三角形数は、1から特定の整数nまでのすべての整数の合計である数値です。n番目の三角形数を見つけるための式は、式で与えられます。

\ begin {式}
t_n = \ frac {n（n+1）} {2}
\ end {式}

この式を証明するために、数学的誘導を使用できます。

基本ステップ：n = 1の場合、方程式はt1 = 1 *（1 + 1） / 2 = 1を与えます。これは最初の三角形数です。

誘導ステップ：式がn = k、つまりt_k = k *（k + 1） / 2のために保持されると仮定します。

次に、式がn = k + 1、つまりt_ {k + 1} =（k + 1） *（k + 2） / 2の場合も保持されることを証明する必要があります。

\ begin {align}
T_ {k + 1}＆= t_k +（k + 1）\
＆= \ frac {k（k + 1）} {2} +（k + 1）\
＆= \ frac {k^2 + k} {2} + \ frac {2k + 2} {2} \
＆= \ frac {k^2 + 3k + 2} {2} \
＆= \ frac {（k + 1）（k + 2）} {2} \
＆= t_ {k + 1}
\ end {align}

したがって、式はn = k + 1も保持されます。

結論：数学的誘導により、式T_N = n *（n + 1） / 2がすべての正の整数nに対して保持されることを示しました。
A triangle number is a number that is the sum of all the integers from 1 up to a given integer n. The equation for finding the nth triangle number is given by the formula:

\begin{equation}
T_n = \frac{n(n+1)}{2}
\end{equation}

To prove this formula, we can use mathematical induction:

Basis step: For n = 1, the equation gives us T1 = 1 * (1 + 1) / 2 = 1, which is the first triangle number.

Inductive step: Assume that the formula holds for n = k, i.e., T_k = k * (k + 1) / 2.

Now we need to prove that the formula also holds for n = k + 1, i.e., T_{k + 1} = (k + 1) * (k + 2) / 2.

\begin{align}
T_{k + 1} &= T_k + (k + 1) \
&= \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) \
&= \frac{k^2 + k}{2} + \frac{2k + 2}{2} \
&= \frac{k^2 + 3k + 2}{2} \
&= \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \
&= T_{k + 1}
\end{align}

Therefore, the formula holds for n = k + 1 as well.

Conclusion: By mathematical induction, we have shown that the formula T_n = n * (n + 1) / 2 holds for all positive integers n.