DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo obtener la segunda derivada de una función.

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 Para esta función que nos dan vamos a obtener la segunda derivada o lo que se conoce también como la derivada de segundo orden. Antes de iniciar la derivación vamos a reescribir la función, entonces esta parte, esta fracción la escribimos como 1 tercio del número de Euler elevado a la menos 2x al cubo. Y vamos a derivar por primera vez, al derivar esa función nos aparece de y de x o también y', podríamos llamarla así. Entonces tenemos una suma, derivamos cada término, la derivada de 20 sería 0 más la derivada de este término sería así. Como 1 tercio está multiplicando con esta función, con esta expresión, entonces 1 tercio lo podemos dejar quieto y procedemos a derivar la función enseguida. Entonces la derivada de el número de Euler elevado a una expresión es ella misma, es decir, e a la menos 2x cubo y eso multiplicado por la derivada del exponente. La derivada de menos 2x al cubo será menos 6x al cuadrado. Allí tenemos entonces nuestra primera derivada, vamos a organizarla un poco, entonces nos queda y' igual, aquí podemos multiplicar menos 6x al cuadrado por 1 tercio y eso nos da menos 2x al cuadrado que multiplica al número de Euler elevado a la menos 2x al cubo. Allí tenemos entonces ya nuestra primera derivada organizada. Vamos a derivar nuevamente para poder obtener la segunda derivada. Entonces la segunda derivada se puede denotar de esta manera o de una forma más práctica como y' y veamos lo que tenemos en este caso. Vemos un producto, en ambas expresiones se encuentra la variable x. Entonces procedemos a derivar con la regla del producto que dice así. La derivada del primer componente, la derivada de menos 2x al cuadrado sería menos 4x, eso multiplicado por el segundo componente sin derivar, e a la menos 2x al cubo, más el primer componente sin derivar, menos 2x al cuadrado, y eso multiplicado por la derivada del segundo componente que sería ella misma, e a la menos 2x al cubo, y eso multiplicado por la derivada del exponente que sería menos 6x al cuadrado. Allí tenemos entonces la regla del producto. Podemos que en la regla del producto si este componente es a y este es b, entonces aquí tenemos a', la derivada del primero, aquí está el segundo sin derivar, aquí está el primero sin derivar, y todo esto es la derivada del segundo. Vamos a organizar entonces esta expresión nos quedaría entonces así, y2' es igual, el primer término nos queda el mismo, y por acá si multiplicamos menos 2x al cuadrado por menos 6x al cuadrado eso nos da positivo 12x a la 4, y queda acompañado de e a la menos 2x al cubo. Finalmente esa expresión podemos darla de una forma un poco más sencilla si recurrimos a la factorización, veamos, aquí nos quedaría entonces y2' es igual, veamos, podemos sacar factor común, el signo negativo, podemos sacar del 4 y el 12 el 4, y de x y x a la 4 sacamos x, también podemos sacar euler, el número de euler elevado a la menos 2x al cubo, que se encuentra repetido en ambos términos, todo esto sería factor de lo siguiente, del primer término vemos que todo sale, por lo tanto nos queda 1 positivo, porque recordemos que salió el signo negativo, y en el segundo término nos queda menos, el signo más cambia a menos, y de todo esto nos queda 3, porque salió el 4, 4x3 es 12, y como salió una x y teníamos x a la 4 nos queda x a la 3, esta recordemos que había salido. Finalmente esto podría organizarse ya por presentación, para que quede un poquito más agradable a la vista, podríamos colocarlo de la siguiente manera, euler a menos 4, que multiplica a 1 menos 3x a la 3 al cubo, por x y por el número de euler elevado a la menos 2x al cubo, de esta manera hemos entonces obtenido la segundada derivada.
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