4. If a positive integer has only the digits 0 or 1 in its decimal representation, then it is called a "simple number". Find the smallest positive integer $k$, such that for any positive integer $n$, there exists $n=a_{1} \pm a_{2} \pm \cdots \pm a_{k}$, where $a_{i}(1 \leqslant i \leqslant k)$ are simple numbers.
$$
\begin{array}{l}
\text { Hint } \quad k_{\min }=9 . \\
\text { Let } n=\sum_{t=0}^{m} b_{t} 10^{t} \text {, and } \\
a_{i}=\left(c_{m} c_{m-1} \cdots c_{0}\right)_{2}(i=1,2, \cdots, 9) ; \\
c_{t}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & b_{t} \geqslant i ; \\
0, & b_{t}<i .
\end{array}\right.
\end{array}
$$

Obviously, $n=\sum_{i=1}^{9} a_{i}$, and $a_{i}$ are simple numbers.
It can be proven: $n=10203040506070809$ cannot be represented by $k(k<9)$ simple numbers.

Otherwise, let $a_{i}(1 \leqslant i \leqslant k)$ be simple numbers, such that $n=b_{1}-b_{2}$, where,
$$
b_{1}=\sum_{i=1}^{j} a_{i}, b_{2}=\sum_{i=j+1}^{k} a_{i} .
$$

Obviously, the digits of $b_{1} 、 b_{2}$ are all no greater than $j 、 k-j$ respectively.

From the construction of $n$, we know that in the summation process of $b_{1}=n+b_{2}$, there is no carry on the positions of non-zero digits of $n$. However, $n$ contains the digit $j+1(j+1 \leqslant k+1 \leqslant 9)$, while the corresponding digit of $b_{1}$ is no greater than $j$, which is a contradiction.
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