On Crossed Modules and Crossed Homomonphisms

Keywords: Groups, modules, homomonphisms, crossed. ‫التصالبية‬ ‫التشاكالت‬ ‫و‬ ‫المقاسات‬ ‫في‬

The purpose of this paper is to study the crossed modules and crossed homomonphisms, and since these concepts are related to the group actions on groups we presented these types of actions. 

H h ‫و‬ K k ‫رل‬ ‫مث‬ ‫رد‬ ‫ودي‬ ‫رر‬ ‫عن‬ ‫رد‬ ‫وج‬ K k h  ‫رس‬ ‫بحي‬ ‫أن‬ ‫رل‬ ‫لك‬ 2 ,k 1 k,k  K , H 2 ,h 1 h, h  ( i ) k k e = ( ii ) k 1 h 2 h ) k 1 h ( 2 h = ( iii ) 2 k h 1 k h = ) 2 k 1 k ( h ‫و‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫للزم‬ ‫رنرمز‬ ‫ر‬ ‫س‬ ‫رد‬ ‫ر‬ ‫عندئ‬ K ‫رالرمز‬ ‫ر‬ ‫ب‬ K ‫و‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫زم‬ - H ‫رد‬ ‫ر‬ ‫وعن‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫إثم‬ ( ‫رري‬ ‫ر‬ ‫ال‬ iii ‫راك‬ ‫ر‬ ‫اعتب‬ ‫أ‬ ) K ‫رة‬ ‫ر‬ ‫موع‬ ‫م‬ ‫ةول‬ ‫أن‬ ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫فعل‬ H ‫موعة‬ ‫الم‬ ‫على‬ ‫يساك‬ K . ‫تي‬ ‫الزمر‬ ‫الفعل‬ ‫عرف‬ ‫مماثلة‬ ‫و‬ ‫وك‬ ‫ب‬ ‫األيمب‬ ‫و‬ ‫زمر‬ ‫كل‬ ‫عد‬ ‫يمكب‬ ‫كما‬ ‫و‬ ‫زمر‬ ‫على‬ ‫و‬ ‫لزمر‬ H- ‫ري‬ ‫ث‬ ‫يمنى‬ ‫و‬ ‫زمر‬ - H ‫الةاعدو‬ ‫وفق‬ ‫وذل‬ ‫بالعكس‬ ‫العكس‬ ‫و‬ ‫يسرى‬ = k h 1 - h k ‫لكل‬ H h ‫و‬ K k . ( ‫ي‬ ‫التعر‬ ‫ب‬ ‫بط‬ ‫الر‬ ‫تاهر‬ ‫التالية‬ ‫رثنة‬ ‫الم‬ 2-1 ‫المةدمة.‬ ‫في‬ ‫اكا‬ ‫الو‬ ‫ي‬ ‫التعر‬ ‫و‬ ) ‫مبرهنة‬ 2 - 2 : [10] ( i ‫لتكب‬ ) K ‫و‬ ‫زمر‬ - H ‫لكل‬ ‫فان‬ h  H ‫يق‬ ‫تط‬ ‫وجد‬ K K → h ρ : : ‫بالةاعدو‬ ‫معرف‬ k k h h = ) (  K k  ‫رق‬ ‫ر‬
‫ليكب‬ p ‫و‬ q ‫عدا‬ ‫ب‬ ‫أولي‬ ‫ب‬ ‫بحيس‬ ‫أن‬ q p ‫تها‬ ‫ت‬ ‫مر‬ ‫و‬ ‫لزمر‬ ‫الوديد‬ ‫الفعل‬ ‫فان‬ p ‫تها‬ ‫ت‬ ‫مر‬ ‫و‬ ‫زمر‬ ‫على‬ q ‫التافه.‬ ‫الفعل‬ ‫ثو‬ ‫البرهان:‬ ‫لتكب‬ K ‫تها‬ ‫ت‬ ‫مر‬ ‫و‬ ‫زمر‬ q ‫ها‬ ‫فإ‬ ‫فان‬ ‫لدا‬ ‫و.‬ ‫اك‬ ‫او‬ ‫و‬ ‫زمر‬ 1 q AutK - = . ‫لتكب‬ H ‫تها‬ ‫ت‬ ‫مر‬ ‫و‬ ‫زمر‬ p ‫ها‬ ‫فإ‬ ‫لنفر‬ ‫و.‬ ‫اك‬ ‫او‬ ‫و‬ ‫زمر‬ ‫أن‬ k K = ‫و‬ h H = . ‫ليكب‬ AutK H → :  ‫و‬ ‫للزمر‬ ‫فع‬ H ‫و‬ ‫رر‬ ‫الزم‬ ‫رى‬ ‫عل‬ K ‫ران‬ ‫ف‬ ‫ردا‬ ‫ل‬ . ρ ‫و‬ ‫رر‬ ‫الزم‬ ‫رب‬ ‫م‬ ‫ل‬ ‫را‬ ‫ت‬ H ‫رى‬ ‫إل‬ ‫و‬ ‫الزمر‬ AutK ‫ولكب‬ AutK 1 q q p H = -   = ‫فان‬ . ρ ‫فإن‬ ‫لدا‬ ‫ب.‬ ‫متبا‬ ‫غير‬   H ker e   . ‫ولكب‬ ρ ker ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫مب‬ ‫ئية‬ ‫جز‬ ‫و‬ ‫زمر‬ H ‫رب‬ ‫ي‬ ‫ه‬ ‫فا‬ ‫أن‬ ‫رون‬ ‫يك‬ ker ρ =H ‫رة‬ ‫تب‬ ‫مر‬ ‫الن‬ H ‫ردا‬ ‫ع‬ ‫ري‬ ‫أول‬ . ‫ه‬ ‫فا‬ ‫لدا‬ e x x    = = ) ( ‫لكل‬ H x ‫ومنها‬ . k k e (k) e ρ (k) h ρ k h = = = = ‫ه‬ ‫فا‬ ‫وثكدا‬ r k r s k r k s h = = ) 1 ( ) ( ‫لكل‬ + z r s, ‫ديس‬ ‫أن‬ q r   0 ‫لكل‬ p s   0 . ‫ستنتج‬ ‫ومنها‬ ‫أن‬ ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫فعل‬ H ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫على‬ K ‫فةط.‬ ‫التافه‬
