28. DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 28: Descomposición de un Vector en el plano.
Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Si tenemos un vector A en el sistema de referencia bidimensional, es decir en el plano cartesiano y del vector conocemos su módulo y orientación dada por el ángulo θ que forma con el eje x, entonces podemos descomponerlo de la siguiente manera, desde el extremo del vector trazamos segmentos perpendiculares a los ejes x e y y de esta manera tenemos los vectores ax y ay, que son las proyecciones del vector A sobre dichos ejes, en otras palabras ax y ay son las componentes rectangulares del vector A, esto nos permite escribir el vector A como la suma de los vectores ax y ay, para expresar estas componentes en términos de la información que conocemos, es decir del módulo de A y del ángulo θ hacemos lo siguiente, formamos el triángulo rectángulo con los vectores, incluyendo el ángulo θ, aplicamos la relación trigonométrica coseno al ángulo θ que es el cateto adyacente sobre la hipotenusa, es decir que coseno de θ es igual a la componente ax sobre el módulo del vector A, despejamos ax pasando el módulo de A a multiplicar al lado izquierdo con el coseno de θ, entonces la componente ax se obtiene multiplicando el módulo del vector A por el coseno del ángulo θ, escribimos esto que obtuvimos en los dos dibujos, ahora aplicamos la relación trigonométrica coseno al ángulo θ que es el cateto opuesto sobre la hipotenusa, es decir que coseno de θ es igual a la componente ay sobre el módulo del vector A, despejamos ay pasando el módulo de A a multiplicar al lado izquierdo con el coseno de θ, y tenemos que la componente ay se obtiene multiplicando el módulo del vector A por el seno del ángulo θ, anotamos esto que nos dio en ambos dibujos, luego el vector A que es igual a la suma de sus componentes ax y ay queda expresado así, utilizando la anotación con vectores unitarios ij, recordemos que también puede expresarse como la pareja de componentes en x e y, cualquiera de las dos notaciones es correcta, de esta manera se expresa el vector A en términos de sus componentes rectangulares, obtenidas de la descomposición del vector A, podríamos afirmar que esto siempre será así, es decir que la componente x es el módulo del vector por el coseno de θ y que la componente y es el módulo del vector por el seno de θ, siempre y cuando el ángulo θ sea el que forma el vector con el eje x, debemos asegurarnos de ello antes de aplicar mecánicamente estas fórmulas, también hay que recordar que si las componentes del vector apuntan hacia la derecha o hacia arriba son de signo positivo y si apuntan hacia la izquierda o hacia abajo son de signo negativo, si por alguna razón se conoce el ángulo que el vector forma con el eje y, por ejemplo φ, entonces recordamos que θ y φ suman 90 grados, son ángulos complementarios, luego para hallar θ simplemente a 90 grados le restamos el valor de φ, el procedimiento de descomponer vectores resulta bastante útil cuando se trata de sumar o restar varios de ellos en forma analítica, ya que la operación se efectúa entre las componentes respectivas, x con x e y con y, incluso si hay escalares que multiplican a los vectores, por ejemplo los escalares λ minúscula y ω minúscula, estos se distribuyen para sus componentes, de igual manera la operación suma o resta ocurre entre componentes respectivas, al final se tiene un vector resultante al cual puede calcularse su módulo y orientación.
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