INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida.

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 Vamos a resolver esta integral definida. Primero debemos transformar el integrando para poder hallar la antiderivada de esta función. Veamos, en el numerador podemos hacer propiedad distributiva 2x por x nos da 2x al cuadrado, 2x por menos 2 nos queda menos 4x, más 1 por x queda más x y más 1 por menos 2 queda menos 2. Abajo tenemos la x y el respectivo de x. Siguiente paso, vamos a trabajar en el numerador los términos semejantes. Veamos, 2x al cuadrado no tiene términos semejantes menos 4x más x nos da menos 3x, menos 2 y todo esto sobre x con su correspondiente de x. Vamos a continuarlo por acá. Bien, ahora vamos a distribuir esta x. Esta x por ser un monomio podemos repartirlo para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces nos va a quedar así, 2x al cuadrado sobre x, menos 3x sobre x, menos 2 sobre x. Todo esto lo protegemos con un paréntesis y le colocamos el correspondiente diferencial. Vamos a simplificar cada uno de los términos que tenemos aquí. Veamos aquí, 2x al cuadrado sobre x nos va a quedar 2x, menos aquí, x con x se nos cancela, se nos queda el 3 y aquí podemos colocar 2 y subir esta x que nos quedaría como x a la menos 1 y todo esto lo encerramos entre paréntesis con su correspondiente de x. Aquí ya tenemos entonces una expresión que podemos integrar. Por tratarse de operaciones de resta podemos integrar cada uno de los términos. Entonces veamos, la integral de 2x sería 2 que queda quieto, este queda quieto, y la integral de x que sería x al cuadrado sobre 2, menos la integral de 3 que sería 3x, menos, aquí tenemos 2 por la integral de x a la menos 1 que sería el logaritmo natural del valor absoluto de x. Por tratarse de una integral definida no colocamos más c, esto no se coloca, sino que vamos a evaluar nuestra antiderivada entre los números 1 y 2. Vamos a aplicar lo que se llama el teorema fundamental del cálculo. En este caso podríamos cancelar estos 2, a manera de simplificar esta expresión. Entonces este 2 se cancela con este 2 y nos va a quedar únicamente este x al cuadrado. Bien, vamos a reemplazar primero el numerito de arriba en esta expresión y a eso le vamos a restar el reemplazo de este numerito de abajo en la expresión. Eso es lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo. Entonces veamos, si el 2 entra aquí por ejemplo, nos va a quedar 2 al cuadrado, 4 menos 3 por 2 que sería 6, menos 2 por aquí. Si el 2 entra donde está la x acá, tendremos cuadrado absoluto de 2, que eso es igual a 2, por lo tanto nos queda logaritmo natural de 2. Eso nos da al reemplazar el 2 en nuestra antiderivada. Bien, y a todo eso le tenemos que restar el reemplazo del 1 aquí en la expresión. Entonces veamos, 1 al cuadrado nos da 1, menos 3 por 1 nos da 3, menos 2 por aquí. Si el 1 entra donde está la x, tendremos valor absoluto de 1, que es igual a 1, por lo tanto tendremos logaritmo natural de 1. Veamos, vamos a resolver la expresión que hay dentro de cada paréntesis, 4 menos 6 nos queda menos 2, logaritmo natural de 2, colocamos el paréntesis y aquí tendremos 1 menos 3 da menos 2. Y por acá, logaritmo natural de 1 equivale a 0, menos 2 por 0 nos da 0, por lo tanto aquí no nos queda nada más. Podemos destruir los paréntesis, nos quedaría menos 2, menos 2, logaritmo natural de 2, aquí menos con menos nos queda más 2. Podremos eliminar este menos 2 con este 2 por tratarse de números opuestos, y nos queda menos 2, logaritmo natural de 2, que viene siendo aproximadamente igual al número menos 1 punto 3863. Y lo hacemos en calculadora, esa sería entonces la respuesta de nuestra integral definida.
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