MOVIMIENTO PARABÓLICO - Problema 3
#julioprofe explica cómo resolver un problema de Movimiento Parabólico:

Un bateador golpea la pelota a cierta distancia sobre el suelo con una velocidad de 12 m/s a 50° sobre la horizontal; la pelota toca el suelo 2 segundos después. ¿Cuáles son las componentes de la velocidad de la pelota en el instante de tocar el suelo? ¿A qué distancia horizontal llegó la pelota? ¿A qué altura sobre el suelo se bateó?

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 Un bateador golpea la pelota a cierta distancia sobre el suelo, con una velocidad de 12 metros por segundo a 50 grados sobre la horizontal. La pelota toca el suelo dos segundos después. ¿Cuáles son las componentes de la velocidad de la pelota en el instante de tocar el suelo? ¿A qué distancia horizontal llegó la pelota? ¿A qué altura sobre el suelo se bateo? Bien, comenzamos el desarrollo de este problema haciendo un dibujo de la trayectoria que sigue la pelota. Se trata de una trayectoria parabólica o un movimiento parabólico. Este es el punto donde la pelota es pateada. Y eso sucede a una altura H sobre el nivel del suelo. Esta es una de las preguntas del ejercicio, determinar a qué altura sobre el suelo fue bateada la pelota. Este punto que tenemos acá es el instante en que la pelota hace contacto con el suelo. Llamamos el tiempo cero, T igual a cero, el instante en que la pelota es bateada, o sea cuando se inicia el movimiento y transcurridos dos segundos la pelota está en este punto. O sea que llamamos T igual a tiempo de vuelo, T sub V igual a dos segundos, al tiempo que demora la pelota en realizar todo el recorrido. Dibujamos también los vectores velocidad inicial y velocidad final. Según la información que nos da el problema, la velocidad inicial tiene una magnitud de 12 metros por segundo. Es la rapidez con que la pelota es bateada en este punto. Ese vector tiene un ángulo de inclinación con respecto a una línea imaginaria horizontal, que la podemos trazar así como línea punteada, un ángulo de inclinación que llamamos theta y que tiene un valor de 50 grados. Como es un ángulo que se mide por encima de la horizontal, entonces se toma con signo positivo. En caso de que el disparo se haga con un vector por debajo de la horizontal, entonces el ángulo en ese caso es negativo. Como decíamos, el movimiento termina en este punto y este será el vector que representa la velocidad final. Para estudiar de una manera más sencilla el movimiento parabólico es recomendable trazar este sistema de ejes coordenados. Tenemos aquí el eje y, por acá tenemos el origen de coordenadas y acá tenemos el eje x. Este plano cartesiano lo que nos permite es enmarcar la trayectoria de la partícula en el primer cuadrante, de tal manera que siempre manejemos posiciones positivas tanto en x como en y. Vamos a trabajar posiciones siempre en metros. Con este sistema de referencia que hemos elegido, decimos que esta es la abscisa x máxima. Es decir, que la distancia que hay desde cero hasta acá es lo que se conoce como el máximo alcance horizontal de la pelota. Por esa razón esta coordenada sobre el eje x se llama x máxima. Y esta coordenada en el eje y será h, es decir, la altura donde se produce el inicio del movimiento de la pelota. O sea, el punto donde es bateada. Esta es la coordenada h sobre el eje vertical o el eje y. Bien, después de tener ya el dibujo del movimiento parabólico de la pelota con todo el sistema de referencia y los datos que nos da el problema, procedemos a determinar lo que se llaman las ecuaciones cinemáticas para este movimiento parabólico. Comenzamos con la ecuación de posición en y, cuyo modelo dice y es igual a menos un medio de la gravedad por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial por el seno de theta por el tiempo más y sub cero. O sea, la posición inicial en el eje y. Vamos a reemplazar acá entonces los datos que conocemos. Tenemos y es igual a menos un medio por la gravedad que vamos a tomar como 9.8 metros sobre segundo cuadrado. En este problema todas las distancias van a estar expresadas en metros y los tiempos en segundos. Entonces esto es el valor de la gravedad en metros sobre segundo cuadrado. Esto por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial que es 12, la velocidad con la que se batea la pelota. Esto por el seno de theta, recordemos