INTEGRALES DOBLES - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una integral doble en coordenadas cartesianas o rectangulares. Al final, hace la comprobación de la última integral definida utilizando calculadora.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral doble. Comenzamos por determinar estos valores a que variable pertenecen, será de la letra y. Entonces tenemos integral desde y igual a 1 hasta y igual a logaritmo natural de 8, es la integral externa. Ahora con la integral interna tenemos aquí valores de la variable x. Entonces desde x igual a 0 hasta x igual a logaritmo natural de y. Y aquí vamos a realizar una transformación. Si tenemos a a la n por a a la m, esto es igual a a elevada al exponente n más m, propiedad de la potenciación, producto de potencias de la misma base. Se deja la base y se suman los exponentes. Pues bien, esta propiedad podemos aplicarla en sentido contrario, es decir, pasar de esto que tenemos acá, una potencia con suma en el exponente, a un producto de potencias de la misma base. Es la situación que tenemos aquí. Entonces eso nos quedaría e a la x por e a la y, aplicando esta propiedad. Y anotamos los diferenciales de x y de y. Entonces comenzamos por resolver la integral más interna, que es la que depende de la variable x. Vamos a señalarla utilizando estos corchetes. Entonces vamos a comenzar por resolver esta integral. Allí lo que contiene la letra y se comporta como constante. La letra que controla es la x. Entonces nos quedará la integral desde y igual a 1 hasta y igual al logaritmo natural de 8. Abrimos el corchete y entonces resolvemos esa integral. Como decíamos, esto es constante, entonces lo dejamos quieto. Es como si lo sacáramos de la integral y nos ocupamos de lo que contiene la x. La integral de e a la x recordemos que es ella misma. Y como tenemos una integral definida, entonces trazamos esta línea y anotamos los límites de integración. x igual a 0 es el límite inferior, x igual al logaritmo natural de y es el límite superior. Cerramos el corchete que protege este procedimiento y anotamos el diferencial de y. Ahora vamos a evaluar estos límites de integración aquí en esta expresión. Es decir, vamos a aplicar lo que se llama el teorema fundamental del cálculo. Entonces tenemos la integral desde y igual a 1 hasta y igual al logaritmo natural de 8. Abrimos el corchete, dejamos esto quieto y entonces como decíamos, vamos a reemplazar los límites de integración aquí donde tenemos la x. Comenzamos con el límite superior. Aquí podemos abrir un paréntesis. Entonces entra el límite superior, nos queda e elevado al logaritmo natural de y y esto menos el reemplazo del límite inferior, es decir, e al 0. Entonces allí estamos aplicando el teorema fundamental del cálculo. Cerramos el corchete y anotamos el diferencial de y. Allí vamos a transformar estos dos componentes. Si tenemos el número de Euler elevado al logaritmo natural de y, eso nos dará como resultado y. Y eso se fundamenta en esta propiedad. Si tenemos a elevado al logaritmo en base a de cualquier cantidad, por ejemplo de la manzanita, esto será igual a la manzanita. Pues bien, si cambiamos a por el número de Euler, nos queda e elevado al logaritmo en base e de la manzanita igual a la manzanita. Pero el logaritmo en la base e es el logaritmo natural o logaritmo neperiano. Entonces nos queda e elevado al logaritmo natural de la manzanita igual a la manzanita. Es lo que está sucediendo allí. Y por acá tenemos que e al 0 equivale a 1. Recordemos que en toda potencia, si la base es una cantidad distinta de 0 y el exponente es 0, el resultado de esa potencia es 1. Entonces esto nos queda así. Tenemos la integral que va desde y igual a 1 hasta y igual a logaritmo natural de 8. Acá esto nos queda como y menos 1. Vamos a escribirlo primero. Y menos 1 protegido con paréntesis y que multiplica con e a la y. Y todo eso acompañado del diferencial de y. Llegamos así a una integral que depende de una sola variable. Vemos que solamente depende de y. Vamos entonces a resolver esa integral. Primero miramos si se puede hacer en forma directa. Vemos que no es así. Luego revisamos el método de sustitución o cambio de variable. Vemos que tampoco es posible por ese camino. Y entonces vamos a intentar el método de integración por partes. Vamos a escribir la integral por acá. Integral de y