3. Tre circonferenze di raggio unitario sono tangenti tra loro e una quarta circonferenza è tangente a tutte e tre, e non le racchiude. Quanto vale il raggio della quarta circonferenza?
(A) $\frac{\sqrt{3}+1}{24}$
(B) $\frac{1}{8}$
(C) $\frac{\sqrt{3}}{12}$
(D) $\frac{2 \sqrt{3}}{3}-1$
(E) $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$
3. La risposta è (D). Chiamiamo $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ le prime tre circonferenze e $\Omega$ la quarta, e siano $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P$ i loro rispettivi centri. Il triangolo $P_{1} P_{2} P_{3}$ è evidentemente equilatero (ognuno dei suoi lati è pari al doppio del raggio delle circonferenze $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$, cioè è uguale a 2 ). Il punto $P$ è equidistante da $P_{1}, P_{2}, P_{3}$, e quindi è il circocentro di $P_{1} P_{2} P_{3}$. La distanza $P P_{1}$ è allora uguale al raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero di lato 2. Siccome in un triangolo equilatero il circocentro coincide con il baricentro, e il baricentro taglia ogni mediana in rapporto $1: 2$, abbiamo che $P P_{1}$ è anche pari a $2 / 3$ della mediana (o equivalentemente, l'altezza) uscente da $P_{1}$. Dal momento che l'angolo in $P_{2}$ è di $60^{\circ}$, la lunghezza di tale altezza può essere calcolata come $\frac{\sqrt{3}}{2} P_{1} P_{2}=\sqrt{3}$. Otteniamo perciò che la lunghezza $P P_{1}$ è $\frac{2}{3} \sqrt{3}$. Tale
lunghezza però è anche uguale alla somma dei raggi di $\omega_{1} \mathrm{e} \Omega$, per cui per differenza otteniamo che il raggio di $\Omega$ è $\frac{2}{3} \sqrt{3}-1$.