human
ニュートン法を使用して、多項式のすべての根をn度の程度に見つけるために、一般化されたフォームを教えてください。
gpt
N-thedeuremの多項式の根を見つけるためのニュートン法の一般化された形式は、次の方程式によって与えられます。

xk+1 = xk-（f（xk）/f '（xk））

ここで、XKは初期推測であり、F（XK）はXKで評価された多項式の値であり、F '（XK）はXKで評価された多項式の誘導体です。
human
例を挙げてもらえますか？
gpt
確かに、ニュートン法を使用して2つの正方形の根を近似できる例を挙げることができます。

0.多項式F（x）=x²-2は、使用する2度の多項式です。単純な代数は、その根が-2^（1/2）および2^（1/2）であることを示しています。メソッドを使用するには、f '（x）= 2xであるf（x）の導関数を計算する必要があります
1.最初のステップは、1つのルートの値の推測から始めることです。通常、この推測はランダム化されますが、簡単にするためにx0 = 2を使用します。ここで、xはルートを示し、0はこれがルートの最初の概算値であることを示します。連続した各数x1、x2などは、2の平方根のより良い近似値になります
2.次のステップは、f（x）とf '（x）の代数型を使用して、ニュートンメソッド式を作成することです。
xk+1 = xk-（f（xk）/f '（xk））その後
xk+1 = xk-（xk²-2） /（2 xk）
このステップは、代数を使用して式を単純化できる場合があるため、便利です。各多項式には異なる単純化がありますが、ここでは同じ分母2xk上に両方の用語を置いて取得できます。
xk+1 =（2xk²） /（2xk） - （xk²-2） /（2 xk）
xk + 1 =（2xk² -xk² + 2） /（2xk）
xk +1 =（xk²+2） /（2xk）
3.次の近似値x1は、式x1 = x0 -f（x0） / f '（x0）によって与えられます。この数値を計算するには、XKの代わりに以前の簡略式にX0の値を入力する必要があります。これは得られます：
x1 =（2² + 2）/（2*2）= 6/4 = 3/2 = 1.5
4.次に、前のXのそれぞれの後続の近似を見つけることで、Xのそれぞれの近似を見つけるイテレーションと呼ばれる方法でステップ3を繰り返します。これは得られます：
x2 =（（3/2）² + 2）/（2*（3/2））= 17/12 = 1.41667
x3 =（（17/12）² + 2）/（2*（17/12））= 577/408 = 1.41422

この値x3はすでに2の平方根に非常に近いものであり、すでに適切な近似です。真の値xとx3の間の相対距離を計算すると、次のことがわかります。
（x-x3）/x =（（577/408）-2^（1/2））/（2^（1/2））= 1.5e-6
つまり、この近似が作成するエラーマージンは約0.00015％です

必要な手順の数が最初の推測に依存することに注意してください。たとえば、f（x）=x²-2の場合、推測x0 = 1000から始めると、以前のエラーマージンを打ち負かすための反復回数が大きく増加します。その場合、X12に上がる必要があります。

これは簡単な例であり、多項式が互いに近い複数のルートを認めている場合、一部のエッジケースが発生することにも注意してください。