## Zadatak B-1.6.

U nizu brojeva

$$
20,202,2020,20202,202020, \ldots
$$

svaki se sljedeći broj dobije dopisivanjem znamenke 2 ili 0 prethodnom broju, naizmjence. Izračunajte zbroj znamenaka prvih sto brojeva toga niza koji su djeljivi s 202.


## Rješenje.

Prvi broj u tom nizu koji je djeljiv s 202 ima na kraju znamenku 2. Kako se sljedeći broj u nizu dobije dodavanjem nule, odnosno množenjem s 10 , to je i sljedeći broj djeljiv s 202. Dakle prvi par brojeva djeljiv s 202 je $a_{2}=202, a_{3}=202 \cdot 10$.

Dodavanje znamenke 2 znači prethodni broj množimo s 10 i dodajemo 2. Stoga slijedi da je

$$
a_{4}=a_{3} \cdot 10+2=202 \cdot 100+2, \quad a_{5}=a_{4} \cdot 10=202 \cdot 1000+20
$$

a ovaj par brojeva očito nije djeljiv s 202 .

$\mathrm{Na}$ isti način dobivamo da je sljedeći par brojeva djeljiv s 202:

$$
\begin{aligned}
& a_{6}=a_{5} \cdot 10+2=202 \cdot 10^{4}+200+2=202 \cdot 10^{4}+202=202\left(10^{4}+1\right) \\
& a_{7}=a_{6} \cdot 10=202\left(10^{4}+1\right) \cdot 10
\end{aligned}
$$

Analognim zaključivanjem vidimo da i dalje naizmjence dobivamo parove brojeva koji su djeljivi s 202 i koji nisu.

Prvih 50 parova brojeva (prvih 100 brojeva) koji su djeljivi s 202 su

1. 202 i 2020
2. 2020202 i 20202020
3. 20202020202 i 202020202020
4. $2020 \ldots 202$ i $2020 \ldots 2020$

Prvi par sadrži ukupno 4 znamenke 2 , drugi ukupno $8, \ldots$, pedeseti par 200 znamenki 2 .

Zbroj znamenaka ovih 100 brojeva iznosi

$$
\begin{aligned}
4 \cdot 2+8 \cdot 2+12 \cdot 2+\ldots+200 \cdot 2 & =2(4+8+12+\ldots+200) \\
& =8(1+2+3+\ldots+50)=8 \cdot 50 \cdot 51 / 2=10200 . \quad 2 \text { boda }
\end{aligned}
$$

Napomena: Učenik mora argumentirati dobivenih 50 parova brojeva djeljivih s 202 i zašto ostali brojevi nisu djeljivi s 202. Ta argumentacija vrijedi 4 boda.

