5. Given the function $f(x)=a x^{2}-c$ satisfies:
$$
-4 \leqslant f(1) \leqslant-1,-1 \leqslant f(2) \leqslant 5 .
$$

Then, $f(3)$ should satisfy:
(A) $7 \leqslant f(3) \leqslant 26$;
(B) $-4 \leqslant f(3) \leqslant 15$;
(C) $-1 \leqslant f(3) \leqslant 20$;
(D) $-\frac{28}{3} \leqslant f(3) \leqslant \frac{35}{3}$.
5. (C)

Given $f(x)=a x^{2}-c$, we know
$$
\begin{array}{l}
f(1)=a-c, \quad f(2)=4 a-c . \\
\therefore \quad a=\frac{1}{3}[f(2)-f(1)], c=\frac{1}{3}[f(2)-4 f(1)] \\
\therefore \quad f(3)=9 a-c=3[f(2)-f(1)]-\frac{1}{3}[f(2)-4 f(1)] \\
=\frac{8}{3} f(2)-\frac{5}{3} f(1) \text {. } \\
\therefore \quad \frac{8}{3} \times(-1)+\left(-\frac{5}{3}\right) \times(-1) \leqslant f(3) \\
\leqslant \frac{8}{3} \times 5+\left(-\frac{5}{3}\right) \times(-4) \text {. } \\
\text { i.e., }-1 \leqslant f(3) \leqslant 20 \text {. } \\
\end{array}
$$