## Zadatak B-4.1.

Odredite koordinate sjecišta krivulja zadanih jednadžbama $x^{2}+2 y^{2}=2$ i $2 x^{2}+y^{2}=2$, te površinu konveksnog mnogokuta čiji su vrhovi te točke.


## Rješenje.

Dane su krivulje elipse, a njihova sjecišta dobijemo rješavanjem sustava jednadžbi $x^{2}+$ $2 y^{2}=2,2 x^{2}+y^{2}=2$.

Ako iz prve jednadžbe izrazimo $x^{2}$ i to uvrstimo u drugu, dobivamo $2\left(2-2 y^{2}\right)+y^{2}=2$ odakle slijedi $3 y^{2}=2$, te $y^{2}=\frac{2}{3}, x^{2}=\frac{2}{3}$.

Sjecišta su točke

$$
T_{1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\right), \quad T_{2}\left(\sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right), \quad T_{3}\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\right), \quad T_{4}\left(-\sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) . \quad 2 \text { boda }
$$

Očito je dani četverokut kvadrat, pa je njegova površina jednaka

$$
P=\left|T_{1} T_{2}\right|^{2}=\left(2 \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}=\frac{8}{3}
$$

