（a^2 + b^2） /（ab + 1）が整数の正方形であることを証明するには、整数であり、その平方根が整数であることを示す必要があります。

まず、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は、（a^2 + b^2）-k（ab + 1）= 0の場合にのみ整数であることに注意してください。再配置、私たちは取得します：

a^2 -kab + b^2 -k = 0

これをAの二次方程式と見なすと、判別剤は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

k^2-4（b^2 -k）= m^2整数m。

単純化してください：

k^2-4b^2 + 4k -m^2 = 0

これはKの二次方程式であり、その判別は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

16b^2-4m^2 = n^2整数nの場合。

これは次のように書き直すことができます。

（4b + n）（4b -n）= 4m^2

4b + nと4b -nはどちらも偶数であるため、一部の整数Rおよびsに対して、それぞれ2Rと2Sとして記述できます。それから私たちは持っています：

rs = m^2/4

と

b =（r + s） / 2

元の方程式に置き換えると、次のようになります。

a^2-（r + s）a + [（r -s） / 2]^2 = 0

これはAの二次方程式であり、その判別は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

（r + s）^2-4 [（r -s） / 2]^2 = t^2整数t。

単純化してください：

（r -s）^2 + t^2 =（r + s）^2

これはピタゴラスの定理であり、その解決策は次のとおりです。

r = uv、s = uw、t = u（v^2 -w^2）

ここで、u、v、およびwはv> wと（v -w）奇数の正の整数です。

したがって、私たちは次のとおりです。

b =（r + s） / 2 = uwv

と

a =（r -s） / 2 = u（v^2 -w^2）

したがって、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は整数であり、その平方根は次のとおりであることが示されました。

（a^2 + b^2） /（ab + 1）=（u^2v^2 + u^2w^2） / u^2vw + 1 =（v^2 + w^2） / vw + 1 =（v/w）^2 + 1

これは明らかに整数です。したがって、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は整数の正方形です。
To prove that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer, we need to show that it is an integer and that its square root is an integer.

First, note that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is an integer if and only if (a^2 + b^2) - k(ab + 1) = 0 for some integer k. Rearranging, we get:

a^2 - kab + b^2 - k = 0

Viewing this as a quadratic equation in a, the discriminant must be a perfect square, that is:

k^2 - 4(b^2 - k) = m^2 for some integer m.

Simplifying, we get:

k^2 - 4b^2 + 4k - m^2 = 0

This is a quadratic equation in k, and its discriminant must also be a perfect square, that is:

16b^2 - 4m^2 = n^2 for some integer n.

This can be rewritten as:

(4b + n)(4b - n) = 4m^2

Since 4b + n and 4b - n are both even, we can write them as 2r and 2s, respectively, for some integers r and s. Then we have:

rs = m^2 / 4

and

b = (r + s) / 2

Substituting into the original equation, we get:

a^2 - (r + s)a + [(r - s) / 2]^2 = 0

This is a quadratic equation in a, and its discriminant must also be a perfect square, that is:

(r + s)^2 - 4[(r - s) / 2]^2 = t^2 for some integer t.

Simplifying, we get:

(r - s)^2 + t^2 = (r + s)^2

This is the Pythagorean theorem, and its solutions are:

r = uv, s = uw, t = u(v^2 - w^2)

where u, v, and w are positive integers with v > w and (v - w) odd.

Therefore, we have:

b = (r + s) / 2 = uwv

and

a = (r - s) / 2 = u(v^2 - w^2)

Thus, we have shown that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is an integer, and its square root is:

(a^2 + b^2) / (ab + 1) = (u^2v^2 + u^2w^2) / u^2vw + 1 = (v^2 + w^2) / vw + 1 = (v/w)^2 + 1

which is clearly an integer. Therefore, (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer.