1. Let integers $a$, $b$, $c$ satisfy
$$
\begin{array}{l}
a^{2}+b^{4}+c^{6} \leqslant \sqrt{5} . \\
\text { Then }(-2)^{a}+(-2)^{b}+(-2)^{c}=
\end{array}
$$
2. $\pm 3$ or 0 or $\frac{3}{2}$.
From the given, we have $a^{2}+b^{4}+c^{6}=0$ or 1 or 2.
When $a^{2}+b^{4}+c^{6}=0$, $a=b=c=0$. At this time, $(-2)^{a}+(-2)^{b}+(-2)^{c}=3$.
When $a^{2}+b^{4}+c^{6}=1$, one of $a, b, c$ is +1 or -1, and the other two are 0. At this time,
$$
(-2)^{a}+(-2)^{b}+(-2)^{c}=0 \text{ or } \frac{3}{2} \text{. }
$$

When $a^{2}+b^{4}+c^{6}=2$, one of $a, b, c$ is 0, and the other two are +1 or -1.
When $a=0, b=c=1$,
$$
(-2)^{a}+(-2)^{b}+(-2)^{c}=-3 \text{; }
$$

When $a=0, b=c=-1$,
$$
(-2)^{a}+(-2)^{b}+(-2)^{c}=0 \text{; }
$$

When $a=0, b=1, c=-1$,
$$
(-2)^{a}+(-2)^{b}+(-2)^{c}=-\frac{3}{2} \text{. }
$$

Therefore, $(-2)^{a}+(-2)^{b}+(-2)^{c}$
$$
= \pm 3 \text{ or } 0 \text{ or } \pm \frac{3}{2} \text{. }
$$