バケツの正確な形状を知らずにバケツに収まる大理石の正確な数を知ることは不可能です。結果は、バケツ内の大理石の正確な配置にも依存します。

 ただし、密接な見積もりを考え出すことは可能です。

*直径1/2インチの大理石のボリュームは、球体のボリュームに式を使用して、0.06545立方インチになります。V= 4/3 *π * r^3
*立方インチの1ガロンのバケツのボリュームは231です
*梱包密度は、ビー玉によって満たされた総体積の割合として定義されます
*理想的なケースでの球体型の大理石の絶対最大梱包密度は、顔中心のキュービックパッキングと六角形の密閉梱包の両方で同じであるものです。
*バケツの体積を梱包比に掛けると、大理石の体積、171.05立方インチが得られます
*大理石のボリュームでビー玉を分割すると、ビー玉の数が得られます。これは2613です

したがって、2613は、ビー玉が理想的に詰め込まれていると仮定して、バケツに収まるものの数の絶対的な制限であり、バケツの形状をこのように詰めることができます。実際には、数はおそらくかなり低いでしょう。

ゆるいランダムパッキング、つまり、バケツを整理したり、沈殿させようとせずにバケツに大理石を注ぐだけで、梱包率は約0.6になります。以前と同じ手順を使用して、バケツに2117の大理石が得られます。

したがって、私たちの最後の答えとして、1ガロンのバケツに収まる直径1/2インチの大理石の数は、2117〜2613の大理石の間にあります。
It is impossible to know the exact number of marbles that fit in the bucket without knowing the exact shape of the bucket. The result also depends on the exact arrangement of the marbles in the bucket.

 It is possible however, to come up with a close estimate:

* The volume of one 1/2-inch diameter marble comes to 0.06545 cubic inches, using the formula for a volume of a sphere, V = 4/3 * π * r^3
* The volume of the 1-gallon bucket in cubic inches is 231
* Packing density is defined as the fraction of total volume that is filled by the marbles
* The absolute maximum packing density for sphere shaped marbles in an ideal case is one that is the same for both face-centered cubic packing and hexagonal close packing, that is π / (3√2) = 0.74048
* Multiplying the volume of the bucket with the packing ratio we get the volume of the marbles, 171.05 cubic inches
* Dividing the volume of the marbles by the volume of a single marble gives us the number of marbles, which is 2613

So, 2613 is the absolute limit for how many marbles can fit in the bucket, assuming the marbles are ideally packed, and the shape of the bucket allows them to be packed in this way. In reality the number will most likely be a fair bit lower.

For a loose random packing, i.e. a case where you simply pour the marbles in the bucket without organizing them or trying to get them to settle, the packing fraction would be around 0.6. Using the same steps as before, this would give us 2117 marbles in the bucket.

So, as our final answer, the number of 1/2-inch diameter marbles that fits in a 1-gallon bucket is somewhere between 2117 and 2613 marbles.