4. Let $f(x)=a x^{2}+b x+c(a, b, c \in R, a \neq 0)$. If for $|x| \leqslant 1$, $|f(x)| \leqslant 1$, then for $|x| \leqslant 1$, the maximum value of $|2 a x+b|$ is $\qquad$
4. 4 .

Given $f(0)=c, f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c$, 
we solve to get $a=\frac{f(1)+f(-1)-2 f(0)}{2}, b=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$.
For $|x| \leqslant 1$, $|f(x)| \leqslant 1$, we have
$$
\begin{array}{l}
|2 a x+b| \\
=\left|[f(1)+f(-1)-2 f(0)] x\right. \\
\left.+\frac{f(1)-f(-1)}{2} \right| \\
=\left|\left(x+\frac{1}{2}\right) f(1)+\left(x-\frac{1}{2}\right) f(-1)-2 x f(0)\right| \\
\leqslant\left|x+\frac{1}{2}\right||f(1)|+\left|x-\frac{1}{2}\right||f(-1)| \\
\quad \quad+|2 x||f(0)| \\
\leqslant\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|+2 \leqslant 4 .
\end{array}
$$