REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
#julioprofe expone las reglas para derivar funciones trigonométricas inversas, con ejemplos de las mismas.

Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a ver las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Comencemos con la función y igual a seno a la menos uno de x, que también puede escribirse como arco seno de x. Puede estar presentada de cualquiera de esas dos maneras. En ese caso la derivada con respecto a x de esa función será uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Para situaciones más complejas, cuando no tengamos aquí una simple x, sino algo un poco más complicado por así decirlo, entonces utilizamos la regla de la cadena. Vamos a cambiar la x por una manzanita que va a representar la expresión en términos de x. Entonces la derivada de seno a la menos uno de manzanita, o también podemos encontrarla como arco seno de la manzanita, entonces la derivada de todo eso será siguiendo este modelo uno sobre la raíz cuadrada de uno menos la manzanita al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Simplemente podemos aquí multiplicar numeradores uno por manzanita prima, y entonces esto se ubica aquí en el numerador. Entonces vamos a mejorar esta expresión ubicando aquí la derivada de la manzanita, o sea la derivada interna en la parte de arriba. Entonces esta la utilizamos cuando tenemos una simple x, nos da esta expresión, y esta la usamos cuando aquí aparece una expresión en términos de x, que está representada por la manzanita. Es entonces lo que se llama la regla de la cadena. Ahora en el caso que tengamos coseno a la menos uno de x, también expresado como arco coseno de x, entonces la derivada será esta misma expresión, pero con signo negativo. Es prácticamente la misma que teníamos con seno a la menos uno de x, pero ahora con signo negativo. Y acá la misma situación, tendríamos coseno a la menos uno de la manzanita, o arco coseno de la manzanita, y acá tendríamos esta expresión con signo negativo. Para el caso de la función y igual a tangente a la menos uno de x, que también podemos encontrarla como arco tangente de x, la derivada con respecto a x es igual a uno sobre uno más x al cuadrado. Y de igual manera, si en lugar de x tenemos una expresión un poco más compleja, que la vamos a representar con la manzanita, entonces derivada de tangente a la menos uno de manzanita, que también podría ser derivada de arco tangente de manzanita, entonces tendremos la siguiente expresión. Nos apoyamos en esto y tendremos uno sobre uno más la manzanita elevada al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Pero de igual forma esto puede multiplicar con uno y situarse aquí en el numerador. Entonces vamos a escribir la expresión más sencilla, localizando aquí en el numerador la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Para el caso de la función cotangente a la menos uno de x, que aquí también la encontraríamos como arco cotangente de x, entonces tendremos esta misma expresión pero con signo menos, con signo negativo. Aquí también podemos hacer el cambio y entonces tendremos la derivada de cotangente a la menos uno de la manzanita, o arco cotangente de la manzanita, igual a esta expresión con signo negativo. Finalmente para el caso de la función y igual a secante a la menos uno de x, que también puede encontrarse como arco secante de x, entonces la derivada de esa función con respecto a x será igual a lo siguiente. En el numerador tenemos uno y aquí en el denominador escribimos x por la raíz cuadrada de x al cuadrado menos uno. Entonces si tenemos manzanita en lugar de la x, decimos derivada de secante a la menos uno de manzanita, que también sería la derivada de arco secante de manzanita, entonces vamos a construir el modelo apoyándonos en esta fórmula. Entonces tendríamos en la parte de abajo la manzanita por la raíz cuadrada de manzanita al cuadrado menos uno. Aquí en el numerador tendríamos el uno y esto multiplicado por la derivada interna, que es la derivada de la manzanita, pero otra vez esto puede situarse aquí en el numerador, entonces allí está la derivada interna, quitamos esto de aquí y de esa manera tenemos la derivada para el caso de la función inversa de la secante. Por último, si aquí tenemos cosecante, entonces pasa lo mismo que hemos venido observando, es esta expresión pero con signo negativo, lo mismo tendríamos acá en el caso de la regla de la cadena. Entonces aquí la derivada de cosecante a la menos uno de manzanita o la derivada de arco cosecante de manzanita será igual a esta expresión con signo negativo. Veamos el primer ejemplo, tenemos una función conformada por un producto, tenemos x al cubo por arco seno de x. Entonces vamos a obtener la derivada de esa función y para empezar vamos a utilizar la