PROGRESIONES ARITMÉTICAS - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo determinar el número de términos y el primero de ellos en una Progresión Aritmética.

Video producido por #julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ 

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 Bien, entonces tenemos la siguiente información. D igual a 3, A sub n, igual a 34, S sub n, igual a 133, y nos piden encontrar n y el valor de A sub 1. Todo esto son elementos de una progresión aritmética. Entonces vamos a comenzar utilizando esta formulita, que es la formula para el término enésimo en una progresión aritmética. Esta es la formula que nos da el A sub n. Entonces reemplazamos lo que conocemos. Tenemos A sub n que es 34, A sub 1 es desconocido, lo dejamos allí, más n, tampoco lo conocemos, queda n menos 1, multiplicado por d, que vale 3. Entonces, podemos aquí hacer distributiva con el 3, esto queda A sub 1 más 3n menos 3. Pasamos este 3 que se encuentra restando en este lado, pasa a sumar al otro, queda 34 más 3, igual a A sub 1 más 3n. Y eso lo podemos escribir como A sub 1 más 3n, igual a 37, y tenemos la primera función. Vamos a llamar la ecuación número 1. Ahora vamos a utilizar otra fórmula que es la fórmula de Sn, es decir, la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. Esta fórmula dice A sub 1 más A sub n, todo esto multiplicado por n y todo eso dividido entre 2. Vamos a reemplazar lo que conocemos. Sn vale 133, queda igual a 133. A sub 1, que no lo conocemos, más A sub n, que es 34, todo esto por n, que no lo conocemos, sobre 2. Podemos pasar este 2 que se encuentra dividiendo a multiplicar a este lado. 2 por 133 nos da 266, igual a A sub 1 más 34, y todo esto multiplicado por n. Vamos a dejar ahí entonces la segunda ecuación. Vemos que también tiene 2 incógnitas, las mismas que tenemos en la primera ecuación. Con estas dos ecuaciones tenemos lo que en matemáticas se llama un sistema de ecuaciones de 2 por 2. Dos ecuaciones con 2 incógnitas. Vamos a despejar por ejemplo de aquí lo que es A sub 1. Entonces de la expresión 1 tenemos que A sub 1 es igual a 37 menos 3n. Pasamos 3n que está sumando a restar al otro lado y tenemos una nueva expresión que vamos a llamar la expresión número 3. Y a continuación vamos a sustituir 3 en 2. Usamos el método de sustitución. Entonces sustituimos la expresión 3 en la que habíamos etiquetado como número 2. Entonces nos queda así, 266 es igual a, abrimos paréntesis, donde está A sub 1, reemplazamos 37 menos 3n. Allí se hace la sustitución, escribimos lo de más, más 34 y todo eso por n. Vamos a sumar dentro del paréntesis los números. Nos queda entonces, 37 más 34 da 71 menos 3n y todo esto multiplicado por n. Hacemos propiedad distributiva, la n nos queda entonces 266 es igual a 71n menos 3n al cuadrado. Y esto tiene aspecto de ecuación cuadrática. Entonces vamos a pasar esos términos para el lado izquierdo dejando 0 en el lado derecho. Pasamos primero este, nos quedaría 3n al cuadrado, luego llega este negativo y se encuentra con más 266 y todo esto queda igualado a 0. Tenemos entonces una ecuación cuadrática, recordemos que es una ecuación de la forma ax al cuadrado más bx más c igual a 0. Que vamos a resolver por el método de la fórmula cuadrática. Veamos, A vale 3, B vale menos 71, C vale 266 y el papel de la X lo hace la letra N, que es la incógnita en la ecuación. Entonces ya con esa información vamos a utilizar la fórmula cuadrática. Vamos a recordarla, X es igual a menos b más o menos la raíz cuadrada de b cuadrado, menos 4ac, todo esto dentro de la raíz y todo esto dividido entre 2a. Entonces vamos a reemplazar, X se convierte en N, nos queda igual a menos paréntesis b que vale menos 71, más o menos la raíz cuadrada de b que es menos 71 al cuadrado, menos 4ac, o sea 4 por 3 por 266 y todo esto entre 2a, o sea 2 por 3. Resolvemos esas operaciones, por aquí nos queda 71 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 71 elevado al cuadrado nos da 5041, menos 4 por 3 por 266 nos da 3192, todo eso dentro de la raíz y todo esto dividido entre 2 por 3 que es 6. Tenemos que N es igual a 71, más o menos la raíz cuadrada de, esa resta nos da 1849 y todo esto dividido entre 6. Continuamos por acá, N es igual a 71, más o menos la raíz cuadrada de 1849 nos da 43 y todo esto entre 6. Bien, entonces tenemos allí dos posibilidades, una con el signo menos y la otra con el signo más. Entonces tenemos N1 es igual a 71 menos 43 sobre 6, eso nos da 28 sobre 6 y simplificando nos queda 14 tercios. Obviamente esta posibilidad no nos sirve porque estamos buscando N, es decir el número de términos de la progresión aritmética y N no puede ser un número fraccionario, entonces muy seguramente la solución va a salir de la otra posibilidad, es decir 71 más 43 sobre 6, eso nos daría 114 entre 6 que es igual a 19, esta si es una solución razonable, por lo tanto ya tenemos que N es igual a 19, es el número de términos en la progresión aritmética. Conociendo el valor de N podríamos entonces reemplazar en la expresión número 3 que decía A1 es igual a 37 menos 3N, de esa manera encontramos fácilmente el valor de A1, entonces donde está N reemplazamos 19, esto nos queda que A1 es igual a 37 menos 57 que es el resultado de esa multiplicación y efectuando esta resta nos da un total de menos 20. Por lo tanto ya tenemos la otra pregunta del ejercicio, A1 es decir el primer término de la progresión aritmética es menos 20.
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