DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo obtener dy/dx derivando implícitamente una expresión.

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 En esta ocasión vamos a obtener de y de x de esta expresión que es de tipo implícita porque las variables x y y se encuentran combinadas. Entonces para empezar derivamos implícitamente ambos lados de esa igualdad con respecto a la variable x. En el lado izquierdo tenemos una suma de términos por lo tanto debemos derivar cada uno de ellos. Derivada de x al cubo es 3x al cuadrado y la dejamos así porque estamos derivando con respecto a x más derivada de y al cubo que sería 3y al cuadrado por la derivada de y con respecto a x que sería de y de x pero que podemos denotar como y' por comodidad. Esta es la precaución más importante que debemos tener en cuenta al momento de derivar implícitamente una expresión. Cada vez que se derive algo que tenga la letra y debemos agregar y' o sea de y de x. Pasamos al otro lado de la igualdad donde tenemos un producto. Entonces utilizamos la regla del producto para la derivación. Derivada del primer componente derivada de 3x nos da 3. Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es y más el primer componente sin derivar que es 3x multiplicado por la derivada del segundo componente. La derivada de y con respecto a x sería de y de x pero como dijimos se puede denotar como y'. A continuación debemos dejar a un mismo lado de la igualdad aquellos términos que contienen y'. Podemos dejarlos entonces en el lado izquierdo. Se queda este término 3y al cuadrado por y' y pasamos este término que está positivo entonces acá llega negativo. Sería 3x por y'. En el lado derecho dejamos este término que es 3y y traemos este término que está positivo a este lado con signo negativo. Llega como menos 3x al cuadrado. Ahora podemos extraer factor común en el lado izquierdo. Sería 3y'. Esto será factor de y al cuadrado menos x. También en el lado derecho podemos extraer factor común el número 3. 3 será factor de y menos x al cuadrado. Enseguida vamos a despejar y'. Para ello todo esto que está multiplicando con y' pasa al otro lado a dividir. Nos queda entonces 3 por y menos x al cuadrado sobre 3 y esta expresión que llega acá a dividir al lado derecho. Tenemos que acá en esta fracción podemos cancelar o eliminar el número 3 porque está multiplicando arriba y abajo y ya podemos cambiar y' por de y de x. Entonces esto será igual a la fracción que nos quedó que es y menos x al cuadrado sobre y al cuadrado menos x. De esa manera hemos encontrado de y de x haciendo uso de la derivación implícita.
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