はい、ベクトルを必要としない方程式のバージョンがあります。交差点の方程式を書く方法の1つは、次の点で与えられるポイントスロープ形式を使用することです。

l = p + m（v）、

ここで、pはラインのポイントであり、Vはラインの2番目のポイントであり、mはラインの勾配であり、次のように計算できます。

m =（v -p）/ || v -p ||

このフォームを使用して、以前に見つけたPとVの値を置き換えることができます。

l =（1、-1、1/3） + m（（14、-4、-18） - （1、-1、1/3））

この方程式は、ベクトルを使用せずに交差点の方程式を与えます。
Yes, there is a version of the equation that doesn't require vectors. One way to write the equation of the line of intersection is to use the point-slope form, which is given by:

L = P + m(V),

where P is a point on the line, V is a second point on the line, and m is the slope of the line, which can be calculated as:

m = (V - P)/ ||V - P||

Using this form, we can substitute the values of P and V that we found earlier:

L = (1, -1, 1/3) + m((14, -4, -18) - (1, -1, 1/3))

This equation gives the equation of the line of intersection without using vectors.