INTEGRALES DIRECTAS - Ejercicio 11
#julioprofe explica cómo resolver una integral directa, previa transformación del integrando.

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Video producido por #julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Vamos a resolver esta integral en forma directa. Para comenzar vamos a cambiar raíz cuadrada de x por x a la 1 medio, eso que multiplica a x menos 2 con su respectivo diferencial de x. Entonces, como tenemos multiplicación allí, podemos aplicar la propiedad distributiva. Entonces, tendremos lo siguiente, integral de, veamos, x a la 1 medio por x, sería x elevado al exponente 1 medio más 1, recordemos que esta de x tiene exponente 1. Al multiplicar potencias de la misma base sumamos los exponentes. Entonces, 1 medio más 1 es como tener 1 medio más 2 medios que equivale a 3 medios. Menos x a la 1 medio multiplicado por 2 nos queda 2x elevado al exponente 1 medio. Bien, y todo esto con su respectivo diferencial de x. Aquí ya podemos integrar cada uno de los términos porque tenemos una resta. Entonces, integral de este término menos integral de este otro término. Es una de las propiedades de la integral. Entonces, veamos, la integral de x a la 3 medios sería x a la 3 medios más 1 sobre 3 medios más 1. 3 medios más 1 nos da 3 medios más 2 medios que equivale a 5 medios. El truco para hacerlo de manera rápida es el siguiente. 3 más 2 nos da 5 y conservamos el denominador. Observamos que nos da 5 medios. Y ese mismo número lo escribimos acá en el denominador. Menos, vamos a hacer el siguiente término, entonces nos queda de la siguiente manera. Dejamos el 2 quieto, este 2 que está multiplicando queda quieto. Y la integral de x a la 1 medio sería x a la 1 medio más 1 sobre 1 medio más 1. Nuevamente podemos aplicar el truquito. 1 más 2 nos da 3. Conservamos el 2 como denominador y repetimos 3 medios debajo de la línea. Y aparece por primera vez la constante de integración. Finalmente organizamos los dos términos para dar la respuesta y nos va a quedar de la siguiente manera. Aquí este 2 sube a multiplicar con x a la 5 medios. Nos queda 2x a la 5 medios. Todo sobre 5. Menos, aquí este 2 sube a multiplicar con x a la 3 medios. Pero este 2 multiplica con este 2 que está enseguida y nos da 4. x a la 3 medios. Todo esto sobre 3. Ese 3 se queda en el denominador. Y todo esto más la constante de integración. Y de esta manera terminamos el ejercicio. Esta expresión es la antiderivada o resultado de esta integral.
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