menos 1. Todo esto por e a la y. Con su diferencial de y. Vamos a trabajarla aquí como integral indefinida. Comenzamos clasificando las dos expresiones que participan aquí en el integrando. Esto será de tipo algebraico. Tenemos allí un polinomio de primer grado. Entonces es categoría algebraica. Y esto que tenemos acá es categoría exponencial. Recordemos que en integración por partes se aplica el truco y late. Para poder determinar cuál de los dos componentes será u. Entonces tenemos allí una expresión de tipo algebraico y otra de tipo exponencial. Si leemos la palabra late, lógicamente de izquierda a derecha. Vemos que la primera que encontramos de esas dos que están señaladas. Es la categoría algebraica. Por lo tanto esa expresión y menos 1 hace el papel de u. Entonces tenemos u igual a y menos 1. Vamos a destacar ese componente. Y allí vamos a realizar la derivada de esa expresión con respecto a la variable y. Derivada de u con respecto a y. O sea la derivada de y menos 1. Eso nos da como resultado 1. Y de allí despejamos de u. Entonces de y que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con 1. Nos queda que de u es igual a de y. Ahora vamos con lo que es de b. De b será el resto de la expresión. Es decir, r y acompañado del diferencial de y. Aquí tenemos este componente. Y eso vamos a integrarlo a ambos lados. Entonces tendremos que la integral de db es igual a la integral de e a la y. Con su respectivo diferencial de y. Integral de db nos da v. Y la integral de e a la y es esa misma expresión. Allí tenemos entonces el otro componente que es v. En seguida aplicamos la fórmula de integración por partes. La integral de u por db es igual a u por b. Esto menos la integral de v por du. Recordemos que para aprender fácilmente esta fórmula decimos. Una barca menos la integral vestida de uniforme. Vamos entonces a reemplazar allí cada uno de los componentes. Nos queda la integral de u. Buscamos acá que es u. Que equivale a y menos 1. Todo esto por db. Aquí tenemos db que es e a la y. Por db allí nos aparece la integral original. Esto es igual a u que equivale a y menos 1. Protejemos eso con paréntesis. Por b, aquí tenemos b que es e a la y. Luego tenemos menos la integral de b que equivale a e a la y. Por du, pero du equivale al diferencial de y. Continuamos resolviendo. Esto nos queda igual la integral de y menos 1. Por e a la y. Con su respectivo diferencial de y. Será igual a esto. Y menos 1 por e a la y. Tampoco presenta cambio. Y acá resolvemos esta integral. La integral de e a la y con el diferencial de y. Será ella misma. Ahora aquí tenemos dos términos donde está el factor e a la y. Está repetido. Entonces podemos extraerlo como factor común. Nos queda e a la y. Factor d. Abrimos un corchete. Nos queda en el primer término y menos 1. Protejido con paréntesis. Y acá en este término si sale e a la y. Nos queda en su lugar 1. Allí podríamos retirar este paréntesis. En realidad no se necesita porque a su izquierda tenemos signo positivo. Entonces resolvemos aquí la operación de estos dos números. Podemos cambiar esos corchetes por paréntesis. Nos queda entonces y menos 2. Esto será el resultado de esta integral indefinida. Entonces conociendo ya el resultado de esta integral. O sea esto que tenemos acá. Vamos a continuar con el desarrollo del ejercicio. Nos queda entonces igual al resultado de esta integral que es e a la y. Por y menos 2. Y todo eso evaluado en los límites de integración que son. Y igual a 1. El límite inferior. Y igual al logaritmo natural de 8. El límite superior. En seguida evaluamos estos límites de integración. Aquí en la antiderivada que obtuvimos. Es decir vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Comenzamos reemplazando el límite superior. Aquí donde está la y vamos a escribir logaritmo natural de 8. Nos queda e a la logaritmo natural de 8. Por logaritmo natural de 8 menos 2. Allí hemos reemplazado el límite superior. Y luego tenemos menos el reemplazo del límite inferior. O sea y igual a 1 en esta expresión. E a la 1 que multiplica con 1 menos 2. Por la propiedad que vimos ahora. De e elevado al logaritmo natural de manzanita. Y que esto es igual a manzanita. Entonces tenemos que e elevado al logaritmo natural de 8. Equivale a 8. Entonces esto nos queda así. 8 que multiplica al logaritmo natural de 8. Menos 2. Todo eso menos e a la 1 que equivale a e. El número de Euler. Por 1 menos 2. Que es igual a menos 1. Continuamos organizando esta expresión numérica. Aquí podemos aplicar la propiedad distributiva. Entonces distribuimos el 8. Nos queda entonces igual a. 8 por logaritmo natural de 8. Eso se deja así expresado. 