関数の曲線下面積は積分の定義を使って計算できる。これは、曲線下の領域を無限小の領域に分割し、すべての領域を合計することを含む。例として、2次関数 y = x2 + 2x + 3 を考えてみよう。曲線下の面積は次のように計算できる：

まず、積分の限界（関数が定義されている区間）を求める。この場合、積分の限界は-∞から+∞である。

ここで、積分の近似を得るために、区間をN等分する。曲線の下の面積を計算するには、台形の法則を使う。この法則は，曲線の下の面積は，区間の両端と中点で作られたN個の台形の面積の和にほぼ等しいことを述べている．

例えば、区間を4等分し、極限を-∞, -2, 0, 2, +∞とすると、y = x2 + 2x + 3の曲線の下の面積は次のように計算できる：

曲線下面積 = (1/2) (y₋₂ + y₀ + y₊₂ + y₂ + y₊₂ (2).

= (1/2) (4 + 6 + 10) (2) + (1/2) (4 + 10 + 16) (2)

= 36 + 36

= 72
El área bajo la curva de una función se puede calcular utilizando la definición de integrales. Esto implica dividir la región bajo la curva en áreas infinitesimales y sumar todas las áreas. Como ejemplo, consideremos la función cuadrática y = x2 + 2x + 3. El área bajo la curva se puede calcular como sigue:

Primero, encontramos los límites de integración, que es el intervalo en el que está definida la función. En este caso, los límites de integración son de -∞ a +∞.

Ahora, dividimos el intervalo en N partes iguales para obtener una aproximación de la integral. Para calcular el área bajo la curva, utilizamos la regla del trapecio. Esta regla establece que el área bajo la línea curva es aproximadamente igual a la suma de los áreas de los N trapecios construidos con los extremos y el punto medio del intervalo.

Por ejemplo, si dividimos el intervalo en 4 partes iguales, con límites -∞, -2, 0, 2 y +∞, entonces el área bajo la curva de y = x2 + 2x + 3 se puede calcular como:

Área bajo la curva = (1/2) (y₋₂ + y₀ + y₂) (2) + (1/2) (y₋₂ + y₂ + y₊₂) (2)

= (1/2) (4 + 6 + 10) (2) + (1/2) (4 + 10 + 16) (2)

= 36 + 36

= 72