## Aufgabe 1 - 290831

Eine Aufgabe des bedeutenden englischen Naturwissenschaftlers Isaak Newton (1643 bis 1727) lautet:

Ein Kaufmann besaß eine gewisse Geldsumme.

Im ersten Jahr verbrauchte er davon 100 Pfund; zum Rest gewann er durch seine Arbeit ein Drittel desselben dazu.

Im zweiten Jahr verbrauchte er wiederum 100 Pfund und gewann zum Rest ein Drittel dazu. Im dritten Jahr verbrauchte er erneut 100 Pfund und gewann zum Rest ein Drittel dazu.

Dabei stellte er fest, dass sich sein Geld gegenüber dem Anfang des ersten Jahres verdoppelt hatte.

Ermittle aus diesen Angaben, welche Geldsumme anfangs des ersten Jahres vorhanden gewesen sein muss! Weise nach, dass bei dieser Anfangssumme die Angaben des Aufgabentextes zutreffen!




I. Wenn die Angaben mit der Anfangssumme $x$ Pfund zutreffen, so folgt:

Da durch Hinzugewinn eines Drittels einer Summe stets vier Drittel dieser Summe entstehen, ergibt sich am Ende des dritten Jahres die Summe von

$$
\left(\left((x-100) \cdot \frac{4}{3}-100\right) \cdot \frac{4}{3}-100\right) \cdot \frac{4}{3} \text { Pfund }
$$

Also gilt nach der letzten Angabe des Aufgabentextes

$$
\left(\left((x-100) \cdot \frac{4}{3}-100\right) \cdot \frac{4}{3}-100\right) \cdot \frac{4}{3}=2 x
$$

Daraus folgt durch Ausmultiplizieren aller Klammern und anschließendes Multiplizieren mit dem Hauptnenner

$$
\begin{aligned}
\left(\left(\frac{4}{3} x-\frac{400}{3}-100\right) \cdot \frac{4}{3}-100\right) \cdot \frac{4}{3} & =2 x \\
\left(\frac{16}{9} x-\frac{1600}{9}-\frac{400}{3}-100\right) \cdot \frac{4}{3} & =2 x \\
\frac{64}{27} x-\frac{6400}{27}-\frac{1600}{9}-\frac{400}{3} & =2 x \\
64 x-6400-4800-3600 & =54 x \\
x & =1480
\end{aligned}
$$

Die Anfangssumme muss folglich 1480 Pfund betragen haben.

Aus dieser Anfangssumme entsteht, im ersten Jahr durch Verbrauchen von 100 Pfund die Summe 1380 Pfund, durch Hinzugewinnen eines Drittels (460 Pfund) die Summe 1840 Pfund; im zweiten Jahr entsprechend 1740 Pfund +580 Pfund $=2320$ Pfund; im dritten Jahr 2220 Pfund +740 Pfund $=2960$ Pfund.

Da 2960 das Doppelte von 1480 ist, treffen bei der genannten Anfangssumme somit die Angaben des Aufgabentextes zu.

