Ejercicio 2 de CIRCUNFERENCIA
#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación de una circunferencia si se conocen los puntos extremos de un diámetro.

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 Hayar la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro con extremos en los puntos P-1,3 y Q-7,5 Para empezar podríamos dibujar una circunferencia donde podamos visualizar la información que nos están dando Es el centro de la circunferencia y podemos trazar un diámetro, cualquiera de los múltiples diámetros que tiene una circunferencia De tal forma que en un extremo vamos a localizar el punto P de coordenada menos 1,3, este de acá Y en el otro extremo el punto Q de coordenada 7,-5, es decir, las dos coordenadas que nos dan Como el diámetro pasa por el centro, vamos a averiguar la coordenada de ese centro Normalmente en una circunferencia se denomina el centro como la pareja H,K Como el centro es el punto medio del segmento PQ, entonces vamos a calcularlo con la formulita de punto medio Para ello debemos nombrar las coordenadas de los puntos dados como X1,Y1 y X2,Y2 Para encontrar H aplicamos la siguiente formulita, X1 más X2 sobre 2, es decir, menos 1 más 7 sobre 2 Esto nos da 6 medios que es igual a 3 Para encontrar K que es la coordenada en Y del punto medio, vamos a usar la fórmula Y1 más Y2 sobre 2 Es decir, Y1 que vale 3 más Y2 que es menos 5, todo esto sobre 2 Si sumamos 3 con menos 5 eso nos da menos 2 y eso dividido entre 2 nos queda menos 1 Por lo tanto tenemos el centro de la circunferencia en el punto 3,-1, es decir, tenemos H y K Por otro lado debemos encontrar el radio de la circunferencia El radio puede ser calculado como la distancia entre C y P o entre C y Q Vamos a tomar por ejemplo la distancia de C a Q que va a ser nuestro radio Los puntos extremos son C que vale 3,-1 y Q que vale 7,-5 En este caso volvemos a denominar los puntos como X1,Y1 y X2,Y2 Y vamos a utilizar la fórmula para calcular la distancia entre 2 puntos del plano cartesiano Que dice así, raíz cuadrada de X2 menos X1 al cuadrado más Y2 menos Y1 al cuadrado Si reemplazamos los valores obtenidos tenemos que la distancia que vamos a calcular de es el radio del circulo Por lo tanto aquí podemos escribir R y es igual a la raíz cuadrada de, abrimos paréntesis, X2 que vale 7,-X1 que vale 3 Cerramos paréntesis al cuadrado más Y2 que vale menos 5, menos este menos de aquí, Y1 que es menos 1 Pero menos menos 1 quedaría más 1 al cuadrado Vamos a resolver esa operación, esas operaciones de aquí, entonces nos va a quedar de la siguiente manera Coloquemos esto por acá, tendremos que el radio es igual a raíz cuadrada de 7 menos 3 nos da 4, 4 al cuadrado sería 16, menos 5 más 1 daría menos 4 y menos 4 al cuadrado sería 16 Tenemos entonces que el radio es igual a la raíz cuadrada de 16 más 16, 32 Teniendo ya la coordenada del centro que era la pareja 3,-1 y el radio que es raíz de 32 Vamos a utilizar la fórmula X menos H al cuadrado más Y menos K al cuadrado igual a radio al cuadrado Es decir lo que se conoce como la ecuación canónica o estándar de una circunferencia con centro HK y radio R Reemplazando la información que teníamos, veamos, el centro estaba con H igual a 3 Ahí reemplazamos H, queda X menos 3 al cuadrado más Y menos K, pero K es menos 1 Si aquí entra menos 1 con este menos nos queda más 1 al cuadrado Igual al radio que es raíz de 32, pero raíz de 32 elevado al cuadrado nos da 32 De esta manera hemos encontrado la ecuación de la circunferencia en su forma canónica o estándar Nos podrían pedir también la ecuación en la forma general, para ello tenemos que desarrollar estos binomios al cuadrado Recordemos que un binomio al cuadrado se