## Aufgabe 11/81

Gesucht ist die kleinste Potenz $11^{n}(n \in N, n>0)$ in dekadischer Schreibweise, die auf die Ziffernfolge 001 endet.




Es ist

$$
11^{n}=(10+1)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} \cdot 10^{i}=\binom{n}{0} \cdot 10^{0}+\binom{n}{1} \cdot 10^{1}+\ldots+\binom{n}{n} \cdot 10^{n}
$$

Man erkennt: Alle Glieder dieser Summe mit Ausnahme der ersten drei enthalten den Faktor $10^{3}=1000$. Da das erste Glied der Summe gleich 1 ist, muss

$$
\binom{n}{k} \cdot 10^{1}+\binom{n}{2} \cdot 10^{2}=10 n+50 n(n-1)=1000 k
$$

mit minimalem $n$ und $k \in N, k \geq 1$ eine sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingung dafür sein, dass n die Forderungen der Aufgabe erfüllt. Aus dieser Gleichung folgt

$$
n+5 n(n-1)=100 k
$$

Da entweder $n$ oder $n-1$ gerade ist, ist $5 n(n-1)$ restlos durch 10 teilbar. Damit muss auch $n$ restlos durch 10 teilbar sein: $n=10 m, m \in N$, minimal. Die Gleichung nimmt damit die Gestalt

$$
10 m+50 m(10 m-1)=100 k \rightarrow m+5 m(10 m-1)=10 k
$$

an. Die rechte Seite dieser Gleichung ist restlos durch 5 teilbar, also muss auch die linke Seite restlos durch 5 teilbar sein. Daraus folgt, dass $m$ durch 5 teilbar ist: $m=5 s, s \in N$, minimal. Die Gleichung lautet dann

$$
5 s+25 s(50 s-1)=10 k \rightarrow s+5 s(50 s-1)=2 k
$$

Offensichtlich erfüllt $s=1$ diese Gleichung: $1+5(50-1)=246=2 \cdot 123=2 k$. Aus $s=1$ folgt $m=5 s=5, n=10 m=50$. Die Potenz $11^{50}$ endet also (in dekadischer Schreibweise) auf 001, und es gibt keine kleinere Potenz von 11 mit dieser Eigenschaft.

