DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo derivar una función usando la definición de derivada.

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 Vamos a encontrar la derivada de esta función utilizando la definición de derivada que dice lo siguiente Para una función f de x, su derivada se define como el límite cuando delta de x tiende a cero de f de x más delta de x menos f de x y todo eso sobre delta de x Podemos trabajar entonces con esta expresión que es la definición para la derivada o si queremos se puede cambiar también delta de x por otra letra usualmente se trabaja con h pero en esta ocasión vamos a dejar delta de x Como podemos observar, este componente ya lo tenemos, se trata de la función original o la que nos dan Necesitamos averiguar a que es igual este componente Entonces vamos a realizar lo siguiente en esa función original, vamos a desaparecer x Nos quedaría entonces así y dejamos el espacio disponible para llenarlo con x más delta de x Entonces en los paréntesis vacíos escribimos x más delta de x De esa manera estamos evaluando la función en esa expresión que es x más delta de x A continuación vamos a utilizar el álgebra para desarrollar estas expresiones Aquí es cuando los conocimientos algebraicos juegan un papel muy importante en el estudio del cálculo Tenemos por acá lo que se llama un binomio elevado al cuadrado, un producto notable muy importante Esto se desarrolla de la siguiente manera, es el primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado Entonces veamos cómo nos va quedando f de x más delta de x Tenemos entonces 5 que multiplica a, vamos a desarrollar este binomio al cuadrado utilizando esa fórmula, tenemos el primer componente al cuadrado, o sea x al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, o sea 2 por x por delta de x, ese delta de x vamos a protegerlo con paréntesis y esto más el segundo componente que es delta de x también elevado al cuadrado, entonces allí hemos realizado la expansión de este binomio elevado al cuadrado Vamos a continuar por acá, tenemos menos 7 que multiplica a esa expresión Y esto es otro producto notable, vamos a recordar su fórmula, un binomio elevado al cubo, a más b al cubo es igual al primer término al cubo, más tres veces el primer término al cuadrado por el segundo más tres veces el primer término por el segundo al cuadrado, más el segundo término elevado al cubo Entonces otro producto notable de gran importancia de la algebra que nos va a servir acá en el cálculo para expandir esta potencia o esta suma elevada al cubo Tenemos entonces el primer término al cubo, o sea x al cubo, más tres veces el primer término al cuadrado por la 3 por x al cuadrado por el segundo que es delta de x, más tres veces el primer término que es x por el segundo elevado al cuadrado, o sea delta de x al cuadrado y esto más el segundo término que es delta de x elevado al cubo y cerramos el corchete que protege todo ese desarrollo Ahora vamos a romper esos corchetes, vamos a aplicar la propiedad distributiva, nos queda entonces así f de x más delta de x es igual a 5 que multiplica a estos componentes 5 por x al cuadrado nos queda 5x al cuadrado, más 5 por todo esto nos da 10x por delta de x más 5 que multiplica a ese componente, 5 por delta de x al cuadrado Ahora vamos con menos 7 que afecta cada uno de esos cuatro términos tenemos menos 7 por x al cubo es menos 7x al cubo, menos 7 por esto nos da menos 21 x al cuadrado por delta de x, vamos a continuar por acá menos 7 por esto nos queda menos 21, x por delta de x al cuadrado y menos 7 por esto nos da menos 7 que multiplica a delta de x elevado al cubo Retomando la definición de la derivada, observamos que ya tenemos este componente se trata de toda esta expresión que encontramos, f de x es la función que nos dan originalmente