INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida.

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 Vamos a resolver detalladamente este ejercicio que corresponde a una integral definida. Lo primero que tenemos que hacer es encontrar la antiderivada de esta función que se presenta como un trinomio. Entonces vamos a integrar cada uno de esos términos. Comenzamos con el primero donde el número 5 lo dejamos quieto y procedemos a integrar x a la 4. La integral de x a la 4 será x a la 5 sobre 5. Recordemos que lo que hacemos allí es sumarle 1 a este exponente. Por eso obtenemos 5 y ese mismo número se repite en el denominador. Pasamos al siguiente término donde dejamos quieto el número 8 y vamos a integrar x al cubo. Allí también le vamos a sumar 1 a este número. 3 más 1 nos da 4 y escribimos también el 4 en el denominador. Finalmente integramos este término 6. Su integral será 6x y esto porque la derivada de 6x nos da como resultado 6. Trazamos ahora esta línea donde vamos a escribir los límites de integración. Menos 1 es el límite inferior y 4 es el límite superior. Antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo que nos dice que tenemos que evaluar estos límites de integración en esta expresión, vamos a ver si aquí es posible realizar alguna simplificación. Vemos que en el primer término puede simplificarse el número 5. Si cancelamos el 5, tendremos el término x a la 5. En el segundo término podemos simplificar 8 con 4. Decimos cuarta de 4, 1 y cuarta de 8 que es 12. Entonces tendremos el término 2x a la 4. El tercer término se deja tal como está porque no se puede simplificar y trazamos de nuevo esta línea con los dos límites de integración. Ahora sí, en esta expresión que ya no se puede simplificar más, vamos a evaluar estos valores utilizando el teorema fundamental del cálculo. Vamos a recordarlo. Si tenemos la integral desde a hasta b de una función f minúscula de x con su respectivo diferencial de x, eso es igual a la antiderivada que vamos a llamar f mayúscula de x evaluada entre los valores a y b, o sea, los límites de integración. Y lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo es que primero debemos evaluar el límite superior en la antiderivada, es decir, f mayúscula de b. Y a eso tenemos que restarle la evaluación del límite inferior también en la antiderivada, es decir, f mayúscula de a. En este caso tenemos que f minúscula de x es esta expresión y f mayúscula de x es la antiderivada que ya obtuvimos y que también simplificamos. Entonces vamos a aplicar esto que nos dice el teorema fundamental del cálculo. Vamos a evaluar primero el límite superior, o sea, b, que en este caso es 4. Vamos a reemplazarlo acá sustituyéndolo donde están las x. Y para eso se recomienda utilizar paréntesis. Abrimos entonces esta expresión que como se observa es la antiderivada evaluada en el límite superior que es 4. Protegemos esto utilizando corchetes. Y ahora vamos a restarle la misma expresión evaluada en el límite inferior que es menos 1. Abrimos corchete y vamos a reemplazar menos 1 donde están las x. Utilizamos también paréntesis. Menos 1 a la 5, menos 2 por menos 1 a la 4 y esto más 6 por menos 1 y allí cerramos el corchete. Ahora vamos a resolver con mucho cuidado estas operaciones que corresponden a la aritmética. Comenzamos por acá donde tenemos 4 elevado a la 5 y eso nos da como resultado 1024. Por acá tenemos 4 elevado a la 4 que nos da 256 y 256 multiplicado por menos 2 nos da menos 512. Por acá tenemos más 6 por 4 que es más 24. Abrimos entonces el corchete y pasamos al siguiente, menos 1 a la 5 nos da menos 1. Por acá tenemos menos 1 a la 4 que nos daría 1 positivo y 1 positivo multiplicado por menos 2 nos da menos 2 y acá tenemos más 6 por menos 1 que es menos 6 y cerramos el corchete. Continuamos ahora resolviendo cada una de las operaciones que tenemos dentro de los corchetes. 1024 menos 512 más 24 nos da como resultado 536 y pasando al otro tenemos menos 1 menos 2 menos 6 que nos da como resultado menos 9. Ahora rompemos esos corchetes, este número sale tal como está porque acá tenemos signo más invisible y aquí multiplicamos los signos menos por menos nos da más 9 y efectuando esa suma nos da como resultado 545 que será la respuesta a este ejercicio sobre integral definida.
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