title: Скачать презентацию или конспект Правильные многоугольники в природе. Паркеты из правильных многоугольников.

extracted_text:
Правильные  многоугольники в природе.Паркеты из правильных многоугольников.

Выполнил: Забавин Вадим.
9 «Б» класс
Многоугольники в природе.
В природе часто встречаются разнообразные правильные  многоугольники. Это могут быть треугольники, четырехугольнике, пятиугольники и т.д. Виртуозно компонуя их, природа создала бесконечное множество сложных, удивительно красивых, легких, прочных и экономичных конструкций.

Примеры многоугольников  в природе.
Примерами правильных многоугольников в природе могут служить:
Пчелиные соты, снежинки и другие.

Рассмотрим их по подробней…

Пчелиные соты.
Пчелиные соты состоят из шестиугольников. Но почему пчелы «выбрали» для ячеек на сотах именно форму правильных шестиугольников?
Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр у правильных шестиугольников. При такой «математической» работе пчёлы экономят 2% воска. Количество воска сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для постройки одной такой же ячейки. Стало быть, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот.
Снежинки.
Снежинки могут иметь форму треугольника или шестиугольника. Но почему только эти две формы?
Так получилось, что молекула воды состоит из трех частиц – двух атомов водорода и одного атома кислорода. Поэтому при переходе частицы воды из жидкого состояния в твердое, ее молекула соединяется с другими молекулами воды, и образует только трех – или шестиугольную фигуру.
Сложные молекулы углерода.
Также примером многоугольников в природе могут служить некоторые сложные молекулы углерода.
Здание Пентагона.
А вот еще один пример многоугольников. Но уже созданный не природой, а человеком. Это здание Пентагона. Он имеет форму пятиугольника.
Но почему здание Пентагона имеет такую форму?
Пятиугольную форму здания подсказал план местности, когда создавались эскизы проекта. В том месте проходило несколько дорог, которые пересекались под углом 108 градусов, а это и есть угол построения пятиугольника. Поэтому такая форма органично вписывалась в транспортную инфраструктуру, и проект был утвержден.

Здание Пентагона
Паркеты из правильных многоугольников
В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.
Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных многоугольников, либо четыре квадрата, либо три правильных шестиугольника.
Конец


title: Скачать презентацию или конспект Табличные случаи умножения и деления

extracted_text:
Табличные случаи умножения
и
деления
Внимание!
 К мудрой Сове на урок прилетели светлячки, но они – озорники спрятались в коробочки. Сова уже давно их нашла, а ты сможешь догадаться где они? Внимательно читай выражение и ищи правильный ответ!
Удачи тебе!
                                                                                Не торопись!
Будь внимательней!

12 : 3 = ?

42 : 7 = ?

24 : 8 = ?

64 : 8 = ?

45 : 9 = ?
2 * 4 = ?

48 : 8 = ?

18 : 9 = ?
15 : 5 = ?

4 * 9 = ?

7 * 7 = ?

8 * 9 = ?

3 * 9 = ?

8 * 4 = ?

42 : 7 = ?

63 : 7 = ?

56 : 8 = ?

21 : 7 = ?

Если хочешь ещё посчитать, нажми сюда

Молодец!


title: Скачать презентацию или конспект Предмет стереометрии

extracted_text:
Геометрия   10 класс
Стереометрия
Аксиомы стереометрии
Разработчик: Голоколенцева Ирина                                      Анатольевна
   Учитель математики МОУ- открытая (сменная) общеобразовательная школа №1 города Искитима
5klass.net
Содержание:
Аннотация
Цели и задачи урока
Содержание урока
Домашнее задание
Итог урока. Рефлексия
Литература
Представленный урок разработан для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений изучающих геометрию по учебнику
А.В.Погорелов  «Геометрия 10-11» М.Просвещение2005
ЦЕЛИ урока:
 - Дать понятие науки стереометрии, познакомить с основными фигурами в пространстве, сформулировать аксиомы;
- Развивать память,  мышление, воображение, самоконтроль, умение проводить аналогию;
- Воспитание ответственности, взаимопомощи,  толерантности, любопытства, умения слушать и слышать.

ЗАДАЧИ:
Организовать совместную деятельность учителя и учащихся
Использование словесного и объяснительно-иллюстративного метода обучения, использование компьютерной среды
Каждый человек имеет наглядные представления о пространстве, пространственных геометрических фигурах
 Стереометрия, как наука.
Из истории.
Аксиомы стереометрии
стереометрия
В переводе с греческого
«стерео» - тело, «метрио» - измерять, т.е. «теломерие»
Это раздел геометрии, изучающий, положение, форму, размеры и свойства различных пространственных фигур
стереометрия
далее
из истории

Египетские пирамиды, сооруженные за 2-4 тысячелетия до н.э. поражают точностью своих метрических соотношений
Начиная с 7 в до н.э. в Древней Греции создаются философские школы, в которых  происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии.
Одной из первых и самых известных школ была пифагорейская (6-5 вв до н.э.), названная в честь своего основателя Пифагора.
А помните ли вы
теорему Пифагора?
Забыли?
далее
ПИФАГОР Самосский (6 в. до н. э.), древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик.
Для современников этот греческий мудрец уже казался полубогом. Его религиозно-философское учение и основанный им союз пифагорейцев оказали большое влияние на жизнь Греции и позднее на развитие философии в средневековье и даже в новом времени.
 В математике с его именем также связаны и другие открытия
назад
Теорема Пифагора :
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов

а
в
с

назад

=

+

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма
На языке математики :
пентаграмма – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник, который можно получить из выпуклого путем проведения всех диагоналей.

Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.
Для своих философских теорий пифагорейцы использовали правильные многогранники.
Их форму придавали  элементам первооснов бытия, а именно
Вода  - икосаэдр (20-тигранник)
Земля – гексаэдр (6-тигранник, куб)
Воздух – октаэдр (8-гранник)
Огонь – тетраэдр (4-хгранник)

Названия многогранников так же имеют древнегреческое происхождение, в них зашифровано число граней («Эдра» – грань)
Еще один из правильных многогранников –
                                                                    додекаэдр («додека» - 12)
По мнению древних , его форму имела
вселенная
Они считали, что мы живём внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра
Более поздняя философская школа – Александрийская, дала миру знаменитого ученого Евклида,
который жил около 300г. до н.э.
Евклид впервые представил стройное аксиоматическое строение геометрии
ЕВКЛИД, древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.
В последние столетия в геометрии появились новые методы, в том числе координатный и векторный.
Возникли и развивались новые направления геометрических исследований: геометрия Лобачевского, проективная геометрия и др.
Стереометрия , как ни один другой предмет, нужна каждому человеку, поскольку именно она даёт необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, законами восприятия и изображения пространственных фигур, что позволяет человеку правильно ориентироваться в окружающем мире.

Стереометрия изучается так же как и планиметрия.
 Вводятся неопределяемые понятия, т.е. которые можно чётко   представить.
Формулируются аксиомы ( аксиома  - это утверждение принимаемое без доказательства)
Определяются понятия, формулируются и доказываются теоремы.
основные понятия стереометрии

точка
прямая
плоскость

Заглавные буквы латинского алфавита
A,B,C,D,…

буквы латинского алфавита
a, d, c, d,…
буквы греческого алфавита
, , , …

изображение

При изучении фигур пользуются
их изображением ( т. е. проекцией на плоскость)

- Невидимая сторона
А
В
С
Д
А1
В1
С1
Д1
Система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С
планиметрия
стереометрия
Аксиома : Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, так и не принадлежащие ей

А

В
а
Аксиома С1 : какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, так и не принадлежащие ей

.
А
.
В

Теорема1.1:     Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

а
в
Аксиома : Через любые две точки можно провести прямую и только одну

А
В
Аксиома С2: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой

А


Аксиома С3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и при том только одну



а
в
М
1.  Точки А,В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
Указание
Помощь
2. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Ответ объяснить.
Указание
3.Точки А,В,С и Д не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и СД не пересекаются
Указание

Далее
1.   А,В, С лежат на одной прямой.
Это следует из аксиомы С3
Указания:
2. Да , две прямые определяют плоскость, а третья пересекает эту плоскость.
3. От противного.
Домашнее задание:
Прочитать п.1,  выучить аксиомы
Сегодня  на уроке
Я думаю   ……..

Я запомнил….

Мне на уроке…..

 Было  трудно…….

Продолжи предложение
спасибо за урок
литература
   А.В.Погорелов  «Геометрия 10-11»     М.Просвещение2005
 Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2005
 Земляков «Геометрия в 10 классе»


title: Скачать презентацию или конспект Прямая и обратная пропорциональность

extracted_text:
РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ
Прямая и обратная пропорциональность
ЦЕЛЬ:
Научить узнавать, какой тип пропорциональности содержит данная задача
Использовать метод решения задач с помощью пропорции.

ХОД УРОКА
1. Проверка домашнего задания;
2. Повторения правил ;
3. Устный тренинг;
4.Релейная работа;
5. Решение задач;
6. Домашнее задание;
7. Итог урока.
1. Проверка домашней работы
1. Из 21 кг хлопкового семени получили 7 кг масла. Сколько масла получится из 42 кг семени?
Решение: если семени взяли больше, то и масла получат больше, задача на прямую пропорциональность, составим пропорцию:
42 : 21 =x : 7  , где за x-взяли неизвестное количество  масла.
x = (42 : 21) * 7            x = 14
Ответ: получится 14 кг масла.

2. Человек проходит путь от железнодорожной станции до посёлка за 30 минут. За какое время он доедет  на велосипеде от станции до посёлка, если при езде его скорость увеличится в 3 раза?
Решение: эта задача на обратную пропорциональности, когда при увеличении одной величины в несколько раз, другая величина уменьшается во столько же раз.
Ответ: за 10 минут.