8 por menos 2 es menos 16. Y acá menos e por menos 1 nos da más e. Si efectuamos todo esto en la calculadora científica. Obtenemos un resultado aproximado de 3.35. Y de esta manera terminamos el ejercicio. Este será el valor para esa integral doble. Podríamos comprobar este resultado utilizando esta calculadora científica. Veamos cómo se hace. La última integral que resolvimos. Iba desde y igual a 1. Hasta y igual a logaritmo natural de 8. Acá en el integrando teníamos. Y menos 1. Por e a la y. Con su diferencial de y. Pues bien. Para ingresar esto a esta calculadora. Ella nos va a tomar como variable la letra x. Simplemente sería cambiar todo eso a la letra x. Es decir la variable que controla la integral. Sería tener la integral desde x igual a 1. Hasta x igual a logaritmo natural de 8. Acá tendríamos x menos 1. Por e a la x. Y eso con el diferencial de x. Veamos entonces cómo se hace la comprobación. En esta calculadora. Tenemos que oprimir primero el botón de la integral definida. Allí nos aparece el cursor. En un cuadrito que es donde vamos a ingresar. El integrando. Entonces abrimos un paréntesis. Oprimimos el botón de la letra x. Luego tenemos menos 1. Cerramos el paréntesis. Y después debemos ingresar e a la x. Entonces la función de e a la x. Está arriba del botón de logaritmo natural. Para activarla oprimimos primero el botón shift. Y luego el botón de logaritmo natural. Allí nos aparece e elevada a un cuadrito. Allí está el cursor titilando en el cuadrito. Entonces allí ingresamos la x. Oprimimos el botón de la x. Ahora corremos el navegador hacia la derecha. Oprimimos el botón respectivo. Dos veces. Y allí nos aparece ya el cursor situado en el límite inferior. Es allí donde debemos escribir el 1. Otra vez oprimimos el botón derecho del navegador. Y el cursor se sitúa automáticamente en el límite superior. Donde debemos ingresar logaritmo natural de 8. Entonces botón de logaritmo natural. Escribimos el 8. Cerramos el paréntesis. Y después de haber copiado esto aquí en la calculadora. Oprimimos el botón igual. Allí nos aparece entonces el valor 3.35. Lógicamente aproximado a dos cifras decimales. Por esto comprobamos que esta última integral definida es correcta.
[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral doble."}, {"start": 7.0, "end": 11.5, "text": " Comenzamos por determinar estos valores a que variable pertenecen,"}, {"start": 11.5, "end": 13.5, "text": " ser\u00e1 de la letra y."}, {"start": 13.5, "end": 18.5, "text": " Entonces tenemos integral desde y igual a 1"}, {"start": 18.5, "end": 23.5, "text": " hasta y igual a logaritmo natural de 8,"}, {"start": 23.5, "end": 25.5, "text": " es la integral externa."}, {"start": 25.5, "end": 30.5, "text": " Ahora con la integral interna tenemos aqu\u00ed valores de la variable x."}, {"start": 30.5, "end": 37.5, "text": " Entonces desde x igual a 0 hasta x igual a logaritmo natural de y."}, {"start": 37.5, "end": 40.5, "text": " Y aqu\u00ed vamos a realizar una transformaci\u00f3n."}, {"start": 40.5, "end": 45.5, "text": " Si tenemos a a la n por a a la m,"}, {"start": 45.5, "end": 50.5, "text": " esto es igual a a elevada al exponente n m\u00e1s m,"}, {"start": 50.5, "end": 55.5, "text": " propiedad de la potenciaci\u00f3n, producto de potencias de la misma base."}, {"start": 55.5, "end": 58.5, "text": " Se deja la base y se suman los exponentes."}, {"start": 58.5, "end": 62.5, "text": " Pues bien, esta propiedad podemos aplicarla en sentido contrario,"}, {"start": 62.5, "end": 65.5, "text": " es decir, pasar de esto que tenemos ac\u00e1,"}, {"start": 65.5, "end": 68.5, "text": " una potencia con suma en el exponente,"}, {"start": 68.5, "end": 71.0, "text": " a un producto de potencias de la misma base."}, {"start": 71.0, "end": 73.5, "text": " Es la situaci\u00f3n que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 73.5, "end": 77.5, "text": " Entonces eso nos quedar\u00eda e a la x por e a la y,"}, {"start": 77.5, "end": 79.5, "text": " aplicando esta propiedad."}, {"start": 79.5, "end": 83.5, "text": " Y anotamos los diferenciales de x y de y."