TEOREMA DE THALES - Parte 1 (DEMOSTRACIÓN)
#julioprofe hace la demostración del Teorema de Thales. En la segunda parte, hace un ejemplo donde se utiliza dicho teorema.

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 En esta figura podemos apreciar dos líneas rectas paralelas que vamos a llamar L1 y L2. Se simbolizan así. L1 es paralela a L2. Y tenemos una recta que atraviesa o corta las dos rectas paralelas. Esta recta la vamos a llamar T. T quiere decir una transversal o secante. Así se llama porque corta las dos rectas paralelas. En esa figura se van a formar unos ángulos que son estos que vamos a señalar y que se llaman ángulos correspondientes. Vamos a llamarlos ángulos 1 y 2. Y esos ángulos tienen una característica bien especial y es que son congruentes. El ángulo 1 es congruente con el ángulo 2. Es decir, tienen la misma medida por ser ángulos correspondientes comprendidos entre paralelas. Se llaman ángulos correspondientes cuando uno está en la zona exterior de las paralelas, el otro está en la zona interior. Están del mismo lado de la transversal o secante y son ángulos que no hacen contacto entre sí. Entonces ángulo 1 congruente con ángulo 2 por ser correspondientes entre paralelas. Consideremos ahora esta figura donde observamos un triángulo grande ACE que tiene un segmento BD que se ha trazado paralelo al lado CE. Para indicar que estos dos segmentos son paralelos podemos colocar estas marquitas con unas flechitas que nos indican que los dos segmentos llevan la misma dirección. Es decir, que son paralelos. Si consideramos este segmento ACE como si fuera un ACEcante o transversal que corta estas dos paralelas, entonces podemos decir que estos dos ángulos son ángulos correspondientes entre paralelas y por lo tanto son congruentes. Entonces podemos colocar esas marquitas. Lo mismo sucede en este lado. Si consideramos ACE como una ACEcante o transversal que corta las dos paralelas, entonces tenemos que este ángulo es congruente con este por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Este ángulo que se forma en el vértice A, este ángulo de aquí, será un ángulo común para el triángulo pequeño, el triángulo ABD y el triángulo grande. Es un ángulo compartido por los dos triángulos. Le pertenece a los dos. Como paso siguiente separamos los dos triángulos. Aquí observamos el pequeño, el triángulo ABD y aquí tenemos el grande ACE. Y observamos los ángulos marcados con los mismos colores y señales que habíamos colocado en esta figura. Entonces vemos dos triángulos que tienen exactamente los mismos ángulos. Por lo tanto estos dos triángulos son triángulos semejantes y se escribe de la siguiente manera. El triángulo ABD es semejante con el triángulo ACE. Y la justificación es el criterio opostulado llamado ángulo, ángulo, ángulo. Si dos triángulos tienen exactamente los mismos ángulos entonces son semejantes. Como los triángulos son semejantes entonces podemos armar una proporción comparando lados correspondientes. Por ejemplo, decimos que el lado AB es al lado AC como el lado AD es al lado AE. Allí tenemos entonces una proporción, recordemos que eso es la igualdad de dos razones. Y una razón es la comparación de dos cantidades. Ahí lo que estamos haciendo es comparar lados correspondientes y vemos que guardan la misma relación. En una proporción los términos que tenemos en la parte de arriba se llaman antecedentes y los que tenemos en la parte de abajo se llaman consecuentes. La propiedad de las proporciones dice que podemos invertir las dos razones, es decir, trasladar los consecuentes arriba y los antecedentes abajo. Entonces nos queda la proporción escrita de esta manera. Simplemente invertimos ambas razones y la igualdad se sigue conservando. Ahora vamos a hacer lo siguiente, vamos a expresar AC, todo este segmento, como la suma de AB más BC. Vamos a continuarlo por acá. Entonces AC será la suma de AB con BC y todo esto