## 6. Trokut i kutovi

U trokutu $A B C$ veličina najvećeg kuta iznosi $118^{\circ}$. Na produžetku najdulje stranice $\overline{A B}$ preko vrha $A$ odabrana je točka $X$ takva da je $|A X|=|A C|$, a na produžetku preko vrha $B$ točka $Y$ takva da je $|B Y|=|B C|$. Kolika je veličina kuta $\Varangle X C Y$ u kutnim stupnjevima?

Rezultat: 149


Rješenje. Označimo $\alpha=|\Varangle B A C|, \beta=|\Varangle C B A|, \gamma=|\Varangle A C B|=118^{\circ}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_1fa462ef9f831ff2e2d1g-3.jpg?height=304&width=1460&top_left_y=2271&top_left_x=300)

Iz uvjeta $|A C|=|A X|$ slijedi da je trokut $\triangle A C X$ jednakokračan pa je $|\Varangle A X C|=|\Varangle X C A|$

Kut $\alpha$ vanjski je kut trokuta $\triangle A C X$, pa vrijedi $\alpha=|\Varangle A X C|+|\Varangle X C A|$.

Stoga vrijedi $|\Varangle A X C|=|\Varangle X C A|=\frac{\alpha}{2}$.

Na isti se način pokaže da je $|\Varangle B C Y|=|\Varangle C Y B|=\frac{\beta}{2}$.

Zbroj kutova u trokutu je $180^{\circ}$, pa vrijedi $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$.

Iz toga slijedi $\alpha+\beta+118^{\circ}=180^{\circ}$, odnosno $\alpha+\beta=62^{\circ}$.

Dijeljenjem s 2 dobivamo $\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=31^{\circ}$.

Dakle, vrijedi

$|\Varangle X C Y|=|\Varangle X C A|+|\Varangle A C B|+|\Varangle B C Y|=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\gamma=31^{\circ}+118^{\circ}=149^{\circ}$.

