
Subiectul IV. (20 puncte) Fie matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & a^{2} \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9\end{array}\right)$ si $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 a & a^{2} \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 6 & 9\end{array}\right)$.

a) Scrieți rezultatul determinantului $\operatorname{det}\left(A \cdot B^{t}\right)$ sub formă de produs;

b) Scrieți rezultatul determinantului $D=\left|\begin{array}{lll}\left(x^{2}+1\right)^{2} & (x y+1)^{2} & (x z+1)^{2} \\ (x y+1)^{2} & \left(y^{2}+1\right)^{2} & (y z+1)^{2} \\ (x z+1)^{2} & (y z+1)^{2} & \left(z^{2}+1\right)^{2}\end{array}\right|$ sub formă de produs. prof. Anca Cristina Hodorogea, ISJ Cluj

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

SUCCES!

Timp efectiv de lucru - 3 ore.

## Barem clasa a XI-a  (OLM 2014-etapa locală)

## Of. $10 \mathrm{p}$

## Subiectul IV.

a) $\operatorname{det}\left(A \cdot B^{t}\right)=2(2-a)^{2}(3-a)^{2}$
b) $\left(\begin{array}{lll}\left(x^{2}+1\right)^{2} & (x y+1)^{2} & (x z+1)^{2} \\ (x y+1)^{2} & \left(y^{2}+1\right)^{2} & (y z+1)^{2} \\ (x z+1)^{2} & (y z+1)^{2} & \left(z^{2}+1\right)^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 x & 2 y & 2 z \\ x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\right) \Rightarrow D=2(z-x)^{2}(z-y)^{2}(y-x)^{2}$

