Cardanoの方法を使用して、立方式x^3 + 2x^2 -x -1 = 0を解く。ここにステップがあります：

ステップ1：立方体方程式をフォームx^3 + px + q = 0に変換します。

これを行うことができます。最初の2つの用語からXを形成し、最後の2つの用語から-1を除去できます。これは私たちに与えます：

x^3 + 2x^2 -x -1 = x^2（x + 2）-1（x + 2）=（x^2-1）（x + 2）=（x -1）（x + 1）（x + 2）

したがって、x^3 + 2x^2 -x -1 = 0は（x -1）（x + 1）（x + 2）= 0として記述できます。

ステップ2：cardanoの方法を使用してxを解きます。

Cardanoの方法では、x = y-（p/3）を式x^3 + px + q = 0に置き換えることが含まれます。ここで、pとqはそれぞれx^2とxの係数です。これは私たちに与えます：

（y-（p/3））^3 + p（y-（p/3）） + q = 0

この方程式を単純化すると、次のことがわかります。

y^3-3py^2/3 +（2p^3/27 + q）y -p^3/27 = 0

ステップ3：縮小された立方式を解決します。

y^3-3py^2/3 +（2p^3/27 + q）y -p^3/27 = 0をy = u + vを設定することにより、還元された立方体方程式を解くことができます。ここで、uとvは定数です。これは私たちに与えます：

（u + v）^3-3p（u + v）^2/3 +（2p^3/27 + q）（u + v）-p^3/27 = 0

この方程式を拡大して用語のように収集すると、次のことが得られます。

u^3 + v^3 +（3uv -p）u +（3uv -p）v + 2p^3/27 + q = 0

二次項の係数をゼロにする必要があるため、3UV -p = 0を設定できます。これにより、UV = p/3が得られます。

ステップ4：uとvを解決します。

uv = p/3を方程式u^3 + v^3 + 2p^3/27 + q = 0に置き換えることで、uとvを解くことができます。

u^3 + v^3 = -2p^3/27 -q

その後、次の式を使用して、uとvを解くことができます。

u =（q/2 +（（q/2）^2 +（p/3）^3）^0.5）^（1/3） - （q/2 +（（q/2）^2 +（p）/37注目）

v =（q/2  - （（q/2）^2 +（p/3）^3）^0.5）^（1/3） - （q/2  - （（q/2）^2 +（p）/37注目）

ステップ5：xを解決します。

最後に、式x = y  - （p/3）を使用してxを解くことができます。ここで、y = u + v。

x =（q/2 +（（q/2）^2 +（p/3）^3）^0.5）^（1/3） - （q/2 +（（q/2）^2 +（p）/3）^3)^ 0.5)^(-1/3)(p/3） +（q/2  - （（q/2）^2 +（p/3）^3）^0.5）^（1/3） - （q/2-（（q/2）^2 +（p/3）^3）^0.5）^（ -  1/3）（p/3） - （2p/3）

PとQの値を差し込むと、次のようになります。

x =（1/3 +（（1/3）^2 + 4/27）^0.5）^（1/3） - （1/3 +（（1/3）^2 + 4/27）^（-1/2））（1/3） +（1/3-（（1/3）^2 + 4/27）^0.5）^（1/3） - （1/3-（（1/3） - （1/3） - （1/3） - （）^2 + 4/27）^（ -  1/2））（1/3） - （4/9）

この表現を単純化すると、次のようになります。

x =（1/3 +（19/27）^0.5）^（1/3） +（1/3-（19/27）^0.5）^（1/3） - （4/9）

したがって、立方式x^3 + 2x^2 -x -1 = 0の解決策は次のとおりです。
 x =（1/3 +（19/27）^0.5）^（1/3） +（1/3-（19/27）^0.5）^（1/3） - （4/9）。
To solve the cubic equation x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 using Cardano's method. Here are the steps:

Step 1: Convert the cubic equation to the form x^3 + px + q = 0.

We can do this by factoring out x from the first two terms and -1 from the last two terms. This gives us:

x^3 + 2x^2 - x - 1 = x^2(x + 2) - 1(x + 2) = (x^2 - 1)(x + 2) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)

So, x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 can be written as (x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0.

Step 2: Use Cardano's method to solve for x.

Cardano's method involves substituting x = y - (p/3) into the equation x^3 + px + q = 0, where p and q are the coefficients of x^2 and x respectively. This gives us:

(y - (p/3))^3 + p(y - (p/3)) + q = 0

Simplifying this equation gives us:

y^3 - 3py^2/3 + (2p^3/27 + q)y - p^3/27 = 0

Step 3: Solve the reduced cubic equation.

We can solve the reduced cubic equation y^3 - 3py^2/3 + (2p^3/27 + q)y - p^3/27 = 0 by setting y = u + v, where u and v are constants. This gives us:

(u + v)^3 - 3p(u + v)^2/3 + (2p^3/27 + q)(u + v) - p^3/27 = 0

Expanding this equation and collecting like terms gives us:

u^3 + v^3 + (3uv - p)u + (3uv - p)v + 2p^3/27 + q = 0

Since we want the coefficient of the quadratic term to be zero, we can set 3uv - p = 0, which gives us uv = p/3.

Step 4: Solve for u and v.

We can solve for u and v by substituting uv = p/3 into the equation u^3 + v^3 + 2p^3/27 + q = 0. This gives us:

u^3 + v^3 = -2p^3/27 - q

We can then solve for u and v by using the following formulae:

u = (q/2 + ((q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(1/3) - (q/2 + ((q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(-1/3)*(p/3)

v = (q/2 - ((q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(1/3) - (q/2 - ((q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(-1/3)*(p/3)

Step 5: Solve for x.

Finally, we can solve for x by using the formula x = y - (p/3), where y = u + v. This gives us:

x = (q/2 + ((q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(1/3) - (q/2 + ((q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(-1/3)(p/3) + (q/2 - ((q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(1/3) - (q/2 - ((q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(-1/3)(p/3) - (2p/3)

Plugging in the values for p and q, we get:

x = (1/3 + ((1/3)^2 + 4/27)^0.5)^(1/3) - (1/3 + ((1/3)^2 + 4/27)^(-1/2))(1/3) + (1/3 - ((1/3)^2 + 4/27)^0.5)^(1/3) - (1/3 - ((1/3)^2 + 4/27)^(-1/2))(1/3) - (4/9)

Simplifying this expression gives us:

x = (1/3 + (19/27)^0.5)^(1/3) + (1/3 - (19/27)^0.5)^(1/3) - (4/9)

So, the solution to the cubic equation x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 is: 
 x = (1/3 + (19/27)^0.5)^(1/3) + (1/3 - (19/27)^0.5)^(1/3) - (4/9).