ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que se convierte en cuadrática o de segundo grado, usando la factorización.

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 Vamos a resolver esta ecuación y comenzamos por establecer lo que se llaman las restricciones para la variable X. Esto debemos hacerlo porque observamos que la X se encuentra en los denominadores de estas dos expresiones. Por lo tanto, aquí X menos 4 debe ser diferente de 0 y acá X debe ser diferente de 0. Por acá obtenemos que X debe ser diferente de 4. Pasamos el 4 que está restando a sumar en el lado derecho. Nos queda entonces la prohibición para X que sea 4 y 0. Luego, como restricciones, tenemos que X debe ser diferente de los valores 0 y 4 en esa ecuación. Anotamos por acá la restricción y ahora sí podemos comenzar a desarrollar esa expresión. Tenemos una suma de fracciones de distinto denominador. Vamos a utilizar este modelo que es la manera más elemental de hacer una suma de fracciones heterogéneas. Abajo tenemos B por D, arriba tendremos A por D más B por C. Es lo que se conoce como la suma en cruz. Entonces, en este caso nos va a quedar de la siguiente manera. En el denominador X menos 4 que multiplica con X. Estos binomios deben protegerse con paréntesis. Arriba nos queda 3 por X, es decir, 3X, más X menos 4 en paréntesis que multiplica con X menos 3 también en paréntesis. Y todo esto igual a 2. En el numerador nos queda 3X más, aquí hacemos la multiplicación de esos dos binomios. Hacemos propiedad distributiva. Entonces, X por X, X al cuadrado. X por menos 3 da menos 3X. Menos 4 por X da menos 4X. Y menos 4 por menos 3 nos da más 12. En el denominador también hacemos propiedad distributiva. Entra esta X, entonces, X por X, X al cuadrado. Y X por menos 4 nos da menos 4X. Todo esto igualado a 2. En el numerador observamos que este término se puede cancelar con este. Son términos opuestos. Entonces, 3X y menos 3X se suman 0. Y nos queda X al cuadrado menos 4X más 12. Todo esto sobre X al cuadrado menos 4X igualado a 2. Aquí debemos tener cuidado con lo siguiente. Porque observemos X al cuadrado arriba y abajo y menos 4X también arriba y abajo. No podemos pensar en cancelar esos términos. Eso sería un error fatal para este ejercicio. No se puede porque arriba vemos operaciones de resta y suma. Y abajo tenemos resta. Entonces, no es permitido hacer ese tipo de cancelaciones. Lo correcto es pasar esta expresión que está dividiendo al otro lado a multiplicar con el 2. Entonces, nos queda X al cuadrado menos 4X más 12 igual a 2 que multiplica a esta expresión. Y ya debe protegerse con paréntesis por tratarse de un binomio. Ahora, en el lado derecho vamos a hacer propiedad distributiva con el 2. Nos queda X al cuadrado menos 4X más 12 igual a 2X al cuadrado menos 8X distribuyendo el número 2. Esto toma la forma de ecuación cuadrática. Entonces, vamos a pasar esos términos para el lado izquierdo para que acá nos quede 0. Entonces, queda X al cuadrado menos 4X más 12 menos 2X al cuadrado más 8X igual a 0. Operamos términos semejantes. Vemos por ejemplo X al cuadrado semejante con menos 2X al cuadrado. Ellos dan como resultado menos X al cuadrado. También observamos los términos que tienen X que son menos 4X y más 8X. Ellos suman más 4X y el término independiente que es el más 12. Y esto igualado a 0. No es usual que la ecuación cuadrática inicie con signo negativo. Eso se puede corregir multiplicando la ecuación ambos lados por menos 1. De esa manera nos cambian todos los signos del lado izquierdo y del lado derecho sigue el 0 porque 0 por menos 1 da 0. Llegamos a una ecuación cuadrática. Recordemos que una ecuación cuadrática tiene la forma AX al cuadrado más BX más C igual a 0. Y tenemos la opción de resolverla por factorización, por