## Aufgabe 1 - 231221

Ist $\left(a_{n}\right)$ eine Folge reeller Zahlen, so bezeichne $s_{n}$ ihre $n$-te Partialsumme:

$$
s_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}
$$

Man ermittle

a) von jeder arithmetischen Folge $\left(a_{n}\right)$, für die $s_{4}=15$ und $s_{8}=255$ gilt,

b) von jeder geometrischen Folge $\left(a_{n}\right)$, für die $s_{4}=15$ und $s_{8}=255$ gilt, die ersten fünf Glieder $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{5}$.




a) Wenn $\left(a_{n}\right)$ eine arithmetische Folge mit dem Anfangsglied $a_{1}$ und der konstanten Differenz $d$ ist, so gilt

$$
s_{n}=\frac{n}{2}\left(2 a_{1}+(n-1) d\right)
$$

Daher erfüllt die Folge genau dann $s_{4}=14$ und $s_{8}=255$, wenn

$$
15=2\left(2 a_{1}+3 d\right) \quad ; \quad 255=4\left(2 a_{1}+7 d\right)
$$

gilt. Dieses Gleichungssystem hat genau die Lösungen $a_{1}=-\frac{555}{32}$ und $d=\frac{225}{16}$. Also hat genau die arithmetische Folge mit diesen $a_{1}$ die verlangten $s_{4}$ und $s_{8}$. Ihre ersten fünf Glieder sind

$$
-\frac{555}{32} ; \quad-\frac{105}{32} ; \quad \frac{345}{32} ; \quad \frac{795}{32} ; \quad \frac{1245}{32}
$$

b) (I) Es sei $\left(a_{n}\right)$ eine geometrische Folge, die $s_{4}=15$ und $s_{8}=255$ erfüllt. Für ihr Anfangsglied und ihren konstanten Quotienten q folgt dann:

Es gilt $q \neq 1$; denn aus $q=1$ würde $s_{8}=8 a_{1}=s_{4}$ folgen, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Für geometrische Folgen mit $q \neq 1$ ist $s_{n}=a_{1} \frac{q^{n}-1}{q-1}$; daher ergibt sich

$$
15=a_{1} \frac{q^{4}-1}{q-1} \quad ; \quad 255=a_{1} \frac{q^{8}-1}{q-1}
$$

also $a_{1} \neq 0, q^{4}-1 \neq 0$ und

$$
17=\frac{q^{8}-1}{q^{4}-1}=q^{4}+1 \quad \rightarrow \quad q=2 \quad \text { oder } \quad q=-2
$$

und hierzu

$$
a_{1}=15 \frac{q-1}{q^{4}-1} \quad \rightarrow \quad a_{1}=1 \quad \text { bzw. } \quad a_{1}=-3
$$

Daher könne nur die beiden geometrischen Folgen mit $a_{1}=1, q=2$ bzw. mit $a_{1}=-3, q=-2$ die verlangten $s_{4}, s_{8}$ haben. Sie haben diese Partialsummen, wie die Proben bestätigen. Ihre ersten fünf Glieder sind $1,2,4,8,16$ bzw. $-3,6,-12,24,-48$.

Übernommen von $[5]$

