И один глаз, да зорок - не надобно сорок.
Копейку в сорок узлов завязывает.
Кто в двадцать лет не здоров, в тридцать не умен, а в сорок не богат, тому век таким не бывать.
На одной заплате сорок дырок.
Один светильник сорока людям светит.


title: Скачать презентацию или конспект Основы многомерных методов анализа. Факторный анализ

extracted_text:
Занятие 9
Основы многомерных методов анализа.
Факторный анализ.
Методы многомерного анализа (multivariate analyses)
Предназначены для анализа многомерных данных

Много независимых переменных –
Многофакторная ANOVA
Множественная регрессия
Много зависимых переменных (или переменных, которые нельзя разделить на зависимые и независимые) –
multivariate analyses
В массиве данных n объектов, для каждого измерено p переменных.
multivariate analyses
Многомерное распределение
Многомерные методы в большой степени описательны, но если предполагается тестирование гипотез, надо чтобы данные соответствовали многомерному нормальному распределению.
Его «центр» - центроид (в одномерном - среднее значение).
Как оценить разброс в нём? (в одномерном – суммы квадратов и дисперсия).
У нас есть: 1) изменчивость внутри каждой переменной; 2) взаимозависимость переменных.
Как же работать с этими разными изменчивостями?
multivariate analyses
Используют особые таблицы - матрицы.
Одна матрица у нас уже есть – матрица исходных данных (Y).
Clevenger & Waltho изучали, сколько раз и как (на велосипеде-верхои-пешком) люди переходят дорогу в заповеднике на разных 11 переходах.
multivariate analyses
Матрица (p x p) с суммами квадратов на диагонали (sums-of-squares-and-cross-products, SSCP)
Матрица дисперсий и ковариаций (covariances, C) – предыдущая матрица, где все элементы поделили на число степеней свободы (n-1).
Сумма элементов её диагонали – сумма дисперсии.
multivariate analyses
Матрица корреляций (correlation matrix, R) – получится, если в предыдущей матрице каждый элемент поделить на его стандартное отклонение.
На главной диагонали – единицы, все остальные элементы – коэффициенты корреляции
multivariate analyses
Фундаментальная процедура в многомерном анализе – получение линейных комбинаций исходных переменных, так, что общая изменчивость по-новому распределяется между ними.
Для каждого i-го (от 1 до n) объекта и p исходных переменных можно рассчитать значение новой k-той переменной как
Здесь y – значения исходных переменных для данного объекта, с – коэффициенты, показывающие величину вклада данной исходной переменной в новую переменную. В некоторых моделях добавляют ещё константу -  intercept
Новые переменные называются дискриминантными функциями, каноническими функциями, главными компонентами (principal components) или факторами (в зависимости от типа анализа). Линейная комбинация аналогична уравнению линейной регрессии.
multivariate analyses
Новые переменные формируют так, чтобы первая объясняла максимум изменчивости исходных переменных, вторая – максимум оставшейся изменчивости, и.т.д., но так, чтобы новые переменные не коррелировали друг с другом. Так можно получить р новых переменных, но большая часть дисперсии должна сосредоточиться в нескольких первых.
Собственное значение (  ) = eigenvalue – показатель того, какая доля общей изменчивости приходится на компоненту. Это популяционные параметры, у них есть выборочные оценки – l
Их сумма = сумме дисперсий (если мы их строим на основе матрицы ковариаций), или = числу исходных переменных (для матрицы корреляций).
Собственный вектор = eigenvector – просто список коэффициентов при исходных переменных для каждой компоненты.
multivariate analyses
Выделим новые компоненты для переходов:
В примере используется матрица ковариаций
Значения собственных значений для новых переменных
Коэффициенты для новых переменных (столбец = eigenvector)
multivariate analyses
Теперь можно для каждого конкретного перехода посчитать значения новых переменных = компонент. И, например, использовать в дальнейшем анализе.
Мы рассмотрели способ получения компонент (и их значений для объектов) из матриц ковариаций или корреляций (p x p). – R-mode analysis.

