title: Скачать презентацию или конспект Треугольник. Первый признак равенства треугольников

extracted_text:
Треугольник. Первый признак равенства треугольников
ТРЕУГОЛЬНИК-это геометрическая  фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
ТРЕУГОЛЬНИК
и его элементы
A, B, C – вершины,
АВ, ВС, АС –стороны,
A, В, С – углы.
P∆ABC = AB + ВC + АC

№87
Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами М,N и P
a) Назовите все углы и стороны ∆.
б) С помощью линейки измерьте стороны треугольника и найдите периметр.

Е и К прилежат к стороне ЕК,
 а D заключен между сторонами
 DE и DK и
D лежит против стороны EK.
Назовите углы треугольника MNP, прилежащие к стороне MN.

M
P
N
Назовите угол треугольника DEK, заключенный между сторонами   DE  и DK
Назовите угол треугольника MNP, заключенный между сторонами РN и РМ.

M
P
N
Между какими сторонами треугольника DEK заключен угол К
Между какими сторонами треугольника MNP, заключен угол N

M
P
N

№88
Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямой.  Назовите:
а) стороны, лежащие против углов D,Е,F

б) углы, лежащие против сторон DE,EF,FD

в) углы, прилежащие к сторонам DE,EF,FD.

№91 Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

№ 92  Периметр одного треугольника больше периметра второго, могут ли быть равными эти треугольники?
ОТВЕТ: нет, т. к. у равных фигур ВСЕГДА равны все элементы, в том числе и стороны. А периметр- это сумма всех этих сторон.

Теорема- это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, а сами рассуждения называются доказательством теоремы.
Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого .       ∆ABC = ∆PSK.
 Задание:   Выпишите соответственно равные элементы                                      этих треугольников.
S
B

A
C

P
K

Для этого существуют три признака равенства треугольников
Оказывается, что  равенство двух треугольников можно установить не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые его элементы, так как на практике это наложение не возможно, например для двух земельных участков
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника  соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
ТЕОРЕМА
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
   AС= A1C
               AC = A1C1;
                      AB = A1B1.
Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

A
B
С

A1
B1
C1

.

.
ТЕОРЕМА
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
   AС= A1C
               AC = A1C1;
                      AB = A1B1.
Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

A
B
С

A1
B1
C1

             Доказательство:
1.Так как A = A1   , то ∆ABC  можно наложить на ∆A1B1C1 , так что  А совместится с  A1
, а стороны АВ и АС наложатся соответственно
 на лучи A1B1 и  A1C1

.
ТЕОРЕМА
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
   AС= A1C
               AC = A1C1;
                      AB = A1B1.
Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

A
B
С

A1
B1
C1

             Доказательство:
2.Поскольку АВ = A1B1 , АС = A1C1 то сторона АВ совместится со стороной A1B1 , а сторона АС- со стороной A1C1, в частности, совместятся точки В и B1 ,  С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1C1.

.
ТЕОРЕМА
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
   AС= A1C
               AC = A1C1;
                      AB = A1B1.
Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

A
B
С

A1
B1
C1

             Доказательство:
1.Так как A = A1   , то ∆ABC  можно наложить на ∆A1B1C1 , так что  А совместится с  A1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи
A1B1 и  A1C1
2.Поскольку АВ = A1B1 , АС = A1C1 то сторона АВ совместится со стороной A1B1 , а сторона АС- со стороной A1C1, в частности, совместятся точки В и B1 ,  С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1C1.
Итак, треугольники полностью совместятся, а значит они равны.

.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Что известно о треугольниках MKT и EPF?
Какой вывод можно сделать?

M
T
K

E
F
P

УСТНО
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Что известно о треугольниках ABO и DCO?
Чего не хватает для того чтобы сделать вывод о равенстве треугольников?

A
B

O
C
D

УСТНО

ЗАДАЧА  (№94а)
Дано: ∆ABD u ∆CDA;
 AB = BC;
1 = 2 ;
Доказать:
 ∆ABD = ∆CDA
A
B

C
D

письменно

Доказательство:
1) Рассмотрим ∆ABD и ∆CDA;
AB = BC – по условию;
1 = 2 – по условию;

2
1
ЗАДАЧА (№94а)
Дано: ∆ABD u ∆CDA; AB = АC;
1 = 2 ;
Доказать:
 ∆ABD = ∆CDA
A
B

C
D

письменно

Доказательство:
АD – общая.
2) Значит, ∆ABD = ∆CBD по двум сторонам и углу между ними.
2
1
ЗАДАЧА (№95a)
Дано: AD = BC;
1 = 2 ;
Доказать:
 ∆ABC = ∆CDA.
A
B

C
D

письменно

Доказательство:

1) Рассмотрим ∆ ABC и ∆CDA;
AD = BC - по условию;
1  = 2 - по условию,
AC – общая.
1
2
ЗАДАЧА (№95a)
Дано: ВС = АD;
1 = 2 ;
Доказать:
 ∆ABC = ∆CDA.
A
B

C
D

письменно

Доказательство:

2) Значит, ∆ABC = ∆CDA по двум сторонам и углу между ними.
1
2
ЗАДАЧА
Дано: AK = PM;
KAP = MPA ;
K = 120⁰
Найти M.
A
К

Р
М

письменно

Решение:

1) Рассмотрим ∆KAP и ∆MPA;
AK = MP  по условию;
KAP = MPA по условию,
AP – общая.
ЗАДАЧА
Дано: AK = PM;
KAP = MPA ;
K = 120⁰
Найти M.
A
К

Р
М

письменно

2) Значит, ∆KAP = ∆MPA по двум сторонам и углу между ними.
3) Из равенства треугольников следует K = M = 120⁰.
Ответ: M = 120⁰.
Решение:
Итог урока
Перечислите виды треугольников, которые вы знаете.
Какое утверждение называется теоремой? Что такое доказательство теоремы?
Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
П14,15 вопросы 1-4  к главе 2 Теорему и доказательство учить;
№90


title: Скачать презентацию или конспект Цветочная геометрия

extracted_text:
Цветочная геометрия
Как возникла идея этой работы.
	Каждое лето мы всей семьёй отдыхаем на даче, в маленьком городке, который расположен на берегу Дона. Летом там очень жарко. Но мы не только загораем и купаемся, но и много трудимся. У нас прекрасный сад и огород, где растут овощи, фрукты и красивые цветы. В цветнике у нас есть астры, пионы, васильки; а на грядках –  картофель, огурцы, помидоры, кабачки…
	Я расскажу о самых любимых цветах. Больше всего мне нравятся лилии и солнышки (по – научному, портулак). Солнышки раскрыты только днём, а ночью они спят. Ещё я очень люблю фиалки. У них такие красивые фиолетовые лепестки, каких нет ни у одного цветка.
	В это лето мы много фотографировали. У нас возникла мысль сделать фотографии всех цветов сада и огорода, которые удивляли и радовали нас.
	Когда мы возвратились в Петербург и стали рассматривать фотографии, я заметила, что некоторые цветы напоминают по форме геометрические фигуры: круг, треугольник, звезду…
	В этой небольшой работе я попыталась рассказать о некоторых из них. Цветы были так красивы, что я даже сочинила первые две строчки о картофельных звёздах. Я показала их маме. Она меня не просто похвалила, но и предложила написать работу о моих наблюдениях.
	Много загадок в мире, который окружает нас. Что-то попыталась увидеть я. Вы, может быть, заметите что-нибудь ещё.
Знакомьтесь:  картофель (семейство паслёновых) 		Solanum tuberosum
  Цветок – звезда.
У цветка картофеля пять лепестков, расположением напоминающих пятиконечную звезду.

Картофель – это корнеплод, который любят папы.
А века два тому назад
	 его цветком - звездою украшали шляпы.
Для любознательных: Популярный в России сорт картофеля «Синеглазка» по-научному называется «Ганнибал» в честь прадеда поэта А.С.Пушкина Абрама Ганнибала, который первым провёл опыты по селекции и хранению картофеля в России.
Знакомьтесь: василёк синий (семейство сложноцветных) 		Centaurea cyanus
Сложный простой цветок.
Простой василёк, который считается сорным растением, оказывается, не так прост. Конусообразные лепестки образуют круглое соцветие.
Василёк – Василий в садик забежал,
Круг и треугольник в соцветие собрал.
Для любознательных:
с 1968 года синий василёк является национальным цветком Эстонии, символизируя хлеб насущный.

Знакомьтесь: мальва (семейство мальвовых) 		Malva
Звезда в круге.
    Пять лепестков мальвы, соединяясь в чашечке подобно звезде, образуют круг.
Мальва прелести полна – в круге у неё звезда.
Даже, пролетая, жук вдруг осмотрится вокруг,
Скажет мальве комплимент.
Жжжук – изззвестный джжжентельмен…т!

Для любознательных:
Как лекарственное растение, мальва была известна Гиппократу и Галену. Траву прикладывали при наружных воспалительных процессах, ожогах. Из нее готовили чай и пили с медом при простуде.
Знакомьтесь: лилия (семейство лилейных) 					Lilium
Изысканные треугольники.
Удивительную по красоте форму цветку лилии создают простые треугольники.

Королева – лилия расцвела в садах.
Прячет треугольники в изысканных цветах.
Для любознательных: Лилия была известна ещё древним персам около 6000 лет назад. Столица Древней Персии  называлась Сузы, что значит "Город лилий".
Знакомьтесь: эшшольция (семейство маковых) 			Eschscholzia
Оранжевый квадрат.

Четыре ярких широких лепестка, стремясь коснуться друг друга, образуют квадрат.

