Newton-Raphsonメソッドは、特定のポイントで接線線を使用して関数のルートを近似する反復方法です。この方法の式は次のように与えられます。
x_ {n+1} = x_n -f（x_n）/f '（x_n）
ここで、x_nはルートの現在の近似であり、f（x_n）はその時点での関数の値であり、f '（x_n）はそのポイントでの関数の導関数です。

関数f（x）= sin（x） + x^2〜5桁の精度の根を推定するには、次の手順を使用できます。

1.ルートに近い開始点x_0を選択します
2. f（x_0）とf '（x_0）を評価する
3.式x_ {n+1} = x_n -f（x_n）/f '（x_n）を使用して、ルートの近似値を更新します
4.目的の精度に達するまで、手順2と3を繰り返します。

たとえば、開始点としてX_0 = 1を選択しましょう。その後、f（x_0）= sin（1） + 1^2 = 1.84147およびf '（x_0）= cos（1） + 2 = 2.41421を評価できます。

x_1 = x_0 -f（x_0）/f '（x_0）= 1-1.84147/2.41421 = 0.882638

その後、f（x_1）とf '（x_1）を評価し、目的の精度に達するまでプロセスを繰り返すことができます。いくつかの反復後、関数のルートは約0.86547405であることがわかります。
The Newton-Raphson method is an iterative method that uses the tangent line at a given point to approximate the root of a function. The formula for this method is given by:
x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
where x_n is the current approximation of the root, f(x_n) is the value of the function at that point, and f'(x_n) is the derivative of the function at that point.

To estimate the roots of the function f(x) = sin(x) + x^2 to five decimal places of accuracy, we can use the following steps:

1. Choose a starting point x_0 close to the root
2. Evaluate f(x_0) and f'(x_0)
3. Use the formula x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) to update the approximation of the root
4. Repeat steps 2 and 3 until the desired accuracy is reached.

For example, let's choose x_0 = 1 as the starting point. We can then evaluate f(x_0) = sin(1) + 1^2 = 1.84147 and f'(x_0) = cos(1) + 2 = 2.41421.

x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0) = 1 - 1.84147/2.41421 = 0.882638

We can then evaluate f(x_1) and f'(x_1) and repeat the process until we reach the desired accuracy. After several iterations, we may find that the root of the function is approximately 0.86547405.