ahora vamos a encontrar el valor de toda esta diferencia tenemos que f de x más delta de x menos f de x será igual a toda esta expresión que es el primer componente allí lo tenemos y vamos a protegerlo con corchete y todo eso menos el componente que es f de x vamos a protegerlo con paréntesis, tenemos 5x al cuadrado menos 7x al cubo entonces repetimos, vamos a encontrar a que es igual esta diferencia y allí hemos escrito cada uno de los componentes a continuación vamos a destruir los signos de agrupación, es decir vamos a quitar este corchete vemos que a su izquierda no tenemos nada, o sea que allí hay signo positivo invisible eso nos permite quitar con tranquilidad ese corchete porque los términos no van a presentar ningún cambio por el contrario esta expresión si va a sufrir una modificación cuando hacemos la destrucción del paréntesis el signo negativo afecta estos dos términos y le cambia los signos entonces este término nos quedará negativo y este nos quedará positivo veamos entonces quitamos el paréntesis, este término como decíamos queda negativo y este nos queda positivo en toda esta lista de términos vemos que es posible eliminar algunos es el caso de estos dos, está positivo y está negativo, entonces se eliminan, son términos opuestos entre sí y también observamos lo mismo con estos dos, este término es semejante con este, este está negativo, este está positivo por lo tanto es perfectamente elícito eliminarlos entonces veamos como nos queda la expresión para f de x más delta de x menos f de x escribimos los términos que quedaron, comenzamos con 10x por delta de x más 5 por delta de x al cuadrado esto menos 21x al cuadrado por delta de x menos, vamos a seguir por acá menos 21x por delta de x al cuadrado y esto menos 7 por delta de x al cubo de nuevo vamos a retomar aquí la definición para la derivada, allí podemos observarla entonces vamos a construir toda esa expresión con los elementos que ya conocemos tenemos que eso es igual al límite cuando delta de x tiende a cero de toda esta expresión que fue lo que acabamos de encontrar entonces vamos a escribirla por acá, allí podemos observarla y todo eso lo tenemos sobre delta de x enseguida tenemos que darle solución a este límite, rápidamente podemos observar que si delta de x toma el valor cero vemos que como delta de x está presente en todos los términos del numerador entonces todo eso nos da cero y acá en el denominador también tendríamos cero, o sea que en principio este límite nos daría cero sobre cero que es una forma indeterminada y ya sabemos que esto no es un resultado aceptable para un límite entonces lo que vamos a hacer es solucionar ese problema de la indeterminación factorizando el numerador como delta de x está presente en todos los términos podemos extraer ese componente como factor común entonces tendremos así delta de x es factor de 10x más 5 por delta de x menos 21x al cuadrado menos 21x por delta de x y acá tenemos menos 7 por delta de x al cuadrado y cerramos el corchete del numerador hemos extraído factor común delta de x, ahora tenemos todo eso sobre delta de x y allí es perfectamente liso e eliminar este componente delta de x es el causante del cero sobre cero que habíamos tenido hace un momento entonces aquí ya logramos deshacernos de ese elemento problema que nos estaba indeterminando la expresión entonces la derivada f' de x nos queda así, límite cuando delta de x tiende a cero de todo esto que tenemos en el corchete allí podemos observar esa expresión y finalmente vamos a evaluar todo esto cuando delta de x toma el valor cero como vimos anteriormente ya se eliminó el factor problema, el componente que estaba indeterminando la expresión o sea que esto ya lo hacemos con toda tranquilidad, decimos entonces 10x más 5 por delta de x pero delta de x es cero menos 21x al cuadrado menos 21x por delta de x o sea 21x por cero y esto menos 7 por cero al cuadrado en esta expresión observamos que esto nos da cero, lo mismo que este término y este también equivale a cero entonces nos han quedado solamente estos dos y con eso llegamos a la respuesta f' de x es igual a 10x menos 21x al cuadrado esa expresión será la derivada de la función f' de x que nos dieron inicialmente utilizando en este caso el límite que representa la definición de derivada
