If we divide a square into parts with three lines, then among the resulting polygons, there is always one whose diameter is not less than $\sqrt{13}$. What is the minimum length of the side of the square? (The diameter of a polygon is the distance between its two farthest vertices.)





Translating the text as requested, while preserving the original formatting and line breaks.
Ha az a oldalú $A B C D$ négyzetet a három egyenes hat egybevágó téglalapra osztja, akkor a téglalapok átlói egyszersmind átmérői $-c=\sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=a \frac{\sqrt{13}}{6}$ hosszúságúak (1. ábra).

$$
\text { 1993-04-154-1.eps }
$$

1. ábra

Tételezzük fel, hogy létezik egy $c$-nél kisebb átmérőjű sokszöget adó $f$ felosztás. Előrebocsátjuk és hivatkozás nélkül többször is alkalmazzuk Pasch axiómáját: Ha egy egyenes nem illeszkedik egy háromszög egyik csúcsára sem, akkor vagy pontosan két oldalát metszi, vagy egyiket sem, ha pedig illeszkedik valamelyik csúcsra, akkor legfeljebb egy oldalát metszi.

$$
\begin{gathered}
\text { 1993-04-154-2.eps } \\
\text { 2. ábra }
\end{gathered}
$$

Világos, hogy a négyzetnek van olyan oldala, amelyet az $f$ felosztásban egyetlen egyenes oszt ketté, hiszen a három egyenes legfeljebb 6 pontban metszheti a négyzet határvonalát, és ha lenne olyan oldal, amelyet egyik egyenes sem metsz, úgy az ezzel az oldallal szomszédos felosztás-rész átméróje legalább $a>c$. $A B$-nek választva egy ilyen oldalt, a metszéspont legyen $M$. Jelölje $E$ a négyzet $A B$-re merőleges középvonalának $A B$-hez közelebbi harmadolópontját. Az $A B E$ háromszög egyenlő szárú, és szárai $c$ hosszúságúak. Az $M$-re illeszkedő egyenes nem metszi $A B E$ egyik szárát, de egy másik metszi mind a kettőt, hiszen az $f$ felosztásban $c$-nél kisebb átmérójú sokszögek vannak. Ez a másik egyenes a $B C$-t $N$-ben, $D A$-t $L$-ben metszi (2. ábra). Az $L A B N$ trapéz középvonala kisebb $\frac{a}{3}$-nál, ezért az egyik alapja, $B N$ is. Ennélfogva $N C$ nagyobb $\frac{2 a}{3}$-nál és $N D$ hosszabb $2 c$-nél. $N D$ felezőmerőlegesének a négyzetbe eső részét lévén $N D$-vel azonos hosszúságú $-N L$ mellett még egy egyenes osztja. Az ezzel való metszéspontot jelöljük $Z$-vel. Az $N D Z$ (esetleg elfajult) háromszög alapja $2 c$-nél, szárai $c$-nél nagyobbak. Ennek a háromszögnek $N L$ egyik oldalát sem metszi, a másik két egyenes az $f$ felosztásra vonatkozó (indirekt) feltevésünk szerint osztja $N D$-t, de közülük a $Z$-re illeszkedő nem osztja a szárakat; továbbá az egyik szárat - legyen ez $N Z$ - nem osztja a másik sem (ugyanis ez a másik egyenes $N D$-n kívül már csak az egyik szárat metszheti). Ez azt jelenti, hogy az $f$ felosztás nem létezik, hiszen $N Z>c$ ellentmond az $f$-re tett feltevésnek.

Végül, mivel $c=\frac{a \sqrt{13}}{6} \geq \sqrt{13}$, azért $\mathrm{a} \geq 6$, tehát a négyzet oldala legalább 6 .

---

If the side of the square $ABCD$ is divided into six equal rectangles by three lines, then the diagonals of these rectangles are all of length $-c=\sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=a \frac{\sqrt{13}}{6}$ (Figure 1).

$$
\text { 1993-04-154-1.eps }
$$

Figure 1

Suppose there exists a division $f$ that results in polygons with a diameter smaller than $c$. We will use and repeatedly apply Pasch's axiom without reference: If a line does not pass through any vertex of a triangle, then it either intersects exactly two sides or none of them; if it passes through a vertex, then it intersects at most one side.

$$
\begin{gathered}
\text { 1993-04-154-2.eps } \\
\text { Figure 2 }
\end{gathered}
$$

It is clear that the square has a side that is divided by a single line in the division $f$, since the three lines can intersect the boundary of the square at most in six points, and if there were a side that no line intersects, then the diameter of the adjacent division part would be at least $a > c$. Choosing $AB$ as such a side, let the intersection point be $M$. Let $E$ be the point that divides the perpendicular bisector of $AB$ into a ratio of 1:2 closer to $AB$. The triangle $ABE$ is isosceles, and its legs are of length $c$. The line passing through $M$ does not intersect any leg of $ABE$, but another line intersects both legs, since the division $f$ results in polygons with a diameter smaller than $c$. This other line intersects $BC$ at $N$ and $DA$ at $L$ (Figure 2). The midline of the trapezoid $LABN$ is smaller than $\frac{a}{3}$, so one of its bases, $BN$, is also smaller. Therefore, $NC$ is larger than $\frac{2a}{3}$ and $ND$ is longer than $2c$. The perpendicular bisector of $ND$ that lies within the square is of the same length as $ND$ and is divided by another line. The intersection point of this line is denoted by $Z$. The (possibly degenerate) triangle $NDZ$ has a base of $2c$ and legs longer than $c$. This triangle does not intersect the side $NL$, and the other two lines, according to our indirect assumption about the division $f$, divide $ND$, but the line passing through $Z$ does not intersect the legs; furthermore, one of the legs, let it be $NZ$, is not divided by the other line (since this other line can only intersect one leg outside $ND$). This means that the division $f$ does not exist, as $NZ > c$ contradicts the assumption about $f$.

Finally, since $c=\frac{a \sqrt{13}}{6} \geq \sqrt{13}$, it follows that $a \geq 6$, so the side of the square is at least 6.