ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 12
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica.

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 Vamos a resolver esta ecuación logarítmica. Observamos en ella el logaritmo natural que es el que tiene la base E, o sea el número de Euler. Vamos a encontrar en esta ocasión el valor o los valores de la incógnita X que hacen verdadera esa igualdad. Comenzamos aplicando estas propiedades de los logaritmos. En el lado izquierdo observamos el número 2 que multiplica al logaritmo natural de X, es decir tenemos esta situación y podemos llevarla a esto que tenemos acá en el lado izquierdo de esta igualdad. Como se observa esta cantidad que está multiplicando pasa a convertirse en exponente en el argumento tal como observamos aquí. Entonces allá tendremos logaritmo natural de X al cuadrado. El 2 pasa a convertirse en exponente de X. Y en el lado derecho tenemos una resta de logaritmos, es decir esta situación que como se observa puede convertirse en el logaritmo de un cociente. Entonces de acuerdo con esta propiedad esto nos va a quedar como logaritmo natural de 4X más 6 sobre 2. Ahora utilizamos esta otra propiedad. Si tenemos la igualdad de dos logaritmos en la misma base, en este caso se trata de logaritmo natural, entonces sus argumentos necesariamente tienen que ser iguales. En este caso podemos decir entonces que X al cuadrado debe ser igual a 4X más 6 y todo esto sobre 2. Ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuación. Para ello pasamos este número 2 que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Dividimos 2X al cuadrado igual a 4X más 6. Una ecuación que es de segundo grado, o sea una ecuación cuadrática. Como se observa todos los números que tenemos en esta ecuación son números pares, o sea que son divisibles por 2. Podemos entonces dividir ambos lados de esa igualdad entre 2 con el fin de simplificar esa ecuación. Si acá dividimos entre 2, tendremos X al cuadrado. Y en el lado derecho dividimos por 2 cada uno de los términos. 4X dividido entre 2 nos da 2X y el término más 6 dividido entre 2 nos dará más 3. Ahora vamos a pasar estos términos para el lado izquierdo con el fin de que la ecuación cuadrática nos quede igualada a 0. Tendremos X al cuadrado menos 2X menos 3 y todo esto igual a 0. Estos términos que están positivos pasan al lado izquierdo con signo negativo. Y aquí ya hemos llevado la ecuación a la forma X al cuadrado más BX más C igual a 0. O sea, la forma que distingue una ecuación cuadrática o de segundo grado. Para resolver este tipo de ecuaciones contamos con dos caminos principales. Uno de ellos es la factorización si vemos que esta expresión es fácilmente factorizable. Y el otro es el de la fórmula cuadrática o fórmula general. En este caso esta expresión la podemos factorizar, corresponde a un trinomio de la forma X al cuadrado más BX más C. Entonces abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada de este término que es X y la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Luego definimos los signos. Acá tenemos signo positivo, más por menos nos da menos que es el signo del primer paréntesis y acá tenemos menos por menos que nos da más y es el signo del segundo paréntesis. Ahora tenemos que buscar dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados nos den menos tres y que al sumarlos entre sí nos den como resultado menos dos. Esos números son menos tres y uno. Y todo esto debe quedar igualado a cero. Y debemos aplicar el teorema del factor nulo que dice lo siguiente. Si A por B es igual a cero, entonces A es igual a cero o B es igual a cero. En este caso X menos tres actúa como A y X más uno actúa como B. Entonces siguiendo esta indicación tendremos que X menos tres es igual a cero o X más uno también debe ser igual a cero. Enseguida debemos resolver cada una de estas situaciones para la variable X. De aquí X nos da como resultado tres. Tres que está restando pasa al otro lado a sumar con cero y de acá obtenemos que X es igual a menos uno. Uno que está sumando pasa al otro lado a restar y por eso obtenemos ese resultado. De esta manera hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado. Pero allí no termina nuestro ejercicio porque no podemos olvidar que se trata de una ecuación logarítmica. Debemos revisar si estas soluciones realmente satisfacen la expresión original. Por ejemplo menos uno tiene problemas aquí porque recordemos que los logaritmos no están definidos para cantidades negativas. Por lo tanto esta opción debe descartarse. Revisando la otra opción X igual a tres vemos que en estos logaritmos no hay ningún inconveniente porque siempre nos garantiza argumento positivo. Por eso concluimos que X igual a tres es la única solución de esta ecuación logarítmica.
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371.88, "text": " Debemos revisar si estas soluciones realmente satisfacen la expresi\u00f3n original."}, {"start": 371.88, "end": 378.08, "text": " Por ejemplo menos uno tiene problemas aqu\u00ed porque recordemos que los logaritmos no est\u00e1n"}, {"start": 378.08, "end": 381.2, "text": " definidos para cantidades negativas."}, {"start": 381.2, "end": 385.47999999999996, "text": " Por lo tanto esta opci\u00f3n debe descartarse."}, {"start": 385.47999999999996, "end": 392.03999999999996, "text": " Revisando la otra opci\u00f3n X igual a tres vemos que en estos logaritmos no hay ning\u00fan"}, {"start": 392.03999999999996, "end": 397.15999999999997, "text": " inconveniente porque siempre nos garantiza argumento positivo."}, {"start": 397.16, "end": 408.68, "text": " Por eso concluimos que X igual a tres es la \u00fanica soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}]