## Aufgabe 3 - 301213

Man ermittle alle diejenigen reellen Zahlen $x$, für die die beiden folgenden Gleichungen (1) und (2) gelten:

$$
\begin{aligned}
& 3 x^{5}+3 x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}-x-1=0 \\
& 3 x^{5}-3 x^{4}+2 x^{3}-2 x^{2}-x+1=0
\end{aligned}
$$




(1) und (2) sind äquivalent mit

$$
\begin{aligned}
& (x+1)\left(3 x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)=0 \\
& (x-1)\left(3 x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)=0
\end{aligned}
$$

Da stets $x^{2}+1>0$ gilt und für kein reelles $x$ beide Gleichungen $x ß 1=0$ und $x-1=0$ gelten, werden (1) und (2) genau dann erfüllt, wenn $3 x^{2}-1=0$ ist.

Dies ist genau für $x_{1,2}= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ der Fall.

Übernommen von $[5]$

