3 Let $F(x)=|f(x) \cdot g(x)|$, where $f(x)=a x^{2}+b x+c, x \in[-1,1]$; $g(x)=c x^{2}+b x+a, x \in[-1,1]$, and for any parameters $a, b, c$, it always holds that $|f(x)| \leqslant 1$. Find the maximum value of $F(x)$.
3. $|g(x)|=\left|c x^{2}-c+b x+a+c\right| \leqslant|c| \cdot\left|x^{2}-1\right|+|b x+a+c| \leqslant$ $1+|b x+a+c|$.

Consider the linear function $T(x)=|b x+a+c|, -1 \leqslant x \leqslant 1$.
When $x=-1$, $T(-1)=|a-b+c| \leqslant 1$; when $x=1$, $T(1)=|a+b+c| \leqslant 1$. Therefore, when $|x| \leqslant 1$, $T(x) \leqslant 1$. Then $|g(x)| \leqslant 1+T(x) \leqslant 2$. Thus $F(x) \leqslant 2$. And when $x= \pm 1$, this maximum value is achieved.