Рыженьких квадратиков на столе букет
Маме папа передал солнечный привет.
Для любознательных:
В США каждый штат страны имеет свой цветок-символ: Индиана - пион, Огайо - красная гвоздика, Аляска - незабудка, Канзас – подсолнечник, Калифорния – эшшольция…

Знакомьтесь: подсолнечник (семейство сложноцветных) 		Helianthus
Солнечный круг.

    Лепестки подсолнуха сохраняют форму круга от центра до кончиков.

Ловит солнца лучик круглой головою.
Пчёлочки златые к цветику летят.
Не дают забыть  цветок суровою зимою
Семечек волшебных вкус и аромат.

Для любознательных:
Родина подсолнечника  — далёкая Мексика. Там он когда-то считался священным растением.  «Солнечным цветком» растение назвали древние мексиканцы. Его изображения отливали из золота и помещали в храмах.

Знакомьтесь: кабачок и огурец (семейство тыквенных) 		Cucurbita pepo и  Cucumis sativus
Скрытые звёзды.

Под большими зелёными листьями скрываются золотые звёздочки цветков огурца и кабачка.

Два братца из одной семьи,
Растут под звездами они.
А чтобы в этом убедиться,
Надо утром не лениться,
Встать пораньше и умыться
И братьев напоить водицей.
Для любознательных: Родина огурца - северо-западная Индия. В Индии дикие огурцы растут в лесу, обвивая деревья, как лианы. Огурец – единственный из овощей, плоды которого мы едим в зеленом виде, недозрелом.
Знакомьтесь: лук батун (семейство луковых) 			Allium fistulosum
Луковые шарики.

    Стрелки лука батуна украшены шариками соцветий.
Перьев – пучок, а стрелок – букет.
Людям он жгучий, а пчёлкам – нет.
В шариках скрыта большая загадка.
Что за цветок распустился на грядке?
Для любознательных:
Лук батун как пряность использовали с древних времен в Китае. Он обладает всеми свойствами репчатого лука, потому что содержит каротин, витамины В1, В2, D, а витамина С больше, чем в луке репчатом.
Знакомьтесь: гладиолус (семейство ирисовые) 		Gladiolus
Цветочный меч.

На длинном стебле гладиолуса каждый цветок прячет два треугольника: один – видимый, а другой скрыт под ним.
Gladius по латыни означает меч.
Для любознательных:
Древнеримская легенда утверждает: если луковицы гладиолуса повесить на груди как амулет, они не только помогут одержать победу в поединке, но и предохранят от гибели. У римлян гладиолус считался цветком гладиаторов.
Гладиаторских боёв тайны он хранит,
Скрещенье треугольников об этом говорит.
Знакомьтесь: укроп (семейство зонтичных) 		Anethum graveolens
Карусель.

    Зонтик укропа собрал вместе большие и маленькие кружочки соцветий.
Для любознательных: Укроп использовался египетскими врачами 5000 лет назад, и его остатки были обнаружены в римских руинах в Великобритании.
В Средние века считалось, что укроп защищает от колдовства.
Круг кружится, два кружится… закружилась карусель
С пряным запахом укропа кружат август, май, апрель…А зимой – другое чудо:
Нам укроп украсит блюдо.
Знакомьтесь: астра (семейство сложноцветных) 				Aster
Чудо – шар.

    Огромное количество разнообразных лепестков стремятся показать своё совершенство, образуя форму шара.
Астра –  гостья жаркого Китая.
Пылью звёздною рождённый яркий шар.
Провожая август, расцветает,
Краски лета осени приносит в дар.
Для любознательных:
Астра в переводе с греческого означает «звезда». Этот цветок считался подарком человеку от богов, его оберегом, амулетом, частицей его далекой звезды.
А какие геометрические фигуры увидели Вы?


title: Скачать презентацию или конспект лобачевский

extracted_text:
Геометрия Лобачевского
 Лекцию разработал доцент кафедры общей физики
Чувашского государственного университета Г.М. Сорокин
				СОДЕРЖАНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ
2. МОДЕЛИ
		2.1 ПСЕВДОСФЕРА
		2.2 МОДЕЛЬ КЛЕЙНА
		2.3 МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ
		2.4 ПОВЕРХНОСТЬ ПОСТОЯННОЙ 				ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
3. СОДЕРЖАНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
4. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
5. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
1. ВВЕДЕНИЕ
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Евклидова аксиома о параллельных гласит:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.
Источником геометрии Лобачевского послужил вопрос об аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида (под этим номером утверждение, эквивалентное приведённой выше аксиоме о параллельных, фигурирует в списке постулатов в «Началах» Евклида). Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов.
Вот перечень учёных, занимавшихся доказательством V постулата до 19 в.:
- древнегреческий математики Птолемей (II в.), Прокл (V в.) (основано на предположении о конечности расстояния между двух  параллельными);
- Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X — начало XI вв.) (пытался доказать V постулат, исходя из предположения, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию);
- иранский математик Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.);
- азербайджанский математик Насирэддин Туси (XIII в.) (при доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения);
- немецкий математик К. Клавий (1574),
- итальянские математики: П. Катальди (впервые в 1603 напечатавший работу, целиком посвященную вопросу о параллельных), Дж. Борелли (1658), Дж. Витале (1680);
- английский математик Дж. Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура).
Доказательства перечисленных выше геометров сводились к замене V постулата другими предположением, казавшимся более очевидным. *Итальянский математик Дж. Саккери (1733) сделал попытку доказать V постулат от противного. Приняв предложение, противоречащее постулату Евклида, Саккери развил из него довольно обширные следствия. Ошибочно признав некоторые из этих следствий приводящими к противоречиям, Саккери заключил, что постулат Евклида доказан.
Немецкий математик И. Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) предпринял аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в построенной им системе логическое противоречие.
Попытки доказательства постулата предпринимались и в XIX веке.
Французский математик А. Лежандра; одно из его доказательств (1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно
провести прямую, пересекающую обе стороны угла, то есть, как и все его предшественники, он заменил постулат др. допущением.
Довольно близко к построению геометрии Лобачевского подошли немецкие математики Ф. Швейкарт (1818) и Ф. Тауринус (1825), однако ясно выраженной мысли о том, что намечаемая ими теория будет логически столь же совершенна, как и геометрия Евклида, они не имели.
Вопрос о V постулате Евклида, занимавший геометров более двух тысячелетий, был решен Лобачевским. Это решение сводится к тому, что постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Лобачевский сделал об этом сообщение в 1826, а в 1829—30 напечатал работу «О началах геометрии» с изложением своей теории. Ранее независимо от него и друг от друга к аналогичным выводам приходили Карл Фридрих Гаусс и Янош Бойяи, но их труды не получили своевременной известности. Гаусс воздерживался от публикаций, сохранилось лишь письмо; Бойяи, выступил лишь в 1832, вскоре, разочаровавшись в своем “опоздании в открытии доказательства”, оставил тему. Лобачевский выступил как первый, наиболее яркий и последовательный пропагандист этой теории.
Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решен вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости.
2. МОДЕЛИ

Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.
Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель. Он также заметил что орисфера в пространстве Лобачевкого изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Клейна и других.
2.1 ПСЕВДОСФЕРА

Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера. Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.
Однако здесь даётся интерпретация только геометрии только локально, т.е. на куске, а не на всей плоскости Лобачевского.
2.2 МОДЕЛЬ КЛЕЙНА
В 1871 Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского.
Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга,
переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку O, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых») (например, b, b'). В этой модели расстояние между точками (см. рисунок) определяется как угол — ещё сложнее.
2.3 МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ
Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.
2.4 ПОВЕРХНОСТЬ ПОСТОЯННОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

Другое аналитическое определение геометрии Лобачевского состоит в том, что геометрия Лобачевского определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной кривизны. Это определение было фактически дано ещё в 1854 Риманом и включало модель геометрии Лобачевского как геометрии на поверхностях постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с геометрией Лобачевского, а его доклад, в котором он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь после его смерти (в 1868).
3. СОДЕРЖАНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Содержание геометрии Лобачевского. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.
  1) В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
  2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность p — (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади.
  3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b', которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они
изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол ее между прямой b (или b') и перпендикуляром из О на а — т. н. угол параллельности — по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b' с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой — бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
  4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
  5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
  6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
  7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
  8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
 9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского. переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.
  Геометрии Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом геометрии Лобачевского. является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.
4. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи». Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

при делении на t², то есть для скорости света, даёт

— уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, так как они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, то есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.
Замечательное приложение геометрии Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
5. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.
Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.
Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.
В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».
Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского
Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.
Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы. Модель планиметрии Лобачевского
на евклидовой плоскости, которая будет здесь представлена, сделана по материалам учебника «Геометрия» (А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, М: Просвещение, 1991). Эта модель была предложена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году.
Для начала напомним основные понятия и аксиоматику, на которой базировалось изложение, систематизировав их заново и дополнив необходимыми аксиомами.  За основные объекты были приняты точка, прямая и фигура. За основные отношения между этими объектами принимаются:
    1) точка принадлежит фигуре, в частности прямой;
    2) точка лежит между двумя точками для точек прямой.
Следующие определения базируются на основных определениях.
Фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.
Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки A, что и точка B. Точка A называется вершиной луча.
Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, – сторон угла.
Полуплоскостью, ограниченной прямой a, называется фигура, обладающая следующими свойствами:
Она не содержит прямую а;
Если точки A и B принадлежат полуплоскости, то отрезок AB не имеет общих точек с а;
Если же A принадлежит полуплоскости, а B нет, то отрезок AB имеет общую точку с прямой а;
Приведем систему аксиом, обозначив римской цифрой номер группы, а арабской – номер аксиомы в группе.
I. АКСИОМЫ СВЯЗИ ПРЯМОЙ И ТОЧКИ.
Существуют, по крайней мере, две точки.
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

II. МЕТРИЧЕСКИЕ АКСИОМЫ ОТРЕЗКА.
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
На каждом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один.

