INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral definida. Se lee la integral desde 1 hasta 8 de la función raíz cúbica de P con su diferencial de P. Debemos encontrar primero la antiderivada de esta función y para ello vamos a transformar esa raíz a una potencia. Vamos a utilizar entonces la siguiente propiedad. Si tenemos la raíz enésima de a a la m, esto es igual a a elevada al exponente m sobre n, siempre el exponente interno sobre el índice de la raíz. En este caso tenemos P a la 1 y el índice de la raíz es 3. Entonces en este caso tendremos P a la 1 tercio aplicando esta propiedad y escribimos el diferencial de P. Ahora sí podemos encontrar la antiderivada de P a la 1 tercio y en ese caso vamos a utilizar esta propiedad básica de la integración. La integral de x a la n con su diferencial de x es igual a x a la n más 1, todo esto sobre n más 1 y a esto se le agrega la constante de integración cuando trabajamos una integral indefinida. En este caso se advierte que n debe ser diferente de menos 1, en este caso n es 1 tercio. Entonces vamos a aplicar esta propiedad. Como en este caso la variable es P, tendremos P a la 1 tercio más 1 que nos da 4 tercios. Una forma fácil de obtener este resultado es hacer lo siguiente, sumamos estos dos números, 1 más 3 nos da 4, ese es el numerador y conservamos el mismo denominador. Es la forma rápida de hacer 1 tercio más 1 y escribimos debajo ese mismo exponente, 4 tercios tal como nos indica la propiedad. Trasamos esta línea para anotar allí los límites de integración, 1 que es el inferior y 8 que es el superior. Recordemos que cuando hacemos una integral definida no se escribe la constante C, pero a cambio de eso se escriben los límites de integración. Antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo, es decir la evaluación de los límites de integración acá en la antiderivada es conveniente organizar esa expresión. Entonces vamos a realizar ese procedimiento. Este número 3 sube a multiplicar con P, nos queda 3 P a la 4 tercios y todo esto nos queda sobre 4 y escribimos acá los límites de integración que son 1 y 8. A su vez vamos a cambiar P a la 4 tercios a la forma de raíz. Volvemos a aplicar la propiedad de la radicación que vimos ahora. Si tenemos A a la n sobre n eso será la raíz n encima de A a la m. Entonces P a la 4 tercios nos quedará la raíz cúbica de P a la 4 aplicando esta propiedad y todo esto nos queda sobre 4 y escribimos los límites de integración. Ahora esta raíz podemos simplificarla, veamos cómo lo podemos conseguir. La raíz cúbica de P a la 4 la podemos escribir como la raíz cúbica de P a la 3 por P a la 1. Como 4 es mayor que 3 podemos descomponer esta potencia en P a la 3 por P a la 1 y allí podemos repartir la raíz cúbica para los dos componentes, raíz cúbica de P al cubo por la raíz cúbica de P a la 1. Esta raíz cúbica de P al cubo se convierte en P porque estas dos cantidades son iguales y queda multiplicando con la raíz cúbica de P. Este 1 se puede hacer invisible. Entonces vamos a escribir este resultado por acá. Tenemos 3 que multiplica a esta expresión que nos dio esto, o sea P, raíz cúbica de P, todo esto sobre 4 y de nuevo escribimos los límites de integración. Ahora sí, cuando hemos simplificado totalmente esta expresión, o sea la antiderivada, podemos evaluar los dos límites de integración. Primero entra el superior, recordemos que eso es lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo y luego va a entrar el inferior. Entonces, reemplazamos el límite superior acá donde tenemos la letra P. Tendríamos 3 por 8 por la raíz cúbica de 8 y todo esto sobre 4 y ahora le restamos la evaluación del límite inferior también en la antiderivada. Tendríamos 3 por 1 por la raíz cúbica