ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES DEL PLANO - ft. Casio Classwiz
#julioprofe explica cómo determinar el ángulo entre dos vectores del plano, haciendo el proceso manualmente y comprobando con la calculadora Casio #Classwiz fx-991LA X. 

Tema: #VectoresEnElPlano → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGfEt9R9ghobRhm_MvyY6W4

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 En esta ocasión, resolveremos un ejercicio relacionado con vectores en el plano. Vamos a realizar los procesos manualmente y también vamos a ir comprobando con la calculadora Casio ClassWiz. Veamos entonces el enunciado del ejercicio. Determinar el ángulo entre los vectores A igual a 7i más 3j y B igual a 2i más 5j. Entonces como vemos son vectores en el plano que podemos escribir de la siguiente manera. El vector A tiene las componentes 7,3, es decir podemos deshacer la notación de vectores unitarios y j. Ahora para el caso del vector B, sus componentes son 2,5. Recordemos que la primera hace referencia a la componente Nx y la segunda hace referencia a la componente Enche. Para hallar analíticamente el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la definición de producto punto o producto escalar. En este caso para los vectores A y B tenemos que esa operación se define como la magnitud del vector A por la magnitud del vector B y eso multiplicado por el coseno del ángulo theta donde theta es el ángulo de menor giro que forman los vectores A y B. De esta expresión podemos despejar coseno de theta. Vamos a escribir la expresión resultante por acá. Coseno de theta será igual a A punto B, es decir el producto punto o producto escalar entre los vectores A y B y todo eso sobre la magnitud del vector A multiplicada por la magnitud del vector B. Entonces simplemente para despejar coseno de theta todo esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Enseguida vamos a determinar cada uno de estos tres componentes. Comenzamos con el producto punto o producto escalar entre los vectores A y B. Entonces recordemos que otra definición para esta operación es la siguiente. Para el caso de vectores en R2 o en el plano entonces hacemos el producto de las componentes en X y a eso le sumamos el producto de las componentes en Y. Entonces tenemos 7 por 2 producto de componentes en X más 3 por 5 que es el producto de componentes en Y. Resolvemos esas operaciones. 7 por 2 nos da 14, luego tenemos más 3 por 5 que es 15 y esta suma nos da 29. Es el producto punto o escalar entre los vectores A y B. Esto que acabamos de resolver se puede comprobar en la calculadora Casio ClassWiz. Veamos cómo se hace. Presionamos el botón menu y en pantalla se observan los iconos o accesos directos a las distintas funciones de la calculadora. Nos desplazamos hacia abajo una vez hasta llegar al icono identificado con el número 5. Es el que corresponde a los vectores. Presionamos el botón igual para ingresar allí y a continuación vamos a definir los vectores. En este caso vemos que son 2, los vectores A y B. Vamos con el vector A que está asignado a la opción 1. Presionamos ese botón y vemos que nos preguntan por la dimensión. En este caso son vectores en el plano, es decir con dos componentes cada uno. Presionamos entonces el botón 2 y en pantalla observamos una matriz de dos filas y una columna. Es lo que se llama un vector columna. Entonces vamos a ingresar esas dos componentes. Vamos con el 7, presionamos igual y después 3, presionamos igual. Allí ya hemos ingresado a la calculadora el vector A. Presionamos el botón de opciones, luego vamos a definir el otro vector, presionamos el 1 y el vector B está asignado al número 2. Presionamos el 2. Una vez nos preguntan por la dimensión, seleccionamos el 2, son vectores en el plano y de nuevo tenemos un vector columna listo para ingresar las componentes. Vamos con el 2, presionamos igual, después 5 y presionamos igual. Allí ya hemos ingresado los vectores A y B. Ahora vamos a efectuar esta operación, el producto punto o escalar entre los vectores A y B. Presionamos el botón de opciones y escogemos la número 3, porque vamos a calcular una operación con esos vectores. Presionamos el 3. Ahora queremos que en pantalla aparezca el vector A. Entonces botón de opciones y luego vemos el vector A asignado al número 3. Presionamos el 3. Allí tenemos en pantalla el vector A. Vamos ahora con el punto que nos indica la operación, es decir el producto escalar. Presionamos opciones, nos desplazamos hacia abajo y vemos en la opción 2 el producto escalar. Presionamos el 2 y nos aparece el punto en la pantalla. Vamos ahora con el vector B. Presionamos