INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 22
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Indefinida por el Método de Sustitución.

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 Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a utilizar esta estrategia porque tenemos en el integrando una expresión que inicialmente no se puede expresar como términos independientes que podamos integrar de manera individual. Vamos entonces a cambiar el denominador x más 5 por otra letra. Vamos a utilizar por ejemplo z. Entonces decimos z es igual a x más 5 y esto tenemos que derivarlo con respecto a x. Decimos derivada de z con respecto a x será igual a lo siguiente. Tenemos una suma entonces se deriva cada término. Derivada de x es 1 y la derivada de 5 es 0. Y de aquí vamos a despejar de x. De x se está dividiendo pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda entonces que de z es igual a de x o lo que es lo mismo de x igual a de z. Entonces utilizando estos dos componentes vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva letra. Es decir en términos de z. En el numerador tenemos x al cuadrado. Vemos que aquí no hay equivalencia para esa expresión entonces se deja tal como está. Acá tenemos x más 5 que se cambia por z y acá tenemos el diferencial de x que se cambia por dz. Como podemos observar en esta expresión la letra que debe controlar es z porque es la que aparece en el diferencial. Sin embargo aquí todavía tenemos x. O sea que esa variable actúa en este caso como una letra intrusa. Para solucionar ese problema vamos a recurrir a esta expresión de donde vamos a despejar x. X se encuentra en el lado derecho entonces 5 pasa al lado izquierdo a restar. Nos queda z menos 5 en ese lado y esto es lo mismo que decir que x es igual a z menos 5. Y esto vamos a utilizarlo para reemplazarlo acá donde llevamos el ejercicio. Tenemos entonces lo siguiente. Integral de x que se cambia por z menos 5. Todo esto está elevado al cuadrado. Acá en el denominador sigue z y escribimos el diferencial de z. Como se observa ahora sí tenemos toda la integral controlada por la nueva variable que es z. Ahora nos ocupamos del desarrollo de esta integral. Para ello vamos a transformar la expresión que tenemos en el integranto. En la parte superior tenemos un binomio elevado al cuadrado. Recordemos el producto notable para ese caso. Si tenemos a menos b al cuadrado esto será igual al primer término al cuadrado menos dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces vamos a continuar el desarrollo, el ejercicio por acá. Y vamos entonces a aplicar ese producto notable para lo que tenemos en el numerador. Comenzamos entonces con el primer término al cuadrado. Sería z al cuadrado. Luego tenemos menos dos veces el primer término por el segundo. O sea 2 por z por 5 que nos da 10z. Y eso más el segundo término elevado al cuadrado. O sea 5 al cuadrado que es 25. En el denominador escribimos z y a todo eso le agregamos el diferencial de z. Ahora podemos repartir este denominador z para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces esto nos va a quedar de la siguiente forma. Integral de z al cuadrado sobre z menos 10z sobre z más 25 sobre z. Protegemos toda esta expresión con paréntesis y agregamos el diferencial de z. Enseguida vamos a simplificar y organizar cada uno de esos términos. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá. Tendremos entonces la integral de lo siguiente. Z al cuadrado sobre z nos da z. Luego tenemos menos. Este término donde la z puede cancelarse o simplificarse nos queda el número 10 con su signo menos. Y luego tenemos el término más 25 sobre z que podemos reescribir como 25z a la menos 1. Z sube. Aquí tiene exponente 1. Entonces queda acá en la parte superior con exponente menos 1. Protegemos todo esto y escribimos el diferencial de z. Ahora sí tenemos una expresión donde hay términos prestando y sumando que pueden integrarse de manera individual, en forma directa. Comencemos entonces con la integral de z. Esto es z a la 1. Entonces nos queda z a la 2 sobre 2. Luego tenemos menos la integral de 10 que será 10 por z. Recordemos que z es la letra que controla en este ejercicio. Y a esto le sumamos 25 que se queda quieto por la integral de z a la menos 1 que será el logaritmo natural del valor absoluto de z. Recordemos que la integral de z a la menos 1 con su diferencial de z es lo mismo que tener la integral de 1 sobre z también con su diferencial. Y esto nos da como resultado logaritmo natural de valor absoluto de z más la constante de integración porque la derivada de esto, el logaritmo natural de z será 1 sobre z. Recordemos que el valor absoluto es una medida de seguridad para garantizar que el argumento sea positivo en ese logaritmo. Y a todo esto le agregamos la constante de integración. Revisamos la expresión obtenida y vemos que ya no es posible hacer nada en términos de organización o simplificación. Entonces podemos cambiar ya lo que es z por la expresión a la que equivale, es decir, x más 5. Y con eso vamos a construir la respuesta del ejercicio inicial. Comenzamos aquí donde z se cambia por x más 5. Esto nos queda al cuadrado y todo esto sobre 2. Luego tenemos menos 10 por z que es x más 5. Después tenemos más 25 por logaritmo natural de valor absoluto de z que se cambia por x más 5. A todo esto le agregamos la constante de integración y de esa manera hemos terminado este ejercicio.
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