Extrae las fórmulas en formato math latex markdown para calcular la rentabilidad y la varianza de la cartera en Teoría Moderna de Carteras https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
La MPT supone que los inversores son aversos al riesgo, lo que significa que dadas dos carteras que ofrecen el mismo rendimiento esperado, los inversores preferirán la menos arriesgada. Así pues, un inversor asumirá un mayor riesgo sólo si le compensa una mayor rentabilidad esperada. A la inversa, un inversor que desee mayores rendimientos esperados deberá aceptar más riesgo. La compensación exacta no será la misma para todos los inversores. Los distintos inversores evaluarán la compensación de forma diferente en función de sus características individuales de aversión al riesgo. La implicación es que un inversor racional no invertirá en una cartera si existe una segunda cartera con un perfil de riesgo-rendimiento esperado más favorable, es decir, si para ese nivel de riesgo existe una cartera alternativa que tenga mejores rendimientos esperados.

Según el modelo

La rentabilidad de la cartera es la combinación ponderada proporcionalmente de las rentabilidades de los activos que la componen.
Volatilidad del rendimiento de la cartera
\es una función de las correlaciones ρij de los activos componentes, para todos los pares de activos (i, j). La volatilidad da una idea del riesgo asociado a la inversión. Cuanto mayor sea la volatilidad, mayor será el riesgo.
- Rentabilidad esperada:
$$
\mathrm{E}\left(R_p\right)=\suma_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right)
$$
donde $R_p$ es la rentabilidad de la cartera, $R_i$ es la rentabilidad del activo $i$ y $w_i$ es la ponderación del activo componente $i$ (es decir, la proporción del activo "i" en la cartera, de modo que $\suma_i w_i=1$ ).
- Varianza de la rentabilidad de la cartera:
$$
\sigma_p^2=\suma_i w_i^2 \sigma_i^2+\suma_i \suma_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_i j}
$$
donde $\sigma_i$ es la desviación típica (muestral) de los rendimientos periódicos de un activo $i$, y $\rho_{i j}$ es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los activos $i$ y $j$. Alternativamente, la expresión puede escribirse como
$$
\sigma_p^2=\suma_i \suma_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
donde $\rho_{i j}=1$ para $i=j$, o bien
$$
\sigma_p^2=\suma_i \suma_j w_i w_j \sigma_{i j}
$$
donde $\sigma_i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ es la covarianza (muestral) de los rendimientos periódicos de los dos activos, o alternativamente se denota como $\sigma(i, j)$, $\sigma{cov}{ {i j}$ u $\sigma{cov}(i, j)$.
- Volatilidad de la rentabilidad de la cartera (desviación típica):
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
Para una cartera de dos activos:
- Rendimiento de la cartera:
$$\mathrm{E}left(R_p\\right)=w_A \mathrm{E}left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}left(R_B\right)=w_A \mathrm{E}left(R_A\right)+\left(1-w_A\right) \mathrm{E}left(R_B\right)$$

- Varianza de la cartera:
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$
Para una cartera de tres activos
- Rentabilidad de la cartera:
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)+w_C \mathrm{E}\left(R_C\right)$$
- Varianza de la cartera:
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$