CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo hallar dos constantes "a" y "b" para que una función a trozos f(x) sea continua en todos los Reales.

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 Para esta función conocida como una función atrosos, vamos a determinar los valores de las constantes a y b para que toda la función sea continua en los reales. Para comenzar, recordemos el concepto de continuidad. Dice, para que una función y igual a f de x sea continua en un valor x igual a c, se deben cumplir las siguientes condiciones. Primera, que f de c exista, es decir, que la función esté definida para el valor x igual a c, o sea que nos de como resultado un número real. Segunda, que el límite de la función cuando x tiende a c, exista. Esto implica que el límite por la izquierda de lo mismo que el límite por la derecha y ambos produzcan el mismo número real. Y la tercera condición, que el límite nos de lo mismo que la función evaluada en c. En otras palabras, que los resultados de las condiciones uno y dos sean iguales. De las tres condiciones de continuidad, la más importante y la que vamos a atender en este ejercicio es la segunda. Necesitamos que el límite exista. En este caso, vamos a garantizar que el límite en menos uno y en dos existan. Comenzamos diciendo que el límite de la función f de x, cuando x tiende a menos uno por la izquierda, debe ser igual al límite de la función cuando x tiende a menos uno por la derecha. De esta manera, estamos garantizando la existencia del límite de la función cuando x tiende a menos uno y por lo tanto la continuidad en ese valor menos uno. Tenemos que cuando x tiende a menos uno por la izquierda, se trata de valores de x menores que menos uno, ligeramente menores que menos uno. Y en el otro caso, cuando x tiende a menos uno por la derecha, se trata de valores de x ligeramente mayores que menos uno. Con esto podemos seleccionar la expresión que corresponde a f de x en cada caso. Veamos, por aquí, cuando x es menor que menos uno, aquí lo tenemos, la función es 3x al cuadrado menos uno. Y por aquí ya podemos escribir que x tiende a menos uno sin necesidad de escribir este signo menos en la parte superior, el que nos indica aproximación por la izquierda, ya que seleccionamos la expresión para f de x. Pasamos al otro lado, tenemos límite de la función cuando x es mayor que menos uno, aquí lo tenemos. Si x es mayor que menos uno, la expresión correspondiente a f de x es 2ax más 3b. Y aquí cuando x tiende a menos uno, también ya podemos quitar el signo más porque ya seleccionamos la expresión que corresponde a f de x en este caso. A continuación vamos a evaluar cada límite. Vamos a reemplazar x por el valor menos uno. Tenemos entonces en el lado izquierdo, 3 por menos uno al cuadrado menos uno, allí evaluamos este límite en x igual a menos uno, y pasamos al otro lado donde tenemos 2a por menos uno más 3b. Resolvemos por acá, menos uno al cuadrado nos da uno positivo por tres, nos da tres, menos uno. Por acá, 2 por a por menos uno nos da menos 2a más 3b, esto nos da 2 igual a menos 2a más 3b. Y podemos pasar las letras al lado izquierdo y este número al lado derecho. Tenemos entonces que menos 2a llega como 2a, 3b llega como menos 3b, y este 2 que está positivo pasa al otro lado negativo. Y tenemos una primera ecuación, vamos a llamarla la ecuación número uno, y la selecimos por acá, 2a menos 3b es igual a menos 2. Ahora vamos a garantizar la existencia del límite de la función cuando x tiende a 2. Entonces para ello decimos que límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda tiene que ser igual al límite de la función cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Cuando x tiende a 2 por la izquierda hablamos de valores de x menores que 2, y cuando x tiende a 2 por la derecha