## Zadatak A-1.3.

Biljarski stol ima oblik pravokutnika $A B C D$ i dimenzije $|A B|=2 \mathrm{~m}$ i $|B C|=1 \mathrm{~m}$. Biljarska kugla giba se po stolu pravocrtno dok ne dođe do ruba pravokutnika, a tada se odbija tako da putanja kugle prije i poslije odbijanja zatvara s rubom sukladne kutove. Ako biljarska kugla započne gibanje u točki $A$ te nakon odbijanja od stranica $\overline{C D}, \overline{B C}$ i $\overline{A B}$ redom završi gibanje u točki $D$, odredi ukupnu udaljenost koju

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_bdf789747fbcdaaac460g-03.jpg?height=323&width=399&top_left_y=1455&top_left_x=1271)
je kugla prešla. Kuglu promatramo kao materijalnu točku.


## Drugo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_bdf789747fbcdaaac460g-05.jpg?height=1057&width=1522&top_left_y=288&top_left_x=198)

Neka su točke $E, F$ i $G$ dane kao u prošlom rješenju, te $l$ duljina putanje biljarske kugle.

Neka je $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ osnosimetrična slika pravokutnika $A B C D$ u odnosu na pravac $C D$. Dodatno, istom osnom simetrijom preslikajmo i putanju biljarske kugle nakon točke $E$ $(E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow D)$ u putanju $E \rightarrow F_{1} \rightarrow G_{1} \rightarrow D_{1}$. Zbog osne simetrije i uvjeta odbijanja biljarske kugle vrijedi

$$
\varangle F_{1} E C=\varangle F E C=\varangle A E D .
$$

Kutovi kod vrha $E$ se podudaraju pa su točke $A, E$ i $F_{1}$ kolinearne.

Posebno, vrijedi $|A E|+\left|E F_{1}\right|=\left|A F_{1}\right|$. Osna simetrija čuva duljine dužina, pa vrijedi

$$
\begin{aligned}
l & =|A E|+|E F|+|F G|+|G D| \\
& =|A E|+\left|E F_{1}\right|+\left|F_{1} G_{1}\right|+\left|G_{1} D_{1}\right| \\
& =\left|A F_{1}\right|+\left|F_{1} G_{1}\right|+\left|G_{1} D_{1}\right|
\end{aligned}
$$

Neka su $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ i točka $G_{2}$ osnosimetrična slika pravokutnika $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ i točke $G_{1}$ redom u odnosu na pravac $B_{1} C_{1}$, te $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ osnosimetrična slika pravokutnika $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ u odnosu na pravac $A_{2} B_{2}$.

Na sličan način se pokazuje da su točke $G_{2}$ i $D_{3}$ na istom pravcu na kojem su točke $A, E$ i $F_{1}$. Zaključujemo da se preostali dijelovi putanje kugle nizom osnih simetrija preslikavaju tako da čine dužinu koja spaja $A$ i $D_{3}$, pa je ukupna duljina putanje kugle jednaka $l=\left|A D_{3}\right|$.

Neka je $T$ osnosimetrična slika točke $A$ u odnosu na pravac $B C$. Dužina $\overline{A D_{3}}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta $A T D_{3}$ kojemu su duljine kateta $2|A B|=4 \mathrm{~m}$ i $3|B C|=3 \mathrm{~m}$ pa je

$$
l=\left|A D_{3}\right|=\sqrt{4^{2}+3^{2}} \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}
$$

Napomena: Za potpuno rješenje potrebno je dokazati da je poligonalna linija između $A$ i $D_{3}$ dobivena osnosimetričnim preslikavanjima originalne putanje biljarske kugle zapravo ravna linija. Za to je dovoljno pokazati kolinearnost na jednom primjeru odbijanja kugle od stranice (kao u prikazanom rješenju). Rješenja koja nemaju takav dokaz mogu ostvariti najviše 8 bodova.

