APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL TRAZADO DE CURVAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo bosquejar la gráfica de una función usando derivadas para determinar sus puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y concavidades, además de las intersecciones con los ejes. 

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Encuentre intersecciones, extremos locales, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, puntos de inflexión y grafique la función fx igual a menos x al cubo más 5x al cuadrado menos 3x más 1. Las intersecciones o cortes con el eje x de la función que nos dan se obtienen haciendo la función igual a cero. Si esta expresión la igualamos a cero, tenemos una ecuación de tercer grado que no puede resolverse por factorización o por métodos algebraicos. Usamos una calculadora para encontrar las soluciones y obtenemos los siguientes resultados x igual a 4.36 y x igual a 0.32 más o menos 0.36 y es decir una solución real y dos soluciones complejas. Como nosotros vamos a trabajar en el mundo de los reales estas soluciones complejas las descartamos y nos quedamos únicamente con 4.36 que será entonces la intersección o corte con el eje x de esta función y para obtener el corte o la intersección con el eje y entonces hacemos x igual a cero. Ese sí lo podemos sacar mentalmente si x se convierte en cero esos tres términos se eliminan y nos queda uno por lo tanto el corte con el eje y con el eje vertical del plano cartesiano ocurre en el valor 1. Vamos a obtener la primera y segunda derivada de la función que nos dan entonces la primera derivada f' de x será menos 3x al cuadrado más 10x menos 3 y la segunda derivada será la derivada de esto es decir menos 6x más 10. Tenemos entonces primera y segunda derivada. Para encontrar los puntos críticos de la función debemos tomar la primera derivada e igualarla a cero. La primera derivada nos dio menos 3x al cuadrado más 10x menos 3 y esto queda igualado a cero y se nos forma una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Resolviendo esta ecuación por cualquier método por factorización o por la fórmula cuadrática obtenemos las siguientes soluciones x igual a 1 tercio y x igual a 3 quiere decir que estas son las abscisas de los puntos críticos de nuestra función. Recordemos que los puntos críticos son aquellos puntos donde la gráfica presenta recta tangente horizontal. Para saber donde la función es creciente y donde es decreciente vamos a hacer el análisis del signo de la primera derivada. Para ello trazamos una recta que represente el dominio de la función. Como la función original es una función polinómica es un polinomio de tercer grado entonces su dominio será el conjunto de los números reales desde menos infinito hasta más infinito. Esta recta representa los valores que puede tomar la x y vamos a marcar en ella los valores de x es decir las abscisas donde tenemos puntos críticos. Recordemos que ellas fueron 1 tercio y 3. Entonces se nos van a formar tres intervalos donde tenemos que analizar el signo de la primera derivada. Entonces lo que hacemos es seleccionar un valor de x en cada uno de los intervalos. Por ejemplo vamos a utilizar en el primer intervalo el 0, x igual a 0. Aquí vamos a utilizar por ejemplo un número que esté entre 1 tercio y 3 podría ser el 2 y acá un número que esté más allá del 3 puede ser el 5. Cada uno de esos números debemos reemplazarlos en la primera derivada. Entonces si el 0 lo reemplazamos en la primera derivada eso nos da menos 3 por ejemplo. Si acá reemplazamos el 2 en la primera derivada eso nos da 5 resolviendo y si reemplazamos el 5 en la primera derivada eso nos da menos 28. ¿Qué quiere decir esto? Que en el primer intervalo la primera derivada nos dio negativa, en el segundo intervalo la primera derivada nos dio positiva y en el último intervalo la primera derivada nos dio negativa. Entonces esto significa que en esta zona la función será decreciente, en la siguiente será creciente, primera derivada positiva significa que