中央値$mu$、分散$sigma^2$の正規分布の尤度関数を求めるには、次のようにする：

ステップ1：中央値$mu$、分散$sigma^2$の正規分布の確率密度関数(PDF)を書き出す。これは次式で与えられる：

$f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

このPDFは、パラメータ$mu$と$sigma^2$の値が与えられたとき、$x$の値を観測する確率を表している。

ステップ2: この正規分布から独立同分布(iid)されたオブザベーション$x_1, x_2, \dots, x_n$の集合があると仮定する。尤度関数は、パラメータ $mu$ と $sigma^2$ が与えられたときのオブザベーションの結合確率密度関数である。オブザベーションは同値なので、尤度関数は各オブザベーションのPDFの積で与えられる：

L(♪mu, ♪sigma^2 | x_1, x_2, ♪dots, x_n) = ♪prod_{i=1}^n f(x_i | ♪mu, ♪sigma^2)$ である。

ステップ3：正規分布のPDFを尤度関数に代入します：

L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, Γdots, x_n) = Γprod_{i=1}^n Γfrac{1}{sqrt{2pisigma^2}}e^{-Γfrac{(x_i-Γ)^2}{2sigma^2}}$ となります。

ステップ4: 計算を簡単にするために、単調変換である尤度関数の自然対数をとる：

ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, Γdots, x_n) = -frac{n}{2}ln(2pisiigma^2) - Γfrac{1}{2sigma^2}sum_{i=1}^n (x_i-Γ)^2$.

ステップ5：パラメータ$mu$と$sigma^2$の最尤推定量(MLE)を求めるには、尤度関数を最大化する$mu$と$sigma^2$の値を求める必要がある。これは、$mu$と$sigma^2$に関して対数尤度関数の偏導関数をとり、それらをゼロに等しくして、パラメータを解くことでできる。

対数尤度関数の$mu$に関する偏導関数をとってゼロとすると、次のようになる：

L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, Γdots, x_n) = Γfrac{1}{sigma^2} Γsum_{i=1}^n (x_i-Γmu) = 0$ である。

を解くと、$mu$が得られる：

hat{mu}{text{MLE}} = \frac{1}{n}sum{i=1}^n x_i$ となる。

対数尤度関数の$sigma^2$に関する偏導関数をとってゼロとすると、次のようになる：

ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, Γdots, x_n) = -Γ{n}{2Γ^2}である。+ \frac{1}{2(\sigma^2)^2} sum_{i=1}^n (x_i mi mi)^2 =
To find the likelihood function for a normal distribution with median $\mu$ and variance $\sigma^2$, follow these steps:

Step 1: Write down the probability density function (PDF) of the normal distribution with median $\mu$ and variance $\sigma^2$. It is given by:

$f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

This PDF describes the probability of observing a value of $x$ given the values of the parameters $\mu$ and $\sigma^2$.

Step 2: Assume that you have a set of independent and identically distributed (iid) observations $x_1, x_2, \dots, x_n$ from this normal distribution. The likelihood function is the joint probability density function of the observations, given the parameters $\mu$ and $\sigma^2$. Since the observations are iid, the likelihood function is given by the product of the PDFs of each observation:

$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma^2)$

Step 3: Substitute the PDF of the normal distribution into the likelihood function:

$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Step 4: Take the natural logarithm of the likelihood function, which is a monotonic transformation, to simplify the calculations:

$\ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2$

Step 5: To find the maximum likelihood estimator (MLE) of the parameters $\mu$ and $\sigma^2$, we need to find the values of $\mu$ and $\sigma^2$ that maximize the likelihood function. This can be done by taking the partial derivatives of the log-likelihood function with respect to $\mu$ and $\sigma^2$, setting them equal to zero, and solving for the parameters.

Taking the partial derivative of the log-likelihood function with respect to $\mu$ and setting it equal to zero, we get:

$\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu) = 0$

Solving for $\mu$, we get:

$\hat{\mu}{\text{MLE}} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n x_i$

Taking the partial derivative of the log-likelihood function with respect to $\sigma^2$ and setting it equal to zero, we get:

$\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 =