## Zadatak B-2.4.

Na nekom natjecanju iz matematike rješava se $n$ zadataka, $10<n<20$. Za svaki točno riješeni zadatak natjecatelj dobiva 5 bodova, a za svaki neriješeni ili netočno riješen zadatak gubi 3 boda. Ako je Sebastijan imao ukupno 0 bodova, koliko je zadataka riješio točno? Koliko je bilo ukupno zadataka?


## Drugo rješenje.

Neka je $x$ broj točno riješenih zadataka, a $y$ broj netočno ili neriješenih zadataka.

Vrijedi da je $10<x+y<20, x, y \in \mathbb{N}$, a tada je $x<20$ i $y<20$.

Ukupni broj bodova iznosi $5 x-3 y$.

Budući da Sebastijan ima 0 bodova, vrijedi

$$
5 x-3 y=0, \text { odnosno } x=\frac{3 y}{5}
$$

Kako $x$ mora biti prirodan broj, slijedi da $y$ mora biti djeljiv s 5 . 1 bod

Tada, budući da je $y<20$, imamo sljedeće mogućnosti:

$$
\begin{aligned}
& y=5 \text { i } x=\frac{3 y}{5}=3, \text { ali je tada } x+y=8 \text { pa to nije rješenje; } \\
& y=10 \text { i } x=6 \\
& y=15 \text { i } x=\frac{3 y}{5}=9, \text { ali je tada } x+y=24 \text { što također ne može biti rješenje. }
\end{aligned}
$$

Sebastijan je točno riješio 6 zadataka, a ukupno je bilo 16 zadataka.

Napomena: Ako učenik ne raspiše sve mogućnosti, odnosno ne pokaže da je $x=10$, $y=6$ jedino rješenje, može dobiti maksimalno 3 boda.

Analogno vrijedi i ukoliko učenik izrazi $y=\frac{5}{3} x$ te raspisuje sve slučajeve za $x<20$.

