title: Скачать презентацию или конспект Элективный курс "Решение задач с параметрами"

extracted_text:
Элективный курс «Решение задач с параметрами»
Для предпрофильной подготовки учащихся 8-9 классов

 Здравствуйте, дорогие ребята!
Я рада приветствовать на своем курсе вас, любящих математику, интересующихся решением логических задач, желающих в будущем связать себя с царицей наук.
Я рада приветствовать всех тех ребят, кто заглянул сюда из-за любопытства,  которые не определились с выбором профиля, может вам пригодятся полученные здесь знания при подготовке к ЕГЭ.
В своем курсе ДО я используем такие элементы обучения, как лекция, тест-тренинг, практические и самостоятельные работы, чаты и итоговую контрольную работу.

Лекции ( У-1)строятся по типу чередования страниц с теоретическим материалом и страниц с вопросами. Материал лекции строится таким образом, чтобы в основе обучения лежал деятельностный подход. То есть практически в каждом параграфе содержится какое-либо задание, которое выполняется совместно с учителем, либо самостоятельно.

 По завершении лекции учащиеся проходят тест-тренинг(Тест «Найти параметр» и т.д.), который помогает вам самим проверить, насколько вы усвоили пройденный материал, и повторить его. На выполнение таких тестов отводится неограниченное количество попыток с начислением или нет штрафных баллов за неправильные ответы.

После прохождения лекционного тематического блока учащемуся предлагается выполнить самостоятельную работу,( которая не ограничена по времени) и отправить преподавателю на проверку(СР№ 1и т.д.)

Чат будет использоваться для вопросов –ответов, для обсуждения  возникших в ходе выполнения самостоятельной работы вопросов. При этом в обсуждении принимают участие как преподаватель, так и другие ученики. Мой skype: maina601
Данный блок (курс) завершится итоговой контрольной работой (КР) и круглым столом.
Темы курса:
Что такое параметр?
Примеры  равенств с параметрами
Равносильность уравнений
Преобразования, при которых данное уравнение переходит в равносильное:
Преобразования, при которых появляются уравнения – следствия
 Таблица равносильных преобразований

Уравнения и неравенства с параметрами
1.Линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
2.Линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.
3.Некоторые рациональные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.

Наши цели:
                       - знать, что такое параметр,
                         - знать, что значит решить уравнение и неравенство с параметром;
                         -уметь решать уравнения и неравенства с параметром;
                        - уметь отличать в уравнениях  и неравенствах параметр от неизвестных;
                        - уметь выбирать и  записывать ответ в уравнениях и неравенствах
                         с параметрами.

Урок 1.Что такое параметр?
Если в уравнение или неравенство наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами.
Уравнение или неравенство называются параметрическими.

Примеры  равенств с параметрами
 линейная функция y=кx+b, k, b - параметры, x, y- переменные;
 квадратичная функция y= ax²+bx+c, где а≠0
a, b, c-параметры,   x, y –переменные;
уравнение окружности  с центром в начале координат имеет вид                         ,где x, y- координаты точек - переменные, r- радиус окружности – параметр.

Практическая работа (совместно с учителем)Составьте уравнение с параметром, чтобы:
 каждому значению параметра соответствовало единственное значение переменной х;
 при любом значении параметра оно не имело корней;
 которое не имеет корней при  всех а<0;
 которое не имело корней при каком-то одном  значении параметра, а при всех остальных его значениях имело бы корни;
 которое имело бы  корни при одном значении параметра, а при всех остальных его значениях не имело бы корней.

Тест-тренинг.

 Тест  «Найти параметр»
Урок 2-3.Равносильность уравнений
Определение 1. Пусть имеются два уравнения f (х)=g (х) и f (х)=g (х).
  Если каждый корень первого уравнения  является корнем второго уравнения, и каждый корень второго уравнения является корнем            первого, то эти уравнения называют равносильными.
Пример. Уравнения 3х=9 и                           являются равносильными. Значение  х=3 -их корень.
Уравнения                     и 3х²+8=0 тоже равносильны, так как ни одно из них   не имеет корней.
Определение 2. Если каждый корень одного уравнения является корнем другого, то второе уравнение является следствием первого. (Из определения  следует, что если два уравнения не являются следствием друг друга, то они равносильны).
Пример. Уравнение (х+2)(х-3)=0 является следствием уравнения 2х=6, так  как число 3 является корнем второго уравнения, но не является корнем первого.

Преобразования, при которых данное уравнение переходит в равносильное:
1. Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный.
Пример. Уравнение х²+7=3х равносильно уравнению
  х²-3х+7=0.
2. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример. Уравнение 9х-5=4 равносильно  9х-1=0.
3. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример. Уравнение 2,5х+3,5=2 равносильно 5х+7=4.
4. Если обе части  уравнения f(х)=g(х) умножить или разделить на функцию     у=k(х) (для всех х выполняется k(х)≠0 ), то получится уравнение, равносильное данному.
Пример. Уравнение 4(х²+1)²- (х²+1)=0 равносильно уравнению (х²+1)= .

Преобразования, при которых появляются уравнения – следствия:
1. Освобождение от знаменателя.

Пример. Уравнение
не равносильно уравнению х²+1=х(х-1), так как первое уравнение имеет только один корень -1, а второе - два корня 1 и -1.
2. Возведение в одну и ту же чётную степень.
Пример. Уравнения
и х²=3-2х не равносильны, т.к. первое уравнение имеет только один корень 1, а второе - два корня 1 и -3.
Каждое второе уравнение называют  следствием первого.  Переходя от одного уравнения к его следствию, мы не потеряем корней уравнения, но, возможно, приобретём лишние. Поэтому необходима проверка полученных  его корней непосредственной подстановкой в исходное  или составлением смешанной системы, включающей ограничения на то действие, которое изменило равносильность.

Практическая работа  (зад.1-1,3,5; зад.2-1,3-совместно с учителем, остальное- самостоятельно)
Задание 1. Какие из пар уравнений являются равносильными? Какое уравнение в парах является следствием другого?
1)                  и 5х+6=4-2х.
2) (х+3)²=(4-х)² и
3)          и 9-х²=0.
4) 6х²-11х+5=0 и х- 5/6=0.
5)
6) 3х-2=х и (3х-2)           = х
Задание 2. При каких значениях параметра a уравнения равносильны?
1)5х-101=0 и (5х-101)             =0.
2) 2х-7+           =3х-а+               и 2х-7=3х-a.
3)                   и 4х+3=0.

ОТВЕТЫ: 1.  1) Равносильны.
                       2) Равносильны.
                       3) Второе является следствием первого.
                       4) Первое является следствием второго.
                       5) Первое является следствием второго.
                       6) никакое из уравнений не является следствием другого.
                  2.  1) при a>0;
                       2) при  a>9;
                       3) при a=3/4 .

С.Р.№1     Таблица равносильных преобразований (заполнить самостоятельно, привести примеры)
Таблица неравносильных преобразований
                Вопросы:
1)Что такое параметр?
2) Какие уравнения называются равносильными?
3) Какие уравнения называют уравнениями- следствиями?
4) Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям?
5) Какие преобразования приводят к уравнениям - следствиям?

Работа в skype
чат-форум по вопросам к урокам1-3
Уравнения и неравенства с параметрами
1.Линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
2.Линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.
3.Некоторые рациональные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.
Уроки 4-5Линейные уравнения
    Уравнение вида
А х = В, (1)
где А, В – выражения, зависящие от параметров,
          х – неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.
Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество корней заданного уравнения.

Замечания:
 Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся к линейному, не представлено в виде (1), то сначала его нужно привести к виду (1) (стандартному виду) и только после этого проводить исследование.
Если для каких-нибудь значений параметров уравнение не имеет смысла, то для этих значений параметров множество решений уравнения пусто. Кроме этого, уравнение может иметь пустое множество решений и при других значениях параметров.
Решение задач
Задача1. Для всех значений параметра k решить уравнение: (k+4)x=2k+1
Решение: Уравнение уже записано в стандартном виде(1), поэтому проведем исследование по указанной выше схеме:
1) Еслиk+4=0, т.е. k=-4,  имеем 0*х=-7, то уравнение не имеет решений.
2) Если k+4 ≠  0,т.е. k=-4. то х=(2k+1)/(k+4)
Ответ: если k=-4, то х ϵ Ǿ
              если k ≠ -4, то х =(2k+1)/(k+4)

Задача 2. Для всех значений параметра а решить уравнение (3/4a-1) х- 3а+4 =0
Запишем уравнение в стандартном виде (3/4a-1) х= 3а-4
1)3/4а-1=0, то а=4/3. Тогда уравнение имеет вид 0*х=0 Это равенство верно при любом х. Значит решением уравнения будет все множество действительных чисел, т.е. х ϵR.
2)3/4а -1 ≠ 0, то а  ≠ 4/3. Тогда х=(4-3а)/(3/4а-1) =-4
Ответ: если  а=4/3,то х ϵR.
              если а  ≠ 4/3, то х=-4
Задача 3
Для всех значений параметра р решить уравнение

Решение:1)
1)при р=1 уравнение имеет вид 0*х=2
при р=-1 уравнение имеет вид 0*х=0            R

2)

Ответ:
                                              R
Задача 4
Для всех значений параметров а и в решить уравнение

Решение: 1)
Если                                          ,    то это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому
Если

2)
Ответ:

Повторение- мать учения!

«Линейные уравнения с параметром»

Тест-тренинг:
 «Линейные уравнения с параметром»
С.Р.№2.   Решить самостоятельно
Уроки 6-7Линейные неравенства с параметром
Неравенства вида                                                         , где А и В - действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а х - неизвестное, называются линейными неравенствами.
Решить неравенство с параметрами- значит для всех значений параметров найти множество решений заданного неравенства.
Задача 1
Задача 2
задача3
Повторение- мать учения!
Повторим!

Тест-тренинг
«Линейные неравенства с параметром»
Урок 8Это интересно!

Изучи самостоятельно!
Чат-форум по просмотренным презентациям.
С.Р.№3. Решить самостоятельно
Урок 9-10.Некоторые рациональные уравнения и неравенства, сводящиеся к линейным
С.Р.№4. Решить самостоятельно
Вопросы
1)Что значит решить уравнение с параметром?

2)Какой вид имеет линейное уравнение?

3)Схема исследования линейного уравнения

4)Схема исследования линейного неравенства

5) Зачем надо знать ответы на эти вопросы?

Контрольная работа
Критерии оценивания контрольной работы
Чтобы получить оценку3, достаточно   правильно решить  № 1,2
Чтобы получить оценку 4, достаточно правильно решить № 3,4.
Чтобы получить оценку 5,достаточно правильно решить №5,6.
Приветствуется, если решили все номера.
Вопросы для форума(«круглый стол»)

Имели ли вы представление о содержании данного курса?
Не сожалеете ли вы, что выбрали данный элективный курс?
Встречались ли вы раньше с заданиями, содержащими параметр?
Испытывали ли вы затруднения в понимании смысла заданий, содержащих параметр, до изучения  курса?
Оказался ли вам полезен этот курс?
Оцените уровень своих умений в выполнении заданий с параметрами после изучения курса:
- задания не вызывают затруднений;
- иногда затрудняюсь;
- слабо ориентируюсь;
- так ничего и не понял.
  Что, по-вашему, может способствовать лучшему усвоению курса?
  Хотели бы вы продолжить изучение различных способов решения задач       с параметрами?

