15. Problema 3 de LANZAMIENTO VERTICAL DE CUERPOS
Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España.
Clase No. 15: Problema 3 de lanzamiento vertical de cuerpos.
Tema: Descripción del Movimiento.
Video producido por #julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Desde la azotea de un edificio de 60 metros de altura, un estudiante lanza hacia arriba una pelota de tenis imprimiéndole una rapidez inicial de 30 metros por segundo. A ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota con relación a la calle? Pregunta B ¿Cuánto tiempo permanece en el aire la pelota? Pregunta C ¿Con qué rapidez la pelota hace impacto en la calle? Bien, tenemos aquí un problema de lanzamiento vertical hacia arriba. Entonces, los datos que nos dan el problema son la rapidez inicial con la que se lanza la pelota desde la azotea de un edificio de 60 metros de altura. Entonces, vamos a iniciar el problema sacando estos datos y haciendo un esquema que nos represente la situación que vamos a resolver. Entonces, vamos a dibujar la azotea del edificio y acá la calle. Desde la azotea del edificio se lanza la pelota hacia arriba. Vamos a dibujar la trayectoria de la pelota hasta que llega a su punto más alto. Vamos a suponer que es aquí. Y después la pelota va a caer hasta llegar al nivel de la calle. Esta va a ser entonces la trayectoria de la pelota. La velocidad inicial es un vector dirigido hacia arriba que tiene un valor de 30 metros sobre segundo. Nos dicen también que la altura del edificio son 60 metros. Entonces, vamos a colocar nuestro marco de referencia como hemos venido haciéndolo en los problemas. Que será el eje Y. Lo colocamos a un lado. El eje Y va a estar en metros. Y vamos a colocar las marcas en el eje Y. Colocamos el cero en el punto más bajo del movimiento. Esta marca sería la altura del edificio que son 60 metros. Y vamos a colocarle una marquita aquí al momento en el cual la pelota alcanza su punto más alto con relación a la calle. Esa marquita la vamos a llamar H. Que es precisamente la pregunta A del problema. ¿Qué altura máxima alcanza la pelota con relación a la calle? Otra de las preguntas que nos hace el problema es con qué velocidad hace impacto la pelota acá en el suelo, en la calle. Entonces, este será el vector velocidad final. Y vamos a marcar los tiempos. Llamamos tiempo cero el momento en el cual se hace el lanzamiento de la pelota desde la sociedad del edificio. Vamos a llamar tiempo de subida, TS. El momento en el cual la pelota llega a su punto más alto. Donde sabemos que la velocidad en Y vale cero. Y recordemos que en el punto más alto la velocidad es cero. Y vamos a llamar aquí tiempo de vuelo. El tiempo total que transcurre desde el lanzamiento hasta que la pelota llega al suelo. El tiempo total lo vamos a llamar tiempo de vuelo. Entonces, el problema nos pregunta por esta altura, la altura máxima que alcanza la pelota con relación a la calle. Nos pregunta por el tiempo que permanece en el aire. O sea, el tiempo de vuelo. Y nos pregunta por la velocidad final que es aquella con la que impacta en el suelo. Vamos entonces a construir las ecuaciones cinemáticas. Y comenzamos con la de posición. Recordemos el modelo. La posición en Y es igual a menos un medio de la gravedad por el tiempo al cuadrado. Más velocidad inicial en Y por el tiempo. Más Y sub cero que es la posición inicial. Reemplazamos los valores. La gravedad vale 10. La velocidad inicial vale 30 metros por segundo. Y por estar dirigida hacia arriba entra positiva. 30. Y la posición inicial en Y sería la posición que tiene la pelota en el tiempo cero. Es decir, 60. Que corresponde a la altura del edificio. Organizando nuestra ecuación nos va a quedar. En el suma de 2 por 10 es menos 5t cuadrado. Más 30t. Más 60. Y allí tenemos la primera ecuación. La ecuación de posición para la pelota. Ecuación número uno. Vamos con la ecuación de velocidad. Dice el modelo que la velocidad en Y es igual a menos gravedad por tiempo. Más la velocidad inicial en Y. Reemplazamos unos valores. La gravedad vale 10. Y la velocidad inicial tiene un valor de 30. Por lo tanto nuestra ecuación queda. Más 10t. Más 30. Y esa será la ecuación número dos. Ahora el problema. Con estas dos ecuaciones vamos a trabajar este problema. Vamos a colocar por acá las ecuaciones cinemáticas. Vamos entonces a borrar acá. Ahora empezará a realizar el análisis de este problema. Entonces vamos a