ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo dibujar y determinar el área encerrada por dos funciones.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK 
 
Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Bien, este problema nos da dos funciones, una lineal que es y igual a 2x y otra función cuadrática que es y igual a x al cuadrado menos 4x. Vamos a comenzar encontrando los puntos de corte o puntos de intersección de ambas gráficas. Para ello podemos hacer una igualación, si, como en ambos casos está despejada la letra y, podemos igualar ambas expresiones y se nos forma una ecuación cuadrática. Vamos a resolverla, pasamos el 2x a restar, nos queda igual a 0, tenemos que x al cuadrado menos 6x es igual a 0, continuamos por acá, podemos sacar factor común la x, factor de x menos 6 igual a 0 y como esto está multiplicando cada factor lo igualamos a 0, entonces x igual a 0 o x menos 6 igual a 0. Por aquí ya tenemos una solución de la ecuación y por aquí encontramos que x vale 6, esto quiere decir entonces que esas dos gráficas van a tener sus puntos de intersección en 0 y en 6 como valores de x. En seguida podemos hacer una tabla de valores para obtener puntos que nos permitan graficar ambas funciones teniendo en cuenta que los cortes de ambas gráficas ocurren en 0 y en 6 valores de x, entonces vamos a escoger 0, 2, 4 y 6 como valores de la variable x, entonces reemplazamos en cada función, por aquí tendremos 0, 4, 8 y 12 y por acá en la función cuadrática tendremos 0 menos 4, 0 y 12. Con estos puntos vamos entonces a generar la gráfica para ambas funciones, allí tenemos el plano cartesiano, vemos los puntos para la función lineal, vemos los puntos para la función cuadrática y uniendo los puntos de manera apropiada vemos las gráficas de las dos funciones, en color azul vemos la gráfica de la función lineal y igual a 2x y en color rojo vemos la gráfica de la función cuadrática o de segundo grado y igual a x al cuadrado menos 4x. Podemos entonces apreciar la región encerrada por ambas curvas, por ambas gráficas y de esta manera hemos dado cumplimiento a la pregunta A del problema. En la parte B del problema nos preguntan por el área encerrada entre las dos gráficas, entonces vamos a determinar el valor de dicha área usando una integral definida, vamos a realizar la integral en términos de x, entonces los límites de integración serán 0 y 6, el valor menor de x es 0 y el máximo que puede tomar para calcular esa área es el 6. Y entonces aquí vamos a escribir la función superior menos la función inferior, cuando armamos integrales definidas para cálculo de áreas con respecto a x, entonces siempre será así, función superior o curva superior menos la curva inferior, la superior es 2x y a eso le restamos la curva inferior que es x al cuadrado menos 4x, por esa razón es de gran utilidad la gráfica, porque allí podemos apreciar que línea va por encima, cual es la superior y cual es la inferior, resolviendo esta integral entonces determinamos el área. Vamos a resolver, entonces tendremos la integral desde 0 hasta 6, aquí ya podemos destruir el paréntesis, nos queda 2x menos x al cuadrado más 4x con su correspondiente diferencial de x, tendremos la integral de x a 6, aquí podemos operar términos semejantes, el caso de 2x más 4x que nos da 6x menos x al cuadrado, todo esto con su de x y ya podemos integrar, entonces tenemos la integral de 6x será 6x al cuadrado sobre 2 menos la integral de x al cuadrado que será x al cubo sobre 3 y como tenemos una integral definida entonces vamos a evaluar entre los límites de integración 0 y 6. Si vamos a simplificar 6 con 2 le podemos sacar mitad, entonces mitad de 6 es 3, mitad de 2 es 1 y entonces vamos a evaluar primero en el 6 y luego en el 0 dando cumplimiento al teorema fundamental del cálculo. Si entra el 6 tendremos 3x6 al cuadrado menos aquí 6 al cubo sobre 3, allí tenemos el reemplazo del límite superior que es el 6 y ya solo vamos a restar el reemplazo del límite inferior, entonces el 0 entra en esta expresión vemos claramente que todo eso dará 0, entonces nos podemos ahorrar esa escritura, continuamos 6 al cuadrado nos da 36, 36 por 3 es 108 menos 6 al cubo nos da 216, 216 dividido entre 3 nos queda 72 y resolviendo esta resta nos da 36, significa que el área que estamos determinando tiene un valor de 36 unidades cuadradas, de esta manera hemos terminado entonces nuestro ejercicio.
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