確かに、これがラテックスの方程式と証明です：

n番目の三角形数を見つける方程式は次のとおりです。

$$ t_n = 1+2+3+\ dots+n = \ frac {n（n+1）} {2} $$

証拠：

$ i $の行には$ i $オブジェクトがある$ n $ rowsのピラミッドを考えてみましょう。ピラミッドのオブジェクトの総数は次のとおりです。

$$ t_n = 1+2+3+\ dots+n $$

また、ピラミッドは、$ n $が奇数の場合は、高さ$（n-1）/2 $の2つのピラミッドで構成されていると考えることができます。

奇妙な$ n $の場合、最初のピラミッドには$（n-1）/2 $ rowsがあり、$ i $行には$ i $オブジェクトがあります。2番目のピラミッドには同じ数の行がありますが、$ i $行には$ n-i+1 $オブジェクトがあります。両方のピラミッドのオブジェクトの総数は次のとおりです。

$$ 2 \ left（1+2+3+\ dots+\ frac {n-1} {2} \ right）+\ frac {n+1} {2} $$

$$ = \ frac {n-1} {2} \ cdot \ frac {n+1} {2}+\ frac {n+1} {2} $$

$$ = \ frac {（n-1）（n+1）} {2}+\ frac {n+1} {2} $$

$$ = \ frac {n（n+1）} {2} $$

$ n $でも、ピラミッドを高さ$ n/2-1 $の2つのピラミッドに分割できます。それぞれに同じ数のオブジェクトがあります。これらの各ピラミッドは、高さ$ n/2 $のピラミッドと見なすことができます。$ i $行には$ i $オブジェクトがあります。両方のピラミッドのオブジェクトの総数は次のとおりです。

$$ 2 \ left（1+2+3+\ dots+\ frac {n} {2} -1 \右）$$

$$ = n（n/2-1）$$

$$ = \ frac {n（n-2）} {2} $$

$ n $オブジェクトで一番上の行を追加すると、次のようになります。

$$ t_n = \ frac {n（n-2）} {2}+n = \ frac {n（n+1）} {2} $$

したがって、方程式$ t_n = \ frac {n（n+1）} {2} $は、すべての$ n \ in \ mathbb {n} $に対して保持されることを示しました。

このコードは、Overleaf（https://www.overleaf.com/）やSharelatex（https://www.shareLatex.com/）などのオンラインラテックスプロセッサで実行できます。
Sure, here's the equation and proof in LaTeX:

The equation for finding the nth triangle number is:

$$T_n = 1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Proof:

Consider a pyramid of $n$ rows, where the $i$th row has $i$ objects. The total number of objects in the pyramid is:

$$T_n = 1+2+3+\dots+n$$

We can also think of the pyramid as consisting of two pyramids of height $(n-1)/2$, if $n$ is odd, or $n/2-1$, if $n$ is even.

For odd $n$, the first pyramid has $(n-1)/2$ rows, and the $i$th row has $i$ objects. The second pyramid has the same number of rows, but the $i$th row has $n-i+1$ objects. The total number of objects in both pyramids is:

$$2\left(1+2+3+\dots+\frac{n-1}{2}\right)+\frac{n+1}{2}$$

$$= \frac{n-1}{2}\cdot\frac{n+1}{2}+\frac{n+1}{2}$$

$$= \frac{(n-1)(n+1)}{2}+\frac{n+1}{2}$$

$$= \frac{n(n+1)}{2}$$

For even $n$, we can split the pyramid into two pyramids of height $n/2-1$, each of which has the same number of objects. Each of these pyramids can be considered as a pyramid of height $n/2$, where the $i$th row has $i$ objects. The total number of objects in both pyramids is:

$$2\left(1+2+3+\dots+\frac{n}{2}-1\right)$$

$$= n(n/2-1)$$

$$= \frac{n(n-2)}{2}$$

Adding the top row with $n$ objects, we get:

$$T_n = \frac{n(n-2)}{2}+n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Thus, we have shown that the equation $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ holds for all $n\in\mathbb{N}$.

You can run this code in an online LaTeX processor like Overleaf (https://www.overleaf.com/) or sharelatex (https://www.sharelatex.com/).