ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación, donde hay potencias con logaritmos en los exponentes.

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 Tenemos en esta ocasión una ecuación donde observamos expresiones que son potencias y que tienen logaritmos en los exponentes. Vamos a desarrollarla detalladamente. Comenzamos por cambiar 25 por 5 al cuadrado. Entonces expresamos ese número como 5 elevado al cuadrado. Y allí vamos a utilizar la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia a la n elevada a su vez a otro exponente m, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Pues bien, esta situación se está presentando aquí. Tenemos que 5 hace el papel de a, 2 hace el papel de n y todo este logaritmo hace el papel de la m. Entonces vamos a conservar la base, conservamos el 5 y vamos a multiplicar los exponentes. Entonces esto lo podemos escribir de la siguiente manera. El 2 multiplicando con el logaritmo. Hemos aplicado entonces esta propiedad. Ahora viene el uso de una propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de una potencia, por ejemplo b elevada al exponente c, entonces este exponente puede bajar a multiplicar delante del logaritmo. Nos queda c por logaritmo en la base a de b. Pues bien, esta situación se está presentando aquí. Tenemos que 2 hace el papel de la c. Entonces el 2 puede ubicarse aquí como exponente de x menos 3 que está haciendo el papel de la letra b. Es decir, vamos a llevarlo a esta forma. Entonces apoyándonos en esta propiedad, trasladamos este 2 aquí como exponente de x menos 3. En seguida aplicamos otra propiedad que combina potenciación con logaritmación. Ella dice así. Si tenemos una cantidad a elevada al logaritmo en base a de una cantidad n, entonces eso es igual a esa cantidad n. Es decir, si observamos que la base coincide con la base del logaritmo que está situada en el exponente, entonces simplemente se libera esto que tenemos aquí. Es como si estas dos cosas se cancelaran mutuamente. Esto sucede porque están interactuando dos operaciones contrarias que son la potenciación con la logaritmación. Entonces liberan el argumento del logaritmo que en este caso está representado por la letra n. Pues bien, eso está sucediendo aquí. Observamos que 5 es la base principal de la potencia, pero en el exponente tenemos un logaritmo en la base 5. Es decir, coinciden estas dos cantidades. Por lo tanto, x menos 3 al cuadrado representa la n. Y todo esto será igual a la cantidad n, o sea, x menos 3 al cuadrado. Menos, pasamos a esta cantidad donde se cumple exactamente la misma propiedad. Vemos que estos dos números son iguales, por lo tanto queda libre la expresión 5x. Conservamos el paréntesis, ahora más adelante lo podemos retirar. Y por acá tenemos lo que es 10, que hace el papel de la a. Y aquí tenemos el logaritmo en la base 10 de 6. Recordemos que el logaritmo en base 10 tiene su base invisible. Aquí hay un 10 que coincide con este 10, por lo tanto eso es igual a 6, apoyándonos en esta propiedad. Y no podemos olvidar que todo eso se encuentra igualado a 0. Y aquí en adelante nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta ecuación. Vamos a desarrollar este binomio elevado al cuadrado. Recordemos el producto notable que nos permite realizar esa expansión. Si tenemos la resta de dos cantidades y todo eso elevado al cuadrado es igual a la primera cantidad al cuadrado. Menos dos veces la primera por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado. Entonces vamos a aplicar esta fórmula para desarrollar este binomio al cuadrado. Tenemos x al cuadrado, la primera cantidad al cuadrado, menos dos veces la primera por la segunda. O sea, dos por x por tres, que nos da seis x, más la segunda cantidad al cuadrado, o sea, tres al cuadrado, que nos da nueve. Escribimos menos cinco x, quitamos el paréntesis, esto más seis, igualado a cero. Esto nos queda x al cuadrado, hacemos reducción de términos semejantes, menos seis x, menos cinco x, nos da menos once x. Y operamos los términos independientes, nueve más seis, que nos da como resultado más quince, y todo esto igualado a cero. Y llegamos a lo que se llama una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Si hacemos la inspección de la factorización encontramos que no es posible factorizar este trinomio. Entonces vamos a tomar el camino de la fórmula cuadrática o fórmula general. Aquí podemos observarla. Enseguida la escribimos desapareciendo cada una de las letras que allí intervienen. Recordemos que una ecuación cuadrática tiene el modelo a x al cuadrado más bx más c igual a cero. Entonces en este caso a es el coeficiente de x al