## Aufgabe $3 / 71$

Gesucht sind drei Lösungspaare $(x ; y)$ des Gleichungssystems

$$
\begin{aligned}
x^{2 \sin y+1}+(\sin y)^{\frac{4}{3} \sqrt{3 x}} & =1 \\
\cos y-x & =0
\end{aligned}
$$




Setzt man (2) in (1) ein, so erhält man

$$
(\cos x)^{2 \sin y+1}+(\sin y)^{\frac{4}{3} \sqrt{3} \cos y}=1
$$

Diese Gleichung ist sicher dann erfüllt, wenn entweder

1. $\cos y=1$ und $\sin y=0$ oder
2. $\cos y=0$ und $\sin y=1$ oder
3. $2 \sin y+1=2$ und $\frac{4}{3} \sqrt{3} \cos y=2$

ist. Unter Verwendung von (2) ergibt sich aus 1. $y=0, x=1$; aus 2. $y=\frac{\pi}{2}, x=0$. Aus 3. folgt $\sin y=\frac{1}{2}, \cos y=\frac{1}{2} \sqrt{3}=x$ und damit $y=\frac{\pi}{6}, x=\frac{1}{2} \sqrt{3}$.

Drei Lösungspaare des gegebenen Gleichungssystems sind also $(1 ; 0),\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$ und $\left(\frac{1}{2} \sqrt{3} ; \frac{\pi}{6}\right)$.