regla del producto, la recordamos entonces, derivada de un producto a por b es igual a la derivada del primer componente por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo componente. Entonces vamos a proceder con la derivación de esta función. Tenemos entonces que derivada de y con respecto a x es igual a derivada del primer componente, o sea derivada de x al cubo que es 3x al cuadrado por el segundo componente sin derivar que sería arco seno de x. Y esto más el primer componente sin derivar que es x al cubo por la derivada del segundo componente, o sea la derivada de arco seno de x. Y recordemos que eso es uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Vemos entonces que se puede organizar allí, realmente aquí no podemos hacer nada más, en esta parte podemos multiplicar x al cubo con uno, es decir situar esto aquí en el numerador. Entonces vamos a reescribir esta parte de la expresión, tenemos entonces en el numerador x al cubo y en el denominador la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Y de esa manera tenemos la respuesta, esta expresión es la derivada de esta función. En el segundo ejemplo vamos a derivar esa función que nos dan, vamos a obtener de y de x y para ello vamos a utilizar el modelo que vimos correspondiente a coseno a la menos uno de la manzanita. En este caso la manzanita es x al cuadrado, entonces la derivada de esto recordemos que es igual a la raíz cuadrada, aquí en el denominador, raíz cuadrada de uno menos la manzanita al cuadrado. Y aquí en la parte de arriba teníamos la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita, pero esto con signo negativo, entonces procedemos a obtener la derivada de esta función. Se va a llamar de y de x y vamos a construirla de acuerdo con este modelo, entonces identificamos la manzanita que es x al cuadrado, entonces aquí en la parte de abajo tendremos uno menos la manzanita al cuadrado. O sea x al cuadrado y todo esto otra vez al cuadrado. Y aquí en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita, o sea la derivada de x al cuadrado que sería 2x. Para finalizar la respuesta entonces vamos a trasladar el menos aquí en toda la mitad junto con la línea de la fracción, en la parte de arriba dejamos 2x y en la parte de abajo dentro de la raíz tenemos uno menos x a la 4. Recordemos que aquí se multiplican los exponentes y esta expresión constituye la respuesta, es la derivada de esta función. Vamos a obtener en el tercer ejemplo la derivada de esta función, vamos a obtener de y de x. Entonces para comenzar tenemos aquí una potencia, entonces debemos utilizar la regla de la cadena para potencias, el modelo dice así, si tenemos manzanita a la n, en este caso la manzanita sería tangente a la menos 1 de x y n sería 4. Entonces la derivada de esto será n por la manzanita a la n menos 1 y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Entonces con base en esta propiedad vamos a derivar esta función, tenemos entonces lo siguiente, aparece de y de x por primera vez, o sea la derivada y vamos a seguir este modelo. Abajamos el 4 que multiplica a la manzanita tangente a la menos 1 de x, todo esto a la 4 menos 1, o sea 3 y eso multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Vamos a indicarla y en el siguiente paso la desarrollamos. Vamos a dejar esta parte de la expresión tal como está y vamos aquí a cambiar tangente a la menos 1 de x por su correspondiente derivada y eso nos dio la expresión 1 sobre 1 más x al cuadrado. De esa manera tenemos ya todo derivado, lo que hacemos para finalizar es polir un poco la expresión para que quede de una manera más comprimida. Tendríamos en la parte de arriba 4 por todo esto por 1, o sea 4 que multiplica a tangente a la menos 1 de x y esto elevado al cubo. Y en la parte de abajo tendríamos únicamente la expresión 1 más x al cuadrado. De esa manera llegamos a la respuesta. Esta expresión será la derivada de esta función. En el cuarto ejemplo vamos a obtener la derivada de esta función, vamos a determinar de y de x. Entonces allí tenemos la función inversa de la cotangente, entonces utilizamos el siguiente modelo, arco cotangente de manzanita, la derivada de todo eso es igual a una fracción en la parte de abajo 1 más la manzanita al cuadrado. Y en la parte de arriba la derivada de la manzanita, o sea la derivada interna con signo negativo. Entonces vamos a construir la derivada de esa función utilizando este modelo. En este caso la manzanita es raíz cuadrada de x. Entonces veamos cómo nos queda la derivada. Tenemos de y de x será igual a una fracción. En la parte de abajo tenemos 1 más la manzanita al cuadrado, o sea 1 más raíz cuadrada de x y esto al cuadrado. Y en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita, o sea la derivada de la raíz cuadrada de x. Veamos entonces esto cómo nos