title: Скачать презентацию или конспект Геометрическая мозаика

extracted_text:
Геометрическая мозаика
Работу выполнила:
ученица 8 «А» класса Жиракова Полина

Руководитель:
Старикова Наталья Александровна,
учитель математики МБОУ ССШ №1

Гипотеза:
 вокруг одной точки можно уложить плоскость                                    без просвета:
с помощью одноимённых правильных многоугольников;
 с помощью правильных многоугольников двух       различных форм;
с помощью правильных многоугольников
 трех различных форм.

Проблемы:
 Как устроена геометрическая мозаика на плоскости?
Из скольких разных фигур правильных многоугольников можно сложить мозаику на плоскости вокруг одной точки без просвета?
Выяснить значимость изучаемой работы в нашей жизни.
Цель исследования:
    изучение вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками без просвета.

Задачи:
найти и изучить имеющийся материал о геометрической мозаике в научно-популярной литературе;
обосновать с помощью математических фактов способы укладки мозаики из различных фигур;
создать свои авторские варианты орнаментов, паркетов;
рассмотреть вопрос практического применения паркетов в различных сферах деятельности.

Объект исследования:
             различные паркетные узоры.

Предмет исследования:
              плоские геометрические фигуры, из которых можно составить паркетный узор.

Методы исследования:
 анализ научно-популярной литературы,
 сравнение, классификация, систематизация,
 обобщение, моделирование.
Заполнение плоскости правильными одноимённымимногоугольниками.

n- число сторон
                      - сумма всех внутренних углов многоугольника

                    - каждый угол правильного многоугольника

   Если n=3, то , значит это возможно сделать правильными треугольниками и их число равно 3600:600=6 .

Если n=4, значит это возможно сделать  правильными четырехугольниками  и их число равно 3600:900=4

Если n=6,значит это возможно сделать  правильными шестиугольниками и их число равно 3600:1200=3
Заполнение плоскости двумя видами правильных многоугольников.
n – количество треугольников,
m – количество квадратов,
тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство
600n+900m=3600.

Если n = 3, то 900m = 3600 - 600·3;
                         900m = 1800;
                               m =2 .
При n = 3, m = 2  задача имеет решение.

n-количество правильных треугольников,m-количество правильных шестиугольников тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 600n+1200m=3600.
Если n = 2, то 1200m = 3600- 600·2;
                         1200m = 2400;
                                 m =2 .
.
n = 4, то 1200m = 3600- 600·4;
               1200m = 1200;
                       m = 1

Заполнение плоскости тремя видами правильных многоугольников.
n – количество правильных треугольников,
m – количество квадратов,
k - количество правильных шестиугольников,
тогда согласно гипотезе должно выполняться
                        равенство
              600n+900m+1200k =3600

Если n = 1, m =2,
то 1200k = 3600- 600·1- 900·2;
     1200k = 1200;
             k =1.

n – количество правильных треугольников,
m – количество квадратов,
k - количество правильных двенадцатиугольников,
тогда согласно гипотезе должно выполняться
                            равенство
                600n+900m+1500k =3600.
Если n = 2, m =1,
то 1500k = 3600- 600·2-900·1;
     1500k = 1500;
             k =1.

Моя школа
Логотип школы
Паркеты
Витраж
Декор ванной комнаты
СПАСИБО
 ЗА ВНИМАНИЕ


title: Скачать презентацию или конспект Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

extracted_text:
Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов
Вынесение общего множителя

	Из каждого слагаемого ,входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.
	Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

15а3b+3a2b3=3a2b(5a+b2)

2y(x-5)+x(x-5)=(x-5)(2y+x)

Группировка
	Если члены многочлена не имеют общего множителя, то после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.
3а2+3аb-7a-7b=(3a2+3ab)-(7a+7b)=
=3a(a+b)-7(a+b)=(a+b)(3a-7)
Применение формул сокращенного умножения
	Выражение из двух, трёх слагаемых, входящее в одну из формул сокращенного умножения заменяется произведением многочленов
x2+6х+9=(х+3)2
49m4-25n2=(7m2-5n)(7m2+5n)

Математическая эстафета.
Математическая  эстафета (ответы)
Разложите многочлен на множители и укажите какие приёмы использовались при этом
Пример 1
36а6b3-96a4b4+64a2b5
Решение
36а6b3-96a4b4+64a2b5=
4a2b3(9a4-24a2b+16b2)=
4a2b3(3a2-4b)2
 вынесение общего множителя за скобки
 использование формул сокращённого умножения

Пример 2
a2+2ab+b2-c2
Решение
a2+2ab+b2-с2=
(a2+2ab+b2)-c2=
(a+b)2-c2=(a+b-c)(a+b+c)
 группировка;
 использование формул сокращенного умножения.
Разложите многочлен на множители и укажите какие приёмы использовались при этом
Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались при этом
Пример 3
y3-3y2+6y-8
Решение
y3-3y2+6y-8=(y3-8)-(3y2-6y)=
=(y-2)(y2+2y+4)-3y(y-2)=
=(y-2)(y2+2y+4-3y)=(y-2)(y2-y+4)
-группировка
-формулы сокращенного умножения
-вынесение общего множителя за скобки

Порядок разложения многочленана множители
1.Вынести общий множитель за скобку
(если он есть)
2. Попрбовать разложить многочлен на
множители по формулам сокращенного
умножения
3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы
не привели к цели)

Разложите многочлен на множители и укажите,  какие приемы использовались при этом
Пример 4
n3+3n2+2n
Решение
n3+3n2+2n=n(n2+3n+2)=
=n(n2+2n+n+2)=
=n((n2+2n)+(n+2))=
=n(n(n+2)+n+2)=
=n(n+1)(n+2)
-вынесение общего множителя за скобки;
-предварительное преобразование;
-группировка.
Предварительноепреобразование
	Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы
многочлен, не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.
Применение различных приемов разложения на множители
a) x2-15x+56=0

Решение
X2-7x-8x+56=0
(x2-7x)-(8x-56)=0
x(x-7)-8(x-7)=0
(x-7)(x-8)=0
x-7=0 или x-8=0
X=7 или x=8
Ответ: 7; 8.

б) x2+10x+21=0

 Решение
x2+10x+25- 4=0
(x+5)2- 4=0
(x+5-2)(x+5+2)=0
(x+3)(x+7)=0
x+3=0 или x+7=0
x=-3 или x=-7
Ответ: -3; -7

Решить уравнения
- метод выделения полного квадрата.
Применение различных приемов разложения на множители
Доказать, что при любом натуральном значение выражения (3n- 4)2 – n2  кратно 8.
Решение
(3n – 4)2 – n2 =
=(3n – 4 – n)(3n  - 4 + n) =
=(2n – 4)(4n – 4)=
=2(n – 2)4(n – 1)=
=8(n – 2)(n – 1)
В полученном произведении один множитель
делится на 8, то все произведение делится на 8.
Применение различных приемов разложения на множители
Вычислить
38,82  + 83 * 15,4 – 44,22
Решение
38,82 + 83 * 15,4 – 44,22 =
= 83 * 15,4 – (44,22  - 38,82) =
= 83*15,4 – (44,2 - 33,8)(44,2+33,8)=
= 83*15,4 - 5,4*83 =
=83(15,4 - 5,4) = 83*10 = 830
Самостоятельная работа.
Ответы к заданиям.
Дополнительные задания
1. Доказать тождество
(a2+3a)2+2(a2+3a)=a(a+1)(a+2)(a+3)

2. Доказать, что число
370*371*372*373+1
можно представить как произведение  двух натуральных
чисел
Домашнее задание
Пункт 37

№ 998(a, в),
     1002,
     1004,
     1007
Список литературы
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. учебник Алгебра, 7 класс, М.: Просвещение, 2004.,
Ю.Н. Макарычев.,Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8-9 кл.-М.: Просвещение, 1997.
В.И. Жохов, Л.Б. Крайнева Уроки алгебры в 7 классе. М.: Вербум-М, 2000.
Информация об авторе
Ратина Елена Анатольевна
учитель
математики
 МОУ ЭБЛ


title: Скачать презентацию или конспект Дифференциальное исчисление функции одной переменной

extracted_text:
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Определение производной
Производной функции y=f(x) в точке х0
     Называется           , если этот предел существует. Производная обозначается   или       . Таким образом,        =.

     Таблица производных

Правила Дифференцирования
Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u∙v,    . Последнее при условии, что v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´,                 .

Производная сложной функции
Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией от х.
Теорема. Если функция u=φ(x) имеет производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, причем                .

Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция y от х задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t     (α;β).

Пример
x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´.

поэтому

Дифференцирование функций, заданных неявно.
Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0.
Продифференцируем обе части по х. Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и

Логарифмическое дифференцирование
Найти производную функции y=(sinx)x.
Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х:    ∙y´=lnsinx+x∙ctgx
 отсюда y´=y∙(lnsinx+x∙ctgx) или y´=(sinx)x∙(lnsinx+x∙ctgx).

 Дифференциал функции
dy=f´(x)∙dx
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!
Теорема Ферма
Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f´(c), то f´(c)=0
Теорема Ролля
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее производная f´(х) обращается в ноль хотя бы в одной точке c   (a;b).

Теорема Лагранжа
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует хотя бы одна точка c   (a;b), для которой выполняется условие:

Теорема Лопиталя (правило Лопиталя).
Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные на [a;b], дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0 при всех х  (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда если существует          , то существует    причем :

Пример

Применение производной к исследованию функций
Экстремумы функции.
Необходимо условие монотонности функции
Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех х(a;b) f´(x)≥0 (f´(x)≤0)
Достаточный признак существования экстремума
Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках этого интервала, за исключением, может быть, критической точки с, принадлежащей этому интервалу, и если f´(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция в точке с имеет максимум (минимум)
Выпуклость и вогнутость графика функции
График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале
Достаточный признак выпуклости и вогнутости
Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную f´(x) во всех точках интервала (a;b). Если во всех точках этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то график на (a;b) выпуклый (вогнутый).
Достаточный признак существования точки перегиба
Если вторая производная f´(x) непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
План исследования функции и построение графика
Область определения функции.
Точки пересечения графика функции с осями координат.
Четность, нечетность функции.
Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.
Невертикальные асимптоты.
Интервалы монотонности и экстремумы.
Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Дополнительные точки,                 , периодичность (по мере необходимости).
Построение графика.

Пример Исследовать функцию               и построить ее график.
Область определения:

так как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби обращается в ноль.

(-∞;-2)    (-2;2)   (2;+∞),

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0,           тогда , откуда х=0.
(0;0) – точка пересечения графика с осями координат

 - функция четная.

4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.

                        ,                           ,

                        ,                           ,

следовательно, х=-2 и х=2 – точки разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 – вертикальные асимптоты.

5.Невертикальные асимптоты

следовательно, прямая у=1 – асимптота.

6.

у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 – критические точки.
   На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция возрастает, а на интервалах (0;2) и (2;+∞) – убывает.
   Уmax(0)=0.

7.