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247.5, "text": " Tenemos entonces el primer t\u00e9rmino al cubo, o sea x al cubo, m\u00e1s tres veces el primer t\u00e9rmino al cuadrado"}, {"start": 247.5, "end": 259.5, "text": " por la 3 por x al cuadrado por el segundo que es delta de x, m\u00e1s tres veces el primer t\u00e9rmino que es x"}, {"start": 259.5, "end": 270.5, "text": " por el segundo elevado al cuadrado, o sea delta de x al cuadrado y esto m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino que es delta de x"}, {"start": 270.5, "end": 278.5, "text": " elevado al cubo y cerramos el corchete que protege todo ese desarrollo"}, {"start": 278.5, "end": 286.5, "text": " Ahora vamos a romper esos corchetes, vamos a aplicar la propiedad distributiva, nos queda entonces as\u00ed"}, {"start": 286.5, "end": 294.5, "text": " f de x m\u00e1s delta de x es igual a 5 que multiplica a estos componentes"}, {"start": 294.5, "end": 305.5, "text": " 5 por x al cuadrado nos queda 5x al cuadrado, m\u00e1s 5 por todo esto nos da 10x por delta de x"}, {"start": 305.5, "end": 312.5, "text": " m\u00e1s 5 que multiplica a ese componente, 5 por delta de x al cuadrado"}, {"start": 312.5, "end": 317.5, "text": " Ahora vamos con menos 7 que afecta cada uno de esos cuatro t\u00e9rminos"}, {"start": 317.5, "end": 327.5, "text": " tenemos menos 7 por x al cubo es menos 7x al cubo, menos 7 por esto nos da menos 21"}, {"start": 327.5, "end": 334.5, "text": " x al cuadrado por delta de x, vamos a continuar por ac\u00e1"}, {"start": 334.5, "end": 344.5, "text": " menos 7 por esto nos queda menos 21, x por delta de x al cuadrado"}, {"start": 344.5, "end": 352.5, "text": " y menos 7 por esto nos da menos 7 que multiplica a delta de x elevado al cubo"}, {"start": 352.5, "end": 360.5, "text": " Retomando la definici\u00f3n de la derivada, observamos que ya tenemos este componente"}, {"start": 360.5, "end": 368.5, "text": " se trata de toda esta expresi\u00f3n que encontramos, f de x es la funci\u00f3n que nos dan originalmente"}, {"start": 368.5, "end": 374.5, "text": " ahora vamos a encontrar el valor de toda esta diferencia"}, {"start": 374.5, "end": 390.5, "text": " tenemos que f de x m\u00e1s delta de x menos f de x ser\u00e1 igual a toda esta expresi\u00f3n que es el primer componente"}, {"start": 390.5, "end": 401.5, "text": " all\u00ed lo tenemos y vamos a protegerlo con corchete y todo eso menos el componente que es f de x"}, {"start": 401.5, "end": 409.5, "text": " vamos a protegerlo con par\u00e9ntesis, tenemos 5x al cuadrado menos 7x al cubo"}, {"start": 409.5, "end": 419.5, "text": " entonces repetimos, vamos a encontrar a que es igual esta diferencia y all\u00ed hemos escrito cada uno de los componentes"}, {"start": 419.5, "end": 426.5, "text": " a continuaci\u00f3n vamos a destruir los signos de agrupaci\u00f3n, es decir vamos a quitar este corchete"}, {"start": 426.5, "end": 432.5, "text": " vemos que a su izquierda no tenemos nada, o sea que all\u00ed hay signo positivo invisible"}, {"start": 432.5, "end": 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entre s\u00ed"}, {"start": 483.5, "end": 493.5, "text": " y tambi\u00e9n observamos lo mismo con estos dos, este t\u00e9rmino es semejante con este, este est\u00e1 negativo, este est\u00e1 positivo"}, {"start": 493.5, "end": 