Three, 13. (20 points) Given the function
$$
f(x)=a x^{2}+b x+c(a, b, c \in \mathbf{R}),
$$

when $x \in[-1,1]$, $|f(x)| \leqslant 1$.
(1) Prove: $|b| \leqslant 1$;
(2) If $f(0)=-1, f(1)=1$, find the value of $a$.
$$
\text { Three, 13. (1) Since } f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+
$$
$c$, then $b=\frac{1}{2}(f(1)-f(-1))$.
By the problem, $|f(1)| \leqslant 1,|f(-1)| \leqslant 1$.
Thus, $|b|=\frac{1}{2}|f(1)-f(-1)|$
$$
\leqslant \frac{1}{2}(|f(1)|+|f(-1)|) \leqslant 1 \text {. }
$$
(2) From $f(0)=-1, f(1)=1$, we get $c=-1, b=2$ $\boldsymbol{a}$. Then
$$
\begin{array}{l}
f(x)=a x^{2}+(2-a) x-1 \\
=a\left(x-\frac{a-2}{2 a}\right)^{2}-\frac{(a-2)^{2}}{4 a}-1 .
\end{array}
$$

From $|f(-1)| \leqslant 1$, we get $|2 a-3| \leqslant 1$, i.e., $1 \leqslant a \leqslant 2$.
Therefore, $\frac{a-2}{2 a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{a} \in[-1,1]$.
Thus, $\left|f\left(\frac{a-2}{2 a}\right)\right| \leqslant 1$.
$$
\begin{array}{l}
\text { Hence }\left|\frac{(a-2)^{2}}{4 a}+1\right| \leqslant 1 . \\
\text { Also, } \frac{(a-2)^{2}}{4 a} \geqslant 0, \frac{(a-2)^{2}}{4 a}+1 \geqslant 1, \\
\text { then } \frac{(a-2)^{2}}{4 a}+1=1, \text { i.e., } a=2 .
\end{array}
$$