ハイネ・ボレルの定理は、材料ラインの一部が一般化され、閉じられて制限されている場合にのみ一般化されていると主張しています。これを確認するために、肯定的な方向性を確立することから始めます。f-材料ラインのサブセットを閉じて制限します。Fがコンパクトであることを証明したいと思います。これを行うために、コンパクトさの定義を利用します。コンパクトさは、各オープンコーティングFに最終サブセットがある場合、材料のサブセットが直接コンパクトであると述べています。u -u -openコーティングF. fが閉じていることを考慮して、すべてのポイントfが-mとMの間にあるような数mがあります。uは開いたコーティングであるため、-mを含むオープン数oをカバーします。 Pを設定し、Mをオンにします。Fが閉じているのは、すべての境界点が含まれることを意味します。したがって、oとpはuにあり、f全体をカバーしています。uは有限であるという事実から、uは最終的なサブセット、つまりOとPを持っていることになります。
今、反対を設定します。f-材料ラインのコンパクトサブセットとします。fが閉じて制限されていることを証明する必要があります。Fが閉じていることを証明するために、xが最大ポイントFであっても、Fがコンパクトであることを考えると、xは最大ポイントfであるため、u corには特定のオープンセットoがあります。 O.ではO.であるため、UはFをカバーするため、OはFを越える必要があります。XはOとOインターセンスFであるため、XはFにあるはずです。したがって、Fは閉じます。Fが閉じていることを証明するために、xがFのポイントであっても、Fがコンパクトであっても、特定の開いたコーティングUで覆われています。xはFにあることを考えると、uには特定のオープンセットがあります。 xはOです。uがFをカバーすることを考慮して、oはF. oを公然と交差させる必要があります。A<x <b、およびo -o -open interval（a、b）の2つの実数があります。したがって、Fは閉じられています。
結論として、材料のサブセットは、閉じられて制限されている場合にのみ、コンパクトに直接コンパクトであることがわかりました。
Теорема Гейне-Бореля утверждает, что часть вещественной прямой является обобщенной тогда и только тогда, когда она замкнута и ограничена. Чтобы подтвердить это, мы начнем с установления утвердительного направления. Пусть F - подмножество вещественной прямой, замкнутое и ограниченное. Мы хотим доказать, что F компактно. Для этого мы воспользуемся определением компактности, которое гласит, что подмножество вещественной прямой компактно, если каждое открытое покрытие F имеет конечное подмножество. Пусть U - открытое покрытие F. Учитывая, что F замкнуто, существует число M такое, что все точки F лежат между -M и M. Поскольку U - открытое покрытие, оно охватывает открытое множество O, включающее -M, и открытое множество P, включающее M. То, что F замкнуто, означает, что оно включает все граничные точки. Следовательно, O и P находятся в U и охватывают всю F. Из того, что U конечна, следует, что U имеет конечное подмножество, а именно O и P.
Теперь установим обратное. Пусть F - компактное подмножество вещественной прямой. Нам нужно доказать, что F замкнуто и ограничено. Чтобы доказать, что F замкнуто, пусть x - предельная точка F. Учитывая, что F компактно, оно покрыто некоторым открытым покрытием U. Поскольку x - предельная точка F, существует некоторое открытое множество O в U такое, что x находится в O. Поскольку U покрывает F, O должно пересекать F. Поскольку x находится в O и O пересекает F, x должно находиться в F. Следовательно, F замкнуто. Чтобы доказать, что F замкнута, пусть x - точка в F. F компактна, ее покрывает некоторое открытое покрытие U. Учитывая, что x находится в F, существует некоторое открытое множество O в U такое, что x находится в O. Учитывая, что U покрывает F, O должно пересекать F. O открыто, существуют два действительных числа, a и b, такие, что a < x < b, и O - открытый интервал (a, b). Следовательно, F замкнуто.
В заключение мы установили, что подмножество вещественной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что является леммой Гейне-Бореля.