## Zadatak B-2.2.

Pravokutan trokut kojemu je hipotenuza trostruko dulja od jedne katete rotira oko hipotenuze. Odredite omjer obujma tako nastalog tijela i obujma tom tijelu opisane kugle.


## Rješenje.

Označimo li duljinu jedne katete s $x$, tada je duljina hipotenuze jednaka $3 x$, a duljina druge katete $\sqrt{9 x^{2}-x^{2}}=\sqrt{8 x^{2}}=2 \sqrt{2} x$.

Zarotiramo trokut oko hipotenuze i dobivenom tijelu opišemo kuglu. Na slici je prikazan poprečni presjek rotacijskog tijela i njemu opisane kugle.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_ea3ef29009412d1e0d2bg-07.jpg?height=640&width=671&top_left_y=1719&top_left_x=196)

Dobiveno se tijelo sastoji od dva stošca kojima je baza zajednička, a polumjer baze je visina pravokutnog trokuta spuštena iz vrha pravoga kuta (na slici označena s $v$ ).

Izrazimo li površinu pravokutnog trokuta na dva načina:
$P=\frac{x \cdot 2 \sqrt{2} x}{2}$ i $P=\frac{3 x \cdot v}{2}$, dobivamo $\frac{x \cdot 2 \sqrt{2} x}{2}=\frac{3 x \cdot v}{2}$,

odakle slijedi $v=\frac{2 \sqrt{2}}{3} x$.

Zbroj duljina visina dvaju spojenih stožaca jednak je duljini hipotenuze $3 x$, te ih možemo označiti s $x_{1}$ i $\left(3 x-x_{1}\right)$.

Obujam dobivenog tijela je:

$$
\begin{aligned}
V_{t} & =\frac{v^{2} \pi x_{1}}{3}+\frac{v^{2} \pi\left(3 x-x_{1}\right)}{3} \\
V_{t} & =\frac{v^{2} \pi x_{1}+v^{2} \pi \cdot 3 x-v^{2} \pi x_{1}}{3} \\
V_{t} & =v^{2} \pi x
\end{aligned}
$$

Uvrštavanjem $v=\frac{2 \sqrt{2}}{3} x$ dobivamo $V_{t}=\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3} x\right)^{2} \pi x=\frac{8 x^{3} \pi}{9}$.

Središte kugle opisane nastalom tijelu nalazi se u polovištu hipotenuze, pa je polumjer kugle $R=\frac{3 x}{2}$, a obujam kugle

$$
V_{\text {kugle }}=\frac{4}{3}\left(\frac{3 x}{2}\right)^{3} \pi=\frac{9 x^{3} \pi}{2}
$$

Omjer obujma nastalog tijela i obujma njemu opisane kugle jednak je

$$
\frac{V_{t}}{V_{\text {kugle }}}=\frac{\frac{8 x^{3} \pi}{9}}{\frac{9 x^{3} \pi}{2}}=\frac{16}{81}
$$

