DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 17
#julioprofe explica cómo hallar la #derivada del logaritmo de un producto.

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 Para esta función vamos a obtener su derivada, representada como dy dx. Y vamos a comenzar por reescribir esa expresión. Se observa el logaritmo natural de un producto. Entonces allí podemos utilizar una propiedad de los logaritmos. Cuando tenemos el logaritmo natural de un producto A por B, esto es igual al logaritmo natural de A más logaritmo natural de B. Es decir, el logaritmo de un producto se convierte en una suma de logaritmos. Entonces vamos a reescribir la función. Nos queda y es igual al logaritmo natural de seno dx más logaritmo natural de coseno dx. Aplicando esta propiedad. Ahora sí podemos iniciar el proceso de derivación. Entonces la derivada de y con respecto a la variable x es lo que se denota como dy dx. O sea, lo que nos están pidiendo. Observamos una suma, por lo tanto derivamos cada uno de los componentes. Y en ambos observamos el logaritmo natural de unas expresiones. Entonces vamos a recordar cómo se deriva esa situación. Si tenemos logaritmo natural de la manzanita, en este caso la manzanita está representando por ejemplo el seno dx o el coseno dx. Entonces la derivada de eso será una línea. Abajo escribimos la manzanita sin derivar. Y en la parte de arriba escribimos la derivada de la manzanita. Entonces vamos a aplicar esta regla para derivar estos dos logaritmos. Tendremos entonces para el primer caso, trazamos la línea. En la parte de abajo escribimos la manzanita que sería seno dx. Y en la parte de arriba tenemos la derivada de la manzanita. Vamos a indicarla en esta ocasión y en el próximo paso la resolvemos. Más aquí lo mismo, tenemos en la parte de abajo coseno dx, o sea la manzanita. Y en la parte de arriba la derivada de lo que escribimos en la parte de abajo. O sea lo que aquí tenemos como derivada de la manzanita. Vamos a continuar por acá donde tenemos que dy dx será igual a derivada del seno dx es coseno dx. Y en el denominador tenemos seno dx. Más vamos a la siguiente fracción. En el numerador tenemos la derivada de coseno dx que es menos el seno dx. Y en la parte de abajo tenemos coseno dx. Y finalmente, para terminar hacemos lo siguiente. Utilizamos las identidades trigonométricas. Coseno dx sobre seno dx es cotangente dx. Aquí aplicamos la ley de los signos, menos con más nos da menos. Y seno dx sobre coseno dx corresponde a tangente dx. Y de esa manera llegamos a la respuesta. Esta será entonces la derivada de esta función que inicialmente nos daban.
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