68. Problema 2 de PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España.
Clase No. 68: Problema 2 de Principio de Arquímedes.
Tema: Estática en Fluidos.
Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).
Sitio Oficial de Julioprofe: http://www.julioprofe.net
 En este problema tenemos un cubo de aluminio de 4 cm de arista que flota sobre mercurio en posición horizontal. Vamos entonces a dibujar más o menos la situación. Ese sería el cubo y vamos a pintar con color rojo el mercurio. Ese sería entonces, sí, más o menos una vista tridimensional del cubo flotando en posición horizontal en el mercurio. Nos dice que el cubo tiene una arista de 4 cm, 4 cm por cada uno de sus bordes. Y nos preguntan cuál es el volumen que emerge del cubo y cuál es la longitud de arista que tenemos por encima de la superficie. Vamos a llamar este pedacito entonces, el que vamos a encontrar, vamos a llamarlo H. Y vamos a llamar la porción sumergida, la porción de arista sumergida, vamos a llamarla X. La parte que se encuentra por debajo del mercurio. Entonces vamos a proceder de la siguiente manera. Vamos a determinar la masa del cubo. Sabemos que densidad es igual a masa sobre volumen, por lo tanto, masa es igual a densidad por volumen. Para el caso de ese cubo, su masa será igual a la densidad del aluminio, que es el material del cubo, por el volumen de todo el cubo. Recordemos que el volumen de una figura como estas, que es un cubo, es igual al valor de su arista elevado al cubo, a la 3. Entonces arista por arista por arista nos da su volumen. Tenemos entonces una expresión para la masa de este cubo, vamos a anotarla por acá. Densidad del aluminio por arista elevado a la 3. Ahí tenemos entonces la masa del cubo. Y tenemos aquí una situación de flotación, donde el peso del cubo, que sería un vector dirigido hacia abajo, se encuentra equilibrado con el empuje que ejerce hacia arriba el mercurio, el líquido que, digamos, soporta el cubo. Entonces tenemos aquí una situación donde se aplica el principio de arquímedes. Entonces como tenemos flotación, vamos a hacer lo siguiente. El empuje, la fuerza dirigida hacia arriba, es igual al valor del peso del cubo, la fuerza que va dirigida hacia abajo. Recordemos que el empuje de arquímedes se obtiene de la siguiente manera, es la densidad del líquido, que en este caso sería mercurio, símbolo químico Hg, por el volumen sumergido del cuerpo y esa parte que hemos rallado por la gravedad. Esto es la fuerza de empuje. Y el peso de ese cubo será la masa por la gravedad, la masa del cubo multiplicada por la aceleración de la gravedad. Podríamos cancelar a ambos lados la gravedad por el contrase multiplicando. Y entonces vamos a hacer lo siguiente. Dejamos la densidad del mercurio por, veamos a qué es igual el volumen sumergido. La parte que está rallada sería multiplicar esta arista, que es a, por esta otra que es a, por x, por la longitud de arista sumergida. Entonces sería a por a por x, es decir a al cuadrado por x. Ahí tenemos entonces la expresión para el volumen sumergido. Pasamos al otro lado y tenemos la masa del cubo donde podemos reemplazar esta expresión de aquí. Densidad del aluminio multiplicada por la arista al cubo. De aquí vamos entonces a despejar x, que es la incógnita que debemos encontrar de primera. Entonces x va a ser igual a densidad del aluminio por arista al cubo dividido entre esto. Densidad del mercurio por arista al cuadrado. Simplificamos arista a la 3 sobre arista a la 2 y eso nos queda entonces densidad del aluminio por a sobre densidad del mercurio. Sí nos queda una a en el numerador. Reemplazamos los valores, el problema nos da las densidades del aluminio y el mercurio. Podríamos dejarlas en gramos sobre centímetro cúbico tal como nos da el problema. Densidad del aluminio sería 2.7 gramos sobre centímetro cúbico. El valor de la arista que son 4 centímetros lo podemos dejar así. Y debajo tenemos la densidad del mercurio que es 13.6 gramos sobre centímetro cúbico. Aquí podemos ver que las unidades de densidad gramos sobre centímetro cúbico se nos van a cancelar y nos va a quedar centímetros para el caso de x. Resolviendo, x nos da un total de 0.8 centímetros. ¿Qué quiere decir esto entonces? Que la longitud de arista sumergida esta de aquí es de 0.8 centímetros. Por lo tanto la longitud de arista que emerge por encima de la superficie del mercurio será la diferencia entre 4 que es todo esto y x que es 0.8. 4 menos 0.8 es 0.8 nos da 3.2. Entonces ya tenemos el valor de h. 3.2 centímetros es esta distancia que emerge por encima del mercurio. Entonces ya tenemos el valor de h. Vamos a escribirlo entonces por acá para colocar una de nuestras respuestas. Entonces h es igual a 3.2 centímetros. Si repetimos la diferencia entre 4 centímetros y esta distancia de x que nos dio 0.8 centímetros. La otra pregunta decía que ¿cuál es el volumen del cubo que emerge? Entonces ese volumen que emerge será la multiplicación de las siguientes dimensiones. De aquí a acá que es a, de aquí a acá es a y esta distancia que es h, la que encontramos. Entonces a por a por h nos da el volumen que emerge, es decir, a al cuadrado por h. Reemplazamos los valores. La lista que es 4 centímetros, esto es el cuadrado por h que nos dio 3.2 en centímetros y resolvemos esta operación. Sería entonces 16 por 3.2 para un total de 51.2 centímetros cúbicos. De esa manera entonces hemos encontrado el valor del volumen de cubo que emerge por encima del mercurio.
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