Форум
Подведение итогов


title: Скачать презентацию или конспект Координатный метод в решении задач на плоскости

extracted_text:
Координатный метод в решении задач на плоскости
Белобородова Н. Е., учитель математики МАОУ «СОШ №2»
Чернушка 2012 г.
Координатный метод, возникновение которого обычно связывают с именем великого французского математика и философа Рене Декарта, жившего в первой половине 17 века, произвел настоящий переворот в геометрии и не только в ней.
Метод координат дает универсальный способ поставить в соответствие геометрическим объектам – фигурам, линиям, те или иные алгебраические соотношения. Иначе, метод координат – это способ перевода с геометрического языка на язык алгебры, после чего геометрические проблемы превращаются в алгебраические, и мы получаем возможность использовать для решения геометрических задач алгебраические методы.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Применение прямоугольных координат к решению задач
Задача1: Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Решение: 1. Пусть АВСD – данный параллелограмм. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Если АD = ВС = а, а точка В имеет координаты (b; с), то D(а; 0), точка С(а + b; с).
2. Используя формулу расстояний между точками, находим АВ2 = b2 + с2, AD2 = a2, AC2 = (b + a)2 + c2,
BD2 = (a – b)2 +c2, тогда
AВ2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2(AB2 + AD2) =
2(a2 + b2 + c2)
AC2 + BD2 = (b + a)2 + c2 + (a – b)2 + c2 =
2(a2 + b2 + c2)
Таким образом, AВ2 + BC2 + CD2 + DA2 =
AC2 + BD2, что и требовалось доказать.

у
х
А(0; 0)
В(b; с)
С(b + а; с)
D(a; 0)
Задача 2: Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.
Решение: 1. Пусть треугольник АВС – данный равнобедренный треугольник, АМ – медиана.
Введём систему координат таким образом, что М(0; 0), точка А лежит на оси Оу,  основание ВС – на оси Ох. Так как ВС = 80 см, то В(-40; 0), С(40; 0); АМ = 160, значит, А(0; 160).
 2. По формуле координат середины отрезка найдём середины двух других сторон треугольника:
Р – середина АС, Р(20; 80)
К – середина АВ, К(-20; 80)
3. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем, что ВР = √(-40 – 20)2 + (80 – 0)2 = 100 см, СК = √(-20 – 40)2 + 802 = 100 см
Ответ: ВР = СК = 100 см

у
х

А
Р
К
М
В
С
Задача 3: Докажите, что середины отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон четырехугольника, совпадают.
Решение: 1. Пусть дан произвольный четырехугольник АВСD. Расположим его на координатной плоскости так, чтобы точка А совпала с началом координат, а В оказалась на оси х.
2. Введем координаты вершин данного четырехугольника: А(0; 0), В(а;0), С(m; n), D(p; q). Тогда координаты середин сторон четырехугольника будут следующие: Е(а/2; 0), F((m + p)/2; (n + q)/2), К((а + m)/2; n/2), Р(р/2; q/2).
3. Координаты середины М отрезка ЕF:
М((а + m + р)/4; (n + q)/4).
Координаты середины М1 отрезка КР:
М1 ((а + m + р)/4; (n + q)/4).
4. Координаты точек М и М1 совпадают. Значит, середина отрезка ЕF совпадает с серединой отрезка КР, что и требовалось доказать

Задача 4: На прямой l даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между А и С. По одну сторону от прямой l построены равносторонние треугольники АМВ и ВNС. Докажите, что середина отрезка МС, середина отрезка NА и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.
Решение: 1. Пусть Р – середина отрезка МС, а Q – середина отрезка АN.
2. Введем прямоугольную систему координат. Если
ВС = а, то легко убедиться в том, что вершины данных треугольников имеют координаты: А(0; 0), В(1; 0), С(1 + а; 0), М(1/2; √3/2), N(1+ а/2; √3а/2).
3. Определим координаты точек Р(х1 , у1) и
Q(х2 , у2):
х1 = (1/2 + 1 + а)/2 =(3 + 2а)/4, у1 = √3/4, т.е.
Р( (3 + 2а)/4; √3/4)
х2 = (2 + а)/4, у2 = √3а/4, т.е. Q((2 + а)/4; √3а/4).
4. Пользуясь формулой для вычисления длины отрезка по координатам концов, получаем:
ВQ = √((2 + а)/4 – 1)2 + (√3а/4 – 0)2 = √(а2 – а + 1)/2,
РQ = √((2 + а)/4 – (3 + 2а)/4)2 + (√3а/4 – √3/4)2 =
√(а2 – а + 1)/2,
РВ = √(1 – (3 + 2а)/4)2 + (0 – √3/4)2 = √(а2 – а + 1)/2,
т.е. ВQ = РQ = РВ.

Задачи на нахождение геометрических мест точек
Задача 5: Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.
Решение: 1. Введем прямоугольную систему координат так, что А(0; 0), В(а; 0), где а = АВ.
2. Найдём расстояние от произвольной точки М(х; у) до точек А и В: АМ = √х2 + у2 ; ВМ = √(х – а)2 + у2 .
3. Если точка М(х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ = 2ВМ или АМ2 = 4ВМ2. Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению
х2 + у2 = 4((х – а)2 + у2). Если точка М(х; у) не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, полученное уравнение и есть уравнение искомого множества.
4. Преобразуя х2 + у2 = 4((х – а)2 + у2), 3х2 + 3у2 – 8ах + 4а2 = 0, получаем (х–(4/3)а)2 + у2 = ((2/3)а)2. То есть искомым множеством является окружность радиуса (2/3)а с центром в точке С((4/3)а; 0).
у
х
.
.
А(0; 0)
В(а; 0)
.
М
Задача 6: Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?

Решение: Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем систему координат так, чтобы ось х проходила через пункты А и В, а ось у – через точку А.
Пусть М – произвольная точка,
М(х, у), s1и s2 – расстояния от точки М до предприятий А и В.

При доставке груза из пункта А расходы равны m + 10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m + 20s2. Если для пункта М выгоднее доставлять груз с предприятия А, то
m + 10s1< m + 20s2, откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.
Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению s1=2s2.
Выразим s1 и s2 через координаты: s1=√х2 + у2, s2=√(300-х)2 + у2.
Имея в виду s1=2s2, получим (х- 400)2 + у2=2002.
Это есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.

Задача 7: Лестница, стоящая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?

Решение: Выберем прямоугольную систему координат, где ось х находится на полу, а ось у – на стене. Допустим, что лестница имеет длину, равную 2а, тогда из рисунка видно, что точка М(х, у), находясь все время в середине лестницы, имеет координаты х=аcosα, y=asinα.
ОМ2 = х2 + у2 = (аcosα)2 + (asinα)2 = а2, т.е.
х2 + у2 = а2. Следовательно, котенок будет двигаться по дуге окружности
Применение аффинных координат к решению задач
Задача 8: Точки К и М делят стороны ВС и СD параллелограмма АВСD в отношении ВК:КС = 1:2, СМ:МD = 1:2. В каком отношении делятся отрезки АК и ВМ точкой пересечения?

Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке В и координатными векторами е1 = ВА, е2 = ВС (рис. 45). Тогда точки К и М имеют координаты: К(0; 1/3), М(1/3; 1).
2. Составим уравнения прямых ВМ и АК, как прямых, проходящих через две точки. Уравнения прямых ВМ и АК имеют вид: ВМ: 3х –у = 0, АК: х + 3у – 1 = 0.
3. Найдем координаты точки Р пересечения этих прямых. Для этого решим оба уравнения в системе. Получим Р(0,1; 0,3).
4. Вычислим отношение λ, в котором точка Р делит отрезки КА и ВМ.
λ 1  = (х – х1)/(х2 – х) = (у – у1)/(у2 – у ) = (0,1 – 0)/(1 – 0,1) = 1/9, т.е. точка Р делит отрезок  КА в отношении 1/9.
 λ2 = (х – х1 )/(х2 – х ) = (у – у1)/(у2 – у ) = (0,1 – 0)/(1/3 – 0,1) = 3/7, т.е. точка Р делит отрезок ВМ в отношении 3/7.

х
у
С
М
D
A
B
K
P
е1
е2
Задача 9: На сторонах СК и СВ треугольника СКВ взяты соответственно точки Р и М, которые делят эти стороны в отношении: СР:РК = 3:2, СМ:МВ = 4:1. В каком отношении делят друг друга отрезки КМ и ВР?

Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке С и координатными векторами е1 = СВ, е2 = СК, тогда вершины треугольника СКВ будут иметь координаты: С(0; 0), К(0; 1), В(1; 0) и Р(0;3/5), М(4/5; 0).
2. Найдем координаты точки О пересечения ВР и КМ. Для этого составим уравнения прямых ВР и КМ.
ВР: 3х + 5у – 3 = 0, КМ: 5х + 4у – 4 = 0.
Решив в системе уравнения, получим О(8/13; 3/13).
3. Вычислим отношение λ, в котором отрезки делят друг друга.
λ  = (х – х1)/(х2 – х) = (у – у1)/(у2 – у) = (3/13 – 0)/(1 – 3/13) = 3/10, т.е.точка О делит отрезок МК в отношении 3/10.
λ  = (х – х1)/(х2 – х) = (у – у1)/(у2 – у) = (8/13 – 1)/(0 – 8/13) = 5/8, т.е. точка О делит отрезок ВР в отношении 5/8.

Задача 10: (Теорема Менелая) Для того, чтобы три точки А1, В1, С1, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС (или на их продолжениях), принадлежали одной и той же прямой, необходимо и достаточно, чтобы АС1 /ВС1 · ВА1 /СА1 · СВ1 /АВ1 = 1( символом АС1 /ВС1 назовем отношение направленных отрезков, лежащих на одной прямой, которое положительно, если они сонаправлены, и отрицательно, если они противоположно направлены; |АС1 /ВС1|=|АС1| / |ВС1|) .

Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке А и координатными векторами е1 = АВ, е2 = АС.
2. Обозначим λ1, λ2, λ3  отношения такие, что АС1  = λ3С1В, ВА1 = λ1А1С, СВ1 = λ2В1А, и определим координаты точек А1, В1, С1. В выбранной системе координат вершины треугольника АВС будут иметь координаты А(0; 0), В(1;0), С(0; 1). Если А1(х1, у1), В1(х2, у2), С1(х3, у3), то
х1  = (1 + λ1∙0)/(1 + λ1) = 1/(1 + λ1),
у1  = (0 + λ1∙1)/(1 + λ1) = λ1 /(1 + λ1);
х2  = 0, у2  = 1/(1 + λ2);   х3  = λ3 /(1 + λ3), у3 = 0.
 3.Для того, чтобы точки А1, В1, С1 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы

х1        у1         1
 х2        у2        1   = 0
 х3        у3        1
или
1/(1+λ1)    λ1/(1+λ1)       1
      0         1/(1+λ2)        1  = 0
 λ3/(1+λ3)        0             1
откуда 1/(1 + λ1)(1 + λ2) + λ3 /(1+λ3) · [ λ1 /(1+λ1) – 1/(1+λ2)] = 0.
После элементарных преобразований получаем: λ1 · λ2 · λ3 + 1 = 0. Таким образом, АС1 /С1В ·ВА1 /А1С ·СВ1 /В1А = -1 или
АС1 /ВС1 ·ВА1 /СА1 ·СВ1 /АВ1 = 1.
Возможности использования метода координат в школьной практике
Использование координатного метода в школьной практике возможно:
На математических кружках, факультативах;
На индивидуальных занятиях с более увлеченными математикой учащимися;
В проектной деятельности.

