
5. Dana je premica z enačbo $2 x-3 y+15=0$ in točka $T(3, y)$ na njej. Izračunaj $x$, tako da bo razdalja med točkama $A(x, 4)$ in $T$ enaka $3 \sqrt{5}$.

# dUFA 

12. tekmovanje v znanjumatematike za dijake srednjihtehniških in strokovnih šolDržavno tekmovanje, 21. april 2012

Čas reševanja: 120 minut.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_97c791425a4f6cf5fca5g-04.jpg?height=172&width=411&top_left_y=371&top_left_x=1502)


5. Izračunamo neznano koordinato točke $T$, tako da vstavimo $x=3 \mathrm{v}$ enačbo premice in rešimo enačbo $2 \cdot 3-3 y+15=0$. Izračunamo $y=7$. Koordinato $x$ točke $A$ izračunamo
z uporabo formule za razdaljo med točkama oziroma Pitagorovega izreka
$d(A, T)=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$. Vstavimo podatke $(3 \sqrt{5})^{2}=(4-7)^{2}+(x-3)^{2}$ in
poenostavimo $45=(-3)^{2}+(x-3)^{2}$ oziroma $(x-3)^{2}=36$. Rešimo enačbo in dobimo
rešitev $x_{1}=9$ in $x_{2}=-3$.
Izračun neznane koordinate točke $T$ ..... 1 točka
Zapis enačbe $(3 \sqrt{5})^{2}=(4-7)^{2}+(x-3)^{2}$ ..... 1 točka
I. način:
Izračun $(3 \sqrt{5})^{2}=45$ ..... 1 točka
Poenostavitev enačbe $(x-3)^{2}=36$ ..... 1 točka
Zapis $x-3= \pm \sqrt{36}$. ..... $.1+1$ točka
Izračunani rešitvi $x_{1}=9$ in $x_{2}=-3$ ..... $1+1$ točka
II. način:
Kvadriranje $(x-3)^{2}=x^{2}-6 x+9$ in $(3 \sqrt{5})^{2}=45$ ..... $1+1$ točka
Ureditev enačbe $x^{2}-6 x-27=0$ ..... 1 točka
Uporaba Vietovega pravila $(x-9)(x+3)=0$ ..... 1 točka
Izračunani rešitvi $x_{1}=9$ in $x_{2}=-3$ ..... $1+1$ točka

## Tretji letnik
