RECTA TANGENTE A UNA CURVA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y=1/(x-2) en el punto (4,1/2).

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 En este ejercicio vamos a hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y igual a 1 sobre x menos 2 en el punto de coordenadas 4,1 medio. Para comenzar vamos a reescribir la función de la siguiente manera, 1 sobre x menos 2 equivale a x menos 2 elevado al exponente en menos 1. Simplemente trasladamos esta expresión a la parte de arriba, por lo tanto el signo del exponente cambia, nos queda x menos 2 elevado a la menos 1. Vamos entonces a derivar esa función. Para realizar la derivada de esa función vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias, cuyo modelo dice lo siguiente. Si tenemos una expresión que vamos a simbolizar con esta manzanita elevada a un exponente n, su derivada tiene la siguiente forma. Baja el exponente n multiplicar, queda la manzanita intacta a la n menos 1 y es un multiplicado por la derivada de la manzanita. La manzanita está representada en este caso por x menos 2 y el exponente n es menos 1. Vamos a seguir esa instrucción. Nos queda que la derivada de esa función, es decir, f' de x es igual a menos 1 que va a multiplicar eso por x menos 2 a la menos 1 menos 1. Estamos haciendo esto, nos queda menos 2 y eso por la derivada interna, es decir, la derivada de x menos 2 que equivale a 1. Vamos a pulir esa expresión. Nos queda entonces f' de x igual a menos 1 y eso sobre x menos 2 al cuadrado. Esa será entonces la primera derivada de la función. Esa expresión nos sirve para encontrar la pendiente de la recta tangente, de la recta que nos piden en el problema. Para ello tenemos que evaluar la derivada en el valor de x del punto que nos dan, que es la coordenada 4,1 medio. Esto es lo que se conoce como punto de tangencia, es el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva. Entonces la primera derivada debe evaluarse en 4, que es el valor de x del punto. Ese 4 lo reemplazamos en esa expresión que nos dio. Nos queda entonces menos 1 sobre 4 menos 2 al cuadrado, eso es igual a menos 1, sobre 4 menos 2 nos da 2 al cuadrado y finalmente eso nos da menos 1 cuarto. Por lo tanto la pendiente de la recta tangente en ese punto tiene el valor menos 1 cuarto. Por la información que tenemos ya podemos encontrar la ecuación de la recta tangente que vamos a denotar con sus iniciales. Tenemos el punto de tangencia que es la coordenada 4,1 medio y tenemos la pendiente de la recta tangente que nos dio menos 1 cuarto. Con esta información utilizamos lo que se llama el modelo punto pendiente para hallar la ecuación de una recta. Este es el modelo punto pendiente. X1 y1 son los valores del punto de tangencia. Vamos a reemplazar entonces nos queda y menos y1 que vale 1 medio es igual a la pendiente que es menos 1 cuarto que multiplica a x menos x1 que vale 4. Vamos a organizar entonces esa expresión. Podemos hacer propiedad distributiva en el lado derecho y nos queda y menos 1 medio es igual a menos 1 cuarto por x es menos 1 cuarto de x menos 1 cuarto por menos 4 nos da más 4 cuartos que sería más 1. Y de aquí vamos a despejar y nos queda menos 1 cuarto de x más 1 más 1 medio que está restando a este lado pasa al otro lado a sumar. Finalmente nos queda y igual a menos 1 cuarto de x más 1 más 1 medio que nos da 3 medios. Y hemos encontrado la ecuación de la recta tangente escrita en la forma y igual a mx más b que se conoce como la forma explícita de la ecuación de una recta. Esta es la respuesta al ejercicio.
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