Ejercicio 1 de PARÁBOLA
#julioprofe explica cómo graficar una parábola si se conoce su vértice y foco. Además, cómo hallar su ecuación estándar y general.

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 Construir la parábola con vértice en el punto 3,2 y foco en el punto 3,4. Haya su ecuación estándar y su ecuación general. Bien, comenzamos este ejercicio dibujando un plano cartesiano y en él vamos a localizar la información que nos dan. Entonces ubicamos el vértice que se encuentra en la coordenada 3,2. Entonces subimos por 3 hasta llegar a 2 y allí tenemos el vértice. Es la coordenada 3,2. Y nos dan también el foco que se encuentra en la coordenada 3,4. Subimos por 3 hasta llegar a 4, tenemos este punto y allí ubicamos el foco. Coordenada 3,4. Allí ya podemos ver que el eje de la parábola, lo que se llama el eje de simetría, será vertical. Será una recta que pasa por el foco y por el vértice y por el número 3. Entonces el eje de simetría será la recta x igual a 3. Vamos a dibujarla. Allí tenemos el eje de simetría que como dijimos es la ecuación x igual a 3. Una recta vertical que pasa por la abscisa 3. Ya podemos decidir qué tipo de parábola vamos a trabajar. Sería una parábola vertical que abre hacia arriba. Recordemos que la parábola pasa por el vértice y su foco debe quedar en el interior de la misma. Entonces más o menos esta será la forma de esa parábola. Vamos a conseguir más información que nos permita dibujarla con precisión. Sabemos que la distancia del vértice al foco es lo que se conoce como P. En este caso P vale 2 unidades. La distancia que hay desde 2 hasta 4. Esa misma distancia tenemos que contabilizarla hacia afuera de la parábola. Hemos dicho que la parábola viene así. Entonces hacia el exterior de la misma medimos esa misma distancia P que vale 2 unidades. Por lo tanto llegamos aquí al eje x. Por allí va a pasar lo que se llama la directriz de la parábola. En este caso la directriz será una recta que coincide con el eje x. Y su ecuación es y igual a 0. Entonces ya tenemos la directriz con su ecuación. Otro elemento importante de la parábola es el lado recto. El lado recto es un segmento que es perpendicular al eje de simetría y que pasa por el foco. Y su longitud es igual a 4 veces P. Como en este caso P vale 2. Entonces 2 lo multiplicamos por 4 y eso nos da 8. Entonces este segmento tendrá una longitud de 8 unidades. Lo que hacemos es repartir del foco a la izquierda 4 unidades y del foco a la derecha otras 4 unidades. Entonces si del foco hacia la izquierda nos movemos 4 unidades, estaríamos haciendo lo siguiente. A 3 le restamos 4 y llegamos a menos 1. Por lo tanto tendremos este punto. Y del foco hacia la derecha nos movemos 4 unidades. Entonces a 3 le sumamos 4 y llegamos a 7. Por lo tanto aquí tenemos el otro punto. Este lo podemos llamar el punto L y este lo podemos llamar R. Como las iniciales de lo que será el lado recto. Es decir todo este segmento. Vamos a trazar entonces el lado recto y también la parábola. Allí tenemos en color verde el lado recto que se define como la cuerda perpendicular al eje de simetría que pasa por el foco. Se llama cuerda porque toca dos puntos de la parábola. Como habíamos dicho los extremos son los puntos L y R. Por ejemplo L tiene coordenada menos 1,4 y R tiene coordenada 7,4. Bien, allí tenemos entonces ya la parábola dibujada con un poco más de precisión. Vamos a entrar a encontrar las ecuaciones que nos pide el ejercicio. Para ello necesitamos entonces el vértice que es la coordenada 3,2 y que será la pareja H,K. Y también necesitamos el valor de P que es igual a 2 y el modelo correspondiente a una parábola vertical que abre hacia arriba. Ese modelo es el que apreciamos en este momento. Dice que x menos h al cuadrado es igual a más 4p que multiplica a y menos k. El signo más se debe a que la parábola abre