Problem 2. Given that $1580!=a, \quad$ calculate: $1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+\ldots+1580 \cdot 1580!$ $(n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n)$
Solution:

$1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+\ldots+1580 \cdot 1580!=$

$=(2-1) \cdot 1!+(3-1) \cdot 2!+(4-1) \cdot 3!+\ldots+(1581-1) \cdot 1580!=$

$=2 \cdot 1!-1!+3 \cdot 2!-2!+4 \cdot 3!-3!+\ldots+1581 \cdot 1580!-1580!=$

$=2!-1!+3!-2!+4!-3!+\ldots+1581!-1580!=$

$=-1!+1581!=1581 \cdot 1580!-1=1581 a-1$

Answer: $1581 a-1$