que theta es 50 grados, por el tiempo más la posición inicial en el eje y. Es decir, el valor h, el que corresponde al instante t igual a cero. Entonces aquí h sustituye a y sub cero. Resolviendo estas operaciones tenemos que la ecuación queda convertida así. Y es igual a menos un medio por 9.8 nos da menos 4.9 que queda acompañado de t al cuadrado más 12 por el seno de 50 grados. Esto lo hacemos en la calculadora científica y nos da como resultado 9.19 de soporte más h. Y de esa manera tenemos la primera ecuación, la ecuación cinemática de posición en el eje y. Bien, ahora vamos a obtener la ecuación de velocidad en y. Su modelo dice lo siguiente, la velocidad en y o la componente de la velocidad en el eje y para cualquier instante del movimiento está dado por la expresión menos gravedad por tiempo más velocidad inicial por el seno del ángulo theta, o sea por el ángulo de tiro. Reemplazando los datos nos queda que la velocidad en y es igual a menos 9.8 que es la gravedad por el tiempo más la velocidad inicial que es 12 por el seno de 50 grados. Resolviendo aquí esta operación tendremos la ecuación de velocidad en y igual a menos 9.8t más 9.19 y esta es la segunda ecuación cinemática, la ecuación que nos determina la componente en y de la velocidad para la partícula en cualquier instante. Los estudiantes que ya saben derivar pueden comprobar que la derivada de la posición es la velocidad, en este caso en el eje y. Si ustedes ven la derivada de este polinomio van a obtener esta expresión. Ahora vamos a encontrar la ecuación de posición en x, cuyo modelo dice así, posición en x de la partícula es igual a velocidad inicial por coseno de theta por el tiempo más la posición inicial en x, o sea x sub cero. Reemplazando los valores que conocemos, esto nos queda x igual a velocidad inicial que es 12, o sea 12 metros por segundo, esto por el coseno del ángulo theta que es 50 grados, eso por el tiempo t más la posición inicial en x que vale 0. En el instante en que la pelota es bateada su posición en x vale 0, entonces aquí x sub cero se reemplaza por el número 0. Podemos simplificar esta expresión y nos queda de la siguiente manera, x es igual a 12 por coseno de 50 grados, también la calculadora nos da 7.71 que queda acompañado de la letra t y este número 0 lo podemos omitir. Nos queda entonces así la tercera ecuación cinemática, la que nos indica la posición en x de la partícula en cualquier instante. Como decíamos estas son las tres ecuaciones cinemáticas que describen la posición en x, la posición en y y la componente vertical o componente en y de la velocidad para la partícula en cualquier instante de su recorrido. Sobre la componente en x, es decir v sub x, podemos decir que siempre permanece constante, es un vector que todo el tiempo tiene la misma magnitud y va dirigido hacia la derecha. Esa velocidad en x se determina con la fórmula v sub cero por coseno de theta, entonces su valor será v sub cero que es 12 metros por segundo por el coseno de theta, o sea el coseno de 50 grados. Acceptando esta operación en la calculadora nos da como resultado 7.71 metros sobre segundo, entonces vamos a escribir por acá ese resultado, la componente horizontal de la velocidad de la partícula en cualquier instante es siempre constante y tiene este valor. De esta manera ya tenemos todo listo para iniciar el proceso de encontrar lo que nos pide el enunciado. Hacemos entonces las siguientes consideraciones, decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, es decir dos segundos, o sea aquí tenemos que la posición en y de la pelota es cero porque ella se encuentra en ese momento en el suelo, que corresponde digamos a la altitud cero de acuerdo con este eje vertical. Como tenemos información de y y t entonces utilizamos la primera ecuación, vamos entonces a reemplazar en ella estos valores. Comenzamos con y que vale cero igual a menos 4.9 por el tiempo que vale 2 al cuadrado más 9.19 por el tiempo que vale 2 y esto más h. Resolvemos esas operaciones, nos queda cero igual a menos 4.9 por 2 al cuadrado que es 4, nos da como resultado 19.6 más 9.19 por 2 que nos da 18.38 y eso más h. Tendremos ahora cero igual a menos 19.6 más 18.38 que nos da como resultado menos 1.22 y esto más h. De aquí hacemos el despeje de la incógnita h y obtenemos 1.22 metros, es la altura desde la