Sia a = x - 1 e b = y - 1. Allora x = a + 1 e y = b + 1, quindi (x^2)/(y - 1) + (y^2)/(x - 1) = ((a + 1)^2)/b + ((b + 1)^2)/a = (a^2 + 2a + 1)/b + (b^2 + 2b + 1)/a = 2 (a/b + b/a) + (a^2)/b + 1/b + (b^2)/a + 1/a. Per AM-GM, abbiamo: a/b + b/a ≥ 2 sqrt(a/b*b/a) = 2 e (a^2)/b + 1/b + (b^2)/a + 1/a ≥ 4 ((a^2)/b*1/b*(b^2)/a*1/a)^(1/4) = 4, quindi 2 (a/b + b/a) + (a^2)/b + 1/b + (b^2)/a + 1/a ≥ 2 * 2 + 4 = 8. L'uguaglianza si verifica quando a = b = 1, o x = y = 2, quindi il valore minimo è 8.
Trova il valore minimo di (x^2)/(y - 1) + (y^2)/(x - 1) per i numeri reali x &gt; 1 e y &gt; 1.