関数の一階微分を直接計算しようとすると、次のようになる：
f'(k) = f(k - 1) + k * f'(k - 1)、
これは、微分する前に方程式を解く必要があることを示唆している。

そもそも、あなたが提供した関数が本当に微分可能なのでしょうか？k、a、nが自然数なのか実数なのか定義されていませんが、表記からするとkは自然数であり、kによる関数の導関数が定義されていないことになります。k、a、nが取り得る値と境界条件を教えてください。
With a direct attempt to calculate the first-order derivative of the function we find:
f'(k) = f(k - 1) + k * f'(k - 1),
which suggests that the equation would first need to be solved before it can be differentiated.

In the first place, are you sure that the function that you provided is actually differentiable? You didn't define whether k, a, and n are natural or real numbers but the notation suggests that k is a natural number which would mean that the derivative of the function by k is not defined. Please tell me the values that k, a, and n can assume as well as any boundary conditions so I can proceed.