ニュートンラフソンの方法では、式を使用しています。

    xn+1 = xn -f（xn）f '（xn）

したがって、方程式を関数に変更する必要があります。これは、すべての用語を片側に移動することによって行われます。

    f（x）= sinx -x2

そして、私たちはデリバティブが必要です：

    f '（x）= cosx -2x

反復する最も簡単な方法は、計算機を使用することです。f（x）をy1に入力し、f '（x）にy2に入力します。次に、これを行う非常に短いプログラムを入力します。

    a -y1（a）y2（a）→a

開始値x1が必要です。問題は正の根を求めているため、sin（x）の最大値はx =π2で最大値が1で、x2はx = 1で1であることがわかります。したがって、ルートは1未満であり、したがって開始値になると言っても安全です。0もルートであるが陽性ではないため、0に近い開始値は必要ありません。したがって、計算機に以下を入力して、

    1→a

次に、目的の精度が得られるまでプログラムを実行します。

    0.8913959953
    0.8769848448
    0.8767262985
    0.8767262154
    0.8767262154

2回の反復後に3桁の精度、3回の反復後に7桁、4回の反復後に10桁の精度を取得します。そのため、このルートに対して答えは非常に迅速に収束します。
The Newton-Raphson's method uses the formula:

    xn+1=xn−f(xn)f'(xn)

So we need to change the equation into a function. This is done by moving all terms to one side:

    f(x)=sinx−x2

And we need the derivative:

    f'(x)=cosx−2x

The easiest way to iterate is to use a calculator. Enter f(x) into Y1 and f'(x) into Y2. Then enter a very short program that does this:

    A−Y1(A)Y2(A)→A

You need a starting value, x1. Since the question is asking for a positive root, we know that sin(x) has a maximum value of 1 at x=π2 and x2 is 1 at x=1. So it is safe to say that the root is less than 1 and therefore will be the starting value. We don't want a starting value close to 0 because 0 is also a root but not positive. So enter the following into your calculator,

    1→A

Then execute the program until you get the desired accuracy:

    0.8913959953
    0.8769848448
    0.8767262985
    0.8767262154
    0.8767262154

We get 3 digits of accuracy after 2 iterations, 7 after 3 iterations, and 10 after 4 iterations. So the answer converges very quickly for this root.