Az $x^{2}-(3 a+1) x+\left(2 a^{2}-3 a-2\right)=0$ egyenletben határozzuk meg $a$ értékét úgy, hogy a gyökök valósak legyenek és négyzetösszegük minimális legyen.


A szóban forgó gyökök akkor valósak, ha

$$
(3 a+1)^{2}-4\left(2 a^{2}-3 a-2\right) \geq 0
$$

vagyis

$$
a^{2}+18 a+9 \geq 0
$$

Ez akkor és csak akkor teljesül, ha

$$
a \leq-9-6 \sqrt{2}=-17,489
$$

vagy

$$
a \geq-9+6 \sqrt{2}=-0,515
$$

A gyökök (esetleg két egybeeső gyök) négyzetösszegét a gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján határozzuk meg. A két gyököt jelölje $x_{1}$ és $x_{2}$. Ekkor

$$
\begin{gathered}
x_{1}+x_{2}=3 a+1 \\
x_{1} x_{2}=2 a^{2}-3 a-2
\end{gathered}
$$

Ezekból

$$
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=5 a^{2}+12 a+5=5(a+1,2)^{2}-2,2
$$

Látható, hogy a kapott kifejezés értéke $a=-1,2$-nél a legkisebb. Az is megállapítható, hogy minél jobban eltér ettől $a$, annál nagyobb lesz a gyökök négyzetösszege. $a=-1,2$-nél a gyökök azonban nem valósak, az ehhez legközelebb levő megengedett érték $-9+6 \sqrt{2}$. Ez tehát a keresett szám.

Megjegyzés. A dolgozatok elbírálása a következő szempontok alapján történt:

Helyes a kifogástalan dolgozat.

Hiányos az a dolgozat, amelyben a megoldás lényegét nem érintő kisebb számolási hiba van.

Hibás az a dolgozat, amelyben 1. a megoldás jellegét is megváltoztató számolási hiba van; 2 . nem veszi figyelembe azt a kikötést, hogy a gyökök valósak legyenek és az $a=-1,2$-et adja meg eredményül; 3. azt mondja, hogy $a=-1,2$-nél a gyökök nem valósak, tehát a feladatnak nincs megoldása.

