title: Скачать презентацию или конспект Давай посчитаем

extracted_text:
ДАВАЙ ПОСЧИТАЕМ
В.Степанов
(Часть вторая)
Математика
в картинках
На этой картинке
ОДИН петушок.
ОДИН петушок –
Золотой гребешок.
1
На этой картинке
ДВА мишки-соседа:
ОДИН – лежебока,
ОДИН – непоседа.
2=
+
1
1
На этой картинке
ТРИ белки-подружки:
ДВЕ белки – на ёлке,
ОДНА – на опушке.
3=
2
+
1
На этой картинке
ЧЕТЫРЕ  лисички:
ДВЕ – вяжут платок.
А ДВЕ – рукавички.
4=
2
+
2
На этой картинке
ПЯТЬ поросят:
ДВА – в луже,
А ТРИ – отрубями хрустят
5=
2
+
3
На этой картинке
Шесть зайцев в избушке:
Два – в шашки играют,
Четыре – в игрушки.
6=
2
+
4
На этой картинке
Семь мышек – артисток:
Одна – пианистка
И шесть – баянисток.
7=
1
+
6
На этой картинке восемь тигрят:
Пять – плавают в речке,
Три – плот мастерят.
8=
5
+
3
На этой картинке
Девять жучков:
Семь – ходят с очками,
Два – без очков.
9=
7
+
2
На этой картинке
Десять гусей:
Пять – в гости идут,
Пять – из гостей.
10=
5
+
5
Весёлые задачи
Мишка кеды надевал,
Надевал и горевал:
Здесь – один, а где второй?
Заглянул медведь под стол –
И пропажу там нашёл.
1+1=2

У богатого волчонка
Было кваса два бочонка.
Тут ещё один бочонок
Прикатил домой волчонок.
Вместе складывать их стал –
Три бочонка насчитал.
2+1=3

Муравьи в лесу густом
Дружно строят новый дом.
Трое тащат веточку,
Трое тащат щепочку.
Ускоряют дружно шаг
Шесть весёлых работяг.
3+3=6

Идут гулять козлята,
Четыре дружных брата.
А рядом три сестрицы –
Три козочки идут.
И братья, и сестрицы
Отправились гулять.
Попробуй-ка, сумей-ка
Их всех пересчитать.
4+3=7

Пять ежей – с лукошками,
Три ежа – с гармошками.
Сколько среди сосен
Ежей гуляет? Восемь.
5+3=8

Четыре улитки гуляли по саду.
Вдыхали улитки ночную прохладу.
Гуляли улитки всю ночь до зари.
Одна заблудилась,
Осталось их три.
4-1=3
Было  восемь черепах,Восемь костяных рубах.
Черепахи веселились,
Две из них в песок зарылись.
Сколько их осталось здесь?
Черепах осталось  шесть.

8-2=6

Торговал баран на рынке –
Продавал баран корзинки.
Семь корзинок продавал
И жевал, жевал, жевал…
Двух корзинок больше нет,
Значит, пишем пять в ответ.
7-2=5

А теперь пора бананы
Сосчитать у обезьяны:
Один, два, три, четыре, пять…
Можно три на завтрак взять.
Если три на завтрак взять,
Их уже не будет пять.
 - Обезьянка, ты права:
Их останется лишь два.
5-3=2

По дорожке мышка шла,
Четыре яблока  несла,
Два  – зайцу  отдала,
Два – в кладовку убрала.
4-2=2

Друг за другом, ровно вряд,
Десять плавало утят.
В камыши заплыли двое…
Их считать уже не стоит.
Было десять. Два отбросим.
Значит, пишем цифру восемь.
10-2=8

Солнце красное печёт,
Собирают пчёлы мёд.
Шесть подруг на мяту сели,
Три – на клевер луговой.
Сосчитать мы их успели,
Не забыли ни одной.
Вот какой весёлый луг –
Ровно девять здесь подруг!

6+3=9

Рано утром у реки
Распустились васильки.
Пять – на левом берегу.
Пять – на правом берегу.
Я цветочки –василёчки
Сосчитать легко смогу,
Потому что пять да пять
Будет десять… Как не знать!
5+5=10

Конец


title: Скачать презентацию или конспект Скалярное произведение векторов в координатах

extracted_text:
Скалярное произведение в координатах.
Карпова М.А.
Учитель математики МОУ ООШ №269 ЗАТО Александровск, Мурманской области
Проверка домашнего задания
№1039(в,г)

А
В
С
D

O

900

900
№1040(г)

А
В
С
D
O

900
Проверка домашнего задания
№1042(а,б)

А
В
С

a

Повторение
Назовите координаты вектора

(3;-1)
  Найдите координаты суммы векторов

(1;3)
  Найдите координаты вектора

(9;0)
     Скалярное произведение векторов        и       равно 0. Чему равен угол между этими векторами

900
Скалярное произведение в координатах
  Теорема
  Скалярное произведение векторов

  и                    выражается формулой:

Следствие 1.

Следствие 2.

Свойства  умножения:
 - переместительное  свойство
- сочетательное  свойство
 распределительное
                           свойство
№1044 (а, б); 1047 (б,в); 1051
Домашнее задание:
П. 103,104
     № 1044(в), 1047(а).

Источники материалов:
Л.С. Атанасян. Учебник геометрии 7-9.М.: «Просвещение», 2009 г.
Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. 9 класс. Геометрия. Поурочные планы. Волгоград. «Учитель»
Кошки и котята смешные и очаровательные фото и картинки. http://www.fotokoshki.ru/2/Gallery5.html


title: Скачать презентацию или конспект Музыка и математика

extracted_text:
Музыка
и
математика
           Цели:

Рассмотреть  вклад Пифагора в развитии музыки.
Понять значимость открытий Пифагора.
«...О , сколько нам открытий
                                           чудных
Готовит просвещенья дух:
И опыт - сын ошибок трудных,
И гений- парадоксов друг...»
                                       А. С. Пушкин

        Самый таинственный герой, поворотной эпохи -                                     Пифагор

философ
врач
музыкант
математик

Музыка и  Пифагор
Целые дни юный Пифагор проводил у ног старца Гермодаманта, слушая мелодии кифары, песни Гомера.
Страсть к музыке и поэзии Пифагор сохранил на всю жизнь.
И, будучи  великим мудрецом, Пифагор начинал свой день с пения песен Гомера.

   Числа правят миром
Музыка для Пифагора стала даже не средством вдохновения, а предметом научных изысканий.
Именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство своему знаменитому тезису: «Все есть число».
«Числа правят миром!»-провозгласил  Пифагор.
Числовые    закономерности Пифагора
Арифметика-учение о количестве, выражаемое числом; музыка-учение, которое рассматривает числа по отношению в звуке.
Благодаря этому счастливому союзу, музыка получила прочный математический фундамент гамм  и универсальный язык нот.
Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия- консонансы (длины струн относятся как целые числа первой четверки, т.е. Как 1:2,2:3,3:4)
Это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе.
Законы пифагорейской     теории музыки:
           Закон 1:
Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число.
10 =1+2+3+4, т.е. как 1:2,2:3,3:4.

Законы пифагорейской     теории музыки:
              Закон 2:
 Четвёрка чисел 1,2,3,4-пирамида-лежит в основе построения различных  ладов.
В основу гаммы положен интервал октава-восемь.
Пифагор обнаружил созвучия:квинта-пятая ступень,кварта - четвёртая, октава - восьмая.
Пифагоров звукоряд
Пифагор создал - ряд звуков, который получил название Пифагоров звукоряд.
Он делил струну на 3,4,5 равных частей.При этом получались разные по высоте звуки.Эти звуки он расположил по высоте.

Вклад Пифагора в музыку
Пифагор построил музыкальный лад.
Он не только нашел строгие математические построения музыкальных  ладов, но и заложил основу о каждом ладе.
До-ре- ми -фа-соль-ля-си-полученные звуки собрал в октаву.
       Выводы:
Пифагор по праву считается творцом акустики и основоположником теории музыки.
Пифагор создал математическую теорию музыки, которую можно выразить в терминах математики.
Пифагор-показал всему человечеству то, что ключом к тайнам музыки является математика.
Пифагор дал музыкальный старт, определивший на столетия судьбу европейской музыки.

     Источники:
Чем был знаменит Пифагор,Кроме своей теоремы? -М.,Юный техник,№1/1994,с.78
Волошина.Пифагор.-М.,1993
Кульба А. Пифагор:-убеждающий речью.-М.,Первое сентября,  1993, 1995,С.6


title: Скачать презентацию или конспект Последняя цифра степени

extracted_text:
Последняя цифра степени

	Какими цифрами могут оканчиваться числа,
получающиеся при возведении в степень числа 2?

2
4
8
6
2
Через четыре шага последняя цифра повторяется.

Последняя цифра 6.

Какой цифрой оканчивается сумма

?
Последняя цифра 8.
Последняя цифра 4.
Последняя цифра данной суммы 2.
Докажите, что значение выражения

 6
 1
 3
Последняя цифра данной суммы 0.
кратно 10.
Значит, значение данного выражения кратно 10.
Докажите, что число

Последняя цифра 8.
Последняя цифра 6.
Последняя цифра данной суммы 5.
Значит, данное число кратно 5, т.е. составное.
составное.
На доске написано число                              .
	У этого числа вычислили сумму его цифр, у полученного
числа вновь вычислили сумму его цифр и т.д. до тех пор, пока
не получилось однозначное число. Что это за число?

Ответ: 1
	Примечание:

1-й слайд является иллюстрацией к вопросу о последней цифре
степени числа 2. Здесь приводится также пример, как определить
последнюю цифру числа          , а с его помощью и последнюю
цифру числа               .

На следующих слайдах представлены элементы решения
некоторых задач, представленных в работе.

Все необходимые комментарии вы найдёте в самой работе.


title: Скачать презентацию или конспект Арккосинус и решение уравнения cos x = a

extracted_text:
Арккосинус и решение уравнения cos x = a
Уроки № 1-2
Цели урока
ввести понятие  arccos x;
вывести формулу решения уравнения  cos x=a,         ;
рассмотреть уравнения на применение этой формулы;
рассмотреть простейшие тригонометрические неравенства.

x
y
0
1
arccos ¼ - арккосинус 1/4
«arcus» - дуга

t1
t2
A
M

t =t1+ 2πk, k
t =t2+ 2πk, k
Где t1 – длина дуги АМ,
а t2=-t1
Аrccos а

дуга
cos которой равен a
П
0

arccos а
а
arccos (-a)=∏-arccos a

-а

П-arccos a
Понятие арккосинуса
Арккосинусом числа а называют такое число из промежутка [0;∏], косинус которого равен а

a-1; 1
Имеют смысл выражения?

Для чего нужен арккосинус?
Арккосинус и решение уравнения cos x = a

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.

1)

Нет точек пересечения с окружностью.
Уравнение не имеет решений.
Арккосинус и решение уравнения cos x = a
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.

2)

Решения уравнения

Частный случай

cos t=1
t=2∏k
cos t=-1
t=∏+2∏k
Арккосинус и решение уравнения cos x = a
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.

3)

Решения уравнения

Частный случай
а=0
Арккосинус и решение уравнения cos x = a
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.

