Problema 3 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
#julioprofe explica cómo solucionar un problema trigonométrico con triángulos rectángulos. 

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 En este caso tenemos una torre de transmisión de energía eléctrica. A una distancia de 200 metros de la línea central de la torre tenemos un punto A. Y desde allí se observa la parte superior de la torre con un ángulo de elevación theta. También desde la línea central de la torre y a una distancia de 50 metros tenemos otro punto llamado B. Y desde allí se observa la parte superior de la torre con un ángulo de elevación 2 theta. Es decir, el doble de este primer ángulo. Nuestro problema consiste en determinar la altura H de la torre. Y entonces vamos a llamar este punto la parte alta de la torre con la letra C y aquí en la base de la torre y directamente por debajo de C vamos a llamar este punto D. Consideramos entonces este triángulo que representa el que se forma acá con los vértices C, D, A. Y tenemos que forma 90 grados aquí en D. Entonces tenemos un triángulo rectángulo. La distancia D, A vale 200 metros. Vamos a escribir solamente el número 200. Ya sabemos que todas las dimensiones se encuentran en metros. Y la distancia de C, A, D corresponde a la altura de la torre. También tenemos que aquí en A se forma el ángulo theta. Y entonces con esta información vamos a utilizar lo que se llama Zocato A. Recordemos que Zocato A quiere decir seno, coseno y tangente. Seno es cateto opuesto sobre hipotenusa. Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa. Y tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente. En este caso vamos a utilizar la tangente porque vamos a involucrar los catetos. Decimos entonces que tangente de theta es igual a cateto opuesto que es H sobre el cateto adyacente que es 200. Y de esta manera tenemos una primera relación que la vamos a llamar la número 1. Esa primera relación la escribimos por acá. Ahora consideramos el otro triángulo rectángulo, el que se forma con los vértices C, D y B. Tenemos ángulo recto aquí en D. Tenemos que el ángulo que se forma en B, el ángulo de elevación es 2teta. Tenemos que la distancia de D vale 50 metros. Y la distancia C corresponde a la altura de la torre. Entonces vamos a utilizar nuevamente Zocato A. Y como necesitamos involucrar los catetos, entonces usamos la tangente. Decimos entonces que tangente de 2teta es igual a cateto opuesto que sería H sobre el cateto adyacente que vale 50. Aquí vamos a utilizar la identidad trigonométrica para la tangente de un ángulo doble. En este caso, tangente de 2teta equivale a 2t de teta. Todo esto sobre 1 menos tangente al cuadrado de teta. Y esto es igual a H sobre 50. De esta manera tenemos una expresión que vamos a llamar número 2. A continuación vamos a sustituir lo que tenemos en la expresión 1 aquí en la expresión 2. Entonces donde tenemos tangente de teta vamos a reemplazar H sobre 200. Nos queda de la siguiente manera. 2 por H sobre 200. Todo esto sobre 1 menos. Abrimos un paréntesis. Entra tangente de teta como H sobre 200. Esto al cuadrado. Y todo eso igual a H sobre 50. Ahora nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta ecuación donde tenemos como incógnita la altura H de la torre. Comenzamos multiplicando aquí. Nos quedaría 2H sobre 200. Que simplificando nos queda como H sobre 100. Simplificando 2 con 200. En la parte de abajo tenemos 1 menos. Aquí el cuadrado afecta al numerador y afecta al denominador. Entonces tenemos en el numerador H al cuadrado. Y en el denominador tenemos 200 al cuadrado que nos da 40.000. Y esto igualado a H sobre 50. Como paso siguiente vamos a resolver esta resta de fracciones que tenemos en el denominador de la fracción principal. A este 1 le podemos escribir denominador 1. Y hacemos esa resta de la manera más sencilla que es la siguiente. Abajo multiplicamos 1 por 40.000. Nos da 40.000. Arriba tenemos 1 por 40.000 que es 40.000 menos 1 por H cuadrado. Y es H cuadrado. Todo esto igual a H sobre 50. En seguida vamos a aplicar lo que se conoce como la ley de la oreja. Arriba la multiplicación de estos dos. Y abajo la multiplicación de estos dos componentes. Entonces tenemos en la parte de arriba H por 40.000 nos da 40.000 H. Y abajo nos queda 100 que multiplica a 40.000 menos H al cuadrado. Todo esto igual a H sobre 50. En