次のリングのそれぞれに6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6多項式を考慮します。

c [x]：
C [x]では、あらゆる多項式を線形因子に考慮することができます。したがって、6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6は次のとおりです。6is：6 is：6 is：6

6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6 = 6（x-1）（x+1）（x+√2i）（x-√2i）（x+√3）（x-√3）（x-√3）

ここで、√2iと√3は多項式の複雑な根です。

r [x]およびq [x]：
r [x]およびq [x]では、線形または二次因子で多項式を考慮することはできないため、これらのリングを完全に考慮することはできません。ただし、いくつかの一般的な用語を考慮することはできます。

6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6 = 2（x² -3）（3x³ -2x² + 5）

z [x]：
z [x]では、独自の因数分解定理を使用して、多項式を還元不可能な因子に因数分解できます。多項式は一元的であること（つまり、主な係数は1）であり、独立した用語は2で割り切れます。したがって、合理的なルート全体がある場合、2の除数でなければなりません。 1、-1、2、および-2、そしてx = 1が多項式の根であることがわかります。

多項式をX-1で分割して取得できます。

6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6 =（x -1）（6x⁴ +2x³ +4x² + 8x + 14）

2番目の要因を考慮するために、グループ化手法を使用できます。

6x⁴ +2x³ +4x² + 8x + 14 = 2（3x⁴ +x³ +2x² + 4x + 7）

独立した用語は2 mod 5であることがわかります。つまり、多項式にはF_5に合理的な根がないことを意味します。多項式がf_5 [x]で還元不可能であるかどうかを証明できます。

3x⁴ +x³ +2x² + 4x + 7 =（x + 2）（3x³ +5x² + 2）

2番目の要因はF_5 [x]では還元できないため、z [x]の完全な6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6因数分解は次のとおりです。

6x⁵ -4x⁴ +2x² + 10x -6 =（x -1）（x + 2）（3x³ +5x² + 2）
Factorizaremos el polinomio 6x⁵ - 4x⁴ + 2x² + 10x - 6 en cada uno de los siguientes anillos:

C[x]:
En C[x], podemos factorizar cualquier polinomio en factores lineales, por lo que la factorización de 6x⁵ - 4x⁴ + 2x² + 10x - 6 es:

6x⁵ - 4x⁴ + 2x² + 10x - 6 = 6(x-1)(x+1)(x+√2i)(x-√2i)(x+√3)(x-√3)

donde √2i y √3 son raíces complejas del polinomio.

R[x] y Q[x]:
En R[x] y Q[x], no podemos factorizar el polinomio en factores lineales o cuadráticos, por lo que no podemos factorizarlo completamente en estos anillos. Podemos, sin embargo, factorizar algunos términos comunes:

6x⁵ - 4x⁴ + 2x² + 10x - 6 = 2(x² - 3)(3x³ - 2x² + 5)

Z[x]:
En Z[x], podemos usar el teorema de factorización única para factorizar el polinomio en factores irreducibles. Podemos observar que el polinomio es mónico (es decir, el coeficiente principal es 1), y el término independiente es divisible por 2, por lo que si hay alguna raíz racional entera, debe ser un divisor de 2. Probamos con los posibles divisores 1, -1, 2 y -2, y encontramos que x=1 es una raíz del polinomio.

Podemos dividir el polinomio por x-1 para obtener:

6x⁵ - 4x⁴ + 2x² + 10x - 6 = (x-1)(6x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 14)

Para factorizar el segundo factor, podemos usar la técnica de agrupación:

6x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 14 = 2(3x⁴ + x³ + 2x² + 4x + 7)

Observamos que el término independiente es 2 mod 5, lo que significa que el polinomio no tiene raíces racionales en F_5. Podemos probar si el polinomio es irreducible en F_5[x]:

3x⁴ + x³ + 2x² + 4x + 7 = (x+2)(3x³ + 5x² + 2)

El segundo factor es irreducible en F_5[x], por lo que la factorización completa de 6x⁵ - 4x⁴ + 2x² + 10x - 6 en Z[x] es:

6x⁵ - 4x⁴ + 2x² + 10x - 6 = (x-1)(x+2)(3x³ + 5x² + 2)