At least how many decimal places of the value of $\sqrt{2}$ must be considered in the following system of equations if we want to determine the roots with an error smaller than $0.01$?

$$
\begin{aligned}
& \sqrt{2} x+8.59 y=9.98 \\
& 1.41 x+8.59 y=10
\end{aligned}
$$
Ha (1)-ben $\sqrt{2}$ helyére $a$-t írunk, a kapott

$$
\begin{gathered}
a X+8.59 Y=9.98 \\
1.41 X+8.59 Y=10
\end{gathered}
$$

egyenletrendszer gyökei az

$$
X=-\frac{0.02}{a-1.41}, \quad Y=\frac{10}{8.59}-\frac{1.41}{8.59} X
$$

számok lesznek. Ebből $a=\sqrt{2}$ helyettesítéssel kapjuk (1) gyökeit, és a két egyenletrendszer gyökeinek eltérésére azt kapjuk, hogy

$$
\begin{gathered}
X-x=-\frac{0.02}{a-1.41}+\frac{0.02}{\sqrt{2}-1.41}=\frac{(a-\sqrt{2}) \cdot 0.02}{(a-1.41)(\sqrt{2}-1.41)} \\
Y-y=-\frac{1.41}{8.59}(X-x)
\end{gathered}
$$

Mivel $1.41410^{-5}$, és $|X-x|>10^{-2}$. Mivel a (4)-ben fellépó együttható kisebb 1-nél, $|X-x|<10^{-2}$ már maga után vonja, hogy $|Y-y|<10^{-2}$ is teljesül. Tehát ahhoz, hogy a kívánt pontosságot elérjük, $\sqrt{2}$ értékét legalább öt tizedesjegy pontossággal kell figyelembe vennünk.

Megjegyzés. Sokkal kisebb pontosság elegendő, ha előbb gyöktelenítjük $x$ nevezójét. Ekkor ugyanis

$$
x=\frac{-0.02(\sqrt{2}+1.41)}{2-1.41^{2}}=-1.68(\sqrt{2}+1.41)
$$

és a kívánt pontosságot akkor is megkapjuk, ha itt $\sqrt{2}$ értékét csak két tizedesjegy pontossággal vesszük figyelembe.

---

If we replace $\sqrt{2}$ with $a$ in (1), we get the following system of equations:

$$
\begin{gathered}
a X + 8.59 Y = 9.98 \\
1.41 X + 8.59 Y = 10
\end{gathered}
$$

The solutions to this system of equations are:

$$
X = -\frac{0.02}{a - 1.41}, \quad Y = \frac{10}{8.59} - \frac{1.41}{8.59} X
$$

By substituting $a = \sqrt{2}$, we obtain the solutions to (1), and the difference between the solutions of the two systems of equations is given by:

$$
\begin{gathered}
X - x = -\frac{0.02}{a - 1.41} + \frac{0.02}{\sqrt{2} - 1.41} = \frac{(a - \sqrt{2}) \cdot 0.02}{(a - 1.41)(\sqrt{2} - 1.41)} \\
Y - y = -\frac{1.41}{8.59}(X - x)
\end{gathered}
$$

Since $1.41410^{-5}$ and $|X - x| > 10^{-2}$. Because the coefficient in (4) is less than 1, $|X - x| < 10^{-2}$ implies that $|Y - y| < 10^{-2}$ as well. Therefore, to achieve the desired accuracy, the value of $\sqrt{2}$ must be considered with at least five decimal places.

Remark. Much less precision is sufficient if we first rationalize the denominator of $x$. In this case,

$$
x = \frac{-0.02(\sqrt{2} + 1.41)}{2 - 1.41^{2}} = -1.68(\sqrt{2} + 1.41)
$$

and the desired accuracy is achieved even if we consider the value of $\sqrt{2}$ with only two decimal places.