数学では、ホロモルフィック関数は、ドメインのすべてのポイントで微分可能な複雑な関数です。つまり、ドメイン全体の複雑な導関数を認めます。より正式に言えば、複雑な関数f（z）はドメインd siのホロモルファであり、f（z）の複雑な誘導体がDの各ポイントに存在する場合にのみです。

ホロモーフィック関数とコーシーリマンの方程式との関係は、これらの方程式がホロモーフィック関数の必要かつ十分な条件であるという事実によるものです。Cauchy-Riemann方程式は、複雑な関数f（z）= u（x、y） + ivを定義する実際の関数u（x、y）とv（x、y）を関連付ける2つの部分微分方程式のシステムです。 、y）：

∂U/∂x=∂V/∂y
∂u/∂y=-∂v/∂x

関数u（x、y）およびv（x、y）が実数の開いたドメインdで微分可能であり、dのコーシー - リマンの方程式を満たしている場合、複雑な関数f（z）= u（x（x） 、y） + iv（x、y）それはDのHolomorfaです。これは、複雑な関数f（z）の複雑な誘導体の存在が、実際の部分と想像上の部分をCauchy-Riemannの方程式をチェックすることで検証できることを意味します。

要約すると、Cauchy-Riemannの方程式は、複雑な機能がホロモーフィックであるために必要かつ十分な条件であり、したがって、ホロモーフィック機能とCauchy-Riemannの方程式の理論は密接に関連しています。
En matemáticas, una función holomorfa es una función compleja que es diferenciable en todos los puntos de su dominio, es decir, que admite derivadas complejas en todo su dominio. En términos más formales, una función compleja f(z) es holomorfa en un dominio D si y solo si la derivada compleja de f(z) existe en cada punto de D.

La relación entre una función holomorfa y las ecuaciones de Cauchy-Riemann se debe a que estas ecuaciones son las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea holomorfa. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales que relacionan las funciones reales u(x,y) y v(x,y), que definen una función compleja f(z) = u(x,y) + iv(x,y):

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

Si las funciones u(x,y) y v(x,y) son diferenciables en un dominio abierto D de números reales, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D, entonces la función compleja f(z) = u(x,y) + iv(x,y) es holomorfa en D. Esto significa que la existencia de las derivadas complejas de una función compleja f(z) se puede verificar mediante la comprobación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para sus partes reales e imaginarias.

En resumen, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son una condición necesaria y suficiente para que una función compleja sea holomorfa, y por lo tanto, la teoría de funciones holomorfas y las ecuaciones de Cauchy-Riemann están estrechamente relacionadas.