desarrolla con la fórmula A más B al cuadrado es igual al primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado Si aquí tenemos signo menos, pues aquí también tendremos signo menos Entonces vamos a desarrollar X menos 3 al cuadrado, sería el primero al cuadrado que sería X a la 2 menos dos veces el primero por el segundo, es decir, 2 por X por 3 nos da 6X más el segundo al cuadrado, 3 al cuadrado sería 9 más el desarrollo de este binomio al cuadrado que sería el primero al cuadrado, Y a la 2 más dos veces el primero por el segundo, o sea, 2 por Y por 1 sería 2Y más el segundo al cuadrado, es decir, 1 a la 2 es igual a 1 y al otro lado tenemos 32 Organizamos la ecuación empezando con X al cuadrado, luego más Y al cuadrado luego menos 6X, luego más 2Y y por último los números que están solos, es decir, los términos independientes Veamos, 9 más 1 sería 10, pero si traemos el 32 a restar nos queda 10 menos 32 que es igual a menos 22 y esto queda igual a 0 De esta manera hemos encontrado entonces la ecuación de la circunferencia en su forma general La respuesta se puede presentar de cualquiera de estas dos maneras
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"text": " Igual al radio que es ra\u00edz de 32, pero ra\u00edz de 32 elevado al cuadrado nos da 32"}, {"start": 344.0, "end": 352.0, "text": " De esta manera hemos encontrado la ecuaci\u00f3n de la circunferencia en su forma can\u00f3nica o est\u00e1ndar"}, {"start": 352.0, "end": 358.0, "text": " Nos podr\u00edan pedir tambi\u00e9n la ecuaci\u00f3n en la forma general, para ello tenemos que desarrollar estos binomios al cuadrado"}, {"start": 358.0, "end": 366.0, "text": " Recordemos que un binomio al cuadrado se desarrolla con la f\u00f3rmula A m\u00e1s B al cuadrado es igual al primero al cuadrado"}, {"start": 366.0, "end": 371.0, "text": " m\u00e1s dos veces el primero por el segundo m\u00e1s el segundo al cuadrado"}, {"start": 371.0, "end": 376.0, "text": " Si aqu\u00ed tenemos signo menos, pues aqu\u00ed tambi\u00e9n tendremos signo menos"}, {"start": 376.0, "end": 382.0, "text": " Entonces vamos a desarrollar X menos 3 al cuadrado, ser\u00eda el primero al cuadrado que ser\u00eda X a la 2"}, {"start": 382.0, "end": 388.0, "text": " menos dos veces el primero por el segundo, es decir, 2 por X por 3 nos da 6X"}, {"start": 388.0, "end": 392.0, "text": " m\u00e1s el segundo al cuadrado, 3 al cuadrado ser\u00eda 9"}, {"start": 392.0, "end": 398.0, "text": " m\u00e1s el desarrollo de este binomio al cuadrado que ser\u00eda el primero al cuadrado, Y a la 2"}, {"start": 398.0, "end": 404.0, "text": " m\u00e1s dos veces el primero por el segundo, o sea, 2 por Y por 1 ser\u00eda 2Y"}, {"start": 404.0, "end": 409.0, "text": " m\u00e1s el segundo al cuadrado, es decir, 1 a la 2 es igual a 1"}, {"start": 409.0, "end": 412.0, "text": " y al otro lado tenemos 32"}, {"start": 412.0, "end": 417.0, "text": " Organizamos la ecuaci\u00f3n empezando con X al cuadrado, luego m\u00e1s Y al cuadrado"}, {"start": 417.0, "end": 422.0, "text": " luego menos 6X, luego m\u00e1s 2Y"}, {"start": 422.0, "end": 426.0, "text": " y por \u00faltimo los n\u00fameros que est\u00e1n solos, es decir, los t\u00e9rminos independientes"}, {"start": 426.0, "end": 434.0, "text": " Veamos, 9 m\u00e1s 1 ser\u00eda 10, pero si traemos el 32 a restar nos queda 10 menos 32"}, {"start": 434.0, "end": 439.0, "text": " que es igual a menos 22 y esto queda igual a 0"}, {"start": 439.0, "end": 446.0, "text": " De esta manera hemos encontrado entonces la ecuaci\u00f3n de la circunferencia en su forma general"}, {"start": 446.0, "end": 465.0, "text": " La respuesta se puede presentar de cualquiera de estas dos maneras"}]