## Problema I - 6

Se considera la inecuación

$$
|x-1|<a x
$$

donde $a$ es un parámetro real.

a) Discutir la inecuación según los valores de $a$.

b) Caracterizar los valores de $a$ para los cuales la inecuación tiene exactamente DOS soluciones enteras.
Solución.

a) En principio distinguiremos dos casos, según que $x \geq 1$ ó $x0$, es decir, $a1 \Leftrightarrow a>0$. Por lo tanto,

$$
o0 \Leftrightarrow a>-1, \frac{1}{a+1}0$.

Por lo tanto, $a>0, \frac{1}{a+1}<x<1$, cuando $-1<a \leq 0$ no hay solución.

Subcaso II.2: $a+1=0 \Leftrightarrow a=-1 \Rightarrow 1<0$, no hay solución.

Subcaso II.3: $a+1<0 \Leftrightarrow a<-1 \Rightarrow x<\frac{1}{a+1}<0$.

Por lo tanto, $a<-1, x<\frac{1}{a+1}$.

Resumiendo:

Si $a<-1$, entonces $x<\frac{1}{a+1}$.

Si $-1 \leq a \leq 0$, no hay solución.

Si $0<a<1$, entonces $\frac{1}{a+1}<x<\frac{1}{a-1}$.

Si $1 \leq a$, entonces $1 \leq x$.

b) Por el análisis efectuado en a), la desigualdad puede tener dos soluciones enteras sólo si $0<a<1$. Ya que en estos casos se tiene

$$
0<\frac{1}{1+a}<1<\frac{1}{1-a}
$$

habrá dos soluciones enteras si y solamente si

$$
2<\frac{1}{1-a} \leq 3
$$

Por lo tanto la respuesta es

$$
\frac{1}{2}<a \leq \frac{2}{3}
$$