\section*{Aufgabe 4 - 291034}

Ermitteln Sie alle diejenigen reellen Zahlen \(x\), die die folgende Ungleichung (1) erfüllen

\[
\frac{\sqrt{x+5}}{x+1}>1
\]


}

Der linke Term der Ungleichung (1) ist nur für \(x \geq-5\) und \(x \neq-1\) definiert. Gleichzeitig ist der Nenner \(\sqrt{x+5} \geq 0\) und der Zähler \(x+1\) nur für \(x>-1\) positiv, so dass der gesamte Bruch nur für \(x>-1\) positiv wird und so evtl. Lösungen der Ungleichung (1) ergeben kann.

Außerdem ist die Funktion \(f(x)=\frac{\sqrt{x+5}}{x+1}\) für \(x>-1\) streng monoton fallend, da \(f^{\prime}(x)=-\frac{x+9}{2(x+1)^{2} \cdot \sqrt{x+5}}-1\) ist.

Umstellen von (1) \((x \neq-1)\) und Quadrieren liefert eine quadratische Ungleichung

\[
x+5>x^{2}+2 x+1 \quad \Rightarrow \quad 0>x^{2}+x-4
\]

Die Lösungen der quadratischen Gleichung \(0=x^{2}+x-4\) sind

\[
x_{1}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2} \quad ; \quad x_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}
\]

Nur \(x_{2}\) liegt im Bereich \(x>-1\). Da die oben genannte Funktion \(f(x)\) streng monoton fallend ist, ergibt sich als Lösungsmenge von (1) das Intervall

\[
x \in\left(-1 ;-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\right]
\]
