## Zadatak B-3.7.

Iz skupa $S=\{(x, y): x, y \in \mathbb{R},-1 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 5\}$ na slučajan se način bira uređeni par $(x, y)$. Kolika je vjerojatnost da za članove $x$ i $y$ toga uređenog para vrijedi $x+y>2$ i $|x-y|<2$ ?


## Rješenje.

Zadatak rješavamo uz pomoć grafičkoga prikaza predstavljajući uređene parove $(x, y)$ kao točke u koordinatnom sustavu.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_d455efeee432fadf0574g-17.jpg?height=634&width=643&top_left_y=385&top_left_x=638)

Prostor elementarnih događaja jest skup

$$
S=\{(x, y): x, y \in \mathbb{R},-1 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 5\}
$$

na slici prikazan kao kvadrat $A B C D$. Njegova površina iznosi $5 \cdot 5=25$ kv.jed.

Točke $E(-1,3)$ i $F(2,0)$ sa slike su točke presjeka pravca $x+y=2$ s pravcima $x=-1$ i $y=0$. Sve točke $(x, y)$ unutar kvadrata koje su iznad pravca $E F$ zadovoljavaju uvjet $x+y>2$.

Iz uvjeta $|x-y|<2$ slijedi da je $-2<x-y<2$, a sve točke $(x, y)$ za koje taj uvjet vrijedi nalaze se između pravaca $x-y=-2$ i $x-y=2$. $y=5)$ su točke $F(2,0), G(4,2), I(3,5)$ i $H(-1,1)$. Točka $T(0,2)$ je točka presjeka pravca $x+y=2$ i $x-y=-2$.

Skup svih točaka kvadrata $A B C D$ koje zadovoljavaju oba uvjeta iz zadatka na slici je prikazan kao mnogokut FGCIT.

Izračunajmo površinu mnogokuta $F G C I T$ kao zbroj površina trokuta $F G T$ i trapeza $T G C I$.

$P(F G C I T)=P(F G T)+P(T G C I)=\frac{4 \cdot 2}{2}+\frac{4+1}{2} \cdot 3=4+7.5=11.5 \mathrm{kv} . \mathrm{jed}$.

Konačno, tražena vjerojatnost iznosi:

$p=\frac{P(F G C I T)}{P(A B C D)}=\frac{11.5}{25}=\frac{23}{50}=0.46$.

Napomena: Učenik može ostvariti sve bodove u zadatku neovisno o načinu određivanja tražene površine (uključujući i brojenje kvadratića). Učenik ne mora ispisivati koordinate točaka presjeka i postupak crtanja pravaca ili rješavanja sustava jednadžbi ako je jasno na slici označio te pravce i točke koje određuju mnogokut FGCIT. Ako je napravio takvu potpunu skicu, izračunao iz nje površinu i traženu vjerojatnost dodijeliti sve bodove. Ako učenik ima potpunu skicu s označenim mnogokutom, ali nije izračunao površinu i vjerojatnost, dodijeliti 5 bodova.

## ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE

## 4. razred - srednja škola - B varijanta

26. siječnja 2024.

## AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆı NAČIN.

