## Aufgabe $6 / 67$

Bestimme alle reellen Zahlen $x$, für die gilt

$$
\frac{\sqrt{x}-0,5 x}{0,5 \sqrt{x}-x} \leq 15 \sqrt{x}
$$




Man substituiert $p=\sqrt{x}$, so dass die Ungleichung die Form

$$
\frac{p-0,5 p^{2}}{0,5 p-p^{2}} \leq 15 p
$$

annimmt, kürzt die linke Seite mit $p$ ( $p=0$ ist offenbar ausgeschlossen) und subtrahiert auf beiden Seiten $15 p$

$$
\frac{15 p^{2}-8 p+1}{0,5-p} \leq 0
$$

Diese Ungleichung ist erfüllt, wenn entweder

1.) $15 p^{2}-8 p+1 \leq 0$ und $0,5-p>0$ oder 2.) $15 p^{2}-8 p+1 \geq 0$ und $0,5-p0$ erfüllt ist. Damit folgt zunächst

$$
\frac{1}{25} \leq x \leq \frac{1}{9}
$$

Für 2. folgt, dass $p>0,5$ ist. Die Ungleichung $15 p^{2}-8 p+1=(5 p-1)(3 p-1) \geq 0$ ist aber für alle Werte $p>0,5$ sicher erfüllt. Damit ergibt sich weiter $x>\frac{1}{4}$.

Die Ungleichung ist also für alle reellen Zahlen erfüllt, für die gilt

$$
\frac{1}{25} \leq x \leq \frac{1}{9} \quad \text { oder } \quad x>\frac{1}{4}
$$

