Oldjuk meg az

$$
y^{3}=x^{3}+8 x^{2}-6 x+8
$$

egyenletet a nemnegatív egészek körében.


Megoldás. Mivel $x$ nem negatív, nyilván teljesül, hogy

$$
x^{3}+8 x^{2}-6 x+8<(x+3)^{3}=x^{3}+9 x^{2}+27 x+27
$$

Az is minden $x$-re igaz, hogy

$$
(x+1)^{3}<x^{3}+8 x^{2}-6 x+8
$$

hiszen a két oldal különbsége

$$
5 x^{2}-9 x+7
$$

és $5 x^{2}-9 x+7$ diszkriminánsa negatív $(-59)$, tehát minden értéke pozitív. Mivel $y^{3}=x^{3}+8 x^{2}-6 x+8$ köbszám, egy lehetőség maradt, mégpedig

$$
x^{3}+8 x^{2}-6 x+8=(x+2)^{3}, \quad \text { és } \quad y=x+2
$$

Ez azt jelenti, hogy

$$
2 x^{2}-18 x=0
$$

amelynek két megoldása van: $x_{1}=0$ és $x_{2}=9$, és ezekból az $y$-t is meghatározhatjuk: $y_{1}=2$ és $y_{2}=11$.

Az egyenletet tehát két $(x ; y)$ nem negatív egész számpár elégíti ki, mégpedig a $(0 ; 2)$ és a $(9 ; 11)$.

