## Problema 4

Fie $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in M_{2}(\mathrm{Q})$ astfel încât $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$, $\operatorname{det} \mathrm{A}=-3$ și $\operatorname{det}(\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{~B})=0$.

Să se calculeze $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)$

GMB 12/2011

Probleme selectate de Prof. Ursan Rodica

Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

b) Toate problemele sunt obligatorii.

c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 .

## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

Etapa locală - 15.02.2014

## Clasa a XI-a

## Barem de corectare


## Problema 4

Fie $\mathrm{p}(\mathrm{x})=\operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{xB})=\mathrm{a} x^{2}+b x+c$, a,b,c $\in \mathbf{Q}$

$\operatorname{Din} p(\sqrt{3})=\operatorname{det}(A+\sqrt{3} B)=0$ și $p(\sqrt{3})=3 a+\sqrt{3} b+c=>3 a+c+\sqrt{3} b=0, a, b, c \in Q=>$

$=>b=0$ şi $\mathrm{c}=-3 \mathrm{a}$

Avem $p(x)=a x^{2}-3 a$. Cum $p(0)=\operatorname{det}(A)=-3$ și $p(0)=-3 a=>a=1$ deci $p(x)=x^{2}-3$

Fie $\varepsilon$ o rădăcină cubică a unității, $\varepsilon \neq 1$.

$(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B})(\mathrm{A}+\bar{\varepsilon} \mathrm{B})=A^{2}+\bar{\varepsilon} A B+\bar{\varepsilon} B A+\varepsilon \bar{\varepsilon} B^{2}=A^{2}+B^{2}+(\varepsilon+\bar{\varepsilon}) A B=A^{2}+B^{2}-A B . \quad(2 \mathrm{p})$ $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)=\operatorname{det}[(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B})(\mathrm{A}+\bar{\varepsilon} \mathrm{B})]=\operatorname{det}(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B}) \operatorname{det}(\mathrm{A}+\bar{\varepsilon} \mathrm{B})=\mathrm{p}(\varepsilon) \mathrm{p}(\bar{\varepsilon})=$

$=\left(\varepsilon^{2}-3\right)\left(\bar{\varepsilon}^{2}-3\right)=\left(\varepsilon^{2}-3\right)(\varepsilon-3)=\varepsilon^{3}-3 \varepsilon^{2}-3 \varepsilon+9=$

$=\varepsilon^{3}-3\left(\varepsilon^{2}+\varepsilon\right)+9=1+3+9=13 \Rightarrow \operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)=13$

Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte.

b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător.

