title: Скачать презентацию или конспект Зеркальная симметрия в геометрии

extracted_text:
Учебное пособие по геометрии
для 11 класса
«Симметрия…есть идея, с помощью
 которой человек веками пытался
 объяснять и создавать порядок,
 красоту и  совершенство»
                                   (  Герман Вейль)
Зеркальная симметрия
pptcloud.ru
Содержание

Определение зеркальной симметрии.
Фигуры, симметричные относительно плоскости.
3.  Зеркальная симметрия в пирамиде.
4.  Зеркальная симметрия в призме.
5.  Зеркальная симметрия в архитектуре
        г.Санкт – Петербурга.
Определение
Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости  точку М1.

ММ

м
М
М
М1
О
О
М
М
К
К



ОМ=ОМ1 ;   ММ1 
МК=М1К1

М1
К1
Фигуры, симметричные относительно плоскости
Фигура ( тело) называется симметричной относительно некоторой плоскости, если эта плоскость разбивает фигуру на две равные симметричные части.

 Сколько плоскостей симметрии имеет куб?
Ответы : 2; 4; 5; 6;
9
Симметрия в пирамиде
Верно ли высказывание: правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии

Задачи
1. Сколько плоскостей симметрии имеет пирамида, в основании которой лежит прямоугольник, ромб?

Какое дополнительное условие должно присутствовать в условии задачи, чтобы ваш ответ был верен?

Задачи
2. Начертить четырехугольную пирамиду, которая имеет одну плоскость симметрии.
а) какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды?
б) куда должна проектироваться вершина пирамиды?

3.Существует ли четырехугольная пирамида, не имеющая ни одной плоскости симметрии? (привести пример)

Зеркальная симметрия в призме
1)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная призма?
              Ответы:
    а)2          б)4        в)3        г)5     д)12
2)Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник?
               Ответы:
    а)2          б)3       в)1         г)4     д)8
3)Сколько плоскостей симметрии имеет  правильная треугольная  призма?
                Ответы:
     а)4          б)3       в)1         г)2    д)5
 г) 5
 б) 3
 а) 4
Зеркальная симметрия в архитектуре г. Санкт- Петербурга
Александринский            театр
Исаакиевский собор
Сколько плоскостей симметрии имеют данные объекты?
Улица Росси
имеет плоскость симметрии в общем обзоре, но не все детали в архитектуре зданий симметричны.
Информационные источники:
1.Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. сред.шк. / Л.С.Атанасян, Ф.Ф.Буткузов, С.Б.Кадомцев и др. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1993.
2.Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия / Шарыгин И.Ф., Ерганжиева : М. : Дрофа, 1998.
Сайт http:// www.gov.ru/ culture/architect

Работа выполнена учителем математики школы №358   Московского района г. С.- Петербурга Смирновой Альбиной Алексеевной.
2007год.


title: Скачать презентацию или конспект Числа в народном творчестве

extracted_text:
Числа в народном творчестве
Команда «Архимеды из лицея»
МКОУ «Москаленский лицей»
Руководитель: Артамонова Л.В.

Задание №1 «Пословицы и поговорки»
1. Характеристика  внимательного,  прозорливого  человека,  от которого ничего невозможно утаить
На три аршина в землю видит.
2. Даже небольшое отставание очень трудно преодолевать.
На версту отстанешь –
 на десять догоняешь.
Задание №1 «Пословицы и поговорки»
3. Быстрый рост, хорошее развитие чего-либо.
Семимильными шагами.
4. О  процессе выполнения трудной работы.
В полплеча работа тяжела, а оба подставишь легче справишь.
Задание №1 «Пословицы и поговорки»
5. Ученик с плохими знаниями.
Разок надоумить можно, а на век ума не дашь.
6. В любом деле должен быть один лидер.
Два медведя в одной берлоге не уживутся.
Задание №1 «Пословицы и поговорки»
7. Роль лука в медицине.
Лук  - от семи недуг.
Задание №2 «Частушки»
«Двойки, тройки да колы
Не пропустим в дневники.
Будем очень мы стараться,
На отличников равняться!»
Задание №2 «Частушки»
Ой беда, беда, беда.
Получила двойку я.
И за это все подружки
Разбежались от меня
Задание №2 «Частушки»
Знает Ваня без сомненья
Всю таблицу умноженья.
Х  3 конечно 9
7  Х  8 сорок пять
Задание №2 «Частушки»
Числа в Олиной тетрадке
«Пляшут» раз, два, три.
Не хотят они равняться
Как не посмотри
Задание №2 «Частушки»
Наша Таня с Машей плачут
Получили два в дневник.
Надо двойку исправлять,
Все задания выполнять
Задание №3 «Загадки»
Что за цифра
Просто чудо
Два кружочка
Смотрят  вверх.
ответ
Задание №3 «Загадки»
Если эту цифру разрезать вдоль по прямой линии, то получим две одинаковые цифры.
ответ
33
Задание №3 «Загадки»
Имеет 4 зуба.
Каждый день лежит на столе и ничего не ест.
ответ
Задание №3 «Загадки»
Кочерга у печки,
Столбик во дворе,
Эта цифра гордо
Есть у лодыря в дневнике.
ответ
Задание №3 «Загадки»
Сколько у Земли полюсов,
сколько передних лап у котов, сколько ног у человека
Знает это цифра…
ответ

Автор данного шаблона:
Ермолаева Ирина Алексеевна
учитель информатики и математики
МОУ «Павловская сош»
с.Павловск
Алтайский край
Название сайта: http://pedsovet.su/


title: Скачать презентацию или конспект Удивительный квадрат

extracted_text:
 ТЕМА:«Удивительный квадрат»
            Автор: Архипова Е.К.
Руководитель: Лопатина  И.С.
Управление образования администрации города Волжского Волгоградской области  Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №14 «Зеленый шум»

О квадрате
Присмотритесь-ка к квадрату:
Он здоровый, тароватый,
Он надежнее как друг,
Чем уж слишком круглый круг.
В нем четыре стороны
И все стороны равны.
Честен каждою чертой,
Каждый  угол в нем прямой.
Тем еще квадрат отличен,
Что вполне он симметричен,
Треугольников всех рать
Вам того не может дать.
Е. Паин
Цели:
Исследовать свойства квадрата
Рассмотреть геометрические способы раскроя квадрата
Найти различные варианты построений при помощи перегибания квадратного листа бумаги
Определение квадрата

Квадрат –  это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат –  это ромб, у которого все углы прямые.
Свойства:

У квадрата:
 все углы прямые;
все стороны равны;
диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Квадрат -симметричная фигура

С помощью квадрата со стороной 1 измеряют площади всех фигур!
Практичные свойства квадрата:
Периметр квадрата меньше периметра любого равновеликого ему прямоугольника

    S=6×6=36                   S=4×9=36
    P=4×6=24                  P=2(4+9)=26
Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром

P=4×6=24                  P=2(8+4)=24
S=6×6=36                   S=4×8=32
Квадрат в квадрате
S EFKL=½ S ABCD
S EDL+S LCK+
    S KBF+S FAE= ½         S ABCD
A1B1C1D1 = ¼ S ABCD и т. д.

СОВЕРШЕННОЕ    КВАДРИРОВАНИЕ

Как Абул Вефа составил  квадрат из трех равных квадратов
Возможность превращения квадрата.

   Всякий многоугольник можно превратить в равновеликий ему квадрат
Перегибая лист бумаги

Танграм и другие головоломки, связанные с квадратом
Танграм
Пентамино
Оригами

танграм
Происхождение- Китай

Первое изображение-Япония
Название- Европа
Пентамино
Пентамино

складывание фигурок из набора: 12 деталей, каждая из которых состоит из 5 одинаковых квадратов.
Оригами
Оригами

Искусство, основанное на основе перегибания квадратного листа бумаги.
Результаты:
Исследованы свойства квадрата
Рассмотрены геометрические способы раскроя квадрата
Найдены различные варианты построений при помощи перегибания квадратного листа бумаги.

Список использованной литературы
1) Б.А. Кордемский, Н.В. Русалев «Удивительный квадрат». Москва-Ленинград, 1952 г.
2) В.Ф. Каган «О преобразовании многогранников». Гостехиздат, 1933 г.
3) Г. Штейнгауз «Математический калейдоскоп». Гостехиздат, 1949 г.
4) Е.И. Игнатьев « В царстве смекалки». Москва «Наука», 1981 г.
5) З.А. Михайлова «Игровые занимательные задачи для дошкольников». Москва «Просвещение», 1990 г.
6) И. Леман «Увлекательная математика». Москва «Наука» 1978 г.
7) И.Н. Сергеев «Примени математику». Москва «Наука», 1989 г.
8) «Квант» 1989. №5 – С. 40.
9) Р. Хонсбергер «Математические изюминки». Москва «Наука», 1992 г.
10) Я.И. Перельман «Живая математика». Москва «Наука», 1977 г.
11) Я.И Перельман «Занимательная геометрия». Москва «АСТ», 2003г.


title: Скачать презентацию или конспект Паровозик из Ромашково

extracted_text:
Паровозик из Ромашково

    16октября 1837 года состоялось от-
крытие первой в России железной до-
роги. Билеты были металлическими.
При выходе из вагона пассажиры сда-
вали билеты кондуктору.

а
b
  Площадь прямоугольника
равна произведению длин
его сторон.

S = a · b
a – длина прямоугольника;
b – ширина прямоугольника;
S – площадь прямоугольника.

S = 34 см²
S = 32 см²
S = 33 см²
Домашнеезадание:
До встречи на
 следующем уроке!!!
С. 75, № 8, 10
Молодцы!
     Презентацию составила учитель
начальных классов «Начальной школы –
- детский/сад № 62 ОАО «РЖД» г. Калуги


title: Скачать презентацию или конспект Старинные задачи

extracted_text:
Старинные задачи

Выполнила: Балабина Светлана, ученица
8 класса «Б» ГОУ СОШ № 911
Руководитель: Демина Елена Максимовна, преподаватель математики
Цель работы
1) Изучить историю возникновения арифметических задач,
причины, побудившие их возникновение, авторов-составителей задач, их биографии.
2) Подробнее познакомиться со старинными единицами измерения.
3) Проследить методы решения задач: от простых арифметических (арифметический способ) до более сложных задач на доказательство и решаемых с помощью уравнений, систем.
4) Найти новые методы решения задач.
Историческая справка
Из первых известных письменных источников узнаем мы о том, что математические знания на Руси были распространены уже в Х-ХI веках. Они были связаны с практическими нуждами людей. В ХVI-ХVII веках в России начинает распространяться рукописная математическая литература. В настоящее время известно значительное количество математических рукописей ХVII века. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Рукописи ХVI-ХVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. В 1703 году был издан учебник «Арифметика, сиречь наука числительная…» Автором его был выдающийся педагог-математик-Л.Ф.Магницкий. В 1738-1740 и 1768-1769 годах были изданы учебники Эйлера по элементарной математике: «Руководство к арифметике, для употребления в гимназии при Императорской Академии наук» и «Универсальная арифметика». В учебниках того времени можно найти множество занимательных задач.
Русская Правда

