ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial.

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 Tenemos en este caso una ecuación llamada ecuación exponencial porque la incógnita X se encuentra precisamente en los exponentes. Vamos a darle solución. Comenzamos por expresar el 9, el 1 tercio, el 27 como potencias de 3. Si todos estos números pueden escribirse como potencias del 3. Por ejemplo, 9 es 3 al cuadrado. Entonces, sustituimos 9 por 3 al cuadrado, conservamos el exponente X. Un tercio puede escribirse como 3 elevado al exponente menos 1. Y todo eso elevado al exponente X más 2. Allí aplicamos esta propiedad de la potenciación. Recordemos que si tenemos A elevado al exponente menos n, esto es igual a 1 sobre A a la n. Si las propiedades de pronto vienen en esta dirección, pero también podemos devolvernos. Entonces, si tenemos A a la menos 1, esto es igual a 1 sobre A. Aplicando esta misma propiedad para el caso en que n vale 1. Entonces, si tenemos 1 sobre A, se convierte en A a la menos 1. Eso es justamente lo que estamos haciendo con un tercio. Nos queda 3 elevado al exponente menos 1. Al otro lado tenemos 27, que si lo descomponemos en factores primos, nos da 3 al cubo. Por esto que lo dejamos igual, porque ya tiene la base que es 3. Entonces, como primera medida, tratar de que todas las bases queden iguales. En este caso vemos que es posible, porque los números que tenemos son potencias del 3. A continuación, vamos a aplicar esta propiedad de la potenciación. Cuando tenemos una potencia elevada a otro exponente, entonces dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Vemos que aquí, aquí y aquí podemos aplicar esa propiedad. Nos queda entonces así. 3 elevado al exponente 2 por x, que es 2x, por 3 elevado al exponente que resulta de multiplicar menos 1 por x más 2. En ese caso, menos 1 se distribuye a lo que es el binomio x más 2 y nos queda menos x menos 2. En el otro lado, 3 al cubo, lo dejamos igual. Y aquí tenemos 3 elevado al exponente que resulta de multiplicar x por menos 2. Y eso nos da menos 2x. Ahora tenemos a ambos lados de la igualdad lo que se llama producto de potencias de la misma base. En ese caso, la propiedad dice lo siguiente, cuando se multiplican potencias de la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes. Entonces, en este caso, dejamos la base que es 3 y vamos a sumar 2x con menos x menos 2. En principio, esa suma se hace así, es decir, se protege con paréntesis lo que es el binomio que tenemos en la segunda potencia. Destruimos el paréntesis, nos queda 2x menos x menos 2. Y se puede operar 2x y menos x. Esto nos da x, x positivo y menos 2. Estos son términos semejantes, la operación de ellos nos da x y este menos 2 queda allí porque no tiene con quien ser operado. Por lo tanto, el exponente de este 3 es x menos 2. Y en el otro lado, también dejamos la misma base. Haríamos la suma de exponentes, vamos a realizarla por acá. Protegemos el segundo término por ser negativo, le colocamos un paréntesis, luego destruimos ese paréntesis y nos queda 3 menos 2x. Estos no son términos semejantes, por lo tanto, no pueden operarse. Nos queda entonces 3 menos 2x. Ahora, hacemos uso de la siguiente propiedad. Si tenemos la igualdad de dos potencias y observamos que la base es la misma, entonces se cumple que los exponentes deben ser iguales. Para que la igualdad se cumpla, si las bases son iguales, entonces necesariamente los exponentes también deben ser iguales. Vamos a continuar por acá. Entonces, tenemos justamente la igualdad de dos potencias, observamos la misma base, por lo tanto, hacemos la igualdad de los exponentes. Tenemos x menos 2 igual a 3 menos 2x. Finalmente, hacemos la solución de esta ecuación, que es una ecuación de primer grado o una ecuación lineal con una incógnita. Entonces, pasamos al lado izquierdo los términos que tiene la x y dejamos en el lado derecho los números. Tenemos entonces x, pasa este menos 2x al lado izquierdo, llega como más 2x, igual a 3 que queda en el lado derecho y pasamos este menos 2 al otro lado positivo. Sumamos esos términos semejantes, x más 2x nos da 3x y al otro lado 3 más 2 nos da 5. Finalmente despejamos x, este 3 que está multiplicando con x pasa a dividir al otro lado y nos queda 5 tercios, que es una fracción irreducible, es decir, que no se puede simplificar. Esta será entonces la respuesta a esa ecuación, es el valor de la incógnita.
