SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Problema 1
#julioprofe explica cómo resolver un problema con tres ecuaciones simultáneas:

La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a la suma del mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Hallar los números.

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 La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a 1 tercio de la suma del mayor y el mediano. La diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. ¡Allar los números! Bien, para comenzar vamos a definir tres incógnitas. Vamos a usar las letras x, y y z para los números buscados. Entonces, x puede ser el número mayor, y sería el número mediano y z sería el número menor. Entonces, vamos a traducir las tres informaciones que nos da el problema en expresiones matemáticas. La primera información dice la suma de tres números es 37. Entonces, sería la siguiente expresión. x más y más z igual 37 y allí tenemos la primera ecuación. La segunda información dice el menor disminuido en 1 equivale a 1 tercio de la suma del mayor y el mediano. Entonces, veamos, el menor es z disminuido en 1, entonces, menos 1 equivale el signo igual a 1 tercio, allí está la fracción 1 tercio, de, o sea, por la suma del mayor y el mediano, es decir, x más y, el mayor sumado con el mediano. Allí tenemos entonces traducida esta información en una expresión matemática. Vamos a organizar esta ecuación de la siguiente manera. Aquí podemos escribir esto como x más y, todo sobre 3, es como si multiplicáramos en forma horizontal. Aquí debajo de x más y tenemos un 1 y aquí podemos pasar este 3 que está dividiendo a multiplicar al otro lado. Vamos a continuarlo por acá. Entonces nos queda 3 que multiplica a z menos 1 es igual a x más y. Hacemos propiedad distributiva, 3z menos 3 es igual a x más y. Y vamos a pasar las letras al lado izquierdo en el orden x, y, z y dejamos el número que está solo en el lado derecho. Entonces nos queda la ecuación menos x menos y más 3z igual a 3. ¿Qué hemos hecho aquí? Pasar esta x que está positiva negativa al lado izquierdo, y que está positiva también pasa negativa al lado izquierdo, se encuentra con 3z que está positivo, y este 3 que está negativo lo pasamos al lado derecho como positivo. Aquí tenemos entonces la segunda ecuación. La tercera información dice, la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Entonces veamos, la diferencia es decir la resta entre el mediano y el menor es decir entre y y z sería y menos z. Dice que equivale entonces igual al mayor es decir x disminuido en 13, es decir menos 13. Allí hemos traducido esta información en una expresión matemática. Y entonces nuevamente vamos a organizar la ecuación con las letras en el lado izquierdo en el orden x, y, z y el número en el lado derecho. Aquí simplemente pasamos esta x que está positiva al lado izquierdo como negativa y la situamos de primera. Nos queda menos x más y menos z y esto queda igual a menos 13. Vemos que menos 13 no se mueve y tenemos aquí la ecuación número 3 de nuestro problema. Bien, entonces tenemos las tres ecuaciones, la número 1, número 2 y número 3 que obtuvimos. Y hemos llegado a lo que se llama en matemáticas un sistema de ecuaciones lineales de 3x3, es decir tres ecuaciones con tres incógnitas. De todos los métodos que existen para solucionar un sistema de 3x3, tal vez el más eficaz es el método de eliminación. También conocido como método de reducción o también método de suma y resta. Ese método consiste en eliminar o deshacernos de una variable. Por ejemplo vemos que aquí la letra x, acá está positiva, acá está negativa. Es decir que al sumar estas dos ecuaciones se puede cancelar y de igual forma estas dos. Entonces podemos elegir como la letra x la letra que vamos a eliminar. Y para ello debemos sumar por ejemplo la ecuación 1 con la 2 para obtener una nueva ecuación. Y la ecuación 1 con la 3 para obtener otra ecuación y de esa forma deshacernos de la variable x. Entonces