ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 10
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial.

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 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación exponencial llamada así porque la incógnita X está localizada en los exponentes de esas potencias. Debemos encontrar cuánto vale X para que esta igualdad sea cierta. Comenzamos por pasar este número que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces esto nos queda 5 a la X menos 5 a la menos X igual a 2 por 3 que nos da 6. Es equivalente a multiplicar ambos lados de la igualdad por 2. Y aquí vamos a cambiar esta potencia aplicando esta propiedad de la potenciación. Recordemos que si tenemos a a la menos n eso es igual a 1 sobre a a la n, la propiedad del exponente negativo. Entonces nos queda 5 a la X menos 1 sobre 5 a la X. Repetimos aplicando esta propiedad y todo esto igualado con 6. Ahora vamos a colocarle a esto denominador 1 para resolver esa resta de fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador. Entonces nos quedará de la siguiente manera. Vamos a utilizar el truco o la técnica de la carita feliz. Acá en el numerador tenemos esto por esto que nos quedaría 5 a la X, todo esto al cuadrado menos esto por esto que nos da 1 y acá en el denominador 1 por 5 a la X que nos da 5 a la X. Entonces si repetimos hemos hecho esto que es el truco o la técnica de la carita feliz para resolver la resta de dos fracciones con distinto denominador y todo esto queda igualado con 6. Ahora esto que está dividiendo vamos a pasarlo al otro lado a multiplicar. Nos queda 5 a la X, todo esto elevado al cuadrado menos 1 igual a 6 que multiplica con la potencia 5 a la X. Es lo mismo que multiplicar ambos lados de esa igualdad por esta cantidad, por 5 a la X y allí vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable. Vamos a cambiar 5 a la X por otra letra, vamos a utilizar por ejemplo H. Entonces reescribimos esa expresión, nos quedaría H al cuadrado menos 1 igual a 6 por H, es decir 6H. Repetimos utilizando el cambio de variable. De esta manera llegamos a una ecuación que es de tipo cuadrática o de segundo grado, vamos a organizarla. Entonces a este lado dejamos H al cuadrado menos 1 y pasamos este término al lado izquierdo, llega con signo negativo, menos 6H y todo esto queda igualado a 0. Acomodamos la ecuación en forma descendente H al cuadrado menos 6H menos 1, todo esto igual a 0 para que corresponda al modelo de una ecuación cuadrática. Recordemos que es AX al cuadrado más BX más C igual a 0. En este caso vemos que X es la incógnita en el modelo de una ecuación cuadrática o de segundo grado. Acá está representada por H, entonces vamos a colocar esto por acá. Vemos que A es igual a 1, el coeficiente del primer término, B es menos 6, el coeficiente del segundo término y C es menos 1, es el término independiente. Entonces vamos a resolver esa ecuación cuadrática por el camino de la fórmula cuadrática o fórmula general, porque si lo intentamos por factorización vemos que este trinomio no permite ser factorizado. Entonces vamos a recordar la fórmula cuadrática, AX la tenemos y entonces en ella vamos a reemplazar estas cantidades, X está representada por H, tenemos menos B, abrimos un paréntesis, B se reemplaza por menos 6, más o menos la raíz cuadrada de B al cuadrado, es decir, menos 6 al cuadrado, menos 4 por A por C, o sea 4 por el valor de A que es 1, por el valor de C que es menos 1. Y todo eso sobre 2A, es decir, 2 por 1. Vamos a resolver esas operaciones, tenemos H igual a lo siguiente, menos menos 6, se vuelve 6 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 