title: Скачать презентацию или конспект Трисекция угла

extracted_text:
Проект по теме:“Трисекция угла”
Выполнила:    ученица 8 класса В
                     МОУ СОШ № 13 г.Тамбова
Бакушкина Маргарита Александровна
Учитель: Кирина Елена Викторовна
Адрес: 392032 г.Тамбов
           Б.-Энтузиастов, 30 В кв. 24
Д.т. (4752) 45 54 94 e-mail: elkirina@rambler.ru
Математика и проектирование
Цели:
 познакомиться с историей развития решения задачи деления угла на три равные части;
поиск решения задачи наиболее удобным способом;
сконструировать циркуль – трисектор.
Краткое содержание:
Вступление;
Постановка проблемы;
Исторические сведения;
Методы доказательства;
 Решение задачи о трисекции угла циркулем и линейкой;
Простейший трисектор;
Циркуль- трисектор;
Практическое применение  циркуля – трисектора;
Вывод;
Литература.

Вступление.
Задачи на геометрические построения – одни из самых популярных в школьной математике. История геометрических построений насчитывает несколько тысяч лет, и уже древние достигли здесь большого искусства. Нам известны 3 знаменитые задачи древности: о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Лишь в конце прошлого века была доказана их неразрешимость. В своей работе я рассмотрела задачу о трисекции угла. Она возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. При составлении рабочих чертежей, разного рода украшений, многогранных колоннад, при строительстве, внутренней и внешней отделки храмов, надгробных памятников древние инженеры, художники встретились с необходимостью уметь делить окружность на три равные части, а это часто вызывало затруднения.
Постановка проблемы.
С глубокой древности известна одна из знаменитых задач древности – задача о трисекции угла. Она сыграла важную роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эту задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - “доказать неразрешимость” – была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики. Задача кажется доступной любому: вводит в заблуждение простая формулировка.

Исторические сведения.
Платон, живший в 428 – 328 годах до нашей эры, считается одним из величайших философов Греции. Геометрия ко времени Платона уже была очень развита. Было решено много весьма и весьма сложных задач, доказаны сложнейшие теоремы.
В конце прошлого века было доказано, что в такой постановке данная задача не может быть решена, хотя, если использовать другие геометрические инструменты или использовать при построении геометрические места точек, отличные от прямой, либо дуги окружности. То эта задача легко решается. Однако принятые у греков правила игры не позволяли пользоваться при решении задачи ничем, кроме циркуля и линейки. Платон даже обосновал это ссылкой на авторитет богов. Так что проблема решена не была, но по ходу дела геометрия была основательно разработана.
Платон.

Архимед.
                             Архимед (?287-212 гг. до нашей эры) родился
                             в городе Сиракузы на острове Сицилия. Он
                         автор многочисленных открытий,
                           гениальный изобретатель, известный во
                           всем греческом мире благодаря конструкции
                    многих механизмов: машины для орошения
полей, водоподъемного механизма, системы рычагов,
блоков для поднятия больших тяжестей (кранов),
военных метательных аппаратов. Он соорудил систему
блоков, с помощью которой один человек смог спустить
на воду огромный корабль "Сиракосия". Крылатыми
стали произнесенные тогда слова Архимеда: "Дайте мне
точку опоры, и я поверну Землю". Архимед погиб от меча
римского легионера. На своей могильной плите Архимед
завещал выгравировать шар и цилиндр - символы его
геометрических открытий.
Методы доказательства.
Существуют различные способы построения трисектрисы угла:
При помощи циркуля и линейки без засечек (трисекция угла в 900, 450, 22,50,... p /2n, где nI N (все эти углы образуют бесконечно малую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1/2),трисекция угла в 1800,3600).
Квадратрисса Гиппея;
Конхоида Никомеда;
Спираль Архимеда;
С помощью простейшего трисектора;
При помощи циркуля-трисектора.
Решение задачи о трисекции угла циркулем и линейкой.
Простейший трисектор.
 На сегодняшний день придумано много механических способов для построения трисектрисы угла. Такие приборы называются трисекторами. Простейший трисектор можно легко изготовить из плотной бумаги, картона или тонкой жести. Он будет служить подсобным чертежным инструментом.
На чертеже трисектор изображен в натуральную величину (заштрихованная фигура). Примыкающая к полукругу полоска AB равна длине радиуса полукруга. Край полоски BD составляет прямой угол с AC; он касается полукруга в точке B; длина полоски BD произвольная. На этом же рисунке показано применение трисектора.
Такой способ трисекции угла не является чисто геометрическим; его можно назвать механическим.
Циркуль - трисектор.
Попытки расширить инструментарий оказали большое влияние на древнегреческую математику, привели и к первым исследованиям конических сечений, и к исследованию сложных кривых, и к построению интересных инструментов.
Рассмотрим шарнирный механизм, являющийся параллелограммом с двумя закрепленными шарнирами. Из курса школьной математики нам известно, что противоположные углы параллелограмма равны. Это верно для любого параллелограмма, а значит и для любого изгибания нашего механизма.
А для любого ли изгибания?
У нашей системы есть одна особая точка — когда все звенья легли на одну прямую. Из этой точки бифуркации механизм может выйти, снова став параллелограммом,  а может перейти в фигуру, которая называется антипараллелограмм.
Противоположные углы параллелограмма равны.
Точка бифуркации.
Антипараллелограмм. Равенство углов.
От параллелограмма антипараллелограмм унаследовал то, что две противоположные стороны равны между собой, и две накрест лежащие стороны также равны между собой. Оказывается, у нашей фигуры есть и соотношение на углы — у антипараллелограмма они попарно равны!
Прибавим к нашему антипараллелограмму более маленький, но подобный первому. У них есть один общий угол, а значит углы при красном шарнире — тоже равны.
Вытягивая направляющие прямые, получаем плоский шарнирный механизм, который можно применять для построения биссектрисы любого угла.
Второй антипараллелограмм. Равенство углов.
Бисектор.
Можно прибавить еще один подобный антипараллелограмм. По тем же соображениям его угол при красном шарнире будет равен уже двум имеющимся.
Получившийся плоский шарнирный механизм является трисектором углов —  решает задачу о делении произвольного угла на три равные части!
 Однако, очевидно, использованный алгоритм построения можно продолжать и дальше, получая шарнирные механизмы, точно делящие произвольный угол  на любое наперед заданное число частей.
Третий антипараллелограмм. Равенство углов.
Трисектор.
Практическое применение циркуля- трисектора.
Вывод
При выяснении возможности планиметрической задачи на построение пользуются следующим критерием: построение отрезка циркулем и линейкой возможно тогда и только тогда, когда его длина выражается через длины данных отрезков в виде конечной комбинации четырёх арифметических действий и извлечения арифметического квадратного корня. С помощью этого критерия доказано, что знаменитая задача древности – трисекция угла- неразрешима с помощью циркуля и линейки.
Работая над проектом я исследовала способы построения трисектрисы угла и сконструировала простейший трисектор.
Литература
Перельман Я.И. «Занимательная геометрия» Государственное издательство технико-теоретической литературы Москва-1950-Ленинград
Прасолов В.В. «Популярные лекции по математике. Три классические задачи на построение» М.,»Наука», 1992
Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. геометрия:.М.:Физматлит, 1963
Интернет-ресурсы:  http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm
http://ru.wikipedia.org
http://этюды


title: Скачать презентацию или конспект Вычисление объема тела человека

extracted_text:
       Мини- Проект
Вычисление
 объема
 тела человека
Архимед (287 -  212 до н.э.)
Древнегреческий ученый математик и изобретатель, родился в Сиракузах.
Закон Архимеда формулируется так:
           Архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость (или газ) тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной телом
Физические величины
( объем, плотность, площадь)
Вычисление объема тела человека.

Оборудование:

Сантиметровая лента.
Справочник по математике.

Смоделируем тело человека из геометрических фигур.
Составим формулу для нахождения общего объема.
V=Vголовы+Vтул+2Vр+2Vн
Найдем геометрические  формулы для всех составляющих.
Измерим параметры человека.
lголовы –обхват головы
Lтул  -длина туловища
b-ширина туловища
с-толщина туловища
Lp –длина рук от кончиков пальцев до плеча
lp1 lp2 –обхват руки у предплечья и у запястья соответственно
Lн –длина ноги от бедра до щиколотки
lн1 lн2  -обхват ноги у бедра и у щиколотки соответственно
lголовы  =0.545м
Lтул = 0.6м
b=0.31м
c= 0.16м
Lp =0.84м

lp1 =0.23м      lp2  =0.16м

Lн =0.88м

lн1 =0.48м    lн2  =0.23м
Рассчитаем по формуле объем человека
V=            ∙ 0,5453 + 0,6 ∙ 0,31 ∙ 0,16 +

+             ∙ 0,84(0,232 + 0,162 + 0,23 ∙0,16)+

+2           ∙ 0,88(0,482 + 0,232 + 0,48 ∙ 0,23) =

= 0,0027 + 0,0297 + 0,00514 + 0,018389 =

=0,055 м3

Надеемся что наш проект вам понравилсяСпасибо за внимание!!!


title: Скачать презентацию или конспект Развитие познавательного интереса при обучении математике

extracted_text:
Развитие
познавательного интереса
при обучении математике
2009
Актуальность проблемы
Как известно, процесс усвоения знаний, развития интеллекта не является отражением педагогических воздействий. Педагогические внешние воздействия преломляются через внутренний мир ребенка, через его личность. Важнейшей характеристикой личности являются его отношения с окружающими условиями, его интересы.
Познавательный интерес - интерес к учебно-познавательной
деятельности является мощным двигателем в обучении. Это один из самых значимых мотивов учения.

