## Zadatak B-2.1.

Koliko je $1+z^{2}+z^{4}+\cdots+z^{2 \cdot 2019}$, ako je $z=\frac{1+\sqrt{3} i}{2}$ ?


## Prvo rješenje.

Izračunajmo redom

$$
\begin{aligned}
& z^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{2}=\frac{2 \sqrt{3} i-2}{4}=\frac{\sqrt{3} i-1}{2} \\
& z^{3}=\frac{1+\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i-1}{2}=\frac{-3-1}{4}=-1 \\
& z^{4}=-z \\
& z^{6}=z^{4} \cdot z^{2}=-z^{3}=1 \\
& z^{8}=z^{6} \cdot z^{2}=z^{2}, \quad z^{10}=z^{6} \cdot z^{4}=z^{4}=-z, \quad z^{12}=1, \ldots
\end{aligned}
$$

Svake tri uzastopne parne potencije broja $z$ imaju iste vrijednosti kao

$$
z^{0}=1, \quad z^{2}=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}, \quad z^{4}=-z
$$

pa je

$$
\begin{aligned}
1+z^{2}+z^{4}+\cdots+z^{2 \cdot 2019} & =\left(1+z^{2}-z\right)+\left(1+z^{2}-z\right)+\cdots+\left(1+z^{2}-z\right)+z^{2 \cdot 2019} \\
& =673 \cdot\left(1+z^{2}-z\right)+1=673 \cdot\left(1+\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}-\frac{1+i \sqrt{3}}{2}\right)+1=1
\end{aligned}
$$

