ECUACIONES DE TERCER GRADO - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación de tercer grado.

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 Vamos a resolver esta ecuación que es de tercer grado y que por lo tanto debe tener tres soluciones en el conjunto de los números complejos. Comenzamos revisando si este polinomio puede factorizarse utilizando los casos más frecuentes como factor común o factor común por agrupación de términos. Vemos que no es así. Entonces vamos a utilizar el procedimiento de la división sintética. Comenzamos determinando el conjunto de valores de P, que serán los divisores del término independiente. Aunque aquí tenemos menos diez, acá podemos considerar simplemente diez. Entonces los divisores de ese número, los divisores enteros, comenzando por el más pequeño son más o menos uno, más o menos dos, más o menos cinco y más o menos diez. Para verificar que ese conjunto está completo, podemos hacer lo siguiente. Multiplicamos los números extremos. Uno por diez nos da diez y luego los números que nos quedan, dos por cinco y vemos que efectivamente nos da diez. De esa manera comprobamos que no nos falta ningún divisor. Ahora vamos a determinar el conjunto de valores de Q, que son los divisores del coeficiente principal, es decir, el que corresponde al término de mayor exponente. Son entonces los divisores de uno, que será simplemente más o menos uno. A continuación vamos a determinar las posibles raíces racionales para ese polinomio, que serán las combinaciones P sobre Q que podamos construir con esos números. Pero como en este caso Q solamente tiene el valor uno, entonces nos van a quedar los números que corresponden al conjunto P, es decir, más o menos uno, más o menos dos, más o menos cinco y más o menos diez. Ahora sí podemos utilizar la división sintética para ver cuál de estos valores satisface esa ecuación. Comenzamos revisando que el polinomio esté organizado en forma descendente. Vemos que esa condición se cumple y vamos a anotar ahora los coeficientes de los términos. Para el primer término tenemos coeficiente uno, para el segundo tenemos coeficiente menos cuatro, para el tercero coeficiente menos tres y luego el término independiente que es menos diez. Podemos guiarnos colocando encima de cada número a qué término corresponde. Entonces para el último tenemos las iniciales del término independiente. Comenzamos el proceso de la división sintética intentando con el valor uno. Entonces bajamos el primer número, tenemos allí el uno, uno por uno nos da uno, lo escribimos aquí, hacemos la suma en forma vertical, menos cuatro más uno nos da menos tres, menos tres lo multiplicamos por uno, eso nos da menos tres, sumamos en forma vertical eso nos da menos seis, menos seis por uno es menos seis y al sumar en forma vertical nos da menos dieciséis. Como no hemos obtenido cero entonces este valor se descarta. Ahora vamos a intentar con menos uno. En el mismo proceso bajamos el uno, el primer número, luego multiplicamos uno por menos uno, eso nos da menos uno, sumamos en forma vertical eso nos da menos cinco, menos cinco por menos uno nos da cinco positivo, sumamos en forma vertical eso nos da dos, dos por menos uno es menos dos y al sumar verticalmente nos da menos doce, tampoco nos dio cero, por lo tanto menos uno también se descarta. Ahora vamos a ensayar el valor dos, bajamos el primer número, tenemos uno por dos que es dos, sumamos en forma vertical eso nos da menos dos, menos dos por dos es menos cuatro, sumamos en forma vertical eso nos da menos siete, menos siete por dos es menos catorce y al sumar esos dos números nos da menos veinticuatro, tampoco nos dio cero entonces descartamos el valor dos. Intentamos ahora con menos dos, bajamos el primer número, uno por menos dos es menos dos, sumamos en forma vertical eso nos da menos seis, menos seis por menos dos es doce positivo hacemos la suma eso nos da nueve, nueve por menos dos nos da menos dieciocho y al sumar esas dos cantidades nos da menos veintiocho, tampoco nos dio cero entonces descartamos menos dos. Ahora intentamos con el valor cinco, bajamos el primer número, uno por cinco nos da cinco, sumamos eso nos da uno, uno por cinco nos da