3. The maximum value of the function $f(x)=\lg 2 \cdot \lg 5-\lg 2 x \cdot \lg 5 x$ is
$$
f(x)=\lg 2 \cdot \lg 5-(\lg x+\lg 2)(\lg x+\lg 5)=-\lg ^{2} x-\lg x=-\left(\lg x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4},
$$

So when $\lg x=-\frac{1}{2}$, the maximum value of $f(x)$ is $\frac{1}{4}$.