Problema 4 con ECUACIONES CUADRÁTICAS
#julioprofe explica cómo resolver un problema geométrico donde se llega a una ecuación cuadrática o de segundo grado:

Una piscina rectangular de 15 m de largo por 9 m de ancho está rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme. Si el área del camino es 81 m², ¿Cuánto mide su ancho?

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 Una piscina rectangular de 15 metros de largo por 9 metros de ancho está rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme. Si el área del camino es 81 metros cuadrados, ¿cuánto mide su ancho? Bien, comenzamos este problema haciendo un dibujo donde representamos la piscina rectangular con sus dimensiones. 15 metros de largo por 9 metros de ancho. Y observamos también el camino de cemento que rodea la piscina. Dice el problema que debe tener un ancho uniforme. Entonces esa medida del ancho del camino la vamos a llamar X y la representamos de la siguiente manera. Aquí la tenemos y nuestro problema será encontrar ese valor de X que representa, como decíamos, el ancho del camino de cemento que es uniforme alrededor de la piscina. Con la información que tenemos ya podemos establecer cuál es el largo y cuál es el ancho del rectángulo más grande. Es decir, el rectángulo que bordea la parte exterior del camino de cemento. Entonces tenemos que el largo corresponde a esta medida que es 15 metros sumándole X y otra vez X. Entonces será 15 más 2X. La vamos a escribir por aquí. 15 más 2X. Lógicamente esto en metros es el largo del rectángulo exterior. Ahora veamos el ancho. Tenemos entonces de aquí a aquí 9 metros y a eso se le suma X y otra vez X. Entonces tendremos que esta medida corresponde a 9 más 2X. La vamos a escribir por aquí. 9 más 2X también en metros. Como el problema nos da el dato del área del camino que es 81 metros cuadrados, entonces podemos hacer un planteamiento para encontrar justamente el área de esa parte. El área del camino de cemento. Entonces decimos que el área del rectángulo grande, vamos a representarla así. Área del rectángulo grande. Todo esto menos el área de la piscina. Entonces esa diferencia de áreas nos da como resultado el área del camino. Que es el dato que conocemos en el problema. Entonces como vemos es una resta de figuras geométricas. El área del rectángulo grande menos el área del rectángulo pequeño nos da este espacio que queda entre ellos dos. Y que corresponde al área del camino. Entonces vamos a aplicar la fórmula geométrica del área de un rectángulo. Recordemos que el área es base por altura o largo por ancho. Para el caso del rectángulo grande tendremos 15 más 2X que es el largo. Multiplicado por el ancho que es 9 más 2X. Todo esto menos el área de la piscina que es un rectángulo de 15 metros de largo por 9 metros de ancho. Entonces tendremos 15 por 9. Y esto es igual al área del camino que el problema nos da en su enunciado. Y que es 81 metros cuadrados. Como puede observarse este es un problema geométrico. Involucra áreas de figuras. Y el planteamiento conduce a una ecuación. Nuestro problema es ahora algebraico. Debemos dar solución a esta ecuación. Comenzamos realizando este producto de binomios. Y esto lo hacemos aplicando la propiedad distributiva. Entonces 15 por 9 nos da 135. Después 15 por 2X que nos da más 30X. Luego multiplicamos 2X por 9. Eso nos da más 18X. Después multiplicamos 2X por 2X. Y eso nos da más 4X al cuadrado. Esto menos la multiplicación de estos números. Que nos da 135. Y esto es igual a 81. Aquí tenemos que estos dos números se pueden cancelar. Son números opuestos. Y