## Zadatak A-4.6.

Izračunaj

$$
\sum_{k=1}^{1011}\binom{2022}{2 k-1} 2^{2 k-1}
$$


## Prvo rješenje.

Primjenom binomnog teorema na izraze $(2+1)^{2022} \mathrm{i}(-2+1)^{2022}$ dobivamo

$$
3^{2022}=(2+1)^{2022}=\sum_{k=0}^{2022}\binom{2022}{k} 2^{k} \cdot 1^{2022-k}=\sum_{k=0}^{2022}\binom{2022}{k} 2^{k}
$$

te

$$
1=(-1)^{2022}=(-2+1)^{2022}=\sum_{k=0}^{2022}\binom{2022}{k}(-2)^{k} \cdot 1^{2022-k}=\sum_{k=0}^{2022}\binom{2022}{k}(-2)^{k}
$$

Oduzimanjem gornjih dviju jednakosti dobivamo

$3^{2022}-1=\sum_{k=0}^{2022}\binom{2022}{k}\left(2^{k}-(-2)^{k}\right)=\sum_{k=1}^{1011}\binom{2022}{2 k-1} 2 \cdot 2^{2 k-1}=2 \cdot \sum_{k=1}^{1011}\binom{2022}{2 k-1} 2^{2 k-1}$.

Dijeljenjem gornje jednakosti s 2 dobivamo traženi rezultat:

$$
\sum_{k=1}^{1011}\binom{2022}{2 k-1} 2^{2 k-1}=\frac{3^{2022}-1}{2}
$$

