## Zadatak A-1.4.

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$ jednakokračnog trokuta $A B C$ s osnovicom $\overline{A B}$. Točka $M$ je polovište dužine $\overline{C D}$. Pravci $B M$ i $A C$ sijeku se u točki $E$.

Odredi omjer $|C E|:|A C|$.


## Prvo rješenje.

Neka je točka $F$ polovište stranice $\overline{A C}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_9a2ee33c697c48e6349cg-06.jpg?height=626&width=888&top_left_y=361&top_left_x=515)

Kako je točka $F$ polovište stranice $\overline{A C}$, a točka $M$ polovište stranice $\overline{C D}$, zaključujemo da je dužina $\overline{F M}$ srednjica trokuta $A D C$.

Iz toga je najprije

$$
|F M|=\frac{|A D|}{2}=\frac{|A B|}{4}
$$

gdje druga jednakost vrijedi zato što je točka $D$ polovište stranice $\overline{A B}$ (trokut $A B C$ je jednakokračan).

Nadalje, pravac $F M$ je paralelan pravcu $A B$ pa je

$$
\varangle M F E=\varangle B A E \quad \text { i } \quad \varangle F M E=\varangle A B E .
$$

Dakle, trokuti $F M E$ i $A B E$ su slični pa je

$$
\frac{|F E|}{|A E|}=\frac{|F M|}{|A B|}=\frac{1}{4}
$$

Kako je $|A F|+|F E|=|A E|=4|F E|$, dobivamo da je $|F E|=\frac{|A F|}{3}=\frac{|A C|}{6}$.

Konačno možemo izračunati da je

$$
|C E|=|C F|-|F E|=\frac{|A C|}{2}-\frac{|A C|}{6}=\frac{|A C|}{3}
$$

odnosno

$$
|C E|:|A C|=1: 3
$$

