LOKACIJSKI PROBLEMI -ZNA^AJ, VRSTE I NA^INI RE[AVANJA

Keywords: 

In their wider sense, location problems are related to locating one ore more objects in the area of certain dimensionality. In narrower sense, particularly in logistics, these problems are related to locating resources, warehouses, terminals,... Hence, these are problems of locating points in the two dimensional space. This sounds logical since for example, warehouse dimensions, may be neglected in comparison with the area where the object is located. The location theory deals with formulation and solving location problems. Such problems may be classified with respect to: number of objects, location type (discretecontinuous), criterions, tasks realized by the system, objective function types applied solution methods, etc. This paper is organized to present the basic concepts in the location theory, defining fundamental problems and proposing general approaches to their solution. Some of typically military applications are also discussed. 

Uvod

Lociranje proizvodnog pogona, skla-di{ta, distributivnog centra, terminala, ili nekog drugog ~vori{ta u logisti~kom lancu, kao i lociranje protivpo`arne stanice, stanice hitne pomo}i, deponije otpadnog materijala i sli~nih resursa, predstavlja kompleksan zadatak strate{kog planiranja. Realizacija ovih zadataka povezana je, sa jedne strane, sa visokim investicionim ulaganjima, a sa druge i sa zna~ajnim rizicima, kako onim finansijskim, tako i ekolo{kim i onim koji rezultiraju iz izostalog kvaliteta realizacije zahteva koji su inicirali lociranje nekog resursa. 
Nema nikakve sumnje da je upravo svest o zna~aju lokacijskih problema inicirala veliki broj istra`ivanja, pa je kao rezultat toga u svetskoj literaturi mogu}e prona}i vi{e od 3000 publikovanih radova iz ove oblasti. Teoreti~ari i prakti~ari iz oblasti operacionih istra`ivanja razvili su veliki broj modela i nude ogroman broj pristupa re{avanju problema iz tog domena. Sa jedne strane, to svakako predstavlja prednost, ali mno{tvo informacija o tipovima problema i na~inima njihovog re{avanja predstavlja i objektivnu prepreku svakom poku{aju obuhvatnijeg pristupa lokacijskim problemima, odnosno izlaganju lokacijske teorije. Pri tome, lokacijski problemi odnose se na od-re|ivanje mesta ili pozicije nekog objekta ili grupe objekata u prostoru odre|ene dimenzionalnosti, a teorija lokacije bavi se formulacijom i re{avanjem tih problema. Kada se govori o "dimenzionalnosti", re~ je u stvari o prisustvu razli~itih mogu}ih kombinacija objekta koji je potrebno locirati i prostora u kojem se taj objekat locira. Naime, u svom {irem zna-~enju lokacijski problemi -ako se posmatraju samo tipi~ne kombinacije, mogu se odnositi na lociranje 3D tela -kvadra u 3D prostoru (tovarenje vozila, kontejnera, ...), na lociranje 2D povr{inepravougaonika u ravni (se~enje plo~a, problemi prostornog raspore|ivanja elemenata sistema -layout), lociranje 1D objekta -linije u 1D prostoru (se~enje {ipki, lociranje komisione zone u regalskom prolazu), odnosno na lociranje 0D objekta -ta~ke, u 2D prostor, ravan, ili pak u 1D prostor -na liniju. Me|utim, u u`em smislu i uobi~ajenom zna~enju teorija lokacije razmatra probleme lociranja ta~ke u dvodimenzionalnom prostoru (0D & 2D), s ob-zirom na to da su dimenzije sistema koji je potrebno locirati (objekta -kompleksa) zanemarljive u odnosu na prostor u kojem se lokacija bira (teritorija grada, regija, podru~je dr`ave, region koji obuhvata vi{e dr`ava,...). 
Lokacijske probleme mogu}e je klasifikovati u odnosu na planski horizont (stati~ki i dinami~ki problemi), u odnosu na broj objekata koji se lociraju (lociranje jednog objekta ili vi{e objekata), karakter raspolo`ivih lokacija (diskretan prostor: mre`a, ili kona~ni broj pozicija), prema kriterijumu koji se koristi pri izboru lokacije (medijana -te`i{te, centar, anti-centar), prema karakteru zadatka koji se re{ava (lokacijski, alokacijski, lokacijsko-alokacijski), u odnosu na tip ciljne funkcije (jednokriterijumska, vi{ekriterijumska), kao i u odnosu na pristup i metode koje se koriste pri izboru lokacije (intuitivni pristup, egzaktni optimizacioni model, simulacija, heuristi~ki modeli, ekspertni sistem). Iako i ova klasifikacija dovoljno govori o kompleksnosti problematike razmatrane u ovoj oblasti, treba naglasiti da time nisu iscrpljeni svi aspekti lokacijske teorije, niti obuhva}ene sve klase problema. 
Ovim radom obuhva}eni su samo neki od tipi~nih problema i na~ini za njihovo re{avanje, i upu}uje se na veoma obimnu literaturu iz ove oblasti, ~iji se iscrpan prikaz mo`e prona}i na adresi koja u ovom trenutku ima 3400 naslova: http://www. ent.ohiou.edu/~thale/thlocation.html. 

