PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
#julioprofe explica cómo efectuar el Producto Cruz o Producto Vectorial entre dos vectores.

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 Dados los vectores m y n, que son vectores en el espacio o en R3, vamos a determinar el producto cruz o también conocido como producto vectorial entre ellos. Para determinar el producto cruz o producto vectorial entre dos vectores dados, construimos un determinante de 3x3 de la siguiente manera. En la primera fila escribimos los vectores unitarios i, j, k. En la segunda fila vamos con las componentes del primer vector, en este caso las componentes de m, que son menos 3, menos 2 y 5, siempre en el orden i, j, k. Y en la tercera fila escribimos las componentes del segundo vector, es decir, de n, que son 6, menos 10 y menos 1. Con los datos que quedaron en este determinante de 3x3, vamos a conformar tres determinantes de 2x2. Uno para el vector unitario i, otro para el vector unitario j y el otro para el vector unitario k. Los signos que van a llevar estos componentes son los siguientes, arrancamos siempre con signo positivo, después tenemos signo negativo y luego signo positivo. Siempre serán signos intercalados, más, menos y más. Para conformar el primer determinante, tapamos en este de 3x3 la fila y la columna que contienen la i. Nos queda entonces al descubierto, menos 2, 5, menos 10 y menos 1. Allí tenemos el primer determinante de 2x2. Vamos ahora con el determinante que corresponde a j. Entonces tapamos la fila y la columna que contienen esta letra. Nos queda al descubierto, menos 3, 5 y 6, menos 1. Allí tenemos el determinante de 2x2 correspondiente a j. Y por último conformamos el determinante que corresponde a k. Tapamos la fila y la columna que contienen esa letra. Nos queda al descubierto, menos 3, menos 2 y 6, menos 10. Enseguida procedemos a resolver cada uno de estos determinantes de 2x2. Tenemos entonces que m x n es igual a lo siguiente. Vamos a proteger esas operaciones utilizando corchete. Para el primer determinante multiplicamos los elementos de la diagonal principal que son menos 2 y menos 1. Y a eso le vamos a restar la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. Es decir, 5x-10. Allí protegemos esto, como decíamos, con corchete y eso corresponde a la componente y. Menos, vamos a la siguiente operación. Vamos al segundo determinante. Comenzamos con la diagonal principal, menos 3x-1. Aquí tenemos esa operación, menos la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. 5x6. Cerramos corchete y esto corresponde a la componente y. Vamos ahora con el tercer determinante que está precedido de signo más. Abrimos corchete. Vamos con la multiplicación de los elementos de la diagonal principal. Menos 3x-10 y esto menos la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria que son menos 2 y 6. Cerramos corchete y esto es lo que corresponde a la componente k. Bien, ahora resolvemos las operaciones que tenemos dentro de cada corchete. Entonces, mxn será igual a lo siguiente. Veamos, menos 2x-1 nos da 2. Menos 5x-10 nos da más 50. Esto corresponde a la componente y. Menos 3x-1 nos da 3 positivo. Menos 5x6 nos da menos 30. Esto corresponde a la componente j. Abrimos corchete, tenemos menos 3x-10 que nos da 30 y aquí tenemos menos con menos más. Entonces, es como si tuviéramos 2 positivo que multiplica con 6 positivo. Eso nos da más 12. Cerramos corchete y acompañamos del vector unitario k. Ahora, resolvemos las operaciones que hay dentro de cada corchete. Por acá tenemos 2 más 50 nos da 52 y ya podemos eliminar el corchete. Por acá tenemos 3 menos 30, esto nos da menos 27 y con este menos nos queda más 27. Acompañado del vector unitario j. Por acá tenemos esta suma que nos da 42 positivo, entonces tendremos más 42k. Y de esta manera llegamos a la