«А полбы немолоченые 15 копен ,
А на то прибытка на одно лето 7 копен,
А на всю 12 лет в той полбе прибытка
1000, 700 и 50 копен».
Эти строки взяты из статьи «О полбе немолоченой» одного из ранних рукописных исторических документов-Русской Правды. Судя по всему , подсчет «прибытка» в этой статье основан на предположении, что каждый год в течение 12 лет вся собранная в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3/2 посеянной полбы, и что все вычисления ведутся в целых числах.
Древнее математическое произведение
Другое дошедшее до нас наиболее древнее русское математическое произведение «Учение им же ведати человеку числа всех лет» принадлежит новгородскому монаху Кирику и посвящено календарным расчетам. Как известно даты ряда церковных праздников непостоянны. От года к году они определяются по довольно сложным правилам, связанным с движением Солнца и Луны. Вычисление дня Пасхи, представляет поэтому непростую математическую задачу.В начале «Учения…» указывается, что написано оно в 6644 году от «сотворения мира» и что от «сотворения мира» прошло 79 728 месяцев, или 346 673 недели, или 2 426 721 день, или 29 120 652 дневных часа и столько же ночных. После этого сообщается, как вычислить так называемые «солнечный», «лунный» и «великий» круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник Пасхи в текущем году.
Словарь старинных русских мер длины
Аршин — старинная русская мера длины, равная, в современном исчислении 0,7112 м. Аршином, так же, называли мерную линейку, на которую, обычно, наносили деления в вершках.
 Пядь - это расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки при их наибольшем удалении
Локоть - это расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба
Сажень — одна из наиболее распространенных на Руси мер длины. Различных по назначению (и, соответственно, величине) саженей было больше десяти. «Маховая сажень» — расстояние между концами пальцев широко расставленных рук взрослого мужчины. «Косая сажень» — самая длинная: расстояние от носка левой ноги до конца среднего пальца поднятой вверх правой руки.
Верста — старорусская путевая мера (её раннее название — поприще). Этим словом, первоначально называли расстояние, пройденное от одного поворота плуга до другого во время пахоты.
Вершок равнялся 1/16 аршина, 1/4 четверти. В современном исчислении — 4,44 см. Наименование «Вершок» происходит от слова «верх».

Перевод единиц измерений
Задачи на старинные русские меры длины
     Задача № 1
     Условие
Расстояние между дворцом государя и боярским поместьем равно 40 верстам. Из поместья выехал приказчик со скоростью 8 верст/час. Сколько часов он ехал?
Решение
     1) 40*1,066=42, 64 (км)
     2) 8*1,066=8,528 (км/ч)
     3) 42,64:8,528=5 (ч)
     Ответ:Приказчик ехал 5 часов.
     Задача № 2
      Условие
Иван был на 3 вершка выше Федора, но ниже Ильи на 1 вершок. На сколько Илья выше Федора?
Решение
1) 3*4,4445=13,3335 (см)
2) 4,4445+13,3335=17,778 (см)
Ответ: Илья выше Федора на 17,778 см.

     Задача № 3
      Условие
Замостили брусчаткой 25% всей главной улицы города. Вся длина улицы составляла 4 версты, а ширина дороги составляла 2 сажени. Сколько осталось замостить дороги, если еще замостили 5 саженей2?
      Решение
4*500=2000 (саж.)
2000*2=4000 (саж2.)
4000*0,25=1000(саж2.)
1000+5=1005 (саж2.)
4000-1005=2995 (саж2.)
Ответ: Осталось замостить 2995 саженей2 дороги.
Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739)
Род. в семье крестьянина. Самоучкой выучился грамоте. В 1684 был послан крестьянами с рыбой в Иосифо-Волоколамский монастырь, где был оставлен "для чтения", а в дальнейшем отправлен в Симонов монастырь в Москве. В 1685 - 1694 учился в Славяно-греко-латинской академии. В 1694 - 1701 Магницкий жил в Москве, занимался самообразованием, изучив немецкий, голландский, итальянский языки и математику. 22 февр. 1701 по распоряжению Петра I Магницкий был назначен преподавателем Навигацкой школы и ему было поручено написать учебник по математике и кораблевождению. В 1703 Магницкий разработал рукописный курс по геометрии, тригонометрии и кораблевождению и выпустил в свет первый рус. учебник по математике "Арифметика, сиречь наука числительная" тиражом 2 400 экз. По этому учебнику учился М.В. Ломоносов. Составленная "ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей", эта книга служила полстолетия распространению математических знаний в России. В 1703 - -1739 Магницкий занимался подготовкой для Навигацкой школы преподавателей из числа лучших учащихся. В 1704 по распоряжению Петра I для Магницкого был построен дом, а за "непрестанные и прилежные в навигацких школах во учении труды" Магницкий был награжден "саксонским кафтаном". В 1715 Магницкий стал старшим преподавателем. Будучи бессменным преподавателем Навигацкой школы в течение почти четырех десятилетий, а затем и главным ее руководителем, Магницкий способствовал успеху петровских преобразований в области просвещения.

Задачи из старинных рукописей и «Арифметики…» Л.Ф.Магницкого
Житейские истории
     Задача № 4
      Условие
Косцы. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.
      Решение
Обозначим неизвестное количество косцов буквой х. Запишем:
  6 косцов   8 часов
Х косцов   3 часа
Составим пропорцию:
Х/6=8/3
3х=48
Х=16
Следовательно, 16 косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.

     Задача № 5
      Условие
Кому пасти овец? У пятерых крестьян-Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима-было 10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец, и говорит Иван остальным: «Будем, братцы, пасти овец по очереди-по столько дней, сколько каждый из нас имеет овец» По сколько дней должен каждый крестьянин пасти овец, если известно, что у Ивана в два раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана; Михаил имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим-вчетверо меньше, чем Петр?
      Решение
Из условия нам известно, что и  у Михаила и у Ивана вдвое больше овец, чем у Якова, у Петра вдвое больше, чем у Ивана, и, значит, вчетверо больше, чем у Якова.Но тогда у Герасима столько же овец, сколько имеет их Яков. Общее число овец поэтому в 4+2+1+2+1=10 раз больше, чем число овец у Якова. Получаем, что у Якова 1 овца, тогда у Михаила и Ивана по 2 овцы, у Петра 4 и у Герасима 1 овца. Соответственно каждый из них должен пасти овец столько же дней.

     Задача № 6
      Условие
Как разделить орехи? Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в четыре раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в три раза». Как внукам разделить орехи?
       Решение
Пусть количество орехов в первой части х, а во второй части у.
Составим систему и решим ее способом сложения:
 х+у=130
4х=у/3
х+у=130 /*(-4)
4х-1/3у=0
-4х-4у=-520
4х-1/3у=0

-41/3у=-520
у=120, х=10
Следовательно, меньшая часть будет содержать 10 орехов, а большая 120 орехов.

Путешествия
     Задача № 7
      Условие
Далеко ли до деревни? Прохожий, догнавши другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты , тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
      Решение
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, что составляет 1/2-1/3=1/6 всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3*12=4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

Денежные расчеты
     Задача № 8
      Условие
Сколько стоит кафтан? Хозяин нанял работника на год и обещал заплатить ему 12 рублей и впридачу дать кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей денег. Сколько стоит кафтан?
      Решение
Знаем, что работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит, месячная его плата в деньгах составляет 7/5 рубля, или 1 рубль 40 копеек. Плата за 7 месяцев составит 7*7/5=9 4/5 рубля, или 9 рублей 80 копеек.
Но работник за это время получил 5 рублей и кафтан. Значит, кафтан стоит 4 рубля 80 копеек.
Леонард Эйлер (1707-1783)
ЭЙЛЕР, ЛЕОНАРД (1707–1783), великий математик, механик и физик. Родился 4 апреля 1707 в Базеле. Учился в Базельском университете (1720–1724), где его учителем был известный математик Иоганн Бернулли. Уже в 1722, в возрасте 16 лет, получил степень магистра искусств. В 1727 переехал в Санкт-Петербург, получив место адъюнкт-профессора в недавно основанной Академии наук и художеств. В 1730 стал профессором физики, в 1733 – профессором математики. За 14 лет своего первого пребывания в Петербурге Эйлер опубликовал более 50 работ. В 1741–1766 он работал в Берлинской академии наук под особым покровительством Фридриха II, и за эти 25 лет написал огромное множество сочинений, охватывающих по существу все разделы чистой и прикладной математики. В 1766 по приглашению Екатерины II Эйлер возвратился в Россию. Вскоре после прибытия в Санкт-Петербург он полностью потерял зрение из-за катаракты, но благодаря великолепной памяти и способностям проводить вычисления в уме до конца жизни занимался научными исследованиями: за это время им было опубликовано около 400 работ, общее же их число превышает 850. Умер Эйлер в Санкт-Петербурге 17 сентября 1783.
Задача Эйлера
     Задача № 9
      Условие
Докажите, что в произвольном выпуклом четырехугольнике сумма квадратов длин сторон превышает сумму квадратов длин диагоналей на величину, равную учетверенному квадрату расстояния между серединами диагоналей.
      Доказательство
Пусть ABCD-выпуклый четырехугольник, точки H и G-середины диагоналей AC и BD. На продолжении отрезка AG за точку G отложим точку E такую, что AG=GE. Аналогично на продолжении отрезка CG за точку G отложим точку F такую, что CG=GF. В четырехугольниках ABED, ACEF, и BCDF диагонали в точке их пересечения  G делятся пополам. Следовательно, эти четырехугольники-параллелограммы. Так как

