## Aufgabe 2 - 261242

Man ermittle alle diejenigen Zahlenfolgen $\left(a_{n}\right)$ mit $n=1,2,3, \ldots$, die die folgenden Bedingungen (1),

(2) erfüllen:

(1) Für alle ganzen Zahlen $m, n$ mit $n>m>0$ gilt $a_{n+m} \cdot a_{n-m}=a_{n}^{2}-a_{m}^{2}$.

(2) Es gilt $a_{1}=1$ und $a_{2}=\frac{5}{2}$.




I. Wenn eine Zahlenfolge $\left(a_{n}\right)$ die Bedingungen erfüllt, so folgt durch vollständige Induktion, dass

$$
a_{n}=\frac{2}{3}\left(2^{n}-2^{-n}\right)
$$

for $n=1,2,3, \ldots$ gilt:

(a) Es gilt $a_{1}=1=\frac{2}{3}\left(2-\frac{1}{2}\right.$ und $a_{2}=\frac{5}{2}=\frac{2}{3}\left(4-\frac{1}{4}\right.$ also die Behauptung für $n=1$ und $n=2$.

(b) Wenn $k \geq 2$ ist und die Behauptung für $n=k$ und $n=k-1$ gilt, d.h. wenn

$$
a_{k}=\frac{2}{3}\left(2^{k}-2^{-k}\right) \quad, \quad a_{k-1}=\frac{2}{3}\left(2^{k-1}-2^{-k+1}\right)
$$

ist, so folgt: Wegen $k \geq 2$ ist $a_{k-1} \neq 0$, also ergibt sich aus (1) und (2)

$$
\begin{aligned}
a_{k+1} & =\frac{a_{k}^{2}-a_{1}^{2}}{a_{k-1}}=\frac{\frac{4}{9}\left(\left(2^{k}-2^{-k}\right)^{2}-\frac{9}{4}\right)}{\frac{2}{3}\left(2^{k-1}-2^{-k+1}\right)} \\
& =\frac{2}{3} \cdot \frac{2^{2 k}-4-\left(\frac{1}{4}-2^{-2 k}\right)}{2^{k-1}-2^{-k+1}}=\frac{2}{3}\left(2^{k+1}-2^{-k-1}\right)
\end{aligned}
$$

d.h. die Behauptung für $n=k+1$. Daher kann nur die durch (3) gegebene Folge die Bedingungen (1), (2) erfüllen.

II. Sie erfüllte sich auch, denn (2) und in I(a) bestätigt, und für alle ganzen $n>m>0$ folgt auch (3)

$$
\begin{aligned}
a_{n+m} \cdot a_{n-m} & =\frac{2}{3}\left(2^{n+m}-2^{-n-m}\right) \cdot \frac{2}{3}\left(2^{n-m}-2^{-n+m}\right) \\
& =\frac{4}{9}\left(2^{2 n}+2^{-2 n}-2+2-2^{2 m}-2^{-2 m}\right)=a_{n}^{2}-a_{m}^{2}
\end{aligned}
$$

Somit erfüllt genau die Folge (3) die Bedingungen der Aufgabe.

Übernommen von [5]

