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\begin{array}{l}
\text { II. (25 points) (1) Given the parabola } \\
y=x^{2}-2 m x+4 m-8
\end{array}
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with vertex $A$, construct an inscribed equilateral $\triangle A M N$ (points $M, N$ are on the parabola). Find the area of $\triangle A M N$;
(2) If the parabola $y=x^{2}-2 m x+4 m-8$ intersects the $x$-axis at points with integer coordinates, find the integer value of $m$.
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(1) From the symmetry of the parabola and the equilateral triangle, we know that $M N \perp y$-axis.

As shown in Figure 8, let the axis of symmetry of the parabola intersect $M N$ at point $B$. Then
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A B=\sqrt{3} B M .
$$

Let $M(a, b)$ $(m<a)$. Then
$$
\begin{aligned}
& B M=a-m . \\
& \text { Also, } A B=y_{B}-y_{A} \\
= & \left(a^{2}-m^{2}\right)-2 m(a-m) \\
= & (a-m)^{2},
\end{aligned}
$$

Thus, $B M^{2}=A B=\sqrt{3} B M$, which means $B M=\sqrt{3}$.
Therefore, $S_{\triangle A M N}=\sqrt{3} B M^{2}=3 \sqrt{3}$.
(2) According to the problem, $\Delta=4\left[(m-2)^{2}+4\right]$ is a perfect square.
Let $(m-2)^{2}+4=n^{2}$, then
$$
(n+m-2)(n-m+2)=4 \text {. }
$$

Since $n+m-2$ and $n-m+2$ have the same parity, we have
$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ n + m - 2 = 2 , } \\
{ n - m + 2 = 2 }
\end{array} \text { or } \left\{\begin{array}{l}
n+m-2=-2, \\
n-m+2=-2 .
\end{array}\right.\right.
$$

Solving these, we get $\left\{\begin{array}{l}m=2, \\ n=2\end{array}\right.$ or $\left\{\begin{array}{l}m=2, \\ n=-2 .\end{array}\right.$
In summary, $m=2$.