[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Tenemos en este caso una ecuaci\u00f3n llamada ecuaci\u00f3n exponencial porque la inc\u00f3gnita X se encuentra precisamente en los exponentes."}, {"start": 13.0, "end": 15.0, "text": " Vamos a darle soluci\u00f3n."}, {"start": 15.0, "end": 25.0, "text": " Comenzamos por expresar el 9, el 1 tercio, el 27 como potencias de 3."}, {"start": 25.0, "end": 29.0, "text": " Si todos estos n\u00fameros pueden escribirse como potencias del 3."}, {"start": 29.0, "end": 34.0, "text": " Por ejemplo, 9 es 3 al cuadrado."}, {"start": 34.0, "end": 40.0, "text": " Entonces, sustituimos 9 por 3 al cuadrado, conservamos el exponente X."}, {"start": 40.0, "end": 47.0, "text": " Un tercio puede escribirse como 3 elevado al exponente menos 1."}, {"start": 47.0, "end": 52.0, "text": " Y todo eso elevado al exponente X m\u00e1s 2."}, {"start": 52.0, "end": 55.0, "text": " All\u00ed aplicamos esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 55.0, "end": 65.0, "text": 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Destruimos el par\u00e9ntesis, nos queda 2x menos x menos 2."}, {"start": 227.0, "end": 231.0, "text": " Y se puede operar 2x y menos x."}, {"start": 231.0, "end": 235.0, "text": " Esto nos da x, x positivo y menos 2."}, {"start": 235.0, "end": 245.0, "text": " Estos son t\u00e9rminos semejantes, la operaci\u00f3n de ellos nos da x y este menos 2 queda all\u00ed porque no tiene con quien ser operado."}, {"start": 245.0, "end": 251.0, "text": " Por lo tanto, el exponente de este 3 es x menos 2."}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " Y en el otro lado, tambi\u00e9n dejamos la misma base."}, {"start": 255.0, "end": 260.0, "text": " Har\u00edamos la suma de exponentes, vamos a realizarla por ac\u00e1."}, {"start": 260.0, "end": 271.0, "text": " Protegemos el segundo t\u00e9rmino por ser negativo, le colocamos un par\u00e9ntesis, luego destruimos ese par\u00e9ntesis y nos queda 3 menos 2x."}, {"start": 271.0, "end": 276.0, "text": " Estos no son t\u00e9rminos semejantes, por lo tanto, no pueden operarse."}, {"start": 276.0, "end": 280.0, "text": " Nos queda entonces 3 menos 2x."}, {"start": 280.0, "end": 285.0, "text": " Ahora, hacemos uso de la siguiente propiedad."}, {"start": 285.0, "end": 301.0, "text": " Si tenemos la igualdad de dos potencias y observamos que la base es la misma, entonces se cumple que los exponentes deben ser iguales."}, {"start": 301.0, "end": 310.0, "text": " Para que la igualdad se cumpla, si las bases son iguales, entonces necesariamente los exponentes tambi\u00e9n deben ser iguales."}, {"start": 310.0, "end": 314.0, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 314.0, "end": 325.0, "text": " Entonces, tenemos justamente la igualdad de dos potencias, observamos la misma base, por lo tanto, hacemos la igualdad de los exponentes."}, {"start": 325.0, "end": 333.0, "text": " Tenemos x menos 2 igual a 3 menos 2x."}, {"start": 333.0, "end": 344.0, "text": " Finalmente, hacemos la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n, que es una ecuaci\u00f3n de primer grado o una ecuaci\u00f3n lineal con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 344.0, "end": 352.0, "text": " Entonces, pasamos al lado izquierdo los t\u00e9rminos que tiene la x y dejamos en el lado derecho los n\u00fameros."}, {"start": 352.0, "end": 359.0, "text": " Tenemos entonces x, pasa este menos 2x al lado izquierdo, llega como m\u00e1s 2x,"}, {"start": 359.0, "end": 368.0, "text": " igual a 3 que queda en el lado derecho y pasamos este menos 2 al otro lado positivo."}, {"start": 368.0, "end": 377.0, "text": " Sumamos esos t\u00e9rminos semejantes, x m\u00e1s 2x nos da 3x y al otro lado 3 m\u00e1s 2 nos da 5."}, {"start": 377.0, "end": 386.0, "text": " Finalmente despejamos x, este 3 que est\u00e1 multiplicando con x pasa a dividir al otro lado y nos queda 5 tercios,"}, {"start": 386.0, "end": 391.0, "text": " que es una fracci\u00f3n irreducible, es decir, que no se puede simplificar."}, {"start": 391.0, "end": 420.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a esa ecuaci\u00f3n, es el valor de la inc\u00f3gnita."}]