CUERDAS QUE SE CORTAN EN UNA CIRCUNFERENCIA (Parte 1)
#julioprofe demuestra la propiedad que cumplen dos cuerdas que se cortan en una circunferencia. Luego, explica un ejemplo.

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

APP JULIOPROFE

Para Android → https://goo.gl/XsJRwN

Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6
 Si en una circunferencia trazamos un segmento que une dos puntos A y B de la circunferencia, entonces tenemos lo que se llama una cuerda. Si se define cuerda como el segmento que une dos puntos de la circunferencia. En este caso tenemos la cuerda AB. Si desde el punto A trazamos otra cuerda, es decir otro segmento en la circunferencia que llega a este punto que vamos a llamar C. Entonces tenemos este ángulo que se llama ángulo inscrito. Entonces ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, sobre la línea y sus lados son cuerdas de la circunferencia. En este caso tenemos el ángulo BAC. Se denota con las tres letras colocando en el centro la letra correspondiente al vértice. Vemos que este ángulo subtiende o abarca este arco llamado BC. Entonces la medida del ángulo inscrito, en este caso la medida del ángulo BAC, será igual a la mitad del arco que subtiende. Es decir, será la medida del arco BC dividida entre dos. Usualmente estos arcos se denotan en grados, por lo tanto si por ejemplo este arco vale 60 grados, entonces este ángulo vale la mitad de 60 grados, es decir 30 grados. Siempre la medida de un ángulo inscrito será la mitad del arco que subtiende. Bien, ahora conseguiremos el siguiente caso. Tenemos una circunferencia con centro NO y hemos dibujado dos cuerdas que vamos a llamar la cuerda AB y la cuerda CD. Cuerdas que se intersectan en el punto que vamos a llamar B. Entonces vemos que las cuerdas quedan divididas en segmentos. Por ejemplo la cuerda AB queda dividida en el segmento AP y el segmento PB. Y la cuerda DC queda dividida en el segmento DP y el segmento PC. Si unimos el punto A con el punto D con un segmento y el punto C con el punto B con otro segmento, es decir, otras dos cuerdas, entonces vemos dos triángulos que se nos forman que son el triángulo APD y el triángulo CPB. Y entonces vamos a mirar en esos triángulos las siguientes características. Tenemos que este ángulo, el ángulo DAB es un ángulo inscrito porque tiene su vértice sobre la circunferencia, es decir, el punto A y sus lados son las cuerdas AD y AB. Igual sucede con este ángulo que también tiene su vértice sobre la circunferencia, que es el punto C, y sus lados son las cuerdas CD y CB. Pero observamos que estos dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco de B. Por lo tanto, sus medidas van a ser iguales. Entonces podemos marcarlos como ángulos congruentes, ángulos que tienen la misma medida. Son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco. Situación similar sucede para estos dos ángulos. Así que el ángulo ADC y el ángulo ABC son ángulos inscritos, también congruentes, que vamos a marcar con estas tres líneas, porque subtienden el mismo arco AC. Ambos ángulos formados por cuerdas comprenden el mismo arco, por lo tanto tienen la misma medida. Entonces son congruentes. Y también tenemos el caso de este ángulo, que es congruente con este. Vamos a colocarle esta marquita. Estos ángulos se llaman opuestos por el vértice. Tienen la misma medida. Tenemos entonces dos triángulos que tienen exactamente los mismos ángulos. Vemos que el triángulo ADP, que se representa de esta manera, y el triángulo CPB tienen exactamente los mismos ángulos. Aquí los podemos apreciar. Por lo tanto, son triángulos semejantes. Este es el símbolo de semejanza, en este caso entre triángulos. Y la justificación de eso es el criterio o el postulado ángulo-ángulo-ángulo. Por tener exactamente los mismos ángulos, las dos figuras, es decir, los dos triángulos, son semejantes. Por tratarse de triángulos semejantes, podemos armar una proporción