原子量は、単一の酸素原子の質量を指します。これは、実際には15.999 Uです（uはダルトンを指します）。モル質量は、1モルの酸素原子の質量、つまりアボガドロの定数（6.02 * 10^23）数の酸素原子の質量を指します。グラムに変換すると、モル質量は15.999 g/molになります。

どちらの場合も15.999を取得する理由については、この変換が機能するように、アボガドロの定数が特にグラムの観点からも元々定義されていたということです。2019年のSIベースユニットの再定義の前に、アボガドロの定数は1グラムを構成するために必要な核子の数に等しくなりました。2019年以降、これは近似にすぎませんが、1部で1部以内に正確なものです。
The atomic weight refers to the mass of a single oxygen atom, which is indeed 15.999 u (where u refers to daltons). The molar mass refers to the mass of one mole of oxygen atoms, that is, an Avogadro's constant (6.02 * 10^23) number of oxygen atoms. Converting to grams, the molar mass works out to 15.999 g/mol.

As to why we get 15.999 in both cases, the answer is that Avogadro's constant was originally defined in terms of grams specifically so that this conversion works out. Before the 2019 redefinition of the SI base units, Avogadro's constant was equal to the number of nucleons required to make up one gram. After 2019, this is only an approximation, but one which is still accurate to within 1 part in 1 billion.