###例1：二次関数f（x）= x^2-4のルートを見つける

関数とその導関数を定義します。
f（x）= x^2-4
f '（x）= 2x

最初の推測を選択します、たとえばx0 = 1。

ニュートンラプソンの式を適用してください：
x1 = x0-（f（x0） / f '（x0））= 1-（（1^2-4） /（2 * 1））= 1 + 1.5 = 2.5

目的の精度に達するまでプロセスを反復します。
x2 = x1-（f（x1） / f '（x1））= 2.5-（（2.5^2-4） /（2 * 2.5））≈2.05

メソッドは迅速に収束し、数回の反復の後、ルートは約2であることがわかります。これは正確なルートが2であるため正しいです。

###例2：立方体関数のルートf（x）= x^3-6x^2 + 11x -6を見つける

関数とその導関数を定義します。
f（x）= x^3-6x^2 + 11x -6
f '（x）= 3x^2-12x + 11

最初の推測を選択します、たとえばx0 = 1。

ニュートンラプソンの式を適用してください：
x1 = x0-（f（x0） / f '（x0））= 1-（（1-6 + 11-6） /（3-12 + 11））= 1-0 = 1

目的の精度に達するまでプロセスを反復します。
x2 = x1-（f（x1） / f '（x1））= 1-（（1-6 + 11-6） /（3-12 + 11））= 1-0 = 1

この場合、この方法は1つの反復だけでルートに収束します。これは正確に1です。ニュートンラフソン法は常にすべての根を見つけるとは限らないことに注意してください。その成功は、初期推測と関数の特性に依存します。
### Example 1: Find a root of the quadratic function f(x) = x^2 - 4

Define the function and its derivative:
f(x) = x^2 - 4
f'(x) = 2x

Choose an initial guess, say X0 = 1.

Apply the Newton-Raphson formula:
X1 = X0 - (f(X0) / f'(X0)) = 1 - ((1^2 - 4) / (2 * 1)) = 1 + 1.5 = 2.5

Iterate the process until the desired precision is reached:
X2 = X1 - (f(X1) / f'(X1)) = 2.5 - ((2.5^2 - 4) / (2 * 2.5)) ≈ 2.05

The method converges quickly, and after a few iterations, you'll find that the root is approximately 2, which is correct since the exact root is 2.

### Example 2: Find a root of the cubic function f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Define the function and its derivative:
f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
f'(x) = 3x^2 - 12x + 11

Choose an initial guess, say X0 = 1.

Apply the Newton-Raphson formula:
X1 = X0 - (f(X0) / f'(X0)) = 1 - ((1 - 6 + 11 - 6) / (3 - 12 + 11)) = 1 - 0 = 1

Iterate the process until the desired precision is reached:
X2 = X1 - (f(X1) / f'(X1)) = 1 - ((1 - 6 + 11 - 6) / (3 - 12 + 11)) = 1 - 0 = 1

In this case, the method converged to the root in just one iteration, which is exactly 1. Note that the Newton-Raphson method may not always find all roots, and its success depends on the initial guess and the function's properties.