Oldjuk meg a

$$
\sqrt{x}=x^{2}-3 x+1+|x-1|
$$

egyenletet.


Megoldás. Elsóként adjunk az egyenlet mindkét oldalához $x$-et. Látjuk, hogy a jobb oldalon szereplő polinom teljes négyzet.

$$
x+\sqrt{x}=x^{2}-2 x+1+|x-1|, \quad x+\sqrt{x}=(x-1)^{2}+|x-1|
$$

A négyzetgyök definíciója miatt $x \geq 0$, továbbá azt is tudjuk, hogy $(x-1)^{2}=|x-1|^{2}$. Legyen az áttekinthetőség érdekében $\sqrt{x}=a$ és $|x-1|=b$, ahol $a, b \geq 0$. Az új jelöléssel egyenletünk

$$
a^{2}+a=b^{2}+b
$$

alakban írható. Az $f(u)=u^{2}+u$ függvény a nemnegatív valós számok halmazán szigorúan monoton növekedő, minden függvényértéket legfeljebb egyszer vehet fel. Az egyenletben éppen $f(a)=f(b)$, ez tehát akkor és csak akkor áll fenn, ha $a=b$. Emiatt

$$
\sqrt{x}=|x-1|, \quad x=x^{2}-2 x+1, \quad x^{2}-3 x+1=0
$$

Ennek gyökei

$$
x_{1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \quad x_{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}
$$

Mindkét gyök pozitív és kielégíti az alapegyenletet.

