94. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 15)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 94: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 15).

Un jugador de tenis hace un servicio golpeando la pelota horizontalmente a una altura de 2.15 m. Si la red está a 13 m de distancia y ésta tiene una altura de 90 cm, (a) ¿Cuál debe ser la velocidad inicial mínima requerida para que la pelota pase justo por encima de la red? (b) ¿Dónde tocará el suelo en ese caso?

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En esta ocasión hemos realizado un dibujo de la cancha de tenis con toda la información que nos da el problema. Tenemos el sistema de referencia, los ejes X y Y en metros. Vemos que el eje X coincide con el piso de la cancha y el eje Y coincide con el punto inicial de la pelota, es decir donde la pelota es golpeada horizontalmente para que logre hacer su trayectoria semi parabólica. La pelota es golpeada a una altura de 2.15 metros del suelo. Nos dice también el problema que desde el jugador hasta la red hay una distancia de 13 metros y que la red tiene una altura de 90 centímetros, es decir 0.9 metros. La primera pregunta de este problema es que ¿cuál es la velocidad mínima requerida para que esta pelota logre pasar justo por encima de la red? Y la segunda pregunta nos dice que ¿dónde golpeará el suelo la pelota? Entonces ¿cuál será esta distancia que hemos llamado en este dibujo como X máximo, es decir el alcance máximo horizontal de la pelota? Para que en el deporte del tenis el saque o el servicio sea considerado como bueno, la pelota debe caer en esta zona y desde aquí hasta esta otra línea la cancha tiene 6.40 metros. Entonces lo que vamos a determinar en el problema es ¿cuál es esta distancia? Es decir, desde la red hasta el punto donde golpea la pelota ¿cuál es la distancia? Y de esa manera podemos determinar si el servicio es bueno o no. Entonces vamos a realizar el dibujo de este mismo sistema de referencia con la trayectoria de la pelota pero ya en forma plana. Vamos a considerar tiempo cero, el momento del saque, vamos a llamar tiempo T1 el instante en que la pelota pasa por encima de la red y tiempo de vuelo, el instante en que la pelota toca el suelo. Allí tenemos entonces el dibujo con el que vamos a trabajar, tenemos la trayectoria semi parabólica de la pelota en color verde, tenemos 2.15 la altura desde donde es golpeada la pelota. Tenemos la red que tiene una altura de 0.9 metros, esta que habíamos determinado por acá. Tenemos 13 metros la distancia que hay entre el punto del saque y la red, si es la distancia, y aquí es máximo la distancia desde el saque hasta el punto donde la pelota toca el suelo. Como hemos dicho que en tiempo cero es el momento del saque, el momento en que empieza a moverse la pelota, es decir aquí, este instante corresponde al tiempo T1 que es cuando la pelota pasa justo por encima de la red y tiempo de vuelo, el instante en que la pelota golpea en el piso. Vamos a construir entonces las ecuaciones cinemáticas para este problema. Empezamos con la ecuación de posición en Y, vamos a reemplazar allí la información que conocemos. La gravedad se toma como 10 metros por segundo cuadrado, la velocidad inicial es desconocida, el ángulo theta vale 0 grados por tratarse de un disparo horizontal y la posición inicial en Y para la pelota es 2.15 metros, 0 de 0 grados vale 0 por lo tanto todo este término queda convertido en 0. Entonces la ecuación queda así y esta será la ecuación número 1 para este problema. En esta ocasión no necesitamos la ecuación de velocidad en Y, la que se obtiene derivando la posición vertical, porque no nos preguntan por la velocidad en otros instantes. Luego podemos pasar a encontrar la ecuación de posición en X, entonces escribimos el modelo y reemplazamos allí la información que tenemos. Velocidad inicial no se conoce, el ángulo theta es 0 grados y la posición inicial en X para la pelota es 0, coseno de 0 grados es 1 por lo tanto X es igual a velocidad inicial por tiempo. Esta será entonces la ecuación número 2. Vamos a escribir estas dos ecuaciones por aquí, allí tenemos las dos ecuaciones y continuamos con el análisis del problema. Decimos que cuando el tiempo es igual a T1, es decir aquí en este instante, la posición Y de la pelota es 0.9 metros, es decir está justo en la parte superior de la