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私は、有限要素分析のためにポッドガラーキン削減注文モデルを実装しようとしています。方法を詳細に説明できますか？質量マトリックスを使用したスカラー積の定義から始めて、PODを説明し、最終的に縮小ベースで線形および非線形演算子を投影する方法を説明します。
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適切な直交分解（POD）ガラーキン削減順序モデル（ROM）は、元の問題のより低次元近似を構築することにより、有限要素分析の計算コストを削減する方法です。

Pod Galerkin ROMを構築する最初のステップは、質量マトリックスを使用してスカラー製品を定義することです。これは、通常、対象ドメイン上の2つの機能の積の積分によって与えられます。このスカラー製品は、高次元ソリューションを低次元サブスペースにマッピングする投影演算子を構築するために使用されます。投影演算子は、低次元のサブスペースに及ぶ一連のオルソーマル関数で構成される還元基盤を構築するために使用されます。

次のステップは、縮小ベースを使用して、線形および非線形演算子を低次元サブスペースに投影することです。線形演算子は、正確に縮小ベースに投影できますが、非線形演算子はガラーキン投影を使用して近似する必要があります。Galerkinプロジェクションには、各関数で非線形演算子のスカラー積を縮小ベースで計算し、結果を縮小ベースに投影することが含まれます。

線形および非線形演算子が縮小ベースに投影されると、それらを組み合わせて方程式の縮小システムを形成できます。このシステムは、自由度がはるかに少ないため、元のシステムよりもはるかに効率的に解決できます。還元システムのソリューションは、投影演算子を使用して高次元ソリューションに戻すことができます。