
8) Il triangolo $A B C$ è rettangolo ed i cateti $A B$ e $A C$ misurano $3 \mathrm{~m}$ e $4 \mathrm{~m}$ rispettivamente. Siano $B^{\prime}$ e $C^{\prime}$ punti appartenenti ai lati $A B$ e $A C$ rispettivamente, tali che la retta contenente il segmento $B^{\prime} C^{\prime}$ sia parallela a quella contenente il segmento $B C$ e distante $1 \mathrm{~m}$ da essa (vedi figura). Calcolare l'area del triangolo $A B^{\prime} C^{\prime}$.
(A) $\frac{49}{24} \mathrm{~m}^{2}$
(B) $2 \mathrm{~m}^{2}$,
(C) $\frac{65}{24} \mathrm{~m}^{2}$
(D) $\frac{7}{2} \mathrm{~m}^{2}$,
(E) nessuna delle precedenti.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_260a987a255c499fc983g-1.jpg?height=380&width=306&top_left_y=1246&top_left_x=2417)


8. La risposta è (A). Per il Teorema di Pitagora, l'ipotenusa $B C$ misura $5 \mathrm{~m}$. Sia $A H$ l'altezza di $A B C$ relativa all'ipontenusa $B C$. Uguagliando le formule per calcolare l'area di $A B C$ :

$$
\operatorname{area}(A B C)=\frac{1}{2} \overline{B C} \cdot \overline{A H}=\frac{1}{2} \overline{A B} \cdot \overline{A C}=6 \mathrm{~m}^{2} \text {, }
$$

possiamo calcolare $A H$ che misura allora $(6 \cdot 2) / 5 \mathrm{~m}=12 / 5 \mathrm{~m}$. Il triangolo $A B^{\prime} C^{\prime}$ è simile al triangolo $A B C$; inoltre, poichè le due rette che contengono $B C$ e $B^{\prime} C^{\prime}$ sono parallele e hanno distanza 1, l'altezza $A H^{\prime}$ di $A B^{\prime} C^{\prime}$ relativa all'ipotenusa $B^{\prime} C^{\prime}$ è $\left(\frac{12}{5}-1\right) \mathrm{m}=\frac{7}{5} \mathrm{~m}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_d9e56cae5925cb0c0feag-2.jpg?height=480&width=374&top_left_y=2124&top_left_x=884)

Quindi $\frac{\overline{A H}}{\overline{A H^{\prime}}}=\frac{12 / 5}{7 / 5}=\frac{12}{7}$. Il rapporto tra le ipotenuse dei due triangoli ha lo stesso valore, quindi $\overline{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{7}{12} \overline{B C}=\frac{35}{12} \mathrm{~m}$. L'area di $A B^{\prime} C^{\prime}$ è data da

$$
\frac{\overline{B^{\prime} C^{\prime}} \cdot \overline{A H^{\prime}}}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{35}{12}\right)\left(\frac{7}{5}\right) \mathrm{m}^{2}=\frac{49}{24} \mathrm{~m}^{2} .
$$
