## Zadatak A-3.4. (10 bodova)

Izračunaj sumu

$$
\sum_{n=1}^{2012} \operatorname{tg} n \operatorname{tg}(n+1)
$$


## Rješenje.

Koristit ćemo adicijsku formulu za tangens, $\operatorname{tg}(x-y)=\frac{\operatorname{tg} x-\operatorname{tg} y}{1+\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y}$, tj. jednakost

$$
\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y=\frac{\operatorname{tg} x-\operatorname{tg} y}{\operatorname{tg}(x-y)}-1
$$

Uvrstimo $x=n+1, y=n$ :

$$
\operatorname{tg}(n+1) \operatorname{tg} n=\frac{\operatorname{tg}(n+1)-\operatorname{tg} n}{\operatorname{tg} 1}-1
$$

Zbrajanjem se ponište svi članovi osim prvog i posljednjeg:

$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{2012} \operatorname{tg} n \operatorname{tg}(n+1) & =\frac{\operatorname{tg} 2-\operatorname{tg} 1}{\operatorname{tg} 1}-1+\frac{\operatorname{tg} 3-\operatorname{tg} 2}{\operatorname{tg} 1}-1+\cdots+\frac{\operatorname{tg} 2013-\operatorname{tg} 2012}{\operatorname{tg} 1}-1 \\
& =\frac{\operatorname{tg} 2013-\operatorname{tg} 1}{\operatorname{tg} 1}-2012=\frac{\operatorname{tg} 2013}{\operatorname{tg} 1}-2013
\end{aligned}
$$

