## Aufgabe 25/79

Man bestimme alle Paare $(a ; b)$ natürlicher Zahlen, bei denen die Differenz der Quadrate gleich 1000 ist.




Nach der Aufgabenstellung sind Paare natürlicher Zahlen $a$ und $b$ gesucht, für die die Gleichung

$$
a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=1000
$$

gilt. Wir zerlegen die Zahl 1000 auf alle möglichen Weisen in ein Produkt mit zwei natürlichen Zahlen als Faktoren:

$$
1000=1000 \cdot 1=500 \cdot 2=250 \cdot 4=200 \cdot 5=125 \cdot 8=100 \cdot 10=50 \cdot 20=40 \cdot 25
$$

Es müssen also die beiden Gleichungen $a+b=t_{1}, a-b=t_{2}$ erfüllt sein, wobei die Faktoren mit $t_{1}$ (der größere) und mit $t_{2}$ (der kleinere) bezeichnet wurden. Ihre Lösungen sind

$$
a=\frac{t_{1}+t_{2}}{2} \quad ; \quad b=\frac{t_{1}-t_{2}}{2}
$$

Damit $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind, müssen $t_{1}$ und $t_{2}$ beide gerade oder beide ungerade sein. Folglich kommen für die Lösung der Aufgabe nur die Zerlegungen $t_{11}=500, t_{21}=2, t_{12}=250, t_{22}=$ $4, t_{13}=100, t_{23}=10, t_{14}=50, t_{24}=20$ in Frage. Damit erhält man als Lösung die vier Paare $(251 ; 249),(127 ; 123),(55 ; 45),(35 ; 15)$. Durch die Probe bestätigt man die Richtigkeit.

