## Zadatak B-4.2.

Riješite sustav jednadžbi:

$$
\begin{aligned}
& \log _{3}|\pi x|+2 \log _{|\pi x|} 3=3 \\
& \sin ^{2}(x+y)+1=2 \sin (x+y)
\end{aligned}
$$


## Rješenje.

Iz prve jednadžbe slijede uvjeti $|\pi x|>0$ i $|\pi x| \neq 1$, odnosno $x \neq 0$ i $x \neq \pm \frac{1}{\pi}$.

Riješimo prvu jednadžbu:

$$
\begin{aligned}
& \log _{3}|\pi x|+2 \log _{|\pi x|} 3=3 \\
& \log _{3}|\pi x|+\frac{2}{\log _{3}|\pi x|}=3 \\
& \log _{3}^{2}|\pi x|-3 \log _{3}|\pi x|+2=0 \\
& \left(\log _{3}|\pi x|-2\right)\left(\log _{3}|\pi x|-1\right)=0
\end{aligned}
$$

iz čega slijedi $\log _{3}|\pi x|=2$ ili $\log _{3}|\pi x|=1$.

Iz $\log _{3}|\pi x|=2$ slijedi $|\pi x|=9$, odnosno $x= \pm \frac{9}{\pi}$.

Iz $\log _{3}|\pi x|=1$ slijedi $|\pi x|=3$, odnosno $x= \pm \frac{3}{\pi}$.

Primijetimo da sva četiri dobivena rješenja zadovoljavaju uvjete dobivene na početku.

Iz druge jednadžbe imamo:

$$
\begin{aligned}
& \sin ^{2}(x+y)+1=2 \sin (x+y) \\
& (\sin (x+y)-1)^{2}=0 \\
& \sin (x+y)=1 \\
& x+y=\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \\
& y=\frac{\pi}{2}-x+2 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\end{aligned}
$$

Slijedi da su tražena rješenja $(x, y) \in\left\{\left( \pm \frac{9}{\pi}, \frac{\pi}{2} \mp \frac{9}{\pi}+2 k \pi\right),\left( \pm \frac{3}{\pi}, \frac{\pi}{2} \mp \frac{3}{\pi}+2 k \pi\right), k \in \mathbb{Z}\right\}$.

