この関数の最終派生物は次のとおりです。

$ \ frac {d} {dx} \ left（\ frac {1} {2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）} \ right）=  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}} $

段階的に、この関数の導関数を計算するには、次の手順を使用できます。

逆関数の差別化のルールを適用します。
$ \ frac {d} {dx} \ sin^{ -  1} {u} = \ frac {1} {\ sqrt {1-u^2}} \ cdot \ frac {dx} {dx} {dx} $ $ $ $ $ $ $

$ u = 2x-4 \ ln5 $の置換を使用して、関数の構成の形で関数を表現します。
$ f（x）= \ frac {1} {2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}} = \ frac {1} {2 \ sin^2 {\ sin {-1} {-1} {-1} {\ frac {u} {2}} \ right）}} $

関数の組成の差別化のルールを適用します。
$ \ frac {d} {dx} f（g（x））= f '（g（x））\ cdot g'（x）$

ここで、$ g（x）= 2x-4 \ ln5 $。

$ f（u）$の派生物を見つけます：
$ \ frac {d} {du} f（u）= \ frac {d} {du} \ left（\ frac {1} {2 \ sin^2 {\ sin^{ -  1} {\ frac {u} {2}} \ right）} \ right）=  -  \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {d} {du} \ left（\ sin^{-2} {\ left（\ left（\ left（\ left） （\ left（\ left（\ left（\ left（\ left（\ left（\ left（\ left）））） （\左sin^{ -  1} {\ frac {u}} \ right）} \ right）$

逆関数の差別化のルールを使用します。
$ \ frac {d} {du} \ sin^{ -  1} {\ frac {u} {2} = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {u^2} {4}}}}}} }}}}}}}}}}}}}}} \ cdot \ frac {d} {du} \ left（\ frac {u} {2} \ right）= \ frac {1} {\ sqrt {4-u^^^^ 2} \ cdot \ frac {1} {2} $

関数$ \ sin^{-2} {v} $の派生物を見つける
$ \ frac {d} {dv} \ sin^{ -  2} {v} = -2 \ sin^{ -  3} {v} \ cdot \ cos {v} $ $ $ $

$ v = \ sin^{-1} {\ frac {u} {2}} $の置換を使用して、$ f（u）$の導関数の手順5および6の結果を置き換えます。
$ \ frac {d} {du} f（u）=  -  \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {d} \ sin^{-2} {\ left（\ sin^{ -  1} {\ \ frac {u} {2}} \ right）} =  -  \ frac {1} {2} \ cdot \ left（-2 \ sin^{ -  3} {\ left（\ sin^{-1} {\ frac {u} {2}} \ right）} \ cdot \ cos {\ left {-1} {\ frac {u}} \ right）} \ right）= \ frac {\ cos {\ left（\ sin^{{ -1} {\ frac {u
Конечная производная данной функции равна:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}$

Шаг за шагом, чтобы вычислить производную этой функции, мы можем использовать следующие шаги:

Применим правило дифференцирования обратной функции:
$\frac{d}{dx}\sin^{-1}{u} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{du}{dx}$

Выразим функцию в виде композиции функций, используя замену $u=2x-4\ln5$:
$f(x) = \frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}} = \frac{1}{2\sin^2{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}}$

Применим правило дифференцирования композиции функций:
$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$

где $g(x) = 2x-4\ln5$.

Найдём производную функции $f(u)$:
$\frac{d}{du}f(u) = \frac{d}{du}\left(\frac{1}{2\sin^2{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{du}\left(\sin^{-2}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\right)$

Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции:
$\frac{d}{du}\sin^{-1}{\frac{u}{2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{4}}}\cdot\frac{d}{du}\left(\frac{u}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{4-u^2}}\cdot\frac{1}{2}$

Найдём производную функции $\sin^{-2}{v}$:
$\frac{d}{dv}\sin^{-2}{v} = -2\sin^{-3}{v}\cdot\cos{v}$

Подставим результаты шагов 5 и 6 в производную $f(u)$, используя замену $v = \sin^{-1}{\frac{u}{2}}$:
$\frac{d}{du}f(u) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{du}\sin^{-2}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)} = -\frac{1}{2}\cdot\left(-2\sin^{-3}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\cdot\cos{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\right) = \frac{\cos{\left(\sin^{-1}{\frac{u