entre lados correspondientes. Por ejemplo, podríamos tomar este lado con este y este con este, guiándonos por las marcas o los colores que utilizamos. Entonces decimos AP es APC, como DP es APB. Hemos armado una proporción. Recordemos que en matemáticas una proporción es la igualdad de dos razones. Es la comparación de lados. Entonces este lado con este guarda la misma relación que este con este de acá. Y en toda proporción recordemos que se cumple que el producto de los extremos, que son estos dos elementos, es igual al producto de los medios, que son estos dos de acá. Entonces tenemos que AP por PB es igual a PC por DP. Esta propiedad es la que cumplen dos cuerdas que se cortan en una circunferencia. Que tenemos aquí? Que el segmento AP multiplicado por la medida del segmento PB es igual a la medida de PC por la medida del segmento DP. Entonces esto dice en palabras así. Si dos cuerdas se cortan en una circunferencia, entonces el producto de los segmentos en que quedan divididas dichas cuerdas es igual. Aquí tenemos entonces la propiedad demostrada. Veamos un ejemplo de aplicación de esta propiedad. Vemos que tenemos las mismas dos cuerdas y tenemos unos valores. El segmento AP vale 10, el segmento PB vale 6, el segmento PT vale 15. Y nos preguntan por la medida del segmento PC que hemos llamado X. Entonces aplicando la propiedad que mencionábamos ahora y que demostramos, la propiedad de las cuerdas tenemos que AP por PB. Este segmento por este tiene que ser igual a este por este. Es decir CP por PD. Entonces, reemplazamos los valores. AP vale 10 por PB que vale 6. Esto es igual a CP que es X. El tramo desconocido por PD que vale 15. Y tenemos entonces una ecuación de donde tenemos que despejar X. Vamos a pasar este 15 que está multiplicando a dividir al otro lado. Aquí tenemos 10 por 6 y nos queda dividido entre 15. Allí podríamos simplificar por ejemplo 10 con 15. Le sacamos quinta. Quinta de 10 es 2. Quinta de 15 es 3. Y podríamos sacarle también tercera a 3 y a 6. Tercera de 3 es 1. Tercera de 6 nos da 2. ¿Qué nos quedó? 2 por 2 que es 4. Por lo tanto, X vale 4. Sería entonces la medida del segmento CP.
[{"start": 0.0, "end": 16.0, "text": " Si en una circunferencia trazamos un segmento que une dos puntos A y B de la circunferencia, entonces tenemos lo que se llama una cuerda."}, {"start": 16.0, "end": 23.0, "text": " Si se define cuerda como el segmento que une dos puntos de la circunferencia."}, {"start": 23.0, "end": 26.0, "text": " En este caso tenemos la cuerda AB."}, {"start": 26.0, "end": 40.0, "text": " Si desde el punto A trazamos otra cuerda, es decir otro segmento en la circunferencia que llega a este punto que vamos a llamar C."}, {"start": 40.0, "end": 48.0, "text": " Entonces tenemos este \u00e1ngulo que se llama \u00e1ngulo inscrito."}, {"start": 48.0, "end": 61.0, "text": " Entonces \u00e1ngulo inscrito es aquel que tiene su v\u00e9rtice en la circunferencia, sobre la l\u00ednea y sus lados son cuerdas de la circunferencia."}, {"start": 61.0, "end": 66.0, "text": " En este caso tenemos el \u00e1ngulo BAC."}, {"start": 66.0, "end": 73.0, "text": " Se denota con las tres letras colocando en el centro la letra correspondiente al v\u00e9rtice."}, {"start": 73.0, "end": 81.0, "text": " Vemos que este \u00e1ngulo subtiende o abarca este arco llamado BC."}, {"start": 81.0, "end": 95.0, "text": " Entonces la medida del \u00e1ngulo inscrito, en este caso la medida del \u00e1ngulo BAC, ser\u00e1 igual a la mitad del arco que subtiende."}, {"start": 95.0, "end": 102.0, "text": " Es decir, ser\u00e1 la medida del arco BC dividida entre dos."}, {"start": 102.0, "end": 117.0, "text": " Usualmente estos arcos se denotan en grados, por lo tanto si por ejemplo este arco vale 60 grados, entonces este \u00e1ngulo vale la mitad de 60 grados, es decir 30 grados."}, {"start": 117.0, "end": 124.0, "text": " Siempre la medida de un \u00e1ngulo inscrito ser\u00e1 la mitad del arco que subtiende."