## Aufgabe 24/75

Aus einer Tabelle der Fakultäten will jemand den Wert für 20! entnehmen. Dabei stellt er fest, dass zwei Ziffern unleserlich sind:

$$
20!=2 \bullet \bullet 2902008176640000
$$

Wie kann man die unleserlichen Ziffern ermitteln, ohne das Produkt auszurechnen?




Zur Lösung der Aufgabe kann man die Tatsache verwenden, dass 20! durch 9 und durch 11 ohne Rest teilbar ist. Bezeichnet man mit $Q(n)$ die Quersumme und mit $Q_{A}(n)$ die alternierende Quersumme einer natürlichen Zahl n, so gilt bekanntlich

$$
Q(n) \equiv n(\bmod 9) \quad ; \quad Q_{A}(n) \equiv n(\bmod 11)
$$

Nun ist (wobei mit $\mathrm{x}$ und $\mathrm{y}$ die fehlenden Ziffern bezeichnet sind)

$$
Q(20!)=47+x+y \equiv x+y-7(\bmod 9) \quad Q_{A}(20!)=1-x+y \equiv 1-x+y(\bmod 11)
$$

Wegen $Q(20!) \equiv 0(\bmod 9)$ und $Q_{A}(20!) \equiv 0(\bmod 11)$ folgt $x+y \equiv 7(\bmod 9), x-y \equiv 1(\bmod 11)$.

Da x und y einstellige natürliche Zahlen sind (einschließlich 0), folgt aus der ersten dieser beiden Kongruenzen entweder $x+y=7$ oder $x+y=16$, aus der zweiten $x=y+1$. Man erhält also die beiden Gleichungssysteme

$$
\begin{array}{rll}
x+y=7 & ; & x-y=1 \\
x+y=16 & ; & x-y=1
\end{array}
$$

Nur das erste davon hat natürliche Zahlen $(x ; y)$ als Lösung: $(x ; y)=(4 ; 3)$. Damit ergibt sich 20 ! $=$ 2432902008176640000 .

