## Subject 1.

$$
\text { a. } \begin{aligned}
\mathrm{a} & =2^{2 n+2} \cdot 7^{n+3}+11 \cdot 2^{2 n+5} \cdot 7^{n}+2^{2 n} \cdot 7^{n+3}-27 \cdot 2^{2 n+1} \cdot 7^{n} \\
& =2^{2 n} \cdot 2^{2} \cdot 7^{n} \cdot 7^{3}+11 \cdot 2^{2 n} \cdot 2^{5} \cdot 7^{n}+2^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot 7^{3}-27 \cdot 2^{2 n} \cdot 2^{1} \cdot 7^{n} \\
& =2^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot\left(2^{3} \cdot 7^{3}+11 \cdot 2^{5}+7^{3}-27 \cdot 2^{1}\right) \\
& =2^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot(4 \cdot 343+11 \cdot 32+343-54) \\
& =2^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot 2013
\end{aligned}
$$

Therefore, a is divisible by 2013

$3 \text{ points}$.
b.

Let d be a common divisor of the numbers a and b

$\mathrm{d} / 21^{\mathrm{n}} \cdot 3+4 \Rightarrow \mathrm{d} / 21^{\mathrm{n}+1}+28$

$\mathrm{d} / 21^{\mathrm{n}} \cdot 7+6 \Rightarrow \mathrm{d} / 21^{\mathrm{n}+1}+18 \Rightarrow \mathrm{d} / 10 \Rightarrow \mathrm{d} \in\{1,2,5,10\}$ $2 \text{ points}$

$u(a)=7, u(b)=3 \Rightarrow d=1$ $2 \text{ points}$
## Subject 1.

a. Show that the number $a=2^{2 n+2} \cdot 7^{n+3}+11 \cdot 2^{2 n+5} \cdot 7^{n}+2^{2 n} \cdot 7^{n+3}-27 \cdot 2^{2 n+1} \cdot 7^{n}$ is divisible by 2013, for any $n \in \mathbf{N}$.

b. Find the greatest common divisor of the numbers $a=3^{\mathrm{n}+1} \cdot 7^{\mathrm{n}}+4$ and $b=3^{\mathrm{n}} \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+6$, where $\mathrm{n}$ is a natural number.

( G.M. 11- 2012)