sus ramas hacia arriba. Decíamos que necesitamos el vértice y el valor de P. El vértice es la pareja H,K que son los valores que van a ingresar a la formulita. Entonces vamos a reemplazar. Sería x menos el valor de h que es 3 al cuadrado es igual a más 4 que multiplica P que es igual a 2. Y que multiplica a y menos k que vale 2. Esto nos queda x menos 3 al cuadrado es igual a 8 que multiplica a y menos 2. Esta sería entonces la ecuación estándar o ecuación canónica. También se conoce con ese nombre para esta parábola. Entonces ya hemos dado cumplimiento a la primera pregunta. A partir de esta ecuación de este modelo encontrado vamos a llegar a la ecuación general. Veamos, debemos hacer el desarrollo de este binomio al cuadrado y hacer aquí la propiedad distributiva con el 8. Entonces recordemos que un binomio al cuadrado se desarrolla así. El cuadrado del primer término es decir x al cuadrado menos el doble producto del primero por el segundo. Entonces 2 por x por 3 nos da 6x. Más el segundo término elevado al cuadrado 3 al cuadrado nos da 9. Y esto es igual a la propiedad distributiva con el 8 nos queda 8y menos 16. Ahora lo que hacemos es pasar estos dos términos al lado izquierdo de tal manera que la ecuación nos quede igualada a 0. Entonces nos queda así, pasa menos 8y, pasa más 16 y esto queda igualado a 0. Finalmente organizamos la ecuación de la siguiente manera. Primero con la variable que se encuentra al cuadrado, en este caso x. Luego el término que contiene la x que sería 6x. Después el que contiene la y, menos 8y. Y al final la suma de los términos independientes 9 más 16 nos da 25 y esto queda igualado a 0. Esa sería entonces la ecuación general para esta parábola. Y de esta manera hemos terminado nuestro ejercicio. Hemos encontrado las dos ecuaciones que nos pedían.
[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Construir la par\u00e1bola con v\u00e9rtice en el punto 3,2 y foco en el punto 3,4."}, {"start": 9.0, "end": 15.0, "text": " Haya su ecuaci\u00f3n est\u00e1ndar y su ecuaci\u00f3n general."}, {"start": 15.0, "end": 24.0, "text": " Bien, comenzamos este ejercicio dibujando un plano cartesiano y en \u00e9l vamos a localizar la informaci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 24.0, "end": 31.0, "text": " Entonces ubicamos el v\u00e9rtice que se encuentra en la coordenada 3,2."}, {"start": 31.0, "end": 37.0, "text": " Entonces subimos por 3 hasta llegar a 2 y all\u00ed tenemos el v\u00e9rtice."}, {"start": 37.0, "end": 42.0, "text": " Es la coordenada 3,2."}, {"start": 42.0, "end": 48.0, "text": " Y nos dan tambi\u00e9n el foco que se encuentra en la coordenada 3,4."}, {"start": 48.0, "end": 57.0, "text": " Subimos por 3 hasta llegar a 4, tenemos este punto y all\u00ed ubicamos el foco."}, {"start": 57.0, "end": 59.0, "text": " Coordenada 3,4."}, {"start": 59.0, "end": 67.0, "text": " All\u00ed ya podemos ver que el eje de la par\u00e1bola, lo que se llama el eje de simetr\u00eda, ser\u00e1 vertical."}, {"start": 67.0, "end": 73.0, "text": " Ser\u00e1 una recta que pasa por el foco y por el v\u00e9rtice y por el n\u00famero 3."}, {"start": 73.0, "end": 78.0, "text": " Entonces el eje de simetr\u00eda ser\u00e1 la recta x igual a 3."}, {"start": 78.0, "end": 80.0, "text": " Vamos a dibujarla."}, {"start": 80.0, "end": 88.0, "text": " All\u00ed tenemos el eje de simetr\u00eda que como dijimos es la ecuaci\u00f3n x igual a 3."}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " Una recta vertical que pasa por la abscisa 3."}, {"start": 93.0, "end": 98.0, "text": " Ya podemos decidir qu\u00e9 tipo de par\u00e1bola vamos a trabajar."}, {"start": 98.0, "end": 101.0, "text": " Ser\u00eda una par\u00e1bola vertical que abre hacia arriba."}, {"start": 101.0, "end": 110.0, "text": " Recordemos que la par\u00e1bola pasa por el v\u00e9rtice y su foco debe quedar en el interior de la misma."