INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 21
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida que contiene valor absoluto en el integrando y hace la comprobación gráfica.

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 Vamos a resolver esta integral que contiene un valor absoluto en el integrando. Para comenzar debemos deshacernos de estas barras, es decir del valor absoluto. Y para ello vamos a recordar la definición de ese concepto matemático. Si tenemos el valor absoluto de una cantidad A, esto es igual a la misma cantidad A si esta es mayor o igual que cero. O es igual a menos A si esa cantidad es menor que cero. Esta es la definición del valor absoluto. Entonces con base en esto vamos a ver cómo nos queda el valor absoluto de x menos 2. En este caso x menos 2 actúa como si fuera A. Entonces vamos a reemplazar x menos 2 en cada uno de estos lugares donde tenemos la letra A. Entonces aquí tenemos x menos 2, si A es decir x menos 2 es mayor o igual que cero. Y acá tenemos menos esta expresión, o sea x menos 2, que protegemos con paréntesis, si x menos 2 es menor que cero. Repito siguiendo la definición del valor absoluto. A su vez esto nos va a quedar así. Valor absoluto de x menos 2 es igual a x menos 2, eso queda igual si x es mayor o igual que 2. Pasamos este número que está restando al otro lado a sumar con cero y por eso nos queda 2. Y acá vamos a romper el paréntesis, vamos a distribuir el signo negativo. Eso nos quedaría menos x más 2. Y la condición es si x es menor que 2. De igual forma pasamos este número que está restando al otro lado a sumar con cero y por eso nos queda 2. Como se observa el valor absoluto de x menos 2 pierde sus barras, estas dos barras verticales, tal como se observa aquí, dependiendo de si se trata de valores de x mayores o iguales que 2, o valores de x menores que 2. Como en este caso tenemos una integral que va desde menos 1 hasta 7, entonces lo que hacemos es una parada en 2. Entonces vamos a reescribir la integral de la siguiente manera. Vamos primero desde menos 1 hasta 2, como decíamos nos detenemos en 2 porque es el valor que condiciona la expresión del valor absoluto. Entonces desde menos 1 hasta 2 estamos hablando de valores menores que 2. En ese caso el valor absoluto de x menos 2 es igual a menos x más 2 porque tenemos que allí x es menor que 2. Entonces repetimos de menos 1 hasta 2 tenemos valores menores que 2 por lo tanto el valor absoluto se convierte en menos x más 2. Y no podemos olvidar el menos 3, el menos 3 está por fuera del valor absoluto, lo que cambia es únicamente esta expresión que se convierte en menos x más 2. Protejemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Ahora a esto le sumamos la otra integral que va desde 2 hasta 7. Entonces como decíamos si vamos desde menos 1 hasta 7 hacemos el pare en 2 y de esa manera conformamos 2 integrales. Ahora si vamos desde 2 hasta 7 son valores de x mayores o iguales que 2. En ese caso el valor absoluto de x menos 2 será igual a x menos 2. Entonces lo escribimos, también escribimos el menos 3, protejemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Como podemos observar ya hemos logrado deshacernos de las barras del valor absoluto y todo esto apoyándonos en la definición del valor absoluto. En seguida lo que vamos a hacer es resolver cada una de estas integrales definidas. Pero primero vamos a organizar los integrandos. Vamos con la primera integral que va desde menos 1 hasta 2, abrimos paréntesis, allí nos queda menos x y operamos estos dos números. 