ポークアレの仮説は、各スムーズなコンパクトシングル - ハイ型の3次元の3次元の多様性（境界なし）の3次元の球体の3次元球の球体$ 3であることを示唆しています。幾何学の関連する仮説は、次の3つの操作の最終量を使用して、一定の湾曲の8つのモデル多様性から得られる方向の滑らかなコヒーレントなコンパクトな3次元の多様性を得ることができることを示唆しています。グループ、$ 2の2次元球に沿って2つの多様性を接着し、2次元トーラス$ 2に沿って2つの多様性を接着します。ペレルマンの前に、ポアキの仮説が幾何学の仮説に起因することが知られていました。ペレルマンは3つの作品を発表しました。そこでは、リッチの流れの研究を使用して、幾何学の仮説の証拠に関する研究を本質的に完了しました。

2次元の多様性には、均一な定理があります（Poincare、Kyoba、1907）：$ m $の各コヒーレントコンパクト面では、一定の曲率$ g $のメトリックを設定できます。そのため、一定の曲率の3つのモデル多様性の1つの1つの1つのコンパクトなコヒーレント2-ダイバーの因子因子想像型タイプ、$ s^$ 2（曲率1の球体）、$ r^2 $（曲率0のユークリッド小便0 ）、または、このリモノフ品種の等尺性グループのサブグループの1つによると、$ h ^$ 2（曲率-1の双曲線平面）。この定理から、境界のない2つの次元コヒーレントコンパクト品種すべての分類を取得することは難しくありません。

たとえば、リマンの展示の定理などの複雑な分析ツールを使用するなど、ユニフォームの定理を証明する方法はたくさんあります。1980年代にHamilonnoyeによって開始され、（実際）ペレルマンによって完成されたポアンカの形状仮説と仮説の証拠に対するプロジェクトのアイデアは、リッチストリームを使用したユニフォームの定理の証拠に基づいています。
Гипотеза Пуанкаре говорит о том, что каждое гладкое компактное односвязное трёхмерное многообразие (без границы) диффеоморфно трёхмерной сфере $S^3$. Связанная с ней гипотеза о геометризации говорит о том, что любое ориентированное гладкое связное компактное трёхмерное многообразие может быть получено из 8 модельных многообразий постоянной кривизны применением конечного количества следующих трёх операций: взятие фактор-многообразия по подгруппе группы изометрий, склеиванию двух многообразий вдоль двумерной сферы $S^2$ и склеиванию двух многообразий вдоль двумерного тора $T^2$. До Перельмана было известно, что гипотеза Пуанкаре вытекает из гипотезы о геометризации. Перельман опубликовал 3 работы, в которых он по сути завершил работу по доказательству гипотезы о геометризации с помощью исследования потоков Риччи.

Для двумерных многообразий есть теорема униформизации (Пуанкаре, Кёбе, 1907 г.): на каждой связной компактной поверхности $M$ можно задать метрику постоянной кривизны $g$. Из неё следует, что любое компактное связное двумерное многообразие диффеоморфно фактор-многообразию одного из трёх модельных многообразий постоянной кривизны, $S^2$ (сфера с кривизной 1), $R^2$ (Евклидова плоскость с кривизной 0), или $H^2$ (гиперболическая плоскость с кривизной -1), по одной из подгрупп группы изометрий этого Римонова многообразия. Из этой теоремы несложно получить классификацию всех двумерных связных компактных многообразий без границ.

Существует много способов доказать теорему униформизации, например, с использованием сложных аналитических инструментов, таких как теорема об отображении Римана. Идея проекта доказательства гипотезы о геометризации и гипотезы Пуанкаре, начатая Гамильноном в 1980-ых и (по сути) завершенная Перельманом основана на доказательстве теоремы униформизации с использованием потока Риччи.