## Zadatak B-3.6.

Mrlja, na slici označena s $X$, nalazi se u nekom trenutku na vanjskom rubu kotača modela parobroda s lopaticama. Kotač ima polumjer $3 \mathrm{~m}$, a rotira u smjeru suprotnom od kazaljke sata konstantnom brzinom i napravi 8 punih okreta u minuti. Ako se u trenutku $t=0 \mathrm{mrlja} X$ nalazi na najvišoj točki kotača, odredite funkciju koja modelira gibanje kotača, odnosno odreduje udaljenost mrlje $(H)$ od dna broda u metrima nakon $t$ sekundi. Najniža točka kotača je 1 metar iznad dna broda, a 1.5 metar is-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5ec97620b8cc23e4b297g-22.jpg?height=482&width=676&top_left_y=1358&top_left_x=1067)
pod razine vode. U kojemu će trenutku $t$ mrlja prvi puta ući u vodu i koliko će dugo biti pod vodom?


## Prvo rješenje.

Ako kotač napravi 8 punih okreta u minuti, onda mrlji treba $60: 8=7.5$ sekundi za jedan okret.

Gibanje mrlje je očito periodično, pa ćemo ga opisati funkcijom kosinus

$$
H(t)=a \cos (b(t+c))+d
$$

Broj $a$ je amplituda, odnosno polovina udaljenosti najniže i najviše točke na kotaču i iznosi $3 \mathrm{~m}$.

Budući da je period jednak 7.5 sekundi, iz $\frac{2 \pi}{b}=7.5$ slijedi $b=\frac{2 \pi}{7.5}=\frac{4 \pi}{15}$.

1 bod

Funkcija kosinus dostiže maksimalnu vrijednost u nuli, a kako je mrlja za $t=0$ na najvišoj točki kotača, funkcija nema horizontalni pomak i $c=0$.

1 bod

Parametar $d$ je vertikalni pomak, a jednak je visini središta kotača, odnosno $d=1+3=$ 4.

Dakle,

$$
H(t)=3 \cos \left(\frac{4 \pi}{15} t\right)+4
$$

Mrlja će prvi puta ući i izaći iz vode kad bude prvi i drugi puta na visini od 2.5 metara iznad dna broda u prvom okretu. Stoga rješavamo jednadžbu

$$
H(t)=3 \cos \left(\frac{4 \pi}{15} t\right)+4=2.5
$$

1 bod

Tada je $\cos \left(\frac{4 \pi}{15} t\right)=-0.5$, a ova jednadžba ima rješenje

$$
\frac{4 \pi}{15} t= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}
$$

Budući da tražimo $t \in[0,7.5]$, slijedi

$$
\frac{4 \pi}{15} t_{1}=\frac{2 \pi}{3}, \quad \text { i } \quad \frac{4 \pi}{15} t_{2}=\frac{4 \pi}{3}
$$

odnosno $t_{1}=2.5 \mathrm{~s}, t_{2}=5 \mathrm{~s}$.

Mrlja će biti pod vodom $5-2.5=2.5$ sekundi.

Napomena: Učenici mogu gibanje opisati i nekom varijantom funkcije sinus, primjerice:

$$
\begin{gathered}
H(t)=-3 \sin \left(\frac{4 \pi}{15} t-\frac{\pi}{2}\right)+4, \quad \text { ili } \\
H(t)=3 \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{4 \pi}{15} t\right)+4, \quad \text { ili } \\
H(t)=3 \sin \left(\frac{4 \pi}{15} t+\frac{\pi}{2}\right)+4
\end{gathered}
$$

