Oldjuk meg az

$$
\begin{aligned}
x+y+z & =1 \\
a x+b y+c z & =d \\
a^{2} x+b^{2} y+c^{2} z & =d^{2}
\end{aligned}
$$

egyenletrendszert, ahol az $a, b, c, d$ különbözó valós paraméterek.


Megoldás. Fejezzük ki az első egyenletből $z$-t, ezt helyettesítsük be a második és a harmadik egyenletbe, a második egyenletból pedig így az $x$-et kifejezve helyettesítsünk be a harmadikba. Így egyismeretlenes elsőfokú egyenletet kapunk ( $a, b, c, d$ paraméter), ami megoldható. Az egyenletek átrendezésénél az $(a-c)$-vel, $(b-c)$-vel, stb. történő osztás ekvivalens átalakítás, mivel a feladat feltételei szerint a paraméterek egymástól különbözőek.

$$
\begin{gathered}
z=1-x-y \\
a x+b y+c(1-x-y)=d \\
a^{2} x+b^{2} y+c^{2}(1-x-y)=d^{2} \\
a x+b y+c-c x-c y=d \\
x(a-c)+y(b-c)=d-c \\
x(a-c)=d-c-y(b-c) \\
x=\frac{d-c}{a-c}-\frac{y(b-c)}{a-c}
\end{gathered}
$$

Behelyettesítve:

$$
\begin{gathered}
a^{2} x+b^{2} y+c^{2}-c^{2} x-c^{2} y=d^{2} \\
x\left(a^{2}-c^{2}\right)+y\left(b^{2}-c^{2}\right)=d^{2}-c^{2} \\
\frac{d-c-y(b-c)}{a-c}\left(a^{2}-c^{2}\right)+y\left(b^{2}-c^{2}\right)=d^{2}-c^{2} \\
\frac{(d-c)-y(b-c)}{a-c}(a+c)(a-c)+y\left(b^{2}-c^{2}\right)=d^{2}-c^{2} \\
(d-c)(a+c)-(b-c)(a+c) y+y\left(b^{2}-c^{2}\right)=d^{2}-c^{2} \\
y\left[b^{2}-c^{2}-(b-c)(a+c)\right]=d^{2}-c^{2}-(d-c)(a+c) \\
y=\frac{d^{2}-c^{2}-d a-c d+c a+c^{2}}{b^{2}-c^{2}-b a-b c+a c+c^{2}} \\
y=\frac{d^{2}-d a-d c+c a}{b^{2}-b a-b c+a c} \\
y=\frac{(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}
\end{gathered}
$$

Az $y$-t visszahelyettesítve a második egyenletbe

$$
\begin{gathered}
x\left(a^{2}-c^{2}\right)+y\left(b^{2}-c^{2}\right)=d^{2}-c^{2} \\
x\left(a^{2}-c^{2}\right)+\frac{\left(b^{2}-c^{2}\right)(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}=d^{2}-c^{2} \\
x=\frac{\left(d^{2}-c^{2}\right)(b-a)(b-c)-\left(b^{2}-c^{2}\right)(a-d)(c-d)}{\left(a^{2}-c^{2}\right)(b-a)(b-c)} \\
x=\frac{(d-c)(d+c)(b-a)(b-c)-(b-c)(b+c)(a-d)(c-d)}{(a-c)(a+c)(b-a)(b-c)} \\
x=\frac{(d-c)(b-d)}{(a-c)(b-a)}
\end{gathered}
$$

Ezeket az elsó egyenletbe visszahelyettesítve:

$$
z=1-x-y=1-\frac{(d-c)(b-d)}{(a-c)(b-a)}-\frac{(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}=\frac{(a-d)(d-b)}{(a-c)(c-b)}
$$

