はい、ベクトルを必要としない交差点の方程式のバージョンがあります。方程式のこのバージョンは、行のパラメトリック形式と呼ばれます。パラメトリック形式では、行の方程式は次のように記述できます。

x = x1 + t（x2 -x1）
y = y1 + t（y2 -y1）
Z = Z1 + T（Z2 -Z1）

ここで、（x1、y1、z1）および（x2、y2、z2）はライン上の2つのポイント、tは実数です。

交差点の2つのポイントを見つけるために、前のソリューションで見つけた2つのポイント、各平面から1ポイントを使用できます。たとえば、平面1と平面2の両方にあるポイント（1、-1、1/3）とポイント（3、0、1）を使用できます。

次に、これら2つのポイントをラインのパラメトリック形式に接続して、交差点の方程式を取得できます。

x = 1 + t（3-1）= 1 + 2t
y = -1 + t（0-（-1））= -1 + t
z = 1/3 + t（1-1/3）= 1/3 + 2/3t

これは、ベクトルを使用せずに、パラメトリック形式の交差点の方程式です。
Yes, there is a version of the equation of the line of intersection that doesn't require vectors. This version of the equation is called the parametric form of the line. In the parametric form, the equation of the line can be written as:

x = x1 + t(x2 - x1)
y = y1 + t(y2 - y1)
z = z1 + t(z2 - z1)

where (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2) are two points on the line, and t is a real number.

To find two points on the line of intersection, we can use the two points that we found in the previous solution, one point from each plane. For example, we could use the point (1, -1, 1/3) and the point (3, 0, 1), which lies on both plane 1 and plane 2.

We can then plug these two points into the parametric form of the line to get the equation of the line of intersection:

x = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t
y = -1 + t(0 - (-1)) = -1 + t
z = 1/3 + t(1 - 1/3) = 1/3 + 2/3t

This is the equation of the line of intersection in parametric form, without the use of vectors.