red. Esta información la vamos a sustituir en la ecuación número 1, entonces la escribimos y vamos a reemplazar Y se sustituye por 0.9, tiempo se sustituye por T1 y vamos a hacer entonces el despeje del tiempo T1. Vamos a pasar este término que está negativo al lado izquierdo, nos llega positivo, dejamos 2.15 en el lado derecho y pasamos 0.9 para acá, entonces llega a restar. Nos queda 5 por T1 al cuadrado, es igual a 1.25, el resultado de esa diferencia, despejamos T1 al cuadrado, nos queda 1.25 dividido entre 5 y allí este cosiente nos da 0.25 y sacando raíz cuadrada a ambos lados vamos a obtener un tiempo T1 igual a 0.5 segundos. Entonces desde que la pelota es golpeada por la raqueta hasta que llega al sitio donde se encuentra la red, transcurre un tiempo de 0.5 segundos. Ahora decimos que cuando el tiempo es igual a T1 igual a 0.5 segundos, entonces la posición en X de la pelota es 13 metros y esta información la podemos sustituir en la ecuación número 2. Entonces tenemos X vale 13, velocidad inicial no se conoce y el tiempo este 1 es decir 0.5 segundos. De allí despejamos la velocidad inicial, nos queda 13 dividido entre 0.5 y eso nos da una velocidad inicial de 26 metros por segundo. Aquí respondemos entonces la pregunta A, esto quiere decir que la velocidad mínima con que debe ser golpeada la pelota para que logre pasar por encima de la red, justo por encima será 26 metros por segundo. Aquí en la ecuación 2 ya podemos cambiar la velocidad inicial por 26. Ahora decimos que cuando el tiempo es igual a tiempo de vuelo, es decir aquí en este instante la posición Y de la pelota vale 0, si es porque ha llegado justo al nivel del suelo. Entonces esta información la sustituimos en la ecuación número 1, la ecuación de posición en Y, entonces reemplazamos Y se vuelve 0, el tiempo se convierte en tiempo de vuelo y vamos a realizar poco a poco el despeje de ese tiempo de vuelo. Pasamos a ese término que está negativo al lado izquierdo, nos queda positivo, despejamos tiempo de vuelo al cuadrado, nos da 2.15 dividido entre 5, esa división nos da 0.43 y sacando raíz cuadrada a ambos lados tenemos un tiempo de vuelo de 0.66 segundos. Entonces este es el tiempo que transcurre desde el momento en que sale la pelota disparada horizontalmente y el instante en que golpea el suelo. Entonces tenemos tiempo de vuelo igual a 0.66 segundos. Finalmente decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos dio 0.66 segundos tenemos que la posición X de la pelota es X máximo, es decir el alcance máximo horizontal. Esta información la sustituimos en la ecuación número 2, entonces tenemos donde está X, X máximo, donde tenemos el tiempo 0.66, realizando esa multiplicación nos da 17.16 metros. Este será entonces el alcance máximo horizontal de la pelota, es decir desde el punto donde es golpeada hasta el punto donde hace contacto con el suelo hay una distancia horizontal de 17.16 metros. Vamos a cambiarla por aquí, entonces este valor es 17.16 y observamos que desde la red hasta este punto tendríamos una distancia de 4.16, la diferencia entre 17.16 y 13. Esto nos dice que ese servicio es bueno porque decíamos al comienzo que es reglamentario que la pelota caiga dentro de la zona que dista 6.40 metros de la red, la línea está más o menos por acá, entonces vemos que la pelota cae perfectamente dentro de la zona permitida. De esta manera terminamos el problema.
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1.25 dividido entre 5 y all\u00ed este cosiente nos da 0.25 y sacando"}, {"start": 430.15999999999997, "end": 439.71999999999997, "text": " ra\u00edz cuadrada a ambos lados vamos a obtener un tiempo T1 igual a 0.5 segundos."}, {"start": 439.72, "end": 448.68, "text": " Entonces desde que la pelota es golpeada por la raqueta hasta que llega al sitio donde"}, {"start": 448.68, "end": 456.72, "text": " se encuentra la red, transcurre un tiempo de 0.5 segundos."}, {"start": 456.72, "end": 465.16, "text": " Ahora decimos que cuando el tiempo es igual a T1 igual a 0.5 segundos, entonces la posici\u00f3n"}, {"start": 465.16, "end": 475.28000000000003, "text": " en X de la pelota es 13 metros y esta informaci\u00f3n la podemos sustituir en la ecuaci\u00f3n n\u00famero"}, {"start": 475.28000000000003, "end": 477.6, "text": " 2."