title: Скачать презентацию или конспект Развитие геометрических знаний от Евклида до Лобачевского

extracted_text:
Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
ГОУ СПО «Ревдинский государственный педагогический колледж»
Реферат по математике
«Развитие геометрических знаний от Евклида до Лобачевского»
Исполнитель: Толстогузова Н. В.
Студентка 31 группы
Руководитель: Пикулева Н. А.
Ревда
2009
Содержание
1. Введение
2. Основная часть «Развитие геометрических знаний от Евклида до Лобачевского»
     2.1. «Начала» Евклида
     2.2. Пятый постулат
     2.3. Гений из Казани
     2.4. Модели новой геометрии
2.5. Значение геометрии Лобачевского
3. Заключение
4. Список литературы
Введение
Цель моей исследовательской работы: углубить знания математики, совершенствовать навыки исследовательской деятельности.
Объект моего исследования: развитие математической науки от древних веков до Лобачевского.
Предмет исследования: «Начала» Евклида в открытиях Лобачевского.
Задачи, которые я выполняла для достижения цели:
- Изучить литературу, касающуюся темы моего реферата;
- Отобрать материал необходимый для раскрытия темы реферата;
- Выяснить закономерности развития науки от древних веков до наших дней;
- Просмотреть важность открытий, сделанных Евклидом и Лобачевским;
 - Оформить выводы по результатам исследования.

2.1. «Начала» Евклида
  «Началами» греки называли сочинения, в которых математика излагалась на аксиоматической основе.
   Считается, что первые «Начала» написал в V в. до н. э. Гиппократ Хиосский. За ними последовали другие труды с таким же названием. Объясняется это тем, что в ΙV в. до н. э. появился грандиозный трактат Евклида, состоящий из 13 книг и содержащий все основные результаты древнегреческой математики. Все другие «Начала» просто перестали переписывать.
По «Началам» можно судить, что Евклид был не только хорошим математиком, но и замечательным педагогом.
В настоящее время считается установленным, что книги 1-4 (построение фигур на плоскости) и книга 11 (плоскости и линии в пространстве) содержат результаты Гиппократа; книги 5-6 (отношения величин, подобие фигур) и книга 12 ( площади фигур и объемы тел)- результаты Евдокса; книги 7-9 (натуральные числа, их отношения, пропорции) – результаты пифагорейцев; книги 10 и 13 (классификация иррациональностей, построение тел Платона)- результаты Теэтета. До сих пор учебники элементарной геометрии пишутся по Евклиду.
2.2. Пятый постулат
В фундамент своего изложения математики Евклид положил пять аксиом и пять постулатов.
Особое внимание обращал на себя только V постулат: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых,  то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
В настоящее время V постулат более известен как аксиома параллельности и приводится в эквивалентной форме:
Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, лежащей с данной в одной плоскости и не пересекающей ее.
В силу большей сложности и меньшей наглядности V постулата по сравнению с другими у математиков возникло предположение, что его можно доказать.
2.3. Гений из Казани
Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) родился в Нижнем Новгороде в семье мелкого чиновника. Когда ему было всего 7 лет, у него умер отец; семья переехала в Казань, где мальчик был отдан на казенное содержание в гимназию. В 15 лет он поступил на физико-математический факультет Казанского университета. В 19 лет Лобачевский получает степень магистра, а в 23 года становится профессором.
Мировую известность он получил как создатель новой геометрии. Сначала Лобачевский пытался доказать V постулат, но постепенно пришел к мысли, что этого делать нельзя, исходя из остальных аксиом. Тогда он заменяет его на противоположное утверждение, которое сейчас называют аксиомой Лобачевского:
 через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, проходящей через эти прямую и точку, можно провести более одной прямой, не пересекающихся с данной.
В 1829-1830 гг. в журнале «Казанский вестник» Лобачевский печатает работу «О началах геометрии». Так впервые в мире появилась публикация неевклидовой геометрии.
После следующих одни за другим ударами судьбы не сломили Лобачевского. Он не прекращает исследования и свою последнюю работу «Пангеометрия» посвящает 50-летию любимого университета.
Перечислим некоторые утверждения из новой геометрии Лобачевского:
Через точку А, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в одной плоскости. (Рис. 1)
Среди них две прямые b и c называются параллельными а, остальные – расходящимися с а.
Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая линия.
Сумма углов треугольника – величина переменная. Она зависит от размера треугольника, но всегда меньше π.
Площадь треугольника, как было выведено                                                 еще Ламбертом, вычисляется по формуле                                                             S = r2(π – A – B – C), где r – радиус кривизны                                              пространства, а A, B, C – величины углов                                                   треугольника, выраженные в  радианах.
Рис. 1
2.4. Модели новой геометрии
Первой, сразу возникшей проблемой, стало доказательство непротиворечивости новой геометрии.
Чтобы убедиться в непротиворечивости геометрии Лобачевского, надо было реализовать ее на некоторой поверхности, лежащей в евклидовом пространстве.
Первым осуществил такую интерпретацию геометрии Лобачевского в 1863 г. итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900). Для этого он взял кривую на плоскости, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к этой кривой, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, имеет постоянную длину для всех точек кривой (рис. 1). Эту кривую называют  трактрисой. Если вращать трактрису вокруг оси Ох, то она опишет поверхность (рис. 2), которую называют  псевдосферой.

Рис. 2
Рис. 1
Бельтрами доказал, что на достаточно малой части псевдосферы имеет место геометрия Лобачевского.
Позднее Гильбертом было доказано, что невозможно вложить плоскость Лобачевского в трехмерное евклидово пространство так, чтобы сохранялись расстояния и чтобы не было ребер или каких-нибудь других особенностей.
Очень простую модель всей плоскости Лобачевского нашел в 1871 г. Ф. Клейн: точки плоскости изображаются точками внутренней области круга (рис.3), прямые – хордами                                               этого круга без точек, лежащих на                                          граничной окружности.
Рис. 3
2.5. Значение геометрии Лобачевского
Создание геометрии Лобачевского оказало огромное влияние на все естественные науки. Ее результаты используются внутри математики, в частности сам Лобачевский с помощью своей геометрии вычислил около 200 интегралов. Но наиболее широкое применение она нашла в современной физике.
Непреходящее значение открытия геометрии Лобачевского для науки состоит в том, что оно разрушило приобретенные веками традиционные взгляды на окружающий мир. Ученые стали более восприимчивыми к новым неожиданным научным открытиям.
Более того, подобно работам Куммера в теории чисел, Галуа в алгебре, работы Лобачевского знаменовали начало нового, современного этапа в геометрии. Принцип построения неевклидовой геометрии Лобачевским, лег в основу создания других геометрий. В результате появился целый ряд новых геометрий.
3. Заключение
Итак, работа над темой реферата позволила мне окунуться в сказочный мир древней Греции, Египта. Я узнала много нового, интересного, расширила свой кругозор. В процессе работы над рефератом я совершенствовала умения работать со справочной литературой, интернетом, более глубоко поняла закономерности развития науки от древних веков до наших дней, важность открытия, сделанных Евклидом и Лобачевским. Конечно, не каждому дано понять мудрость рассуждения великих математиков, но, даже прикоснувшись к этой сокровищнице знаний, я получила много полезного для себя.
4. Список литературы
Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986
Ван дер Варден Б. Л.Пробуждающая наука. – М.: Физматгиз, 1959
Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. – М.: Наука, 1985
Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М.: Наука, 1974
Начала Евклида. – М.: ОГИЗ, 1948–1950. – Т. 1 – 3
Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. – М.: Наука, 1976
Юшкевич А. П. История математики в средне века.  М.: Физматгиз, 1961
Спасибо за
внимание !!!


title: Скачать презентацию или конспект Решение задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости

extracted_text:
Урок- путешествие

Что называется
 отношением
двух чисел?
Как найти дробь
от числа?
Что такое
пропорция?
Какие величины
называются прямо
пропорциональными?
Что показывает
отношение двух
 чисел?

Основное
свойство
пропорции.

Какие величины
называются обратно
пропорциональными?

КАССА

?
?
?
?
?
Найдите неизвестный член пропорции:

?
?
?
?
?

2 вариант
1 вариант
         24                      5
         5                       8
         2                       6
        13                     14
        15                      2

5 правильных ответов – « 5»
4 правильных ответа- «4»
3 правильных ответа- «3»

Наши спутники
Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Пассажирский поезд, двигаясь со скоростью 90 км/ч от станции «Балаково» до станции «Сочи», находится в пути 36 часов. С какой скоростью должен двигаться скорый поезд, чтобы прибыть на место назначения за 27 часов?
Решение:

Ответ: 126 км/ч
Ответ: 120 км/ч
27
―
36
Зимние олимпийские виды спорта
Биатлон
Бобслей
Скелетон
Кёрлинг
Конькобежный спорт
Фигурное катание
Шорт-трек
Санный спорт
Горнолыжный спорт
Лыжные гонки
Прыжки с трамплина
Лыжное двоеборье
Сноубординг
Фристайл
Хоккей

Слалом

Спортсмен преодолевает спуск 1200 м за 15 мин. За какое время он преодолеет спуск длиной 2500 м, если будет двигаться с той же скоростью.

Фигурное катание

На выступлениях по фигурному катанию выступали две пары. Первая пара в общем зачете заработала 97,5 баллов, а последняя 58,5 баллов. На сколько процентов результат первой пары выше, чем результат последней пары?

В фристайле спортсмены со специально трамплина совершают серию различных по сложности прыжков и сальто. Трамплины трех разновидностей: большой (высота 3,5 м, уклон 65 градусов), средний (2,8 м), малый. Найдите величину уклона на среднем трамплине.
 Фристайл
В прыжках с трамплина: угол
Углы можно увидеть в любом элементе фигурного катания.
В фигурном катании: углы
Биатлон
В состязаниях по биатлону в первом круге спортсмен выбил 75 очков из 120 возможных. Каков процент попадания в цель?
ФИЗКУЛЬТ. МИНУТКА

Х:0,9=2,5:3

Спортивная эстафета

1.Зависимость между количеством   товара и стоимостью покупки является прямой пропорциональностью.

2. Рост ребенка и его возраст прямо пропорциональны.

3.При постоянной ширине прямоугольника его длина и площадь прямо пропорциональны.

4. Скорость автомобиля и время его движения обратно пропорциональны.

5. Скорость автомобиля и его пройденный путь обратно пропорциональны.

6. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в два раза другая в два раза уменьшается.

7. Грузоподъемность машин и их количество прямо пропорциональны.

8. Периметр квадрата и длина его стороны прямо пропорциональны.
                ?

Что на уроке было главным?

Что было интересным?

Что нового сегодня узнали?

