## Aufgabe 17/71

Gesucht sind alle vierstelligen Zahlen mit der folgenden Eigenschaft:

Teilt man die vierstellige Zahl in der Mitte in zwei zweistellige Zahlen, bildet man die Summe dieser beiden zweistelligen Zahlen und erhebt man die Summe ins Quadrat, so ergibt sich die gesuchte vierstellige Zahl.




Die gesuchte Zahl sei $n^{2}$, die beiden zweistelligen Zahlen seien $x$ und $y$. Dann ist

$$
n^{2}=100 x+y=(x+y)^{2}
$$

nach den Bedingungen der Aufgabenstellung. Daraus ergibt sich

$$
n^{2}=100 x+y, \quad n^{2}=(x+y)^{2}, \quad n=x+y
$$

Durch Subtraktion der dritten von der ersten dieser drei Gleichungen erhält man $n^{2}-n=n(n-1)=99 x$. Das Produkt aus zwei aufeinanderfolgenden Zahlen $n-1$ und n muss also durch 99 teilbar sein. Das ist aber dann der Fall, wenn $n$ oder $n-1$ durch $99=9 \cdot 11$ teilbar ist oder wenn $n$ durch 11 und $n \mid 1$ durch 9 oder wenn $n$ durch 9 und $n-1$ durch 11 teilbar sind.

Da $n^{2}$ vierstellig sein soll, muss $n$ zweistellig sein, d.h. $10 \leq n \leq 99$. Eine erste Lösung ist also

$$
n=99, \quad x=98, \quad y=1, \quad n^{2}=9801
$$

Um weitere Lösungen zu finden, suchen wir unter den zweistelligen Zahlen diejenigen auf, die durch 9 oder durch 11 teilbar sind, und prüfen, ob $n-1$ durch 11 bzw. durch 9 teilbar ist. Diese Bedingung erfüllen aber nur

$$
\begin{aligned}
& n=45, \quad n-1=44, \quad n^{2}=2025 \quad \text { mit } x=20, \quad y=25 \\
& n=55, \quad n-1=54, \quad n^{2}=3025 \quad \text { mit } x=30, \quad y=25
\end{aligned}
$$

Es gibt also genau drei Zahlen 2025, 3025, 9801 mit der geforderten Eigenschaft.

