1. Let $a, b, c, d$ be positive numbers such that $\frac{1}{a^{3}}=\frac{512}{b^{3}}=\frac{125}{c^{3}}=\frac{d}{(a+b+c)^{3}}$. Find $d$.
(1 mark)設 $a 、 b 、 c 、 d$ 為正數, 使得 $\frac{1}{a^{3}}=\frac{512}{b^{3}}=\frac{125}{c^{3}}=\frac{d}{(a+b+c)^{3}}$ 。求 $d$ 。
1. 2744
1. Note that we have $\frac{1}{a^{3}}=\frac{8^{3}}{b^{3}}=\frac{5^{3}}{c^{3}}$ and so $a: b: c=1: 8: 5$. Hence $b=8 a$ and $c=5 a$. It follows that $d=\frac{(a+b+c)^{3}}{a^{3}}=\frac{(a+8 a+5 a)^{3}}{a^{3}}=14^{3}=2744$.