Hann býr sjálfur í þorpinu . Þar af leiðandi rakar hann ekki sjálfan sig . Er endilega víst að forsendurnar ( eða forsendan ) virðist sannar ? Sumir halda því þó fram að forsendan sem gefin er í dæminu um rakarann virðist , að minnsta kosti í fljótu bragði , geta verið sönn og því sé hér þverstæða á ferð . Dæmi um mengi sem er ekki stak í sjálfu sér er mengi allra katta , en það mengi er ekki köttur . ) Í bók sinni Grundgesetze der Arithmetik hafði Frege gert tilraun til framsetningar á slíkum rökfræðilegum undirstöðum og gerði þar meðal annars ráð fyrir að hægt væri að skilgreina hvaða eiginleika ( eða mengi ) sem er . Þverstæða Russells gaf til kynna alvarlegan brest í frumsetningunum sem Frege notaði sem grundvöll fyrir stærðfræðina . Segja má að vonin um slíkan grunn hafi brostið þegar Kurt Gödel ( 1906 - 1978 ) setti fram ófullkomleikasetningu sína árið 1931 . Nú er gert ráð fyrir að til grundvallar stærðfræðinni þurfi einnig að liggja mengjafræðileg hugtök og frumsetningar sem ekki byggjast á hreinni rökfræði .