ハイネ・ボレルの補題を策定するには、オープンセットの概念と多くのR材料数のオープンコーティングが必要です。rで開くのは、∀xion∃ε>0∀y（| x -y |ε→y器官）、つまり、任意のポイントでその周囲の一部を含むa⊆rサブセットです。セットa⊆rのオープンコーティングは、a⊆∪𝒞とそのようなオープンセットがたくさんあります。

レンマ・ハイネ・ボレル。オープンコーティング𝒞セグメント[0.1]の場合、最終的なサブプレセデンスがあります '、つまり、最終サブセット𝒞''は開いたコーティング[0.1]です。
証拠。すべてのbの多くのb⊆[0.1]を考えて、最終的なオープンコーティング[0、b]があります。私たちの仕事は、1]を証明することです。0ルートのようなa∈𝒞を検討してください。aの開放性により、ε₀> 0（| 0-y | <ε₀→y臓器）、つまり[0、ε₀）⊆。したがって、{a₀}は、任意のb <ε₀、したがって[0、ε₀）⊆bのオープンコーティング[0、b]です。正確な上面の存在の原理のため、Bは正確な上線b₀です。明らかに、0 <ε₀≤b₀≤1。証拠を完成させるために、節症はΔ> 0、∀b≤min（1、b₀+δ）（busion）であることを示します。 1（およびそれに応じて、b₀= 1）、そして一方で、組み合わせでこの証拠を完成させるb₀∈B。ポイントb₀はいくつかのa∈𝒞の要素であり、開いたaはε> 0であるため、y（|b₀-y | <ε→y臓器）です。Δ=ε/2を入れます。b₀は正確な上線bであるため、b₁sb₀およびb₀-b₁<δというb₁∈Bがあります。最終的なコーティング[0、b₁]を修正します。𝒞 '{a}は最終コーティング[0、b₀+δ]であり、したがって、b≤min（1、b₀+δ）の[0、b]であることに注意してください。したがって、∀b≤min（1、b₀+δ）（bgr）、証明するために必要でした。
Для формулировки леммы Гейне-Бореля мне потребуются понятия открытого множества и открытого покрытия множества R вещественных чисел. Открытое множество в R - это подмножество A⊆R такое что ∀x∈A∃ε>0∀y(|x-y|<ε→y∈A), то есть содержащее вместе со всякой точкой некоторую её окрестность. Открытое покрытие множества A⊆R это множество открытых множеств 𝒞 такое, что A⊆∪𝒞.

Лемма Гейне-Бореля. Для всякого открытого покрытия 𝒞 отрезка [0,1] найдется конечное подпокрытие 𝒞', то есть конечное подмножество 𝒞'⊆𝒞 являющееся открытым покрытием [0,1].
Доказательство. Рассмотрим множество B⊆[0,1] всех b таких, что существует конечное 𝒞'⊆𝒞 являющегося открытым покрытием [0,b]. Наша задача доказать, что 1∈B. Рассмотрим A₀∈𝒞 такое, что 0∈A₀. В силу открытости A  есть ε₀>0 такое, что ∀y(|0-y|<ε₀→y∈A₀), т.е. [0,ε₀)⊆A. Таким образом {A₀} является открытым покрытием [0,b] для всякого b<ε₀ и соответственно [0,ε₀)⊆B. В силу принципа существования точной верхней грани у B есть точная верхняя грань b₀. Очевидно, 0<ε₀≤b₀≤1. Для завершения доказательства далее мы покажем, что найдестя δ>0, что ∀b≤min(1,b₀+δ)(b∈B), от сюда с одной стороны будет следовать, что точная верхняя грань b₀ не могла быть меньше 1 (и соответственно b₀=1), а с другой стороны, что b₀∈B, что в комбинации завершит данное доказательство. Точка b₀ является элементом некоторого A∈𝒞 и в силу открытости A есть ε>0 такое, что ∀y(|b₀-y|<ε→y∈A). Положим δ=ε/2. Так как b₀ это точная верхняя грань B, найдется b₁∈B, что b₁≤b₀ и b₀-b₁<δ. Фиксируем конечное 𝒞'⊆𝒞 являющееся покрытием [0,b₁]. Заметим, что 𝒞'∪{A} является конечным покрытием [0,b₀+δ] и соответственно всякого [0,b] для b≤min(1,b₀+δ). Таким образом, ∀b≤min(1,b₀+δ)(b∈B), что и требовалось доказать.