I OM - B - Zadanie 1

Wyznaczyć współczynniki $ a $ i $ b $, równania $ x^2 + ax +b=0 $ tak, aby same wartości $ a $ i $ b $ były pierwiastkami tego równania.



Liczby $ a $ i $ b $ mają spełniać równanie $ x^2 + ax + b = 0 $. Zatem






czyli






Drugie z równań układu (2) daje $ b = 0 $ lub $ a + b + 1 = 0 $.


Biorąc $ b = 0 $ otrzymujemy rozwiązanie








Biorąc $ a + b + 1 = 0 $ mamy $ b = - a-l $; po podstawieniu do pierwszego z równań układu (2) otrzymujemy równanie






którego pierwiastkami są liczby $ a = 1 $ i $ a = -1 $, przy czym odpowiednimi wartościami $ b $ są liczby  $ b = - 2 $ i $ b=-\frac{1}{2} $.
Stąd dalsze rozwiązania układu równań (2):








Ze znalezionych rozwiązań tylko liczby $ a = 0 $, $ b = 0 $ oraz
liczby $ a = 1 $, $ b = - 2 $ spełniają warunki zadania. Liczby $ a = -\frac{1}{2} $,
$ b = -\frac{1}{2} $ warunków tych nie spełniają, gdyż pierwiastkami równania
$ x^2 - \frac{1}{2}x -\frac{1}{2} = 0 $ są liczby $ -\frac{1}{2} $ i 1, a nie liczby $ -\frac{1}{2} $ i $ -\frac{1}{2} $.

Aby wyjaśnić ten paradoks, zauważmy, że układ równań (2)
daje tylko warunki konieczne dla poszukiwanych liczb $ a $ i $ b $,
Nie są to jednak warunki dostateczne: jeśli bowiem liczby
$ a $ i $ b $ spełniają układ (2), to każda z nich jest wprawdzie pierwiastkiem
równania $ x^2 + ax + b = 0 $, ale z tego nie wynika, że $ a $ i $ b $
dają oba pierwiastki tego równania. W przypadku, gdy $ a = b $,
jest to jeden i ten sam pierwiastek, jak to właśnie zachodzi w równaniu
$ x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2} = 0 $.

