Asymptotic expansion of Crocco solution and Blasius constant


ü ü ü ü ü ü ü ü ü ºþº ü þº º þ ü ü ü ü ý ü ü ¸¾¼½ ¾½º½• ¿½º¿½ þº º þ º ü ý º º ºþº ü ¸ ¸¾¼½ º ´ ý µº ¹ ý ¹ ¸ ¹ º º ¹ º ¹ º ¹ ¸ ¸ ý ¹ º ½¼¼ º ÎºÈº Î Ö Òº ×ÝÑÔØÓØ ÜÔ Ò× ÓÒ Ó ÖÓ Ó ×ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ð × Ù× ÓÒ×Ø ÒØº ÈÖ ÔÖ ÒØ Ó Ø Ã Ð Ý× ÁÒ×Ø ØÙØ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø × Ó Ê Ë¸ÅÓ× ÓÛ¸¾¼½ º Ï ÓÒ× Ö Ø ÖÓ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ´Ø Ö Ù Ø ÓÒ Ó Ø Ð × Ù× ÕÙ Ø ÓÒµº Ì Ù× Ó Ø × ÑÓÖ × ÑÔÐ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð × Ù× ÓÒ×Ø ÒØ Ð × ØÓ ×ÓÑ ÙÒ ÜÔ Ø ÙÐØ ×¸Û Ú Ò ÙÒ ÜÔÐ Ò º Ï ÓÑÔÙØ Ø ×ÝÑÔØÓØ ÜÔ Ò× ÓÒ Ó Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÖÓ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø× × Ò ÙÐ Ö ØÝº Ì × ÜÔ Ò× ÓÒ Û × ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖ º Ï × Ö Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ×ÙÖ Ó Ø ÖÓ Ó ×ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø × Ò ÙÐ Ö ØÝº Ì × Ö ×ÙÐØ× Û Ö Ù× ÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ó Ò Ø Ú Ò ÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ¸Û × × ÓÒ Ò ÐÝØ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ¸ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð × Ù× ÓÒ×Ø ÒØ Û Ø Ò Ö ØÖ ÖÝ Ò Ù Ö ÒØ ÙÖ Ýº Ï ÓÑÔÙØ Ø Ð × Ù× ÓÒ×Ø ÒØ Û Ø ½¼¼ Ñ Ð ÔÐ ×º º º º ü º ¸¾¼½ º ï ½º þ ý [0, ∞] 2 f ttt + f f tt = 0, ´½µ f t f (t) tº s ´ ý µ¸f tt (0) = s¸ ¸ f (0) = f t (0) = 0 f t (∞) = 1º ¸ ¹ º ¹ ¸ ¸ ½ ½¾ ´ º ½ µº ¸ º ´ º ¾ µ º ý ¿¼ ´ º ¿¸¾ µº º ½ ¸ ´ º ¾ µº ¸ ý ¸ ¹ º ¸ º ¸ ¹ ú û ´ º µ¸ ¾ º ¸ ´½µ º ¸ t = t max ¸ ¸ ´½µ ´ º º µº ¸ t = t max ¸ ¸ º f (t) ¹ ´ º µ¸ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ý º ´½µ¸ f tt (t) = s exp - 1 2 t 0 f (x)dx . ´¾µ s > 0¸f t (0) = 0¸f tt (t) > 0¸ f t (t) ¹ ¸ ½ t → ∞¸ º º f t ¹ [0, ∞) → [0, 1)º ¸ y = f tt , x = f t ´¿µ ´½µ 2 y(x) y (x) + x = 0, ´ µ ý [0, 1] y(0) = s, y (0) = 0, y(1) = 0, ´ µ y(1) = 0 ´¾µº ¸ y(x)¸ ´ µ¸ ¹ ´ º ¾ µº ´ º ï ¾µº ¹ ¸ ´ µ¸ ´ º µ¸ ¸ ¸ ¸ ú û ´ º µº þ ¾ ¸ x = 1¸ º º ¸ y(1) = 0¸
´ µº º º ¹ 
y(0) ≈ s ¸ y(x)¸ y(x) = 0º ü y(x) ¹ y(x) ´ º µº ¹ ¹ y(x) ´ º ¾ µº ¹ º ¹ º ¸ ¸ ¹ y(x) x = 1¸ º ü ¸ ¸ º y(x) º þ ï ¾ y(x) ¹ y(x) x = 1º ¹ y(x) º þ ï ¿ ï ¾ ¹ ý º ï ¾º ü þ ¾ ¸ y(x) ¹ y(x) = s - ∞ n=1 g n s 2 n-1 x 3n ,
´ µ 
g 1 = 1/12, n(3 n -1) g n = n-1 j=1 j (3 j -1) g j g n-j , n > 1, ´ µ ¸ ¹ x = 1 ¸ y(1) = 0º y (x) → -∞ x → 1¸ º ´ µ ¸ º x = 1 ¹ ¸ º º º ý ¿¹ ´ ¸ ¹ µº ý ¸ g n n → ∞ º ¸ ¸ ¸ º º ½ ´ µ ´ ¹ µ ¼ º þ ¹ º ½¸ ¸ ¸ x = 1 ´ y (1) = -∞µº ½º ÿ y(x) -y (x) º ¸ ú û ú ¹ û ´ º ¸ ´½µµ¸ x = 1º º ´ µ ¸ º º ¹ x → x/C 2 y(x) → C 3 y(x).
