Oldjuk meg az

$$
\begin{aligned}
x+y+z & =2 \\
x y z & =2(x y+y z+z x)
\end{aligned}
$$

egyenletrendszert a valós számok halmazán.


Megoldás. Az egyenletrendszer szimmetrikus, így ha találunk egy megoldás-hármast, akkor annak összes permutációja is megoldás.

A második egyenletben a 2-es szorzó helyére írjuk be az első egyenlet bal oldalát, majd szorozzunk be és rendezzünk nullára:

$$
\begin{aligned}
x y z & =(x+y+z)(x y+y z+z x) \\
x y z & =3 x y z+x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x+x y^{2}+y z^{2}+z x^{2} \\
0 & =2 x y z+x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x+x y^{2}+y z^{2}+z x^{2}
\end{aligned}
$$

Ez a szimmetrikus kifejezés szorzattá alakítható:

$$
\begin{aligned}
0 & =x y(x+y)+z^{2}(x+y)+z\left(x^{2}+y^{2}+2 x y\right)=(x+y)\left(x y+z x+y z+z^{2}\right)= \\
& =(x+y)(y+z)(z+x)
\end{aligned}
$$

Szorzat csak abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Ha $x+y=0$, akkor az első egyenletből $z=2$, továbbá a második egyenlet állítása teljesül, mert $y z+z x$ is nulla. Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Az egyik ismeretlen 2, a másik kettő pedig egymás ellentettje:

$$
x=-y, \quad z=2 ; \quad y=-z, \quad x=2 ; \quad z=-x, \quad y=2
$$

