## Aufgabe 30/81

Man bestimme alle Paare reeller Zahlen $(x ; y)$, die den Gleichungen genügen:

$$
x e^{y}+x^{2} e^{2 y}=6 \quad ; \quad x e^{-y}+x^{2} e^{-2 y}=20
$$




Wir setzen $x e^{y}=\alpha$ und $x e^{-y}=\beta$. Die gegebenen Gleichungen nehmen dann die Gestalt

$$
\alpha+\alpha^{2}=6 \quad ; \quad \beta+\beta^{2}=20
$$

an. Ihre Lösungen sind $\alpha_{1}=2, \alpha_{2}=-3, \beta_{1}=4, \beta_{2}=5$. Aus

$$
\alpha \beta=x e^{y} \cdot x e^{-y}=x^{2} \quad ; \quad \frac{\alpha}{\beta}=\frac{x e^{y}}{x e^{-y}}=e^{2 y}
$$

folgt, dass

$$
x= \pm \sqrt{\alpha \beta} \quad ; \quad y=\frac{1}{2} \ln \frac{\alpha}{\beta}=\ln \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}
$$

genau dann reell sind, wenn $\alpha \beta \geq 0$ und $\frac{\alpha}{\beta}>0$ gilt. Damit ergibt sich aus den Gleichungen (*) und aus den ermittelten Werten für $\alpha$ und $\beta$

$$
\begin{aligned}
& x_{11 ; 12}= \pm 2 \sqrt{2} \quad ; \quad y_{1}=\frac{1}{2} \ln \frac{2}{4}=-\ln \sqrt{2} \\
& x_{21 ; 22}= \pm \sqrt{15} \quad ; \quad y_{2}=\frac{1}{2} \ln \frac{-3}{-5}=\ln 0,6
\end{aligned}
$$

Von den nunmehr möglichen 4 Paaren erfüllen nur die Paare

$$
\left(x_{11} ; y_{1}\right)=(2 \sqrt{2} ;-\ln \sqrt{2}) \approx(2,828 ;-0,347) \quad \text { und } \quad\left(x_{22} ; y_{2}\right)=(-\sqrt{15} ; \ln 0,6) \approx(-3,873 ;-0,255)
$$

die Probe.

