l（e、f）で示されるeからfまでの境界線形演算子のセットがオペレーターのノルムを備えていることを証明するには、バナッハ空間であることを証明するには、それが完全であることを示す必要があります。L（e、f）では、l（e、f）のオペレーターに収束します。

{tn}は、l（e、f）の演算子のコーシーシーケンスとします。これは、ε> 0ごとに、|| tn -t_m ||するようにnが存在することを意味します。<εすべてのn、m> N.私たちの目標は、このシーケンスがL（e、f）の一部の演算子tに収束することを示すことです。

まず、TNが点でオペレーターTに収束することを示す必要があります。x∈Eをletε> 0を修正する必要があります。{tn}はコーシーであるため、|| tn -tm ||<εすべてのn、m> n。今、不平等を考慮してください。

|| tn（x）-tm（x）||≤|| tn -tm ||* || x ||<ε * || x ||。

この不平等は、{tn（x）}がFのCauchyシーケンスであることを意味します。fはバナッハ空間であるため、それは完全であるため、Tn（x）はいくつかの要素t（x）∈Fに収束します。

これで、Tが線形で境界があることを示す必要があります。線形性は、各T_Nの線形性から続きます。tが境界に囲まれていることを示すには、|| t（x）||を存在する定数Cが存在することを示す必要があります。≤c * || x ||すべてのx∈Eについて

ε> 0を修正し、nとして|| tn -tm ||<εすべてのn、m> n。次に、x∈Eについては、次のことがあります。

|| t（x）-tn（x）||= || lim（tn（x））-tn（x）||= lim（|| tn（x）-t_n（x）||）≤lim（ε * || x ||）=ε * || x ||。

この不平等を再編成して取得できます。

|| t（x）||≤|| t_n（x）||+ε * || x ||
To prove that the set of bounded linear operators from E to F, denoted by L(E, F), equipped with the operator norm, is a Banach space, we need to show that it is complete, i.e., every Cauchy sequence of operators in L(E, F) converges to an operator in L(E, F).

Let {Tn} be a Cauchy sequence of operators in L(E, F). This means that for every ε > 0, there exists N such that ||Tn - T_m|| < ε for all n, m > N. Our goal is to show that this sequence converges to some operator T in L(E, F).

First, we need to show that Tn converges pointwise to an operator T. Let x ∈ E, and fix ε > 0. Since {Tn} is Cauchy, there exists N such that ||Tn - Tm|| < ε for all n, m > N. Now, consider the inequality:

||Tn(x) - Tm(x)|| ≤ ||Tn - Tm|| * ||x|| < ε * ||x||.

This inequality implies that {Tn(x)} is a Cauchy sequence in F. Since F is a Banach space, it is complete, so Tn(x) converges to some element T(x) ∈ F.

Now, we need to show that T is linear and bounded. Linearity follows from the linearity of each T_n. To show that T is bounded, we need to show that there exists a constant C such that ||T(x)|| ≤ C * ||x|| for all x ∈ E.

Fix ε > 0, and let N be such that ||Tn - Tm|| < ε for all n, m > N. Then for any x ∈ E, we have:

||T(x) - TN(x)|| = ||lim(Tn(x)) - TN(x)|| = lim(||Tn(x) - T_N(x)||) ≤ lim(ε * ||x||) = ε * ||x||.

We can rearrange this inequality to get:

||T(x)|| ≤ ||T_N(x)|| + ε * ||x||