III. АКСИОМА НЕПРЕРЫВНОСТИ.
Пусть A и B – любые две точки прямой a и пусть  и  – совокупности всех точек отрезка AB, таких, что     и любая точка из  лежит по ту же сторону, что и точка A от любой точки из  Тогда существует точка C, такая, что любая точка из  лежит по ту же сторону от C, что и A, а любая точка из  – по ту же сторону от C, что и B.
IV. АКСИОМЫ ПЛОСКОСТИ.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

V. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ЕВКЛИДА.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Для этого фиксируем на евклидовской плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.
Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.
Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (см. рис. 15.2.1). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит
дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели.

Рисунок 15.2.1.
Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.
Выше дана реализация всех основных понятий аксиоматики планиметрии Лобачевского через понятия евклидовой геометрии. Теперь необходимо проверить справедливость приведенных выше аксиом.
Из группы аксиом I очевидна справедливость аксиом I.1, I.2, I.4.
Аксиома I.3.
Пусть даны точки A и B.

Рисунок 15.2.2.
Рисунок 15.2.3.
Прямая (Евклидова) AB не перпендикулярна к абсолюту (рис. 15.2.2). Тогда серединный перпендикуляр p отрезка AB пересекает абсолют в некоторой точке O. Так как по построению OA = OB, то полуокружность окружности S с центром в точке O и радиусом OA, лежащая выше абсолюта, является неевклидовой прямой, содержащей точки A и B. Эта прямая (неевклидова) единственна, так как на абсолюте есть лишь одна точка, равноудаленная от точек A и B, – это точка O.
Прямая (евклидова) AB перпендикулярна абсолюту (рис. 15.2.3). Тогда ее часть, лежащая выше абсолюта, будет неевклидовой прямой, проходящей через точки A и B, поскольку p || x.

Аксиома II.1.
Так как каждый неевклидов отрезок AB представляет из себя либо евклидов отрезок (если прямая AB перпендикулярна абсолюту), либо дугу окружности, то в первом случае аксиома выполнена очевидно.
Для анализа второго случая допустим, что AB есть искомый неевклидов отрезок. Рассмотрим инверсию i относительно окружности S с центром в точке O, пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта и радиусом R, равным OA > OB (рис. 15.2.4). При этом образом невклидовой прямой AB будет луч  где  , а образом неевклидова отрезка – отрезок   евклидова луча  Здесь  – вторая точка пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта. Так как  является образом отрезка AB при неевклидовом движении, то они равны по определению и, следовательно, имеют равные длины. Так как аксиома выполнена для евклидова отрезка , то она выполнена и для неевклидова отрезка AB.

Рисунок 15.2.4.
Аксиома II.2.
Возможны несколько случаев.
Пусть неевклидов луч представляет из себя луч евклидовой прямой, который не имеет точки пересечения с абсолютом (рис. 15.2.5). Тогда выполнение аксиомы следует из ее справедливости для евклидова луча.
Пусть неевклидов луч представляет из себя часть евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту и ограниченной началом A луча (включая точку A) и точкой O, лежащей на абсолюте (рис. 15.2.6).

Рисунок 15.2.5.

Рисунок 15.2.6.
Сделаем преобразование инверсии относительно окружности S с центром в точке O и радиусом OA. По свойствам инверсии отрезок OA преобразуется в луч евклидовой прямой OA с началом в точке A. В соответствии с аксиомой II.2 на полученном луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один. Пусть B – конец этого отрезка. Тогда ее прообразом при инверсии i является некоторая точка  искомого евклидова луча. Так как отрезок  переводится в отрезок AB неевклидовым движением, то они равны и равны их длины. Это завершает доказательство.
Неевклидов луч – дуга AO полуокружности, содержащая точку A – начало луча, и не содержащая точку O, точку пересечения полуокружности с абсолютом (рис. 15.2.7). Как и в случае рассмотрения аксиомы II.1, сделаем преобразование инверсии i относительно окружности S с центром в точке O и радиусом AO. Образом неевклидова луча AO будет луч евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту. На этом луче можно отложить отрезок данной длины и только один. Пусть B – конец этого отрезка. Далее обоснование дословно повторяет обоснование, приведенное в предыдущем пункте.

Рисунок 15.2.7.

Рисунок 15.2.8.
Аксиома непрерывности III для неевклидовых отрезков сводится к случаю евклидовых отрезков проектированием на абсолют (рис. 15.2.8) или преобразованием неевклидова отрезка в отрезок евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту, с помощью инверсии, описанной при доказательстве справедливости аксиомы II.1. В модели Пуанкаре выполняется аксиома IV.1. Неевклидовы полуплоскости изображены на рис. 15.2.9. Неевклидов отрезок, соединяющий две точки неевклидовой полуплоскости, не пересекает ее границы. Действительно, предположив противное, мы пришли бы к тому, что евклидовы окружности пересекались бы в четырех точках (рис. 15.2.10), что невозможно.

Рисунок 15.2.9.

Рисунок 15.2.10.
Аксиома IV.2.
Возможные реализации углов в модели Пуанкаре для неевклидовых углов показаны на рис. 15.2.11.

Рисунок 15.2.11.

Рисунок 15.2.12.
Из рисунка видно, что неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями, а также между окружностью и пересекающей ее прямой. В соответствии с определением, данным в разделе 13, угол между пересекающимися окружностями это – угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения, а угол между окружностью и пересекающей ее прямой – это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой.
Таким образом величины неевклидовых углов определяются через величины соответствующих евклидовых углов. Отсюда достаточно очевидна справедливость аксиомы IV.2.
Аксиома IV.3.
Пусть неевклидовым лучом является луч (или часть луча) евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 15.2.12). В соответствии с аксиомой IV.3 отложим от луча в данную полуплоскость евклидов угол с заданной градусной мерой. Это можно сделать и единственным образом. Пусть p – другая сторона этого угла. Через вершину луча проведем прямую q, перпендикулярную к лучу p до пересечения с абсолютом в точке O. Такая точка существует и единственна. Проведем полуокружность с центром в точке O и радиусом OA. Такая окружность существует и единственна. В силу определения и построения угол между искомым неевклидовым лучом и построенной окружностью имеет данную градусную меру.
Пусть неевклидовым лучом с вершиной A является часть AB полуокружности (рис. 15.2.13) с центром в точке O на абсолюте.

Рисунок 15.2.13.
Проведем касательную p к полуокружности в точке A и отложим от луча AC угол, равный данному, в полуплоскость, не содержащую данную полуокружность. Пусть q – вторая сторона угла. Восстановим перпендикуляр к лучу q в точке A. Если этот перпендикуляр пересекает абсолют в точке H, то, построив полуокружность с центром в точке H и радиусом, равным AH, получим две пересекающиеся в точке A полуокружности, угол между которыми равен α по построению. Если же перпендикуляр не пересекает абсолют, т. е. он параллелен абсолюту или, что то же самое, луч q перпендикулярен x, то второй стороной неевклидова луча является искомый
евклидов луч q. Единственность такого угла следует из справедливости аксиомы для евклидовой плоскости.
Проверку аксиомы IV.4 проведем только для случая, когда данный неевклидов луч есть часть полуокружности.
В соответствии с аксиомами II.2 и IV.3 отложим от вершины A данного луча отрезок  равный данной стороне  треугольника  . Кроме того, отложим от данного луча в данную полуплоскость угол, равный углу A1 треугольника  . На луче, задающем вторую сторону отложенного угла, отложим от точки A отрезок  равный стороне  исходного треугольника. Покажем, что полученный треугольник  равен треугольнику  Так как по построению  равен , существует неевклидово движение f, переводящее отрезок  в AB так, что  При неевклидовом преобразовании углы сохраняются, поэтому либо точка  окажется на луче  , либо его можно совместить с точкой этого луча дополнительной осевой симметрией относительно луча . При этом по свойству 3 отрезок  перейдет в себя и  В силу свойства 1 преобразование  также будет неевклидовым движением. Покажем, что точка C3 совпадет с C2. Действительно, если бы это было не так, то оказалось бы, что на луче AC2 отложены два различных отрезка данной длины, что противоречит аксиоме II.2. Следовательно, существует неевклидово движение, которое переводит данный треугольник   в треугольник  , что завершает доказательство.
Утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и некоторой точки A, не лежащей на a, но и для любой неевклидовой прямой a и любой не лежащей на ней точки A (рис. 15.2.14).

Рисунок 15.2.14.
Приведенное выше рассмотрение позволяет сделать вывод о непротиворечивости геометрии Лобачевского и обосновать независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом групп I–IV с той степенью строгости, конечно, с которой была построена и обоснована модель Пуанкаре в данном изложении.
Используя модель Пуанкаре, можно изучить свойства плоскости Лобачевского. На плоскости Лобачевского L' через каждую точку A, не лежащую на прямой a, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую a (рис. 15.2.15).

Рисунок 15.2.15.

Рисунок 15.2.16.
Все эти прямые заполняют два вертикальных угла, ограниченных прямыми p и q. Граничные прямые p и q, не пересекающие прямую a, называются на плоскости Лобачевского параллельными прямой a и проходящими через A. Каждому направлению на прямой a соответствует своя параллельная прямая, проходящая через A.
Характерным свойством параллельных прямых на плоскости Лобачевского является то, что они неограниченно сближаются в направлении параллельности и неограниченно расходятся в противоположном направлении (рис. 15.2.16).
Те прямые на плоскости Лобачевского, которые и не пересекаются, и не параллельны, называются расходящимися. Характерное свойство расходящихся прямых – наличие у них единственного перпендикуляра.
В модели Пуанкаре параллельные прямые изображаются полуокружностями и лучами, касающимися на абсолюте (рис. 15.2.17, а).

