## Zadatak A-4.3.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ za koje je $2^{n}+5 \cdot 3^{m}$ kvadrat nekog prirodnog broja.


## Prvo rješenje.

Označimo s $x$ cijeli broj koji kvadriran daje izraz iz teksta zadatka, odnosno

$$
2^{n}+5 \cdot 3^{m}=x^{2}
$$

Promotrimo koje ostatke izrazi daju pri dijeljenju s 3. Kako je $m$ prirodan, drugi sumand na lijevoj strani je djeljiv s 3. Potpuni kvadrati daju ostatak 0 ili 1 pri dijeljenju s 3 , dok broj $2^{n}$ daje ostatak 2 (ako je $n$ neparan) ili 1 (ako je $n$ paran). Jedina mogućnost da jednakost bude zadovoljena je ako je $n$ paran. Dakle, možemo pisati $n=2 n_{1}$, gdje je $n_{1}$ prirodan broj.

Zato je i $2^{n}$ potpun kvadrat. Prebacimo li ga na desnu stranu jednadžbe, možemo iskoristiti razliku kvadata te pisati

$$
5 \cdot 3^{m}=x^{2}-2^{n}=\left(x-2^{n_{1}}\right)\left(x+2^{n_{1}}\right)
$$

Pogledajmo faktore na desnoj strani jednakosti. Njihov najveći zajednički djelitelj nužno dijeli i njihovu razliku, koja iznosi $2^{n_{1}+1}$. S druge strane, njihov zajednički djelitelj mora dijeliti i lijevu stranu jednadžbe, na kojoj se nalazi neparan broj. To je moguće samo ako taj djelitelj iznosi 1 , odnosno ako su faktori $x-2^{n_{1}}$ i $x+2^{n_{1}}$ relativno prosti.

Kako su faktori relativno prosti, i kako je faktor $x-2^{n_{1}}$ manji od $x+2^{n_{1}}$, imamo tri mogućnosti: faktor $x-2^{n_{1}}$ je jednak $1,3^{m}$ ili 5 .

Ako je $x-2^{n_{1}}=1$, te $x+2^{n_{1}}=5 \cdot 3^{m}$, oduzimajući te jednakosti dobivamo jednakost $2^{n_{1}+1}+1=5 \cdot 3^{m}$. Gledajući ostatke pri dijeljenju s 3 , slično kao na početku, zaključujemo da je $n_{1}$ paran. No, gledajući ostatke pri dijeljenju s 5 , zaključujemo da $2^{n_{1}+1}$ daje ostatak 4 samo kada je $n_{1}=4 k+1$, za neki nenegativan cijeli $k$, što nije moguće ako je $n_{1}$ paran. Time dobivamo kontradikciju, te zaključujemo da u ovom slučaju nema rješenja.

Ako je $x-2^{n_{1}}=3^{m}$, te $x+2^{n_{1}}=5$, kao prvo zaključujemo da je 5 mora biti veći od $3^{m}$, što je moguće samo za $m=1$. Oduzimajući jednadžbe dobivamo da je $2^{n_{1}+1}=2$, no to vodi na $n_{1}=0$, tj. na rješenje koje nije u prirodnim brojevima.

Preostao je slučaj kada je $x-2^{n_{1}}=5$, te $x+2^{n_{1}}=3^{m}$. Ponovno oduzimamo, te dobivamo jednakost

$$
3^{m}-2^{n_{1}+1}=5
$$

Gledajući ostatke pri dijeljenju s 3 zaključujemo da se jednakost može postići tek ako je $n_{1}$ neparan broj, odnosno ako vrijedi $n_{1}=2 n_{2}-1$, za neki $n_{2} \in \mathbb{N}$. Nadalje, gledajući ostatke koje izrazi daju pri dijeljenju s 4 , jednakost se može postići te ako je $m$ paran, odnosno kada je $m=2 m_{1}$, za neki $m_{1} \in \mathbb{N}$.

Tada su na lijevoj strani gornje jednakosti izrazi potpuni kvadrati, pa primjenjujemo razliku kvadrata:

$$
\left(3^{m_{1}}-2^{n_{2}}\right)\left(3^{m_{1}}+2^{n_{2}}\right)=5
$$

Kako je 5 prost, samo se na jedan način može zapisati kao umnožak dva prirodna broja. Kako je u gornjem zapisu prvi faktor manji od drugog, nužno je $3^{m_{1}}-2^{n_{2}}=1$ i $3^{m_{1}}+2^{n_{2}}=5$. Rješenje ovog sustava je $3^{m_{1}}=3,2^{n_{2}}=2$, odnosno $m_{1}=n_{2}=1$, odakle dobivamo rješenje $(m, n)=(2,2)$.

Dakle, jedini takav par brojeva $(m, n)$ je $(2,2)$.

