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私は、有限要素分析のためにポッドガラーキン削減注文モデルを実装しようとしています。方法を詳細に説明できますか？質量マトリックスを使用したスカラー積の定義から始めて、PODを説明し、最終的に縮小ベースで線形および非線形演算子を投影する方法を説明します。
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適切な直交分解（POD）ガラーキン還元モデル（ROM）は、有限要素分析（FEA）の計算の複雑さを減らすために使用される手法です。これには、元のFEA空間の低次元サブスペースを使用して、完全な問題の解を近似します。この方法は、3つのステップで要約できます。（1）PODを使用した削減ベースの構築、（2）還元基準への線形演算子の投影、および（3）非線形演算子の縮小基準への投影。

質量マトリックスを備えたスカラー製品：
Pod-Galerkin ROMメソッドは、システムの質量マトリックスを使用してスカラー製品を定義することから始まります。質量マトリックスは、システムの速度と加速度を関連付ける正の明確なマトリックスです。スカラー製品は次のように定義されています。

⟨u、v⟩_m=∫ωuvdω

ここで、ωはシステムのドメインであり、uとvはωで定義された関数、mは質量マトリックスです。このスカラー製品は、システムの標準とPOD法で使用される内製品を定義します。

適切な直交分解（POD）：
PODは、一連のデータの支配的な機能を抽出するために使用される数学的手法です。FEAのコンテキストでは、PODを使用して、ソリューションのスナップショットのセットからシステムの支配的なモードを抽出します。これらのスナップショットは、さまざまな入力パラメーターまたは初期条件に対してFEA問題を解決することによって取得されます。PODメソッドは、スナップショットマトリックスで特異値分解（SVD）を実行することにより、システムの支配的なモードを抽出します。スナップショットマトリックスXのSVDは、次のように与えられます。

x =uσv^t

ここで、uとvは直交行列であり、σはxの特異値を含む斜めマトリックスです。システムの支配的なモードは、σの最大の特異値に対応するuとvの最初の数列に含まれています。

線形演算子の投影：
PODメソッドを使用して削減されたベースが構築された後、システムの線形演算子を削減ベースに投影できます。線形演算子は、剛性マトリックスKと減衰マトリックスCであり、次のように定義されています。

ku = f
cv = -ku_dot

ここで、uとvはシステムの変位と速度ベクトルであり、fは力ベクトルであり、u_dotはuの時間微分です。線形演算子を縮小ベースに投影するために、剛性の低下と減衰マトリックス、K_RおよびC_Rを次のように定義します。

k_r =φ^tkφ
c_r =φ^tcφ

ここで、φは還元ベクトルを含むマトリックスであり、φ^tはその転置です。縮小システムは次のように記述できます。

k_r u_r = f_r
C_R V_R = -K_R U_R_DOT

ここで、U_RとV_Rは変位と速度ベクトルの還元であり、F_Rは還元力ベクトルです。

非線形演算子の投影：
非線形演算子を縮小ベースに投影することは、線形演算子の投影よりも複雑です。非線形演算子は、支配方程式の非線形項の結果であり、それらを直接縮小ベースに投影することはできません。代わりに、非線形項はガラーキン投影を使用して近似され、非線形項を縮小ベースに投影することが含まれます。非線形項のガラーキン投影は、次のように与えられます。

n（u）≈φ^t n（φu）

ここで、n（u）は統治方程式の非線形項であり、φは還元ベクトルを含むマトリックスであり、φuは還元基準での完全溶液uの近似です。予測された非線形項は、還元線形システムに追加され、非線形システムが減少します。

k_r u_r = f_r +φ^t n（φu_r）
C_R V_R = -K_R U_R_DOT

ここで、n（φu_r）は、非線形項のガラキン投影です。

要約すると、Pod-Galerkin ROMメソッドには、PODメソッドを使用した削減された基礎の構築が含まれ、その後、線形および非線形演算子が縮小ベースに投影されます。還元システムは、標準の数値手法を使用して解決できます。この方法は、高度な精度を維持しながら、FEAの完全な問題と比較して計算コストの大幅な削減を提供します。