Example 1. When $n=6$, find the value of $P(6)$.


Solve: Make the partition table for 6

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{l}
$k-$ \\
partition \\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline \begin{tabular}{l} 
partition \\
ways
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
6
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{l}
$5+1$ \\
$4+2$ \\
$3+3$
\end{tabular}
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{l}
$4+1+1$ \\
$3+2+1$ \\
$2+2+2$
\end{tabular}
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{l}
$3+1+1+1$ \\
$2+2+1+1$
\end{tabular}
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{c}
$2+1+1$ \\
$+1+1$
\end{tabular}
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{c}
$1+1+1$ \\
$+1+1+1$
\end{tabular}
\end{tabular} \\
\hline \begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{c}
$P(6$, \\
$k)$
\end{tabular}
\end{tabular} & 1 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 \\
\hline
\end{tabular}

Thus, $P(6)=\sum_{i=1}^{6} P(6, i)=11$.