6 al cuadrado que es 36, aquí tenemos menos 4 por 1, da menos 4, por menos 1 es más 4, y todo eso sobre 2 por 1 que nos da 2. Continuamos resolviendo, H es igual a 6, más o menos la raíz cuadrada de 36 más 4 que nos da 40, y todo eso sobre 2. Ahora vamos a simplificar la raíz cuadrada de 40, vamos a realizar ese proceso por acá, 40 podemos expresarlo como 4 por 10, y allí podemos repartir la raíz porque tenemos multiplicación en el radicando, es decir, dentro de ella, raíz de 4 por raíz de 10. Hacemos esto porque la raíz cuadrada de 4 es exacta, nos da 2, en cambio la raíz cuadrada de 10 es inexacta, se deja expresada como raíz de 10. Entonces volvemos acá, nos queda H igual a 6, más o menos raíz de 40 que se cambia por 2 raíz de 10, y todo eso sobre 2. Aquí podemos repartir este denominador para cada uno de los dos términos que hay en el numerador, entonces nos queda H igual a 6 medios, más o menos 2 raíz de 10 y eso sobre 2, eso lo hacemos con el objetivo de simplificar esas dos fracciones, tendremos entonces H igual a 6 medios que equivale a 3, más o menos, aquí cancelamos estos números, simplificamos dividiendo por 2 arriba y abajo y nos queda la raíz cuadrada de 10. Cuando ya hemos encontrado los dos valores de H que satisfacen la ecuación cuadrática a la que habíamos llegado, entonces deshacemos el cambio de variable, recordemos que H equivale a 5 a la X, entonces nos queda 5 a la X igual a 3, más o menos la raíz cuadrada de 10, y de allí vamos a encontrar X. Para ello tomamos logaritmo a ambos lados, puede ser logaritmo en base 10, es decir, logaritmo pulgar o de Briggs, o logaritmo en base E, o sea, logaritmo natural, vamos a tomar logaritmo base 10, entonces nos queda logaritmo de 5 a la X, recordemos que el 10 es invisible, y acá logaritmo de la expresión 3, más o menos, la raíz cuadrada de 10. Aquí en el lado izquierdo aplicamos una propiedad de los logaritmos, y es aquella que nos dice que el logaritmo aplicado a una potencia nos permite bajar ese exponente a multiplicar, entonces X por logaritmo en base 10 de 5 es igual a logaritmo en base 10 de esta expresión numérica, 3 más o menos la raíz cuadrada de 10. De allí hacemos el espeje de X, toda esta cantidad que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, o es como dividir ambos lados de esta igualdad por logaritmo en base 10 de 5, nos queda entonces logaritmo en base 10 de 3 más o menos la raíz cuadrada de 10, y todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5. Allí entramos a revisar estas dos posibilidades, entonces veamos, una primera posibilidad será X igual a logaritmo en base 10 de 3 menos la raíz cuadrada de 10, y todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5. La segunda posibilidad será todo eso mismo, pero aquí con signo más, entonces logaritmo en base 10 de 3 más la raíz cuadrada de 10, todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5. Si efectuamos esta operación en calculadora, veremos que nos da un resultado negativo, por lo tanto este logaritmo no existe, recordemos que los logaritmos solamente están definidos para cantidades positivas, entonces concluimos que la primera solución no existe, decimos que es conjunto vacío. Nos concentramos ahora acá, esta suma si nos da un resultado positivo, por lo tanto este logaritmo existe, lógicamente ese también, entonces toda esta expresión numérica será la solución para esa ecuación, decimos que esto es el valor para X. Si efectuamos todo esto en calculadora nos da aproximadamente 1.13, de esta manera terminamos este ejercicio, todo esto es la solución de esa ecuación que es de tipo exponencial, es el valor de X que satisface esa igualdad.