2 menos 3 nos da menos 1, cerramos paréntesis, escribimos el diferencial de x y a esto le sumamos la integral que va desde 2 hasta 7 y acá tendremos x menos 5 operando estos dos números. Cerramos paréntesis y escribimos el diferencial de x. Llega el momento de integrar cada una de esas expresiones. Vamos entonces con esto que tenemos acá, la integral de menos x será menos x al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de 1 que es x. Como tenemos una integral definida entonces vamos a evaluar desde menos 1 hasta 2. Pasamos a la siguiente integral. Integral de x es x al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de 5 que es 5x. De igual forma vamos a evaluar en los límites de integración que son 2 y 7. Aplicamos ahora el teorema fundamental del cálculo. Recordemos que primero se evalúa el límite superior y después el límite inferior. Vamos a reemplazar entonces en este caso el número 2. Tendremos menos 2 al cuadrado sobre 2 y esto menos 2. Es mejor proteger esto con corchete y allí tenemos esta expresión evaluada en el límite superior. A eso le vamos a restar la misma expresión evaluada en el límite inferior. Entonces tenemos menos entre paréntesis menos 1 al cuadrado todo esto sobre 2 y esto menos menos 1. Como se observa es recomendable proteger con paréntesis cada uno de los números que ingresan a la expresión. Ahora esto lo vamos a sumar con la expresión que tenemos acá evaluada. Primero en 7 entonces protegemos con corchete. Tenemos 7 al cuadrado sobre 2 menos 5 por 7. Cerramos el corchete y esto menos vamos a continuar por acá más abajo la misma expresión protegida con corchete. Esto ahora evaluada en 2. Entonces tendremos 2 al cuadrado todo esto sobre 2 menos 5 por x o sea por 2. Entonces menos 5 por 2 y cerramos el corchete. A continuación vamos a resolver cada una de estas operaciones. Esta es la parte donde la aritmética juega su papel y debemos tener especial cuidado con desarrollar estas operaciones. Entonces vamos con lo que tenemos en el primer corchete. Aquí tenemos 2 al cuadrado 4 y 4 sobre 2 es 2 pero acompañado del signo negativo nos queda menos 2. Aquí tendremos otra vez menos 2. Cerramos el corchete todo esto menos vamos a esta expresión. Menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo. Recordemos que una cantidad negativa elevada a un exponente par nos da resultado positivo. Entonces menos 1 al cuadrado es 1. Un medio queda acompañado del signo menos. Entonces menos un medio y acá aplicamos ley de los signos menos por menos nos da más. Entonces tenemos más 1. Cerramos el corchete. Ahora tenemos más por acá 7 al cuadrado que es 49 sobre 2 menos 5 por 7 que es 35. Cerramos el corchete y ahora menos vamos a esta expresión 2 al cuadrado es 4. 4 sobre 2 nos da 2 y esto menos 5 por 2 que es 10 y cerramos el corchete. Continuamos ahora resolviendo las operaciones que tenemos dentro de los corchetes. Por acá tenemos menos 2 menos 2 que es menos 4. Esto menos vamos al otro corchete menos un medio más 1. Podemos cambiar este número 1 por la fracción 2 medios. De tal forma que nos quede una suma de fracciones de igual denominador. En ese caso conservamos el denominador y efectuamos la suma de los numeradores. Tenemos menos 1 más 2 que es igual a 1. Entonces eso nos da un medio más. Vamos al otro corchete. De igual forma aquí podemos cambiar 35 por la fracción 70 medios. 70 medios es lo mismo que 35 y tenemos allí otra vez una resta de fracciones de igual denominador. Entonces se conserva ese número y efectuamos la resta de los numeradores. 49 menos 70 nos da como resultado menos 21. Cerramos el corchete y por acá tenemos que 2 menos 10 es menos 8. Cerramos el corchete. Ahora vamos a romper cada uno de esos signos de agrupación. Es decir los corchetes. En el primero sale menos 4. En el segundo nos queda menos un medio. Acá nos va a quedar menos 21 medios y por acá nos va a quedar más 8. Aplicamos ley de los signos y por eso nos da positivo. Aquí vamos a efectuar primero la operación con los fraccionarios. Menos un medio menos 21 medios nos da lo siguiente. Vamos a escribir eso por acá. Entonces dejamos el mismo denominador que es 2 porque son fracciones homogéneas y efectuamos la operación de los numeradores. Tenemos menos uno menos 21 que nos da menos 22 y simplificando esto nos da como resultado menos 11. Entonces esta operación nos queda menos 4 menos 11 y esto más 8. Finalmente tenemos que el resultado de esta operación es menos 7 y constituye la respuesta para este ejercicio. El valor de esta integral definida es menos 7. Podemos comprobar la validez de esto que acabamos de obtener en el plano cartesiano. Es decir gráficamente. Entonces vamos a trazar un plano cartesiano y vamos a localizar