## Zadatak A-4.3.

Zadana je elipsa s jednadžbom $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ i hiperbola kojoj su žarišta u glavnim tjemenima te elipse, a tjemena u žarištima elipse. Odredi sjecišta hiperbole i elipse.


## Rješenje.

Iz jednadžbe elipse iščitavamo da je velika poluos $a=3$ i mala poluos $b=2$, odakle slijedi da je udaljenost žarišta elipse od ishodišta $e=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{5}$.

Dakle, žarišta hiperbole su u točkama $( \pm 3,0)$, a njezina tjemena u točkama $( \pm \sqrt{5}, 0)$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_ce71b02a7f068198719dg-25.jpg?height=560&width=766&top_left_y=485&top_left_x=568)

Sada zaključujemo da je jednadžba promatrane hiperbole

$$
1=\frac{x^{2}}{e^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-e^{2}}=\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}
$$

Zbrajanjem jednadžbi elipse i hiperbole dobivamo

$$
2=\frac{x^{2}}{5}+\frac{x^{2}}{9}=\frac{14 x^{2}}{45}
$$

odakle slijedi $x= \pm \frac{3 \sqrt{35}}{7}$, a zatim uvrštavanjem natrag u jednu od jednadžbi krivulja slijedi i $y= \pm \frac{2 \sqrt{14}}{7}$, čime dobivamo četiri tražena sjecišta:

$$
\left(\frac{3 \sqrt{35}}{7}, \frac{2 \sqrt{14}}{7}\right), \quad\left(\frac{3 \sqrt{35}}{7},-\frac{2 \sqrt{14}}{7}\right), \quad\left(-\frac{3 \sqrt{35}}{7}, \frac{2 \sqrt{14}}{7}\right), \quad\left(-\frac{3 \sqrt{35}}{7},-\frac{2 \sqrt{14}}{7}\right)
$$

