Supponiamo che a, b, c siano tre termini consecutivi della successione. Allora b = ac - 1, quindi c = (b + 1)/a. Sia a_n l'ennesimo termine. Allora a_1 = x, a_2 = 2000 e a_3 = (a_2 + 1)/a_1 = 2001/x, a_4 = (a_3 + 1)/a_2 = (2001/x + 1)/2000 = (x + 2001)/ 2000x, a_5 = ((x + 2001)/(2000x) + 1)/(2001/x) = (x + 1)/2000, a_6 = ((x + 1)/2000 + 1)/((x + 2001)/(2000x)) = x, a_7 = (x + 1)/((x + 1)/2000) = 2000. Poiché a_6 = a_1 e a_7 = a_2, e ogni termine dipende solo dai due termini precedenti, la sequenza diventa periodica da questo punto, con periodo 5. Pertanto, i primi cinque termini rappresentano tutti i valori possibili. Possiamo avere a_1 = x = 2001. Possiamo avere a_3 = 2001/x = 2001, che porta a x = 1. Possiamo avere a_4 = (x + 2001)/2000x = 2001, che porta a x = 2001/4001999 . Possiamo avere a_5 = (x + 1)/2000 = 2001, che porta a x = 4001999. Quindi, ci sono 4 diversi possibili valori di x.
Consideriamo sequenze di numeri reali positivi della forma x, 2000, y, … in cui ogni termine dopo il primo è minore di 1 del prodotto dei suoi due immediati vicini. Per quanti diversi valori di x compare il termine 2001 da qualche parte nella sequenza?