Развитие познавательного интереса способствует росту сознательного отношения к учению, развитию познавательных процессов, умению ими управлять, сознательно их регулировать.
Формирования
познавательного интереса
Для рассмотрения практического вопроса создания условий для развития познавательного интереса, для его формирования у учащихся можно рассмотреть различные аспекты в структуре познавательного интереса.
Их можно выделить три:
 1) познавательный интерес как стимул, средство обучения;
  2)познавательный интерес как мотив учебной деятельности; 3)познавательный интерес как устойчивая черта личности.
Познавательный интерес возникает как внешнее средство активизации познавательной деятельности учащихся.
Важнейшей предпосылкой воспитания интереса к школьному предмету является личность учителя, взаимоотношения учителя и ученика в процессе общения, организация взаимоотношений между учащимися на уроке.
В развитии познавательного интереса можно выделить ряд уровней: любопытство, любознательность, собственно познавательный интерес, творческий интерес. Эти уровни определяют разную степень избирательной направленности, избирательного отношения ученика к предмету и, соответственно, степень влияния познавательного интереса на личность
Любопытство - элементарная стадия познавательного интереса. Оно обусловлено чисто внешними обстоятельствами, привлекающими внимание человека.
Человек при этом является пассивным объектом внешнего воздействия. Любопытство - есть реакция
на изменение обстановки, на появление нового в окружающем мире. Интерес этого уровня - поверхностный, фрагментарный, ситуативный, связанный с переживанием своего отношения к предмету в данный момент.
Любопытство.
Одним из средств поддержания и развития познавательного интереса на ранних стадиях его становления является игра. Игра служит активному обучению, нейтрализует перегрузки, способствует разрядке напряженности, создает благоприятную атмосферу учебной деятельности, повышает эффективность процесса обучения. Игра может иметь место на различных этапах урока: в его начале - для концентрации внимания, в середине - для небольшой разрядки, в конце - для повторения.
Учимся играя
Игры могут быть различными как по содержанию предлагаемого материала, так и по форме их проведения: игры-соревнования, игры-математические бои, игры-эстафеты, лото, кроссворды. Об играх на уроке можно прочитать в работах А.А. Окунева, В.Н. Кузнецова, Е.А. Дышинского, Ф.Ф. Нагибина, Е.С. Канина, Т.М. Ковалевой и других методистов.
Учимся играя.
Что касается содержания школьного предмета математики, то оно таинственно и романтично, увы, не для всех учащихся, для многих учащихся математика кажется сухой наукой.
Поэтому не следует упускать возможность сделать ее ярче и привлекательней.
Использование литературных цитат, подходящих стихов, метафор воздействует на познавательный интерес к предмету и является пусть скромным, но вкладом в формирование межпредметных связей, в гуманитаризацию школьного математического образования, в повышение общей культуры учащихся. Вводя понятие функции, учитель может прочитать, например, стихотворение:

Не было гвоздя –                          Конница разбита-
Подкова пропала.                         Армия бежит.
Не было подковы –                       Враг вступает в город,
Лошадь захромала.                       Пленных не щадя,
Лошадь захромала –                     Потому что в кузнице
Командир убит.                             Не было гвоздя.
Для того, чтобы дети
и вообще люди
 учились сколь-нибудь усердно,
у них должна быть какая-то
заинтересованность
 в учебе и интерес к ней
Авторы:
Группа учащихся
МОУ – СОШ с. Новосельское Аркадакского района
Саратовской области

Коновалова Ирина
Петрунина Татьяна
Саузина Надежда

Руководитель проекта:
Петрунина А. В. - учитель математики и информатики
МОУ – СОШ с. Новосельское.


title: Скачать презентацию или конспект Построение двумерной флаговой геометрии на основе системы аксиом Вейля

extracted_text:
Построение двумерной флаговой геометрии на основе системы аксиом Вейля
Содержание:
Эпиграф
Вступление
Биография Германа Вейля
Система аксиом Вейля аффинной и евклидовой геометрии на плоскости
Аксиоматика Вейля флаговой двумерной геометрии
Свойства векторов флаговой плоскости
Измерение отрезков и углов
Элементы тригонометрии
Движение флаговой плоскости
Принцип двойственности для флаговой плоскости
Заключение
Список используемой литературы
Биография Германа Вейля
        Герман Клаус Хуго Вейль (9.XI.1885 - 8.XII.1955). Родился в Эльмсхорне (Германия). В 1908 г. окончил Геттингенский университет, в том же году защитил диссертацию и получил степень доктора философии. С 1908 до 1913 г. читал лекции в Геттингенском университете в качестве приват-доцента. С 1913 по 1930 г. - профессор Цюрихского политехнического института. В 1930 - 1933 гг. работает в Геттингенском университете, а с 1933 по 1955 г. - в Принстонском институте перспективных исследований (США).
       Исследования относятся к теории групп, дифференциальной геометрии, теории интегральных и дифференциальных уравнений, математической логике, основаниям математики, квантовой механике, теории относительности.
      Международная премия имени Н.И.Лобачевского присуждена в 1927 году за цикл работ по геометрии и теории линейных представлений групп.

      Математика играет весьма существенную роль в формировании нашего духовного облика. Занятие математикой – подобно мифотворчеству, литературе или музыке – это одна из наиболее присущих человеку областей его творческой деятельности, в которой проявляется его человеческая сущность, стремление к интеллектуальной сфере жизни, являющейся одним из проявлений мировой гармонии.
   Герман Вейль

Вступление

         Геометрия, которую изучают в школе, называется евклидовой — по имени геометра, который изложил ее в виде единой логической системы. Великий русский математик Николай Иванович Лобачевский впервые (в 1826 году) обратил внимание на то, что геометрическая система не является чем-либо незыблемым, что ее можно, в случае необходимости, изменить. В результате получится новая геометрическая система, которая ничуть не уступит по своей логической законченности, по научной строгости своего построения, привычной всем нам, евклидовой геометрии.                               Первую неевклидову геометрию построил Н. И. Лобачевский. После Лобачевского были созданы и многие другие неевклидовы геометрические системы. По сравнению с системой аксиом Д. Гильберта точечно-векторная аксиоматика Г. Вейля (1917) не только позволяет гораздо проще построить евклидову геометрию, но и дает возможность вполне естественным образом построить многие из неевклидовых геометрий.

Система аксиом Вейля аффинной и евклидовой геометрии на плоскости
       Основными объектами геометрии в аксиоматике Вейля являются точка и вектор, а основными отношениями — сумма векторов, произведение вектора на число, откладывание вектора от точки, скалярное произведение векторов. Свойства каждого из этих отношений описываются соответствующей группой аксиом. Все аксиомы делятся на пять групп:
I группа.    Аксиомы сложения векторов
II группа.   Аксиомы умножения вектора на действительное число
III группа.  Аксиомы размерности
IV группа.  Аксиомы откладывания вектора от точки
V группа.    Аксиомы скалярного произведения
         Аксиомы первых трех групп определяют двумерное линейное (или векторное) пространство. Аксиомы первых четырех групп определяют двумерное аффинное пространство. Аксиомами всех пяти групп определяется двумерное евклидово пространство. Таким образом, евклидова геометрия строится на базе аффинной путем введения метрики (меры длины и меры угла) с помощью скалярного произведения векторов. Наоборот, содержание аффинной геометрии можно получить, удаляя из евклидовой геометрии все факты, касающиеся измерения отрезков и углов, в частности перпендикулярность прямых. Важными аффинными понятиями являются параллельность прямых и отношение коллинеарных векторов.

Аксиоматика Вейля флаговой двумерной геометрии
             Оставим без изменения все аксиомы Вейля евклидовой геометрии, кроме аксиомы V5 , которую заменим аксиомой:
       V5 *. Существует хотя бы один ненулевой вектор     , скалярный квадрат которого равен
      нулю (     2= 0 при       ≠      ). Существует хотя бы один вектор     , скалярный квадрат которого положителен.
          Полученная система аксиом I, II, III, IV, V1-4 , V5 * определяет новую геометрию, называемую флаговой, или полуевклидовой, а также геометрией Галилея. Однако название «геометрия Галилея» исторически неправильно: Галилей не знал этой геометрии, поскольку сама идея существования неевклидовых геометрий возникла гораздо позже и связана с появлением на свет геометрии Лобачевского, а подробная разработка флаговой геометрии относится только к 50-м годам текущего столетия. Название «геометрия Галилея» оправдывается тем, что она связана с принципом относительности Галилея, который гласит: никакие механические эксперименты, производимые внутри физической системы, не могут позволить обнаружить равномерное и прямолинейное движение этой системы.
          Название «флаговая геометрия» связано с понятием абсолюта, введением которого заниматься не будем, так как в нашем изложении это понятие не используется.
         Сразу подчеркнем, что флаговая геометрия строится на базе аффинной, поэтому все аффинные понятия и теоремы имеют место и во флаговой геометрии (например, теорема о медианах треугольника, теорема о средней линии трапеции и др.).

Свойства векторов флаговой плоскости
      Как выяснится в дальнейшем, свойства векторов флаговой плоскости существенно отличаются от свойств векторов евклидовой плоскости.
      Определение. Ненулевые векторы, скалярные квадраты которых равны нулю, называются изотропными векторами.
        Теорема 1. Два вектора, один из которых изотропный, а другой неизотропный, линейно независимы.                                                                                Теорема 2. Вектор, коллинеарный изотропному вектору, является изотропными.
       Определение. Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Ортогональность векторов будем обозначать знаком       .
       Понятие коллинеарных векторов в смысле флаговой геометрии совпадает с этим понятием  в евклидовом (и аффинном) смысле. Однако ортогональные векторы в смысле флаговой геометрии нельзя представлять себе в виде евклидово-ортогональных.
         Теорема 3. Ортогональные векторы существуют.
         Теорема 4. Два вектора, один из которых изотропный, а другой неизотропный, ортогональны.
         Теорема 5. Все изотропные векторы коллинеарны.
          Из теорем 2 и 5 вытекает
     Следствие. Всякие два изотропных вектора ортогональны.
         Теорема 6. Любые два неизотропных ненулевых вектора неортогональны.
       На основании теорем 4, 6 и предыдущего следствия имеем
     Следствие. Всякому вектору ортогонален изотропный и только изотропный
      вектор.

Измерение отрезков и углов
   Нажав на эту ссылку Вы сможете увидеть      содержание данной главы.
измерение отрезков и углов

        Элементы тригонометрии
        Рассмотрим аналоги теорем  косинусов,  синусов  и вопрос о площади треугольника.
     Пусть ABC — треугольник с неизотропными сторонами.
        Используя соотношение (5) получаем, что либо  с = a – b, либо  с = b – a,  либо
      c = a ± b.
   Таким образом, во всяком треугольнике с неизотропными сторонами справедливо одно и только одно их трех соотношений:
                                                       a = b + c,  b = c + a,  c = a + b.                                           (11)
    Иначе говоря, во всяком треугольнике с неизотропными сторонами большая сторона равна сумме двух других сторон. Это аналог теоремы косинусов.
   Далее, если обозначить, как обычно, через A, В, С величины углов треугольника AВС с неизотропными сторонами а, b, с, то согласно (7) можно получить аналог теоремы синусов (12).
    Из соотношений (11) и (12) получаем
    Следствие. Во всяком треугольнике с неизотропными сторонами выполняется одно и только одно из трех соотношений:
                                                    A = B + C,  B = C + A,  C = A + B,                                      (13)
     т . е. больший угол треугольника равен сумме двух других его углов. Следует учитывать, что меры смежных углов равны. Это непосредственно видно из формулы (8).
         Рассмотрим вопрос о площади треугольника. Площадь — понятие аффинное. (Точнее говоря, аффинным понятием является отношение площадей, а площадь — лишь относительный инвариант аффинных преобразований). Поэтому это понятие имеет тот же смысл и во флаговой геометрии.
                                           Пожалуйста, просмотрите эту ссылку
для получения полной информации.

Движения флаговой плоскости
   Определение. Движениями называются аффинные преобразования, сохраняющие длину отрезка и величину угла.
    Как видно из формул (4) и (10), сохранение длин отрезков не влечет за собой обязательного сохранения величины угла. Поэтому в отличие от евклидовой геометрии оба эти требования включены в определение движения.

