## Zadatak B-4.3.

Ako je $z+z^{-1}=2 \cos 5^{\circ}$, koliko je $\left(z^{2022}-z^{-2022}\right)^{2022}$ ?


## Rješenje.

Iz $z+z^{-1}=2 \cos 5^{\circ}$ nakon množenja brojem $z$ dobivamo kvadratnu jednadžbu:

$z^{2}-\left(2 \cos 5^{\circ}\right) z+1=0$.

1 bod

Njezina su rješenja:

$z_{1,2}=\frac{2 \cos 5^{\circ} \pm \sqrt{4 \cos ^{2} 5^{\circ}-4}}{2}=\frac{2 \cos 5^{\circ} \pm 2 \sqrt{\cos ^{2} 5^{\circ}-1}}{2}=\cos 5^{\circ} \pm i \sin 5^{\circ}$.

1 bod

Tada je:

$z^{2022}=\left(\cos 5^{\circ} \pm i \sin 5^{\circ}\right)^{2022}=\cos 10110^{\circ} \pm i \sin 10110^{\circ}=\cos 30^{\circ} \pm i \sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2} i$.

2 boda

$z^{-2022}=\left(\cos 5^{\circ} \pm i \sin 5^{\circ}\right)^{-2022}=\cos \left(-30^{\circ}\right) \pm i \sin \left(-30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \mp \frac{1}{2} i$.

1 bod

Konačno, vrijednost traženoga izraza jest:

$\left(z^{2022}-z^{-2022}\right)^{2022}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2} i-\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \mp \frac{1}{2} i\right)\right)^{2022}=( \pm i)^{2022}=i^{2022}=i^{2}=-1$.

1 bod

