
14. Indicare quanti sono i valori $k \in \mathbb{R}$ per i quali il polinomio $p(x)=x^{2}-k x+36$ ha almeno una radice intera positiva che sia minore di 1000 .
(A) 3 (B) 1
(C) 2
(D) 999
(E) 995


Problema 14. La risposta corretta è $\mathbf{( E )}$.

Essendo uguale a 36 il prodotto delle due radici, se $p(x)$ ha una radice $n$ (dove $n$ è un intero con $1 \leqslant n \leqslant 999$ ), l'altra radice dovrà essere $36 / n$. Il polinomio corrispondente risulterà in tal caso

$$
p(x)=(x-n)\left(x-\frac{36}{n}\right)=x^{2}-\left(n+\frac{36}{n}\right) x+36
$$

Ciascuno di questi polinomi si ottiene per un'opportuna scelta di $k$, vale a dire $k_{n}=n+36 / n$. Tutti questi valori $k_{n}$, al variare di $1 \leqslant n \leqslant 999$, sono diversi tra loro, tranne quando $n$ è un divisore di 36 . In tal caso, si ha $k_{m}=k_{n}$ se e solo se $m \cdot n=36$. Infatti si verifica che, per $m \neq n$,

$$
k_{m}=k_{n} \Longleftrightarrow m-n=\frac{36}{n}-\frac{36}{m} \Longleftrightarrow m-n=36 \cdot \frac{m-n}{m n} \Longleftrightarrow m n=36
$$

Si ha dunque $k_{1}=k_{36}=37, \quad k_{2}=k_{18}=20, \quad k_{3}=k_{12}=15, \quad k_{4}=k_{9}=13 . \quad$ Ciò significa che l'insieme dei possibili $k \in \mathbb{R}$ che danno luogo a quanto richiesto contiene $999-4=995$ valori.