[{"start": 0.0, "end": 9.5, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n exponencial llamada as\u00ed porque la inc\u00f3gnita"}, {"start": 9.5, "end": 14.280000000000001, "text": " X est\u00e1 localizada en los exponentes de esas potencias."}, {"start": 14.280000000000001, "end": 20.2, "text": " Debemos encontrar cu\u00e1nto vale X para que esta igualdad sea cierta."}, {"start": 20.2, "end": 25.52, "text": " Comenzamos por pasar este n\u00famero que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 25.52, "end": 34.28, "text": " Entonces esto nos queda 5 a la X menos 5 a la menos X igual a 2 por 3 que nos da 6."}, {"start": 34.28, "end": 39.0, "text": " Es equivalente a multiplicar ambos lados de la igualdad por 2."}, {"start": 39.0, "end": 43.96, "text": " Y aqu\u00ed vamos a cambiar esta potencia aplicando esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 43.96, "end": 50.519999999999996, "text": " Recordemos que si tenemos a a la menos n eso es igual a 1 sobre a a la n, la propiedad"}, {"start": 50.519999999999996, "end": 52.56, "text": " del exponente negativo."}, {"start": 52.56, "end": 60.32, "text": " Entonces nos queda 5 a la X menos 1 sobre 5 a la X."}, {"start": 60.32, "end": 66.08, "text": " Repetimos aplicando esta propiedad y todo esto igualado con 6."}, {"start": 66.08, "end": 73.68, "text": " Ahora vamos a colocarle a esto denominador 1 para resolver esa resta de fracciones heterog\u00e9neas,"}, {"start": 73.68, "end": 76.32000000000001, "text": " fracciones con distinto denominador."}, {"start": 76.32000000000001, "end": 79.64, "text": " Entonces nos quedar\u00e1 de la siguiente manera."}, {"start": 79.64, "end": 83.28, "text": " Vamos a utilizar el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 83.28, "end": 91.12, "text": " Ac\u00e1 en el numerador tenemos esto por esto que nos quedar\u00eda 5 a la X, todo esto al cuadrado"}, {"start": 91.12, "end": 98.4, "text": " menos esto por esto que nos da 1 y ac\u00e1 en el denominador 1 por 5 a la X que nos da 5"}, {"start": 98.4, "end": 99.4, "text": " a la X."}, {"start": 99.4, "end": 105.88, "text": " Entonces si repetimos hemos hecho esto que es el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz"}, {"start": 105.88, "end": 112.32, "text": " para resolver la resta de dos fracciones con distinto denominador y todo esto queda igualado"}, {"start": 112.32, "end": 114.03999999999999, "text": " con 6."}, {"start": 114.03999999999999, "end": 119.36, "text": " Ahora esto que est\u00e1 dividiendo vamos a pasarlo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 119.36, "end": 129.88, "text": " Nos queda 5 a la X, todo esto elevado al cuadrado menos 1 igual a 6 que multiplica con la potencia"}, {"start": 129.88, "end": 131.28, "text": " 5 a la X."}, {"start": 131.28, "end": 137.32, "text": " Es lo mismo que multiplicar ambos lados de esa igualdad por esta cantidad, por 5 a la"}, {"start": 137.32, "end": 143.68, "text": " X y all\u00ed vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable."}, {"start": 143.68, "end": 150.68, "text": " Vamos a cambiar 5 a la X por otra letra, vamos a utilizar por ejemplo H."}, {"start": 150.68, "end": 159.24, "text": " Entonces reescribimos esa expresi\u00f3n, nos quedar\u00eda H al cuadrado menos 1 igual a 6"}, {"start": 159.24, "end": 162.52, "text": " por H, es decir 6H."}, {"start": 162.52, "end": 165.76000000000002, "text": " Repetimos utilizando el cambio de variable."}, {"start": 165.76000000000002, "end": 171.48000000000002, "text": " De esta manera llegamos a una ecuaci\u00f3n que es de tipo cuadr\u00e1tica o de segundo grado,"}, {"start": 171.48000000000002, "end": 173.08, "text": " vamos a organizarla."}, {"start": 173.08, "end": 179.4, "text": " Entonces a este lado dejamos H al cuadrado menos 1 y pasamos este t\u00e9rmino al lado izquierdo,"}, {"start": 179.4, "end": 184.48000000000002, "text": " llega con signo negativo, menos 6H y todo esto queda igualado a 0."}, {"start": 184.48, "end": 193.23999999999998, "text": " Acomodamos la ecuaci\u00f3n en forma descendente H al cuadrado menos 6H menos 1, todo esto"}, {"start": 193.23999999999998, "end": 200.0, "text": " igual a 0 para que corresponda al modelo de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 200.0, "end": 207.12, "text": " Recordemos que es AX al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 207.12, "end": 212.44, "text": " En este caso vemos que X es la inc\u00f3gnita en el modelo de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 212.44, "end": 213.79999999999998, "text": " o de segundo grado."