[7] ‫لتكب‬ K ‫و‬ ‫زمر‬ H- ‫ها‬ ‫فأ‬ ‫متعدية‬ ‫تسمى‬ transitive H-group ‫(فعل‬ H ‫الزمر‬ ‫رى‬ ‫عل‬ ‫ري‬ ‫ت‬ K ‫رديا)‬ ‫متع‬ ‫إذا‬ ‫ت‬ ‫كا‬   K ‫أل‬ ‫ان‬ ‫و‬ 2 ,k 1 k  K ‫وجد‬ H h  ‫بحيس‬ ‫أن‬ 2 1 k k h = . ‫ريكب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ل‬ K k  ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫موع‬ ‫الم‬ ‫رإن‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ف‬  = k { H h : k h  } ‫رداك‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رمى‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫تس‬ k ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫موع‬ ‫لم‬ ‫رز‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫رم‬ ‫روف‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫وس‬ ‫ات‬ ‫مداك‬ K ‫بالرمز‬ [K] ‫فان‬ ‫لدا‬ . K ‫و‬ ‫زمر‬ ‫ثي‬ - H ‫متعدية‬ ‫إذا‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫فةط‬ 1 [K] = . ‫مساعدة‬ ‫قضية‬ 6 - 2 : ‫لتكب‬ K ‫و‬ ‫زمر‬ - H ‫فان‬ ( i ) e e h = ‫لكل‬ H h ( ii ) ) 1 ( 1 ) ( - = - k h k h ‫لكل‬ H h  ‫و‬ K k  . ‫البرهان:‬ - ( i ‫ليكب‬ ) AutK H : →  ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫فعل‬ ‫ثو‬ - H ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫على‬ K ‫بالةاعدو:‬ ‫معرف‬ h ρ (h) ρ = ‫لكل‬ H h  ‫ديس‬ K K : h ρ → ‫بالةاعدو‬ ‫معرف‬ ‫تةابلي‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ثو‬ k h (k) = h  ‫لكل‬ K k  . ‫فان‬ ‫لدا‬ e h (e)= h  ‫ولكب‬ . e (e) h ρ = ‫لكون‬ h  ‫معناه‬ ‫وثدا‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫أن‬ e e h = ( ii ) (e)=e h ) = 1 - (kk h = -) 1 (k h k) h ( ‫ل‬ ‫كل‬ K k ‫و‬ H h  ‫وكدل‬ (e) =e h k) = 1 - (k h k) = h ) ( 1 - (k h ‫ه‬ ‫فا‬ ‫لدا‬ . ) 1 - (k h = 1 - k) h ( ‫مساعدة‬ ‫قضية‬ 7 - 2 : - ‫لتكب‬ K ‫و‬ ‫زمر‬ H- ‫فإن‬ ( i ) {e}  = e ( ii )   k e ‫إذا‬ ‫وفةط‬ ‫إذا‬ ‫كان‬ e k = ‫رثان‬ ‫ال‬ : - ‫مباشر‬ ‫تعريف‬ 8 - 2 : [10] ‫رتكب‬ ‫ل‬ K ‫و‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫زم‬ - H ‫ريكب‬ ‫ول‬ K k ‫رة‬ ‫موع‬ ‫للم‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫ية‬ stab H (k)={h k k h H: =  } ‫رة‬ ‫ر‬
   (ii) 2 2 1 m )) 1 (m )p 1 1 (m ( m ) m (p   - = ) 2 (m ) 1 (m )p 1 1 (m ) 1 2 (m     - - = = - = - - = ) 2 m 1 (m )p 1 ) 2 m 1 ((m ) 2 m 1 (m )P 1 1 m 1 2 (m     ) ( 2 1 p m m (m) p )p (m ) p (p 2 1 1 m 2 1   - = (m)) )p (m (m))( )p (m ( 2 1 1 1     - - = m p m p 2 1 = ‫ي‬ ‫ال‬ ‫المةاع‬ ‫شرطا‬ ‫دل‬ (CM1)       - - = - (m) (n) ) 1 (m 1 ) m (n)) (( 1 :             - - = nm) 1 (m 1   (n))m ( 1 1 m nm 1 m   - - = - = )) 1 (p 1 ( p ) 1 )) 1 (p 1 (( ) 1 (p 1 p : (CM2) - = - - = -      (iii) 1 pp 1 1 p )) 1 (p 1 ( ))p 1 1 (p 1 ( - = - - - =     P p p, M,

