title: Скачать презентацию или конспект Повторение изученного в 5 классе

extracted_text:
6 классУрок по теме: «Повторение изученного в 5 классе»Учитель МОУ Старо-Псарьковской ООШ № 67Моченкина Т.В.
Вычислите устно

а) 6 + 0,9                       б) 0,98 – 0,4
    0,74 +8                           3,21 - 2
    0,58 + 0,2                       0,82 – 0,02
 0,6 + 0,54                        0,59 – 0,5
 2,8 + 1,12                        0,7 – 0,19
Вычислите устно
в) 0,3 * 2                       г) 8 : 10
    2,1 * 4                           0,9 : 3
    0,6 * 10                         2,8 : 7
 0,2 * 5                           0,3 : 10
 0,25 * 4                         4,1 : 2

Решите задачу

В первый день было продано 54,4 кг яблок, во второй – в 1,7 раза меньше, чем в первый, а в третий день на 19,6 кг больше, чем во второй. Сколько килограммов яблок было продано за три дня?
Решение задачи
                                54,4 кг
 I  д.
                                                   в 1,7 р. м.
 II д.                                                                    ?
                                      19,6 кг
III д.

Решение задачи
1) 54,4 :1,7 = 32(кг) яблок продано во 2-ой день.
2)  32 + 19,6 = 51,6 (кг) яблок продано в 3-ий день.
3) 54,4 + 32 + 51,6 = 138 (кг)
Ответ: 138 кг яблок продано за три дня.
Выполните действия:

А) 19,74 + 0,64 : 0,8;
Б) 3,44 : 0,4 – 5,92;
В) 7,24 * 19 + 273,6 : 0,76;
Г) 355,1 : 0,067 – 8,3 * 24,5.
Изобразите координатный луч и отметьте на нём точки с координатами:   А (2); В (4,5); С (7,3); D (10); М (8,7); N (3,5).
Решите задачи
Площадь первого поля 36,8 га. Площадь второго поля на 5,9 га меньше площади первого, а площадь третьего поля в 1,4 раза больше площади второго. Чему равна площадь всех трех полей вместе?
Туристы на велосипедах проехали 79,2 км. Первые 48,6 км они двигались со скоростью 12,15 км/ч и сделали привал на 1,5 ч, а потом ехали со скоростью 15,3 км/ч. Сколько времени они были в походе?

Повторение изученного в 5 классеУрок № 2
Правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с равными знаменателями.
Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же.
Вычислите:
Основное свойство дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то значение дроби не изменится.

Вычислите:
Сравните:

Представьте в виде обыкновенной дроби числа : 0,7; 0,29; 0,4 и в виде десятичной дроби числа

Выполните действия, записав каждое число в виде десятичной дроби:

Выполните действия:

Решите задачи:
В первый день трактор вспахал     поля, а во второй  - на        поля меньше. Какую часть поля тракторист вспахал за два дня?
Отрезок   BD равен      м, и он короче отрезка АС на      м. найдите длину отрезка АС.
Домашнее задание:
№ 19, 28; прочитать текст о достоверных, невозможных и случайных событиях (с.14 учебника); решить № 30.


title: Скачать презентацию или конспект Решение неравенств и их систем

extracted_text:
Решение неравенств
с одной переменной
и их систем

х
х
-7

7

Пронина С.М. ГОУ лицей №1594 г.Москва
Задание 1. Установите соответствие между неравенствами и промежутками, которые являются их решением

Задание 2. Установите соответствие между промежутками
и их графическим представлением
Задание 3. Установите соответствие между неравенствами и графическим представлением их решения

Задание 4. Установите соответствие между промежутками
 и графическим представлением решения неравенств

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство

Свойства
<
≥
≤
>

Решить неравенство – значит найти все его решения
или доказать, что решений нет

Свойства
<
≥
≤
>

:а

Неравенства, имеющие одни и те же решения,
называются равносильными
Свойства

:а

Неравенства вида ах>b или ах<b, где а и b некоторые числа,
называют линейными неравенствами с одной переменной
Свойства

:а

1.

2

х

   Решите неравенство

2.

0,5

х
Решите неравенство
Решите неравенство, покажите его решение на числовой прямой, запишите ответ в виде интервала
3.
Установите соответствие между неравенством и его решением
4.
Решите неравенства
5.
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы

6

3,5

х

Решите систему неравенств
6.
Решить систему неравенств – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет

10

7

х

7.
Решите систему неравенств
Решить систему неравенств – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет

4

2

х

8.
Решите систему неравенств
Решить систему неравенств – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет

-2

Ответ: решений нет
3
х

9.
Решите систему неравенств

  5
7
х

Решите двойное неравенство

10.

Решите двойные неравенства
11.
Домашнее задание
                              Математика - это искусство
называть разные вещи одним и тем же именем.
А. Пуанкаре


title: Скачать презентацию или конспект Решение прямоугольных треугольников

extracted_text:
Решение прямоугольных треугольников
Решение типовых задач
Учебник «Геометрия 7-9»  Л.В. Атанасян
Урок геометрии в 8 классе
Учитель математики
высшей квалификационной категории
МБОУО гимназия №36 г. Иваново
Бычкова Оксана Владимировна

b

α
?
1
α=38°; b=4

sinα
cosα
tgα

1

1
a

α
?
2
α=27°; a=6

sinα
cosα
tgα

1

1
c

α
?
3
α=54°; с=2

sinα
cosα
tgα

1

с

α
?
4
α=77°; с=1

sinα
cosα
tgα

1

b

α
?
5
α=25°; b=10

sinα
cosα
tgα

1

a

α
?
6
α=32°; a=4
sinα
cosα
tgα

1

№594
b

β
?
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β.
а) Выразите другой катет,
прилежащий к нему угол
и гипотенузу через b и β.
б) Найдите их значения, если b=10см, β=50°
Решение:

?

1)
2)
3)
?

№595
b

α
?
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий угол равен α.
а) Выразите другой катет,
противолежащий к нему угол
и гипотенузу через b и α.
б) Найдите их значения, если b=12см, α=42°.
Решение:
?
?

№596
с

α
?
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α.
а) Выразите второй острый угол
и катеты, через с и α.
б) Найдите их значения, если с=24см, α=35°.
Решение:
?
?

№598(а).

A
C
B
b

α
Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если боковая сторона равна b.

№598(б).

A
C
B
а

α
Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если основание равно а.

№599

A
B
D
C
2см
6см

α

Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2см и 6см, если угол при большем основании равен α.
№600

A
B
D
C
60м
?
Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов к горизонту равен 60°, а высота насыпи равна 12 м?
12м
60°

60°

Домашнее задание
П.66 , №597, №603
Спасибо за урок
Информационные ресурсы
Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.— 20-е изд. — М. : Просвещение, 2010.


title: Скачать презентацию или конспект Системы линейных уравнений

extracted_text:
Системы линейных уравнений
Лекция 3

    Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

   Совокупность значений неизвестных
                                                                       где    i =1, 2, …, n, при подстановке которых уравнения системы обращаются в равенства, назовем решением системы.

  Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной.
   Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
   Система, имеющая единственное решение, называется определенной.
   Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.
Правило Крамера решения систем линейных уравнений

   Рассмотрим систему линейных  уравнений

   Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера,

    Составим определитель из коэффициентов при неизвестных

   Назовем его определителем системы. Если Δ≠0, то система совместна

   Далее составим три вспомогательных определителя:

                                     ,                               ,

   Решение системы (10) находим по формулам:
                         ,                      ,

  которые называют формулами Крамера

   Замечание.
   Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.
Пример
  Решить систему уравнений

Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления

    Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

  Составим из коэффициентов при неизвестных матрицу

и назовем ее матрицей системы.

  Матрицу

    называют матрицей-столбцом из свободных членов, а матрицу

  - матрицей-столбцом из неизвестных.

   Запишем систему уравнений в виде матричного уравнения
                                         .

Умножая обе части этого уравнения слева на                , получим: .

   Таким образом, если матрица А системы невырожденная, т.е. существует           , то решение системы линейных уравнений можно найти по формуле

                                            .

Замечание
    Метод матричного исчисления обычно применяют для решения систем трех уравнений с тремя неизвестными. Решать этим методом системы с большим числом уравнений и неизвестных неудобно, так как он приводит к громоздким выкладкам.

Пример
    Средствами матричного исчисления решить систему линейных уравнений

Ранг матрицы
Рангом  матрицы называется наивысший
из порядков отличных от нуля миноров
матрицы.

Ранг матрицы  A обозначается:

                  или                      .

Элементарные преобразования матрицы
   Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся:

1.Умножение всех элементов строк на одно и то же число не равное 0.
2. Перестановка   строк   местами.
3. Прибавление   к элементам одной   строки   соответствующих элементов  другой строки,  умноженных  на одно и тоже число.

4.Отбрасывание      одной   из     двух одинаковых    строк.

5.Отбрасывание   нулевой  строки

Теорема: Элементарные
преобразования не меняют ранг
матрицы.

 Матрицы,   полученные с помощью
элементарных     преобразований,
называют эквивалентными (~).

Пример
   С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

Понятие о линейной зависимости
  Рассмотрим  матрицу

   Обозначим ее строки

   Очевидно                        . Это равенство понимается в смысле поэлементного сложения.

   Строки                         матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие не равные нулю одновременно числа                      , что
                                                           .

 Если таких чисел подобрать нельзя, то строки матрицы линейно независимы.

   Если одна из  строк матрицы линейно выражается через другие строки, то  строки этой матрицы между собой линейно зависимы.

Пример
    Строки такой матрицы линейно независимы (лнз), так как их невозможно выразить одну через другую:

Теорема о ранге матрицы
 Ранг матрицы равен
максимальному числу линейно –
независимых строк матрицы.

    Теорема. Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r линейно независимых строк                    ( столбцов), через которые линейно выражаются остальные строки                ( столбцы) матрицы.

     Теорема. Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки ( столбцы) были линейно зависимы.


title: Скачать презентацию или конспект В моде – геометрия

extracted_text:
Мода на геометрические формы сказалась и на браслетах. Теперь на руках не только круглые браслеты, но и квадратные, и даже треугольные.

Мода 60 – ых, и поп - арт

Наряды с геометрическими формами смотрятся очень остро.В моде 1920-х годов большое влияние оказало авангардное искусство-от футуризма и кубизма до абстракционизма. Что было популярным в геометрическом орнаменте. А в 60-х такая мода называлась искусство – поп - арта. Геометрические и абстрактные рисунки, яркие, насыщенные и контрастные друг с другом краски продолжают привлекать внимание дизайнеров и модниц.

          ОБУВНАЯ МОДА

ТУФЛИ -
Какая модница обойдётся без нескольких пар туфель, да ещё такие, о каких мечтает каждая.
Мода и стиль очень быстро меняется, но возвращается, как и стиль из 60 – ых и 80 – ых. В новой моде очень уместна сама царица наук – ГЕОМЕТРИЯ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ
Клетка
    Клетка из тонких полос, выполненная в неконтрастных цветовых сочетаниях, тоже оказалась под влиянием геометрии.
    Клетчатые узоры, состоящие из клеток и ромбиков, лишний раз доказывает- не будет моды да и просто вещей без геометрии. Множество чертежей нужно сделать, чтобы получить всего лишь – юбку или любую другую вещь.