´ µ 
C 3 = s¸
´ µ 
y(0) = 1, y (0) = 0, y(1/C 2 ) = 0,
´ µ 
[0, 1/C 2 ]º º ´ º ¾ µ¸ ¹ u(x) = 1 -y(x) ¹ [0, 1/C 2 ]¸u(1/C 2 ) = 1º ¸ x(u)¸ [0, 1]¸x(0) = 0¸x(1) = 1/C 2 º ¸ ¾ º þ x(u) = 12 1/3 z(u) 1/3 ¸ z(u) ¾¸ Õº ´½ µ º ½ ¾ º ¸ x(u) 3
´ º º ¹ µ 
´ º ¾ µ 
u = 1 º ¸ u = 1 -t x(t) t d 2 dt 2 x(t) - 1 2 x(t) d dt x(t) 3 = 0. ´½¼µ ¸ x(t) ¸ ¹ [0, 1]¸x(0) = 1/C 2 ¸x (0) = 0 ´ º ¾ µ¸ x(t) = O((1 -t) 1/3 ) t → 1º ÿ x(t) ¹ y(x) º ½¸ º ¸ ¸ ´ µ¸ ¸ C º x(t) t = 1 ¸ t = 0º ´½¼µ ¹ Y 1 (t) = Y 2 (t), Y 2 (t) = 1 2 Y 1 (t) Y 2 (t) 3 /t, ´½½µ Y 1 (t) = x(t)¸Y 2 (t) = x (t)º ´½½µ t = r exp(p z), ´½¾µ z ≥ 0¸ r, p º ´½½µ Y 1 (z) = r p exp(p z) Y 2 (z), Y 2 (z) = p 2 Y 1 (z) Y 2 (z) 3 . ´½¿µ ¸ Re(p) < 0 z → +∞ t → +0¸ º º t = 0 ´½½µ z = +∞ ´½¿µº ¸ ´½¾µ ´½¼µ¸ ¸ ¹ ´½¿µº ´½¿µ ¸ º ü ¸ ´½¿µ ¹ º Y 1 (z) º Y 1 (z) ´½¿µ¸ ¸ Y 2 (z) const/ √ z, z → ∞. ´½ µ ¸Y2 (z) Y 1 (z) ¹ ´½¿µ ¹ º z 0 º |Y 2 (z)| ≤ |Y 2 (z 0 )|¸ z 0 ≤ z¸ |Y 1 (z 0 ) -Y 1 (∞)| = |r p ∞ z 0 exp(p z) Y 2 (z) dz| ≤ |r exp(p z 0 ) Y 2 (z 0 )|, ´½ µ ¸ x(0) = 1/C 2 ¸ º º 1/C 2 ≈ Y 1 (z 0 ) º º ½º ¹ Y 1 (z) Y 2 (z) z → +∞ (13) ¸ exp(p z n)¸n ∈ N z → +∞º þ r º ¹ |r|º º º º Y 1 (z) Y 2 (z) Y 1 (z) = ∞ k=0 r k u k (z), Y 2 (z) = ∞ k=0 r k v k (z). ´½ µ ´½¿µº u 0 (z) v 0 (z) u 0 (z) = 0, v 0 (z) = p/2 u 0 (z) v 0 (s) 3 . ¸u0 (z) = 1/C 2 , v 0 (z) = C/(B -p z) 1/2 , ´½ µ B C ¸ º u 1 (z) u 1 (z) = p exp(p z) v 0 (z).
