Oldjuk meg a

$$
\left(\sqrt{1+\sin ^{2} x}-\sin x\right)\left(\sqrt{1+\cos ^{2} x}-\cos x\right)=1
$$

egyenletet.


Megoldás. Mivel $1+\cos ^{2} x>\cos ^{2} x$ nemnegatív számok, ezért

$$
\left|\sqrt{1+\cos ^{2} x}\right|>\left|\cos ^{2} x\right|
$$

és ennek következtében

$$
\sqrt{1+\cos ^{2} x}-\cos x>0, \quad \text { valamint } \quad \sqrt{1+\cos ^{2} x}+\cos x>0
$$

Ekvivalens átalakítás tehát, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a pozitív $\sqrt{1+\cos ^{2} x}+\cos x$ kifejezéssel. Ekkor az egyenlet:

$$
\begin{gathered}
\left(\sqrt{1+\sin ^{2} x}-\sin x\right)\left(\sqrt{1+\cos ^{2} x}-\cos x\right)\left(\sqrt{1+\cos ^{2} x}+\cos x\right)= \\
=\left(\sqrt{1+\cos ^{2} x}+\cos x\right) \\
\left(\sqrt{1+\sin ^{2} x}-\sin x\right)\left(1+\cos ^{2} x-\cos ^{2} x\right)=\left(\sqrt{1+\cos ^{2} x}+\cos x\right) \\
\sqrt{1+\sin ^{2} x}-\sin x=\sqrt{1+\cos ^{2} x}+\cos x
\end{gathered}
$$

Ezt rendezve és négyzetre emelve már kaphatunk hamis gyököket is:

$$
\begin{gathered}
\sqrt{1+\sin ^{2} x}-\sqrt{1+\cos ^{2} x}=\sin x+\cos x \\
1+\sin ^{2} x+1+\cos ^{2} x-2 \sqrt{\left(1+\sin ^{2} x\right)\left(1+\cos ^{2} x\right)}= \\
=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x \\
3-2 \sqrt{1+\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x}=1+2 \sin x \cos x
\end{gathered}
$$

Kettővel osztva és rendezve:

$$
1-\sin x \cos x=\sqrt{2+\sin ^{2} x \cos ^{2} x}
$$

Most ismét négyzetre emelve és rendezve:

$$
\begin{aligned}
1-2 \sin x \cos x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x & =2+\sin ^{2} x \cos ^{2} x \\
-2 \sin x \cos x & =1 \\
\sin 2 x & =-1
\end{aligned}
$$

Innen már adódnak a megoldások:

$$
2 x=\frac{3 \pi}{2}+k \cdot 2 \pi, \quad x_{1}=\frac{3 \pi}{4}+k \cdot 2 \pi, \quad x_{2}=\frac{7 \pi}{4}+k \cdot 2 \pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Mindkét megoldást ellenőrizni kell a négyzetre emelések miatt:

$$
\begin{array}{ll}
x_{1}=\frac{3 \pi}{4}+k \cdot 2 \pi, & \left(\sqrt{1+\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{7 \pi}{4}+k \cdot 2 \pi, & \left(\sqrt{1+\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1
\end{array}
$$

Tehát $x=\frac{3 \pi}{4}+k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}$.

