問題がNPハードとして分類される場合、それは少なくともNP（非決定的多項式時間）として知られる問題のクラスで最も難しい問題と同じくらい難しいことを意味します。NPの問題は、複数のソリューションを同時に探索できる仮想マシンである非決定的チューリングマシンによって、多項式時間に解決できる決定問題です。

一方、NPハードの問題は、少なくともNPで最も難しい問題と同じくらい難しい問題です。言い換えれば、NPハードの問題を多項式時間に解決できる場合、NPのすべての問題も多項式時間で解決することができます。

NP-Hardnessの概念は、解決が困難な問題を特定するのに役立つため、コンピューターサイエンスと数学において重要です。旅行セールスマンの問題やナップサックの問題など、多くの最適化の問題はNPハードです。これらの問題を効率的に解決できるかどうかは現在知られていませんが、研究者はある程度の精度の範囲内でソリューションを近似できるアルゴリズムを開発しました。
When a problem is classified as NP-Hard, it means that it is at least as difficult as the hardest problems in the class of problems known as NP (Non-deterministic Polynomial time). NP problems are decision problems that can be solved in polynomial time by a non-deterministic Turing machine, a hypothetical machine that can explore multiple solutions simultaneously.

An NP-Hard problem, on the other hand, is a problem that is at least as hard as the hardest problems in NP. In other words, if an NP-Hard problem could be solved in polynomial time, then all problems in NP could also be solved in polynomial time.

The concept of NP-Hardness is important in computer science and mathematics because it helps to identify problems that are difficult to solve. Many optimization problems, such as the traveling salesman problem and the knapsack problem, are NP-Hard. While it is not currently known whether these problems can be solved efficiently, researchers have developed algorithms that can approximate solutions to within a certain degree of accuracy.