INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo resolver una integral por el Método de Integración por Partes.

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 Para resolver esta integral vamos a reescribirla Primero vamos a subir esta potencia de x a la 2 Vamos a subirla, entonces nos queda x a la menos 2 que multiplica al logaritmo natural de x con su correspondiente de x Esta integral la vamos a resolver por el método de integración por partes Para ello necesitamos definir quien va a ser u y quien va a ser dv Para escoger u existe un truco bastante útil que se llama ILATI que consiste en clasificar las dos funciones en las siguientes categorías I cuando la función es inversa, más exactamente las trigonométricas inversas L logarítmica, A algebraica, T trigonométrica y E exponencial Clasificamos las dos funciones en una de estas cinco categorías y luego identificamos cual nos aparece primero al decir la palabra ILATI La primera letra que nos encontremos, esa va a ser la función que hace el papel de la u Veamos, en nuestro caso x a la menos 2 sería categoría algebraica por ser una potencia y logaritmo natural de x sería categoría L, es decir logarítmica Cuando yo tengo la A y la L, ahí están las dos letras y yo armo la palabra ILATI de izquierda a derecha, la primera letra que me encuentro es la L por lo tanto esa va a ser la u ¿Qué quiere decir esto? Que la función logaritmo natural de x va a ser el papel de la u y lo que sobra, es decir x a la menos 2 con su dx va a ser el papel de dv Vamos entonces a organizar nuestra integral en ese orden Nos quedaría así, integral de logaritmo natural de x por x a la menos 2 con su dx Este va a ser u, tal como lo dijimos ahora, y el resto de la expresión va a ser dv Si tenemos u, tenemos que derivarla, derivada de u con respecto a x eso nos da la derivada de logaritmo natural de x, sería 1 sobre x y de aquí vamos a despejar du, dx se está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar entonces nos queda 1 sobre x por dx, allí tenemos despejado du Tenemos dv, que sería x a la menos 2 con su respectivo diferencial de x Lo resaltamos, esto hay que integrarlo a los dos lados Ponemos el simbolito de la integral a ambos lados de la igualdad y entonces nos queda así, integral de dv sería b, y la integral de x a la menos 2 eso sería x a la menos 1 sobre menos 1, recordemos que aquí al menos 2 se le suma 1 entonces nos queda x a la menos 1 sobre menos 1 Esto organizándolo nos quedaría 1 sobre x, pero el menos lo podemos colocar en la parte superior es decir, nos queda menos 1 sobre x, esto lo destacamos y de esa manera estas cuatro nubecillas van a ser los componentes de la fórmula de partes que dice así, la integral de u por dv es igual a 1 vaca menos la integral vestida de uniforme es una técnica para memorizar la formulita de partes Vamos a reemplazar cada componente, veamos quien es u, u es logaritmo natural de x por dv que sería x a la menos 2 con su dx igual a u que sería logaritmo natural de x por d que nos dio menos 1 sobre x, aquí tenemos que colocarlo entre paréntesis por ser negativo menos la integral de v que sería menos 1 sobre x por du, du que sería 1 sobre x por dx Bien, ahora vamos a desarrollar las operaciones que tenemos allí pendientes por ejemplo, esto acá se puede reorganizar colocándolo así logaritmo natural de x sobre x a la 2, es decir, x a la menos 2 vuelve y baja como x a la 2 con su dx y allí obtenemos la integral que nos dieron originalmente la que estamos resolviendo, aquí la multiplicación de logaritmo natural de x por menos 1 sobre x eso nos quedaría menos logaritmo natural de x sobre x aquí tenemos negativo, pero este menos sale de la integral y por ley de los signos nos da positivo acá