Keyingi qadam - abstrakt matematik makonni aniqlash edi. Proyektiv, affina va konform o'zgarishlar, shu bilan birga, shakllarning xossalarini saqlab qolish, proyektiv, affina va konform geometriya yaratilishiga olib keldi. Uch o'lchamli fazoning n o'lchamli bo'lishga o'tishi birinchi marta 1844 yilda Grassmann va Kelli ishlarida amalga oshirildi va ko'p o'lchamli geometriya yaratilishiga olib keldi. 1854 yilda Rimanning Rimanning taklif qilgan Rim geometriyasi bo'lgan boshqa umumiylashtirish. F. bilan Kleyn Erlangen dasturida bir xil geometriyalarning barcha turlarini tizimlashtirgan; unga ko'ra, geometriya bir guruhdan o'zgarishlarga nisbatan invariant bo'lgan barcha shakllarni o'rganadi. Har bir guruh o'z geometriyasini o'zi belgilaydi. Masalan, isometriya (harakat) Evklid geometriyasini, affina o'zgarishlar guruhi esa affina geometriyasini beradi.
Rim geometriyalari qaysi yilda paydo bo'lgan?
1854 yilda