}, {"start": 213.8, "end": 219.84, "text": " Ac\u00e1 est\u00e1 representada por H, entonces vamos a colocar esto por ac\u00e1."}, {"start": 219.84, "end": 228.08, "text": " Vemos que A es igual a 1, el coeficiente del primer t\u00e9rmino, B es menos 6, el coeficiente"}, {"start": 228.08, "end": 234.16000000000003, "text": " del segundo t\u00e9rmino y C es menos 1, es el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 234.16000000000003, "end": 239.36, "text": " Entonces vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica por el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o"}, {"start": 239.36, "end": 245.16000000000003, "text": " f\u00f3rmula general, porque si lo intentamos por factorizaci\u00f3n vemos que este trinomio"}, {"start": 245.16000000000003, "end": 247.56, "text": " no permite ser factorizado."}, {"start": 247.56, "end": 254.20000000000002, "text": " Entonces vamos a recordar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica, AX la tenemos y entonces en ella vamos a"}, {"start": 254.20000000000002, "end": 262.8, "text": " reemplazar estas cantidades, X est\u00e1 representada por H, tenemos menos B, abrimos un par\u00e9ntesis,"}, {"start": 262.8, "end": 269.44, "text": " B se reemplaza por menos 6, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de B al cuadrado, es decir,"}, {"start": 269.44, "end": 276.76, "text": " menos 6 al cuadrado, menos 4 por A por C, o sea 4 por el valor de A que es 1, por el"}, {"start": 276.76, "end": 280.08000000000004, "text": " valor de C que es menos 1."}, {"start": 280.08000000000004, "end": 285.28000000000003, "text": " Y todo eso sobre 2A, es decir, 2 por 1."}, {"start": 285.28000000000003, "end": 291.88, "text": " Vamos a resolver esas operaciones, tenemos H igual a lo siguiente, menos menos 6, se"}, {"start": 291.88, "end": 299.52, "text": " vuelve 6 positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 6 al cuadrado que es 36, aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 299.52, "end": 307.52, "text": " menos 4 por 1, da menos 4, por menos 1 es m\u00e1s 4, y todo eso sobre 2 por 1 que nos da"}, {"start": 307.52, "end": 309.4, "text": " 2."}, {"start": 309.4, "end": 316.76, "text": " Continuamos resolviendo, H es igual a 6, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 36 m\u00e1s 4 que"}, {"start": 316.76, "end": 321.32, "text": " nos da 40, y todo eso sobre 2."}, {"start": 321.32, "end": 327.52, "text": " Ahora vamos a simplificar la ra\u00edz cuadrada de 40, vamos a realizar ese proceso por ac\u00e1,"}, {"start": 327.52, "end": 337.08, "text": " 40 podemos expresarlo como 4 por 10, y all\u00ed podemos repartir la ra\u00edz porque tenemos multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 337.08, "end": 342.76, "text": " en el radicando, es decir, dentro de ella, ra\u00edz de 4 por ra\u00edz de 10."}, {"start": 342.76, "end": 348.64, "text": " Hacemos esto porque la ra\u00edz cuadrada de 4 es exacta, nos da 2, en cambio la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 348.64, "end": 354.08, "text": " de 10 es inexacta, se deja expresada como ra\u00edz de 10."}, {"start": 354.08, "end": 360.88, "text": " Entonces volvemos ac\u00e1, nos queda H igual a 6, m\u00e1s o menos ra\u00edz de 40 que se cambia"}, {"start": 360.88, "end": 366.76, "text": " por 2 ra\u00edz de 10, y todo eso sobre 2."}, {"start": 366.76, "end": 372.08, "text": " Aqu\u00ed podemos repartir este denominador para cada uno de los dos t\u00e9rminos que hay en el"}, {"start": 372.08, "end": 381.8, "text": " numerador, entonces nos queda H igual a 6 medios, m\u00e1s o menos 2 ra\u00edz de 10 y eso sobre"}, {"start": 381.8, "end": 390.4, "text": " 2, eso lo hacemos con el objetivo de simplificar esas dos fracciones, tendremos entonces H"}, {"start": 390.4, "end": 396.76, "text": " igual a 6 medios que equivale a 3, m\u00e1s o menos, aqu\u00ed cancelamos estos n\u00fameros, simplificamos"}, {"start": 396.76, "end": 402.52, "text": " dividiendo por 2 arriba y abajo y nos queda la ra\u00edz cuadrada de 10."