確かに、ニュートン法を使用して2つの正方形の根を近似できる例を挙げることができます。

0.多項式F（x）=x²-2は、使用する2度の多項式です。単純な代数は、その根が-2^（1/2）および2^（1/2）であることを示しています。メソッドを使用するには、f '（x）= 2xであるf（x）の導関数を計算する必要があります
1.最初のステップは、1つのルートの値の推測から始めることです。通常、この推測はランダム化されますが、簡単にするためにx0 = 2を使用します。ここで、xはルートを示し、0はこれがルートの最初の概算値であることを示します。連続した各数x1、x2などは、2の平方根のより良い近似値になります
2.次のステップは、f（x）とf '（x）の代数型を使用して、ニュートンメソッド式を作成することです。
xk+1 = xk-（f（xk）/f '（xk））その後
xk+1 = xk-（xk²-2） /（2 xk）
このステップは、代数を使用して式を単純化できる場合があるため、便利です。各多項式には異なる単純化がありますが、ここでは同じ分母2xk上に両方の用語を置いて取得できます。
xk+1 =（2xk²） /（2xk） - （xk²-2） /（2 xk）
xk + 1 =（2xk² -xk² + 2） /（2xk）
xk +1 =（xk²+2） /（2xk）
3.次の近似値x1は、式x1 = x0 -f（x0） / f '（x0）によって与えられます。この数値を計算するには、XKの代わりに以前の簡略式にX0の値を入力する必要があります。これは得られます：
x1 =（2² + 2）/（2*2）= 6/4 = 3/2 = 1.5
4.次に、前のXのそれぞれの後続の近似を見つけることで、Xのそれぞれの近似を見つけるイテレーションと呼ばれる方法でステップ3を繰り返します。これは得られます：
x2 =（（3/2）² + 2）/（2*（3/2））= 17/12 = 1.41667
x3 =（（17/12）² + 2）/（2*（17/12））= 577/408 = 1.41422

この値x3はすでに2の平方根に非常に近いものであり、すでに適切な近似です。真の値xとx3の間の相対距離を計算すると、次のことがわかります。
（x-x3）/x =（（577/408）-2^（1/2））/（2^（1/2））= 1.5e-6
つまり、この近似が作成するエラーマージンは約0.00015％です

必要な手順の数が最初の推測に依存することに注意してください。たとえば、f（x）=x²-2の場合、推測x0 = 1000から始めると、以前のエラーマージンを打ち負かすための反復回数が大きく増加します。その場合、X12に上がる必要があります。

これは簡単な例であり、多項式が互いに近い複数のルートを認めている場合、一部のエッジケースが発生することにも注意してください。
Sure, I can give you an example where we can use the Newton Method to approximate the positive square root of two :

0. The polynomial f(x) = x²-2 is the 2nd degree polynomial we are going to use. Simple algebra tells us that its roots are -2^(1/2) and 2^(1/2). In order to use the method, we must compute the derivative of f(x), which is f'(x)=2x
1. The first step is to start with a guess of the value of one root. Usually, this guess is randomized but for the sake of simplicity let's use X0 = 2 where X denotes the root and 0 denotes that this is the starting approximate value of the root. Each successive number X1, X2 and so on will become the better approximate value of the square root of 2
2. The next step is to write the Newton Method formula using the algebraic formes of f(x) and f'(x) : 
Xk+1 = Xk - (f(Xk)/f'(Xk)) then becomes
Xk+1 = Xk - (Xk² -2) / (2 Xk)
This step is useful because we can sometimes simplify the formula using algebra. Each polynomial will have a different simplification but here we can put both termes over the same denominator 2Xk to obtain :
Xk+1 = (2Xk²) / (2Xk) - (Xk² -2) / (2 Xk)
Xk+1 = (2Xk² - Xk² + 2) / (2Xk)
Xk+1 = (Xk² +2) / (2Xk)
3. The next approximate value X1 is given by the formula X1 = X0 - f(X0) / f'(X0). In order to compute this number we must must input the value of X0 in the previous simplified formula in place of Xk. This yields :
X1 = (2² + 2) / (2*2) = 6/4 = 3/2 = 1.5
4. Now we repeat step 3 in a method called iteration where we find each subsequent approximation of X with the help of the previous one. This yields : 
X2 = ( (3/2)² + 2) / (2*(3/2)) = 17/12 = 1.41667
X3 = ( (17/12)² + 2) / (2* (17/12)) = 577/408 = 1.41422

This value X3 is already extremely close to the square root of 2 and is already a good approximation. If we compute the relative distance between the true value X and X3, we find :
(X-X3)/X = ( (577/408) - 2^(1/2) ) / (2^(1/2)) = 1.5E-6
which means that the error margin this approximation creates is about 0.00015 %

Be careful that the number of steps needed will depend on the initial guess. For example in our case where f(x)=x²-2, if we start with the guess x0 = 1000, the number of iterations to beat the previous error margin increases significally. In that case we need to go up to X12.

Be careful as well that this is a simple example and that some edge cases will arise when a polynomial admits multiple multiple roots close to each other, in which case this method may try to approximate two or more values at the same time.