## Aufgabe 25/78

Man ermittle alle Paare ganzer Zahlen $(m ; n)$, die der Gleichung $\sqrt{2^{n}+1}=m$ genügen.




Wenn es Paare ganzer Zahlen $(m ; n)$ gibt, die der gegebenen Gleichung genügen, so gilt offenbar $m ; n>0$ ( $m>0$ folgt aus der Definition der Wurzel, $n>0$ folgt aus der Ganzzahligkeit von $m$ ). Aus der gegebenen Gleichung folgt durch äquivalentes Umformen

$$
2^{n}=m^{2}-1=(m+1)(m-1)
$$

Da die linke Seite der Gleichung eine Potenz der Basis 2 ist, muss dies auch für die rechte Seite gelten. Folglich sind die Faktoren $(m+1)$ und $(m-1)$ selbst Potenzen der Zahl 2, die sich um 2 voneinander unterscheiden. Die einzigen Potenzen der Zahl 2, die sich um 2 voneinander unterscheiden, sind $2^{1}=2$ und $2^{2}=4$. Gilt nämlich $2^{\alpha}-2^{\beta}=2$ für $\alpha, \beta>0$, so folgt

$$
2^{\beta}\left(2^{\alpha-\beta}-1\right)=2 \rightarrow 2^{\beta-1}\left(2^{\alpha-\beta}-1\right) 1
$$

Diese Gleichung ist aber nur erfüllt für $2^{\beta-1}=1,2^{\alpha-\beta}-1=1$, also für $\beta=1, \alpha=2$.

Damit ergibt sich $m=3, n=3$, also das Paar $(3 ; 3)$ als einzige Lösung.

