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\begin{array}{l}
\text { II. (40 points) Let } A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2010}\right\}, \text { where, } \\
a_{n}=n+\left[\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right](1 \leqslant n \leqslant 2010) .
\end{array}
$$

A positive integer $k$ has the following property: there exists a positive integer $m$, such that $m+1, m+2, \cdots, m+k$ all belong to $A$, while $m$ and $m+k+1$ do not belong to $A$. Find the set of all such positive integers $k$.
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For $2 \leqslant n \leqslant 2010$, we have
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\begin{array}{l}
0<a_{n}-a_{n-1} \\
=1+\left[\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right]-\left[\sqrt{n-1}+\frac{1}{2}\right] \\
<\left(1+\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right)-\left(\sqrt{n-1}+\frac{1}{2}-1\right) \\
=2+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=2+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}<3 .
\end{array}
$$

Therefore, $a_{n}-a_{n-1}=1$ or 2.
Notice that
$$
\begin{array}{l}
a_{n}-a_{n-1}=2 \\
\Leftrightarrow\left[\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right]-\left[\sqrt{n-1}+\frac{1}{2}\right]=1
\end{array}
$$
$\Leftrightarrow$ there exists a positive integer $k$, such that
$$
\begin{array}{l} 
{\left[\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right]=k+1, } \\
\text { and }\left[\sqrt{n-1}+\frac{1}{2}\right]=k \\
\Leftrightarrow k \leqslant \sqrt{n-1}+\frac{1}{2}<k+1 \leqslant \sqrt{n}+\frac{1}{2}<k+2 \\
\Leftrightarrow k-\frac{1}{2} \leqslant \sqrt{n-1}<k+\frac{1}{2} \leqslant \sqrt{n}<k+\frac{3}{2} \\
\Leftrightarrow k^{2}+k+\frac{1}{4} \leqslant n<k^{2}+k+\frac{5}{4} \\
\Leftrightarrow n=k^{2}+k+1 \\
\Leftrightarrow a_{n-1}+1=(k+1)^{2}. \\
\text { Hence } a_{n}=\left\{\begin{array}{l}
a_{n-1}+1, \text { if } a_{n-1}+1 \text { is not a perfect square; } \\
a_{n-1}+2, \text { if } a_{n-1}+1 \text { is a perfect square. }
\end{array}\right.
\end{array}
$$

Notice that $a_{1}=2$,
$$
a_{2010}=2010+\left[\sqrt{2010}+\frac{1}{2}\right]=2055 \text {. }
$$

Thus, $A=\bigcup_{i=1}^{45} A_{i}$, where,
$$
\begin{array}{l}
A_{i}=\left\{n \mid i^{2}<n<(i+1)^{2}, n \in \mathbf{N}\right\}(i=1,2, \cdots, 44), \\
A_{45}=\{2026,2027, \cdots, 2055\} .
\end{array}
$$

Since $\left|A_{i}\right|=\left[(i+1)^{2}-1\right]-i^{2}$
$$
\begin{array}{l}
=2 i(i=1,2, \cdots, 44), \\
\left|A_{45}\right|=2055-2025=30,
\end{array}
$$

Therefore, the set of all positive integers $k$ that satisfy the condition is
$$
\{2 i \mid i=1,2, \cdots, 44\} \text {. }
$$