ECUACIONES CON RADICALES - Ejercicio 9
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación con radicales de diferente índice.

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 Vamos a resolver esta ecuación en el conjunto de los números reales. Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad. Como se observa tenemos allí radicales con distinto índice. Aquí hay una raíz cúbica, o sea con índice 3 y acá tenemos una raíz cuadrada, es decir con índice 2. Para empezar vamos a determinar el mínimo común múltiplo de esos índices, es decir de los números 3 y 2. Como ellos son primos el mínimo común múltiplo se obtiene fácilmente multiplicando esas dos cantidades, 3 por 2 es 6. Entonces vamos a conseguir que ambas raíces queden con índice 6. Para ello hacemos lo siguiente, en el caso de la primera raíz la reescribimos como raíz cúbica de x más 3 y todo esto con exponente 1. Simplemente protegemos la expresión con paréntesis y queda elevada al exponente 1. En el otro lado tenemos la raíz cuadrada, o sea con índice 2 y adentro la expresión x-1, también la encerramos con paréntesis y queda elevada al exponente 1. Acá para que 3 se convierta en 6 necesitamos multiplicar por 2 y para contrarrestar eso acá también multiplicamos por 2. Y en esta otra raíz para que 2 se convierta en 6 tenemos que multiplicar ese número por 3 y para contrarrestar eso acá también multiplicamos por 3. De esa manera tenemos en el lado izquierdo la raíz de índice 3 por 2, o sea 6 y adentro tendremos x más 3 que nos queda elevado al exponente 1 por 2 que es 2, mientras que en el lado derecho tendremos la raíz de índice 2 por 3 que es 6 y acá por dentro tendremos x-1 elevado al resultado de 1 por 3 que es 3. Ahora vamos a aplicar la siguiente propiedad de la radicación, si tenemos la raíz de índice n de una cantidad a y esto está igualado a la raíz de índice n de una cantidad b, entonces se cumple que a es igual a b, es decir podemos igualar los radicandos o las cantidades subradicales, lo que está dentro de cada raíz, pues esa es la situación que tenemos allí, el mismo índice en ambas raíces, por lo tanto podemos igualar las cantidades que hay por dentro, nos queda x más 3 al cuadrado, esto igual con x-1 al cubo. Ahora vamos a realizar el desarrollo o la expansión de cada una de esas expresiones, aquí tenemos un binomio elevado al cuadrado y acá tenemos un binomio elevado al cubo, para el caso del binomio al cuadrado utilizamos el siguiente producto notable, a más b al cuadrado es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a desarrollar esto que tenemos en el lado izquierdo de la igualdad, comenzamos con el primer término al cuadrado, luego más dos veces el primer término por el segundo, es decir más 2 por x por 3 y luego más el segundo término elevado al cuadrado, en este caso 3 al cuadrado. Ahora pasamos al otro lado donde tenemos un binomio elevado al cubo, vamos a recordar ese producto notable, para a menos b al cubo esto es igual al primer término al cubo menos tres veces el primer término al cuadrado por el segundo más tres veces el primer término por el segundo al cuadrado menos el segundo término elevado al cubo. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a desarrollar esa expresión, comenzamos con el primer término al cubo, aquí lo tenemos, luego menos tres veces el primer término al cuadrado por el segundo, o sea x al cuadrado por 1, luego más tres veces el primer término por el segundo al cuadrado, tres por x por 1 al cuadrado y luego menos el segundo término al cubo, en este caso 1 elevado al cubo. Ahora vamos a efectuar las operaciones que tenemos allí expresadas, por acá tendremos x al cuadrado más 2 por x por 3 que nos da 6x más 3 al cuadrado que es 