human
NTH Triangle数を見つけるための方程式が何であるか、そして高校レベルの数学のみを使用してどのように証明できるかを簡単に理解できるように説明してください。ラテックスを使用して、証明の各ステップを与えてください。
gpt
もちろん！$ n $ thriangle番号は、式で与えられます。
$ t（n）=（n） +（n-1） +（n-2） + ... + 1 $
「三角形」という名前は、高さ$ n $の三角形を構築すると、三角形の要素の数が$ n $三角形の数になるという事実に由来しています。ここに最初のいくつかの例があります：
`` `
 *（n = 2、t（n）= 3）
**
`` `

`` `
   *（n = 3、t（n）= 6
  **
 ***
`` `

このパターンを続けると、三角形のベースが長さ$ n $であり、三角形の高さも$ n $であることがわかります。三角形の面積の式は$（b \ times h） / 2 $です。この場合、$ \ frac {n^2} {2} $です。これは、$ \ frac {n（n+1）} {2} $である$ n $ thriangle番号の式に近い。2番目の$ n $を1だけ増やす理由は、実際の領域を取得するのではなく、ドットをカウントするためです。
human
簡単に説明していただけますか？
gpt
確かに、私はそれをさらに単純化しようとします。

$ n $ thriangle数は、最初の$ n $陽性整数の合計です。たとえば、3番目の三角形数は1+2+3 = 6です。式を次のように書くことができます。

$ t（n）= 1 + 2 + 3 + ... + n $

この式を証明するために、数学誘導と呼ばれる方法を使用できます。

まず、式が可能な限り最小の$ n $に当てはまることを示す必要があります。これは1です。

$ t（1）= 1 $

これは、最初の正の整数の合計が単に1であるためです。

次に、式が$ n = k $のある程度の値に当てはまると仮定し、この仮定を使用して、$ n = k+1 $の次の値に当てはまることを示します。

式が$ n = k $に当てはまると仮定すると、次のことがあります。

$ t（k）= 1 + 2 + 3 + ... + k = \ frac {k（k + 1）} {2} $

式が$ n = k+1 $にも当てはまることを証明するために、次の用語（$ k+1 $）を両側に追加します。

$ t（k + 1）= 1 + 2 + 3 + ... + k +（k + 1）$

式を$ t（k）$の式を使用すると、式に$ t（k）$を置き換えて簡素化できます。

$ t（k+1）= \ frac {k（k+1）} {2}+（k+1）= \ frac {（k+1）（k+2）} {2} $

これは$ t（k+1）$の式であるため、式が$ n = k $に当てはまる場合、$ n = k+1 $にも当てはまることを示しました。

数学的誘導の原理を使用することにより、$ n $ thriangle数の式が次のように与えられることを証明しました。

$ t（n）= 1 + 2 + 3 + ... + n = \ frac {n（n + 1）} {2} $