la función crece y acá nuevamente decreciente. Esto nos permite ya establecer de qué clases son nuestros puntos críticos. Si nosotros llamamos el punto crítico 1 donde está la abscisa 1 tercio podemos deducir que aquí tenemos un mínimo porque la función decrece y después crece. Entonces tenemos un mínimo y si llamamos punto crítico 2 a la abscisa 3 entonces allí podemos asegurar que tenemos un máximo porque vemos que la función crece y después decrece. Para averiguar dónde hay puntos de inflexión en la gráfica debemos tomar la segunda derivada e igualarla a cero. La segunda derivada nos dio menos 6x más 10. Esto lo igualamos a cero y tenemos una ecuación de primer grado que vamos a resolver. Pasamos el 10 negativo al otro lado, despejamos x nos queda menos 10 dividido entre menos 6 y simplificando nos queda 5 tercios positivo. Esto significa que en la abscisa 5 tercios tendremos punto de inflexión para esta gráfica. Recordemos que el punto de inflexión es aquel donde se presenta cambio de concavidad en la función. Para determinar dónde la función es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo entonces debemos hacer el análisis del signo de la segunda derivada. Nuevamente trazamos una recta que simbolice el dominio de la función, es decir todos los números reales desde menos infinito hasta más infinito, valores de x y en ella vamos a localizar el valor donde tuvimos punto de inflexión, la abscisa 5 tercios. Y entonces tenemos dos intervalos para analizar. Vamos a escoger entonces un valor de x de cada uno de ellos. Entonces por ejemplo un valor de x comprendido entre 5 tercios y menos infinito podría ser el 0 y por acá un valor más allá de 5 tercios podría ser por ejemplo el 3. Vamos a reemplazar entonces en la segunda derivada cada uno de esos valores escogidos. Por ejemplo si reemplazamos el 0 aquí nos da 10 y si reemplazamos en la segunda derivada 3 este valor nos da menos 18 más 10 es decir menos 8. Conclusión aquí la segunda derivada en esta zona es positiva y acá la segunda derivada es negativa. Esto significa entonces que en este intervalo la función será cóncava hacia arriba y en esta zona será cóncava hacia abajo. Recordemos segunda derivada positiva es con cacidad hacia arriba de la función original y segunda derivada negativa con cacidad hacia abajo en la función original. Aquí vamos a recopilar los valores de x que obtuvimos en las etapas anteriores. Es decir los valores de x de los puntos críticos y del punto de inflexión y vamos a reemplazarlos en la función original para encontrar sus respectivas ordenadas para formar los puntos que después vamos a llevar al plano cartesiano para construir la gráfica de la función. Entonces tenemos 1 tercio que fue donde tuvimos el punto crítico 1, 5 tercios donde tuvimos punto de inflexión y 3 donde tuvimos el punto crítico 2. Esto 1 tercio en la función nos da 14, 27 aos que aproximadamente equivale a 0.52. Reemplazando 5 tercios en la función original nos da 142, 27 aos que es aproximadamente igual a 5.26 y reemplazando 3 en la función original nos da 10. Entonces tenemos abscisas, ordenadas, es decir ya tenemos los puntos, las parejas que vamos a llevar al plano cartesiano a continuación. Finalmente vamos a realizar el bosquejo de la gráfica de la función ubicando los puntos que encontramos en el análisis, es decir el punto crítico 1, punto de inflexión y punto crítico 2 además de las intersecciones con los ejes. Por ejemplo habíamos encontrado que la intersección con el eje vertical era 1 y que la intersección con el eje horizontal estaba en 4.36 aproximadamente por aquí. Entonces vamos a localizar el punto crítico 1 que es la coordenada 1 tercio, 14, 27 aos, 1 tercio está por aquí, 14, 27 aos dijimos que era aproximadamente 0.52, es decir como por aquí, ahí tenemos el punto crítico 1, luego el punto de inflexión abscisa 5 tercios, coordenada 142, 27 aos, es decir aproximadamente 5.26, entonces subimos hasta 5.26 como por aquí y punto crítico 2 coordenada 3, 10, 3 en el eje X, 10 en el eje Y, entonces donde