\section*{Aufgabe 2 - 171212}

Man ermittle alle reellen Lösungen \((x, y)\) des Gleichungssystems

\[
\begin{aligned}
2 \cdot \sqrt{x+y}+x+y & =8 \\
x^{3}+y^{3} & =40
\end{aligned}
\]


}

Angenommen, es sei ( \(x, y\) ) eine reelle Lösung des Gleichungssystems (1), (2). Dann gilt \(x+y \geq 0\). Setzt man \(z=\sqrt{x+y}\), so gilt \(z \geq 0\) und wegen (1)

\[
z^{2}+2 z-8=0
\]

Die quadratische Gleichung (3) hat genau eine nichtnegative reelle Lösung, nämlich \(z=2\). Daraus folgt

\[
x+y=4 \quad ; \quad y=4-x
\]

also wegen \((2)\)

\[
\begin{aligned}
x^{3}+(4-x)^{3} & =40 \\
x^{3}+\left(64-48 x+12 x^{2}-x^{3}-40\right. & =0 \\
x^{2}-4 x+2 & =0
\end{aligned}
\]

Die quadratische Gleichung (5) hat genau zwei reelle Lösungen, nämlich \(x_{1}=2 \sqrt{2}\); dann ist wegen (4) \(y_{1}=2-\sqrt{2}\), und \(x_{2}=2-\sqrt{2}\), dann ist \(y_{2}=2+\sqrt{2}\).

Wenn also das Gleichungssystem (1), (2) überhaupt reelle Lösungen hat, so können es nur die Paare
\(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\) sein.

Für \((x, y)=(2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})\) sowie für \((x, y)=(2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})\) gilt nun

\[
\begin{aligned}
2 \sqrt{x+y}+x+y & =2 \sqrt{4}+4=8 \\
x^{3}+y^{2}=(2+\sqrt{2})^{3}+(2-\sqrt{2})^{3} & =2(8+12)=40
\end{aligned}
\]

d.h., die Gleichungen (1) und (2) sind erfüllt. Daher hat das Gleichungssystem (1), (2) genau zwei reelle Lösungen, nämlich \((2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})\) und \((x, y)=(2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})\).

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