Example 2. Using the Runge-Kutta method, find the solution to the Cauchy problem for the equation $y^{\prime}=3 x+y, y(0)=-1, x \in[0,1]$, taking $h=0.1$.
Solution. As in the previous example, using formulas (14.7) - (14.9), we find the values of $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5}$ (see Table 14.4).

Table 14.4

| i | $x_{i}$ | $y_{i}$ | $3 x_{i}$ | $3 x_{i}+y_{i}$ | $k_{j}$ | $p_{j}$ | $S=$  $=\sum_{j=1}^{4} p_{j} k_{j}$ | $\Delta y_{i}=$  $=\frac{1}{6} s$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 0 | 0 | -1 | 0 | -1 | $-0.1$ | 1 | $-0.1$ |  |
|  | 0.05 | $-1.05$ | 0.15 | $-0.9$ | $-0.09$ | 2 | $-0.18$ |  |
|  | 0.05 | $-1.045$ | 0.15 | $-0.895$ | $-0.0895$ | 2 | $-0.1790$ |  |
|  | 0.1 | $-1.0895$ | 0.3 | $-0.7895$ | $-0.07895$ | 1 | $-0.07895$ | $-0.08966$ |

$$
x_{1}=0.1, y_{1}=y_{0}+\Delta y_{0}=-1+(-0.08966)=-1.08966 \text {. }
$$

| 0.1 | $-1.08966$ | 0.3 | $-0.78966$ | $-0.07897$ | 1 | $-0.07897$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 0.15 | $-1.12915$ | 0.45 | $-0.67915$ | $-0.06792$ | 2 | $-0.13584$ |
| 0.15 | $-1.12362$ | 0.45 | $-0.67362$ | $-0.06736$ | 2 | $-0.13472$ |
| 0.2 | $-1.15702$ | 0.6 | $-0.55702$ | $-0.05570$ | 1 | $-0.05570$ |

$$
x_{2}=0.2, y_{2}=y_{1}+\Delta y_{1}=-1.08966+(-0.06754)=-1.15720
$$

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| 0.3 | $-1.20029$ | 0.9 | $-0.30029$ | $-0.03003$ | 1 | $-0.03003$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 0.35 | $-1.21531$ | 1.05 | $-0.16531$ | $-0.01653$ | 2 | $-0.03306$ |
| 0.35 | $-1.20856$ | 1.05 | $-0.15856$ | $-0.01586$ | 2 | $-0.03172$ |
| 0.4 | $-1.21615$ | 1.2 | $-0.01615$ | $-0.00162$ | 1 | $-0.00162$ |

$x_{3}=0.3, y_{3}=y_{2}+\Delta y_{2}=-1.15720+(-0.04309)=-1.20029$. $x_{4}=0.4, y_{4}=y_{3}+\Delta y_{3}=-1.20029+(-0.01607)=-1.21636$.

| 4 | 0.4 | $-1.21636$ | 1.2 | $-0.01636$ | $-0.00164$ | 1 | $-0.00164$ |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | 0.45 | $-1.21717$ | 1.35 | 0.13283 | 0.01328 | 2 | 0.02656 |  |
|  | 0.45 | $-1.20971$ | 1.35 | 0.14029 | 0.01403 | 2 | 0.02806 |  |
|  | 0.5 | $-1.20232$ | 1.5 | 0.29768 | 0.02977 | 1 | 0.02977 | 0.01379 |
| $x_{5}=0.5, y_{5}=y_{4}+\Delta y_{4}=-1.21636+0.01379=-1.20257$ |  |  |  |  |  |  |  |  |

Remark. The exact solution of the equation $y^{\prime}=3 x+y$, satisfying the condition $y=-1$ when $x=0$, is given by the formula $y=2 e^{x}-3 x-3$.

Thus, $\quad y