respuesta. Este es el nuevo vector que constituye el resultado de esta operación. Es decir, el resultado del producto cruz o producto vectorial entre los vectores m y n que nos dieron inicialmente. También podríamos escribir esto de la siguiente manera. m x n igual a 52, 27, 42. Es otra forma de presentar el vector resultante de esta operación. Deshaciendo la notación de vectores unitarios i, j, k. Cualquiera de estas dos opciones constituye la respuesta a este ejercicio. Geométricamente la situación anterior se puede representar de la siguiente manera. Tenemos el vector m con sus componentes y también tenemos el vector m con sus componentes. Entonces, el vector que resulta de la operación m x n, es decir, el producto vectorial entre los vectores dados. Y que nos dio con componentes 52, 27, 42. Todos vectores en el espacio o en R3 tienen la siguiente característica. Este vector m x n resulta ser perpendicular tanto al vector m como al vector n. Entonces lo podemos representar de esta manera. Aquí forma 90 grados con el vector m y también va a formar 90 grados con el vector n. Es lo que se llama ortogonal a ambos vectores. Aquí también se utiliza la regla de la mano derecha. Si hacemos el producto m x n, quiere decir que de m vamos hacia n. Y entonces utilizamos la mano derecha. Colocamos la mano abierta de tal forma que esta parte coincida con el primer vector. Y cerramos los dedos buscando el segundo vector. Hacia donde apunte el dedo pulgar, tendremos la dirección del vector m x n. De esta manera terminamos este ejercicio.
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238.0, "end": 247.0, "text": " Y a eso le vamos a restar la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal secundaria."}, {"start": 247.0, "end": 251.0, "text": " Es decir, 5x-10."}, {"start": 251.0, "end": 261.0, "text": " All\u00ed protegemos esto, como dec\u00edamos, con corchete y eso corresponde a la componente y."}, {"start": 261.0, "end": 267.0, "text": " Menos, vamos a la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 267.0, "end": 269.0, "text": " Vamos al segundo determinante."}, {"start": 269.0, "end": 277.0, "text": " Comenzamos con la diagonal principal, menos 3x-1."}, {"start": 277.0, "end": 286.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos esa operaci\u00f3n, menos la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal secundaria."}, {"start": 286.0, "end": 289.0, "text": " 5x6."}, {"start": 289.0, "end": 298.0, "text": " Cerramos corchete y esto corresponde a la componente y."}, {"start": 298.0, "end": 307.0, "text": " Vamos ahora con el tercer determinante que est\u00e1 precedido de signo m\u00e1s."}, {"start": 307.0, "end": 309.0, "text": " Abrimos corchete."}, {"start": 309.0, "end": 315.0, "text": " Vamos con la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal principal."}, {"start": 315.0, "end": 330.0, "text": " Menos 3x-10 y esto menos la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal secundaria que son menos 2 y 6."}, {"start": 330.0, "end": 339.0, "text": " Cerramos corchete y esto es lo que corresponde a la componente k."}, {"start": 339.0, "end": 347.0, "text": " Bien, ahora resolvemos las operaciones que tenemos dentro de cada corchete."}, {"start": 347.0, "end": 354.0, "text": " Entonces, mxn ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 354.0, "end": 358.0, "text": " Veamos, menos 2x-1 nos da 2."}, {"start": 358.0, "end": 364.0, "text": " Menos 5x-10 nos da m\u00e1s 50."}, {"start": 364.0, "end": 370.0, "text": " Esto corresponde a la componente y."}, {"start": 370.0, "end": 375.0, "text": " Menos 3x-1 nos da 3 positivo."}, {"start": 375.0, "end": 381.0, "text": " Menos 5x6 nos da menos 30."}, {"start": 381.0, "end": 386.0, "text": " Esto corresponde a la componente j."