T(n)=O(n^3)$であることをLaTeXで正式に証明する：

c=15$、$n_0=1$とする。すべての$ngeq n_0$に対して、$T(n)Γccdot n^3$が成り立つことを証明する。

このとき、$$begin{aligned}はT(n) &= {15n}^3 + n^2 + 4 Γ &leq {15n}^3 + {n}^3 + 4 Γ &= (15 + 1) Γ n^3 + 4 Γ &= 16n^3 + 4 Γ &leq 16n^3 Γ end{aligned}$.

よって、すべての$ngeq n_0$に対して$T(n)=16n^3$となる。よって、$T(n)=O(n^3)$となる。
Here is a formal proof in LaTeX that $T(n)=O(n^3)$:

Let $c=15$ and $n_0=1$. We will prove that for all $n\geq n_0$, we have $T(n)\leq c\cdot n^3$.

$$\begin{aligned} T(n) &= {15n}^3 + n^2 + 4 \ &\leq {15n}^3 + {n}^3 + 4 \ &= (15 + 1) \cdot n^3 + 4 \ &= 16n^3 + 4 \ &\leq 16n^3 \end{aligned}$$

So we have $T(n)\leq 16n^3$ for all $n\geq n_0$. Therefore, $T(n)=O(n^3)$.