ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos de diferentes bases.

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 Vamos a resolver esta ecuación donde podemos observar logaritmos con diferentes bases. Comenzamos utilizando una propiedad de los logaritmos llamada cambio de base. Esta propiedad dice lo siguiente. Si tenemos el logaritmo en base A de una cantidad X, esto se puede escribir como logaritmo en base C de X. Todo esto sobre logaritmo en base C de A. Nos permite pasar de la base A a otra base, en este caso llamada C, a una base que sea de nuestro interés. En este caso nos conviene llevar todos estos logaritmos a la base 3. Vamos a utilizar esta propiedad para cambiar estos dos logaritmos en dicha base. Nos queda logaritmo en base 3 de X. Este primer logaritmo no sufre ningún cambio. Vamos con este que lo vamos a convertir en logaritmo base 3 utilizando el cambio de base. Nos queda logaritmo en base 3 de X sobre logaritmo en base 3 de 9. Hacemos lo mismo con este logaritmo. Tendremos logaritmo en base 3 de X sobre logaritmo en base 3 de 27. Todo esto igualado a 55 sextos. Hemos visto como con la propiedad del cambio de base se han transformado estos dos logaritmos a expresiones con logaritmo en base 3. Ahora vamos a ver a cuanto equivalen estos dos logaritmos. Recordemos que el logaritmo en la base A de una cantidad B igual a una cantidad C significa que A elevada al exponente C nos tiene que dar como resultado B. Y esto es de doble vía. Forma logaritmica, forma exponencial. Podemos pasar de una a la otra. Vamos a ver a cuanto equivale logaritmo en base 3 de 9 haciendo uso de esta definición. Si tenemos logaritmo en base 3 de 9 esto será igual al número al cual tenemos que elevar el 3 para que nos de como resultado 9. Ese número es el 2. 3 elevado a la 2, o sea 3 al cuadrado nos da como resultado 9 utilizando esta definición. Y también podemos encontrar el valor del logaritmo en base 3 de 27. 3 elevado a que número nos da 27? Ese número que buscamos es el 3. 3 elevado a la 3, o sea 3 al cubo nos da como resultado 27. Estamos utilizando la definición de los logaritmos. Entonces este logaritmo en base 3 de 9 se convierte en 2. Y este logaritmo en base 3 de 27 se convierte en 3. Podemos entonces escribir la ecuación de esta manera. Aquí observamos el 2 que obtuvimos, el 3 que nos dio por aquí. Y al primer logaritmo simplemente le escribimos denominador 1. Ahora nuestro problema es resolver esta suma de fracciones con distinto denominador. O sea, fracciones heterogéneas. En ese caso necesitamos el mínimo común múltiplo de estos 3 números que es el 6. Entonces vamos a trazar esta línea y vamos a escribir el número 6 aquí como común denominador. Entonces decimos 6 dividido entre 1 nos da 6. 6 multiplica por esto y nos queda 6 logaritmo en base 3 de X. Más 6 dividido entre 2 que nos da 3. 3 multiplica con esto nos da 3 logaritmo en base 3 de X. Más 6 dividido entre 3 que nos da 2. 2 multiplica con esto y nos da 2 logaritmo en base 3 de X. Y todo esto lo igualamos con 55 sextos. En el numerador observamos la suma de términos semejantes. Todos tienen logaritmo en base 3 de X. Entonces sumamos los coeficientes. Eso nos da como resultado 11. Entonces 11 logaritmo en base 3 de X. Todo esto sobre 6 y eso igual a 55 sextos. En esta igualdad es permitido simplificar el número 6 que está en ambos denominadores. Es como si multiplicáramos por 6 ambos lados de la igualdad. Con eso lograríamos eliminar este denominador. Nos queda entonces 11 logaritmo en base 3 de X igual a 55. Después pasamos este número 11 que está multiplicando al otro lado a dividir. Tenemos logaritmo en base 3 de X igual a 55 dividido entre 11. Y eso nos da logaritmo en base 3 de X igual a 5 resolviendo esta división. Finalmente esto que está en forma logarítmica lo vamos a llevar a forma exponencial. Tal como vimos hace un momento. Nos damos que 3 elevado al exponente 5 nos tiene que dar como resultado X. Entonces 3 a la 5 es igual a X. Desarrollamos esta potencia y nos da como resultado X igual a 243. Que será la solución a esta ecuación. Y hasta entonces terminamos este ejercicio.
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