human
Eを規範的な空間とバナッハ空間とします。eからfまでの境界線形演算子のセット（適切な操作とフィールドに関してすでにベクトル空間になると想定できる）は、オペレーターのノルムを装備していることもバナッハ空間であることを証明します。
gpt
b（e、f）によってeからfまでの境界線形演算子のセットを示しましょう。b（e、f）がオペレーターの規範に関して完全であることを示す必要があります。（TN）をB（E、F）のコーシーシーケンスとします。次に、任意のε> 0には、すべてのn、m≥nについて、|| tn -tm ||を持つようにnが存在します。<ε。

ここで、x∈Eを任意で固定します。次に、|| tnx -tmx ||を持っています≤|| tn -tm |||| x ||<ε|| x ||。これは、（TNX）がFのCauchyシーケンスであることを示しています。Fはバナッハ空間であるため、（TNX）がいくつかの要素Tx∈Fに収束することを示しています。

TX = LIM（TNX）で定義されたMAP T：E→Fは、境界線形演算子であり、オペレーターノルムのTN→TがTN→Tであると主張しています。

Tの線形性は、各TNの線形性と、制限が線形操作を維持するという事実から続きます。tが境界に囲まれていることを確認するには、任意のn≥nおよびx∈Eの場合、|| tx ||を持っていることに注意してください。= lim（|| tnx ||）≤lim（|| tn -tn || || x || + || tnx ||）≤ε|| x ||+ || tnx ||。|| x ||ですべてのxの上で最高のxを撮影します= 1は|| t ||を示しています≤ε + || tn ||<∞。

最後に、オペレーターの標準でTN→Tを示しましょう。任意のn≥nおよびx∈Eについて
    ||| tx -tnx |||
    = ||| lim（tmx）-tnx |||
    ≤lim（| | | tmx -tnx | | |
    ≤lim（| | |（tm-tn）x | | |
    ≤lim（| |（tm-tn）| *| x |）
    = 0

これは、任意のn≥nについて私たちが持っていることを示しています
    max {0 <= k <= n}（| |（tk-t）||）
    <= max {0 <= k <= n}（| |（tk-t）||） +ε

これはすべてのε> 0に保持されるため、操作者の標準ではk→∞であることがわかります。

したがって、b（e、f）のすべてのコーシーシーケンスがb（e、f）の要素に収束するため、b（e、f）は演算子の標準、したがってバナッハ空間に関して完全であることを示しました。
human
これを素人の言葉で説明できますか？
gpt
もちろん！「境界線形演算子」と呼ばれる特定の関数が完全な空間であることを示したいと思います。これを行うには、arbitrarily意的に近づくこれらの関数のシーケンスがある場合、それらがすべて収束する関数があることを証明する必要があります。

このようなシーケンスがあると仮定することから始め、それが何らかの関数に収束することを示したいと思います。これらの関数を固定点に適用したときに何が起こるかを検討することにより、これを行います。いくつかの数学的トリックを使用して、このポイントの出力のシーケンス自体が何らかの価値に収束するシーケンスであることを示します。次に、これを使用して、元の一連の関数が特定の関数に収束する必要があることを示します。

最後に、この制限関数自体が境界線形演算子であることを示します。つまり、特定の数学的特性を満たすことを意味します。これらすべてをまとめると、一連の関数は完全なスペースであると結論付けます。