Рисунок 15.2.17.
На плоскости Лобачевского углы и длины связаны другими зависимостями, нежели на плоскости Евклида. Одно из характерных свойств плоскости L выражается функцией Лобачевского.
Из некоторой точки O прямой a проводится луч  (рис. 15.2.18). Пусть  – произвольная точка, а x – длина отрезка OX. Определим   как величину острого угла между отрезком OX и прямой, параллельной прямой a и проходящей через точку X. Тогда свойство можно сформулировать так.
При возрастании x от нуля до бесконечности функция  непрерывно убывает от 90° до 0°.

Рисунок 15.2.18.
Существование таких зависимостей между длинами отрезков и углами означает, что на плоскости Лобачевского нет подобных фигур.
Например, на плоскости Лобачевского справедлив признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника называется избытком треугольника. Оказывается, что на плоскости Лобачевского площадь треугольника пропорциональна его избытку. Следовательно, на плоскости Лобачевского площади треугольников ограничены некоторой постоянной. Величины углов на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре равны величинам соответствующих углов на евклидовой плоскости. Поэтому все перечисленные свойства углов плоскости L можно увидеть на модели Пуанкаре.
Для иллюстрации аксиомы о параллельности прямых рассмотрим следующую схему. Имея прямую a и точку A вне ее, соединяем A с точкой P, лежащей на a, и отодвигаем точку P в положение P', P'', ... и все дальше, и дальше на a (иными словами, представляется последовательность точек P, P', P'', ... или соответственно последовательность прямых AP, AP', AP'', ...). Прямая AP при этом вращается вокруг A и достигнет некоторого предельного положения, когда P удалится в бесконечность, и эту предельную прямую и надо понимать как прямую, параллельную прямой a, проходящую через A.
При этом нет никаких изначальных соображений, в силу которых прямая AP должна приближаться к одному и тому же предельному положению при удалении P в бесконечность как в одну, так и в другую сторону, что дает абстрактную возможность существования двух различных прямых, проходящих через A, параллельных прямой a. В этой связи постулат параллельных прямых в евклидовой геометрии – не что иное, как соглашение о том, что эти два предельных положения должны совпадать, и через точку A должна проходить только одна прямая, параллельная прямой a. На примере геометрии Лобачевского было показано, что допущение о несовпадении
предельных прямых, а именно отрицание аксиомы о единственности прямой, проходящей через точку A, не привело к противоречию, а наоборот, привело к построению новой неевклидовой геометрии. Однако наряду с геометрией Лобачевского существует еще один вид неевклидовой геометрии, которую полезно упомянуть.


title: Скачать презентацию или конспект Понятие цилиндра

extracted_text:
Хатангская средняя школа-интернатЦилиндр11 «Б» классПарфирьева Алина

Главная

5klass.net
Содержание
Откуда и как появился цилиндр?
Что такое цилиндр?
Объем цилиндра
Площадь поверхности цилиндра
Сечения цилиндра
Вписанный и описанный цилиндр
Цилиндры вокруг нас

Как появился цилиндр? И откуда?
Существует много версий и легенд.
Вот одна из них…
Научное пособие по истории создания цилиндра
Основано на реальных событиях…..
Жил-был на свете милый, школьник по имени Вова…..
Он очень любил геометрию, а особенно - тетрадку по геометрии. Там он постоянно что-то рисовал…
И вот как-то раз вместо домашнего задания Вова нарисовал в тетради два милых кружочка.
Кружки жили очень долго в его тетради и сдружились за это время….
Казалось, ничто не угрожало их счастью, и дружба переросла в любовь….
НО ВДРУГ…
Вова получил двойку по геометрии и со злости порвал тетрадь, разлучив бедных влюблённых!
И казалось, что счастье было потеряно навсегда…
Но, к счастью, мимо проходили ножницы! Они увидели горе кружков на разорванном листике и решили им помочь.
Сначала, ножницы вырезали из листа бумаги прямоугольник…
И освободили из тетрадного плена кружочки….
Затем добрые ножницы позвали на помощь не менее добрый клей…
И произошло чудо…
Клей воссоединил влюблённых, склеив их с прямоугольником!
Вот так и появилось самое романтичное тело вращения на земле =)
А назвали его цилиндром.
Угадайте, почему?
В честь шляпы, конечно!!!!
    В  XVIII веке цилиндр стал  мужским головным убором. Новый головной убор в виде «трубы» на голове шляпного торговца Джона Гетерингтона стал для чопорных англичан сенсацией. Тогдашние газеты писали: «Действие шляпы на прохожих было ужасным. Многие женщины при виде этого странного предмета лишались чувства, дети кричали...»  А сам Гетерингтон был арестован и доставлен к лорду-мэру, который за нарушение общественного порядка приговорил его к штрафу в 500 фунтов стерлингов. Тем не менее эта прогулка по лондонской набережной 26 января 1797 года стала датой рождения нового направления моды.  В начале XIX века цилиндр был исключительно аристократической принадлежностью.

Что такое цилиндр?
     Цилиндром называют фигуру, которая получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Слово цилиндр происходит от греческого kylindros, что означает «валик», «каток». Рассматривают также цилиндрические поверхности, составленные из всех прямых пространства, параллельных данной прямой и удаленных от нее на данное расстояние. Составляющие цилиндрическую поверхность прямые называются ее образующими. Полное наименование такого цилиндра – прямой круговой цилиндр.

Объем цилиндра
Объем любого цилиндра вычисляется по формуле
V = SH,
где S – площадь основания m, а H – высота, т.е. расстояние между плоскостями основания m и получающегося из m параллельным переносом на вектор xx’ второго основания m’.

Площадь поверхности цилиндра
Площадью полной поверхности цилиндра является сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки. Основание c прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра,  а высота H – образующей цилиндра, поэтому c = 2 R, где R – радиус цилиндра, h – высота прямоугольника. Так как площадь прямоугольника равна S = 2 Rh, то для вычисления площади боковой поверхности цилиндра радиуса R и высоты h получаем формулу
Sбок = 2 Rh
Так как площадь каждого основания равна r2, то для нахождения полной поверхности цилиндра получаем формулу
Sцил= 2 r (r + h)

Сечения цилиндра
Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие , а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

 Вписанный и описанный цилиндр
 Призма называется вписанной в цилиндр, если основание её равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые рёбра являются образующими цилиндра.

Призма называется описанной около цилиндра, если её основание - это многоугольники описанные около основания  цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Цилиндры вокруг нас
«Я думаю, что никогда до настоящего времени
мы не жили в такой геометрический период.
Все вокруг - геометрия»
Ле Корбюзье.

И правда, если мы посмотрим вокруг, мы увидим, что нас окружают одни лишь геометрические тела, в частности цилиндры.
Цилиндр может быть стаканом или гвоздем или быть частью архитектурной постройки или сложного механизма.

Цилиндры в архитектуре

Цилиндры применялись в архитектуре с древнейших времен. Например, колонны чаще всего имели цилиндрическую форму.

И сегодня цилиндр – главный помощник архитектора в его работе.

Это здание находится в Тель-Авиве

А это строение находится в Лондоне.

Не правда ли захватывает дух?

Главная

Задачи на тему «Цилиндр».
     1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 12 см², а высота цилиндра – 2см. Найдите радиус основания.
      1. 3√2см.       2. 4 см.        3. 3 см.     4. другой ответ.

    2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна √89 см, а радиус основания – 4см. Найдите высоту цилиндра.
       1. 3√5 см.    2. 6 см.      3. 5см.          4. другой ответ.
Решение задач.№1.
1.S  сечения равна произведению диаметра основание на высоту: S = d·h.
2.Решим уравнение d·h= 12см².
3.Зная, что h=2cм, найдём d:
       d=12:2=6см.
   4. d=2R, найдём R: R=d:2= 6:2=3(см).
Ответ: (3).
№2.
1. АС=2R=2·4=8(см).
2. В ∆АВС(<С=90°), по теореме Пифагора найдём h:
   h=AC=√89-64= √25=5(cм)
Ответ: 5(см).
Благодарю за внимание!


Скачать презентацию или конспект Числа 6,7


title: Скачать презентацию или конспект Сфера. Шар

extracted_text:
Сфера
Шар
,
Определения
Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.
Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки (или фигура, ограниченная сферой).
Площадь сферы
      Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычисления площади сферы радиуса R :
                                               S=4ПR2
..
Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Сфера
шар
 Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.
Уравнение сферы
В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (х0;у0;z0) имеет вид
        (х-х0)2+(у-у0)2+(z-z0)2=R2

Шаровой сегмент
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов.
Объём шарового сегмента

Шаровой сектор
Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 900 ,вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Формула нахождения объема
 шарового сектора


title: Скачать презентацию или конспект Математические знания древних цивилизаций

extracted_text:
Учебный проект«Математические знания древних цивилизаций»

Цели проекта:
Изучить  таинственный и прекрасный мир математики древних цивилизаций.
Узнать, что дала математика древним людям , где она родилась и что явилось причиной ее возникновения.
Узнать какими системами счета пользовались древние египтяне, вавилоняне и индусы.
Услышать имена великих математиков древности и узнать какими математическими открытиями мы им обязаны.
План проекта.
I.Древний Египет
1.Древнейшие математические тексты.
2.Иероглифическая система древних Египтян.
II.Вавилонское государство
1.Шестидесятеричная система.
2.Таблица древних вавилонян.
3.Достижения древних вавилонян в алгебре и геометрии.
III.Математическая наука Древней Индии
1.Введение нового числа - нуль.
2.Индийская нумерация.
3.Открытия индийских математиков.
4.Десятичная система счисления
IV.Математика Древней Греции
1.Фалес
2.Пифагорейская школа
3.Евклид, Архимед


title: Скачать презентацию или конспект Классы вычетов

extracted_text:
Классы вычетов
УРОК 2

pptcloud.ru

n=5k+2

Классом вычетов по модулю m называют
множество чисел, дающих одинаковые остатки
при делении на m.
Класс вычетов определяется любым его представителем.
Сравнения по модулю m.
Определение.
Числа а и b называют сравнимыми по модулю m,
если их разность делится на m
.
Т1.
Число а сравнимо с b по модулю m тогда и только тогда,
 когда а и b имеют одинаковые остатки при делении на m

Определение.
Числа а и b называют сравнимыми по модулю m,
если их разность делится на m

Т2. Рефлексивность отношения сравнимости.

