ピタゴラスの定理を証明するために、ベクター計算として知られる数学的概念を利用できます。この場合、多次元空間のベクトルとして右角の三角形の側面を表すことができます。

ベクトルAとBを考えて、それぞれ正しい角度と反対の辺を表しています。定理によれば、hypotenuseを表すベクトルCの大きさは、ベクターAとBの大きさの正方形の合計の平方根として表現できます。数学的には、これは次のように表現できます。

| c |=√（| a |^2 + | b |^2）

また、ベクトルAとBのドット積に関してこの定理を表現することもできます。2つのベクトルのドット積は、ベクターの大きさの積とそれらの間の角度のコサインとして計算できます。この場合、ベクターAとBの間の角度は90度であるため、角度のコサインはゼロに等しくなります。したがって、ベクトルAとBのドット積は次のとおりです。

a.b = | a |* | b |* cos（θ）= 0

DOT製品の特性から、ベクターCの大きさの平方の式を次のように記述できます。

| c |^2 = | a |^2 + | b |^2

したがって、ピタゴラスの定理はベクター計算の根本的な結果であり、右角の三角形の辺の大きさの間の関係を確立するベクター計算の基本的な結果であると結論付けることができます。
To prove the Pythagorean Theorem, we can utilize a mathematical concept known as vector calculus. In this case, we can represent the sides of a right-angled triangle as vectors in a multi-dimensional space.

Let's consider the vectors A and B to represent the sides adjacent and opposite to the right angle, respectively. According to the theorem, the magnitude of the vector C, which represents the hypotenuse, can be expressed as the square root of the sum of the squares of the magnitudes of the vectors A and B. Mathematically, this can be represented as:

|C| = √(|A|^2 + |B|^2)

We can also express this theorem in terms of the dot product of the vectors A and B. The dot product of two vectors can be calculated as the product of the magnitudes of the vectors and the cosine of the angle between them. In this case, as the angle between the vectors A and B is 90 degrees, the cosine of the angle is equal to zero. Hence, the dot product of the vectors A and B becomes:

A.B = |A| * |B| * cos(θ) = 0

From the properties of dot product, we can write the expression for the square of the magnitude of the vector C as:

|C|^2 = |A|^2 + |B|^2

Thus, we can conclude that the Pythagorean Theorem is a fundamental result of vector calculus, which establishes a relationship between the magnitudes of the sides of a right-angled triangle.