8. Dato il sistema

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=7 \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=27 \\
x y z=5
\end{array}\right.
$$

quante terne ordinate di numeri reali $(x, y, z)$ ne sono soluzione?
(A) 6
(B) 3
(C) 2
(D) 0
(E) Infinite.
## 8. La risposta è (B).

## PRIMA SOLUZIONE

Siano $s=x+y+z=7, q=x y+y z+z x$ e $p=x y z=5$. Si può notare facilmente che $s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x y+y z+z x)=27+2 q$, da cui $q=11$. Consideriamo ora il polinomio $(t-x)(t-y)(t-z)=t^{3}-(x+y+z) t^{2}+(x y+y z+z x) t-x y z=t^{3}-7 t^{2}+11 t-5$, che per costruzione ha come uniche soluzioni $x, y$ e $z$. Si verifica che $p(1)=1-7+11-5=0$ e che $p(5)=0$, quindi due tra $x, y, z$ sono 5 e 1 , e siccome il prodotto $x y z$ è 5 la terza variabile deve essere uguale ad 1 . Ne segue che $x, y, z$ sono $1,1,5$ in un qualche ordine, e quindi ci sono esattamente tre terne ordinate di soluzioni: $(1,1,5),(1,5,1)$ e $(5,1,1)$.

## SECONDA SOLUZIONE

Come prima troviamo $11=x(y+z)+y z$; sostituendo $y+z=7-x$ troviamo quindi $11=$ $x(7-x)+y z$. Moltiplicando entrambi i lati per $x$ si ottiene $11 x=x^{2}(7-x)+x y z=-x^{3}+7 x^{2}+5$, quindi $x$ è una soluzione di questa equazione. Si verifica che le uniche soluzioni sono 1 e 5 , da cui si ricavano immediatamente i valori di $y, z$ : per esempio, se $x=5$, allora $x+y=2, x y=1$, da cui $x=y=1$.