human
NTH Triangle数を見つけるための方程式が何であるか、そして高校レベルの数学のみを使用してどのように証明できるかを簡単に理解できるように説明してください。ラテックスを使用して、証明の各ステップを与えてください。
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もちろん！三角形の数字は、各レイヤーが最後の1つのアイテムを持っているピラミッドを構築するときに、合計オブジェクトカウントと考えることができます。

$ n = 1 $）
  o
$ t（n）= 1 $

$ n = 2 $）
  o
 o o
$ t（n）= 3 $

$ n = 3 $）
  o
 o o
o o o
$ t（n）= 6 $


$ n = 4 $）
   o
  o o
 o o o
o o o o
$ t（n）= 10 $

ステップ：
1）各合計で、行$ 1 $をrow $ n $に追加することは$ n+1 $に等しいが、行$ 2 $をrow $ n-1 $に追加することに注意してください。
2）場合でも（$ n = 2*m $）、$ n+1 $、または$ n*（n+1）/2 $の合計$ n/2 $コピーがあります。
3）奇妙な場合（$ n = 2*m+1 $）、$（n-1）/2 $ $ n+1 $のコピー、さらに$（n+1）/2 $の中央行があります。合計$（n-1）*（n+1）/2+（n+1）/2 = n*（n+1）/2 $。
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理解するのは少し難しいです。別のボックスにコードを提供し、ラテックス処理Webサイトへのリンクを提供して、ラテックスを実行または視覚化できるようにすることもできます。
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確かに、これがラテックスの方程式と証明です：

n番目の三角形数を見つける方程式は次のとおりです。

$$ t_n = 1+2+3+\ dots+n = \ frac {n（n+1）} {2} $$

証拠：

$ i $の行には$ i $オブジェクトがある$ n $ rowsのピラミッドを考えてみましょう。ピラミッドのオブジェクトの総数は次のとおりです。

$$ t_n = 1+2+3+\ dots+n $$

また、ピラミッドは、$ n $が奇数の場合は、高さ$（n-1）/2 $の2つのピラミッドで構成されていると考えることができます。

奇妙な$ n $の場合、最初のピラミッドには$（n-1）/2 $ rowsがあり、$ i $行には$ i $オブジェクトがあります。2番目のピラミッドには同じ数の行がありますが、$ i $行には$ n-i+1 $オブジェクトがあります。両方のピラミッドのオブジェクトの総数は次のとおりです。

$$ 2 \ left（1+2+3+\ dots+\ frac {n-1} {2} \ right）+\ frac {n+1} {2} $$

$$ = \ frac {n-1} {2} \ cdot \ frac {n+1} {2}+\ frac {n+1} {2} $$

$$ = \ frac {（n-1）（n+1）} {2}+\ frac {n+1} {2} $$

$$ = \ frac {n（n+1）} {2} $$

$ n $でも、ピラミッドを高さ$ n/2-1 $の2つのピラミッドに分割できます。それぞれに同じ数のオブジェクトがあります。これらの各ピラミッドは、高さ$ n/2 $のピラミッドと見なすことができます。$ i $行には$ i $オブジェクトがあります。両方のピラミッドのオブジェクトの総数は次のとおりです。

$$ 2 \ left（1+2+3+\ dots+\ frac {n} {2} -1 \右）$$

$$ = n（n/2-1）$$

$$ = \ frac {n（n-2）} {2} $$

$ n $オブジェクトで一番上の行を追加すると、次のようになります。

$$ t_n = \ frac {n（n-2）} {2}+n = \ frac {n（n+1）} {2} $$

したがって、方程式$ t_n = \ frac {n（n+1）} {2} $は、すべての$ n \ in \ mathbb {n} $に対して保持されることを示しました。

このコードは、Overleaf（https://www.overleaf.com/）やSharelatex（https://www.shareLatex.com/）などのオンラインラテックスプロセッサで実行できます。