human
Eを規範的な空間とバナッハ空間とします。eからfまでの境界線形演算子のセット（適切な操作とフィールドに関してすでにベクトル空間になると想定できる）は、オペレーターのノルムを装備していることもバナッハ空間であることを証明します。
gpt
l（e、f）で示されるeからfまでの境界線形演算子のセットがオペレーターのノルムを備えていることを証明するには、バナッハ空間であることを証明するには、それが完全であることを示す必要があります。L（e、f）では、l（e、f）のオペレーターに収束します。

{tn}は、l（e、f）の演算子のコーシーシーケンスとします。これは、ε> 0ごとに、|| tn -t_m ||するようにnが存在することを意味します。<εすべてのn、m> N.私たちの目標は、このシーケンスがL（e、f）の一部の演算子tに収束することを示すことです。

まず、TNが点でオペレーターTに収束することを示す必要があります。x∈Eをletε> 0を修正する必要があります。{tn}はコーシーであるため、|| tn -tm ||<εすべてのn、m> n。今、不平等を考慮してください。

|| tn（x）-tm（x）||≤|| tn -tm ||* || x ||<ε * || x ||。

この不平等は、{tn（x）}がFのCauchyシーケンスであることを意味します。fはバナッハ空間であるため、それは完全であるため、Tn（x）はいくつかの要素t（x）∈Fに収束します。

これで、Tが線形で境界があることを示す必要があります。線形性は、各T_Nの線形性から続きます。tが境界に囲まれていることを示すには、|| t（x）||を存在する定数Cが存在することを示す必要があります。≤c * || x ||すべてのx∈Eについて

ε> 0を修正し、nとして|| tn -tm ||<εすべてのn、m> n。次に、x∈Eについては、次のことがあります。

|| t（x）-tn（x）||= || lim（tn（x））-tn（x）||= lim（|| tn（x）-t_n（x）||）≤lim（ε * || x ||）=ε * || x ||。

この不平等を再編成して取得できます。

|| t（x）||≤|| t_n（x）||+ε * || x ||
human
*A *および *b *は、 *ab + 1 *が *a2 + b2 *を分割するように、正の整数とします。*（a2 + b2） /（ab + 1） *が整数の正方形であることを証明します。
gpt
（a^2 + b^2） /（ab + 1）が整数の正方形であることを証明するには、整数であり、その平方根が整数であることを示す必要があります。

まず、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は、（a^2 + b^2）-k（ab + 1）= 0の場合にのみ整数であることに注意してください。再配置、私たちは取得します：

a^2 -kab + b^2 -k = 0

これをAの二次方程式と見なすと、判別剤は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

k^2-4（b^2 -k）= m^2整数m。

単純化してください：

k^2-4b^2 + 4k -m^2 = 0

これはKの二次方程式であり、その判別は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

16b^2-4m^2 = n^2整数nの場合。

これは次のように書き直すことができます。

（4b + n）（4b -n）= 4m^2

4b + nと4b -nはどちらも偶数であるため、一部の整数Rおよびsに対して、それぞれ2Rと2Sとして記述できます。それから私たちは持っています：

rs = m^2/4

と

b =（r + s） / 2

元の方程式に置き換えると、次のようになります。

a^2-（r + s）a + [（r -s） / 2]^2 = 0

これはAの二次方程式であり、その判別は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

（r + s）^2-4 [（r -s） / 2]^2 = t^2整数t。

単純化してください：

（r -s）^2 + t^2 =（r + s）^2

これはピタゴラスの定理であり、その解決策は次のとおりです。

r = uv、s = uw、t = u（v^2 -w^2）

ここで、u、v、およびwはv> wと（v -w）奇数の正の整数です。

したがって、私たちは次のとおりです。

b =（r + s） / 2 = uwv

と

a =（r -s） / 2 = u（v^2 -w^2）

したがって、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は整数であり、その平方根は次のとおりであることが示されました。

（a^2 + b^2） /（ab + 1）=（u^2v^2 + u^2w^2） / u^2vw + 1 =（v^2 + w^2） / vw + 1 =（v/w）^2 + 1

これは明らかに整数です。したがって、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は整数の正方形です。