4. Given a spatial quadrilateral $A B C D, A B=a, B C=$ $b, C D=c, D A=d$. Then $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=(\quad)$.
(A) $\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)$
(B) $-\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)$
(C) $\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)$
(D) $\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)$
4.D.
$$
\begin{array}{l}
\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}) \\
=\overrightarrow{B C}^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{A B} \\
=\overrightarrow{B C}^{2}+\frac{(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D})^{2}-\overrightarrow{A B}^{2}-\overrightarrow{B C}^{2}-\overrightarrow{C D}^{2}}{2} \\
=\overrightarrow{B C}^{2}+\frac{\left(-\overrightarrow{D A}^{2}-\overrightarrow{A B}^{2}-\overrightarrow{B C}^{2}-\overrightarrow{C D}^{2}\right)}{2} \\
=\frac{\overrightarrow{B C}^{2}+\overrightarrow{D A}^{2}-\overrightarrow{A B}^{2}-\overrightarrow{C D}^{2}}{2}=\frac{b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{2} .
\end{array}
$$