     ДА        НЕТ     НЕ ЗНАЮ

Удовлетворены ли вы результатом своей работы?
Придумать и решить задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости спортивного содержания
Домашнее задание


title: Скачать презентацию или конспект История изучения симметрии в природе

extracted_text:
Федеральное гоcударственное бюджетное образовательное учреждение выcшего профеccионального образования«Нижегородcкий гоcударственный педагогичеcкий универcитет имени Козьмы Минина»    Факультет Пcихологии и педагогикиКафедра «Специальной психологии и педагогики»
Иcтория изучения cимметрии в природе

Выполнил:
cтудент 1 курcа, очно-заочной  формы обучения, группы СДП-16
Мухина Анаcтаcия Макcимовна
Научный руководитель: к.п.н., доцент
Каткова Ольга Владимировна

 Н. Новгород
2016

Оглавление: Введение………………………………………………………………………….2 Глава 1. Симметрия в точных науках………………………………………..31.1. Геометрия…………………………………………………………………….41.2. Физика………………………………………………………………………...51.3. Биология………………………………………………………………………6 Глава 2. Симметрия как  часть искусства…………………………………...72.1. Архитектура…………………………………………………………………..72.2. Изобразительное искусство………………………………………………….9 Заключение……………………………………………………………………...10 Список использованной литературы………………………………………..11 Приложение……………………………………………………………………..12

Введение.

История, как известно, была, есть и будет неотъемлемой частью нашего мира. Она сообщит нам о пробах и ошибках, о гениальных открытиях и кровопролитных войнах, об искусстве и о развитии науки. Многие важные темы затрагивались на всём её протяжении, и одной из них, разумеется, является симметрия. Она появилась у самых истоков познания Мира и за долгие годы не потеряла своей значимости.

В таких областях, как наука и искусство, тема симметрии всегда будет чем-то важным и неотъемлемым, ведь в любом объекте вокруг нас можно встретить одно из её проявлений. Деревья, люди, дома, машины, животные – все это и многое другое обладает симметрией. Целью своего исследования на эту тему я хочу сделать доказательство того, что история изучения симметрии заняла довольно важную роль в жизни людей.

Несмотря на то, что чаще всего под словом «симметрия» мы представляем нечто, связанное с геометрией и правильным построением фигур, этот термин в разные времена употреблялся в разных, но, тем не менее, схожих контекстах.

Само слово «симметрия» пришло к нам из Древней Греции, где значило «совместная мера». Например, у пифагорейцев оно понималось как способ согласования многих частей, которые в последствие сливались в единое целое, а Евклид принимал симметрию как соизмеримость чего-либо с чем-либо.

Что же есть симметрия сегодня? Определений найдется великое множество, но всегда можно выделить несколько основных типов:- Геометричеcкая cимметрия (включающая в себя такие ответвления, как  зеркальная, оcевая, вращательная, центральная, cкользящая, точечная, поcтупательная, винтовая, неизометричная, фрактальная cимметрии); - Физичеcкая cимметрия (cуперсимметрия, транcляционная cимметрия); - Биологическая cимметрия (радиальная, билатеральная cимметрии); - Химичеcкая cимметрия (cпектроскопия, квантовая химия и криcталлография); - Архитектурная, религиозная и культурная cимметрии. В своём исследовании я хочу сделать акцент на двух основных, объединяющих все понятия, пунктах – на науке и культуре, т.к. наука призвана изучать и объяснять природу, а культура – изображать всю красоту нашего мира, используя слова, музыку или же живопись.

Глава 1. Cимметрия в точных науках.Геометрия. В школе нам объяcняли cимметрию, как объект, проведя линию через центр которого мы можем заметить, что половинки будут идентичны друг другу. Говоря научным языком и определением из учебника, под «cимметрией» понимается такое преобразование проcтранства (плоcкости), при котором каждая точка М переходит в другую точку М отноcительно некоторой плоcкости (прямой или точки) а, когда отрезок ММ являетcя перпендикулярным плоcкости (или прямой, или проходит через точку) а и делитcя ею пополам. Основной упор делается на изучении осевой, зеркальной и центральной симметрий, но нередко рассматриваются и смежные – зеркально-поворотная, скользящая и винтовая.  Существует понятие и для симметричных фигур и объектов. Так симметричными можно назвать как равные, закономерно повторяющиеся фигуры, так и те объекты, которые являются зеркальным отражением друг друга. В пример можно привести пару ботинок – правый и левый. Для нахождения симметрии и описания конечного объекта используются следующие элементы: центр симметрии,  ось симметрии, зеркально-поворотные плоскости и плоскости симметрии фигур. Для бесконечных фигур симметрии все чуть сложнее. Таким образом, cимметрию геометричеcкого объекта можно изучать c точки зрения элементов cимметрии или c точки зрения различных геометричеcких преобразований, которые переводят фигуру в cебя.

 Физика. Симметрия в физике применяется, если нет возможности наглядно убедиться в каких-либо процессах. В таком случае, часто прибегают к моделированию, которое и построено на принципах симметрии. Одним из основных свойств симметрии является то, что она способна отражать наиболее общие закономерности в природе, таким образом помогая предугадать их дальнейшее развитие.   Симметрия удобна для начала изучения физики и математики. С одной стороны, мы можем объяснить с её помощью многие физические явления, а с другой – на примере тех же явлений продемонстрировать симметрию. Изучать мы можем как время в механике, так и симметрию в физике элементарных частиц.
Особенно часто симметрия рассматривается в молекулярной физике, когда речь идет о её нарушении. Это происходит на уровне фазовых переходов во внутреннем строении вещества. В пример можно привести кристаллы, ведь их свойства разные, если разнятся направления. Это происходит из-за того, что ребра кристаллической решетки несимметричны, в отличии, например, от капли жидкости или газа. Здесь под «симметрией» понимается именно однородность вещества.Все мы в школе слышали о том, что силы зачастую с одинаковой силой давят на объект со всех сторон. Мы можем доказать это, исходя из банального эксперимента.Если взять стакан с водой и опустить в него карандаш с грузиком на конце, то мы увидим, что он находится точно по центру, т.е. создает ось симметрии, ведь со всех сторон от граней карандаша до стенок стакана будет одинаковое количество воды. Если мы отклоним карандаш в сторону, то он вернется в исходное положение – его поставит на место давление воды.    Многие физики утверждают, что принципы симметрии являются наиболее высокой ступенью познания физического мира, стоящими над физическими законами и теориями.
Биология. Более наглядно, помимо геометрии, симметрию можно увидеть именно в биологии, а конкретно – в каждом из нас. Если разделить тело любого млекопитающего вертикально пополам, то мы заметим, что получившиеся половинки очень схожи между собой, и, по сути своей, являются симметричными. Но самым ярким примером для изображения билатеральной (а именно так называется данный вид симметрии в биологии) симметрии являются бабочки. Их крылья  идентичны между собой, рисунки на них с точностью отзеркалены, всё имеет одинаковую форму и размер.  Однако, симметрия служит нам не только для красоты. Известны случаи, что птицы, теряя одно-два пера в крыле, сами выклевывали себе на другом те же самые (сходные по расположению) перья, чтобы их аэродинамические свойства не портились за счет нарушения симметрии.   Реже можно встретить животных с радиальной симметрией. К ним можно отнести морских звезд, медуз, личинок иглокожих. Через их тела можно провести не одну, как в билатеральной, а несколько плоскостей, за счет которых симметрия и приобретает радиальный вид.  Особенную разницу симметрий можно заметить на примере простейших.Билатеральную симметрию имеет, например, инфузория туфелька; радиальную – радиолярия, а вовсе не обладает симметрией (является ассиметричной) – амеба.  Несмотря на то, что внешнее строение большинства особей может быть симметричным, оно отличается внутри. Взять хотя бы человека: сердце расположено левее, левое легкое за счет этого немного меньше, нежели правое; печень расположена справа, а желудок смещен больше влево. Мускулатура на руках у людей может быть так же ассиметричной, если рассматривать левшей и правшей, у которых «рабочая» рука будет более развита, нежели вторая.
Глава 2. Симметрия как часть искусства. "Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство" Герман Веель.
 Архитектура.  Симметрия, несмотря на свою, вроде бы, простоту, способна играться с нашим разумом. Взять, к примеру, архитектуру: если вы видим много колонн, арок, вертикальных вытянутых окон, то создается впечатление, будто всё здание стремится вверх, к небу; если же преобладают горизонтальные объекты, такие как карнизы, фризы, то человек видит это строение устойчивым и приземистым, надежным и непоколебимым.  Симметрия  в архитектуре является чуть ли не важнейшим пунктом   - в этом мы можем убедиться, рассмотрев несколько наиболее известных и распространенных стилей. Готический стильобуславливается наличием ажурных элементов, обилием лепнины и мелких деталей, за счет чего кому-то здание кажется воздушным и легким, а кого-то наоборот загромождает огромное количество деталей, за которые то и дело цепляется взгляд. Еще одной неотъемлемой частью готики являются вытянутые окна, своды, арки, которые сужаются к верху, подобно стрелам.  У любого из подобных строений была зеркальная (осевая) симметрия. На смену готике пришел стиль Ренессанс. Он обуславливался симметрией фасадов, четкими, ровными линиями и, чаще всего, скульптурами на крыше. Такие здания были широкими и создавалось впечатление, будто никакой катаклизм не способен сдвинуть их с места или сломать.
Несмотря на преобладание плавных, округлых линий, стиль Барокко тоже содержит в себе симметрию. Особенно архитекторы любили загромождать пространство колоннами – они располагали их по кругу, создавая площадь внутри, ставили их, как опору за фасадов следующих этажей, делали элементами декора всего здания даже внутри. Разумеется, расположение таких «украшений» было строго симметрично -  здесь была и зеркальная симметрия, и радиальная. Отойдя от темы того, что симметрия в зданиях – это красиво, стоит уточнить и практическую сторону подобных сооружений. Симметрия была важна как для устойчивости конструкций, так и для создания определенной атмосферы внутри самого здания, а если быть точными, лучшей акустики.  Как известно, в театре не жалуют микрофоны, ведь звук должен быть живым, человеческим, не искаженным техникой. Но как люди могли добиться  эффекта усиления голоса в Древности? Специально для этого Витрувий создал несколько трактатов о театральном пространстве, следуя которым можно было построить театр с идеальной акустикой, позволяющей даже шепоту литься по залу, будто крику.

Изобразительное искусство.

Золотое сечение. Многие из нас сталкивались с этим термином, но лишь некоторые знают, какой он несет смысл.

Золотое сечение - термин, сформированный в эпоху Возрождения и обозначающий строго определенное математическое соотношение пропорций, при котором одна из двух составных частей во столько же раз больше другой, во сколько сама меньше целого. Говоря проще, золотое сечение – это идеальное отношение одного объекта к другим.

К теме симметрии золотое сечение относится непосредственно. Взять, к примеру, число PHI, которое является пропорцией. В книге Дэна Брауна «Код да Винчи» главный герой Роберт Лэнгдон знакомит своих студентов с данным термином.
«— Эта вездесущность PHI в природе, — продолжает Лэнгдон и выключает свет в аудитории, — указывает на связь всех живых существ. Раньше считали, что число PHI было предопределено Творцом вселенной. Ученые древности называли одну целую шестьсот восемнадцать тысячных “божественной пропорцией”.»
Далее он сообщает, что это число встречается повсеместно. Отношение числа женских особей в улье к мужским – число PHI. Отношение витка спирали к следующему в раковине моллюска – опять это же самое число. Примеров может быть огромный список, однако, вернемся к изобразительному искусству.

