human
私は2つの簡単な数字と他の2つの簡単な数字を思いつきました、私は変更しました - 同じことです！数字理論の部門の従業員は、「そしてどのリングで？」と尋ねました。私が答えたそれに - 
gpt
残念ながら、私はあなたが数字理論局の従業員に正確に答えたことを知ることができません。（これは、準備のレベル、この従業員との関係、現在の目標、または単なる気分など、多くの状況に依存する可能性があります。）しかし、説明した状況は、非工事（非new）リングで可能です。
human
理解できる言語で、非因果的なリングとは何かを説明できますか？
gpt
それは、一般代数の主要な構造と条件があなたにとってどれだけ馴染みがあり、理解できるかに依存します。あなたの最初の質問から判断すると、あなたはそれらに導かれます（理論的にだけでなく、実際に）。そうすれば、次の説明はおそらく明確になるでしょう。

非事実上のリングの下で​​、私は、要因の特性に違反する全体的なリング、つまり明確な（ダブボーンの順序を正確に）、不可逆的な要素の無知な要素の作業に崩壊するという全体的なリングを念頭に置いていました。

念のため、ユニットの除数ではない要素が不可逆的であることを思い出させます（整数のリングでは、すべて±1を除いてすべて同じです）、および不可逆的な要素の作業では卑劣な不必要な要素は（±シンプル）。

実際には、同じ数字を異なる方法で単純な（より正確に無知）数の作品の形で表すことができる場合、あなたが与えた状況 - これは、因子リングの決定特性の違反の例です。

一般的に、「非因果」は否定にすぎません。「因子ではない」（「非共有」、「非凝固」などの言葉と類似して）。これを別の意味のある概念として認識しないでください。（しかし、それは美しいように聞こえますか？）
human
数学から遠く離れている人でさえ彼を理解しているように説明できますか？
gpt
Я попробую, но не обещаю, что  получится (Вы же, вероятно, знаете, что на момент написания этих слов я ещё понятия не имею, что буду писать дальше? Таковы уж языковые модели…)

Есть в математике раздел, называемый *общей алгеброй*. Он посвящён изучению *алгебраических систем*, в том числе *алгебр*. (Да, алгебра — это не только школьный предмет, но и предмет изучения алгебраистов; в этом значении её можно назвать для уточнения «универсальной алгеброй».)

**Алгебра** — это «комплект» из *множества* и заданных на нём *операций*. Что такое *множество*, никто в точности определить не может; это базовое неопределимое понятие, считающееся самоочевидным (как точки и прямые в геометрии Евклида), хотя, конечно, ничего особо очевидного в нём нет (в чём на своём горьком опыте убедились математики в конце XIX века). Сущность множества поясняется примерно так: «набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества». В общем, это примерно то же самое, что я чуть выше назвала «комплектом» — нечто, собранное воедино. *Операция* же — это способ сопоставить набору элементов множества (аргументам) определённого элемента (значения). В зависимости от числа аргументов операции могут быть *унарными* (один аргумент), *бинарными* (два), *тернарными* и т. д. Поскольку уровень абстракции уже зашкаливает (и я совершенно не питаю иллюзий, что далёкий от математики человек сходу поймёт этот абзац), время перейти к примерам.

- Примеры множеств:
    - множество {3, 5, 7}, состоящее из трёх элементов: тройки, пятёрки и семёрки;
    - множество {0, 1, 2, 3, …}, состоящее из всех натуральных чисел;
    - множество {π}, состоящее из одного элемента — числа π;
    - множество {}, не содержащее никаких элементов.
- Примеры операций:
    - бинарная операция сложения, сопоставляющая двум слагаемым их сумму: 3 + 7 = 10;
    - бинарная операция умножения, сопоставляющая множителям их произведение: 3 × 7 = 21;
    - унарная операция возведения в квадрат, сопоставляющая числу его квадрат: 3² = 9, 5² = 25;
    - унарная(?) операция «обнуления»: при любом значении аргумента всегда даёт значение ноль.

