Calculate the value of

$$
A=\frac{1001 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot \ldots \cdot 2000}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 1999}
$$

#
Solution

Let

$$
\begin{aligned}
B & =\frac{2^{1000} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1000}{2^{1000} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1000} \\
& =\frac{2^{1000} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1000}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2000}
\end{aligned}
$$

Thus

$$
\begin{aligned}
A \cdot B & =\frac{2^{1000} \cdot(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2000)}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2000)} \\
& =2^{1000}
\end{aligned}
$$

Since $B=1$, we conclude that $A=2^{1000}$.