Oldjuk meg az $x^{\log _{2}\left(16 x^{2}\right)}-4 x^{\log _{2}(4 x)+1}-16 x^{\log _{2}(4 x)+2}+64 x^{3}=0$ egyenletet.


Megoldás. Vezessük be a következő jelölést: $\log _{2} x=y$, ahonnan $x=2^{y}$. Ezt és a logaritmus azonosságait felhasználva az egyenlet a következó alakba írható:

$$
2^{2 y^{2}+4 y}-2^{y^{2}+3 y+2}-2^{y^{2}+4 y+4}+2^{3 y+6}=0
$$

Az első tag esetén pl. a következő átalakítást végeztük:

$$
x^{\log _{2}\left(16 x^{2}\right)}=x^{\log _{2} 16+2 \log _{2} x}=x^{4+2 y}=\left(2^{y}\right)^{4+2 y}=2^{4 y+2 y^{2}}
$$

Hasonló átalakításokat végeztünk a többi tag esetén is.

Ezután osszuk végig az (1) egyenletet $2^{3 y+6} \neq 0$-val. Alkalmazzuk az egyenlő alapú hatványok osztására ismert azonosságot; pl.

$$
\frac{2^{2 y^{2}+4 y}}{2^{3 y+6}}=2^{2 y^{2}+4 y-(3 y+6)}=2^{2 y^{2}+y-6}
$$

A következó egyenletet kapjuk:

$$
2^{2 y^{2}+y-6}-2^{y^{2}-4}-2^{y^{2}+y-2}+1=0
$$

A $2^{y^{2}-4}=a$ és $2^{y^{2}+y-2}=b$ helyettesítéssel, és figyelembe véve, hogy $2^{2 y^{2}+y-6}=a b$, kapjuk, hogy $a b-a-b+1=$ $a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)=0$. Egyenletünk tehát szorzattá alakítható:

$$
\left(2^{y^{2}-4}-1\right)\left(2^{y^{2}+y-2}-1\right)=0
$$

Innen vagy $2^{y^{2}-4}=1$, és $y^{2}-4=0$-ból $y= \pm 2$. Ha $y_{1}=\log _{2} x=2$, akkor $x_{1}=4$; és ha $y_{2}=\log _{2} x=-2$, akkor $x_{2}=\frac{1}{4}$.

Vagy a $2^{y^{2}+y-2}=1$ és az $y^{2}+y-2=0$ egyenletból $y_{3}=\log _{2} x=1$ és $x_{3}=2$; és ha $y_{4}=-2$, akkor $x_{4}=\frac{1}{4}$, ahogy ezt már előbb is kaptuk.

(Helyettesítéssel meggyőzódhetünk, hogy a kapott értékek valóban az egyenlet gyökei, illetve meggondolhatjuk, hogy a megoldás során kizárólag „ekvivalens átalakításokat” hajtottunk végre.)

