Hverjir eru helstu stærðfræðilegu eiginleikar sporbaugs ? Keilusnið ( e. conic sections ) eru skurðferlarnir sem myndast þegar keila er skorin með sléttum fleti . Þessir skurðferlar geta orðið þrenns konar eftir því hvernig slétti flöturinn hallar og þannig fást þrjár ólíkar gerðir keilusniða : Sporbaugar ( e. ellipse ) , fleygbogar ( e. parabola ) og breiðbogar ( e. hyperbola ) . Áður hefur verið fjallað um keilusnið á Vísindavefnum í svari Rögnvalds G. Möller við spurningunni Hvað er keilusnið ? og í svari Kristínar Bjarnadóttur við spurningunni Hver var Apollóníos frá Perga og hvert var framlag hans til vísindanna ? Hér verða sporbaugar teknir til frekari umfjöllunar , en þeir eru sú gerð keilusniða sem fæst þegar skurðferill keilunnar og slétta flatarins er lokaður , sem þýðir að hann byrjar og endar í sama punktinum . Myndin til hægri sýnir tvo slíka ferla . Áður en lengra er haldið skulum við gera grein fyrir nokkrum hugtökum . Langás ( e. major axis ) sporbaugs nær milli þeirra tveggja punkta á sporbaugnum sem eru lengst hvor frá öðrum . Skammás ( e. minor axis ) sporbaugsins stendur þvert á langásinn og fer gegnum hann miðjan . Sporbaugurinn er samhverfur um báða þessa ása , sem þýðir að ef honum er speglað um annan hvorn ásinn fellur sporbaugurinn í sjálfan sig . Langásinn og skammásinn skerast í miðpunkti ( e. center ) sporbaugsins , sem skiptir báðum ásunum í tvo jafna hluta . Hvor hluti langássins kallast hálfur langás ( e. semimajor axis ) og hvor hluti skammássins kallast hálfur skammás ( e. semiminor axis ) . Lengdir hálfásanna eru oft táknaðar með $ a $ og $ b $ , eins og gefið er til kynna á myndinni að neðan . Á langási sporbaugs liggja tveir tilteknir punktar sem eru sérstaklega mikilvægir . Þessir punktar liggja hvor sínum megin við miðpunktinn , í sömu fjarlægð frá honum , og kallast brennipunktar ( e. focus ) sporbaugsins . Á myndinni að neðan eru þeir merktir með $ F _ 1$ og $ F _ 2$ . Fjarlægð brennipunktanna frá miðpunkti sporbaugsins kallast brennilengd ( e. focal length ) hans . Punktarnir á sporbaugnum einkennast af eftirfarandi eiginleika : Samanlögð fjarlægð hvers og eins þeirra frá brennipunktum sporbaugsins er jöfn lengd langássins . Á myndinni að ofan þýðir þetta að rauðu strikin hafi samanlagt sömu lengd og langásinn . Að punktur $ P $ sé á sporbaugnum þýðir sem sagt að $ PF _ 1 + PF _ 2 = 2a $ , þar sem $ a $ er hálfur langásinn eins og áður var sagt frá . Þennan eiginleika má nota til að skilgreina sporbaug í stað þess að lýsa honum sem skurðfleti keilu og slétts flatar , eins og gert var fremst í svarinu . Til er formúla sem gerir okkur kleift að reikna brennilengdina , það er fjarlægð brennipunktanna frá miðpunktinum , sem við táknum með $ f $ . Til þess látum við $ P $ vera þann punkt á sporbaugnum sem liggur á efri hluta skammássins , eins og myndin að neðan sýnir . Þar sem $ P $ er punktur á sporbaugnum vitum við að rauðu strikin hafa samanlagt sömu lengd og langásinn . Þar sem skammásinn liggur um miðjan langásinn er jafnframt ljóst að punkturinn $ P $ liggur mitt á milli brennipunktanna . Þess vegna eru rauðu strikin tvö jafnlöng , sem þýðir að hvort strik um sig hefur sömu lengd og hálfur langásinn . Með öðrum orðum hafa bæði rauðu strikin lengdina $ a $ , eins og myndin að ofan gefur til kynna . Með því að nota reglu Pýþagórasar í hægri þríhyrningnum á myndinni að ofan fæst þá að $ f ^ 2 + b ^ 2 = a ^ 2$ , sem gefur $ f ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2$ og því $ f = \ sqrt { a ^ 2 - b ^ 2 } $ . Þessi formúla segir okkur hvernig við getum reiknað brennilengdina út frá hálfum langás og hálfum skammás sporbaugsins . Vert er að minnast á eitt hugtak til viðbótar sem mikið er notað þegar rætt er um sporbauga . Hringvik ( e. eccentricity ) sporbaugs er yfirleitt táknað með $ e $ og það er skilgreint sem hlutfall brennilengdar og hálfa langássins . Með öðrum orðum er $ e = f / a $ . Hringvik sporbaugs er alltaf tala á bilinu 0 til 1 og eins og nafngiftin gefur til kynna er hún mælikvarði á hversu mikið sporbaugurinn líkist hring . Ef hringvikið er 0 er sporbaugurinn einfaldlega hringur ( sem er sérstök gerð sporbaugs ) , en eftir því sem hringvikið færist nær 1 verður sporbaugurinn sífellt aflengri , eins og myndin að ofan endurspeglar . Í náttúrunni birtast sporbaugar meðal annars í hreyfingu reikistjarnanna , en fyrsta lögmál Keplers segir að sérhver reikistjarna ferðist umhverfis sólu eftir sporbaug og að sólin sitji í öðrum brennipunkti hans . Vert er að geta þess að sporbaugarnir sem reikistjörnurnar fara eftir eru jafnan mjög nálægt hringlögun ; til dæmis hefur braut jarðar um sólu hringvikið 0,017 , braut Venusar hefur hringvikið 0,0068 og braut Satúrnusar hefur hringvikið 0,054 . Mest er hringvikið í braut Merkúríusar , eða 0,206 .