## Zadatak B-1.6.

Riješite jednadžbu

$$
\frac{x^{4}-4 x^{3}+8 x^{2}-16 x+16}{x^{4}-16}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{25 \cdot 26}
$$


## Rješenje.

Pojednostavnimo lijevu stranu jednadžbe:

$$
\begin{aligned}
& \frac{x^{4}-4 x^{3}+8 x^{2}-16 x+16}{x^{4}-16}=\frac{\left(x^{2}+4\right)^{2}-4 x^{3}-16 x}{(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)}= \\
& =\frac{\left(x^{2}+4\right)^{2}-4 x\left(x^{2}+4\right)}{(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)}=\frac{\left(x^{2}+4\right)\left(x^{2}+4-4 x\right)}{(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)}= \\
& =\frac{(x-2)^{2}}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{x+2}
\end{aligned}
$$

Pojednostavnimo desnu stranu jednadžbe:

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{25 \cdot 26}= \\
& =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}= \\
& =1-\frac{1}{26}=\frac{25}{26}
\end{aligned}
$$

Zadatak svodimo na rješavanje jednadžbe:

$$
\begin{aligned}
& \frac{x-2}{x+2}=\frac{25}{26} \\
& \Rightarrow 26 x-52=25 x+50 \\
& \Rightarrow x=102
\end{aligned}
$$