cinco, sumamos eso nos da dos, dos por cinco nos da diez y al efectuar la suma nos da cero, allí tenemos lo que buscábamos entonces x igual a cinco satisface esa ecuación. Escribimos por acá la solución obtenida y con estos números conformamos una expresión que es de segundo grado porque disminuimos un grado en relación con la expresión original que era de grado tres entonces aquí tendremos la expresión x al cuadrado tiene coeficiente uno, luego seguimos con el término más x que también tiene coeficiente uno y después el término independiente que es dos, esto nos va a quedar igualado a cero y se convierte en una ecuación cuadrática que no es necesario resolver con división sintética. Tenemos entonces una ecuación que corresponde al modelo a x al cuadrado más bx más c igual a cero o sea una ecuación cuadrática o de segundo grado que podemos resolver bien sea por factorización o sino por fórmula cuadrática. Cuando revisamos si este trinomio se puede factorizar vemos que no es así entonces vamos a tomar el camino de la fórmula cuadrática o la fórmula general vamos a identificar los valores de a, b y c. A es el coeficiente del primer término de x al cuadrado ese coeficiente es uno, b es el coeficiente de x que también es uno y c es el término independiente que en este caso es dos. Vamos entonces a utilizar la fórmula cuadrática, bien allí la tenemos y a continuación donde tenemos cada letra vamos a abrir paréntesis y ahora vamos a reemplazar los valores que identificamos para las letras aquí tendremos el valor de b que es uno aquí también b que vale uno aquí el valor de a que nos dio uno aquí el valor de c que es dos y aquí el valor de a que es uno. Resolvemos ahora esas operaciones tendremos x igual a menos uno más o menos la raíz cuadrada de uno al cuadrado que es uno menos cuatro por uno por dos que nos da ocho y todo eso queda sobre dos por uno que es dos continuamos resolviendo allí tendremos x igual a menos uno más o menos la raíz cuadrada de uno menos ocho que es menos siete y todo eso continúa sobre dos. Aquí tenemos la siguiente situación la raíz cuadrada de menos siete equivale a la raíz cuadrada de siete por menos uno y podemos repartir esa raíz cuadrada porque tenemos multiplicación dentro de ella entonces nos queda raíz cuadrada de siete por raíz cuadrada de menos uno pero recordemos que la raíz cuadrada de menos uno es la unidad imaginaria y por lo tanto eso nos queda raíz cuadrada de siete por y entonces hacemos el cambio aquí por raíz cuadrada de siete por y obteniendo lo siguiente el denominador dos se puede repartir para cada uno de esos dos términos entonces x será igual a menos un medio más o menos raíz de siete por y y esto sobre dos y eso a su vez puede escribirse como x igual a menos un medio más o menos raíz de siete medios y todo eso por y para que se distinga la parte real de la parte imaginaria así tenemos los otros dos valores de x que satisfacen la ecuación x igual a menos un medio más raíz cuadrada de siete medios por y y x igual a menos un medio menos raíz cuadrada de siete medios por y para terminar conformamos el conjunto solución de la ecuación escribiendo aquí los tres valores obtenidos como decíamos el principio se trata de una ecuación de tercer grado por lo tanto esperamos obtener tres soluciones una que es real y dos que son complejas por cierto una es la conjugada de la otra de esta manera terminamos este ejercicio.
[{"start": 0.0, "end": 9.16, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que es de tercer grado y que por lo tanto debe tener"}, {"start": 9.16, "end": 13.8, "text": " tres soluciones en el conjunto de los n\u00fameros complejos."}, {"start": 13.8, "end": 21.240000000000002, "text": " Comenzamos revisando si este polinomio puede factorizarse utilizando los casos m\u00e1s frecuentes"}, {"start": 21.240000000000002, "end": 25.2, "text": " como factor com\u00fan o factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 25.2, "end": 27.16, "text": " Vemos que no es as\u00ed."}, {"start": 27.16, "end": 32.56, "text": " Entonces vamos a utilizar el procedimiento de la divisi\u00f3n sint\u00e9tica."