DESIGUALDADES RACIONALES - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una inecuación o desigualdad racional.

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 Vamos a encontrar el conjunto solución de esta inequación racional, es decir que debemos determinar el conjunto de valores de x que hacen cierta esta desigualdad. Comenzamos garantizando el cero aquí en el lado derecho de la inequación. Para ello este número 7 debemos pasarlo al lado izquierdo. Nos queda entonces x más 1 sobre x menos 6, todo esto menos 7 y eso menor que 0. Y a continuación debemos resolver esta operación de tal manera que nos quede reducida a una sola fracción. Para ello podemos escribirle denominador 1 a este número 7 y como aquí tenemos una resta de fracciones heterogéneas, es decir, fracciones de distinto denominador, podemos aplicar el truco de la carita feliz. Vamos a recordarlo para el caso de la resta. Hacemos entonces lo siguiente, en el denominador b por d, en el numerador a por d, menos b por c. Entonces allí estamos aplicando el truco de la carita feliz conocida con ese nombre por esta figura. Entonces esto vamos a utilizarlo en esta operación. Tendremos en el denominador la multiplicación de estos dos componentes, o sea b por d, x menos 6 por 1 nos da x menos 6. Acá en el numerador multiplicamos estos dos componentes tal como se observa aquí el producto a por d. Entonces tenemos x más 1 por 1 que nos da x más 1 y esto menos la multiplicación de estos dos componentes tal como se observa en este modelo. Tenemos que x menos 6 por 7 se puede escribir como 7 que multiplica a x menos 6. Esta expresión se protege con paréntesis y todo esto nos queda menor que 0. En el numerador vamos a efectuar esta operación. Tendremos entonces x más 1 y aquí vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces tenemos que menos 7 por x es menos 7x y menos 7 por menos 6 nos da más 42. Y en el denominador seguimos teniendo x menos 6 y todo esto es menor que 0. A continuación vamos a reducir términos semejantes acá en el numerador. Tenemos el caso de estos dos términos que contienen la x. Entonces x menos 7x nos da como resultado menos 6x. Y también tenemos el caso de estos dos números que podemos operarlos entre sí. 1 más 42 nos da más 43. Y en el denominador seguimos teniendo x menos 6 y todo esto menor que 0. Como puede observarse ya hemos conseguido el objetivo que se mencionaba al principio. Es decir tener 0 en el lado derecho y aquí configurar todo como una sola fracción. Allí es el momento de determinar los puntos críticos de la desigualdad. Entonces veamos cómo se encuentran. Debemos establecer los puntos críticos del numerador y del denominador. Para ello tomamos el numerador que es menos 6x más 43 e igualamos esa expresión a 0. Y hacemos el despeje de x. Tenemos entonces menos 6x igual a menos 43. Este número que está positivo llega al otro lado negativo y de allí despejamos x. Menos 6 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Entonces queda menos 43 sobre menos 6. Y allí aplicamos la ley de los signos. Menos con menos en la división nos da más. Y tendremos x igual a 43 sextos. Este será el punto crítico del numerador de esta expresión. Como la desigualdad tiene signo menor entonces el punto crítico que se obtuvo del numerador debe ir abierto. Entonces se simboliza con esta bolita sin llenar. Es decir que este valor no va a ser parte del conjunto solución. Vamos entonces a escribirlo por acá. x igual a 43 sextos. Y le colocamos el símbolo que nos indica que este valor no se debe incluir. Ahora pasamos a determinar los puntos críticos del denominador. Entonces hacemos lo mismo. Tomamos la expresión que tenemos en el denominador x menos 6 y la igualamos a cero. De allí despejamos x y obtenemos 6 positivo. Este número que está restando pasa al otro lado a sumar. Tenemos que x igual a 6 es el punto crítico del denominador. Y en una desigualdad racional los puntos