1.プライベート機能の差別化のルールを使用します。

$ $ \ frac {d} {dx} \ left（\ frac {f（x）} {g（x）\ right）= \ frac {f '（x）g（x）-g'（x）f。 （x）} {（g（x）^2} $ $

2.関数の数を示します$  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}} $ as $ f（x（x） ）$、および分母は$ g（x）$：

$ $ f（x）= -4 \ cos {（2x -4 \ ln5）} $ドル
$ $ g（x）= 2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）} $ドル
3.分子と分母の導関数を見つけます。

$ $ f '（x）= 8 \ sin {（2x-4 \ ln5）} $ドル
$ $ g '（x）= 6 \ cdot2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）} \ cdot2 \ cos {（2x-4 \ ln5）} = 24 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5 ）} \ cos {（2x-4 \ ln5）} $ $
4.見つかった値を、私的機能の導関数の式に置き換えます。

$ $ \ frac {d} {dx} \ left（ -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）} \右） = \ frac {（8 \ sin {（2x-4 \ ln5）} \ cdot（2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}） - （24 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5） } \ cos {（2x-4 \ ln5）} \ cdot（-4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}}}}} {（2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}}^2}}} $ドル
5.分子の式を簡素化します。

$ Dollar（8 \ sin {（2x-4 \ ln5）}）\ cdot（2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}） - （（24 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}） }}}} \ cos {（2x-4 \ ln5）}）\ cdot（-4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}）$ $
$ $ = 16 \ sin^4 {（2x-4 \ ln5）} + 96 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）\ cos^2 {（2x-4 \ ln5）} $ドル
$ $ = 16 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（\ sin^2 {（2x-4 \ ln5）} + 6 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}）$ $
$ $ = 16 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}）$ドル
6.私的機能の派生物の式の単純化された式をフォーミュラに置き換え、さらに単純化します。

\ ln5）}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}}} \ right）= \ frac {16 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^ 2 {（2x-4 \ ln5）}}}} {（2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}）^2} $ドル
$ $ = \ frac {16 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}}} {8 \ sin^6 {（2x-4（2x-4 \ ln5）}} $ $
$ $ = \ frac {2 \ sin^2 {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}}} {\ sin^6 {（2x-4 \ ln5）}} $ $
$ $ = \ frac {2（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x-4 \ ln5）}}} $ドル
7.したがって、私たちは最終的に取得します：

$ $ \ frac {d} {dx} \ left（ -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）} \右） =  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）}} \ cdot \ frac {（1 + 5 \ cos^2 {（（（（）） 2x -4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x -4 \ ln5）}} $ $
$ =  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x-4 \ ln5） }} $ $

したがって、この関数の導関数は次のとおりです。

$  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x-4 \ ln5）}} }}}} $

ラテックスでは、これは次のように記録できます。

$ $ \ frac {d} {dx} \ left（ -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}}}} {2 \ sin^3 {（2x-4 \ ln5）} \右） =  -  \ frac {4 \ cos {（2x-4 \ ln5）}（1 + 5 \ cos^2 {（2x-4 \ ln5）}}} {\ sin^4 {（2x-4 \ ln5）}} }}}}}}}}}}} $
1.	Используем правило дифференцирования частного функций:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}$$

2.	Обозначим числитель функции $-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}$ как $f(x)$, а знаменатель как $g(x)$:

$$f(x) = -4\cos{(2x-4\ln5)}$$
$$g(x) = 2\sin^3{(2x-4\ln5)}$$
3.	Найдем производные числителя и знаменателя:

$$f'(x) = 8\sin{(2x-4\ln5)}$$
$$g'(x) = 6\cdot2\sin^2{(2x-4\ln5)}\cdot2\cos{(2x-4\ln5)} = 24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)}$$
4.	Подставим найденные значения в формулу для производной частного функций:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = \frac{(8\sin{(2x-4\ln5)})\cdot(2\sin^3{(2x-4\ln5)})- (24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)})\cdot(-4\cos{(2x-4\ln5)})}{(2\sin^3{(2x-4\ln5)})^2}$$
5.	Упростим выражение в числителе:

$$(8\sin{(2x-4\ln5)})\cdot(2\sin^3{(2x-4\ln5)})- (24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)})\cdot(-4\cos{(2x-4\ln5)})$$
$$= 16\sin^4{(2x-4\ln5)} + 96\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos^2{(2x-4\ln5)}$$
$$= 16\sin^2{(2x-4\ln5)}(\sin^2{(2x-4\ln5)} + 6\cos^2{(2x-4\ln5)})$$
$$= 16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})$$
6.	Подставим упрощенное выражение в формулу для производной частного функций и дополнительно упростим:

\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = \frac{16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{(2\sin^3{(2x-4\ln5)})^2}$$
$$= \frac{16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{8\sin^6{(2x-4\ln5)}}$$
$$= \frac{2\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^6{(2x-4\ln5)}}$$
$$= \frac{2(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$
7.	Таким образом, окончательно получаем:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}} \cdot \frac{2(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$
$$= -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$

Таким образом, производная данной функции равна:

$-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$

В LaTeX это можно записать следующим образом:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$