現時点では、素数を生成する単純な式はありません。私は、そのような式が存在しなければならないか存在しないかについての数学的証拠を知らない。ただし、数値がプライムかどうかを判断できるアルゴリズムがあります。たとえば、テストする数字の平方根までのすべての小さな素数の弾性量を計算できます。これらの小さな数値のいずれかを伴うモジュロがゼロに等しい場合、テストする数値は複合番号であり、それ以外の場合はプライム番号です。たとえば、Mersenne Primesを計算するために、他のより複雑なアルゴリズムが存在します。これは、2つの力に先行する素数です。

素数の分布が「真にランダム」であるかどうかについては、これは使用している確率の定義に依存します。最初に確率の頻繁な定義を考えてみましょう。これは、無限の数の実験が実施される場合の状態を満たすランダム実験の割合として定義されます。この定義を使用して、プライムの分布はランダムではありません。なぜなら、プライムであることは繰り返し時に変更されない固定プロパティであるためです。ここで、ベイジアンの確率を考えてみましょう。それは、仮説が真実であるという主観的な自信として定義されています。まだ原始性がテストされていない数値の場合、その数字は間違いなくプライムまたは複合材料であるが、私たちはまだ確実性があると言うことができないという意味で、プライマリティがランダムであると想定できます。未知の数字がプライムであるというベイズの確率は、その数字の数、つまりその対数に比例します。私は、ランダム性と区別できる素数の分布から生じるパターンを知りません。
As of right now, there is no known simple formula that generates prime numbers. I am not aware of any mathematical proofs regarding whether such a formula must exist or cannot exist either. However, there are algorithms that can determine whether a number is prime. For example, one can calculate the modulo of all smaller prime numbers up to the square root of the number to be tested; if the modulo with any of those smaller numbers is equal to zero, then the number to be tested is a composite number, otherwise it is a prime number. Other, more complex algorithms exist to for example calculate Mersenne primes, which are primes that precede a power of two.

As for whether the distribution of primes is "truly random": this depends on which definition of probability you are using. Let us consider the frequentist definition of probability first. It is defined as the fraction of random experiments that satisfy a condition if an infinite number of experiments were to be conducted. Using this definition the distribution of primes is not random since a number being prime is a fixed property that does not change upon repetition. Let us now consider Bayesian probability: it is defined as the subjective confidence in a hypothesis being true. For a number whose primality has not yet been tested the primality can then be assumed to be random in the sense that while the number definitely is either prime or composite, we cannot yet say with certainty which is the case. The Bayesian probability of an unknown number being prime is proportional to the number of its digit, i.e. its logarithm. I am not aware of any pattern that emerges from the distribution of prime numbers that could be distinguished from randomness.