title: Скачать презентацию или конспект Матрицы и определители

extracted_text:
Матрицы и определители
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ
НАД НИМИ
Матрицей размера m x n называется
прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Обозначение:
где
i=1,2…m
j=1,2…n
- матрица размерности m x n
- элемент матрицы i –ой  строки и j -го столбца,

матрица размерности m x n
Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.
Пример:
- квадратная матрица размерности 3х3
Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.

единичная матрица
Матрица любого размера называется
нулевой, если все ее элементы равны 0.

нулевая матрица

Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
матрица-строка

Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
матрица-столбец
Распределение ресурсов по отраслям экономики:
С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости.
Например:
Эту зависимость можно представить в виде матрицы:
Где элемент aij  показывает сколько i – го ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32  показывает, сколько воды потребляет сельское хозяйство.
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, надо
каждый элемент матрицы умножить на
это число.
Полученные произведения образуют итоговую матрицу.

Пусть дана матрица
Умножаем ее на число λ:
Где каждый элемент  матрицы В:

Где:
Например:

Умножая матрицу
на число 2, получим:

2. Сложение матриц
Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же
размерности, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.
Пусть даны матрицы
Складываем их:
Где каждый элемент  матрицы С:

Аналогично проводится вычитание матриц.

Пример.
Найти сумму и разность матриц:

Решение:
3. Умножение матриц

Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй.
Пусть даны матрицы
Умножаем их:
Где каждый элемент  матрицы С:

Пример.
Найти произведение матриц:
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует:

Решение:
Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:
Умножение матриц в общем случае некоммутативно:

Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами:
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)
1
2
λ(А+В)= λА+λВ
А(В+С)=АВ+АС
А(ВС)=(АВ)С
3
4
5
4. Транспонирование матриц
Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.

(АТ)Т=А
(А+В)Т=АТ+ВТ
свойства операции
 траспонирования:
1
2
(λА)Т= λАТ
(АВ)Т=ВТАТ
3
4

Пример.
Транспонировать матрицу:

Решение:


title: Скачать презентацию или конспект Решение уравнений

extracted_text:
Решение
       уравнений
6 класс

ГБОУ СОШ №717
г.Москва
Чернецова Карина Игоревна

Раскройте скобки:

Упростите выражение:

Какое равенство называют уравнением?
Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Что значит решить уравнение?
Найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.
Решите уравнение, применив сначала распределительное свойство умножения
Решение:
4(x+5)=12
4х +20=12
4x=12-20
4x=-8
x=-8:4
x=-2

Решите тоже уравнение по правилу отыскания компонентов.
Решение:
4(x+5)=12
х +5=12:4
x+5=3
x=3-5
x=-2

х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
Что  можно  снять  с  каждой  чаши,  не  нарушая  равновесия?
Запишите,  какое  уравнение  было  первоначально  и  какое  получилось?
5х = 2х + 6
5х -2х = 2х - 2х + 6
3х = 6
х = 2
http://karmanform.ucoz.ru/index/0-22
х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
=
5х = 2х + 6
Перенесем  2х  из  правой  части
в  левую  с  противоположным  знаком.
х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
х кг
=

-
5х - 2х = 6
х = 2
http://karmanform.ucoz.ru/index/0-22
Давайте попробуем сформулировать основные способы решения уравнений:
 Умножение и деление обоих частей уравнения на одно и тоже число, не равное нулю;
4(x+5)=12  |:4>0
     2. Перенос  членов  уравнения  из  одной  части  в  другую, изменяя при этом их знак на противоположный.
5x=2x+6
 5x-2x=6

Уравнение вида
ax=b, где a≠0
называют
 линейным уравнением с одним неизвестным
Решение:
+
3x   6x = -10   19
+
3x - 19 = -6x -10
Решите уравнение:
9x = 9
x = 1
№ 1314;  1315;  1316 (а; г).
Проверка:

                   а)8х – 7х = 20 – 5,9
                   б)   6х + 5х = 8 – 1,6

№ 1314(а, б)

                     а)  15у + 6у = 4,6 + 8
                    б) -16z – 2z = -1 – 1,7

№ 1315(а, б)

                            а)  х = 16
                            г)   п = 0

№ 1316 (а; г)
№ 1320 Решите двумя способами

1 способ: С помощью основного свойства пропорции

№ 1320 Решите двумя способами

2 способ: С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и тоже число
№ 1322
Длина отрезка АВ на 2 см больше, чем длина
отрезка CD. Если длину отрезка АВ увеличить
на 10 см, а длину отрезка СD увеличить в 3 раза,
то получатся равные результаты. Найдите
длину отрезка АВ

А
В
С
D
АВ> на 2 см СD

+ 10 cм
увеличить в 3 раза
АВ=CD
x
X +2
3x
(X +2)+10
А
В
С
D
АВ> на 2 см СD

+ 10 cм
увеличить в 3 раза
АВ=CD
AB=CD  =>  (X +2)+10=3x
Cамостоятельная работа

Вариант 1
Вариант 2
a) 5(x-1)=10
a) 4(x-2)=12
б) 2x-8=4
б) 3x-6=12

x=3

x=6

x=5

x=6
Ответьте на вопросы:
Какое равенство называют уравнением?
Что значит решить уравнение?
Какие существуют основные способы решения уравнений?

Домашнее задание

№ 1341(а-г), 1342 (а-в), 1350, 1351


title: Скачать презентацию или конспект Производные тригонометрических функций

extracted_text:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение«Средняя общеобразовательная школа № 12 с углубленным изучением отдельных предметов»
Тема урока: «Производные тригонометрических функций»

Автор: учитель математики Гулова Римма Ивановна

г.Старый Оскол
2011г.
Ввести формулы производных тригонометрических функций
 рассмотреть методы решения упражнений на применение изученных правил дифференцирования; вырабатывать умения и навыки учащихся в решении заданий на применение знаний правил вычисления производных тригонометрических функций.
Воспитание и развитие логического мышления учащихся.

Цели урока:
1.Орг. момент.
2.Актуализация опорных знаний учащихся.
3.Изучение нового материала.
3.1.Формула производной синуса
3.2.Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса.
4.Закрепление изученного материала:
4.1. Работа у доски и на местах. Решение упражнений из учебника .
4.2.Работа в группах.
5.Подведение итогов урока.
6.Домашнее задание.

План урока
Написать на доске чему равна производная:
 числа
переменной «х»
выражения kx + b
суммы функций
произведения двух функций
частного двух выражений
степенной функции
сложной функции

Актуализация опорных знаний учащихся:
Формулы вычисления производных
1)Формула производной синусаДокажем, что производная синуса имеет такой вид:
Вспомним определение производной:

Воспользуемся формулой суммы и разности тригонометрических функций :
Для вывода формулы производной синуса достаточно показать, что:
Действительно, опираясь на эти утверждения, при Δх → 0 можно получить формулу:
Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса
Работа в группах:Найти производные данных функций
Что чувствовали сегодня на уроке?
С какими трудностями вы встретились?
Кому было трудно? Почему? Что ты сделал, чтобы преодолеть эту трудность?
Что тебе помогло? (Опорные конспекты, подсказки товарищей…)
Подведение итогов урока
Пункт 17 ,
№ 235, 236 (а, б).
Домашнее задание:
Литература:Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под. ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвеще ние, 2008. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа   для 10 класса / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2008.


title: Скачать презентацию или конспект Площади фигур

extracted_text:
Площади фигур
Содержание
Основные свойства площадей геометрических фигур.
Площадь квадрата.
Площадь прямоугольника.
Площадь параллелограмма.
Площадь треугольника.
Площадь треугольника.
Площадь трапеции.
ТЕСТ.
Список литературы.
Основные свойства площадей
геометрических фигур
 Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь.
 Эта площадь – единственная.
 Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом.
 Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице.
 Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.
 Равные многоугольники имеют равные площади.

Площадь квадрата
Площадь квадрата равна
 квадрату его стороны.

а
а
а
а
S=a
2

Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна
произведению его смежных сторон.

а
а
S=ab
b
b

Доказательство
Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S( рис. а). Докажем, что S=ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b, ( рис. б). По свойству «Площадь квадрата равна квадрату его стороны» площадь этого квадрата равна (a+b)2.
С другой стороны этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (равные многоугольники имеют равные площади) и двух квадратов с площадями a2 и b2. По свойству «Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников» имеем:
(a+b)2=S+S+a2+b2, или a2+2ab+b2=2S+a2+b2.
Отсюда получаем: S=ab

а
b
а)
b
b
b
b
а
а
а
а
а
2
b
S
S
S
б)

2

Площадь параллелограма
Площадь параллелограма равна
произведению его основания
на высоту.

а
а

h
h
S=ah
b
b
Доказательство
Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоту BH и CK. Докажем, что S=AD*BH.
Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCK и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника HBCK и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углы ( их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны.
Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольник HBCK также равны, т. е площадь прямоугольника HBSK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD,  то S=AD*BH.

C
B
K
A
H
D
1
2

Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине
произведения его основания на высоту.

а
с

h
S=0,5ah
b
Доказательство
Пусть S- площадь треугольника ABC. Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что                       S=0,5*AB*CH.
Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC- общая сторона, AB=CD и AC=BD как противоположные стороны параллелограммаABCD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S=0,5*AB*CH.

C
B
A
H
D

Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине
произведения двух его сторон на синус
угла между ними.

C
B
A (b cos C; b sin C)

с
а
h
S=0.5a b sinC
b
Доказательство
 Пусть в треугольнике ABC BC=a, CA=b и S – площадь этого треугольника.
 Докажем, что S=0,5absinC.
 Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=0,5ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h=bsinC.
	Следовательно, S=0,5absinC.

C
A (b cos C; b sin C)

а
b
B
c
h

Площадь трапеции
Площадь трапеции равна
произведению полусуммы её оснований
на высоту.

h

а
с
d
S=0.5(a+c)h
b
Доказательство
 Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S. Докажем, что
             S=0,5*(AD+BC)*BH.
 Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда
      SABD=0,5*AD*BH,   SBCD=0,5*BS*DH1.
      Так как DH1=BH, то SBCD=0,5*BC*BH.
                  Таким образом,
   S=0,5*AD*BH+0,5*BC*BH=0,5*(AD+BC)*BH.

