Example 5 Solve the inequality
$$
|| x-2|-6|+|3 x+2| \geqslant 8 \text {. }
$$
Solve for the roots from $x-2=0, 3x+2=0, |x-2|-6=0$, we get
$$
x=2, x=-\frac{2}{3}, x=8, x=-4.
$$
(1) When $x \geqslant 8$, $4x-6 \geqslant 8$, solving gives $x \geqslant \frac{7}{2}$, thus $x \geqslant 8$;
(2) When $2 \leqslant x<8$, $2x+10 \geqslant 8$, solving gives $x \geqslant -1$, thus $2 \leqslant x<8$;
(3) When $-\frac{2}{3} \leqslant x<2$, $4x+6 \geqslant 8$, solving gives $x \geqslant \frac{1}{2}$, thus $\frac{1}{2} \leqslant x<2$;
(4) When $-4 \leqslant x<-\frac{2}{3}$, $-2x+2 \geqslant 8$, solving gives $x \leqslant -3$, thus $-4 \leqslant x \leqslant -3$;
(5) When $x<-4$, $-4x-6 \geqslant 8$, solving gives $x \leqslant -\frac{7}{2}$, thus $x<-4$.
In summary, $x \geqslant \frac{1}{2}$ or $x \leqslant -3$.