4)

Общий случай
Корни, симметричные относительно Оx, могут быть записаны:

arccos а
-arccos а

а
Арккосинус и решение уравнения cos x = a
Нет решений
Выясните, верно ли равенство?
π/4
3
3π/2
2/7
3π/4
π/2
1

70
-π/6
-2π/3

Какие из чисел являются арккосинусами?
Основная задача –
свести любое тригонометрические уравнение к простейшему виду

Это частный вид
уравнения cos t=a, где a=0
Разделим обе части на 4

t
t

Пример решения уравнения
Характерная грубая ошибка
Учащиеся делят обе части на 4
и получают следующее:

Пример решения уравнения
Разделим обе части на 4

t
Пример решения уравнения
Уравнение уже имеет

простейший вид
Это частный вид
уравнения cos t=a, где           a=0

Закрепление изученного материала
№ 289-291 (а, б)
№ 293 а, б
№ 294 а, б
Решение простейших тригонометрических неравенств

x
y
0
1

x
y
0
1

Закрепление изученного материала
№303 (а, г)
№ 304 (а, г)
№ 305 (а, г),
№ 306 (а, г).
Домашнее задание
Теория:  стр. 75-81
№ 291 (в, г)
№ 293 (в, г)
№ 294 (в, г)
 №303 (б, в)
№ 304 (б, в)
№ 305 (б, в)
№ 306 (б, в)


title: Скачать презентацию или конспект Формулы в нашей жизни

extracted_text:
Формулыв нашейжизни.
Феоктистов Влад 5 «Б»
Не правда ли, нам почти каждый день в жизни приходиться считать, мы постоянно используем знания о величинах, характеризующих протяженности, площади, объемы, промежутки времени и многое другое.
 "У математиков  существуетсвой язык - это формулы"Софья Ковалевская
"Формула - это запись какого- нибудь
 равенства с помощью букв"
(учебник "Математика "
под редакцией Н. Я. Виленкина)

 А ведь с математики
 начинается всё.
 Ребёнок только родился,
а первые цифры в его жизни
уже звучат: рост, вес.
Малыш растет, не может выговорить слова "математика", а уже занимается ею, решает небольшие задачи по подсчету игрушек, кубиков. Да и родители о математике и задачах не забывают. Готовя ребенку пищу, взвешивая его, им приходится использовать математику. Ведь нужно решить элементарные задачи: сколько еды нужно приготовить для малыша, учитывая его вес.
s = v ∙ t
t = s : v
v = s : t

Формула пути.
Формула площади прямоугольника.
S = a ∙ b
а = S : b
b = S : a

Формула периметра прямоугольника.
P = a + a + b + b или
P = 2(a + b)
Формула площади прямоугольника
Формулы периметра прямоугольника
Формула пути
В дальнейшем мы узнаем
еще много новых формул…
Математика  нам  детям необходима  для формирования духовного облика, развития необходимых черт характера, таких как терпение, трудолюбие , способности понимать смысл поставленной перед нами задачи, умение правильно, логично рассуждать. Чтобы человечество развивалось, причем развивалось плодотворно, нужны не только “лучшие умы”, но и свежие идеи. А для этого необходимы креативные люди с необычным мышлением, широким кругозором и гибким умом.

Казалось бы, что после школы математика нигде не пригодится. Увы! Тут приходится использовать математику ещё чаще. Во время учёбы в вузе, на работе и дома нужно постоянно решать задачи, и не только математические. Какова вероятность успешной сдачи экзамена по математике? Сколько денег нужно заработать, чтобы купить квартиру? Сделать  ремонт квартиры? Доход семьи, мой расход ? Каким должен быть объём вашего дома и сколько для этого нужно приобрести кирпича.   И тут на помощь придёт математика. Она следует за человеком везде, помогает ему решать задачи, делает его жизнь намного удобнее.

Спасибо
За
Внимание!!!


title: Скачать презентацию или конспект Таблица умножения в стихах

extracted_text:
ТАБЛИЦА
УМНОЖЕНИЯ
в стихах
Ученики и ученицы!Чтоб было проще вам считать,Мы Пифагорову таблицуВ стихах решили написать.
По ней легко найти решенье,Куплет достаточно прочесть,А чтоб запомнить вычисленья,Везде своя подсказка есть!
2
3
4
5
6
7
8
9
2
Ну что ж, откладывать не станем,Тетрадь и карандаш достанемИ примемся за дело бойко.Итак, на старт выходит двойка!
Умножив два на единицу,Получим ДВОЙКУ - лебедь-птицу,Спасает каждый ученикОт этих «птичек» свой дневник.
2  1=2

Известно детям в целом мире,Что дважды два равно ЧЕТЫРЕ.Им также следует учесть,Что дважды три получим ШЕСТЬ.
2  2=4

2  3=6

Два на четыре - будет ВОСЕМЬ.И всех ребят мы очень просимЗабыть капризы, ссоры, леньВосьмого марта - в мамин день!
2  4=8

Нам два на пять умножить нужно,И если все возьмёмся дружно,Да поднатужимся, ребятки,То сразу попадем в ДЕСЯТКУ!
2  5=10

О том, что дважды шесть - ДВЕНАДЦАТЬ,Вам календарь расскажет, братцы,А в нём подсказку вам дадутДвенадцать месяцев в году!
2  6=12

Красиво два на семь умножитьФевральский праздник нам поможет,День всех влюбленных, помню я, -ЧЕТЫРНАДЦАТОГО, друзья!
2  7=14

А сколько будет дважды восемь,Десятиклассников мы спросим.Они подскажут нам ответ,Ведь им уже ШЕСТНАДЦАТЬ лет!
2  8=16

Запомнить надо постараться,Что дважды девять – ВОСЕМНАДЦАТЬ.И очень просто догадаться,Что дважды десять - будет ДВАДЦАТЬ!
2  9=18

2  10=20

Мы хорошенько постаралисьИ с двойкой быстро разобрались.Теперь, друзья, держитесь стойко,В игру уже вступает ТРОЙКА!
3
Умножив три на единичку,Мы попадаем на страничкуИз книги сказок для ребятПро ТРЁХ веселых поросят!
3  1=3

Что трижды два равно ШЕСТИ,Ответ в шпаргалке подглядим!А трижды три, решим и сами,Равно ШЕСТЕРКЕ ВВЕРХ НОГАМИ.
3  2=6

3  3=9

Три на четыре умножая,Я циферблат воображаюИ представляю я тотчас,Как бьют часы ДВЕНАДЦАТЬ раз.
3  4=12

Что трижды пять равно ПЯТНАДЦАТЬ,Легко должно запоминаться.Представь, как в школе первоклашкиИграют весело в пятнашки!
3  5=15

Умножим три на шесть в два счета,Скорее взрослым стать охота!Ты знаешь, годы быстро мчатся,Глядишь, тебе уж ВОСЕМНАДЦАТЬ!
3  6=18

Умножить три на семь придется,И это нам легко дается,Ведь трижды семь - ответ один,Получится ДВАДЦАТЬ ОДИН!
3  7=21

А сколько будет трижды восемь,За сутки справимся с вопросом,Ведь в сутках, как известно в мире,Часов всего ДВАДЦАТЬ ЧЕТЫРЕ!
3  8=24

Мы по секрету скажем всем,Что трижды девять - ДВАДЦАТЬ СЕМЬ.И надо ж было так случиться,Что трижды десять будет ТРИДЦАТЬ!
3  9=27

3  10=30

Ну, вот и тройку одолели,Устать мы, к счастью, не успели.А дел ещё невпроворот,Нас впереди ЧЕТВЁРКА ждёт!
4
Четверку на один умножив,Мы изменить ее не сможем,В произведеньи с единицейДолжна ЧЕТВЕРКА получиться!
4  1=4

Четыре на два - будет ВОСЕМЬ,Восьмерку на нос мы набросим,Вдруг подойдет тебе и мнеВосьмерка в качестве пенсне?
4  2=8

Четыре на три как умножить?Придется в зимний лес идти,ДВЕНАДЦАТЬ месяцев помогутЗимой подснежники найти!
4  3=12

Умножь четыре на четверку,Такой пример легко решить!В произведении этом толькоШЕСТНАДЦАТЬ можно получить!
4  4=16

Для вас четыре на пятеркуУмножат ловко мушкетеры,С врагами шпаги вновь скрестяВ романе «ДВАДЦАТЬ лет спустя».
4  5=20

Четыре мы на шесть умножимИ в результате будет что же?Идут часы, бегут минутки…ДВАДЦАТЬ ЧЕТЫРЕ – ровно сутки!
4  6=24

Четыре на семь – ДВАДЦАТЬ ВОСЕМЬ –Деньков обычно в феврале.А для проверки всех попросимИскать ответ в календаре!
4  7=28

Умножь четыре на восьмерку,И ТРИДАТЬ ДВА – звучит ответ.У человека ровно столькоВо рту зубов в расцвете лет!
4  8=32

Умножь четыре на девятку –Получишь ровно ТРИДЦАТЬ ШЕСТЬ,Ну, а умножишь на десятку,Пиши смелее СОРОК здесь!
4  9=36

4  10=40

Четвёрка позади осталась,Другая цифра показалась…И предстоит запоминатьНам умноженье с цифрой ПЯТЬ!
5
Умножив пять на единицу,Мы без труда получим ПЯТЬ!И нашу складную таблицуПродолжим дальше изучать.
5  1=5

А пять на два, хочу заметить,Умножить просто – будет ДЕСЯТЬ!Ответ всегда в твоих руках:Он – в рукавичках и в носках!
5  2=10

Умножим пять на тройку дружно,Немного времени нам нужно.ПЯТНАДЦАТЬ получили сразу –Управились за четверть часа!
5  3=15

Как пять умножить на четыре,Дадут ответ в телеэфире!Смотрите на экране выДВАДЦАТКУ клипов МузТV!
5  4=20

А пятью пять – ответ известный,О нём поётся в детской песне,И каждый школьник должен знать,Что здесь получим ДВАДЦАТЬ ПЯТЬ!
5  5=25

Пять на шестёрку умножаем,В итоге ТРИДЦАТЬ получаем.И пятью семь – легко считать -Ответ короткий: ТРИДЦАТЬ ПЯТЬ!
5  6=30

5  7=35

А сколько будет пятью восемь,Али-Бабу из сказки спросим.Когда к разбойникам попал,Он их все СОРОК насчитал!
5  8=40

Друзья, хочу вам подсказать,Что пятью девять – СОРОК ПЯТЬ,И знает каждый из ребят,Что пятью десять – ПЯТЬДЕСЯТ!
5  9=45

5  10=50

Пятёрку враз мы рассчиталиИ совершенно не устали.Решаем дальше! Силы есть!Теперь займёмся цифрой ШЕСТЬ!
6
Шесть на один – ШЕСТЕРКА вышла,А за окном гитару слышно!И льются песни ночью луннойПод переливы шестиструнной.
6  1=6

Шестерку на два умножаем -ДВЕНАДЦАТЬ ровно получаем.В двенадцать ночи каждый годК нам в дом приходит Новый Год!
6  2=12

Шесть на три – только ВОСЕМНАДЦАТЬ!В такие годы можно, братцы,Жениться, замуж выходить,Самим автомобиль водить!
6  3=18

Простой пример «шестью четыре»Его мы с вами проходили!Подумать надо с полминутки…ДВАДЦАТЬ ЧЕТЫРЕ – снова сутки!
6  4=24

А шестью пять - получим ТРИДЦАТЬ,Здесь циферблат нам пригодится:Большая стрелка на часахПокажет ровно полчаса!
6  5=30

А, верно, шесть на шесть умножитьНам снова песенка поможет,В ее словах решенье есть:Шесть на шесть будет ТРИДЦАТЬ ШЕСТЬ.
6  6=36

