title: Скачать презентацию или конспект Путешествие в мир математики

extracted_text:
                                                                                6 класс.     Математика.
Урок – путешествие
«По островам математики».

Тема: Сложение чисел с помощью координатной прямой.
Устинова Надежда Алексеевна.
Оборудование урока:
Модель координатной прямой,
Модель термометра  ( на доске), изготовленные учителем.
Модели координатных прямых у каждого ученика ( изготовленные учениками).
Компьютер. Слайды.
Индивидуальные задания на карточках.

Цель урока:
Дать понятие и научить складывать числа с помощью координатной прямой, показать, что результат двух последовательных изменений величин находят с помощью координатной прямой;   побудить интерес к изучению математики;    способствовать
        развитию практических навыков.
Ход урока:
1. Отплытие.

- организационный момент.

              Актуализация   знаний.
2. Остров  « Вспоминайка».
5;   !-17!;    1/2;   7,5;   0;   !3/4!;  100;   0,5;    17;   !-3/4!;     0,75;    -1245;    -7,5
                   1. Назовите положительные числа.
                  2. Назовите отрицательные числа.
                  3.  Укажите противоположные числа.
                  4.Назовите число, которое не является ни
                     отрицательным, ни положительным.
                  5. Найдите самое маленькое число.
                  6. Найдите самое большое число.
                  7. Модули каких чисел равны?
                  8.Найти целые числа.
3. Остров « Узнайка».
                Объяснение нового материала.

            При объяснении  используются:
            модель координатной прямой,
            модель термометра ( на доске)
            ( изготовлены учителем);
            модели координатных прямых у учащихся,
                изготовленных самостоятельно.

Измерим температуру за бортом корабля ( с помощью модели термометра).
 Вывод:
Если дана начальная температура и её изменения, то конечная температура находится действием сложения.
2.Показания  приборов  на  корабле:( решать с помощью термометра или координатной прямой).
Вывод:
Прибавить к числу а число в   - значит изменить число а на число в.
3.На координатной прямой:
         Найдём сумму чисел :

                   8+3=11

                   8+(-3)= 5

Вывод:
 Любое  число от прибавления положительного числа увеличивается,
 а от прибавления отрицательного числа  уменьшается.
На координатной прямой:
          Найдём сумму чисел:

                    4+(-4)=0

                   а +(-а) = о

Вывод:
          Сумма двух противоположных
             чисел равна нулю.
На  координатной  прямой:
                Найдём  сумму:

                  -5+0= -5

                   а+0=а

Вывод:
         При прибавлении нуля число не
           изменяется.
4. Остров « Спортландия».
              Ну что, устали?
                А теперь, ребята, встали.
                Быстро руки вверх подняли,
                В стороны,  вперёд, назад,
                Повернулись вправо, влево,
                Тихо сели, вновь за дело.
5. Остров « Умейка».
Решите  задания  с  помощью  координатной прямой:
                   № 1020.               № 1021.
                      -1+2 =                   4+0=
                       3+(-4) =                0+(-3)=
                      -3+6    =                -5+0=
                       1+(-5)  =               -3+3=
                     -5+6    =                 7+(-7)=
                    -3+(-2)=
Решите задание с помощью координатной прямой (или термометра):
Утром температура воздуха была равна 8 градусам.
 За первую половину дня температура изменилась на 4 градуса, а за вторую половину дня – на 7 градусов.
  Какой стала температура после двух
                    изменений?

Решение:

                       8 + 4 + (- 7) = 5
Вывод:
        Результаты двух последовательных

           изменений находят

           с помощью сложения.

6. Остров « Повторика».
            1. Самостоятельная работа:

            а) Найти с помощью координатной
              прямой сумму чисел:

                 -7+5;     -4+(-8);     8+(-3);     0+(-9).

           б) Написать в порядке возрастания числа:
                                     -9;  0;  -12;  5; 12;  -2
                                         л    в    п     ё   м     ы
                 в)Написать в порядке убывания числа:
                                     -5;   0;  5;   -8;   -10;
                                     м     о   д    о       й
В результате должно получиться:
               Плывём  домой.
Остров « Закрепика».Решение заданий в тестовой форме.  Выполнить с  помощью координатной прямой.
1. Температура воздуха была -2 градуса.
Какой стала температура, когда она изменилась на  -5  градусов?
                                А. 7
                                Б. 3
                                В. -3
                                Г.-7
2.Решить с помощью координатной прямой:
Температура воздуха с утра была равна 10 градусам.
К обеду температура изменилась на 4 градуса, а к вечеру – на   -5 градусов.
Какая температура воздуха была вечером?
                               А.  11
                               Б. 9
                               В.  1
                               Г. -1.
Возвращение из путешествия по островам математики домой:

            Задание на дом:
            ( по индивидуальным карточкам).
Подведение итогов урока.Что мы узнали за время путешествия по островам математики?   Поделимся впечатлениями.
            1. Если дана начальная температура и её
               изменения, то…
            2. Прибавить к числу а число в – значит…
            3. Любое число от прибавления…
            4. Сумма двух противоположных чисел…
            5. При прибавлении нуля…
            6. Результаты двух последовательных
                изменений…


title: Скачать презентацию или конспект Табличное сложение и вычитание

extracted_text:
Табличное
сложение
и вычитание
Королёва Ирина Николаевна
учитель начальных классов
МКОУ СОШ №2
г.Нефтекумск

9
3
7
5
3
8
5
6
9
6
7
4
8
6

8
+1

3
5

2

5
7
3
15

1
5
8
15
7
2

2
5

Вычисли

12 – 4              15 – 7
13 – 7              14 – 9
16 – 8              11 – 7

?

Буратино решил 7 примеров, а Мальвина на 4 примера больше. Сколько примеров решила Мальвина?


title: Скачать презентацию или конспект симетрія відносно точки

extracted_text:
СИМЕТРІЯ

Симетрія в геометрії
. Симетрія відносно точки

Нехай О – фіксована точка і Х – довільна точка
площини. Відкладемо на продовженні відрізка ОХ за точку О відрізок ОХ`, що дорівнює ОХ. Точка Х` називається симетричною точці Х відносно точки О. Точка, симетрична точці О, є сама точка О. Очевидно, точка симетрична точці Х´, є точка Х.
Перетворення фігури F у фігуру F`, при якому кожна її точка Х переходить у точку X`, симетричну відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О. При цьому фігури F і F` називаються симетричними відносно точки О.
Симетрія відносно прямої
Нехай g – фіксована пряма. Візьмемо довільну точку Х і опустимо перпендикуляр АХ на пряму g. На продовженні перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок AX`, що дорівнює відрізку АХ. Точка X` називається симетричною точці Х відносно прямої g. Якщо точка Х лежить на прямій g, то симетрична їй точка є сама точка Х. Очевидно, що точка, симетрична точці X`, є точка Х.
Перетворення фігури
Перетворення фігури F у фігуру F`, при якому кожна її точка Х переходить у точку X`, симетричну відносно даної прямої g, називається перетворенням симетрії відносно прямої g. При цьому фігури F і F` називаються симетричними відносно прямої g.
Симетрія в хімії
Більшість простих молекул володіють елементами просторової симетрії рівноважної конфігурації: осями симетрії, плоскістю симетрії  Так, молекула аміаку Nh 3 володіє симетрією правильної трикутної піраміди
 молекула метану Ch 4 — симетрією тетраедра.
Симетрія у фізиці

Поняття симетрії відіграє велику роль у фізиці. Перш за все слід відзначити просторову симетрію, якою можуть характеризуватися фізичні об'єкти. Тут слід розрізняти симетрію щодо трансляції, симетрію щодо дзеркального відображення, симетрію щодо поворотів, гвинтову симетрію тощо. Особливим видом симетрії є ізотропність - незалежність властивостей фізичної системи від напрямку, однорідність - незалежність властивостей фізичної системи від точки простору.
Специфічним для фізики видом симетрії є інваріантність фізичних законів щодо вибору системи відліку, яка лежить в основі теорії відносності. Іншим видом симетрії, який зустрічається в фізиці є симетрія щодо заміни напрямку координатних осей, що лежить в основі принципу парності.
Вісь симетрії в геомеричних фігурах
Ромб має 2 віс симетрії– це його діагоналі
У рівнобедреному трикутрику є 1 вісь– це медіана,бісектриса і висота проведена до основи

У рівностороньому трикутнику є 3 вісі симетрії: бісектриси, медіани і висоти трикутника

У квадрата є 4 вісі симетрії

А круг це єдина фігура у якої є безліч осей симетрії, що містять діаметри кола. Круг симетричний сам собі.

Симетрія в нашому житті
Щоб побачити симетрію не потрібно розгортити книжки з геометрії, достатньо просто подивитися навколо... Багато побутових предметів є симетричеими.
Наприклад: глечик,зірка...

Навіть в орнаменті можна повести чимало осей симетрії

Також у природі нас також оточує симетрія

Але найлегший спосіб побачити симетрію це просто подивитись на оточуючих людей, або ж глянути у дзеркало.
Та чи справді оточуючі предмети симетричні?=)
 Це питання здається смішним. Звісно що  симетричні! Але тут можна дискутувати. Адже у природі немає нічого ідеально рівного. Ніхто не може дати гарантії, що його очі знаходяться на однаковій відстані від умовної лінії симетрії.
Ось така симетрія! Як виявляється її можна зустріти не тільки у геометрії, але й у повсякденному житті


title: Скачать презентацию или конспект Элементы комбинаторики

extracted_text:
ГОУ средняя общеобразовательная школа № 80 с углубленным изучением английского языка Петроградского административного района г. Санкт- Петербурга
Введение в комбинаторику
Разработка уроков для7класса.
Работа выполнена учителем математики высшей категории
Вашкевич Татьяной Сергеевной
   Основная цель – развить комбинаторное мышление,           сформировать умение организованного перебора упорядоченных и неупорядоченных комбинаций из двух – трех элементов.

В данной теме интегрируются арифметические, начальные алгебраические и геометрические знания учащихся.
 Рассматриваются исторические комбинаторные задачи, способы составления фигурных чисел, магических и латинских квадратов, выводится формула n – го треугольного числа.
В ходе организованного перебора различных комбинаций элементов двух множеств обосновывается правило произведения. С его помощью решаются простейшие комбинаторные задачи.
        Планирование уроков
Исторические комбинаторные задачи –
                                                                         1 час

Различные комбинации из трех элементов –
                                                                             2 часа

Таблица вариантов и правило произведения-
                                                                     2 часа

Подсчет вариантов с помощью графов –
                                                                    1 час
Урок № 1.Тема урока: «Исторические комбинаторные                                                                 задачи»
В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу.
Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.
 С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.
 Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

              Фигурные числа
    В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры.
Фигурные числа

Квадратные числа: 1,4,16,25…

                1

                                      2*2=2 =4      3*3=3 =9       4*4=4 =16         5*5=5 =25

Nкв = n²

Фигурные числа

Треугольные числа

 1            1+2=3              1+2+3=5           1+2+3+4=10           1+2+3+4+5=15

      Nтр = (n(n+1))/ 2
Фигурные числа
Пятиугольные числа

Nпят = n + 3(n(n-1)/2)

                1                   5                            12                                       22

Фигурные числа
Прямоугольные числа- составные числа, которые древние представляли в виде прямоугольников.
     Представления числа 12 выглядели так

12
12
Фигурные числа
Непрямоугольные числа – простые числа, которые древние представляли в виде линий.