´½ µ¸ 
u 1 (z) = C √ π exp(B) erfc B -p z , ´½ µ v 1 (z) v 1 (z) = 3/2 p u 0 (z) v 0 (z) 2 v 1 (z) + 1/2 p u 1 (z) v 0 (z) 3 . ´½ µ¸´½ µ¸ v 1 (z) = C 4 4 ⎛ ⎝ 2 exp(p z) B -p z - (2 (B -p z) -1) √ π exp(B) erfc √ B -p z (B -p z) 3/2 ⎞ ⎠ . ´½ µ ¸ ´ ¹ µ ¸ º º u 1 (z) = C exp(p z) √ π ∞ n=1 (-1) n-1 Γ (n -1/2) 1 B -p z n-1/2 , ¸ º u1 (z) = C exp(p z) ⎛ ⎝ 1 (B -p z) 1/2 - 1 2 (B -p z) 3/2 + 3 4 (B -p z) 5/2 + . . . ⎞ ⎠ . ¸ v 1 (z) = 1 2 C 4 exp(p z) ⎛ ⎝ 1 (B -p z) 2 - 1 (B -p z) 3 + 9 4 (B -p z) 4 + . . . ⎞ ⎠ . ¸ u m (z) = exp(p z m) P m (z), v m (z) = exp(p z m) Q m (z), m ≤ n -1, n > 1, P m (z) Q m (z) ¹ 1/(B -p z)º u n (z) u n (z) = p exp(p z) v n-1 (z) exp(p z n), u n (z) ¸ ¹ ´ µ ¸ ¸ ¸ º º ¹ ´ µº v n (z) v n (z) = 3/2 p u 0 (z) v 0 (z) 2 v n (z) + H n (z) = 3 2 p v n (z) B -p z + H n (z), H n (z) exp(p z n) º ¸ v n (z) = (B -p z) -3/2 H n (z) (B -p z) 3/2 dz + C n , C n º ¸ C n = 0¸ v n (z) ¸ u n (z)º ¾ º ¹ ý ´ ¹ µº ¹ ´ º ´¿µµº ´½ µ º ü ´ º ½½ µº º ½º ¸ ¸ ¹ ´½¿µº þ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ º þ ¹ ¸ ´½¿µ ¸ ´ º º u n (z)¸ v n (z)º ´½ µ ´ º µ¸ º º ¸ ¹ º ¸ ¹ u n (z) v n (z) ¹ ¸ ¸ ¸ exp(p z n)º u 2 (z)¸ u 2 (z) = C 4 √ π exp(B) 2 erfc B -p z ⎛ ⎝ exp(p z) B -p z -exp(B) √ π erfc B -p z ⎞ ⎠ . v 2 (z) º ¸ u n (z) v n (z)¸n ≤ 2 ¹ n exp(p z) erfc( √ B -p z) ¸ ¹ 1/ √ B -p zº ¹ z → +∞º ´½ µ º ¹ ý ´½µ ´ º ½¼ µº ¸ ¸ ¸ u n (z) v n (z)¸n ≤ 2º ¸ n ≥ 3¸ ´½ µ º ¸ ¸ ý º ¸ ¸ ´ ¹ µ ¹ ´ ¹ ¹ µ º ¸ ´ ¸ µ¸ ¸ ¸ º þ ´½¿µ B -p z¸ ¹ zº þ t ´½¼µ¸ B → B + log r¸ x(t) t → +0º x(t) = 1 C 2 + C √ π exp(B) erfc √ B -log t + 1 2 C 4 √ π exp(B)× erfc √ B -log t ⎛ ⎝ t B -log t - √ π exp(B) erfc √ B -log t ⎞ ⎠ + . . . , ´¾¼µ x(t) = 1 C 2 + C t ⎛ ⎝ 1 (B -log t) 1/2 -1 2 1 (B -log t) 3/2 + 3 4 1 (B -log t) 5/2 + . . . ⎞ ⎠ + C 4 t 2 1 4 1 (B -log t) 2 -1 2 1 (B -log t) 3 + 21 16 1 (B -log t) 4 + . . . + . . . ´¾½µ ´¾¼µ ¸ x(t)¸ ¸ ¹ º ¸ ¹ º ¸ ¸ ¹ º ¸ ¸ t 1+ε ¸t ≥ 0 ε → +0º º þ tº ¸ ε¸ º ¸ x(t) ¸ º ¸ ´¾¼µ ¸ ´ µ¸ ¹ erf()¸ º º erf() ¸ ´¾¼µ º ¸ ´ º ¸ ½½¸ º¾½ µº þ ´¾½µ¸ º þ ½½¸ º¾½ ¹ ¸ ú û ´ º º µ º þ ¹ ý ¸ ¸ ´¾¼µ ´¾½µ º ´¾¼µ ¸ º ü ¸ ´¾½µ¸ ¹ º ´¾¼µ ý ´ º ½¼ µ º ¸ ú û º ´ µº ¹ [0, 1/C 2 ≈ 2.085409]¸ ´ µ¸ ¹ s = 1¸ º þ x 0 = 2¸ ¿¼¼ ´ µ y(x)º t = t 0 = y(x 0 ) ≈ 0.1810578187, ´¾¾µ x(t 0 ) = x 0 = 2, x (t 0 ) = 1/y (x 0 ) ≈ -0.58683143170.
