代数の基本的な定理は、複雑な係数を持つすべての非定常多項式には、少なくとも1つの複雑な根があることを示しています。簡単に言えば、これは、係数として複雑な数値を持つ多項式方程式には、常に複雑な数字である解があることを意味します。この定理の証明には、複雑な根がない多項式は、実際の係数を持つ線形多項式の積に因数分解できることを示すことが含まれます。これは、すべての多項式を線形多項式の産物に因数分解できることを意味します。

複雑なコンジュゲート定理は、この証明のもう1つの重要な概念です。実質係数を持つ多項式方程式が複雑なルートを持っている場合、その共役（虚数部分の記号を変更することによって得られる複雑な数）もルートであることがわかります。この定理を使用することにより、複雑な根を持つ多項式方程式を、実際の係数を持つ線形多項式の産物に考慮することができます。これは、複雑な多項式方程式をより単純な部分に分解し、ソリューションを見つけやすくするため、これは重要です。
The fundamental theorem of algebra tells us that every non-constant polynomial with complex coefficients has at least one complex root. In simpler terms, this means that any polynomial equation that has complex numbers as coefficients will always have a solution, which is a complex number. The proof of this theorem involves showing that any polynomial that does not have any complex roots can be factored into a product of linear polynomials with real coefficients. This means that every polynomial can be factored into a product of linear polynomials.

The complex conjugate theorem is another important concept in this proof. It tells us that if a polynomial equation with real coefficients has a complex root, then its conjugate (the complex number obtained by changing the sign of the imaginary part) is also a root. By using this theorem, we can factor a polynomial equation with complex roots into a product of linear polynomials with real coefficients. This is important because it allows us to break down a complicated polynomial equation into simpler parts, making it easier to find its solutions.