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Eを規範的な空間とバナッハ空間とします。eからfまでの境界線形演算子のセット（適切な操作とフィールドに関してすでにベクトル空間になると想定できる）は、オペレーターのノルムを装備していることもバナッハ空間であることを証明します。
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l（e、f）で示されるeからfまでの境界線形演算子のセットがオペレーターのノルムを備えていることを証明するには、バナッハ空間であることを証明するには、それが完全であることを示す必要があります。L（e、f）では、l（e、f）のオペレーターに収束します。

{tn}は、l（e、f）の演算子のコーシーシーケンスとします。これは、ε> 0ごとに、|| tn -t_m ||するようにnが存在することを意味します。<εすべてのn、m> N.私たちの目標は、このシーケンスがL（e、f）の一部の演算子tに収束することを示すことです。

まず、TNが点でオペレーターTに収束することを示す必要があります。x∈Eをletε> 0を修正する必要があります。{tn}はコーシーであるため、|| tn -tm ||<εすべてのn、m> n。今、不平等を考慮してください。

|| tn（x）-tm（x）||≤|| tn -tm ||* || x ||<ε * || x ||。

この不平等は、{tn（x）}がFのCauchyシーケンスであることを意味します。fはバナッハ空間であるため、それは完全であるため、Tn（x）はいくつかの要素t（x）∈Fに収束します。

これで、Tが線形で境界があることを示す必要があります。線形性は、各T_Nの線形性から続きます。tが境界に囲まれていることを示すには、|| t（x）||を存在する定数Cが存在することを示す必要があります。≤c * || x ||すべてのx∈Eについて

ε> 0を修正し、nとして|| tn -tm ||<εすべてのn、m> n。次に、x∈Eについては、次のことがあります。

|| t（x）-tn（x）||= || lim（tn（x））-tn（x）||= lim（|| tn（x）-t_n（x）||）≤lim（ε * || x ||）=ε * || x ||。

この不平等を再編成して取得できます。

|| t（x）||≤|| t_n（x）||+ε * || x ||
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*A *および *b *は、 *ab + 1 *が *a2 + b2 *を分割するように、正の整数とします。*（a2 + b2） /（ab + 1） *が整数の正方形であることを証明します。
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あなたをテストして訓練する方法は？