INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de las Fracciones Parciales.

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 Vamos a resolver esta integral indefinida donde observamos en el integrando una función racional. Vemos en el numerador un polinomio de grado 4 y en el denominador un binomio que tiene grado 2. Como tenemos grado del numerador mayor que el grado del denominador, entonces debemos comenzar por efectuar esta división de polinomios. Comenzamos escribiendo el dividendo que es 6x a la 4. Luego tenemos que el término que contiene x al cubo no aparece, entonces debemos dejar el espacio en blanco. Después más adelante escribimos más 23x al cuadrado, luego el término más 4x, el que corresponde al grado 1 y después más 15, o sea el término independiente. Entonces repetimos, primer requisito para efectuar la división de polinomios es que el dividendo esté organizado en forma descendente y que si hace falta algún término de esa secuencia, entonces respetamos su lugar, dejando el espacio en blanco o también podemos completar con 0. Ahora en este espacio vamos a escribir el divisor que en este caso es x al cuadrado más 3. También debe estar organizado en forma descendente, pero si hace falta algún término de la secuencia como en este caso que nos falta el término x a la 1, entonces no es necesario dejar el espacio en blanco como si ocurre con el dividendo. Damos inicio al procedimiento dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, es decir 6x a la 4 dividido entre x al cuadrado. Repetimos, primer término del dividendo dividido entre el primer término del divisor, eso nos da como resultado 6x al cuadrado, recordemos que aquí se restan los exponentes y por eso obtenemos ese resultado, eso lo escribimos aquí, será el primer término del cociente. Entonces hacemos ahora lo siguiente, multiplicamos 6x al cuadrado por x al cuadrado, eso nos da como resultado 6x a la 4 y lo pasamos al otro lado con signo contrario, es decir como menos 6x a la 4 y lo escribimos debajo de su término semejante. Vamos ahora con 6x al cuadrado por más 3, eso nos da como resultado 18x al cuadrado positivo, entonces lo llevamos allá con signo contrario, es decir con signo negativo y lo escribimos en la columna correspondiente al grado 2, es decir debajo de su término semejante. Ahora vamos a efectuar la suma en forma vertical, este término sumado con este nos da como resultado 0, se cancelan entre sí por ser términos opuestos, vamos con estos dos, 23 con menos 18 nos da 5 positivo, 5x al cuadrado es el resultado de esa suma. Y estos dos términos los escribimos debajo de la línea horizontal, porque aquí no tenemos nada o es como si tuviéramos 0. Vamos ahora con el siguiente término del cociente, para ello tomamos el primer término del nuevo dividendo, es decir 5x al cuadrado y vamos a dividirlo entre el primer término del divisor que es x al cuadrado, esa división nos da como resultado 5, se cancela x al cuadrado. Ese 5 positivo será el siguiente término del cociente y vamos a repetir el procedimiento, 5x al cuadrado nos da 5x al cuadrado, pasa al otro lado con signo negativo, es decir menos 5x al cuadrado y lo localizamos en la columna que corresponde a ese grado, es decir debajo de su término semejante. Vamos ahora con 5 por 3 que nos da 15 positivo, entonces pasa al otro lado con signo contrario, es decir como 15 negativo en la columna que corresponde a los términos independientes. Efectuamos ahora la suma en forma vertical, 5x al cuadrado sumado con menos 5x al cuadrado nos da 0, son términos opuestos que podemos cancelar, más 4x lo vamos a escribir debajo de la línea, porque aquí no tenemos nada, es como si tuviéramos 0. Y finalmente la suma de estos dos números también nos da 0, por tratarse de números opuestos. En este momento podemos decir que ya la división terminó, porque tenemos en el residuo una expresión de grado inferior a lo que tenemos en el divisor. Vemos que aquí es el grado 1 y acá tenemos grado 