
12. Quante sono le coppie ordinate di numeri naturali $(m, n)$, con $m \leqslant n$, il cui minimo comune multiplo è uguale a 1515 ?
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 11
(E) 10

Problema 12. La risposta corretta è $(\mathbf{C})$.

I fattori primi di 1515 sono 3,5 e 101, che per brevità indicheremo (nell'ordine) con $a, b$ e $c$. Per esaminare le diverse possibilità, procediamo in base al valore di $\operatorname{MCD}(m, n)$, che può contenere tutti e 3 , oppure 2 , oppure 1 o nessuno dei fattori $a, b, c$.

- Se $M C D(m, n)$ ha 3 fattori primi: in tal caso $(m, n)=(a b c, a b c)$ [1 coppia].
- Se $M C D(m, n)$ ha 2 fattori primi, ad esempio $a b$ : in tal caso $(m, n)=(a b, a b c) \quad[1$ coppia, da moltiplicare per 3, considerate le possibili scelte dei 2 fattori primi in comune].
- Se $M C D(m, n)$ ha 1 fattore primo, ad esempio $a$ : in tal caso o si ha $(m, n)=(a b, a c)$ oppure $(m, n)=(a, a b c)$ [2 coppie, da moltiplicare per 3, considerate le possibili scelte del fattore primo in comune].
- Infine, se $M C D(m, n)=1$ : in tal caso o i fattori primi sono tutti e 3 insieme, ossia $(m, n)=(1, a b c)$, oppure sono 2 da una parte e 1 dall'altra, ad esempio $(m, n)=(a, b c) \quad[1+3=4$ coppie in tutto]. Nel complesso, le coppie $(m, n)$ con $m \leqslant n$, per cui $m c m(m, n)=1515$, sono dunque $1+3+6+4=14$.