Теперь попробуйте перечитать предыдущий абзац. Он должен чудесным образом стать более понятным. Повторю: алгебра — это «комплект» из множества и заданных на нём операций. Важные примеры алгебр — *группы*, *кольца* и *поля*. Да-да, я всё это затеяла лишь для того, чтобы пояснить, что такое кольцо. Но для начала давайте посмотрим, что такое группа, поскольку это более простой объект.

**Группа** — это алгебра с одной бинарной операцией • (проще некуда, правда?), определяемая тремя условиями:

1. *ассоциативность* операции • (независимость результата от порядка её применения):
    - для любых элементов группы *a*, *b* и *c* верно равенство (*a* • *b*) • *c* = *a* • (*b* • *c*);
2. *нейтральный* элемент: в группе есть элемент *e*, не меняющий другие элементы:
    - для любого элемента *a* верно равенство *e* • *a* = *a* • *e* = *a*;
3. *обратимость* элементов:
    - для любого элемента *a* найдётся элемент *a*', такой что *a* • *a*' = *a*' • *a* = *e*.

Примеры групп:
- множество всех целых чисел с операцией сложения;
- множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения;
- множество из одного числа 0 и операцией+: 0 + 0 = 0 (почему бы и нет?);
- множество {0, 1} с операцией +: 0 — нейтральный элемент, 1 + 1 = 0.

Если вы ещё со мной, то мы, наконец-таки, добрались до ~конца~ кольца. Кольцо — это ещё одна алгебра, только в ней не одна, а две бинарных операции и вдвое больше аксиом. Впрочем, если вы разобрались в написанном выше, то вам теперь должно быть легко понять определение, приведённое в Википедии: [📜](https://ru.wikipedia.org/wiki/Кольцо_(математика)#Определение). Детали сейчас не важны. Главное, что в кольце определены операции сложения и умножения, «по свойствам похожие на соответствующие операции над числами». (Кстати, по сложению кольцо является группой, а вот по умножению — «не совсем».)

Есть ещё две разновидности колец, в которых эти операции ещё больше «похожи на операции над числами».
- Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения коммутативна, то есть произведение *a*×*b* всегда равно произведению  *b*×*a*.
- Целостное кольцо — это коммутативное кольцо без делителей нуля, то есть произведение никакой пары ненулевых элементов не равно нулю.

И вот теперь, наконец, появляется возможность вернуться к нашему изначальному вопросу о факториальности. Факториальное кольцо — это такое целостное кольцо, в котором любой *необратимый* элемент можно однозначно (с точностью до порядка сомножителей) разложить в произведение *неприводимых* элементов. Под необратимым элементом подразумевается элемент, который при умножении никогда не даёт единицу. Неприводимым же называется ненулевой элемент, неразложимый в произведение необратимых элементов. Другими словами, в факториальном кольце каждый ненулевой элемент либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов (с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент).

Если предыдущий абзац непонятен, не расстраивайтесь (и я тоже попробую). Это действительно некоторая головоломка, которую сходу не понять. Но если изучать материал последовательно (примерно в том направлении, как я попыталась выше изложить), да ещё разбирать всякие примеры, задачки решать, то в итоге что-то вроде определения факториальной группы будет восприниматься настолько же естественно, как утверждение, что трёхколёсным велосипедом называется велосипед с тремя колёсами.

Вне зависимости от того, удалось ли вам достичь такого уровня «просветления», спешу вас успокоить: кольцо целых чисел является факториальным. [Основная теорема арифметики](https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_арифметики) гарантирует, что разложение на простые множители всегда однозначно (с точностью до порядка их следования). Так что, строго говоря, не могли вы получить два разных разложения на *простые* числа. Но могли получить различные факторизации элемента некоторого кольца, не являющегося факториальным. 💍