Темы проектов с использованием координатного метода:
Аффинные координаты;
Деление отрезка в данном отношении;
Комплекс задач, связанных с нахождением суммы квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин правильного многоугольника, которая постоянна, если центр окружности совпадает с центром многоугольника ( прил. 3).
Задач планиметрии, решаемых введением системы координат, на данный момент в школьном курсе геометрии недостаточно. Метод координат на плоскости значительно упрощает решение задач.
Решение задач, как в прямоугольных, так и в аффинных координатах на     плоскости значительно упрощается, в связи с тем, что геометрическая проблема сводится к алгебраической;
Введение системы координат позволяет находить длины отрезков, геометрические места точек и решать задачи на установление свойств фигур;
Использование метода координат расширяет множество задач, решаемых в школе, его применение возможно в исследовательской деятельности учащихся.
Внедрение метода координат на плоскости в школьную практику необходимо.


title: Скачать презентацию или конспект Симметрия в русском орнаменте

extracted_text:
Работа ученика 9"А" классаМОУ "Гимназия №2"Ултургашева Андрея.
руководитель:
Колычева  Ираида  Михайловна,
учитель математики

СИММЕТРИЯ
в  русском  орнаменте
"Человек по природе своей - художник.
Он всюду, так или иначе,
стремится
вносить в свою жизнь красоту.
Красивые вещи воспитывают творческое
воображение людей и
уважение к их труду."
М.Горький
Наша страна богата талантами. Многие виды народного
искусства широко известны и высоко ценимы не только
у нас, но и за рубежом. Это палехская и мстерская миниа-
тюра, расписные матрешки Полхова Майдана, богород-
ская деревянная игрушка, жостовские подносы и многое,
многое другое.
В изделиях народных мастеров – в дереве, камне, глине,
на ткани – оживают образы, пришедшие из языческих по-
верий и легенд, народного эпоса и сказок. Каждый из нас
хотя бы раз в жизни видел вышитое полотенце, русскую
рубаху, расшитый узорами девичий сарафан…Как нам
сохранить и оставить для потомков эту красоту? Для
этого надо суметь многое понять в нашем прошлом.
Почему старинные русские орнаменты выглядят такими
нарядными, что обозначают вышитые непонятные птицы,
деревья, диковинные цветы и травы, по каким законам
выстроен сам орнамент – на эти и некоторые другие во-
просы я попытался ответить в своей работе.

Симметрия в геометрии – свойство
геометрических фигур.
Точки А и А1 называются
симметричными относительно
Точки О (центр симметрии),
если О – середина отрезка АА1.
Точка О считается симметричной
самой себе.
Точки А и А1 называются симметричными
относительно прямой «а»(ось симметрии),
если прямая «а» проходит через середину
отрезка АА1 и перпендикулярна к этому
отрезку. Каждая точка прямой «а» считается
симметричной самой себе.
Точки А и А1 называются симметричными
относительно плоскости «альфа»(плос--
кость симметрии), если плоскость «альфа»
проходит через середину отрезка АА1 и
перпендикулярна к этому отрезку. каждая
точка плоскости «альфа» считается симмет-
ричной самой себе.
Точка(прямая, плоскость) называется центром
(осью, плоскостью) симметрии фигуры, если
Каждая точка фигуры симметрична относи-
тельно нее некоторой точке той же фигуры.
Если фигура имеет центр(ось,плоскость) сим-
метрии, то говорят, что она обладает цен-
тральной (осевой, зеркальной) симметрией.
Фигура может иметь один или несколько
центров (осей, плоскостей) симметрии.
Симметрия – это определенный пространст-
венный порядок, математически точная  за-
кономерность в расположении предметов
кли  их частей.
В искусстве симметрия получила распрстра-
нение как один из видов гармоничной компози-
ции. Она свойственна произведениям архитек-
туры и декоративно-прикладного искусства.
Симметрия является своеобразной мерой кра-
соты и гармонии окружающего нас мира.
   Выдающийся математик 20 века Герман Вейль
в своей работе «Симметрия» уделил особое вни-
мание орнаментальной симметрии. Он показал,
что в основе принципов  любой орнаментальной
композиции лежат общие положения фундамен-
тальных математических структур, и связал
орнаментальную симметрию с дискретными
группами движений на плоскости.
Существует несколько видов симмет-
рии. Чаще всего мы  встречаемся с
зеркальной симметрией. Она присуща
телу человека и большинства живот-
ных, многим предметам, которыми мы
пользуемся, широко применяется в
искусстве.
Если какой-либо предмет или плоскую
фигуру можно разделить плоскостью
на две половины таким образом, что-
бы одна половина, отразившись в этой
плоскости, как в зеркале, повторила
другую, то они обладают зеркальной
симметрией. Зеркальная симметрия
бытовых предметов подчеркивается
орнаментом, построенным по тому
же принципу. Плоскости симметрии
предмета и орнамента совпадают.

Например, эта декоративная вырезка
из бумаги, созданная народным масте-
ром. Орнамент вырезан из сложенно-
го вдвое листка цветной бумаги –
простейший способ добиться зеркаль-
ной симметрии.
Еще один вид симметрии, посто-
янно встречающийся в народном
творчестве – перенос или
трансляция. Симметричные эле-
менты могут быть  совмещены
друг с другом при перемещении
вдоль прямолинейной оси на
отрезок  определенной длины.
Каждый  из рисунков этих орна-
ментов состоит из ряда одина-
ковых изображений. Можно ска-
зать, что эти рисунки образова-
ны повторением определенного
мотива или его переносом на
равные отрезки.
Орнамент – огромная и очень
своеобразная область художест-
венной культуры. По определе-
нию, это узор, состоящий из
повторяющихся ритмически упо-
рядоченных элементов. Он пред-
назначен для украшения  различ-
ных предметов (посуды, текст.
изделий,оружия и т.д.) архитек-
турных сооружений, произведе-
ний прикладного искусства. Он
 связан с поверхностью (плоско-
стью), которую украшает и зри-
тельно организует, а своей фор-
мой и цветом выявляет и подчер-
кивает  особенности предмета,
природную красоту материала.
Основной признак орнамента как средства
украшения – подчиненность образу, форме  и
назначению украшаемого  предмета.
Орнамент не может существовать
самостоятельно, вне этого предмета. В
построении орнамента обычно используют
принцип симметрии, приемы ритмических
повторов одного или нескольких элементов
(раппорт). Орнамент можно продолжить в
обе стороны, даже если его первоначальная
композиция ограничена, замкнута.
Элементы, образующие орнамент, могут
более или менее точно воспроизводить
действительность, но чаще всего
подвергаются  переработке, стилизации,
декоративному  обобщению.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРНАМЕНТА
В СОВРЕМЕННОМ
СЦЕНИЧЕСКОМ КОСТЮМЕ
В народном творчестве, где орнамент нашел наиболь-
шее распространение, постепенно складывались устой-
чивые формы и принципы  построения орнамента, во
многом определившие национальные художественные
традиции разных народов. Каждая эпоха, каждый стиль
 в архитектуре, каждая национальная культура вырабо-
тали свою систему орнамента (мотивы, формы, распо-
ложение на украшаемой поверхности), поэтому  часто
 по орнаменту  можно определить, к какому времени и к
какой стране относится то или иное произведение
 искусства. Русский орнамент (наряду с историческим и
культурным значением) особенно интересен в этом
смысле, так как имеет своеобразные математические,
цветовые  и символические особенности.
Существенным в орнаменте является цвет. Народные мастера
хорошо знали о воздействии цвета не только на зрение, но и
на психику людей. Они учитывали, что с тем или иным цветом
 в сознании человека нередко ассоциируются определенные явле-
ния, конкретные настроения и переживания. Народные умельцы
 в цветовом решении орнамента отдают предпочтение красному
цвету. Именно с ним связывается представление о радости, ве-
селье, торжестве и счастье. Он вызывает в нашем сознании ассо-
циации с солнцем, источником всего живого на Земле.
Высокого развития достиг орнамент в средневековой Руси.
Для русского орнамента характерны как  геометрические и
растительные формы, так и изображения птиц, зверей и
человеческих фигур. Во взаимном расположении повторяю-
щихся фигур русского орнамента в основном участвуют
всего три вида симметрии: 1 – это последовательное распо-
ложение в линию -  переносная симмметрия
Зеркальное отражение – зеркальная симметрия
И поворот вокруг общего центра – поворотная симметрия.
Количество фигур в полном обороте определяет порядок по-
воротной симметрии. В орнаменте на плоскости встречает-
ся  поворотная симметрия 2-го, 3-го и 6-го порядков. В соот-
ветствии с порядком поворотной симметрии фигуры орна-
мента относительно друг друга повернуты на 180, 120, 90 или
60 градусов.
Считается, что орнаменты, сочетающие зеркальную и по-
воротную симметрии  4-го порядка, вызывают состояние
покоя. Прямые углы по опыту людей отвечают устойчиво-
му равновесию: спокойная водная гладь и отраженные в
ней вертикальные стволы деревьев, угол между полом и
стенами в комнате, прямоугольные формы зданий.
Давно замечено, что в вы-
шивках нет ничего случай-
ного.  В основу  древнесла-
вянского орнамента легли
универсальные представ-
ления наших далеких пред-
ков о мире. Эти представ-
ления нашли  отражения в
мотивах, характерных для
русского орнамента и рус-
ких узоров. Эти символы с
скрывают особый смысл,
который мы, к сожалению,
уже не всегда можем прочи-
тать.. В орнаменте человек
выразил свои представления
о космосе, жизни, любви к при
роде и человеку, о счастье.
В народном творчестве
мотивы орнамента  запечат
лели поэтическое отношение к миру.
Для русского орнамента характерными являются также
мотивы:
"обереговых "знаков , которые наносились на одежду,
предметы быта и различные детали жилища;
мотивы "плетенки", которые трактовались как знаки
воды;
- мотив древней богини Мокоши (как представление о
Великой Праматери);
-мотив "древа жизни";
-мотивы "солярных" (солнечных)  знаков.
Так, например, прямая линия в орнаментах многих наро-
дов означает землю, а волнистая – воду. Сочетание
этих линий, расположенных горизонтально в русском
орнаменте  - символ "мать-сыра земля", расположенных
вертикально или горизонтально – символ дождя. Ромб –
символ поля, точка в нем – зерно, а в целом  - символ за-
сеянного поля.
Заклинательным обереговым орна-
ментом украшались все проемы, че-
рез которые могли проникнуть к че-
ловеку злые духи. Важно было защи-
тить те места, где кончалась закол-
дованная ткань одежды и начиналось
тело человека – рукава, плечи и во-
рот обычно расшивали красными
нитками. Часто украшали и подол.
Сама ткань считалась непроницае-
мой для духов зла, т.к. в ее изготов-
лении участвовали предметы, изо-
бильно снабженные магическим ор-
наментом (трепало, прялка, ткац-
кий станок).
Завершает ансамбль русского костю-
ма  головной убор.  У  девушек  это
может быть только перевязка, остав-
ляющая верх головы  не закрытым, а
замужние  женщины  носили кокош-
ники, расшитые золотой нитью и
речным жемчугом.
В качестве оберегов часто высту-
пают фигуры с центральной сим-
метрией, например круг и правиль-
ный шестиугольник. У древних
славян эти фигуры являлись обе-
регами от грозы, они называются
"солярными " знаками. Движение
солнца передают в орнаменте зна-
ком, который нам известен как
свастика. Для солнечных знаков
характерна поворотная симмет-
рия разного порядка. Наиболее рас-
пространенными являются круг,
 разделенный радиусами на равные
секторы, а также круг с крестом
внутри. "Бегущее" солнце изобра-
жает круг с расходящимися от
центра дугообразными линиями.
Земля изображалась прямоугольником,
разделенном диагоналями на 4 части,
с повторяющимся в них рисунком.
Здесь также мы наблюдаем осевую
симметрию в сочетании с централь-
ной. Эти же виды симметрии преоб-
ладают в изображениях растительно-
го мира.
Водная стихия представ-
лена обычно  рядами чер-
точек и точек, воспроиз-
водящими дождевые кап-
ли и зигзагообразными
линиями (пример перенос-
ной симметрии). Такой
мотив типичен для налич-
ников окон.
Таким образом, описание
отдельных русских орна-
ментальных мотивов и
схемы их расположения на
деталях жилища, предме-
тах украшения, одежды и
быта наглядно демонстри-
рует присутствие в них
центральной, поворотной,
переносной, осевой и зер-
кальной видов симметрии,
которые являются причи-
ной эстетической привле-
кательности русского ор-
намента.
К сожалению, до наших дней сохра-
нился только единственный пред-
мет из языческого прошлого – это
рушник. Он без перерыва тради-
ции используется в народном бы-
ту по своему прямому назначению
защищать святые углы, божни-
цы, дверные и оконные проемы,
 свадьбы, праздники, похороны
своими магическими изображени-
ями и оберегами от сглаза, "уро-
ка" и любой порчи и быть приста-
нищем душ умерших родичей. Во
многом именно благодаря сохра-
нившимся в русских деревнях
рушникам со старинной вышив-
кой мы можем совершить экскур-
сию в наше далекое прошлое.
Перед вами авторские работы,
выполненные
Васильевой
Александрой
Ивановной,
матерью
педагога
И. М. Колычевой

