3.51 Dick 年龄的三倍加上 Tom 的年龄等于 Harry 年龄的二倍, Harry 年龄的立方的二倍等于 Dick 年龄立方的三倍加上 Tom 年龄的立方. 他们的年龄是互质的, 他们年龄的平方和是
(A) 42 .
(B) 46 .
(C) 122 .
(D) 290 .
(E) 326 .
(第23届美国高中数学考试,1972 年)
［解］设 $T, D$ 和 $H$ 分别为 Tom, Dick 和 Harry 的年龄. 那么有
$$
3 D+T=2 H, \quad 2 H^{3}=3 D^{3}+T^{3},
$$

或
$$
\begin{array}{c}
2(H-D)=D+T, \\
2\left(H^{3}-D^{3}\right)=D^{3}+T^{3} .
\end{array}
$$

因为
有 $\frac{2\left(H^{3}-D^{3}\right)}{2(H-D)}=\frac{D^{3}+T^{3}}{D+T}$.
或者 $\quad H^{2}+H D+D^{2}=D^{2}-D T+T^{2}$.
因此 $T^{2}-H^{2}=D(T+H)$, 得 $T-H=D$.
从最后一式和第一式中消去 $T$ 得到 $H=4 D$.
故有 $D=1, H=4$ (因为 $H$ 和 $D$ 是互质数).
于是 $T=H+D=5$, 则所要求的平方和是
$$
T^{2}+D^{2}+H^{2}=5^{2}+1^{2}+4^{2}=42 \text {. }
$$

故选 $(A)$.