2, entonces eso nos permite finalizar el procedimiento de la división de polinomios. Podemos identificar allí los siguientes componentes, dividendo, o sea el numerador de esta función racional, acá tenemos el divisor que corresponde al denominador, tenemos el cociente que vamos a escribir por acá, cociente 6x al cuadrado más 5, y tenemos como residuo la expresión 4x, entonces repetimos, el numerador será el dividendo, el denominador será el divisor, esto es el cociente y este es el residuo de esa división. Con esos cuatro componentes vamos a recordar lo siguiente, dividendo, divisor, cociente y residuo, los cuatro componentes de una división como la que acabamos de realizar. Sabemos que para probar una división el dividendo tiene que ser igual al cociente por el divisor más el residuo, esto es lo que se llama la prueba de la división. Entonces vamos a realizar lo siguiente, vamos a dividir ambos lados por D minúscula, o sea por el divisor, hacemos esa división y vamos a repartir este denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Aquí queda entonces esto, allí hicimos la repartición y a su vez tendremos que dividendo sobre divisor será igual a, esto se nos cancela, entonces nos queda el cociente más el residuo sobre el divisor. Entonces de esta manera expresamos una división utilizando esos cuatro componentes, dividendo, divisor, cociente y residuo. Entonces utilizando los componentes que habíamos citado y esto que acabamos de demostrar tenemos que el dividendo es el numerador, o sea 6x a la 4 más 23x al cuadrado más 4x más 15. Todo eso sobre el divisor que es x al cuadrado más 3 y entonces esto será igual al cociente que nos dio 6x al cuadrado más 5 y esto más el residuo sobre el divisor. Tenemos entonces residuo 4x y eso sobre el divisor que es x al cuadrado más 3. Como podemos observar esta expresión es la misma que tenemos acá, se trata de la función racional que constituye el integrando. Y acá demostramos que esta expresión equivale a la suma de estas otras dos más sencillas. Entonces si nos piden resolver esta integral será lo mismo que efectuar la integral de esta expresión. Repetimos porque son equivalentes. Entonces tenemos integral de 6x al cuadrado más 5 y esto más 4x, todo esto sobre x al cuadrado más 3. Protegemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Bien, vamos a continuar el desarrollo de este ejercicio por acá. Y como tenemos la integral de una suma entonces vamos a repartir este símbolo para esta expresión y para esta otra. Tenemos entonces integral de 6x al cuadrado más 5 con su respectivo diferencial de x y esto más la integral de 4x sobre x al cuadrado más 3 y también con su respectivo diferencial de x. Tenemos que esta primera integral puede resolverse de manera directa o en forma inmediata. Tenemos la integral de una suma y se trata de dos términos que son fácilmente integrables. Entonces integral de 6x al cuadrado será 6x al cubo sobre 3. Vamos al otro término integral de 5 será 5x. Vamos a continuar por acá con la otra integral donde ya no podemos proceder en forma directa o en forma inmediata como lo hicimos con esta. Acá tenemos que recurrir a un método de integración y en este caso será el de sustitución o cambio de variable. Vamos a elegir una letra por ejemplo q para llamar así lo que es el denominador es decir x al cuadrado más 3. Hacemos esa elección porque al derivar x al cuadrado más 3 nos da 2x y esta x la tenemos en el numerador. Esto es el indicador de que el método de sustitución es el más apropiado para este caso. Entonces procedemos a derivar q con respecto a x derivada de x al cuadrado más 3 nos da 2x como decíamos ahora. De allí despejamos de q nos queda 2x por dx. Esto que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y a su vez de aquí vamos a despejar dx. Para ello pasamos 2x que está multiplicando a este lado a dividir nos queda dq sobre 2x. Y utilizando estos dos componentes vamos a reconstruir esa integral. Tendremos entonces 4x en el