se encuentran, es decir aquí nos da la coordenada del punto crítico 2. Ahora vamos a unir estos puntos con una curva suave para bosquejar la función que nos dieron y también debemos dar cumplimiento a lo que encontramos en el análisis, por ejemplo de menos infinito a 1 tercio que era el primer punto crítico nos dio que la función era decreciente entonces más o menos viene como desde por allá pasa por este punto y llega a este, bien luego desde 1 tercio hasta 3 debe ser creciente pero la curva debe llegar al punto de inflexión, es decir más o menos aquí y vemos que allí tiene la concavidad hacia arriba tal como nos dio en el análisis de las concavidades, recordemos que desde menos infinito hasta 5 tercios nos había dado segunda derivada positiva, es decir gráfica concava hacia arriba, seguimos subiendo hasta el siguiente punto crítico más o menos así hasta llegar a este punto donde se presenta cambio de concavidad porque aquí tenemos punto de inflexión y después unimos este punto con este, entonces más o menos algo como así y aquí continúa la gráfica de la función. Entonces allí tenemos el bosquejo de la curva entonces vamos a marcar los puntos principales tenemos este punto crítico 1 que se clasificaría como un mínimo relativo o mínimo local, recordemos que en el análisis de intervalos donde la función crece y decrece habíamos encontrado que el punto crítico 1 correspondía a un mínimo porque la función era decreciente y después creciente, este es el punto crítico 2 que corresponde a un máximo local o máximo relativo tal como nos había dado en el análisis anterior y aquí tenemos el punto de inflexión que es esta coordenada, el punto donde se presenta el cambio de concavidad en la función. Bien, este es entonces el bosquejo de la gráfica y de esa manera terminamos nuestro ejercicio.
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379.72, "end": 388.24, "text": " Si nosotros llamamos el punto cr\u00edtico 1 donde est\u00e1 la abscisa 1 tercio podemos deducir"}, {"start": 388.24, "end": 393.40000000000003, "text": " que aqu\u00ed tenemos un m\u00ednimo porque la funci\u00f3n decrece y despu\u00e9s crece."}, {"start": 393.40000000000003, "end": 400.56, "text": " Entonces tenemos un m\u00ednimo y si llamamos punto cr\u00edtico 2 a la abscisa 3 entonces all\u00ed"}, {"start": 400.56, "end": 409.16, "text": " podemos asegurar que tenemos un m\u00e1ximo porque vemos que la funci\u00f3n crece y despu\u00e9s decrece."}, {"start": 409.16, "end": 419.44, "text": " Para averiguar d\u00f3nde hay puntos de inflexi\u00f3n en la gr\u00e1fica debemos tomar la segunda derivada"}, {"start": 419.44, "end": 421.84000000000003, "text": " e igualarla a cero."}, {"start": 421.84000000000003, "end": 427.04, "text": " La segunda derivada nos dio menos 6x m\u00e1s 10."}, {"start": 427.04, "end": 433.48, "text": " Esto lo igualamos a cero y tenemos una ecuaci\u00f3n de primer grado que vamos a resolver."}, {"start": 433.48, "end": 440.28000000000003, "text": " Pasamos el 10 negativo al otro lado, despejamos x nos queda menos 10 dividido entre menos"}, {"start": 440.28000000000003, "end": 445.12, "text": " 6 y simplificando nos queda 5 tercios positivo."}, {"start": 445.12, "end": 453.48, "text": " Esto significa que en la abscisa 5 tercios tendremos punto de inflexi\u00f3n para esta gr\u00e1fica."}, {"start": 453.48, "end": 458.92, "text": " Recordemos que el punto de inflexi\u00f3n es aquel donde se presenta cambio de concavidad en"}, {"start": 458.92, "end": 462.12, "text": " la funci\u00f3n."}, {"start": 462.12, "end": 468.0, "text": " Para determinar d\u00f3nde la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia arriba y d\u00f3nde es c\u00f3ncava hacia abajo"}, {"start": 468.0, "end": 473.0, "text": " entonces debemos hacer el an\u00e1lisis del signo de la segunda derivada."