回答：$ \ sqrt {\ pi} $。

解決：
$ i = \ int _ { -  \ infty}^\ infty e^{ -  x^2} dx $を次の方法で計算できます。
1.最初に、積分を四角く：
$$ i^2 = \ left（\ int _ { -  \ infty}^\ infty e^{ -  x^2} dx \ right）^2 = \ int _ { -  \ infty}^\ infty \ int _ { -  \ infty}^\ infty e^{ -  x^2} dx dy。$$
2.極座標に切り替えます。$ dx dy = r d \ theta dr $：
$$ i^2 = \ int_0^\ infty \ int_0^{2 \ pi} e^{ -  r^2} r d \ theta dr。$$
3.積分を計算します。
$$ \ begin {align*}
i^2＆= \ int_0^\ infty \ int_0^{2 \ pi} e^{ -  r^2} r d \ theta dr \\
＆= \ int_0^\ infty 2 \ pi e^{ -  r^2} r dr \\
＆=  -  \ pi e^{ -  r^2} \ bigg \ lvert_0^\ infty \\
＆= \ pi。
\ end {align*} $$
$ i^2 = \ pi $であるため、$ i = \ sqrt {\ pi} $を取得します。
Answer: $\sqrt{\pi}$.

Solution:
We can calculate $I = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$ in the following way:
1. First, square the integral:
$$I^2 = \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right)^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx dy.$$
2. Switch to polar coordinates. Recall that $dx dy = r d \theta dr$:
$$I^2 = \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r d\theta dr.$$
3. Calculate the integral.
$$\begin{align*}
I^2 &= \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r d\theta dr\\
&= \int_0^\infty 2 \pi e^{-r^2} r dr\\
&= - \pi e^{-r^2} \bigg \lvert_0^\infty\\
&= \pi.
\end{align*}$$
Since $I^2 = \pi$, we get $I = \sqrt{\pi}$.