INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una integral por el Método de Fracciones Parciales.

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 Vamos a realizar esta integral por el método de las fracciones parciales, ya que por integración básica, o por el método de sustitución, o por el método de integración por partes, no es posible realizarla. Vamos a tomar entonces el integrando, la función que vamos a integrar, y vamos a hacer el proceso de descomposición en sus fracciones parciales. Empezamos por factorizar el denominador, aquí tenemos un trinomio de la forma de x al cuadrado más bx más c, entonces abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de este término que sería x, la colocamos al comienzo de cada paréntesis, cuadramos los signos, más por más nos da más, más por menos nos da menos, y buscamos dos números que multiplicados nos den menos 10, y que sumados entre sí nos den 3 positivo, esos números son 5 y menos 2. El 7 continúa en la parte de arriba. Enseguida abrimos dos fracciones, sumando entre sí, que tengan como denominador cada una de estas expresiones, entonces la primera con denominador x más 5, y la otra con denominador x menos 2. Como estas son expresiones de primer grado, entonces encima de ellas vamos a colocar dos constantes a y b que tenemos que encontrar. Para encontrar a, una forma rápida de hacerlo es usar el valor de x que nos vuelve este denominador 0, sería x igual a menos 5, entonces ese valor de x lo vamos a reemplazar en esta expresión, pero exceptuando esta de aquí, es decir, en esta no se reemplaza por la siguiente razón, si aquí colocáramos menos 5, menos 5 más 5 nos da 0, y por lo tanto todo este denominador se nos volvería 0, y la fracción se indeterminaría. Entonces el menos 5 va a entrar únicamente aquí, entonces nos va a quedar así, 7 en el numerador, y aquí menos 5, menos 2, allí la x entró por menos 5, resolvemos, menos 5 menos 2 nos da menos 7, y 7 dividido entre menos 7 nos da menos 1. De esa manera entonces ya tenemos que el valor de a es igual a menos 1. Para encontrar b, hacemos un proceso similar, buscamos el valor de x que nos vuelve este denominador 0, que sería x igual a 2, y lo reemplazamos en esta expresión, pero ahora exceptuando la expresión x menos 2, por la misma razón anterior, porque esto se volvería 0, entonces únicamente lo reemplazamos acá, nos quedaría entonces 7 sobre, aquí, x entra como 2 más 5, esto nos queda 7 sobre 7 que es igual a 1. De esa manera hemos encontrado que b vale 1. Entonces, quiere decir esto, que la expresión que nos dieron para integrar, 7 sobre x al cuadrado, más 3x menos 10, va a ser igual a las siguientes fracciones parciales, esta que queda como menos 1 sobre x más 5, más esta que nos queda 1 sobre x menos 2, esto es lo que se llama las fracciones parciales de esta expresión. Si nosotros resolvemos esta suma de fraccionarios, nos tiene que quedar esto de acá. Entonces, como nos piden integrar, vamos a hacer lo siguiente, vamos a integrarlo a los dos lados de la expresión, entonces nos va a quedar de la siguiente manera. La integral de esto, imaginemos que aquí colocamos el símbolo de integral con su correspondiente de x, va a ser igual entonces a la integral de todo esto de acá, pero como hay una suma, podemos repartir la integral, entonces nos va a quedar la integral de menos 1 sobre x más 5 con su correspondiente de x, más la integral de 1 sobre x menos 2 con su correspondiente de x. Y nos dedicamos a resolver estas dos integrales que ya son integrales sencillas, son integrales mucho más fáciles que la original que teníamos. En esta primera integral podríamos sacar este menos acá adelante, vamos a sacarlo, y nos quedan dos expresiones que podemos integrar con la siguiente formulita. Si tenemos 1 sobre x más a con su de x, la integral de esto nos da logaritmo natural de valor absoluto de x más a. Es una formulita que ya está en las tablas de los libros de cálculo, en las tablas de integrales y que fácilmente se puede demostrar por sustitución. Cambiando esto, como este de x más a por una letra diferente a x, nos daría esta formulita. Entonces vamos a aplicar esta formulita para integrar tanto esta expresión de aquí como esta de acá. Entonces nos quedaría así, menos, este menos debemos conservarlo, la integral de esto sería logaritmo natural de valor absoluto de x más 5. Cierra valor absoluto, más la integral de esto sería logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2. Y como hemos integrado ya todo, aparece por primera vez la constante de integración. Ya lo que sigue sería organizar esa expresión para darle a la forma más simple, más sencilla. Podemos hacer lo siguiente, veamos. Podríamos cambiar de posición estos dos términos, es decir, primero colocaríamos el término positivo, logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2, y después el término que es negativo. Logaritmo natural de valor absoluto de x más 5, cierra y más C. ¿Qué podemos hacer aquí ahora? Para dar esto de una forma más simple. Podríamos aplicar esta propiedad de los logaritmos. Por ejemplo, si tenemos logaritmo natural de A menos logaritmo natural de B, esto es igual a logaritmo natural de A sobre B. Es una propiedad de los logaritmos. Entonces, de esa manera, apoyándonos en esta propiedad, esto nos va a quedar así. Logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 sobre valor absoluto de x más 5 y todo esto más C. Adicionalmente, podemos utilizar una propiedad del valor absoluto que dice lo siguiente. Si tenemos valor absoluto de A sobre valor absoluto de B, esto se puede colocar todo dentro de un mismo valor absoluto. Entonces, nuestra respuesta quedaría de la siguiente manera. Logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 sobre x más 5 más la constante de integración. Y esta sería la respuesta de la integral que inicialmente teníamos propuesta.
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