TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO - Definición y ejemplos
#julioprofe explica la primera y la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo, y complementa con ejemplos.

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 Vamos a ver la primera y segunda parte del teorema fundamental del cálculo conocido también como TFC por sus iniciales. Veremos también algunos ejemplos. La primera parte dice lo siguiente, si tenemos la derivada con respecto a x de una integral que va desde una constante a hasta la variable x, la misma que tenemos acá, y aquí una función f de t con su correspondiente diferencial de t, entonces esto será igual a f de x. Simplemente lo que se hace es cambiar la variable t por la variable x y se vuelve a escribir la misma función pero ahora con x. Veamos una situación un poco más compleja. Si tenemos la derivada con respecto a x de una integral que va desde una constante a hasta una expresión u de x, ya no tenemos la simple x sino una expresión un poco más compleja llamada u de x, y aquí la misma función f de t con su respectivo diferencial de t, entonces aquí lo que hacemos es evaluar la función en u de x, es decir, t se cambia por esta expresión u de x y multiplicamos por la derivada de u de x, algo así como la derivada interna, similar a la regla de la cadena. Esto es lo que nos dice teóricamente la primera parte del teorema fundamental del cálculo. Veamos entonces a continuación ejemplos de esta situación. Si nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde 5 hasta x de esta función que está en términos de t con su respectivo diferencial de t, entonces esto será igual a reescribir esta misma expresión pero en términos de x, esto es f de t y acá tenemos que escribir f de x, o sea que nos queda 3x al cuadrado más 1, simplemente la x ocupa ahora el lugar de la variable t y esta será la respuesta a esta derivada. Veamos el segundo ejemplo, nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde x hasta menos 3 de esta función, pero aquí tenemos la letra x en el límite inferior y lo que vimos en la propiedad, es decir, en el teorema fundamental del cálculo parte 1, es que la x tiene que estar arriba y la constante en la parte de abajo, entonces vamos a intercambiar estos dos límites de integración. Escribimos aquí menos 3 y acá en la parte superior la x, pero ese cambio de límites de integración hace que la integral cambie de signo, ella nos queda con signo menos a su izquierda y ese negativo lo podemos escribir por fuera de toda esta derivada, entonces esto nos va a quedar menos la función que tenemos aquí, es decir, la que llamamos f de t, pero ahora evaluada en términos de x, x pasa a ocupar el lugar de la letra t, tendremos entonces tangente entre paréntesis x al cubo y esto es la respuesta al ejercicio originalmente planteado, que venía con x en la parte de abajo, en el límite inferior y menos 3 en el límite superior. Veamos el tercer ejemplo donde nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde 1 hasta 3x al cuadrado de esta función, 1 hace el papel de la a y 3x al cuadrado hace el papel de u de x y esto que tenemos aquí es la función f de t, entonces vamos a aplicar la regla que vimos, vamos a escribir acá la función evaluada en u de x, es decir, esta expresión va a ocupar el lugar de la letra t, nos queda e elevado al seno de 3x al cuadrado, esto es lo que llamamos f de u de x y esto tenemos que multiplicarlo por la derivada de u de x, o sea por u' de x, la derivada de 3x al cuadrado es 6x, si se quiere podemos escribir 6x al comienzo y enseguida e elevado al seno de 3x al cuadrado, este es el resultado de esta derivada. Ahora veamos la segunda parte del teorema fundamental del calculo, dice lo siguiente, la integral desde a hasta b de una función f' de x con su respectivo diferencial de x, es igual a otra función f' de x que es la antiderivada de f' y esta función evaluada en estos dos limites de integración, y esto es igual a f' de b menos f' de a, es decir, se evalúa primero el limite superior en la antiderivada y a eso se le resta la evaluación del límite inferior en la misma antiderivada, aquí se tiene que cumplir que la derivada de f' tiene que ser igual a f', recordemos que ese es el principio de las integrales, encontrar una función, o sea una antiderivada, una función llamada primitiva de tal manera que al derivarla nos de la función que tenemos en el integrando. Un ejemplo de la segunda parte del teorema fundamental del calculo es este que observamos aquí, nos piden encontrar la integral que va desde pi sextos hasta pi tercios de la función cos x, la integral del cos x es sen x, recordemos que la derivada de la función sen x es cos x y esto lo vamos a evaluar en estos dos limites de integración, en pi sextos límite inferior y pi tercios el límite superior, entonces esto nos queda de la siguiente manera, sen pi tercios, allí evaluamos el límite superior en la antiderivada, menos el sen pi sextos, evaluando el límite inferior en la misma antiderivada y se resuelve esto, tendremos que el sen pi tercios, o sea el seno de 60 grados equivale a raíz de 3 medios y esto menos el seno de pi sextos, recordemos que pi sextos radianes corresponde a 30 grados, el seno de 30 grados es un medio y esto se puede escribir con denominador 2, fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador y arriba escribimos la resta de los numeradores, esto es el resultado de esta integral definida utilizando la segunda parte del teorema fundamental del calculo. Geométricamente este resultado representa el área de esta figura que es el área que se tiene bajo la curva y igual a coseno de x, la función que tenemos en el integrando comprendida entre pi sextos y pi tercios, los limites de integración, entonces el valor de esta figura, esa área que se forma allí es este resultado que en forma decimal es aproximadamente 0.366 y si estamos calculando el área le agregamos unidades cuadradas. Bien con esto terminamos la explicación del teorema fundamental del calculo.
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