Наиболее известный и гениальный художник древности, Леонардо на Винчи, изучающий тела людей и их анатомию, нашел эту же самую пропорцию и в теле человека. Он изобразил её на картине «Витрувианский человек», где ясно показал, что наши кости состоят из блоков, отношение которых друг к другу дает нам число PHI.  В рисовании симметрия используется для более качественного и гармоничного перенесения объектов на холст. Например, при рисовании портрета в анфас. Глаза должны быть расположены, согласно зеркальной симметрии, на равном расстоянии от условно проведенной посередине лица линии. Пусть в жизни мы не всегда имеем идеально симметричные черты, но художники зачастую «исправляют» эти неточности с помощью правильного построения, ключом которого является симметрия.
Заключение. Рассмотрев множество примеров и изучив несколько статей, можно с уверенностью сказать, что история изучения симметрии началась еще у истоков возникновения науки и продолжается до сих пор. Применение, казалось бы, понятного и емкого термина, практически безгранично. Симметрия стала ничем иным, как частью жизни. Изучая её, люди смогли научиться находить последовательность, порядочность событий, предугадывать их исход и объяснять законы физики, химии, алгебры и геометрии.  Художники смогли  найти симметрию в объектах, окружающих их, и передать её на своих картинах. Благодаря симметрии люди создали прекраснейшие строения, вошедшие в историю, как одни из самых красивых и геометрически правильных.  Мир вокруг нас пропорционален и закономерен, а симметрия лишь помогает нам это обнаружить, понять и обернуть в свою пользу.

Список использованной литературы.

Сергеева И.В. Применение принципа наглядности для изложения некоторых вопросов, связанных с симметрией в физике. \\ Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. - 2006 - №18 – с. 146-148
Лебедева С.В. Закон симметрии и его универсальный характер. \\ Вестник Псковского государственного университета. Серия: Естественные и физико-математические науки. – 2007 - №2 – с. 107
Автор не указан. Симметрия в природе, искусстве и литературе. – 2003
Анушин Б.Ю. Натурфилософские основания пространства театра в трактате Витрувия. \\ Вестник Ленинградского государственного университета им. А.С. Пушкина. – 2013 - №3 – с. 126
Браун Д. Код да Винчи. \\ «АСТ». – 2004 – глава 20 -  ISBN 5-17-022457-5

Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Состав чисел 12, 13

extracted_text:
 Урок математики в 1 классе по теме
"Состав чисел 12, 13".

 Математику, друзья,
Не любить никак нельзя.
Очень строгая наука,
Очень точная наука,
Интересная наука -
МАТЕМАТИКА!

Разбегайтесь, ручьи,Растекайтесь, лужи,Вылезайте, муравьи,После зимней стужи.Пробирается медведьСквозь лесной валежник,Стали птицы песни петь,И расцвёл подснежник.

                ВЕСНА
СЕНТЯБРЬ            ДЕКАБРЬ          ИЮНЬ           АПРЕЛЬНОЯБРЬ       ЯНВАРЬ    МАЙ      ФЕВРАЛЬ     ИЮЛЬАВГУСТ         ОКТЯБРЬ                                                       МАРТ
 ЯНВАРЬ        ФЕВРАЛЬ    МАРТАПРЕЛЬ          МАЙ        ИЮНЬИЮЛЬ       АВГУСТ     СЕНТЯБРЬОКТЯБРЬ  НОЯБРЬ  ДЕКАБРЬ
   Число 12 считается идеальным числом, оно означает мировую гармонию и порядок. В зодиаке 12 знаков – животных, на Олимпе 12 богов, в сутках 12 часов дня и 12 часов ночи.    Число 12 по другому называют ДЮЖИНОЙ.
   Число 13 страдает оттого, что следует сразу за числом 12, считается несчастливым.   Во многих странах это число отсутствует на дверях кабинетов, номеров в гостинице, кают кораблей, даже в нумерации домов на улице.
    12 – 6 =                       13 – 6 =    13 – 7 =                       12 – 8 =    12 – 9 =                       12 – 5 =
    12 – 6 =   6                 13 – 6 =  7    13 – 7 =   6                12 – 8 =  4    12 – 9 =   3                12 – 5 =  7

Из 12 вычесть сумму чисел 2 и 1.  12 – ( 2 + 1)=К 5 прибавить разность чисел 10и3.   5 + ( 10 – 3) =

    Математике
        учиться
           всегда
              пригодится.


title: Скачать презентацию или конспект Ремонт класса

extracted_text:
Проектная задача по математике«Ремонт класса»4 класс, УМК «Гармония»
Автор проекта: Дубина О.А., учитель начальных классов МБОУ гимназия №74, г. Санкт-Петербург
Смета
Распределение объектов

Оформление результатов
 Таблица 1.

Расчеты для пола

5м

7м
5600см2
Ламинат
Площадь: 344400 кв. см
Количество: 123 шт.
Стоимость: 9348.р.
Линолеум
Площадь: 344400 кв. см
Количество: 36 кв.м
Стоимость: 7704 р.

Расчеты для стен
6м
6м

4м

2м
64000 см2

Обои
Площадь: 424000 кв.см
Количество: 4 рулона
Стоимость: 2200 р.
Декоративное покрытие
Площадь: 424 000 кв.см
Количество: 8600 г
Стоимость: 4 540 р.
Расчеты для двери и подоконника

1м10см
2м20см
70 см
60 см
25 см

8м
Белая краска
Площадь: 6 кв.м
Количество: 1800 г
Стоимость: 85р.
Смета
9989 р.

Оценивание
Самооценка

активность
самостоятельность
вклад в общее дело
 Оценка  группы


title: Скачать презентацию или конспект Угол. Виды углов

extracted_text:
Математика 2 -класс
Тема урока: «Угол. Виды углов»
Цели урока:познакомить с понятиями «прямой угол», «тупой угол», «острый угол»; научить отличать прямой угол от острого, и тупого угла при помощи модели прямого угла;продолжить развивать умения складывать и вычитать двузначные числа в столбик с проверкой, решить задачи.
Планируемые достижения.
Знания: формировать знание о видах углов
Умения: уметь различать виды углов. Регулятивные: ставить новые учебные задачи в сотрудничестве с учителем.
Познавательные: ориентироваться в разнообразии способов решения задач; определение прямого угла.
Коммуникативные: задавать вопросы необходимые для организации собственной деятельности и сотрудничества с партнером;
Строить понятные для партнера высказывания;
Слушать собеседника.
Технология. Здоровье сберегающая. Создание благоприятного психологического климата на уроке
Оборудование урока:учебник 2 класс М. И. Моро, рабочая тетрадь, ноутбук, проектор.
Тип урока- сообщение новых знаний.
Форма урока- групповая, индивидуальная
Ход урока.Мотивация к учебной деятельности
вынаш урок.
Вы, ребята, отдыхали
Веселились и играли
Но позвал вас всех звонок
Начинаем наш урок.
Если ты его отточишьнарисуешь все , что хочешь!Солнце, горе, пляж-что же это?-(карандаш)

Составление кластера.
Узнаем , как начертить угол, какие бывают углы, научимся строить углы, выделять их в различных фигурах.

Назови каждую фигуру на рисунке

Работа с кластером.Как мы можем получить прямой угол.

Назовите сколько десятков и сколько единиц в числе:25; 56, 87, 90.2.какое число предшествует за числом 80; 59; 20; 10.3. какое число следует за  числом 64; 15; 78; 87.4.назови сумма чисел; 25 и 10; 15 и 3;
Игра «Лови ошибку»

Тупой угол?

Какая геометрическая форма из этих фигур не имеет углов.


title: Скачать презентацию или конспект Устный счет

extracted_text:
Устный счет: приемы и способы

Цель исследования: изучение методов и приемов быстрого устного счета.
Задачи исследования:
Изучить способы быстрого устного счета;
Рассмотреть алгоритмы быстрого счёта;
Выбрать наиболее рациональные способы быстрого счета.
Объекты исследования: способы действия с числами.
Предмет исследования: приемы быстрого устного счета.
Гипотеза исследования: развитие навыков быстрого счета происходит не только в результате тренировок и выполнения  разнообразных виды устных упражнений, но и при знакомстве с правилами быстрого счета.
Методы: анализ литературы; наблюдение; сравнительный анализ.
Яков Трахтенберг был еврейско-русским математиком, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Система Трахтенберга позволяет умножать большие числа на небольшие. Позже Яков Трахтенберг сбежал из концлагеря в Швейцарию, а потом, в 1950 году, основал в Цюрихе Математический институт, в котором преподавал свой метод.
Русский крестьянский способ умножения
Пример: умножим 47 на 35,
- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
- деление заканчивается, когда слева появится единица;
- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

Старинные способы быстрого счета
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 =     1645.
Метод «решетки» (Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми)
     Начертим таблицу в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

                   1                  5

      9         6+3                              6
                                          0

                3+1                  5        3

                4                     5

15*63=945
Пусть нужно умножить 15 и 64.
Индийский способ умножения или американский способ умножения
Умножить   32 на 13
Первый шаг: «2 х 3 = 6»
Второй шаг: « 3 х 3 + 1 х 2 = 11, запишем 1»
Третий шаг: «1 х 3 = 3, запишем 3+1=4».
32 х 13 = 416
Египетский способ умножения
Заменить умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.
Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.
Т. к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т. е. 136 + 34 = 170.

Умножение на пальцах
Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.
Пример: 8 ∙ 9 = 72

Сложение чисел
Поразрядное сложение чисел
К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.):
24+61+19+47=(20+60+10+40)+(4+1+9+7)=130+21=151
Прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших
К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого:
59+32=(59+30)+2=89+2=91,
4488+456=(4488+400)+50)+6=(4888+50)+6==4938+6=4944
Сложение путем округления
Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:
9981+3652+1985=(10000+4000+2000)-(19+48+15)=16000-72=15928

Сложение с использованием свойств действий с числами
Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:
16+85+14=(16+14)+85=105
Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:
569+96=569+(100-4)=569+100-4=665
Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:
806+999=806+(1000-1)=806+1000-1=1805

Способы быстрого вычитания чисел
Вычитание с использованием свойств действий с числами
Чтобы вычесть число из суммы, надо вычисть это число из любого слагаемого и к полученный разности, прибавить другое слагаемое.
(4566+3995)-566=(4566-566)+3995=7995
Чтобы разность из числа, надо вычисть из этого числа уменьшаемое и к полученной разности прибавить вычитаемое или к числу прибавить вычитаемое и от полученной разности отнять уменьшаемое.
5154-(2154-846) = (5154-2154)+846= 3846
6542-(4852-4458)=(6542+4458)-4852= 6148
Чтобы вычисть сумму из числа, надо вычисть из этого числа сначала одно слагаемое, а затем другое слагаемое.
7869-(3550+2869)=(7869-2869)-3550=1450

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого
456-128=(456+2)-128-2=(458-128)-2=330-2=328
1558-1219=1558-(1218+1)=(1558-1218)-1=340-1=339

Способы быстрого умножения чисел
Умножение на 4, 8,16 и т.д.
Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:
849*8=(849*2)*4=(1698*2)*2=3396*2=6792
Умножение на 5, 50, 25, 125, 15.
Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:
88*5=(88*10):2=440.
Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2:
658*50=(658*100):2=32900.
Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4:
820*25=(820*100):4=82000:4=20500.
Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:
55*125=(55*1000):8=55000:8=6875
Чтобы умножить число на 15, нужно  исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:
785*15=785*10+7850:2=7850+3925=11775.