}, {"start": 32.56, "end": 39.24, "text": " Comenzamos determinando el conjunto de valores de P, que ser\u00e1n los divisores del t\u00e9rmino"}, {"start": 39.24, "end": 40.6, "text": " independiente."}, {"start": 40.6, "end": 46.24, "text": " Aunque aqu\u00ed tenemos menos diez, ac\u00e1 podemos considerar simplemente diez."}, {"start": 46.24, "end": 52.2, "text": " Entonces los divisores de ese n\u00famero, los divisores enteros, comenzando por el m\u00e1s"}, {"start": 52.2, "end": 61.72, "text": " peque\u00f1o son m\u00e1s o menos uno, m\u00e1s o menos dos, m\u00e1s o menos cinco y m\u00e1s o menos diez."}, {"start": 61.72, "end": 68.0, "text": " Para verificar que ese conjunto est\u00e1 completo, podemos hacer lo siguiente."}, {"start": 68.0, "end": 70.64, "text": " Multiplicamos los n\u00fameros extremos."}, {"start": 70.64, "end": 76.44, "text": " Uno por diez nos da diez y luego los n\u00fameros que nos quedan, dos por cinco y vemos que"}, {"start": 76.44, "end": 78.60000000000001, "text": " efectivamente nos da diez."}, {"start": 78.6, "end": 83.36, "text": " De esa manera comprobamos que no nos falta ning\u00fan divisor."}, {"start": 83.36, "end": 90.03999999999999, "text": " Ahora vamos a determinar el conjunto de valores de Q, que son los divisores del coeficiente"}, {"start": 90.03999999999999, "end": 95.96, "text": " principal, es decir, el que corresponde al t\u00e9rmino de mayor exponente."}, {"start": 95.96, "end": 103.6, "text": " Son entonces los divisores de uno, que ser\u00e1 simplemente m\u00e1s o menos uno."}, {"start": 103.6, "end": 110.39999999999999, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a determinar las posibles ra\u00edces racionales para ese polinomio, que"}, {"start": 110.39999999999999, "end": 117.91999999999999, "text": " ser\u00e1n las combinaciones P sobre Q que podamos construir con esos n\u00fameros."}, {"start": 117.91999999999999, "end": 124.08, "text": " Pero como en este caso Q solamente tiene el valor uno, entonces nos van a quedar los n\u00fameros"}, {"start": 124.08, "end": 138.56, "text": " que corresponden al conjunto P, es decir, m\u00e1s o menos uno, m\u00e1s o menos dos, m\u00e1s o menos cinco y m\u00e1s o menos diez."}, {"start": 138.56, "end": 144.44, "text": " Ahora s\u00ed podemos utilizar la divisi\u00f3n sint\u00e9tica para ver cu\u00e1l de estos valores satisface"}, {"start": 144.44, "end": 145.92, "text": " esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 145.92, "end": 151.16, "text": " Comenzamos revisando que el polinomio est\u00e9 organizado en forma descendente."}, {"start": 151.16, "end": 158.52, "text": " Vemos que esa condici\u00f3n se cumple y vamos a anotar ahora los coeficientes de los t\u00e9rminos."}, {"start": 158.52, "end": 163.44, "text": " Para el primer t\u00e9rmino tenemos coeficiente uno, para el segundo tenemos coeficiente"}, {"start": 163.44, "end": 170.5, "text": " menos cuatro, para el tercero coeficiente menos tres y luego el t\u00e9rmino independiente"}, {"start": 170.5, "end": 172.48, "text": " que es menos diez."}, {"start": 172.48, "end": 179.76, "text": " Podemos guiarnos colocando encima de cada n\u00famero a qu\u00e9 t\u00e9rmino corresponde."}, {"start": 179.76, "end": 186.23999999999998, "text": " Entonces para el \u00faltimo tenemos las iniciales del t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 186.23999999999998, "end": 192.16, "text": " Comenzamos el proceso de la divisi\u00f3n sint\u00e9tica intentando con el valor uno."}, {"start": 192.16, "end": 197.92, "text": " Entonces bajamos el primer n\u00famero, tenemos all\u00ed el uno, uno por uno nos da uno, lo escribimos"}, {"start": 197.92, "end": 204.28, "text": " aqu\u00ed, hacemos la suma en forma vertical, menos cuatro m\u00e1s uno nos da menos tres, menos"}, {"start": 204.28, "end": 210.24, "text": " tres lo multiplicamos por uno, eso nos da menos tres, sumamos en forma vertical eso"}, {"start": 210.24, "end": 217.32, "text": " nos da menos seis, menos seis por uno es menos seis y al sumar en forma vertical nos da menos"}, {"start": 217.32, "end": 218.32, "text": " diecis\u00e9is."}, {"start": 218.32, "end": 224.08, "text": " Como no hemos obtenido cero entonces este valor se descarta."}, {"start": 224.08, "end": 228.6, "text": " Ahora vamos a intentar con menos uno."