$$
\begin{array}{l}
\text { I. (20 points) Let } 0<x<1, \\
y=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{1+(1-x)^{2}} .
\end{array}
$$

Find the range of $y$.
$$
\begin{array}{l}
-\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+(1-x)^{2}} \geqslant \sqrt{5} \\
\Leftrightarrow \sqrt{1+(1-x)^{2}} \geqslant \sqrt{5}-\sqrt{1+x^{2}} \\
\Leftrightarrow 1+(1-x)^{2} \geqslant 5+1+x^{2}-2 \sqrt{5\left(1+x^{2}\right)} \\
\Leftrightarrow \sqrt{5\left(1+x^{2}\right)} \geqslant x+2 \\
\Leftrightarrow 5+5 x^{2} \geqslant x^{2}+4 x+4 \\
\Leftrightarrow 4 x^{2}-4 x+1 \geqslant 0 \\
\Leftrightarrow(2 x-1)^{2} \geqslant 0 .
\end{array}
$$

Obviously, the above inequality holds.
$$
\begin{array}{l}
\text { Also, } \sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+(1-x)^{2}}<1+\sqrt{2} \\
\Leftrightarrow \sqrt{1+(1-x)^{2}}-1<\sqrt{2}-\sqrt{1+x^{2}} \\
\Leftrightarrow 3+x^{2}-2 x-2 \sqrt{1+(1-x)^{2}}<3+x^{2}-2 \sqrt{2\left(1+x^{2}\right)} \\
\Leftrightarrow \sqrt{2\left(1+x^{2}\right)}<x+\sqrt{1+(1-x)^{2}} \\
\Leftrightarrow 2\left(1+x^{2}\right)<x^{2}+1+(1-x)^{2}+2 x \sqrt{1+(1-x)^{2}} \\
\Leftrightarrow 1<\sqrt{1+(1-x)^{2}} .
\end{array}
$$

Obviously, the above inequality holds.
Therefore, the range of $y$ is $\sqrt{5} \leqslant y<1+\sqrt{2}$.
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