Pregunta 16 TIPO EXAMEN
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio típico de examen (SAT, ACT, GMAT, PAEP, entre otros) para ingresar a estudios superiores.

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 Para resolver este ejercicio vamos a comenzar utilizando una propiedad de los logaritmos que se conoce con el nombre de cambio de base. Entonces, si tenemos por ejemplo el logaritmo en la base A de una cantidad B, podemos llevar eso a otra base, por ejemplo la base 10, haciendo esto logaritmo de B sobre logaritmo de A. Repetimos, esto es logaritmo vulgar o de Briggs, es decir el que maneja la base 10, y podríamos llevarlo también a la base que queramos, por eso se llama la fórmula del cambio de base. Entonces, aplicando esta propiedad en esta situación que se nos presenta, tendremos lo siguiente, logaritmo en base 8 de 5, nos quedaría logaritmo en base 10 de 5 sobre logaritmo en base 10 de 8, y esto multiplicado por el otro logaritmo, al que también vamos a aplicarle la propiedad de cambio de base, nos queda logaritmo en base 10 de 2 sobre logaritmo en base 10 de 25. Ahora vamos a cambiar los números 8 y 25 por potencias, si hacemos la descomposición en factores primos de estos dos números, tenemos lo siguiente, para el caso del número 8 nos queda 2 por 2 por 2, es decir 2 elevado al cubo, entonces hacemos ese cambio, y para el caso de 25 nos queda 5 por 5, es decir 5 al cuadrado, entonces aquí también hacemos ese cambio. En seguida aplicamos otra propiedad de los logaritmos que dice lo siguiente, si tenemos el logaritmo en cualquier base, vamos a trabajar de nuevo con base 10 de una potencia, por ejemplo b elevada al exponente c, entonces este exponente c baja a multiplicar, nos queda c por el logaritmo en base 10 de b, eso podemos aplicarlo en estos dos casos, donde tenemos el logaritmo de una potencia, entonces esto nos queda así, logaritmo en base 10 de 5 sobre, aquí aplicamos la propiedad, baja el 3 a multiplicar, nos queda 3 por logaritmo en base 10 de 2, y esto multiplicado por logaritmo en base 10 de 2 sobre, acá aplicamos también la propiedad 2 baja a multiplicar, y nos queda por logaritmo en base 10 de 5. Como tenemos una multiplicación de fracciones, entonces vamos a multiplicar numeradores entre sí, logaritmo de 5 por logaritmo de 2 y multiplicamos denominadores entre sí, entonces 3 por logaritmo de 2 y esto multiplicado por 2 que multiplica a su vez con logaritmo base 10 de 5, y allí podemos cancelar los factores que estén repetidos arriba y abajo, es el caso por ejemplo de logaritmo en base 10 de 2 y el caso de logaritmo en base 10 de 5. Nos queda entonces lo siguiente, en el numerador nos queda 1 y en el denominador 3 por 2 que es 6, entonces un sexto será el resultado para este ejercicio, por lo tanto marcamos la opción C.
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