ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una Ecuación Diferencial Exacta con condición inicial.

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 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación diferencial con condición inicial. Lo primero que hacemos es revisar si se puede trabajar como ecuación diferencial de variables separables, pero con esta combinación de suma que observamos en el numerador vemos que no es posible independizar la variable X de la variable Y, por lo tanto descartamos que se pueda resolver por separación de variables. Luego podemos ver si encaja dentro del modelo de una ecuación diferencial homogénea, para lo cual tendríamos que expresar de Y de X en términos o como una función de Y sobre X. Si hacemos ese intento vemos que esto no se va a cumplir, por lo tanto descartamos que sea homogénea. Entonces vamos a tomar el camino de la ecuación diferencial exacta, vamos a ver si cumple con el requisito de este tipo de ecuación diferencial, para ello tenemos que llevar la ecuación a la forma m de X más n de Y igual a cero. Entonces ella viene presentada de esta manera, vamos a llevarla a esta forma para lo cual multiplicamos estos dos componentes, es decir X más 5y³ por dx y esto queda igualado con el producto de estos dos componentes, o sea 4y³ menos 15xy² y todo esto multiplicado por dy. Ahora vamos a pasar este componente al lado izquierdo, acá se queda X más 5y³ por dx menos llega todo esto 4y³ menos 15xy² por dy y de esta manera nos queda igualado a cero, ya empieza a tomar esta forma. Ahora para que este signo menos no represente molestia y nos quede con signo más tal como lo presenta el modelo, vamos a realizar lo siguiente, esto nos queda igual X más 5y³ por dx y aquí vamos a extraer como factor común el signo menos, si sacamos el menos este menos se convierte en más, y acá nos cambian los signos, este va a quedar positivo y este nos queda negativo, comenzamos con el positivo 15xy² y esto menos 4y³, todo esto acompañado por dy e igualado a cero. Ahora ya tenemos la ecuación diferencial organizada de acuerdo con este modelo, entonces vamos a identificar M, M es todo esto, el acompañante de X, vamos a escribirlo por acá, M es igual a X más 5y³ y por acá tenemos N, todo lo que acompaña a dy, aquí lo tenemos, entonces lo anotamos por acá, N es igual a 15xy² y esto menos 4y³. Ahora vamos a revisar si se cumple el requisito que exige toda ecuación diferencial exacta y es que la derivada parcial de M con respecto a y debe ser igual a la derivada parcial de N con respecto a X, vamos a obtener esas dos derivadas parciales con esto que tenemos acá, vamos con la derivada parcial de M con respecto a y, en ese caso X se comporta como constante derivamos entonces cada uno de los términos por tener una suma, derivada de este término nos da cero porque X es constante y pasamos a derivar este otro término, la derivada de 5y³ nos da 15y², recordemos que se está derivando con respecto a y, ahora vamos con este componente con N para derivarlo parcialmente con respecto a X, en ese caso la variable y se comporta como constante, entonces en este primer término, veamos cuanto nos da esa derivada, aseguramos el componente constante que es 15y² y eso multiplicado por la derivada de X que sería 1, o sea que nos queda 15y² y en este otro término no tenemos la X, únicamente aparece la y que es la variable que hace el papel de constante por lo tanto la derivada de todo este término nos daría cero, vemos que son iguales por lo tanto se cumple el requisito de una ecuación diferencial exacta, quiere decir que podemos tomar con tranquilidad este camino, recordemos que en toda ecuación diferencial exacta lo que se busca es una solución general de la forma f de X, y igual a c, de tal forma que la derivada parcial de f con respecto a X sea igual a m y que la derivada parcial de f con respecto a y sea igual a n. Para iniciar el desarrollo de nuestro ejercicio podemos comenzar por aquí o bien sea por acá, vamos a tomar este camino iniciando con la definición de que derivada parcial de f con respecto a y es igual a n, pero nosotros ya tenemos n, n nos dio esta expresión 15x y² y esto menos 4y³, allí vamos a despejar de f para lo cual pasamos