По этой ссылке перейдите, пожалуйста, на
продолжение этой главы

Принцип двойственности для флаговой плоскости
        Во флаговой геометрии имеет место интересный принцип двойственности, являющийся следствием принципа двойственности для проективной плоскости. можно сформулировать следующий принцип двойственности для флаговой плоскости:
        Если истинно некоторое предложение, то будет истинно и другое предложение, которое получается из  первого взаимной заменой слов: « точка» — «прямая», «лежит на» — «проходит через», «точки изотропной прямой»—-«параллельные неизотропные прямые», «отрезок» — «угол», «длина отрезка» — «величина угла».
       В евклидовой геометрии такой или подобный принцип двойственности не имеет места.
       Формулы (11) и (13) взаимно двойственны по этому принципу. Формула (12) двойственна сама себе.                                                                                Основное достоинство принципа двойственности состоит в том, что он позволяет получать новые теоремы из известных ранее. Для примера рассмотрим теорему, двойственную теореме о медианах треугольника. Легко сообразить, что по принципу двойственности серединам сторон треугольника соответствуют биссектрисы (конечно, в смысле флаговой геометрии) углов треугольника, поэтому прямым, содержащим медианы, соответствуют точки пересечения биссектрис с противоположными им сторонами, а медианам соответствуют углы между биссектрисами и этими сторонами.                                                                                Таким образом, теорема о медианах треугольника по принципу двойственности переходит в новую теорему:
        Точки пересечения биссектрис (неравнобедренного) треугольника с противоположными им сторонами лежат на одной прямой, которая делит углы, образованные биссектрисами с          противоположными сторонами треугольника, в отношении 2:1, считая от стороны.

Глава полностью

      Заключение
       Мы видим, что флаговая геометрия много проще евклидовой. Это ценно в том отношении, что при сравнительно небольшой затрате сил и времени на примере построения этой геометрии можно дать конкретное представление о принципах евклидовых геометрий.                                                                                Изобретение неевклидовой геометрии имело большое философское значение: оно показало, что ошибочен взгляд философов-идеалистов, считавших, что существуют истины, которые присущи нашему сознанию до всякого опыта, и приводивших в качестве примеров таких истин аксиомы евклидовой геометрии.                                                                                Создание неевклидовой геометрии оказало большое влияние на развитие физики. Неевклидовы геометрии оказались полезным аппаратом при создании новых важных физических теорий, среди которых в первую очередь следует назвать общую теорию относительности А. Эйнштейна.

Список используемой литературы
Болтянский В.Г.,  Яглом И.М. Векторное обоснование геометрии. Сборник «Новое в школьной математике». М., «Знание», 1972.
Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М., «Наука», 1969.
Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М., «Наука», 1969.
Журнал «Математика в школе», №1 январь-февраль. М., «Педагогика», 1975.


title: Скачать презентацию или конспект Плоскость и прямая в пространстве

extracted_text:
 Плоскость и прямая в пространстве
Лекция 10

   Определение. Уравнением поверхности в пространстве          называется такое уравнение между переменными                которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

   Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают нормаль

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
   Пусть точки       и       лежат на плоскости . Тогда                      и, значит, их скалярное произведение равно нулю:

это уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору
                      .

М

  общее уравнение плоскости
   Из предыдущего уравнения легко получить общее уравнение плоскости

Частные случаи общего уравнения
 1.
  плоскость проходит через начало координат.
 2.
 плоскость параллельна оси OX.
 3.
 плоскость параллельна плоскости XOY.
4.
Плоскость проходит через ось OX.

 5.
 плоскость является плоскостью XOY.
 Остальные случаи рассмотреть самостоятельно.
        Уравнение в отрезках
  Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него все слагаемые

Введя соответствующие обозначения , имеем

                                              .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки
   Пусть точки                     ,                        ,
                         лежат на плоскости. Точка
                      - текущая точка плоскости.

П
Запишем координаты векторов:

    Эти векторы компланарны, т.к.  лежат  в
    одной   плоскости.  Следовательно   их  смешанное   произведение   равно   нулю.
    Получаем уравнение:

Уравнение плоскости, проходящей  через три точки
Взаимное расположение плоскостей

Угол между плоскостями
   Даны две плоскости            и                :

    Тогда:

Условие перпендикулярности плоскостей
   Если плоскости  перпендикулярны друг к другу, то соответственно перпендикулярны их нормальные векторы

Условие параллельностиплоскостей
   Если плоскости параллельны друг к другу, то соответственно параллельны их нормальные векторы:

Расстояние от точки                   доплоскости

Пример
   Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

.
Решение
    В уравнение плоскости, проходящей через три точки, подставим координаты данных точек:

   Раскладывая определитель по элементам первой строки, имеем
                                                                    .

Прямая в пространстве.

M
Канонические уравнения прямой.
                               -направляющий вектор

прямой,                                 -точка прямой. Тогда

Параметрические уравнения(вывести самостоятельно)

  t-переменный параметр.

Уравнение прямой, проходящейчерез две точки
Точки                             и
лежат на прямой. Вывод уравнения сделать самостоятельно.

Общее уравнение прямой
    Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей

    каждое  уравнение  отдельно-  это       уравнение      плоскости,      которые   пересекаются        по      прямой.

Пример
     Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

        Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид

  Сложив уравнения, получим

   Тогда из второго уравнения

 Точка на прямой А(1; -2; 0).

  Найдем направляющий вектор этой прямой:

   Получим канонические уравнения прямой

Взаимное расположение прямых в пространстве

Угол между прямыми
 Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами

Параллельность прямых
Если           то

Перпендикулярность  прямых

    Если                  то

Взаимное расположение  прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью

φ

   Углом между прямой и плоскостью
  называется угол между прямой и ее
  ортогональной проекцией на плоскость

Угол между прямой и плоскостью
                                -нормаль плоскости  П,
                                  -направляющий вектор  прямой          .

Условие параллельности прямой и плоскости

Если                  то

Условие перпендикулярностипрямой и плоскости

Если                  то

Точка пересечения прямой и плоскости
   Пусть требуется найти точку пересечения прямой

   и плоскости
    Запишем параметрические уравнения прямой

  и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости.

   Получим уравнение вида
   относительно параметра t. Выразив t из этого уравнения и  подставив в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

   Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.
Пример
Найти точку пересечения прямой

и плоскости

Пример
    Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;0) и В(2;1;1) перпендикулярно заданной плоскости –х+у-1=0.

А

В
М

Пример
  Показать, что прямая

лежит в плоскости

    Решение. Используем параметрические уравнения прямой

   Подставим в уравнение плоскости:    -

   Получили равенство, верное при любых  Следовательно, прямая лежит в плоскости.

Пример
   Найти уравнение перпендикуляра к плоскости
                                            ,
   проходящего через точку А(2;-1:3), и определить координаты основания этого перпендикуляра.


title: Скачать презентацию или конспект Тождественные преобразования выражений

extracted_text:
Тождественные преобразования выражений
2.10.2012
Проверка домашнего задания:
№ 96
а) 11а+b;
б) -17x+5y;
в) -10a-3b;
г)-x-2,5y.
№ 98
а) x+b+c+d-m;
б) a-b+c+d;
в) x+y-b-c+m;
г)x+a-b-c-d.

№ 105
а) 2x+8;
б) -5y+46;
в) 20z-33;
г) 5;
д) -10b+4;
е) 36,8c-8.

Впишите в таблицу букву «и», если утверждение истинно, и букву «л», если утверждение ложно:
Заполните пропуски в равенствах такими выражениями, чтобы они стали тождествами:
Упростите алгебраические выражения и  узнайте названия стран, с которыми граничит Чили:
20-13x
8x-13
13x-4
Упростите выражения, впишите в таблицу  буквы, соответствующие найденным ответам.
Валле дэ ла Луна (Лунная долина)
Район Сан-Педро-де-Атакама, лагуна Мисканти, 4200 м над уровнем моря
Сухое озеро Салар-де-Марикунга, Национальный парк Невадо-Трес-Крусес

a
m
n
b
№ 90, 103, 107
Я не во всем разобрался и не уверен, что справлюсь с заданиями контрольной работы
Я умею выполнять тождественные преобразования выражений и уверен, что справлюсь с заданиями контрольной работы.
Я узнал новое для себя и хочу продолжить знакомство с Чили.
Я не уверен, что готов к контрольной работе.?
Я справлюсь с заданиями контрольной работы.
Я узнал кое-что новое для себя.


title: Скачать презентацию или конспект Преобразование графиков функций, содержащих модуль

extracted_text:
Преобразование графиков
функций, содержащих модуль

y = f(x) + a

y = f(x)
y = f(x) - a

+a

-a
Преобразование графиков функций. Т1. Параллельный перенос по оси Оу
  y = f(x)
 график исходной
 функции

y = f(x) + a
y = f(x) – a
параллельный
перенос вверх
по оси Оу

параллельный
перенос вниз
по оси Оу

х
у
0
   Задание 1
    График исходной функции   у = f(x) задан точками
    А(-5;-3) → В(-2;3) → С(1;3) → Д(5;0). Какие координаты будут иметь соответственные точки на графиках функций у = f(x)+3  и  у = f(x)─2

    Назовите функции, графики которых можно построить путем параллельного переноса исходного графика вдоль оси Оу :
у = (х–8)2
 у = х3+3
 у = х + 4
у = х2 – 2

Задание 2
6.
7.
8.
у = х+4
у = х3+3
у = х2 –2
3

y = f(x+а)

y = f(x)
y = f(x-а)

-a

+a
Преобразование графиков функций. Т2. Параллельный перенос по оси Ох
  y = f(x)
  график исходной
  функции

y = f(x+a)
y = f(x–a)
параллельный
перенос влево
по оси Ох

параллельный
перенос вправо
по оси Ох

х
у
0
 Задание 3
Используя правила параллельного переноса вдоль координатных осей установите соответствие между формулой, задающей функцию и правилом преобразования ее графика.
  График данной функции построен путем
параллельного переноса графика функции
у = f(x) :

- на 3 ед. вниз по оси Оу;
- на 3 ед. вправо по Ох и на 3 вниз по Оу;
- на 3 ед. вверх по оси Оу;
- на 3 ед.влево по оси Ох и на 3 вниз по Оу;
- на 3 ед. вправо по оси Ох;
- на 3 ед. влево по оси Ох и на 3 вверх по Оу;
- на 3 ед. вверх по оси Оу и на 3 вправо по Ох

y =  - f(x)

y = f(x)
Преобразование графиков функций. Т3. Симметричное отображение относительно оси Ох
  y = f(x)
 график исходной
 функции

y = - f(x)
симметричное
отображение
относительно
оси Ох

х
у
0

-с
+с

в
y =|f(x)|
y = f(x)
Преобразование графиков функций. Т4.1. Графики функций, содержащих модуль.
     y = f(x)
 график исходной
 функции

y =|f(x)|
часть графика,
лежащая над осью Ох,
сохраняется, часть,
лежащая ниже оси Ох,
симметрично
отображается
относительно оси Ох