C
B
A
H
D
H
1

Найдите площадь
геометрической фигуры
Тест
а) 560
b) 576
c) 476
d) 519

24

Найдите площадь
 геометрической фигуры

30
0
24
10
а) 120
b) 240
c) 180
d) 160

Найдите площадь
 геометрической фигуры

а) 180
b) 240
c) 145
d) 160
15
12

Найдите площадь
 геометрической фигуры

10
6

а) 60
b) 80
c) 48
d) 64
B
A
C
D

Найдите площадь
 геометрической фигуры

7
4
2

5

а) 21
b) 60
c) 30
d) 32

Найдите сторону AB
 геометрической фигуры
а) 21
b) 16
c) 13
d) 18

A
B
C

15
30
0
60см
2

Найдите площадь
 геометрической фигуры

16
10
4
A
150
0
B
C
D

а) 100
b) 50
c) 150
d) 40

Найдите площадь
 геометрической фигуры
а) 34
b) 29
c) 21
d) 25

10

30
0

Список литературы
http://fio.ifmo.ru/archive/group13/c2wu5/text/test/tes9/test9.htm
Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- 14-е изд. – М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил..

Правильно

Вы ошиблись


title: Скачать презентацию или конспект Программа проведения недели математики в школе

extracted_text:
Программа проведения недели математики в школе
Учитель математики МОУ СОШ с.Телегино Кляйн В.А.

“Предмет математики настолько серьёзен,что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным”.
Б. Паскаль
далее
Эпиграф:
Об авторе
Структура программы
Пояснительная записка
Содержание предметной
недели
Тематический план
Литература
Приложения

назад
Пояснительная записка.
Неотъемлемой частью всей учебно-воспитательной деятельности любой школы является внеклассная работа по предмету. Она углубляет знания, расширяет кругозор, развивает творческие способности, интеллект. Как показывает педагогическая практика, наиболее приемлемыми и часто используемыми формами внеклассной работы по математике являются математические кружки, факультативы, олимпиады. Но регулярные занятия по данным формам интересны и доступны далеко не всем детям. А в условиях малокомплектной школы количество учащихся просто не позволяет по существующим нормам наполняемости вести учителю либо кружок, либо факультатив. Нужны такие виды деятельности, которые были бы интересны не только сильным учащимся. Нужны всплески эмоций, ощущение праздника, а самое главное для ученика – чувство личной значимости. Можно и нужно говорить о полезности такой деятельности, которая, с одной стороны, стимулирует учебный процесс, повышает познавательную активность учащихся, с другой – несет в школу праздничность и дух состязательности. Особое место в системе внеклассной работы по математике занимает предметная неделя. Предметная неделя по математике является комплексной формой работы по предмету, своеобразным итогом работы ученика, парадом детской фантазии и творчества .Для малокомплектной школы с количеством учащихся в классах от 1 до 8 – это еще и возможность проявить себя в той или иной степени для каждого, пусть даже плохо успевающего ученика. Это возможность для совместной деятельности учащихся разных возрастов. Это пример плодотворного сотрудничества учителей разных циклов, так как в таких школах довольно часто учитель математики всего один. Неделя математики проводится с целью развития познавательного интереса, индивидуальных, творческих и интеллектуальных способностей учащихся.
Основные задачи :создать условия для проявления и дальнейшего развития индивидуальных творческих и интеллектуальных способностей каждого ученика; организовать плодотворное сотрудничество при взаимном уважении друг к другу участников совместной деятельности; поддержать у детей состояние активной заинтересованности овладением новыми, более глубокими знаниями по математике.
 Цель и содержание предметной недели органически включаются в учебно- воспитательный процесс, продолжая начатую педагогами работу на уроках.
вперед
назад
Мероприятия предметной недели должны быть актуальны, то есть: быть направленными на решение задач, поставленных перед участниками недели (педагогами и учащимися); содержать информацию и эмоциональные переживания, обеспечивающие активное восприятие происходящего; учитывать возраст, интересы, потребности учащихся; обеспечивать дальнейшее положительное общение в школьном коллективе.
Содержание мероприятий должно соответствовать формам их проведения.
Подготовительный период должен быть кратким. При этом важно, чтобы затраченное педагогами и учащимися время было целесообразным, а самовыражение и активность учащихся наиболее полными.
Учащиеся должны испытывать удовлетворенность проведенными мероприятиями.
Должна четко просматриваться культура проведения каждого мероприятия: последовательность, этапность, свобода проявления чувств, переживаний, культура поведения учащихся, их самостоятельность и инициатива.
Ожидаемые результаты: приобретение каждым учеником веры в свои силы, уверенности в своих способностях и возможности; развитие коммуникативных качеств личности: взаимного уважения, доброжелательности, доверия, уступчивости и в то же время инициативности, навыков делового общения, терпимости; развитие осознанных мотивов учения, побуждающих учащихся к активной познавательной деятельности.
вернуться
Подготовительный этап
Проведение предметной недели
Подведение итогов
вернуться
далее
назад
Тематический план
далее
назад
вернуться

вернуться
назад
Литература.
1. Акимова С. Занимательная математика.- Санкт –Петербург. : “Тригон”, 1997. – 608 с., илл.
2. Белошистая А.В. Развитие математических способностей школьника как методическая проблема //Начальная школа. – 2003. - № 1 – с. 44 – 53.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 кл. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1982. – 240с.
4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл.сре.шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил. ISBN 5-09-000412-9
5. Депман И.Я. Рассказы о решении задач. – Ленинград: Государственное Издательство Детской Литературы Министерства Просвещения РСФСР, 1957.-128 с.
6. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978.- 192с.
7. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики. Кн. для учителя. –М.: Просвещение, 1990. – 96 с.: ил. – ISBN 5 – 09 – 002716 – 1.
8. Мазаник А.А. Реши сам. – 2-е изд.перераб. – Мн.: Нар.асвета, 1980. – 239с., ил.
9. Макеева А. Урок занимательной математики. (Задачи с экологическим содержанием)// Математика. – 2000. - № 15 – с. 15 – 16.
10. Петров В.А. Преподавание математики в сельской школе: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1986, - 186с.
11. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл.ср. шк. -.: Просвещение, 1990. – 224 с.: ил. – ISBN 5-09-001290 – 3.
вернуться
1. День истории математики
далее
вернуться
Демокрит
Фалес
назад
вернуться
вернуться
2. День занимательной математики
назад
далее

назад
3. День математических состязаний
КВН
вернуться
4.День прикладной математики: Бинарный урок по истории и математике в 5 классе «История Московского Кремля в натуральных числах»
открыть
вернуться
1.День истории математики
2.День занимательной
математики
3.День математических
 состязаний
4.День прикладной математики
5.День массовых мероприятий
6.День математических игр
В структуру
Кляйн Валентина Алексеевна,
 учитель математики МОУ СОШ с.Телегино
Колышлейского района
Стаж работы: 22 года
Увлечение : историческая литература
Хобби : выпечка
вернуться
Математический вечер
назад
Математические игры
назад


title: Скачать презентацию или конспект Из истории обыкновенных дробей

extracted_text:
МБОУ «Пригородная средняя общеобразовательная школа №1 Оренбургского района»
Из истории обыкновенных
дробей

Работа учащегося 6 класса
Какурина Даниила
Руководитель: Рожко И.А.

     Есть такая дробь у нас,Про неё пойдет весь сказ,Она из чисел состоит,А между ними, как мосточек,Дробная черта лежит,Над чертою числитель,Знайте,Под чертою – знаменатель,Дробь такую непременноНадо звать обыкновенной.
Объект исследования:История возникновения обыкновенных дробейПредмет исследования:Обыкновенные дробиГипотеза:Если бы не было дробей – могла бы развиваться математика?Методы исследования:- работа с литературой- поиск информации во всемирной сети  Интернет- работа с дробями в игровой формеЦель работы:-расширение знаний о происхождении дробей-изучение последовательности усовершенствования записи обыкновенных дробейЗадачи:сделать анализ:-почему дроби записывают таким образом?-кто придумал такие записи?-есть ли их дальнейшее развитие?

На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом   именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества. Так, по-видимому, дележ десятка плодов между большим числом участников охоты заставлял людей обращаться к дробям. Первой дробью была половина. Для того, чтобы из одного получить половину, надо разделить единицу, или «разломить» ее на два. От сюда и  пошло название ломаные числа. Теперь их называют дробями. Различают три вида дробей:Единичные (аликвоты) или доли (например, 1/2, 1/3, 1/4, и т.д.).  Систематические, т.е дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа (например, степенью числа 10 или 60 и т.д.).Общего вида, у которых числителем и знаменателем может быть любое число.Существуют дроби «ложные» –  неправильные и «реальные» – правильные.

    Первым европейским учёным, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник Фибоначчи (Леонардо Пизанский). В 1202 году он ввел слово дробь.

Дроби в Древнем Египте.
        Первой дробью была половина. За ней последовали 1/4,1/8,1/16,…, затем 1/3,1/6, и т.д., т.е. самые простые дроби, доли целого, называемые единичные. Древние египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей.
          Египтяне писали на папирусах, т.е на свитках, изготовленных из стебля крупных тропических растений, носивших то же название. Важнейшим по содержанию является папирус Ахмеса, названный так по имени одного из древнеегипетских писцов.  Рукою которого он был написан. Его длина 544см, а ширина 33 см.
Хранится он в Лондоне, в Британском музее. Он был приобретён в прошлом веке англичанином Риндом и поэтому называется иногда папирусом Ринда. Этот старинный математический документ озаглавлен так: «Способы, при помощи которых можно дойти до понимания всех тёмных вещей, всех тайн, заключающихся в вещах».
Папирус  представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер;  эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, имеются также арифметические задачи на пропорциональное деление, определение соотношений между количеством зерна и получающегося из него хлеба или пива и т. д. Однако для решения этих задач не даётся никаких общих правил, не говоря уже о попытках каких-нибудь теоретических обобщений.

