(Richard Henner) Für eine beliebige natürliche Zahl $n$ bezeichnen wir die Anzahl der positiven Teiler von $n$ mit d(n) und die Summe dieser Teiler mit s(n). Zum Beispiel ist d(2018) gleich 4, weil 2018 vier Teiler hat (1, 2, 1009 und 2018) und $s(2018)=1+2+1009+2018=3030$.

Man bestimme alle natürlichen Zahlen $x$, für die $s(x) \cdot d(x)=96$ gilt.
(Richard Henner) Aus $s(x) \cdot d(x)=96$ folgt, dass sowohl $s(x)$ als auch $d(x)$ ein Teiler von 96 sein muss und selbstverständlich gilt $d(x)<s(x) .96=2^{5} \cdot 3$ hat 12 Teiler, nämlich $1,2,3,4,6,8,12$, 16, 24, 32, 48 und 96. $d(x)$ kann also die Werte 1, 2, 3, 4, 6 oder 8 annehmen.

$d(x)=1$ bedeutet $x=1$ und damit $s(x)=1$ und ist daher keine Lösung.

Aus $d(x)=2$ folgt $x$ ist prim, aus $s(x)=48$ folgt $x=47$, eine Primzahl, also Lösung.

Aus $d(x)=3$ folgt $x$ ist das Quadrat einer Primzahl $\left(p^{2}\right), s(x)=32=1+p+p^{2}$, keine Lösung.

Aus $d(x)=4$ folgt $x=p^{3}$ oder $x=p \cdot q(p, q$ prim $)$. Aus $x=p^{3}$ folgt $s(x)=24=1+p+p^{2}+p^{3}$, keine Lösung. Aus $x=p \cdot q$ folgt $s(x)=24=1+p+q+p \cdot q$, also $23=p+q+p \cdot q$, das geht für $p=2$ und $q=7$ oder $p=3$ und $q=5$. Also sind $x=14$ und $x=15$ Lösungen.

Aus $d(x)=6$ folgt $s(x)=16$ und $x=p^{5}$, was zu groß ist, oder $x=p^{2} \cdot q$. Wenn man $p=2$ oder 3 einsetzt, sieht man, dass das nicht geht.

Aus $d(x)=8$ folgt $s(x)=12$, was nicht geht, weil 8 verschiedene Teiler eine Summe haben müssen, die größer als 12 ist.

Die Lösungen sind also 14, 15 und 47.