ECUACIONES CUADRÁTICAS POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación cuadrática por el Método de Completación de Cuadrados.

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 Tenemos en este caso una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado que se ajusta perfectamente al modelo a x cuadrado más bx más c igual a cero. Es una ecuación que podríamos resolver por factorización, por fórmula cuadrática o también por un método que se llama completación del cuadrado. O también conocido como completación del trinomio cuadrado perfecto. Vamos a ver en qué consiste este método. Para iniciar se requiere que x al cuadrado tenga coeficiente 1, tal como lo tenemos allí. Es decir que la ecuación sea mónica. Entonces lo que hacemos es escribir x cuadrado más 6x los términos que contienen x y corremos el menos 7 igual a cero un poco a la derecha dejando este espacio. Y allí vamos a realizar la completación del trinomio cuadrado perfecto. Tenemos dos términos y vamos a buscar un tercer término que nos genere un trinomio cuadrado perfecto. El procedimiento es el siguiente. A este número que acompaña x vamos a sacarle la mitad. La mitad de 6 es igual a 3 y ese 3 lo vamos a elevar al cuadrado. Entonces 3 al cuadrado es igual a 9 y ese 9 es el que anotamos aquí. Pero si sumamos 9 debemos restar 9 para que la ecuación mantenga su equilibrio original. En últimas es como si hubiéramos sumado 0. Esta suma de estos dos números nos da 0. Por lo tanto podemos garantizar que nuestra ecuación se conserva como estaba originalmente. Entonces con este procedimiento tenemos la garantía de que estos tres términos conforman un trinomio cuadrado perfecto. Allí lo señalamos. Y entonces este trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse, recordemos que esto da como resultado un binomio al cuadrado. Aquí adentro tendremos dos términos que se obtienen de la siguiente manera. La raíz cuadrada del primer término que es x será el primer término del binomio. Y la raíz cuadrada de este número, es decir 3 será el segundo término. Y el signo que tendremos entre ellos dos será el del segundo término, es decir signo positivo. Luego la factorización de este trinomio cuadrado perfecto es este binomio al cuadrado. Y esto se reescribe, menos 9 menos 7 igual a 0. Ahora más adelante vamos a explicar cómo esta expresión que tenemos aquí es equivalente a esta en términos geométricos. Vamos a utilizar la geometría para mostrar cómo esa expresión equivale a esta y podamos dar soporte a lo que acabamos de hacer en términos algebraicos. Continuando con el desarrollo de la ecuación por el método de completación de cuadrados, tenemos entonces que estos dos números se pueden operar. Eso nos da menos 16, queda igual a 0 y vamos a dejar solo el binomio al cuadrado. Entonces pasamos el 16 que se encuentra restando a sumar al lado derecho. Vas a sumar con 0 y nos queda igual a 16. A continuación vamos a sacar raíz cuadrada a ambos lados. Entonces nos queda raíz cuadrada de x más 3 al cuadrado igual a la raíz cuadrada de 16. Y entonces aquí tenemos lo que se llama valor absoluto de x más 3. Por acá raíz cuadrada de 16 es igual al cuadro. Vamos a ver por qué esto se convierte en valor absoluto. Una propiedad de la radicación dice que si tenemos raíz enésima de a a la n, si n es un número par, entonces esto es igual al valor absoluto de a. Efectivamente n para nosotros es este 2. Recordemos que hay índice 2 invisible, pero ahí está. Entonces apoyándonos en esta propiedad podemos decir que esto equivale al valor absoluto de x más 3. Esto que acabamos de obtener es lo que se conoce como una ecuación con valor absoluto. El modelo para resolver una ecuación de este estilo dice así. Si tenemos valor absoluto de u igual a una cantidad positiva k, entonces resultan dos posibilidades, que u sea igual a menos k o que u sea igual a k. Entonces eso nos dice que aquí debemos igualar x más 3 por menos 4 o x más 3 debemos igualarlo con 4. Apoyándonos en esta propiedad. Finalmente despejamos para x en cada caso. Por acá tendremos que x es igual a menos 4 menos 3 de donde x es igual a menos 7. Y por acá tenemos que x es igual a 4 menos 3 de donde x es igual a 1. Entonces hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación cuadrática utilizando el método de completación de cuadrados. Como decíamos hace un momento, vamos a demostrar geométricamente porque esta expresión es equivalente a esta. Es decir, lo que obtuvimos cuando hicimos la completación de cuadrados. Comenzamos por factorizar esta expresión. Aquí podemos sacar factor común x. x es factor de x más 6. Y entonces vamos a dibujar un rectángulo que tenga estas dimensiones, que tenga altura x más 6 y base x. Allí lo tenemos, un rectángulo con base x y con altura x más 6. Al tener el producto x por x más 6 estamos representando el área de este rectángulo. Recordemos que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando el valor de la base por el valor de la altura. En el rectángulo trazamos este segmento paralelo a la base de tal manera que esta distancia tenga la misma medida que esta. Entonces tendremos que de aquí a acá es x. Por lo tanto este pedacito que queda es 6. Para que cumpla con esta condición, que todo esto sume x más 6. Nos queda entonces un cuadrado del lado x y un rectángulo que tiene dimensiones x por 6. Si vemos el área de este cuadrado que es x por x nos da x cuadrado. Es este valor de aquí. Y el área de este rectángulo será x por 6, es decir 6x. Aquí lo tenemos. La suma de esas dos cantidades nos está representando el área de todo el rectángulo. Ahora trazamos este segmento que nos divide a la mitad este rectángulo. Por lo tanto este segmento que vale 6 ahora queda dividido en dos segmentos pequeños de 3 cada uno. Y a continuación vamos a tomar este rectángulo de dimensiones 3 por x y vamos a recortarlo y vamos a pegarlo acá. Allí lo tenemos. Un rectángulo de dimensiones x por 3. Este pedacito vale 3. Y entonces observamos que la longitud de todo este segmento será 3 más x o x más 3. Y es la misma que tenemos acá. X más 3. Nos hace falta llenar este espacio. Entonces vamos a insertar aquí un cuadradito de dimensiones 3 por 3. Allí lo tenemos. Un cuadradito de dimensiones 3 por 3. Pero si hemos añadido esa figura entonces también debemos restarla para que se siga conservando la figura original. La figura que teníamos en color azul que representaba el área del primer rectángulo. Es decir, la que estaba expresada por este producto. Entonces como vemos sumamos esa cantidad para completar el cuadrado pero al mismo tiempo la restamos. Lo que hemos obtenido entonces es un cuadrado ya completo con lado x más 3. Recordemos que es la suma de estas dimensiones. Entonces podemos representarlo de esta manera. Es el cuadrado de lado x más 3 y por acá también x más 3. Y este cuadradito tiene un área de 9. 3 por 3 que es 9. Y vemos que el área de todo este cuadrado que será lado por lado. Es decir, x más 3 por x más 3 es lo que tenemos aquí. X más 3 al cuadrado menos el área de este cuadradito que es igual a 9. De esta manera probamos que esta expresión es equivalente a esta utilizando la geometría y lo que en algebras se conoce como la completación de cuadrados.
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