DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 10
#julioprofe explica cómo hallar la derivada de una función usando la Regla del Cociente.

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 Para esta función f de x vamos a obtener su derivada f' de x y para ello vamos a usar la regla del cociente que dice así. Si tenemos un cociente a sobre b, su derivada es la derivada del numerador, o sea a', por el denominador sin derivar, esto menos a, es decir, el numerador sin derivar, por la derivada del denominador, o sea b', y todo eso sobre b al cuadrado, es decir, el denominador elevado al cuadrado. Entonces, siguiendo esta instrucción vamos a obtener la derivada de esa función. Comenzamos con la derivada del numerador, o sea lo que corresponde a a', tenemos aquí una resta, entonces derivamos cada uno de los términos, derivada de 3x nos da 3 y la derivada de menos 5 es 0, por tratarse de una constante, la derivada de toda constante es 0, luego sigue b, es decir, el denominador sin derivar, entonces x al cuadrado más 1 y todo esto elevado al cuadrado, después tenemos menos a, es decir, el numerador sin derivar, 3x menos 5, que debemos protegerlo con paréntesis, y esto multiplicado por b', es decir, la derivada de lo que tenemos en el denominador, allí vamos a utilizar la regla de la cadena para las potencias, baja entonces el 2 a multiplicar, esto por x al cuadrado más 1, lo que está dentro del paréntesis que permanece intacto, acá tendremos el resultado de efectuar 2 menos 1, que es 1, y esto se multiplica por la derivada interna, lo que tenemos acá dentro del paréntesis se deriva y se escribe acá, tenemos acá una suma, entonces derivamos cada término, derivada de x al cuadrado es 2x y la derivada de más 1 es 0, de nuevo la derivada de una constante es 0, y todo esto nos queda sobre b al cuadrado, eso que tenemos en el denominador, es decir, x al cuadrado más 1 al cuadrado, se eleva nuevamente al cuadrado, entonces allí tenemos ya esta expresión ensamblada con cada uno de sus componentes, y a continuación vamos a simplificar al máximo toda esa expresión, entonces en el numerador tenemos 3 por x al cuadrado más 1, todo esto al cuadrado, esto permanece intacto, luego menos 2 por 2x que es 4x, que multiplica con 3x menos 5, y que multiplica con x al cuadrado más 1, a esto ya podemos hacerle invisible el exponente 1, y acá en el denominador nos queda x al cuadrado más 1 y multiplicamos los exponentes, 2 por 2 es 4. Si revisamos el numerador vemos que allí hay dos términos en los cuales se repite x al cuadrado más 1, entonces podemos extraer esa expresión como factor común teniendo en cuenta que sale con su menor exponente, aquí tenemos exponente 1 y acá tenemos exponente 2, entonces sale con exponente 1, es decir, x al cuadrado más 1, y eso será factor de lo siguiente, 3 que multiplica con x al cuadrado más 1, la expresión que queda allí, menos 4x que multiplica con 3x menos 5, y cerramos el corchete. Mientras tanto en el denominador continúa la misma expresión, x al cuadrado más 1 y eso elevado al exponente 4, ahora allí podemos realizar una simplificación con estas dos expresiones que se repiten, entonces cancelamos x al cuadrado más 1 con un x al cuadrado más 1 del denominador y acá nos va a quedar con exponente 3. Tendremos entonces en el numerador esta expresión que también podemos trabajar, aquí podemos aplicar la propiedad distributiva para romper esos paréntesis, entonces 3 por x al cuadrado es 3x al cuadrado, 3 por más 1 nos da más 3, luego tenemos menos 4x por 3x que es menos 12x al cuadrado y menos 4x por menos 5 que es más 20x, y en el denominador nos queda x al cuadrado más 1, todo esto elevado al exponente 3. Para terminar podemos reducir términos semejantes en el numerador, es el caso de estos dos que contienen x al cuadrado, nos queda entonces f' de x igual a 3x cuadrado menos 12x al cuadrado, eso es menos 9x al cuadrado, después tenemos más 20x y luego más 3 para que nos quede la expresión organizada en forma descendente y todo eso nos queda sobre el mismo denominador que es x al cuadrado más 1 elevado al exponente 3. Así hemos llegado al final del ejercicio, esta es la respuesta, la derivada de esa función que obtuvimos utilizando la regla del cociente.
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