87. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 8)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 87: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 8).

Si desde el piso se dispara un objeto con velocidad inicial Vo y un ángulo θ por encima de la horizontal, determine expresiones en términos de Vo y θ para: (a) La altura máxima; (b) El tiempo de vuelo; (c) El alcance máximo horizontal.

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Comenzamos el desarrollo de este ejercicio haciendo un dibujo de la trayectoria del cuerpo. Tenemos que queda enmarcada en el primer cuadrante del plano XY. Tenemos tiempo cero, el momento en que es disparado el cuerpo con una velocidad inicial B sub cero y un ángulo de disparo o ángulo de tiro que es theta. Tenemos tiempo de subida en el momento en que el cuerpo alcanza su altura máxima, es decir, cuando la posición Y se llama Y máximo. Recordemos que en este punto es cuando la velocidad en Y toma el valor cero y tenemos este instante que es cuando se cumple el tiempo de vuelo. Es el momento en el cual la partícula o el cuerpo que ha sido disparado llega nuevamente al nivel del piso o al nivel de donde fue disparado. En ese instante tenemos esta posición en X llamada X máximo, es decir, el alcance máximo horizontal del cuerpo. El problema que vamos a realizar consiste en determinar expresiones para la altura máxima, para el tiempo de vuelo y para el alcance máximo horizontal únicamente en términos de la velocidad inicial y del ángulo de disparo. Comenzamos por construir las ecuaciones cinemáticas para este movimiento. Iniciamos con la ecuación de posición en Y, escribimos el modelo y lo único que podemos reemplazar allí que conocemos es el valor de Y sub cero, es decir, la posición inicial en Y para el objeto que es lanzado. Tenemos que en el tiempo cero la posición en Y vale cero porque es disparado desde el nivel del piso. Por lo tanto nuestra primera ecuación va a ser esta y la vamos a escribir por aquí. La ecuación número uno que es la de posición en Y nos queda Y igual a menos un medio por la gravedad por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial por el seno del ángulo de disparo por el tiempo. Ahora vamos a realizar la derivada de esta expresión para obtener la ecuación de velocidad que vamos a llamar la ecuación número dos, la velocidad en Y. Entonces derivada de Y con respecto al tiempo nos da la velocidad en Y, es decir, veamos, derivamos cada término por separado. La derivada del primer término con respecto al tiempo será bajar el dos a multiplicar dos por menos un medio de la gravedad nos queda menos la gravedad y T queda elevada al exponente uno, recordemos que a dos se le resta uno, nos queda aquí exponente uno, entonces la derivada del primer término será menos gravedad por tiempo más la derivada del otro término, esto se asume constante, T es la variable, entonces nos queda la parte constante que es velocidad inicial por el seno del ángulo T. Esa será entonces la ecuación número dos que es la de velocidad en Y y la escribimos por aquí. Ahora vamos a construir la ecuación de posición en X, anotamos el modelo y sustituimos el valor de X sub cero, la posición inicial en X para el objeto vale cero, porque parte del origen, por lo tanto tenemos como ecuación número tres la de posición en X que dice que es igual a velocidad inicial por el coseno del ángulo T, ángulo de disparo por el tiempo. Si derivamos esto nos daría la ecuación de velocidad en X y eso nos dará velocidad inicial por el coseno de theta, de este término queda únicamente la parte constante al hacer la derivada, la derivada de T que es uno queda esto nomás y eso nos confirmaría el hecho de que la velocidad