Прямая и обратная пропорциональность
Какие величины называются прямо пропорциональными?
 Величины называются прямо пропорциональными, если с увеличением (уменьшением) одной в несколько раз, другая увеличивается(уменьшается) во столько же раз.
Какие величины называются обратно пропорциональными?
Величины называются обратно пропорциональными, если с увеличением (уменьшением) одной в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
УСТНЫЙ ТРЕНИНГ
Прочитайте примеры зависимостей между двумя величинами и укажите те, которые являются прямо или обратно пропорциональными.
а) зависимость между стороной квадрата и его периметром;
б) зависимость между возрастом человека и размером его пальто;
в) зависимость между скоростью пешехода и временем его движения от клуба до дома;
г) зависимость между количеством учащихся  в классе и количеством отличников в классе.
Релейная  работа
1  вариант:
1. Две величины прямо пропорциональны. Одна из них:
а) увеличилась в 7 раз;
б) уменьшилась в 2 ¼ раза.
Как изменилась другая?
2. Две величины обратно пропорциональны. Одна из них:
а) увеличилась в 5 раз;
б) уменьшилась в 3 1/3 раз.
Как изменилась другая?
2  вариант:
1. Две величины обратно пропорциональны. Одна из них :
а) уменьшилась в 7 раз;
б) увеличилась в 2 ¼ раз.
Как изменилась другая?
2. Две величины прямо пропорциональны. Одна из них:
а) уменьшилась в 9 раз;
б) увеличилась  в 3 1/8 раз.
Как изменилась другая?
ОТВЕТЫ
1 вариант:
1. а) увеличится в 7 раз;
б) уменьшится в 2 ¼ раз.
2. а) уменьшится в 5 раз;
б) увеличится в 3 1/3 раза.
2  вариант:
1.а) увеличится в 7 раз;
б) уменьшится в 2 ¼ раз.
2. а) уменьшится в 9 раз;
б) увеличится в 3 1/8 раза.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
1. На изготовление 15 деталей требуется 19 ½  кг металла. Сколько металла пойдёт на изготовление 24 таких деталей?
Решение:  15 деталей -------- 19 ½ кг
                   24 детали -----------?      Кг
       15: 24 = 19 ½ : х
     Ответ: 31,2 кг.
2. 15 колхозников могут прополоть поле за 4 дня. Сколько нужно человек, чтобы справиться с той же работой за 3 дня?
Запишите кратко условие, укажите стрелками вид зависимости и решите задачу составлением пропорции.
Решение:      15 колхозников----------- 4 дня
                        ? Колхозников----------- 3 дня
   15 : х = 3: 4
 х = (15 * 4) :3                 Ответ: 20 колхозников
3. В сахарной свекле содержится  19% сахара. Сколько надо взять свеклы, чтобы получить 36,1 т  сахара?
Решение: 19% сахара-------- 36,1 т сахар
                 100% свеклы ------ х т  свеклы
19% = 0,19
36,1 : 0,19 = 3610 : 19 = 190(т) свеклы
Ответ: 190 т .
Домашнее задание
1. На изготовление 6 деталей требуется 2 2/5 г серебра. Сколько серебра потребуется на изготовление 13 таких  деталей?
2. В картофеле содержится 17% крахмала. Сколько надо взять картофеля, чтобы получить 35 кг крахмала?
3. Бригада каменщиков из 12 человек может построить коттедж за 35 дней. Из скольких человек должна состоят бригада, чтобы справиться с работой за 28 дней?
ИТОГ УРОКА
В НАЧАЛЕ УРОКА МЫ ПОСТАВИЛИ ЦЕЛЬ НАУЧИТСЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПРЕДЕЛЯТЬ, К КАКОМУ ВИДУ ОНА ОТНОСИТСЯ, ЧТОБЫ УСТАНОВИТЬ ДАЛЬНЕЙШИЙ ХОД РЕШЕНИЯ. ДЛЯ ЭТОГО НЕОБХОДИМО ЗАПИСАТЬ КРАТКО УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ, УКАЗАТЬ СТРЕЛКАМИ ВИД ЗАВИСИМОСТИ И РЕШАТЬ ЗАДАЧУ СОСТАВЛЕНИЕМ ПРОПОРЦИИ.
Правильный выбор - залог правильно составленной пропорции.


title: Скачать презентацию или конспект Алгебра «Многочлены»

extracted_text:
Многочлены. Сумма и разность. Умножение на одночлен.
Учитель математики : Максиян О.В.

Алгебра 7 класс.
Повторительно – обобщающий урок
5klass.net
Цель урока
    Систематизировать и обобщить знания учащихся по теме, развивать навыки самопроверки, внимание , усидчивость, терпение, воспитывать аккуратность в оформлении заданий.
Закончите предложение
Многочленом называется…
сумма одночленов

Степенью многочлена стандартного вида называют…
наибольшую из степеней входящих в него одночленов
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит знак плюс, то…
члены, которые заключены в скобки, записываются с теми же знаками.
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит знак минус, то…
члены, которые заключены в скобки, записываются с противоположными знаками.

Закончите предложение
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно…
умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Слагаемые называются подобными…
если они имеют одинаковую буквенную часть.
Закончите предложение
При умножении степеней с одинаковым основанием…
основание оставляют прежним, а степени складывают.
При делении степеней с одинаковым основанием…
основание оставляют прежним, а степени вычитают.
Закончите предложение
Найди ошибку!

Решите и проверьте
Каждый ученик получает карточку с заданиями, которые он должен решить самостоятельно, но одно задание ( по указанию учителя ) решает у доски с объяснением. Далее , получив карточку с ответами, проверяет себя и оценивает.
Решаем задачу № 694
Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин, спортсменка стала пробегать дистанцию на одну минуту быстрее. Какова длина дистанции?
Условие задачи
		        Скорость       время     расстояние
Было
Стало

250 м/мин
300 м/мин
Х
Х-1
250х   м
300(х-1)   м
250х=300(х-1)
Решение уравнения
250х=300(х-1)
250х=300х-300
250х-300х=-300
-50х=-300
х=6

250*6=1500 (м) – дистанция
Ответ: 1500 м
Итог урока
Домашнее задание: № 693, 782
Спасибо за урок !


title: Скачать презентацию или конспект Треугольники в природе

extracted_text:
Треугольники в природе
Проект обучающихся 7 «Г» класса
5klass.net

Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором якобы происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы. Аналогичный «треугольник» в Тихом океане называют Дьявольским
Бермудский треугольник

Эльбрус — гора на Кавказе, на границе республик Кавказа. Эльбрус расположен севернее Главного Кавказского Хребта и является высочайшей вершиной России. Учитывая, что границы части света Европы неоднозначны, нередко Эльбрус называют также высочайшей европейской горной вершиной в виде треугольника.
Эльбрус
Треугольник (созвездие)
Треугольник  — созвездие северного полушария неба. Занимает на небе площадь 132 квадратных градуса, содержит 25 звёзд, видимых невооружённым глазом
 Пирамида имеет квадрат в плане и треугольник в вертикальном сечении, квадрат соответствует кресту, образованному четырьмя кардинальными точками. Храм выражает иерархическую соотнесенность частей, организованных вокруг источника творения и пространственно располагается вокруг мировой оси.
Пирамиды
Местом для поклонения  ступа, где хранятся священные реликвии. Они бывают самой разной формы. С первых веков до н. э. строились полусферические ступы, позже в виде колокола, башни, квадратные, ступенчатые.
Бодх-Гая — место Просветления Будды Шакьямуни под древом бодхи. На этом
 месте поставлен храм Махабодхи
(Великого Просветления) высотой 50 м.
Бодх-Гая, Индия.
БУДДИЙСКИЙ ХРАМ
Сиднейский оперный театр— одно из наиболее известных и легко узнаваемых зданий мира, являющееся символом Сиднея и одной из главных достопримечательностей Австралии. Парусообразные оболочки в виде треугольника, образующие крышу, делают это здание непохожим ни на одно другое в мире. Оперный театр признан одним из выдающихся сооружений современной архитектуры в мире и с 1973 года является наряду с мостом Харбор-Бридж визитной карточкой Сиднея.
Сиднейский оперный театр
Кельма бетонщика
Используется каменщиками при строительстве зданий. Им кладут раствор на кирпич. Основа этого инструмента треугольник.
Журнальный столик

Стол — предмет мебели, состоящий из горизонтальной поверхности (столешницы) и основания. Столы используются для того, чтобы размещать предметы или пищу на высоте, удобной для человека. В зависимости от высоты стола, за ним можно сидеть или стоять. Он зачастую имеют треугольные и неправильной  формы столы, число ножек также может быть различным, от одной (центральной) до множества.
Знаки дорожного движения.

 Треугольник широко используется в предупреждающих  знаках дорожного движения.