Умножение на 11
1 способ. Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число:
64*11=640+64=704.
2 способ. Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:
42*11=462, т.к. 4+2=6, шестерку помещаем между 4 и 2.
67*11=737, т.к. 7+6=13, тройку помещаем между семеркой шестерка плюс перенесенная единица) и семеркой.

Умножение на одиннадцать (по Трахтенбергу).
Разберем на примере: 532 умножить на 11.
Ответ пишется под 532 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.
Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 532 в качестве правой цифры результата
532 * 11
     2
Второе правило. Каждая последующая цифра числа 532 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. 2+3 будет 5. Перед тройкой записываем результат 5.
* 11
52
Применим правило еще раз: 5 + 3 будет 8. Записываем и эту цифру в результате:
* 11
852
Третье правило. Первая цифра числа 532, то есть 5, становится левой цифрой результата:
* 11
5852                      Ответ: 5852
.
Умножение на число 111, 1111 и т.д, зная правила умножения двузначного числа на число 11
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
Пример:
32 х 111 = 3 (3 + 2) 2 = 352 (количество шагов - 2)
х 1111 = 3 (3 +2) (3 +2)(3+2)2 = 35552 (количество шагов - 3)
При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.
72 х 111111 = 7999992 (количество шагов - 5)
Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.
Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.
х 11111111 = 677777771
Эти вычисления можно легко произвести в уме.

Умножение на двенадцать (по Трахтенбергу)
Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».
Пример: 62448* 12
Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 62448, из которой она образовалась.
62448 * 12 дважды 8 будет = 16, переносим 1
6
062448 * 12 дважды 4 + 8 + 1 = 17, переносим 1
76
062448 * 12 дважды 4 + 4 + 1 = 13,переносим 1
376
062448*12 дважды 2+4+1=9
9376
062448*12 дважды 6+2=14, переносим 1
49376
062448*12 дважды 0+6+1=7
749376
Окончательный ответ : 062448* 12=749376

Умножение на шесть (по Трахтенбергу).
Нужно прибавить к каждой цифре половину «соседа».
Пример: 064486 * 6
064486 * 6 6 является правой цифрой этого числа и, так 6 как «соседа» у нее нет, прибавлять нечего, записываем число 6.
064486 * 6 Вторая цифра 8, ее «сосед» - 6. Мы берем 8 и прибавляем половину 6 (3) и получаем 11, один пишем, 1 в перенос.
064486 * 6 Следующая цифра четыре. Мы прибавляем к ней половину «соседа» 8 (4), то есть 4 + 4 = 8 и прибавляем 1, пишем9.
Остальные шаги аналогичны.
Ответ : 386916
Правило умножения на 6 : является «сосед» четным или нечетным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на саму цифру: если она четная, прибавляем к ней целую часть половины «соседа», если нечетная, то кроме половины «соседа» прибавляем еще 5.
Пример: 648536 * 6
648536 * 6, 6 - четная и не имеет «соседа», напишем ее снизу
0648536* 6 ,3 - нечетная: 3 + 5 и плюс половина «соседа» 3 будет 11, 1 пишем снизу, 1 переносим.
0648536 * 6 , 5 нечетное число:5+5 и плюс 1, плюс1 равно 12, два пишем, 1 переносим.
0648536 * 6 , 8 - четная,  8 + половина соседа 2(1) будет 11, 1 пишем снизу, 1 переносим.
0648536 * 6, 4 – четная цифра, 4 + половина от 8 (4) и плюс 1 будет 9
0648536 * 6 , 6 – четная цифра, 6 + половина от 4 (2) и плюс один будет 8
0648536 * 6 , 0+ половина от 6 будет 3
Ответ : 3861216
Умножение двузначного числа на 101 и на 10101
Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды/трижды:
57*101=5757,
89*10101=898989.
Умножение на 9, 99 и 999
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель:
286*9=2860–286=2574,
23*99=2300–23=2277,
18*999=18000–18=17982.
Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности
8*318=8*(300+10+8)=2400+80+64=2544,
7*196=7*(200-4)=1400–28=1372.

Способы быстрого деления чисел
Последовательное деление
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:
720:45=(720:9):5=80:5=16,
9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.
Деление на 5, 50 и 500, 25, 125
Чтобы число разделить на 5; 50 или 500, надо это число разделить на 1; 10; 100 или 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2:
21600:50=21600:100*2=432,
42400:5=42400:10*2=8480,
214000:500=214000:1000*2=428,
218:0,5=1218:1*2=436.
Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4:
12100:25=12100:100*4=484.
Чтобы число разделить на 125 надо это число умножить на 8 и разделить на 1000; 100; 10; 1 соответственно:
9000:125 =9000:1000*8=72


title: Скачать презентацию или конспект Прогрессии вокруг нас

extracted_text:
Прогрессии вокруг нас
Авторы: Старкина Елена,
Соломенникова Инна,
МОУ «Баткатская СОШ»,
9 класс
Руководитель работы:
 Кулеш Ирина Николаевна,
учитель математики
Шегарский район, Томской области,
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
 «Баткатская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа
Закончился 20 -ый век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строенье звёзд и вся Земля,
Но математиков зовёт
Известный лозунг:
"Прогрессио  -  движение вперёд!"
Прогрессио – движение вперед!

-  будешь как я!

Аннотация проекта
В своём исследовании мы хотим ответить на вопрос:
действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?
Для этого:
сравнили определения,
характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий;
провели анализ исторического экскурса для установления авторства теории
 о прогрессиях;
 привели  примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйств;
рассмотрели влияние размножения живых организмов в геометрической прогрессии
жизни на Земле.

Актуальность исследования
(Почему это важно для нас?):
В 9 классе мы изучаем прогрессии:
давали определения, научились находить по формулам любой член прогрессии,
сумму первых членов прогрессии. Захотели найти ответы на вопросы:
 имеет ли это какое - либо практическое значение
и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие.
 Мы подтвердим или опровергнем утверждение того,
что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд
человека, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры.

Проблемный вопрос:Действительно ли прогрессии играютбольшую роль в повседневной жизни?Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.Предмет исследования: практическое применение этих прогрессийГипотеза исследования:На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.Цель исследования:установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
6
Формулы
Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Информационная модель (схема) сравнения арифметической и геометрической прогрессий
Установите
«родство»
прогрессий
a1, a2, a3, . . .
an+1=an+d
bn+1=bn ·q
an=а1+d (n-1)
bn = b1qn-1
d = an -а1
q =bn+1:bn

характеристические
свойства

Немного истории
В клинописных табличках вавилонян, как и в             египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге  абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи.

А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет  в 1484 году.

Наука о числах
Немного истории
         Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы
награду хотел бы он получить за изобретение столь
мудрой игры.
        Тогда Сета попросил царя на первую клетку
шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна,
на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую
клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку.
Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу
изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу.
Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком
“ничтожной” для выполнения этой просьбы.
Древняя индийская легенда

Столько зёрен
должен был получить
изобретатель шахмат:
S64=264-1=
=18446744073704551615
ИНФУЗОРИИ…
	Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.
	Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?
Все организмы обладают интенсивностью
размножения в геометрической прогрессии
b15 = 2·214 = 32 768
      Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
бактерии…
Интенсивность размножения бактерий используют…

    в пищевой
промышленности
(для приготовления
напитков,
кисломолочных
продуктов,
при квашении, солении и др.)

в сельском
хозяйстве
(для приготовления
силоса, корма
для животных и др.)

  в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)

в коммунальном
хозяйстве и
природоохранных
мероприятиях
(для очистки сточных
вод,ликвидации
нефтяных пятен)
       “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”.
                              Карл Линней Девятое поколение одной
пары мух наполнило бы куб,
сторона которого равна 140 км,
или же составило бы нить,
которой можно опоясать земной
шар 40 млрд. раз.
мухи…
     “Потомство одного одуванчика за 10 лет может   покрыть  пространство  в  15  раз больше суши земного шара”.
                                       К. А. Тимирязев
одуванчик…
ТЛИ…
  Всего за пять поколений, то
есть за 1 – 1,5 летних месяцев,
дна единственная тля может
оставить более 300 млн.
потомков, а за год её потомство
способно будет покрыть
поверхность земного шара слоем
толщиной почти в 1 метр.
ВОРОБЬИ
Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.
В каких процессах ещё встречаются такие закономерности?
Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.

 При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.

Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия.

Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.

 Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.
О поселковых слухах:
       Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь  происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:
       В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?

Решение.
Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже  4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:
   в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);
      9.15                           121+81 ·3 =364 (человек);
      9.30                           364+243 ·3=1093 (человек);
      9.45                           1093+729 ·3=3280 (человек);
     10.00                          3280 + 2187·3=9841(человек).

Выводы:
Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы
увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине,
 в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных
соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно,
нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.
Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том,
кто их открыл.
Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности,
 также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами
хозяйственной жизни: распределение продуктов,
деление наследства и другими.
Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые
Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик  Леонард Фибоначчи.
 Нашли много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых
 и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия
 в практических задачах встречается чаще геометрической.
Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии
 широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине,
в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах.
Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что
прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.
Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.


title: Скачать презентацию или конспект Решение систем двух уравнений с двумя переменными способом сложения

extracted_text:
Решение систем линейных уравнений способом сложения.
Работу выполнила ученица 7А класса МОБУСОШ №4
Конькова Валерия
Учитель: О.К. Ермишко.

      При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе,  в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Пример № 1
 Решим систему уравнений:
                   2х+11у=15,
                   10х-11у=9
 11у и 11у противоположны и равно 0. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной   12х=24. Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением 12х=24, получим систему:
                    12х=24,
                    2х+11у=15
 Система (2) равносильна системе (1).Решим систему (2).Из уравнения 12х=24, находим ,что х=2. Подставим значения х в уравнение: 2х+11у=15, получим уравнение с переменной у: 2*2+11у=15
 Решим это уравнение:
                     х=2                   х=2
                     4+11у=15        у=1
 Пара (2;1) - решение системы (2) а значит, и данной системы (1).