queda. Aquí aparte vamos a hacer la derivada de raíz cuadrada de x. Recordemos que raíz cuadrada de x es lo mismo que tener x a la un medio. Entonces si esto lo derivamos tenemos un medio de x a la menos un medio. Recordemos que a un medio se le resta 1 y por eso nos queda menos un medio. Y esto acomodando la expresión nos queda 1 sobre 2 x a la un medio. Esto que está negativo pasa al denominador con exponente positivo y esto se puede escribir como 1 sobre 2 raíz de x. Entonces la derivada de esta expresión será esta que tenemos aquí. Y eso es lo que vamos a escribir aquí en el numerador. Vamos entonces a cambiar esa expresión por el resultado obtenido. Tenemos entonces aquí 1 sobre 2 raíz de x. Vamos a acomodar este signo menos un poco más arriba. Eso lo podemos reescribir de la siguiente manera. Arriba la misma fracción 1 sobre 2 raíz de x que es negativa. Y aquí en la parte de abajo tenemos 1 más x. Este cuadrado destruye la raíz cuadrada y deja libre la x. Y a esta expresión le podemos escribir denominador 1 para que tengamos fracción sobre fracción. Y allí aplicamos lo que es producto de extremos y producto de medios. O lo que se conoce también como ley de la oreja. Estos dos arriba y estos dos multiplicados en la parte de abajo. También aplicamos ley de los signos negativo con positivo. Nos da al final signo negativo. En la parte de arriba tenemos 1 por 1 que es 1. Y en la parte de abajo tenemos 2 raíz de x que multiplica a la expresión 1 más x. Entonces la protegemos con paréntesis. Y esta expresión, esto que acabamos de obtener será la respuesta, o sea la derivada de esa función. En el quinto ejemplo tenemos esta función y vamos a determinar su derivada. Observamos secante a la menos 1 de logaritmo natural de x. Entonces esto va a representar la manzanita. Recordemos el modelo, derivada de secante a la menos 1 de manzanita será igual a una fracción. En la parte de abajo tenemos manzanita por la raíz cuadrada de manzanita al cuadrado menos 1. Y en la parte de arriba tenemos la derivada interna, o sea lo que se llama la derivada de la manzanita. Entonces con base en este modelo vamos a obtener la derivada de esta función. Entonces derivamos y aparece de y de x por primera vez. Entonces seguimos estas instrucciones. Trazamos la línea de la fracción, en la parte de abajo tenemos la manzanita que es logaritmo natural de x. Eso multiplicado por la raíz cuadrada de la manzanita al cuadrado. O sea, entre paréntesis logaritmo natural de x cerramos eso al cuadrado menos 1. Y aquí en el numerador tenemos la derivada de la manzanita, o sea la derivada del logaritmo natural de x. Que es 1 sobre x. Entonces allí tenemos ya la expresión para la derivada. Pero podemos mejorar la presentación. Arriba tenemos una fracción, abajo podemos escribirle a todo esto denominador 1. Para que apliquemos la ley de la oreja. Entonces tenemos en la parte de arriba el producto de 1 por 1 que es 1. Y en la parte de abajo x que multiplica al logaritmo natural de x y a toda esa raíz cuadrada. Que la podemos acomodar de la siguiente manera. Logaritmo natural de x todo eso al cuadrado puede escribirse como logaritmo natural al cuadrado de x. Es otra forma de denotar ese cuadrado del logaritmo. Y todo esto menos 1. Esta expresión constituye la respuesta. Es la derivada de esta función. En el sexto ejemplo vamos a encontrar la derivada de esa función. Vamos a determinar a que es igual de y de x. Y observamos la función inversa de la cosecante. Y aquí tenemos una expresión más compleja que una simple x. Tenemos pi por x. Entonces esto representará la manzanita. Recordemos el modelo. Arco cosecante de manzanita. Entonces la derivada para esta situación es igual a una fracción. En la parte de abajo tenemos manzanita por la raíz cuadrada de manzanita al cuadrado menos 1. Y en la parte de arriba tenemos la derivada de la manzanita. O sea la derivada interna con signo negativo. Entonces vamos a construir la derivada siguiendo este modelo. Tenemos entonces la derivada. Que se expresa como de y de x. Y seguimos las instrucciones. Trazamos entonces una línea para la fracción. Abajo tenemos la manzanita que sería pi x. Eso multiplicado por la raíz cuadrada de manzanita al cuadrado. O sea pi x todo esto al cuadrado menos 1. Todo esto nos queda dentro de la raíz cuadrada. Y en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita. O sea la derivada de pi por x. Eso nos da como resultado pi. Recordemos que la derivada en la constante por x es la constante. En ese caso pi. Y finalmente simplificamos lo que sea posible. En ese caso podemos eliminar el número pi que está en la parte de arriba y también en la parte de abajo. El signo menos lo podemos reubicar a la izquierda de la línea de la fracción. En la parte de arriba tendremos el número 1. Y abajo x por la raíz cuadrada de... Aquí podemos desarrollar esta potencia. Recordemos que el exponente afecta a los dos componentes. Entonces tendremos pi al cuadrado, x al cuadrado y todo eso menos 1. Y esta expresión constituye la respuesta a este ejemplo. Es la derivada de esta función.
