INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver la integral  ∫ sqrt(4-x^2) dx  por el método de sustitución trigonométrica.

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 Vamos a resolver esta integral por el método llamado sustitución trigonométrica. Utilizaremos esta alternativa debido a que es una integral que no se puede hacer en forma directa, tampoco por el método de sustitución y tampoco por el método de integración por partes. Comenzamos dibujando un triángulo rectángulo y a partir del integrando vamos a establecer cuáles son los lados de ese triángulo. Esa expresión puede escribirse de la siguiente manera, 2 al cuadrado que representa el 4 y esto menos x al cuadrado, todo eso dentro de la raíz cuadrada. Siempre que observemos aquí una diferencia de cuadrados el término que corresponde al minuendo, o sea el término positivo será la hipotenusa elevada al cuadrado. Eso nos dice entonces que la hipotenusa vale 2 y vamos a escribir ese valor por aquí en el lado que corresponde a la hipotenusa de ese triángulo. La otra expresión corresponde a uno de los catetos elevado al cuadrado, entonces de allí tenemos que uno de los catetos es x. Podemos situar la x en este cateto o también en este de acá abajo, vamos a escribirla por acá. Y a partir del teorema de Pitágoras expresamos el otro cateto en términos de estas dos cantidades, tenemos que es la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado que será 4 menos este cateto al cuadrado, x al cuadrado. Como se observa aquí ya nos apareció la expresión que tenemos en el integrando. Enseguida vamos a llamar este ángulo con la letra griega theta y vamos a utilizar las relaciones trigonométricas fundamentales, lo que se conoce como SOHCATOA, es decir seno, coseno y tangente para expresar lo que tenemos en el integrando en términos de ese ángulo theta. Comenzamos buscando una de estas relaciones que involucre esta raíz con el número 2, entonces tenemos el cateto adyacente al ángulo theta y la hipotenusa, entonces la que nos conviene es la función o la relación coseno, aquí está cateto adyacente con hipotenusa, entonces decimos coseno del ángulo theta será igual al cateto adyacente que es la raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y todo eso sobre la hipotenusa que es 2. Y de allí despejamos la raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado, la que necesitamos acá en el integrando, para ello 2 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, entonces nos queda 2 por coseno de theta, ya tenemos entonces un equivalente para lo que es la raíz cuadrada que tenemos en el integrando. Ahora buscamos una relación trigonométrica que involucre este lado que es x con este que es 2, entonces tenemos que x es el cateto opuesto al ángulo theta y 2 es la hipotenusa del triángulo, entonces usamos la relación seno, cateto opuesto sobre hipotenusa, tenemos entonces seno de theta igual a cateto opuesto que es x, el cateto que se opone al ángulo theta sobre la hipotenusa que es 2 y de allí vamos a despejar x, entonces 2 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, nos queda 2 por seno de theta, tenemos aquí otra relación muy importante para este ejercicio. De esta última expresión vamos a obtener la derivada de x con respecto a theta, entonces tenemos que 2 se queda fijo y procedemos a derivar seno de theta que nos da coseno de theta, y de allí vamos a despejar lo que es el diferencial de x, entonces de theta que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, nos queda 2 coseno de theta por d theta, de esa manera ya tenemos la expresión para el diferencial de x. Como puede observarse ya tenemos los dos componentes de la integral original expresados en términos de theta, entonces vamos a reconstruirla sustituyendo esas dos expresiones, para la raíz cuadrada tenemos que eso es igual a 2 por coseno de theta y esto multiplicado por el diferencial de x que nos dio 2 coseno de theta por el diferencial de theta, se observa entonces que la integral ya deja de ser una expresión en términos de x para convertirse en una expresión en términos de la variable theta. Vamos a continuar el ejercicio por acá y nos queda de la siguiente manera, 2 por 2 es 4 coseno de theta por coseno de theta es coseno al cuadrado de theta, ya describimos el diferencial de theta y aquí vamos a utilizar una identidad trigonométrica, una que dice coseno al cuadrado de theta es igual a 1 más coseno de 