## Aufgabe 6 - 241236

Man ermittle alle diejenigen natürlichen Zahlen $n$, für die gilt:

$$
99^{n}+101^{n}>\frac{51}{25} \cdot 100^{n}
$$




Indem wir beide Seiten der Ungleichung (1) durch $100^{n}$ dividieren, lässt sie sich auch schreiben in der Form

$$
\left(1-\frac{1}{100}\right)^{n}+\left(1+\frac{1}{100}\right)^{n}>\frac{51}{25}=2.04
$$

Nun gilt

$$
\forall n \geq 21:\left(1-\frac{1}{100}\right)^{n}+\left(1+\frac{1}{100}\right)^{n}=2 \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2 k} 100^{-2 k}>2\left(1+\binom{21}{2} \frac{1}{100^{2}}\right)=2.042>2.04
$$

d.h., (1) ist jedenfalls für alle $n \geq 21$ gültig, während für $n=20$ diese einfache Abschätzung noch nicht ausreicht.

Dass sie andererseits für $n \leq 19$ falsch ist, ist ebenfalls klar und folgt unmittelbar aus

$$
\forall n \leq 19: \quad\left(1-\frac{1}{100}\right)^{n}+\left(1+\frac{1}{100}\right)^{n}<2 \cosh \left(\frac{n}{100}\right) \leq 2 \cosh \left(\frac{19}{100}\right) \approx 2.0362
$$

während der Fall $n=20$ wegen $2 \cosh (0.2) \approx 2.0401$ auch hier unentschieden ist. Um zu sehen, dass (1) für $n=20$ nicht gilt, bleibt also nur die direkte Auswertung von $\left({ }^{*}\right)$ für diesen Wert von $n$, was dann

$$
0.99^{20}+1.01^{20} \approx 2.038
$$

ergibt, d.h., es bleibt dabei, dass (1) genau für $n \geq 21$ gilt.