esta etapa del ejercicio podemos simplificar por acá 2 ceros del denominador y 2 ceros del numerador. Es como si dividiéramos entre 100 arriba y abajo. Nos queda entonces en el numerador 400 H. Y en el denominador nos queda 40.000 menos H cuadrado. Y todo esto igual a H sobre 50. Aquí podemos pasar lo que está dividiendo en un lado a multiplicar al otro lado. Es el caso por ejemplo de 50 que llega a multiplicar con 400 H. Y también el caso de esta expresión que llega a multiplicar con H. Entonces nos queda de esta manera. Podemos multiplicar 50 por 400. Eso nos da 20.000 acompañado de H. Y aquí tenemos H que multiplica a 40.000 menos H al cuadrado. Vemos que la letra H está multiplicando a ambos lados de la igualdad. Y en el problema también observamos que H es una distancia. Por lo tanto será una cantidad positiva. Por esa razón es lícito hacer esto. Cancelar la H debido a que se encuentra multiplicando a ambos lados de la igualdad. Nos queda entonces 20.000 igual a 40.000 menos H cuadrado. Y de allí vamos a hacer lo siguiente. Pasamos H cuadrado que está negativo en el lado derecho. Entonces llega positivo al lado izquierdo. Dejamos 40.000 en el lado derecho. Y traemos 20.000 que está positivo en el lado izquierdo. Y en el lado izquierdo entonces llega negativo al lado derecho. Esto nos queda entonces H cuadrado igual a 20.000. Realizando esta resta. Y para despejar H tenemos que esto es igual a más o menos la raíz cuadrada de 20.000. Lógicamente como H es una distancia entonces vamos a considerar únicamente la opción positiva. Nos queda entonces que H es igual a la raíz cuadrada positiva de 20.000 que lo podemos escribir como 2 por 10.000. Aquí podemos aplicar propiedad de la radicación. Nos queda raíz cuadrada de 2 por la raíz cuadrada de 10.000. Y tenemos que esta raíz cuadrada de 10.000 equivale a 100. Se trata de una raíz exacta. Raíz cuadrada de 2 no es exacta. Entonces la podemos dejar así indicada. Tenemos entonces que H es igual a raíz cuadrada de 2 por 100. Que lo podemos escribir como 100 raíz de 2. Y esto va en metros. Porque vemos que las dimensiones que nos da el problema vienen en metros. Si queremos pasar esto a número decimal. Podemos tomar la raíz cuadrada de 2 como aproximadamente 1.41. Entonces tenemos que 100 por 1.41 nos da aproximadamente 141 metros. Esta será entonces la respuesta a este problema. Hemos encontrado la altura H de la torre.
[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " En este caso tenemos una torre de transmisi\u00f3n de energ\u00eda el\u00e9ctrica."}, {"start": 8.0, "end": 19.0, "text": " A una distancia de 200 metros de la l\u00ednea central de la torre tenemos un punto A."}, {"start": 19.0, "end": 30.0, "text": " Y desde all\u00ed se observa la parte superior de la torre con un \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n theta."}, {"start": 32.0, "end": 45.0, "text": " Tambi\u00e9n desde la l\u00ednea central de la torre y a una distancia de 50 metros tenemos otro punto llamado B."}, {"start": 45.0, "end": 57.0, "text": " Y desde all\u00ed se observa la parte superior de la torre con un \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n 2 theta."}, {"start": 58.0, "end": 61.0, "text": " Es decir, el doble de este primer \u00e1ngulo."}, {"start": 62.0, "end": 70.0, "text": " Nuestro problema consiste en determinar la altura H de la torre."}, {"start": 70.0, "end": 90.0, "text": " Y entonces vamos a llamar este punto la parte alta de la torre con la letra C y aqu\u00ed en la base de la torre y directamente por debajo de C vamos a llamar este punto D."}, {"start": 90.0, "end": 102.0, "text": " Consideramos entonces este tri\u00e1ngulo que representa el que se forma ac\u00e1 con los v\u00e9rtices C, D, A."}, {"start": 103.0, "end": 110.0, "text": " Y tenemos que forma 90 grados aqu\u00ed en D. Entonces tenemos un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 111.0, "end": 115.0, "text": " La distancia D, A vale 200 metros."}, {"start": 115.0, "end": 123.0, "text": " Vamos a escribir solamente el n\u00famero 200. Ya sabemos que todas las dimensiones se encuentran en metros."}, {"start": 124.0, "end": 130.0, "text": " Y la distancia de C, A, D corresponde a la altura de la torre."}, {"start": 131.0, "end": 135.0, "text": " Tambi\u00e9n tenemos que aqu\u00ed en A se forma el \u00e1ngulo theta."