以下は、$T(n)=O(n^3)$のLaTeXによる形式的帰納法の証明である：

\begin{proof}である。
すべての $n に対して、 $T(n) =O(n^3$ となるような正の定数 $c$ と $n_0$ が存在することを示したい。

c = 15 + 1 + 4/n_0^3$ と $n_0 = 2$ を選べばよい。このとき、すべての $n に対して、 $n_0$ が成り立つ、

\begin{align*}となる。
T(n) &= 15n^3 + n^2 + 4 $n_0^3$ である。
&leq 15n^3 + n^3 + n^3 Γ
&= (15+1+1)n^3 \
&leq 17n^3
&leq c  \cdot n^3
\end{align*}

よって、$T(n) = O(n^3)$.
\end{proof}
Here's a formal induction proof of $T(n)=O(n^3)$ in LaTeX:

\begin{proof}
We want to show that there exist positive constants $c$ and $n_0$ such that for all $n \geq n_0$, we have $T(n) \leq c \cdot n^3$.

We can choose $c = 15 + 1 + 4/n_0^3$ and $n_0 = 2$. Then, for all $n \geq n_0$,

\begin{align*}
T(n) &= 15n^3 + n^2 + 4 \
&\leq 15n^3 + n^3 + n^3 \
&= (15+1+1)n^3 \
&\leq 17n^3 \
&\leq c \cdot n^3.
\end{align*}

Therefore, $T(n) = O(n^3)$.
\end{proof}