## Zadatak B-2.3.

Zadan je trokut $A B C$. Ako je $|A B|=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm},|A C|-2|B C|=3 \mathrm{~cm}$, a mjera kuta nasuprot stranici $\overline{A C}$ iznosi $150^{\circ}$, odredite sinus kuta nasuprot stranici $\overline{A B}$.


## Rješenje.

Skicirajmo trokut $A B C$, uvedimo oznake za duljine stranica i veličine kutova te označimo zadane elemente: $c=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}, b-2 a=3 \mathrm{~cm}, \beta=150^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5ec97620b8cc23e4b297g-09.jpg?height=189&width=709&top_left_y=1684&top_left_x=182)

Prema poučku o kosinusu vrijedi: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos \beta$.

$\cos \beta=\cos 150^{\circ}=-\cos 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$(3+2 a)^{2}=a^{2}+(3 \sqrt{3})^{2}-2 a \cdot 3 \sqrt{3} \cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$9+12 a+4 a^{2}=27+a^{2}+9 a$

$3 a^{2}+3 a-18=0$

$a^{2}+a-6=0$

$(a-2)(a+3)=0$

$a=2 \mathrm{~cm}$ (jer duljina stranice ne može iznositi $a=-3 \mathrm{~cm}$ )

$b=7 \mathrm{~cm}$

Sinus traženoga kuta odredimo s pomoću poučka o sinusima:

$\frac{c}{\sin \gamma}=\frac{b}{\sin \beta}$

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sin \gamma}=\frac{7}{\sin 150^{\circ}}$

$\sin \gamma=\frac{3 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{7}=\frac{3 \sqrt{3}}{14}$

