Determine all quadruplets $(a, b, c, k)$ of integers such that $a, b, c$ are prime numbers and $k$ is a strictly positive integer satisfying

$$
a^{2}+b^{2}+16 c^{2}=9 k^{2}+1
$$

## - Solution -
A square modulo 3 is 0 or 1, and we have $1 \equiv a^{2}+b^{2}+c^{2}(\bmod 3)$, so among $(a, b, c)$, two are divisible by 3, hence two are equal to three. By symmetry, since $a, b$ play the same role, we can assume $a=3$. We then have two cases:

- If $b=3$, we have $9 k^{2}=16 c^{2}+17$ so $(3 k-4 c)(3 k+4 c)=17$. Since $3 k+4 c$ is positive and strictly greater than $3 k-4 c$ and 17 is prime, we have $3 k-4 c=1,3 k+4 c=17$ so by subtracting, $8 c=16$ hence $c=2$. We get $3 k=9$ so $k=3$.

Conversely, $(3,3,2,3)$ works because $9+9+64=1+81=1+9 \cdot 3^{2}$.

- If $c=3$, we have $9 k^{2}=b^{2}+152$ so $(3 k-b)(3 k+b)=152$. Since $152=8 \cdot 19$, we have $(3 k-b, 3 k+b)=$ $(1,152),(2,76),(4,38),(8,19)$. By summing, we get $6 k=153,78,42,27$, which excludes in particular the first and last pairs. So we have $k=13$ in the second case and $b=37$ and in the third case $k=7$ and $b=17$.

Conversely $(3,17,3,7),(17,3,3,7),(3,37,3,13)$ and $(37,3,3,13)$ work because $3^{2}+$ $17^{2}+16 \cdot 9=17 \cdot 9+17^{2}=17 \cdot 26=21^{2}+1=9 \cdot 7^{2}+1$ and because $9+16 \cdot 9+37^{2}=37^{2}+1+152=$ $1+37^{2}+4+4 \cdot 37=1+39^{2}=1+9 \cdot 13^{2}$.

The solutions are therefore $(3,3,2,3),(3,17,3,7),(17,3,3,7),(3,37,3,13)$ and $(37,3,3,13)$.

## 5 Last Courses

## 1 Homotheties

This course is taken from the excellent course on transformations of the plane by Thomas Budzinski on the POFM website (https://maths-olympiques.fr/wp-content/ uploads/2017/09/geom_transfos.pdf p.4-12).

## 2 Graph Theory

This course was inspired by the delightful course on graph theory by Pierre Bornsztein (http://maths-olympiques.fr/wp-content/uploads/2017/09/graphes.pdf).

## IV. Group B

## Content of this section

1 First Part: Algebra & Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1 Angle Hunting (Domitille) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .