human
分析ジオメトリでは、3スペースの2つの交差面の方程式を考えると、交差点が形成される線の方程式を見つけるにはどうすればよいですか？
gpt
私がまだそれがどのように行われているかを覚えていることを願っています：

1. 2つの平面の通常のベクトルを見つけます。これらは、平面方程式の係数から計算できます。

2. 2つの通常のベクトルのクロス積を計算して、ベクトルを交差点に平行にします。

3.交差点と平行なユニットベクトルを取得するには、クロス製品ベクトルを正規化します。

4.両方の平面にあるポイントを選択し、ユニットベクトルとともに使用して、形式の交差点の方程式を計算します。

ポイント + t * unit_vector

ここで、tはパラメーターです。

そのため、要約すると、平面方程式が必要で、通常の方程式を見つけ、クロス製品を取り、正規化してから、交差点のポイントとユニットベクトルを使用してライン方程式を取得します。
human
ベクターなしでそれを行う方法を説明できますか？式を指定して、平面方程式から情報を取得して、ラインの方程式になります。
gpt
はい、次のように、非ベクトル形式の方程式を使用して、3空間の2つの平面の交差によって形成される線の方程式を見つけることができます。

    1. 2つの平面の方程式を標準形式で書き込みます。
       ax + by + cz = d1（平面1）
       ex + fy + gz = d2（平面2）

    2. 2つの平面の通常のベクトルの交差積を取得することにより、交差線の方向ベクトルを見つけます。方向ベクターは、両方の通常のベクトルに垂直であり、したがって交差線に平行になります。方向ベクトルは以下で見つけることができます。
       私。平面方程式でx、y、およびzの係数を取得し、ベクトルに配置することにより、2つの平面の正常なベクトルを見つけます。

        n1 =（a、b、c）（平面1の通常のベクトル）
 
        n2 =（e、f、g）（平面2の通常のベクトル）

ii。通常のベクトルのクロス製品を取得します：
        d = n1 x n2

3. 2つの平面方程式を互いに等しく設定することによって形成された方程式のシステムの解を見つけることにより、交差線の点を見つけます。

       ax + by + cz = ex + fy + gz
       再配置、私たちは取得します：
       ax -ex + by -fy + cz -gz = 0
       この方程式は、交差線を含む平面を表しているため、この平面上の任意のポイントは交差線にあります。変数の1つ（例：x）の値を選択し、他の2つの変数（yおよびz）を解くことにより、この平面上のポイントを見つけることができます。これはを与えます
        交差線にある形式（x0、y0、z0）のポイント。
    4.ステップ2で見つかった方向ベクトルとステップ3で見つかったポイントを使用して、ラインの方程式をパラメトリック形式で書き込みます。

       x = x0 + td y = y0 + ud z = z0 + vd

       ここで、（x0、y0、z0）は、ステップ3で見つかった交差線の点であり、（t、u、v）はパラメーター、dはステップ2で見つかった方向ベクトルです。