## Zadatak B-3.6.

Riješite sustav nejednadžbi

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{9 x^{2}-12 x+5} \geqslant \sin x \\
|x|-\frac{\pi}{2} \leqslant \cos x
\end{array}\right.
$$


## Rješenje.

Rješenje prve nejednadžbe mora ispunjavati uvjet $9 x^{2}-12 x+5 \geqslant 0$.

Kako je diskriminanta pripadne kvadratne jednadžbe $D=-36$ negativna, a vodeći koeficijent veći od nule, zaključujemo uvjet je ispunjen za svaki $x \in \mathbf{R}$.

Budući da je najmanja moguća vrijednost funkcije $f(x)=9 x^{2}-12 x+5$ jednaka

$$
y_{0}=\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}=1
$$

i $\sin x \in[-1,1]$, zaključujemo da je nejednakost $\sqrt{9 x^{2}-12 x+5} \geqslant \sin x$ ispunjena za svaki realan broj $x$.

Nacrtajmo u istom koordinatnom sustavu graf funkcije $g(x)=|x|-\frac{\pi}{2}$ i graf funkcije $h(x)=\cos x$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_c317f9bfd22736a3ecebg-27.jpg?height=494&width=1108&top_left_y=1352&top_left_x=400)

Uočimo da grafovi funkcija $g(x)=|x|-\frac{\pi}{2}$ i $h(x)=\cos x$ imaju zajednička sjecišta s $x$ osi, točke $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ i $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ te da su im to jedine zajedničke točke, što je očito iz grafičkog prikaza.

Nadalje, graf funkcije $g(x)=|x|-\frac{\pi}{2}$ se nalazi ispod grafa funkcije $h(x)=\cos x$ između $-\frac{\pi}{2} \mathrm{i} \frac{\pi}{2}$ pa je rješenje druge nejednadžbe $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

Kako je rješenje prve nejednadžbe svaki realan broj $x$, a rješenje druge $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, zaključujemo da je rješenje danog sustava $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

Napomena: Ako učenik ne navede da grafovi funkcija $g$ i $h$ nemaju drugih sjecišta osim $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ i $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ treba oduzeti jedan bod. Prihvaća se i sljedeće obrazloženje. Na intervalima $\left\langle\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+1\right\rangle$ i $\left\langle-\frac{\pi}{2}-1,-\frac{\pi}{2}\right\rangle$ je $h(x)0$, a za $x>\frac{\pi}{2}+1$ i za $x1$ pa se grafovi funkcija $g$ i $h$ ne sijeku desno od točke $\frac{\pi}{2}$, odnosno lijevo od točke $-\frac{\pi}{2}$.