2 theta, todo esto sobre 2, es una formula de reducción de potencia, nos permite pasar de coseno al cuadrado de theta a una expresión que ya no tiene exponente 2, entonces vamos a reemplazarla aquí, nos queda 4 por coseno al cuadrado de theta que se sustituye por toda esa expresión, 1 más coseno de 2 theta, todo esto sobre 2 y el correspondiente diferencial de theta. Aquí podemos simplificar 4 con 2, decimos mitad de 4 es 2, mitad de 2 es 1 y entonces este número 2 que queda multiplicando, podemos escribirlo por fuera de la integral, nos queda 2 que multiplica a la integral de 1 más coseno de 2 theta, coseno del ángulo doble, todo esto protegido con paréntesis y el correspondiente diferencial de theta. Como aquí en el integrando tenemos una suma, entonces podemos repartir la integral para cada uno de los componentes, nos queda 2 que multiplica a la integral de 1 con su diferencial de theta, o sea simplemente de theta más la integral de coseno de 2 theta con su respectivo diferencial de theta y cerramos el corchete que protege toda la expresión. Vamos a continuarlo por acá, tenemos 2 por, abrimos el corchete, la integral de theta es theta y para hacer esta integral entonces vamos a utilizar una fórmula que nos dice lo siguiente, la integral de coseno de k theta con su diferencial de theta, k es cualquier número que acompañe a theta, en este caso es el número 2, entonces esto será igual a 1 sobre k por seno de k theta, es una fórmula que se demuestra por el método de sustitución, cambiando k theta por otra letra y de esa manera se llega a esta fórmula que es de uso frecuente ya en esta etapa en que estamos viendo el método de sustitución trigonométrica. Entonces si aplicamos esto para resolver esta integral, como decíamos k vale 2, nos queda 1 medio por seno de 2 theta y de esa manera podemos cerrar el corchete y escribir por primera vez la constante de integración, porque ya hemos resuelto las dos integrales. Esta expresión podemos transformarla aún más haciendo uso de la identidad trigonométrica del seno para el ángulo doble, seno de 2 theta es igual a 2 por seno de theta por coseno de theta, entonces vamos a realizar esa sustitución allí, nos queda 2 por, abrimos corchete, theta más 1 medio que multiplica a seno de 2 theta y que lo cambiamos por 2 seno de theta, coseno de theta, cerramos el corchete y escribimos la constante de integración, allí podemos también simplificar estos números y nos queda 2 que multiplica a theta más seno de theta por coseno de theta, cerramos el corchete y escribimos la constante de integración. Esto que tenemos aquí constituye la respuesta a la integral trigonométrica que habíamos planteado hace un momento, esta que teníamos al principio del ejercicio cuando convertimos esta integral a una expresión en términos de theta, esto es la respuesta para esta integral, pero no podemos perder de vista que el ejercicio inicial viene en términos de x, entonces tenemos que llevar toda esta expresión a esa variable para que nos quede toda en función de x. Para conseguir eso retomamos el triángulo rectángulo que habíamos construido, de allí teníamos que seno de theta, uno de los componentes que necesitamos transformar es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa, o sea x sobre 2 y también teníamos que coseno de theta, otro de los componentes que debemos cambiar es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa, o sea la raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y todo esto sobre 2, pero también necesitamos encontrarle un equivalente a theta, podríamos despejar theta de cualquiera de estas dos expresiones, nos queda más sencillo de la primera, tenemos que theta es igual a seno a la menos 1 o también arco seno de x medios, puede escribirse así o también así, arco seno de x medios, cualquiera de las dos formas es correcta. Y con eso vamos a reconstruir esta expresión que ya viene siendo la respuesta del ejercicio inicial, nos queda 2 por abre corchete, reemplazamos theta, como decíamos cualquiera de estas dos expresiones, vamos a utilizar arco seno de x medios, todo eso más seno de theta que es x medios, por coseno de theta que es esa expresión, raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado, todo esto sobre 2 y cerramos el corchete y no podemos olvidar la constante de integración. Esta expresión podemos escribirla de una manera un poco más sencilla, hacemos propiedad distributiva con este número 2, entonces tendremos 2 por arco seno de x medios y todo esto más 2 que multiplica con todo esto, entonces tenemos la posibilidad de simplificar este 2 con este denominador y nos queda en el numerador x raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y en el denominador este número 2, como decíamos este se simplificó con este, nos queda este otro número 2 y de allí escribimos la constante de integración para dar por terminado este ejercicio, esta expresión constituye el resultado de esa integral.
