## Zadatak A-2.1.

Dan je jednakokračni pravokutni trokut čije su katete duljine 10. Odredi najveću moguću površinu pravokutnika čija jedna stranica leži na hipotenuzi, a po jedan vrh na katetama danog trokuta.


## Rješenje.

Pomoću Pitagorinog poučka iz $|A C|=|B C|=10$ zaključujemo $|A B|=10 \sqrt{2}$.

Neka je pravokutnik $P Q R S$ upisan u trokut $A B C$ na zadani način:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_1a4376e76c5095e3db07g-08.jpg?height=597&width=1065&top_left_y=1209&top_left_x=424)

Označimo $|Q R|=x$ i $|P Q|=y$.

Trokuti $B R Q$ i $A P S$ su jednakokračni, pa imamo $|A P|=x$ i $|B Q|=x$.

1 bod

Odavde slijedi $2 x+y=10 \sqrt{2}$.

1 bod

Sada možemo izraziti površinu pravokutnika preko $x$ :

$$
P(x)=x y=x \cdot(10 \sqrt{2}-2 x)=2 x(5 \sqrt{2}-x)
$$

Funkcija $P(x)$ je kvadratna, a njen maksimum se postiže u apscisi tjemena $x=\frac{5}{2} \sqrt{2}$. Zaključujemo da je najveća moguća površina jednaka 25.

Napomena: Jednom kad odredimo $P(x)=2 x(5 \sqrt{2}-x)$, maksimum možemo odrediti koristeći A-G nejednakost

$$
P(x)=2 x(x-5 \sqrt{2}) \leqslant(x+(5 \sqrt{2}-x))^{2}=25
$$

A-G nejednakost možemo primijeniti jer je $x \in[0,5 \sqrt{2}]$, pa su izrazi $x$ i $5 \sqrt{2}-x$ nenegativni.