Есть другой способ: построить матрицу «корреляций» = «дистанций» между объектами (n x n) в исходных переменных, и из линейных комбинаций объектов рассчитать значения новых компонент, и затем найти eigenvectors - Q-mode analysis.
Разные пути используются в разных типах многомерного анализа, но вообще-то они алгебраически связаны.
multivariate analyses
Матрица «дистанций» меду объектами (dissimilarity matrix):

multivariate analyses
Есть много показателей «дистанции» между объектами (самый очевидный – евклидовы расстояния).
Дистанции можно посчитать между объектами с любыми переменными, в т.ч. Качественными и даже бинарными!
multivariate analyses
Подготовка данных для многомерного анализа
Трансформация данных: нормализует распределения и делает отношения между переменными линейными (важно для выделения компонент). Логарифмическая, квадратного корня и пр.
 можно предварительно построить картинки и оценить сходство – различие между объектами (лица Чернова, «звёздный» график).
 важно избавить от аутлаеров! Многомерные аутлаеры: их можно найти с помощью дистанций Махаланобиса (квадрат расстояния от объекта до центроида).
 если переменные измерены в разных шкалах, принципиально использовать матрицу корреляций (не ковариаций) для получения компонент. Если нет – лучше пробовать оба варианта.
 пропущенные измерения – не casewise, а pairwise deletion.
multivariate analyses
Лица Чернова
«звёздный» график – star plot
ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
У нас в руках измерения большого числа переменных для
 выборки объектов.
Наши цели:
Уменьшить число исходных переменных с минимальными потерями исходной информации (что, например, уменьшит эффект множественных сравнений);
Обнаружить скрытые закономерности в данных, которые не выявляются при анализе отдельных переменных, путём помещения в пространство новых переменных (scaling). Например, выявление реальных действующих факторов (причинно-следственных связей), или просто выявление структуры взаимосвязи переменных.
Анализ главных компонент
(principal component analysis, PCA)
Factor analysis
У нас есть n объектов и p переменных. Мы собираемся трансформировать переменные в k (от 1 до p) новых главных компонент = факторов.
Для каждого объекта мы получим значения этих компонент – z-значения.
В анализе – 6 этапов.
Factor analysis
Этап 0. Подготовка данных к анализу.
Проверка распределений на соответствие нормальному;
Трансформация данных (напр., логарифмирование некоторых переменных);
Исключение аутлаеров.
Этап 1. Получение eigenvalues для новых компонент
В программе их получают из матрицы корреляций, их сумма = числу переменных. Разумно использовать компоненты, для которых eigenvalues > 1. т.е., число компонент будет меньше числа исходных переменных. Напоминание: они независимы между сбой, т.е., ортогональны.
Этап 2. получение коэффициентов для каждой компоненты.
(Factor Score Coefficients).  Они показывают вклад каждой переменной в компоненты. Необязательный этап.
Factor analysis
Этап 3. получение factor loadings
Это показатели корреляции (Пирсона) компонент с каждой из исходных переменных. Если какие-то переменные почти одинаково коррелируют с несколькими компонентами, можно улучшить структуру компонент:
Этап 4. вращение выбранных компонент для получения более чётких связей с исходными переменными. (чтобы loadings приблизились к 0, 1 или -1). Varimax rotation – самый распространённый и удобный метод.
Этап 5. получение factor loadings после вращения
Рассмотрение корреляций новых, повёрнутых компонент с исходными переменными, понимание их биологического смысла.
Этап 6. получение значений новых переменных для каждого объекта (для дальнейшего анализа.)
Factor analysis
Несколько слов о компонентах (факторах):
В многомерном пространстве первая компонента располагается вдоль наибольшей дисперсии, т.е., это почти аналог линии линейной регрессии.
Компоненты взаимно перпендикулярны
Компоненты – линейные комбинации исходных переменных
Если исходные переменные не коррелируют между собой, не получится собрать много дисперсии в первых компонентах, т.е., уменьшить их число.
Сколько компонент оставлять? Это решает исследователь так, чтобы обеспечить биологическую интерпретируемость результатов. Нет смысла оставлять компоненты, с которыми не коррелирует сильно ни одна исходная переменная. Правило «eigenvalue =1».
Вращение компонент (факторов)
Factor analysis
Выбранные нами факторы (их мало) поворачивают для получения более чёткой структуры переменных. Обычно используют ортогональное вращение – факторы остаются перпендикулярными друг другу. Например, varimax.
Не ортогональное вращение – oblique rotation, у него есть свои поклонники, но этот метод не прост.
Анализ остатков – residuals – имеет смысл посмотреть, насколько много информации мы потеряли при  сокращении числа переменных. На основе наших факторов генерируются корреляции между исходными переменными и сравниваются с реальными корреляциями. Если разница где-то велика, мы взяли слишком мало факторов.
Мы изучаем пищевые предпочтения павианов и разработали комплексные оценки привлекательности разных типов пищи для каждой особи. Павианы едят разную еду, поэтому типов пищи – 10. особей в анализе – 100.
Но реальных  факторов, определяющих эти предпочтения, наверняка меньше.
Мы хотим узнать, сколько (и каких) факторов определяют пищевые предпочтения павианов.
Factor analysis
Итак,

Мы хотим

Найти те факторы, которые определяют изменчивость (объясняют действие) большого количества измеренных нами реальных переменных.