la suma entre ellos nos da 0. Tenemos entonces la ecuación de la siguiente manera. AX al cuadrado hacemos la suma de estos dos términos semejantes. Eso nos da más 48X. Y podemos pasar este número que está positivo a restar al lado izquierdo. Llega negativo y esto igual a 0. Y hemos llegado a lo que se llama una ecuación cuadrática. O una ecuación de segundo grado. Esto es AX al cuadrado más BX más C igual a 0. Para resolver una ecuación cuadrática contamos con dos caminos principales. El primero de ellos es la factorización. Y el segundo camino es el uso de la fórmula cuadrática. En este caso es más conveniente utilizar la fórmula cuadrática. Ya que resolver esta ecuación por factorización resulta bastante dispendioso. Vamos a recordar aquí la fórmula cuadrática. Allí la tenemos. Y para una mejor aplicación de esta fórmula vamos a desaparecer cada una de las letras. Dejando en su lugar paréntesis vacíos. Allí los tenemos. Y ahora vamos a llenar cada uno de ellos con los valores de A, B y C. En este caso tenemos que A vale 4. Entonces llenamos por aquí y por aquí con el valor 4. Tenemos que B vale 48. Entonces llenamos este espacio y también por aquí. Y el valor de C es menos 81. Entonces llenamos este paréntesis con ese valor. Enseguida resolvemos estas operaciones. Por aquí tenemos menos 48. Por acá dentro de la raíz tenemos 48 al cuadrado que nos da 2304. Y tenemos menos 4 por 4 por menos 81. Eso nos da más 1296. Y aquí en el denominador tenemos 2 por 4 que es 8. Ahora realizamos esta suma que hay dentro de la raíz. Y nos da como resultado 3600. Ahora la raíz cuadrada de 3600 nos da como resultado 60. De esto vamos a tener dos posibilidades. Una que es x1 y la otra llamada x2. Entonces la primera será menos 48 menos 60. Todo esto dividido entre 8. La segunda posibilidad será menos 48 más 60. Y todo esto dividido entre 8. Vamos a resolver cada una. En la primera tenemos que la operación del numerador da como resultado menos 108. Todo esto dividido entre 8. Allí podemos simplificar. Podríamos sacar cuarta. Nos queda menos 27 medios. Y esto equivale a menos 13.5. Como resultado decimal. Vamos con la otra opción. Menos 48 más 60 da como resultado 12 positivo. 12 dividido entre 8 es una fracción que se puede simplificar. Sacando cuarta a ambos números. Nos queda entonces 3 medios. Y esto como decimal equivale a 1.5. Como en este problema x representa el ancho del camino de cemento. Entonces tiene que ser necesariamente una cantidad positiva. Nos quedamos entonces con este resultado. Y descartamos la opción negativa. Y nos quedamos entonces a la respuesta del problema. Tenemos que el ancho del camino mide 1.5 metros.
[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Una piscina rectangular de 15 metros de largo por 9 metros de ancho est\u00e1 rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme."}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " Si el \u00e1rea del camino es 81 metros cuadrados, \u00bfcu\u00e1nto mide su ancho?"}, {"start": 19.0, "end": 29.0, "text": " Bien, comenzamos este problema haciendo un dibujo donde representamos la piscina rectangular con sus dimensiones."}, {"start": 29.0, "end": 34.0, "text": " 15 metros de largo por 9 metros de ancho."}, {"start": 34.0, "end": 40.0, "text": " Y observamos tambi\u00e9n el camino de cemento que rodea la piscina."}, {"start": 40.0, "end": 45.0, "text": " Dice el problema que debe tener un ancho uniforme."}, {"start": 45.0, "end": 54.0, "text": " Entonces esa medida del ancho del camino la vamos a llamar X y la representamos de la siguiente manera."