Um decorador distribuirá flores em oito pontos ao redor de um arranjo quadrado de flores, como indicado na figura abaixo. Ele quer fazer isso de modo tal que, em cada lado do arranjo, as pessoas vejam sempre a mesma quantidade de flores. No exemplo abaixo, temos o total de 11 flores e em cada um dos 4 lados do quadrado são vistas exatamente 4 delas.

a) Qual o número máximo de flores que podem ser usadas, considerando que em cada lado do quadrado devem ser vistas exatamente 9 flores?

b) Qual o número mínimo de flores que podem ser usadas, considerando que em cada lado do quadrado devem ser vistas exatamente 12 flores?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-19.jpg?height=519&width=514&top_left_y=954&top_left_x=859)

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Solução

a) A soma das flores vistas nos lados é $4 \cdot 9=36$. Como as flores nos cantos são vistas por dois lados e as flores no meio dos lados são vistas apenas uma vez, podemos escrever:

$$
2 C+M=36
$$

onde $C$ e $M$ indicam as quantidades de flores nos cantos e no meio. Consequentemente, $C+M=36-C \leq 36$ e seu valor será no máximo 36 , que ocorre quando $C=0$. Assim, devemos distribuir nas posições 2, 4, 6 e 8 exatamente 9 flores. Portanto, o número máximo de flores é 36 .

b) A soma das flores vistas nos lados agora é $4 \cdot 12=48$ e a equação do item anterior se transforma em $2 C+M=48$. Consequentemente, $2(C+M)=48+M \geq 48$. Para atingir tal valor, como devemos ter $M=0$, basta distribuir 6 flores em cada um dos quatro cantos 1 , 3, 5 e 7 do arranjo. Portanto, o número mínimo de flores é 24.

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