Let's determine $k$ such that the expression

$$
a x^{2}+2 b x y+c y^{2}-k\left(x^{2}+y^{2}\right)
$$

is a perfect square.
The given expression can also be written as:

$$
(a-k) x^{2}+2 b y+(c-k) y^{2}
$$

This expression is a perfect square if

$$
4 b^{2} y^{2}=4(a-k)(c-k) y^{2}
$$

or

$$
b^{2}=(a-k)(c-k)
$$

from which

$$
k=\frac{a+c}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(a-c)^{2}+4 b^{2}}
$$

(Péter Esztó, Nagykikinda.)

The problem was also solved by: Bánó L., Bayer N., Bauer E., Blum J., Chambré M., Ehrenfeld N., Epstein K., Erdélyi I., Erdős V., Fekete M., Fodor H., Földes R., Freund E., Füstös P., Gádor Z., Heimlich P., Jánosy Gy., Kirchknopf E., Kiss E., Kovács Gy., Lendvai D., Lusztig M., Neubauer K., Paunz A., Pető L., Pichler S., Sárközy P., Schlesinger K., Schuster Gy., Spitzer L., Szilas O., Sztrokay K., Tandlich E., Tóth B., Wáhl V.