Такой треугольник солдаты использовали во время отечественной войны. Они в них отправляли письма своим близким.
Солдатский треугольник
Двойной треугольник, шестиконечная звезда, Печать Соломона, Могун Давид, говорит о том, что "каждая истинная аналогия должна быть употребима обратно", "что вверху, то и внизу".
Печать Соломона

Шри-янтра-мандала
     В христианской иконографии глаз - в центре солнечных лучей или в треугольнике с направленной вверх вершиной - является общеизвестным символом божественной вездесущей силы или же Троицы.В масонской символике "всевидящее око" в треугольнике и венке из лучей, что соответствует вышеупомянутому символу Троицы, во многих ложах расположено над стулом мастера и должно напоминать о проникающей во все тайны мудрости и бдительности Творца, "Великого Строителя всех Миров"; глаз называют иногда также "оком провидения".
Мы пришли к выводу, что треугольник часто встречающая фигура в нашем окружении. Мы сталкиваемся с треугольником в геометрии, в архитектуре, в нашем быту, в природе.


title: Скачать презентацию или конспект Интегралы

extracted_text:
Интегралы
Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.
 Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.
Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана.
Интегрирование прослеживается еще в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н.э, Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усеченной пирамиды.
Первым известным методом для расчета интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н.э.), который пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известны.
Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчета площадей, парабол и приближенного расчета площади круга.
Аналогичные методы были разработаны не зависимо в Китае в 3-м веке н.э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения круга.
Этот метод впоследствии использовали Цзу Чунжи и Цзу Гэн для нахождения объема шара
Следующий крупный шаг в исследование интегралов был сделан в Ираке, в XI веке, математиком Ибн ал-Хайсаном ( известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвертой степени.
Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определенного интеграла, чтобы найти объем параболоида. Используя математическую индукцию, он смог обобщить  свои результаты для интегралов от многочленов до четвертой степени.


title: Скачать презентацию или конспект «Логарифмические неравенства»

extracted_text:
Логарифмические неравенства
Демонстрационный материал

11 класс
Доржиева О.Ю., учитель математики и информатики МАОУ СОШ №35 г.Улан-Удэ
Цель урока:
Повторить свойства логарифмической функции.
Применять эти свойства при решении логарифмических неравенств.
       Найдите область определения функции:
Правильный    ответ:
       Найдите область определения функции:
Правильный    ответ:
       Найдите область определения функции:
Правильный    ответ:
     График какой функции изображен на рисунке?
Правильный
ответ:
      График какой функции  изображен на рисунке?
Правильный
ответ:
При а>1 логарифмическая функция у=lоgаx возрастает
        График какой функции изображен на рисунке?
Правильный
ответ:
При 0<а<1 логарифмическая функция у=lоgаx убывает
Сравните числа:
log26  …   log210

log0,36   …   log0,310

          <              , т.к.  6<10 и функция у=log2x  - возрастающая
          >                  ,т.к.  6<10 и функция у=log0,3x  - убывающая
Логарифмические неравенства
Определение
Логарифмическим неравенством называют  неравенство вида
                   logа f(x)>logа g(x),  где a>0,  a≠1,  и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Теорема.
Если f(x) >0  и  g(x)>0, то:
При а>1, неравенство logа f(x)>logа g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x).

При 0<а<1, неравенство logа f(x)>logа g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

≠
Применение теоремы
Если а>1,
то logа f(x)>logа g(x)  

Если 0<а<1,
то logа f(x)>logа g(x)  


title: Скачать презентацию или конспект Диаграмма Венна. Знаки

extracted_text:
Диаграмма Венна.Знаки ∈ и ∉
3 класс
Математика Петерсон Л.Г.
pptcloud.ru
Любое множество А можно изобразить графически в виде замкнутой линии.

Считается, что элементы множества (А) расположены внутри этой линии, а все элементы, которые не принадлежат множеству (А), - снаружи.
Такая схема называется диаграммой Венна.

 a
 2
 m

Например,  диаграмму множества В = { 2, m,      } можно нарисовать так:

В
Знаки  ∈  и  ∉

 a
 2
 m

Предложение «Число 2 принадлежит множеству В» записывают короче:  2 ∈ В. Знак ∈ читают: «принадлежит»
Предложение «Буква а не принадлежит множеству В» также можно записать короче: а ∉ В. Знак ∉ читают:
«не принадлежит»
В

 e
 8

 b

A
 4

На  рисунке изображена диаграмма множества А.  Какие элементы принадлежат
множеству А, а какие ему не принадлежат?
b … A              e … A               … A

8 … A              4 … A               … A

∈
∈
∈
∉
∉
∉
∉
∉
Прочти ещё раз полученные записи.

Отметь элементы        ,      , d, 10,     , 5 на диаграмме множества С, если известно, что:

∈  С
∉  С
С
d   ∉  C
10 ∈  C

∈  C
5  ∉  С

 d
 10

 5
Имеется множество М = {а, b,       ,  c,       }.Какой знак поставить: ∈  или  ∉ ?

a …  M              …  M           c …  M

   …  M               … M            8 …  M

∈
∈
∈
∉
∉
∉
D – множество двузначных чисел.
 Являются ли числа  26, 307, 8, 940, 15, 60 элементами множества D?
 26 …  D               8 …  D          15 … D
307 … D            940 … D          60 … D
∈
∈
∈
∉
∉
∉

Отметим эти числа на диаграмме.
 26
 307
 8
 940
 15
 60
Назовите самое маленькое и
самое большое число множества D.
А – множество бабочек, а В – множество роз. Как построить диаграммы множеств А и В?

Сколько бабочек принадлежит множеству А?
 Сколько роз принадлежит множеству В?
 Сколько общих элементов у множеств А и В?
Использованы материалы:
Задания учебника Математика авт. Петерсон Л.Г., М: Баласс, 2010г.
 www.yandex.ru
Автор презентации
учитель начальных классов МОУ СОШ №9
г.Сафонова Соленской области
Коровина Ирина Николаевна


title: Скачать презентацию или конспект Интеллектуальный марафон по математике

extracted_text:
                                                    Конфуций

интелектуальный марафон
 " Три пути ведут к знанию : путь размышления
- это путь самый благородный,  путь
подрожания -  это путь самый легкий и
путь опыта - это путь самый горький "

Вопросы к1команде (1балл за1правильный ответ)
1)     1% от 1 тыс. руб.
2)     Единица измерения скорости на море.
3)     Как называется функция графиком которой является прямая?
4)     Что меньше,число пи или 3,14
5)     Чему равна сумма чисел от –200 до 200?
6)     Кто автор вашего  учебника алгебры?
7)     Чему равен 1 пуд?
8)     Назовите наибольшее отрицательное число.
9)     Площадь квадрата 49 см2. Чему равен его периметр?
10)  Наука, изучающая свойства фигур на плоскости.
11 )  Как называется координата точки на оси ОХ?

разминка

Вопросы 2 команде (1балл за правильный ответ)
1)     Как называется сотая часть числа?
2)     Можно ли при умножении получить число ноль?
3)     Назовите единицу массы драгоценных камней.
4)     Чему равно произведение чисел от –200 до 200?
5)     Наименьшее натуральное число.
6)     Три в квадрате равно девяти, четыре в квадрате равно шестнадцати. А чему равен угол в квадрате?
7)     Можно ли при делении чисел получить ноль?
8)     Как называется утверждение, принимаемое без доказательства?
9)     Наука, изучающая свойства фигуры в пространстве.
10)   Как называется координата точки на оси ОУ?
11)  Чему равен модуль -14?
разминка

Решите анаграмму
1  . Оергяитме            4         якциуфн

2          тпьсене                5         рулигтенько

3          рениуанве             6         секбтирисас

Каждой команде дается 3задания, за правильное задание 2балла

турнир смекалистых

В течении минуты необходимо запомнить слова,а затем написать на листке (каждое слово1 балл)
График ,  частное,  функция,  плюс,  диаметр,  треугольник,  периметр,  точка, парабола,  корень,  формула.
самый внимательный

Впишите в квадрат числа,чтобы по горизонтали, вертикали и диагонали была одна и та же сумма.За правильно выполненное задание 2 балла
магический квадрат

Задания для1команды(2балла за1задачу)
Водном ряду8 камешек,расположенных на расстоянии 2см,во втором ряду 15 камешек расположенных на расстоянии1см, который ряд длиннее ?
Кирпич весит1кг и еще полкирпича.Сколько весят 5 кирпичей?
Записать число24 с помощью трех одинаковых
Чисел и знаков действия
Книга книгой ,а мозгами двигай

Задания для 2 команды (2 балла за 1задачу)
В каком числе столько цифр сколько букв?
Какие три числа, если их сложить или перемножить дают один и тот же результат?
Как написать максимально большое число двумя пятерками?

Книга книгой,а мозгами двигай

Капитаны каждой команды маршируя на месте под каждый шаг называют геометрическую фигуру.
За каждые5 названий по1баллу
Лучший спортсмен

Составить несколько слов из букв данного слова.
Для1 команды «треугольник»
Для2 команды «параллелограмм»

За математические слова2 балла, остальные 1балл за слово
турнир сообразительных


title: Скачать презентацию или конспект Решение задач с помощью систем уравнений 2 степени

extracted_text:
Решение задач с помощью
систем уравнений 2 степени
для урока алгебры в 9 классе
№ 268. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

Пусть 1 число – х, а 2 число – у, известно, что их сумма х+у=12, а произведение х·у=35.
Решение: составим систему уравнений:
х+у=12;   х=12-у(выразим х через у)
х·у=35;   (12-у)у=35 (подставим во 2 уравнение вместо х выражение (12-у))   (1)
12у-у2=35
      -у2+12у-35=0 |(-1)
      у2-12у+35=0      Д=144-140=4=22
      у1=7,   у2=5.
      х1=5,   х2=7                                    Ответ: 5 и 7.

№ 270. Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

х
у
10
Что нам неизвестно?
Как обозначим эти неизвестные величины?
Как найти периметр нашего прямоугольника?
Составьте 1 уравнение системы.
2(х+у)=28
Как нам связать стороны с диагональю?
По теореме Пифагора получаем х2+у2=102 это второе уравнение системы.
х+у=14
Х2+у2=100

х=14-у                          х1=6
(14-у)2 + у2=100 (1)      у1=8
                                      х2=8
                                      у2=6
196 -28у + у2 + у2 - 100 = 0
      2у2 - 28у + 96 = 0
      у2 – 14у + 48 = 0        Д1 = 49 – 48=1
                                         у1=8; у2=6.