en X permanece constante durante todo el movimiento, podríamos llamarla expresión número cuatro, esa es la velocidad que tiene el cuerpo en el punto más alto, si esta velocidad tiene un valor de B sub cero por el coseno de theta. A continuación vamos a realizar el análisis del problema en los instantes claves, es decir en el punto más alto y cuando se termina el movimiento, comenzamos por lo que sucede en el punto más alto, entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida, es decir aquí tenemos que la velocidad en Y vale cero, si lo que habíamos escrito por acá, tenemos información para utilizar la ecuación número dos, entonces vamos a anotar la ecuación, nos dice esto, allí está la ecuación y vamos a sustituir la información que conocemos, donde está la velocidad en Y escribimos cero y donde está el tiempo escribimos tiempo de subida, nos queda entonces una expresión de donde vamos a despejar el tiempo de subida, pasamos ese término que está negativo al lado izquierdo, entonces pasa positivo y finalmente hacemos el despeje del tiempo de subida, nos queda la velocidad inicial por el seno del ángulo de tiro, todo eso dividido entre la gravedad, esta será entonces la expresión para el tiempo de subida y vamos a escribirla por acá, nos queda entonces velocidad inicial seno de teta y todo esto dividido entre la gravedad, bien continuamos en ese mismo punto, decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida que nos dio la expresión de sub cero seno de teta sobre la gravedad, tenemos que en ese instante la posición Y se llama Y máxima, es decir la altura máxima alcanzada por el cuerpo por encima del piso, entonces utilizamos la ecuación número uno, vamos a escribirla por aquí para reemplazar en ella la información que conocemos, ahí tenemos la ecuación número uno, entonces donde está Y escribimos Y máxima, altura máxima igual a menos un medio por la gravedad por el tiempo, donde está el tiempo debemos escribir la expresión que obtuvimos para el tiempo de subida, ojo elevada al cuadrado, no podemos olvidar el exponente, más velocidad inicial por el seno del ángulo teta por la expresión del tiempo que es de sub cero seno de teta sobre la gravedad, vamos a resolver eso, nos queda Y máxima es igual a menos un medio por la gravedad por, aquí el cuadrado entra afectando cada uno de estos elementos, nos queda velocidad inicial al cuadrado, seno al cuadrado de teta sobre la gravedad al cuadrado, más aquí vamos a multiplicar esta expresión por esta fracción, multiplicamos los numeradores entre sí, nos queda velocidad inicial al cuadrado por el seno al cuadrado de teta y en el denominador nos queda únicamente la gravedad, bien, en esta expresión podemos simplificar una G, nos queda una sola gravedad en el denominador y la expresión queda así, Y máxima es igual a, resolviendo todo esto nos queda una fracción negativa, donde en el numerador tendremos velocidad inicial al cuadrado por el seno al cuadrado del ángulo teta y en el denominador tendremos 2G, multiplicando estos dos elementos más, veamos, en la otra fracción podemos multiplicar por 2 arriba y abajo, es decir podemos amplificar la fracción, eso con el objetivo de que tengamos fracciones homogéneas, o sea, fracciones con el mismo denominador, vamos a borrar por aquí y continuamos con la suma de las dos fracciones, se deja el mismo denominador 2G y sumamos los numeradores, esta negativa lo podríamos escribir por aquí, tenemos en el numerador una suma de términos semejantes con coeficientes menos uno y dos, la suma de ellos, menos uno más dos nos da uno que acompaña AB sub cero cuadrados cero cuadrados de teta, nos queda entonces esto en el numerador y hemos obtenido la expresión para