12. Given two regular tetrahedra $A-O B C$ and $D-O B C$ with their bases coinciding, $M$ and $N$ are the centroids of $\triangle A D C$ and $\triangle B D C$ respectively. Let $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O C}=\boldsymbol{c}$. If point $P$ satisfies $\overrightarrow{O P}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}, \overrightarrow{M P}=2 \overrightarrow{P N}$, then the real numbers $x=$ $\qquad$ ,$y=$ $\qquad$ ,$z=$ $\qquad$ .
$$
\begin{array}{l}
\text { As shown in the figure, } \overrightarrow{M P}=2 \overrightarrow{P N} \Rightarrow \overrightarrow{O P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{O N}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O M} \\
=\frac{2}{9}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O C})+\frac{1}{9}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O C}) \\
=\frac{1}{9} \overrightarrow{O A}+\frac{2}{9} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O D},
\end{array}
$$

and $\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O A}=2 \overrightarrow{O E} \Rightarrow \overrightarrow{O D}=2 \overrightarrow{O E}-\overrightarrow{O A}$
$$
=\frac{2}{3}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})-\overrightarrow{O A} \text {, }
$$

thus $\overrightarrow{O P}=-\frac{2}{9} \overrightarrow{O A}+\frac{4}{9} \overrightarrow{O B}+\frac{5}{9} \overrightarrow{O C}$.
Therefore, $x=-\frac{2}{9}, y=\frac{4}{9}, z=\frac{5}{9}$.
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