Describe el álgebra de Lie
En matemáticas, un grupo de Lie simple es un grupo de Lie G conexo no abeliano que no tiene subgrupos normales conexos no triviales. La lista de grupos de Lie simples puede utilizarse para leer la lista de álgebras de Lie simples y espacios simétricos riemannianos.

Junto con el grupo de Lie conmutativo de los números reales,
\mathbb {R} , y el de los números complejos de magnitud unitaria, U(1) (el círculo unitario), los grupos de Lie simples constituyen los "bloques" atómicos que forman todos los grupos de Lie conectados (de dimensión finita) mediante la operación de extensión de grupos. Muchos grupos de Lie habituales son simples o "casi" simples: por ejemplo, el llamado "grupo lineal especial" SL(n) de matrices de n por n con determinante igual a 1 es simple para todo n > 1.

La primera clasificación de los grupos de Lie simples fue obra de Wilhelm Killing, y este trabajo fue perfeccionado posteriormente por Élie Cartan. La clasificación final suele denominarse clasificación de Killing-Cartan.
Por desgracia, no existe una definición universalmente aceptada de grupo de Lie simple. En concreto, no siempre se define como un grupo de Lie simple como grupo abstracto. Los autores difieren sobre si un grupo de Lie simple tiene que ser conexo, o sobre si se permite que tenga un centro no trivial, o sobre si
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\mathbb {R} es un grupo de Lie simple.

La definición más común es que un grupo de Lie es simple si es conexo, no abeliano y cada subgrupo normal conexo cerrado es la identidad o el grupo entero. En particular, se permite que los grupos simples tengan un centro no trivial, pero
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\mathbb {R} no es simple.

En este artículo se enumeran los grupos de Lie simples conexos con centro trivial. Una vez conocidos éstos, los de centro no trivial son fáciles de enumerar del siguiente modo. Todo grupo de Lie simple con centro trivial tiene una cubierta universal, cuyo centro es el grupo fundamental del grupo de Lie simple. Los correspondientes grupos de Lie simples con centro no trivial pueden obtenerse como cocientes de esta cubierta universal por un subgrupo del centro.

Alternativas
De la correspondencia de Lie se desprende una definición equivalente de grupo de Lie simple: Un grupo de Lie conexo es simple si su álgebra de Lie es simple. Un punto técnico importante es que un grupo de Lie simple puede contener subgrupos normales discretos. Por este motivo, la definición de grupo de Lie simple no es equivalente a la definición de grupo de Lie simple como grupo abstracto.

Los grupos de Lie simples incluyen muchos grupos de Lie clásicos, que proporcionan un fundamento teórico de grupo para la geometría esférica, la geometría proyectiva y las geometrías afines en el sentido del programa de Erlangen de Félix Klein. En el curso de la clasificación de los grupos de Lie simples surgió que también existen varias posibilidades excepcionales que no corresponden a ninguna geometría conocida. Estos grupos excepcionales dan cuenta de muchos ejemplos y configuraciones especiales en otras ramas de las matemáticas, así como en la física teórica contemporánea.

Como contraejemplo, el grupo lineal general no es ni simple ni semisimple. Esto se debe a que los múltiplos de la identidad forman un subgrupo normal no trivial, eludiendo así la definición. Equivalentemente, el álgebra de Lie correspondiente tiene una forma de Killing degenerada, porque los múltiplos de la identidad se asignan al elemento cero del álgebra. Por tanto, el álgebra de Lie correspondiente tampoco es simple ni semisimple. Otro contraejemplo son los grupos ortogonales especiales de dimensión par. Éstos tienen la matriz
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-I en el centro, y este elemento está conectado por trayectoria al elemento identidad, por lo que estos grupos eluden la definición. Ambos son grupos reductores.