## Aufgabe 2 - 090732

Die Maßzahlen $a, b, c$ der Seitenlängen eines Dreiecks sollen die Bedingungen

(I) $\quad a+b=38$,

(II) $\quad b+c=46$,

(III) $\quad a+c=42$

erfüllen. Ermittle unter Berücksichtigung dieser Bedingungen

a) die Maßzahl jeder Seitenlänge!

b) Weise nach, dass ein Dreieck existiert, das den Bedingungen (I), (II), (III) genügt!

(Gleiche Maßeinheiten seien wie üblich vorausgesetzt.)




a) Wenn die Bedingungen (I), (II), (III) erfüllt sind, so folgt durch eine Eliminationsmethode, z.B. durch Addition von (I), (II), (III), Division durch 2 und anschließende Subtraktion je einer der Gleichungen (I), (II), (III):

$$
a=17, \quad b=21, \quad c=25
$$

b) Ein Dreieck mit diesen Maßzahlen existiert; denn die Dreiecksungleichungen sind erfüllt. Es ist nämlich

$$
\begin{gathered}
17+21>25, \quad \text { also } \quad a+b>c \quad ; \quad 21+25>17, \quad \text { also } \quad b+c>a \\
17+25>21, \quad \text { also } \quad a+c>b
\end{gathered}
$$

Jedes Dreieck mit diesen Maßzahlen seiner Seitenlängen erfüllt auch die Bedingungen (I), (II), (III). Es ist nämlich

$$
a+b=17+21=38 \quad, \quad b+c=21+25=46 \quad, \quad a+c=17+25=42
$$[^7]

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_06_b85a894aa8dbf722a7b3g-0367.jpg?height=434&width=419&top_left_y=268&top_left_x=316)

Es sei $M$ der Schnittpunkt der Diagonalen. Man zieht die Parallelen zu den Diagonalen durch die Punkte $A, B, C$ und $D$. Sie mögen sich in den Punkten $E, F, G, H$ schneiden.

Dann ist EFGH laut Konstruktion ein Parallelogramm, dessen Fläche bei geeigneter Wahl der Bezeichnungen $E, F, G, H$ aus den Flächen der vier Parallelogramme $A M D H, B M A E, C M B F$ und $D M C G$ zusammengesetzt ist.

Da diese Teilparallelogramme durch die Strecken $A B, B C, C D$ und $D A$ halbiert werden, ist der Flächeninhalt des Parallelogramms $E F G H$ doppelt so groß wie der des Vierecks $A B C D$.

Daher ist der Flächeninhalt jedes Dreiecks, das den Bedingungen der Aufgabe entspricht und folglich einem der Dreiecke $\triangle E F G, \triangle E F H$ kongruent ist, jeweils gleich dem des Vierecks $A B C D$.