de 1 y todo esto sobre 4. Repetimos, estamos aplicando allí el teorema fundamental del cálculo. Enseguida debemos resolver cada una de estas operaciones. Por ejemplo acá tenemos la raíz cúbica de 8 que se convierte en 2 y por acá tenemos la raíz cúbica de 1 que es igual a 1. Entonces vamos a efectuar esas operaciones. Por acá tenemos 3 por 8, 24, 24 por 2 nos da 48, nos queda 48 cuartos y esto menos 3 por 1 por 1 nos da 3, nos queda sobre 4 y tenemos aquí la resta de dos fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador. Conservamos ese denominador y efectuamos la operación de los numeradores. 48 menos 3 nos da 45. Revisamos si esa fracción se puede simplificar, vemos que no es así, es una fracción irreducible, entonces esta será la respuesta para esa integral definida.
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P a la 1 tercio aplicando esta propiedad y escribimos el diferencial"}, {"start": 59.760000000000005, "end": 61.040000000000006, "text": " de P."}, {"start": 61.040000000000006, "end": 67.76, "text": " Ahora s\u00ed podemos encontrar la antiderivada de P a la 1 tercio y en ese caso vamos a"}, {"start": 67.76, "end": 72.08000000000001, "text": " utilizar esta propiedad b\u00e1sica de la integraci\u00f3n."}, {"start": 72.08000000000001, "end": 79.56, "text": " La integral de x a la n con su diferencial de x es igual a x a la n m\u00e1s 1, todo esto"}, {"start": 79.56, "end": 87.2, "text": " sobre n m\u00e1s 1 y a esto se le agrega la constante de integraci\u00f3n cuando trabajamos una integral"}, {"start": 87.2, "end": 88.32000000000001, "text": " indefinida."}, {"start": 88.32000000000001, "end": 96.52000000000001, "text": " En este caso se advierte que n debe ser diferente de menos 1, en este caso n es 1 tercio."}, {"start": 96.52000000000001, "end": 99.4, "text": " Entonces vamos a 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definida no se escribe la constante C, pero"}, {"start": 146.0, "end": 150.36, "text": " a cambio de eso se escriben los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 150.36, "end": 156.12, "text": " Antes de aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo, es decir la evaluaci\u00f3n de los l\u00edmites"}, {"start": 156.12, "end": 163.48000000000002, "text": " de integraci\u00f3n ac\u00e1 en la antiderivada es conveniente organizar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 163.48000000000002, "end": 168.34, "text": " Entonces vamos a realizar ese procedimiento."}, {"start": 168.34, "end": 177.04000000000002, "text": " Este n\u00famero 3 sube a multiplicar con P, nos queda 3 P a la 4 tercios y todo esto nos queda"}, {"start": 177.04000000000002, "end": 184.88, "text": " sobre 4 y escribimos ac\u00e1 los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 1 y 8."}, {"start": 184.88, "end": 189.92, "text": " A su vez vamos a cambiar P a la 4 tercios a la forma de ra\u00edz."}, {"start": 189.92, "end": 193.96, "text": " Volvemos a aplicar la propiedad de la radicaci\u00f3n que vimos ahora."}, {"start": 193.96, "end": 200.96, "text": " Si tenemos A a la n sobre n eso ser\u00e1 la ra\u00edz n encima de A a la m."}, {"start": 200.96, "end": 211.51999999999998, "text": " Entonces P a la 4 tercios nos quedar\u00e1 la ra\u00edz c\u00fabica de P a la 4 aplicando esta propiedad"}, {"start": 211.52, "end": 219.24, "text": " y todo esto nos queda sobre 4 y escribimos los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 219.24, "end": 225.32000000000002, "text": " Ahora esta ra\u00edz podemos simplificarla, veamos c\u00f3mo lo podemos conseguir."}, {"start": 225.32000000000002, "end": 235.8, "text": " La ra\u00edz c\u00fabica de P a la 4 la podemos escribir como la ra\u00edz c\u00fabica de P a la 3 por P a"}, {"start": 235.8, "end": 236.88, "text": " la 1."