## Problema 3

Fie matricea $A=\left(\begin{array}{cc}7 & 18 \\ -4 & 7\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$. Rezolvați ecuația $X^{2}=A, X \in M_{2}(\mathbb{R})$.


## Problema 3

Fie matricea $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$ soluție a ecuației $X^{2}=\left(\begin{array}{cc}a^{2}+b c & b(a+d) \\ c(a+d) & d^{2}+b c\end{array}\right)$

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a^{2}+b c=7 \\ b(a+d)=18 \\ c(a+d)=-4 \\ d^{2}+b c=7\end{array} \Rightarrow\right.$ scăzând ec 1 și 3 obținem $(a-d)(a+d)=0$, dar $a+d \neq 0 \Rightarrow a=d \ldots \ldots \ldots . .2 \mathbf{2 p}$

Ecuațiile 2 și 3 conduc la $b=\frac{9}{a}, c=-\frac{2}{a} \Rightarrow$ în ec1 avem $a^{2}-\frac{18}{a^{2}}=7 \Rightarrow a_{1}=3, a_{2}=-3 \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 p$

Pt $a=3 \Rightarrow d=3, b=3, c=-\frac{2}{3} \Rightarrow X_{1}=\left(\begin{array}{cc}3 & 3 \\ -\frac{2}{3} & 3\end{array}\right)$ si pt $a=-3=d \Rightarrow b=-3, c=\frac{2}{3} \Rightarrow X_{2}=\left(\begin{array}{cc}-3 & -3 \\ \frac{2}{3} & -3\end{array}\right) . .2 \mathbf{p}$