ubicarnos primero acá. El punto más alto del movimiento. Entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida. Sabemos que la velocidad en Y vale 0. Entonces como tenemos información de velocidad en Y y de tiempo. Debemos utilizar la ecuación número dos. Y la ecuación dos dice velocidad en Y. Es igual a menos 10t. Más 30. Entonces reemplazamos los valores. La velocidad en Y vale 0. Y el tiempo lo sustituimos por Ts. Que es el tiempo de subida. Más 30. Y de aquí vamos a hacer el despeje de Ts. Pasamos este término que está negativo. Al otro lado como positivo. Queda 10 por Ts. Es igual a 30. Despejamos Ts. Nos queda 30 sobre 10. El 10 pasa a dividir. Y Ts nos da 3. Colocamos las unidades correspondientes al tiempo. Que son segundos. Y de esta manera hemos encontrado el tiempo de subida. Vamos a escribirlo al lado del tiempo de subida. Colocamos el valor que son 3 segundos. Ya tenemos el tiempo de subida. Ahora vamos a continuar en ese mismo sitio. Y vamos a decir que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida. Es decir tres segundos. La posición en Y de la pelota será H. Es decir la altura máxima alcanzada con relación a la calle. Como tenemos información de Y y de tiempo. Debemos utilizar la ecuación número 1. Vamos a escribirla aquí. Y es igual a menos 5t cuadrado. Más 30t más 60. Y vamos a reemplazar los datos. Y se sustituye por H. Y el tiempo se cambia por 3 segundos. No sé dónde está el tiempo. Reemplazamos con 3. Vamos a resolver esto. Por acá nos queda 3 al cuadrado 9. Por menos 5 queda menos 45. Más 30 por 3 son 90. Y esto más 60. Toda esta operación nos da un total de 105 metros. Con esto hemos dado respuesta a la pregunta A. De nuestro problema. La altura máxima que alcanza la pelota. Con relación a la calle será de 105 metros. Ya podríamos entonces cambiar aquí H por 105. Ya podemos pasar al instante final. Ya analizamos lo que pasaba acá. Ahora vamos al instante final del problema. Y entonces decimos. Cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo. Vemos que la posición en Y vale 0. Claro, es cuando la pelota llega al nivel de la calle. Como tenemos información de Y y T. Debemos utilizar la ecuación número 1. Vamos a escribirla aquí. Vamos a reemplazar los valores. Lleva a 0. Igual a menos 5. Por el tiempo que se convierte en tiempo de vuelo. Al cuadrado. Más 30. Por el tiempo de vuelo. Más 60. Y vamos a organizar esta ecuación. Esta ecuación toma forma de ecuación cuadrática. Entonces vamos a pasar esos términos para el lado izquierdo. Pasaría 5 por Tb al cuadrado. Pasaría menos 30 por Tb. Pasaría menos 60. Y queda la ecuación igualada a 0. Podríamos simplificar esta ecuación dividiendo a los dos lados por 5. Observamos que todos los números que tenemos son divisibles por 5. Entonces nos quedaría la ecuación como tiempo de vuelo al cuadrado. Si aquí queda con coeficiente 1. Aquí quedaría 6 por el tiempo de vuelo. Y aquí nos quedaría 60 divido entre 5 es 12. Y esto igual a 0. Bien, entonces nos queda una ecuación cuadrática. Una ecuación de la forma ax al cuadrado más bx más c igual a 0. Entonces, una ecuación que podríamos intentar hacer por factorización. Si hubiesen dos números que multiplicados nos de menos 12. Y que sumados entre sí nos de menos 6. Si hacemos la búsqueda no los vamos a encontrar. Por lo tanto nos toca resolver esta ecuación mediante la fórmula cuadrática. Entonces vamos a sacar los valores de a, d y c. Y vamos a darle solución mediante la fórmula cuadrática. Entonces a en este caso saldría como 1. B sería menos 6. Y c sería menos 12. El término independiente de la ecuación. Y observemos que la variable x está representada por el tiempo de vuelo. La incógnita de la ecuación se llama tiempo de vuelo. Entonces vamos a reemplazar en la fórmula cuadrática. Vamos a recordar la fórmula cuadrática. Dice que x es igual a menos b, más o menos la raíz cuadrada. De b al cuadrado menos 4 a c. Y todo esto dividido entre 2a. Entonces la x se convierte en tiempo de vuelo. Que es nuestra incógnita. Y vamos reemplazando los valores. Sería menos b que vale menos 6. Reemplazamos allí el menos 6. Más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado. O sea menos 6 al cuadrado menos 4. Por a que es 1. Por c que es menos 12. Y todo esto dividido entre 2 por a. Pero a vale 1. Bien, resolvemos. Aquí nos queda 6 positivo. Más o menos la raíz cuadrada de... Menos 6 al cuadrado eso da 36. Aquí menos 4 por 1 por