 Ответ: 6 и 8 см.

х
х
у
у
S=х2
S=у2
S=ху
№276. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 30 см2.
2(х2 + у2) =122            х2 + у2 = 61
ху = 30                         х = 30/ у
(30/ у)2 + у2 – 61 = 0
у4 – 61у2 + 900 = 0
Замена у2 = а, а>0.
а2 -  61а + 900 = 0,  Д =612-4·900=3721-3600=121
 а1= 36,  а2=25.
Обратная замена: у2=6, у=6, у2=25, у=5
                                                               х=5             х=6
Ответ: 5 и 6 см.

Самостоятельная работа

       1 вариант
Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого
          2 вариант

Сумма двух чисел равна 25,
    а их произведение равно
    144. Найдите эти числа.

Гипотенуза прямоугольного
   треугольника равна 20.
   Найдите его катеты, если
   известно, что один из них на
   4 см меньше другого

а
в
с
а2+в2=с2


title: Скачать презентацию или конспект Приемы устного умножения и деления

extracted_text:
Приемы устного умножения и деления
Закирова Алина, 44 группа
Овладение вычислительными приемами предполагает усвоение:

нумерации чисел в пределах 100;
табличных случаев сложения и  умножения;

-переместительного, сочетательного и распределительного свойств умножения;
-свойства деления суммы на число.

В начальном курсе математики приемы устного умножения и деления используются при умножении двузначного числа на однозначное, при делении двузначного числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное.
Усвоение распределительного свойства умножения позволяет детям высказать догадку о возможном способе действий при умножении двузначного числа на однозначное.

Догадайся, как можно рассуждать, вычисляя значения произведений:
а)37*2
   38*2
   39*2
б)41*2
   42*2
   43*2
в)44*2
   46*2
   47*2

I ребенок рассуждает так: 37*2=37+37=74, тогда 38*2=76 и 39*2=78
II ребенок рассуждает так:
37*2= (30+7)*2=30*2+7*2=60+14=74
38*2=(30+8)*=30*2+8*2=60+16=76

По какому правилу составлены пары выражений? Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы?
а)21*5
   (20+1)*5
б)39*2
   (30+9)*2
в)29*3
   (20+9)*3
Какое выражение «лишнее» в каждом столбце?
а)(8+6)*4
   4*(8+6)
   (8+6)+(8+6)+(8+6)+(8+6)
   4*8+8
   8*4+6*4
б)2*(37+24)
  (37+24)*2
  2*37+24
  37*2+24*2
 (37+24)+(37+24)
В результате выполнения вышеприведенных заданий школьники делают вывод:
При умножении двузначного числа на однозначное можно представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых и воспользоваться распределительным свойством умножения.
В основе вычислительного приема при делении двузначного числа на однозначное лежит свойство деления суммы на число.
Процесс формирования данного приема целесообразно сориентировать на усвоение учащимися общего способа действий, при котором делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число. Владея этим способом, ребята смогут выполнять вычисления различных случаев деления двузначного числа на однозначное.
Для организации деятельности учащихся можно использовать учебные задания:
Вычисли значение выражения  52:4
Ребенок рассуждает так: Я думаю, нужно представить 52 в виде суммы разрядных слагаемых, каждое из которых делится на 4. В этом случае можно разделить на 4 каждое слагаемое и полученные результата сложить:

(28+24):4=28:4+24:4=7+6=13
(20+32):4=20:4+32:4=5+8=13
На какие группы можно разбить все выражения:
64:8
48:4
36:3
36:2
48:3
64:2
48:8
36:9
64:4
I ребенок выполнил задание так:
I группа
 64:8
 64:2
 64:4
II группа
36:2
36:9
36:3
III группа
48 :4
48:8
48:3

II ребенок выполнил так:
I группа
64:8
36:9
48:8
II группа
36:3
48:4
64:2
III группа
36:2
48:3
64:4
При делении двузначного числа на двузначное учащиеся пользуются приемом подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь умножения и деления.
Для организации деятельности класса, направленной на «открытие» и усвоение приема деления двузначного числа на двузначное, предлагается задание:
Составь верные равенства, используя числа:

96, 6, 16
Возможны два способа действий:
1)Умножить меньшее двузначное число на однозначное и получить равенство: 16*6=96. Пользуясь переместительным свойством умножения, записать второе равенство: 6*16=96
 Теперь можно воспользоваться правилом: если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель,- и записать еще два равенства, удовлетворяющие условию задания:
96:6=16, 96:16=6
2) Разделить двузначное число на однозначное, пользуясь правилом деления суммы на число, и записать равенство: 96:6=16.
Теперь можно воспользоваться правилами:
а) если значение частного умножить на делитель, то получим делимое;
б) если делимое разделить на значение частного, то получим делитель, - и записать равенства:
16*6=96, 96:16=6
В процессе обсуждения вышеприведенных способов выполнения задания дети приходят к выводу, что при делении двузначного числа на двузначное целесообразно пользоваться приемом подбора частного.

При умножении разрядных десятков на однозначное число и при делении разрядных десятков также используются приемы устного умножения и деления.

Вычисление результатов 90*4, 800*4 объясняется так:
9дес.*4=36дес., 8сот.*4=32сот.

Вычисление результата 60:20 объясняется так: нужно узнать, сколько раз 2дес.содержится в 6 дес.

В более сложных случаях (560:80) ученики, пользуясь таблицей умножения или деления, подбирают частное.


title: Скачать презентацию или конспект Применение производной к исследованию и построению графиков функций

extracted_text:
Областное государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Белгородский строительный колледж
г. Белгород
Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»  урок математики, 1 курс
Автор: Агапова Наталья Николаевна,
преподаватель математики
Цель урока:
научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков

Математический диктант
Вариант 1.
(Cu)’=…
…=(u’v-v’u)/v²
(cos x)’=…
…=1/cos² x
(ex)’=…
Вариант 2.
C’=…
…=(u’v+v’u)
(sin x)’=…
…=-1/sin² x
(xn)’=…

Вариант 1.
(Cu)’=Cu’
(u/v)=(u’v-v’u)/v²
(cos x)’=-sin x
tg x=1/cos² x
(ex)’=ex
Вариант 2.
C’=0
(uv)’=(u’v+v’u)
(sin x)’=cos x
ctg x=-1/sin² x
(xn)’=n*xn-1

Классная работа
Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.
Функция y=f(x)  называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
возрастающая
убывающая
убывающая
убывающая
возрастающая
возрастающая и убывающая на интервалах
возрастающая и убывающая на интервалах
возрастающая и убывающая на интервалах
Если дифференцируемая функция y=f(x)  возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.
Теорема 1.
Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Теорема 2.
Находим область определения функции f(x).
Вычисляем производную f’(x) данной функции.
Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).
Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.
Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x)  возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x)  убывает.
Правило нахождения интервалов монотонности
Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36.
Находим критические точки: y’=0.
x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25

Делим область определения на интервалы:

Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞),  функция убывает при xϵ[-2;3].
Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=3x²-6x.
Находим критические точки: y’=0.
x²-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
Делим область определения на интервалы:

Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞),  функция убывает при xϵ[0;2].
Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x0).
Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

Если функция y=f(x)  имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.
Теорема 3.
Если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума функции f(x).
Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума
Теорема 4.
Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=-6x²-6x+12.
Находим критические точки: y’=0.
-x²-x+2=0
Д=1-4*(-1)*2=1+8=9
x1=1; x2=-2
Делим область определения на интервалы:

x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.
Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4

Работа на уроке:
 № 564. Исследовать на экстремум функцию y=x2+2.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2+2)’=2x.
Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:

x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.

 № 565. Исследовать на экстремум функцию y=1/3x3-2x2+3x+1.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(1/3x3-2x2+3x+1)’=x2-4x+3.
Приравниваем её к нулю: x2-4x+3=0, откуда x1=1, x2=3 – критические точки.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:

x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции ymax=7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=1.

 № 566. Исследовать на экстремум функцию y=x3+3x2+9x-6.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9.
Приравниваем её к нулю: 3x2+6x+9=0, откуда D<0. То есть критических точек не существует.
Однако, функция возрастает на всей D(y), так как y’=3x2+6x+9 >0:

 № 571. Исследовать на экстремум функцию y=x2-x-6.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2-x-6)’=2x-1.
Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:

x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=-6,25.

Учебник Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л.: № 572, 573, 575, 576 – стр. 253;
Выучить достаточные и необходимые условия монотонности и существования экстремумов функции.

Задание на дом:


title: Скачать презентацию или конспект Урок математики по ФГОС "Уравнение.Корень уравнения"

extracted_text:
Нижнеказанищенская СОШ№3

Урок математики в 5 классе

Учитель математики Сайпуллаева М.М
Китайская мудрость
Расскажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Дай мне попробовать, и я научусь.
Актуализация  знаний
90

45

3
84
72

8

- 45
: 15
28
- 12
:9

+ 28

36
18

: 2
ВЫЧИСЛИТЕ:
?
5
Восстановить цепочку
41

11

110
160
32
2

-
?
?
?
?
?
+

:
:
30
10
50
5
16
Назовите компоненты выражений
39+17=56
150-18=132
(8+52)-22=38
(81-21)+45=105
Разделите выражения на три группы

1) 28-17=11
2) а+5
3) у-28=17
4) 5+42=47
5) 11+х=40
6) 54-в

1) 28-17=11
2) а+5
3) у-28=17
4) 5+42=47
5) 11+х=40
6) 54-в
Буквенные выражения
Числовые выражения
?
Тема урока: «Уравнение».
Весы находятся в равновесии.
Чему равна масса арбуза?