la altura máxima alcanzada por ese objeto y como podemos ver quedó en términos únicamente de la velocidad inicial del ángulo teta que es el ángulo de disparo y lógicamente de la gravedad que es un dato con el que siempre podemos contar, tenemos entonces la respuesta a la pregunta A del problema, después de haber realizado lo que sucede en el punto más alto nos trasladamos al instante en que el objeto llega al suelo, es decir cuando se cumple el tiempo de vuelo, en ese tipo de movimiento sabemos que el tiempo de vuelo es el doble del tiempo de subida, si recordemos que en este movimiento que es parabólico completo la etapa de subida tiene la misma duración que la etapa de caída por lo tanto el tiempo de vuelo se encuentra fácilmente duplicando el tiempo de subida, recordemos que en estos movimientos se desprecia por completo la resistencia del aire por eso es que podemos hacer esta afirmación, entonces tenemos que el tiempo de vuelo será igual a dos veces esta expresión, nos queda entonces dos por la velocidad inicial por el seno del ángulo TECA, ángulo de disparo y todo esto dividido entre la gravedad, tenemos entonces la respuesta a la pregunta B, es decir el tiempo de vuelo, el tiempo total de movimiento de este cuerpo en términos de la velocidad inicial y el ángulo de disparo que es TECA, por último decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos acaba de dar dos de sub cero seno de TECA sobre la gravedad tenemos que la posición en X del objeto se llama X máximo, es decir se trata de la posición donde tenemos el máximo alcance horizontal toda esta distancia, entonces allí utilizamos la expresión número tres que es la de posición en X, esa ecuación dice velocidad inicial por coseno de TECA por el tiempo, reemplazamos allí lo que conocemos, X se convierte en X máximo igual a velocidad inicial por el coseno de TECA por el tiempo que es esta expresión, entonces la escribimos y vamos a organizar allí, tenemos X máximo será igual a una fracción donde en el numerador vamos a organizar de la siguiente manera, de sub cero por B sub cero nos da de sub cero al cuadrado, velocidad inicial al cuadrado por dos seno de TECA por el coseno de TECA y todo eso dividido entre la gravedad, en el numerador acomodamos el dos seno de TECA y luego coseno de TECA, eso lo hacemos de manera intencional porque esto corresponde a una identidad trigonométrica, dos seno de TECA por coseno de TECA es justamente la formula para el seno de dos TECA, el seno del ángulo doble, entonces vamos a reemplazar esta expresión aquí, nos queda entonces que la expresión para X máximo, es decir para el máximo alcance horizontal es velocidad inicial al cuadrado por seno de dos TECA, es decir dos veces el ángulo de disparo, todo esto dividido entre la gravedad y de esta manera hemos llegado a la respuesta de la pregunta C de este problema, esta es la respuesta, la parte C que es el alcance máximo horizontal vemos que nos quedó en términos de la velocidad inicial del ángulo TECA que es el ángulo de disparo y lógicamente la gravedad que como decíamos antes es un dato con el que siempre podemos contar, de esta manera terminamos.
[{"start": 0.0, "end": 24.84, "text": " Comenzamos el desarrollo de este ejercicio haciendo un dibujo de la trayectoria del cuerpo."}, {"start": 24.84, "end": 32.84, "text": " Tenemos que queda enmarcada en el primer cuadrante del plano XY."}, {"start": 32.84, "end": 40.120000000000005, "text": " Tenemos tiempo cero, el momento en que es disparado el cuerpo con una velocidad inicial"}, {"start": 40.120000000000005, "end": 46.879999999999995, "text": " B sub cero y un \u00e1ngulo de disparo o \u00e1ngulo de tiro que es theta."