はい、対称双線形形式は、コサインの法則と2つのベクトル間の角度式と密接な関係を持っています。

コサインの法則から始めましょう。これは、任意の三角形で、片側の長さの正方形は、他の両側の長さの正方形の合計と、長さの積とコサインの2倍を引いたものと等しいと述べています。それらの間の角度。これは次のように代数的に表現できます。

c^2 = a^2 + b^2-2ab cos（c）

ここで、Cは反対の角度c、aとbは他の2つの辺の長さです。

次に、座標によって与えられるN次元のユークリッド空間の2つのベクトルを検討してください。

u =（u1、u2、...、un）
v =（v1、v2、...、vn）

これらのベクトルのドット積は、次のように定義されます。

u・v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

対称双線形形式b（u、v）を定義する場合：

b（u、v）= u・v

次に、これを使用して、2つのベクトル間の角度式を導出できます。

ベクトルuの長さは次のことを与えられていることを思い出してください。

|| u ||= sqrt（u・u）

DOT製品の定義と正方形の根の特性を使用して、次のことを示すことができます。

|| u ||* || V ||* cos（theta）= u・v

シータはuとv。の間の角度です。

cos（theta）=（u・v） /（|| u || * || v ||）

対称的な双線形形式の定義に置き換えると、次のようになります。

cos（theta）= b（u、v） /（|| u || * || v ||）

これで、コサインの法則を、ベクターu、v、およびu -v（uとvのエンドポイントを接続する）によって形成された三角形に適用できます。u -vの長さは次のように与えられます：

|| u -v ||^2 =（u -v）・（u -v）= u・u -2u・v + v・v

対称双線形形式の定義を使用して、これを次のように書くことができます。

|| u -v ||^2 = || u ||^2 + || v ||^2-2b（u、v）

コサインの法則を適用すると、次のようになります。

|| u -v ||^2 = || u ||^2 + || v ||^2-2 || u ||* || V ||* cos（シータ）

cos（theta）のフォーミュラに置き換えると、次のようになります。

|| u -v ||^2 = || u ||^2 + || v ||^2-2b（u、v）= || u ||^2 + || v ||^2-2-2|| u ||* || V ||*（u・v） /（|| u || * || v ||）

単純化してください：

b（u、v）= || u ||* || V ||* cos（シータ）

これは、前に導出した2つのベクトル間の角度式です。

したがって、要約すると、対称双線形の形式は、2つのベクターとコサインの法則の間の角度式に密接に関連しています。対称双線形形式を2つのベクトルのドット積として定義することにより、それを使用して角度式を導き出し、コサインの法則をベクターに適用できます。
Yes, symmetric bilinear forms have a close relationship with the law of cosines and the angle formula between two vectors.

Let's start with the law of cosines, which states that in any triangle, the square of the length of one side is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides minus twice the product of their lengths and the cosine of the angle between them. This can be expressed algebraically as:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

where c is the length of the side opposite angle C, and a and b are the lengths of the other two sides.

Now consider two vectors in n-dimensional Euclidean space, given by their coordinates:

u = (u1, u2, ..., un)
v = (v1, v2, ..., vn)

The dot product of these vectors is defined as:

u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

If we define a symmetric bilinear form B(u, v) as:

B(u, v) = u · v

then we can use this to derive the angle formula between two vectors.

Recall that the length of a vector u is given by:

||u|| = sqrt(u · u)

Using the definition of the dot product and the properties of square roots, we can show that:

||u|| * ||v|| * cos(theta) = u · v

where theta is the angle between u and v. Rearranging, we get:

cos(theta) = (u · v) / (||u|| * ||v||)

Substituting in our definition of the symmetric bilinear form, we get:

cos(theta) = B(u, v) / (||u|| * ||v||)

Now we can apply the law of cosines to the triangle formed by the vectors u, v, and u - v (which connects the endpoints of u and v). The length of u - v is given by:

||u - v||^2 = (u - v) · (u - v) = u · u - 2u · v + v · v

Using the definition of the symmetric bilinear form, we can write this as:

||u - v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2B(u, v)

Applying the law of cosines, we get:

||u - v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2||u|| * ||v|| * cos(theta)

Substituting in our formula for cos(theta), we get:

||u - v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2B(u, v) = ||u||^2 + ||v||^2 - 2||u|| * ||v|| * (u · v) / (||u|| * ||v||)

Simplifying, we get:

B(u, v) = ||u|| * ||v|| * cos(theta)

which is the angle formula between two vectors that we derived earlier.

So in summary, symmetric bilinear forms are intimately connected to the angle formula between two vectors and the law of cosines. By defining a symmetric bilinear form as the dot product of two vectors, we can use it to derive the angle formula and apply the law of cosines to the vectors.