## Subiectul I

Determinaţi primitivele funcției $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{\ln x-1} \cdot \ln ^{3} x$.


## Subiectul I

Fie $I=\int x^{\ln x-1} \cdot \ln ^{3} x d x, x \in(0, \infty)$. Cu schimbarea de variabilă $x=e^{t}$

se obţine $I_{1}=\int\left(e^{t}\right)^{t-1} \cdot t^{3} \cdot e^{t} d t=\int e^{t^{2}} \cdot t^{3} d t=\frac{1}{2} \int\left(e^{t^{2}} \cdot 2 t\right) \cdot t^{2} d t=\frac{1}{2} \int\left(e^{t^{2}}\right)^{\prime} \cdot t^{2} d t \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . .2 \mathbf{p}$ Integrând prin părţi, $I_{1}=\frac{1}{2} e^{t^{2}} \cdot t^{2}-\frac{1}{2} \int e^{t^{2}} \cdot 2 t d t=\frac{1}{2} e^{t^{2}} \cdot t^{2}-\frac{1}{2} \int\left(e^{t^{2}}\right) d t=\frac{1}{2} e^{t^{2}} \cdot t^{2}-\frac{1}{2} e^{t^{2}}+\zeta .2 \mathbf{p}$ Rezultă $I=\frac{1}{2} e^{\ln ^{2} x} \cdot \ln ^{2} x-\frac{1}{2} e^{\ln ^{2} x}+\zeta=\frac{1}{2} x^{\ln x} \cdot \ln ^{2} x-\frac{1}{2} x^{\ln x}+\zeta, x \in(0, \infty)$.

