## Aufgabe 23/81

Man bestimme alle reellwertigen Funktionen $f$, die für alle reellen Zahlen $x$ definiert sind und die Bedingung

$$
f\left(x-x_{0}\right)=f(x)+f\left(x_{0}\right)-2 x x_{0}+1
$$

für beliebige reelle Zahlen $x$ und $x_{0}$ erfüllen.




Wenn die gestellte Bedingung für beliebige reelle Zahlen $x$ und $x_{0}$ gelten soll, muss sie speziell auch für $x_{0}=0$ gelten. Dann nimmt sie die Gestalt

$$
f(x)=f(x)+f(0)+1
$$

an, woraus sofort $f(0)=-1$ folgt. Sie muss weiter für $x_{0}=X$ gelten; daraus folgt

$$
f(x-x)=f(0)=2 f(x)-2 x^{2}+1
$$

(1) und (2) liefern

$$
2 f 8 x)-2 x^{2}+1=-1 \rightarrow f(x)=x^{2}-1
$$

Tatsächlich ist dann

$$
f\left(x-x_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right)^{2}-1=x^{2}-2 x x_{0}+x_{0}^{2}-1=x^{2}-1+x_{0}^{2}-1-2 x x_{+} 1=f(x)+f\left(x_{0}\right)-2 x x_{0}+1
$$

Aus der Herleitung folgt, dass $f(x)=x^{2}-1$ die einzige Funktion ist, die die in der Aufgabe gestellten Bedingungen erfüllt.