«Шесть на семь» умноженье учим,Подсказку в обувном получим,Ведь носят многие мужчиныСОРОК ВТОРОЙ размер ботинок!
6  7=42

Что шестью восемь - СОРОК ВОСЕМЬ,Удав мартышке объяснял,Но сам в длину – лишь тридцать восемьОн «в попугаях» составлял!
6  8=48

А шестью девять – мы решили.Получим ПЯТЬДЕСТЯТ ЧЕТЫРЕ!И каждый нам ответить рад,Что шестью десять – ШЕСТЬДЕСЯТ!
6  9=54

6  10=60

Друзья, отличная работа!С шестёркой справились в два счёта!А дальше предлагаем всемРешить примеры с цифрой СЕМЬ!
7
«Семью один» - найти ответикПоможет цветик-семицветик!Ведь у таких, как он цветков,СЕМЬ разноцветных лепестков!
7  1=7

Семь на два мы умножим просто,ЧЕТЫРНАДЦАТЬ – хороший возраст,Ведь в этом возрасте прекрасномРебята получают паспорт!
7  2=14

Что семью три – ДВАДЦАТЬ ОДИН,Сказал нам важный господин,Давайте у него же спросим:«Cемью четыре?» ДВАДЦАТЬ ВОСЕМЬ!
7  3=21

7  4=28

Умножим семь на пять! Готово!Ответ знакомый - ТРИДЦАТЬ ПЯТЬ!Попросим тридцать три коровыЕго погромче промычать!
7  5=35

Для всех пропел Валерий Сюткин,Что шестью семь – ответ простой,Проводит СОРОК ДВЕ минуткиОн ежедневно под землёй!
7  6=42

Хотите семь на семь умножить?Мы всем подсказку можем дать:Взгляните, «СОРОК ДЕВЯТЬ» можноЛишь раз в таблице повстречать!
7  7=49

А умножая семь на восемь,ПЯТЬДЕСЯТ ШЕСТЬ ответ дадим!Людей по городу развозитАвтобус с номером таким!
7  8=56

56
Семь умножаем на девятку,Получится ШЕСТЬДЕСЯТ ТРИ.И с «семью десять» всё в порядке,Здесь ровно СЕМЬДЕСЯТ, смотри!
7  9=63

7  10=70

Итак, с семёркой мы в расчёте,А цифра ВОСЕМЬ на подходе!Чтоб даром время не терять,Начнём-ка, братцы, умножать!
8
Восьмерку на один умножитПодводный житель осьминог,Ходить по суше он не может,Хоть и имеет ВОСЕМЬ ног!
8  1=8

А восемь на два - знайте, братцы,Решенье верное – ШЕСТНАДЦАТЬ!А восемь на три – не забыли?Ответ «в часах» - ДВАДЦАТЬ ЧЕТЫРЕ!
8  2=16

8  3=24

Умножим восемь на четыре,Здесь только ТРИДЦАТЬ ДВА, друзья,Хоть в Лукоморье говорилиПро тридцать три богатыря!
8  4=32

Умножим восемь на пятёрку -Здесь СОРОК, вариантов нет!А вот подсказка-поговорка:«За сорок бед - один ответ!»
8  5=40

Восьмёрочку на шесть умножим –Выходит СОРОК ВОСЕМЬ здесь!Ну а на семь помножив, сможемМы получить - ПЯТЬДЕСЯТ ШЕСТЬ!
8  6=48

8  7=56

На восемь восемь научились,Мы без ошибок умножать,И ровно ШЕСТЬДЕСЯТ ЧЕТЫРЕДолжны в ответе указать.
8  8=64

На девять восемь умножаем.Вот результат: СЕМЬДЕСЯТ ДВА!На десять восемь – отвечаем:Здесь ВОСЕМЬДЕСЯТ, господа!
8  9=72

8  10=80

Ура! Восьмёрку одолели!Ещё рывок, и мы у цели!Но для начала по порядкуБеремся умножать ДЕВЯТКУ!
9
Умножим девять на один,Историю страны листая,Пусть помнит каждый гражданинО славном дне – ДЕВЯТОМ мая!
9  1=9

Умножить девять на два просто,А чтоб не забывать ответ,Запомни: твой «гражданский» возрастНачнётся в ВОСЕМНАДЦАТЬ лет!
9  2=18

«Девятка на три», вслух считаем,Здесь ДВАДЦАТЬ СЕМЬ - решенье есть!А на четыре умножаем –Получим ровно ТРИДЦАТЬ ШЕСТЬ!
9  3=27

9  4=36

Совсем не сложно научитьсяНа пять девятку умножать!Должно в итоге получитьсяПроизведенье СОРОК ПЯТЬ!
9  5=45

А чтоб на шесть умножить девять,Нам ничего не нужно делать!Мы с вами это проходили,В ответе – ПЯТЬДЕСЯТ ЧЕТЫРЕ!
9  6=54

А вот и умница МальвинаПрилежно учит Буратино,И говорит ему: «Смотри,Девятью семь – ШЕСТЬДЕСЯТ ТРИ»!
9  7=63

Девятью восемь - вот задача,Давай, работай, голова!Но нас не подвела удача,Даём ответ - СЕМЬДЕСЯТ ДВА!
9  8=72

На девять девять умножаем,Ответ в таблице проверяем,А равен, судя по всему,Он ВОСЕМЬДЕСЯТ ОДНОМУ!
9  9=81

Пример последний остаётся,И он нам сразу поддаётся!Девятью десять – это просто!В ответе - ровно ДЕВЯНОСТО!
9  10=90


title: Скачать презентацию или конспект Случайное событие. Вероятность события

extracted_text:
Кафедра математики и моделирования
Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев
Курс «Высшая математика»

Лекция 9.
Тема: Случайное событие. Вероятность события.
Цель: Разобрать понятия опыта случайного события, вероятности. Обсудить условия применения классической формулы вероятности.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая
закономерности в случайных явлениях.
Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать
 некоторую совокупность условий, при которых наблюдается
 то или иное явление.
Опыт может протекать независимо от человека, который может выступать
в роли наблюдателя.
Опыт со случайным исходом – это опыт, результат которого изменяется
при  его повторении.
Случайным событием называется всякий факт, которой в опыте со случайным
исходом может произойти или не произойти.
События обозначают большими буквами латинского алфавита.
Примеры
  1)Опыт:       бросание монеты.
	   Событие:  появление числа.
  2) Опыт:       стрельба по мишени.
	   Событие:  попадание в десятку.
  3) Опыт:       изъятие карты из колоды.
	   Событие:  появление короля.
  4) Опыт:       измерение температуры у больных.
	   Событие:  температура равна 39°С хотя бы у одного больного.

Вероятность
Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления события.
Наблюдаемые события делятся на 3 вида:
достоверное – событие, которое в результате опыта неизбежно произойдет;
невозможное – событие, которое в данном опыте не может произойти;
случайное – событие, которое в результате опыта либо происходит, либо не происходит.

Примеры
1. В корзине три белых шара.
Опыт: извлечение 1 шара.
Событие A: шар белый
  ( достоверное событие).
Событие B: шар  черный шар
  (невозможное событие).

2. В корзине два белых и один черный шар.
Опыт: извлечение 1 шара.
Событие C: шар белый
     (случайное событие).
Событие D: шар зеленый
     (невозможное событие).

 Сформулируйте достоверное событие для данного опыта.

Полная группа событий
Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них.
Примеры:
появление 1, 2,3,…..6 при бросании игральных костей.
появление карты масти черви, пики, крести, бубны при вынимании 1 карты из колоды.
при ответе на два вопроса: «хотя бы один не верный», «хотя бы один верный»
К полной группе можно прибавить еще какие угодно события, в результате группа останется полной.
Несовместные события
Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Примеры:
выпадение 1 и 2 при бросании кости;
при измерении температуры воздуха ежедневно t<20˚, t >20˚;
появление короля, десятки, шестерки при вынимании 1 карты из колоды.
Из несовместных событий можно убрать любые  (пока остаются хотя бы 2) не нарушая свойства несовместности.
Равновозможные события

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Примеры:
появление определенного числа очков при бросании кости
появление карты одной масти при изъятии 1 карты из колоды.

Случаи
Образующие полную группу несовместные и равновозможные события называются случаями (шансами)
Примеры:
появление «герба», «решки» при бросании монеты
появление карты масти «черви», «бубны», «треф», «пики» при изъятии из колоды одной карты
вызов одного человека к доске из группы студентов
Случай называется благоприятным событию А, если появление этого случая влечет за собою появление события А.
Примеры:
 Появление картинки при изъятии одной карты из колоды  в 36 карт: благоприятны 4+4+4=12 случаев и неблагоприятны остальные 24 случая.
 Появление герба при бросании монеты: благоприятны 1 случай, неблагоприятны – 1 случай.

Классическое определение вероятности
Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных этому событию случаев к общему числу всех случаев

Свойства вероятности
                     - вероятность достоверного события;

                      - вероятность невозможного события;
  0≤P(A)≤1     - вероятность любого события.

Задачи:
 1) Из урны, содержащей 3 белых шара и 5 синих шаров, извлекают 1 шар. Найти вероятность того, что шар белый.
        Событие A : вытащили белый шар.
        P(A)=3/8.
 2)   Из урны, содержащей 8 шаров: 5 синих и 3 красных, извлекают
       2 шара. Найти вероятность того, что  вытащили 2 синих шара.
    Событие B: изъятые шары синие

    P(B)=

  3) Бросают 2 монеты. Найти вероятность, что выпадет хотя бы один герб
А= {хотя бы 1 герб},
А1= {1 герб, 1 решка} ,   А2={1 герб, 1 герб}
А3= {1 решка, 1 решка}, А4={1 решка, 1 герб}
 P(A)=3/4
   4) Забыто три последние цифры в номере телефона. Найти вероятность того, что номер угадан с первого раза.
     Событие С: номер угадан.
      P(C)=

Относительная частота
Определение: Относительной частотой называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний
                - относительная частота события А или статистическая вероятность, m- число появлений события,n – общее число испытаний.
Отличие вероятности от относительной частоты: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Пример: При бросании игральной кости A – появление 1: P(А)=1/6, но            не обязательно равняется 1/6.
	При малом числе опытов частота события непредсказуема, случайна. Однако при большом числе опытов  n частота все более теряет свой случайный характер, она проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине.
Оказалось, что это постоянная величина есть вероятность появления события.

Устойчивость относительной частоты

Вопросы:
Ответить на вопрос слайда №5.
Можно ли в задаче 3 (слайд №12) случай А  и А  объединить в один и применить классическую формулу? Почему?

1
4


title: Скачать презентацию или конспект Умножение с 0 и 1

extracted_text:
ТЕМА УРОКА: УМНОЖЕНИЕ С 0 И 1

ЦЕЛЬ :
    Научиться  умножать числа  с 0 и 1. Повторить признаки умножения.

1ОЧКА, 1БОР,
 Ш1А, Ф1А,
 Р Н 0, КА0ЧКА
Разгадайте ребусы:


title: Скачать презентацию или конспект Теорема Пифагора в картинках

extracted_text:
Теорема
Пифагора
в картинках
Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

800
600

х
По теореме Пифагора:
х     =  800   + 600
2
2
2
х = 1000
Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка?

500

300

100

х

300
400
По теореме Пифагора:
х     =  400   + 300
2
2
2
х = 500

Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка – 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин?

