DERIVACIÓN LOGARÍTMICA - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo usar la Derivación Logarítmica para obtener la primera derivada de una función. 

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 ¿Qué es la derivación de la función f de x? Vamos a derivar la función f de x igual a x elevado a la x. Para comenzar podemos cambiar f de x por la letra y o y. y es igual a x elevado a la x. Y vamos a utilizar lo que se conoce como derivación logarítmica. Es decir, debemos tomar logaritmo a ambos lados de la expresión. Conviene utilizar logaritmo natural. Entonces colocamos logaritmo natural a ambos lados de la expresión. Y en este lado vamos a aplicar una propiedad de los logaritmos que nos permite bajar este exponente a multiplicar delante del logaritmo. Y allí ya podemos iniciar la derivada. En este caso, como la letra y hace parte del logaritmo natural entonces debemos derivar implícitamente. Vamos a derivar ambos lados de la expresión con respecto a la variable x. Entonces la derivada del logaritmo natural de y o y se liga en el denominador la y y en el numerador la derivada de y. Te vamos a representar como y'. Vamos a recordar la propiedad de la derivada del logaritmo natural. Por ejemplo, si tenemos logaritmo natural de u, su derivada será u' sobre u. Es decir, esto lo escribimos en el denominador y en el numerador escribimos la derivada de lo que quedó en el denominador. Entonces con esta propiedad hemos derivado este lado de la expresión. Y pasamos al lado derecho donde nos encontramos un producto. Entonces vamos a derivar utilizando la regla del producto. Derivada del primero sería 1 porque estamos derivando con respecto a x por el segundo sin derivar que es logaritmo natural de x más el primero sin derivar que es x multiplicado por la derivada del segundo componente y la derivada del logaritmo natural de x será 1 sobre x. Vamos a pulir la expresión de la siguiente manera. Esto nos queda igual y' sobre y es igual a 1 por logaritmo natural de x más x multiplicado por 1 sobre x. Aquí podemos cancelar la x y nos queda 1. Y entonces de allí vamos a despejar y', es decir, la derivada, pasando esta y que se encuentra dividiendo a multiplicar al lado derecho. Entonces nos queda y que multiplica al logaritmo natural de x más 1. Finalmente vamos a hacer el siguiente cambio. y' lo convertimos en dy de x que sería entonces la derivada de la función y con respecto a la variable x o incluso lo podríamos convertir en f' de x. Es exactamente lo mismo y esto es igual a lo siguiente. Cambiamos esta letra, esta y, por su equivalente que es x elevado a la x y eso multiplicado por el logaritmo natural de x más 1 y de esa manera hemos conseguido la derivada de la función que nos propone originalmente.
[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es la derivaci\u00f3n de la funci\u00f3n f de x?"}, {"start": 5.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a derivar la funci\u00f3n f de x igual a x elevado a la x."}, {"start": 11.0, "end": 17.0, "text": " Para comenzar podemos cambiar f de x por la letra y o y."}, {"start": 17.0, "end": 20.0, "text": " y es igual a x elevado a la x."}, {"start": 20.0, "end": 24.0, "text": " Y vamos a utilizar lo que se conoce como derivaci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 24.0, "end": 28.0, "text": " Es decir, debemos tomar logaritmo a ambos lados de la expresi\u00f3n."}, {"start": 28.0, "end": 32.0, "text": " Conviene utilizar logaritmo natural."}, {"start": 32.0, "end": 38.0, "text": " Entonces colocamos logaritmo natural a ambos lados de la expresi\u00f3n."}, {"start": 38.0, "end": 42.0, "text": " Y en este lado vamos a aplicar una propiedad de los logaritmos"}, {"start": 42.0, "end": 48.0, "text": " que nos permite bajar este exponente a multiplicar delante del logaritmo."}, {"start": 48.0, "end": 50.0, "text": " Y all\u00ed ya podemos iniciar la derivada."}, {"start": 50.0, "end": 55.0, "text": " En este caso, como la letra y hace parte del logaritmo natural"}, {"start": 55.0, "end": 58.0, "text": " entonces debemos derivar impl\u00edcitamente."}, {"start": 58.0, "end": 63.0, "text": " Vamos a derivar ambos lados de la expresi\u00f3n con respecto a la variable x."}, {"start": 63.0, "end": 71.0, "text": " Entonces la derivada del logaritmo natural de y o y se liga en el denominador la y"}, {"start": 71.0, "end": 73.0, "text": " y en el numerador la derivada de y."}, {"start": 73.0, "end": 75.0, "text": " Te vamos a representar como y'."}, {"start": 75.0, "end": 80.0, "text": " Vamos a recordar la propiedad de la derivada del logaritmo natural."}, {"start": 80.0, "end": 87.0, "text": " Por ejemplo, si tenemos logaritmo natural de u, su derivada ser\u00e1 u' sobre u."}, {"start": 87.0, "end": 95.0, "text": " Es decir, esto lo escribimos en el denominador y en el numerador escribimos la derivada de lo que qued\u00f3 en el denominador."}, {"start": 95.0, "end": 99.0, "text": " Entonces con esta propiedad hemos derivado este lado de la expresi\u00f3n."}, {"start": 99.0, "end": 104.0, "text": " Y pasamos al lado derecho donde nos encontramos un producto."}, {"start": 104.0, "end": 107.0, "text": " Entonces vamos a derivar utilizando la regla del producto."}, {"start": 107.0, "end": 116.0, "text": " Derivada del primero ser\u00eda 1 porque estamos derivando con respecto a x por el segundo sin derivar que es logaritmo natural de x"}, {"start": 116.0, "end": 123.0, "text": " m\u00e1s el primero sin derivar que es x multiplicado por la derivada del segundo componente"}, {"start": 123.0, "end": 129.0, "text": " y la derivada del logaritmo natural de x ser\u00e1 1 sobre x."}, {"start": 129.0, "end": 133.0, "text": " Vamos a pulir la expresi\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 133.0, "end": 146.0, "text": " Esto nos queda igual y' sobre y es igual a 1 por logaritmo natural de x m\u00e1s x multiplicado por 1 sobre x."}, {"start": 146.0, "end": 149.0, "text": " Aqu\u00ed podemos cancelar la x y nos queda 1."}, {"start": 149.0, "end": 154.0, "text": " Y entonces de all\u00ed vamos a despejar y', es decir, la derivada,"}, {"start": 154.0, "end": 160.0, "text": " pasando esta y que se encuentra dividiendo a multiplicar al lado derecho."}, {"start": 160.0, "end": 165.0, "text": " Entonces nos queda y que multiplica al logaritmo natural de x m\u00e1s 1."}, {"start": 165.0, "end": 168.0, "text": " Finalmente vamos a hacer el siguiente cambio."}, {"start": 168.0, "end": 176.0, "text": " y' lo convertimos en dy de x que ser\u00eda entonces la derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable x"}, {"start": 176.0, "end": 180.0, "text": " o incluso lo podr\u00edamos convertir en f' de x."}, {"start": 180.0, "end": 184.0, "text": " Es exactamente lo mismo y esto es igual a lo siguiente."}, {"start": 184.0, "end": 191.0, "text": " Cambiamos esta letra, esta y, por su equivalente que es x elevado a la x"}, {"start": 191.0, "end": 196.0, "text": " y eso multiplicado por el logaritmo natural de x m\u00e1s 1"}, {"start": 196.0, "end": 215.0, "text": " y de esa manera hemos conseguido la derivada de la funci\u00f3n que nos propone originalmente."}]