## Zadatak A-3.4.

Dana je kocka $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ duljine brida $a$. Ako je $P$ ortogonalna projekcija točke $B$ na prostornu dijagonalu $\overline{A C^{\prime}}$, odredi volumen piramide $A B C D P$.


## Rješenje.

Neka je $P^{\prime}$ projekcija točke $P$ na ravninu $A B C D$. Tada je $\overline{P P^{\prime}}$ visina piramide $A B C D P$.

Trokut $A P^{\prime} P$ je sličan trokutu $A C C^{\prime}$ i vrijedi $\left|P^{\prime} P\right|:\left|C C^{\prime}\right|=|A P|:\left|A C^{\prime}\right|$.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_0bfcef02cf5258b8afa5g-17.jpg?height=800&width=1312&top_left_y=1619&top_left_x=311)

Trokut $A B C^{\prime}$ je pravokutan. Duljine kateta tog trokuta su $|A B|=a \mathrm{i}\left|B C^{\prime}\right|=a \sqrt{2}$, a duljina hipotenuze je $\left|A C^{\prime}\right|=a \sqrt{3}$.

Dužina $\overline{B P}$ je visina na hipotenuzu. Izražavanjem površine trokuta $A B C^{\prime}$ na dva načina dobivamo

$$
\frac{a \cdot a \sqrt{2}}{2}=\frac{a \sqrt{3} \cdot|B P|}{2}
$$

pa slijedi da je $|B P|=a \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Trokut $A B P$ je pravokutan, pa primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

$$
|A P|^{2}=a^{2}-\frac{2}{3} a^{2}=\frac{a^{2}}{3}, \quad \text { odnosno } \quad|A P|=\frac{a \sqrt{3}}{3}
$$

Dakle, vrijedi $|A P|:\left|A C^{\prime}\right|=\frac{1}{3}$. Stoga je $\left|P P^{\prime}\right|=\frac{a}{3}$.

Baza piramide $A B C D P$ je kvadrat stranice duljine $a$, pa je traženi volumen jednak

$$
\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a}{3}=\frac{a^{3}}{9}
$$

Napomena: Dva boda u sredini se mogu ostvariti i na sljedeći način. Prema Euklidovom teoremu, u pravokutnom trokutu $A B C^{\prime}$ vrijedi $|A P| \cdot\left|A C^{\prime}\right|=|A B|^{2}$ (1 bod).

Slijedi da je $|A P|=\frac{a^{2}}{a \sqrt{3}}=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. (1 bod $)$