}, {"start": 473.0, "end": 478.52, "text": " Nuevamente trazamos una recta que simbolice el dominio de la funci\u00f3n, es decir todos"}, {"start": 478.52, "end": 485.6, "text": " los n\u00fameros reales desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito, valores de x y en ella vamos"}, {"start": 485.6, "end": 494.32000000000005, "text": " a localizar el valor donde tuvimos punto de inflexi\u00f3n, la abscisa 5 tercios."}, {"start": 494.32000000000005, "end": 499.28000000000003, "text": " Y entonces tenemos dos intervalos para analizar."}, {"start": 499.28000000000003, "end": 504.40000000000003, "text": " Vamos a escoger entonces un valor de x de cada uno de ellos."}, {"start": 504.40000000000003, "end": 509.40000000000003, "text": " Entonces por ejemplo un valor de x comprendido entre 5 tercios y menos infinito podr\u00eda ser"}, {"start": 509.4, "end": 520.3199999999999, "text": " el 0 y por ac\u00e1 un valor m\u00e1s all\u00e1 de 5 tercios podr\u00eda ser por ejemplo el 3."}, {"start": 520.3199999999999, "end": 527.24, "text": " Vamos a reemplazar entonces en la segunda derivada cada uno de esos valores escogidos."}, {"start": 527.24, "end": 536.56, "text": " Por ejemplo si reemplazamos el 0 aqu\u00ed nos da 10 y si reemplazamos en la segunda derivada"}, {"start": 536.56, "end": 543.28, "text": " 3 este valor nos da menos 18 m\u00e1s 10 es decir menos 8."}, {"start": 543.28, "end": 552.8399999999999, "text": " Conclusi\u00f3n aqu\u00ed la segunda derivada en esta zona es positiva y ac\u00e1 la segunda derivada"}, {"start": 552.8399999999999, "end": 554.5999999999999, "text": " es negativa."}, {"start": 554.5999999999999, "end": 561.4799999999999, "text": " Esto significa entonces que en este intervalo la funci\u00f3n ser\u00e1 c\u00f3ncava hacia arriba y en"}, {"start": 561.4799999999999, "end": 564.3199999999999, "text": " esta zona ser\u00e1 c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 564.32, "end": 569.48, "text": " Recordemos segunda derivada positiva es con cacidad hacia arriba de la funci\u00f3n original"}, {"start": 569.48, "end": 577.6400000000001, "text": " y segunda derivada negativa con cacidad hacia abajo en la funci\u00f3n original."}, {"start": 577.6400000000001, "end": 583.2800000000001, "text": " Aqu\u00ed vamos a recopilar los valores de x que obtuvimos en las etapas anteriores."}, {"start": 583.2800000000001, "end": 589.6400000000001, "text": " Es decir los valores de x de los puntos cr\u00edticos y del punto de inflexi\u00f3n y vamos a reemplazarlos"}, {"start": 589.64, "end": 596.0, "text": " en la funci\u00f3n original para encontrar sus respectivas ordenadas para formar los puntos"}, {"start": 596.0, "end": 602.16, "text": " que despu\u00e9s vamos a llevar al plano cartesiano para construir la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}, {"start": 602.16, "end": 611.52, "text": " Entonces tenemos 1 tercio que fue donde tuvimos el punto cr\u00edtico 1, 5 tercios donde tuvimos"}, {"start": 611.52, "end": 618.0, "text": " punto de inflexi\u00f3n y 3 donde tuvimos el punto cr\u00edtico 2."}, {"start": 618.0, "end": 629.6, "text": " Esto 1 tercio en la funci\u00f3n nos da 14, 27 aos que aproximadamente equivale a 0.52."}, {"start": 629.6, "end": 639.84, "text": " Reemplazando 5 tercios en la funci\u00f3n original nos da 142, 27 aos que es aproximadamente"}, {"start": 639.84, "end": 647.76, "text": " igual a 5.26 y reemplazando 3 en la funci\u00f3n original nos da 10."}, {"start": 647.76, "end": 654.04, "text": " Entonces tenemos abscisas, ordenadas, es decir ya tenemos los puntos, las parejas que vamos"}, {"start": 654.04, "end": 659.12, "text": " a llevar al plano cartesiano a continuaci\u00f3n."}, {"start": 659.12, "end": 665.4, "text": " Finalmente vamos a realizar el bosquejo de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n ubicando los puntos"}, {"start": 665.4, "end": 671.0, "text": " que encontramos en el an\u00e1lisis, es decir el punto cr\u00edtico 1, punto de inflexi\u00f3n y"}, {"start": 671.0, "end": 675.64, "text": " punto cr\u00edtico 2 adem\u00e1s de las intersecciones con los ejes."