ПОЛОСКИ
  Полоски
  Полоски, особенно черно- белые – главный тренд сезона.
  Полоска это- луч, с точкой на шве, который прерывает
   его продолжительность. Две или несколько
   полосок- обязательно будут параллельны друг другу.

Polka Dots
   Этот рисунок уже не первый сезон возвращается в моду. Да и как же без него, ведь окружность- это одна
    из главных фигур в геометрии. Зная, что источником модных идей у модельеров- уже в какой раз геометрия, можно сделать выводы, что основа многих профессий- геометрия: парикмахер, дизайнер, модельер, архитектор, технический дизайн, картограф…
    Можно даже их  и не перечислять, ведь их бесконечное множество.

Стильные аксессуары
   Все элементы аксессуаров содержат в себе геометрические узоры и орнамент, и даже сами сумки представляют собой геометрические фигуры, например: прямоугольные, квадратные, и даже круглые, и многие другие.

Просто модные штучки
    Просто геометрия – тренд нынешней и будущей моды, что привлекает юных    будущих дизайнеров изучать геометрию, так как в этом она точно пригодится.

 Геометрия- это фундамент для всех
 других наук, профессий,  увлечений, хобби ( сборка моделей: кораблей, лодок, самолетов…). Так что можно сделать один окончательный вывод-
  Геометрия  сложный предмет лишь в том случае, если изучать его с омерзением, с неохотой , и с ленью.


title: Скачать презентацию или конспект Умножение семи и на семь

extracted_text:
Таблица умножения
Достойна уважения.
Она во всём всегда права:
Чтоб ни случилось в мире,
А всё же будет дважды два
По-прежнему четыре.

5 Х 3
4 Х 3
7 Х 7
3 Х 5
2 Х 7

7 кг
7 кг
7 кг
Как можно вычислить массу яблок в трех ящиках?
7 + 7 + 7 = 21
7 х 3 = 21
Составляем задачу
На пригорке возле ёлок
Ёжик яблоки считал:
Семь под ёлкой, семь за ёлкой,
Семь в мешке за тем пригорком,
Семь в избе на третьей полке,
Семь под лавкою в саду.
Сколько яблок, как понять?
Ёж не может разобрать.
5 • 7
7 • 5
7 • 4
Выбераем правильное решение.
Умножение семи и
на 7
7 + 7 = 14
14 + 7 = 21
21 + 7 = 28
7 ∙ 1 = 7
7 ∙ 2 = 17
7 ∙ 3 = 21
7 ∙ 4 = 28
7 ∙ 5 = 35
7 ∙ 6 = 42
7 ∙ 7 = 49
7 ∙ 8 = 56
7 ∙ 9 = 63
Проверь себя!
7х1= 7
7х2= 14
7х3= 21
7х4= 28
7х5= 35
7х6= 42
7х7= 49
7х8= 56
7х9= 63
7х10=70
7 ∙ 4 = 28 (шт.)
28 + 12 = 40 (шт.)
7 ∙ 4 + 12 = 40 (шт.)
Решаем задачу

?

7 ∙ 6 + 7 · 6 = 84 (шт.)
(7 ∙ 6) · 2 = 84 (шт.)

?
7 ∙ 2 = 14
5 ∙ 7 = 35
2 ∙ 7 = 14
4 ∙ 7 = 28
Блиц-турнир
S = 7 · 5
S = 35 см2
Какая фигура рассыпалась?
Как найти площадь прямоугольника?
S = 7 · 7
S = 49 см2
Какая фигура рассыпалась?
Как найти площадь квадрата?
Ресурсы:
-http://images.google.ru/imghp?hl=ru&tab=wi картинки;
-http://images.yandex.ru/ картинки;
-http://rebus.detsky-mir.com/2871/rebusy_po_matematike/;
-http://znajka.net/;
-http://www.prozagadki.ru/
http://images.yandex.ru/yandsearch?ed=1&text=детские  фоны.
http://planetarium-kharkov.org/files/pictures/05_moon_meteorit_alh-81005.jpg
http://www.gifpark.ru/COSM.
http://karaoke.yarsk.info/

Автор презентации
Емелина Елена Владимировна,
учитель начальных классов
МБОУ «СОШ № 18» г. Нижневартовска,
Тюменской области, ХМАО-Югры


title: Скачать презентацию или конспект Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители

extracted_text:
Квадратный трехчлен.
Квадратичная функция.
Квадратные уравнения.
Разложение квадратного
       трехчлена на множители.
                                               (8 класс)
Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми
   Мишариной Альбиной Геннадьевной
Содержание
Квадратный трехчлен
Квадратичная функция
Квадратные уравнения
Разложение квадратного трёхчлена на множители

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Определение
Многочлен  ax²+bx+c ,   где а, в, с – числа (коэффициенты), причем
    а ≠ 0  называется квадратным трехчленом
Причем:  а – старший коэффициент,
                  в -  второй коэффициент
                  с – свободный член
Назовите коэффициенты:
1)  2х² - 6х + 1
2)  - 2х² + 8х – 5
3)  3х²  + 2х
х²  - 4х + 7
- х² - 8
6х² - х - 2
а =2;  в = -6;  с = 1
2)   а =-2;  в = 8;  с = -5
3)   а =3;  в = 2;  с = 0
4)   а =1;  в = -4;  с = 7
5)   а =-1;  в = 0;  с = -8
6)   а =6;  в = -1;  с = -2

КВАДРАТИЧНАЯ
        ФУНКЦИЯ

Запомним
Функция  у = ax²+bx+c, где а, в, с – произвольные числа, причем а ≠0  называется квадратичной.
Графиком квадратичной функции является парабола

Ветви параболы у = ax²+bx+c направлены вверх, если а > 0, и вниз если а < 0
Как найти координаты вершины параболы?
     – абсцисса х₀ вершины параболы вычисляется по
            формуле       х₀ = - в/2а
         - ордината у₀   вершины параболы
            вычисляется подстановкой найденной   х₀
            в   заданную   функцию
   Осью симметрии  параболы является прямая
                                                               х = - в/2а

Запомним
Найти координаты вершины параболы, её ось симметрии и построить её:
у = 2х² - 8х + 1
у  = - 2х² +16х – 5

Т.к.      а =2 ; в =-8; с =1
    то   х₀ = 8 : (2·2)=2
           у₀= 2·2² - 8·2 + 1=-7
 Значит:  (2; -7)  координаты вершины, а ось симметрии параболы: х=2
 2) Т.к.    а=-2; в=16; с=-5
     то  х₀ = -16 : (2·(-2)) = 4
          у₀ = -2· 4² + 16·4 - 5 = 27
 Значит:  (4; 27) координаты вершины;  ось симметрии: х=4

Самостоятельно: вычислить координаты                                                       вершины параболы
1) у = х² + 4х + 5
2) у = 2х² + 4х
3) у = -3х² + 6х + 1
4) у =  3х² - 12х
5) у = х² + 6х - 2
6) у = -2х² + 8х - 5
7) у = -4х² - 8х
Проверим:
1)  (-2; 1)
2)   (-1; -2)
3)  (1; 4)
4)   (2; - 12)
5)   (-3; - 11)
6)   (2; 3)
7)   (-1; 4)
Рефлексия:
1) Сегодня на уроке я запомнил…
2) Сегодня на уроке я научился…
3) Сегодня на уроке я узнал …
4) Сегодня на уроке я выучил…
5) Сегодня на уроке было интересно …
6) Сегодня на уроке мне понравилось …

Квадратные уравнения

Содержание:
Определение квадратного уравнения
Классификация квадратных уравнений
Способы решения квадратного уравнения

Определение
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0,
   где x - переменная,
   a, b, c – любые действительные числа, причем a≠0.  (Почему?)
Причем: а – старший коэффициент
                     в -  второй коэффициент
                      с – свободный член

Классификация .

                 Квадратные уравнения.

   неполное                               полное
b = 0;   x² + c = 0                 ах² + b х + с = 0, а≠0
c = 0;  ax² + bx = 0
b = 0; c = 0; ax² = 0               приведённое
                                                x² + p x + q = 0, а=1

Запомним
 Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Причем: квадратное уравнение может иметь либо 2 корня (если D >0),
    либо 1 корень (если D = 0),
    либо вообще не иметь корней (если D <0)
Способы решения квадратного уравнения:
Разложением на множители
Выделением полного квадрата
По формуле корней (универсальный способ)
По теореме Виета
По коэффициентам
Графический
      Введение новой переменной

Разложение левой части на множители

Например:
Выделение полного квадрата

Рассмотрим ещё одно решение:
Решим уравнение:     х² + 6х - 7 = 0.
Решение:       х² + 6х -7 = 0.
                     х² + 2 · 3 · х + 9 – 9 – 7 = 0
                    (х² + 6х + 9) - 9 – 7 = 0
                        (х +3)² – 16 = 0.
                         (х +3)² = 16.
          Значит:            х +3 = 4   и    х + 3 = -4.
                                      х = 1               х =-7.
                       Ответ: 1; -7.
Алгоритм решения квадратного уравнения  ПО ФОРМУЛЕ КОРНЕЙ:
Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения
        и равное          D = b²- 4ac.
  2) Дискриминант показывает сколько корней имеет уравнение
     - если D<0, то данное квадратное уравнение не имеет корней;

    - если D=0, то данное квадратное уравнение имеет
      единственный корень, который
      равен

     - если D>0, то данное квадратное уравнение
        имеет  два корня,   которые равны

Решить уравнение: 2x2- 5x + 2 = 0
Здесь     a = 2, b = -5, c = 2.
Имеем      D = b2- 4ac = (-5)2- 422 = 9.
Так как D > 0, то уравнение имеет два корня.
Найдем их по формуле

                то есть x₁ = 2 и x₂ = 0,5 - корни заданного уравнения.

Решить самостоятельно:
x2- 2x + 1 = 0.
2x2- 3x +5= 0.

Проверим
          1 уравнение:
 получили один корень             х = 1, т.к. D = 0

Проверим
        2 уравнение:
 уравнение       не имеет действительных корней, т.к. D < 0

Работаем в парах:
1) Выберите квадратные уравнения и
 определите значения их коэффициентов:
         А) 2х² – 8 = 0;              Б) -х² + 4х + 1 = 0;
         В) 3х³ + 2х – 9 = 0;      Г) 5х – 3х²  +2 = 0;
         Д) х – 3 = 0;                  Е) 3 – 5х² – х = 0;
         Ж) х² – х = 0.                И) х² + 5 - 2х = 0
2) По коэффициентам  указать приведенные
            уравнения.
                  3) Из квадратных уравнений
                       выбрать неполные и решить их.

