3. Calculate the value of the expression:

$$
A=\frac{1 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 4 \cdot 8+3 \cdot 6 \cdot 12+\ldots+100 \cdot 200 \cdot 400}{1 \cdot 3 \cdot 9+2 \cdot 6 \cdot 18+3 \cdot 9 \cdot 27+\ldots+100 \cdot 300 \cdot 900}
$$
Solution. We have

$$
A=\frac{1 \cdot 2 \cdot 4\left(1+2^{3}+3^{3}+\ldots+100^{3}\right)}{1 \cdot 3 \cdot 9\left(1+2^{3}+3^{3}+\ldots+100^{3}\right)}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 4}{1 \cdot 3 \cdot 9}=\frac{8}{27}
$$