ÁREA BAJO UNA CURVA USANDO RECTÁNGULOS
#julioprofe explica cómo estimar el área bajo la gráfica de una función usando 6 rectángulos. 

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Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Estime el área debajo de la gráfica f de x igual a x al cuadrado más 1 y sobre el eje x desde x igual a menos 1 hasta x igual a 2 usando 6 rectángulos y los puntos extremos de la derecha. Aquí podemos apreciar un gráfico que nos ilustra lo que nos plantea el problema. Apreciamos la gráfica de la función f de x igual a x al cuadrado más 1 en color rojo y también apreciamos que el espacio comprendido entre x igual a menos 1 y x igual a 2 ha sido dividido en 6 partes iguales, en 6 segmentos de los cuales se levantan rectángulos. Aquí podemos apreciar los 6 rectángulos que se elevan de tal manera que el punto del extremo derecho es el que hace contacto con la gráfica de la función. Lo que nos pregunta el problema es cuál es la estimación del área bajo esta curva entre menos 1 y 2 pero calculada con esos 6 rectángulos. Entonces tenemos los siguientes datos a es igual a menos 1 si el valor del extremo izquierdo b es igual a 2 el valor del extremo derecho y tenemos que n es igual a 6 porque se trata de 6 rectángulos. Con esta información vamos a calcular delta de x que constituye el ancho de cada rectángulo. La formulita para calcular delta de x es la siguiente b menos a todo eso dividido entre n. Entonces tenemos b vale 2 menos el valor de a que es menos 1 y todo esto dividido entre n que vale 6. Resolviendo arriba nos queda 2 más 1 es decir 3 y 3 entre 6 eso nos da un medio por lo tanto el ancho de cada rectángulo es un medio. Claro en el dibujo podemos apreciar que los valores que aparecen aquí marcados si aunque están bastante pequeños son menos un medio o sea menos 0.5, 0, 1 medio o sea 0.5, 1, 1.5 es decir 3 medios y finalmente 2 que son las abscisas donde vamos a elevar los rectángulos hasta tocar la gráfica de la función. Para calcular el área de esos 6 rectángulos considerando el punto extremo de la derecha utilizamos esta formulita. Entonces vamos a reemplazar la información que conocemos en ella. Tenemos delta de x que nos dio un medio por la sumatoria desde i igual a 1 hasta 6. N vale 6 porque se trata de 6 rectángulos de la función evaluada en a que vale menos 1 más i por delta de x que vale un medio. Entonces esto nos queda así un medio por la sumatoria desde i igual a 1 hasta 6 de f de esta expresión la podemos organizar como i medios menos 1 escribiendo primero el término positivo. Vamos a resolver esta parte de acá dentro del paréntesis entonces nos queda un medio por la sumatoria desde i igual a 1 hasta 6 de f de tenemos aquí como denominador 2 y esto en el numerador nos quedaría i menos 2. Entonces a continuación vamos a empezar a darle valores a la letra i desde 1 hasta 6 entonces nos queda área es igual a un medio por vamos a abrir una llave para empezar a darle los valores a la letra i. Entonces veamos cuando i vale 1 tenemos 1 menos 2 que es igual a menos 1 menos 1 sobre 2 menos un medio más vamos ahora con i igual a 2 2 menos 2 nos da 0 0 sobre 2 nos da 0 entonces f de 0 más veamos el siguiente cuando i vale 3 3 menos 2 es 1 1 sobre 2 será un medio más cuando i vale 4 tenemos 4 menos 2 que es igual a 2 2 sobre 2 es igual a 1 vamos a seguirlo por acá cuando i vale 5 tenemos 5 menos 2 daría 3 3 sobre 2 es 3 medios y finalmente cuando i vale 6 6 menos 2 es 4 4 sobre 2 nos da 2 cerramos la llave. Verificamos que tengamos 6 términos 1 2 3 4 5 y 6 quiere decir que no nos falta ninguno. A continuación debemos encontrar cada uno de estos valores y eso lo conseguimos reemplazando en la función original recordemos que la función original dice que f de x es igual a x al cuadrado más 1 si recordemos que es la curva. Entonces cuando x vale menos un medio por ejemplo si lo emplazamos aquí nos da menos un medio al cuadrado más 1 es decir un cuarto más 1 es decir 5 cuartos o sea que este término vale 5 cuartos con 0 si x vale 0 nos queda 0 al cuadrado más 1 eso es igual a 1. Con un medio nos da un medio al cuadrado más 1 es decir un cuarto más 1 que es 5 cuartos con 1 tenemos 1 al cuadrado más 1 es decir 2 por acá reemplazamos el 2 con 3 medios entonces 3 medios al cuadrado sería 9 cuartos más 1 es decir 13 cuartos y finalmente con 2 tenemos 2 al cuadrado más 1 que es igual a 5. Ahora resolvemos lo que tenemos dentro de la llave entonces veamos 5 cuartos más 5 cuartos son 10 cuartos 10 cuartos más 13 cuartos son 23 cuartos ahí sumamos los fraccionarios ahora sumemos los números enteros 1 más 2 que es igual a 3 más 5 es igual a 8. Ahora resolvemos lo que está dentro de la llave esto nos queda aquí como un denominador 4 queda 23 más 32 esto es igual entonces a un medio por eso arriba nos da 55 cuartos y multiplicando en forma horizontal nos da 55 octavos. Esto quiere decir entonces que la estimación del área bajo la curva f de x igual a x al cuadrado más 1 desde x igual a menos 1 hasta x igual a 2 tomando 6 rectángulos y los puntos extremos de la derecha entonces es un área estimada de 55 octavos unidades cuadradas y de esa manera hemos terminado el problema.
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