4. Let $M=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a b c+1}\left(a, b, c \in \mathbf{R}_{+}\right)$. If $a+b \leqslant c+1, b+c \leqslant a+1, c+a \leqslant b+1$, then the maximum value of $M$ is
4. $\frac{3}{2}$.

Adding $a+b \leqslant c+1, b+c \leqslant a+1$ yields $2 b \leqslant 2 \Rightarrow b \leqslant 1$.
Similarly, $a \leqslant 1, c \leqslant 1$.
When $a=b=c=1$, $M=\frac{3}{2}$.
Next, we prove: $M \leqslant \frac{3}{2}$.
Let $x=1-a, y=1-b, z=1-c$. Then $0 \leqslant x, y, z \leqslant 1$, and $x+y \geqslant z, y+z \geqslant x, z+x \geqslant y$. Hence $M \leqslant \frac{3}{2}$
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow & 2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \\
& \leqslant x+y+z+3(x y+y z+z x)-3 x y z .
\end{aligned}
$$

From the conditions, it is easy to see that the above inequality holds.
Therefore, the maximum value of $M$ is $\frac{3}{2}$.