## Aufgabe $2 / 90$

Das Viereck $A B C D$ mit den festliegenden Seiten $A B=a, B C=b, C D=c$ und $D A=d$ sowie den noch nicht bestimmten Winkeln $\measuredangle D A B=\alpha, \measuredangle A B C=\beta, \measuredangle B C D=\gamma$ und $\measuredangle C D A=\delta$ sei ein Tangentenviereck.

Welche Bedingungen müssen die Seiten erfüllen, wenn es zugleich ein Sehnenviereck sein soll?




In einem Tangentenviereck sind bekanntlich die Summen der gegenüberliegenden Seiten einander gleich. Demnach gilt $a+c=b+d$. In einem Sehnenviereck ist bekanntlich die Summe gegenüberliegender Winkel gleich $180^{\circ}$. Es muss also gelten $\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^{\circ}$.

Nun gilt für die Diagonalen $A C$ und $B D$ nach dem Kosinussatz

$$
A C^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \beta=c^{2}+d^{2}-2 c d \cos \delta=c^{2}+d^{2}+2 c d \cos \delta
$$

(wegen $\delta=180^{\circ}-\beta$ ) und

$$
B D^{2}=a^{2}+d^{2}-2 a d \cos \alpha=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \gamma=b^{2}+c^{2}+2 b c \cos \alpha
$$

(wegen $\gamma=180^{\circ}-\alpha$ ). Daraus folgt

$$
\cos \alpha=\frac{a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(a d+b c)} \quad ; \quad \cos \beta=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(a b+c d)}
$$

Reelle Lösungen für $\alpha$ und $\beta$ und damit für $\gamma$ und $\delta$ existieren genau dann, wenn

$$
\left|\frac{a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(a d+b c)}\right| \leq 1 \quad ; \quad\left|\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(a b+c d)}\right| \leq 1
$$

ist. Dass dies tatsächlich realisierbar ist, zeigt das Beispiel des Quadrates, aber auch das Drachenviereck mit $2 a=b=c=2 d$ u.a.
