## Aufgabe 15/64

Ein Exportauftrag über 1500 Stück Type 1 und 800 Stück Type 2 eines Gerätes soll auf zwei Werke I und II verteilt werden. Der maximale Produktionsausstoß beträgt für

- Werk I: 30 Stück/Tag Type 1 oder 20 Stück/Tag Type 2,
- Werk II: 50 Stück/Tag Type 1 oder 40 Stück/Tag Type 2.

Wie muss der Auftrag auf die beiden Werke verteilt werden, wenn er in möglichst kurzer Zeit erfüllt werden soll?




Das Werk I stellt an $x_{11}$ Tagen Type 1 und an $x_{12}$ Tagen Type 2 her, das Werk II an $x_{21}$ Tagen Type 1 und an $x_{22}$ Tagen Type 2.

Bedingung für das Zeitminimum ist, dass beide Werke ihnen Teilauftrag in den gleichen Zeit erledigen; denn würde beispielsweise das Werk I mehr Zeit benötigen als das Werk II, so könnte man durch eine Verlagerung eines Teils des Auftrags von Werk I auf Werk II die Lieferfrist verkürzen. Es gilt somit die erste Gleichung

$$
x_{11}+x_{12}=x_{21}+x_{22}
$$

Für die Herstellung von Type 1 gilt: $30 x_{11}+50 x_{21}=1500$ und für Type 2: $20 x_{12}+40 x_{22}=800$. Diese drei Gleichungen werden vereinfacht und geordnet

$$
\begin{array}{r}
x_{11}+x_{12}-x_{21}-x_{22}=0 \\
3 x_{11}+5 x_{21}=150 \\
x_{12}+2 x_{22}=40
\end{array}
$$

Es liegt ein Gleichungssystem von drei Gleichungen mit vier Variablen vor. Die Lösungsmannigfaltigkeit ist einfach unendlich. Betrachtet man $x_{22}$ als freien Parameter, so folgt aus Gleichung (3)

$$
x_{12}=40-2 x_{22}
$$

Dieser Wert ergibt, wenn man ihn in Gleichung (1) einsetzt $x_{11}-x_{21}=3 x_{22}-40$. Zusammen mit Gleichung (2) ergibt sich die Lösung

$$
x_{11}=\frac{15}{8} x_{22}-\frac{25}{4} \quad(5) \quad ; \quad x_{21}=-\frac{9}{8} x_{22}+\frac{135}{4}
$$

Der Variabilitätsbereich für $x_{11}$ ist $0 \leq x_{11} \leq 50$. Das Werk I brauchte nämlich 50 Tage, wenn es 1500 Stück Type 1 allein herstellen würde. Entsprechend findet man

$$
0 \leq x_{21} \leq 30 \quad ; \quad 0 \leq x_{12} \leq 40 \quad ; \quad 0 \leq x_{22} \leq 20
$$

Aus den Gleichungen (4), (5) und (6) folgt aber weiter

$$
\begin{aligned}
& 0 \leq 40-2 x_{22} \leq 40 \quad \text { also } \quad 0 \leq x_{22} \leq 20 \\
& 0 \leq \frac{15}{8} x_{22}-\frac{25}{4} \leq 50 \quad \text { also } \quad \frac{10}{3} \leq x_{22} \leq 30 \\
& 0 \leq-\frac{9}{8} x_{22}+\frac{135}{4} \leq 30 \quad \text { also } \quad \frac{10}{3} \leq x_{22} \leq 30
\end{aligned}
$$

Der gemeinsame Variabilitätsbereich für $x_{22}$ ist demnach

$$
\frac{10}{3} \leq x_{22} \leq 20
$$

Für die Fertigungszeit $T$ gilt: $T=x_{11}+x_{12}=x_{21}+x_{22}$; oder, durch Einführung der Variablen $x_{22}$ aus den Gleichungen (4), (5) und (6)

$$
T=\frac{135}{4}-\frac{1}{8} x_{22}
$$

Sie ist linear vom Parameter $x_{22}$ abhängig und nimmt den kleinsten Wert an, wenn $x_{22}$ den größten zulässigen Wert annimmt, also für $x_{22}=20$. Damit ergibt sich die Lösung

$$
x_{22}=20 \quad ; \quad x_{12}=0 \quad ; \quad x_{21}=\frac{45}{4} \quad ; \quad x_{11}=\frac{125}{4} \quad ; \quad T=\frac{125}{4}
$$

Damit berechnet man die Stückzahlen

Type 1 Type 2

| Werk I | 937,5 | 0 |
| :---: | :---: | :---: |
| Werk II | 562,5 | 800,0 |

Theoretisch ergeben sich halbe Stückzahlen. In der Praxis wird man dem Werk I 937 Stück und dem Werk II 563 Stück in Auftrag geben. Dadurch erhöht sich die theoretisch kürzeste Lieferzeit von $31 \frac{1}{4}$ Tagen ein wenig.

