## Zadatak B-2.5.

Od žice duljine 4.5 metra treba napraviti šest ukrasa, tri u obliku pravilnog šesterokuta i tri u obliku jednakostraničnog trokuta. Svi šesterokuti, odnosno trokuti su međusobno sukladni. Odredite duljine stranica šesterokuta i trokuta tako da zbroj površina svih likova bude minimalan, a cijela žica upotrebljena.


## Rješenje.

Neka je duljina stranice šesterokuta $a$, a duljina stranice trokuta $b$.

Ukupan opseg svih šesterokuta je $3 \cdot 6 a$. Ukupan opseg svih jednakostraničnih trokuta je $3 \cdot 3 b$. Tada je $18 a+9 b=450, b=50-2 a$ ako metre pretvorimo u centimetre. (u protivnom $b=0.5-2 a$ )

Kako je $P_{\text {seststerokuta }}=6 \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$, a $P_{\text {trokuta }}=\frac{b^{2} \sqrt{3}}{4}$ ukupna je površina jednaka

$$
P=3 \cdot 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}+3 \frac{(50-2 a)^{2} \sqrt{3}}{4}=9 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}+3\left(625-50 a+a^{2}\right) \sqrt{3}
$$

odnosno

$$
P=\frac{15}{2} a^{2} \sqrt{3}-150 a \sqrt{3}+1875 \sqrt{3}=\frac{15 \sqrt{3}}{2}\left(a^{2}-20 a+250\right) .
$$

Prikazali smo ukupnu površinu kao kvadratnu funkciju po varijabli $a$.

Treba odrediti broj $a$ za koji funkcija postiže svoju minimalnu vrijednost, a to je apscisa tjemena grafa te funkcije $\left(-\frac{b}{2 a}\right)$, odnosno

$$
a_{0}=\frac{20}{2}=10
$$

Tada su tražene duljine jednake $a=10 \mathrm{~cm}, b=30 \mathrm{~cm}$ (ili $a=0.1 \mathrm{~m}, b=0.3 \mathrm{~m}$ ).

