
13) Quanti sono i numeri interi maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 100 che sono uguali al quadrato del numero dei propri divisori positivi? (Attenzione: tra i divisori di un numero vi sono anche 1 ed il numero stesso).
(A) 0
(B) 1 ,
(C) 2 ,
(D) $3, \quad$ (E) 4

13. La risposta è (C). Se $N$ è un numero con la proprietà richiesta, $N$ deve essere un quadrato perfetto compreso tra 1 e 100, estremi inclusi, quindi le possibilità per $N$ sono:

$$
N=1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
$$

Abbiamo:

$N=1, \quad$ divisori : $\{1\}$, numero di divisori: $1,1=1^{2}$

$N=4, \quad$ divisori : $\{1,2,4\}$, numero di divisori: $3,4 \neq 3^{2}$

$N=9$, divisori : $\{1,3,9\}$, numero di divisori: $3,9=3^{2}$

$N=16$, divisori : $\{1,2,4,8,16\}$, numero di divisori: $5,16 \neq 5^{2}$

$N=25, \quad$ divisori : $\{1,5,25\}$, numero di divisori: $3,25 \neq 3^{2}$

$N=36$, divisori : $\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$, numero di divisori: $9,36 \neq 9^{2}$

$N=49, \quad$ divisori : $\{1,7,49\}$, numero di divisori: $3,49 \neq 3^{2}$

$N=64, \quad$ divisori : $\{1,2,4,8,16,32,64\}$, numero di divisori: $7,64 \neq 7^{2}$

$N=81$, divisori : $\{1,3,9,27,81\}$, numero di divisori: $4,81 \neq 4^{2}$

$N=100$, divisori : $\{1,2,4,5,10,20,25,50,100\}$, numero di divisori: $9,100 \neq 9^{2}$.

Solo i due valori $N=1$ e $N=9$ hanno la proprietà richiesta.
