VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN USANDO ARANDELAS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo hallar el volumen un sólido de revolución usando el Método de las Arandelas.

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 En este problema tenemos una región R que se encuentra limitada por la función y igual a x a la 4, que es una curva, y la recta y igual a 1. Esta región va a presentar giro o revolución alrededor de la recta y igual a 2, que será el eje de giro. De esa manera va a generar lo que se conoce como un sólido de revolución, y nuestro problema consiste en determinar su volumen. Vamos a comenzar por dibujar la región R y para ello vamos a buscar los puntos de intersección de esta curva y esta recta. Comenzamos por igualar las dos expresiones aprovechando que en ambas se encuentra despejada la variable y o y. Cuando resolvemos esta ecuación podríamos sacar raíz cuarta a ambos lados teniendo en cuenta que como es una raíz par aquí tendremos más o menos. Este lado nos da x y por acá tendremos más o menos 1. Entonces la curva y la recta van a tener sus puntos de intersección en las abscisas 1 y menos 1. Un gráfico aproximado de la situación es este que apreciamos en este momento. Vemos con color rojo la gráfica de la curva y igual a x a la 4. Vemos en color azul con línea continua la recta y igual a 1. Vemos como se intersectan en puntos cuyas abscisas son menos 1 y 1, las que acabamos de obtener. Y vemos también el eje de giro. Entonces esta será la región R que va a presentar giro con respecto a esta línea horizontal que es la recta y igual a 2. Entonces va a presentar rotación generando un sólido de revolución. Vamos a reflejar esta figura al otro lado del eje de giro. Allí podemos apreciar el reflejo de la región R al otro lado del eje de giro. Y entonces la zona que queda marcada con color verde será la parte maciza del sólido. Después de hacer un corte transversal vemos que esta es la zona sólida, la zona maciza y aquí quedará un hueco en el centro. Vamos a apreciar de manera tridimensional la forma del sólido. Sería algo como así, algo que es curvo en su exterior. Por fuera se ve totalmente curvo, pero por dentro tiene un hueco que es como un cilindro. Entonces más o menos el cilindro será así. Entonces esa será más o menos la forma del sólido. Vamos a imaginar que el sólido está formado por muchas rebanaditas una tras otra. Si nosotros consideramos una de ellas, vamos a marcarla por aquí, tomamos una rebanadita, entonces vamos a ver que ella queda con un hueco en el centro. Va a formar lo que se llama una arandela. Esa arandela si la retiramos tendrá un volumen de V, es decir un diferencial del volumen de todo el volumen del sólido que vamos a encontrar en este problema. Esta arandela representada en este dibujo que es un corte la veríamos como una franja vertical que a continuación vamos a dibujar. Allí tenemos la franja vertical y vamos a repintar la parte maciza. Sería esto y este pedacito de acá. La zona que queda en color blanco corresponde al hueco que queda en el centro. Entonces vamos a dibujar acá, vamos a proyectar la arandela para verla más real. Bien, allí tenemos la arandela y a ella vamos a determinarle básicamente tres cosas que son su altura o su espesor que vamos a llamar H, vamos a anotarlo por aquí, su radio interior que vamos a marcarlo por acá, sería este, R minúscula y su radio exterior que vamos a marcarlo por acá. Y vamos a llamarlo R, lo representamos con mayúscula. Entonces básicamente esos son los tres datos que necesitamos de esta arandelita que como decíamos constituye el diferencial de volumen, es decir el de V del sólido que estamos hallando. La altura de la arandela será el espesor, en este caso el espesor se refiere al ancho de la franja, es un ancho muy pequeño que se mide en la dirección del eje X por lo tanto será de X. Entonces lo marcamos por acá, el radio interior es decir del centro de la arandela a este punto, el que hemos señalado por acá, podemos ver que todo el tiempo es constante en la distancia que hay desde aquí hasta acá. El eje interno del sólido es una recta horizontal, es la recta ya igual a 1 y el eje de giro es la recta ya igual a 2, entonces la distancia desde aquí hasta acá será siempre constante e igual a 1, entonces ese será el radio interior. Y el radio exterior es decir del centro hasta la parte más externa de la arandela mirándola acá sería desde aquí hasta acá, entonces será una resta de distancias, será la distancia que hay desde aquí hasta acá que es siempre 2 menos la distancia que hay desde aquí hasta acá. Y aquí se ve que hay una altura, este pedacito que es una altura Y controlada por esta curva roja que se llama X a la 4, entonces será 2 menos X a la 4, aquí estamos parados en una abscisa X cualquiera comprendida entre menos 1 y 1, entre valores que forman el sólido y vemos que la altura, es decir la ordenada para esa abscisa X está controlada por la curva de color