se trata de valores de x mayores que 2. Entonces veamos por acá que función seleccionamos, para f de x si x es menor que 2 tenemos la expresión 2ax más 3b. Y aquí escribimos cuando x tiende a 2, nuevamente quitamos este signo menos de la parte superior. Al otro lado tenemos límite de la función cuando x es mayor que 2, aquí tenemos esa condición, x mayor que 2, la función es 4x más 7, cuando x se aproxima a 2. En seguida evaluamos cada límite, veamos el de la izquierda, sería 2a por x que toma el valor 2 más 3b, y por acá tenemos 4 por 2 más 7. Resolvemos en cada lado, por acá tenemos 4a más 3b, y por acá tenemos 4 por 2 es 8, 8 más 7 nos da 15. Y aparece otra ecuación que la vamos a llamar la ecuación número 2, 4a más 3b igual a 15, y tenemos lo que se llama en matemáticas un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos entonces a resolverlo. Este sistema de 2 por 2 podríamos resolverlo por el método de sustitución, o también por el método de igualación, o también por el método de eliminación conocido también como reducción, o también conocido como método de suma y resta, o si queremos también por el método de los determinantes, lo que se conoce como la regla de Kramer. En este caso observamos que tenemos menos 3b y más 3b, entonces conviene utilizar el método de eliminación o reducción, o método de suma y resta, que consiste en sumar verticalmente los términos de las dos ecuaciones. Entonces tenemos 2a sumado con 4a nos da 6a, menos 3b sumado con más 3b eso nos da 0, porque estos dos términos son opuestos y por lo tanto se eliminan, y al otro lado tenemos menos 2 más 15 que nos da como resultado 13, y de allí podemos despejar a. 6 está multiplicando, entonces pasa al otro lado a dividir. De esta manera ya tenemos el valor de a, una de las incógnitas del sistema de ecuaciones. Ahora vamos a determinar b, para ello reemplazamos este valor de a en cualquiera de las dos ecuaciones, vamos a hacerlo en la primera. Entonces tenemos 2 por a, entonces 2 por 13 sextos, esto menos 3b, igual a menos 2, y vamos a resolver esa ecuación para la variable b. Por aquí tenemos 2 por 13 sextos, donde podemos simplificar 2 con 6, sacando mitad, mitad de 2, 1, mitad de 6 es 3, y nos queda 13 tercios. 13 tercios menos 3b es igual a menos 2, despejamos el término menos 3b, entonces pasamos 13 tercios que está positivo al otro lado negativo. Eso nos da entonces menos 3b, igual a menos 2 sobre 1, aquí tenemos que buscar que las dos fracciones queden con igual denominador, para ello podemos multiplicar esta fracción arriba y abajo por 3, nos queda entonces menos 6 tercios, amplificando esa fracción para que nos queden con igual denominador. Nos queda entonces que menos 3b es igual a, dejamos el mismo denominador y efectuamos la operación de los numeradores, menos 6 menos 13 nos da como resultado menos 19. Y allí vamos a despejar b, pasando menos 3 que está multiplicando al otro lado a dividir, entonces vamos a escribirlo de la siguiente manera, menos 19 tercios dividido entre menos 3 al que podemos completar con denominador 1, allí aplicamos lo que se conoce como la ley de la oreja, entonces tenemos lo siguiente, en el numerador tendremos 19 por 1 y en el denominador tendremos 3 por 3, en cuanto a los signos tenemos que menos con menos nos da más, recordemos que en la división se aplica la ley de los signos, por lo tanto la fracción resultante será positiva. Revisamos si aquí se puede simplificar algo, vemos que no, entonces procedemos a multiplicar arriba y abajo, arriba tendremos 19 y en el denominador tendremos 9, de esta manera tenemos ya el valor de la incógnita b, entonces para terminar el ejercicio decimos que a tiene que ser igual a 13 sextos y b tiene que ser igual a 19 novenos en esta función para que sea continua en todos los números reales.