de y a multiplicar al otro lado nos queda entonces 15x y² menos 4y³ y todo esto multiplicado por dj. Ahora vamos a integrar esto a ambos lados, nos queda la integral de df igual a la integral de todo esto y entonces tenemos integral de df nos da f, es decir la expresión que buscamos y acá vamos a integrar esto con respecto a y considerando a x como una constante como tenemos una resta integramos cada término vamos con la integral del primero aseguramos el componente constante que es 15x y esto multiplicado por la integral de y² que nos da y³ sobre 3 pasamos al otro término donde integramos con respecto a y dejamos quieto el 4 y la integral de y³ nos da y³ sobre 4 y todo esto más una constante de integración que en este caso vamos a representar como una función y de x es decir una función que depende de la letra que aquí actúa como constante esto podemos simplificarlo un poco nos queda f igual aquí simplificamos 15 con 3 eso nos da 5x y³ y acá también podemos simplificar el 4 ellos se cancelan mutuamente y nos queda simplemente el término menos y³ y esto más fin de x. Entonces iniciamos por acá hicimos la integral con respecto a y y obtuvimos esa expresión preliminar para lo que será f. Ahora vamos hacia acá tenemos que derivar eso parcialmente con respecto a x entonces tenemos derivada parcial de f con respecto a x considerando aquí la variable y como constante nos queda así derivamos cada término derivada del primero entonces aseguramos lo que es constante o sea 5 y³ y esto por la derivada de x que nos da 1 entonces nos queda simplemente 5 y³ luego tenemos menos la derivada de todo esto pero como esto es constante nos da 0 y finalmente la derivada de esto como la derivada se hace con respecto a x entonces vamos a dejarla expresada como pi' de x. Ahora por definición tenemos que la derivada parcial de f con respecto a x es igual a m vamos a anotar eso por acá y vamos a reemplazar sus equivalentes la derivada parcial de f con respecto a x nos dio esto vamos a escribirlo por acá 5 y³ más pi' de x allí obviamos ese 0 y esto lo igualamos con m aquí lo tenemos es x más 5 y³ como se observa ambos lados de la igualdad tenemos el término 5 y³ entonces podemos cancelarlo o eliminarlo nos queda entonces que pi' de x es simplemente igual a x lo que hacemos ahora es integrar esto a ambos lados con respecto a x si hacemos la integral de esto nos queda pi de x y acá si integramos x nos queda x al cuadrado sobre 2 y aparece una constante de integración que podemos llamar c1 hace un momento habíamos obtenido esta expresión para f y aquí vamos a reemplazar pi de x por lo que obtuvimos entonces vamos a reemplazar allí x al cuadrado sobre 2 más la constante c1 pero recordemos que la expresión para f o f de x y que es lo mismo debe estar igualada a una constante c entonces vamos a cumplir con esto anotamos f que nos dio 5 x y³ esto menos y³ más la expresión de pi de x que nos dio x al cuadrado sobre 2 más c1 todo esto queda igualado a una constante c ahora vamos a agrupar las constantes al lado derecho esto nos queda 5 x y³ menos y³ más x al cuadrado sobre 2 igual a la constante c menos la constante c1 pero esta resta de constantes nos produce una nueva constante que podemos llamar k entonces esta será la solución general para nuestra ecuación diferencial ahora llega el momento de utilizar la condición inicial recordemos que este valor 2 corresponde a x quiere decir que esta curva debe pasar en el plano cartesiano por el punto 2,1 2 es valor de x y 1 es valor de y entonces vamos a reemplazar eso aquí para hallar el valor de k reemplazamos entonces los valores x vale 2 lo reemplazamos aquí y también por acá y en estos lugares reemplazamos el valor de y que es 1 y vamos a resolver esas operaciones por acá tenemos 1 al cubo nos da 1 1 x 2 x 5 eso nos da 10 menos 1 a la 4 nos da 1 luego tenemos 2 al cuadrado que es 4 4 dividido entre 2 nos da 2 y todo esto es igual a k resolviendo toda esa operación numérica nos da que k es igual a 11 y ese valor lo reemplazamos aquí para ya poder obtener la solución particular bien allí la tenemos y con eso terminamos este ejercicio de ecuación diferencial exacta con condición inicial.
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