Demuéstrame que la raíz cuadrada de 2 es irracional
He aquí una prueba por contradicción de que la raíz cuadrada de 2 es irracional. En primer lugar, recuerda que los números irracionales son números que no pueden escribirse como p / q para los enteros p y q. Supongamos por contradicción que la raíz cuadrada de 2 es racional, lo que significaría que sqrt(2) = p / q para algunos enteros p y q. Supongamos además, sin pérdida de generalidad, que esta fracción está en forma reducida, lo que significa que p y q no tienen factores comunes. Podemos suponerlo porque cualquier fracción entera puede escribirse en dicha forma reducida, de modo que la existencia de cualquier representación racional para sqrt(2) implicaría la existencia de una en forma reducida. Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior, obteniendo

2 = p^2 / q^2

para unos números enteros p y q que no compartan ningún factor común. Ahora multiplicamos por q^2 para obtener

2 * q^2 = p^2

Observa que el lado izquierdo es par debido al factor 2, por lo que el lado derecho p^2 también es par. Esto significa que p también debe ser par, de lo contrario p^2 no sería par. Así que p puede escribirse como 2 * x para algún número entero x. Sustituyendo esto en la ecuación anterior, obtenemos

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

Observa que ambos lados de la ecuación tienen un factor de 2 que podemos cancelar. Haciendo esto, obtenemos

q^2 = 2 * x^2

Por un argumento análogo al anterior, podemos concluir que q es par. Sin embargo, esto contradice nuestra suposición de que p y q no tenían factores comunes. Por tanto, nuestra suposición inicial de que sqrt(2) es racional era falsa, que es lo que pretendíamos demostrar.