8. Dato un cubo di lato 10, consideriamo un piano che passi per esattamente 6 dei punti medi dei suoi spigoli; chiamiamo tali punti $A, B, C, D, E, F$ e supponiamo che i lati dell'esagono $A B C D E F$ giacciano ciascuno su una faccia del cubo. Consideriamo poi un secondo piano contenente il segmento $A B$ e perpendicolare alla faccia contenente $A B$. Quanto vale il volume della porzione del cubo contenuta fra i due piani?
(A) 250
(B) $\frac{1000}{3}$
(C) 375
(D) $\frac{1625}{3}$
(E) Non esiste un piano con le proprietà richieste
8. La risposta è $\mathbf{( C )}$. Sia $V$ il volume che si vuole calcolare, e siano rispettivamente $X$ il volume della porzione di cubo tagliata dal piano passante per i 6 punti medi e $Y$ il volume della regione tagliata dal piano perpendicolare alla faccia contenente $A B$. Si ha quindi $V+X+Y=l^{3}$, dove $l=10$ è il lato del cubo. Si può vedere che $X=\frac{l^{3}}{2}$; infatti ogni piano passante per il centro di un cubo seziona il cubo in due parti uguali: per dimostrare questo si può fare una simmetria centrale per il centro del cubo e notare che il piano viene mandato in se stesso (in quanto il punto rispetto al quale stiamo facendo la simmetria appartiene al piano), il cubo viene pure mandato in se stesso (perché stiamo simmetrizzando rispetto al suo centro), ma le due parti del cubo che sono divise dal piano si scambiano (questo si vede facilmente guardando come si comportano i vertici del cubo). $Y$ invece è il volume di un prisma di altezza $l$ la cui base è un triangolo rettangolo isoscele di lato $\frac{l}{2}$ che quindi ha area $\frac{l^{2}}{8}$. Si ha dunque $Y=\frac{l^{3}}{8}$, di conseguenza

$$
V=l^{3}-\frac{l^{3}}{2}-\frac{l^{3}}{8}=\frac{3}{8} l^{3}=375 .
$$