## Zadatak 1.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ za koje vrijedi

$$
f(f(x))(x-f(y))+2 x y=f(x) f(x+y), \quad \text { za sve } x, y \in \mathbb{R}
$$


## Rješenje.

Označimo $a=f(0)$. Ako uvrstimo $x=y=0$ u danu jednadžbu, dobivamo

$$
f(a)(-a)=a^{2}
$$

što povlači $a=0$ ili $a=-f(a)$.

Ako uvrstimo $x=a, y=0$ u danu jednadžbu, dobivamo $f^{2}(a)=0$, što u kombinaciji s uvjetom (8) daje $a=0$, tj. $f(0)=0$.

Uvrstimo li $y=0$ u danu jednadžbu, dobivamo

$$
x f(f(x))=f^{2}(x)
$$

Označimo $b=f(1)$. Uvrstimo li $x=1$ u (9) dobivamo

$$
f(b)=b^{2}
$$

Uvrstimo li $x=1, y=b$ u danu jednadžbu, te iskoristimo (10) dobivamo

$$
b^{2}\left(1-b^{2}\right)+2 b=b f(b+1)
$$

Slično, uvrstimo li $x=b, y=1 \mathrm{u}$ danu jednadžbu, te iskoristimo (10) dobivamo

$$
2 b=b^{2} f(b+1)
$$

Ako je $b=0$, uvrstimo li $x=1$ u danu jednadžbu, dobivamo us $2 y=0$, što očito nije moguće za sve $y \in \mathbb{R}$. Dakle, $b \neq 0$ i iz (12) dobivamo

$$
b f(b+1)=2
$$

Iz (11) i (13) Slijedi

$$
\begin{gathered}
b^{2}\left(1-b^{2}\right)+2 b=2 \\
(b-1)^{2}\left(b^{2}+2 b+2\right)=0
\end{gathered}
$$

Jedini realni broj koji zadovoljava ovu jednadžbu je $b=1$. Dakle, $f(1)=1$.

Uvrstimo li $x=1, y=x$ u danu jednadžbu, dobivamo

$$
f(x+1)+f(x)=2 x+1
$$

Uvrstimo li $y=1 \mathrm{u}$ danu jednadžbu, te iskoristimo (9) dobivamo

$$
f^{2}(x)(x-1)+2 x^{2}=x f(x) f(x+1)
$$

Za dani $x$, neka je $t=f(x)$. Iz (14) i (15) dobivamo

$$
\begin{gathered}
t^{2}(x-1)+2 x^{2}=x t(2 x+1-t) \\
(t-x)(2 t x-t-2 x)=0
\end{gathered}
$$

Dakle, za svaki $x \in \mathbb{R}$ vrijedi

$$
f(x)=x \quad \text { or } \quad f(x)=\frac{2 x}{2 x-1}
$$

Neka je $S=\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \neq x\}$. Iz (14) zaključujemo $x \in S \Longrightarrow x+1 \in S$. Dakle, skup $S$ je prazan ili beskonačan. Pretpostavimo da je $S \neq \emptyset$. Ako odaberemo proizvoljni $x \in S$, imamo

$$
f(x)=\frac{2 x}{2 x-1} \quad \text { and } \quad f(x+1)=\frac{2 x+2}{2 x+1}
$$

Iz (14) i (16) dobivamo

$$
\begin{gathered}
\frac{2 x+2}{2 x+1}+\frac{2 x}{2 x-1}=2 x+1 \\
8 x^{3}-4 x^{2}-6 x+1=0
\end{gathered}
$$

Ova jednadžba ima najviše tri različita rješenja, što je u kontradikciji s pretpostavkom da je $S$ beskonačan skup. Dakle, $S$ je prazan skup i $f(x)=x$ za sve $x \in \mathbb{R}$. Laganom provjerom vidimo da je to zaista rješenje.

