## Zadatak B-1.3.

U trokutu $A B C$ mjera kuta pri vrhu $A$ iznosi $60^{\circ}$ a mjera kuta pri vrhu $B$ iznosi $45^{\circ}$. Ako duljina stranice $\overline{A C}$ iznosi $8 \mathrm{~cm}$, izračunajte opseg trokuta $A B C$.

## Rjesenje.

Neka je $|B C|=a,|A C|=b=8,|A B|=c$, a neka je $|C D|=v$ (visina iz vrha $C$ ).

Mjera kuta pri vrhu $C$ iznosi $180^{\circ}-\left(60^{\circ}+45^{\circ}\right)=75^{\circ}$.

Trokut $A D C$ je pola jednakostraničnog trokuta.

1 bod

Trokut $B C D$ je jednakokračan pravokutan trokut, pa je $|B D|=|C D|$. 1 bod

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_bbee2d45ecbf3fd03f8eg-03.jpg?height=642&width=922&top_left_y=587&top_left_x=493)

Slijedi

$$
|A D|=4 \mathrm{~cm}, \quad v=|C D|=\frac{8 \sqrt{3}}{2}=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}
$$

Tada su duljine preostalih stranica: $|A B|=|A D|+|D B|=(4+4 \sqrt{3}) \mathrm{cm},|B C|=$ $v \sqrt{2}=4 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$.

Opseg trokuta $A B C$ iznosi

$$
o=8+(4+4 \sqrt{3})+4 \sqrt{6}=4(3+\sqrt{3}+\sqrt{6}) \mathrm{cm}
$$

## Zadatak B-1.4

S koliko nula završava broj koji se dobije množenjem prvih 2016 prirodnih brojeva?


## Rješenje.

Treba izračunati s koliko će nula završavati broj

$$
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2014 \cdot 2015 \cdot 2016
$$

Nula se dobije umnoškom $2 \cdot 5$, odnosno ako se množi višekratnik broja $2 \mathrm{~s}$ višekratnikom broja 5 . Očito je višekratnika broja 5 manje nego višekratnika broja 2.

Tada je broj nula u danom umnošku jednak eksponentu najveće potencije broja 5 kojom je djeljiv dani umnožak.

$$
\begin{aligned}
\lfloor 2016: 5\rfloor & =403 \\
\lfloor 2016: 25\rfloor & =80 \\
\lfloor 2016: 125\rfloor & =16 \\
\lfloor 2016: 625\rfloor & =3
\end{aligned}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_bbee2d45ecbf3fd03f8eg-04.jpg?height=60&width=1551&top_left_y=638&top_left_x=181)
je $5^{403+80+16+3}=5^{502}$ pa dani umnožak završava s 502 nule.