Чтобы народное искусство жило, нужно, чтобы оно находилось
в чутких руках. Все тоньше и тоньше нити, связывающие нас
с искусством далеких предков. Вот и древнерусский орнамент
может уйти из нашей жизни, лишив ее чего-то важного.
  Равнодушие неизбежно приводит к потерям, а терять духов-
ные, художественные традиции народа мы не имеем права.
Именно уважение к этим традициям  называется патриотиз-
мом, с него начинается в нас чувство Родины.
Литература:
!. Большая Советская Энциклопедия, т.23, стр.391-392,
М., издательство "Советская энциклопедия", 1970г.
2. Большая Советская Энциклопедия, т.18, стр.524, М.,
издательство "Советская энциклопедия", 1970г.
3. А.А.Коринфский ."Народная Русь", стр. 352, Смоленск,
"Русич", 1995г.
4. Е.В.Лебедева, Р.М.Черных ."Искусство художника-оформи-
теля", М., "Советский художник", 1981г.
5. Б.А.Рыбаков. "Язычество древней Руси", М., "Наука", 1988г.
6. "Математика в школе", №6, 2007г.
7. З.А.Богатеева. "Мотивы народных орнаментов в детских
аппликациях", М., "Детская литература", 1986г.
8. А.Рогов. "Кладовая радости", М., "Просвещение", 1982г.
9. А.Миловский. "Скачи, добрый единорог!", М., "Детская
литература", 1986г.
10. Е.Ольшанов. "Геометрия вышивки", "Наука и жизнь", №3,
1975г.


title: Скачать презентацию или конспект Самосчёты Буняковского Виктора Яковлевича

extracted_text:
САМОСЧЁТЫ БУНЯКОВСКОГО  ВИКТОРА  ЯКОВЛЕВИЧАвыполнила Золина Анастасия, ученица 8 А класса. Научный руководитель Манаенкова Л.В.
БУНЯКОВСКИЙ  ВИКТОР ЯКОВЛЕВИЧ – ВЫДАЮЩИЙСЯ РУССКИЙ МАТЕМАТИК, УЧЁНЫЙ ДЕЯТЕЛЬ И ИЗОБРЕТАТЕЛЬ  19 ВЕКА.
Виктор Яковлевич Буняковский прославился не только своими фундаментальными исследованиями в области математики, активной деятельностью по развитию математического просвещения в России, но и талантливыми изобретениями.
Планиметр (механический интегратор) – это прибор, служащий для простого механического определения площадей (интегрирования) замкнутых контуров, прорисованных на плоской поверхности.

Пантограф - прибор, служащий для перечерчивания планов, карт и т. п. в другом, обычно более мелком масштабе. Пантографы изготавливают различных размеров и разных конструкций (подвесные, на колесиках и др.). Позволяют одну из вершин двигать по прямой линии.

Самосчёты - вычислительный механизм, основанный на принципе действия русских счётов. Аппарат предназначался для сложения большого числа двузначных чисел. Прибор удобен исключительно для сложения большого количества небольших чисел.

Литература. Источники
Буняковский  //Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: в 6 томах  (82 т. и 4 доп.) . – СПб., 1890 – 1907.
История науки и техники. – 2012. - №8. – с2 – 14.
Математика в школе. – 2010. - №2. – с.66 – 70.
Прудников в В.Е.  В.Я. Буняковский – учёный и педагог. – М.: Учпедгиз, 1954. – 88 с. Русский биографический словарь: в 25 т. / под наблюдением А.А. Половцова. 1896 – 1918.
Русские счёты / В мире информатики, №75 («Информатика» № 10/2006).
Усовершенствованные счёты / В мире информатики, №76 («Информатика» № 17/2006).
Иллюстрации .http://inf.1september.ru/article.php?ID=200601909


title: Скачать презентацию или конспект Разность квадратов

extracted_text:
Математический  диктант
1) Сумма квадратов чисел а и b.
2) Дополнить определение: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения …

3) Квадрат разности чисел a и b.

4) Разность между числом m и удвоенным произведением чисел х и у.

5) Преобразовать выражение (3а – 4с)2 в многочлен стандартного вида.

плюс квадрат второго выражения.

Запишите в виде степени выражения:

Найдите значение х:
 (24)х = 212;
 10х = 10000;
 53  54 = 52 + х
Тема урока:
"Разность квадратов"
Разность квадратов
(а + b)(а – b) = а2 – b2
 а2 – b2 = (а + b)(а – b)
ЗАМЕЧАНИЕ
Не путайте термины «разность квадратов» и «квадрат разности».
Разность квадратов – это формула а2 – b2 = (а + b)(а – b).
Квадрат разности – это формула (а – b)2 = а2 - 2аb + b2.
Разность квадратов двух  чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на их разность.
Пример  1.Выполнить умножение:  (3х – 2у)(3х + 2у).
Решение.
(3х – 2у)(3х + 2у) = (3х)²- (2у)² = 9х²- 4у²

Пример  2.Представить двучлен  16x4 - 9 в виде произведения двучленов.
Решение. Имеем:   16x4= (4х²)²,      9 = 3²,
     значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3),  прочитанную справа налево. Тогда получим:

               16х4 – 9 = (4х2)2 – 32 = (4х2 + 3)(4х2 – 3).
Формула разности квадратов, используется для быстрого счета
         79 * 81 = (80 – 1)(80 + 1) = 802  - 12 =6400 – 1 = 6399;

Смотрите:
42*38 = (40 + 2)(40 – 2) = 402 – 22 = 1600 – 4 = 1596;
292-282=(29-28)(29+28)=1*57=57;
732-632=(73+63)(73-63)=136*10=1360.


title: Скачать презентацию или конспект Математический словарь

extracted_text:
Математический словарь
Содержание
АРХИТ ТАРЕНТСКИЙ
АСИПТОТЫ
БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА
БЕРНУЛЛИ ЯКОБ
ВЕКТОР
ВЫСОТА ЦИЛИНДРА
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
ЛОМАННАЯ
ЛУЧ
ОСТРЫЙ УГОЛ
ОСТРОГРАДСКИЙ М.В.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
ПОДОБИЕ
ТЕОРЕМА
ТОЧКА
ТОРРИЧЕЛЛИ ЭВАНДЖЕЛИСТА
АТ-ТУСИ
УГОЛ
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Архит Тарентский
Архит Тарентский (428-347 г. до н.э.) - знаменитый древнегреческий математик , астроном и государственный деятель. Он обладал большим талантом и трудолюбием. Его труды оказали влияние на Платона и Евклида. Архит  был неутомим: он доказывал теоремы и строил деревянного летающего голубя, решал задачу об удвоении куба и мастерил детскую трещотку.

Асимптоты
Асимптоты графика функции. Пусть y=f(x)- функция, график которой имеет бесконечную ветвь, т.е. ветвь, имеющую точки, принадлежащие графику функции и находящиеся сколь угодно далеко от начала координат.
Асимптотой  графика функции y=f(x) называют прямую, обладающую тем свойством, что расстояние от точки (x;f(x)) до этой прямой стремится к нулю при движении этой точки вдоль ветви к бесконечности.
Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные).
Рассмотрим графики функций, имеющие вертикальные асимптоты:
Асимптоты

Вертикальная асимптота
x=0;
О
Х
У
Наклонная асимптота
(горизонтальная)
у = 0

О
X
Наклонная асимптота
у=2х

Биссектриса треугольника
Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности.
Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 – биссектрисы ∆ABC; O- вписанный центр окружности.
Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC  на отрезки BD и DC, пропорциональные сторонам AB и AC.
Биссектриса AD треугольника ABC делит его на два треугольника ABD и ACD, площади которых пропорциональны длинам сторон AB и AC.

А
А1

В
В1
С
С1

А
В
С
D
Отрезок AD- биссектриса

Бернулли Якоб
Бернулли Якоб (1654-1705) - швейцарский математик, один их ярких представителей  семьи ученых Бернулли. Сначала Бернулли занимался изучением теологии, позднее увлекся математикой. Был профессором математики Базельского университета. Якоб Бернулли сформулировал и частично решил ряд важных задач математики и механики и механики. В книге «Арифметические приложения о бесконечных радах и их конечных суммах», которая была первым учебником по теории рядов, он доказал расходимость гармоничного ряда. Решил также ряд задач комбинаторики теории вероятностей, оказал большое влияние на приложение теории вероятностей к практике. Его учениками были брат Иоганн Бернулли, племянник Николай Бернулли.

Вектор
Вектор. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется направленным отрезком, или вектором. Обозначается             ,   длина этого отрезка называется длиной вектора. Обозначается             .Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. Любую точку плоскости можно считать нулевым вектором.
Противоположными векторами называются векторы, которые имеют равные длины  и противоположные направления.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Коллинеарные векторы, если они одинаково направлены, называются сонаправленными, если противоположно направлены, называются противоположно направленными.    Обозначаются

Вектор
Векторы называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины             если              и           .
Три ненулевых вектора называются комплпантарными, если лучи, задающие их направление, принадлежат прямым, параллельным некоторой  плоскости.
Над векторами можно проводить следующие операции: сложение векторов, вычитание векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов.
Суммой векторов                               называется вектор

Законы сложения векторов:
Переместительный закон
Сочетательный закон

Высота цилиндра
Высота цилиндра - отрезок перпендикулярной прямой, с концами на плоскости основания цилиндра.
Высотой прямого кругового цилиндра является отрезок, соединяющий центры окружностей, являющихся основаниями этого цилиндра.
АВ ┴ а ;
АВ - высота наклонного цилиндра;
а – плоскость основания.
О и О1 –центры оснований прямого кругового цилиндра;
ОО1- высота.

Геометрическое место точек
Под этим термином понимается всякое множество или совокупность точек, обладающим каким – то общим для них свойством, но неприсущим остальным точкам, не принадлежащим данному или совокупности. В последнее время этот термин стал реже употребляться. Примеры.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, является прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.
Даны точки А и В, прямая l перпендикулярна отрезку АВ, причём АО = ОВ. Прямая l – геометрическое место точек, равноудалённых от  точек. А и В на плоскости.
Если рассматривать точки А и В а пространстве,
то геометрическим местом точек, равноудалённых
от точек А и В, будет плоскость, проходящая
через середину отрезка АВ и перпендикулярно
прямой АВ.
Геометрическое место точек
Геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла.
Дан угол АВС, BD – биссектриса  ∟АСВ. Луч BD – геометрическое место точек, равноудалённых от лучей ВА и ВС, т.е. ЕМ┴ВС и ЕМ = ЕN.
Геометрическое место точек
Геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на расстоянии d, представляет собой пару прямых, параллельных данной и отстоящих от неё на расстоянии d.
Дана прямая а, прямые l1 и l2 параллельны прямой а и находятся на расстоянии d от прямой а, т.е. l1 ║ l2 и ОА┴l1;ОВ ┴ l2 и ОА=ОВ=d.Прямые l1 и l2 являются геометрическим местом точек, равноудаленных от прямой, а на плоскости.
Если рассматривать прямую а в пространстве, то геометрическим местом точек, равноудаленных от прямой а являются две плоскости, параллельных прямой, а и находящиеся от нее на одном и тои же расстоянии. Эти  плоскости являются параллельными плоскостями.