}, {"start": 46.88, "end": 55.96, "text": " Tenemos tiempo de subida en el momento en que el cuerpo alcanza su altura m\u00e1xima, es decir,"}, {"start": 55.96, "end": 60.84, "text": " cuando la posici\u00f3n Y se llama Y m\u00e1ximo."}, {"start": 60.84, "end": 69.92, "text": " Recordemos que en este punto es cuando la velocidad en Y toma el valor cero y tenemos"}, {"start": 69.92, "end": 75.16, "text": " este instante que es cuando se cumple el tiempo de vuelo."}, 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{"start": 121.48, "end": 130.88, "text": " Iniciamos con la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en Y, escribimos el modelo y lo \u00fanico que podemos"}, {"start": 130.88, "end": 137.56, "text": " reemplazar all\u00ed que conocemos es el valor de Y sub cero, es decir, la posici\u00f3n inicial"}, {"start": 137.56, "end": 141.4, "text": " en Y para el objeto que es lanzado."}, {"start": 141.4, "end": 147.32, "text": " Tenemos que en el tiempo cero la posici\u00f3n en Y vale cero porque es disparado desde el"}, {"start": 147.32, "end": 148.32, "text": " nivel del piso."}, {"start": 148.32, "end": 155.44, "text": " Por lo tanto nuestra primera ecuaci\u00f3n va a ser esta y la vamos a escribir por aqu\u00ed."}, {"start": 155.44, "end": 162.32, "text": " La ecuaci\u00f3n n\u00famero uno que es la de posici\u00f3n en Y nos queda Y igual a menos un medio por"}, {"start": 162.32, "end": 168.68, "text": " la gravedad por el tiempo al cuadrado m\u00e1s la velocidad inicial por el seno del 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uno, entonces la"}, {"start": 213.72, "end": 220.72, "text": " derivada del primer t\u00e9rmino ser\u00e1 menos gravedad por tiempo m\u00e1s la derivada del otro t\u00e9rmino,"}, {"start": 220.72, "end": 226.32, "text": " esto se asume constante, T es la variable, entonces nos queda la parte constante que es"}, {"start": 226.32, "end": 230.12, "text": " velocidad inicial por el seno del \u00e1ngulo T."}, {"start": 230.12, "end": 239.34, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la ecuaci\u00f3n n\u00famero dos que es la de velocidad en Y y la escribimos"}, {"start": 239.34, "end": 240.76, "text": " por aqu\u00ed."}, {"start": 240.76, "end": 249.2, "text": " Ahora vamos a construir la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en X, anotamos el modelo y sustituimos el"}, {"start": 249.2, "end": 255.67999999999998, "text": " valor de X sub cero, la posici\u00f3n inicial en X para el objeto vale cero, porque parte"}, {"start": 255.67999999999998, "end": 263.12, "text": " del origen, por lo tanto tenemos como ecuaci\u00f3n n\u00famero tres la de posici\u00f3n en X que dice"}, {"start": 263.12, "end": 270.12, "text": " que es igual a velocidad inicial por el coseno del \u00e1ngulo T, \u00e1ngulo de disparo por el"}, {"start": 270.12, "end": 271.12, "text": " tiempo."}, {"start": 271.12, "end": 280.56, "text": " Si derivamos esto nos dar\u00eda la ecuaci\u00f3n de velocidad en X y eso nos dar\u00e1 velocidad"}, {"start": 280.56, "end": 287.52, "text": " inicial por el coseno de theta, de este t\u00e9rmino queda \u00fanicamente la parte constante al hacer"}, {"start": 287.52, "end": 294.96, "text": " la derivada, la derivada de T que es uno queda esto nom\u00e1s y eso nos confirmar\u00eda el hecho"}, {"start": 294.96, "end": 303.15999999999997, "text": " de que la velocidad en X permanece constante durante todo el movimiento, podr\u00edamos llamarla"}, {"start": 303.15999999999997, "end": 308.44, "text": " expresi\u00f3n n\u00famero cuatro, esa es la velocidad que tiene el cuerpo en el punto m\u00e1s alto,"}, {"start": 308.44, "end": 315.28, "text": " si esta velocidad tiene un valor de B sub cero por el coseno de theta."