## Aufgabe 1 - 181241

Man ermittle alle ganzen Zahlen $a$ mit der Eigenschaft, dass zu den Polynomen

$$
\begin{aligned}
& f(x)=x^{12}-x^{11}+3 x^{10}+11 x^{3}-x^{2}+23 x+30 \\
& g(x)=x^{3}+2 x+a
\end{aligned}
$$

ein Polynom $h(x)$ so existiert, dass für alle reellen $x$ die Gleichung $f(x)=g(x) \cdot h(x)$ gilt.




Zu den gegebenen Polynomen $f(x)$ und $g(x)$ gibt es genau zwei eindeutig bestimmte Polynome $h(x)$ und $q(x)$ derart, dass $f(x)=g(x) \cdot h(x)+q(x)$ für alle reellen $x$ gilt und $q(x)$ das Nullpolynom ist oder kleineren Grad als $g(x)$ hat.

Durch Polynomdivision erhält man

$$
\begin{gathered}
f(x)=g(x)\left[x^{9}-x^{8}+x^{7}+(-a+2) x^{6}+(a-2) x^{5}+(a-4) a^{4}+\left(a^{2}-4 a+4\right) x^{3}+\left(-a^{2}+8\right) x^{2}+\right. \\
\left.+\left(-3 a^{2}+12 a-8\right) x+\left(-a^{3}+6 a^{2}+4 a+5\right)\right]+\left(a^{3}+6 a^{2}+32 a+15\right) x^{2}+\left(5 a^{3}-24 a^{2}+16 a+33\right) x+a^{4}-6 a^{3}+4 a^{2}+5 a+30
\end{gathered}
$$

Eine ganze Zahl $a$ hat daher genau dann die verlangte Eigenschaft, wenn für sie alle reellen $x$

$$
q(x)=\left(a^{3}+6 a^{2}+32 a+15\right) x^{2}+\left(5 a^{3}-24 a^{2}+16 a+33\right) x+a^{4}-6 a^{3}+4 a^{2}+5 a+30=0
$$

ist, d.h., wenn die Gleichungen

$$
\begin{aligned}
a^{3}+6 a^{2}-32 a+15 & =0 \\
5 a^{3}-24 a^{2}+16+33 & =0 \\
a^{4}-6 a^{3}+4 a^{2}+5 a+30 & =0
\end{aligned}
$$

gelten.

Angenommen, eine ganze Zahl $a$ erfüllt (1), (2), (3). Dann folgt $a \mid 33$ und $a \mid 30$, also $a \mid 3$, d.h. $a$ ist eine der Zahlen 1, -1, 3, -3.

Wegen

$$
\begin{aligned}
1^{3}+6 \cdot 1^{2}-32 \cdot 1+15 & =-10 \\
(-1)^{3}+6 \cdot(-1)^{2}-32 \cdot(-1)+15 & =52 \\
(-3)^{3}+6 \cdot(-3)^{2}-32 \cdot(-3)+15 & =138
\end{aligned}
$$

verbleibt nur die Möglichkeit $a=3$. In der Tat erfüllt $a=3$ die Gleichungen (1), (2), (3). Daher hat genau die Zahl $a=3$ die geforderten Eigenschaften.
