\section*{Aufgabe 5 - 231045}

Ermitteln Sie alle diejenigen Winkelgrößen \(x\), für die \(0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ} \quad\) (1) und

\[
\left(2^{\sqrt{\sin x}}-\sin x\right) \cdot \sin x=1
\]

gilt!


}

Die Gleichung ist äquivalent \(\mathrm{zu} \sin x \cdot 2^{\sqrt{\sin x}}=1+\sin ^{2} x\).

Für den angegebenen Bereich für \(x\) ist \(0 \leq \sin x \leq 1\). Also ist \(\sqrt{\sin x} \leq 1\) und damit \(2^{\sqrt{\sin x}} \leq 2\), wobei Gleichheit nur genau für \(\sin x=1\), also \(x=90^{\circ}\) eintritt.

Für alle reellen Zahlen \(z\) gilt \(2 z \leq 1+z^{2}\), wobei Gleichheit nur für \(z=1\) eintritt, da diese Ungleichung äquivalent ist zu \(0 \leq 1-2 z+z^{2}=(1-z)^{2}\).

Also ist für \(x \neq 90^{\circ}\) und damit \(z:=\sin x \neq 1\)

\[
1+\sin ^{2} x=\sin x \cdot 2^{\sqrt{\sin x}}<\sin x \cdot 2<1+\sin ^{2} x
\]

was ein Widerspruch darstellt. Also kann \(x\) nicht verschieden von \(90^{\circ}\) sein.

Für \(x=90^{\circ}\) und damit \(\sin x=1\) folgt aber schnell die Identität \(\left(2^{\sqrt{1}}-1\right) \cdot 1=\left(2^{1}-1\right)=1\), sodass es genau eine Lösung für \(x\) im vorgegebenen Intervall gibt, nämlich \(x=90^{\circ}\).