}, {"start": 124.0, "end": 127.0, "text": " Bien, ahora conseguiremos el siguiente caso."}, {"start": 127.0, "end": 139.0, "text": " Tenemos una circunferencia con centro NO y hemos dibujado dos cuerdas que vamos a llamar la cuerda AB y la cuerda CD."}, {"start": 139.0, "end": 144.0, "text": " Cuerdas que se intersectan en el punto que vamos a llamar B."}, {"start": 144.0, "end": 149.0, "text": " Entonces vemos que las cuerdas quedan divididas en segmentos."}, {"start": 149.0, "end": 157.0, "text": " Por ejemplo la cuerda AB queda dividida en el segmento AP y el segmento PB."}, {"start": 157.0, "end": 164.0, "text": " Y la cuerda DC queda dividida en el segmento DP y el segmento PC."}, {"start": 164.0, "end": 175.0, "text": " Si unimos el punto A con el punto D con un segmento y el punto C con el punto B con otro segmento, es decir, otras dos cuerdas,"}, {"start": 175.0, "end": 185.0, "text": " entonces vemos dos tri\u00e1ngulos que se nos forman que son el tri\u00e1ngulo APD y el tri\u00e1ngulo CPB."}, {"start": 185.0, "end": 190.0, "text": " Y entonces vamos a mirar en esos tri\u00e1ngulos las siguientes caracter\u00edsticas."}, {"start": 190.0, "end": 200.0, "text": " Tenemos que este \u00e1ngulo, el \u00e1ngulo DAB es un \u00e1ngulo inscrito porque tiene su v\u00e9rtice sobre la circunferencia,"}, {"start": 200.0, "end": 206.0, "text": " es decir, el punto A y sus lados son las cuerdas AD y AB."}, {"start": 206.0, "end": 219.0, "text": " Igual sucede con este \u00e1ngulo que tambi\u00e9n tiene su v\u00e9rtice sobre la circunferencia, que es el punto C, y sus lados son las cuerdas CD y CB."}, {"start": 219.0, "end": 227.0, "text": " Pero observamos que estos dos \u00e1ngulos inscritos subtienden el mismo arco de B."}, {"start": 227.0, "end": 231.0, "text": " Por lo tanto, sus medidas van a ser iguales."}, {"start": 231.0, "end": 238.0, "text": " Entonces podemos marcarlos como \u00e1ngulos congruentes, \u00e1ngulos que tienen la misma medida."}, {"start": 238.0, "end": 243.0, "text": " Son \u00e1ngulos inscritos que subtienden el mismo arco."}, {"start": 243.0, "end": 248.0, "text": " Situaci\u00f3n similar sucede para estos dos \u00e1ngulos."}, {"start": 248.0, "end": 262.0, "text": " As\u00ed que el \u00e1ngulo ADC y el \u00e1ngulo ABC son \u00e1ngulos inscritos, tambi\u00e9n congruentes, que vamos a marcar con estas tres l\u00edneas,"}, {"start": 262.0, "end": 266.0, "text": " porque subtienden el mismo arco AC."}, {"start": 266.0, "end": 275.0, "text": " Ambos \u00e1ngulos formados por cuerdas comprenden el mismo arco, por lo tanto tienen la misma medida."}, {"start": 275.0, "end": 278.0, "text": " Entonces son congruentes."}, {"start": 278.0, "end": 283.0, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos el caso de este \u00e1ngulo, que es congruente con este."}, {"start": 283.0, "end": 286.0, "text": " Vamos a colocarle esta marquita."}, {"start": 286.0, "end": 290.0, "text": " Estos \u00e1ngulos se llaman opuestos por el v\u00e9rtice."}, {"start": 290.0, "end": 293.0, "text": " Tienen la misma medida."}, {"start": 293.0, "end": 299.0, "text": " Tenemos entonces dos tri\u00e1ngulos que tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 299.0, "end": 316.0, "text": " Vemos que el tri\u00e1ngulo ADP, que se representa de esta manera, y el tri\u00e1ngulo CPB tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 316.0, "end": 319.0, "text": " Aqu\u00ed los podemos apreciar."}, {"start": 319.0, "end": 322.0, "text": " Por lo tanto, son tri\u00e1ngulos semejantes."}, {"start": 322.0, "end": 327.0, "text": " Este es el s\u00edmbolo de semejanza, en este caso entre tri\u00e1ngulos."}, {"start": 327.0, "end": 334.0, "text": " Y la justificaci\u00f3n de eso es el criterio o el postulado \u00e1ngulo-\u00e1ngulo-\u00e1ngulo."