Oldjuk meg az

$$
x^{4}-14 x^{3}+71 x^{2}-154 x+120=0
$$

egyenletet, ha tudjuk azt, hogy két gyökének összege 5, a másik két gyökének szorzata 20.


I. megoldás: Legyenek az egyenlet gyökei $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$. Az egyenlet gyöktényezős alakja

$$
\begin{gathered}
\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\left(x-x_{4}\right)= \\
x^{4}-\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right) x^{3}+\ldots+x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}=0
\end{gathered}
$$

Eszerint

$$
\begin{gathered}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=14 \\
x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}=120
\end{gathered}
$$

De feladatunk szerint

$$
\begin{aligned}
x_{1}+x_{2} & =5 \\
x_{3} x_{4} & =20
\end{aligned}
$$

és így

$$
x_{3}+x_{4}=9
$$

illetóleg

$$
x_{1} x_{2}=6
$$

(1) és (4)-ból

$$
\begin{aligned}
& x_{1}=2 \quad \text { és } \quad x_{2}=3, \\
& x_{3}=4 \quad \text { és } \quad x_{4}=5,
\end{aligned}
$$

(2) és (3)-ból

Csiszár Imre (Bp. I., Petófi g. I. o. t.)

Egyenletünk természetesen megoldható a feladatban megadott adatok felhasználása nélkül is, amint azt az alábbi két megoldás mutatja.

II. megoldás: Mivel $x^{4}$ együtthatója 1, az egyenlet racionális gyökei csak azon egész számok közül kerülhetnek ki, amelyek az állandó tag, vagyis 120-nak osztói. Egyszerű behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy $x_{1}=2$ és $x_{2}=3$ kielégíti az egyenletet. Az $(x-2)(x-3)=x^{2}-5 x+6$-tal osztva egyenletünk többtagúját, a hányados

$$
x^{2}-9 x+20=0
$$

szolgáltatja a másik két gyököt:

$$
x_{3}=4 \quad \text { és } \quad x_{4}=5 \text {, }
$$

Tóber Ernö (Nagykanizsa, Irányi D. g. III. o. t.)

III. megoldás: Mivel

$$
\left(x^{2}-7 x+11\right)^{2}=x^{4}-14 x^{3}+71 x^{2}-154 x+121
$$

azért egyenletünk így írható

$$
\left(x^{2}-7 x+11\right)^{2}=1
$$

amiból

$$
x^{2}-7 x+11= \pm 1
$$

vagyis, vagy

$$
x^{2}-7 x+10=0
$$

ahonnan

$$
x_{1}=2 \quad \text { és } \quad x_{2}=5
$$

vagy pedig

$$
x^{2}-7 x+12=0
$$

ahonnan

$$
x_{3}=3, \quad x_{4}=4
$$