у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка.
На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график функции вогнутый, а на интервале (-2;2) – выпуклый. Точек перегиба нет


title: Скачать презентацию или конспект Пределы функций

extracted_text:
Математический анализ
Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель  кафедры Математики и Моделирования

Введение

Назначение курса
   Математический анализ является фундаментальной дисциплиной,  составляющей основу математического образования. Курс предназначен для ознакомления студентов с основными понятиями математического анализа и их применением к решению задач. В курсе излагаются традиционные классические методы математического анализа
Цели преподавания дисциплины
   Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению;
   Обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования технических и других  задач.
Задачи преподавания
   На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить приемам исследования и решения математически формализованных  простейших задач, привить навыки самостоятельной работы с математической литературой.
Литература
     Основная литература:
    Л. Д. Кудрявцев.  Курс математического анализа,  т. 1, 2.- М.: высшая школа,  1981
   Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу  математического анализа. – М.: Наука,  1987.
    Н. С. Пискунов. Дифференциальное  и интегральное исчисления, т. 1, 2. - М.: Наука,  1984.

Литература
    Дополнительная литература:
    Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики.-М.: Наука, 1978.
    Учебно-методические разработки:
    Л. Я.  Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001.
    Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.

Контроль
   Виды контроля: В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных работы, 3 ИДЗ и сдать теорию. Кроме того,  студенты должны пройти  промежуточную аттестацию. Итоговая аттестация предусмотрена в виде экзамена (компьютерное тестирование).
Аттестации
    Способы проведения промежуточных аттестаций,  способ проведения итоговой аттестации и условия получения на ней положительной оценки.
    Для получения положительной оценки на экзамене студент должен выполнить все контрольные работы,  выполнить и защитить все ИДЗ, проявлять активность на занятиях и регулярно выполнять все домашние задания.
Пределы и непрерывность
1. Определение предела функции.
2. Односторонние пределы.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие.
4. Теоремы о пределах.
5. Некоторые признаки существования предела.
6. Замечательные пределы.
7. Непрерывность.
8. Свойства непрерывных функций.
Лекция 1

Пределы функций

Определение функции
         Если каждому элементу хХ поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х)  У ,где Х и Y -данные числовые множества, и при этом каждому элементу у У  поставлен в соответствие хотя бы один элемент хХ,  то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

Обратная функция
   Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то есть xX соответствует один и только один его образ y =f(x)  Y и обратно, для  y  Y найдется единственный прообраз x  X такой, что f(x) = y. Тогда функция                    ,где y  Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).

Определение окрестности
  Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал   x  , окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.
   Под окрестностью О() символа бесконечность понимается внешность любого отрезка ,,  то есть О () = (-,)  (,+ ).

Определение предельной точки
δ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку а, т.е. О (а, δ) = (а- δ, а)(а, а + δ).
    Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а.

   Точку а мы будем называть предельной точкой множества X,
    если в любой δ -окрестности точки а содержится бесконечно много точек xX, то есть О (а)∩X   для  О(а).

Определение предела
   Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при xа), если для любого   0 существует число δ()  0 такое, что для любого x  X, удовлетворяющего условию
 0  x – а δ, следует неравенство
f (x) – A .

Другое определение предела
   Говорят, что число А является пределом функции f(x) при xа, если для    0 существует δ-окрестность точки а  О (а,δ) = {x| 0< |x-a|<δ},где
δ =δ (), такая, что для  x  O (а, δ) выполняется неравенство f(x) – A  .
    При этом пишут:

   Утверждение                               эквивалентно следующему:
   f(x) – A    при x   ∆, где ∆ = ∆() зависит от  и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.
    Множество всех точек x, для которых
x  ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа .

Геометрическая иллюстрация

а

А
а-δ
а+δ
А+ε

А-ε

Y=f(x)

х
у
о

   Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.

а
А
А+ε
А-ε
а-δ
а+δ
х
у
У=f(x)
0
о

   На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.

а
х
у
0
Y=f(x)
Односторонние пределы

Односторонние пределы
    Любой интервал (, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.
    Аналогично любой интервал
 (a, ), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Односторонние пределы
   Символически запись                  означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а;
  запись
  означает, что х стремится к а слева, то есть при х < а.

Односторонние пределы

                                                                                будем называть

   левосторонним пределом
  функции (при                  слева),

                                  - это

правосторонний предел функции.

Односторонние пределы
   Теорема о существовании предела
	Функция у = f(х) имеет
   в том и только  том случае, когда существуют и равны друг другу ее левосторонний  и правосторонний пределы при              .
   Tогда                     =                     =
    =

Бесконечно малые и бесконечно большие

   Функция (x) называется бесконечно малой при ха, если

  Ясно, что тогда (x)   для всех      x  O(а, δ) и   > 0.
   Например, функция                    является бесконечно малой при x0.

   Функция f(х) называется бесконечно большой при             если                    .
   Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, δ), что для всех
     x  O (а, δ)          M.
   Например,                      бесконечно большая при x0 .

    Лемма.
	Если f(х)→ при х→а,
              →0  при ха.

   Если  (x)  0 при x a, то             при x  a и  (x)  0.

Лекция 2

     Свойства бесконечно малых.
       Теорема 1.
   Алгебраическая сумма 	конечного   числа бесконечно малых 	при x  а функций есть функция бесконечно малая при x  а.

       Теорема 2.
       Произведение конечного 	числа бесконечно малых при x  a функций есть бесконечно малая при x  a функция.

   Теорема 3.
Произведение бесконечно малой при xa функции на функцию, ограниченную при
 x  a, есть бесконечно малая при x  a.

         Следствие.
   Целая положительная степень                 бесконечно малой при x  a функции (x) есть бесконечно малая при x  a.

  Если                       ,   то в силу
 определения предела функции
получаем: f(x)-A<    при
x O(а,δ), что означает, что f(x) – A является бесконечно малой при
x a.

     Тогда, полагая f(x)-A=(x), получим:  f(x) = A + (x), где
   (x)  0 при x  a.
     Таким образом, имеем:
                      <=> f(x) = А+ (x),
 где   (x)→ 0 при x  a.

Теоремы о пределах

   Теорема.
   Если функция f(х) = с  постоянна в   некоторой окрестности точки а, то

 Теорема.
   Если f(х) имеет предел при х→а, то этот предел единствен.

   Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)|  М при всех х Х.
   Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной

   Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности точки х = а.
   Теорема. Пусть существует
                       и пусть М < f(x) < N в
   некоторой окрестности точки x = a. Тогда М  А  N.
    Положительная функция не может иметь отрицательного предела.

   Теорема 1.
 Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)g(x),причём
                                                                .

   Теорема 2.
   Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)g(х), причем

   Следствие.
   Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и    g (x) и при этом                     , то
существует и предел частного , причем

                                                      .
                                           .

Пример
   Найти                                        .

   По теореме о пределе частного

Пример
  Найти
   Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и знаменателе множитель         , на который и разделим далее числитель и знаменатель:

Пример
   Найти
   Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на

Пример
   Еще один пример. Вычислить
   Положим           .

Признаки существования предела
   «Теорема о двух милиционерах»

 куда они меня тащут?

   Теорема (о промежуточной функции).
   Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями             и             ,  имеющими одинаковый предел А при x  a, то есть
                                                  и

 Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

Первый замечательный предел
   Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть

                                           .
Этот предел называют первым замечательным пределом.

Первый замечательный предел

   Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти не успевает изменить свое направление, т.е. искривиться.

x
x
y

А
В
Второй замечательный предел
  Второй замечательный предел:

                          или                                 или

Примеры
     Вычислим

  =

Примеры
   Найти                         Полагая            , получим:

=

      Сравнение бесконечно малых
   Две бесконечно малые при х→а    функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одинакового
   порядка, если                    k, где k 0 и конечно.
   При этом пишут: (х) =О((х))

   Две бесконечно малые при х→а функции (х) и (х) называются эквивалентными при х→а, если
                                     .

 Это записывают так: (x)  (x) при x→a.

   Бесконечно малая при х→а функция (х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией (х) при х→а, если
                                   .

   В этом случае пишут (х) = о ((х)) при x→a.

   Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.

   Теорема. Если при             бесконечно малые                     , то

  Пример.


title: Скачать презентацию или конспект Урок – игра «В мире числительных»

extracted_text:
Урок – игра«В мире числительных»
 "Третий лишний":
1) один, одиночка, одиночество;
2) пятёрка, пятерня, пять;
3) четырёхугольник, четыре, четвёрка.

Один
Пять
Четыре

– Почему вы назвали лишними именно эти слова?
– А остальные слова какой частью речи являются?
– На каких уроках вам помогают числительные?

Русский язык
Индивидуальная работа:1) синтаксический разбор предложения (Три девицы под окном пряли поздно вечерком.);
2) морфологический разбор числительного ТРИ.
3. Коллективная работа: склонение числительных.
I вариант: 93 года; II вариант: 93 год.
Перемена
 Отгадайте ребусы:
 7я, 40а, 100л, е2, о5, с3ж.
Литература
Назовите литературные произведения, в заголовке которых есть числительные, и их авторов.

Сколько числительных в этом стихотворении?
У простого сторожаНепросторный дом:Часто в нём стоножкаБродит под столом.Дорожит стоножкаЧистотою ногИ столичной ваксойЧистит сто сапог.Вместо двух непростоВычистить все сто,Сразу столько обувиНе носил никто!
Письмо по памяти
   Есть у нас 3 сес3цы.Вы (не)знаете их?Как(бы) мне ухи3тьсяРассказать о тр...их?
Перемена
В каких пословицах и поговорках вам встречались числительные?
Математика
1. Подсчитайте результат и запишите примеры словами:
47 + 15 =
189 – 33 =
72 : 12 =
18 Х 10 =
Составь задачу!
   Используя имена числительные, составьте задачи на сказочные темы по иллюстрациям к сказкам.
   Задачи могут начинаться так: "Красная Шапочка шла к больной бабушке и несла в корзине двадцать пирожков..." или "На опушке леса жили Коза и семеро её козлят..."
26.01.2017
12
http://aida.ucoz.ru
Перемена
– Отгадайте загадки, в которых есть числительные:
1). У двух матерей по пяти сыновей, а имя одно всем.
2). Четыре брата бегут, друг друга не догонят.
3). Сто одёжек и все без застёжек.
4). Тридцать два молотят, один поворачивает.
26.01.2017
13
http://aida.ucoz.ru
 УРОК ФИЗКУЛЬТУРЫ.

. Встаньте. Я буду называть числительные: если мягкий знак стоит в середине числительного– руки вперёд, в конце – присядьте, если его в слове нет – попрыгайте.
История
1). "Когда прошло четыре лета, пришёл Олег от Царьграда в Киев".
2). "И приказал Олег грекам дать дани на две тысячи кораблей, по двенадцати гривен на человека, а было в каждом корабле по сорок мужей".
Перемена
Назовите фразеологизмы, в составе которых есть числительные.

Биология
Задание на дом.
(на выбор): 1) составить словарный диктант с числительными; 2)сочинение-миниатюра "Наш класс" с использованием числительных.
Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского. Сходства и отличия

extracted_text:
Евклидова геометрия и геометрия Лобачевского
Сходства и отличия
Быкова Ксения 7 а класс 2011 год
Евклидова геометрия

Евкли́д или Эвкли́д (, ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала» (элементы).
Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.
7 февраля 1826 года Лобачевский представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829—1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.
Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. Уже в первой публикации Лобачевский детально разработал тригонометрию неевклидова пространства, дифференциальную геометрию (включая вычисление длин, площадей и объёмов) и смежные аналитические вопросы.

