What regularity can we observe in the following sequence:

$0,2,6,12,20,30,42,56,72,90, \ldots$

Based on this, let's write down the $n$-th term of the sequence!
The differences of the terms of the sequence are:

$2,4,6,8,10,12,14,16,18, \ldots, 2 n, \ldots$

forming an arithmetic progression, and the terms themselves are the products of two consecutive numbers:

$$
0 \cdot 1, \quad 1 \cdot 2, \quad 2 \cdot 3, \quad 3 \cdot 4, \quad 4 \cdot 5, \quad 5 \cdot 6, \quad 6 \cdot 7, \quad \ldots, \quad(n-1) \cdot n, \quad \ldots
$$

(The two follow from each other. If $a_{1}=0$, and $a_{n+1}=a_{n}+2 n$, then $a_{n+1}=a_{1}+2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3 \ldots+2 \cdot n=$ $n \cdot(n+1)$. Conversely, if $a_{n}=(n-1) \cdot n$, then $\left.a_{n+1}-a_{n}=n \cdot[n+1-(n-1)]=2 n.\right)$

Solved by: Almási T., Bakonyi Kornélia, Bánó Klára, Bárány I., Bendzsák Z., Berendik I., Berger E., Bécsy Cecília, Bélafalvy L., Bíró A., Blaskó F., Boda I., Boda L., Bodonyi J., Bognár J., Csík M., Csordás L., Csuhássy Edit, Deák I., Dér F., Dobó F., Erdősy Gy., Farkas J., Fülöp M., Gaál E., Földes P., Frigyes Éva, ifj. Gacsályi S., Gáspár K., Gehér L., Glósz F., Gömöri Katalin, Heller I., Herédi Irma, Hosszú M., Inkovics Gabriella, Izsák I., Kemény Judit, Királyfalvi I., Korányi Á., Kovács A., Kovács G., Kovács J., Kovács R., Kővári T., László F., Lásztity R., Lichtenstein J., Linczényi J., Liptay Gy., Lisék E., Magyar Á. Sz., Magyarosi B., Miskolczi Ida, Németh R., Osváth I., Pál L., Párkány M., Pokol Margit, Reiner Éva, Reppert F., Réthy Eszter, Róna P., Sarlós R., Serédi B., Silfen P., Somlai M., Sós Vera, Spitz Vera, Szabó Á., Szathmári D., Szentmártony L., Szépfalussy P., Szuszky O., Szűcs L., Tamás L., Tarnóczi T., Tarnóczi Z., Tóth K., Turczi Gy., Ujhelyi L., Varróh Enikő, Vata L., Váczy Irén, Vermes R., Vékony Mária, Vincze Klára, Vizi Mária, Vörös M.