Oldjuk meg az $(1+x)^{8}+\left(1+x^{2}\right)^{4}=82 x^{4}$ egyenletet.


Megoldás. Mivel $x=0$ nem megoldás, eloszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát $x^{4}$-nel:

$$
\left[\frac{(1+x)^{2}}{x}\right]^{4}+\left[\frac{1+x^{2}}{x}\right]^{4}=82
$$

Osszunk a zárójeleken belül tagonként $x$-szel:

$$
\begin{aligned}
{\left[\frac{1+2 x+x^{2}}{x}\right]^{4}+\left[\frac{1+x^{2}}{x}\right]^{4} } & =82 \\
{\left[x+\frac{1}{x}+2\right]^{4}+\left[x+\frac{1}{x}\right]^{4} } & =82
\end{aligned}
$$

Most $x+\frac{1}{x}$ helyett bevezethetjük az $y$ új ismeretlent:

$$
\begin{aligned}
(y+2)^{4}+y^{4} & =82 \\
2 y^{4}+8 y^{3}+24 y^{2}+32 y-66 & =0 \\
y^{4}+4 y^{3}+12 y^{2}+16 y-33 & =0
\end{aligned}
$$

Az együtthatók alapján azonnal adódik, hogy $y=1$ ennek az egyenletnek megoldása, így az $(y-1)$ gyöktényező kiemelhető:

$$
y^{4}+4 y^{3}+12 y^{2}+16 y-33=(y-1)\left(y^{3}+5 y^{2}+17 y+33\right)
$$

A harmadfokú egyenletnek gyöke a -3 , így a harmadfokú tényezőból $(y+3)$ kiemelhető:

$$
y^{3}+5 y^{2}+17 y+33=(y+3)\left(y^{2}+2 y+11\right)
$$

Az eredeti egyenlet tehát $(y-1)(y+3)\left(y^{2}+2 y+11\right)=0$ alakba írható. Ez a szorzat csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. A harmadik tényező diszkriminánsa negatív, így csak $y=1$ és $y=-3$ a gyökei ennek az egyenletnek. Tehát a továbbiakban két esetet kell már csak vizsgálnunk. Ha $x+\frac{1}{x}=1$, illetve ha $x+\frac{1}{x}=-3$. Az első esetben

$$
x+\frac{1}{x}=1, \quad x^{2}-x+1=0
$$

Ennek az egyenletnek szintén negatív a diszkriminánsa, nincs valós megoldása. Végül vizsgáljuk az

$$
x+\frac{1}{x}=-3
$$

egyenletet:

$$
x^{2}+3 x+1=0, \quad x_{12}=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}
$$

Ezek valóban megoldásai is az eredeti egyenletnek, tehát:

$$
x_{1}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}, \quad x_{2}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}
$$