A
B
C
E
D
F

H
G

Задачи из книг, изданных в ХVIII веке
Сколько кому лет
     Задача № 10
      Условие
Сколько им лет? Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года. Сколько лет каждому?
       Решение
Пусть возраст старшего из беседующих-х, а возраст младшего-у. По условию задачи, когда старшему было у лет (а было это х-у лет тому назад) и, следовательно, младшему у-(х-у)=2у-х лет, возраст младшего был вдвое меньше, чем нынешний возраст старшего. Поэтому
  х=2*(2у-х), или 3х=4у.
        С другой стороны, когда младшему будет х лет, т. е. через (х-у) лет, сумма возрастов составит 63 года, следовательно,
                                                               х+(х-у)+х=63, или 3х=у+63.
Из полученных равенств следует, что 4у=у+63 и у=21. Но тогда х=28. Старшему из беседующих 28 лет, младшему 21 год.
     Задача № 11
      Условие
Замысловатый ответ. У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил, что если к произведению чисел, означающих их года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям?
      Решение
Пусть одному сыну х лет, а другому y лет. Тогда из условия задачи имеем
 хy+х+y=14,
        откуда
  y=14-х/х+1=15/х+1-1.
        Поскольку у-натуральное число, а 15=5*3*1, то: 1) либо х+1=5; 2) либо х+1=3; 3) либо х+1=1
В случае 1) х=4, тогда у=2; в случае 2) х=2, тогда у=4; в случае 3) х=0, чего не может быть, так как х-натуральное число. Следовательно, одному сыну 2 года, а другому 4 года.
Фигурные числа
     Задача № 12
      Условие
Пирамида из ядер. Пушечные ядра, приготовленные для стрельбы, сложены в виде треугольной пирамиды. Ядра, образующие первый слой, составляют правильный треугольник, на стороне которого лежит n ядер. Ядра второго слоя положены в выемки, образованные ядрами первого слоя. Точно также образуются и последующие слои. Последний слой состоит из одного ядра. Сколько ядер в этой пирамиде?
       Решение
Количество ядер, лежащих в первом слое, равно треугольному числу с номером n, во втором слое-треугольному числу с номером n-1 и т. д. В последнем слое с номером n лежит одно ядро, и первое треугольное число также равно 1. Значит количество ядер в пирамиде равно сумме первых n треугольных чисел, т. е. Сумме чисел вида
                           (k2+k)/2,k=1, 2, …, n.
Для того, чтобы найти сумму, составим тождество
         (k2+k)/2=(k3+3k2+2k)/6-((k-1)3+3(k-1)2+2(k-1))/6.
 Подставляя в него последовательно k=1,2,3,…,n, получим равенства
1=1-0
3=4-1
6=10-4
10=20-10
………….
         (n2+n)/2=(n3+3n2+2n)/6-((n-1)3+3(n-1)2+2(n-1))/6.
Сложим теперь почленно левые и правые части написанных равенств. Слева получится сумма всех треугольных чисел от первого до n-го, т. е. количество ядер в пирамиде. При сложении же выражений в правой части уничтожаются все слагаемые, кроме (n3+3n2+2n)/6. Следовательно пирамида сложена из
         (n3+3n2+2n)/6=(n(n+1)(n+2))/6 ядер.
Забавные истории
     Задача № 13
    Условие
«Богатство». У приезжего молодца оценили «богатство»: модный жилет с поношенным фраком в 3 алтына без полушки, но фрак в полтретья дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.
      Решение
Найдем общую цену «богатства»:
9копеек-0,25копеек=8,75 копеек
Обозначим цену жилета буквой х, тогда цена фрака равняется 2,5х, а общая цена 8,75 копеек.
Составим уравнение:
 х+2,5х=8,75
3,5х=8,75
Х=2,5-цена жилета
Найдем цену фрака:
2,5*2,5=6,25 копеек.
Цена жилета 2,5 копейки, цена фрака 6,25 копеек.
Выводы
Выполняя эту работу, я изучила много дополнительной литературы:
исторические справочники, задачники, энциклопедии. Проделанная работа дала мне представление о практике решения задач в старые времена, доставила мне огромное удовольствие и расширила мой кругозор.
Решенные задачи могут быть использованы для внеклассной работы по математике. Они будут интересны не только школьникам, но и людям, увлекающимся математикой.
Конец


title: Скачать презентацию или конспект Устный счёт до 20

extracted_text:
МОКУ Падунская специальная (коррекционная) общеобразовательная школа –интернатVIII  вида

Подготовила: учитель начальных классов
                        Учайкина Наталья Николаевна

2015
Устный счёт от 1 до 20
Какое число следует за …. ?
Назовите число меньше…..на…. ?
Назовите число больше….на…?
Какое число стоит между ….?
Какое число стоит справа от …?
Какое число стоит после….?
Какое число стоит за ….?
Какое число стоит слева…?
Назовите соседей числа….?
Засели домик
13
1
12
Заполни числовой ряд
1,…,3,…,…,6,7,…,9,10,11,…,…,…,15,16,…,18,…,20.
1. Запишите число, состоящее из 1десятка. 2. Запишите число, состоящее из 1десятка и 6 единиц. 3. Запишите число, которое на единицу больше, чем 12. 4. Запишите число, которое на единицу меньше, чем 19.
Разложи числа на слагаемые

13
10
19
Весёлый счёт
Сосчитай до 20.
1
 2
8  9   10
5   6

20

12   13
17   18

14

7
4

16
15
 3
19
11
Впиши недостающие числа.
4
1

2

5

6

4

2

4
5
6

Соедини числа.
Соедини число с картинкой.
Сосчитай цепочку.

-5
-11
-4
+2
+2
-7
+9

19
+8
+6
=19
Решите примеры.
Молодцы, ребята!


title: Скачать презентацию или конспект Призма и ее свойства

extracted_text:
Призма
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой
pptcloud.ru
Многоугольники A1A2…An и B1B2…Bn называются основаниями  призмы,
а параллелограммы – боковыми гранями  призмы
Отрезки A1B1, A2B2, … , AnBn называются боковыми ребрами призмы

Боковые ребра призмы равны и параллельны
Боковые ребра призмы
Призму с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают A1A2…AnB1B2…Bn  и называют n-угольной призмой
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы
Высота призмы
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой,
в противном случае – наклонной
Высота прямой призмы равна её боковому ребру
Прямая и наклонная призмы
Правильная призма
Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники
У правильной призмы  все боковые грани – равные прямоугольники
Правильные призмы
Параллелепипед
Если основания призмы - параллелограммы, то призма является параллелепипедом

В параллелепипеде все грани являются параллелограммами
Диагонали призмы
Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани
Диагонали параллелепипеда
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам

Диагональные сечения призмы
Сечения призмы плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называются диагональными сечениями

Диагональные сечения призмы являются параллелограммами
Диагональные сечения параллелепипеда
Площадь поверхности призмы
Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей её боковых граней

Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы
	Теорема.

	Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы
Доказательство теоремы
Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте H призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту H. Вынося множитель H за скобки, получим в скобках сумму сторон основания, т.е. периметр P.


title: Скачать презентацию или конспект Уменьшаемое. Вычитаемое. Разность

extracted_text:
Математика
Тема.
Уменьшаемое. Вычитаемое. Разность.
Устный счёт
1.Привела утка –мать шесть детей на луг гулять.
Все утята, как клубочки. Три сынка, а сколько дочек?

Устный счёт

2. На кустике перед забором шесть ярко –красных помидоров.
Потом три оторвалось. А сколько на кусте осталось?

3.Красиво вышила Татьяна две лилии и два тюльпана,
Три яблока и груши. Какие чудные цветы!
А сколько их -  скажи – ка ты.

5  4  7  3  6   8
4 7  6  9  5  8  10
0 3  2  5  1  4   6
Увеличь и уменьши  на 2
Как называются числа при вычитании?
6 - 2 = 4
   УМЕНЬШАЕМОЕ       ВЫЧИТАЕМОЕ         РАЗНОСТЬ

Решение задачи
Лежало – 6 яб.
Взяли – 4 яб.
Осталось - ?
6 – 4 = 2 (яб.)
Ответ: 2 яблока
           Реши примеры
3 + 4 – 2 =        10 – 3 + 1 =        8 + 2 – 1 =
4 + 3 – 3 =          9 – 2 + 2 =        7 + 3 – 2 =
5 + 2 – 4 =          8 – 1 + 3 =        6 + 4 – 3 =
6 + 1 – 5 =          7 – 0 + 4 =        5 + 5 – 4 =

5  4  3  2            8  9  10  11         9  8  7  6
ИТОГ УРОКА
Что узнали нового?
Что закрепили?
Как вы оцениваете свою работу на уроке?
        «5»         «4»      «3»

ИТОГ УРОКА
Вы сегодня
молодцы!


title: Скачать презентацию или конспект Великие ученые-математики

extracted_text:
Начать показ
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ
Содержание
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Евклид
Евклид (3 век до н. э.) - древнегреческий математик. Его главная работа "Начала"(в латинизированной форме "Элементы") содержит изложения планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить "О делении фигур", сохранившееся в арабском переводе, 4 книги "Конические сечения", материал которых вошел в произведение того же названия Аполония Перского, а также "Поризмы". Алгоритм Евклида, способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков. Геометрия Евклида, геометрия, систематическое построение которой было впервые дано Евклидом. Системы аксиом геометрии Евклида опираются на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение. Евклидово пространство (в математике) - пространство, свойство которого описывается аксиомами геометрии Евклида.
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Пифагор
Пифагор (около 580 г.-500 г. до н.э.) - древнегреческий математик. Историю его жизни трудно отделить от легенд, представляющих Пифагора в качестве полубога и чудотворца, совершенного мудреца и "великого посвященного" во все тайные доктрины греков и варваров. Он стоял у истока греческой науки, был вынужден заниматься всем сразу: арифметикой и геометрией, астрономией и музыкой. Он первый заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальными объектами. Например, прямая линия - это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. Несовершенные природные тела являются лишь грубоватым подобием идеальных математических сущностей. Первая научная модель мира, предложенная Пифагором - все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений - а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел. Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пифагоровы числа (Пифагорова тройка) - комбинация из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению x2 + y2 = z2. Например, тройка чисел: 3, 4 и 5. Пифагоровы штаны - шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что раньше эта теорема доказывалась через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Эти квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов, что породило следующее стихотворение: "Пифагоровы штаны - на все стороны равны".
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Виет
Франсуа Виет (1540 -1603) - французский математик В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. В тригонометрии Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трём данным, нашёл важные разложения cos nх и sin nх по степеням cos х и sin х. Виет впервые рассмотрел бесконечные произведения.
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Декарт
Рене Декарт (1596-1659) - французский ученый. Его увлечением в основном была наука, больше всего он увлекался математикой, которая привлекла его достоверностью своих выводов. Декарт впервые ввел понятие переменной величины и функции. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры, к которому стремился Декарт. Он ввел общепринятые теперь знаки для переменных и искомых величин (x, y, z, ...) и для буквенных коэфф. (а, b, c, ...). Записи формул алгебры почти не отличаются от современных. Большое значение для формулировок общих теорем алгебры имело запись уравнений, при которой в одной из частей стоит 0. Декарт положил начало исследованию свойств уравнений; сформулировал положение о том, что число действительных и комплексных корней уравнения равно его степени. Декарт сформулировал правило законов для определения числа положительных и отрицательных корней уравнения; доказал, что уравнение третьей степени разрешимо в квадратных радикалах и решается с помощью циркуля и линейки; в области изучения геометрии Декарт включил "геометрические" линии, которые можно описать одним или несколькими непрерывными движениями шарнирных механизмов, причем последующие движения определяются предшествующими. Декарт установил, что степень уравнения кривой не зависит от выбора прямоугольной системы координат. Из переписки известно, что он сделал и другие открытия: вычисление площади циклоиды по методу неделимых; определил свойства логарифмической спирали и другие достижения.
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Ферма
Ферма Пьер (1601-1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел, автор работ в области теории вероятностей, оптики, исчислении бесконечно малых величин. Великая теорема Ферма была сформулирована в 1637 году, на полях книги "Арифметика" Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях. В действительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: "Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма". С этими словами дьявол достал из кармана аккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнее в кресло у камина и стал читать….Флэгг задумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. "Зачем Вы это сделали?" - воскликнул дьявол. "Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу. Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!" - ответил Флэгг. "В самом деле", подумал дьявол, "пусть математики еще поломают головы над доказательством этой теоремы".
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Эйлер
Леонард Эйлер (1707-1783) принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. "Читайте, читайте Эйлера, он - наш общий учитель", - любил повторять Лаплас. И труды Эйлера с большой пользой для себя читали - точнее, изучали - и "король математиков" Карл Фридрих Гаусс, и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. В геометрии треугольника, прямая Эйлера может быть определена как прямая проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера также проходит через барицентр и центр окружности девяти точек. В геометрии треугольника, окружность девяти точек может быть определена как окружность проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек. Окружность девяти точек получила такого название из-за следующей теоремы: Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Гаусс
Карл Фридрих Гаусс 1777 –1855 немецкий математик Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он “умел считать раньше, чем говорить”. Первое крупное сочинение Гаусса по теории чисел и высшей алгебре – "Арифметические исследования". Гаусс дает здесь обстоятельную теорию квадратичных вычетов, первое доказательство квадратичного закона взаимности – одной из центральных теорем теорий чисел. Гаусс дает также новое подробное изложение арифметической теории квадратичных форм. В конце книги излагается теория уравнений деления круга. Помимо общих методов решения этих уравнений, Гаусс установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он впервые после древнегреческих ученых, сделал значительный шаг вперед в этом процессе. Позже Гаусс занялся исследованием вопроса о сходимости бесконечных рядов.
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Чебышев
Чебышев Пафнутий Львович (1821-1894) - великий русский математик и механик. Еще в 1841 году за работу "Вычисление корней уравнений" по теме, предложенной факультетом в Московском университете, Чебышев награждается серебряной медалью, а его докторская диссертация "Теория сравнений" удостоена специальной премии Петербургской Академии наук. Он оставил после себя блестящие исследования в области математического анализа, особенно в теории приближения функций многочленами, в интегральном исчислении, теории чисел, теории вероятностей, геометрии, баллистике, теории механизмов и других областях знаний. Важнейшей особенностью научной деятельности П. Л. Чебышева является неизменный интерес к вопросам практики, стремление связать теоретические проблемы математики с запросами естествознания и техники, практической деятельности людей. В теории вероятностей Чебышеву удалось необычайно простыми средствами получить ряд весьма важных результатов. Выдающееся значение для науки имели исследования П. Л. Чебышева в теории чисел. Впервые после Евклида удивительно остроумными и удивительно элементарными рассуждениями он получил важнейшие результаты в задачи о распределении простых чисел в работах "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины" и "О простых числах". Работы Чебышева, исключительно богатые новыми идеями и методами, дали мощный толчок к развитию многих ветвей математики и механики.
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ
Ковалевская
КОВАЛЕВСКАЯ Софья Васильевна (1850 - 1891) - русский математик, писательница, первая русская женщина-профессор. Основные научные труды посвящены математическому анализу, механике и астрономии. В 1888 году Парижская академия наук присуждала премию за лучшую научную работу, посвященную движению твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Эту задачу называли также задачей о движении волчка - ведь все точки быстро вращающегося волчка находятся в движении, за исключением конца острия, которым волчок касается пола. Волчки привлекали к себе внимание не только детей, но и солидных ученых - слишком удивительны были свойства вращающихся тел. Изучив присланные рукописи, жюри признало лучшей работу под девизом: "Говори, что знаешь, делай, что должен, будь, чему быть". В ней содержалось решение задачи о движении несимметричного волчка. Автор работы проявил не только большой математический талант, но и незаурядную эрудицию: в работе были использованы самые новейшие достижения математики того времени. Когда вскрыли конверт с именем автора, неожиданно оказалось, что самую лучшую работу написала единственная женщина, занимавшая в то время должности профессора математики, - Софья Васильевна Ковалевская.
Содержание
Евклид
Пифагор
Виет
Декарт
Ферма
Эйлер
Гаусс
Чебышев
Ковалевская
Завершить показ