vamos a proceder, sumamos la ecuación 1 con la ecuación 2, dice la ecuación 1 x más y más z es igual a 37. Y la ecuación 2 dice menos x menos y más 3z igual a 3. Entonces al sumar en forma vertical observamos que sucede lo siguiente, x y menos x se nos elimina. Pero también observamos que y y menos y también se elimina. Por lo tanto nos queda z más 3z que es igual a 4z y acá sumamos 37 más 3 que nos da 40. Entonces vemos que no nos quedó ninguna ecuación con y y z sino que simplemente nos quedó una expresión para poder encontrar de una vez el valor de la z. Para hallar z simplemente despejamos, el 4 está multiplicando, lo pasamos a dividir y nos queda que z es igual a 40 dividido entre 4 es decir que z vale 10. Y ya tenemos entonces el valor de una de las incógnitas, vamos a notarla por acá, z vale 10. Ahora vamos a sumar la ecuación 1 con la 3 para eliminar x nuevamente. Entonces la ecuación 1 dice x más y más z es igual a 37. Y la ecuación número 3 dice menos x más y menos z es igual a menos 13. Al sumar tenemos lo siguiente, x y menos x se nos elimina pero también observamos que z y menos z se elimina. Entonces nos queda y más y que es 2y igual a la suma de 37 con menos 13 eso nos da 24 y de aquí vemos la posibilidad de despejar la letra y. Y será entonces igual a 24 dividido entre 2, 2 se está multiplicando pasa a dividir y entonces y nos da 12. Por lo tanto podemos anotar por acá el valor de la letra y que es igual a 12. Finalmente debemos encontrar x, buscamos la ecuación más sencilla para hallar x reemplazando los valores de y y z que ya obtuvimos. Vemos que la ecuación 1 es la más sencilla, entonces en la ecuación 1 vamos a reemplazar. Nos queda x más y que nos dio 12 más z que nos dio 10 y esto igual a 37. Entonces resolvemos esta ecuación queda x más, esto suma 22 igual a 37, despejamos x simplemente nos queda 37 menos 22. 22 se está sumando pasa a restar y resolviendo nos da que x vale 15. Entonces hemos encontrado el valor de la tercera incógnita x igual a 15. Para terminar debemos dar la respuesta acorde a la pregunta. Entonces la respuesta sería esta que apreciamos aquí, dice los números buscados son 15, 12 y 10. 15 el mayor, 12 el mediano y 10 el menor.
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expresi\u00f3n matem\u00e1tica."}, {"start": 258.0, "end": 269.0, "text": " Y entonces nuevamente vamos a organizar la ecuaci\u00f3n con las letras en el lado izquierdo en el orden x, y, z y el n\u00famero en el lado derecho."}, {"start": 269.0, "end": 277.0, "text": " Aqu\u00ed simplemente pasamos esta x que est\u00e1 positiva al lado izquierdo como negativa y la situamos de primera."}, {"start": 277.0, "end": 285.0, "text": " Nos queda menos x m\u00e1s y menos z y esto queda igual a menos 13."}, {"start": 285.0, "end": 296.0, "text": " Vemos que menos 13 no se mueve y tenemos aqu\u00ed la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3 de nuestro problema."}, {"start": 296.0, "end": 304.0, "text": " Bien, entonces tenemos las tres ecuaciones, la n\u00famero 1, n\u00famero 2 y n\u00famero 3 que obtuvimos."}, {"start": 304.0, "end": 316.0, "text": " Y hemos llegado a lo que se llama en matem\u00e1ticas un sistema de ecuaciones lineales de 3x3, es decir tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas."}, {"start": 316.0, "end": 326.0, "text": " De todos los m\u00e9todos que existen para solucionar un sistema de 3x3, tal vez el m\u00e1s eficaz es el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n."}, {"start": 326.0, "end": 334.0, "text": " Tambi\u00e9n conocido como m\u00e9todo de reducci\u00f3n o tambi\u00e9n m\u00e9todo de suma y resta."}, {"start": 334.0, "end": 340.0, "text": " Ese m\u00e9todo consiste en eliminar o deshacernos de una variable."}, {"start": 340.0, "end": 346.0, "text": " Por ejemplo vemos que aqu\u00ed la letra x, ac\u00e1 est\u00e1 positiva, ac\u00e1 est\u00e1 negativa."}, {"start": 346.0, "end": 352.0, "text": " Es decir que al sumar estas dos ecuaciones se puede cancelar y de igual forma estas dos."