確かに、私はそれをさらに単純化しようとします。

$ n $ thriangle数は、最初の$ n $陽性整数の合計です。たとえば、3番目の三角形数は1+2+3 = 6です。式を次のように書くことができます。

$ t（n）= 1 + 2 + 3 + ... + n $

この式を証明するために、数学誘導と呼ばれる方法を使用できます。

まず、式が可能な限り最小の$ n $に当てはまることを示す必要があります。これは1です。

$ t（1）= 1 $

これは、最初の正の整数の合計が単に1であるためです。

次に、式が$ n = k $のある程度の値に当てはまると仮定し、この仮定を使用して、$ n = k+1 $の次の値に当てはまることを示します。

式が$ n = k $に当てはまると仮定すると、次のことがあります。

$ t（k）= 1 + 2 + 3 + ... + k = \ frac {k（k + 1）} {2} $

式が$ n = k+1 $にも当てはまることを証明するために、次の用語（$ k+1 $）を両側に追加します。

$ t（k + 1）= 1 + 2 + 3 + ... + k +（k + 1）$

式を$ t（k）$の式を使用すると、式に$ t（k）$を置き換えて簡素化できます。

$ t（k+1）= \ frac {k（k+1）} {2}+（k+1）= \ frac {（k+1）（k+2）} {2} $

これは$ t（k+1）$の式であるため、式が$ n = k $に当てはまる場合、$ n = k+1 $にも当てはまることを示しました。

数学的誘導の原理を使用することにより、$ n $ thriangle数の式が次のように与えられることを証明しました。

$ t（n）= 1 + 2 + 3 + ... + n = \ frac {n（n + 1）} {2} $
Sure, I'll try to simplify it further.

The $n$th triangle number is the sum of the first $n$ positive integers. For example, the 3rd triangle number is 1+2+3=6. We can write the formula as:

$T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n$

To prove this formula, we can use a method called mathematical induction.

First, we need to show that the formula is true for the smallest possible value of $n$, which is 1:

$T(1) = 1$

This is true, because the sum of the first positive integer is simply 1.

Next, we assume that the formula is true for some value of $n=k$, and use this assumption to show that it is true for the next value of $n=k+1$.

Assuming that the formula is true for $n=k$, we have:

$T(k) = 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$

To prove that the formula is also true for $n=k+1$, we add the next term, which is $k+1$, to both sides:

$T(k+1) = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)$

Using the formula for $T(k)$, we can substitute in the expression for $T(k)$ and simplify:

$T(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

This is the formula for $T(k+1)$, so we have shown that if the formula is true for $n=k$, then it is also true for $n=k+1$.

By using the principle of mathematical induction, we have proven that the formula for the $n$th triangle number is given by:

$T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$