críticos que se obtengan del denominador jamás se pueden tomar. Entonces también llevará este símbolo. El que nos indica que este valor no hace parte de la solución. Escribimos entonces este valor x igual a 6 por acá. Y también le colocamos el símbolo que indica que ese número no se va a tomar. Es decir que es abierto. De esta manera tenemos los puntos críticos de la desigualdad. O sea los valores de x que vuelven cero tanto el numerador como el denominador de esta expresión racional o fraccionaria. A continuación vamos a trazar una recta que represente los valores de x. O sea el conjunto de los números reales. Allí podemos observarla. Esta recta simboliza los valores reales de la variable x. Desde menos infinito hasta más infinito. Y ahora sobre esta recta debemos localizar estos puntos críticos. El mayor de ellos será 43 sextos. Porque si hacemos esta división nos da aproximadamente 7.17. Entonces localizamos 43 sextos por aquí. Y a la izquierda el valor menor que será 6. Como se observa ya hemos localizado en la recta real los puntos críticos de la desigualdad. Entonces vamos a aburrar estos números y vamos a trasladar esta expresión por acá. Vemos entonces que se nos han formado tres intervalos que serán los posibles candidatos a ser solución de esta inequación racional. Entonces lo que hacemos enseguida es escoger un valor de prueba de cada uno de esos intervalos. Vamos con el primero. Vamos a seleccionar un valor de x que esté comprendido entre menos infinito y 6. Podemos escoger el 0. Ahora del segundo intervalo seleccionamos un valor de x que esté comprendido entre 6 y 7.17. Podemos escoger el 7. Y del tercer intervalo, escogemos un valor de x que esté comprendido entre 7.17 y más infinito. Podemos escoger el número 10. Ahora con cada uno de estos valores de prueba que hemos elegido vamos a ver cuál es el comportamiento de esta expresión. Entonces vamos a reemplazar cada uno de ellos tanto en el numerador como en el denominador y vamos a determinar el signo que adopta cada uno de los componentes. Comenzamos reemplazando x igual a 0 acá en el numerador. Tenemos menos 6 por 0 es 0 y 0 más 43 nos da 43 positivo en el numerador. Entonces escribimos aquí el signo más. Nos interesa únicamente el signo. No es necesario escribir aquí el resultado numérico. Únicamente el signo. Ahora vamos con x igual a 0 acá en el denominador. Decimos 0 menos 6 da como resultado menos 6. O sea que tendremos denominador negativo. Y de esa manera hemos examinado el valor x igual a 0 en esta expresión. Ahora sustituimos x igual a 7 en los dos componentes. Vamos al numerador. Tenemos menos 6 por 7 es menos 42 y menos 42 más 43 nos da como resultado 1 positivo. Entonces tenemos signo más en el numerador. Ahora reemplazamos 7 acá en el denominador. 7 menos 6 nos da como resultado 1 positivo. Entonces escribimos signo más en el denominador. Ahora vamos a reemplazar x igual a 10 también en los dos componentes. Vamos con el numerador. Menos 6 por 10 nos da menos 60 y menos 60 más 43 nos da como resultado menos 17. Entonces signo negativo en el numerador. Reemplazamos ahora 10 acá en el denominador. 10 menos 6 nos da como resultado 4 positivo. Entonces signo más en el denominador. A continuación aplicamos la ley de los signos en cada caso. Recordemos que la ley de los signos se aplica para la multiplicación y para la división. Entonces más con menos nos da menos. Más con más nos da signo más. Y menos con más nos da signo menos. Este es el signo resultante de esta expresión en cada uno de los intervalos. Como en esta expresión tenemos que la fracción es menor que cero, entonces quiere decir que esta fracción tiene que ser de signo negativo. Recordemos que las cantidades menores que cero son las de signo negativo. Esto nos indica que de estos intervalos sirven los que hayan quedado con este signo. Entonces este intervalo sí sirve, este no sirve y este sí sirve. Procedemos entonces a