}, {"start": 477.6, "end": 489.20000000000005, "text": " Entonces tenemos X vale 13, velocidad inicial no se conoce y el tiempo este 1 es decir 0.5"}, {"start": 489.20000000000005, "end": 490.20000000000005, "text": " segundos."}, {"start": 490.2, "end": 499.56, "text": " De all\u00ed despejamos la velocidad inicial, nos queda 13 dividido entre 0.5 y eso nos da"}, {"start": 499.56, "end": 505.03999999999996, "text": " una velocidad inicial de 26 metros por segundo."}, {"start": 505.03999999999996, "end": 512.04, "text": " Aqu\u00ed respondemos entonces la pregunta A, esto quiere decir que la velocidad m\u00ednima con que"}, {"start": 512.04, "end": 520.68, "text": " debe ser golpeada la pelota para que logre pasar por encima de la red, justo por encima"}, {"start": 520.68, "end": 524.56, "text": " ser\u00e1 26 metros por segundo."}, {"start": 524.56, "end": 532.24, "text": " Aqu\u00ed en la ecuaci\u00f3n 2 ya podemos cambiar la velocidad inicial por 26."}, {"start": 532.24, "end": 538.88, "text": " Ahora decimos que cuando el tiempo es igual a tiempo de vuelo, es decir aqu\u00ed en este"}, {"start": 538.88, "end": 545.68, "text": " instante la posici\u00f3n Y de la pelota vale 0, si es porque ha llegado justo al nivel"}, {"start": 545.68, "end": 546.68, "text": " del suelo."}, {"start": 546.68, "end": 552.8, "text": " Entonces esta informaci\u00f3n la sustituimos en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1, la ecuaci\u00f3n de"}, {"start": 552.8, "end": 562.24, "text": " posici\u00f3n en Y, entonces reemplazamos Y se vuelve 0, el tiempo se convierte en tiempo"}, {"start": 562.24, "end": 569.08, "text": " de vuelo y vamos a realizar poco a poco el despeje de ese tiempo de vuelo."}, {"start": 569.08, "end": 577.76, "text": " Pasamos a ese t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo al lado izquierdo, nos queda positivo, despejamos"}, {"start": 577.76, "end": 590.48, "text": " tiempo de vuelo al cuadrado, nos da 2.15 dividido entre 5, esa divisi\u00f3n nos da 0.43"}, {"start": 590.48, "end": 600.8000000000001, "text": " y sacando ra\u00edz cuadrada a ambos lados tenemos un tiempo de vuelo de 0.66 segundos."}, {"start": 600.8000000000001, "end": 608.04, "text": " Entonces este es el tiempo que transcurre desde el momento en que sale la pelota disparada"}, {"start": 608.04, "end": 614.84, "text": " horizontalmente y el instante en que golpea el suelo."}, {"start": 614.84, "end": 621.0400000000001, "text": " Entonces tenemos tiempo de vuelo igual a 0.66 segundos."}, {"start": 621.0400000000001, "end": 627.32, "text": " Finalmente decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos dio 0.66"}, {"start": 627.32, "end": 637.5, "text": " segundos tenemos que la posici\u00f3n X de la pelota es X m\u00e1ximo, es decir el alcance m\u00e1ximo"}, {"start": 637.5, "end": 639.0400000000001, "text": " horizontal."}, {"start": 639.04, "end": 648.36, "text": " Esta informaci\u00f3n la sustituimos en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2, entonces tenemos donde est\u00e1 X,"}, {"start": 648.36, "end": 663.8, "text": " X m\u00e1ximo, donde tenemos el tiempo 0.66, realizando esa multiplicaci\u00f3n nos da 17.16 metros."}, {"start": 663.8, "end": 673.7199999999999, "text": " Este ser\u00e1 entonces el alcance m\u00e1ximo horizontal de la pelota, es decir desde el punto donde"}, {"start": 673.7199999999999, "end": 683.04, "text": " es golpeada hasta el punto donde hace contacto con el suelo hay una distancia horizontal"}, {"start": 683.04, "end": 687.12, "text": " de 17.16 metros."}, {"start": 687.12, "end": 696.0, "text": " Vamos a cambiarla por aqu\u00ed, entonces este valor es 17.16 y observamos que desde la red"}, {"start": 696.0, "end": 706.28, "text": " hasta este punto tendr\u00edamos una distancia de 4.16, la diferencia entre 17.16 y 13."}, {"start": 706.28, "end": 715.72, "text": " Esto nos dice que ese servicio es bueno porque dec\u00edamos al comienzo que es reglamentario"}, {"start": 715.72, "end": 727.12, "text": " que la pelota caiga dentro de la zona que dista 6.40 metros de la red, la l\u00ednea est\u00e1"}, {"start": 727.12, "end": 732.8000000000001, "text": " m\u00e1s o menos por ac\u00e1, entonces vemos que la pelota cae perfectamente dentro de la zona"}, {"start": 732.8000000000001, "end": 733.8000000000001, "text": " permitida."}, {"start": 733.8, "end": 761.5999999999999, "text": " De esta manera terminamos el problema."}]