}, {"start": 83.5, "end": 88.5, "text": " Entonces comenzamos por resolver la integral m\u00e1s interna,"}, {"start": 88.5, "end": 91.5, "text": " que es la que depende de la variable x."}, {"start": 91.5, "end": 96.5, "text": " Vamos a se\u00f1alarla utilizando estos corchetes."}, {"start": 96.5, "end": 101.5, "text": " Entonces vamos a comenzar por resolver esta integral."}, {"start": 101.5, "end": 105.5, "text": " All\u00ed lo que contiene la letra y se comporta como constante."}, {"start": 105.5, "end": 108.5, "text": " La letra que controla es la x."}, {"start": 108.5, "end": 112.5, "text": " Entonces nos quedar\u00e1 la integral desde y igual a 1"}, {"start": 112.5, "end": 117.5, "text": " hasta y igual al logaritmo natural de 8."}, {"start": 117.5, "end": 122.5, "text": " Abrimos el corchete y entonces resolvemos esa integral."}, {"start": 122.5, "end": 126.5, "text": " Como dec\u00edamos, esto es constante, entonces lo dejamos quieto."}, {"start": 126.5, "end": 128.5, "text": " Es como si lo sac\u00e1ramos de la integral"}, {"start": 128.5, "end": 131.5, "text": " y nos ocupamos de lo que contiene la x."}, {"start": 131.5, "end": 135.5, "text": " La integral de e a la x recordemos que es ella misma."}, {"start": 135.5, "end": 140.5, "text": " Y como tenemos una integral definida, entonces trazamos esta l\u00ednea"}, {"start": 140.5, "end": 143.5, "text": " y anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 143.5, "end": 145.5, "text": " x igual a 0 es el l\u00edmite inferior,"}, {"start": 145.5, "end": 150.5, "text": " x igual al logaritmo natural de y es el l\u00edmite superior."}, {"start": 150.5, "end": 154.5, "text": " Cerramos el corchete que protege este procedimiento"}, {"start": 154.5, "end": 157.5, "text": " y anotamos el diferencial de y."}, {"start": 157.5, "end": 161.5, "text": " Ahora vamos a evaluar estos l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 161.5, "end": 163.5, "text": " aqu\u00ed en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 163.5, "end": 168.5, "text": " Es decir, vamos a aplicar lo que se llama el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 168.5, "end": 171.5, "text": " Entonces tenemos la integral desde y igual a 1"}, {"start": 171.5, "end": 175.5, "text": " hasta y igual al logaritmo natural de 8."}, {"start": 175.5, "end": 179.5, "text": " Abrimos el corchete, dejamos esto quieto"}, {"start": 179.5, "end": 183.5, "text": " y entonces como dec\u00edamos, vamos a reemplazar los l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 183.5, "end": 185.5, "text": " aqu\u00ed donde tenemos la x."}, {"start": 185.5, "end": 187.5, "text": " Comenzamos con el l\u00edmite superior."}, {"start": 187.5, "end": 190.5, "text": " Aqu\u00ed podemos abrir un par\u00e9ntesis."}, {"start": 190.5, "end": 195.5, "text": " Entonces entra el l\u00edmite superior, nos queda e elevado al logaritmo natural de y"}, {"start": 195.5, "end": 201.5, "text": " y esto menos el reemplazo del l\u00edmite inferior, es decir, e al 0."}, {"start": 201.5, "end": 206.5, "text": " Entonces all\u00ed estamos aplicando el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 206.5, "end": 210.5, "text": " Cerramos el corchete y anotamos el diferencial de y."}, {"start": 210.5, "end": 213.5, "text": " All\u00ed vamos a transformar estos dos componentes."}, {"start": 213.5, "end": 217.5, "text": " Si tenemos el n\u00famero de Euler elevado al logaritmo natural de y,"}, {"start": 217.5, "end": 220.5, "text": " eso nos dar\u00e1 como resultado y."}, {"start": 220.5, "end": 224.5, "text": " Y eso se fundamenta en esta propiedad."}, {"start": 224.5, "end": 229.5, "text": " Si tenemos a elevado al logaritmo en base a de cualquier cantidad,"}, {"start": 229.5, "end": 233.5, "text": " por ejemplo de la manzanita, esto ser\u00e1 igual a la manzanita."}, {"start": 233.5, "end": 236.5, "text": " Pues bien, si cambiamos a por el n\u00famero de Euler,"}, {"start": 236.5, "end": 242.5, "text": " nos queda e elevado al logaritmo en base e de la manzanita"}, {"start": 242.5, "end": 245.5, "text": " igual a la manzanita."}, {"start": 245.5, "end": 251.5, "text": " Pero el logaritmo en la base e es el logaritmo natural o logaritmo neperiano."}, {"start": 251.5, "end": 255.5, "text": " Entonces nos queda e elevado al logaritmo natural de la manzanita"}, {"start": 255.5, "end": 257.5, "text": " igual a la manzanita."