## Zadatak B-1.7.

Duljine stranica trokuta $A B C$ su $|A B|=5 \mathrm{~cm},|A C|=12 \mathrm{~cm},|B C|=13 \mathrm{~cm}$. Na stranici $\overline{B C}$ odabrane su točke $D$ i $E$ tako da je $|B D|=1 \mathrm{~cm}$ i $|C E|=8 \mathrm{~cm}$. Odredite mjeru kuta $\varangle D A E$.


## Rješenje.

Označimo $\varangle B A D=\alpha, \varangle D A E=\beta, \varangle C A E=\gamma$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_30_7713364b1a15726862ddg-05.jpg?height=423&width=742&top_left_y=628&top_left_x=583)

Iz $5^{2}+12^{2}=13^{2}$ zaključujemo da je trokut $A B C$ pravokutan.

Uočimo sljedeće elemente trokuta $A B C$ :

$$
\begin{aligned}
& |B E|=|B C|-|C E|=13-8=5=|A B| \\
& \Rightarrow \varangle B A E=\varangle A E B=\alpha+\beta, \\
& |C D|=|C B|-|B D|=13-1=12 \\
& \Rightarrow \varangle C A D=\varangle C D A=\beta+\gamma .
\end{aligned}
$$

Tada u trokutu $A D E$ vrijedi sljedeća jednakost

$$
180^{\circ}=(\alpha+\beta)+(\beta+\gamma)+\beta=(\alpha+\beta+\gamma)+2 \beta
$$

Kako je trokut $A B C$ pravokutan, vrijedi $\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}$. Dakle,

$$
180^{\circ}=90^{\circ}+2 \beta \Rightarrow \beta=45^{\circ}
$$

## ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE

2. razred - srednja škola - B varijanta
3. siječnja 2017.

## AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.

## Zadatak B-2.1

Riješite jednadžbu $\left(x^{2}-6 x\right)^{2}-2\left(x^{2}-6 x+9\right)=81$.

## Rješenje.

Uvedimo supstituciju $x^{2}-6 x=t$. 1 bod

Tada početna jednadžba prelazi u:

$$
\begin{aligned}
& t^{2}-2(t+9)=81 \\
& \Rightarrow t^{2}-2 t-99=0
\end{aligned}
$$

Njezina su rješenja $t=-9$ i $t=11$. 1 bod

Slijedi $x^{2}-6 x+9=0$ i $x^{2}-6 x-11=0$. 1 bod

Rješenje prve jednadžbe je 3 , a rješenja druge jednadžbe su $\frac{6 \pm \sqrt{80}}{2}=3 \pm 2 \sqrt{5}$.