}, {"start": 54.0, "end": 71.0, "text": " Aqu\u00ed la tenemos y nuestro problema ser\u00e1 encontrar ese valor de X que representa, como dec\u00edamos, el ancho del camino de cemento que es uniforme alrededor de la piscina."}, {"start": 71.0, "end": 80.0, "text": " Con la informaci\u00f3n que tenemos ya podemos establecer cu\u00e1l es el largo y cu\u00e1l es el ancho del rect\u00e1ngulo m\u00e1s grande."}, {"start": 80.0, "end": 88.0, "text": " Es decir, el rect\u00e1ngulo que bordea la parte exterior del camino de cemento."}, {"start": 88.0, "end": 97.0, "text": " Entonces tenemos que el largo corresponde a esta medida que es 15 metros sum\u00e1ndole X y otra vez X."}, {"start": 97.0, "end": 100.0, "text": " Entonces ser\u00e1 15 m\u00e1s 2X."}, {"start": 100.0, "end": 103.0, "text": " La vamos a escribir por aqu\u00ed."}, {"start": 103.0, "end": 111.0, "text": " 15 m\u00e1s 2X. L\u00f3gicamente esto en metros es el largo del rect\u00e1ngulo exterior."}, {"start": 111.0, "end": 120.0, "text": " Ahora veamos el ancho. Tenemos entonces de aqu\u00ed a aqu\u00ed 9 metros y a eso se le suma X y otra vez X."}, {"start": 120.0, "end": 127.0, "text": " Entonces tendremos que esta medida corresponde a 9 m\u00e1s 2X."}, {"start": 127.0, "end": 134.0, "text": " La vamos a escribir por aqu\u00ed. 9 m\u00e1s 2X tambi\u00e9n en metros."}, {"start": 134.0, "end": 150.0, "text": " Como el problema nos da el dato del \u00e1rea del camino que es 81 metros cuadrados, entonces podemos hacer un planteamiento para encontrar justamente el \u00e1rea de esa parte."}, {"start": 150.0, "end": 152.0, "text": " El \u00e1rea del camino de cemento."}, {"start": 152.0, "end": 159.0, "text": " Entonces decimos que el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo grande, vamos a representarla as\u00ed."}, {"start": 159.0, "end": 165.0, "text": " \u00c1rea del rect\u00e1ngulo grande."}, {"start": 165.0, "end": 176.0, "text": " Todo esto menos el \u00e1rea de la piscina."}, {"start": 176.0, "end": 184.0, "text": " Entonces esa diferencia de \u00e1reas nos da como resultado el \u00e1rea del camino."}, {"start": 184.0, "end": 187.0, "text": " Que es el dato que conocemos en el problema."}, {"start": 187.0, "end": 192.0, "text": " Entonces como vemos es una resta de figuras geom\u00e9tricas."}, {"start": 192.0, "end": 200.0, "text": " El \u00e1rea del rect\u00e1ngulo grande menos el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo peque\u00f1o nos da este espacio que queda entre ellos dos."}, {"start": 200.0, "end": 203.0, "text": " Y que corresponde al \u00e1rea del camino."}, {"start": 203.0, "end": 208.0, "text": " Entonces vamos a aplicar la f\u00f3rmula geom\u00e9trica del \u00e1rea de un rect\u00e1ngulo."}, {"start": 208.0, "end": 214.0, "text": " Recordemos que el \u00e1rea es base por altura o largo por ancho."}, {"start": 214.0, "end": 224.0, "text": " Para el caso del rect\u00e1ngulo grande tendremos 15 m\u00e1s 2X que es el largo."}, {"start": 224.0, "end": 231.0, "text": " Multiplicado por el ancho que es 9 m\u00e1s 2X."}, {"start": 231.0, "end": 240.0, "text": " Todo esto menos el \u00e1rea de la piscina que es un rect\u00e1ngulo de 15 metros de largo por 9 metros de ancho."}, {"start": 240.0, "end": 244.0, "text": " Entonces tendremos 15 por 9."}, {"start": 244.0, "end": 251.0, "text": " Y esto es igual al \u00e1rea del camino que el problema nos da en su enunciado."}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " Y que es 81 metros cuadrados."}, {"start": 255.0, "end": 260.0, "text": " Como puede observarse este es un problema geom\u00e9trico."