numerador en el denominador x al cuadrado más 3 que se cambia por la letra q y esto multiplicado por el diferencial de x que equivale a dq sobre 2x. Entonces escribimos eso por acá y de esa manera hemos cambiado esta integral a esta otra utilizando la sustitución. Continuamos con el desarrollo del ejercicio resolviendo esto que teníamos por acá. Aquí podemos simplificar 6 con 3 esa división nos da 2 que queda a su vez acompañado con x al cubo. 2x al cubo más 5x y esto más esa integral que vamos a simplificarla de la siguiente forma. Tenemos que x se nos cancela con x, 4 puede simplificarse con 2. Sacamos mitad de 2 que es 1 y mitad de 4 que es 2. Entonces finalmente eso nos queda como 2dq y todo esto sobre q. Es la forma más simple para esa integral. Vamos a continuar el ejercicio por acá. Tenemos 2x al cubo, esto más 5x y esto más esta integral en la cual podemos extraer el número 2 porque está multiplicando. En el integrando tendremos dq sobre q que es lo mismo que tener 1 sobre q por el diferencial dq. Continuamos con el desarrollo por acá más abajo donde tenemos 2x al cubo, esto más 5x más 2 que multiplica a esta integral. Ahora se trata de una integral directa o inmediata. La integral de 1 sobre q será el logaritmo natural de valor absoluto de q. Y como ya no tenemos más integrales aparece por primera vez la constante de integración. Llega el momento de cambiar q. Recordemos que q equivale a x al cuadrado más 3. Entonces vamos a realizar ese cambio para deshacer la sustitución. Repetimos, cuando hicimos el método de sustitución o cambio de variable habíamos escogido como q a la expresión x al cuadrado más 3. Entonces hacemos ese cambio dentro del valor absoluto para de esa manera retornar a la variable original que es x. Recordemos que la función de este valor absoluto es garantizar que el argumento del logaritmo sea siempre positivo. Sin embargo cualquier cantidad x elevada al cuadrado será positiva y si a eso le sumamos 3 con mayor razón se tratará de una cantidad positiva. Eso nos permite quitar este valor absoluto y dejar simplemente paréntesis. Podemos escribir esta respuesta de una manera un poco más corta aplicando aquí una propiedad de los logaritmos. Este primer término se deja igual, el segundo también y veamos cómo nos queda esto. Si tenemos el logaritmo de una potencia, por ejemplo logaritmo de a elevada al exponente b, este exponente puede bajar a multiplicar. Nos queda b por logaritmo natural de a, una propiedad de los logaritmos. Pues bien, esta propiedad es reversible. Si tenemos aquí una cantidad multiplicando, como en este caso el número 2, ella puede volver a situarse acá como exponente en el argumento. Entonces esto nos quedará como logaritmo natural de x al cuadrado más 3 y todo esto elevado al cuadrado. Repetimos este número que está multiplicando, se sitúa ahora acá como exponente en el argumento. Y no podemos olvidar la constante de integración. Bien, de esta manera hemos terminado el ejercicio. Esta expresión es la antiderivada de esta función racional, la que teníamos en el integrando. Eso que hemos hecho corresponde al método de integración conocido como fracciones parciales. Como puedo observarse, fue necesario realizar una división de polinomios para expresar esta fracción algebraica o esta función racional como una suma de expresiones más sencillas que pudiéramos integrar de manera individual para llegar así a la respuesta.
