## Zadatak A-3.4.

Dan je tetraedar kojem je jedan brid duljine 3, a svi ostali duljine 2 .

Odredi obujam tog tetraedra.


## Prvo rješenje.

Neka je $A B C D$ zadani tetraedar i neka je $|C D|=3$. Promatramo tetraedar kao trostranu piramidu kojoj je baza jednakokračni trokut $B C D$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_8e1d37b7107fd49224e9g-18.jpg?height=645&width=1013&top_left_y=614&top_left_x=453)

Površinu trokuta $B C D$ možemo odrediti koristeći Heronovu formulu. Duljine stranica tog trokuta su $a=2, b=2 \mathrm{i} c=3$, pa je poluopseg $s=\frac{7}{2}$. Površina iznosi

$$
P(B C D)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{\frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}=\frac{3}{4} \sqrt{7}
$$

Neka je $S$ nožište visine iz vrha $A$ na bazu $B C D$. Trokuti $A S B, A S C$ i $A S D$ su pravokutni trokuti koji imaju zajedničku katetu i hipotenuze su im jednake duljine $(|A B|=|A C|=|A D|=2)$, pa korištenjem Pitagorinog poučka zaključujemo da je

$$
|B S|=|C S|=|D S|
$$

Dakle, $S$ je središte opisane kružnice trokuta $B C D$.

Polumjer opisane kružnice trokuta $B C D$ možemo izračunati koristeći formulu

$$
|B S|=R=\frac{a b c}{4 P}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{3 \sqrt{7}}=\frac{4}{\sqrt{7}}
$$

Duljinu visine piramide $\overline{A S}$ računamo koristeći Pitagorin poučak

$$
|A S|^{2}=|A B|^{2}-|B S|^{2}=4-\frac{16}{7}=\frac{12}{7}, \quad \text { tj. } \quad|A S|=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}
$$

Konačno, obujam traženog tetraedra iznosi

$$
V=\frac{1}{3} \cdot P(B C D) \cdot|A S|=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$