title: Скачать презентацию или конспект Числовой луч

extracted_text:
Математика.
3 класс.
Система Л. В. Занкова.
Учебник И. И. Аргинской, Е. И. Ивановской
Числовой луч.
Подготовила учитель начальных классов
 1 квалификационной категории
 Семеркина Ольга Николаевна
МОУ «Средняя школа №20»
 о.Муром Владимирской области

Кто из вас любит  путешествия?
РОССИЯ
Запишите следующие ряды чисел
0   1   2   3   4   5   6 ...
1   2   3   4   5   6 ...
1   2   3   4   5   6
натуральный ряд
отрезок
натурального ряда
Внесите необходимые изменения в первую последовательность чисел
числовой
луч
0мм   1мм   2мм   3мм   4мм   5мм   6мм ...
0см   1см   2см   3см   4см   5см   6см ...
0дм   1дм   2дм   3дм   4дм   5дм   6дм ...
0км   1км   2км   3км   4км   5км   6км ...
Единицы измерения длины
Линейные единицы измерения
Подумайте и скажите, какие задания будут на уроке?
0 м   1 м   2 м   3 м   4 м   5 м   6 м ...

1
2
3
4
5
0
1
2
0
1
2
3
0

50 см
180см

100 см

Единичный отрезок
Задача №294

И

М
А
7 км

В 3 раза дальше

км ?
ИА = ИМ + МА
МА = ИМ х 3
Решение
1) 7 х 3 = 21 (км) - расстояние от Марьино до Аксинино
2) 7 + 21 = 28 (км) - расстояние от Ивановки до Аксинино
1 способ
Работа с  решённой задачей

1) 1 + 3 = 4 (части) - расстояние от Ивановки до Аксинино
2) 7 х 4 = 28 (км) - расстояние от Ивановки до Аксинино
2 способ
Задача№ 294

И
М
А
7 км

В 3 раза дальше

км ?
Решение
ИА = ИМ + МА

Продолжение работы с задачей

Ответ Кости: 28 км
Ответ Васи: 14 км
Может ли так быть?
Сравните эти расстояния.
В каком случае расстояние между Ивановкой и
Аксинино будет 14 км?
Изменим расположение деревень на дороге

И
М
А

В 3 раза дальше

км ?

км ?

7 км

И
М
А

В 3 раза дальше
ИА = МА - МИ
МА = ИМ х 3
Решение
1) 7 х 3 = 21 (км) - расстояние от Марьино до Аксинино
2) 21 - 7 = 14 (км) - расстояние от Ивановки до Аксинино
1 способ

Самостоятельная работа

7 км
1) 3 - 1 = 2 (части) - расстояние от Ивановки до Аксинино
2) 7 х 2 = 14 (км) - расстояние от Ивановки до Аксинино
2 способ

И
М
А

В 3 раза дальше
ИА = МА - МИ
Решение

Работа  в парах

7 км
Работа с тестами
Вычисли
18х3        86:2         669:3          318х3
45х4        39:3         468:2         148х2
27х3        48:4         936:3          119х4
РОССИЯ
1. Построй числовой луч. (Помощь в  № 293 (6)).
Подбери  персонаж, который будет двигаться по лучу.
Выбери  мерку – единичный отрезок.
Обозначь его величину.

2. Задача № 294  Выбери вариант выполнения:
Составь и реши подобную задачу;
Составь обратную к одной из задач
Какое уточнение нужно внести в  задачу, чтобы у неё было только одно решение (№ 294, пункт5)
Домашнее задание
Продолжи фразу:
Я узнал (а) …..
Я повторил (а) ….
Я научился (лась) ….
Итог урока
Рефлексия
?
?
?


title: Скачать презентацию или конспект Треугольники

extracted_text:
Треугольникгеометрия 7 класс

Тот, кто не знает математики,
 не может узнать никакой другой  науки и
 даже не может обнаружить своего невежества,
 а потому не ищет от него лекарства.
			Роджер Бэкон, 1267г.

Работа учителя математики
МОУ лицея №3
Г.Кропоткина Краснодарского края
Белич Е.В.

5klass.net
План
Понятие треугольника.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Классификация треугольников.
Первый  признак равенства треугольников.
Второй признак равенства треугольников.
Третий признак равенства треугольников.
Тест .

Понятие треугольника

А,В,С- вершины треугольника
АВ,ВС,АС- стороны треугольника
АВ+ВС+АС=Р, где
 Р – периметр треугольника

А
С
В

А
А1
В1
В
С
С1
Рис 1
Два треугольника называются равными если их можно совместить наложением. Рис 1.

Каждый из треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т.е попарно совместятся  их вершины и стороны. Таким образом, если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам  другого треугольника.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Медиана
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
	АМ-медиана треугольника АВС.

A
M

 B
C

Любой треугольник имеет три медианы.

АМ1 , АМ2 , АМ3 –медианы треугольника АВС.

A
B
C
М
2
М
М
1
3
Биссектриса
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны,
 называется биссектрисой угла треугольника.
АА1- биссектриса    А треугольника АВС.

A
B
C

A

1

Любой треугольник имеет три биссектрисы.
    CC1, DD1 и EE1- биссектрисы треугольника CDE.

D
E
C
C
E
D
1
1
1

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника
    к прямой, называется высотой треугольника.

АН-высота треугольника      					АВС

H
A
B
C
 Высота

Любой треугольник имеет три высоты.

A

B
C
H
H
H
На рисунках отрезки  AH1, BH2, CH3 – высоты треугольника ABC.

A
B
C

3
2
1
H
3

2
H
H
1

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами:
в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке

Классификация треугольников
По углам
тупоугольный
остроугольный
прямоугольный

Разносторонний
Треугольник называется разносторонним, если он имеет разные стороны и углы.

A
B
C

A≠  B ≠  C

AB=BC=CA

Равнобедренный
Треугольник называется равнобедренным,
если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника.

Основание

Боковая
сторона
Боковая
сторона

Теорема
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

1
2
3
4

A
C
D
B

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и докажем, что  B=  C. Пусть AD – биссектриса треугольника ABC . Треугольники  ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AB=AC по условию, AD – общая сторона,  1=  2, так как AD –биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому   B=  C. Теорема доказана.
Доказательство:

1
2
3
4

A
C
D
B

Равносторонний

A
B
C
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним или правильным
      AB=BC=CA
A≠  B ≠   C

Первый признак равенства треугольников
ТЕОРЕМА
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Первый признак равенства треугольников
Дано:
Δ АВС ,Δ А1В1С1
АВ = А1В1,
АС = А1С1 ,
А = А1..
Доказать:
Δ АВС = Δ А1В1С1.

