## SUBIECTUL I

a) Demonstrați că $\frac{n}{k(k+n)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}$, pentru orice $\mathrm{k}$ și $\mathrm{n}$ numere naturale.

b) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care

$$
\frac{1}{56 \cdot 57}+\frac{2}{57 \cdot 59}+\frac{3}{59 \cdot 62}+\cdots+\frac{62}{n(n+62)}=\frac{2015}{115976}
$$

Supliment Gazeta Matematică /2013

## SUBIECTUL I

a) Demonstrați că $\frac{n}{k(k+n)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}$, pentru orice $\mathrm{k}$ și $\mathrm{n}$ numere naturale.

b) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care

$$
\frac{1}{56 \cdot 57}+\frac{2}{57 \cdot 59}+\frac{3}{59 \cdot 62}+\cdots+\frac{62}{n(n+62)}=\frac{2015}{115976}
$$

| SOLUTYIE | PUNCTAJ |
| :--- | :---: |
| $\frac{n}{k(k+n)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}$ | $2 \mathrm{p}$ |
| $\frac{1}{56 \cdot 57}+\frac{2}{57 \cdot 59}+\frac{3}{59 \cdot 62}+\cdots+\frac{62}{n(n+62)}=\frac{1}{56}-\frac{1}{57}+\frac{1}{57}-\frac{1}{59}+\frac{1}{59}-\frac{1}{62}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+62}=$ | $2 \mathrm{p}$ |
| $\frac{1}{56}-\frac{1}{n+62}=\frac{n+62-56}{56(n+62)}=\frac{n+6}{56(n+62)}$ | $1 \mathrm{p}$ |
| $\frac{n+6}{56(n+62)}=\frac{2015}{115975} \Leftrightarrow \frac{n+6}{n+62}=\frac{112840}{115975} \Leftrightarrow \frac{n+6}{n+62}=\frac{2015}{2071} \Leftrightarrow n=2009$ | $2 \mathrm{p}$ |

