2019 年你的数学研究有什么收获和感悟？
谢邀。 没啥实质进展，还在找问题阶段。之前在 @汪湜 建议下读了一些凸球面上测地流的文章，比如arXiv:1601.07079，但是本人在动力系统方面几乎是零基础，细节读不懂也不清楚这里面的研究动机是什么，更关键的是不知道这里面还有什么可以做的问题。急需一位动力系统测地流方面的大佬带入门。 然后前几天还在一些应数学者的建议下看一篇流形优化的文章（arXiv:1906.05450）。我不排斥做应用，但是实事求是地说，我确实编程能力几乎为0，只能做一些数学理论推导。如果真的有涉及微分几何的应用工作可以合作，但是不要对一个纯数学生的工程学科知识有过高期待（捂脸）你懂多少数学，我就懂多少工程（泪目） 正曲率的问题先放一放，可能会回过头复习一篇正曲率流形上foliation的文章。6维流形那个具体问题，没有人感兴趣合作不打算继续弄了，一个人折腾一个又难又没人感兴趣的问题不是什么愉快的过程。而且说实话，做不做得出问题来还是要看方法是否成熟。Ricci flow出来以前3维庞加莱猜想就是hopeless，跟人聪不聪明没关系。现在正曲率群作用那套工具，他的能力就是有限的，拼命往里做也只能做出一些越来越琐碎的小结果，没太大意思。本质困难是这套方法克服不了的。年轻人还是应该去做活跃一点的领域，因为活跃的领域问题多，工具也多。
科研做不动，来瞎扯两句。 2019年还是在做复动力系统中Fatou component和非一致双曲性的工作。我们现在能够处理一大类skew product的情形（在测度意义下，几乎所有的系统），以及C^2上多项式在无穷远处的情况。这个方向最终的picture应该是说如果P^2上的动力系统有一个attracting set，并且1. 或者收敛速度足够快 2.或者通过parameter exclusion筛出一个正测度的参数集，那么我们应该可以完全理解attracting basin里的动力系统。不过这个最终的picture证明起来应该非常难。 同时正在写一个关于post critically finite map的文章。我们希望不仅描述Fatou集，还能够描述J_k\J_{k+1}，也就是第k个Julia集和第k-1个Julia集之间会发生什么。同时我们还可以描述ergodic measure的Lyapunov exponent。 再说说我最近感兴趣的别人的工作吧！首先是二维renormalization理论的发展，最开始有Lyubich-Martens的奠基性工作，最近Berger-Turaev利用renormalizatio解决了Herman正熵猜想，复动力系统方面也有Yampolsky-Yang的工作。个人觉得这里面应该有很多工作可以做。 再有就是复动力系统中的刚性问题。最近Fillip-Tosatti利用Ricci-flat metric重新证明了Cantat-Dupont证明的K3曲面动力系统的Kummer rigidity：一个K3曲面的automorphism，如果它的最大熵测度关于Lebesgue绝对连续，那么这个K3曲面一定是Kummer’s example。此外张寿武提出的Dynamical Manin-Mumford也算是刚性问题，关于Henon map的Dynamical Manin-Mumford被Dujardin-Favre部分解决。这个猜想是说，对于Henon map，除了一些很特殊的情况(reversible map)，那么不存在一条曲线上有无穷多周期点。在Dujardin-Favre的工作中我们既要用到复解析工具，也要用到non-archimedian的结果。不过这个问题的最终解决，可能会涉及到关于saddle point的unstable manifold的细致分析。 此外复动力系统中最近有不少反例被构造出来，构造的思路大都来源于homoclinic tangencie和blender。比如我们可以构造参数空间bifurcation locus里的开集 (Dujardin/Taflin)，以及Henon map的wandering Fatou component (Berger-Bieber)。 限于篇幅，就先瞎扯到这吧。