TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo derivar una función aplicando la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK 

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Para esta función que nos dan vamos a obtener su primera derivada. Comenzamos escribiendo a ambos lados de la igualdad el operador que nos indica la derivación. Entonces en el lado izquierdo tenemos la derivada con respecto a x de f de x y en el lado derecho tendremos la derivada con respecto a x de toda esta expresión. Lo que tenemos en el lado izquierdo de la igualdad corresponde a esto mismo. Entonces más adelante cambiaremos esto por esta notación y acá en el lado derecho vamos a aplicar la primera parte del teorema fundamental del calculo que dice así. La derivada con respecto a x de la integral desde una constante a hasta una expresión u de x de una función f de t con su diferencial de t esto es igual a la función f evaluada en u de x y todo esto multiplicado por u' de x o sea por la derivada de esta expresión que tenemos en el límite superior. Como podemos observar de acuerdo con este modelo a está representada por 1 u de x está representada por raíz cuadrada de x y la función f de t es esta expresión e elevada al exponente t a la 4. Entonces vamos a aplicar eso. En el lado izquierdo como decíamos eso se convierte en f' de x y acá en el lado derecho tendremos lo siguiente la función f o sea esta expresión evaluada en u de x es decir en raíz cuadrada de x quiere decir que esto debemos reemplazarlo donde se encuentra la letra t nos queda entonces así y esto tiene que ir multiplicado por la derivada de u de x es decir por la derivada de raíz cuadrada de x aquí la indicamos. Vamos a obtener cada uno de estos dos componentes por acá la raíz cuadrada de x si se eleva al exponente 4 esto es igual a lo siguiente raíz cuadrada de x es lo mismo que tener x a la 1 medio y si eso lo elevamos al exponente 4 entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes 1 medio por 4 nos da 4 medios que equivale a 2 entonces todo esto equivale a x al cuadrado ahora vamos con la derivada de la raíz cuadrada de x que es lo mismo que derivar x a la 1 medio entonces si derivamos esto con respecto a x baja el exponente 1 medio y nos queda x a la 1 medio menos 1 que es menos 1 medio y si organizamos esta expresión nos queda así en el numerador dejamos el 1 acá dejamos el 2 y bajamos esa potencia que nos queda como x a la 1 medio entonces con esto la primera derivada de la función f prima de x nos queda así e elevado al resultado de esa expresión que nos dio x al cuadrado y esto multiplicado por la derivada de raíz cuadrada de x que nos dio 1 sobre 2x a la 1 medio para terminar podemos escribir esto de una forma más compacta f prima de x es igual a lo siguiente conformamos una sola fracción esto tiene acá denominador 1 multiplicamos numeradores entre sí e a la x al cuadrado por 1 es e a la x al cuadrado y abajo tenemos 1 por esto que nos da eso mismo y donde podemos cambiar x a la 1 medio por raíz cuadrada de x con esto terminamos esta es la respuesta al ejercicio o sea la primera derivada de esta función.
[{"start": 0.0, "end": 9.88, "text": " Para esta funci\u00f3n que nos dan vamos a obtener su primera derivada. Comenzamos escribiendo"}, {"start": 9.88, "end": 17.56, "text": " a ambos lados de la igualdad el operador que nos indica la derivaci\u00f3n. Entonces en el"}, {"start": 17.56, "end": 26.84, "text": " lado izquierdo tenemos la derivada con respecto a x de f de x y en el lado derecho tendremos"}, {"start": 26.84, "end": 34.44, "text": " la derivada con respecto a x de toda esta expresi\u00f3n. Lo que tenemos en el lado izquierdo de la"}, {"start": 34.44, "end": 42.56, "text": " igualdad corresponde a esto mismo. Entonces m\u00e1s adelante cambiaremos esto por esta notaci\u00f3n"}, {"start": 42.56, "end": 48.620000000000005, "text": " y ac\u00e1 en el lado derecho vamos a aplicar la primera parte del teorema fundamental del"}, {"start": 48.62, "end": 57.92, "text": " calculo que dice as\u00ed. La derivada