
Zadatak B-2.6. Odredite sve kvadratne jednadžbe oblika $x^{2}+p x+q=0$ ako za koeficijente $p, q \in \mathbb{R}$ vrijedi $|p-q|=2012$, a zbroj kvadrata njezinih rješenja iznosi $2012^{2}$.


Prvo rješenje. Iz $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2012^{2}$ i Vieteovih formula slijedi

$$
\begin{aligned}
\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2} & =2012^{2} \\
p^{2}-2 q & =2012^{2}
\end{aligned}
$$

(2 boda)

Kako je $|p-q|=2012$, imamo dva slučaja

$$
p-q=2012 \quad \text { ili } \quad p-q=-2012
$$

odnosno dva sustava jednadžbi

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ p - q = 2 0 1 2 } \\
{ p ^ { 2 } - 2 q = 2 0 1 2 ^ { 2 } }
\end{array} \quad \text { i } \quad \left\{\begin{array}{l}
p-q=-2012 \\
p^{2}-2 q=2012^{2}
\end{array}\right.\right.
$$

U prvom slučaju $q=p-2012$, što $\mathrm{s}(*)$ daje

$$
p^{2}-2 p-2010 \cdot 2012=0
$$

odnosno

$$
(p-2012)(p+2010)=0
$$

Tada su rješenja prvog sustava

$$
p_{1}=2012, q_{1}=0 \quad \mathrm{i} \quad p_{2}=-2010, q_{2}=-4022
$$

U drugom slučaju $q=p+2012$, što s $(*)$ daje

$$
p^{2}-2 p-2014 \cdot 2012=0
$$

odnosno

$$
(p-2014)(p+2012)=0
$$

Tada su rješenja drugog sustava

$$
p_{3}=2014, q_{3}=4026 \quad \text { i } \quad p_{4}=-2012, q_{4}=0
$$

Kvadratne jednadžbe su

$$
\begin{aligned}
x^{2}+2012 x & =0 \\
x^{2}-2012 x & =0 \\
x^{2}+2014 x+4026 & =0 \\
x^{2}-2010 x-4022 & =0
\end{aligned}
$$
