Detrended Fluctuation Analysis（DFA）は、時系列データセットの長期的な変動または相関を定量化するために使用される統計的方法です。DFAの背後にあるアイデアは、データからトレンドやローカルトレンドを削除することで、結果として生じる変動が分析しやすくなります。

DFAアルゴリズムは、時系列データを等しい長さの重複するウィンドウに分割し、多項式ラインを各ウィンドウに適合させて、トレンドやローカルトレンドを削除することで機能します。多項式適合からの残差は、データに存在する変動を定量化するために使用されます。プロセスはさまざまなウィンドウサイズで繰り返され、結果として生じる変動はウィンドウサイズの関数としてプロットされます。このプロットは、DFAスケーリングプロットと呼ばれます。

DFAスケーリングプロットは、データの長期的な相関または変動の存在を定量化するために使用されます。変動がウィンドウサイズの電力法関係に続いている場合、金融市場、生物システム、気候パターンなど、多くの複雑なシステムの特徴である統計的自己親和性の存在を示します。

統計的自己親和性とは、システムが異なる時間尺度で同じ統計的特性を持っているという特性を指します。言い換えれば、セルフアフィンであるシステムは、短期間または長期的なスケールでデータを見ているかどうかに関係なく、変動の同様のパターンを示します。

DFAは、時系列データを分析し、長期的な相関の存在を定量化するために、金融、生物学、気候科学、物理学など、さまざまな分野で使用されています。たとえば、金融では、DFAを使用して、株式市場のリターンにおける長期的な相関を研究することができ、気候科学では、世界の温度パターンの長期的な変動を研究するために使用できます。

要約すると、DFAは、時系列データの長期的な相関または変動の存在を定量化するために使用される統計的方法であり、複雑なシステムとパターンを研究するためにさまざまな分野で使用されます。
Detrended Fluctuation Analysis (DFA) is a statistical method used to quantify the long-term fluctuations or correlations in a time series data set. The idea behind DFA is to remove trends or local trends from the data, so that the resulting fluctuations are easier to analyze.

The DFA algorithm works by dividing the time series data into overlapping windows of equal length and fitting a polynomial line to each window to remove any trends or local trends. The residuals from the polynomial fit are used to quantify the fluctuation present in the data. The process is repeated for different window sizes, and the resulting fluctuations are plotted as a function of window size. This plot is called the DFA scaling plot.

The DFA scaling plot is used to quantify the presence of long-term correlations or fluctuations in the data. If the fluctuations follow a power law relationship with window size, it indicates the presence of statistical self-affinity, which is a characteristic of many complex systems, such as financial markets, biological systems, and climate patterns.

Statistical self-affinity refers to the property that a system has the same statistical properties over different time scales. In other words, a system that is self-affine will show similar patterns of fluctuation regardless of whether you are looking at the data over a short or long time scale.

DFA is used in a variety of fields, including finance, biology, climate science, and physics, to analyze time series data and quantify the presence of long-term correlations. For example, in finance, DFA can be used to study the long-term correlations in stock market returns, and in climate science, it can be used to study the long-term fluctuations in global temperature patterns.

In summary, DFA is a statistical method used to quantify the presence of long-term correlations or fluctuations in time series data, and it is used in a variety of fields to study complex systems and patterns.