con respecto a x de la integral desde una constante a hasta"}, {"start": 57.92, "end": 69.08, "text": " una expresi\u00f3n u de x de una funci\u00f3n f de t con su diferencial de t esto es igual a"}, {"start": 69.08, "end": 80.8, "text": " la funci\u00f3n f evaluada en u de x y todo esto multiplicado por u' de x o sea por la derivada"}, {"start": 80.8, "end": 86.75999999999999, "text": " de esta expresi\u00f3n que tenemos en el l\u00edmite superior. Como podemos observar de acuerdo"}, {"start": 86.75999999999999, "end": 93.16, "text": " con este modelo a est\u00e1 representada por 1 u de x est\u00e1 representada por ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 93.16, "end": 101.67999999999999, "text": " de x y la funci\u00f3n f de t es esta expresi\u00f3n e elevada al exponente t a la 4. Entonces"}, {"start": 101.67999999999999, "end": 111.67999999999999, "text": " vamos a aplicar eso. En el lado izquierdo como dec\u00edamos eso se convierte en f' de x y ac\u00e1"}, {"start": 111.67999999999999, "end": 118.03999999999999, "text": " en el lado derecho tendremos lo siguiente la funci\u00f3n f o sea esta expresi\u00f3n evaluada"}, {"start": 118.04, "end": 125.56, "text": " en u de x es decir en ra\u00edz cuadrada de x quiere decir que esto debemos reemplazarlo donde"}, {"start": 125.56, "end": 133.6, "text": " se encuentra la letra t nos queda entonces as\u00ed y esto tiene que ir multiplicado por"}, {"start": 133.6, "end": 144.20000000000002, "text": " la derivada de u de x es decir por la derivada de ra\u00edz cuadrada de x aqu\u00ed la indicamos."}, {"start": 144.2, "end": 151.72, "text": " Vamos a obtener cada uno de estos dos componentes por ac\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de x si se eleva"}, {"start": 151.72, "end": 158.76, "text": " al exponente 4 esto es igual a lo siguiente ra\u00edz cuadrada de x es lo mismo que tener"}, {"start": 158.76, "end": 167.48, "text": " x a la 1 medio y si eso lo elevamos al exponente 4 entonces conservamos la base y multiplicamos"}, {"start": 167.48, "end": 175.95999999999998, "text": " los exponentes 1 medio por 4 nos da 4 medios que equivale a 2 entonces todo esto equivale"}, {"start": 175.95999999999998, "end": 184.51999999999998, "text": " a x al cuadrado ahora vamos con la derivada de la ra\u00edz cuadrada de x que es lo mismo"}, {"start": 184.51999999999998, "end": 193.98, "text": " que derivar x a la 1 medio entonces si derivamos esto con respecto a x baja el exponente 1"}, {"start": 193.98, "end": 203.51999999999998, "text": " medio y nos queda x a la 1 medio menos 1 que es menos 1 medio y si organizamos esta expresi\u00f3n"}, {"start": 203.51999999999998, "end": 211.12, "text": " nos queda as\u00ed en el numerador dejamos el 1 ac\u00e1 dejamos el 2 y bajamos esa potencia"}, {"start": 211.12, "end": 219.04, "text": " que nos queda como x a la 1 medio entonces con esto la primera derivada de la funci\u00f3n"}, {"start": 219.04, "end": 229.51999999999998, "text": " f prima de x nos queda as\u00ed e elevado al resultado de esa expresi\u00f3n que nos dio x al cuadrado"}, {"start": 229.51999999999998, "end": 238.56, "text": " y esto multiplicado por la derivada de ra\u00edz cuadrada de x que nos dio 1 sobre 2x a la"}, {"start": 238.56, "end": 248.04, "text": " 1 medio para terminar podemos escribir esto de una forma m\u00e1s compacta f prima de x es"}, {"start": 248.04, "end": 256.03999999999996, "text": " igual a lo siguiente conformamos una sola fracci\u00f3n esto tiene ac\u00e1 denominador 1 multiplicamos"}, {"start": 256.03999999999996, "end": 263.52, "text": " numeradores entre s\u00ed e a la x al cuadrado por 1 es e a la x al cuadrado y abajo tenemos"}, {"start": 263.52, "end": 271.44, "text": " 1 por esto que nos da eso mismo y donde podemos cambiar x a la 1 medio por ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 271.44, "end": 279.6, "text": " de x con esto terminamos esta es la respuesta al ejercicio o sea la primera derivada de"}, {"start": 279.6, "end": 301.76000000000005, "text": " esta funci\u00f3n."}]