4. For any $a, b \in \mathbf{R}$,
$$
\max \{|a+b|,|a-b|,|1-b|\}
$$

the minimum value is $\qquad$.
4. $\frac{1}{2}$.

Let $x=\max \{|a+b|,|a-b|,|1-b|\} \geqslant 0$, then
$$
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array} { l } 
{ x \geqslant | a + b | , } \\
{ x \geqslant | a - b | , } \\
{ x \geqslant | 1 - b | }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
-x \leqslant a+b \leqslant x, \\
-x \leqslant a-b \leqslant x, \\
-x \leqslant 1-b \leqslant x
\end{array}\right.\right. \\
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
-x \leqslant a+b \leqslant x, \\
-x \leqslant b-a \leqslant x, \\
-2 x \leqslant 2-2 b \leqslant 2 x .
\end{array}\right.
\end{array}
$$
(1) + (2) + (3) gives $-4 x \leqslant 2 \leqslant 4 x$. Solving this, we get $x \geqslant \frac{1}{2}$.

Furthermore, when $a+b=\frac{1}{2}, b-a=\frac{1}{2}, 1-b=\frac{1}{2}$, there is a solution $a=0, b=\frac{1}{2}$.
Thus, when $a=0, b=\frac{1}{2}$, $x$ reaches its minimum value $\frac{1}{2}$.