数百メートルの増分に沿って、非常に広く、無限に長いビーチに沿った石のラインと考えてください。各石は整数を表しており、いくつかを通り過ぎて明確な進歩を遂げることができます。
数え切れないほどの無限を、そのビーチに沿った砂だと考えてください。各石の間には、中途半端な地点、四半期ウェイポイント、書くことができるすべての割合で穀物を見つけることができます。

石はビーチの全長になりますが、砂と同じくらいはるかに沿って、砂の粒が無限にあります。数える可能性のある無限については、自信を持って「私は5つの石を渡しました」と言うことができます。数え切れないほどの無限では、まるで砂粒を数えなければならないようですが、出発ラインとあなたが到達しようとしている穀物の間に無限の数の砂粒があり、無限の数の砂粒があることがわかります。*それらの*砂粒。

数え切れないほどの無限のアイデアを比phorから引き出すには、「0」と「1」の間のすべての割合をカウントすることを検討してください。10分の1、「1/10」、次に「2/10」などを数えることができます。ただし、「1/10」に到達する前に、「0」と「1/10」の間に100分の1を無視します。しかし、「0」と「1/100」の間には「1/1000」です。この難問は無限に続きます。これらの数字のセットは、自然数（ビーチの石のような）を数えることができるのと同じ方法でそれらを数えることができないため、数え切れないと呼ばれます。それは、一部の無限が他のものよりも大きいと言われているときの意味です。これらのようなカテゴリの区別です。
Think of countable infinities as a line of stones along a very wide, infinitely long beach, set along at hundred-meter increments. Each stone represents a whole number, you can walk past some and make definite progress.
Think of uncountable infinities as the sand along that beach. Between each stone you can find grains at the halfway point, quarter-way point, every fraction we can write.

While the stones go the entire length of the beach, as far along as the sand does, there are infinitely more grains of sand. For the countable infinities, you could confidently say "I have passed five stones." With uncountable infinities, it is as if you must first count a sand grain, but you find that there's an infinite number of sand grains between the starting line and whatever grain you're trying to get to, and an infinite number of sand grains between *those* sand grains.

To bring the idea of uncountable infinities out of the metaphor, consider counting every fraction between `0` and `1`. You could count by tenths, `1/10`, then `2/10`, and so on. However, before you get to `1/10`, you neglect the hundredths in between `0` and `1/10`. But between `0` and `1/100` is `1/1000`. This conundrum continues down infinitely. These sets of numbers are called uncountable because you cannot count them in the same way you can count the natural numbers (like the stones on the beach). That is what is meant when it is said some infinities are larger than others, categorical distinctions such as these.