fórmula cuadrática o también podríamos hacerlo por completación de cuadrados. Vamos a resolverla por factorización debido a que este trinomio es fácilmente factorizable. Utilizamos el caso llamado trinomio de la forma X a la 2N más BX a la N más C. Entonces la factorización de ese trinomio nos queda así. Abrimos dos paréntesis. Sacamos la raíz cuadrada de X cuadrado que es X. Cuadramos los signos. Más por menos nos da menos. Menos por menos nos da más. Buscamos dos números que multiplicados nos den menos 12 y que sumados entre sí nos den menos 4. Aquí tenemos una pista. Uno de ellos es negativo y el otro es positivo. Esos números son menos 6 y más 2. Podemos verificar. Menos 6 por 2 nos da menos 12 y menos 6 más 2 nos da menos 4. Esos son los números buscados y todo esto está igualado a cero. Ahora resolvemos esto que nos quedó utilizando el teorema del factor nulo que dice lo siguiente. Si A por B es igual a cero, entonces A es igual a cero o B es igual a cero. Cada una de las dos expresiones debe igualarse a cero. Entonces tenemos X menos 6 es igual a cero o X más 2 es igual a cero. Apoyándonos en este teorema. Ahora en cada caso despejamos X. Por aquí obtenemos que X es igual a 6 y por acá obtenemos X igual a menos 2. Estas son las dos soluciones de esa ecuación. Pero debemos fijarnos que no estén aquí en las restricciones. Vemos que no está ni cero ni cuatro. Por lo tanto ambos valores se aceptan. Porque no están prohibidos para X. Entonces la respuesta para esta ecuación es que el conjunto solución, es decir, los valores que puede tomar X para que esa ecuación sea cierta son menos 2 y 6.
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podemos comenzar a desarrollar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 67.0, "end": 71.0, "text": " Tenemos una suma de fracciones de distinto denominador."}, {"start": 71.0, "end": 81.0, "text": " Vamos a utilizar este modelo que es la manera m\u00e1s elemental de hacer una suma de fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 81.0, "end": 91.0, "text": " Abajo tenemos B por D, arriba tendremos A por D m\u00e1s B por C."}, {"start": 91.0, "end": 95.0, "text": " Es lo que se conoce como la suma en cruz."}, {"start": 95.0, "end": 100.0, "text": " Entonces, en este caso nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 100.0, "end": 105.0, "text": " En el denominador X menos 4 que multiplica con X."}, {"start": 105.0, "end": 109.0, "text": " Estos binomios deben protegerse con par\u00e9ntesis."}, {"start": 109.0, "end": 123.0, "text": " Arriba nos queda 3 por X, es decir, 3X, m\u00e1s X menos 4 en par\u00e9ntesis que multiplica con X menos 3 tambi\u00e9n en par\u00e9ntesis."}, {"start": 123.0, 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t\u00e9rmino se puede cancelar con este."}, {"start": 176.0, "end": 178.0, "text": " Son t\u00e9rminos opuestos."}, {"start": 178.0, "end": 183.0, "text": " Entonces, 3X y menos 3X se suman 0."}, {"start": 183.0, "end": 190.0, "text": " Y nos queda X al cuadrado menos 4X m\u00e1s 12."}, {"start": 190.0, "end": 199.0, "text": " Todo esto sobre X al cuadrado menos 4X igualado a 2."}, {"start": 199.0, "end": 203.0, "text": " Aqu\u00ed debemos tener cuidado con lo siguiente."}, {"start": 203.0, "end": 209.0, "text": " Porque observemos X al cuadrado arriba y abajo y menos 4X tambi\u00e9n arriba y abajo."}, {"start": 209.0, "end": 212.0, "text": " No podemos pensar en cancelar esos t\u00e9rminos."}, {"start": 212.0, "end": 215.0, "text": " Eso ser\u00eda un error fatal para este ejercicio."}, {"start": 215.0, "end": 221.0, "text": " No se puede porque arriba vemos operaciones de resta y suma."}, {"start": 221.0, "end": 223.0, "text": " Y abajo tenemos resta."