Pythagorean定理は、長さ$ a、b $、および長さ$ c $のカテティ（脚）を備えた直角三角形の場合、

$$
a^2 + b^2 = c^2。
$$

証拠：
直角三角形の4つのコピーから、陽子が内側に、カテティが外側にあるようにコピーを回転および翻訳することにより、正方形を構築できます。このような正方形の総面積は$（a + b）^2 $です。一方、hypotenusは、$ c^2 $の面積を持つ前述の正方形内に小さな正方形を形成します。直角三角形の各コピーには、$ \ frac {a b} {2} $の領域があります。内側の正方形の領域は、正方形の面積を引いた領域に等しく、直角三角形の4つのコピーの領域に等しくなければなりません。これは得られます：

$$
（a + b）^2-4 \ frac {a b} {2} = a^2 + 2 a b + b^2-2 a b = a^2 + b^2 \ overset {！} {=} c^2。
$$

Q.E.D.
The Pythagorean theorem states that for a right triangle with catheti (legs) of length $a, b$ and a hypotenuse of length $c$:

$$
a^2 + b^2 = c^2 .
$$

Proof:
From four copies of a right triangle a square can be constructed by rotating and translating the copies in such a way that the hypotenuses are on the inside and the catheti on the outside. Such a square has a total area of $(a + b)^2$. Meanwhile the hypotenuses form a smaller square within the aforementioned square that has an area of $c^2$. Each copy of the right triangle has an area of $\frac{a b}{2}$. The area of the inner square must be equal to the area of the outer square minus the area of the four copies of the right triangle. This yields:

$$
(a + b)^2 - 4 \frac{a b}{2} = a^2 + 2 a b + b^2 - 2 a b = a^2 + b^2 \overset{!}{=} c^2.
$$

Q.E.D.