Legyen

$$
\begin{aligned}
a+b+c & =0 \\
A+B+C & =0 \\
\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C} & =0
\end{aligned}
$$

Mennyi az

$$
a A^{2}+b B^{2}+c C^{2}
$$

kifejezés értéke?


I. megoldás: Jelöljük a keresett kifejezés értékét $X$-szel. Mivel (2) alapján $A=-(B+C), B=-(A+C)$ és $C=-(A+B)$, azért

$$
\begin{gathered}
X=a A^{2}+b B^{2}+c C^{2}=-[a A(B+C)+b B(A+C)+c C(A+B)]= \\
=-a A B-a A C-b B A-b B C-c C A-c C B= \\
=-A B(a+b)-B C(b+c)-C A(c+a)
\end{gathered}
$$

De (1)-ből $a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b$, és így a keresett

$$
X=A B c+a B C+A b C=A B C\left(\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}\right)
$$

A zárójelben lévó kifejezés értéke (3) alapján 0 , tehát

$$
X=0
$$

II. megoldás: Kiindulhatunk az (1)-ből, amely szerint $a=-(b+c), b==-(a+c)$ és $c=-(a+b)$. Tehát

$$
\begin{aligned}
X & =a A^{2}+b B^{2}-c C^{2}=-(b+c) A^{2}-(a+c) B^{2}-(a+b) C^{2}= \\
& =-a\left(B^{2}+C^{2}\right)-b\left(A^{2}+C^{2}\right)-c\left(A^{2}+B^{2}\right)= \\
& =-a(B+C)^{2}-b(A+C)^{2}-c(A+B)^{2}+2 a B C+2 b A C+2 c A B
\end{aligned}
$$

De (3)-ból $A B C$-vel szorozva $(A, B$ és $C$ nem lehet 0$)$,

$$
a B C+b A C+c A B=0
$$

(2)-ból

$$
(B+C)^{2}=A^{2}, \quad(A+C)^{2}=B^{2}, \quad(A+B)^{2}=C^{2}
$$

és így

$$
X=-a A^{2}-b B^{2}-c C^{2}=-X
$$

amiból

$$
X=0
$$

III. megoldás: $(A+B+C)(a A+b B+c C)=0$, mert az első tényező (2) alapján 0 . A baloldalt átalakítva és az (1) alatti egyenletet figyelembe véve

$$
\begin{gathered}
a A^{2}+b B^{2}+c C^{2}+A B(a+b)+B C(b+c)+C A(c+a)= \\
=X-A B c-B C a-C A b=0
\end{gathered}
$$

(3) alapján a baloldal utolsó három tagjának összege 0 (lásd II. megoldást) és így

$$
X=0
$$

