human
段階的に、彼らはこの数学的機能の導関数を計算します。
`$ \ frac {1} {2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}} $`
gpt
この関数の最終派生物は次のとおりです。

$ \ frac {d} {dx} \ left（\ frac {1} {2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）} \ right）=  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}} $

段階的に、この関数の導関数を計算するには、次の手順を使用できます。

逆関数の差別化のルールを適用します。
$ \ frac {d} {dx} \ sin^{ -  1} {u} = \ frac {1} {\ sqrt {1-u^2}} \ cdot \ frac {dx} {dx} {dx} $ $ $ $ $ $ $

$ u = 2x-4 \ ln5 $の置換を使用して、関数の構成の形で関数を表現します。
$ f（x）= \ frac {1} {2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}} = \ frac {1} {2 \ sin^2 {\ sin {-1} {-1} {-1} {\ frac {u} {2}} \ right）}} $

関数の組成の差別化のルールを適用します。
$ \ frac {d} {dx} f（g（x））= f '（g（x））\ cdot g'（x）$

ここで、$ g（x）= 2x-4 \ ln5 $。

$ f（u）$の派生物を見つけます：
$ \ frac {d} {du} f（u）= \ frac {d} {du} \ left（\ frac {1} {2 \ sin^2 {\ sin^{ -  1} {\ frac {u} {2}} \ right）} \ right）=  -  \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {d} {du} \ left（\ sin^{-2} {\ left（\ left（\ left（\ left） （\ left（\ left（\ left（\ left（\ left（\ left（\ left（\ left）））） （\左sin^{ -  1} {\ frac {u}} \ right）} \ right）$

逆関数の差別化のルールを使用します。
$ \ frac {d} {du} \ sin^{ -  1} {\ frac {u} {2} = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {u^2} {4}}}}}} }}}}}}}}}}}}}}} \ cdot \ frac {d} {du} \ left（\ frac {u} {2} \ right）= \ frac {1} {\ sqrt {4-u^^^^ 2} \ cdot \ frac {1} {2} $

関数$ \ sin^{-2} {v} $の派生物を見つける
$ \ frac {d} {dv} \ sin^{ -  2} {v} = -2 \ sin^{ -  3} {v} \ cdot \ cos {v} $ $ $ $

$ v = \ sin^{-1} {\ frac {u} {2}} $の置換を使用して、$ f（u）$の導関数の手順5および6の結果を置き換えます。
$ \ frac {d} {du} f（u）=  -  \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {d} \ sin^{-2} {\ left（\ sin^{ -  1} {\ \ frac {u} {2}} \ right）} =  -  \ frac {1} {2} \ cdot \ left（-2 \ sin^{ -  3} {\ left（\ sin^{-1} {\ frac {u} {2}} \ right）} \ cdot \ cos {\ left {-1} {\ frac {u}} \ right）} \ right）= \ frac {\ cos {\ left（\ sin^{{ -1} {\ frac {u
human
次に、同じ関数の2番目の導関数を計算します。
gpt
1.プライベート機能の差別化のルールを使用します。

$ $ \ frac {d} {dx} \ left（\ frac {f（x）} {g（x）\ right）= \ frac {f '（x）g（x）-g'（x）f。 （x）} {（g（x）^2} $ $

2.関数の数を示します$  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}} $ as $ f（x（x） ）$、および分母は$ g（x）$：

$ $ f（x）= -4 \ cos {（2x -4 \ ln5）} $ドル
$ $ g（x）= 2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）} $ドル
3.分子と分母の導関数を見つけます。

$ $ f '（x）= 8 \ sin {（2x-4 \ ln5）} $ドル
$ $ g '（x）= 6 \ cdot2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）} \ cdot2 \ cos {（2x-4 \ ln5）} = 24 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5 ）} \ cos {（2x-4 \ ln5）} $ $
4.見つかった値を、私的機能の導関数の式に置き換えます。

$ $ \ frac {d} {dx} \ left（ -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）} \右） = \ frac {（8 \ sin {（2x-4 \ ln5）} \ cdot（2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}） - （24 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5） } \ cos {（2x-4 \ ln5）} \ cdot（-4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}}}}} {（2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}}^2}}} $ドル
5.分子の式を簡素化します。

$ Dollar（8 \ sin {（2x-4 \ ln5）}）\ cdot（2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}） - （（24 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}） }}}} \ cos {（2x-4 \ ln5）}）\ cdot（-4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}）$ $
$ $ = 16 \ sin^4 {（2x-4 \ ln5）} + 96 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）\ cos^2 {（2x-4 \ ln5）} $ドル
$ $ = 16 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（\ sin^2 {（2x-4 \ ln5）} + 6 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}）$ $
$ $ = 16 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}）$ドル
6.私的機能の派生物の式の単純化された式をフォーミュラに置き換え、さらに単純化します。

\ ln5）}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}}} \ right）= \ frac {16 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^ 2 {（2x-4 \ ln5）}}}} {（2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}）^2} $ドル
$ $ = \ frac {16 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}}} {8 \ sin^6 {（2x-4（2x-4 \ ln5）}} $ $
$ $ = \ frac {2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}}} {\ sin^6 {（2x-4 \ ln5）}} $ $
$ $ = \ frac {2（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x-4 \ ln5）}}} $ドル
7.したがって、私たちは最終的に取得します：

$ $ \ frac {d} {dx} \ left（ -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）} \右） =  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}} \ cdot \ frac {（1 + 5 \ cos^2 {（（（（）） 2x -4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x -4 \ ln5）}} $ $
$ =  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x-4 \ ln5） }} $ $

したがって、この関数の導関数は次のとおりです。

$  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x-4 \ ln5）}} }}}} $

ラテックスでは、これは次のように記録できます。

$ $ \ frac {d} {dx} \ left（ -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）} \右） =  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x-4 \ ln5）}} }}}}}}}}}}} $
human
これらの式が真であることを確認する方法は？
gpt
二重微分の正しさを確認するには、2回介入できます。結果として初期関数が取得された場合、導関数は正しく取得されました。