12. Sia $A B C D$ un quadrilatero tale che $A B=24, B C=20, C D=15, D A=7, B D=25$. Quanto è lungo $A C$ ?
(A) 18
(B) $14 \sqrt{2}$
(C) 20
(D) 21
(E) 24

## Problemi a risposta numerica -5 punti
12. La risposta è $(\mathbf{C})$.

PRIMA SOLUZIONE

Dato che $A B^{2}+A D^{2}=B D^{2}$ e $B C^{2}+C D^{2}=B D^{2}$ il quadrilatero $A B C D$ si può inscrivere in una circonferenza di diametro $B D$. Sia $D H$ l'altezza del triangolo $D A C$. Allora il triangolo $A H D$ è simile al triangolo $B C D$ perché sono entrambi triangoli rettangoli e $\widehat{C B D}=\widehat{C A D}=\widehat{H A D}$,
in quanto angoli alla circonferenza che insistono su $C D$. Quindi $B D: B C=A D: A H$, cioè $25: 20=7: A H$ da cui ricaviamo che la lunghezza di $A H$ vale $28 / 5$. Analogamente il triangolo $C D H$ è simile al triangolo $B D A$, da cui $B D: A B=C D: H C$, ovvero $25: 24=15: H C$, che dà $H C=72 / 5$. La lunghezza di $A C$ risulta quindi $A H+H C=(28+72) / 5=20$.
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## SECONDA SOLUZIONE

Si può osservare che $25^{2}=20^{2}+15^{2}$, cioè $(15,20,25)$ è una terna pitagorica $(5 \cdot(3,4,5))$, dunque l'angolo $\widehat{B C D}$ è retto. Si ha anche $25^{2}=24^{2}+7^{2}$ : anche $(7,24,25)$ è una terna pitagorica e l'angolo $\widehat{D A B}$ è retto.

Siano $A K$ e $C L$ le altezze dei triangoli rettangoli $A B D$ e $B C D$ relative a $B D$; possiamo ricavarne le lunghezze dalle aree dei due triangoli: $A K=(A D \cdot A B) / B D=(24 \cdot 7) / 25$, mentre $C L=$ $(B C \cdot C D) / B D=(20 \cdot 15) / 25$. Per il primo teorema di Euclide si ha $D K \cdot D B=A D^{2}$, da cui ricaviamo che la lunghezza di $D K$ vale $7^{2} / 25$; similmente si calcola la lunghezza di $D L$, come $D C^{2} / D B=15^{2} / 25=9$.

Infine, $A C$ si può vedere come la diagonale di un rettangolo con lati di lunghezza $A K+C L$ e $K L$; per il teorema di Pitagora, la sua lunghezza vale

$$
\sqrt{(A K+C L)^{2}+(D L-D K)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{168}{25}+12\right)^{2}+\left(9-\frac{49}{25}\right)^{2}}=20 .
$$

## TERZA SOLUZIONE

Come nelle precedenti soluzioni, occorre dapprima dimostrare che $A B C D$ è inscrittibile in una circonferenza. Mostrato questo, è possibile concludere direttamente grazie al teorema di Tolomeo, il quale afferma che un quadrilatero convesso $A B C D$ è inscrittibile in una circonferenza se e solo se $A B \cdot C D+B C \cdot A D=A C \cdot B D$. Se ne ricava che la lunghezza di $A C$ è 20 .