9, pasamos al otro lado de la igualdad, tenemos x al cubo menos 3 por x al cuadrado por 1, eso nos da 3x al cuadrado, luego tenemos más aquí 1 al cuadrado que es 1, 1 por 3 nos da 3 acompañado de x y luego menos 1 al cubo que equivale a 1. Ahora vamos a igualar esta expresión a cero, vamos a dejar el cero en el lado izquierdo, entonces estos términos se quedan tal como están y pasamos estos al otro lado, entonces llegan con signo contrario, llega menos x al cuadrado menos 6x y menos 9. Ahora en esta expresión vamos a reducir términos semejantes, tenemos estos dos que contienen x al cuadrado, también estos que contienen la x y observamos números, o sea términos independientes, entonces vamos a realizar la reducción de términos semejantes, nos va a quedar x al cubo, luego menos 3x al cuadrado menos x al cuadrado, eso nos da menos 4x al cuadrado, luego los términos que contienen la x, más 3x menos 6x, eso nos da menos 3x y por último los términos independientes, menos 1 y menos 9 es menos 10 y podemos escribir el cero al otro lado. Bien, ahora debemos resolver esta ecuación a la que hemos llegado, vamos a resolver esta ecuación que es de tercer grado y que por lo tanto debe tener tres soluciones en el conjunto de los números complejos. Comenzamos revisando si este polinomio puede factorizarse utilizando los casos más frecuentes como factor común o factor común por agrupación de términos, vemos que no es así, entonces vamos a utilizar el procedimiento de la división sintética. Comenzamos determinando el conjunto de valores de P, que serán los divisores del término independiente, aunque aquí tenemos menos 10, acá podemos considerar simplemente 10, entonces los divisores de ese número, los divisores enteros comenzando por el más pequeño son más o menos 1, más o menos 2, más o menos 5 y más o menos 10. Para verificar que ese conjunto está completo podemos hacer lo siguiente, multiplicamos los números extremos, 1 por 10 nos da 10 y luego los números que nos quedan 2 por 5 y vemos que efectivamente nos da 10, de esa manera comprobamos que no nos falta ningún divisor. Ahora, vamos a determinar el conjunto de valores de Q, que son los divisores del coeficiente principal, es decir, el que corresponde al término de mayor exponente, son entonces los divisores de 1, que será simplemente más o menos 1. A continuación vamos a determinar las posibles raíces racionales para ese polinomio, que serán las combinaciones P sobre Q que podamos construir con esos números, pero como en este caso Q solamente tiene el valor 1, entonces nos van a quedar los números que corresponden al conjunto P, es decir, más o menos 1, más o menos 2, más o menos 5 y más o menos 10. Ahora sí podemos utilizar la división sintética para ver cuál de estos valores satisface esa ecuación, comenzamos revisando que el polinomio esté organizado en forma descendente, tenemos que esa condición se cumple y vamos a anotar ahora los coeficientes de los términos, para el primer término tenemos coeficiente 1, para el segundo tenemos coeficiente menos 4, para el tercero coeficiente menos 3 y luego el término independiente que es menos 10, podemos guiarnos colocando encima de cada número a qué término corresponde, entonces para el último tenemos las iniciales del término independiente. Comenzamos el proceso de la división sintética intentando con el valor 1, entonces bajamos el primer número, tenemos allí el 1, 1 por 1 nos da 1, lo escribimos aquí, hacemos la suma en forma vertical, menos 4 más 1 nos da menos 3, menos 3 lo multiplicamos por 1, eso nos da menos 3, sumamos en forma vertical, eso nos da menos 6, menos 6 por 1 es menos 6 y al sumar en forma vertical nos da menos 16, como no hemos obtenido 0, entonces este valor se