ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DE SU LADO
#julioprofe explica cómo expresar el área A de un triángulo equilátero como una función de su lado L.

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 Vamos a expresar el área A de un triángulo equilátero en función de su lado L. Simbólicamente lo que buscamos es A como una función de la variable L. Necesitamos encontrar una expresión matemática de tal forma que el área del triángulo equilátero nos quede en términos de su lado L. Comenzamos haciendo el dibujo de un triángulo equilátero. Recordemos que se caracteriza porque sus tres lados son iguales. Entonces cada uno de ellos se denota con la letra L y enseguida vamos a trazar la altura de este triángulo, el segmento que va desde este vértice y cae perpendicular a la base. Allí podemos observarlo. Se trata del segmento que nombramos con la letra H por ser la altura del triángulo y como decíamos es perpendicular a la base, o sea que aquí forma un ángulo recto, o sea de 90 grados. En el triángulo equilátero este segmento que es la altura también hace el papel de mediana, es decir que parte este lado en dos segmentos iguales. Vamos a colocarles estas marcas para indicar que son congruentes o que tienen la misma longitud. Entonces cada uno de ellos tendrá un valor de L medios. Vamos a escribir eso por aquí porque como decíamos la base que vale L queda partida en dos segmentos iguales. Ahora vamos a considerar este triángulo y vamos a dibujarlo por acá. Aquí podemos observarlo con los valores de sus lados. Tenemos en ese caso un triángulo rectángulo, un triángulo que tiene dos lados que son los catetos, los que son perpendiculares entre sí, que son H y L medios, y tenemos el otro lado, el que está al frente del ángulo recto que se llama la hipotenusa y que en este caso vale L. Recordemos que en todos los triángulos rectángulos se cumple el teorema de Pitágoras. Entonces vamos a aplicarlo en este caso. El teorema de Pitágoras nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos, es decir H al cuadrado más L medios al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa, en este caso L al cuadrado. De allí vamos a realizar poco a poco el despeje de H en términos de L. Tendremos entonces H al cuadrado más, esto nos queda L al cuadrado sobre 4. El exponente afecta al numerador y al denominador. Entonces en el numerador L al cuadrado y en el denominador 2 al cuadrado que es 4. Al otro lado del signo igual tenemos L al cuadrado. De allí vamos a despejar este componente. Vamos a continuar por acá. Tenemos H al cuadrado será igual a L al cuadrado menos este componente que es L al cuadrado sobre 4. Si está sumando pasa al otro lado a restar. Enseguida vamos a resolver esta operación. Vamos a escribirle denominador 1 al término L al cuadrado. Entonces tendremos lo siguiente. H al cuadrado es igual a una línea horizontal que trazamos y vamos a utilizar allí el truco o la técnica de la carita feliz. Veamos, estos dos se multiplican, eso nos da L al cuadrado por 4 que es 4 L al cuadrado menos, o sea el signo que tenemos entre las dos fracciones. Después estos dos se multiplican, o sea 1 por L al cuadrado que es L al cuadrado. Y en el denominador multiplicamos esos dos números, o sea 1 por 4 que nos da 4. Se llama la carita feliz por esa figura que forman esas líneas. Bien, ahora vamos a operar en el numerador esos dos términos semejantes. Tendremos H al cuadrado igual a 4 L al cuadrado menos L al cuadrado, eso nos da 3 L al cuadrado. Hacemos la resta de los términos semejantes y en el denominador seguimos conservando el 4. Ahora para despejar H vamos a tomar raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Raíz cuadrada en el lado izquierdo y raíz cuadrada a lo que tenemos en el lado derecho. Nos queda entonces de esta manera. En el lado izquierdo la raíz cuadrada de H al cuadrado es valor absoluto de H. Y en el lado derecho tendremos que la raíz se reparte inicialmente para el numerador y para el denominador. Pero a su vez, como en el numerador tenemos una multiplicación, entonces el radical afecta a esos dos componentes. En otras palabras tendremos raíz cuadrada de 3 por raíz cuadrada de L al cuadrado y todo esto sobre la raíz cuadrada de 4. Aquí estamos aplicando una propiedad de la radicación. Recordemos que esa operación se puede repartir en multiplicación y división. Como H es una distancia, es la longitud de este segmento que corresponde a la altura del triángulo, entonces tiene que ser una cantidad positiva. Por esa razón, valor absoluto de H, podemos escribirlo simplemente como H. Y en este lado tendremos raíz cuadrada de 3. Esa raíz la dejamos expresada por tratarse de una raíz inexacta. Acá tendremos la raíz cuadrada de L al cuadrado que sería inicialmente valor absoluto de L. Pero sucede lo mismo que con H, como L es la longitud del lado del triángulo equilátero, es una cantidad positiva. Entonces valor absoluto de L podemos dejarlo simplemente como L. Y todo esto nos queda sobre la raíz cuadrada de 4 que es 2. De esta manera, logramos expresar la altura del triángulo equilátero en términos del lado L. Entonces vamos a escribir esa expresión por acá. H será igual a la raíz cuadrada de 3, eso por L y todo eso sobre 2. Lo que hacemos enseguida es utilizar la fórmula de la geometría para encontrar el área de cualquier triángulo. Recordemos que es base por altura sobre 2. Y también puede escribirse como un medio de B por H. Las dos expresiones son exactamente lo mismo. Entonces vamos a reemplazar la información que conocemos utilizando esta de acá. Tendremos un medio por la base del triángulo que será L y esto multiplicado por la altura que nos dio la raíz cuadrada de 3 por L y todo esto sobre 2. Ahora vamos a resolver estas multiplicaciones. A esta L le escribimos denominador 1. Tendremos entonces A igual a lo siguiente. Multiplicamos numeradores entre sí. 1 por L por raíz cuadrada de 3 por L. Lo podemos organizar como L al cuadrado por raíz de 3. Y en el denominador tendremos 2 por 1 por 2 que nos da como resultado 4. De esta manera hemos encontrado lo que nos pedía el ejercicio. Tenemos aquí el área del triángulo equilátero como una expresión de su lado L. O sea A como función de L. Con esto terminamos.
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