ÁREA DE UN CÍRCULO EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE SU CIRCUNFERENCIA
#julioprofe explica cómo expresar el área de un círculo en función de la longitud de su circunferencia.

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 Expresar el área A de un círculo en función de la longitud de su circunferencia C. Bien, en este problema nos piden expresar el área del círculo como una función de su circunferencia. Entonces tenemos lo siguiente. Para un círculo su área es igual a pi por el radio al cuadrado. Vemos que en esta expresión, que vamos a llamar la expresión número 1, tenemos que el área es una función del radio. El área depende del radio. Pero tenemos también que la longitud de la circunferencia C para un círculo es igual a 2 pi por el radio. Vamos a llamar esta la expresión número 2, donde vemos que la longitud de la circunferencia depende del radio. C es función de R. Entonces nos piden expresar A en términos de C. Por lo tanto, para que podamos lograr esa conexión entre A y C, debemos deshacernos de la letra R. Entonces vamos a hacer lo siguiente. Vamos a despejar R de la expresión donde esté más sencillo el despeje. Vemos que es en la expresión 2 donde el despeje de R es el más fácil. Entonces de aquí vamos a despejar la variable R. Para ello tomamos 2 pi que se encuentra multiplicando con R y lo pasamos a dividir debajo de la C. Entonces nos queda C sobre 2 pi. Esta expresión la vamos a llamar la expresión número 3. Y entonces vamos a sustituir esta expresión 3 en la número 1, es decir, en la del área. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Si 3 entra en 1 nos queda área es igual a pi, es decir, este pi por el radio del cuadrado. Pero el radio lo vamos a cambiar, lo vamos a sustituir por C sobre 2 pi. Y no podemos olvidar el cuadrado, el exponente del radio. Vamos a resolver esto, nos quedaría pi por, aquí aplicamos propiedad de la potenciación, el cuadrado afecta a todos los elementos que tenemos dentro del paréntesis por haber una división y acá en la parte de abajo una multiplicación. Entonces nos queda C al cuadrado, 2 al cuadrado sería 4 y pi también queda elevado al cuadrado. Finalmente vemos que como aquí tenemos multiplicación podríamos simplificar un pi de arriba con un pi de abajo. Cancelamos este pi con un pi de la parte de abajo y nos queda el otro pi. Entonces en conclusión, vamos a escribirlo por acá, tenemos que la expresión del área en términos de C o el área como función de C será, arriba nos quedó C cuadrado y en la parte de abajo nos quedó 4 pi, 4 por pi. Tenemos entonces lo que nos pide el problema, el área como una función de la longitud de la circunferencia. Entonces esto es lo que llamaríamos el área del círculo en términos de C, es decir de su circunferencia. Adicionalmente podríamos decir cuál es el dominio de esta función. Vemos que A es la variable dependiente, esta que tenemos aquí, y C sería la variable independiente, la que tenemos dentro del paréntesis. El dominio de esta función sería qué valores puede tomar la variable independiente, es decir la C. Si analizamos esto sería como una función cuadrática, porque C se encuentra al cuadrado, esa parte de abajo esto es un número, 4 por 3.14 que es pi daría un número, en síntesis eso sería una función cuadrática. Y en matemáticas las funciones cuadráticas tienen como dominio el conjunto de los números reales, pero en este caso debemos tener presente que C es la longitud de una circunferencia, por lo tanto es una distancia y las distancias deben ser números positivos. Entonces decimos que el dominio de esta función, es decir, los valores que puede tomar C, van a ser los valores de C mayores o iguales que cero, es decir, valores positivos e incluso el cero, aunque una circunferencia igual a cero, si se vale cero, pues tenemos que el área vale cero, no tendríamos en realidad circunferencia. Entonces el dominio de la función serían los valores de C mayores o iguales que cero. Asimismo podríamos establecer el rango de la función. Vemos que si reemplazamos valores de C positivos o incluso el cero, obtendremos valores de área también positivos. Claro, el área de un círculo es una cantidad que debe ser positiva o como mínimo cero, en el caso de que no exista el círculo. Por lo tanto el rango, que son los valores de la variable dependiente, serán también los mayores o iguales que cero. De esta manera hemos resuelto nuestro problema y adicionalmente hemos determinado el dominio y el rango de la función obtenida.
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