Paul escreveu a lista dos 100 menores números inteiros positivos maiores que 10 e que têm todos seus algarismos iguais a 9 com exceção do último (o algarismo das unidades) que é igual a 7.

(a) Quantos algarismos 9 escreveu Paul na lista?

(b) Se $S$ é a soma de todos os números na lista, qual a soma dos algarismos de $S$ ?

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Solução

(a) Os números na lista de Paul são:

$$
97,997,9997,99997, \ldots, \underbrace{9999 \ldots 9}_{100 \text { vezes }} 7 .
$$

O número de algarismos 9 nessa lista é

$$
1+2+3+\cdots+100=\frac{(100)(101)}{2}=5050
$$

(b) Os números na lista de Paul podem ser escritos na forma:

$$
100-3,1000-3,10000-3,100000-3, \ldots, 1 \underbrace{0000 \ldots 0}_{101 \text { vezes }}-3 .
$$

A soma desses números é, então:

$$
S=\underbrace{1111 \ldots 1}_{100 \text { vezes }} 00-100(3)=\underbrace{1111 \ldots 10800}_{98 \text { vezes }}
$$

Finalmente, a soma dos algarismos de $S$ é $98(1)+8=106$.

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