}, {"start": 386.0, "end": 396.0, "text": " Abrimos corchete, tenemos menos 3x-10 que nos da 30 y aqu\u00ed tenemos menos con menos m\u00e1s."}, {"start": 396.0, "end": 403.0, "text": " Entonces, es como si tuvi\u00e9ramos 2 positivo que multiplica con 6 positivo."}, {"start": 403.0, "end": 406.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 12."}, {"start": 406.0, "end": 414.0, "text": " Cerramos corchete y acompa\u00f1amos del vector unitario k."}, {"start": 414.0, "end": 423.0, "text": " Ahora, resolvemos las operaciones que hay dentro de cada corchete."}, {"start": 423.0, "end": 433.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 2 m\u00e1s 50 nos da 52 y ya podemos eliminar el corchete."}, {"start": 433.0, "end": 443.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 3 menos 30, esto nos da menos 27 y con este menos nos queda m\u00e1s 27."}, {"start": 443.0, "end": 447.0, "text": " Acompa\u00f1ado del vector unitario j."}, {"start": 447.0, "end": 457.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos esta suma que nos da 42 positivo, entonces tendremos m\u00e1s 42k."}, {"start": 457.0, "end": 462.0, "text": " Y de esta manera llegamos a la respuesta."}, {"start": 462.0, "end": 469.0, "text": " Este es el nuevo vector que constituye el resultado de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 469.0, "end": 483.0, "text": " Es decir, el resultado del producto cruz o producto vectorial entre los vectores m y n que nos dieron inicialmente."}, {"start": 483.0, "end": 489.0, "text": " Tambi\u00e9n podr\u00edamos escribir esto de la siguiente manera."}, {"start": 489.0, "end": 502.0, "text": " m x n igual a 52, 27, 42."}, {"start": 502.0, "end": 509.0, "text": " Es otra forma de presentar el vector resultante de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 509.0, "end": 517.0, "text": " Deshaciendo la notaci\u00f3n de vectores unitarios i, j, k."}, {"start": 517.0, "end": 526.0, "text": " Cualquiera de estas dos opciones constituye la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 526.0, "end": 533.0, "text": " Geom\u00e9tricamente la situaci\u00f3n anterior se puede representar de la siguiente manera."}, {"start": 533.0, "end": 544.0, "text": " Tenemos el vector m con sus componentes y tambi\u00e9n tenemos el vector m con sus componentes."}, {"start": 544.0, "end": 557.0, "text": " Entonces, el vector que resulta de la operaci\u00f3n m x n, es decir, el producto vectorial entre los vectores dados."}, {"start": 557.0, "end": 566.0, "text": " Y que nos dio con componentes 52, 27, 42."}, {"start": 566.0, "end": 574.0, "text": " Todos vectores en el espacio o en R3 tienen la siguiente caracter\u00edstica."}, {"start": 574.0, "end": 584.0, "text": " Este vector m x n resulta ser perpendicular tanto al vector m como al vector n."}, {"start": 584.0, "end": 589.0, "text": " Entonces lo podemos representar de esta manera."}, {"start": 589.0, "end": 603.0, "text": " Aqu\u00ed forma 90 grados con el vector m y tambi\u00e9n va a formar 90 grados con el vector n."}, {"start": 603.0, "end": 608.0, "text": " Es lo que se llama ortogonal a ambos vectores."}, {"start": 608.0, "end": 613.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n se utiliza la regla de la mano derecha."}, {"start": 613.0, "end": 621.0, "text": " Si hacemos el producto m x n, quiere decir que de m vamos hacia n."}, {"start": 621.0, "end": 625.0, "text": " Y entonces utilizamos la mano derecha."}, {"start": 625.0, "end": 633.0, "text": " Colocamos la mano abierta de tal forma que esta parte coincida con el primer vector."}, {"start": 633.0, "end": 637.0, "text": " Y cerramos los dedos buscando el segundo vector."}, {"start": 637.0, "end": 646.0, "text": " Hacia donde apunte el dedo pulgar, tendremos la direcci\u00f3n del vector m x n."}, {"start": 646.0, "end": 674.0, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]