х
+

=
На левой чашке весов лежат арбуз и
гиря 2 кг, а на правой чашке – гиря 5 кг.
х + 2 = 5
Надо найти такое значение х, при котором выполняется это равенство.
х = 3
Уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство называют корнем уравнения.Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).
Мухаммед бен- МусаАль-Хорезми
Трактат
 «Китаб аль- джебр вал-мукабала»
« аль-джебр»
 «ал мукабала»
Исторический экскурс
Задача.

В спортивном лагере  322 человека.
Когда несколько человек ушли в поход,
В лагере осталось 275 человек.
Сколько человек ушли в поход?
322
275
?
322
_
275
х
322 - х = 275
х = 47

Как найти неизвестное слагаемое?
Как найти неизвестное уменьшаемое?
Как найти неизвестное вычитаемое?
Блиц турнир
Составьте уравнение для решения задачи.
	В автобусе было несколько пассажиров. После того как на остановке вышли 8 человек, в автобусе осталось 37 пассажиров. Сколько пассажиров
   было  первоначально?
х-8=37
Х=45
Составьте уравнение для решения задачи.
	На двух машинах вместе 32 тонны груза. На одной машине 18 тонн. Сколько тонн груза на второй машине?
18+х=32
Х=14
     ?

18
Решим уравнение:

12 + (х + 34) = 83

слагаемое

неизвестное слагаемое

сумма

х + 34
=
83
_
12
х + 34
=
71
х = 37
Решим уравнение:

(35 + у) – 15 = 31

уменьшаемое

вычитаемое

разность

35 + у
=
31
+
15
35 + у
=
46
y = 11
Физкультминутка
Работа в парах.
	1) Решить уравнение с помощью правил нахождения неизвестных компонентов действий.

	2) Составить задачу, решением которой служит данное уравнение.
    65-х=39
     х+27=75
3.     (35+у)-12=36
4.     69+(82-у)=124

Самопроверка
   65-х=39
          х=65-39
          х=26

  х+27=75
         х=75-27
         х=48

3.     (35+у)-12=36
         35+у=36+12
          35+у=48
           у=48-35
           у=13
4.     69+(82-у)=124
        82-у= 124-69
         82-у= 55
          у=82-55
           у=27

Подскажи словечко:
Когда уравнение решаешь дружок,
Ты должен найти у него________
Значение буквы проверить несложно
Подставь в______ его осторожно
Коль верное _______ выйдет у вас
То _______значенье зовите тотчас .
Подсказка:
к _ решок, выражение,равенств_, к _ рнем.

6-9 жетона  - «5»
4-5жетона  - «4»
2-3жетона  -«3»

Домашнее задание
П. 10,
№ 396 (б),
№ 397 (б).
Дополнительное задание: составить задачу со сказочным сюжетом и решить ее с помощью уравнения.


title: Скачать презентацию или конспект Слагаемые, сумма

extracted_text:
Урок по математике в 1 классе учитель Рыбалка А.В.Владикавказ 2010-2011
Слагаемые, сумма .
Найди закономерность и продолжи ряд

9,  7,    ,   ,    .

2,  4,     ,    ,    .

5
3
1
6
8
10
Где здесь натуральный ряд чисел?

 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

  9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

1  2
4
5  6
8
9 10
3
7
Доктору поможем
Окошко закрыть,
Чтоб дождик косой
Его не смог намочить.

6

3
4

СРАВНИТЕ

4          6

9          5

6         6

<
>
=

А вот это - цифра два.  Полюбуйся, какова:   Выгибает двойка шею, Волочится хвост за нею.

2

10

3+2=5
3- слагаемое
2-слагаемое
5-сумма
3+2-сумма
Сумма чисел 3 и 2 равна 5
Назовите первое и второе слагаемые в
каждой сумме и вычислите эти суммы

4+2=□
3+1=□
5+1=□
13
У Васи было
 6 книг
Ему подарили
ещё
2 книги
Сколько книг стало у Васи?

6+2=8
12
Самостоятельная работа

4
6
7
2
4
5

Найдите закономерность в размещении фигур и заполните пустые клетки


title: Скачать презентацию или конспект Решение задач на противоположное движение

extracted_text:
          Математика 4 класс
Морозова Валентина Анатольевна учитель начальных классов
МОУ Шевыряловская основная  общеобразовательная школа

           Тема урока:

Решение задач
на противоположное
движение

Первое – предлог,
Второе - летний дом
А целое порой
Решается с трудом.
                Задача

Устный счет
40·6=

25·4=

4000:10=

450:50=

800:4=

1200:60=

80·20=

900·10=

И – 400

Н – 20

Е – 200

Д – 240

Ж – 9

В – 100

Е – 9000

И - 1600

Мозговой штурм
Какие величины используются в задачах на движение?
Скорость, расстояние, время
Как связаны скорость, время, расстояние?
S=V· t  V=S:t  t=S:V
Как найти расстояние, зная скорость и время?
S=V· t
Как найти скорость, зная расстояние и время?
V=S:t
Как найти время, зная расстояние и скорость?
t=S:V
Какие виды движения вы знаете?
Навстречу, противоположное направление, вдогонку
О какой скорости идёт речь при движении тел навстречу друг другу?
Скорость сближения
Из поселка вышли одновременно два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через 3 ч?

5 км/ч
4 км/ч
                 Решение

    1 с п о с о б:
    5·3=15 (км) прошёл 1 пешеход
    4·3=12 (км) прошёл 2 пешеход
    15+12=27 (км) расстояние
    Ответ: 27 км

    2 способ:
    5+4=9(км/ч) скорость удаления
    9·3=27(км) расстояние
    Ответ: 27 км

Из поселка вышли одновременно в противополож-ных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км?

5 км /ч
4 км/ч
27 км
Решение

   5+4=9 (км/ч) скорость удаления
   27:9=3 (ч) время
   Ответ: через 3 часа.
 Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода.  Через 3 ч расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход?

5 км/ч
27 км
Решение
   1 способ:
    5·3=15 (км) прошёл 1 пешеход
    27-15=12 (км) прошёл 2 пешеход
    12:3 = 4 (км /ч) скорость 2 пешехода
   Ответ: 4 км/ч
    2 способ:
    27:3=9(км /ч) скорость удаления
    9-5=4 (км /ч) скорость 2 пешехода
    Ответ: 4 км /ч
Вывод:
    Какое понятие полезно использовать в задачах на движение в противоположных направлениях?
    Скорость удаления
    Как найти скорость удаления?
    Сложением скоростей
           Самооценка

Я все понял на уроке и могу объяснить товарищу
Я усвоил тему, но объяснить не могу
Эта тема для меня трудная

Домашнее     задание
№138.

Молодцы!
спасибо за урок


title: Скачать презентацию или конспект Исследование операций и методы оптимизации

extracted_text:
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫОПТИМИЗАЦИИ
     Кафедра   Прикладной Математики (к.241)
Турундаевский Виктор Борисович

Структура дисциплины
Лекции – 32 ч.
Практические занятия – 32 ч.
ОТЧЕТНОСТЬ
Контрольная  работа     - 5
ТЕСТЫ  -  1
ФОРУМ  -  1
Экзамен
ВВЕДЕНИЕ В ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Исследование операций — научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.Операция — любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других.
ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
1. Постановка задачи.
2. Построение содержательной модели рассматриваемого объекта.
3. Построение математической модели.
4. Анализ модели или получение решения задачи.
5. Анализ решения
6. Проверка полученных результатов на их адекватность природе изучаемой системы.
Лекция 1.
Экономико-математическая модель (ЭММ). Понятие, пример, общая классификация ЭММ.
Общая задача линейного программирования, основные элементы и понятия.
Общая запись оптимизационной ЭММ (задача оптимального программирования). Основные элементы и понятия.
Графический метод решения задачи линейного программирования.
Особые случаи решения ЗЛП графическим методом.
Каноническая форма записи ЗЛП. Способы приведения ЗЛП к каноническому виду
 Экономический смысл основных и дополнительных переменных в канонической форме задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов
Математический аппарат линейного программирования
Понятие о выпуклых множествах
	    Множество – определенная сово-
            купность объектов (элементов)

				      Различают множества:
					- выпуклые;
					- невыпуклые.

       Множество выпукло, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок их соединяющий.

	Множество невыпукло, если существует хотя бы одна такая пара точек множества, что отрезок, соединяющий эти точки не принадлежит целиком этому множеству.

                           а

в

c

d

Понятие угловой точки
		Для выпуклых множеств вводится поня-тие угловой точки.
		Угловой (крайней) точкой выпуклого множества называется точка, через которую нельзя провести ни одного отрезка состоящего только из точек данного множества, для которого она была бы внутренней.

                                                      угловая
                     внутренняя                                     точка
                           точка

Пример 1.    Задача оптимального использования ресурсов (задача о коврах)
В распоряжении фабрики имеется  определенное количество ресурсов: рабочая сила, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Например, пусть это будут ресурсы трех видов: рабочая сила (80 чел./дней),  сырье (480 кг пряжи) и оборудование (130 станкочасов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл.1.
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальной.
Экономико-математическая модель задачи
Переменные
Обозначим через X1, X2, X3, X4 количество ковров каждого типа.
Целевая функция  – это выражение, которое необходимо максимизировать:
 F(x)= 3X1 +4 X 2 +3 X 3 + X 4 .
Функциональные ограничения (ограничения по ресурсам)
7x1 +2x2 +2x3 +6x4 ≤80 (человеко/дней),
5x1 +8x2 +4x3 +3x4≤480 (кг пряжи),
2x1 +4x2 +x3  + 8x4 ≤ 130 (станкочасов),
Прямые ограничения x1, x2, x3, x4≥0.
Пример 2.
    Некоторое предприятие изготавливает два вида продукции I и II Для производства которой используется два вида сырья A и B.
        Максимальные суточные запасы сырья составляют 24 и 6 тонн соответственно.
	Расходы на производство 1-й тонны каждого вида продукции  приведены в таблице.
        Суточный спрос на продукцию II не превышает спроса на продукцию I более чем на 1т.  Спрос на продукцию II не превышает 2 т в сутки.
         Основные цены 1-й тонны продукции равны:
5 тыс. ден. ед на прод. I и 4 тыс. ден. ед  на прод. II.
          Требуется определить объемы выпуска продукции обеспечивающие max прибыль.
Составим ЭММ задачи по следующей схеме
1.  Идентифицируем переменные;
2. Выявим цель задачи, для дости-жения которой из всех допустимых значений перемененных нужно выбрать такое сочетание, которое будет соответствовать оптимальному решению;
3. Выявим ограничения, которые будут наложены на переменные.

