Abbiamo il polinomio: P(x) = 1 - (1/3)x + (1/6)x^2 Ci viene chiesto di definire Q(x) come segue: Q(x) = P(x)P (x^3)P(x^5)P(x^7)P(x^9) = ∑_i=0^50 a_i x^i. Il nostro compito è trovare la somma dei valori assoluti dei coefficienti di questo polinomio: ∑_i=0^50 |a_i|. Iniziamo moltiplicando i fattori nella definizione di Q(x). Questo ci dà un polinomio che implica prendere termini da ciascun fattore, moltiplicarli insieme e raccogliere termini simili. Notiamo che se il prodotto di questi termini ha grado pari n, allora il numero di termini di grado dispari (-1/3 x, -1/3 x^3, ecc.) che hanno contribuito deve essere pari. Ciò significa che il coefficiente di x^n è positivo. Allo stesso modo, se n è dispari, allora il numero di termini che contribuiscono di grado dispari deve essere dispari. In questo caso, il coefficiente di x^n è negativo. Ora, la somma che stiamo cercando può essere espressa in termini dei coefficienti di Q(x) con segni alternati. Più precisamente, ∑_i=0^50 |a_i| = a_0 - a_1 + a_2 - … + a_50 = Q(-1). Per valutare Q(-1), notiamo che P(-1) = 5/6, e quindi, P(-1)^5 = (5/6)^5. Inserendo questo in Q(-1), otteniamo: Q(-1) = (1 - 5/18 + 5/108)^5 = (243/216)^5 = 243/32. Pertanto, la somma dei valori assoluti dei coefficienti di Q(x) è 243/32.
Per il polinomio P(x)=1-1/3x+1/6x^2, definire Q(x)=P(x)P(x^3)P(x^5)P(x^7)P(x ^9)=∑_i=0^50 a_ix^i. Trova ∑_i=0^50 |a_i|.