## Task B-4.3.

For the function $f$, if $f(x)+3 f(x+1)-f(x) f(x+1)=5, f(1)=2017$, calculate what $f(2017)$ is.
## Solution.

From $f(x)+3 f(x+1)-f(x) f(x+1)=5$ we express $f(x+1)=\frac{f(x)-5}{f(x)-3}$.

Then,

$f(x+2)=\frac{f(x+1)-5}{f(x+1)-3}=\frac{\frac{f(x)-5}{f(x)-3}-5}{\frac{f(x)-5}{f(x)-3}-3}=\frac{-4 f(x)+10}{-2 f(x)+4}=\frac{2 f(x)-5}{f(x)-2}$

$f(x+4)=f((x+2)+2)=\frac{2 f(x+2)-5}{f(x+2)-2}=\frac{2 \frac{2 f(x)-5}{f(x)-2}-5}{\frac{2 f(x)-5}{f(x)-2}-2}=\frac{-f(x)}{-1}=f(x)$

We conclude that the function $f$ is periodic with period $P=4$, so we have

$$
f(2017)=f(1+4 \cdot 504)=f(1)=2017
$$