rojo. Veamos entonces los elementos para calcular de V que es el volumen de la arandela, entonces tenemos de V el volumen de la arandela, geométricamente la arandela corresponde a un cilindro hueco, la fórmula para determinar ese volumen será pi por el radio exterior al cuadrado menos el radio interior al cuadrado y eso multiplicado por la altura del cilindro, entonces tenemos de V es igual a pi que multiplica. Veamos R que nos dio 2 menos X a la 4, lo reemplazamos todo esto al cuadrado, menos R el radio interior que es 1 al cuadrado por H que es de X. Vamos entonces a resolver esa expresión, tenemos de V es igual a pi que multiplica a, tenemos aquí un binomio al cuadrado, lo desarrollamos, el cuadrado del primer termino sería 4 menos 2 veces el primero por el segundo, eso nos da 4X a la 4 más el segundo termino al cuadrado nos queda X a la 8 y esto menos 1 al cuadrado que es igual a 1, cerramos el corchete y el diferencial de X. Esto vemos acá adentro podemos operar 4 con menos 1 entonces nos va a quedar 3 menos 4X a la 4 más X a la 8 todo esto multiplicado por DX. A continuación vamos a integrar a ambos lados, colocamos el símbolo de la integral en ambos lados, al lado derecho podemos sacar el pi porque será una constante y escribimos la expresión. También es momento de escribir los límites de integración que se colocan aquí en la integral del lado derecho, decíamos que el sólido toma valores en X desde menos 1 hasta 1, ellos serán los límites de integración. Vamos entonces a resolver las integrales en los dos lados, la integral de B será B, es decir el volumen del sólido que estamos calculando y aquí en el lado derecho tenemos pi que multiplica a la integral de esto que será 3X menos 4X a la 5 sobre 5 más la integral de X a la 8 que será X a la 9 sobre 9 y todo esto evaluado entre menos 1 y 1. Vamos a reemplazar entonces los límites de integración, si entra el 1 tenemos 3X1 al 3 aquí sería menos 1 a la 5 nos da 1 por 4 quintos queda 4 quintos más 1 a la 9 será 1 sobre 9 queda un noveno. Todo esto menos, si reemplazamos el menos 1 nos queda 3X menos 1 es menos 3 aquí menos 1 a la 5 da menos 1 por menos 4 queda más 4 quintos y aquí menos 1 a la 9 queda menos 1 entonces queda menos un noveno. Cerramos el paréntesis y cerramos la llave. Continuamos, volumen será igual a pi que multiplica, vamos a quitar los paréntesis quedaría 3 menos 4 quintos más un noveno. Rompemos el paréntesis queda más 3 menos 4 quintos más un noveno. Resolviendo toda esa operación vamos a obtener la fracción 208.45 A, si ya la hemos realizado aparte y entonces organizamos la respuesta de la siguiente manera. El volumen del sólido que nos han solicitado es 208.45 A de pi y por tratarse de un volumen escribimos unidades cúbicas. De esta manera hemos entonces terminado la solución del ejercicio.
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entonces ese ser\u00e1 el radio interior."}, {"start": 334.0, "end": 353.0, "text": " Y el radio exterior es decir del centro hasta la parte m\u00e1s externa de la arandela mir\u00e1ndola ac\u00e1 ser\u00eda desde aqu\u00ed hasta ac\u00e1, entonces ser\u00e1 una resta de distancias, ser\u00e1 la distancia que hay desde aqu\u00ed hasta ac\u00e1 que es siempre 2 menos la distancia que hay desde aqu\u00ed hasta ac\u00e1."}, {"start": 353.0, "end": 380.0, "text": " Y aqu\u00ed se ve que hay una altura, este pedacito que es una altura Y controlada por esta curva roja que se llama X a la 4, entonces ser\u00e1 2 menos X a la 4, aqu\u00ed estamos parados en una abscisa X cualquiera comprendida entre menos 1 y 1, entre valores que forman el s\u00f3lido y vemos que la altura, es decir la ordenada para esa abscisa X est\u00e1 controlada por la curva de color rojo."}, {"start": 380.0, "end": 409.0, "text": " Veamos entonces los elementos para calcular de V que es el volumen de la arandela, 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que ser\u00e1 3X menos 4X a la 5 sobre 5 m\u00e1s la integral de X a la 8 que ser\u00e1 X a la 9 sobre 9 y todo esto evaluado entre menos 1 y 1."}, {"start": 525.0, "end": 544.0, "text": " Vamos a reemplazar entonces los l\u00edmites de integraci\u00f3n, si entra el 1 tenemos 3X1 al 3 aqu\u00ed ser\u00eda menos 1 a la 5 nos da 1 por 4 quintos queda 4 quintos m\u00e1s 1 a la 9 ser\u00e1 1 sobre 9 queda un noveno."}, {"start": 544.0, "end": 559.0, "text": " Todo esto menos, si reemplazamos el menos 1 nos queda 3X menos 1 es menos 3 aqu\u00ed menos 1 a la 5 da menos 1 por menos 4 queda m\u00e1s 4 quintos y aqu\u00ed menos 1 a la 9 queda menos 1 entonces queda menos un noveno."}, {"start": 559.0, "end": 562.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y cerramos la llave."}, {"start": 562.0, "end": 572.0, "text": " Continuamos, volumen ser\u00e1 igual a pi que multiplica, vamos a quitar los par\u00e9ntesis quedar\u00eda 3 menos 4 quintos m\u00e1s un noveno."}, {"start": 572.0, "end": 579.0, 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