
Opgave 3. Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die voldoen aan

$$
f\left(x^{2} y\right)+2 f\left(y^{2}\right)=\left(x^{2}+f(y)\right) \cdot f(y)
$$

voor alle $x, y \in \mathbb{R}$.


Oplossing I. Invullen van $x=1$ geeft $f(y)+2 f\left(y^{2}\right)=(1+f(y)) f(y)$, dus

$$
2 f\left(y^{2}\right)=f(y)^{2} \text {. }
$$

We kunnen hiermee in de oorspronkelijke functievergelijking de term $2 f\left(y^{2}\right)$ links wegstrepen tegen $f(y)^{2}$ rechts:

$$
f\left(x^{2} y\right)=x^{2} f(y) .
$$

Invullen van $y=1$ hierin geeft $f\left(x^{2}\right)=x^{2} f(1)$ en invullen van $y=-1$ geeft $f\left(-x^{2}\right)=$ $x^{2} f(-1)$. Omdat $x^{2}$ alle niet-negatieve getallen aanneemt als $x \in \mathbb{R}$, geldt nu

$$
f(x)= \begin{cases}c x & \text { als } x \geq 0 \\ d x & \text { als } x<0\end{cases}
$$

met $c=f(1)$ en $d=-f(-1)$. Vul nu $y=1$ in bij (1), dat geeft $2 f(1)=f(1)^{2}$, dus $2 c=c^{2}$. Hieruit volgt $c=0$ of $c=2$. Vullen we juist $y=-1 \mathrm{in}$ bij (1), dan vinden we $2 f(1)=f(-1)^{2}$, dus $2 c=(-d)^{2}$. Voor $c=0$ geeft dit $d=0$ en voor $c=2$ geeft dit $d=2$ of $d=-2$. We hebben dus drie gevallen:

- $c=0, d=0$ : dan is $f(x)=0$ voor alle $x$;
- $c=2, d=2$ : dan is $f(x)=2 x$ voor alle $x$;
- $c=2, d=-2$ : dan is $f(x)=2 x$ voor $x \geq 0$ en $f(x)=-2 x$ voor $x<0$, oftewel $f(x)=2|x|$ voor alle $x$.

Met de eerste functie komt er in de functievergelijking links en rechts 0 , dus deze voldoet. Met de tweede functie komt er in de functievergelijking links $2 x^{2} y+4 y^{2}$ en rechts $\left(x^{2}+2 y\right)$. $2 y=2 x^{2} y+4 y^{2}$, dus die functie voldoet. Met de derde functie komt er links $2\left|x^{2} y\right|+4\left|y^{2}\right|=$ $2 x^{2}|y|+4 y^{2}$ en rechts $\left(x^{2}+2|y|\right) \cdot 2|y|=2 x^{2}|y|+4|y|^{2}=2 x^{2}|y|+4 y^{2}$, dus die functie voldoet ook.

Al met al hebben we drie oplossingen gevonden: $f(x)=0, f(x)=2 x$ en $f(x)=2|x|$.
