9. Quanti sono i numeri di due cifre $A B$ tali che $(A B)^{2}=C A A B$, con $C=B-1$ (in notazione decimale)?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 9 .
9. La risposta è (B). Innanzitutto sappiamo che il numero $A B$ e il suo quadrato hanno entrambi la stessa cifra finale $B$. Quindi $B$ deve assumere uno dei quattro valori $0,1,5,6$. I casi 0 e 1 li escludiamo visto che $C=B-1$ è una cifra positiva. Negli altri casi la relazione $(A B)^{2}=C A A B$ diventa:
1) $(A 5)^{2}=(10 A+5)^{2}=100 A^{2}+100 A+25=4 A A 5=4005+110 A$ da cui $10 A^{2}-A-398=0$ che non ha soluzione per $A=1,2, \ldots, 9$.
2) $(A 6)^{2}=(10 A+6)^{2}=100 A^{2}+120 A+36=5 A A 6=5006+110 A$ da cui $10 A^{2}+A-497=0$ che ha come soluzioni intere soltanto $A=7$.

Quindi l'unica soluzione per $A B$ è $A B=76$.

SECONDA SOLUZIONE

Si deve avere $(10 A+B)^{2}=100 A^{2}+20 A B+B^{2}=1000(B-1)+100 A+10 A+B$. Dunque la cifra finale del quadrato di $B$ deve essere $B$, quindi $B=0,1,5,6$. Ora $B$ deve essere maggiore di 1 , perché altrimenti $B-1$ non può essere la cifra iniziale di $(A B)^{2}$, quindi $B=5,6$. Ora se $B=5 A$ deve essere 6 , perché $(A B)^{2}$ deve stare tra 4000 e 5000 ; ma $65^{2}=4225$ non soddisfa la condizione richiesta. Se invece $B=6 A$ deve essere 7 , perché $(A B)^{2}$ deve stare tra 5000 e 6000 ; e $76^{2}=5776$ soddisfa la condizione richiesta.