## Zadatak B-4.4.

Duljina stranice kvadrata $A B C D$ iznosi 2, a točka $P$ je polovište stranice $\overline{C D}$. Točka $S$ je sjecište kružnice sa središtem $P$ polumjera 1 i kružnice sa središtem $B$ polumjera 2. Odredite udaljenost točke $S$ od pravca $A D$.


## Prvo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_964e2f56f6f4ff54223dg-20.jpg?height=489&width=482&top_left_y=555&top_left_x=707)

Smjestimo li kvadrat u koordinatni susav tako da je ishodište u točki $A$, a apscisa pravac $A B$, tražena je udaljenost apscisa točke $S$.

Vrhovi kvadrata s $A(0,0), B(2,0), C(2,2)$ i $D(0,2)$, a točka $P$ ima koordinate $(1,2)$. 1 bod Koordinate točke $S$ dobit ćemo kao presjek kružnica, odnosno rješenje sustava jednadžbi:

$$
\begin{aligned}
(x-2)^{2}+y^{2} & =4 \\
(x-1)^{2}+(y-2)^{2} & =1 \\
\hline x^{2}+y^{2}-4 x & =0 \\
x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+4 & =0
\end{aligned}
$$

Oduzimanjem jednadžbi sustava slijedi $y=\frac{1}{2} x+1$.

Iz prve jednadžbe sustava tada dobivamo:

$\frac{5}{4} x^{2}-3 x+1=0 \Rightarrow x=2$ ili $x=\frac{2}{5}$.

$x=2$ je apscisa točke $C$, a tražena apscisa točke $S$, odnosno njena udaljenost od pravca $A D$ je $\frac{2}{5}$.

## Drugo rjesenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_964e2f56f6f4ff54223dg-21.jpg?height=477&width=482&top_left_y=298&top_left_x=707)

Neka je kut $\alpha=\varangle P B C$. Kako je $|P S|=|P C|=1 \mathrm{i}|B S|=|B C|=2$, trokuti $P S B$ i $P C B$ su sukladni te je kut $\varangle S B C=2 \alpha$.

Napomena: Ista se jednadžba kao i u prvom rješenju može dobiti koristeći Pitagorin poučak u pravokutnim trokutima $S T P$ i $S R B$, gdje je točka $T$ nožǐšte okomice iz $S$ na $C D$, a točka $R$ nožište te okomice na $A B$.