Определение.
Числа а и b называют сравнимыми по модулю m,
если их разность делится на m
Т3. Симметричность отношения сравнимости:

Определение.
Числа а и b называют сравнимыми по модулю m,
если их разность делится на m

Т4. Транзитивность отношения сравнимости :
Определение.
Числа а и b называют сравнимыми по модулю m,
если их разность делится на m

Т5. Если
и k-произвольное целое число, то
Определение.
Числа а и b называют сравнимыми по модулю m,
если их разность делится на m

Т8.

Т 9. К обеим частям сравнения можно прибавить или
вычесть одно и то же число
Определение.
Числа а и b называют сравнимыми по модулю m,
если их разность делится на m

Т.13 В любой части сравнения можно отбросить или
добавить слагаемое, кратное модулю.


title: Скачать презентацию или конспект В гостях у Геометрии

extracted_text:
Внеклассное мероприятие в рамках предметной недели
В гостях
у Геометрии

Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
 Не крутите пестрый глобус,
  Не найдете вы на нем
  Той страны, страны чудесной,
  О которой мы поем.

  В той стране живут фигуры,
  Точки, линии, тела,
  Треугольники, квадраты,
  Вот такие, брат дела!

  Пусть в эту страну
  Не идут, не идут поезда.
  Страна Геометрия
  Рядом с нами в школе всегда.
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Страна Геометрия
Что такое геометрия?

В переводе с греческого это слово означает «землемерие» («гео» - земля, «метрио» - измерять).
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ

 Отгадай загадки и ты узнаешь,
какими инструментами пользуются
на уроках геометрии

Палочка волшебная
Есть у меня, друзья.
Палочкою этой
Могу построить я
Башню, дом и самолет,
И большущий пароход.
                    (карандаш)

В  тетради я бываю
Косая и прямая.
В другом совсем значении
Я планка для черчения.
И, наконец, порою
В шеренгу вас построю.
                (линейка)

Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Сговорились две дуги,
Делать дуги и круги.
              (циркуль)
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Cколько треугольников на рисунке?
(1-2 класс)

(пять треугольников)
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Сколько прямоугольников на рисунке?
3 класс
(пять прямоугольников)
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Сколько треугольников на рисунке?
4 класс
(семь треугольников)
Часто знает и дошкольник,
что такое треугольник.
А уж вам то, как не знать.
Но совсем другое дело, быстро, точно и умело
Треугольники считать.

Например, в фигуре этой, сколько разных
Рассмотри.
Всё внимательно исследуй
И по краю и внутри.
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Назовите фигуры

1
2
3
4
5
6
7
квадрат
треугольник
прямая
окружность
прямоугольник
ромб
кривая
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Головоломка с фигурами
1 класс: Сложи из четырёх треугольников квадрат

Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Головоломка с фигурами
2 класс: Из четырёх треугольников сложи
         один большой треугольник

Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Головоломка с палочками
3 класс: Переложи две палочки так,
         чтобы треугольников стало 4
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Измерь, взвесь, сравни
1 класс.  Закончи фразы:

«Если котёнок старше, то мышка…»
«Если стул ниже, то стол…»
«Если Петя стоит позади Вити, то Витя стоит …»

Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
2 класс.    Найди лишнюю величину

Измерь, взвесь, сравни
мм
см
м
дм
кг
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Измерь, взвесь, сравни
3 класс.  Из куска проволоки согнули квадрат со стороной 6 см. Затем проволоку разогнули и сделали из неё треугольник с равными сторонами. Какова длина стороны треугольника?

6 см

? см
(8 см)
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
Измерь, взвесь, сравни
4 класс.      Разбей на группы
 час
дм
см
т
мин
ц
г
сут
м
сек
км
кг
Единицы массы
Единицы времени
Единицы длины
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
По краю круглого торта поставили 5 точек из крема на одинаковом расстоянии друг от друга. Через все точки сделали разрезы.
Сколько кусочков торта получилось?

16 кусочков
Зотова Ольга Николаевна,   учитель Круглинского филиала
имени Героя Советского Союза И.А.Хромова МБОУ Кочетовской СОШ
М О Л О Д Ц Ы !


title: Скачать презентацию или конспект Щенки

extracted_text:
Щенки
Презенташки
от Наташки

Шесть собачек вечерком
Ссорились у чашки,
Расплескали молоко
Рыжие мордашки

Прогнала их няня прочь.
Как же горю тут помочь?

Даша в кухню побежала,
Даша чашечки достала. -
Раз, два, три, четыре, пять,
Молоко налью опять,
Вот ещё шестая -
Налетай вся стая!

А
Б
В

Шесть собачек - чашек шесть,
Будете спокойно есть!
А
Б
В

Конец
Уставицкая Наталья


title: Скачать презентацию или конспект Осевая и центральная симметрии

extracted_text:
Презентация к уроку геометрии в 8 классе «Осевая и центральная симметрии»
Автор: учитель математики МБОУ СОШ №3 г.Донецка Вербицкая Н.В.
«Удовлетворение, которое мы испытываем, глядя на прекрасное произведение искусства, проистекает оттого, что в нем соблюдены правила и мера».Ф.Блондель

Симметрия! Мы гимн тебе поем!
Тебя повсюду в мире узнаем.
Ты – в Эйфелевой башне, в малой мошке, Ты – в елочке, что у лесной дорожки,

Она у ромба и квадрата есть.
Ее подробно изучают дети,
Но всех фигур с симметрией на свете
Нам все равно не перечесть.
Тема урока:
«Осевая и центральная симметрия»

6
В математике рассматриваются различные виды симметрии
Осевая симметрия
Центральная симметрия
«Симметрия» - слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие  определенного порядка, закономерности в расположении частей
7

А
А1

а

 Точки   А  и  А1  симметричны относительно прямой а.

Фигуры, симметричные относительно оси

c

Осевая симметрия

А
М
Х
1)Какие из данных фигур имеют хотя бы одну ось симметрии?
2) Какие из данных фигур не имеют оси симметрии?
3) Какие фигуры имеют несколько осей симметрии?

Подумай!
Джотто. Поцелуй Иуды
Русские художники
13

А
A1

О

Точки  А   и   А1   называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка   АА1Точка О считается симметричной самой себе.

Центрально – симметричные фигуры

Центральная симметрия

Х
У
О
Какие из данных фигур имеют центр симметрии?

A
B
C
D
O

17
тест
18
1.  Каким видом симметрии обладает каждое из предложенных изображений?
3
2
1
5
4
2. Проведи оси симметрии у фигур и предметов
19

1
2
3
4
3.  Запиши симметричные предметы

20
4.  Какие фигуры имеют одну ось симметрии?
1) Равносторонний треугольник;
        2) Параллелограмм;
        3) Угол.

21

5.  Какая из фигур имеет три оси симметрии?
1) Ромб;
      2) Равносторонний треугольник;
      3) Отрезок.

Вывод:
Симметрия определяет гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства или архитектуры.

Симметрия является одним из принципов гармоничного построения мира.

«В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов»Г.Вейль


title: Скачать презентацию или конспект Параллельность прямой и плоскости

extracted_text:
Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если
она не имеет с ней ни одной общей точки.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Теорема. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то прямая параллельна самой плоскости.
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Верно ли утверждение о том, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой?
Ответ: Нет.
Вопрос 1
Верно ли утверждение: "Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости"?
Ответ: Нет.
Вопрос 2
Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?
Ответ: Нет.
Вопрос 3
Даны две параллельные прямые. Через каждую из них проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых?
Ответ: Параллельна.
Вопрос 4
Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым?
Ответ: Да.
Вопрос 5
Сторона AF правильного шестиугольника ABCDEF лежит в плоскости α, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены остальные стороны ABCDEF относительно плоскости α?
Ответ: AB, BC, DE, EF пересекают плоскость; CD параллельна плоскости.
Упражнение 1
б) CDD1, A1C1D;
В кубе A…D1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, параллельные прямой: а) AA1; б) AB1; в) AC1.
Ответ: а) BCC1, CDD1, BDD1;
в) нет.
Упражнение 2
в) BCC1, EFF1;
В правильной шестиугольной призме назовите плоскости, проходящие через ребра призмы и параллельные прямой: а) AB1; б) AC1; в) AD1.
б) DFF1;
Ответ: а) DEE1, CFF1;
Упражнение 3
Ответ: а) 10;
Сколько плоскостей проходит через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельных прямой: а) AA1; б) AB?
б) 6.
Упражнение 4
Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра куба A…D1?
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 24.
Упражнение 5
Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра октаэдра?
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У октаэдра 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 24.
Упражнение 6
Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра икосаэдра.
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У икосаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 60.
Упражнение 7
Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра додекаэдра.
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У додекаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 60.
Упражнение 8
Даны две скрещивающиеся прямые.  Как через одну из них провести плоскость, параллельную другой?
Решение: Через точку одной прямой провести прямую, параллельную второй данной прямой. Затем через полученные пересекающиеся прямые провести плоскость. Она будет параллельна второй данной прямой.
Упражнение 9
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм. Каково взаимное расположение прямой пересечения плоскостей граней SAB и SCD и плоскости основания ABCD?
Ответ: Параллельны.
Упражнение 10