[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a resolver esta integral indefinida donde observamos en el integrando una funci\u00f3n racional."}, {"start": 8.0, "end": 16.0, "text": " Vemos en el numerador un polinomio de grado 4 y en el denominador un binomio que tiene grado 2."}, {"start": 16.0, "end": 28.0, "text": " Como tenemos grado del numerador mayor que el grado del denominador, entonces debemos comenzar por efectuar esta divisi\u00f3n de polinomios."}, {"start": 28.0, "end": 35.0, "text": " Comenzamos escribiendo el dividendo que es 6x a la 4."}, {"start": 35.0, "end": 44.0, "text": " Luego tenemos que el t\u00e9rmino que contiene x al cubo no aparece, entonces debemos dejar el espacio en blanco."}, {"start": 44.0, "end": 60.0, "text": " Despu\u00e9s m\u00e1s adelante escribimos m\u00e1s 23x al cuadrado, luego el t\u00e9rmino m\u00e1s 4x, el que corresponde al grado 1 y despu\u00e9s m\u00e1s 15, o sea el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 60.0, "end": 83.0, "text": " Entonces repetimos, primer requisito para efectuar la divisi\u00f3n de polinomios es que el dividendo est\u00e9 organizado en forma descendente y que si hace falta alg\u00fan t\u00e9rmino de esa secuencia, entonces respetamos su lugar, dejando el espacio en blanco o tambi\u00e9n podemos completar con 0."}, {"start": 83.0, "end": 92.0, "text": " Ahora en este espacio vamos a escribir el divisor que en este caso es x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 92.0, "end": 112.0, "text": " Tambi\u00e9n debe estar organizado en forma descendente, pero si hace falta alg\u00fan t\u00e9rmino de la secuencia como en este caso que nos falta el t\u00e9rmino x a la 1, entonces no es necesario dejar el espacio en blanco como si ocurre con el dividendo."}, {"start": 112.0, "end": 127.0, "text": " Damos inicio al procedimiento dividiendo el primer t\u00e9rmino del dividendo entre el primer t\u00e9rmino del divisor, es decir 6x a la 4 dividido entre x al cuadrado."}, {"start": 127.0, "end": 148.0, "text": " Repetimos, primer t\u00e9rmino del dividendo dividido entre el primer t\u00e9rmino del divisor, eso nos da como resultado 6x al cuadrado, recordemos que aqu\u00ed se restan los exponentes y por eso obtenemos ese resultado, eso lo escribimos aqu\u00ed, ser\u00e1 el primer t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 148.0, "end": 168.0, "text": " Entonces hacemos ahora lo siguiente, multiplicamos 6x al cuadrado por x al cuadrado, eso nos da como resultado 6x a la 4 y lo pasamos al otro lado con signo contrario, es decir como menos 6x a la 4 y lo escribimos debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 168.0, "end": 191.0, "text": " Vamos ahora con 6x al cuadrado por m\u00e1s 3, eso nos da como resultado 18x al cuadrado positivo, entonces lo llevamos all\u00e1 con signo contrario, es decir con signo negativo y lo escribimos en la columna correspondiente al grado 2, es decir debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 191.0, "end": 213.0, "text": " Ahora vamos a efectuar la suma en forma vertical, este t\u00e9rmino sumado con este nos da como resultado 0, se cancelan entre s\u00ed por ser t\u00e9rminos opuestos, vamos con estos dos, 23 con menos 18 nos da 5 positivo, 5x al cuadrado es el resultado de esa suma."}, {"start": 213.0, "end": 223.0, "text": " Y estos dos t\u00e9rminos los escribimos debajo de la l\u00ednea horizontal, porque aqu\u00ed no tenemos nada o es como si tuvi\u00e9ramos 0."}, {"start": 223.0, "end": 248.0, "text": " Vamos ahora con el siguiente t\u00e9rmino del cociente, para ello tomamos el primer t\u00e9rmino del nuevo dividendo, es decir 5x al cuadrado y vamos a dividirlo entre el primer t\u00e9rmino del divisor que es x al cuadrado, esa divisi\u00f3n nos da como resultado 5, se cancela x al cuadrado."}, {"start": 248.0, "end": 273.0, "text": " Ese 5 positivo ser\u00e1 el siguiente t\u00e9rmino del cociente y vamos a repetir el procedimiento, 5x al cuadrado nos da 5x al cuadrado, pasa al otro lado con signo negativo, es decir menos 5x al cuadrado y lo localizamos en la columna que corresponde a ese grado, es decir debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 273.0, "end": 287.0, "text": " Vamos ahora con 5 por 3 que nos da 15 positivo, entonces pasa al otro lado con signo contrario, es decir como 15 negativo en la columna que corresponde a los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 287.0, "end": 307.0, "text": " Efectuamos ahora la suma en forma vertical, 5x al cuadrado sumado con menos 5x al cuadrado nos da 0, son t\u00e9rminos opuestos que podemos cancelar, m\u00e1s 4x lo vamos a escribir debajo de la l\u00ednea, porque aqu\u00ed no tenemos nada, es como si tuvi\u00e9ramos 0."