拡張機能を公開する予定がある場合は、Googleのサービスを乱用しないことをお勧めします。代わりに、安価なHetznerサーバーでホストされているリブレットランスレートなど、安価な代替品を使用する必要があります。（LibretranslateはGoogleのサービスほど翻訳が得意ではありません。あなたの場合は肯定的なはずです！）ただし、拡張機能を公に共有する予定がなく、潜在的にラテリミットであることを気にしないでください。翻訳者の使用中に、ブラウザのネットワークモニター（「要素の検査」パネルで使用可能）を確認することです。また、Lingva Translateなどのオープンソースの代替フロントエンドのコードを研究することもできます。
If you're planning to publish the extension, it's best not to abuse Google's services like that, as it's very likely that they'll take it down from their store. You should instead use a cheaper alternative, such as LibreTranslate hosted on a cheap Hetzner server. (LibreTranslate isn't as good at translation as Google's services, which in your case should be a positive!) However, if you don't plan on sharing the extension publicly and don't mind potentially being ratelimited, a good place to start is to look at your browser's network monitor (available in the "Inspect Element" panel) while using the translator. You could also study the code of open-source alternative frontends, such as Lingva Translate.