XXVII OM - I - Zadanie 4

Samolot leci bez zatrzymywania się po najkrótszej drodze z Oslo do miasta $ X $ leżącego na równiku w Ameryce Południowej. Z Oslo startuje dokładnie w kierunku zachodnim. Wiedząc, że współrzędne geograficzne Oslo są : $ 59^{\circ}55 szerokości północnej i $ 10^{\circ}43 długości wschodniej, obliczyć współrzędne geograficzne miasta $ X $. Jakie to miasto? Obliczyć długość drogi samolotu z dokładnością do 100 km. Zakładamy, że Ziemia jest idealną kulą o długości równika 40 000 km oraz, że samolot leci na wysokości nie większej niż 10 km.


Najkrótsza droga na powierzchni kuli łącząca dwa punkty tej kuli jest łukiem koła wielkiego, tzn. łukiem okręgu, którego środkiem jest środek kuli. Zatem samolot leci po łuku koła wielkiego przechodzącego przez Oslo. Przy tym Oslo jest najbardziej na północ wysuniętym punktem tego koła wielkiego, ponieważ samolot startuje w kierunku zachodnim. Wynika stąd, że łuk o końcach w Oslo i mieście $ X $ jest czwartą częścią koła wielkiego. Długość tego łuku jest więc równa $ 10 000 $ km, a długości geograficzne miasta $ X $ i Osio różnią się o $ 90^\circ $. Zatem miasto $ X $ leży na równiku w punkcie mającym $ 79^\circ 17 długości zachodniej. Przekonujemy się za pomocą mapy, że jedynym większym miastem posiadającym lotnisko, w pobliżu tego punktu jest stolica Ekwadoru Quito.
Jeżeli uwzględnimy, że droga samolotu znajduje się nie na powierzchni ziemi, lecz np. $ 10 $ km nad ziemią, to otrzymamy, że długość tej drogi jest równa $ \frac{1}{4} [2\pi (R + 10)] = \frac{1}{4} 2\pi R + 5\pi \approx 10 000 + 15 $ km, gdzie $ R $ jest długością promienia Ziemi.
Uwaga: Szerokość geograficzna Oslo nie ma wpływu na rozwiązanie. Gdyby więc samolot startował z dowolnego punktu Ziemi, o długości geograficznej wschodniej $ 10^\circ 43 i spełnione były pozostałe warunki zadania, to wylądowałby w Quito po przebyciu drogi długości około $ 10 000 $ km.