497.5, "text": " por lo tanto es perfectamente el\u00edcito eliminarlos"}, {"start": 497.5, "end": 506.5, "text": " entonces veamos como nos queda la expresi\u00f3n para f de x m\u00e1s delta de x menos f de x"}, {"start": 506.5, "end": 518.5, "text": " escribimos los t\u00e9rminos que quedaron, comenzamos con 10x por delta de x m\u00e1s 5 por delta de x al cuadrado"}, {"start": 518.5, "end": 529.5, "text": " esto menos 21x al cuadrado por delta de x menos, vamos a seguir por ac\u00e1"}, {"start": 529.5, "end": 542.5, "text": " menos 21x por delta de x al cuadrado y esto menos 7 por delta de x al cubo"}, {"start": 542.5, "end": 550.5, "text": " de nuevo vamos a retomar aqu\u00ed la definici\u00f3n para la derivada, all\u00ed podemos observarla"}, {"start": 550.5, "end": 557.5, "text": " entonces vamos a construir toda esa expresi\u00f3n con los elementos que ya conocemos"}, {"start": 557.5, "end": 568.5, "text": " tenemos que eso es igual al l\u00edmite cuando delta de x tiende a cero de toda esta expresi\u00f3n que fue lo que acabamos de encontrar"}, {"start": 568.5, "end": 580.5, "text": " entonces vamos a escribirla por ac\u00e1, all\u00ed podemos observarla y todo eso lo tenemos sobre delta de x"}, {"start": 580.5, "end": 589.5, "text": " enseguida tenemos que darle soluci\u00f3n a este l\u00edmite, r\u00e1pidamente podemos observar que si delta de x toma el valor cero"}, {"start": 589.5, "end": 596.5, "text": " vemos que como delta de x est\u00e1 presente en todos los t\u00e9rminos del numerador entonces todo eso nos da cero"}, {"start": 596.5, "end": 604.5, "text": " y ac\u00e1 en el denominador tambi\u00e9n tendr\u00edamos cero, o sea que en principio este l\u00edmite nos dar\u00eda cero sobre cero"}, {"start": 604.5, "end": 613.5, "text": " que es una forma indeterminada y ya sabemos que esto no es un resultado aceptable para un l\u00edmite"}, {"start": 613.5, "end": 625.5, "text": " entonces lo que vamos a hacer es solucionar ese problema de la indeterminaci\u00f3n factorizando el numerador"}, {"start": 625.5, "end": 633.5, "text": " como delta de x est\u00e1 presente en todos los t\u00e9rminos podemos extraer ese componente como factor com\u00fan"}, {"start": 633.5, "end": 656.5, "text": " entonces tendremos as\u00ed delta de x es factor de 10x m\u00e1s 5 por delta de x menos 21x al cuadrado menos 21x por delta de x"}, {"start": 656.5, "end": 666.5, "text": " y ac\u00e1 tenemos menos 7 por delta de x al cuadrado y cerramos el corchete del numerador"}, {"start": 666.5, "end": 678.5, "text": " hemos extra\u00eddo factor com\u00fan delta de x, ahora tenemos todo eso sobre delta de x y all\u00ed es perfectamente liso"}, {"start": 678.5, "end": 688.5, "text": " e eliminar este componente delta de x es el causante del cero sobre cero que hab\u00edamos tenido hace un momento"}, {"start": 688.5, "end": 698.5, "text": " entonces aqu\u00ed ya logramos deshacernos de ese elemento problema que nos estaba indeterminando la expresi\u00f3n"}, {"start": 698.5, "end": 714.5, "text": " entonces la derivada f' de x nos queda as\u00ed, l\u00edmite cuando delta de x tiende a cero de todo esto que tenemos en el corchete"}, {"start": 714.5, "end": 725.5, "text": " all\u00ed podemos observar esa expresi\u00f3n y finalmente vamos a evaluar todo esto cuando delta de x toma el valor cero"}, {"start": 725.5, "end": 733.5, "text": " como vimos anteriormente ya se elimin\u00f3 el factor problema, el componente que estaba indeterminando la expresi\u00f3n"}, {"start": 733.5, "end": 745.5, "text": " o sea que esto ya lo hacemos con toda tranquilidad, decimos entonces 10x m\u00e1s 5 por delta de x pero delta de x es cero"}, {"start": 745.5, "end": 760.5, "text": " menos 21x al cuadrado menos 21x por delta de x o sea 21x 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