allí la gráfica de la función valor absoluto de x. Bien aquí podemos observar entonces el plano cartesiano y esta gráfica en color verde que corresponde a la función valor absoluto de x. Entonces vamos a escribir su nombre valor absoluto de x que es la función primitiva a partir de la cual vamos a obtener la gráfica de esta que tenemos en el integrando. Ahora vamos a graficar valor absoluto de x menos 2. Tenemos que a la letra x se le han restado dos unidades. Eso ocasiona que la gráfica primitiva se corra hacia la derecha dos unidades. Entonces por ejemplo este punto lo tendremos ahora por acá. Si seleccionamos otro punto por ejemplo este que tenemos aquí entonces lo desplazamos a la derecha dos unidades. Ahora lo tendremos exactamente allí. Y si por ejemplo tenemos este punto lo corremos a la derecha dos unidades y lo tendremos exactamente aquí. Entonces con estos tres puntos dibujamos ahora la gráfica de valor absoluto de x menos 2. Bien allí podemos observarla. Esta que tenemos en color azul es la gráfica de la función valor absoluto de x menos 2. Repetimos es la gráfica primitiva valor absoluto de x desplazada hacia la derecha dos unidades. Finalmente tenemos que desplazar la gráfica de valor absoluto de x menos 2 tres unidades hacia abajo. Como tenemos el menos tres por fuera de la expresión valor absoluto entonces ocasiona que esta gráfica azul se desplace hacia abajo tres unidades. Entonces vamos a desplazar los puntos que habíamos señalado ahora por ejemplo este entonces uno, dos y tres unidades nos queda aquí. Este otro punto al bajar tres unidades nos queda por acá al nivel de menos tres y este otro punto al bajarlo tres unidades nos queda por aquí. Entonces con estos puntos dibujamos la gráfica definitiva. Bien allí podemos observarla. Esta gráfica de color rojo corresponde a la función que tenemos en el integrando valor absoluto de x menos 2 y todo esto menos tres. Entonces recordemos la secuencia la gráfica original o la gráfica patrón que es valor absoluto de x se corre primero a la derecha dos unidades y después desciende tres unidades. Así logramos obtener la gráfica de esta función. Vamos ahora a borrar los nombres de las gráficas verde y azul y vamos a extender esta gráfica un poco más. Bien ahora vamos a establecer los límites de integración. Tenemos que considerar en esta gráfica roja lo que sucede entre menos uno que es el corte con el eje x y el valor siete. Entonces vamos a trazar por aquí una línea vertical. Bien aquí la podemos observar y recordemos que el concepto de la integral definida de una función hace referencia al área bajo la curva. En este caso vemos que la función valor absoluto de x menos 2 menos 3 o sea la gráfica de color rojo limita unas áreas o unas zonas con el eje x y los valores que tenemos en los límites de integración. Se trata de este triángulo que vamos a rayar toda esta figura que está por debajo del eje x y esta otra figura otro triángulo que se encuentra por encima del eje x. Ahora utilizando los conocimientos de geometría vamos a encontrar el área de estas dos figuras o sea el área de esos dos triángulos. Recordemos que la fórmula dice que eso es igual a base por altura sobre dos. La fórmula para encontrar el área de un triángulo. Vamos con el primero. Tenemos que el área es igual a la base que es la distancia que va desde menos uno hasta cinco o sea seis unidades multiplicado por la altura que es la distancia que hay entre este punto y este. O sea tres unidades y todo esto sobre dos. Resolviendo esta operación tenemos 6 por 3 es 18. 