a² +b² / ab + 1が整数の正方形であることを示すには、次のような整数kを見つける必要があります。

a² +b² / ab + 1 =k²

まず、分子と分母の両方にA -Bを掛けることで、左側の式を簡素化できます。

（a² +b²）（a -b） /（ab + 1）（a -b）=k²

左側の分子を拡張し、分子と分母の両方でa -bの共通因子をキャンセルすると、次のようになります。

（a³ -b³） + ab（a -b） /（a²b -ab²） + 1 =k²

ab + 1はa² +b²を分割するため、次のことを記述できます。

a² +b²= n（ab + 1）

ここで、nは正の整数です。この式を左側の分子に置き換えると、次のようになります。

（a³ -b³） + ab（a -b）=a³ -b³ + ab（a -b）=（a -b）（a² -ab +b²）=（a -b）n

この式を元の方程式に置き換えて単純化すると、次のようになります。

（a -b）n / ab -1 =k²

両側にab -1を掛けると、次のようになります。

（a -b）n =k²（ab -1）

a、b、およびnは正の整数であるため、私たちは次のとおりです。

A -B> 0およびAB -1> 0

したがって、K²はポジティブな整数である必要があり、次のことを書くことができます。

k²=（a -b）n /（ab -1）

次に、Kが整数であることを示す必要があります。これを行うには、ab + 1がa² +b²を分割するという事実を使用します。これは次のように書くことができます

a² +b²= m（ab + 1）

ここで、mは正の整数です。この式を元の方程式に置き換えると、次のようになります。

m（ab + 1） / ab + 1 =k²

両側にAB + 1を掛けると、次のことがわかります。

m（ab + 1）=k²（ab + 1）

左側を拡張して簡素化すると、次のようになります。

mab + m =k²ab +k²

両側をABで分割すると、次のようになります。

m/a + m/b =k² + m/（ab）

m/（ab）は正の整数であり、m/aとm/bはどちらも正の整数であるため、k²も正の整数でなければならず、kは整数です。

したがって、a² +b² / ab + 1が整数の正方形であることを示しました。
To show that a² + b² / ab + 1 is the square of an integer, we need to find an integer k such that:

a² + b² / ab + 1 = k²

To start, we can simplify the expression on the left-hand side by multiplying both the numerator and denominator by a - b:

(a² + b²)(a - b) / (ab + 1)(a - b) = k²

Expanding the numerator on the left-hand side and canceling out the common factor of a - b in both the numerator and denominator, we get:

(a³ - b³) + ab(a - b) / (a²b - ab²) + 1 = k²

Since ab + 1 divides a² + b², we can write:

a² + b² = n(ab + 1)

where n is some positive integer. Substituting this expression into the numerator of the left-hand side, we get:

(a³ - b³) + ab(a - b) = a³ - b³ + ab(a - b) = (a - b)(a² - ab + b²) = (a - b)n

Substituting this expression back into our original equation and simplifying, we get:

(a - b)n / ab - 1 = k²

Multiplying both sides by ab - 1, we get:

(a - b)n = k²(ab - 1)

Since a, b, and n are positive integers, we have:

a - b > 0 and ab - 1 > 0

Therefore, k² must also be a positive integer, and we can write:

k² = (a - b)n / (ab - 1)

Now we need to show that k is an integer. To do this, we will use the fact that ab + 1 divides a² + b². This can be written as:

a² + b² = m(ab + 1)

where m is some positive integer. Substituting this expression into the original equation, we get:

m(ab + 1) / ab + 1 = k²

Multiplying both sides by ab + 1, we get:

m(ab + 1) = k²(ab + 1)

Expanding the left-hand side and simplifying, we get:

mab + m = k²ab + k²

Dividing both sides by ab, we get:

m/a + m/b = k² + m/(ab)

Since m/(ab) is a positive integer and m/a and m/b are both positive integers, k² must also be a positive integer, and k is an integer.

Therefore, we have shown that a² + b² / ab + 1 is the square of an integer.