
Zadatak B-4.6. Odredite jednadžbe svih tangenti elipse $x^{2}+4 y^{2}=20$ kojima dirališta raspolovljavaju odsječak koji na tim tangentama odsijecaju koordinatne osi. Izračunajte površinu četverokuta kojeg određuju te tangente.


Prvo rješenje. Skica

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_cf2c4989ba380bc8684dg-21.jpg?height=721&width=1198&top_left_y=1179&top_left_x=431)

Označimo diralište tangente i elipse s $T\left(x_{0}, y_{0}\right)$. Jednadžba tangente je

$$
x_{0} x+4 y_{0} y=20
$$

Sjecišta tangente $\mathrm{s}$ koordinatnim osima su točke $A\left(\frac{20}{x_{0}}, 0\right)$ i $B\left(0, \frac{5}{y_{0}}\right)$.

(2 boda)

Točka $T$ je i polovište dužine $A B$ pa vrijedi $x_{0}=\frac{10}{x_{0}}$ i $y_{0}=\frac{5}{2 y_{0}}$ odakle slijedi

$$
x_{0}= \pm \sqrt{10}, \quad y_{0}= \pm \frac{\sqrt{10}}{2}
$$

Zaključujemo da postoje četiri takve tangente, a njihove jednadžbe su

$$
\begin{aligned}
& x-2 y+2 \sqrt{10}=0 \\
& x+2 y-2 \sqrt{10}=0 \\
& x-2 y-2 \sqrt{10}=0 \\
& x+2 y+2 \sqrt{10}=0
\end{aligned}
$$

Ove tangente određuju romb kojemu je površina jednaka

$$
P=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot\left|\frac{20}{x_{0}}\right| \cdot\left|\frac{5}{y_{0}}\right|=40
$$

