## Aufgabe $3 / 72$

Gegeben seien die vier Scheitelpunkte einer Ellipse. Man konstruiere unter ausschließlicher Verwendung von Zirkel und Lineal das der Ellipse umbeschriebene Quadrat.




Vorüberlegung: Aus Symmetriegründen müssen die Eckpunkte des gesuchten Quadrates auf den Symmetrieachsen der Ellipse liegen. Da man diese allein mit dem Lineal durch Verbinden der beiden Hauptscheitelpunkte bzw. der beiden Nebenscheitelpunkte finden kann, genügt es, den Radius eines Kreises zu
finden, dessen Durchmesser Diagonale des gesuchten Quadrates ist.

Behauptung: Die halbe Diagonale des gesuchten Quadrates (der Radius des Kreises) ist gleich dem Abstand von Haupt- und Nebenscheitel der Ellipse.

Beweis: Es seien $a$ und $b$ die beiden Halbachsen der Ellipse mit der Gleichung

$$
b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}
$$

$y=r-x$ ist die Gleichung einer Geraden, die im Punkt $r$ die y-Achse schneidet und um $45^{\circ}$ gegen die x-Achse geneigt ist. Bestimmt man $r$ so, dass diese Gerade Tangente an die Ellipse wird, so erhält man nach Einsetzen der Geradengleichung in die Ellipsengleichung eine Doppellösung für $x$ :

$$
b^{2} x^{2}+a^{2}(r-x)^{2}=a^{2} b^{2} \rightarrow x_{1 ; 2}=\frac{a^{2} r}{a^{2}+b^{2}} \pm \sqrt{\frac{a^{4} r^{2}-a^{2}\left(r^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}}
$$

Damit sich tatsächlich eine Doppellösung ergibt, muss die Diskriminante null werden, d.h., es muss

$$
\begin{gathered}
a^{2} r^{2}-\left(r^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)=a^{2} b^{2}-b^{2} r^{2}+b 4=0 \\
r^{2}=a^{2}+b^{2} \quad ; \quad r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\end{gathered}
$$

sein. Das aber ist die Behauptung.

Konstruktion: Man verbinde die Hauptscheitelpunkte durch eine Gerade und die Nebenscheitelpunkte durch eine Gerade. Man schlage den Kreis um den Schnittpunkt der beiden Geraden, der den Abstand zweier benachbarter Scheitelpunkte als Radius hat. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit den beiden Geraden sind die Eckpunkte des gesuchten Quadrates.