el botón de opciones, vemos que el vector B está asignado al número 4. Presionamos la tecla del 4 y ya tenemos en pantalla el vector B. Entonces tenemos allí esta operación, vector A producto punto con el vector B. Presionamos el botón igual y tenemos en la pantalla el resultado que es 29. Con eso comprobamos que esta primera operación que resolvimos manualmente es correcta. Enseguida vamos a hallar este componente, es decir la magnitud, módulo o norma del vector A. Vamos a realizar ese procedimiento por acá. Entonces esto será igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes, es decir 7 al cuadrado más 3 al cuadrado y todo esto dentro de la raíz cuadrada. Resolvemos ahora esas operaciones, 7 al cuadrado nos da 49, después tenemos más 3 al cuadrado que es 9, todo esto dentro de la raíz cuadrada y efectuando esa suma nos da 58 dentro de la raíz cuadrada. Esta raíz la dejamos así indicada. De forma similar hallamos este componente, es decir el módulo, norma o magnitud del vector B. Tenemos la raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 5 al cuadrado y todo esto dentro de la raíz cuadrada. Resolvemos esas operaciones, 2 al cuadrado nos da 4 más 5 al cuadrado que es 25, todo esto dentro de la raíz y efectuando esa suma nos da 29 que queda dentro de la raíz cuadrada. Entonces aquí ya podemos reemplazar lo que hemos obtenido. En el numerador el resultado del producto punto o escalar entre los dos vectores que es 29. Ahora en el denominador tenemos la magnitud del vector A que es raíz cuadrada de 58 y eso multiplicado por la magnitud del vector B que nos dio la raíz cuadrada de 29. Esta operación que tenemos en el denominador podemos trabajarla de la siguiente manera, tenemos raíz cuadrada de 58 por raíz cuadrada de 29. 58 podemos descomponerlo como 2 por 29 y dejamos la otra raíz intacta. Ahora a su vez aplicamos aquí una propiedad de la radicación, si tenemos la raíz de un producto de cantidades podemos repartir la raíz para cada una de ellas, es decir nos queda raíz cuadrada de 2 por la raíz cuadrada de 29 y eso a su vez multiplicando por raíz cuadrada de 29. Ahora esto nos queda raíz cuadrada de 2 por, tenemos aquí el producto de dos cantidades iguales entonces raíz cuadrada de 29 multiplicada por sí misma nos queda esa raíz elevada al cuadrado y este exponente 2 nos elimina la raíz cuadrada interactuando operaciones contrarias entonces nos queda raíz cuadrada de 2 por 29. Entonces retomando esto tendremos lo siguiente, coseno de theta igual a 29 en el numerador y en el denominador cambiamos esta operación por lo que obtuvimos es decir la raíz cuadrada de 2 por 29 y esta fracción puede simplificarse, podemos dividir arriba y abajo por 29, decimos 29aba de 29 es 1 y acá también 29aba de 29 nos da 1, entonces en el numerador tendremos 1 y en el denominador raíz cuadrada de 2 por 1 que es raíz cuadrada de 2 y esto podemos racionalizarlo es decir para que no tengamos raíz en el denominador en ese caso lo que debemos hacer es multiplicar arriba y abajo por la raíz cuadrada de 2 entonces tendremos en el numerador 1 por raíz de 2 que es raíz de 2 y en el denominador raíz de 2 por raíz de 2 que sería raíz de 2 al cuadrado algo similar a lo que pasó acá y eso nos da como resultado 2. De allí ya podemos averiguar theta, si coseno de theta es igual a raíz cuadrada de 2 sobre 2 entonces theta será igual a arco coseno de esta cantidad es decir raíz cuadrada de 2 sobre 2 o también se puede escribir como coseno a la menos 1 de raíz cuadrada de 2 sobre 2 es decir utilizamos la función inversa del coseno aplicada a esta cantidad, veamos entonces como se puede hallar theta. Una manera de hacerlo es mediante esta tabla que nos permite determinar los valores de seno y coseno para los ángulos principales del primer cuadrante es lo que se conocen ángulos notables entonces esa tabla se llena así 0 1 2 3 4 luego acá al contrario 4 3 2 1 y 0 después a esos números le sacamos la raíz cuadrada entonces raíz de 0 raíz de 1 raíz de 2 raíz de 3 raíz de 4 por acá también raíz de 4 raíz de 3 raíz de 2 raíz de 1 y raíz de 0 y después dividimos esos valores entre 2 entonces todos esos números se dividen entre 2 y finalmente unimos los valores por acá tenemos raíz cuadrada de 0 que es 0 0 dividido entre 2 nos da 0 lo mismo sucedería en esta casilla por acá tenemos raíz cuadrada de 1 que es 1 sobre 2 esto equivale a 1 medio lo mismo sucede por acá tenemos también raíz de 2 medios estos valores se quedan tal como están lo mismo sucede con raíz de 3 medios y estos también podemos pulirlos la raíz cuadrada de 4 es 2 y 2 medios equivale a 1 entonces para el caso del coseno por