
4. Sia $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ la successione definita per ricorrenza come segue:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=4 \\
x_{n+1}=x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{n}+5 \quad \text { per } n \geq 1
\end{array}\right.
$$

(I primi termini della successione sono quindi $x_{1}=4, x_{2}=4+5=9, x_{3}=4 \cdot 9+5=41, \ldots$ ) Trovare tutte le coppie di interi positivi $\{a, b\}$ tali che $x_{a} x_{b}$ è un quadrato perfetto.


SOLUzione: Dimostreremo che l'unica coppia che soddisfa le condizioni del problema è $\{1,2\}$. (Chiaramente si ha una soluzione anche se $a=b=n$ per ogni $n$, ma in questo caso $\{a, b\}$ non è una coppia; aver o non aver considerato questo caso è comunque ininfluente ai fini della valutazione).

Possiamo ovviamente supporre, per simmetria, $a>b$.

Per $n \geq 2$, sfruttando il fatto che $x_{1} \ldots x_{n-1}=x_{n}-5$, possiamo scrivere anche $x_{n+1}=\left(x_{1} \ldots x_{n-1}\right) x_{n}+5=$ $\left(x_{n}-5\right) x_{n}+5=x_{n}^{2}-5 x_{n}+5$.

Osserviamo che per $a>b$ si ha $x_{a}=x_{1} \ldots x_{b} \ldots x_{a-1}+5$, quindi, se un primo divide sia $x_{a}$ che $x_{b}$, allora divide $x_{a}-x_{1} \ldots x_{b} \ldots x_{a-1}=5$.

Tuttavia, 5 divide $x_{n+1}=x_{n}^{2}-5 x_{n}+5$ se e solo se divide $x_{n}$ : ne segue che se un termine della successione non è divisibile per 5 , neanche il successivo lo è. Dato che $x_{1}$ non è divisibile per 5 , nessun termine della successione è divisibile per 5 .

Questo dimostra che $x_{a}$ e $x_{b}$ non hanno mai divisori primi in comune, quindi $x_{a} x_{b}$ è un quadrato perfetto se $\mathrm{e}$ solo se lo sono sia $x_{a}$ che $x_{b}$ : cerchiamo perciò quali quadrati perfetti ci siano nella successione.

Certamente $x_{1}=4$ e $x_{2}=9$ sono quadrati, quindi $\{1,2\}$ è una soluzione.

D'altra parte, siccome $x_{2}=9$, per $n \geq 2$ il numero $x_{n}$ è della forma $x_{n}=9 k+5$ e quindi, in particolare, dà resto 2 nella divisione per 3. Ora è facile verificare che nessun quadrato ha questa proprietà, in quanto il quadrato di un multiplo di 3 è un multiplo di 3 mentre il quadrato di un numero della forma $3 m \pm 1$ è $9 m^{2} \pm 6 m+1 \mathrm{e}$ quindi dà resto 1 nella divisione per 3. Quindi non ci sono altre soluzioni oltre a quella trovata.

Alternativamente, in forma forse più elementare, visto che per $n \geq 2$ abbiamo $x_{n+1}=x_{n}^{2}-5 x_{n}+5$, possiamo studiare l'equazione $x^{2}-5 x+5=a^{2}$ con $x, a$ interi positivi.

Moltiplicando entrambi i membri per 4 otteniamo

$$
\begin{gathered}
4 a^{2}=4 x^{2}-20 x+20=(2 x-5)^{2}-5 \Rightarrow 5=(2 x-5)^{2}-4 a^{2} \\
\Rightarrow(2 x-2 a-5)(2 x+2 a-5)=5 .
\end{gathered}
$$

Siccome 5 è divisibile solo per $\pm 1, \pm 5$ e $2 x+a-5>2 x-a-5$, ci sono solo le due possibilità $2 x+2 a-5=$ $-1,2 x-2 a-5=-5$ e $2 x+2 a-5=5,2 x-2 a-5=1$, che portano rispettivamente a $x=1, a=1 \mathrm{e}$ $x=4, a=1$. Il numero 1 , comunque, non può comparire nella successione, perché $x_{1}=4$ e ogni termine è più grande del precedente.

Se ne deduce nuovamente che nella successione non compaiono quadrati perfetti, a parte $x_{1}=4, x_{2}=9$ (che non si esprimono nella forma $x^{2}-5 x+5$ ).