2

1,5

х
По теореме Пифагора:
х     =  1,5   + 2
2
2
2
х = 2,5
Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

30
40

х
По теореме Пифагора:
х     =  30   + 40
2
2
2
х = 50
 Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами  A и B, расположенными на разных берегах озера.
По теореме Пифагора:
х     =  300   + 400
2
2
2
х = 500
3,5
Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

12,5

3,5

х
По теореме Пифагора:
х     =  12,5   - 3,5
2
2
2
х = 3 · 4
х     =  (12,5  - 3,5) (12,5  + 3,5)
2
х     = 9 · 16
2
х = 12
На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м?

13

х

12
По теореме Пифагора:
х     =  13   - 12
2
2
2
х = 1 · 5
х     =  (13  - 12) (13  + 12)
2
х     = 1· 25
2
х = 5
Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома на высоте 8 метров, если ее нижний конец отстоит от дома на 6 м?

х

6

8
По теореме Пифагора:
х     =  8   + 6
2
2
2
х = 10

В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние между их верхушками.

60

6
31

х

60
25
По теореме Пифагора:
х     =  60   + 25
2
2
2
х = 5 · 13
х     =  60·60 + 25·25
2
х     = 25(12·12 + 25)
2
х = 65
х     = 25·169
2


title: Скачать презентацию или конспект Основы комбинаторики

extracted_text:
§ 1. Примеры комбинаторных задач и общие принципы комбинаторики
Правило произведения
Пусть объект а1 можно выбрать n1, различными способами, после каждого выбора объекта а1 объект а2 можно выбрать n2 различными способами,..., после каждого выбора объектов а1, а2,..., аp-1 объект   аp     можно   выбрать  nр  различными  способами.   Тогда количество способов, которыми можно выбрать   а1,   а2, ...,   аp равно n1n2...np.
Составление слова из восьми букв можно представить как заполнение буквами клеток следующей таблицы:

1       2       3      4       5      6      7      8
На первое место можно поставить любую из восьми букв, на второе - любую из семи оставшихся  и т.д.  вплоть до заполнения единственным    способом     клетки    №    8    последней    оставшейся буквой. Число способов заполнения таблицы будет равно 8·7·6·5·4·3·2·1=8!
Напомним, что символом п! (читается «эн факториал») обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до п: n!=1·2·...·(n-1)·n.
Ответ: n!= 1 • 2 • ...• (n -1) • п.
Пример 2. Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из карточек «в», «е», «ч», «н», «о», «с», «т», «ь»?
Пусть ак - к -я буква слова (к =1,2,3,4). Тогда n1 = 8,n2 = 7, n3=6,   nА = 5   и  по  правилу  произведения  сразу  получаем  ответ:
   8·7·6·5 = 1680.
Ответ: 1680.
Пример 3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладью так, чтобы они не били друг друга?
Выбор объекта а1 - поля для белой ладьи - может быть сделан n1 = 64 способами. Независимо от выбора этого поля белая ладья бьет 15 полей, поэтому для черной ладьи остается 64-15 =49 полей: n2 = 49.
Ответ: число расстановок ладей равно 64 · 49 = 3136.
Пример 5. Сколь различных слов можно получить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?
В слове «комбинаторика» 13 букв. Если бы все они были различны, то, переставляя их, можно было бы получить 13! слов. Но в нашем слове буквы к, о, и, а встречаются по два раза. Обозначим их к1,к2,о1,о2,и1,и2,а1,а2. Ясно, что слова, отличающиеся перестановкой букв к1ик2 - одинаковые, так что 13! Слов разбиваются на пары одинаковых. Следовательно, если мы не различаем   к1 и к2, то число всех слов будет равно  13!/2!.  Но эта совокупность также разбивается на пары одинаковых с точки зрения буквы “о„ слов и т.д.
                13!      13!
Ответ: =           = —.
             2!2!2!2!  16

Пример 6. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные? Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
Всего нечетных цифр — пять, поэтому выбор к-й цифры числа может быть сделан nк =5 способами (к =1, 2, 3, 4) а количество четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные, равно 5·5·5·5 = 625.
Правило суммы

      Если объект а можно выбрать т различными способами, аобъект   b   можно   выбрать   n   различными   способами,   причемрезультаты выбора объектов а и b никогда не совпадают, то выбор“либо а, либо b» можно осуществить т + n различными способами.
Пример 7. Сколько различных пар можно образовать из 28 костей домино так, чтобы кости, входящие в пару, можно было приложить друг к другу?
Выбор пары костей — это выбор двух карточек вида a1b1,  a2b2,
где можно считать, что а ≤ b.
Выберем первую кость - это можно сделать 28 способами, из них в 7 случаях кость окажется дублем, т.е. кость вида aa, а в 21 случае — кость вида ab, а < b . В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами, а число способов выбора пары костей по правилу произведения равно 7 · 6 = 42 .
Во втором случае вторую кость можно выбрать 12 способами — 6 костей вида a|* и 6 костей вида *|а ,а число способов выбора пары равно 21·12 = 252.
Следовательно по правилу суммы всего получается 42 + 252 = 294 способа выбора упорядоченной пары.
Ответ: 147 пар.

  § 2. Размещения и перестановки
Определение. Всякая упорядоченная выборка объема k из множества, состоящего из n элементов, называется размещением из n элементов по k элементов и обозначается через Аn .
k
Определение. Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов и обозначается через Рn .
Справедлива формула
                 Аn =n (n-1)...(n - к + 1)
k
где 1 ≤  к ≤  n.
На первое место в выборке можно поместить любой из n элементов, на второе - любой из (n - 1) оставшихся и т.д. После выбора элементов   на(k-1)-е   место останется n-(к-1) = n-к+1 элемен-

                         1      2                k-1   k
тов, любой из которых можно поместить на к-е место. По правилу произведения получаем
                   Аn = (n-1)...(n - к + 1)
   В частности,
Рn=An =n(n-1)… ·2·1 = n!	(2)
n
k
An = n(n - 1)...(n - k+1)·(n-k)!=    n!
                       (n-к)!                 (n-к)!
k
Пример 9. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 1,2, ..., 9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?
Последней цифрой искомого числа может быть 0 или 5. В первом случае остальные пять цифр можно выбирать из множества {1,2, ..., 9}
                                                        9!
и число вариантов равно А9 = — = 15120. Если число
                                                        4!
oканчивается цифрой 5, то в качестве первой цифры можно взять любую из восьми цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - нельзя использовать 0, т.к. число должно быть шестизначным.   Цифры   со   второй   по   четвертую   можно   выбрать
A8 = 1680    различными    способами.    Следовательно,    по    правилу произведения имеется  8·A8   чисел, оканчивающихся цифрой 5. По правилу суммы находим, сколько существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.
А9 +8·A8  = 28560.
Ответ: 28560.
5
4
4
5
4
Пример 10. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Пушкина так, чтобы том 2 стоял рядом с томом 1 и справа от него?
Ответ: 9!
§ 3. Сочетания
Определение. Всякая неупорядоченная выборка объема к из множества, состоящего из n элементов (к≤n), называется сочетанием из n элементов по к элементов и обозначается через Сn .
k
Из  любого  набора,содержащего к элементов, можно с помощью перестановок получить k! упорядоченных выборок объема k, поэтому

Откуда
                                                            (4)

Пример 11. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Вратаря    можно    выбрать         способами,    защитников -
     способом,    нападающих –
     способами. Всего, по правилу произведения, существует 2 · 21 · 120 = 5040 способов выбора стартовой шестерки.
Ответ: 5040.
Пример 12. На плоскости проведены n прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке. Найти число точек пересечения этих прямых и число треугольников, образованных этими прямыми.
Число точек пересечения прямых равно числу способов выбора
   неупорядоченной пары прямых, т.е.     . Аналогично, каждый треугольник определяется тройкой прямых, поэтому общее число треугольников равно       .
Ответ:      и       .
Пример    13.    Для    проведения    письменного    экзамена    по комбинаторике  надо  составить  4  варианта  по  7  задач  в  каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта?
Задачи для первого варианта можно выбрать       способами. После этого останется 21 задача, так что второй вариант можно составить       способами. Для третьего варианта задачи можно выбрать      способами, а для четвертого -      = 1 способом.

По правилу произведения получаем число                     . Но так как варианты равноправны, то полученное число надо разделить на 4!
Ответ:                        =

Свойства чисел      :
1°.               , если 0≤к≤n;
2°.                       , если 0≤к≤n+1;
3°.

Свойство 1°

Свойство 2°

Треугольник Паскаля:

Свойство 3°
   Положим

   Так как каждое число строки с номером п входит в качестве слагаемого в два соседних числа следующей строки, то
                                 Sn+1 = 2Sn .
   Следовательно,                                    т.к. S0=1.

§ 4. Бином Ньютона
(a + b) =a +2ab + b       и       (a + b)  = а +3а b + 3ab  +b  .

Если в формуле (5) взять а =b = 1, то получится известное нам свойство 3° чисел    , а если взять а=1, b = -1, то получим еще одно комбинаторное равенство:

Формула (6) называется полиномиальной. Например,
(а + b + с) = а + b + с + 3(а b + а с + b а + b с + с а + c b ) + 6abc.
Пример 14. Найти n, если   известно, что в разложении (1 + x)
   коэффициенты при х и х   равны.
В n-й строке треугольника Паскаля два коэффициента равны в том и только том случае, когда они занимают клетки, равноудаленные от крайних. Действительно, треугольник Паскаля симметричен:             , а при движении от края к середине строки коэффициенты возрастают:             при
              и                при

Следовательно,    равно      тогда и только тогда, когда 12 = n-5, т.е. n= 17.
Ответ: n = 17.

Пример 15. Найти коэффициент при х   в разложении
                    (1 + х  +х   )   .
В силу формулы (6)
                      =
Так как уравнение  5k2 + 9к3 =19 имеет только одно решение в неотрицательных числах k2=2, k3 = 1, то коэффициент при х   равен

2) Обозначим через                        . Тогда

   Рассмотрим k-е слагаемое (0≤k≤30):

Такое слагаемое будет содержать х  , если для некоторого т выполняется равенство 5k + 4m = 19. Ясно, что это возможно только при k=3 и т=1. Следовательно, коэффициент при х равен          =12180.

Литература
1.	Кутасова А.Д., Пиголкина Т.С, Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.,Пособие по математике для поступающих  в вузы. /под ред.  Г.Н.Яковлева - M.: Наука, 1988.
2.	Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
3.	Генкин   С.А.,   Итенберг   И.В.,   Фомин   Д.В.   Ленинградскиематематические кружки. — Киров, 1994.
Контрольные вопросы
Сколько делителей у числа 2004   ?
Сколько диагоналей в выпуклом 2004-угольнике?
Сколько различных натуральных решений имеет неравенство
   n+m≤2004?
4.	Чему равен коэффициент при х  y       в выражении (х + у)
   после раскрытия скобок?
5.	С помощью соответствующей строки треугольника Паскаля выпишите формулу для вычисления (а-b)  .