rayar o a destacar aquellos intervalos que sí sirvieron. Entonces los podemos pintar de esta manera y recordemos que los puntos críticos de la desigualdad no se toman. Ambos van con la bolita sin llenar. Tal como vimos ahora cuando se encontraron los puntos críticos. Bien con esto ya podemos escribir la respuesta del ejercicio, es decir el conjunto solución de la inequación racional. Serán los valores de x que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito hasta 6. Entonces menos infinito coma 6 abierto en sus dos extremos, o sea que se representa con paréntesis unión con el otro intervalo que va desde 43 sextos hasta más infinito. También con paréntesis en sus dos extremos porque es un intervalo abierto. Con esto hemos terminado este ejercicio. Hemos encontrado el conjunto solución de esta desigualdad racional.
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244.2, "text": " Debemos establecer los puntos cr\u00edticos del numerador y del denominador."}, {"start": 244.2, "end": 254.2, "text": " Para ello tomamos el numerador que es menos 6x m\u00e1s 43 e igualamos esa expresi\u00f3n a 0."}, {"start": 254.2, "end": 257.2, "text": " Y hacemos el despeje de x."}, {"start": 257.2, "end": 262.2, "text": " Tenemos entonces menos 6x igual a menos 43."}, {"start": 262.2, "end": 268.2, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 positivo llega al otro lado negativo y de all\u00ed despejamos x."}, {"start": 268.2, "end": 273.2, "text": " Menos 6 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 273.2, "end": 277.2, "text": " Entonces queda menos 43 sobre menos 6."}, {"start": 277.2, "end": 280.2, "text": " Y all\u00ed aplicamos la ley de los signos."}, {"start": 280.2, "end": 283.2, "text": " Menos con menos en la divisi\u00f3n nos da m\u00e1s."}, {"start": 283.2, "end": 288.2, "text": " Y tendremos x igual a 43 sextos."}, {"start": 288.2, "end": 294.2, "text": " Este ser\u00e1 el punto cr\u00edtico del numerador de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 294.2, "end": 301.2, "text": " Como la desigualdad tiene signo menor entonces el punto cr\u00edtico que se obtuvo del numerador"}, {"start": 301.2, "end": 303.2, "text": " debe ir abierto."}, {"start": 303.2, "end": 308.2, "text": " Entonces se simboliza con esta bolita sin llenar."}, {"start": 308.2, "end": 314.2, "text": " Es decir que este valor no va a ser parte del conjunto soluci\u00f3n."}, {"start": 314.2, "end": 317.2, "text": " Vamos entonces a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 317.2, "end": 321.2, "text": " x igual a 43 sextos."}, {"start": 321.2, "end": 330.2, "text": " Y le colocamos el s\u00edmbolo que nos indica que este valor no se debe incluir."}, {"start": 330.2, "end": 337.2, "text": " Ahora pasamos a determinar los puntos cr\u00edticos del denominador."}, {"start": 337.2, "end": 340.2, "text": " Entonces hacemos lo mismo."}, {"start": 340.2, "end": 348.2, "text": " Tomamos la expresi\u00f3n que tenemos en el denominador x menos 6 y la igualamos a cero."}, {"start": 348.2, "end": 353.2, "text": " De all\u00ed despejamos x y obtenemos 6 positivo."}, {"start": 353.2, "end": 357.2, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar."}, {"start": 357.2, "end": 362.2, "text": " Tenemos que x igual a 6 es el punto cr\u00edtico del denominador."}, {"start": 362.2, "end": 368.2, "text": " Y en una desigualdad racional los puntos cr\u00edticos que se obtengan del denominador"}, {"start": 368.2, "end": 370.2, "text": " jam\u00e1s se pueden tomar."}, {"start": 370.2, "end": 373.2, "text": " Entonces tambi\u00e9n llevar\u00e1 este s\u00edmbolo."}, {"start": 373.2, "end": 379.2, "text": " El que nos indica que este valor no hace parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 379.2, "end": 384.2, "text": " Escribimos entonces este valor x igual a 6 por ac\u00e1."}, {"start": 384.2, "end": 392.2, "text": " Y tambi\u00e9n le colocamos el s\u00edmbolo que indica que ese n\u00famero no se va a tomar."