## Task Condition

Find the derivative.

$$
y=x-e^{-x} \arcsin e^{x}-\ln \left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right)
$$
## Solution

$y^{\prime}=\left(x-e^{-x} \arcsin e^{x}-\ln \left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right)\right)^{\prime}=$

$=1-\left(-e^{-x} \arcsin e^{x}+e^{-x} \frac{1}{\sqrt{1-e^{2 x}}} \cdot e^{x}\right)-\frac{1}{\left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right)} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1-e^{2 x}}} \cdot\left(-e^{2 x} \cdot 2\right)=$

$=1+e^{-x} \arcsin e^{x}-\frac{1}{\sqrt{1-e^{2 x}}}+\frac{e^{2 x}}{\left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right) \sqrt{1-e^{2 x}}}=$

$=e^{-x} \arcsin e^{x}+\frac{\left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right) \sqrt{1-e^{2 x}}}{\left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right) \sqrt{1-e^{2 x}}}-\frac{1+\sqrt{1-e^{2 x}}}{\left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right) \sqrt{1-e^{2 x}}}+\frac{e^{2 x}}{\left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right) \sqrt{1-e^{2 x}}}=$

$=e^{-x} \arcsin e^{x}+\frac{\sqrt{1-e^{2 x}}+1-e^{2 x}-1-\sqrt{1-e^{2 x}}+e^{2 x}}{\left(1+\sqrt{1-e^{2 x}}\right) \sqrt{1-e^{2 x}}}=e^{-x} \arcsin e^{x}$