descarta. Ahora vamos a intentar con menos 1, el mismo proceso, bajamos el 1, el primer número, luego multiplicamos 1 por menos 1, eso nos da menos 1, sumamos en forma vertical, eso nos da menos 5, menos 5 por menos 1 nos da 5 positivo, sumamos en forma vertical, eso nos da 2, 2 por menos 1 es menos 2 y al sumar verticalmente nos da menos 12, tampoco nos dio 0, por lo tanto menos 1 también se descarta. Ahora vamos a ensayar el valor 2, bajamos el primer número, tenemos 1 por 2 que es 2, sumamos en forma vertical, eso nos da menos 2, menos 2 por 2 es menos 4, sumamos en forma vertical, eso nos da menos 7, menos 7 por 2 es menos 14 y al sumar esos dos números nos da menos 24, tampoco nos dio 0, entonces descartamos el valor 2. Intentamos ahora con menos 2, bajamos el primer número, 1 por menos 2 es menos 2, sumamos en forma vertical, eso nos da menos 6, menos 6 por menos 2 es 12 positivo, hacemos la suma, eso nos da 9, 9 por menos 2 nos da menos 18 y al sumar esas dos cantidades nos da menos 28, tampoco nos dio 0, entonces descartamos menos 2. Ahora intentamos con el valor 5, bajamos el primer número, 1 por 5 nos da 5, sumamos, eso nos da 1, 1 por 5 nos da 5, sumamos, eso nos da 2, 2 por 5 nos da 10 y al efectuar la suma nos da 0, allí tenemos lo que buscábamos, entonces x igual a 5 satisface esa ecuación. Escribimos por acá la solución obtenida y con estos números conformamos una expresión que es de segundo grado, porque disminuimos un grado en relación con la expresión original que era de grado 3, entonces aquí tendremos la expresión x al cuadrado, tiene coeficiente 1, luego seguimos con el término más x que también tiene coeficiente 1 y después el término independiente que es menos 2, esto nos va a quedar igualado a 0 y se convierte en una ecuación cuadrática que no es necesario resolver con división sintética. Tenemos entonces una ecuación que corresponde al modelo a x al cuadrado más bx más c igual a 0, o sea una ecuación cuadrática o de segundo grado que podemos resolver bien sea por factorización o sino por fórmula cuadrática. Primero revisamos si este trinomio se puede factorizar vemos que no es así, entonces vamos a tomar el camino de la fórmula cuadrática o la fórmula general, vamos a identificar los valores de a, b y c, a es el coeficiente del primer término de x al cuadrado ese coeficiente es 1, b es el coeficiente de x que también es 1 y c es el término independiente que en este caso es 2. Vamos entonces a utilizar la fórmula cuadrática, bien allí la tenemos y a continuación donde tenemos cada letra vamos a abrir paréntesis y ahora vamos a reemplazar los valores que identificamos para las letras, aquí tendremos el valor de b que es 1, aquí también b que vale 1, aquí el valor de a que nos dio 1, aquí el valor de c que es 2 y aquí el valor de a que es 1. Transolvemos ahora esas operaciones, tendremos x igual a menos 1 más o menos la raíz cuadrada de 1 al cuadrado que es 1 menos 4 por 1 por 2 que nos da 8 y todo eso queda sobre 2 por 1 que es 2, continuamos resolviendo allí, tendremos x igual a menos 1 más o menos la raíz cuadrada de 1 menos 8 que es menos 7 y todo eso continúa sobre 2. Aquí tenemos la siguiente situación, la raíz cuadrada de menos 7 equivale a la raíz cuadrada de 7 por menos 1 y podemos repartir esa raíz cuadrada porque tenemos multiplicación dentro de ella, entonces nos queda raíz cuadrada de 7 por raíz cuadrada de menos 1, pero recordemos que la raíz cuadrada de menos 1 es la unidad imaginaria y por lo tanto eso nos queda raíz cuadrada de 7 por y, entonces hacemos el cambio aquí por raíz cuadrada de 7 por y obteniendo lo siguiente, el denominador 2 se puede repartir para cada uno de esos dos términos, entonces x será igual a menos 1 medio más o