Alexander contraiu poliomielite em 1952, quando tinha 6 anos, e a doença o deixou paralisado do pescoço para baixo.
Ele também ficou incapaz de respirar de forma independente, o que levou os médicos a, depois de operá-lo, colocá-lo em um cilindro de metal — um pulmão artificial — onde passaria o resto da vida.
Convivendo com a condição, Alexander conseguiu se formar em direito, exercer a advocacia e publicar vários livros.
A morte foi anunciada por um site de arrecadação de fundos para ele.
"Sua história viajou por todos os cantos, influenciando positivamente pessoas ao redor do mundo", disse o comunicado do site.
"Paul foi um exemplo incrível que continuará a ser lembrado."
Como a maioria dos sobreviventes da poliomielite colocados em pulmões de ferro, não se esperava que ele vivesse muito.
Mas ele viveu durante décadas, muito depois de a invenção da vacina contra a poliomielite, na década de 1950, ter praticamente erradicado a doença em vários países.
Devido ao desenvolvimento de outras terapias e à vacina, os pulmões de ferro tornaram-se obsoletos na década de 1960, quando foram substituídos por ventiladores mecânicos.
Mas Alexander continuou vivendo no cilindro porque, segundo ele, ficou acostumado.
Ele foi reconhecido pelo Livro Guinness dos Recordes como a pessoa que viveu mais tempo em um pulmão de ferro.
Depois de anos, Alexander aprendeu algumas técnicas para respirar sozinho, o que o permitiu sair do pulmão de ferro por curtos períodos.
O pulmão, que ele chamava de "velho cavalo de ferro", era movido por um fole que sugava o ar do cilindro, forçando seus pulmões a se expandirem e sugarem o ar pelo nariz.
Quando o ar entrava, o processo inverso fazia com que seus pulmões se esvaziassem e expelissem o ar comprimindo o peito.
Em 1984, Alexander formou-se em direito pela Universidade do Texas em Austin.
Dois anos depois, ele foi admitido na Ordem dos Advogados americana e exerceu a profissão durante décadas.
"Eu sabia que se fosse fazer algo na minha vida, teria que ser algo mental", disse ele ao jornal The Guardian em 2020.
Naquele ano, ele publicou um livro de memórias que, segundo relatos, levou oito anos para ser concluído com a ajuda de um amigo, para quem o texto era ditado, e de um bastão de plástico para digitar em um teclado.