[{"start": 0.0, "end": 4.72, "text": " Vamos a ver las derivadas de las funciones trigonom\u00e9tricas inversas."}, {"start": 4.72, "end": 14.72, "text": " Comencemos con la funci\u00f3n y igual a seno a la menos uno de x, que tambi\u00e9n puede escribirse como arco seno de x."}, {"start": 14.72, "end": 18.72, "text": " Puede estar presentada de cualquiera de esas dos maneras."}, {"start": 18.72, "end": 32.48, "text": " En ese caso la derivada con respecto a x de esa funci\u00f3n ser\u00e1 uno sobre la ra\u00edz cuadrada de uno menos x al cuadrado."}, {"start": 32.48, "end": 42.32, "text": " Para situaciones m\u00e1s complejas, cuando no tengamos aqu\u00ed una simple x, sino algo un poco m\u00e1s complicado por as\u00ed decirlo,"}, {"start": 42.32, "end": 54.24, "text": " entonces utilizamos la regla de la cadena. Vamos a cambiar la x por una manzanita que va a representar la expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 54.24, "end": 66.48, "text": " Entonces la derivada de seno a la menos uno de manzanita, o tambi\u00e9n podemos encontrarla como arco seno de la manzanita,"}, {"start": 66.48, "end": 81.12, "text": " entonces la derivada de todo eso ser\u00e1 siguiendo este modelo uno sobre la ra\u00edz cuadrada de uno menos la manzanita al cuadrado,"}, {"start": 81.12, "end": 87.44, "text": " y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 87.44, "end": 96.64, "text": " Simplemente podemos aqu\u00ed multiplicar numeradores uno por manzanita prima, y entonces esto se ubica aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 96.64, "end": 107.52, "text": " Entonces vamos a mejorar esta expresi\u00f3n ubicando aqu\u00ed la derivada de la manzanita, o sea la derivada interna en la parte de arriba."}, {"start": 107.52, "end": 119.28, "text": " Entonces esta la utilizamos cuando tenemos una simple x, nos da esta expresi\u00f3n, y esta la usamos cuando aqu\u00ed aparece una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x,"}, {"start": 119.28, "end": 126.0, "text": " que est\u00e1 representada por la manzanita. Es entonces lo que se llama la regla de la cadena."}, {"start": 126.0, "end": 141.04, "text": " Ahora en el caso que tengamos coseno a la menos uno de x, tambi\u00e9n expresado como arco coseno de x, entonces la derivada ser\u00e1 esta misma expresi\u00f3n,"}, {"start": 141.04, "end": 151.04, "text": " pero con signo negativo. Es pr\u00e1cticamente la misma que ten\u00edamos con seno a la menos uno de x, pero ahora con signo negativo."}, {"start": 151.04, "end": 166.64, "text": " Y ac\u00e1 la misma situaci\u00f3n, tendr\u00edamos coseno a la menos uno de la manzanita, o arco coseno de la manzanita, y ac\u00e1 tendr\u00edamos esta expresi\u00f3n con signo negativo."}, {"start": 166.64, "end": 192.07999999999998, "text": " Para el caso de la funci\u00f3n y igual a tangente a la menos uno de x, que tambi\u00e9n podemos encontrarla como arco tangente de x, la derivada con respecto a x es igual a uno sobre uno m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 192.08, "end": 202.4, "text": " Y de igual manera, si en lugar de x tenemos una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja, que la vamos a representar con la manzanita,"}, {"start": 202.4, "end": 217.04000000000002, "text": " entonces derivada de tangente a la menos uno de manzanita, que tambi\u00e9n podr\u00eda ser derivada de arco tangente de manzanita, entonces tendremos la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 217.04, "end": 232.95999999999998, "text": " Nos apoyamos en esto y tendremos uno sobre uno m\u00e1s la manzanita elevada al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 232.95999999999998, "end": 239.12, "text": " Pero de igual forma esto puede multiplicar con uno y situarse aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 239.12, "end": 251.44, "text": " Entonces vamos a escribir la expresi\u00f3n m\u00e1s sencilla, localizando aqu\u00ed en el numerador la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 251.44, "end": 270.0, "text": " Para el caso de la funci\u00f3n cotangente a la menos uno de x, que aqu\u00ed tambi\u00e9n la encontrar\u00edamos como arco cotangente de x, entonces tendremos esta misma expresi\u00f3n pero con signo menos, con signo negativo."}, {"start": 270.0, "end": 287.28, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos hacer el cambio y entonces tendremos la derivada de cotangente a la menos uno de la manzanita, o arco cotangente de la manzanita, igual a esta expresi\u00f3n con signo negativo."