		Далее реализуем приведенную схему.
1. Поскольку в условии задачи требуется определить объемы производства каждо-го вида продукции, то обозначим иском-ые переменные через x1 и x2:
     x1 – суточный объем производства продук-ции первого вида (т);
     x2 – суточный объем производства продук-ции второго вида (т).
2. Составим целевую функцию задачи.
	Прибыль предприятия будет складывать-ся в виде суммы прибылей от реализации продукции первого и второго вида. Запишем это условие.
F(x) = 5x1 + 4x2  => max
3. Выделим ограничения:
на расход используемых продуктов
 	6x1 + 4x2  ≤ 24  - по сырью А,
 	1x1 + 2x2  ≤ 6    - по сырью В,
	-1x1 + 1x2 ≤ 1    - по превышению 		           			спроса продукции II над I,
 	0x1 + 1x2  ≤ 2    - по спросу на   			                     продукцию II,
 	x1 ≥ 0, x2 ≥ 0    - условие неотрицат.

	  Задачи подобного вида называю ЗЛП.

Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих  переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

К задачам линейного программирования приводится широкий круг  вопросов планирования экономических и технико-экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального решения), само возникновение и развитие линейного программирования непосредственно связано с экономической проблематикой

Пример 2.1.
   ЗЛП                           КЗЛП

Задача о костюмах
Пример 3. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия.
Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм – 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. Требуется определить,  сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского – 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.
Экономико-математическая модель задачи о костюмах
Переменные: х1 – число женских костюмов; x2 – число мужских костюмов.
 Максимизировать целевую функцию
f(x) = 10 х1 + 20 х2
Ограничения задачи имеют вид:
   х1 +       х2  150,
2 х1 + 0,5 х2   240,
   х1 + 3,5 х2  350,
		    х2 60,
		    х1  0.
Графический метод решения ЗЛП

Строится многоугольная область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке x0,  (0;0)
Линия уровня c1x1+c2x2 = а (а – постоянная величина) – прямая, перпендикулярная  вектору-градиенту , – передвигается в направлении  этого вектора в случае максимизации f(x1,x2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка  (или точки) области при этом движении и является точкой максимума f(x1,x2).
Для нахождения координат точки максимума достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума. Значение f(x1,x2), найденное в полученной точке, является максимальным значением целевой функции.

В качестве примера рассмотрим составленную ранее ЭММ(пример 2):
F(x) = 5x1 + 4x2  => max
  6x1 + 4x2  ≤ 24, – (1)
 	1x1 + 2x2  ≤ 6,  – (2)
	-1x1 + 1x2 ≤ 1, – (3)
 	0x1 + 1x2  ≤ 2,  – (4)
 	x1 ≥ 0, 		 – (5)
	x2 ≥ 0. 		 – (6)
	Затем пронумеруем все ограничения
Построение ОДР
- проведем оси и обоз-начим их через x1 и x2;
- на оси нанесем делен-ия;
- учтем условия неотри-цательности перемен-
	ных x1 ≥ 0 и x2  ≥ 0 , это означает, что решение необходимо искать в первой четверти;
- далее каждое неравен-ство поочередно заме-няем на равенство и по ним строим прямые на графике.
6x1 + 4x2  = 24     – (1)
6x1 + 4x2  ≤ 24

Строим первую линию ограничения
6x1 + 4x2  = 24     – (1)
1x1 + 2x2  = 6     – (2)

О Д Р
Строим вторую линию ограничения
Строим третью линию ограничения
6x1 + 4x2  = 24     – (1)
1x1 + 2x2  = 6     – (2)
-1x1 + 1x2  = 1     – (3)

О Д Р
Строим четвертую линию ограничения
6x1 + 4x2  = 24     – (1)
1x1 + 2x2  = 6     – (2)
-1x1 + 1x2  = 1     – (3)
0x1 + 1x2  = 2     – (4)

О Д Р
Поиск оптимального решения
		Для поиска оптимального решения в ОДР строим линию уровня и вектор-градиент.
		Линия уровня целевой функции – прямая линия, построенная по уравнению целевой функции, в множестве точек которой целевая функции принимает одно и то же значение.

		Вектор-градиент целевой функции – вектор, координаты начала которого совпадают с началом координат, а координатами конца, являются частные производные этой функции, вычисленные в некоторой точке.
		Свойство вектора-градиента – указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в окрестности выбранной точки и он перпендикулярен линиям уровня.

	Алгоритм построения линии уровня:
в ОДР произвольно выбирается точка, с координатами x1 и x2 удобными для вычисления;
 координаты выбранной точки подставляются в уравнение целевой функции;
рассчитывается значение целевой функции;

Алгоритм построения линии уровня:
1) в ОДР произвольно выбирается точка, с координатами
 удобными для вычисления (например, x1=2, x2=1);
2) координаты выбранной точки подставляются в уравне-
    ние целевой функции: F(x) = 5x1 + 4x2 = 5·2 + 4·1 = 14 ;

Алгоритм построения линии уровня:
3) Записывается уравнение целевой функции
				5x1 + 4x2 = 14 ;
4) По  уравнению целевой функции F(x) находятся
 координаты второй точки для построения линии уровня;

5) Через две точки проводится линия уровня F(x)=14;

Линия уровня F(x)=14

Построение вектора-градиента
Координатами конца вектора-градиента являются
	коэффициенты при переменных в целевой функции
     (5,4)      			5x1 + 4x2 = 14 ;
2) Начало вектора-градиента совпадает с началом
	координат;

3) Строим вектор-градиент.

Вектор-градиент
Линия уровня

Оптимум
В крайней, угловой точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки достаточно решить систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума:
  6х1  + 4 х2 =  24,
  х1   +      2х2 = 6
Решая систему, получаем х1= 3, х2 = 1.5
 Ответ
Для получения максимальной прибыли  - 21 тыс. ден. единиц (F(x) = 5x1 + 4x2 =5×3+4×1.5=21) необходимо выпустить 3 тонны первого продукта и полторы тонны второго.
Особые случаи решения ЗЛП
	 В процессе решения ЗЛП могут встретить-ся особые случаи:

Неединственность оптимального решения;
Вырожденность базисного решения;
Отсутствие конечного оптимума;
Область допустимых решений представлена одной точкой;
Множество допустимых решений пусто.
Неединственность оптимального решения
Построим область допустимых решений
Неединственность оптимального решения

       Задача имеет бесконечное множество
Opt решений, которые задают координаты
точек отрезка AB. Но среди этих решений
существует два базисных в точках A и B.
A
B
Линия уровня совпадает
с линией ограничений

Здесь коэффициенты при переменных в огран. и в Ц.Ф. пропорциональны.

Вырожденность базисного решения
Построим область допустимых решений
Вырожденность базисного решения

A
    В т. A пересекаются три прямых и в этой
точке имеем систему из трех уравнений с двумя
неизвестными, т.е. одно уравнение избыточно.
Задача становится переопределенной.
Вырожденность вызывает:
- зацикливание в решении;
 - появление вырожденного
   неоптимального решения.

Отсутствие конечного оптимума
Построим область допустимых решений
Отсутствие конечного оптимума
Здесь область допустимых
 решений представлена
незамкнутым множеством.

Вывод. Функция неограниченно .
Задача не имеет конечного opt.

∞
Область допустимых решений представлена одной точкой
Построим область допустимых решений для случая,
 когда все линии пересекаются в одной точке.
Область допустимых решений представлена одной точкой

В данном случае точки максимума и минимума
 целевой функции  f(x) совпадают.
Множество допустимых решений пусто
Начинаем строить область допустимых решений.
Множество допустимых решений пусто
После нанесения третьего ограничения, область
допустимых решений исчезает, т.е. множество пусто.
Данный случай имеет место, когда система
неравенств несовместна.
Экономический смысл основных и дополнительных переменных в канонической форме задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (на примере задачи о коврах).

 7x1 +2x2 +2x3 +6x4+х5= 80,
5x1 +8x2 +4x3 +3x4+х6= 480,
2x1 +4x2 +x3 +8 x4 +х7  =130,
x1, x2, x3, x4, х5, х6, х7 ≥ 0.

    Понятие устойчивости (чувствительности) решения

  Существуют интервалы изменения коэффициентов в F(x),  при
которых оптимальное решение сохраняется.

Интервал
оптимальности
решения

Оптимум
1. Изменение коэффициентов c1 и c2
в целевой функции вызывает изменение
угла наклона прямой F(x) – линии уровня.
2. Изменение констант в правой части
ограничения

Оптимум
Оптимум
Изменение констант в правой части ограничений рассмотрим отдельно.


title: Скачать презентацию или конспект Периодичность функций

extracted_text:
Периодичность функций.