title: Скачать презентацию или конспект Задача Эйлера

extracted_text:
Задача Эйлера
Задача. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?
Теорема Эйлера
Теорема.  Для связного простого графа имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - общее число ребер, Г - число областей (граней), на которые граф разбивает плоскость.
Доказательство. Стянем какое-нибудь ребро графа, соединяющее две вершины, в точку. При этом число ребер и число вершин уменьшаться на единицу и, следовательно, В – Р + Г не измениться. Продолжая стягивать ребра, мы придем к графу, у которого имеется одна вершина, а ребрами являются петли. Уберем какое-нибудь ребро. При этом число ребер и число областей уменьшаться на единицу и, следовательно, В – Р + Г не изменится. Продолжая убирать ребра, мы придем к графу, у которого имеется одна вершина и одно ребро. У этого графа В = 1, Р = 1, Г = 2 и, следовательно, В – Р + Г = 2. Значит, для исходного графа также выполняется равенство В – Р + Г = 2.
Решение задачи Эйлера
Предположим, что можно провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу. Рассмотрим граф, вершинами которого являются домики и колодцы, а ребрами – дорожки. У него В = 6, Р = 9 и, следовательно, Г = 5. Каждая из пяти областей ограничена, по крайней мере, четырьмя ребрами, поскольку, по условию задачи, ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро разделяет две области, то количество ребер должно быть не меньше (5∙4)/2 = 10, что противоречит тому, что их число равно 9.
Упражнение 1
Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и областей (Г) для графов, изображенных на рисунке.
Ответ: а) В = 8, Р = 12, Г = 6; б) В = 6, Р = 12, Г = 8; в) В = 20, Р = 30, Г = 12; г) В = 12, Р = 30, Г = 20.
Упражнение 2
Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) для многогранников, изображенных на рисунке. Чему равно В – Р + Г?
Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4; б) В = 8, Р = 12, Г = 6; в) В = 6, Р = 12, Г = 8; г) В = 20, Р = 30, Г = 12; д) В = 12, Р = 30, Г = 20.
Упражнение 3
Два соседа имеют: а) три общих колодца; б) четыре общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?
Упражнение 4
Три соседа имеют: а) два общих колодца; б) четыре общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?
Упражнение 5
Четыре соседа имеют четыре общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки так, чтобы каждый домик был соединен с тремя колодцами?
Упражнение 6
Докажите, что пять домиков нельзя соединить непересекающимися дорожками так, чтобы каждый домик был соединен с тремя колодцами?


title: Скачать презентацию или конспект Старые русские меры

extracted_text:
Старые  русские  меры

Разработала
Михайличенко Ю. ученица 7в класса
МОУ СОШ №2
г.Ноябрьска
Руководитель: Левина Е.В.

С древности, мерой длины и веса всегда был человек: на сколько он протянет руку, сколько сможет поднять на плечи и т.д.
Система древнерусских мер длины включала в себя следующие основные меры: версту, сажень, аршин, локоть, пядь и вершок.

АРШИН - старинная русская мера длины, равная, в современном исчислении 0,7112м. Аршином, так же, называли мерную линейку, на которую, обычно, наносили деления в вершках.

Для мелких мер длины базовой величиной была, применяемая испокон на Руси мера - "пядь" (c 17-го века - длину равную пяди называли уже иначе – "четверть аршина", "четверть", "четь"), из которой глазомерно, легко можно было получить меньшие доли – два вершка (1/2 пяди) или вершок (1/4    пяди).
	ПЯДЬ (пядница) –
 древняя русская мера длины. МАЛАЯ ПЯДЬ (говорили - "пядь"; с 17-го века она называлась - "четверть" <аршина>) - расстояние между концами расставленных большого и указательного (или среднего) пальцев = 17,78m c.
ВЕРСТА - старорусская путевая мера (её раннее название - ''поприще''). Этим словом, первоначально называли расстояние, пройденное от одного поворота плуга до другого во время пахоты. Два названия долгое время употреблялись параллельно, как синонимы.
Известны упоминания в письменных источниках 11 века. В рукописях XV в. есть запись: "поприще сажений 7 сот и 50" (длиной в 750 сажень). До царя Алексея Михайловича в 1 версте считали 1000 саженей. При Петре Первом одна верста равнялась 500 саженей, в современном исчислении - 213,36 X 500 = 1066,8 м. "Верстой" также назывался верстовой столб на дороге.

 старорусская единица измерения, равная двум верстам. Версту в 1000 сажен (2,16 км) употребляли широко в качестве межевой меры, обычно при определении выгонов вокруг крупных городов, а на окраинах России, особенно в Сибири - и для измерения расстояний между населенными пунктами.

МЕЖЕВАЯ ВЕРСТА -
САЖЕНЬ - одна из наиболее распространенных на Руси мер длины. Различных по назначению (и, соответственно, величине) саженей было больше десяти. "Маховая сажень" - расстояние между концами пальцев широко расставленных рук взрослого мужчины. " Косая сажен " - самая длинная: расстояние от носка левой ноги до конца среднего пальца поднятой вверх правой руки. Используется в словосочетании: "у него косая сажень в плечах " (в значении - богатырь, великан)
Эта старинная мера длины упоминается Нестором в 1017г. Наименование с а ж е н ь происходит от глагола сягать (досягать) - на сколько можно было дотянуться рукой.

расстояние между концами средних пальцев раскинутых в стороны рук - 1,76м.
МАХОВАЯ САЖЕНЬ -
(первоночально "косовая") - 2,48м.
КОСАЯ САЖЕНЬ-
Сажени употреблялись до введения метрической системы мер
Локоть

равнялся длине руки от пальцев до локтя (по другим данным - "расстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца руки"). Величина этой древнейшей меры длины, по разным источникам, составляла от 38 до 47 см. С 16-го века постепенно вытесняется аршином и в 19 веке почти не употребляется.
исконно древнерусская мера длины, известная уже в 11 веке.
Локоть широко применяли в торговле как особенно удобную меру. В розничной торговле холстом, сукном, полотном - л о к о т ь был основной мерой. В крупной оптовой торговле - полотно, сукно и прочее, поступали в виде больших отрезов — "поставов", длина которых в разное время и в разных местах колебалась от 30 до 60 локтей (в местах торговли эти меры имели конкретное, вполне определенное значение)
Ладонь
1/6 локтя (локоть шестиладонный)

Вершок - происходит от слова ,, вверх,,
ВЕРШОК равнялся 1/16 аршина, 1/4 четверти. В современном исчислении - 4,44см

В литературе XVII в. встречаются и доли вершка - полвершки и четвертьвершки.
Меры длины
1 верста =  500 саженей = 50 шестов = 10 цепей = 1,0668 километра
1 сажень =  3 аршина = 7 фут = 48 вершков = 2,1336 метра
Косая сажень = 2,48 м. Маховая сажень = 1,76 м.
1 аршин =  4 четверти (пяди) = 16 вершков = 28 дюймов = 71,12 см
1 локоть =  44 см
1 фут =  1/7 сажени = 12 дюймов = 30,479 см

Новые меры
(введены с XVIII века):
1 дюйм = 10 линий = 2,54 см
Название происходит от голландского - ''большой палец''. Равен ширине большого пальца или длине трех сухих зерен ячменя , взятых из средней части колоса.
1 линия = 10 точек = 1/10 дюйма = 2,54 миллиметра
Линия - ширина пшеничного зерна, примерно 2,54 мм
1 сотая сажени = 2,134 см
1 точка = 0,2540 миллиметра
1 географическая миля (1/15 градуса земного экватора)= 7 верст = 7,42 км
1 морская миля (1 минута дуги земного меридиана) = 1,852 км
1 английская миля = 1,609 км
1 ярд = 91,44 сантиметра

Меры объёма
ВЕДРО
Основная русская дометрическая мера объема жидкостей – ведро = 1/40 бочки = 10 кружек = 30 фунтов воды = 20 водочных бутылок (0,6) = 16 винных бутылок (0,75) = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров (15 л - по другим источникам, редко) В. – железная, деревянная или кожаная посуда, преимущественно цилиндрической формы, с ушками или дужкой для ношения. В обиходе, два ведра на коромысле должны быть в "подъём женщине". Деление на более мелкие меры проводилось по двоичному принципу: ведро делили на 2 полуведра или на 4 четверти ведра или на 8 получетвертей, а также на кружки и чарки. Древнейшая "международная" мера объёма - «горсть».	До середины XVII в. в ведре содержалось 12 кружек, во 	второй половине XVIIв. так называемое казённое ведро 	содержало 10 кружек, а в кружке — 10 чарок, так что в ведро входило 100 чарок. Затем, по указу 1652 года чарки сделали втрое больше по сравнению с прежними ("чарки в три чарки"). В торговое ведро вмещалось 8 кружек. Значение ведра было переменным, а значение кружки неизменным, в 3 фунта воды (1228,5 грамма). Объем ведра был равен 134,297 кубических вершков.
Бочка
Бочка, как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры. Равнялась 40 ведрам (492 л)
Материал для изготовления бочки выбирали в зависимости от её назначения: дуба - для пива и растительных маселель - под воду липа - для молока и мёда
Чаще всего в крестьянском быту использовались небольшие бочки и бочонки от 5-и до 120-и литров. Большие бочки вмещали до сорока вёдер (сороковки)
Бочки использовали так же и для стирки (отбивки) белья
Винные меры
Ведро – русская дометрическая мера объема жидкостей, равная 12 литров.Четверть <четвёртая часть ведра>  = 3 литра (раньше это была узкогорлая стеклянная бутылка)
Бутылка- появилась в России при Петре I. Русская бутылка = 1/20 ведра = 1/2 штофа = 5 чарок = 0,6 литра (поллитровка появилась позже – в двадцатые годы XX века)
Штоф (от нем. Stof) = 1/10 ведра = 10 чаркам = 1,23 л. Появился при Петре I. Служил мерой объема всех алкогольных напитков. По форме штоф был похож на четверть.
Кружка (слово означает - для пития по кругу) = 10 чаркам = 1,23л
Стопка = 1/6 бутылки = 100 грамм   Считалась величиной разовой дозы приёма.
Старинные меры объёма
1 куб. сажень = 9,713 куб. метра
1 куб. аршин = 0,3597 куб. метра
1 куб. вершок = 87,82 куб. см
1 куб. фут = 28,32 куб. дециметра (литра)
1 куб. дюйм = 16,39 куб. см
1 куб. линия = 16,39 куб. мм
1 Кварта - немногим больше литра.
Меры веса
На Руси использовались в торговле следующие меры веса (старорусские):
•  берковец =  10 пудов
•  пуд =  40 фунтов = 16,38 кг
•  фунт (гривна) =  96 золотников = 0,41 кг
•  лот =  3 золотника = 12,797 г
•  золотник =  4,27 г
•  доля =  0,044 г
Старинные меры в
 современном языке
В современном русском языке старинные единицы измерения и слова, их обозначающие сохранились, в основном, в виде пословиц и поговорок
Пишешь аршинными буквами - крупно
Коломенская верста - шутливое название очень высокого человека.
Косая сажень в плечах- широкоплечий
Поговорки
Старинные меры также употреблялись в задачах.
Выразите в метрах и сантиметрах:
а) высоту терема, равную трем косым саженям;
б) длину отрезка полотна, равную 15 локтям;
в) ширину горницы, равную двум маховым саженям и трем локтям.

