## Zadatak A-1.7. (10 bodova)

Pravokutni trokut $A B C$ s katetama duljina $15 \mathrm{~cm}$ i $20 \mathrm{~cm}$ i pravim kutom u vrhu $B$ sukladan je trokutu $B D E \mathrm{~s}$ pravim kutom u vrhu $D$. Točka $C$ leži unutar dužine $\overline{B D}$, a točke $A$ i $E$ nalaze se s iste strane pravca $B D$.

a) Odredi udaljenost točaka $A$ i $E$.

b) Izračunaj površinu presjeka trokuta $A B C$ i $B D E$.


## Drugo rješenje.

Vrijedi $|A B|=|B D|=20, \quad|B C|=|D E|=15$ pa su duljine hipotenuza danih pravokutnih trokuta $|A C|=|B E|=25$.

(1 bod)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5dbbe9edfad2d8808b54g-06.jpg?height=505&width=508&top_left_y=493&top_left_x=794)

a) Označimo na dužini $\overline{A B}$ točku $F$ takvu da je $B D E F$ pravokutnik. Tada je

$$
|A E|=\sqrt{|F E|^{2}+|A F|^{2}}=\sqrt{|B D|^{2}+|A F|^{2}}=\sqrt{20^{2}+5^{2}}=5 \sqrt{17} \mathrm{~cm}
$$

b) Neka je $S$ sjecište dužina $\overline{A C}$ i $\overline{B E}$, a $N$ nožište okomice iz $S$ na $\overline{B C}$.

Budući da su pravci $A B, S N$ i $E D$ paralelni, prema Talesovom teoremu vrijedi:

$$
\frac{|S N|}{|A B|}=\frac{|N C|}{|B C|} \quad \text { i } \quad \frac{|S N|}{|E D|}=\frac{|B N|}{|B D|}
$$

Zbrajanjem jednakosti $|N C|=|S N| \cdot \frac{|B C|}{|A B|}$ i $|B N|=|S N| \cdot \frac{|B D|}{|E D|}$ dobivamo

$$
|B C|=|S N| \cdot\left(\frac{|B C|}{|A B|}+\frac{|B D|}{|E D|}\right)
$$

U gornjoj jednakosti jedina nepoznata duljina je $|S N|$ :

$$
15=|S N| \cdot\left(\frac{15}{20}+\frac{20}{15}\right)=\frac{25}{12}|S N| \quad \Rightarrow \quad|S N|=\frac{15 \cdot 12}{25}=\frac{36}{5}
$$

Konačno, $P(B C S)=\frac{1}{2} \cdot|B C| \cdot|S N|=\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{36}{5}=54 \mathrm{~cm}^{2}$.

