## Zadatak B-2.1.

Riješite sustav jednadžbi

$$
\begin{gathered}
x^{3}+x^{3} y^{3}+y^{3}=17 \\
x+x y+y=5
\end{gathered}
$$


## Rješenje.

Zapišimo prvu jednadžbu u obliku pogodnom za zamjenu varijabli.

$$
\begin{gathered}
x^{3}+x^{3} y^{3}+y^{3}=17 \\
(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)+x^{3} y^{3}=17 \\
(x+y)\left[(x+y)^{2}-3 x y\right]+(x y)^{3}=17
\end{gathered}
$$

Nakon zamjene $x+y=p, x y=q$ sustav

$$
\begin{cases}(x+y)\left[(x+y)^{2}-3 x y\right]+(x y)^{3} & =17 \\ x+x y+y & =5\end{cases}
$$

prelazi u sustav

$$
\begin{cases}p\left(p^{2}-3 q\right)+q^{3} & =17 \\ p+q & =5\end{cases}
$$

odnosno

$$
\begin{cases}p^{3}-3 p q+q^{3} & =17 \\ p+q & =5\end{cases}
$$

Iz druge jednadžbe je $p=5-q$, a nakon zamjene u prvoj jednadžbi dobivamo

$$
(5-q)^{3}-3 q(5-q)+q^{3}-17=0
$$

Sređivanjem dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$
18 q^{2}-90 q+108=0 \quad \Rightarrow \quad q^{2}-5 q+6=0
$$

Odatle imamo $q_{1}=2, q_{2}=3$, a zatim i $p_{1}=3, p_{2}=2$. Preostaje još riješiti sljedeće sustave jednadžbi:

$$
\left\{\begin{array} { l l } 
{ x + y } & { = 3 } \\
{ x y } & { = 2 }
\end{array} \quad \text { i } \quad \left\{\begin{array}{ll}
x+y & =2 \\
x y & =3
\end{array}\right.\right.
$$

Rješenja prvog sustava su $x_{1}=1, y_{1}=2$ i $x_{2}=2, y_{2}=1$.

Rješenja drugog sustava su $x_{1}=1+i \sqrt{2}, y_{1}=1-i \sqrt{2}$ i $x_{2}=1-i \sqrt{2}, y_{2}=1+i \sqrt{2}$.