}, {"start": 315.28, "end": 325.67999999999995, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a realizar el an\u00e1lisis del problema en los instantes claves, es decir"}, {"start": 325.67999999999995, "end": 332.71999999999997, "text": " en el punto m\u00e1s alto y cuando se termina el movimiento, comenzamos por lo que sucede"}, {"start": 332.71999999999997, "end": 338.47999999999996, "text": " en el punto m\u00e1s alto, entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida, es"}, {"start": 338.48, "end": 345.64000000000004, "text": " decir aqu\u00ed tenemos que la velocidad en Y vale cero, si lo que hab\u00edamos escrito por ac\u00e1,"}, {"start": 345.64000000000004, "end": 352.88, "text": " tenemos informaci\u00f3n para utilizar la ecuaci\u00f3n n\u00famero dos, entonces vamos a anotar la ecuaci\u00f3n,"}, {"start": 352.88, "end": 359.32, "text": " nos dice esto, all\u00ed est\u00e1 la ecuaci\u00f3n y vamos a sustituir la informaci\u00f3n que conocemos,"}, {"start": 359.32, "end": 366.52000000000004, "text": " donde est\u00e1 la velocidad en Y escribimos cero y donde est\u00e1 el tiempo escribimos tiempo"}, {"start": 366.52, "end": 373.84, "text": " de subida, nos queda entonces una expresi\u00f3n de donde vamos a despejar el tiempo de subida,"}, {"start": 373.84, "end": 381.79999999999995, "text": " pasamos ese t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo al lado izquierdo, entonces pasa positivo y finalmente"}, {"start": 381.79999999999995, "end": 387.71999999999997, "text": " hacemos el despeje del tiempo de subida, nos queda la velocidad inicial por el seno del"}, {"start": 387.71999999999997, "end": 394.52, "text": " \u00e1ngulo de tiro, todo eso dividido entre la gravedad, esta ser\u00e1 entonces la expresi\u00f3n"}, {"start": 394.52, "end": 402.28, "text": " para el tiempo de subida y vamos a escribirla por ac\u00e1, nos queda entonces velocidad inicial"}, {"start": 402.28, "end": 413.0, "text": " seno de teta y todo esto dividido entre la gravedad, bien continuamos en ese mismo punto,"}, {"start": 413.0, "end": 421.15999999999997, "text": " decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida que nos dio la expresi\u00f3n de sub"}, {"start": 421.16, "end": 430.56, "text": " cero seno de teta sobre la gravedad, tenemos que en ese instante la posici\u00f3n Y se llama"}, {"start": 430.56, "end": 438.96000000000004, "text": " Y m\u00e1xima, es decir la altura m\u00e1xima alcanzada por el cuerpo por encima del piso, entonces"}, {"start": 438.96000000000004, "end": 445.8, "text": " utilizamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno, vamos a escribirla por aqu\u00ed para reemplazar en"}, {"start": 445.8, "end": 452.88, "text": " ella la informaci\u00f3n que conocemos, ah\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno, entonces donde est\u00e1"}, {"start": 452.88, "end": 462.96000000000004, "text": " Y escribimos Y m\u00e1xima, altura m\u00e1xima igual a menos un medio por la gravedad por el tiempo,"}, {"start": 462.96000000000004, "end": 469.2, "text": " donde est\u00e1 el tiempo debemos escribir la expresi\u00f3n que obtuvimos para el tiempo de"}, {"start": 469.2, "end": 476.56, "text": " subida, ojo elevada al cuadrado, no podemos olvidar el exponente, m\u00e1s velocidad inicial"}, {"start": 476.56, "end": 485.96, "text": " por el seno del \u00e1ngulo teta por la expresi\u00f3n del tiempo que es de sub cero seno de teta"}, {"start": 485.96, "end": 495.48, "text": " sobre la gravedad, vamos a resolver eso, nos queda Y m\u00e1xima es igual a menos un medio por"}, {"start": 495.48, "end": 503.28000000000003, "text": " la gravedad por, aqu\u00ed el cuadrado entra afectando cada uno de