## Zadatak B-4.4.

Zadani su geometrijski likovi $L_{1}, L_{2}, L_{3}, \ldots$ Lik $L_{1}$ jednakostranični je trokut površine 1. Svaki sljedeći lik nastaje tako da se svaka od stranica prethodnog lika podijeli na tri jednaka dijela i iznad srednjeg dijela konstruira novi jednakostranični trokut. Nakon konstrukcije jednakostraničnog trokuta briše se srednji dio iznad kojeg je napravljena konstrukcija (vidi sliku).

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_4b05efd680c81b2b8cbfg-21.jpg?height=279&width=323&top_left_y=2142&top_left_x=387)

$\mathrm{L}_{1}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_4b05efd680c81b2b8cbfg-21.jpg?height=377&width=326&top_left_y=2104&top_left_x=862)

$\mathrm{L}_{2}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_4b05efd680c81b2b8cbfg-21.jpg?height=365&width=325&top_left_y=2102&top_left_x=1294)

$\mathrm{L}_{3}$

Odredite površinu $n$-tog lika $L_{n}$ konstruiranog na opisani način.


## Rješenje.

Prvi lik ima tri stranice. Podijelimo li svaku od stranica jednakostraničnog trokuta na tri jednaka dijela i iznad srednjeg dijela konstruiramo jednakostranični trokut, te nakon toga srednji dio obrišemo, drugi lik imati će $3 \cdot 4=12$ stranica. Nastavimo li opisani postupak, slijedi da je broj stranica trećeg lika $3 \cdot 4^{2}$, četvrtog $3 \cdot 4^{3}$, itd. Dakle, $n$-ti lik ima $3 \cdot 4^{n-1}$ stranica.

Znamo da je površina prvog lika 1. Površinu drugog lika dobijemo tako da površini prvog trokuta pribrojimo površine tri manja trokuta čije su stranice tri puta manje od stranica prvog trokuta. Kako je riječ o sličnim trokutima s koeficijentom sličnosti $\frac{1}{3}$, površina svakog manjeg trokuta je $\frac{1}{3^{2}}$, pa je površina drugog lika jednaka $P_{2}=1+3 \cdot \frac{1}{3^{2}}=1+\frac{1}{3}$.

Usporedimo li sada drugi i treći lik vidimo da je na drugi lik dodano $3 \cdot 4=12$ manjih trokuta čije su površine $\frac{1}{3^{2}} \cdot \frac{1}{3^{2}}$. Stoga je površina trećeg lika jednaka $P_{3}=P_{2}+12 \cdot \frac{1}{3^{4}}=1+\frac{1}{3}+\frac{4}{3^{3}}$. Nastavimo li dalje opisani postupak, dobivamo da je površina četvrtog lika jednaka $P_{4}=$ $P_{3}+3 \cdot 4^{2} \cdot \frac{1}{3^{6}}=1+\frac{1}{3}+\frac{4}{3^{3}}+\frac{4^{2}}{3^{5}}$, odnosno općenito

$$
P_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{4}{3^{3}}+\frac{4^{2}}{3^{5}}+\cdots+\frac{4^{n-2}}{3^{2 n-3}}
$$

Uočimo da je $\frac{1}{3}, \frac{4}{3^{3}}, \frac{4^{2}}{3^{5}}, \ldots$ geometrijski niz s količnikom $\frac{4}{9}$. Prema tome, površinu $n$-tog lika računamo kao zbroj površine prvog lika i $(n-1)$-te sume geometrijskog niza:

$$
S_{n}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1-\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}}{1-\frac{4}{9}}=\frac{3}{5}-\frac{3}{5} \cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}
$$

Dakle, površina $n$-tog lika je $P_{n}=1+S_{n}=\frac{8}{5}-\frac{3}{5} \cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}$.

