## Zadatak B-1.3.

Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 2021 koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 2 i koliko iznosi njihova aritmetička sredina?


## Rješenje.

Najmanji prirodni broj koji pri dijeljenju s 5 daje ostatak 2 jest 2, a najveći 2017. Skup svih brojeva manjih od 2021 koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 2 jest

$$
A=\{2,7,12,17, \ldots, 2017\}
$$

Općenito su to brojevi oblika $5 k+2, k \in\{0,1,2, \ldots\}$.

U skupu $A$ prvi broj dobijemo za $k=0$, a zadnji za $k=403$ pa je ukupno $403+1=404$ broja u tomu skupu.

Njihova je aritmetička sredina jednaka $\frac{2+7+12+\cdots+2017}{404}$.

Ako je $S$ zbroj brojeva u brojniku, tada je

$+\left\{\begin{array}{l}S=2+7+12+\cdots+2015+2017 \\ S=2017+2012+\cdots+7+2\end{array}\right.$

$2 S=2019+2019+\cdots+2019$

Slijedi da je $2 S=404 \cdot 2019$, tj. $S=202 \cdot 2019$. 1 bod

Dakle, tražena aritmetička sredina je broj $\frac{2+7+12+\cdots+2017}{404}=\frac{2019}{2}=1009.5$. 1 bod

Napomena: Učenik može zaključiti (bez formalnog dokaza) da je aritmetička sredina brojeva koji se međusobno razlikuju za isti broj, u ovom slučaju za 5, jednaka aritmetičkoj sredini prvog i zadnjeg broja u tomu nizu. No, za sva 3 boda mora navesti ovu činjenicu ili valjano obrazloženje. Primjerice: Aritmetička sredina brojeva $a$ i $b$ jednako je udaljena od broja $a$ i broja $b$, pa ako su svi brojevi između $a$ i $b$ (uključujući $a$ i b) jednako razmaknuti, aritmetička sredina svih brojeva u tome nizu jednaka je aritmetičkoj sredini brojeva $a$ i $b$.

