## Zadatak A-1.1.

Odredi $x_{1006}$ ako je

$$
\begin{aligned}
& \frac{x_{1}}{x_{1}+1}= \frac{x_{2}}{x_{2}+3}=\frac{x_{3}}{x_{3}+5}=\ldots=\frac{x_{1006}}{x_{1006}+2011} \\
& x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{1006}=503^{2}
\end{aligned}
$$


## Rješenje.

Označimo

$$
\frac{x_{1}}{x_{1}+1}=\frac{x_{2}}{x_{2}+3}=\frac{x_{3}}{x_{3}+5}=\ldots=\frac{x_{1006}}{x_{1006}+2011}=a
$$

Iz $\frac{x_{k}}{x_{k}+(2 k-1)}=a$ slijedi $x_{k}=\frac{a}{1-a} \cdot(2 k-1) \quad$ za $k=1,2, \ldots, 1006$.

Uvrštavanjem u posljednju zadanu jednakost dobivamo

$$
\frac{a}{1-a} \cdot(1+3+\ldots+2011)=503^{2}
$$

Kako je

$$
\begin{aligned}
1+3+5+\ldots+2011 & =(1+2011)+(3+2009)+\ldots+(1005+1007) \\
& =503 \cdot 2012=1006^{2}
\end{aligned}
$$

dobivamo $\frac{a}{1-a} \cdot 1006^{2}=503^{2}$, odnosno $\frac{a}{1-a}=\frac{1}{4}$.

Konačno, $x_{1006}=\frac{a}{1-a} \cdot 2011=\frac{2011}{4}$.

