## Zadatak A-3.3.

Dan je trokut $A B C$ takav da je $\varangle A C B=60^{\circ},|A C|=\sqrt{3}-1$ i $|B C|=2$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{A B}$. Odredi mjeru kuta $\varangle A C M$.


## Prvo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5886085f0c861fe9f8cfg-18.jpg?height=397&width=925&top_left_y=298&top_left_x=497)

Neka je $x=\varangle A C M$. Tada je $\varangle M C B=60^{\circ}-x$. Primjenom poučka o sinusima na trokut $A M C$ dobivamo

$$
\frac{|A C|}{|A M|}=\frac{\sin (\varangle A M C)}{\sin (x)}
$$

Također, primjenom poučka o sinusima na trokut $M B C$ dobivamo

$$
\frac{|B C|}{|M B|}=\frac{\sin (\varangle B M C)}{\sin \left(60^{\circ}-x\right)}
$$

Ako podijelimo te dvije jednakosti i iskoristimo da je $|A M|=|M B|$ i $\sin (\varangle A M C)=$ $\sin \left(180^{\circ}-\varangle A M C\right)=\sin (\varangle B M C)$, dobivamo

$$
\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{|A C|}{|B C|}=\frac{\sin \left(60^{\circ}-x\right)}{\sin x}
$$

odnosno

$$
(\sqrt{3}-1) \sin (x)=2 \sin \left(60^{\circ}-x\right)
$$

Primijenimo li adicijsku formulu na desnu stranu jedankosti, dobivamo

$$
\sin \left(60^{\circ}-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-\frac{1}{2} \sin x
$$

odakle dobivamo

$$
\begin{aligned}
(\sqrt{3}-1) \sin x & =\sqrt{3} \cos x-\sin x \\
\sin x & =\cos x
\end{aligned}
$$

Kako je $0^{\circ}<x<60^{\circ}$, slijedi $\varangle A C M=x=45^{\circ}$.