Задачи
1(3). Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «параллелограмм»?
2(4). Сколькими способами можно переставлять буквы слова «раз-                  мещение» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?
3(3). Решите уравнение

4(3). Известно, что никакие три диагонали выпуклого восьмиугольника не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пересечения диагоналей.
5(4). Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного слонов так, чтобы они не били друг друга?
6(5). Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (любую из цифр можно использовать несколько раз).
7(5). Докажите тождество

8(6).Сколькими способами можно распределить 12 различных книг по четырем полкам так, чтобы на каждой полке оказалась ровно три книги?
9(6). Сколькими способами можно распределить 12 одинаковых книг по четырем полкам так, чтобы на каждой полке была хотя бы одна книга?
          В задачах №8 и №9 все полки разные.
10(6). В выпуклом восьмиугольнике проведены все диагонали, причем известно, что никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. На сколько частей разделится восьмиугольник?
11(6). Найдите наибольший коэффициент многочлена (1 + 2х)  .
12(6). Найдите коэффициент при х   в разложении по степе ням х
       1+(1+x)+…+(1+x)  .


title: Скачать презентацию или конспект Масштаб карты

extracted_text:
Презентация поматематике.
Математика в географии
Масштаб.
Работа Даниловой Дарьи 6.1 класса МОУ «Лицей № 36»
Учитель: Абросимова Наталья Николаевна.

pptcloud.ru
Определение масштаба в математике и географии.
В математике: масштаб – это отношение длины отрезка на плане к длине соответствующего отрезка в натуре.
В географии: масштаб – это дробь числитель которой равен 1, а знаменатель показывает во сколько раз уменьшили или увеличили  объект.
Различают численный, именованный, графический и линейный масштабы.
Графический масштаб – это масштаб в виде графика, предназначенного для перевода длин отрезков, измеренных на карте, в соответствующие расстояния на местности.
Именованный масштаб –это масштаб выраженный именованными числами, обозначающими длины взаимно соответствующих отрезков на карте и в натуре
(в 1 см – 10 м);

Виды масштабов.
Линейный масштаб –это масштаб в виде отрезка прямой, разделённого на равные части с подписанными значениями соответствующих им расстояний на местности.

Численный масштаб –это  масштаб выраженный дробью, в которой числитель равен 1, а знаменатель равен числу, показывающему во сколько раз уменьшили размер на карте
 ( 1:10000);

                        Виды масштабов.
Математическая основа карт
Карта - плоское, математически определенное, уменьшенное, условно-знаковое изображение поверхности Земли, другого небесного тела или космического пространства, показывающее размещение, свойства и связи природных и социально-экономических явлений
Математическая основа карт –это математические правила, по которым строятся карты одно из этих правил - масштаб.


title: Скачать презентацию или конспект Математика в музыке

extracted_text:
Филяровская Мария 4б класс
Математика в музыке
Автор: Филяровская Мария         4б класс
Филяровская Мария 4б класс
Введение
Целью моей работы было рассказать о тесной связи музыкального искусства и науки математики, есть ли что-нибудь общее между музыкой и математикой? Если музыка связана с окружающим миром, то, наверное, она как-то взаимодействует и с наукой? Мне стало интересно самому узнать, что же общего между таким прекрасным видом искусства как музыка и  такой сложной, наукой, как математика.
Филяровская Мария 4б класс

Древняя Греция
Еще в Древней Греции математика и музыка назывались родными сёстрами, а со времён Пифагора наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, наряду с арифметикой (наукой о числах), геометрией (наукой о фигурах и их измерений) и астрономией (наукой о строении Вселенной).
Пифагор
Филяровская Мария 4б класс

Древняя Греция
Изучая высоту звука с помощью монохорда – простейшего инструмента Древних греков, состоящего из одной струны, резонаторного ящика и передвижной подставки, с помощью которой можно было изменять длину натянутой струны, Пифагор обнаружил поразительные вещи. Выяснилось, что приятные слуху созвучия – консонансы получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, соотносятся как целые числа первой четвёрки, т.е 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора: оказалось, что звук и созвучие могут быть описаны простыми числами.
Монохорд
Филяровская Мария 4б класс

Древняя Греция
Пифагор перенёс числовые соотношения на гармонию Вселенной. Согласно его учению Земля, Солнце, Луна и планеты располагаются на небесных сферах и совершают вместе с ними круговое вращение. Вследствие трения об эфир они издавали музыкальные звуки, которые объединялись в созвучия. Так возникла чудесная мировая музыка или «гармония  сфер», без которой мир бы не мог существовать как единое целое. Земная человеческая музыка, по мнению Пифагора, - слабые отголоски музыкальных небесных сфер; она дана человечеству в утешение, и создаёт её тот, кто способен услышать в себе мировую музыку. Пифагор был уверен, что музыка звучит совершенными консонансами (благозвучными интервалами): тон, издаваемый Землёй принимался за тонику, сфера Луны звучала квартой, Солнце – квинтой, а звёзды и планеты – октавой.
Филяровская Мария 4б класс
Древняя Греция
	Пифагорейцы открыли «золотую пропорцию» – «точку золотого сечения», которое в музыке определяла точное место кульминации.
	Если отрезок поделить на две неравные части, то отношение целого отрезка к большей части должно быть пропорционально отношению его большей части к меньшей, и отрезок и все его части оказываются в непрерывной пропорциональной зависимости. Гераклит сказал: «Из всего единое и из единого – все».
Филяровская Мария 4б класс
Средневековье
Математическая стройность музыкального искусства потрясала не только древних мыслителей. Многие великие умы более поздних эпох и современности обращали на это внимание и использовали близость музыки и математики.
В эпоху Средневековья (с конца XII – начала XIII века) вся совокупность знаний делилась на 7 основных наук: тривиум – начальный курс образования, включавший в себя грамматику, риторику и диалектику; квадриум – повышенный курс светского образования, куда музыка входила так же, как и у пифагорейцев вместе с арифметикой, геометрией и астрономией. Математика не включена в число смежных дисциплин и находится в стороне от музыкального искусства, скорее музыкальное искусство в некоторых своих проявлениях прибегает к использованию математического аппарата.
Филяровская Мария 4б класс
Средневековье
На ранней стадии музыкознания было открыто, что законы, по которым существует музыкальное искусство, совпадают с описанными математикой законами физического мира. Антон Веберн сказал: «Музыка есть закономерность природы, воспринятая слухом» (XX в.) Г. В. Лейбниц (XVII – XVIII в.в.) сказал: «Когда мы слушаем музыку, наша душа считает, но она не знает, что она считает».
М. Падуанский – ученый и музыкант XIII –XIV в.в. сказал: «Законы Вселенной – законы музыки!». Современная наука разрушила эти красивые фантазии о музыкальном вращении планет. Но гармония целочисленных соотношений продолжает увлекать физиков. Альберт Эйнштейн открыл сходство между колебанием струны и ее частей и атомами испускающими излучение.
Филяровская Мария 4б класс
Средневековье
Великий немецкий композитор XVII века И. С. Бах писал церковную музыку. Сам, будучи превосходным органистом-импровизатором, исполнял её. При этом большинство его произведений написаны на сюжеты, взятые из священной книги «Библии». Позднее уже после его смерти музыканты-исследователи выяснили, что многие мелодии композитора имеют цифровые коды - символы, а произведения точно математически просчитаны. Сегодня мы не можем точно сказать, как сочинял композитор свои сочинения, и производил ли при этом математические расчеты. Но остается фактом, что И. С. Бах был выдающимся математиком и гениальным композитором, написавшим много прекрасной музыки.

И. С. Бах
Филяровская Мария 4б класс
Схожесть понятий
	Что же так занимало великие умы во взаимосвязи этих, казалось бы, таких разных понятий: математики и музыки? Да то, что строятся они во многом по одинаковым законам, а многим музыкальным терминам можно провести прямые параллели из математики.
 Например, темп в музыке, так же как и в математике – понятие скорости – определяет отношение числа происходящих событий к тому времени, которое они заняли.
 В отношении длительности нот можно провести прямую параллель к математическому понятию целых чисел и дробей.
Филяровская Мария 4б класс
Интересная 7-ка
	И случайно ли то, что окруженная большим почетом в древности семерка привела к появлению способа записи музыки посредством семи нот? В древнем Вавилоне были известны 7 планет, к которым причисляли Солнце и Луну. Все непонятные явления природы приписывались богам, и постепенно представление о богах соединилось с 7 планетами. 7 священное число, т.к. человек воспринимает мир через 7 отверстий в голове: два глаза, два уха две ноздри и рот. Приписывая числу 7 таинственную силу, знахари вручали больному 7 разных лекарств, настоянных на 7 травах, и советовали пить их семь дней. Одиссей 7 лет был в плену у нимфы Калипсо. У вавилонян подземное царство окружено 7 стенами. У мусульман небесный свод состоит из 7 небес, и все угодные Богу попадают на седьмое небо блаженства. У индусов есть обычай дарить на счастье 7 слоников. В Библии – 7 ангелов.
Филяровская Мария 4б класс
7-ка в музыке
	Октава – расстояние между двумя звуками в семь ступеней. По-другому, ряд из семи звуков – называется звукоряд: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Звуков всего семь. При помощи повторений в разных регистрах и различных сочетаний между собой образуется множество прекрасных мелодий.
Филяровская Мария 4б класс

Сменим ноты цифрами
А знаете ли вы, что не зная нот, но умея хорошо считать, можно играть свои любимые мелодии. Для этого каждой ноте нужно присвоить цифру: до – 1, ре – 2, ми – 3, фа – 4, соль – 5, ля – 6, си – 7. Получится вот что! Песенка «Едет, едет паровоз» нотами звучит так: 	до-ре-ми-фа-соль-соль-соль,
			до-ре-ми-фа-соль-соль-соль,
			фа-фа-фа
			ми-ми-ми
     			ре-ре-ре-ре
    			до-до-до
Заменим ноты цифрами, получим:      	1-2-3-4-5-5-5
						1-2-3-4-5-5-5
						4-4-4
						3-3-3
						2-2-2-2
						1-1-1
Филяровская Мария 4б класс

Считалка
	Можно весело заниматься математикой, напевая песенку, если произвести операцию сложения:
1+2+3+4+5+5+5+1+2+3+4+5+5+5+4+4+4+3+3+3+2+2+2+2+1+1+1=?
	Играй песенки и считай:
«Чижик-пыжик»
	3+1+3+1+4+3+2+5+5+5+6+7+1+3+1=?
«Английская песенка»
	3+3+3+3+3+3+3+5+1+2+3+4+4+4+4+3+3+3+3+2+2+3+2+5=?
«Маленькая елочка»
	5+3+3+5+3+3+5+4+3+2+1+6+1+6+5+3+3+5+4+3+2+1=?
	Не правда ли получившиеся из музыки математические примеры выглядят несущими в себе некоторую закономерность!
Филяровская Мария 4б класс

Заключение
	Я считаю, что цель моей работы достигнута, задачи выполнены. Изучение данной темы, на мой взгляд, может быть продолжено, так как литературы о связи музыки и математики очень мало. Сравнивая музыку и математику, я сделал вывод, что математика, как наука может развиваться без музыки, а музыкальное искусство подчиняется многим законам математики и не может существовать без неё.


title: Скачать презентацию или конспект Случайные события

extracted_text:
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Cлучайное  событие
Это событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Достоверное событие

Это событие, которое при данных условиях обязательно произойдёт
Невозможное событие

Это событие, которое при данных условиях  не может произойти
Равновероятные события

Это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы
 для наступления.
В корзине лежало 3 красных и 3 жёлтых  яблока. Из сумки наугад вынимают яблоко. Среди следующих событий укажите случайные, достоверные, невозможные события.
А:   Вынуто красное яблоко
 В:  Вынуто жёлтое яблоко
 С:  Вынуто зелёное яблоко
  D:    Вынуто яблоко

СЛУЧАНЫЕ
НЕВОЗМОЖНОЕ
ДОСТОВЕРНОЕ

№ 865 Три господина, придя в ресторан , сдали в гардероб  свои шляпы.
Расходились они по домам последними, и притом в полной темноте,
поэтому разобрали свои шляпы наугад . Какие из следующих событий
случайные, невозможные, достоверные?
А: «каждый надел свою шляпу».

