6. As shown in Figure 1, let $G$ and $H$ be the centroid and orthocenter of $\triangle ABC$ respectively, $F$ be the midpoint of segment $GH$, and the circumradius of $\triangle ABC$ be $R=1$. Then
$$
\begin{array}{l}
|\overrightarrow{A F}|^{2}+|\overrightarrow{B F}|^{2}+|\overrightarrow{C F}|^{2} \\
= \\
.
\end{array}
$$
6.3.

Let the circumcenter $O$ of $\triangle ABC$ be the origin of a Cartesian coordinate system. Then,
$$
\begin{array}{l}
\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}, \\
\overrightarrow{O G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})
\end{array}
$$
$$
\text { Then } \overrightarrow{O F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O G}+\overrightarrow{O H})=\frac{2}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}) \text {. }
$$

Therefore, $|\overrightarrow{A F}|^{2}+|\overrightarrow{B F}|^{2}+|\overrightarrow{C F}|^{2}$
$$
\begin{aligned}
= & (\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O F}) \cdot(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O F})+ \\
& (\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O F}) \cdot(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O F})+ \\
& (\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O F}) \cdot(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O F}) \\
= & |\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{O B}|^{2}+|\overrightarrow{O C}|^{2}- \\
& 2(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}) \cdot \overrightarrow{O F}+3 \overrightarrow{O F} \cdot \overrightarrow{O F} \\
= & |\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{O B}|^{2}+|\overrightarrow{O C}|^{2}=3 .
\end{aligned}
$$