Nato a Tirana (Albania) il 1° marzo 2001, Kleis Bozhanaj gioca a centrocampo fin dai suoi esordi nel mondo del calcio: il ruolo di trequartista gli è congeniale. È entrato a far parte della rosa del Modena Calcio FC il 25 gennaio 2023, e attualmente il suo contratto scade nel 2026. Bozhanaj ha iniziato la sua carriera calcistica nelle giovanili della Dinamo Tirane, mettendosi in luce anche nella nazionale albanese U17 e U19, e nel 2016 ha fatto il suo ingresso nell'Accademia giovanile dell'Empoli; successivamente, verso la metà della stagione 2019-2020, è stato mandato in prestito al Napoli U19. Ritornato dopo un breve periodo nella squadra giovanile dell'Empoli, nel 2021 è stato ceduto allo Spezia: questo è stato un momento cruciale per la sua carriera, perché gli ha permesso di unirsi a una squadra di Serie A italiana. Tra il 2021 e il 2022, Bozhanaj è stato ceduto in prestito al club portoghese di seconda divisione Casa Pia AC (Lisbona), esordendo il 10 ottobre 2021 durante la partita contro il Mafra. I pochi mesi passati in Portogallo gli hanno fatto maturare la decisione di ritornare in Italia: rientrato allo Spezia, Bozhanaj è stato nuovamente ceduto in prestito alla Carrarese, squadra della Serie C italiana.
Il suo soggiorno toscano è stato però breve, perché dopo pochissimo tempo è approdato al Modena, dove indossa la maglia numero 30. Nonostante la sua giovane età, Kleis Bozhanaj è un talento.