у

y = f|(x)|

y = f(x)
Преобразование графиков функций. Т4.2.Графики функций, содержащих модуль.
  y = f(x)
 график исходной
 функции

y = f|(x)|
часть графика
при х ≥ 0 сохраняется,
она же симметрично
отображается
относительно
оси Оу

х
у
0

f(x) → │f(x)│
 Задание 4
f(x) → f(│x│)
 Задание 5
f(x) →│f(│x│)│
 Задание 6
 Домашнее задание:
Используя правила преобразования графиков построить графики следующих функций:
у = х2 – 4х + 3
у = |х2 – 4х + 3|
у = х2 – 4|х|+ 3
у = |х2 – 4|х| + 3|


title: Скачать презентацию или конспект Дробно-рациональные уравнения

extracted_text:
Урок алгебры в 8 классе
20.02.2017
 «Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать».
                                      Пифагор
Тема урока: Дробно-рациональные уравнения
20.02.2017
Предметные знания и  умения
Обогатить  методологический аппарат  правомерностью использования нового алгоритма для решения дробно-рациональных уравнений
Учиться распознавать дробно-рациональные уравнения
Учиться находить корни дробно-рациональных уравнений с помощью нового алгоритма

Мозговой штурм
1) Что такое уравнение?
2) Где здесь уравнения?
 3х + 4;   2х – 5 = х;    (3х+2)ːх = 0;   3х + 5х;   45 :(6 + 3) = 5?
3) Что называется корнем уравнения?
4) Что значит решить уравнение?
5) Сформулируйте условие равенства нулю рациональной дроби.

Если обе части уравнения являются рациональным выражением, то такое уравнение называют рациональным уравнением.
Рациональные уравнения

Целые рациональные
уравнения
Дробно-рациональные уравнения
Распознай уравнения
- целое рациональное уравнение
- дробно-рациональное уравнение
дробно-рациональное
 уравнение
- целое рациональное уравнение
Решаем дробно-рациональное  уравнение

Ответ:
Пример 1:
Решаем дробно-рациональное  уравнение

Ответ:
Пример 2:
Алгоритм решения дробно-  рациональных уравнений

Перенести все члены уравнения в одну часть.
Привести уравнение к виду

 Составить и решить систему

Записать ответ

Примечание: не следует записывать в ответ посторонние корни

Отклонение от алгоритма может привести к  приобретению посторонних корней данного уравнения

х - 3
x = 3 обращает знаменатель в нуль, значит уравнение корней не имеет.

Сократим дробь в левой части уравнения на (х – 3)

При таком «способе решения» мы получили посторонний корень.

Отклонимся от алгоритма
Тренировка
№ 26.1(а),
26.6(а),
26.9(б)

Ответ:

Пример 3:

Пример 4:
Ответ:

Пример 5:
Ответ:


title: Скачать презентацию или конспект Блиц-опрос "Решение треугольников"

extracted_text:
Блиц – опрос

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Выбери вопрос

В треугольнике АВС угол А равен 40 градусов. Внешний угол при вершине В равен 68 градусов. Найдите угол С.

Угол С равен 28 градусов.

     Два угла треугольника равны 580 и 720. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

Угол С равен 1300.

    В треугольнике АВС угол С равен 600, AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ.

Угол АОВ равен 1200.

В треугольнике АВС СН – высота, AD – биссектриса,
угол BAD  равен 250. Найдите угол АОС.

Угол АОС равен 1150.

В треугольнике АВС АС=ВС, угол С
 равен 520.
Найдите внешний угол CBD.

Угол СВD равен 1160.

В треугольнике       АВС
АС = ВС = 10,
 АВ = 12.
 Найдите  cosA.

cosA = 0,8

В треугольнике АВС   АС = ВС,  АВ=10,
высота АН равна 8. Найдите sin CAB.

Sin CAB=0,8

В треугольнике АВС АВ = ВС,
АС = 5,
СН – высота,
АН = 4.
Найдите синус угла АСВ.

sin ACB = sin CAB = 0,6.

  В треугольнике
   АВС  АВ = ВС, АС = 10,
   cos АСВ = 0,8. Найдите высоту СН.

Решение:

В треугольнике АВС
угол С равен 900,
CD – медиана,
угол В равен 580. Найдите угол АСD.

Угол ACD равен 580.

    Острые углы прямоугольного треугольника равны 290  и 610.
   Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.

Угол DCH равен 160

    В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой,  проведенными из вершины прямого угла, равен 400. Найдите больший из острых углов этого треугольника.

Угол В равен 650

    Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 140. Найдите меньший угол этого треугольника.

Угол МСН равен 140

Угол САВ равен 310

В треугольнике АВС
 угол С равен 900,
 СН – высота,
  угол А равен 600,
   АВ = 12.
  Найдите ВН.

Решение:

Найдите сторону треугольника, лежащую против угла 1200, если прилежащие к нему стороны равны 6 и 10.

По теореме косинусов

Высота треугольника
равна 1, 5.

Решение:

Презентация
«Решение треугольников» подготовлена учителем математики
ГОУ СОШ УМИ №7
Быковой Е.В.


title: Скачать презентацию или конспект Комбинаторные задачи и их решения

extracted_text:
Элективный курс  по математике для 9 класса
Комбинаторные задачи и их решения

        Автор: учитель математики I квалификационной

категории МОУ «Чуру – Барышевская  основная

общеобразовательная школа» Апастовского

муниципального  района РТ  Шакирзянова Румиля
Илдусовна

5klass.net
1)  Цели и задачи
2) Пояснительная записка

3) Требования к уровню подготовки
    4) Учебно– тематический план
             5) Содержание программы
                    6) Поурочное планирование
                   7) Презентации

8) Литература

Структура курса
Программа  является обучающей и содержит:

Цель курса:
   - углубление знаний учащихся с учётом их интересов и
     склонностей, развитие математического мышления,
     воспитание у учащихся глубокого интереса к математике и
     её приложению, воспитание и развитие у учащихся
     инициативы и творчества;
   - овладение конкретными математическими знаниями,
     необходимыми для применения в практической
     деятельности;
   - формирование представлений о математике как части
     общечеловеческой культуры, понимания значимости
     математики для общественного прогресса.

Задачи курса:
  - расширение и развитие  математики общеобразовательной
    школе,

  сближение элективного курса с современной математикой
    как наукой дополнение отдельных разделов из курса
    математики.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Появление стохастической линии в школе вызвано велением времени, поскольку является следствием многих социально-экономических причин.
     О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и комбинаторики речь идёт очень давно.
     Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами , читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.
      Появление в школьной программе вероятностно-статистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства явлений окружающей действительности, будет способствовать усилению её общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования.
    Существенность развития комбинаторных возможностей интеллекта учащихся очевидна и с общих позиций теорий развитие личности, и с точки зрения различного рода практических приложений: развитие представлений о статистических закономерностях, формирование информационной культуры, оценка возможностей наступления событий и так далее. В общем, «… эта способность нужна в жизни всякому…».
   Данный спецкурс реализует взаимосвязь между предметами математики и информатики.
   Основная идея, положенная в основу спецкурса, является проведение интегрированных занятий.
   В школьном курсе математика и информатика рассматриваются как две отдельные дисциплины, и наверно было бы очень эффективно показать учащимся непрерывную связь этих двух дисциплин.
    Ценность стохастических задач определяется не столько тем аппаратом, который используется при решении, сколько возможностями продемонстрировать процесс применения математики для решения вне математических задач. Задачи эти знакомят учеников с реальными применениями стохастических идей и методов, а также служить для организации специфической деятельности, необходимой в процессе применения математики.
   Этот элективный курс как раз и посвящён изложению тех понятий, фактов, задач и обстоятельств, с которых, собственно, берёт своё начало стохастическая линия. Если в высшей школе основой акцент делается на изучение математического аппарата для исследования вероятных моделей, то в школе учащимся прежде всего необходимо ознакомить с процессом построения модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям, развивать вероятностную интуицию.
    Трудно переоценить значимость той роли, которую может и должно играть изучение элементов комбинаторики в общеобразовательной школе. Комбинаторные процедуры всепроникающе  входят в математическую деятельность на всех её уровнях. Освоение таких процедур – это освоение «первомеханизмов» математической деятельности, несущее эффективные и органичные средства развития умственных способностей и особенно математических способностей учащихся. И поэтому исследование вопросов обучения комбинаторике ведут к исследованию глубинных вопросов обучения математике.
     Комбинаторные задачи несут широкие возможности для осуществления процессов формирования таких моделей исследуемых ситуаций, которые могут служить одновременно и формами представления общих методов, и образцами их применения.
 Программа курса рассчитана на группу учащихся 9 классов.

учащиеся должны знать и уметь
правильно употреблять термины и формулы;
решать задача подсчётов вариантов, правило произведения;
применять формулы перестановки, размещения и сочетания;
Развитие мышления учащихся, т. е. формирование у них умений и навыков применения различных приёмов мыслительной деятельности, осуществляется следующими  этапами:
знакомим учащихся с отдельными мыслительными приёмами,
совместно приходить к выводу, с которым сегодня познакомились в процессе изучения новой темы или решения задачи,
выбор того или иного мыслительного приёма.
Научить учащихся работать с литературой. Читая учебник или дополнительную литературу, учащиеся должен выделить  главное из прочитанного, хорошо усвоить его и прочно запомнить. Этого он может добиться только в том случае, если, изучая материал, выполняет над ним активную мыслительную деятельность. Обучение работе с книгой сводится к формированию умений применения мыслительных приёмов.

Требования к уровню подготовки:

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Тема № 1.Исторический обзор.
  Основные понятия комбинаторики. Термины и символы. Развитие комбинаторики. Магические квадраты. Понятие вероятности и зарождения науки о закономерностях случайных явлений. Решение исторических задач.
Тема № 2. Введение в комбинаторику.
    Комбинаторные задачи. Правило умножения. Дерево вариантов. Факториалы. Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями. Размещение без повторений. Размещение с повторениями. Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями. Треугольник  Паскаля. Бином Ньютона.
Элементы комбинаторики излагаются традиционно. Сначала на простых примерах демонстрируются решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов и иллюстрируется этот метод с помощью дерева возможных вариантов. Затем  разъясняется и формулируется комбинаторное правило умножения(которое чаще всего называется  правилом произведения).
Далее последовательно вводятся понятия перестановки, размещения, сочетания, комбинации с повторениями.
ЗАЧЁТ.

