APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN FÍSICA
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio de aplicación de la derivada en la Física. 

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 La expresión S de t igual a t al cubo menos nueve medios de t cuadrado menos siete t con t mayor o igual que cero da la función de posición de una partícula. S es la posición y t representa el tiempo que lógicamente tiene que ser un valor positivo o como mínimo cero. Nos preguntan en la parte A cuando alcanza la partícula una velocidad de cinco metros sobre segundo y la parte B dice cuando es cero la aceleración. Bien para la parte A tomamos la función de posición que nos da el problema donde el tiempo lógicamente es un valor positivo y vamos a derivarla para obtener la función de velocidad. Si recordemos que esta es una de las aplicaciones del cálculo en la física. La derivada de la posición nos da la velocidad. Entonces la función de velocidad será igual a la derivada de la función de posición. Entonces tendremos lo siguiente. Derivada de t a la tres seria tres t al cuadrado menos derivada de nueve medios t al cuadrado el dos baja a multiplicar con nueve medios. Eso nos da nueve y queda t elevado al exponente uno menos la derivada de siete t que seria simplemente siete. Allí tenemos entonces la función de velocidad y nos preguntan en que momento la velocidad toma el valor de cinco metros sobre segundos. Entonces lo que tenemos que hacer es lo siguiente sustituir aquí la velocidad por el valor cinco e igualarla a la función de velocidad para determinar en que instante de tiempo es que ocurre este suceso. Que la velocidad tenga un valor de cinco metros sobre segundo. Entonces tenemos una ecuación cuadrática vamos a resolverla. Podemos dejar el cero a este lado pasar este cinco para acá entonces nos queda tres t cuadrado menos nueve t menos siete y pasamos el cinco negativo al lado derecho a restar. Entonces nos queda cero es igual a tres t cuadrado menos nueve t menos doce. Tenemos entonces una ecuación como decíamos cuadrática que podemos simplificar de la siguiente manera. Podríamos dividirla toda por tres vemos que los números son todos divisibles por tres para que la ecuación nos quede mucho más sencilla. Entonces tendremos en el lado izquierdo cero dividido entre tres nos da cero y en el lado derecho nos quedaría t al cuadrado. Si aquí nos queda coeficiente uno menos nueve dividido entre tres nos queda tres tres t menos doce dividido entre tres nos da cuadrado. Nos queda una ecuación mucho más simple. Vamos a resolver la ecuación cuadrática por factorización. Entonces factorizamos este trinomio abrimos dos paréntesis repartimos la variable t cuadramos los signos positivo por negativo da negativo negativo por negativo da positivo buscamos dos números que multiplicados nos de menos cuatro y que sumados entre sí nos de menos tres. Esos números son menos cuatro y uno. Y aquí aplicamos el teorema del factor Nuro. Recordemos si el producto de dos cantidades es igual a cero cada una de ellas debe ir igualada a cero. Entonces t menos cuatro igual a cero o t más uno igual a cero. Espejamos t en cada caso por aquí t vale cuatro y por acá t vale menos uno. Como el tiempo nos advirtieron al comienzo que es un valor positivo claro como es en la realidad. Entonces este valor lo tenemos que descartar tiempo negativo no nos sirve por lo tanto el tiempo con el que nos quedamos es este de acá. Entonces la respuesta a la pregunta A sería que la velocidad vale cinco metros sobre segundo en el instante t igual a cuatro segundos. Es decir cuatro segundos después de haberse iniciado el movimiento. En la parte B nos preguntan en que momento vale cero la aceleración. Entonces retomamos la función que nos da el problema la función de posición. Tenemos la función de velocidad que encontramos en la parte A. Recordemos que para ello derivamos la posición y vamos a encontrar la función de aceleración y la aceleración se obtiene derivando la velocidad. Es decir que la aceleración viene siendo la segunda derivada de la posición. Entonces también podríamos expresarlo de esta manera. Si la aceleración es la primera derivada de la velocidad o la segunda derivada de la posición. Entonces veamos vamos a derivar la velocidad derivada de tres t al cuadrado nos da seis t menos derivada de nueve t eso nos da nueve y la derivada de menos siete sería cero por ser una constante. La derivada de una constante vale cero. Y entonces nos preguntan en que momento la aceleración vale cero. Entonces simplemente donde está la aceleración escribimos cero e igualamos a la función de aceleración. Y tenemos una ecuación de primer grado muy sencilla de resolver. Pasamos el nueve que está acá restando al lado izquierdo a sumar con el cero. Entonces nos queda que nueve es igual a seis t. Destejando t nos queda entonces igual a nueve dividido entre seis y entonces t. Desordiendo esa división nueve sextos nos da uno punto cinco uno punto cinco segundos. Esta será entonces la respuesta a la pregunta b. Es decir transcurridos uno punto cinco segundos desde que se inicia el movimiento entonces tenemos que la aceleración de la partícula vale cero.
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