Oldjuk meg az $1+\cos 3 x=2 \cos 2 x$ egyenletet.


Megoldás. Ismeretes, de a szögösszegezési azonosságok felhasználásával könnyen ki is számíthatjuk, hogy $\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$ és $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=\cos ^{2} x-\left(1-\cos ^{2} x\right)=2 \cos ^{2} x-1$.

Ezeket az összefüggéseket az egyenletbe írva kapjuk, hogy

$$
1+4 \cos ^{3} x-3 \cos x=2\left(2 \cos ^{2} x-1\right)
$$

Alakítsuk szorzattá az egyenleteket:

$$
\begin{aligned}
4 \cos ^{3} x-3 \cos x-4 \cos ^{2} x+3 & =0 \\
4 \cos ^{2} x(\cos x-1)-3(\cos x-1) & =0 \\
\left(4 \cos ^{2} x-3\right)(\cos x-1) & =0
\end{aligned}
$$

Egy szorzat akkor 0 , ha valamelyik tényezője 0 , azaz

1) Vagy $4 \cos ^{2} x=3, \cos x= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Innen

$$
\begin{array}{ll}
x_{1}=\frac{\pi}{6}+2 k \pi, & x_{2}=\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi \\
x_{3}=\frac{11 \pi}{6}+2 k \pi, & x_{4}=\frac{7 \pi}{6}+2 k \pi
\end{array}
$$

ahol $k$ egész.

2) Vagy $\cos x=1$ és $x=2 l \pi$, ahol $l$ egész.

A megoldások:

$$
x_{1}=2 k \pi, \quad x_{2}=\frac{\pi}{6}+k \pi, \quad x_{3}=\frac{5 \pi}{6}+k \pi
$$

ahol $k$ tetszóleges egész szám.

