DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 28
#julioprofe explica cómo hallar la primera #derivada de una función. 

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 Vamos a obtener la primera derivada para esta función que inicialmente se presenta como un cociente, sin embargo vamos a transformarla en una expresión más sencilla para derivar. Tenemos allí un cociente de potencias de la misma base, entonces podemos utilizar la propiedad de la potenciación correspondiente a ese caso, aquí lo tenemos, cociente o división de potencias de la misma base, entonces en ese caso se conserva la base y se restan los exponentes. Entonces acá nos quedaría la función original g de x como e, el número de Euler que es la base que tenemos igual y acá la resta de exponentes, el exponente del numerador que es la raíz cuadrada de e a la x y eso menos el exponente del denominador que es el número e. Ahora esta raíz que tenemos aquí vamos a transformarla en potencia, utilizamos la siguiente propiedad que nos conecta la radicación con la potenciación, si tenemos la raíz de índice n de a a la m eso es igual a a elevada al exponente m sobre n, es decir el exponente interno sobre el índice de la raíz, entonces acá la función g de x, la función original nos quedará como el número de Euler y eso elevado a lo siguiente e a la x medios, allí aplicamos esta propiedad, el exponente interno que es x dividido entre el índice de la raíz que es 2 y todo eso menos el número de Euler. Ahora sí podemos iniciar el proceso de derivación para la función, ya no tenemos la expresión original que era un cociente, sino una expresión de tipo exponencial donde la base es el número de Euler, vamos a recordar entonces el modelo para derivar esa situación, si tenemos e elevado a la manzanita, allí tenemos la base que es el número de Euler y la manzanita es toda esta expresión, entonces el modelo dice lo siguiente, es lo mismo, es decir e a la manzanita y eso multiplicado por la derivada de la manzanita, es decir por la derivada del exponente, entonces siguiendo ese modelo vamos a empezar a obtener g' de x, la derivada de la función que nos dieron, comenzamos con este componente, es decir esto mismo e elevado a e que a su vez está elevado a x medios y esto menos e y eso va multiplicado por la derivada de lo que tenemos en el exponente, vamos a indicarla, sería la derivada de e a la x medios, e a la x medios podemos cambiarlo por e a la un medio de x, esto y esto es exactamente lo mismo y esto menos e, entonces tendremos que derivar este componente, continuamos por acá con g' de x igual a lo siguiente, tenemos este componente que ya no vamos a tocar más, entonces podemos volverlo a escribir como e elevada a la raíz cuadrada de e a la x y todo esto menos e, repetimos esto no se va a tocar más y ahora multiplicamos por la derivada de esta resta, entonces recordemos que se deriva cada uno de los términos el minuendo y el sustraendo, comenzamos con la derivada del primer término, es decir del minuendo, allí tenemos esta situación otra vez e a la manzanita, entonces vamos a derivar siguiendo este modelo, sería eso mismo, es decir e a la un medio de x y eso multiplicado por la derivada del exponente, es decir por la derivada de un medio de x, vamos a indicarla por aquí y esto menos la derivada de esto otro, aquí tenemos un número real que es el número de Euler, entonces su derivada es cero, continuamos por acá g' de x será igual a lo siguiente, este componente queda intacto e a la raíz cuadrada de e a la x, todo esto menos e y vamos con esto de acá, todo esto menos cero pues nos dará esto mismo, podemos obviar ese cero y acá tenemos e a la un medio de x que sería e a la x medios y esto multiplicado por la derivada de un medio de x, recordemos que la derivada de k por x, es decir una constante que multiplica por la variable x es igual a la constante k, es decir el coeficiente de ese término, en ese caso la derivada de un medio de x será un medio, para terminar podemos organizar este producto de la siguiente manera, nos queda g' de x igual a un medio, anotamos primero el número y enseguida tenemos una multiplicación o producto de potencias con la misma base, entonces aplicamos esta propiedad de la potenciación, para ese caso cuando hay multiplicación o producto de potencias con la misma base se conserva la base y se suman los exponentes, entonces en este caso conservamos la base que es el número e, el número de Euler y escribimos la suma de los exponentes que sería la raíz cuadrada de e a la x menos e, allí tendríamos el exponente de la primera potencia y esto más x medios que es el exponente de la segunda potencia, bien así terminamos, esta es la respuesta al ejercicio propuesto, tenemos aquí la primera derivada para esa función que nos dieron inicialmente.
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