А

В
С
А1
В1
С1

Доказательство
Так как   A=  A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи A1B1 и A1C1. Поскольку AB=A1B1, AC=A1C1,то сторона AB совместится со стороной  A1B1, а сторона AC - со стороной A1C1; в частности, совместятся точки B и B1,C и C1. Следовательно, совместятся стороны BC и B1C1. Итак, треугольники ABC  и A1B1C1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

В
С
А1

А
В1
С1

Второй признак равенства треугольников
ТЕОРЕМА
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Второй признак равенства треугольников
Дано:
Δ АВС ,Δ А1В1С1
ВА = В1А1,
 В =  В1..
 А =  А1..
Доказать:
Δ АВС = Δ А1В1С1

А1
В
А
В1
С
С1

Доказательство
Наложим треугольник ABC на A 1B1C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, сторона AB – c равной ей стороной A 1 B 1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. Так как   A=   A 1 и   B=   B 1, то сторона AC наложится на луч   A1C 1, а сторона BC – на луч B 1 C 1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A 1 C 1, так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей  точкой этих лучей – вершиной C 1. Значит, совместятся стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1. Итак, треугольники  ABC и A 1B1C 1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

В
А
В1
С1

С
А1

Третий признак равенства треугольников
ТЕОРЕМА
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников
Дано:
Δ АВС ,Δ А1В1С1
АС = А1С1
 АВ = А1В1
ВС = В1С1
Доказать:
Δ АВС = Δ А1В1С1

А
В
С
 А1
 В1
С1

Доказательство
Приложим треугольник ABC к треугольнику         A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B – с вершиной B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой  A1B1.
Возможны три случая: луч C1C проходит внутри угла A1C1B1. Луч C1C совпадает с одной из сторон этого угла. Луч C1C проходит вне угла A1C1B1. Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны AC и A1C1, BC и B1C1 равны, то треугольники A1C1 C и B1C1 C – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника   AС C1 =  A1C1 С, угол  BС1С=   B1СС1, поэтому   A1C1 B1 =   ACB. Итак, AC=A1C1 , BC=B1C1,    C=   C1. Следовательно, треугольники ABC и A 1B1C1  равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

 A(A
1
)
C
C
1
В(В
1
)

Тест.
1.Для доказательства равенства треугольников
 АВС и DEF(рис1) достаточно знать, что:
а) АВ=DF;  б)АС=DE;  в)АВ=DE.

2.Для доказательства равенства треугольников АВС и EDF(рис 2) достаточно доказать, что:
а)   А=  D		б)   В=   D		               в)   А=   Е .
3.Из равенства треугольников АВС и FDE(рис 3)следует, что:
а)АВ=FD		б)АС=DF		в)АВ=EF .
4.Из равенства треугольников АВС и DEF(рис 4) следует, что:
а)   В=   D			б)    А=    Е			в)   С=   F .

A
B
C
D
E
F

B

C
A
E
E
E
D
D
D
F
F
F

A
A
B
B
C
C

рис.1
рис.2
рис.4
рис.3

5.В  треугольнике АВС  все стороны равны, и в треугольнике DEF все стороны равны. Чтобы доказать равенство треугольников АВС и DEF достаточно доказать, что :
а)   В=    D;			б)АВ=DE;			в)РАВС=РDEF   .
6. «Медиана в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и высотой».Это утверждение :
а)верно всегда;		б)всегда неверно;		в)может быть верно.
7.В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а)в любом;		б)в равнобедренном;	в)в равностороннем.
8.Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник:
а)равнобедренный;	б)равносторонний;	в)прямоугольный.
9.Если треугольник равносторонний, то:
а)он равнобедренный;	б)все его углы равны;
в) любая его биссектриса является медианой и высотой.

Ответы к тесту.
В
В
А
В
Б
В
Б
А
9.	А,Б,В


title: Скачать презентацию или конспект Бернард Больцано и его теории

extracted_text:
“Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек.”                              Б.Больцано
Бернард Больца́но
(чеш. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano; 5 октября 1781, Прага - 18 декабря 1848) — чешский математик, философ и теолог, автор первой строгой теории вещественных чисел и один из основоположников теории множеств.
          Математический диктант.Вычислить:
Найти ошибку:
Вычислить:
Найти ошибку:

Найти ошибку:
Найти значение выражения:
Тема: Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы
Если сложить равенства (1) и (2), получим:
Если сложить равенства (3) и (4), получим:
Если из равенства(3) вычесть равенство(4), получим:

Найти значение выражения:
“Странные законы”
 Закон №1: “Увидел сумму – делай произведение”;
 Закон №2: “Увидел произведение – делай сумму”;
 Закон №3: “Увидел квадрат – понижай степень”.

Бездумное применение этих “законов” часто   позволяет определить правильный путь решения примера.
!
!


title: Скачать презентацию или конспект Действия с величинами

extracted_text:
Урок математики, 4 класс
Тема: «Действия с  именованными  числами».
Учитель: Шаншиева Н.А.
Учитель начальных классов
ГОУ Гимназия № 227
Фрунзенского района
г. Санкт-Петербург
Устный  счёт
1км    1м     1дм     1см     1мм

   1000      10        10        10

Устный  счёт
1т       1ц      1кг      1г

     10       100      1000

Устный  счёт
1. Решите цепочку:
	8 км 400 м   : 200 м
				+ 158
				: 8
?

Устный  счёт
8 км 400 м   : 200 м
				+ 158
				: 8
25

Устный  счёт
2.  Дан квадрат со  стороной   7дм  2см.

Найдите  периметр.

Устный  счёт
7 дм 2 см = 72 см
Р= (а + в)· 2
(72 + 72)·2 =  288 см = 28дм 8см
Устный  счёт
Ширина дороги  15 м,
    а  длина  3 км.
Какую  площадь занимает дорога?

4. Вырази в новых единицах измерения:
9м  4дм =     дм
9м  4см =      см
9м  4мм =     мм
9км 4м  =      м
9т  4кг  =       кг
9ц  4кг  =       кг
Устный  счёт
Устный  счёт
9м  4дм  =   94   дм
9м  4см  =   904  см
9м  4мм  =  9004 мм
9км 4м    =  9004  м
9т  4кг     =  9004   кг
9ц  4кг    =  904     кг

Решение  задач
Учебник   стр. 123  № 3, 4, 5
  Задача  3.
Один арбуз  весит  6кг  700г, а  другой – 8кг 500г.
Сколько весят оба арбуза вместе?
На сколько первый арбуз легче второго?
Задача  4.
В одном куске 14м 60см  материи, а в другом в  3 раза  больше.
Сколько материи в обоих кусках?
На сколько второй кусок длиннее  первого?
Задача  5.
Из  17кг 400г  муки  испекли  24 одинаковых пирога.
Сколько муки пошло на каждый пирог?

Работа в парах
Итоги  урока
Проанализируйте свои достижения на сегодняшнем уроке.
Что можете отметить?
Справились ли вы с задачами?
Насколько удачно всё получилось?
Есть ли моменты, над которыми следует ещё поработать? Выделите их.
Домашнее задание
Решить задачи № 6 и № 7стр. 123
№ 16 стр. 128 – по выбору
Молодцы!!!


title: Скачать презентацию или конспект Деление с остатком урок

extracted_text:
Ну-ка, проверь дружок,
Ты готов начать урок?
Всё ль на месте,
Всё ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Толька лишь оценку пять.
Учитель математики  Курносова Елена Евгеньевна (урок математики 5 класс по теме
« Деление с остатком»
Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения. ( Д. Пойа)

Решив примеры и заполнив таблицу, вы сумеете прочитать тему урока.
Деление с остатком
Цель урока:
повторить деление с остатком;
учиться выполнять деление с остатком;
воспитывать чувство товарищества и умение выслушать товарища;
учиться работать на интерактивной доске.
Устно
Выполнить деление :
45 : 9 ;             0 : 67;         234 : 1;
567 : 567;        34 :17;             а:а;
  в:0;             x:x;        0:а;         с:1;
  13 :2;            24 : 5;         26 : 7.
Деление с остатком

Задача.
   В гости к бабушке пришли 4 внука. Бабушка решила угостить внуков конфетами. В вазочке было 23 конфеты. Сколько конфет достанется каждому внуку, если бабушка предложит поделить конфеты поровну?
Решение:

23 : 4 = 5 (3 остаток)

   Такая запись указывает, что в делимом  23 содержится  4 раза по 5 да еще 3 единицы, то есть:
      23      =     4         5     +   3

делимое
делитель
неполное
  частное
остаток
Правило
     Делимое  равно произведению  делителя и неполного частного, сложенному с остатком.

           a    =     b      c    + d
 a   -  делимое
b    - делитель
с   -  неполное частное
d  -  остаток

Устно
Найти делимое, если
Неполное частное равно 7, остаток равен 3, а делитель – 6;
                                                                  45
Неполное частное равно 11, остаток равен 1, а делитель – 9;
                                                                  100
Неполное частное равно 20, остаток равен 13, а делитель – 15.
                                                                   313
Выполните деление и сравните результат:
100:8=
79:8=
144:8=
115:8=
213:8=
12( ост 4)
9 ( ост 7)
18
14 ( ост 3)
26 ( ост 5)
Сделайте вывод:
Может ли остаток быть больше делителя?
Может ли остаток быть равен делителю?
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Работа с учебником

№ 533 (№520)

Задачи (устно)
В вашем классе 17 учеников. Вас построили в шеренги. Получилось несколько шеренг из 5 учеников и одна неполная шеренга. Сколько получилось полных шеренг и сколько человек в неполной шеренге?
Ваш класс на уроке физкультуры  снова построили  в шеренги. На этот раз получилось 4 одинаковых полных шеренг и одна неполная. Сколько человек в каждой шеренге?  А в неполной?
Решение задач.
№529 (№ 516)

№ 530 (№ 517)
Самостоятельная работа
1) 465 ×204-8904: (22 ×308 – 6692)=
2) (591+1125:75) ×56-46 ×702=
Вопросы?
Какие могут быть остатки при делении на 5? Приведите примеры.
Как проверить, верно ли выполнено деление с остатком?

Домашнее задание
П. 13
№ 550 ; 552 ( №537,539)

Спасибо за урок
         ребята !


title: Скачать презентацию или конспект Геометрическая вероятность

extracted_text:
ПРОЕКТГеометрическая вероятность.
Теория вероятностей,       9 класс.
5klass.net
Основной вопрос:
Как связано понятие вероятности с геометрией?

Задачи:
Провести серию опытов.
Сформулировать геометрическое понятие вероятности.
Изучить литературу по данному вопросу.
Сделать выводы. Подтвердить или опровергнуть гипотезу.
Составить задачи на нахождение вероятностей.
Серия опытов.
Серия опытов, приводящих к определению вероятности из геометрических соображений.
Опыт 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России?
Число исходов бесконечно.
Вероятность будет зависеть от размера карты (масштаба).
Опыт 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России?
ГИПОТЕЗА: Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия.
Точнее, какую часть всей площади карты составляет Россия.
Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.
Общий случай: в некоторой ограниченной области  случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?

А

L
Геометрическое определение вероятности
Если предположить, что попадание в любую точку области  равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей:

Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.
Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой:

Опыт 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?
Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.
Площадь закрашенной части квадрата                  16см2 – 4см2 = 12см2.
Значит,

Опыт 3. На тетрадный лист в линейку наудачу бросается монета. Какова вероятность того, что монета пересекла две линии?
Число исходов зависит от размеров монеты, расстояния между линиями.

