## Zadatak A-4.2. (4 boda)

Neka je $z$ nultočka polinoma $z^{2}-2 z \cos \frac{\pi}{n}+1$. Odredi sve moguće vrijednosti izraza $z^{n}$.


## Rješenje.

Rješenja kvadratne jednadžbe $z^{2}-2 z \cos \frac{\pi}{n}+1=0$ su

$$
z=\frac{2 \cos \frac{\pi}{n} \pm \sqrt{4 \cos ^{2} \frac{\pi}{n}-4}}{2}=\cos \frac{\pi}{n} \pm i \sin \frac{\pi}{n}
$$

pa je

$$
\begin{aligned}
z^{n} & =\left(\cos \frac{\pi}{n} \pm i \sin \frac{\pi}{n}\right)^{n} \\
& =\cos \left(n \cdot \frac{\pi}{n}\right) \pm i \sin \left(n \cdot \frac{\pi}{n}\right) \\
& =\cos \pi \pm i \sin \pi \\
& =-1 \pm i \cdot 0=-1
\end{aligned}
$$

Jedino rješenje je $z^{n}=-1$.

