INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 13
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de Sustitución o Cambio de Variable.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Bien, vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de integración llamado sustitución o cambio de variable. Para comenzar vamos entonces a utilizar una letra para expresar lo que tenemos dentro de la raíz. Por ejemplo, vamos a utilizar la letra m, m es igual a x al cubo menos 3x más 16. Esta expresión vamos a derivarla con respecto a x. Entonces tenemos que dm dx es igual a 3x al cuadrado menos 3, es decir, la derivada es en polinomio. Y aquí vamos a despejar dm, pasando dx a multiplicar y de una vez vamos a factorizar el 3, factor común dx al cuadrado menos 1 por dx que como decíamos pasa a multiplicar. De esta igualdad vamos a despejar dx. Para despejar dx tomamos esta expresión que está multiplicando y la pasamos a dividir quedando dm sobre 3 por x al cuadrado menos 1. Con estas dos expresiones que tenemos encerradas en las nubecillas vamos a reconstruir la integral. Vamos a armar esa integral para que nos quede en términos de la nueva variable que es la letra m. Nos queda entonces la integral de x al cuadrado menos 1. El numerador vuelve y se escribe. En el denominador tenemos la raíz cúbica de esta expresión que es m. Y hacemos la sustitución y esto multiplicado por dx que es esta expresión. Tenemos entonces dm sobre 3 por x al cuadrado menos 1. Observamos que x al cuadrado menos 1 se puede simplificar. También podemos sacar este 3, nos quedaría un tercio de la integral de dm sobre la raíz cúbica de m. Ahora esto nos queda como un tercio de la integral de dm sobre m a la un tercio. Recordemos que la raíz cúbica de m se convierte en m a la un tercio y procedemos a subir esta potencia quedando como m a la menos un tercio por dm. Y esa constituye una integral básica o una integral directa. Recordemos que allí la propiedad que utilizamos es la integral de x a la n de x. Donde tenemos que esto es igual a x a la n más 1 sobre n más 1 más c siempre y cuando n sea diferente de 1. Entonces simplemente lo que vamos a hacer es sumarle 1 a la exponente menos un tercio. Esto nos queda así. Sería m a la menos un tercio más 1 que podemos obtener fácilmente sumando estos dos numeritos. Menos 1 más 3 nos da 2 y conservamos el denominador. Con este truquito sale rápidamente el resultado de hacer menos un tercio más 1. Entonces se suman estos dos números, el resultado se coloca en el numerador y se conserva el mismo denominador. Este mismo resultado se escribe debajo de la línea principal de la fracción y todo esto nos queda más la constante de integración. Ahora hacemos aquí la idea de la oreja sube s3 a multiplicar nos queda 3 por m a la 2 tercios por nuestro sobre 2 más la constante de integración. Aquí podemos simplificar el 3, se elimina y nos queda entonces la expresión m a la 2 tercios sobre 2 y todo esto más la constante de integración. Cuando ya no podemos simplificar más esa expresión entonces cambiamos m por la expresión a la cual equivale. Quedando entonces x al cubo menos 3x más 16 todo esto elevado al exponente 2 tercios y todo esto dividido entre 2 más la constante de integración. Esta será entonces la respuesta a esta integral indefinida. Allí terminamos.