estos elementos, nos queda velocidad"}, {"start": 503.28000000000003, "end": 511.84000000000003, "text": " inicial al cuadrado, seno al cuadrado de teta sobre la gravedad al cuadrado, m\u00e1s aqu\u00ed vamos"}, {"start": 511.84000000000003, "end": 518.0, "text": " a multiplicar esta expresi\u00f3n por esta fracci\u00f3n, multiplicamos los numeradores entre s\u00ed, nos"}, {"start": 518.0, "end": 524.0, "text": " queda velocidad inicial al cuadrado por el seno al cuadrado de teta y en el denominador"}, {"start": 524.0, "end": 532.96, "text": " nos queda \u00fanicamente la gravedad, bien, en esta expresi\u00f3n podemos simplificar una G,"}, {"start": 532.96, "end": 540.4, "text": " nos queda una sola gravedad en el denominador y la expresi\u00f3n queda as\u00ed, Y m\u00e1xima es igual"}, {"start": 540.4, "end": 547.68, "text": " a, resolviendo todo esto nos queda una fracci\u00f3n negativa, donde en el numerador tendremos"}, {"start": 547.68, "end": 553.8, "text": " velocidad inicial al cuadrado por el seno al cuadrado del \u00e1ngulo teta y en el denominador"}, {"start": 553.8, "end": 565.28, "text": " tendremos 2G, multiplicando estos dos elementos m\u00e1s, veamos, en la otra fracci\u00f3n podemos"}, {"start": 565.28, "end": 571.52, "text": " multiplicar por 2 arriba y abajo, es decir podemos amplificar la fracci\u00f3n, eso con el"}, {"start": 571.52, "end": 580.64, "text": " objetivo de que tengamos fracciones homog\u00e9neas, o sea, fracciones con el mismo denominador,"}, {"start": 580.64, "end": 589.84, "text": " vamos a borrar por aqu\u00ed y continuamos con la suma de las dos fracciones, se deja el"}, {"start": 589.84, "end": 597.96, "text": " mismo denominador 2G y sumamos los numeradores, esta negativa lo podr\u00edamos escribir por"}, {"start": 597.96, "end": 604.64, "text": " aqu\u00ed, tenemos en el numerador una suma de t\u00e9rminos semejantes con coeficientes menos"}, {"start": 604.64, "end": 611.9200000000001, "text": " uno y dos, la suma de ellos, menos uno m\u00e1s dos nos da uno que acompa\u00f1a AB sub cero cuadrados"}, {"start": 611.9200000000001, "end": 620.32, "text": " cero cuadrados de teta, nos queda entonces esto en el numerador y hemos obtenido la expresi\u00f3n"}, {"start": 620.32, "end": 629.88, "text": " para la altura m\u00e1xima alcanzada por ese objeto y como podemos ver qued\u00f3 en t\u00e9rminos \u00fanicamente"}, {"start": 629.88, "end": 635.4000000000001, "text": " de la velocidad inicial del \u00e1ngulo teta que es el \u00e1ngulo de disparo y l\u00f3gicamente"}, {"start": 635.4000000000001, "end": 642.08, "text": " de la gravedad que es un dato con el que siempre podemos contar, tenemos entonces la respuesta"}, {"start": 642.08, "end": 648.6600000000001, "text": " a la pregunta A del problema, despu\u00e9s de haber realizado lo que sucede en el punto"}, {"start": 648.66, "end": 656.8, "text": " m\u00e1s alto nos trasladamos al instante en que el objeto llega al suelo, es decir cuando"}, {"start": 656.8, "end": 663.7199999999999, "text": " se cumple el tiempo de vuelo, en ese tipo de movimiento sabemos que el tiempo de vuelo"}, {"start": 663.7199999999999, "end": 671.3199999999999, "text": " es el doble del tiempo de subida, si recordemos que en este movimiento que es parab\u00f3lico"}, {"start": 671.3199999999999, "end": 677.8, "text": " completo la etapa de subida tiene la misma duraci\u00f3n que la etapa de ca\u00edda por lo tanto"}, {"start": 677.8, "end": 684.16, "text": " el tiempo de vuelo se encuentra f\u00e1cilmente duplicando el tiempo de subida, recordemos"}, {"start": 684.16, "end": 690.7199999999999, "text": " que en estos movimientos se desprecia por completo la resistencia del aire por eso