ECUACIONES CUADRÁTICAS POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación de segundo grado o cuadrática por el Método de Completación de Cuadrados.

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 Tenemos una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática que se ajusta perfectamente al modelo ax2 más bx más c igual a cero. Una ecuación de estas puede resolverse de varias formas. Una de ellas es la factorización, otra es por la fórmula cuadrática y otro camino es utilizar el método de la completación de cuadrados. O lo que se conoce también como la completación del trinomio cuadrado. Perfecto. Vamos a ver la solución de esta ecuación por este último método. Para comenzar debemos convertir la ecuación en ecuación mónica, es decir, que tenga coeficiente principal 1. Como en este caso tenemos un 2, entonces podemos decir que dividimos la ecuación ambos lados entre 2. De esa manera nos queda x al cuadrado más 7 medios de x menos 15 medios igual a cero medios que equivale a cero. Vemos que en el caso del 7 y del 15, por ser números que no tienen mitades exactas, se deja expresada esa cantidad como 7 medios y menos 15 medios. A continuación escribimos los términos que tienen la x, dejamos un espacio y anotamos menos 15 medios igual a cero. En este espacio vamos a insertar unos números que son los que nos permiten completar un trinomio cuadrado perfecto. Aquí tenemos dos términos, nos falta otro que completaría el trinomio cuadrado perfecto. El procedimiento es el siguiente, sacamos la mitad de este número del que acompaña la x, en este caso la mitad de 7 medios sería igual a 7 cuartos. Este número que obtenemos lo elevamos al cuadrado, hacemos esto, 7 cuartos al cuadrado, esto equivale a 7 al cuadrado sobre 4 al cuadrado, es decir 49 dieciséis aos. Este número que acabamos de obtener debe escribirse aquí, más 49 dieciséis aos e inmediatamente debe restarse. Hacemos esto para que la ecuación no se desbalancee, para que se conserve tal como viene originalmente. Finalmente es como si estuviéramos sumando cero porque estamos sumando y a la vez restando la misma cantidad. De esa manera tenemos garantizado que aquí hay un trinomio cuadrado perfecto. Estos tres términos conforman esa expresión algebraica y por lo tanto puede factorizarse. Siempre la factorización de un trinomio cuadrado perfecto nos da como resultado un binomio al cuadrado. Aquí escribimos la raíz cuadrada del primer término que sería x y aquí escribimos la raíz cuadrada del tercer término. La raíz cuadrada de 49 dieciséis aos es igual a 7 cuartos. Aquí en medio vamos a colocar el signo del segundo término, en este caso signo positivo. Podríamos pasar estos números para el otro lado. Pasaría 49 dieciséis aos positivo, lo mismo que 15 medios y vamos a realizar esta suma. Tenemos aquí dos fracciones de distinto denominador, es decir, fracciones heterogéneas. Necesitamos entonces el mínimo común múltiplo de sus denominadores de 16 y 2 que es igual a 16. Entonces la primera fracción ya tiene denominador 16, la segunda debe amplificarse multiplicando en este caso por 8 arriba y en la parte de abajo. Para que en el denominador nos de el 16 que necesitamos. Nos queda entonces x más 7 cuartos al cuadrado igual a 49 dieciséis aos más 15 por 8 nos da 120 y acá queda 16 en el denominador. Y hemos conseguido que las fracciones se conviertan en homogéneas, es decir, fracciones con el mismo denominador. Entonces aquí dejamos el 16, dejamos el mismo denominador y sumamos los numeradores. 49 más 120 nos da 169 y a este lado tenemos x más 7 cuartos elevado al cuadrado. A continuación vamos a sacar raíz cuadrada a ambos lados. Entonces tendremos dentro de la raíz x más 7 cuartos al cuadrado y por acá la raíz cuadrada de 169 dieciséis aos. Como aquí tenemos la raíz cuadrada de una expresión al cuadrado, es decir, estos dos números son iguales y son pares. Entonces esto se convierte en x más 7 cuartos en valor absoluto. Y al otro lado sacamos la raíz cuadrada del numerador y del denominador. Es una propiedad de la radicación. Entonces la raíz cuadrada de 169 es igual a 13 y la raíz cuadrada de 16 es igual a 4. Resolviendo esta ecuación con valor absoluto tenemos que x más 7 cuartos es igual a menos 13 cuartos o x más 7 cuartos es igual a 13 cuartos positivo. Y consideramos esas dos opciones y vamos a resolver para x en cada caso. Por acá tenemos que x es igual a menos 13 cuartos menos 7 cuartos. Ese 7 cuartos se está sumando pasa a restar. Tenemos fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador y operamos los numeradores. Menos 13 menos 7 nos da menos 20 y menos 20 cuartos equivale a menos 5. De esa manera tenemos una solución de la ecuación cuadrática. Vamos por acá, tenemos que x es igual a 13 cuartos menos 7 cuartos. Tenemos fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador, restamos los numeradores. 13 menos 7 nos da 6. Y allí podemos simplificar, mitad de 6 es igual a 3, mitad de 4 es igual a 2. Tenemos la otra solución de la ecuación cuadrática. De esa manera hemos terminado, hemos encontrado las dos soluciones de la ecuación original utilizando el método de completación de cuadrados.
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