acá tenemos un ángulo donde se cumple que coseno de ese ángulo es raíz de 2 medios es el caso de 45 grados es la situación que tenemos acá entonces podemos afirmar que theta es igual a 45 grados sería entonces el ángulo entre los dos vectores otra manera de encontrar theta es haciendo esta operación en la calculadora científica vamos a utilizar la casio class wiss en ese caso presionamos el botón menú nos desplazamos hacia arriba hasta el icono identificado con el número 1 es decir el de calcular o el de las operaciones básicas presionamos igual y vamos a verificar que nuestra unidad angular sean grados entonces presionamos el botón shift y después el botón menú para activar la función set up y vemos allí en pantalla que la opción 2 corresponde a la unidad angular presionamos el 2 y vemos las tres opciones para ángulos en este caso debemos seleccionar la número 1 que es la que corresponde a los grados hexagésimales que se denota con la letra t por el nombre degrees es decir grados en inglés presionamos el 1 y ya observamos en la pantalla la letra de en la parte superior eso nos indica que ya la calculadora tiene como unidad angular los grados hexagésimales entonces vamos ahora sí con esta operación vamos a activar la función coseno a la menos 1 presionamos el botón shift y después el botón coseno allí nos aparece en pantalla coseno a la menos 1 es decir la función inversa del coseno vamos ahora a ingresar raíz de dos medios presionamos el botón de fracción luego botón de raíz cuadrada luego el 2 nos movemos hacia abajo en la fracción ingresamos el 2 corremos el cursor a la derecha cerramos el paréntesis y oprimimos igual vemos en pantalla 45 es decir 45 grados que será el valor de theta el que corresponde a esta operación otra manera de determinar el ángulo entre los vectores a y b es localizando esos vectores en un plano cartesiano dibujado con instrumentos de dibujo es decir con regla o escuadra y utilizando una cuadrícula entonces vamos a dibujar el vector a con componentes 7,3 vamos a considerar que su origen se encuentra aquí es decir en el punto 0,0 entonces lo que hacemos es localizar el punto extremo es decir la coordenada 7,3 sería en este punto entonces si unimos el origen con el extremo tendremos el vector a bien allí podemos observarlo entonces este que hemos dibujado con color azul es el vector ahora vamos a dibujar el vector de nuevo su origen es el punto 0,0 y su extremo será el punto de coordenadas 2,5 es decir aquí entonces vamos a dibujar el vector b bien allí podemos observarlo entonces este vector de color rojo será el vector b ahora utilizando un transportador vamos a medir esta abertura es decir el ángulo que se forma entre los dos vectores cuando coinciden sus orígenes entonces esta marca la colocamos aquí es decir en el vértice del ángulo y el 0 de manera que coincida con el primer vector entonces medimos esta abertura hacemos la lectura en el transportador y vemos que efectivamente son 45 grados entonces ya podemos marcar aquí el valor del ángulo theta el ángulo entre los vectores que es de 45 grados eso también podemos verificarlo utilizando esta escuadra la de 45 grados aquí tiene ángulo recto ángulo de 90 grados y estos dos son ángulos de 45 grados entonces podemos colocarla de esta manera de modo que los lados de la escuadra es decir este cateto y la hipotenusa coincidan con los dos vectores y vemos que efectivamente aquí tenemos un ángulo de 45 grados para terminar veamos cómo con la calculadora casio class Swiss podemos hallar ese ángulo entre los dos vectores entonces presionamos el botón menú estábamos en la opción 1 nos movemos hacia abajo hasta la opción 5 es decir el ícono que identifica los vectores presionamos igual para ingresar allí y vamos a definir nuevamente los dos vectores vamos con el vector a entonces presionamos 1 recordemos que son vectores en dos dimensiones porque están en el plano y las componentes de a son 7,3 entonces ingresamos el 7 presionamos igual después 3 y presionamos igual luego presionamos el botón de opciones vamos a definir el otro vector presionamos 1 y el vector b está asignado al número 2 entonces presionamos el 2 nuevamente es un vector en dos dimensiones en el plano seleccionamos el 2 y vamos a ingresar sus componentes que son 2,5 entonces el 2 presionamos igual después el 5 y presionamos igual de esa manera hemos ingresado ya los dos vectores presionamos nuevamente el botón de opciones y ahora vamos a escoger la número 3 la de calcular un nuevo vector o hacer una operación con los vectores que ya hemos ingresado presionamos el 3 y ahora oprimimos de nuevo el botón de opciones nos