## Zadatak B-4.2.

Dane su beskonačne sume

$$
\begin{aligned}
& a=2020^{x+3}+2020^{x+2}+2020^{x+1}+2020^{x}+\ldots \\
& b=2019^{x+2}+2019^{x+1}+2019^{x}+2019^{x-1}+\ldots
\end{aligned}
$$

Odredite $x \in \mathbb{R}$ tako da vrijedi $\frac{a}{b}=2018$.


## Rješenje.

Uočimo da su beskonačne sume $a$ i $b$ geometrijski redovi. Njihovi kvocijenti su redom $\frac{1}{2020} \mathrm{i} \frac{1}{2019}$.

Kako su kvocijenti manji od 1 redovi su konvergentni, pa vrijedi

$$
\begin{aligned}
& a=2020^{x+3}+2020^{x+2}+2020^{x+1}+2020^{x}+\cdots=\frac{2020^{x+3}}{1-\frac{1}{2020}}=\frac{2020^{x+4}}{2019} \\
& b=2019^{x+2}+2019^{x+1}+2019^{x}+2019^{x-1}+\cdots=\frac{2019^{x+2}}{1-\frac{1}{2019}}=\frac{2019^{x+3}}{2018}
\end{aligned}
$$

Još treba riješiti jednadžbu

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_bcbf631b6726be7fa637g-26.jpg?height=214&width=865&top_left_y=815&top_left_x=518)

Slijedi $\frac{2020^{x+4}}{2019^{x+4}}=1$ odnosno $x+4=0, x=-4$.

