Example 3 Given $f(x)=\lg (x+1)-\frac{1}{2} \log _{3} x$.
(1) Solve the equation $f(x)=0$;
(2) Find the number of subsets of the set $M=\left\{n \mid f\left(n^{2}-214 n-1998\right)\right.$ $\geqslant 0, n \in \mathbf{Z}\}$.
$$
\begin{array}{l}
\text { (1) For any } 0<x_{1}<x_{2}, \text { we have } \frac{x_{1}+1}{x_{2}+1}>\frac{x_{1}}{x_{2}}, \therefore \lg \frac{x_{1}+1}{x_{2}+1}>\lg \frac{x_{1}}{x_{2}} . \\
\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)>\lg \frac{x_{1}+1}{x_{2}+1}-\log _{9} \frac{x_{1}}{x_{2}} \\
\quad=\lg \frac{x_{1}}{x_{2}}-\frac{\lg \frac{x_{1}}{x_{2}}}{\lg 9} \\
\because 0<\frac{x_{1}}{x_{2}}<1, \therefore \lg \frac{x_{1}}{x_{2}}<0, \therefore \lg \frac{x_{1}}{x_{2}}-\frac{\lg \frac{x_{1}}{x_{2}}}{\lg 9} \\
\quad>\lg \frac{x_{1}}{x_{2}}-\lg \frac{x_{1}}{x_{2}}=0 \\
\therefore f(x) \text { is a decreasing function on }(0,+\infty) \text {. }
\end{array}
$$
$\therefore f(x)$ is a decreasing function on $(0,+\infty)$.
Notice that $f(9)=0, \therefore$ when $x>9$, $f(x)f(9)=0$,
$\therefore f(x)=0$ has and only has one root $x=9$.
（2）From $f\left(n^{2}-214 n-1998\right) \geqslant 0 \Rightarrow f\left(n^{2}-\right.$
$$
\begin{array}{l}
214 n-1998) \geqslant f(9), \\
\therefore\left\{\begin{array}{l}
n^{2}-214 n-1998 \leqslant 9 \\
n^{2}-214 n-1998>0
\end{array}\right. \\
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
n^{2}-214 n-2007 \leqslant 0 \\
n^{2}-214 n-1998>0
\end{array}\right. \\
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
(n-223)(n+9) \leqslant 0 \\
(n-107)^{2}>1998+107^{2}=13447>115^{2}
\end{array}\right. \\
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
-9 \leqslant n \leqslant 223 \\
n>222 \text { or } n<-8
\end{array}\right. \\
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
-9 \leqslant n \leqslant 223 \\
n \geqslant 223 \text { or } n \leqslant-9
\end{array}\right.
\end{array}
$$
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\therefore n=223 \text { or } n=-9, \therefore M=\{-9,223\} \text {, }
$$
The number of subsets of $M$ is 4.
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