\section*{Aufgabe 2 - 021242}

Für welche Zahlen \(x\) des Intervalls \(0<x<\pi\) gilt

\[
\frac{\tan 2 x}{\tan x}-\frac{2 \cot 2 x}{\cot x} \leq 1
\]


}

Zuerst kann man mit \(\cot x=\frac{1}{\tan x}\) und \(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}\) die Ungleichung umformen \(\mathrm{zu}\)

\[
0 \leq 1-\frac{2}{1-\tan ^{2} x}+2 \frac{1-\tan ^{2} x}{2}=f(x)
\]

( \(f(x)\) dient als Abkürzung des Ausdrucks).

Zuerst betrachtet man die zugehörige Gleichung, um alle Nulldurchgänge zu finden. Durch die Substitution \(z=1-\tan ^{2} x\) erhält man die quadratische Gleichung \(z f(x)=z^{2}+z-2=0\), die die Lösungen -2 und 1 besitzt.

Daraus folgt, dass das Gleichheitszeichen in der Ungleichung bei \(x=\frac{\pi}{3}\) und \(x=\frac{2 \pi}{3}\) gilt (es gilt auch bei \(x=0\) und \(x=\pi\), was aber nicht im gewünschten Intervall liegt).

Weiterhin stellt man fest, dass die Ungleichung bei \(x \in\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right\}\) nicht definiert ist. Da \(f(x)\) auf dem Rest des Intervalls \((0, \pi)\) stetig ist, wechselt das Vorzeichen der Funktion nur an Nullstellen und an Stellen, wo sie nicht definiert ist. Es reicht also, aus jedem Teilintervall einen Punkt zu überprüfen.

Zum Beispiel ist im Intervall \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\) der Wert \(f\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{4}{3}\) und \(f\) somit überall negativ; die Ungleichung ist hier nicht erfüllt.

Auf \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right.\) ) (mit der obigen Substitution: \(z \in(-2,0)\) ) nutzt man \(z f(x)0\) zu folgern.

Ähnlich geht man auch mit den anderen Intervallen vor und findet, dass die Ungleichung auf der Menge gilt:

\[
\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right] \cup\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{3 \pi}{4}\right)
\]

\section*{Übernommen aus \([2]\)}

