प्रसंग: उप-और भागफल समूह निम्नलिखित तरीके से संबंधित हैंः जी के एक उपसमुच्चय एच को एक इंजेक्टिव मानचित्र एच → जी के रूप में देखा जा सकता है, यानी लक्ष्य के किसी भी तत्व में अधिकतम एक तत्व होता है जो इसे मैप करता है। इंजेक्टिव मानचित्रों के समकक्ष सर्जेक्टिव मानचित्र हैं (लक्ष्य के प्रत्येक तत्व को मैप किया गया है), जैसे कि कैनॉनिकल मानचित्र G → G/N. y इन समरूपताओं के प्रकाश में उपसमूह और क्वोशियंट की व्याख्या संरचनात्मक अवधारणा पर जोर देती है। इन परिभाषाओं के लिए अंतर्निहित परिचय में इंगित किया गया है। उप-और भागफल समूह निम्नलिखित तरीके से संबंधित हैंः G के एक उपसमुच्चय H को एक इंजेक्टिव मानचित्र H → G के रूप में देखा जा सकता है, अर्थात लक्ष्य के किसी भी तत्व में अधिकतम एक तत्व होता है जो इसे मैप करता है। सामान्य रूप से, समरूपता न तो इंजेक्टिव होती है और न ही सर्जेक्टिव। समूह समरूपता की कर्नेल और छवि और पहली समरूपता प्रमेय इस घटना को संबोधित करती है।

सवाल: होमोमोर्फिज़्म के न तो इंजेक्टिव होने और न ही सर्जेक्टिव होने की घटना को कौन सा सिद्धांत संबोधित करता है?

उत्तर: पहला समरूपता प्रमेय