Пример №2
 Решим систему уравнений:
                   40х+3у=10,
                   20х-7у=5
 Почленное сложение уравнений системы не приведёт к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены второго уравнения на -2, а первое уравнение оставить без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:
                   40х+3у=10
                   -40х+14у=-10
 Теперь почленное сложение приводит к уравнению с одной переменной  17у=0. Из этого уравнения находим, что у=0. Подставим в первое уравнение вместо у число 0, найдём значение х:
                   у=0                     у=0
                   40х+3*0=10      х=0,25
 Ответ:х=0,25,  у=0  (0,25;0).

Пример № 3
 Решим систему уравнений:
                   3х+5у=10
                   4х-2у=9
 Подберём множители к уравнениям системы так, чтобы после умножения на них коэффициенты при х стали противоположными числами. Умножив первое уравнение системы на -4, а второе на 3, получим:
                   -12х-20у=-40
                   12х-6у=27
 Отсюда найдём, что:
                   -26у=-13
                   у=0,5
 Подставим значение у в уравнение  -12х-20у=-40, найдём, что х равен 2,5
 Ответ: х=2,5,  у=0,5   (2,5;0,5)

Мы рассмотрели  примеры решения систем с помощью сложения. При решении двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:
Умножают почленно уравнение системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
Решают получившееся уравнение с одной переменной;
Находят соответствующее значение второй переменной.
Проверь себя:
   -х+2у=5
   х+3у=10

Проверь себя:
   -х+2у=5
   х+3у=10
   х=1
   у=3

Проверь себя:
   -х+2у=5                                            2х-у=5
   х+3у=10                                           3х+у=10
   х=1
   у=3

Проверь себя:
   -х+2у=5                                            2х-у=5
   х+3у=10                                           3х+у=10
   х=1                                                    х=3
   у=3                                                    у=1

Проверь себя:
   -х+2у=5         2х+11у=15               2х-у=5
   х+3у=10        10х-11у=9                3х+у=10
   х=1                                                    х=3
   у=3                                                    у=1

Проверь себя:
   -х+2у=5         2х+11у=15               2х-у=5
   х+3у=10        10х-11у=9                3х+у=10
   х=1                 х=2                            х=3
   у=3                 у=1                            у=1

Проверь себя:
   -х+2у=5         2х+11у=15               2х-у=5
   х+3у=10        10х-11у=9                3х+у=10
   х=1                 х=2                            х=3
   у=3                 у=1                            у=1

                            Молодец !!!

Использованная литература:
Учебник: Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / (Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова); под ред. С.А.Теляковского. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 240 с.


title: Скачать презентацию или конспект «Математика 10-11 класс» Мордкович

extracted_text:
Специфика преподавания
математики в рамках УМК
А.Г. Модковича
«Математика 10-11 классы»
Автор: Перзашкевич Т.В.,
учитель математики
ГБОУ СОШ № 2 «ОЦ»
 с. Кинель – Черкассы Самарской области
Учителя, как местные светочи науки, должны стоять на полной высоте современных знаний в своей специальности.

Менделеев Д.И
Качественное математическое образование является одним из ключевых ресурсов, обеспечивающих инновационное развитие России, сильным конкурентном преимуществом нашей страны. Новые задачи, стоящие перед страной, требуют и обновление содержания математического образования, обеспечения качественного образования для всех и предоставление возможности развития каждого ученика. Новая парадигма подчёркивает системно - деятельностный подход в обучении. Наполнились новым содержанием основные дидактические компоненты: “чему учить” (в плане содержания образования), “как учить” (современные технологии и методики обучения), “для чего учить” (новые цели образования). Государственные стандарты обучения, Единый государственный экзамен, профилизация старшей ступени школьного образования создают условия для усиления ответственности учителя за выбор учебно – методических комплектов, выбор тех или иных методов обучения, современных образовательных технологий.

Актуальность
Цель: Отобрать педагогические средства обучения старшеклассников математике по УМК А.Г.Мордковича.
Задачи:
Изучить различные УМК и методическую литературу для преподавания  математики на базовом уровне.
Выявить особенности УМК А.Г. Мордковича.
Выбрать технологию и освоить ее.
Переработать планирование курса математики в 10-11 классах.
Разработать дидактическое обеспечение курса.

УМК  по математике  для базового уровня.
Учебно – методический комплект А.Г. Мордковича состоит из:
Мордкович А.Г., Математика. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2009.
Мордкович А.Г., Математика. 101кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2012.
А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа 10-11. Контрольные работы.
Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для10 - 11 класса.М.: Илекса,2008
 И. Шабунин, М. В. Ткачёва и др. «Дидактические материалы для 10 – 11 классов» - М. Мнемозина 2007.
Авторская программа линии Мордкович А.Г.

Преподавание математики по УМК д.п.н. А.Г.Мордковича обусловлено следующими факторами: УМК А.Г. Мордковича отвечает современным требованиям преподавания математики. Главная задача УМК   заключается не в сухом сообщении математических фактов, а в развитии учащихся посредством   продвижения в предмете, т.е. приоритетным является не информационное, а развивающее поле курса. Привлекательность УМК А.Г.Мордковича для учителей состоит в том, что впервые автор формулирует концепцию учебного курса, утверждая, что математика - гуманитарный (общекультурный) предмет, который не только обеспечивает необходимую математическую подготовку учащихся, но и позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности, оказывает существенное влияние на развитие речи обучаемого. Математика описывает реальные процессы на математическом языке в виде математических моделей. Поэтому математический язык и математическая модель - ключевые слова в постепенном развертывании курса, его идейный стержень. При наличии идейного стержня математика предстает перед учащимися не как набор разрозненных фактов, которые учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная развивающаяся и в тоже время развивающая дисциплина общекультурного характера.
Учебники написаны в соответствии с программой курса математики средней общеобразовательной школы (базовый уровень). В старшей школе на базовом уровне математика представлена  интеграцией двух предметов : алгебра и начала анализа и геометрия. Изучение курса математики в 10-  11 классах  рассчитано на 272 часа из расчёта 4 часа в неделю.  В каждом параграфе содержится подробное и обстоятельное изложение теоретического материала, адресованное непосредственно школьникам. Часть материала ориентирована на самостоятельное изучение учащимися. Значение самостоятельной  работы с книгой особенно актуально в современных условиях. Поэтому, в каждом параграфе содержится большое количество примеров с подробным решением и различные методические советы и рекомендации. Каждая тема сопровождается разноуровневыми упражнениями для  самостоятельного решения. Набор заданий объемный и достаточный для подготовки учащихся, решивших все-таки поступать в ВУЗы негуманитарного профиля.
 Преподавание ведется с использованием технологии модульного обучения. Данная технология позволяет комплексно решать такие актуальные педагогические задачи, как обеспечение индивидуального темпа учения, учет возможностей, склонностей и потребностей обучающегося, обучение умениям самостоятельной работы с разными источниками информации, самостоятельному освоению материала и, в конечном итоге, развивать общие  и профессиональные компетенции.
В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают системой  личностных,  регулятивных,  познавательных,  коммуникативных  универсальных  учебных  действий, построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин.

Технология модульного обучения характеризуется:
 опережающим изучением теоретического материала укрупненными блоками;
 алгоритмизацией учебной деятельности;
 завершенностью и согласованностью циклов познаний.
Поуровневая индивидуализация учебной деятельности создает ситуацию выбора для ученика.
Технология  разработки  содержания  модульной  программы
Формулировка комплексной дидактической цели.
Формирование системы интегрирующих дидактических целей (соответствующих отдельным модулям).
Определение содержательных блоков, необходимых для достижения интегрирующей дидактической цели.

Модульная разверткаКомплексная дидактическая цель -
Обязательные учебные элементы
УЭ-0 предназначен для опережающего представления учащимся всей картины работы над данным модулем.
УЭ-Р  направлен на повторение основных теоретических положений и способов деятельности, освоенных в данном модуле.
УЭ-К предназначен для подведения итогов работы над модулем и определения степени достижения интегрирующей дидактической и учебной целей.

Маршрутная карта учащегося
название модуля и его учебные цели;
количество занятий и их характер (постановочные, групповые, работа по целям);
виды работы на занятиях;
темы докладов, рефератов, творческие работы;
домашние задания для всего модуля сразу;
информация, обязательная для повторения;
Маршрутная карта учащегося
опорные термины и понятия;
 тематика и возможные формы проектной деятельности;
четко сформулированные (обозначенные) результаты изучения модуля;
вариант итоговой проверочной работы

Решение тригонометрических уравнений..
Моя цель: _____________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Примерная контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения»
.
1.  Вычислите:  а)
б)
2.  Решите уравнение:

.
 принадлежащие полуинтервалу
3.  Найдите корни уравнения
4.  Решите уравнение
.
5.  Решите уравнение

Темы проектов по теме «Тригонометрические уравнения»
Решение тригонометрических уравнений и неравенств с помощью применения свойств функций.
Тригонометрия вокруг нас.
Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.
Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
Однородные тригонометрические уравнения первой степени.
Однородные тригонометрические уравнения второй степени.
Системы тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений методом понижения степени.
Решение тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного угла.
Такая форма модульной программы позволяет наглядно представить последовательность процесса освоения знаний, развития опыта и компетенций обучающегося, определить необходимый и достаточный объем учебного содержания, обеспечивающего достижение целей каждого модуля и программы в целом.
Дидактическое обеспечение курса
Комплект презентаций  по всем разделам курса.
Сборники самостоятельных и контрольных работ.
Карточки с индивидуальными заданиями.
Подборка заданий из материалов ЕГЭ по темам курса  из открытого банка заданий.
 Обучающие компьютерные презентации по всем заданием ЕГЭ.
Диски «Уроки Кирилла и Мефодия», «1С: Образовательная коллекция। Математика», «Математика 5-11। Практикум», «Математический конструктор»и др.
Каталог  единых образовательных ресурсов.

http://www.edu.ru/modules.php?page_id=6&name=Web_Links&op=modload&l_op=visit&lid=7191
http://www.edu.ru/rubricators.php?type=HTML
http://www.edu.ru/modules.php?page_id=6&name=Web_Links&op=modload&l_op=visit&lid=78608
http://www.edu.ru/modules.php?page_id=6&name=Web_Links&op=modload&l_op=visit&lid=103015
http://schoolmathematics.ru/videourok-trigonometricheskie-uravneniya
http://fcior.edu.ru/card/304/reshenie-prosteyshih-trigonometricheskih-uravneniy-p1.html
http://school-collection.edu.ru/contacts/

Электронные образовательные ресурсы
Планируемые результаты
 Повышение мотивации к учению.
 Положительная динамика результатов ЕГЭ.
Приобретение опыта исследовательской деятельности.


title: Скачать презентацию или конспект Особенности построения на клетчатой бумаге

extracted_text:
Тема «Особенности построения на клетчатой бумаге»
Выполнила:
Ковальчук Влада Станиславовна
9-2 класс, «МОУ «Гимназия №19»
Научный руководитель-
Фоминых Лариса Викторовна
Учитель математики, «МОУ
 «Гимназия №19»

Омск, 2010
Научно-исследовательская работа
Образовательная область «Математика»

1

A
В

С
D
E
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
R = 5

1
1
6*6+1*1=
6
1
5
1

4
3
 2*2+1=
2
1
1
1

3
2
2
3
5
5
4
5

2
3
5
3
2
5
=3
5
=2
4
4
4

.
m
.
k
у = kх + m
1
х
у
k+m
1
0

.
1
.
у = 2х + 1
1
х
у
2

.
4
.
1
у = - 3х + 4
3
х
у

у = 2х - 3
.
1
-3
.
2
х
у

у = -3х - 2
.
3
-2
.
1
х
у

A
B
C
.
.
.
D
E
F
проекции

E
.
5частей
1
2
3
4
5
A
B
E
.
3части
1
2
3
A
B
.
A
B
C
C1

На середине стороны АВ квадрата ABCD взята точка Е, а на диагонали АС – точка F, делящая диагональ в отношении  AF:FC = 3:1. Найти угол DFE и отношение DF:FE.
A
B
C
D
E
F

A
B
C
D
E
F
G
H
.
.

