6. Let $z \in \mathbf{C}, f(z)=a z^{2}+b z+c$ be a polynomial with complex coefficients, and when $|z| \leqslant 1$, $|f(z)| \leqslant 1$. Then, when $|z| \leqslant 1$, the range of $|a z+b|$ is $\qquad$ _.
6. Solution: Since when $|z| \leqslant 1$, $\left|\frac{z+1}{2}\right| \leqslant 1, \left|\frac{z-1}{2}\right| \leqslant 1$, thus $\left|f\left(\frac{z+1}{2}\right)\right| \leqslant 1, \left|f\left(\frac{z-1}{2}\right)\right| \leqslant 1$,
therefore $|a z+b|=$
$$
\begin{array}{l}
\left|a\left(\frac{z+1}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{z+1}{2}\right)+c-\left[a\left(\frac{z-1}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{z-1}{2}\right)+c\right]\right| \\
\quad=\left|f\left(\frac{z+1}{2}\right)-f\left(\frac{z-1}{2}\right)\right| \leqslant\left|f\left(\frac{z+1}{2}\right)\right|+ \\
\left|f\left(\frac{z-1}{2}\right)\right| \leqslant 1+1=2 .
\end{array}
$$

Therefore, $0 \leqslant|a z+b| \leqslant 2$.