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クローン（代数）とは何ですか？
gpt
代数学においてクローンとは、与えられた集合に対する演算の集合のことで、合成のもとで閉じており、すべての射影写像を含む。

より具体的には、Sを空でない集合とし、Ar(S)をSの要素のすべての有限列の集合とする：

1.fとgがクローン内の演算である場合、合成fgもクローン内にある。
2.2.S中のすべての要素aについて、射影写像P(a)はクローン中にあり、ここでP(a)(x)=aはS中のすべてのxについてある。

クローンの概念は代数的構造の研究、特に普遍代数において重要であり、群、環、場のような代数的構造を定義し、その性質を研究するために用いられる。
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セットにクローンの例を挙げてもらえますか？
gpt
確かに、これはセット上のクローンの例だ：

Sを実数の集合とし、演算{+, -, ×}の集合によって生成されるクローンをCとする。

Cはクローンの性質を満たすので、S上のクローンである：

- 例えば、(x + y) - zは足し算と引き算の合成であり、どちらもCに含まれるので、(x + y) - zもCに含まれる。
- 例えば、P(1)(x) = Sのすべてのxに対して1なので、P(1)はCにある。

つまりCは、足し算、引き算、掛け算の3つの基本的な算術演算を含むS上のクローンである。
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代数のクローンの概念を最初に発見したのは誰ですか？その歴史は何ですか？
gpt
代数におけるクローンの概念は、1950年代にハンガリーの数学者であるアルフレドレニによって最初に導入されました。抽象的な代数システムに関するポーランドの数学者カジミエルツ・クラトフスキーによる以前の研究の上に構築されたクローンに関するレニーの研究。

クローンとその特性の研究は、それ以来、代数と普遍的な代数の研究の重要な分野となり、論理、オートマトン理論、コンピューターサイエンスなどの分野で多くの重要な結果と用途があります。

レニーとクラトフスキーに加えて、クローンの理論の発達に貢献した他の著名な数学者にはC.C.が含まれます。チャン、H。ジェローム・ケイスラー、ロス・ウィラード、ラルフ・マッケンジー。