desplazamos hacia abajo y vemos en la número 3 ángulo entonces seleccionamos el 3 nos aparece la palabra ángulo en inglés en la pantalla y después del paréntesis vamos a ingresar los dos vectores vamos con el vector a entonces botón de opciones vemos que el vector a está asignado al número 3 presionamos el 3 después vamos a ingresar el símbolo punto y coma entonces oprimimos el botón shift después el botón del paréntesis derecho allí aparece punto y coma en la pantalla y enseguida vamos a ingresar el vector b entonces botón de opciones el vector b está asignado al número 4 presionamos el 4 cerramos el paréntesis entonces lo que observamos allí es la instrucción para determinar el ángulo que forman los vectores a y b presionamos el botón igual y en pantalla tenemos 45 es decir 45 grados porque recordemos que la calculadora la habíamos ajustado en grados como su unidad angular así confirmamos que el ángulo que forman esos dos vectores a y b es de 45 grados encuentra las calculadoras casio clasuis en papelerías tauro
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{"start": 188.76, "end": 190.79999999999998, "text": " Veamos c\u00f3mo se hace."}, {"start": 190.79999999999998, "end": 196.24, "text": " Presionamos el bot\u00f3n menu y en pantalla se observan los iconos o accesos directos a las"}, {"start": 196.24, "end": 198.94, "text": " distintas funciones de la calculadora."}, {"start": 198.94, "end": 203.84, "text": " Nos desplazamos hacia abajo una vez hasta llegar al icono identificado con el n\u00famero"}, {"start": 203.84, "end": 204.84, "text": " 5."}, {"start": 204.84, "end": 207.79999999999998, "text": " Es el que corresponde a los vectores."}, {"start": 207.8, "end": 212.44, "text": " Presionamos el bot\u00f3n igual para ingresar all\u00ed y a continuaci\u00f3n vamos a definir los"}, {"start": 212.44, "end": 213.48000000000002, "text": " vectores."}, {"start": 213.48000000000002, "end": 217.12, "text": " En este caso vemos que son 2, los vectores A y B."}, {"start": 217.12, "end": 222.0, "text": " Vamos con el vector A que est\u00e1 asignado a la opci\u00f3n 1."}, {"start": 222.0, "end": 226.36, "text": " Presionamos ese bot\u00f3n y vemos que nos preguntan por la dimensi\u00f3n."}, {"start": 226.36, "end": 231.68, "text": " En este caso son vectores en el plano, es decir con dos componentes cada uno."}, {"start": 231.68, "end": 237.76000000000002, "text": " Presionamos entonces el bot\u00f3n 2 y en pantalla observamos una matriz de dos filas y una columna."}, {"start": 237.76, "end": 240.79999999999998, "text": " Es lo que se llama un vector columna."}, {"start": 240.79999999999998, "end": 243.88, "text": " Entonces vamos a ingresar esas dos componentes."}, {"start": 243.88, "end": 249.35999999999999, "text": " Vamos con el 7, presionamos igual y despu\u00e9s 3, presionamos igual."}, {"start": 249.35999999999999, "end": 254.23999999999998, "text": " All\u00ed ya hemos ingresado a la calculadora el vector A."}, {"start": 254.23999999999998, "end": 259.65999999999997, "text": " Presionamos el bot\u00f3n de opciones, luego vamos a definir el otro vector, presionamos el 1"}, {"start": 259.65999999999997, "end": 263.52, "text": " y el vector B est\u00e1 asignado al n\u00famero 2."}, {"start": 263.52, "end": 264.64, "text": " Presionamos el 2."}, {"start": 264.64, "end": 270.44, "text": " Una vez nos preguntan por la dimensi\u00f3n, seleccionamos el 2, son vectores en el plano y de nuevo"}, {"start": 270.44, "end": 275.47999999999996, "text": " tenemos un vector columna listo para ingresar las componentes."}, {"start": 275.47999999999996, "end": 281.36, "text": " Vamos con el 2, presionamos igual, despu\u00e9s 5 y presionamos igual."}, {"start": 281.36, "end": 285.56, "text": " All\u00ed ya hemos ingresado los vectores A y B."}, {"start": 285.56, "end": 290.74, "text": " Ahora vamos a efectuar esta operaci\u00f3n, el producto punto o escalar entre los vectores"}, {"start": 290.74, "end": 292.47999999999996, "text": " A y B."}, {"start": 292.48, "end": 297.36, "text": " Presionamos el bot\u00f3n de opciones y escogemos la n\u00famero 3, porque vamos a calcular una"}, {"start": 297.36, "end": 299.92, "text": " operaci\u00f3n con esos vectores."}, {"start": 299.92, "end": 300.92, "text": " Presionamos el 3."}, {"start": 300.92, "end": 304.88, "text": " Ahora queremos que en pantalla aparezca el vector A."}, {"start": 304.88, "end": 310.36, "text": " Entonces bot\u00f3n de opciones y luego vemos el vector A asignado al n\u00famero 3."}, {"start": 310.36, "end": 311.36, "text": " Presionamos el 3."}, {"start": 311.36, "end": 314.12, "text": " All\u00ed tenemos en pantalla el vector A."