## Aufgabe 3 - 331223

Man ermittle alle diejenigen Paare $(m ; n)$ positiver ganzer Zahlen $m, n$, für die $1994^{m}-1993^{n}$ eine Quadratzahl ist.




Sei

$$
1994^{m}-1993^{n}=k^{2} \quad\left(m, n \in \mathbb{N}^{*}, k \in \mathbb{N}\right)
$$

Indem wir diese Gleichung mod 4 betrachten, wird daraus die Kongruenz

$$
2^{m}-1 \equiv k^{2} \quad \bmod 4
$$

Hier liegt für $m>1$ die linke Seite der Kongruenz in der Restklasse $3 \bmod 4$, die rechte aber in der Restklasse von 0 oder $1 \bmod 4$, was also dann nur den Schluss zulässt, dass $m=1$ sein muss. In diesem Fall ist aber die linke Seite von $\left(^{*}\right)$ für $n>1$ negativ und daher sicher keine Quadratzahl. Für die verbleibende Möglichkeit $n=1$ erhält man dagegen

$$
1994-1993=1
$$

also dann trivialerweise eine Quadratzahl und damit ist $(m, n)=(1,1)$ dann auch das einzige Paar von positiven ganzen Zahlen, für welches dies gilt.