´¾¿µ ¹ 
x 0 = x(t), x (t 0 ) = x (t) ½¿ B C¸ ´¾¼µº ¸ B ≈ -0.351914817, C ≈ -0.692473722, s = |C| 3 ≈ 0.3320548996¸ 2.5 × 10 -6 º ý ¸ ¸ ¹ ´¾¼µº ¸ ´¾¼µ ´¾½µ ¹ x(t) ¸ º º B¸C tº ´¾½µ ¹ ´ º ½¾¸ º ¾ µº þ ¹ ¸ ¸ x(t) º ÿ x(t) t ∈ [0, 1] x(t)º t = t 0 > 0 2π¸ log t 2πi¸ B º ¸ ¸ x(t) = 1/C 2 ´ ¹ ´½¼µµº ¸ ´¾½µ ¸ ¸ x(t 0 ) → 1/C 2 const/ √ m ´ º ´½ µµ¸ m º ¸ x(t) ¸ ¹ º ¹ º ï ¿º x(t) ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ý ´ º º µ º ¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ ´ ¹ µº þ ¸ ¸ º ¹ ¸ º ý ¸ ¹ ¸ º ´¾¾µ ´¾¿µ ´ µ y(x)º ¸ ´≈ 2.085409µ ´ µ ¸ º º º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ´ ½ ¹ µº N ¸ ¸ O(h N +1 ) x → x + hº þ ¸ ¸ ¸ ´ µ º ¸ ¹ ¸ ¸ º ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ´½¿µ¸ ¹ ´½ µº ´½¿µ ¸ º ¸ ¹ º ¸ ´½¿µ z → z + h¸r → r exp(p h)º ¸ ¹ Y 1 Y 2 z = 0º ´½¿µ º ¸ y(x)¸ º º ´ µ¸ y(x) = 1 - M n=1 g n x 3 n , ´¾ µ M ´ µ¸ ¸ ¹ ´ µº þ x = x 0 y(x) ´ ¹ x 0 < 2µº Y 1 (0) = a 0 = x 0 , Y 2 (0) = b 0 = 1/y (x 0 ), r = y(x 0 ) ´½¿µ z = 0 ´ º ´½¾µµº ¸ M = 300 ´¾ µ x 0 = 3/2¸ a 0 = 1.5b 0 ≈ -1.552¸r ≈ 0.7001 g 300 (3/2) 900 ≈ 0.365 × 10 -134 º w(x) = ∞ n=1 q n -q n-1 n x n , q n ¾¸ Õº ´½ µ º ´ µ (12 w(1 -r)) 1/3 = x 0 , (12 w (1 -r)) 1/3 = -b 0 . Y 1 Y 2 Y 1 (z) = N n=0 a n z n , Y 2 (z) = N n=0 b n z n , N ¸ º ´½¿µ º ¹ n = 0, 1, . . . , N -1 a n+1 = r p/(n + 1) n j=0 b n-j p j /j!, ´¾ µ b n+1 = p/2/(n + 1) n j=0 a n-j j k=0 b j-k k i=0 b k-i b i , ¸ ¹ ¿ º ´¾ µ a n b n ¸ b n º þ ¹ ¸ ´ º ½¿ µº ½ c 0 = b 3 0 n > 0 c n = ⎛ ⎝ n k=1 (4 k -n) b k c n-k ⎞ ⎠ /b 0 /n. ¸ ¸ b 0 = 0 º ´ º ´½ µµº b n+1 = p/2/(n + 1) n j=0 a n-j c j . ´¾ µ ´¾ µº ´ µ¸ ¹ ¸ º º z = h¸ h º º Y 1 (h) = N n=0 a n h n , Y 2 (h) = N n=0 b n h n . ¸ ¸ ¹ S = a N ; S := a j + h S, j = N -1, . . . , 0; Y 1 (h) = S, Y 2 (h)º