## Zadatak B-3.1.

Odredite umnožak svih rješenja jednadžbe

$$
\sqrt{2021} x^{\log _{2021} x}=x^{2}
$$


## Rješenje.

Izraz logaritmiramo:

$$
\begin{aligned}
\log _{2021} \sqrt{2021} x^{\log _{2021} x} & =\log _{2021} x^{2} \\
\log _{2021} \sqrt{2021}+\log _{2021} x^{\log _{2021} x} & =\log _{2021} x^{2} \\
\frac{1}{2}+\left(\log _{2021} x\right)^{2} & =2 \log _{2021} x
\end{aligned}
$$

Supstitucijom $\log _{2021} x=t$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $2 t^{2}-4 t+1=0$ čija su rješenja $t_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Rješenja početne jednadžbe su $x_{1}=2021^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$ i $x_{2}=2021^{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}$.

Sada je $x_{1} \cdot x_{2}=2021^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}} \cdot 2021^{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=2021^{2}$.

## Napomena:

Do umnoška rješenja može se doći i koristeći Vieteove formule, odnosno ako je zbroj rješenja dobivene kvadratne jednadžbe $t_{1}+t_{2}=-\frac{b}{a}=2$ onda je

$\log _{2021} x_{1}+\log _{2021} x_{2}=\log _{2021}\left(x_{1} x_{2}\right)=2$.

Stoga je $x_{1} x_{2}=2021^{2}$.

