## 7. Potencije

Neka je $a$ znamenka jedinica broja $7^{456}, b$ znamenka jedinica broja $8^{567}$ i neka je $c$ znamenka jedinica broja $9^{678}$. Odredi broj $\overline{a b c}$.

Rezultat: 121


Rješenje. Odredimo posljednju znamenku broja $7^{456}$.

$$
7^{1}=7
$$

$7^{2}=7 \cdot 7=49$

$7^{3}=7 \cdot 7 \cdot 7=343$

$7^{4}=7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7=2401$

$7^{4}$ završava znamenkom 1 , pa će znamenkom 1 završavati i $7^{8}, 7^{12}, 7^{16}, \ldots$ jer je $1 \cdot 1=1$.

Kako je $456=114 \cdot 4$, i broj $7^{456}$ završava znamenkom 1. Dakle, $a=1$.

Odredimo posljednju znamenku broja $8^{567}$.

$$
\begin{aligned}
& 8^{1}=8 \\
& 8^{2}=8 \cdot 8=64 \\
& 8^{3}=8 \cdot 8 \cdot 8=512 \\
& 8^{4}=8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8=4096
\end{aligned}
$$

$8^{4}$ završava znamenkom 6 , pa će znamenkom 6 završavati i $8^{8}, 8^{12}, 8^{16}, \ldots$ jer je $6 \cdot 6=36$.

Kako je $567=141 \cdot 4+3$, i kako broj $8^{3}=512$ završava znamenkom 2 zaključujemo da broj $8^{567}$ završava istom znamenkom kao i broj $6 \cdot 2=12$, dakle $b=2$.

Konačno, odredimo posljednju znamenku broja $9^{678}$.

$$
9^{1}=9
$$

$$
9^{2}=9 \cdot 9=81
$$

$9^{2}$ završava znamenkom 1 , pa će znamenkom 1 završavati i $9^{4}, 9^{6}, 9^{8}, \ldots$ jer je $1 \cdot 1=1$.

Kako je 678 paran broj, i $9^{678}$ završava znamenkom 1, dakle $c=1$.

Traženi broj $\overline{a b c}$ je 121 .

