Solve graphically the following equations:

$$
\begin{aligned}
& [x]=\frac{8}{9}(x-4)+3 \\
& x-[x]=\frac{1}{9}(x+5) .
\end{aligned}
$$
Mint ismeretes, $[x]$ az $x$ szám ún. egész részét, és így $x-[x]$ az ún. tört részét jelöli. (1) és (2) bal oldalának képe az ábra felső, ill. alsó részének „lépcsős", ill. „halszálkás" görbéje, az egyenesszakaszoknak mindig a bal végpontja tartozik hozzá a grafikonhoz, a jobb nem (tele, ill. üres köröcske). A jobb oldal képe az $e$, ill. $f$ egyenes.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_02_ed9659763931634fcf15g-1.jpg?height=724&width=664&top_left_y=302&top_left_x=728)

Az egyenletek gyökeit mindegyik esetben a két grafikon közös pontjaihoz tartozó abszcisszák adják, ezek mindkét egyenlet esetében, 1 tizedes pontossággal

$$
\begin{array}{ll}
x_{1}=-5, & x_{2} \approx-3.9 \\
x_{3} \approx-2.8, & x_{4} \approx-1.6 \\
x_{5} \approx-0.5, & x_{6} \approx 0.6 \\
x_{7} \approx 1.8, & x_{8} \approx 2.9
\end{array}
$$

A megegyezés annak a következménye, hogy (2) csupán átrendezett alakja (1)-nek, ekvivalens vele.

Más megoldás nincs. Ugyanis a definíció szerint

$$
x - [x] \geq 0
$$

ezek szerint a lépcsős görbének csak az $y=x-1$ és $y=x$ párhuzamos egyenesek között és az utóbbi egyenesen vannak pontjai, a halszálkás görbének pedig csak az $y=1$ és $y=0$ egyenesek között és az utóbbi egyenesen, viszont az egyenletek jobb oldalát ábrázoló egyenes ezeket az egyeneseket - mindkét egyenlet esetében $-5$, ill. +4 abszcisszájú pontban metszi, ezeken kívül nem lehet közös pont (már a +4 abszcisszán sem lehet közös pont).

Gáspár András (Budapest, Vasútgépészeti techn. II. o. t.)

Megjegyzés. A gyököket az egyenes -5 és 4 abszcisszájú pontjai közti szakasza kezdő pontjának és 8 egyenlő részre osztó belső pontjainak abszcisszái adják (mind a két esetben), így pontos értékük

$$
x_{k}=-5+(k-1) \frac{4-(-5)}{8}=-5+\frac{9}{8}(k-1), \quad(k=1,2 \ldots, 8)
$$

Nagy Zsuzsa (Székesfehérvár, Teleki B. g. IV. o. t.)[^0]

[^0]:    ${ }^{1}$ Lásd pl. Hódi E.-Szász G.-Tolnai J.: Matematika az ált. gim. IV. o. t. számára, 11. kiadás, Tankönyvkiadó, Bp., 1962. 27-29. o.

---

As is known, $[x]$ represents the integer part of the number $x$, and thus $x - [x]$ represents the fractional part of $x$. The left sides of (1) and (2) are represented by the "staircase" and "sawtooth" curves in the upper and lower parts of the diagram, respectively. The line segments always belong to the graph at their left endpoints, but not at their right endpoints (filled and empty circles, respectively). The right sides of the equations are represented by the lines $e$ and $f$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_02_ed9659763931634fcf15g-1.jpg?height=724&width=664&top_left_y=302&top_left_x=728)

The roots of the equations are given by the x-coordinates of the common points of the two graphs, with a precision of one decimal place for both equations:

$$
\begin{array}{ll}
x_{1}=-5, & x_{2} \approx-3.9 \\
x_{3} \approx-2.8, & x_{4} \approx-1.6 \\
x_{5} \approx-0.5, & x_{6} \approx 0.6 \\
x_{7} \approx 1.8, & x_{8} \approx 2.9
\end{array}
$$

The coincidence is a consequence of (2) being a rearranged form of (1), equivalent to it.

There are no other solutions. Indeed, by definition,

$$
x - [x] \geq 0
$$

Thus, the staircase curve has points only between the parallel lines $y = x - 1$ and $y = x$, and on the latter line. The sawtooth curve has points only between the lines $y = 1$ and $y = 0$, and on the latter line. However, the line representing the right side of the equations intersects these lines at points with x-coordinates $-5$ and $+4$ in both equations, and there can be no common points outside these points (not even at the x-coordinate $+4$).

Gáspár András (Budapest, Vasútgépészeti techn. II. o. t.)

Note. The roots are given by the x-coordinates of the starting point and the internal points dividing the segment between the points with x-coordinates -5 and 4 into 8 equal parts (in both cases), so their exact values are

$$
x_{k}=-5+(k-1) \frac{4-(-5)}{8}=-5+\frac{9}{8}(k-1), \quad(k=1,2 \ldots, 8)
$$

Nagy Zsuzsa (Székesfehérvár, Teleki B. g. IV. o. t.)[^0]

[^0]:    ${ }^{1}$ See, for example, Hódi E.-Szász G.-Tolnai J.: Matematika az ált. gim. IV. o. t. számára, 11. kiadás, Tankönyvkiadó, Bp., 1962. 27-29. o.