Мальцева М.И.
1. Найдите область определения функции:

2. Укажите график нечётной функции:
1) [-2; 2]
4) (-2; 2]
3. Найдите область значений функции:
1) [ -1; 1 ]
а) у = -4cos x
2) [ -4; 0 ]
3) [-4; 4]
4) (∞; ∞)
б) y = 3sin х/2
1) [-1,5; 1,5]
2) [ -3; 3]
3) (-3; 3)
4) [-1; 1]
в) у =sin x - 2
1) [-3; -1]
2) (-∞; ∞)
3) [ -1; 1 ]
4) [ -3; 0]
г) y = sin2 x + 3
2) [3;4]
3) [0;4]
1) [0;1]
4) [ 0; 3]

у = sin x
y
x

у = cos x

x
y
1
-1

1
-1

0
0

Найдите период функции:

y
x

0
1

-1

x
y
0

2
Найдите период функции:

x
y
0
T/2
-T/2
3T/2

-2T
y
x
2,5T
0
T/2
-T/2
3T/2

Достройте график функции
на промежутке [ -2T; 2,5 T].

2,5T
-2T

Если функция f периодическая и имеет период Т, то функция
Аf (k x + b),
где A, k и b постоянны,
а k ≠ 0, также периодична, причём её период равен
Найдите основной период функции:

а) у=  sin 3x
б) у= cos 0,5 x
в) у=  sin (-x/2 + π)
Т = 2π/3
Т = 4π
Т = 4π
Найдите наименьший положительный период функции:

а) у=  sin 2x
б) у=  3 cos (-0,75x)
в) у=  sin 4x/5
г) у=  cos (2x + 2π/7)
Т = π
Т = 8π/3
Т = 5π/2
Т = π


title: Скачать презентацию или конспект Правильные многоугольники задачи

extracted_text:
   Правильные
многоугольники
Работу выполнила
Преподаватель математики МОУ «Лицей №10»
Лариса Викторовна
Золотухина
pptcloud.ru
ПРАВИЛЬНЫЕМНОГОУГОЛЬНИКИ
Определение правильного многоугольника
Описанная и вписанная окружность
Формулы для вычисления площади
Упражнения и задачи
Тест

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Формула для вычисления угла β правильного n-угольника

Сумма всех углов n-угольника равна

вписанная и описанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник,
если все стороны многоугольника касаются этой окружности.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой
окружности.

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯОКРУЖНОСТЬ
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Площадь правильного
    многоугольника

      Сторона правильного
          многоугольника
 Радиус вписанной
     окружности

БИНАРНЫЙ ТЕСТ
1.Любой правильный многоугольник является
       выпуклым
    2.Любой выпуклый многоугольник является
       правильным
    3.Многоугольник является правильным,
       если он выпуклый и все его стороны равны
    4.Треугольник является правильным, если
       все его углы равны
    5.Любой равносторонний треугольник треу-
       гольник является правильным
    6.Любой четырехугольник с равными сторонами
       является правильным
    7.Любой правильный четырехугольник
       является квадратом

Правильно

Неправильно

Задача 1
  Найдите углы правильного n-угольника, если:
n=3;
n=5;
n=6;
n=10.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Задача 2
       Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол равен:

Задача 3
Найдите площадь правильного n-угольника, если:
n=4,
n=3, P=24 см;
n=6, r=9 см;
n=8,

Заполните пустые клетки таблицы
(a- сторона многоугольника)

                  Задача 4
СРАВНИ ОТВЕТЫ
2.
1.
3.
ОЦЕНИ СЕБЯ САМ

«5» - Если вы решили три задачи и ответили на вопросы теста правильно.
«4» - Если вы решили две задачи и ответили на вопросы теста правильно.
«3» - Если вы решили одну задачу и ответили на вопросы теста с 1-2 ошибками.
«2» - Если вы не решили ни одной задачи и допустили более трех ошибок в тесте. Вам придется повторить эту тему еще раз.

Задача №1
Во дворе нашей школы есть клумба квадратной формы. Весной мы будем высаживать цветы на нашу клумбу. Сначала высаживать будем ландыши по окружности, которую можно вписать квадратную клумбу. Затем тюльпаны в форме квадрата, вписанного в окружность. Сколько саженцев ландышей и клубней тюльпанов нужно высадить, если размеры клумбы 6 на 6 квадратных метров. Высаживать цветы  нужно через каждые 20 см. (смотрите рисунок)
Задача №2
В кондитерском цехе сделали круглый торт, радиусом 18 см. Для упаковки есть два типа коробок: квадратной формы и формы правильного шестиугольника. В какую коробку войдет торт, если сторона квадратной коробки 36 см, а другой коробки – 20 см.

РЕФЛЕКСИЯ
Что нового вы сегодня для себя узнали?
Над чем  стоит еще поработать дома?
Как я себя оцениваю на уроке?
Где вы будете использовать данные умения и знания?
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Тест (20 заданий с одним правильным ответом).
Повторить формулы для вычисления стороны правильного многоугольника, радиуса вписанной окружности, площади правильного  многоугольника.
Индивидуальное задание.
     Творческое задание: придумать и решить жизненную задачу.


title: Скачать презентацию или конспект СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ НА ДРОБИ

extracted_text:
СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ НА ДРОБИ
Открытый урок учителя математики 1 категории Черновой Галины Петровны
Цель урока: решение задач,            взятых разных источников.
Задачи :
Проверить устный счет на работе с обыкновенными дробями;
Решить несколько задач вместе с разбором на доске;
Провести самостоятельную работу на решение задач.
Устный счет
Задачи на смекалку
Старинная задача. Работали два крестьянина в поле и решили пообедать. У первого было два хлеба, а у второго- один В это время подошёл к ним третий и попросил поделиться. Ему дали один хлеб и каждый съел по хлебу. За свою долю крестьянин дал им 6 рублей и, поблагодарив, ушёл. Как поделить оставшимся эти деньги?
Построить ломаную из четырёх звеньев, проходящую через все девять точек.

Математический тренажёр
Старинные задачи
В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречаются много интересных задач на дроби. Решение каждой из таких задач требует немалой смекалки, сообразительности и умения рассуждать.
Рассмотрим несколько таких задач.
задачи
Путник, догнав другого, спросил его: «Далеко ли до деревни, которая впереди?» Другой путник ответил: « Расстояние от деревни, из которой ты идёшь, равно трети всего расстояния меду деревнями. А если пройдёшь ещё две версты, будешь ровно посередине между деревнями. Сколько вёрст осталось идти первому путнику?
Четыре плотника хотят построить дом. 1 плотник  может построить дом за год, второй- за 2 года, третий- за три года, четвёртый- за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?
      «Арифметика», Магницский, 1703
2 версты, которые нужно пройти  до середины, составляют  1/6 всего расстояния до деревни.  2*6=12( вёрст)  всё расстояние                                    12*1/3=4( версты)  прошёл путник                               12-4=8 (вёрст) осталось                                                Ответ: 8 вёрст.
Число 12 –делители 1, 2, 3, 4.                                                                                1) 12:1=12( домов) 1 плотник за 12 лет                                                                                2) 12:2=6( дом)    2 плотник  за 12 лет                                                                                3) 12:3=4( дом)   3  плотник  за 12 лет                                                                                4) 12:4=3( дом)    4  плотник  за 12 лет                                                                                5) 12+6+4+3=25( домов)  вместе за  12 лет                                                                                6)  12:25= 12/25( года)  1 дом  вместе.                             Ответ: примерно  6  месяцев.

Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н.э.).
Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:                         - Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?   Пастух  отвечает:                       - Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в стаде?
Решение:                          70 быков составляют 2/3 от1/3                             1) 2/3*1/3=2/9 составляют 70 быков.     2) 70 : 2/9= 315(быков) составляют стадо.            Ответ: 315 быков
Китай, II век н.э.
Дикая утка от южного     моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моя до южного моря летит 9 дней. Теперь утка и гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Решение:                             утка    7 дн. 9раз  63 дня                          гусь    9 дн.  7раз 63 дня                       1)7+9=16 раз                      2) 63:16= 3 15/16 ( дней)