cual fue bateada la pelota. Entonces ya podemos reemplazar aquí ese valor, vamos a colocar el resultado obtenido, es entonces 1.22 metros la altura sobre el suelo donde fue bateada la pelota. También podemos decir que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es 2 segundos, entonces la posición en X de la pelota es X máxima. Como decíamos se trata del máximo alcance horizontal que logra la pelota. Con esta información que tenemos sobre las letras X y T utilizamos entonces la tercera ecuación. Entonces vamos a reemplazar allí estos datos que tenemos donde está la letra X entra X máxima, el alcance máximo horizontal esto es igual a 7.70 íbano por el valor de T que es 2 segundos. Y resolviendo esta operación obtenemos que X máxima es igual a 15.42 metros. Aquí respondemos otra de las preguntas del problema, tenemos ya el alcance horizontal de la pelota. Vamos entonces a cambiar este dato por el resultado obtenido que es 15.42 metros. Ya sabemos que las posiciones en X se encuentran en metros. Cuando la partícula termina su movimiento, es decir en este instante justo antes de golpear con el suelo tenemos que su velocidad es el vector BF. Y ese vector tiene dos componentes, una vertical y otra horizontal. Aquí tenemos la pelota justo en ese instante, esa componente vertical la vamos a llamar BFy y la componente horizontal la llamamos BFx. Pero como dijimos ahora la velocidad en X, es decir esa componente horizontal de la velocidad es constante durante todo el movimiento parabólico y siempre va a tener este valor. Entonces la componente en X de la velocidad final es simplemente Bx y vale 7.71 metros sobre segundos. En cambio esta componente vertical de la velocidad final si nos toca determinarla. Esa componente esta cambiando durante todo el movimiento de la partícula. En el comienzo la velocidad en Y apunta hacia arriba y empieza a disminuir hasta que es cero en el punto más alto. A medida que empieza la etapa de descenso la componente vertical de la velocidad empieza a hacerse más grande hacia abajo hasta que adquiere este tamaño cuando ya termina el movimiento. Decimos entonces que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es dos segundos entonces la velocidad en Y de la pelota será la componente BFy, es decir la componente vertical de la velocidad final. Con esta información de velocidad en Y y de tiempo entonces debemos utilizar la segunda ecuación cinemática. Entonces vamos a reemplazar allí estos componentes donde tenemos velocidad en Y entra velocidad final en Y. Allí se hace el reemplazo, eso nos queda igual a menos 9.8 por T, o sea menos 9.8 por 2 y esto más 9.19. Resolviendo estas operaciones tenemos velocidad final en Y igual a menos 9.8 por 2 que es menos 19.6 más 9.19 y efectuando ahora esta suma tenemos que la velocidad final en Y es igual a menos 10.41 y esto nos queda con unidades metros por segundo. De esta manera ya tenemos las componentes de la velocidad final de la pelota, es decir de la velocidad que tiene justo antes de golpear con el piso. Esa respuesta se puede escribir de la siguiente manera, el vector velocidad final está compuesto por los vectores, velocidad final en X más velocidad final en Y. Recordemos que esto es una suma vectorial, vamos a reemplazar entonces allí los valores que encontramos. La velocidad final en X dijimos que es la misma componente de X, tiene un valor de 7.71 metros sobre segundo y esta está dirigida en la dirección Y. Recordemos que Y es el vector unitario en la dirección X, entonces de esta manera se representa la componente horizontal de la velocidad final. Ahora esto nos queda más el valor de la velocidad final en Y que es menos 10.41 en metros por segundo y eso nos queda acompañado de J que es el vector unitario en la dirección vertical. Para terminar podemos aplicar aquí la ley de los signos, tenemos más por menos signos vecinos que nos da como resultado menos. Entonces dejamos aquí el signo negativo y colocamos el paréntesis para proteger la magnitud de la componente vertical de la velocidad final. De esta manera hemos respondido a las preguntas de este problema, tenemos aquí las componentes de la velocidad final de la pelota, componente horizontal y componente vertical. Sabemos a qué altura fue bateada la pelota, 1.22 metros y también sabemos cuál fue su alcance horizontal, 15.42 metros.
