प्रसंग: समूहों को कई अन्य गणितीय क्षेत्रों में भी लागू किया जाता है। गणितीय वस्तुओं की अक्सर उनसे समूहों को जोड़कर और संबंधित समूहों के गुणों का अध्ययन करके जांच की जाती है। उदाहरण के लिए, हेनरी पोइनकेरे ने मौलिक समूह को पेश करके बीजगणितीय टोपोलॉजी की स्थापना की जिसे अब बीजगणितीय टोपोलॉजी कहा जाता है। इस संबंध के माध्यम से, निकटता और निरंतरता जैसे टोपोलॉजिकल गुण groups.i [] के गुणों में परिवर्तित होते हैं उदाहरण के लिए, मौलिक समूह के तत्वों को लूप द्वारा दर्शाया जाता है। दाहिनी ओर की दूसरी छवि एक समतल में कुछ लूपों को माइनस एक बिंदु दिखाती है। नीले लूप को नल-होमोटोपिक (और इस प्रकार अप्रासंगिक) माना जाता है, क्योंकि इसे लगातार एक बिंदु तक सिकुड़ाया जा सकता है। छेद की उपस्थिति नारंगी लूप को एक बिंदु तक सिकुड़ने से रोकती है। हटाए गए बिंदु के साथ समतल का मौलिक समूह अनंत चक्रीय हो जाता है, जो नारंगी लूप (या छेद के चारों ओर एक बार घुमावदार कोई अन्य लूप) द्वारा उत्पन्न होता है। इस तरह, मौलिक समूह छेद का पता लगाता है।

सवाल: आमतौर पर समूहों को उनसे जोड़कर और संबंधित समूहों के तत्वों का अध्ययन करके क्या विश्लेषण किया जाता है?

उत्तर: गणितीय वस्तुएँ