## Zadatak B-1.5.

Zadana je jednadžba $\frac{x-a}{x^{2}-1}+\frac{a}{x^{2}+x}=\frac{x+a}{x^{2}-x}$. Odredite sve vrijednosti realnoga parametra $a$ za koje ta jednadžba nema realnih rješenja.


## Rješenje.

Rastavimo nazivnike svih razlomaka na faktore i napišimo uvjete na rješenje dane jednadžbe.

$\frac{x-a}{(x-1)(x+1)}+\frac{a}{x(x+1)}=\frac{x+a}{x(x-1)}$

Uvjeti na rješenje su: $x \neq \pm 1, x \neq 0$. (*)

Množenjem jednadžbe zajedničkim nazivnikom i sređivanjem jednadžbe redom se dobiva:

$x(x-a)+a(x-1)=(x+a)(x+1)$

$x^{2}-a x+a x-a=x^{2}+a x+x+a$

$-a x-x=2 a$

$-(a+1) x=2 a$

1 bod

Razlikujemo dva slučaja:

1) Za $a=-1$ jednadžba prelazi u $0 \cdot x=-2$, što nije moguće niti za jedan $x \in \mathbb{R}$.

1 bod

2) Za $a \neq-1$ dobiva se $x=-\frac{2 a}{a+1}$.

1 bod

Uočimo da je $x=-\frac{2 a}{a+1}$ rješenje polazne jednadžbe ako su zadovoljeni uvjeti (*):

Iz $x \neq 0$ slijedi $2 a \neq 0$ pa mora vrijediti $a \neq 0$.

Iz $x \neq 1$ slijedi $-2 a \neq a+1$ pa mora vrijediti $a \neq-\frac{1}{3}$.

Iz $x \neq-1$ slijedi $2 a \neq a+1$ pa mora vrijediti $a \neq 1$.

1 bod

Prema tome, $x=-\frac{2 a}{a+1}$ rješenje je polazne jednadžbe za $a \in \mathbb{R} \backslash\left\{-1,-\frac{1}{3}, 0,1\right\}$.

Konačno, polazna jednadžba nema rješenja za $a \in\left\{-1,-\frac{1}{3}, 0,1\right\}$.

1 bod

