In a certain triangle, I know the three sides, the three angles, and the center of the inscribed circle, $O$. I connect $O$ to $A$, $B$, and $C$, and the intersection points of these lines and the inscribed circle are named $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, and $C^{\prime}$. What are the lengths of the sides, the angles, and the area of the triangle $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$?
Minthogy $O$ a szögfelező egyenesek metszéspontja, azért

$$
B O C=2 R-\frac{B+C}{2}, \quad C O A=2 R-\frac{C+A}{2}, \quad \text { és } \quad A O B=2 R-\frac{A+B}{2}
$$

s így

$$
A^{\prime}=R-\frac{B+C}{4}, \quad B^{\prime}=R-\frac{C+A}{4}, \quad C^{\prime}=R-\frac{A+B}{4}
$$

De másrészt $O \mathrm{az} A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ körül írt kör középpontja lévén

$$
\begin{aligned}
& a^{\prime}=2 \zeta \sin A^{\prime}=2 \zeta \cos \frac{B+C}{4} \\
& b^{\prime}=2 \zeta \sin B^{\prime}=2 \zeta \cos \frac{C+A}{4} \\
& c^{\prime}=2 \zeta \sin C^{\prime}=2 \zeta \cos \frac{A+B}{4}
\end{aligned}
$$

Végre a háromszög területét a következő képletből számítjuk

$$
T=\frac{a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime}}{4 \zeta}=2 \zeta^{2} \cos \frac{B+C}{4} \cos \frac{C+A}{4} \cos \frac{A+B}{4}
$$

(Weisz Lipót, fr. VI. Pécs)

(A feladatot még megoldották: Bolemann Béla, fg. VIII. Budapest; Buday Dezső, fr. VI. Pécs; Friedmann Bernát, fg. VI. S. A. Ujhely; Fuchs Gyula, fr. VI. Pécs; Goldberger Leó, fr. VI. Pécs; Grossmann Gusztáv fg. VIII. Budapest; Grünhut Béla, fr. VI. Pécs; Gutfreund Emil, fg. VII. Losoncz; Jankovich György fg. VIII. Losoncz; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Jorga Gergely, Gilád.)

Since $O$ is the intersection point of the angle bisectors,

$$
B O C=2 R-\frac{B+C}{2}, \quad C O A=2 R-\frac{C+A}{2}, \quad \text { and } \quad A O B=2 R-\frac{A+B}{2}
$$

and thus

$$
A^{\prime}=R-\frac{B+C}{4}, \quad B^{\prime}=R-\frac{C+A}{4}, \quad C^{\prime}=R-\frac{A+B}{4}
$$

Furthermore, since $O$ is the center of the circumcircle of $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$,

$$
\begin{aligned}
& a^{\prime}=2 \zeta \sin A^{\prime}=2 \zeta \cos \frac{B+C}{4} \\
& b^{\prime}=2 \zeta \sin B^{\prime}=2 \zeta \cos \frac{C+A}{4} \\
& c^{\prime}=2 \zeta \sin C^{\prime}=2 \zeta \cos \frac{A+B}{4}
\end{aligned}
$$

Finally, we calculate the area of the triangle using the following formula

$$
T=\frac{a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime}}{4 \zeta}=2 \zeta^{2} \cos \frac{B+C}{4} \cos \frac{C+A}{4} \cos \frac{A+B}{4}
$$

(Weisz Lipót, fr. VI. Pécs)

(The problem was also solved by: Bolemann Béla, fg. VIII. Budapest; Buday Dezső, fr. VI. Pécs; Friedmann Bernát, fg. VI. S. A. Ujhely; Fuchs Gyula, fr. VI. Pécs; Goldberger Leó, fr. VI. Pécs; Grossmann Gusztáv fg. VIII. Budapest; Grünhut Béla, fr. VI. Pécs; Gutfreund Emil, fg. VII. Losoncz; Jankovich György fg. VIII. Losoncz; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Jorga Gergely, Gilád.)