## Zadatak B-2.3.

Na stranici $\overline{A B}$ trokuta $A B C$ dana je točka $E$ takva da je $|A E|=1$ i $|E B|=2$. Neka je točka $D$ na stranici $\overline{A C}$ takva da je dužina $\overline{D E}$ paralelna $\mathrm{s}$ dužinom $\overline{B C}$, a točka $F$ na stranici $\overline{B C}$ takva da je dužina $\overline{E F}$ paralelna s dužinom $\overline{A C}$. Izračunajte omjer površina četverokuta $C D E F$ i trokuta $A B C$.


## Prvo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_d4daff78382705a7c34eg-10.jpg?height=352&width=741&top_left_y=1743&top_left_x=586)

Kako je dužina $\overline{D E}$ paralelna s dužinom $\overline{B C}$, trokuti $A E D$ i $A B C$ imaju iste kutove pa su slični. Koeficijent sličnosti je $k=\frac{|A E|}{|A B|}=\frac{1}{3}$.

Stoga je omjer njihovih površina $\frac{P_{A E D}}{P_{A B C}}=k^{2}=\frac{1}{9}$.

Kako je dužina $\overline{E F}$ paralelna s dužinom $\overline{A C}$, trokuti $E B F$ i $A B C$ imaju iste kutove, te su slični. Njihov koeficijent sličnosti je $k^{\prime}=\frac{|B E|}{|A B|}=\frac{2}{3}$.

Stoga je omjer njihovih površina $\frac{P_{E B F}}{P_{A B C}}=k^{2}=\frac{4}{9}$.

$$
\begin{gathered}
\frac{P_{C D E F}}{P_{A B C}}=\frac{P_{A B C}-P_{A E D}-P_{E B F}}{P_{A B C}} \\
=\frac{P_{A B C}-\frac{1}{9} P_{A B C}-\frac{4}{9} P_{A B C}}{P_{A B C}}=\frac{\frac{4}{9} P_{A B C}}{P_{A B C}}=\frac{4}{9}
\end{gathered}
$$

