\section*{Aufgabe 3 - 181033}

Man ermittle alle diejenigen reellen Zahlen \(a\), für die erstens die Terme, die auf beiden Seiten der Gleichung

\[
\frac{1}{a^{2}-3 a+2}+\frac{1}{a^{2}-5 a+6}+\frac{1}{a^{2}-7 a+12}+\frac{1}{a^{2}-9 a+20}+\frac{1}{a^{2}-11 a+30}+\frac{1}{a^{2}-13 a+42}=\frac{a(a+5)}{a^{2}-8 a+7}
\]
stehen, definiert sind und zweitens diese Gleichung gilt!


}

Für jede reelle Zahl \(a\) gilt

\[
\begin{array}{rlrlrl}
a^{2}-3 a+2 & =(a-1)(a-2) & ; & & a^{2}-5 a+6=(a-2)(a-3) \\
a^{2}-7 a+12 & =(a-3)(a-4) & ; & & a^{2}-9 a+20=(a-4)(a-5) \\
a^{2}-11 a+30 & =(a-5)(a-6) & ; & & a^{2}-13 a+42=(a-6)(a-7) \\
a^{2}-8 a+7 & =(a-1)(a-7) & &
\end{array}
\]

Daher sind die Terme auf beiden Seiten der gegebenen Gleichung genau dann definiert, wenn \(a\) keine der Zahlen \(1,2, \ldots, 7\) ist. Trifft dies zu, so gilt ferner für \(k=1, \ldots, 6\)

\[
\frac{1}{(a-k)(a-(k+1))}=-\frac{1}{a-k}+\frac{1}{a-(k+1)}
\]

Also ist für reelles \(a \neq 1,2, \ldots, 7\) die gegebene Gleichung genau dann erfüllt, wenn

\[
\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a-7}=\frac{a(a+5)}{a^{2}-8 a+7}
\]

oder, für reelles \(a \neq 1,2, \ldots, 7\) gleichbedeutend hiermit

\[
\begin{aligned}
& \frac{-(a-7)+(a-1)}{(a-1)(a-7)}= \frac{6}{a^{2}-8 a+7}=\frac{a^{2}+5 a}{a^{2}-8 a+7} \\
& a^{2}+5 a-6=0
\end{aligned}
\]

gilt. Da die letztgenannte Gleichung genau die reellen Lösungen \(a=1\) und \(a=-6\) hat, ist sie für reelles \(a \neq 1,2, \ldots, 7\) äquivalent mit \(a=-6\). Also erfüllt genau diese Zahl die Bedingungen der Aufgabe.

