## 16. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Sia $k \geq 1$ un numero naturale. Determinare in funzione di $k$ il numero di interi positivi $n$ con le seguenti proprietà:

(a) in base dieci si scrivono con $k$ cifre, tutte dispari;

(b) sono divisibili per 5 , e il quoziente $\frac{n}{5}$, scritto in base dieci, ha ancora $k$ cifre, tutte dispari.
16. Il numero di interi positivi $n$ con le proprietà (a) e (b) è $3^{k-1}$.

Per dimostrarlo si consideri il numero intero $\frac{n}{5}$ e siano $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k-1}$ le sue cifre, ossia

$$
\frac{n}{5}=a_{k-1} 10^{k-1}+\ldots+a_{1} 10+a_{0}
$$

Per (b) le cifre $a_{i}$ sono tutte dispari, cioè $a_{i} \in\{1,3,5,7,9\}$ per ogni $i=0,1, \ldots, k-1$.

Poiché $n$ in base 10 ha esattamente $k$ cifre, si deduce che $a_{k-1}=1$, perché altrimenti, se fosse $a_{k-}>1$, si avrebbe

$$
n=5 \cdot \frac{n}{5} \geq 5 \cdot a_{k-1} 10^{k-1} \geq 10^{k}
$$

cioè $n$ avrebbe almeno $k+1$ cifre.

Inoltre, si osservi che per ogni intero $a$ si ha $5 a=\frac{a-1}{2} 10+5$, per cui nel nostro caso, ricordando che $a_{k-1}=1$, vale

$$
\begin{aligned}
& n=5 \cdot \frac{n}{5}=5\left(a_{k-1} 10^{k-1}+\cdots+a_{1} 10+a_{0}\right)=5 a_{k-1} 10^{k-1}+5 a_{k-2} 10^{k-2} \cdots+5 a_{1} 10+a_{0}= \\
& 5 \cdot 10^{k-1}+\left(\frac{a_{k-2}-1}{2} 10+5\right) 10^{k-2}+\cdots+\left(\frac{a_{1}-1}{2} 10+5\right) 10+\frac{a_{0}-1}{2} 10+5= \\
& 5 \cdot 10^{k-1}+\frac{a_{k-2}-1}{2} 10^{k-1}+5 \cdot 10^{k-2}+\cdots+\frac{a_{1}-1}{2} 10^{2}+5 \cdot 10+\frac{a_{0}-1}{2} 10+5= \\
& \left(5+\frac{a_{k-2}-1}{2}\right) 10^{k-1}+\left(5+\frac{a_{k-3}-1}{2}\right) 10^{k-2}+\cdots+\left(5+\frac{a_{1}-1}{2}\right)^{2} 10^{2}+\left(5+\frac{a_{0}-1}{2}\right) 10+5
\end{aligned}
$$

Quella scritta sopra, dato che gli $a_{i}$ sono cifre dispari, è la scrittura decimale di $n$, perché

$0 \leq 5+\frac{a_{i}-1}{2} \leq 9$ e $\frac{a_{i}-1}{2}$ è intero per ogni $i=0, \ldots, k-2$.

Poiché per (a) $n$ ha $k$ cifre dispari, si deduce che $5+\frac{a_{i-1}-1}{2}$ deve essere dispari per $i=1, \ldots, k-1$, ossia $a_{i}$ può assumere solo i valori 1,5 e 9 .

Ci sono quindi al più tre modi per scegliere $a_{i}, i=0, \ldots, k-2$, mentre $a_{k-1}=1$, cioè ci sono al più $3^{k-1}$ candidati per $\frac{n}{5}$ e quindi per $n$.

La formula esplicita (1) mostra altresì che ogni tale scelta fornisce un numero $n$ che soddisfa (a) e (b).

Resta quindi dimostrato che tali numeri sono esattamente $3^{k-1}$.

Seconda Soluzione

Notiamo innanzi tutto che, per $k$ naturale fissato maggiore di 0 , gli interi positivi che verificano le proprietà (a) e (b) sono tanti quanti gli interi positivi di $k$ cifre tutte dispari la cui moltiplicazione per 5 è ancora di $k$ cifre dispari, dato che la moltiplicazione per 5 è una funzione iniettiva.

Sia $a_{1} a_{2} \ldots a_{k}$ la scrittura in base dieci di un intero con tutte cifre dispari la cui moltiplicazione per 5 sia ancora di $k$ cifre dispari. Ogni moltiplicazione $a_{i} \cdot 5$ ha 5 come cifra delle unità.

La cifra $a_{1}$ è 1 , dato che $3 \cdot 5=15$ produce già un'unità della potenza di dieci successiva, dunque il prodotto per 5 avrebbe $n+1$ cifre.

Per $i=2, \ldots, n$ la cifra delle decine di $a_{i} \cdot 5$ deve essere pari perchè deve dare una cifra dispari sommato con le 5 unità del numero $a_{i-1} \cdot 5$ : dunque $a_{i}$ è 1,5 , o 9 per $i=2, \ldots, n$.

Per $k>0$ naturale, il numero degli interi positivi che verificano le proprietà (a) e (b) è $3^{k-1}$.