1. Let $a<b, f(x)=|x-a|-|x-b|$. Then the range of $f(x)$ is $\qquad$
1. $a-b \leqslant f(x) \leqslant b-a$.
If $x \leqslant a$, then
$$
f(x)=a-x-(b-x)=a-b \text{; }
$$

If $a<x<b$, then
$$
f(x)=x-a-(b-x)=-a-b+2 x \text{, }
$$

thus $a-b<f(x)<b-a$;
If $x \geqslant b$, then
$$
f(x)=x-a-(x-b)=b-a \text{. }
$$

In summary, $a-b \leqslant f(x) \leqslant b-a$.