## Zadatak A-3.1.

Kolika je najmanja, a kolika najveća vrijednost koju postiže funkcija $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ zadana formulom $f(x)=\cos ^{2} x+\sin x$ ?


## Prvo rješenje.

Uvrštavanjem $\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$ imamo $f(x)=-\sin ^{2} x+\sin x+1$.

Uz supstituciju $t=\sin x$ dobivamo funkciju $g(t)=-t^{2}+t+1$ za $t \in[-1,1]$ koja ima istu najmanju i najveću vrijednost kao i funkcija $f$.

1 bod

Graf ove funkcije je kvadratna parabola s tjemenom u točki $t=\frac{1}{2}$. Prema tome, funkcija raste do točke $t=\frac{1}{2}$, a zatim pada.

1 bod

Najveća vrijednost se poprima u tjemenu i iznosi $\frac{5}{4}$.

1 bod

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_acf83088931d085246bdg-15.jpg?height=500&width=614&top_left_y=1429&top_left_x=652)

Najmanja vrijednost se poprima u lijevom ili desnom rubu domene.

1 bod

U lijevom rubu domene je vrijednost $g(-1)=-1$, a u desnom $g(1)=1$, pa najmanja vrijednost funkcije iznosi -1 .