18 sobre 2 es igual a 9. Geométricamente decimos que el área de este triángulo es nueve unidades cuadradas. Pero como es una figura que está por debajo del eje x entonces se considera negativa. Entonces escribimos su valor que es menos nueve. Ahora vamos a encontrar el área de este triángulo. Decimos entonces área igual a la base que es la distancia que hay entre cinco y siete o sea dos unidades. Eso multiplicado por la altura que es este segmento y que también mide dos unidades y todo esto sobre dos. Entonces tenemos dos por dos cuatro. Cuatro sobre dos es dos. Geométricamente el área de este triángulo es dos unidades cuadradas. Pero como se trata de una figura que está por encima del eje x entonces decimos que su área es más dos. Finalmente como lo que nos pide el ejercicio es la integral definida de esta función la que tenemos en color rojo desde menos uno hasta siete. Es decir desde este valor hasta este. Lo que hacemos es un barrido de las áreas que encontramos. En este caso el triángulo que tenemos por debajo del eje x con área menos nueve más el triángulo que tenemos por encima del eje x con área dos. Y la operación de estos números nos da como resultado menos siete que fue el valor que obtuvimos analíticamente. De esta manera queda resuelto este ejercicio y como hemos visto se puede comprobar gráficamente utilizando el concepto de integral definida como área bajo la curva.
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Ahora a esto le sumamos la otra integral que va desde 2 hasta 7."}, {"start": 245.06, "end": 255.06, "text": " Entonces como dec\u00edamos si vamos desde menos 1 hasta 7 hacemos el pare en 2 y de esa manera conformamos 2 integrales."}, {"start": 255.06, "end": 267.06, "text": " Ahora si vamos desde 2 hasta 7 son valores de x mayores o iguales que 2. En ese caso el valor absoluto de x menos 2 ser\u00e1 igual a x menos 2."}, {"start": 267.06, "end": 277.06, "text": " Entonces lo escribimos, tambi\u00e9n escribimos el menos 3, protejemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 277.06, "end": 291.06, "text": " Como podemos observar ya hemos logrado deshacernos de las barras del valor absoluto y todo esto apoy\u00e1ndonos en la definici\u00f3n del valor absoluto."}, {"start": 291.06, "end": 298.06, "text": " En seguida lo que vamos a hacer es resolver cada una de estas integrales definidas."}, {"start": 298.06, "end": 313.06, "text": " Pero primero vamos a organizar los integrandos. Vamos con la primera integral que va desde menos 1 hasta 2, abrimos par\u00e9ntesis, all\u00ed nos queda menos x y operamos estos dos n\u00fameros."}, {"start": 313.06, "end": 332.06, "text": " 2 menos 3 nos da menos 1, cerramos par\u00e9ntesis, escribimos el diferencial de x y a esto le sumamos la integral que va desde 2 hasta 7 y ac\u00e1 tendremos x menos 5 operando estos dos n\u00fameros."}, {"start": 332.06, "end": 337.06, "text": " Cerramos par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 337.06, "end": 356.06, "text": " Llega el momento de integrar cada una de esas expresiones. Vamos entonces con esto que tenemos ac\u00e1, la integral de menos x ser\u00e1 menos x al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de 1 que es x."}, {"start": 356.06, "end": 367.06, "text": " Como tenemos una integral definida entonces vamos a evaluar desde menos 1 hasta 2. Pasamos a la siguiente integral."}, {"start": 367.06, "end": 377.06, "text": " Integral de x es x al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de 5 que es 5x."}, {"start": 377.06, "end": 385.06, "text": " De igual forma vamos a evaluar en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 2 y 7."}, {"start": 385.06, "end": 395.06, "text": " Aplicamos ahora el teorema fundamental del c\u00e1lculo. Recordemos que primero se eval\u00faa el l\u00edmite superior y despu\u00e9s el l\u00edmite inferior."}, {"start": 395.06, "end": 406.06, "text": " Vamos a reemplazar entonces en este caso el n\u00famero 2. Tendremos menos 2 al cuadrado sobre 2 y esto menos 2."}, {"start": 406.06, "end": 421.06, "text": " Es mejor proteger esto con corchete y all\u00ed tenemos esta expresi\u00f3n evaluada en el l\u00edmite superior. A eso le vamos a restar la misma expresi\u00f3n evaluada en el l\u00edmite inferior."}, {"start": 421.06, "end": 431.06, "text": " Entonces tenemos menos entre par\u00e9ntesis menos 1 al cuadrado todo esto sobre 2 y esto menos menos 1."}, {"start": 431.06, "end": 441.06, "text": " Como se observa es recomendable proteger con par\u00e9ntesis cada uno de los n\u00fameros que ingresan a la expresi\u00f3n."}, {"start": 441.06, "end": 451.06, "text": " Ahora esto lo vamos a sumar con la expresi\u00f3n que tenemos ac\u00e1 evaluada. Primero en 7 entonces protegemos con corchete."