## Aufgabe 3B - 341233B

Man ermittle alle diejenigen Funktionen $f$, die für alle reellen Zahlen definiert sind und für alle reellen $x$ und $y$ den folgenden Bedingungen (1), (2), (3) genügen:

$$
\begin{aligned}
f(x \cdot y) & =f(x) \cdot f(y)-f(x)-f(y)+2 \\
f(x+y) & =f(x)+f(y)+2 x y-1 \\
f(1) & =2
\end{aligned}
$$




Mit $x=y=0$ folgt wegen (2):

$$
f(0)=2 f(0)-1 \quad ; \quad f(0)=1
$$

Mit $x=1$ und $y=-1$ erhält man wegen (2):

$$
\begin{gathered}
f(0)=f(1)+f(-1)-3 \quad ; \quad f(-1)=1-2+3 \\
f(-1)=2 \quad ; \quad y=-1
\end{gathered}
$$

liefert in (1):

$$
\begin{gathered}
f(-x)=f(x) \cdot f(-1)-f(x)-f(-1)+2 \\
f(-x)=2 f(x)-f(x)-2+2 \\
f(-x)=f(x)
\end{gathered}
$$

Die Funktion ist also gerade. Setzen wir nun $y=-x$ in (2):

$$
\begin{gathered}
f(0)=f(x)+f(x)+2 x(-x)-1 \\
1=2 f(x)-2 x^{2}-1
\end{gathered}
$$

Dann folgt letztlich

$$
f(x)=x^{2}+1
$$
