प्रसंग: गणितशास्त्री अक्सर गणितीय धारणा के पूर्ण वर्गीकरण (या सूची) के लिए प्रयास करते हैं। सीमित समूहों के संदर्भ में, यह उद्देश्य कठिन गणित की ओर ले जाता है। लैग्रेंज की प्रमेय के अनुसार, क्रम p के सीमित समूह, एक अभाज्य संख्या, आवश्यक रूप से चक्रीय (अबेलियन) समूह Zp हैं। पी2 क्रम के समूहों को अबेलियन भी दिखाया जा सकता है, एक ऐसा कथन जो पी3 क्रम के लिए सामान्यीकृत नहीं होता है, जैसा कि उपरोक्त क्रम 8 = 23 के गैर-अबेलियन समूह डी4 से पता चलता है। कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का उपयोग छोटे समूहों को सूचीबद्ध करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन सभी सीमित groups.q [] का कोई वर्गीकरण नहीं है एक मध्यवर्ती चरण सीमित सरल groups.r [] का वर्गीकरण है एक गैर-तुच्छ समूह को सरल कहा जाता है यदि यह केवल सामान्य है। उपसमूह तुच्छ समूह हैं और समूह itself.s [] जॉर्डन-होल्डर प्रमेय सभी सीमित समूहों के लिए निर्माण खंडों के रूप में सीमित सरल समूहों को प्रदर्शित करता है। पी2 क्रम के समूहों को अबेलियन भी दिखाया जा सकता है, एक ऐसा कथन जो पी3 क्रम के लिए सामान्यीकृत नहीं होता है, जैसा कि उपरोक्त क्रम 8 = 23 के गैर-अबेलियन समूह डी4 से पता चलता है। सभी सीमित सरल समूहों को सूचीबद्ध करना समकालीन समूह सिद्धांत में एक प्रमुख उपलब्धि थी। 1998 फील्ड्स पदक विजेता रिचर्ड बोर्चर्डस राक्षसी चंद्रमा के अनुमानों को साबित करने में सफल रहे, जो सबसे बड़े सीमित सरल छिटपुट समूह-"राक्षस समूह"-और कुछ मॉड्यूलर कार्यों के बीच एक आश्चर्यजनक और गहरा संबंध है। शास्त्रीय जटिल विश्लेषण, और स्ट्रिंग सिद्धांत, एक सिद्धांत जो कई भौतिक घटनाओं के विवरण को एकीकृत करने के लिए माना जाता है। पी2 क्रम के समूहों को अबेलियन भी दिखाया जा सकता है, एक ऐसा कथन जो पी3 क्रम के लिए सामान्यीकृत नहीं होता है, जैसा कि उपरोक्त क्रम 8 = 23 के गैर-अबेलियन समूह डी4 से पता चलता है। सभी सीमित सरल समूहों को सूचीबद्ध करना समकालीन समूह सिद्धांत में एक प्रमुख उपलब्धि थी।

सवाल: वर्गीकरण का कौन सा क्षेत्र समस्याग्रस्त अंकगणित की ओर ले जाता है?

उत्तर: सीमित समूह