What is the largest positive integer $n$ for which

$$
\sin ^{n} x+\cos ^{n} x \geqq \frac{1}{n}
$$

holds for any real $x$?
$x=\pi$-re a bal oldal értéke $(-1)^{n}$, ezért $n$ csak páros szám lehet; legyen $n=2 k$.

The value of the left side at $x=\pi$ is $(-1)^{n}$, so $n$ can only be an even number; let $n=2k$.

Az $f: x \mapsto \sin ^{2 k} x+\cos ^{2 k} x$ függvény periodikus, és a periódus hossza $\frac{\pi}{2}$, hiszen

The function $f: x \mapsto \sin ^{2 k} x+\cos ^{2 k} x$ is periodic, and the period length is $\frac{\pi}{2}$, since

$$
\sin ^{2 k}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos ^{2 k} x, \quad \cos ^{2 k}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin ^{2 k} x
$$

Az is látható, hogy az $f$ függvény a $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ intervallumon $\pi / 4$-re szimmetrikus, azaz

It is also clear that the function $f$ is symmetric about $\pi / 4$ on the interval $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, that is,

$$
f(\pi / 2-x)=\sin ^{2 k}(\pi / 2-x)+\cos ^{2 k}(\pi / 2-x)=\cos ^{2 k} x+\sin ^{2 k} x=f(x)
$$

Mivel $f(x)$ minimális értékére van szükségünk, elég $f$-et a $[0, \pi / 4]$ intervallumban vizsgálni. Ha $x$-et ebből az intervallumból választjuk, akkor $x$ felírható $x=\pi / 4-y$ alakban, ahol $0 \leqq y \leqq \pi / 4$. Ezzel

Since we need the minimum value of $f(x)$, it is sufficient to examine $f$ on the interval $[0, \pi / 4]$. If we choose $x$ from this interval, then $x$ can be written in the form $x=\pi / 4-y$, where $0 \leqq y \leqq \pi / 4$. Thus,

$$
\begin{aligned}
& \quad f(x)=\left(\sin ^{2}(\pi / 4-y)\right)^{k}+\left(\cos ^{2}(\pi / 4-y)\right)^{k}= \\
& =\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos y-\sin y)\right)^{2}\right)^{k}+\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos y+\sin y)\right)^{2}\right)^{k}= \\
& =\frac{1}{2^{k}}\left((1-\sin 2 y)^{k}+(1+\sin 2 y)^{k}\right)
\end{aligned}
$$

A $k$-adik hatványokat a binomiális tétellel kiszámolva, összevonás után a negatív tagok kiesnek, és a nem negatív tagok elhagyásával az összeg nem növekszik:

By calculating the $k$-th powers using the binomial theorem, after simplification, the negative terms cancel out, and by omitting the non-negative terms, the sum does not increase:

$$
\begin{aligned}
f(x) & =\frac{1}{2^{k}}\left(\left(1-\binom{k}{1} \sin 2 y+\binom{k}{2} \sin ^{2} 2 y-+\ldots\right)+\right. \\
& \left.+\left(1+\binom{k}{1} \sin 2 y+\binom{k}{2} \sin ^{2} 2 y+\ldots\right)\right)= \\
& =\frac{1}{2^{k-1}}\left(1+\binom{k}{2} \sin ^{2} 2 y+\binom{k}{4} \sin ^{4} 2 y+\ldots\right) \geqq \frac{1}{2^{k-1}}
\end{aligned}
$$

Az alsó becslésként kapott $\frac{1}{2^{k-1}}$ éppen $f(\pi / 4)$; így azt a legnagyobb $k$ természetes számot kell megtalálnunk, amelyre

The lower bound obtained as $\frac{1}{2^{k-1}}$ is exactly $f(\pi / 4)$; thus, we need to find the largest natural number $k$ for which

$$
\frac{1}{2^{k-1}} \geqq \frac{1}{2 k}
$$

Könnyen látható, hogy $k \leqq 4$ esetén (2) teljesül, $k=5$-re pedig az egyenlőtlenség már nem áll fenn. Ha pedig egy $t$ (4-nél nagyobb) pozitív egészre $\frac{1}{2^{t-1}}<\frac{1}{2 t}$, akkor $\frac{1}{2^{(t+1)-1}}=\frac{1}{2} \frac{1}{2^{t-1}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 t}<\frac{1}{2(t+1)}$, azaz $(t+1)$-re sem teljesül az egyenlőtlenség. Így a (2) összefüggést kielégítő legnagyobb természetes szám a 4, feladatunk kérdésére tehát $n=2 \cdot 4=8$ a válasz.

It is easy to see that (2) holds for $k \leqq 4$, but the inequality does not hold for $k=5$. If for a positive integer $t$ (greater than 4) $\frac{1}{2^{t-1}}<\frac{1}{2 t}$, then $\frac{1}{2^{(t+1)-1}}=\frac{1}{2} \frac{1}{2^{t-1}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 t}<\frac{1}{2(t+1)}$, so the inequality does not hold for $(t+1)$ either. Thus, the largest natural number satisfying (2) is 4, and the answer to our problem is $n=2 \cdot 4=8$.

Megjegyzés. A megoldásban kulcsszerepet játszó (1) becsléshez más módszerrel is eljuthatunk. Kiszámíthatjuk az $f$ függvény deriváltját, amelyről könnyen igazolhatjuk, hogy a $[0, \pi / 4]$-ben nem pozitív. Használhatjuk továbbá a $k$-adik hatványközépre és a számtani középre vonatkozó egyenlőtlenséget is, amely szerint

Note. We can also arrive at the key estimate (1) in the solution using a different method. We can calculate the derivative of the function $f$, which we can easily prove is non-positive on $[0, \pi / 4]$. We can also use the inequality between the $k$-th power mean and the arithmetic mean, which states that

$$
\sqrt[k]{\frac{\left(\sin ^{2} x\right)^{k}+\left(\cos ^{2} x\right)^{k}}{2}} \geqq \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{2}=\frac{1}{2}
$$