ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una Ecuación Diferencial Exacta con condición inicial.

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 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación diferencial que tiene esta condición inicial. Lo primero que hacemos es intentar por el método de separación de variables, pero si revisamos estas expresiones vemos que no es posible independizar la variable X de la variable Y, por lo tanto descartamos esa posibilidad. Luego podemos revisar si es posible expresar de Y de X como una función de Y sobre X para ver si cumple la condición de ecuación diferencial homogénea. Si hacemos ese intento vemos que tampoco es posible. Entonces vamos a tomar el camino de la ecuación diferencial exacta, vamos a ver en que consiste. Toda esta expresión se encuentra escrita de la forma m de X más n de Y igual a cero, que inicialmente es la estructura de una ecuación diferencial exacta. Allí podemos observar que m es la expresión que acompaña a de X, en este caso es 6XY menos 2Y cuadrado más 1 y que n es la expresión que acompaña a de Y, es decir esta que tenemos en paréntesis, 3X al cuadrado menos 4XY. Lo que hacemos ahora es obtener la derivada parcial de m con respecto a Y y la derivada parcial de n con respecto a X. Veamos la primera, si derivamos esto parcialmente con respecto a Y considerando a X como una constante tenemos lo siguiente, derivada de este término se deja aquí esto 6X que es el componente constante y la derivada de Y nos da 1 por lo tanto nos queda 6X. Vamos al otro término derivada de 2Y al cuadrado como se deriva con respecto a Y nos da 4Y y la derivada de este término que es constante nos da 0. Ahora vamos con la otra derivada, vamos a derivar n parcialmente con respecto a X, o sea que la variable Y se comporta como constante, derivada de este término con respecto a X nos da 6X y en el otro término aseguramos lo que es constante, o sea 4Y y la derivada de X nos da 1 entonces nos queda simplemente menos 4Y. Como se observa hemos obtenido la misma expresión en los dos casos, entonces si se cumple que la derivada parcial de M con respecto a Y es igual a la derivada parcial de N con respecto a X, entonces tenemos una ecuación diferencial exacta, ese es el requisito que se debe cumplir para iniciar el ejercicio por este camino. Cuando resolvemos una ecuación diferencial exacta lo que buscamos es llegar a una expresión de la forma f de X, Y igual a C, esta será la solución general, una expresión que depende de las variables X y Y, las que están presentes en el ejercicio y todo esto igualado a una constante C. Si derivamos ambos lados nos queda en el lado izquierdo la diferencial total de la función de f y al otro lado la derivada de una constante que es 0, pero la diferencial total de una función de dos variables es lo siguiente, será la derivada parcial de f con respecto a X, esto multiplicado por dx más la derivada parcial de f con respecto a Y y esto multiplicado por dy y todo esto está igualado a 0. Demos entonces que este componente es lo que llamamos M y este de acá es lo que llamamos M para conformar la estructura que mostrábamos hace un momento, M por dx más N por dy igual a 0. Vamos a anotar eso por acá, M es la derivada parcial de f con respecto a X o lo que llamaríamos fx y N es la derivada parcial de f con respecto a Y, lo que llamaríamos también fy. Ahora si en esta igualdad derivamos ambos lados parcialmente con respecto a Y nos queda así, derivada parcial de M con respecto a Y igual a la derivada parcial de fx con respecto a Y y esto lo podemos escribir como fxy. Ahora si acá derivamos parcialmente ambos lados con respecto a X nos queda derivada parcial de N con respecto a X igual a la derivada parcial de fy con respecto a X y esto es lo mismo que decir fx. Ahora para el caso de una curva fxy igual a C que existe en R2 estas dos derivadas parciales