human
ニュートン法を使用して、多項式のすべての根をn度の程度に見つけるために、一般化されたフォームを教えてください。
gpt
N-thedeuremの多項式の根を見つけるためのニュートン法の一般化された形式は、次の方程式によって与えられます。

xk+1 = xk-（f（xk）/f '（xk））

ここで、XKは初期推測であり、F（XK）はXKで評価された多項式の値であり、F '（XK）はXKで評価された多項式の誘導体です。
human
例を挙げてもらえますか？
gpt
###例1：二次関数f（x）= x^2-4のルートを見つける

関数とその導関数を定義します。
f（x）= x^2-4
f '（x）= 2x

最初の推測を選択します、たとえばx0 = 1。

ニュートンラプソンの式を適用してください：
x1 = x0-（f（x0） / f '（x0））= 1-（（1^2-4） /（2 * 1））= 1 + 1.5 = 2.5

目的の精度に達するまでプロセスを反復します。
x2 = x1-（f（x1） / f '（x1））= 2.5-（（2.5^2-4） /（2 * 2.5））≈2.05

メソッドは迅速に収束し、数回の反復の後、ルートは約2であることがわかります。これは正確なルートが2であるため正しいです。

###例2：立方体関数のルートf（x）= x^3-6x^2 + 11x -6を見つける

関数とその導関数を定義します。
f（x）= x^3-6x^2 + 11x -6
f '（x）= 3x^2-12x + 11

最初の推測を選択します、たとえばx0 = 1。

ニュートンラプソンの式を適用してください：
x1 = x0-（f（x0） / f '（x0））= 1-（（1-6 + 11-6） /（3-12 + 11））= 1-0 = 1

目的の精度に達するまでプロセスを反復します。
x2 = x1-（f（x1） / f '（x1））= 1-（（1-6 + 11-6） /（3-12 + 11））= 1-0 = 1

この場合、この方法は1つの反復だけでルートに収束します。これは正確に1です。ニュートンラフソン法は常にすべての根を見つけるとは限らないことに注意してください。その成功は、初期推測と関数の特性に依存します。