すべての素数を生成するいくつかの式がありますが、それらは実用的なものになるほど効率的ではありません。たとえば、1964年にC. P. Willansによって考案された式は、技術的に$ n $ th Primeを返しますが、$ 2^n $の値を合計することで、それぞれが計算に要因が必要です。

ランダム性に関しては、素数のセットが固定されているため、「真に」ランダムではなく、擬似ランダムのみになりません。また、例えばULAMスパイラルとその不自然な直線の周波数。
There are several formulas that generate all prime numbers, but they're not efficient enough to be of any practical use. For example, a formula devised by C. P. Willans in 1964 does technically return the $n$th prime, but it does so by summing $2^n$ values, each of which requires a factorial to compute. 

As for randomness, as the set of prime numbers is fixed, it can't be "truly" random, only pseudorandom. It's also not uniform, as evidenced by e.g. the Ulam spiral and its unnatural frequency of straight lines.