3. Equilateral $\triangle A B C$ and square $A B D E$ share a common side $A B$, the cosine of the dihedral angle $C-A B-D$ is $\frac{\sqrt{3}}{3}, M, N$ are the midpoints of $A C, B C$ respectively, then the cosine of the angle formed by $E M, A N$ is $\qquad$ .
Take the midpoints $O, F$ of $A B, D E$, and connect $O C, O F$. Let $A B=2$,
then $O F=2, O B=1, O C=\sqrt{3}$.
$$
\begin{array}{l}
\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O N}=\overrightarrow{A O}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}) \\
=\frac{3}{2} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}, \overrightarrow{E M}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O M} \\
=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A O}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C})=-\overrightarrow{O F}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O C} .
\end{array}
$$

Thus, $\overrightarrow{A N} \cdot \overrightarrow{E M}=\left(\frac{3}{2} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}\right)\left(-\overrightarrow{O F}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}\right)$
$$
\begin{array}{l}
=\frac{3}{4}-\frac{1}{2} \overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O F}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2},|\overrightarrow{A N}|=\sqrt{3}, \\
\overrightarrow{E M}^{2}=\left(-\overrightarrow{O F}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}\right)^{2}=4+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\overrightarrow{O F} \cdot \overrightarrow{O C}=5-2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=3 \Rightarrow|\overrightarrow{E M}|=\sqrt{3} .
\end{array}
$$

Therefore, $\cos \langle\overrightarrow{A N}, \overrightarrow{E M}\rangle=\frac{\overrightarrow{A N} \cdot \overrightarrow{E M}}{|\overrightarrow{A N}| \cdot|\overrightarrow{E M}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{6}$.