## Zadatak A-4.4.

Kružnica prolazi točkama $A(0,5)$ i $B(0,-1)$, a njeno središte pripada pravcu $y=2 x-6$. Odredi sinus obodnog kuta nad manjim lukom $\overparen{A B}$ te kružnice.


## Prvo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_21f39afeb1dfc245d841g-23.jpg?height=808&width=699&top_left_y=293&top_left_x=610)

Jednadžba kružnice radijusa $r$ sa središtem u $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ glasi $\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}$. Uzimajući u obzir da se središte kružnice nalazi na pravcu $y=2 x-6$, sve točke na kružnici zadovoljavaju jednakost $\left(x-x_{0}^{2}\right)+\left(y-2 x_{0}+6\right)^{2}=r^{2}$.

Posebno, tu jednakost zadovoljavaju točke $A(0,5)$ i $B(0,-1)$, pa imamo

$$
\begin{aligned}
x_{0}^{2}+\left(5-2 x_{0}+6\right)^{2} & =r^{2} \\
x_{0}^{2}+\left(-1-2 x_{0}+6\right)^{2} & =r^{2}
\end{aligned}
$$

Oduzimanjem i sređivanjem, dobivamo $\left(11-2 x_{0}\right)^{2}=\left(5-2 x_{0}\right)^{2}$, odnosno $4 x_{0}=16$, odakle je $x_{0}=4$. Kako središte kružnice leži na pravcu $y=2 x-6$, dobivamo $y_{0}=2$, dakle središte kružnice je točka $O(4,2)$.

Radijus $r$ dobivamo uvrštavajući točku $B(0,-1)$ u jednadžbu kružnice: $(0-4)^{3}+(-1-$ $2)^{2}=r^{2}$, odakle je $r=5$.

Neka je $C$ bilo koja točka na većem luku $\overparen{A B}$ kružnice, te $\gamma$ mjera kuta $\varangle A C B$. Koristeći sinusov poučak za trokut $A B C$, traženi sinus obodnog kuta možemo dobiti po formuli $\sin \gamma=\frac{c}{2 r}$, gdje je $c=|A B|$.

Kako je $|A B|=\sqrt{(0-0)^{2}+(-1-5)^{2}}=6$, konačno imamo

$$
\sin \gamma=\frac{6}{2 \cdot 5}=\frac{3}{5}
$$