menos raíz de 7 por y y esto sobre 2 y eso a su vez puede escribirse como x igual a menos 1 medio más o menos raíz de 7 medios y todo eso por y para que se distinga la parte real de la parte imaginaria. Así tenemos los otros dos valores de x que satisfacen la ecuación, x igual a menos 1 medio más raíz cuadrada de 7 medios por y y x igual a menos 1 medio menos raíz cuadrada de 7 medios por y. Como el ejercicio original lo estamos trabajando en el conjunto de los números reales, entonces tenemos que descartar estas dos posibilidades que pertenecen al conjunto de los números complejos, nos quedamos entonces únicamente con x igual a 5. Bien, de esta ecuación tomamos entonces la solución real que es x igual a 5 pero para quedar más tranquilos hacemos la verificación o la prueba en la ecuación original. Para ello hacemos el reemplazo de este valor aquí donde tenemos x, veamos 5 más 3 nos da 8, acá nos queda la raíz cubica de 8 que eso equivale a 2 y por este lado tendremos 5 menos 1 que es 4, o sea la raíz cuadrada de 4 que equivale a 2. Como la igualdad se cumple entonces concluimos que esta es la solución para esa ecuación y así terminamos este ejercicio.
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{"start": 214.48, "end": 220.23999999999998, "text": " para el caso del binomio al cuadrado utilizamos el siguiente producto notable, a m\u00e1s b al"}, {"start": 220.23999999999998, "end": 229.28, "text": " cuadrado es igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado m\u00e1s dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo"}, {"start": 229.28, "end": 233.68, "text": " m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado."}, {"start": 233.68, "end": 238.4, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n vamos a desarrollar esto que tenemos en el lado"}, {"start": 238.4, "end": 244.4, "text": " izquierdo de la igualdad, comenzamos con el primer t\u00e9rmino al cuadrado, luego m\u00e1s dos"}, {"start": 244.4, "end": 254.28, "text": " veces el primer t\u00e9rmino por el segundo, es decir m\u00e1s 2 por x por 3 y luego m\u00e1s el segundo"}, {"start": 254.28, "end": 259.72, "text": " t\u00e9rmino elevado al cuadrado, en este caso 3 al cuadrado."}, {"start": 259.72, "end": 265.84, "text": " Ahora pasamos al otro lado donde tenemos un binomio elevado al cubo, vamos a recordar"}, {"start": 265.84, "end": 273.52, "text": " ese producto notable, para a menos b al cubo esto es igual al primer t\u00e9rmino al cubo menos"}, {"start": 273.52, "end": 281.08, "text": " tres veces el primer t\u00e9rmino al cuadrado por el segundo m\u00e1s tres veces el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 281.08, "end": 287.47999999999996, "text": " por el segundo al cuadrado menos el segundo t\u00e9rmino elevado al cubo."}, {"start": 287.47999999999996, "end": 294.4, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n vamos a desarrollar esa expresi\u00f3n, comenzamos con"}, {"start": 294.4, "end": 301.36, "text": " el primer t\u00e9rmino al cubo, aqu\u00ed lo tenemos, luego menos tres veces el primer t\u00e9rmino al"}, {"start": 301.36, "end": 311.8, "text": " cuadrado por el segundo, o sea x al cuadrado por 1, luego m\u00e1s tres veces el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 311.8, "end": 321.40000000000003, "text": " por el segundo al cuadrado, tres por x por 1 al cuadrado y luego menos el segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 321.40000000000003, "end": 326.56, "text": " al cubo, en este caso 1 elevado al cubo."