9. (16 points) As shown in Figure 1, in the tetrahedron $O-ABC$,
$$
\begin{array}{l}
OA=OB=OC=1, \\
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} \\
=\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}=0,
\end{array}
$$
$D$ is the midpoint of $AC$, points $E$ and $F$ are on $OD$ and $AB$ respectively, and
$$
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}), \\
\overrightarrow{OF}=\frac{2}{3} \overrightarrow{OA}+\frac{1}{3} \overrightarrow{OB}.
\end{array}
$$
(1) Can $EF \perp AB$ and $EF \perp OD$ hold simultaneously? Prove your conclusion;
(2) Find the length of $EF$.
In fact, from the known information, we have
$$
\begin{array}{l}
\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O E} \\
=\left(\frac{2}{3} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O B}\right)-\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}) \\
=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}) .
\end{array}
$$

Therefore, $\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{A B}$
$$
\begin{array}{l}
=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}) \cdot(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}) \\
=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{O B}^{2}-\overrightarrow{O A}^{2}-\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}\right) \\
=0, \\
\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{O D} \\
=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}) \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}) \\
=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{O A}^{2}-\overrightarrow{O C}^{2}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}\right) \\
=0 .
\end{array}
$$

Thus, $E F \perp A B, E F \perp O D$ both hold.
(2) From (1), we have
$$
\begin{array}{l}
\overrightarrow{E F}^{2}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}) \cdot \frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}) \\
=\frac{1}{9}\left(\overrightarrow{O A}^{2}+\overrightarrow{O B}^{2}+\overrightarrow{O C}^{2}+2 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}-\right. \\
2 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}) \\
=\frac{1}{3} .
\end{array}
$$

Thus, $E F=\frac{\sqrt{3}}{3}$.