О
А
В
l2
a
l1
Геометрическое место точек

Геометрическим местом точек, удаленных от данной точки O на расстояние R, является окружность с центром в точке O и радиусом R.
Окружность является геометрическим местом точек, равноудаленных от точки на данное расстояние, на плоскости.
Если рассматривать точку O в пространстве, то геометрическим местом точек, равноудаленных от точки O на расстояние R, является сфера с центром в  точке O и радиусом R: ОА=ОВ=R.

А
R
О

Линейные функции. Функция, заданная формулой y=kx+b, где  k и b – некоторые действительные числа, называется линейной.
Свойства линейной функции (при условии                    )
Областью определения линейной функции является множество всех действительных чисел.
Множество значений линейной функции при             множество всех действительных чисел.
При k           функция возрастает, при           функция убывает.
Линейная функция не является ни четной, ни нечетной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно определить
координаты двух точек графика и через них
провести прямую.
Линейные функции

y=kx+b
У
X

В
О
а

Удобно брать точки, у которых либо абсцисса, либо ордината равны нулю:

Число k называется угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси, Ох: k=tg a.

Частные случаи линейной функции:
1.   Если b=0, то линейная функция задается формулой y=kx. Такая  функция называется прямой пропорциональностью. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая  через начало координат.
Линейные функции

y=kx+b
У
Х
О
Линейные функции

Частные случаи линейной функции:
2.   Если , то линейная функция задается формулой y=b. Такая  функция называется постоянной. Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси Ох. Если k=0 и b=0, то график постоянной функции совпадает с осью Ох.

Ломанная - геометрическая фигура, состоящая из точек, соединенных отрезками. Точки называются вершинами ломаной, а отрезки – звеньями ломаной. Длинной  ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Ломанная замкнутая – такая ломанная, если конец ее последнего звена совпадает с началом первого  звена.
Ломанная называется простой, если ее звенья не пересекаются.
Ломанная
Замкнутая ломанная
Простая ломанная
А1
А2
А3
А4
А5

Луч - часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной точки. Эта точка называется началом луча. Точка делит прямую на два  луча, поэтому луч иногда называют полупрямой. Различные  полупрямые одной и той же прямой с общим началом  называют дополнительными полупрямыми или дополнительными лучами. Обозначение: луч ОА или         , где О – начало луча, можно  обозначать луч а.
Луч

О
А
а

Острый угол – угол, градусная мера которого больше нуля, но меньше девяноста градусов. Если рассматривать острый угол как угол поворота, то острые углы принадлежат первой координатной четверти. Следовательно, sin, cos, tg, ctg  острого угла принимают положительные значения. Наиболее известные острые углы- 30, 45, 60 градусов.
Острый угол

Остроградский Михаил Васильевич (1801-1861) – выдающийся русский математик, был членом многих академий наук. Занимался математическим анализом, алгеброй, теорией чисел, прикладным науками. Он составил учебники по высшей и элементарной математике, вел большую педагогическую деятельность.
Родился Остроградский в семье помещика Полтавской губернии. С ранних лет проявил математические способности, в 16 лет поступил на физико-математичский факультет  Харьковского университета. Но не смог получить диплом этого университета, так как отказывался посещать лекции по богословию. Поэтому продолжил образование в Париже, где обратил на себя внимание великих математиков того времени. М.И.был одним из тех ученых, которые прославили русскую науку того времени.

Остроградский Михаил Васильевич

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
a. Противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны.
b. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
c. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, эта точка является центром симметрии параллелограмма.
d. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:                             , где d1 и d2 –диагонали, а и b – стороны параллелограмма.
Параллелограмм

Признаки  параллелограмма:
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали  пересекаются и точкой  пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Параллелограмм
BK и  BM - высоты
параллелограмма
ABCD, AD и CD –
основания.
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону.
Площадь параллелограмма можно найти по следующим формулам:
                                              , где а - основание, ha - высота, проведенная к основанию.
                  , где а  и b - соседние стороны параллелограмма, α – угол между а  и b.

Параллельные плоскости - плоскости, которые не пересекаются. Обозначение: α║β.
Признаки  параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно  параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Параллельные плоскости
Если а║а1 и b║b1, причем а и b пересекаются, α║β
Свойства параллельных плоскостей:
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их  пересечения параллельны.
Если α║β, плоскость у пересекает плоскости α и β по прямым а и b, то а║b.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Если α║β, а║b, то AB=CD.
Параллельные плоскости
β
Y
b

b
а

Параллельные прямые на плоскости. Две прямые на плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными прямыми. Обозначаются: а║b.
Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными отрезками.
Параллельные прямые на плоскости
Признаки параллельности двух прямых:
Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если  при пересечении двух прямых третьей соответственные углы, то прямые параллельны.
Если  при пересечении двух прямых сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Подобие- отображение плоскости или пространства на себя, при котором расстояние между точками изменяется в одном и том же отношении            . Другими словами, расстояние между точками или увеличивается, или уменьшается в k раз. Число k называется, коэффициентом подобия является подобия. Если k=1, то подобие является движением. Гомотетия является преобразованием подобия., но не всякое подобие является гомотетией.
Подобие

Свойства подобия:
При преобразовании подобия прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, лучи в лучи, плоскости в плоскости, углы в равные им углы.
При преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в точки А1, В1, С1, лежащие на одной прямой в том же порядке, что и точки ∆ АВС подобен треугольникам ∆ А1, В1, С1 и ∆ А2, В2, С2, но гомотетичен только ∆ А1, В1, С1. ∆ А1, В1, С1 и ∆ А2, В2, С2 являются подобными, но не являются гомотетичными.
Подобные фигуры Ф1 и Ф2, если существует преобразование подобия, переводящее одну фигуру в другую. Если фигура Ф1 переходит в фигуру Ф2 при преобразовании подобия с коэффициентом   k, то фигура переходит в фигуру Ф1 с
 коэффициентом      .

Особое внимание в школьной программе уделяется подобным треугольникам. Подобные треугольники- треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
Обозначение: ∆ АВС~∆ А1 В1С1.
Если треугольники подобны, то отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е. если ∆ АВС~∆ А1 В1С1, то

               .
Подобие

Признаки подобия треугольников:
Первый признак подобия: если два угла одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Третий признак подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Частные случаи подобия треугольников:
Прямоугольные треугольники подобны, если острый угол одного треугольника равен острому углу другого треугольника.
Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.
Равнобедренные треугольники подобны, если у них углы между боковыми сторонами равны.
Равнобедренные треугольники подобны, если угол при основании одного треугольника равен углу при основании другого треугольника.
При решении задач удобно использовать такие свойства подобных треугольников:
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный данному.
Отношение периметров подобных треугольников рано коэффициенту подобия.
Подобие

Теорема – математическое предложение, правильность или истинность которого доказывается с помощью аксиом или других теорем. Классическая теорема состоит из двух частей из условия и заключения. Условие обыкновенно начинается со слов «если», а заключение - со слова «то».
И сейчас существуют теоремы, истинность которых не могут доказать в течении длительного периода времени, например, теорему Ферма о решении некоторого уравнения с тремя переменными в натуральных числах.
Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. если x1 и x2– корни уравнения x²+px+q=0 , то x1 + x2=-p и x1x2=q.
Для нахождения корней пользуются теоремой, обратной теореме Виета: если сумма двух чисел равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x²+px+q=0.
Теорема
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т.е.
a²=b² +c²-2bc cosA;
b²= a²+c²-2аb cosВ;
c²= a²+ b²-2аb cosC.
Теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора.
Теорема косинусов
Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой, т.е. если BD- биссектриса угла В, а AC- основание равнобедренного треугольника АВC, то BD является высотой и медианой треугольника АВC.
Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника
Теорема о средней линии трапеции: средняя линяя трапеции параллельна основаниям и равна их половине, т.е. если MN- средняя линия трапеции ABCD,то MN║BC; MN║AD и MN=
Теорема о средней линии трапеции

Теорема о средней линии треугольника:
средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны, т.е.если MN-средняя линия ∆АВС, то MN║АС и MN=   AC
Теорема о средней линии треугольника

Теорема Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. АВ²=АС²+СВ², где АВ - гипотенуза, а АС и СВ - катеты прямоугольного треугольника АВС.
Важными теоремами являются признаки параллелограмма, параллельности двух плоскостей, параллельности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей, подобия треугольников.
Теорема Пифагора
Теорема синусов:
 стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.
Теорема синусов

Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают отрезки и на другой его стороне, т.е. если А1А2=А2А3 и А1В1║А2В2║А3В3, то В1В2=В2В3.
Теорема Фалеса

Точка - одно из основных неопределяемых понятий геометрии. Обозначается: А, В, С,…..Точка вместе с прямой и плоскостью является отправным понятием при изложении геометрии. Связь между основными понятиями показана в аксиомах. Например, какова бы ни была прямая, существуют точки принадлежащие прямой и точки не принадлежащие этой прямой.
Точки А, В, С, принадлежат прямой а
Точки K, N, M, не принадлежат прямой а.
Или такая аксиома: какова бы ни была плоскость, существуют такие точки ей принадлежащие и ей не принадлежащие.
Точки А, В, С принадлежат плоскости α.
В аксиомах также утверждается, что две точки однозначно задают прямую, а три точки  однозначно задают плоскость.
Точка

.
К
N

α
А

.
.
В
.
С
М
.

Торричелли Эванджелиста (1608-1647)- известный итальянский ученный, ученик Галилея. Сделал род математических открытий.
Внес весомый вклад в создание интегрального исчисления.
Торричелли открыл атмосферное давление и изобрел ртутный термометр.
Торричелли Эванджелиста

Ат-Туси (1201-1274) - азербайджанский астроном и математик, уроженец иранского города Тус. Его полное имя в одних переводах звучит как Насирэддин Туси Ад-Дин Ат-Туси, а в других Насир Ад-Дин Ат-Туси . Этот ученный был выдающимся государственным деятелем. Он организовал обсерваторию, в которую приглашались известные ученые из разных стран.
В этом научном центре было создано много замечательных научных трудов.
Ат-Туси написал много трудов по математике, астрономии, минералогии, медицине и логике, которые оказали влияние на европейских ученых.
Ат-Туси

Угол - гомерическая фигура, состоящая из двух лучей с общим началом. Общее начало называется вершиной угла, а сами лучи или полупрямые называются сторонами угла.
Точка А – вершина угла, лучи АВ и АС- стороны угла.
Обозначается А или ВАС.
Если стороны угла лежат на одной прямой или являются дополнительными лучами, то такой угол называется развернутым.
Угол
Если угол равен половине развернутого угла, то он называется острым.
Если угол больше прямого, но меньше развернутого, то он называется тупым.
Угол

Текстовые задачи на составление уравнений.
Большая часть текстовых задач в школьном курсе математики решается путем составления уравнений или систем уравнений. Поэтому этот метод должен освоить каждый учащийся. Рассмотрим алгоритм решения задач с помощью уравнений:
Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задач с помощью системы    уравнений вводят несколько переменных);
Выразить через нее другие величины;
Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин;
Решить уравнение (или систему уравнений);
Сделать проверку при необходимости;
Выбрать из решений уравнения (или системы уравнений)те, которые подходят по смыслу задачи;
Оформить ответ.
Текстовые задачи на составление уравнений можно условно разбить на следующие типы:
Задачи на движение;
Задачи на совместную работу;
Задачи на смеси и сплавы;
Задачи с геометрическим содержанием;
Другие задачи.
Рассмотрим решения задач перечисленных типов.
Текстовые задачи на составление уравнений.
Задача1. Катер прошел расстояние между пристанями по течению за 2 ч, а обратно против течения за 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость катера реки 2 км/ч.
Решение.
Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда (х+2) км/ч – скорость катера по течению; (х-2) км/ч – скорость катера против течения.
Так как по течению реки катер прошел расстояние между пристанями за 2 часа, а против течения – за 3 часа, то расстояние между пристанями можно выразить двумя выражениями 2(х+2) и 3(х-2). Приравняв эти выражения, получим уравнение:
2(х+2) = 3(х-2);
2х++4=3х-6;
х=10.
Следовательно, собственная скорость катера равна 10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч.
Задачи на движение
Задачи на движение
Задача2. Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на 30 км/ч больше скорости товарного поезда. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км. Определите скорость товарного поезда.
Решение.
Пусть х км/ч – скорость товарного поезда.
Составим таблицу:

Так как пассажирский поезд прошел на 300 км больше, получаем уравнение:
15(х+30)-18х=300
Решив уравнение, получаем х=50.
Следовательно, скорость товарного поезда 50 км/ч.
Ответ: 50 км/ч.