}, {"start": 314.12, "end": 320.32, "text": " Vamos ahora con el punto que nos indica la operaci\u00f3n, es decir el producto escalar."}, {"start": 320.32, "end": 325.84, "text": " Presionamos opciones, nos desplazamos hacia abajo y vemos en la opci\u00f3n 2 el producto"}, {"start": 325.84, "end": 327.52, "text": " escalar."}, {"start": 327.52, "end": 331.36, "text": " Presionamos el 2 y nos aparece el punto en la pantalla."}, {"start": 331.36, "end": 333.44, "text": " Vamos ahora con el vector B."}, {"start": 333.44, "end": 338.96, "text": " Presionamos el bot\u00f3n de opciones, vemos que el vector B est\u00e1 asignado al n\u00famero 4."}, {"start": 338.96, "end": 343.48, "text": " Presionamos la tecla del 4 y ya tenemos en pantalla el vector B."}, {"start": 343.48, "end": 349.2, "text": " Entonces tenemos all\u00ed esta operaci\u00f3n, vector A producto punto con el vector B."}, {"start": 349.2, "end": 354.76, "text": " Presionamos el bot\u00f3n igual y tenemos en la pantalla el resultado que es 29."}, {"start": 354.76, "end": 360.92, "text": " Con eso comprobamos que esta primera operaci\u00f3n que resolvimos manualmente es correcta."}, {"start": 360.92, "end": 367.59999999999997, "text": " Enseguida vamos a hallar este componente, es decir la magnitud, m\u00f3dulo o norma del vector"}, {"start": 367.59999999999997, "end": 368.71999999999997, "text": " A."}, {"start": 368.71999999999997, "end": 371.56, "text": " Vamos a realizar ese procedimiento por ac\u00e1."}, {"start": 371.56, "end": 378.08, "text": " Entonces esto ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes,"}, {"start": 378.08, "end": 385.8, "text": " es decir 7 al cuadrado m\u00e1s 3 al cuadrado y todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 385.8, "end": 392.28, "text": " Resolvemos ahora esas operaciones, 7 al cuadrado nos da 49, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s 3 al cuadrado"}, {"start": 392.28, "end": 401.2, "text": " que es 9, todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada y efectuando esa suma nos da 58 dentro de la"}, {"start": 401.2, "end": 402.71999999999997, "text": " ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 402.71999999999997, "end": 405.53999999999996, "text": " Esta ra\u00edz la dejamos as\u00ed indicada."}, {"start": 405.54, "end": 411.44, "text": " De forma similar hallamos este componente, es decir el m\u00f3dulo, norma o magnitud del"}, {"start": 411.44, "end": 413.12, "text": " vector B."}, {"start": 413.12, "end": 421.6, "text": " Tenemos la ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado m\u00e1s 5 al cuadrado y todo esto dentro de la"}, {"start": 421.6, "end": 423.52000000000004, "text": " ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 423.52000000000004, "end": 429.92, "text": " Resolvemos esas operaciones, 2 al cuadrado nos da 4 m\u00e1s 5 al cuadrado que es 25, todo"}, {"start": 429.92, "end": 439.92, "text": " esto dentro de la ra\u00edz y efectuando esa suma nos da 29 que queda dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 439.92, "end": 443.56, "text": " Entonces aqu\u00ed ya podemos reemplazar lo que hemos obtenido."}, {"start": 443.56, "end": 449.24, "text": " En el numerador el resultado del producto punto o escalar entre los dos vectores que"}, {"start": 449.24, "end": 451.20000000000005, "text": " es 29."}, {"start": 451.20000000000005, "end": 458.08000000000004, "text": " Ahora en el denominador tenemos la magnitud del vector A que es ra\u00edz cuadrada de 58 y"}, {"start": 458.08, "end": 465.91999999999996, "text": " eso multiplicado por la magnitud del vector B que nos dio la ra\u00edz cuadrada de 29."}, {"start": 465.91999999999996, "end": 471.24, "text": " Esta operaci\u00f3n que tenemos en el denominador podemos trabajarla de la siguiente manera,"}, {"start": 471.24, "end": 476.64, "text": " tenemos ra\u00edz cuadrada de 58 por ra\u00edz cuadrada de 29."}, {"start": 476.64, "end": 484.91999999999996, "text": " 58 podemos descomponerlo como 2 por 29 y dejamos la otra ra\u00edz intacta."}, {"start": 484.92, "end": 490.48, "text": " Ahora a su vez aplicamos aqu\u00ed una propiedad de la radicaci\u00f3n, si tenemos la ra\u00edz de"}, {"start": 490.48, "end": 496.8, "text": " un producto de cantidades podemos repartir la ra\u00edz para cada una de ellas, es decir"}, {"start": 496.8, "end": 503.42, "text": " nos queda ra\u00edz cuadrada de 2 por la ra\u00edz cuadrada de 29 y eso a su vez multiplicando"}, {"start": 503.42, "end": 506.64, "text": " por ra\u00edz cuadrada de 29."