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代数の基本定理を証明します
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代数の基本定理は、複雑な係数を持つすべての非定数多項式には少なくとも1つの複雑な根があると述べています。

証拠：
矛盾によってこの定理を証明します。複雑な根がない複雑な係数を持つ非定常多項式P（z）が存在するとします。p（z）は非定常であるため、最も高い項があります。Az^nとしましょう。Aはゼロに等しくないと仮定できます。そうしないと、P（Z）は一定の多項式になります。

関数f（z）= 1/p（z）を考慮してください。この関数は、p（z）の根を除いて、すべてのzに対して明確に定義されています。p（z）には複雑な根がないため、f（z）は複雑な平面上の連続的で境界のある関数です。したがって、Liouvilleの定理により、F（Z）は一定の関数です。

f（z）の一定の値をcとします。それから私たちは持っています：

1/p（z）= c
p（z）= 1/c

p（z）は非定常多項式であるため、bz^mとしましょう。Bはゼロに等しくないと仮定できます。そうしないと、P（z）は一定の多項式になります。これを上の方程式に置き換えると、次のようになります。

bz^m = 1/c

しかし、この方程式の左側は、Zが無限または負の無限に近づくにつれて無限に近づきます。これは、右側がゼロ以外の複雑な数であることと矛盾しています。したがって、p（z）には複雑な根がないという我々の仮定は偽でなければならず、代数の基本的な定理が保持されます。

これにより、証明が完了します。