## Zadatak B-2.4.

Neka je $f(x)=|x-4|(|x|-2)$.

Odredite najmanju i najveću vrijednost funkcije $f$ na intervalu $[-2,5]$. Za koje vrijednosti realnog parametra $m$ jednadžba $f(x)=m$ ima točno dva realna rješenja?


## Rješenje.

Zadatak ćemo riješiti razmatrajući graf zadane funkcije.

Zapišimo funkciju bez znaka apsolutne vrijednosti i nacrtajmo njezin graf.

$$
\begin{aligned}
& x \leqslant 0 \Longrightarrow f(x)=|x-4|(|x|-2)=(-x+4)(-x-2) \\
& 0 \leqslant x \leqslant 4 \Longrightarrow f(x)=(-x+4)(x-2) \\
& x \geqslant 4 \Longrightarrow f(x)=(x-4)(x-2)
\end{aligned}
$$

Dakle,

$$
f(x)= \begin{cases}x^{2}-2 x-8 & \text { za } x \leqslant 0 \\ -x^{2}+6 x-8 & \text { za } 0 \leqslant x \leqslant 4 \\ x^{2}-6 x+8 & \text { za } x \geqslant 4\end{cases}
$$

Tada je grafički prikaz funkcije sljedeći.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_1ebddb66d71be8305afcg-08.jpg?height=868&width=880&top_left_y=937&top_left_x=591)

Graf dane funkcije sastoji se od dijelova tri parabole (grafova tri kvadratne funkcije $f_{1}, f_{2}$ i $f_{3}$ ) koje se "lome" u točkama $x=0$ i $x=4$.

Na intervalu od $x=-2$ do $x=0$ vrijednost funkcije $f_{1}$ pada, zatim od $x=0$ do $x=3$ vrijednost funkcije $f_{2}$ raste (od prve točke loma do njezina tjemena), a pada od $x=3$ do $x=4$ (od tjemena do druge točke loma) te na kraju na intervalu od $x=4$ do $x=5$ funkcija $f_{3}$ raste (od točke loma do ruba zadanog intervala).

Uočimo da minimalnu ili maksimalnu vrijednost naše funkcije treba tražiti među rubnim točkama zadanog intervala, u točkama u kojima se graf "lomi" ili tjemenu.

Vidimo da će funkcija $f$ imati maksimalnu vrijednost na zadanom intervalu za $x=5$ i maksimum iznosi $f(5)=3$, a minimalnu vrijednost postiže za $x=0$, a iznosi $f(0)=-8$.

Jednadžba $f(x)=m$ ima točno dva realna rješenja ako je $m \in(-8,0) \cup(1, \infty)$.