que son las mixtas o cruzadas deben ser iguales y eso fue justamente lo que verificamos hace un momento, la igualdad entre esta derivada parcial y esta otra, o sea el requisito que debe cumplir la ecuación diferencial exacta. Vamos a comenzar entonces con el desarrollo del ejercicio, tenemos que la derivada parcial de f con respecto a X es M, entonces si esto es igual a M acá tenemos M 6xy menos 2y cuadrado más 1 y de aquí podemos despejar de f, entonces dx pasa a multiplicar al otro lado, nos queda 6xy menos 2y cuadrado más 1 todo esto por dx, ahora vamos a integrar a ambos lados, integral de df igual a la integral de toda esta expresión, tenemos en el lado izquierdo que la integral de df nos da f, la expresión que buscamos y acá la integral con respecto a X teniendo en cuenta que y actúa como constante nos da lo siguiente, vamos a integrar cada término con respecto a X, aquí podemos asegurar el componente constante que es 6y y nos ocupamos de integrar X, la integral de X nos da X al cuadrado sobre 2 menos este componente será todo constante, entonces lo aseguramos y le agregamos la X, allí lo hemos integrado, más la integral de 1 con respecto a X que nos da X y aquí iría una constante de integración, pero vamos a representarla como una función phi de y, es decir una función que depende de la variable y que es la que actúa como constante, organizamos un poco esta expresión y nos queda así, f es igual a, simplificamos 6 con 2 eso nos da 3, organizamos esto nos queda X al cuadrado por y menos aquí acomodando nos queda 2xy cuadrado, luego tenemos más X más la expresión phi de y, entonces hemos integrado m con respecto a X y nos ha dado una expresión para f, ahora esta expresión f vamos a derivarla parcialmente con respecto a la otra variable, es decir con respecto a y, en este caso X actúa como constante, veamos la derivada de este termino será asegurar 3x al cuadrado la derivada de y es 1, nos queda esto entonces, menos acá aseguramos el termino 2x y por la derivada de y al cuadrado que nos da 2y, luego tenemos más la derivada de X pero X es constante, su derivada nos da 0 más la derivada de este componente que depende de y, como estamos derivando con respecto a y nos queda indicada como phi prima de y, simplificamos un poco esta expresión y nos queda así, df de y igual a 3x al cuadrado por acá tenemos menos 2x por 2y que es 4xy y esto más phi prima de y, pero por definición tenemos que df de y es igual a n, entonces todo esto 3x al cuadrado menos 4xy más phi prima de y, vamos a igualarlo con lo que hace el papel de n que es toda esta expresión, 3x al cuadrado menos 4xy, aquí vemos que ambos lados de la igualdad hay términos repetidos, el caso de 3x al cuadrado que lo podemos cancelar y el caso de menos 4xy que también lo podemos cancelar, nos queda entonces que phi prima de y es igual a 0 y si integramos ambos lados para obtener phi de y eso nos da igual a una constante c porque la derivada de una constante es 0, hace un momento habíamos obtenido esta expresión para f y aquí teníamos el componente phi de y, pero phi de y nos dio c, entonces podemos realizar ese cambio, aquí anotamos esta c, ahora recordemos que lo que buscamos con la ecuación diferencial exacta es conformar una expresión f de x y igual a c, la solución en general, pero f ya la tenemos, entonces nos queda 3x al cuadrado y menos 2xy cuadrado todo esto más x más c, aquí tenemos f y tenemos que igualarlo otra vez a c, pero estas dos constantes, bueno esta podríamos llamarla una constante c1, realmente no hay problema con eso, estas dos constantes se van a agrupar al lado derecho quedando de esta manera, pero esta diferencia entre constantes produce una nueva constante que podemos llamar k, luego esto nos queda 3x al cuadrado y menos 2xy más x igual a k y esta será la solución general de nuestra ecuación diferencial. Ahora llega el momento de utilizar esta información, o