Ejercicio 1 de HIPÉRBOLA (Parte 1)
#julioprofe explica cómo llevar la ecuación general de una hipérbola a su forma estándar. También construye la gráfica y determina sus principales elementos.

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 Nos dan esta ecuación que corresponde a una sección cónica. Se trata de una hipérbola porque tanto x al cuadrado como y al cuadrado tienen coeficientes de signos contrarios. Vemos aquí que el coeficiente es positivo y aquí es negativo. Siempre que tengamos ese comportamiento, entonces la ecuación corresponde a una hipérbola. Vamos a realizar todo el análisis hasta llevarla a la forma estándar y allí podremos decidir si se trata de una hipérbola horizontal o vertical y vamos a encontrar sus principales elementos. Para comenzar vamos a organizar la ecuación de tal manera que las x queden seguidas y también los términos que contienen la y. Entonces vemos que hemos dejado 9x al cuadrado, pasamos este término acá para que las x, los términos que tienen la x queden consecutivos y lo mismo los términos que contienen la letra y. Y pasamos este número, 212 pasa al lado derecho por lo tanto llega negativo. Ahora vamos a agrupar los términos que contienen la x agrupamos colocando paréntesis y los términos que contienen la letra y. Aquí debemos tener cuidado porque este signo nos cambia debido a que colocamos un paréntesis y afuera teníamos signo negativo. Entonces cambia el signo interno igual a menos 212. Bien, ahora vamos a sacar factor común de cada paréntesis este número que acompaña la letra que se encuentra al cuadrado únicamente ese número. Entonces por acá sale el 9 factor común de x al cuadrado menos 12x. Y de aquí sacamos el 16 factor común de y al cuadrado menos 8y cierra paréntesis igual a menos 212. Ahora vamos a realizar la completación del trinomio cuadrado perfecto dentro de cada paréntesis. Eso se hace de la siguiente manera. Aquí vamos a sacar la mitad a este número la mitad de 12 sería 6. Únicamente miramos el 12 no consideramos el signo negativo no es necesario. Únicamente la mitad del número la mitad de 12 es 6 y 6 lo elevamos al cuadrado 6 al cuadrado es 36. Por lo tanto 36 es el número que falta allí para que se conforme un trinomio cuadrado perfecto. Menos 16 abrimos paréntesis queda y al cuadrado menos 8y. Y todo esto le hacemos el mismo procedimiento sacamos la mitad de 8 que sería 4. 4 lo elevamos al cuadrado y nos da 16. Luego 16 es el numerito que nos falta allí para conformar el trinomio cuadrado perfecto. Bien y esto es igual a menos 212. Veamos debemos también colocar acá en el lado derecho los números que insertamos en el lado izquierdo. Pero sin olvidar que por ejemplo este 36 está afectado por este 9 y este 16 está afectado por este menos 16. Entonces hacemos lo siguiente 9 por 36 eso nos da 324. Es el número que va en el lado derecho y menos 16 por 16 eso nos da menos 256. Vamos a colocarlo por acá por razones de espacio para que no se nos salga de foco los números. Entonces a continuación vamos a factorizar estos trinomios cuadrados perfectos. Esto nos va a quedar entonces 9 por la factorización de este trinomio cuadrado perfecto nos queda x menos 6 al cuadrado. Siempre la factorización de un trinomio cuadrado perfecto nos dará como resultado un binomio al cuadrado. Menos 16 por la factorización de este otro trinomio cuadrado perfecto nos da y menos 4 al cuadrado. Igual a la suma de todos estos números en los 212 más 324 menos 256 nos da un total de menos 144. Ahora vamos a dividir toda la ecuación por menos 144 a los dos lados. Eso con el objetivo de obtener 1 en el lado derecho. Entonces nos va a quedar 9 por x menos 6 al cuadrado todo esto dividido entre menos 144 y en el lado derecho queda menos 144 dividido entre menos 144. Entonces vamos a simplificar, podemos borrar esto, vamos a simplificar entonces aquí novena de 9 es 1, novena de 144 es 16, por acá dieciséisaba de 16 nos da 1, dieciséisaba de 144 nos da 9 y por acá este cociente nos dará como resultado 1, 1 positivo. Entonces nos va a quedar así, la primera fracción queda negativa, por este negativo que no podemos olvidar, arriba tendremos x menos 6 al cuadrado y abajo 16. La segunda fracción nos va a quedar positiva, negativo con negativo da positivo, arriba nos queda y menos 4 al cuadrado y abajo nos queda 9 y todo esto igual a 1 positivo. Ya vemos que la ecuación toma forma de hipérbola ya se aproxima al modelo estándar pero debemos organizarla, la ecuación debe quedar con el término positivo en primer lugar, nos queda menos x menos 6 al cuadrado sobre 16 igual a 1 y allí ya tenemos entonces el modelo de una hipérbola que será vertical y la reconocemos porque el término positivo es el que contiene la letra y, entonces es una hipérbola vertical con centro HK. Vamos a escribir entonces su modelo correspondiente, ese modelo dice así, y menos k al cuadrado sobre a al cuadrado menos x menos h al cuadrado sobre b al cuadrado igual a 1. Si vemos que encaja perfectamente la ecuación que obtuvimos y el modelo de la hipérbola vertical con centro HK. Vamos entonces a confrontar las dos ecuaciones para sacar los componentes que necesitamos que son HK, A y B. Entonces tendremos menos h es igual a menos 6, tenemos que menos h es igual a menos 6 es decir lo que está después de la x multiplicando por menos 1 ambos lados nos queda que h es igual a 6. Por acá menos k lo igualamos con menos 4, lo que está después de la letra y se iguala en ambos casos, multiplicamos por menos 1 ambos lados y nos queda que k es igual a 4, por lo tanto aquí ya tenemos el centro de la hipérbola, será la coordenada 6,4 que es la pareja HK tal como dice por acá. Ahora tenemos que a cuadrado es igual a 9, sacamos raíz cuadrada en ambos lados eso nos da a igual a más o menos 3 pero tomamos la opción positiva porque a es una distancia, por lo tanto debe tomarse positiva y b cuadrado lo igualamos con 16. Sacando raíz cuadrada a los dos lados nos queda que b es igual a 4, realmente nos da más o menos 4 pero también como b es una distancia tomamos la opción positiva.
