## Zadatak B-1.4.

Na stranici $\overline{A B}$, pravokutnika $A B C D$, odabrana je točka $E$, a na stranici $\overline{C D}$ točka $F$ tako da je četverokut $E B F D$ romb. Odredite duljinu dužine $\overline{E F}$ ako su duljine stranica pravokutnika $a=|A B|$ i $b=|B C|,|A B|>|B C|$.


## Prvo rješenje.

Označimo sa $x$ duljinu stranice romba: $x=|B E|=|D E|$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_63d9d2269da4cabd8f72g-02.jpg?height=525&width=685&top_left_y=1936&top_left_x=594)

Primijenimo Pitagorin poučak na trokute $A E D$ i $A B D$ :

$$
\begin{array}{ll}
|B D|^{2}=a^{2}+b^{2} & 1 \mathrm{bod} \\
x^{2}=(a-x)^{2}+b^{2} & 1 \mathrm{bod}
\end{array}
$$

Iz posljednje jednakosti slijedi da je $x=\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a}$.

Površinu romba $E B F D$ računamo kao $P=\frac{|B D| \cdot|E F|}{2}$ ili $P=b \cdot x$.

Stoga vrijedi

$$
\begin{gathered}
\frac{|B D| \cdot|E F|}{2}=b \cdot x \\
|E F|=\frac{2 b x}{|B D|}=\frac{2 b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cdot \frac{a^{2}+b^{2}}{2 a}=\frac{b \cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}
\end{gathered}
$$

Napomena: Do istog se rezultata može doći iz pravokutnog trokuta $G E B$ koristeći Pitagorin poučak:

$$
\frac{|E F|^{2}}{4}+\frac{|B D|^{2}}{4}=x^{2} \quad \Longrightarrow \quad|E F|^{2}=4 x^{2}-|B D|^{2}
$$

što vrijedi 2 boda.