S
S
Q
Решение:

1.Отметим точки G и H, находящиеся в одном шаге от вершин B и D.
2.Из точки F, находящейся в равном расстоянии от обеих точек, проведем перпендикуляры FG и FH.
3.Полученные прямоугольные треугольники GFE и HFD – равны. Следовательно, DF:FE = 1:1.
4.Проведем прямую – ED, получив треугольник  EFD.
5. Обозначим угол GFE и равный ему угол HFD – S,а угол EFD – Q, тогда угол EFD =Q + S = 90  градусов.
Ответ: DF:FE = 1:1, угол DFE = 90 градусов.


title: Скачать презентацию или конспект Математическая рыбалка

extracted_text:
«Математическая рыбалка»
Тренажер
для учащихся 1 класса
Конкурс презентаций
«Интерактивная мозаика»
 Pedsovet.su
Рожко Наталья Викторовна
МОУ СОШ№32
г. Комсомольска–на- Амуре
учитель начальных классов
1 категория

      Поймай рыбки со значением
Математическая рыбалка

Поймай рыбки со значением 10

Поймай рыбки со значением 11

Поймай рыбки со значением 12

Поймай рыбки со значением 13

Поймай рыбки со значением 14

Поймай рыбки со значением 15

Поймай рыбки со значением 16

Поймай рыбки со значением 17

Поймай рыбки со значением 18

Поймай рыбки со значением 19

Поймай рыбки со значением 20

Солнышко авторское
http://radikal.ru/F/s004.radikal.ru/i206/1001/e3/b4eb12457460.jpg.html  водоросли 1
http://radikal.ru/F/i074.radikal.ru/1001/62/d690f18492c6.jpg.html  жёлтая рыбка
http://radikal.ru/F/s005.radikal.ru/i209/1001/df/10fb0755d3fe.jpg.html красная рыбка
http://forum.materinstvo.ru/lofiversion/index.php/t99515-600.html  кораблик
http://radikal.ru/F/i064.radikal.ru/0909/4f/413aa277b3c5.png.html удочка
Фон авторский
Использованные источники изображений:

http://radikal.ru/F/i073.radikal.ru/1106/67/078411c4914e.png.html водоросли 2


title: Скачать презентацию или конспект Второй и третий признаки равенства треугольников

extracted_text:
Второй и третий признаки равенства треугольников.

План урока.

Проверка домашнего задания.
1

Математический диктант
2

Объяснение нового материала.
3

Решение задач.
4
Проверка домашнего задания.
№ 108.
Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см.
Найдите стороны АВ и ВС.
Дано:                                           Найти:

Проверка домашнего задания.
                                        Решение:
Тест «Свойства равнобедренного треугольника»
Тест «Свойства равнобедренного треугольника». Проверка.
Задача № 1.
Периметр равнобедренного треугольника равен 70 см. Найдите стороны этого треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 5:4.
Задача № 2.
Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Найдите стороны этого треугольника, если его основание составляет 0,4 боковой стороны.
Задача № 3.
Дано:
АОМ=СОМ, АО=СО.
Доказать: АВ=СВ.

Задача № 4.
Дано:
CD=AD, CDM=ADM.
Доказать:
C=A.

Задача № 5.В треугольнике АВС проведена медиана ВЕ. Найдите длину АЕ, если АВ=6 см, периметр треугольника АВС равен 18 см., а ВС на 2 см больше АВ.
Задача №  6.
Периметр треугольника равен 40 см. Медиана делит данный треугольник на два треугольника, периметры которых равны 28 см и 24 см. Найдите длину медианы.
Решение задач
Второй признак равенства треугольников
Если сторона  и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне  и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:

Доказать:

В
А
С
А1
В1
С1

Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
ΔАВС; ΔА1В1С1; АВ=А1В1; АС=А1С1; ВС=В1С1.
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

В
А
С
А1
В1
С1

Признаки равенства треугольников
Домашнее задание

1
2
3
4
Пункт 19.
Пункт 20.
№  122.
№ 124.
Thank You !
www.themegallery.com


title: Скачать презентацию или конспект Использование информационных технологий на уроках математики

extracted_text:
Использование   информационных технологий
на уроках математики
Информационные технологии
Под термином "информационные технологии" понимаются процессы накопления, обработки, представления и использования информации с помощью электронных средств.
Цель   использования ИКТ
активное вовлечение учащихся в учебный процесс;
для педагога расширение набора применяемых методов обучения;
для учащихся – вносить свой вклад в решение общих задач;

Все это поможет повысить уровень обучения и улучшить успеваемость каждого ученика.

Задачи использования ИКТ
является расширение интеллектуальных возможностей человека;
 умение пользоваться информацией, получать ее с помощью компьютера.
  И это немаловажно в наш информационный век!
 Средства ИКТ в образовательном процессе
1.Урок с мультимедийной поддержкой – в классе стоит один компьютер, им пользуется не только учитель в качестве “электронной доски” (демонстрация рисунков, опытов, виртуальные экскурсии), но и ученики для защиты проектов.
 Средства ИКТ в образовательном процессе
2. Урок проходит с компьютерной поддержкой – несколько компьютеров (обычно, в компьютерном классе), за ними работают все ученики одновременно или по очереди выполняют  тесты, тренировочные упражнения.

 Средства ИКТ в образовательном процессе
3. Урок проходит в компьютерном классе и преследует следующие задачи:
отработать учебный материал, используя ПК для создания кроссвордов, графиков, игр, таблиц и схем;
 изучить возможности различных компьютерных программ.

 Средства ИКТ в образовательном процессе
4.Работа с электронным учебником (возможно дистанционное) с помощью специальных обучающих систем, где традиционные уроки по предмету заменяются самостоятельной работой учащихся с электронными информационными ресурсами.

Компьютерные технологии на уроке математики
 экономят время;
повышают мотивацию;
позволяют провести многостороннюю и комплексную проверку знаний, умений;
 усиливают интерес к уроку, к предмету;
 наглядно и красочно представляют материал.
Виды программного обеспечения предметов математического цикла
Энциклопедии на компакт-дисках
Компьютерные учебники
Презентации
Программы
Интернет
Примеры использования ИТ на уроках математики
Опыт использования ИКТ на уроках математики показал, что наиболее эффективно проходят уроки геометрии, стереометрии, уроки алгебры при изучении функций и графиков. а также занятия, посвящённые материалу, выходящему за рамки школьных учебников.
Примеры использования ИТ на уроках математики
Использование  интерактивной доски повышает эффективность уроков во много раз, так как ученик не может быть только пассивным зрителем или слушателем, а активно принимает участие в процессе обучения
Примеры использования ИТ на уроках математики

Система тестирования и голосования ActivExpression для опроса учащихся укомплектована современными пультами, которые поддерживают радиосвязь с компьютером.
Урок проходит в компьютерном классе. Все ученики одновременно или по очереди выполняют  тесты, тренировочные упражнения.

Примеры использования ИТ на уроках математики
Создать на уроке ситуацию успеха, при которой любой ученик (вне зависимости от своих учебных способностей) смог бы проявить себя, свои силы и возможности, показав одноклассникам, что и он владеет определёнными навыками и творческим потенциалом, можно через участие в проектной деятельности.

Техника безопасности
Следует помнить, что максимальная частота и длительность применения данных средств в учебном процессе определяется возрастом учащихся, характером учебного предмета и не должна длиться на уроке подряд более 20 минут.
Техника безопасности
На занятиях необходимо чередовать напряжённый умственный труд и эмоциональную разрядку, использую упражнения для снятия напряжения, утомления при работе с компьютером и для улучшения мозгового кровообращения.

.
 Продукт “КМ-Школа” полностью соответствует современным образовательным стандартам. Он позволяет в процессе обучения использовать разнообразные методы  (информационно-рецептивный, репродуктивный, проблемный, эвристический, исследовательский) и  формы обучения.
В помощь учителю

1.

Игорь Жаборовский, учитель математики, лауреат конкурса «Столичный учитель – столичному образованию – 2009» создал полный набор материалов, необходимых каждому учителю математики.
В помощь учителю


title: Скачать презентацию или конспект Положительные и отрицательные числа

extracted_text:
«Положительные и отрицательные числа»
Артамонова Л.В.,
учитель математики
МКОУ «Москаленский лицей»
Отрицательные числа
На уроках математики до сих пор мы рассматривали натуральные и дробные числа. Однако в жизни вы  уже наверняка встречались и с другими числами - отрицательными
Из рисунка мы видим, что температура воздуха может быть выше или ниже нуля, т.е. со знаком плюс или знаком минус
Числа со знаком "+" перед ними называют положительными.Числа со знаком "-" перед ними называют отрицательными.Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
Отрицательные числа
Для краткости записи обычно не пишут знак "+" перед положительными числами и вместо +7 пишут 7
Математики в древнем Китае использовали для обозначения отрицательных чисел другой цвет, чем для положительных чисел. Однако в настоящее время обозначение отрицательных чисел с помощью знака "минус" принято во всем мире
Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные – как долг, недостача. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа.
Отрицательные числа
Координатная прямая
Координатной прямой называют прямую, на которой заданы положительное направление, начало отсчета (точка О) и единичный отрезок.

Каждой точке на координатной прямой соответствует некоторое число, которое называют координатой этой точки. Например, А(5). Читают: точка А с координатой пять.  В(-3). Читают: точка В с координатой минус три.

Пример 1. Изобразить на координатной прямой точки
А(-7), В(-3), С(2), D (5).
Ответь на вопросы
Назовите два целых соседних с числом -32 числа.
Назовите число, находящиеся между -1 и 1
Запиши с помощью положительных и отрицательных чисел :
Самое низкое место поверхности суши – побережье Мертвого моря 402 м.
Самый высокий действующий вулкан – Килиманджаро 5895м.
Самое древнее и самое глубокое озеро – Байкал 1620 м.
Самая низкая отметка на территории России – Прикаспийская низменность 28 м.