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y tiene este valor."}, {"start": 665.0, "end": 674.0, "text": " De esta manera ya tenemos todo listo para iniciar el proceso de encontrar lo que nos pide el enunciado."}, {"start": 674.0, "end": 687.0, "text": " Hacemos entonces las siguientes consideraciones, decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, es decir dos segundos,"}, {"start": 687.0, "end": 697.0, "text": " o sea aqu\u00ed tenemos que la posici\u00f3n en y de la pelota es cero porque ella se encuentra en ese momento en el suelo,"}, {"start": 697.0, "end": 704.0, "text": " que corresponde digamos a la altitud cero de acuerdo con este eje vertical."}, {"start": 704.0, "end": 715.0, "text": " Como tenemos informaci\u00f3n de y y t entonces utilizamos la primera ecuaci\u00f3n, vamos entonces a reemplazar en ella estos valores."}, {"start": 715.0, "end": 743.0, "text": " Comenzamos con y que vale cero igual a menos 4.9 por el tiempo que vale 2 al cuadrado m\u00e1s 9.19 por el tiempo que vale 2 y esto m\u00e1s h."}, {"start": 743.0, "end": 765.0, "text": " Resolvemos esas operaciones, nos queda cero igual a menos 4.9 por 2 al cuadrado que es 4, nos da como resultado 19.6 m\u00e1s 9.19 por 2 que nos da 18.38 y eso m\u00e1s h."}, {"start": 765.0, "end": 779.0, "text": " Tendremos ahora cero igual a menos 19.6 m\u00e1s 18.38 que nos da como resultado menos 1.22 y esto m\u00e1s h."}, {"start": 779.0, "end": 794.0, "text": " De aqu\u00ed hacemos el despeje de la inc\u00f3gnita h y obtenemos 1.22 metros, es la altura desde la cual fue bateada la pelota."}, {"start": 794.0, "end": 813.0, "text": " Entonces ya podemos reemplazar aqu\u00ed ese valor, vamos a colocar el resultado obtenido, es entonces 1.22 metros la altura sobre el suelo donde fue bateada la pelota."}, {"start": 813.0, "end": 833.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos decir que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es 2 segundos, entonces la posici\u00f3n en X de la pelota es X m\u00e1xima."}, {"start": 833.0, "end": 841.0, "text": " Como dec\u00edamos se trata del m\u00e1ximo alcance horizontal que logra la pelota."}, {"start": 841.0, "end": 850.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n que tenemos sobre las letras X y T utilizamos entonces la tercera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 850.0, "end": 872.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar all\u00ed estos datos que tenemos donde est\u00e1 la letra X entra X m\u00e1xima, el alcance m\u00e1ximo horizontal esto es igual a 7.70 \u00edbano por el valor de T que es 2 segundos."}, {"start": 872.0, "end": 884.0, "text": " Y resolviendo esta operaci\u00f3n obtenemos que X m\u00e1xima es igual a 15.42 metros."}, {"start": 884.0, "end": 893.0, "text": " Aqu\u00ed respondemos otra de las preguntas del problema, tenemos ya el alcance horizontal de la pelota."}, {"start": 893.0, "end": 905.0, "text": " Vamos entonces a cambiar este dato por el resultado obtenido que es 15.42 metros."}, {"start": 905.0, "end": 911.0, "text": " Ya sabemos que las posiciones en X se encuentran en metros."}, {"start": 911.0, "end": 923.0, "text": " Cuando la part\u00edcula termina su movimiento, es decir en este instante justo antes de golpear con el suelo tenemos que su velocidad es el vector BF."}, {"start": 923.0, "end": 930.0, "text": " Y ese vector tiene dos componentes, una vertical y otra horizontal."}, {"start": 930.0, "end": 942.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la pelota justo en ese instante, esa componente vertical la vamos a llamar BFy y la componente horizontal la llamamos BFx."}, {"start": 942.0, "end": 956.0, "text": " Pero como dijimos ahora la velocidad en X, es decir esa componente horizontal de la velocidad es constante durante todo el movimiento parab\u00f3lico y siempre va a tener este valor."