Riconosciamo il numero 7^(1/3) + 49^(1/3) dalla fattorizzazione per differenza di cubi 7 - 1 = (7^(1/3) - 1)(1 + 7^(1/ 3) + 49^(1/3)). Risolvendo per 7^(1/3) + 49^(1/3), otteniamo 7^(1/3) + 49^(1/3) = (7-1)/(7^(1/3) -1) - 1 = 6/(7^(1/3)-1) - 1. Possiamo usare questa espressione per costruire un polinomio che ha 7^(1/3) + 49^(1/3) come radice. Innanzitutto, nota che 7^(1/3) è una radice di x^3 - 7 = 0. Quindi, 7^(1/3)-1 è una radice di (x+1)^3 - 7 = 0, perché (7^(1/3)-1+1)^3 - 7 = (7^(1/3))^3 - 7 = 0. (Potresti anche notare che il grafico di y=(x+1 )^3-7 è uno spostamento verso sinistra di una unità del grafico di y=x^3-7, quindi le radici di (x+1)^3-7=0 sono una in meno delle radici di x^3- 7=0.) Ne consegue che 6/(7^(1/3)-1) è una radice dell'equazione (6/x+1)^3 - 7= 0, perché quando x = 6/(7^ (1/3)-1), abbiamo 6/x = 7^(1/3)-1. Moltiplichiamo entrambi i lati per x^3 per creare l'equazione polinomiale (6+x)^3 - 7x^3 = 0. Infine, sostituendo x con x+1 come prima, vediamo che 6/(7^(1/3 )-1) - 1 è una radice dell'equazione (7+x)^3 - 7(x+1)^3 = 0. Questa equazione è equivalente a x^3 - 21x - 56 = 0, quindi per le formule di Vieta , il prodotto delle radici è 56.
Sia P(x) = 0 l'equazione polinomiale di minor grado possibile, a coefficienti razionali, avente come radice 7^(1/3) + 49^(1/3). Calcola il prodotto di tutte le radici di P(x) = 0.