これを証明するために、ピアノの8つの公理を定義する必要があります。
1-∀x、¬（sx = 0）|つまり、0は後継者ではないことを意味します。これは最初の整数です
2-∀x、（x =0∨∃y、x = s（y））|私たちが数字を取る場合、彼はゼロであるか、彼が別のものの後継者です
3-∀x、∀y、（s（x）= s（y）⇒x= y）|2つの数値のそれぞれの後継者が等しい場合、これらの2つの数値は等しくなります。言い換えれば、後継機能は注射です！
4-∀x、（x+0 = x）|任意の数に0を追加しても、この数値は変更されません。言い換えれば、0はニュートラル要素です。
5-∀x、∀y、（x+s（y）= s（x+y））|後継者を別の数字に追加する数字は、これら2つの数字の合計の後継者に等しくなります
6-∀x、x.0 = 0 |任意の数に0を掛けて0は0に等しくなります。0は、SO -CALLED吸収要素です。
7-∀x、∀y、（x.s（y）=（x.y）+x）|実際、ここに呼び出されるのは乗算の分布です
8-任意の式ϕ（x、x1、…、xn）の場合、n+1変数、∀x1、…、∀xn、（（φ（0、x1、…、xn）∧（∀x（φ（s）） x）、x1、…、xn）））））））⇒∀x、φ（x、x1、…、xn）））））
この最後の公理は、再発特性に強く似ています。

したがって、上記のピアノ公理の一部を使用します。
1+1から始めましょう。1が0の後継者であるという事実を使用します。
1+1 = 1+s（0）

次に、5番目の公理を使用します。
1+s（0）= s（1+0）

次に、4番目の公理：
s（1+0）= s（1）

したがって、私たちはそれを結論付けます
S（1）= 2

それで ：
1+1 = 2
Afin de prouver cela, il convient de définir les 8 axiomes de Peano :
1- ∀x,¬(sx=0) | Cela veut donc dire 0 n’est le successeur de personne, c’est le premier entier
2- ∀x,(x=0∨∃y,x=s(y)) | Si on prend un nombre, soit il est nul, soit il est le successeur d’un autre
3- ∀x,∀y,(s(x)=s(y)⇒x=y) | Si les successeurs respectifs de deux nombres sont égaux alors ces deux nombres sont égaux. Dit autrement, la fonction successeur est injective !
4- ∀x,(x+0=x) | Ajouter 0 à tout nombre ne change pas ce nombre. Autrement dit, 0 est un élément neutre.
5- ∀x,∀y,(x+s(y)=s(x+y)) | Un nombre auquel on ajoute le successeur d’un autre nombre est égal au successeur de la somme de ces deux nombres
6- ∀x,x.0=0 | Tout nombre multiplié par 0 est égal à 0. 0 est un élément dit absorbant.
7- ∀x,∀y,(x.s(y)=(x.y)+x) | C’est en fait la distributivité de la multiplication qui est invoquée ici
8- Pour tout formule ϕ(x,x1​,…,xn​) à n+1 variables, ∀x1​,…,∀xn​,((φ(0,x1​,…,xn​)∧(∀x(φ(s(x),x1​,…,xn​))))⇒∀x,φ(x,x1​,…,xn​))​
Ce dernier axiome ressemble fortement à une propriété de récurrence.

On va donc utiliser pour cela certains des axiomes de Peano énoncés plus haut.
Partons de 1+1. On utilise le fait que 1 est le successeur de 0 :
1+1=1+s(0)

On utilise ensuite le cinquième axiome :
1+s(0)=s(1+0)

Puis le quatrième axiome :
s(1+0)=s(1)

On en conclut donc que
s(1)=2

Ainsi :
1+1=2