es"}, {"start": 690.7199999999999, "end": 696.5999999999999, "text": " que podemos hacer esta afirmaci\u00f3n, entonces tenemos que el tiempo de vuelo ser\u00e1 igual"}, {"start": 696.5999999999999, "end": 703.76, "text": " a dos veces esta expresi\u00f3n, nos queda entonces dos por la velocidad inicial por el seno"}, {"start": 703.76, "end": 711.76, "text": " del \u00e1ngulo TECA, \u00e1ngulo de disparo y todo esto dividido entre la gravedad, tenemos entonces"}, {"start": 711.76, "end": 721.08, "text": " la respuesta a la pregunta B, es decir el tiempo de vuelo, el tiempo total de movimiento"}, {"start": 721.08, "end": 728.64, "text": " de este cuerpo en t\u00e9rminos de la velocidad inicial y el \u00e1ngulo de disparo que es TECA,"}, {"start": 728.64, "end": 736.4, "text": " por \u00faltimo decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos acaba de"}, {"start": 736.4, "end": 745.48, "text": " dar dos de sub cero seno de TECA sobre la gravedad tenemos que la posici\u00f3n en X del"}, {"start": 745.48, "end": 755.0, "text": " objeto se llama X m\u00e1ximo, es decir se trata de la posici\u00f3n donde tenemos el m\u00e1ximo alcance"}, {"start": 755.0, "end": 762.6, "text": " horizontal toda esta distancia, entonces all\u00ed utilizamos la expresi\u00f3n n\u00famero tres que"}, {"start": 762.6, "end": 770.76, "text": " es la de posici\u00f3n en X, esa ecuaci\u00f3n dice velocidad inicial por coseno de TECA por"}, {"start": 770.76, "end": 780.12, "text": " el tiempo, reemplazamos all\u00ed lo que conocemos, X se convierte en X m\u00e1ximo igual a velocidad"}, {"start": 780.12, "end": 790.32, "text": " inicial por el coseno de TECA por el tiempo que es esta expresi\u00f3n, entonces la escribimos"}, {"start": 790.32, "end": 799.84, "text": " y vamos a organizar all\u00ed, tenemos X m\u00e1ximo ser\u00e1 igual a una fracci\u00f3n donde en el numerador"}, {"start": 799.84, "end": 804.76, "text": " vamos a organizar de la siguiente manera, de sub cero por B sub cero nos da de sub cero"}, {"start": 804.76, "end": 813.64, "text": " al cuadrado, velocidad inicial al cuadrado por dos seno de TECA por el coseno de TECA"}, {"start": 813.64, "end": 821.4399999999999, "text": " y todo eso dividido entre la gravedad, en el numerador acomodamos el dos seno de TECA"}, {"start": 821.4399999999999, "end": 829.6, "text": " y luego coseno de TECA, eso lo hacemos de manera intencional porque esto corresponde a una"}, {"start": 829.6, "end": 837.52, "text": " identidad trigonom\u00e9trica, dos seno de TECA por coseno de TECA es justamente la formula"}, {"start": 837.52, "end": 845.64, "text": " para el seno de dos TECA, el seno del \u00e1ngulo doble, entonces vamos a reemplazar esta expresi\u00f3n"}, {"start": 845.64, "end": 855.36, "text": " aqu\u00ed, nos queda entonces que la expresi\u00f3n para X m\u00e1ximo, es decir para el m\u00e1ximo alcance"}, {"start": 855.36, "end": 864.04, "text": " horizontal es velocidad inicial al cuadrado por seno de dos TECA, es decir dos veces el"}, {"start": 864.04, "end": 875.04, "text": " \u00e1ngulo de disparo, todo esto dividido entre la gravedad y de esta manera hemos llegado"}, {"start": 875.04, "end": 884.32, "text": " a la respuesta de la pregunta C de este problema, esta es la respuesta, la parte C que es el"}, {"start": 884.32, "end": 890.32, "text": " alcance m\u00e1ximo horizontal vemos que nos qued\u00f3 en t\u00e9rminos de la velocidad inicial del \u00e1ngulo"}, {"start": 890.32, "end": 896.12, "text": " TECA que es el \u00e1ngulo de disparo y l\u00f3gicamente la gravedad que como dec\u00edamos antes es un"}, {"start": 896.12, "end": 916.44, "text": " dato con el que siempre podemos contar, de esta manera terminamos."}]