## Zadatak A-2.1.

U ovisnosti o parametru $a \in \mathbb{R}$, odredi sliku funkcije $f(x)=\frac{2023}{x^{2}-a^{2}-x-a}$.


## Rješenje.

Funkcija $g(x)=x^{2}-a^{2}-x-a=(x+a)(x-a-1)$ kvadratna je funkcija. Njezine nultočke su $-a$ i $a+1$. U tim točkama funkcija $f$ nije definirana.

Ordinata tjemena kvadratne funkcije iznosi $-\frac{1}{4}-a^{2}-a$.

Zato je slika funkcije $g$ skup $\left[-\frac{1}{4}-a^{2}-a,+\infty\right\rangle$.

Promotrimo prvo slučaj u kojem su nultočke različite (što je ekvivalentno uvjetu $a \neq$ $1 / 2)$. Za realne $x$ koji se nalaze između nultočaka vrijedi izraz $g(x)$ poprima vrijednosti na skupu

$$
\left[-\frac{1}{4}-a^{2}-a, 0\right]
$$

pa zato $f(x)$ poprima sve vrijednosti iz skupa

$$
\left\langle-\infty, \frac{2023}{-\frac{1}{4}-a^{2}-a}\right]=\left\langle-\infty,-\frac{8092}{1+4 a+4 a^{2}}\right]
$$

Na ostalim vrijednostima funkcija $g$ poprima sve pozitivne vrijednosti, pa stoga i funkcija $f$ poprima sve pozitivne vrijednosti.

Zato u slučaju $a \neq-\frac{1}{2}$ slika funkcije $f$ je skup $\left\langle-\infty,-\frac{8092}{1+4 a+4 a^{2}}\right] \cup\langle 0,+\infty\rangle$.

U slučaju $a=1 / 2$ nultočke funkcije $g$ se poklapaju, pa je njezina slika $[0,+\infty\rangle$, a slika funkcije $f$ je $\langle 0,+\infty\rangle$.

Konačno zaključujemo:

- u slučaju $a \neq-\frac{1}{2}$ slika funkcije $f$ je skup $\left\langle-\infty,-\frac{8092}{1+4 a+4 a^{2}}\right] \cup\langle 0,+\infty\rangle$;
- u slučaju $a=-\frac{1}{2}$ slika funkcije $f$ je skup $\langle 0,+\infty\rangle$.


