INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 15
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK 

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para esta expresión, o sea la función que tenemos en el integrando. Para ello la escribimos por acá y vamos a realizar su transformación llevándola a una forma más sencilla. Comenzamos con este logaritmo donde vamos a utilizar la siguiente propiedad que es de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo de una potencia el exponente puede bajar a multiplicar, entonces en este caso nos queda Q por el logaritmo en la base A del argumento P. Entonces acá tendremos lo siguiente, X al cubo por esta X que baja a multiplicar al logaritmo natural del número E. Ahora vamos a recordar a que es igual el logaritmo natural de E. Recordemos que logaritmo natural es aquel que tiene como base el número P. Si tenemos logaritmo en base E del número E esto será igual a 1 porque E elevado al exponente 1 nos da como resultado la misma cantidad, o sea el número de Euler. Conclusión logaritmo natural de E equivale a 1 y de esa manera tendremos X al cubo por X por 1 nos da X a la 4. Recordemos que aquí esta X tiene exponente 1 y al multiplicarse potencias de la misma base se suman los exponentes. De esta manera la expresión que tenemos en el integrando equivale a X a la 4, entonces podemos reescribir el ejercicio, la integral definida desde menos 2 hasta 3 de la función X a la 4 con su respectivo diferencial de X. Esto que tenemos acá ya es una integral directa, recordemos que allí se utiliza esta propiedad, la integral de X a la N con su diferencial de X es igual a X a la N más 1 sobre N más 1 más la constante de integración, siempre que N sea una cantidad diferente de menos 1. Entonces en este caso tendremos que la integral es igual a X elevada a la 4 más 1 que es 5, esto sobre 5 utilizando esta propiedad y como tenemos una integral definida no se escribe la constante C sino que se traza esta línea y se anotan los límites de integración. Enseguida aplicamos el teorema fundamental del cálculo, recordemos que se evalúa primero el límite superior en la antiderivada y después se evalúa el límite inferior también en la antiderivada. Replazamos entonces el límite superior donde está la X, nos queda 3 a la 5 sobre 5 y a eso le restamos el reemplazo del límite inferior en esa expresión, tenemos menos 2, eso elevado a la 5 y todo sobre 5. Se recomienda utilizar paréntesis cuando los números entran a ocupar el lugar de la X. Lo que hacemos ahora es resolver con cuidado estas operaciones que corresponden a la aritmética, veamos entonces cómo nos queda, 3 elevado al exponente 5 nos da como resultado 243 y todo esto nos queda sobre 5, acá nos queda menos, menos 2 elevado al exponente 5 eso nos da menos 32, recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar produce como resultado una cantidad negativa y nos queda sobre 5. Aquí podemos aplicar ley de los signos, nos queda 243 sobre 5 más porque menos por menos nos da más la fracción 32 quintos. Llegamos así a una suma de fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador, recordemos que allí se conserva el denominador y se efectúa la suma de los numeradores. Resolvemos entonces esa operación que nos quedó en la parte de arriba, 243 más 32 nos da como resultado 275 y eso queda sobre 5. Finalmente resolvemos esta operación, 275 dividido entre 5 nos da como resultado 55 y esta será la respuesta para este ejercicio.
[{"start": 0.0, "end": 9.6, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y lo primero que tenemos que hacer"}, {"start": 9.6, "end": 17.92, "text": " es encontrar una antiderivada para esta expresi\u00f3n, o sea la funci\u00f3n que tenemos en el integrando."}, {"start": 17.92, "end": 23.68, "text": " Para ello la escribimos por ac\u00e1 y vamos a realizar su transformaci\u00f3n llev\u00e1ndola a"}, {"start": 23.68, "end": 26.16, "text": " una forma m\u00e1s sencilla."}, {"start": 26.16, "end": 33.8, "text": " Comenzamos con este logaritmo donde vamos a utilizar la siguiente propiedad que es de"}, {"start": 33.8, "end": 35.24, "text": " los logaritmos."}, {"start": 35.24, "end": 41.96, "text": " Si tenemos el logaritmo de una potencia el exponente puede bajar a multiplicar, entonces"}, {"start": 41.96, "end": 48.64, "text": " en este caso nos queda Q por el logaritmo en la base A del argumento P."}, {"start": 48.64, "end": 57.36, "text": " Entonces ac\u00e1 tendremos lo siguiente, X al cubo por esta X que baja a multiplicar al"}, {"start": 57.36, "end": 61.04, "text": " logaritmo natural del n\u00famero E."}, {"start": 61.04, "end": 67.04, "text": " Ahora vamos a recordar a que es igual el logaritmo natural de E."}, {"start": 67.04, "end": 73.6, "text": " Recordemos que logaritmo natural es aquel que tiene como base el n\u00famero P."