
Opgave 4. Bepaal alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ zodat

$$
(y+1) f(x)+f(x f(y)+f(x+y))=y
$$

voor alle $x, y \in \mathbb{R}$.


Oplossing I. Invullen van $x=0$ geeft $(y+1) f(0)+f(f(y))=y$, dus $f(f(y))=y \cdot(1-$ $f(0))-f(0)$. Als $f(0) \neq 1$, is de rechterkant een bijectieve functie in $y$ en de linkerkant dus ook. Daarmee is in dit geval $f$ bijectief.

We gaan nu laten zien dat in het geval $f(0)=1$ ook geldt dat $f$ bijectief is. Dus stel $f(0)=1$. Dan krijgen we $f(f(y))=-1$ voor alle $y \in \mathbb{R}$. Invullen van $y=0$ geeft $f(x)+f(x+f(x))=0$, dus $f(x+f(x))=-f(x)$. Vul vervolgens $x=f(z)$ en $y=z$ in en vervang $f(f(z))$ door -1 :

$$
(z+1) \cdot-1+f(f(z) f(z)+f(z+f(z)))=z,
$$

dus, als we ook nog gebruiken dat $f(z+f(z))=-f(z)$,

$$
f\left(f(z)^{2}-f(z)\right)=2 z+1
$$

Hieruit volgt direct dat $f$ surjectief is. Als er $a$ en $b$ zijn met $f(a)=f(b)$, dan geeft $z=a$ en daarna $z=b$ invullen in deze laatste vergelijking links twee keer hetzelfde, terwijl er rechts eerst $2 a+1$ en daarna $2 b+1$ staat. Dus $a=b$, waaruit volgt dat $f$ injectief is. We zien dat $f$ ook in dit geval bijectief is.

We kunnen dus vanaf nu aannemen dat $f$ bijectief is, waarbij we de aanname $f(0)=1$ weer laten vallen. We weten $f(f(y))=y \cdot(1-f(0))-f(0)$ en dus vinden we met $y=-1$ dat $f(f(-1))=-1$. Invullen van $y=-1$ in de oorspronkelijke vergelijking geeft

$$
f(x f(-1)+f(x-1))=-1=f(f(-1)) .
$$

Omdat $f$ injectief is, volgt hieruit dat $x f(-1)+f(x-1)=f(-1)$, dus $f(x-1)=$ $f(-1) \cdot(1-x)$. Als we nu $x=z+1$ nemen, zien we dat $f(z)=-f(-1) z$ voor alle $z \in \mathbb{R}$. Dus de functie is van de vorm $f(x)=c x$ voor $x \in \mathbb{R}$, waarbij $c \in \mathbb{R}$ een constante is. We controleren deze functie. Er geldt

$(y+1) f(x)+f(x f(y)+f(x+y))=(y+1) c x+c(x c y+c x+c y)=c x y+c x+c^{2} x y+c^{2} x+c^{2} y$.

Dit moet gelijk zijn aan $y$ voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. Met $y=0$ en $x=1$ staat er $c+c^{2}=0$, dus $c=0$ of $c=-1$. Met $x=0$ en $y=1$ staat er $c^{2}=1$, dus $c=1$ of $c=-1$. We concluderen dat $c=-1$ en dan zien we dat deze functie inderdaad voldoet. Dus de enige oplossing is $f(x)=-x$ voor $x \in \mathbb{R}$.