1
рубль
Опыт 4. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на зеленом секторе?
Для решения этой задачи можно вычислить площадь зеленных секторов и разделить ее на площадь всего круга:

Вывод.
Изучив литературу, мы пришли к выводу, что наше предположение верно, т. е.  дали верное геометрическое определение вероятности.
Решение       тренировочных задач.
Задачи 1 – 3.
Задача №1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ;  2) АС;      3)МС;  4) МВ;  5) АВ?
Решение.
A={точка Х попадает на отрезок АМ},  АМ=2см, АВ=12см,

2) В ={точка Х попадает на отрезок АС},  АС=2см+4см=6см,

3) С ={точка Х попадает на отрезок МС}, МС=4см, АВ=12см,

4) D={точка Х попадает на отрезок МВ}, МВ=12см–2см=10см,

5) Е={точка Х попадает на отрезок АВ},

 А       М                С                          В

Задача №2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?
Решение.
а)

б)

Задача №3. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.
Решение.

Итог.
Вопросы. Задача.
Вопросы:
Что  такое геометрическая вероятность? Каковы формулы геометрической вероятности (на плоскости, на прямой, в пространстве)?
Можно ли вычислить геометрические вероятности для опыта, исходы которого не являются равновозможными?
Задача.
Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг радиусом 2см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

                      
А


title: Скачать презентацию или конспект Равновеликие фигуры

extracted_text:
Площадь треугольника
Равновеликие фигуры
Учитель математики
 МОУ «Лицей «Синтон»
Фотина Ия Васильевна

2010 год
pptcloud.ru
              Выведите формулу площади параллелограмма.

             Какова зависимость между сторонами параллелограмма и высотами, опущенными на них?

       Зависимость обратно пропорциональная

 Найти вторую высоту
                Сравните площади параллелограммов

  (Они имеют равные площади, у всех основание a и высота h).
Определение: Фигуры, имеющие равные площади,
                                называются равновеликими.

Доказать, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, делит его на 2 равновеликие части.

Решение:
 В параллелограмме ABCD CF и CE высоты. Доказать, что
                                  AD ∙ CF = AB ∙ CE.

 Дана трапеция с основаниями a и 4a. Можно ли через одну из её вершин провести прямые, разбивающие трапецию на 5 равновеликих треугольников?
(Можно. Все треугольники равновеликие).
                              Площадь треугольника
Выведите формулу площади треугольника

Достроим треугольник до параллелограмма.
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Задание: Начертите равновеликие треугольники.
модель (склеены основания)
Упражнение №474.
«Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой».
У треугольников одинаковые основания a и одна и та же высота h.Треугольники имеют одинаковую площадь

Вывод: Фигуры, имеющие равные площади, называются
                                 равновеликими.
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника

     1) Равновелики ли равные фигуры?

     2) Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?
    3) Верно ли:
а) Равносторонние треугольники равновелики?

    б) Равносторонние треугольники с равными сторонами
          равновелики?
в) Квадраты с равными сторонами равновелики?

г) Докажите, что параллелограммы, образованные при пересечении двух полос одинаковой ширины под разными углами наклона друг к другу, равновелики. Найдите параллелограмм наименьшей площади, образующийся при пересечении двух полос одинаковой ширины.
  Торт имеет форму параллелограмма. Малыш и Карлсон делят его

так: Малыш указывает на поверхности торта точку, а Карлсон по

 прямой, проходящей через эту точку, разрезает торт на 2 куска и

     один из кусков забирает себе. Каждый хочет получить кусок

             побольше. Где Малыш должен поставить точку?

   Решение: В точке пересечения диагоналей.
 На диагонали прямоугольника выбрали точку и провели через неё прямые, параллельные сторонам прямоугольника. По разные стороны образовались 2 прямоугольника. Сравните их площади.
Решение:
 Шаг вперёд!
     «Разрежьте треугольник двумя прямыми линиями так, чтобы можно было из частей сложить прямоугольник».

 «Разрежьте прямоугольник по прямой линии на 2 части, из которых можно сложить прямоугольный треугольник».
Решение:
 Из олимпиадных задач:
      «В четырёхугольнике ABCD точка E - середина  AB,  соединена с вершиной D, а F – середина  CD, с вершиной B. Доказать, что площадь четырёхугольника  EBFD в 2 раза меньше площади четырёхугольника  ABCD.
Решение: Проведём диагональ BD.
№475
«Начертите треугольник ABC. Через вершину B проведите 2 прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на 3 треугольника, имеющие равные площади».
Подсказка: Используйте теорему Фалеса: (разделите АC на 3 равные части).
 Задача дня.
 «В параллелограмме вырезан параллелограмм. Разделите оставшуюся часть на 2 равновеликие фигуры».

           Секущая AB проходит через точку пересечения
                         диагоналей параллелограммов       и        .

  Дополнительные задачи (из олимпиадных задач):
 «В трапеции ABCD (AD || BC) вершины A и B соединены с точкой M – серединой стороны CD. Площадь треугольника ABM равна m. Найти площадь трапеции ABCD».
Решение:
Треугольники ABM  и AMK – равновеликие фигуры,
т.к. AM – медиана.

Ответ:

 Сторона АВ произвольного треугольника АВС продолжена за

вершину В так, что ВР = АВ, сторону АС за вершину А так, что

АМ = СА, сторону ВС за вершину С так, что КС = ВС. Во сколько раз

площадь треугольника РМК больше площади треугольника АВС?

 Ответ: Площадь треугольника МРК в 7 раз больше площади
                                                            треугольника АВС.

 Доказать, что если на стороне параллелограмма взять
      точку A и соединить её с вершинами, то площадь
      получившегося  треугольника ABC равна половине
                         площади параллелограмма.
Решение:
 Сцепленные параллелограммы.
 2 параллелограмма расположены так, как показано на рисунке: они имеют общую вершину и ещё по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Доказать, что площади параллелограммов равны.


title: Скачать презентацию или конспект Определение сферы и шара

extracted_text:
Сфера и шар
pptcloud.ru
Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится
    на  русский язык как «мяч».

ШАР-символ будущего.

Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть.

В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.
Человек, держащий шар
в руках,
символизирует субъекта,
несущего тяготы мира
Не случайно подобными
скульптурами украшены некоторые
вокзалы Западной Европы,
например в Хельсинки:
здесь запечатлены тяготы,
 выпадающие на плечи
путешественника.

Таким образом, шар и глобус — это знаки промысла, проведения, вечности, власти и могущество коронованных особ

Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах - куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.
В греко-римской мифологии  шар
    символизировал удачу, судьбу, ассоциируясь с Тихэ (Фортуной), стоящей на  шаре . Знаменитая картина Пикассо «Девочка на шаре» - танцующая Фортуна.
Форма шара в природе
Многие ягоды имеют форму шара.
Планеты имеют форму шара.
Некоторые деревья имеют сферическую форму.
Определение сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки
Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра
Данная точка (О) называется центром сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы).
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R.

Определение шара
Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой).
    Тело, ограниченное сферой,   называется шаром.

Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Шаровой сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой - нибудь плоскостью.
Шаровой слой

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Шаровой сектор
Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 900, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью.

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью.
Сечение шара
Закрепляем
Решите задачу № 573, №574 (а)
Уравнение сферы в прямоугольной системе координат
M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.
/MC/= √(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2
т.к. MC=R, то
	 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Задание

1.Найдите координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением:
x²+y²+z²=49
(X-3)²+(y+2)²+z²=2
2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если
 A(2;-4;7) R=3
 A(0;0;0) R=√2
 A(2;0;0) R=4
3. Решите задачу №577(а)

Взаимное расположение сферы и плоскости
Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости α-буквой d.
Введем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью α, а центр С сферы лежал на положительной полуоси Oz.
   В этой системе координат точка C (о;о;d),
   поэтому сфера имеет уравнение
     x2+y2+(z-d)2=R²
  Плоскость  совпадает с координатной плоскостью Oxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z=0

Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений.

Подставив z=0 во второе уравнение, получим x²+y²=R²-d²
Возможны 3 случая:

  x²+y²=R²-d²
 Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

   x²+y²=R²-d²
Если d=R, то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае α называют касательной плоскостью к сфере
   x²+y²=R²-d²
Если d<R, то плоскость а и сфера пересекаются по окружности. Сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то в сечении получается круг радиуса R.
    Такой круг называется большим кругом шара.

Закрепляем
Решите задачу №580, №581
Касательная плоскость к сфере
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере,
а их общая точка называется точкой касания  А  плоскости и сферы.
Теорема:Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
    Доказательство:
     Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен α.
     Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
     Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен α.

Обратная теорема:Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Закрепляем
Решите задачу № 592
Площадь сферы
Сферу нельзя развернуть на плоскость!
Описанным около сферы многогранником называется многогранник, всех граней которого которого касается сфера.
Сфера называется вписанной в многогранник
Задание: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м2. Найдите площадь сферы.

Решение:
Сечение, проходящее через центр сферы есть окружность.
           Sсеч =πr2,
              9= πR2,
               R=√9/π .
             Sсферы=4 πr2 ,
        Sсферы=4π · 9/π =36м2


title: Скачать презентацию или конспект Метрология

extracted_text:
МЕТРОЛОГИЯ
Всё можно измерить
Для измерений необходимы опорные метки – меры. Чтобы стать общепринятыми, они должны быть простыми, понятными и общедоступными. Поэтому сначала появились «естественные» меры, которые можно было воспроизвести в любом месте и в любое время. Исторически эти единицы прежде всего связывались с какими-то свойствами растений, животных и людей. Так, в древности во многих местах существовала мера земельной площади, которую называли «бычий рев».
НЕМНОГО ИСТОРИИ
НЕМНОГО ИСТОРИИ
«бычий рев»
Соответствует размерам участка, в пределах которого этот звук отчетливо слышен.
Английский дюйм
	первоначально определялся как длина трёх пшеничных зерен, взятых из середины колоса.
Были меры и посложнее:
	например, тысячи лет назад в Китае единицей длины служила полая бамбуковая палочка, которая при свистке издавала определенный тон.
НЕМНОГО ИСТОРИИ
С развитием ремесел и торговли появились и специально изготовленные единицы – линейки, мерные емкости, гири. Их введение обычно сопровождалось соглашениями, а то и приказами. Скажем, французский туаз – это изначально «шесть королевских шагов». Потом изготовлялись стабильные прототипы мер, которые могли отличаться друг от друга (французский туаз примерно на 15 см длиннее швейцарского). Естественно , в итоге получался сильный разнобой. В конце XVIII века в странах Европы использовали 391 весовую единицу, называемую фунтом, и 282 единицы длины, проходившие как фут.

ПАРИЖСКИЕ РЕВОЛЮЦИИ
Основы десятичного счета были заложены в древности – это вполне естественно, ведь у человека на руках десять пальцев. Однако официальным рождением десятичной шкалы измерений  длины принято считать 1670 год – ее предложил французский математик и астроном Габриэль Мутон.
ПАРИЖСКИЕ РЕВОЛЮЦИИ
Пятью годами позже работавший в Польше итальянский архитектор и оптик Тито Ливио Бураттини предложил принять за всеобщую единицу линейных измерений длину маятника, отсчитывающего 3600 колебаний в час. Под колебанием он понимал движение груза от одной крайней точки до другой; в современной терминологии это означает длину маятника с секундным полупериодом. Он назвал ее Всеобщим метром (Metro Cattolico).

