## Zadatak A-1.7.

Neka su $1=d_{1}<d_{2}<d_{3}<d_{4}<d_{5}<d_{6}=n$ svi prirodni djelitelji broja $n$ takvi da je $d_{5}=289$ i $d_{3}-d_{2}=10$. Odredi $n$.


## Prvo rješenje.

Uočimo da je $d_{5}=289=17^{2}$.

Kako je $d_{5}$ djelitelj od $n$, slijedi da je $n=d_{5} m=17^{2} \cdot m$ za neki prirodan broj $m$.

Očito $m \neq 1$ jer bi tada vrijedilo

$$
d_{6}=n=d_{5} m=d_{5}<d_{6}
$$

Ako je $m=17$, tada je $n=17^{3}$. Međutim, svi djelitelji broja $17^{3}$ su $1,17,17^{2}$ i $17^{3}$. Tada bi $n$ imao 4 djelitelja, što je kontradikcija s uvjetom zadatka da $n$ ima točno 6 djelitelja.

Slično zaključujemo da u slučaju $m=17^{2}$ broj $n$ ima ukupno samo 5 djelitelja.

Budući da je $m$ različit od 1 , 17 i $17^{2}$, iz $n=17^{2} \cdot m$ zaključujemo da su

$$
1,17, m, 17 m, 17^{2} \text { i } 17^{2} m
$$

različiti djelitelji broja $n$ (u nekom poretku). Budući da je njih točno 6 zaključujemo da su to ujedno i svi djelitelji od $n$.

Budući da su $m$ i 17 veći od 1 i manji od $17 m$ (jer je $m \neq 1$ ) imamo da je ili $d_{2}=17$ (i time $d_{3}=m$ ) ili $d_{2}=m$ (i $d_{3}=17$ ).

Ako je $d_{2}=17$, tada je $d_{3}=10+d_{2}=27=3^{3}$, pa imamo da je $n=17^{2} \cdot 3^{3}$. Međutim, to rješenje otpada jer $7^{2} \cdot 3^{3}$ ima više od 6 djelitelja.

Ako je $d_{3}=17$, tada je $m=d_{2}=d_{3}-10=7$, pa imamo da je $n=17^{2} \cdot 7$.

Direktnom provjerom vidimo da broj $17^{2} \cdot 7=2023$ zaista ima 6 djelitelja, i da mu je 289 peti po veličini.

Dakle, $n=17^{2} \cdot 7=2023$ je jedini broj s traženim svojstvom.

