
6) Quanti sono i numeri di tre cifre, tutte diverse da 0 , tali che comunque si permutino le loro cifre il numero che si ottiene è divisibile per quattro?
(A) 8
(B) 12
(C) 16
(D) 24
(E) 48

6. La risposta è $(\mathbf{A})$.

Indichiamo con $a, b$ e $c$ le cifre di un numero di tre cifre $a b c$ tale che, comunque si permutino le sue cifre, risulti divisibile per 4. Se un numero è multiplo di 4 , esso è in particolare pari, quindi $a, b$ e $c$ devono essere tutti pari, perché ciascuno di loro, a meno di una permutazione, è la cifra delle unità di un numero pari. Inoltre osserviamo che i numeri divisibili per quattro che hanno come cifra delle unità 2 o 6 hanno per cifra delle decine un numero dispari. Dunque nessuno dei numeri $a, b$ e $c$ può essere 2 oppure 6 . Le uniche possibilità sono allora che ciascuno dei 3 numeri $a, b$ e $c$ coincida con 4 oppure con 8 . Abbiamo allora gli 8 numeri di 3 cifre:

$$
444, \quad 448, \quad 484, \quad 488, \quad 844, \quad 848, \quad 884, \quad 888
$$

che hanno la proprietà richiesta e sono gli unici ad averla.

[Problema proposto da S. Mongodi.]