}, {"start": 451.06, "end": 471.06, "text": " Tenemos 7 al cuadrado sobre 2 menos 5 por 7. Cerramos el corchete y esto menos vamos a continuar por ac\u00e1 m\u00e1s abajo la misma expresi\u00f3n protegida con corchete."}, {"start": 471.06, "end": 482.06, "text": " Esto ahora evaluada en 2. Entonces tendremos 2 al cuadrado todo esto sobre 2 menos 5 por x o sea por 2."}, {"start": 482.06, "end": 492.06, "text": " Entonces menos 5 por 2 y cerramos el corchete. A continuaci\u00f3n vamos a resolver cada una de estas operaciones."}, {"start": 492.06, "end": 502.06, "text": " Esta es la parte donde la aritm\u00e9tica juega su papel y debemos tener especial cuidado con desarrollar estas operaciones."}, {"start": 502.06, "end": 514.06, "text": " Entonces vamos con lo que tenemos en el primer corchete. Aqu\u00ed tenemos 2 al cuadrado 4 y 4 sobre 2 es 2 pero acompa\u00f1ado del signo negativo nos queda menos 2."}, {"start": 514.06, "end": 522.06, "text": " Aqu\u00ed tendremos otra vez menos 2. Cerramos el corchete todo esto menos vamos a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 522.06, "end": 532.06, "text": " Menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo. Recordemos que una cantidad negativa elevada a un exponente par nos da resultado positivo."}, {"start": 532.06, "end": 538.06, "text": " Entonces menos 1 al cuadrado es 1. Un medio queda acompa\u00f1ado del signo menos."}, {"start": 538.06, "end": 547.06, "text": " Entonces menos un medio y ac\u00e1 aplicamos ley de los signos menos por menos nos da m\u00e1s. Entonces tenemos m\u00e1s 1."}, {"start": 547.06, "end": 562.06, "text": " Cerramos el corchete. Ahora tenemos m\u00e1s por ac\u00e1 7 al cuadrado que es 49 sobre 2 menos 5 por 7 que es 35."}, {"start": 562.06, "end": 582.06, "text": " Cerramos el corchete y ahora menos vamos a esta expresi\u00f3n 2 al cuadrado es 4. 4 sobre 2 nos da 2 y esto menos 5 por 2 que es 10 y cerramos el corchete."}, {"start": 582.06, "end": 593.06, "text": " Continuamos ahora resolviendo las operaciones que tenemos dentro de los corchetes. Por ac\u00e1 tenemos menos 2 menos 2 que es menos 4."}, {"start": 593.06, "end": 603.06, "text": " Esto menos vamos al otro corchete menos un medio m\u00e1s 1. Podemos cambiar este n\u00famero 1 por la fracci\u00f3n 2 medios."}, {"start": 603.06, "end": 615.06, "text": " De tal forma que nos quede una suma de fracciones de igual denominador. En ese caso conservamos el denominador y efectuamos la suma de los numeradores."}, {"start": 615.06, "end": 624.06, "text": " Tenemos menos 1 m\u00e1s 2 que es igual a 1. Entonces eso nos da un medio m\u00e1s. Vamos al otro corchete."}, {"start": 624.06, "end": 640.06, "text": " De igual forma aqu\u00ed podemos cambiar 35 por la fracci\u00f3n 70 medios. 70 medios es lo mismo que 35 y tenemos all\u00ed otra vez una resta de fracciones de igual denominador."}, {"start": 640.06, "end": 651.06, "text": " Entonces se conserva ese n\u00famero y efectuamos la resta de los numeradores. 49 menos 70 nos da como resultado menos 21."}, {"start": 651.06, "end": 661.06, "text": " Cerramos el corchete y por ac\u00e1 tenemos que 2 menos 10 es menos 8. Cerramos el corchete."}, {"start": 661.06, "end": 674.06, "text": " Ahora vamos a romper cada uno de esos signos de agrupaci\u00f3n. Es decir los corchetes. En el primero sale menos 4. En el segundo nos queda menos un medio."}, {"start": 674.06, "end": 686.06, "text": " Ac\u00e1 nos va a quedar menos 21 medios y por ac\u00e1 nos va a quedar m\u00e1s 8. Aplicamos ley de los signos y por eso nos da positivo."}, {"start": 686.06, "end": 696.06, "text": " Aqu\u00ed vamos a efectuar primero la operaci\u00f3n con los fraccionarios. Menos un medio menos 21 medios nos da lo siguiente."}, {"start": 696.06, "end": 709.06, "text": " Vamos a escribir eso por ac\u00e1. Entonces dejamos el mismo denominador que es 2 porque son fracciones homog\u00e9neas y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores."}, {"start": 709.06, "end": 718.06, "text": " Tenemos menos uno menos 21 que nos da menos 22 y simplificando esto nos da como resultado menos 11."