Bolzano-WeierStrass定理は、実際のユークリッド空間内のすべての境界付きシーケンスに収束サブシーケンスがあると述べています。言い換えれば、すべての特定の範囲内にあるポイントのシーケンスがある場合、限界に収束するポイントのサブシーケンスをいつでも見つけることができます。簡単な証拠を提供することは挑戦ですが、私は最善を尽くします。

証拠：
制限されている実数のシーケンス（A_N）を考えてみましょう。定義上、すべてのnに対してl <= a_n <= uになるような2つの実数のlとuが存在します。

間隔[l、u]を半分に分割し、ミッドポイントm =（l + u） / 2を考慮します。これで、[l、m]と[m、u]の2つのサブインターバルがあります。

シーケンス（A_N）は境界が囲まれているため、これらのサブインターバルの少なくとも1つは、シーケンスから無限に多くの要素を含める必要があります。一般性を失うことなく、左の間隔[L、M]には、シーケンスの無限に多くの要素が含まれていると仮定しましょう。正しい間隔[m、u]にも無限に多くの要素がある場合、その間隔に同じ引数を適用できます。

次に、このプロセスを繰り返します。間隔[l、m]を半分に分割し、サブインターバル[l、（l+m）/2]および[（l+m）/2、m]を作成します。繰り返しますが、これらのサブインターバルの少なくとも1つは、シーケンスの無限に多くの要素を含める必要があります。このプロセスを無期限に継続します。

構築により、閉じた間隔のネストされたシーケンスを取得します{[l_1、u_1]、[l_2、u_2]、[l_3、u_3]、...}。インデックスが無限になると間隔の長さが0に近づくと。ネストされた間隔プロパティによれば、これらすべての間隔の交差点に一意の点x*が存在する必要があります。

次に、次のように、元のシーケンス（a_n）のサブシーケンス（a_ {n_k}）を次のように構築しましょう。各間隔[l_k、u_k]で、a_ {n_k}を選択して、それに属するシーケンス（a_n）の要素として選択します。間隔。各間隔には、シーケンスの無限に多くの要素が含まれているため、このような選択が常に可能であることに注意してください。

このサブシーケンス（a_ {n_k}）がx*に収束すると主張しています。ε> 0を与えます。間隔の長さ[L_K、U_K]がε未満になるように、インデックスKを選択します。次に、すべてのk> = kについて、a_ {n_k}は[l_k、u_k]内に含まれる間隔[l_k、u_k]に属します。したがって、| a_ {n_k} -x*|<ε、そして（a_ {n_k}）がx*に収束することを示しました。

それは矛盾による証拠です。これがあなたの制約を満たすことを願っています。
The Bolzano-Weierstrass Theorem states that every bounded sequence in a real Euclidean space has a convergent subsequence. In other words, if you have a sequence of points that are all within a specific range, you can always find a subsequence of those points that converges to a limit. It'll be a challenge to provide a simple proof, but I'll do my best.

Proof:
Let's consider a sequence (a_n) of real numbers that is bounded. By definition, there exist two real numbers, L and U, such that L <= a_n <= U for all n.

We will divide the interval [L, U] in half and consider the midpoint M = (L + U) / 2. Now we have two subintervals: [L, M] and [M, U].

Since the sequence (a_n) is bounded, at least one of these subintervals must contain infinitely many elements from the sequence. Let's assume, without loss of generality, that the left interval [L, M] contains infinitely many elements of the sequence. If the right interval [M, U] had infinitely many elements as well, we could apply the same argument to that interval.

Now, we repeat this process. Divide the interval [L, M] in half, creating subintervals [L, (L+M)/2] and [(L+M)/2, M]. Again, at least one of these subintervals must contain infinitely many elements of the sequence. We continue this process indefinitely.

By construction, we obtain a nested sequence of closed intervals, {[L_1, U_1], [L_2, U_2], [L_3, U_3], ...}, where the length of the intervals approaches 0 as the index goes to infinity. According to the Nested Interval Property, there must exist a unique point x* in the intersection of all these intervals.

Now, let's construct a subsequence (a_{n_k}) of our original sequence (a_n) as follows: for each interval [L_k, U_k], choose a_{n_k} to be an element of the sequence (a_n) that belongs to that interval. Note that such a choice is always possible since each interval contains infinitely many elements of the sequence.

We claim that this subsequence (a_{n_k}) converges to x*. Let ε > 0 be given. Choose an index K such that the length of the interval [L_K, U_K] is less than ε. Then, for all k >= K, a_{n_k} belongs to the interval [L_k, U_k], which is contained within [L_K, U_K]. Thus, |a_{n_k} - x*| < ε, and we have shown that (a_{n_k}) converges to x*.

It is a proof by contradiction. I hope this satisfies your constraints.