human
辺の長さの1つだけが与えられた正三角形（3側）の面積を見つけるにはどうすればよいですか。
gpt
三角形の面積 * a * = * hb * / 2. * b *はベース、またはその側面の1つの長さです。* h*は、高さ、または選択した側とその側の反対側の頂点間の距離です。*a *の辺の長さを持つ正三角形の場合、ベースは常に *a *です。そのすべての内部角度は60°であるため、高さは * a * sin60°=√3 * a * / 2です。
したがって、領域 * a * = * hb * / 2 =√3 * a * ^2/4。
human
それは正しいです。その側面のいずれかを考えると、通常の凸ポリゴンの領域はどうですか。これを見つけるのは合理的ですか？
gpt
それは合理的であり、長さsのn辺を持つ通常の凸ポリゴンについて、単純な式a = n * s * a / 2で実行できます。Aは、中心点からアポセムとして知られる側面の1つまでの最短距離です。この式は、その中心をその頂点に接続することにより、最初に通常の凸ポリゴンを同一の三角形に分割すると見なすことができます。各三角形の面積はs * a / 2で、sはベースで、aは高さです。三角形の総面積はn * s * a / 2です。
各三角形内で、ポリゴンの中心からベースに垂直線を描くと、2つの同一の直角三角形が得られます。頂点としてのポリゴンの中心との角度は180°/nで、反対側の側の長さはs/2です。したがって、それに隣接する側、またはapothemはs * cot（180°/nです） / 2、および通常の凸ポリゴンa = n * s^2 * cot（180° / n） / 4の面積。