3

7
               Магические квадраты
                 Латинские квадраты
    Латинскими квадратами называют квадраты размером n x n клеток, в которых записаны натуральные числа от 1 до n, причем таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу.
Задачи
Посчитать число однобуквенных слов русского языка.
Записать первые двенадцать квадратных чисел.
Записать первые десять треугольных чисел.
Составить латинский квадрат.

Домашнее задание
1. Записать n- е по порядку кв. число, если:
                      1)  n =20;
         2)  n =25      3) n =31;
 2. Записать n- е по порядку треугольное число,
                    если: 1)  n=20;
         2)  n=33;  3)  n=34;
 3. Изобразить в древних традициях всеми возможными
     способами составное число: 1) 6; 2) 8; 3) 18;
     4) 20;
 4. Продолжить построение магического квадрата:

Задачи

1) Однобуквенных слов русского языка 11:
           а, б, в, ж, и, к, о, с, у, э, я.

Задачи

2) 1, 4, 9,
              16,25, 36,
                               49, 64, 81,
                                                 100, 121

Задачи

3) 1, 3, 6,
               10, 15, 21,
                                28, 36, 45,
                                                   55.

Уроки № 2-3Тема урока: «Различные комбинации из                                               трех элементов»
 Нередко в жизни бывают ситуации, когда задача имеет не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить, а может быть, и выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации.
 Задача № 1

Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?
Сочетания
    Сочетания

Антон и Борис

Антон и Виктор

Борис и Виктор

Ответ: 3 варианта.

Сочетания
Вывод:
               В задаче были составлены всевозможные   сочетания из трех элементов по два: пары элементов из имеющихся трех элементов. Пары отличались друг от друга только составом элементов, а порядок расположения элементов в паре не учитывался.
Размещения

Задача № 2
 Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-ое и 2-ое места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов (способов) занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.
       Размещения
Размещения
  Вывод:
               В задаче из трех элементов выбирались пары элементов и фиксировался их порядок расположения в паре, т.е. все составленные пары отличались друг от друга либо составом элементов, либо их расположением в паре. В комбинаторике такие пары называют размещениями из трех элементов по два.
Перестановки

Задача № 3
 Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили 3 билета на футбол на 1-ое, 2-ое и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?
        Перестановки
Перестановки
 Вывод:
          В задаче были составлены всевозможные перестановки из трех элементов – комбинации из трех элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов.
Устные задачи
 1) Сколько подарочных наборов можно составить:
    а) из одного предмета;
    б) из двух предметов,
    если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени?

2) Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?
Задачи

1) Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 при условии, что цифры в числе:
    а) должны быть различными;
    б) могут повторяться?
Решение

а) Способ составления трехзначных чисел из 3 различных цифр аналогичен способу записи троек букв в задаче 3:

    123, 213, 132, 312, 231, 321.

    Получили 6 чисел.

Решение

б) Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выпишем все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3:

 111   112   113          211   212   213            311   312   313
 121   122   123          221   222   223            321   322   323
 131   132   133          231   232   233            331   332   333

   Получили 27 чисел.

Задачи
 §2 «Различные комбинации из трех элементов»

 На уроках решаются задачи
  №№ 3, 5, 7, 9, 11.

 Домашнее задание
  №№ 2, 4, 6, 8, 10.

Уроки № 4 – 5Тема урока: «Таблица вариантов и правило произведения»
 Для решения комбинаторных задач существуют различные средства, исключающие возможность «потери» какой – либо комбинации элементов.

Для подсчета числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица вариантов.
     Таблица вариантов
 Задача №1.

 Записать всевозможные двузначные числа, используя пр этом цифры:
   1) 1, 2 и 3;
   2) 0, 1, 2 и 3.
 Подсчитать их количество N.
Для подсчета образующихся чисел составим таблицу:

N = 3·3 = 9
Для подсчета образующихся чисел составим таблицу:

N = 3·4=12
    Таблица вариантов
 Задача № 2.
 Бросаются две игральные кости. Сколько различных пар очков может появиться на верхних гранях костей?
С помощью составленной таблицы пар выпавших очков можно утверждать, что число всевозможных пар равно 6·6 = 36

                   Правило произведения.
Для решения задач, аналогичных задачам 1 и 2, необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться правилом, которое получило в комбинаторике название  «Правило произведения»:
   если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n·m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.
Правило произведения.
Задача № 3.
  Катя и Оля приходят в магазин, где продают в любом количестве плитки шоколада трех видов. Каждая девочка покупает по одной плитке. Сколько существует способов покупки?

Правило произведения.
 Задача № 3.   (решение)
  Катя может купить плитку любого из трех видов шоколада (n=3). Оля может поступить аналогично (m=3). Пару шоколадок для Кати и для Оли можно составить n·m=3·3=9 различными способами.

  Ответ: 9 способов.

Правило произведения.
Задача № 4.
  Имеются три плитки шоколада различных видов. Катя и Оля по очереди выбирают себе по одной плитке. Сколько существует различных способов выбора шоколадок для Кати и Оли?

Правило произведения.
 Задача № 4.   (решение)
  Допустим первой шоколадку выбирает Катя. У нее есть 3 возможности выбора плитки (n=3). После этого Оля может выбрать одну из двух оставшихся плиток (m=2). Тогда способов выбрать пару шоколадок для Кати и для Оли существует n·m=3·2=6.

   Ответ: 6 способов.
Правило произведения.
Задача № 5.
  Сколько существует различных двузначных кодов, составленных с помощью букв А, Б, В, Г и Д, если буквы в коде:
    1) могут повторяться;
    2) должны быть различными?

А  Б  В  Г  Д
Правило произведения.
 Задача № 5.   (решение)
  1) Первой в коде может быть любая из данных букв (n=5), а второй – также любая из пяти (m=5). Согласно правилу произведения число всевозможных букв (с возможным их повторением в паре) равно

                               n·m=5·5=25.

Правило произведения.
 Задача № 5.   (решение)
  2) Первой в коде может быть любая из пяти данных букв (n=5), а второй – любая из четырех, отличных от первой (m=4). Согласно правилу произведения число двузначных кодов с различными буквами будет равно
     n·m=5·4=20.
Ответ: 1) 25; 2) 20.

Задачи
 §3 «Таблица вариантов и правило произведения»

 На уроках решаются задачи
  №№ 3, 5, 7, 9, 11.

 Домашнее задание
  №№ 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Урок № 6Тема урока: «Подсчет вариантов с помощью графов»
 Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов несложно, когда их количество невелико. Однако, когда их количество больше, например, 20, то при переборе легко упустить какую-либо из них.

Нередко подсчет вариантов облегчают графы.

Графы – геометрические фигуры, состоящие из точек  (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа).
Подсчет вариантов с помощью графов
 Приведем примеры различных графов

1

2
4
3

A
B
C
D
E

Иван
Борис
Татьяна
Иван
Ольга
Сергей
Галина
Полный граф
 Задача № 1
 Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

     Решим задачу с помощью полного графа.

     Вершины – первые буквы имен мальчиков, а отрезки-ребра обозначают шахматные партии.
Полный граф

А
Б
В
Г

Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6.

Ответ: 6 партий.
Полный граф
                      Задача № 2

Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Полный граф

А
Б
В
Г

С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, что стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т. е. 6·2=12. Столько же было подарено фотографий.
Ответ: 12 фотографий.
Граф - дерево
Задача № 3

Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?

Граф - дерево

Способы

1 место
2 место
3 место
Упорядоченные тройки

А
А
А
А
А
Б
Б
Б
Б
Б
В
В
В
В
В
АБВ
АВБ

БАВ
БВА

ВАБ

ВБА
Ответ: 6 способов.
Граф - дерево
 Задача № 4
Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, если цифры в числе могут повторяться?

213        543      753            849          109      760

      376        934       875            777          201

213        543      753            849          109      760

      376        934       875            777

Варианты

1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0

Образовавшееся число
100
101
102
110
111
112
120
121
122
200
201
202
210
211
212
220
221
222
Ответ: 18 чисел
Задачи
 § 4 «Подсчет вариантов с помощью графов»

 На уроках решаются задачи
  №№ 3, 5, 7, 9, 11.

 Домашнее задание
  №№ 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Контрольная работа
 1 вариант
С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться.
Анна, Белла и Вера купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти места.
У лесника три собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.
Контрольная работа
 2 вариант
Перечислить все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 8, 9 и 0, если: а) одинаковых цифр в числах не должно быть; б) цифры в числах могут повторяться.
Из трех стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Иван решил последовательно выпить два. Перечислить все варианты, которыми это можно сделать.
У Марии 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Марии?


title: Скачать презентацию или конспект Измерительные приборы

extracted_text:
Измерительные приборы

Линейка
Для измерения расстояний
применяется линейка
Часы
Для измерения
 времени
используются часы
Рычажные весы
 Для измерения массы тел служит  весы.
 Цифрами обозначено: 1 – левая чаша,
 2 – стрелка (указатель равновесия), 3 – рычаг-коромысло, 4 – футляр с гирями (разновесом),
 5 – правая чаша, 6 – основание весов.
 Весы
Платформенные
Электронные

Медицинские
Эталон массы
Единица измерения массы
 – 1 килограмм.
Массу точно 1 кг имеет
только единственная в мире гиря – так называемый международный эталон килограмма.
Он сделан из особого металла, имеет цилиндрическую форму.
Эталон массы
хранится в специальном помещении
в городе Севре близ Парижа.
Динамометр
Он предназначен для измерения сил
 (греч. "динамис" – сила). Единица измерения силы называется 1 Ньютон (1 Н), в честь Исаака Ньютона.
Этот шуточный рисунок иллюстрирует измерение динамометром силы, с которой рука тянет упирающегося ослика.

Манометр
 Для  измерения давления служат жидкостные манометры.
Барометр - анероид
Барометры-анероиды
 (греч. "анероид" – безжидкостный) применяют для измерения атмосферного давления.

Ртутный барометр
Трубка со ртутью и линейка также могут служить в качестве простейшего барометра – прибора для измерения атмосферного давления.
 Единица измерения давления - Паскаль, названная в честь
 Блеза Паскаля.
Психрометр
Психрометр – прибора для определения температуры и влажности воздуха.
Психрометр имеет два термометра: "сухой" и "влажный".
Они так называются потому, что конец одного из термометров находится в воздухе, а конец второго обвязан кусочком марли, погруженным в воду.
Электроизмерительные приборы
Для измерения силы тока используют   амперметр,названный в честь А.Ампера.

