## Aufgabe 4 - 251244

Es sei $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ein Tetraeder mit gegebenen Kantenlängen $A_{1} A_{2}=a, A_{1} A_{3}=b, A_{1} A_{4}=c$, $A_{2} A_{3}=d, A_{2} A_{4}=e, A_{3} A_{4}=f$.

Man untersuche, ob es einen Punkt $P$ im Raum gibt, so dass die Summe $s$ der Quadrate des Abstandes des Punktes $P$ von den Eckpunkten des Tetraeders einen kleinsten Wert annimmt.

Falls das zutrifft, ermittle man jeweils zu gegebenen $a, b, c, d, e, f$ diesen kleinsten Wert von $s$.

Der Ausdruck




$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{4}\left|P-A_{i}\right|^{2} & =\sum_{i=1}^{4}\left(|P|^{2}-2\left\langle P, A_{i}\right\rangle+\left|A_{i}\right|^{2}\right) \\
& =4|P|^{2}-2\left\langle P, \sum_{i=1}^{4} A_{i}\right\rangle+\sum_{i=1}^{4}\left|A_{i}\right|^{2} \\
& =|2 P|^{2}-2\left\langle 2 P, \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{4} A_{i}\right\rangle+\left|\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{4} A_{i}\right|^{2}-\left|\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{4} A_{i}\right|^{2}+\sum_{i=1}^{4}\left|A_{i}\right|^{2} \\
& =\left|2 P-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{4} A_{i}\right|^{2}-\left|\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{4} A_{i}\right|^{2}+\sum_{i=1}^{4}\left|A_{i}\right|^{2}
\end{aligned}
$$

wird offenbar genau dann minimal, wenn $P=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} A_{i}$ der Schwerpunkt des Tetraeders ist. Der gesuchte minimale Wert $s$ ist also gegeben durch

$$
\begin{aligned}
s & =-\left|\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{4} A_{i}\right|^{2}+\sum_{i=1}^{4}\left|A_{i}\right|^{2} \\
& =-\frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^{4}\left|A_{i}\right|^{2}+2 \sum_{1 \leq i<j \leq 4}\left\langle A_{i}, A_{j}\right\rangle\right)+\sum_{i=1}^{4}\left|A_{i}\right|^{2} \\
& =\frac{3}{4} \sum_{i=1}^{4}\left|A_{i}\right|^{2}-\frac{1}{2} \sum_{1 \leq i<j \leq 4}\left\langle A_{i}, A_{j}\right\rangle \\
& =\frac{3}{4} \sum_{i=1}^{4}\left|A_{i}\right|^{2}-\frac{1}{2} \sum_{1 \leq i<j \leq 4} \frac{1}{2}\left(\left|A_{i}\right|^{2}+\left|A_{j}\right|^{2}-\left|A_{i}-A_{j}\right|^{2}\right) \\
& =\frac{1}{4} \sum_{1 \leq i<j \leq 4}\left|A_{i}-A_{j}\right|^{2} \\
& =\frac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}\right) .
\end{aligned}
$$