Поурочное планирование
Урок 1.Тема: «Основные понятия комбинаторики и теории вероятностей.
                         Термины и символы. Магические    квадраты.»
Урок № 2: «Решение исторических комбинаторных задач».
УРОК № 3 «КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ».
УРОК № 4 « ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ».
УРОК № 5 ТЕМА: “ФАКТОРИАЛЫ .”
УРОК № 6”РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.”
УРОК № 7.”ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ’
УРОК№ 8“ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ”.
УРОК №9 'РАЗМЕЩЕНИЕ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ'.
УРОК №10'РАЗМЕЩЕНИЕ С ПОВТОРЕНИЯМИ'.
УРОК № 11'СОЧЕТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ'.
УРОК №12'СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ'.
УРОК № 13 «ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ. БИНОМ НЬЮТОНА.»
УРОК № 14 «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.
УРОК № 15 «ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПОТЕМЕ: 'КОМБИНАТОРИКА.»
УРОК № 16.'СОБЫТИЯ ДОСТОВЕРНЫЕ, НЕВОЗМОЖНЫЕ, СЛУЧАЙНЫЕ.‘
УРОК №17 «КЛАССИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ  ВЕРОЯТНЫХ СОБЫТИЙ.»
УРОК № 18«СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ».
УРОК № 19«ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ».
УРОК № 20«ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ».
УРОК № 21' РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ'. (тест)
УРОК №22 ЗАЧЁТ.

- История комбинаторики

- Описательная статистика

- Описательная статистика

Множества

Комбинаторика элементлары

Презентации

Литература
1.В.С.Лютикас  « Школьнику о теории вероятностей.»/учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов. Москва «Просвещение» 1983г.
2.Учебник Математика под редакцией Г.В. Дорофеева. Москва «Просвещение» 1994
3.Г.И. История математики в школе 9-10 классы. /пособие для учителей/ Москва «Просвещение» 1983 г.
4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. под редакцией Вавилова В.В. Издательство «Наука» 1987 г.
5.Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра.  Элементы статистики и теории вероятностей.» /учебное пособие для учащихся 7-9 классов/ Москва «Просвещение» 2003г.
6. С.И. Гельфанд и др.»Задачи по элементарной математике. Последовательности. Комбинаторика. Пределы. Издательство «Наука» Москва 1965г.
7.Задачи по элементарной математике. Под редакции В.Б. Лидский и др. Издательство «Наука» Москва 1973г.
8.Н.Я. Виленкин Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. Москва «Просвещение» 1976г.
9. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы под редакцией М.И. Сканави. Москва «высшая школа»1978г.
10. статья в газете приложение к первому сентября «Математика» А. Мордкович, п. Семёнов « События, вероятности, статистическая обработка данных». №34, 35, 41, 43, 44, 48/2002г., 11, 17/2003г.
11. М.В.Ткачёва, Н, Е.Федорова «Элементы стохастики в курсе математики 7-9 классов основной школы». Журнал «Математика в школе» №3/2003г.
12. статья «Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей». Журнал «Математика в школе» №5/2003г.
13. Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ» для 11кл. Москва «Просвещение» 1993г.
14. В.Н.Студенецкая «Решение задач по статистике,комбинаторике и теории вероятности»

Спасибо за внимание !


title: Скачать презентацию или конспект Непрерывность функций

extracted_text:
Непрерывность функций
Лекция 3
Непрерывность
   Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке              , если
   1)она определена в этой точке,
   2) существует                      и
   3)

Условие непрерывности
   Существование               равносильно тому,
   что существуют равные друг другу левосторонний и правосторонний пределы функции при              , равные к тому же и значению функции в точке, то есть

Непрерывность на множестве
    Говорят, что функция  непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
    Если функция  непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то говорят, что она непрерывна на этом отрезке, причем непрерывность в точке а понимается как непрерывность справа, а непрерывность в точке b – как непрерывность слева.
Непрерывность
    Теперь переформулируем определение непрерывности в других терминах. Обозначим                    и назовем его приращением аргумента в точке       ,

   будем называть приращением функции в точке .

Непрерывность
   Теорема. Функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть если

Теоремы о непрерывных функциях
    Теорема.
   Пусть заданные на одном и том же множестве Х функции           и           непрерывны в точке     . Тогда функции
                         ,                     ,

   непрерывны в точке       ,если знаменатель не равен нулю в этой точке:
         .

Теоремы о непрерывных функциях
    Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция
                непрерывна в точке       , а функция                 непрерывна в точке
                       . Тогда сложная функция
                          непрерывна в точке        .

Непрерывность элементарных функций
   Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например,

 является элементарной.
 Все элементарные функции непрерывны в области определения

Разрывы функций
    Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи.
     1.Если                                    существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку    называют точкой разрыва первого рода. При этом величину                           называют скачком функции в точке     .

Пример
   Исследовать на непрерывность функцию

   Эта функция может претерпевать разрыв только в точке 0, где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

Решение
    Из условия непрерывности следует:

   Таким образом, в точке 0 функция претерпевает разрыв 1-го рода со скачком 1.

График функции
   На рисунке изображена функция, имеющая разрыв 1-го рода в начале координат.

Разрывы функций
    2.Если в точке                                               ,                                   но в точке      функция  либо не определена, либо                          , то эта точка  является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив
                                                        ,
   то получится непрерывная в точке  функция.

Разрывы функций
   3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.
   Очевидно, что точки разрыва второго рода - это точки, в которых функция стремится к бесконечности. Например,            в точке х=1 имеет разрыв 2-го рода.

Пример
    Исследуем функцию              . Как элементарная функция она всюду непрерывна, кроме точки х=1.
                                             ,

    Имеем разрыв 2-го рода с бесконечным скачком.

Свойства непрерывных на отрезке функций
   Первая теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция         определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, т. е.
                         Тогда существует точка
                 такая, что

Свойства непрерывных на отрезке функций
   Проиллюстрируем теорему.
   Из рисунка видно, что функция имеет три нуля, то есть три точки, в которых она обращается в нуль.

Свойства непрерывных на отрезке функций
   Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения                    . Тогда, каково бы ни было число      между числами                      , найдется точка                такая, что
                                       .

Свойства непрерывных на отрезке функций
      Теорема 1 Вейерштрасса.
   Если функция        определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке ограничена, то есть существуют числа m и М такие, что   m           М для любого                   .

Свойства непрерывных на отрезке функций
     Теорема 2 Вейерштрасса.
   Если функция       определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений (то есть существуют такие                 на отрезке [a,b], что для любого            т.е. для              выполняется условие
                                                     .


title: Скачать презентацию или конспект Экстремум функции

extracted_text:
9.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0  называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство

Точка х1  называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство

Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции.
Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции.

max
min
max

На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке больше максимума в другой.
Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции.
Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю:

Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.
Например, функция
имеет минимум в точке
но она  в этой точке не дифференцируема.
Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум  в точке х0 , необходимо, чтобы
ее производная в этой точке равнялась
нулю или не существовала.

необходимое условие
экстремума:
Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической.
Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.
Найти критические точки и экстремумы
функций:
1

Примеры
Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

min

2

Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак с плюса на минус, то х0 есть точка
максимума, а если с минуса на плюс, то х0
есть точка минимума.

первое достаточное
 условие экстремума
Доказательство:
Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором интервале
а на некотором интервале
Тогда функция y=f(x) будет возрастать на
и будет убывать на
По определению возрастающей функции
Для убывающей функции

-точка максимума.
Аналогично доказывается для минимума.

1

Найти производную функции
2

Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

схема исследования
функции на экстремум
3

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
4

Найти экстремум функции.
Исследовать функцию на экстремум:

Пример
Решение:
Применим схему исследования функции на экстремум:
1
Находим производную функции:
2
Находим критические точки:

критические точки

3
Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:

min

В точке х=1 экстремума нет.
4
Находим экстремум функции:
Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а
вторая производная в этой точке
положительна, то х0 есть точка
минимума, а если вторая производная
отрицательна, то х0  есть точка максимума.

второе достаточное
 условие экстремума:
Доказательство:
Пусть
следовательно
и в некоторой окрестности точки х0, т.е.
функция
будет возрастать на
содержащем точку х0.
Но

 на  интервале
а на интервале
Таким образом, функция
при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума.
Аналогично доказывается случай для максимума функции.

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на:
3

Найти вторую производную и определить ее знак в  каждой критической точке.
Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума.
Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции  равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума.
В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.


title: Скачать презентацию или конспект Свойства функции

extracted_text:
Функция

pptcloud.ru
Для построения графика функции
дадим независимой переменной несколько конкретных значений

Если x = 0, то
Если  x =1, то
Если  x = 4, то
Если x = 6,25, то
Если x = 9, то
График функции

это  ветвь параболы, но направлена не вверх, а вправо.
Свойства функции
Область определения –
     луч [0, +∞).
y = 0 при x = 0;
 y > 0 при x > o.
Функция непрерывна
     на луче [0, +∞).
Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
yнаим =0 при x = 0 ,
     yнаиб не существует
Познакомимся с новым свойством, которым может обладать функция.
Для этого рассмотрим свойства функции y = x2 при x ≥0.
Область определения –
луч [0, +∞).
y = 0 при x = 0;
y > 0 при x > o.
Функция непрерывна на
  луче [0, +∞).
Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
yнаим =0 при x = 0 ,
  yнаиб не существует.

сравните
Свойства функции

Область определения –
     луч [0, +∞).
y = 0 при x = 0;
 y > 0 при x > o.
Функция непрерывна
     на луче [0, +∞).
Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
yнаим =0 при x = 0 ,
     yнаиб не существует

       Свойства функции
           y = x2 при x ≥0.
Область определения –
     луч [0, +∞).
y = 0 при x = 0;
 y > 0 при x > o.
Функция непрерывна
     на луче [0, +∞).
Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
yнаим =0 при x = 0 ,
     yнаиб не существует

Вы верно заметили, что записанные свойства одинаковые.
                       Но ведь графики разные!!!!!!!!
Значит, есть еще какое-то свойство, по которому их можно
                                   отличить!

