ECUACIÓN DEL PLANO QUE CONTIENE TRES PUNTOS
#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación del plano que contiene tres puntos dados, en el espacio.

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 Vamos a determinar la ecuación del plano que contiene estos tres puntos en el espacio. Para comenzar hacemos un dibujo que represente el plano y en él vamos a ubicar esos tres puntos. Suponemos que por aquí está el punto P, por acá tenemos el punto Q y por acá tenemos el punto R. Entonces los tres puntos están contenidos en el plano. Enseguida vamos a determinar estos dos vectores, el vector PQ y el vector PR. Esos también serán vectores contenidos en el plano. Comenzamos entonces con el vector PQ. Para determinar este vector hacemos la resta de las coordenadas de esos extremos. Primero el punto final que es el punto Q, coordenadas 2, 3, 1 y a esto le restamos el punto inicial, es decir el punto P que es 1, 2 y menos 3. Entonces siempre hacemos la resta entre el punto final y el punto inicial o entre el extremo y el origen. Entonces de esta manera nos queda así el vector PQ. Una vez utilizamos la notación de vectores. Tenemos 2 menos 1 nos da 1, esa será la componente en X, 3 menos 2 nos da 1, componente en Y y 1 menos menos 3, eso se convierte en 1 más 3 que nos da 4 y es la componente en Z. De forma similar vamos a determinar el vector PR. Entonces hacemos lo mismo, tomamos el punto R, el punto final de coordenadas 0, menos 2, menos 1 y a eso le restamos el punto inicial o el origen que es P, sus coordenadas son 1, 2 y menos 3. Entonces el vector PR nos queda de la siguiente manera, coordenadas en X, 0 menos 1 nos da menos 1, coordenadas en Y sería menos 2, menos 2 es menos 4 y la coordenada en Z sería menos 1 menos menos 3, eso se convierte en menos 1 más 3 que nos da 2. Anotamos esos dos vectores por acá y a continuación vamos a realizar el producto cruz o producto vectorial entre los vectores PQ y el vector PR, entonces hacemos el producto cruz o producto vectorial, eso nos dará como resultado lo siguiente, recordemos la regla de la mano derecha, colocamos nuestra mano derecha con esta parte coincidiendo con el primer vector que es PQ y cerramos los dedos hacia el segundo vector que es PR, hacia donde queda señalando el pulgar entonces será el resultado o la orientación de el vector PQ cruz PR, en este caso haciendo la regla de la mano derecha nos da un vector que sale hacia arriba perpendicular al plano, se trata de este vector entonces este será PQ cruz PR y también será el vector llamado N, vector normal al plano, es decir es perpendicular al mismo, eso quiere decir que va a ser perpendicular a los dos vectores, entonces aquí representamos eso, forma 90 grados con el vector PQ y 90 grados con el vector PR, para efectuar este producto cruz o producto vectorial construimos un determinante de 3x3, en la primera fila anotamos los vectores IJK, recordemos que son los vectores unitarios en las direcciones positivas de los ejes X, Y y Z respectivamente, en la segunda fila anotamos las componentes del primer vector, del vector PQ que son 1, 1, 4 y en la tercera fila anotamos las componentes del segundo vector, el vector PR que son menos 1, menos 4 y 2, enseguida vamos a obtener las tres componentes del vector que buscamos, del vector PQ cruz PR que recordemos es el vector N, es decir normal al plano, la primera componente siempre será positiva, la segunda será negativa y la tercera será positiva, aquí tendremos determinantes de 2x2, vamos con el primero, que resulta de tapar la fila y la columna que contienen a la letra Y, es decir al vector unitario en la dirección positiva del eje X, si tapamos la fila y la columna nos quedan esos cuatro componentes, entonces 1, 4 y menos 4 a 2, con esos componentes armamos este determinante de 2x2, vamos con el siguiente el que corresponde a J, tapamos entonces la fila y la columna que contienen J, nos queda entonces 1, 4 y menos 1, 2, allí está el determinante de 2x2 correspondiente a J y vamos con el determinante que corresponde a K, tapamos entonces la fila y la columna que contienen K, nos queda 1, 1 en la primera fila y menos 1, menos 4 en la segunda fila, a continuación vamos a resolver cada uno de estos determinantes, vamos a continuar por