適切な直交分解（POD）ガラーキン削減順序モデル（ROM）は、元の問題のより低次元近似を構築することにより、有限要素分析の計算コストを削減する方法です。

Pod Galerkin ROMを構築する最初のステップは、質量マトリックスを使用してスカラー製品を定義することです。これは、通常、対象ドメイン上の2つの機能の積の積分によって与えられます。このスカラー製品は、高次元ソリューションを低次元サブスペースにマッピングする投影演算子を構築するために使用されます。投影演算子は、低次元のサブスペースに及ぶ一連のオルソーマル関数で構成される還元基盤を構築するために使用されます。

次のステップは、縮小ベースを使用して、線形および非線形演算子を低次元サブスペースに投影することです。線形演算子は、正確に縮小ベースに投影できますが、非線形演算子はガラーキン投影を使用して近似する必要があります。Galerkinプロジェクションには、各関数で非線形演算子のスカラー積を縮小ベースで計算し、結果を縮小ベースに投影することが含まれます。

線形および非線形演算子が縮小ベースに投影されると、それらを組み合わせて方程式の縮小システムを形成できます。このシステムは、自由度がはるかに少ないため、元のシステムよりもはるかに効率的に解決できます。還元システムのソリューションは、投影演算子を使用して高次元ソリューションに戻すことができます。
The Proper Orthogonal Decomposition (POD) Galerkin Reduced Order Model (ROM) is a method for reducing the computational cost of finite element analysis by constructing a lower-dimensional approximation of the original problem.

The first step in constructing a POD Galerkin ROM is to define a scalar product with the mass matrix, which is typically given by the integral of the product of two functions over the domain of interest. This scalar product is used to construct the projection operator that maps the high-dimensional solution onto the low-dimensional subspace. The projection operator is then used to construct the reduced basis, which consists of a set of orthonormal functions that span the low-dimensional subspace.

The next step is to use the reduced basis to project the linear and nonlinear operators onto the low-dimensional subspace. The linear operator can be projected exactly onto the reduced basis, while the nonlinear operator must be approximated using a Galerkin projection. The Galerkin projection involves computing the scalar product of the nonlinear operator with each function in the reduced basis and projecting the result onto the reduced basis.

Once the linear and nonlinear operators have been projected onto the reduced basis, they can be combined to form a reduced system of equations. This system can be solved much more efficiently than the original system, as it has a much smaller number of degrees of freedom. The solution of the reduced system can then be mapped back onto the high-dimensional solution using the projection operator.