6. Halla todas las ternas $(x, y, z)$ de números reales que son solución de la ecuación

$$
\sqrt{3^{x}\left(5^{y}+7^{z}\right)}+\sqrt{5^{y}\left(7^{z}+3^{x}\right)}+\sqrt{7^{z}\left(3^{x}+5^{y}\right)}=\sqrt{2}\left(3^{x}+5^{y}+7^{z}\right)
$$
## SOLUCIÓN:

Poniendo $a=3^{x}, b=5^{y}$ y $c=7^{z}$ la ecuación anterior se convierte en:

$$
\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(a+b)}=\sqrt{2}(a+b+c)
$$

Aplicando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica resulta:

$$
\begin{aligned}
& \sqrt{a(b+c)} \leq \sqrt{2}\left(\frac{a}{2}+\frac{b+c}{4}\right) \\
& \sqrt{b(c+a)} \leq \sqrt{2}\left(\frac{b}{2}+\frac{c+a}{4}\right) \\
& \sqrt{c(a+b)} \leq \sqrt{2}\left(\frac{c}{2}+\frac{a+b}{4}\right)
\end{aligned}
$$

Sumando las desigualdades anteriores se obtiene

$$
\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(a+b)} \leq \sqrt{2}(a+b+c)
$$

La igualdad tiene lugar cuando $a=b=c$. Por tanto, las soluciones buscadas son aquellas para las que $3^{x}=5^{y}=7^{z}$, lo que equivale a que $x \ln 3=y \ln 5=z \ln 7$. Es decir las soluciones de la ecuación dada son:

$$
x=\frac{1}{\ln 3} t, y=\frac{1}{\ln 5} t, z=\frac{1}{\ln 7} t, \quad t \in R
$$

(Se observa que en general $p^{\frac{1}{\ln p}}=e^{\left(\frac{1}{\ln p}\right) \ln p}=e$, con $p>0$ y $p \neq 1$ y $a=b=c=e^{t}$ ).