}, {"start": 223.0, "end": 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{"start": 282.0, "end": 294.0, "text": " Entonces, queda X al cuadrado menos 4X m\u00e1s 12 menos 2X al cuadrado m\u00e1s 8X igual a 0."}, {"start": 294.0, "end": 297.0, "text": " Operamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 297.0, "end": 302.0, "text": " Vemos por ejemplo X al cuadrado semejante con menos 2X al cuadrado."}, {"start": 302.0, "end": 306.0, "text": " Ellos dan como resultado menos X al cuadrado."}, {"start": 306.0, "end": 314.0, "text": " Tambi\u00e9n observamos los t\u00e9rminos que tienen X que son menos 4X y m\u00e1s 8X."}, {"start": 314.0, "end": 323.0, "text": " Ellos suman m\u00e1s 4X y el t\u00e9rmino independiente que es el m\u00e1s 12."}, {"start": 323.0, "end": 325.0, "text": " Y esto igualado a 0."}, {"start": 325.0, "end": 330.0, "text": " No es usual que la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica inicie con signo negativo."}, {"start": 330.0, "end": 336.0, "text": " Eso se puede corregir multiplicando la ecuaci\u00f3n ambos lados por menos 1."}, {"start": 336.0, "end": 349.0, "text": " De esa manera nos cambian todos los signos del lado izquierdo y del lado derecho sigue el 0 porque 0 por menos 1 da 0."}, {"start": 349.0, "end": 351.0, "text": " Llegamos a una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 351.0, "end": 361.0, "text": " Recordemos que una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica tiene la forma AX al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 361.0, "end": 370.0, "text": " Y tenemos la opci\u00f3n de resolverla por factorizaci\u00f3n, por f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o tambi\u00e9n podr\u00edamos hacerlo por completaci\u00f3n de cuadrados."}, {"start": 370.0, "end": 379.0, "text": " Vamos a resolverla por factorizaci\u00f3n debido a que este trinomio es f\u00e1cilmente factorizable."}, {"start": 379.0, "end": 387.0, "text": " Utilizamos el caso llamado trinomio de la forma X a la 2N m\u00e1s BX a la N m\u00e1s C."}, {"start": 387.0, "end": 391.0, "text": " Entonces la factorizaci\u00f3n de ese trinomio nos queda as\u00ed."}, {"start": 391.0, "end": 393.0, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " Sacamos la ra\u00edz cuadrada de X cuadrado que es X."}, {"start": 398.0, "end": 400.0, "text": " Cuadramos los signos."}, {"start": 400.0, "end": 402.0, "text": " M\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 402.0, "end": 405.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 405.0, "end": 412.0, "text": " Buscamos dos n\u00fameros que multiplicados nos den menos 12 y que sumados entre s\u00ed nos den menos 4."}, {"start": 412.0, "end": 414.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos una pista."}, {"start": 414.0, "end": 417.0, "text": " Uno de ellos es negativo y el otro es positivo."}, {"start": 417.0, "end": 421.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos 6 y m\u00e1s 2."}, {"start": 421.0, "end": 423.0, "text": " Podemos verificar."}, {"start": 423.0, "end": 429.0, "text": " Menos 6 por 2 nos da menos 12 y menos 6 m\u00e1s 2 nos da menos 4."}, {"start": 429.0, "end": 435.0, 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debemos fijarnos que no est\u00e9n aqu\u00ed en las restricciones."}, {"start": 505.0, "end": 508.0, "text": " Vemos que no est\u00e1 ni cero ni cuatro."}, {"start": 508.0, "end": 512.0, "text": " Por lo tanto ambos valores se aceptan."}, {"start": 512.0, "end": 515.0, "text": " Porque no est\u00e1n prohibidos para X."}, {"start": 515.0, "end": 522.0, "text": " Entonces la respuesta para esta ecuaci\u00f3n es que el conjunto soluci\u00f3n,"}, {"start": 522.0, "end": 535.0, "text": " es decir, los valores que puede tomar X para que esa ecuaci\u00f3n sea cierta son menos 2 y 6."}]