Для измерения напряжения
 используют прибор вольтметр, названный в честь А. Вольта.
Термометр
Для измерения температуры используют термометры.
Исаак Ньютон( 1643 года - 1725)
Английский астроном, математик и физик, создатель классической механики, разработал интегральное исчисление.
 Открыл дисперсию света, развил корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп.

Паскаль Блез( 1643 года - 1725)
Французский математик, физик, философ и писатель.
 Сформулировал одну из теорем проективной геометрии, сконструировал суммирующую машину.
 Один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон.
 Сыграл значительную роль в формировании французской классической прозы.

Александр Вольта (1745-1827)
Итальянский физик, химик, и физиолог, изобретатель источника постоянного электрического тока.
 Член лондонского королевского общества и Парижской Академии Наук.

Андре Мари Ампер( 1775 года -  1836)
Французский ученый, один из основоположников электродинамики.
Предложил правило для определения действия электрического тока на магнитную стрелку.
Построил первую теорию магнетизма.


title: Скачать презентацию или конспект Устные приёмы сложения и вычитания чисел, оканчивающихся нулями, в пределах 1000

extracted_text:
Урок математики
  Тема: «Устные приёмы сложения и вычитания чисел, оканчивающихся нулями, в пределах 1000»

страна
Математика

380
803
235
490
400
670
2сот.3 дес.5ед.
 4сот.
 8сот.0дес.3ед.
3сот.8дес.0ед.
49дес.
 67дес.

803
380
400
235
670
490
Замени суммой разрядных слагаемых
  905=         +

820=         +

590=         +

208=         +
Раздели на группы
   1 группа                                  2 группа

Найди лишнее выражение
400+60

670-70

570+9
300+200
11 марта.
Классная работа.
Тема: Устные приёмы сложения и вычитания чисел, запись которых оканчивается нулями, в пределах 1000.
300+200=

60+70=

150-90=

3сот.+2сот. = 5 сот.=500
6 дес. + 7 дес.=13 дес.=130
15дес.- 9 дес. =6 дес.=60
300-200=

400-300=

 90+80=

160-70=
100
170
90
100
Задача.
                - 400г

               -?,на 100г б.

?
Проверь себя
Ключ

Молодцы, ребята!

 Вы работали
очень хорошо!

  До встречи
  на следующих
  уроках!

Домашнее задание
с. 54  №1 (2 строчка)


title: Скачать презентацию или конспект Симметрия. Виды симметрии

extracted_text:
Симметрия.Виды симметрии
 Урок математики в 6 классе
Учитель Чаюкова Н.А.

Центральная симметрия фигур
Центральная симметрия

     А
  В
  С
А1
С1

А
В
С
О
С1
А1
В1

Симметричность фигуры относительно точки

A
B
C
D
O

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Какие буквы имеют центр симметрии?
О
Ф
S
И
Х
Z

http://www.point.ru/photo/galleries/12876/

Симметричность точки относительно прямой

A1
A

a

O
A A1

a
Т

AO = OA1

Подумай!

Какие из данных фигур имеют ось симметрии? Сколько?

Фигуры, симметричные относительно прямой
Фигуры, симметричные относительно прямой
Осевая симметрия: бабочки
Осевая симметрия:жуки
Осевая симметрия:звери и птицы

Практическое применение:Вышивка, вязание
Паркет
Ювелирные украшения
Витражи
Кованые решетки
Руки подняли и покачали –Это деревья в лесу.
Руки подняли, кисти встряхнули –Ветер сбивает росу.
В стороны руки, плавно помашем -
Это к нам птицы летят.
Как они сядут, тоже покажем – Руки отводим назад.
Как головою между листвою Дятел деревья долбит,
Как на рыбалку и вперевалку Гусь за гусыней спешит.
Вот удивились, остановились Гуси у самой реки.
Голову выше, тихо, неслышно Сядем, как мотыльки.

                Определить фигуры:
 обладающие центральной симметрией и указать их центр;
  обладающие осевой симметрией и указать ось  симметрии;
 имеющие обе симметрии.

ОКНО

СНЕЖОК

ЗВОНОК

КОНЕК

СЕНО

СОК

НОС


title: Скачать презентацию или конспект Сравнение обыкновенных и десятичных дробей

extracted_text:
Сравнение
обыкновенных и десятичных
  дробей
Математика 5-6 класс

Комментарии
Уважаемые пользователи!
	Данная презентация разработана в качестве цифрового образовательного ресурса по теме «Дробные числа» (математика, 5-6 класс). В ней приводится несколько примеров сравнения дробных чисел.
	Анимационные эффекты настроены с использованием триггера. Объекты и эффекты появляются после щелчка по управляющим кнопкам РЕШЕНИЕ, ПРАВИЛО.
	К слайдам прилагаются комментарии в поле Заметки к слайду.
	Показ слайдов управляется пользователем с помощью кнопок НАЗАД, ДАЛЕЕ, ВЫХОД.

Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

Правило сравнения обыкновенных дробей
с одинаковыми знаменателями
больше
----------
та, числитель которой
больше
----------
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями

меньше
ПРАВИЛО 1
меньше
ПРАВИЛО 2
(6 < 11)
1

РЕШЕНИЕ
<

и
Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

Правило сравнения обыкновенных дробей
с одинаковыми числителями
больше
----------
меньше
та, у которой знаменатель
больше
----------
меньше
Из двух дробей с одинаковыми числителями

ПРАВИЛО 1
ПРАВИЛО 2
(33 < 45)
2

РЕШЕНИЕ
>

и
Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

Правило сравнения обыкновенных дробей
с разными знаменателями
Для сравнения дробей с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю и сравнить числители полученных дробей

8 < 15,
3
РЕШЕНИЕ
<
и
=
=
=
=

<
Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

Правило сравнения десятичных дробей
Десятичные дроби сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда.

4

РЕШЕНИЕ
<

и
Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

5

РЕШЕНИЕ
>

и
Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

6

РЕШЕНИЕ
<
и

Сравнение обыкновенных и десятичных дробей
Математика 5-6 класс

Спасибо!

Ресурсы

ВЫХОД

 И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Математика, 5.
– М.: Мнемозина, 2008
 Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Волков. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов.
– М.: Просвещение, 1989


title: Скачать презентацию или конспект Виды часов

extracted_text:
Выполнила:
Ученица 2 класса
Шевницына Настя
Виды часов
Цель:
Изучить виды часов и их историю
Задачи:
Изучить историю создания часов
Выяснить какие виды часов бывают
Часы – прибор для определения
текущего времени суток
В нашей стране первые
часы были сделаны
в 1404 году монахом
Лазарем Сербиным.
Их установили
в Московском Кремле
на самой высокой башне.
Водяные часы – большая чаша
с маленьким отверстием
в дне и специальными
делениями на
внутренней
поверхности
Впервые появились в Китае.
Далее разновидность
огненных часов появилась в
Европе.
По всей длине свечи нанесено
двадцать четыре деления.
Свеча, сгорая, уменьшалась
на одно деление в час.
Огненные часы
Солнечные часы
Более 2500 лет назад вавилоняне придумали солнечные часы: небольшой стержень стали укреплять на плоской доске, размеченной линиями, - это и был циферблат солнечных часов, а тень от стержня служила часовой стрелкой.
Механические часы
Часовая стрелка
Зубчатое колесо
Вал (чтобы сильно не раскрутился –
придумали тормоз-маятник),
который позволял зубчатому
колесу передвигаться на 1 зубок.
В XVв придумали пружину,
которую заводили с помощью
ключа. Пружина раскручивалась,
кружила вал         зубчатые
колесики         стрелку.

Карманные
Наручные
Настенные
Уличные
Башенные
Напольные
Каминные
8.Настольные
Виды механических часов
Будильник
Будильник-пушка
В пушку, соединенную с будильником, засыпали порох и в ровно назначенное время над вашим ухом бабахала пушка
Будильник-качалка
Будильник был соединен с кроватью. В ровно назначенное
время кровать начинала ходить ходуном.
Будильник - духи
Будильник, который, скажем в ровно в 12 часов начинал брызгать духами или лимонадом
Главные часы России
7 лет Михаил Бронников
изготавливал деревянные часы
Мастеру этих часов выкололи глаза,
чтобы он не смог построить такие же
В ПРАГЕ часы с трёхэтажный дом
Король отказался от престола. Он изготовил самые маленькие часы
Маленькие часы
дамы носили на шее, в ушах,
в прическе…
Спасибо
за
внимание


title: Скачать презентацию или конспект Нахождение дроби от числа и числа по его дроби

extracted_text:
Тема урока «Нахождение дроби от числа и числа по его дроби»

Цель урока: научиться находить дробь от числа и число по его дроби, решать текстовые задачи.

I.Прочитай задачи, запиши краткое условие,реши задачи.II.Cоставь свою стратегию решения  задач.
1.Масса вяленой рыбы составляет 55% массы свежей рыбы. Сколько нужно взять свежей рыбы, чтобы получилось 231 кг вяленой?
2.Посадили 500 горошин. Взошло 65%. Сколько горошин взошло?
III. Проанализируй свою стратегию c помощью  вопросов для анализа стратегии.
1.Какую цель ты поставил перед собой для выполнения задания? Записал ли ты условия достижения цели?
2.Подумал ли ты, какие ответы должны получиться в результате решения каждой задачи?
3.Как ты описал в своей стратегии работу над условием задач?
4.Прописал ли ты свой первый шаг, второй, третий …
5.Получил ли ты результат, который запланировал?
6. Определил ли ты, какие элементы стратегии отражают твои успешные действия?
7.Как ты понял, что справился с заданием?
8.Какие  эффективные шаги следует добавить тебе в свою индивидуальную стратегию?
9.Записал ли ты свою скорректированную стратегию?

IV.Проверь ответы:
№1 Ответ: 420 кг свежей рыбы.

№2 Ответ: 325 горошин взошло.

Если ты получил верные ответы, продолжи решение: №632 (1,3)
Если нет, то подумай, в чем ты ошибся и выполни работу над ошибками

С помощью своей стратегии реши самостоятельную работу.
1.Найдите значение величины, если 0,85 её равны 340 г.
2.Найдите 25% от 50кг.
3.Трактористы вспахали поле за 3 дня. В первый день вспахали 4/7 поля, во второй день-40% поля, а в третий день –остальные 48га.Найдите площадь поля.