Задача1. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?
Решение.
Переведем проценты в дроби:
6%=0,06; 11%= 0,11;8%=0,08
Пусть необходимость взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди. Тогда «богатой» руды необходимо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11∙ (20-х) т меди.
Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20∙0,08 т меди, то имеет уравнение:
0,06х+0,11∙ (20-х) = 20 ∙ 0,08.
х=12.
Ответ: х=12.
Задачи на смеси и сплавы

Задача1. Найти площадь прямоугольника, длина которого в 4 раза больше, чем ширина, а площадь численно равна периметру.
Решение.
Пусть х см – ширина прямоугольника, тогда 4х см – длина прямоугольника, 2(4х+х) см – периметр прямоугольника. Так как площадь равна периметру, получаем следующее уравнение:
2(4х+х)= 4х ∙ х или 10х= 4х².
Х1=0
Х2= 2,5.
Условию задачи удовлетворяет только корень = 2,5
Получаем, что ширина прямоугольника равна 2,5 см. Длина = 2,5 ∙ 4=10 см², площадь прямоугольника = 2,5 ∙ 10=25 см².
Ответ: 25 см²
Задачи с геометрическим содержанием

Задача2. Бассейн имеет прямоугольную форму. Одна из его сторон на 6 м больше другой. Вокруг него проходит дорожка, ширина которой 0,5 м. Найти стороны бассейна, если площадь окружающей его дорожки 15 м².

Решение.
AB= х м; ВС = (х+6)м;
А1В1=(х+0,5+0,5) м;
В1С1= (х+6+0,5+0,5)м;
SABCD=x (x+6)м²;
SABCD = (x+1)(x+7)м²
Составим уравнение:
(х+1)(х+7)-х(х+6)=15
х=4
4+6=10м
Ответ: 4 м, 10м
Задачи с геометрическим содержанием
А1
B1
C1
D1


title: Скачать презентацию или конспект В гостях у бабушки Бэйбэрикээн. Счет предметов

extracted_text:
В гостях у бабушки
Бэйбэрикээн

Приятного аппетита!

Якутская национальная игра «Хабылык».
Допускаются 2 и более    участников.
Развивается ловкость рук, мелкая моторика,  пространственное зрение, устный счёт.
Всего 10 палочек - лучинок.
Все 10 лучинок  положи на тыльную сторону ладони и кидай  вверх.
Постарайся поймать как можно больше лучинок.
Побеждает тот, кто поймал большее количество  лучинок.
Отгадай загадки
Я весь мир слепить готов –
Дом, машину, двух котов.
Я сегодня властелин –
У меня есть…

?
Линию прямую, ну-ка,
Сам нарисовать сумей-ка!
Это сложная наука!
Пригодится здесь…
?
На коробку я похож,
Ручки ты в меня кладёшь.
Школьник, ты меня узнал?
Ну, конечно, я…
?
Говорит она беззвучно,
Но понятно и нескучно.
Ты беседуй чаще с ней –
Станешь вчетверо умней.
?
Если ты его отточишь,
Нарисуешь всё, что хочешь:
Солнце, море, горы, пляж.
Что же это?
?
Стоит чудесная скамья,
На ней уселись ты да я.
Скамья ведёт обоих нас
Из года в год,
Из класса в класс.
?
Успехов в учёбе!!!


title: Скачать презентацию или конспект Преобразования фигур. Движение. Векторы, действия с векторами

extracted_text:
Темы презентации:
Движение. Преобразования фигур.
    Симметрия относительно точки.
    Симметрия относительно прямой.
    Поворот. Параллельный перенос.
2. Векторы. Сложение, вычитание векторов.
    Умножение вектора на число. Решение
   задач.
Материал изложен в соответствии с учебником
«Геометрия 7-9» А.В.Погорелов.
  Слайды № 9,11, 13, 16, 17 демонстрируют творческие работы
учащихся по заданным темам.

Учитель математики Поплавская Марина Борисовна.
МОУ «Общеобразовательная средняя школа № 9» г. Рязани
Преобразования
фигур
Движение
Уроки геометрии в 8 классе
Преобразования
фигур

А
В
С
Движение
  Преобразование одной фигуры в другую, при котором
сохраняется расстояние между точками называется
движением.

.А
.А

Свойства движения
  Точки, лежащие на прямой, при движении переходят
   в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок
   их взаимного расположения.

А
В
С

А
В
С
Следовательно: при движении
прямые переходят в прямые,
полупрямые – в полупрямые,
отрезки – в отрезки,
сохраняются углы между полупрямыми.

Движение
Центральная
симметрия
Поворот
Осевая симметрия
Параллельный
перенос

Симметрия относительно точки

О

А
В

О

Точка А симметрична точке В относительно
центра симметрии – точки О

Симметрия относительно прямой

а

А

В
Точка А симметрична
точке В относительно
прямой а – оси симметрии

n

Поворот

О
А

В
О – центр поворота
угол АОВ – угол поворота
направление поворота –
по часовой стрелке

О
Х

Направление поворота –
по часовой стрелке

Параллельный перенос
Преобразование фигуры F, при котором ее произвольная точка (х; у) переходит в точку (х+а; у+в) называется параллельным переносом.
Задается формулами
Параллельный перенос задается формулами
В какие точки при этом параллельном
переносе переходят точки О(0;0), А(0;4),
В(-4;1)?

В
О
Р
А

Направленный отрезок ОР
                 задает
параллельный перенос

Лучи АВ и ОР одинаково направлены
АВ = ОР

Параллельный перенос определяется как
преобразование, при котором точки
смещаются в одном и том же направлении
на одно и то же расстояние.
Композиция движений
Вектор

А
В
Вектор – направленный
отрезок.
Вектор АВ обозначается

Точка А – начало вектора,
точка В – конец вектора.

М
Р
О
Т
С
Д
К
Н
Назовите векторы,
начало и конец
вектора.

 - одинаково направленные
векторы

- противоположно
  направленные
  векторы

абсолютная величина
 (или модуль) вектора – это
длина отрезка, изображающего вектор

Назовите одинаково направленные и противоположно направленные векторы

=
Равные векторы одинаково
направлены и равны по
абсолютной величине
Как от точки отложить вектор, равный
данному?

А

=
Сложение векторов
Правило треугольника

+
О
А
В

О
М
N
Р
К
Правило параллелограмма

О

К
М
Р
Т
К

А
В
С
Д
F
H
K
L
M
N
O
P
R
S
T
U
Постройте векторы:

А
В
С
Д
F
H
K
L
M
N
O
P
R
S
T
U
Постройте векторы:

Вычитание векторов

О
А
В

Как проверить?

А
В
С
Д
F
H
K
L
M
N
O
P
R
S
T
U
Постройте векторы:

Умножение вектора на число

О

К
и
сонаправленные, если
противоположно направленные, если

N

От точки N отложите
векторы


title: Скачать презентацию или конспект Решение логических задач

extracted_text:
pptcloud.ru
Как решать логические задачи  ?
Три способа решения логических задач:

Средствами алгебры логики
Табличный
С помощью рассуждений
Решение задач средствами алгебры логики
Схема решения:
Изучается условие задачи
Вводится система обозначений
Составляется логическая формула
Определяется значения логической формулы
Задача «История Нового года»
Три друга обсуждали историю Нового года, при этом каждый сказал следующее:
Празднование Нового года с 1 января установили во Франции в 45 году до Рождества Христова (Юлием Цезарем)
Празднование Нового года с 1 января установили римляне в 1659 году указом Карла IX
Празднование Нового года с 1 января установили  во 2 веке  и не французы
Оказавшийся рядом знаток истории  сказал, что каждый из них  прав только в одном из двух высказанных предложений.
Где и в какое время было установлено празднование Нового года с 1 января?

Задача «История Нового года»
Обозначения:
Ф – французы
Р – римляне
К – Карл IX в 1659
Ц – Цезарь
В –2 век

Задача «История Нового года»
Логическая формула:
 (Ф&неЦ + неФ&Ц)&(Р&неК + неР&К)&
&(неВ&неФ +Ф&В)=

упростим логическую формулу

воспользуемся распределительным законом
Задача «История Нового года»
Логическая формула:
 (Ф&неЦ + неФ&Ц)&(Р&неК + неР&К)&
&(неВ&неФ +Ф&В)=
=((Ф&неЦ+неФ&Ц)&Р&неК+(Ф&неЦ+неФ&Ц)&
&неР&К)&(неВ&неФ+Ф&В)=

=(Ф&неЦ&Р&неК+неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& &неР&К+неФ&Ц&неР&К)&(неВ&неФ+Ф&В)=
Т.к. Ф&Р=0, Ц&К=0, то получаем следующую формулу

Задача «История Нового года»
Логическая формула:

=(неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&
&(неВ&неФ+Ф&В)=
= (неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&неВ&неФ+ (неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&Ф&В=
Т.к. Ф&неФ=0, неФ&неФ=неФ, Ф&Ф=Ф
 то получаем
=неФ&Ц&Р&неК&неВ+Ф&неЦ&неР&К&В=
Задача «История Нового года»
Логическая формула:

=(неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&
&(неВ&неФ+Ф&В)=
= (неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&неВ&неФ+ (неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&Ф&В=
Т.к. Ф&неФ=0, неФ&неФ=неФ, Ф&Ф=Ф
 то получаем
=неФ&Ц&Р&неК&неВ+Ф&неЦ&неР&К&В,
т.к. К&В=0, то получаем следующую формулу:
Задача «История Нового года»
Логическая формула:
=Ц&Р&неК&неВ&неФ
формула принимает значение истинно только при Ц=1, Р=1, К=0, В=0, Ф=0
Ответ:
Празднование Нового года с 1 января установили римляне в 45 году до Рождества Христова
(благодаря введению нового календаря Юлием Цезарем )

Решение задач табличным способом
Схема решения:

Результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц
Задача «Новогодние костюмы»
На новогодний праздник три друга – Евгений, Николай, Алексей, выбрали себе костюмы трех богатырей: Ильи Муромца, Алеши Попович, Добрыни Никитича.
Известно, что:
Евгений – самый высокий
Выбравший костюм Добрыни Никитича меньше ростом, чем выбравший костюм Ильи Муромца
Алексею не подошел костюм Добрыни Никитича
Ни у одного из друзей имена не совпадает с именем богатырей, выбранных костюмов
Какой костюм выбрал каждый из друзей?