‫ان‬ ‫على‬ ‫رثب‬ ‫ان‬ ‫يمكب‬

 ‫و‬ ‫زمر‬ ‫ثي‬ - P ‫بالةاعدو.‬ ‫المعرف‬ ‫بالفعل‬ P p , m    M ) p (m)(m ) p 1 - m ( ) (m m p m p = =  ‫كما‬ ‫وذل‬ ‫يأت‬ ‫ي‬ ‫روك‬ ‫ال‬ ‫مب‬ : ‫إثبات‬ ‫دسنا.‬ ‫يفا‬ ‫تعر‬ ‫معرف‬ ‫الفعل‬ ‫ان‬ ‫ليكب‬ ) 2 (m ) 1 (m r   = = ‫فان‬  (m1)=  (m2)   (m2)(  (m1) -1 ) = e   (m2)  (m1 -1 ) = e   (m2 m1 -1 ) = e  m2m1 -1  ker  ‫دل‬ (i) m r = m1 -1 mm1 = m2 -1 m m2 m = (m2 m1 -1 ) m(m2 m1 -1 ) = m(m2 m1 -1 ) -1 (m2 m1 -1 ) = m m2m1 -1 ker   cent (M) ‫ألن‬ (ii) m e = m ) e μ(m = e mm e m 1 - = me -1 me m = m M m  meker   cent ( M )  (m1),  (m2)P , mM ‫لكل‬ (iii) ) μ(m ) 1 mm 1 1 (m ) μ(m ) ) μ(m (m 2 2 1 - = = m2 -1 (m1 -1 mm1)m2 = (m2 m1) -1 m(m1m2) = m ) ( 2 1 m m  = m ) ( ) ( 2 1 m m    (n)  P ,m1,m2  ‫لكل‪M‬‬ (iv) (m1m2)  (m) = m -1 (m1m2) = (m -1 m1m) (m -1 m2m) ‫محم‬ ‫جاسم‬ ‫العالي‬ ‫عبد‬ ‫د‬ ‫فتحي‬ ‫عبد‬ ‫ادريس‬ ‫منال‬ ‫و‬ 54 (m)  2m (m)  1m = ‫فأن‬ ‫لدا‬ M ‫و‬ ‫زمر‬ ‫ثي‬ P- .  → :M  ( = ‫ي‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ول‬ ‫موا‬ ‫ان(‪P‬‬ ‫إلثبات‬ (CM1):  (m p ) =  (mP m )=  (mp -1 m mp) = (  (mp)) -1  (m) M(mp) = p -1  (m)p (CM2): m μ(n) = n -1 mn p  P, m,n M ‫لكل‬ 4 - ‫التصالبية‬ ‫التشاكالت‬ ‫ند‬ ‫ال‬ ‫ثدا‬ ‫في‬ ‫بيب‬ ‫بطنا‬ ‫ك‬ ‫أفعال‬ ‫الزمر‬ ‫على‬ ‫الزمر‬ ‫روم‬ ‫مفه‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫ية‬ ‫رال‬ ‫الت‬ ‫رات‬ ‫المةاس‬ ‫و‬ ‫رر‬ ‫أل‬ ‫رو‬ ‫وث‬ ‫ية.‬ ‫ال‬ ‫الت‬ ‫ت‬ ‫ا‬ ‫الت‬ ‫تعريف‬ 1 - 4 : - [5] ‫لتكب‬ K ‫و‬ ‫زمر‬ - H ‫يق‬ ‫التط‬ ‫فب‬ K H : → f ‫ا‬ ‫ت‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ي‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫إذا‬ ‫كان‬ (f(y)) x f(x) = f(xy) ‫لكل‬ x,y  H ‫قضية‬ 2 - 4 : - ‫لتكب‬ K ‫و‬ ‫زمر‬ - H ‫ان‬ ‫و‬ K H : f → ‫فإن:‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ( i ) f ‫ي‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫فعل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ H ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫على‬ K ‫فأن.‬ ‫التافه‬ ‫الفعل‬ ‫ثو‬ ( ii ) ‫إذا‬ ‫كان‬ f ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ي‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ا‬ ‫شام‬ ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫فعل‬ ‫فإن‬ H ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫على‬ K ‫التافه.‬ ‫الفعل‬ ‫ثو‬ ‫البرهان:‬ ( i ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫فعل‬ ‫ليكب‬ ) H ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫على‬ K ‫ه‬ ‫فا‬ ‫التافه‬ ‫الفعل‬ ‫ثو‬ ‫ي.‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ f ‫فان‬ ‫لدا‬ x,y H ‫لكل‬ f(xy) = f(x) f(y) = f(x) x (f(y)) ( ii ) ‫ليكب‬ f ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ي‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ا‬ ‫شام‬ ‫ر‬ ‫عن‬ ‫لكل‬ ‫ه‬ ‫فا‬ k  K ‫مثل‬ ‫ر‬ ‫عن‬ ‫وجد‬ y  H ‫ان‬ ‫بحيس‬ f(y) = k . ‫لكون‬ f ‫ا‬ ‫ت‬ ‫فان‬ f(xy) = f(x) f(y) ‫ولكون‬ f ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ي‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ا‬ ‫فان‬ (f(y)) x f(xy) = f(x) ‫فان‬ ‫لدا‬ (f(y)) = f(x) f(y) x f(x) ‫ومنها‬ (f(y)) = f(y) x ‫ا‬ ‫وثدا‬ ‫إلى‬ ‫ه‬ ‫ا‬ k = k x . ‫فعل‬ ‫ان‬ ‫أ‬ H ‫على‬ K ‫التافه.‬ ‫الفعل‬ ‫و‬ ‫قضية‬ 3-4 : - ‫ليكب‬ f:H → K ‫يق:‬ ‫التط‬ ‫وليكب‬ ‫يا‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ا‬ ‫ت‬ → K x H :H 0 f ‫بالةاعدو:‬ ‫معرفا‬ Crossed Homomorphisms (x) = (f(x), x) 0 f ‫لكل‬ x  H ‫فان‬ . 0 f ‫ب.‬ ‫متبا‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫البرهان:‬ f0 (xy) = (f (xy), xy) = (f(x) x (f(y)) , xy ) (i) (y) 0 (x)f 0 = (f(x),x)(f(y),y) = f ‫لكل‬ H y , x  ‫فان‬ ‫لدا‬ 0 f ‫ل.‬ ‫ا‬ ‫ت‬ (ii) ‫ليكب‬ H y , x  ‫ان‬ ‫بحيس‬ (y) 0 (x) = f 0 f ‫فإن‬ (f(x),x)=(f(y),y) ‫فإن‬ ‫لدا‬ x=y ‫ومنها‬ 0 f ‫ب.‬ ‫متبا‬ ‫قضية‬ 4-4 : - ‫إذا‬ ‫كان‬ f:H → K ‫ا‬ ‫ت‬ ‫فأ‬ ‫شامل‬ ‫ه‬ ‫إذا‬ ‫كان‬ O f . ‫شام‬ ‫البرهان:‬ - ‫ان‬ ‫بما‬ O f ‫شامل‬ ‫رر‬ ‫عن‬ ‫لكل‬ ‫ه‬ ‫فا‬ (k,h) ‫رب‬ ‫م‬ K x H ‫رى‬ ‫عل‬ ‫رد‬ ‫وج‬ ‫رل‬ ‫األأ‬ ‫رل‬ ‫مث‬ ‫رر‬ ‫عن‬ H x  ‫ان‬ ‫بحيس‬ (x) = (k,h) O f ‫ولكب‬ (x) = (f(x),x) O f ‫فأن‬ ‫لدا‬ f(x)=k . ‫ه‬ ‫ا‬ ‫أ‬ f ‫شامل.‬ ‫ت‬ ‫عريف‬ 5 - 4 : - ‫لتكب‬ K ‫و‬ ‫زمر‬ - H ‫يق‬ ‫التط‬ ‫تعرف‬ H H K : →   ‫بالةاعدو‬  (k,h)=h ‫لكل‬ K k , H h   . ‫قضية‬ 6 - 4 : ( i ) ‫يق‬ ‫التط‬  ‫شامل‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ثو‬ ( ii )  ‫ب‬ ‫متبا‬ ‫إذا‬ ‫وفةط‬ ‫إذا‬ } K K={e . ‫البره‬ ‫ان:‬ - (i) μ ((k1,h1) (k2,h2) = μ (k1 h1 k2,h1h2 ) = h1h2 = μ (k1,h1) μ (k2,h2) ‫فإن‬ ‫لدا‬  ‫ل.‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ليكب‬ H h  ‫فإن‬ μ (e,h)=h ‫فإن‬ ‫لدا‬ μ ‫شامل‬ ( ii ‫ليكب‬ ) μ ‫ن‬ ‫متبا‬ ‫ا‬ ‫ان‬ ‫فر‬ . K k  ‫فإن‬ μ ) H ,e K ( e  = ) H (k,e ‫فإن‬ 
‫لتكب‬ K H : f → ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ي‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ا‬ H 0 i f =   ‫ديس‬ h ) h ( i H = ‫لكل‬ H h  ‫رثان:‬ ‫ال‬ ‫لكل‬ H h  ) h ( i h ) h ), h ( f ( )) h ( f ( ) h )( f ( H 0 0 = =  =  =   ‫فان‬ ‫لدا‬ H 0 i f =   . ‫مبرهنة‬ 4-8 : ‫لتكب‬ A ‫البة‬ ‫المت‬ ‫ت‬ ‫ا‬ ‫الت‬ ‫موعة‬ ‫م‬ K H : f → ‫و‬ B ‫ت‬ ‫ا‬ ‫الت‬ ‫موعة‬ ‫م‬ H K H :  →  ‫ان‬ ‫بحيس‬ h ) h )( ( =    ‫لكل‬ H h  ‫فان‬ B A = . ‫رثان:‬ ‫ال‬ ‫يق‬ ‫التط‬ ‫عرف‬ B A : F → ‫بالةاعدو‬ 0 f ) f ( F = ‫لكل‬ A f  ( i ‫ليكب‬ ) ) f ( F ) f ( F ' = ‫ان‬ ‫ديس‬ ' f , f ‫فان‬ ' ' ' ' 0 ' 0 0 ' f f ) h ( f ) h ( f ) h ), h ( f ( ) h ), h ( f ( H h ) h ( f ) h ( f f f ) f ( F ) f ( F = = =  =    = =  =  = ‫فان‬ ‫لدا‬ f ‫ب.‬ ‫متبا‬ ( ii ‫ليكب‬ ) B   ‫وليكب‬ ) h , k ( ) h ( 1 1 =  ‫ران‬ ‫ف‬ 1 1 1 h ) h , k ( 



  ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫باثتم‬ ‫ية‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الت‬ ‫رات‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المةاس‬ ‫روم‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫مفه‬ ‫ري‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫دا‬ ‫رادثيب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الب‬ ‫و‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫العلم‬ ‫رب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رد‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫العد‬ ‫إذ‬ ‫يعد‬ J.H.Whitehead [2] ‫مب‬ ‫ائل‬ ‫أو‬ ‫تطرق‬ ‫مب‬ ‫رى‬ ‫إل‬ ‫رل‬ ‫أ‬ ‫رب‬ ‫م‬ ‫ردثا‬ ‫بع‬ ‫واكع‬ ‫روم‬ ‫المفه‬ ‫ردا‬ ‫ث‬ ‫رة‬ ‫اس‬ ‫اك‬ K.J.Norriv, R.Brown ‫يب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫فيم‬ ‫أتي‬ ‫رض‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫بع‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫األمثل‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫ر‬ ‫ال‬ ‫رية‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫األساس‬ ‫ري‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ف‬ ‫ردثا‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫و‬ ‫ية‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الت‬ ‫رات‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫للمةاس‬ ‫ااك‬ ‫الم‬ [4][3][2] . ‫و‬ ‫يا‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫ت‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫مةاس‬  ‫رإن‬ ‫ر‬ ‫ف‬ ‫ي‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫تة‬ ‫ل‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ت‬ 




  ‫رون‬ ‫يك‬ ‫ردما‬ ‫عن‬  ‫و‬ ‫رر‬ ‫الزم‬ ‫رب‬ ‫م‬ ‫رامل‬ ‫ش‬ ‫ل‬ ‫را‬ ‫ت‬ M ‫و‬ ‫رر‬ ‫الزم‬ ‫رى‬ ‫عل‬ P ‫او‬ ‫رو‬ ‫ان‬ ‫رس‬ ‫بحي‬  ‫مركز‬ 




  ‫رى‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫عل‬ ‫رول‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الح‬ ‫رل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ت‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الزم‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫تعام‬ ‫رد‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ال‬ ‫رزل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ال‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ولاص‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الزم‬ ‫رات‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫ار‬ ‫رب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الكثي‬ 


