10. Given that the circumcenter of $\triangle A B C$ is $O$, and $2 \overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=0$.

Then $\cos \angle B A C=$ $\qquad$
10. $\frac{1}{4}$.

Assume the circumradius of $\triangle ABC$ is 1.
$$
\begin{array}{l}
\text { From } 2 \overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=\mathbf{0} \\
\Rightarrow 2 \overrightarrow{O A}=-3 \overrightarrow{O B}-4 \overrightarrow{O C} \\
\Rightarrow 4=9+16+24 \overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C} \\
\Rightarrow \overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=-\frac{7}{8} .
\end{array}
$$

Similarly, $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O C}=-\frac{11}{16}, \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\frac{1}{4}$. Then $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}) \cdot(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A})$ $=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O A}$ $=-\frac{7}{8}+\frac{11}{16}-\frac{1}{4}+1=\frac{9}{16}$. Also, $|\overrightarrow{A B}|^{2}=(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}) \cdot(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})$ $=2-2 \times \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$, $|\overrightarrow{A C}|^{2}=(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}) \cdot(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A})$ $=2-2\left(-\frac{11}{16}\right)=\frac{27}{8}$, hence $\cos \angle B A C=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{A C}|}=\frac{1}{4}$.