## Zadatak B-4.5.

Duljina stranice kvadrata $A B C D$ iznosi $24 \mathrm{~cm}$. Točka $P$ je na dijagonali $\overline{A C}$ i vrijedi $|A P|>$ $|P C|$. Točka $S_{1}$ je središte kružnice opisane trokutu $A P B$, a točka $S_{2}$ središte kružnice opisane trokutu $P C D$. Ako je $\left|\varangle S_{1} P S_{2}\right|=120^{\circ}$, odredite $|A P|$.


## Rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_1c7eac828d9f4d45279fg-19.jpg?height=985&width=677&top_left_y=284&top_left_x=701)

Trokuti $A B P$ i $A D P$ su sukladni prema poučku SKS $(|A B|=|A D|, \overline{A P}$ je zajednička stranica, a kut $\varangle B A P$ je sukladan kutu $\varangle D A P)$. Stoga je $|B P|=|D P|$. Vrijedi $\varangle P A B=45^{\circ}$ i to je obodni kut nad tetivom $\overline{P B}$, a kut $\varangle P C D=45^{\circ}$ je obodni nad $\overline{P D}$. Stoga su pripadni središnji kutovi sukladni, $\varangle B S_{1} P=\varangle D S_{2} P=90^{\circ}$. Slijedi $\triangle B S_{1} P \cong \triangle D S_{2} P$ i $\left|S_{1} P\right|=\left|S_{2} P\right|$.

Tada je trokut $S_{1} P S_{2}$ jednakokračan, a kako je trokut $D E S_{2}$ pravokutan (pravac $S_{1} S_{2}$ je simetrala dužina $\overline{C D}$ i $\overline{A B}$ ), redom vrijedi:

$$
\begin{gathered}
\varangle P S_{2} S_{1}=30^{\circ}, \quad \varangle E S_{2} D=90^{\circ}-\varangle P S_{2} S_{1}=60^{\circ}, \quad \varangle S_{2} D E=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}, \\
\varangle C D P=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}, \quad \varangle P D A=75^{\circ}, \quad \varangle D P A=60^{\circ} .
\end{gathered}
$$

Primijenimo poučak o sinusima na trokut $P D A$ :

$$
\frac{|P A|}{\sin 75^{\circ}}=\frac{24}{\sin 60^{\circ}}
$$

Tada je tražena duljina

$$
|P A|=\frac{\left.24 \sin 75^{\circ}\right)}{\sin 60^{\circ}}=\frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot\left(\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}\right)=4 \sqrt{6}(\sqrt{3}+1)
$$

