## Problema 4.

Se consideran las funciones reales de variable real $f(x)$ de la forma: $f(x)=a x+b$, siendo a $y$ b números reales.

¿Para qué valores de a y b se verifica $\mathrm{f}^{2000}(\mathrm{x})=\mathrm{x}$ para todo número real $\mathrm{x}$.

[Nota: Se define $\mathrm{f}^{2}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))$, $\mathrm{f}^{3}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{x})))$, y en general, $\left.\mathrm{f}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}(\mathrm{x})\right)=\mathrm{f}(\mathrm{f}(\ldots \mathrm{f}(\mathrm{x})) \ldots)\right) \quad \mathrm{n}$ veces]
Solución:

En primer lugar, observemos que si componemos dos funciones (lineales) del tipo $a x+b$, obtenemos una función de este tipo, cuyo coeficiente en la variable $\mathrm{x}$ es el producto de los respectivos coeficientes de las dos funciones.

Por lo tanto si $f(x)=a x+b$, entonces $f^{2000}(x)$ es una función del tipo $a^{2000} \mathrm{x}+\mathrm{c}$; donde $\mathrm{c}$ es un número que depende de a y b.

Se obtiene por lo tanto el sistema

$$
\left.\begin{array}{c}
\mathrm{a}^{2000}=1 \\
\mathrm{c}=0
\end{array}\right\}
$$

De donde resulta que $a=1$ ó $a=-1$. Analicemos ambos casos por separado.

Si a $=1$, entonces

$$
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+b, \quad \mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))=\mathrm{x}+2 b, \ldots, \quad \mathrm{f}^{2000}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+2000 b
$$

en cuyo caso $2000 b=0$, es decir, $b=0$, y se obtiene la solución $f(x)=x$.

Si $\mathrm{a}=-1$, entonces

$$
\begin{gathered}
f(x)=-X+b, f(f(x))=x, f(f(f(x)))=-X+b, f(f(f(f(x))))=x, \ldots \\
f^{2000}(x)=x \text { (por ser } 2000 \text { un número par) }
\end{gathered}
$$

Por lo tanto, cualquier función del tipo $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}+\mathrm{b}$ (con $\mathrm{b}$ un número real arbitrario) es una solución del problema.