В: «все надели чужие шляпы».

С: « двое надели чужие шляпы , а один - свою».

D: « двое надели свои шляпы , а один - чужую».
ОТВЕТ: события А,В,С – случайные,
               событие D - невозможное
Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации , необходимо:
найти   общее количество  исходов  этой ситуации ;
найти количество возможных исходов, при которых
произойдёт событие А;
найти ,какую часть составляют возможные исходы
 от общего количества исходов.

1
2
3
4
5
6
Сравните возможность  наступления следующих событий,
используя при этом выражения : « более вероятно »,
« менее вероятно » , «равновероятно»
6
6
6
6
6

1
1
0
2
3
0
А: « выпало число 4»
В: « выпало число  3»
С: « выпало число 7»
Е: «выпало чётное число»
D: выпало число кратное 3
События А и В равновероятные .
Событие D  менее вероятно чем событие Е .
Событие D более вероятно, чем событие В .
В гости  к сказке
СКАЗКА ПЕРВАЯ
   Муха -
Цокотуха
Муха, Муха – Цокотуха,
Позолоченное брюхо!
Муха по полю пошла,
Пошла муха на базар
И купила самовар….
Муха денежку нашла,
Сказка вторая
Жил старик со своею старухой
У самого синего моря;
Они жили в ветхой землянке
Ровно тридцать лет и три года.
Старик ловил своим неводом рыбу,
Старуха пряла свою пряжу.
………………………………………………..
сказка о
рыбаке и рыбке
Раз он в море закинул невод,-
Пришёл невод с одной тиной.
Он в другой раз закинул невод,-
Пришёл невод с травой морскою.
В третий раз он закинул невод,
Пришёл невод с одною рыбкой.
С непростою рыбкой, - золотою.
Сказка третья
Было у мельника три сына,
 и оставил он им , умирая,
 всего только мельницу, осла и кота.
Кот в
 сапогах
старшему
среднему
младшему
А
В
С
Сказка четвёртая
За горами, за лесами,
За широкими морями,
Не на небе – на земле
Жил старик в одном селе.
У старинушки три сына :
Старший умный был детина,
Средний сын и так и сяк,
 младший вовсе был дурак.
Конёк -
горбунок
Молоко
кипячёное
Вода
 варёная
Вода
студёная
А : царь сварился
В : царь остался жив


title: Скачать презентацию или конспект Окружность

extracted_text:
Урок математики
в 3 классе
(по программе «Школа 2000»)

Учителя МБОУ – «СОШ № 40»
города Новоуральска Свердловской области
Ворониной Елены Анатольевны
Что это?
Область
Географическое понятие
Математическое понятие
Область-
часть страны
(из словаря Ожегова)
Область-
часть плоскости, ограниченная линией.

Граница
Географическое понятие
Математическое понятие
Граница
- линия, отделяющая одну область от другой"
(из словаря Ожегова)
Граница
- замкнутая кривая линия

Висимский заповедник
Висимский заповедник
Висимский заповедник
Висимский заповедник
Висимский заповедник
Висимский заповедник
Урок математики
в 3 классе
по теме: «ОКРУЖНОСТЬ»
Что такое окружность?

   это замкнутая кривая линия, граница круга

Центр окружности

   одинаково удалён от всех точек окружности

О
A

B

С

D

F
ОA = ОВ = ОC = ОD = ОF
Радиус

   - отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности

r
Радиус
Ци́ркуль

Проверь себя
21
1. Окружность – это:А. Замкнутая кривая линия.Б. Ломаная линия с центром в точке О.В. Замкнутая кривая линия, центр которой одинаково удалён от всех точек окружности.

4. Радиус окружности – это:А. Отрезок, соединяющий две точки окружности.Б. Прямая, проходящая через центр.В. Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности.

Проверь себя
22
3. Все радиусы одной окружности:А. Являются лучами.Б. Равны между собой.В. Имеют разную длину.

Проверь себя
23
5. Найди на чертеже предметы, в составе которых есть окружность, отметь их знаком +
24

СПАСИБО ЗА УРОК!


title: Скачать презентацию или конспект Математические понятия

extracted_text:
Методика формирования математических понятий у учащихся 5 – 6 классов
Работа учителя математики
Максимовой Ж.Н.
Введение
Понятие является одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе – и математики.
Объект исследования: процесс формирования математических понятий в 5-6 классах.
Цель работы: разработать методические рекомендации для изучения математических понятий в 5-6 классах.
Задачи работы:
Изучить математическую, методическую, педагогическую литературу по данной теме.
Выявить основные способы определения понятий в учебниках 5-6 классов.
Определить особенности формирования математических понятий в 5-6 классах.
Разработать методические рекомендации формирования некоторых понятий.

Методы исследования:
изучение методической и психологической литературы по теме;
сравнение различных учебников по математике;
опытное преподавание.

Основы методики изучения математических понятий
Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий

Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание – множество существенных признаков понятия. Объём – множество объектов, к которым применимо данное понятие.
Выделяют следующие виды классификации:
По видоизмененному признаку.
Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.
цели обучения  классификации:
1) развитие логического мышления;
2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом  понятии.

Основы методики изучения математических понятий
Определение математических понятий, первичные понятия, поясняющие описание
Определением считается такая формулировка, которая сводит новое понятие к уже известным понятиям этой же области
Наука имеет первичные понятия, которые определяются через аксиомы
Правильное представление о понятии достигается с помощью поясняющих описаний – доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие.
Основы методики изучения математических понятий

Способы определения понятий

По логической структуре определения делятся на конъюнктивные  и дизъюнктивные
 Существует подразделение определений на дескриптивные (описательные) и конструктивные ( в которых указывается способ получения нового объекта)
Основы методики изучения математических понятий

Методические требования к определению понятия

Требование научности.
Требование доступности.
Требование соизмеримости .
 Определение не должно содержать порочного круга.
Определения должны быть ясными, точными, не содержать метафорических выражений.
Требование минимальности.
Основы методики изучения математических понятий
Введение понятий в школьном курсе математики
В методике выделяют три пути введения понятий:
Конкретно-индуктивный:
Выявление существенных признаков понятия на основе сравнения объектов.
Введение термина, формулировка определения.
Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.
Абстрактно-дедуктивный:
Введение определения учителем.
Рассмотрение особых и частных случаев.
Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.
Комбинированный
Основы методики изучения математических понятий
Основные этапы изучения понятия в школе
При введении понятия нужно учесть следующее:
Мотивацию введения, раскрыть содержание понятия, работать над существенными признаками, выделяя несущественные, усвоить терминологию и символику
Итогом данного этапа является формулировка определения
Этап  усвоения достигается с помощью следующих приемов:
Выписывания определений в тетрадь
Проговаривания и подчеркивания существенных свойств
Обучение приводить примеры и контрпримеры
Этап закрепления:
Применение определения в более сложных ситуациях
Включение нового понятия в логические связи, отношения и др. понятиями

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Особенности познавательной деятельности
Восприятие
Память
Внимание
Воображение
Мышление
ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Психологические аспекты формирования понятий

Распознавание
Выведение следствий
Сравнение
Классификация
Установление иерархических отношений внутри системы понятий

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Некоторые педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах
Методы обучения:
Объяснительно-иллюстративный
Частично-поисковый
Проблемный
Особенности обучения:
Повторение ведется с привлечением математической терминологии и символики
Линейно-концентрическое изложение материала
Умение работать с текстом
Переключение с одного вида учебной деятельности на другой
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе разработанной методики преподавания:
все понятия, изучаемые в начальных классах, в 5 – 6 классах переосмысливаются на более высоком теоретическом уровне, углубляются и обобщаются
учащиеся 5-6 классов получают необходимые навыки в работе с определениями, понимают простые логические рассуждения и они смогут изучать курс математики  старших классов более осознанно


title: Скачать презентацию или конспект Самый умный

extracted_text:
ОТБОРОЧНЫЙ
I    ТУР
Что определяет флюгер? а)  стороны горизонта  б) напряжение   в)  направление ветра  г)   вес тела
2. Закон всемирного тяготения открыл?      а) Менделеев       б) Терешкова       в) Ньютон       г) Торричели
3.Линия,по которой движется тело?      а) прямая      б) перемещение      в)  траектория     г)  диаметр
4. Кто ввёл прямоугольную систему координат?       а) Лобачевский      б)  Декарт      в)  Пифагор       г)  Паскаль
5.  Назовите удивительного предка компьютера, не имевшего никакого отношения к вычислениям.       а)  Ткацкий станок       б)  Мельница       в)  Маслобойка       г)   Гончарный круг
6.  Какой первоначальный смысл английского слова «компьютер»?а)  Телескопб)  Электронный аппаратв)  Электронно -  лучевая трубкаг)   Человек, производящий расчеты
7.   Когда появилась первая ЭВМ?        а)  1823 г.        б)   1946 г.        в)   1949 г.        Г)   1951 г.
8. Говорят, что математика – царица всех наук, а царица математики - …    а) Арифметика   б)  Геометрия   в)  Алгебра     г)   Планиметрия
9. Как в России в начале 18 века называли арифметику? а) Числительница б)  Сложительницав)  Учительницаг)   Знаменательница
10.  Какое точное слово придумали ученые для информации, которая не может быть понята и усвоена?       а)  Шум       б)  Гам       в)  Бред       г)   Ересь
11.  В чем измеряется скорость передачи данных?     а)  В бодах     б)  В барах     в)  В герцах     г)  В узлах
12. Множество каких чисел самое большое?      а)  Натуральных      б) Рациональных      в)  Действительных      г)  Целых
13. Оптический прибор ?     а) лактометр    б) дозиметр    в) перископ    г) альтиметр
14. Прибор для измерения веса?      а)весы       б) манометр      в) динамометр       г)флюгер
15. Утверждение, принимаемое без доказательства ?а) Теоремаб) Аксиомав) Тождество г)Высказывание
16.  В какой системе счисления запись одного и того же десятичного числа будет самой короткой?      а)  В двоичной      б)  В пятеричной      в)  В восьмеричной      г)  В шестнадцатеричной
17. Что больше?       а)  Биллион      б)   Триллион            в)   Миллион      г)   Секстиллион
18. В центре атома находится?      	 а) ядро  	 б) молекула       	 в) электрон       	 г)пустота

