human
クローン（代数）とは何ですか？
gpt
代数学においてクローンとは、与えられた集合に対する演算の集合のことで、合成のもとで閉じており、すべての射影写像を含む。

より具体的には、Sを空でない集合とし、Ar(S)をSの要素のすべての有限列の集合とする：

1.fとgがクローン内の演算である場合、合成fgもクローン内にある。
2.2.S中のすべての要素aについて、射影写像P(a)はクローン中にあり、ここでP(a)(x)=aはS中のすべてのxについてある。

クローンの概念は代数的構造の研究、特に普遍代数において重要であり、群、環、場のような代数的構造を定義し、その性質を研究するために用いられる。
human
セットにクローンの例を挙げてもらえますか？
gpt
確かに！集合のクローンの例としては、決まった基本関数の集合から、決まった操作の集合を使って構成できるすべての関数の集合がある。

例えば、集合{f(x) = x, g(x) = x^2}をSとし、Sの基本関数から足し算、引き算、掛け算、合成の操作を使って構成できるすべての関数の集合をFとする。Fは実数の集合上のクローンである。

より正確には、Fはp(x)+q(x)、p(x)-q(x)、p(x)q(x)、p(q(x))の形のすべての関数を含み、p(x)とq(x)は足し算、引き算、掛け算の操作を使ってSの基本関数から構成できる任意の関数である。

例えば、関数h(x) = 2x^2 - 3x + 1はFに含まれる。これは、足し算、引き算、掛け算の操作を使ってSの基本関数（すなわちg(x)とf(x)）から構成できるからである。

つまり、p(x)とq(x)がFの中にあれば、p(x)+q(x)、p(x)-q(x)、p(x)q(x)、p(q(x))もFの中にある。これがFを実数の集合上のクローンにしている。