あなたは正しいです、混乱して申し訳ありません。「お元気ですか？」というフレーズ文法的に正しいことではありません。この質問をする正しい方法は、「お元気ですか？」です。

この間違いが解決したメールは次のとおりです。
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親愛なる教授へ、

うまくいけば、この電子メールがあなたをうまく見つけることを願っています。メリークリスマスと幸せなホリデーシーズンをお祈りします。

また、博士課程プログラムを正常に開始し、これまでにすべてが順調に進んでいることをお知らせしたかったのです。

お元気ですか？あなたがホリデーシーズンを楽しんでいて、すべてがあなたにとってうまくいっていることを願っています。

幸運をお祈りしています、
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You are correct, sorry for the confusion. The phrase “How you have been doing?” is not grammatically correct. The correct way to ask this question would be “How have you been doing?”

Here is the email with this mistake resolved:
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Dear Professor,

Hopefully this email finds you well. I wish you a very merry Christmas and a happy holiday season.

I also wanted to let you know that I have successfully started my PhD program and everything has been going well so far.

How have you been doing? I hope that you have been enjoying the holiday season and that everything is going well for you.

Best wishes,
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