sea la condición inicial que viene con la ecuación diferencial, este 1 es valor de x, 2 es valor de y, esto quiere decir que la curva correspondiente a esta ecuación en R2 o en el plano cartesiano pasa por el punto 1,2, 1 es valor en x y 2 es valor en y, entonces vamos a reemplazar esta información aquí para encontrar el valor de k, ofrezco disculpas porque hace un momento olvidé este exponente 2 pero allí ya lo puse, entonces ahora vamos a reemplazar en los lugares que corresponde a la x el valor 1, entonces va aquí, también aquí y en este término y en los lugares que corresponde a la letra y reemplazamos el valor 2 y ahora vamos a resolver eso, tenemos entonces 1 al cuadrado nos da 1 por 3 por 2, eso es 6 menos 2 al cuadrado 4, 4 por 1 por 2 nos da 8 y más 1 y todo esto igual a k, resolviendo todo esto nos da como resultado menos 1, entonces la constante k tiene el valor menos 1, vamos a reemplazarla entonces por aquí y con esto terminamos hemos conformado la solución particular para esta ecuación diferencial que es exacta sujeta a esta condición inicial.
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{"start": 147.56, "end": 152.44, "text": " de X nos da 1 entonces nos queda simplemente menos 4Y."}, {"start": 152.44, "end": 159.32, "text": " Como se observa hemos obtenido la misma expresi\u00f3n en los dos casos, entonces si se cumple que"}, {"start": 159.32, "end": 166.92, "text": " la derivada parcial de M con respecto a Y es igual a la derivada parcial de N con respecto"}, {"start": 166.92, "end": 176.84, "text": " a X, entonces tenemos una ecuaci\u00f3n diferencial exacta, ese es el requisito que se debe cumplir"}, {"start": 176.84, "end": 180.88, "text": " para iniciar el ejercicio por este camino."}, {"start": 180.88, "end": 186.24, "text": " Cuando resolvemos una ecuaci\u00f3n diferencial exacta lo que buscamos es llegar a una expresi\u00f3n"}, {"start": 186.24, "end": 194.2, "text": " de la forma f de X, Y igual a C, esta ser\u00e1 la soluci\u00f3n general, una expresi\u00f3n que depende"}, {"start": 194.2, "end": 200.04, "text": " de las variables X y Y, las que est\u00e1n presentes en el ejercicio y todo esto igualado a una"}, {"start": 200.04, "end": 201.4, "text": " constante C."}, {"start": 201.4, "end": 206.92, "text": " Si derivamos ambos lados nos queda en el lado izquierdo la diferencial total de la funci\u00f3n"}, {"start": 206.92, "end": 213.48, "text": " de f y al otro lado la derivada de una constante que es 0, pero la diferencial total de una"}, {"start": 213.48, "end": 220.04, "text": " funci\u00f3n de dos variables es lo siguiente, ser\u00e1 la derivada parcial de f con respecto"}, {"start": 220.04, "end": 229.67999999999998, "text": " a X, esto multiplicado por dx m\u00e1s la derivada parcial de f con respecto a Y y esto multiplicado"}, {"start": 229.67999999999998, "end": 233.67999999999998, "text": " por dy y todo esto est\u00e1 igualado a 0."}, {"start": 233.68, "end": 241.0, "text": " Demos entonces que este componente es lo que llamamos M y este de ac\u00e1 es lo que llamamos"}, {"start": 241.0, "end": 248.76000000000002, "text": " M para conformar la estructura que mostr\u00e1bamos hace un momento, M por dx m\u00e1s N por dy igual"}, {"start": 248.76000000000002, "end": 250.16, "text": " a 0."}, {"start": 250.16, "end": 259.4, "text": " Vamos a anotar eso por ac\u00e1, M es la derivada parcial de f con respecto a X o lo que llamar\u00edamos"}, {"start": 259.4, "end": 270.52, "text": " fx y N es la derivada parcial de f con respecto a Y, lo que llamar\u00edamos tambi\u00e9n fy."}, {"start": 270.52, "end": 276.06, "text": " Ahora si en esta igualdad derivamos ambos lados parcialmente con respecto a Y nos queda"}, {"start": 276.06, "end": 284.0, "text": " as\u00ed, derivada parcial de M con respecto a Y igual a la derivada parcial de fx con respecto"}, {"start": 284.0, "end": 288.32, "text": " a Y y esto lo podemos escribir como fxy."