Задание на дом.
№ 679(1),
Составь 2 задачи различного типа на дроби и реши их с помощью своей стратегии.
Запиши стратегию в тетрадь для конспектов.
Подведение итогов урока.
Какие цели ты ставил перед собой в начале урока? Насколько успешно  они реализованы? Чему научился, чем овладел, чем доволен или не доволен?
У кого остались проблемы с решением задач по теме урока?
Какой смайлик соответствует твоему настроению?


title: Скачать презентацию или конспект Физический и геометрический смыслы производной. Уравнение касательной к графику функции

extracted_text:
ТЕМА УРОКА:
«Физический и геометрический смыслы производной. Уравнение касательной к графику функции»

Цели урока:
• Проверить умения  применять формулы и правила вычисления производных. Знать физический и геометрический смысл производной, уравнений касательной к графику функции.
• Развивать мышление, речь, умение комментировать, тренировать память.
• воспитывать трудолюбие, чувство товарищества и взаимопомощи.
Девиз урока:
Плохих идей не бывает
Мыслите творчески
Рискуйте
Не критикуйте

Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

Тест-прогноз
Критерии оценки
Работа в группах
РАСШИФРУЙТЕ, КАК ИСААК  НЬЮТОН
НАЗВАЛ  ПРОИЗВОДНУЮ  ФУНКЦИИ
Ф   л   ю  к    с   и   я
Самостоятельная работаНапишите уравнение касательной к графику функции у=f(x)  в точке с абсциссой   .вариант 1                          вариант 2
п. 13-15
 №204 (а, б)
№187 (в, г)
Домашнее задание
Подведение итогов

Спасибо за урок!


Скачать презентацию или конспект Умножение до 100


title: Скачать презентацию или конспект Геометрия Лобачевского

extracted_text:
Научно-исследовательская
 работа по математике
 на тему
 "Геометрия Лобачевского"
Выполнил ученик 11 класса Баранов Олег
Руководитель: учитель математики Бунакова Ольга Николаевна
МОУ Первоманская СОШ №2
30.11.2009
Гипотеза

Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома (V постулат Евклида) – лишняя, т.е. она может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом, но большинству из них так ничего и не удалось. Одним из тех, кто попытался сделать переворот в геометрии был Николай Иванович Лобачевский. Возможно, именно его геометрия способствовала бурному развитию современной геометрии.
Проблема:
Большинство современных людей даже не знают о том, кто такой Николай Иванович Лобачевский и что он сделал для развития геометрии. Возможно они даже и не пытались узнать об этом.
Эта работа поможет больше узнать о трудах этого человека, а кому-то углубить свои знания!
Цели:
1) Расширение знаний в области математики

2) Закрепление навыков по созданию научно-исследовательских работ

3) Выступление с научно-исследовательской работой на различных мероприятиях

Задачи:
1) Нахождение и обработка информации

2) Создание научно-исследовательской работы

3) Разработка стратегии выступлений
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.
Основное
 содержаниние
" геометрии Лобачевского"
1) В Лобачевского геометрии не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому, как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность p — (a + b + g), где a, b, g  — углы треугольника, пропорциональна его площади.
3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b', которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского.
4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.

9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии.
Применение
 "геометрии Лобачевского"
Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского  помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».

 Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел».
Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теорией относительности .
  Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского.

Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
Приложения
(модели)

Пучок параллельных прямых в геометрии Лобачевского
Острый угол в геометрии Лобачевского
Расположения трех прямых на плоскости Лобачевского

В 1868 году итальянский математик Э.Бельстрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского!

В модели Клейна выполняются и многие аксиомы геометрии Лобачевского.
Модель Пуанкаре: . За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
 Окружности Лобачевского в интерпретации Пуанкаре изображаются евклидовыми окружностями, целиком лежащими в верхней полуплоскости

    Орициклы изображаются евклидовыми окружностями верхней полуплоскости, касающимися оси XX, при условии исключения точки касания
Литература:
1) А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, Геометрия М: Просвещение, 1991).
2) Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. Просвещение, 1998

3) Каган В.Ф. Лобачевский. М., 1948.

4) www.yandex.ru

5) Вахтин Б.М. Великий русский математик Н.И. Лобачевский. М., 1956

6) Широков П.А.: Краткий очерк основ геометрии Лобачевского.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!


title: Скачать презентацию или конспект Метод площадей при решении геометрических задач

extracted_text:
Метод площадей при решении геометрических задач
Выполнил:  ученик 10 Б класса
МОУ  «Лицей №15»
 им. акад. Ю.Б. Харитона
Сулоев Илья
Руководитель: Теленгатор  С.В.

Саров - 2011г.
Cодержание

Введение
     В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи.
     При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи. Один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Свойство

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.
Доказательство: Рассмотрим ∆ABC и ∆ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые  AC и  BD параллельные, то расстояние между ними равно h  - высоте ∆ABC и ∆ADC. Если площадь треугольника находится по формуле S=0,5·a·h, то SАВС=0,5·AC·h , SADC=0,5·AC·h, SAEC=0,5·AC·h. Значит,
SAEC= SABC =SADC

1
Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).
Доказательство: Пусть h₁ = h₂  в двух треугольниках с основаниями a  и b.Рассмотрим отношение площадей этих треугольников S1:S2=(0,5·а·h1):(0,5·b·h2).Упростив, получим S1:S2=a:b.
Свойство
2
Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающихэтот угол.
Свойство
Доказательство: Рассмотрим ∆ABN  и ∆MBC с общим углом B , где AB = a, BN = b,   MB = a1  и BC = b1. Пусть S1 = SMBC  и S = SABN . Используя формулу площади треугольника вида S=0,5absinγ, рассмотрим отношение площадей ∆ABN  и ∆MBC . Тогда  S1:S=(0,5·a1·b1·sin ∠B):(0,5·a·b·sin∠B). Упростив, получим S1:S=(a1·b1):(a·b).
3
Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.
Свойство
Доказательство: Рассмотрим  ∆ABC  и ∆MBN. Пусть AB = k·MB, BC = k·NB  и ∠ABC = ∠MBN. Используя формулу площади треугольника вида S=0,5·a·b·sin ∠γ, рассмотрим отношение площадей ∆ABC и ∆MBN.   Тогда   SABC:SMBN = (0,5·AB·BC·sin∠B):(0,5·MB·NB·sin∠B) = (k·NB·k·MB):(MB·NB)=k² .
4

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Свойство
Доказательство:  Рассмотрим ∆ABC , где  BM – медиана , тогда AM=MC=0,5·AC. Медиана делит треугольник на два равновеликих. Найдем площади треугольников  ∆ABM и ∆MBC  по формуле S=0,5·a·h. Получим, SАВМ=0,5·AM·h  и SМВС= 0,5·MC·h. Значит,  SАВМ=SМВС.
5
Медианы треугольника делят его на три  равновеликие части.
Свойство
Доказательство:  Рассмотрим ∆ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ∆AOB, ∆BOC, ∆AOC. Пусть их площади равны соответственно  S1,  S2,  S3. А площадь  ∆ABC равна  S. Рассмотрим ∆ABK и  ∆CBK, они равной площади, т.к.  BK медиана. В треугольнике ∆AOC  OK - медиана, значит, площади треугольников ∆AOK и ∆COK  равны. Отсюда следует, что S1 = S2. Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .
6

Средние линии треугольника площади S  отсекают от него треугольники площади ¼·S .
Свойство
Доказательство:  Рассмотрим ∆ABC. NM - средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то SNBM=0,5·NM·h1=0,5· (0,5·AC) ·(0,5·h)=0,25·S. Аналогично, можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ∆ABC.
7

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
Свойство
Доказательство:  По свойству №7 площади ∆AOB, ∆BOC, ∆AOC равны. По свойству №5 площади   ∆AOM, ∆BOM  равны. Значит  S1 = S6 . Аналогично S2 = S3. Если  S1 + S6 = S2 + S3  и 2S1 = 2S2  значит  S1 = S2. И так далее. Получим, что все шесть треугольников имеют равные площади и они составляют шестую часть от площади ∆ABC.
8

    Утверждение 1  Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты и основания.
Задача 1. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.
Решение. Высоты треугольников ABD и BCD равны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1  S∆ABD = S∆BCD
Задача 2. На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е. Зная, что S∆ABE = S, найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение. Проведем дополнительное построение: КЕ||AD. Тогда из задачи 1 следует, что  S∆KBE = S∆CBE, а S∆AKE = S∆ADE. Отсюда, SABCD = 2S.
     Задача 3. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD взяты произвольные точки M и N. Докажите, что площадь четырехугольника KMEN равна площади четырех образовавшихся треугольников.
Решение.  Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S∆KME = S∆KMB + S∆MEC, а S∆KNE = S∆AKN + S∆EDN .
 Отсюда, S∆KMEN = S∆KMB + S∆MEC + S∆KNE + S∆EDN.
Утверждение 2.
  Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Задача 4. В параллелограмме ABCD точка К – середина АВ, а L – середина ВС. Зная, что SKBLD = S, найдите SABCD .
Решение.
Проведем диагональ ВD. Тогда,
 исходя из утверждения 2, получим,
что SABCD = S.
Задача 5. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.
Решение.
В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь
S∆AOB = S∆BOC = S∆COD =S∆DOA
Задача 6. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так, что АС = СD. Пусть М – середина стороны АВ, а К – точка пересечения отрезков ВС и МD. Докажите, что площадь треугольника ВКD равна площади четырехугольника АМКС.
Решение.
В треугольнике АВD  DМ и ВС – медианы. Поэтому S∆AMD =S∆BMD  и  S∆ACB = S∆CDB.
 Эти равенства можно записать так: SAMKC+ S∆CKD = S∆СDK + S∆BKD, SAMKC + S∆MBK = S∆CKD + S∆BKD
Сложив эти равенства и упростив выражение, получим SAMCK = S∆BKD .
Задача типа С4 на ЕГЭ
Медиана BM  ∆ABC равна его высоте  AH.
Найдите угол MBC.

Решение.  Пусть  ∠MBC = α .  Найдем  площадь треугольника  АВС   двумя  способами.  Так  как
медиана ВМ треугольника АВС разбивает его на два равновеликих треугольника, то
SABC=2SCBM=2·0,5·BC·BM·sinα=BC·BM·sin α
С другой стороны, SABC=0,5·BC·AH. Учитывая, что AH=BM,  приравняем площади BC·BM·sin α=0,5·BC·AH. Получаем, что sinα=0,5. Отсюда α=30° или α=150°.

