## Zadatak A-3.5.

Kocka $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ stranice duljine 1 presječena je sferom. Središte sfere je točka $S$ na dužini $\overline{A D}$ takva da je $|A S|=\sqrt{3}-1$. Sfera prolazi točkama $C$ i $D^{\prime}$, te siječe bridove $\overline{A B}$ i $\overline{A A^{\prime}}$.

Odredi površinu onog dijela oplošja kocke koji se nalazi unutar te sfere.


## Rješenje.

Presjek zadane sfere i bilo koje ravnine je kružnica kojoj je središte ortogonalna projekcije točke $S$ na tu ravninu. Neka su $K, K^{\prime}, L$ i $L^{\prime}$ redom presjeci sfere s bridovima $\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{A A^{\prime}} \mathrm{i} \overline{A^{\prime} D^{\prime}}$. Ostale bridove sfera siječe u točkama $C$ i $D$ ili ih uopće ne siječe. Neka je $r$ radijus te sfere.

Promotrimo stranu $A B C D$. Kako je duljina brida kocke jednaka 1, iz uvjeta $|A S|=$ $\sqrt{3}-1$ i slijedi $|S D|=2-\sqrt{3}$. Iz Pitagorinog poučka u trokutu $S C D$ slijedi

$$
r^{2}=|S C|^{2}=|D C|^{2}+|D S|^{2}=1^{2}+(2-\sqrt{3})^{2}=8-4 \sqrt{3}
$$

Zato je i $|S K|^{2}=r^{2}=8-4 \sqrt{3}$. Primijetimo da je

$$
|A S|^{2}=(\sqrt{3}-1)^{2}=4-2 \sqrt{3}=\frac{1}{2}|S K|^{2}
$$

odnosno $|S K|=\sqrt{2}|S A|$. Odavde zaključujemo da je trokut $S A K$ jednakokračan pravokutan trokut.

1 bod

Uočavamo da su točke $K$ i $S$ osnosimetrične obzirom na pravac $A C$, pa iz te simetrije slijedi $|A K|=|A S|=\sqrt{3}-1,|B K|=|D S|,|C K|=|C S|=r$. Dakle, trokut $S K C$ je jednakostraničan.

Vrijedi da je $\left|C K^{\prime}\right|=2|D S|=4-2 \sqrt{3}$, pa je $\left|B K^{\prime}\right|=1-(4-2 \sqrt{3})=2 \sqrt{3}-3=\sqrt{3}$. $|B K|$. Iz toga zaključujemo da je $\varangle B K K^{\prime}=60^{\circ} \mathrm{i}\left|K K^{\prime}\right|=2|B K|=2|D S|=\left|C K^{\prime}\right|$. Trokuti $S K K^{\prime}$ i $S K^{\prime} C$ su jednakokračni s krakovima duljine $r$, te sukladnim osnovicama, pa su sukladni i vrijedi $\varangle K S K^{\prime}=\varangle K^{\prime} S C=30^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_21f39afeb1dfc245d841g-16.jpg?height=596&width=685&top_left_y=907&top_left_x=617)

Površina dijela strane $A B C D$ unutrar sfere računamo kao zbroj površina trapeza $D S K^{\prime} C$, pravokutnog trokuta $S A K$ i kružnog isječka $S K K^{\prime}$ sa središnjim kutem $30^{\circ}$ i polumjerom $r$ :

$$
\frac{(2-\sqrt{3}+2(2-\sqrt{3})) \cdot 1}{2}+\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}+4(2-\sqrt{3}) \cdot \frac{\pi}{12}=(2-\sqrt{3}) \cdot\left(\frac{5}{2}+\frac{\pi}{3}\right)
$$

Jednako iznosi tražena površina na strani $A D D^{\prime} A^{\prime}$.

Na strani $C C^{\prime} D^{\prime} D$ unutar sfere se nalazi četvrtina kruga sa središtem u $D$ i radijusom $|D C|=1$. Površina je $\frac{1}{4} \pi$. Na strani $A B B^{\prime} A^{\prime}$ unutar sfere se nalazi četvrtina kruga sa središtem u $A$ i radijusom $|A K|=1$. Površina je $\frac{1}{4}(\sqrt{3}-1)^{2} \pi$.

Konačno, na strani $B B^{\prime} C^{\prime} C$ unutar sfere je polovina kruga s promjerom $\overline{C K^{\prime}}$, dok je na stranici $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ polovina kruga s promjerom $\overline{D^{\prime} L^{\prime}}$. Svaki od tih polukrugova ima površinu $\frac{1}{2}(2-\sqrt{3})^{2} \pi$.

Zbrajanjem svih izračunatih površina, dobivamo konačni rezultat:

$$
\frac{\pi}{4}+\frac{(4-2 \sqrt{3}) \pi}{4}+2 \cdot(2-\sqrt{3}) \cdot\left(\frac{5}{2}+\frac{\pi}{3}\right)+2 \cdot \frac{1}{2}(7-4 \sqrt{3}) \pi=\frac{(115-62 \sqrt{3}) \pi}{12}+10-5 \sqrt{3}
$$

