INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo resolver una integral trigonométrica.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral trigonométrica. Para comenzar debemos expandir o desarrollar este binomio que se encuentra elevado al cuadrado. Vamos a recordar la fórmula que distingue ese producto notable. Si tenemos a más b al cuadrado, esto es igual al primer término al cuadrado, más dos veces el primer término por el segundo, más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces, siguiendo esa instrucción, vamos a desarrollar esta expresión que tenemos en el integrando. Comenzamos con el primer término elevado al cuadrado, es decir seno al cuadrado de teta, más dos veces el primer término por el segundo, o sea, dos por seno de teta por uno que nos da dos seno de teta, esto más el segundo término elevado al cuadrado, o sea, uno al cuadrado que nos da uno, y escribimos el diferencial de teta. Como podemos observar, ya tenemos en el integrando tres términos, dos de ellos son directamente integrables, se trata de estos dos últimos, pero el primero no permite ser integrado de manera directa. Tenemos que utilizar allí una identidad trigonométrica y es la que corresponde al coseno del ángulo doble, vamos a recordarla. Tenemos allí tres equivalencias para el coseno de dos teta, y de esas tres vamos a utilizar la segunda. Vamos entonces con esta igualdad que vamos a escribir por acá, allí la tenemos, y a partir de allí vamos a despejar poco a poco este componente, es decir seno al cuadrado de teta. Como se puede observar, todo este término está restando, podemos pasarlo al lado izquierdo para que llegue a sumar con coseno de dos teta, pero al mismo tiempo coseno de dos teta, podemos pasarlo a este lado a restar. Nos queda entonces dos seno al cuadrado de teta, igual a uno menos coseno de dos teta. En otras palabras intercambiamos estos dos términos, y de allí despejamos seno al cuadrado de teta, para ello dos que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Aquí la tenemos, y también podemos repartir este denominador para cada uno de esos términos que hay en el numerador. Entonces tendremos seno al cuadrado de teta es igual a un medio menos coseno de dos teta, y todo esto sobre dos. Entonces lo que hacemos ahora es sustituir seno al cuadrado de teta en el integrando por esta expresión. Vamos a continuar por acá. Y entonces nos queda de la siguiente forma, seno al cuadrado de teta será un medio menos este término, coseno de dos teta, todo esto sobre dos. Y escribimos el resto de la expresión, que es más dos seno de teta, más uno, cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de teta. Ahora, en el integrando podemos sumar estos dos números. Nos queda entonces la integral de un medio más uno, que nos da tres medios, menos este término que podemos reescribir como un medio, coseno de dos teta, y luego el término más dos seno de teta. Cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de teta. Ahora sí tenemos tres términos que se pueden integrar de manera directa. Vamos a continuar por acá. Entonces, la integral de tres medios será tres medios de teta. Recordemos que teta es la variable que controla el ejercicio, menos un medio, esta constante se deja quieta, y vamos a integrar coseno de dos teta utilizando la siguiente fórmula. La integral de coseno de k por teta con su diferencial de teta es uno sobre k por seno de k por teta. Bueno, más la constante de integración siendo estrictos con las integrales indefinidas. Entonces, utilizando este modelo, que por cierto se demuestra por sustitución, vamos a resolver esta integral. Como se observa, k es dos, entonces aplicando esa fórmula tendremos uno sobre k, o sea, uno sobre dos, por el seno de k por teta, o sea, dos teta. Y vamos al último término, este número dos se deja quieto, la integral de seno de teta es menos coseno de teta, y allí ya podemos escribir por primera vez la constante de integración. Pero lo que hacemos es pulir esta expresión hasta llevarla a su forma más simple. Veamos, este primer término se deja como está, tres medios de teta, luego tenemos menos un medio por un medio, que es un cuarto, y aquí aplicamos otra identidad trigonométrica, el seno de dos teta, que equivale a dos por seno de teta por coseno de teta. Y acá tendremos menos dos coseno de teta, se hace ley de los signos, más por menos nos da menos, y aparece otra vez la constante de integración. Para terminar vamos a escribir la expresión totalmente simplificada, este primer término se deja como está, tres medios de teta, luego tenemos menos un cuarto por dos, que sería dos cuartos o un medio, simplificando esa fracción, eso por seno de teta, por coseno de teta, y luego tenemos menos dos coseno de teta, más la constante de integración, y de esta manera hemos resuelto esa integral trigonométrica. Toda esta expresión es la antiderivada y por lo tanto es la respuesta.
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