menos 12. Eso nos daría más 48. Y todo esto sobre 2. Seguimos, tiempo de vuelo será 6. Más o menos la raíz cuadrada de... Sumamos 36 y 48. Eso nos da 84 sobre 2. Y procedemos a determinar las dos soluciones de la ecuación. Recordemos que una es con la opción positiva. Y la otra con la opción negativa. Entonces nos va a quedar así. Con la opción negativa sería 6 menos raíz de 84 sobre 2. Y la otra sería con la opción positiva 6 más la raíz cuadrada de 84 sobre 2. Esto en calculadora nos da menos 1.6 aproximándolo a un decimal. Y por acá nos da un resultado de 7.6. Como estamos calculando un tiempo. Sabemos que físicamente un tiempo negativo no tiene sentido. Por lo tanto este resultado lo descartamos. Y nos vamos a quedar con este valor. Entonces el tiempo de vuelo de la pelota será del 7.6 segundos. Le colocamos las unidades correspondientes al tiempo. Y tenemos entonces la respuesta a la pregunta B del problema. ¿Cuánto tiempo permanece en el aire la pelota? Entonces es 7.6 segundos. Desde el momento de lanzamiento hasta que llega a la calle transcurren 7.6 segundos. Vamos a escribir ese resultado aquí. Y vamos ya a la parte final. Que es encontrar con qué velocidad la pelota hace impacto en la calle o en el suelo. Entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo. Que vale 7.6 segundos. La velocidad en y de la pelota se llama bf. Se llama velocidad final. En este caso como tenemos información de velocidad en y y de tiempo. Debemos utilizar la ecuación número 2. Que es la que contiene esas variables. Entonces colocamos la ecuación 2. Y vamos a reemplazar los valores. Velocidad en y se llama velocidad final. Es igual a menos 10 por el tiempo que es 7.6 y esto más 30. Resolvemos. Aquí menos 10 por 7.6 nos da menos 76. Más 30. Y esa operación nos da menos 46. Y colocamos las unidades correspondientes a la velocidad que son metros sobre segundos. Y de esta manera respondemos la pregunta C. De nuestro problema. Con qué velocidad final llega la pelota. Sería una velocidad final de menos 46. Vamos a colocar aquí la magnitud de la velocidad. El signo negativo. Nos ratifica, nos confirma el hecho de que es un vector dirigido hacia abajo. Pero la rapidez con la que la pelota hace impacto en el suelo. Sería de 46 metros por segundo. De esta manera entonces hemos terminado nuestro problema. Y hemos encontrado los tres datos que nos preguntaban. La altura máxima que alcanza la pelota con relación al suelo. 105 metros. El tiempo que permanece en el aire. 7.6 segundos. Y la velocidad con la que hace impacto en el suelo. Que son 46 metros por segundo.
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89.80000000000001, "end": 97.52000000000001, "text": " La velocidad inicial es un vector dirigido hacia arriba que tiene un valor de 30 metros sobre segundo."}, {"start": 97.52000000000001, "end": 101.12, "text": " Nos dicen tambi\u00e9n que la altura del edificio son 60 metros."}, {"start": 101.12, "end": 106.32000000000001, "text": " Entonces, vamos a colocar nuestro marco de referencia como hemos venido haci\u00e9ndolo en los problemas."}, {"start": 106.32000000000001, "end": 107.72, "text": " Que ser\u00e1 el eje Y."}, {"start": 107.72, "end": 109.24000000000001, "text": " Lo colocamos a un lado."}, {"start": 109.24, "end": 111.83999999999999, "text": " El eje Y va a estar en metros."}, {"start": 111.83999999999999, "end": 114.19999999999999, "text": " Y vamos a colocar las marcas en el eje Y."}, {"start": 114.19999999999999, "end": 117.47999999999999, "text": " Colocamos el cero en el punto m\u00e1s bajo del movimiento."}, {"start": 117.47999999999999, "end": 121.24, "text": " Esta marca ser\u00eda la altura del edificio que son 60 metros."}, {"start": 121.24, "end": 128.72, "text": " Y vamos a colocarle una marquita aqu\u00ed al momento en el cual la pelota alcanza su punto m\u00e1s alto con relaci\u00f3n a la calle."}, {"start": 128.72, "end": 131.32, "text": " Esa marquita la vamos a llamar H."}, {"start": 131.32, "end": 134.24, "text": " Que es precisamente la pregunta A del problema."}, {"start": 134.24, "end": 137.48, "text": " \u00bfQu\u00e9 altura m\u00e1xima alcanza la pelota con relaci\u00f3n a la calle?"}, {"start": 137.48, "end": 144.84, "text": " Otra de las preguntas que nos hace el problema es con qu\u00e9 velocidad hace impacto la pelota ac\u00e1 en el suelo, en la calle."}, {"start": 144.84, "end": 147.64, "text": " Entonces, este ser\u00e1 el vector velocidad final."