14. The function $f(x)$ defined on $\mathbf{R}$ satisfies $\left\{\begin{array}{l}f(x+2016) \leqslant f(x)+2016, \\ f(x+2017) \geqslant f(x)+2017,\end{array}\right.$ and $f(1)=2$. Let $a_{n}=f(n)\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, then $a_{2018}=$ $\qquad$
$$
f(x)+2017 \leqslant f(x+2017)=f(x+1+2016) \leqslant f(x+1)+2016 \Rightarrow f(x+1) \geqslant f(x)+1 \text {, }
$$

Then $f(x)+2016 \geqslant f(x+2016)=f(x+2015+1) \geqslant f(x+2015)+1=f(x+2014+1)+1 \geqslant f(2014)+2$ $\geqslant \cdots \geqslant f(x+1)+2015 \Rightarrow f(x+1) \leqslant f(x)+1$, thus $f(x+1)=f(x)+1$.
Therefore, $a_{2018}=f(2018)=2019$.