DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo obtener las derivadas parciales de una función exponencial de dos variables.

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 Para esta función exponencial de dos variables vamos a determinar las primeras derivadas parciales. Primero con respecto a x y después con respecto a y. Comenzamos con la derivada parcial de la función con respecto a x, lo que también puede escribirse como fx. Tenemos una función exponencial cuya base es el número e. Entonces recordemos que para e elevado a una expresión que vamos a denotar con una manzanita, su derivada es la misma expresión e elevado a la manzanita por la derivada de la expresión que hay en el exponente, o sea, por la derivada de la manzanita. Este es el modelo para derivar una función exponencial como la que tenemos en este caso cuya base es el número de Euler. Entonces siguiendo este modelo vamos a encontrar la derivada parcial con respecto a x. Derivada de todo esto será la misma expresión que era la x al cuadrado más 4y menos y al cuadrado y esto multiplicado por la derivada de lo que tenemos en el exponente, pero se trata de una derivada parcial con respecto a x, o sea que la otra letra, o sea la y, se comporta como si fuera una constante. Veamos entonces, derivada de x al cuadrado es 2x, derivada del término más 4y será 0 y derivada del tercer término menos y al cuadrado también será 0. Nos queda entonces 2x como la derivada parcial con respecto a x de lo que hay en el exponente del número E. Finalmente podemos organizar esta expresión. 2x puede ir al comienzo multiplicando a la expresión exponencial, e a la x al cuadrado más 4y menos y al cuadrado. Aquí tenemos entonces la respuesta a la primera pregunta, es la derivada parcial de la función con respecto a x. Ahora vamos a obtener la derivada parcial de la función con respecto a y, lo que puede escribirse también como f y. Seguimos el mismo modelo, derivada de todo esto será la misma expresión e a la x al cuadrado más 4y menos y al cuadrado y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea la derivada de la expresión que hay en el exponente. Pero es una derivada parcial con respecto a y, o sea que esta vez la x se comporta como una constante. Derivada de x al cuadrado será 0 porque es un término constante, derivada de 4y será 4 y derivada de menos y al cuadrado será menos 2y. Allí tenemos entonces la derivada de lo que hay en el exponente. Vamos a organizar la expresión, escribimos esto, 4 menos 2y y eso multiplicado por la expresión exponencial, e a la x al cuadrado más 4y menos y al cuadrado. Y de esta manera obtenemos la otra respuesta, esta es la derivada parcial de la función con respecto a la variable y.
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