2.270. $\frac{\sqrt{x-4 \sqrt{x-4}}+2}{\sqrt{x+4 \sqrt{x-4}}-2}$.
## Solution.

Domain of definition: $x>4$.

$$
\begin{aligned}
& \frac{\sqrt{x-4 \sqrt{x-4}}+2}{\sqrt{x+4 \sqrt{x-4}}-2}=\frac{\sqrt{x-4-4 \sqrt{x-4}+4}+2}{\sqrt{x-4+4 \sqrt{x-4}+4}-2}= \\
& =\frac{\sqrt{((\sqrt{x-4})-2)^{2}}+2}{\sqrt{((\sqrt{x-4})+2)^{2}}-2}=\frac{|\sqrt{x-4}-2|+2}{\sqrt{x-4}+2-2}=\frac{|\sqrt{x-4}-2|+2}{\sqrt{x-4}}= \\
& =\left\{\begin{array}{l}
\frac{-\sqrt{x-4}+4}{\sqrt{x-4}}=\frac{4}{\sqrt{x-4}}-1, \text { if } x \in(4 ; 8) ; \\
\frac{\sqrt{x-4}-2+2}{\sqrt{x-4}}=\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-4}}=1, \text { if } x \in[8 ; \infty) .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

Answer: $\frac{4}{\sqrt{x-4}}-1$, if $x \in(4 ; 8) ; 1$, if $x \in[8 ; \infty)$.