प्रसंग: ऊपर दिए गए Z/nZ समूहों में, तत्व 1 आदिम है, इसलिए ये समूह चक्रीय हैं। वास्तव में, प्रत्येक तत्व एक योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसके सभी शब्द 1 हैं। n तत्वों के साथ कोई भी चक्रीय समूह इस समूह के लिए समरूप है। चक्रीय समूहों के लिए एक दूसरा उदाहरण एकता की n-th जटिल जड़ों का समूह है, जो जटिल संख्याओं द्वारा दिया गया है जो z संतोषजनक zn = 1 है। इन संख्याओं को एक नियमित n-गॉन पर शीर्षों के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि n = 6 के लिए दाईं ओर नीले रंग में दिखाया गया है। समूह संचालन जटिल संख्याओं का गुणन है। चित्र में, z के साथ गुणा करना 60° द्वारा घड़ी की विपरीत दिशा में घूर्णन से मेल खाता है। कुछ क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग करते हुए, समूह Fp × को चक्रीय दिखाया जा सकता हैः उदाहरण के लिए, यदि p = 5,3 एक जनरेटर है क्योंकि 31 = 3,32 = 9 ष्ण 4,33 ष्ण 2, और 34 ष्ण 1 है।

सवाल: कौन सा समूह चक्रीय समूहों के लिए समरूप है?

उत्तर: एन तत्वों के साथ कोई भी चक्रीय समूह