XVIII OM - I - Zadanie 10

Trójka liczb całkowitych tworzy postęp geometryczny o ilorazie całkowitym. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9, powstanie postęp arytmetyczny. Jakie to liczby?


Poszukiwana trójka liczb ma postać $ (a, aq, aq^2) $, gdzie $ a $ i $ q $ są liczbami całkowitymi różnymi od zera. Rozróżnimy dwa przypadki.
a) Najmniejszą z liczb tej trójki jest $ a $ lub $ aq^2 $. Nową trójką liczb jest wtedy $ (a+9, aq, aq^2) $ lub $ (a, aq, aq^2+9) $; warunek, aby to był postęp arytmetyczny, wyraża równość $ 2aq = aq^2+a+9 $, którą możemy napisać w postaci






Stąd wynika, że






bądź też






Otrzymujemy trójki liczb: $ ( - 1, -4, -16) $, $ ( - 1, 2, -4) $, $ ( - 9, -18, -36) $; stwierdzamy, że są one istotnie rozwiązaniami zadania.
b) Najmniejszą z liczb $ a, aq, aq^2 $ jest $ aq $. Nową trójkę tworzą wtedy liczby $ a, aq+ 9, aq^2 $; warunek, aby to był postęp arytmetyczny wyraża równość $ 2(aq+9) = aq^2+a $, której nadamy postać






Z tej równości wynika, że






bądź też






Otrzymujemy trójki liczb: $ (2, 8, 32) $, $ (2, -4, 8) $, $ (18, 36, 72) $, z których tylko druga spełnia warunki zadania.
Zadanie ma więc cztery rozwiązania: $ ( - 1, -4, -16) $, $ ( -1,2, -4) $, $ (-9, -18, -36) $, $ (2, -4, 8) $.
