適切な直交分解（POD）ガラーキン削減順序モデル（ROM）は、有限要素解析の計算の複雑さを減らすための一般的な方法です。複数のシミュレーションが必要なパラメーター化された部分微分方程式（PDE）を解くのに特に役立ちます。

この方法の詳細な説明は次のとおりです。

1.質量マトリックスを備えたスカラー製品：

有限要素法（FEM）では、マスマトリックス（m）を使用して、システムのジオメトリと材料特性を表します。質量マトリックスに関して、2つの関数uとvのスカラー積は、次のように定義されています。
⟨u、v⟩_m=∫ωu（x） * m * v（x）dx

ここで、ωは問題ドメインを表します。

2.適切な直交分解（POD）：

PODは、高忠実度のシミュレーションまたは実験からしばしば取得されるデータセットから最もエネルギー的に重要なモードを抽出するために使用される手法です。FEMのコンテキストでは、データセットは異なるパラメーター値のソリューションスナップショットで構成されています。

 - ソリューションのスナップショットを収集：まず、さまざまなパラメーター値の高忠実度FEM問題を解決し、マトリックスU（スナップショットを表す列）にソリューションスナップショットを保存します。
 - スナップショットマトリックスを計算：マトリックス製品u^t * m * U。を計算します。
 - 固有カムポジションを実行する：スナップショットマトリックスの固有値と固有ベクトルを計算します。固有値を減少順に並べ替え、対応する固有ベクトルがPOD基底を形成します。
 - 基礎の切り捨て：最大の固有値に対応する最初の「R」固有ベクトル（モード）を保持します。ここで、「r」は望ましい減少寸法です。

3.削減された基盤で線形および非線形演算子を投影する：

PODベースができるようになったので、ROMを取得するために、縮小ベースで線形および非線形演算子を投影できます。

 - 減らされた基底マトリックスを定義します。最初の「R」ポッドモードを列として含むマトリックスとします。
 - 線形演算子を投影：線形演算子Aの場合、削減ベースへの投影は、A_R =φ^T * A *φによって与えられます。ここで、A_Rは縮小線形演算子です。
 - 非線形演算子を投影：非線形演算子n（u）の場合、削減ベースへの投影はn_r（u_r）=φ^t * n（φ * u_r）によって与えられます。還元溶液ベクトル。

削減された演算子A_RおよびN_R（U_R）を使用すると、元の高忠実度の問題ではなく、減少した問題を解決できるようになりました。低次の問題は計算的に安価であり、さまざまなパラメーター値に対してより効率的に解決できます。

減少したソリューションU_Rの削減された問題を解決した後、還元基準を使用してソリューションの全次近似を再構築できます：u≈φ * u_r。

これらの手順に従うことにより、Pod-Galerkin ROMを有限要素分析用に実装して、複数のパラメーター値の問題を解決することに関連する計算コストを削減できます。
The Proper Orthogonal Decomposition (POD) Galerkin Reduced Order Model (ROM) is a popular method for reducing the computational complexity of finite element analysis. It is particularly useful for solving parametrized partial differential equations (PDEs) that require multiple simulations.

Here's a detailed explanation of the method:

1. Scalar product with the mass matrix:

In the finite element method (FEM), the mass matrix (M) is used to represent the geometry and material properties of a system. The scalar product of two functions u and v, with respect to the mass matrix, is defined as:
⟨u, v⟩_M = ∫Ω u(x) * M * v(x) dx

where Ω represents the problem domain.

2. Proper Orthogonal Decomposition (POD):

POD is a technique used to extract the most energetically significant modes from a dataset, often obtained from high-fidelity simulations or experiments. In the context of FEM, the dataset consists of the solution snapshots for different parameter values.

- Collect solution snapshots: First, solve the high-fidelity FEM problem for various parameter values and store the solution snapshots in a matrix U (columns representing the snapshots).
- Compute the snapshot matrix: Compute the matrix product U^T * M * U.
- Perform eigendecomposition: Compute the eigenvalues and eigenvectors of the snapshot matrix. Sort the eigenvalues in decreasing order, and their corresponding eigenvectors form the POD basis.
- Truncate the basis: Retain the first 'r' eigenvectors (modes) corresponding to the largest eigenvalues, where 'r' is the desired reduced dimension.

3. Projecting the linear and nonlinear operators in the reduced basis:

Now that we have the POD basis, we can project the linear and nonlinear operators in the reduced basis to obtain the ROM.

- Define the reduced basis matrix: Let Φ be the matrix containing the first 'r' POD modes as columns.
- Project the linear operator: For a linear operator A, the projection onto the reduced basis is given by A_r = Φ^T * A * Φ, where A_r is the reduced linear operator.
- Project the nonlinear operator: For a nonlinear operator N(u), the projection onto the reduced basis is given by N_r(u_r) = Φ^T * N(Φ * u_r), where N_r is the reduced nonlinear operator and u_r is the reduced solution vector.

With the reduced operators A_r and N_r(u_r), you can now solve the reduced-order problem instead of the original high-fidelity problem. The reduced-order problem is computationally less expensive and can be solved for various parameter values more efficiently.

After solving the reduced problem for the reduced solution u_r, you can reconstruct the full-order approximation of the solution using the reduced basis: u ≈ Φ * u_r.

By following these steps, you can implement a POD-Galerkin ROM for finite element analysis to reduce the computational cost associated with solving the problem for multiple parameter values.