}, {"start": 147.64, "end": 149.32, "text": " Y vamos a marcar los tiempos."}, {"start": 149.32, "end": 155.51999999999998, "text": " Llamamos tiempo cero el momento en el cual se hace el lanzamiento de la pelota desde la sociedad del edificio."}, {"start": 155.51999999999998, "end": 158.92, "text": " Vamos a llamar tiempo de subida, TS."}, {"start": 158.92, "end": 161.83999999999997, "text": " El momento en el cual la pelota llega a su punto m\u00e1s alto."}, {"start": 161.83999999999997, "end": 165.72, "text": " Donde sabemos que la velocidad en Y vale cero."}, {"start": 165.72, "end": 168.72, "text": " Y recordemos que en el punto m\u00e1s alto la velocidad es cero."}, {"start": 168.72, "end": 171.72, "text": " Y vamos a llamar aqu\u00ed tiempo de vuelo."}, {"start": 171.72, "end": 177.88, "text": " El tiempo total que transcurre desde el lanzamiento hasta que la pelota llega al suelo."}, {"start": 177.88, "end": 180.84, "text": " El tiempo total lo vamos a llamar tiempo de vuelo."}, {"start": 180.84, "end": 187.52, "text": " Entonces, el problema nos pregunta por esta altura, la altura m\u00e1xima que alcanza la pelota con relaci\u00f3n a la calle."}, {"start": 187.52, "end": 190.24, "text": " Nos pregunta por el tiempo que permanece en el aire."}, {"start": 190.24, "end": 191.48, "text": " O sea, el tiempo de vuelo."}, {"start": 191.48, "end": 196.48, "text": " Y nos pregunta por la velocidad final que es aquella con la que impacta en el suelo."}, {"start": 196.48, "end": 199.23999999999998, "text": " Vamos entonces a construir las ecuaciones cinem\u00e1ticas."}, {"start": 199.23999999999998, "end": 201.48, "text": " Y comenzamos con la de posici\u00f3n."}, {"start": 201.48, "end": 203.07999999999998, "text": " Recordemos el modelo."}, {"start": 203.07999999999998, "end": 207.83999999999997, "text": " La posici\u00f3n en Y es igual a menos un medio de la gravedad por el tiempo al cuadrado."}, {"start": 207.83999999999997, "end": 210.44, "text": " M\u00e1s velocidad inicial en Y por el tiempo."}, {"start": 210.44, "end": 213.64, "text": " M\u00e1s Y sub cero que es la posici\u00f3n inicial."}, {"start": 213.64, "end": 215.04, "text": " Reemplazamos los valores."}, {"start": 215.04, "end": 216.44, "text": " La gravedad vale 10."}, {"start": 216.44, "end": 220.04, "text": " La velocidad inicial vale 30 metros por segundo."}, {"start": 220.04, "end": 223.64, "text": " Y por estar dirigida hacia arriba entra positiva."}, {"start": 223.64, "end": 224.64, "text": " 30."}, {"start": 224.64, "end": 228.64, "text": " Y la posici\u00f3n inicial en Y ser\u00eda la posici\u00f3n que tiene la pelota en el tiempo cero."}, {"start": 228.64, "end": 230.04, "text": " Es decir, 60."}, {"start": 230.04, "end": 232.44, "text": " Que corresponde a la altura del edificio."}, {"start": 232.44, "end": 235.23999999999998, "text": " Organizando nuestra ecuaci\u00f3n nos va a quedar."}, {"start": 235.23999999999998, "end": 238.84, "text": " En el suma de 2 por 10 es menos 5t cuadrado."}, {"start": 238.84, "end": 240.23999999999998, "text": " M\u00e1s 30t."}, {"start": 240.23999999999998, "end": 241.64, "text": " M\u00e1s 60."}, {"start": 241.64, "end": 243.64, "text": " Y all\u00ed tenemos la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 243.64, "end": 246.84, "text": " La ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n para la pelota."}, {"start": 246.84, "end": 248.84, "text": " Ecuaci\u00f3n n\u00famero uno."}, {"start": 248.84, "end": 251.24, "text": " Vamos con la ecuaci\u00f3n de velocidad."}, {"start": 251.24, "end": 256.24, "text": " Dice el modelo que la velocidad en Y es igual a menos gravedad por tiempo."}, {"start": 256.24, "end": 259.24, "text": " M\u00e1s la velocidad inicial en Y."}, {"start": 259.24, "end": 260.64, "text": " Reemplazamos unos valores."}, {"start": 260.64, "end": 262.04, "text": " La gravedad vale 10."}, {"start": 262.04, "end": 265.04, "text": " Y la velocidad inicial tiene un valor de 30."}, {"start": 265.04, "end": 267.24, "text": " Por lo tanto nuestra ecuaci\u00f3n queda."}, {"start": 267.24, "end": 268.44, "text": " M\u00e1s 10t."}, {"start": 268.44, "end": 269.84000000000003, "text": " M\u00e1s 30."}, {"start": 269.84000000000003, "end": 271.84000000000003, "text": " Y esa ser\u00e1 la ecuaci\u00f3n n\u00famero dos."}, {"start": 271.84000000000003, "end": 273.04, "text": " Ahora el problema."