}, {"start": 326.56, "end": 332.32, "text": " Ahora vamos a efectuar las operaciones que tenemos all\u00ed expresadas, por ac\u00e1 tendremos"}, {"start": 332.32, "end": 341.72, "text": " x al cuadrado m\u00e1s 2 por x por 3 que nos da 6x m\u00e1s 3 al cuadrado que es 9, pasamos al"}, {"start": 341.72, "end": 349.28, "text": " otro lado de la igualdad, tenemos x al cubo menos 3 por x al cuadrado por 1, eso nos da"}, {"start": 349.28, "end": 357.96, "text": " 3x al cuadrado, luego tenemos m\u00e1s aqu\u00ed 1 al cuadrado que es 1, 1 por 3 nos da 3 acompa\u00f1ado"}, {"start": 357.96, "end": 364.28, "text": " de x y luego menos 1 al cubo que equivale a 1."}, {"start": 364.28, "end": 370.96, "text": " Ahora vamos a igualar esta expresi\u00f3n a cero, vamos a dejar el cero en el lado izquierdo,"}, {"start": 370.96, "end": 377.52, "text": " entonces estos t\u00e9rminos se quedan tal como est\u00e1n y pasamos estos al otro lado, entonces"}, {"start": 377.52, "end": 386.44, "text": " llegan con signo contrario, llega menos x al cuadrado menos 6x y menos 9."}, {"start": 386.44, "end": 393.28, "text": " Ahora en esta expresi\u00f3n vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes, tenemos estos dos que contienen"}, {"start": 393.28, "end": 402.59999999999997, "text": " x al cuadrado, tambi\u00e9n estos que contienen la x y observamos n\u00fameros, o sea t\u00e9rminos"}, {"start": 402.6, "end": 409.92, "text": " independientes, entonces vamos a realizar la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes, nos"}, {"start": 409.92, "end": 418.6, "text": " va a quedar x al cubo, luego menos 3x al cuadrado menos x al cuadrado, eso nos da menos 4x al"}, {"start": 418.6, "end": 426.6, "text": " cuadrado, luego los t\u00e9rminos que contienen la x, m\u00e1s 3x menos 6x, eso nos da menos 3x"}, {"start": 426.6, "end": 434.14000000000004, "text": " y por \u00faltimo los t\u00e9rminos independientes, menos 1 y menos 9 es menos 10 y podemos escribir"}, {"start": 434.14000000000004, "end": 436.16, "text": " el cero al otro lado."}, {"start": 436.16, "end": 443.16, "text": " Bien, ahora debemos resolver esta ecuaci\u00f3n a la que hemos llegado, vamos a resolver esta"}, {"start": 443.16, "end": 449.16, "text": " ecuaci\u00f3n que es de tercer grado y que por lo tanto debe tener tres soluciones en el"}, {"start": 449.16, "end": 452.16, "text": " conjunto de los n\u00fameros complejos."}, {"start": 452.16, "end": 459.6, "text": " Comenzamos revisando si este polinomio puede factorizarse utilizando los casos m\u00e1s frecuentes"}, {"start": 459.6, "end": 466.04, "text": " como factor com\u00fan o factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos, vemos que no es as\u00ed, entonces"}, {"start": 466.04, "end": 470.88, "text": " vamos a utilizar el procedimiento de la divisi\u00f3n sint\u00e9tica."}, {"start": 470.88, "end": 477.56, "text": " Comenzamos determinando el conjunto de valores de P, que ser\u00e1n los divisores del t\u00e9rmino"}, {"start": 477.56, "end": 485.08, "text": " independiente, aunque aqu\u00ed tenemos menos 10, ac\u00e1 podemos considerar simplemente 10,"}, {"start": 485.08, "end": 491.52, "text": " entonces los divisores de ese n\u00famero, los divisores enteros comenzando por el m\u00e1s peque\u00f1o"}, {"start": 491.52, "end": 500.06, "text": " son m\u00e1s o menos 1, m\u00e1s o menos 2, m\u00e1s o menos 5 y m\u00e1s o menos 10."}, {"start": 500.06, "end": 507.04, "text": " Para verificar que ese conjunto est\u00e1 completo podemos hacer lo siguiente, multiplicamos"}, {"start": 507.04, "end": 514.12, "text": " los n\u00fameros extremos, 1 por 10 nos da 10 y luego los n\u00fameros que nos quedan 2 por 5"}, {"start": 514.12, "end": 520.32, "text": " y vemos que efectivamente nos da 10, de esa manera comprobamos que no nos falta ning\u00fan"}, {"start": 520.32, "end": 521.32, "text": " divisor."