## Zadatak A-3.7. (10 bodova)

U trokutu $A B C$, duljina stranice $\overline{B C}$ je 6 , kosinus kuta pri vrhu $B$ jednak je $\frac{4}{5}$, a duljina polumjera upisane kružnice iznosi 1. Odredi duljine stranica $\overline{A B}$ i $\overline{A C}$ tog trokuta.


## Drugo rješenje.

Označimo duljine stranica s $a, b, c$, kutove trokuta $\mathrm{s} \alpha, \beta, \gamma$ i polumjer upisane kružnice s $r$. Neka je $P$ diralište upisane kružnice sa stranicom $\overline{B C}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_13589bc3b5dd31895527g-18.jpg?height=506&width=1053&top_left_y=1266&top_left_x=433)

Kako je $\cos \beta=\frac{4}{5}$, to je $\sin \beta=\frac{3}{5}$. Zato vrijedi $\operatorname{tg} \frac{\beta}{2}=\frac{1-\cos \beta}{\sin \beta}=\frac{1-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{3}$.

Iz pravokutnog trokuta $B P S$ imamo $|B P|=r \operatorname{ctg} \frac{\beta}{2}$, pa je $|B P|=1 \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3 . \quad 1$ bod

Zato je i $|C P|=|B C|-|B P|=6-3=3$.

1 bod

Sada slijedi (npr. zbog sukladnosti trokuta $B P S$ i $C P S$ ) da su kutovi $\varangle A B C$ i $\varangle A C B$ sukladni, tj. trokut $A B C$ je jednakokračan i vrijedi $b=c$.

Zato je $\sin \alpha=\sin \left(180^{\circ}-2 \beta\right)=\sin 2 \beta=2 \sin \beta \cos \beta=2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$,

pa iz poučka o sinusima dobivamo $b=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot a=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{24}{25}} \cdot 6=\frac{15}{4}$.

Dakle, $|A B|=|A C|=\frac{15}{4}$.

Napomena: Nakon što znamo da je $b=c$, možemo primijeniti poučak o kosinusu da dobijemo $\cos \beta=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a}{2 c}$, odakle slijedi $c=\frac{15}{4}$.