Razvoj lokacijske teorije

Razvoj lokacijske teorije u literaturi uglavnom se vezuje za agronomiju i geo-grafiju, pa se kao za~etnici ove oblasti naj~e{}e navode nema~ki agroekonomista Johann Heinrich von Thünen (1875), odnosno Alfred Weber (1929) koji razmatra industrijsku proizvodnju. Tako se Thünenu pripisuje prva od lokacijskih teorija, bazirana na razmatranju tro{kova i rastojanja, gde se za pogone poljoprivredne proizvodnje ka`e da se u odnosu na tr`i{te prodaje moraju locirati tako da minimiziraju transportne tro{kove. Weber prepoznaje zna~aj sirovina u odvijanju proizvodnih procesa i u tome uticaj lokacije. Tako, Weber uo~ava da su koli-~ine sirovina u industriji ~elika ve}e od koli~ine gotovih proizvoda, pa zaklju~uje da je radi minimizacije transportnih tro-{kova proizvodne pogone potrebno pribli`iti izvorima sirovina. Me|utim, on ta-ko|e uo~ava i prisustvo proizvoda kod kojih su sirovine prisutne prakti~no svuda (npr. vazduh i voda), pa zaklju~uje da je u tom slu~aju, radi minimizacije transportnih tro{kova, proizvodne pogone potrebno locirati {to bli`e tr`i{tu, to jest potro{a~ima. 
Ipak, posmatrano sa aspekta mate-mati~ke formulacije, smatra se da je ~uveni Ferma (Fermat Pierre de 1601-1665) po~etkom XVII veka zapo~eo razmatranje lokacijskih problema ukazuju}i na slede}i problem: "Za zadate tri ta~ke u ravni prona}i ~etvrtu, tako da zbir rastojanja izme|u ~etvrte ta~ke i zadate tri, bude minimalan". 
Idu}i jo{ dalje u pro{lost, Dickman (1995) postavku lokacijskog problema nalazi u Bibliji, u Starom zavetu, u Petoj knjizi Mojsijevoj (Gl. 19, 1-10) 1 : "1) Kad Gospod Bog tvoj potre narode kojih zemlju daje tebi Gospod Bog tvoj, i kad ih naslijedi{ i nasta-ni{ se po gradovima njihovijem i po ku}ama njihovijem, 2) Odvoj tri grada usred zemlje svoje koju ti daje Gospod Bog tvoj da je naslijedi{, 3) Na~ini put i razdijeli na troje krajeve zemlje svoje, koju ti da Gospod Bog tvoj u na{ljedstvo, pa neki bje`i onamo svaki krvnik, ..." 
Re{enje navedenog lokacijskog problema, ovde citiranog samo delimi~no, navodi se u Knjizi Isusa Navina (Gl. 20, 7) 2 , kao ispunjenje Bo`je zapovesti: "I odjeli{e Kedes u Galileji u gori Neftalimovoj, i Sihem u gori Jefremovoj i Kirijat-Arvu, to je Hevron u gori Judinoj". 

Sl. 1 -Biblijski lokacijski problem

Lokacijska teorija ponovo ulazi u `i`u interesovanja sa radom S. L. Hakimi (1964), koji razmatra lociranje ~vorova komunikacione mre`e i policijskih stanica na mre`i autoputeva. U tom radu Hakimi razmatra mnogo op{tiji problem lociranja jednog ili vi{e objekata na mre`i, sa ciljem minimizacije ukupnog rastojanja izme|u korisnika i njima najbli`eg objekta, ili sa ciljem minimizacije maksimalnog rastojanja od korisnika do objekta na koji su oslonjeni. 
Od sredine {ezdesetih godina pro-{log veka lokacijska teorija po~inje sve vi{e da se razvija, matematski se formuli-{u razli~iti tipovi lokacijskih problema i prezentiraju se razli~iti algoritmi za njihovo re{avanje. 