}, {"start": 136.0, "end": 143.0, "text": " Y entonces con esta informaci\u00f3n vamos a utilizar lo que se llama Zocato A."}, {"start": 143.0, "end": 150.0, "text": " Recordemos que Zocato A quiere decir seno, coseno y tangente."}, {"start": 151.0, "end": 154.0, "text": " Seno es cateto opuesto sobre hipotenusa."}, {"start": 155.0, "end": 158.0, "text": " Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 159.0, "end": 163.0, "text": " Y tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 163.0, "end": 172.0, "text": " En este caso vamos a utilizar la tangente porque vamos a involucrar los catetos."}, {"start": 173.0, "end": 187.0, "text": " Decimos entonces que tangente de theta es igual a cateto opuesto que es H sobre el cateto adyacente que es 200."}, {"start": 187.0, "end": 196.0, "text": " Y de esta manera tenemos una primera relaci\u00f3n que la vamos a llamar la n\u00famero 1."}, {"start": 197.0, "end": 201.0, "text": " Esa primera relaci\u00f3n la escribimos por ac\u00e1."}, {"start": 202.0, "end": 214.0, "text": " Ahora consideramos el otro tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, el que se forma con los v\u00e9rtices C, D y B."}, {"start": 214.0, "end": 217.0, "text": " Tenemos \u00e1ngulo recto aqu\u00ed en D."}, {"start": 218.0, "end": 226.0, "text": " Tenemos que el \u00e1ngulo que se forma en B, el \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n es 2teta."}, {"start": 227.0, "end": 231.0, "text": " Tenemos que la distancia de D vale 50 metros."}, {"start": 232.0, "end": 237.0, "text": " Y la distancia C corresponde a la altura de la torre."}, {"start": 238.0, "end": 242.0, "text": " Entonces vamos a utilizar nuevamente Zocato A."}, {"start": 242.0, "end": 252.0, "text": " Y como necesitamos involucrar los catetos, entonces usamos la tangente."}, {"start": 253.0, "end": 269.0, "text": " Decimos entonces que tangente de 2teta es igual a cateto opuesto que ser\u00eda H sobre el cateto adyacente que vale 50."}, {"start": 269.0, "end": 277.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a utilizar la identidad trigonom\u00e9trica para la tangente de un \u00e1ngulo doble."}, {"start": 278.0, "end": 284.0, "text": " En este caso, tangente de 2teta equivale a 2t de teta."}, {"start": 285.0, "end": 292.0, "text": " Todo esto sobre 1 menos tangente al cuadrado de teta."}, {"start": 293.0, "end": 297.0, "text": " Y esto es igual a H sobre 50."}, {"start": 297.0, "end": 305.0, "text": " De esta manera tenemos una expresi\u00f3n que vamos a llamar n\u00famero 2."}, {"start": 306.0, "end": 315.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a sustituir lo que tenemos en la expresi\u00f3n 1 aqu\u00ed en la expresi\u00f3n 2."}, {"start": 316.0, "end": 322.0, "text": " Entonces donde tenemos tangente de teta vamos a reemplazar H sobre 200."}, {"start": 322.0, "end": 328.0, "text": " Nos queda de la siguiente manera. 2 por H sobre 200."}, {"start": 329.0, "end": 332.0, "text": " Todo esto sobre 1 menos."}, {"start": 333.0, "end": 338.0, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis. Entra tangente de teta como H sobre 200."}, {"start": 339.0, "end": 345.0, "text": " Esto al cuadrado. Y todo eso igual a H sobre 50."}, {"start": 345.0, "end": 357.0, "text": " Ahora nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n donde tenemos como inc\u00f3gnita la altura H de la torre."}, {"start": 358.0, "end": 362.0, "text": " Comenzamos multiplicando aqu\u00ed. Nos quedar\u00eda 2H sobre 200."}, {"start": 363.0, "end": 368.0, "text": " Que simplificando nos queda como H sobre 100."}, {"start": 369.0, "end": 371.0, "text": " Simplificando 2 con 200."}, {"start": 371.0, "end": 376.0, "text": " En la parte de abajo tenemos 1 menos."}, {"start": 377.0, "end": 383.0, "text": " Aqu\u00ed el cuadrado afecta al numerador y afecta al denominador."}, {"start": 384.0, "end": 387.0, "text": " Entonces tenemos en el numerador H al cuadrado."}, {"start": 388.0, "end": 393.0, "text": " Y en el denominador tenemos 200 al cuadrado que nos da 40.000."}, {"start": 393.0, "end": 400.0, "text": " Y esto igualado a H sobre 50."}, {"start": 401.0, "end": 414.0, "text": " Como paso siguiente vamos a resolver esta resta de fracciones que tenemos en el denominador de la fracci\u00f3n principal."}, {"start": 415.0, "end": 418.0, "text": " A este 1 le podemos escribir denominador 1."