Евклидова геометрия  — геометрическая теория, основанная на аксиомах, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.). «Начала состоят из 15 книг. В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. Остальные книги связаны с алгеброй.
Евклидову геометрию называют элементарной геометрией.

Элементарная геометрия —определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Её изучают в средней школе.
Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.
В «Началах» Евклида были даны следующие аксиомы:
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Все прямые углы равны между собой.
Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту.

Геометрия Лобачевского
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Евклидова аксиома о параллельных гласит:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.
В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.
КОНЕЦ


title: Скачать презентацию или конспект Космическое путешествие

extracted_text:
Мальцева Светлана Валерьевна
Учитель начальных классов
МОУ Большеничкинской  СОШ № 5

Педагогический стаж:19лет

2011 год
Космическое
путешествие

Очень внима тельными
Правильно выполнять задания

Отработать  вычислительные навыки
Не допускать ошибок
Уважать   друг  друга

Сообрази тельными
Тема: «Устные приёмы умножения и деления трёхзначных чисел на однозначное».
Урок математики
 3 класс.
Цель:
Отработать вычислительные навыки при решении примеров в пределах 1000, при решении задач.

Задачи:
Закрепить умения решать задачи;
Развивать внимание, логическое мышление;
Воспитывать взаимоуважение.
39:12=2(15)

420:60=7

28:5=5(3)

200 х 3=60

96:44=2(8)

300 х 3=900

240:30=80

400 х 2=800

350:70=5
Предполётная разминкапродолжи и запиши ряд чисел, определив закономерность.832, 732, 632, …, …, …, …, … .704, 703, 702, …, …, …, …, … .

4х100=
     150х6=
    105х7=
    203х2=
160х3=
130х4=

106х4=

 А теперь, чтобы запустить ракету, мы должны проверить готова ли она к полёту, решив примеры.

Лети, лети, ракета,
На запад, на восток,
Считая километры,
И прибывая в срок!

М о л о д ц ы !
 Корабли в космосе. Нужно установить связь между ними.2 вариант3х170=650:5=560х2=4х150=

1вариант180х2=840:2=4х240=910:7=

4. Физ. минутка
А сейчас мы с вами, дети,
Улетаем на ракете.
На носки поднимись,
А потом руки вниз.
Раз, два, три, четыре –
Вот летит ракета ввысь!
1экипаж.  Начертите ломаную линию из четырёх равных звеньев, длина которой равна 12 см.2 экипаж. Начертите равносторонний треугольник со стороной 3 см. найдите его периметр.3 экипаж. Начертите квадрат, периметр которого равен 20 см.

Маршрут проложен правильно!
Лети, лети, ракета!
На запад, на восток,
Считая километры,
 и прибывая в срок!

1 экипаж. Российский космонавт Павел Попович на космическом корабле,  48 раз облетел Землю, американец  Уолтер Ширра – 6 раз, американец Гордон Купер – 22 раза. На сколько раз больше облетел Землю Павел Попович, чем Ширра и Купер вместе?2 экипаж. За три дня Музей космонавтики посетили 540 школьников. В первый день было проведено 4 экскурсии по 20 человек, во второй день – 6 таких экскурсий. Сколько экскурсий было проведено в третий день?3 экипаж. У Алёши три альбома с марками на тему «Космос» в одном альбоме 12 марок, а в двух других альбомах по 40 марок. Сколько всего марок у Алёши?

               Витаминный обед:1 экипаж. Вам предлагают 6 кг.яблок и 11 кг.бананов. Сколько граммов фруктов вам предлагают?
2 экипаж. У вас в запасе есть 5 кг.яблок, 2 кг.груш, а бананов столько, сколько яблок и груш вместе. Сколько граммов бананов у вас есть в запасе? З экипаж. Вам предлагают 14 кг.помидоров и огурцов. Помидоров 11 кг. Сколько граммов огурцов вам предложили?

№12, с.77.1 экипаж. 1,3 столбик2 экипаж. 1,3,4 столбик3 экипаж.- весь номер.
Полетели домой!

Ура! Земля!
Мы дома!


title: Скачать презентацию или конспект Решето Эратосфена

extracted_text:
Решето Эратосфена
Выполнила
ученица 6 «Г» класса
Алагирова Даяна
    Сын Эглаоса, уроженец Кирены
Начальное образование Эратосфен получил в Александрии под руководством своего учёного земляка Каллимаха. Другим учителем Эратосфена в Александрии был философ Лизний. Перебравшись затем в Афины, он так тесно сблизился со школой Платона, что обыкновенно называл себя платоником. Результатом изучения наук в этих двух центрах была энциклопедическая эрудиция Эратосфена; кроме сочинений по математическим наукам, он писал ещё трактаты «о добре и зле», о комедии и др. Из всех своих сочинений Эратосфен придавал особенное значение литературным и грамматическим, как это можно заключить из того, что он любил называть себя филологом.

Немного истории об Эратосфене
Царь Птолемей III Эвергет после смерти Каллимаха вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведование Александрийской библиотекой. Удалённый в старости от этой должности, Эратосфен впал в крайнюю нищету и, страдая болезнью глаз или даже совсем ослепнув, уморил себя голодом.
Отголоски призвания обширной учёности Эратосфена звучат и в прозвищах, которые он получил от современников. Называя его «бета», они, по предположению многих исследователей, желали выразить свой взгляд на него, как на второго Платона, или вообще как на учёного, который только потому занимает второе место, что первое должно быть удержано за предками. Другим прозвищем Эратосфена было «пентал» — пятиборец
В честь Эратосфена назван кратер на  Луне

Что такое Решето Эратосфена?
Этим именем называют следующий способ получения ряда простых чисел.
Из ряда чисел
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14...
вычеркивают кратные двум;
4, 6, 8, 10, 12,...
— кратные трем:
6, 9, 12, 15,...
— кратные пяти:
10, 15, 20, 25, 30,...
— кратные семи:
14, 21, 28, 35, 42, 49,...
и т. д.
Таким образом все составные числа будут просеяны, и останутся только простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Заключение
Итак, Решето Эратосфена работает как своего рода аналоговая вычислительная машина. И, значит, вот что изобрел великий грек: он изобрел СЧЕТНУЮ МАШИНУ! А ведь для простых чисел не существует даже формулы, по которой их можно вычислить все. Нет такой формулы, а Решето есть. И создав Решето Эратосфена достаточно большого размера, мы отсеем (построим) ВСЕ простые числа без исключения. Все они окажутся в дырках совершенно правильного геометрически Решета! Так «правильно» ли их расположение или неправильно»? Никто не может сказать.Есть какая-то странность в этих простых числах. Вроде бы в Решете Эратосфена нет никаких случайностей и должна получаться точная и легко записываемая формулой последовательность. Но — как ни странно — ничего подобного: формулы нет! Сколько столетий уже искали — нет!В это настолько не верится, что и сегодня начинают искать несуществующую формулу. Но эти поиски не заканчиваются успехом... Может быть, повезёт мне?


title: Скачать презентацию или конспект Треугольник 1

extracted_text:
ГЕОМЕТРИЯ -  7 класс
 Учитель математики гимназии №52 Приволжского района г.Казани Аверьянова Г.И.
СУММА  УГЛОВ  ТРЕУГОЛЬНИКА
pptcloud.ru

Ты на меня, ты на него,На всех нас посмотри.
У нас всего у нас всего,
У нас всего по три.
Три стороны и три угла
И столько же вершин.
И трижды-трудные дела
Мы трижды совершим.
Все в нашем городе -друзья,
Дружнее – не сыскать.
Мы треугольников семья
Нас каждый должен знать!
дальше
Назад

Равносторонний

Равнобедренный

Разносторонний
Классификация треугольников по сторонам
дальше
Назад
Остроугольный                                   Прямоугольный

Узнает очень просто
Меня любой дошкольник
Я тупо-,прямо-,остро-
Угольный треугольник !
Тупоугольный
Классификация  треугольников по углам
дальше
Назад
Теорема: Сумма углов треугольника равна 1800
Дано:

А
А

А
В

АВС треугольник
угол1,угол2,угол3
Доказать:
Угол1+угол2+угол3=1800
1
2
3
4
5
Доказательство:

1.Проведем через точку В прямую  а параллельно АС. Отметим на
Чертеже углы 4 и 5.
2.угол5+угол2+угол4=1800 (как развернутый угол)
3.угол4=углу3(как внутренние накрестлежащие при параллельных
 а и АС и секущей ВС)
   угол5=углу1(как внутренние накрестлежащие при параллельных
 а и АВ и секущей АВ)
4.угол1+угол2+угол3=1800       что и требовалось доказать.
С
а
дальше
Назад
Следствия из теоремы:

В равностороннем треугольнике углы равны 600
В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна  900

дальше
Назад

В прямоугольном равнобедренном
треугольнике острые углы равны
               по 450
Может ли в треугольнике быть два прямых угла? Почему?

  Может ли в треугольнике быть два тупых угла Почему?

  Может ли в треугольнике быть один прямой угол и один  тупой? Почему?

Ответь на следующие вопросы
дальше
Назад
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
65
55
Ответы  выбери       60
650
 250
500
х
Задача № 1
Найди  неизвестные углы.
дальше
назад
МОЛОДЕЦ !!!
дальше
Назад
ОТВЕТ  НЕВЕРНЫЙ…

65 + 55  + х =  180
Решение задачи :
(по теореме  о сумме  углов треугольника)
        х = 180 – (65 +55)
Х = 600
Ответ:  600
дальше
назад
ЗАДАЧА №2
х
   Ответ выбери    600   650 			       500     250

дальше
Назад
МОЛОДЕЦ !!!
дальше
Назад
ОТВЕТ  НЕВЕРНЫЙ…
Решение задачи:
 65 + х = 90 ( по следствию из  тео-

Ремы о сумме  острых углов в
Прямоугольном треугольнике )

Х = 900 – 650
Х = 250
Ответ:  250
назад
дальше
Задача №3
65
у
х
Ответ выбери:  600
650   250       500

дальше
Назад
МОЛОДЕЦ !!!
Дальше
Назад
ОТВЕТ  НЕВЕРНЫЙ…
 Решение задачи:

Х =  650Ответ
   (как углы при основании равнобед-
               ренного треугольника)
Х + У + 65 = 1800 (как сумма углов
                                               треугольника)
У =  180 – (65 +65)
У = 500
Ответ:
650  ,
500
назад
дальше
Полученные знания по теме находят
широкое применение на практике и необходимы для дальнейшего изучения геометрии
дальше
Назад
 А.В.Погорелов.  Геометрия 7-11
Е.Е.Семенов. Изучаем геометрию.
В.Г .Житомирский, Л.Н. Шеврин. Путешествие по стране
 геометрии.
А.П.Ершова, В.В. Голобородько, А.С.Ершова. Контрольные
И самостоятельные работы по геометрии. 7 класс.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ  ЛИТЕРАТУРА
начало
Назад


title: Скачать презентацию или конспект Действия с рациональными числами

extracted_text:
МОУ Белоносовская СОШУрок математикив 6 классеТема: «Действия с рациональными числами»
Выполнила: Гайдук Н.В.
1.Образовательная: отработка вычислительных навыков действий с рациональными числами.
2.Воспитательная: воспитание трудолюбия,чувства ответственности.
3.Развивающая: познавательный интерес к предмету, наблюдательность, логическое мышление.
Цели и задачи урока:
Программное обеспечение.
1.Microsoft Power Point.
2.Программы сканирования и обработки изображений.
3.Учебное электронное издание»Математика 5-11 классы.Практикум. ЗАО «1С»,2004 г.
Мультимедийные компьютеры
Мультимедийный проектор и экран
Сканер и принтер
Техническое обеспечение.
Организационный момент
Повторение
Самостоятельная работа
Итог урока
План урока
Сегодня на уроке вы должны отработать навыки выполнения действий с рациональными числами.
Для этого надо повторить правила сложения и вычитания, умножения и деления рациональных чисел.
Организационный момент
Подберите число, которое надо вставить вместо *.
 -5х *=-10        -4 : * =4
  6 : * = -6          -3х * = 12
     - 7 :* =1          7х* = -21
 * х 4 = -16          6х * = 18

Повторение
Вычислите:
-12+7=
-8 -13 =
3+(-8) =
-7- (-11) =
-5 -12 =
6+ (-14) =
(-2+8):3 =
-3 -8:4 =
-36 :9+4 =
Откройте программу «Математика 5-11 класс»
6 класс. Числа и вычисления.
Раздел 6. Рациональные числа.
Самостоятельная работа
П. 6.3 Сложение и вычитаниерациональных чисел.
Выполните упражнения: 3 и 5

П. 6.4 Умножение и деление рациональных чисел.
Выполните упражнения: 3,5,7.

