1.基本概念：

•open：a⊆rサブセットは、各ポイントx v aにε> 0に対応する周囲の一部があるようなものです。

•セットのオープンコーティング：多くのオープンセット、条件を満たします。

2.補題ハイネボレル：

•Lemmaによると、オープンコーティングのセグメント[0.1]には、最終的なサブローメントがあると言います。

•補題の証明は、[0、b]の最終的な亜種が存在するように、すべてのbを含むセットBの考慮から続きます。

•明らかに、1]、ε₀> 0を構築できるため、開いたセットの条件を満たし、[0、ε₀）⊆bを示します。

•次に、正確な上線b₀が存在し、条件を満たすことを示すことができます：b₀> = max {b₁、b₂、...、bₙ}。これは、b₀、b₂、...、bₙの最大関数でb₀を表すことで証明できます。したがって、私たちはb₀が正確な上線Bであると主張することができます。
1.	Основные понятия:

•	Открытое множество: подмножество A⊆R такое, что для каждой точки x в A существует некоторая её окрестность соответствующая ε>0.

•	Открытое покрытие множества: множество открытых множеств, удовлетворяющее условию A⊆∪𝒞.

2.	Лемма Гейне-Бореля:

•	Лемма гласит, что для любого открытого покрытия 𝒞 отрезка [0,1] существует конечное подпокрытие 𝒞'.

•	Доказательство леммы следует из рассмотрения множества B, содержащего все b такие, что существует конечное подпокрытие 𝒞'⊆𝒞 для [0,b].

•	Очевидно, что 1∈B, так как мы можем построить ε₀>0, удовлетворяющее условиям открытого множества, и показать, что [0,ε₀)⊆B.

•	Затем мы можем показать, что точная верхняя грань b₀ существует и выполняет условие: b₀ >= max{b₁, b₂, ..., bₙ}. Это может быть доказано путем представления b₀ как максимум из функций b₁, b₂, ..., bₙ и, следовательно, что b₀ является верхней гранью этих функций. Таким образом, мы можем утверждать, что b₀ является точной верхней гранью B.