Проверим:
Квадратные уравнения:
       А) 2х² – 8 = 0,    где   а=2; в=0; с=-8
       Б) -х² + 4х + 1 = 0,  где   а=-1; в=4; с=1
       Г) 5х – 3х² + 2 = 0,  где   а=-3; в=5; с=2
       Е) 3 – 5х² – х = 0,  где   а=-5; в=-1; с=3
       Ж) х² – х = 0,  где   а=1; в=-1; с=0
            И) х² + 5 - 2х = 0,    где а=1; в=-2; с=5

 Проверим:
2) Приведенные квадратные уравнения:
                         И) х² + 5 - 2х = 0
3) Неполные квадратные уравнения:
          А) 2х² – 8 = 0    и      Ж) х² – х = 0
Решения:   2х² – 8 = 0      и     х² – х = 0
                    2(х² - 4)=0               х(х-1)=0
              2≠0; х² - 4 =0                х=0; х-1=0
                         х² = 4                   х=0; х=1
                       х = ± 2

Пример решения квадратного уравнения
Дано уравнение:

Решение:

                                                Ответ:
Самостоятельная работа(по вариантам)
Проверь решение:
Проверь решение:

Запомни: по теореме Виета  решаются только приведенные квадратные уравнения
Теорема Виета:  Если  корни х₁   и  х₂ приведённого квадратного уравнения   х² + px + q = 0 , то  х₁  +  х₂  = - p,    а    х₁ ·  х₂  = q.
 Обратное утверждение:   Если числа m и  n таковы, что   m + n = - p,      	m∙n = q, то эти числа являются корнями 	уравнения х² + px + q = 0.
Обобщённая теорема:   Числа    х₁   и  х₂    являются корнями приведённого квадратного уравнения  х² + px + q = 0   тогда и только тогда, когда  х₁ +  х₂ = - p,   х₁ ·  х₂ = q.
              Следствие: х² + px + q =  (х – х₁)(х – х₂)

НАПРИМЕР
Дано приведённое квадратное уравнение
                                   x²-7x+10=0
Решение:  методом подбора  проверим числа
   2 и 5.  Их произведение равно 10 (т.е. свободному члену уравнения), а их сумма равна 7,  (т.е. второму коэффициенту уравнения , но с противоположным знаком )
    Значит эти числа и являются корнями данного уравнения.
                           Ответ:  2 и 5

Решить :
   Решаем вместе:
1)  х² - 15х + 14 = 0
2)  х² + 3х – 4 = 0
3)  х² - 10х – 11 = 0
4)  х² + 8х – 9 = 0

Решить
самостоятельно
                            в парах:
1)  х² + 8х + 7 = 0
2)  х² - 19х + 18 = 0
3)  х² - 9х – 10 = 0
4)  х² + 9х + 20 = 0
Проверим ответы:
1)  х₁ =-1     х₂ =-7
2) х₁ = 1      х₂ = 18
3) х₁ =-1     х₂ =10
4) х₁ =-4      х₂ =-5

Решение квадратных уравнений по коэффициентам
Если сумма коэффициентов равна 0, т.е.  а + в + с = 0 , то  х₁ = 1      х₂ =  с/а.
2) Если  а –в + с = 0,  то х₁ = -1   х₂ =  -с/а.
3) Если а = с,  в = а ² + 1,  то
           х₁ =  –а = - с      х₂ = -1/а = -1 /с.
4) Если  а = с ,  в = - (а² + 1),   то
            х₁ = а = с        х₂ = 1/а = 1/с

Решить самостоятельно по группам:
    1) 3х² + 4х + 1 = 0,                                                                                2) 5х² - 4х – 9 = 0,                                                                                3)  6х² + 37х + 6 = 0,
                 4) 7х² + 2х – 5 = 0,
                 5) 13х² - 18х + 5 = 0,
                 6) 5х² + х – 6 = 0,
                                  7) 7х² - 50х + 7 = 0,
                                  8) 6х² - 37х  + 6 = 0,
                                  9) 7х² + 50х + 7 = 0.

Проверим:

Проверим:
Проверим:

Решим графически уравнение:
Решение:
преобразуем

Пусть   у₁ = х²   и   у₂ = 4
Построим  эти графики в одной координатной плоскости

Ответ: х = -2; х = 2

Решить графически уравнения по вариантам:
 1 вариант
1)  х² + 2х – 3 = 0
2)  - х² + 6х – 5 = 0
3)   2х² - 3х + 1 = 0

2 вариант
1)  х² - 4х + 3 = 0
2)  -х² - 3х + 4 = 0
3)  2х² - 5х + 2 = 0

Введение новой переменной
Умение удачно ввести новую переменную – облегчает решение
Например:    надо  решить уравнение    (2х+3)² = 3(2х+3) – 2.
Решение:  пусть: а = 2х + 3.
Произведем замену переменной:        а² =  3а - 2.
 Тогда получим уравнение     а² - 3а + 2 = 0   и у него   D > 0.
Решим квадратное уравнение и получим:   а₁ = 1,   а₂ = 2.
Произведем обратную замену и вернемся к переменной х:
                 1). если а₁ = 1, то  2х + 3 = 1 и тогда  х₁ = - 1;
                 2). если а₂ = 2, то  2х + 3 = 2 и тогда  х₂ = - 0,5
                                      Ответ: -1; -0,5.

Решить самостоятельно в парах:
 а) (х² - х)² - 14(х² - х) + 24 = 0;
 б) (2х - 1)⁴ - (2х - 1)² - 12 = 0
Проверим ответы:
      а)
                  б)

Разложение  квадратного трехчлена
на множители
Запомнить:
 Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0
имеет корни х₁ и х₂, то квадратный трехчлен ax²+bx+c, раскладывается на  множители следующим образом:
        ax²+bx+c= а·(х - х₁)(х - х₂).
Разложите квадратный трехчлен на множители:
        1 вариант

1) х² - 11х + 24
2) х² + 7х + 12
3)  - х² - 8х + 9
4)  3х² + 5х - 2
5) -5х² + 6х - 1
    2 вариант

1) х²  - 2х - 15
2) х² + 3х - 10
3) - х² + 5х - 6
4)  5х² + 2х - 3
5) -2х² + 9х - 4
Проверим
1 вариант
1) (х-8)(х-3)
2) (х+3)(х+4)
3) – (х-1)(х+9)
4) 3·(х-1/6)(х+13/6)
5) -5·(х-1)(х- 0,2)

 2 вариант
1) (х-5)(х+3)
2) (х-2)(х+5)
3)  - (х-2)(х-3)
4)  5·(х+1)(х- 0,6)
5) -2·(х-½)(х-4)

Рефлексия:
Сегодня на уроке я запомнил…
Сегодня на уроке я научился…
Сегодня на уроке я узнал …
Сегодня на уроке я выучил…
Сегодня на уроке было интересно …
Сегодня на уроке мне понравилось …

    СПАСИБО
           ЗА  УРОК !!!

Источники изображений

http://www.avazun.ru/photoframes/&sort=&p=10

http://s59.radikal.ru/i163/0811/73/ad11fb505124.png


title: Скачать презентацию или конспект Высшая математика. Линейная алгебра

extracted_text:
Высшая математика
Кафедра математики и моделирования

Преподаватель Никулина Л. С.
Четвертый семестр.
Содержание
Элементы линейной алгебры
Задачи линейного программирования
Графический метод решения ЗЛП
Симплексный метод решения ЗЛП
Двойственные задачи
Транспортная задача
Анализ временных рядов
Элементы линейной алгебры
Лекция 1
 Определители
   Определение. Определителем 2-го порядка называется выражение
				                              (1)

   Числа   ,    ,   ,    называются элементами определителя. Они расположены в двух строках и двух столбцах. Определитель 2-го порядка равен разности произведений его элементов главной и побочной диагоналей.

,
,
,

   Определителем 3-го порядка называется выражение

Правило треугольника
  Способ вычисления определителей 3-го порядка
называется правилом треугольника.
 Элементы, входящие в определитель со знаком + и со знаком –, выбираются из определителя, как показано на     рисунках.
Пример
  Найдем определитель

Ранг матрицы.
    Рассмотрим матрицу А размера                .
   Выберем в этой матрице произвольно k строк и k столбцов, где k ≤ m и k≤ n. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называют минорами k-го порядка матрицы А.

   Определение.  Наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы называется ее рангом.
   Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся:
1)перестановка строк матрицы;
2)умножение какой-либо строки на одно и то же отличное от нуля число;
3)прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на некоторое число.

   Можно показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
   Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали матрицы, то ранг исходной матрицы будет равен числу ненулевых строк преобразованной матрицы.
Пример
   С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

Система m линейных уравнений с n неизвестными
  Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

   Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей:

   Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
   Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
  Для того чтобы решить систему уравнений

   выписывают расширенную матрицу этой системы

   Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей:

Элементарные преобразования
  Для того чтобы решить систему уравнений выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы

   будут располагаться нули.

     Разрешается:
 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений;
2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа;
 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.
Пример
  Решить систему

Общее решение системы линейных уравнений
   Определение. Если ранг матрицы  равен       ,     то любой отличный от нуля минор порядка  этой матрицы называется базисным.
    Решить систему уравнений

Пример
  Решить систему

  Расширенная матрица этой системы имеет вид

   Минор 3-го порядка в левой части матрицы- базисный. Он равен единице.

  Переменные                    -базисные, а остальные –свободные. Их находят, перенося свободные неизвестные в правые части уравнений.
  Обозначим              Тогда

Метод Жордана –Гаусса решения СЛАУ
  Решаем систему уравнений

   В процессе решения могут встретиться следующие случаи :
 1) в результате преобразования получилась матрица вида

                               В этом случае система совместная,
определенная и имеет единственное решение

  2)на некотором этапе получилась матрица , содержащая      единичных столбцов.  Например,
                     ..

   Тогда система совместна и имеет бесчисленное множество решений. Общее решение можно записать в виде

   Придавая каждой из стоящих в правых частях равенств свободных переменных произвольные значения, получаем частные решения системы.
   Базисным решением СЛАУ называется частное решение . в котором свободные переменные имеют нулевые значения:
.

Пример.
  Решить методом Жордана-Гаусса систему

  Расширенная матрица системы

  1-я итерация. За направляющий элемент берем              . Преобразуем 1-ый столбец в единичный. Для этого прибавим ко 2-й и 3-й строкам 1-ю, умноженную на -1. Получим матрицу

Вторая итерация. Выбираем направляющий элемент                 Т.к. он отличен от нуля, то разделим третью строку на -1 и преобразуем второй столбец в единичный. Для этого к первой строке прибавим третью, умноженную на -2. Получим

Третья итерация. Берем за направляющий элемент              Т.к. он отличен от нуля, то разделим вторую строку на -1. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножим вторую строку на -1 и прибавим к третьей. Получим матрицу

   Исходная система равносильна следующей:

    Общее решение имеет вид:

    Переменные                  являются базисными, остальные – свободными. Если свободные переменные положить равными нулю, т.е.                  , то получим первое базисное решение (1,3,2,0,0).

Метод Жордана –Гаусса в excel.
   Открыть окно и установить «Поиск решения».
   В меню :Сервис /Надстройки/ Поиск решения (ставим галочку).вычисления производим с помощью функций Нажимаем кнопки Вставка, функции. В окне Мастер функций выбираем нужную.
Функции
   МУМНОЖ—умножение матриц
   ТРАНСП—транспонирование
   МОПРЕД—вычисление определителя
    МОБР—вычисление обратной матрицы
   Функции для выполнения действий с матрицами находятся в категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ.
    Если определитель обратной матрицы равен нулю, то при вычислении ее появляется знак ошибки    #число!
Вычислить определитель

#число!
Решить в excel систему
 Решить в excel систему
   Мы уже видели, что эта система имеет множество решений, причем нами уже найдено одно базисное решение. Общее число базисных решений  будет не более, чем

  Здесь число 5 –это число всех переменных, а 3-число базисных переменных. Рассмотрим по шагам получение всех базисных решений, начиная с первого

Следующее действие
   Нажимаем одну за другой клавиши
     F2+Ctrl+Shift+Enter.
    Получаем в выделенном диапазоне обратную матрицу, которую теперь умножим на столбец свободных членов, расположенный в диапазоне F2-F4.

