
3. Van een vierhoek $A B C D$ is $B C$ evenwijdig aan $A D$ en is $O$ het snijpunt van de diagonalen. Voor deze vierhoek geldt $|C D|=|A O|$ en $|B C|=|O D|$. Verder is $C A$ de bissectrice van hoek $B C D$. Bepaal de grootte van hoek $A B C$.

Let op: het plaatje hiernaast klopt niet exact.

Je moet je redenering stap voor stap in tekst en formules opschrijven. Dingen die alleen in een plaatje aangegeven zijn, leveren geen punten op.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_ef75b6480fcd818de5afg-1.jpg?height=406&width=505&top_left_y=1456&top_left_x=1392)


3. We bewijzen eerst dat een aantal driehoeken in de figuur gelijkbenig zijn (de tophoek komt steeds overeen met de middelste letter).

(1) Driehoek $A D C$ is gelijkbenig, want $\angle D A C=\angle A C B=\angle A C D$. De eerste gelijkheid geldt wegens Z-hoeken ( $A D$ is evenwijdig aan $B C$ ) en de tweede gelijkheid volgt uit het feit dat $A C$ de bissectrice van hoek $B C D$ is.

(2) Driehoek $D A O$ is gelijkbenig, want $|A D|=|C D|=|A O|$. De eerste gelijkheid volgt uit (1) en de tweede gelijkheid is gegeven in de opgave.

(3) Driehoek $B C O$ is gelijkbenig, want hij is gelijkvormig met driehoek $D A O$ (zandloperfiguur).

(4) Driehoek $C O D$ is gelijkbenig, want $|D O|=|B C|=|C O|$. Hier is de eerste gelijkheid gegeven in de opgave en de tweede volgt uit (3).

(5) Driehoek $B D C$ is gelijkbenig, want hij is gelijkvormig met driehoek $B C O$ omdat twee paar overeenkomstige hoeken gelijk zijn: $\angle D B C=\angle O B C$ en $\angle B D C=\angle D C O=\angle O C B$. Hier volgt de voorlaatste gelijkheid uit (4).

(6) Driehoek $A D B$ is gelijkbenig, want $|A D|=|C D|=|B D|$ wegens (1) en (5).

We noemen $\angle A C B=\alpha$ en $\angle C B D=\beta$ (in graden). Uit (5) volgt dat $2 \alpha=\beta$. Uit (3) volgt dat $180^{\circ}=2 \beta+\alpha=5 \alpha$, dus $\alpha=\frac{180^{\circ}}{5}=36^{\circ}$ en $\beta=72^{\circ}$. In de gelijkbenige driehoek $A D B$ is de tophoek gelijk aan $\angle A D B=\beta$, dus de twee gelijke basishoeken zijn $\frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2}=54^{\circ}$. De gevraagde hoek is daarom $\angle A B C=\angle A B D+\angle D B C=54^{\circ}+72^{\circ}=126^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_f1b387b659e79f69da8ag-2.jpg?height=594&width=734&top_left_y=1351&top_left_x=364)
