## Zadatak B-2.4.

Zadan je trokut $A B C$. Točka $D$ nalazi se na stranici $\overline{A B}$, a točka $E$ na stranici $\overline{B C}$ trokuta $A B C$ tako da je $|A D|=3 \mathrm{~cm},|B D|=7 \mathrm{~cm},|B E|=8 \mathrm{~cm},|D E|=5 \mathrm{~cm}$ i $\varangle B A C=\varangle D E B$. Kolika je površina četverokuta $A D E C$ ?


## Drugo rješenje.

Skicirajmo trokut i označimo sve zadane elemente kao u prvome rješenju.

Prema poučku o kosinusu vrijedi da je $\cos \alpha=\frac{8^{2}+5^{2}-7^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$ iz čega slijedi da je $\sin \alpha=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Površina trokuta $E B D$ iznosi:

$P(\triangle E B D)=\frac{1}{2} \cdot|D E| \cdot|B E| \cdot \sin \alpha=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$.

Trokuti $A B C$ i $E B D$ slični su po $K K$ poučku o sličnosti jer imaju dva para sukladnih kutova ( $\varangle B A C=\varangle D E B, \varangle C B A$ im je zajednički).

Zbog sličnosti vrijedi $\frac{|A C|}{10}=\frac{5}{8}$ pa je $|A C|=\frac{25}{4} \mathrm{~cm}$.

Površina trokuta $A B C$ iznosi: $P(\triangle A B C)=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{25}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{125 \sqrt{3}}{8} \mathrm{~cm}^{2}$.

Površina četverokuta $A D E C$ iznosi:

$P(A D E C)=P(\triangle A B C)-P(\triangle E B D)=\frac{125 \sqrt{3}}{8}-10 \sqrt{3}=\frac{45 \sqrt{3}}{8} \mathrm{~cm}^{2}$.

