(Korean Junior Olympiads 2018)

Find all pairs of integers $n, m$ such that $7^{m}=5^{n}+24$.
$\mathrm{CN}$: Let $n, m$ be suitable. By evaluating the equality modulo 3, we have $1=1^{m}=(-1)^{n}$, hence $n=2 n^{\prime}$. By evaluating the equality modulo 4, we have $(-1)^{m}=1^{n}+0=1$, hence $m=2 m^{\prime}$.

The equality can thus be rewritten as $24=7^{m}-5^{n}=7^{m^{\prime 2}}-5^{n^{\prime 2}}=\left(7^{m^{\prime}}+5^{n^{\prime}}\right)\left(7^{m^{\prime}}-5^{n^{\prime}}\right)$. The pair $\left(7^{m^{\prime}}+5^{n^{\prime}}\right)\left(7^{m^{\prime}}-5^{n^{\prime}}\right)$ is a pair of integers greater than or equal to 2 (since they are strictly positive and even). Therefore, we have $\left(7^{m^{\prime}}+5^{n^{\prime}}\right),\left(7^{m^{\prime}}-5^{n^{\prime}}\right)=12,2$ or $\left(7^{m^{\prime}}+5^{n^{\prime}}\right),\left(7^{m^{\prime}}-5^{n^{\prime}}\right)=6,4$. By taking half-sums, we get $7^{m^{\prime}}, 5^{n^{\prime}}=7,5$ or $7^{m^{\prime}}, 5^{n^{\prime}}=5,1: n^{\prime}$ and $m^{\prime}$ being integers, only the first case is valid.

CS: We verify that $n=m=2$ is valid.

## 2 Graphs (Benoît)

This course was based on the excellent graph theory course by Pierre Bornsztein. We worked on planar graphs (parts 1 and 2).

## IV. Group B

## Content of this part

1 First part: Algebra & Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1 Recurrence (Issam) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2 Pigeonhole Principle and Extremum Principle (Angela) . . . . . . . . . . 125

3 Tilings, Colorings, and Invariants (Arthur) . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 Functional Equations (Rémi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5 Counting and Mixed Exercise Session (Aladin) . . . . . . . . . . . . . . . 140

6 Inequalities (Angela and Émile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .