Three, (Full marks 20 points) The complex numbers $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}$ satisfy
$$
\left\{\begin{array}{l}
\left|z_{1}\right| \leqslant 1, \\
\left|z_{2}\right| \leqslant 1, \\
\left|2 z_{3}-\left(z_{1}+z_{2}\right)\right| \leqslant\left|z_{1}-z_{2}\right|, \\
\left|2 z_{4}-\left(z_{1}+z_{2}\right)\right| \leqslant\left|z_{1}-z_{2}\right|, \\
\left|2 z_{5}-\left(z_{3}+z_{4}\right)\right| \leqslant\left|z_{3}-z_{4}\right| .
\end{array}\right.
$$

Find the maximum value of $\left|z_{5}\right|$.
$$
\begin{array}{l}
\text { 3, } \because\left|z_{1}-z_{2}\right| \geqslant\left|2 z_{3}-\left(z_{1}+z_{2}\right)\right| \\
\quad \geqslant|2| z_{3}|-| z_{1}+z_{2}||, \\
\therefore\left|z_{1}+z_{2}\right|-\left|z_{1}-z_{2}\right| \leqslant 2\left|z_{3}\right| \\
\quad \leqslant\left|z_{1}+z_{2}\right|+\left|z_{1}-z_{2}\right| . \\
\therefore\left|z_{3}\right| \leqslant \frac{\left|z_{1}+z_{2}\right|+\left|z_{1}-z_{2}\right|}{2} \\
\quad \leqslant \sqrt{\frac{\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}}{2}} \\
=\sqrt{\frac{2\left|z_{1}\right|^{2}+2\left|z_{2}\right|^{2}}{2}} \leqslant \sqrt{2} .
\end{array}
$$

Similarly, $\left|z_{4}\right| \leqslant \sqrt{2}$.
$$
\therefore\left|z_{5}\right| \leqslant \sqrt{\left|z_{3}\right|^{2}+\left|z_{4}\right|^{2}} \leqslant 2 \text {. }
$$

The equality in the above formula can sometimes be achieved. For example, when $z_{1}=1$, $z_{2}=$, $z_{3}=1+i$; and when $z_{1}=-1, z_{2}=i$, $z_{4}=-1+i$; when $z_{3}=1+i, z_{4}=-1+i$, $z_{5}=2i$, at this time $\left|z_{5}\right|=2$.
Therefore, $\left|z_{5}\right|_{\max }=2$.
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