															-‫الزمر‬ ‫على‬ ‫الزمر‬ ‫أفعال‬	2
	‫ردل‬ ‫ر‬ ‫ك‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫المةدم‬ ‫ري‬ ‫ر‬ ‫ف‬ ‫اكا‬ ‫رو‬ ‫ر‬ ‫ال‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫للتعر‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫مكافع‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫الزم‬ ‫رى‬ ‫ر‬ ‫عل‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫الزم‬	‫رال‬ ‫ر‬ ‫ألفع‬	‫را‬ ‫ر‬ ‫يف‬ ‫تعر‬ ‫رد‬ ‫ر‬ ‫ن‬ ‫ال‬ ‫ردا‬ ‫ر‬ ‫ث‬ ‫ردم‬ ‫ر‬ ‫ية‬
	‫رات‬ ‫ر‬ ‫المعلوم‬ ‫رب‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رد‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫لمز‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫المنتام‬ ‫و‬ ‫و‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫الح‬ ‫و‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ي‬	‫المتعد‬	‫رال‬ ‫ر‬ ‫كاألفع‬	‫رية‬ ‫ر‬ ‫األساس‬	‫راهيل‬ ‫ر‬ ‫المف‬ ‫رب‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫بع‬ ‫رتعر‬ ‫ر‬ ‫س‬
															.	[10] [8] [1]	‫إلى‬ ‫الرجوع‬
															[10]	-	:	1 -2	‫تعريف‬
	‫ران‬ ‫ك‬	‫إذا‬	K	‫و‬ ‫رر‬ ‫الزم‬ ‫رى‬ ‫عل‬	H	‫و‬ ‫رر‬ ‫للزم‬	‫رر‬ ‫أيس‬	‫ري‬ ‫ت‬ ‫زمر‬ ‫رل‬ ‫فع‬ ‫ثناك‬	‫أن‬	‫ةول‬ ‫و‬ ‫زمر‬	K	‫و‬	H	‫مب‬ ‫كل‬ ‫لتكب‬
		‫منال‬ ‫ياضيات‬ ‫الر‬ ‫و‬ ‫الحاسبات‬ ‫علوم‬ ‫كلية‬ ‫إدريس‬ ‫الموصل‬ ‫جامعة‬ ‫فتحي‬ ‫عبد‬	‫محمد‬ ‫جاسم‬ ‫العالي‬ ‫عبد‬ ‫الموصل‬ ‫جامعة‬ ‫بية‬ ‫التر‬ ‫كلية‬	‫رل‬ ‫لك‬
	2007	/	/ 03	05	:	‫البحث‬ ‫قبول‬ ‫تاريخ‬	/ 2006	/ 11	22	:	‫البحث‬ ‫استالم‬ ‫تاريخ‬
															‫الملخص‬
												.	‫األفعال‬	‫مب‬ ‫النوع‬ ‫ثدا‬ ‫استعرضنا‬ ‫فةد‬ ‫الزمر‬ ‫على‬ ‫الزمر‬	‫بأفعال‬	‫المفهوميب‬
															‫الب.‬ ‫الت‬ ‫ت‬ ‫ا‬ ‫الت‬ ‫المةاسات‬ ‫الزمر‬	‫مفتاحية:‬	‫ال‬ ‫الكلمات‬
															:	-‫المقدمة‬	1
	‫المنتهية‬ ‫في‬ ‫تاهر‬ ‫ال‬ ‫تة)‬ ‫المث‬ ‫العناصر‬ ‫و‬ ‫الثابتة‬ ‫إذ‬ ‫عليه‬ ‫ول‬ ‫الح‬ ‫تل‬ ‫باألصل‬ ‫روم‬ ‫مفه‬ ‫رون‬ ‫يك‬ ‫أن‬ ‫يعي‬ ‫الط‬ ‫فمب‬ ‫لدا‬ ‫رال‬ ‫أفع‬ ‫ل.‬ ‫التباا‬ ‫زمر‬ ‫اسة‬ ‫اك‬ ‫مب‬ ‫رل‬ ‫التباا‬ ‫رر‬ ‫زم‬ ‫ري‬ ‫ف‬ ‫رحة‬ ‫اض‬ ‫و‬ ‫را‬ ‫ولكنه‬ ‫رراو‬ ‫الم‬ ‫رر‬ ‫الزم‬ ‫ية‬ ‫ار‬ ‫إذ‬ ‫العناصر‬ ‫(مثل‬ ‫المفاهيل‬ ‫بعض‬ ‫إن‬ [10] ‫رل‬ ‫فع‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫بتعر‬ ‫ردأ‬ ‫ب‬ ‫رد‬ ‫أ‬ ‫رة‬ ‫منتهي‬ ‫رات‬ ‫موع‬ ‫م‬ ‫رى‬ ‫عل‬ ‫رة‬ ‫المنتهي‬ ‫رر‬ ‫الزم‬
	X	‫على‬ ‫ل‬ ‫التباا‬ ‫و‬ ‫زمر‬	S	x	‫إلى‬	G	‫مب‬ ‫زمر‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ه‬ ‫ا‬ ‫على‬	X	‫مثل‬ ‫موعة‬ ‫م‬ ‫على‬	G	‫مثل‬ ‫و‬ ‫زمر‬
	K		‫رى‬ ‫عل‬	K		‫رب‬ ‫م‬ ‫ت‬ ‫را‬ ‫الت‬ ‫رة‬ ‫موع‬ ‫م‬	AutK	‫ران‬ ‫ف‬ ‫و‬ ‫رر‬ ‫زم‬	K	‫و‬	H	‫رب‬ ‫م‬ ‫رل‬ ‫ك‬	‫رون‬ ‫تك‬ ‫ردما‬ ‫عن‬	.
	K		‫و‬ ‫رر‬ ‫الزم‬ ‫رى‬ ‫عل‬	H	‫و‬ ‫رر‬ ‫الزم‬ ‫رل‬ ‫فع‬ ‫ران‬ ‫ب‬ ‫الةول‬ ‫يمكب‬ ‫ه‬ ‫فا‬ ‫لدا‬	S	x	‫ل‬ ‫التباا‬ ‫و‬ ‫زمر‬ ‫مب‬ ‫ئية‬ ‫جز‬ ‫و‬ ‫زمر‬ ‫ثي‬
															.	AutK	‫و‬ ‫الزمر‬	‫إلى‬	H	‫و‬ ‫الزمر‬ ‫مب‬ ‫زمر‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫ثو‬
	‫ري‬ ‫ر‬ ‫ف‬ ‫رر‬ ‫ي‬ ‫ك‬ ‫راي‬ ‫تب‬ ‫اك‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫له‬ ‫ري‬ ‫الت‬ ‫رات‬ ‫ية‬ ‫التط‬ ‫رب‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رر‬	‫تعت‬ ‫ية‬ ‫رال‬ ‫الت‬ ‫ت‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫الت‬ ‫و‬ ‫رات‬ ‫المةاس‬ ‫رة‬ ‫اس‬ ‫اك‬ ‫الزمر.‬ ‫على‬ ‫الزمر‬	‫إن‬ ‫أفعال‬	‫مفهوم‬

