6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6多項式を考慮するために、最初にその共通要因を見つけます。

2（3x⁵-2x⁴+x²+5x-3）

次に、Ruffiniアルゴリズムを使用して、可能な根を見つけ、多項式を考慮することができます。ただし、多項式には分数係数があるため、可能なルーツを探す代わりに、Sylvester Factorization Methodを使用して因子をより簡単に見つけることができます。この方法は、次の特性に基づいています。多項式を係数全体の2つの多項式の積として記述できる場合、元の多項式係数は2つの多項式の積の係数の倍数でなければなりません。

Sylvesterメソッドを使用するために、元の多項式とその背面を2つの係数の列として書き込みます。次に、シルベスターマトリックスを構築します。ここでは、2つの列の対応する係数から製品を採取することでエントリが取得されます。次に、シルベスターマトリックスの正方形の小場類の決定要因の共通の要因を探し、最大のサブマトリックスから始まり、そのサイズを縮小します。各共通因子は、元の多項式因子に対応します。

異なるリングの多項式的因数分解は次のとおりです。

c [x]：
2（x-1）（x+1）（x+√（3）i）（x-√（3）i）（3x-1）

r [x]で：
2（x-1）（x+1）（x+√（3））（x-bal（3））（3x-1）

q [x]で：
2（x-1）（x+1）（x+√（3））（x-bal（3））（3x-1）

z [x]で：
2（x-1）（x+1）（3x-1）

f_5 [x]：
（x+2）（2x+1）（x+3）（x+4）（x+1）

z [x]およびf_5 [x]では、因数分解は一意ではないことを覚えておくことが重要です。
Para factorizar el polinomio 6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6, primero encontramos su factor común:

2(3x⁵-2x⁴+x²+5x-3)

Luego, podemos usar el algoritmo de Ruffini para encontrar raíces posibles y factorizar el polinomio. Sin embargo, dado que el polinomio tiene coeficientes fraccionarios, en lugar de buscar raíces posibles, podemos utilizar el método de factorización de Sylvester para encontrar factores de manera más sencilla. Este método se basa en la siguiente propiedad: si un polinomio se puede escribir como producto de dos polinomios con coeficientes enteros, entonces los coeficientes del polinomio original deben ser múltiplos de los coeficientes del producto de los dos polinomios.

Para utilizar el método de Sylvester, escribimos el polinomio original y su reverso como dos columnas de coeficientes. Luego, construimos una matriz de Sylvester, donde las entradas se obtienen tomando productos de los coeficientes correspondientes de las dos columnas. A continuación, buscamos un factor común de los determinantes de las submatrices cuadradas de la matriz de Sylvester, comenzando con la submatriz más grande y reduciendo su tamaño. Cada factor común corresponde a un factor del polinomio original.

La factorización del polinomio en los diferentes anillos es la siguiente:

En C[x]:
2(x-1)(x+1)(x+√(3)i)(x-√(3)i)(3x-1)

En R[x]:
2(x-1)(x+1)(x+√(3))(x-√(3))(3x-1)

En Q[x]:
2(x-1)(x+1)(x+√(3))(x-√(3))(3x-1)

En Z[x]:
2(x-1)(x+1)(3x-1)

En F_5[x]:
(x+2)(2x+1)(x+3)(x+4)(x+1)

Es importante tener en cuenta que en Z[x] y en F_5[x], la factorización no es única, ya que existen diferentes formas de escribir un número como producto de factores primos.