ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos.

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 Vamos a resolver esta ecuación que contiene logaritmos. Debemos encontrar el valor o los valores de la incognita X que hacen verdadera esta igualdad. Tenemos en esta ocasión logaritmo en base 10. Comenzamos entonces por reducir lo que tenemos en el lado derecho de la igualdad a un solo logaritmo. Y vamos a comenzar con esta expresión. Aquí vamos a utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos. Si tenemos logaritmo en base A de una potencia, por ejemplo P a la Q, entonces este exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo. Nos queda entonces así. Pero esta propiedad es reversible. Es decir que si tenemos esta expresión, podemos llegar a esta que tenemos en el lado izquierdo. Y es justamente lo que pasa aquí. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Logaritmo en base 10 de 7X más 1. Esto queda igual. Y acá este número 2 pasa a convertirse en exponente de X más 3. Tal como lo muestra esta propiedad. Nos queda entonces logaritmo en base 10 de X más 3 al cuadrado. Y escribimos menos logaritmo en base 10 de 2. Ahora vamos a ver cómo se reduce esta expresión a un solo logaritmo. Aplicamos la siguiente propiedad. Si tenemos logaritmo en base A de un cosiente P sobre Q, esto será igual a logaritmo en base A de P menos logaritmo en base A de Q. En otras palabras, el logaritmo de un cosiente se transforma en una resta de logaritmos. Pero de nuevo esta propiedad es reversible. O sea que si tenemos una resta de logaritmos, podemos construir el logaritmo de un cosiente. Y es justamente la situación que tenemos aquí. Tendremos entonces logaritmo en base 10 de 7X más 1 igual a logaritmo en base 10 de X más 3 al cuadrado y esto sobre 2. Esto lo podemos proteger con corchete. Entonces aquí hemos aplicado esta propiedad. Tenemos ahora una igualdad de logaritmos. Logaritmo en base 10 a ambos lados. Allí se puede aplicar esta propiedad. Si tenemos logaritmo en base A de P igual a logaritmo en base A de Q, entonces se puede afirmar que P es igual a Q. En otras palabras, si tenemos la igualdad de logaritmos con la misma base, entonces sus argumentos son iguales. Y eso es justamente lo que tenemos aquí. La igualdad de dos expresiones que contienen logaritmo en base 10. Luego aplicando esta propiedad nos queda que 7X más 1 es igual a X más 3 al cuadrado sobre 2. En otras palabras, suprimimos los logaritmos. Bien, ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuación. Vamos a pasar este número 2 que está dividiendo en el lado derecho a multiplicar en el lado izquierdo. Entonces 2 que multiplica a 7X más 1 igual a X más 3 al cuadrado. En el lado izquierdo aplicamos la propiedad distributiva para destruir el paréntesis. Tenemos 2 por 7X que es 14X más 2 por 1 que es 2. Y acá en el lado derecho vamos a expandir este binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordar ese producto notable. Si tenemos A más B al cuadrado, eso es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces vamos a aplicar esta fórmula de la algebra para expandir este binomio al cuadrado. Nos queda el primer término al cuadrado, o sea X al cuadrado, más dos veces el primer término por el segundo, o sea 2 por X por 3 que nos da 6X. Y esto más el segundo término al cuadrado, es decir 3 al cuadrado que nos da como resultado 9. Como podemos observar la ecuación empieza a tomar forma de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Entonces vamos a dejar 0 en el lado izquierdo y vamos a pasar estos términos para el lado derecho. Nos queda entonces X al cuadrado más 6X más 9, esta misma expresión, y llegan esos términos con signo negativo. Ahora en este lado vamos a reducir términos semejantes, nos va a quedar 0 igual a X al cuadrado, este término no tiene semejante, pero en cambio estos dos que contienen la X si se pueden operar entre sí, 6X menos 14X nos da como resultado menos 8X. Y también podemos operar estos números, o sea los términos independientes, 9 menos 2 nos da 7 positivo. Bien como se observa hemos llegado a una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, recordemos que su modelo es 0 igual a X al cuadrado más BX más C. Bueno normalmente el 0 aparece a este lado, pero es lo mismo si se presenta en el lado izquierdo. Podemos resolver esta ecuación por varios caminos, una puede ser por factorización o la otra forma sería utilizando la fórmula cuadrática o fórmula general. En este caso vemos que esta expresión es factorizable, entonces conviene hacerlo por ese camino, este es el caso llamado trinomio de la forma X al cuadrado más BX más C. Entonces se factoriza de la siguiente manera, abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería X, entonces se escribe X al comienzo de cada paréntesis, después cuadramos los signos en cada uno de los paréntesis, por acá tenemos signo más, entonces más por menos nos da menos y menos por más nos da menos. En seguida buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos den como resultado más 7 y que al sumarlos nos den como resultado menos 8. Esos números son menos 7 y menos 1. En esta etapa del ejercicio podemos utilizar lo que se llama el teorema del factor nulo conocido con sus iniciales como TFN, dice el teorema que si el producto de dos expresiones es 0, entonces cada una de ellas se debe igualar a 0, entonces tenemos X menos 7 igual a 0 o X menos 1 igual a 0. Resolvemos en cada caso para la variable X, por aquí tenemos que X es igual a 7 y por acá tenemos que X es igual a 1, simplemente los números que están restando pasan al otro lado a sumar. Estos dos valores son las soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado que veíamos hace un momento, pero debemos fijarnos si estos valores de X satisfacen la ecuación original. Para ello simplemente hacemos una rápida inspección de cada número reemplazándolo acá en los logaritmos. Debemos garantizar que el argumento de cada logaritmo sea siempre positivo. Vemos entonces que si reemplazamos 7 aquí se tiene 7 por 7 es 49, 49 más 1 es 50, o sea tenemos argumento positivo y acá 7 más 3 nos da 10, o sea que 7 satisface la ecuación original. Ahora hacemos la misma revisión con X igual a 1, venimos acá 7 por 1 es 7, 7 más 1 nos da 8, argumento positivo, y acá 1 más 3 nos da 4, argumento positivo. Entonces este valor satisface la ecuación original. Concluimos entonces que la respuesta para esta ecuación logarítmica es la siguiente. Pues puede tomar los valores 1 o 7, cualquiera de esos dos números satisface esa ecuación. Y de esta manera hemos resuelto esta ecuación que contiene logaritmos.
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variable X, por aqu\u00ed tenemos que X es igual a 7 y por ac\u00e1 tenemos que X es igual a 1,"}, {"start": 537.0, "end": 543.0, "text": " simplemente los n\u00fameros que est\u00e1n restando pasan al otro lado a sumar."}, {"start": 543.0, "end": 552.0, "text": " Estos dos valores son las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado que ve\u00edamos hace un momento,"}, {"start": 552.0, "end": 560.0, "text": " pero debemos fijarnos si estos valores de X satisfacen la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 560.0, "end": 569.0, "text": " Para ello simplemente hacemos una r\u00e1pida inspecci\u00f3n de cada n\u00famero reemplaz\u00e1ndolo ac\u00e1 en los logaritmos."}, {"start": 569.0, "end": 576.0, "text": " Debemos garantizar que el argumento de cada logaritmo sea siempre positivo."}, {"start": 576.0, "end": 589.0, "text": " Vemos entonces que si reemplazamos 7 aqu\u00ed se tiene 7 por 7 es 49, 49 m\u00e1s 1 es 50, o sea tenemos argumento positivo y ac\u00e1 7 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