## Zadatak A-2.5.

Dan je trapez $A B C D$ s osnovicama $\overline{A B}$ i $\overline{C D}$, takav da je trokut $A B C$ šiljastokutan. Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $A B C$, a točka $E$ sjecište pravaca $O B$ i $C D$. Ako je $\varangle D B C=\varangle C E B+10^{\circ}$, odredi veličinu kuta između dijagonala trapeza $A B C D$.


## Rješenje.

Neka je $S$ sjecište dijagonala danog trapeza. Označimo $\varangle C E B=\alpha, \varangle D B C=\alpha+10^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_a897c7e1109e2574c8d7g-12.jpg?height=474&width=808&top_left_y=1393&top_left_x=561)

Kut $\varangle C S B$ ćemo odrediti iz trokuta $C S B$. Uočimo da je kut kut $\varangle A C B$ obodni kut nad tetivom $\overline{A B}$, dok je $\varangle A O B$ središnji kut nad istom tetivom. Prema teoremu o središnjem i obodnom kutu, zaključujemo da vrijedi $\varangle A O B=2 \varangle A C B$.

Kutovi $\varangle C E B$ i $\varangle O B A$ su sukladni jer su kutovi uz presječnicu, tj. vrijedi $\varangle O B A=\alpha$.

Trokut $A B O$ je jednakokračan pa je $\varangle A O B=180^{\circ}-2 \alpha$.

Dakle, $\varangle S C B=\varangle A C B=90^{\circ}-\alpha$. Promotrimo li zbroj kutova u trokutu $S B C$, dobivamo

$$
\varangle C S B=180^{\circ}-\varangle S B C-\varangle S C B=180^{\circ}-\left(\alpha+10^{\circ}\right)-\left(90^{\circ}-\alpha\right)=80^{\circ}
$$

Dakle, kut između dijagonala trapeza $A B C D$ je $80^{\circ}$.