}, {"start": 307.0, "end": 326.0, "text": " Y finalmente la suma de estos dos n\u00fameros tambi\u00e9n nos da 0, por tratarse de n\u00fameros opuestos. En este momento podemos decir que ya la divisi\u00f3n termin\u00f3, porque tenemos en el residuo una expresi\u00f3n de grado inferior a lo que tenemos en el divisor."}, {"start": 326.0, "end": 337.0, "text": " Vemos que aqu\u00ed es el grado 1 y ac\u00e1 tenemos grado 2, entonces eso nos permite finalizar el procedimiento de la divisi\u00f3n de polinomios."}, {"start": 337.0, "end": 358.0, "text": " Podemos identificar all\u00ed los siguientes componentes, dividendo, o sea el numerador de esta funci\u00f3n racional, ac\u00e1 tenemos el divisor que corresponde al denominador, tenemos el cociente que vamos a escribir por ac\u00e1, cociente 6x al cuadrado m\u00e1s 5,"}, {"start": 358.0, "end": 377.0, "text": " y tenemos como residuo la expresi\u00f3n 4x, entonces repetimos, el numerador ser\u00e1 el dividendo, el denominador ser\u00e1 el divisor, esto es el cociente y este es el residuo de esa divisi\u00f3n."}, {"start": 377.0, "end": 392.0, "text": " Con esos cuatro componentes vamos a recordar lo siguiente, dividendo, divisor, cociente y residuo, los cuatro componentes de una divisi\u00f3n como la que acabamos de realizar."}, {"start": 392.0, "end": 406.0, "text": " Sabemos que para probar una divisi\u00f3n el dividendo tiene que ser igual al cociente por el divisor m\u00e1s el residuo, esto es lo que se llama la prueba de la divisi\u00f3n."}, {"start": 406.0, "end": 426.0, "text": " Entonces vamos a realizar lo siguiente, vamos a dividir ambos lados por D min\u00fascula, o sea por el divisor, hacemos esa divisi\u00f3n y vamos a repartir este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 426.0, "end": 447.0, "text": " Aqu\u00ed queda entonces esto, all\u00ed hicimos la repartici\u00f3n y a su vez tendremos que dividendo sobre divisor ser\u00e1 igual a, esto se nos cancela, entonces nos queda el cociente m\u00e1s el residuo sobre el divisor."}, {"start": 447.0, "end": 459.0, "text": " Entonces de esta manera expresamos una divisi\u00f3n utilizando esos cuatro componentes, dividendo, divisor, cociente y residuo."}, {"start": 459.0, "end": 480.0, "text": " Entonces utilizando los componentes que hab\u00edamos citado y esto que acabamos de demostrar tenemos que el dividendo es el numerador, o sea 6x a la 4 m\u00e1s 23x al cuadrado m\u00e1s 4x m\u00e1s 15."}, {"start": 480.0, "end": 501.0, "text": " Todo eso sobre el divisor que es x al cuadrado m\u00e1s 3 y entonces esto ser\u00e1 igual al cociente que nos dio 6x al cuadrado m\u00e1s 5 y esto m\u00e1s el residuo sobre el divisor."}, {"start": 501.0, "end": 512.0, "text": " Tenemos entonces residuo 4x y eso sobre el divisor que es x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 512.0, "end": 522.0, "text": " Como podemos observar esta expresi\u00f3n es la misma que tenemos ac\u00e1, se trata de la funci\u00f3n racional que constituye el integrando."}, {"start": 522.0, "end": 539.0, "text": " Y ac\u00e1 demostramos que esta expresi\u00f3n equivale a la suma de estas otras dos m\u00e1s sencillas. Entonces si nos piden resolver esta integral ser\u00e1 lo mismo que efectuar la integral de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 539.0, "end": 555.0, "text": " Repetimos porque son equivalentes. Entonces tenemos integral de 6x al cuadrado m\u00e1s 5 y esto m\u00e1s 4x, todo esto sobre x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 555.0, "end": 561.0, "text": " Protegemos todo esto con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 561.0, "end": 568.0, "text": " Bien, vamos a continuar el desarrollo de este ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 568.0, "end": 578.0, "text": " Y como tenemos la integral de una suma entonces vamos a repartir este s\u00edmbolo para esta expresi\u00f3n y para esta otra."