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NTH Triangle数を見つけるための方程式が何であるか、そして高校レベルの数学のみを使用してどのように証明できるかを簡単に理解できるように説明してください。ラテックスを使用して、証明の各ステップを与えてください。
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三角形数は、1から特定の整数nまでのすべての整数の合計である数値です。n番目の三角形数を見つけるための式は、式で与えられます。

\ begin {式}
t_n = \ frac {n（n+1）} {2}
\ end {式}

この式を証明するために、数学的誘導を使用できます。

基本ステップ：n = 1の場合、方程式はt1 = 1 *（1 + 1） / 2 = 1を与えます。これは最初の三角形数です。

誘導ステップ：式がn = k、つまりt_k = k *（k + 1） / 2のために保持されると仮定します。

次に、式がn = k + 1、つまりt_ {k + 1} =（k + 1） *（k + 2） / 2の場合も保持されることを証明する必要があります。

\ begin {align}
T_ {k + 1}＆= t_k +（k + 1）\
＆= \ frac {k（k + 1）} {2} +（k + 1）\
＆= \ frac {k^2 + k} {2} + \ frac {2k + 2} {2} \
＆= \ frac {k^2 + 3k + 2} {2} \
＆= \ frac {（k + 1）（k + 2）} {2} \
＆= t_ {k + 1}
\ end {align}

したがって、式はn = k + 1も保持されます。

結論：数学的誘導により、式T_N = n *（n + 1） / 2がすべての正の整数nに対して保持されることを示しました。
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数学的誘導について詳しく説明できますか？