
Zadatak A-4.7. (10 bodova)

Među svim točkama $z$ kompleksne ravnine za koje je $|z+3|+|z-3|=10$ odredi onu koja je najbliža pravcu koji prolazi točkama $(-3+4 i)$ i $(-8+i)$.


## Prvo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_d6d90a155ebaa296cbbeg-30.jpg?height=694&width=1008&top_left_y=498&top_left_x=524)

Zadani skup je skup svih točaka za koje je zbroj udaljenosti od točaka -3 i 3 iznosi 10 pa je to elipsa. Za nju vrijedi da je $2 a=10$ (zbroj udaljenosti od žarišta), tj. $a=5$.

Žarišta su joj točke $(3,0)$ i $(-3,0)$ pa $e=3$.

Sada možemo izračunati

$$
b=\sqrt{a^{2}-e^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4
$$

Dakle, jednadžba zadane elipse je

$$
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
$$

odnosno $16 x^{2}+25 y^{2}=400$.

Dani pravac prolazi točkama $(-3,4)$ i $(-8,1)$ pa je njegov koeficijent smjera:

$$
k_{p}=\frac{1-4}{-8-(-3)}=\frac{3}{5}
$$

Traženu točku ćemo odrediti kao diralište jedne od tangenata zadane elipse paralelne danom pravcu.

Tangenta na elipsu u točki $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ima jednadžbu $b^{2} x_{0} x+a^{2} y_{0} y=a^{2} b^{2}$ pa joj je koeficijent smjera

$$
k_{t}=-\frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}=-\frac{16 x_{0}}{25 y_{0}}
$$

Iz uvjeta paralelnosti pravca i tangente dobijemo:

$$
-\frac{16 x_{0}}{25 y_{0}}=\frac{3}{5}
$$

odnosno $y_{0}=-\frac{16}{15} x_{0}$. Uvrštavanjem u jednadžbu tangente dobijemo:

$$
16 x_{0}^{2}+25\left(\frac{16}{15} x_{0}\right)^{2}=400
$$

odakle je $x_{0}= \pm 3$.

Dakle, točke dodira tangente i elipse su: $T_{1}\left(-3, \frac{16}{5}\right)$ i $T_{2}\left(3,-\frac{16}{5}\right)$.

Sa slike vidimo da je traženo rješenje $T_{1}\left(-3, \frac{16}{5}\right)$.