queda sobre AB. Y al otro lado vamos a hacer algo similar, el segmento AE que es todo este, vamos a expresarlo como la suma de AD más DE. Entonces AD más DE y todo esto sobre el segmento AD que queda igual. Ahora vamos a hacer lo siguiente, en cada miembro de la igualdad vamos a repartir el denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Nos queda entonces AB sobre AB más BC sobre AB igual a AD sobre AD más DE sobre AD. Y entonces tenemos aquí el caso de fracciones donde el numerador es igual al denominador. Luego estas fracciones equivalen a la unidad, equivalen a 1. Y esto nos queda como 1 más BC sobre AB igual a 1 más DE sobre AD. Por estar el uno sumando a ambos lados de la igualdad podemos eliminarlo. Y nos queda que BC es a AB como DE es igual a AD. Finalmente vamos a invertir nuevamente ambas razones. Nos queda entonces que AB es a BC como AD es a DE. Entonces de esta manera llegamos a una propiedad que es bastante útil para lo que queremos demostrar en este video que es el teorima de Tales. En esa figura donde tenemos un triángulo con dos lados paralelos entonces se cumple esto. Que este segmento es a este como este es a este. Es decir, los segmentos en que quedan divididos los lados que son cortados por la paralela a la base guardan una proporción. Ahora consideremos el siguiente caso. Tenemos tres rectas paralelas entre sí que vamos a llamar las rectas L1, L2 y L3. Y dos rectas que son secantes o transversales. Y vamos a llamarlas T1 y T2. Se determinan los siguientes puntos A, B, C. Por acá tenemos D, E, I, F. Y vamos a trazar el segmento AF. Allí lo tenemos y vamos a llamar P a este punto donde ese segmento AF corta la recta L2. Ahora podemos observar una situación parecida a la que acabamos de demostrar. Tenemos el triángulo ACF con un segmento BP paralelo ACF. Por lo tanto podemos hacer uso de la proporción que demostramos. Entonces decimos AB es ABC como AP es al segmento BF. Eso se está cumpliendo en esta figura que tenemos aquí con BP paralelo ACF. Y una situación similar se presenta aquí en este triángulo ADF. Donde el segmento PE es paralelo al segmento AD. Por lo tanto también podemos hacer uso de la relación que ya demostramos. Podemos decir entonces que el segmento FP es al segmento PA como el segmento FE es al segmento ET. Y tenemos otra proporción. Vamos entonces a cambiar el orden de las letras en esta última proporción. Vamos a llamar en lugar de FP, lo llamamos el segmento PF. Abajo lo cambiamos por AP, acá EF y por acá DE. Y vamos a invertir los elementos de esta proporción. Vamos a pasar los consecuentes arriba y los antecedentes abajo. Nos queda entonces que AP es APF como DE es AEF. Y podemos observar una relación entre esta proporción y esta que tenemos acá. La relación es que tenemos una razón en común. Se trata de esta de aquí. Entonces esta razón se convierte en una especie de puente entre esta igualdad y esta de acá. Si esto es igual a esto y esto que tenemos acá es igual a esto, entonces podemos afirmar que esto es igual a esto. Es lo que se conoce en geometría como la propiedad transitiva. Entonces nos queda que AB es ACB como DE es AEF. Y esa es la relación que se obtiene del teorema de Thales. Vamos entonces a enunciar ese teorema y vamos a mirarlo en la figura. El teorema de Thales de Mileto, un gran matemático griego que vivió por allá en el siglo IV a.C., dice así. Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, entonces los segmentos determinados sobre las secantes son proporcionales. Entonces aquí tenemos esa situación. Tenemos tres rectas paralelas cortadas por dos secantes o transversales. Entonces los segmentos que se forman sobre dichas secantes guardan una proporción. Entonces lo que te mostramos hace un momento, el segmento AB es al segmento BC como el segmento DE es al segmento EF. Esto es lo que nos dice el teorema de Thales.
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