## Zadatak A-1.3. (4 boda)

Tri kružnice polumjera $2 \mathrm{~cm}$ nalaze se u ravnini tako da središte svake od njih leži na sjecištu drugih dviju kružnica. Odredi površinu presjeka svih triju krugova određenih tim kružnicama.


## Rješenje.

Presjek krugova sastoji se od jednakostraničnog trokuta $S_{1} S_{2} S_{3}$ stranice duljine 2 i tri sukladna kružna odsječka.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5dbbe9edfad2d8808b54g-02.jpg?height=480&width=511&top_left_y=702&top_left_x=790)

Površina tog jednakostraničnog trokuta iznosi $P_{1}=\frac{2^{2} \sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$.

Površina $P_{2}$ jednog odsječka jednaka je površini kružnog isječka sa središnjim kutom $60^{\circ}$ umanjenoj za površinu trokuta $S_{1} S_{2} S_{3}$. Budući da kružni isječak ima pripadni kut od $60^{\circ}$, njegova površina je jednaka šestini površine kruga radijusa 2 .

Dakle, $\quad P_{2}=\frac{1}{6} \cdot 2^{2} \pi-\sqrt{3}=\frac{2}{3} \pi-\sqrt{3}$.

Konačno, $\quad P=P_{1}+3 P_{2}=\sqrt{3}+3\left(\frac{2}{3} \pi-\sqrt{3}\right)=2(\pi-\sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$.
