高調波発振器の地面と最初の励起状態の組み合わせは、時間に依存しない波動関数を形成します。これは、特定の場所で発振器を見つける確率密度が時間とともに変化することを意味します。

なぜそうなのかを理解するために、波動関数の時間的進化を考慮することができます。高調波発振器の波動関数は、基底状態と最初の励起状態の合計として書くことができます。そこでは、基底状態が最低のエネルギー状態であり、最初の励起状態はわずかに高いエネルギーを持っています。基底状態には、発振器の平衡位置に対称的に分布する確率密度がありますが、最初の励起状態には片側にわずかにシフトされる確率密度があります。

時間が経つにつれて、波動関数は周期的な振動を受け、振動の振幅は時間とともに増加します。これは、基底状態と最初の励起状態がわずかに異なる周波数を持ち、互いに干渉すると、結果の波動関数の振幅が時間とともに変化するためです。この振幅の変化は、特定の場所で発振器を見つける確率密度の対応する変化につながります。

特に、基底状態と最初の励起状態が同じ位相を持つ領域では、建設的な干渉が発生し、それらの領域の確率密度が増加します。逆に、基底状態と最初の励起状態が反対の位相を持つ領域は、破壊的な干渉を経験し、それらの領域の確率密度の減少につながります。

全体として、これは、特定の場所で発振器を見つける確率密度が、基底状態と最初の励起状態との間の干渉の結果として時間とともに定期的に変化することを意味します。この現象は量子ビートとして知られており、わずかに異なるエネルギーまたは周波数を持つ状態の重ね合わせにある量子システムの一般的な特徴です。
The combination of the ground and first excited states of a harmonic oscillator forms a wave function that is not time-independent. This means that the probability density of finding the oscillator at a particular location changes with time.

To understand why this is the case, we can consider the time-evolution of the wave function. The wave function for a harmonic oscillator can be written as a sum of the ground state and the first excited state, where the ground state is the lowest energy state and the first excited state has slightly higher energy. The ground state has a probability density that is symmetrically distributed around the equilibrium position of the oscillator, while the first excited state has a probability density that is shifted slightly to one side.

As time passes, the wave function undergoes periodic oscillations, with the amplitude of the oscillations increasing over time. This is because the ground state and the first excited state have slightly different frequencies, and as they interfere with each other, the amplitude of the resulting wave function changes with time. This change in amplitude leads to a corresponding change in the probability density of finding the oscillator at a particular location.

In particular, the regions where the ground state and the first excited state have the same phase will experience constructive interference, leading to an increase in the probability density in those regions. Conversely, the regions where the ground state and the first excited state have opposite phase will experience destructive interference, leading to a decrease in the probability density in those regions.

Overall, this means that the probability density of finding the oscillator at a particular location will change periodically with time as a result of the interference between the ground state and the first excited state. This phenomenon is known as quantum beats and is a general feature of quantum systems that are in a superposition of states with slightly different energies or frequencies.