## Task Condition

Find the $n$-th order derivative.

$y=x \cdot e^{a x}$
## Solution

$y=x \cdot e^{a x}$

$y^{\prime}=\left(x \cdot e^{a x}\right)^{\prime}=e^{a x}+x \cdot e^{a x} \cdot a=(1+a \cdot x) \cdot e^{a x}$

$y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}=\left((1+a \cdot x) \cdot e^{a x}\right)^{\prime}=a \cdot e^{a x}+(1+a \cdot x) \cdot e^{a x} \cdot a=$

$=(2+a \cdot x) \cdot e^{a x} \cdot a$

$y^{\prime \prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}=\left((2+a \cdot x) \cdot e^{a x} \cdot a\right)^{\prime}=a \cdot e^{a x} \cdot a+(2+a \cdot x) \cdot e^{a x} \cdot a \cdot a=$
$=(3+a \cdot x) \cdot e^{a x} \cdot a^{2}$

Obviously,

$y^{(n)}=(n+a \cdot x) \cdot e^{a x} \cdot a^{n-1}$

## Problem Kuznetsov Differentiation 18-1