1ガロンのバケツに収まる1/2インチの大理石の数を判断するには、単一の大理石の容積とバケツの容積を計算し、バケツのボリュームを大理石の容積で分割する必要があります。ビー玉はスペース全体を完全に満たすことはないので、梱包効率も考慮する必要があります。

これが段階的なガイドです：

1. **単一の大理石の量を計算します：**
球体の体積の式はv =（4/3）πr^3で、vは体積、rは半径です。大理石の直径は1/2インチであるため、半径は1/4インチです。
v =（4/3）π（1/4）^3
V≈0.06545立方インチ

2. ** 1ガロンのバケツのボリュームを立方インチに変換します：**
1ガロン= 231立方インチ

3. **梱包効率を計算します：**
球体を梱包する最も効率的な方法は、約74％の梱包効率を持つ六角形の密集または顔中心の立方体配置です（0.74）。

4. **バケツの有効ボリュームを計算します：**
有効ボリューム=総量×パッキング効率
有効ボリューム= 231立方インチ×0.74
有効ボリューム≈170.94立方インチ

5. **バケツの有効なボリュームを単一の大理石の容積で分割します：**
大理石の数=単一の大理石の効果的なボリューム /ボリューム
大理石の数≈170.94 / 0.06545
大理石の数≈2611

したがって、パッキング効率を考慮して、約2611の大理石を1ガロンのバケツで直径1/2インチの大理石に収めることができます。
To determine how many 1/2-inch diameter marbles you can fit in a 1-gallon bucket, you'll need to calculate the volume of a single marble and the volume of the bucket, then divide the bucket's volume by the marble's volume. Marbles won't perfectly fill the entire space, so we'll also need to account for the packing efficiency.

Here is a step-by-step guide:

1. **Calculate the volume of a single marble:**
The formula for the volume of a sphere is V = (4/3)πr^3, where V is the volume and r is the radius. Since the diameter of the marble is 1/2 inch, the radius is 1/4 inch.
V = (4/3)π(1/4)^3
V ≈ 0.06545 cubic inches

2. **Convert the volume of the 1-gallon bucket to cubic inches:**
1 gallon = 231 cubic inches

3. **Calculate the packing efficiency:**
The most efficient way to pack spheres is in a hexagonal close-packed or face-centered cubic arrangement, which has a packing efficiency of about 74% (0.74).

4. **Calculate the effective volume of the bucket:**
Effective volume = Total volume × Packing efficiency
Effective volume = 231 cubic inches × 0.74
Effective volume ≈ 170.94 cubic inches

5. **Divide the effective volume of the bucket by the volume of a single marble:**
Number of marbles = Effective volume / Volume of a single marble
Number of marbles ≈ 170.94 / 0.06545
Number of marbles ≈ 2611

So, you can fit approximately 2611 marbles with a 1/2-inch diameter in a 1-gallon bucket, considering the packing efficiency.