Dato un cilindro di volume fisso V, dobbiamo trovare il rapporto altezza-raggio (H/R) che minimizza l'area della superficie totale. Iniziamo esprimendo il volume e l'area della superficie in termini di raggio e altezza del cilindro: - Il volume del cilindro è dato da V = πR^2H, dove R è il raggio e H è l'altezza. - L'area della superficie totale (comprese le estremità circolari superiore e inferiore) è data da A = 2πR^2 + 2πRH. Per minimizzare A soggetto al vincolo su V, possiamo usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange o il calcolo. Tuttavia, in questo caso, possiamo applicare la disuguaglianza AM-GM per ottenere una soluzione ordinata senza differenziazione. Per AM-GM, abbiamo: A = 2πR^2 + 2πRH = 2πR^2 + πRH + πRH ≥ 3(2πR^2)(πRH)(πRH)^(1/3) (poiché (2πR^2)^ (1/3)≥0 e (πRH)^(2/3)≥0) = 3(2π^3R^4H^2)^(1/3). Si noti che la disuguaglianza diventa uguaglianza quando i due termini (2πR^2) e (πRH) sono uguali, il che implica H/R = 2. Poiché V = πR^2H, R^2H=V/π. Sostituendo questo nell'espressione per A, otteniamo: A = 3(2πV^2)^(1/3) / H^(1/3) Per minimizzare A soggetto al vincolo V = costante, dobbiamo minimizzare il giusto -lato lato, che è decrescente in H. Pertanto, il minimo si verifica quando H è il più grande possibile, che si ottiene quando H/R è 2. Quindi, la soluzione è H/R = 2, il che significa che l'altezza è doppia il raggio per il cilindro di volume fisso che minimizza la superficie totale.
Dato un cilindro di volume fisso V, l'area della superficie totale (comprese le due estremità circolari) è minimizzata per un raggio R e un'altezza H. Trova H/R.