}, {"start": 718.06, "end": 728.06, "text": " Entonces esta operaci\u00f3n nos queda menos 4 menos 11 y esto m\u00e1s 8."}, {"start": 728.06, "end": 739.06, "text": " Finalmente tenemos que el resultado de esta operaci\u00f3n es menos 7 y constituye la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 739.06, "end": 751.06, "text": " El valor de esta integral definida es menos 7. Podemos comprobar la validez de esto que acabamos de obtener en el plano cartesiano."}, {"start": 751.06, "end": 764.06, "text": " Es decir gr\u00e1ficamente. Entonces vamos a trazar un plano cartesiano y vamos a localizar all\u00ed la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n valor absoluto de x."}, {"start": 764.06, "end": 776.06, "text": " Bien aqu\u00ed podemos observar entonces el plano cartesiano y esta gr\u00e1fica en color verde que corresponde a la funci\u00f3n valor absoluto de x."}, {"start": 776.06, "end": 790.06, "text": " Entonces vamos a escribir su nombre valor absoluto de x que es la funci\u00f3n primitiva a partir de la cual vamos a obtener la gr\u00e1fica de esta que tenemos en el integrando."}, {"start": 790.06, "end": 800.06, "text": " Ahora vamos a graficar valor absoluto de x menos 2. Tenemos que a la letra x se le han restado dos unidades."}, {"start": 800.06, "end": 813.06, "text": " Eso ocasiona que la gr\u00e1fica primitiva se corra hacia la derecha dos unidades. Entonces por ejemplo este punto lo tendremos ahora por ac\u00e1."}, {"start": 813.06, "end": 821.06, "text": " Si seleccionamos otro punto por ejemplo este que tenemos aqu\u00ed entonces lo desplazamos a la derecha dos unidades."}, {"start": 821.06, "end": 833.06, "text": " Ahora lo tendremos exactamente all\u00ed. Y si por ejemplo tenemos este punto lo corremos a la derecha dos unidades y lo tendremos exactamente aqu\u00ed."}, {"start": 833.06, "end": 841.06, "text": " Entonces con estos tres puntos dibujamos ahora la gr\u00e1fica de valor absoluto de x menos 2."}, {"start": 841.06, "end": 853.06, "text": " Bien all\u00ed podemos observarla. Esta que tenemos en color azul es la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n valor absoluto de x menos 2."}, {"start": 853.06, "end": 862.06, "text": " Repetimos es la gr\u00e1fica primitiva valor absoluto de x desplazada hacia la derecha dos unidades."}, {"start": 862.06, "end": 871.06, "text": " Finalmente tenemos que desplazar la gr\u00e1fica de valor absoluto de x menos 2 tres unidades hacia abajo."}, {"start": 871.06, "end": 883.06, "text": " Como tenemos el menos tres por fuera de la expresi\u00f3n valor absoluto entonces ocasiona que esta gr\u00e1fica azul se desplace hacia abajo tres unidades."}, {"start": 883.06, "end": 893.06, "text": " Entonces vamos a desplazar los puntos que hab\u00edamos se\u00f1alado ahora por ejemplo este entonces uno, dos y tres unidades nos queda aqu\u00ed."}, {"start": 893.06, "end": 905.06, "text": " Este otro punto al bajar tres unidades nos queda por ac\u00e1 al nivel de menos tres y este otro punto al bajarlo tres unidades nos queda por aqu\u00ed."}, {"start": 905.06, "end": 913.06, "text": " Entonces con estos puntos dibujamos la gr\u00e1fica definitiva. Bien all\u00ed podemos observarla."}, {"start": 913.06, "end": 925.06, "text": " Esta gr\u00e1fica de color rojo corresponde a la funci\u00f3n que tenemos en el integrando valor absoluto de x menos 2 y todo esto menos tres."}, {"start": 925.06, "end": 939.06, "text": " Entonces recordemos la secuencia la gr\u00e1fica original o la gr\u00e1fica patr\u00f3n que es valor absoluto de x se corre primero a la derecha dos unidades y despu\u00e9s desciende tres unidades."}, {"start": 939.06, "end": 944.06, "text": " As\u00ed logramos obtener la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n."}, {"start": 944.06, "end": 955.06, "text": " Vamos ahora a borrar los nombres de las gr\u00e1ficas verde y azul y vamos a extender esta gr\u00e1fica un poco m\u00e1s."}, {"start": 955.06, "end": 960.06, "text": " Bien ahora vamos a establecer los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 960.06, "end": 970.06, "text": " Tenemos que considerar en esta gr\u00e1fica roja lo que sucede entre menos uno que es el corte con el eje x y el valor siete."