## Aufgabe 19/74

Man bestimme alle Lösungen der Gleichung $a^{b}+7=c$, wobei $a, b$ und $c$ Primzahlen sind.




Sicher gilt für $c$, dass $c>7$, also auch $c>2$ ist. Damit ist; die Existenz wenigstens einer Lösung vorausgesetzt; $c$ eine ungerade Primzahl. Da die Summe zweier ungerader Zahlen stets gerade ist, muss $a^{b}$ gerade sein. Damit kommt nur $a=2$ in Frage.

Da $7 \equiv 1(\bmod 3)$ gilt, muss $a^{b}=2^{b} \neq-1(\bmod 3)$ sein, da sonst $c \equiv 0(\bmod 3)$ und wegen $c>7$ somit keine Primzahl wäre. Wegen $a=2 \equiv-1(\bmod 3)$ kann $b$ nicht ungerade sein; es ist nämlich $(-1)^{2 k+1} \equiv-1(\bmod 3)$. Damit verbleibt für $b$ als einzige Möglichkeit $b=2$.

Tatsächlich ergibt sich für $a=2, b=2$ für c eine Primzahl: $2^{2}+7=11$. Damit ist die einzige Lösung $a=2, b=2, c=11$.

