INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida usando el Método de Sustitución Trigonométrica. 

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 ¿Cómo se refiere la integral? empleando una sustitución trigonométrica resuelva la integral que nos aparece aquí propuesta para comenzar tomamos la integral que nos dan y vamos a reescribirla de la siguiente manera e a la 2t vamos a escribirlo como e a la t elevado al cuadrado y este 9 vamos a escribirlo como 3 al cuadrado esto con el objetivo de poder identificar en el triángulo que vamos a dibujar en el triángulo rectángulo que clase de lados son estos que tenemos aquí como apreciamos una diferencia entonces la raíz cuadrada del término positivo será la hipotenusa es decir e a la t la raíz cuadrada esto nos da e a la t y este corresponde a un cateto que se encuentra elevado al cuadrado la raíz de 3 al cuadrado nos da 3 podemos elegir este cateto por ejemplo vamos a llamar este ángulo como theta y entonces hallaríamos el otro cateto usando el teorema de pitágoras entonces tendríamos la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado es decir e a la 2t menos este cateto al cuadrado es decir 9 entonces con pitágoras encontramos el otro cateto y podemos apreciar la expresión que aparecía en el integrando el ejercicio propuesto a continuación vamos a utilizar una función trigonométrica que nos permita relacionar esta expresión con el lado constante es decir con el lado que mide 3 esa expresión trigonométrica sería la tangente recordemos que tangente de theta se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente entonces nos queda la raíz cuadrada de e a la 2t menos 9 todo esto sobre 3 y de aquí podemos despejar la raíz entonces nos queda que la raíz cuadrada de e a la 2t menos 9 es igual a 3 por la tangente de theta y de esa manera tenemos ya una equivalencia para esta raíz entonces por aquí escribimos el equivalente de la raíz es decir 3 por tangente de theta vamos ahora a relacionar el lado que es constante es decir el cateto que mide 3 con el lado que contiene e a la t con la hipotenusa y para ello vamos a utilizar la relación coseno entonces coseno de theta será igual a cateto adyacente que es 3 sobre la hipotenusa que es e a la t de aquí vamos a despejar e a la t este pasa a multiplicar este viene a dividir y nos queda 3 sobre coseno de theta pero recordemos que 1 sobre coseno de theta equivale a secante de theta entonces nos queda 3 por la secante de theta y de aquí vamos a despejar la letra t el exponente de la letra e el número de Euler para ello aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la expresión entonces nos queda esta expresión y bajaríamos t a multiplicar t por logaritmo natural de E igual a logaritmo natural de 3 por secante de theta recordemos que esto equivale a 1 y entonces vamos a escribirlo por acá nos queda que t por 1 es igual a t igual a este logaritmo natural de 3 por la secante de theta enseguida vamos a derivar esta expresión con respecto a theta entonces nos queda derivada de t respecto a theta será igual a lo siguiente si tenemos un logaritmo natural de una expresión recordemos que se traza una línea abajo se escribe esta expresión es decir 3 secante de theta y encima se escribe la derivada de lo que notamos en la parte de abajo es decir la derivada de 3 secante de theta será 3 por secante de theta por la tangente de theta y allí podemos cancelar lo que es el 3 y lo que es secante de theta por lo tanto dt de theta nos queda igual a tangente de theta y de allí despejamos dt pasamos dt a multiplicar con la tangente entonces nos queda que dt es igual a tangente de theta multiplicado por dt y entonces eso nos permite reemplazar este dt por esta expresión entonces tangente de theta con su correspondiente de theta esto quiere decir que la integral original se transforma en una integral trigonométrica entonces tenemos 3 tangente por tangente es tangente al cuadrado de theta multiplicado por el diferencial de theta vamos a resolverla de la siguiente manera este 3 que está multiplicando puede salir de la integral y la tangente cuadrado podemos reemplazarla por lo que es secante al cuadrado de theta menos 1 recordemos que una de las identidades pitagóricas dice que tangente al cuadrado de theta más 1 es igual a secante al cuadrado de theta entonces si de allí despejamos tangente al cuadrado de theta este uno pasa a restar acá