es、私はボルザノ・ワイアートラス定理の簡単な証拠を提供できます：

Bolzano-WeierStrass定理は、$ \ mathbb {r} $のすべての境界シーケンスに収束サブシーケンスがあると述べています。

証拠：

$（a_n）$を$ \ mathbb {r} $の境界シーケンスとします。つまり、すべての$ n \ in \ mathbb {n} $に$ m \ leq a_n \ leq m $になるような$ m、m \ in \ mathbb {r} $が存在します。

間隔$ [m、m] $を2つのサブインターバルに分割します：$ [m、\ frac {m+m} {2}] $および$ [\ frac {m+m} {2}、m] $。

これらの間隔の少なくとも1つには、シーケンス$（a_n）$の無限に多くの項が含まれています。そうでない場合、シーケンス全体に有限の用語しかありません。これは、$（a_n）$が無限であるという私たちの仮定と矛盾しています。

$ [m_1、m_1] $は、$（a_n）$の無限に多くの項を含む間隔であると仮定します。次に、$ [m_1、m_1] $を2つのサブインターバルに分割し、無限に多くの項を含む$（a_n）$を含むものを選択します。$ [m_2、m_2] $をこのサブインターバルとします。

この方法で続行して、閉じた間隔のネストされたシーケンス$ [m_k、m_k] $を構築して、各間隔に$（a_n）$の無限に多くの項が含まれています。ネストされたインターバル定理により、交差点$ \ bigcap_ {k = 1}^{\ infty} [m_k、m_k] $は空ではありません。

$ l $をこの交差点の要素とします。次に、$ \ epsilon> 0 $の場合、[m_k、m_k] $および$ m_k -m_k <\ epsilon $の$ l \などの間隔$ [m_k、m_k] $が存在します。$ a_n \ in [m_k、m_k] $は無限に$ n $の値が多いため、$ n $が無限に近づくと$ l $に収束することになります。

したがって、$（a_n）$には収束サブシーケンスがあり、これはボルザノワイアートラス定理を証明しています。

それが役立つことを願っています！ご質問がある場合はお知らせください。
es, I can provide a simple proof of the Bolzano-Weierstrass theorem:

The Bolzano-Weierstrass theorem states that every bounded sequence in $\mathbb{R}$ has a convergent subsequence.

Proof:

Let $(a_n)$ be a bounded sequence in $\mathbb{R}$. That is, there exist $m,M \in \mathbb{R}$ such that $m \leq a_n \leq M$ for all $n \in \mathbb{N}$.

Divide the interval $[m,M]$ into two sub-intervals: $[m,\frac{m+M}{2}]$ and $[\frac{m+M}{2},M]$.

At least one of these intervals contains infinitely many terms of the sequence $(a_n)$. If not, then there are only finitely many terms in the entire sequence, which contradicts our assumption that $(a_n)$ is infinite.

Suppose that $[m_1,M_1]$ is an interval that contains infinitely many terms of $(a_n)$. Then, divide $[m_1,M_1]$ into two sub-intervals and choose the one that contains infinitely many terms of $(a_n)$. Let $[m_2,M_2]$ be this sub-interval.

Continue in this way to construct a nested sequence of closed intervals $[m_k,M_k]$ such that each interval contains infinitely many terms of $(a_n)$. By the nested interval theorem, the intersection $\bigcap_{k=1}^{\infty} [m_k,M_k]$ is non-empty.

Let $L$ be an element of this intersection. Then, for any $\epsilon > 0$, there exists an interval $[m_k,M_k]$ such that $L \in [m_k,M_k]$ and $M_k - m_k < \epsilon$. Since $a_n \in [m_k,M_k]$ for infinitely many values of $n$, it follows that $a_n$ converges to $L$ as $n$ approaches infinity.

Therefore, $(a_n)$ has a convergent subsequence, which proves the Bolzano-Weierstrass theorem.

I hope that helps! Let me know if you have any questions.