再構成問題が非解決問題であるのは、解の存在、一意性、安定性という3つの条件のうち1つ以上を満たさないからである。例えば、CT撮像の場合、投影数が不十分であったり、角度範囲が不完全であったりすると、測定値に適合する解が存在しないか、複数の解が存在する可能性がある。さらに、一意な解があったとしても、その解は測定値のノイズや誤差の影響を強く受け、再構成された画像にアーチファクトや歪みが生じる可能性がある。

コンピュータでこの問題を解決するために、正則化や近似法が使用される。これらの方法は、解空間の次元と複雑さを軽減するために、解空間にいくつかの事前情報や制約を導入する1。例えば、コスト関数に正則化項を追加することで、解が何らかの滑らかさ特性やスパースパターンを持つと仮定することができる2。あるいは、特異値分解（SVD）や条件数を減らす一般化逆行列を用いて逆演算子を近似することもできる1。

画像再構成の分解能限界は、測定ノイズレベル、サンプリングレート、検出器のサイズ、形状など、いくつかの要因に依存します。これらの限界を導き出す1つの方法は、フーリエ解析を使用し、異なる空間周波数がこれらの要因によってどのような影響を受けるかを調べることです。例えば、CTイメージングでは、ラドン変換とフーリエスライスの定理を用いて、周波数領域における投影と画像を関連付けることができる。そして、異なる周波数成分がどのように減衰したり欠落したりしているかを見ることで、ノイズフィルタリングや角度範囲の制限によってどの程度の情報が失われているかを推定することができる。同様に、MRIイメージングでは、k空間解析とナイキストの定理を用いて、フーリエ係数と画像を周波数領域で関連付けることができる。そして、異なる周波数成分がどのように歪んだり重なったりしているかを見ることで、アンダーサンプリングやエイリアシングによってどの程度の情報が失われているかを推定することができる。
The reconstruction problem is ill-posed because it does not satisfy one or more of the three conditions for a well-posed problem: existence, uniqueness, and stability of the solution. For example, in CT imaging, if the number of projections is insufficient or the angular range is incomplete, then there may be no solution or multiple solutions that fit the measurements. Moreover, even if there is a unique solution, it may be highly sensitive to noise or errors in the measurements, leading to artifacts or distortions in the reconstructed image.

To resolve this problem in the computer, regularization and approximation methods are used. These methods introduce some prior information or constraints on the solution space to reduce its dimensionality and complexity1. For example, one can assume that the solution has some smoothness properties or sparsity patterns that can be enforced by adding a regularization term to the cost function2. Alternatively, one can approximate the inverse operator by using a truncated singular value decomposition (SVD) or a generalized inverse matrix that reduces its condition number1.

The resolution limits of image reconstruction depend on several factors, such as measurement noise level, sampling rate, detector size, and geometry. One way to derive these limits is to use Fourier analysis and examine how different spatial frequencies are affected by these factors. For example, in CT imaging, one can use the Radon transform and Fourier slice theorem to relate projections and images in the frequency domain. Then one can estimate how much information is lost due to noise filtering or limited angular range by looking at how different frequency components are attenuated or missing. Similarly, in MRI imaging, one can use k-space analysis and Nyquist theorem to relate Fourier coefficients and images in frequency domain. Then one can estimate how much information is lost due to undersampling or aliasing by looking at how different frequency components are distorted or overlapped.