## Zadatak B-1.7.

Dva pravokutna trokuta $P S T$ i $R S T$ imaju zajedničku hipotenuzu $\overline{S T}$. Vrhovi $P$ i $R$ nalaze se s iste strane hipotenuze $\overline{S T}$. Katete $\overline{P T}$ i $\overline{R S}$ sijeku se u točki $Q$. Ako je $|P S|=6 \mathrm{~cm},|P T|=17 \mathrm{~cm}$ i $|R T|=1 \mathrm{~cm}$, kolika je površina trokuta $Q S T$ ?


## Prvo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_803c5e1b47d2c202a3a9g-04.jpg?height=406&width=1017&top_left_y=919&top_left_x=451)

Označimo površinu trokuta $Q S T$ s $P_{1}$, površinu $P S Q$ s $P_{2}$ i površinu trokuta $R Q T$ s $P_{3}$.

Kako je trokut PST pravokutan, primjenom Pitagorina poučka dobivamo:

$$
|S T|^{2}=|P S|^{2}+|P T|^{2}=36+289=325
$$

Primijenimo li Pitagorin poučak na trokut $R S T$ slijedi

$$
|R S|=\sqrt{|S T|^{2}-|R T|^{2}}=\sqrt{325-1}=\sqrt{324}=18 \mathrm{~cm}
$$

Trokut $P S T$ sastoji se od trokuta $P S Q$ i $Q S T$ pa je površina trokuta $P S T$ jednaka

$$
P_{1}+P_{2}=\frac{|P S| \cdot|P T|}{2}=\frac{6 \cdot 17}{2}=51 \mathrm{~cm}^{2}
$$

Trokut RST sastoji se od trokuta $R Q T$ i $Q S T$ pa je površina trokuta $R S T$ jednaka

$$
P_{1}+P_{3}=\frac{|R T| \cdot|R S|}{2}=\frac{1 \cdot 18}{2}=9 \mathrm{~cm}^{2}
$$

Trokuti $P Q S$ i $R Q T$ su pravokutni, s pravim kutom u vrhu $P$ odnosno u vrhu $R$ te je $|\varangle P Q T|=|\varangle R Q T|$.

Prema KK poučku o sličnosti slijedi da su trokuti $P Q S$ i $R Q T$ slični, s koeficijentom sličnosti $k=\frac{|R T|}{|P S|}=\frac{1}{6}$.

Stoga je $\frac{P_{3}}{P_{2}}=k^{2}=\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$ tj. $P_{3}=\frac{1}{36} P_{2}$.

Konačno, rješavanjem sustava jednadžbi $\left\{\begin{array}{l}P_{1}+P_{2}=51 \\ P_{1}+P_{3}=9 \\ P_{3}=\frac{1}{36} P_{2}\end{array}\right.$ dobivamo da je $P_{1}=\frac{39}{5}$.

Dakle, tražena površina je $\frac{39}{5} \mathrm{~cm}^{2}$.

