## Aufgabe $32 / 69$

Gesucht sind alle natürlichen Zahlen, die durch 7, 11 und 13 restlos teilbar sind und deren drei Endziffern eine vorgegebene dreistellige natürliche Zahl $q$ bilden.




Bekanntlich ist $7 \cdot 11 \cdot 13=1001$. Die gesuchten Zahlen $z$ lassen sich in der Form $z=1000 x+q$ mit $x \geq 0$, ganz, schreiben. Es gilt

$$
1000 x+q \equiv-x+q \equiv 0(\bmod 1001) \rightarrow x \equiv q(\bmod 1001)
$$

Das heißt aber nichts anderes als $x=1001 n+q$ mit $n=0,1,2, \ldots$. Somit ist $z_{n}=1000(1001 n+q)+q=$ 1001 $(1000 n+q)$. Die gesuchten Zahlen bilden also eine unendliche arithmetische Folge 1. Ordnung mit dem Anfangsglied $1001 q$ und der Differenz 1001000.

