## Aufgabe 21/68

Man löse das System folgender Gleichungen

$$
\begin{gathered}
\log _{2} x \cdot \log _{x}(x-3 y)=2 \\
x \cdot y^{\log _{x} y}=y^{\frac{5}{2}}
\end{gathered}
$$




Geht man bei der Gleichung (I) zur Basis 2 über, so erhält man

$$
\log _{2} x \cdot \log _{x}(x-3 y)=\log _{2} x \frac{\log _{2}(x-3 y)}{\log _{2} x}=\log _{2}(x-3 y)=2
$$

oder $x-3 y=4$. Logarithmiert man die Gleichung (II) zur Basis $x$, so ergibt sich die Gleichung

$$
\log _{x}^{2} y-\frac{5}{2} \log y+1=0 \rightarrow \log _{x} y=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{4}=\frac{5 \pm 3}{4}
$$

Daraus folgt $1 . \log _{x} y=2, y=x^{2}$; und 2. $\log _{x} y=0,5, x=y^{2}$.

Man erhält nun wieder zwei Systeme

$$
\begin{array}{lll}
(A) & x-3 y=4 & y=x^{2} \\
(B) & x-3 y=4 & x=y^{2}
\end{array}
$$

System (A) hat keine reellen Lösungen; die Lösungen von System (B) sind $x_{1}=1, y_{1}=-1$ und $x_{2}=$ $16, y_{2}=4$.

Da aber nach Definition des Logarithmus (im Reellen) $y$ stets positiv sein muss, erfüllt nur $x_{2}=16, y_{2}=4$ das System (I)(II).

