Hynek wrote the following example with five mysterious addends:

$$
@+\# \#+* * *+\& \& \& \&+\$ \$ \$ \$ \$=?
$$

He revealed that the symbols @, \#, *, \&, \$ represent different digits $1,2,3,4,5$ and that the resulting sum is divisible by eleven.

What is the smallest and the largest number that can be the result of Hynek's example?

(E. Novotná)
Hynkův příklad můžeme přepsat jako

$$
@+11 \cdot \#+111 \cdot *+1111 \cdot \&+11111 \cdot \$=?
$$

Druhý a čtvrtý sčítanec je dělitelný 11. Koeficient 111 u třetího sčítance a 11111 u pátého sčítance dává po dělení 11 zbytek 1 . Tedy původní součet je dělitelný 11 , právě když součet @ $+*+\$$ je dělitelný 11 .

Z dostupných čísel lze číslo 11 (či jeho násobek) vyjádřit jedině jako $2+4+5$. Tedy znaky @, *, \$ představují čísla $2,4,5$ v nějakém pořadí. Na znaky \# a \& zbývají čísla 1 a 3 v nějakém pořadí.

Nejmenší součet dostaneme, pokud znakům $\$, \&, *, \#$, @ po řadě přiřadíme nejmenší možná čísla v rámci předchozích omezení:

$$
5+33+444+1111+22222=23815 .
$$

Největší součet dostaneme, pokud znakům $\$, \&, *, \#$, @ po řadě přiřadíme největší možná čísla v rámci předchozích omezení:

$$
2+11+444+3333+55555=59345 .
$$

Výsledkem Hynkova příkladu může být nejméně 23815 a nejvýše 59345 .

Poznámka. Počet možností, jak pěti znakům přiřadit pět číslic, je $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$. I bez úvodních postřehů lze určit nejmenší a největší součet, aniž by se musely probírat všechny možnosti. Např. největší možný součet, který lze z daných číslic obdržet bez nároku na dělitelnost 11 , odpovídá přriřazení $\$=5, \&=4, *=3, \#=2$, @ $=1$, což zkráceně zapíšeme jako $(5,4,3,2,1)$. Možné součty sestupně odpovídají přiřazením

$$
\begin{aligned}
& (5,4,3,2,1), \quad(5,4,3,1,2), \quad(5,4,2,3,1), \quad(5,4,2,1,3), \quad(5,4,1,3,2), \quad(5,4,1,2,3) \\
& (5,3,4,2,1), \quad(5,3,4,1,2), \quad(5,3,2,4,1), \quad(5,3,2,1,4), \quad \ldots
\end{aligned}
$$

Postupným výpočtem odpovídajících součtů a ověřením jejich dělitelnosti 11 lze odhalit největší vyhovující možnost. Řešení (2) odpovídá 8. možnosti v této posloupnosti.

Při hledání nejmenšího možného Hynkova součtu lze postupovat obdobně, počínaje přiřazením $(1,2,3,4,5)$. Řešení (1) odpovídá 27 . možnosti v příslušné posloupnosti.

---

Hynkův example can be rewritten as

$$
@+11 \cdot \#+111 \cdot *+1111 \cdot \&+11111 \cdot \$=?
$$

The second and fourth addends are divisible by 11. The coefficient 111 for the third addend and 11111 for the fifth addend gives a remainder of 1 when divided by 11. Therefore, the original sum is divisible by 11 if and only if the sum @ $+*+\$$ is divisible by 11.

From the available numbers, the number 11 (or its multiple) can only be expressed as $2+4+5$. Thus, the symbols @, *, \$ represent the numbers $2,4,5$ in some order. The symbols \# and \& are left with the numbers 1 and 3 in some order.

The smallest sum is obtained if we assign the smallest possible numbers to the symbols $\$, \&, *, \#$, @ in sequence, within the previous constraints:

$$
5+33+444+1111+22222=23815 .
$$

The largest sum is obtained if we assign the largest possible numbers to the symbols $\$, \&, *, \#$, @ in sequence, within the previous constraints:

$$
2+11+444+3333+55555=59345 .
$$

The result of Hynkův example can be at least 23815 and at most 59345.

Note. The number of ways to assign five digits to five symbols is $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$. Even without the initial observations, the smallest and largest sums can be determined without considering all possibilities. For example, the largest possible sum that can be obtained from the given digits without the requirement of divisibility by 11 corresponds to the assignment $\$=5, \&=4, *=3, \#=2$, @ $=1$, which can be briefly written as $(5,4,3,2,1)$. Possible sums in descending order correspond to the assignments

$$
\begin{aligned}
& (5,4,3,2,1), \quad(5,4,3,1,2), \quad(5,4,2,3,1), \quad(5,4,2,1,3), \quad(5,4,1,3,2), \quad(5,4,1,2,3) \\
& (5,3,4,2,1), \quad(5,3,4,1,2), \quad(5,3,2,4,1), \quad(5,3,2,1,4), \quad \ldots
\end{aligned}
$$

By sequentially calculating the corresponding sums and verifying their divisibility by 11, the largest valid option can be revealed. Solution (2) corresponds to the 8th option in this sequence.

When searching for the smallest possible Hynkův sum, a similar approach can be taken, starting with the assignment $(1,2,3,4,5)$. Solution (1) corresponds to the 27th option in the relevant sequence.