Задача «Новогодние костюмы»

Решение логических задач с помощью рассуждений
Этим способом обычно решают несложные логические задачи
Задача «Новогодний подарок»
Известно, что на одной двери надпись истинна, а на другой ложна.
Если надпись на первой двери - "за этой дверью есть подарок", а на второй двери - «подарок за обоими дверьми", то:
1) подарок за обоими дверьми;
2) подарок только за второй дверью;
3) подарка нет ни за одной дверью;
4) подарок только за первой дверью;
5) определенно место подарка установить нельзя.
Выберите вариант ответа

Ответ:
Подарок только за первой дверью
Задача «Новогодний подарок»
Домашнее задание

Составить свою новогоднюю логическую задачу


title: Скачать презентацию или конспект Внетабличное умножение и деление

extracted_text:
Тема:   Внетабличное умножение и деление.
 Развивать навык в решении примеров на внетабличное умножение и деление;
Повторять пройденное на решении примеров, задач, уравнений

Развитие беглости счета
7*8=
49:7=
42:6=
81:9=
63:7=
45:5=
28:4=

54
6*9=
8*8=
9*4=
5*8=
7*5=
56
64
40
35
36
 7
 7
 7
 9
 9
 9
Развитие математической речи
Составить математические выражения по данным в схемах:
(72:8 ):(27:9)=3

во?
Решение.
Ответ.
7*7
8*5

на?
Решение.
Ответ.
72:8
27:9
7*7 - 8*5=9
Задача
Шапка – 91 рубль, в 7 раз дороже
Шарф - ?

Ответ.  Доказать.
91 : 7 = 13
Решение примеров
Развернуть выражение:
72 : 4 (комментировать)
72 : 4 = (40+32):4= 40:4 + 32:4 = 18
Индивидуальный опрос:
51:17
72:24

19*5
64+27-5*16

Решите самостоятельно
Страница  22
   №18
 второй столбик
Зайка, зайка, попляши! Попляши!
Нашу Машу посмеши, посмеши!
Топай, топай лапками,
Серенькими тапками!
Вот так! Вот так!
Пляшет заинька гопак.
Физкультминутка!
Таблица – опора. Внетабличное умножение

Реши выражения, используя таблицу
65 : 5 = ?
84 : 7 = ?
72 : 4 = ?
4 * 17 = ?
18 * 3 = ?
7 * 12 = ?
78 : 13 = ?
66 : 22 =?
Решение задач

Страница 17, №4.

Записать задачу кратко.
Ц. 			    К.  			    С.
5	руб		    13 			     ?

 Ц*К
5*13=65(руб.)
Ответ: 65 руб.
Решить самостоятельно
Ц. 			    К.  			    С.
?				    12 			     48
			             6			             ?
Проверить краткую запись.

С:К					 	            Ц*К
1) 48:12=4 (руб.)
2) 4*6=24 (руб.)
Ответ: 24 рубля.
Краткая запись – поле деятельности!
С:К
Ц. 	    К.      С.
?	        12      48
	         ? 	     24
Ц. 	    К.      С.
?	        12      48
            6        ?
Ц*К
       1). 48:12=4 (руб.)2). 24:4=6 (ст.)Ответ: 6 стульев
С:Ц
Краткая запись – поле деятельности!
Ц. 	    К.      С.
	         12      ?
?           6	    24
С:К
Ц. 	    К.      С.
?	        12      48
	         6        ?
Ц*К
     1). 24:6=4 (руб.)2). 4*12=48 (руб.)Ответ: 48 рублей.
Решение  уравнений
Комментировать:   Х + 34 = 61 – 13

Х + 34 = 48

Х = 48 - 34

Х = 14

Самостоятельно:      32 : х = 93 - 85

 32 : х = 8

Х = 32 : 8

Х = 4

Итог урока
Что на уроке мы сегодня                       повторяли? Решали?
Домашнее задание
Стр. 41, №7, №5.
Обобщение.
 Рефлексия.
Какое задание вам больше всего понравилось?
Какие задания вызвали затруднения?
С каким настроением уходим с урока?


title: Скачать презентацию или конспект Применение производной для исследования функций

extracted_text:
Применение  производной  для исследования  функций.
1. Нахождение промежутков возрастания функции.
2. Нахождение промежутков убывания функции.
3. Нахождение промежутков постоянства функции.
4. Нахождение экстремумов.
5. Решение уравнений.
6.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке.

Монотонность функции

Убывает на
(-;x, x)
Возрастает на
х1; х2.
Постоянна  на
а;в

у
х
У=f(x)
x1
х2

а
в
Исследование   функции  на возрастание
         У

                                            Х
Если  f '(x) >0  в  каждой точке  интервала I,  то функция  f  монотонно  возрастает  на интервале  I.
АЛГОРИТМ
D(f)
f '(x)
Решить неравенство
       f '(x)>0
4. Выписать  промежутки, где  производная имеет знак  «+».

у=f(x)
х2
х1
Исследование функции на убывание

                   у
Если в каждой точке интервала I  f '(x)<0, то функция  у = f(x)  монотонно убывает на этом промежутке.
АЛГОРИТМ
D(f)
f '(x)
Решить неравенство
               f '(()) <0
4. Выписать промежутки , где производная имеет знак  «-».

Х
0
х0
У = f(x)
Исследование функции на постоянство

   у                              у = f(x)

     о                                       х
                 а                в
Функция у = f(x) постоянна  на интервале (а; в) тогда и только тогда , когда
f '(x) = 0  в каждой точке этого интервала.

ЭКСТРЕМУМЫ
Необходимое условие экстремума
Если   Х0 – точка  экстремума  функции
У = f(x) , то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует.
Если  f '(x)>0  при  х < x0
и  f '(x)<0  при  х > x0 ,
то  Х0 – точка максимума.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
Если функция у = f(x) непрерывна в точке
Х0 и производная  f '(x)  меняет знак в этой  точке , то  Х0 – ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА
функции  у = f (x)
Если f '(x)<0  при  х<x0
и  f '(x)>0 при  x>Х0 ,
   то  Х0 – точка минимума.

f '(x)>0
f '(x)=0
f '(x)<0
Х мах
Х min
f '- НЕ СУЩЕСТВУЕТ
Хмах
У
Х

?
СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ  ИНТЕРВАЛОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ

Характер   изменения    функции
- 2
3
+
-
+

А с  и м п т о т ы
Прямая у = кх +в  называется  асимптотой графика функции у = f(x) , если расстояние от точки М графика функции до  прямой
у = кх + в стремиться к нулю при бесконечном удалении точки  М.
Прямая  х = а является вертикальной асимптотой графика функции
       у = f(x), если lim f(x) = ∞
                              х→ а
Прямая  у = в является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x), если
      lim f(x)=b
      х→∞
Прямая  у = кх + в является наклонной асимптотой графика функции  у = f(x), если lim   f(x) =к
                                            х →∞   х
lim ( f(x)─kx ) = b
Х→∞

                                              х
   У           у = в

У= f(x)
у
0
а
Х = а
М.

.М
0                                                            Х
У = f(x)
                 .  М
у = кх + в
y=f(x)
У
0
Х
СХЕМА  ИССЛЕДОВАНИЯ  ФУНКЦИИ  И ПОСТРОЕНИЕ  ЕЁ  ГРАФИКА.
НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ С ОСЯМИ КООРДИНАТ И ИНТЕРВАЛОВ, ГДЕ ФУНКЦИЯ СОХРАНЯЕТ ЗНАК.
НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМОВ  ФУНКЦИИ.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.
Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
Функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего  и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.
f(b)                                       у =f(x)

f(a)
f(xmin)
    0   а            Хmin                в        х
              Хmax
maх f(x) = f (xmax)
               [a;b]
min  f(x) = f (xmin)
  [a;b]
     0          а         Хmax    в            х

                          min f(x)=f(b)
                           [a;b]
                                                   max f(x)=f(xmax)
                  у                                     [а;b]

    0     а   Хmin  Хmax  b      х
maxf(x)=f(a)
[а;b]                      minf(x)=f(b)
                            [a;b]

у
f(xmax)
у

f(b)
   f(a)
f(xmax)
у

f(a)
f(xmax)
f(xmin)
              f(b)
۩      Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке
ЭТАПЫ

Найти производную
Найти на данном отрезке критические точки, т.е. точки, в которых f’(x)=0 или не существует
Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.
 пример  для функции  у =  2x³-3x²-36x+5 на отрезке [0;4]

f ' (x)=6x²-6x-36
f  '(x)=0  при  х = -2 и при х = 3.
Отрезку [0;4] принадлежит только одна критическая точка:  х = 3.

3. f (0)=5;      f (3)=-76;       f (4)=-59

4. max f(x)=f(0)=5;       min f(x)=f(3)=-76
    [0;4]                            [0;4]


title: Скачать презентацию или конспект Смежные и вертикальные углы

extracted_text:
СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Учитель: Лапина И.В.

Математический диктант

1) Закончите предложение: «Если углы смежные, то их сумма...»
2) Сколько можно построить углов смежных с с данным?
3) Сколько градусов составляет угол, вертикальный с углом в 340 ?
4) Определите вид угла(острый, прямой, тупой), смежного с углом в 300.
5) Закончите предложение «Вертикальные углы...»
6) Сколько можно построить углов вертикальных с данным?

 7) Закончите предложение «Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие ...»
 8) Один из смежных углов увеличивается от 00 до 1800 . Как изменяется в это время второй  угол?
 9) Сколько градусов составляет угол, смежный с углом в 800 ?

Верно — не верно

1)  Сумма двух углов равна 1800 . Обязательно ли эти углы прямые?
2) У двух углов общая вершина. Первый угол составляет 400 , а второй — 1400 . Эти углы вертикальные?
3) Могут ли вертикальные углы быть 850 и 950 ?
4) Сумма двух углов 2000 . Могут ли эти углы быть смежными?

5)Угол, смежный с углом в 1600  — острый?
6) Могут ли быть смежными тупой и прямой углы?
7)У двух углов общая вершина. Каждый из этих углов равен 600 . Обязательно ли эти углы вертикальные?
8)Может ли один из вертикальных углов быть острым, а другой тупым?

9) Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых равен 800 .Есть ли среди оставшихся углов такой же,т.е. 800 .
10) Разность двух углов равна 100 . Могут ли эти углы быть смежными?
11)Два угла равны. Обязательно ли они вертикальные?
12) Если данный угол тупой, то смежный с ним — острый?

13) Являются ли углы 1 и 2 вертикальными?
14) Являются ли эти углы смежными?

1
2
Задачи - картинки

I. Прямее АВ и СD пересекаются в точке О.

1) Запишите углы, смежные с углом АОD.
2) Запишите равные углы.
3) Сумма градусных мер углов АОС и ВОD больше 1800 . Определите вид этих углов
4)Угол АОС равен 500 . Найдите угол ВОD.
5) Угол АОD равен 1100. Найдите угол ВОD.

А
О
С
В
D

II. 1) Запишите пары вертикальных углов.

  2)  Один из углов полученных при пересечении двух прямых равен 1400. Чему равны остальные углы?
III. Запишите пары смежных углов.