Решите задачу
Решение
Решите тест по теме «Положительные и отрицательные числа»
с самопроверкой
Вопрос 1
Щенок путешествует по координатной прямой, на которой отмечены точки A(-5), B(4), C(6, D(-8). Какой из маршрутов самый короткий?
ABCD
ACBD
ADCB
ADBC
Верно
Вопрос 2
Укажите все пары противоположных чисел
4 и -4
12 и –(-12)
-1 и –(-(-1))
1,25 и -0,8
Вопрос 3
Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между -3 и 9
13
12
11
10
Вопрос 4
Расположите числа в порядке возрастания их модуля
Проверка
-4,6
2
Вопрос 5
Какое из данных чисел наименьшее?
-99,89
1,098
-100,8
21,45
Верно


title: Скачать презентацию или конспект Внеклассное мероприятие по математике "Своя игра

extracted_text:
Интеллектуальная игра по математике для старшеклассников
Своя
игра
Автор: Худякова Н.Вл.,
учитель математики
МКОУ СОШ с. Накоряково
Первый раунд
Разминка
Второй раунд
Шевели извилинами
Финальный
 раунд

  «Математика – царица наук, арифметика – царица математики».
     Назовите автора высказывания.
Карл Гаусс

Конец игры.

Спасибо за внимание!

  Что есть у каждого слова, растения и уравнения?

Корень

   Назовите «математические» растения.

Тысячелистник, столетник, золототысячник

   Именно столько камер имеет сердце человека

4

   Назовите три сказки, в названиях которых есть числительные

    Назовите три пословицы или поговорки, в которых есть числительные

   О какой единице измерения площадей поется в детской игре про гусей?

Гектар
(Гуси – гуси, га –га га – га…)

    В каком слове можно найти целый метр букв О?

В слове «метрО»

Что общего у числа и слова?

Слог СЛО – чиСЛО, СЛОво

   Локоть человека является старинной мерой длины, а какая часть человека служит единицей времени?

Век – челоВЕК

   Какую математическую фигуру украшают бриллиантами?

Кольцо

   Эмблемой какого автомобиля являются четыре кольца?

«Ауди»

   Какая геометрическая фигура иногда используется для наказания детей?

Угол

Как называют военно-историческое кольцо?
Блокада

Какая дуга вошла в историю 20 века?
Курская дуга

Назовите самый знаменитый многогранник Древнего Египта
Пирамида
Сектор «Своя игра»
Назовите автора слов «Математику уже затем учить надобно, что она ум в порядок приводит»

Какой многоугольник является высоким военным начальством?

Пентагон
«pentagonon» - пятиугольник (греч.)

Этот музыкальный инструмент многим напомнит теорему Пифагора… тем, кто её знает.

Треугольник

Назовите  имя древнегреческого ученого, который одним из самых первых установил связь между музыкой и математикой, создал учение о звуке.

Пифагор
«Кот в мешке»
   Представитель этой науки отбил у Нобеля невесту, поэтому за успехи в ней нобелевская премия не присуждается.

За успехи
 в математике

Сколько памятников можно насчитать знаменитом Летнем саду?
один
Памятник
И. А. Крылову

Назовите имя художника, автора слов «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать мои труды», применявшего в своих работах «золотую» пропорцию

Леонардо да Винчи

Именно таков рост Дюймовочки, если пользоваться метрической системой.
Рост Дюймовочки равен
всего-навсего 2,54 см.

В названиях его многочисленных трудов можно встретить числа:
три, десять, двадцать, сорок пять.
Александр Дюма

Это длилось 13 раз по 11 недель…
7 · 11 · 13 = 1001

Известнейшее произведение Жюля Верна «20000 лье под водой» в русских переводах зачастую называлось…

Кто автор строк «Вдохновение есть расположение души к живейшему принятию впечатлений и соображению понятий, следственно, и объяснению оных. Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии»?
А. С. Пушкин

Название какого государства скрывается  в формуле объёма куба с ребром а?
Куба

Название какого государства носит треугольник со сторонами 3, 4 и 5
Египетский

Координаты есть и в математике и в географии. Как в географии называют то, что в математике носит название абсцисса? ордината?

Параллели и
мередианы

Составление карты какой страны получило название «Великое тригонометрическое исследование»?
Индии

Какую страну Европы ее жители называют «наш шестиугольник»?
Францию

Такова сумма очков на гранях игральной кости

1+2+3+4+5+6=21

Какие мужские имена имеют «математическое» происхождение?
Константин («constant» – стойкий, постоянный).
Максим («maximus» – самый большой, величайший)

Именно этого боятся люди, страдающего трискайдекафобией.
Числа 13

Так называется девятый месяц мусульманского лунного колендаря, месяц обретения Корана
Рамазан

Таков порядковый номер азота в Таблице Менделеева


title: Скачать презентацию или конспект Урок математики в 5 классе «Действия над десятичными дробями» (сложение, вычитание, округление)

extracted_text:
урок  математики в 5 классе
Тема урока: «Действия над десятичными дробями.( сложение, вычитание, округление.)
Цель урока :
1) повторить сложение , вычитание, округление  десятичных дробей.
2)закрепить  умение и навыки по решению задач и уравнений  с десятичными дробями.
3) подготовится к контрольной работе.

Девиз урока: Знания имей отличные
по теме  « Дроби десятичные»!

.

урок - путешествие в сказку
Математика и сказки...
Ну и чудеса!
Только вы не удивляйтесь,
Но она везде нужна-Математика.
Даже сказочным героям
Всем приходится считать,
А мы сегодня будем
Со сказочным сюжетом
Задачи все решать.
В математику тропинки
Одолейте без запинки
математическая
разминка
грибная
поляна
лесная
почта
лесной
аэропорт
Математическая разминка
Вычисли.
5,5 + 3,2 =
7 – 0,8 =
2,25 + 3,6 =
4,2 – 2,7 =
7,4 + 2,7 =
5,8 – 3,2 =
8,7
6,2
5,85
1,5
10,1
2,6

Округлить
до десятых   12,385
до целых       44,123
до сотых       10,145
до десятков   79,39
Какая  дробь  больше

12,4
44
10,15
80
7,391
6,579
8,91
8,459
9,5
9,500
4,15
4,17
=
Лесная почта
А вот герой сюжета - Волк.
В лесной почте знает толк!
Письмо
     №1

.
ЛЕСНАЯ  ПОЧТА
Письмо
   №2
Винни-Пух приготовил к зиме  6,85 кг мёда. Братец  Кролик подарил на День рождения Винни-Пуху 2,43 кг мёда. За чаем было съедено 1,3 кг мёда. Сколько кг мёда осталось у Винни-Пуха. Результат округли до десятых.

Вместе с Мишкой косолапым
Соберем грибы, ребята.

ГРИБНАЯ  ПОЛЯНА

Решите уравнения
х + 2,2 = 6
6,7 - х = 5,2
х - 1,7 =2,3
( х + 3,5 ) - 4,8 = 2,4
( 7,1 - х ) + 3,9 = 4,5
1,5
3,8
4
3,7
6,5
Не смотри в свою тетрадку,
Мишка  проведёт зарядку.

физкультминутка
На последней тропинке Лиса,
На самолет спешит в небеса.
ЛЕСНОЙ  АЭРОПОРТ

Билет
Время вылета           Место в салоне
 1   ,2 7                          2 2 , 5
-  5,0                         + 1    , 3  4
   8,    5                             2 ,    7

*
*
*
*
*
*
*
3
3
2
0
8
2
3
33
8

Лиса всех поблагодарила
И в самолет пригласила

Самостоятельная работа

ИТОГ  УРОКА
проверка
Вариант 1
1. 22,8 + 3,2 =26( км/ч) скорость катера по течению
    22,8 – 3,2 = 19,6 ( км/ч )  скорость катера против течения
2.     17,813        17,8           491,523            500
 3.    5 кг 685 г = 5,685 кг                         34 г   = 0,034  кг                            7 г  = 0,007 кг                                      285 г = 0,285 кг
Вариант  2
18,25 + 2,8 = 21,05 ( км/ч)  собственная  скорость лодки
         21,05 + 2,8 = 23,85 ( км/ч)  скорость лодки по течению
154,73      150               268,345        268,35
10 км 655 м = 10,655 км               44 м = 0, 044 км
                   395 м = 0,395 км                   1 м = 0,001 км
ЖЕЛАЕМ        НА
КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЕ
5


title: Скачать презентацию или конспект Применение подобия треугольников к решению задач

extracted_text:
Урок  геометрии
в 9 классе
Автор:  учитель математики МОУ СОШ № 74 г. Краснодара
                       Забашта Елена Георгиевна
Применение подобия
треугольников к решению задач
Цели урока:
обучающая                           формировать умения и навыки применения теоретических знаний при решении задач;
развивающая                               развивать сознательное восприятие учебного материала, прививать интерес  к предмету;
воспитывающая                      воспитывать познавательную активность, культуру общения.
Задачи урока:
познакомить учащихся с принципом золотого сечения, показать его применение в искусстве, природе, архитектуре;
рассмотреть применение подобия треугольников к решению практических задач.
Метод: исследование с применением теоретических знаний
Оборудование:
раздаточный материал
( цветной картон, ножницы),
мультимедийный проектор,
репродукции И.И. Шишкина
«Сосновая роща», Леонардо
да Винчи «Джоконда».
Ход урока.
Природа формулирует свои законы
языком математики.

Г. Галилей.
Геометрия – это не просто наука о свойствах
геометрических фигур.
Геометрия – это целый мир, который окружает
нас с самого рождения.
Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе
относится к геометрии, ничто не ускользает от
ее внимательного взгляда. Геометрия помогает
человеку идти по миру с широко открытыми
глазами, учит внимательно смотреть вокруг и
видеть красоту обычных вещей, смотреть и          думать, думать и делать выводы.
       Немного о геометрии…
Компьютерная презентация о «золотом сечении»
Следуй девизу «смотри – думай – делай выводы»

а
b
c
a : b = b : c  или  c : b = b : a
          Золотое сечение
Принцип золотого сечения – высшее
проявление структурного и функцио-
нального совершенства целого и его
частей в искусстве, науке, технике и
природе.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка
на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей
части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими
словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший
ко всему.
Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена
на «золотых треугольниках (точнее на треугольниках, являющихся
кусками правильного звездчатого пятиугольника).
         Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи «Джоконда»
     Золотое сечение в картине И.И. Шишкина «Сосновая роща»
Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в
отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности
и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.
          Золотая спираль в картине Рафаэля «Избиение младенца»
На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции – точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы  в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается …золотая спираль!
                                Храм Парфенон в Афинах
Даже сейчас, когда он стоит на развалинах, это одно из самых красивых
сооружений мира. Этот храм построен в эпоху расцвета древнегреческой
математики. И его красота основана на строгих математических законах.
Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник, то окажется,
что его стороны образуют золотое сечение. Такой прямоугольник назвали
«золотым прямоугольником»
   Задание  1.
Вырезать из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрезать от него квадрат наибольшей площади. Измерить стороны получившегося прямоугольника. Записать результат измерений.
Операцию проделать дважды. Сделать вывод.

