3. Suppose the side lengths of $\triangle A B C$ are $2,3,4$, and the circumcenter is 0, then $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}=$
Answer: $-\frac{29}{2}$ $\overrightarrow{A B}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B}|^{2}$ . Similarly, we get $\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{B C}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{B C}|^{2}, \overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C A}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{C A}|^{2}$, hence $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}+$ $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}=-\frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{C A}|^{2}\right)=-\frac{29}{2}$