43. ACELERACIÓN EN MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS (Ejercicio 1)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 43: Aceleración en movimientos curvilíneos (Ejercicio 1).

Una partícula se mueve en el espacio según la función de posición r(t) = ti + t²j + t³k, en unidades SI. Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración en t = 2 s.

Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Comenzamos el desarrollo de este problema escribiendo la función de posición, una función vectorial de esta manera. Únicamente anotando sus componentes, es decir, deshacemos la anotación ijk para trabajar de una manera más sencilla. Derivamos esa función vectorial para obtener la velocidad, el vector velocidad. Entonces derivamos cada componente, derivada de t es 1, derivada de t al cuadrado es 2t y la derivada de t al cubo es 3t al cuadrado. Allí tenemos entonces el vector velocidad. Ahora vamos a derivar la velocidad para obtener el vector aceleración, la aceleración en cualquier instante t. Entonces procedemos a derivar cada componente de la velocidad, derivada de 1 es 0, derivada de 2t es 2 y derivada de 3t al cuadrado es 6t. Tenemos entonces el vector aceleración. Ahora vamos a determinar cuanto vale la velocidad y la aceleración en el instante t igual a 2 segundos. Vamos a llamar entonces v a la velocidad evaluada en t igual a 2. Hacemos lo siguiente, aquí en el vector velocidad sustituimos la t por 2, 2 segundos. Entonces este 1 queda igual, aquí tendremos 2 por 2 es decir 4 y aquí 2 al cuadrado 4, 4 por 3 nos da 12. Entonces este es el vector velocidad en el instante t igual a 2 segundos. Este va en metros sobre segundos porque recordemos que estamos trabajando en unidades del sistema internacional. Ahora vamos a llamar a al vector aceleración en ese mismo instante, es decir en t igual a 2 segundos. Reemplazamos en este vector t igual a 2, únicamente la sustitución se hace aquí porque estas dos componentes permanecen fijas en los valores 0 y 2. Entonces aquí tenemos 6 por 2, 12 y este es el vector aceleración que va en metros sobre segundo cuadrado. Es la aceleración instantánea en t igual a 2. Ahora vamos a determinar la magnitud de la velocidad, es decir el módulo o norma de este vector. Vamos a hacerlo por acá, entonces tenemos la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 4 al cuadrado más 12 al cuadrado. Los cuadrados de sus componentes sumados entre sí. Esto nos da entonces la raíz cuadrada de 1 más 16 más 144. Y eso nos da un resultado igual a la raíz cuadrada de 161. Y esto va en metros sobre segundos. Vamos a escribirla por acá. Entonces la magnitud de la velocidad en ese instante, es decir la rapidez instantánea, es igual a la raíz cuadrada de 161. Y esto en metros sobre segundos. Ahora vamos a determinar la magnitud de la aceleración instantánea, es decir de este vector. Tenemos entonces, magnitud de la aceleración es igual a la raíz cuadrada de 0 al cuadrado más 2 al cuadrado más 12 al cuadrado. Todo esto dentro de la raíz cuadrada. Esto nos da 0, este no lo contamos, 2 al cuadrado es 4 más 12 al cuadrado que es 144. Y esto nos da como resultado la raíz cuadrada de 148. Que tiene unidades metros sobre segundo cuadrado por tratarse de una aceleración. Vamos a anotarla por acá. Magnitud de la aceleración instantánea igual a raíz cuadrada de 148 en metros sobre segundos cuadrados. Por otro lado vamos a determinar el producto punto, producto interno o escalar entre los vectores velocidad y aceleración instantáneas. Entonces, recordemos que se simboliza de esta manera y es igual a multiplicar las componentes respectivas y hacer la suma de esos productos. Entonces tenemos 1 por 0 más 4 por 2 más 12 por 12. Recordemos que se multiplican componentes en X entre sí, componentes en Y entre sí y componentes en Z entre sí y se hace la suma de esos valores. Todo esto nos da por aquí 0, 4 por 2 es 8 y 12 por 12 son 144. Luego esa suma nos da 152. El producto punto de los vectores velocidad y aceleración nos da el escalar 152. Para poder continuar anotamos este valor aquí, este por aquí y el producto punto de los vectores aquí. Este 152, es decir el producto punto, el escalar que resulta de esta operación tiene unidades metros al cuadrado sobre segundo al cubo. Por haber sido el resultado de multiplicar valores de la velocidad por valores de la aceleración. Es decir metros sobre segundo por metros sobre segundo cuadrado. Eso nos produce metro cuadrado sobre segundo al cubo. Vamos a anotar por aquí esas unidades. Ya conociendo esta información podemos encontrar la componente tangencial de la aceleración. Haciendo uso de esta expresión. En el numerador producto punto de la velocidad y la aceleración en el instante t igual a 2 segundos. Y acá en el denominador la magnitud de la velocidad instantánea. Entonces reemplazamos los valores. El producto punto nos dio 152. Y este valor de la magnitud norma o módulo de la velocidad nos dio raíz cuadrada de 161. Todo esto nos va a quedar en metros sobre segundo cuadrado. Es decir haciendo el cociente de estas unidades entre estas tenemos finalmente metros sobre segundo cuadrado. Que son las unidades de la aceleración. En este caso la componente tangencial de la aceleración. Haciendo toda esta operación en calculadora nos da un resultado que podemos aproximar a 12 metros sobre segundo cuadrado. Y de esta manera tenemos entonces la componente tangencial de la aceleración. Finalmente hallamos la componente normal de la aceleración haciendo uso de esta formulita. Esta raíz cuadrada nos permite encontrar la componente a n. Entonces vamos a reemplazar esta magnitud de la aceleración nos dio como resultado raíz cuadrada de 148. Entonces nos quedaría raíz cuadrada de 148. Esto elevado al cuadrado menos at que nos dio 12 al cuadrado. Vamos a resolver todo esto. Entonces nos va a quedar así. Raíz cuadrada de... Esto nos da 148. El cuadrado destruye la raíz cuadrada menos 12 al cuadrado que es 144. Esa diferencia nos da 4. Y la raíz cuadrada de 4 es igual a 2. Y colocamos las unidades correspondientes a esta componente. Es decir la componente normal de la aceleración. De esta manera hemos terminado el ejercicio. Tenemos aquí la componente tangencial de la aceleración. Y aquí la componente normal de la aceleración de esa partícula en t igual a 2 segundos. ¡Suscríbete al canal!
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