Határozzuk meg azokat a háromjegyű, 13-mal osztható számokat, amelyek középső jegye a másik két szám számtani közepe.


Legyen a keresett szám $a b c$, ahol $a, b, c$ számjegyek és $a \neq 0$. Tudjuk, hogy $b$ számtani közepe $a$-nak és $c$-nek, azaz $b=(a+c) / 2$. Mivel $b$-nek egésznek kell lennie, azért $a$ és $c$ egyszerre páros vagy páratlan.

Másrészt tudjuk, hogy számunk, azaz $100 a+10 b+c$ osztható 13 -mal. A $b=(a+c) / 2$ feltételt felhasználva a $100 a+10 b+c=100 a+5(a+c)+c=105 a+6 c=13 \cdot 8 \cdot a+a+6 c$ összegnek kell 13-mal oszthatónak lennie, ami viszont pontosan akkor teljesül, ha $a+6 c$ osztható $13-$ mal. Feladatunk tehát az, hogy olyan, egyforma párosságú $a$ és $c$ számjegyeket keressünk $(a \neq 0)$, melyekre $a+6 c$ osztható $13-\mathrm{mal}$.

Ehhez végigpróbáljuk $c$ összes lehetséges értékét, és mindegyikhez megnézzük, mennyinek kell választanunk $a$-t, hogy $a+6 c 13$ többszöröse legyen. Végül az így kapott párok közül kiválogatjuk a megfelelőeket:

| $c$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $a$ | 0 | 7 | 1 | 8 | 2 | 9 | 3 | 10 | 4 | 11 |

Láthatjuk, hogy csak $c=1,4,5$, és 8 értékek megfelelőek. Az ezekhez tartozó háromjegyǔ számok: 741, 234, 975 és 468, valóban ki is elégítik a feladat követelményeit.

Ezzel megadtuk a feladatban keresett tulajdonságú számokat.

Megjegyzés. A gyakorlat szövege egyértelmúen háromjegyũ számokat kérdezett. S mivel a legkisebb háromjegyú szám 100, a legnagyobb pedig 999, kizárólag ebben az intervallumban kerestünk megoldásokat. İgy tehát a negativ számok, bár abszolút értékük háromjegyú, maguk már nem háromjegyű számok, mint ahogyan azt több megoldónk gondolta.