   Нажимаем клавиши
   F2+Ctrl+Shift+Enter.
   Получили первое базисное решение , которое было получено вручную
    (1,3,2).
   Другие базисные решения можно получить по аналогичной схеме.


title: Скачать презентацию или конспект Урок сравнение дробей

extracted_text:
Урок математики по программе Л.Г.Петерсонв 4 классепо теме: «Сравнение дробей»Учитель начальных классов МОУ СОШ №4г.Полярные Зори - Ельцова Марина Николаевна
     ?        + 42      : 7      * 3       - 8 = 13
     ?        - 8        : 4       * 3       : 6  = 4
          ?        : 8        + 13       : 4       * 8 = 40
        ?        - 12        : 9        * 5       + 7 = 42
      ?       + 25       : 6        * 9        - 26 = 46
40
А
7
Р
23
Т
56
Е
75
Т
Отгадай ребус
2"                 " И
дроби
   Дробь три четвёртых записывается следующим образом:
3
4
------
Это числитель
Это знаменатель
1
4
Сравнение дробей
1
12

Расположи дроби в порядке возрастания
Расположи дроби в порядке убывания
Расположи дроби в порядке возрастания
Расположи дроби в порядке убывания
Алгоритм сравнения дробей
Найти равные числители или равные знаменатели
Больше та дробь, у которой числитель
больше
Больше та дробь, у которой знаменатель
меньше


title: Скачать презентацию или конспект Полный дифференциал функции нескольких переменных

extracted_text:
Полный дифференциал функции нескольких переменных
Лекция 2

Полное приращение функции 2-х переменных
   Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение
Определение дифференцируемой функции
     Функция                        называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение   можно представить в виде
                                                        ,
    где Δx и  Δy  -произвольные приращения аргументов       х и у  в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящие от Δx и  Δy , o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем
                           -расстояние между М(х,у) и

Определение дифференциала
    Главная линейная относительно Δx и  Δy  часть полного приращения функции
                      называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) .                                 Таким образом,                               .

Формула для вычисления дифференциала
      Если функция                     дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные             и                 , причем               =А, а                =В .
  Так что,
                                                          .
    Если положить                                ,то

    При малых                     , то есть
                                                                      ,
  или
                                                                      .
Пример. Вычислить приближенно
                                                         .

Дифференциалы высшего порядка
    Дифференциалом второго порядка функции z=f(x,y) называется

   Вообще:
   Если х и у независимые переменные, то                                          .

Экстремумы функции двух переменных
    Определение. Говорят, что в точке                 функция f (x,y)  имеет максимум, если cуществует такая  окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от               , выполнено неравенство

   Аналогично определяется минимум функции.
    Минимум и максимум функции называются ее экстремумами.
.

Экстремумы функции двух переменных
       Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует.
       Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных
      Теорема. Пусть функция  z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки                , в которой                      . Если при этом в этой точке   выполнено условие                                        , то точка                       является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если                , и точкой минимума, если
                        .
    Если же в этой точке                                                , то   экстремума в точке          нет.
    В том случае, если                                         в точке   ,    теорема ответа не дает.

Пример
  Исследовать на экстремум функцию

Наибольшее и наименьшее значения функции
   Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

     Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений.
        Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

    Пусть функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно:
    1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;
    2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
    3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример
   Найти наибольшее и наименьшее значения функции

   в треугольнике, ограниченном прямыми

,
.
Скалярное поле
Лекция 3
Основные определения
            Пусть в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.

Основные определения
   Множество точек М области D, для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.

   Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским.
          Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

  Пусть
Линии уровня
    Пусть                     . Линии уровня этой поверхности имеют вид

   Пусть дан конус

Линии уровня конуса

   Пусть задана дифференцируемая функция                         скалярного поля.
    Рассмотрим точку                этого поля и луч      , выходящий из точки P в направлении единичного вектора

   где                 –углы, образованные вектором          с осями координат .

Определение

Пусть                                   – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим

– расстояние между точками P и       ;  называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении      назовем разность

   Производной функции
   в точке P по направлению     называется предел отношения приращения функции в направлении
   к величине перемещения
   при               :                                          .

Вычисление производной по направлению
   Формула вычисления производной по направлению:

Градиент скалярного поля
   Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами
                             .

Таким образом,

  или                                            .

Пример
         Найти градиент функции  u=                            в точке  M(6,2,3).
     Решение. Вычислим градиент функции.

Тогда grad u =                       +                      +

А в точке М

Направление градиента
   Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).

Направление градиента
   Так как производная по направлению     представляет собой скорость изменения функции в данном направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то
   градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

Величина градиента плоского скалярного поля
   Величина  градиента плоского скалярного поля ,т.е.

    grad u  =
   обозначается tg   и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).

   Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е.
                                                ,

   где                       .

Направление градиента
        Точка Р, в которой gradu(P)=0,  называется особой точкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют неособой или обыкновенной точкой поля.
       Теорема. Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня , проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.


title: Скачать презентацию или конспект Египетские пирамиды

extracted_text:
Пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
Что означает владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.
                                                                          Д. Пойа.

Почему Египетские пирамиды называют немым трактатом по геометрии?
Автор: Зеленцов Роман 10а класс.
            МОУ СОШ с.Становое.
                2008 год.
Цель: научиться определять параметры правильной пирамиды.
Задачи:1) доказать, что все боковые рёбра правильной пирамиды равны;
2) доказать, что у правильной пирамиды боковые грани являются равными равнобедренными    треугольниками.

Гипотеза.
Египетские пирамиды являются правильными.
Теория.
1. Пирамида - многогранник, составленный из n-угольника, точки не лежащей в плоскости n-угольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками основания.
2.Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий
    вершину пирамиды с центром основания, является высотой.

моделирование.
Изобразите правильную пирамиду РАВСМ.
Проведите высоту РО.
Определите вид треугольника РОА.
Докажите равенство треугольников РОА, РОВ, РОС,РОМ.
Сделайте вывод (в правильной пирамиде боковые рёбра равны).
Задание.
Выполнив необходимые измерения по картинкам Египетских пирамид определите все ли пирамиды являются правильными?
Исследования.
Пирамида Хеопса.

Пирамида Мейдум
Самая древняя пирамида.

Результаты.
На слайдах 8,9 боковые грани являются равнобедренными треугольниками.
 на слайдах 10,11  боковыми гранями являются равнобокие трапеции.
Вывод.
Пирамиды на слайдах 8,9 являются правильными четырёхгранными.
Самая древняя пирамида  и Мейдум выполнена из правильных усечённых пирамид.
Сравнение результатов с гипотезой.
Наши исследования подтвердили гипотезу о том, что древние архитекторы очень хорошо владели геометрией. В глубокой древности было известно, что  правильная пирамида обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе.

Источники информации.
Геометрия, 10-11:Учеб. Для общеобразоват. Учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.
http://sekpetpiramid.com/ Пирамиды Хеопса и др.


title: Скачать презентацию или конспект Свойство описанного четырехугольника

extracted_text:
Геометрия 8класс
Учитель Бужан Л.В.
Тест
Тема «Свойство описанного четырехугольника».
Теорема: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Дано: ABCD-описанный четырехугольник, AB,BC,CD,AD- касательные.
Доказать:AB+CD=BC+AD.
Доказательство:

№ 697.
S= ½*P*r
№ 698
Самостоятельная работа


title: Скачать презентацию или конспект Многочлен и его стандартный вид

extracted_text:
Многочлен и его стандартный вид.
Многочленом называется сумма одночленов.
    Например :
   Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

    Приведение подобных слагаемых в многочлене называют приведением подобных членов многочлена

Приведите подобные члены многочлена

    Каждый член многочлена является одночленом стандартного вида, и многочлен не содержит подобных членов . Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.
№571

Физкультурная минутка.
Быстро встали, улыбнулись.Выше-выше подтянулись.Ну-ка, плечи распрямите,Поднимите, опустите.Вправо, влево повернитесь,Рук коленями коснитесь.Сели, встали. Сели, встали.И на месте побежали.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
   Степенью произвольного многочлена называют  степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Определите степень многочленов:

Итоги урока:
Сформулируйте определение многочлена.

Как привести многочлен к стандартному виду?

Что называют степенью многочлена?

Многочленом называется
 сумма одночленов
Нужно представить каждый
член в стандартном виде и
привести подобные члены.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
 Степенью произвольного многочлена называют  степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.


title: Скачать презентацию или конспект Дифференциал и интеграл

extracted_text:
Лекция № 4. Тема: «Дифференциал и интеграл»
Специальность: «Сестринское дело»
Курс: 2
Дисциплина: «Математика»

Подготовила: преподаватель высшей категории Фёдорова Олеся Николаевна

Калуга 2010 год
Функция. Предел функции
Функцией называется соответствие при котором каждому значению x из некоторого множества D (DR) сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x
y= f(x)
x – аргумент функции (независимая переменная)
y – значение функции f (зависимая переменная)
D – область определения функции D (f) – все значения x
Все значения y – область значений функции f , E (f)
Графиком функции называется множество точек плоскости с  координатами (x; y), где x пробегает всю область определения функции f
Способы задания функции
Аналитический (рекуррентный) – формула
Графический – график функции
Табличный – таблица зависимости x и y
Рассмотрим интервал с центром в точке x0 и радиусом r
Окрестностью точки x0 радиуса r называется интервал с центром в точке x0 радиуса r, (x0)
Если рассматривается окрестность без самой точки x0, то она называется проколотой (x0)
Предел функции
Число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого числа , существует окрестность , такая, что выполняется неравенствоf(x)-A, для любого x из окрестности (x0)
f(x)-A
Af(x)A+

Теоремы о пределах
Теорема о единственности предела: если предел функции существует, то он единственный (число A)

Теорема о пределе суммы: если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их суммы равный сумме пределов функций f(x) и g(x)

Теорема о пределе произведения: если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их произведения равный произведению пределов функций f(x) и g(x)

Теорема о пределе частного: если существуют пределы функций f(x) и g(x) и предел функции g(x) не равен нулю, то существует предел их частного равный частному пределов функций f(x) и g(x)

Следствия из теорем
Следствие 1: постоянный множитель можно вынести за знак предела

Следствие 2: если n натуральное число, то

Следствие 3: предел многочлена
равен значению многочлена в точке x0 при

Следствие 4: предел дробно –рациональной функции

 равен значению этой функции в точке x0 при
если x принадлежит области определения функции

Пример:

Производная функции и дифференциал
Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращения аргумента стремится к нулю

Свойства производной
Теорема: производная суммы, произведения, частного вычисляются по следующим формулам:

Производная сложной функции:

Пример:

Таблица производных

Дифференциал функции
Нахождение производной называется дифференцированием
Дифференциал – это произведение производной функции на приращение аргумента функции y = f(x)
dy = f'(x)x
Рассмотрим функцию y = x, тогда y'= 1  dx = x 
dy = f'(x)dx  		(отношение дифференциалов)

Свойства дифференциала
Дифференциал функции – это главная часть её приращения
Дифференциал функции – это линейная функция приращения аргумента или касательная к графику функции  геометрически dy = f'(x)dx - уравнение касательной в  системе координат (dx; dy) 

Вычисление дифференциала функции
Пример.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Для функции y=f(x) и точки x0 можно приближенно вычислить значение функции в точке x близкой к x0, если знать приращение функции y на [x0; x], то точное значение функции f(x) = y0+ y, где y0 значение функции в точке x0
Приближенные формулы основаны на замене приращения функции y её дифференциалом dy
y = f(x) - y0
f(x) - y0  f '(x0) x
f(x)  y0+ dy  y0 + f '(x0)(x – x0)

Для y = xn
(x0+ x)n  x0n + nx0n-1x
Пример:

Первообразная функции и интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Свойства неопределенного интеграла
Таблица первообразных
Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям
Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Применение определенного интеграла: вычисление площади фигуры, длины дуги, объема тела
Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными


title: Скачать презентацию или конспект Математика и «Красная книга»

extracted_text:
Математика и«Красная книга»
Задачи составлены учащимися Кузьминой Елены Александровны
МАОУ «Гимназия»
город Старая Русса Новгородской области
Что такое «Красная книга» ?
		Красная книга - это не закон об охране природы, это лишь факты, собранные учеными о животных и растениях.
 Классификация растений и животных  «Красной книги»
1. Исчезающие виды
2. Сокращающие виды
3. Редкие виды
4. Неопределенные виды
5. Восстанавливающиеся виды
   Задачио животныхирастениях,занесенных в «Красную книгу»

Атлантический осетр
Атлантический осетр
Отряд: Осетрообразные Семейство: Осетровые
Самка атлантического осетра, выловленная в июне 1951 г., имела вес 113 кг, возраст 29 лет и длину 2.86 м. По костным остаткам, взятым из поселений VII-X вв., линейный рост у семи рыб оказался следующим: в возрасте 22 лет абсолютная длина их составила 202 см, в возрасте 24 лет – на 50,7 см больше, 27 лет – на 103,64 см длиннее, 48 лет – на 157,9см длиннее, чем 22-летний осетр.    Вычислите длины этих рыб.