}, {"start": 287.28, "end": 309.2, "text": " Finalmente para el caso de la funci\u00f3n y igual a secante a la menos uno de x, que tambi\u00e9n puede encontrarse como arco secante de x, entonces la derivada de esa funci\u00f3n con respecto a x ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 309.2, "end": 320.24, "text": " En el numerador tenemos uno y aqu\u00ed en el denominador escribimos x por la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado menos uno."}, {"start": 320.24, "end": 344.08, "text": " Entonces si tenemos manzanita en lugar de la x, decimos derivada de secante a la menos uno de manzanita, que tambi\u00e9n ser\u00eda la derivada de arco secante de manzanita, entonces vamos a construir el modelo apoy\u00e1ndonos en esta f\u00f3rmula."}, {"start": 344.08, "end": 358.32, "text": " Entonces tendr\u00edamos en la parte de abajo la manzanita por la ra\u00edz cuadrada de manzanita al cuadrado menos uno."}, {"start": 358.32, "end": 383.28, "text": " Aqu\u00ed en el numerador tendr\u00edamos el uno y esto multiplicado por la derivada interna, que es la derivada de la manzanita, pero otra vez esto puede situarse aqu\u00ed en el numerador, entonces all\u00ed est\u00e1 la derivada interna, quitamos esto de aqu\u00ed y de esa manera tenemos la derivada para el caso de la funci\u00f3n inversa de la secante."}, {"start": 383.28, "end": 401.35999999999996, "text": " Por \u00faltimo, si aqu\u00ed tenemos cosecante, entonces pasa lo mismo que hemos venido observando, es esta expresi\u00f3n pero con signo negativo, lo mismo tendr\u00edamos ac\u00e1 en el caso de la regla de la cadena."}, {"start": 401.36, "end": 414.8, "text": " Entonces aqu\u00ed la derivada de cosecante a la menos uno de manzanita o la derivada de arco cosecante de manzanita ser\u00e1 igual a esta expresi\u00f3n con signo negativo."}, {"start": 414.8, "end": 428.72, "text": " Veamos el primer ejemplo, tenemos una funci\u00f3n conformada por un producto, tenemos x al cubo por arco seno de x."}, {"start": 428.72, "end": 456.08000000000004, "text": " Entonces vamos a obtener la derivada de esa funci\u00f3n y para empezar vamos a utilizar la regla del producto, la recordamos entonces, derivada de un producto a por b es igual a la derivada del primer componente por el segundo sin derivar m\u00e1s el primero sin derivar por la derivada del segundo componente."}, {"start": 456.08, "end": 481.68, "text": " Entonces vamos a proceder con la derivaci\u00f3n de esta funci\u00f3n. Tenemos entonces que derivada de y con respecto a x es igual a derivada del primer componente, o sea derivada de x al cubo que es 3x al cuadrado por el segundo componente sin derivar que ser\u00eda arco seno de x."}, {"start": 481.68, "end": 494.72, "text": " Y esto m\u00e1s el primer componente sin derivar que es x al cubo por la derivada del segundo componente, o sea la derivada de arco seno de x."}, {"start": 494.72, "end": 503.04, "text": " Y recordemos que eso es uno sobre la ra\u00edz cuadrada de uno menos x al cuadrado."}, {"start": 503.04, "end": 516.72, "text": " Vemos entonces que se puede organizar all\u00ed, realmente aqu\u00ed no podemos hacer nada m\u00e1s, en esta parte podemos multiplicar x al cubo con uno, es decir situar esto aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 516.72, "end": 533.2, "text": " Entonces vamos a reescribir esta parte de la expresi\u00f3n, tenemos entonces en el numerador x al cubo y en el denominador la ra\u00edz cuadrada de uno menos x al cuadrado."}, {"start": 533.2, "end": 541.2, "text": " Y de esa manera tenemos la respuesta, esta expresi\u00f3n es la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 541.2, "end": 557.5200000000001, "text": " En el segundo ejemplo vamos a derivar esa funci\u00f3n que nos dan, vamos a obtener de y de x y para ello vamos a utilizar el modelo que vimos correspondiente a coseno a la menos uno de la manzanita."}, {"start": 557.52, "end": 574.8, "text": " En este caso la manzanita es x al cuadrado, entonces la derivada de esto recordemos que es igual a la ra\u00edz cuadrada, aqu\u00ed en el denominador, ra\u00edz cuadrada de uno menos la manzanita al cuadrado."}, {"start": 574.8, "end": 591.5999999999999, "text": " Y aqu\u00ed en la parte de arriba ten\u00edamos la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita, pero esto con signo negativo, entonces procedemos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 591.6, "end": 611.6800000000001, "text": " Se va a llamar de y de x y vamos a construirla de acuerdo con este modelo, entonces identificamos la manzanita que es x al cuadrado, entonces aqu\u00ed en la parte de abajo tendremos uno menos la manzanita al cuadrado."}, {"start": 611.68, "end": 626.88, "text": " O sea x al cuadrado y todo esto otra vez al cuadrado. Y aqu\u00ed en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita, o sea la derivada de x al cuadrado que ser\u00eda 2x."