チェーンルールは、複合関数の導関数を見つけることができる計算の基本的なルールです。複合関数は、1つの関数を別の関数の出力に適用することによって形成される関数です。数学的には、2つの関数、たとえばF（u）とg（x）がある場合、複合関数h（x）は次のように表現できます。

h（x）= f（g（x））

チェーンルールは、xに対して複合関数h（x）の導関数を見つけるには、その入力u（これはg（x）に関する外側関数f（u）の導関数を取得する必要があると述べています。ケース）、次に、xに対して内部関数g（x）の導関数によって掛けます。象徴的に、それは次のように表現できます。

h '（x）= f'（g（x）） * g '（x）

ここで、h '（x）はxに対してh（x）の誘導体であり、f'（g（x））はu = g（x）で評価されたuに関してf（u）の誘導体です。g '（x）は、xに対してg（x）の導関数です。

チェーンルールを説明するために、簡単な例を見てみましょう。

2つの関数f（u）= u^2およびg（x）= 3x + 1があるとします。。

まず、それぞれの変数に関して、f（u）およびg（x）の誘導体を見つけます。

f '（u）= 2u
g '（x）= 3

次に、チェーンルールを適用します。

h '（x）= f'（g（x）） * g '（x）

h '（x）= 2（g（x）） * 3

g（x）= 3x + 1以降：

h '（x）= 2（3x + 1） * 3

最後に、私たちは：

h '（x）= 6（3x + 1）

複合関数h（x）= f（g（x））の微分h '（x）をさらに簡素化して計算しましょう。ここで、f（u）= u^2およびg（x）= 3x + 1：

h '（x）= 6（3x + 1）

今、私たちは6を配布する必要があります：

h '（x）= 6 * 3x + 6 * 1
h '（x）= 18x + 6

したがって、xに対する複合関数h（x）の導関数は次のとおりです。

h '（x）= 18x + 6

これは、任意のポイントxで、H（x）の曲線への接線線の変化率または勾配が18x + 6で与えられることを意味します。チェーンルールにより、複合関数を簡単に区別できます。物理学、工学、経済学などのさまざまな分野でのより複雑な機能とアプリケーションを扱う。
The chain rule is a fundamental rule in calculus that allows you to find the derivative of a composite function. A composite function is a function that is formed by applying one function to the output of another function. Mathematically, if you have two functions, say f(u) and g(x), then the composite function h(x) can be represented as:

h(x) = f(g(x))

The chain rule states that to find the derivative of the composite function h(x) with respect to x, you should take the derivative of the outer function f(u) with respect to its input u (which is g(x) in this case), and then multiply it by the derivative of the inner function g(x) with respect to x. Symbolically, it can be expressed as:

h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Here, h'(x) is the derivative of h(x) with respect to x, f'(g(x)) is the derivative of f(u) with respect to u evaluated at u = g(x), and g'(x) is the derivative of g(x) with respect to x.

Let's go through a simple example to illustrate the chain rule:

Suppose we have two functions f(u) = u^2 and g(x) = 3x + 1, and we want to find the derivative of their composite function h(x) = f(g(x)) with respect to x.

First, we find the derivatives of f(u) and g(x) with respect to their respective variables:

f'(u) = 2u
g'(x) = 3

Now, we apply the chain rule:

h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

h'(x) = 2(g(x)) * 3

Since g(x) = 3x + 1:

h'(x) = 2(3x + 1) * 3

Finally, we have:

h'(x) = 6(3x + 1)

Let's further simplify and calculate the derivative h'(x) for the composite function h(x) = f(g(x)) where f(u) = u^2 and g(x) = 3x + 1. We previously found:

h'(x) = 6(3x + 1)

Now, we just need to distribute the 6:

h'(x) = 6 * 3x + 6 * 1
h'(x) = 18x + 6

So, the derivative of the composite function h(x) with respect to x is:

h'(x) = 18x + 6

This means that at any point x, the rate of change or the slope of the tangent line to the curve of h(x) is given by 18x + 6. The chain rule allows us to easily differentiate composite functions, which is particularly useful when dealing with more complex functions and applications in various fields such as physics, engineering, and economics.