}, {"start": 257.5, "end": 260.5, "text": " Es lo que est\u00e1 sucediendo all\u00ed."}, {"start": 260.5, "end": 264.5, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos que e al 0 equivale a 1."}, {"start": 264.5, "end": 269.5, "text": " Recordemos que en toda potencia, si la base es una cantidad distinta de 0"}, {"start": 269.5, "end": 274.5, "text": " y el exponente es 0, el resultado de esa potencia es 1."}, {"start": 274.5, "end": 277.5, "text": " Entonces esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 277.5, "end": 281.5, "text": " Tenemos la integral que va desde y igual a 1"}, {"start": 281.5, "end": 286.5, "text": " hasta y igual a logaritmo natural de 8."}, {"start": 286.5, "end": 289.5, "text": " Ac\u00e1 esto nos queda como y menos 1."}, {"start": 289.5, "end": 291.5, "text": " Vamos a escribirlo primero."}, {"start": 291.5, "end": 296.5, "text": " Y menos 1 protegido con par\u00e9ntesis y que multiplica con e a la y."}, {"start": 296.5, "end": 300.5, "text": " Y todo eso acompa\u00f1ado del diferencial de y."}, {"start": 300.5, "end": 305.5, "text": " Llegamos as\u00ed a una integral que depende de una sola variable."}, {"start": 305.5, "end": 307.5, "text": " Vemos que solamente depende de y."}, {"start": 307.5, "end": 310.5, "text": " Vamos entonces a resolver esa integral."}, {"start": 310.5, "end": 313.5, "text": " Primero miramos si se puede hacer en forma directa."}, {"start": 313.5, "end": 314.5, "text": " Vemos que no es as\u00ed."}, {"start": 314.5, "end": 318.5, "text": " Luego revisamos el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 318.5, "end": 321.5, "text": " Vemos que tampoco es posible por ese camino."}, {"start": 321.5, "end": 326.5, "text": " Y entonces vamos a intentar el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 326.5, "end": 328.5, "text": " Vamos a escribir la integral por ac\u00e1."}, {"start": 328.5, "end": 331.5, "text": " Integral de y menos 1."}, {"start": 331.5, "end": 333.5, "text": " Todo esto por e a la y."}, {"start": 333.5, "end": 335.5, "text": " Con su diferencial de y."}, {"start": 335.5, "end": 339.5, "text": " Vamos a trabajarla aqu\u00ed como integral indefinida."}, {"start": 339.5, "end": 344.5, "text": " Comenzamos clasificando las dos expresiones que participan aqu\u00ed en el integrando."}, {"start": 344.5, "end": 347.5, "text": " Esto ser\u00e1 de tipo algebraico."}, {"start": 347.5, "end": 351.5, "text": " Tenemos all\u00ed un polinomio de primer grado."}, {"start": 351.5, "end": 353.5, "text": " Entonces es categor\u00eda algebraica."}, {"start": 353.5, "end": 357.5, "text": " Y esto que tenemos ac\u00e1 es categor\u00eda exponencial."}, {"start": 357.5, "end": 362.5, "text": " Recordemos que en integraci\u00f3n por partes se aplica el truco y late."}, {"start": 362.5, "end": 366.5, "text": " Para poder determinar cu\u00e1l de los dos componentes ser\u00e1 u."}, {"start": 366.5, "end": 372.5, "text": " Entonces tenemos all\u00ed una expresi\u00f3n de tipo algebraico y otra de tipo exponencial."}, {"start": 372.5, "end": 377.5, "text": " Si leemos la palabra late, l\u00f3gicamente de izquierda a derecha."}, {"start": 377.5, "end": 381.5, "text": " Vemos que la primera que encontramos de esas dos que est\u00e1n se\u00f1aladas."}, {"start": 381.5, "end": 383.5, "text": " Es la categor\u00eda algebraica."}, {"start": 383.5, "end": 388.5, "text": " Por lo tanto esa expresi\u00f3n y menos 1 hace el papel de u."}, {"start": 388.5, "end": 393.5, "text": " Entonces tenemos u igual a y menos 1."}, {"start": 393.5, "end": 397.5, "text": " Vamos a destacar ese componente."}, {"start": 397.5, "end": 404.5, "text": " Y all\u00ed vamos a realizar la derivada de esa expresi\u00f3n con respecto a la variable y."}, {"start": 404.5, "end": 406.5, "text": " Derivada de u con respecto a y."}, {"start": 406.5, "end": 409.5, "text": " O sea la derivada de y menos 1."}, {"start": 409.5, "end": 411.5, "text": " Eso nos da como resultado 1."}, {"start": 411.5, "end": 413.5, "text": " Y de all\u00ed despejamos de u."}, {"start": 413.5, "end": 418.5, "text": " Entonces de y que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con 1."}, {"start": 418.5, "end": 421.5, "text": " Nos queda que de u es igual a de y."