Example 17 (2002-2003 British Mathematical Olympiad) Find all positive integers $a, b, c$ such that $a, b, c$ satisfy
$$
(a!)(b!)=a!+b!+c!.
$$
O
l
y
m
p
i
c
m
a
t
h
e
m
a
t
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c
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c
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}
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b
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