適切な直交分解（POD）ガラーキン還元モデル（ROM）は、有限要素分析（FEA）の計算の複雑さを減らすために使用される手法です。これには、元のFEA空間の低次元サブスペースを使用して、完全な問題の解を近似します。この方法は、3つのステップで要約できます。（1）PODを使用した削減ベースの構築、（2）還元基準への線形演算子の投影、および（3）非線形演算子の縮小基準への投影。

質量マトリックスを備えたスカラー製品：
Pod-Galerkin ROMメソッドは、システムの質量マトリックスを使用してスカラー製品を定義することから始まります。質量マトリックスは、システムの速度と加速度を関連付ける正の明確なマトリックスです。スカラー製品は次のように定義されています。

⟨u、v⟩_m=∫ωuvdω

ここで、ωはシステムのドメインであり、uとvはωで定義された関数、mは質量マトリックスです。このスカラー製品は、システムの標準とPOD法で使用される内製品を定義します。

適切な直交分解（POD）：
PODは、一連のデータの支配的な機能を抽出するために使用される数学的手法です。FEAのコンテキストでは、PODを使用して、ソリューションのスナップショットのセットからシステムの支配的なモードを抽出します。これらのスナップショットは、さまざまな入力パラメーターまたは初期条件に対してFEA問題を解決することによって取得されます。PODメソッドは、スナップショットマトリックスで特異値分解（SVD）を実行することにより、システムの支配的なモードを抽出します。スナップショットマトリックスXのSVDは、次のように与えられます。

x =uσv^t

ここで、uとvは直交行列であり、σはxの特異値を含む斜めマトリックスです。システムの支配的なモードは、σの最大の特異値に対応するuとvの最初の数列に含まれています。

線形演算子の投影：
PODメソッドを使用して削減されたベースが構築された後、システムの線形演算子を削減ベースに投影できます。線形演算子は、剛性マトリックスKと減衰マトリックスCであり、次のように定義されています。

ku = f
cv = -ku_dot

ここで、uとvはシステムの変位と速度ベクトルであり、fは力ベクトルであり、u_dotはuの時間微分です。線形演算子を縮小ベースに投影するために、剛性の低下と減衰マトリックス、K_RおよびC_Rを次のように定義します。

k_r =φ^tkφ
c_r =φ^tcφ

ここで、φは還元ベクトルを含むマトリックスであり、φ^tはその転置です。縮小システムは次のように記述できます。

k_r u_r = f_r
C_R V_R = -K_R U_R_DOT

ここで、U_RとV_Rは変位と速度ベクトルの還元であり、F_Rは還元力ベクトルです。

非線形演算子の投影：
非線形演算子を縮小ベースに投影することは、線形演算子の投影よりも複雑です。非線形演算子は、支配方程式の非線形項の結果であり、それらを直接縮小ベースに投影することはできません。代わりに、非線形項はガラーキン投影を使用して近似され、非線形項を縮小ベースに投影することが含まれます。非線形項のガラーキン投影は、次のように与えられます。

n（u）≈φ^t n（φu）

ここで、n（u）は統治方程式の非線形項であり、φは還元ベクトルを含むマトリックスであり、φuは還元基準での完全溶液uの近似です。予測された非線形項は、還元線形システムに追加され、非線形システムが減少します。

k_r u_r = f_r +φ^t n（φu_r）
C_R V_R = -K_R U_R_DOT

ここで、n（φu_r）は、非線形項のガラキン投影です。

要約すると、Pod-Galerkin ROMメソッドには、PODメソッドを使用した削減された基礎の構築が含まれ、その後、線形および非線形演算子が縮小ベースに投影されます。還元システムは、標準の数値手法を使用して解決できます。この方法は、高度な精度を維持しながら、FEAの完全な問題と比較して計算コストの大幅な削減を提供します。
The Proper Orthogonal Decomposition (POD) Galerkin Reduced Order Model (ROM) is a technique used to reduce the computational complexity of Finite Element Analysis (FEA). It involves the use of a low-dimensional subspace of the original FEA space to approximate the solution of the full problem. The method can be summarized in three steps: (1) construction of the reduced basis using POD, (2) projection of the linear operators into the reduced basis, and (3) projection of the nonlinear operators into the reduced basis.

Scalar Product with the Mass Matrix:
The POD-Galerkin ROM method starts with defining a scalar product with the mass matrix of the system. The mass matrix is a positive definite matrix that relates the velocity and acceleration of the system. The scalar product is defined as:

⟨u,v⟩_M = ∫ Ω u v dΩ

where Ω is the domain of the system, u and v are functions defined on Ω, and M is the mass matrix. This scalar product defines the norm of the system and the inner product used in the POD method.

Proper Orthogonal Decomposition (POD):
The POD is a mathematical technique used to extract the dominant features of a set of data. In the context of FEA, POD is used to extract the dominant modes of the system from a set of snapshots of the solution. These snapshots are obtained by solving the FEA problem for different input parameters or initial conditions. The POD method then extracts the dominant modes of the system by performing a Singular Value Decomposition (SVD) on the snapshot matrix. The SVD of the snapshot matrix X is given by:

X = UΣV^T

where U and V are orthogonal matrices, and Σ is a diagonal matrix containing the singular values of X. The dominant modes of the system are contained in the first few columns of U and V, corresponding to the largest singular values in Σ.

Projection of Linear Operators:
After the reduced basis is constructed using the POD method, the linear operators of the system can be projected into the reduced basis. The linear operators are the stiffness matrix K and the damping matrix C, which are defined by:

Ku = f
Cv = -Ku_dot

where u and v are the displacement and velocity vectors of the system, f is the force vector, and u_dot is the time derivative of u. To project the linear operators into the reduced basis, we define the reduced stiffness and damping matrices, K_r and C_r, as:

K_r = Φ^T K Φ
C_r = Φ^T C Φ

where Φ is the matrix containing the reduced basis vectors, and Φ^T is its transpose. The reduced system can then be written as:

K_r u_r = f_r
C_r v_r = -K_r u_r_dot

where u_r and v_r are the reduced displacement and velocity vectors, and f_r is the reduced force vector.

Projection of Nonlinear Operators:
The projection of the nonlinear operators into the reduced basis is more complicated than the projection of the linear operators. The nonlinear operators are the result of the nonlinear terms in the governing equations, and they cannot be projected directly into the reduced basis. Instead, the nonlinear terms are approximated using a Galerkin projection, which involves projecting the nonlinear terms onto the reduced basis. The Galerkin projection of the nonlinear term is given by:

N(u) ≈ Φ^T N(Φu)

where N(u) is the nonlinear term of the governing equation, Φ is the matrix containing the reduced basis vectors, and Φu is the approximation of the full solution u in the reduced basis. The projected nonlinear term is then added to the reduced linear system, resulting in the reduced nonlinear system:

K_r u_r = f_r + Φ^T N(Φu_r)
C_r v_r = -K_r u_r_dot

where N(Φu_r) is the Galerkin projection of the nonlinear term onto the reduced basis.

In summary, the POD-Galerkin ROM method involves the construction of a reduced basis using the POD method, followed by the projection of the linear and nonlinear operators into the reduced basis. The reduced system can then be solved using standard numerical techniques. The method provides a significant reduction in computational cost compared to the full FEA problem, while maintaining a high degree of accuracy.