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ОТБОРОЧНОМУ  ТУРУ
ДЕШИФРОВЩИК
Что является графиком функции у = 6х?       а) Парабола           б) Гипербола            в) Прямая            г) Ветвь параболы
2.  Какой вид памяти компьютера самый быстрый?       а)  Оперативная память       б)  Внешняя память       в)  Кэш – память
3.   Для чего память ЭВМ не предназначена?     а)  Запись информации     б)  Хранение информации     в)  Преобразование информации     г)  Выдача информации
4. Как принято называть величину, значение которой меняется в процессе исполнения программы?   а) Неизвестным    б)  Переменной  в)  Аргументом   г)  Параметром
5. Числа 1,2,3,4,5,… называются ?      а)  Целыми            б)  Десятичными            в)  Рациональными      г)  Натуральными
ДЕШИФРОВЩИК
А Б В Г
                        1
Д Е Ж З
                        2
И Й К Л
                        3
М Н О П
                        4
 Р С Т У
                        5
Ф Х Ц Ч
                        6
Ш Щ Ъ Ы
                        7
Ь Э Ю Я
                        8
Геометрическая фигура? -55142638
I I   ТУР
АЛГЕБРА
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЯ
ФИЗИКА
ИНФОРМАТИКА
СЕКРЕТ
АЛГЕБРА
 Наименьшее натуральное число ?
Как называется график квадратичной функции?
Как называется выражение, записанное с помощью знаков < и > ?
Назовите сторону треугольника, лежащего против прямого угла?
Как называется равенство с переменными?
Как называется сотая часть числа ?
Что показывает знак  дискриминанта?
Как называется дробь, у которой есть целая и дробная часть ?
Нули функции – это точки пересечения с осью ОХ или ОУ?
Куда направлены ветви параболы у = – 0,5 х2 + 3х + 1?
Что является графиком функции у = kх + в ?
Что нужно найти в первую очередь, решая квадратное уравнение?
Результат сложения?
Когда произведение равно нулю?
Если числитель равен знаменателю, то дробь равна?
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Какая система обеспечивает работоспособность компьютера?
Как называется объект, который обеспечивает обмен данных между Windows программами?
Что помогает программисту восстановить работоспособность «зараженного» компьютера?
Что представляет собой перечисление всех папок, в который вложен данный файл?
Какая «железнодорожная» программа есть в ОС Windows?
Куда в ходе работы помещаются ненужные программы и документы?
Как зовут создателя компании Microsoft?
Как называют размер шрифта?
Как называют клавишу косая черта?
Какая программа используется для работы с электронными таблицами?
В чем соревнуются мастера компьютерного спорта?
Как называется программа,  созданная специально для повреждения данных?
Параметрами чего является гарнитура, кегль, цвет?
Что представляет собой изменение параметров введенных символов?
Как называют элемент графического интерфейса ОС Windows?
ФИЗИКА
Прибор для измерения силы тока?
Сила, действующая на опору или подвес называется?
Диффузия  это…?
Одноименные электрические заряды?
Как называется переход вещества из газообразного состояния в жидкое ?
Как распространяется свет в однородной прозрачной среде ?
Единица силы тока ?
Слово “физика” в русский язык ввел ?
Состояние тела, при котором его вес равен нулю ?
Какой энергией обладают движущиеся тела ?
Единица электрического сопротивления ?
Линия, вдоль которой движется тело ?
Единица изменения количества теплоты ?
Наибольшее смещение тела от положения равновесия ?
Явление, с помощью которого встряхивают ртуть в термометре?
ГЕОМЕТРИЯ
Какой раздел математики изучает свойства фигур ?
Сумма углов в треугольнике?
Сколько  признаков равенства треугольников мы знаем?
Величина развернутого угла?
Направленный отрезок?
Как называется треугольник с углом 90о?
Отрезок, проведенный из вершины угла на середину противолежащей стороны треугольника, называется?
Какая теорема связывает стороны прямоугольного треугольника?
Самая большая хорда в круге?
Фигура, имеющая 4 оси симметрии?
Два луча с общим началом ?
Простейшее геометрическое понятие ?
Что называется отношением прилежащего катета к гипотенузе  ?
Как называются две непересекающиеся на плоскости прямые?
Как называется треугольник со сторонами 3, 4, 5 ?
СЕКРЕТ
Самый жаркий материк?
Самая южная точка Украины?
Мельчайшая частица любого вещества?
Что не имеет длины, глубины, ширины, высоты, а можно измерить?
Что впервые наблюдал Эрстед?
С какой скоростью должна бежать собака, чтобы не слышать звона сковородки, привязанной к ее хвосту?
Что такое деформация?
Радиоактивный металл, носящий название одной из планет?
Никто его не видывал,А слышать всякий слыхивал,Без тела, а живет оно,Без языка –кричит.
Всем поведает,Хоть и без языка,Когда будет ясно,А когда облака.
Им силу тока изменяют,Если что-то в нем сдвигают.
Чудо-птица, алый хвостПолетела в стаю звезд.
Обычно в этом выражается КПД.
Раздел физики, изучающий световые явления.
Время одного оборота по окружности.
ИНФОРМАТИКА
Как называются внешние устройства компьютера ?
Как называется портативный переносной компьютер  ?
Что такое «подмышка» на компьютерном языке ?
Какое устройство служит для связи материнской платы с монитором ?
Что скрывается за самой длинной клавишей на клавиатуре ?
Как в шутку называют электронную почту ?
Куда в ходе работы помещаются ненужные программы и документы?
Какая программа используется для работы с электронными таблицами?
Какое устройство компьютера используется для вывода графической информации?
Какой принтер наиболее эффективен для печати цветных фотографий?
Профессия человека, разрабатывающего компьютерные программы ?
Как называется объединение двух или большего числа изображений в одно?
Назовите наиболее мощный и популярный векторный графический редактор ?
Что обязательно имеет компьютер, подключенный к Интернету?
Как называются части электронного адреса, разделенные точками?
ДЕШИФРОВЩИК
А Б В Г
                        1
Д Е Ж З
                        2
И Й К Л
                        3
М Н О П
                        4
 Р С Т У
                        5
Ф Х Ц Ч
                        6
Ш Щ Ъ Ы
                        7
Ь Э Ю Я
                        8
Что является основным элементом структуры
 табличной  базы данных?  - 4432
I I I  ТУР
ФИЗИКА
(желтые ячейки)

1
2
3
4
5
6
12
7
8
9
10
11
17
16
14
13
15
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36

Формула нахождения дискриминанта?
 Отношение противолежащего катета
к гипотенузе ?
Чья теорема помогает решать квадратные уравнения?
 Отрезок, который соединяет точку окружности с центром?
 Равенство двух отношений?
 Периметр квадрата 8см. Чему равна его площадь?
Сколько углов в квадратной комнате?
По какой формуле можно найти площадь треугольника, если известны все стороны треугольника?
Название какой фигуры в переводе с греческого означает обеденный столик?
Какое устройство может оказывать вредное воздействие на здоровье человека?
Чтобы сохранить текстовый файл (документ) в определенном формате необходимо задать…
Какая система счисления используется в ЭВМ: бинарная или двоичная?
Создатель фирмы apple?
Наименьший элемент памяти компьютера называется …. памяти?
Сведения о чём-либо, независимо от формы их представления – это…

Машина для приема, переработки, хранения и
выдачи информации в электронном виде,
которая может воспринимать и выполнять сложные
последовательности вычислительных операций
по заданной инструкции — программ.
Алфавит переключается клавишами?

Какие цифры используются
 в двоичной системе
счисления?

Кто изобрел радио?

Автор теории относительности?

Кто такая
Валентина Терешкова?

Какая физическая
величина измеряется в
джоулях?

Где находится
Пизанская башня?

Как называют материал,
не проводящий электрический
 ток?

    Что делают магниты, когда
их приближают разными
полюсами?

Какой прибор служит
для регулирования
силы тока в цепи?

Как называют величины ,
которые кроме численного
значения
 имеют направление?
Что произнес Архимед, выскакивая из ванны?
Какая латинская буква является и названием самого популярного витамина, и именем диска ?

 Найдите арифметический корень из 169
Чем обладают тела, способные совершать работу?
Как называется наука о законах и формах мышления?
Единица измерения скорости в море?
Как называют внутреннееустройство компьютера?

Самая известная премия мира,
которую не вручают математикам?
Как называется прибор для измерения силы ?
САМОГО
УМНОГО
ПОЗДРАВЛЯЕМ!


title: Скачать презентацию или конспект Задачи на делимость

extracted_text:
Задачи на делимость
Автор:ученик 7 класса Карадуванской СОШ Балтасинского района Республики Татарстан Нуриев Фидарис Фанисович.
Руководитель: учитель математики  Галимова Рауза Рафаэловна.
5klass.net
 Признаки делимости натуральных чисел   известные уже с 6 класса, например, признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. Мы знаем теоремы:
Теорема 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

 Теорема 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Теорема 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.

Теорема 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.
 При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел
Одно из п последовательных целых чисел делится на п;
Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;
Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;
Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.
Формулировка других признаков делимости чисел
Основываясь на известных нам признаках делимости и теоремах 1- 4, можно сформулировать и признаки делимости на 4, на 6, на 8, на 15.
В дополнительной литературе я отыскал признаки делимости на 7, 11, 13, 19, 31, 137, Но для решения очень многих задач на делимость этого оказалось недостаточно. Просматривая учебники математики разных авторов,  собрал  достаточно большую коллекцию интересующих меня задач.
Признаки делимости чисел можно классифицировать следующим образом:

Делимость по последним цифрам числа
Делимость  по сумме цифр числа
Делимость составных чисел

Сложность задач
Во множестве отобранных задач на делимость было очень трудно разобраться, но затем удалось разбить их на группы, каждая из которых имела какой-то определенный метод решения. А некоторые задачи можно было решить и не одним способом.

Во многих из этих задач есть такой элемент, который делает их непохожими на известные задачи, и возможно, потребует для решения некоторой сообразительности, смекалки, творческого подхода.

Для решения отобранных  задач на делимость, я использовал методы, суть которых  дается  на конкретных примерах.
Первый метод. Разложение на множители (или слагаемые)
Задача 1
Доказать, что  n3+3n2+5n+3 делится на 3 при любом натуральном n.

Решение:
представим наш многочлен в виде суммы двух слагаемых:
n3+3n2+5n+3=n3+3n2+2n+3n+3=n(n2+3n+2)+3(n+1)=n(n+1)(n+2)++3(n+1), первое слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, => оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3.
Второй метод. Исключение целой части числа
Задача 2
Найти все целые x и y, удовлетворяющих уравнению x+y=xy.
Решение:
x+y=xy, <=> x-xy = -y,
             x(1-y) = -y,
             x = -y/(1-y)
    x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))
   (1/(y-1)) є Z, если y-1=±1
    y-1=1, y=2
    y-1=-1, y=0
    Если y=0, то x=0/(1-0)=0
    Если y=2, то х=-2/(1-2)=2

Ответ: (0;0) и (2;2).
   Последняя цифра    числа
Задача  3
Какой остаток при делении на 5 дает число 33333?

Решение:
33333=33332+1 – число оканчивается цифрой 3, остаток от деления на 5 есть 3.
Третий метод. Равноостаточные классы
Задача 4
Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.

Решение:
Если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k, во втором (3k+2)2-
     - 1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3. В обоих случаях разность делится на 3, т.к. каждое слагаемое делится на 3.
Четвертый метод. Применение теоремы Безу
Задача 5.
Доказать, что выражение 35n-2*5n+11n делится на 6 при любом натуральном n.

Решение:
Запишем наше выражение в таком виде: 35n -
   - 2*5n+11n=(35n-5n)+(11n-5n), тогда  35n - 5n делится на разность оснований степеней, т.е. на 35 - 5=30, а следовательно, делится и на 6, 11n -
    -5n также делится на разность оснований 11-5=6.
Пятый метод. Четность и нечетность чисел
Задача 6.
Доказать, что уравнение x2+1974=y2 не имеет решений в целых числах.

Решение:
Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y2-x2. Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y2-x2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, т.е. x и у одновременно четные, или оба нечетные числа.
     1974=y2-x2 , <=> 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет.
Признаки делимости   используются   при  решении уравнений в целых числах (диофантовы уравнения).
Пример 7.             Шестой метод.
    Найти все целочисленные решения уравнения 16х+20у=14.
Решение: Находим  наибольший общий делитель 16 и 20; (16,20) = 4, а число 14 не делится на 4, то по теореме уравнение не имеет целочисленных решений.
Седьмой метод. Бином Ньютона
Задача8.
Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n.

Решение:
62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n. Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11.
Выводы: Зная методы исследований признаков делимости натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости любых натуральных чисел.