Класс ·Костные рыбы       Отряд ·Лососеобразные       Семейство ·Лососевые
Кумжа (черноморский подвид)
 Вес 4-х рыб равен 140,5 кг. Известно, что волховский сиг весит в 6 раз больше, чем ручьёвая форель и составляет 1 восьмую часть от веса кумжи. Атлантический осетр весит на 85,5 кг больше, чем 3 вышеперечисленные рыбы вместе взятые. Найдите вес каждой рыбы.
Волховский сигручьевая форелькумжа

Длина речной миноги составляет одну девятую часть от длины атлантического осетра. А обыкновенный подкаменщик  - в 30 раз, а кумжа – на 250 см короче атлантического осетра. Какова длина каждой рыбы, если сумма длин всех рыб 522 см?
Речная минога
Обыкновенный
             подкаменщик
Обыкновенная жемчужница
Обыкновенная жемчужница предпочитает чистую воду с быстрым течением. Грунт - галька с подложкой из песка. Взрослые моллюски располагаются на дне, зарывшись в грунт. Биофильтраторы - отцеживают микроскопические зеленые и диатомовые водоросли.
	В XX в. численность сократилась более, чем на 90%.
	Вычислите, сколько лет может прожить жемчужница: (981,746 + 1,054):7,56
 Венерин башмачокВетреница лесная
		Диаметр цветка раффлезии больше диаметров цветков кирказона, венерина башмачка и ветреницы лесной вместе взятых на 58% собственного диаметра. Известно, что диаметр цветка венерина башмачка в 12,5 раз меньше диаметра цветка раффлезии. Отношение диаметра цветка кирказона к диаметру цветка венерина башмачка равно 3,375. Найдите диаметр каждого цветка, если известно, что диаметр венерина башмачка равен 8 см.
 Мнемозина

Мнемозина предпочитает сырые луга и большие поляны в тенистых лесах. Бабочки летают с конца апреля до середины июля. В году одно поколение. Днем она прячется на земле, а ночью питается. Мнемозину в горах залетает на высоту до 2 000 000 мм над уровнем моря. Переведите эту величину в метры и километры
 Черный аист
Черный аист - некрупный аист, длина до 1,2 м, масса до 3 кг. Собирают корм за 5-10 км от гнезда. Вычислите размах крыльев аиста, если он превышает длину птицы в 1,58 раза.
Южная золотистая ржанка
Кулик-сорока

Класс ·Птицы Отряд ·Ржанкообразные Семейство ·Ржанковые

 Максимальная продолжительность жизни малой крачки 21 год. Этот возраст больше продолжительности жизни южной золотистой ржанки на 10 лет и больше на 13 лет среднего арифметического возраста кулика-сороки и южной золотистой ржанки. Это среднее арифметическое на 13,5 лет меньше, чем среднее арифметическое возраста черного аиста и филина. Найдите продолжительность жизни каждой птицы, если известно, что филин может прожить 25 лет.
 Беркут
Вычисли размах крыльев беркута, если он превышает размах  крыльев  аиста на 0,304 м.
Шесть птиц одновременно должны пролететь определенное расстояние, при этом они должны лететь со своей средней скоростью. Через час после начала соревнования к финишу прилетел стриж. Скворец за это время пролетел половину пути, а утке до финиша осталось 40 км. Чайка же пролетела за час половину того расстояния, которое пролетела утка. Ворона пролетела 9 шестнадцатых частей всего расстояния за 1 час, а беркут оказался дальше утки на 10 км. Найдите среднюю скорость каждой птицы, если известно, что скорость беркута равна 130 км/ч.
 Вымирание птиц
Вымирание одних и появление других видов птиц неизбежно и закономерно. Человек ускорил гибель многих видов.
По графику определи,  какое количество видов вымерло в период  с1600 по 1700 гг., с 1800 по 1900 гг., с 1900 по 2000гг.? Сравните их величины.


title: Скачать презентацию или конспект Линейные уравнения с одной переменной

extracted_text:
у
р
а
в
н
е
н
и
е
Найти корни
уравнения
Доказать, что корней нет.
Верное равенство
Учитель математики
 Кулькова Людмила Михайловна МБОУ «Школа – гимназия №10»
г. Симферополь

х
70
50
х = 20
50+х

= 70
-50

Решить уравнение

X,Y,Z

= числа

Меняю знак
Левая часть = правая часть
+

-
-
+

3х -2х

3х -10

= 48 +2х

= 48+10
Левая часть = правая часть
-2х
+10
х=58

2х -6

2х

= 8

= 8 + 6
Левая часть = правая часть

+6
2х=14
х=7

2х

 0,2х

= 0,4
= 4
Левая часть = правая часть

*10
*10
х=2

-(х+3) =15

-х – 3 = 15

-х= 18
Уравнения
+3
-
х = -18
8х=0

? часть = ? часть

Если минус пред скобками, то..
Обе части уравнения можно …

 0х=0
Закончить предложение
нет
0х=4
любое
Х=0
Правила пункт 7
Работа в группах

Домашняя работа

№126(г,д,е), 128(г,д,е), 131
Решить №126(а,б,в),
127(а,б,в), 128(а,б,в),
129(а,б,в)132(а,б)
выучи

-7-2

4-6,1
2- 0,7
Повторение
4- 7

-2+0,7
?
Подумай
?
< х <
10
20
<  х  <
 2
-5
< х <
7,8
7,9
<  х  <
4
5
<  х  <
1
0,7
<  х  <
-3
-2
Найти х
Повторение


title: Скачать презентацию или конспект Тайна числа пи

extracted_text:
Презентацию выполнила
ученица 11 класса Б
средней школы №16
Осеева Александра
Руководитель Иванцова Е.А.
ТАЙНА ЧИСЛА ПИ
Число пи — математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. Число пи является иррациональным и трансцендентным, цифровое представление которого является бесконечной непериодической десятичной дробью — 3,141592653589793238462643... и так до бесконечности.
ПИ
История числа П, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. p = 3,160...

ИСТОРИЯ
      Архимед в III в. до  н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
      Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
      Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
      Отношение любой окружности к её диаметруменьше 3 1/7 и больше 3 10/71.

ИСТОРИЯ
Впервые обозначением этого числа греческой буквой  воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

        День числа пи отмечается некоторыми математиками 14 марта в 1:59 (в американской системе записи дат — 3/14; первые разряды числа π = 3,14159). Обычно празднуют в 1:59 дня (в 12-часовой системе), но придерживающиеся 24-часовой системы света времени считают, что это 13:59, и предпочитают отмечать ночью. В это время читают хвалебные речи в честь числа пи, его роли в жизни человечества, рисуют антиутопические картины мира без пи, едят пи-рог (pie), пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на «пи».

14 марта, в день числа пи, родился Альберт Эйнштейн.

Отмечают также день приближённого значения пи — 22 июля (22/7).
ДЕНЬ ЧИСЛА ПИ
Путь вычисления пи — использование формул с бесконечным числом членов. Например:
     π = 2 · 2/1 · (2/3 · 4/3) · (4/5 · 6/5) · (6/7 · 8/7) · ...
     π = 4 · (1/1 – 1/3) + (1/5 – 1/7) +(1/9 – 1/11) + ...
ВЫЧИСЛЕНИЕ
В какой личности Пи персонифицировано сегодня, не ясно, но для того, что бы увидеть значение этого числа для нашего мира, не нужно быть математиком: Пи проявляется во всём, что нас окружает. И это, кстати, очень свойственно для любого разумного существа, каковым, без сомнения, является Пи!
ЗНАЧЕНИЕ
Нужно только постараться,
И запомнить все, как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Запоминалки
Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один
http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=5806df1c-fa85-4ed3-a1e7-18d9613ec822
http://images.yandex.ru/yandsearch?p=4&text=%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BF%D0%B8&stype=image&ed=1
http://community.livejournal.com/ru_encyclopedia/5418.html
http://www.mnemonica.ru/zapominalki/chislo-pi

ССЫЛКИ


title: Скачать презентацию или конспект Числа 1-7

extracted_text:
Урок математики в 1 В классе«Числа 1-7»
Гимназия №446
Колпинского района

Учитель: Медведева М.В.

29 ноября 2011 года
Покормите
птиц   зимой
воробей
Малая синица
СВИ-
РИС-
ТЕЛь
7  5  2
Тема урока:
«числа 1-7»
4   3   5   3   4  2
-   +    -   +   -   =
?
5
5
7
Сравните:
7 – 2 < 5 + 1
5 – 2 < 5 + 2

Сравните:
3 + 4 = 4 + 3
2 + 3 < 2 + 4

Физкультминутка
?
3 + 4 = 4 + 3
2 + 3 < 2 + 4
Поставь числа в «окошки»
4  + 2 = 5 + 1

4 + 2 = 3 + 3

Поставь числа в «окошки»
1 + 6 = 4 + 3

5 + 2 = 3 + 4

Сделаем кормушку

Подведём  итог

Спасибо за работу


title: Скачать презентацию или конспект Модуль числа

extracted_text:
Модуль числа
Урок математики в 6 классе
МОУ «СОШ №1 г.Суздаль»
Учитель: Плотникова Т.В.

0

1

F
N
R
L
A

Какие из данных точек имеют противоположные координаты?
Назовите координаты точек, отмеченных на координатной прямой.
Какие числа называются противоположными?
Среди данных чисел укажите пары противоположных чисел:
Найдите значения выражения:
-(-(-(-1)))
-(-(-(-(-1))))
-(-(-1))
Найдите значения выражения:
-(-с), если с=2,3 ; -4¼
-(-(-а)), если а = -12,3 ;  7½
Каким будет число –в, если                          в – отрицательное число;                  в=0;                                                                в – число положительное.
М
О
Д
У
Л
Ь
0
1,5
0,8

Для того, чтобы узнать тему нашего урока, укажите число, противоположное данному , а  во второй таблице найдите букву, соответствующую этому числу.

