DESIGUALDADES CUADRÁTICAS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo solucionar una desigualdad o inecuación cuadrática (o de segundo grado).

Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a encontrar el conjunto solución de esta desigualdad. Para iniciar vamos a realizar propiedad distributiva en el lado izquierdo. Tenemos que x por 3x nos da 3x al cuadrado y x por 2 nos queda 2x, término positivo. Todo esto mayor que lo que tenemos en la derecha que es un binomio al cuadrado. Vamos a recordar cómo se soluciona el binomio al cuadrado. Si tenemos a más b al cuadrado, esto es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces vamos a desarrollar esta expresión utilizando este producto notable. Tenemos el primer término al cuadrado que es x al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, 2 por x por 2 más el segundo término al cuadrado. Hemos aplicado lo que es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Nos queda entonces 3x al cuadrado más 2x mayor que x al cuadrado más 4x resolviendo este producto más 2 al cuadrado que equivale a 4. Y vemos que la desigualdad empieza a tomar forma de desigualdad cuadrática. Entonces vamos a pasar estos términos para el lado izquierdo de tal forma que en este lado derecho nos quede cero. Tenemos entonces 3x al cuadrado más 2x, empiezan a pasar esos términos para llegar todos con signo negativo al lado izquierdo y nos va a quedar mayor o igual que cero. Operamos términos semejantes, tenemos por ejemplo este semejante con este, eso nos da 2x al cuadrado. Tenemos también términos semejantes los que contienen la x que son estos dos. Esa operación nos da menos 2x y el término independiente de la expresión que es menos 4 y todo esto mayor que cero. Podríamos simplicar esta expresión del lado izquierdo multiplicando ambos lados de la desigualdad por un medio. Como vemos todos los números son divisibles entre 2. Entonces si multiplicamos todo por un medio vamos a lograr reducir los números a la mitad. Multiplicamos ambos lados por esta cantidad que es positiva, por lo tanto el signo de la desigualdad no va a presentar ningún cambio. Entonces nos queda x cuadrado menos x menos 2 y al otro lado cero por un medio sigue siendo cero. Tenemos entonces lo que es una desigualdad o inequación cuadrática. Vamos a proceder a factorizar la parte izquierda, vamos a utilizar aquí el caso llamado trinomio de la forma x a la 2n más bx más c. Entonces recordemos que se abren dos paréntesis, se le saca la raíz cuadrada al primer término que es x que se escribe al comienzo de cada paréntesis. A continuación vamos a definir los signos en cada paréntesis. Aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos, es el signo del primer paréntesis y menos por menos nos da más, signo del segundo paréntesis. A continuación buscamos dos números, uno negativo y otro positivo de tal forma que multiplicados nos de menos 2 y que sumados nos de menos 1. Aquí la x tiene como coeficiente menos 1, esos números son menos 2 y 1. Si los multiplicamos entre sí, menos 2 por 1 nos da menos 2 y si los sumamos, menos 2 más 1 nos da el menos 1 que acompaña a la letra x y todo esto es mayor que cero. A continuación buscamos los puntos críticos de la desigualdad, es decir los valores de x que vuelven cero, la parte izquierda de la misma. Entonces como ya la tenemos factorizada, entonces analizamos en que caso cada factor vale cero, si x menos 2 lo igualamos a cero, entonces vamos a obtener un punto crítico x igual a 2. Si x igual a 2 vuelve cero este primer factor y lo mismo hacemos con el segundo factor, si x más 1 lo igualamos a cero obtenemos que x es igual a menos 1. Entonces estos son los valores de x que vuelven cero la parte izquierda de la desigualdad, enseguida vamos a dibujar una recta que represente el conjunto de los números reales y sobre ella vamos a localizar estos dos números. Allí la podemos observar y tenemos entonces tres intervalos para examinar. Lo que vamos a hacer es seleccionar de cada zona un valor de x que pertenezca a cada conjunto, entonces del primer intervalo vamos a usar un valor de x que esté comprendido entre menos 