ホッジの推測は、代数幾何学の長年の問題であり、代数サイクルとして知られる特定の幾何学的形状が、コホモロジークラスの合理的な線形結合と呼ばれるより単純な部分に常に分解できるかどうかを尋ねます。特に、複雑な代数品種に関するすべてのホッジクラスが、代数サイクルから生じるクラスの線形組み合わせであるかどうかを尋ねます。

この推測は、1950年代に数学者のウィリアム・ホッジによって最初に提案され、それ以来、代数幾何学の最も重要な未解決の問題の1つでした。ホッジの推測は、代数トポロジー、差動幾何学、代数幾何学など、数学のいくつかの異なる領域の交差点にあります。

ホッジ推測の重要性は、複雑な代数品種の幾何学を理解するための幅広い意味に由来しています。数学における他の重要な問題と、数の理論におけるスウィンナートンダイヤーの推測や、代数幾何学のカラビヤウの推測など、他の重要な問題とのつながりがあります。ホッジ推測の解決は、物理学、特に代数幾何学に大きく依存している弦理論の研究にも広範囲にわたる結果をもたらすでしょう。

ホッジの推測はいくつかの特別なケースで証明されていますが、一般的な問題は未解決のままです。多くの主要な数学者は長年にわたって推測に取り組んでおり、代数トポロジー、代数幾何学、およびその他の分野の技術を使用して進歩がなされてきました。それにもかかわらず、ホッジの推測は、今日の数学における最も重要な未解決の問題の1つであり続けています。
The Hodge Conjecture is a long-standing problem in algebraic geometry, which asks whether certain geometric shapes, known as algebraic cycles, can always be decomposed into simpler pieces called rational linear combinations of cohomology classes. In particular, it asks whether every Hodge class on a complex algebraic variety is a linear combination of classes arising from algebraic cycles.

The conjecture was first proposed by mathematician William Hodge in the 1950s, and it has been one of the most important unsolved problems in algebraic geometry ever since. The Hodge Conjecture lies at the intersection of several different areas of mathematics, including algebraic topology, differential geometry, and algebraic geometry.

The importance of the Hodge Conjecture stems from its broad implications for our understanding of the geometry of complex algebraic varieties. It has connections to other important problems in mathematics, including the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture in number theory and the Calabi-Yau Conjecture in algebraic geometry. The resolution of the Hodge Conjecture would also have far-reaching consequences in physics, particularly in the study of string theory, which relies heavily on algebraic geometry.

The Hodge Conjecture has been proven for a few special cases, but the general problem remains unsolved. Many leading mathematicians have worked on the conjecture over the years, and progress has been made using techniques from algebraic topology, algebraic geometry, and other fields. Despite this, the Hodge Conjecture remains one of the most important open problems in mathematics today.