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事実、次のリングの6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6多項式：c [x]、r [x]、q [x]、z [x]、f_5 [x]
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次のリングのそれぞれに6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6多項式を考慮します。

c [x]：
C [x]では、あらゆる多項式を線形因子に考慮することができます。したがって、6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6は次のとおりです。6is：6 is：6 is：6

6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6 = 6（x-1）（x+1）（x+√2i）（x-√2i）（x+√3）（x-√3）（x-√3）

ここで、√2iと√3は多項式の複雑な根です。

r [x]およびq [x]：
r [x]およびq [x]では、線形または二次因子で多項式を考慮することはできないため、これらのリングを完全に考慮することはできません。ただし、いくつかの一般的な用語を考慮することはできます。

6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6 = 2（x² -3）（3x³ -2x² + 5）

z [x]：
z [x]では、独自の因数分解定理を使用して、多項式を還元不可能な因子に因数分解できます。多項式は一元的であること（つまり、主な係数は1）であり、独立した用語は2で割り切れます。したがって、合理的なルート全体がある場合、2の除数でなければなりません。 1、-1、2、および-2、そしてx = 1が多項式の根であることがわかります。

多項式をX-1で分割して取得できます。

6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6 =（x -1）（6x⁴ +2x³ +4x² + 8x + 14）

2番目の要因を考慮するために、グループ化手法を使用できます。

6x⁴ +2x³ +4x² + 8x + 14 = 2（3x⁴ +x³ +2x² + 4x + 7）

独立した用語は2 mod 5であることがわかります。つまり、多項式にはF_5に合理的な根がないことを意味します。多項式がf_5 [x]で還元不可能であるかどうかを証明できます。

3x⁴ +x³ +2x² + 4x + 7 =（x + 2）（3x³ +5x² + 2）

2番目の要因はF_5 [x]では還元できないため、z [x]の完全な6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6因数分解は次のとおりです。

6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6 =（x -1）（x + 2）（3x³ +5x² + 2）