## Aufgabe $3 / 74$

Gesucht ist eine quadratische Matrix vom Typ 3 mit folgender Eigenschaft:

1. Ihre Elemente sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen.
2. Die Matrix stellt ein magisches Quadrat dar.
3. Die Determinante der Matrix ist gleich null.




Entsprechend der Bedingung 1 seien die Elemente der Matrix $k-4, k-3, \ldots, k, \ldots k+3, k+4$, wobei $k$ eine noch zu bestimmende ganze Zahl ist. Die Summe dieser neun aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist $9 k$.

Die Zeilensumme, die Spaltensumme und die Diagonalensumme muss stets, unabhängig von der Zeilenbzw. Spaltennummer $\frac{1}{3} \cdot 9 k=3 k$ sein (Bedingung 2). Damit kann man die folgende Anordnung der Elemente finden:

$$
\left(\begin{array}{ccc}
k-3 & k+2 & k+1 \\
k+4 & k & k-4 \\
k-1 & k-2 & k+3
\end{array}\right)
$$

Die Determinante $D$ dieser Matrix ergibt sich nach der bekannten Regel zu $D=72 k$. Soll $D=0$ sein, so muss $k=0$ sein (Bedingung 3). Damit erhält man schließlich als eine Matrix, die die gestellten

Bedingungen erfüllt

$$
\left(\begin{array}{ccc}
-3 & +2 & +1 \\
+4 & 0 & -4 \\
-1 & -2 & +3
\end{array}\right)
$$

Aus ihr gehen durch Symmetrie (Vertauschen der ersten und dritten Zeile bzw. Spalte, Spiegelung an den Diagonalen) oder durch Drehung noch sieben weitere hervor.