}, {"start": 506.64, "end": 512.32, "text": " Ahora esto nos queda ra\u00edz cuadrada de 2 por, tenemos aqu\u00ed el producto de dos cantidades"}, {"start": 512.32, "end": 519.6400000000001, "text": " iguales entonces ra\u00edz cuadrada de 29 multiplicada por s\u00ed misma nos queda esa ra\u00edz elevada al"}, {"start": 519.6400000000001, "end": 526.6400000000001, "text": " cuadrado y este exponente 2 nos elimina la ra\u00edz cuadrada interactuando operaciones contrarias"}, {"start": 526.6400000000001, "end": 531.4000000000001, "text": " entonces nos queda ra\u00edz cuadrada de 2 por 29."}, {"start": 531.4000000000001, "end": 540.2, "text": " Entonces retomando esto tendremos lo siguiente, coseno de theta igual a 29 en el numerador"}, {"start": 540.2, "end": 546.36, "text": " y en el denominador cambiamos esta operaci\u00f3n por lo que obtuvimos es decir la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 546.36, "end": 555.12, "text": " de 2 por 29 y esta fracci\u00f3n puede simplificarse, podemos dividir arriba y abajo por 29, decimos"}, {"start": 555.12, "end": 563.96, "text": " 29aba de 29 es 1 y ac\u00e1 tambi\u00e9n 29aba de 29 nos da 1, entonces en el numerador tendremos"}, {"start": 563.96, "end": 571.1600000000001, "text": " 1 y en el denominador ra\u00edz cuadrada de 2 por 1 que es ra\u00edz cuadrada de 2 y esto podemos"}, {"start": 571.1600000000001, "end": 578.0, "text": " racionalizarlo es decir para que no tengamos ra\u00edz en el denominador en ese caso lo que"}, {"start": 578.0, "end": 585.8000000000001, "text": " debemos hacer es multiplicar arriba y abajo por la ra\u00edz cuadrada de 2 entonces tendremos"}, {"start": 585.8000000000001, "end": 592.5600000000001, "text": " en el numerador 1 por ra\u00edz de 2 que es ra\u00edz de 2 y en el denominador ra\u00edz de 2 por ra\u00edz"}, {"start": 592.56, "end": 598.1999999999999, "text": " de 2 que ser\u00eda ra\u00edz de 2 al cuadrado algo similar a lo que pas\u00f3 ac\u00e1 y eso nos da como"}, {"start": 598.1999999999999, "end": 600.4, "text": " resultado 2."}, {"start": 600.4, "end": 606.1999999999999, "text": " De all\u00ed ya podemos averiguar theta, si coseno de theta es igual a ra\u00edz cuadrada de 2 sobre"}, {"start": 606.1999999999999, "end": 614.4, "text": " 2 entonces theta ser\u00e1 igual a arco coseno de esta cantidad es decir ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 614.4, "end": 622.4, "text": " 2 sobre 2 o tambi\u00e9n se puede escribir como coseno a la menos 1 de ra\u00edz cuadrada de 2"}, {"start": 622.4, "end": 629.76, "text": " sobre 2 es decir utilizamos la funci\u00f3n inversa del coseno aplicada a esta cantidad, veamos"}, {"start": 629.76, "end": 632.8, "text": " entonces como se puede hallar theta."}, {"start": 632.8, "end": 638.0, "text": " Una manera de hacerlo es mediante esta tabla que nos permite determinar los valores de"}, {"start": 638.0, "end": 644.72, "text": " seno y coseno para los \u00e1ngulos principales del primer cuadrante es lo que se conocen"}, {"start": 644.72, "end": 656.92, "text": " \u00e1ngulos notables entonces esa tabla se llena as\u00ed 0 1 2 3 4 luego ac\u00e1 al contrario 4 3"}, {"start": 656.92, "end": 666.44, "text": " 2 1 y 0 despu\u00e9s a esos n\u00fameros le sacamos la ra\u00edz cuadrada entonces ra\u00edz de 0 ra\u00edz"}, {"start": 666.44, "end": 674.8000000000001, "text": " de 1 ra\u00edz de 2 ra\u00edz de 3 ra\u00edz de 4 por ac\u00e1 tambi\u00e9n ra\u00edz de 4 ra\u00edz de 3 ra\u00edz"}, {"start": 674.8000000000001, "end": 684.84, "text": " de 2 ra\u00edz de 1 y ra\u00edz de 0 y despu\u00e9s dividimos esos valores entre 2 entonces todos esos n\u00fameros"}, {"start": 684.84, "end": 692.32, "text": " se dividen entre 2 y finalmente unimos los valores por ac\u00e1 tenemos ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 692.32, "end": 699.9200000000001, "text": " 0 que es 0 0 dividido entre 2 nos da 0 lo mismo suceder\u00eda en esta casilla por ac\u00e1"}, {"start": 699.9200000000001, "end": 707.08, "text": " tenemos ra\u00edz cuadrada de 1 que es 1 sobre 2 esto equivale a 1 medio lo mismo sucede"}, {"start": 707.08, "end": 713.36, "text": " por ac\u00e1 tenemos tambi\u00e9n ra\u00edz de 2 medios estos valores se quedan tal como est\u00e1n lo"}, {"start": 713.36, "end": 718.7600000000001, "text": " mismo sucede con ra\u00edz de 3 medios y estos tambi\u00e9n podemos pulirlos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 718.76, "end": 727.4399999999999, "text": " de 4 es 2 y 2 medios equivale a 1 entonces para el caso del coseno por ac\u00e1 tenemos un"}, {"start": 727.4399999999999, "end": 734.92, "text": " \u00e1ngulo donde se cumple que coseno de ese \u00e1ngulo es