Ответ: а) 248 * 3 = 744 (см);
           б) 15 * 45 = 675 (см);
           в) 176 * 2 + 3 * 45 = 352 + 135 = 478 (см).
Некто купил три четверти аршина сукна
 и заплатил за них 3 алтына.
Сколько надо заплатить за 100 аршин
такого же сукна?
(1 алтын = 3 к.)
Решение: Поскольку 3/4 аршина стоят 3 алтына,
 то 3 аршина         стоят 12 алтын и 1 аршин - 4 алтына.
Следовательно, 100 аршин стоят 400 алтын,
что составляет 1200 к. или 12 р.
Ответ: 12 рублей.

Старинные меры в пословицах и поговорках
Один, как перст - человек, не имеющий ни родных, ни близких, ни друзей.
От горшка два вершка, а уже указчик - молодой человек, не имеющий жизненного опыта, но самонадеянно поучающий всех.
Сидит, ходит, словно аршин проглотил -о неестественно прямом человеке.
Косая сажень в плечах - широкоплечий, высокого роста человек
Полено к полену - сажень - о накоплении запасов, богатства путем экономии
Ребусы

Аршин
      ,, О ,       Ь
Локоть
                 ,,                         А
Верста
Некоторые старинные меры используют и в наше время.


title: Скачать презентацию или конспект Дополнительные построения в трапеции при решении задач

extracted_text:
Дополнительные построения
в трапеции
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 77»
Г. Новокузнецк Кемеровская область
Учитель математики          Федорова Татьяна Андреевна
Трапеция – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.
А

А
В
С
D
Проводим высоты трапеции из вершин меньшего основания
А
В
С
D
M
N

h
b
b

Через вершину верхнего основания проводим прямую, параллельно боковой стороне трапеции до пересечения с большим основанием.
А
В
С
D
N

b
b

a-b
А
В
С
D
М
Через середину меньшего основания параллельно боковым сторонам проводим отрезки до пересечения с большим основанием

a-b
А
В
С
Через вершину меньшего основания параллельно диагонали проводим отрезок до пересечения с продолжением большего основания
Е

D
a
b
h
b

a+b

Продолжаем боковые стороны до пересечения
А
В
С
D
Е
Δ AED~ Δ BEC

Продолжаем отрезок до пересечения с продолжением меньшего основания
А
В
С
D
M
N

Δ CMN~ Δ AMD
Продолжаем  биссектрису до пересечения с продолжением меньшего основания
А
В
С
D
M
N
Δ CMN~ Δ AMD

a

c
CN= c-b
b
Тренировочные задачи
Задача 1 Найдите площадь трапеции параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные – 17 и 25
A
В
С
D
17
25
16
44
17
K
H
Задача 2 В трапеции ABCD
                                                             Найти площадь четырехугольника с вершинами в серединах диагоналей и серединах оснований трапеции.
В
С
D

F
М
N
K
E
A

В
С

К

A
D
Задача 3 Диагонали трапеции равны 13 и         , а высота равна 5.   Найдите площадь трапеции.
13

5

a+b
a
b
b
Задача 4
Задача 4  Докажите, что в прямоугольной
трапеции разность квадратов диагоналей равна
разности квадратов оснований.

D
C
B
A

K
Задачи ЕГЭ
А
В
С
D
М
N
 Задача 1 Диагонали трапеции равны 3  и 5. Отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найдите площадь трапеции.
Е
АС = 5,  ВD = 3
МN = 2
О
К
O- середина АЕ


title: Скачать презентацию или конспект Функции и их свойства

extracted_text:
Функции и их свойства.
Выполнил студент 2к.1г.
Гаджимагомедов С.М.
Проверила
Османова М.М.

У=f (X)
Определение функции.
Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х) в которой каждому значению независимой переменной (Х) соответствует единственное значение зависимой переменной (У).

Независимую переменную называют - аргумент.

Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Запись У=f (X) читается: У – функция от Х.
Способы задания функции.
Графически.

С помощью формулы.

Таблицей.

Словесный.

Рекуррентный.

Область определения и множество значений функции.
Все значения независимой переменной образуют область определения функции -D (f).

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции – E (f).
   Если функция задана формулой и не указана ее область определения, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Промежутки знакопостоянства и нули функции.
1.  Значения функции положительны. У>0

2.  Значения функции отрицательны. У<0

3.  Значения функции равны нулю.    У=0

У>0

У<0

У=0

Монотонность функции.
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Возрастающая функция.

х1
х2

у1
у2
Х2>Х1 , то  У2>У1.

Убывающая функция.

х1
х2

у1
у2
Х2>Х1 , то  У2<У1.

Четные и нечетные функции.
Функция у = f (x) называется четной, если для всех х из области определения функции выполняется равенство f (-x) = f (x).

Функция у = f (x) называется нечетной, если для всех х из области определения функции выполняется равенство f (-x) = - f (x).

-х
х

f (-x) = f (x).

-х
х

f (-x) = - f (x).

Ограниченность функции.
Функция y=f (x) называется ограниченной снизу, если для любого х из области определения функции выполняется условие
     f (x)>a, где а – некоторое число.
Функция y=f (x) называется ограниченной сверху, если для любого х из области определения функции выполняется условие
     f (x)< a, где а – некоторое число.
Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

парабола


title: Скачать презентацию или конспект Сложение и вычитание чисел в пределах 20

extracted_text:
20 марта.Классная работа.

Тема.  Сложение и вычитание в пределах 20.
14
16
20
10
15
11
17
12
18

3 + 4 = 7
7 – 3 = 4
4 + 3 = 7
7 – 4 = 3

 3 + 4 = 7       7 – 3 = 4

 4 + 3 = 7       7 – 4 = 3

1 сл.
2 сл.
сумма
К

                                 стр. 52

У Кощея Бессмертного есть 14 хитрых ловушек для Ивана-царевича, а у Бабы-яги – 10 хитрых ловушек.
Сколько ловушек у Кощея Бессмертного?
На сколько ловушек у Кощея больше, чем у

Бабы-яги?
Сколько ловушек у Бабы-яги?
Сколько ловушек у Кикиморы?
10 л.
14 л.
14 л.
10 л.
У Кощея Бессмертного есть 14 хитрых ловушек для Ивана-царевича, а у Бабы-яги – 10 хитрых ловушек.
На сколько ловушек у Кощея больше, чем у

Бабы-яги?
14
10
-
=
4

Ответ: на 4 ловушки больше.

Самостоятельная работа

В какой башне Кощей заточил Василису Премудрую, если Марья-царевна не сидит в башне 18 и 16, а Василиса Прекрасная не сидит в башне 18?
18
20
16

Сегодня на уроке я учился …
Сегодня на уроке я научился …
Сегодня на уроке мне понравилось…
Итог урока


title: Скачать презентацию или конспект Площадь круга и его частей

extracted_text:
Площадь  круга  и
его  частей

Рис 1
Рис 2
Рис 3
Рис 4
Какая часть круга закрашена?
Какая часть круга закрашена?

Найдите площадь S закрашенного сектора,
 если площадь круга равна 32.

Рис 1
Рис 2

Рис 1
Найдите площадь S закрашенного сектора,
 если площадь круга равна 32.
Рис 1
Рис 2

1
2

Найдите площадь S закрашенного сектора, считая

что стороны клеток равны 1. В ответе укажите

Рис 1
Рис 2

1

2

К

Рис 3

Рис 1
Рис 2
Сторона квадрата равна в.
 Найти площадь фигуры.
Рис 1
Рис 2
Рис 3
Рис 4
Рис 5
R
R
Найти  площадь фигуры
Выполнить необходимые измерения
 и вычислить площадь фигуры
Сторона квадрата равна  в.
Найти площадь фигуры.
Сторона квадрата равна  в.
Найти площадь фигуры.
Домашняя  работа
1. Выполните необходимые измерения и
 вычислите площадь фигуры.
2. Сторона квадрата равна  в.
Найти площадь фигуры.
Круги на полях
Круги на полях
Спасибо за урок
Молодцы


title: Скачать презентацию или конспект Формулы

extracted_text:
Урок математики5 класс

Разминка
	№ 1  Вычислите  значение степени, полученный  ответ замените соответствующей буквой из таблицы.  Например:  25  - У

Из  полученных букв составьте слово :

ФОРМУЛЫ
Цель урока:
 научиться решать задачи, используя формулы.
Задачи урока:
- вспомнить понятие, известные  нам  формулы;
-учиться читать и записывать формулы;
 -вычислять значения  выражения по формуле.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

 МИНИ ЛОТО :

СОБЕРИ СЕМЬ ФОРМУЛ

Физкультминутка

Будьте здоровы!
№2 Задача на движение

45км/ч

на 15км/ч
больше

210км
tвстр.-?