}, {"start": 421.5, "end": 423.5, "text": " Ahora vamos con lo que es de b."}, {"start": 423.5, "end": 426.5, "text": " De b ser\u00e1 el resto de la expresi\u00f3n."}, {"start": 426.5, "end": 431.5, "text": " Es decir, r y acompa\u00f1ado del diferencial de y."}, {"start": 431.5, "end": 433.5, "text": " Aqu\u00ed tenemos este componente."}, {"start": 433.5, "end": 437.5, "text": " Y eso vamos a integrarlo a ambos lados."}, {"start": 437.5, "end": 445.5, "text": " Entonces tendremos que la integral de db es igual a la integral de e a la y."}, {"start": 445.5, "end": 448.5, "text": " Con su respectivo diferencial de y."}, {"start": 448.5, "end": 450.5, "text": " Integral de db nos da v."}, {"start": 450.5, "end": 454.5, "text": " Y la integral de e a la y es esa misma expresi\u00f3n."}, {"start": 454.5, "end": 459.5, "text": " All\u00ed tenemos entonces el otro componente que es v."}, {"start": 459.5, "end": 463.5, "text": " En seguida aplicamos la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 463.5, "end": 468.5, "text": " La integral de u por db es igual a u por b."}, {"start": 468.5, "end": 473.5, "text": " Esto menos la integral de v por du."}, {"start": 473.5, "end": 477.5, "text": " Recordemos que para aprender f\u00e1cilmente esta f\u00f3rmula decimos."}, {"start": 477.5, "end": 481.5, "text": " Una barca menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 481.5, "end": 485.5, "text": " Vamos entonces a reemplazar all\u00ed cada uno de los componentes."}, {"start": 485.5, "end": 488.5, "text": " Nos queda la integral de u."}, {"start": 488.5, "end": 490.5, "text": " Buscamos ac\u00e1 que es u."}, {"start": 490.5, "end": 493.5, "text": " Que equivale a y menos 1."}, {"start": 493.5, "end": 495.5, "text": " Todo esto por db."}, {"start": 495.5, "end": 498.5, "text": " Aqu\u00ed tenemos db que es e a la y."}, {"start": 498.5, "end": 501.5, "text": " Por db all\u00ed nos aparece la integral original."}, {"start": 501.5, "end": 506.5, "text": " Esto es igual a u que equivale a y menos 1."}, {"start": 506.5, "end": 508.5, "text": " Protejemos eso con par\u00e9ntesis."}, {"start": 508.5, "end": 512.5, "text": " Por b, aqu\u00ed tenemos b que es e a la y."}, {"start": 512.5, "end": 518.5, "text": " Luego tenemos menos la integral de b que equivale a e a la y."}, {"start": 518.5, "end": 523.5, "text": " Por du, pero du equivale al diferencial de y."}, {"start": 523.5, "end": 525.5, "text": " Continuamos resolviendo."}, {"start": 525.5, "end": 529.5, "text": " Esto nos queda igual la integral de y menos 1."}, {"start": 529.5, "end": 531.5, "text": " Por e a la y."}, {"start": 531.5, "end": 534.5, "text": " Con su respectivo diferencial de y."}, {"start": 534.5, "end": 536.5, "text": " Ser\u00e1 igual a esto."}, {"start": 536.5, "end": 539.5, "text": " Y menos 1 por e a la y."}, {"start": 539.5, "end": 541.5, "text": " Tampoco presenta cambio."}, {"start": 541.5, "end": 543.5, "text": " Y ac\u00e1 resolvemos esta integral."}, {"start": 543.5, "end": 546.5, "text": " La integral de e a la y con el diferencial de y."}, {"start": 546.5, "end": 548.5, "text": " Ser\u00e1 ella misma."}, {"start": 548.5, "end": 553.5, "text": " Ahora aqu\u00ed tenemos dos t\u00e9rminos donde est\u00e1 el factor e a la y."}, {"start": 553.5, "end": 555.5, "text": " Est\u00e1 repetido."}, {"start": 555.5, "end": 558.5, "text": " Entonces podemos extraerlo como factor com\u00fan."}, {"start": 558.5, "end": 560.5, "text": " Nos queda e a la y."}, {"start": 560.5, "end": 561.5, "text": " Factor d."}, {"start": 561.5, "end": 562.5, "text": " Abrimos un corchete."}, {"start": 562.5, "end": 565.5, "text": " Nos queda en el primer t\u00e9rmino y menos 1."}, {"start": 565.5, "end": 567.5, "text": " Protejido con par\u00e9ntesis."}, {"start": 567.5, "end": 570.5, "text": " Y ac\u00e1 en este t\u00e9rmino si sale e a la y."}, {"start": 570.5, "end": 573.5, "text": " Nos queda en su lugar 1."}, {"start": 573.5, "end": 576.5, "text": " All\u00ed podr\u00edamos retirar este par\u00e9ntesis."}, {"start": 576.5, "end": 581.5, "text": " En realidad no se necesita porque a su izquierda tenemos signo positivo."}, {"start": 581.5, "end": 585.5, "text": " Entonces resolvemos aqu\u00ed la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros."}, {"start": 585.5, "end": 588.5, "text": " Podemos cambiar esos corchetes por par\u00e9ntesis."