
B4. Een parallellogram heeft twee zijden van lengte 4 en twee zijden van lengte 7. Ook heeft een van de diagonalen lengte 7. (Let op: het plaatje hiernaast is niet op schaal.) Hoe lang is de andere diagonaal?


B4. 9 We tekenen enkele hulplijnen, zoals in de figuur. Het parallellogram is $A B C D$ met $|A B|=4$ en $|A D|=|B C|=7$. We zijn op zoek naar $|A C|$.

Aangezien $|A D|=|B D|$, is driehoek $\triangle A B D$ een gelijkbenige driehoek. Laat $E$ het punt zijn midden tussen $A$ en $B$. Dan zijn de driehoeken $\triangle A E D$ en $\triangle B E D$ congruent en hoek $\angle A E D$ is een rechte hoek.

Vanuit het punt $C$ laten we een loodlijn neer op het verlengde van $A B$, noem het snijpunt $F$. Dan is $\angle D A E=\angle C B F$ vanwege $\mathrm{F}$-hoeken, en $\angle A E D=\angle B F C=90^{\circ}$ vanwege de loodlijn. Verder geldt $|A D|=|B C|$,

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_848643ef5340edd7a266g-2.jpg?height=434&width=363&top_left_y=1485&top_left_x=1486)
dus we hebben de congruente driehoeken $\triangle A E D \cong \triangle B F C$. Hieruit volgt dat $|B F|=2$.

We passen nu de stelling van Pythagoras toe in driehoek $\triangle B F C$. Dit geeft dat voor de hoogte $h$ van deze driehoek geldt dat $2^{2}+h^{2}=7^{2}$, dus $h^{2}=45$. Nu passen we de stelling van Pythagoras toe in driehoek $\triangle A F C$ om de diagonaal $d=|A C|$ te vinden: $h^{2}+6^{2}=d^{2}$, oftewel $45+36=d^{2}$, dus $d=9$.
