La parola che stai cercando è fatturazione proporzionale, il che significa addebitare una parte dell'intero importo in base all'utilizzo parziale. Un'altra frase che descrive questa situazione è fatturazione proporzionale o fatturazione parziale.
What's the word for billing based on partial usage?

When I moved into my new apartment, the first bill only charged me for what I used from the 3rd (when I moved in) to the 12th of the month. This is called [insert word here] billing.

Another word or phrase that describes this same situation but doesn't fit into the previous sentence is also acceptable.