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対称双線形の形態は、コサインの法則と何の関係がありますか？2つのベクトル間の角度式と関係がありますか？
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はい、対称双線形形態とコサインの法則と、2つのベクトル間の角度式の間には関係があります。
対称双線形形式は、2つのベクトルを取り入れ、スカラー値を生成する関数です。具体的には、フィールドFにベクトル空間Vがある場合、V上の対称双線形形式は関数B：V X V-> F 2つのプロパティを満たすものです。
    1. b（u、v）= b（v、u）すべてのu、v in v（対称性）
    2. b（u + v、w）= b（u、w） + b（v、w）およびb（cu、v）= cb（u、v）すべてのu、v、w in vおよびすべてのスカラーc in f（bilinearity）
ここで、Vに2つのベクトルuとvがあり、それらの間に角度のコサインを見つけたいとします。uからこれを行うためにDOT製品を使用できます。v = || u |||| v ||cos（theta）、ここで|| u ||および|| v ||それぞれuとvの大きさであり、シータはそれらの間の角度です。ただし、対称的な双線形形式の観点からDOT製品を表現することもできます。具体的には、vの対称双線形フォームを定義できます
b（u、v）= u。v
ここで。vはuとvのドット産物です。そして、私たちはそれを持っています
|| u |||| v ||cos（theta）= u。v = b（u、v）
コサインの法則を使用して、2つのベクトル間の違いの大きさを、それらの大きさの関数とそれらの間の角度を表現することもできます。具体的には、uとvがVの2つのベクトルである場合、その差の大きさ|| u -v ||によって与えられます
|| u -v ||^2 = || u ||^2 + || v ||^2-2 || u |||| v ||cos（シータ）
繰り返しになりますが、対称双線形の形でドット製品を表現できます。具体的には、vの対称双線形フォームを定義できます
b（u、v）= || u ||^2 + || v ||^2- || u -v ||^2 /2
それから、私たちはそれを持っています
2b（u、v）= 2 || u ||^2 + 2 || v ||^2- || u -v ||^2 = 4 || u ||^2 || v ||^2cos^2（theta）
b（u、v）= uであるという事実を使用します。V、取得します
|| u |||| v ||cos（theta）=（1/2）b（u、v）
したがって、コサインの法則と2つのベクトル間の角度式は、DOT積と上記の関数B（u、v）を介した対称双線形形式に関連していることがわかります。
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その中では本物です