}, {"start": 578.0, "end": 602.0, "text": " Tenemos entonces integral de 6x al cuadrado m\u00e1s 5 con su respectivo diferencial de x y esto m\u00e1s la integral de 4x sobre x al cuadrado m\u00e1s 3 y tambi\u00e9n con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 602.0, "end": 610.0, "text": " Tenemos que esta primera integral puede resolverse de manera directa o en forma inmediata."}, {"start": 610.0, "end": 616.0, "text": " Tenemos la integral de una suma y se trata de dos t\u00e9rminos que son f\u00e1cilmente integrables."}, {"start": 616.0, "end": 623.0, "text": " Entonces integral de 6x al cuadrado ser\u00e1 6x al cubo sobre 3."}, {"start": 623.0, "end": 643.0, "text": " Vamos al otro t\u00e9rmino integral de 5 ser\u00e1 5x. Vamos a continuar por ac\u00e1 con la otra integral donde ya no podemos proceder en forma directa o en forma inmediata como lo hicimos con esta."}, {"start": 643.0, "end": 651.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos que recurrir a un m\u00e9todo de integraci\u00f3n y en este caso ser\u00e1 el de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 651.0, "end": 660.0, "text": " Vamos a elegir una letra por ejemplo q para llamar as\u00ed lo que es el denominador es decir x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 660.0, "end": 669.0, "text": " Hacemos esa elecci\u00f3n porque al derivar x al cuadrado m\u00e1s 3 nos da 2x y esta x la tenemos en el numerador."}, {"start": 669.0, "end": 677.0, "text": " Esto es el indicador de que el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n es el m\u00e1s apropiado para este caso."}, {"start": 677.0, "end": 689.0, "text": " Entonces procedemos a derivar q con respecto a x derivada de x al cuadrado m\u00e1s 3 nos da 2x como dec\u00edamos ahora."}, {"start": 689.0, "end": 695.0, "text": " De all\u00ed despejamos de q nos queda 2x por dx."}, {"start": 695.0, "end": 702.0, "text": " Esto que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y a su vez de aqu\u00ed vamos a despejar dx."}, {"start": 702.0, "end": 712.0, "text": " Para ello pasamos 2x que est\u00e1 multiplicando a este lado a dividir nos queda dq sobre 2x."}, {"start": 712.0, "end": 719.0, "text": " Y utilizando estos dos componentes vamos a reconstruir esa integral."}, {"start": 719.0, "end": 730.0, "text": " Tendremos entonces 4x en el numerador en el denominador x al cuadrado m\u00e1s 3 que se cambia por la letra q"}, {"start": 730.0, "end": 737.0, "text": " y esto multiplicado por el diferencial de x que equivale a dq sobre 2x."}, {"start": 737.0, "end": 749.0, "text": " Entonces escribimos eso por ac\u00e1 y de esa manera hemos cambiado esta integral a esta otra utilizando la sustituci\u00f3n."}, {"start": 749.0, "end": 754.0, "text": " Continuamos con el desarrollo del ejercicio resolviendo esto que ten\u00edamos por ac\u00e1."}, {"start": 754.0, "end": 762.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar 6 con 3 esa divisi\u00f3n nos da 2 que queda a su vez acompa\u00f1ado con x al cubo."}, {"start": 762.0, "end": 774.0, "text": " 2x al cubo m\u00e1s 5x y esto m\u00e1s esa integral que vamos a simplificarla de la siguiente forma."}, {"start": 774.0, "end": 780.0, "text": " Tenemos que x se nos cancela con x, 4 puede simplificarse con 2."}, {"start": 780.0, "end": 785.0, "text": " Sacamos mitad de 2 que es 1 y mitad de 4 que es 2."}, {"start": 785.0, "end": 793.0, "text": " Entonces finalmente eso nos queda como 2dq y todo esto sobre q."}, {"start": 793.0, "end": 797.0, "text": " Es la forma m\u00e1s simple para esa integral."}, {"start": 797.0, "end": 804.0, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 804.0, "end": 820.0, "text": " Tenemos 2x al cubo, esto m\u00e1s 5x y esto m\u00e1s esta integral en la cual podemos extraer el n\u00famero 2 porque est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 820.0, "end": 829.0, "text": " En el integrando tendremos dq sobre q que es lo mismo que tener 1 sobre q por el diferencial dq."