54. CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL DE CUERPOS (Ejercicio 3)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 54: Caída Libre y Lanzamiento Vertical de Cuerpos (Ejercicio 3).

Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 25 m/s. Dos segundos después se lanza otra piedra, también hacia arriba, con el doble de velocidad con que fue lanzada la primera. ¿A qué altura del piso se encuentran las piedras? ¿Qué velocidad lleva cada una en ese momento?

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Ahora, vamos a considerar la piedra uno, la que se lanza primero y vamos a determinar su ecuación de posición. Entonces utilizamos este modelo y vamos a llamar y1 a la posición de la piedra uno. Reemplazamos el valor de la gravedad que tomamos como 10 metros por segundo cuadrado más la velocidad inicial. La piedra uno se lanza hacia arriba con 25 metros por segundo. Entonces entra 25 positivo como la velocidad inicial y se lanza desde el piso. Vamos a tomar como posición inicial de la piedra uno el nivel cero. Imaginamos que tenemos el eje y con el cero en el punto de lanzamiento, es decir en el punto más bajo para esa piedra. Esta ecuación nos queda entonces igual a menos 5t cuadrado más 25t y esta constituye la primera ecuación. La ecuación de posición para la piedra uno en términos del tiempo. Haciendo la derivada de esta ecuación, es decir de y1 dt, la derivada de esta ecuación con respecto al tiempo, vamos a obtener la ecuación de velocidad para la piedra uno. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Derivada de menos 5t cuadrado es igual a menos 10t y la derivada del otro término sería más 25. Aquí tenemos la ecuación número dos, que es la ecuación de velocidad para la piedra uno en cualquier instante t. Ahora para la piedra dos vamos a determinar también sus ecuaciones. Partimos del mismo modelo para la posición por tratarse de un movimiento vertical. Y entonces tenemos lo siguiente. Vamos a llamar posición de la piedra dos y2 igual a menos un medio por la gravedad que es 10 metros por segundo cuadrado. Y aquí con el tiempo debemos hacer lo siguiente. Vamos a expresarlo como t menos 2 porque esta piedra es lanzada dos segundos después de que se lanza la primera. Entonces digamos que el tiempo que esta piedra permanece en acción en este problema es dos segundos menos que lo que permanece en movimiento la primera. Entonces por esa razón se expresa su tiempo como t menos 2. Continuamos. La velocidad inicial es 50 metros por segundo porque el problema nos dice que esta piedra se lanza hacia arriba con el doble de la velocidad inicial de la primera piedra. La primera piedra tenía 25 metros por segundo luego esta de 50 es decir el doble. El tiempo también lo escribimos como t menos 2 al igual que este más la posición inicial. Esta piedra es lanzada desde el mismo punto que se lanzó la primera es decir desde la posición cero. Entonces esta es la posición inicial. Organizamos esta ecuación nos queda y griega dos es igual a menos un medio por diez que nos da menos cinco por aquí tenemos un binomio al cuadrado entonces vamos a desarrollarlo. Sería el primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo eso nos da 4t más el segundo al cuadrado que es 4 más aquí podemos hacer propiedad distributiva con el 50 nos queda 50 por t 50t positivo y 50 por menos dos nos da menos cero. Este cero lo podemos despreciar luego hacemos propiedad distributiva nos queda menos 5t cuadrado más 20t menos 20 y todo esto más 50t menos 100. Reduciendo términos semejantes nos queda la ecuación y griega dos igual a menos 5t cuadrado tenemos estos dos semejantes nos da más 70t y los dos números que nos da menos 120 y esta será la ecuación número tres para este problema es la ecuación de posición para la piedra 2. Haciendo la derivada de esta ecuación de posición vamos a obtener la ecuación de velocidad para la piedra 2 entonces la derivada con respecto al tiempo nos da la ecuación para by2 que nos queda entonces así derivada de menos 5t cuadrado nos da menos 10t la derivada de este término nos da más 70 y la derivada de este último término es cero. Tenemos entonces la ecuación número cuatro para este problema que es la ecuación de velocidad para la piedra 2. Allí tenemos las cuatro ecuaciones que obtuvimos estas dos para la piedra 1 y estas dos ecuaciones para la piedra 2 y la primera pregunta del problema nos dice que dónde va a ocurrir el encuentro de las dos piedras es decir a qué altura con relación al piso que es el punto de lanzamiento ese encuentro se produce cuando las posiciones de las dos piedras sea la misma entonces igualamos y1 con y2 entonces reemplazamos las respectivas expresiones nos queda menos 5t cuadrado más 25t igual a menos 5t cuadrado más 70t menos 120. Allí podemos eliminar este término que se encuentra igual a los dos lados de la ecuación y podemos pasar al lado izquierdo los términos que tienen la letra t que tienen la incógnita dejamos en el lado derecho el número menos 120 haciendo esta operación de términos semejantes nos da menos 45t y esto es igual a menos 120. Vamos a seguir por acá despejamos el tiempo eso nos queda menos 120 dividido entre menos 45 y esa división nos da 2.67 segundos esto quiere decir que a los 2.67 segundos de haber lanzado la primera piedra es que se produce el encuentro de ellas es decir en ese momento se encuentran a la misma altura ahora tomamos este valor de tiempo y lo reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones de posición en la que consideremos más sencilla vamos a reemplazar por ejemplo en la primera y vamos a encontrar y1 que es igual a menos 5 por 2.67 al cuadrado más 25 por 2.67 efectuando todo esto en una calculadora nos da como resultado 31.11 en metros de esta manera respondemos la primera pregunta el encuentro de las dos piedras ocurre a una altura de 31.11 metros del piso es decir del punto de lanzamiento la otra pregunta del problema nos dice que que velocidad lleva cada piedra en el momento en que se encuentran entonces sustituimos este tiempo en cada una de estas dos ecuaciones vamos primero en la ecuación 2 vamos a encontrar la velocidad de la piedra 1 que será igual a menos 10 por 2.67 más 25 resolviendo todo eso nos da menos 1.7 metros por segundo y esta será entonces la velocidad que lleva la piedra 1 en el momento en que se encuentra con la piedra 2 el signo negativo nos indica que en ese instante esta piedra viene descendiendo está en la etapa de caída ahora vamos a la ecuación 4 para encontrar la velocidad de la piedra 2 nos queda entonces menos 10 por 2.67 más 70 y efectuando todo eso nos da como resultado 43.3 metros por segundo y esto significa que en el momento en que la piedra 2 está a la misma altura que la piedra 1 entonces la piedra 2 va subiendo porque la velocidad nos dio positiva se encuentra en la etapa de subida.
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