5. Solve the inequality $\quad \frac{19-|x-3|}{\sqrt{|x-3|-1}-2} \leq 1$. (10 points)
# Solution:

Substitution: $\sqrt{|x-3|-1}=t \geq 0, x=t^{2}+1$.

$\frac{19-t^{2}-1}{t-2} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{18-t^{2}-t+2}{t-2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(t-4)(t+5)}{t-2} \geq 0 \stackrel{t \geq 0}{\Leftrightarrow} t \in[0 ; 2) \cup[4 ; \infty)$.

$|x-3|-1 \in[0 ; 4) \cup[16 ; \infty) \Leftrightarrow|x-3| \in[1 ; 5) \cup[17 ; \infty)$

$x-3 \in(-\infty ;-17] \cup(-5 ;-1] \cup[1 ; 5) \cup[17 ; \infty) \Leftrightarrow x \in(-\infty ;-14] \cup(-2 ; 2] \cup[4 ; 8) \cup[20 ; \infty)$

Answer: $x \in(-\infty ;-14] \cup(-2 ; 2] \cup[4 ; 8) \cup[20 ; \infty)$