RECTA TANGENTE A UNA CURVA - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva cuya ecuación debe derivarse implícitamente.

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 En este ejercicio nos piden encontrar y' en esta expresión y, así mismo, nos piden la ecuación de la recta tangente a la curva de esta ecuación en el punto de coordenadas 1,1. Entonces, vamos a realizar el proceso de derivación de esta expresión, esto lo vamos a hacer por derivación implícita, y para comenzar debemos tomar logaritmo natural a los dos lados, de modo que podamos deshacer esas potencias. Entonces nos queda así, tomamos logaritmo natural a ambos lados, por propiedad de los logaritmos, los exponentes van a multiplicar, entonces nos queda, y por logaritmo natural de x, igual a x por logaritmo natural de y, y aquí vamos a hacer la derivación implícita. Derivamos implícitamente a ambos lados de la igualdad, vamos a hacer esa derivada con respecto a x. En el lado izquierdo tenemos un producto, entonces aplicamos la regla del producto, derivada del primero, la derivada de y sería 1 por y', es decir, y'. Recordemos que en derivación implícita, cada vez que derivamos algo con y, debemos anexar o agregar y', eso multiplicado por el segundo sin derivar, logaritmo natural de x, más el primero sin derivar, multiplicado por la derivada del segundo, la derivada del logaritmo natural de x será 1 sobre x. Pasamos al otro lado, del cual también tenemos un producto, entonces aplicamos la regla del producto, derivada del primero, derivada de x será 1, eso multiplicado por el segundo sin derivar, que es logaritmo natural de y, más el primero sin derivar, multiplicado por la derivada del segundo, la derivada del logaritmo natural de y sería 1 sobre y, y eso multiplicado por y', anexamos y', porque hemos derivado algo que contiene la letra y. Organizando un poco esa expresión nos queda y', logaritmo natural de x, más, aquí, y por 1 sobre x, lo escribimos como y sobre x, esto iguala 1 por logaritmo natural de y, que es logaritmo natural de y, más, esto lo podemos escribir como x y', todo esto sobre y, y allí vamos a realizar la suma de fracciones a los dos lados, entonces, aquí tendremos lo siguiente, como un denominador será x, acá tendremos x por y' por logaritmo natural de x, más y, es decir, como si hiciéramos producto en cruz y producto de denominadores, acá también hacemos la suma de fracciones, aquí producto de denominadores nos da y, producto de estos dos nos queda y por logaritmo natural de y, más producto de estos dos, x por y', podemos pasar x que se encuentra dividiendo a este lado, a multiplicar acá, y lo mismo hacemos con esta y, pasaré al otro lado a multiplicar, entonces nos queda de la siguiente manera, y que multiplica todo esto, iguala x que multiplica a todo lo que tenemos en el numerador, vamos a hacer propiedad distributiva aquí con la y y aquí con la x, entonces, y por esto nos quedará x y por y', por logaritmo natural de x, más y por y', y al cuadrado, igual a x por esto nos queda x y logaritmo natural de y, más x al cuadrado por y', ahora vamos a dejar al lado izquierdo los términos que contienen y', y en el lado derecho los que no lo contienen, entonces se queda este término, x y y' por logaritmo natural de x y pasamos este, llegaría a restar menos x al cuadrado por y', igual a este que se queda igual y este y cuadrado que pasa a restar al otro lado, ahora vamos a sacar factor común al lado izquierdo y', nos queda, y' factor común de x y logaritmo natural de x, menos x al cuadrado, igual a esto mismo de acá, bien, ahora despejamos y', entonces, y' nos queda igual a lo siguiente, pasamos esto que se encuentra multiplicando a dividir al otro lado, entonces nos queda x y logaritmo