human
分析ジオメトリでは、3スペースの2つの交差面の方程式を考えると、交差点が形成される線の方程式を見つけるにはどうすればよいですか？
gpt
3スペースの線の方程式は、

L = P + TV、

ここで、pは線の点であり、vは線の方向ベクトルであり、tは実数です。

2つの平面の交差によって形成される線の方程式を見つけるには、最初に交差点にある点を見つける必要があります。これは、2つの平面方程式を同時に解くことで実行できます。ラインにあるポイントが得られたら、ラインの方向ベクトルを見つける必要があります。これは、2つの平面通常ベクトルのクロス積を見つけることで実行できます。最後に、ポイントPと方向Vector Vを上の線の方程式に差し込むことができます。

2つの飛行機の次の方程式があるとしましょう。

P1：2x + 3y -5z = 10
P2：4x -y + 2z = 8

交差点にある点を見つけるために、2つの平面方程式を同時に解決できます。これを行うことができます。2つの方程式を差し引いて次のことを取得します。
2x + 4y -6z = 2

この方程式は、x = ...、y = ...、およびz = ...の形式で書き換えることができます。ここで、方程式の右側は2に等しくなります。x、y、およびy、およびy、y、and y、y、zポイントp =（1、-1、1/3）を取得します。

次に、ラインの方向ベクトルを見つける必要があります。これは、2つの平面通常ベクトルのクロス製品を見つけることで行うことができます。2つの飛行機の通常のベクトルは次のとおりです。

P1：（2、3、-5）
P2：（4、-1、2）

これら2つのベクトルのクロス積は（14、-4、-18）です。これは、ラインの方向Vector Vです。

最後に、PとVを線の方程式に差し込んで、交差点の方程式を取得できます。

l =（1、-1、1/3） + t（14、-4、-18）
human
ベクトルを必要としないこの方程式のバージョンはありますか？
gpt
はい、ベクトルを必要としない交差点の方程式のバージョンがあります。方程式のこのバージョンは、行のパラメトリック形式と呼ばれます。パラメトリック形式では、行の方程式は次のように記述できます。

x = x1 + t（x2 -x1）
y = y1 + t（y2 -y1）
Z = Z1 + T（Z2 -Z1）

ここで、（x1、y1、z1）および（x2、y2、z2）はライン上の2つのポイント、tは実数です。

交差点の2つのポイントを見つけるために、前のソリューションで見つけた2つのポイント、各平面から1ポイントを使用できます。たとえば、平面1と平面2の両方にあるポイント（1、-1、1/3）とポイント（3、0、1）を使用できます。

次に、これら2つのポイントをラインのパラメトリック形式に接続して、交差点の方程式を取得できます。

x = 1 + t（3-1）= 1 + 2t
y = -1 + t（0-（-1））= -1 + t
z = 1/3 + t（1-1/3）= 1/3 + 2/3t

これは、ベクトルを使用せずに、パラメトリック形式の交差点の方程式です。