13. Let $[x]$ denote the greatest integer not exceeding $x$, e.g. $[5.6]=5$ and $[3]=3$. How many different integers are there in the sequence $\left[\frac{1^{2}}{2006}\right],\left[\frac{2^{2}}{2006}\right],\left[\frac{3^{2}}{2006}\right], \ldots,\left[\frac{2006^{2}}{2006}\right] ?$
(2 marks)設 $[x]$ 代表不超過 $x$ 的最大整數, 例如 : $[5.6]=5$ 、 $[3]=3$ 等。在數列 $\left[\frac{1^{2}}{2006}\right]$ 、 $\left[\frac{2^{2}}{2006}\right] 、\left[\frac{3^{2}}{2006}\right] 、 \cdots 、\left[\frac{2006^{2}}{2006}\right]$ 中, 有多少個不同的整數?
13. 1505
13. Let $f(n)=\frac{n^{2}}{2006}$. For $n \leq 1003$, we have
$$
f(n)-f(n-1)=\frac{n^{2}}{2006}-\frac{(n-1)^{2}}{2006}=\frac{2 n-1}{2006}1003$,
$$
f(n)-f(n-1)=\frac{2 n-1}{2006}>1
$$

Moreover, since
$$
f(1004)=\frac{1004^{2}}{2006}=\frac{(1003+1)^{2}}{2006}=\frac{1003^{2}}{2006}+\frac{2 \times 1003}{2006}+\frac{1}{2006}=501.5+1+\frac{1}{2006}>502,
$$
we see that $\left[\frac{1004^{2}}{2006}\right],\left[\frac{1005^{2}}{2006}\right], \ldots,\left[\frac{2006^{2}}{2006}\right]$ are all distinct integers, all greater than 501 .
Therefore, the number of different integers in the sequence is $502+1003=1505$.