9. Let $F(x)=|f(x) \cdot g(x)|$, where $f(x)=a x^{2}+b x+c, g(x)=c x^{2}+b x+a, x \in[-1,1]$. For any $a, b, c$ satisfying $|f(x)| \leqslant 1$. When $a, b, c$ vary, find the maximum value of $F(x)$.
9. $|f(0)|=|c| \leqslant 1, |f(1)|=|a+b+c| \leqslant 1, |f(-1)|=|a-b+c| \leqslant 1$, so for any $x \in [-1, 1]$, $|a+bx+c| \leqslant 1$. And $|g(x)|=|cx^2+bx+a|=|c(x^2-1)+c+bx+a| \leqslant |c(x^2-1)|+|a+bx+c|$ $\leqslant 2$. Therefore, $F(x) \leqslant 2$. And when $f(x)=2x^2-1, g(x)=-x^2+2$, $F(0)=2$.