## Zadatak A-4.1.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ takve da je $2^{n!}=m^{3}+37$.


## Prvo rješenje.

Za $n=1$ dobijemo $2=m^{3}+37$, što očito ne može vrijediti ni za koji prirodan broj $m$.

Za $n=2$ dobijemo $4=m^{3}+37$, što također ne može vrijediti.

Slijedi da je $n \geqslant 3$. Budući da je u tom slučaju $n$ ! djeljivo s 3 , izraz $2^{n!}$ je kub prirodnog broja, što znači da je i $m^{3}+37$ također kub prirodnog broja.

Kako je $2^{n!}=m^{3}+37>m^{3}$, mora vrijediti $2^{n!} \geqslant(m+1)^{3}$, tj.

$$
m^{3}+37 \geqslant(m+1)^{3} \Longrightarrow m^{2}+m \leqslant 12
$$

Zadnju nejednakost zadovoljavaju samo prirodni brojevi manji od ili jednaki 3 .

Za $m=1$ je $m^{3}+37=38$, što nije kub prirodnog broja.

Za $m=2$ je $m^{3}+37=45$, što također nije kub prirodnog broja.

Za $m=3$ je $m^{3}+37=64=2^{6}$, pa slijedi $n!=6$, tj. $n=3$.

Dakle, jedino rješenje je $m=3, n=3$.