О
1
А
В
Какие координаты имеют точки А ,В и С?
4
-3
Чему равно расстояние(в единичных отрезках) от начала координат до точек А , В и С?
С
-5
Число 5 – называют модулем числа - 5,  число 3 – модулем числа -3,                              число 4 – модулем числа 4.
Определение: Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Обозначение:
Например:
Чему равен модуль числа 0? Почему?

Каким числом не может быть модуль числа?
Чему равен модуль положительного числа?
Чему равен модуль отрицательного числа?
Чему равен модуль 0?
|85|= 85
|-56|= 56
|0|= 0
Даны числа: 4 и - 4;  94  и - 94;  - 42 и 42
Как называются эти числа?
Найдите модуль каждого из чисел.
|4|=4        и    |-4|=4
|94|=94    и    |-94|=94
|-42|=42   и    |42|=42
Сравните эти модули.
Какой вывод можно сделать?
|-а|=|a|

Выполните самостоятельно №950 из учебника, а затем проверьте ответы:
|81|=81                   |-2    |=2
|1,3|=1,3                 |-52|=52
|-5,2|=5,2                |0|=0
|  |=                         |-  |=

Найдите координаты точек А,В,С, изображённых на числовой оси и запишите расстояние от точек до начала отсчёта, используя знак модуля

О
1
5
-5
-2
3
В
С
А
К
|-5|=5
|-2|=2
|3|=3
|5|=5
Выполните самостоятельно №952 из учебника, а затем проверьте ответы:

|3,7|=3,7               |315,6|=315,6
|-7,8|=7,8              |0|=0
|-200|=200            |-½|=½
                               |4¾|=4¾
Запишите все числа, имеющие модуль:  а)26;
|-26|=26
|26|=26
б) 5,7;
|-5,7|=5,7
|5,7|=5,7
в) 3¼;
|-3¼|=3¼
|3¼|=3¼
г) 0.
|0|=0
Найдите значение выражения:
|-8|-|-5|
|-10|*|-5|
|240|:|-80|
|-710|+|-290|
= 8 - 5 = 3
= 10 * 5 = 50
 = 240 : 80 = 3
= 710 +290 = 1000
Выполните самостоятельно №953(д-м)
Запишите числа в порядке возрастания их модулей:
                6,4;  -5,8;  3,9;   -7,1;  0
0;  3,9;  -5,8;  6,4;  -7,1
Самостоятельно запишите числа в порядке убывания  их модулей:
                7,3;  -4,5;  5,9;  -8,1;  0
-8,1;  7,3;  5,9;  -4,5;  0
Домашнее задание:
п.28(определение)
№967, №969,№971


title: Скачать презентацию или конспект Элементы математической статистики

extracted_text:
Математическая статистика
Анохин Сергей, D-053
Кокорева Ирина, D-063
Руководитель: Попова И. Г.
Северск-2005
pptcloud.ru
Содержание
Введение
Генеральная совокупность и выборка
Способы отбора
Статистическое распределение выборки
Эмпирическая функция распределения
Статистические оценки параметров распределения
Проверка статистических гипотез
Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
Корреляционно-регрессионный анализ
Введение
Математическая статистика – наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом следующие задачи:
описание явлений – упорядочить статистический материал, представить в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);
анализ и прогноз – приближенная оценка интересующих числовых событий (средняя, дисперсия) и погрешности этих величин;
выработка оптимальных решений – в результате возникает задача проверки правдоподобности гипотез, решением которой является принятие или неприятие выдвинутой гипотезы.

Математическая статистика при решении своих задач опирается на размышляющий, оценивающий составляющий, аппарат экспериментатора.

Генеральная совокупность и выборка
     Полный набор всех возможных значений дискретной СВ
     называется генеральной совокупностью. N – объем совокупности.

Однако в реальности провести сплошное обследование нецелесообразно и невозможно. На практике ограничиваются выборкой.

     Часть генеральной совокупности из n элементов, отобранных
     случайным образом называется выборкой. n ≤ N

Выборка с объемом < 30 называется выборкой малого объема.

Способы отбора
Отбор, не требующий расчленения:
простой, бесповторный
с повторениями
Отбор, при котором вся генеральная совокупность делится на части
механический
типический
серийный
Простой – отбор, при котором объекты извлекаются из совокупности по одному.
Механический – генеральная совокупность «механически» делится на группы. Выборка производится с каждой из групп.
Типический – объекты выбирают не из всей совокупности, а из каждой ее типической части.
Серийный – объекты отбираются не по одному, а сериями, которую подвергают сплошному обследованию. Примеры

Для того, чтобы по данным выборки можно было судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, нужно чтобы выборка правильно представляла пропорции генеральной совокупности, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если каждый объект отобран случайно и если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Статистическое распределение выборки
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x1 встречалось n1 и т.д., xk – nk. Наблюдаемые значения x называется вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений называется частотами.
 Относительная частота наблюдений – отношение
 числа наблюдений к объему выборки. Wi=ni/n

 Статистическим распределением называют перечень
 вариант и соответствующих им частот или
 относительных частот.
Пример
Для визуальной оценки выборочного распределения производится группировка данных. Для этого:
располагают значения xi по возрастанию;
весь интервал разбивают на k последовательных непересекающихся интервалов;
подсчитывают числа n1 – количество попавших значений xi в каждый интервал.
Такая таблица называется группированным статистическим рядом.

Эмпирическая функция распределения
	  Эмпирической функцией распределения (функция
	  распределения выборки) называетсяF*(x), определяющую для
	  каждого значения xотносительную частоту события X<x.
	  F*(x)>nx/n; nx – число вариант, меньше x, n –  объем выборки.
Свойства.
значения F*(x)   [0;1]
F*(x) – функция неубывающая: F*(x2)> F*(x1), если x2> x1
если x1 – наименьшая варианта, F*(x1)=0
	если xk – наибольшая, то F*(x1)=1.
В отличие от эмпирической функции, функцию F(x) генеральной совокупности называется теоретической. Различия между ними состоят в том, что F(x) определяет вероятность события X<x, а F(x) – относительную частоту.
Наглядным изображением статистического ряда распрделения служат полигон и гистограмма.

	Полигон – ломаная линия, соединяющая точки (xi;ni).
	Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы, длиной n , а высотой – величины ni/n.
Если гистограмма является гистограммой частот, то ее площадь равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
Если гистограмма является гистограммой относительных частот, то ее площадь равна сумме всех относительных частот.

Статистические оценки параметров распределения
Точечные оценки
Интервальные оценки
Точность и надежность
Доверительный интервал для мат.ожидания
Доверительный интервал для оценки дисперсии

Для того, чтобы статистические оценки давали хорошее приближение оценивающих параметров, они должны удовлетворять условиям:
объем выборки должен быть достаточным для оценивания
оценка интересующего нас параметра есть случайная величина.

Статистические оценки:
Несмещенные – есть оценка мат.ожидания, которая равна оценивающему параметру;
Смещенные – оценка M(x)≠ оценивающему параметру;
Эффективные – оценка, имеющая при заданном объеме выборки n наименьшую дисперсию;
Состоятельные – оценка, стремящаяся при n→0 по вероятности к оцениваемому параметру.

Точечные оценки
 Точечной называют оценку, определяющую одним числом.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, удалось установить, какое имеется распределение. Тогда возникает задача оценки параметров данного распределения.
Пример
Однако чаще всего экспериментатору не известен вид распределения, т.к. он обладает только данными выборки и тогда для оценки параметров нужно найти зависимость этих параметров от наблюдаемых величин.

Генеральная и выборочная средняя
Генеральная и выборочная дисперсии

Генеральная и выборочная средняя
    Генеральная средняя – среднее арифметическое значений генеральной совокупности

			– с повторениями

Генеральная средняя есть среднее взвешенное значений генеральной совокупности с их весами, равными соответствующим частотам.
Если рассматривать x генеральной совокупности как СВ, то

    Выборочная средняя – среднее арифметическое значений выборки.

Пусть имеется выборка объема n. Тогда выборочная средняя равна:

Выборочная средняя по данным одной выборки есть определенное число.
Если извлекать другие выборки такого же объема из генеральной совокупности, то выборочная средняя меняется от выборки к выборке.
Выборочная средняя есть несмещенная оценка
генеральной средней.
При увеличении объема выборки n выборочная средняя стремится к генеральной средней.

Генеральная и выборочная дисперсии
  Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов
  отклонений значений генеральной совокупности от их среднего значения.

Кроме дисперсий для характеристики рассеивания значений генеральной совокупности вокруг своего среднего пользуются другой характеристикой – средним квадратическим отклонением.

  Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов
  отклонений наблюдаемых значений выборки от их среднего значения.

			– с повторениями
Для оценки рассеивания выборки служит выборочное среднеквадратическое отклонение.

Интервальные оценки
   Интервальной оценкой называют оценку,
   определяющуюся двумя концами интервала.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться другими оценками.
Интервальные оценки позволяют определить точность и надежность оценок.

Точность и надежность
Пусть найденная по данной выборке статистическая характеристика θ* служит оценкой неизвестного параметра θ генеральной совокупности. Будем считать θ постоянным числом. θ* будет тем точнее определять параметр θ, чем меньше абсолютная величина разности |θ‍θ*|<ε. Чем  меньше ε, тем точнее оценка.
Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что θ* удовлетворяет условию |θ‍θ*|<ε, а можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется: P(|θ‍θ*|<ε)=β

   Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θ по θ* называется
   вероятность β, с которой осуществляется неравенство |θ‍θ*|<ε.

Обычно надежность оказывается заранее заданным числом, близким к 1. Наиболее частые значения β: 0,95; 0,98; 0,99; 0,999.
Соотношение P(|θ-θ*|<ε)=β означает вероятность того, что интервал (θ*– ε; θ*+ε) заключает в себя (покрывает) неизвестный параметр θ, равна доверительной вероятности β.

   Доверительным интервалом называется интервал (θ*– ε; θ*+ε), покрывающий
   неизвестный параметр θ с надежностью β.

Иногда вместо доверительной вероятности β используют обратную величину – уровень значимости α = 1–β. Если β – вероятность, что оцениваемый параметр попадет в интервал,  α – вероятность, что не попадет. В статистических таблицах указывается именно α.

