5. All positive integer pairs $(a, b)$ that satisfy $a^{a}-b^{b}=a^{a-1} b^{b-1}+a+b$ are $\qquad$ in number.
5.1.

Obviously, $a>b \geqslant 1$.
From the condition, we get
$$
\begin{array}{l}
a^{a}>a^{a-1} b^{b-1} \Rightarrow a>b^{b-1} \Rightarrow a \geqslant b^{b-1}+1 \\
\Rightarrow a b \geqslant b^{b}+b \Rightarrow b^{b} \leqslant a b-b .
\end{array}
$$

Then $a^{a-1} b^{b-1}+a+b \geqslant a^{a}-a b+b$
$$
\Rightarrow a+a b \geqslant a^{a}-a^{a-1} b^{b-1} \geqslant a^{a-1} \text {. }
$$

Thus, $a^{2} \geqslant a+a b \geqslant a^{a-1} \Rightarrow a^{a-3} \leqslant 1$.
Therefore, $2 \leqslant a \leqslant 3$.
Upon verification, the only pair of positive integers $(a, b)$ that satisfies this problem is $(3,2)$.