‫ب‬ ‫رد‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ث‬ ‫رلة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ول‬ ‫ية‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الت‬ ‫ت‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الت‬ ‫و‬ ‫رات‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المةاس‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫اس‬ ‫اك‬ ‫رو‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ث‬ ‫رس‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫البح‬ ‫ردا‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ث‬ ‫رب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الغ‬ 


  ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫التط‬ ‫ردل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ك‬ ‫رابلي‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫تة‬ ‫ل‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ت‬ ‫رو‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ث‬ ‫رق‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫التط‬ ‫ردا‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫وث‬ 


	Group actions on groups ‫و‬ ‫رر‬ ‫للزم‬ ‫رد‬ ‫اد‬ ‫و‬ ‫رل‬ ‫فع‬ ‫رل‬ ‫األأ‬ ‫رى‬ ‫عل‬ ‫رد‬ ‫وج‬ ‫و‬ ‫رر‬ ‫زم‬ H ‫و‬ ‫رر‬ ‫زم‬ ‫رى‬ ‫عل‬ K ‫ال‬ ‫رمى‬ ‫يس‬ ‫رل‬ ‫فع‬	K	‫و‬	H	:	3 -‫مب‬ ‫كل‬ ‫لتكب‬ 2 ‫مالحظة‬
	k ‫رى‬ ‫ر‬ ‫إل‬ k h = ‫رى‬ ‫ر‬ ‫عل‬ ‫و‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫لزم‬ ‫رد‬ ‫ر‬ ‫الودي‬ ‫رل‬ ‫ر‬ ‫الفع‬ ‫رو‬ ‫ر‬ ‫ث‬ ‫ره‬ ‫ر‬ ‫التاف‬ ‫رل‬ ‫ر‬ ‫الفع‬ ‫رون‬ ‫ر‬ ‫ك‬ ‫لكل‬ H h ‫و‬ K k .	‫التافه‬ ‫ا‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ت‬ ‫ري‬ ‫ر‬ ‫الت‬ ‫رروي‬ ‫ر‬ ‫ال‬ ‫رد‬ ‫ر‬ ‫اد‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫تعطين‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫التالي‬ ‫رية‬ ‫ر‬ ‫الة‬ Action) Trivial ( : ‫بالةاعدو‬ ‫معرف‬
																				‫و.‬ ‫زمر‬
																				:)	( ‫قضية‬ 4 -2
	Autk ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫التة‬ ‫لي‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الت‬ ‫رل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫التمثي‬ ‫رمى‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ويس‬ ‫ل‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ت‬ ‫رو‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ث‬ H → : ‫و‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫للزم‬ ‫بلي‬  ‫ردو‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫بالةاع‬ ‫ررف‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المع‬ H ‫ررن‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المةت‬ ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫(فعل‬ H h ‫اك‬ ‫الت‬ ‫ثو‬ h (  ‫رل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫لك‬ ρ ) H ‫و‬ ‫الزمر‬ ‫على‬ K .)	 ‫بالفعل‬ = h
	‫رى‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫عل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫فع‬	H	‫و‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫للزم‬ ‫ران‬ ‫ر‬ ‫ف‬		‫را‬ ‫ر‬ ‫ت‬		H : →	AutK	‫ريكب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ول‬ ‫و‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫زم‬	H	‫و‬	K	‫رب‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رل‬ ‫ر‬ ‫ك‬ ‫رتكب‬ ‫ر‬ ‫ل‬	)	ii	(
	h 		, H	k		K	‫لكل‬	h	k	=	(		(	h	k ))(	)	‫بالةاعدو:‬ ‫معرفا‬	(	‫و‬ ‫الزمر‬ ‫ثو‬ ‫المةترن‬ ‫الفعل‬ ‫و‬ K ( K ‫و‬ ‫زمر‬ ‫ثي‬ -H  .
																				[10]	‫في‬ ‫رثان‬ ‫ال‬ ‫أسلوب‬ ‫فس‬	-	‫البرهان:‬