}, {"start": 288.32, "end": 293.8, "text": " Ahora si ac\u00e1 derivamos parcialmente ambos lados con respecto a X nos queda derivada"}, {"start": 293.8, "end": 302.4, "text": " parcial de N con respecto a X igual a la derivada parcial de fy con respecto a X y esto es lo"}, {"start": 302.4, "end": 305.76, "text": " mismo que decir fx."}, {"start": 305.76, "end": 314.08, "text": " Ahora para el caso de una curva fxy igual a C que existe en R2 estas dos derivadas parciales"}, {"start": 314.08, "end": 321.84, "text": " que son las mixtas o cruzadas deben ser iguales y eso fue justamente lo que verificamos hace"}, {"start": 321.84, "end": 328.2, "text": " un momento, la igualdad entre esta derivada parcial y esta otra, o sea el requisito que"}, {"start": 328.2, "end": 332.2, "text": " debe cumplir la ecuaci\u00f3n diferencial exacta."}, {"start": 332.2, "end": 336.79999999999995, "text": " Vamos a comenzar entonces con el desarrollo del ejercicio, tenemos que la derivada parcial"}, {"start": 336.8, "end": 350.08000000000004, "text": " de f con respecto a X es M, entonces si esto es igual a M ac\u00e1 tenemos M 6xy menos 2y cuadrado"}, {"start": 350.08000000000004, "end": 357.72, "text": " m\u00e1s 1 y de aqu\u00ed podemos despejar de f, entonces dx pasa a multiplicar al otro lado, nos queda"}, {"start": 357.72, "end": 367.44000000000005, "text": " 6xy menos 2y cuadrado m\u00e1s 1 todo esto por dx, ahora vamos a integrar a ambos lados,"}, {"start": 367.44000000000005, "end": 374.52000000000004, "text": " integral de df igual a la integral de toda esta expresi\u00f3n, tenemos en el lado izquierdo"}, {"start": 374.52000000000004, "end": 380.68, "text": " que la integral de df nos da f, la expresi\u00f3n que buscamos y ac\u00e1 la integral con respecto"}, {"start": 380.68, "end": 387.04, "text": " a X teniendo en cuenta que y act\u00faa como constante nos da lo siguiente, vamos a integrar cada"}, {"start": 387.04, "end": 394.12, "text": " t\u00e9rmino con respecto a X, aqu\u00ed podemos asegurar el componente constante que es 6y y nos ocupamos"}, {"start": 394.12, "end": 401.16, "text": " de integrar X, la integral de X nos da X al cuadrado sobre 2 menos este componente ser\u00e1"}, {"start": 401.16, "end": 407.8, "text": " todo constante, entonces lo aseguramos y le agregamos la X, all\u00ed lo hemos integrado,"}, {"start": 407.8, "end": 414.88, "text": " m\u00e1s la integral de 1 con respecto a X que nos da X y aqu\u00ed ir\u00eda una constante de integraci\u00f3n,"}, {"start": 414.88, "end": 420.2, "text": " pero vamos a representarla como una funci\u00f3n phi de y, es decir una funci\u00f3n que depende"}, {"start": 420.2, "end": 426.32, "text": " de la variable y que es la que act\u00faa como constante, organizamos un poco esta expresi\u00f3n"}, {"start": 426.32, "end": 434.24, "text": " y nos queda as\u00ed, f es igual a, simplificamos 6 con 2 eso nos da 3, organizamos esto nos"}, {"start": 434.24, "end": 442.08, "text": " queda X al cuadrado por y menos aqu\u00ed acomodando nos queda 2xy cuadrado, luego tenemos m\u00e1s"}, {"start": 442.08, "end": 451.0, "text": " X m\u00e1s la expresi\u00f3n phi de y, entonces hemos integrado m 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y, simplificamos un poco esta expresi\u00f3n y nos"}, {"start": 500.8, "end": 510.76, "text": " queda as\u00ed, df de y igual a 3x al cuadrado por ac\u00e1 tenemos menos 2x por 2y que es 4xy"}, {"start": 510.76, "end": 519.36, "text": " y esto m\u00e1s phi prima de y, pero por definici\u00f3n tenemos que df de y es igual a n, entonces"}, {"start": 519.36, "end": 530.04, "text": " todo esto 3x al cuadrado menos 4xy m\u00e1s phi prima de y, vamos a igualarlo con lo que hace"}, {"start": 530.04, "end": 539.72, "text": " el papel de n que es toda esta expresi\u00f3n, 3x al cuadrado menos 4xy, aqu\u00ed vemos