Итог урока
Молодцы!


title: Скачать презентацию или конспект Геометрический конструктор

extracted_text:
Геометрический конструктор
Учебно-наглядное, познавательное пособие по математикедля младших школьников
Представляет Чебоненко Семен
Учащийся 5 класса
МОУ Курлекская СОШ
Руководитель – Логунова Л.В., учитель математики
Семен занимается в «школе точной мысли» и «школе пользователя персонального компьютера» интеллектуального детского клуба «Ступени» Курлекской СОШ Томской области Томского района.

Содержание
Танграм
Архимедова игра
Задачи на разрезание
Пентамино
Тетрамино

У квадрата большие возможности  для создания игрушек
Древние греки, китайцы и другие  народы занимались геометрией.
Но они не только измеряли земельные участки и расстояние до кораблей в море, но и любили геометрические игры.
Геометрический конструктор
Геометрические игрушки способствуют формированию и развитию восприятия, пространственного мышления, наблюдательности, зрительному контролю  за  выполнением своих действий.
При этом благодаря многим играм развивалась сама математика, появлялись новые разделы высшей математики.
Квадрат очень похож на механизм с хорошо прилаженными частями, который можно разобрать и из тех же частей собрать новый механизм.
Танграм
Танграм
Одна из самых известных древних геометрических головоломок – игра «танграм», в которую в течение многих веков играют и дети, и взрослые, возникла игра в Китае, где она называется «чи чао ту», то есть умственная головоломка из семи частей.  Название «танграм» - европейское. Вероятнее всего, от слова «тань» (что означает «китаец») и корня «грама» (в переводе с греческого «линия»). "Танграм" в переводе - "хитроумный узор из 7 частей".
Кто играл в «танграм»?
Это настолько увлекательная игра, что сам великий древнегреческий ученый Архимед написал о ней сочинение.
Кто играл в «танграм»?
Всем известно, что французский император Наполеон после военного поражения был сослан пожизненно на остров Святой Елены. Сведений о том, как он прожил свои последние годы, чем занимался, очень мало.
Но достоверен тот факт, что Наполеон часами занимался складыванием фигур танграма.

Танграм

 Возьмем квадрат и разрежем его на 7 частей как показано на рисунке.

Танграм

У нас должно получиться 7 плоских геометрических фигур – танов.
Перемещая их так, чтобы ни одна из низ не накладывалась на другую и при этом не было промежутков между ними, мы можем получить удивительные фигурки-танграмы.

Танграм

Будем называть их так:
два больших равных прямоугольных, равнобедренных треугольника,
два маленьких равных прямоугольных, равнобедренных треугольника,
один средний равнобедренный прямоугольный треугольник,
один квадрат,
один параллелограмм.
А теперь посмотрите, как нужно складывать фигурки.

Соберем-ка домик

А,ну-ка,ты собери!
Фигурки из танов
Миниатюры из нескольких танов
Коллекция фигурок-танграмов (225 фигурок по темам имеется у нас для тренировок)Например:Птички
Архимедова игра

Эта игра-головоломка очень похожа на танграм. Игра «Стомахион» была известна еще до нашей эры. Создателем ее считали Архимеда. В 1899 г. швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись. Книга Архимеда «О разбиении фигуры стомахиона на 14 частей, находящихся в рациональных отношениях». Позже датский историк математики Гейберг подтвердил, что создателем игры является Архимед.

Главное отличие от танграма заключается в числе и форме кусочков, из которых они составлены.
Если части танграма получаются разрезанием квадрата, то в Архимедовой игре разрезается прямоугольник:
А сейчас посмотрите, какие фигурки можно составить.

Задачи на разрезыванияквадрата
Если вы хоть немного увлечен математикой, то ему, несомненно, захочется не только складывать многоугольники из готовых частей квадрата, но и самому научиться разрезать квадрат на части, необходимые для составления той или иной фигуры, например прямоугольного или равностороннего треугольника, правильного пятиугольника или шестиугольника, трех или пяти квадратов и т. д.
На языке геометрии это значит: найти те геометрические построения, при помощи которых разрезается квадрат, и доказать, что из полученных частей может быть составлена требуемая фигура.
Такая постановка вопроса более интересная, но и более трудная.

Пример задачи
Составить сплошной квадрат из трех равных квадратов.

Решение
Познакомимся с тем решением, которое дал Абул Вефа, арабский математик, живший в X веке.
Он разрезал квадраты I и II по диагоналям и каждую из половинок приложил к квадрату III, как показано на рисунке
Затем он соединил отрезками прямых вершины Е, F, G и Н. Полученный четырехугольник ЕFGН оказался искомым квадратом.
Доказательство сразу следует из равенства образовавшихся маленьких треугольников HLK и EKD   и остальных таких же (HL=ED; углы HLK и  ЕDК— по 45° и  HLK = = ЕDК ).
Приведенное решение, по словам Абул Вефы, «точно и вместе с тем удовлетворяет практиков

Пример задачи на составление квадрата из других фигур
Разрежьте крест на части и сложите из них квадрат. Причем высота и ширина квадрата должны быть такими же как и высота и ширина креста.
Решение
Нетрудно по рисунку разобраться, как это сделать.
Пентамино

Игра «Пентамино» была придумана в 50-х годах ХХ в. американским математиком С.Голомбом и очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики.
Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти (“пента” по гречески означает «пять») одинаковых квадратов, причем квадраты соседствуют только сторонами.
Паркет из пентамино
Игра в пентамино

В пентамино можно играть и вдвоем. двое игроков по очереди выбирают любую из 12 фигурок пентамино и располагают ее на свободных клетках поля 8 х 8.
Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на доске ни одного пентамино. Если же все фигурки удалось разместить на доске, то выигрывает ходивший последним.
Тетрамино

Тетрамино называется полиомино, занимающее четыре квадрата
Составление квадратов и прямоугольников
Однако у тетрамино есть другое интересное свойство. Из некоторых элементов пентамино (а именно всех, за исключением I, T, X, V) в сочетании с полным набором тетрамино можно составить квадрат 5x5. Вот два таких построения:
Заключение
Изучая презентацию «Геометрический конструктор», вы, наверное, обратили внимание, что  роль главной геометрической фигуры здесь играл квадрат.
Вот такая это интересная, замечательная геометрическая фигура - квадрат, а с виду такая незамысловатая.
Но даже если рассматривать квадрат только для создания игрушек, то таких игрушек будет чрезвычайно много.
Древнегреческие греки, арабы придавали очень большое внимание задачам на разрезывание квадрата, используя выводы в землеустроительстве, в архитектуре.
Квадрату и задачам на разрезывание квадрата посвящено очень много книг.

Список использованной литературы
Кордемский Б.А., Русалев Н.В. «Удивительный квадрат», Москва, 1994, «Столетие»;
Кордемский Б.А., «Математическая смекалка», «Манускрипт», Санкт-Петербург, 1994.
Перельман Я.И., «Занимательная геометрия», издательство «АСТ», Москва 2003.
В презентации использовались картинки  из Интернета, а также музыкальные фрагменты детских песен.(Отменены из-за большого размера)
Адрес: 634523, Томская область, Томский район, с Курлек, ул. Трактовая, МОУ Курлекская СОШ, Логунова Л.В. -  учитель математики, Чебоненко Семен -  ученик 5 класса.
E-mail: Logunova@yandex.ru


title: Скачать презентацию или конспект Длина

extracted_text:
Урок математики в 1 классе (программа «Школа 2100»)
Величины.
Длина
Урок математики в 1 классе (программа «Школа 2100»)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
Пуск!

9
8
6
4
3
Какие карточки перевёрнуты?
Какие числа спрятались в окошках?
8

5
8
6
7
9
10
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
7
7
7
9
2
2
2
2
1
1
1
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
6
6
8

Найди нужную запись.
5 – 3
1 + 4
2 + 2
4 – 2
2 + 3
5 - 2

цвет
форма
размер
  свойства
(признаки)
Физкультминутка

Раз – подняться, потянуться.
Два – нагнуться, разогнуться.
Три – в ладоши три хлопка,
 головою три кивка.
Пять – руками помахать.
На четыре – руки шире.
Шесть – за парту тихо сесть.
Тема:
Величины.
Длина.
Какую коробку выбрать для карандаша?

Длина предмета – это величина.
Величина – это свойство (признак).
1. Измерить
2. Результат записать числом
Удав = 38 попугаев.Удав = 5 мартышек.Удав = 2 слонёнка.
САНТИМЕТР

см

Задача  Кати.

1см
2см
3см
К
К
М
М
А
Б
2см + 3см + 1см =
2см + 1см + 3см =
1см + 2см + 3см =

1см + 3см + 2см =
3см + 1см + 2см =
3см + 2см + 1см =
6см
6см
6см
6см
6см
6см
Задача  Вовы.
?

3 фр.
2 фр.
4 фр.
Гр.
П.
М.
3 + 2 + 4 =
9 (фр.)
Ответ: 9 фруктов.

Реши для себя.

Конец урока.
Источники материалов
Козлова С.А. «Математика» 1 класс /«Баласс», М. 2010г.
ракета             http://openclipart.org/tags/rocket
Буратино        www.коллаж.net
меры длины   black-vbl.narod.ru
удав                http://www.chitalnya.ru/work/123114/
карандаш
http://www.qualitylogoproducts.com/golf-accessories/round-golf-pencil-erasers.htm
физкультминутка
http://www.fitness-portal.ru/fitness_programme/standard/11a.htm
http://www.aif.ru/health/article/39081
http://atimstudio.ucoz.ru/photo/2-71-0-0-2
http://smajliki.ru/smilies-127.html
http://alekseybrovko.mylivepage.ru/image/index/next_12195.0.2009_04_26_19_59_17
http://atimstudio.ucoz.ru/photo/2-75-0-0-2
http://www.zaryadka.net/fotogal3/84.html
http://www.mwe-design.ru/view.php?id=5106


title: Скачать презентацию или конспект Ломаные и многоугольники

extracted_text:
   Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.
 (А. Маркушевич)
Девиз урока
Восстановите цепочки вычислений.

