## Zadatak A-4.3.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da je

$$
f(x)=\max _{y \in \mathbb{R}}(2 x y-f(y))
$$

za svaki $x \in \mathbb{R}$.


## Rješenje.

Neka funkcija $f$ zadovoljava uvjet zadatka. Tada je $f(x) \geq 2 x y-f(y)$ za sve $x, y \in \mathbb{R}$, pa za $y=x$ dobivamo da je $f(x) \geq x^{2}$ za svaki $x \in \mathbb{R}$.

Nadalje iz uvjeta slijedi da za svaki $x$ postoji $y=y_{x}$ takav da je $f(x)=2 x y_{x}-f\left(y_{x}\right)$. Iz ovog i iz posljednje nejednakosti dobivamo

$$
x^{2} \leq f(x)=2 x y_{x}-f\left(y_{x}\right) \leq 2 x y_{x}-y_{x}^{2}
$$

pa je $\left(x-y_{x}\right)^{2} \leq 0$, tj. $y_{x}=x$.

Sada iz $f(x)=2 x y_{x}-f\left(y_{x}\right)$ slijedi $f(x)=x^{2}$.

Ova funkcija je rješenje zadatka jer za nju vrijedi

$$
\max _{y \in \mathbb{R}}(2 x y-f(y))=\max _{y \in \mathbb{R}}\left(2 x y-y^{2}\right)=\max _{y \in \mathbb{R}}\left(x^{2}-(x-y)^{2}\right)=x^{2}=f(x)
$$

