## Zadatak B-3.6.

Jedna je kateta pravokutnog trokuta $A B C$ dvostruko dulja od druge. Trokut $A^{\prime} B^{\prime} C$ nastaje rotacijom trokuta $A B C$ oko vrha pravog kuta $C$ za $30^{\circ}$. Točke $A, A^{\prime}, B, B^{\prime}$ i $C$ vrhovi su konveksnog peterokuta čija je površina $20+8 \sqrt{3}$. Izračunajte duljine kateta trokuta $A B C$.


## Drugo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_ab4e7c3a83d03c059773g-16.jpg?height=409&width=894&top_left_y=298&top_left_x=498)

1 bod

$P\left(A A^{\prime} B B^{\prime} C\right)=P\left(C A A^{\prime}\right)+P\left(C A^{\prime} B\right)+P\left(C B B^{\prime}\right)$ 1 bod

Trokut $C D A^{\prime}$ je polovica jednakostraničnog trokuta stranice duljine $b$ iz čega slijedi $\left|A^{\prime} D\right|=\frac{1}{2} b$. Zato je $P\left(C A A^{\prime}\right)=\frac{1}{2} b \cdot \frac{b}{2}=\frac{1}{4} b^{2}$.

Analogno, kako je trokut $B E C$ pola jednakostraničnog trokuta stranice duljine $2 b$, dobivamo $P\left(B B^{\prime} C\right)=\frac{1}{2} \cdot 2 b \cdot b=b^{2}$.

Trokuti $C A^{\prime} B$ i $B E C$ su sukladni (SKS: $b, 60^{\circ}, 2 b$ ) pa je

$P\left(C A^{\prime} B\right)=P(B E C)=\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 b)^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{b^{2} \sqrt{3}}{2}$.

Iz zadanog uvjeta slijedi $P\left(C A A^{\prime}\right)+P\left(C A^{\prime} B\right)+P\left(C B B^{\prime}\right)=20+8 \sqrt{3}$, odnosno

$$
\frac{1}{4} b^{2}+b^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} b^{2}=20+8 \sqrt{3}
$$

1 bod

Tada je $5 b^{2}+2 b^{2} \sqrt{3}=80+32 \sqrt{3}$ 1 bod te konačno $b^{2}=16$.

Duljine kateta zadanog trokuta su 4 i 8.

