DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 39
#julioprofe explica cómo determinar la derivada de una función, evaluada en un valor específico, a partir de condiciones dadas.

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 Nos dan esta función HDX, toda esta información y nos piden averiguar la derivada de esa función H cuando X toma el valor 0. Como se observa la función HDX viene presentada como un cociente. Vamos a recordar cómo se deriva esa situación. La derivada de un cociente A sobre B es igual a lo siguiente, derivada del numerador A sobre B. Es igual a lo siguiente, derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar esa función HDX. Tendremos entonces que H' de X es igual a derivada del numerador. Para derivar esto que tenemos acá utilizamos la regla de la cadena. Entonces será primero la derivada externa, es decir F' de F de X y esto multiplicado por la derivada interna, es decir F' de X. Allí hemos derivado el numerador y esto va multiplicado por el denominador sin derivar que es coseno de la expresión G de X. Ahora tenemos menos el numerador sin derivar, es decir F de F de X y esto multiplicado por la derivada del denominador. La derivada de coseno de G de X será menos seno de G de X y esto multiplicado por la derivada interna. Allí aplicamos la regla de la cadena para derivar coseno en este caso de G de X y todo esto vamos a protegerlo utilizando corchete. En el denominador tendremos el denominador elevado al cuadrado, es decir coseno de G de X y todo esto elevado al cuadrado. Allí vemos que todo este componente es negativo y esto está multiplicando por otro signo negativo. Entonces menos por menos nos dará más y podemos quitar este signo de aquí, inclusive podríamos retirar el corchete ya no necesitamos esa protección. Enseguida vamos a cambiar X por el número 0 porque repetimos lo que se pide es la derivada de la función H, es decir H' cuando X toma el valor 0. Vamos a comenzar por desaparecer la X, bien allí tenemos eso y a continuación llenamos esos espacios con 0. Y a continuación vamos a utilizar toda esta información, entonces tenemos por aquí F' de F de 0, buscamos acá en los datos que nos dieron F de 0 vale 1. Esto multiplicado por F' de 0, aquí lo tenemos, F' de 0 vale 5. Después tenemos por coseno de G de 0, buscamos acá cuánto vale G de 0, aquí lo tenemos, equivale a pi, en ese caso son pi radianes. Después tenemos más F de F de 0, entonces F de, veamos F de 0, aquí lo tenemos equivale a 1 y esto multiplicado por seno de G de 0, buscamos acá G de 0 equivale a pi. Y esto multiplicado por G' de 0, aquí lo tenemos, G' de 0 equivale a 2. Ahora en el denominador tenemos coseno de G de 0, pero G de 0 equivale a pi y todo esto va al cuadrado. Continuamos reemplazando F' de 1, aquí lo tenemos, F' de 1 vale 2, entonces 2 por 5 y aquí ya podemos resolver coseno de pi radianes. Recordemos que eso equivale a menos 1, después tenemos más F de 1, buscamos acá en la información que nos dan F de 1 equivale a 1. Replazamos allí el 1, eso por seno de pi radianes, eso equivale a 0 y esto multiplicado por 2. Y en el denominador tenemos coseno de pi radianes, que es menos 1 y todo esto elevado al cuadrado. Resolvemos ahora eso que nos quedó, por acá 2 por 5 es 10, 10 por menos 1 es menos 10. Por acá 1 por 0 por 2, todo esto nos da 0, entonces en el numerador solamente nos queda menos 10. Y en el denominador tenemos menos 1 al cuadrado que equivale a 1. Por último simplificamos eso y nos da que H' de 0 es igual a menos 10, de esta manera terminamos el ejercicio. Entonces, menos 10 es el valor de esa derivada, de la derivada de H de X, evaluada en X igual a 0. ¡Suscríbete al canal!
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