}, {"start": 521.32, "end": 528.38, "text": " Ahora, vamos a determinar el conjunto de valores de Q, que son los divisores del coeficiente"}, {"start": 528.38, "end": 534.88, "text": " principal, es decir, el que corresponde al t\u00e9rmino de mayor exponente, son entonces"}, {"start": 534.88, "end": 541.52, "text": " los divisores de 1, que ser\u00e1 simplemente m\u00e1s o menos 1."}, {"start": 541.52, "end": 548.76, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a determinar las posibles ra\u00edces racionales para ese polinomio, que"}, {"start": 548.76, "end": 556.52, "text": " ser\u00e1n las combinaciones P sobre Q que podamos construir con esos n\u00fameros, pero como en"}, {"start": 556.52, "end": 563.74, "text": " este caso Q solamente tiene el valor 1, entonces nos van a quedar los n\u00fameros que corresponden"}, {"start": 563.74, "end": 576.88, "text": " al conjunto P, es decir, m\u00e1s o menos 1, m\u00e1s o menos 2, m\u00e1s o menos 5 y m\u00e1s o menos 10."}, {"start": 576.88, "end": 582.76, "text": " Ahora s\u00ed podemos utilizar la divisi\u00f3n sint\u00e9tica para ver cu\u00e1l de estos valores satisface"}, {"start": 582.76, "end": 589.6, "text": " esa ecuaci\u00f3n, comenzamos revisando que el polinomio est\u00e9 organizado en forma descendente,"}, {"start": 589.6, "end": 596.84, "text": " tenemos que esa condici\u00f3n se cumple y vamos a anotar ahora los coeficientes de los t\u00e9rminos,"}, {"start": 596.84, "end": 602.48, "text": " para el primer t\u00e9rmino tenemos coeficiente 1, para el segundo tenemos coeficiente menos"}, {"start": 602.48, "end": 609.72, "text": " 4, para el tercero coeficiente menos 3 y luego el t\u00e9rmino independiente que es menos"}, {"start": 609.72, "end": 618.6800000000001, "text": " 10, podemos guiarnos colocando encima de cada n\u00famero a qu\u00e9 t\u00e9rmino corresponde, entonces"}, {"start": 618.68, "end": 625.04, "text": " para el \u00faltimo tenemos las iniciales del t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 625.04, "end": 631.0, "text": " Comenzamos el proceso de la divisi\u00f3n sint\u00e9tica intentando con el valor 1, entonces bajamos"}, {"start": 631.0, "end": 637.52, "text": " el primer n\u00famero, tenemos all\u00ed el 1, 1 por 1 nos da 1, lo escribimos aqu\u00ed, hacemos la"}, {"start": 637.52, "end": 644.92, "text": " suma en forma vertical, menos 4 m\u00e1s 1 nos da menos 3, menos 3 lo multiplicamos por 1,"}, {"start": 644.92, "end": 651.5999999999999, "text": " eso nos da menos 3, sumamos en forma vertical, eso nos da menos 6, menos 6 por 1 es menos"}, {"start": 651.5999999999999, "end": 659.88, "text": " 6 y al sumar en forma vertical nos da menos 16, como no hemos obtenido 0, entonces este"}, {"start": 659.88, "end": 662.68, "text": " valor se descarta."}, {"start": 662.68, "end": 670.76, "text": " Ahora vamos a intentar con menos 1, el mismo proceso, bajamos el 1, el primer n\u00famero,"}, {"start": 670.76, "end": 676.84, "text": " luego multiplicamos 1 por menos 1, eso nos da menos 1, sumamos en forma vertical, eso"}, {"start": 676.84, "end": 683.52, "text": " nos da menos 5, menos 5 por menos 1 nos da 5 positivo, sumamos en forma vertical, eso"}, {"start": 683.52, "end": 691.8, "text": " nos da 2, 2 por menos 1 es menos 2 y al sumar verticalmente nos da menos 12, tampoco nos"}, {"start": 691.8, "end": 696.36, "text": " dio 0, por lo tanto menos 1 tambi\u00e9n se descarta."}, {"start": 696.36, "end": 705.36, "text": " Ahora vamos a ensayar el valor 2, bajamos el primer n\u00famero, tenemos 1 por 2 que es 2,"}, {"start": 705.36, "end": 713.08, "text": " sumamos en forma vertical, eso nos da menos 2, menos 2 por 2 es menos 4, sumamos en forma"}, {"start": 713.08, "end": 721.52, "text": " vertical, eso nos da menos 7, menos 7 por 2 es menos 14 y al sumar esos dos n\u00fameros"}, {"start": 721.52, "end": 729.04, "text": " nos da menos 24, tampoco nos dio 0, entonces descartamos el valor 2."