}, {"start": 260.0, "end": 263.0, "text": " Involucra \u00e1reas de figuras."}, {"start": 263.0, "end": 267.0, "text": " Y el planteamiento conduce a una ecuaci\u00f3n."}, {"start": 267.0, "end": 270.0, "text": " Nuestro problema es ahora algebraico."}, {"start": 270.0, "end": 275.0, "text": " Debemos dar soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 275.0, "end": 279.0, "text": " Comenzamos realizando este producto de binomios."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " Y esto lo hacemos aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 282.0, "end": 288.0, "text": " Entonces 15 por 9 nos da 135."}, {"start": 288.0, "end": 297.0, "text": " Despu\u00e9s 15 por 2X que nos da m\u00e1s 30X."}, {"start": 297.0, "end": 301.0, "text": " Luego multiplicamos 2X por 9."}, {"start": 301.0, "end": 306.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 18X."}, {"start": 306.0, "end": 311.0, "text": " Despu\u00e9s multiplicamos 2X por 2X."}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " Y eso nos da m\u00e1s 4X al cuadrado."}, {"start": 316.0, "end": 320.0, "text": " Esto menos la multiplicaci\u00f3n de estos n\u00fameros."}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Que nos da 135."}, {"start": 323.0, "end": 328.0, "text": " Y esto es igual a 81."}, {"start": 328.0, "end": 333.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos que estos dos n\u00fameros se pueden cancelar."}, {"start": 333.0, "end": 336.0, "text": " Son n\u00fameros opuestos."}, {"start": 336.0, "end": 339.0, "text": " Y la suma entre ellos nos da 0."}, {"start": 339.0, "end": 343.0, "text": " Tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 343.0, "end": 348.0, "text": " AX al cuadrado hacemos la suma de estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 48X."}, {"start": 351.0, "end": 359.0, "text": " Y podemos pasar este n\u00famero que est\u00e1 positivo a restar al lado izquierdo."}, {"start": 359.0, "end": 363.0, "text": " Llega negativo y esto igual a 0."}, {"start": 363.0, "end": 369.0, "text": " Y hemos llegado a lo que se llama una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 369.0, "end": 372.0, "text": " O una ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 372.0, "end": 379.0, "text": " Esto es AX al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 379.0, "end": 385.0, "text": " Para resolver una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica contamos con dos caminos principales."}, {"start": 385.0, "end": 389.0, "text": " El primero de ellos es la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 389.0, "end": 393.0, "text": " Y el segundo camino es el uso de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " En este caso es m\u00e1s conveniente utilizar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 398.0, "end": 405.0, "text": " Ya que resolver esta ecuaci\u00f3n por factorizaci\u00f3n resulta bastante dispendioso."}, {"start": 405.0, "end": 410.0, "text": " Vamos a recordar aqu\u00ed la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 410.0, "end": 411.0, "text": " All\u00ed la tenemos."}, {"start": 411.0, "end": 418.0, "text": " Y para una mejor aplicaci\u00f3n de esta f\u00f3rmula vamos a desaparecer cada una de las letras."}, {"start": 418.0, "end": 423.0, "text": " Dejando en su lugar par\u00e9ntesis vac\u00edos."}, {"start": 423.0, "end": 425.0, "text": " All\u00ed los tenemos."}, {"start": 425.0, "end": 432.0, "text": " Y ahora vamos a llenar cada uno de ellos con los valores de A, B y C."