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Bolzano-WeierStrass定理の簡単な証拠を提供できますか？
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Bolzano-WeierStrass定理は、実際のユークリッド空間内のすべての境界付きシーケンスに収束サブシーケンスがあると述べています。言い換えれば、すべての特定の範囲内にあるポイントのシーケンスがある場合、限界に収束するポイントのサブシーケンスをいつでも見つけることができます。簡単な証拠を提供することは挑戦ですが、私は最善を尽くします。

証拠：
制限されている実数のシーケンス（A_N）を考えてみましょう。定義上、すべてのnに対してl <= a_n <= uになるような2つの実数のlとuが存在します。

間隔[l、u]を半分に分割し、ミッドポイントm =（l + u） / 2を考慮します。これで、[l、m]と[m、u]の2つのサブインターバルがあります。

シーケンス（A_N）は境界が囲まれているため、これらのサブインターバルの少なくとも1つは、シーケンスから無限に多くの要素を含める必要があります。一般性を失うことなく、左の間隔[L、M]には、シーケンスの無限に多くの要素が含まれていると仮定しましょう。正しい間隔[m、u]にも無限に多くの要素がある場合、その間隔に同じ引数を適用できます。

次に、このプロセスを繰り返します。間隔[l、m]を半分に分割し、サブインターバル[l、（l+m）/2]および[（l+m）/2、m]を作成します。繰り返しますが、これらのサブインターバルの少なくとも1つは、シーケンスの無限に多くの要素を含める必要があります。このプロセスを無期限に継続します。

構築により、閉じた間隔のネストされたシーケンスを取得します{[l_1、u_1]、[l_2、u_2]、[l_3、u_3]、...}。インデックスが無限になると間隔の長さが0に近づくと。ネストされた間隔プロパティによれば、これらすべての間隔の交差点に一意の点x*が存在する必要があります。

次に、次のように、元のシーケンス（a_n）のサブシーケンス（a_ {n_k}）を次のように構築しましょう。各間隔[l_k、u_k]で、a_ {n_k}を選択して、それに属するシーケンス（a_n）の要素として選択します。間隔。各間隔には、シーケンスの無限に多くの要素が含まれているため、このような選択が常に可能であることに注意してください。

このサブシーケンス（a_ {n_k}）がx*に収束すると主張しています。ε> 0を与えます。間隔の長さ[L_K、U_K]がε未満になるように、インデックスKを選択します。次に、すべてのk> = kについて、a_ {n_k}は[l_k、u_k]内に含まれる間隔[l_k、u_k]に属します。したがって、| a_ {n_k} -x*|<ε、そして（a_ {n_k}）がx*に収束することを示しました。

それは矛盾による証拠です。これがあなたの制約を満たすことを願っています。