Список литературы.
http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=440813
http://artgrafica.net/2010/05/14/free-power-point-templates.html
http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=814114
http://www.etudes.ru/


title: Скачать презентацию или конспект Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

extracted_text:
Формулы для радиусов
вписанной и описанной окружностей
треугольника

9 класс

Заполните таблицу:

Домашнее задание

Задачи 1,2 (из таблицы).


title: Скачать презентацию или конспект Теорема Эйлера и ее применение

extracted_text:
Вершины, ребра и грани
Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника.
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Из приведенной таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для рассмотренных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера.
     Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство
В - Р + Г = 2,
где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.
Задача о трех домиках и трех колодцах
Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?
Ответ: Нет.
Упражнение 1
Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы?
Ответ: Да.
Упражнение 2
Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды?
Ответ: Да.
Упражнение 3
Приведите пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера.
Упражнение 4
Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер?
Ответ: а) В = 6, Г = 8;
б) В = 7, Г = 10.
Упражнение 5
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15?
Ответ: а) В = 8, Г = 6;
б) В = 10, Г = 7.
Упражнение 6
Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника.
Ответ: В = 8, Г = 6, куб.
Упражнение 7
В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника.
Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.
Упражнение 8
Чему равна эйлерова характеристика многогранника (В – Р + Г, где В – число вершин, Р – рёбер и Г – граней многогранника), представленного на рисунке?
Ответ: 0.
Упражнение 9
Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду? Изменится ли В – Р + Г?
Ответ: Пусть пристроена n-угольная пирамида, тогда количество вершин станет (В+1), рёбер - (Р+n), граней - (Г+n). В – Р + Г не изменится.
Упражнение 10
Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если от него отсечь один из многогранных углов? Изменится ли В – Р + Г?
Ответ: Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет (В+m-1), рёбер - (Р+m), граней - (Г+1). В – Р + Г не изменится.


title: Скачать презентацию или конспект Решение систем способом подстановки

extracted_text:
Тема: «Решение систем, содержащих уравнение второй степени способом подстановки».
pptcloud.ru
1. Вычислите.
32  ; 102   ; 122   ;
;
;
2. Назовите  3 решения уравнения:
а) х – у = 1;        в) 6 + 0х = 2у;

б) ху = 0;             г) 0х + 0у = 0.

3.  Выразите переменную х через у:
а) у + х = 5;           г) ху = 2;

б) у – х = 17;         д) х – 3у =0.

в) 2х – 10у = 2;
4. Представьте в виде многочлена:
 а) (3 + у)2 ;

б) (а – 2)2
5. Являются ли решением системы

         х + у = 4,
     ху = 3;

Пары чисел (2;2) ; (3;1); (6;-2).

5. Решите систему уравнений:

  х + у = 2,
  х2  + у2  = 2.

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.
 Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы;
Подставить полученное выражение в другое уравнение системы вместо этой переменной;
Решить полученное уравнение с одной переменной;
Найти значения соответствующие второй переменной.

х2 + у2 = 41,  х2 + у2 = 41,      х2 + (1 + х)2=41,
 у – х = 1;      у = 1 + х;         у = 1 + х;

х2+ 1 + 2х + х2- 41= 0,  2х2  + 2х – 40 = 0,
у = 1 + х;                        у = 1 + х;

х2  + х – 20 = 0,
у = 1 + х;
Решим первое уравнение системы:
х2  + х – 20 = 0,

Х1=

Х2=

Подставим эти значения во второе уравнение системы:
  х1= 4, х2= -5,
  у1 = 1 +4 = 5, у2= 1 + (-5) = -4.

Ответ: (4; 5); (-5; -4).

 х= 10 – 3у,   х = 10 – 3у,       х = 10 – 3у,
 ху = 3;          (10 – 3у)у = 3;  10у – 3у2  - 3 = 0;
Решим второе уравнение системы:
-3у2 +10у – 3 = 0,
 3у2 - 10у + 3 = 0,

У1 =

у2 =                        ;

Подставим эти значения в первое уравнение системы:

  х1= 10 – 3   3=1, х2= 10 – 3        = 9,
  у1= 3, у2= ⅓

Ответ: (1; 3); (9; ⅓).

                                         Подберите второе уравнение так, чтобы оба уравнения составляли систему:

 у = х + 2,
 …   .


title: Скачать презентацию или конспект Имена великих математиков

extracted_text:
Великие математики.
Дорогие друзья!
	Не секрет, что некоторым из вас уроки математики в школе кажутся чересчур сложными и даже порой скучными. И вы, наверняка, никогда не задумывались, что за безликими рядами цифр, формул, теорем и сложнейших умозаключений стоят удивительные судьбы многих людей, вдохновленных и влюбленных в «царицу всех наук».
	Материалы собранные в нашу презентацию пригодятся вам не только для подготовки сообщений и докладов к урокам математики. Интересные факты из биографий ученых-математиков, истории научных открытий. 	Полученная из выступления информация поможет вам взглянуть на математику с другой стороны и не только расширит ваш кругозор, но и, возможно, пробудит заинтересованность к одному из важнейших школьных предметов.
Несколько слов об алгебре
	Слово алгебра произошло от названия сочинения Мухаммеда аль Хорезми «Аль-джебр и аль-муклбала», в котором впервые алгебра излагалась как самостоятельный предмет. В этом древнем источнике эго арабское слово означало «восстановление». Термин «алгебра» как название искусства восстановления у арабов перешел и в медицину. И м стали называть и искусство врача, которое возвращает человеку руку или ногу. Эти два значения слово «алгебра» имеет в испанском и португальском языках. В романе М. Сервантеса «Хитроумный идальго дон Кихот Ламанчский», например, рассказывается, как дон Кихот, сбив с лошади своего противника, находит алгебраиста для оказания помощи побежденному противнику. Мы бы сейчас сказали, что изувеченному человеку необходима помощь хирурга. В последних изданиях романа «Хитроумный идальго дон Кихот Ламанчский» слово алгебраист уже заменено словом костоправ.
	В русском языке слово «алгебра» известно с начала XVIII в. В первом издании «Арифметики» Магницкого 1703 г. это слово употребляется с ударением на е: алгёбра, алгёбрум (но алгебраический и алгебраика).
	Сегодня словом «алгебра» называется один из разделов математики, изучающий свойства и отклонения величин, выраженных буквами, независимо от их конкретного числового значения.
Пифагор(около 570 - около 500 до н. э.)
	Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним свидетельствам подлинную картину его жизни, учения и достижений восстановить сложно. Однако существует множество легенд об этом древнегреческом математике и мудреце.
	Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте появился в греческом городе Кротоне на юге Италии (по преданию, Пифагору было тогда 40 лет).
	Пифагор и его последователи - пифагорейцы - образовали тайный союз, игравший заметную роль в жизни греческих колоний в Италии. Они узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику - пентаграмме.
	Мир чисел для пифагорейцев жил особой жизнью, каждое число имело свой особый жизненный смысл. Например, числа, равные сумме своих делителей, считались совершенными (б, 28, 496, 8128), дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого (220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные. Ему приписывают высказывание: «Все есть число». К числам Пифагор хотел свести весь мир, и математику в частности (при этом он имел в виду лишь натуральные числа).

	Самое известное из его открытий - это, конечно, теорема о том, что в треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Повод для этого открытия был самый прозаический. Нужное было решить задачу, с которой сталкивается любой землемер или строитель: как по данному квадрату построить квадрат, вдвое больший? Пифагор решил ее так: нужно провести через квадрат диагональ и построить на ней еще один квадрат, который и будет вдвое больше данного. Пифагор объявил, что сами боги подсказали ему это решение, и принес им самую щедрую жертву, какую только знало греческое благочестие, гекатомбу, то есть стадо из 100 голов скота.

	У Пифагора было много учеников, которых он обучал в течение 15 лет. Первые пять лет они должны были молчать: это приучало их сосредоточенности. Вторые пять лет ученики могли только слушать речи учителя, но не видеть его: Пифагор говорил с ними ночью и из-за занавеси. И только последние пять лет ученики могли беседовать с учителем лицом к лицу. Наставления Пифагора начинались словами: «Самое священное на свете - лист мальвы, самое мудрое - число, а после него - тот из людей, кто дал всем вещам имена».
	Когда ученики Пифагора просыпались, они должны были произносить такие стихи:
	Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, думой раскинь, какие дела тебе день приготовил.
	А перед сном такие:
	Не допускай ленивого сна на усталые очи,
	Прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: Что я сделал? чего я не сделал? и что мне осталось?
	Пифагор говорил так: «Главное - это отгонять от тела болезнь, от души - невежество, от утробы - сластолюбие, от государства - мятеж, от семьи - раздор, отовсюду - нарушение меры».

	Как и семь мудрецов, он давал наставления о том, как надо жить: «Боги дали людям две благодати: говорить правду и делать добро». Семь мудрецов, как правило, говорили предельно кратко и ясно, а Пифагор нарочно говорил загадочно, иносказательно. Вот, к примеру, некоторые из его заветов и наставлений: «Не разгребай огонь ножом», вНе ходи по качающемуся бревну», «Не наступай на обрезки волос и ногтей», «Помогай ношу взваливать, а не сваливать», «Что упало, не поднимай», «Не разламывай хлеба надвое». Не правда ли, очень странные и загадочные наставления, особенно такое: «Обувай первой правую ногу, а мой левую»? Некоторые отгадки сохранились.
	«Не разгребай огонь ножом» - человека надменного и вспыльчивого не задевай резкими замечаниями. «Помогай ношу взваливать, а не сваливать» - поощряй людей не к праздности, а к добродетели и к труду. «Что упало, не поднимай» - перед смертью не цепляйся за жизнь.
	«Не разламывай хлеба надвое» - не разрушай дружбы. «Через весы не шагай» - соблюдай во всем меру. «По торной дороге не ходи» - следуй не за мнением толпы, внимай немногим понимающим.
	Самое знаменитое его наставление - не есть бобов. И в древности, и в новое время объяснений ему было немало: и потому, что это слишком насыщенная белками пища, и потому, что с виду они похожи на аидовы врата, и потому, что они состоят из двух половинок, точно так же, как человек, у которого две руки, две ноги и т. д.

	Из-за бобов Пифагор и погиб. Он жил в городе Кротоне в Италии. Знать его почитала и училась у него, а простой народ ненавидел. Однажды против Пифагора и его учеников вспыхнуло восстание. Пифагор бежал, за ним гнались. Впереди было поле, засеянное бобами. Пифагор остановился: «Лучше погибнуть, чем потоптать бобы». Здесь его и убили.
	Почему же Пифагор и его ученики так много занимались математикой? Почему потом Платон, многое перенявший от пифагорейцев, написал на дверях своей школы: «Не знающим геометрии вход воспрещен»? Потому что знание математики более всего приближает человека к богам. Чем? Тем, что даже бог не может сделать, например, так, чтобы дважды два не равнялось четырем. Если есть в мире законы, которым повинуется все на свете и люди, и боги, то это, прежде всего, законы математические. Кто знает математику, тот знает то, что выше бога.

Теорема Пифагора
	Если дан нам треугольник
	притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим -
	таким простым путем
	к результату мы придем.
Фотография
Эварист Галуа(1811-1832)
		Научное наследие этого ученого представлено очень небольшим числом довольно кратких работ. Математические работы, обессмертившие его имя, занимают чуть более 60 страниц. Из-за своей новизны идеи Галуа не были поняты и признаны при его жизни.
	Он прожил всего 20 лет, из которых пять посвятил математике. В 15 лет Галуа открыл для себя математику и с тех пор, по словам одного из его преподавателей, юноша «был одержим демоном математики». Г1о характеру он был очень увлекающимся, страстным, и это часто приводило его к конфликтам с окружающими и с самим собой. Галуа недолго задержался на элементарной математике и очень скоро оказался на уровне современной науки. Когда ему было 17 лет, его учитель Ришар констатировал: «Галуа работает только в высших областях математики». Ему не исполнилось и 18 лет, когда была опубликована его первая научная работа. Правда, в те же годы ему два раза подряд не удалось сдать экзамены в Политехническую школу - самое престижное учебное заведение Франции того времени. В 1830 г. Галуа поступил в привилегированную Высшую школу, готовившую преподавателей. За год учебы им было написано несколько научных работ (исключительный интерес представляла работа по теории чисел).
	События французской революции захватывают ученого, он страстно увлекается политикой. Галуа присоединяется к республиканской партии - Обществу друзей народа, - недовольной политикой Луи Филиппа. Из-за этого возникает конфликт с директором школы, и в 1831 г. его исключают из числа студентов.
	В январе 1831 г. Галуа представил в Парижскую академию наук свои исследования о решении уравнений в радикалах. Однако Академия отвергла работу ученого - идеи были слишком неожиданны и новы. В это время Галуа находился в тюрьме, в которую после освобождения тут же попадает снова (за попытку организовать манифестацию в годовщину взятия Бастилии). В тюрьме он провел долгих девять месяцев, здесь встретил и свое 20,-летие. После выхода на свободу ему было суждено прожить всего лишь месяц. 30 мая Галуа был тяжело ранен на дуэли и на следующий день умер.
	В день перед дуэлью Галуа обратился в письме к своему другу: «Публично обратись к Якоби или Гауссу с просьбой дать мнение не об истинности, а о значении тех теорем, развернутого доказательства которых я не даю, и тогда, надеюсь, кто-нибудь сочтет полезным разобраться во всей этой путанице». Но работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 г., а признание к нему пришло еще позже, только в 70-е гг. XIX в.
	Научные труды Галуа по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры. С идеями этого ученого связаны такие важнейшие понятия в алгебре, как группа, поле и др. Со временем они стали одними из основных математических объектов.

Фотография
Эварист Галуа
Эварист Галуав пожилом возрасте.
Исаак Ньютон (1643-1727)
	Исаак Ньютон - английский математик, механик, астроном и физик. Ученый родился в Англии (в поместье Вулсторп в графстве Линкольншир) в семье фермера. Мать Исаака была образованной женщиной, что в те времена было явлением довольно редким. Отец умер сразу же после рождения сына. Сельскую школу Ньютон начал посещать в семь лет и страстно увлекся математикой. Кроме того, мальчик много читал и проявлял склонность к изобретательству. Казалось, не было такой машины, модель которой Ньютон не смог бы сделать. Он, например, смастерил часы, которые шли посредством движения воды и были довольно точными. В другой раз юный изобретатель создал маленькую модель мельниць1, которая действовала как настоящая. Правда, отличие все-таки было. У модели Ньютона был добавочный механизм: ею управлял «мельник» - посаженная мальчиком мышь, одновременно поедавшая намолотую муку.
	После окончания школы Ньютон продолжил учебу в колледже Тринити в Кембридже. Здесь Исаак увлекся идеями Декарта, Коперника, Галилея, хотя особенных талантов он в то время еще не проявлял. В 1665 г. Англию охватила эпидемия чумы, и все учебные заведения закрылись. По этой причине Ньютон вернулся домой. Именно здесь, в отчем доме, юноша начал свои исследования по физике, астрономии и математике, которые потом буквально перевернули весь научный мир.
	Исааку Ньютону было абсолютно чуждо такое понятие, как гипотеза. Ему принадлежит изречение: «Hypotheses non fingo» (гипотез не измышляю). Все свои результаты и выводы он досконально проверял и перепроверял на опытах, которые проводил не один десяток раз.
	Великий немецкий поэт И. В. Гете сказал о Ньютоне так: «У него был конструктивный ум». Это же отмечал и учитель Ньютона в Кембридже, известный математик Исаак Барроу. Когда Барроу дал Ньютону на просмотр рукопись своей книги, перед тем как ее написать, ученик сделал в ней существенные поправки. Исаак Барроу был так поражен достижениями своего ученика, что рекомендовал его на свое место. И в 1669 г. 26-летний Ньютон получил очень престижную должность в колледже Тринити. С 1672 г. ученый стал членом Лондонского научного королевского общества, а с 1703 г. он являлся его
	президентом.

	Исаак Ньютон открыл дисперсию света, заложил основы классической механики и сформулировал ее основные законы, открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел. Ученый построил телескоп-рефлектор, который сш прообразом всех современных больших телескопов. Все свои открытия Ньютон изложил в знаменитых трудах - «Математические начала натуральной философии» и «Оптика».
	Исаак Ньютон был величайшим ученым своего времени. Однако после перенесенного в 1693 г. тяжелого нервного заболевания он отошел от научной деятельности.
	В 1699 г. Ньютон стал начальником Королевского монетного двора. Под его руководством была проведена перечеканка монет. В 1708 г. он получил рыцарское звание.
	Умер Исаак Ньютон в Лондоне в возрасте 84 лет и похоронен в Вестминстерском аббатстве.

Фотография
Исаак Ньютон
Исаак Ньютон
ГАУСС Карл Фридрих
	Гаусс Карл Фридрих (30.4.1777-23. 2. 1855)- Иоганн Фридрих Карл Гаусс родился 30 апреля 1777г. Едва трех лет от роду он уже умел считать и выполнять элементарные вычисления. Однажды, при расчетах своего отца, который был водопроводным мастером, его трехлетний сын заметил ошибку в вычислениях. Расчет был проверен, и число, указанное мальчиком было верно. В 1784г. Карл пошел в школу. Учитель очень заинтересовался маленьким Гауссом и в 1786г. он получил из Гамбурга специальный арифметический текст. Карл покинул родительский дом в 1788г., когда поступил в школу следующей ступени. Гаусс не терял в новой школе времени даром: он хорошо выучил латынь, необходимую для дальнейшей учебы и карьеры. В 1791г. Гаусс, в качестве одаренного молодого горожанина, был представлен государю. Видимо, юноша произвел впечатление на герцога: тот для начала пожаловал Гауссу стипендию в 10 талеров в год. В 1792г.-1795гг. Гаусс был учеником новой гимназии- Коллегии Карла. Это была школа избранных. Он был принят туда благодаря своим успехам в учебе. За время учебы Гаусс изучил работы Ньютона, "Алгебру" и "Анализ" Эйлера, работы Лагранжа. Первый эффектный успех пришел к Гауссу, когда ему не было еще девятнадцати - доказательство того, что можно построить правильный 17 - угольник циркулем и линейкой.
	В конце 1801г. и начале 1802г. астрономы ожидали появление новой планеты, Цереры. Гаусс пользовался известностью как математик, но не как астроном. Однако его прогнозы относительно орбиты Цереры оказались самыми точными. Успех принес Гауссу много почестей, в том числе и приглашение в Санкт-Петербург на должность директора обсерватории. Это приглашение он не принял. 9 октября 1805г. Гаусс женился на Иоганне Остгроф, дочери дубильщика. В 1807г. он вместе с семьей переехал в Геттинген. Осенью 1809г. Иоганна скончалась от послеродовых осложнений и через месяц умер новорожденный сын. В скоре была объявлена помолвка с Фредерикой Вильгельминой Вальдек, дочерью университетского профессора права. Второй брак был омрачен долгой болезнью жены и конфликтами с детьми. В 1831г. Фредерика умерла. В 1830г. его сын, Евгений отплыл в Филадельфию. В 1832г. другой его сын, Вильгельм, тоже эмигрировал в Америку. Гаусс скончался 23 февраля 1855г.
ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ
	В разностороннем творчестве Гаусса органично сочетались исследования по теоретической и прикладной математике. Работы Гаусса оказали большое влияние на все дальнейшее развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, многих отраслей теоретической астрономии. В "Арифметических исследованиях" содержатся вопросы теории чисел и высшей алгебры, обстоятельная теория квадратичных вычетов, дано первое доказательство квадратичного закона взаимности - одной из центральных теорем теории чисел, подробно излагаются теория квадратичных форм, до того построенная Ж. Лагранжем, и замечательная теория уравнений деления круга, которая во многом была прообразом теории Галуа. Гаусс дал построение правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Эти работы были выполнены в 1796г., когда Гауссу было около 19 лет. Тогда же Гаусс, благодаря постоянным упражнениям, достигает изумительной виртуозности в технике вычислений, составляет большие таблицы простых чисел, квадратичных вычетов и невычетов, выражает все дроби вида 1/p для р от 1 до 1000 десятичными дробями, доведя эти вычисления до полного периода, что в иных случаях требовало несколько сотен десятичных знаков.
	В алгебре Гаусс занимался преимущественно основной теоремой, которой он неоднократно возвращался и дал не менее шести различных доказательств. Все они опубликованы в работах, относящихся к 1803-1817; в этих работах даются также указания относительно кубических и биквадратичных вычетов. Теоремы о биквадратичных вычетах содержатся в работах 1825-1831; эти работы чрезвычайно расширяют область теории чисел, благодаря введению целых гауссовых чисел, т. е. чисел вида a+bi, где а и b-целые числа.

	В связи с астрономическими вычислениями, основанными на разложении интегралов соответствующих дифференциальных уравнений в бесконечные ряды, Гаусс занялся исследованием вопроса о сходимости бесконечных рядов, которые он связал с изучением гипергеометрического ряда ("О гипергеометрическом ряде", 1812). Эти исследования вместе с основанными на них работами О. Коши и Н. Абеля привели к прогрессу в общей теории рядов. Астрономические труды Гаусса (1800-20) также значительны. Он вычислил орбиту малой планеты Цереры, занимался теорией возмущений, написал книге "Теория движения небесных тел" (1809), в которой содержатся положения, до сих пор лежащие в основе вычисления планетных орбит. При составлении детальной карты Ганноверского королевства (прибл. 1820-30) Гаусс фактически создал высшую геодезию, основы которой он изложил в сочинении "Исследования о предметах высшей геодезии" (1842-47). Геодезические съемки требовали усовершенствования оптической сигнализации. С этой целью Гаусс изобрел специальный прибор-гелиотроп. В 1821-1823 Гаусс опубликовал метод наименьших квадратов. Изучение формы земной поверхности потребовало общего геометрического метода для исследования поверхностей. Выдвинутые Гауссом в этой области идеи изложены в сочинении "Общие исследования о кривых поверхностях" (1828). Теория поверхностей Гаусса содержит новую теорему о том, что гауссова кривизна (произведение кривизны главных нормальных сечений) не изменяется при изгибаниях поверхности, т. е. характеризует внутреннее ее свойство (созданная внутренняя геометрия поверхностей послужила образцом для создания n-мерной римановой геометрии). В этой же работе Гаусс ввел криволинейные координаты произвольного вида, доказал формулу Гаусса - Бонне для геодезического многоугольника, определил полную кривизну в точке поверхности. Гаусс измерял углы треугольника, образованного тремя горными вершинами, чтобы выяснить, будет ли сумма углов указанного треугольника равна двум прямым.

