INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 20
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Indefinida utilizando el Método de Sustitución o Cambio de Variable.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida y para empezar vamos a reescribir o transformar la función que tenemos en el integrando. Observamos aquí un cociente de potencias de la misma base, entonces vamos a aplicar esta propiedad de la potenciación. Cuando tenemos una división o cociente de potencias de la misma base, ella se conserva y se restan los exponentes. Pues bien esa es la situación que tenemos allí, entonces esto nos va a quedar como la integral de x menos uno que multiplica al número de Euler y que nos queda elevado a la expresión x al cuadrado menos 2x. Observamos la resta de los exponentes y escribimos el diferencial de x. Ahora vamos a revisar si esta integral puede resolverse en forma directa. Tenemos aquí una expresión que es un poco compleja para resolverla de esa manera. Entonces vamos a intentar el método de sustitución, vamos a considerar esto que tenemos en el exponente para ver si lo cambiamos por otra letra. Echamos la siguiente prueba, derivamos esto que tenemos acá, derivada de x al cuadrado es 2x menos derivada de 2x es 2. Y revisamos si esto tiene alguna relación con el resto de la expresión, o sea con x menos uno. Vemos que en principio no se parece, pero aquí podemos factorizar el 2, sale como factor común de x menos uno y aquí nos aparece esto que tenemos acá. Esto quiere decir que el método de sustitución será el más conveniente en este caso. Entonces vamos a utilizar el método de sustitución conocido también como cambio de variable y vamos a tomar esta expresión como una nueva letra. Vamos a utilizar T, entonces T es igual a x al cuadrado menos 2x. Esto lo destacamos porque vamos a necesitarlo más adelante y enseguida vamos a derivar esta expresión con respecto a x. Derivada de T respecto a x nos da 2x menos 2, tal como vimos ahora y allí dijimos que el 2 puede factorizarse. Entonces nos queda derivada de T con respecto a x igual a 2 que es factor común de x menos uno. Y de allí vamos a despejar de x. En principio dx está dividiendo, lo pasamos al otro lado a multiplicar, entonces nos queda esta expresión y de allí ya podemos hacer el despeje de dx. Vamos a escribirlo por acá. Para ello esto que está multiplicando con dx pasa al otro lado a dividir. Nos queda dt sobre 2 que multiplica a x menos uno. Enseguida vamos a reconstruir esta integral en términos de la nueva letra utilizando esos componentes. Entonces tenemos lo siguiente, integral de x menos uno, esa expresión queda intacta por el número e elevado a esta expresión que se cambia por T y luego el diferencial de x que se cambia por dt sobre 2 que multiplica con x menos uno. Aquí podemos simplificar esta expresión, x menos uno se puede cancelar y podemos sacar este 2 como se encuentra en el denominador, sale como un medio que multiplica con la integral de e a la T con su respectivo diferencial dt. De esta manera hemos llegado a una integral básica o directa, la integral de e a la T nos da e a la T, entonces nos queda un medio por e a la T y a eso le agregamos por primera vez la constante de integración. Como a esta expresión no se le puede hacer más en términos de organización o simplificación, entonces pasamos a escribir la respuesta del ejercicio inicial, nos queda un medio por e elevada al exponente T pero es allí cuando cambiamos T por su expresión original que es x al cuadrado menos 2x, a todo esto le agregamos la constante C y así terminamos este ejercicio.
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