1) 1:7=1/7пути утка 1 д.   2) 1:9=1/9пути гусь 1 д.    3) 1/7+1/9=16/63 вместе 4)  1:16/63=3 15/16 дней
Ответ: через 3 15/16 дней.
Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI в.)
Трое выиграли некоторую сумму денег. На дою первого пришлось ¼ этой суммы, на долю второго -1/7, а долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
Решение:                            примем выигрыш за 1.         1) ¼+1/7=11/28(ч.) выиграли двое                  2)1-11/28=17/28(ч.) выиграл третий 3)17/28=11/28         17 флористов есть 11/28 4)17:17*28=28(флор.) Ответ: 28 флоринов весь выигрыш.
В знаменитой книге «1001 ночь» мудрец задаёт юной деве следующую задачу:
Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?
Решение:
I способ:
1) 1-1/2=1/2(ч) осталась
2) 1/2-1/4=1/4(ч) осталась
3) 1/4-1/8=1/8(ч) осталась
4) 1/8-1/16=1/16(ч) осталась
   1/16 составляет 10 яблок
5) 10*16=160(яблок)
   IIспособ:
1)2*2*2*2=16(раз)
2)10*16=160(яблок)
III способ:
1) 10*2=20(яблок)
2) 20*2=40(яблок)
3) 40*2=80(яблок)
4) 80*2=160(яблок)
Ответ: 160 яблок.
Брахмагупта, Индия, около 600 г.
Слон, слониха и слонёнок пришли напиться к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3ч, слониха - за 5ч, а слонёнок - за 6ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?
Решение:
Слон -        1 озеро       3ч
                   10 озёр     30ч
Слониха-   1 озеро       5ч
                    6 озёр       30 ч.
Слонёнок- 1 озеро       6ч
                    5 озёр        30 ч.
          НОК(3,5,6)=30
1)10+6+5=21(озеро) выпьют слон, слониха и слонёнок за 30часов,
2)30:21=1 3/7(ч) они вместе выпьют озеро.
Ответ:1 3/7 часа.
Из «Арифметики» Магницкого (Россия, XVIII в.)
Решение:
Лошадь-   1 воз 1 месяц      6 возов-       6месяцев
Коза-        1 воз  2 месяца        3 воза-  6 месяцев
Овца-       1 воз  3 месяца        4 воза-  6 месяцев
         НОК(1,2,3)=6
1)6+3+4=11(возов) лошадь, коза и овца за 6 мес.
2)6:11=6/11(месяца) они съедят 1 воз.
Ответ: 6/11 месяца.
Лошадь съедает воз сено за месяц, коза- за два месяца, овца- за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Из  Акмимского папируса (VI в.)
Некто взял из сокровищницы 1/13.   Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение:
1)1-1/13=12/13(ч) сокровищ осталось
2)12/13-1/17=191/221(ч) сокровищ осталось
   191/221 составляет 191
3)191:191*221=221
  Ответ: 221 было первоначально.
Домашнее задание
Древняя Греция, Герон                Александрийский, I в. до н.э.
Бассейн может заполняться через четыре фонтана. Если открыть только первый фонтан, бассейн наполнится за день, только второй- за два дня, только третий- за три дня, только четвёртый- за четыре дня. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре фонтана?
Итог урока
 Задачи, разобранные и решенные на этом уроке, были взяты из древних рукописях и старинных учебниках, некоторые из них можно было решить традиционными способами, но мы рассматривали и другие красивые способы решения, предложенные древними учеными и математиками.
При решении задач важно уметь логически рассуждать, знать, как правильно работать с обыкновенными дробями, ведь они встречаются  в предложенных задачах.
Для тех,  кто увлекается математикой, этот урок обязательно понравится.


title: Скачать презентацию или конспект Основные понятия теории вероятности

extracted_text:
Основные понятия теории вероятностиО.В. Кулик - преподаватель математики КГТК – филиал НГГТИ
Теория вероятностей
Введение
Основные комбинаторные объекты
Элементы теории вероятности
Основные комбинаторные объекты
Задачи в которых производится подсчет всех возможных комбинаций составленных по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики занимающийся их решением называется комбинаторикой.
Правило умножения
Сочетания
Перестановка
Размещения
Правило сложения

Элементы теории вероятности
Основные понятия теории вероятностей
Повторение испытаний
Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия теории вероятностей
Классическая формула вероятности
Статистическая и геометрическая вероятности
Случайные события. Операции над событиями

Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей
Теорема  умножения вероятностей. Условная вероятность
Формула  полной вероятности.
Формула Байеса

Повторение испытаний
Асимптотические формулы
Формула Бернулли

Введение
Теория вероятностей возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности, теория вероятностей изучает эти закономерности.
  Математическая статистика это наука изучающая методы обработки результатов наблюдения массовых случайных явлений, обладающих статистической устойчивостью, с целью выявления этих закономерностей

Правило умножения
Если требуется выполнить одно за другим какие то K действий при чем 1 действие можно выполнить а1 способами, 2 действие – а2 способами, и так до K-го действия , которое можно выполнить ак способами, то все K действий вместе могут быть выполнены а1 · а2 · а3 …ак способами.
4 мальчика 4 девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами,  а девочки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать ?
Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй - на любое из оставшихся трех мест, третий – на любое оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять  четыре места 4·3·2·1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья                                                       24 · 24=576 способами.

Правило сложения
Это правило легко распространить на любое  конечное число действий
Если два действия взаимно исключают друг друга, при чем одно из них можно выполнить m способами, а другое – n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно m+n способами.

Размещения

 Теорема: число размещений из n по m равно
 Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов

Пример задачи
1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?
2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения  все десять цифр?
назад
Перестановки
Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества
Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n!
Пример задачи

Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7

3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3
2) Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

назад
Сочетания
Сочетанием  из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из  n различных элементов
Теорема: Число сочетаний из n по m равно
Следствие: Число сочетаний из n элементов по    n-m равно числу сочетаний из n элементов по m
Пример задачи

Способов выбора былых  шаров
1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров , что бы среди них были 3 черных ?
Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.
2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй-
 не более 9 человек ?
Способов выбора черных  шаров
 По правилу умножения искомое число способов равно
Выбор первой подгруппы  однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно:
Подгруппа из 3 человек
Подгруппа из 4 человек
Подгруппа из 5 человек
назад
Случайные события. Операции над  событиями
Событие- явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания.
Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть).
Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).
Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).

далее
Случайные события
Событие А называется  благоприятствующим событию В , если появление события А влечет за собой появление события В.
События А и В называются не совместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А-выбивание четного числа очков; В- не четного).
События А и В называются совместным, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А- в аудиторию вошел учитель; В- вошел студент).

назад
далее
Случайные события
Два события А и        называются противоположными, если не появление одного    из них в результате испытания влечет появление другого(       отрицание А).
Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из  них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.
События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо  из них более возможным, чем любое другое ( А-орел; В-решка).
назад
далее
Операции над  событиями
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

     Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары.
     А- извлечение черного шара
     В- извлечение красного шара
     С- извлечение белого шара
     А+В – извлечен черный или красный шар
     В+С – извлечен красный или белый шар
     А+С – извлечен черный или белый шар
назад
далее
Операции над  событиями
Произведением нескольких событий  называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

      Пример: происходят следующие события:
      А- из колоды карт вынута ”дама”
      В- вынута карта пиковой масти
      А∙В – событие – вынута карта “дама пик”

назад
Классическая формула вероятности
Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то  вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.
N – число всех исходов испытания
М – число исходов благоприятствующих событию А
Свойство вероятности:
1) Вероятность достоверного события равна 1
2) Вероятность невозможного события равна 0
3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству
Пример задачи

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ?
N=10;  М=6;   А- Извлечение белого шара
N=10;  М=4;   А- Извлечение черного шара

2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он:
А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый

N=10;  М=2
N=10;  М=4
N=10;  М=0
N=10;  М=4
назад
Статистическая и геометрическая вероятности
Было замечено ,  что при многократном повторении опытов относительная частота появления  события в этих опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой появления события понимается отношение М/N , где N- число опытов; М-число появления события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5. Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности.
Геометрической вероятностью события  называется отношение меры области,  благоприятствующей появлению события , к мере всей области.

Теорема сложения вероятностей
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:
                                   Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей попарно несовместных
событий, образующих полную группу , равна 1.

далее
Теорема сложения вероятностей
   Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
   Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей  этих событий без вероятности их совместного наступления:

назад
Теорема  умножения вероятностей. Условная вероятность
Условной вероятностью             называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

далее
Теорема  умножения вероятностей. Условная вероятность
Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:
    Р(А1А2А3…Аn)=Р(А1)РА1(А2)РА1А2(А3)…РА1А2А3 …Аn-1(Аn);
РА1А2А3…Аn-1(Аn) – вероятность появления события Аn , вычисленная в предположении, что события А1А2А3…Аn-1 произошли

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn  , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
назад
Формула  полной вероятности. Формула Байеса
Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий  H1, H2, H3,…,Hn , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H1, H2, H3,…,Hn на соответствующую условную вероятность события А :
Формула полной вероятности

далее
Формула  полной вероятности. Формула Байеса
Рассмотрим события В1, В2, В3,…,Вn  которые образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них Вi событие А может наступать с некоторой условной вероятностью
Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А

Сколько бы не было вероятностей:
назад
далее
Формула  полной вероятности. Формула Байеса
Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В1, В2, В3,…,Вn , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез:
назад
Формула Бернулли
Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р , Р(0<Р<1) ,  событие наступит К раз безразлично в какой последовательности, вычисляется по формуле Бернулли
q=1-p ;  q- вероятность противоположного события
или

Асимптотические формулы
Если число испытаний велико, то использование формулы Бернулли будет нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа, дающая асимптотическую формулу , позволяет вычислить вероятность приближенно.
Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из  n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции

далее
Асимптотические формулы. Распределение Пуассона
Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема:
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение  np=    , то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна

назад
1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?
2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения  все десять цифр?
назад


title: Скачать презентацию или конспект Определенный интеграл и его применение

extracted_text:
Определённый интеграл. Его применение
Выполнила:
Студентка группы К-11
ХК ДУТ
Шкурко Виктория
План
1. Понятие определённого интеграла
2. Пример
3. Свойства определённого интеграла
4. Определённый интеграл с переменным верхним пределом
5.  Применение определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Длина кривой
Площадь поверхности вращения
Объем тела вращения

Понятие определённого интеграла
Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению:

Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
При a = b по определению принимается

Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:
    Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

Пример
Вычислить определённый интеграл:
Решение. Произведём замену переменной, полагая:
Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение                  даёт                   а

Используя теперь формулу
получим:

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Свойства определённого интеграла
Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

    Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно:

На основании формулы
последнее равенство означает равенство интегралов

                                               и

   Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.
    Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

    Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если                то:

    Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

    Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.
   Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если
    Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство
     можно почленно интегрировать, т.е.

Определённый интеграл с переменным верхним пределом
   Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл:
                               где
  ,
    А через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл                       т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.
     Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим:

    так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.
    Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = a обращается в ноль.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
    При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d(uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа о свойствах определённого интеграла, получим
    Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде:

     получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

Применение определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Длина кривой
Площадь поверхности вращения
Объем тела вращения
Источники информации:
http://function-x.ru/integral4.html
Конспект лекций
http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=68542
http://osiktakan.ru/alg10.html