 Область определения –
     луч [0, +∞).
  y = 0 при x = 0;
  y > 0 при x > o.
  Функция непрерывна
     на луче [0, +∞).
  Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
   yнаим =0 при x = 0 ,
     yнаиб не существует

 Функция выпукла вверх

Свойства функции
12
Построим график функции
13
Определите формулу графика данной функции
14
8 класс. Алгебра. Мордкович А.Г.
Данная презентация разработана Катричко Т.И., учителем математики Ледмозерской СОШ в 2004 году. Апробирована в течение трех лет.
Используется при объяснении нового материала, при самостоятельном изучении данной темы.
Использованы программные средства:
Power Point
Ulead GIF Animator5
Advanced Grapher
Литература.
А.Г. Мордкович. Алгебра. Учебник. 8 класс. Мнемозина. Москва 2000.


title: Скачать презентацию или конспект Результативность школьного урока от чего она зависит

extracted_text:
Результативность школьного урока: от чего она зависит?
Родительское собрание
«Учение – это труд души, ума, тела. И любой труд каждого человека, будь то ребенок или взрослый, ученик или учитель… - это учение. По сути в каждом из нас одновременно живет и Учитель и Ученик»
                                                                                (Б.И. Коротяев)
«Дети должны делать то, что хотят, а хотеть они должны то, что хочет педагог»                                                                                Жан-Жак Руссо
    Хорошая учеба – это не только высокие оценки, это и ощущение учеником своей успешности, значимости, уверенности в том, что нерешаемых задач нет

Факторы, влияющие на успешность и успеваемость школьника:
толерантность и эмоциональная наполненность среды;
сложность учебного предмета и квалификация учителя предметника;
Самооценка успешности каждого учащегося, его оценка своей значимости в коллективе и качество взаимоотношений с учителем и одноклассниками.
Урок (С.И. Ожегов)
Работа, заданная для выполнения в определенный срок (устар.)
Учебная работа, заданная ученику
Учебный час, посвященный отдельному предмету
Нечто поучительное, из чего можно сделать вывод для будущего

Положительные и отрицательные числа
Добро пожаловать в удивительный мир математики

«всякое учение и всякое обучение основано на некотором ранее имеющемся знании»
                  аристотель
Девиз урока
Будьте внимательны!
1. Из указанных чисел -1,2;    ; -    ; 0;6; -3   ;   7,2; -10,8
Исключите:
1) натуральные;
2) дробные числа;
3) положительные числа;
4) отрицательные числа

2. Приведите примеры чисел:
дробных отрицательных;
смешанных;
целых положительных;
целых отрицательных;
натуральных;
дробных положительных.

3. Приведите примеры пар чисел:
взаимно простых;
взаимно обратных;
противоположных.

Знаковый диктант
    Если твой ответ совпадает с утверждением, то ставь 1, а если нет, то 0
Оцени правильность следующих утверждений
Модуль это расстояние от данной точки до начала координат.
Целые числа это числа натуральные и им противоположные.
Числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными.
Отрицательные числа находятся левее нуля на координатной прямой.
Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули.
Ключ  10110
Назовите числа, противоположные данным и расшифруйте фамилию математика
видман
Интеллектуальная разминка
Из указанных чисел исключите лишнее число:
• 1,2; 5;       ;  -1,5;  2
• -35,8; 	; 	;  0;  17,3
• -49;  -0,14;  5;  0;  -1
• 	;  -4,123; 		;  59 ; 0
• 0; -7,6;  45,01;     	;

5
   0
      -0,14
              -4,123
                          0
Вычислите
Чтобы сложить отрицательные числа, надо:
• сложить их модули,
• поставить перед полученным числом знак минус.
(К минусу прибавить минус
  минус и останется
  теперь модули сложи
  и ответ появится)
Брахмагупта
(7 век)
«Сумма двух долгов есть долг»

( индийский математик)
-47 + (-19 )=                           Т
-17 + (-8) =                             Р
-3,5 + (-5,9) =                         Е
-8,8 + (-4,2) =                         А
-5,9 + (-3,7) =                         К
-3,75 + (-1,27) =                    Д
 Вычислите и расположите ответы в порядке убывания
47 + (-19 )=  -66                Т
-17 + (-8) = -25                  Р
-3,5 + (-5,9) = -9,4             Е
-8,8 + (-4,2) =-13               А
-5,9 + (-3,7) =  -9,6            К
-3,75 + (-1,27) =  -5,02     Д
Декарт
(французский математик, ввел координатную прямую в 1637 году)
Подумай!
  Магический квадрат
   Заполните ячейки квадрата цифрами от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и диагоналях их сумма равнялась 15
Три предложения
За что ты можешь себя похвалить?
Что тебе удалось на уроке?
Над чем еще нужно поработать?
Результативность урока зависит от
Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало ешь,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

Спасибо за работу!


title: Скачать презентацию или конспект Решение задач на объём

extracted_text:
ЗАДАЧИ ТИПА В11
Составила: учитель математики МБОУ «Лиманская СОШ № 1»
Писарева Л.А.
pptcloud.ru
B11 № 27052.   Объем конуса равен 16.
 Через середину высоты параллельно
основанию конуса
проведено сечение
, которое является основанием
 меньшего конуса с той же вершиной.
Найдите объем меньшего конуса.
B11 № 27093. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите .
B11 № 27094. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?
B11 № 27095. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?
B11 № 27096. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

B11 № 27124. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
B11 № 27135. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
B11 № 27161. Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
B11 № 27202. Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.Объем данной части конуса равен
Ответ: 87,75.
B11 № 27203. Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
B11 № 245351. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.
B11 № 318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
11 № 27042. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра
B11 № 27046. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в  раза больше первого? Ответ выразите в см.
B11 № 27049. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
B11 № 27050. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны    . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
B11 № 27118. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
B11 № 27197. Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
R = 1
B11 № 245348. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
B11 № 27174. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .
B11 № 27162. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
B11 № 27127. Около куба с ребром   описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .
B11 № 27105. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.


title: Скачать презентацию или конспект Мультимедийная презентация урока по математике во 2 классе

extracted_text:
Мультимедийная  презентация урока по математике во 2 классе по учебнику М.И.Моро, М.А.Бантова «Математика» (система «Школа  России»)(урок проведён в технологии деятельностного метода)
Тема урока
Раздел: числа от 1до 100.
Сложение и вычитание.
Уравнение.
Тип урока:
урок открытия нового знания
 «Уравнение.»

 Цель урока:

Задачи урока:
 Познакомить с понятием «уравнение»; формировать умение читать, записывать и решать уравнение.
1. Совершенствовать вычислительные навыки.
2. Развивать вычислительные навыки, логическое мышление,   математическую  речь.
3. Формировать навыки самоконтроля, умение работать в  паре и   группе.

Методы и формы
Методы:
 практический (работа в парах, группах)
 словесный
 частично - поисковый
 метод контроля

 Формы:
  индивидуальная
  групповая
  коллективная
Результат
Данный урок  формирует  умения (способности) учащегося:
записывать уравнение, решать его и делать проверку;
самостоятельно осуществлять деятельность учения;
ставить учебные цели
находить и использовать необходимые средства и способы достижения цели;
контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности.

Оборудование:
• мультимедийный проектор;
• экран;
• компьютер;
• презентация в программе Power Point;
 учебник «Математика» М.И.Моро, 2 класс , 2011г.
 карточки с заданием, лист самооценки.
В добрый путь

   Тот, кто хочет много знать,
   Должен сам всё  постигать!

  - Какие два шага мы должны пройти, чтобы открыть новые знания?
Шаги.

 - Вы готовы к работе? Тогда в путь.
 Пожелайте друг  другу удачи!

Правила работы в группах
Убедись, что в разговоре участвует каждый.
Говори спокойно, ясно и по делу.

Дайте возможность высказаться каждому.
- Ребята, возьмите на парте лист самооценки. Если выполнили задание правильно, то поставьте в листе самооценки плюс, если возникли трудности, то поставьте знак вопроса.
Как называется выражение?
24+3
53-3>20
 +4=12
а+5, где а=7
	х+4=12
=27

Как называется выражение?
24+3
53-3>20
 +4=12
а+5, где а=7
	х+4=12
=27
Какой вывод можно сделать?
 «Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число».
 «Решить уравнение – значит найти неизвестное число, чтобы равенство было верным».
Х+7=10
Х=3
Проверка:   3+7=10
10=10
7-Х=2
Х=5
Проверка:   7-5=2
2=2
Х-1=0
0=0
Проверка:   1-1=0
0=0
Читаю уравнение.
Модель решения уравнения
 Подбираю число.

Определяю неизвестные.

Выполняю проверку.

Пишу ответ.

Молодцы!


title: Скачать презентацию или конспект Числа

extracted_text:
Системы счисления
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе вес цифры зависит от ее позиции (места) в числе. В непозиционной – не зависит. Примером непозиционной СС является Римская система счисления (иероглифическая):
РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Например: MCMXCIX = 1999, MM = 2000.
pptcloud.ru
Позиционные системы счисления
Количество цифр в СС называется ее основанием.
Позиция цифры в числе называется ее разрядом, а количество цифр в числе его разрядностью.

Десятичная система счисления.
Цифры 0,1,2,3,…9
Основание = 10
Например: 1221 – 4-х разрядное число.
Вес единиц – 1000 и 1, вес двоек 200 и 20
Разложим это число по степеням основания:
3  2  1  0 – номера разрядов (разряды нумеруются справа налево от 0)   1 2 2 1=1∙103+2∙102+2∙101+1∙100 =1000+200+20+1
Каждую цифру умножаем на основание (10)в степени равной разряду
Двоичная система счисления

Цифры 0,1
Основание = 2

Например: 111112 – 5-и разрядное двоичное число.
Вес единиц – 1,2,4,8,16 справа налево

Для примера, разложим число 100012 по степеням основания для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления:
4  3  2  1  0 – номера разрядов                            1 0 0 0 12 =1∙24+0∙23+0∙22+0∙21+1∙20=16+0+0+0+1=17
Каждую цифру умножаем на основание (число 2)в степени = разряду, складываем произведения и получаем десятичный эквивалент двоичного числа 100012=17

Правило обратного перевода (из десятичной СС в двоичную):
Целочисленное деление десятичного числа на 2 несколько раз, пока в частном не получится 1. Записать 1 и приписать к ней все остатки целочисленного деления в обратном порядке.
Ответ: 13=11012
Проверка разложением по степеням основания:

3  2  1  0 – номера разрядов
1 1 0 12 =1∙23+1∙22+0∙21+1∙20=23+22+20=8+4+1=13
ТАБЛИЦА СТЕПЕНЕЙ ЧИСЛА 2
Перевод из десятичной системы счисления в двоичную вычитанием степеней двойки
Задание: перевести свой день рождения в двоичную систему счисления двумя способами
Сложение в двоичной системе счисления
          12    12     110112=27
              02    12      100112=19
                                         12   102          1011102=46

Восьмеричная система счисления.
Цифры: 0,1,2,…,7
Основание = 8
Для перевода числа из 8-ричной СС в 10-ную разложим его по степеням основания (восьмерки).
Например: 1278

2  1  0
1 2 78 =1·82+2·81+7·80=64+16+7=87
Обратный перевод: 197 = 3058
Правило обратного перевода:
Целочисленное деление на 8 несколько раз пока в частном не получим цифру<8, затем записываем эту цифру и приписываем все остатки целочисленного деления в обратном порядке.
Задание: перевести свой год рождения в 8-ричную систему счисления.
Пример перевода десятичного числа 1601 в восьмеричное:
Ответ: 1601= 31018
            3  2  1  0                                                                       Проверка: 31018 = 3∙83 + 1∙82 + 0∙81 + 1∙80 = 3∙512 + 64 + 0 + 1 = 1536 + 64 + 1=1601
Шестнадцатеричная система счисления.
Цифры: 0,1,2,…,9,A,B,C,D,E,F
Основание = 16
Для перевода числа из 16-ричной СС в 10-ную разложим его по степеням основания (16-ти).
Например: А0516