}, {"start": 588.5, "end": 590.5, "text": " Nos queda entonces y menos 2."}, {"start": 590.5, "end": 595.5, "text": " Esto ser\u00e1 el resultado de esta integral indefinida."}, {"start": 595.5, "end": 599.5, "text": " Entonces conociendo ya el resultado de esta integral."}, {"start": 599.5, "end": 601.5, "text": " O sea esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 601.5, "end": 604.5, "text": " Vamos a continuar con el desarrollo del ejercicio."}, {"start": 604.5, "end": 609.5, "text": " Nos queda entonces igual al resultado de esta integral que es e a la y."}, {"start": 609.5, "end": 611.5, "text": " Por y menos 2."}, {"start": 611.5, "end": 616.5, "text": " Y todo eso evaluado en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son."}, {"start": 616.5, "end": 618.5, "text": " Y igual a 1."}, {"start": 618.5, "end": 620.5, "text": " El l\u00edmite inferior."}, {"start": 620.5, "end": 622.5, "text": " Y igual al logaritmo natural de 8."}, {"start": 622.5, "end": 624.5, "text": " El l\u00edmite superior."}, {"start": 624.5, "end": 628.5, "text": " En seguida evaluamos estos l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 628.5, "end": 631.5, "text": " Aqu\u00ed en la antiderivada que obtuvimos."}, {"start": 631.5, "end": 635.5, "text": " Es decir vamos a aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 635.5, "end": 638.5, "text": " Comenzamos reemplazando el l\u00edmite superior."}, {"start": 638.5, "end": 641.5, "text": " Aqu\u00ed donde est\u00e1 la y vamos a escribir logaritmo natural de 8."}, {"start": 641.5, "end": 644.5, "text": " Nos queda e a la logaritmo natural de 8."}, {"start": 644.5, "end": 647.5, "text": " Por logaritmo natural de 8 menos 2."}, {"start": 647.5, "end": 650.5, "text": " All\u00ed hemos reemplazado el l\u00edmite superior."}, {"start": 650.5, "end": 654.5, "text": " Y luego tenemos menos el reemplazo del l\u00edmite inferior."}, {"start": 654.5, "end": 657.5, "text": " O sea y igual a 1 en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 657.5, "end": 662.5, "text": " E a la 1 que multiplica con 1 menos 2."}, {"start": 662.5, "end": 664.5, "text": " Por la propiedad que vimos ahora."}, {"start": 664.5, "end": 668.5, "text": " De e elevado al logaritmo natural de manzanita."}, {"start": 668.5, "end": 670.5, "text": " Y que esto es igual a manzanita."}, {"start": 670.5, "end": 675.5, "text": " Entonces tenemos que e elevado al logaritmo natural de 8."}, {"start": 675.5, "end": 677.5, "text": " Equivale a 8."}, {"start": 677.5, "end": 679.5, "text": " Entonces esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 679.5, "end": 683.5, "text": " 8 que multiplica al logaritmo natural de 8."}, {"start": 683.5, "end": 684.5, "text": " Menos 2."}, {"start": 684.5, "end": 687.5, "text": " Todo eso menos e a la 1 que equivale a e."}, {"start": 687.5, "end": 688.5, "text": " El n\u00famero de Euler."}, {"start": 688.5, "end": 690.5, "text": " Por 1 menos 2."}, {"start": 690.5, "end": 693.5, "text": " Que es igual a menos 1."}, {"start": 693.5, "end": 696.5, "text": " Continuamos organizando esta expresi\u00f3n num\u00e9rica."}, {"start": 696.5, "end": 699.5, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 699.5, "end": 702.5, "text": " Entonces distribuimos el 8."}, {"start": 702.5, "end": 704.5, "text": " Nos queda entonces igual a."}, {"start": 704.5, "end": 706.5, "text": " 8 por logaritmo natural de 8."}, {"start": 706.5, "end": 709.5, "text": " Eso se deja as\u00ed expresado."}, {"start": 709.5, "end": 712.5, "text": " 8 por menos 2 es menos 16."}, {"start": 712.5, "end": 716.5, "text": " Y ac\u00e1 menos e por menos 1 nos da m\u00e1s e."}, {"start": 716.5, "end": 720.5, "text": " Si efectuamos todo esto en la calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 720.5, "end": 725.5, "text": " Obtenemos un resultado aproximado de 3.35."}, {"start": 725.5, "end": 729.5, "text": " Y de esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 729.5, "end": 733.5, "text": " Este ser\u00e1 el valor para esa integral doble."}, {"start": 733.5, "end": 738.5, "text": " Podr\u00edamos comprobar este resultado utilizando esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 738.5, "end": 740.5, "text": " Veamos c\u00f3mo se hace."}, {"start": 740.5, "end": 742.5, "text": " La \u00faltima integral que resolvimos."