## Zadatak B-3.4.

Odredite neki period funkcije $f(x)=2 \sin \left(\frac{3}{4} x\right)+\cos \left(\frac{4}{5} x-\frac{\pi}{3}\right)$.


## Rješenje.

Temeljni period funkcije $f_{1}(x)=2 \sin \left(\frac{3}{4} x\right)$ je $P_{1}=\frac{2 \pi}{\frac{3}{4}}=\frac{8 \pi}{3}$.

Temeljni period funkcije $f_{2}(x)=\cos \left(\frac{4}{5} x-\frac{\pi}{3}\right)$ je $P_{2}=\frac{2 \pi}{\frac{4}{5}}=\frac{5 \pi}{2}$.

Uočimo da je svaki period funkcije $f_{1}$ oblika $\frac{8 \pi}{3} \cdot n, n \in \mathbb{N}$, a svaki period funkcije $f_{2}$ oblika $\frac{5 \pi}{2} \cdot m, m \in \mathbb{N}$.

Period funkcije $f=f_{1}+f_{2}$ je svaki broj koji je istovremeno oblika $\frac{8 \pi}{3} \cdot n \mathrm{i} \frac{5 \pi}{2} \cdot m$, za neke $m, n \in \mathbb{N}$.

Proširimo razlomke do istog nazivnika: $\frac{8 \pi}{3}=\frac{16 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{2}=\frac{15 \pi}{6}$.

Najmanji zajednički višekratnik brojeva 16 i 15 je 240 . Zato je $15 \cdot \frac{8 \pi}{3}=16 \cdot \frac{5 \pi}{2}=$ $\frac{240 \pi}{6}=40 \pi$ period funkcije $f$.

Period funkcije $f$ je svaki broj oblika $40 k \pi, k \in \mathbb{N}$.

Napomena: Učeniku treba dati sve bodove za točan postupak i napisan bilo koji odgovor koji je višekratnik broja $40 \pi$.

Napomena: Ako je učenik pogodio period $P$, treba provjeriti da je $f(x+P)=f(x)$ za svaki $x \in \mathbb{R}$. U protivnom dobiva samo 1 bod.

