
Opgave 4. Bepaal alle gehele getallen $n$ waarvoor het polynoom $P(x)=3 x^{3}-n x-n-2$ te schrijven is als het product van twee niet-constante polynomen met gehele coëfficiënten.


Oplossing II. Net als in oplossing I schrijven we schrijven $P(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right)(d x+e)$ en leiden we af dat $a=1$ en $d=3$, of $a=3$ en $d=1$. Door het vergelijken van de coëfficiënten krijgen we nog drie voorwaarden:

$$
\begin{aligned}
a e+b d & =0, \\
b e+d c & =-n, \\
c e & =-n-2 .
\end{aligned}
$$

Stel eerst dat $a=3$ en $d=1$. Uit (3) volgt nu $b=-3 e$. Uit (4) en (5) krijgen we nu

$$
\begin{aligned}
& -n=-3 e^{2}+c \\
& -n=c e+2
\end{aligned}
$$

dus $-3 e^{2}+c=c e+2$, dus

$$
c=\frac{-3 e^{2}-2}{e-1}=\frac{-3 e(e-1)-3 e-2}{e-1}=-3 e+\frac{-3(e-1)-5}{e-1}=-3 e-3-\frac{5}{e-1} .
$$

Omdat $c$ geheel moet zijn, moet $e-1$ een deler zijn van 5 en dus gelijk zijn aan $-5,-1$, 1 of 5 . Dat geeft vier mogelijke waarden voor $e$, namelijk $-4,0,2$ of 6 .

Als $e=-4$, krijgen we $c=(-3)(-4)-3-\frac{5}{-5}=10$ en dus $n=-10 \cdot(-4)-2=38$. Als $e=0$, krijgen we $c=(-3) \cdot 0-3-\frac{5}{-1}=2$ en dus $n=-2 \cdot 0-2=-2$. Als $e=2$, krijgen we $c=(-3) \cdot 2-3-\frac{5}{1}=-14$ en dus $n=14 \cdot 2-2=26$. Als $e=6$, krijgen we $c=(-3) \cdot 6-3-\frac{5}{5}=-22$ en dus $n=22 \cdot 6-2=130$. Al deze waarden van $n$ voldoen, zoals we in oplossing I hebben gezien.

Stel nu dat $a=1$ en $d=3$. Uit (3) volgt nu $e=-3 b$. Uit (4) en (5) krijgen we nu

$$
\begin{aligned}
& -n=-3 b^{2}+3 c \\
& -n=-3 b c+2
\end{aligned}
$$

dus $-3 b^{2}+3 c=-3 b c+2$. Echter, elke term van deze gelijkheid is deelbaar door 3 behalve de term 2, wat een tegenspraak is. Dit geval geeft dus geen oplossingen.

We concluderen dat de oplossingen zijn: $n=38, n=-2, n=26$ en $n=130$.
