## Aufgabe 2 - 181222

Man ermittle alle diejenigen reellen Zahlen $x$, für die durch $k=\frac{x}{x^{2}-5 x+7}$ eine ganze Zahl $k$ definiert ist.




Die Aufgabe wird im wesentlichen gelöst durch eine Kurvendiskussion der Funktion

$$
f(x):=\frac{x}{x^{2}-5 x+7}
$$

welche auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist, da der Nenner keine reellen Nullstellen besitzt. Mithilfe der beiden Ableitungen

$$
f^{\prime}(x)=\frac{7-x^{2}}{\left.x^{2}-5 x+7\right)^{2}} \quad \text { bzw. } \quad f^{\prime \prime}(x)=\frac{2\left(x^{3}-21 x+35\right)}{\left(x^{2}-5 x+7\right)^{3}}
$$

sowie

$$
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=0
$$

sieht man sofort, dass die Funktion bei $x=-\sqrt{7}$ ein absolutes Minimum und bei $x=\sqrt{7}$ ein absolutes Maximum hat, sodass also dann

$$
[f(-\sqrt{7}), f(\sqrt{7})] \approx[-0.097,3.43]
$$

der Wertebereich der Funktion ist, der also insbesondere als einzige ganze Zahlen $k$ nur die Werte $k=$ $0,1,2,3$ enthält. Dabei liefert dann

- $f(x)=0$ die Lösung $x_{1}=0$,
- $f(x)=1$, also $x^{2}-6 x+7=0$, die beiden Lösungen $x_{2,3}=3 \pm \sqrt{2}$
- $f(x)=2$, also $2 x^{2}-11 x+14=(2 x-7)(x-2)=0$, die beiden Lösungen $x_{4}=\frac{7}{2}, x_{5}=2$
- $f(x)=3$, also $3 x^{2}-16 x+21=(3 x-7)(x-3)=0$, die beiden Lösungen $x_{6}=\frac{7}{3}, x_{7}=3$ was somit die in der Aufgabe gestellte Frage beantwortet.