	Исследования Гаусса в теоретической физике (1830-1840) явились результатом тесного общения и совместной научной работы с В. Вебером. Вместе с В. Вебером Гаусс создал абсолютную систему электромагнитных единиц (1832) и построил (1833) первый в Германии электромагнитный телеграф. Гаусс создал общую теорию магнетизма, заложил основы теории потенциала. Трудно назвать такую отрасль теоретической и прикладной математики, в которую Гаусс не внес бы существенного вклада. Многие исследования Гаусса не были опубликованы (очерки, незаконченные работы, переписка с друзьями). Очевидно, Гаусс пришел к мысли о возможности неевклидовой геометрии в 1818г. Опасение, что эти идеи не будут поняты и, по-видимому, недостаточное сознание их научной важности были причиной того, что Гаусс их не разрабатывал далее и не публиковал.

ОБЛАСТИ ИНТЕРЕСОВ

	Очень значительны астрономические труды Гаусса (1800-1820). Он вычислил орбиту малой планеты Цереры, занимался теорией возмущений, написал книгу "Теория движения небесных тел" (1809), в которой содержаться положения, до сих пор лежащие в основе вычисления планетных орбит. При составлении детальной карты Ганноверского королевства (приблизительно 1820-1830) Гаусс фактически создал высшую геодезию, основы которой он изложил в сочинении "Исследования о предметах высшей геодезии" (1842-1847). Геодезические съемки требовали усовершенствования оптической сигнализации. С этой целью Гаусс изобрел специальный прибор - гелиотроп. Изучение формы земной поверхности потребовало общего геометрического метода для исследования поверхностей. Выдвинутые Гауссом в этой области идеи изложены в сочинении "Общие исследования о кривых поверхностях" (1828). Исследования Гаусса в теоретической физике (1830-1840) явились результатом тесного общения и совместной работы с В. Вебером, Вместе с В. Вебером Гаусс создал абсолютную систему электромагнитных единиц (1832) и построил (1833) первый в Германии электромагнитный телеграф. Гаусс создал общую теорию магнетизма, заложил основы теории потенциала.
Фотография
Гаусс
Альберт Эйнштейн(1879-1955).
Физик-теоретик, один из основателей современной  физики, иностранный член-корреспондент РАН (1922), иностранный почётный член АН СССР (1926). Родился в Германии с 1893 года жил в Швейцарии, с 1914 в Германии, в 1933 эмигрировал в США. Создал частную и общую теории относительности. Автор основополагающих трудов по квантовой теории света. Развил статическую теорию флуктуаций, создал квантовую статистику Бозе – Эйнштейна. С 1933 работал над проблемами космологии и единой теории поля. В 30-х гг. выступал против фашизма, войны. Получил Нобелевскую премию в 1921, за труды по теоретической физики, особенно за открытие законов фотоэффекта. В честь его назвали искусственно полученный элемент периодической системы – Einsteinium (лат.).
Фотография
Эйнштейн.
Портрет Эйнштена.
Альберт Эйнштейн и Элен Дюкас.
Женщины-математики
Мэри Сомервиль
Софья Жермен
Софья Васильевна Ковалевская
Мария Аньези
Эмилия дю Шатлэ
Гипатия
Мэри Сомервиль
	Англичанка Мэри Сомервиль (1780-1872) вела переписку с такими выдающимися учеными, как Гей-Люссак, Лаплас, Араго и др. Она же написала несколько книг по астрономии и физике. Ее ученица, Ада Байрон (1815-1852), единственная дочь известного поэта Дж. Байрона, творчество которого так любили А. С. Пушкин, М. Ю. Лермонтов и В. Г. Белинский, тоже занималась математикой и была известна своей выдающейся образованностью.
Софья Жермен
	Француженка Софья Жермен (1776-1831) увлекалась математикой с самого раннего детства. Когда она подросла, заниматься наукой всерьез родители ей не разрешили, и она писала свои научные выкладки тайком, по ночам под одеялом. Однажды она написала письмо известному немецкому математику К. Ф. Гауссу с просьбой ответить на вопросы, возникшие у нее в ходе математических исследований. Она подписала свое письмо мужским именем, опасаясь, что знаменитый ученый не захочет уделять внимание женщине, занимающейся математикой. Гаусс, оценив по достоинству талант своего незнакомого корреспондента, выразил желание познакомиться с ним лично.

	Случай для такого знакомства представился в 1807 г., когда французские войска заняли немецкий город Геттинген, в котором жил Гаусс. Софья Жермен просила генерала, командовавшего французскими оккупационными войсками, пощадить жизнь Гаусса, дабы eё не постигла трагическая судьба Архимеда из Сиракуз. Гаусс был глубоко тронут этим фактом и до конца жизни хранил уважение и дружбе к Жермен. 	В 1816 г. Софье Жермен была присуждена премия Парижской академии наук за исследования по теории упругости.

Софья Васильевна Ковалевская
Выдающаяся русская женщина математик Софья Васильевна 	Ковалевская (1850-1891) родилась в Москве 15 января в семье артиллерийского генерала В. В. Корвин-Круковского. Ее математически способности проявились впервые, когда ей было 13 лет.

Софья Ковалевская
Софья Васильевна
Мария Аньези
	Итальянка Мария Аньези (1718-1799) была первой в мире женщиной, занимавшей должность профессора математики в старейшем Болонском университете. Она написала «Курс анализа для употребления итальянского юношества», в котором привела оригинальные доказательства многих теорем, а также геометрический трактат.
Эмилия дю Шатлэ

В XVI-XVIП вв. выделяются своим образованием несколько женщин, учителями которых были знаменитые математики: Виет, Декарт, Эйлер. Одну из своих книг Эйлер даже так и назвал - «Письма к принцессе».
В XVIII в. во Франции своей необыкновенной образованностью славилась маркиза Эмилия дю Шатлэ (1706-1749), которая перевела с латинского на французский язык знаменитое произведение Ньютона «Математические начала натуральной философии» (грандиозный труд, в котором изложены учение о всемирном тяготении и принципы классической механики).
Перевод Эмилии Шатлэ одобрил известный французский математик А. Клеро. Ученость Шатлэ прославил в своем стихотворении знаменитый писатель Вольтер.

Гипатия
	По дошедшим до нас сведениям, первой женщиной-математиком была гречанка Гипатия (370-415). Она изучала математику, астрономию, медицину и философию, написала комментарии к«Арифметике» Диофанта и к«Комическим сечениям» Апаллония Пергского.
	Гипатия была очень красива, красноречива и обаятельна. Окружающие ценили ее мнение и советы не только в области науки и литературы, но и в практической жизни. Среди друзей и знакомых Гипатии было много христиан, но сама она была язычницей и оставалась до конца жизни верна своим традициям. Однажды, когда Гипатия возвращалась домой, толпа фанатиков-христиан, подстрекаемых александрийским епископом, потащила ее к церкви и убила, забросав камнями. После этого тело Гипатии было разорвано на куски и сожжено.
	В истории многих веков после ее смерти не сохранилось никаких сведений об ученых-женщинах.

Скульптура Гипатии.
Работу выполнили:
Неклюдов Сергей
Ковалёв Егор
9 «а» класс


title: Скачать презентацию или конспект «Подарок почтальона Печкина»

extracted_text:
Занятие по математике
«Подарок почтальона Печкина»

Поиск потерявшейся фигуры

(различие по двум признакам – по цвету и форме)


title: Скачать презентацию или конспект Задачи военно-прикладного характера

extracted_text:
Задачи военно-прикладного характера
Вклад ученых математиков в оборонную мощь страны во время Великой Отечественной войны.
Замечательный квадрат.
Задача. Великая Отечественная война началась 22 июня 1941 года. Узнать, сколько дней продолжалась война, поможет вам удивительный квадрат. Выберите из каждой строки и каждого столбца по одному числу, найдите сумму выбранных четырех чисел, и вы получите ответ на вопрос.
Например:
218+569+349+282=1418
474+569+349+26 =1418
Замечательный квадрат.
Самолетостроение.
В годы Великой Отечественной войны советские конструкторы создали немало образцов первоклассной военной техники. К их числу принадлежит и самый быстрый в те годы истребитель “ЯК-3” - детище конструкторского бюро прославленного советского авиаконструктора Александра Яковлева. Превзойти его скоростные данные конструкторам других стран тогда не удалось. Максимальная скорость “ЯК-3” была720 км/ч, а немецкого истребителя “Мессершмидт-109” на 120 км/ч меньше скорости “ЯК-3” и на 30 км/ч больше другого истребителя “Фокке-Вульф-190-А”. Найдите скорости немецких истребителей и сравните их со скоростью “ЯК-3”.
Решение задачи
1)720-120=600 км/ч –скорость «Мессершмидт-109»
2)600-30=570 км./ч- скорость Фокке-Вульф-190-А”.
Самолетостроение.
Используя ответ предыдущей задачи, сравните максимальные скорости советских истребителей “МИГ-3”, “Ла-7” - 640 и 680 км/ч соответственно со скоростью немецких истребителей.
В увеличении скорости самолетов и улучшении их технико-эксплуатационных показателей большую роль сыграли работы в области аэродинамики таких выдающихся математиков, как М. В. Келдыш, С. А. Християнович, Н. Е. Когин, А. А. Дорошницин, Н. Т. Четаев.
ЛА – 7, Як – 3, Миг - 3
В таблице дано соотношение сил СССР и германскими войсками.
Самыми страшными были первые месяцы войны. Разгромив под Киевом основные силы Юго-Западного фронта, отрезав Крым и с сентября 1941 года установив блокаду Ленинграда, германская армия вновь перенесла главные усилия на Московское направление. Начав операцию по захвату столицы СССР, названную “Тайфун”, немцы прорвали советскую оборону. Сотни тысяч человек попали в фашистский плен.
По данным таблицы составить диаграмму.
Диаграмма.
Роль математики в военном деле.
Еще в древности математические знания использовались в военном деле. В знаменитом диалоге Платона “Государство” говорится о том, что арифметика и геометрия необходимы каждому воину: “При устройстве лагерей, занятия местностей, стягивания и развертывания войск и разных других воинских построениях, как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется разница между знатоками геометрии и тем, кто ее не знает”.
Оборона.
С 30 сентября по 5 декабря 1941 года Красная Армия вела тяжелые, кровопролитные бои под Москвой. Сложная обстановка потребовала эвакуации из Москвы ряда важнейших предприятий. Создавались новые рубежи обороны на ближних подступах к Москве. Формировались дивизии народного ополчения, город готовился к уличным боям. На строительство оборонительных сооружений было мобилизовано 450 000 жителей столицы, 75% из них составляли женщины. Сколько женщин участвовало в этом строительстве?
Решение задачи
1)450000х0,75=337500 женщин участвовало в обороне Москвы.
Оборона Москвы – противотанковые «Ежи»
Оборона.
В октябре 1941 года враг совершил на Москву 31 налет. В этих налетах участвовало 2000 немецких самолетов, из них было сбито 278, к городу прорвалось только 72 самолета. Сколько вражеских самолетов не сумели прорваться к Москве?
Решение задачи.
1)2000-278=1722 самолета прорывались.
2)1722-72=1650 самолетов не прорвались к Москве.
Оборона.
В результате упорной обороны и контрударов в конце ноября - начале декабря последние попытки противника прорваться к Москве были сорваны. Советские войска переходили в наступление в трудных условиях, когда численное превосходство в живой силе, танках, самолетах было на стороне противника. Так группа армий “Центр” имела в своем составе 1 708 000 человек, 13 500 орудий и минометов, 1 170 танков, 615 самолетов, а Советские войска насчитывали личного состава на 608 000 человек меньше, орудий и минометов в 2 раза меньше, танков на 395 меньше, а самолетов больше на 385. Сколько живой силы, орудий и минометов, танков и самолетов было в советских войсках в начале контрнаступления под Москвой?
Решение задачи.
1)1708 000 – 608 000=1 100 000 человек имела Красная армия.
2)13500:2=6750 орудий и минометов.
3)1170-395=775 танков.
4)615+385=1000 самолетов.
Оборона.
На завершающем этапе Московской битвы Советская Армия нанесла противнику тяжелое поражение: из строя были выведены 16 дивизий и 1 бригада. 1 дивизия состоит из 17000 человек, а 1 бригада из 3000 человек. Сколько живой силы было потеряно противником?
Решение задачи.
1)17000х16+3000=272000+3000=275000 было потеряно противником живой силы.
Роль ученых в деле победы.
Давая оценку вклада советских ученых в военное дело президент АН СССР С. И. Вавилов написал: “Почти каждая деталь военного оборудования, обмундирования, военные материалы, медикаменты – все это несло в себе отпечаток предварительной научно-технической мысли и обработки” (“Вестник Академии наук СССР”, 1947, №11).
Вавилов С.И.
Роль математики в военном деле.
Идет жестокая война. Фронт требует увеличения эффективности огня артиллерии, повышения меткости стрельбы. Важная проблема. Ее успешно решает академик А.Н.Колмогоров.
Колмогоров А.Н.
Роль математики в военном деле.
Во время Великой Отечественной войны появилась еще одна проблема – обеспечение кучности боя и устойчивости артиллерийских снарядов при полете. Эту сложную математическую задачу успешно решил член-корреспондент Академии наук СССР Четаев Н. Г. Он предложил наивыгоднейшую крутизну нарезки ствола орудий, что позволило обеспечить кучность боя и устойчивость снарядов при полете
Четаев Н.Г.
Роль математики в военном деле.
Математический институт академии наук СССР в 1943 году разработал и вычислил штурманские таблицы. Расчеты всех дальних полетов, выполняемые по этим таблицам, значительно повысили точность самолетовождения. Ни в одной стране мира не было штурманских таблиц, равных этим по своей простоте и оригинальности.
Роль математики в военном деле.
Война требует от авиации больших скоростей самолетов. Но, при освоении больших скоростей, авиация столкнулась с внезапным разрушением самолетов из-за вибрации особого рода – флаттера. За решение этой задачи берется группа ученых во главе с Келдышем. Она разработали сложную математическую теорию флаттера.
Келдыш М.В.