}, {"start": 729.04, "end": 738.28, "text": " Intentamos ahora con menos 2, bajamos el primer n\u00famero, 1 por menos 2 es menos 2,"}, {"start": 738.28, "end": 745.8, "text": " sumamos en forma vertical, eso nos da menos 6, menos 6 por menos 2 es 12 positivo, hacemos"}, {"start": 745.8, "end": 753.8399999999999, "text": " la suma, eso nos da 9, 9 por menos 2 nos da menos 18 y al sumar esas dos cantidades"}, {"start": 753.8399999999999, "end": 760.76, "text": " nos da menos 28, tampoco nos dio 0, entonces descartamos menos 2."}, {"start": 760.76, "end": 770.0, "text": " Ahora intentamos con el valor 5, bajamos el primer n\u00famero, 1 por 5 nos da 5, sumamos,"}, {"start": 770.0, "end": 779.36, "text": " eso nos da 1, 1 por 5 nos da 5, sumamos, eso nos da 2, 2 por 5 nos da 10 y al efectuar"}, {"start": 779.36, "end": 788.48, "text": " la suma nos da 0, all\u00ed tenemos lo que busc\u00e1bamos, entonces x igual a 5 satisface esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 788.48, "end": 795.36, "text": " Escribimos por ac\u00e1 la soluci\u00f3n obtenida y con estos n\u00fameros conformamos una expresi\u00f3n"}, {"start": 795.36, "end": 801.96, "text": " que es de segundo grado, porque disminuimos un grado en relaci\u00f3n con la expresi\u00f3n original"}, {"start": 801.96, "end": 808.92, "text": " que era de grado 3, entonces aqu\u00ed tendremos la expresi\u00f3n x al cuadrado, tiene coeficiente"}, {"start": 808.92, "end": 815.36, "text": " 1, luego seguimos con el t\u00e9rmino m\u00e1s x que tambi\u00e9n tiene coeficiente 1 y despu\u00e9s"}, {"start": 815.36, "end": 821.9200000000001, "text": " el t\u00e9rmino independiente que es menos 2, esto nos va a quedar igualado a 0 y se convierte"}, {"start": 821.92, "end": 829.3199999999999, "text": " en una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que no es necesario resolver con divisi\u00f3n sint\u00e9tica."}, {"start": 829.3199999999999, "end": 837.92, "text": " Tenemos entonces una ecuaci\u00f3n que corresponde al modelo a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual"}, {"start": 837.92, "end": 845.0799999999999, "text": " a 0, o sea una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado que podemos resolver bien sea"}, {"start": 845.0799999999999, "end": 851.12, "text": " por factorizaci\u00f3n o sino por f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica. Primero revisamos si este trinomio se puede"}, {"start": 851.12, "end": 858.2, "text": " factorizar vemos que no es as\u00ed, entonces vamos a tomar el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica"}, {"start": 858.2, "end": 865.44, "text": " o la f\u00f3rmula general, vamos a identificar los valores de a, b y c, a es el coeficiente"}, {"start": 865.44, "end": 873.64, "text": " del primer t\u00e9rmino de x al cuadrado ese coeficiente es 1, b es el coeficiente de x que tambi\u00e9n"}, {"start": 873.64, "end": 881.88, "text": " es 1 y c es el t\u00e9rmino independiente que en este caso es 2. Vamos entonces a utilizar"}, {"start": 881.88, "end": 888.64, "text": " la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica, bien all\u00ed la tenemos y a continuaci\u00f3n donde tenemos cada letra"}, {"start": 888.64, "end": 895.4, "text": " vamos a abrir par\u00e9ntesis y ahora vamos a reemplazar los valores que identificamos para"}, {"start": 895.4, "end": 902.4, "text": " las letras, aqu\u00ed tendremos el valor de b que es 1, aqu\u00ed tambi\u00e9n b que vale 1, aqu\u00ed"}, {"start": 902.4, "end": 910.3199999999999, "text": " el valor de a que nos dio 1, aqu\u00ed