## Aufgabe 26/82

Man bestimme alle Glieder der Folge

$$
\left\{a_{k}\right\}=\left\{\sum_{i=0}^{k} 9 \cdot 10^{i}\right\}=\{9 ; 99 ; 999 ; \ldots\}
$$

die man als Summe aus drei Quadraten natürlicher Zahlen $x ; y ; z$ darstellen kann!




Außer für $a_{0}$ und $a_{1}$ gilt für alle Glieder der Folge

$$
a_{k} \equiv(1000-1) \equiv-1 \equiv 7(\bmod 8)
$$

Gilt nun für irgend eine natürliche Zahl $n$

$$
n \equiv 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7(\bmod 8)
$$

so gilt für $n^{2}$

$$
n^{2} \equiv 0 ; 1 ; 4 ; 1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 1(\bmod 8)
$$

Damit gilt für die Stimme aus den Quadraten dreier natürlicher Zahlen sicher eine der folgenden Kongruenzen $\bmod 8$ :

$$
\begin{array}{lllll}
0+0+0 \equiv 0 & 0+0+1 \equiv 1 & 0+0+4 \equiv 4 & 0+1+1 \equiv 2 & 0+1+4 \equiv 5 \\
0+4+4 \equiv 0 & 1+1+1 \equiv 3 & 1+1+4 \equiv 6 & 1+4+4 \equiv 1 & 4+4+4 \equiv 4
\end{array}
$$

Keinesfalls tritt einer Summe auf, die kongruent $7(\bmod 8)$ ist. Damit erfüllen höchstens die Glieder $a_{0}=9$ und $a_{1}=99$ die Bedingungen der Aufgabe. Tatsächlich ist

$$
9=0^{2}+0^{2}+3^{2}=1^{2}+2^{2}+2^{2} \quad ; \quad 99=1^{2}+7^{2}+7^{2}=5^{2}+5^{2}+7^{2}
$$

