45. Simpler than it seems. Calculate the root

$$
\left(\frac{1 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 4 \cdot 8+3 \cdot 6 \cdot 12+\ldots}{1 \cdot 3 \cdot 9+2 \cdot 6 \cdot 18+3 \cdot 9 \cdot 27+\ldots}\right)^{\frac{1}{3}}
$$
45. $\left(\frac{1 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 4 \cdot 8+3 \cdot 6 \cdot 12+\ldots}{1 \cdot 3 \cdot 9+2 \cdot 6 \cdot 18+3 \cdot 9 \cdot 27+\ldots}\right)^{\frac{1}{3}}=$

$$
=\left(\frac{1 \cdot 2 \cdot 4(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots)}{1 \cdot 3 \cdot 9(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots)}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}
$$

[M. Beberman, S. S. M., 49, 588 (October 1949).]