}, {"start": 273.04, "end": 276.24, "text": " Con estas dos ecuaciones vamos a trabajar este problema."}, {"start": 276.24, "end": 279.04, "text": " Vamos a colocar por ac\u00e1 las ecuaciones cinem\u00e1ticas."}, {"start": 279.04, "end": 281.04, "text": " Vamos entonces a borrar ac\u00e1."}, {"start": 281.04, "end": 284.64, "text": " Ahora empezar\u00e1 a realizar el an\u00e1lisis de este problema."}, {"start": 284.64, "end": 288.24, "text": " Entonces vamos a ubicarnos primero ac\u00e1."}, {"start": 288.24, "end": 290.44, "text": " El punto m\u00e1s alto del movimiento."}, {"start": 290.44, "end": 294.64, "text": " Entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida."}, {"start": 294.64, "end": 298.04, "text": " Sabemos que la velocidad en Y vale 0."}, {"start": 298.04, "end": 301.24, "text": " Entonces como tenemos informaci\u00f3n de velocidad en Y y de tiempo."}, {"start": 301.24, "end": 303.64, "text": " Debemos utilizar la ecuaci\u00f3n n\u00famero dos."}, {"start": 303.64, "end": 305.84000000000003, "text": " Y la ecuaci\u00f3n dos dice velocidad en Y."}, {"start": 305.84, "end": 307.44, "text": " Es igual a menos 10t."}, {"start": 307.44, "end": 309.03999999999996, "text": " M\u00e1s 30."}, {"start": 309.03999999999996, "end": 310.84, "text": " Entonces reemplazamos los valores."}, {"start": 310.84, "end": 312.64, "text": " La velocidad en Y vale 0."}, {"start": 312.64, "end": 316.03999999999996, "text": " Y el tiempo lo sustituimos por Ts."}, {"start": 316.03999999999996, "end": 317.44, "text": " Que es el tiempo de subida."}, {"start": 317.44, "end": 318.23999999999995, "text": " M\u00e1s 30."}, {"start": 318.23999999999995, "end": 320.23999999999995, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a hacer el despeje de Ts."}, {"start": 320.23999999999995, "end": 322.44, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo."}, {"start": 322.44, "end": 324.44, "text": " Al otro lado como positivo."}, {"start": 324.44, "end": 326.64, "text": " Queda 10 por Ts."}, {"start": 326.64, "end": 328.23999999999995, "text": " Es igual a 30."}, {"start": 328.23999999999995, "end": 330.44, "text": " Despejamos Ts."}, {"start": 330.44, "end": 333.03999999999996, "text": " Nos queda 30 sobre 10."}, {"start": 333.03999999999996, "end": 335.03999999999996, "text": " El 10 pasa a dividir."}, {"start": 335.04, "end": 337.24, "text": " Y Ts nos da 3."}, {"start": 337.24, "end": 339.44, "text": " Colocamos las unidades correspondientes al tiempo."}, {"start": 339.44, "end": 340.84000000000003, "text": " Que son segundos."}, {"start": 340.84000000000003, "end": 344.24, "text": " Y de esta manera hemos encontrado el tiempo de subida."}, {"start": 344.24, "end": 347.04, "text": " Vamos a escribirlo al lado del tiempo de subida."}, {"start": 347.04, "end": 349.84000000000003, "text": " Colocamos el valor que son 3 segundos."}, {"start": 349.84000000000003, "end": 351.64000000000004, "text": " Ya tenemos el tiempo de subida."}, {"start": 351.64000000000004, "end": 354.24, "text": " Ahora vamos a continuar en ese mismo sitio."}, {"start": 354.24, "end": 358.84000000000003, "text": " Y vamos a decir que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida."}, {"start": 358.84000000000003, "end": 360.24, "text": " Es decir tres segundos."}, {"start": 360.24, "end": 364.24, "text": " La posici\u00f3n en Y de la pelota ser\u00e1 H."}, {"start": 364.24, "end": 367.04, "text": " Es decir la altura m\u00e1xima alcanzada con relaci\u00f3n a la calle."}, {"start": 367.04, "end": 369.44, "text": " Como tenemos informaci\u00f3n de Y y de tiempo."}, {"start": 369.44, "end": 372.44, "text": " Debemos utilizar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 372.44, "end": 374.04, "text": " Vamos a escribirla aqu\u00ed."}, {"start": 374.04, "end": 376.04, "text": " Y es igual a menos 5t cuadrado."}, {"start": 376.04, "end": 377.84000000000003, "text": " M\u00e1s 30t m\u00e1s 60."}, {"start": 377.84000000000003, "end": 379.44, "text": " Y vamos a reemplazar los datos."}, {"start": 379.44, "end": 382.24, "text": " Y se sustituye por H."}, {"start": 382.24, "end": 387.04, "text": " Y el tiempo se cambia por 3 segundos."}, {"start": 387.04, "end": 388.24, "text": " No s\u00e9 d\u00f3nde est\u00e1 el tiempo."}, {"start": 388.24, "end": 390.24, "text": " Reemplazamos con 3."}, {"start": 390.24, "end": 391.64, "text": " Vamos a resolver esto."