例 3-7 用 26 个英文字母作不允许重复的全排列, 要求排除 dog, god, gum, depth, thing 字样出现,求满足这些条件的排列数.
令
$A_{1}$ 为出现 $\operatorname{dog}$ 的排列,
$A_{2}$ 为出现 god 的排列,
$A_{3}$ 为出现 gum 的排列,
$A_{4}$ 为出现 depth 的排列,
$A_{5}$ 为出现 thing 的排列.
出现 $\operatorname{dog}$ 字样的排列相当于将 $\operatorname{dog}$ 作为一个单元参加排列, 故 $\left|A_{1}\right|=24$ !, 类似地, 出现 gum 和 god 的 $\left|A_{2}\right|=\left|A_{3}\right|=24$ !.

类似有
$$
\left|A_{4}\right|=\left|A_{5}\right|=22 \text { ! }
$$

由于 $\operatorname{god}$ 和 $\operatorname{dog}$ 不同时在一个排列出现,故 $\left|A_{1} \cap A_{2}\right|=0$, 类似有 $\left|A_{2} \cap A_{3}\right|=\left|A_{1}\right|$ $A_{4} \mid=0$.
而 dog 和 gum 可以以 dogum 出现,故 $\left|A_{1} \cap A_{2}\right|=22$ !
类似地 god, depth, thing 可以 godepth, thingod 形式出现.

所以
$$
\left|A_{2} \cap A_{4}\right|=\left|A_{2} \cap A_{5}\right|=20!
$$

又
$$
\begin{array}{l}
\left|A_{1} \cap A_{2}\right|=0, \quad\left|A_{3} \cap A_{4}\right|=20! \\
\left|A_{3} \cap A_{5}\right|=19!, \quad\left|A_{4} \cap A_{5}\right|=19! \\
\left|A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right|=\left|A_{1} \cap A_{2} \cap A_{4}\right| \\
=\left|A_{1} \cap A_{2} \cap A_{5}\right|=\left|A_{1} \cap A_{3} \cap A_{4}\right| \\
=\left|A_{1} \cap A_{3} \cap A_{5}\right|=\left|A_{1} \cap A_{4} \cap A_{5}\right| \\
=\left|A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}\right|=\left|A_{2} \cap A_{3} \cap A_{5}\right|=0
\end{array}
$$

由 god, depth, thing 三个不可能同时出现, 故
$$
\left|A_{2} \cap A_{4} \cap A_{5}\right|=0
$$

但 gum, depth 和 thing 可以在 depthingum 中同时出现, 故
$$
\left|A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5}\right|=17!
$$

故所求的数为
$$
\begin{aligned}
\left|\bar{A}_{1} \cap \bar{A}_{2} \cap \bar{A}_{3} \cap \bar{A}_{4} \cap \bar{A}_{5}\right|= & 26!-(3 \times 24!+22!)+(22! \\
& +3 \times 20!+2 \times 19!)-17! \\
= & 26!-3 \times 24!+3 \times 20!+2 \times 19!-17!
\end{aligned}
$$