Oldjuk meg a $16 x^{4}+16 x^{3}-4 x^{2}-4 x+1=0$ egyenletet!


A negyedfokú egyenlet megoldása könnyebb, ha nem szerepel benne harmadfokú tag. Ha itt $x$ helyébe $\left(y-\frac{1}{4}\right)$-et teszünk, akkor az egyenletben nem lesz harmadfokú tag, mert

$$
\left(y-\frac{1}{4}\right)^{4}=y^{4}-y^{3}+\frac{6 y^{2}}{16}-\frac{y}{16}+\frac{1}{256}
$$

és

$$
\left(y-\frac{1}{4}\right)^{3}=\quad y^{3}-\frac{3 y^{2}}{4}+\frac{3 y}{16}-\frac{1}{64}
$$

Tekintve, hogy mindkettőt 16-al kell szorozni és összeadni, $y^{3}$ kiesik és az összes behelyettesítést elvégezve, majd összevonva kapjuk, azt hogy

$$
16 y^{4}-10 y^{2}+\frac{25}{16}=0
$$

a törtet eltávolítva

$$
16^{2} y^{4}-2 \cdot 16 \cdot 5 y^{2}+5^{2}=0
$$

A baloldal teljes négyzet, így az egyenlet így írható:

$$
\left(16 y^{2}-5\right)^{2}=0
$$

Az egyenlet megoldása

$$
y= \pm \frac{\sqrt{5}}{4} \text { vagyis } x=y-\frac{1}{4}=\frac{ \pm \sqrt{5}-1}{4}
$$

Megjegyzés: Az átalakításból persze az is kiderül, hogy az eredeti egyenlet baloldala is másodfokú kifejezés négyzete kell legyen és valóban

$$
16 x^{4}+16 x^{3}-4 x^{2}-4 x+1=\left(4 x^{2}+2 x-1\right)^{2}
$$

amiből ismét adódnak a fenti gyökök.

