確かに、私はそれを一般的に説明し、それからより正確に説明します。

Infinityは、無限の何かの概念です。
それは、あなたが何かを「直接」または測定することはできないことを大まかに意味します。
たとえば、1〜3の間で自然数を数えることはできますが、すべての自然数を数えることはできません。

さまざまな種類の数字もあります。
自然数：{1,2,3 ...}
整数：{...、-1、0、1、2、...}
合理的な数字：{-1/9、3/9、1、-2、1/3、0.333、...}
実数：{pi、2、-1、1/3、...}}
もっと

よりシンプルな種類の数字を学ぶことから始めることをお勧めします。
したがって、先生がInfinityが数ではないと言うとき、Infinityがこれらの種類の数字に収まらないという単純化。
数学の勉強に深く入り込むと、無限を「ハイパーリアル番号」と定義できますが、これは非常に進んでいます。

あなたの友達の声明について：
Infinityは実数ではないため、「Infinity + Infinity = Infinity」のように、同じ実数追加演算子（ +）を使用することはできません。
「Cardinal Arithmetic」と呼ばれる理論の数学的定義を使用して、追加演算子（+）を一般化できます。
したがって、「Infinity + Infinity = Infinity」は真実です。「Cardinal Arithmetic」を使用していることを明確に述べている場合。
しかし、追加は追加の定義に依存しており、「1+2.2 = 3.2」とまったく同じ追加ではないことを思い出さなければなりません。

実際、無限には複数の種類もありますが、ほとんどの場合、Aleph-0と呼ばれる無限について話します。

Infinityは非常に有用な概念であるため、数学のコア仮定または公理を定義するためにも使用されています。
たとえば、数学の最も人気のある基本理論である「Zermelo-Fraenkelセット理論」の「無限の公理」。
Sure, i will explain it in general and then more precisely.

Infinity is a concept for something endless.
It roughly means, that you can't "directly" count or measure something. 
For example, you can count the natural numbers between 1 and 3 but you can't count all natural numbers.

There are also different kinds of numbers.
Natural numbers: {1,2,3...}
Whole numbers: {..., -1, 0, 1, 2,...}
Rational numbers: {-1/9, 3/9, 1, -2, 1/3, 0.333, ...}
Real numbers: {pi, squareroot of 2, -1, 1/3, ...}
and more

It is better to start by learning the simpler kinds of numbers.
So when your Teacher says that infinity is not a number, its the simplification that infinity does not fit within these kinds of numbers.
When you get deep into studying math, you can define infinity as a "Hyperreal number", but this is quite advanced.

Regarding to your friends statement:
Because infinity is not a real number, you can't just use the same real number addition operator (+) like: "infinity + infinity = infinity".
You can use the mathematic definitions of a theory called "cardinal arithmetic" to generalize the addition operator (+).
So "infinity + infinity = infinity" is true, if you clearly state that you are using "cardinal arithmetic".
But you have to be remind yourself, that the addition relies on additional definitions and is not quite the same addition as in "1+2.2=3.2".

In fact, there are even multiple kinds of infinity, but most times we talk about the infinity called aleph-0.

Infinity is such a useful concept, that its even used to define the core assumptions or axioms of Math.
For example the "Axiom of infinity" in "Zermelo-Fraenkel set theory", the most popular fundamental Theory of math.