40

:8
:5
+11
+46

72

:6
:5

:7
+8
28

:10

:8
56

:4
+13
Какие фигуры изображены на рисунке?
А
В
С
D

М
К

О

Р
S
T

F
O
D

Q

Найдите известные вам углы и определите их вид.

С
О
М

Р
D
K
T

M

A
B
C
Ответ:

135˚
57˚
48˚
90˚
89˚
91˚
180˚
157˚
А) тупой угол –
Б) прямой угол –
В) острый угол –
Г) развернутый угол -
Соотнесите углы и их градусные меры:
Ответ:
Найдите градусную меру угла СОВ:

О
А
В
С
130˚
? ˚
50˚
Что изображено на рисунке?
А
В
С
D
Е
М
N
P
Q
R

Выберите замкнутые линии.

1
2
3
5
6
7
4
8
9

Выберите незамкнутые самопересекающиеся линии.

1
2
3
5
6
7
4
8
9

Выберите замкнутые линии без самопересечений.

1
2
3
5
6
7
4
8
9
Что изображено на рисунке?

1
2
3
4
Ломаные и
многоугольники

Цель урока:

 изучить понятие многоугольник, диагональ многоугольника;
научиться строить диагональ;
научиться определять периметр многоугольника.
Физминутка
МНОГОУГОЛЬНИК
А
С
E
B
D

многоугольник - пятиугольник
сторон -
5
5
5
вершин -
углов -

  ДИАГОНАЛЬ – это отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.

ДИАГОНАЛЬ

1.Какой многоугольник изображен на рисунке?
2.Назовитеите: а)вершины
                          б)стороны
                          в)углы многоугольника.
3.На какие два многоугольника разбивает диагональ КС данный многоугольник?
4.Сколько диагоналей можно провести из вершины В?
K
Определите вид многоугольника
1
5
2
3

6

4
Распределите многоугольники на две группы.По какому принципу выполнено деление?
1
5
2
3

6
4
Определите для каждого многоугольника:
  сколько диагоналей можно провести из одной вершины?

I
II
III
IV
V
Ответы к тесту
Вариант 1
Вариант 2
П.5.3
№405, 408
Творческое задание.
Познакомиться с понятием «геометрический паркет». Придумать свой паркет из многоугольников (работу выполнить из цветной бумаги на альбомном листе)

Домашнее задание:
я узнал…
было интересно…
было трудно…
я выполнял задания…
я понял, что…
теперь я могу…
я почувствовал, что…

«Рефлексивный экран»Сегодня на уроке:
я приобрел…
я научился…
у меня получилось …
я смог…
я попробую…
меня удивило…
самым интересным было…

Спасибо
за сотрудничество!


title: Скачать презентацию или конспект История чисел

extracted_text:
Презентация «История  чисел»
Выполнила учащаяся 1 курса 19 группы :Пугина Кристина

Многие тысячи лет назад наши далекие предки жили небольшими племенами. Они бродили по лесам и полям, разыскивали себе пищу. Первобытные люди не знали счета. Их учителями была сама жизнь.
Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги.

Первые цифры появились у египтян и
вавилонян. У более поздних народов - древних
греков, финикиян, евреев, сирийцев - цифрами
тогда служили буквы алфавита. Так же было с
русскими и украинцами, у которых буквы
использовались вместо цифр до 16 столетия. В
Европе же с 13 столетия использовались так
называемые римские цифры (I, II, III, IV, V, VI и так
далее). Современные цифры (так называемые
арабские) были привезены в Европу арабами (как
считают, из Индии). Широкое распространение
арабские цифры получили во второй половине
15 столетия

Современные цифры
1       Вот один, иль единица,
         очень тонкая, как спица.
2        А вот это цифра два:
         полюбуйтесь, какова,
          выгибает двойка шею,
            волочится хвост за  нею
3        А за двойкой, посмотри,
           выступает цифра три.
          Тройка- третий из значков,
            состоит из трёх крючков.
4    За тремя идут четыре,
            острый локоть оттопыря.

5        А потом пошла плясать
      по бумаге цифра пять.
     Руку вправо потянула,
     ножку круто изогнула.

6      Цифра шесть -дверной замок:
           Сверху крюк, внизу -кружок
Современные цифры
7    Вот семёрка- кочерга,
У неё одна нога.

8  У восьмёрки два кольца
Без начала и конца.

9     Цифра девять, иль девятка,
Цирковая акробатка:
Если на голову станет,
Цифра шесть девяткой станет.

Современные цифры

История
В древнейшие времена числа обозначались прямолинейными пометками(«палочками»); одна палочка изображала единицу, две палочки — двойку и т. д. Этот способ записи происходит от зарубок. Он и поныне сохранился в «римских цифрах» для изображения чисел 1, 2, 3. Индийское происхождение так называемых «арабских цифр» было признано в науке лишь в XIX веке. Первым учёным, высказавшим эту, для того времени новую, мысль, был русский востоковед Георгий Яковлевич Кер (1692—1740). Кер с 1731 года служил в Москве переводчиком коллегии иностранных дел.

Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Трёхгранный угол

extracted_text:
Урок 6
Трехгранный угол
pptcloud.ru

Теорема.
В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360
и сумма любых двух из них больше третьего.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
(b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .
Основное свойство трехгранного угла.
Доказать:
 +  +  < 360;
2)  +  > ;  +  > ;  +  > .
Доказательство
I. Пусть  < 90;  < 90; (ABC)с.
Тогда ОВС = 90 –  < ОВА
(следствие из формулы трех косинусов).
Аналогично, ОАС = 90 –  < ОAВ.
Следовательно,
= 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 – ) + (90 – )) =  + .
Если  < 90, то остальные два неравенства пункта 2)
доказываются аналогично,
а если   90, то они – очевидны.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
(b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .
Доказать:
2)  +  > ;  +  > ;  +  > .
Формула трех косинусов
.
Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и
плоскостью применима формула:
2) Угол между прямой и плоскостью –
наименьший из углов, которая эта прямая,
образует с прямыми этой плоскости.
II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’
так, что |OA’| = |OB’| = |OC’|
Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ –
равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые.

Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим
неравенства, доказанные в пункте I:
С’А’B’ < 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5.
Сложим эти неравенства почленно,
тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) =
= (180 – ) + (180 – ) + (180 – )   +  +  < 360.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
(b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .
Доказать:
 +  +  < 360;
2)  +  > ;  +  > ;  +  > .
III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с
и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство,
доказанное в пункте II для произвольного трехгранного
угла:
(180 – ) + (180 – ) +  < 360   +  > .
Аналогично доказываются и два остальных неравенства.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
(b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .
Доказать:
 +  +  < 360;
2)  +  > ;  +  > ;  +  > .
с’
Следствие.
 В правильной треугольной пирамиде плоский угол
при вершине меньше 120.

Определение.
Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы.
Признаки равенства трехгранных углов.
Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны:

два плоских угла и двугранный угол между ними;
2) два двугранных угла и плоский угол между ними;
3) три плоских угла;
4) три двугранных угла.
.
.
Дан трехгранный угол Оabc.
Пусть  < 90;  < 90; тогда рассмотрим (ABC)с
По теореме косинусов из CАВ:
|AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC||BC|cos
Аналог теоремы косинусов
Аналогично, из OАВ:
|AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO||BO|cos.
Вычтем из второго равенства первое и учтем, что
|AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2:
2|CO|2 – 2|AO||BO|cos + 2|AC||BC|    = 0 

.
;
;
;
тогда cos = coscos + sinsincos
Заменим:
II. Пусть  > 90;  > 90,
тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с,
и соответствующий трехгранный угол Оаbс’,
в котором плоские углы  –  и  –  – острые,
а плоский угол  и двугранный угол       – те же самые.
По I.: cos = cos( – )cos( – ) + sin( – )sin( – )cos
 cos = coscos + sinsincos
III. Пусть  < 90;  > 90,
тогда рассмотрим луч a’,
дополнительный к a,
и соответствующий трехгранный угол Оа’bс, в котором
плоские углы  и  –  – острые,
третий плоский угол – ( – ),
а противолежащий ему двугранный угол – ( –   )
По I.: cos( – ) = coscos( – ) + sinsin( – )cos( –   )
 cos = coscos + sinsincos

a’

IV. Пусть  = 90;  = 90, тогда  =
и равенство, очевидно, выполняется.
Если же только один из этих углов,
например,  = 90,
то доказанная формула имеет вид:

cos = sincos
 cos = cos(90 – )cos
Следствие. Если
= 90, то cos = coscos –
аналог теоремы Пифагора!


title: Скачать презентацию или конспект Таблица умножения на 9

extracted_text:
Привет
Реши таблицу умножения на 9
В конце тебя ждет приз!

9х5
Выбери ответ правильный ответ
40
45
55
Ой-ой, ответ не верный
Начни сначала и будь внимательней

Молодец!
Это правильный ответ!
Продолжим!

9х7
Выбери ответ правильный ответ
63
56
54
Молодец!
Это правильный ответ!
Продолжим!

9х2
Выбери ответ правильный ответ
14
18
24
Молодец!
Это правильный ответ!
Продолжим!

Выбери ответ правильный ответ
36
32
42
9х4
Молодец!
Это правильный ответ!
Продолжим!

9х9
Выбери ответ правильный ответ
72
81
64
Молодец!
Это правильный ответ!
Продолжим!

9х3
Выбери ответ правильный ответ
24
32
27
Молодец!
Это правильный ответ!
Продолжим!

Выбери ответ правильный ответ
64
72
56
9х8
Молодец!
Это правильный ответ!
Продолжим!

9х6
Выбери ответ правильный ответ
48
54
52
УРА! Ты большой молодец и все твои ответы были правильные
Твой приз ЧИПСЫ и ПОХОД ЗА ХОТ-ДОГАМИ


title: Скачать презентацию или конспект Викторина по геометрии

extracted_text:
Итоговый тест
Будьте внимательны
Вопрос 1: Выберите верную формулировку определения прямоугольного треугольника:

Вопрос 2: Верно ли, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180°?
180°

Вопрос 3: Как называется сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу?

Вопрос 4: Как называются стороны прямого угла прямоугольного треугольника?

Вопрос 5: Продолжите формулировку:
Если острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, то…

Вопрос 6: В треугольнике АВС с прямым углом С  ∟ВАС = 30°, АВ = 36 см. Найдите длину катета ВС.
Выберите  верный ответ.

В
С
А

Вопрос 7:
На рисунке изображен треугольник АВС, ∟АВС = 42°
Найдите градусную меру угла BAС.

В
А
С

Вопрос 8: Каким свойством обладает катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в 30°?

С
В
А
4 см
30°

С
В
А
4 см
30°

D
F

Вопрос 11: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена высота АD.
Найдите величины углов В и С, если
боковая сторона треугольника АС=7 см, а СD=3,5 см

Вопрос 12: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС боковая сторона АВ  равна 12 см, а угол при вершине А – 120°. Определите высоту АН треугольника АВС.

А
С
Н
В

Вопрос 13: В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 18 см. Определите высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла.

