
Opgave 2. Vind alle functies $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor geldt:

$$
x f(x y)+f(-y)=x f(x)
$$

voor alle reële $x, y$ ongelijk aan 0 .


Oplossing. Vul in $x=1$, dat geeft $f(y)+f(-y)=f(1)$, oftewel $f(-y)=f(1)-f(y)$ voor alle $y$. Vul nu in $y=-1$, dat geeft $x f(-x)+f(1)=x f(x)$. Als we hierin $f(-x)=$ $f(1)-f(x)$ invullen, krijgen we $x(f(1)-f(x))+f(1)=x f(x)$, dus $x f(1)+f(1)=2 x f(x)$. We zien dat $f$ van de vorm $f(x)=c+\frac{c}{x}$ is voor zekere $c \in \mathbb{R}$. Deze familie van functies controleren we. Links staat dan $x f(x y)+f(-y)=x\left(c+\frac{c}{x y}\right)+c+\frac{c}{-y}=x c+c$ en rechts staat $x f(x)=x\left(c+\frac{c}{x}\right)=x c+c$. Deze twee zijn aan elkaar gelijk, dus deze functie voldoet voor alle $c \in \mathbb{R}$.