ú:=û ¹ º z = 0¸a 0 = Y 1 (h)¸b 0 = Y 2 (h) r := r exp(p h) ´½¿µº ´¾ µº º þ p ¸ º ¸ ¹ ¸ Re p < 0º º þ h ¸ º ¸ ¹ ¸ ¸ ÔÓ×Ø Ö ÓÖ ¸ º º º ¸ a n ´ ¸ ¸ ¹ µ º b n ¸ ¸ º hº ½ h = 1/2º ¸ ¾¸ ¸ h ≤ 1/2º a n b n ¸n = 1, . . . , N¸ ¹ |b N h N | < ε/16, ´¾ µ ε ´ ¹ ¸ º º 1 = 1 + ε µº ´¾ µ ¸ h := h/2 ´¾ µº ´¾ µ ¹ ¸ |b N 2 N h N | < ε/16º þ h := 2 h º ¸ h ≤ 1/2 ¹ hº þ h = 4º ¸ ú û ¹ º º þ ´½ µ¸ Y 2 (z)
´ º ´½ µµ¸ 
|r| < ε |a 0 -1/C 2 | < ε|b 0 | < εº ¹ ´ Å ÔÐ ÇÊÌÊ AEµº þ ¹ ú û¸ º º þ p ´½¿µ ´ µ º º ¾ Y 1 (z) Y 2 (z) p = -2 x 0 = 3/2º þ p = i¸ ¹ º þ Y 1 (z) ´½ µ¸ ¹ exp(i z)º Re (p) < 0¸Im (p) = i¸ ¸ ¼ ¸ ¸ x(t)º ¸ º º z → z + 2π¸ ¹ ¸ x(0) = 1/C 2 ¸ º C ¸ |Im (a 0 )| ¹ º ¾º ÿ Y 1 (z) Y 2 (z) p = -2 x 0 = 3/2º ¸ ¿¹ ½¿¹½ ý º p¸x 0 ¸N M¸ ¸ ε ´ µº M¸ ´¾ µº º ¸ ÇÊÌÊ AE ¹ ´ º º ¿¾ µ¸ ¸ ý ´ º º ¿¾ ¹ µ p¸x 0 ¸M N º ¹ ´ º º z → z + hµ ½ ¼¹¾¼¼º ¸ º ½¼¼ ý ¸ Å ÔÐ ´ε = 10 -128 ¸M ∈ [300, 500]¸N ∈ [20, 80]¸p ∈ [-4, -1]¸x 0 ∈ [0.5, 1.9]µº s = 0.33205733621519629893718006201058296654709356141267 98181004475640198724174018064405070490731855146368 ý ¸ ¸ ´ µ º ½ Ì¤ ÓÔ Ö º Ñ Ö ÙÒ Ò ÞÙ Ñ Ù × ØÞ ÚÓÒ Àº Ð × Ù× ú Ö ÒÞ× Ø Ò Ò Ð¤ Ù×× Ø Ò Ñ Ø Ð Ò Ö Ê ÙÒ û »» º Å Ø º È Ý×º ½ ½¾º Îº ¼º Èº¿ ¹¿ º ¾ Î Ö Ò ÎºÈº ×ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ð × Ù× ÔÖÓ Ð Ñ »» ÓÑÔº Å Ø º ² Å Ø º È Ý×º ¾¼½ º Îº º AE º Èº½¼¾ ½¼¿ º ¿ Ò ÔÓÐ º º À ÐÝ ÙÖ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ó Ø Ð × Ù× Ò Ð Ò Ö¹Ë Ò ÓÙÒ ÖÝ Ð Ý Ö ÕÙ Ø ÓÒ× Ú ÓÒÚ Ö Ò Ð Ö Ø ÓÒ »» Ö Ú ½¼¼ º¿ 3¼½¼º ´ ØØÔ× »» ÖÜ ÚºÓÖ » ×»½¼¼ º¿ µ ÓÝ ÂºÈº Ì Ð × Ù× ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò »» ÜÔ Ö Ñ ÒØº Å Ø º ½ º Îº º Èº¿ ½ ¿ º þ þº º »» º þ



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Константа Блазиуса
Asymptotic expansion of Crocco solution and Blasius constant