Osnovni tipovi lokacijskih problema

Respektuju}i vi{edimenzionalnost i veliki broj kriterijuma koji bi mogli biti kori{}eni pri kategorizaciji lokacijskih problema, za potrebe ovog rada izdvojeni su samo oni najzna~ajniji, i na osnovu toga u~injen je poku{aj odre|enog struktuiranja tipi~nih grupa zadataka iz domena lokacijske analize. Naravno, prikazani na~in struktuiranja lokacijskih problema nije i jedini mogu}i, niti sveobuhvatan, a neke aspekte klasifikacije lokacijskih problema detaljnije su razradili H. W. Hamacher, Nickel (1998), koji su, tako-|e, predlo`ili i jednu od mogu}ih klasifikacionih {ema. 

Stati~ki -dinami~ki lokacijski problemi

Pod stati~kim problemima podrazumevaju se formulacije kojima se ne obu-hvata dinamika promene relevantnih parametara za izbor lokacije, pa tako ni eventualna faznost u uvo|enju re{enja. Stati~ki problemi naj~e{}e su i determini-sti~ki, a treba naglasiti da je najve}i broj modela koji su u primeni upravo ovog tipa -stati~ki. Sa druge strane, dinami~ke formulacije lokacijskih problema, s obzirom na ~injenicu da su lokacijski problemi u svojoj su{tini strate{kog karaktera -dugoro~ni, poku{avaju da u analizu uklju~e i odre|en stepen neizvesnosti koji je mogu}e o~ekivati u perspektivi. Otuda je ideja ove klase lokacijskih modela da u planiranje uklju~e dinamiku pona{anja zahteva u budu}nosti. 

Kontinualni -diskretni (mre`ni) lokacijski problemi

U slu~aju kontinualnih problema izabrana lokacija mo`e biti bilo gde u oblasti dopu{tenog prostora, a u slu~aju diskretnih lokacijskih problema bira se jedna ili vi{e od skupa potencijalno raspolo`ivih lokacija. Dakle, u slu~aju kontinualnih problema broj raspolo`ivih lokacija je beskona~an, a u diskretnim problemima kona~an i unapred poznat (slika 2). 

Lociranje jednog ili vi{e objekata

Razlika u broju objekata koje je potrebno locirati direktno determini{e na~in re{avanja odnosnog lokacijskog problema. 

Postojanje -nepostojanje kapacitivnih ograni~enja

Odnosi se na postojanje ograni~enja u pogledu maksimalnog kapaciteta objekta na odre|enoj lokaciji, ili na ograni~enja kapaciteta transportnih sredstava koja realizuju tokove, {to je posebno zna~ajno za kombinovane lokacijske i ruting-probleme. 

Lokacijski, alokacijski i lokacijsko--alokacijski problemi

U su{tini, problem lociranja resursa sadr`i tri grupe potproblema: odre|ivanje broja objekata koji se lociraju, njihove pozicije na mre`i i povezivanje korisnika sa lokacijama. Lokacijski problemi ("~isti") prisutni su prevashodno u slu~aju lociranja jednog objekta, kada se svi "korisnici" oslanjaju na tu jednu izabranu lokaciju. Po pravilu, u slu~aju da je broj objekata koji se lociraju ve}i od 1, potrebno je i alocirati korisnike, tj. svakog korisnika "dodeliti" nekom od objekata. Lokacijski problem (bez alociranja korisnika) prisutan je i kod preliminarne analize skupa potencijalno raspolo`ivih lokacija, kada se problem obi~no re{ava primenom kvalitativne analize. 
Alokacijski problemi odnose se na "dodeljivanje" korisnika skladi{nim lokacijama, tj. na na~in povezivanja korisnika (ili grupe korisnika u zoni) i skladi-{nih lokacija. Jasno je da alokacija podrazumeva da su poznate lokacije korisni-ka i lokacije skladi{ta. Alokacija korisnika ~esto se realizuje na bazi najkra}eg puta, ali se optimalna alokacija, za poznate lokacije korisnika i skladi{ta, kao i za poznate tokove koji se realizuju, i poznate tro{kove transporta, uspe{no utvr-|uje re{avanjem transportnog zadatka. 
Lokacijsko-alokacijski problemi re-{avaju se u slu~aju da je potrebno locirati vi{e od jednog skladi{nog objekta. Kada je re~ o lociranju skladi{ta i lokacijskim problemima u logistici uop{te, onda je ba{ ova klasa problema naj~e{}a. Postoji izuzetno veliki broj pristupa za re{avanje ovih problema, kako u kontinualnom, tako i u diskretnom slu~aju. 

