(1) Given the function $f(x)=\lg \left(a^{x}-b^{x}\right)(a, b$ are constants, $a>1>b>0)$, if $x \in(1$, $+\infty)$, $f(x)>0$ always holds, then ( ).
(A) $a-b \geqslant 1$
(B) $a-b>1$
(C) $a-b \leqslant 1$
(D) $a=b+1$
(1) A