}, {"start": 392.2, "end": 394.2, "text": " Es decir que es abierto."}, {"start": 394.2, "end": 399.2, "text": " De esta manera tenemos los puntos cr\u00edticos de la desigualdad."}, {"start": 399.2, "end": 406.2, "text": " O sea los valores de x que vuelven cero tanto el numerador como el denominador"}, {"start": 406.2, "end": 411.2, "text": " de esta expresi\u00f3n racional o fraccionaria."}, {"start": 411.2, "end": 417.2, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a trazar una recta que represente los valores de x."}, {"start": 417.2, "end": 421.2, "text": " O sea el conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 421.2, "end": 423.2, "text": " All\u00ed podemos observarla."}, {"start": 423.2, "end": 429.2, "text": " Esta recta simboliza los valores reales de la variable x."}, {"start": 429.2, "end": 432.2, "text": " Desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 432.2, "end": 438.2, "text": " Y ahora sobre esta recta debemos localizar estos puntos cr\u00edticos."}, {"start": 438.2, "end": 442.2, "text": " El mayor de ellos ser\u00e1 43 sextos."}, {"start": 442.2, "end": 448.2, "text": " Porque si hacemos esta divisi\u00f3n nos da aproximadamente 7.17."}, {"start": 448.2, "end": 453.2, "text": " Entonces localizamos 43 sextos por aqu\u00ed."}, {"start": 453.2, "end": 459.2, "text": " Y a la izquierda el valor menor que ser\u00e1 6."}, {"start": 459.2, "end": 466.2, "text": " Como se observa ya hemos localizado en la recta real los puntos cr\u00edticos de la desigualdad."}, {"start": 466.2, "end": 473.2, "text": " Entonces vamos a aburrar estos n\u00fameros y vamos a trasladar esta expresi\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 473.2, "end": 480.2, "text": " Vemos entonces que se nos han formado tres intervalos que ser\u00e1n los posibles candidatos"}, {"start": 480.2, "end": 484.2, "text": " a ser soluci\u00f3n de esta inequaci\u00f3n racional."}, {"start": 484.2, "end": 492.2, "text": " Entonces lo que hacemos enseguida es escoger un valor de prueba de cada uno de esos intervalos."}, {"start": 492.2, "end": 499.2, "text": " Vamos con el primero. Vamos a seleccionar un valor de x que est\u00e9 comprendido entre menos infinito y 6."}, {"start": 499.2, "end": 501.2, "text": " Podemos escoger el 0."}, {"start": 501.2, "end": 509.2, "text": " Ahora del segundo intervalo seleccionamos un valor de x que est\u00e9 comprendido entre 6 y 7.17."}, {"start": 509.2, "end": 512.2, "text": " Podemos escoger el 7."}, {"start": 512.2, "end": 521.2, "text": " Y del tercer intervalo, escogemos un valor de x que est\u00e9 comprendido entre 7.17 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 521.2, "end": 524.2, "text": " Podemos escoger el n\u00famero 10."}, {"start": 524.2, "end": 533.2, "text": " Ahora con cada uno de estos valores de prueba que hemos elegido vamos a ver cu\u00e1l es el comportamiento de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 533.2, "end": 539.2, "text": " Entonces vamos a reemplazar cada uno de ellos tanto en el numerador como en el denominador"}, {"start": 539.2, "end": 546.2, "text": " y vamos a determinar el signo que adopta cada uno de los componentes."}, {"start": 546.2, "end": 551.2, "text": " Comenzamos reemplazando x igual a 0 ac\u00e1 en el numerador."}, {"start": 551.2, "end": 559.2, "text": " Tenemos menos 6 por 0 es 0 y 0 m\u00e1s 43 nos da 43 positivo en el numerador."}, {"start": 559.2, "end": 565.2, "text": " Entonces escribimos aqu\u00ed el signo m\u00e1s. Nos interesa \u00fanicamente el signo."}, {"start": 565.2, "end": 571.2, "text": " No es necesario escribir aqu\u00ed el resultado num\u00e9rico. \u00danicamente el signo."}, {"start": 571.2, "end": 579.2, "text": " Ahora vamos con x igual a 0 ac\u00e1 en el denominador. Decimos 0 menos 6 da como resultado menos 6."}, {"start": 579.2, "end": 582.2, "text": " O sea que tendremos denominador negativo."