В Папирусе Ахмеса есть такая задача— разделить семь хлебов между восемью людьми  поровну.
           Современный школьник скорее всего решал бы задачу так: надо разрезать каждый хлеб на 8 равных частей и каждому человеку дать по одной части от каждого хлеба.
А вот как эта задача решена на папирусе:
       Каждому человеку нужно дать по половине, четверти и восьмушке хлеба. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб – на 8 частей. И если нашему школьнику пришлось бы сделать 49 разрезов, то Ахмесу – всего 17, т.е. египетский способ почти в 3 раза экономичнее.

Для разложения неединичных дробей на сумму единичных существовали готовые таблицы, которыми и пользовались египетские писцы для необходимых вычислений.
         Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.   С помощью этой таблицы выполняли и  деление чисел. Умели египтяне также   умножать и делить дроби. Но для   умножения  приходилось умножать доли   на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее  обстояло дело с делением.

Вавилон.
      В древнем Вавилоне высокий уровень культуры был достигнут в третьем тысячелетии до нашей эры. Шумеры и аккадцы, населявшие Древний Вавилон, писали не на папирусе, который в их стране не рос, а на глине. Путем нажатия клиновидной палочкой на мягкие глиняные плитки наносились знаки,  имевшие вид клиньев. Вот почему такое письмо называется клинописью.
Вертикальный клин         обозначался 1; 60; 602; 603,…Горизонтальный клин                обозначал 10. Чтобы написать 62 поступали так:   промежуток

Дроби в Древнем Риме.
Интересная система дробей была в   Древнем Риме. Она основывалась на  делении на 12 долей единицы веса,
которая называлась асс.
 Двенадцатую долю асса называли   унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.
А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Римская система дробей и мер была двенадцатеричной. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус".
В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция.
Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.

Древняя Греция.
      В греческих сочинениях  по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами.
    С дробями они предоставляли возиться купцам, ремесленникам, а также землемерам, астрономам и механикам. Но старая пословица говорит: « Гони природу в дверь, она влетит в окно». Поэтому и в строго научные сочинения греков дроби проникали, так сказать « с заднего хода».
     В Греции употреблялись наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие, обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним числитель дроби.

        Еще за 2-3 столетия до Евклида и Архимеда греки свободно владели арифметическими действия  с дробями.   В VI в. до н.э. жил знаменитый ученый Пифагор.
     Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: «Половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме этого, есть три женщины».

Дроби на Руси.
На Руси дроби называли долями,
позднее «ломанными числами»
Например,
 - эти дроби назывались родовые
или основными.

        Половина, полтина –1
                                             2
     Четь – 1
                  4
    Полчеть – 1
                       8

    Полполчеть – 1
                             16
    Пятина – 1
                      5                                       Треть – 1
                    3
   Полтреть –1
                             6
Из истории обозначения дробей.

Современную систему записи  дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель – снизу и не писали дробной черты.
Записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.
В Древнем Китае пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок.
В XV веке, в Узбекистане математик и астроном Джемшид Гиясэддин ал –Каши записал дробь в одну строчку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Он пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов.

Старинные задачи с дробями.
В произведении знаменитого римского поэта I века до н. э. Горация так описана беседа учителях учеником в одной из римских школ этой эпохи:
Учитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию?
Ученик. Одна треть.
Учитель. Правильно. Ты сумеешь беречь свое имущество.
Решение:
                                    4 унции         4 унции           4 унции

         Ответ: 1/3

Задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850 г. до н. э.)
"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
 - Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
 - Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"

Решение:
         1) 70:2·3=105 голов - это 1/3 от скота
         2) 105·3=315 голов скота

         Ответ: 315 голов скота

                 Спасибо за
           внимание!
Литература
1.История арифметики. Депман,1965г.
2.История математики от Декарта до середины 19 столетия. Вилейтнер, 1960г.
3.Энциклопедия для детей Аванта+ математика.
4.Детская энциклопедия. М.,1965г.


Скачать презентацию или конспект Математика «Число 9 - Цифра 9»


title: Скачать презентацию или конспект Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой

extracted_text:
Конференция по теме” Построение правильныхмногоугольников циркулем и линейкой ”

.
Цель урока
Создать условия для более глубокого усвоения знаний по теме, высокого уровня обобщения и систематизации знаний.
Методические задачи
Выяснить , всякий ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки;
Повторить способы построения правильных многоугольников и познакомить с новыми способами;
Познакомить с приближенными построениями правильных многоугольников (способы А Дюрера, Биона, Ф.Коваржика);
Познакомить с перспективными технологиями и новыми разработками  построения правильных многоугольников;
Показать применение правильных многоугольников в окружающем нас мире.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Многоугольник- это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. На рисунке 1 многоугольник F1 выпуклый, а многоугольник F2 невыпуклый.
Многоугольник называется невыпуклым, если прямая, содержащая сторону многоугольника разбивает его на две части.  Все треугольники выпуклы, а многоугольники с большим числом сторон могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.
Правильные многоугольники
На рисунке 1 представлены правильный  треугольник ,  шестиугольник и четырех угольник.
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружностей совпадают. Радиус описанного круга -это радиус правильного многоугольника, а радиус вписанного круга –его апофема.
Правильные многоугольники всегда выпуклые, но существуют и самопересекающиеся замкнутые ломаные, имеющие равные звенья и углы. Фигуры такого вида называются правильными звездчатыми многоугольниками или полиграммами, по аналогии с пентаграммой - правильной пятиконечной звездой (изображена внутри правильного пятиугольника на рис.2).
Любой правильный многоугольник, выпуклый или звездчатый, можно наложить сам на себя так, чтобы одна из двух произвольно заданных сторон совпала с другой; то же верно для любых двух его вершин. И обратно: многоугольник, обладающий обоими этими свойствами, правильный. Но существуют неправильные многоугольники, у которых такое свойство справедливо только для сторон, как у ромба, или только для вершин, как у прямоугольника.
Имеется 2n способов совместить правильный n-угольник сам с собой: половина из них - повороты вокруг одной и той же точки, его центра, на углы, кратные360°/ n, вторая половина - n симметрий относительно прямых, соединяющих центр с вершинами и серединами сторон. Центр правильного многоугольника равноудален от всех его сторон и от всех вершин, поэтому он служит одновременно центром вписанной и описанной окружностей многоугольника (рис.3 )

Великий математик, механик и инженер древности Архимед (греч. Αρχιμήδης, родился 287 до н. э. - 212 до н. э.)
Периметр (сумма длин сторон) правильного n-угольника при заданном числе сторон n наиболее близок к длине его описанной окружности среди всех вписанных в нее n-угольников; таким же свойством он обладает и по отношению к вписанной окружности. Поскольку вычисление длины окружности считалось в древности весьма важной задачей, много усилий было затрачено на то, чтобы научиться оценивать периметр вписанной в нее правильного многоугольника при достаточно больших n. Особенно преуспел в этом Архимед.
Евклид( родился в 330 году до н. э. в небольшом городке Тире, недалеко от  Афин).
Впрочем, правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных задолго до Архимеда. Пифагорейцы, в философии которых числа играли главную роль, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, т. е. о построении правильного вписанного многоугольника. В "Началах" Евклида приводятся построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон от трёх до шести, а также пятнадцати угольника. Этим последним особенно интересовались: согласно измерениям древних астрономов, угол наклона плоскости эклиптики к экватору равнялся 1/5 полного угла, т.е. 24°(истинное значение чуть меньше -23°27'). Задача о построение правильных многоугольников была полностью решена лишь спустя два тысячелетия.
Теорема. Многоугольник, вписанный в окружность, является выпуклым. Если все стороны вписанного многоугольника равны, то он является правильным.

Доказательство. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn, вписанный в окружность с центром О. Докажем сначала, что этот многоугольник выпуклый. Для этого нужно доказать, что он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей сторону многоугольника. Докажем, например, что он лежит по одну сторону от прямой А1А2. Для этого достаточно убедиться в том, что вершины А3А4,…, Аn принадлежат одной и той же полуплоскости с границей А1А2. Рассмотрим полуплоскость с границей А1А2, в которой лежит точка А3. Точка А4 принадлежит этой же полуплоскости, так как в противном случае прямая А1А2 пересекает дугу А3А4 окружности и, следовательно, имеет с окружностью больше двух точек, что невозможно. Точно так же вершина А5 и все остальные вершины принадлежат этой же полуплоскости. Аналогично доказывается, что многоугольник лежит по одну сторону от каждой из этих прямых А2А3 ,…, АnА1.

Пусть все стороны вписанного многоугольника равны: А1А2 = А3А4 =…= Аn-1Аn = АnА1. Докажем, что углы многоугольника также равны: угол А1= угол А2=…=угол Аn. Если n=3, то это утверждение очевидно. Допустим, что n >3, и рассмотрим вершины Аn, А1, А2, А3 (рис.4).
Треугольники ОАnА1, ОА1А2, ОА2А3 равны друг другу по трем сторонам, а так как эти треугольники равнобедренные, то угол1= угол 2=угол 3= угол 4. Поэтому угол А1= угол1+угол 2= угол 3+ угол 4= угол А2. Точно также доказывается равенство других углов многоугольника. Следовательно, многоугольник А1А2…Аn правильный.
Каково бы ни было число n, больше двух, существует правильный n-угольник.

Возьмем какую-нибудь окружность с центром в точке О и разделим её на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (рис.5, на этом рисунке n=8).

Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними), поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда согласно доказанной теореме следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник.
В пространстве фигурой, аналогичной правильному многоугольнику, является правильный многогранник- выпуклый многогранник, у которого все грани- правильные равные друг другу многоугольники и к каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб. Интересно отметить, что в отличие от правильных многоугольников, которые могут иметь любое (больше двух) число сторон, существует лишь конечное число различных типов правильных многогранников. Ещё Евклид доказал, что таких типов только пять: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр), двадцатигранник (икосаэдр).
Основные формулы.
Вычисление угла правильного многоугольника :

Сторона правильного многоугольника :

Площадь правильного
многоугольника :

Радиус вписанной окружности :
.Применение формул
Для правильного треугольника

Для правильного четырехугольника

Для правильного шестиугольника
Теорема. Правильные одноимённые многоугольники подобны и стороны их относятся как радиусы или апофемы.
Следствие. Периметры правильных одноимённых многоугольников относятся как радиусы или как апофемы.
Построение правильного многоугольникапо его стороне (с использованием поворота)
Правильным называют многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Предварительно необходимо вычислить внутренний угол правильного многоугольника. Из школьного курса геометрии вам известно (или будет известно немного позже), что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n - 2). Исходя из этой теоремы, несложно вычислить величину внутреннего угла правильного многоугольника. В таблице ниже приведены значения сумм углов и внутренних углов для некоторых правильных многоугольников.

                                                                           Зная величину внутреннего угла правильного многоугольника, построить сам многоугольник не составит труда.
Построим две точки - две соседние вершины многоугольника.
Одну из точек отметим как центр поворота, выделим вторую точку и повернём её на внутренний угол. В результате будет построена третья вершина многоугольника.
Только что построенную точку отметим в качестве центра поворота и повернём на внутренний угол соседнюю вершину (бывший центр). Будет построена четвёртая вершина.
Третий шаг будем повторять до тех пор, пока не будут построены все вершины многоугольника.
Последовательно соединить вершины многоугольника отрезками.

Любой ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки ?
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число.

Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:

Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки .
Задача №1. Построение правильного шестиугольника и треугольника.

Согласно формуле аn= 2R*sin180°/n сторона АВ правильного шестиугольника равна радиусу R описанной окружности. Поэтому, если задан произвольный отрезок PQ, то для построения правильного шестиугольника, стороны которого равны PQ, достаточно построить окружность радиуса PQ, взять на ней произвольную точку А и, не меняя раствора циркуля, отметить на этой окружности последовательно точки B, C, D, E, F так, чтобы AB=BC=…=EF=PQ. Проведя затем отрезки AB, BC, CD, DE, EF, FA, получим шестиугольник ABCDEF, который согласно теореме о правильном многоугольнике является правильным, причем его стороны равны отрезку PQ.
Для того, чтобы построить правильный треугольник нужно соединить точки данного шестиугольника через одну, значит соединим точки A,C и E. Треугольник ACE- искомый.

Задача №2. Построение правильного четырехугольника и восьмиугольника.

Пусть w-данная окружность с центром в точки О и радиусом R. Через точку О проведем диаметр АС и к этому диаметру проведем серединный перпендикуляр, который пересечет окружность w в двух точках В и D.Теперь последовательно соединим точки A,B,C и D. ABCD-искомый квадрат.

Для того, чтобы построить правильный восьмиугольник нужно сначала построить правильный четырехугольник, например, А1А3А5А7-квадрат, потом построить биссектрисы углов А1OА3, А3OА5, А5OА7, А7OА1, которые прересекут окружность в точках А2, А4, А6, А8 соответственно, затем последовательно соединить точки А1,А2,А3,А4,А5,А6,А7,А8. А1А2...А8-искомый восьмиугольник.
.
Задача №3. Найти углы правильного десятиугольника и выразить его сторону через радиус R описанной окружности.

Решение. По формуле аn=(n-2)/n*180° находим угол а10 правильного десятиугольника: а10=(10-2)/10*180°= 144°.
Пусть АВ- сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R с центром в точке О.
 По формуле аn= 2R*sin180°/n       АВ=2R*sin18°. Получим другое выражение для стороны АВ. С этой целью рассмотрим треугольник АВО и проведем его биссектрису АС. Так как угол АОВ= 360°/10= 36°, то угол ОАВ= (180°-36°)/2= 72°, угол ВАС= 1/2*угол ОАВ= 1/2*72°= 36°.
Отсюда следует, что треугольник АОВ~ треугольнику САВ по двум углам (угол АОВ = угол ВАС= 36°, угол В -общий). Поэтому АВ=АС и АВ/ОВ= ВС/АВ. Далее, треугольник АОС равнобедренный (угол АОС= угол ОАС= 36°), следовательно, АС=ОС.
Итак, АВ=АС=ОС=R-BC, откуда ВС=R-АВ, и пропорцию АВ/ОВ=ВС/АВ можно записать в виде АВ/R=(R-AB)/AB. Отсюда получаем квадратное уравнение относительно АВ:
АВ      +   R*АВ  -R      =0. Решая это уравнение и учитывая, что АВ>0, находим АВ= R/2(     5-1)     (Замечание. Сравнивая полученное выражение для АВ с равенством АВ=2R*sin18°, находим значение sin18°: sin18°= (      5-1)/4

Задача 4. Построение правильного десятиугольника и пятиугольника.
Пусть w- данная окружность радиуса R c центром О. Построим сначала правильный десятиугольник, вписанный в окружность w. Для этого проведем взаимно перпендикулярные радиусы ОА1 и ОВ окружности w и на отрезке ОВ как на диаметре построим окружность с центром С. Отрезок А1С пересекает эту окружность в некоторой точке D. Докажем, что отрезок А1D равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность w. В самом деле,

А1D=А1С-R/2, А1С=      А1О    + ОС        =         R        +( R /2)    =       5 R  /4 = R   5/2
А1D= R   5/2 – R/2 = R /2 (   5-1)
Далее отметим на окружности w точки А2, А3, … , А10  так, что А1А2= А2А3=… =А9А10 = А1D. Десятиугольник А1А2…А10-искомый.

Для того, чтобы построить правильный пятиугольник нужно соединить точки данного десятиугольника через одну, значит соединим точки А1,А3,А5,А7,А9. Пятиугольник А1А3А5А7А9- искомый.

.
Задача 5. В данную окружность вписать правильный пятнадцатиугольник.

Решение. Пусть w- данная окружность радиуса R с центром O и АВ - сторона правильного вписанного в эту окружность десятиугольника, а АС- сторона правильного вписанного шестиугольника, причем точки В и С расположены на окружности так, как показано на рисунке а). Тогда, очевидно, дуга АВ=36°, дуга АС=60° , поэтому дуга ВС=24° . Следовательно, угол ВОС=24°=360°/15°, и, значит, отрезок ВС- сторона правильного пятнадцатиугольника, вписанного в окружность w. Так как мы умеем строить циркулем и линейкой отрезки АВ=((корень из 5-1)/2)*R и АС=R (рис.б)), то можем построить отрезок ВС.
Возьмем далее на окружности w произвольную точку А1 и, пользуясь циркулем, отметим на этой окружности последовательно точки А2, А3,…, А15 так, что А1А2 = А2А3=…= А14А15= ВС. Проведя затем отрезки А1А2, А2А3,…, А14А15, А15А1, получим искомый правильный пятнадцатиугольник А1А2…А15 (рис. в)).

Задача №6. Дан правильный n-угольник А1А2...Аn, вписанный в окружность с центром О. Построить n-угольник, сторона которого равна данному отрезку PQ.

Решение. Проведем лучи ОА1, ОА2,..., ОАn и на этих лучах построим вершины искомого n-угольника. Для этого на луче А2А1 отложим отрезок А2С, равный отрезку PQ, и через точку С проведем прямую, параллельную прямой ОА2 (на рисунке n=8). Точку пересечения этой прямой с лучом ОА1 обозначим В1. Проведем теперь окружность с центром О радиуса ОВ1 и обозначим через В2, В3,..., Вn точки пересечения этой окружности с лучами ОА2, ОА3,..., ОАn. Построим, наконец, отрезки В1В2, В2В3,..., ВnВ1. Получим искомый правильный n-угольник В1В2...Вn.
Приближённые построения правильных многоугольников

Приближенное построение правильного пятиугольника способом
 А. Дюрера.

Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так:"Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J.
Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник."
Построение правильного вписанного в окружность многоугольника с любым числом сторон.
Один из таких практических методов, позволяющий построить правильный вписанный в окружность многоугольник с любым числом сторон известен как приём Биона(рис.1).

Пусть дана окружность и АВ - её диаметр. Построим правильный треугольник АВС и разделим АВ‚ точкой D в отношении AD : AB =2 : n. Пусть продолжение CD пересечёт окружность в точке E. Тогда АЕ представляет сторону правильного вписанного n-угольника.(На рис.1 приведено построение стороны правильного семиугольника.) При n=5,7,9,10 погрешность построения не привышает 1%. С возрастанием n погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%.
Среди различных подходов к построению правильных многоугольников выделяется задача на построение правильного многоугольника по данной стороне. Ещё в XV в. великий художник Леонардо да Винчи (1452-1519), занимаясь такими построениями, установил соотношение между стороной многоугольника и апофемой:
аn/2 : ha =3/(n-1)(рис.2), которое можно выразить так: tg180°/n =3/(n-1).
1888 г. в журнале " Вестник опытной физики и элементарной математики" появилась статья Ф. Коваржика, где он предложил общий способ построения правильных многоугольников по данной стороне (рис.3).

Пусть АВ- сторона правильного n-угольника, который требуется построить. На АВ строим равно
сторонний треугольник АВС, из точки С опускаем перпендикуляр CD на АВ и продолжаем его. Затем делим АВ на 6 равных частей и такие откладываем на СD по обе стороны от С. Точки деления являются центрами окружностей, описанных около искомых многоугольников. Перенумеровав эти точки, как показано на рисунке, получим, что, например, А7 - радиус окружности, описанной около семиугольника, сторона которого равна АВ.
Для шестиугольника и двенадцатиугольника такое построение даёт точный результат. Докажем, что для других значений n предложенное построение обладает достаточно высокой точностью. Пусть величина центрального угла ANB некоторого n-угольника равна х. Обозначим АВ через а. Тогда по

теореме Пифагора CD=   а   -   (а/2)    = а    / 2  ,
NC=(n-6/)*а/6
tgx/2=AD:ND=AD:(NC+CD)=
=a/2:((n-6)* а /6 +  а   /2)=
= a/2 :( а /2 *((n-6):3 +    ))=
= 1:(( n-6):3 +     )=
=1:((n-6 +3    ):3 )= 3:(n-6+3     )=
=3:((n-1)+0,19615)
(Сравните с результатом Леонардо да Винчи.)
Рассмотрим пример. Так, при n=7   tg x/2 =3/6,19615. Тогда х/2= 25°50'6'' и х= 51°40'12'', а центральный угол для правильного семиугольника равен 51°25'43''.
Погрешность составляет:
0,56% для 15-угольника; 3% для 20-угольника; 14% для 30-угольника; 74% для 40-угольника.
Приближённые способы построения правильных многоугольников просты и удобны на практике, красивы и орнаментaльны.

