## Aufgabe 1 - 271231

Man ermittle alle diejenigen reellen Zahlen $x$, die das folgende Ungleichungssystem (1), (2) erfüllen:

$$
\begin{array}{r}
x^{4}-6 x^{2}+8 \leq 0 \\
2 x^{2}-3 x>0
\end{array}
$$




Mit Einführung der reellen Polynomfunktionen $f$ und $g$ definiert durch

$$
f(x)=x^{4}-6 x^{2}+8=\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}-4\right)=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x-2)(x+2)
$$

bzw.

$$
g(x)=2 x^{2}-3 x=x(2 x-3)
$$

können wir die Lösungen der beiden Ungleichungen - also zunächst jede für sich - leicht durch den Vorzeichenwechsel von $f$ bzw. $g$ an deren einfachen Nullstellen beschreiben, und zwar jeweils für wachsendes $x$. Beide Funktionen starten dabei aufgrund des positiven Leitkoeffizienten im positiven Bereich.

Dieser Vorzeichenwechsel erfolgt für $f$ bei

- $x=-2$ von $+\mathrm{zu}-$,
- $x=-\sqrt{2}$ von $-\mathrm{zu}+$,
- $x=\sqrt{2}$ von $+\mathrm{zu}-$,
- $x=2$ von $-\mathrm{zu}+$

und für $g$ bei

- $x=0$ von $+\mathrm{zu}-$,
- $x=\frac{3}{2}$ von $-\mathrm{zu}+$.

Insgesamt gilt also (1) genau für $x \in[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2]$ und (2) genau für $x\frac{3}{2}$.

Beide Ungleichungen (1) und (2) zusammen sind somit genau dann erfüllt, wenn

$$
x \in[-2, \sqrt{2}] \cup\left(\frac{3}{2}, 2\right]
$$