2  1  0
А 0 516 =10·162+0·161+5·160=2560+0+5=2565
Обратный перевод: 2565 = А0516
Правило обратного перевода:
Целочисленное деление на 16 несколько раз пока в частном не получим цифру<16, затем записываем эту цифру и приписываем все остатки целочисленного деления в обратном порядке.
Задание: перевести свой год рождения в 16-ричную систему счисления.
Таблица перевода первых 15 чисел натурального ряда  из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

8-ми и 16-ричная СС используются как промежуточные между десятичной и двоичной СС. Перевести число из двоичной в 8-ми или 16-ричную системы очень легко. Так же легко сделать обратный перевод.
Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную (2  8) (2  16)

Триада – три двоичных разряда
2  8 Разбиваем двоичное число на триады справа налево и каждую триаду записываем восьмеричным числом 1.011.101.1102=13568
8  2 Каждую цифру восьмеричного числа записываем как триаду 15338 = 1.101.011.0112

Тетрада – четыре двоичных разряда
2  16 Разбиваем двоичное число на тетрады справа налево и каждую тетраду записываем 16-ричным числом 1.0111.1011.10102=17BA16
16  2 Каждую цифру 16-ричного числа записываем как триаду 1F0316 = 1.1111.0000.00112

Три способа перевода чисел из одной системы счисления в другую
Другие системы счисления
В какой системе счисления 3+3=11?
В 6-ричной
В какой системе счисления 5+1=10?
В 5-ричной
Переведите число 2013 в десятичную СС
19
Переведите число 400 в тринадцатеричную СС
24А
Так как 400:13=30 остаток А; 30:13=2 остаток 4
В 7-ричной
В какой системе счисления 10-3=4?
МОЛОДЦЫ!


title: Скачать презентацию или конспект Изучение величин в начальном курсе математики

extracted_text:
Изучение величин в начальном курсе математики.Автор: Иоанесян Б.
В математике ум исключительно занят  собственными формами познавания - временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом.
А. Шопенгауэр.

Анализ методики изучения
велечин
по УМК Петерсон Л.Г.

Величины
Длина
площадь
масса
 время
 объём
Распределение изучения единиц величин по классам. УМК  Л.Г.Петерсон


title: Скачать презентацию или конспект Внетабличное умножение и деление

extracted_text:
Урок математики в 3 классе.

Внетабличное умножение и деление.
Составитель: учитель начальных классов МОУ «Гимназия №1»
города Балаково Саратовской области
Абросимова Ольга Викторовна.

190 х 3 =

8200 : 2 =

640 : 8 =

130 Х 5 =

750 : 3 =
270 : 3
45 Х 2
=
80 Х 7
150 Х 4
<
3 км 600 м =
м
9 т 007 кг =
кг
2650 м =
км
м

570

4100

80

650

250
3600
9007
2
650
Решить с объяснением.
-   250 кг
? , 1/5

?
1) 250 : 5 = 50 (кг)
2) 250 + 50 = 300 (кг)
Ответ: 300 кг.
Составить задачу и решить .
 180 разделить на произведение 5 и 6.
 Частное 300 и 150 умножить на частное 60 и 15.
 Произведение 120 и 30 разделить на 18.
 Произведение 25 и 4 увеличить в 100 раз.
Записать выражения и найти их значения.

64 кор.
32 кор.
1 способ решения задачи

64 кор.
32 кор.

+
2 способ решения задачи
Отдохните!

Р = 120 см
а = 40 см
S - ?
Вычислить S прямоугольника

23 м
23 м
23 м
23 м

?
70 Х а = 28
Составь и реши уравнение
Самостоятельная работа
Цена              Количество         Стоимость

300 р.       ? шт.              1200 р.
420 р.   ? шт.	           840 р.

На ? >
: 300 – 840 : 420 = 2
Ответ: на 2 мяча больше.

Назвать правильный ответ к примеру

8100 : 9 + 720 : 80 – 3600 : 36 =
1000
350
7500
809
909


title: Скачать презентацию или конспект Урок-путешествие в Древний Египет

extracted_text:
    Умножение многозначных чисел.      Путешествие   в  Древний   Египет.
        Карта     Древнего  Египта

Абу-Симбел
Мемфис

Плато Гиза
           Солнечные    лодки
             1954 год
              Храм    Абу- Симбел
4  Статуи   Рамзеса   по  20 м.
             Фараон  Рамзес

Годы  жизни :
1303 -1212 гг. до н.э.

Управлял страной  с
1290- по 1224 гг. до н.э.
          3  пирамиды  в   Гизе

Хефрена
Хеопса
Мекирина
            3  пирамиды  в   Гизе

Хефрена
Хеопса
Мекирина

1 способ
2 способ

4 способ
3 способ

                     задачИ:
  1. В  пирамиде Хеопса расположена погребальная   камера царицы  прямоугольной формы длиной 570 см. и шириной 520см.
   Найдите   периметр
                камеры.
2.Вблизи   пирамид
расположены 7 ям с
солнечными лодками.
Одна лодка состоит из
 1224 частей.
Из скольких  частей
состоят 7 лодок?
               ХРАМ   Абу- Симбел
 В долине  Асуан находятся два
храма– Абу-Симбел и храм
Нефертити. Храм Нефертити
имеет массу - 21. 040 тонн.
Во  время реставрации
Абу-Симбел , породу, из  которой
состоял  храм, распилили  на
1042 блока по 30 тонн каждый.
Какова масса храма Абу-Симбел?
 У какого храма масса больше и
на сколько?

  Мемфис –  столица  древнего  Египта
                Берегите    культурное  наследие!


title: Скачать презентацию или конспект Изучение сечений в стереометрии с помощью компьютера

extracted_text:
Ямало-Ненецкий автономный округ
Изучение сечений
в стереометрии
с помощью компьютера
г. Губкинский  средняя школа № 4

2006 г.
В школьном курсе стереометрии основными задачами на построение являются задачи на построение сечений пространственных фигур, а для этого необходимо научиться изображать эти фигуры.
Введение
Этот метод  осуществляется проектированием всех параллельных прямых.
Проекционное изображение фигуры в таком случае можно получить не непосредственным проецированием этой фигуры, а выполняя построения в строгом соответствии с законами параллельного проектирования.
Существуют различные методы изображения пространственных фигур на плоскости, но практика показывает, что целесообразным является метод параллельного проецирования.

Эти законы сводятся к сохранению на проекционном чертеже таких свойств фигуры:

1. свойство фигуры быть точкой, прямой, плоскостью;

2. свойство фигуры иметь пересечение;

3. деление отрезка в данном отношении;

4. свойство прямых (плоскостей, прямой и плоскости) быть параллельными;

5. свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией;

6. отношение длин параллельных отрезков;

7. отношение площадей двух фигур.

a) изображение должно быть верным, то есть оно должно представлять собой фигуру, подобную произвольной параллельной проекции;

b) изображение должно быть по возможности наглядным, то есть должно вызывать верные пространственные представления об изображаемой фигуре;

c) изображение должно быть легко выполнимым, то есть правила построения должны быть максимально простыми;

d) изображение должно быть удобоизмеримым, то есть по изображению можно, и притом не сложно, восстановить оригинал метрически точно.
В зависимости от цели используются изображения следующих трех видов:

иллюстративные
полные
метрически определенные

Но всем этим изображениям предъявляются такие требования:
Только после того можно строить их сечения.
Цели моей работы:
исследовать построение сечений в стереометрии и применить компьютер для изображения сечений.
 При решении стереометрических задач требования к качеству чертежа, его наглядности значительно возрастает.
В построение пространственного чертежа входит:
- выбор оптимального положения изображаемого тела,
- выбор ракурса и проекции,
- умение минимизировать количество изображенных линий,
- умение строить сечения и проекции на плоскость,
- умение перевести условия задачи на  графический язык.

все остальные фигуры
Пространственные тела можно разделить на две группы:
удобные для пространственного изображения
и неудобные.

К первой группе относятся следующие многогранники:
-  параллелепипед (прежде всего прямоугольный),

- треугольная призма,

- треугольная пирамида (тетраэдр)

- четырехугольная пирамида.
Ко второй группе относятся:
Конечно, такое разделение носит условный характер.
И одной из целей данной  исследовательской работы является построение сечения в «неудобных» для изображения  пространственных тел.

Суть задач на построение сечения заключается в построении пересечения плоскости с гранями многогранника - следов секущей плоскости на гранях многогранника.
Построение сечения многогранников

Таким образом, пересечение многогранника с плоскостью может быть пустым множеством, точкой (вершина многогранника), отрезком (ребро многогранника) или многоугольником (вершины которого лежат на ребрах многогранника).
а) строить следы прямых , лежащих в плоскости сечения, и по ним находить следы самой плоскости;

б) строить третий след трехгранного угла по двум найденным следам на плоскости сечения;

в) применить внутреннее проектирование.
Построение  следов плоскости на гранях можно вести по одному из следующих приемов:

M

Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости.
Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.
       Задача на построение сечения 1
Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD, так что бы плоскость сечения была перпендикулярна основанию и делила пополам стороны основания треугольной пирамиды.

A
B
D
C
F
O
E
N

M
K

Построение:

Решение:
1. Проведем среднюю линию MN основания ABC (соединим середины двух сторон основания).
2. Проведем в основании ABC медиану AE, она пройдет через середину отрезка MN, которую обозначим F.
3. Из вершины D построим  высоту DO к медиане AE.
4. Из F проведем линию параллельно высоте OD до пересечения с ребром AD, обозначим точку К.
Соединим точки N, М и К.

Искомое сечение NMK.
М

Задача на построение сечения 2
Построить сечение четырехугольной пирамиды QWBCE плоскостью, проходящей через сторону основания CB и точку А на одном из ее боковых ребер QW.
Построение:
Решение:

g
A
B
C
D
Q
W
E

О

2. Продолжим сторону основания EW до пересечения с g. Точка пересечения О принадлежит секущей плоскости и
3. Проведем вспомогательную прямую через точку А и  точку пересечения О. Эта прямая пересечет ребро EQ в точке D.
4. Соединим точки A, B, C и D.

Искомое сечение ABCD.

1.  Продолжим сторону CB – это  будет g - след секущей плоскости.
плоскости проходящей через боковую грань пирамиды, где лежит ребро QW.
Задача на построение сечения 3
Построить сечение  призмы QWERUYTI, так что бы плоскость сечения проходила через прямую a в плоскости нижнего основания призмы и точку A на одном из боковых ребер WT.
Построение:
Решение:

D
В
а
С

А
Q
W
E
R
T
Y
U
I

1.  Продолжим стороны основания призмы до пересечения с прямой а, они все лежат в одной плоскости (плоскость основания призмы). Точки пересечения продолжения сторон  основания с прямой а принадлежат и прямой а и плоскостям, проходящим через боковые грани призмы.
2. Проведем прямые через точку А и точки пресечения продолжения  сторон основания с прямой а,  эти прямые пересекут боковые грани в точках В и С.
3. Через точки В и С проведем прямые, которые пройдут через точки пересечения продолжения соответствующих сторон основания и прямой а, пересечение этих прямых должно лежать на ребре RU, получим точку D.
Искомое сечение АBDC.
Задача на построение сечения 4
Изобразите сечение параллелепипеда ABCDHGSF, проходящее через точки М, К, Р на его ребрах.
Построение:

M

P

K

Q
A
B
C
D
S
F
G
H

Z

X

Решение:

Получившаяся фигура MPKZX и есть искомое сечение.

