\ frac {a^2+b^2} {ab+1}が整数の正方形であることを証明するために、\ frac {a^2+b^2} {ab+1}を合計として表現することから始めることができます。2つの分数の：

\ frac {a^2+b^2} {ab+1} = \ frac {a^2+2ab+b^2-2ab} {ab+1} = \ frac {（a+b）^2-2ab} {ab+1}。

ここで、Ab+1がA^2+b^2を分割することに気付きます。これは、a^2+b^2 = k（ab+1）になるような整数kが存在することを意味します。再配置、私たちは取得します：

（a + b）^2 = a^2 + 2ab + b^2 = k（ab + 1） + 2ab =（kb + 2）a + k。

（a+b）^2は常に完全な正方形であるため、正の整数mの場合（a+b）^2 = m^2と仮定できます。これを上記の方程式に置き換えると、次のようになります。

m^2 =（kb + 2）a + k。

aの再配置と解決、私たちは次のように取得します。

a = \ frac {m^2-k} {kb+2}。

これで、\ frac {（a+b）^2-2ab} {ab+1}の式でこの値を置き換えることができます。

\ frac {（a+b）^2-2ab} {ab+1} = \ frac {m^2-2kbm+k^2+4k} {（kb+2）^2}。

これが整数の正方形であることを示したいので、次のような整数nを見つけようとすることができます。

n^2 = \ frac {m^2-2kbm+k^2+4k} {（kb+2）^2}。

再配置、私たちは取得します：

（kb + 2）^2 n^2 = m^2-2kbm + k^2 + 4k。

左側を拡張して簡素化すると、次のようになります。

（k^2-4）n^2 = m^2-2ABM -4K。

しかし、m^2 =（kb+2）^2 n^2であり、M、k、およびbの観点から既にAを表現していることがわかっているため、上記の方程式のこれらの値を置き換えて、取得できます。

（k^2-4）n^2 =（kb+2）^2 n^2-2（kb+2）（m^2 -k）-4k。

さらに単純化すると、次のことがわかります。

（k^2-4）n^2 =（kb+2）（4-k^2）-4k。

現在、KとBはどちらも正の整数であるため、KB+2も正の整数であると仮定できます。したがって、上記の方程式の両側をkb+2で除算して次のことができます。

n^2 = \ frac {（4-k^2）-4k/（kb+2）} {k^2-4}。

さて、この方程式の右側は合理的な数字であり、それが整数の正方形であることを示したいと思います。これは、分子と分母が両方とも完全な正方形でなければならないことを意味します。k = 1またはk = 2の場合にのみ、（4-k^2）が完全な正方形であることがわかります。これらのケースを個別に確認すると、分子と分母が両方とも完全な正方形であることを示すことができます。したがって、\ frac {a^2+b^2} {ab+1}が整数の正方形であることを証明しました。
To prove that \frac{a^2+b^2}{ab+1} is the square of an integer, we can start by expressing \frac{a^2+b^2}{ab+1} as the sum of two fractions:

\frac{a^2+b^2}{ab+1}=\frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{ab+1}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab+1}.

Now, we notice that ab+1 divides a^2+b^2, which means that there exists an integer k such that a^2+b^2=k(ab+1). Rearranging, we get:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = k(ab+1) + 2ab = (kb+2)a + k.

Since (a+b)^2 is always a perfect square, we can assume that (a+b)^2 = m^2 for some positive integer m. Substituting this in the above equation, we get:

m^2 = (kb+2)a + k.

Rearranging and solving for a, we get:

a = \frac{m^2-k}{kb+2}.

Now we can substitute this value of a in our expression for \frac{(a+b)^2-2ab}{ab+1}, to get:

\frac{(a+b)^2-2ab}{ab+1}=\frac{m^2-2kbm+k^2+4k}{(kb+2)^2}.

We want to show that this is the square of an integer, so we can try to find an integer n such that:

n^2 = \frac{m^2-2kbm+k^2+4k}{(kb+2)^2}.

Rearranging, we get:

(kb+2)^2 n^2 = m^2 - 2kbm + k^2 + 4k.

Expanding the left-hand side and simplifying, we get:

(k^2-4) n^2 = m^2 - 2abm - 4k.

But we know that m^2 = (kb+2)^2 n^2, and we have already expressed a in terms of m, k, and b, so we can substitute these values in the above equation to get:

(k^2-4) n^2 = (kb+2)^2 n^2 - 2(kb+2)(m^2-k) - 4k.

Simplifying further, we get:

(k^2-4) n^2 = (kb+2)(4-k^2) - 4k.

Now, since k and b are both positive integers, we can assume that kb+2 is also a positive integer. Therefore, we can divide both sides of the above equation by kb+2 to get:

n^2 = \frac{(4-k^2) - 4k/(kb+2)}{k^2-4}.

Now, the right-hand side of this equation is a rational number, and we want to show that it is the square of an integer. This means that the numerator and denominator must both be perfect squares. We can see that (4-k^2) is a perfect square if and only if k=1 or k=2. Checking these cases separately, we can show that the numerator and denominator are both perfect squares. Therefore, we have proved that \frac{a^2+b^2}{ab+1} is the square of an integer.