なぜそれがそんなに重要なのかについての基本的な説明を提示し、簡単な例を提供します。

関数の導関数、または積分を知ることは、それの一般的な構造を知ることと同等です。さらに、私たちが何を求めているかを完全に描写するために、地元の仮定をつなぐことができることがあります。一般的に、ローカル構造は計算が簡単で、したがって、計算が可能です！

車があなたを襲うかどうかを知りたいと思います。数秒で、脳はそれがブレーキをかけるか加速しているのか、つまり速度を低下させるか、増加させるかを検出します。車の位置の2番目の派生物です！2番目のデリバティブが高い場合、車はまだ速度を上げているため、あなたに衝突しようとしています。そうしないと、触れる前に停止します。分析を研究するのに十分な理由のようですね。
I'll present to you a basic explanation on why it is so important and then provide a simple example. 

Knowing derivatives of a function, or the integral, is equivalent to knowing the general structure of it. Moreover, sometimes one could glue together local assumptions to get a full depiction of what we are after. Generally, local structures are easy to compute and thus feasible to compute!

Consider you'd like to know whether a car will hit you. In a bunch of seconds your brain detects whether it is braking or accelerating i.e. decreasing or increasing the speed. Which are the second derivative of the car's position! If the second derivative is high, then the car is still increasing its speed hence trying to hit you, otherwise it'll stop before even touching you. Seems a good enough reason to study analysis, doesn't it?