7. The sum of the integer parts of all positive real numbers $x$ that satisfy $x^{4}-x^{3}-2 \sqrt{5} x^{2}-7 x^{2}+\sqrt{5} x+3 x+7 \sqrt{5}+17=0$ is
$$
\begin{array}{l}
\text { Let } x^{4}-x^{3}-7 x^{2}+3 x+12=\left(x^{2}+a x-3\right)\left(x^{2}+b x-4\right) \\
\Rightarrow\left\{\begin{array} { l } 
{ a + b = - 1 , } \\
{ 4 a + 3 b = - 3 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=0, \\
b=-1 .
\end{array} \Rightarrow x^{4}-x^{3}-7 x^{2}+3 x+12=\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-x-4\right)\right.\right. \text {. }
\end{array}
$$

For the original equation with $\sqrt{5}$ as the main element, then $5-\sqrt{5}\left(2 x^{2}-x-7\right)+x^{4}-x^{3}-7 x^{2}+3 x+12$
$$
=\left(\sqrt{5}-x^{2}+3\right)\left(\sqrt{5}-x^{2}+x+4\right)=0 \text {, }
$$

Thus $x^{2}-3=\sqrt{5} \Rightarrow x_{1}=\sqrt{3+\sqrt{5}}, x_{2}=-\sqrt{3+\sqrt{5}}$;
$$
x^{2}-x-4=\sqrt{5} \Rightarrow x_{3}=\frac{1+\sqrt{17+4 \sqrt{5}}}{2}, x_{4}=\frac{1-\sqrt{17+4 \sqrt{5}}}{2} \text {. }
$$

Therefore $\left[x_{1}\right]=2,\left[x_{3}\right]=3$, which means the sum of the integer parts of all positive real $x$ is 5.
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