41. PRODUCTO PUNTO, INTERNO O ESCALAR (Ejercicio 2)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 41: Producto Punto, interno o Escalar (Ejercicio 2).

Encontrar el ángulo que forman los vectores P = i + 2j + 3k y Q = -4i + j - 6k

Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Ahora miremos el ejemplo 2. Dice encontrar el ángulo que forman estos dos vectores en el espacio. Tenemos el vector P de componentes y más 2j más 3k y el vector Q de componentes menos 4i más j menos 6k. Comenzamos por deshacer la notación ijk escribiendo los vectores así. P tiene componentes 1,2,3 y el vector Q tiene componentes menos 4,1, menos 6. A continuación vamos a determinar el producto punto entre los dos vectores. Entonces P producto punto o producto escalar con Q será igual a 1 por menos 4. Ahí multiplicamos las componentes en X más 2 por 1 multiplicando las componentes en Y más 3 por menos 6 multiplicando las componentes en Z. Eso nos da menos 4 más 2 menos 18 y toda esa operación nos da como resultado menos 20. Entonces el producto punto de estos dos vectores nos da el escalar menos 20. Enseguida vamos a determinar la magnitud, módulo o norma de cada vector. Comenzamos con P entonces será igual a la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 2 al cuadrado más 3 al cuadrado. Eso es igual a la raíz cuadrada de 1 al cuadrado que es 1, 2 al cuadrado es 4, 3 al cuadrado es 9 y toda esa suma nos da 14. Tenemos entonces que la magnitud de nuestro vector P es raíz cuadrada de 14. Procedemos ahora con el vector Q que será entonces la raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado más 1 al cuadrado más menos 6 al cuadrado. Eso nos da entonces la raíz cuadrada de 16 más 1 más 36 y toda esa suma nos da 53. Entonces nos queda raíz cuadrada de 53 la magnitud del vector Q. Ahora utilizamos la expresión para encontrar el ángulo theta entre los vectores P y Q. Recordemos que sería en este caso el producto punto de los vectores P y Q en el numerador y acá en el denominador tenemos el producto de las magnitudes de los dos vectores. Vamos entonces a sustituir la información que tenemos. El producto punto nos dio menos 20, la magnitud del vector P nos dio raíz cuadrada de 14 y la magnitud del vector Q nos dio raíz cuadrada de 53. Haciendo toda esta operación en la calculadora nos da aproximadamente igual a menos 0.73422. Ese es el resultado aproximándolo a 5 cifras decimales. Finalmente vamos a encontrar el valor del ángulo theta. Como cos theta es aproximadamente igual a este número, entonces decimos que theta es aproximadamente igual a cos la menos 1 de este valor de menos 0.73422. Haciendo esto en la calculadora obteremos un valor para theta de aproximadamente 137.2 grados. Este sería el ángulo que forman esos vectores P y Q en el espacio. Se trata de un ángulo obtuso. Con seguridad si los visualizamos en el espacio más o menos formarían un ángulo así. Un ángulo de 137.2 grados. ¡Suscríbete al canal!
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