acá, tenemos entonces PQ producto cruz o producto vectorial con PR, entonces comencemos con el primer determinante, vamos a proteger eso usando crochet, multiplicamos entonces primero la diagonal principal 1x2, eso nos da 2 y a eso le restamos el producto de los elementos que hay en la diagonal secundaria, vamos a marcarla con este color, entonces sería 4x-4 eso nos da menos 16, entonces allí cerramos el corchete y eso es lo que corresponde a I, después tenemos menos, vamos a abrir el otro corchete, vamos con la diagonal principal 1x2, eso nos da 2 menos lo que tenemos en la diagonal secundaria que sería 4x-1 es decir menos 4 y cerramos el corchete, esto es lo que corresponde a J y vamos ahora con el otro determinante, abrimos el corchete, tenemos diagonal principal 1x-4 nos da menos 4, esto menos la diagonal secundaria que sería 1x-1, eso es menos 1, cerramos entonces el corchete y eso es lo que corresponde a la componente con K, continuamos por acá nos queda PQ producto cruz con el vector PR igual a lo siguiente, vamos a resolver esta operación, esto será 2 más 16 que es 18, 18 acompaña al vector unitario I, acá tenemos 2 menos menos 4 es 2 más 4 que nos da 6, pero acá tenemos signo menos, entonces menos 6 con J y por acá tenemos menos 4 menos menos 1 es decir menos 4 más 1 que es menos 3, más menos 3 es menos 3 que queda acompañado de K, como decíamos esto equivale al vector normal al plano, es decir el vector N, vamos a escribirlo entonces por acá deshaciendo la anotación IJK, nos queda entonces que el vector normal tiene las componentes 18, 18 en X, menos 6 en Y y menos 3 en Z, a continuación vamos a marcar otro punto en el plano, vamos a llamarlo el punto T, un punto cualquiera que tiene componentes o coordenadas X, Y y Z, recordemos que son puntos en el espacio, entonces con ese nuevo punto podemos determinar el vector PT, veamos entonces vector PT se obtienen restando la coordenada final que será T, componentes X, Y, Z menos la coordenada del punto inicial o del origen que es P, P tiene componentes 1, 2 y menos 3, entonces vamos a ver cuánto nos da ese vector PT, será entonces X menos 1 la componente en X, Y menos 2 componente en Y y Z menos menos 3 es decir Z más 3 la componente en Z, anotamos ese nuevo vector por acá y vemos que también pertenece al plano y como sale del punto P entonces también formará 90 grados con el vector N, serán vectores ortogonales o perpendiculares, recordemos entonces que si los vectores son perpendiculares o ortogonales el producto punto entre ellos debe ser igual a cero, es lo que está pasando entre estos dos vectores, entonces vamos a aplicar esa condición, el vector PT nos dio con componentes X menos 1, Y menos 2, Z más 3 y a esto vamos a hacerle producto punto o producto escalar con N que nos dio 18 menos 6 menos 3 y todo esto debe quedar igualado a cero, vamos entonces a efectuar esa operación producto punto o producto escalar entre dos vectores en el espacio o en R3, comenzamos multiplicando las componentes en X, tenemos X menos 1 por 18 esto más el producto de componentes en Y que será Y menos 2 por menos 6 y luego el producto de componentes en Z sería más Z más 3 que multiplica con menos 3 y todo esto nos queda igual a cero, allí vamos a romper esos paréntesis aplicando la propiedad distributiva, entonces comenzamos aquí 18 por X nos da 18X, 18 por menos 1 es menos 18 luego vamos a distribuir este menos 6, entonces tenemos menos 6 por Y será menos 6 Y y menos 6 por menos 2 nos da más 12, acá hacemos la distributiva con menos 3, entonces menos 3 por Z es menos 3Z y menos 3 por más 3 nos da menos 9 y todo eso igual a cero, organizamos esa expresión de la siguiente manera, comenzamos con el término que contiene la X luego el término que contiene la Y después el término que contiene Z y vamos a operar esos números tenemos menos 18 más 12 eso nos da menos 6 y menos 6 y menos 9 nos da menos 15 y todo esto queda igual a cero, allí podemos pasar este 15 al lado derecho nos queda 18X menos 6 Y menos 3 Z igual a 15, el 15 llega al otro lado a sumar con cero finalmente podemos simplificar esta ecuación vemos que todos estos números son divisibles por 3 entonces vamos a dividir por 3 ambos lados de esa igualdad aquí nos quedaría 6X por acá nos queda menos 2 Y por acá quedaría menos Z y al otro lado 15 dividido entre 3 nos da 5, de esta manera terminamos esta expresión es la ecuación del plano que contiene estos tres puntos P Q y R en el espacio
