
Opgave 3. Vind alle functies $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ die voldoen aan

$$
f(-f(x)-f(y))=1-x-y
$$

voor alle $x, y \in \mathbb{Z}$.


Oplossing I. Invullen van $x=y=1$ geeft $f(-2 f(1))=-1$. Invullen van $x=n, y=1$ geeft $f(-f(n)-f(1))=-n$. Nu kiezen we $x=-f(n)-f(1)$ en $y=-2 f(1)$, dat geeft

$$
f(-f(-f(n)-f(1))-f(-2 f(1)))=1-(-f(n)-f(1))-(-2 f(1))
$$

waarbij we de linkerkant verder kunnen uitrekenen als $f(--n--1)=f(n+1)$ en de rechterkant verder als $1+f(n)+f(1)+2 f(1)=f(n)+3 f(1)+1$. Schrijf nu $3 f(1)+1=c$, dan staat er

$$
f(n+1)=f(n)+c .
$$

Met inductie twee kanten op volgt dat $f(n+k)=f(n)+c k$ voor alle $k \in \mathbb{Z}$, waarna $n=0$ geeft dat $f(k)=f(0)+c k$ voor alle $k \in \mathbb{Z}$, dus $f$ is een lineaire functie.

Om te controleren vullen we $f(x)=a x+b$ in met $a, b \in \mathbb{Z}$. Dan wordt de linkerkant van de functievergelijking

$$
f(-f(x)-f(y))=a(-a x-b-a y-b)+b=-a^{2} x-a^{2} y-2 a b+b .
$$

Dit moet voor alle $x$ en $y$ gelijk zijn aan $1-x-y$. De coëfficiënt voor de $x$ moet daarom gelijk zijn (want met $y$ vast moet aan beide kanten dezelfde functie van $x$ staan) dus $-a^{2}=-1$, dus $a=1$ of $a=-1$. Met $a=-1$ en $x=y=0$ krijgen we $2 b+b=1$, wat geen gehele $b$ oplevert. Met $a=1$ en $x=y=0$ krijgen we $-2 b+b=1$ dus $b=-1$. Inderdaad komt er voor $a=1$ en $b=-1$ links ook $1-x-y$ te staan, dus de enige functie die voldoet is $f(x)=x-1$.
