ホロモルフィック関数は、ドメインのすべてのポイントで微分可能な複雑な関数です。つまり、複雑な変数とそれらの複雑なコンジュゲートに関して、連続的な第一次導関数を持つ関数です。

ホロモーフィック関数とコーシーリマンの方程式との関係は、複雑な関数がホロモルファである場合、コーシー - リマンの方程式が満たさなければならないという事実に基づいています。Cauchy-Riemann方程式は、複雑な関数がホロモーフィックであるために必要かつ十分な条件のセットであり、次のように自分自身を表現します。

f（z）= u（x、y） + iv（x、y）ドメインDで定義された複雑な関数とします。その後、f（z）はd siのホロモーフであり、次のコーシー方程式が満たされている場合にのみ - ：

∂U/∂x=∂V/∂y
∂u/∂y=-∂v/∂x
これらの方程式は、複雑な関数の理論といくつかの変数の関数の理論との間に基本的なつながりを確立します。特に、複雑な機能の理論の研究における重要なツールであるCauchyの定理やCauchyの積分式など、ホロモーフィック機能の多くの興味深い特性を実証することができます。
Una función holomorfa es una función compleja que es diferenciable en todos los puntos de su dominio. Es decir, es una función que tiene derivadas parciales continuas de primer orden con respecto a las variables complejas y su conjugado complejo.

La relación entre las funciones holomorfas y las ecuaciones de Cauchy-Riemann se basa en el hecho de que, si una función compleja es holomorfa, entonces debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un conjunto de condiciones necesarias y suficientes para que una función compleja sea holomorfa, y se expresan de la siguiente manera:

Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y) una función compleja definida en un dominio D. Entonces, f(z) es holomorfa en D si y solo si se satisfacen las siguientes ecuaciones de Cauchy-Riemann:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
Estas ecuaciones establecen una conexión fundamental entre la teoría de funciones complejas y la teoría de funciones de varias variables. En particular, nos permiten demostrar muchas propiedades interesantes de las funciones holomorfas, como el teorema de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy, que son herramientas importantes en el estudio de la teoría de funciones complejas.