$\log p+\log q=\log(p+q)$ only if:
$\textbf{(A) \ }p=q=\text{zero}  \qquad \textbf{(B) \ }p=\frac{q^2}{1-q} \qquad \textbf{(C) \ }p=q=1 \qquad$
$\textbf{(D) \ }p=\frac{q}{q-1} \qquad \textbf{(E) \ }p=\frac{q}{q+1}$
$\log p+\log q=\log(p+q)\implies \log pq=\log(p+q)\implies pq=p+q\implies \boxed{\textbf{(D)}\ p=\frac{q}{q-1}}$