}, {"start": 626.88, "end": 646.96, "text": " Para finalizar la respuesta entonces vamos a trasladar el menos aqu\u00ed en toda la mitad junto con la l\u00ednea de la fracci\u00f3n, en la parte de arriba dejamos 2x y en la parte de abajo dentro de la ra\u00edz tenemos uno menos x a la 4."}, {"start": 646.96, "end": 658.88, "text": " Recordemos que aqu\u00ed se multiplican los exponentes y esta expresi\u00f3n constituye la respuesta, es la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 658.88, "end": 665.6800000000001, "text": " Vamos a obtener en el tercer ejemplo la derivada de esta funci\u00f3n, vamos a obtener de y de x."}, {"start": 665.68, "end": 683.1999999999999, "text": " Entonces para comenzar tenemos aqu\u00ed una potencia, entonces debemos utilizar la regla de la cadena para potencias, el modelo dice as\u00ed, si tenemos manzanita a la n, en este caso la manzanita ser\u00eda tangente a la menos 1 de x y n ser\u00eda 4."}, {"start": 683.2, "end": 696.5600000000001, "text": " Entonces la derivada de esto ser\u00e1 n por la manzanita a la n menos 1 y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 696.5600000000001, "end": 710.4000000000001, "text": " Entonces con base en esta propiedad vamos a derivar esta funci\u00f3n, tenemos entonces lo siguiente, aparece de y de x por primera vez, o sea la derivada y vamos a seguir este modelo."}, {"start": 710.4, "end": 728.72, "text": " Abajamos el 4 que multiplica a la manzanita tangente a la menos 1 de x, todo esto a la 4 menos 1, o sea 3 y eso multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 728.72, "end": 735.04, "text": " Vamos a indicarla y en el siguiente paso la desarrollamos."}, {"start": 735.04, "end": 754.4, "text": " Vamos a dejar esta parte de la expresi\u00f3n tal como est\u00e1 y vamos aqu\u00ed a cambiar tangente a la menos 1 de x por su correspondiente derivada y eso nos dio la expresi\u00f3n 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 754.4, "end": 765.28, "text": " De esa manera tenemos ya todo derivado, lo que hacemos para finalizar es polir un poco la expresi\u00f3n para que quede de una manera m\u00e1s comprimida."}, {"start": 765.28, "end": 777.04, "text": " Tendr\u00edamos en la parte de arriba 4 por todo esto por 1, o sea 4 que multiplica a tangente a la menos 1 de x y esto elevado al cubo."}, {"start": 777.04, "end": 784.0799999999999, "text": " Y en la parte de abajo tendr\u00edamos \u00fanicamente la expresi\u00f3n 1 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 784.08, "end": 786.8000000000001, "text": " De esa manera llegamos a la respuesta."}, {"start": 786.8000000000001, "end": 791.76, "text": " Esta expresi\u00f3n ser\u00e1 la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 791.76, "end": 799.6800000000001, "text": " En el cuarto ejemplo vamos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n, vamos a determinar de y de x."}, {"start": 799.68, "end": 824.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos la funci\u00f3n inversa de la cotangente, entonces utilizamos el siguiente modelo, arco cotangente de manzanita, la derivada de todo eso es igual a una fracci\u00f3n en la parte de abajo 1 m\u00e1s la manzanita al cuadrado."}, {"start": 824.0, "end": 831.84, "text": " Y en la parte de arriba la derivada de la manzanita, o sea la derivada interna con signo negativo."}, {"start": 831.84, "end": 838.24, "text": " Entonces vamos a construir la derivada de esa funci\u00f3n utilizando este modelo."}, {"start": 838.24, "end": 842.88, "text": " En este caso la manzanita es ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 842.88, "end": 847.36, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda la derivada."}, {"start": 847.36, "end": 854.4, "text": " Tenemos de y de x ser\u00e1 igual a una fracci\u00f3n."}, {"start": 854.4, "end": 865.28, "text": " En la parte de abajo tenemos 1 m\u00e1s la manzanita al cuadrado, o sea 1 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de x y esto al cuadrado."}, {"start": 865.28, "end": 876.4, "text": " Y en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita, o sea la derivada de la ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 876.4, "end": 879.1999999999999, "text": " Veamos entonces esto c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 879.1999999999999, "end": 883.36, "text": " Aqu\u00ed aparte vamos a hacer la derivada de ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 883.36, "end": 888.72, "text": " Recordemos que ra\u00edz cuadrada de x es lo mismo que tener x a la un medio."}, {"start": 888.72, "end": 896.0799999999999, "text": " Entonces si esto lo derivamos tenemos un medio de x a la menos un medio."