Доверительный интервал для мат.ожидания
Рассмотрим нахождение доверительного интервала для M(X) нормально распределенной СВ, т.е. нужно найти такой интервал, чтобы выполнялось следующее неравенство 			, т.е. данный интервал ширину 2ε. Он обладает симметрией.
Вероятность того, что 		определяется:
законом нормального распределения, если известна D(x)=σ2
или распределения Стьюдента, если D(x) неизвестна, а подсчитана ее несмещенная оценка S2.
Критерий Стьюдента определяется таким параметром как степень свободы υ=n–1.
Для расчетов доверительных интервалов для M(X) используют два подхода:
когда D(x) известна
когда D(x) неизвестна

Расчет доверительных интервалов при известной дисперсии
Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину. Примем без доказательств, что если СВ Х распределена нормально, то и выборочная средняя по независимым наблюдениям распределена нормально.      P(|X–M(x)|<ε)=2Φ(х)=β.
Таким образом для нормального распределения 2Φ(х)=β.
Параметр t в функции Лапласа:

Таким образом для отыскания границ доверительного интервала:
по таблицам функции Лапласа находим значение аргумента t, для которого Φ(t)=β/2.
зная значение t из условия		находим ε (граница интервала):
Записываем доверительный интервал:
Пример

Расчет доверительных интервалов при неизвестной дисперсии
Если D(x) неизвестна, а ее несмещенная оценка S2, то в этом случае β покрытия M(x) интервалом 	          вычисляют по закону распределения Стьюдента со степенью свободы υ=n–1 и α=1–β.
Имеются таблицы, которые по заданным уровням значимости и степеням определяют значения критерия Стьюдента tα,υ по формуле
Таким образом доверительный интервал для М(х) при неизвестной дисперсии строится в виде
Данный интервал определяет, что с доверительной вероятностью β он покрывает истинное значение М(х).
Пример

Доверительный интервал для оценки дисперсии
Доверительный интервал строится на основании того, что величина (n–1)S2/σ распределена по закону «хи-квадрат»(χ2) со степенями υ=n–1.
Выборочная дисперсия D(x) и нормального распределения связаны следующим соотношением:
χ= (n–1)S2/σ
χ2 σ2= (n–1)S2
Для заданной доверительной вероятности β или, что тождественно, для заданного уровня значимости α=1–β. Потребуем, чтобы выполнялось следующее соотношение
P(χ2 α/2,υ <δ)= P(χ2 1–α/2 <δ)= α/2;  δ2< χ2 α/2, υ <δ2
Из этого соотношения следует, что границы доверительного интервала в явном виде выглядят следующим образом:

Пример

Проверка статистических гипотез
Статистической гипотезой называют, гипотезу о видах неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.
Проверка статистической гипотезы заключается в сопоставлении некоторых статистических показателей, вычисленным по данным выборки со значениями этих же показателей, определенными теоретически в предположении, что проверяемая гипотеза верна.
Классификация гипотез.

В результате проверки могут быть приняты два неправильных решения, т.е. допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.
Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать α. На практике, наиболее часто используют α=0,05, это означает, что в 5 случаях из 100 имеется риск допустить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть правильную гипотезу.

Статистический критерий, статистическая область
Сравнение двух дисперсий
Сравнение математических ожиданий
Проверка гипотезы о равенстве средних при и известных дисперсиях
Проверка гипотезы о равенстве средних при неизвестных дисперсиях

Классификация гипотез
Статистические, нестатистические
Выдвинутая, конкурирующая.

Выдвинутую гипотезу называют нулевой (основной) и обозначают Н0. Конкурирующая гипотеза Н1 – это гипотеза альтернативная нулевой, т.е. противоречащая основной.						Пример
По количеству предположений: простые, сложные.
Простая – это гипотеза содержащая только одно предположение. Сложная – гипотеза состоящая из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Статистический критерий, статистическая область
Для проверки Н0, используют специально подобранную слу-чайную величину, точное или приближенное значение которой из-вестно. Эту величину обозначают через U или Z, если она распреде-лена нормально; F или υ² - по закону Фишера; χ² - по закону «хи квадрат»;  Т или t -  по распределению Стьюдента.

     Статистическим критерием называют случайную величину служащую для проверки Н0.
     Наблюдаемым значением критерия называют, значение критерия выраженное по данным выборки.

После выбора  определенного критерия, множество всех его возможных значений разбивается на два подмножества:
содержит значения критерия при котором Н0 отвергается;
содержит значения критериев при которых Н0 принимается.

Критической областью называют, совокупность значений критерия  при которых Н0 отвергается.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений), называют совокупность критерия при которой Н0 принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области покрытия гипотезы, то гипотезу принимают.
Критическая область и область покрытия гипотез – это интервалы, следовательно существует точка которая их разделяет.

  Критической точкой (границей), называют точку определяющую критическую область от области принятия гипотез.

Различают:
1. Одностостороннюю критическую область
левостороннюю
правостороннюю
2. Двустороннюю критическую область

Правостороннюю называют критическую область определяемую неравенством К>Ккр

Левостороннюю называют критическую область определяемую неравенством К<Ккр

Двустороннюю называют критическую область определяемая двумя неравенствами  К<Кı и К>К2; Кı>К2

При отыскании критической области задают α (уровень значимости) и ищут критические точки исходя из требований, что критерий К примет значение лежащее в критической области, при этом вероятность такого события равна принятому уровню значимости α, т.е. для правосторонней области Р(К>Ккр)= α; для левосторонней области Р(К<Ккр)= α; для двусторонней области Р(К>|Ккр|)= α/2
Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критичес-кой области, нулевую гипотезу отвергают, если не принадлежит, то нет оснований отвергать Н0.
Для многих критериев составлены таблицы:
Стьюдента;
χ²;
Фишера

Сравнение двух дисперсий
Рассмотрим гипотезу о параметрах нормального распределе-ния. Пусть имеется две серии опытов, регистрирующая значение некоторой случайной величины.
Х: х1, х2 …  хn
Y: y1, y2 … уn
Осуществим проверку нулевой гипотезы о равенстве диспер-сий при неизвестных математических ожиданиях.
Н0: Dx =Dy
Постановка задачи.
Пусть даны две случайные величины Х и Y, распределенные нормально. По данным выборки объем их nx и ny подсчитаны выбо-рочные дисперсии S, Sтребуется.
Механизм проверки.

Цель работы при заданном уровне значимости α проверить ну-левую гипотезу о равенстве дисперсий.
Такая задача возникает при сравнении точности двух прибо-ров, или при сравнении различных методов измерения. Т.е. когда выборочные дисперсии отличаются, возникает вопрос значимости или не значимости это различие.
Если различие неразличимо, то имеет место нулевая гипотеза, т.е. приборы, например имеют одинаковую точность. А различия вы-борочных дисперсий объясняется случайными причинами.

Механизм проверки
По данным выборок значений nх и nу, вычисляют наблюдаемое значение критерия как отношение большей дисперсии к меньшей:

Критическая область строится в зависимости от конкурирующей гипотезы. По таблицам распределения Фишера, по заданному уровню значимости α и вычисленным степеням свободы υx, υy находят табличное значение критерия:
для альтернативной гипотезы Н1: Dx >Dy
Fкр в зависимости от параметров Fкр (α, υx, υy)
для альтернативной гипотезы Н1: Dx ≠ Dy
Fкр в зависимости от параметров Fкр (α/2, υx, υy)

Если Fнаб >Fкр, то Н0 отвергают.
Если Fнаб <Fкр, то нет оснований отвергать Н0, предположение о том что Dx, Dy, принимается с уровнем α, в 95% случаях – с доверительной вероятностью.
Пример

Для проверки гипотезы, соответствие двух выборок принад-лежности к одной и той же генеральной совокупности, рассмотрим вопрос о значимости расхождений между выборочным значением математических ожиданий. Выдвинем нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий.
Н0: Мx =Мy

Тестирование такой гипотезы основано:
на нормальном распределении в случае большого объема выборок (n>30), когда дисперсии считаются известными
на распределении  Стьюдента в случае малого объема выборок (n<30) когда дисперсии являются неизвестными.
Сравнительные графики плотностей  распределения нормального и Стьюдента приведены на рисунке:

				синей и розовой линиями показано
			       распределение Стьюдента,
			красной – нормальное
Сравнение мат.ожиданий

Для того чтобы при заданном уровне значимости α =0.05 проверить нулевую гипотезу Н0: Мх=Му о равенстве математических ожиданий двух больших нормальных выборок с известными дисперсиями Dх и Dу, необходимо:
Вычислить наблюдаемое значение критерия:

Построить критическую область в зависимости от конкурирую-щей гипотезы:
при конкурирующей гипотезе Н1: Мх ≠ Му по таблице функции Лапласа находят критическую точку zкр  из равенства Ф(zкр) = (1 – α) /2.
Если |Zнабл| < zкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
Если |Zнабл| > zкр, то нулевую гипотезу отвергают.
при конкурирующей гипотезе Н1: Мх > Му по таблице функции Лапласа находят критическую точку zкр из равенства
Ф(zкр) = (1 – 2α)  /2.
Если Zнабл < zкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
Если Zнабл > zкр, то нулевую гипотезу отвергают.
при конкурирующей гипотезе Н1: Мх < Му по таблице функции Лапласа находят «вспомогательную критическую точку» zкр из равенства
Ф(zкр) = (1 – 2α) /2.
Если Zнабл > - zкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
Если Zнабл < - zкр, то нулевую гипотезу отвергают.
Проверка гипотезы о равенстве средних при известных дисперсиях

Проверка гипотезы о равенстве средних при неизвестных дисперсиях
Постановка задач: пусть генеральные совокупности распределены нормально, причем их дисперсии Dx и Dy заранее не известны. Взяты две выборки малого объема, требуется сравнить средние этих генеральных совокупностей.
Методика проверки задач: заключается в использовании критерия Стьюдента при условии, что генеральные дисперсии не известны, однако в предположении, что они равны между собой.
Такая задача возникает: если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке. Естественно будет предположить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы.

Алгоритм проверки

Алгоритм проверки
1) Прежде чем сравнивать средние требуется проверить Н0: Dх=Dу
2) Если гипотеза подтвердилась нужно вычислить наблюдаемое значение критерия:

3) Строим критическую область в зависимости от конкурирующей гипотезы
а) Если Н1: Мх ≠ Му – двусторонняя критическая область строится исходя из условия чтобы вероятность попадания наблюдаемого значения критерия в эту область была равна принятому уровню значимости α взятого из таблицы Стьюдента для числа степеней свободы  в верхней части таблицы, т.е. для двусторонней критической области при условии |Тнабл| < tкр(α,υ), то нет основания отвергать нулевую гипотезу; если  |Тнабл| > tкр(α,υ), то нулевую гипотезу отвергают.
б) Если Н1: Мх >Му строится правосторонняя критическая область, а критическую точку находят по таблице Стьюдента из нижней части.
Если Тнабл < tкр, то нет основания отвергать нулевую гипотезу .
Если Тнабл > tкр, то нулевую гипотезу отвергают.
в) При конкурирующей гипотезе Н1: Мх < Му по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α,помещенному в нижней строке таблицы ,и числу степеней свободы k= nх + nу–2 найти «вспомогательную критическую точку» tкр односторонней критической области.
Если Тнабл < - tкр, то нет основания отвергать нулевую гипотезу.
Если Тнабл > - tкр, то нулевую гипотезу отвергают.

Тнабл и число степеней свободы.

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
Если закон распределения не известен, но есть основание предположить, что он имеет определенный вид (А), то проверяют нулевую гипотезу:
Н0: генеральная совокупность распределена по закону А.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится так же как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т.е. при случайно отобранной случайной величине – критерия согласия.

   Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о
   предполагаемом законе распределения.

Имеется несколько критериев согласия:
критерий Пирсона;
критерий Колмогорова;
критерий Смирнова.

Критерий Пирсона
Пусть по выборке объема n получены эмпирические частоты, т.е. мы имеем предполагаемое 			распределение.
		              	Допустим, что в предположении нормального распределения 				генеральной совокупности вычислены теоретические частоты ().
		              	При уровне значимости α требуется проверить гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально.
В качестве критической проверку нулевой гипотезы примем случайную величину:
      					          (*)

Эта величина случайная, т.к. в различных опытах она принимает различные, заранее не известные, значения. Чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия => он характеризует близость эмпирических и теоретических распределений.
Доказано, что при  закон распределения случайной величины (*) не зависит от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, а стремится к закону распределения χ2 с числом степеней свободы: υ=k–1–r , где
k – число групп (интервалов) выборки
r – число параметров предполагаемого распределения.
А т.к. для нормального распределения нам интересно М(х) и D(x), то число степеней свободы определяется υ=k–3
Правила проверки.

