
Opgave 3. Gegeven is een onbekende rij $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ van gehele getallen die voldoet aan de volgende eigenschap: voor elk priemgetal $p$ en elk positief geheel getal $k$ geldt

$$
a_{p k+1}=p a_{k}-3 a_{p}+13
$$

Bepaal alle mogelijke waarden van $a_{2013}$.


Oplossing I. Laat $q$ en $t$ priemgetallen zijn. Vul in $k=q, p=t$ :

$$
a_{q t+1}=t a_{q}-3 a_{t}+13
$$

Vul ook in $k=t, p=q$ :

$$
a_{q t+1}=q a_{t}-3 a_{q}+13
$$

Beide uitdrukkingen rechts zijn dus gelijk aan elkaar, waaruit volgt

$$
t a_{q}-3 a_{t}=q a_{t}-3 a_{q}
$$

oftewel

$$
(t+3) a_{q}=(q+3) a_{t} .
$$

In het bijzonder geldt $5 a_{3}=6 a_{2}$ en $5 a_{7}=10 a_{2}$. Vul nu $k=3$, $p=2$ in:

$$
a_{7}=2 a_{3}-3 a_{2}+13=2 \cdot \frac{6}{5} a_{2}-3 a_{2}+13 .
$$

Omdat $a_{7}=\frac{10}{5} a_{2}$, vinden we nu

$$
\frac{13}{5} a_{2}=13
$$

dus $a_{2}=5$. Nu geldt voor elk priemgetal $p$ dat $a_{p}=\frac{(p+3) a_{2}}{5}=p+3$.

Vul in $k=4, p=3$ :

$$
a_{13}=3 a_{4}-3 a_{3}+13 \text {. }
$$

We weten dat $a_{13}=16$ en $a_{3}=6$, dus dit geeft $3 a_{4}=21$, oftewel $a_{4}=7$.

Vul ten slotte $k=4$ en $p=503$ in:

$a_{2013}=a_{4 \cdot 503+1}=503 \cdot a_{4}-3 a_{503}+13=503 \cdot 7-3 \cdot(503+3)+13=503 \cdot 4-9+13=2016$.

Dus $a_{2013}=2016$ en dit is de enige mogelijke waarde.