[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Bien, vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el m\u00e9todo de integraci\u00f3n llamado sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 13.0, "end": 24.0, "text": " Para comenzar vamos entonces a utilizar una letra para expresar lo que tenemos dentro de la ra\u00edz."}, {"start": 24.0, "end": 36.0, "text": " Por ejemplo, vamos a utilizar la letra m, m es igual a x al cubo menos 3x m\u00e1s 16."}, {"start": 36.0, "end": 44.0, "text": " Esta expresi\u00f3n vamos a derivarla con respecto a x."}, {"start": 44.0, "end": 58.0, "text": " Entonces tenemos que dm dx es igual a 3x al cuadrado menos 3, es decir, la derivada es en polinomio."}, {"start": 58.0, "end": 80.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a despejar dm, pasando dx a multiplicar y de una vez vamos a factorizar el 3, factor com\u00fan dx al cuadrado menos 1 por dx que como dec\u00edamos pasa a multiplicar."}, {"start": 80.0, "end": 85.0, "text": " De esta igualdad vamos a despejar dx."}, {"start": 85.0, "end": 103.0, "text": " Para despejar dx tomamos esta expresi\u00f3n que est\u00e1 multiplicando y la pasamos a dividir quedando dm sobre 3 por x al cuadrado menos 1."}, {"start": 103.0, "end": 115.0, "text": " Con estas dos expresiones que tenemos encerradas en las nubecillas vamos a reconstruir la integral."}, {"start": 115.0, "end": 135.0, "text": " Vamos a armar esa integral para que nos quede en t\u00e9rminos de la nueva variable que es la letra m. Nos queda entonces la integral de x al cuadrado menos 1."}, {"start": 135.0, "end": 147.0, "text": " El numerador vuelve y se escribe. En el denominador tenemos la ra\u00edz c\u00fabica de esta expresi\u00f3n que es m."}, {"start": 147.0, "end": 165.0, "text": " Y hacemos la sustituci\u00f3n y esto multiplicado por dx que es esta expresi\u00f3n. Tenemos entonces dm sobre 3 por x al cuadrado menos 1."}, {"start": 165.0, "end": 191.0, "text": " Observamos que x al cuadrado menos 1 se puede simplificar. Tambi\u00e9n podemos sacar este 3, nos quedar\u00eda un tercio de la integral de dm sobre la ra\u00edz c\u00fabica de m."}, {"start": 191.0, "end": 207.0, "text": " Ahora esto nos queda como un tercio de la integral de dm sobre m a la un tercio."}, {"start": 207.0, "end": 226.0, "text": " Recordemos que la ra\u00edz c\u00fabica de m se convierte en m a la un tercio y procedemos a subir esta potencia quedando como m a la menos un tercio por dm."}, {"start": 226.0, "end": 242.0, "text": " Y esa constituye una integral b\u00e1sica o una integral directa. Recordemos que all\u00ed la propiedad que utilizamos es la integral de x a la n de x."}, {"start": 242.0, "end": 256.0, "text": " Donde tenemos que esto es igual a x a la n m\u00e1s 1 sobre n m\u00e1s 1 m\u00e1s c siempre y cuando n sea diferente de 1."}, {"start": 256.0, "end": 276.0, "text": " Entonces simplemente lo que vamos a hacer es sumarle 1 a la exponente menos un tercio. Esto nos queda as\u00ed. Ser\u00eda m a la menos un tercio m\u00e1s 1 que podemos obtener f\u00e1cilmente sumando estos dos numeritos."}, {"start": 276.0, "end": 289.0, "text": " Menos 1 m\u00e1s 3 nos da 2 y conservamos el denominador. Con este truquito sale r\u00e1pidamente el resultado de hacer menos un tercio m\u00e1s 1."}, {"start": 289.0, "end": 297.0, "text": " Entonces se suman estos dos n\u00fameros, el resultado se coloca en el numerador y se conserva el mismo denominador."}, {"start": 297.0, "end": 310.0, "text": " Este mismo resultado se escribe debajo de la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n y todo esto nos queda m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 310.0, "end": 328.0, "text": " Ahora hacemos aqu\u00ed la idea de la oreja sube s3 a multiplicar nos queda 3 por m a la 2 tercios por nuestro sobre 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 328.0, "end": 349.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar el 3, se elimina y nos queda entonces la expresi\u00f3n m a la 2 tercios sobre 2 y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 349.0, "end": 360.0, "text": " Cuando ya no podemos simplificar m\u00e1s esa expresi\u00f3n entonces cambiamos m por la expresi\u00f3n a la cual equivale."}, {"start": 360.0, "end": 380.0, "text": " Quedando entonces x al cubo menos 3x m\u00e1s 16 todo esto elevado al exponente 2 tercios y todo esto dividido entre 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 380.0, "end": 390.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a esta integral indefinida. All\u00ed terminamos."}]