}, {"start": 228.6, "end": 234.16, "text": " En el mismo proceso bajamos el uno, el primer n\u00famero, luego multiplicamos uno por menos"}, {"start": 234.16, "end": 240.51999999999998, "text": " uno, eso nos da menos uno, sumamos en forma vertical eso nos da menos cinco, menos cinco"}, {"start": 240.51999999999998, "end": 246.84, "text": " por menos uno nos da cinco positivo, sumamos en forma vertical eso nos da dos, dos por"}, {"start": 246.84, "end": 254.68, "text": " menos uno es menos dos y al sumar verticalmente nos da menos doce, tampoco nos dio cero, por"}, {"start": 254.68, "end": 258.04, "text": " lo tanto menos uno tambi\u00e9n se descarta."}, {"start": 258.04, "end": 265.6, "text": " Ahora vamos a ensayar el valor dos, bajamos el primer n\u00famero, tenemos uno por dos que"}, {"start": 265.6, "end": 273.84000000000003, "text": " es dos, sumamos en forma vertical eso nos da menos dos, menos dos por dos es menos cuatro,"}, {"start": 273.84000000000003, "end": 281.16, "text": " sumamos en forma vertical eso nos da menos siete, menos siete por dos es menos catorce"}, {"start": 281.16, "end": 288.84000000000003, "text": " y al sumar esos dos n\u00fameros nos da menos veinticuatro, tampoco nos dio cero entonces"}, {"start": 288.84000000000003, "end": 290.72, "text": " descartamos el valor dos."}, {"start": 290.72, "end": 298.64000000000004, "text": " Intentamos ahora con menos dos, bajamos el primer n\u00famero, uno por menos dos es menos"}, {"start": 298.64000000000004, "end": 305.84000000000003, "text": " dos, sumamos en forma vertical eso nos da menos seis, menos seis por menos dos es doce"}, {"start": 305.84, "end": 312.79999999999995, "text": " positivo hacemos la suma eso nos da nueve, nueve por menos dos nos da menos dieciocho"}, {"start": 312.79999999999995, "end": 319.47999999999996, "text": " y al sumar esas dos cantidades nos da menos veintiocho, tampoco nos dio cero entonces"}, {"start": 319.47999999999996, "end": 322.35999999999996, "text": " descartamos menos dos."}, {"start": 322.35999999999996, "end": 330.76, "text": " Ahora intentamos con el valor cinco, bajamos el primer n\u00famero, uno por cinco nos da cinco,"}, {"start": 330.76, "end": 338.28, "text": " sumamos eso nos da uno, uno por cinco nos da cinco, sumamos eso nos da dos, dos por"}, {"start": 338.28, "end": 345.36, "text": " cinco nos da diez y al efectuar la suma nos da cero, all\u00ed tenemos lo que busc\u00e1bamos"}, {"start": 345.36, "end": 350.12, "text": " entonces x igual a cinco satisface esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 350.12, "end": 357.0, "text": " Escribimos por ac\u00e1 la soluci\u00f3n obtenida y con estos n\u00fameros conformamos una expresi\u00f3n"}, {"start": 357.0, "end": 363.64, "text": " que es de segundo grado porque disminuimos un grado en relaci\u00f3n con la expresi\u00f3n original"}, {"start": 363.64, "end": 370.6, "text": " que era de grado tres entonces aqu\u00ed tendremos la expresi\u00f3n x al cuadrado tiene coeficiente"}, {"start": 370.6, "end": 377.04, "text": " uno, luego seguimos con el t\u00e9rmino m\u00e1s x que tambi\u00e9n tiene coeficiente uno y despu\u00e9s"}, {"start": 377.04, "end": 383.6, "text": " el t\u00e9rmino independiente que es dos, esto nos va a quedar igualado a cero y se convierte"}, {"start": 383.6, "end": 390.96000000000004, "text": " en una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que no es necesario resolver con divisi\u00f3n sint\u00e9tica."}, {"start": 390.96000000000004, "end": 399.04, "text": " Tenemos entonces una ecuaci\u00f3n que corresponde al modelo a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c"}, {"start": 399.04, "end": 406.38, "text": " igual a cero o sea una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado que podemos resolver bien"}, {"start": 406.38, "end": 410.68, "text": " sea por factorizaci\u00f3n o sino por f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 410.68, "end": 416.16, "text": " Cuando revisamos si este trinomio se puede factorizar vemos que no es as\u00ed entonces vamos"}, {"start": 416.16, "end": 422.96000000000004, "text": " a tomar el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o la f\u00f3rmula general vamos a identificar"}, {"start": 422.96000000000004, "end": 425.36, "text": " los valores de a, b y c."