## Zadatak A-3.1.

Odredi racionalne brojeve $a$ i $b$ takve da vrijedi

$$
\sin 75^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}=a+\sqrt{b}
$$


## Prvo rješenje.

Uočimo da vrijedi

$$
\begin{aligned}
\sin 75^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ} & =\cos ^{2} 15^{\circ} & & 2 \mathrm{boda} \\
& =\frac{1+\cos 30^{\circ}}{2} & & 2 \mathrm{boda} \\
& =\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} & & \\
& =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4} & & 1 \mathrm{bod} \\
& =\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{16}} . & & 1 \mathrm{bod}
\end{aligned}
$$

Dakle, $a=\frac{1}{2}$ i $b=\frac{3}{16}$.

## Drugo rjesenje.

Poznato je da je

$$
\sin 75^{\circ}=\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}
$$

Zato je

$$
\sin 75^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}=\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^{2}=\frac{8+2 \sqrt{12}}{16}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{12}}{8}
$$

Budući da je

$$
\frac{\sqrt{12}}{8}=\sqrt{\frac{3}{16}}
$$

rješenje je $a=\frac{1}{2}$ i $b=\frac{3}{16}$.