}, {"start": 896.0799999999999, "end": 900.72, "text": " Recordemos que a un medio se le resta 1 y por eso nos queda menos un medio."}, {"start": 900.72, "end": 907.52, "text": " Y esto acomodando la expresi\u00f3n nos queda 1 sobre 2 x a la un medio."}, {"start": 907.52, "end": 917.52, "text": " Esto que est\u00e1 negativo pasa al denominador con exponente positivo y esto se puede escribir como 1 sobre 2 ra\u00edz de x."}, {"start": 917.52, "end": 924.08, "text": " Entonces la derivada de esta expresi\u00f3n ser\u00e1 esta que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 924.08, "end": 928.24, "text": " Y eso es lo que vamos a escribir aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 928.24, "end": 935.92, "text": " Vamos entonces a cambiar esa expresi\u00f3n por el resultado obtenido."}, {"start": 935.92, "end": 942.88, "text": " Tenemos entonces aqu\u00ed 1 sobre 2 ra\u00edz de x."}, {"start": 942.88, "end": 945.92, "text": " Vamos a acomodar este signo menos un poco m\u00e1s arriba."}, {"start": 945.92, "end": 951.6, "text": " Eso lo podemos reescribir de la siguiente manera."}, {"start": 951.6, "end": 957.12, "text": " Arriba la misma fracci\u00f3n 1 sobre 2 ra\u00edz de x que es negativa."}, {"start": 957.12, "end": 960.48, "text": " Y aqu\u00ed en la parte de abajo tenemos 1 m\u00e1s x."}, {"start": 960.48, "end": 965.04, "text": " Este cuadrado destruye la ra\u00edz cuadrada y deja libre la x."}, {"start": 965.04, "end": 971.2, "text": " Y a esta expresi\u00f3n le podemos escribir denominador 1 para que tengamos fracci\u00f3n sobre fracci\u00f3n."}, {"start": 971.2, "end": 976.24, "text": " Y all\u00ed aplicamos lo que es producto de extremos y producto de medios."}, {"start": 976.24, "end": 979.2, "text": " O lo que se conoce tambi\u00e9n como ley de la oreja."}, {"start": 979.2, "end": 983.36, "text": " Estos dos arriba y estos dos multiplicados en la parte de abajo."}, {"start": 983.36, "end": 987.2, "text": " Tambi\u00e9n aplicamos ley de los signos negativo con positivo."}, {"start": 987.2, "end": 990.08, "text": " Nos da al final signo negativo."}, {"start": 990.08, "end": 994.72, "text": " En la parte de arriba tenemos 1 por 1 que es 1."}, {"start": 994.72, "end": 1002.0, "text": " Y en la parte de abajo tenemos 2 ra\u00edz de x que multiplica a la expresi\u00f3n 1 m\u00e1s x."}, {"start": 1002.0, "end": 1004.8000000000001, "text": " Entonces la protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1004.8, "end": 1014.4, "text": " Y esta expresi\u00f3n, esto que acabamos de obtener ser\u00e1 la respuesta, o sea la derivada de esa funci\u00f3n."}, {"start": 1014.4, "end": 1021.12, "text": " En el quinto ejemplo tenemos esta funci\u00f3n y vamos a determinar su derivada."}, {"start": 1021.12, "end": 1026.3999999999999, "text": " Observamos secante a la menos 1 de logaritmo natural de x."}, {"start": 1026.3999999999999, "end": 1030.48, "text": " Entonces esto va a representar la manzanita."}, {"start": 1030.48, "end": 1041.52, "text": " Recordemos el modelo, derivada de secante a la menos 1 de manzanita ser\u00e1 igual a una fracci\u00f3n."}, {"start": 1041.52, "end": 1053.1200000000001, "text": " En la parte de abajo tenemos manzanita por la ra\u00edz cuadrada de manzanita al cuadrado menos 1."}, {"start": 1053.12, "end": 1061.84, "text": " Y en la parte de arriba tenemos la derivada interna, o sea lo que se llama la derivada de la manzanita."}, {"start": 1061.84, "end": 1067.76, "text": " Entonces con base en este modelo vamos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 1067.76, "end": 1074.1599999999999, "text": " Entonces derivamos y aparece de y de x por primera vez."}, {"start": 1074.1599999999999, "end": 1077.52, "text": " Entonces seguimos estas instrucciones."}, {"start": 1077.52, "end": 1085.44, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n, en la parte de abajo tenemos la manzanita que es logaritmo natural de x."}, {"start": 1085.44, "end": 1093.76, "text": " Eso multiplicado por la ra\u00edz cuadrada de la manzanita al cuadrado."}, {"start": 1093.76, "end": 1100.96, "text": " O sea, entre par\u00e9ntesis logaritmo natural de x cerramos eso al cuadrado menos 1."}, {"start": 1100.96, "end": 1109.92, "text": " Y aqu\u00ed en el numerador tenemos la derivada de la manzanita, o sea la derivada del logaritmo natural de x."}, {"start": 1109.92, "end": 1113.1200000000001, "text": " Que es 1 sobre x."}, {"start": 1113.1200000000001, "end": 1117.6000000000001, "text": " Entonces all\u00ed tenemos ya la expresi\u00f3n para la derivada."}, {"start": 1117.6000000000001, "end": 1120.4, "text": " Pero podemos mejorar la presentaci\u00f3n."}, {"start": 1120.4, "end": 1128.24, "text": " Arriba tenemos una fracci\u00f3n, abajo podemos escribirle a todo esto denominador 1."