
Zadatak B-4.2. (20 bodova) U Kartezijevom koordinatnom sustavu zadane su točke $A\left(-\frac{17}{2}, 0\right), B(2,0), C(-1,0)$. Nađi sve točke pravca $y=x-3$ iz koje se dužine $\overline{A C}$ i $\overline{B C}$ vide pod istim kutom različitim od nule.


Drugo rješenje. Neka je $T$ tražena točka. Njezine koordinate su $T(x, y)=T(x, x-3)$.

Koeficijent smjera pravca $T_{1} T_{2}$, čije su koordinate $T\left(x_{1}, y_{1}\right), T\left(x_{2}, y_{2}\right)$, je $k_{T_{1} T_{2}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$. U našem slučaju imamo:

$$
k_{A T}=\frac{x-3}{x+\frac{17}{2}}=\frac{2(x-3)}{2 x+17}, \quad k_{B T}=\frac{x-3}{x-2}, \quad k_{C T}=\frac{x-3}{x+1}
$$

Za kut $\alpha$ između pravaca s koeficijentima smjerova $k_{1}, k_{2}$ vrijedi $\operatorname{tg} \alpha=\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1} k_{2}}$, a kako je $\Varangle C T A=\Varangle B T C$ dobivamo

$$
\frac{k_{C T}-k_{A T}}{1+k_{C T} \cdot k_{A T}}=\frac{k_{B T}-k_{C T}}{1+k_{B T} \cdot k_{C T}}
$$

Uvrstimo li vrijednosti za $k_{A T}, k_{B T}, k_{C T}$ dobivamo

$$
\frac{\frac{x-3}{x+1}-\frac{2(x-3)}{2 x+17}}{1+\frac{x-3}{x+1} \cdot \frac{2(x-3)}{2 x+17}}=\frac{\frac{x-3}{x-2}-\frac{x-3}{x+1}}{1+\frac{x-3}{x-2} \cdot \frac{x-3}{x+1}}
$$

Sređivanjem dvojnih razlomaka dobit ćemo $\frac{5(x-3)}{4 x^{2}+7 x+35}=\frac{x-3}{2 x^{2}-7 x+7}$.

Jedno rješenje ove jednadžbe je $x=3$, a pripadna ordinata je $y=0$. U ovom slučaju se dužine $\overline{A C}$ i $\overline{B C}$ vide pod kutom jednakim nuli, što ne odgovara uvjetu zadatka. Zato možemo dijeliti s $x-3$ i dobivamo $\frac{5}{4 x^{2}+7 x+35}=\frac{1}{2 x^{2}-7 x+7}$.

Nakon sređivanja dobivamo $x(x-7)=0$. Rješenja ove jednadžbe su $x_{1}=0, x_{2}=7$, a odgovarajuće ordinate su $y_{1}=-3, y_{2}=4$.

Dakle tražene točke su $T_{1}(0,-3), T_{2}(7,4)$.
