NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo expresar un número complejo en forma trigonométrica.
Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Vamos a comenzar este ejercicio trabajando lo que tenemos dentro de la raíz cuadrada, aunque allí apreciamos un cociente de números complejos, vamos a realizar la siguiente transformación. Vamos a sacar factor común en el numerador que sería 2 factor común de 1 menos i y en el denominador también podemos sacar como factor común menos 3 y nos queda factor de 1 menos i, por lo tanto, aquí podemos eliminar el factor 1 menos i y nos queda entonces la raíz cuadrada de menos 2 tercios, la raíz cuadrada de un número negativo, ese signo negativo lo colocamos en la mitad de la fracción y de aquí vamos a realizar la siguiente transformación, menos 2 tercios lo podemos escribir como 2 tercios por menos 1 para separar las raíces, raíz cuadrada de 2 tercios por raíz cuadrada de menos 1, recordemos que la raíz cuadrada de menos 1 corresponde a la unidad imaginaria i, por lo tanto, esto nos queda la raíz cuadrada de 2 tercios y ya tenemos entonces una cantidad imaginaria pura, vamos a transformar la raíz, esta raíz cuadrada podemos escribirla como raíz de 2 sobre raíz de 3, todo esto acompañado con la i, aquí hemos repartido la raíz tanto para el numerador como para el denominador y vamos a racionalizar ese cociente, entonces tendremos raíz cuadrada de 2 sobre raíz cuadrada de 3 y esto multiplicado por raíz cuadrada de 3 arriba y abajo, colocamos la i, multiplicamos en el numerador raíz cuadrada de 2 por raíz cuadrada de 3 y eso nos queda raíz cuadrada de 6 y en el denominador raíz cuadrada de 3 por raíz cuadrada de 3, nos daría raíz cuadrada de 3 al cuadrado o raíz de 9 que equivale a 3 y esto acompañado de la i, entonces el resultado de toda esta operación es este número que es un imaginario puro, este número lo podríamos escribir de la forma a más bi, z igual a más bi que es la forma de representar un número complejo, en este caso sería z igual a 0 más raíz cuadrada de 6 sobre 3i, es un número imaginario puro por lo tanto tiene parte real igual a 0, vamos a llevar este número complejo a la forma trigonométrica, primero vamos a realizar la representación gráfica de ese número complejo en el plano cartesiano, el eje x será el eje real que lo representamos con re y el eje y o eje vertical será el eje imaginario que lo representamos como im, en el eje real debemos ubicar el 0, es decir este valor y en el eje imaginario localizamos este valor, vamos a suponer que aquí queda raíz cuadrada de 6 sobre 3i, si una cantidad positiva en el eje imaginario, entonces la representación gráfica de ese número complejo z será este vector que tenemos aquí, entonces esa será la representación del número complejo z, de esa representación gráfica vamos a determinar lo que es r y lo que es theta, es decir los elementos que necesitamos para expresar este número complejo en forma trigonométrica, r es la longitud del vector, es decir la longitud de ese segmento que será raíz de 6 sobre 3 unidades y theta es el ángulo que se mide a partir del eje x positivo, en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta llegar a donde está localizado el vector, este ángulo que será theta como podemos ver es de 90 grados es decir pi medios radianes, entonces tenemos que theta es pi medios debe expresarse en radianes, ya con esta información podemos expresar el número complejo en la forma trigonométrica, el modelo dice r por paréntesis coseno de theta más y seno de theta, este es el modelito, entonces vamos a sustituir la información que encontramos, r vale raíz cuadrada de 6 tercios todo esto multiplicado por coseno de theta pero el ángulo theta es pi medios más y por el seno de theta que es pi medios, cerramos el paréntesis y de esta manera hemos terminado el ejercicio, hemos logrado representar el número complejo en la forma trigonométrica.
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