Теорема Фалеса
И всё же существует единый способ построения правильного n-угольника, в основу которого положена известная вам теорема геометрии. После знакомства с этим способом вам необходимо назвать эту теорему.Для построения многоугольника из 11 равных сторон проведем из точки А под острым углом к отрезку (диаметру) АВ, прямую линию. На ней циркулем-измерителем откладываем нужное число равных отрезков произвольной величины, в данном случае 11. Последнюю точку соединяем с точкой В. Из нечетных точек деления с помощью линейки и угольника проводим прямые, параллельные прямой 11В. Если провести через все точки, то поделим отрезок АВ на 11 равных частей.Сейчас проведем дугу СД радиусом ВА до пересечения с горизонтальной осью. Из точек С и Д будем проводить через точки 1’, 3’,5’ и т.д. лучи до пересечения с окружностью. Соединяем полученные точки на окружности между собой, и таким образом, мы вписали в окружность правильный многоугольник. Какая теорема используется?Теорема Фалеса.
Устройство для графического построения правильных многоугольников
Известно, что простого специального приспособления для графического построения правильных многоугольников с четным или нечетным количеством сторон не имеется. Но если построение правильных многоугольников с четным количеством сторон с применением простых инструментов - циркуля и линейки без делений - не вызывает особых затруднений, то построение правильных многоугольников с нечетным количеством сторон (например, 7 или 9 и более сторон) без специальных сложных устройств весьма затруднено и практически невозможно.
Предложено простое устройство для графического построения правильных многоугольников как с четным, так и нечетным количеством сторон.
Устройство (см.рисунок) представляет собой тонкую прозрачную или непрозрачную полимерную пластинку в виде полукруга с центром в точке Р. Основание полукруга представляет собой ровную линейку без делений. По внешней стороне полукруга с левой стороны нанесены риски с одним и тем же интервалом. Каждая риска обозначена цифрами от 1 до 35 (или кратными последней цифре, например 5, 10, 15 и т.д.). Расстояние между рисками выбрано по величине произвольно. Количество рисок на устройстве определяет максимальное количество сторон для построения правильного многоугольника.
С уменьшением расстояния между рисками возможно расположить по контуру полукруга большее количество рисок, что позволит строить правильные многоугольники с большим количеством сторон.
На правой стороне полукруга от точки В риской А отделена дуга величиной 60 градусов.
Графическое построение правильных многоугольников при помощи данного устройства производится следующим образом. Например, необходимо построить правильный 9-угольник. Для этого делают следующие шаги:
1. Проводят на листе бумаги горизонтальную линию.
2. Прикладывают полукруг сверху на проведенную линию и обводят по контуру полностью полукруг. После этого точками обозначают на листе бумаги риски с буквами Р, О, В, А, а также точки напротив рисок с цифрами 6 и 9.
3. Проводят линию между точками 6 и В.
4. Проводят два луча: один из точки Р через точку А, а второй - из точки 9 параллельно линии ОВ. Эти два луча пересекутся в точке, которую необходимо обозначить, например, буквой К.
5. Циркулем проводят полуокружность из точки М на линии ОВ так, чтобы эта полуокружность проходила через точки 9 и К. В этом случае точка М является точкой пересечения диаметра ОВ с перпендикуляром к середине отрезка, соединяющего точки 9 и К.
6. Проведенная циркулем полуокружность пересечет линию ОВ в точке Е, а ее продолжение за точку В - в точке Д, и, кроме того, она пересечет луч из точки В через точку 6 в точке С.
7. Циркулем откладывают на дуге КД дугу НД, равную дуге СЕ.
8. Проводят луч из точки Р через точку Н, который пересечет дугу АВ в точке Т. Величина дуги ВТ составит точно 1/9 часть окружности с центром в точке Р и радиусом РВ.
9. Откладывая на данной окружности девять размеров дуги ВТ и соединив соседние засечки отрезками, получают правильный 9-угольник, вписанный в окружность с центром в точке Р.
Точность графических построений зависит только от точности применяемых инструментов и тщательности выполняемых графических работ.

Проводят циркулем заданную окружность с центром в точке О произвольным радиусом, а затем проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СД.
Откладывают на окружности от точки Д влево семь равных между собой дуг, взятых произвольным размером: Д1, 12, 23, 34, 45, 56 и 6Е.
Соединяют отрезком точки В и Е, который пересечет диаметр СД в точке Р.
Соединяют отрезками точки О и 2, О и 3, О и 5, О и 4.
Проводят циркулем окружность через три точки 4, Р и Д. На рис.1 эта окружность не показана полностью из-за перегруженности линий на плоскости чертежа. Центр О1 данной окружности находится на отрезке О2, а окружность пересечет отрезок О2 в точке Х.
Проводят вторую окружность через другие три точки 4, Х и 2. Центр этой окружности находится в точке О2 на отрезке О3, и она пересекает отрезок О3 в точке У.
Проводят еще одну окружность через три точки Е, Р и З. Центр этой окружности О3 находится на отрезке О5, а окружность пересекает отрезок О5 в точке Z.
Проводят вновь окружность через три точки 5, Z и 3. Центр данной окружности находится на отрезке О4, а окружность пересекает отрезок О4 в точке Т.
Проводят циркулем дугу «n-n» из точки О как из центра через точку Т, которая пересечет отрезок О3 в точке К.
Проводят два луча от точки 4: один через точку К, а второй - через точку У.
Полученный угол К4У делят пополам биссектрисой Б, которая пересечет отрезок О3 в точке И.
Проводят циркулем дугу «m-m» из точки О как из центра через точку И, которая пересечет отрезок ОД в точке П.
Проводят луч из точки 1 через точку П, который пересечет в точке М заданную окружность с центром в точке О.
Откладывают на окружности с центром в точке О дугу МН, равную по величине дуге СМ, а затем от точки Н откладывают дугу НС1, равную по величине дуге СН.
Откладывают вновь на заданной окружности от точки С1 дуги С1С2, С2С3, С3С4, С4С5 и С5С6, равные дуге СС1.
Соединяют отрезками точки С и С1, С1 и С2, С2 и С3, С3 и С4, С4 и С5, С5 и С6, С6 и С, получая при этом правильный 7-угольник, вписанный в заданную окружность с центром в точке О.
Схема точного построения правильного семиугольника
Схема построения взаиморавных больших и малых радиальных дуг
Абсолютная точность данных геометрических построений подтверждается математическими выкладками, а производимая точность самих построений зависит во многом от тщательности работ и точности применяемых инструментов.
Действительно, в одном и том же круге равные между собой малые дуги «а» и «в» на его окружности  при равных углах a при вершине своих секторов позволяют получить равные между собой большие дуги «А» и «В» на этой же окружности, а, следовательно, и разделить заданную дугу с сумой больших дуг на равные между собой части.

А так ли уж важно изучать и знать сведения о правильных многоугольниках? В каких житейских ситуациях можно встретиться с правильными многоугольниками?
Историческая справка.
В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад. Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных многоугольников (3600: 600 = 6), либо четыре квадрата (3600: 900 = 4), либо три правильных шестиугольника (3600: 1200 = 3), так как сумма углов с вершиной этой точки равна 3600. Вы не задумывались вот над таким вопросом: Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника?
Пчелы – удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении своих сот. Если возьмем равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник одинаковой площади (показываю модели), то периметр шестиугольника будет наименьшим. (Р3 = 45,9 см., Р4 = 40 см., Р6 = 37,8 см.).
Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.
И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».
Петропавловская крепость
Платоновы тела
Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.
 Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида.
 Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды
.Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.

Многогранники в искусстве
Работы Эшера
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов
     Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

"Порядок и хаос".
        Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.
      Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Гравюра "Звезды"

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.
Спасибо за внимание


title: Скачать презентацию или конспект Прямоугольный параллелепипед

extracted_text:
Прямоугольный
параллелепипед
10 класс

1
Авторы работы :
Лигачева Света Лысенко Юля 10б Пилипушка Вика 10в
Примеры предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда

2

3

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его боковые стенки – стеклянные.

Этот Аквариум имеет тоже форму прямоугольного параллелепипеда. Его боковые стенки – стеклянные.

4

Прямоугольный  параллелепипед  имеет три измерения:

длину

ширину

высоту

длина

ширина

высота

5
Стороны  граней  (прямоугольников) называют  ребрами   прямоугольного параллелепипеда.
Вершины прямоугольников называют  вершинами прямоугольного параллелепипеда.

C
D
P
H
Всего 12 ребер, по  4  равных (на чертеже отмечены одним цветом).

A
B
K
M

Площадь   поверхности   прямоугольного  параллелепипеда-это сумма площадей его граней.
c
a
b

7

Равные прямоугольники имеют равные площади, поэтому площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна

Развертка прямоугольного параллелепипеда
2ab
+ 2ac
+ 2bc


title: Скачать презентацию или конспект Решение системы линейных уравнений методом Крамера

extracted_text:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Цель работы:
-изучить решение систем линейных уравнений с помощью  методом Крамера ;
-научиться  решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех
линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.
Системы линейных уравнений
Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.
Система m линейных уравнений с n переменными:

Числа

называются коэффициентами при переменных, а

свободными членами.
Совокупность чисел
называется решением системы линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.
В школьном курсе рассматриваются  способ подстановки и
 способ сложения.

