## Zadatak A-4.1.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi

$$
f(x y+1)=f(x) f(y)-f(y)-x+2
$$


## Drugo rješenje.

Uvrštavanjem $x=0$ u danu jednadžbu dobijemo

$$
f(1)=f(0) f(y)-f(y)+2, \quad \text { tj. } \quad f(0) f(y)=f(y)+f(1)-2, \quad \forall y \in \mathbb{R}
$$

a uvrštavnjem $y=0$ dobijemo

$$
f(1)=f(x) f(0)-f(0)-x+2, \quad \text { tj. } \quad f(0) f(x)=f(0)+f(1)+x-2, \quad \forall x \in \mathbb{R}
$$

Slijedi da je

$$
f(x)+f(1)-2=f(0)+f(1)+x-2, \quad \forall x \in \mathbb{R}
$$

odnosno $f(x)=x+f(0)$.

Uvrstimo li to u početnu jednadžbu, dobijemo

$$
x y+1+f(0)=x y+f(0) \cdot x+f(0) \cdot y+f(0)^{2}-y-f(0)-x+2
$$

odnosno faktoriziranjem

$$
(f(0)-1)(f(0)+x+y-1)=0
$$

Uvrštavanjem $x=y=0$ u gornju jednadžbu slijedi da je $f(0)=1$ i, konačno,

$$
f(x)=x+1, \forall x \in \mathbb{R}
$$

Provjerom vidimo da je to zaista rješenje.

