INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una integral trigonométrica.

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 Vamos a solucionar esta integral que hace parte de las integrales trigonométricas. Comenzamos por desbaratar la potencia secante a la 4 de x. La vamos a escribir como secante al cuadrado de x por secante al cuadrado de x. Todo eso por tangente al cuadrado de x por el respectivo diferencial de x. A continuación vamos a convertir esta secante cuadrado en una expresión que tenga tangente. Aquí es cuando utilizamos la identidad pitagórica que dice tangente cuadrado de un ángulo theta más 1 es igual a secante al cuadrado de theta. Haciendo uso de esta identidad podemos cambiar secante al cuadrado de x y nos queda de la siguiente manera. Integral de secante al cuadrado que nos queda igual por aquí. Hacemos el cambio. Secante al cuadrado de x viene siendo tangente al cuadrado de x más 1. Todo esto multiplicado por lo demás que permanece intacto. A continuación vamos a realizar propiedad distributiva con tangente cuadrado. Vamos a multiplicar aquí y aquí. Vamos a distribuirlo a este binomio que tenemos encerrado en paréntesis. Nos queda entonces de la siguiente manera. Integral de secante al cuadrado de x por... Veamos, tangente al cuadrado de x por tangente al cuadrado de x nos da tangente al cuadrado de x. Más, tangente al cuadrado de x por 1 nos queda tangente al cuadrado de x. Y todo esto por de x. Como vemos, tenemos una expresión dentro del paréntesis en términos de tangente y por fuera tenemos secante al cuadrado de x. Recordemos que la derivada de la función tangente es secante al cuadrado. Por lo tanto aquí podemos realizar una sustitución o cambio de variable. Vamos a llamar, por ejemplo, con la letra a, a lo que es tangente de x. Y de allí vamos a obtener dx. Hacemos la derivada. Tenemos que derivada de a con respecto a x es igual a la derivada de tangente de x que es secante al cuadrado de x. Y de aquí vamos a despejar dx. dx pasa a multiplicar, secante al cuadrado pasa a dividir. Nos queda entonces que dx es igual a de a sobre secante al cuadrado de x. Y con estas dos expresiones vamos a reconstruir esta integral en términos de la nueva letra que es a. Nos queda entonces de la siguiente manera. Tenemos integral de secante al cuadrado de x. Abrimos paréntesis y la tangente de x se cambia por la letra a. Entonces aquí tenemos a al al cuadrado y por acá tenemos a al cuadrado. Y dx lo cambiamos por esta expresión que obtuvimos que nos queda entonces de a sobre secante al cuadrado de x. Allí podemos simplificar secante al cuadrado con secante al cuadrado y nos va a quedar una integral únicamente en términos de a. Nos queda de la siguiente manera. Sigamos por acá. Tenemos integral de a a la 4 más a al cuadrado y todo esto por de a que es el diferencial. Resolvemos esta integral, ya es una integral directa. Tenemos la integral de una suma. En cada término tenemos una potencia. Entonces integramos cada uno de ellos. La integral de a a la 4 nos da a a la 5 sobre 5 más la integral de a al cuadrado que sería a al cubo sobre 3. Y todo esto más la constante de integración. Finalmente cambiamos a por su equivalente que es tangente de x. Entonces a a la 5 sería tangente de x elevado al exponente 5. Eso nos da tangente a la 5 de x. Y todo esto sobre 5. Más por aquí a, cambiamos nuevamente por tangente, nos queda tangente al cubo de x. Todo esto sobre 3 más la constante de integración. Esta será entonces la respuesta al ejercicio propuesto inicialmente. Decimos entonces que la integral original, integral que se cante la 4 de x por tangente al cuadrado de x, es tangente a la 5 de x sobre 5 más tangente al cubo de x sobre 3 más la constante de integración. Allí terminamos.
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All\u00ed podemos simplificar secante al cuadrado con secante al cuadrado y nos va a quedar una integral \u00fanicamente en t\u00e9rminos de a."}, {"start": 261.0, "end": 265.0, "text": " Nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 265.0, "end": 268.0, "text": " Sigamos por ac\u00e1."}, {"start": 268.0, "end": 281.0, "text": " Tenemos integral de a a la 4 m\u00e1s a al cuadrado y todo esto por de a que es el diferencial."}, {"start": 281.0, "end": 284.0, "text": " Resolvemos esta integral, ya es una integral directa."}, {"start": 284.0, "end": 286.0, "text": " Tenemos la integral de una suma."}, {"start": 286.0, "end": 289.0, "text": " En cada t\u00e9rmino tenemos una potencia."}, {"start": 289.0, "end": 292.0, "text": " Entonces integramos cada uno de ellos."}, {"start": 292.0, "end": 304.0, "text": " La integral de a a la 4 nos da a a la 5 sobre 5 m\u00e1s la integral de a al cuadrado que ser\u00eda a al cubo sobre 3."}, {"start": 304.0, "end": 310.0, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 310.0, "end": 318.0, "text": " Finalmente cambiamos a por su equivalente que es tangente de x."}, {"start": 318.0, "end": 325.0, "text": " Entonces a a la 5 ser\u00eda tangente de x elevado al exponente 5."}, {"start": 325.0, "end": 328.0, "text": " Eso nos da tangente a la 5 de x."}, {"start": 328.0, "end": 332.0, "text": " Y todo esto sobre 5."}, {"start": 332.0, "end": 339.0, "text": " M\u00e1s por aqu\u00ed a, cambiamos nuevamente por tangente, nos queda tangente al cubo de x."}, {"start": 339.0, "end": 345.0, "text": " Todo esto sobre 3 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 345.0, "end": 353.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta al ejercicio propuesto inicialmente."}, {"start": 353.0, "end": 361.0, "text": " Decimos entonces que la integral original, integral que se cante la 4 de x por tangente al cuadrado de x,"}, {"start": 361.0, "end": 377.0, "text": " es tangente a la 5 de x sobre 5 m\u00e1s 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