
Zadatak B-4.7. Točkom $M(6,2)$ unutar kružnice $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=36$ povučena je tetiva duljine $6 \sqrt{3}$. Napišite jednadžbu pravca na kojem leži ta tetiva.


## Drugo rješenje.

Napišimo jednadžbu pravca koji prolazi točkom $M(6,2)$ s koeficijentom smjera $k$.

$$
\begin{array}{r}
l y-2=k(x-6) \\
y=k x-6 k+2
\end{array}
$$

Presjek ovog pravca i dane kružnice su točke $A$ i $B$ čija je međusobna udaljenost $6 \sqrt{3}$. Očito postoje dva pravca s ovim svojstvom (pa i drugi par točaka $C, D$ ).

Rješavanjem sustava jednadžbi

$$
\left\{\begin{array}{l}
y=k x-6 k+2 \\
(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=36
\end{array}\right.
$$

dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$
x^{2}\left(k^{2}+1\right)-2 x\left(6 k^{2}+2 k+3\right)+36 k^{2}+24 k-23=0
$$

Rješenje ove jednadžbe su apscise točaka $A$ i $B$.

$\mathrm{S}$ druge strane, udaljenost točaka $\mathrm{A}$ i $\mathrm{B}$ je $6 \sqrt{3}$. Iz formule za udaljenost točaka slijedi

$$
\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}=108
$$

Kako je koeficijent smjera jednak $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ dana formula prelazi u

$$
\begin{aligned}
& \left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+k^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}=108 \\
& \left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}\left(k^{2}+1\right)=108
\end{aligned}
$$

Prilagodit ćemo dobiveni izraz za korištenje Vieteovih formula:

$$
\left[\left(x_{2}+x_{1}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\right]\left(k^{2}+1\right)=108 \quad(*)
$$

Kako je

$$
x_{1}+x_{2}=\frac{2\left(6 k^{2}+2 k+3\right)}{k^{2}+1}, \text { a } \quad x_{1} \cdot x_{2}=\frac{36 k^{2}+24 k-23}{k^{2}+1}
$$

Izraz $(*)$ prelazi u

$$
\left[\frac{4\left(6 k^{2}+2 k+3\right)^{2}}{\left(k^{2}+1\right)^{2}}-4 \frac{36 k^{2}+24 k-23}{k^{2}+1}\right] \cdot\left(k^{2}+1\right)=108
$$

Ova jednadžba ima samo jedno rješenje $k=\frac{5}{12}$, pa je traženi pravac

$$
y=\frac{5}{12} x-\frac{1}{2}
$$

Drugo je rješenje pravac $x=6$.

(1 bod)