}, {"start": 352.0, "end": 358.0, "text": " Entonces podemos elegir como la letra x la letra que vamos a eliminar."}, {"start": 358.0, "end": 365.0, "text": " Y para ello debemos sumar por ejemplo la ecuaci\u00f3n 1 con la 2 para obtener una nueva ecuaci\u00f3n."}, {"start": 365.0, "end": 373.0, "text": " Y la ecuaci\u00f3n 1 con la 3 para obtener otra ecuaci\u00f3n y de esa forma deshacernos de la variable x."}, {"start": 373.0, "end": 384.0, "text": " Entonces vamos a proceder, sumamos la ecuaci\u00f3n 1 con la ecuaci\u00f3n 2, dice la ecuaci\u00f3n 1 x m\u00e1s y m\u00e1s z es igual a 37."}, {"start": 384.0, "end": 391.0, "text": " Y la ecuaci\u00f3n 2 dice menos x menos y m\u00e1s 3z igual a 3."}, {"start": 391.0, "end": 400.0, "text": " Entonces al sumar en forma vertical observamos que sucede lo siguiente, x y menos x se nos elimina."}, {"start": 400.0, "end": 406.0, "text": " Pero tambi\u00e9n observamos que y y menos y tambi\u00e9n se elimina."}, {"start": 406.0, "end": 417.0, "text": " Por lo tanto nos queda z m\u00e1s 3z que es igual a 4z y ac\u00e1 sumamos 37 m\u00e1s 3 que nos da 40."}, {"start": 417.0, "end": 428.0, "text": " Entonces vemos que no nos qued\u00f3 ninguna ecuaci\u00f3n con y y z sino que simplemente nos qued\u00f3 una expresi\u00f3n para poder encontrar de una vez el valor de la z."}, {"start": 428.0, "end": 444.0, "text": " Para hallar z simplemente despejamos, el 4 est\u00e1 multiplicando, lo pasamos a dividir y nos queda que z es igual a 40 dividido entre 4 es decir que z vale 10."}, {"start": 444.0, "end": 452.0, "text": " Y ya tenemos entonces el valor de una de las inc\u00f3gnitas, vamos a notarla por ac\u00e1, z vale 10."}, {"start": 452.0, "end": 459.0, "text": " Ahora vamos a sumar la ecuaci\u00f3n 1 con la 3 para eliminar x nuevamente."}, {"start": 459.0, "end": 466.0, "text": " Entonces la ecuaci\u00f3n 1 dice x m\u00e1s y m\u00e1s z es igual a 37."}, {"start": 466.0, "end": 474.0, "text": " Y la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3 dice menos x m\u00e1s y menos z es igual a menos 13."}, {"start": 474.0, "end": 485.0, "text": " Al sumar tenemos lo siguiente, x y menos x se nos elimina pero tambi\u00e9n observamos que z y menos z se elimina."}, {"start": 485.0, "end": 500.0, "text": " Entonces nos queda y m\u00e1s y que es 2y igual a la suma de 37 con menos 13 eso nos da 24 y de aqu\u00ed vemos la posibilidad de despejar la letra y."}, {"start": 500.0, "end": 511.0, "text": " Y ser\u00e1 entonces igual a 24 dividido entre 2, 2 se est\u00e1 multiplicando pasa a dividir y entonces y nos da 12."}, {"start": 511.0, "end": 519.0, "text": " Por lo tanto podemos anotar por ac\u00e1 el valor de la letra y que es igual a 12."}, {"start": 519.0, "end": 531.0, "text": " Finalmente debemos encontrar x, buscamos la ecuaci\u00f3n m\u00e1s sencilla para hallar x reemplazando los valores de y y z que ya obtuvimos."}, {"start": 531.0, "end": 538.0, "text": " Vemos que la ecuaci\u00f3n 1 es la m\u00e1s sencilla, entonces en la ecuaci\u00f3n 1 vamos a reemplazar."}, {"start": 538.0, "end": 550.0, "text": " Nos queda x m\u00e1s y que nos dio 12 m\u00e1s z que nos dio 10 y esto igual a 37."}, {"start": 550.0, "end": 565.0, "text": " Entonces resolvemos esta ecuaci\u00f3n queda x m\u00e1s, esto suma 22 igual a 37, despejamos x simplemente nos queda 37 menos 22."}, {"start": 565.0, "end": 573.0, "text": " 22 se est\u00e1 sumando pasa a restar y resolviendo nos da que x vale 15."}, {"start": 573.0, "end": 582.0, "text": " Entonces hemos encontrado el valor de la tercera inc\u00f3gnita x igual a 15."}, {"start": 582.0, "end": 587.0, "text": " Para terminar debemos dar la respuesta acorde a la pregunta."}, {"start": 587.0, "end": 595.0, "text": " Entonces la respuesta ser\u00eda esta que apreciamos aqu\u00ed, dice los n\u00fameros buscados son 15, 12 y 10."}, {"start": 595.0, "end": 624.0, "text": " 15 el mayor, 12 el mediano y 10 el menor."}]