[{"start": 0.0, "end": 22.0, "text": " Vamos a resolver esta integral por el m\u00e9todo llamado sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica. Utilizaremos esta alternativa debido a que es una integral que no se puede hacer en forma directa, tampoco por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n y tampoco por el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 22.0, "end": 34.0, "text": " Comenzamos dibujando un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y a partir del integrando vamos a establecer cu\u00e1les son los lados de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 34.0, "end": 47.0, "text": " Esa expresi\u00f3n puede escribirse de la siguiente manera, 2 al cuadrado que representa el 4 y esto menos x al cuadrado, todo eso dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 47.0, "end": 60.0, "text": " Siempre que observemos aqu\u00ed una diferencia de cuadrados el t\u00e9rmino que corresponde al minuendo, o sea el t\u00e9rmino positivo ser\u00e1 la hipotenusa elevada al cuadrado."}, {"start": 60.0, "end": 73.0, "text": " Eso nos dice entonces que la hipotenusa vale 2 y vamos a escribir ese valor por aqu\u00ed en el lado que corresponde a la hipotenusa de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 73.0, "end": 86.0, "text": " La otra expresi\u00f3n corresponde a uno de los catetos elevado al cuadrado, entonces de all\u00ed tenemos que uno de los catetos es x."}, {"start": 86.0, "end": 93.0, "text": " Podemos situar la x en este cateto o tambi\u00e9n en este de ac\u00e1 abajo, vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 93.0, "end": 113.0, "text": " Y a partir del teorema de Pit\u00e1goras expresamos el otro cateto en t\u00e9rminos de estas dos cantidades, tenemos que es la ra\u00edz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado que ser\u00e1 4 menos este cateto al cuadrado, x al cuadrado."}, {"start": 113.0, "end": 119.0, "text": " Como se observa aqu\u00ed ya nos apareci\u00f3 la expresi\u00f3n que tenemos en el integrando."}, {"start": 119.0, "end": 136.0, "text": " Enseguida vamos a llamar este \u00e1ngulo con la letra griega theta y vamos a utilizar las relaciones trigonom\u00e9tricas fundamentales, lo que se conoce como SOHCATOA,"}, {"start": 136.0, "end": 148.0, "text": " es decir seno, coseno y tangente para expresar lo que tenemos en el integrando en t\u00e9rminos de ese \u00e1ngulo theta."}, {"start": 148.0, "end": 161.0, "text": " Comenzamos buscando una de estas relaciones que involucre esta ra\u00edz con el n\u00famero 2, entonces tenemos el cateto adyacente al \u00e1ngulo theta y la hipotenusa,"}, {"start": 161.0, "end": 170.0, "text": " entonces la que nos conviene es la funci\u00f3n o la relaci\u00f3n coseno, aqu\u00ed est\u00e1 cateto adyacente con hipotenusa,"}, {"start": 170.0, "end": 185.0, "text": " entonces decimos coseno del \u00e1ngulo theta ser\u00e1 igual al cateto adyacente que es la ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y todo eso sobre la hipotenusa que es 2."}, {"start": 185.0, "end": 194.0, "text": " Y de all\u00ed despejamos la ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado, la que necesitamos ac\u00e1 en el integrando,"}, {"start": 194.0, "end": 204.0, "text": " para ello 2 que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, entonces nos queda 2 por coseno de theta,"}, {"start": 204.0, "end": 214.0, "text": " ya tenemos entonces un equivalente para lo que es la ra\u00edz cuadrada que tenemos en el integrando."