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eˆ（-xˆ2）の実数よりも積分は何ですか？
gpt
回答：$ \ sqrt {\ pi} $。

解決：
$ i = \ int _ { -  \ infty}^\ infty e^{ -  x^2} dx $を次の方法で計算できます。
1.最初に、積分を四角く：
$$ i^2 = \ left（\ int _ { -  \ infty}^\ infty e^{ -  x^2} dx \ right）^2 = \ int _ { -  \ infty}^\ infty \ int _ { -  \ infty}^\ infty e^{ -  x^2} dx dy。$$
2.極座標に切り替えます。$ dx dy = r d \ theta dr $：
$$ i^2 = \ int_0^\ infty \ int_0^{2 \ pi} e^{ -  r^2} r d \ theta dr。$$
3.積分を計算します。
$$ \ begin {align*}
i^2＆= \ int_0^\ infty \ int_0^{2 \ pi} e^{ -  r^2} r d \ theta dr \\
＆= \ int_0^\ infty 2 \ pi e^{ -  r^2} r dr \\
＆=  -  \ pi e^{ -  r^2} \ bigg \ lvert_0^\ infty \\
＆= \ pi。
\ end {align*} $$
$ i^2 = \ pi $であるため、$ i = \ sqrt {\ pi} $を取得します。