}, {"start": 742.5, "end": 744.5, "text": " Iba desde y igual a 1."}, {"start": 744.5, "end": 748.5, "text": " Hasta y igual a logaritmo natural de 8."}, {"start": 748.5, "end": 750.5, "text": " Ac\u00e1 en el integrando ten\u00edamos."}, {"start": 750.5, "end": 751.5, "text": " Y menos 1."}, {"start": 751.5, "end": 752.5, "text": " Por e a la y."}, {"start": 752.5, "end": 755.5, "text": " Con su diferencial de y."}, {"start": 755.5, "end": 756.5, "text": " Pues bien."}, {"start": 756.5, "end": 758.5, "text": " Para ingresar esto a esta calculadora."}, {"start": 758.5, "end": 762.5, "text": " Ella nos va a tomar como variable la letra x."}, {"start": 762.5, "end": 766.5, "text": " Simplemente ser\u00eda cambiar todo eso a la letra x."}, {"start": 766.5, "end": 768.5, "text": " Es decir la variable que controla la integral."}, {"start": 768.5, "end": 771.5, "text": " Ser\u00eda tener la integral desde x igual a 1."}, {"start": 771.5, "end": 774.5, "text": " Hasta x igual a logaritmo natural de 8."}, {"start": 774.5, "end": 777.5, "text": " Ac\u00e1 tendr\u00edamos x menos 1."}, {"start": 777.5, "end": 779.5, "text": " Por e a la x."}, {"start": 779.5, "end": 782.5, "text": " Y eso con el diferencial de x."}, {"start": 782.5, "end": 784.5, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo se hace la comprobaci\u00f3n."}, {"start": 784.5, "end": 786.5, "text": " En esta calculadora."}, {"start": 786.5, "end": 791.5, "text": " Tenemos que oprimir primero el bot\u00f3n de la integral definida."}, {"start": 791.5, "end": 793.5, "text": " All\u00ed nos aparece el cursor."}, {"start": 793.5, "end": 796.5, "text": " En un cuadrito que es donde vamos a ingresar."}, {"start": 796.5, "end": 797.5, "text": " El integrando."}, {"start": 797.5, "end": 800.5, "text": " Entonces abrimos un par\u00e9ntesis."}, {"start": 800.5, "end": 802.5, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n de la letra x."}, {"start": 802.5, "end": 805.5, "text": " Luego tenemos menos 1."}, {"start": 805.5, "end": 807.5, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 807.5, "end": 809.5, "text": " Y despu\u00e9s debemos ingresar e a la x."}, {"start": 809.5, "end": 812.5, "text": " Entonces la funci\u00f3n de e a la x."}, {"start": 812.5, "end": 815.5, "text": " Est\u00e1 arriba del bot\u00f3n de logaritmo natural."}, {"start": 815.5, "end": 818.5, "text": " Para activarla oprimimos primero el bot\u00f3n shift."}, {"start": 818.5, "end": 820.5, "text": " Y luego el bot\u00f3n de logaritmo natural."}, {"start": 820.5, "end": 823.5, "text": " All\u00ed nos aparece e elevada a un cuadrito."}, {"start": 823.5, "end": 826.5, "text": " All\u00ed est\u00e1 el cursor titilando en el cuadrito."}, {"start": 826.5, "end": 829.5, "text": " Entonces all\u00ed ingresamos la x."}, {"start": 829.5, "end": 831.5, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n de la x."}, {"start": 831.5, "end": 834.5, "text": " Ahora corremos el navegador hacia la derecha."}, {"start": 834.5, "end": 837.5, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n respectivo."}, {"start": 837.5, "end": 838.5, "text": " Dos veces."}, {"start": 838.5, "end": 843.5, "text": " Y all\u00ed nos aparece ya el cursor situado en el l\u00edmite inferior."}, {"start": 843.5, "end": 846.5, "text": " Es all\u00ed donde debemos escribir el 1."}, {"start": 846.5, "end": 850.5, "text": " Otra vez oprimimos el bot\u00f3n derecho del navegador."}, {"start": 850.5, "end": 854.5, "text": " Y el cursor se sit\u00faa autom\u00e1ticamente en el l\u00edmite superior."}, {"start": 854.5, "end": 858.5, "text": " Donde debemos ingresar logaritmo natural de 8."}, {"start": 858.5, "end": 860.5, "text": " Entonces bot\u00f3n de logaritmo natural."}, {"start": 860.5, "end": 862.5, "text": " Escribimos el 8."}, {"start": 862.5, "end": 864.5, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 864.5, "end": 868.5, "text": " Y despu\u00e9s de haber copiado esto aqu\u00ed en la calculadora."}, {"start": 868.5, "end": 870.5, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual."}, {"start": 870.5, "end": 874.5, "text": " All\u00ed nos aparece entonces el valor 3.35."}, {"start": 874.5, "end": 878.5, "text": " L\u00f3gicamente aproximado a dos cifras decimales."}, {"start": 878.5, "end": 884.5, "text": " Por esto comprobamos que esta \u00faltima integral definida es correcta."}]