## Zadatak B-3.6.

Odredite $\cos x$ ako je

$$
\log _{27}\left(\sin 2 x-\frac{1}{3} \cos x\right)=\frac{1}{3}+\log _{3}(-\cos x)
$$


## Prvo rješenje.

Rješenje zadatka mora zadovoljavati sljedeće uvjete:

$$
\sin 2 x-\frac{1}{3} \cos x>0, \quad-\cos x>0
$$

Odatle je $2 \sin x \cos x-\frac{1}{3} \cos x>0$, a kako je $\cos x$ negativan, dobivamo $2 \sin x-\frac{1}{3}<0$.

Dakle, uvjeti se svode na $\sin x<\frac{1}{6}, \cos x<0$.

Logaritme u zadanoj jednakosti prebacimo u bazu 3, a zatim se riješimo logaritama:

$$
\begin{array}{cc}
\frac{1}{3} \log _{3}\left(\sin 2 x-\frac{1}{3} \cos x\right)=\frac{1}{3}+\log _{3}(-\cos x) & 1 \text { bod } \\
\log _{3}\left(\sin 2 x-\frac{1}{3} \cos x\right)=1+3 \log _{3}(-\cos x) & \\
\log _{3}\left(\sin 2 x-\frac{1}{3} \cos x\right)=\log _{3} 3+\log _{3}(-\cos x)^{3} & \\
\log _{3}\left(\sin 2 x-\frac{1}{3} \cos x\right)=\log _{3}\left(-3 \cos ^{3} x\right) & 2 \text { boda } \\
\sin 2 x-\frac{1}{3} \cos x=-3 \cos ^{3} x & 1 \text { bod } \\
2 \sin x \cos x-\frac{1}{3} \cos x=-3 \cos ^{3} x &
\end{array}
$$

Sada podijelimo s $\cos x(\cos x \neq 0)$

$$
\begin{gathered}
2 \sin x-\frac{1}{3}=-3 \cos ^{2} x \\
2 \sin x-\frac{1}{3}=-3\left(1-\sin ^{2} x\right) \\
3 \sin ^{2} x-2 \sin x-\frac{8}{3}=0
\end{gathered}
$$

Ovo je kvadratna jednadžba po $\sin x \mathrm{~s}$ rješenjima $-\frac{2}{3} \mathrm{i} \frac{4}{3}$.

Jedino rješenje je $\sin x=-\frac{2}{3}$

a zbog uvjeta je $\cos x=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

