Ejercicio 3 de PARÁBOLA
#julioprofe explica cómo determinar la ecuación canónica o estándar y la ecuación general de una parábola, de la cual se conocen las coordenadas de su foco y la ecuación de su directriz.

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 Vamos a determinar la ecuación canónica y la ecuación general para la parábola que tiene foco en el punto de coordenadas, menos 1,1 y que tiene directriz con ecuación x igual a menos 3. Para comenzar resulta conveniente localizar en el plano cartesiano esta información. Tenemos el foco en el punto de coordenadas, menos 1,1. Aquí entonces tenemos el foco y vamos a dibujar la directriz. La recta x igual a menos 3 es una recta vertical que pasa por este valor. Bien, allí tenemos la directriz de esa parábola y ahora por el foco vamos a trazar una recta horizontal que es perpendicular a la directriz y que será el eje de simetría de esa parábola. Bien, allí lo tenemos y la ecuación para esa recta será y igual a 1 porque se trata de una recta horizontal que pasa por la ordenada 1. Entonces cuando es recta horizontal su ecuación es y igual al número por donde está pasando en el eje y y cuando es recta vertical su ecuación es x igual a la abscisa o el número por donde está pasando en el eje x. Como decíamos el eje de simetría y la directriz son perpendiculares en este punto de contacto. Allí se forma ángulo recto y ahora tendremos que el punto medio de esta distancia, es decir aquí será el que corresponde al vértice de la parábola. Entonces allí ya podemos determinar las coordenadas de ese punto. Entonces el vértice tiene abscisa menos 2 y tiene ordenada 1. Allí ya tenemos las coordenadas para el punto correspondiente al vértice de la parábola. Otro dato que necesitamos es el valor de b que es la distancia que hay desde el vértice hasta el foco o desde el vértice hasta la directriz. Es la misma distancia y en este caso corresponde a una unidad. Con esa información ya podemos hacer un dibujo aproximado de la parábola teniendo en cuenta que este es el vértice y que tiene eje de simetría horizontal y que acá tenemos la directriz entonces las ramas de la parábola deben ir dirigidas más o menos así como se dice dando la espalda a la directriz y con el foco en su interior. Habiendo determinado que la parábola es horizontal debemos utilizar el modelo que dice lo siguiente y menos k al cuadrado es igual a más o menos 4p por x menos h. Este es el modelo correspondiente a una parábola horizontal con vértice hk. El vértice ya lo conocemos menos 2 es h y 1 es k. Pero como la parábola abre sus ramas hacia la derecha entonces seleccionamos el signo más descartamos de una vez este signo negativo. Entonces lo que hacemos a continuación es reemplazar en este modelo los valores de h, k y p que ya determinamos. Nos queda de la siguiente manera tenemos y menos el valor de k que es 1 todo esto al cuadrado igual a 4 por p o sea 4 por 1 y esto a su vez multiplicando con x menos h sería x menos h que es menos 2 entonces de una vez aquí podemos escribir más 2. Este producto 4 por 1 nos da como resultado 4 y allí ya tenemos la primera respuesta para este ejercicio esta será la ecuación de la parábola en su forma canónica o estándar. Ahora vamos a llevar esta ecuación a su forma general comenzamos por desarrollar este binomio al cuadrado vamos a recordar el modelo si tenemos a menos b al cuadrado esto es igual al primer termino al cuadrado menos dos veces el primer termino por el segundo más el segundo termino elevado al cuadrado entonces tenemos lo siguiente y al cuadrado o sea el primer termino al cuadrado luego menos dos veces el primer termino por el segundo o sea 2 por y por 1 que nos da 2 y luego más el segundo termino elevado al cuadrado o sea 1 al cuadrado que es simplemente 1. En el lado derecho aplicamos la propiedad distributiva entonces tendremos lo siguiente 4 por x que nos da 4x y luego 4 por más 2 que es más 8. Ahora vamos a pasar estos términos para el lado izquierdo de modo que la expresión quede igualada a 0 entonces tendremos ya el cuadrado menos 2y más 1 y llega a menos 4x y también llega a menos 8 y todo esto queda igualado a 0 estos términos que están positivos pasan al otro lado con signo negativo. Finalmente organizamos esta ecuación comenzamos con y al cuadrado luego seguimos con menos 2y después con menos 4x y operamos estos dos números más 1 menos 8 nos da menos 7 y todo esto queda igualado a 0 y así hemos encontrado la otra respuesta para este ejercicio esta es la ecuación de la parábola en su forma general.
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