5. Given the function $f(x)=a x^{2}-c$ satisfies:
$-4 \leqslant f(1) \leqslant-1,-1 \leqslant f(2) \leqslant 5$. Then, $f(3)$ should satisfy:
( A ) $7 \leqslant f(3) \leqslant 26$
(B) $-4 \leqslant f(3) \leqslant 15$
(C) $-1 \leqslant f(3) \leqslant 20$
(D) $-\frac{28}{3} \leqslant f(3) \leqslant \frac{35}{3}$
(C)
5. 【Analysis and Solution】From $f(x)=a x^{2}-c$, we know
$$
\begin{array}{l}
f(1)=a-c, f(2)=4 a-c, \\
\therefore a=\frac{1}{3}[f(2)-f(1)], c=\frac{1}{3}[f(2)-4 f(1)], \\
\therefore f(3)=9 a-c=3[f(2)-f(1)]-\frac{1}{3}[f(2)-4 f(1)]=\frac{8}{3} f(2)-\frac{5}{3} f(1) . \\
\therefore \frac{8}{3} \times(-1)+\left(-\frac{5}{3}\right) \times(-1) \leqslant f(3) \leqslant \frac{8}{3} \times 5+\left(-\frac{5}{3}\right) \times(-4) . \\
\text { i.e., }-1 \leqslant f(3) \leqslant 20 .
\end{array}
$$