正規分布の尤度関数を求め、パラメータ$mu$と$sigma^2$の最尤推定量(MLE)を求めるには、以下の手順に従う：

ステップ 1: 正規分布の確率密度関数(PDF)の定義
平均$mu$、分散$sigma^2$の正規分布のPDFは次式で与えられる：

```js
$f(x_i | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
```

ステップ2：尤度関数を定義する
観測値の集合 $x_1, x_2, ⊖dots, x_n$ があるとき、尤度関数 $L(⊖mu, ⊖σ^2 | x_1, x_2, ⊖dots, x_n)$ は、個々のPDFの積である：

```js
$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma^2)$
```

ステップ3：対数尤度関数を計算する
尤度関数を直接扱う代わりに、対数尤度関数を使うのが一般的です。これは計算を簡単にし、数値的な問題を避けるためです。対数尤度関数$l( \mu, \sigma^2)$ は、尤度関数の自然対数です：

```js
$l(\mu, \sigma^2) = \ln{L(\mu, \sigma^2)} = \sum_{i=1}^n \ln{f(x_i | \mu, \sigma^2)}$
```

正規分布のPDFを対数尤度関数に代入します：

```js
$l(\mu, \sigma^2) = \sum_{i=1}^n \ln{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)}$
```

対数尤度関数を単純化します：


```js
$l(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln{(2\pi\sigma^2)} - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$
```

ステップ4：パラメータ$mu$と$sigma^2$のMLEを求める
mu$と$sigma^2$のMLEを求めるには、両パラメータに関して対数尤度関数を最大化する必要がある。これは、$mu$と$sigma^2$に関して偏導関数をとり、それらを0とすることで行う。

a) MLE for $mu$：

```js
$\frac{\partial l}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu) = 0$
```

すべての$x_i$を合計すると、次のようになる：

```js
$\sum_{i=1}^n x_i - n\mu = 0$
```

を解く：

```js
$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$
```

のMLEは標本平均である。

b) $sigma^2$ の MLE：

```js
$\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$
```

ここで、式を簡単にするために、$2sigma^2$を掛ける：

```js
$-n + \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$
```

次に、項 $frac{1}{sigma^2}$ を分離します：

```js
$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma^2)$
```0

これで、$sigma^2$を解くことができる：

```js
$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma^2)$
```1

sigma^2$のMLEは標本分散である。

まとめると、以下の手順になります：

1.正規分布のPDFを定義する。
2.尤度関数を定義する。
3.対数尤度関数を計算する。
4.両パラメータに関して対数尤度関数を最大化して、パラメータ `$mu$` と `$sigma^2$` のMLEを求めよ。
To find the likelihood function for a normal distribution and subsequently determine the maximum likelihood estimator (MLE) for the parameters $\mu$ and $\sigma^2$, follow these steps:

Step 1: Define the normal distribution probability density function (PDF)
The PDF of a normal distribution with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$ is given by:

```js
$f(x_i | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
```

Step 2: Define the likelihood function
Given a set of observations $x_1, x_2, \dots, x_n$, the likelihood function, $L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n)$, is the product of the individual PDFs:

```js
$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma^2)$
```

Step 3: Compute the log-likelihood function
Instead of working with the likelihood function directly, it's common to use the log-likelihood function because it simplifies calculations and avoids numerical issues. The log-likelihood function, $l(\mu, \sigma^2)$, is the natural logarithm of the likelihood function:

```js
$l(\mu, \sigma^2) = \ln{L(\mu, \sigma^2)} = \sum_{i=1}^n \ln{f(x_i | \mu, \sigma^2)}$
```

Substitute the normal distribution PDF into the log-likelihood function:

```js
$l(\mu, \sigma^2) = \sum_{i=1}^n \ln{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)}$
```

Simplify the log-likelihood function:


```js
$l(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln{(2\pi\sigma^2)} - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$
```

Step 4: Find the MLE for the parameters $\mu$ and $\sigma^2$
To find the MLE for $\mu$ and $\sigma^2$, we need to maximize the log-likelihood function with respect to both parameters. We'll do this by taking the partial derivatives with respect to $\mu$ and $\sigma^2$ and setting them equal to zero.

a) MLE for $\mu$:

```js
$\frac{\partial l}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu) = 0$
```

Summing over all $x_i$, we get:

```js
$\sum_{i=1}^n x_i - n\mu = 0$
```

Solving for $\mu$:

```js
$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$
```

The MLE for $\mu$ is the sample mean.

b) MLE for $\sigma^2$:

```js
$\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$
```

Now, we will multiply through by $2\sigma^2$ to simplify the equation:

```js
$-n + \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$
```

Next, we will isolate the term $\frac{1}{\sigma^2}$:

```js
$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = n$
```

Now, we can solve for $\sigma^2$:

```js
$\hat{\sigma^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$
```

The MLE for $\sigma^2$ is the sample variance.

In summary, you can follow these steps:

1. Define the normal distribution PDF.
2. Define the likelihood function.
3. Compute the log-likelihood function.
4. Find the MLE for the parameters `$\mu$` and `$\sigma^2$` by maximizing the log-likelihood function with respect to both parameters.