## Zadatak 4.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje različiti djelitelji $a$ i $b$ od $n$ takvi da između njih nema drugih djelitelja od $n$ i da vrijedi

$$
n=a^{2}-b
$$


## Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju dobijemo da je $b=m a$ za neki prirodan broj $m>1$. Jednadžba postaje

$$
n=a(a-m) \text {. }
$$

Pretpostavimo da je $n$ neparan. Tada su $a$ i $b$ također neparni kao njegovi djelitelji, pa je $a^{2}-b$ paran, kontradikcija. Dakle, $n$ je paran.

Ako je $a$ neparan, onda je $2 a$ djelitelj od $n$, ali $n$ nema djelitelja između $a$ i $m a$, pa zaključujemo da mora biti $m=2$ i $n=a(a-2)$. Međutim, onda je desna strana neparna, kontradikcija. Dakle, $a$ je paran.

Kako je $a$ paran, onda je i $b=m a$ paran, pa je $b / 2=m a / 2$ djelitelj od $n$. Ali $m a / 2$ ne smije biti između $a$ i $m a$, pa zaključujemo da mora vrijediti $m=2$, i $n=a(a-2)$, te je $a$ paran.

Ali onda je $2(a-2)$ djelitelj od $n$. Kako je $2(a-2)<2 a=b$, mora biti $2(a-2) \leqslant a$, odnosno $a \leqslant 4$. Preostaje provjeriti slučajeve $a=2$ i $a=4$.

Ako je $a=2$, onda je $b=2 a=4$ i $n=0$, kontradikcija.

Ako je $a=4$, onda je $b=8$ i dobivamo $n=8$, što je stvarno rješenje jer su 4 i 8 očito uzastopni djelitelji od 8 .

