89. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 10)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 89: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 10).

Un cañón dispara proyectiles con una velocidad inicial de 600 m/s. ¿Con qué ángulos se pueden realizar disparos para impactar un objetivo localizado a 18 km?

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este caso, tenemos que un cañón es capaz de disparar proyectiles con una velocidad inicial de 600 metros por segundo. Y nos dice que queremos alcanzar un objetivo localizado a 18 kilómetros de distancia, es decir, un X máximo de 18.000 metros. Vemos que el eje X y el eje Y están en metros porque debemos manejar unidades del sistema internacional. En este caso, posiciones en metros. La pregunta del problema es encontrar los ángulos, es decir, los valores para theta, con los cuales podemos alcanzar este objetivo, es decir, que el proyectil que se ha disparado por ese cañón haga impacto aquí en este punto localizado a 18 kilómetros de distancia del cañón. De acuerdo con la información que tenemos, se puede utilizar la siguiente fórmula. X máximo, o alcance máximo horizontal, es igual a la velocidad inicial al cuadrado por el seno de dos veces theta, es decir, el doble del ángulo de disparo y todo eso dividido entre la gravedad. Esta fórmula la habíamos demostrado en un video anterior. Allí podemos reemplazar los valores que conocemos. X máximo que es 18.000, igual a la velocidad inicial que es 600 al cuadrado por el seno de dos theta. Ahí tenemos la incógnita, que es el ángulo de lanzamiento y todo esto dividido entre la gravedad que tomamos como 10 metros por segundo cuadrado. Ya tenemos entonces todos los valores en unidades del sistema internacional. Esto es igual a 18.000, igual a 600 al cuadrado, eso nos da 6 por 6, 36, agregamos cuatro ceros, es decir, 360.000 por el seno de dos theta y todo esto dividido entre 10. Allí podemos simplificar cancelando un cero. En el numerador y en el denominador, que es como dividir entre 10, nos queda entonces 18.000, igual a 36.000 por el seno de dos theta. Despejamos 0 de dos theta, pasando 36.000 a dividir al lado izquierdo, nos queda entonces 18.000 dividido entre 36.000. Allí podemos cancelar los tres ceros del denominador con los tres ceros del numerador, que es como si dividiéramos entre 1000 y nos queda 18.36. Una fracción que si simplificamos al máximo nos da un medio. Echamos entonces un medio igual al seno de dos theta. Entonces vamos a encontrar los ángulos para los cuales la función seno equivale a un medio. Eso lo podemos encontrar en el círculo unitario. Recordemos que es la circunferencia que tiene centro en el origen, en 0,0 y tiene radio 1. En el círculo unitario los valores de seno se localizan en el eje y. Entonces lo que hacemos es localizar un medio, justamente la mitad de este segmento comprendido entre 0 y 1. Aquí tenemos un medio. Entonces lo que hacemos es movernos horizontalmente hasta cortar el círculo. Entonces tenemos dos puntos de corte, que son estos. Luego debemos determinar a que ángulos corresponden. Si hacemos en la calculadora lo que es el despeje de dos theta, que sería 0 a la menos 1 de un medio, o lo que se conoce también como arcsen de un medio, la calculadora nos da como resultado 30 grados, que corresponde a este ángulo de aquí. Es decir, aquí tenemos 30 grados, que es el primer ángulo para el cual el seno toma el valor de un medio. Vamos a marcarlo por acá. Pero observamos que hay otro ángulo también con seno igual a un medio. Entonces hacemos lo siguiente, como este ángulo es 30 grados y aquí observamos simetría, entonces este ángulo también vale 30. Por lo tanto la abertura que tenemos aquí será igual a 180 grados menos 30 grados, que son 150 grados, que corresponde a este ángulo de aquí. Entonces para 30 grados y 150 grados el seno toma el valor de un medio. Luego la solución a esta pequeña ecuación trigonométrica son los valores 30 grados y 150 grados, son los valores para los cuales el seno vale un medio. Aquí vale la pena señalar que no es suficiente con el dato que nos arroja la calculadora. Vemos que si hacemos esto en calculadora el único resultado que nos aparece en pantalla es 30 grados. Podemos revisar bien sea en el círculo unitario o de pronto en la gráfica de la función seno que otro ángulo cumple con la condición de que el seno valga un medio. Nos damos cuenta que hay otro valor que también sirve y que es 150 grados. Para terminar vamos a despejar el ángulo theta. Debemos deshacernos de este 2. Entonces lo podríamos conseguir dividiendo toda la igualdad entre 2 o multiplicando ambos lados por un medio. Eso nos da theta igual a la mitad de 30 que es 15 grados y la mitad de 150 que es 75 grados. Y de esta manera hemos terminado nuestro problema. Que significa esto que ese cañón capaz de disparar proyectiles con la velocidad de salida de 600 metros por segundo puede tomar dos opciones. Una es disparar a 15 grados, es decir tomar un ángulo de elevación de 15 grados o un ángulo de 75 grados para lograr impactar un objetivo que se encuentra localizado a 18 grados de distancia.
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