}, {"start": 334.0, "end": 343.0, "text": " Por tener exactamente los mismos \u00e1ngulos, las dos figuras, es decir, los dos tri\u00e1ngulos, son semejantes."}, {"start": 343.0, "end": 351.0, "text": " Por tratarse de tri\u00e1ngulos semejantes, podemos armar una proporci\u00f3n entre lados correspondientes."}, {"start": 351.0, "end": 363.0, "text": " Por ejemplo, podr\u00edamos tomar este lado con este y este con este, gui\u00e1ndonos por las marcas o los colores que utilizamos."}, {"start": 363.0, "end": 379.0, "text": " Entonces decimos AP es APC, como DP es APB."}, {"start": 379.0, "end": 388.0, "text": " Hemos armado una proporci\u00f3n. Recordemos que en matem\u00e1ticas una proporci\u00f3n es la igualdad de dos razones."}, {"start": 388.0, "end": 390.0, "text": " Es la comparaci\u00f3n de lados."}, {"start": 390.0, "end": 396.0, "text": " Entonces este lado con este guarda la misma relaci\u00f3n que este con este de ac\u00e1."}, {"start": 396.0, "end": 408.0, "text": " Y en toda proporci\u00f3n recordemos que se cumple que el producto de los extremos, que son estos dos elementos, es igual al producto de los medios, que son estos dos de ac\u00e1."}, {"start": 408.0, "end": 421.0, "text": " Entonces tenemos que AP por PB es igual a PC por DP."}, {"start": 421.0, "end": 428.0, "text": " Esta propiedad es la que cumplen dos cuerdas que se cortan en una circunferencia."}, {"start": 428.0, "end": 442.0, "text": " Que tenemos aqu\u00ed? Que el segmento AP multiplicado por la medida del segmento PB es igual a la medida de PC por la medida del segmento DP."}, {"start": 442.0, "end": 445.0, "text": " Entonces esto dice en palabras as\u00ed."}, {"start": 445.0, "end": 458.0, "text": " Si dos cuerdas se cortan en una circunferencia, entonces el producto de los segmentos en que quedan divididas dichas cuerdas es igual."}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la propiedad demostrada."}, {"start": 466.0, "end": 470.0, "text": " Veamos un ejemplo de aplicaci\u00f3n de esta propiedad."}, {"start": 470.0, "end": 476.0, "text": " Vemos que tenemos las mismas dos cuerdas y tenemos unos valores."}, {"start": 476.0, "end": 484.0, "text": " El segmento AP vale 10, el segmento PB vale 6, el segmento PT vale 15."}, {"start": 484.0, "end": 490.0, "text": " Y nos preguntan por la medida del segmento PC que hemos llamado X."}, {"start": 490.0, "end": 504.0, "text": " Entonces aplicando la propiedad que mencion\u00e1bamos ahora y que demostramos, la propiedad de las cuerdas tenemos que AP por PB."}, {"start": 504.0, "end": 510.0, "text": " Este segmento por este tiene que ser igual a este por este."}, {"start": 510.0, "end": 515.0, "text": " Es decir CP por PD."}, {"start": 515.0, "end": 520.0, "text": " Entonces, reemplazamos los valores."}, {"start": 520.0, "end": 527.0, "text": " AP vale 10 por PB que vale 6."}, {"start": 527.0, "end": 531.0, "text": " Esto es igual a CP que es X."}, {"start": 531.0, "end": 535.0, "text": " El tramo desconocido por PD que vale 15."}, {"start": 535.0, "end": 541.0, "text": " Y tenemos entonces una ecuaci\u00f3n de donde tenemos que despejar X."}, {"start": 541.0, "end": 546.0, "text": " Vamos a pasar este 15 que est\u00e1 multiplicando a dividir al otro lado."}, {"start": 546.0, "end": 552.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos 10 por 6 y nos queda dividido entre 15."}, {"start": 552.0, "end": 556.0, "text": " All\u00ed podr\u00edamos simplificar por ejemplo 10 con 15."}, {"start": 556.0, "end": 561.0, "text": " Le sacamos quinta. Quinta de 10 es 2. Quinta de 15 es 3."}, {"start": 561.0, "end": 565.0, "text": " Y podr\u00edamos sacarle tambi\u00e9n tercera a 3 y a 6."}, {"start": 565.0, "end": 570.0, "text": " Tercera de 3 es 1. Tercera de 6 nos da 2."}, {"start": 570.0, "end": 576.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 nos qued\u00f3? 2 por 2 que es 4. Por lo tanto, X vale 4."}, {"start": 576.0, "end": 605.0, "text": " Ser\u00eda entonces la medida del segmento CP."}]