=
=

На ошибках учатся!
Повтори теорию еще раз и вернись к задаче.
Не унывай

Ты хорошо поработал!
Приступай к решению следующей задачи.
МОЛОДЕЦ


title: Скачать презентацию или конспект Таблица сложения и вычитания с числами 7, 8 и 9

extracted_text:
Т.В. Черепанова, учитель МОУ ООШ № 21, г. Оленегорск
Таблица сложения и вычитания с числами 7, 8 и 9
Технологический приём
 анимированная сорбонка
Дорогие ребята!
    Я предлагаю вам поиграть и проверить, как вы знаете таблицу сложения и вычитания с числами 7, 8 и 9.
      Как будем играть? Вначале решите пример. А теперь вы можете проверить себя. Для этого щелкните левой кнопкой мышки по карточке.
Желаю удачи!
Таблица вычитания
Игра
Таблица сложения
Таблица вычитания
Игра
Конец
8
1+7

9
2+7

10
3+7

9
1+8

10
2+8

10
1+9

Таблица сложения
Игра
Конец
1
8-7

2
9-7

3
10-7

1
9-8

2
10-8

1
10-9

Таблица сложения
Таблица вычитания
Конец
Ещё играть
10
3+7

1
9-8

10
1+9

2
9-7

8
1+7

1
10-9

Таблица сложения
Таблица вычитания
Конец
10
2+8

2
10-8

9
2+7

1
8-7

9
1+8

3
10-7

ссылки
 Фон -http://osianka.mylivepage.ru/forum/1329_Общие/1082_PHOTOSHOP

Технологический прием анимированной сорбонки Г.О. Аствацатурова http://didaktor.ru/texnologicheskij-priyom-sorbonka/


title: Скачать презентацию или конспект Цилиндр

extracted_text:
Конкурс презентаций "Интерактивная мозаика"
Pedsovet.su

Автор презентации:
Красовская Марина Сергеевна, учитель информатики МОУ «Комсомольская средняя общеобразовательная школа №3» Чамзинского района Республики Мордовия.

(Презентация представлена в номинации «Интерактивная игра»)

Обобщающий урок-игра по теме: "Цилиндр"

«Не стыдись спросить –
не знать еще стыднее!»

					Японская пословица
В игре участвуют 2 команды. Капитан команды выбирает номер задания, и команда приступает к выполнению. Время каждого задания ограничено.
За время игры все квадратики должны быть открыты.
Внимание! Цвет каждого квадратика выбран не случайно. От цвета квадрата зависит уровень сложности задания.
Какой выберете вы – решать только вам!
Удачи!!!

Магический квадрат
Задание № 1
Цилиндры в практике.

		Предметы, имеющие  более или менее точную форму цилиндра, а также и такие, у которых есть  детали цилиндрической формы, встречаются повсеместно: в быту, в строительстве,   в технике – и играют важную роль.

Назовите как можно больше предметов, имеющих цилиндрическую форму!

Примеры моделей цилиндра в окружающей жизни

Примеры моделей цилиндра
в окружающей жизни

Задание № 2

Математическая эстафета.

Вопросы математической эстафеты
Что называют цилиндром?
Что называется образующей цилиндра?
Как называется длина образующей?
Что является радиусом цилиндра?
По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности цилиндра?
По какой формуле находится площадь полной поверхности цилиндра?
Что является разверткой боковой поверхности цилиндра?
Вращением чего может быть получен цилиндр?
Какие сечения цилиндра вы знаете?
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 36π. Площадь осевого сечения цилиндра равна…
Что называется касательной плоскостью цилиндра?
Что называется прямым круговым цилиндром?
Какие виды цилиндров вы знаете?
Что образуется вращением одной пары противоположных сторон прямоугольника?
Что образуется вращением другой пары противоположных сторон?
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, называется…
Из чего складывается полная поверхность цилиндра?
Что лежит в основании цилиндра и по какой формуле находится площадь круга?

Вопросы математической эстафеты

Ответы на вопросы математической эстафеты
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами.
Отрезки – образующие цилиндрической поверхности – называются образующими цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра.
Радиусом цилиндра является радиус основания.
Площадь боковой поверхности цилиндра Sбок =  2πr · h.
Площадь полной поверхности цилиндра Sполн = 2πr(r + h).
Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник.
Цилиндр может быть получен путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Сечение плоскостью, проходящей через ось – осевое сечение  - прямоугольник и сечение плоскостью, параллельной основаниям – круг.
36.

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость,        проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная        плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую .
Если образующие цилиндра перпендикулярны основаниям, то  такой цилиндр называется прямым круговым цилиндром.
Сложные цилиндры и наклонные цилиндры.
Цилиндрическая поверхность.
Два круга.
Прямоугольник .
Полная поверхность складывается из площади боковой  поверхности и двух оснований.
В основании лежит круг. Площадь круга Sосн = πr2 .

Ответы на вопросы математической эстафеты

«3» .
Вокруг прямоугольного
параллелепипеда с
измерениями 3, 4, 6 описали
цилиндр с образующей 6.
Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.

Задание № 3З А Д А Ч А

6
4
3
Решение:
Sбок = 2πR*h.
По теореме Пифагора имеем:
АС² = АД² + ДС²,
АС = 5.
R = АС:2 = 2,5 h = 6,
S = 2π*2,5*6 = 30π.
Ответ: 30π.

А
В
С
Д
А1
В1
С1
Д1

«3»

Высота цилиндра равна 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.
Дано: цилиндр, высота О1О2 = 12 см,
В – середина образующей М1М2, АВ пересекает О1О2  в т.С, СО2 = 4 см, АО2 = 18 см.
Найти: R основания.

Задание № 4

Задание № 5

Сколько понадобится
краски, чтобы покрасить
бак цилиндрической
формы с диаметром
основания 1, 5 м и высотой 3 м, если на   1 кв. м  расходуется 200 г краски?

Решение:
Дано: d = 1,5 м, Н = 3 м.
Найти кг краски -?

Sполн = 2πR*h + πR2,
Н = 3 м, d = 1,5 м ,
R =          ,

S полн = πdh +R2π =
= π*1,5*3 + π*           = 4,5*π + π*          =

4,5* π + 0,5625*π = 5,0625*π (м2).
Краска: 0,2 * 5, 0625*π =
= 1,0125*π (кг) ≈ 3,18 кг
Ответ: 3,18 (кг)

Задание № 6«ПрОщЕ пРоСтОгО»
1. Изобразите на доске цилиндр.
2. Подпишите все его составляющие.
3. На данном рисунке изобразите и обозначьте недостающие данные.
4. Дайте определение цилиндру и его компонентам.
«ПрОщЕ пРоСтОгО»

  Боковой поверхностью цилиндра называется часть  цилиндрической поверхности, заключенная между параллельными плоскостями.

      Основания - часть плоскостей, отсекаемых цилиндрической  поверхностью.

     Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

    Высота цилиндра - расстояние между плоскостями оснований; в прямом  цилиндре она совпадает с образующей.

     Ось цилиндра - прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Историческая справка
Здесь вам придется проявить смекалку и логику!

Слово «цилиндр»  происходит от греческого
слова «ΚΙΛΙΝΔΡΟΣ».
Подумайте,  что оно означает?

Слово «Цилиндр»  происходит от греческого
слова «ΚΙΛΙΝΔΡΟΣ»,
   что означает «валик», «каток».

Задание № 8
		 Если вы правильно отгадаете все  слова  по горизонтали,  то по вертикали получите слово, основополагающее нашего сегодняшнего урока.

Кроссворд

Задания к кроссворду
1. Точка, через которую проходит ось цилиндра.
2. Отрезок АВ на рисунке называется …  (Рис.2)
3. … боковой поверхности цилиндра, например.
4. Одно из сечений цилиндра называется …  (Рис.1)
5. Прямоугольник, эллипс, круг, парабола – это …  цилиндра.
6. Радиус основания в цилиндре называется …
7. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то в сечении получаем …

                    рис.1		                            рис.2
Ответы

Задание № 9«Мы – поэты»

Творческое задание.
		Из слов урок, цилиндр, тема, круг, сечение, плоскость, площадь придумать четверостишие.
		Приветствуется творчество, находчивость.
Спасибо за внимание!
Список источников основного содержания
http://leit.ru/modules.php?name=Pages&pa=showpage&pid=30&page=10
http://mathem.claw.ru/4.htm
http://geometry2006.narod.ru/Didakt9/Stereo.htm
«Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 классы» (Атанасян Л.С. и др.)
http://ru.wikipedia.org/wiki/Цилиндр
Список источников иллюстраций
http://img.salamnews.org/0461de1a0902ce6a5589433448991d5b/1274352213_4.jpg
http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRg0iOKqNHVZs9AUh9rAvQBp11DusEvSxJl2G6CpgV9qg9zXqPSQw
http://rcio.pnzgu.ru/personal/36/2/9/d11.jpg
http://pptcloud.ru/datas/tsvet-i-forma/Figury-6.files/0021-021-TSilindr.jpg
http://fotocomp.chat.ru/img/110vdnxl.jpg
http://www.thecoca-colacompany.com/presscenter/img/imagebrands/downloads/lg_cocacola_can.jpg
http://www.klentorg.ru/upload/shop_13/1/1/0/item_110720/shop_items_catalog_image110720.jpg
http://lambre-work.narod.ru/picturelambre/ktduo.jpg
http://www.topgifts.ru/resources/catalog/mKC7062_48.jpg
http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRg0iOKqNHVZs9AUh9rAvQBp11DusEvSxJl2G6CpgV9qg9zXqPSQw
http://i9.ebayimg.com/02/c/000/77/74/f6ca_32.JPG
http://www.wondercostumes.com/imgzoom/GA33.jpg
http://s015.radikal.ru/i330/1011/83/996b6b1a5859.jpg
http://www.gigagift.ru/upload/iblock/3ca/351-205.jpg
http://nemo.by/Portfolio/images/C13.jpg
http://picsdesktop.net/ancient-buildings/1024x768/PicsDesktop.net_103.jpg
http://atved.nnover.ru/data/uf/3379331/26/86/268624_0.JPG
http://wabby.ru/wabby/dwn/files/!Kartinki_i_foto/!Zdaniya_i_stroeniya/00046763.jpg
http://wabby.ru/wabby/dwn/files/!Kartinki_i_foto/!Zdaniya_i_stroeniya/00046765.jpg
http://wabby.ru/wabby/dwn/files/!Kartinki_i_foto/!Zdaniya_i_stroeniya/00046769.jpg
http://wabby.ru/wabby/dwn/files/!Kartinki_i_foto/!Zdaniya_i_stroeniya/00046773.jpg
http://wabby.ru/wabby/dwn/files/!Kartinki_i_foto/!Zdaniya_i_stroeniya/00046785.jpg
http://wabby.ru/wabby/dwn/files/!Kartinki_i_foto/!Zdaniya_i_stroeniya/00046787.jpg
http://stone.xdom.ru/img/stone/goods/img_1249.jpg
http://www.cardatabase.net/modifiedairlinerphotos/photos/big/00007264.jpg
http://galactica.csail.mit.edu/SUN/SUN/d/desert/vegetation/sun_blidnxxzmtubbwmj.jpg
http://ncbg.unc.edu/uploads/images/StillhouseByBlevins_web.jpg
http://www.photo-sturm.ru/pics/photobank/public/406/14/243/big_preview/5/2053.jpg
http://www.cm-resende.pt/files/71/7125.jpg
http://club.foto.ru/gallery/images/photo/2004/10/13/292846.jpg
http://stal-postavka.narod.ru/images/left_2.jpg
http://eqinfo.ru/data/tradeboard/1250/tradeboard7mv1AQ_img.jpg
«Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 классы» (Атанасян Л.С. и др.)


title: Скачать презентацию или конспект Куб и прямоугольный параллелепипед

extracted_text:
Республика Саха (Якутия)
Вилюйский улус, с. Хампа
МБОУ «Хампинская средняя общеобразовательная школа
им. С. Ф. Гоголева»

Григорьева Радомира Родомировна
Учитель математики

Цели урока:  - Сформировать знания, умения и навыки построения прямоугольного параллелепипеда и куба.
- Научить учащихся применять и использовать формулы нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда и куба в решении задач.
- Развить у школьников теоретическое, творческое мышление по данной теме.
- Воспитание информационной культуры.