 В  курсе высшей математике решают  методом Крамера ,методом Гаусса и  с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера

Сведения из истории
Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы.
Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место.

Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.

В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Дана система

Формулы Крамера

………….

Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

         Ответ: (1;-1)
 1)
 2)  Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн  усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза.    Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году. Тогда условие задачи можно записать в виде системы:

Решив систему, получим x = 4, y = 8.
Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения - 4 млн усл. ед., второго - 8 усл.ед.
б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед.,
второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.

1) система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Условия:

При решении системы уравнений могут встретиться три случая:
2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
Условия:
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны
3) система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Условия:
Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.
Решение системы трех линейных уравнений с
тремя двумя неизвестными методом Крамера

Решение. Находим определители системы:

Ответ: (1; 0; -1) .
Решите системы:


title: Скачать презентацию или конспект Леонард Эйлер. Идеальный математик XVII века

extracted_text:
Леонард Эйлер
Идеальный математик                    XVII века
Математик, физик,                                      механик и астроном
Эйлер – ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Он входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов.
        Невероятный гений
Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества.
   Работы Эйлера в наши дни
До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых являлись работы Эйлера.
   Разнообразные таланты
Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий ученый.
Эйлер – автор свыше 800 научных работ
Его работы по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механики, математической физике, оптике, баллистике и кораблестроению. Его работы оказали огромное влияние на развитие науки!
            Эйлер в России
Леонард Эйлер 15 лет прожил и проработал в России. За этот короткий промежуток времени он успел написать первый в мире учебник теоретической механики, а также курс математической навигации и многие другие труды.
             Труды Эйлера
Эйлеру принадлежит и такая работа как шеститомный курс математического анализа, включающий в себя «Введение в анализ бесконечно малых», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление». На основе этих работ учились многие поколения математиков всего мира.
        Вклад в геометрию
75 своих работ Леонард Эйлер посвятил геометрии. Он первый дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве. Также он ввел так называемые «углы Эйлера» позволяющие изучать повороты тела вокруг точки.
Другие работы великого ученого
Эйлер ввел понятие «десятичные дроби». Он за три дня рассчитал траекторию полета кометы. Также Эйлер написал несколько работ о движении комет и планет
            Ему нет равных
Эйлеру не было равных ни в одной отрасли. Его работы изучали все лучшие ученые последних 200 лет.


title: Скачать презентацию или конспект Тест по математике в 5 классе

extracted_text:
Тест по математике( для учащихся 5-х классов)
Желаем удачи!
Вопрос № 1.Скорость грузовика 60 км\ч, а скорость велосипедиста 10 км\ч. Какой вид транспорта  опаснее для пешехода начавшего движение?
Велосипедист
Автомобиль

10 км\ч
60 км\ч

Молодец!
Автомобиль
Вопрос №2
Неправильно
Подумай ещё
Бегут 4 цыпленка и 4 котенка. Чьих ног бежит больше?
Котят

Цыплят
Молодец!
Котят

Вопрос №3
Неправильно
Подумай ещё

Меч и шлем средневекового рыцаря вместе весят 10кг 500г. Шлем весит 3кг 200г.   Что тяжелее?
Меч
Шлем
Молодец!
Меч

Вопрос 4
Неправильно
Подумай ещё

В магазине купили 3кг 250г яблок и 3150 г лимонов. Каких фруктов купили больше?
Яблок
Лимонов
Молодец!
Яблок

Молодец!

Тест окончен
Неправильно
Подумай ещё


title: Скачать презентацию или конспект Проверка умножения

extracted_text:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Корликовская общеобразовательная средняя школа»
Урок математики в 3 классе

Проверка умножения.

Учитель начальных классов:
Кришталь Наталья Ивановна

2012 год.
Цели урока:
Научить учащихся проверять умножение делением;
Закреплять умение чертить отрезки заданной длины и сравнивать их;
Закреплять умение находить значение буквенных выражений;
Совершенствовать вычислительные навыки;
Развивать умение работать в группах/парах;
Воспитывать чувство взаимопомощи.
Тип урока:
Урок изучения нового материала
Вид урока:
Урок-практикум с применением КСО
Форма урока:
Индивидуальная, фронтальная
 Методы обучения:
Объяснительно-иллюстративный  метод;
Репродуктивный метод;
Частично-поисковый метод;
и др.
Оборудование урока:
Интерактивная доска, компьютер, раздаточный материал.
Доска 1. Устный счет.
					Веселые задачи.
Доска 2. Дата. Классная работа.
			Тест.
Доска 3. Решение:			Проверка:
	     x * 8 = 96				12 * 8 = 96
        x = 96 : 8				96 = 96
        x = 12
Оформление  доски
Организационный момент – 1 минута.
Устный счет – 7 минут.
Целеполагание – 2 минута.
Изучение нового материала – 12 минут.
Физкультминутка – 2 минуты.
Закрепление нового материала – 13 минут.
Домашнее задание – 3 минуты.
Подведение итогов – 5 минут.

Этапы урока
1 этапОрганизационный момент
	Цель: проверить готовность обучающихся
              к уроку.

Взаимное приветствие.
Организация внимания.

2 этапУстный счет
	Цель: закрепить знания таблицы умножения и соответствующие случаи деления.

Устный счет (Веселые задачи)
Устный счет (Тест)
Работа с интерактивной доской (Проверка теста)
Устный счет
1.Веселые задачи.(Задачи рассказывают учащиеся)
48 ярких книжек			Шли цепочкой пауки,
Раз купили 8 мышек.		На спине несли клубки,
Но понять не могут мышки,		Чтобы сети им вязать,
Как им книжки поделить,		Надо, дети, вам узнать
Чтобы по ошибке книжкой		Сколько было пауков.
Никого не обделить.		45 всего клубков,
Им не справиться самим,		Каждый нес клубков по 5
Помогите, дети, им!		Вы готовы отвечать?
Вывод: что повторили?(таблицу умножения и деления)
2. Тест (да/нет)
Произведение чисел 12 и 5 равно 60.
Частное чисел 63 и 7 равно 8.
Если делитель разделить на частное, то получится делимое.
Чтобы узнать во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.
1 множитель 8, 2 множитель 7, произведение 48.
Работа с интерактивной доской(за каждый верный ответ, ученик получает «+»)

Делимое(a)
Делитель(b)
Частное(c)

a : b = c
Множитель(a)
Множитель(b)
Произведение(c)

a * b = c
3 этапЦелеполагание
	Цель: постановка задач к уроку:
Научиться проверять умножение делением;
Закреплять умение чертить отрезки заданной длины и сравнивать их;
Находить значение буквенных выражений;
Работать в группах/парах.

4 этапизучение нового материала
	Цель: научить учащихся проверять умножение делением.

	Средства достижения цели:
	Коллективная работа. Ученик работает у доски (формулирует вывод: как проверить умножение).
1.Коллективная работа.
	Цель: подвести учащихся к самостоятельной 		   формулировке правила проверки умножения.
	Форма работы: практическая (работа с учебником: страница 19, №1)
	Один ученик решает примеры с комментированием у доски
	27 * 3 = 81
	Проверка:
	81 : 3 = 27
	Учащиеся самостоятельно формулируют вывод (Схема выводится на интерактивной доске).

Умножение двух чисел проверяем делением:

a * b = c

Проверка:
c : a = b
5 этапФизкультминутка
	На интерактивной доске даются примеры. Если в примере получается ответ 2, то выполняем упражнение – ходьба на месте; если – 5, то прыгаем на месте.
	Примеры:
	найди частное чисел 10 и 5;
	делимое 30, делитель 6, частное - …?;
	12 уменьшить в 6 раз;
	частное чисел 35 и 7.
6 этапЗакрепление нового материала
	Цель: закреплять умение проверять умножение делением.
	Форма работы: практическая (уравнение на интерактивной доске).
	1) Объясни решение уравнения и его проверку
		Решение:			Проверка:
		 x * 8 = 96			12 * 8 = 96
		 x = 96 : 8			96 = 96
x = 12
	2) Работа в группах. Учебник – страница 19, № 3
	Закрепляется умение чертить отрезки заданной длины и сравнивать их. (1 отрезок – 8 см, 2 отрезок – 2 см, 3 отрезок – 8 см).
7 этапДомашнее задание
	Цель: дать информацию о домашнем
           задании.
	Домашнее задание: стр.19 № 5, 7
8 этапподведение итогов работы

	Цель: выявление уровня осознания содержания
         	   пройденного материала,
              оценивание.

Спасибо за
урок
Самоанализ урока
Корлики
-2012-
Самоанализ урока
	На изучение темы «Проверка умножения» отводится 1 урок.
	Урок проводился в 3 классе, где 4 учащихся имеют хорошие знания, умения и навыки. Остальные учащиеся имеют средний уровень способностей. Поэтому в устном счете я использовала «Веселые задачи» и тесты, чтобы вызвать активный интерес к математике, развивать внимание, закреплять знания таблицы умножения и деления. При планировании урока использовала возрастные и психологические особенности учащихся младшего школьного возраста.
Тема урока «Проверка умножения»
Тип урока – изучение нового материала
Вид урока – урок-практикум с применением ИКТ
Форма урока – индивидуальная, фронтальная, КСО
Оборудование урока:
Интерактивная доска, компьютер, раздаточный материал.
Цель урока:
Научить учащихся проверять умножение делением;
Закреплять умение чертить отрезки заданной длины и сравнивать их;
Закреплять умение находить значение буквенных выражений;
Совершенствовать вычислительные навыки;
Развивать умение работать в группах/парах;
Воспитывать чувство взаимопомощи.

Этапы урока
Для реализации данных целей был подобран соответствующий
материал.
Структура построения урока выдержана с учетом логики
процесса введения нового материала:
Этапы урока:
Организационный момент – 1 минута.
Устный счет – 7 минут.
Целеполагание – 2 минута.
Изучение нового материала – 12 минут.
Физкультминутка – 2 минуты.
Закрепление нового материала – 13 минут.
Домашнее задание – 3 минуты.
Подведение итогов – 5 минут.