que"}, {"start": 539.72, "end": 547.0, "text": " ambos lados de la igualdad hay t\u00e9rminos repetidos, el caso de 3x al cuadrado que lo podemos cancelar"}, {"start": 547.0, "end": 554.56, "text": " y el caso de menos 4xy que tambi\u00e9n lo podemos cancelar, nos queda entonces que phi prima"}, {"start": 554.56, "end": 563.28, "text": " de y es igual a 0 y si integramos ambos lados para obtener phi de y eso nos da igual a una"}, {"start": 563.28, "end": 570.24, "text": " constante c porque la derivada de una constante es 0, hace un momento hab\u00edamos obtenido esta"}, {"start": 570.24, "end": 577.08, "text": " expresi\u00f3n para f y aqu\u00ed ten\u00edamos el componente phi de y, pero phi de y nos dio c, entonces"}, {"start": 577.08, "end": 584.72, "text": " podemos realizar ese cambio, aqu\u00ed anotamos esta c, ahora recordemos que lo que buscamos"}, {"start": 584.72, "end": 592.64, "text": " con la ecuaci\u00f3n diferencial exacta es conformar una expresi\u00f3n f de x y igual a c, la soluci\u00f3n"}, {"start": 592.64, "end": 601.04, "text": " en general, pero f ya la tenemos, entonces nos queda 3x al cuadrado y menos 2xy cuadrado"}, {"start": 601.04, "end": 608.08, "text": " todo esto m\u00e1s x m\u00e1s c, aqu\u00ed tenemos f y tenemos que igualarlo otra vez a c, pero"}, {"start": 608.08, "end": 613.0, "text": " estas dos constantes, bueno esta podr\u00edamos llamarla una constante c1, realmente no hay"}, {"start": 613.0, "end": 618.4, "text": " problema con eso, estas dos constantes se van a agrupar al lado derecho quedando de"}, {"start": 618.4, "end": 625.76, "text": " esta manera, pero esta diferencia entre constantes produce una nueva constante que podemos llamar"}, {"start": 625.76, "end": 637.56, "text": " k, luego esto nos queda 3x al cuadrado y menos 2xy m\u00e1s x igual a k y esta ser\u00e1 la soluci\u00f3n"}, {"start": 637.56, "end": 642.0, "text": " general de nuestra ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 642.0, "end": 648.28, "text": " Ahora llega el momento de utilizar esta informaci\u00f3n, o sea la condici\u00f3n inicial que viene con"}, {"start": 648.28, "end": 655.9599999999999, "text": " la ecuaci\u00f3n diferencial, este 1 es valor de x, 2 es valor de y, esto quiere decir que"}, {"start": 655.9599999999999, "end": 663.56, "text": " la curva correspondiente a esta ecuaci\u00f3n en R2 o en el plano cartesiano pasa por el"}, {"start": 663.56, "end": 672.48, "text": " punto 1,2, 1 es valor en x y 2 es valor en y, entonces vamos a reemplazar esta informaci\u00f3n"}, {"start": 672.48, "end": 678.6800000000001, "text": " aqu\u00ed para encontrar el valor de k, ofrezco disculpas porque hace un momento olvid\u00e9 este"}, {"start": 678.6800000000001, "end": 684.6800000000001, "text": " exponente 2 pero all\u00ed ya lo puse, entonces ahora vamos a reemplazar en los lugares que"}, {"start": 684.6800000000001, "end": 692.88, "text": " corresponde a la x el valor 1, entonces va aqu\u00ed, tambi\u00e9n aqu\u00ed y en este t\u00e9rmino y"}, {"start": 692.88, "end": 699.04, "text": " en los lugares que corresponde a la letra y reemplazamos el valor 2 y ahora vamos a"}, {"start": 699.04, "end": 706.9599999999999, "text": " resolver eso, tenemos entonces 1 al cuadrado nos da 1 por 3 por 2, eso es 6 menos 2 al"}, {"start": 706.9599999999999, "end": 716.3399999999999, "text": " cuadrado 4, 4 por 1 por 2 nos da 8 y m\u00e1s 1 y todo esto igual a k, resolviendo todo esto"}, {"start": 716.3399999999999, "end": 723.56, "text": " nos da como resultado menos 1, entonces la constante k tiene el valor menos 1, vamos"}, {"start": 723.56, "end": 731.1999999999999, "text": " a reemplazarla entonces por aqu\u00ed y con esto terminamos hemos conformado la soluci\u00f3n particular"}, {"start": 731.2, "end": 755.8000000000001, "text": " para esta ecuaci\u00f3n diferencial que es exacta sujeta a esta condici\u00f3n inicial."}]