Subject I
Determine the remainder of the division of the number $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 69 \cdot 70 + 1234$ by 2013.
Solution:
$2013=3 \cdot 11 \cdot 61$ 2 points
$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 69 \cdot 70=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 11 \cdot 12 \cdot \ldots \cdot 61 \cdot 62 \cdot \ldots \cdot 69 \cdot 70=$
$=2013 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 10 \cdot 12 \cdot \ldots \cdot 60 \cdot 62 \cdot \ldots \cdot 69 \cdot 70$
2 points
$1234<2013$ 1 point
$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$.
$69 \cdot 70+1234=2013 \cdot(1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot$
$10 \cdot 12 \cdot \ldots \cdot 60 \cdot 62$ ..... 1 point
according to the Division Theorem with Remainder, the required remainder is 1234 1 point