## Zadatak A-3.4.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe

$$
\log _{2} x \cdot \log _{4} x+\log _{4} x \cdot \log _{8} x+\cdots+\log _{2^{2019}} x \cdot \log _{2^{2020}} x=\frac{2019}{2020}
$$


## Rješenje.

Za sve $n \in\{1,2, \ldots, 2019\}$ imamo

$$
\begin{aligned}
\log _{2^{n}} x \cdot \log _{2^{n+1}} x & =\frac{\log _{2} x}{\log _{2} 2^{n}} \cdot \frac{\log _{2} x}{\log _{2} 2^{n+1}}=\frac{1}{n(n+1)}\left(\log _{2} x\right)^{2} \\
& =\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\left(\log _{2} x\right)^{2}
\end{aligned}
$$

pa zadana jednadžba postaje

$$
\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\right)\left(\log _{2} x\right)^{2}=\frac{2019}{2020}
$$

odnosno

$$
\left(1-\frac{1}{2020}\right)\left(\log _{2} x\right)^{2}=\frac{2019}{2020}
$$

odakle dobivamo $\left(\log _{2} x\right)^{2}=1$.

Odavde slijedi $\log _{2} x=1$ ili $\log _{2} x=-1$ pa su sva realna rješenja zadane jednadžbe

$$
x_{1}=2 \quad \mathrm{i} \quad x_{2}=\frac{1}{2}
$$

Napomena: Ako učenik napravi transformaciju

$$
\log _{2^{n}} x \cdot \log _{2^{n+1}} x=\frac{1}{n(n+1)}\left(\log _{2} x\right)^{2}
$$

samo u nekoliko konkretnih slučajeva, npr. za $n=1$, treba dobiti 1 bod.

Napomena: Ako učenik izostavi jedno rješenje, npr. $x=\frac{1}{2}$, treba mu oduzeti 1 bod.

Napomena: Pogađanje pojedinačnih rješenja ne nosi bodove. No, ako učenik pokaže da $x=2$ (ili $x=\frac{1}{2}$ ) zadovoljava jednadžbu te pritom koristi formule za promjenu baze logaritma i zbroj

$$
\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{2019 \cdot 2020}=\frac{2019}{2020}
$$

treba dobiti 3 boda. Čak i ako učenik na taj način provjeri da su i $x=2$ i $x=\frac{1}{2}$ rješenja, treba dobiti najviše 3 boda ako nije pokazano da ne postoje druga rješenja.

