## Aufgabe 3 - 290713

Rolf sagt an seinem Geburtstag, dem 1. September 1989:

"Die Quersumme der Jahreszahl meines Geburtsjahres ist zugleich auch das in Jahren gerechnete Alter, das ich heute erreiche."

Untersuche, ob es genau ein Jahr als Rolfs Geburtsjahr gibt, für das seine Aussage zutrifft! Ist das der Fall, so gib dieses Geburtsjahr an!




I. Wenn Rolfs Aussage zutrifft, dann folgt:

Wäre Rolf vor dem Jahr 1900 geboren, dann müsste die Quersumme seines Geburtsjahres, da sie gleich seinem Alter ist, größer als 89 sein, was für keine Jahreszahl vor 1900 zutrifft. Also wurde Rolf in einem

Jahr mit einer Zifferndarstellung 19xy geboren. Die Quersumme $1+9+x+y$ ist zugleich Rolfs Alter im Jahr 1989; d.h., es gilt

$$
1+9+x+y=1989-(1900+10 x+y) \quad \Rightarrow \quad x=\frac{79-2 y}{11}
$$

Da $x$ eine natürliche Zahl ist, muss $79-2 y$ durch 11 teilbar sein. Wie z.B. ein Durchprobieren aller natürlichen Zahlen $y$ mit $0 \leq y \leq 9$ zeigt, ist das nur für $y=1$ der Fall. Damit ergibt sich $x=7$. Also kann Rolfs Aussage nur dann zutreffen, wenn er im Jahr 1971 geboren wurde.

II. Bei diesem Geburtsjahr trifft die Aussage in der Tat zu; denn im Jahr 1989 ist Rolf dann 18 Jahre alt, und $1+9+7+1=18$ ist auch die Quersumme der Jahreszahl 1971. Mit I. und II. ist bewiesen: Es gibt genau ein Jahr als Rolfs Geburtsjahr, für das seine Aussage zutrifft, nämlich das Jahr 1971.