title: Скачать презентацию или конспект Показательная функция ее свойства и график

extracted_text:
Показательная функция, её свойства и график
Подготовил:
Учитель математики СШ №12
Пышкин К.А.
Цель:
Знать понятие степени с иррациональным показателем, определение показательной функции, свойства показательной функции
Уметь использовать свойства показательной функции при решении задач, строить график показательной функции.
Свойства показательной функции у=ах
D(y): все действительные числа
E(y): все положительные числа
При a > 1 функция возрастающая
при 0 < a < 1 функция убывающая.
Определение:
Функция вида у=ах ,где а-заданное число, а>0, а≠1, Х-переменная, называется показательной.
Графики функции у=2х  и у=(½)х
График функции у=2х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох.
а>1       Д(у): х є R
             Е(у): у >0
Возрастает на всей области определения.

График функции у= 1/2х также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох.
0<а<1    Д(у): х є R
               Е(у): у>0
Убывает на всей области определения.
Устная работа
Повторить определение и свойства показательной функции.
1) Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция
а)

б)
   в)
 г)

д)
   е)
2)Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа.
а)
б)
   в)
 г)
д)
   е)

и 1;

и 1;

и

и
и
и
3)Представить в виде степени числа
.

4)Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция.

Индивидуальный и фронтальный опрос.
Построить графики функций

Подготовка к ЕНТ
Определите промежутки возрастания функции

 A) (−∞; 0)
 B) (0; +∞)
                C) (−∞; 1)∪ (1; +∞)
                D) (−∞; 0)∪ (0; +∞)
    E) (−∞; +∞)
Найдите промежутки убывания для функции

A) (−∞; +∞)
B) (−∞; 0)
C) (0; +∞)
D) (−∞; 0)∪ (0; +∞)
E) (−∞;    )
)
Домашнее задание
Уровень - А
На одном из рисунков изображен график функции

Уровень - В
Найдите множество значений функции
 у =
3
2
 1
4

Уровень- С
Найдите область определения функции


title: Скачать презентацию или конспект Обитатели подводного мира

extracted_text:
Урок математики по теме
«Обитатели подводного мира»
Семенова С.В.

50 – 40 + 30 + 6  =
Рыба – «верблюд»                      36
Китовая акула                               46
Тигровая акула                             43
Щука                                                24

46
Китовая акула
Какова же длина этой рыбы?
15 + 5  - 4 + 2 =
18
Киты, касатки , дельфины – это млекопитающие животные.
КИТ  ( 10 + 7 ) + 10 =

27
КАСАТКА (87 – 50)–30 =
7
ДЕЛЬФИН (89 + 1) – 80 =
10
Самое большое животное в мире  – голубой кит.
Длина 27 метров, вес  150 тонн
Кто самый длинный?
Китовая акула 18
Кит  27
Касатка 7
Дельфин 10
У карликового кита длина тела 6 метров, а у голубого кита 27 метров.
На сколько метров голубой кит длиннее карликового?
Ответ: на 21м
Карликовый кит
Голубой кит
Угадай словечко !
Осьминог
Задача – шутка
На узенькой дорожке плясали осьминожки –
 10 дочек-осьминожек и сыночков 10 тоже.
 Пришел папа-осьминог , 2 детишек уволок.
 Сколько деток-осьминожек плясать остались на дорожке?
Ответ: 18
Дельфин        20 +
Осьминог       74 -
Кит
Акула               7 +         =37
Рыба-молот  1 +        = 36

30

50
+ 10
30

4
35
= 50
= 70
= 60

Угадай-ка!
Рыба-сельдь  6
Катран  12
Треска  9
Тунец  15
Скат  10
Какие бывают рыбы?
Рыба-ремень
Рыба-молот
Какие бывают рыбы?
Рыба-ёж
Рыба-игла
Рыба-пила
Засели аквариум

35
90
41
40+50
40+1
29+ 6
Понравился ли вам урок?


title: Скачать презентацию или конспект Решение неравенств второй степени с одной переменной

extracted_text:
Тема урока
Решение неравенств второй степени с одной переменной
ЦЕЛЬ УРОКА
Повторить знания об уравнениях.
Определить вид неравенств второй степени с одной переменной и алгоритм решения.
Научиться решать  квадратные неравенства графически.
Воспитывать  в себе самостоятельность , аккуратность.

УСТНАЯ  РАБОТА
ОПРЕДЕЛИТЕ   ВИД  УРАВНЕНИЙ:
   (у³-9у)   =0,              Х² - 5Х+7=0,  (у²+у-12)           1__ -  _1_  = _1__ ,      (Х³)² - 5Х + 2=0  (х-7)    (х-1)     (х-10)

          2Х³ + 6Х - Х² + 9 =8.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
   Решите  одно целое уравнение по выбору:
    у³-6у=0,                                       «3»балла    3х³-х²+18х-6=0,                         «4»балла    (х²-1)(х²+1)-4(х²-11)=0             «5»баллов
ОТВЕТЫ
Изучение  новой темы
Неравенства вида ах²+вх+с>0 и ах²+вх+с<0   -
неравенства второй степени с одной переменной,
 где х- переменная, а,в,с- некоторые числа и а ≠0.
Графический способ решения квадратного неравенства:
1)найти корни квадратного трехчлена  ах²+вх+с и отметить их на оси х;
2)схематически провести параболу через данные точки на оси х; определить направление ветвей;
3)найти на оси х промежутки, которые удовлетворяют неравенству.

Образцы    Графиков квадратичной функции
       у              D>0                         у                    D=0                   у                                 D<0

                a>0                                                                       a>0                                              a>0

                                            х
          0
           у                                                                                х                                                          х
                                                               0                                                0

                                      х                                                   a<0                                             a<0
           0

                          а<0

Работа по учебнику

1.  Прочитайте правила п.14
                   страницы  83,85.

    2.Решить неравенства №304(а, в),
                                          305(а),
                                          308(а).
МИНУТА   ОТДЫХА
Написать глазами, носом в воздухе цифры 0, 8;  5, 0;  5, 6;  4,1.

Составьте из этих пар цифр числа.

О каких знаменательных датах говорят эти пары цифр?

  самостоятельная  работа

 Из сборника экзаменационных работ по алгебре за 9 класс.

         Работа 4. Вариант 1.  Вариант 2.  №5.
Итог урока
      Чему научились на уроке?

    Домашнее задание. П.14, № 304(2 столбик), 305(в),   307(б).

   Творческое задание на «5» баллов
   а)  (2х-3)(5х+2)≥(2х-3)(3х-8),
   б)  (3х-7)²≤(7х-3)².


title: Скачать презентацию или конспект Паркеты на плоскости

extracted_text:
Паркеты на плоскости

Цель работы – подробно изучить паркеты.

Паркеты

Паркет называется правильным, если он состоит из равных правильных многоугольников.

Паркет из квадратов

Простой паркет из правильных треугольников.
Паркет из правильных шестиугольников
Паркеты из квадратов и треугольников
В одной вершине сходятся три правильных треугольника и два квадрата.
В одной вершине сходятся       четыре   треугольника и шестиугольник.
В одной вершине сходятся два треугольника и два шестиугольника.
Паркет, состоящий из квадратов и   восьмиугольников
Паркет из треугольников и двенадцатиугольников.
В каждой вершине сходятся  шестиугольник,  треугольник и два квадрата.
Паркет, состоящий из квадратов, шестиугольников и двенадцатиугольников.
Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному.
Паркет из параллелограммов.
Паркет из произвольных четырехугольников
Паркет из криволинейных плиток.
Спиральное замощение плоскости девятиугольниками
Квазипериодические паркеты
Мариус Корнелис Эшер (1898-1972)

 Он оставил потомкам 448 литографий и гравюр, более 2000 картин и набросков.
Работы Мариуса Эшера:
«Ящерицы»

 «Всадники»
 «Летящие птицы»