4. [7] Find $\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$.
Solution: $\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\prod_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{n^{2}}=\prod_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n}=\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} 2 \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \frac{4 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 6} \cdots=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdots}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdots}=$ \begin{tabular}{|l|} \hline$\frac{1}{2}$ \\ \hline \end{tabular}