## Problema I - 2

Se suponen conocidas las raíces reales de las n ecuaciones de segundo grado que se indican en el siguiente cuadro:

| Ecuación | Raíces |
| :---: | :---: |
| $x^{2}+a_{1} x+b_{1}=0$ | $x_{0}, x_{1}$ |
| $x^{2}+a_{2} x+b_{2}=0$ | $x_{0}, x_{2}$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ |
| $x^{2}+a_{n} x+b_{n}=0$ | $x_{0}, x_{n}$ |

Encontrar, razonadamente, las raíces de la ecuación

$$
x^{2}+\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} x+\frac{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}{n}=0
$$
Solución.

Por hipótesis, se tiene

$$
\begin{aligned}
& x_{0}^{2}+a_{1} x_{0}+b_{1}=0 \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& x_{0}^{2}+a_{n} x_{0}+b_{n}=0
\end{aligned}
$$

Sumando estas igualdades, resulta

$$
n x_{0}^{2}+\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right) x_{0}+\left(b_{1}+\cdots+b_{n}\right)=0
$$

es decir, $x_{0}$ es una raíz de la ecuación propuesta.

Por lo tanto, el discriminante de esta ecuación es no negativo y debe tener otra raíz a la que llamaremos $\bar{x}$. Por las fórmulas que relacionan los coeficientes y las raíces, se tiene

$$
\begin{aligned}
& x_{0}+x_{1}=-a_{1} \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& x_{0}+x_{n}=-a_{n} \\
& x_{0}+\bar{x}=-\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}
\end{aligned}
$$

Multiplicando la última igualdad por $n$ y restando de las anteriores, resulta

$$
n \bar{x}-\left(x_{1}+\cdots+x_{n}\right)=0 \Leftrightarrow \bar{x}=\frac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n}
$$