प्रसंग: कुछ टोपोलॉजिकल स्थानों को एक समूह कानून के साथ संपन्न किया जा सकता है। समूह कानून और टोपोलॉजी को अच्छी तरह से आपस में जोड़ने के लिए, समूह संचालन निरंतर कार्य होना चाहिए, अर्थात, g·h, और g−1 जंगली रूप से भिन्न नहीं होना चाहिए यदि g और h केवल थोड़ा भिन्न होता है। ऐसे समूहों को टोपोलॉजिकल समूह कहा जाता है, और वे टोपोलॉजिकल स्थानों की श्रेणी में समूह वस्तुएँ हैं। सबसे बुनियादी उदाहरण जोड़ के तहत वास्तविक आर हैं, (आरः {0}, ·), और इसी तरह किसी भी अन्य स्थलवैज्ञानिक क्षेत्र जैसे कि जटिल संख्या या पी-ऐडिक संख्या के साथ। ये सभी समूह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हैं, इसलिए उनके पास हार उपाय हैं और उनका अध्ययन हार्मोनिक विश्लेषण के माध्यम से किया जा सकता है। पूर्व अपरिवर्तनीय समाकलन का एक अमूर्त औपचारिकता प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के मामले में इनवैरियंस का अर्थ हैः

सवाल: टोपोलॉजिकल समूहों का सबसे सरल उदाहरण क्या है?

उत्तर: जोड़ के तहत वास्तविक R, (R′ {0},·),