Three. (50 points) Let $n \geqslant 2$ be a positive integer. Find the maximum value of $f(n)$ such that for all real numbers $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ satisfying $x_{i} \in(0,1)(i=1,2, \cdots, n)$, and
$$
\left(1-x_{i}\right)\left(1-x_{j}\right) \geqslant \frac{1}{4}(1 \leqslant i<j \leqslant n)
$$

we have
$$
\sum_{i=1}^{n} x_{i} \geqslant f(n) \sum_{1<i<j<n}\left(2 x_{i} x_{j}+\sqrt{x_{i} x_{j}}\right) .
$$
When $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=\frac{1}{2}$,
$$
\begin{array}{l}
\frac{n}{2} \geqslant f(n) \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} 1 \Rightarrow \frac{n}{2} \geqslant f(n) \mathrm{C}_{n}^{2} \\
\Rightarrow f(n) \leqslant \frac{1}{n-1} .
\end{array}
$$

Next, we prove: $\sum_{i=1}^{n} x_{i} \geqslant \frac{1}{n-1} \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(2 x_{i} x_{j}+\sqrt{x_{i} x_{j}}\right)$.
From $\left(1-x_{i}\right)\left(1-x_{j}\right) \geqslant \frac{1}{4}$, we get
$$
\begin{array}{l}
\left(1-x_{i}\right)+\left(1-x_{j}\right) \geqslant 2 \sqrt{\left(1-x_{i}\right)\left(1-x_{j}\right)} \geqslant 1 \\
\Rightarrow x_{i}+x_{j} \leqslant 1 .
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{l}
\text { Then }(n-1) \sum_{i=1}^{n} x_{i}=\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(x_{i}+x_{j}\right) \\
\leqslant \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} 1=\mathrm{C}_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2} \\
\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} x_{i} \leqslant \frac{n}{2} .
\end{array}
$$

Thus, $2 \sum_{1 \in i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} \sqrt{x_{i} x_{j}}$
$$
\begin{array}{l}
\leqslant\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}-\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+\sum_{1 \leqslant i<1 \leqslant n} \frac{x_{i}+x_{j}}{2} \\
\leqslant \frac{n-1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}+\frac{n-1}{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\
\leqslant \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}+\frac{n-1}{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\
=(n-1) \sum_{i=1}^{n} x_{i} .
\end{array}
$$