Kvalitativni i kvantitativni pristup re{avanju problema

U slu~aju da se radi o diskretnim lokacijskim problemima, koji podrazumevaju postojanje odre|enog broja raspolo-`ivih lokacija, izbor konkretne lokacije mo`e se realizovati ili na bazi kvantitativne analize -primenom nekog od modela koji naj~e{}e analiziraju transportne i skladi{ne tro{kove, ili na bazi odgova-raju}e kvalitativne analize. Kvalitativna analiza mo`e se sprovesti tehnikom "check list", ali i kori{}enjem neke od tehnika vi{ekriterijumske analize. 

Sl. 2 -Kontinualni i diskretni lokacijski problemi


Jednoe{elonski i multie{elonski problemi

Multie{elonski problemi uvek podrazumevaju tokove izme|u objekata na pojedinim nivoima, a jednoe{elonski sistemi mogu, ali i ne moraju da podrazumevaju interakciju -realizaciju robnih tokova izme|u objekata. Tako vi{ee{elonski skladi{ni sistemi podrazumevaju, u su{tini, postojanje hijerarhijski ure|enog sistema skladi{ta koja su organizovana po nivoima -centralno, regionalna,... Pri tome, skladi{ta jednog nivoa snabdevaju ona sa slede}eg ni`eg. 

Problemi lociranja habova

Primeri hab-mre`a mogu se prona}i u sistemima za isporuku ekspres po{iljki, kod avio i drumskih prevoznika, kao i u razli~itim ra~unarskim i telekomunikacionim mre`ama. Modeli lociranja habova razlikuju se od ostalih tipova lokacijskih problema i po tome {to se zahtevi defini-{u kao tokovi izme|u ~vorova, a ne kao u slu~aju konvencionalnih diskretnih lokacijskih problema. Hab-mre`e uklju~uju tri tipa ~vorova: izvore, destinacije i habove, kao i lukove preko kojih se realizu-ju transportni tokovi. Mre`e ovog tipa obezbe|uju povezivanje izvori{nih i od-redi{nih ~vorova rutiranjem tokova preko habova. Op{ti tip hab-lokacijskog problema uklju~uje lociranje habova i definisanje ruta za transportne tokove izme|u iz-vori{nih i odredi{nih ~vorova. 

Jednokriterijumski i vi{ekriterijumski problemi

[irok spektar raspolo`ivih tehnika operacionih istra`ivanja i metoda podr{ke odlu~ivanju nudi mogu}nost tra`enja optimalnog re{enja u prostoru jednog ili vi{e kriterijuma, pa su s tim povezane i razli~ite formulacije lokacijskih problema. 

Problemi medijan, centar i anticentar

Za razumevanje su{tinske razlike iz-me|u ova tri tipa problema, odnosno tri tipa ciljne funkcije, mo`da je najjednostavnije iskoristiti primer koji navodi Goetschalckh (2000), defini{u}i ove tri ka-rakteristi~ne ta~ke na brojnoj osi (slika 5). 
Problem medijan ili "minisum" ozna~ava pristup u kojem se ciljna funkcija formira tako da se lociranje objekta realizuje na bazi minimizacije srednjeg rastojanja -tro{kova objekta koji se locira i korisnika: ( ) 
j j C X x           ∑
Ovaj pristup naj~e{}i je u logistici i primenjuje se pri re{avanju najve}eg broja lokacijskih problema. 
Problem centar ili "minimax" ozna-~ava pristup u kojem se ciljna funkcija formira tako da se lociranje skladi{ta realizuje na bazi minimizacije rastojanja do najudaljenijeg korisnika: 
{ ( )} min max j x j C X
Tipi~an primer su problemi lociranja stanice hitne pomo}i, vatrogasne jedinice, kao i skladi{ta u nekom servisnom centru. 
Anticentar ili "maximin" ozna~ava pristup u kojem se ciljna funkcija formira tako da se lociranje skladi{ta realizuje na bazi maksimizacije rastojanja do najbli-`eg korisnika. 

{ ( )}

max min j j x C X Tipi~an primer su problemi lociranja deponija za otpad, skladi{ta opasnih roba i sli~no. 
Ukoliko se uz navedene kriterijume klasifikacije uo~i da je pri re{avanju problema mogu}e koristiti i razli~ite algoritme -tehnike (matemati~ko programiranje, analiti~ke metode, grafi~ke metode, hibridne tehnike i heuristike), nazna~ena vi{ezna~nost, kompleksnost i prisustvo razli~itih klasa lokacijskih problema postaje o~igledna. 

