## Zadatak 4.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje postoje prirodni brojevi $x, y$ i $z$ takvi da vrijedi

$$
a^{x}=(a+b)^{y}=(5 a+11 b)^{z}
$$


## Prvo rješenje.

Neka su $a$ i $b$ brojevi za koje postoje $x, y, z \mathrm{~s}$ traženim svojstvom. Primijetimo da vrijedi $x>y>z$ jer je $ay>z$, mora vrijedi $\alpha<\beta<\gamma$. Dakle, svaki prost broj $p$ se manje puta javlja u rastavu od $a$ nego od $a+b$, i manje puta u rastavu od $a+b$ nego u rastavu od $5 a+11 b$, pa stvarno vrijedi

$$
a|a+b| 5 a+11 b
$$

Iz djeljivosti $a \mid a+b$ slijedi $a \mid b$, pa je $b=k a$ za neki prirodan broj $k$.

Djeljivost $a+b \mid 5 a+11 b$ onda možemo zapisati kao $(1+k) a \mid(5+11 k) a$, odnosno $1+k \mid 5+11 k$. Ali onda vrijedi i

$$
1+k \mid 5+11 k-11(1+k)=-6
$$

pa je $k+1 \in\{2,3,6\}$, odnosno $k \in\{1,2,5\}$.

Ako je $k=1$, onda je $b=a$ i treba pronaći sve $a$ za koje postoje $x, y, z$ takvi da je

$$
a^{x}=(2 a)^{y}=(16 a)^{z}
$$

Iz prve jednakosti slijedi $a^{x-y}=2^{y}$, pa je $a$ nužno potencija broja 2 , odnosno $a=2^{n}$ za neki $n \geqslant 1$. Za $a=2^{n}$ trebamo pronaći $x, y, z$ za koje je

$$
2^{n x}=2^{(n+1) y}=2^{(n+4) z}
$$

Za izbor $x=(n+1)(n+4), y=n(n+4), z=n(n+1)$ vrijedi gornja jednakost, pa zaključujemo da su svi parovi $(a, b)=\left(2^{n}, 2^{n}\right)$ za $n \in \mathbb{N}$ rješenja.

Ako je $k=2$, onda je $b=2 a$ i treba pronaći sve $a$ za koje postoje $x, y, z$ takvi da je

$$
a^{x}=(3 a)^{y}=(27 a)^{z}
$$

Iz prve jednakosti slijedi $a^{x-y}=3^{y}$, pa je $a$ nužno potencija broja 3 , odnosno $a=3^{n}$ za neki $n \geqslant 1$. Za $a=3^{n}$ trebamo pronaći $x, y, z$ za koje je

$$
3^{n x}=3^{(n+1) y}=3^{(n+3) z}
$$

Za izbor $x=(n+1)(n+3), y=n(n+3), z=n(n+1)$ vrijedi gornja jednakost, pa zaključujemo da su svi parovi $(a, b)=\left(3^{n}, 2 \cdot 3^{n}\right)$ za $n \in \mathbb{N}$ rješenja.

Ako je $k=5$, onda je $b=5 a$ i treba pronaći sve $a$ za koje postoje $x, y, z$ takvi da je

$$
a^{x}=(6 a)^{y}=(60 a)^{z}
$$

Iz prve jednakosti dobivamo $a^{x-y}=6^{y}$, a iz druge $a^{x-z}=60^{z}$. Ali iz prve jednakosti slijedi da $a$ nije djeljiv s 5, a iz druge da jest, što je kontradikcija. Zaključujemo da u ovom slučaju nema rješenja.

Dakle, skup rješenja je $\left\{\left(2^{n}, 2^{n}\right): n \in \mathbb{N}\right\} \cup\left\{\left(3^{n}, 2 \cdot 3^{n}\right): n \in \mathbb{N}\right\}$.

