b（e、f）によってeからfまでの境界線形演算子のセットを示しましょう。b（e、f）がオペレーターの規範に関して完全であることを示す必要があります。（TN）をB（E、F）のコーシーシーケンスとします。次に、任意のε> 0には、すべてのn、m≥nについて、|| tn -tm ||を持つようにnが存在します。<ε。

ここで、x∈Eを任意で固定します。次に、|| tnx -tmx ||を持っています≤|| tn -tm |||| x ||<ε|| x ||。これは、（TNX）がFのCauchyシーケンスであることを示しています。Fはバナッハ空間であるため、（TNX）がいくつかの要素Tx∈Fに収束することを示しています。

TX = LIM（TNX）で定義されたMAP T：E→Fは、境界線形演算子であり、オペレーターノルムのTN→TがTN→Tであると主張しています。

Tの線形性は、各TNの線形性と、制限が線形操作を維持するという事実から続きます。tが境界に囲まれていることを確認するには、任意のn≥nおよびx∈Eの場合、|| tx ||を持っていることに注意してください。= lim（|| tnx ||）≤lim（|| tn -tn || || x || + || tnx ||）≤ε|| x ||+ || tnx ||。|| x ||ですべてのxの上で最高のxを撮影します= 1は|| t ||を示しています≤ε + || tn ||<∞。

最後に、オペレーターの標準でTN→Tを示しましょう。任意のn≥nおよびx∈Eについて
    ||| tx -tnx |||
    = ||| lim（tmx）-tnx |||
    ≤lim（| | | tmx -tnx | | |
    ≤lim（| | |（tm-tn）x | | |
    ≤lim（| |（tm-tn）| *| x |）
    = 0

これは、任意のn≥nについて私たちが持っていることを示しています
    max {0 <= k <= n}（| |（tk-t）||）
    <= max {0 <= k <= n}（| |（tk-t）||） +ε

これはすべてのε> 0に保持されるため、操作者の標準ではk→∞であることがわかります。

したがって、b（e、f）のすべてのコーシーシーケンスがb（e、f）の要素に収束するため、b（e、f）は演算子の標準、したがってバナッハ空間に関して完全であることを示しました。
Let's denote the set of bounded linear operators from E to F by B(E,F). We need to show that B(E,F) is complete with respect to the operator norm. Let (Tn) be a Cauchy sequence in B(E,F). Then for any ε > 0, there exists N such that for all n,m ≥ N, we have ||Tn - Tm|| < ε. 

Now let x ∈ E be arbitrary and fixed. Then we have ||Tnx - Tmx|| ≤ ||Tn - Tm|| ||x|| < ε ||x||. This shows that (Tnx) is a Cauchy sequence in F. Since F is a Banach space, it follows that (Tnx) converges to some element Tx ∈ F.

We claim that the map T: E → F defined by Tx = lim(Tnx) is a bounded linear operator and that Tn → T in the operator norm.

Linearity of T follows from linearity of each Tn and the fact that limits preserve linear operations. To see that T is bounded, note that for any n ≥ N and any x ∈ E we have ||Tx|| = lim(||Tnx||) ≤ lim(||Tn - TN|| ||x|| + ||TNx||) ≤ ε ||x|| + ||TNx||. Taking supremum over all x with ||x|| = 1 shows that ||T|| ≤ ε + ||TN|| < ∞.

Finally, let's show that Tn → T in the operator norm. For any n ≥ N and any x ∈ E we have
    | | |Tx - Tnx| | |
    = | | |lim(Tmx) - Tnx| | |
    ≤ lim(| | |Tmx - Tnx| | |
    ≤ lim(| | |(Tm-Tn)x| | |
    ≤ lim(| |(Tm-Tn)| *|x|)
    = 0

This shows that for any n ≥ N we have
    max{0 <= k <= n} (| |(Tk-T)|| ) 
    <= max{0 <= k <= N} (| |(Tk-T)|| ) + ε

Since this holds for all ε > 0 it follows that Tk → T in the operator norm as k → ∞.

Thus we have shown that every Cauchy sequence in B(E,F) converges to an element of B(E,F), so B(E,F) is complete with respect to the operator norm and hence a Banach space.