}, {"start": 236.88, "end": 244.32, "text": " Como 4 es mayor que 3 podemos descomponer esta potencia en P a la 3 por P a la 1 y all\u00ed"}, {"start": 244.32, "end": 250.92, "text": " podemos repartir la ra\u00edz c\u00fabica para los dos componentes, ra\u00edz c\u00fabica de P al cubo"}, {"start": 250.92, "end": 255.96, "text": " por la ra\u00edz c\u00fabica de P a la 1."}, {"start": 255.96, "end": 262.06, "text": " Esta ra\u00edz c\u00fabica de P al cubo se convierte en P porque estas dos cantidades son iguales"}, {"start": 262.06, "end": 266.1, "text": " y queda multiplicando con la ra\u00edz c\u00fabica de P."}, {"start": 266.1, "end": 268.52000000000004, "text": " Este 1 se puede hacer invisible."}, {"start": 268.52000000000004, "end": 272.48, "text": " Entonces vamos a escribir este resultado por ac\u00e1."}, {"start": 272.48, "end": 279.6, "text": " Tenemos 3 que multiplica a esta expresi\u00f3n que nos dio esto, o sea P, ra\u00edz c\u00fabica de"}, {"start": 279.6, "end": 288.6, "text": " P, todo esto sobre 4 y de nuevo escribimos los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 288.6, "end": 295.16, "text": " Ahora s\u00ed, cuando hemos simplificado totalmente esta expresi\u00f3n, o sea la antiderivada, podemos"}, {"start": 295.16, "end": 298.52000000000004, "text": " evaluar los dos l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 298.52000000000004, "end": 304.04, "text": " Primero entra el superior, recordemos que eso es lo que nos dice el teorema fundamental"}, {"start": 304.04, "end": 308.48, "text": " del c\u00e1lculo y luego va a entrar el inferior."}, {"start": 308.48, "end": 313.28000000000003, "text": " Entonces, reemplazamos el l\u00edmite superior ac\u00e1 donde tenemos la letra P."}, {"start": 313.28, "end": 325.52, "text": " Tendr\u00edamos 3 por 8 por la ra\u00edz c\u00fabica de 8 y todo esto sobre 4 y ahora le restamos"}, {"start": 325.52, "end": 330.47999999999996, "text": " la evaluaci\u00f3n del l\u00edmite inferior tambi\u00e9n en la antiderivada."}, {"start": 330.47999999999996, "end": 339.47999999999996, "text": " Tendr\u00edamos 3 por 1 por la ra\u00edz c\u00fabica de 1 y todo esto sobre 4."}, {"start": 339.48, "end": 345.16, "text": " Repetimos, estamos aplicando all\u00ed el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 345.16, "end": 349.12, "text": " Enseguida debemos resolver cada una de estas operaciones."}, {"start": 349.12, "end": 355.56, "text": " Por ejemplo ac\u00e1 tenemos la ra\u00edz c\u00fabica de 8 que se convierte en 2 y por ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 355.56, "end": 359.92, "text": " la ra\u00edz c\u00fabica de 1 que es igual a 1."}, {"start": 359.92, "end": 362.88, "text": " Entonces vamos a efectuar esas operaciones."}, {"start": 362.88, "end": 372.92, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 3 por 8, 24, 24 por 2 nos da 48, nos queda 48 cuartos y esto menos 3"}, {"start": 372.92, "end": 381.44, "text": " por 1 por 1 nos da 3, nos queda sobre 4 y tenemos aqu\u00ed la resta de dos fracciones homog\u00e9neas,"}, {"start": 381.44, "end": 383.96, "text": " fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 383.96, "end": 389.28, "text": " Conservamos ese denominador y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores."}, {"start": 389.28, "end": 393.11999999999995, "text": " 48 menos 3 nos da 45."}, {"start": 393.11999999999995, "end": 399.67999999999995, "text": " Revisamos si esa fracci\u00f3n se puede simplificar, vemos que no es as\u00ed, es una fracci\u00f3n irreducible,"}, {"start": 399.68, "end": 420.08, "text": " entonces esta ser\u00e1 la respuesta para esa integral definida."}]