
Zadatak B-4.7. Deltoid rotira oko pravca koji prolazi jednim njegovim vrhom, a paralelan je s osi simetrije deltoida. Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom ako su duljine stranica deltoida $a=2 \mathrm{~cm}, b=8 \mathrm{~cm}$, a kut među njima $\alpha=120^{\circ}$.


## Rješenje.

Tijelo koje se dobije danom rotacijom je sastavljeno od dva krnja stošca kojima nedostaju dva stošca (slika!)

(2 boda)

Oba krnja stošca imaju polumjere manje baze $r$, a veće (zajedničke baze) $R$, dok oba stošca imaju polumjer baze $r$.

$r$ je jednak polovici manje dijagonale deltoida ili visini na stranicu $c$ trokuta $A B C$, a $R=2 r$.

Označimo s $V_{k s 1}$ obujam krnjeg stošca kojemu je visina $x$, s $V_{k s 2}$ obujam krnjeg stošca kojemu je visina $c-x$, s $V_{1}$ obujam stošca kojemu je visina $x$, a s $V_{2}$ obujam stošca kojemu je visina $c-x$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_247a158c2fc9e6452974g-20.jpg?height=795&width=507&top_left_y=215&top_left_x=755)

Traženi obujam je $V=V_{k s 1}+V_{k s 2}-V_{1}-V_{2}$.

(1 bod)

$$
\begin{aligned}
V & =\frac{x \pi}{3}\left(R^{2}+r^{2}+R r\right)+\frac{(c-x) \pi}{3}\left(R^{2}+r^{2}+R r\right)-\frac{r^{2} \pi x}{3}-\frac{r^{2} \pi(c-x)}{3}= \\
& =\frac{\pi\left(R^{2}+r^{2}+R r\right)}{3}(x+c-x)-\frac{r^{2} \pi}{3}(x+c-x)= \\
& =\frac{c \pi}{3}\left(R^{2}+r^{2}+R r-r^{2}\right)=\frac{c \pi}{3}\left(R^{2}+R r\right)
\end{aligned}
$$

Tada je uz $R=2 r$

$$
V=2 r^{2} c \pi
$$

Izračunajmo $r$ i $c$.

$$
\begin{aligned}
c^{2} & =2^{2}+8^{2}-2 \cdot 2 \cdot 8 \cos 120^{\circ}=84 \\
c & =2 \sqrt{21} \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

$r$ računamo koristeći površinu trokuta $A B C$.

$$
\begin{aligned}
\frac{r \cdot c}{2} & =\frac{a b}{2} \sin 120^{\circ} \\
r & =\frac{2 \cdot 8 \sin 120^{\circ}}{2 \sqrt{21}}=\frac{4}{\sqrt{7}} \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

Tada je traženi obujam

$$
V=2 \cdot \frac{16}{7} \cdot 2 \sqrt{21} \cdot \pi=\frac{64 \sqrt{21} \cdot \pi}{7} \mathrm{~cm}^{3}
$$
