## Zadatak B-1.4.

Na stranici $\overline{A B}$ trokuta $A B C$ dane su točke $P$ i $Q$ takve da vrijedi $|A P|=|P Q|=|Q B|$.

Na stranici $\overline{B C}$ dana je točka $R$ takva da je $|R C|=\frac{1}{3}|B C|$, a na stranici $\overline{A C}$ točka $S$ takva da je $|S C|=\frac{1}{3}|A C|$. Ako je površina četverokuta $P Q R S$ jednaka $16 \mathrm{~cm}^{2}$, kolika je površina trokuta $A B C$ ?


## Drugo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_c317f9bfd22736a3ecebg-06.jpg?height=346&width=605&top_left_y=264&top_left_x=180)

Neka su $v$ visina trokuta $A B C$ iz vrha $C, v_{1}$ visina trokuta $S R C$ iz vrha $C, v_{2}$ visina trokuta $A P S$ iz vrha $S$ i $v_{3}$ visina trokuta $Q B R$ iz vrha $R$.

Vrijedi $\triangle S R C \sim \triangle A B C$ jer je: $\frac{|S C|}{|A C|}=\frac{|R C|}{|B C|}=\frac{1}{3}$ i $\varangle A C B=\varangle S C R$.

Tada je $v_{1}=\frac{1}{3} v$ i $|S R|=\frac{1}{3}|A B|$. Iz sličnosti trokuta $S R C$ i $A B C$ slijedi i da je pravac $S R$ paralelan pravcu $A B$ pa je $v_{2}=v_{3}$. Iz navedenoga slijedi:

$P_{S R C}=\frac{v_{1} \cdot|S R|}{2}=\frac{\frac{1}{3} v \cdot \frac{1}{3}|A B|}{2}=\frac{1}{9} \cdot \frac{v \cdot|A B|}{2}=\frac{1}{9} P_{A B C}$.

Budući je $v=v_{1}+v_{2}$ i $v_{1}=\frac{1}{3} v$, slijedi $v_{2}=v_{3}=\frac{2}{3} v$.

Izrazimo površine trokuta $A P S$ i $Q B R$ pomoću površine trokuta $A B C$.

$P_{A P S}=\frac{v_{2} \cdot|A P|}{2}=\frac{\frac{2}{3} v \cdot \frac{1}{3}|A B|}{2}=\frac{2}{9} \cdot \frac{v \cdot|A B|}{2}=\frac{2}{9} P_{A B C}$.

$P_{S R C}=\frac{v_{3} \cdot|Q B|}{2}=\frac{\frac{2}{3} v \cdot \frac{1}{3}|A B|}{2}=\frac{2}{9} \cdot \frac{v \cdot|A B|}{2}=\frac{2}{9} P_{A B C}$.

Tada je:

$P_{A B C}=P_{A P S}+P_{Q B R}+P_{S R C}+P_{P Q R S}$,

$P_{A B C}=\frac{2}{9} P_{A B C}+\frac{2}{9} P_{A B C}+\frac{1}{9} P_{A B C}+16$,

odnosno: $\frac{4}{9} P_{A B C}=16$.

Konačno, tražena je površina $P_{A B C}=36 \mathrm{~cm}^{2}$.