natural de y, menos y cuadrado, todo eso sobre x y logaritmo natural de x, menos x al cuadrado, allí hemos encontrado entonces la primera respuesta, es decir, y', o lo que se conoce también como de y de x, bien, vamos a realizar el procedimiento para encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto que nos dieron, primero debemos encontrar la pendiente de la recta tangente, que vamos a llamar m, ella se obtiene evaluando y', o de y de x en el punto que nos dieron, el punto 1,1, o sea el punto de tangencia, simplemente lo que vamos a hacer es reemplazar 1 y 1, donde está la x y la y, si, x vale 1 y y vale 1, por lo tanto, reemplazamos en esta expresión en los respectivos lugares, donde está la x ponemos 1, donde está la y también, nos queda logaritmo natural de 1, menos 1 al cuadrado, por acá 1 que vale x, 1 que vale y, logaritmo natural de x que vale 1, menos x que vale 1 al cuadrado, recordemos que logaritmo natural de 1 vale 0, esto se va, vale 0, esto también se nos va, y 0 como multiplica todo esto, y a todo esto esta primera parte se nos va, en el numerador nos queda menos 1, si, 1 al cuadrado es 1, pero está precedido, de signo negativo, lo mismo nos queda en la parte de abajo, esto nos permite deducir que la pendiente vale 1, 1 positivo, si, menos 1 sobre menos 1 nos da 1, entonces la pendiente de la recta tangente tiene el valor 1, para hallar la ecuación de la recta tangente, que vamos a llamar con las iniciales ERT, tenemos la siguiente información, el punto 1,1 y el valor de la pendiente que nos dio 1, entonces utilizamos lo que se llama el modelo punto pendiente, que dice y menos y sub 1 igual a m por x menos x1, si con esto encontramos la ecuación de la recta tangente, la pareja que conocemos, el punto conocido será x1 y y1, entonces reemplazamos, nos quedaría y menos el valor de y1 que es 1, igual a la pendiente que vale 1 por x menos x1 que también vale 1, resolviendo esto nos queda y menos 1 igual 1 por x menos 1 nos queda x menos 1, y si despejamos la y menos 1 pasa a sumar al otro lado, quedaría x menos 1 más 1, menos 1 y más 1 se nos va, daría 0, por lo tanto nos queda x, también podemos cancelar en este caso el menos 1 que está restando a los dos lados, y igual a x será entonces la ecuación de la recta tangente a la curva que nos dieron en el punto 1,1.
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109.28, "end": 119.68, "text": " eso multiplicado por el segundo sin derivar, que es logaritmo natural de y, m\u00e1s el primero sin derivar, multiplicado por la derivada del segundo,"}, {"start": 119.68, "end": 131.88, "text": " la derivada del logaritmo natural de y ser\u00eda 1 sobre y, y eso multiplicado por y', anexamos y', porque hemos derivado algo que contiene la letra y."}, {"start": 131.88, "end": 144.96, "text": " Organizando un poco esa expresi\u00f3n nos queda y', logaritmo natural de x, m\u00e1s, aqu\u00ed, y por 1 sobre x, lo escribimos como y sobre x,"}, {"start": 144.96, "end": 156.08, "text": " esto iguala 1 por logaritmo natural de y, que es logaritmo natural de y, m\u00e1s, esto lo podemos escribir como x y', todo esto sobre y,"}, {"start": 156.08, "end": 166.16, "text": " y all\u00ed vamos a realizar la suma de fracciones a los dos lados, entonces, aqu\u00ed tendremos lo siguiente, como un denominador ser\u00e1 x,"}, {"start": 166.16, "end": 177.16, "text": " ac\u00e1 tendremos x por y' por logaritmo natural de x, m\u00e1s y, es decir, como si hici\u00e9ramos producto en cruz y producto de denominadores,"}, {"start": 177.16, "end": 187.28, "text": " ac\u00e1 tambi\u00e9n hacemos la suma de fracciones, aqu\u00ed producto de denominadores nos da y, producto de estos dos nos queda y por logaritmo natural de y,"}, {"start": 187.28, "end": 197.92000000000002, "text": " m\u00e1s producto de estos dos, x por y', podemos pasar x que se encuentra dividiendo a este lado, a multiplicar ac\u00e1, y lo mismo hacemos con esta y,"}, {"start": 197.92000000000002, "end": 211.12, "text": " pasar\u00e9 al otro lado a multiplicar, entonces nos queda de la siguiente manera, y que multiplica todo esto, iguala x que multiplica a todo lo que tenemos en el numerador,"}, {"start": 211.12, "end": 223.12, "text": " vamos a hacer propiedad distributiva aqu\u00ed con la y y aqu\u00ed con la x, entonces, y por esto nos quedar\u00e1 x y por y', por logaritmo natural de x,"}, {"start": 223.12, "end": 239.36, "text": " m\u00e1s y por y', y al cuadrado, igual a x por esto nos queda x y logaritmo natural de y, m\u00e1s x al cuadrado por y', ahora vamos a dejar al lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen y',"}, {"start": 239.36, "end": 252.32000000000002, "text": " y en el lado derecho los que no lo contienen, entonces se queda este t\u00e9rmino, x y y' por logaritmo natural de x y pasamos este, llegar\u00eda a restar menos x al cuadrado por y',"}, {"start": 252.32000000000002, "end": 265.28000000000003, "text": " igual a este que se queda igual y este y cuadrado que pasa a restar al otro lado, ahora vamos a sacar factor com\u00fan al lado izquierdo y', nos queda,"}, {"start": 265.28, "end": 282.96, "text": " y' factor com\u00fan de x y logaritmo natural de x, menos x al cuadrado, igual a esto mismo de ac\u00e1, bien, ahora despejamos y', entonces, y' nos queda igual a lo siguiente,"}, {"start": 282.96, "end": 295.68, "text": " pasamos esto que se 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expresi\u00f3n en los respectivos lugares, donde est\u00e1 la x ponemos 1, donde est\u00e1 la y tambi\u00e9n,"}, {"start": 344.71999999999997, "end": 357.36, "text": " nos queda logaritmo natural de 1, menos 1 al cuadrado, por ac\u00e1 1 que vale x, 1 que vale y, logaritmo natural de x que vale 1, menos x que vale 1 al cuadrado,"}, {"start": 357.36, "end": 367.44, "text": " recordemos que logaritmo natural de 1 vale 0, esto se va, vale 0, esto tambi\u00e9n se nos va, y 0 como multiplica todo esto, y a todo esto esta primera parte se nos va,"}, {"start": 367.44, "end": 375.6, "text": " en el numerador nos queda menos 1, si, 1 al cuadrado es 1, pero est\u00e1 precedido, de signo negativo, lo mismo nos queda en la parte de abajo,"}, {"start": 375.6, "end": 389.6, "text": " esto nos permite deducir que la pendiente vale 1, 1 positivo, si, menos 1 sobre menos 1 nos da 1, entonces la pendiente de la recta tangente tiene el valor 1, para hallar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente,"}, {"start": 389.6, "end": 403.92, "text": " que vamos a llamar con las iniciales ERT, tenemos la siguiente informaci\u00f3n, el punto 1,1 y el valor de la pendiente que nos dio 1, entonces utilizamos lo que se llama el modelo punto pendiente,"}, {"start": 403.92, "end": 420.32, "text": " que dice y menos y sub 1 igual a m por x menos x1, si con esto encontramos la ecuaci\u00f3n de la recta tangente, la pareja que conocemos, el punto conocido ser\u00e1 x1 y y1, entonces reemplazamos,"}, {"start": 420.32, "end": 436.32, "text": " nos quedar\u00eda y menos el valor de y1 que es 1, igual a la pendiente que vale 1 por x menos x1 que tambi\u00e9n vale 1, resolviendo esto nos queda y menos 1 igual 1 por x menos 1 nos queda x menos 1,"}, {"start": 436.32, "end": 452.32, "text": " y si despejamos la y menos 1 pasa a sumar al otro lado, quedar\u00eda x menos 1 m\u00e1s 1, menos 1 y m\u00e1s 1 se nos va, dar\u00eda 0, por lo tanto nos queda x, tambi\u00e9n podemos cancelar en este caso el menos 1 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