## Aufgabe 18/80

Gesucht sind alle reellen Zahlen $x$, die der Gleichung für beliebige reelle Zahlen $a$ genügen:

$$
\log _{a^{2}+4}\left(2 a^{4} x^{2}-60 a^{4} x+\sqrt{9 x^{2}-27 x-7289}\right)=\log _{a^{2}+16}\left(a x^{2}+6 x-7379\right)
$$




Wenn die gesuchten Zahlen $x$ der Gleichung für beliebige reelle Zahlen $a$ genügen sollen, müssen sie sie speziell auch für $a=0$ erfüllen:

$$
\log _{4} \sqrt{9 x^{2}-27 x-7289}=\log _{16}\left(8 x^{2}+6 x-7379\right)
$$

Nun folgt aus der bekannten Umrechnungsformel $\log _{a} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} a}$ für $b=a^{2}$ :

$$
\log _{a} x=\frac{\log _{a^{2}} x}{\log _{a^{2}} a}=\frac{\log _{a^{2}} x}{\frac{1}{2}}=2 \log _{a^{2}} x=\log _{a^{2}} x^{2}
$$

Also ist

$$
\log _{4} \sqrt{9 x^{2}-27 x-7289}=\log _{16}\left(9 x^{2}-27 x-7289\right)
$$

Damit ist (1) äquivalent (2):

$$
9 x^{2}-27 x-7289=\left(8 x^{2}+6 x-7379\right) \rightarrow x^{2}-33 x+90=0 \rightarrow x_{1}=30 ; x_{2}=3
$$

Nur $x_{1}$ besteht die Probe für alle reellen Zahlen $a$ : $\log _{a^{2}+4} 1=\log _{a^{2}+16} 1=0$.