1 y menos infinito, puede ser menos 2. Del segundo intervalo vamos a usar un valor de x comprendido entre menos 1 y 2 que puede ser por ejemplo el cero y del tercer intervalo podemos seleccionar x igual a 3 que es un número comprendido entre 2 y más infinito. Cada uno de los valores seleccionados los vamos a reemplazar en esta expresión, vamos a analizar que signo adopta cada uno de los factores de esta expresión. Entonces vamos a abrir paréntesis para anotar dentro de ellos los signos que se obtienen, vamos con x igual a menos 2, aquí si aquí se convierte en menos 2 tenemos menos 2 menos 2 que es menos 4 entonces en ese caso el primer paréntesis es negativo. Seguimos con x igual a menos 2 aquí, entonces menos 2 más 1 eso nos da menos 1, es decir signo negativo el segundo paréntesis. Vamos con x igual a 0 hacemos los mismos reemplazos entonces aquí 0 menos 2 eso nos da menos 2 es decir negativo y 0 más 1 nos da 1 positivo, vamos con x igual a 3 aquí 3 menos 2 nos da 1 positivo y 3 más 1 nos da 4 positivo. Efectuamos ley de los signos en cada caso entonces menos por menos nos da más, menos por más nos da menos y más por más nos da más. Vemos que la desigualdad nos dice que esta expresión tiene que ser mayor que 0 entonces debe ser positiva si todo esto es mayor que 0 entonces debe tener signo positivo. Por lo tanto las zonas positivas son las que sirven, entonces esta zona si sirve y esta también sirve, la zona negativa no sirve para esta desigualdad. Entonces vamos a repintar aquellas zonas que si sirvieron. Ahora tenemos que definir que sucede con los puntos críticos de la desigualdad es decir que sucede en menos 1 y en 2. Como la desigualdad tiene signo mayor, únicamente mayor que 0 entonces los puntos críticos de la desigualdad no hacen parte de la solución, se dice que son valores abiertos, entonces se pintan de esta manera con la bolita sin llenar. Si hubiéramos tenido aquí signo mayor o igual entonces los puntos críticos si habrían sido parte de la solución, en ese caso se tendrían que llenar las dos bolitas y significa que son valores cerrados. Para finalizar damos entonces el conjunto solución de la desigualdad de dos maneras, vamos a darlo como desigualdad y como intervalo. Entonces como desigualdad quedaría así, son los x menores que menos 1 unidos con los x mayores que 2, estos son los valores que satisfacen esta desigualdad que nos dan inicialmente. Y ahora como intervalo decimos que la solución son los x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 1 abierto en ambos extremos unión con el intervalo que va desde 2 hasta más infinito también abierto en sus dos extremos. De cualquiera de estas dos formas podemos presentar la respuesta, es así como terminamos la solución de esta desigualdad.
[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Vamos a encontrar el conjunto soluci\u00f3n de esta desigualdad."}, {"start": 6.0, "end": 14.0, "text": " Para iniciar vamos a realizar propiedad distributiva en el lado izquierdo."}, {"start": 14.0, "end": 27.0, "text": " Tenemos que x por 3x nos da 3x al cuadrado y x por 2 nos queda 2x, t\u00e9rmino positivo."}, {"start": 27.0, "end": 35.0, "text": " Todo esto mayor que lo que tenemos en la derecha que es un binomio al cuadrado."}, {"start": 35.0, "end": 41.0, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se soluciona el binomio al cuadrado."}, {"start": 41.0, "end": 58.0, "text": " Si tenemos a m\u00e1s b al cuadrado, esto es igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado m\u00e1s dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado."}, {"start": 58.0, "end": 65.0, "text": " Entonces vamos a desarrollar esta expresi\u00f3n utilizando este producto notable."}, {"start": 65.0, "end": 83.0, "text": " Tenemos el primer t\u00e9rmino al cuadrado que es x al cuadrado m\u00e1s dos veces el primero por el segundo, 2 por x por 2 m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado."}, {"start": 83.0, "end": 88.0, "text": " Hemos aplicado lo que es el desarrollo de un binomio al cuadrado."}, {"start": 88.0, "end": 107.0, "text": " Nos queda entonces 3x al cuadrado m\u00e1s 2x mayor que x al cuadrado m\u00e1s 4x resolviendo este producto m\u00e1s 2 al cuadrado que equivale a 4."