}, {"start": 675.64, "end": 684.64, "text": " Por ejemplo hab\u00edamos encontrado que la intersecci\u00f3n con el eje vertical era 1 y que la intersecci\u00f3n"}, {"start": 684.64, "end": 691.1999999999999, "text": " con el eje horizontal estaba en 4.36 aproximadamente por aqu\u00ed."}, {"start": 691.1999999999999, "end": 698.1999999999999, "text": " Entonces vamos a localizar el punto cr\u00edtico 1 que es la coordenada 1 tercio, 14, 27 aos,"}, {"start": 698.1999999999999, "end": 704.88, "text": " 1 tercio est\u00e1 por aqu\u00ed, 14, 27 aos dijimos que era aproximadamente 0.52, es decir como"}, {"start": 704.88, "end": 712.56, "text": " por aqu\u00ed, ah\u00ed tenemos el punto cr\u00edtico 1, luego el punto de inflexi\u00f3n abscisa 5 tercios,"}, {"start": 712.56, "end": 720.64, "text": " coordenada 142, 27 aos, es decir aproximadamente 5.26, entonces subimos hasta 5.26 como por"}, {"start": 720.64, "end": 730.24, "text": " aqu\u00ed y punto cr\u00edtico 2 coordenada 3, 10, 3 en el eje X, 10 en el eje Y, entonces donde"}, {"start": 730.24, "end": 736.84, "text": " se encuentran, es decir aqu\u00ed nos da la coordenada del punto cr\u00edtico 2."}, {"start": 736.84, "end": 742.52, "text": " Ahora vamos a unir estos puntos con una curva suave para bosquejar la funci\u00f3n que nos dieron"}, {"start": 742.52, "end": 747.24, "text": " y tambi\u00e9n debemos dar cumplimiento a lo que encontramos en el an\u00e1lisis, por ejemplo de"}, {"start": 747.24, "end": 752.76, "text": " menos infinito a 1 tercio que era el primer punto cr\u00edtico nos dio que la funci\u00f3n era"}, {"start": 752.76, "end": 759.72, "text": " decreciente entonces m\u00e1s o menos viene como desde por all\u00e1 pasa por este punto y llega"}, {"start": 759.72, "end": 768.84, "text": " a este, bien luego desde 1 tercio hasta 3 debe ser creciente pero la curva debe llegar"}, {"start": 768.84, "end": 775.6600000000001, "text": " al punto de inflexi\u00f3n, es decir m\u00e1s o menos aqu\u00ed y vemos que all\u00ed tiene la concavidad"}, {"start": 775.6600000000001, "end": 781.24, "text": " hacia arriba tal como nos dio en el an\u00e1lisis de las concavidades, recordemos que desde"}, {"start": 781.24, "end": 787.4, "text": " menos infinito hasta 5 tercios nos hab\u00eda dado segunda derivada positiva, es decir gr\u00e1fica"}, {"start": 787.4, "end": 794.88, "text": " concava hacia arriba, seguimos subiendo hasta el siguiente punto cr\u00edtico m\u00e1s o menos as\u00ed"}, {"start": 794.88, "end": 801.0, "text": " hasta llegar a este punto donde se presenta cambio de concavidad porque aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 801.0, "end": 808.48, "text": " punto de inflexi\u00f3n y despu\u00e9s unimos este punto con este, entonces m\u00e1s o menos algo"}, {"start": 808.48, "end": 815.88, "text": " como as\u00ed y aqu\u00ed contin\u00faa la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}, {"start": 815.88, "end": 820.88, "text": " Entonces all\u00ed tenemos el bosquejo de la curva entonces vamos a marcar los puntos principales"}, {"start": 820.88, "end": 831.28, "text": " tenemos este punto cr\u00edtico 1 que se clasificar\u00eda como un m\u00ednimo relativo o m\u00ednimo local,"}, {"start": 831.28, "end": 835.68, "text": " recordemos que en el an\u00e1lisis de intervalos donde la funci\u00f3n crece y decrece hab\u00edamos"}, {"start": 835.68, "end": 841.72, "text": " encontrado que el punto cr\u00edtico 1 correspond\u00eda a un m\u00ednimo porque la funci\u00f3n era decreciente"}, {"start": 841.72, "end": 851.9200000000001, "text": " y despu\u00e9s creciente, este es el punto cr\u00edtico 2 que corresponde a un m\u00e1ximo local o m\u00e1ximo"}, {"start": 851.9200000000001, "end": 860.36, "text": " relativo tal como nos hab\u00eda dado en el an\u00e1lisis anterior y aqu\u00ed tenemos el punto de inflexi\u00f3n"}, {"start": 860.36, "end": 866.1600000000001, "text": " que es esta coordenada, el punto donde se presenta el cambio de concavidad en la funci\u00f3n."}, {"start": 866.16, "end": 872.4399999999999, "text": " Bien, este es entonces el bosquejo de la gr\u00e1fica y de esa manera terminamos nuestro ejercicio."}]