イソシェルの三角形には正確に2つの等しい辺があることに注意しましょう。したがって、イソシェルの三角形が2つの良好な側面を持つためには、$ p $の2つの連続した側面を持つ三角形でなければなりません。

$ $ p $の良い側面の1つを、$ atと$ b $が$ p $の連続した頂点であるとします。$ ab $を持つ2つの良好な側面を持つイソシェルの三角形の量は、ベースとして$ ab $を持つイソシェルの三角形の量に等しいことを観察しましょう。

$ ab $を使用してイソシェルの三角形の数を数えるには、$ c $は$ b $から$の$と同じ距離と同じ$ p $ vertexです。$ d $、$ e $、および$ f $は$ p $ verticesです。$ bd $、$ be $、$ cf $、および$ af $が$ p $ diagonalであり、$ abc $の内部を通過しないことを観察しましょう。

$ p $の内側に交差する2つの対角線がないため、それぞれ$ p $ intersec $の対角線と2つの辺で形成された1004ドルの三角形、または$ acf $があります。さらに、これらの三角形のそれぞれは、正確に2つの対角線と交差します。

したがって、$ n $が$ ab $をベースと2つの良好な側面を持つイソシェルの三角形の数である場合、$ nは正確に$ abd $、$ ecb $、または$ acf $を交差させる対角線の量に等しくなります。 2つの三角形。これらのそれぞれの交差点は、2つの良好な側面を持つイソシェルの三角形を形成し、2つの良好な側面を持つ各イソシェルの三角形がこのように形成されます。

これらの交差点を次のように数えることができます。$ ab $を交差する1004ドルの対角線のそれぞれは、$ p $を2つの部分に分割します。$ x $を$ p $を$と$ b $を含む2つの部分に除算する対角線の数とし、$と$を$ p $を$ at at at at $ at at $を含む2つの部分に分割する数と$とするとします。 $または$ b $。次に、$ abd $、$ ecb $、または$ acf $の対角線の交差点の数は、それぞれ$ x $、$、$、または$ 0 $に等しくなります。

$ x $を数えるために、$ ab $を交差させる1004ドルの対角線のそれぞれが、$ $または$ b $の$ p $の$ 1008 $頂点の2つの連続した頂点に結合する対角線に対応していることに注意しましょう。したがって、連続した頂点で$ a $または$ b $に参加する1004ドルの対角線があります。
Observemos que un triángulo isósceles tiene exactamente dos lados iguales. Por lo tanto, para que un triángulo isósceles tenga dos lados buenos, debe ser un triángulo con dos lados consecutivos de $P$.

Sea $AB$ uno de los lados buenos de $P$, donde $A$ y $B$ son vértices consecutivos de $P$. Observemos que la cantidad de triángulos isósceles con dos lados buenos que tienen $AB$ como uno de sus lados es igual a la cantidad de triángulos isósceles que tienen $AB$ como base.

Para contar el número de triángulos isósceles con base $AB$, consideremos el triángulo equilátero $ABC$, donde $C$ es el vértice de $P$ que está a la misma distancia que $A$ de $B$. Dividamos $ABC$ en triángulos isósceles $ABD$, $BCE$, y $ACF$, donde $D$, $E$, y $F$ son vértices de $P$. Observemos que $BD$, $BE$, $CF$, y $AF$ son diagonales de $P$ que no pasan por el interior de $ABC$.

Dado que no hay dos diagonales que se intersectan en el interior de $P$, cada uno de los $1004$ triángulos formados por una diagonal y dos lados de $P$ interseca $ABC$ en uno de los triángulos $ABD$, $BCE$, o $ACF$. Además, cada uno de estos triángulos se interseca con exactamente dos de las diagonales.

Por lo tanto, si $n$ es el número de triángulos isósceles que tienen $AB$ como base y dos lados buenos, entonces $n$ es igual a la cantidad de diagonales que intersecan $ABD$, $BCE$, o $ACF$ en exactamente dos triángulos. Cada una de estas intersecciones forma un triángulo isósceles con dos lados buenos, y cada triángulo isósceles con dos lados buenos se forma de esta manera.

Podemos contar estas intersecciones de la siguiente manera: Cada una de las $1004$ diagonales que intersecan $AB$ divide a $P$ en dos partes, cada una de las cuales tiene un número impar de lados. Sea $X$ el número de diagonales que dividen a $P$ en dos partes que contienen $A$ y $B$, y sea $Y$ el número de diagonales que dividen a $P$ en dos partes que no contienen a $A$ ni a $B$. Entonces, el número de intersecciones de una diagonal con $ABD$, $BCE$, o $ACF$ es igual a $X$, $Y$, o $0$, respectivamente.

Para contar $X$, observemos que cada una de las $1004$ diagonales que intersecan $AB$ corresponde a una diagonal que une dos vértices consecutivos de los $1008$ vértices de $P$ que no son $A$ ni $B$. Por lo tanto, hay $1004$ diagonales que unen $A$ o $B$ con un vértice consecutivo, lo que da un total de $2\cdot 1004=2008