human
NTH Triangle数を見つけるための方程式が何であるか、そして高校レベルの数学のみを使用してどのように証明できるかを簡単に理解できるように説明してください。ラテックスを使用して、証明の各ステップを与えてください。
gpt
もちろん！$ n $ thriangle番号は、式で与えられます。
$ t（n）=（n） +（n-1） +（n-2） + ... + 1 $
「三角形」という名前は、高さ$ n $の三角形を構築すると、三角形の要素の数が$ n $三角形の数になるという事実に由来しています。ここに最初のいくつかの例があります：
`` `
 *（n = 2、t（n）= 3）
**
`` `

`` `
   *（n = 3、t（n）= 6
  **
 ***
`` `

このパターンを続けると、三角形のベースが長さ$ n $であり、三角形の高さも$ n $であることがわかります。三角形の面積の式は$（b \ times h） / 2 $です。この場合、$ \ frac {n^2} {2} $です。これは、$ \ frac {n（n+1）} {2} $である$ n $ thriangle番号の式に近い。2番目の$ n $を1だけ増やす理由は、実際の領域を取得するのではなく、ドットをカウントするためです。
human
簡単に説明していただけますか？
gpt
n番目の三角形数は、最初のn自然数を一緒に追加することで見つけることができます。n番目の三角形数の式、$ t_n $は以下で与えられます。

$$ t_n = 1+2+3+...+n = \ frac {n（n+1）} {2} $$

最初のn自然数の合計を考慮することにより、この式を証明できます。

$$ t_n = 1+2+3+...+n $$

この合計をそれ自体に追加するが、順序を反転すると、次のようになります。

$$ 2t_n =（1+2+3+...+n）+（n+（n-1）+（n-2）+...+1）$$

したがって、

$$ 2T_N =（1+n）+（2+（n-1））+（3+（n-2））+...+（n+1）$$

$ n $の項があり、それぞれが$ n+1 $になるため、

$$ 2t_n = n*（n+1）$$

そこから直接それに続きます

$$ t_n = \ frac {n（n+1）} {2} $$

これが私たちが証明したかったことです。