
Opgave 3. Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ met

$$
f(x+y f(x+y))=y^{2}+f(x) f(y)
$$

voor alle $x, y \in \mathbb{R}$.


Oplossing I. Merk op dat de functie $f(x)=0$ voor alle $x$ niet voldoet. Er is dus een $a$ met $f(a) \neq 0$. Vul $x=a$ en $y=0$ in, dat geeft $f(a)=f(a) f(0)$, dus $f(0)=1$. Vul nu $x=1$ en $y=-1$ in, dat geeft $f(1-f(0))=1+f(1) f(-1)$. Omdat $f(0)=1$, staat hier $1=1+f(1) f(-1)$, dus $f(1)=0$ of $f(-1)=0$. We onderscheiden deze twee gevallen.

Stel eerst dat $f(1)=0$. Vul $x=t$ en $y=1-t$ in, en vervolgens $x=1-t$ en $y=t$, dan krijgen we de twee vergelijkingen

$$
\begin{aligned}
f(t) & =(1-t)^{2}+f(t) f(1-t), \\
f(1-t) & =t^{2}+f(t) f(1-t) .
\end{aligned}
$$

Deze van elkaar afhalen geeft $f(t)-f(1-t)=(1-t)^{2}-t^{2}=1-2 t$, dus $f(1-t)=f(t)+2 t-1$. Dit invullen in de eerste van bovenstaande twee vergelijkingen geeft

$$
f(t)=(1-t)^{2}+f(t)^{2}+(2 t-1) f(t),
$$

wat we kunnen herschrijven tot

$$
f(t)^{2}+(2 t-2) f(t)+(1-t)^{2}=0
$$

oftewel $(f(t)-(1-t))^{2}=0$. We concluderen dat $f(t)=1-t$. Controleren van deze functie in de oorspronkelijke functievergelijking geeft links $1-(x+y(1-x-y))=1-$ $\left(x+y-x y-y^{2}\right)=1-x-y+x y+y^{2}$ en rechts $y^{2}+(1-x)(1-y)=y^{2}+1-x-y+x y$ en dat is hetzelfde, dus de functie voldoet.

Stel nu $f(-1)=0$. Vul $x=t$ en $y=-1-t$ in, en vervolgens $x=-1-t$ en $y=t$, dan krijgen we de twee vergelijkingen

$$
\begin{aligned}
f(t) & =(-1-t)^{2}+f(t) f(-1-t) \\
f(-1-t) & =t^{2}+f(t) f(-1-t)
\end{aligned}
$$

Deze van elkaar afhalen geeft $f(t)-f(-1-t)=(-1-t)^{2}-t^{2}=1+2 t$, dus $f(-1-t)=$ $f(t)-2 t-1$. Dit invullen in de eerste van bovenstaande twee vergelijkingen geeft

$$
f(t)=(-1-t)^{2}+f(t)^{2}+(-2 t-1) f(t),
$$

wat we kunnen herschrijven tot

$$
f(t)^{2}-(2 t+2) f(t)+(t+1)^{2}=0
$$

oftewel $(f(t)-(t+1))^{2}=0$. We concluderen dat $f(t)=t+1$. Controleren van deze functie in de oorspronkelijke functievergelijking geeft links $x+y(x+y+1)+1=x+x y+y^{2}+y+1$ en rechts $y^{2}+(x+1)(y+1)=y^{2}+x y+x+y+1$ en dat is hetzelfde, dus de functie voldoet.

We concluderen dat er precies twee oplossingen zijn: $f(x)=1-x$ voor alle $x$ en $f(x)=x+1$ voor alle $x$.
