## Aufgabe 4 - 231234

Man ermittle alle diejenigen Paare $(x ; y)$ reeller Zahlen mit $0 \leq x<2 \pi$ und $0 \leq y<2 \pi$, die das Gleichungssystem erfüllen:

$$
\begin{array}{r}
3 \cdot \sin x \cdot \cos y=\cos x \cdot \sin y \\
\sin ^{2} x+\sin ^{2} y=1
\end{array}
$$




Aus (2) folgt: $\sin ^{2} y=\cos ^{2} x$ bzw.

$$
\sin y= \pm \cos x
$$

aber auch

$$
\cos y= \pm \sin x
$$

wobei die beiden $\pm$-Symbole nicht notwendigerweise miteinander korrespondieren. Das in (1) eingesetzt:

$$
\pm 3 \sin x \sin x= \pm \cos x \cos x
$$

Die beiden $\pm$-Symbole können gleich oder entgegengesetzt sein, so dass allgemein gelten muss:

$$
\begin{gathered}
\pm 3 \sin ^{2} x=\cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x \\
(1 \pm 3) \sin ^{2} x=1
\end{gathered}
$$

Hier kommt allerdings nur das + in Frage, weil sonst $\sin x$ imaginär würde. Daher gilt:

$$
\begin{aligned}
& 4 \sin ^{2} x=1 \\
& \sin x= \pm \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

Aus (4) folgt außerdem

$$
\cos y= \pm \frac{1}{2}
$$

Die Lösungsmenge für $x$ lautet $\left\{\frac{1}{6} \pi, \frac{5}{6} \pi, \frac{7}{6} \pi, \frac{11}{6} \pi\right\}$, die für $y$ lautet $\left\{\frac{1}{3} \pi, \frac{2}{3} \pi, \frac{4}{3} \pi, \frac{5}{3} \pi\right\}$. Teilt man Gleichung (1) durch die Kosinus-Terme, so gilt

$$
3 \tan x=\tan y
$$

Der Tangens von $x$ und der Tangens von $y$ müssen also das gleiche Vorzeichen haben, so dass nicht jedes Element der Lösungsmenge von $x$ mit jedem aus der Menge für $y$ kombinierbar ist. Die Lösungspaare lauten daher: $\left(\frac{1}{6} \pi ; \frac{1}{3} \pi\right),\left(\frac{1}{6} \pi ; \frac{4}{3} \pi\right),\left(\frac{5}{6} \pi ; \frac{2}{3} \pi\right),\left(\frac{5}{6} \pi ; \frac{5}{3} \pi\right),\left(\frac{7}{6} \pi ; \frac{1}{3} \pi\right),\left(\frac{7}{6} \pi ; \frac{4}{3} \pi\right),\left(\frac{11}{6} \pi ; \frac{2}{3} \pi\right),\left(\frac{11}{6} \pi ; \frac{5}{3} \pi\right)$.

