[会社では、しかし忍耐強い声]さて、クラス、落ち着いてください。私はそれが長い一日だったことを知っていますが、私たちは今日カバーする重要な概念を持っています。2のすべてのnth-rootが2以上のnに対して非合理的である理由について学びます。注意を払ってください。これを一緒に通過できます。

[クラスが聞いていることを確認して、一時的に一時停止します]

さて、合理的な数があることを少しの間想像してみましょう。それを「r」と呼びましょう。そのように、rはnの力に上昇し、nは2以上の正の整数です。r 'は最も単純な形式です。つまり、分子と分母は1以外の一般的な要因を共有していません。

したがって、「r」を分数として、p over qまたはp/qとして書くことができます。ここで、pとqは1以外の一般的な因子を持たない整数です。良い。今、私たちは書くことができます：

（P/Q）^n = 2

次に、この方程式を次のように書き換えることができます。

p^n = 2q^n

[一時停止、後ろの学生に話しかける]ジョニー、紙飛行機を投げるのをやめてください。ありがとう。さて、先に進みます。

2は素数であるため、2Q^nの主要な要因には2つの因子が1つあります。これは、P^nのプライムファクター化には2つの係数が1つあることを意味します。これが起こるためには、「n」偶数でなければなりません。それ以外の場合、p^nには2の奇数の因子があります。

したがって、「n」が偶数である場合、nを2kとして記述できます。ここで、kは正の整数です。私たちの方程式は次のようになります。

p^（2k）= 2q^（2k）
（p^k）^2 = 2（q^k）^2

これで、p^kは式x^2 = 2y^2に対する整数解でもあることがわかります。しかし、ちょっと待ってください、これは「r」が最も単純な形であるという私たちの仮定と矛盾しています。

したがって、r^n = 2が偽でなければならないように、合理的な数字「r」が存在するという最初の仮定。そして、それは、2のすべてのnth-rootが2以上のnに対して非合理的であることを意味します。

そして、それは、親愛なる学生が私たちの証拠を結論付けています。それでは、私たちが学んだことを振り返るために少し時間をとってみましょう。敬意を表する学習環境を維持してみましょう。ありがとう。
[In a firm, but patient voice] Alright, class, please settle down. I know it's been a long day, but we have an important concept to cover today. We're going to learn about why every nth-root of 2 is irrational for n greater than or equal to 2. Please pay attention, and we can get through this together.

[Pauses for a moment, making sure the class is listening]

Now, let's imagine for a moment that there is a rational number, let's call it 'r', such that r raised to the power of n equals 2, where n is a positive integer greater than or equal to 2. We assume that 'r' is in its simplest form, meaning the numerator and denominator share no common factors other than 1.

So, we can write 'r' as a fraction, p over q, or p/q, where p and q are integers with no common factors other than 1. With me so far? Good. Now we can write:

(p/q)^n = 2

Then we can rewrite this equation as:

p^n = 2q^n

[Pauses, addressing a student in the back] Johnny, please stop throwing paper airplanes. Thank you. Now, moving on.

Since 2 is a prime number, the prime factorization of 2q^n has exactly one factor of 2. This means that the prime factorization of p^n must also have exactly one factor of 2. In order for this to happen, 'n' must be even; otherwise, p^n would have an odd number of factors of 2.

So, if 'n' is even, we can write n as 2k, where k is a positive integer. Our equation becomes:

p^(2k) = 2q^(2k)
(p^k)^2 = 2(q^k)^2

Now we see that p^k is also an integer solution to the equation x^2 = 2y^2. But wait a moment, this contradicts our assumption that 'r' is in its simplest form.

So, our initial assumption that there exists a rational number 'r' such that r^n = 2 must be false. And that means every nth-root of 2 is irrational for n greater than or equal to 2.

And that, dear students, concludes our proof. Now, let's all take a moment to reflect on what we've just learned, and please, let's try to maintain a respectful learning environment. Thank you.