矛盾のために、2以上の整数nが2以上存在することを仮定します。これにより、p/qで示される2のnth-rootがp/qで示されます。

それから、私たちは：

p^n = 2q^n

2は素数であるため、2 = 2^1としてのみ因数分解することができるため、p^nと2q^nの素数化は同一でなければなりません。これは、Pの主要な因数分解には、nの倍数である電力に上昇した2の係数のみが含まれている必要があることを意味します。

しかし、pとqはcoprimeであるため、q^nの主要な因数分解には2以外の素数の要因が含まれている必要があります。したがって、2q^nの主要な因数分解は、矛盾であるp^nと同じではありません。

したがって、2のn rootが合理的である必要があるという我々の仮定は偽でなければならないため、2のn rootは2以上のnに対して非合理的です。
Assume for the sake of contradiction that there exists an integer n greater than or equal to 2, such that the nth-root of 2, denoted by p/q, where p and q are coprime integers.

Then, we have:

p^n = 2q^n

Since 2 is a prime number, it can only be factored as 2 = 2^1, so the prime factorization of p^n and 2q^n must be identical. This implies that the prime factorization of p must contain only factors of 2 raised to a power that is a multiple of n.

But since p and q are coprime, the prime factorization of q^n must contain factors of primes other than 2. Thus, the prime factorization of 2q^n cannot be the same as that of p^n, a contradiction.

Therefore, our assumption that the nth-root of 2 is rational must be false, and thus the nth-root of 2 is irrational for all n greater than or equal to 2.