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menos de la parte superior."}, {"start": 396.0, "end": 417.0, "text": " Al otro lado tenemos l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x es mayor que 2, aqu\u00ed tenemos esa condici\u00f3n, x mayor que 2, la funci\u00f3n es 4x m\u00e1s 7, cuando x se aproxima a 2."}, {"start": 417.0, "end": 437.0, "text": " En seguida evaluamos cada l\u00edmite, veamos el de la izquierda, ser\u00eda 2a por x que toma el valor 2 m\u00e1s 3b, y por ac\u00e1 tenemos 4 por 2 m\u00e1s 7."}, {"start": 437.0, "end": 450.0, "text": " Resolvemos en cada lado, por ac\u00e1 tenemos 4a m\u00e1s 3b, y por ac\u00e1 tenemos 4 por 2 es 8, 8 m\u00e1s 7 nos da 15."}, {"start": 450.0, "end": 474.0, "text": " Y aparece otra ecuaci\u00f3n que la vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2, 4a m\u00e1s 3b igual a 15, y tenemos lo que se llama en matem\u00e1ticas un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 475.0, "end": 477.0, "text": " Vamos entonces a resolverlo."}, {"start": 477.0, "end": 499.0, "text": " Este sistema de 2 por 2 podr\u00edamos resolverlo por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, o tambi\u00e9n por el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n, o tambi\u00e9n por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n conocido tambi\u00e9n como reducci\u00f3n, o tambi\u00e9n conocido como m\u00e9todo de suma y resta,"}, {"start": 499.0, "end": 507.0, "text": " o si queremos tambi\u00e9n por el m\u00e9todo de los determinantes, lo que se conoce como la regla de Kramer."}, {"start": 508.0, "end": 523.0, "text": " En este caso observamos que tenemos menos 3b y m\u00e1s 3b, entonces conviene utilizar el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n o reducci\u00f3n, o m\u00e9todo de suma y resta,"}, {"start": 523.0, "end": 530.0, "text": " que consiste en sumar verticalmente los t\u00e9rminos de las dos ecuaciones."}, {"start": 531.0, "end": 546.0, "text": " Entonces tenemos 2a sumado con 4a nos da 6a, menos 3b sumado con m\u00e1s 3b eso nos da 0, porque estos dos t\u00e9rminos son opuestos y por lo tanto se eliminan,"}, {"start": 546.0, "end": 555.0, "text": " y al otro lado tenemos menos 2 m\u00e1s 15 que nos da como resultado 13, y de all\u00ed podemos despejar a."}, {"start": 556.0, "end": 561.0, "text": " 6 est\u00e1 multiplicando, entonces pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 562.0, "end": 571.0, "text": " De esta manera ya tenemos el valor de a, una de las inc\u00f3gnitas del sistema de ecuaciones."}, {"start": 571.0, "end": 583.0, "text": " Ahora vamos a determinar b, para ello reemplazamos este valor de a en cualquiera de las dos ecuaciones, vamos a hacerlo en la primera."}, {"start": 583.0, "end": 606.0, "text": " Entonces tenemos 2 por a, entonces 2 por 13 sextos, esto menos 3b, igual a menos 2, y vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n para la variable b."}, {"start": 606.0, "end": 621.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos 2 por 13 sextos, donde podemos simplificar 2 con 6, sacando mitad, mitad de 2, 1, mitad de 6 es 3, y nos queda 13 tercios."}, {"start": 621.0, "end": 637.0, "text": " 13 tercios menos 3b es igual a menos 2, despejamos el t\u00e9rmino menos 3b, entonces pasamos 13 tercios que est\u00e1 positivo al otro lado negativo."}, {"start": 637.0, "end": 653.0, "text": " Eso nos da entonces menos 3b, igual a menos 2 sobre 1, aqu\u00ed tenemos que buscar que las dos fracciones queden con igual denominador,"}, {"start": 653.0, "end": 668.0, "text": " para ello podemos multiplicar esta fracci\u00f3n arriba y abajo por 3, nos queda entonces menos 6 tercios, amplificando esa fracci\u00f3n para que nos queden con igual denominador."}, {"start": 668.0, "end": 687.0, "text": " Nos queda entonces que menos 3b es igual a, dejamos el mismo denominador y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores, menos 6 menos 13 nos da como resultado menos 19."}, {"start": 687.0, "end": 699.0, "text": " Y all\u00ed vamos a despejar b, pasando menos 3 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir, entonces vamos a escribirlo de la siguiente manera,"}, {"start": 699.0, "end": 716.0, "text": " menos 19 tercios dividido entre menos 3 al que podemos completar con denominador 1, all\u00ed aplicamos lo que se conoce como la ley de la oreja,"}, {"start": 716.0, "end": 731.0, "text": " entonces tenemos lo siguiente, en el numerador tendremos 19 por 1 y en el denominador tendremos 3 por 3,"}, {"start": 732.0, "end": 744.0, "text": " en cuanto a los signos tenemos que menos con menos nos da m\u00e1s, recordemos que en la divisi\u00f3n se aplica la ley de los signos, por lo tanto la fracci\u00f3n resultante ser\u00e1 positiva."}, {"start": 744.0, "end": 761.0, "text": " Revisamos si aqu\u00ed se puede simplificar algo, vemos que no, entonces procedemos a multiplicar arriba y abajo, arriba tendremos 19 y en el denominador tendremos 9,"}, {"start": 761.0, "end": 777.0, "text": " de esta manera tenemos ya el valor de la inc\u00f3gnita b, entonces para terminar el ejercicio decimos que a tiene que ser igual a 13 sextos"}, 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