## Aufgabe 22/63

Gesucht sind drei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, deren Quadratsumme eine aus vier gleichen Ziffern bestehende Zahl ist.




Die drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen seine $(2 n-1),(2 n+1)$ und $(2 n+3)$ mit zunächst noch unbekanntem, ganzzahligen $n$. Dann gilt auf Grund der Aufgabenstellung

$$
(2 n-1)^{2}+(2 n+1)^{2}+(2 n+3)^{2}=1111 a
$$

mit $0 \leq a \leq 9, a$ ganzzahlig. Es handelt sich also um eine Gleichung mit zwei Unbekannten, die gewissen Einschränkungen unterliegen (diophantisches Problem). Berechnet man die Quadrate, so ergibt sich

$$
12 n^{2}+12 n+11=1111 a \rightarrow 12 n(n+1)=11(101 a-1)
$$

Die linke Seite dieser Gleichung ist durch 12 teilbar, daraus folgt, dass auch die rechte Seite durch 12 teilbar ist. Also ist der Ausdruck $(101 a-1)$ durch 12 teilbar. Offenbar kommen für $a$ damit nur ungerade Werte in Frage, da sonst 101a gerade und mithin $(101 a-1)$ ungerade wäre.

Man stellt leicht fest, dass von den Werten $a=1 ; 3,5 ; 7 ; 9$ nur der Wert $a=5$ die geforderte Bedingung erfüllt: $12 n(n+1)=11(101 \cdot 5-1)=5544$.

Damit ergibt sich für $n$ die quadratische Gleichung

$$
12 n^{2}+12 n-5544=0
$$

mit den Lösungen $n_{1}=21$ und $n_{2}=-22$. Aus $n_{1}$ ergeben sich die drei ungeraden Zahlen 41,43 und 45 und aus $n_{2}$ die drei ungeraden Zahlen -45, -43 und -41 (also bis auf die Vorzeichen dieselben). Tatsächlich ist

$$
( \pm 41)^{2}+( \pm 43)^{2}+( \pm 45)^{2}=5555
$$