}, {"start": 402.52, "end": 407.2, "text": " Cuando ya hemos encontrado los dos valores de H que satisfacen la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 407.2, "end": 413.59999999999997, "text": " a la que hab\u00edamos llegado, entonces deshacemos el cambio de variable, recordemos que H equivale"}, {"start": 413.59999999999997, "end": 420.68, "text": " a 5 a la X, entonces nos queda 5 a la X igual a 3, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 10,"}, {"start": 420.68, "end": 423.59999999999997, "text": " y de all\u00ed vamos a encontrar X."}, {"start": 423.6, "end": 429.56, "text": " Para ello tomamos logaritmo a ambos lados, puede ser logaritmo en base 10, es decir,"}, {"start": 429.56, "end": 434.76000000000005, "text": " logaritmo pulgar o de Briggs, o logaritmo en base E, o sea, logaritmo natural, vamos"}, {"start": 434.76000000000005, "end": 441.28000000000003, "text": " a tomar logaritmo base 10, entonces nos queda logaritmo de 5 a la X, recordemos que el 10"}, {"start": 441.28000000000003, "end": 450.68, "text": " es invisible, y ac\u00e1 logaritmo de la expresi\u00f3n 3, m\u00e1s o menos, la ra\u00edz cuadrada de 10."}, {"start": 450.68, "end": 455.32, "text": " Aqu\u00ed en el lado izquierdo aplicamos una propiedad de los logaritmos, y es aquella que nos dice"}, {"start": 455.32, "end": 461.64, "text": " que el logaritmo aplicado a una potencia nos permite bajar ese exponente a multiplicar,"}, {"start": 461.64, "end": 469.08, "text": " entonces X por logaritmo en base 10 de 5 es igual a logaritmo en base 10 de esta expresi\u00f3n"}, {"start": 469.08, "end": 474.6, "text": " num\u00e9rica, 3 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 10."}, {"start": 474.6, "end": 480.4, "text": " De all\u00ed hacemos el espeje de X, toda esta cantidad que est\u00e1 multiplicando pasa al otro"}, {"start": 480.4, "end": 487.32, "text": " lado a dividir, o es como dividir ambos lados de esta igualdad por logaritmo en base 10"}, {"start": 487.32, "end": 493.03999999999996, "text": " de 5, nos queda entonces logaritmo en base 10 de 3 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 493.03999999999996, "end": 499.08, "text": " 10, y todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5."}, {"start": 499.08, "end": 505.85999999999996, "text": " All\u00ed entramos a revisar estas dos posibilidades, entonces veamos, una primera posibilidad ser\u00e1"}, {"start": 505.86, "end": 515.96, "text": " X igual a logaritmo en base 10 de 3 menos la ra\u00edz cuadrada de 10, y todo esto sobre"}, {"start": 515.96, "end": 519.28, "text": " logaritmo en base 10 de 5."}, {"start": 519.28, "end": 526.8000000000001, "text": " La segunda posibilidad ser\u00e1 todo eso mismo, pero aqu\u00ed con signo m\u00e1s, entonces logaritmo"}, {"start": 526.8, "end": 536.3, "text": " en base 10 de 3 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 10, todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5."}, {"start": 536.3, "end": 541.8, "text": " Si efectuamos esta operaci\u00f3n en calculadora, veremos que nos da un resultado negativo,"}, {"start": 541.8, "end": 547.4799999999999, "text": " por lo tanto este logaritmo no existe, recordemos que los logaritmos solamente est\u00e1n definidos"}, {"start": 547.4799999999999, "end": 555.02, "text": " para cantidades positivas, entonces concluimos que la primera soluci\u00f3n no existe, decimos"}, {"start": 555.02, "end": 557.16, "text": " que es conjunto vac\u00edo."}, {"start": 557.16, "end": 562.4399999999999, "text": " Nos concentramos ahora ac\u00e1, esta suma si nos da un resultado positivo, por lo tanto"}, {"start": 562.4399999999999, "end": 568.66, "text": " este logaritmo existe, l\u00f3gicamente ese tambi\u00e9n, entonces toda esta expresi\u00f3n num\u00e9rica ser\u00e1"}, {"start": 568.66, "end": 573.96, "text": " la soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n, decimos que esto es el valor para X."}, {"start": 573.96, "end": 581.26, "text": " Si efectuamos todo esto en calculadora nos da aproximadamente 1.13, de esta manera terminamos"}, {"start": 581.26, "end": 590.36, "text": " este ejercicio, todo esto es la soluci\u00f3n de esa ecuaci\u00f3n que es de tipo exponencial,"}, {"start": 590.36, "end": 618.28, "text": " es el valor de X que satisface esa igualdad."}]