
Opgave 2. Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor geldt dat

$$
f(x)=\max _{y \in \mathbb{R}}(2 x y-f(y))
$$

voor alle $x \in \mathbb{R}$.

(In het algemeen betekent de uitdrukking $a=\max _{s \in S} g(s)$ : er geldt $a \geq g(s)$ voor alle $s \in S$ en bovendien is er een $s \in S$ waarvoor $a=g(s)$.)


Oplossing. Voor alle $x \in \mathbb{R}$ geldt

$$
f(x)=\max _{y \in \mathbb{R}}(2 x y-f(y)) \geq 2 x^{2}-f(x)
$$

dus $2 f(x) \geq 2 x^{2}$, oftewel $f(x) \geq x^{2}$.

Omdat $(x-y)^{2} \geq 0$, geldt $x^{2} \geq 2 x y-y^{2}$ voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. Omdat we al hebben laten zien dat $f(y) \geq y^{2}$, geldt $2 x y-f(y) \leq 2 x y-y^{2} \leq x^{2}$ en dus

$$
f(x)=\max _{y \in \mathbb{R}}(2 x y-f(y)) \leq x^{2}
$$

We concluderen $f(x)=x^{2}$.

We controleren nog dat deze functie voldoet. Kies een willekeurige $x \in \mathbb{R}$. Omdat $(x-y)^{2} \geq$ 0 , geldt $x^{2} \geq 2 x y-y^{2}$ voor alle $y \in \mathbb{R}$ met gelijkheid als $x=y$, dus

$$
x^{2}=\max _{y \in \mathbb{R}}\left(2 x y-y^{2}\right)
$$

