XXXVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych $ a, b $, dla których wielomiany $ x^4 + 2ax^2 + 4bx + a^2 $ i $ x^3 + ax - b $ mają dwa różne wspólne pierwiastki rzeczywiste.


Oznaczmy rozważane wielomiany przez $ P $ i $ Q $: 






Załóżmy, że wielomiany $ P $ i $ Q $ mają wspólne pierwiastki rzeczywiste $ x_1 $,  $ x_2 $ ($ x_1\neq x_2 $). Liczby $ x_1 $ $ x_2 $ są wówczas także pierwiastkami wielomianu






Stąd $ a \neq 0 $ i   $ \Delta = 9b^2--4a^3 &gt; 0 $.
Zgodnie z wzorami Viete'a






Ponieważ $ Q(x_1) = Q(x_2) = 0 $, a $ x_1 \neq x_2 $, zachodzą równości 






Zatem $ b = 0 $ i $ 0 &lt; \Delta = -4a^3 $, czyli $ a &lt; 0 $.
Także i odwrotnie: jeśli spełnione są warunki $ a &lt; 0 = b $, to wielomiany $ P $ i $ Q $ przybierają postać






i liczby $ \sqrt{-a} $, $ -\sqrt{-a} $ są ich wspólnymi pierwiastkami.
Rozwiązaniem zadania są więc wszystkie pary postaci $ (a, 0) $, gdzie $ a &lt; 0 $.