}, {"start": 829.0, "end": 845.0, "text": " Continuamos con el desarrollo por ac\u00e1 m\u00e1s abajo donde tenemos 2x al cubo, esto m\u00e1s 5x m\u00e1s 2 que multiplica a esta integral."}, {"start": 845.0, "end": 849.0, "text": " Ahora se trata de una integral directa o inmediata."}, {"start": 849.0, "end": 855.0, "text": " La integral de 1 sobre q ser\u00e1 el logaritmo natural de valor absoluto de q."}, {"start": 855.0, "end": 862.0, "text": " Y como ya no tenemos m\u00e1s integrales aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 862.0, "end": 865.0, "text": " Llega el momento de cambiar q."}, {"start": 865.0, "end": 872.0, "text": " Recordemos que q equivale a x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 872.0, "end": 879.0, "text": " Entonces vamos a realizar ese cambio para deshacer la sustituci\u00f3n."}, {"start": 879.0, "end": 890.0, "text": " Repetimos, cuando hicimos el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable hab\u00edamos escogido como q a la expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 890.0, "end": 900.0, "text": " Entonces hacemos ese cambio dentro del valor absoluto para de esa manera retornar a la variable original que es x."}, {"start": 900.0, "end": 909.0, "text": " Recordemos que la funci\u00f3n de este valor absoluto es garantizar que el argumento del logaritmo sea siempre positivo."}, {"start": 909.0, "end": 920.0, "text": " Sin embargo cualquier cantidad x elevada al cuadrado ser\u00e1 positiva y si a eso le sumamos 3 con mayor raz\u00f3n se tratar\u00e1 de una cantidad positiva."}, {"start": 920.0, "end": 927.0, "text": " Eso nos permite quitar este valor absoluto y dejar simplemente par\u00e9ntesis."}, {"start": 927.0, "end": 939.0, "text": " Podemos escribir esta respuesta de una manera un poco m\u00e1s corta aplicando aqu\u00ed una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 939.0, "end": 946.0, "text": " Este primer t\u00e9rmino se deja igual, el segundo tambi\u00e9n y veamos c\u00f3mo nos queda esto."}, {"start": 946.0, "end": 957.0, "text": " Si tenemos el logaritmo de una potencia, por ejemplo logaritmo de a elevada al exponente b, este exponente puede bajar a multiplicar."}, {"start": 957.0, "end": 963.0, "text": " Nos queda b por logaritmo natural de a, una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 963.0, "end": 966.0, "text": " Pues bien, esta propiedad es reversible."}, {"start": 966.0, "end": 976.0, "text": " Si tenemos aqu\u00ed una cantidad multiplicando, como en este caso el n\u00famero 2, ella puede volver a situarse ac\u00e1 como exponente en el argumento."}, {"start": 976.0, "end": 986.0, "text": " Entonces esto nos quedar\u00e1 como logaritmo natural de x al cuadrado m\u00e1s 3 y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 986.0, "end": 994.0, "text": " Repetimos este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando, se sit\u00faa ahora ac\u00e1 como exponente en el argumento."}, {"start": 994.0, "end": 999.0, "text": " Y no podemos olvidar la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 999.0, "end": 1003.0, "text": " Bien, de esta manera hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 1003.0, "end": 1011.0, "text": " Esta expresi\u00f3n es la antiderivada de esta funci\u00f3n racional, la que ten\u00edamos en el integrando."}, {"start": 1011.0, "end": 1018.0, "text": " Eso que hemos hecho corresponde al m\u00e9todo de integraci\u00f3n conocido como fracciones parciales."}, {"start": 1018.0, "end": 1028.0, "text": " Como puedo observarse, fue necesario realizar una divisi\u00f3n de polinomios para expresar esta fracci\u00f3n algebraica o esta funci\u00f3n racional"}, {"start": 1028.0, "end": 1049.0, "text": " como una suma de expresiones m\u00e1s sencillas que pudi\u00e9ramos integrar de manera individual para llegar as\u00ed a la respuesta."}]