## Aufgabe 18/72

Man berechne die Summen

$$
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{2 k} \quad \text { und } \quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{2 k+1}
$$




Nach dem binomischen Satz ist

$$
\begin{gathered}
(1+1)^{n}=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}=2^{n} \quad \text { und } \\
(1-1)^{n}=\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\ldots+(-1)^{n}\binom{n}{n}=0
\end{gathered}
$$

Ferner ist $\binom{n}{k}=0$ für $k>n$. Addiert man beide Gleichungen, so ergibt sich

$$
2\left[\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\ldots+\ldots\right]=2 \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{2 k}=2^{n}
$$

Durch Subtraktion folgt

$$
2\left[\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\ldots+\ldots\right]=2 \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{2 k+1}=2^{n}
$$

Es ist also

$$
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{2 k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{2 k+1}=2^{n-1}
$$