}, {"start": 391.64, "end": 394.24, "text": " Por ac\u00e1 nos queda 3 al cuadrado 9."}, {"start": 394.24, "end": 397.03999999999996, "text": " Por menos 5 queda menos 45."}, {"start": 397.03999999999996, "end": 399.64, "text": " M\u00e1s 30 por 3 son 90."}, {"start": 399.64, "end": 401.44, "text": " Y esto m\u00e1s 60."}, {"start": 401.44, "end": 406.84, "text": " Toda esta operaci\u00f3n nos da un total de 105 metros."}, {"start": 406.84, "end": 411.24, "text": " Con esto hemos dado respuesta a la pregunta A."}, {"start": 411.24, "end": 412.44, "text": " De nuestro problema."}, {"start": 412.44, "end": 415.24, "text": " La altura m\u00e1xima que alcanza la pelota."}, {"start": 415.24, "end": 418.64, "text": " Con relaci\u00f3n a la calle ser\u00e1 de 105 metros."}, {"start": 418.64, "end": 422.64, "text": " Ya podr\u00edamos entonces cambiar aqu\u00ed H por 105."}, {"start": 422.64, "end": 425.44, "text": " Ya podemos pasar al instante final."}, {"start": 425.44, "end": 427.64, "text": " Ya analizamos lo que pasaba ac\u00e1."}, {"start": 427.64, "end": 430.24, "text": " Ahora vamos al instante final del problema."}, {"start": 430.24, "end": 431.44, "text": " Y entonces decimos."}, {"start": 431.44, "end": 434.64, "text": " Cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo."}, {"start": 434.64, "end": 437.03999999999996, "text": " Vemos que la posici\u00f3n en Y vale 0."}, {"start": 437.03999999999996, "end": 439.84, "text": " Claro, es cuando la pelota llega al nivel de la calle."}, {"start": 439.84, "end": 442.44, "text": " Como tenemos informaci\u00f3n de Y y T."}, {"start": 442.44, "end": 445.03999999999996, "text": " Debemos utilizar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 445.04, "end": 449.24, "text": " Vamos a escribirla aqu\u00ed."}, {"start": 449.24, "end": 450.44, "text": " Vamos a reemplazar los valores."}, {"start": 450.44, "end": 451.44, "text": " Lleva a 0."}, {"start": 451.44, "end": 453.44, "text": " Igual a menos 5."}, {"start": 453.44, "end": 456.44, "text": " Por el tiempo que se convierte en tiempo de vuelo."}, {"start": 456.44, "end": 457.64000000000004, "text": " Al cuadrado."}, {"start": 457.64000000000004, "end": 459.24, "text": " M\u00e1s 30."}, {"start": 459.24, "end": 460.84000000000003, "text": " Por el tiempo de vuelo."}, {"start": 460.84000000000003, "end": 462.44, "text": " M\u00e1s 60."}, {"start": 462.44, "end": 463.84000000000003, "text": " Y vamos a organizar esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 463.84000000000003, "end": 466.84000000000003, "text": " Esta ecuaci\u00f3n toma forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 466.84000000000003, "end": 469.84000000000003, "text": " Entonces vamos a pasar esos t\u00e9rminos para el lado izquierdo."}, {"start": 469.84000000000003, "end": 473.04, "text": " Pasar\u00eda 5 por Tb al cuadrado."}, {"start": 473.04, "end": 475.64000000000004, "text": " Pasar\u00eda menos 30 por Tb."}, {"start": 475.64000000000004, "end": 477.04, "text": " Pasar\u00eda menos 60."}, {"start": 477.04, "end": 478.64000000000004, "text": " Y queda la ecuaci\u00f3n igualada a 0."}, {"start": 478.64000000000004, "end": 482.84000000000003, "text": " Podr\u00edamos simplificar esta ecuaci\u00f3n dividiendo a los dos lados por 5."}, {"start": 482.84000000000003, "end": 486.64000000000004, "text": " Observamos que todos los n\u00fameros que tenemos son divisibles por 5."}, {"start": 486.64000000000004, "end": 490.64000000000004, "text": " Entonces nos quedar\u00eda la ecuaci\u00f3n como tiempo de vuelo al cuadrado."}, {"start": 490.64000000000004, "end": 492.64000000000004, "text": " Si aqu\u00ed queda con coeficiente 1."}, {"start": 492.64000000000004, "end": 495.64000000000004, "text": " Aqu\u00ed quedar\u00eda 6 por el tiempo de vuelo."}, {"start": 495.64000000000004, "end": 498.84000000000003, "text": " Y aqu\u00ed nos quedar\u00eda 60 divido entre 5 es 12."}, {"start": 498.84000000000003, "end": 500.04, "text": " Y esto igual a 0."}, {"start": 500.04, "end": 502.84000000000003, "text": " Bien, entonces nos queda una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 502.84, "end": 509.03999999999996, "text": " Una ecuaci\u00f3n de la forma ax al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a 0."}, {"start": 509.03999999999996, "end": 512.8399999999999, "text": " Entonces, una ecuaci\u00f3n que podr\u00edamos intentar hacer por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 512.8399999999999, "end": 516.4399999999999, "text": " Si hubiesen dos n\u00fameros que multiplicados nos de menos 12."