## Subiectul IV.(20 puncte)

Determinaţi toate funcţiile $f: R \rightarrow(0, \infty)$, primitivabile, ce verifică relaţia: $F(x)+\ln (f(x))=\ln \left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$, $\forall x \in R$, unde $F: R \rightarrow R$ este o primitivă a lui $f$ şi $F(0)=0$.

prof. Cristian Petru Pop,ISJ Cluj

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

SUCCES!

Timp efectiv de lucru - 3 ore.

## Barem clasa a XII-a  (OLM 2015-etapa locală)

## Of. $10 p$

## Subiectul IV. (20 puncte )

$$
\begin{aligned}
& F(x)=\ln \frac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{f(x) \cdot \sqrt{x^{2}+1}} \Leftrightarrow e^{F(x)} \cdot f(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \Leftrightarrow\left(e^{F(x)}\right)^{\prime}=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \\
& \text { Deci } e^{F(x)}=x+\sqrt{x^{2}+1}+C, F(0)=0 \Rightarrow C=0 \Rightarrow F(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\end{aligned}
$$

