## Zadatak A-4.2. (4 boda)

Dana je elipsa čija je jednadžba $x^{2}+4 y^{2}=36$. Kružnica $k$ ima središte u točki $(0,3)$ i prolazi žarištima dane elipse. Odredi sva sjecišta kružnice $k$ s elipsom.


## Rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_5dbbe9edfad2d8808b54g-24.jpg?height=805&width=939&top_left_y=543&top_left_x=570)

Iz jednadžbe je vidljivo da su poluosi elipse $a=6, b=3$.

Budući da je točka $(0,3)$ na elipsi, zbroj udaljenosti te točke od žarišta je $2 a=12$. Odavde slijedi da je polumjer kružnice $k$ jednak 6 .

Jednadžba kružnice $k$ je $x^{2}+(y-3)^{2}=36$.

Tražimo rješenja sustava

$$
\begin{array}{r}
x^{2}+4 y^{2}=36 \\
x^{2}+(y-3)^{2}=36
\end{array}
$$

Oduzmemo li te dvije jednadžbe dobivamo $4 y^{2}-(y-3)^{2}=0$.

Odavde dobivamo $4 y^{2}=(y-3)^{2}$, tj. $2 y= \pm(y-3)$.

Imamo dva rješenja $y_{1}=-3, y_{2}=1$.

Iz jednadžbe elipse dobivamo $x_{1}=0$ i $x_{2,3}= \pm \sqrt{36-4}= \pm 4 \sqrt{2}$.

Tražene točke su $(0,-3),(4 \sqrt{2}, 1),(-4 \sqrt{2}, 1)$.

Varijacija. (Drugi dokaz da polumjer kružnice iznosi 6.)

Budući da je $\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{27}=3 \sqrt{3}$, zaključujemo da se žarišta elipse nalaze u točkama $(3 \sqrt{3}, 0)$ i $(-3 \sqrt{3}, 0)$. Odavde slijedi da je polumjer kružnice $k$ jednak $\sqrt{27+9}=6$.