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"text": " Entonces hacemos lo siguiente 9 por 36 eso nos da 324."}, {"start": 238.0, "end": 248.0, "text": " Es el n\u00famero que va en el lado derecho y menos 16 por 16 eso nos da menos 256."}, {"start": 248.0, "end": 256.0, "text": " Vamos a colocarlo por ac\u00e1 por razones de espacio para que no se nos salga de foco los n\u00fameros."}, {"start": 256.0, "end": 262.0, "text": " Entonces a continuaci\u00f3n vamos a factorizar estos trinomios cuadrados perfectos."}, {"start": 262.0, "end": 271.0, "text": " Esto nos va a quedar entonces 9 por la factorizaci\u00f3n de este trinomio cuadrado perfecto nos queda x menos 6 al cuadrado."}, {"start": 271.0, "end": 278.0, "text": " Siempre la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto nos dar\u00e1 como resultado un binomio al cuadrado."}, {"start": 278.0, "end": 290.0, "text": " Menos 16 por la factorizaci\u00f3n de este otro trinomio cuadrado perfecto nos da y menos 4 al cuadrado."}, {"start": 290.0, "end": 302.0, "text": " Igual a la suma de todos estos n\u00fameros en los 212 m\u00e1s 324 menos 256 nos da un total de menos 144."}, {"start": 302.0, "end": 309.0, "text": " Ahora vamos a dividir toda la ecuaci\u00f3n por menos 144 a los dos lados."}, {"start": 309.0, "end": 323.0, "text": " Eso con el objetivo de obtener 1 en el lado derecho. Entonces nos va a quedar 9 por x menos 6 al cuadrado todo esto dividido entre menos 144"}, {"start": 323.0, "end": 343.0, "text": " y en el lado derecho queda menos 144 dividido entre menos 144."}, {"start": 343.0, "end": 358.0, "text": " Entonces vamos a simplificar, podemos borrar esto, vamos a simplificar entonces aqu\u00ed novena de 9 es 1, novena de 144 es 16,"}, {"start": 358.0, "end": 373.0, "text": " por ac\u00e1 diecis\u00e9isaba de 16 nos da 1, diecis\u00e9isaba de 144 nos da 9 y por ac\u00e1 este cociente nos dar\u00e1 como resultado 1, 1 positivo."}, {"start": 373.0, "end": 381.0, "text": " Entonces nos va a quedar as\u00ed, la primera fracci\u00f3n queda negativa, por este negativo que no podemos olvidar,"}, {"start": 381.0, "end": 393.0, "text": " arriba tendremos x menos 6 al cuadrado y abajo 16. La segunda fracci\u00f3n nos va a quedar positiva, negativo con negativo da positivo,"}, {"start": 393.0, "end": 402.0, "text": " arriba nos queda y menos 4 al cuadrado y abajo nos queda 9 y todo esto igual a 1 positivo."}, {"start": 402.0, "end": 412.0, "text": " Ya vemos que la ecuaci\u00f3n toma forma de hip\u00e9rbola ya se aproxima al modelo est\u00e1ndar pero debemos organizarla,"}, {"start": 412.0, "end": 428.0, "text": " la ecuaci\u00f3n debe quedar con el t\u00e9rmino positivo en primer lugar, nos queda menos x menos 6 al cuadrado sobre 16 igual a 1"}, {"start": 428.0, "end": 444.0, "text": " y all\u00ed ya tenemos entonces el modelo de una hip\u00e9rbola que ser\u00e1 vertical y la reconocemos porque el t\u00e9rmino positivo es el que contiene la letra y,"}, {"start": 444.0, "end": 457.0, "text": " entonces es una hip\u00e9rbola vertical con centro HK. 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