Тема: Прямоугольный параллелепипед.
Куб.
5 класс

Мы с Геометрией на “ты”:Умеем складывать плоты,Умеем площадь измерятьИ периметр вычислять.Про круг умеем песни петь …Нам очень нравиться уметь!
Проверка домашнего задания
Урожайность – это масса урожая растений, собранного с единицы площади. Обозначив урожайность буквой m, площадь буквой S, запишите формулу для нахождения массы М урожая. Определите по формуле: а)какой урожай зерна получит фермер с поля площадью 25 га при урожайности 35 ц с гектара.
Разминка
39:3
+37
:5
•11
:55
28:2
+40
:3
•5
:15
72:3
:12
+44
:23
•35
13
50
10
110
2
14
54
18
90
6
24
2
46
2
70
Немного из истории…
Нас окружает множество предметов. Они отличаются формой, размерами, материалом, из которого изготовлены, окраской, …. Людей интересуют разные качества этих предметов. Математиков интересуют их форма и размеры.
Немного из истории…
Мячи, которыми вы много раз играли, имеют форму шара, хотя все они разных размеров. Многие небесные тела имеют форму, близкую к форме шара, включая и нашу планету.
Немного из истории…
Стакан и карандаш имеют форму цилиндра. Заметьте, что формы предметов очень разнообразны и не для всякой формы имеется специальное название.
Какой многогранник мы сегодня рассмотрим?
Тема: Прямоугольный  параллелепипед

Правильно напишите!
Приведите примеры прямоугольного параллелепипеда
Построение  параллелепипеда
Смотрите алгоритм выполнения

h

b

a
a - ширина
b - длина
h - высота
Параллелепипед

1
2
3
4
5
6
А сейчас давайте познакомимся
с его элементами.
Сколько  граней имеет прямоугольный параллелепипед?
Если внимательно посмотреть на это тело, то мы заметим, что вся поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольников, которые называются его гранями.

Рассмотрим грани параллелепипеда

Боковые грани

Верхняя грань
Нижняя грань (основание)
Задняя грань
Передняя грань

Параллелепипед
Сколько рёбер имеет прямоугольный параллелепипед?
12
рёбер

ребро

Параллелепипед
Сколько вершин имеет прямоугольный параллелепипед?
8
вершин
Из каждой вершины прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра. Длины этих ребер - длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда, или его измерения.
Вершины

Куб
Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называется кубом.
Все грани куба - равные квадраты.

а
а
а
а

Выполним задания
Рабочая тетрадь стр. 65 №2, №3

ребра
Домашнее задание
Дома постарайтесь изготовить свою модель КУБА. Посчитайте сколько квадратных сантиметров бумаги пошло на ваше изделие.
№ 792(б) стр. 122,
№816
 стр. 124
Спасибо за внимание!
Источники материалов
Виленкин Н.Я.  и др.Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / М.: Мнемозина, 2009.
Ерина  Т.М. Рабочая тетрадь по математике: 5 класс: к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика: 5 класс», 2009.
http://www.xrest.ru/original/19978/
http://eva.ru/albumpage/138808/316536.htm
http://www.igrushkov.ru/catalog?catalog=4673&page=
http://www.video-montager.ru/printthread.php?t=16046&page=11&pp=4


title: Скачать презентацию или конспект Прямая в пространстве

extracted_text:
Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой
Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей

Канонические уравнения прямой
Уравнение прямой, проходящей через
заданную точку параллельно заданному
вектору

Параметрические уравнения

 Уравнение прямой, проходящейчерез две точки

Угол между прямыми

Параллельность прямых
Если           то

Перпендикулярность  прямых

Если            то

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью
называется угол между прямой и ее
ортогональной проекцией на плоскость

Условие параллельности прямой и плоскости

Если                  то

Условие перпендикулярностипрямой и плоскости

Если


title: Скачать презентацию или конспект Проценты

extracted_text:
Проценты
Учитель математики
МКОУ « Москаленский лицей»
Бадюк Ольга Ярославна

Историческая справка
Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста».
Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Выразите в процентах:
7%
29%
125%
30 %
21 %
87,3 %
5,6 %
370 %
0,43 %
2800 %
5430 %
Запомни  правило:
1. Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100.

2. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.
Представьте проценты десятичными дробями:
5% =                                1000 % =
25,7% =                          648 % =
0,06 % =                          0,2 % =
23,9% =                           314 % =
12,7% =                           0,3 % =
0,05
0,257
0,0006
0,239
0,127
10
6,48
0,002
3,14
0,003
Запомни
   100% = 1                   200 % = 2
   50 % =1/2                 20 % = 1/5
   25 % = 1/4                10 % = 1/10
   75 % =3/4                 5 % = 1/20

                       50%             25%    10%

                    200%                          75%

                      20%              5%        100%
100%
1600

400
800
160
1200
1600
80
320
3200
Сколько процентов ?
                                                   1.Коричневых
                                                         квадратов.
                                                      2. Зеленых
                                                              квадратов.
                                                           3. Синих и зеленых
                                                              квадратов.
                                                           4. Зеленых и
                                                               коричневых

50%
25%
50%
75%
Что больше:
а)  половина   или   70% ;
б)   15%   или    четверть ;
в)   42 %  или  треть   ;
г)   осьмушка   или  30% .

Решаем устно
 1. Четверть книг на полке- учебники. Сколько процентов книг на полке составляют
остальные книги?
2. Одна пятая часть всех украшений - кольца. Какой процент составляют остальные украшения?
3. В первый день автотурист проехал
 35% всего пути, во второй – 45%, а в
третий- остальной путь. Сколько
процентов проехал в третий день?
75 %
80 %
20 %
Решаем устно
4. 25% учащихся школы принимали участие в соревнованиях, а остальные ребята приходили за них болеть. Сколько процентов учащихся школы стали болельщиками?

5. С контрольной работой справились 82% учащихся класса. Какая часть учащихся с ней не справилась?

75 %
12 %
Заполни таблицу.
8
160
792
2400
324
27
6480
540
32076
97200
2673
8100

Молодцы!
Спасибо за работу


title: Скачать презентацию или конспект Интеграл

extracted_text:
Интеграл
  Вычислите площадь заштрихованной фигуры самостоятельно

Ответы:     S = 4, 5                  S = 1⅓
Повторение
В - 1
В - 2

Другой подход к вычислению
площади криволинейной трапеции
Отрезок [а;в] разбит на n отрезков одинаковой длины точками х1;х2;… ;хn-1 ;хn.
∆х =(в – а)/n
На каждом отрезке как на основании построим прямоугольник высотой f (xk-1).
S = f (x k-1) ∆х =         (в – а)/n f (x k-1).
  S n - сумма площадей всех прямоугольников

В силу непрерывности f объединение построенных прямоугольников при большом n «почти совпадает» с криволинейной трапецией.
Sn  ->  S при n -> ∞.
Определение интеграла
Для любой непрерывной на отрезке [ а; в ] функции f          ( не обязательно неотрицательной )                    Sn  при n -> ∞ стремится к некоторому числу.               Это число называется интегралом функции             от а до в.

Обозначение
            f ( x ) dx

Т.е.    Sn  ->      f ( x ) dx   при n -> ∞

а и в – пределы интегрирования:  в – верхний предел;  а – нижний предел. Знак     - знак
интеграла. Функция f – подынтегральная функция. Переменная х – переменная интегрирования.
Из истории

  Г.В.Лейбниц         Якоб Бернулли     Иоганн Бернулли
Символ интеграла введён Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением латинской буквы S ( первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г.Лейбниц согласились с предложением  Я.Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Формула Ньютона - Лейбница
Сравнивая формулы для площади криволинейной трапеции
S = F ( b ) – F ( a )     и       S =     f ( x ) dx
Получаем
Если F – первообразная для f на [а; в], то
   f ( x ) dx = F ( b ) – F ( a )

Формула верна для любой функции  f, непрерывной  на  [а; в]

Замечания
1.       1 / х2   dx – по определению не существует, т.к. на [ -1; 2 ] функция f ( х ) = 1 / х2                     не является непрерывной, а значит                           функция  F ( x ) = -1 / x    не является первообразной для  f ( х ) на [ -1; 2 ].                    ( 0 Є [ -1; 2 ] не входит в D ( f )).
2.  При а ≥ в
При таком соглашении формула Ньютона – Лейбница оказывается верной при произвольных а и в. В частности,

Свойства интеграла
Сформулируйте и докажите
1)

Вычисление площадей с помощью интеграла
1.
2.

2.
1.
Задания
1. Вычислить интеграл       от  0 до 2 функции f ( х ) = х 3
( от – 1 до 1 )
2. Вычислить интеграл от  - π/4 до π   функции f ( х ) = 3 cos 2х.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  f1 ( х ) = х2 ; f2 ( х ) = 2х
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:   х = 0; у = х2 – 4х + 5 и касательной к этому графику в точке х0 = 2.
Задания уровня С

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями                                                                у = х2 – 6х + 5 и у = 5 – 2х – х2               двумя способами:
1) с помощью площадей криволинейных трапеций;
2) с помощью интеграла и его свойств.
Работа в группах
Группа 1: № 361 ( а; г ); 364 ( б; в ).
Группа 2: № 361 ( б; в ); 364 ( а; г ).
Группа 3:
Вычислите площадь
 заштрихованной фигуры
Ответ: 2

2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями                        у = х2; у = 4; х = - 2; х = 2.
Ответ:   5⅓
3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями                                у = х2 + 1; у = 5.
Ответ:   ⅔
Программированный контроль
Верный ответ:                        Вариант 1:          2; 4; 3.
                                               Вариант 2:          3; 2; 1.
Домашнее задание
п. 30 ( выучить к зачёту по § 7 – 8 теоретический материал);                              № 362; 360 (а; г);                                     повторить уравнение касательной             п. 19.
По желанию.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями х = 0;   у = sin х;   у = cos х;   х = π / 2.
Ответ:    2 √ 2 – 2.


title: Скачать презентацию или конспект Старинные меры длины и веса

extracted_text:
Старинные меры длины и веса
Выполнили учащиеся 5 «В» класса
Костина Кристина
Греблова Ирина
Попенко Полина
                                                  2012

    В наше время мы, не задумываясь, производим вычисления в метрах, граммах, литрах и т.д. Это ведь удобно, единая система СИ устраивает почти всех.  Но, естественно, так было не всегда. И вот, начиная с древнейших времен язычества, вплоть до 19 века, наши предки пользовались другими мерами и единицами. Нередко мы слышим слова: Пуд, сажень, золотник – но, сколько это в переводе, не знаем. Вот некоторые величины:
  Актуальность темы

