5. (7 points) Compare the result of the product $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 98 \cdot 99$ and the number $50^{99}$.

#
# Solution.

Since $\sqrt{a b}<\frac{a+b}{2}$, then $a b<\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}$. To use this property, let's rewrite the product as follows:

$$
\begin{aligned}
& 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 98 \cdot 99=1 \cdot 99 \cdot 2 \cdot 98 \cdot 3 \cdot 97 \cdot \ldots \cdot 49 \cdot 51 \cdot 50 . \\
& 1 \cdot 99 \cdot 2 \cdot 98 \cdot \ldots \cdot 49 \cdot 51 \cdot 50<\left(\frac{1+99}{2}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2+98}{2}\right)^{2} \cdot\left(\frac{1+99}{2}\right)^{2} \cdot \ldots \cdot\left(\frac{49+51}{2}\right)^{2} \cdot 50 \\
& \left(\frac{1+99}{2}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2+98}{2}\right)^{2} \cdot\left(\frac{1+99}{2}\right)^{2} \cdot \ldots \cdot\left(\frac{49+51}{2}\right)^{2} \cdot 50=\underbrace{49 \text{ factors }}_{490^{2} \cdot 50^{2} \cdot 50^{2} \cdot \ldots \cdot 50^{2}} \cdot 50= \\
& \quad=50^{99} .
\end{aligned}
$$

Thus, $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 98 \cdot 99<50^{99}$.

Answer. $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 98 \cdot 99<50^{99}$.