## Zadatak B-4.1.

Riješite jednadžbu

$$
\log _{2020} \sqrt{x}+\log _{2020} \sqrt[4]{x}+\log _{2020} \sqrt[8]{x}+\ldots+\log _{2020} \sqrt[2^{n}]{x}+\ldots=\frac{2}{\log _{2} x}+\log _{x} 505
$$


## Rješenje.

Rješenje jednadžbe mora zadovoljavati uvjete: $x>0, x \neq 1$.

Lijeva strana jednadžbe je

$$
\begin{gathered}
\log _{2020} \sqrt{x}+\log _{2020} \sqrt[4]{x}+\log _{2020} \sqrt[8]{x}+\ldots+\log _{2020} \sqrt[2^{n}]{x}+\ldots \\
=\frac{1}{2} \log _{2020} x+\frac{1}{4} \log _{2020} x+\frac{1}{8} \log _{2020} x+\ldots+\frac{1}{2^{n}} \log _{2020} x+\ldots \\
=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}+\ldots\right) \log _{2020} x
\end{gathered}
$$

Kako je $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}+\ldots$ geometrijski red s prvim članom $a_{1}=\frac{1}{2}$ i kvocijentom $q=\frac{1}{2}$, njegova suma je $\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$ pa je lijeva strana dane jednadžbe jednaka $\log _{2020} x$.

Desna strana jednadžbe je $\frac{2}{\log _{2} x}+\log _{x} 505=2 \log _{x} 2+\log _{x} 505=\log _{x} 2020$.

Dakle, zadana jednadžba ekvivalentna je jednadžbi $\log _{2020} x=\log x 2020$. Slijedi

$$
\log _{2020} x=\frac{1}{\log _{2020} x}
$$

odnosno $\left(\log _{2020} x\right)^{2}=1$, tj. $\log _{2020} x=1$ ili $\log _{2020} x=-1$. Rješenja su $x=2020$ i $x=\frac{1}{2020}$.