            Вопрос о значимости единиц измерения всегда актуален, так как метрология всегда находится в центре внимания человеческой деятельности. Поэтому именно эта тема нас заинтересовала, появился интерес к истории математики, к истории нашей Родины.
    Цель и задачи
Цель
           Проследить историю возникновения меры длины и веса на Руси, ее совершенствование от времен образования Руси до наших дней.Показать историческую значимость возникновения мер на Руси.
                                  Поставленные задачи:Подобрать литературу с целью получения информации о мерах длины и веса на Руси,установить связь мер длины  и веса с устным народным творчеством,практическое сравнение старинных русских мер длины  и веса с современными
Меры веса
   Берковец
        БЕРКОВЕЦ - эта большая мера веса, употреблялась в оптовой торговле преимущественно для взвешивания воска, меда и т.д.Берковец - от названия острова Бьерк. Так на Руси называлась мера веса в 10 пудов, как раз стандартная бочка с воском, которую один человек мог закатить на купеческую ладью, плывущую на этот самый остров. (163,8 кг).Известно упоминание берковца в XII веке в уставной грамоте князя Всеволода Гавриила Мстиславича новгородскому купечеству.
         Пуд
        Пуд - (от латинского pondus - вес, тяжесть) это не только мера веса, но и весоизмерительное устройство. При взвешивании металлов пуд являлся как единицей измерения, так и счётной единицей. Даже когда результаты взвешиваний являлись десяткам и сотням пудов, их не переводили в берковцы. Еще в XI-XII вв. употребляли различные весы с равноплечим и неравноплечим коромыслом: "пуд" - разновидность весов с переменной точкой опоры и неподвижной гирей, "скалвы" - равноплечие весы (двухчашечные
     Фунт
    ФУНТ (от латинского слова 'pondus' - вес, гиря) равнялся 32 лотам, 96 золотникам, 1/40 пуда, в современном исчислении 409,50 г. Используется в сочетаниях: "не фунт изюма", "узнать почём фунт лиха".Русский фунт был принят при Алексее Михайловиче.
       Сахар продавали фунтами. Фунт аптекарский (истор.) — старинная мера аптекарского веса, равная примерно 360 граммам или 12 унциям.

  ЛОТ – старорусская единица измерения массы, равная трём золотникам или 12,797 граммам
          Лот
     Золотник
Золотник - около 4,3 г. В X в. во времена киевского князя Владимира Святославича существовала монета, которую называли "златник". С конца XVI в. золотник служит единицей массы драгоценных металлов и камней. До 1927 г. в России была принята  золотниковая система определения содержания драгоценных металлов(золота, серебра, платины) в сплаве, так называемая проба. Например, вещь 84-й пробы, изготовленная из серебра, содержит 84 золотника, или 84 х 4,3 = 361,2 (г)чистого серебра в фунте сплава. В настоящее время проба выражается в метрической системе.
        Доля
         ДОЛЯ – самая мелкая    старорусская единица измерения массы, равная 1/96 золотника или 0,044 граммам.

       Стихи о весе
Один грамм
Зря не надо быть упрямым,
надо вещи вешать граммом.
В грамме этом – сам вникай –
четверть лишь золотника.

Сто граммов
Так во всем ведется мире –
отливают в граммах гири.
Перевод и прост и прям:
четверть фунта – сотня грамм

Двести граммов
Тут расчет опять простой:
если четверть фунта – сто,
Приравняй в одну секунду
двести граммов к полуфунту.

Фунт – четыреста граммов
Упирай на этот пункт,
новый разум вырасти:
Тянет граммов старый фунт около четыреста.

    Меры длины
Верста
Сажень
Аршин
Локоть
Пядь

     Верста
      «Нам с ним – не в версту стать!» – он мне не ровня (поговорка).Предположительно слово «верста» произошло от древнерусского «вервста». Звук «в» стерся в разговорной речи. Слово восходит к древнему «вервь», «вервление» – промер, измерение пространства. «Верстать» – мерить в длину (стар.) «Наверстывать» – догонять, спешить. «Верстание» – измерение расстояния, пространства. («Земное верстание» – промер (вервление) надела.) а) Русская верста = 500 саженей = 1500 аршин = 1066,8м. б) Коломенская верста = 700 саженей. Старая верста. в) Мерная верста = 1000 саженей (1629г.). В 1649г. установлена уложением в 1000 саженей трехаршинных. Одновременно существовала верста в 500 саженей «царских». Аналог версты – «поприще» (др.рус.) – чуть более километра. г) Поприще = 700 саженей с половиною (XV в.) д) Поприще = 1000 саженей (1629 г.)
      Сажень
     Сажень - встречается с XI в. Название происходит от слова "сягать" т.е. доставать до чего- либо. Отсюда слово "недосягаемый" - о месте, куда невозможно добраться, о человеке, достоинства которого невозможно повторить. Различали два вида сажени: маховая и косая.

    Сажень
    Сажень – Маховая сажень – Перехват – расстояние между указательными пальцами разведенных рук = 2,13 – 2,36 см. (Сахаров).Косая сажень – предположительно расстояние от пальцев вытянутой вверх руки до пальцев отставленной слегка в сторону противоположной ноги. Сажень русская = 3 аршина = 48 вершка. «Печатная сажень» – точная мера длины с печатью, удостоверяющей ее точность. (Неложное мерило).
      Аршин
         Аршин - одна из главных русских мер длины, использовалась с XVI в. Название происходит от персидского слова "арш" - локоть. Это длина всей вытянутой руки от плечевого сустава до концевой фаланги среднего пальца. В аршине 71 см. Но в разных губерниях России были свои единицы измерения длины, поэтому купцы, продавая свой товар, как правило, мерили его своим аршином, обманывая при этом покупателей. Чтобы исключить путанницу, был введен казенный аршин, т.е. эталон аршина, представляющий собой деревянную линейку, на концах которой клепались металлические наконечники с государственным клеймом.

        Локоть
       Локоть - древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Это расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки или сжатого кулака  до локтевого сгиба. Его длина колебалась от 38 см до 46 см или 11 – 16 вершков. Говорят:«Близок локоть да не укусишь», «Сам с ноготок ,а борода-с локоток». Как мера длины на Руси встречается с XVI в.

       Пядь
      Пядь, пядень(или четверть) - одна из самых старинных мер длины. Название происходит от древнерусского слова"пясть", т.е. кулак или кисть руки. Различают пядь малую - расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев, что составляет около 18 см, и пядь великую - расстояние от конца вытянутого мизинца до конца большого пальца, 22-23 см
        Меры длины
 1 верста =  500 саженей = 50 шестов = 10 цепей = 1,0668 километра
1 сажень =  3 аршина = 7 фут = 48 вершков = 2,1336 метра
       Косая сажень = 2,48 м.
       Маховая сажень = 1,76 м.
1 аршин =  4 четверти (пяди) = 16 вершков = 28 дюймов = 71,12 см (на аршин обычно наносили деления в вершках)
1 локоть =  44 см (по разным источникам от 38 до 47см)
Большая пядь = 1/2 локтя = 22-23 см - расстояние между концами вытянутого большого и среднего (или мизинца) пальцев.
      Малая пядь = 4 вершка = 17,78 см

         Стихи о длине

Запомни, расчет очень важен:

Два метра – приблизительно сажень.

Рисуем, чтоб каждый запомнить мог.
Четыре сантиметра – один вершок.

Запомни: эта работа не тяжка:
Один сантиметр – четверть вершка.

      Пословицы и поговорки
Про кого говорят: «У него семь пядей во лбу»?
Об умном, мудром человеке.
	Про кого говорят: «В плечах косая сажень»?
О человеке - богатыре, великане.
	Что означает поговорка: «За семь верст киселя хлебать»?
Ехать, идти далеко без особой надобности.
	Что означает выражение: «Мерить версты»?
Ходить на большое расстояние.
	Про кого говорят: «Как аршин проглотил»?
Так говорят о человеке, который держится неестественно  прямо, «по струнке».

  Мы рассмотрели наиболее известные старинные меры веса.

      Измерили вес одноклассников и перевели их в старинные меры массы

         При определении роста человека или животного счёт велся после двух аршин (обязательных для нормального взрослого человека): если говорилось, что измеряемый был 15 вершков роста, то это означало, что он был 2 аршина 15 вершков, т.е. 209 см.
          Для человека использовали два способа полного выражения роста:1 -  сочетание "роста *** локтей, *** пядей"2 -  сочетание "рост *** аршина, *** вершков"с 18 века - " *** фута, *** дюйма" Для домашних мелких животных использовали - "рост *** вершков" Для деревьев - "высота *** аршин"

         Результат  перевода в старинные меры
Результат  перевода в старинные меры
           Задачи

  1)      У купца было 10 мешков зерна, по 1 берковцу в каждом. На следующий день он купил 3 мешка по 2 берковца в каждом. Сколько всего кг зерна стало у купца?
           Ответ: 26208 кг

      2)    В 1 день привезли в лавку 10 пудов муки.
       Во второй день на 100 фунтов больше, чем в первый. В третий день привезли 4 пуда 30 фунтов. Сколько всего кг муки привезли за три дня?  Округлите ответ до целых.
                 Ответ: 446 кг

         Задачи
    3)     Царь делил казну:
       4 мешка золота дружине, 6 мешков на царские дела, на прочие расходы на 3 мешка меньше, чем отдал дружине и на царские дела вместе.
      Какова масса всей казны, если один мешок равен 2 пудам?
Ответ : 34 пуда
    4)     Княгине Волконской для работ над вышивкой понадобился жемчуг. Белого понадобилось 23 золотника, черного на 8 золотников меньше чем белого, а розового на 6 золотников больше, чем чёрного. Сколько всего грамм жемчуга понадобилось для вышивки?
Ответ253,7 г
        Вывод

          Наиболее точно можно измерить рост в современных  единицах измерения: в метрах, сантиметрах и миллиметрах.
      Заключение
Проведенная работа нам  интересна. Мы ближе познакомились со старинными русскими единицами измерения  веса и длины. Выявили связь между старинными единицами длины и устным народным творчеством – пословицами, поговорками. Пословицы и поговорки коротки, но метки и выразительны. Большинство старых мер забыто, вышло из употребления, но многие из них фигурируют в литературных произведениях, исторических памятниках. Они заложены в старинных постройках, в древних рецептах лекарств и всевозможных кушаний. Меры жили, иногда старились и умирали, иногда возрождались к новой жизни. История мер – это история торговли, ремесел, сельского хозяйства и строительства, а в конечном итоге – это часть истории человечества. Подводя итог работы, пришли к выводу, что данная тема - актуальна. Как появились меры, как изменялись, что несли народам и как влияли на их жизнь? Это интересно и сегодня.
      Литература
    Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков,
      С.И. Щварцбурд Математика 5 класс, издательство «Мнемозина», Москва, 2006.      Г.И. Глейзер «История математики в школе»
      IV- VI классы. – Москва «Просвещение», 1981.       И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин
     «За страницами учебника математики»
       Москва «Просвещение», 1989.       Ю.Г. Круглов, библиотека словесника
     «Русские народные загадки, пословицы, поговорки», Москва «Просвещение», 1980.