## Aufgabe 3 - 301243

Man ermittle alle diejenigen Funktionen $f$, die den folgenden Bedingungen (1) und (2) genügen:

(1) Die Funktion $f$ ist für alle reellen Zahlen $x$ definiert und stetig.

(2) Für jede reelle Zahl $x$ gilt $f(x)-4 f\left(x^{2}\right)=x-16 x^{4}$.




Wir versuchen zunächst mit dem Ansatz

$$
f(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \quad\left(a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right)
$$

eine Polynomfunktion $f$ mit den geforderten Eigenschaften zu finden. Einsetzen in (2) führt dann auf

$$
-4 a_{2} x^{4}+\left(a_{2}-4 a_{1}\right) x^{2}+a_{1} x-3 a_{0}=x-16 x^{4}
$$

und ein einfacher Koeffizientenvergleich ergibt

$$
a_{2}=4, a_{1}=1, a_{0}=0
$$

d.h.,

$$
f(x)=4 x^{2}+x
$$

erfüllt tatsächlich unsere Bedingungen hier und ist somit eine Lösung. Wir zeigen im Folgenden, dass sie auch die einzige ist. Setzt man nämlich

$$
g(x):=f(x)-4 x^{2}-x
$$

so ist natürlich auch $g$ für alle reellen Zahlen definiert und stetig, erfüllt aber nun die wesentlich einfachere Funktionalgleichung

$$
g(x)=4 g\left(x^{2}\right)
$$

Aus ihr folgt durch Einsetzen sofort

$$
g(0)=g(1)=0
$$

sowie

$$
g(-x)=g(x)
$$

d.h., $g$ ist jedenfalls eine gerade Funktion. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass sie unter diesen Bedingungen nur identisch 0 sein kann, d.h., $f(x)=4 x^{2}+x$ ist tatsächlich die einzige Lösung hier.

Angenommen nämlich, es gäbe ein $x_{0} \in \mathbb{R}$ mit $g\left(x_{0}\right)=y_{0} \neq 0$, wobei wir o.B.d.A. $x_{0}>0$ voraussetzen dürfen, so gibt es dann wegen der Stetigkeit von $g$ für $x=1$ ein $\delta>0$, sodass $|g(x)|<\left|y_{0}\right|$ für alle $x$ mit $|x-1|<\delta$. Nun gilt aber auch

$$
g\left(x_{0}\right)=\frac{1}{4} g\left(\sqrt{x_{0}}\right)=\frac{1}{4^{2}} g\left(\sqrt[4]{x_{0}}\right)=\ldots=\frac{1}{4^{k}} g\left(\sqrt[2 k]{x_{0}}\right)=\ldots \quad(k \in \mathbb{N})
$$

und indem wir hier nur $k$ genügend groß wählen, dann weiter

$$
\left|\sqrt[2 k]{x_{0}}-1\right|<\delta \Rightarrow\left|g\left(\sqrt[2^{k}]{x_{0}}\right)\right|<\left|y_{0}\right| \Rightarrow\left|g\left(x_{0}\right)\right|<\left|y_{0}\right|
$$

ein klarer Widerspruch, der somit die Behauptung beweist.
