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ホロモーフィック機能とCauchy-Riemannの方程式との関係を定義します
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ホロモルフィック関数は、ドメインのすべてのポイントで微分可能な複雑な関数です。つまり、複雑な変数とそれらの複雑なコンジュゲートに関して、連続的な第一次導関数を持つ関数です。

ホロモーフィック関数とコーシーリマンの方程式との関係は、複雑な関数がホロモルファである場合、コーシー - リマンの方程式が満たさなければならないという事実に基づいています。Cauchy-Riemann方程式は、複雑な関数がホロモーフィックであるために必要かつ十分な条件のセットであり、次のように自分自身を表現します。

f（z）= u（x、y） + iv（x、y）ドメインDで定義された複雑な関数とします。その後、f（z）はd siのホロモーフであり、次のコーシー方程式が満たされている場合にのみ - ：

∂U/∂x=∂V/∂y
∂u/∂y=-∂v/∂x
これらの方程式は、複雑な関数の理論といくつかの変数の関数の理論との間に基本的なつながりを確立します。特に、複雑な機能の理論の研究における重要なツールであるCauchyの定理やCauchyの積分式など、ホロモーフィック機能の多くの興味深い特性を実証することができます。