}, {"start": 418.0, "end": 424.0, "text": " Y hacemos esa resta de la manera m\u00e1s sencilla que es la siguiente."}, {"start": 425.0, "end": 429.0, "text": " Abajo multiplicamos 1 por 40.000. 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514.0, "text": " Y en el denominador nos queda 40.000 menos H cuadrado."}, {"start": 514.0, "end": 522.0, "text": " Y todo esto igual a H sobre 50."}, {"start": 523.0, "end": 531.0, "text": " Aqu\u00ed podemos pasar lo que est\u00e1 dividiendo en un lado a multiplicar al otro lado."}, {"start": 532.0, "end": 538.0, "text": " Es el caso por ejemplo de 50 que llega a multiplicar con 400 H."}, {"start": 538.0, "end": 545.0, "text": " Y tambi\u00e9n el caso de esta expresi\u00f3n que llega a multiplicar con H."}, {"start": 546.0, "end": 549.0, "text": " Entonces nos queda de esta manera."}, {"start": 550.0, "end": 554.0, "text": " Podemos multiplicar 50 por 400."}, {"start": 555.0, "end": 559.0, "text": " Eso nos da 20.000 acompa\u00f1ado de H."}, {"start": 560.0, "end": 566.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos H que multiplica a 40.000 menos H al cuadrado."}, {"start": 566.0, "end": 571.0, "text": " Vemos que la letra H est\u00e1 multiplicando a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 572.0, "end": 577.0, "text": " Y en el problema tambi\u00e9n observamos que H es una distancia."}, {"start": 578.0, "end": 580.0, "text": " Por lo tanto ser\u00e1 una cantidad positiva."}, {"start": 581.0, "end": 584.0, "text": " Por esa raz\u00f3n es l\u00edcito hacer esto."}, {"start": 585.0, "end": 593.0, "text": " Cancelar la H debido a que se encuentra multiplicando a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 593.0, "end": 601.0, "text": " Nos queda entonces 20.000 igual a 40.000 menos H cuadrado."}, {"start": 602.0, "end": 604.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a hacer lo siguiente."}, {"start": 605.0, "end": 608.0, "text": " Pasamos H cuadrado que est\u00e1 negativo en el lado derecho."}, {"start": 609.0, "end": 612.0, "text": " Entonces llega positivo al lado izquierdo."}, {"start": 613.0, "end": 617.0, "text": " Dejamos 40.000 en el lado derecho."}, {"start": 618.0, "end": 621.0, "text": " Y traemos 20.000 que est\u00e1 positivo en el lado izquierdo."}, {"start": 621.0, "end": 626.0, "text": " Y en el lado izquierdo entonces llega negativo al lado derecho."}, {"start": 627.0, "end": 633.0, "text": " Esto nos queda entonces H cuadrado igual a 20.000."}, {"start": 634.0, "end": 636.0, "text": " Realizando esta resta."}, {"start": 637.0, "end": 644.0, "text": " Y para despejar H tenemos que esto es igual a m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 20.000."}, {"start": 644.0, "end": 654.0, "text": " L\u00f3gicamente como H es una distancia entonces vamos a considerar \u00fanicamente la opci\u00f3n positiva."}, {"start": 655.0, "end": 668.0, "text": " Nos queda entonces que H es igual a la ra\u00edz cuadrada positiva de 20.000 que lo podemos escribir como 2 por 10.000."}, {"start": 668.0, "end": 674.0, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 675.0, "end": 681.0, "text": " Nos queda ra\u00edz cuadrada de 2 por la ra\u00edz cuadrada de 10.000."}, {"start": 682.0, "end": 687.0, "text": " Y tenemos que esta ra\u00edz cuadrada de 10.000 equivale a 100."}, {"start": 688.0, "end": 690.0, "text": " Se trata de una ra\u00edz exacta."}, {"start": 691.0, "end": 694.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 2 no es exacta."}, {"start": 694.0, "end": 697.0, "text": " Entonces la podemos dejar as\u00ed indicada."}, {"start": 698.0, "end": 702.0, "text": " Tenemos entonces que H es igual a ra\u00edz cuadrada de 2 por 100."}, {"start": 703.0, "end": 706.0, "text": " Que lo podemos escribir como 100 ra\u00edz de 2."}, {"start": 707.0, "end": 709.0, "text": " Y esto va en metros."}, {"start": 710.0, "end": 715.0, "text": " Porque vemos que las dimensiones que nos da el problema vienen en metros."}, {"start": 716.0, "end": 718.0, "text": " Si queremos pasar esto a n\u00famero decimal."}, {"start": 718.0, "end": 725.0, "text": " Podemos tomar la ra\u00edz cuadrada de 2 como aproximadamente 1.41."}, {"start": 726.0, "end": 736.0, "text": " Entonces tenemos que 100 por 1.41 nos da aproximadamente 141 metros."}, {"start": 737.0, "end": 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