Az $y=x^{2}-5 x+4$ görbét az $y=p$ egyenes két pontban metszi úgy, hogy ezek abscissái, $a$ és $b$, kielégítik az $a^{4}+b^{4}=1297$ egyenletet. Mekkora $a$ és $b ?$


Az $y=p$ egyenes az $y=x^{3}-5 x+4$ görbét oly pontokban metszi, melyeknek abscissái az

$$
x^{2}-5 x+4=p \quad \text { ill. } \quad x^{2}-5 x+(4-p)=0 \ldots
$$

egyenletet elégítik ki. Ha ezen egyenlet gyökei $a$ és $b$, akkor

$$
\begin{gathered}
a+b=5 \ldots \\
a b=4-p \ldots \\
a^{4}+b^{4}=1297 \ldots \\
a^{4}+b^{4}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-2 a^{2} b^{2}=\left[(a+b)^{2}-2 a b\right]^{2}-2 a^{2} b^{2}=1297
\end{gathered}
$$

vagyis

$$
(25-2 a b)^{2}-2 a^{2} b^{2}=1297
$$

Itt az $a b$ szorzatra másodfokú egyenletet kaptunk, melynek rendezett és egyszerúsített alakja:

$$
(a b)^{2}-50(a b)-336=0 \ldots
$$

és innen

$$
a b=25 \pm 31=\left\{\begin{array}{l}
56 \\
-6
\end{array}\right.
$$

Minthogy $a+b=5, a$ és $b$ az

$$
u^{2}-5 u+56=0 \ldots
$$

ill.

$$
u^{2}-5 u-6=0 \ldots
$$

gyökei. A 6) gyökei nem valósak, tehát nem jelenthetik pontok abscissáit. A 7) gyökei: 6 és -1 . $3)$-ból

$$
p=4-a b=4+6=10
$$

Az $y=10$ (az $X$-tengellyel párhuzamos) egyenes a görbét két pontban metszi és ezek abscissái 6 és -1 . (Ordináta: 10).

Ha $a b=56$, akkor $p=4-56=-52$. Az $y=-52$ nem metszi görbét! A görbének ugyanis alsó tetópontja van; ennek ordinátáját a görbe egyenletének

$$
y=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}
$$

alakjából kiolvashatjuk, t.i. $-\frac{9}{4}$

