因子6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6多項式では、まずすべての用語で共通の要因を探すことができます。2はすべての用語で共通の要因であることに注意することができます。そのため、多項式を考慮に入れることができます。

2（3x⁵-2x⁴+x²+5x-3）

さらに考慮するために、合理的な多項式根を見つけることができます。3と-3の除数を試してみることができ、Ruffiniルールを使用してルート全体があるかどうかを確認できます。x = 1は多項式の根であることがわかります。したがって、ruffiniルールを使用して多項式を（x-1）で除算して取得できます。

2（x-1）（3x⁴+x³+x²+2x+3）

したがって、各リングの完全な要因は次のとおりです。

    c [x]：2（x-1）（3x⁴+x³+x²+2x+3）
    r [x]：2（x-1）（3x⁴+x³+x²+2x+3）
    Q [x]：2（x-1）（3x⁴+x³+x²+2x+3）
    z [x]：2（x-1）（3x⁴+x³+x²+2x+3）
    f_5 [x]：2（x-1）（3x⁴+x³+x²+2x+3）（このリングでは、3 = 0と見なされているため、3x⁴+x³+x²+2x+3 =x³+x²+ 2x+3）
Para factorizar el polinomio 6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6, primero podemos buscar un factor común en todos los términos. Podemos notar que 2 es un factor común en todos los términos, entonces podemos factorizar el polinomio como:

2(3x⁵-2x⁴+x²+5x-3)

Para factorizar más, podemos intentar encontrar raíces racionales del polinomio. Podemos probar con divisores de 3 y -3, y podemos usar la regla de Ruffini para ver si hay alguna raíz entera. Encontramos que x=1 es una raíz del polinomio, por lo que podemos dividir el polinomio por (x-1) usando la regla de Ruffini para obtener:

2(x-1)(3x⁴+x³+x²+2x+3)

Entonces, la factorización completa en cada anillo es:

    C[x]: 2(x-1)(3x⁴+x³+x²+2x+3)
    R[x]: 2(x-1)(3x⁴+x³+x²+2x+3)
    Q[x]: 2(x-1)(3x⁴+x³+x²+2x+3)
    Z[x]: 2(x-1)(3x⁴+x³+x²+2x+3)
    F_5[x]: 2(x-1)(3x⁴+x³+x²+2x+3) (en este anillo, se considera que 3=0, por lo que 3x⁴+x³+x²+2x+3=x³+x²+2x+3)