Determine um valor de $n$ para o qual o numero $2^{8}+2^{11}+2^{n}$ seja um quadrado perfeito.
Observe que

$$
2^{8}+2^{11}+2^{n}=\left(2^{4}\right)^{2}+2 \times 2^{4} \times 2^{6}+\left(2^{\frac{n}{2}}\right)^{2}
$$

Logo, se $n=12$, temos

$$
2^{8}+2^{11}+2^{12}=\left(2^{4}+2^{6}\right)^{2}
$$

Logo $n=12$ é uma solução.

Solução Geral: $\operatorname{Se} 2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}$, então:

$$
\begin{aligned}
2^{8}+2^{3} \times 2^{8}+2^{n} & =k^{2} \\
9 \times 2^{8}+2^{n} & =k^{2} \\
2^{n} & =k^{2}-\left(3 \times 2^{4}\right)^{2} \\
2^{n} & =\left(k-3 \times 2^{4}\right)\left(k+3 \times 2^{4}\right)
\end{aligned}
$$

Logo, $\left(k-3 \times 2^{4}\right)$ e $\left(k+3 \times 2^{4}\right)$ são potências de 2 , ou seja:

$$
k+3 \times 2^{4}=2^{a}, k-3 \times 2^{4}=2^{b} \text { e } a+b=n
$$

Temos:

$$
2^{a}-2^{b}=\left(k+3 \times 2^{4}\right)-\left(k-3 \times 2^{4}\right)=3 \times 2^{5}=96
$$

Examinemos a lista das potências de 2:

$$
1,4,8,16,32,64,128,256, \cdots
$$

Constatamos que $128-32=96$. Logo, $a=7, b=5$ e $n=12$.