10. Given the polynomial $a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=\left(x^{2003}+x^{2002}+2\right)^{2001}$, then $a_{0}-\frac{a_{1}}{2}-\frac{a_{2}}{2}+a_{3}-\frac{a_{4}}{2}-\frac{a_{5}}{2}+a_{6}-\frac{a_{7}}{2}-\frac{a_{8}}{2}+\cdots=$ $\qquad$
10. Let $x=w=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$, then $a_{0}+a_{1} w+a_{2} w w^{2}+a_{3}+a_{4} w+a_{5} w^{2}+\cdots$ $=1$.
So $\left(a_{0}-\frac{a_{1}}{2}-\frac{a_{2}}{2}+a_{3}-\frac{a_{4}}{2}-\frac{a_{5}}{2}+\cdots\right)+\frac{\sqrt{3}}{2} i\left(a_{1}-a_{2}+\cdots\right)=1$.
So $a_{0}-\frac{a_{1}}{2}-\frac{a_{2}}{2}+a_{3}-\frac{a_{4}}{2}-\frac{a_{5}}{2}+\cdots=1$. Therefore, the answer is 1.