INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 21
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Indefinida por el Método de Sustitución.

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 Vamos a resolver paso a paso esta integral indefinida. En principio revisamos si puede hacerse en forma directa. Hemos que no es posible porque tenemos una expresión un poco compleja que no permite ser expresada como términos independientes que se puedan integrar de manera individual. Vamos entonces a recurrir al método de sustitución conocido también como cambio de variable y vamos a cambiar x más 4 lo que está dentro de la raíz por una letra. Vamos a escoger por ejemplo l, entonces l será igual a x más 4. Esto lo destacamos porque lo vamos a necesitar más adelante y ahora debemos derivar esa expresión con respecto a x. Decimos entonces derivada de l con respecto a x será igual a lo siguiente. Aquí tenemos una suma entonces derivamos cada término. Derivada de x es 1, derivada de 4 será 0 y de allí vamos a despejar de x. De x está dividiendo pasa a este lado a multiplicar con 1 y nos queda entonces que dl es igual a dx o lo que es lo mismo que x igual a dl. Bien entonces ahora con estos dos componentes que encontramos vamos a reconstruir la integral original para que nos quede en términos de l. La expresión x menos 3 se queda intacta luego tenemos la raíz cuadrada de x más 4 que se convierte en l y luego tenemos el diferencial de x que se cambia por dl. Como puede observarse todavía no hemos logrado el objetivo de que esta sea una expresión únicamente en términos de l. Aquí observamos de nuevo la x que en este momento es una letra intrusa porque la que debe controlar es l. Entonces como solucionar este problema recurrimos a esta expresión donde l es igual a x más 4 y de allí vamos a despejar x para que nos quede en términos de l. Veamos entonces. Para despejar x simplemente movemos este 4 que está sumando al otro lado a rezar nos queda l menos 4 igual a x o lo que es lo mismo x igual a l menos 4. Entonces esto que encontramos vamos a traerlo aquí para que de esa forma nos quede la integral escrita solamente en términos de l. Veamos como queda x se cambia por l menos 4. Aquí tenemos que escribir menos 3 y el resto de la expresión la raíz cuadrada de l y esto multiplicado por su diferencial dl. Como se observa allí ya logramos el propósito y es que todo nos quede controlado con la nueva letra que es l. Vamos a transformar esta expresión para después proceder a integrar. Tendremos entonces la integral dl, operamos menos 4 y menos 3 que nos da menos 7 y cambiamos raíz cuadrada de l por l a la un medio y anotamos el diferencial dl. Ahora vamos a transformar esta expresión aplicando la propiedad distributiva. Entonces l a la un medio va a multiplicar a cada uno de esos términos que tenemos dentro del paréntesis. Tendremos lo siguiente l a la un medio multiplicado por l nos queda l a la uno más un medio. Se suman los exponentes porque estamos multiplicando potencias de la misma base. Uno más un medio nos da tres medios y esto nos queda menos l a la un medio por siete que lo organizamos como siete l a la un medio. Cerramos el paréntesis y anotamos el diferencial dl. Hemos llegado a una integral directa. Tenemos la integral de una resta de términos donde cada uno de ellos puede integrarse en forma individual. Aquí observamos potencias de l entonces vamos a aplicar esta propiedad. La integral de l a la n con su diferencial dl será l a la n más uno. Todo esto sobre n más uno más la constante de integración siempre que n sea diferente de menos uno. Entonces vamos con la integral del primer término donde n es tres medios. Entonces trazamos la línea arriba tendremos l a la tres medios más uno siguiendo la propiedad eso nos da lo siguiente tres más dos cinco conservamos el mismo denominador que es dos y este número lo repetimos acá debajo de la línea principal. Pasamos al siguiente término donde siete está multiplicando con esta potencia. Siete se deja allí quieto y procedemos a integrar l a la un medio. De nuevo aplicamos esa propiedad en este caso es un medio entonces un medio más uno será uno más dos tres conservamos el denominador que es dos y este número lo repetimos acá debajo de la línea principal y anotamos por primera vez la constante de integración. Organizamos cada uno de estos términos subiendo estos denominadores acá a multiplicar aplicaríamos lo que se llama la ley de la oreja. Entonces el dos sube a multiplicar con l a la cinco medios en la parte de abajo nos quedaría cinco por uno uno es el denominador de l a las cinco medios entonces nos queda cinco menos veamos cómo queda este término. Dos sube a multiplicar con l a la tres medios pero este dos va a multiplicar con este siete nos queda entonces catorce l a la tres medios y todo esto nos queda sobre tres tres multiplica con este uno que está debajo de l a la tres medios y a todo esto le agregamos la constante de integración. Como aquí ya tenemos la expresión totalmente organizada y simplificada podemos ir ya a la parte final que es cambiar l por x más cuatro entonces con eso tendremos la respuesta al ejercicio. Veamos el primer término nos queda dos quintos que multiplica con l que es x más cuatro todo esto elevado al exponente cinco medios luego tenemos menos catorce tercios que multiplica con l que es x más cuatro y todo esto queda elevado al exponente tres medios anotamos la constante de integración y de esta manera terminamos este ejercicio.
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