}, {"start": 110.0, "end": 114.0, "text": " Entonces m\u00e1s o menos esta ser\u00e1 la forma de esa par\u00e1bola."}, {"start": 114.0, "end": 120.0, "text": " Vamos a conseguir m\u00e1s informaci\u00f3n que nos permita dibujarla con precisi\u00f3n."}, {"start": 120.0, "end": 128.0, "text": " Sabemos que la distancia del v\u00e9rtice al foco es lo que se conoce como P."}, {"start": 128.0, "end": 132.0, "text": " En este caso P vale 2 unidades."}, {"start": 132.0, "end": 135.0, "text": " La distancia que hay desde 2 hasta 4."}, {"start": 135.0, "end": 142.0, "text": " Esa misma distancia tenemos que contabilizarla hacia afuera de la par\u00e1bola."}, {"start": 142.0, "end": 144.0, "text": " Hemos dicho que la par\u00e1bola viene as\u00ed."}, {"start": 144.0, "end": 151.0, "text": " Entonces hacia el exterior de la misma medimos esa misma distancia P que vale 2 unidades."}, {"start": 151.0, "end": 155.0, "text": " Por lo tanto llegamos aqu\u00ed al eje x."}, {"start": 155.0, "end": 161.0, "text": " Por all\u00ed va a pasar lo que se llama la directriz de la par\u00e1bola."}, {"start": 161.0, "end": 169.0, "text": " En este caso la directriz ser\u00e1 una recta que coincide con el eje x."}, {"start": 169.0, "end": 173.0, "text": " Y su ecuaci\u00f3n es y igual a 0."}, {"start": 173.0, "end": 178.0, "text": " Entonces ya tenemos la directriz con su ecuaci\u00f3n."}, {"start": 178.0, "end": 184.0, "text": " Otro elemento importante de la par\u00e1bola es el lado recto."}, {"start": 184.0, "end": 191.0, "text": " El lado recto es un segmento que es perpendicular al eje de simetr\u00eda y que pasa por el foco."}, {"start": 191.0, "end": 195.0, "text": " Y su longitud es igual a 4 veces P."}, {"start": 195.0, "end": 197.0, "text": " Como en este caso P vale 2."}, {"start": 197.0, "end": 202.0, "text": " Entonces 2 lo multiplicamos por 4 y eso nos da 8."}, {"start": 202.0, "end": 207.0, "text": " Entonces este segmento tendr\u00e1 una longitud de 8 unidades."}, {"start": 207.0, "end": 217.0, "text": " Lo que hacemos es repartir del foco a la izquierda 4 unidades y del foco a la derecha otras 4 unidades."}, {"start": 217.0, "end": 223.0, "text": " Entonces si del foco hacia la izquierda nos movemos 4 unidades, estar\u00edamos haciendo lo siguiente."}, {"start": 223.0, "end": 226.0, "text": " A 3 le restamos 4 y llegamos a menos 1."}, {"start": 226.0, "end": 230.0, "text": " Por lo tanto tendremos este punto."}, {"start": 230.0, "end": 234.0, "text": " Y del foco hacia la derecha nos movemos 4 unidades."}, {"start": 234.0, "end": 238.0, "text": " Entonces a 3 le sumamos 4 y llegamos a 7."}, {"start": 238.0, "end": 242.0, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed tenemos el otro punto."}, {"start": 242.0, "end": 247.0, "text": " Este lo podemos llamar el punto L y este lo podemos llamar R."}, {"start": 247.0, "end": 251.0, "text": " Como las iniciales de lo que ser\u00e1 el lado recto."}, {"start": 251.0, "end": 253.0, "text": " Es decir todo este segmento."}, {"start": 253.0, "end": 258.0, "text": " Vamos a trazar entonces el lado recto y tambi\u00e9n la par\u00e1bola."}, {"start": 258.0, "end": 270.0, "text": " All\u00ed tenemos en color verde el lado recto que se define como la cuerda perpendicular al eje de simetr\u00eda que pasa por el foco."}, {"start": 270.0, "end": 274.0, "text": " Se llama cuerda porque toca dos puntos de la par\u00e1bola."}, {"start": 274.0, "end": 278.0, "text": " Como hab\u00edamos dicho los extremos son los puntos L y R."}, {"start": 278.0, "end": 289.0, "text": " Por ejemplo L tiene coordenada menos 1,4 y R tiene coordenada 7,4."}, {"start": 289.0, "end": 296.0, "text": " Bien, all\u00ed tenemos entonces ya la par\u00e1bola dibujada con un poco m\u00e1s de precisi\u00f3n."