Extrae las dos propiedades que bastan para demostrar que un subconjunto del espacio euclídeo es compacto. Presenta estas propiedades en una lista con viñetas.
Pueden aplicarse varias definiciones de compacidad, según el nivel de generalidad. En particular, un subconjunto del espacio euclídeo se denomina compacto si es cerrado y acotado. Esto implica, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, que cualquier secuencia infinita del conjunto tiene una subsecuencia que converge a un punto del conjunto. Pueden desarrollarse varias nociones equivalentes de compacidad, como la compacidad secuencial y la compacidad de punto límite, en espacios métricos generales.

En cambio, las distintas nociones de compacidad no son equivalentes en los espacios topológicos generales, y la noción más útil de compacidad -originalmente denominada bicompacticidad- se define utilizando coberturas formadas por conjuntos abiertos (véase la definición de cobertura abierta más adelante). Que esta forma de compacidad es válida para subconjuntos cerrados y acotados del espacio euclídeo se conoce como teorema de Heine-Borel. La compacidad, cuando se define de este modo, permite a menudo tomar información que se conoce localmente -en una vecindad de cada punto del espacio- y extenderla a información que se mantiene globalmente en todo el espacio. Un ejemplo de este fenómeno es el teorema de Dirichlet, aplicado originalmente por Heine, según el cual una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua; aquí, la continuidad es una propiedad local de la función, y la continuidad uniforme la correspondiente propiedad global.
Según el teorema de Heine-Borel, las siguientes propiedades son suficientes para demostrar que un subconjunto del espacio euclídeo es compacto:
- El conjunto es cerrado
- El conjunto está acotado