
Subiectul 1. Enumerați elementele mulțimilor:

$$
A=\left\{a \in \mathbb{Q} \left\lvert\, a=\sqrt{\frac{2-x}{4}}\right., x \in \mathbb{N}^{*}\right\} \text { și } B=\left\{x \in \mathbb{N}^{*} \left\lvert\, a=\sqrt{\frac{2-x}{9}}\right., a \in \mathbb{Q}\right\}
$$

Determinați $A \cup B, A \cap B, A \backslash B, B \backslash A$.


## Solutie:

Din $a=\sqrt{\frac{2-x}{4}}=\frac{\sqrt{2-x}}{2}$ și $a \in \mathbb{Q}$ avem că $2-x$ este pătrat perfect şi $2-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2, x \in \mathbb{N}^{*}$. Pentru $x=1$ avem $a=\frac{\sqrt{2-1}}{2}=\frac{1}{2}$ iar pentru $x=2$ avem $a=\frac{\sqrt{2-2}}{2}=0$, de unde $A=\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$.

Din $a=\sqrt{\frac{2-x}{9}}=\frac{\sqrt{2-x}}{3}$ și $a \in \mathbb{Q}$ avem că $2-x$ este pătrat perfect şi $2-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2, x \in \mathbb{N}^{*}$. Pentru $x=1$ avem $a=\frac{\sqrt{2-1}}{3}=\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$, și pentru $x=2$ avem $a=\frac{\sqrt{2-2}}{3}=0 \in \mathbb{Q}$, de unde $B=\{1,2\}$. Avem $A \cup B=\left\{0, \frac{1}{2}, 1,2\right\}, A \cap B=\emptyset, A \backslash B=A, B \backslash A=B$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a684d521ffd8f96e2d2dg-1.jpg?height=351&width=1785&top_left_y=1732&top_left_x=158)