}, {"start": 432.0, "end": 435.0, "text": " En este caso tenemos que A vale 4."}, {"start": 435.0, "end": 441.0, "text": " Entonces llenamos por aqu\u00ed y por aqu\u00ed con el valor 4."}, {"start": 441.0, "end": 444.0, "text": " Tenemos que B vale 48."}, {"start": 444.0, "end": 449.0, "text": " Entonces llenamos este espacio y tambi\u00e9n por aqu\u00ed."}, {"start": 449.0, "end": 453.0, "text": " Y el valor de C es menos 81."}, {"start": 453.0, "end": 458.0, "text": " Entonces llenamos este par\u00e9ntesis con ese valor."}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " Enseguida resolvemos estas operaciones."}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos menos 48."}, {"start": 466.0, "end": 474.0, "text": " Por ac\u00e1 dentro de la ra\u00edz tenemos 48 al cuadrado que nos da 2304."}, {"start": 474.0, "end": 479.0, "text": " Y tenemos menos 4 por 4 por menos 81."}, {"start": 479.0, "end": 485.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 1296."}, {"start": 485.0, "end": 491.0, "text": " Y aqu\u00ed en el denominador tenemos 2 por 4 que es 8."}, {"start": 491.0, "end": 496.0, "text": " Ahora realizamos esta suma que hay dentro de la ra\u00edz."}, {"start": 496.0, "end": 502.0, "text": " Y nos da como resultado 3600."}, {"start": 502.0, "end": 510.0, "text": " Ahora la ra\u00edz cuadrada de 3600 nos da como resultado 60."}, {"start": 510.0, "end": 515.0, "text": " De esto vamos a tener dos posibilidades."}, {"start": 515.0, "end": 520.0, "text": " Una que es x1 y la otra llamada x2."}, {"start": 520.0, "end": 526.0, "text": " Entonces la primera ser\u00e1 menos 48 menos 60."}, {"start": 526.0, "end": 530.0, "text": " Todo esto dividido entre 8."}, {"start": 530.0, "end": 535.0, "text": " La segunda posibilidad ser\u00e1 menos 48 m\u00e1s 60."}, {"start": 535.0, "end": 540.0, "text": " Y todo esto dividido entre 8."}, {"start": 540.0, "end": 542.0, "text": " Vamos a resolver cada una."}, {"start": 542.0, "end": 548.0, "text": " En la primera tenemos que la operaci\u00f3n del numerador da como resultado menos 108."}, {"start": 548.0, "end": 551.0, "text": " Todo esto dividido entre 8."}, {"start": 551.0, "end": 553.0, "text": " All\u00ed podemos simplificar."}, {"start": 553.0, "end": 556.0, "text": " Podr\u00edamos sacar cuarta."}, {"start": 556.0, "end": 561.0, "text": " Nos queda menos 27 medios."}, {"start": 561.0, "end": 565.0, "text": " Y esto equivale a menos 13.5."}, {"start": 565.0, "end": 568.0, "text": " Como resultado decimal."}, {"start": 568.0, "end": 570.0, "text": " Vamos con la otra opci\u00f3n."}, {"start": 570.0, "end": 575.0, "text": " Menos 48 m\u00e1s 60 da como resultado 12 positivo."}, {"start": 575.0, "end": 580.0, "text": " 12 dividido entre 8 es una fracci\u00f3n que se puede simplificar."}, {"start": 580.0, "end": 583.0, "text": " Sacando cuarta a ambos n\u00fameros."}, {"start": 583.0, "end": 586.0, "text": " Nos queda entonces 3 medios."}, {"start": 586.0, "end": 591.0, "text": " Y esto como decimal equivale a 1.5."}, {"start": 591.0, "end": 597.0, "text": " Como en este problema x representa el ancho del camino de cemento."}, {"start": 597.0, "end": 602.0, "text": " Entonces tiene que ser necesariamente una cantidad positiva."}, {"start": 602.0, "end": 605.0, "text": " Nos quedamos entonces con este resultado."}, {"start": 605.0, "end": 610.0, "text": " Y descartamos la opci\u00f3n negativa."}, {"start": 610.0, "end": 613.0, "text": " Y nos quedamos entonces a la respuesta del problema."}, {"start": 613.0, "end": 642.0, "text": " Tenemos que el ancho del camino mide 1.5 metros."}]