77. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (Ejercicio 7)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 77: Movimiento Circular Uniformemente Variado (Ejercicio 7).

Un cuerpo describe una trayectoria circular de 4 m de radio. En un instante específico el vector aceleración tiene un módulo de 15 m/s² y forma un ángulo de 37° con la dirección de movimiento. Determinar la rapidez lineal del cuerpo en ese momento y 5 segundos después si el movimiento es uniformemente acelerado.

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Para este problema resulta conveniente hacer un dibujo donde podamos ubicar la información que nos dan. Tenemos la circunferencia de radio 4 metros y tenemos la partícula en el instante en que su aceleración, es decir este vector tiene un módulo de 15 metros por segundo cuadrado y nos dice que ese vector forma un ángulo de 37 grados con la dirección de movimiento. En ese instante la partícula va en esta dirección, es decir su velocidad tangencial coincide con este vector azul que hemos dibujado. Este ángulo es de 37 grados, vamos a señalarlo por acá y también tenemos en el dibujo las componentes tangencial y normal de la aceleración. Vamos a determinar los valores de estas dos componentes de la aceleración, el valor de la componente tangencial y el valor de la componente normal. Para ello debemos descomponer este vector aceleración y vamos a necesitar lo que es el seno de 37 grados y el coseno de 37 grados. Vamos a ver cómo se pueden obtener esos dos valores de lo que se conoce como el triángulo egipcio. El triángulo egipcio es un triángulo rectángulo con lados 3, 4 y 5, es decir catetos 3 y 4 y la hipotenusa vale 5. Vemos que esos valores cumplen el teorema de Pitágoras. En ese triángulo este ángulo agudo que es el menor de los dos ángulos agudos vale aproximadamente 37 grados y este el ángulo agudo mayor que es el que se opone al mayor cateto vale aproximadamente 53 grados. Por lo tanto de allí podemos sacar para este ángulo de 37 las relaciones trigonométricas seno y coseno. Veamos seno de 37 grados es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa es decir 3 quintos y coseno de 37 grados es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa es decir 4 quintos. Entonces vamos a usar estos valores en la descomposición de este vector a aceleración. Antes de hallar las dos componentes recordemos que aquí se forma ángulo recto entre las componentes tangencial y normal de la aceleración tenemos 90 grados al igual que aquí y que en este sitio por lo que se ha formado un paralelogramo en este caso un rectángulo para encontrar la resultante de los dos vectores. Entonces vamos con la componente aceleración tangencial que es el cateto adyacente al ángulo que nos dan si la hipotenusa es a y el ángulo es 37 por lo tanto esta componente sale al multiplicar la hipotenusa que es el módulo de la aceleración por el coseno de 37 grados. Replazamos la aceleración tiene un valor de 15 en metros por segundo cuadrado y el coseno de 37 como acabamos de ver vale 4 quintos por lo tanto esta multiplicación nos da 12. En metros por segundo cuadrado este será entonces el valor de la componente tangencial de la aceleración. Anotamos por aquí ese resultado y vamos a encontrar la componente normal de la aceleración entonces a sub n componente normal sale de la siguiente manera este vector es este mismo lado del triángulo rectángulo vemos que es el lado opuesto al ángulo de 37 grados entonces se obtiene multiplicando el valor de la hipotenusa por el seno de 37 grados es decir 15 que es el valor de la aceleración en metros por segundo cuadrado y esto por el seno de 37 grados que es tres quintos. Subiendo esa operación nos da como resultado nueve metros por segundo cuadrado este será el valor de la componente normal de la aceleración. Anotamos ese resultado por acá y la primera pregunta de este problema nos pide encontrar el valor de la rapidez lineal es decir la velocidad lineal en este instante para ese cuerpo vamos a dibujarla sería un vector que viene por aquí tangente a la trayectoria esta es la rapidez que necesitamos encontrar para ello vamos a utilizar esta fórmula la de aceleración centrípeta en ese instante. Recordemos que es igual a la velocidad lineal al cuadrado dividido entre el radio la aceleración centrípeta es en este instante esta componente normal de la aceleración cuyo valor conocemos entonces de allí vamos a despejar la velocidad primero despejamos velocidad al cuadrado R que pasa a multiplicar con la aceleración centrípeta nos queda de esta manera y la velocidad será igual a la raíz cuadrada de la aceleración centrípeta multiplicada por el radio entonces reemplazamos los valores como aceleración centrípeta entra nueve metros por segundo cuadrado que es la misma aceleración normal en ese momento entonces nueve por el radio que es cuatro metros esto nos da treinta y seis y la raíz cuadrada de treinta y seis nos da seis en unidades metros por segundo esta será entonces la rapidez lineal del cuerpo en este instante. Ahora nos dicen que si el movimiento se conserva como un movimiento circular uniformemente acelerado con esta aceleración tangencial constante ¿Cuál será la velocidad lineal del cuerpo cinco segundos después de este instante? Entonces esta velocidad se convierte en la velocidad inicial vamos a llamarla V sub cero igual a seis metros por segundo tenemos el valor de la aceleración tangencial y vamos a encontrar la velocidad final es decir velocidad lineal final transcurrido un tiempo de cinco segundos entonces con esa información vamos a utilizar esta fórmula del movimiento circular uniformemente acelerado aceleración tangencial es igual a la velocidad lineal final menos la velocidad lineal inicial todo esto dividido entre el tiempo de allí podemos hacer el despeje de la velocidad final el tiempo pasa a multiplicar nos queda aceleración tangencial por el tiempo igual a velocidad final menos velocidad inicial y de allí despejamos la velocidad final pasando este término a sumar luego velocidad final será igual a aceleración tangencial por el tiempo más velocidad lineal inicial allí podemos reemplazar los datos como aceleración tangencial tenemos 12 como tiempo tenemos 5 y como velocidad lineal inicial tenemos 6 ya estamos seguros de que todas las unidades están en metros y segundos resolviendo esta operación nos queda 12 por 5 60 60 más 6 son 66 metros por segundo esa será la velocidad lineal de ese cuerpo 5 segundos después de este instante
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