## Aufgabe 27/65

Die Kurve der Funktion $y=f(x)=a^{x}$ soll die Kurve der Funktion $y=g(x)=x^{n}$ im 1.Quadranten berühren.

Für welche Werte von $a$ und $n$ ist dies möglich? Man bestimme die Koordinaten des Berührungspunktes.




Werden zwei Kurven durch die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ dargestellt, so lauten die Bedingungen für die Berührung in einem Punkt mit der Abszisse: $f(x)=g(x)$ und $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$.

Die gegebenen Funktionen und ihre Ableitungen sind $f(x)=a^{x} ; f^{\prime}(x)=a^{x} \ln x$ und $g(x)=x^{n} ; g^{\prime}(x)=$ $n x^{n-1}$. Der Berührungspunkt sei $\left(x_{1} ; y_{1}\right)$. Dann gelten die Gleichungen

$$
a^{x_{1}}=x_{1}^{n} \quad \text { und } \quad a^{x_{1}} \ln x_{1}=n x_{1}^{n}
$$

Logarithmieren der 1.Gleichung und Division mit der zweiten ergibt $\frac{x_{1}^{n}}{a^{x_{1}}}=\ln x_{1}$. Mit der 1.Gleichung wird damit $\ln x_{1}=1$, also $x_{1}=e$. Einsetzen in die Gleichung ergibt $n=e \ln a$ bzw. $a=\sqrt[e]{e^{n}}$. Für $y_{1}$ ergibt sich somit $y_{1}=e^{n}$.

Ergebnis: Die Koordinaten des Berührungspunktes sind ( $e ; e^{n}$ ). Eine Berührung ist nur möglich, wenn $a$ und $n$ durch die Gleichung $n=e \ln a$ verbunden sind. Eine Berührung ist unmöglich, wenn $a=1$ ist, da dann $n=0$ wird und die beiden Funktionen als identische Geraden zusammenfallen. Wenn $a<1$ ist, dann ist $n<0$.

