最初に、$ g（x）= x $である最も単純なケースに取り組み、その後、チェーンルールを使用して結果を決定できます。
したがって、$ e^{x} $の場合、微分の定義を制限比として使用して、
$$
\ lim_ {h \ to 0} \ frac {e^{x+h} -e^{x}} {h} = e^{x} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {e^h -1} {h}
$$
後者の制限がわずか1ドルである場合、$ e^h = \ sum_ {n = 0}^{+\ infty} \ frac {h^n} {n！} $の定義の結果として見ることができます。。最後に、$ e^x $の派生物は$ e^x $であることがあります。前述の質問にチェーンルールを適用することにより、私たちは結論付けます
$$
\ frac {\ textrm {d} e^{g（x）}} {\ textrm {d} x} = e^{g（x）} \ frac {\ textrm {d} g（x）} {\ textrm{d} x}
$$
デリバティブのライプニッツ表記が使用された場合。
We first tackle the simplest case in which $g(x) = x$, then we could use chain rule to determine the result. 
So, for $e^{x}$ using the definition of derivative as the limit ratio,
$$
\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}= e^{x} \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h}
$$
where the latter limit is just $1$, one could see it as a consequence of the definition of $e^h = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{h^n}{n!}$. Finally, we have that the derivative of $e^x$ is $e^x$. By applying chain rule to the aforementioned question, we conclude 
$$
\frac{\textrm{d} e^{g(x)}}{\textrm{d}x} = e^{g(x)} \frac{\textrm{d} g(x)}{\textrm{d}x}
$$ 
where the Leibniz notation for the derivatives was used.