## Aufgabe 17/83

Gesucht sind alle Lösungen $(x ; y ; z)$ in natürlichen Zahlen $x ; y ; z$ des Gleichungssystems:

$$
\begin{aligned}
2 x^{2}-2 y^{2}-3 z+5949 & =0 \\
\lg ^{2} y^{2}+\lg y^{(x-1)(x-y)}+(x-y)^{2} & =0 \\
\lg y^{(y-x)}+x-y & =0
\end{aligned}
$$




Aus der Gleichung (3) folgt durch äquivalente Umformung

$$
(x-y) \lg y=x-y
$$

Diese Gleichung ist sicher genau dann erfüllt, wenn entweder 1. $\lg y=1$, also $y=10$, oder 2. $x-y=0$, also $y=x$ ist.

Wir unterscheiden daher zwei Fälle und setzen diese beiden Werte für $y$ in die Gleichungen (1) und (2) ein.

1. $y=10$ :

$$
\begin{gathered}
2 x^{2}-200-3 z-5949=0 \rightarrow 2 x^{2}-3 z+5749=0 \quad(1 a) \\
\lg ^{2} 100+\lg 10^{(x-1)(x-10)}+(x-10)^{2}=0 \rightarrow 2 x^{2}-31 x+114=0
\end{gathered}
$$

Von den Lösungen der in $x$ quadratischen Gleichung (2a) ist nur $x=6$ eine natürliche Zahl. Dieser Wert in (1a) eingesetzt, liefert $z=1892,3 \ldots$, also keine natürliche Zahl.

2. $y=x$ :

$$
\begin{aligned}
2 x^{2}-2 x^{2}-3 z-5949 & =0 \rightarrow z=1983 \\
\lg ^{2} x^{2}+\lg x^{(x-1)(x-x)}+(x-x) & =0 \rightarrow \lg ^{2} x^{2}=0 \rightarrow x=1
\end{aligned}
$$

Die einzige Lösung ist $(x ; y ; z)=(1 ; 1 ; 1983)$.

