
15. Quanti sono i numeri primi tali che, se si cancella da essi un qualsiasi gruppo di cifre anche non consecutive (senza però cancellarle tutte) e si leggono le cifre rimanenti nell'ordine in cui si trovano, si ottiene ancora un numero primo?
(Si ricorda che 1 non è un numero primo.)
(A) 8
(B) 10
(C) 5
(D) 7
(E) 3

(15) La risposta corretta è $(A)$.

I numeri primi di una cifra sono $2,3,5,7$. Ogni numero primo con la proprietà indicata dovrà quindi avere queste come sole cifre, perché cancellandole tutte tranne una si dovrà ottenere un numero primo.

Inoltre, 2 e 5, se presenti, potranno apparire solamente nella prima posizione; se così non fosse, cancellando tutte le cifre successive al 2 o al 5 si otterrebbe un numero pari o multiplo di 5 con almeno due cifre, che non può essere primo. In particolare, solo una cifra tra 2 e 5 può essere presente nel numero, ed esclusivamente nella prima posizione. Una cifra non può nemmeno essere presente più di una volta, altrimenti cancellando tutte le cifre tranne due uguali si otterrebbe un multiplo di 11 , che non può essere primo.

Gli unici numeri di due cifre che soddisfano le condizioni appena descritte sono $23,27,37,53,57,73$. Di questi, solamente $23,37,53,73$ sono primi.

Per quanto riguarda i numeri con almeno tre cifre:

- Se non contengono né la cifra 2 , né la cifra 5 , sono composti solamente da cifre 3 e 7 e devono necessariamente avere cifre ripetute. Non possono quindi soddisfare le proprietà indicate.
- Se hanno 2 come prima cifra, non possono avere né 5 (che dovrebbe essere in prima posizione) né 7 (poiché 27 non è primo) come altre cifre. Ogni cifra successiva al 2 è quindi un 3, ma allora hanno necessariamente cifre ripetute e non possono quindi soddisfare le proprietà indicate.
- Allo stesso modo, se hanno 5 come prima cifra, ogni cifra successiva deve essere un 3, e sono necessariamente presenti cifre ripetute.

In conclusione, gli unici numeri che soddisfano la proprietà descritta sono $2,3,5,7,23,37,53,73$.

Problema proposto da Emanuele Tron.
