93. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 14)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 93: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 14).

Un avión de combate, que vuela horizontalmente sobre el océano a 1800 km/h, suelta una bomba. Ocho segundos después, la bomba hace impacto en el agua. (a) ¿A qué altitud volaba el avión? (b) ¿Qué distancia recorrió la bomba horizontalmente? (c) ¿Cuál es la magnitud y dirección de la velocidad de la bomba justo antes de hacer impacto? 

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema tenemos el caso de un avión de combate que vuela horizontalmente por encima del océano a una velocidad de 1800 km por hora. Si esa velocidad la convertimos a metros por segundo obtenemos 500. Si vamos a omitir la conversión porque es algo que ya sabemos hacer, obtendríamos 500 metros por segundo. El avión suelta una bomba y esa bomba sale con una velocidad horizontal, una velocidad inicial igual a la del avión, es decir 500 metros por segundo. La bomba va a describir una trayectoria semi parabólica hasta que hace impacto en el mar después de ocho segundos. Entonces tenemos tiempo de vuelo igual a ocho segundos. Recordemos que el tiempo cero es el momento en que se inicia el movimiento. Las preguntas de este problema son las siguientes. A qué altura por encima del nivel del mar está volando el avión? Esa H. Que distancia horizontal recorre la bomba? Lo que conocemos como el alcance máximo horizontal, X máximo. Y también nos preguntan cuál es la magnitud y dirección de la velocidad de la bomba justo antes de hacer impacto en el mar, es decir el vector velocidad final, encontrar su magnitud y su dirección. Entonces vamos a enmarcar como siempre este problema en el primer cuadrante de un plano cartesiano de ejes X y en metros. Vamos a dibujarlo por acá. Bien allí lo tenemos, observamos en color verde la trayectoria de la bomba. Observamos también el vector velocidad inicial que es 500 metros por segundo, tiempo cero el momento en que comienza a moverse la bomba, tiempo de vuelo ocho segundos. Observamos H que es la altura sobre el nivel del mar a la que vuela el avión. Tenemos X máximo, la distancia desde aquí hasta aquí, es decir el alcance máximo horizontal de la bomba. Y tenemos el vector velocidad final, este que apreciamos aquí lo hemos dibujado por acá. Y de una vez vemos las componentes, esta componente horizontal de la velocidad final recordemos que es la misma velocidad en X que en este caso es la misma velocidad inicial. Entonces de una vez podemos decir que esta componente que sería velocidad final en X vale 500 metros por segundo. Y esta otra componente es la componente velocidad final en Y que tendremos que calcular más adelante. A continuación vamos a construir las ecuaciones cinemáticas para el movimiento semi parabólico de la bomba. Comenzamos como siempre con la ecuación de posición en Y, anotamos el modelo y reemplazamos allí la información que tenemos. Veamos, la gravedad la tomamos como 10 metros por segundo cuadrado, la velocidad inicial es 500 metros por segundo, el ángulo es 0 grados. Recordemos que en el caso del movimiento semi parabólico theta vale 0 grados por el tiempo más la posición inicial en Y que es h. El seno de 0 grados vale 0 por lo tanto todo este termino vale 0 y nos queda Y igual a menos 5t cuadrado más h. Esta será la ecuación número 1 para este problema. De una vez hacemos la derivada de la posición en Y con respecto al tiempo para encontrar la expresión para la velocidad en Y en todo momento. Veamos, derivada de menos 5t cuadrado es menos 10t y la derivada de h es 0. Tenemos entonces la ecuación número 2 para este problema. Vamos a anotar estas dos ecuaciones por aquí. Ahora procedemos a encontrar la ecuación de posición en X. Entonces escribimos el modelo y reemplazamos los datos que se conocen. Velocidad inicial 500 metros por segundo, el ángulo theta vale 0 grados por el tiempo t más la posición inicial en X que vale 0. El coseno de 0 grados equivale a 1 y tenemos que X es igual a 500t. Esta será la ecuación número 3. Y si la derivamos, tenemos la velocidad en X que en este caso es igual a 500. Si la derivada de 500t nos da 500 metros por segundo, lo que confirma, como siempre, que en el movimiento de proyectiles la componente en X permanece constante durante todo el movimiento. Por aquí anotamos la ecuación 3 y comenzamos con el análisis del problema. Decimos que cuando el tiempo es igual a tiempo de vuelo que es 8 segundos, es decir, aquí en este instante tenemos que la posición Y de la bomba es 0. Entonces esta información la podemos sustituir en la ecuación número 1 que vamos a escribir aquí. Bien, en esta ecuación reemplazamos la información y es igual a 0, el tiempo se sustituye por 8 y vamos a despejar H. Resolvemos esta operación 8 al cuadrado 64, 64 por menos 5 nos da menos 320 y haciendo el despeje de H nos da 320 metros. Esta será entonces la respuesta a la pregunta A del problema. Es la altura a la que vuela el avión por encima del mar. Anotamos en el dibujo el resultado obtenido y a continuación decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, igual a 8 segundos, tenemos que la posición X de la bomba es X máximo, es decir, el alcance máximo horizontal. Esta información la sustituimos en la ecuación número 3 que dice X igual a 500T. Donde está X reemplazamos X máximo, donde está el tiempo reemplazamos el 8. Nos da un alcance máximo horizontal igual a 4000 metros, es decir, un equivalente a 4 kilómetros. Esta será entonces la respuesta a la pregunta B y hace referencia a la distancia horizontal que recorre la bomba. Anotamos por aquí el resultado obtenido y a continuación decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, igual a 8 segundos, entonces la componente vertical de la velocidad es velocidad final en Y, esta componente que tenemos aquí. Esta información la reemplazamos en la ecuación número 2, entonces la escribimos y sustituimos estos datos. Velocidad en Y es la componente velocidad final en Y igual a menos 10 por el tiempo que es 8 segundos, eso nos da menos 80 en metros por segundo. Este resultado vamos entonces a escribirlo aquí donde tenemos la velocidad final en Y, sería igual a menos 80 en metros por segundos. A continuación vamos a determinar la magnitud del vector velocidad final, recordemos que esto es igual a la raíz cuadrada de la componente en X al cuadrado más la componente en Y al cuadrado. Reemplazamos los datos velocidad final en X, vale 500 metros por segundo, esto queda al cuadrado, y la velocidad final en Y nos dio menos 80 al cuadrado. Haciendo toda esa operación, en la calculadora nos da como resultado 506.36 metros por segundo. Vamos a hacer entonces la rapidez final de la bomba justo antes de hacer impacto con el mar, es decir la magnitud del vector velocidad final. Y vamos a determinar la dirección de ese vector, entonces vamos a encontrar este ángulo que vamos a llamar alfa. Si decimos tangente de alfa, se define como el cateto opuesto que sería la componente en Y de la velocidad final sobre el cateto adyacente que es la componente en X de esa velocidad. Replazando la velocidad final en Y, vale menos 80, la velocidad final en X, vale 500, simplificando al máximo esa fracción, nos queda menos 425 ous. Si eliminando el cero, sacando mitad a 8 y a 50, nos queda menos 425 ous. En la calculadora científica, hallamos alfa aplicando tangente de la menos 1, de menos 425 ous, si la función inversa de la tangente y nos da como resultado un ángulo alfa de menos 9.1 grados. Ese es entonces el ángulo por debajo de la horizontal que forma el vector velocidad final. Entonces ya tenemos con estos dos datos la respuesta a la pregunta C. Tenemos magnitud y dirección del vector velocidad final de la bomba. Gracias por ver el vídeo.
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