## Zadatak A-2.4.

Točka $P$ je polovište dužine $\overline{A B}$ duljine 2 . Neka je $T$ diralište tangente iz točke $A$ na kružnicu promjera $\overline{P B}$. Odredi duljinu $|P T|$.


## Prvo rješenje.

Neka je $O$ polovište dužine $\overline{P B}$. Iz uvjeta zadatka je jasno da je $|A P|=|B P|=1$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_a630fb9dab34a5225850g-10.jpg?height=460&width=899&top_left_y=564&top_left_x=504)

Budući da je $A T$ tangenta, vrijedi da je $\varangle A T P=\varangle P B T$. Zaista, imamo

$$
\varangle A T P=90^{\circ}-\varangle P T O=90^{\circ}-\varangle T P O=90^{\circ}-\varangle T P B=\varangle T B P
$$

Ovdje prva jednakost slijedi iz činjenice da je $A T$ tangenta, a $\overline{P T}$ polumjer kružnice (stoga je $\varangle A T O=90^{\circ}$ ). Druga jednakost vrijedi jer je trokut $O P T$ jednakokračan, treća je očita, a posljednja vrijedi jer je po Talesovom poučku trokut $B P T$ pravokutan.

Trokuti $P A T$ i $T A B$ imaju zajednički kut u vrhu $A$, pa zbog $\varangle A T P=\varangle T B P$, po $\mathrm{K}-\mathrm{K}$ poučku, zaključujemo da su ti trokuti slični.

Zato vrijedi

$$
\frac{|P T|}{|B T|}=\frac{|A T|}{|A B|}=\frac{|A P|}{|A T|}
$$

Iz toga dobivamo

$$
|A T|^{2}=|A B||A P|=2, \quad \text { tj. } \quad|A T|=\sqrt{2}
$$

Također, slijedi da je

$$
\frac{|P T|}{|B T|}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \text { tj. } \quad|B T|=\sqrt{2}|P T|
$$

Već smo komentirali da je trokut $P T B$ pravokutan. Zato po Pitagorinom poučku imamo

$$
|P T|^{2}+|B T|^{2}=|P B|^{2}=1
$$

Uvrštavanje $|B T|=\sqrt{2}|P T|$ slijedi $3|P T|^{2}=1$, pa je konačno $|P T|=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Napomena: Tvrdnja da je $\varangle A T P=\varangle P B T$ naziva se poučak o kutu tetive i tangente, te se može koristiti bez dokaza ako se navede ime poučka (ili da je to poznata tvrdnja). Iz $|A T|=\sqrt{2},|P T|^{2}+|T B|^{2}=1$ i $|A B|=2$ možemo direktno izračunati da je $|P T|=\frac{1}{\sqrt{3}}$ koristeći formulu za duljinu težišnice (ili Stewartov poučak) u trokutu ATB:

$$
4|P T|^{2}=|A T|^{2}+2|B T|^{2}-|A B|^{2}
$$

