5. A copper cube with a surface area of $72 \mathrm{~cm}^{2}$ is melted and cast into a regular tetrahedral pyramid of the same volume, where the length of the base edge is one third of the length of the cube's space diagonal. What is the height of the pyramid?

## You have 120 minutes to solve the problems.

Solve each problem independently on the provided paper, with each problem on a separate page. Do not sign the sheets, write only your code. Write your solution in ink, clearly and neatly. Draw graphs of functions with a pencil. If you solve a problem in multiple ways, clearly indicate which solution the evaluator should grade. If you make a mistake, strike it out.

Each problem's solution will be graded on a scale of 0 to 6 points.

The National Competition Committee wishes you great success.

## Problems for 4th Grade

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d1b766ff5bddd57ba61g-05.jpg?height=180&width=417&top_left_y=361&top_left_x=1482)
5. We use the formula for the surface area of a cube $P=6 a^{2}$ and from it calculate the length of the edge $a=2 \sqrt{3}$ $\mathrm{cm}$. Then we calculate the length of the space diagonal of the cube $D=a \sqrt{3}=6 \mathrm{~cm}$ and the volume of the cube $V=a^{3}=(2 \sqrt{3})^{2}=24 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3}$. We consider that the volumes of the cube and the pyramid are equal $24 \sqrt{3}=\frac{2^{2} \cdot v}{3}$. We calculate the height of the pyramid $v=18 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d1b766ff5bddd57ba61g-12.jpg?height=58&width=1639&top_left_y=642&top_left_x=206)

Calculation of the space diagonal $D=a \sqrt{3}=6 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Calculation of the volume of the cube $V=a^{3}=(2 \sqrt{3})^{2}=24 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 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