## Zadatak B-3.4.

Pravilna uspravna četverostrana piramida kojoj bočni bridovi s ravninom baze zatvaraju kut od $60^{\circ}$ i kocka imaju sukladne baze. Odredite omjer njihovih oplošja.


## Rješenje.

Neka je $a$ duljina stranice kocke i baze piramide.

Oplošje kocke je $O_{k}=6 a^{2}$.

Oplošje piramide je $O_{p}=a^{2}+4 \cdot \frac{a v}{2}=a^{2}+2 a v$ ( $v$ je visina pobočke).

Potrebno je visinu pobočke $v$ izraziti pomoću duljine brida $a$. Nasuprotni bočni bridovi i dijagonala baze tvore jednakostraničan trokut.

Visina piramide je $h=a \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{6}}{2}$,

a visina pobočke $v=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a \sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\frac{a \sqrt{7}}{2}$.

Omjer oplošja dane piramide i kocke iznosi

$$
\begin{aligned}
\frac{O_{p}}{O_{k}} & =\frac{a^{2}+2 a v}{6 a^{2}} \\
& =\frac{a^{2}+2 a \cdot \frac{a \sqrt{7}}{2}}{6 a^{2}} \\
& =\frac{a^{2}(1+\sqrt{7})}{6 a^{2}} \\
& =\frac{1+\sqrt{7}}{6}
\end{aligned}
$$

(Ili obratno, $\frac{O_{k}}{O_{p}}=\sqrt{7}-1$.)

Napomena: Visina pobočke može se izračunati i kao visina jednakokračnog trokuta (pobočke): $v=\sqrt{(a \sqrt{2})^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{a \sqrt{7}}{2}$.