Чем особенна и ценна теория чисел? Ведь найти непосредственное применение результатам трудно. Тем не менее, задачи теории чисел привлекают как пытливых молодых людей, так и ученых в течение многих столетий. В чем же здесь дело? Прежде всего, эти задачи очень интересны и красивы. Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ. Поиски этих ответов часто приводили к открытиям, значение которых далеко превосходит рамки теории чисел
Заключение
            Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам,  т.к.  последняя задача на ЕГЭ решается применением признаков делимости. А также будет полезно и для учеников, участвующих  в   олимпиадах. Они часто встречаются в заданиях олимпиад «Сократ», «Кенгуру», «Авангард».  Применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках  математики, так и во внеклассных занятиях для  учащихся 5-11-х классов.


title: Скачать презентацию или конспект Вписанная и описанная окружность

extracted_text:
Вписанная и описанная окружность.
Работа по готовым чертежам.
Урок №10. 8 класс.
Учитель школы №327 Маркова Н.А.
1. Окружность с центром в точке О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О -середина гипотенузы.
2. Найдите радиус этой окружности, если АС=8 см, ВС=6 см.
3. Вершины тр-ка АВС лежат на окружности, причем Найдите углы тр-ка АВС.
4. Найдите все углы вписанного в окружность четырехугольника АВСD, если угол А=60º, а угол В=90º


title: Скачать презентацию или конспект Числовая окружность. Формулы

extracted_text:
Числовая окружность.
Формулы.
Тригонометрия

Попкова Т.Г. МОУ СОШ № 2 Горячий Ключ

Окружность
                                                                                P
                                  М                                 N

                                                                                A
                 О                     А

                                                                      C
                                                                                D

Деление на части
 1)на 2 части                                           2)на 4 части          С                                  3)на 8 частей             С

                                                                                R                              K

   В                                       А                       В                                       А                         В                                       A AА

                                                                                M                          N
                                                                                D                                                                   D
4)на 12 частей      С                                 5)на 6 частей
                 O                   Z                                         O                    Z                        Указать длины дуг: 2)AD
     P                                   F                                                                                3)AR, KM, ND, AM, NA
                                                                                4)AO, AG, CB, CE, AT, AE, PE
   B                                       A                       B                                       A               5)AZ, ZB, AB, ZH, OZ

     G                                  T
             E                    H                                         E                     H
                       D

 Отметить на числовой окружности точки  М( t)  такие, что:
1)t = 1;  4; - 3                                  1 рад≈57°
2)t =  π; π/3; -π/6; 7π                      π≈3,14
3)t =  - 0,5π; 2,5π; - 0,75π             π(рад)=180°
4)t = 2π/3; - 5π/6; 7π/4;
5)t = - 11π/3; 25π/6; 19π/4                                 1

                                                        π                         0

Числовая окружность в системе координат.
 2 ч (-;+)                у                    1 ч (+;+)
                                 π/2
                                                М(t)=M(x;y)
                           уМ       1         ум                             хм = cosα = cost
        π                          α                0    х                   yM= sinα = sint
                                        хМ          2π                       у/х = tgt
                                                                         x/y = ctgt

                                 3π/2
3 ч (-;-)                                        4 ч (+;-)

Координаты
                                                        у   π/2 90°
                                     120°  2π/3                 1                       π/3 60°
                         135°  3π/4                                                               π/4  45°

                  150°  5π/6                                  1/2                                          π/6 30°

                 180° π  -1                                       0                                           1  0  0°             x
                                -        -        -1/2                                                     ½                     2π  360       (cost)

                  210° 7π/6                               -1/2                                           11π/6 330° [-π/6]
                                                                  -
                        225°    5π/4                      -                                      7π/4 315° [-π/4]
                                     240°  4π/3                -1                       5π/3 300° [-π/3]
                                                                   270°   3π/2 [-π/2]
                                                                  (sint)

Тангенс и котангенс
Линия тангенсов                         tg t ЄR , но  t ‡         + π k, kЄZ

                            у  π/2
              2π/3                     π/3      1
       5π/6                            π/4
                                                                 π/6                                ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
                                                                            0         х                           Линия котангенсов

                                                                                у
                4π/3
                                       -π/2

                                                                                π                                                        0         х

Знаки и значения
   1.sint > 0    в 1ч и 2ч;           2.cost > 0   в 1ч и 4ч;
       sint < 0    в 3ч и 4ч;              cost < 0   в  2ч и 3ч;
       sint Є [-1;1]                           cost Є [-1;1]
                               1)sin²t + cos²t=1
                               2)   y ² + x² = 1
  3. tgt > 0     в 1ч и 3ч;          4.сtgt > 0     в 1ч и 3ч;
      tgt < 0    в 2ч и 4ч;               сtgt < 0    в 2ч и 4ч;
      tgt Є R                                    ctgt Є R
                  3)tgt = sint/cost  ;   ctgt = cost/sint
                  4)tgt = y/x            ;   ctgt = x/y
                                 5)tgt·ctgt = 1

 Самостоятельная работа № 1
1 вариант                                                 2 вариант                                           3 вариант
                                             1.На числовой окружности отметить числа:
13π/6;   - 1;  10π                                           9π/4;  2;  -8π                                                          -5π/3;  3;   6π

                                             2.Единичная окружность разбита на части:
                 A                                                             K              E                                                                  A
     F                       M                                                                                K                    E
                                                                                P                            T
 D                               C                                   D                                C                                       D                               C
                                                                                O                             N
     S                      G                                                R                H                                                     R                   H
                 B                                                                                B
                                                     Найдите длины следующих дуг:
  CA, CS, CG, BD                                 CE, CR, CH, HR                                    CT, CP, CN, RD
                                                3.Определить знак числа:
  1) cos 95°                                                   1) cos 280°                                                             1) cos 190°
  2) sin 7π/3                                                 2) sin 11π/6                                                              2) sin 13π/4
  3) tg (-π/6)                                                 3) tg (-π/4)                                                               3) tg (-π/3)

Работа с формулами
 №1.Дано: cost=0,4; 90°<t<180°
        Найти: sint .
        Решение:
1 способ.                                                    2 способ.     cos   = 2/5 ;        СВ=
1)sin²t + cos²t=1,                                        А
    sin²t=1 - cos²t,                                                      5            Т.К. tЄ2ч, то sin t>0 . Значит,  sin t=
    sin²t=1 - 0,16,                                             2
    sin²t=0,84,
   Т.К. tЄ2ч, то sint>0                               С                        В    Ответ:           .
       sint=+

        sint =

 Ответ:        .

Основные тригонометрические тождества
1.

Формулы приведения

                                       y
                π/2+t       π/2          π/2-t
                                                                                1). Определить четверть

 π – t                                                       2π+t        2).Определить знак функции в четверти

     π                                                           0    x      3).От ОХ – не меняем на ко функцию;

  π+t                                                        2π-t           От ОУ – меняем на ко функцию.

              3π/2-t        3π/2      3π/2+t

Формулы сложения
              1.sin(x + y)= sinx·cosy + siny·cosx
              2.cos(x + y)= cosx·cosy - sinx·siny
              3.sin(x – y)= sinx·cosy - siny·cosx
              4.cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny

              5.

              6.

Формулы двойного и половинного аргумента
1.sin2x = 2 sinx·cosx;
2.cos2x = cos²x - sin²x;

3.cos2x = 1 – 2sin²x;              6.

4.cos2x = 2cos²x-1;                7.

5.                                 ;

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
1.

2.

3.

4.

5.

                                                       - вспомогательный угол


title: Скачать презентацию или конспект Производная и ее геометрический и механический смысл

extracted_text: Лекция 8. Производная,её геометрический и механический смысл.Уравнения касательнойи нормали к кривой. Дифференцируемость функциив точке.Правила дифференцирования.


title: Скачать презентацию или конспект Задачи с параметрами

extracted_text:
Тема:
"Решение задач с параметрами"
Учитель математики высшей категории Зарьянцева Виктория Павловна
МОУ «СОШ № 84»

Саратов 2012г.

Аналитические приёмы
Параметр и количество решений уравнений , неравенств и их систем

Параметр и свойства уравнений, неравенств и их систем.
Параметры при решении уравнений, содержащих ОТФ.

,

.

Пример : Решите уравнение .
Решение.

где
где
Ответ при
решений нет.

Параметр и свойства уравнений,
неравенств и их систем
Найдите все значения а, при которых неравенство
( x – 3а)( х – а – 3)<0.Выполняется при всех х, таких, что
       Решение.

Ответ.

Свойства функций в задачах с параметрами
 Область значений функции
 Экстремальные свойства функции
 Монотонность
 Чётность. Периодичность . Обратимость.
Графические приёмы
     Параллельный перенос
Найти все значения параметра b, при которых уравнение  имеет единственное решение.

Ответ: b > 100.
lg b>2

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
 имеет решение.

Решение.
Ответ.                   или
Квадратичная функция
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [-1;1]
Ответ: Если               то max y = y(1)= - a – 1,min y=y( - 1) = a - 1

 Если              ,т.е.                       то max
[-1;1]
[-1;1]

[-1;1]

[-1;1]

 Если                , т.е.                  ,то
[-1;1]

[-1;1]

Если            ,т.е.          ,то
[-1;1]

[-1;1]

При каких значениях а неравенство
выполняется при любых значениях х?
Решение.

Решения неравенств с параметром:
Тесты ЕГЭ группы С:
Найдите все значения а, при которых каждое из уравнений

имеет хотя бы один корень.
Решение :

Посмотрим сначала когда первое уравнение имеет корни.  С учетом области значений косинуса выражение под корнем всегда положительное.
Получаем:

А вот здесь сейчас будет интересно. Казалось бы, все прекрасно, возводим в квадрат – и вперед,
по стандартной схеме исследуем корни квадратного уравнения. Но все не так просто. Поскольку на
наличие корней будет влиять знак произведения, стоящего в правой части.
Можно очень легко выкрутиться из этой ситуации без рассмотрения большого числа случаев. Как всегда на помощь приходят графики.
Рассмотрим функции f=                                и           g = at
   Точка пересечения этих графиков должна попасть в отрезок [-1;1] поскольку t= cosx

Точка пересечения для возрастающей прямой f(1)=g(1) ,
 для  убывающей f(-1)=g(-1) , ;
Не составляет большого труда увидеть,  что точка пересечения будет в промежутке от -1 до 1, если

Задача 3

Решение:
Решение:
Решение:

Решение:
С5. Найдите все значения параметра а, при которых система
         уравнений

       имеет ровно два различных решения

Спасибо
за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Параллелепипед

extracted_text:
Параллелепипед
Параллелепипед – шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны.
Параллелепипед имеет:

8 вершин
12 рёбер
6  граней
Определение
Вершина
Ребро
Грань

Параллелепипеды бывают двух видов :

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая делит их пополам
Виды и свойства параллелепипедов

наклонные
прямые
основанием служит прямоугольник
основанием служит параллелограмм
Объем и площадь боковой поверхности параллелепипеда
S=(a * b + a * c + c * b) *2
a
b
c
Объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений
Площадь боковой поверхности равна сумме всех его граней
Демонстрация
Параллелепипед в нашей жизни
Построение параллелепипеда
Сколько у параллелепипеда вершин?
Чему равен объем параллелепипеда, если длины его сторон: а = 6, b = 4, с = 3?
Чему равна площадь поверхности
параллелепипеда, если а=5, b=4, с=3?
Сколько ребер у параллелепипеда?
Сколько граней у параллелепипеда?
Тест