## Zadatak B-4.6.

Zadane su točke $M(2,-5)$ i $N(-6,7)$. Koje točke na pravcu $x-y+5=0$ s točkama $M$ i $N$ određuju pravokutan trokut?


## Prvo rješenje.

Kako tražene točke leže na pravcu $x-y+5=0$, tada su njihove koordinate $P(x, x+5)$, $x \in \mathbf{R}$.

Moguća su tri slučaja.

1. slučaj Trokut $M N P$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $P$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5ec97620b8cc23e4b297g-31.jpg?height=629&width=1057&top_left_y=308&top_left_x=428)

Tada je $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}=0$.

Kako je $\overrightarrow{P M}=(2-x) \vec{i}+(-10-x) \vec{j}$ i $\overrightarrow{P N}=(-6-x) \vec{i}+(2-x) \vec{j}$

dobivamo jednadžbu $(2-x)(-6-x)+(-10-x)(2-x)=0$, tj. kvadratnu jednadžbu $x^{2}+6 x-16=0$ čija su rješenja $x_{1}=2$ i $x_{2}=-8$.

Dakle, tražene točke su $P_{1}(2,7)$ i $P_{2}(-8,-3)$.

2. slučaj Trokut $M N P$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $M$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5ec97620b8cc23e4b297g-31.jpg?height=785&width=1222&top_left_y=1478&top_left_x=334)

Tada je $\overrightarrow{M P} \cdot \overrightarrow{M N}=0$, a kako je $\overrightarrow{M P}=(x-2) \vec{i}+(x+10) \vec{j}$ i $\overrightarrow{M N}=-8 \vec{i}+12 \vec{j}$ dobivamo jednadžbu $-8(x-2)+12(x+10)=0$ čije je rješenje $x=-34$.

3. slučaj Trokut $M N P$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $N$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5ec97620b8cc23e4b297g-32.jpg?height=753&width=1063&top_left_y=306&top_left_x=425)

Tada je $\overrightarrow{N P} \cdot \overrightarrow{N M}=0$, a kako je $\overrightarrow{N P}=(x+6) \vec{i}+(x-2) \vec{j}$ i $\overrightarrow{N M}=8 \vec{i}-12 \vec{j}$ dobivamo jednadžbu $8(x+6)-12(x-2)=0$ čije je rješenje $x=18$.

Dakle, točka $P$ ima koordinate $P(18,23)$.

Dakle, imamo četiri moguća rješenja: $P(2,7), P(-8,-3), P(-34,-29), P(18,23)$.

