n番目の三角形数は、最初のn自然数を一緒に追加することで見つけることができます。n番目の三角形数の式、$ t_n $は以下で与えられます。

$$ t_n = 1+2+3+...+n = \ frac {n（n+1）} {2} $$

最初のn自然数の合計を考慮することにより、この式を証明できます。

$$ t_n = 1+2+3+...+n $$

この合計をそれ自体に追加するが、順序を反転すると、次のようになります。

$$ 2t_n =（1+2+3+...+n）+（n+（n-1）+（n-2）+...+1）$$

したがって、

$$ 2T_N =（1+n）+（2+（n-1））+（3+（n-2））+...+（n+1）$$

$ n $の項があり、それぞれが$ n+1 $になるため、

$$ 2t_n = n*（n+1）$$

そこから直接それに続きます

$$ t_n = \ frac {n（n+1）} {2} $$

これが私たちが証明したかったことです。
The nth triangle number can be found by adding the first n natural numbers together. The formula for the nth triangle number, $T_n$, is given by:

$$T_n = 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$$

We can prove this formula by considering the sum of the first n natural numbers, which is:

$$T_n = 1+2+3+...+n$$

If we add this sum to itself, but invert the order, we get:

$$2T_n = (1+2+3+...+n) + (n+(n-1)+(n-2)+...+1)$$

Hence

$$2T_n = (1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+...+(n+1)$$

We can see that we have $n$ terms and they each add up to $n+1$, hence

$$2T_n = n*(n+1)$$

From which directly follows that

$$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

which is what we wanted to proof.