el valor de c que es 2 y aqu\u00ed el valor de a que es"}, {"start": 910.3199999999999, "end": 921.92, "text": " 1. Transolvemos ahora esas operaciones, tendremos x igual a menos 1 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 921.92, "end": 933.5999999999999, "text": " de 1 al cuadrado que es 1 menos 4 por 1 por 2 que nos da 8 y todo eso queda sobre 2 por"}, {"start": 933.5999999999999, "end": 941.92, "text": " 1 que es 2, continuamos resolviendo all\u00ed, tendremos x igual a menos 1 m\u00e1s o menos la"}, {"start": 941.92, "end": 950.9599999999999, "text": " ra\u00edz cuadrada de 1 menos 8 que es menos 7 y todo eso contin\u00faa sobre 2. Aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 950.96, "end": 958.4000000000001, "text": " la siguiente situaci\u00f3n, la ra\u00edz cuadrada de menos 7 equivale a la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 958.4000000000001, "end": 967.72, "text": " 7 por menos 1 y podemos repartir esa ra\u00edz cuadrada porque tenemos multiplicaci\u00f3n dentro"}, {"start": 967.72, "end": 975.6800000000001, "text": " de ella, entonces nos queda ra\u00edz cuadrada de 7 por ra\u00edz cuadrada de menos 1, pero recordemos"}, {"start": 975.68, "end": 983.28, "text": " que la ra\u00edz cuadrada de menos 1 es la unidad imaginaria y por lo tanto eso nos queda ra\u00edz"}, {"start": 983.28, "end": 996.56, "text": " cuadrada de 7 por y, entonces hacemos el cambio aqu\u00ed por ra\u00edz cuadrada de 7 por y obteniendo"}, {"start": 996.56, "end": 1004.9, "text": " lo siguiente, el denominador 2 se puede repartir para cada uno de esos dos t\u00e9rminos, entonces"}, {"start": 1004.9, "end": 1015.6, "text": " x ser\u00e1 igual a menos 1 medio m\u00e1s o menos ra\u00edz de 7 por y y esto sobre 2 y eso a su"}, {"start": 1015.6, "end": 1026.24, "text": " vez puede escribirse como x igual a menos 1 medio m\u00e1s o menos ra\u00edz de 7 medios y"}, {"start": 1026.24, "end": 1033.6, "text": " todo eso por y para que se distinga la parte real de la parte imaginaria. As\u00ed tenemos"}, {"start": 1033.6, "end": 1041.1999999999998, "text": " los otros dos valores de x que satisfacen la ecuaci\u00f3n, x igual a menos 1 medio m\u00e1s"}, {"start": 1041.1999999999998, "end": 1053.76, "text": " ra\u00edz cuadrada de 7 medios por y y x igual a menos 1 medio menos ra\u00edz cuadrada de 7"}, {"start": 1053.76, "end": 1060.84, "text": " medios por y. Como el ejercicio original lo estamos trabajando en el conjunto de los n\u00fameros"}, {"start": 1060.84, "end": 1068.1599999999999, "text": " reales, entonces tenemos que descartar estas dos posibilidades que pertenecen al conjunto"}, {"start": 1068.1599999999999, "end": 1076.52, "text": " de los n\u00fameros complejos, nos quedamos entonces \u00fanicamente con x igual a 5. Bien, de esta"}, {"start": 1076.52, "end": 1085.1999999999998, "text": " ecuaci\u00f3n tomamos entonces la soluci\u00f3n real que es x igual a 5 pero para quedar m\u00e1s tranquilos"}, {"start": 1085.2, "end": 1092.3400000000001, "text": " hacemos la verificaci\u00f3n o la prueba en la ecuaci\u00f3n original. Para ello hacemos el reemplazo"}, {"start": 1092.3400000000001, "end": 1099.8, "text": " de este valor aqu\u00ed donde tenemos x, veamos 5 m\u00e1s 3 nos da 8, ac\u00e1 nos queda la ra\u00edz"}, {"start": 1099.8, "end": 1108.24, "text": " cubica de 8 que eso equivale a 2 y por este lado tendremos 5 menos 1 que es 4, o sea la"}, {"start": 1108.24, "end": 1115.92, "text": " ra\u00edz cuadrada de 4 que equivale a 2. Como la igualdad se cumple entonces concluimos"}, {"start": 1115.92, "end": 1138.8000000000002, "text": " que esta es la soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n y as\u00ed terminamos este ejercicio."}]