Legyenek $x_{1}$ és $x_{2}$ az

$$
a x^{2}+b x+c=0
$$

egyenlet gyökei. Határozzuk meg azt az egyenletet, amelynek gyökei
a)
b)
$\frac{1}{x_{1}^{3}}$
$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}$
és
és
$\frac{1}{x_{2}^{3}}$,
$\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}$.


a) A keresett egyenlet gyöktényezős alakja, az ismeretlent $y$-nal jelölve

$$
\left(y-\frac{1}{x_{1}^{3}}\right)\left(y-\frac{1}{x_{2}^{3}}\right)=0
$$

$y$ hatványai szerint rendezve

$$
y^{2}-\frac{x_{1}^{3}+x_{2}^{3}}{x_{1}^{3} x_{2}^{3}} y+\frac{1}{x_{1}^{3} x_{2}^{3}}=0
$$

vagyis

$$
y^{2}-\frac{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}-3 x_{1} x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{1} x_{2}\right)^{3}} y+\frac{1}{\left(x_{1} x_{2}\right)^{3}}=0
$$

Ismeretes, hogy

$$
x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, \quad x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}
$$

Ezen értékeket (1)-be helyettesítve megkapjuk a keresett egyenletet:

$$
c^{3} y^{2}+\left(b^{3}-3 a b c\right) y+a^{3}=0
$$

b) Felhasználhatjuk közvetlenül a keresett

$$
A y^{2}+B y+C=0
$$

egyenletre a gyökök és együtthatók között fennálló összefüggéseket:

$$
\begin{gathered}
\frac{B}{A}=-\left(y_{1}+y_{2}\right)=-\left[\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}\right]=-2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=-2\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+4 x_{1} x_{2} \\
\frac{C}{A}=y_{1} y_{2}=\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\right]\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{4}-4 x_{1} x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}
\end{gathered}
$$

Behelyettesítve a (2) alatti értékeket, a keresett egyenlet

$$
y^{2}+\left(\frac{4 c}{a}-\frac{2 b^{2}}{a^{2}}\right) y+\frac{b^{4}}{a^{4}}-\frac{4 c}{a} \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}}=0
$$

vagyis

$$
a^{4} y^{2}+2 a^{2}\left(2 a c-b^{2}\right) y+b^{2}\left(b^{2}-4 a c\right)=0
$$

(Figyeljük meg: ha az eredeti egyenlet diszkriminánsa $b^{2}-4 a c=0$, akkor $x_{1}-x_{2}=0$, vagyis $y_{1}$ is nullával egyenlő, azaz a keresett egyenlet általános tagja 0, ami tényleg igaz.)

Trón Lajos (Debrecen, Fazekas g. I. o. t.)

