## Zadatak B-2.5.

Kružnice $k_{1}$ i $k_{2}$ sijeku se u točkama $A$ i $B$ kao što je prikazano na slici. Točka $C$ nalazi se na kružnici $k_{1}$, a točka $D$ na kružnici $k_{2}$ tako da vrijedi $\varangle A C B=60^{\circ} \mathrm{i} \varangle B D A=30^{\circ}$. Ako su središta kružnica $k_{1}$ i $k_{2}$ udaljena $4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$, kolika je duljina njihove zajedničke tetive $\overline{A B}$ ?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5ec97620b8cc23e4b297g-12.jpg?height=366&width=549&top_left_y=454&top_left_x=685)


## Prvo rješenje.

Označimo s $r_{1} \mathrm{i} r_{2}$ polumjere kružnica $k_{1} \mathrm{i} k_{2}$. Neka je $E$ polovište tetive $\overline{A B}$ i $x=|B E|$.

Kut $\varangle A C B$ je obodni nad lukom $\widehat{A B}$ pa je njegov središnji kut $\varangle A S_{1} B=120^{\circ}$, odnosno $\varangle E S_{1} B=60^{\circ}$.

Kut $\varangle B D A$ je obodni nad lukom $\widehat{B A}$ pa je njegov središnji kut $\varangle B S_{2} A=60^{\circ}$, odnosno $\varangle B S_{2} E=30^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5ec97620b8cc23e4b297g-12.jpg?height=611&width=896&top_left_y=1262&top_left_x=200)

Trokut $S_{1} S_{2} B$ je pravokutan pa vrijedi $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=(4 \sqrt{3})^{2}=48$.

$\mathrm{U}$ pravokutnome trokutu $E B S_{1}$ vrijedi da je $\sin 60^{\circ}=\frac{x}{r_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, odnosno $r_{1}=\frac{2 x}{\sqrt{3}}$.
Na isti se način iz pravokutnoga trokuta $E B S_{2}$ dobiva da je $\sin 30^{\circ}=\frac{x}{r_{2}}=\frac{1}{2}$, odnosno vrijedi da je $r_{2}=2 x$.

Uvrstimo dobivene izraze u jednakost $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=48$.

Iz jednadžbe $\frac{4 x^{2}}{3}+4 x^{2}=48$ dobivamo da je $x^{2}=9$, odnosno da je $x=3 \mathrm{~cm}$.

