RAZÓN DE CAMBIO - Problema 3
#julioprofe explica cómo resolver un problema de razón de cambio:

Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0.04 cm/min y 0.01 cm/min respectivamente. ¿A qué razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mide 20 cm y el diámetro 3 cm?

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 Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0.04 cm por minuto y 0.01 cm por minuto respectivamente. ¿A qué razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mide 20 cm y el diámetro 3 cm? Bien, para resolver este problema dibujamos un cilindro que representa la barra metálica. Vemos que tiene longitud L, radio R y diámetro D. Nos dice el problema que cuando esa barra se calienta, su longitud aumenta a razón de 0.04 cm por minuto. Entonces tenemos allí una primera razón de cambio. DLDT es igual a 0.04 cm por minuto. Es positiva porque nos dice el problema que la longitud está aumentando con el paso del tiempo. También nos dice el enunciado que el diámetro está aumentando a razón de 0.01 cm por minuto. Entonces allí tenemos otra razón de cambio. ¿Cómo cambia el diámetro con relación al tiempo? Es 0.01 cm por minuto y también será una razón de cambio positiva porque el diámetro aumenta con el paso del tiempo. La pregunta que nos hace el problema es ¿con qué razón o con qué rapidez aumenta el volumen de esa barra metálica en el instante en que su longitud es de 20 cm y su diámetro es de 3 cm? Enseguida debemos utilizar una expresión matemática que relacione las variables que tenemos en el problema. En este caso vamos a utilizar la fórmula que nos da el volumen del cilindro. Y esa fórmula de la geometría dice que el volumen de un cilindro es igual a pi por el radio al cuadrado y eso multiplicado por su altura. En este caso tenemos lo siguiente. Sabemos que el radio es la mitad del diámetro entonces sustituimos R por de medios, esto está al cuadrado, y la altura del cilindro en este caso corresponde a la longitud L de esa barra metálica. Tenemos entonces una expresión que podemos transformar de la siguiente manera. Tenemos pi por, aquí el exponente 2 afecta al numerador y al denominador. Tendremos d al cuadrado sobre 2 al cuadrado que es 4 y esto multiplicado por L. Este 4 podemos colocarlo como denominador del número pi. Entonces reescribimos la expresión como pi cuartos por d al cuadrado y esto multiplicado por L. De esta manera tenemos ya una expresión matemática que relaciona las magnitudes que cambian en el problema. Tenemos L, la longitud de la barra, d que es su diámetro y b que es su volumen. Ahora lo que tenemos que hacer es derivar ambos lados de esta expresión con respecto al tiempo. Entonces vamos al lado izquierdo. La derivada de b con respecto al tiempo se deja expresada como de v dt. Pasamos al lado derecho donde pi cuartos es una constante que está multiplicando, por lo tanto se puede dejar allí quieta y procedemos a derivar esto que contiene las variables diámetro y longitud. Tenemos allí un producto, entonces vamos a derivar utilizando precisamente la regla del producto. Comenzamos con la derivada del primer componente, derivada de d al cuadrado será 2d y esto multiplicado por la derivada interna que será la derivada del diámetro con respecto al tiempo y esto se multiplica por el segundo componente sin derivar que es L. A esto tenemos que sumarle el primer componente sin derivar y eso multiplicado por la derivada del segundo componente. La derivada de L con respecto al tiempo se deja indicada como dL dt. Entonces repetimos, esto es el resultado de derivar este producto donde aparecen las dos variables diámetro y longitud utilizando justamente la regla del producto. En esta expresión que acabamos de obtener ya podemos reemplazar los datos que conocemos. Aclaramos que todas las distancias están en centímetros y los tiempos están en minutos, por lo tanto cuando encontremos la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo nos dará en centímetros cúbicos por minuto. Tenemos entonces que dV dt va a ser igual a pi cuartos por, abrimos un corchete, tenemos 2 por el diámetro que es 3 centímetros, esto multiplicado por la razón de cambio del diámetro con respecto al tiempo que es 0.01, ya sabemos que está en centímetros por minuto y esto multiplicado por la longitud de la barra que es 20 centímetros. A esto tenemos que sumarle el diámetro que es 3 elevado al cuadrado y esto multiplicado por la razón de cambio de la longitud con respecto al tiempo que es 0.04 y cerramos el corchete. Ahora vamos a efectuar estas operaciones, tendremos dV dt igual a pi cuartos por, abrimos corchete, 2 por 3 nos da 6, 6 por 0.01 nos daría 0.06 y 0.06 multiplicado por 20 nos da como resultado 1.2, esto lo sumamos con 3 al cuadrado que es 9, 9 multiplicado por 0.04 nos da 0.36 y cerramos el corchete. En seguida tenemos que dV dt va a ser igual a pi cuartos por el resultado de efectuar esta operación 1.2 más 0.36 nos da como resultado 1.56 y esto lo vamos a multiplicar por pi cuartos. Si disponemos de calculadora podemos efectuar toda esta operación y dar el resultado en forma decimal, sin embargo en muchas ocasiones nos piden dar esta respuesta de manera indicada, veamos entonces como quedaría, se deja pi cuartos y esto va a multiplicarse por 1.56 que corresponde a la fracción 156 sobre 100, se trata de un número decimal finito y como tiene dos lugares decimales es por eso que tiene denominador 100. En esta fracción tanto el numerador como el denominador se pueden dividir entre 4, decimos cuarta de 156 es 39 y cuarta de 100 es 25, por lo tanto el resultado nos va a quedar de la siguiente manera, dV dt es igual a pi por 39, o sea 39 pi en el numerador y en el denominador tenemos 4 por 25 que nos da como resultado 100 y a eso le escribimos las unidades correspondientes, dijimos que el volumen va en centímetros cúbicos y el tiempo está expresado en minutos. Como decía si disponemos de calculadora podemos efectuar esa operación y nos va a dar aproximadamente lo siguiente, 39 por pi que podemos utilizarlo como 3.14 y eso dividido entre 100 es aproximadamente igual a 1.22 centímetros cúbicos por minuto y de esta manera hemos terminado el problema, esta será la respuesta y corresponde a la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo en este instante, como nos dio un resultado positivo significa que en ese momento el volumen se está incrementando con el paso del tiempo.
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