以下のメールを改善してください：

親愛なる教授へ、

ご健勝のことと存じます。私はあなたにとてもメリークリスマスと幸せなホリデーシーズンを願っていました。

また、博士課程プログラムを正常に開始し、これまでにすべてが順調に進んでいることをお知らせしたかったのです。

また、あなたがどのようにやっているのか疑問に思っていました。あなたがホリデーシーズンを楽しんでいて、すべてがあなたにとってうまくいっていることを願っています。

幸運をお祈りしています、
Improve my email below: 

Dear Professor,

I hope this email finds you well. I just wanted to wish you a very merry Christmas and a happy holiday season.

I also wanted to let you know that I have successfully started my PhD program and everything has been going well so far.

I was also wondering how you have been doing. I hope that you have been enjoying the holiday season and that everything is going well for you.

Best wishes,