表記C（n、n）は、n上のnの組み合わせ数を指すことを理解しています。その場合、単純化は単純なので、詳細に説明します。

c（n+1、n+1） / c（n、n）=（。（n+1）！ /（（n+1）！・（n+1-（n+1）！）。）。 ） /（n！ /（n！・（n-n）！））=
=（n+1）！・n！・（n-n）！/（（n+1）！・n！・（n-n）！）=
=（n+1）！・n！/（（n+1）！・n！）
しかし、要因の再帰的定義により、（n+1）が必要です！=（n+1）・n！そしてそれ（n+1）！=（n+1）・n！、次に：
c（n+1、n+1）/c（n、n）=（n+1）！・n！/（（n+1）！・n！）=
=（n+1）・n！・n！/（。（n+1）・n！・n！）=（n+1） /（n+1）

この単純化があなたの好みで理解しやすいことを願っています。次に、あらゆる出版物で使用する場合に備えて、ラテックス形式で表示します。

$$
\ begin {array} {rcl}
    \ binom {n+1} {n+1}＆=＆\ fraid} {\ cruad {n！} {n！\ cdot（n-n）！}} = \\
        ＆=＆\詐欺{（n+1）！\ cdot n！\ cdot（n-n）！} {（n+1）！\ cdot n！\ cdot（n-n）！} = \\
        ＆=＆\ craud {（n+1）！\ cdot n！} {（n+1）！\ cdot n！} = \\
        ＆=＆\ furaud {（n+1）\ cdot n！\ cdot n！} {（n+1）\ cdot n！\ cdot n！} = \詐欺{n+1} {n+1}
 \ end {array}
$$
Entiendo que la notación C(N,n) se refiere al número combinatorio de N sobre n. En ese caso la simplificación es sencilla, así que paso a detallarla:

C(N+1,n+1)/C(N,n) = (. (N+1)! / ( (n+1)!·(N+1-(n+1))! ). ) / (N! / (n!·(N-n)!) )=
=(N+1)!·n!·(N-n)! / ( (n+1)!·N!·(N-n)! )=
=(N+1)!·n! / ( (n+1)!·N! )
Pero, por la propia definición recursiva de factorial tenemos que (N+1)! = (N+1)·N! y que (n+1)! = (n+1)·n!, entonces:
C(N+1,n+1)/C(N,n) = (N+1)!·n! / ( (n+1)!·N! ) =
= (N+1)·N!·n! / (.(n+1)·n!·N! ) = (N+1) / (n+1)

espero que esta simplificación sea de tu agrado y sea fácil de comprender. A continuación te la muestro en formato LaTeX por si la quieres utilizar en cualquier publicación:

$$
\begin{array}{rcl}
    \binom{N+1}{n+1} &=& \frac{\frac{(N+1)!}{(n+1)!\cdot(N+1-(n+1))!}}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}} = \\
        &=& \frac{(N+1)!\cdot n!\cdot (N-n)!}{(n+1)!\cdot N!\cdot (N-n)!} = \\
        &=& \frac{(N+1)!\cdot n!}{(n+1)!\cdot N!} = \\
        &=& \frac{(N+1)\cdot N!\cdot n!}{(n+1)\cdot n!\cdot N!} = \frac{N+1}{n+1}
 \end{array}
$$