## Aufgabe 10/81

Gesucht sind 5 verschiedene dreistellige Zahlen, die (im Dezimalsystem) mit denselben voneinander verschiedenen drei Ziffern darstellbar sind und deren Summe 1209 beträgt.




Aus drei verschiedenen Ziffern kann man $3!=6$ verschiedene Zahlen darstellen. Bezeichnet man die Stellen einer von ihnen mit $a ; b ; c(1 \leq a ; b ; c \leq 9, a ; b ; c \in N, a \neq b, b \neq c, c \neq a)$, so sind dies

$$
\begin{array}{lll}
100 a+10 b+c & 100 a+10 c+b & 100 b+10 a+c \\
100 b+10 c+a & 100 c+10 a+b & 100 c+10 b+a
\end{array}
$$

Ihre Summe ist $222(a+b+c)$. Nach der Aufgabenstellung gilt nun die diophantische Gleichung

$$
222(a+b+c)-x=1209
$$

wobei $x$ die sechste der sechs dreistelligen Zahlen ist. Aus ihr folgt durch äquivalente Umformung

$$
a+b+c=5+\frac{99+x}{222}=5+k
$$

mit $k=\frac{99+x}{222} \in N$. Da $123 \leq x \leq 987$ gilt (wegen $a \neq b, a \neq c, c \neq b$ ), ist $1 \leq k \leq 4$ und $a+b+c=$ $5+k \leq 9$.

Für $x$ ergeben sich damit zunächst vier Möglichkeiten: $x_{1}=123 ; x_{2}=345 ; x_{3}=567 ; x_{4}=789$, von denen jedoch nur $x=123$ die letzte Ungleichung erfüllt: $1+2+3=5+1 \leq 9$.

Daraus ergeben sich die fünf gesuchten Zahlen zu 132, 213, 231, 312, 321. Tatsächlich ist $132+213+$ $231+312+321=1209$.

