## Zadatak B-4.1.

Za koje je vrijednosti realnoga broja $x$ zbroj trećega i petoga člana u razvoju binoma $\left(\sqrt{2^{x}}+2^{\frac{-x+1}{2}}\right)^{n}$ jednak 135 ako je zbroj binomnih koeficijenata posljednja tri člana toga razvoja jednak 22 ?


## Rješenje.

Zbroj binomnih koeficijenata posljednja tri člana jednak je zbroju binomnih koeficijenata prva tri člana pa možemo pisati:

$$
\binom{n}{n}+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n-2}=22 \text { ili }\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}=22
$$

Nakon raspisivanja i binomnih koeficijenata i sređivanja dobivamo kvadratnu jednadžbu $n^{2}+n-42=0$ čija su rješenja $n_{1}=-7$ i $n_{2}=6$.

Budući je $n$ prirodan broj, jedino moguće rješenje je $n=6$.

Označimo s $T_{k+1}(k+1)$. član u razvoju binoma $(a+b)^{n}$. Tada je $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$ pa su treći i peti član razvoja binoma jednaki:

$T_{3}=\binom{6}{2}\left(\sqrt{2^{x}}\right)^{4}\left(2^{\frac{-x+1}{2}}\right)^{2}=15 \cdot 2^{x+1}$

$T_{5}=\binom{6}{4}\left(\sqrt{2^{x}}\right)^{2}\left(2^{\frac{-x+1}{2}}\right)^{4}=15 \cdot 2^{2-x}$

1 bod

Prema uvjetu zadatka je $T_{3}+T_{5}=135$ pa treba riješiti jednadžbu $15 \cdot 2^{x+1}+15 \cdot 2^{2-x}=135$. 1 bod

Uvođenjem supstitucije $2^{x}=t$ dobivamo $2 t^{2}-9 t+4=0$, odnosno, $t_{1}=\frac{1}{2}$ i $t_{2}=4$. 1 bod Iz $2^{x}=t$, tražene vrijednosti su $x_{1}=-1$ i $x_{2}=2$. 1 bod

