## Zadatak B-2.5.

Jednadžbe $x^{2}-45 x+4 a+4=0$ i $x^{2}-47 x+5 a-4=0, a \in \mathbb{R}, a<20$ imaju jedno zajedničko realno rješenje. Koliko iznosi umnožak preostalih dvaju rješenja tih jednadžbi?


## Prvo rješenje.

Neka je $x_{0}$ zajedničko rješenje. Tada vrijedi:

$$
x_{0}^{2}-45 x_{0}+4 a+4=0 \text { i } x_{0}^{2}-47 x_{0}+5 a-4=0
$$

Oduzmemo li ove dvije jednadžbe dobivamo da je $x_{0}=\frac{a-8}{2}$.

Uvrstimo li dobiveni izraz za $x_{0}$ u prvu jednadžbu, dobivamo jednadžbu samo s nepoznanicom $a$ :

$$
\left(\frac{a-8}{2}\right)^{2}-45\left(\frac{a-8}{2}\right)+4 a+4=0
$$

odnosno nakon sređivanja

$$
a^{2}-90 a+800=0
$$

Njezina su rješenja $a=80$ i $a=10$. Budući da je $a<20$, slijedi $a=10$.

Tada zadane jednadžbe prelaze u jednadžbe

$$
x^{2}-45 x+44=0 \text { i } x^{2}-47 x+46=0
$$

čija su rješenja $x_{0}=1, x_{1}=44$, odnosno $x_{0}=1, x_{2}=46$.

Traženi je umnožak $x_{1} \cdot x_{2}=44 \cdot 46=2024$.