}, {"start": 516.4399999999999, "end": 519.24, "text": " Y que sumados entre s\u00ed nos de menos 6."}, {"start": 519.24, "end": 522.04, "text": " Si hacemos la b\u00fasqueda no los vamos a encontrar."}, {"start": 522.04, "end": 526.64, "text": " Por lo tanto nos toca resolver esta ecuaci\u00f3n mediante la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 526.64, "end": 530.24, "text": " Entonces vamos a sacar los valores de a, d y c."}, {"start": 530.24, "end": 533.04, "text": " Y vamos a darle soluci\u00f3n mediante la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 533.04, "end": 536.44, "text": " Entonces a en este caso saldr\u00eda como 1."}, {"start": 536.44, "end": 538.44, "text": " B ser\u00eda menos 6."}, {"start": 538.44, "end": 540.44, "text": " Y c ser\u00eda menos 12."}, {"start": 540.44, "end": 542.84, "text": " El t\u00e9rmino independiente de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 542.84, "end": 547.64, "text": " Y observemos que la variable x est\u00e1 representada por el tiempo de vuelo."}, {"start": 547.64, "end": 551.24, "text": " La inc\u00f3gnita de la ecuaci\u00f3n se llama tiempo de vuelo."}, {"start": 551.24, "end": 555.04, "text": " Entonces vamos a reemplazar en la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 555.04, "end": 557.24, "text": " Vamos a recordar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 557.24, "end": 560.84, "text": " Dice que x es igual a menos b, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 560.84, "end": 563.24, "text": " De b al cuadrado menos 4 a c."}, {"start": 563.24, "end": 566.24, "text": " Y todo esto dividido entre 2a."}, {"start": 566.24, "end": 568.64, "text": " Entonces la x se convierte en tiempo de vuelo."}, {"start": 568.64, "end": 570.24, "text": " Que es nuestra inc\u00f3gnita."}, {"start": 570.24, "end": 571.64, "text": " Y vamos reemplazando los valores."}, {"start": 571.64, "end": 574.64, "text": " Ser\u00eda menos b que vale menos 6."}, {"start": 574.64, "end": 577.04, "text": " Reemplazamos all\u00ed el menos 6."}, {"start": 577.04, "end": 580.24, "text": " M\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de b al cuadrado."}, {"start": 580.24, "end": 583.04, "text": " O sea menos 6 al cuadrado menos 4."}, {"start": 583.04, "end": 584.64, "text": " Por a que es 1."}, {"start": 584.64, "end": 586.64, "text": " Por c que es menos 12."}, {"start": 586.64, "end": 590.64, "text": " Y todo esto dividido entre 2 por a."}, {"start": 590.64, "end": 592.4399999999999, "text": " Pero a vale 1."}, {"start": 592.4399999999999, "end": 593.64, "text": " Bien, resolvemos."}, {"start": 593.64, "end": 595.84, "text": " Aqu\u00ed nos queda 6 positivo."}, {"start": 595.84, "end": 598.04, "text": " M\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de..."}, {"start": 598.04, "end": 600.64, "text": " Menos 6 al cuadrado eso da 36."}, {"start": 600.64, "end": 603.24, "text": " Aqu\u00ed menos 4 por 1 por menos 12."}, {"start": 603.24, "end": 606.4399999999999, "text": " Eso nos dar\u00eda m\u00e1s 48."}, {"start": 606.4399999999999, "end": 609.04, "text": " Y todo esto sobre 2."}, {"start": 609.04, "end": 611.24, "text": " Seguimos, tiempo de vuelo ser\u00e1 6."}, {"start": 611.24, "end": 613.64, "text": " M\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de..."}, {"start": 613.64, "end": 616.24, "text": " Sumamos 36 y 48."}, {"start": 616.24, "end": 619.44, "text": " Eso nos da 84 sobre 2."}, {"start": 619.44, "end": 623.44, "text": " Y procedemos a determinar las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 623.44, "end": 626.44, "text": " Recordemos que una es con la opci\u00f3n positiva."}, {"start": 626.44, "end": 628.44, "text": " Y la otra con la opci\u00f3n negativa."}, {"start": 628.44, "end": 629.84, "text": " Entonces nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 629.84, "end": 634.84, "text": " Con la opci\u00f3n negativa ser\u00eda 6 menos ra\u00edz de 84 sobre 2."}, {"start": 634.84, "end": 641.64, "text": " Y la otra ser\u00eda con la opci\u00f3n positiva 6 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 84 sobre 2."}, {"start": 641.64, "end": 646.24, "text": " Esto en calculadora nos da menos 1.6 aproxim\u00e1ndolo a un decimal."