FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c.

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 Para factorizar este trinomio revisamos los siguientes casos. Primero examinamos si la expresión tiene factor común, es decir alguna letra o algún número que podamos extraer de cada uno de esos tres términos. Vemos que no es posible, entonces descartamos ese caso. Ahora revisamos si es un trinomio cuadrado perfecto. Recordemos que es necesario que la expresión esté organizada en forma ascendente o descendente. Aquí está ordenada en forma descendente o decreciente. También es necesario que el primer término y el tercero sean positivos. Aquí vemos que no cumple con esa condición, por lo tanto descartamos este caso. Ahora, para que sea trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, se necesita que el coeficiente principal sea 1, y aquí tenemos 3. Entonces descartamos este caso y nos quedamos con este, donde a representa justamente el 3. Vamos entonces a factorizar ese trinomio utilizando este caso. Comenzamos multiplicando y dividiendo esta expresión por su coeficiente principal, o sea por 3. Nos queda 3 por esa expresión y todo eso nos queda sobre 3. Entonces, primer paso es multiplicar y dividir el trinomio por su coeficiente principal que en este caso es 3. Ahora, en el numerador vamos a distribuir este número 3. Vamos a multiplicar por esa cantidad cada uno de esos tres términos dejando en el segundo término la operación indicada o expresada. Veamos, 3 por 3x al cuadrado nos da 9x al cuadrado. Luego tenemos más 3 por 7x que la escribimos de la siguiente manera. Dejamos el 7 y el 3 se agrupa con la x en un paréntesis. Esto es lo que se llama dejar la operación indicada o expresada. Y después tenemos menos 3 por 6 que es 18. Y todo eso continúa sobre 3. Ahora vamos a expresar el primer término del numerador como el cuadrado de lo que nos quedó encerrado en paréntesis en el segundo término. Es decir, que se expresa como 3x y todo esto al cuadrado. Si repartimos el exponente 2 vemos que se obtiene otra vez el primer término. Lo demás continúa igual. Y todo eso está sobre 3. Ahora vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable. Esta expresión que está repetida, o sea 3x, vamos a cambiarla por otra letra. Por ejemplo, vamos a utilizar m y con eso reescribimos la expresión. Nos queda entonces m al cuadrado, luego tenemos más 7 por m, luego menos 18 y todo esto continúa sobre 3. Ahora factorizamos el numerador utilizando el caso que mencionábamos al comienzo. Ese que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, donde el coeficiente principal es 1. Entonces abrimos dos paréntesis, luego extraemos la raíz cuadrada del primer término, que sería m, la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Ahora definimos los signos. Aquí tenemos signo positivo, más por más nos da más, que es el signo del primer paréntesis, y luego más por menos nos da menos, que es el signo del segundo paréntesis. Enseguida buscamos dos números, uno positivo y otro negativo, que multiplicados entre sí nos de menos 18 y que al sumarlos nos de como resultado más 7. Después de hacer la búsqueda encontramos que se trata de más 9 y menos 2. Más 9 por menos 2 es menos 18 y al sumar 9 con menos 2 nos da más 7 y todo esto continúa sobre 3. Después de haber factorizado el numerador deshacemos el cambio de variable, es decir donde tenemos m volvemos a escribir 3x, nos queda entonces 3x más 9 y en el otro paréntesis tendremos 3x menos 2 y todo esto continúa sobre 3. Revisamos ahora cada una de estas expresiones para ver en cuál de ellas hay factor común. Analizamos cada una por separado y vemos que en la primera se puede extraer el número 3, que es el máximo común divisor de 3 y 9. Al salir el 3 nos queda x más 3 dentro del paréntesis. Esta expresión no tiene factor común, se queda tal como está y todo esto continúa sobre 3. Para terminar simplificamos esta expresión cancelando este número 3 y nos queda x más 3 por 3x menos 2 y así hemos factorizado ese trinomio. Para asegurarnos de que esto es correcto hacemos la comprobación, vamos a efectuar el producto de las dos expresiones obtenidas. Aplicamos entonces aquí la propiedad distributiva primero con x, nos queda x por 3x que es 3x al cuadrado, después x por menos 2 que es menos 2x, luego vamos a distribuir ese término más 3, nos queda entonces más 3 por 3x que es más 9x y luego más 3 por menos 2 que es menos 6. Luego hacemos la reducción de términos semejantes en esta expresión, aquí encontramos estos dos que contienen la x, entonces nos queda 3x al cuadrado, la operación de estos dos términos nos da más 7x y todo esto menos 6. Revisamos y se trata de la expresión original, entonces quiere decir que esta factorización es correcta.
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