}, {"start": 296.0, "end": 301.0, "text": " Vamos a entrar a encontrar las ecuaciones que nos pide el ejercicio."}, {"start": 301.0, "end": 310.0, "text": " Para ello necesitamos entonces el v\u00e9rtice que es la coordenada 3,2 y que ser\u00e1 la pareja H,K."}, {"start": 310.0, "end": 320.0, "text": " Y tambi\u00e9n necesitamos el valor de P que es igual a 2 y el modelo correspondiente a una par\u00e1bola vertical que abre hacia arriba."}, {"start": 320.0, "end": 324.0, "text": " Ese modelo es el que apreciamos en este momento."}, {"start": 324.0, "end": 331.0, "text": " Dice que x menos h al cuadrado es igual a m\u00e1s 4p que multiplica a y menos k."}, {"start": 331.0, "end": 336.0, "text": " El signo m\u00e1s se debe a que la par\u00e1bola abre sus ramas hacia arriba."}, {"start": 336.0, "end": 341.0, "text": " Dec\u00edamos que necesitamos el v\u00e9rtice y el valor de P."}, {"start": 341.0, "end": 348.0, "text": " El v\u00e9rtice es la pareja H,K que son los valores que van a ingresar a la formulita."}, {"start": 348.0, "end": 361.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar. Ser\u00eda x menos el valor de h que es 3 al cuadrado es igual a m\u00e1s 4 que multiplica P que es igual a 2."}, {"start": 361.0, "end": 367.0, "text": " Y que multiplica a y menos k que vale 2."}, {"start": 367.0, "end": 377.0, "text": " Esto nos queda x menos 3 al cuadrado es igual a 8 que multiplica a y menos 2."}, {"start": 377.0, "end": 383.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la ecuaci\u00f3n est\u00e1ndar o ecuaci\u00f3n can\u00f3nica."}, {"start": 383.0, "end": 387.0, "text": " Tambi\u00e9n se conoce con ese nombre para esta par\u00e1bola."}, {"start": 387.0, "end": 394.0, "text": " Entonces ya hemos dado cumplimiento a la primera pregunta."}, {"start": 394.0, "end": 403.0, "text": " A partir de esta ecuaci\u00f3n de este modelo encontrado vamos a llegar a la ecuaci\u00f3n general."}, {"start": 403.0, "end": 411.0, "text": " Veamos, debemos hacer el desarrollo de este binomio al cuadrado y hacer aqu\u00ed la propiedad distributiva con el 8."}, {"start": 411.0, "end": 415.0, "text": " Entonces recordemos que un binomio al cuadrado se desarrolla as\u00ed."}, {"start": 415.0, "end": 422.0, "text": " El cuadrado del primer t\u00e9rmino es decir x al cuadrado menos el doble producto del primero por el segundo."}, {"start": 422.0, "end": 427.0, "text": " Entonces 2 por x por 3 nos da 6x."}, {"start": 427.0, "end": 433.0, "text": " M\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado 3 al cuadrado nos da 9."}, {"start": 433.0, "end": 442.0, "text": " Y esto es igual a la propiedad distributiva con el 8 nos queda 8y menos 16."}, {"start": 442.0, "end": 454.0, "text": " Ahora lo que hacemos es pasar estos dos t\u00e9rminos al lado izquierdo de tal manera que la ecuaci\u00f3n nos quede igualada a 0."}, {"start": 454.0, "end": 461.0, "text": " Entonces nos queda as\u00ed, pasa menos 8y, pasa m\u00e1s 16 y esto queda igualado a 0."}, {"start": 461.0, "end": 464.0, "text": " Finalmente organizamos la ecuaci\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 464.0, "end": 468.0, "text": " Primero con la variable que se encuentra al cuadrado, en este caso x."}, {"start": 468.0, "end": 472.0, "text": " Luego el t\u00e9rmino que contiene la x que ser\u00eda 6x."}, {"start": 472.0, "end": 475.0, "text": " Despu\u00e9s el que contiene la y, menos 8y."}, {"start": 475.0, "end": 483.0, "text": " Y al final la suma de los t\u00e9rminos independientes 9 m\u00e1s 16 nos da 25 y esto queda igualado a 0."}, {"start": 483.0, "end": 491.0, "text": " Esa ser\u00eda entonces la ecuaci\u00f3n general para esta par\u00e1bola."}, {"start": 491.0, "end": 497.0, "text": " Y de esta manera hemos terminado nuestro ejercicio."}, {"start": 497.0, "end": 514.0, "text": " Hemos encontrado las dos ecuaciones que nos ped\u00edan."}]