
Opgave 2. Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor geldt dat

$$
x f(x+x y)=x f(x)+f\left(x^{2}\right) f(y)
$$

voor alle $x, y \in \mathbb{R}$.


Oplossing. Invullen van $x=0$ en $y=0$ geeft $0=f(0)^{2}$, dus $f(0)=0$. Invullen van $x=1$ en $y=-1$ geeft $f(0)=f(1)+f(1) f(-1)$, dus $0=f(1)(1+f(-1))$, dus $f(1)=0$ of $f(-1)=-1$. Invullen van $x=-1$ geeft

$$
-f(-1-y)=-f(-1)+f(1) f(y) \quad \text { voor alle } y \in \mathbb{R}
$$

Stel dat $f(1)=0$, dan staat hier $-f(-1-y)=-f(-1)$ en omdat $-1-y$ alle waarden in $\mathbb{R}$ kan aannemen, betekent dit dat $f$ constant is. Omdat $f(0)=0$, moet dan wel gelden $f(x)=0$ voor alle $x$. Het is duidelijk dat deze functie voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking. We hebben dus de eerste oplossing gevonden: $f(x)=0$ voor alle $x \in \mathbb{R}$.

Neem nu verder aan dat $f(1) \neq 0$, zodat $f(-1)=-1$. Vul nu $y=-1$ in in (4), dan krijgen we $-f(0)=-f(-1)+f(1) f(-1)$, dus $0=1-f(1)$, dus $f(1)=1$. Invullen van $x=1$ in de oorspronkelijke vergelijking geeft

$$
f(1+y)=1+f(y) \quad \text { voor alle } y \in \mathbb{R} \text {. }
$$

Verder geeft $y=-1$ in de oorspronkelijke vergelijking dat $x f(0)=x f(x)-f\left(x^{2}\right)$, dus

$$
x f(x)=f\left(x^{2}\right) \quad \text { voor alle } x \in \mathbb{R} \text {. }
$$

De oorspronkelijke vergelijking kunnen we nu schrijven als

$$
x f(x+x y)=x f(x)+x f(x) f(y)=x f(x)(1+f(y)) .
$$

Als $x \neq 0$, kunnen we links en rechts delen door $x$ en geeft het toepassen van (5)

$$
f(x+x y)=f(x) f(1+y) \quad \text { voor } x \neq 0 .
$$

Merk op dat dit ook waar is voor $x=0$. Noem nu $z=1+y$. Omdat dit alle waarden in $\mathbb{R}$ kan aannemen, krijgen we

$$
f(x z)=f(x) f(z) \quad \text { voor alle } x, z \in \mathbb{R} \text {. }
$$

Als we dit toepassen op (6), vinden we

$$
x f(x)=f\left(x^{2}\right)=f(x) f(x),
$$

dus voor alle $x$ geldt $f(x)=0$ of $f(x)=x$. Stel nu dat er een $x \neq 0$ is met $f(x)=0$, dan geldt

$$
1=f(1)=f\left(x \cdot \frac{1}{x}\right)=f(x) f\left(\frac{1}{x}\right)=0,
$$

tegenspraak. Dus voor alle $x \neq 0$ geldt $f(x)=x$. Ook voor $x=0$ is dit waar. Invullen in de oorspronkelijke vergelijking laat zien dat dit een oplossing is. De twee functies die voldoen zijn dus $f(x)=0$ voor alle $x \in \mathbb{R}$ en $f(x)=x$ voor alle $x \in \mathbb{R}$.
