## Aufgabe 2 - 280812

Es sei $M$ der Umkreismittelpunkt eines spitzwinkligen Dreiecks $A B C$. Die Größe des Winkels $\angle B A M$ betrage $40^{\circ}$ und die des Winkels $\angle B C M$ sei $30^{\circ}$.

Ermittle aus diesen Angaben die Größen $\alpha, \beta, \gamma$ der drei Innenwinkel des Dreiecks $A B C$ !




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Da das Dreieck $A B C$ spitzwinklig ist, liegt $M$ innerhalb des Dreiecks. Da $M$ Umkreismittelpunkt des Dreiecks ist, folgt ferner $A M=$ $B M=C M$.

Somit sind die Dreiecke $A B M, B C M$ und $C A M$ gleichschenklig, und es gilt nach dem Basiswinkelsatz sowie nach dem Innenwinkelsatz

$$
\begin{array}{r}
\beta=\angle C B A=\angle C B M+\angle A B M=\angle B C M+\angle B A M=70^{\circ} \\
\angle A M B=180^{\circ}-2 \cdot 40^{\circ}=100^{\circ} \\
\angle B M C=180^{\circ}-2 \cdot 30^{\circ}=120^{\circ}
\end{array}
$$

Also ist $\angle A M C=360^{\circ}-100^{\circ}-120^{\circ}=140^{\circ}$ (Ergänzung zum Vollwinkel), und es folgt weiter nach dem Basiswinkelsatz und dem Innenwinkelsatz $\angle C A M=\angle A C M=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-140^{\circ}\right)=20^{\circ}$.

Damit erhalten wir

$$
\alpha=\angle B A C=\angle B A M+\angle C A M=60^{\circ} \quad \text { und } \quad \gamma=\angle A C B=\angle A C M+\angle B C M=50^{\circ}
$$

Die Größen der Innenwinkel bei $A, B, C$ sind somit $\alpha=60^{\circ}, \beta=70^{\circ}$ und $\gamma=50^{\circ}$.

