2. Let $y=\sin x, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$ have the inverse function $y=\arcsin x$, then when $-\pi \leqslant x \leqslant \pi$, $\arcsin (\cos x)=$
Let $y=\arcsin (\cos x) \Rightarrow \sin y=\cos x$, note that $y \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,
then when $-\pi \leqslant x \leqslant 0$, $\sin y=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow y=x+\frac{\pi}{2}$; when $0<x \leqslant \pi$, $\sin y=\cos x=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-x$, so $\arcsin (\cos x)=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{\pi}{2},-\pi \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{\pi}{2}-x, 0<x \leqslant \pi .\end{array}\right.$