副長さlが与えられた場合、三角形の面積はsqrt（3）/4 * l^2です。

これがその式の派生です。まず、三角形の領域「a」の式は

    a =（b * h） / 2

ここで、Bはベースで、Hは高さです。

三角形のコーナーA、B、およびCを呼び出します。トライアングルを配置して、サイドBCがベースになり、Aが上部にあります。mをベースBCの中間点とします。次に、ベースBはBCの長さで、高さhはAMの長さです。

Triangle Lの側の長さを呼び出すと、BCの長さがLになるように、b = l。

次に、三角形ABMを検討してください。2つの反対側の長さがあります：abは長さl、bmは長さl/2です。側面とBMは直角に会うので、ピタゴラスの式を適用し、h^2 +（l/2）^2 = l^2と言うことができます。今、解決します：

    h^2 = l^2-（l/2）^2
      = l^2-（l^2/4）
      =（3/4）l^2
    h = sqrt（（3/4）l^2））
      = sqrt（3/4）l
      =（sqrt（3）/2）l

これで、これらを三角形の面積の式に差し込むことができます。

    a =（b * h） / 2
      =（l * sqrt（3） / 2 l） / 2
      = sqrt（3）/4 * l^2
Given a side length L, the area of the triangle is sqrt(3)/4 * L^2.

Here is a derivation of that formula. First, the formula for the area 'a' of a triangle is

    a = (b * h) / 2

where b is the base and h is the height.

Call your triangle's corners A, B and C. Place the triangle so side BC is the base, and A is at the top. Let M be the midpoint of the base BC. Then the base b is the length of BC, and the height h is the length of AM.

Call the side length of your triangle L, so the length of BC is L, so b=L.

Now consider the triangle ABM. We have the two other side lengths: AB is length L, and BM is length L/2. Sides AM and BM meet at a right angle, so we can apply the Pythagorean formula, and say h^2 + (L/2)^2 = L^2. Now solve for h:

    h^2 = L^2 - (L/2)^2
      = L^2 - (L^2 / 4)
      = (3/4) L^2
    h = sqrt((3/4) L^2))
      = sqrt(3/4) L
      = (sqrt(3)/2) L

Now we can plug these into the formula for the area of a triangle:

    a = (b * h) / 2
      = (L * sqrt(3)/2 L) / 2
      = sqrt(3)/4 * L^2