№3 Задача на движение

2с

А
В

16м/с
20м/с

10м

?

 	№4  Реши задачи,
используя формулы.

	Вычислите по формуле пути:  S = v· t
 V= 25 м/с, t = 4c             S = ?                 100 м
 S = 240 км, v =60 км/ч    t = ?                 4 ч
 S = 300 км, t = 5ч            v = ?                60 км/ч
	Вычислите по формулам периметра :
	Ркв=4 ·а, Рпр= (а+в) ·2
4.    а= 8 см   Ркв= ?                                           32 см
5.    а= 10 дм , в = 7 дм   Рпр = ?                       34 дм
	Дополнительно:
6.   Рпр = 48 см, а = 14 см, в = ?                      10 см

Подведение итогов
Задачи урока:
- вспомнить понятие, известные  нам  формулы;
-учиться читать и записывать формулы;
 -вычислять значения  выражения по формуле.
Цель урока:
 научиться решать задачи, используя формулы.

СПАСИБО ЗА РАБОТУ!


title: Скачать презентацию или конспект Производная и графики функций

extracted_text:
Производная и графики функций
Курышова Н. Е. СПб лицей 488
Доказать, что функция монотонна на заданном промежутке:
Дана непрерывная на          функция. Используя график производной этой функции, определите, имеет ли функция точки экстремума.

y
x

Найти пары

x
x
x
y
y
y
x
x
x
y
y
y
1
2
3
4
5
6
(1; 4);  (3;  2);  (6;  5)
Нарисовать эскизы  графиков

y
x
x
x

Исследовать функцию и построить её график

Функция нечётная, график симметричен относительно начала отсчёта.
Точки пересечения с осями:  с Оу:  (0; 0);  с Ох: (0; 0).
Промежутки знакопостоянства функции:

-2
2
0

х

5. Вертикальные асимптоты:
                                 так как

y
x
-2
2

эскиз
6. Наклонные асимптоты

x
y
эскиз
7. Исследование на монотонность и наличие точек экстремума.

х

+
+
-
-
+
+

Исследование на направление выпуклостей и наличие точек перегиба.

х

+
-
+
-

y
x
эскиз

Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Понятие многогранника

extracted_text:
ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКА

pptcloud.ru
Что такое тетраэдр?

Это геометрическое тело (поверхность), составленная из четырех треугольников.
Что такое прямоугольный параллелепипед?

Это геометрическое тело (поверхность), составленное из шести прямоугольников.
Что такое параллелепипед?
Это поверхность, составленная из шести параллелограммов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ :
Многогранником
называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.
ГРАНИ  -
Это многоугольники, из которых составлен многогранник.
Назовите грани:
    - тетраэдра;
    - прямоугольного параллелепипеда;
    - параллелепипеда.

РЕБРА - стороны граней.
ВЕРШИНЫ – концы ребер.
ДИАГОНАЛЬ МНОГОГРАННИКА – отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не лежащие в одной плоскости.
МНОГОГРАННИКИ

ВЫПУКЛЫЕ – весь многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани
НЕВЫПУКЛЫЕ – это многогранники, которые не расположены по одну сторону от плоскости каждой его грани.
ПРИЗМА
Рассмотрим два равных многоугольника А1А2…Аn и В1В2…Bn, расположенные в параллельных плоскостях  α  и     , так что отрезки А1В1, А2В2, …, AnBn, соединяющие соответственные вершины многоугольников параллельны. Каждый из n четырех-угольников А1А2В2В1, …, AnA1B1Bn  - параллелограмм.
(Почему?)
 Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.
Назовите:   - основания;
                   - боковые грани;
                   - боковые ребра.

Призму с основаниями A1A2…An и В1В2…Вn обозначают A1A2…AnВ1В2…Вn  и называют
 n-угольной призмой.
Шестиугольная призма
Треугольная призма
Четырехугольная призма
Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма
Наклонная призма.
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.
ПОЧЕМУ?
Правильная шестиугольная призма.
Площадь полной поверхности призмы  -
это сумма площадей всех ее граней
Площадь боковой поверхности призмы –
это сумма площадей ее боковых граней.
Sполн = Sбок + 2Sосн
ТЕОРЕМА:
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Доказать самостоятельно.
Контрольные вопросы:
1. Объясните, что такое:
    а) многогранник;  б) поверхность многогранника.
2. Какой многогранник называется выпуклым?
3. Дан выпуклый многогранник. Что называют:
 а) его гранью;   б) его ребром;    в) его вершиной?
4. Дан квадрат. На нем как на основании по разные стороны построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике?
5. Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике?

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
П.п.25 – 27 (выучить все определения и доказать теорему)
NN 219, 220, 223.


title: Скачать презентацию или конспект Логарифмы

extracted_text:
Проект по теме :                                                                                Логарифмы
Работа выполнена учеником 11б класса МОУ Алексеевская СОШ
Носовым Данилой
Под руководством учителя математики
 Плешаковой Ольги Владимировны
2010 год
Содержание
1)Из истории
2)Определение логарифма
3)Свойства логарифмов
4)Виды логарифмов
5)Источники информации

Из истории

Джон Не́пер (1550—1617) — шотландский барон, математик, один из  изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических  таблиц.
В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом (ln) следующим образом:
LogNap(x) = M * (ln(M) – ln(x))
Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса»есть нуль — этого и добивался Непер своим определением LogNap(0) = ∞
Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую.
Определение логарифма

                    Log a b
Логарифмом числа b  по основанию a называется показатель степени,в которую нужно возвести основаниеa,чтобы получить число b
Пример log 2 8 = 3
Свойства
  a log a b = b – основное логарифмическое тождество
  Log a a = 1
  Log a 1 = 0
  Log a xy = log a x + log a y
  Log a x/y = log a x – log a y
  Log a xp= p log a x
  Log ak b = 1/k log a b
  Log aq bp = p/q log a b
  Log ak bk = log a b

Формула перехода
 Log a  x = log b x/log b a

Доказательство

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем
Log b x = log b ( a log a x )
Log b x = log a x log b a
Разделив обе части полученного равенства на log b a , приходим к нужной формуле

Вещественный логарифм
Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при a>0,a не равное 1,b>0
Наиболее распространённые:
десятичные(основание - 10)
натуральные(основание е – число Эйлера)
двоичные(основание – 2)
Десятичный логарифм
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений.
Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.

Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:
Физика — интенсивность звука (децибелы).

Астрономия — шкала яркости звёзд

Сейсмология — шкала Рихтера.

Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

История — логарифмическая шкала времени.

Химия — активность водородных ионов(pH)

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Для рациональных чисел, отличных от 10k с целыми k, десятичные логарифмы суть трансцендентные числа, которые приближенно выражаются в десятичных дробях. Целую часть десятичного логарифма называют характеристикой, дробную - мантиссой.
Так как lg(10kN) = k + lnN, то десятичные логарифмы чисел, отличающихся множителем 10k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц логарифмов, которые содержат лишь мантиссы логарифмов целых чисел.

Натуральный логарифм
Логарифм по основанию e (e трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом.
Натуральный логарифм числа x обозначается ln x.
Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = log a x, определённая при a>0 , x > 0
Источники
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0 BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC

http://logarithm.org.ua/

Учебник «Алгебра и начало анализа» 10-11 класса (А.Н.Колмлгоров,А.М.Абрамов,Ю.П.Дудницын,Б.М.Ивлёв,С.И.Шварцбурд)


title: Скачать презентацию или конспект Математические модели

extracted_text:
Математические модели
Повторим !
1. Модели, включающие набор свойств, содержащий всю необходимую информацию об исследуемом объекте, называют
     информационными.
2. Объект, который используется в качестве “заместителя” другого объекта с определенной целью -
      модель.
3. Описание предмета, рассказ о явлении, событии – это  модели
      словесные.
Повторим !
4. Кукла, плюшевый медвежонок, глобус – это модели
      натурные.
5. Формула площади прямоугольника, текст – это  модели
      знаковые.
6.  Рисунки, фотографии – это  модели
      образные.
7.  Карта, график, таблица, схема – это … модели
      смешанные.
8. Процесс создания и использования моделей –
     моделирование.
- модели, построенные с использованием математических понятий и формул.
Математические модели
Задача №1
Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу – за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через обе трубы?
Задача №2
Во втором цехе работают x человек, в первом – в 4 раза больше, чем во втором, а в третьем - на 50 человек больше, чем во втором. Всего в трех цехах завода работают 470 человек.
Задача №3
Первое число равно x, а второе на 2,5 больше первого. Известно, что 1/5 первого числа равна 1/4 второго.
Задача №4
Вычислить количество краски для покрытия пола в спортивном зале.
Задача №5
У Миши x марок, а у Андрея в полтора раз больше. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у Андрея станет марок вдвое больше, чем останется у Миши.
Домашнее задание
Параграф 2.4 стр.54 –56 прочитать, выполнить задания на стр. 57 №1, №2 в тетрадях