ra\u00edz de 2 medios es el caso de 45 grados"}, {"start": 734.92, "end": 742.0, "text": " es la situaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1 entonces podemos afirmar que theta es igual a 45 grados"}, {"start": 742.0, "end": 748.84, "text": " ser\u00eda entonces el \u00e1ngulo entre los dos vectores otra manera de encontrar theta es haciendo"}, {"start": 748.84, "end": 754.44, "text": " esta operaci\u00f3n en la calculadora cient\u00edfica vamos a utilizar la casio class wiss en ese"}, {"start": 754.44, "end": 760.64, "text": " caso presionamos el bot\u00f3n men\u00fa nos desplazamos hacia arriba hasta el icono identificado con"}, {"start": 760.64, "end": 766.28, "text": " el n\u00famero 1 es decir el de calcular o el de las operaciones b\u00e1sicas presionamos igual"}, {"start": 766.28, "end": 772.8, "text": " y vamos a verificar que nuestra unidad angular sean grados entonces presionamos el bot\u00f3n"}, {"start": 772.8, "end": 779.12, "text": " shift y despu\u00e9s el bot\u00f3n men\u00fa para activar la funci\u00f3n set up y vemos all\u00ed en pantalla"}, {"start": 779.12, "end": 785.92, "text": " que la opci\u00f3n 2 corresponde a la unidad angular presionamos el 2 y vemos las tres opciones"}, {"start": 785.92, "end": 791.8399999999999, "text": " para \u00e1ngulos en este caso debemos seleccionar la n\u00famero 1 que es la que corresponde a los"}, {"start": 791.84, "end": 798.48, "text": " grados hexag\u00e9simales que se denota con la letra t por el nombre degrees es decir grados"}, {"start": 798.48, "end": 805.32, "text": " en ingl\u00e9s presionamos el 1 y ya observamos en la pantalla la letra de en la parte superior"}, {"start": 805.32, "end": 812.1600000000001, "text": " eso nos indica que ya la calculadora tiene como unidad angular los grados hexag\u00e9simales"}, {"start": 812.1600000000001, "end": 817.5600000000001, "text": " entonces vamos ahora s\u00ed con esta operaci\u00f3n vamos a activar la funci\u00f3n coseno a la menos"}, {"start": 817.56, "end": 823.7199999999999, "text": " 1 presionamos el bot\u00f3n shift y despu\u00e9s el bot\u00f3n coseno all\u00ed nos aparece en pantalla"}, {"start": 823.7199999999999, "end": 830.0, "text": " coseno a la menos 1 es decir la funci\u00f3n inversa del coseno vamos ahora a ingresar ra\u00edz de"}, {"start": 830.0, "end": 836.28, "text": " dos medios presionamos el bot\u00f3n de fracci\u00f3n luego bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada luego el 2"}, {"start": 836.28, "end": 843.1199999999999, "text": " nos movemos hacia abajo en la fracci\u00f3n ingresamos el 2 corremos el cursor a la derecha cerramos"}, {"start": 843.12, "end": 850.84, "text": " el par\u00e9ntesis y oprimimos igual vemos en pantalla 45 es decir 45 grados que ser\u00e1"}, {"start": 850.84, "end": 857.8, "text": " el valor de theta el que corresponde a esta operaci\u00f3n otra manera de determinar el \u00e1ngulo"}, {"start": 857.8, "end": 865.0, "text": " entre los vectores a y b es localizando esos vectores en un plano cartesiano dibujado con"}, {"start": 865.0, "end": 871.72, "text": " instrumentos de dibujo es decir con regla o escuadra y utilizando una cuadr\u00edcula entonces"}, {"start": 871.72, "end": 879.24, "text": " vamos a dibujar el vector a con componentes 7,3 vamos a considerar que su origen se encuentra"}, {"start": 879.24, "end": 886.0, "text": " aqu\u00ed es decir en el punto 0,0 entonces lo que hacemos es localizar el punto extremo"}, {"start": 886.0, "end": 893.8000000000001, "text": " es decir la coordenada 7,3 ser\u00eda en este punto entonces si unimos el origen con el extremo"}, {"start": 893.8000000000001, "end": 900.9200000000001, "text": " tendremos el vector a bien all\u00ed podemos observarlo entonces este que hemos dibujado con color"}, {"start": 900.92, "end": 910.28, "text": " azul es el vector ahora vamos a dibujar el vector de nuevo su origen es el punto 0,0"}, {"start": 910.28, "end": 918.68, "text": " y su extremo ser\u00e1 el punto de coordenadas 2,5 es decir aqu\u00ed entonces vamos a dibujar"}, {"start": 918.68, "end": 926.52, "text": " el vector b bien all\u00ed podemos observarlo entonces este vector de color rojo ser\u00e1 el"}, {"start": 926.52, "end": 934.3199999999999, "text": " vector b ahora utilizando un transportador vamos a medir esta abertura es decir el \u00e1ngulo que se"}, {"start": 934.3199999999999, "end": 941.56, "text": " forma entre los dos vectores cuando coinciden sus or\u00edgenes entonces esta marca la colocamos aqu\u00ed"}, {"start": 941.56, "end": 948.52, "text": " es decir en el v\u00e9rtice del \u00e1ngulo y el 0 de manera que coincida