Подразумевается, что таких факторов гораздо меньше, чем исходных переменных.
Factor analysis
Поясняющий пример:

Мы изучаем кроликов. Сначала взвешиваем каждого из 100 кроликов на безмене, потом на весах с гирьками, потом на электронных кухонных весах.
Потом мы хотим исследовать влияние питания на вес кроликов.
Неужели мы возьмём в анализ все три переменные? Ведь, очевидно, вес кролика – только одна его характеристика, а не три. Скорее всего, мы захотим превратить все переменные в одну.
Factor analysis
Подразумевается, что наши реально измеренные переменные являются линейными комбинациями этих подлежащих факторов.

Примерно так будет проходить новая ось OX – первая компонента.
Factor analysis
Итак, мы изучаем питание павианов. Типов пищи у павианов 10:

апельсины,
бананы,
яблоки,
помидоры,
огурцы,
мясо,
курица,
рыба,
насекомые,
червяки.
Мы измеряем привлекательность пищи каждого  типа, для каждого зверя. Сколько факторов скрывается за разными предпочтениями павианов в еде?
Principal component analysis
(прежде, чем проводить факторный анализ, рекомендуется построить матрицу корреляций: исключить переменные, слишком сильно коррелирующие с другими)
Просмотрим матрицу корреляций:
Не должно быть слишком сильно коррелирующих друг с другом переменных (иначе матрица не может быть транспонирована: matrix ill-conditioning)

Можно задать min количество дисперсии, которое должен объяснять фактор, чтобы его включили в анализ (обычно min = 1, что соответствует случайной изменчивости одной переменной (критерий Кайзера))

Собственные значения  (eigenvalues)– определяют, какую долю общей дисперсии объясняет данный фактор.
Этот график показывает, что первые два фактора лучше остальных, они объясняют большую часть общей изменчивости (the scree test).
Посмотрим, как полученные факторы связаны с реальными переменными

оставим две компоненты и проведём вращение, чтобы улучшить их структуру.
Фактор 1 в основном связан с растительной пищей, фактор 2 – с животной.
После вращения факторов их структура становится более ясной:
Итак, пищевые предпочтения павианов составлены из двух основных факторов – отношением к животной и растительной пище.
Посмотрим, как исходные переменные расположились в пространстве новых факторов
Если мы в дальнейшем хотим проводить анализ связи питания павианов с другими переменными, мы можем заменить наши 10 переменных на полученных два фактора.
Требования к выборкам для проведения факторного анализа
Внутри групп должно быть многомерное  нормальное распределение (оценка – на          основе построения гистограмм частот);
Гомогенность дисперсий (для метода главных компонент; не очень критичное требование);
Связь переменных должна быть линейной;
Размер выборки не должен быть меньше 50, оптимальный – ≥100 наблюдений.
Между переменными должна быть ненулевая корреляция, но коэффициентов корреляции, близких единице, тоже быть не должно.
Factor analysis
Связь с MANOVA и регрессионным анализом.
Factor analysis
Если мы на самом деле хотим сравнить группы (из объектов с многими переменными) можно провести MANOVA (это тоже многомерный анализ, но он генерирует только одну переменную), а можно сначала факторный анализ, а потом – однофакторные ANOVA (у второго варианта есть преимущества).
Если мы хотим провести множественный регрессионный анализ, можно сначала сделать факторный анализ для независимых переменных (можно - без сокращения их числа), а потом – регрессионный анализ, убрав проблему скоррелированности исходных переменных.
Principal factor analysis – если PCA генерирует компоненты, объясняющие изменчивость исходных переменных, то PFA генерирует common factors, объясняющие корреляции между переменными.
Correspondence analysis – для анализа таблиц сопряжённости (большого числа качественных переменных) . Сумма eigenvalues = общей статистике χ2 (называется total intertia).
Canonical correlation analysis – если у нас есть два блока переменных и мы хотим анализировать корреляции между ними. Генерирует пары переменных из этих блоков (canonical variates) так, чтобы между ними была максимальная корреляция.
Другие многомерные методы, близкие анализу главных компонент
communality of a variable is the portion that can be reproduced from the respective number of factors
Redundancy analysis – усложнённая версия Canonical correlation analysis, предсказывает линейную комбинацию зависимых переменных из комбинации независимых.
Canonical correspondence analysis – расширенный вариант Correspondence analysis, в котором дополнительно учитывается влияние добавочных количественных переменных.
Другие многомерные методы, близкие анализу главных компонент
На свете много многомерных методов!
Расширенный вариант PCA в программе

Больше возможностей для манипуляций  с переменными, но нет возможности вращения факторов