確かに、2のすべてのnth-rootが2以上のnに対して非合理的であるという証拠があります。

矛盾のために、r^n = 2のような合理的な数rが存在するとします。ここで、nは2以上の正の整数があります。Rの分子と分母の最大の共通除数は1です。

次に、r = p/qを記述できます。ここで、pとqは1以外の一般的な因子のない整数です。

r^n = 2
（P/Q）^n = 2
p^n = 2q^n

2は素数であるため、2Q^nのプライムファクター化には正確に1つの係数があります。したがって、P^nのプライムファクター化には、2つの因子も1つ必要です。^nには2の奇数の要因があります。

しかし、nが偶数であれば、正の整数kに対してn = 2kを記述できます。それから私たちは持っています：

p^n = 2q^n
p^（2k）= 2q^（2k）
（p^k）^2 = 2（q^k）^2

これは、p^kが方程式x^2 = 2y^2に対する整数解であることを意味します。これは、rが最も低い用語であるという仮定と矛盾しています。したがって、r^n = 2がfalseでなければならないような合理的な数rが存在するという最初の仮定は、2のすべてのnth-rootは2以上のnに対して非合理的です。

これにより、証明が完了します。
Sure, here's a proof that every nth-root of 2 is irrational for n greater than or equal to 2:

Suppose, for the sake of contradiction, that there exists a rational number r such that r^n = 2, where n is a positive integer greater than or equal to 2. We can assume that r is written in lowest terms, that is, the greatest common divisor of the numerator and denominator of r is 1.

Then we can write r = p/q, where p and q are integers with no common factors other than 1. We have:

r^n = 2
(p/q)^n = 2
p^n = 2q^n

Since 2 is a prime number, the prime factorization of 2q^n has exactly one factor of 2. Therefore, the prime factorization of p^n must also have exactly one factor of 2. This means that n must be even, since otherwise p^n would have an odd number of factors of 2.

But if n is even, then we can write n = 2k for some positive integer k. Then we have:

p^n = 2q^n
p^(2k) = 2q^(2k)
(p^k)^2 = 2(q^k)^2

This means that p^k is also an integer solution to the equation x^2 = 2y^2, which contradicts the assumption that r is in lowest terms. Therefore, our initial assumption that there exists a rational number r such that r^n = 2 must be false, and every nth-root of 2 is irrational for n greater than or equal to 2.

This completes the proof.