9. (14 points) Given the function $f(x)=a x^{2}+b x+c$ $(a, b, c \in \mathbf{R})$, when $x \in[-1,1]$, $|f(x)| \leqslant 1$.
(1) Prove: $|b| \leqslant 1$;
(2) If $f(0)=-1, f(1)=1$, find the value of $a$.
9. Solution: (1) $\because f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c$, then $b=\frac{1}{2}(f(1)-f(-1))$,
According to the problem, $|f(1)| \leqslant 1,|f(-1)| \leqslant 1$,
$$
\begin{array}{l}
\quad \therefore b=\frac{1}{2}|f(1)-f(-1)| \leqslant \frac{1}{2}(|f(1)|- \\
|f(-1)|) \leqslant 1 .
\end{array}
$$
(2) From $f(0)=-1, f(1)=1$, we get $c=-1, b=2-a$, then
$$
\begin{array}{l}
\quad f(x)=a x^{2}+(2-a) x-1=a\left(x-\frac{a-2}{2 a}\right)^{2}- \\
\frac{(a-2)^{2}}{4 a}-1 .
\end{array}
$$

From $|f(-1)| \leqslant 1$, we get $|2 a-1| \leqslant 1$, i.e., $1 \leqslant a \leqslant 2$.
$\therefore \frac{a-2}{2 a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{a} \in[-1,1]$, thus $\left|f\left(\frac{a-2}{2 a}\right)\right| \leqslant 1$, hence $\left|\frac{(a-2)^{2}}{4 a}+1\right| \leqslant 1$.
$$
\text { Also } \frac{(a-2)^{2}}{4 a} \geqslant 0, \frac{(a-2)^{2}}{4 a}+1 \geqslant 1, \therefore \frac{(a-2)^{2}}{4 a}+1
$$
$=1$, i.e., $a=2$.