}, {"start": 970.06, "end": 974.06, "text": " Entonces vamos a trazar por aqu\u00ed una l\u00ednea vertical."}, {"start": 974.06, "end": 987.06, "text": " Bien aqu\u00ed la podemos observar y recordemos que el concepto de la integral definida de una funci\u00f3n hace referencia al \u00e1rea bajo la curva."}, {"start": 987.06, "end": 1005.06, "text": " En este caso vemos que la funci\u00f3n valor absoluto de x menos 2 menos 3 o sea la gr\u00e1fica de color rojo limita unas \u00e1reas o unas zonas con el eje x y los valores que tenemos en los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 1005.06, "end": 1024.06, "text": " Se trata de este tri\u00e1ngulo que vamos a rayar toda esta figura que est\u00e1 por debajo del eje x y esta otra figura otro tri\u00e1ngulo que se encuentra por encima del eje x."}, {"start": 1024.06, "end": 1033.06, "text": " Ahora utilizando los conocimientos de geometr\u00eda vamos a encontrar el \u00e1rea de estas dos figuras o sea el \u00e1rea de esos dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 1033.06, "end": 1039.06, "text": " Recordemos que la f\u00f3rmula dice que eso es igual a base por altura sobre dos."}, {"start": 1039.06, "end": 1043.06, "text": " La f\u00f3rmula para encontrar el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo."}, {"start": 1043.06, "end": 1059.06, "text": " Vamos con el primero. Tenemos que el \u00e1rea es igual a la base que es la distancia que va desde menos uno hasta cinco o sea seis unidades multiplicado por la altura que es la distancia que hay entre este punto y este."}, {"start": 1059.06, "end": 1064.06, "text": " O sea tres unidades y todo esto sobre dos."}, {"start": 1064.06, "end": 1072.06, "text": " Resolviendo esta operaci\u00f3n tenemos 6 por 3 es 18. 18 sobre 2 es igual a 9."}, {"start": 1072.06, "end": 1078.06, "text": " Geom\u00e9tricamente decimos que el \u00e1rea de este tri\u00e1ngulo es nueve unidades cuadradas."}, {"start": 1078.06, "end": 1084.06, "text": " Pero como es una figura que est\u00e1 por debajo del eje x entonces se considera negativa."}, {"start": 1084.06, "end": 1089.06, "text": " Entonces escribimos su valor que es menos nueve."}, {"start": 1089.06, "end": 1093.06, "text": " Ahora vamos a encontrar el \u00e1rea de este tri\u00e1ngulo."}, {"start": 1093.06, "end": 1101.06, "text": " Decimos entonces \u00e1rea igual a la base que es la distancia que hay entre cinco y siete o sea dos unidades."}, {"start": 1101.06, "end": 1112.06, "text": " Eso multiplicado por la altura que es este segmento y que tambi\u00e9n mide dos unidades y todo esto sobre dos."}, {"start": 1112.06, "end": 1117.06, "text": " Entonces tenemos dos por dos cuatro. Cuatro sobre dos es dos."}, {"start": 1117.06, "end": 1122.06, "text": " Geom\u00e9tricamente el \u00e1rea de este tri\u00e1ngulo es dos unidades cuadradas."}, {"start": 1122.06, "end": 1131.06, "text": " Pero como se trata de una figura que est\u00e1 por encima del eje x entonces decimos que su \u00e1rea es m\u00e1s dos."}, {"start": 1131.06, "end": 1142.06, "text": " Finalmente como lo que nos pide el ejercicio es la integral definida de esta funci\u00f3n la que tenemos en color rojo desde menos uno hasta siete."}, {"start": 1142.06, "end": 1145.06, "text": " Es decir desde este valor hasta este."}, {"start": 1145.06, "end": 1150.06, "text": " Lo que hacemos es un barrido de las \u00e1reas que encontramos."}, {"start": 1150.06, "end": 1161.06, "text": " En este caso el tri\u00e1ngulo que tenemos por debajo del eje x con \u00e1rea menos nueve m\u00e1s el tri\u00e1ngulo que tenemos por encima del eje x con \u00e1rea dos."}, {"start": 1161.06, "end": 1170.06, "text": " Y la operaci\u00f3n de estos n\u00fameros nos da como resultado menos siete que fue el valor que obtuvimos anal\u00edticamente."}, {"start": 1170.06, "end": 1185.06, "text": " De esta manera queda resuelto este ejercicio y como hemos visto se puede comprobar gr\u00e1ficamente utilizando el concepto de integral definida como \u00e1rea bajo la curva."}]