cuadrado que es uno. B es el coeficiente de x que en este caso es menos once. Y c es el término independiente que tiene un valor de quince. Entonces reemplazamos estos números aquí en los espacios. Tenemos que b vale menos once, entonces reemplazamos aquí y también por aquí. A vale uno, entonces escribimos el uno en estos dos espacios y aquí escribimos el valor de la c que es el número quince. Resolvemos cada operación. Por acá esto nos da once positivo. Más o menos aquí dentro de la raíz cuadrada tenemos menos once al cuadrado que es ciento veintiuno positivo. Menos cuatro por uno por quince que nos da sesenta. Y aquí en el denominador dos por uno que es dos. Esto nos queda once más o menos la raíz cuadrada de sesenta y uno. Realizando esta resta dentro de la raíz cuadrada y aquí en el denominador tenemos dos. De esto tenemos dos posibilidades. La primera que la llamamos x uno será once menos la raíz cuadrada de sesenta y uno. Y todo esto sobre dos. La otra posibilidad que la llamamos x dos es once más la raíz cuadrada de sesenta y uno. Y todo esto dividido entre dos. Nos queda examinar cada una de ellas, ver a cuanto equivale eso en decimal. Entonces vamos a la calculadora y esta primera opción nos da como resultado uno punto cincuenta y nueve. Aproximando a dos cifras decimales. Esta expresión en la calculadora nos da aproximadamente nueve punto cuarenta. Y vamos a decidir cual de los dos valores es el que sirve o si de pronto sirven los dos. Vamos a escribir esto como se encontraba originalmente. Recordemos que este dos estaba por aquí y a su vez era exponente del cinco. Teníamos al principio aquí el número veinticinco. Entonces debemos garantizar la existencia de los logaritmos. Es decir que el valor de x no tenga problemas en los logaritmos donde aparece. Para el caso de uno punto cincuenta y nueve si lo traemos aquí vemos que uno punto cincuenta y nueve menos tres da como resultado una cantidad negativa. Y los logaritmos no están definidos para cantidades negativas. Por lo tanto este número se descarta. En cambio si examinamos nueve punto cuarenta aquí vemos que esta diferencia da como resultado un número positivo. Y por aquí también cinco por nueve punto cuarenta da positivo. Por lo tanto la solución a la ecuación será esta posibilidad. Como decíamos la primera opción se descarta y nos quedamos con esta que tenemos acá. Entonces para este ejercicio, para esta ecuación el valor de x que hace cierta la igualdad es este que tenemos aquí. Con esto terminamos.
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adelante nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 289.0, "end": 294.0, "text": " Vamos a desarrollar este binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 294.0, "end": 299.0, "text": " Recordemos el producto notable que nos permite realizar esa expansi\u00f3n."}, {"start": 299.0, "end": 309.0, "text": " Si tenemos la resta de dos cantidades y todo eso elevado al cuadrado es igual a la primera cantidad al cuadrado."}, {"start": 309.0, "end": 316.0, "text": " Menos dos veces la primera por la segunda m\u00e1s la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 316.0, "end": 322.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esta f\u00f3rmula para desarrollar este binomio al cuadrado."}, {"start": 322.0, "end": 331.0, "text": " Tenemos x al cuadrado, la primera cantidad al cuadrado, menos dos veces la primera por la segunda."}, {"start": 331.0, "end": 344.0, "text": " O sea, dos por x por tres, que nos da seis x, m\u00e1s la segunda cantidad al cuadrado, o sea, tres al cuadrado, que nos da nueve."}, {"start": 344.0, "end": 354.0, "text": " Escribimos menos cinco x, quitamos el par\u00e9ntesis, esto m\u00e1s seis, igualado a cero."}, {"start": 354.0, "end": 368.0, "text": " Esto nos queda x al cuadrado, hacemos reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes, menos seis x, menos cinco x, nos da menos once x."}, {"start": 368.0, "end": 380.0, "text": " Y operamos los t\u00e9rminos independientes, nueve m\u00e1s seis, que nos da como resultado m\u00e1s quince, y todo esto igualado a cero."}, {"start": 380.0, "end": 386.0, "text": " Y llegamos a lo que se llama una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 386.0, "end": 395.0, "text": " Si hacemos la inspecci\u00f3n de la factorizaci\u00f3n encontramos que no es posible factorizar este trinomio."}, {"start": 395.0, "end": 402.0, "text": " Entonces vamos a tomar el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 402.0, "end": 406.0, "text": " Aqu\u00ed podemos observarla."}, {"start": 406.0, "end": 414.0, "text": " Enseguida la escribimos desapareciendo cada una de las letras que all\u00ed intervienen."