Formulacija i na~in re{avanja lokacijskih problema


Pristupi re{avanju lokacijskih problema

U principu, tehnike re{avanja lokacijskih problema zasnivaju se, naj~e{}e, na minimizaciji ponderisanih transportnih tro{kova (vremena, distance) od objekta koji se locira do korisnika, pri ~emu se tro{kovi gradnje objekta na od-re|enoj lokaciji ponekad uklju~uju u analizu, a ponekad ne. 
Generalno gledano, re{avanje lokacijskih problema u principu je povezano sa obimnim i kompleksnim utvr|ivanjem i analizama podataka. U praksi, mnogi faktori uti~u na izbor lokacije, a ovde su navedeni neki od najzna~ajnijih, prema Heragu (1997): blizina izvoru sirovina; tro{kovi i raspolo`ivost priklju~aka na elektri~nu mre`u; tro{kovi, raspolo`ivost, obu~enost i produktivnost radne snage; zakonska regulativa na saveznom, repu-bli~kom regionalnom i lokalnom nivou; porezi i takse na saveznom, republi~kom regionalnom i lokalnom nivou; osiguranje; tro{kovi i cena gradnje; politi~ka stabilnost; fluktuacija kursa; uvozno-izvozna regulativa, porezi i takse; transportni sistem; regulativa u oblasti za{tite okoli- Sl. 5 -Pozicije medijane, centra i anticentra na brojnoj osi sa "zahtevima" jednakim brojnim vrednostima u ta~kama 0, 5, 6 i 7 ne; javni servisi -{kole, bolnice, objekti za rekreaciju; ostali servisi; klima; udaljenost korisnika; poslovna klima; faktori vezani za konkurenciju. Poznavanje samo optimizacionih metoda lokacijske analize naj~e{}e nije dovoljno za odre|ivanje lokacije logisti~kog sistema, ali primena tih metoda obez-be|uje kvalitetnu podlogu za izbor lokacije, posebno ako se i pomenuti kriterijumi uklju~e u analizu. Kako definisanje pozicije nekog objekta unutar nekog geografskog podru~ja nije dovoljno za instalaciju tog sistema, u literaturi se problem izbora optimalne lokacije, po pravilu, ra{~lanjuje u tri faze (Freese, T., 1994): 
-makroanaliza (koja ima za cilj odre-|ivanje broja i pribli`ne lokacije skladi{ta), -mikroanaliza (bli`e odre|ivanje lokacije -u`e podru~je, deo grada,...), -precizan izbor lokacije (veoma detaljna analiza sa razli~itih aspekata, na osnovu koje se donosi odluka). 
Za formulisanje i re{avanje lokacijskih problema na raspolaganju je veliki broj razli~itih pristupa i metoda: 
-intuitivni pristup (~esto se primenjuje, premda se ne mo`e govoriti o unificiranom pristupu. Dolaze do izra`aja intuicija, pronicljivost, iskustvo i li~na sposobnost, a kao podr{ka koriste se jednostavni prora~uni. Sve ono {to veoma te{ko mo`e biti uklju~eno u model -subjektivni faktori, izuzeci, ograni~enja,... uzima se u obzir kroz grubu analizu, pa su rezultati ~esto zadovoljavaju}i. Ovaj pristup ~esto se koristi i kao jedna od faza u izboru lokacije, uz primenu neke egzaktnije tehnike); 
-simulacioni modeli (s obzirom na to da je re~ o univerzalnoj tehnici koja podrazumeva sprovo|enje eksperimenta na modelu, simulacija se koristi i kao alat za re{avanje lokacijskih problema. Pristup se svodi na simulaciju razli~itih "scenarija", tj. razli~itih konfiguracija sistema i dozvoljava respektovanje stoha-sti~nosti, kao i drugih specifi~nosti ili detalja. Postoje i gotovi softverski paketi LREPS, LOCATE, LSD,...); 
-heuristike (kao tehnike za utvr|ivanje zadovoljavaju}ih re{enja obezbe|uju re{avanje kompleksnih lokacijskih modela koji uklju~uju ve}i broj parametara, a jedine su tehnike koje obezbe|uju re{avanje problema ve}ih dimenzija -lociranje vi{e objekata u slu~aju kada je prisutan veliki broj potencijalnih lokacija); 
-optimizacioni modeli (garantuju najbolje re{enje u odnosu na postavljenu funkciju cilja, a bazirani su na optimizaciji odnosa transportnih i tro{kova skladi-{tenja. Postoji izuzetno veliki broj razli-~itih modela: gravitacioni model, p-median problem, ... koji mogu biti re{avani kao LP, mre`ni problemi, problemi dina-mi~kog programiranja,...); -ekspertni sistemi (kompjuterski programi bazirani na ve{ta~koj inteligenciji koji, koriste}i bazu ekspertskog znanja, re{avaju probleme sli~no ekspertskom timu. Popularnost ovih programa raste, mada se ~esto ekspertskim sistemom nazivaju i programi koji nisu bazirani na konceptu ve{ta~ke inteligencije); -sistemi za podr{ku odlu~ivanju (kombinacija baze podataka sa razli~itim alatima i tehnikama modeliranja, prora~una i evaluacije jeste ono {to se danas naziva sistemom za podr{ku odlu~ivanju. Re~ je o programima koji sadr`e odgovaraju}e baze podataka, ali i neke od optimizacionih metoda ili heuristi~kih tehnika). 