con el primer vector entonces medimos"}, {"start": 948.52, "end": 956.3199999999999, "text": " esta abertura hacemos la lectura en el transportador y vemos que efectivamente son 45 grados entonces"}, {"start": 956.32, "end": 964.84, "text": " ya podemos marcar aqu\u00ed el valor del \u00e1ngulo theta el \u00e1ngulo entre los vectores que es de 45 grados"}, {"start": 964.84, "end": 972.0400000000001, "text": " eso tambi\u00e9n podemos verificarlo utilizando esta escuadra la de 45 grados aqu\u00ed tiene \u00e1ngulo recto"}, {"start": 972.0400000000001, "end": 979.96, "text": " \u00e1ngulo de 90 grados y estos dos son \u00e1ngulos de 45 grados entonces podemos colocarla de esta manera"}, {"start": 979.96, "end": 988.64, "text": " de modo que los lados de la escuadra es decir este cateto y la hipotenusa coincidan con los"}, {"start": 988.64, "end": 995.84, "text": " dos vectores y vemos que efectivamente aqu\u00ed tenemos un \u00e1ngulo de 45 grados para terminar"}, {"start": 995.84, "end": 1001.36, "text": " veamos c\u00f3mo con la calculadora casio class Swiss podemos hallar ese \u00e1ngulo entre los dos vectores"}, {"start": 1001.36, "end": 1008.9200000000001, "text": " entonces presionamos el bot\u00f3n men\u00fa est\u00e1bamos en la opci\u00f3n 1 nos movemos hacia abajo hasta la opci\u00f3n"}, {"start": 1008.92, "end": 1015.56, "text": " 5 es decir el \u00edcono que identifica los vectores presionamos igual para ingresar all\u00ed y vamos a"}, {"start": 1015.56, "end": 1022.36, "text": " definir nuevamente los dos vectores vamos con el vector a entonces presionamos 1 recordemos que"}, {"start": 1022.36, "end": 1029.44, "text": " son vectores en dos dimensiones porque est\u00e1n en el plano y las componentes de a son 7,3 entonces"}, {"start": 1029.44, "end": 1036.1599999999999, "text": " ingresamos el 7 presionamos igual despu\u00e9s 3 y presionamos igual luego presionamos el bot\u00f3n de"}, {"start": 1036.16, "end": 1043.76, "text": " opciones vamos a definir el otro vector presionamos 1 y el vector b est\u00e1 asignado al n\u00famero 2"}, {"start": 1043.76, "end": 1050.5600000000002, "text": " entonces presionamos el 2 nuevamente es un vector en dos dimensiones en el plano seleccionamos el 2"}, {"start": 1050.5600000000002, "end": 1058.96, "text": " y vamos a ingresar sus componentes que son 2,5 entonces el 2 presionamos igual despu\u00e9s el 5 y"}, {"start": 1058.96, "end": 1065.68, "text": " presionamos igual de esa manera hemos ingresado ya los dos vectores presionamos nuevamente el"}, {"start": 1065.68, "end": 1071.96, "text": " bot\u00f3n de opciones y ahora vamos a escoger la n\u00famero 3 la de calcular un nuevo vector o hacer"}, {"start": 1071.96, "end": 1078.2, "text": " una operaci\u00f3n con los vectores que ya hemos ingresado presionamos el 3 y ahora oprimimos"}, {"start": 1078.2, "end": 1085.04, "text": " de nuevo el bot\u00f3n de opciones nos desplazamos hacia abajo y vemos en la n\u00famero 3 \u00e1ngulo entonces"}, {"start": 1085.04, "end": 1091.3600000000001, "text": " seleccionamos el 3 nos aparece la palabra \u00e1ngulo en ingl\u00e9s en la pantalla y despu\u00e9s del par\u00e9ntesis"}, {"start": 1091.36, "end": 1097.1599999999999, "text": " vamos a ingresar los dos vectores vamos con el vector a entonces bot\u00f3n de opciones vemos que"}, {"start": 1097.1599999999999, "end": 1104.04, "text": " el vector a est\u00e1 asignado al n\u00famero 3 presionamos el 3 despu\u00e9s vamos a ingresar el s\u00edmbolo punto y"}, {"start": 1104.04, "end": 1110.8799999999999, "text": " coma entonces oprimimos el bot\u00f3n shift despu\u00e9s el bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho all\u00ed aparece punto"}, {"start": 1110.8799999999999, "end": 1118.7199999999998, "text": " y coma en la pantalla y enseguida vamos a ingresar el vector b entonces bot\u00f3n de opciones el vector"}, {"start": 1118.72, "end": 1126.0, "text": " b est\u00e1 asignado al n\u00famero 4 presionamos el 4 cerramos el par\u00e9ntesis entonces lo que observamos"}, {"start": 1126.0, "end": 1133.0, "text": " all\u00ed es la instrucci\u00f3n para determinar el \u00e1ngulo que forman los vectores a y b presionamos el bot\u00f3n"}, {"start": 1133.0, "end": 1140.88, "text": " igual y en pantalla tenemos 45 es decir 45 grados porque recordemos que la calculadora la hab\u00edamos"}, {"start": 1140.88, "end": 1148.2, "text": " ajustado en grados como su unidad angular as\u00ed confirmamos que el \u00e1ngulo que forman esos dos"}, {"start": 1148.2, "end": 1160.56, "text": " vectores a y b es de 45 grados encuentra las calculadoras casio clasuis en papeler\u00edas tauro"}]