## Aufgabe 4 - 110934

In einem Rechteck $A B C D$ mit $A B=C D=a$ und $B C=D A=b,(a>b)$ schneide die Halbierende des Winkels $\angle B A D$ die Seite $C D$ in $S_{1}$. Weiter sei $S_{2}$ der Mittelpunkt von $A B$.

Ermitteln Sie das Verhältnis $a: b$ der Seitenlängen eines solchen Rechtecks, bei dem die Halbierende des Winkels $\angle A S 2 C$ die Seite $C D$ in $S_{1}$ schneidet!




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Ein Rechteck $A B C D$ genügt genau dann den Bedingungen der Aufgabe, wenn angle $A S_{2} S_{1} \cong \angle S_{1} S_{2} C$ gilt. Da ferner in jedem Rechteck $\angle A S_{2} S_{1} \cong \angle S_{2} S_{1} C$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen) ist, so genügt ein genau dann den Bedingungen der Aufgabe, wenn das Dreiecke $\triangle S_{1} S_{2} C$ gleichschenklig mit $S_{1} C=S_{2} C$ ist.

Nun ist das rechtwinkliges Dreieck $\triangle A D S_{1}$ stets gleichschenklig, da $\angle D A S_{1}$ eine Größe von $45^{\circ}$ hat und somit $\angle D A S_{1} \cong \angle A S_{1} D$ gilt. Daher gilt:

$D S_{1}=D A=b$, und das Rechteck genügt genau dann den Bedingungen der Aufgabe, wenn $S_{2} C=S_{1} C=$ $a-b$ gilt. Da $\triangle S_{2} B C$ rechtwinklig ist, ist dies nach dem Satz des Pythagoras genau dann der Fall, wenn

$$
(a-b)^{2}=b^{2}+\frac{a^{2}}{4}
$$

oder, gleichbedeutend hiermit $a^{2}-2 a b=\frac{a^{2}}{4}$, d.h. $\frac{3}{4} a^{2}=2 a b$ gilt.

Wegen $a \neq 0$ trifft dies genau für $a: b=8: 3 \mathrm{zu}$.

## Übernommen aus $[5]$