Metode za re{avanje lokacijskih problema

Imaju}i u vidu prethodno izlo`ene op{te principe re{avanja lokacijskih problema o~igledno je da je, generalno uzev{i, na raspolaganju {irok spektar mo-gu}ih metoda pristupa, optimizacionih i heuristi~kih tehnika. Me|utim, mogu}e je izdvojiti i one metode koje su naj~e{}e u primeni, koje imaju fundamentalni zna-~aj u ovoj oblasti, i koje najbolje ilustruju samu ideju formulacije i pristupa re{avanju lokacijskih problema. Tako, na primer, S. H. Owen i Daskin M. (1998) u kategoriji diskretnih modela razmatraju "medijan problem", "problem pokrivanja" 3 , "problem centra", kao i neke modifikacije ovih pristupa za slu~ajeve re{avanja stohasti~kih, odnosno uop{te dina-mi~kih problema. Tako|e, u kategoriji kontinualnih modela, u literaturi se ~esto prezentira gravitacioni model za izbor lokacije jednog objekta. 

Gravitacioni model za odre|ivanje lokacije jednog objekta u kontinualnom slu~aju

Ideja algoritma je u izboru lokacije objekta na bazi nala`enja te`i{ta, koje se utvr|uje na bazi minimalnog transportnog rada (proizvod ukupnih zahteva korisnika i rastojanja do objekta koji se locira). Pri tome, lokacija objekta mo`e biti bilo gde u prostoru na kojem se nalaze korisnici. 
Jedan od pristupa koji pojednostavljuje prora~un jeste da se euklidsko rastojanje do nepoznate lokacije te`i{ta sa koordinatama (X, Y) aproksimira kva-__________ 3 Set covering problems. dratom tog rastojanja. Tada se te`i{te od-re|uje iz uslova da funkcija cilja dostigne minimum u ta~kama (X, Y): 
( ) 2 2 1 , ( ) ( ) 
n i i i i F X Y Q X X Y Y =   = ⋅ - + -   ∑
Mo`e se pokazati da je, nakon diferenciranja prethodnog izraza po nepoznatim koordinatama, lokaciju objekta koji je potrebno pozicionirati mogu}e utvrditi na osnovu slede}eg izraza: 
1 1 1 1 , n n i i i i i i n n i i i i Q X Q Y X Y Q Q = = = = ⋅ ⋅ = = ∑ ∑ ∑ ∑
Ukoliko se koristi funkcija cilja sa euklidskim rastojanjem, a ne kvadratom tog rastojanja, tada izvodi na obe strane jednakosti sadr`e i nepoznate koordinate (X, Y), pa se problem re{ava iteracijom (tzv. Weiszfeldov metod). 

Problem lociranja skladi{ta p-median

Jedna od najjednostavnijih, ali za logistiku veoma va`nih formulacija loka- 
(X,Y) Q i , (X i ,Y i ) i Sl. 6 -Gravitacioni model
cijskog problema je Hakimijeva formulacija p-median problema: razmotrimo skup od n korisnika prostorno disperzovanih u regionu. Problem je kako izabrati lokacije p identi~nih skladi{ta koji opslu`uje dati skup korisnika. Pretpostavlja se da postoji ≥ m p potencijalnih lokacija skladi{ta. Nakon {to se svih p skladi{ta locira, svaki od n korisnika opslu`iva}e se iz njemu najbli`eg skladi{ta; sa jednom od najpoznatijih matema-ti~kih formulacija ovog problema: razmotrimo neorijentisani graf G = (N, A) sa m ~vorova. Neka a i ozna-~ava broj zahteva za opslugom ~vora i. Neka d ij ozna~ava rastojanje izme|u ~vorova i i j, a p broj objekata koje je potrebno locirati. Objekti mogu biti locirani u bilo kom od m ~vorova. 

