$9.286 \sin ^{3} x \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)+\cos ^{3} x \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)>\frac{3 \sqrt{3}}{8}$.
## Solution.

$$
\begin{aligned}
& \sin ^{3} x \cdot \cos 3 x+\cos ^{3} x \cdot \sin 3 x>\frac{3 \sqrt{3}}{8} \Leftrightarrow \\
& \Leftrightarrow 2 \sin ^{2} x \cdot \sin x \cdot \cos 3 x+2 \cos ^{2} x \cdot \cos x \cdot \sin 3 x \geq \frac{3 \sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \\
& \Leftrightarrow(1-\cos 2 x) \sin x \cdot \cos 3 x+(1+\cos 2 x) \cos x \cdot \sin 3 x>\frac{3 \sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \\
& \Leftrightarrow(\sin x \cdot \cos 3 x+\cos x \cdot \sin 3 x)+\cos 2 x(\cos x \cdot \sin 3 x-\sin x \cdot \cos 3 x)>\frac{3 \sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \\
& \Leftrightarrow \sin 4 x+\cos 2 x \cdot \sin 2 x>\frac{3 \sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow 2 \sin 4 x+\sin 4 x>\frac{3 \sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \\
& \Leftrightarrow \sin 4 x>\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n>4 x>\frac{\pi}{3}+2 \pi n .
\end{aligned}
$$

Answer: $\quad x \in\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} ; \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\right)$.