}, {"start": 1128.24, "end": 1132.32, "text": " Para que apliquemos la ley de la oreja."}, {"start": 1132.32, "end": 1140.4, "text": " Entonces tenemos en la parte de arriba el producto de 1 por 1 que es 1."}, {"start": 1140.4, "end": 1149.1200000000001, "text": " Y en la parte de abajo x que multiplica al logaritmo natural de x y a toda esa ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1149.1200000000001, "end": 1152.56, "text": " Que la podemos acomodar de la siguiente manera."}, {"start": 1152.56, "end": 1160.0, "text": " Logaritmo natural de x todo eso al cuadrado puede escribirse como logaritmo natural al cuadrado de x."}, {"start": 1160.0, "end": 1164.8799999999999, "text": " Es otra forma de denotar ese cuadrado del logaritmo."}, {"start": 1164.8799999999999, "end": 1167.28, "text": " Y todo esto menos 1."}, {"start": 1167.28, "end": 1171.12, "text": " Esta expresi\u00f3n constituye la respuesta."}, {"start": 1171.12, "end": 1176.3999999999999, "text": " Es la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 1176.3999999999999, "end": 1181.28, "text": " En el sexto ejemplo vamos a encontrar la derivada de esa funci\u00f3n."}, {"start": 1181.28, "end": 1185.2, "text": " Vamos a determinar a que es igual de y de x."}, {"start": 1185.2, "end": 1188.3999999999999, "text": " Y observamos la funci\u00f3n inversa de la cosecante."}, {"start": 1188.3999999999999, "end": 1192.48, "text": " Y aqu\u00ed tenemos una expresi\u00f3n m\u00e1s compleja que una simple x."}, {"start": 1192.48, "end": 1193.92, "text": " Tenemos pi por x."}, {"start": 1193.92, "end": 1197.28, "text": " Entonces esto representar\u00e1 la manzanita."}, {"start": 1197.28, "end": 1198.8, "text": " Recordemos el modelo."}, {"start": 1198.8, "end": 1202.08, "text": " Arco cosecante de manzanita."}, {"start": 1202.08, "end": 1208.48, "text": " Entonces la derivada para esta situaci\u00f3n es igual a una fracci\u00f3n."}, {"start": 1208.48, "end": 1218.0, "text": " En la parte de abajo tenemos manzanita por la ra\u00edz cuadrada de manzanita al cuadrado menos 1."}, {"start": 1218.0, "end": 1222.56, "text": " Y en la parte de arriba tenemos la derivada de la manzanita."}, {"start": 1222.56, "end": 1226.4, "text": " O sea la derivada interna con signo negativo."}, {"start": 1226.4, "end": 1231.44, "text": " Entonces vamos a construir la derivada siguiendo este modelo."}, {"start": 1231.44, "end": 1235.2, "text": " Tenemos entonces la derivada."}, {"start": 1235.2, "end": 1238.4, "text": " Que se expresa como de y de x."}, {"start": 1238.4, "end": 1240.4, "text": " Y seguimos las instrucciones."}, {"start": 1240.4, "end": 1244.48, "text": " Trazamos entonces una l\u00ednea para la fracci\u00f3n."}, {"start": 1244.48, "end": 1249.68, "text": " Abajo tenemos la manzanita que ser\u00eda pi x."}, {"start": 1249.68, "end": 1253.68, "text": " Eso multiplicado por la ra\u00edz cuadrada de manzanita al cuadrado."}, {"start": 1253.68, "end": 1258.0800000000002, "text": " O sea pi x todo esto al cuadrado menos 1."}, {"start": 1258.0800000000002, "end": 1261.6000000000001, "text": " Todo esto nos queda dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1261.6, "end": 1267.76, "text": " Y en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita."}, {"start": 1267.76, "end": 1270.7199999999998, "text": " O sea la derivada de pi por x."}, {"start": 1270.7199999999998, "end": 1272.7199999999998, "text": " Eso nos da como resultado pi."}, {"start": 1272.7199999999998, "end": 1277.4399999999998, "text": " Recordemos que la derivada en la constante por x es la constante."}, {"start": 1277.4399999999998, "end": 1278.9599999999998, "text": " En ese caso pi."}, {"start": 1278.9599999999998, "end": 1282.3999999999999, "text": " Y finalmente simplificamos lo que sea posible."}, {"start": 1282.3999999999999, "end": 1289.76, "text": " En ese caso podemos eliminar el n\u00famero pi que est\u00e1 en la parte de arriba y tambi\u00e9n en la parte de abajo."}, {"start": 1289.76, "end": 1295.52, "text": " El signo menos lo podemos reubicar a la izquierda de la l\u00ednea de la fracci\u00f3n."}, {"start": 1295.52, "end": 1298.48, "text": " En la parte de arriba tendremos el n\u00famero 1."}, {"start": 1298.48, "end": 1302.8799999999999, "text": " Y abajo x por la ra\u00edz cuadrada de..."}, {"start": 1302.8799999999999, "end": 1305.44, "text": " Aqu\u00ed podemos desarrollar esta potencia."}, {"start": 1305.44, "end": 1308.64, "text": " Recordemos que el exponente afecta a los dos componentes."}, {"start": 1308.64, "end": 1314.72, "text": " Entonces tendremos pi al cuadrado, x al cuadrado y todo eso menos 1."}, {"start": 1314.72, "end": 1319.84, "text": " Y esta expresi\u00f3n constituye la respuesta a este ejemplo."}, {"start": 1319.84, "end": 1348.8799999999999, "text": " Es la derivada de esta funci\u00f3n."}]