}, {"start": 646.24, "end": 649.64, "text": " Y por ac\u00e1 nos da un resultado de 7.6."}, {"start": 649.64, "end": 651.84, "text": " Como estamos calculando un tiempo."}, {"start": 651.84, "end": 655.84, "text": " Sabemos que f\u00edsicamente un tiempo negativo no tiene sentido."}, {"start": 655.84, "end": 658.4399999999999, "text": " Por lo tanto este resultado lo descartamos."}, {"start": 658.4399999999999, "end": 660.24, "text": " Y nos vamos a quedar con este valor."}, {"start": 660.24, "end": 664.64, "text": " Entonces el tiempo de vuelo de la pelota ser\u00e1 del 7.6 segundos."}, {"start": 664.64, "end": 667.4399999999999, "text": " Le colocamos las unidades correspondientes al tiempo."}, {"start": 667.44, "end": 671.6400000000001, "text": " Y tenemos entonces la respuesta a la pregunta B del problema."}, {"start": 671.6400000000001, "end": 674.0400000000001, "text": " \u00bfCu\u00e1nto tiempo permanece en el aire la pelota?"}, {"start": 674.0400000000001, "end": 676.44, "text": " Entonces es 7.6 segundos."}, {"start": 676.44, "end": 682.0400000000001, "text": " Desde el momento de lanzamiento hasta que llega a la calle transcurren 7.6 segundos."}, {"start": 682.0400000000001, "end": 684.24, "text": " Vamos a escribir ese resultado aqu\u00ed."}, {"start": 684.24, "end": 686.84, "text": " Y vamos ya a la parte final."}, {"start": 686.84, "end": 691.84, "text": " Que es encontrar con qu\u00e9 velocidad la pelota hace impacto en la calle o en el suelo."}, {"start": 691.84, "end": 695.24, "text": " Entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo."}, {"start": 695.24, "end": 697.64, "text": " Que vale 7.6 segundos."}, {"start": 697.64, "end": 701.84, "text": " La velocidad en y de la pelota se llama bf."}, {"start": 701.84, "end": 703.44, "text": " Se llama velocidad final."}, {"start": 703.44, "end": 706.84, "text": " En este caso como tenemos informaci\u00f3n de velocidad en y y de tiempo."}, {"start": 706.84, "end": 709.64, "text": " Debemos utilizar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 709.64, "end": 712.24, "text": " Que es la que contiene esas variables."}, {"start": 712.24, "end": 715.24, "text": " Entonces colocamos la ecuaci\u00f3n 2."}, {"start": 715.24, "end": 717.04, "text": " Y vamos a reemplazar los valores."}, {"start": 717.04, "end": 719.44, "text": " Velocidad en y se llama velocidad final."}, {"start": 719.44, "end": 724.64, "text": " Es igual a menos 10 por el tiempo que es 7.6 y esto m\u00e1s 30."}, {"start": 724.64, "end": 725.84, "text": " Resolvemos."}, {"start": 725.84, "end": 729.24, "text": " Aqu\u00ed menos 10 por 7.6 nos da menos 76."}, {"start": 729.24, "end": 730.64, "text": " M\u00e1s 30."}, {"start": 730.64, "end": 733.84, "text": " Y esa operaci\u00f3n nos da menos 46."}, {"start": 733.84, "end": 738.04, "text": " Y colocamos las unidades correspondientes a la velocidad que son metros sobre segundos."}, {"start": 738.04, "end": 741.24, "text": " Y de esta manera respondemos la pregunta C."}, {"start": 741.24, "end": 742.64, "text": " De nuestro problema."}, {"start": 742.64, "end": 745.4399999999999, "text": " Con qu\u00e9 velocidad final llega la pelota."}, {"start": 745.4399999999999, "end": 747.64, "text": " Ser\u00eda una velocidad final de menos 46."}, {"start": 747.64, "end": 750.84, "text": " Vamos a colocar aqu\u00ed la magnitud de la velocidad."}, {"start": 750.84, "end": 752.24, "text": " El signo negativo."}, {"start": 752.24, "end": 756.84, "text": " Nos ratifica, nos confirma el hecho de que es un vector dirigido hacia abajo."}, {"start": 756.84, "end": 760.44, "text": " Pero la rapidez con la que la pelota hace impacto en el suelo."}, {"start": 760.44, "end": 763.04, "text": " Ser\u00eda de 46 metros por segundo."}, {"start": 763.04, "end": 765.84, "text": " De esta manera entonces hemos terminado nuestro problema."}, {"start": 765.84, "end": 769.24, "text": " Y hemos encontrado los tres datos que nos preguntaban."}, {"start": 769.24, "end": 772.04, "text": " La altura m\u00e1xima que alcanza la pelota con relaci\u00f3n al suelo."}, {"start": 772.04, "end": 773.64, "text": " 105 metros."}, {"start": 773.64, "end": 775.04, "text": " El tiempo que permanece en el aire."}, {"start": 775.04, "end": 776.64, "text": " 7.6 segundos."}, {"start": 776.64, "end": 779.24, "text": " Y la velocidad con la que hace impacto en el suelo."}, {"start": 779.24, "end": 782.24, "text": " Que son 46 metros por segundo."}]