## Problem Statement

Calculate the indefinite integral:

$$
\int \frac{x}{\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} d x
$$
## Solution

$$
\begin{aligned}
& \int \frac{x}{\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} d x=\int \frac{\frac{1}{2} \cdot d\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2} \cdot \ln \left|x^{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}\right|+C= \\
& =\frac{1}{2} \cdot \ln \left|x^{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\right|+C
\end{aligned}
$$

Source — "http://pluspi.org/wiki/index.php/?\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\?_ _\