	Методика данного урока позволила повысить познавательную активность учащихся и вызвать интерес к изучаемой теме. Учащиеся, выполняя задания самостоятельно формулировали вывод о проверке действия умножения, то есть учились рассуждать, анализировать.
	 Организационный момент позволил мне проверить готовность к  уроку  учеников, готовность рабочих мест и учебного кабинета.
	В устном счете использовались тестовая работа и «Веселые задачи», что активизировало внимание класса, а также вызвало интерес к уроку.
	На данном уроке сочетались различные методы и приёмы проведения занятий:  устная работа с классной доской и с интерактивной доской, КСО.
	 В соответствии со способностями учащихся был выбран средний темп ведения урока, что обеспечило  взаимосвязь всех этапов урока, выполнение   заданий на каждом этапе.
В течение урока шла активизация учебной и познавательной деятельности обучающихся.
      Этому способствовали такие методы:
КСО;
Словесный(ученики самостоятельно формулировали правило проверки умножения);
иллюстративный (схемы на классной доске и интерактивной доске);
практический (выполнение индивидуальных заданий, решение задачи в группах);
	Разнообразие и быстрая смена учебной деятельности обеспечили стабильность учебной познавательной атмосферы, занятость всех школьников с учетом их способностей. Дети на всех этапах урока работали быстро, четко.   Все  использованные мною формы работы на уроке   отработанные, так как они помогают экономить время для введения нестандартных учебных ситуаций, уметь работать дружно и слажено в группах.

 В течение всего урока поддерживала интерес у учеников к изучаемой теме. Была создана ситуация успеха через формирование ответственного отношения к учению, коллективу, с которым работали. Мои ученики были готовы к проблемным ситуациям и с успехом справились с ними.
        Личностно ориентированный подход на данном уроке был реализован на всех этапах данного занятия.  Я помогала ученикам, у которых возникали трудности в решении примеров, давала задания, консультировала.
     Старалась, чтобы отношения учеников на уроке были основаны на взаимоуважении.
      Цель применения ИКТ на уроке:
формирование пространственного воображения;
активизация познавательной деятельности учащихся;
формирование коммуникативной компетенции;
формирование информационной культуры.
 	В результате применения КСО у учеников рождалось чувство удовлетворения от собственной и совместной работы.
	При проведении практической деятельности учащиеся самостоятельно формулировали вывод, то есть учились рассуждать, анализировать.
	 Во время проведения практической работы использовался раздаточный материал.
	Организация начала и конца занятия положительно повлияла на его эффективность.
	Учащиеся продемонстрировали высокую степень активности и работоспособности на  всех этапах урока.
	За хорошую работу учащимся были объявлены оценки с комментариями.
	Подведенный в конце занятия итог показал, что урок достиг цели. Ребятам было интересно, они смогли выполнить все задания, самостоятельно сформулировали вывод. Своей работой на уроке все ученики были довольны.
 Задачи и цели, поставленные на уроке,  были полностью реализованы в ходе урока.
        Объем и сложность учебного материала соответствовали образовательным стандартам по математике, учебным возможностям данного класса. Структура урока, вопросы и задания направлены на развитие активной познавательной деятельности, на развитие самостоятельности.
        Урок носил практический, развивающий и обучающий характер, что  позволило организовать учебно-познавательную деятельность учащихся.
         Психологическая атмосфера занятия была комфортной и для учащихся и для меня.
         А я получила большое удовлетворени от их дружной работы в группах, от их умения рассуждать и анализировать.
Спасибо за внимание!
Корлики
2012


title: Скачать презентацию или конспект Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

extracted_text:
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

   Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

    Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей:

Теорема Кронекера–Капелли
    Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

    Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.
Две   системы,   множества     решений
которых    совпадают,     называются
эквивалентными или  равносильными.

Преобразование, применение     которого
превращает     систему    в     новую
систему, эквивалентную     исходной,
называется эквивалентным или
равносильным преобразованием.

Пример
     Исследовать систему линейных уравнений

   Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.
Метод Гаусса
   Для того чтобы решить систему уравнений методом Гаусса
   выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы

    будут располагаться нули.

   Разрешается:
 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений;
   2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа;
 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.

   С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы

Установить совместность и решить систему

   Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент  равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).
Прямой ход

Обратный ход
   Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.
    Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

     Имеем              Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем

     Подставляя            и               во второе уравнение, получим             и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные неизвестные, получим  Таким образом, имеем решение системы

Общее решение системы линейных уравнений
    Если ранг матрицы  равен     , то любой отличный от нуля минор порядка      этой матрицы называется базисным.

Пример
    Решить систему уравнений

   Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

  Однородные  системы

   Теорема  о  совместности       однородной  системы

     Для того чтобы однородная система
   линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа
                     неизвестных n.

         При r<n система является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное.
         Если m=n, т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, т.е. det А=0, что следует из определения ранга матрицы.
Пример

  Составим матрицу системы

    и методом элементарных преобразований найдем ее ранг.

                              r=2.

    Выберем в качестве базисного минор

    Тогда укороченная система имеет вид

   Общее решение системы

Фундаментальная система решений
   Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

    Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2, …, Еn. Общее решение будет представлено в виде

   Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему решений.

                                 ,

Общее решение можно записать в виде


title: Скачать презентацию или конспект Признаки параллельности прямых

extracted_text:
Признаки параллельности прямых
Геометрия 7 класс
Ход урока
1. Организационный момент
2. Решение тестовых заданий с
   последующим обсуждением
3. Проверка ответов теста
4. Изучение нового материала
5. Закрепление изученного
6. Итоги урока
Цели урока:
Повторить понятие параллельных прямых
Ввести понятие накрест лежащих, односторонних и соответственных углов
Рассмотреть признаки параллельности двух прямых
Научиться решать задачи на применение признаков параллельности двух прямых

1. Выбрать рисунки с пересекающимися прямыми.

a
b

А

a
b

Б

a
b

В
2. Завершить высказывания, выбрав нужный пункт:
Пересекающиеся прямые имеют…
А) на чертеже одну общую точку;
Б) одну общую точку.
3. Указать номера рисунков, на которых изображены параллельные прямые.

a

b

А

a
b

Б

a
b
c

В

4. Указать неправильную концовку определения:
   Две прямые на плоскости называются параллельными…
А) если они находятся на постоянном расстоянии друг от друга;
Б) если они не пересекаются на плоскости;
В) если они обе перпендикулярны к третьей прямой;
Г) если они не пересекаются на чертеже.
5. Указать рисунки, на которых приведены параллельные отрезки.

a
b
А
В
С
D
b

А

А
В
С
D

Б

А
В
С
D
С
b

В

А
В
С
D

Г
a
6. Указать правильную концовку определения:
А) оба перпендикулярны третьей прямой;
Б) лежат на параллельных прямых;
В) имеют одинаковое расстояние между концами;
   Два отрезка называются параллельными, если они…
Г) не пересекаются на плоскости.

1. Выбрать рисунки с пересекающимися прямыми.

a
b

А

a
b

Б

a
b

В
2. Завершить высказывания, выбрав нужный пункт:
Пересекающиеся прямые имеют…
А) на чертеже одну общую точку;
Б) одну общую точку.
3. Указать номера рисунков, на которых изображены параллельные прямые.

a

b

А

a
b

Б

a
b
c

В

4. Указать неправильную концовку определения:
   Две прямые на плоскости называются параллельными…
А) если они находятся на постоянном расстоянии друг от друга;
Б) если они не пересекаются на плоскости;
В) если они обе перпендикулярны к третьей прямой;
Г) если они не пересекаются на чертеже.
5. Указать рисунки, на которых приведены параллельные отрезки.

a
b
А
В
С
D
b

А

А
В
С
D

Б

А
В
С
D
С
b

В

А
В
С
D

Г
a
6. Указать правильную концовку определения:
А) оба перпендикулярны третьей прямой;
Б) лежат на параллельных прямых;
В) имеют одинаковое расстояние между концами;
   Два отрезка называются параллельными, если они…
Г) не пересекаются на плоскости.

b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
Накрест лежащие углы - < 3 и < 5, < 4 и < 6;
Односторонние углы - < 4 и < 5, < 3 и < 6;
Соответственные углы - < 1 и < 5, < 4 и < 8,
                              < 2 и < 6, < 3 и < 7.

Задачи на закрепление признаков параллельности прямых на готовых чертежах:

a
b
c
1
2
                   = 32˚

1

2
Дано:          = 32˚
Доказать:
a

b

1

2

a
b
1
2
< 1 = 48º, < 2 = 132º
Доказать:
a

b
Задачи на закрепление признаков параллельности прямых на готовых чертежах:
Задачи на закрепление признаков параллельности прямых на готовых чертежах:

a
b
c
1
3
4
2
5
< 1 = 47º, < 2 = 133º
a

b
Доказать:

3

Домашнее задание
п. 24, 25 , вопросы 1 – 5 на стр.68
            № 186, 187

Урок окончен.
Спасибо за внимание !


title: Скачать презентацию или конспект Логарифмы в музыке

extracted_text:
Логарифмы в музыке
Логарифмы в музыке
       Музыканты редко увлекаются математикой; большинство их, питая к этой науке чувство уважения, предпочитает держаться от нее подальше. Между тем музыканты - даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, "алгеброй гармонию", - соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы.
Логарифмы в музыке
 По этому поводу приведем пример из отрывка  статьи нашего покойного физика проф. А. Эйхенвальда*.
* (Она была напечатана в "Русском астрономическом календаре на 1919 г." и озаглавлена "О больших и малых расстояниях".)

  Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. "Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой".
Логарифмы в музыке

Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что,, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах... И действительно, так называемые "ступени" темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.
Логарифмы в музыке
Положим, что нота do самой низкой октавы, будем ее называть нулевой октавой, определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n × 2m колебаний и т. д.
 Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждой октавы за нулевой;
     тогда, например, тон sol будет 7-й, la будет 9-й и т.д; 12-й тон будет опять do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в           большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой

Логарифмы в музыке
Логарифмируя эту формулу, получаем:
lg Npm = lg n + m lg 2 + p lg 2/12 или
lg Npm = lg n + (m + p/12)lg 2,                         а принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n = 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lg 2 = 1), имеем:
lg Npm = m + p/12.
Логарифмы в музыке
Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков*. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве** - мантиссу этого логарифма".
* Умноженные на 12.
** Деленный на 12.
Например, - поясним от себя, - в тоне sol третьей октавы, т. е. в числе 3 + 7/12 (≈ 3,583) число 3 есть характеристика логарифма числа колебаний этого тона, a 7/12 (≈ 0,583) - мантисса того же логарифма при основании 2; число колебаний, следовательно, в 23,583, т. е. в 11,98, раза больше числа колебаний тона do первой октавы.


title: Скачать презентацию или конспект В гостях у цифры

extracted_text:
В гостях у цифры
Презентация выполнена Ивановой Е.В. ,учителем начальных классов МОУ СОШ № 4 г. Костромы 2011 год

Все ль на месте, все ль в порядке:Ручка, книжка и тетрадка?Все ли правильно сидят?Все ль внимательно глядят?

Презентация выполнена Ивановой Е.В. ,учителем начальных классов МОУ СОШ № 4 г. Костромы 2011 год
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Умнички!
В туесочке есть грибы, сосчитать их помоги.Мухомор красный-гриб опасный,Лисичка-рыжая косичка,Волнушка –розовое ушко,Сморчок-бородатый старичок.Ну , а это белый –ешь его смело!Сколько грибов в туесочке?

Я стою на трех ногах.
Ноги в черных сапогах
Зубы белые, педаль,
Как зовут меня …

Р о я л ь
Жилет
Жили-были
у жилета
Три петли
и два манжета.
Если вместе
их считать,
Три да два,
конечно,
пять!
Только знаешь,
в чём секрет?
У жилета
нет
манжет!
1+1=
2-1=
1
1=2
2
1=1
Заполните пропуски.
2
1
+

Молодцы!
Почему выражения записаны в разные столбики?
У него глаза цветные,
Не глаза, а три огня.
Он по очереди ими
Сверху смотрит на меня.
Да и как его не знать?
Мы отлично понимаем
Все, что хочет он сказать.
Презентация выполнена Ивановой Е. В., учителем начальных классов МОУ СОШ № 4 города Костромы
Какое число упоминается в загадке?
Светофор на свете жил,Крепко с цифрой 3 дружил.Глазками тремя мигал,Никогда не отдыхал.

Тройка-
третий из значков,
состоит из двух
крючков.

Физкультминутка “Лягушки”
Встанем, дети, скажем тихо:
 1, 2, 3, 4, 5.
Приподнялись, чуть присели и соседа не задели.
А теперь придётся встать.
На болоте две лягушки
Утром рано умывались,
Полотенцем растирались.
Ножками топали, ручками хлопали.
Вправо – влево наклонялись
И обратно возвращались

Вот здоровья в чём секрет.
Всем друзьям физкультпривет!

Эта цифра -просто чудо.
У нее родня повсюду.
Даже в алфавите есть
У нее сестра-близнец.
Как ты думаешь, с кем еще дружит цифра 3?
В каких сказках встречается число 3?

Ниф и Нуф в лесу гуляли,
Веселились и играли.
Вдруг навстречу серый волк,
Он зубами щелк да щелк.
Поросята задрожали:
Волка зубы увидали.
Мчатся к другу поскорей,
Наф встречает у дверей.
Никакой на свете зверь
Не ворвется в эту дверь.
Стены все из кирпича,
Печка в доме горяча.
В этой печке как-то раз
Волк бока свои не спас.
Он на крышу не полез,
Убежал обратно в лес.
Вот загадка для ребят:
Сколько в доме поросят?
Верно!

Чтобы научиться трудолюбию, нужно три года, чтобы научиться лени - только три дня.

Заблудиться в трех соснах.

От горшка три вершка.

С три короба.

Плакать в три ручья.
Какие числа стоят перед числом 3?
Правильно!
Сколько Винни-Пухов идет по тропинке?Сколько надо добавить Винни-Пухов , чтобы их стало 2? Сколько надо добавить, чтобы их стало 3?
Что мы сделали, для того чтобы получить трех Винни-Пухов?
+
=
Какое выражение мы запишем?
1
+
=
3
2
На полянке у опушки
Скачут весело лягушки.
Но устали веселиться
И решили подкрепиться.
Коль обедать нам пора,
Мы поймаем комара.
И поймали без труда
Одного возле пруда,
Одного - в густом кусту,
А другого - на лету.
Будет мой вопрос таков:
Сколько съели комаров?
3
Умницы!
. Говорят на заре
Собирались на горе
Голубь, гусь и галка
Вот и вся считалка.
Сколько птиц на горе?
На столе стоят три стакана с вишней. Костя съел один стакан вишни и поставил пустой стакан на стол. Сколько стаканов осталось?
Как мы это запишем?
А сколько осталось стаканов  с вишней?
3-1=2

Это месяц дугой,
Ниже месяц другой.
А теперь - посмотри:
Получилась цифра 3.
3
Окончен урок и вас ждет перемена,

И шум в коридорах опять.

Но хочется мне успеть непременно

Вам доброе слово сказать!

- Спасибо за работу!
target="_blank">Анимашки насекомые
Книги проекта  ДОБРЫЕ СКАЗКИ
Математика в раскрасках: МАТЕМАТИКА ДЛЯ ДЕТЕЙ - СЕРИЯ "Веселые Цифры от 0 до 10": математические сказки, задания и игры по математике, вопросы и творческие задания по математике


title: Скачать презентацию или конспект Матрицы и действия над ними

extracted_text:
Презентацию разработала:
Кардаильская Светлана Александровна
преподаватель математики
ГБОУ СПО ГРК «Интеграл»

ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ»

ПЛАН ЛЕКЦИИ

Определение матрицы, элементы матриц
Виды матриц
Линейные операции над матрицами

      1. Определение матрицы, элементы матриц
Основные определения

2. Виды матриц

    Если количество строк в прямоугольной матрице равно 1, то эта матрица называется матрицей-строкой.

С= (1 -2 4 6 -2)

 Равенство матриц

       Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны.

3. Линейные операции над матрицами

Литература
Лисичкин В.Т, Соловейчик И. Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов.-М.: Высш.шк; 1991г.
Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010г.
МОСКВА, 2009
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"


title: Скачать презентацию или конспект Сложение и вычитание в пределах 10

extracted_text:
Урок-путешествиепо математикиТема: «Сложение и вычитание в пределах 10»(Закрепление)
Цели урока
Закрепить знания таблицы сложения и вычитания в пределах 10.
Продолжать подготавливать учащихся к решению задач в два действия.
Повторить названия геометрических фигур.
Продолжать развивать вычислительные навыки, логическое мышление, речь учащихся, внимание.
Воспитывать любовь к природе, чувство товарищества.

Сообщение от Ивана-царевича
Дорогие ребята!

  Кощей похитил Василису Прекрасную и заточил в свой замок. Помогите, пожалуйста, освободить её. Если вы выполните все задания, то Кощей отпустит Василису.
Цветочная полянка
Загадка
Домовитая хозяйка
Пролетает над
лужайкой.
Похлопочет над
цветком -
Он поделится
медком.

Решите «цепочку»

8

- 2

+ 3

- 4

+ 5

- 6

+ 4

- 1

+ 3

10
Грибная полянка
Загадка
На спине иголки
Длинные и колкие,
А свернется он в
клубок,
Нет ни головы, ни
ног.

Задача

5 белых грибов

                                         ?

1 подосиновик

Решение задачи

1) 5 + 1 = 6 (г)
         Ответ: 6 грибов.
Солнечная полянка
Загадка
Зверька узнаем мы
с тобой
По двум таким
приметам:
Он в шубке
серенькой зимой,
А в рыжей шубке –
летом.
Назовите геометрические фигуры

Земляничная полянка
Загадка
Хитрая плутовка,
Рыжая головка,
Пушистый хвост-
краса.
Кто же это?
Решите примеры
6 + … = 9             9 - … = 5
4 + … = 7             8 - … = 4
4 + … = 6            10 - … = 7
5 + … = 9              6 - … = 2
3 + … = 6              7 - … = 6
Ответы примеров
6 + 3 = 9
4 + 3 = 7
4 + 2 = 6
5 + 4 = 9
3 + 3 = 6
 9 – 4 = 5
 8 – 4 = 4
10 – 3 = 7
 6 – 4 = 2
 7 – 1 = 6
Физминутка
На болоте две подружки,
Две зелёные лягушки
Утром рано умывались,
Полотенцем растирались,
Ножками топали,
Ручками хлопали,
Вправо, влево наклонялись
И обратно возвращались.
Задача
  Заяц собрал с одной грядки 5 морковок, а с другой на 2 морковки меньше. Сколько морковок собрал заяц со второй грядки? Сколько всего морковок собрал заяц с двух грядок?
Краткая запись задачи
1 грядка – 5 морковок

                                                             ?
2 грядка - ? на 2 морковки
                   меньше

Решение задачи

1) 5-2 = 3 (м)- со 2 грядки
   2) 5+3 = 8 (м)- всего
          Ответ: 8 морковок.
Замок Кощея
Решите примеры

2 + 8 =                 9 – 4 =
1 + 8 =                 9 – 3 =
0 + 8 =                 9 – 2 =
Ответы примеров

2+8=10
1+8=9
0+8=8

9-4=5
9-3=6
9-2=7
Расположи числа в порядке возрастания

5 – п, 7 – с, 10 – о, 4 – с, 6 – а, 8 – и, 9 –б

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

С  П  А С  И  Б   О !
Источники
М.И. Моро «Математика 1 класс»
С.В. Бахтина «Поурочные разработки по математике»
Е.П. Фефилова «Методическое пособие по математике 1 класс»
«1000 заданий по математике»