DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo obtener dy/dx derivando implícitamente una expresión.

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 En esta ocasión vamos a determinar de y de x de esa expresión. Vemos que las variables x y y se encuentran combinadas, entonces para encontrar de y de x debemos derivar esta expresión implícitamente a ambos lados con respecto a la variable x. Eso quiere decir que cada vez que derivemos algo que tenga la letra y, debemos agregar o adicionar y', o sea su derivada interna. Recordemos que eso es lo que indica la derivación implícita. Para empezar se recomienda desbaratar esta expresión. Tenemos aquí el logaritmo natural de un producto. Recordemos entonces la propiedad de los logaritmos cuando se tiene justamente un producto. Para el caso del logaritmo en base a del producto m por n, eso es igual al logaritmo en base a de m, más el logaritmo en la base a de n. Entonces el logaritmo de un producto se convierte en una suma de logaritmos. Por lo tanto, esto nos queda de la siguiente manera. El lado izquierdo de la igualdad no presenta ningún cambio y en el lado derecho tendremos logaritmo natural de x más logaritmo natural de y aplicando esta propiedad. Ahora sí podemos proceder con la derivación implícita. Entonces vamos a escribir aquí ese mensaje. Derivamos implícitamente a ambos lados con respecto a la variable x, siempre con respecto a la letra que tengamos acá en la parte de abajo de esta expresión. Entonces veamos cómo nos queda. Derivada de 5x al cubo es 15x al cuadrado más derivada de 2y a la 5 será 10y a la 4 por y'. Recordemos que esta es la precaución más importante. Si derivamos con respecto a x, lo hacemos normalmente. Aquí el 3 baja a multiplicar con el 5, por eso nos queda 15. Y acá restamos 1, por eso nos da 2. Y lo dejamos hasta allí. Pero para el caso de un término que contenga la letra y, entonces derivamos normalmente 5x2 nos da 10. 5 menos 1 aquí es 4 y agregamos y', o sea la derivada interna que es la derivada de la variable dependiente. En este caso la letra y, por eso se anexa y'. Pasamos al otro lado de la igualdad. Vamos a derivar cada término. Derivada del logaritmo natural de x será 1 sobre x. Y la derivada del logaritmo natural de y será 1 sobre y por y'. Y de nuevo, como se ha derivado algo que contiene la letra y, debemos adicionar o agregar su derivada interna que es y'. Ahora lo que hacemos es dejar a un lado de la igualdad los términos que contengan y' y al otro lado los que no contengan dicho componente. Vamos a dejar al lado izquierdo aquellos que contienen y'. Entonces tenemos 10y4 por y', se deja este término y pasamos este al otro lado. Llega entonces negativo o llega a restar. Menos 1 sobre y por y'. Y esto queda igual a 1 sobre x, este componente se deja en el lado derecho y pasamos este que está positivo, entonces llega al otro lado negativo, menos 15x al cuadrado. Ahora, en este lado vamos a extraer factor común y'. Nos queda y', factor común de 10y4 menos 1 sobre y'. Y cerramos paréntesis. Y en este lado dejamos exactamente la misma expresión. Ahora vamos a pasar este componente que está multiplicando al otro lado a dividir. Y con eso conseguimos despejar y', que es nuestro objetivo principal. Entonces vamos a trazar una línea, encima de ella escribimos esta expresión 1 sobre x menos 15x al cuadrado. Y acá en el denominador escribimos toda esa expresión. 10y4 menos 1 sobre y'. Allí ya tenemos casi listo el propósito del ejercicio, como decíamos encontrar y'. Lo que debemos hacer ahora es resolver esta parte de acá, es decir aplicar el álgebra. Tenemos entonces que y' se puede cambiar por dy de x. Durante el proceso es mucho más cómodo trabajar con y', pero al final se recomienda cambiarlo a esta expresión, que especifica que es la derivada de la variable y con respecto a la variable x. Vamos entonces a resolver lo que tenemos a este lado. Es lo que llamamos en álgebra una fracción algebrálica. Entonces para esta expresión vamos a completar con denominador 1. Y como son fracciones con distinto denominador, entonces vamos a aplicar el truco rápido de la carita feliz. Vamos a ver en qué consiste. Abajo tenemos x por 1, que es x. Arriba 1 por 1, que es 1, menos x por 15x al cuadrado, que nos da 15x al cubo. Entonces es la famosa carita feliz, por eso se le llama de esa manera. Vamos a la parte de abajo, donde vamos a realizar exactamente lo mismo. Tenemos fracciones con distinto denominador, entonces trazamos la línea. Abajo 1 por y, que nos da y. Arriba tenemos 10y a la 4 por y, que nos da 10y a la 5 menos 1 por 1, que es 1. También hemos aplicado la famosa carita feliz. En seguida aplicamos lo que se conoce como la ley de la oreja. Vamos a multiplicar estos dos componentes en la parte de arriba y estos dos en la parte de abajo. Entonces de y de x nos va a quedar de la siguiente manera. Trazamos la línea principal, arriba la multiplicación de los extremos. O sea, y que multiplica con todo eso. Y abrimos paréntesis 1 menos 15x al cubo. Se protege con paréntesis ese binomio y en la parte de abajo la multiplicación de los medios. Estos son los extremos y estos son los medios. Abajo tenemos x que multiplica a 10y a la 5 menos 1. Y allí podemos dejar la respuesta. Hemos conseguido el propósito principal, que es encontrar de y de x para la expresión que nos dieron. Y como se observó, se utilizó la derivación implícita.
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