ПАРИЖСКИЕ РЕВОЛЮЦИИ
В 1763 году, в царствование Анны Иоанновны, сенатским указом была создана комиссия по мерам и весам, которую возглавил директор Монетного двора граф Михаил Головкин. В ее работе участвовали многие члены Российской Академии наук, включая Леонарда Эйлера. Члены комиссии обсуждали использование естественных единиц (сажень предлагалось определить как вес заданного количества воды), а также кратных и дольных единиц на десятичной основе.
РОЖДЕНИЕ МЕТРА
Название «метр» (от греческого metrov – мера) в 1790 году придумал парижский преподаватель математики Леблон. 19 марта 1791 года академическая Комиссия мер и весов в составе звезд французской науки Лагранжа, Лапласа, Борда, Монжа Кондорсе избрала основной единицей длины одну десятимиллионную долю квадранта парижского меридиана и рекомендовала измерить длину дуги меридиана от Дюнкера до Барселоны на долготе Парижа.
РОЖДЕНИЕ МЕТРА
Весной 1799 года появился официальный эталон длины. Но из-за небольшой ошибки в промерах и сложной формы земного шара метр оказался приблизительно на 0,2 мм короче своей планируемой величины (временный метр 1793 года был точнее!). Изготовление эталонов из платиновых брусков сечением 25,3 *4мм опять поручили Ленуару. 22 июня 1799 года самый лучший из них (ошибка не превышала 0,001%) в торжественной обстановке сдали на хранение в Республиканский архив.
XIX век
XIX век
Больше 80 лет архивный метр был единственным в мире эталона метра, а после 20 мая 1875 года представители 17 стран (в том числе и России) подписали в Париже Метрическую конвенцию и учредили несколько межгосударственных метрологических организаций. В 1877 году лондонская фирма Johnson, Matthey and Co изготовила несколько платиново-иридиевых линеек Х-образного сечения, одна из которых оказалась лишь на 6 мкм короче архивного метра (ее использовали как временный эталон), а в 1882-м было сделано еще 30 линеек, среди которых нашлась практически точная копия архивного метра. В 1889 году Первая Генеральная конференция по мерам и весам постановила считать длину этой линейки при температуре 00С метрической единицей длины.
Метрическая система
Общее название международной десятичной системы единиц, основанной на использовании метра и грамма.
На протяжении двух последних веков существовали различные варианты метрической системы, различающиеся выбором основных единиц.
В настоящее время международно признанной является система СИ. При некоторых различиях в деталях, элементы системы одинаковы во всем мире. Метрические единицы широко используются по всему миру как в научных целях, так и в повседневной жизни.
Метр
обозначение: м, m;

 единица измерения длины и расстояния в СИ
 Метр равен расстоянию, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени, равный 1/299 792 458 секунды.
Метр
Метр был впервые введён во Франции в XVIII веке и имел первоначально два конкурирующих определения:
как длина маятника с полупериодом качания на широте 45°, равным 1 c (в современных единицах эта длина равна примерно 0,981 м).
как одна сорокамиллионная часть Парижского меридиана (то есть одна десятимиллионная часть расстояния от северного полюса до экватора по поверхности земного эллипсоида на долготе Парижа).

Штангенциркуль
Штангенциркуль
(от нем. Stangenzirkel) — универсальный инструмент, предназначенный для измерений с высокой точностью: наружных и внутренних размеров, а также глубин отверстий.
Штангенциркуль — самый популярный инструмент измерения длины во всём мире. Благодаря простой конструкции, удобству в обращении и быстроте в работе, они — самые любимые в прецизионном измерении.
Штангенциркуль
История
Деревянные штангенциркули использовались уже в начале XVII века. Первые настоящие штангенциркули с нониусом появились только в конце XVIII века в Лондоне.
Штангенциркуль
Устройство

На примере штангенциркуля ШЦ-I:
штанга
подвижная рамка
шкала штанги
губки для внутренних измерений
губки для наружных измерений
линейка глубиномера
нониус
винт для зажима рамки

Штангенциркуль
Порядок отсчёта показаний штангенциркуля по шкалам штанги и нониуса:
читают число целых миллиметров, для этого находят на шкале штанги штрих, ближайший слева к нулевому штриху нониуса, и запоминают его числовое значение;
читают доли миллиметра, для этого на шкале нониуса находят штрих, ближайший к нулевому делению и совпадающий со штрихом шкалы штанги, и умножают его порядковый номер на цену деления (0,1 мм) нониуса.
подсчитывают полную величину показания штангенциркуля, для этого складывают число целых миллиметров и долей миллиметра.

Виды штангенциркулей
ШЦ-1 — штангенциркуль с двусторонним расположением губок для измерения наружных и внутренних размеров и с линейкой для измерения глубин.

Виды штангенциркулей
ШЦ-IC — (штангенциркуль со стрелочным отсчетом) для отсчета показаний вместо нониуса имеет отсчетную стрелочную головку. В выемке штанги размещена рейка, с которой сцеплена шестеренка головки, поэтому показания штангенциркуля, отвечающие положению губок и, читают на круговой шкале головки по положению стрелки. Это значительно проще, быстрее и менее утомительно для исполнителя, чем чтение отсчета по нониусу;

Виды штангенциркулей
ШЦТ-I — с односторонним расположением губок, оснащённых твёрдым сплавом для измерения наружных размеров и глубин в условиях повышенного абразивного изнашивания.

Виды штангенциркулей
ШЦ-II — с двусторонним расположением губок для измерения наружных и внутренних размеров и для разметки. Для облегчения последней оснащён рамкой микрометрической подачи.

Виды штангенциркулей
ШЦ-III — с односторонним расположением губок для измерения наружных и внутренних размеров.

Снятие показаний
Снятие показаний
Измерения штангенциркулем по способу снятия показаний, штангенциркули делятся на:
нониусные
циферблатные — оснащенны циферблатом для удобства и быстроты снятия показаний
цифровые — с цифровой индикацией для безошибочного считывания

Виды измерений с помощью штангенциркуля
Интересные факты
В современном немецком языке слово «штангенциркуль» отсутствует. По-немецки штангенциркуль называется Messschieber или Schieblehre — соответственно, «раздвижной измеритель» или «раздвижная линейка».
Разновидность штангенциркуля, оснащенная глубиномером называется "Колумбус" или "Колумбик". Это название произошло от "Columbus" - производителя измерительного инструмента, такой штангенциркуль в свое время массово поставлялся в СССР под этой маркой.


title: Скачать презентацию или конспект Урок Логарифмы

extracted_text:
Урок обобщение  по теме «Логарифмы»
Алгебра 11 класс
Подготовила: Ивлиева Ольга Михайловна
учитель математики МОУ Филипповской СОШ Зиминского района Иркутской области
pptcloud.ru
Ход урока
Устный тест-опрос
Самостоятельная работа на компьютере (из ЦОР)
Выступление учащихся с сообщениями
Логарифмическая диковинка
Самостоятельная работа «Поле чудес»
Ход урока
Головоломка
Тест
Логарифмическая комедия
Индивидуальная работа
Подведение итогов урока
Домашнее задание
Дайте определение логарифма
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени в которую нужно возвести число b , такой чтобы получилось число a.
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени в которую нужно возвести число а, чтобы получилось число b.

Устный тест - опрос

Компьютерная  самостоятельная работа

Сообщения учащихся
Презентация «История логарифмов»

Сообщение «О логарифмах и логарифмической линейке»

Логарифмическая диковинка
Вычислите:

Логарифмическая диковинка
Решение:
Воспользуемся редко используемым свойством

Ответ: 1

Самостоятельная работа

Таблица кодов:

Таблица ответов:

Головоломка
   Предлагается задача:
   любое данное число записать
   с помощью трех двоек и математических символов.
Решение

Общее решение

N раз

Электронный тест

Логарифмическая комедия
Заменим каждую дробь степенью

с основанием

Логарифмическая комедия
Большему числу соответствует больший логарифм

Логарифмическая комедия
Сократим на

Получаем

В чем ошибка этого доказательства?

Индивидуальная работа

Итоги урока. Рефлексия
Что понравилось, запомнилось на уроке?
Достигли ли вы поставленной цели?
Над чем еще нужно поработать?

Домашнее задание
№№ А53. – А66
из «Практикума по подготовке к ЕГЭ» (Рабочая тетрадь)

“Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь”                                   П.С.Лаплас


title: Скачать презентацию или конспект Примеры производных

extracted_text:
«Я иду на урок»
Презентация учителя математики ТКК г.Тамбова Милосердовой Людмилы Александровны 2007г.
pptcloud.ru
Урок-фрейм
Данный тип урока позволяет учащимся оценить собственные силы и выбрать для себя уровень целей, соответствующий их потребностям и возможностям в данный момент, а со временем – перейти на более высокий уровень.
Фрейм (с английского рама) означает консолидацию разнородной информации, имеющей центром то или иное реальное явление, действие, событие, ситуацию, воспринятую психикой в ограниченных рамках пространства и времени.
Урок-фрейм охватывает все информационное окружение данного понятия, правила, теоремы.   Примером удачного фрейма может служить шуточное представление, что позволяет ученикам вспомнить это через много лет.
  Фреймовое представление знаний имеет ту особенность, что в нем поневоле участвуют как все процессоры мозга, так и наблюдения, опыты, эмоции, аналогии и гипотезы, доказанное и предполагаемое, готовое и составляемое.

Выбирай сам
Обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, дети могут усваивать материал на различных уровнях. Успех учебного процесса в значительной степени зависит от познавательной активности школьников, от того, насколько они заинтересованы в собственной работе.
     Ясное знание конкретных целей при условии их посильности, возможность выполнять предъявляемые учителем требования активизируют познавательную деятельность учащихся, причем на разных уровнях. Если цели известны и посильны ученику, а их достижение поощряется, то для ученика нет ничего естественнее, как стремиться к их выполнению.
      Открытость уровней подготовки способствует формированию положительных мотивов учения, сознательного отношения к учебе, повышению самооценки учащегося.  Ученик получает возможность выбирать объем и глубину усвоения учебного материала: либо его усилия направляются на овладение материалом на более высоких уровнях, либо продолжается работа по формированию важнейших опорных знаний и умений.
Тема. Производная
Тип урока: обобщение и систематизация знаний.
Цели урока:
обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной;
закрепить правила дифференцирования;
раскрыть для учащихся политехническое, прикладное значение темы;
осуществить контроль усвоения знаний и умений;
совершенствовать умения применять знания в измененной ситуации;
   -   развить познавательный процесс;
Оборудование:
на доске или экране изображена рама, которая после каждого этапа урока расширяется;
таблица производных;
тесты;
раздаточный материал
Задания по теме учитель составляет  в зависимости от профиля класса
Вступительное слово учителя

Урок-фрейм «Производная» - это урок, центром которого является понятие производная, воспринятое психикой в ограниченных рамках пространства и времени. Фрейм охватывает все информационное окружение данного понятия, правила, теоремы.
Каждый знает, что учить по данной теме, как и для чего
У каждого ученика будет свой уровень ЗУН

«Подобно тому, как рою бесчисленных пчел, поражающему наперебой своими жалами, не удается отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного вкусил приятность скрытого в дереве меда, так нет, разумеется никого, кто, хоть краем губ постигнув сладость математических доказательств, не стремился бы всеми силами освоить их вполне, до полного насыщения».

