9. Given positive real numbers $x, y, z>1$ satisfy $x^{\log _{y} x} \cdot y^{\log _{z} y} \cdot z^{\log _{x} z}=10$, find the maximum value of $x y z$.
$$
\begin{array}{l}
\log _{y} x \cdot \lg x+\log _{z} y \cdot \lg y+\log _{x} z \cdot \lg z=1 \Rightarrow 1=\frac{\lg ^{2} x}{\lg y}+\frac{\lg ^{2} y}{\lg z}+\frac{\lg ^{2} z}{\lg x} \\
\geqslant \frac{(\lg x+\lg y+\lg z)^{2}}{\lg x+\lg y+\lg z}=\lg x+\lg y+\lg z \Rightarrow \lg (x y z) \leqslant 1 \Rightarrow x y z \leqslant 10,
\end{array}
$$

When the equality holds, $x=y=z=10^{\frac{1}{3}}$. Therefore, the maximum value of $x y z$ is 10.