Uvedimo

1, 0, ij i se opslu`uje preko j x u suprotnom 

 =  

Kako je cilj da se minimizira ukupni pre|eni put, p-median problem formulisan je kao: 
1 1 = = = ∑∑ m m i ij ij i j MinF a d x pri ograni~enjima: 1 1, 1, 2,...., = = = ∑ m ij j x i m 1 = = ∑ m jj j x p , , 1,2,.... ; ≥ = jj ij x x i j m i j { } 0,1 , , 1, 2,.... ; ij x i j m ∈ =

Generalizovani p-median problem

Za razliku od Hakimijeve formulacije p-median problema, u uobi~ajenoj postavci lokacijsko-alokacijskog problema respektuju se i tro{kovi "otvaranja" skladi{ta na lokaciji. Tako|e, ograni~enjima se defini{e da li se korisnik snabdeva isklju~ivo iz jednog skladi{ta ili se to ~ini sa vi{e lokacija: 
1 1 1 = = = → ⋅ + ⋅ ∑ ∑∑ m m n i i ij ij j i j Min F y c x uz ograni~enja: 1 1,2,..., = = = ∑ m ij j j x D j n 1 1 1, 2,..., = = ≤ ⋅ = ∑ ∑ n n ij i j j j x y D i m 0 1,2,..., 1, 2,..., ≥ = = ij x i m j n { } 0,1 1, 2,..., ∈ = i y i m
gde je: m -broj potencijalnih lokacija, n -broj korisnika, c ij -tro{kovi transporta jedne jedinice od skladi{ta i do korisnika j, F i -fiksni tro{kovi otvaranja i rada skla-di{ta i, D j -broj jedinica koje zahteva korisnik j, x ij -broj jedinica koje se isporu~uju iz skladi{ta i do korisnika j, y i -1 ako je skladi{te i otvoreno, 0 u suprotnom. 
Formulisani problem predstavlja tzv. Miks celobrojni problem linearnog programiranja i ~esto mu se oblik modifikuje i prilago|ava primeni nekog od metoda za re{avanje LP problema. Tako se problem re{ava primenom tehnike grananja i ograni~avanja (branch and bound), zatim Lagran`eovom relaksacijom, Erlenkoterovom dual ascent procedurom, kao i primenom nekih heuristika. 

Problem pokrivanja skupa (set covering problem)

Ovaj pristup uobi~ajen je za re{avanje problema u slu~ajevima kada je neophodno obezbediti da svaki korisnik bude "pokriven" (covered), tj. opslu`ivan sa najmanje jedne lokacije. Re{avanje ovog tipa problema tipi~no je za slu~aj lociranja vatrogasnih stanica, domova zdravlja, policijskih stanica, studentskih domova, skladi{ta maloprodajne mre-`e,... Ciljna funkcija minimizira tro{kove lociranja zahtevanog broja objekata. Problemi ovog tipa re{avaju se, naj-~e{}e, tehnikom grananja i ograni~avanja (branch and bound), ali je za probleme ve}ih dimenzija potrebno anga`ovati znatno ra~unarsko vreme. Od heuristika je ~esto u upotrebi greedy algorithm ("gramzivi" algoritam). 

Specifi~ni lokacijski problemi i vojne primene

U zavisnosti od konkretnih zahteva koje generi{e realizacija logisti~kih procesa problemi lociranja razli~itih resursa mogu zahtevati specifi~ne pristupe. Kao ilustracija, prezentirane su neke od tih specifi~nih primena teorije lokacije. 

