Problema 4 con SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2×2
#julioprofe explica cómo resolver un problema con dos incógnitas y dos ecuaciones:

Por tres adultos y cinco niños se pagan 190 € para entrar a un parque de diversiones. Si son cuatro adultos y siete niños, el valor a cancelar es 260 €. ¿Cuál es el valor de cada entrada para adulto y para niño?

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 Por 3 adultos y 5 niños se pagan 190 euros para entrar a un parque de diversiones. Si son 4 adultos y 7 niños, el valor a cancelar es 260 euros. Se pregunta ¿Cuál es el valor de cada entrada para adulto y para niño? Bien, tenemos en esta ocasión un problema donde tenemos que definir dos incógnitas. Y vamos a remitirnos a la pregunta. Nos piden encontrar el valor de cada entrada para adulto y para niño. Entonces podemos utilizar las letras iniciales, decir que a es el precio de la entrada para adulto. Este valor expresado en euros que es la unidad monetaria que tenemos en el problema. Y vamos a designar con la letra N el precio de la entrada para niño, también en euros. Y entonces, habiendo definido esas dos incógnitas, vamos a construir dos ecuaciones que corresponden a los enunciados que presenta el problema. Vamos entonces con la primera. Dice el primer enunciado. Por 3 adultos, entonces eso se representa como 3A lo que se paga por las entradas de 3 adultos. Y 5 niños, entonces más 5N, se pagan 190 euros. Esto lo igualamos a 190. Entonces allí tenemos la primera información traducida a una ecuación. Vamos ahora con la segunda. Dice, si son 4 adultos, entonces 4A y 7 niños, entonces más 7N, el valor a cancelar es 260 euros. Entonces esta expresión se iguala a 260. Tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales de 2x2. Vamos entonces a resolverlo. Podríamos utilizar varios métodos para resolver este sistema de ecuaciones. Tenemos el método de sustitución, el método de igualación, otro método llamado eliminación, o que también se conoce con el nombre de suma y resta. O incluso podríamos utilizar el método de los determinantes, lo que se conoce como la regla de Cramer. Vamos a utilizar en esta ocasión lo que es el método de igualación. Y para ello tenemos que despejar la misma letra en ambas ecuaciones. Vamos entonces a despejar, por ejemplo, la letra N de la ecuación 1 y de la ecuación 2. Tenemos en la ecuación 1 la expresión 3a más 5n igual a 190. Entonces vamos a despejar poco a poco la incógnita N. Primero debemos aislar el término 5n. Entonces 3a que está positivo y está sumando a este lado pasa negativo al otro lado. Queda 190 menos 3a. Y enseguida despejamos N. 5 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda 190 menos 3a y todo esto sobre 5. Tenemos allí una nueva ecuación que vamos a etiquetar con el número 3. Entonces la ecuación 3 se deriva de la primera ecuación. Vamos ahora con la segunda. Vamos a escribirla por acá. Tenemos 4a más 7n igual a 260. Y vamos a despejar poco a poco la incógnita N. Primero aislamos este término, el término 7n. 4a que está positivo y está sumando a este lado pasa al otro lado a restar. Nos queda 260 menos 4a. Y finalmente despejamos N. Pasando 7 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda 260 menos 4a. Todo esto sobre 7. Y de esta manera tenemos una nueva ecuación que vamos a etiquetar con el número 4. Enseguida tenemos que igualar las expresiones 3 y 4. Allí es donde se produce justamente la igualación. Entonces tenemos 190 menos 3a sobre 5 igual a esta expresión. 260 menos 4a y todo esto sobre 7. Ahora nuestro trabajo es resolver esta ecuación. Para ello vamos a pasar los números que están dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces 7 que está dividiendo en el lado derecho pasa al lado izquierdo a multiplicar a 190 menos 3a. Y esto queda igual a 5 que llega a multiplicar a la expresión 260 menos 4a. Enseguida aplicamos la propiedad distributiva. Entonces aquí vamos a distribuir el número 7 y acá distribuimos el número 5. Veamos entonces cómo nos queda. 7 por 190 nos da 7 por 00, 7 por 963 llevamos 6, 7 por 17 y 6 que llevamos es 13. 1330 menos 7 por 3a que es 21a. Vamos ahora a este lado. 5 por 0 nos da 0, 5 por 630 escribimos el 0 y llevamos 3. 5 por 2 es 10 y 3 que llevamos es 13. Nos da 1300 menos 5 por 4a que es 20a. Ahora vamos a dejar a un lado los términos que contienen la incógnita y al otro lado los números. Entonces se queda en el lado izquierdo el término menos 21a y pasamos este término que está restando entonces llega a sumar al otro lado. Nos queda más 20a. Esto es igual a 1300. Este número permanece intacto y pasamos este número que está positivo entonces llega al otro lado negativo. Llega como menos 1330. Efectuamos ahora la operación de estos dos términos semejantes. Menos 21a más 20a nos da como resultado menos a. Y también resolvemos al otro lado. Esta operación nos da como resultado menos 30. Finalmente para encontrar el valor de la incógnita a entonces podemos multiplicar aquí la igualdad por menos 1 a ambos lados. Esto con el objetivo de deshacernos de esos signos negativos. Entonces al lado izquierdo nos queda a y en el lado derecho nos queda 30. Y de esta manera encontramos el valor de la primera incógnita. Esto significa que el valor de una entrada de adulto es 30 euros. Ahora para encontrar el valor de la otra incógnita podemos recurrir bien sea a las ecuaciones originales 1 y 2 o también a las ecuaciones 3 y 4. En realidad usamos la que mejor nos parezca. Donde veamos que es más sencillo encontrar el valor de n. Para el caso de este ejercicio donde hemos utilizado el método de igualación. Se recomienda aprovechar estos despejes cualquiera de las ecuaciones 3 o 4. Vamos a reemplazar entonces en la tercera. Vamos a utilizar esa expresión para encontrar el valor de n. Vamos a reemplazar allí a que vale 30. Entonces nos queda 190 menos 3 por 30. Allí sustituimos el valor de a y todo esto queda sobre 5. Resolvemos se queda 190 menos, ejecutamos esa multiplicación 3 por 30 nos da 90 y todo esto queda sobre 5. Resolvemos la resta que hay en el numerador. Eso nos da como resultado 100 y nos queda 100 quintos o sea 100 dividido entre 5. Entonces allí resolvemos y encontramos que n toma el valor 20. Así encontramos el valor de la otra incógnita. Bien de esta manera ya podemos dar la respuesta a este problema. Decimos que el valor de una entrada de adulto es 30 euros. Y el valor de una entrada de niño es 20 euros. De esta manera terminamos este problema.
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