DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo determinar dy/dx derivando implícitamente una expresión.

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 Para esta expresión vamos a determinar a qué es igual de y de x, o sea la derivada de y con respecto a x. En esa expresión tenemos que y es la variable dependiente y x es la variable independiente. Pero como están combinadas esas dos letras en esa expresión entonces debemos proceder con lo que se llama la derivación implícita. Entonces vamos a derivar implícitamente ambos lados de la igualdad con respecto a x. Esto quiere decir que cada vez que derivemos algo con la letra y debemos anexar de y de x. Incluso por comodidad se puede trabajar con y' durante el procedimiento y al final y' se cambia por de y de x. Entonces comencemos. En el lado izquierdo de la igualdad observamos un producto. Entonces debemos utilizar la regla de derivación que se utiliza para los productos. Entonces vamos a recordarla. Si tenemos un producto a por b tenemos que esto es igual a la derivada del primero por el segundo más el primero sin derivar por la derivada del segundo. Entonces vamos a utilizar esta regla para derivar esta parte lo que es el lado izquierdo de la igualdad. Veamos. Derivada de x al cuadrado nos da 2x. Esto por el segundo componente sin derivar que es tangente de y más el primer componente sin derivar que es x al cuadrado por la derivada del segundo componente. La derivada de tangente de y es secante al cuadrado de y. Pero como hemos derivado algo que contiene la y entonces agregamos y'. Es decir multiplicamos por lo que se llama la derivada interna. La derivada de y con respecto a x. O sea de y de x pero que por comodidad se trabaja como y'. Pasamos al lado derecho de la igualdad donde también observamos un producto. Dos componentes donde están presentes las dos variables x y y. Entonces de nuevo utilizamos la regla del producto para derivación. Derivada del primer componente sería derivada de y que es 1 por y' o simplemente y'. Entonces derivada de y y' derivada del primer componente. Eso por el segundo componente sin derivar que es seno de x más el primer componente sin derivar que es y. Por la derivada del segundo componente. La derivada del seno de x es coseno de x. Como paso siguiente vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos términos que contienen y'. Entonces veamos. Se queda este término que es x al cuadrado secante al cuadrado de y por y'. Y pasamos este término que está positivo. Entonces llega negativo como y' seno de x. Y al lado derecho de la igualdad vamos a situar los términos que no tienen y'. Entonces se queda y por coseno de x y traemos este término que llega acá negativo menos 2x tangente de y. Paso siguiente sacamos a este lado factor común y'. Entonces tenemos y' es factor común de x al cuadrado secante al cuadrado de y menos seno de x. Y esto igual a la misma expresión que tenemos en el lado derecho. Por último despejamos y' de esta igualdad. Entonces tendremos que y' será igual a toda esta expresión dividida entre esta. Todo esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Entonces nos queda de la siguiente manera. Una fracción. Aquí en el numerador esta expresión y coseno de x menos 2x tangente de y. Y en el denominador nos queda todo esto. X al cuadrado secante al cuadrado de y menos seno de x. Para terminar cambiamos y' por dy de x. Como decíamos durante el proceso es más cómodo trabajar con y' pero al final se recomienda escribir de dy de x porque se especifica mejor cuál ha sido la derivada. Es decir se especifica cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente. O en otras palabras la variable con respecto de la cual se hizo todo el proceso de derivación. De esta manera encontramos de y de x y terminamos el ejercicio.
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