## Zadatak B-4.5.

Duljina brida kocke $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ iznosi $a$. Odredite udaljenost od polovišta $P$ brida $\overline{B C}$ do pravca koji prolazi vrhom $A$ i središtem $S$ stranice $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Kolika je površina presjeka kocke ravninom $A P S$ ?


## Rješenje.

Označimo sa $N$ nožište okomice povučene iz točke $P$ na pravac $A S$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_1ebddb66d71be8305afcg-21.jpg?height=665&width=620&top_left_y=610&top_left_x=661)

Uočimo $|A S|^{2}=\left|A S_{1}\right|^{2}+\left|S_{1} S\right|^{2}=\left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^{2}+a^{2}=\frac{6 a^{2}}{4}$ pa vrijedi $|A S|=\frac{a \sqrt{6}}{2}$.

Iz $|A P|^{2}=|A B|^{2}+|B P|^{2}=a^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{5 a^{2}}{4}$ slijedi $|A P|=\frac{a \sqrt{5}}{2}$.

Slijedi da je trokut $A P S$ jednakokračan pa je $|A N|=\frac{1}{2}|A S|=\frac{a \sqrt{6}}{4}$.

Sada iz $|P N|^{2}=|A P|^{2}-|A N|^{2}=\left(\frac{a \sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a \sqrt{6}}{4}\right)^{2}=\frac{7 a^{2}}{8}$ dobivamo $|P N|=\frac{a \sqrt{14}}{4}$.

Uočimo da ravnina $A P S$ siječe brid $\overline{A_{1} D_{1}}$ u točki $E$ i brid $\overline{B_{1} C_{1}}$ u točki $F$ tako da je dužina $\overline{E F}$ usporedna s dužinom $\overline{A P}$ i jednake duljine pa slijedi da je četverokut $A P F E$ paralelogram.

Površina paralelograma $A P F E$ jednaka je $P_{A P F E}=|A P| \cdot\left|S N_{1}\right|=2 P_{A P S}$.

Vrijedi $P_{A P S}=\frac{1}{2}|A S| \cdot|P N|=\frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{14}}{4}=\frac{a^{2} \sqrt{21}}{8}$ pa slijedi $P_{A P F E}=2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{21}}{8}=\frac{a^{2} \sqrt{21}}{4}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_1ebddb66d71be8305afcg-21.jpg?height=574&width=586&top_left_y=1837&top_left_x=1266)

