## Zadatak A-1.6.

U koordinatnom sustavu u ravnini dana su dva pravca koja se sijeku pod pravim kutom u točki $A(6,8)$. Sjecišta $P$ i $Q$ tih pravaca s osi $y$ su simetrična u odnosu na ishodište. Odredi površinu trokuta $A P Q$.


## Treće rješenje.

Bez smanjenja općenitosti, neka je $P$ točka na pozitivnom dijelu osi $y$, a $Q$ na negativnom dijelu osi $y$.

U pravokutnom trokutu $A P Q$ visina iz $A$ na hipotenuzu $\overline{P Q}$ je duljine $v=6$.

1 bod

Označimo s $A^{\prime}$ nožište visine iz $A$ na $\overline{P Q}$. Označimo s $p$ i $q$ redom duljine $\left|P A^{\prime}\right| \mathrm{i}\left|A^{\prime} Q\right|$.

Prema Euklidovom poučku vrijedi $p q=v^{2}=36$.

2 boda

Kako je visina udaljena za 8 od osi $x$, a ishodište je polovište dužine $\overline{P Q}$, vrijedi

$$
p+8=q-8
$$

odnosno $q-p=16$.

Iz dobivenih relacija imamo

$$
(p+q)^{2}=(p-q)^{2}+4 p q=16^{2}+4 \cdot 36=256+144=400
$$

odakle je $p+q=20$.

Površinu trokuta $A P Q$ računamo koristeći formulu

$$
P(A P Q)=\frac{|P Q| \cdot\left|A A^{\prime}\right|}{2}=\frac{(p+q) v}{2}
$$

i dobivamo da iznosi 60 .

Napomena: U trećem rješenju moguće je riješiti sustav za $p$ i $q$ (iz jednadžbi $p q=36$, $q-p=16)$ i dobiti vrijednosti $p=2$ i $q=18$. Taj račun mijenja račun za $(p+q)^{2}$ i vrijedi 2 boda.

Svaki račun za površinu trokuta ukupno vrijedi 3 boda. U svim prikazanim rješenjima ta tri boda rastavljena su na pronalazak duljine visine ( 1 bod) te primjenu formule za površinu trokuta (2 boda).

Površinu trokuta možemo izračunati na više načina. Primjerice, kada odredimo pozicije točaka $P$ i $Q$ kao u prvom rješenju, možemo izračunati duljine kateta $|A P|$ i $|A Q|$ (koje iznose $2 \sqrt{10}$ i $6 \sqrt{10}$ ), pa iskoristiti formulu $P=a b / 2$ za površinu pravokutnog trokuta. Račun duljine svake katete nosi 1 bod, a primjena formule za površinu još 1 bod.