1. Для построения данного сечения соединим имеющиеся точки прямыми МР и  РК.
2.Продолжим ребро FS до пересечения с прямой PK, получим точку W.
3.Так же построим точку Q пересечением прямой PM и продолжением ребра FH.
4.Через точки W и Q проведем прямую, которая пересечет ребра HG и GS в точках X и Z.
W

Задача на построение сечения 5
Изобразите сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, К, Р на его ребрах.

M

P

K

A
B
C
S
G
H
D
Z

X

F

W
E

Y
Построение:

Решение:
1. Сначала соединим точки М и Р.
2. Построим прямую, которой принадлежит точка К и которая проходит параллельно прямой МР, где Х - точка пересечения данной прямой с ребром АВ.
4. Продолжим DC до пересечения с XK в точке W.
3. Продолжим AD до пересечения с XK, получим вспомогательную точку Y.
5. Затем проведем прямую, проходящую через точку Р и W, которая пересечет ребро SС в точке Z, и прямую через точки M и Y, которая пересечет ребро HA в точке F.
6. Соединим точки X и F, а также точки Z и K.

 Данная фигура MPZKXF и является искомым сечением.
Задача на построение сечения 6
Построить сечение призмы ABCDFEGHKL плоскостью, проходящей через три произвольные точки X, Y и Z на поверхности (не на ребрах) призмы.
Построение:
L

A
B
C
D
F
H
K
G
x

E
Y
4
3
2
1
5
Z

М
N

Решение:
1. Проведем прямые ZY и ZX, которые лежат в плоскости сечения.
2. На плоскости нижнего основания построим проекции прямых ZY и ZX, пересечение прямых со своими проекциями обозначим М и N.
3. Проведем прямую MN, являющуюся пересечением плоскости нижнего основания и секущей плоскости.
4. Построим продолжение ребра LK до пересечения с прямой MN, из точки пересечения проведем прямую через точку Z, которая пересечет ребра призмы в точках 1 и 2. Получим сторону сечения 12.
Также найдем стороны сечения 23, 34 и 45.
Получили искомое сечение 12345.
Задача на построение сечения 7
Сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку M ребра AS  параллельно грани SCD.
Построение:

S
C
A
D
B
E

M

P

1
2
3
К

 Решение:
1.  Соединим вершины А и С. Плоскость ASC проходит через точку М и ребро SC. В этой плоскости через точку М проведем  прямую МР, параллельно ребру  SC. Эта прямая лежит в секущей плоскости.
2. След секущей плоскости  на плоскости основания проходит через  точку Р параллельно CD. Обозначим К пересечение следа секущей плоскости с продолжением  ребра АЕ.

3. Проведем прямую через точки М и К, которая пересечет ребро SЕ в точке 1.
3. Обозначим 2 пересечение прямой РК и ребра ED. Соединим 1 и 2. Обозначим 3 пересечение РК и ребра AB. Соединим 3 и точку М.
Искомое сечение М123.

Нахождение площади сечения
Задача на нахождение площади сечения
Вычислить площадь сечения правильной пятиугольной пирамиды SABCDE плоскостью,  которая проходит через вершины основания А и С и середины боковых ребер SE и SD.
Построение:

D
E
N
M
L
B
C
A
K

3п10

S

Дано: Правильная пятиугольная пирамида - SABCDE ,
сечение- AMNC,
q - длина стороны основания пирамиды,  b – длина бокового ребра.
Найти: Sсеч - площадь сечения
Решение:
Пусть M и N – середина ребер ES и DS; легко видеть, что AMNC – трапеция,  MN параллельно ED, а ED параллельно AC. Очевидно также, что MN=1/2q, где q – длина стороны основания пирамиды.
Используя формулу для квадрата медианы треугольника (на основании теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма),  получаем:

Построение:

D
E
N
M
L
B
C
A
K

3п10

S

Дано: Правильная пятиугольная пирамида - SABCDE ,
сечение- AMNC,
q - длина стороны основания пирамиды,  b – длина бокового ребра.
Найти: Sсеч - площадь сечения
Решение:
Нахождение площади сечения
Задача на нахождение площади сечения
 CN²=
CN=

KC=           =q sin          ,      АВК=

AC
 2

3π
 10

3π
 10

KL - отрезок соединяющий середину трапеции ACNM
 KL =   CN² - (KC - q / 4)2=               -( q (  5+1)/4 - q/4)2=
b2 + 2q2
     4
b2 + 2q2
     4

b2 + 2q2
     4

=                      -            =                  , при  sin      =
b2 + 2q2
     4
    5 q2
    16
4b2 + 3q2
     4

    5+1
     4

Таким образом , искомая площадь   Sсеч =1/2∙(MN+AC)KL=(2+  5)∙  4b2 + 3q2

3π
 10

Исследовательская задача
построения сечения в
многограннике
Рассматривая тему  сечения в стереометрии, я выяснила, какие бывают задачи на построение и вычисления площади сечения в многоугольниках.
Проводя исследовательскую работу, я  заинтересовалась, как будет выглядеть сечение в более сложной фигуре, например, в додекаэдре,
и решила построить данное сечения сама.

1

5
Задача: Построить сечение в додекаэдре.
Построение:
1. Построим  додекаэдр. На  его гранях отметим три точки 1,2,3.

2. Через точки 1,2, которые находятся на ребрах одной грани, проведем прямую а  и продолжим ребро той же грани до пересечения с прямой а. Точку пересечения обозначим Х.
2
3
Получили искомое сечение 12345.

4
X
a
3. Через точки 2,3 проведем прямую b так, чтобы она пересекла продолжение другого ребра той же грани, где находятся ребра с точками 2 и 3. Получим точку Z.
b
Z

4. Построив прямую, проходящую через точки Z и X, получим точки пересечения с ребрами додекаэдра 4,5.
5. Соединим  точки 4 и 3, 5 и 1.
Задачи по геометрии и особенно по стереометрии часто трудны для понимания школьников по причине сложности изображения пространственных фигур на плоском чертеже. Не всегда школьникам хватает воображения и пространственного видения геометрических тел для правильного построения заданных фигур. А чертить на бумаге приходится с помощью только линейки и карандаша. Не получился чертеж, выбран неудачный ракурс, не вышли параллельные линии, и начинай всё сначала!
Заключение
И здесь на помощь приходят современные компьютерные технологии.

На экране монитора можно многократно строить изображения любых геометрических тел, используя стандартные автофигуры или рисуя самостоятельно.
Меняя цвет или вид линий можно добиваться наглядности изображений.
Выделенные цветом отдельные элементы чертежа помогают увидеть суть задачи, правильнее понять условия задачи.

Стереометрия развивает логику, пространственное воображение.
       Я убедилась, что  с помощью компьютера можно наглядней
изучить эту науку,
лучше  научилась рассуждать и
понимать условия задач, анализировать и
творчески подходить к решению поставленных задач.

                   Чемизова Алена Олеговна      г.Губкинский       2006г.
Изучение сечений в стереометрии
 с помощью компьютера


title: Скачать презентацию или конспект Дроби и проценты

extracted_text:
Зарецкий Ильяя

5а класс
Дроби и Проценты
Х=100%
Мы узнаем о:
Истории возникновения дробей.
О дробях разных стран
Обыкновенных дробях.
Правильных и неправильных дробях.
Смешанных числах.
Десятичных дробях.
Процентах.
История возникновения дробей
Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе.
История возникновения дробей
Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей. Так возникали первые конкретные дроби, как определенные части каких-то  определенных мер.

 Дробь
Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные и десятичные.
Дроби в Древнем Египте
На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь с которой они познакомились была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби называли единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.
Вавилонские шестидесятеричные дроби
Жители древнего Вавилона примерно за три тысячи лет до нашей эры создали систему мер аналогичную нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60, в которой меньшая единица измерения составляла  часть высшей единицы.
Дроби на Руси
В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Дроби на Руси
1/2 - половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 - полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть
1/24 – полполполтреть
1/32 – полполполчеть
1/5 – пятина
1/7 - седьмина
1/10 - десятина

О процентах
Проценты были известны индусам ещё в V веке. В Европе проценты пришли на 100 лет позже. Их ввёл бельгийский учёный Симон Стэвин. Он же в 1584 году опубликовал таблицу процентов.

О процентах
Обыкновенные дроби
: Одну долю или несколько равных долей единицы называют обыкновенной дробью.Обыкновенная дробь всегда меньше единицы.
Правильные и неправильные дроби
В дроби где числитель больше или равен знаменателю называют неправильной дробью.
В дробе где числитель меняше знаменатиля называют правильной.
Смешанные числа
Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной. Для краткости вместо "число в смешанной записи" говорят смешанное число
Десятичные дроби
Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и.т.д. называют десятичными. Их записывают без знаменателя: 1,8 ; 0,2; 8,5.

Проценты
Процентом называют одну сотую часть. Их записывают вот так: 12%, 18%, 45,9%.

Спасибо за просмотр!!!


title: Скачать презентацию или конспект Куб

extracted_text:
Куб
Куб
Куб – это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.
Куб имеет:         	  Объем куба:
 6 граней           	V= a*a*a=a3
 8 вершин          Площадь боковой
 12 ребер                   поверхности:
					S=6a2
Свойства куба
В куб можно вписать тетраэдр двумя способами, при этом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани - квадрата.
В куб можно вписать октаэдр, при этом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных ребер икосаэдра будут расположены, соответственно, на шести гранях куба, остальные 24 ребра - внутри куба, а все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Тетраэдр

Октаэдр
Икосаэдр

Фигуры, вписанные в куб
Построение куба
Интересные факты
Кубик Рубика» — механическая головоломка, изобретенная в 1974 г. (и запатентованная в 1975 г.) венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком.
     Головоломка представляет собой пластмассовый куб, составленный из 26 кубиков меньшего размера, способных вращаться вокруг невидимых снаружи осей
Интересные факты
«Квадратный арбуз». Японские ученые научились выращивать арбузы в форме куба, поэтому его легко перевозить и резать. Делается это очень просто: пока арбузик еще маленький, его помещают в специальный кубический каркас. А пока арбуз растет, он заполняет собой весь объем каркаса и приобретает кубическую форму
Интересные факты
Емкость для воды
Кусочек сахара
Свеча
ТЕСТ
1) Сколько ребер у куба (введите число)?
2) Сторона куба равна 6. Чему равна площадь      боковой поверхности куба?
4) Сторона куба равна 5. Чему равен его объем?

3) Сколько вершин у куба (введите число) ?
Спасибо за внимание!