代数の基本定理は、複雑な係数を持つすべての非定数多項式には少なくとも1つの複雑な根があると述べています。

証拠：
矛盾によってこの定理を証明します。複雑な根がない複雑な係数を持つ非定常多項式P（z）が存在するとします。p（z）は非定常であるため、最も高い項があります。Az^nとしましょう。Aはゼロに等しくないと仮定できます。そうしないと、P（Z）は一定の多項式になります。

関数f（z）= 1/p（z）を考慮してください。この関数は、p（z）の根を除いて、すべてのzに対して明確に定義されています。p（z）には複雑な根がないため、f（z）は複雑な平面上の連続的で境界のある関数です。したがって、Liouvilleの定理により、F（Z）は一定の関数です。

f（z）の一定の値をcとします。それから私たちは持っています：

1/p（z）= c
p（z）= 1/c

p（z）は非定常多項式であるため、bz^mとしましょう。Bはゼロに等しくないと仮定できます。そうしないと、P（z）は一定の多項式になります。これを上の方程式に置き換えると、次のようになります。

bz^m = 1/c

しかし、この方程式の左側は、Zが無限または負の無限に近づくにつれて無限に近づきます。これは、右側がゼロ以外の複雑な数であることと矛盾しています。したがって、p（z）には複雑な根がないという我々の仮定は偽でなければならず、代数の基本的な定理が保持されます。

これにより、証明が完了します。
The fundamental theorem of algebra states that every non-constant polynomial with complex coefficients has at least one complex root.

Proof:
We will prove this theorem by contradiction. Suppose there exists a non-constant polynomial P(z) with complex coefficients that has no complex roots. Since P(z) is non-constant, it has a highest degree term, let's say az^n. We can assume that a is not equal to zero, otherwise, P(z) would be a constant polynomial.

Consider the function f(z) = 1/P(z). This function is well-defined for all z except for the roots of P(z). Since P(z) has no complex roots, f(z) is a continuous and bounded function on the complex plane. Therefore, by Liouville's theorem, f(z) is a constant function.

Let the constant value of f(z) be c. Then we have:

1/P(z) = c
P(z) = 1/c

Since P(z) is a non-constant polynomial, it has a highest degree term, let's say bz^m. We can assume that b is not equal to zero, otherwise, P(z) would be a constant polynomial. Substituting this into the equation above, we get:

bz^m = 1/c

But the left-hand side of this equation approaches infinity as z approaches infinity or negative infinity, which is a contradiction with the right-hand side being a non-zero complex number. Therefore, our assumption that P(z) has no complex roots must be false, and the fundamental theorem of algebra holds.

This completes the proof.