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Bolzano-WeierStrass定理の簡単な証拠を提供できますか？
gpt
はい、私はボルザノ・ワイアートラス定理の簡単な証拠を提供することができます。ここにあります：

Bolzano-WeierStrass定理は、実数の境界のあるシーケンスには収束サブシーケンスがあると述べています。

証拠：

{a_n}を実数の境界シーケンスとします。これは、| a_n |<=すべてのnに対してm。

これで、次のように、2つのシーケンス、{b_n}と{c_n}を作成できます。

   1. b_1 = a_1とします
   2. n> = 2の場合、b_n = a_kとします。ここで、kはa_kがセット{b_1、b_2、...、b_ {n-1}}にないように最小のインデックスです。
   3.すべてのnに対して、C_N = max {a_1、a_2、...、a_n}とします。

{b_n}は{a_n}のサブシーケンスであるため、{b_n}が収束していることを示すだけで十分です。

まず、{b_n}は、境界シーケンス{a_n}のサブシーケンスであるため、境界シーケンスであることに注意してください。

次に、{c_n}は{b_n}と同じ制限に収束する減少シーケンスであると主張します。

これを確認するには、{c_n}は減少シーケンスであることに注意してください。各用語は、項の減少項の最大セットであるためです。さらに、{c_n}は{b_n}の任意の用語によって下に制限されます。{c_n}の各用語は、{b_n}に少なくとも1つの用語を含む有限セットの最大セットです。したがって、{c_n}は何らかの制限Lに収束します。

ここで、{b_n}もLに収束すると主張します。これを確認するには、Epsilon> 0を与えます。{c_n}はlに収束するため、| c_n -l |<すべてのn> = nの<epsilon/2。さらに、{b_n}は{c_n}のサブシーケンスであるため、M> = mとn> = mの場合はb_n = c_mが存在するようなmが存在します。それから、私たちは：

| b_n -l |= | c_m -l |<Epsilon/2 <Epsilon

したがって、{b_n}はLにも収束し、証明を完了します。