## Zadatak B-2.4.

Neka su $a$ i $b$ rješenja jednadžbe $z^{2}+z+1=0$. Izračunajte $a^{2018}+b^{2018}$.


## Prvo rješenje.

Ako su $a$ i $b$ rješenja jednadžbe $z^{2}+z+1=0$, prema Vieteovim formulama je

$$
a+b=-1, \quad a b=1
$$

Kako su $a$ i $b$ rješenja dane jednadžbe (uočimo da su različita od 1 ), vrijedi

$$
\begin{aligned}
z^{2}+z+1 & =0 / \cdot(z-1) \\
z^{3}-1 & =0 \quad \Longrightarrow \quad a^{3}=1, b^{3}=1
\end{aligned}
$$

Uočimo da je 2016 djeljivo s 3 pa imamo

$$
a^{2016}=\left(a^{3}\right)^{672}=1, \quad b^{2016}=\left(b^{3}\right)^{672}=1
$$

Odavde je

$$
\begin{aligned}
a^{2018}+b^{2018} & =a^{2016} \cdot a^{2}+b^{2016} \cdot b^{2}=a^{2}+b^{2} & & 1 \text { bod } \\
& =(a+b)^{2}-2 a b=1-2=-1 . & & 1 \text { bod }
\end{aligned}
$$

