¿Cuál es la prueba de que hay dos números irracionales en los que elevando uno a la potencia del otro se obtiene un número racional?
He aquí una demostración por casos de que existen dos números irracionales a y b tales que a^b es racional. Primero, considera a = b = sqrt(2). Recuerda que sqrt(2) es irracional, así que Si a^b = sqrt(2) ^ sqrt(2) es racional, hemos terminado porque hemos encontrado a y b irracionales siendo a^b un número racional. En caso contrario, sqrt(2) ^ sqrt(2) es irracional. Sea a = sqrt(2) ^ sqrt(2) y b = sqrt(2). Entonces a ^ b = (sqrt(2) ^ sqrt(2)) ^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2, que es racional. Así que, de cualquier forma, podemos encontrar irracionales a y b siendo a^b racional.