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llamarlo el punto T, un punto cualquiera que tiene componentes o"}, {"start": 518.44, "end": 525.92, "text": " coordenadas X, Y y Z, recordemos que son puntos en el espacio, entonces con ese nuevo punto podemos"}, {"start": 525.92, "end": 535.04, "text": " determinar el vector PT, veamos entonces vector PT se obtienen restando la coordenada final que"}, {"start": 535.04, "end": 544.64, "text": " ser\u00e1 T, componentes X, Y, Z menos la coordenada del punto inicial o del origen que es P, P tiene"}, {"start": 544.64, "end": 554.16, "text": " componentes 1, 2 y menos 3, entonces vamos a ver cu\u00e1nto nos da ese vector PT, ser\u00e1 entonces X"}, {"start": 554.16, "end": 566.36, "text": " menos 1 la componente en X, Y menos 2 componente en Y y Z menos menos 3 es decir Z m\u00e1s 3 la componente"}, {"start": 566.36, "end": 574.0, "text": " en Z, anotamos ese nuevo vector por ac\u00e1 y vemos que tambi\u00e9n pertenece al plano y como sale del"}, {"start": 574.0, "end": 581.8, "text": " punto P entonces tambi\u00e9n formar\u00e1 90 grados con el vector N, ser\u00e1n vectores ortogonales o"}, {"start": 581.8, "end": 588.56, "text": " perpendiculares, recordemos entonces que si los vectores son perpendiculares o ortogonales el"}, {"start": 588.56, "end": 595.76, "text": " producto punto entre ellos debe ser igual a cero, es lo que est\u00e1 pasando entre estos dos vectores,"}, {"start": 595.76, "end": 605.0799999999999, "text": " entonces vamos a aplicar esa condici\u00f3n, el vector PT nos dio con componentes X menos 1, Y menos 2,"}, {"start": 605.08, "end": 616.84, "text": " Z m\u00e1s 3 y a esto vamos a hacerle producto punto o producto escalar con N que nos dio 18 menos 6"}, {"start": 616.84, "end": 625.24, "text": " menos 3 y todo esto debe quedar igualado a cero, vamos entonces a efectuar esa operaci\u00f3n producto"}, {"start": 625.24, "end": 632.6400000000001, "text": " punto o producto escalar entre dos vectores en el espacio o en R3, comenzamos multiplicando las"}, {"start": 632.64, "end": 641.76, "text": " componentes en X, tenemos X menos 1 por 18 esto m\u00e1s el producto de componentes en Y que ser\u00e1 Y"}, {"start": 641.76, "end": 651.3199999999999, "text": " menos 2 por menos 6 y luego el producto de componentes en Z ser\u00eda m\u00e1s Z m\u00e1s 3 que multiplica"}, {"start": 651.3199999999999, "end": 659.2, "text": " con menos 3 y todo esto nos queda igual a cero, all\u00ed vamos a romper esos par\u00e9ntesis aplicando"}, {"start": 659.2, "end": 668.72, "text": " la propiedad distributiva, entonces comenzamos aqu\u00ed 18 por X nos da 18X, 18 por menos 1 es menos 18"}, {"start": 668.72, "end": 678.32, "text": " luego vamos a distribuir este menos 6, entonces tenemos menos 6 por Y ser\u00e1 menos 6 Y y menos 6"}, {"start": 678.32, "end": 689.9200000000001, "text": " por menos 2 nos da m\u00e1s 12, ac\u00e1 hacemos la distributiva con menos 3, entonces menos 3 por Z es menos 3Z"}, {"start": 689.9200000000001, "end": 698.32, "text": " y menos 3 por m\u00e1s 3 nos da menos 9 y todo eso igual a cero, organizamos esa expresi\u00f3n de la siguiente"}, {"start": 698.32, "end": 705.2800000000001, "text": " manera, comenzamos con el t\u00e9rmino que contiene la X luego el t\u00e9rmino que contiene la Y despu\u00e9s el"}, {"start": 705.28, "end": 712.68, "text": " t\u00e9rmino que contiene Z y vamos a operar esos n\u00fameros tenemos menos 18 m\u00e1s 12 eso nos da menos 6"}, {"start": 712.68, "end": 720.8, "text": " y menos 6 y menos 9 nos da menos 15 y todo esto queda igual a cero, all\u00ed podemos pasar este 15 al"}, {"start": 720.8, "end": 731.1999999999999, "text": " lado derecho nos queda 18X menos 6 Y menos 3 Z igual a 15, el 15 llega al otro lado a sumar con cero"}, {"start": 731.2, "end": 738.24, "text": " finalmente podemos simplificar esta ecuaci\u00f3n vemos que todos estos n\u00fameros son divisibles por 3"}, {"start": 738.24, "end": 746.5600000000001, "text": " entonces vamos a dividir por 3 ambos lados de 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