## Zadatak B-4.5.

Pravac čija je jednadžba $3 x+4 y-24=0$ siječe os apscisa u točki $A$, a os ordinata u točki $B$. Na dužini $\overline{A B}$ odabrana je točka $S$. S različitih strana dužine $\overline{A B}$ konstruirani su jednakostranični trokuti $S C A$ i $S D B$. Izračunaj površinu četverokuta $A D B C$.


## Prvo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_803c5e1b47d2c202a3a9g-28.jpg?height=683&width=731&top_left_y=1857&top_left_x=594)

Sjecišta pravca s koordinatnim osima dobivamo uvrštavanjem $x=0$ i $y=0$. Slijedi:

$$
\begin{aligned}
& y=0 \Rightarrow x=8 \Rightarrow A(8,0) \\
& x=0 \Rightarrow y=6 \Rightarrow B(0,6)
\end{aligned}
$$

1 bod

Tada je $|A B|=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$. Iz $\varangle S C A=\varangle S D B=60^{\circ}$ slijedi da je $A C|| B D . \quad 1$ bod Zaključujemo da je četverokut $A D B C$ trapez, a budući da su trokuti $B C S$ i $A D S$ sukladni (po poučku SKS), trapez je jednakokračan.

1 bod

Ako je $|A S|=a,|B S|=b$, tada su osnovice trapeza $|A C|=|A S|=a,|B D|=|B S|=$ $b$.

Visina trapeza jednaka je zbroju visina jednakostraničnih trokuta $S C A$ i $S D B$, odnosno vrijedi

$$
v=v_{1}+v_{2}=\frac{a \sqrt{3}}{2}+\frac{b \sqrt{3}}{2}=\frac{(a+b) \sqrt{3}}{2}
$$

1 bod

Tada je tražena površina jednaka

$$
P=\frac{(a+b) v}{2}=\frac{(a+b)^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{|A B|^{2} \sqrt{3}}{4}=25 \sqrt{3}
$$

1 bod

Napomena: Učenik ne mora navoditi koordinate točaka $A$ i $B$ kao ni osnovice trapeza ako ih je označio na slici.

Učenik za predviđeni 1 bod mora obrazložiti zašto je četverokut $A B C D$ trapez. Priznati i ako ne navede da je jednakokračan jer se ne koristi za izračun površine.

