12.208. A perpendicular, equal to p, is dropped from the base of the height of a regular triangular pyramid onto a lateral edge. Find the volume of the pyramid if the dihedral angle between a lateral face and the base of the pyramid is $\alpha$.

 untranslated text:
12.208. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на боковое ребро опущен перпендикуляр, равный р. Найти объем пирами-
ды, если двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен $\alpha$.
## Solution.

Let $S O$ be the height of the regular pyramid $S A B C$ (Fig. 12.75), $O E \perp B S$, $O E=p$, and $D$ be the midpoint of $A C$. Then $\angle O D S=\alpha$.

Let $A C=a$. Then $O D=\frac{a \sqrt{3}}{6}, O B=\frac{a \sqrt{3}}{3}, S_{\triangle A B C}=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$.

In $\triangle D O S\left(\angle D O S=90^{\circ}\right): S O=O D \operatorname{tg} \angle O D S=\frac{a \sqrt{3}}{6} \operatorname{tg} \alpha$.

The volume of the pyramid $V=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot O S=\frac{a^{3} \operatorname{tg} \alpha}{24}$.

In $\triangle B O S\left(\angle B O S=90^{\circ}\right): B S=\sqrt{B O^{2}+S O^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{12} \operatorname{tg}^{2} \alpha}=\frac{a}{2 \sqrt{3}} \sqrt{4+\operatorname{tg}^{2} \alpha}$.

$S_{\triangle B O S}=\frac{1}{2} B O \cdot S O=\frac{1}{2} B S \cdot O E \Rightarrow \frac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6} \operatorname{tg} \alpha=\frac{a}{2 \sqrt{3}} \sqrt{4+\operatorname{tg}^{2} \alpha} \cdot p \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{a}{6} \operatorname{tg} \alpha=\frac{p \sqrt{4+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}{2 \sqrt{3}}$

$a=\frac{\sqrt{3} p \sqrt{4+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}{\operatorname{tg} \alpha} \Rightarrow V=\frac{a^{3} \operatorname{tg} \alpha}{24}=\frac{\sqrt{3} p^{3} \sqrt{\left(4+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)^{3}}}{8 \operatorname{tg}^{2} \alpha}$.

Answer: $a=\frac{\sqrt{3} p^{3} \sqrt{\left(4+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)^{3}}}{8 \mathrm{tg}^{2} \alpha}$.