Example 1 Calculate: $\lg ^{2} 2 \cdot \lg 250+\lg ^{2} 5 \cdot \lg 40$.
\begin{array}{l} \text { Original expression }=\lg ^{2} 2 \cdot \lg \left(5^{2} \times 10\right)+\lg ^{2} 5 \cdot \lg \left(2^{2} \times 10\right) \\ =\lg ^{2} 2 \cdot(2 \lg 5+1)+\lg ^{2} 5 \cdot(2 \lg 2+1) \\ =\lg ^{2} 2+2 \lg 2 \cdot \lg ^{2} 5+2 \lg 5 \cdot \lg ^{2} 2+\lg ^{2} 5 \\ =\lg ^{2} 2+2 \lg 2 \cdot \lg 5 \cdot(\lg 5+\lg 2)+\lg ^{2} 5 \\ = \lg ^{2} 2+2 \lg 2 \cdot \lg 5+\lg ^{2} 5 \\ =(\lg 2+\lg 5)^{2}=\lg ^{2} 10=1 .\end{array}