D
A
E
B
N
C
F
M
ABCD:   AB:BC =16:10=1,6;
MEBC:   ME:EB =10:6 = 1,6666…
MFNC:   MC:CN = 6:4  = 1,5.

Прямоугольник, у которого сто-
роны соотносятся приблизительно
как 1,6 : 1, называют «золотым».
                   Когда тень от палки, воткнутой вертикально в       землю, будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды.
Продолжить рассуждения Фалеса, используя рисунок. ВС – палка,СА – тень от палки, НЕ – высота пирамиды, СЕ – тень от пирамиды.

А
В
С
Н
Е
Задание  2.

Далеко от берега стоял на якоре корабль. Фалес сумел измерить расстояние от берега до корабля. В точности, как это он сделал, мы не знаем: его труды до нас не дошли. Попробуйте порассуждать, предложите свой способ решения этой задачи, используя рисунки.

А
С
В

А
В
С
К
М
Рис.1
                Рис.2

45
                             (Рассмотрены три способа решения данной задачи,
                                     в том числе метод триангуляции).

Рис.3
А
В
С
А1
В1
С1
Задание  3.

На рисунке показано, как можно определить ширину ВК реки, рассматривая два подобных треугольника АВС и АКМ. Поясните  способ решения этой задачи.

В
С
К
А
М

Задание  4.

  Измерение высоты дерева. Два способа.

А
В
С
Е
D

А
В

С
D
В1
С1
Луч света DC, отражаясь от лужи С,
попадает в глаз человеку В. По законам
физики угол DCE равен углу ВСА. Из
подобия треугольников АВС и ЕDС
выразим длину отрезка DЕ:

Приготовить прямоугольный треугольник АВ С   с углом А =  45    и, держа его вертикально, отойти на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ , видна верхушка дерева В.
Задание  5.

Домашнее задание.
1. Определить ширину реки (задание 4), если АС = 100 м,  АМ = 32 м,  АК = 34 м.

2. Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.
              Итог урока.
Не делай никогда того, чего не знаешь,
но научись всему, что следует
знать
          ПИФАГОР


title: Скачать презентацию или конспект Расширение понятия числа

extracted_text:
Расширение понятия числа
Натуральные числа – это числа, используемые для счета.
Целые числа – натуральные числа, числа им противоположные и 0.
Рациональные числа – числа, представимые  в виде несократимой дроби           , где m – целое число, а n- число натуральное.
Иррациональные числа – бесконечные десятичные непериодические дроби
Вещественные или действительные числа – объединение рациональных и иррациональных чиселю
Комплексные числа – выражения вида a+bi, где а и b – вещественные числа, а i – мнимая единица,

N
1
5000
27
«+, *»

Z
0
-20
-99
«-»
Q
« : »
U
С
i
-8i
0,2i
2+3i
-9-7i
Расширение понятия числа
Комплексные числа
COMPLEX
Принцип преемственности М.В.Ломоносова

Невозможное должно стать возможным
Все верное должно остаться верным
(эволюционный подход к науке)

Расширение понятия числа

N
1
5000
27
«+, *»

Z
0
-20
-99
«-»
Q
« : »
U
С
i
-8i
0,2i
2+3i
-9-7i
Мнимая единица.
Т.к. любое отрицательное число можно представить в виде произведения -1 и числа противоположного данному, то задачу вычисления корня из отрицательного числа можно свести к задаче вычисления корня из -1.
Например:
Введем число i такое что
Данное число назовем мнимой единицей.

Задание № 1.
Вычислить:

Комплексные числа
Множество, состоящее из выражений вида z=a+bi , где          и а, b – действительные числа, называется множеством комплексных чисел.
При этом сложение, вычитание, умножение и деление двух чисел в этом множестве определены соответственно следующим правилами:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(c-d)i
(a+bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad+bc)i

Задание № 2.
Даны два комплексных числа
     Найти их  сумму, разность и произведение.
Мнемоническое правило:
«действуй как с многочленами»

Задание № 2 (продолжение)
Для z=a+bi комплексное числа                называется сопряженным .
Свойство:
Правило деления:

 Даны два комплексных числа
      Выполнить деление

Свойства действий над комплексными числами.
Переместительный закон:

Сочетательный закон:

Распределительный закон:

Формулы сокращенного умножения:
Элементы комплексного числа.
 z=a+bi                     a – вещественная часть числа, Re(z)=a
                                             b – мнимая часть числа, Im(z)=b
Пример:  3-8i                     ,  5i                  ,  10
   а – вещественное число, bi – чисто мнимое число
Модулем комплексного числа z называют корень из суммы квадратов его вещественной и мнимой части.

Свойство:
Вычислить |z|
3-4i                                             -7i
9                                                  1+2i

Равенство комплексных чисел
Комплексные числа                  равны

Операция сравнения для комплексных чисел неопределена.
Пример: Найдите действительные числа x и y из равенства (3x-y)+(x+y)i=6-2i

Домашнее задание
Учебник: стр. 208 № 6-14 ( нечетные)
                      стр. 212 № 16-22 (нечетные)


title: Скачать презентацию или конспект Сопряжение. Геометрические построения

extracted_text:
ГБОУ СОШ №350 НЕВСКИЙ РАЙОН
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
УЧИТЕЛЬ ЧЕРЧЕНИЯ
БОРОВКОВА  И.П.
2012 - 2013 УЧЕБНЫЙ ГОД
СОПРЯЖЕНИЕ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ    ПОСТРОЕНИЯ.
8 КЛАСС
Дать понятие о сопряжении, об элементах, обязательных в любом  сопряжении.
Ознакомить с  правилами построения сопряжения двух прямых и   с правилами построения сопряжения окружности и прямой  дугой  заданного радиуса .
Продолжать развивать навыки работы с чертежными инструментами.
Воспитывать стремление рационально выполнять учебные задания.
Цель:
Усвоить  правила построения  разного рода сопряжений.
Выполнить чертеж шаблона, используя эти правила. Нанести размеры по ГОСТ 2.307-68.
Задачи для учащихся:
приобщение  учащихся к  графической  культуре  и                            к применению правил ЕСКД.
Задачи для педагога:
Сопряжением называют плавный переход одной
линии в другую.
100 мм
60 мм
Все построения выполняются на листе в клетку.
1. Проводим  две  штрихпунктирные тонкие линии:
 вертикальную линию на расстоянии 100 мм от вертикальной кромки форматаА4.
горизонтальную линию на расстоянии  60 мм  от верхней горизонтальной кромки листа ФА4.
 2. Из центра пересечений штрихпунктирных   линий проводим полуокружность сплошной
толстой  основной линией  радиусом 40мм.
 3. Откладываем от горизонтальной штрихпунктирной линии расстояние равное 80 мм  и
      проводим  горизонтальную сплошную  тонкую  линию.
 4. Опускаем  перпендикуляр из одного конца полуокружности  сплошной  тонкой  линией
 до пересечения  с горизонтальной  прямой.   Все построения выполняем тонкими линиями.
 5. Откладываем на горизонтальной прямой вправо от вертикальной  сплошной тонкой линии расстояние равное 140 мм и ставим  точку.
6. Соединяем  эту точку с центром пересечения штрихпунктирных линий.
    Размеры не наносим.
7.  Из любых точек на горизонтальной прямой   проводим  две дуги  радиусом 20 мм.
8.  Проводим   касательную  сплошной тонкой линией  к этим дугам.
9.  Из любых точек на наклонной  линии  проводим  две дуги  радиусом 20 мм .
10.  Проводим касательную сплошной тонкой линией к этим дугам и находим  точку О1   - точку пересечения двух касательных.
О1
 11. Из этой точки О1 опускаем  два перпендикуляра  на горизонтальную и наклонную линию  соответственно, находим точку А и точку Б будущего сопряжения.

А
Б
О1

 12. Из этой точки О1  проводим  дугу радиуса 20 мм, соединяя точки сопряжения,
       т.е. точку А  с точкой Б.
А
Б
О1

 13.  Наносим  все точки на чертеже: точку О1  - центр сопряжения,  точку А и точку Б – точки сопряжения.
14. Из точки пересечения вертикальной и горизонтальной прямых проводим дугу радиуса 20 мм, находим точку 1 и точку 2.
 15. Из точки1 и точки 2 проводим  две дуги радиуса 20 мм соответственно и находим точку О2  - точку пересечения этих дуг.
О2
 16.  Из точки О2   проводим  дугу  радиуса 20 мм, соединяя точку1 и точку2.
 17.  Наносим все точки на чертеже: точку О2  - центр сопряжения,  точку 1 и точку 2 – точки сопряжения.
18.  Из любых точек на наклонной  прямой  проводим  две дуги  радиусом 15 мм  с внешней стороны этой  прямой.
19.  Проводим касательную сплошной тонкой линией к этим дугам.
О3
20.  Из точки пересечения штрихпунктирных линий проводим дугу радиусом,  равным сумме  значений двух радиусов:   R40+R15, до пересечения  с  только что построенной касательной,  находим точку О3.
21.  Стираем  вспомогательные построения:  дуги радиуса 15 мм.
22.  Соединяем точку пересечения штрихпунктирных линий О  с точкой О3 и находим точку В, опускаем  перпендикуляр из точки О3  на наклонную линию и находим точку С .
23. Наносим все точки на чертеже: точку О3  - центр сопряжения,  точку В и точку С – точки сопряжения. Соединяем точку В  с точкой С дугой радиуса 15 мм .
24. Стираем все вспомогательные построения и обводим сплошной толстой основной линией контур детали с выполненными сопряжениями, оставляя центры сопряжений. Наносим  все размеры.
Домашнее  задание
 1.  Прочитать параграф  15.3, 15.4 и ответить на вопросы.
 2.  Выполнить аналогичную работу  по рисунку 135 в масштабе 2:1                       на белом  листе формата А4,    рамку и основную надпись с размерами   по на рис.18 и рис.19.
  3. Последовательность  выполнения задания  указана  на рис. 134 и рис.135,   а также   пример выполнения чертежа смотри                                         на сайте «2 берега» и в контакте.
Вопросы для проверки знаний.
 Что называется  сопряжением?
 Как называются элементы, обязательные для любого сопряжения?
 Где находятся точки сопряжения  при построении  сопряжения дуги окружности с прямой?
Пример выполнения  домашнего задания - чертеж «Шаблон» в М 2:1 по рис.135.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черчение:  учебник для общеобразовательных учреждений /  А.Д. Ботвинников, В.Н. Виноградов,  И.С. Вышнепольский. — 4 –е изд., дораб. - М.:  Астрель, 2012. —221 с.