## Zadatak A-3.6.

Posuda oblika uspravnog stošca sadrži određenu količinu vode. Kada je stožac postavljen osnovkom na ravnu površinu vrhom prema gore, razina vode je $8 \mathrm{~cm}$ ispod vrha stošca. Ako stožac preokrenemo, razina vode je $2 \mathrm{~cm}$ ispod osnovke stošca.

Kolika je visina posude?


## Rješenje.

Neka je duljina visine posude $h \mathrm{~cm}$, a polumjer osnovke $r \mathrm{~cm}$.

Promotrimo poprečni presjek posude kada je postavljena vrhom prema gore.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_a374c05c2f1967f14be6g-17.jpg?height=612&width=1106&top_left_y=416&top_left_x=404)

Neka je polumjer osnovke stošca unutar posude koji nije ispunjen vodom $r_{1} \mathrm{~cm}$. Tada zbog sličnosti vrijedi

$$
\frac{h}{r}=\frac{8}{r_{1}}
$$

Također, ako je polumjer osnovke stošca koji je ispunjen vodom kada je posuda okrenuta vrhom prema dolje $r_{2} \mathrm{~cm}$, onda je

$$
\frac{h}{r}=\frac{h-2}{r_{2}}
$$

Obujam vode $V\left(\mathrm{u} \mathrm{cm}^{3}\right)$ možemo izraziti na dva načina. Kao obujam krnjeg stošca kojem je duljina visine $(h-8) \mathrm{cm}$, a osnovke imaju polumjere $r \mathrm{~cm}$ i $r_{1} \mathrm{~cm}$ :

$$
V=\frac{1}{3} \cdot r^{2} \pi \cdot h-\frac{1}{3} \cdot r_{1}^{2} \pi \cdot 8
$$

te kao obujam stošca duljine visine $(h-2) \mathrm{cm}$ i osnovke polumjera $r_{2} \mathrm{~cm}$ :

$$
V=\frac{1}{3} \cdot r_{2}^{2} \pi \cdot(h-2)
$$

Izjednačavanjem formula za $V$ i dijeljenjem $\mathrm{s} \frac{\pi}{3}$ slijedi

$$
h r^{2}-8 r_{1}^{2}=(h-2) r_{2}^{2}
$$

pa uvrštavanjem $r_{1}=\frac{8 r}{h}$ i $r_{2}=\frac{r(h-2)}{h}$ dobivamo

$$
h r^{2}-8 \cdot \frac{64 r^{2}}{h^{2}}=(h-2) \cdot \frac{(h-2)^{2} r^{2}}{h^{2}}
$$

Dijeljenjem s $r^{2}$, množenjem s $h^{2}$ i sređivanjem dobivamo

$$
\begin{aligned}
h^{3}-512 & =(h-2)^{3} \\
h^{2}-2 h & -84=0
\end{aligned}
$$

odakle dobivamo $h_{1,2}=1 \pm \sqrt{85}$.

Jedino pozitivno rješenje je $1+\sqrt{85}$, pa je visina posude $(1+\sqrt{85}) \mathrm{cm}$.

