## Aufgabe 1 - 281241

Man ermittle alle reellen Lösungen $(x, y, z)$ des Gleichungssystems

$$
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2}+z^{2} & =1 \\
x+2 y+3 z & =\sqrt{14}
\end{aligned}
$$




Mit der Ungleichung von Cauchy-Schwarz ist

$$
x+2 y+3 z=\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right) \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \sqrt{14}
$$

wobei Gleichheit genau dann eintritt, wenn beide Vektoren parallel sind. Wegen $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ tritt in der Tat Gleichheit ein, sodass ein $a>0$ existiert mit

$$
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right)
$$

Eingesetzt in die zweite Gleichung folgt $a+4 a+9 a=\sqrt{14}$, insgesamt muss also $x=a, y=2 a, z=3 a$ mit $a=\sqrt{14} / 14$ gelten. Eine Probe (Einsetzen ins Gleichungssystem) ergibt, dass dies tatsächlich eine Lösung ist.
