## Zadatak A-1.1.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi

$$
\begin{aligned}
& x^{2}-y=z^{2} \\
& y^{2}-z=x^{2} \\
& z^{2}-x=y^{2}
\end{aligned}
$$


## Prvo rješenje.

Zbrajanjem ovih jednadžbi dobivamo

$$
x+y+z=0
$$

Odavde slijedi $z=-x-y$ i iz prve jednadžbe dobivamo

$$
\begin{gathered}
x^{2}-y=(-x-y)^{2} \\
x^{2}-y=x^{2}+2 x y+y^{2} \\
2 x y+y^{2}+y=0 \\
y(2 x+y+1)=0
\end{gathered}
$$

pa je $y=0$ ili $2 x+y+1=0$.

Ako je $y=0$, slijedi $z=-x$ pa iz druge (ili treće) jednadžbe imamo $x(x-1)=0$, odakle je $x=0$ ili $x=1$. Odgovarajuća rješenja su $(x, y, z)=(0,0,0)$ i $(x, y, z)=(1,0,-1)$.

Ako je $2 x+y+1=0$ vrijedi $y=-2 x-1$ pa imamo $z=-x-y=x+1$. Uvrštavanjem u treću jednadžbu dobivamo $x(x+1)=0$, odakle je $x=0$ ili $x=-1$. Odgovarajuća rješenja su $(x, y, z)=(0,-1,1)$ i $(x, y, z)=(-1,1,0)$.

Dakle, rješenja danog sustava jednadžbi su

$$
(x, y, z) \in\{(0,0,0),(1,0,-1),(0,-1,1),(-1,1,0)\}
$$