}, {"start": 214.0, "end": 224.0, "text": " Ahora buscamos una relaci\u00f3n trigonom\u00e9trica que involucre este lado que es x con este que es 2,"}, {"start": 224.0, "end": 232.0, "text": " entonces tenemos que x es el cateto opuesto al \u00e1ngulo theta y 2 es la hipotenusa del tri\u00e1ngulo,"}, {"start": 232.0, "end": 245.0, "text": " entonces usamos la relaci\u00f3n seno, cateto opuesto sobre hipotenusa, tenemos entonces seno de theta igual a cateto opuesto que es x,"}, {"start": 245.0, "end": 255.0, "text": " el cateto que se opone al \u00e1ngulo theta sobre la hipotenusa que es 2 y de all\u00ed vamos a despejar x,"}, {"start": 255.0, "end": 264.0, "text": " entonces 2 que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, nos queda 2 por seno de theta,"}, {"start": 264.0, "end": 271.0, "text": " tenemos aqu\u00ed otra relaci\u00f3n muy importante para este ejercicio."}, {"start": 271.0, "end": 282.0, "text": " De esta \u00faltima expresi\u00f3n vamos a obtener la derivada de x con respecto a theta,"}, {"start": 282.0, "end": 292.0, "text": " entonces tenemos que 2 se queda fijo y procedemos a derivar seno de theta que nos da coseno de theta,"}, {"start": 292.0, "end": 303.0, "text": " y de all\u00ed vamos a despejar lo que es el diferencial de x, entonces de theta que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar,"}, {"start": 303.0, "end": 316.0, "text": " nos queda 2 coseno de theta por d theta, de esa manera ya tenemos la expresi\u00f3n para el diferencial de x."}, {"start": 316.0, "end": 325.0, "text": " Como puede observarse ya tenemos los dos componentes de la integral original expresados en t\u00e9rminos de theta,"}, {"start": 325.0, "end": 333.0, "text": " entonces vamos a reconstruirla sustituyendo esas dos expresiones,"}, {"start": 333.0, "end": 349.0, "text": " para la ra\u00edz cuadrada tenemos que eso es igual a 2 por coseno de theta y esto multiplicado por el diferencial de x que nos dio 2 coseno de theta por el diferencial de theta,"}, {"start": 349.0, "end": 364.0, "text": " se observa entonces que la integral ya deja de ser una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x para convertirse en una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de la variable theta."}, {"start": 364.0, "end": 383.0, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1 y nos queda de la siguiente manera, 2 por 2 es 4 coseno de theta por coseno de theta es coseno al cuadrado de theta,"}, {"start": 383.0, "end": 399.0, "text": " ya describimos el diferencial de theta y aqu\u00ed vamos a utilizar una identidad trigonom\u00e9trica, una que dice coseno al cuadrado de theta es igual a 1 m\u00e1s coseno de 2 theta,"}, {"start": 399.0, "end": 413.0, "text": " todo esto sobre 2, es una formula de reducci\u00f3n de potencia, nos permite pasar de coseno al cuadrado de theta a una expresi\u00f3n que ya no tiene exponente 2,"}, {"start": 413.0, "end": 435.0, "text": " entonces vamos a reemplazarla aqu\u00ed, nos queda 4 por coseno al cuadrado de theta que se sustituye por toda esa expresi\u00f3n, 1 m\u00e1s coseno de 2 theta, todo esto sobre 2 y el correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 435.0, "end": 449.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar 4 con 2, decimos mitad de 4 es 2, mitad de 2 es 1 y entonces este n\u00famero 2 que queda multiplicando,"}, {"start": 449.0, "end": 471.0, "text": " podemos escribirlo por fuera de la integral, nos queda 2 que multiplica a la integral de 1 m\u00e1s coseno de 2 theta, coseno del \u00e1ngulo doble, todo esto protegido con par\u00e9ntesis y el correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 471.0, "end": 491.0, "text": " Como aqu\u00ed en el integrando tenemos una suma, entonces podemos repartir la integral para cada uno de los componentes, nos queda 2 que multiplica a la integral de 1 con su diferencial de theta,"}, {"start": 491.0, "end": 507.0, "text": " o sea simplemente de theta m\u00e1s la integral de coseno de 2 theta con su respectivo diferencial de theta y cerramos el corchete que protege toda la expresi\u00f3n."}, {"start": 507.0, "end": 532.0, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1, tenemos 2 por, abrimos el corchete, la integral de theta es theta y para hacer esta integral entonces vamos a utilizar una f\u00f3rmula que nos dice lo siguiente,"}, {"start": 532.0, "end": 553.0, "text": " la integral de coseno de k theta con su diferencial de theta, k es cualquier n\u00famero que acompa\u00f1e a theta, en este caso es el n\u00famero 2, entonces esto ser\u00e1 igual a 1 sobre k por seno de k theta,"}, {"start": 553.0, "end": 575.0, "text": " es una f\u00f3rmula que se demuestra por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, cambiando k theta por otra letra y de esa manera se llega a esta f\u00f3rmula que es de uso frecuente ya en esta etapa