## Zadatak B-1.2.

Za koje je realne brojeve $x$ vrijednost izraza

$$
\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}-\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)-3}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+1}
$$

veća od 1 ?


## Prvo rješenje.

Pojednostavnimo dani izraz.

$$
\begin{aligned}
\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}-\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)-3}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+1} & =\frac{x^{3}+3 x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}-x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3}{x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{x^{2}}+1} \\
& =\frac{3 x+\frac{3}{x}-3}{3}=x+\frac{1}{x}-1
\end{aligned}
$$

Treba riješiti nejednadžbu $x+\frac{1}{x}-1>1$, odnosno $x+\frac{1}{x}>2$.

Slijedi $\frac{x^{2}-2 x+1}{x}>0$, odnosno $\frac{(x-1)^{2}}{x}>0$.

Budući da je brojnik uvijek veći ili jednak 0 , ovaj razlomak je veći od nule ako mu je nazivnik veći od 0 i brojnik različit od nule, pa je rješenje nejednadžbe $\langle 0, \infty\rangle \backslash\{1\}$.

1 bod