М
Р
К
Т
С

А
В
С
М
Р


title: Скачать презентацию или конспект Информация о конусе

extracted_text:
КОНУС
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
 Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Р
вершина

образующие

основание
О

центр основания
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 3).
В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 4).
(рис. 3).
(рис. 4)
Усеченный конус
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшуюся часть называют усеченным конусом. Усеченный конус можно получить и как тело вращения.
Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
Круги O и O1 - его основания, его образующие AA1 равны между собой, прямая OO1 - ось, отрезок OO1 - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.
Теорема.
Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность  - по окружности с центром на оси конуса.
Доказательство. Пусть    - плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис.5). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость      с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью      с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса.
Теорема доказана.
(рис.5)
Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
$$S = \pi(R_{1} + R_{2}) \cdot l $$

Объем усеченного конуса:
$$V = \frac{1}{3}\pi H(R^{2}_{1} + R_{1} \cdot R_{2} + R^{2}_{2})$$,

где h - высота усеченного конуса; R1,R2 - радиусы верхнего и нижнего оснований; l - образующая.
Дополнительная информация о конусе
В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
«Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
Дополнительная информация о конусе
По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 млн. жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.


title: Скачать презентацию или конспект Скульптура барокко

extracted_text:
Скульптура барокко
Скульптура барокко – художественный стиль в сфере скульптуры.
Сложился в XVII – первой половине XVIII века, как одна из составляющих эпохи барокко в культуре.
Характеризуется:
- подчёркнутой театрализацией образов
- динамизмом поз
- экспрессивностью лиц и жестов
- специфической экстравагантностью
Лоренцо Бернини. Давид
Первым новшеством, привнесенным скульптурой барокко, стал интерес к драматической сложности и многообразию мира. Главное внимание уделялось динамизму ансамбля благодаря воплощению сцен, изображавших определенный момент какого-то действия. Скульпторы стремились к включению зрителей в пространство скульптуры  и усилению зрелищности сцены.
Скульптура, так же как живопись и архитектура, служила монархии, церкви и буржуазии.
Франсуа Жирардон. Аполлон и Нимфы.
Джан Лоренцо Бернини (1598-1680)
Бернини считается создателем и выразителем барокко.
В его скульптуре воплотились основные элементы этого стиля:
динамизм поз,
резкий разворот тел,
экспрессивность жестов и лиц,
отполированная до блеска поверхность мрамора, а также
множественность ракурсов, что позволяет воспринимать скульптуру с разных точек зрения.
В число лучших его работ раннего периода входят «Аполлон и Дафна» (1622-1625) и «Давид» (1623)
«Святой Лонгин» (1629—1638) в соборе Святого Петра
 Портрет Констанцы Буонарелли (1635)
Надгробный памятник папе Урбану VIII (1627—1644)
«Экстаз Св. Терезы» (1647—1652)
Последний период творчества скульптора (1670—1680) отмечен нарастанием духовного начала.
Среди работ этого периода выделяется «Блаженная Лодовика Альбертони» (1674).

Мифическое французское тщеславие
Французская скульптура XVII в. положила начало упадку, которого удалось избежать только некоторым авторам, сформировавшимся в Италии.
Жак Сарразин, прошедший итальянскую школу, соединил в своем творчестве классицизм и барокко и опередил стиль Людовика XIV.
Статуя Людовика XIV в Версале.
Два скульптора, Франсуа Жирардон и Антуан Куазевокс, порвали с наследием Бернини. Оба работали на отделке Версальского дворца и были любимыми скульпторами короля.
Франсуа Жирардон. Круглая колоннада. Версальский дворец.
Антуан Куазевокс. Ваза Войны в парке Версаля.
Франсуа Жирардон. Надгробие кардинала Ришелье (1675-1677).
Выражение религиозного чувства в Испании
В пластике установилась некоторая двойственность между реализмом и символикой: использовались сюжеты, взятые из реальной жизни, но предлагалось их прочтение в религиозном ключе. По форме скульптура была более близка к классицизму, а по содержанию — к барокко.
Григорио Фернандес. Пьета (1617; Национальный музей скульптуры, Вальядолид).
В Андалузии вся деятельность сосредоточилась в двух городах — Севилье и Гранаде, где скульпторы подчеркивали реализм священных образов, но усиливали их эмоциональность и духовность.
Педро Рольдано. оформление алтаря в соборе Севильи (1670—1672). Севилье
Мартинес Монтаньес. Св. Иероним (1600). Севилье.
Мартинес Монтаньес. Св. Франциск Ксавьер (1619). Севилье.


title: Скачать презентацию или конспект Решение тригонометрических неравенств

extracted_text:
 «Решение тригонометрических неравенств»10 класс ( профиль)
Презентация подготовлена учителем математики
МОУ «СОШ №1 р.п. Новые Бурасы» Боровиковой Е.И.
с использованием интерактивной доски

у
Х
Решить
неравенство:sin t>1/2
Решение: Учтем, что sin t – это ордината точки М (t) числовой окружности.
Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой
у>1/2 и записать, каким числам t они соответствуют.

п/6
5п/6
Ответ: п/6+2пк<t<5п/6 + 2пк,кєz
y=1/2

у
Х
Решить
неравенство: сos t > √2/2
Решение: Учтем, что сos t – это абсцисса точки М (t) числовой окружности.
Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой
х>-√2/2 и записать, каким числам t они соответствуют.

-3п/4
3п/4
Ответ: -3п/4+2пк<t<3п/4 + 2пк,кєz

Х=√2/2

у
Х
Решить
неравенство:
sin t>√3/2
b) sin t< -1/2
c) сos t < - √2/2
d) сos t > 1/2

Х
У

Решить
неравенство:tg t > 1

Построим графики функций у=tg x и у=1.
На главной ветви тангенсоиды они пересекаются в точке с абсциссой
х= п/4. Выделим промежуток оси х, на котором
главная ветвь тангенсоиды расположена ниже прямой у=1,
это интервал (-п/2; п/4). Учитывая периодичность этой функции, делаем вывод,
 Ответ: -п/2+пn<x<п/4+пn, nєz

Ответ: -п/2+пn<x<п/4+пn, nєz
п/4

У=1

п/2
У=tg x

Х
У

Решить
неравенство:
А) tg t > 0
Б) tg t < √3
C) ctg t > -1

ПОДГОТОВКА К К/Р
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ


title: Скачать презентацию или конспект Многочлены и действия с ними

extracted_text:
Выполнила: ученица 7 А класса
Такмакова Анастасия.
МНОГОЧЛЕНЫи ДЕЙСТВИЯ С НИМИ.
1. Понятие многочлена.
2. Стандартный вид многочлена.
3. Степень многочлена.
4. Задания на проверку изученного материала.
СоДеРжАнИе!
Многочлен – это сумма одночленов.
Пример многочлена: 2a + 5b
здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.
Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.
Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Понятие многочлена.
Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен — это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.
Число ноль — это нулевой многочлен.
Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.
Пример многочлена в стандартном виде:
2a + 5b
здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.

Стандартный вид многочлена.
Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:
2a + 4a + 5b
здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:
6a + 5b
Ещё пример:
2a + bca10
Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:
2a + 10abc

Стандартный вид многочлена.
Что такое степень многочлена? Степень многочлена — наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.
Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.

Степень многочлена.
Другой пример. Какова степень многочлена 5a2h3s4 +1? Степень многочлена 5a2h3s4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a2h3s4, а его степень равна 9-ти.
Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.
Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.

Степень многочлена.
1. Приведите многочлен к стандартному виду:
5a+8b+9a
Ответ: 14a+8b
2. Упростите выражение:
4a+2b*3a+a
Ответ: 5a+6ab
3. Раскройте скобки и упростите полученное выражение:
(7a+5)-(a+b)
Ответ: 6a+5-b
Задания на проверку изученного материала.


title: Скачать презентацию или конспект Муравьиные алгоритмы

extracted_text:
Муравьиные алгоритмы    Ant        C olony            optimization
самоорганизация
Основу поведения муравьиной колонии составляет самоорганизация.

Самоорганизация является результатом взаимодействия следующих четырех компонентов:
- случайность;
- многократность;
- положительная обратная связь;
- отрицательная обратная связь.
При своём движении муравей метит путь феромоном, и эта информация используется другими муравьями для выбора пути.
Обобщённый алгоритм
• ПОКА (условия выхода не выполнены)
	1. Создание муравьёв
	2. Поиск решения
	3. Обновление феромонов
	4. Дополнительные действия {опционально}

Поиск решения
Обновление феромона
Этапы решения задачи при помощи муравьиных алгоритмов
1. Представить задачу в виде набора компонент (вершин) и переходов (ребер) или набором взвешенных графов, на которых муравьи могут строить решения.
2. Определить эвристику поведения муравья при построении решения (определение вероятностей переходов – (1)).
3. Определить значение следа феромона (соотношение (2)).
4. Определить процедуру эффективного локального поиска (если возможно).
5. Подобрать параметры ACO–алгоритма

Применение ACO для задачи коммивояжёра
Создание муравьев
Общее количество муравьёв равно количеству городов;

каждый муравей начинает маршрут из своего города;

изначально количества феромона на рёбрах принимается равным небольшому положительному числу.

Поиск решения
Обновление феромона
Обновление феромона
МОДИФИКАЦИИ Алгоритмов ACO
МОДИФИКАЦИИ Алгоритмов ACO
Модифицированная муравьиная система Ant Colony System
Три основных изменения:
уровень феромонов на ребрах обновляется не только в конце очередной итерации, но и при каждом переходе муравьев из узла в узел.
в конце итерации уровень феромонов повышается только на кратчайшем из найденных путей.
алгоритм использует измененное правило перехода: либо, с определенной долей вероятности, муравей безусловно выбирает лучшее – в соответствие с длиной и уровнем феромонов – ребро, либо производит выбор так же, как и в классическом алгоритме.

МОДИФИКАЦИИ Алгоритмов ACO
Муравьиная система  Max-min      Max-min Ant System

Суть: ограничение на максимальную и минимальную концентрацию феромонов на ребрах    эффективная защита от преждевременной сходимости к субоптимальным решениям.

МОДИФИКАЦИИ Алгоритмов ACO
Муравьиная система с ранжированием    AS-rank

Суть: в конце каждой итерации муравьи ранжируются в соответствие с длинами пройденных ими путей. Количество феромонов, оставляемого муравьем на ребрах, таким образом, назначается пропорционально его позиции.

Пример
Итерация 1
Итерация 1
Итерация 1
Итерация 1


title: Скачать презентацию или конспект Формулы описанной и вписанной окружности

extracted_text:
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ8 класс
Учитель Павликова Татьяна Николаевна
5klass.net
1.Устная работа
1. ОK = 5, АВ = 24.
Найти: R.
Решение
1) АОВ – равнобедренный, так как АО = ОВ = R, тогда АK = KВ.
2) В АKО, K = 90°.
АО = = 13.
Задание 2.
Вершины треугольника АВС лежат на окружности, причем
АВ : ВС : СА = 2 : 3 : 4.
Найдите углы треугольника АВС.
Задание 3.
Найти углы вписанного четырехугольника АВСD.
Закончите предложение
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется ________________________________.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется ______________________________.
Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если __________________________________________________________.

Закончите предложение
Около любого треугольника можно ___________________________.
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения __________________________________________.
Выберите верное утверждение
Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, должно выполняться следующее равенство:
AB+BC=AD+CD;       -    AB+CD=BC+AD;
AB+AD=BC+CD;       -    AD·BC=AB·CD.

ТестВопрос № 1
Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения:
 биссектрис
Медиан
 высот
серединных перендикуляров

Вопрос № 2
Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения:
 биссектрис
 медиан
 высот
 серединных перпендикуляров

Вопрос № 3
Около треугольника описана окружность таким образом, что одна сторона треугольника проходит через центр окружности. Этот треугольник...
 произвольный
Остроугольный
 прямоугольный
 тупоугольный
Вопрос № 4
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна
 900
 1200
 1800
 3600

Вопрос № 5
В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон
 равны между собой
 равны радиусу окружности
 равны диаметру окружности
 равны периметру

Вопрос № 6
Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линая равна 7 см?
 25 см 28 см 30 см 32 см

Вопрос № 7
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 9 см и 16 см. Чему равен радиус окружности, вписанной в этот треугольник?
 3 см 4 см 5 см 6 см

Работа с учебником
Решить №№ 708 (а), 710.

Решение задач (сам-но)
1. Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки 5 см и 13 см. Найдите площадь этого треугольника.
2. Меньший из отрезков, на которые центр описанной окружности равнобедренного треугольника делит его высоту, равен 8 см, а основание треугольника равно  12 см. Найдите площадь этого треугольника.

Домашнее задание: вопрос 1–26, с. 187–188; №№ 708 (б), 709