}, {"start": 582.2, "end": 589.2, "text": " Y de esa manera hemos examinado el valor x igual a 0 en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 589.2, "end": 594.2, "text": " Ahora sustituimos x igual a 7 en los dos componentes."}, {"start": 594.2, "end": 605.2, "text": " Vamos al numerador. Tenemos menos 6 por 7 es menos 42 y menos 42 m\u00e1s 43 nos da como resultado 1 positivo."}, {"start": 605.2, "end": 609.2, "text": " Entonces tenemos signo m\u00e1s en el numerador."}, {"start": 609.2, "end": 617.2, "text": " Ahora reemplazamos 7 ac\u00e1 en el denominador. 7 menos 6 nos da como resultado 1 positivo."}, {"start": 617.2, "end": 621.2, "text": " Entonces escribimos signo m\u00e1s en el denominador."}, {"start": 621.2, "end": 626.2, "text": " Ahora vamos a reemplazar x igual a 10 tambi\u00e9n en los dos componentes."}, {"start": 626.2, "end": 637.2, "text": " Vamos con el numerador. Menos 6 por 10 nos da menos 60 y menos 60 m\u00e1s 43 nos da como resultado menos 17."}, {"start": 637.2, "end": 640.2, "text": " Entonces signo negativo en el numerador."}, {"start": 640.2, "end": 648.2, "text": " Reemplazamos ahora 10 ac\u00e1 en el denominador. 10 menos 6 nos da como resultado 4 positivo."}, {"start": 648.2, "end": 651.2, "text": " Entonces signo m\u00e1s en el denominador."}, {"start": 651.2, "end": 656.2, "text": " A continuaci\u00f3n aplicamos la ley de los signos en cada caso."}, {"start": 656.2, "end": 661.2, "text": " Recordemos que la ley de los signos se aplica para la multiplicaci\u00f3n y para la divisi\u00f3n."}, {"start": 661.2, "end": 665.2, "text": " Entonces m\u00e1s con menos nos da menos."}, {"start": 665.2, "end": 668.2, "text": " M\u00e1s con m\u00e1s nos da signo m\u00e1s."}, {"start": 668.2, "end": 672.2, "text": " Y menos con m\u00e1s nos da signo menos."}, {"start": 672.2, "end": 680.2, "text": " Este es el signo resultante de esta expresi\u00f3n en cada uno de los intervalos."}, {"start": 680.2, "end": 692.2, "text": " Como en esta expresi\u00f3n tenemos que la fracci\u00f3n es menor que cero, entonces quiere decir que esta fracci\u00f3n tiene que ser de signo negativo."}, {"start": 692.2, "end": 697.2, "text": " Recordemos que las cantidades menores que cero son las de signo negativo."}, {"start": 697.2, "end": 704.2, "text": " Esto nos indica que de estos intervalos sirven los que hayan quedado con este signo."}, {"start": 704.2, "end": 711.2, "text": " Entonces este intervalo s\u00ed sirve, este no sirve y este s\u00ed sirve."}, {"start": 711.2, "end": 719.2, "text": " Procedemos entonces a rayar o a destacar aquellos intervalos que s\u00ed sirvieron."}, {"start": 719.2, "end": 729.2, "text": " Entonces los podemos pintar de esta manera y recordemos que los puntos cr\u00edticos de la desigualdad no se toman."}, {"start": 729.2, "end": 733.2, "text": " Ambos van con la bolita sin llenar."}, {"start": 733.2, "end": 739.2, "text": " Tal como vimos ahora cuando se encontraron los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 739.2, "end": 749.2, "text": " Bien con esto ya podemos escribir la respuesta del ejercicio, es decir el conjunto soluci\u00f3n de la inequaci\u00f3n racional."}, {"start": 749.2, "end": 757.2, "text": " Ser\u00e1n los valores de x que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito hasta 6."}, {"start": 757.2, "end": 775.2, "text": " Entonces menos infinito coma 6 abierto en sus dos extremos, o sea que se representa con par\u00e9ntesis uni\u00f3n con el otro intervalo que va desde 43 sextos hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 775.2, "end": 781.2, "text": " Tambi\u00e9n con par\u00e9ntesis en sus dos extremos porque es un intervalo abierto."}, {"start": 781.2, "end": 784.2, "text": " Con esto hemos terminado este ejercicio."}, {"start": 784.2, "end": 790.2, "text": " Hemos encontrado el conjunto soluci\u00f3n de esta desigualdad racional."}]