\section*{Aufgabe 3 - 091033}

Geben Sie

a) eine notwendige und hinreichende,

b) eine notwendige und nicht hinreichende sowie

c) eine hinreichende und nicht notwendige

Bedingung dafür an, da \(\sqrt{1-\left|\log _{2}\right| 5-x||}>0\) gilt!

Die anzugebenden Bedingungen sind dabei so zu formulieren, dass sie in der Forderung bestehen, \(x\) solle in einem anzugebenden Intervall oder in einem von mehreren anzugebenden Intervallen liegen.


}

Damit die Wurzel definiert ist, muss der Radikand nicht-negativ sein.

Dafür muss also \(\left|\log _{2}\right| 5-x|| \leq 1\) bzw. \(-1 \leq \log _{2}|5-x| \leq 1\) gelten, was äquivalent ist zu \(\frac{1}{2} \leq|5-x| \leq 2\). Wir unterscheiden nun zwei Fälle:

1. Fall: \(5-x \geq 0\), also \(x \leq 5\) : Dann muss \(\frac{1}{2} \leq 5-x \leq 2\) gelten, was äquivalent \(\mathrm{zu} x \in\left[3 ; \frac{9}{2}\right]\) ist.

2. Fall: \(5-x5\) : Dann ist \(|5-x|=-(5-x)=x-5\) und es muss \(\frac{1}{2} \leq x-5 \leq 2\) gelten, was äquivalent ist zu \(x \in\left[\frac{11}{2} ; 7\right]\).

Zusammengefasst, ergibt sich also eine notwendige (und, wie wir gleich sehen werden, nicht hinreichende) Bedingung dafür, dass die gegebene Gleichung erfüllt ist, durch

\[
x \in\left[3 ; \frac{9}{2}\right] \quad \text { oder } \quad x \in\left[\frac{11}{2} ; 7\right]
\]

denn sonst wäre die Wurzel gar nicht definiert. (Dies beantwortet dann Teil b).)

Im Falle, dass die Wurzel definiert ist, die Gleichung aber nicht gilt, muss die Wurzel, und damit auch ihr Radikand, Null werden, sodass dann \(\left|\log _{2}\right| 5-x||=1\), also \(\log _{2}|5-x| \in\{-1,1\}\) und damit \(|5-x| \in\) \(\left\{\frac{1}{2}, 2\right\}\) gelten muss. Es ergibt sich weiter \(5-x \in\left\{-2,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2\right\}\), also diesen Gedanken abschließend \(x \in\left\{3 ; \frac{9}{2} ; \frac{11}{2} ; 7\right\}\). Nur genau dann, wenn \(x\) einen dieser vier Werte annimmt, wird die Wurzel 0 , ist also definiert, aber nicht echt positiv.

Somit ergibt sich eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Ungleichung der Aufgabenstellung \(\mathrm{zu}\)

\[
x \in\left(3 ; \frac{9}{2}\right) \quad \text { oder } \quad x \in\left(\frac{11}{2} ; 7\right)
\]

was dann Teil a) beantwortet.

Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung, wie sie Teil c) fordert, erhält man etwa dadurch, dass man nur eines der beiden Intervalle betrachtet, also z.B. ausschließlich \(x \in\left(3 ; \frac{9}{2}\right)\) fordert.
