## Zadatak A-2.6.

Trapez $A B C D$ s osnovicama $\overline{A B}$ i $\overline{C D}$ ima opisanu kružnicu $k$. Njegove dijagonale međusobno su okomite i sijeku se u točki $S$. Odredi omjer površine kruga omeđenog kružnicom $k$ i zbroja površina trokuta $A B S$ i $C D S$.


## Prvo rješenje.

Budući da je upisan u kružnicu, trapez $A B C D$ je jednakokračan.

Zbog simetrije slijedi da su trokuti $A B S$ i $C D S$ jednakokračni.

Neka je $|A S|=|B S|=p$ i $|C S|=|D S|=q$. Tada je

$$
P(A B S)+P(C D S)=\frac{p^{2}}{2}+\frac{q^{2}}{2}
$$

Budući da je trokut $B S C$ pravokutan, vrijedi $p^{2}+q^{2}=|B C|^{2}$.

Neka je $O$ središte, a $R$ polumjer kružnice $k$.

Budući da je pravokutni trokut $A B S$ jednakokračan, slijedi $\varangle C A B=\varangle S A B=45^{\circ}$, pa je središnji kut $\varangle B O C$ nad tetivom $\overline{B C}$ pravi.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_a374c05c2f1967f14be6g-09.jpg?height=720&width=699&top_left_y=1759&top_left_x=610)

Dakle, trokut $B O C$ je pravokutan i slijedi $|B C|^{2}=2 R^{2}$.

Sada zaključujemo da je

$$
P(A B S)+P(C D S)=\frac{p^{2}+q^{2}}{2}=\frac{|B C|^{2}}{2}=\frac{2 R^{2}}{2}=R^{2}
$$

Stoga je traženi omjer $\pi$.