  ‫الفعل‬ ‫ثو‬ ‫راهيل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المف‬ ‫رب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫رية‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫األساس‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫ار‬ ‫ري‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ف‬ ‫رال‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫أفع‬ ‫ات‬ ‫رداك‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الم‬ ‫رر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫الزم‬ 


	‫د‬	‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫التع‬ ‫و‬	(orbits)
	‫و‬ ‫رر‬ ‫زم‬ ‫رل‬ ‫فع‬	‫مب‬ ‫ثي‬ ‫المنتامة‬ ‫فةط.‬ ‫د‬ ‫المحا‬ ‫ر‬ ‫العن‬ ‫مب‬ ‫ة‬ ‫مكو‬ ‫تيب‬ ‫الزمر‬ ‫كلتا‬ ‫ت‬ ‫كا‬ ‫األفعال‬ ‫المهمة‬ ‫ا‬ ‫أي‬ ‫د‬ ‫رن‬ ‫وس‬ ‫أن‬	(transitivity) ‫منتاما‬ ‫يكون‬ ‫و‬ ‫زمر‬ ‫على‬ ‫فان‬ ‫كدل‬ . ‫إذا‬ ‫وفةط‬ ‫األفعال‬ ‫إذا‬
				:	5 -2	‫تعريف‬



  ‫ريب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ب‬ ‫رل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫التةاب‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫أ‬ ‫ع‬ ‫ان‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫د‬ ‫ق‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫س‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫مم‬ ‫روعتيب‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫الم‬ A,B ‫ل‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ت‬ ‫رل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ك‬ ‫رة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫مةابل‬ ‫ري‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫ف‬ ‫را‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫عليه‬ ‫رلنا‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫د‬ ‫ي.‬ ‫ال‬ ‫ت‬ 


																																‫التصالبية‬ ‫التشاكالت‬ ‫و‬ ‫المقاسات‬ ‫في‬
																															.	f 0	:	H	→	K		H	‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫م‬	f	:	H	→	K
	‫رب‬ ‫ولك‬	(  	h )( 	)	=	(  ( 	h	)) h   = H .		‫لكل‬					= h ( 	)	=	(	k	1	,	h	)	‫ه‬ ‫ا‬ ‫أ‬ .	h 1 =	h	‫فان‬ ‫لدا‬	(  	h )( 	)	=	h
												h 	H	‫لكل‬		) ( = h	(	f	(	h	),	h	)	‫روي‬ ‫ال‬ ‫يحةق‬ ‫يةا‬ ‫تط‬	f	:	H	→	K	‫ليكب‬
																													y x  ,	H	‫لكل‬ ‫ي)‬ ‫ال‬ ‫ت‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ت‬	f	‫ان‬ ‫(أ‬	f 	A	‫فان‬
					( 	x	,	) y	=	f (	(	xy	),	xy	)		K		H	)	f	‫ي‬ ‫(تعر‬
																																‫ل)‬ ‫ا‬ ‫ت‬	)	
																				(	x	,	y	)		=		(	x	)		(	y	)
																															=	(	f	(	x	),	x	f )(	(	y	),	y	)		K		H	=	(	f	(	x	))	x	(	f	(	y	)),	xy	)
	‫فان‬ ‫لدا‬ H h   ) ‫فان‬ F ‫ه‬ ‫ا‬ ‫أ‬ ‫تةابل.‬ xy ), y ( f ( x ) h ( ) h )) ), x h (  = B Boorman, E.H.,(1975), "S-operations in Representation THeory", f ( ) xy ), xy ( f ( = ‫ومنها‬ )) y ( f ( )) x ( f ( ) xy ( f x = ‫لكل‬ H y , x  ( f ( ) h ( f 0 = ‫ران‬ ‫ف‬ 0 f =  ‫را‬ ‫ومنه‬  = = 0 f ) f ( F ‫ران‬ ‫ف‬ ‫ردا‬ ‫ل‬ F ‫المصادر‬ ‫ردا‬ ‫وثك‬ ‫رامل.‬ ‫ش‬ ‫كدل‬ A = [1] . Trans. Amer. Math. Soc. 205, 127-149.
																																57
Abdul Aali, J Mohammed, Manal E Abd Fathi
On Crossed Modules and Crossed Homomonphisms