en que estamos viendo el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 575.0, "end": 597.0, "text": " Entonces si aplicamos esto para resolver esta integral, como dec\u00edamos k vale 2, nos queda 1 medio por seno de 2 theta y de esa manera podemos cerrar el corchete y escribir por primera vez la constante de integraci\u00f3n,"}, {"start": 597.0, "end": 616.0, "text": " porque ya hemos resuelto las dos integrales. Esta expresi\u00f3n podemos transformarla a\u00fan m\u00e1s haciendo uso de la identidad trigonom\u00e9trica del seno para el \u00e1ngulo doble,"}, {"start": 616.0, "end": 640.0, "text": " seno de 2 theta es igual a 2 por seno de theta por coseno de theta, entonces vamos a realizar esa sustituci\u00f3n all\u00ed, nos queda 2 por, abrimos corchete, theta m\u00e1s 1 medio que multiplica a seno de 2 theta y que lo cambiamos por 2 seno de theta,"}, {"start": 640.0, "end": 664.0, "text": " coseno de theta, cerramos el corchete y escribimos la constante de integraci\u00f3n, all\u00ed podemos tambi\u00e9n simplificar estos n\u00fameros y nos queda 2 que multiplica a theta m\u00e1s seno de theta por coseno de theta,"}, {"start": 664.0, "end": 682.0, "text": " cerramos el corchete y escribimos la constante de integraci\u00f3n. Esto que tenemos aqu\u00ed constituye la respuesta a la integral trigonom\u00e9trica que hab\u00edamos planteado hace un momento,"}, {"start": 682.0, "end": 702.0, "text": " esta que ten\u00edamos al principio del ejercicio cuando convertimos esta integral a una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de theta, esto es la respuesta para esta integral, pero no podemos perder de vista que el ejercicio inicial viene en t\u00e9rminos de x,"}, {"start": 702.0, "end": 712.0, "text": " entonces tenemos que llevar toda esta expresi\u00f3n a esa variable para que nos quede toda en funci\u00f3n de x."}, {"start": 712.0, "end": 731.0, "text": " Para conseguir eso retomamos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que hab\u00edamos construido, de all\u00ed ten\u00edamos que seno de theta, uno de los componentes que necesitamos transformar es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa,"}, {"start": 731.0, "end": 745.0, "text": " o sea x sobre 2 y tambi\u00e9n ten\u00edamos que coseno de theta, otro de los componentes que debemos cambiar es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa,"}, {"start": 745.0, "end": 762.0, "text": " o sea la ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y todo esto sobre 2, pero tambi\u00e9n necesitamos encontrarle un equivalente a theta, podr\u00edamos despejar theta de cualquiera de estas dos expresiones,"}, {"start": 762.0, "end": 786.0, "text": " nos queda m\u00e1s sencillo de la primera, tenemos que theta es igual a seno a la menos 1 o tambi\u00e9n arco seno de x medios, puede escribirse as\u00ed o tambi\u00e9n as\u00ed, arco seno de x medios, cualquiera de las dos formas es correcta."}, {"start": 786.0, "end": 806.0, "text": " Y con eso vamos a reconstruir esta expresi\u00f3n que ya viene siendo la respuesta del ejercicio inicial, nos queda 2 por abre corchete, reemplazamos theta, como dec\u00edamos cualquiera de estas dos expresiones,"}, {"start": 806.0, "end": 829.0, "text": " vamos a utilizar arco seno de x medios, todo eso m\u00e1s seno de theta que es x medios, por coseno de theta que es esa expresi\u00f3n, ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado,"}, {"start": 829.0, "end": 840.0, "text": " todo esto sobre 2 y cerramos el corchete y no podemos olvidar la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 840.0, "end": 862.0, "text": " Esta expresi\u00f3n podemos escribirla de una manera un poco m\u00e1s sencilla, hacemos propiedad distributiva con este n\u00famero 2, entonces tendremos 2 por arco seno de x medios y todo esto m\u00e1s 2 que multiplica con todo esto,"}, {"start": 862.0, "end": 880.0, "text": " entonces tenemos la posibilidad de simplificar este 2 con este denominador y nos queda en el numerador x ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y en el denominador este n\u00famero 2,"}, {"start": 880.0, "end": 894.0, "text": " como dec\u00edamos este se simplific\u00f3 con este, nos queda este otro n\u00famero 2 y de all\u00ed escribimos la constante de integraci\u00f3n para dar por terminado este ejercicio,"}, {"start": 894.0, "end": 911.0, "text": " esta expresi\u00f3n constituye el resultado de esa integral."}]