}, {"start": 73.6, "end": 81.16, "text": " Si tenemos logaritmo en base E del n\u00famero E esto ser\u00e1 igual a 1 porque E elevado al"}, {"start": 81.16, "end": 87.91999999999999, "text": " exponente 1 nos da como resultado la misma cantidad, o sea el n\u00famero de Euler."}, {"start": 87.91999999999999, "end": 95.32, "text": " Conclusi\u00f3n logaritmo natural de E equivale a 1 y de esa manera tendremos X al cubo por"}, {"start": 95.32, "end": 98.88, "text": " X por 1 nos da X a la 4."}, {"start": 98.88, "end": 104.92, "text": " Recordemos que aqu\u00ed esta X tiene exponente 1 y al multiplicarse potencias de la misma"}, {"start": 104.92, "end": 108.96, "text": " base se suman los exponentes."}, {"start": 108.96, "end": 115.28, "text": " De esta manera la expresi\u00f3n que tenemos en el integrando equivale a X a la 4, entonces"}, {"start": 115.28, "end": 123.47999999999999, "text": " podemos reescribir el ejercicio, la integral definida desde menos 2 hasta 3 de la funci\u00f3n"}, {"start": 123.48, "end": 129.0, "text": " X a la 4 con su respectivo diferencial de X."}, {"start": 129.0, "end": 136.84, "text": " Esto que tenemos ac\u00e1 ya es una integral directa, recordemos que all\u00ed se utiliza esta propiedad,"}, {"start": 136.84, "end": 145.48000000000002, "text": " la integral de X a la N con su diferencial de X es igual a X a la N m\u00e1s 1 sobre N m\u00e1s"}, {"start": 145.48, "end": 154.67999999999998, "text": " 1 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n, siempre que N sea una cantidad diferente de menos"}, {"start": 154.67999999999998, "end": 155.67999999999998, "text": " 1."}, {"start": 155.67999999999998, "end": 166.76, "text": " Entonces en este caso tendremos que la integral es igual a X elevada a la 4 m\u00e1s 1 que es"}, {"start": 166.76, "end": 175.72, "text": " 5, esto sobre 5 utilizando esta propiedad y como tenemos una integral definida no se"}, {"start": 175.72, "end": 184.92, "text": " escribe la constante C sino que se traza esta l\u00ednea y se anotan los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 184.92, "end": 191.16, "text": " Enseguida aplicamos el teorema fundamental del c\u00e1lculo, recordemos que se eval\u00faa primero"}, {"start": 191.16, "end": 198.48, "text": " el l\u00edmite superior en la antiderivada y despu\u00e9s se eval\u00faa el l\u00edmite inferior tambi\u00e9n en"}, {"start": 198.48, "end": 200.48, "text": " la antiderivada."}, {"start": 200.48, "end": 207.48, "text": " Replazamos entonces el l\u00edmite superior donde est\u00e1 la X, nos queda 3 a la 5 sobre 5 y a"}, {"start": 207.48, "end": 216.07999999999998, "text": " eso le restamos el reemplazo del l\u00edmite inferior en esa expresi\u00f3n, tenemos menos 2, eso elevado"}, {"start": 216.07999999999998, "end": 219.32, "text": " a la 5 y todo sobre 5."}, {"start": 219.32, "end": 225.28, "text": " Se recomienda utilizar par\u00e9ntesis cuando los n\u00fameros entran a ocupar el lugar de la"}, {"start": 225.28, "end": 226.28, "text": " X."}, {"start": 226.28, "end": 234.2, "text": " Lo que hacemos ahora es resolver con cuidado estas operaciones que corresponden a la aritm\u00e9tica,"}, {"start": 234.2, "end": 243.48, "text": " veamos entonces c\u00f3mo nos queda, 3 elevado al exponente 5 nos da como resultado 243 y"}, {"start": 243.48, "end": 252.48, "text": " todo esto nos queda sobre 5, ac\u00e1 nos queda menos, menos 2 elevado al exponente 5 eso"}, {"start": 252.48, "end": 259.71999999999997, "text": " nos da menos 32, recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar produce"}, {"start": 259.71999999999997, "end": 266.15999999999997, "text": " como resultado una cantidad negativa y nos queda sobre 5."}, {"start": 266.16, "end": 274.16, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar ley de los signos, nos queda 243 sobre 5 m\u00e1s porque menos por menos"}, {"start": 274.16, "end": 280.24, "text": " nos da m\u00e1s la fracci\u00f3n 32 quintos."}, {"start": 280.24, "end": 287.40000000000003, "text": " Llegamos as\u00ed a una suma de fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el mismo denominador, recordemos"}, {"start": 287.4, "end": 297.32, "text": " que all\u00ed se conserva el denominador y se efect\u00faa la suma de los numeradores."}, {"start": 297.32, "end": 303.91999999999996, "text": " Resolvemos entonces esa operaci\u00f3n que nos qued\u00f3 en la parte de arriba, 243 m\u00e1s 32 nos"}, {"start": 303.91999999999996, "end": 309.84, "text": " da como resultado 275 y eso queda sobre 5."}, {"start": 309.84, "end": 319.52, "text": " Finalmente resolvemos esta operaci\u00f3n, 275 dividido entre 5 nos da como resultado 55 y"}, {"start": 319.52, "end": 340.56, "text": " esta ser\u00e1 la respuesta para este ejercicio."}]