## Zadatak A-2.3.

Neka je $A B C$ trokut takav da je $|A B|<|B C|$ i $\varangle B A C=45^{\circ}$. Tangente na kružnicu opisanu tom trokutu u točkama $B$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Pravci $A C$ i $B D$ se sijeku u točki $E$ te vrijedi $|E A|=3$ i $|A C|=8$. Odredi površinu trokuta $C D E$.


## Rješenje.

Kako je kut između tangente i tetive jednak obodnom kutu nad tom tetivom, zaključujemo da su kutovi $\varangle D B C$ i $\varangle D C B$ jednaki kutu $\varangle B A C$, tj. mjera im iznosi $45^{\circ}$, pa je $C D B$ jednakokračan pravokutni trokut.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_27ac938d21197d2216d9g-07.jpg?height=780&width=759&top_left_y=1803&top_left_x=657)

Zbog potencije točke $E$ u odnosu na kružnicu opisanu trokutu $A B C$ slijedi

$$
|E B|^{2}=|E A| \cdot|E C|=33
$$

Označimo $x:=|C D|$. Iz Pitagorinog teorema primijenjenog na trokut $C D E$ slijedi

$$
\begin{aligned}
|C E|^{2} & =|C D|^{2}+|D E|^{2} \\
11^{2} & =x^{2}+(x+\sqrt{33})^{2} \\
0 & =x^{2}+x \sqrt{33}-44 \\
x & =\frac{-\sqrt{33} \pm \sqrt{209}}{2}
\end{aligned}
$$

Jedino pozitivno rješenje je $x=\frac{\sqrt{209}-\sqrt{33}}{2}$. Zato je površina trokuta $C D E$ jednaka

$$
\frac{1}{2}|C D| \cdot|D E|=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{209}-\sqrt{33}}{2} \cdot \frac{\sqrt{209}+\sqrt{33}}{2}=\frac{1}{8}(209-33)=22
$$

Napomena: Zadatak se može riješiti i bez računanja vrijednosti $x=|C D|$. Iz kvadratne jednadžbe $x^{2}+x \sqrt{33}-44=0$ imamo

$$
44=x^{2}+x \sqrt{33}=x(x+\sqrt{33})=|C D| \cdot|D E|
$$

pa je površina trokuta $C D E$ jednaka

$$
\frac{1}{2}|C D| \cdot|D E|=\frac{44}{2}=22
$$

