## Zadatak A-3.6.

Kružnice $k_{1}, k_{2}$ i $k_{3}$ sa središtima $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ i polumjerima duljina $r_{1}=1, r_{2}=2$, $r_{3}=3$, redom međusobno se dodiruju izvana tako da je $A$ diralište kružnica $k_{1}$ i $k_{2}$, $B$ diralište kružnica $k_{2}$ i $k_{3}$ te $C$ diralište kružnica $k_{3}$ i $k_{1}$. Odredi površinu trokuta $A B C$.


## Prvo rješenje.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_9afe9556dd3f84037ce6g-20.jpg?height=845&width=1387&top_left_y=283&top_left_x=263)

Kružnice $k_{1}$, $k_{2}$ i $k_{3}$ se međusobno diraju izvana, stoga je $\left|S_{1} S_{2}\right|=r_{1}+r_{2}=3$, $\left|S_{2} S_{3}\right|=r_{2}+r_{3}=5$ i $\left|S_{3} S_{1}\right|=r_{3}+r_{1}=4$.

Uočimo da je trokut $S_{1} S_{2} S_{3}$ trokut sa stranicama duljina 3, 4 i 5. Prema obratu Pitagorinog poučka trokut $S_{1} S_{2} S_{3}$ je pravokutan.

Označimo s $\alpha$ i $\beta$ redom mjere kutova $\varangle S_{1} S_{2} S_{3}$ i $\varangle S_{1} S_{3} S_{2}$.

Budući da je trokut $S_{1} S_{2} S_{3}$ pravokutan, vrijedi $\sin \alpha=\frac{4}{5}$ i $\sin \beta=\frac{3}{5}$.

Trokuti $S_{1} S_{2} S_{3}$ i $C A S_{1}$ su pravokutni pa imamo

$$
\begin{aligned}
P\left(S_{1} S_{2} S_{3}\right) & =\frac{3 \cdot 4}{2}=6 \\
P\left(C A S_{1}\right) & =\frac{1 \cdot 1}{2}=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

Površinu trokuta $A B S_{2}$ i $B C S_{3}$ možemo odrediti preko formule za površinu trokuta pomoću sinusa kuta

$$
\begin{aligned}
& P\left(A B S_{2}\right)=\frac{1}{2} r_{2}^{2} \sin \alpha=\frac{8}{5} \\
& P\left(B C S_{3}\right)=\frac{1}{2} r_{3}^{2} \sin \beta=\frac{27}{10}
\end{aligned}
$$

Sada konačno možemo odrediti površinu trokuta $A B C$

$$
P(A B C)=P\left(S_{1} S_{2} S_{3}\right)-P\left(C A S_{1}\right)-P\left(A B S_{2}\right)-P\left(B C S_{3}\right)=\frac{6}{5}
$$

