代数の基本的な定理は、程度の実数多項式「p（x）」は、「n> 2」を実質係数を持ついくつかの二次多項式で分割できると述べています。これを証明するために、多項式、 `rp（x）（a、b）`および `sp（x）（a、b）`の多項式の係数を含むSturmのようなチェーンを使用できます。「b」の十分に大きな負の値をとることにより、変数の `rp（x）（a、b）`と `sp（x）（a、b）の両方の根が変数であることを示すことができます。実質的に交互に互いに交互に（プロパティを交換する）。このインターレースプロパティを使用して、 `rp（x）（a、b）`および `sp（x）（a、b）の根の軌跡を示すことができます。`b <0`。したがって、代数の基本的な定理が証明されています。
The Fundamental Theorem of Algebra states that any real-valued polynomial `p(x)` of degree `n > 2` can be divided by some quadratic polynomial with real coefficients. To prove this, we can use a Sturm-like chain that contains the coefficients of the polynomial, `Rp(x)(a, b)` and `Sp(x)(a, b)`, as consecutive terms. By taking a sufficiently large negative value of `b`, we can show that the roots of both `Rp(x)(a, b)` and `Sp(x)(a, b)` in the variable `a` are real-valued and alternating each other (interlacing property). This interlacing property can then be used to show that the locus of the roots of `Rp(x)(a, b)` and `Sp(x)(a, b)` must intersect for some real-valued `a` and `b < 0`. Therefore, the Fundamental Theorem of Algebra is proven.