3. Determinare il numero di coppie $(m, n)$ di numeri interi di modulo minore di 10000 che risolvono l'equazione $n^{2}+2024 n+2024 m=2024$.
(A) 4
(B) 9
(C) 10
(D) 18
(E) 19
3. La risposta è (B). Innanzitutto notiamo che $2024=2^{3} \cdot 11 \cdot 23$ deve dividere $n^{2}$, quindi possiamo scrivere $n=\left(2^{2} \cdot 11 \cdot 23\right) \cdot k=1012 k$, con $k$ intero di modulo minore o uguale a 9 , così che $|n|=|1012 k|<10000$. Sostituendo nell'equazione abbiamo

$$
1012^{2} k^{2}+2 \cdot 1012^{2} k+2024 m=2024,
$$

e dividendo per 2024 si ha

$$
506 k^{2}+1012 k-1=-m \text {. }
$$

Il numero di soluzioni $(n, m)$ è dunque pari al numero di interi $-10<k<10$ tali che

$$
-10000<506 k^{2}+1012 k-1<10000 ;
$$

infatti, una volta scelto $k$, l'intero $m$ è univocamente determinato. Si osserva facilmente che per $k \leq-6$ o $k \geq 4$ la disuguaglianza non è verificata, mentre lo è per tutti gli interi tra -5 e 3 , che sono 9 .