## Zadatak B-3.1.

Riješite nejednadžbu

$$
2 \log _{\frac{1}{5}}\left(49^{\sqrt{x^{2}-2}}-1\right)+\log _{5}\left(7^{\sqrt{4 x^{2}-8}}+\frac{1}{5}\right) \leqslant-1
$$


## Rješenje.

Zapišimo nejednadžbu u obliku:

$$
-2 \log _{5}\left(7^{2 \sqrt{x^{2}-2}}-1\right)+\log _{5}\left(7^{2 \sqrt{x^{2}-2}}+\frac{1}{5}\right) \leqslant-1
$$

Uvedimo supstituciju $t=7^{2 \sqrt{x^{2}-2}}, t>0$.

Uvjeti na rješenje zadatka su $t-1>0$ i $t+\frac{1}{5}>0 \Longrightarrow t>1 \quad(*)$.

Tada rješavamo nejednadžbu

$$
\begin{aligned}
& -2 \log _{5}(t-1)+\log _{5}\left(t+\frac{1}{5}\right) \leqslant-1 \Leftrightarrow \log _{5}\left(t+\frac{1}{5}\right)+\log _{5} 5 \leqslant \log _{5}(t-1)^{2} \\
& \log _{5} 5\left(t+\frac{1}{5}\right) \leqslant \log _{5}(t-1)^{2} \Leftrightarrow \\
& 5 t+1 \leqslant t^{2}-2 t+1 \\
& t^{2}-7 t \geqslant 0
\end{aligned}
$$

Rješenje ove kvadratne nejednadžbe je unija intervala $\langle-\infty, 0] \cup[7,+\infty\rangle$, što zajedno s uvjetom (*) daje $t \in[7,+\infty\rangle$.

Vraćanjem na nepoznanicu $x$ dobivamo nejednadžbu:

$7^{2 \sqrt{x^{2}-2}} \geqslant 7$, uz uvjet $|x| \geqslant \sqrt{2} \quad(* *)$.

$2 \sqrt{x^{2}-2} \geqslant 1 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-2} \geqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow x^{2}-2 \geqslant \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^{2} \geqslant \frac{9}{4} \Leftrightarrow|x| \geqslant \frac{3}{2}$, što zadovoljava i uvjet $(* *)$, pa je $x \in\left\langle-\infty,-\frac{3}{2}\right] \cup\left[\frac{3}{2},+\infty\right\rangle$.

