The following limits need to be calculated:
a.) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=$ ?
b.) $\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3 x}{x-\pi}=?$
c.) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{x-1}=$ ?
d.) $\lim _{x=0} \frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{1+\pi x}=$ ?
Since

$$
\begin{aligned}
& \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} ; \quad \frac{\sin 3 x}{x-\pi}=\frac{\sin 3[\pi+(x-\pi)]}{x-\pi}= \\
& =-3 \cdot \frac{\sin 3(x-\pi)}{3(x-\pi)} ; \quad \frac{\cos \frac{\pi}{2} x}{x-1}=-\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sin \left[\frac{\pi}{2}(x-1)\right]}{\frac{\pi}{2}(x-1)} \\
& \frac{1}{x} \cdot \sin \frac{\pi}{1+\pi x}=\frac{\sin \pi\left(1-\frac{x \pi}{1+\pi x}\right)}{x}=\frac{\pi^{2}}{1+\pi x} \cdot \frac{\sin \frac{\pi^{2} x}{1+\pi x}}{\frac{\pi^{2} x}{1+\pi x}}
\end{aligned}
$$

thus using $\lim _{x=0} \frac{\sin x}{x}=1$, the sought limits are:
a.) $\frac{1}{2}$
b.) -3,
c.) $-\frac{\pi}{2}$,
d.) $\pi^{2}$.

Solved by: Boda I., Csík M., Csordás L., Fülöp M., Gaál E., ifj. Gacsályi S., Gehér L., Horváth M., Hosszú M., Izsák I., Kővári T., Magyar Á. Sz., Osváth I., Szabó Á., Szathmári D., Szépfalussy P., Szúcs L., Ungár P., Vörös M. Partially solved by: Bakonyi Kornélia, Blaskó F., Csuhássy E., Erdősy Gy., Inkovics Gabriella, József P., Spitz Vera, Szentmártony Z., Tarnóczi T., Tarnóczi Z., Vékony Mária.