multiplicaremos estas dos fracciones, 1 sobre x por 1 sobre x nos queda 1 sobre x a la 2 de x pero 1 sobre x a la 2 yo lo puedo reescribir como x a la menos 2 subimos la potencia, entonces nos va a quedar así, listo para ser integrado veamos, nos queda menos logaritmo natural de x sobre x más la integral de x a la menos 2 que es x a la menos 1 sobre menos 1, aquí aparece por primera vez la c, la constante de integración y ya lo que hacemos es organizar esta expresión para entrar a dar nuestra respuesta entonces nos queda menos logaritmo natural de x sobre x aquí organizando nos quedaría más con menos da menos, x a la menos 1 da 1 sobre x más c aquí podríamos dejar el mismo denominador porque tenemos dos fracciones homogéneas y entonces la respuesta nos va a quedar de la siguiente manera dejamos abajo la x y arriba nos quedaría menos logaritmo natural de x menos 1 y todo esto acompañado de la constante de integración esta sería la antiderivada de la función que nos dieron originalmente y ya está, eso es todo
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x por dx"}, {"start": 292.0, "end": 301.0, "text": " Bien, ahora vamos a desarrollar las operaciones que tenemos all\u00ed pendientes"}, {"start": 301.0, "end": 307.0, "text": " por ejemplo, esto ac\u00e1 se puede reorganizar coloc\u00e1ndolo as\u00ed"}, {"start": 307.0, "end": 313.0, "text": " logaritmo natural de x sobre x a la 2, es decir, x a la menos 2 vuelve y baja"}, {"start": 313.0, "end": 321.0, "text": " como x a la 2 con su dx y all\u00ed obtenemos la integral que nos dieron originalmente"}, {"start": 321.0, "end": 326.0, "text": " la que estamos resolviendo, aqu\u00ed la multiplicaci\u00f3n de logaritmo natural de x por menos 1 sobre x"}, {"start": 326.0, "end": 331.0, "text": " eso nos quedar\u00eda menos logaritmo natural de x sobre x"}, {"start": 331.0, "end": 338.0, "text": " aqu\u00ed tenemos negativo, pero este menos sale de la integral y por ley de los signos nos da positivo"}, {"start": 338.0, "end": 349.0, "text": " ac\u00e1 multiplicaremos estas dos fracciones, 1 sobre x por 1 sobre x nos queda 1 sobre x a la 2 de x"}, {"start": 349.0, "end": 354.0, "text": " pero 1 sobre x a la 2 yo lo puedo reescribir como x a la menos 2"}, {"start": 354.0, "end": 361.0, "text": " subimos la potencia, entonces nos va a quedar as\u00ed, listo para ser integrado"}, {"start": 361.0, "end": 369.0, "text": " veamos, nos queda menos logaritmo natural de x sobre x m\u00e1s la integral de x a la menos 2"}, {"start": 369.0, "end": 377.0, "text": " que es x a la menos 1 sobre menos 1, aqu\u00ed aparece por primera vez la c, la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 377.0, "end": 383.0, "text": " y ya lo que hacemos es organizar esta expresi\u00f3n para entrar a dar nuestra respuesta"}, {"start": 383.0, "end": 389.0, "text": " entonces nos queda menos logaritmo natural de x sobre x"}, {"start": 389.0, "end": 397.0, "text": " aqu\u00ed organizando nos quedar\u00eda m\u00e1s con menos da menos, x a la menos 1 da 1 sobre x m\u00e1s c"}, {"start": 397.0, "end": 404.0, "text": " aqu\u00ed podr\u00edamos dejar el mismo denominador porque tenemos dos fracciones homog\u00e9neas"}, {"start": 404.0, "end": 411.0, "text": " y entonces la respuesta nos va a quedar de la siguiente manera"}, {"start": 411.0, "end": 418.0, "text": " dejamos abajo la x y arriba nos quedar\u00eda menos logaritmo natural de x menos 1"}, {"start": 418.0, "end": 421.0, "text": " y todo esto acompa\u00f1ado de la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 421.0, "end": 429.0, "text": " esta ser\u00eda la antiderivada de la funci\u00f3n que nos dieron originalmente"}, {"start": 429.0, "end": 442.0, "text": " y ya est\u00e1, eso es todo"}]