}, {"start": 956.0, "end": 967.0, "text": " Entonces la componente en X de la velocidad final es simplemente Bx y vale 7.71 metros sobre segundos."}, {"start": 967.0, "end": 974.0, "text": " En cambio esta componente vertical de la velocidad final si nos toca determinarla."}, {"start": 974.0, "end": 980.0, "text": " Esa componente esta cambiando durante todo el movimiento de la part\u00edcula."}, {"start": 980.0, "end": 989.0, "text": " En el comienzo la velocidad en Y apunta hacia arriba y empieza a disminuir hasta que es cero en el punto m\u00e1s alto."}, {"start": 989.0, "end": 1003.0, "text": " A medida que empieza la etapa de descenso la componente vertical de la velocidad empieza a hacerse m\u00e1s grande hacia abajo hasta que adquiere este tama\u00f1o cuando ya termina el movimiento."}, {"start": 1003.0, "end": 1026.0, "text": " Decimos entonces que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es dos segundos entonces la velocidad en Y de la pelota ser\u00e1 la componente BFy, es decir la componente vertical de la velocidad final."}, {"start": 1026.0, "end": 1036.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n de velocidad en Y y de tiempo entonces debemos utilizar la segunda ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica."}, {"start": 1036.0, "end": 1045.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar all\u00ed estos componentes donde tenemos velocidad en Y entra velocidad final en Y."}, {"start": 1045.0, "end": 1060.0, "text": " All\u00ed se hace el reemplazo, eso nos queda igual a menos 9.8 por T, o sea menos 9.8 por 2 y esto m\u00e1s 9.19."}, {"start": 1060.0, "end": 1089.0, "text": " Resolviendo estas operaciones tenemos velocidad final en Y igual a menos 9.8 por 2 que es menos 19.6 m\u00e1s 9.19 y efectuando ahora esta suma tenemos que la velocidad final en Y es igual a menos 10.41 y esto nos queda con unidades metros por segundo."}, {"start": 1089.0, "end": 1101.0, "text": " De esta manera ya tenemos las componentes de la velocidad final de la pelota, es decir de la velocidad que tiene justo antes de golpear con el piso."}, {"start": 1101.0, "end": 1115.0, "text": " Esa respuesta se puede escribir de la siguiente manera, el vector velocidad final est\u00e1 compuesto por los vectores, velocidad final en X m\u00e1s velocidad final en Y."}, {"start": 1115.0, "end": 1123.0, "text": " Recordemos que esto es una suma vectorial, vamos a reemplazar entonces all\u00ed los valores que encontramos."}, {"start": 1123.0, "end": 1138.0, "text": " La velocidad final en X dijimos que es la misma componente de X, tiene un valor de 7.71 metros sobre segundo y esta est\u00e1 dirigida en la direcci\u00f3n Y."}, {"start": 1138.0, "end": 1150.0, "text": " Recordemos que Y es el vector unitario en la direcci\u00f3n X, entonces de esta manera se representa la componente horizontal de la velocidad final."}, {"start": 1150.0, "end": 1172.0, "text": " Ahora esto nos queda m\u00e1s el valor de la velocidad final en Y que es menos 10.41 en metros por segundo y eso nos queda acompa\u00f1ado de J que es el vector unitario en la direcci\u00f3n vertical."}, {"start": 1172.0, "end": 1182.0, "text": " Para terminar podemos aplicar aqu\u00ed la ley de los signos, tenemos m\u00e1s por menos signos vecinos que nos da como resultado menos."}, {"start": 1182.0, "end": 1194.0, "text": " Entonces dejamos aqu\u00ed el signo negativo y colocamos el par\u00e9ntesis para proteger la magnitud de la componente vertical de la velocidad final."}, {"start": 1194.0, "end": 1208.0, "text": " De esta manera hemos respondido a las preguntas de este problema, tenemos aqu\u00ed las componentes de la velocidad final de la pelota, componente horizontal y componente vertical."}, {"start": 1208.0, "end": 1224.0, "text": " Sabemos a qu\u00e9 altura fue bateada la pelota, 1.22 metros y tambi\u00e9n sabemos cu\u00e1l fue su alcance horizontal, 15.42 metros."}]