}, {"start": 414.0, "end": 424.0, "text": " Recordemos que una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica tiene el modelo a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a cero."}, {"start": 424.0, "end": 431.0, "text": " Entonces en este caso a es el coeficiente de x al cuadrado que es uno."}, {"start": 431.0, "end": 439.0, "text": " B es el coeficiente de x que en este caso es menos once."}, {"start": 439.0, "end": 446.0, "text": " Y c es el t\u00e9rmino independiente que tiene un valor de quince."}, {"start": 446.0, "end": 451.0, "text": " Entonces reemplazamos estos n\u00fameros aqu\u00ed en los espacios."}, {"start": 451.0, "end": 459.0, "text": " Tenemos que b vale menos once, entonces reemplazamos aqu\u00ed y tambi\u00e9n por aqu\u00ed."}, {"start": 459.0, "end": 473.0, "text": " A vale uno, entonces escribimos el uno en estos dos espacios y aqu\u00ed escribimos el valor de la c que es el n\u00famero quince."}, {"start": 473.0, "end": 480.0, "text": " Resolvemos cada operaci\u00f3n. Por ac\u00e1 esto nos da once positivo."}, {"start": 480.0, "end": 491.0, "text": " M\u00e1s o menos aqu\u00ed dentro de la ra\u00edz cuadrada tenemos menos once al cuadrado que es ciento veintiuno positivo."}, {"start": 491.0, "end": 497.0, "text": " Menos cuatro por uno por quince que nos da sesenta."}, {"start": 497.0, "end": 503.0, "text": " Y aqu\u00ed en el denominador dos por uno que es dos."}, {"start": 503.0, "end": 511.0, "text": " Esto nos queda once m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de sesenta y uno."}, {"start": 511.0, "end": 521.0, "text": " Realizando esta resta dentro de la ra\u00edz cuadrada y aqu\u00ed en el denominador tenemos dos."}, {"start": 521.0, "end": 525.0, "text": " De esto tenemos dos posibilidades."}, {"start": 525.0, "end": 535.0, "text": " La primera que la llamamos x uno ser\u00e1 once menos la ra\u00edz cuadrada de sesenta y uno."}, {"start": 535.0, "end": 540.0, "text": " Y todo esto sobre dos."}, {"start": 540.0, "end": 557.0, "text": " La otra posibilidad que la llamamos x dos es once m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de sesenta y uno. Y todo esto dividido entre dos."}, {"start": 557.0, "end": 565.0, "text": " Nos queda examinar cada una de ellas, ver a cuanto equivale eso en decimal."}, {"start": 565.0, "end": 574.0, "text": " Entonces vamos a la calculadora y esta primera opci\u00f3n nos da como resultado uno punto cincuenta y nueve."}, {"start": 574.0, "end": 578.0, "text": " Aproximando a dos cifras decimales."}, {"start": 578.0, "end": 586.0, "text": " Esta expresi\u00f3n en la calculadora nos da aproximadamente nueve punto cuarenta."}, {"start": 586.0, "end": 593.0, "text": " Y vamos a decidir cual de los dos valores es el que sirve o si de pronto sirven los dos."}, {"start": 593.0, "end": 598.0, "text": " Vamos a escribir esto como se encontraba originalmente."}, {"start": 598.0, "end": 604.0, "text": " Recordemos que este dos estaba por aqu\u00ed y a su vez era exponente del cinco."}, {"start": 604.0, "end": 610.0, "text": " Ten\u00edamos al principio aqu\u00ed el n\u00famero veinticinco."}, {"start": 610.0, "end": 617.0, "text": " Entonces debemos garantizar la existencia de los logaritmos."}, {"start": 617.0, "end": 625.0, "text": " Es decir que el valor de x no tenga problemas en los logaritmos donde aparece."}, {"start": 625.0, "end": 635.0, "text": " Para el caso de uno punto cincuenta y nueve si lo traemos aqu\u00ed vemos que uno punto cincuenta y nueve menos tres da como resultado una cantidad negativa."}, {"start": 635.0, "end": 641.0, "text": " Y los logaritmos no est\u00e1n definidos para cantidades negativas."}, {"start": 641.0, "end": 646.0, "text": " Por lo tanto este n\u00famero se descarta."}, {"start": 646.0, "end": 657.0, "text": " En cambio si examinamos nueve punto cuarenta aqu\u00ed vemos que esta diferencia da como resultado un n\u00famero positivo."}, {"start": 657.0, "end": 662.0, "text": " Y por aqu\u00ed tambi\u00e9n cinco por nueve punto cuarenta da positivo."}, {"start": 662.0, "end": 668.0, "text": " Por lo tanto la soluci\u00f3n a la ecuaci\u00f3n ser\u00e1 esta posibilidad."}, {"start": 668.0, "end": 676.0, "text": " Como dec\u00edamos la primera opci\u00f3n se descarta y nos quedamos con esta que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 676.0, "end": 687.0, "text": " Entonces para este ejercicio, para esta ecuaci\u00f3n el valor de x que hace cierta la igualdad es este que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 687.0, "end": 699.0, "text": " Con esto terminamos."}]