Ricciの流れは、熱伝導率と同様の私的な導関数の特定の方程式です。リマノフは多様性のメトリックを変形させることができますが、変形の過程で、「特異性」の形成が可能です - 曲率が無限に努力し、変形を続けることはできません。証拠の主なステップは、3次元指向のケースにおけるそのような特異点の分類です。特異点に近づくと、流れが停止し、「手術」が停止します - 小さなコヒーレントコンポーネントが捨てられます。 Times s^{2}}（0.1）\ Times S^{2}）、結果として得られる2つの穴が2つのボールで密閉されているため、結果として生じる品種のメトリックが非常に滑らかになり、その後、変形が続きます。リッチ。

上記のプロセスは、「手術を伴うリッチの流れ」と呼ばれます。特異性の分類により、各「投げられたピース」は脱毛球空間形式であると結論付けることができます。

ポアンペア仮説の証明の場合、それらは単一のリンク3次元の多様性{\ displaystyle m} mと手術のリッチの流れで任意のリマンメトリックから始まります。重要なステップは、そのようなプロセスの結果として、すべてが「捨てられた」という証拠です。これは、初期の多様性{\ displaystyle m} mは、球状球体のセット{\ displayStyle s^{3}/\ gamma {i} s^{3}/\ gamma _ {i}、接続されていることを意味します。パイプの友人がいる友人{\ displaystyle [0.1] \ times s^{2}} [0.1] \ times s^{2}。基本グループの計算は、{\ displasStyle m} m双子様体の接続された空間形式の合計{\ displaystyle s^{3}/\ gamma _}} s^{3}/\ gamma _ {i}および、さらに、さらに、すべて{\ displaystyle \ gamma _ {i} \ gamma _ {i} trival。したがって、{\ displaystyle m} mは、球体のダイヤル、つまり球のコヒーレント合計です。
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению {\displaystyle (0,1)\times S^{2}}(0,1)\times S^{2}), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии {\displaystyle M}M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие {\displaystyle M}M можно представить как набор сферических пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i}, соединённых друг с другом трубками {\displaystyle [0,1]\times S^{2}}[0,1]\times S^{2}. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что {\displaystyle M}M диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i} и более того все {\displaystyle \Gamma _{i}}\Gamma _{i} тривиальны. Таким образом, {\displaystyle M}M является связной суммой набора сфер, то есть сферой.