Problem lociranja depoa za prazne kontejnere kao lokacijski problem sa balansnim zahtevima

Posledica kori{}enja povratnih logi-sti~kih jedinica jeste neophodnost aktiviranja kompleksnih procesa koji obuhvataju {irok spektar razli~itih zadataka, od kojih posebno mesto zauzima izbor lokacija depoa za prazne kontejnere. Cilj je obezbe|enje dopreme praznih jedinica od korisnika i zadovoljenje tra`nje za praznim kontejnerima -i jedno i drugo uz minimalne tro{kove. Specifi~nost ovog problema jeste ~injenica da tokovi kontejnera, u ovom slu~aju postoje ne samo izme|u korisnika i depoa ve} i izme-|u depoa radi realizacije balansnih zahteva koji su posledica neravnomernosti ponude i tra`nje praznih kontejnera u gravitacionim zonama pojedinih depoa. 
Ovaj problem, u slu~aju determini-sti~ke tra`nje, formulisali su Crainic, De-jax i Delorne (1989), kao "obi~an lokacijsko-alokacijski problem sa balansnim zahtevima i vi{e artikala". Autori prepo-ru~uju nekoliko formulacija ovog problema, a jedna od osnovnih ideja je problem minimalnog toka kroz mre`u. 
M. Vidovi}, H. Hwangu, K. H. Kim (2003) uop{tavaju ovaj zadatak i tretiraju ga kao lokacijski-ruting problem sa balansnim zahtevima, {to podrazumeva primenu na sistemima za male kontejnere i palete. Pri tome se koristi modifikovana postavka problema Crainic, Dejax i Delorne (1989), kombinovana sa formulacijom lokacijskog-ruting problema Tuzua and Burke (1999), a re{enje je utvr|eno primenom genetskog algoritma. 

Odre|ivanje kapaciteta i lokacije vojnog centra za hitnu medicinsku pomo}

Jedan od primera primene lokacijske teorije u optimizaciji prostornog rasporeda resursa medicinske za{tite u regionu, pod dejstvom hemijskih agensa ili fizi~kog napada, razmatra R. S. Segall (2000). U radu se razmatra {est scenarija rasporeda vojnih stanica hitne medicinske pomo}i, u slu~aju kada su poznate raspodele zahteva za tom vrstom pomo}i unutar odre|ene teritorije. 

Lociranje novih objekata i racionalizacija postoje}ih kompleksa za sme{taj opasnih materija klase 1

Kao rezultat re{avanja realnih problema lociranja objekata za sme{taj opasnih materija klase 1 (eksplozivne materije, prema klasifikaciji UN), radni tim Od-seka za logistiku Saobra}ajnog fakulteta razvio je nekoliko lokacijskih modela koji su uspe{no primenjivani na optimizaciji realnih problema. Posebno se mogu izdvojiti dve grupe modela. Model za definisanje optimalne strukture novih skladi-{nih objekata (S. Vuki}evi}, M. Milju{, 1994) i modeli za optimizaciju broja i rasporeda objekata u postoje}im kompleksima (M. Vidovi}, S. Cveti}, 1996). 
U prvom modelu za definisanu koli-~inu materija koju je potrebno smestiti u kompleks, primenom modela LP defini{e se raspored objekata uz respektovanje potrebnih bezbednosnih rastojanja, pri ~emu funkcija cilja minimizira investicije u objekte, saobra}ajnice i o~ekivanu {tetu, koja se defini{e preko verovatno}a uni{tenja pri razli~itim vrstama napada na objekte. U okviru re{avanja problema optimizacije postoje}e strukture objekata razvijena su dva heuristi~ka modela. Jedan koji se bavi optimizacijom strukture objekata namenjenih za sme{taj materija ~ije se prostorno dejstvo opisuje preko doleta, i drugi koji respektuje materije ~ije se dejstvo opisuje eksplozijom u masi, {to podrazumeva prisustvo nelinearne funkcije koja determini{e potrebno minimalno rastojanje me|u objektima. 

Zaklju~ak

U radu su na sa`et na~in predstavljene osnovne postavke lokacijske teorije koja danas, bez ikakve sumnje, predstavlja jednu od najrazvijenijih oblasti, kako operacionih istra`ivanja, tako i stra-te{kog planiranja. Kompleksnost problema koji se tretiraju u okviru lokacijske analize i obimnost materije koja je evi- 

__________1

  Sveto pismo Staroga i Novoga zavjeta, u prevodu \. Dani~i}a (Stari zavjet) i Vuka S. Karad`i}a (Novi zavjet), Izdanje britanskog i inostranog biblijskog dru{tva 1985. 


dentna ve} i po broju do sada publikovanih radova, govore da ovim radom nije mogao biti obuhva}en ~itav niz zadataka koji postoje u literaturi, ali i u realnim lo-gisti~kim sistemima. Ipak, i ovakav prikaz lokacijske teorije dovoljan je razlog za samostalno istra`ivanje ove oblasti, pri ~emu zna~ajnu pomo} mo`e pru`iti navedena literatura.
LOKACIJSKI PROBLEMI -ZNA^AJ, VRSTE I NA^INI RE[AVANJA