Правила проверки
Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить Н0: “генеральная совокупность распределена нормально”, необходимо:
вычислить теоретические частоты;
вычислить наблюдаемое значение критерия:
по таблицам критических точек распределения χ2 по заданному уровню значимости и числу степеней свободы υ=k–3, найти критическую точку: χ2кр=(α,υ);
сравнить 2 имеющихся критерия:
- если χ2набл< χ2кр - нет основания отвергать нулевую гипотезу о нормальном распределении.
 - если χ2набл > χ2кр - нулевую гипотезу о нормальном распределении отвергают.

Замечание:
объем выборки должен быть достаточно велик (более 50);
малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя частоты;
т.к. возможные ошибки первого и второго рода, то в окончательном выводе следует проявить осторожность:
можно повторить опыт;
увеличить число наблюдений;
для проверки воспользоваться другими критериями;
построить график распределения;
вычислить эксцесс и асимметрию.
для контроля вычислений формулу			преобразуют к виду

Корреляционно-регрессионный анализ
Корреляционная зависимость
Корреляционный момент
Коррелированность и зависимость случайных величин
Выборочное корреляционное отношение
Простейшие случаи криволинейной корреляции
Метод наименьших квадратов

Во многих задачах требуется установить или оценить зависимость изучаемо случайной величины Y от одной или нескольких других случайных величин.
Две случайные величины могут быть связаны:
- функциональной зависимостью
- статистической
- независимой
	Строгая функциональная зависимость реализуется редко, т.к. обе случайных величины или одна подвержены действию других случайных величин.
   Статистической называется зависимость, при которой
   изменение одной из величин влечет изменение распределения
   другой.
В частности она проявляется в том что изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой. Такая статистическая зависимость называется корреляционной.

Корреляционная зависимость
Предположим изучается связь между случайными величинами Х и Y. Пусть каждому значению Х соответствует несколько значений Y.
Условным средним       называется среднее арифметическое случайной величины Y соответствующее значению случайной величины Х равное х.
Если каждому значению Х соответствует одно значение      , то очевидно что она – функция от х. В этом случае говорят, что случайная величина Y зависит от Х корреляционно.
  Корреляционной зависимостью Yx называют функциональную зависимость      от значений х.       = f(x) - уравнение регрессии Y на Х, а график – линией регрессии Y на Х. f(x) – функция регрессии.
Аналогично определяется условная средняя Х на Y:       = f(y).

Две основные задачи теории корреляции:
Оценить тесноту (силу) корреляционной связи
Если связь существует, то нужно установит ее форму – вид функциональной зависимости между  и величиной Х.
Для решения первой задачи существует коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции.
Выборочным коэффициентом корреляции называется отношение разности между М(Х) произведения случайных величины и произведением математических ожиданий этих случайных величин к σ² случайных величин X и Y.

Он служит для оценки тесноты линейной корреляционной зависимости.
Свойства коэффициента корреляции
rв по абсолютной величине ≤ 1
Если rв= 0, то Х и Y не связаны линейной зависимостью, а другая может при этом существовать.
Если |rв| = 1, то Х и Y связаны строго корреляционной зависимостью.
Т.к. rв характеризует степень тесноты линейной связи, то она проявляется в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать, т.е. наблюдается положительная корреляция, rв>0; если при возрастании одной случайной величины другая – убывает, rв<0.
Remark: Зависимость тем ближе к линейному закону, чем |rв| ближе к единице.

Для описания системы двух случайных величин или зависимости между двумя случайными величинами, кроме математического ожидания и дисперсии используют и другие величины. Коэффициент корреляции rв является частным случаем такой характеристики, более частным случаем  выступает корреляционный момент μху.

Корреляционный момент
  Корреляционным моментом μху случайных величин Х и Y,
  называют математическое ожидание  при отклонении этих
  величин.
μху = М [(Х – М(Х))*(Y – М(Y))]
μху = М (Х*Y) – М(Х)*М(Y)
rв = μху / σх*σу

Свойства корреляционного момента:
корреляционный момент служит для характеристики связи между случайными величинами Х и Y;
корреляционный момент двух независимых величин равен нулю;
корреляционный момент имеет размерность равную произведению размерности величин Х и Y;
размерность корреляционного момента является недостатком при сравнении зависимости двух случайных величин, чтобы избежать это, был введен коэффициент корреляции.

Коррелированность и зависимость случайных величин
Две случайных величин называются коррелированными, если их корреляционный момент (или что то же самое коэффициент корреляции) равен нулю;

Х и Y называются некоррелированными случайными величина-ми, если их корреляционный момент равен нулю;

Две коррелированные величины также зависимы. Обратное предположение не всегда имеет место.

Выборочное корреляционное отношение
Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи служат такие характеристики как: выборочное корреляционное отношение ηух (игрек к икс) и ηху (икс к игрек).

   Выборочным корреляционным отношением называется, отношение межгруппового
   среднеквадратического отклонения к общему среднеквадратическому отклонению.
   ηух = σмехгр / σобщ

Свойства корреляционного отношения:
если корреляционное отношение равно нулю, Х и Y не связаны друг с другом;
если корреляционное отношение = 1, Х и Y не связаны корреляционной зависимостью;
значение корреляционного отношения удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ ηух ≤ 1;
корреляционное отношение всегда меньше или равно коэффициенту корреляции ηух  ≤  |rв|.

Достоинства корреляционного отношения.
Корреляционное отношение служит мерой тесноты связи любой, в том числе и линейной. В этом его достоинство перед коэффициентом корреляции, который оценивает степень тесноты только линейной связи.

Недостатки корреляционного отношения.
Корреляционное отношение не позволяет судить на сколько близко расположены точки найденным по данным наблюдения к кривой определенного вида (гипербола, парабола, синусоида и т.д.). Это объясняется тем, что при определении корреляционного отношения вид связи не учитывается.

Простейшие случаи криволинейной корреляции
Если график регрессии Y на Х изображен кривой линией, то корреляция называется криволинейной.
Примеры функции регрессии
Параболическая корреляция второго порядка    = ах² + вх + с
Параболическая корреляция третьего порядка      =а+вх²+сх + d
Гиперболическая     = а/х + в

Для определения вида функции регрессии строят на графике точки с координатами (х,    ). По их расположению делают заключение о примерном виде функции регрессии.
При окончательном решении принимают во внимание особенности, вытекаемые из сущности решаемой задачи.
Теория криволинейной корреляции решает те же задачи что и теория линейной корреляции, т.е. устанавливает формы и тесноты корреляционной зависимости.
Неизвестные параметры уравнения регрессии ищут методом «наименьших квадратов».

Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов заключается в том, что сумма квадратов отклонений теоретических данных от экспериментальных, должна быть наименьшей.
Будем искать уравнение регрессии в виде у = f(x).
Предположим, что имеет место линейная зависимость φ(х)= а0 +а1х
а0, а1 – коэффициенты линейной зависимости
φ(х) – предполагаемая теоретическая зависимость
Используя метод наименьших квадратов построим функцию равную сумме квадратов отклонений экспериментальных данных от теоретических данных:

По методу наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а0, а1, необходимо составить систему двух уравнений, для этого необходимо взять частные производные от функции S и приравнять их к нулю.

Учитывая число функций φ(х)=а0+а1х

Окончательной системой уравнений по методу наименьшего квадрата имеет вид

Решая полученную систему найдем неизвестные коэффициенты а0 и а1, запишем уравнение регрессии в виде φ(х) = а0 + а1х

Для того чтобы найти погрешность данного метода необходимо вычислить

Если предположили нелинейную корреляцию, то уравнение связи пытаемся искать в виде
φ(х)=а0+а1х+а2х², то аналогично по методу наименьших квадратов найдем функцию

Находим частные производные данной функции

Запишем систему уравнений

Аналогично находим а0, а1, а2 и записываем уравнение регрессии в виде φ(х)=а0+а1х+а2х²
Определяем погрешность с помощью ε.
Заключение о реальной зависимости между случайными величинами Х и Y делаем путем графического представления.

Если нужно отобрать 20% изготовленных деталей, то отбирают каждую пятую.

Детали изготавливаются на разных станках. Выборка производится с каждого станка.

Изделия изготавливаются станками-автоматами. Обследованию подвергается продукция нескольких автоматов.

Задано распределение частот выборки.
Определить объем, написать распределение относительных частот.
n=3+10+12=20
Σ Wi=1
Σ ni=n

Пусть имеется нормальное распределение. Тогда нужно оценить, найти M(x) и σ. Для показательного распределения нужно оценить параметр λ. f(x)= λ.e-λx.

Найти  доверительный интервал с надежностью 0.9 неизвестного M(X) нормально распределенной СВ Х, если известны 	=20.9, σ=2, n=16, β=0.9.
2Φ(t)=σ
Φ(t)=β/2=0.45
t=1.645
	       =0.82
(20.9–0.82; 20.9+0.82)
(20.08; 21.72)

По данным выборки, объема 50, найдена    =-0.155, S=936. Найти доверительный интервал для неизвестной дисперсии, β=0.95. n=50, υ=49, α=0.05.

По таблицам распределения Стьюдента для уровня значимости α=0.05 и числа степеней свободы υ=49 найдем значение критерия Стьюдента tα,υ=2.009
Запишем значение  границы интервала 	       =0.27
Запишем границы доверительного интервала (-0.425;0.115).

С вероятностью 0.95 истинное значение М(х) лежит в пределах (-0.425;0.115).

При доверительной вероятности 90% найти доверительный интервал для D(x), если для выборки, объемом 5 выборочная D(x)=6.6, а выборочная средняя 0.4.

По таблицам распределения χ2  найдем значение критерия χ2  для уровня значимости υ=4 и α=/2=0.05
χ20.05,4=9.5
χ2 α/2,υ = χ20.95,4=0.711
4.6.6/9.5 < σ2 < 4.6.6/0.711
2.78 < σ2 < 37.13

Если Н0 состоит в предположении, что математическое ожидание М(Х) нормального распределения равно 10, то Н1 может состоять в предположении, что М(Х) не равно 10.
Н0: М(Х)=10
Н1: М(Х)≠10

По двум малым независимым выборкам объемов nx=11 и ny=14 из нормальных распределений найдены исправленные выборочные дисперсии S²x =0.76 и S2y=0.38. При уровне значимости α=0.05 проверить нулевую гипотезу Н0: Dx=Dy о равенстве диспер-сий при конкурирующей гипотезе Н1: Dx>Dy.

Решение: Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:
Fнабл = S²б / S²м = 0.76 / 0.38 = 2
По условию конкурирующая гипотеза имеет вид Н1: Dx>Dy, поэтому критическая область – правосторонняя. По таблице критических то-чек распределения Фишера, по уровню значимости α=0,05 и числам степеней свободы k1 = nx – 1 = 11 – 1 = 10 и
k2 = ny – 1 = 14 – 1 = 13 находим критическую точку:
Fкр (α, kı, k2) = Fкр (0.05,10,13) = 2.67
Так как Fнабл = 2. < Fкр = 2.67, то нет оснований отвергать Но о равенстве дисперсий. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.