}, {"start": 107.0, "end": 115.0, "text": " Y vemos que la desigualdad empieza a tomar forma de desigualdad cuadr\u00e1tica."}, {"start": 115.0, "end": 126.0, "text": " Entonces vamos a pasar estos t\u00e9rminos para el lado izquierdo de tal forma que en este lado derecho nos quede cero."}, {"start": 126.0, "end": 142.0, "text": " Tenemos entonces 3x al cuadrado m\u00e1s 2x, empiezan a pasar esos t\u00e9rminos para llegar todos con signo negativo al lado izquierdo y nos va a quedar mayor o igual que cero."}, {"start": 142.0, "end": 154.0, "text": " Operamos t\u00e9rminos semejantes, tenemos por ejemplo este semejante con este, eso nos da 2x al cuadrado."}, {"start": 154.0, "end": 160.0, "text": " Tenemos tambi\u00e9n t\u00e9rminos semejantes los que contienen la x que son estos dos."}, {"start": 160.0, "end": 175.0, "text": " Esa operaci\u00f3n nos da menos 2x y el t\u00e9rmino independiente de la expresi\u00f3n que es menos 4 y todo esto mayor que cero."}, {"start": 175.0, "end": 187.0, "text": " Podr\u00edamos simplicar esta expresi\u00f3n del lado izquierdo multiplicando ambos lados de la desigualdad por un medio."}, {"start": 187.0, "end": 193.0, "text": " Como vemos todos los n\u00fameros son divisibles entre 2."}, {"start": 193.0, "end": 200.0, "text": " Entonces si multiplicamos todo por un medio vamos a lograr reducir los n\u00fameros a la mitad."}, {"start": 200.0, "end": 211.0, "text": " Multiplicamos ambos lados por esta cantidad que es positiva, por lo tanto el signo de la desigualdad no va a presentar ning\u00fan cambio."}, {"start": 211.0, "end": 222.0, "text": " Entonces nos queda x cuadrado menos x menos 2 y al otro lado cero por un medio sigue siendo cero."}, {"start": 222.0, "end": 228.0, "text": " Tenemos entonces lo que es una desigualdad o inequaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 228.0, "end": 244.0, "text": " Vamos a proceder a factorizar la parte izquierda, vamos a utilizar aqu\u00ed el caso llamado trinomio de la forma x a la 2n m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 244.0, "end": 258.0, "text": " Entonces recordemos que se abren dos par\u00e9ntesis, se le saca la ra\u00edz cuadrada al primer t\u00e9rmino que es x que se escribe al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 258.0, "end": 264.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a definir los signos en cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 264.0, "end": 278.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos signo positivo, m\u00e1s por menos nos da menos, es el signo del primer par\u00e9ntesis y menos por menos nos da m\u00e1s, signo del segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 278.0, "end": 290.0, "text": " A continuaci\u00f3n buscamos dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo de tal forma que multiplicados nos de menos 2 y que sumados nos de menos 1."}, {"start": 290.0, "end": 299.0, "text": " Aqu\u00ed la x tiene como coeficiente menos 1, esos n\u00fameros son menos 2 y 1."}, {"start": 299.0, "end": 315.0, "text": " Si los multiplicamos entre s\u00ed, menos 2 por 1 nos da menos 2 y si los sumamos, menos 2 m\u00e1s 1 nos da el menos 1 que acompa\u00f1a a la letra x y todo esto es mayor que cero."}, {"start": 315.0, "end": 329.0, "text": " A continuaci\u00f3n buscamos los puntos cr\u00edticos de la desigualdad, es decir los valores de x que vuelven cero, la parte izquierda de la misma."}, {"start": 329.0, "end": 352.0, "text": " Entonces como ya la tenemos factorizada, entonces analizamos en que caso cada factor vale cero, si x menos 2 lo igualamos a cero, entonces vamos a obtener un punto cr\u00edtico x igual a 2."}, {"start": 352.0, "end": 366.0, "text": " Si x igual a 2 vuelve cero este primer factor y lo mismo hacemos con el segundo factor, si x m\u00e1s 1 lo igualamos a cero obtenemos que x es igual a menos 1."}, {"start": 366.0, "end": 388.0, "text": " Entonces estos son los valores de x que vuelven cero la parte izquierda de la desigualdad, enseguida vamos a dibujar una recta que represente el conjunto de los n\u00fameros reales y sobre ella vamos a localizar estos dos n\u00fameros."