}, {"start": 425.36, "end": 433.04, "text": " A es el coeficiente del primer t\u00e9rmino de x al cuadrado ese coeficiente es uno, b es"}, {"start": 433.04, "end": 440.76000000000005, "text": " el coeficiente de x que tambi\u00e9n es uno y c es el t\u00e9rmino independiente que en este"}, {"start": 440.76000000000005, "end": 442.12, "text": " caso es dos."}, {"start": 442.12, "end": 448.56, "text": " Vamos entonces a utilizar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica, bien all\u00ed la tenemos y a continuaci\u00f3n donde"}, {"start": 448.56, "end": 455.8, "text": " tenemos cada letra vamos a abrir par\u00e9ntesis y ahora vamos a reemplazar los valores que"}, {"start": 455.8, "end": 462.40000000000003, "text": " identificamos para las letras aqu\u00ed tendremos el valor de b que es uno aqu\u00ed tambi\u00e9n b"}, {"start": 462.4, "end": 470.12, "text": " que vale uno aqu\u00ed el valor de a que nos dio uno aqu\u00ed el valor de c que es dos y aqu\u00ed"}, {"start": 470.12, "end": 474.0, "text": " el valor de a que es uno."}, {"start": 474.0, "end": 482.91999999999996, "text": " Resolvemos ahora esas operaciones tendremos x igual a menos uno m\u00e1s o menos la ra\u00edz"}, {"start": 482.92, "end": 493.44, "text": " cuadrada de uno al cuadrado que es uno menos cuatro por uno por dos que nos da ocho y todo"}, {"start": 493.44, "end": 500.88, "text": " eso queda sobre dos por uno que es dos continuamos resolviendo all\u00ed tendremos x igual a menos"}, {"start": 500.88, "end": 509.62, "text": " uno m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de uno menos ocho que es menos siete y todo eso contin\u00faa"}, {"start": 509.62, "end": 512.0, "text": " sobre dos."}, {"start": 512.0, "end": 519.16, "text": " Aqu\u00ed tenemos la siguiente situaci\u00f3n la ra\u00edz cuadrada de menos siete equivale a la ra\u00edz"}, {"start": 519.16, "end": 528.12, "text": " cuadrada de siete por menos uno y podemos repartir esa ra\u00edz cuadrada porque tenemos"}, {"start": 528.12, "end": 534.76, "text": " multiplicaci\u00f3n dentro de ella entonces nos queda ra\u00edz cuadrada de siete por ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 534.76, "end": 542.3199999999999, "text": " de menos uno pero recordemos que la ra\u00edz cuadrada de menos uno es la unidad imaginaria y por"}, {"start": 542.3199999999999, "end": 552.68, "text": " lo tanto eso nos queda ra\u00edz cuadrada de siete por y entonces hacemos el cambio aqu\u00ed por"}, {"start": 552.68, "end": 563.3, "text": " ra\u00edz cuadrada de siete por y obteniendo lo siguiente el denominador dos se puede repartir"}, {"start": 563.3, "end": 570.9799999999999, "text": " para cada uno de esos dos t\u00e9rminos entonces x ser\u00e1 igual a menos un medio m\u00e1s o menos"}, {"start": 570.9799999999999, "end": 581.4799999999999, "text": " ra\u00edz de siete por y y esto sobre dos y eso a su vez puede escribirse como x igual a menos"}, {"start": 581.4799999999999, "end": 590.88, "text": " un medio m\u00e1s o menos ra\u00edz de siete medios y todo eso por y para que se distinga la parte"}, {"start": 590.88, "end": 598.8, "text": " real de la parte imaginaria as\u00ed tenemos los otros dos valores de x que satisfacen la"}, {"start": 598.8, "end": 609.84, "text": " ecuaci\u00f3n x igual a menos un medio m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de siete medios por y y x igual a"}, {"start": 609.84, "end": 618.48, "text": " menos un medio menos ra\u00edz cuadrada de siete medios por y para terminar conformamos el"}, {"start": 618.48, "end": 625.6, "text": " conjunto soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n escribiendo aqu\u00ed los tres valores obtenidos como dec\u00edamos"}, {"start": 625.6, "end": 631.86, "text": " el principio se trata de una ecuaci\u00f3n de tercer grado por lo tanto esperamos obtener"}, {"start": 631.86, "end": 639.64, "text": " tres soluciones una que es real y dos que son complejas por cierto una es la conjugada"}, {"start": 639.64, "end": 649.48, "text": " de la otra de esta manera terminamos este ejercicio."}]