## Zadatak B-4.6.

Zadane su elipsa s jednadžbom $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ i hiperbola kojoj su žarišta u tjemenima elipse na velikoj osi, a tjemena u žarištima elipse. Kolika je površina šesterokuta kojemu su vrhovi tjemena elipse na maloj osi i sjecišta zadanih krivulja?


## Rješenje.

Označimo s $C$ i $D$ tjemena elipse na maloj osi, a s $P, Q, R$ i $S$ točke presjeka elipse i hiperbole.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_3d5a33db4db92485fe9eg-20.jpg?height=554&width=922&top_left_y=400&top_left_x=493)

Za elipsu $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ je $e=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$, pa su žarišta elipse u točkama $F_{1}(\sqrt{5}, 0)$ i $F_{2}(-\sqrt{5}, 0)$.

Neka je jednadžba hiperbole $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$. Kako su joj tjemena u točkama $F_{1}$ i $F_{2}$ slijedi $a=\sqrt{5}$, a s obzirom da su joj žarišta u točkama $(-3,0)$ i $(3,0)$ slijedi $b^{2}=3^{2}-(\sqrt{5})^{2}=4$. Jednadžba hiperbole je $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$.

Za točke presjeka $(x, y)$ elipse i hiperbole vrijedi $x= \pm \frac{3}{7} \sqrt{35}, y= \pm \frac{2}{7} \sqrt{14}$.

Ako s $O$ označimo ishodište koordinatnog sustava, a s $M$ sjecište dužine $\overline{P S}$ s osi $x$, vrijedi da je površina šesterokuta $P C Q R D S$ jednaka četverostrukoj površini trapeza $O M P C$.

Površina trapeza $O M P C$ je jednaka $P_{1}=\frac{|\overline{P M}|+|\overline{C O}|}{2} \cdot|\overline{O M}|=\frac{\left(\frac{2}{7} \sqrt{14}+2\right)}{2} \cdot \frac{3}{7} \sqrt{35}$.

Sada je tražena površina šesterokuta jednaka $4 P_{1}=\frac{12}{7}(\sqrt{10}+\sqrt{35})$.

1 bod

Napomena: Učenik je do površine šesterokuta $P C Q R D S$ mogao doći i na druge načine.

