## Zadatak B-4.7.

Odredite sve prirodne brojeve $x$ koji su rješenje nejednadžbe

$$
\log _{x}^{4} 2017+6 \cdot \log _{x}^{2} 2017>4 \cdot \log _{x}^{3} 2017+4 \cdot \log _{x} 2017
$$


## Prvo rješenje.

Uvjet za rješenje zadatka je $x \neq 1$.

Prebacimo sve članove dane nejednadžbe na lijevu stranu

$$
\log _{x}^{4} 2017-4 \cdot \log _{x}^{3} 2017+6 \cdot \log _{x}^{2} 2017-4 \cdot \log _{x} 2017>0
$$

Ako dodamo 1 na obe strane nejednadžbe dobit ćemo na lijevoj strani razvoj četvrte potencije binoma:

$$
\log _{x}^{4} 2017-4 \cdot \log _{x}^{3} 2017+6 \cdot \log _{x}^{2} 2017-4 \cdot \log _{x} 2017+1>1
$$

Tada početna nejednadžba prelazi u

$$
\left(\log _{x} 2017-1\right)^{4}>1
$$

Ova je nejednadžba ekvivalentna nejednadžbi

$$
\left(\log _{x} 2017-1\right)^{2}>1
$$

Slijedi

$$
\begin{array}{ll}
\left|\log _{x} 2017-1\right|>1 & 1 \text { bod } \\
\Leftrightarrow \log _{x} 2017-11 & \\
\Leftrightarrow \log _{x} 20172 . & 1 \text { bod }
\end{array}
$$

Kako je baza $x>1, \log _{x} 2017$ je pozitivan broj te je jedina mogućnost $\log _{x} 2017>2$. 1 bod Slijedi

$$
2017>x^{2} \Rightarrow|x|1$, slijedi $x<\sqrt{2017}$.

Prirodni brojevi koji su rješenje dane nejednadžbe su svi prirodni brojevi veći od 1 , a manji od $\sqrt{2017}$, odnosno $x \in\{2,3,4,5,6, \ldots, 44\}$.

