## Problema 2.

Sea $\mathrm{P}$ un punto del lado $\mathrm{BC}$ de un triángulo $\mathrm{ABC}$. La paralela por $\mathrm{P}$ a $\mathrm{AB}$ corta al lado $\mathrm{AC}$ en el punto $\mathrm{Q}$ y la paralela por $\mathrm{P}$ a $\mathrm{AC}$ corta al lado $\mathrm{AB}$ en el punto $\mathrm{R}$. La razón entre las áreas de los triángulos RBP y QPC es $\mathrm{k}^{2}$.

Determínese la razón entre las áreas de los triángulos ARQ y ABC.
Solución:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_26_736f86425b14d88c7083g-1.jpg?height=519&width=688&top_left_y=1294&top_left_x=247)
Los triángulo RBP y QPC son semejantes, de razón k. El cuadrilátero ARPQ es un paralelogramo, y PQ = RA.
Si $\mathrm{BR}=\mathrm{x}$, entonces

$$
\begin{gathered}
\mathrm{PQ}=\mathrm{RA}=\mathrm{kx} ; \quad \mathrm{BA}=(1+\mathrm{k}) \mathrm{x} \\
\text { Área } \mathrm{RBP}=\mathrm{S}=\frac{\mathrm{BR}}{2} \\
\mathrm{PX}=\frac{\mathrm{xh}}{2}
\end{gathered}
$$

$$
\begin{gathered}
\mathrm{CY}=\mathrm{k} . \mathrm{PX}=\mathrm{kh} ; \quad \mathrm{CZ}=\mathrm{CY}+\mathrm{YZ}=\mathrm{CY}+\mathrm{PX}=(1+\mathrm{k}) \mathrm{h} \\
\text { Área } \mathrm{ABC}=(1+\mathrm{k})^{2} \mathrm{~S} \\
\mathrm{QT}=\mathrm{YZ}=\mathrm{PX}=\mathrm{h} \\
\text { Área ARQ }=\frac{\mathrm{AR}}{2} . \mathrm{YZ}=\frac{\mathrm{kxh}}{2}=\mathrm{kS}
\end{gathered}
$$

y

$$
\frac{\text { áreaARQ }}{\text { áreaABC }}=\frac{k S}{(1+k)^{2} S}=\frac{k}{(1+k)^{2}}
$$