## Zadatak B-4.5.

U trokutu $A B C$ je $a=|B C|=\sqrt{21} \mathrm{~cm}, b=|A C|=4 \mathrm{~cm}$ i $\alpha=\varangle B A C=120^{\circ}$. Na stranici $\overline{B C}$ odredite točku $D$ tako da obujam rotacijskog tijela nastalog rotacijom trokuta $A B D$ oko stranice $A B$ bude jednak obujmu rotacijskog tijela nastalog rotacijom trokuta $A C D$ oko stranice $A C$. U kojem omjeru točka $D$ dijeli stranicu $a$ ?


## Rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_964e2f56f6f4ff54223dg-21.jpg?height=497&width=599&top_left_y=1830&top_left_x=660)

Obujam koji nastaje pri rotaciji trokuta $A B D$ oko pravca $A B$ je

$V_{1}=\frac{r_{1}^{2} \pi h}{3}+\frac{r_{1}^{2} \pi(c-h)}{3}=\frac{r_{1}^{2} c \pi}{3}$.

Analogno, $V_{2}=\frac{r_{2}^{2} b \pi}{3}$ je obujam koji nastaje pri rotaciji trokuta $A C D$ oko pravca $A C$.

$$
V_{1}=V_{2} \Rightarrow \frac{r_{2}^{2} c \pi}{3}=\frac{r_{2}^{2} b \pi}{3} \Rightarrow \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}=\frac{c}{b} \text { ili } \frac{r_{1}}{r_{2}}=\sqrt{\frac{b}{c}}
$$

Po poučku o kosinusu izračunamo duljinu stranice $c$.

$21=16+c^{2}+4 c \Rightarrow c^{2}+4 c-5=0 \Rightarrow c=1 \mathrm{~cm}$.

Sada je $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\sqrt{\frac{b}{c}}=\frac{2}{1}$ ili $\frac{r_{2}}{r_{1}}=\sqrt{\frac{c}{b}}=\frac{1}{2}$.

Iz pravokutnih trokuta $D E B$ i $C F D$ računamo traženi omjer:

$\frac{x}{y}=\frac{\frac{r_{1}}{\sin \beta}}{\frac{r_{2}}{\sin \gamma}}=\frac{r_{1} \sin \gamma}{r_{2} \sin \beta}$.

Zatim primijenimo poučak o sinusu i omjer ( ${ }^{*}$ ):

$\frac{x}{y}=\frac{r_{1} \sin \gamma}{r_{2} \sin \beta}=\frac{r_{1} \cdot c}{r_{2} \cdot b}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

Dakle, točka $D$ dijeli stranicu $a$ u omjeru $1: 2$.

