DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 21
#julioprofe explica cómo, antes de obtener la derivada una función, es conveniente transformarla usando propiedades algebraicas.

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 Para derivar esta función tenemos dos alternativas. La primera es usar la regla para derivar el logaritmo natural de una expresión que vamos a representar con la manzanita. En este caso la manzanita sería todo esto. Entonces la derivada del logaritmo natural de la manzanita será una fracción donde en el denominador va la manzanita sin derivar y en el numerador tendremos la derivada de la manzanita. De acuerdo con esta regla esta sería la estructura para la derivada de esta función que se denota como de y de x. Hemos acá en el denominador toda esta expresión que es la manzanita y acá en el numerador la derivada de la manzanita. Pero vemos que acá derivar esto va a ser bastante extenso porque además de tener un cociente se observa en el numerador un producto. Obviamente si seguimos todo este camino vamos a llegar a la respuesta pero es un proceso bastante trabajoso. Vamos a mirar entonces otra opción más conveniente. Se trata de transformar esta función antes de derivarla y eso lo vamos a conseguir aplicando las propiedades de los logaritmos en esa expresión. Vamos a recordar aquí las que vamos a utilizar. El logaritmo natural de un cociente A sobre B es igual al logaritmo natural de A menos logaritmo natural de B. Si tenemos logaritmo natural de un producto A por B esto es igual a logaritmo natural de A más logaritmo natural de B. Y si tenemos el logaritmo natural de una potencia por ejemplo A elevada al exponente K esto es igual a K por logaritmo natural de A. El exponente pasa a multiplicar con el logaritmo. Estas propiedades son validas para todos los logaritmos pero en este caso específico están escritas con logaritmo natural que es aquel que tiene como base el número de Euler. Entonces comenzamos con la transformación de la función. Vemos que el logaritmo natural tiene aquí inicialmente un cociente. Entonces vamos con la primera propiedad, tendremos logaritmo natural de lo que hay en el numerador menos el logaritmo natural de lo que tenemos en el denominador X menos 7 todo esto elevado al exponente 5. Ahora aquí observamos el logaritmo natural de un producto. Vamos entonces con la segunda propiedad. Decimos Y es igual al logaritmo natural de X más 4 al cuadrado más logaritmo natural de X menos 1 al cubo. Y conservamos ese otro término. Y ahora observamos logaritmos naturales de potencias. Entonces aplicamos esta propiedad. Tendremos Y igual aquí 2 baja a multiplicar con logaritmo natural de X más 4 luego tenemos más 3 que queda multiplicando con logaritmo natural de X menos 1 menos 5 que baja a multiplicar con logaritmo natural de X menos 7. Como se observa hemos llegado a una expresión mucho más sencilla que la original y todo gracias a las propiedades de los logaritmos. Ahora si vamos a derivar esa expresión con respecto a X. Entonces tenemos aquí tres términos. Vamos con el primero. Este número se queda quieto. Dejamos el 2 quieto y esto queda multiplicando por la derivada de este logaritmo natural de X más 4. Entonces trazamos la línea siguiendo esta regla. Abajo escribimos la manzanita que es X más 4 y acá la derivada de la manzanita. La derivada de X más 4 nos da 1. Vamos con el siguiente término. Dejamos el 3 quieto. Trazamos la línea. Acá dejamos la manzanita que es X menos 1 y encima la derivada de la manzanita. La derivada de X menos 1 que nos da 1. Y ahora en el último término dejamos el 5. Lo dejamos quieto porque estaba multiplicando. Trazamos la línea de la fracción. Acá la manzanita que es X menos 7 y en el numerador la derivada de la manzanita que es 1. Para terminar podemos efectuar estos productos. Entonces nos va a quedar que de Y de X la derivada de la función es acá en el primer término 2 sobre X más 4. Recordemos que este 2 tiene denominador 1. Entonces multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Vamos al otro término. Nos queda en el numerador 3 en el denominador X menos 1 y en el otro término tendremos 5 en el numerador y X menos 7 en el denominador. Y así hemos terminado este ejercicio. Esta expresión es la primera derivada de esa función.
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