## Task Condition

Find the derivative of the specified order.

$$
y=\frac{\ln (x-2)}{x-2}, y^{V}=?
$$
## Solution № 1

Let's represent the original function as a product of 2 functions:
$y=\ln (x-2) \cdot(x-2)^{-1} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}u=\ln (x-2), \\ v=(x-2)^{-1} .\end{array}\right.$

Find the fifth derivative of both functions:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l } 
{ u = \operatorname { l n } ( x - 2 ) , } \\
{ v = ( x - 2 ) ^ { - 1 } ; }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array} { l } 
{ u ^ { \prime } = ( x - 2 ) ^ { - 1 } , } \\
{ v ^ { \prime } = - ( x - 2 ) ^ { - 2 } ; }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array} { l } 
{ u ^ { \prime \prime } = - ( x - 2 ) ^ { - 2 } , } \\
{ v ^ { \prime \prime } = 2 ( x - 2 ) ^ { - 3 } ; }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
u^{\prime \prime \prime}=2(x-2)^{-3}, \\
v^{\prime \prime \prime}=-6(x-2)^{-4} ;
\end{array} \Rightarrow\right.\right.\right.\right. \\
& \Rightarrow\left\{\begin{array} { l } 
{ u ^ { ( 4 ) } = - 6 ( x - 2 ) ^ { - 4 } , } \\
{ v ^ { ( 4 ) } = 2 4 ( x - 2 ) ^ { - 5 } ; }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
u^{(5)}=24(x-2)^{-5}, \\
v^{(5)}=-120(x-2)^{-6} .
\end{array}\right.\right. \\
& (u \cdot v)^{(n)}=\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} \cdot u^{(i)} \cdot v^{(n-i)}, \quad C_{n}^{i}=\frac{n!}{i!(n-i)!} \text { - binomial coefficient, }
\end{aligned}
$$

which can also be determined using Pascal's triangle, let's find these coefficients:

$C_{5}^{0}=1 ; C_{5}^{1}=5=C_{5}^{4} ; C_{5}^{2}=10=C_{5}^{3} ; C_{5}^{5}=1$.

$y^{(5)}=C_{5}^{0} \cdot u v^{(5)}+C_{5}^{1} \cdot u^{\prime} v^{(4)}+C_{5}^{2} \cdot u^{\prime \prime} v^{\prime \prime \prime}+C_{5}^{3} \cdot u^{\prime \prime \prime} v^{\prime \prime}+C_{5}^{4} \cdot u^{(4)} v^{\prime}+C_{5}^{5} \cdot u^{(5)} v=$

$=\ln (x-2) \cdot(-120)(x-2)^{-6}+5(x-2)^{-1} \cdot 24(x-2)^{-5}+10 \cdot\left(-1(x-2)^{-2}\right) \cdot\left(-6(x-2)^{-4}\right) \times$

$\times 10 \cdot 2(x-2)^{-3} \cdot 2(x-2)^{-3}+5 \cdot\left(-6(x-2)^{-4}\right) \cdot\left(-1(x-2)^{-2}\right)+24(x-2)^{-5}(x-2)^{-1}=$

$=-120 \ln (x-2) \cdot(x-2)^{-6}+120(x-2)^{-6}+60(x-2)^{-6}+40(x-2)^{-6}+30(x-2)^{-6}+24(x-2)^{-6}=$

$=(x-2)^{-6}(-120 \ln (x-2)+120+60+40+30+24)=\frac{274-120 \ln (x-2)}{(x-2)^{6}}$.

## Solution №2

$y=\frac{\ln (x-2)}{x-2}$

$y^{\prime}=\left(\frac{\ln (x-2)}{x-2}\right)^{\prime}=\frac{\frac{1}{x-2} \cdot(x-2)-\ln (x-2) \cdot 1}{(x-2)^{2}}=\frac{1-\ln (x-2)}{(x-2)^{2}}$

$y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}=\left(\frac{1-\ln (x-2)}{(x-2)^{2}}\right)^{\prime}=\frac{-\frac{1}{x-2} \cdot(x-2)^{2}-(1-\ln (x-2)) \cdot 2(x-2)}{(x-2)^{4}}=$

$=\frac{-1-2+2 \ln (x-2)}{(x-2)^{3}}=\frac{-3+2 \ln (x-2)}{(x-2)^{3}}$

$y^{\prime \prime \prime}=\left(y^{\prime \prime}\right)^{\prime}=\left(\frac{-3+2 \ln (x-2)}{(x-2)^{3}}\right)^{\prime}=\frac{\frac{2}{x-2} \cdot(x-2)^{3}-(-3+2 \ln (x-2)) \cdot 3(x-2)^{2}}{(x-2)^{6}}=$

$=\frac{2+9-6 \ln (x-2)}{(x-2)^{4}}=\frac{11-6 \ln (x-2)}{(x-2)^{4}}$

$y^{(I V)}=\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{\prime}=\left(\frac{11-6 \ln (x-2)}{(x-2)^{4}}\right)^{\prime}=\frac{-\frac{6}{x-2} \cdot(x-2)^{4}-(11-6 \ln (x-2)) \cdot 4(x-2)^{3}}{(x-2)^{8}}=$

$=\frac{-6-44+24 \ln (x-2)}{(x-2)^{5}}=\frac{-50+24 \ln (x-2)}{(x-2)^{5}}$
$y^{(V)}=\left(y^{(I V)}\right)^{\prime}=\left(\frac{-50+24 \ln (x-2)}{(x-2)^{5}}\right)^{\prime}=\frac{\frac{24}{x-2} \cdot(x-2)^{5}-(-50+24 \ln (x-2)) \cdot 5(x-2)^{4}}{(x-2)^{10}}=$ $=\frac{24+250-120 \ln (x-2)}{(x-2)^{6}}=\frac{274-120 \ln (x-2)}{(x-2)^{6}}$

## Problem Kuznetsov Differentiation 19-27