Реклама 1

Вкусите  «Производную» - это гарантия полного насыщения
II. Актуализация знаний.
II. Актуализация знаний.

Определение производной.
Правила дифференцирования:
производная суммы;
производная произведения;
производная частного;
производная сложной функции;

Реклама 2
Знания таблицы и правил – это надежный шаг к решению многих задач.
Знайте производную.

устно
Найти производные:
у = х + 5 ,                                  у =  1/3 х + 2,
у =    ,                                        у =
у = 5 sin x,                                  y =  7cos x -1,
у =  ,
у = 2x tg x ,                                у =         ;
у = 3  - 2х + 3                                у =      .

Реклама.

Выполнение тестов - надежный путь в сдаче ЕГЭ
III. Тест.

1. 1.Найдите производную функции у = 3   - 12х.
1) 3 (7    - 4х);
2)  12 – 21    ;
3) 3 (7    - 4); .
 4) 21    + 4

2.. Найдите значение производной функции

в точке х = 3.
1) 3;2) 0;3) – 2;4) – 3.

3. Решите уравнение f / (х) = 0 , если f (х) = (  +2)(    –  2).

          1)  1  ;  2) -1;  3)  2 ;  4) 0.

4. Найдите значение производной функции
у =  3
в точке х = 0.

1) 13;2) 1;3) 2;4) 0.
5. Найти производную функции у = sin 2x - cos3 x
1) 2sin 2x -3 cos3 x;2)2 cos2x+3 sin3x;3) 2 cos2x -3 sin3x;4) 2 cosx - 3 sin x.

Тест

Задания уровня “В” и “С” в тетрадях.

Ответы к тесту:

№ задания12345
№ ответа11422

В 1 Ответ: х > 0;
В 2.
С 1
а > 3

С 2.

0
IV. Проверка усвоения  теории:
геометрический смысл производной;

уравнение касательной;
Самостоятельно(1 уравнение)
Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с х = а
У =
У =
У =

Реклама 4
Беспрепятственно решать любые примеры, связанные с производной, Вам помогут выполнение домашних заданий и самостоятельных работ на уроке.
VI. Самостоятельная работа
1.Найдите производную: а) у =
б) у =
2.Напишите уравнение касательной к графику функции у = 5х – 3 +    в точке с абсциссой, равной 1.
1.  Найдите производную функции: а) у =              б) у =  .
2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = 2х +5 -   в точке с абсциссой, равной -3.

Реклама 5
Обширные знания по «Производной» помогут Вам поступить в высшие учебные заведения.
V. Сообщение ученика
К дифференцированию прибегают, когда встает вопрос о скорости изменения функции по мере изменения аргумента.
- Вы знаете Зося – убеждал Остап Бендер Зосю Синицкую, на каждого человека, даже партийного, давит атмосферный столб весом 214 кило.
 Остап с незнанием точных наук слишком занизил цифру. Названная им величина была бы справедлива для большой высоты над уровнем моря. Ведь атмосферное давление спадает с подъемом вверх, притом со все убывающей скоростью. Если Вам захочется определить эту величину, зная зависимость давления от высоты, к Вашим услугам операция дифференцирования.
Примеры задач:
отыскание угловой скорости вращающегося тела  ;
нахождение теплоемкости тела при нагревании  С = ;
 определение скорости химической реакции в данный момент времени;
 быстрота роста населения в данном городе и т. д.
ученик определяет физический смысл производной
учащиеся решают одну из  задач, проверка ответов
Задачи по физике
№ 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
№ 2
При движении тела по прямой S от начальной точки меняется по закону  S(t )=             (t – время движения в часах).
Найдите скорость через 1 час после начала движения.
1)2;
2)1,5;
3)0,1;
4)0,5.
№ 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону S(t) = 2t +   , где S - путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с.
Ответ:  - -5/32Н .

Реклама 6
Изучение производных поможет Вам быстро и правильно принимать решения в различных ситуациях, так как Вы уже учитесь думать, преодолевать трудности и рассуждать, а это всё ведет к приобретению мудрости.
VII. Подведение итогов.
Применение производной-расширение  рамки


title: Скачать презентацию или конспект Решение задач с помощью графов

extracted_text:
Решение задач с помощьюграфов

Граф
Простейшая модель системы.Отображает элементарный состав системы и структуру связей
Сеть
Граф с возможностью множества различных путей перемещения по ребрам между некоторыми парами вершин
Граф называется связным
если любая пара его вершин — связная.
Ребро соединяет две вершины графа
элемент (точка) графа, обозначающий объект любой природы, входящий в множество объектов, описываемое графом
Вершина
Ребро
это ориентированное ребро.
Дуга
ребро, начало и конец которого находятся в одной и той же вершине
Петля
любой связный граф, не имеющий циклов.
Дерево
Кенигсбергские мосты
Кенигсбергские мосты
Можно ли обойти все Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов?
Представим задачу в виде графа,где вершины – острова и берега (A,B,C,D), а ребра – мосты
Важно, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным.
Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста.

Какие вершины четные, а какие нечетные? Подпишем степени вершин в кружочках.
Нечетные вершины: А, B, C, D.
3
3
3
5
Если граф имеет цикл, содержащий все ребра графа по одному разу (Эйлерова линия),то такой граф называется эйлеровым графом
Условия существования Эйлеровой линии:
-граф связный
-все вершины четные
Другими словами, эйлеров граф – это граф,который можно нарисовать одним росчерком
Эйлеров граф
Алгоритм решения задач
1. Нарисовать граф, где вершины – острова и берега, а ребра – мосты.
2. Определить степень каждой вершины и подписать возле нее.
3. Посчитать количество нечетных вершин.
4. Обход возможен:
a. ЕСЛИ все вершины – четные, и его можно начать с любого участка.
b. ЕСЛИ 2 вершины – нечетные, но его нужно начать с одной из нечетных местностей.
5. Обход невозможен, если нечетных вершин больше 2.
6. Сделать ВЫВОД.
7. Указать Начало и Конец пути.

Достроить графы до Эйлеровых
Задача о 15 мостах
В некоторой местности через протоки переброшено 15 мостов.

Построим граф, где вершины – острова и берега, а ребра – мосты.
Нечетные вершины: D, E.
ВЫВОД: Так как количество нечетных вершин = 2, то обход возможен.
Его Начало может быть в местности D, а Конец в местности E.

4
4
6
3
5
8


title: Скачать презентацию или конспект Числа и точки на прямой

extracted_text:
Числа и точки на прямой
Жил- был король   и   в подчинении у него были подданные числа

Единичный отрезок

Координатная прямая

Координаты точек


title: Скачать презентацию или конспект Тайны совершенных чисел

extracted_text:
МОУ «Пашозерская ООШ»
Голубова Людмила Павловна
Тайны совершенных чисел

«Cовершенные   числа красивы.  Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны,  безобразные   же, встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного».

                                 Никомах  Герасский
Совершенные числа
Совершенное число – это число, сумма собственных делителей которого (т. е. делителей, меньших самого числа) равна самому числу
Наименьшие совершенные числа:
    6 = 1+2+3;
    28 = 1+2+4+7+14.

Теорема Евклида
Теорема.  Пусть число 2n - 1 простое. Тогда  число  k =  2n-1 (2n-1)  совершенное.

Эту теорему сформулировал и доказал в своих «Началах» в 300 г. до н.э. великий основатель геометрии Евклид.
Свойства совершенных чисел
Все совершенные числа являются «треугольными»

                            6                                                28

Свойства совершенных чисел
Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, включая его самого,
    равна 2.
    Например,

ПРОБЛЕМЫ

Эдмунд Ландау, один из крупнейших специалистов в области чисел писал:
«… Две проблемы остаются нерешёнными до сих пор:
-Имеется ли бесконечное множество чётных совершенных чисел? - Не знаю.
- Имеется ли бесконечное множество нечётных совершенных чисел? - Я даже не знаю, существует ли одно такое число».
?
Тайна совершенных чисел
Поисками совершенных чисел занимались как великие математики: Рене Декарт, Леонард Эйлер, Мерсенн, так и священнослужители. Например, сельский священник И. М. Первушин вычислил девятое совершенное число. В начале XX столетия появились первые механические счетные машины. Их появление ускорило поиски новых совершенных чисел. На сегодняшний день существует 46 совершенных чисел, которые хранят в себе тайну: СУЩЕСТВУЕТ ЛИ НАИБОЛЬШЕЕ
               СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО?


title: Скачать презентацию или конспект Правильные многогранники и их развертки

extracted_text:
Автор: Гавлинская Светлана Владимировна
Место работы: ГОУ гимназия 524 г. Санкт-Петербурга
Должность: учитель математики
Дополнительные сведения: высшая категория
Санкт-Петербург, 2011 г.

Презентация по геометрии по теме
«Правильные многогранники
и их развертки»
для 10-11 кл.
Цели урока:
Познакомить учащихся с правильными многогранниками и их развертками, показать их в объеме и в движении,
а также показать возможности покрытия этих разверток мозаикой.

Тела Платона, или правильные многогранники, отличаются от других тел тем, что все их грани - правильные многоугольники.

На поверхность правильных многогранников в данной презентации наложены мозаики, созданные голландским художником Морицем Эшером.

Доказано, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник).

Тетраэдр
в основе –
правильный треугольник
4 граней
4 вершины
6 ребер

на тетраэдр может быть наложена мозаика, построенная на основе сетки, состоящей из правильных треугольников

в основе -
правильный четырехугольник
6 граней
8 вершин
12 ребер

на куб может быть наложена мозаика, построенная на основе сетки, состоящей из квадратов
Куб

Октаэдр
в основе -
правильный треугольник
8 граней
6 вершин
12 ребер
на октаэдр может быть наложена мозаика, построенная на основе сетки, состоящей из правильных треугольников

Додекаэдр
в основе -
правильный пятиугольник
12 граней
20 вершин
30 ребер
для покрытия орнаментом додекаэдра подходят всего несколько мозаик Эшера.
Только  правильными пятиугольниками полностью заполнить плоскость невозможно.

Икосаэдр
в основе -
правильный треугольник
20 граней
12 вершин
30 ребер
на икосаэдр может быть наложена мозаика, построенная на основе сетки, состоящей из правильных треугольников

Материалы, использованные при подготовке презентации:
1.
M. C. Escher ® Kaleidocycles: An Illustrated Book and 17 Fun-to-Assemble Three-Dimensional Models (Набор разверток для трехмерных моделей) / Doris Schattschneider Издательство: Pomegranate (February 2005) ISBN-10: 0764931105  ISBN-13: 978-0764931109

2.
M.C. Escher: Visions of Symmetry/ Doris Schattschneider Издательство: Harry N. Abrams ISBN 0810943085; 2004 г.
Для разверток использованы мозаики Морица Эшера:
Стр. 159 (тетраэдр), стр. 148 (додекаэдр), стр. 172 (икосаэдр), стр. 184 (октаэдр), стр. 131 (куб)

3D анимации тел Платона созданы при помощи 3DS Max специально для данной презентации.