}, {"start": 388.0, "end": 396.0, "text": " All\u00ed la podemos observar y tenemos entonces tres intervalos para examinar."}, {"start": 396.0, "end": 422.0, "text": " Lo que vamos a hacer es seleccionar de cada zona un valor de x que pertenezca a cada conjunto, entonces del primer intervalo vamos a usar un valor de x que est\u00e9 comprendido entre menos 1 y menos infinito, puede ser menos 2."}, {"start": 422.0, "end": 446.0, "text": " Del segundo intervalo vamos a usar un valor de x comprendido entre menos 1 y 2 que puede ser por ejemplo el cero y del tercer intervalo podemos seleccionar x igual a 3 que es un n\u00famero comprendido entre 2 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 446.0, "end": 461.0, "text": " Cada uno de los valores seleccionados los vamos a reemplazar en esta expresi\u00f3n, vamos a analizar que signo adopta cada uno de los factores de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 461.0, "end": 485.0, "text": " Entonces vamos a abrir par\u00e9ntesis para anotar dentro de ellos los signos que se obtienen, vamos con x igual a menos 2, aqu\u00ed si aqu\u00ed se convierte en menos 2 tenemos menos 2 menos 2 que es menos 4 entonces en ese caso el primer par\u00e9ntesis es negativo."}, {"start": 485.0, "end": 497.0, "text": " Seguimos con x igual a menos 2 aqu\u00ed, entonces menos 2 m\u00e1s 1 eso nos da menos 1, es decir signo negativo el segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 497.0, "end": 526.0, "text": " Vamos con x igual a 0 hacemos los mismos reemplazos entonces aqu\u00ed 0 menos 2 eso nos da menos 2 es decir negativo y 0 m\u00e1s 1 nos da 1 positivo, vamos con x igual a 3 aqu\u00ed 3 menos 2 nos da 1 positivo y 3 m\u00e1s 1 nos da 4 positivo."}, {"start": 526.0, "end": 543.0, "text": " Efectuamos ley de los signos en cada caso entonces menos por menos nos da m\u00e1s, menos por m\u00e1s nos da menos y m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 543.0, "end": 558.0, "text": " Vemos que la desigualdad nos dice que esta expresi\u00f3n tiene que ser mayor que 0 entonces debe ser positiva si todo esto es mayor que 0 entonces debe tener signo positivo."}, {"start": 558.0, "end": 577.0, "text": " Por lo tanto las zonas positivas son las que sirven, entonces esta zona si sirve y esta tambi\u00e9n sirve, la zona negativa no sirve para esta desigualdad."}, {"start": 577.0, "end": 595.0, "text": " Entonces vamos a repintar aquellas zonas que si sirvieron. Ahora tenemos que definir que sucede con los puntos cr\u00edticos de la desigualdad es decir que sucede en menos 1 y en 2."}, {"start": 595.0, "end": 614.0, "text": " Como la desigualdad tiene signo mayor, \u00fanicamente mayor que 0 entonces los puntos cr\u00edticos de la desigualdad no hacen parte de la soluci\u00f3n, se dice que son valores abiertos, entonces se pintan de esta manera con la bolita sin llenar."}, {"start": 614.0, "end": 632.0, "text": " Si hubi\u00e9ramos tenido aqu\u00ed signo mayor o igual entonces los puntos cr\u00edticos si habr\u00edan sido parte de la soluci\u00f3n, en ese caso se tendr\u00edan que llenar las dos bolitas y significa que son valores cerrados."}, {"start": 632.0, "end": 645.0, "text": " Para finalizar damos entonces el conjunto soluci\u00f3n de la desigualdad de dos maneras, vamos a darlo como desigualdad y como intervalo."}, {"start": 645.0, "end": 667.0, "text": " Entonces como desigualdad quedar\u00eda as\u00ed, son los x menores que menos 1 unidos con los x mayores que 2, estos son los valores que satisfacen esta desigualdad que nos dan inicialmente."}, {"start": 667.0, "end": 696.0, "text": " Y ahora como intervalo decimos que la soluci\u00f3n son los x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 1 abierto en ambos extremos uni\u00f3n con el intervalo que va desde 2 hasta m\u00e1s infinito tambi\u00e9n abierto en sus dos extremos."}, {"start": 696.0, "end": 708.0, "text": " De cualquiera de estas dos formas podemos presentar la respuesta, es as\u00ed como terminamos la soluci\u00f3n de esta desigualdad."}]