al lado derecho y tenemos esta expresión tenemos entonces dos expresiones que son fácilmente integrables la integral de secante al cuadrado de theta es tangente de theta menos la integral de 1 sería theta y todo esto acompañado de la constante de integración del triángulo rectángulo que habíamos dibujado teníamos que tangente de theta era igual a esta expresión si recordemos que era cateto opuesto sobre adyacente y teníamos que coselo de theta era esta expresión es decir cateto adyacente sobre hipotenusa entonces podemos regresar a la expresión que obtuvimos de la integral y cambiar lo que es tangente de theta por esta expresión que sería raíz cuadrada de e a la 2t menos 9 todo esto dividido entre 3 menos theta theta por ejemplo lo podríamos despejar de aquí que nos queda un poco más sencillo que hacerlo en esta recordemos que el despeje correcto del ángulo theta es igual a coseno a la menos 1 y la función inversa del coseno de 3 sobre e a la t entonces esta expresión la anotamos aquí donde va theta nos queda 3 sobre e a la t cerramos el corchete y todo esto más la constante de integración de esta manera hemos resuelto la integral propuesta
[{"start": 0.0, "end": 5.5600000000000005, "text": " \u00bfC\u00f3mo se refiere la integral?"}, {"start": 5.5600000000000005, "end": 11.16, "text": " empleando una sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica resuelva la integral"}, {"start": 11.16, "end": 13.8, "text": " que nos aparece aqu\u00ed propuesta"}, {"start": 13.8, "end": 19.2, "text": " para comenzar tomamos la integral que nos dan y vamos a reescribirla"}, {"start": 19.2, "end": 20.64, "text": " de la siguiente manera"}, {"start": 20.64, "end": 24.3, "text": " e a la 2t vamos a escribirlo como e a la t"}, {"start": 24.3, "end": 26.36, "text": " elevado al cuadrado"}, {"start": 26.36, "end": 30.88, "text": " y este 9 vamos a escribirlo como 3 al cuadrado"}, {"start": 30.88, "end": 36.64, "text": " esto con el objetivo de poder identificar en el tri\u00e1ngulo que vamos a dibujar"}, {"start": 36.64, "end": 38.6, "text": " en el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo"}, {"start": 38.6, "end": 41.32, "text": " que clase de lados son"}, {"start": 41.32, "end": 42.96, "text": " estos que tenemos aqu\u00ed"}, {"start": 42.96, "end": 45.56, "text": " como apreciamos una diferencia entonces"}, {"start": 45.56, "end": 47.0, "text": " la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 47.0, "end": 49.120000000000005, "text": " del t\u00e9rmino positivo ser\u00e1"}, {"start": 49.120000000000005, "end": 50.6, "text": " la hipotenusa"}, {"start": 50.6, "end": 51.44, "text": " es decir"}, {"start": 51.44, "end": 52.44, "text": " e a la t"}, {"start": 52.44, "end": 54.8, "text": " la ra\u00edz cuadrada esto nos da e a la t"}, {"start": 54.8, "end": 59.239999999999995, "text": " y este corresponde a un cateto que se encuentra elevado al cuadrado"}, {"start": 59.239999999999995, "end": 61.44, "text": " la ra\u00edz de 3 al cuadrado nos da 3"}, {"start": 61.44, "end": 63.959999999999994, "text": " podemos elegir este cateto por ejemplo"}, {"start": 63.959999999999994, "end": 64.88, "text": " vamos a llamar"}, {"start": 64.88, "end": 67.0, "text": " este \u00e1ngulo como theta"}, {"start": 67.0, "end": 71.84, "text": " y entonces hallar\u00edamos el otro cateto usando el teorema de pit\u00e1goras"}, {"start": 71.84, "end": 74.84, "text": " entonces tendr\u00edamos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 74.84, "end": 77.03999999999999, "text": " de la hipotenusa al cuadrado"}, {"start": 77.03999999999999, "end": 79.36, "text": " es decir e a la 2t"}, {"start": 79.36, "end": 83.32, "text": " menos este cateto al cuadrado es decir 9"}, {"start": 83.32, "end": 86.6, "text": " entonces con pit\u00e1goras encontramos el otro cateto"}, {"start": 86.6, "end": 89.47999999999999, "text": " y podemos apreciar la expresi\u00f3n"}, {"start": 89.47999999999999, "end": 91.55999999999999, "text": " que aparec\u00eda en el integrando"}, {"start": 91.55999999999999, "end": 93.19999999999999, "text": " el ejercicio propuesto"}, {"start": 93.19999999999999, "end": 97.32, "text": " a continuaci\u00f3n vamos a utilizar una funci\u00f3n trigonom\u00e9trica que nos"}, {"start": 97.32, "end": 98.75999999999999, "text": " permita relacionar"}, {"start": 98.75999999999999, "end": 101.56, "text": " esta expresi\u00f3n con el lado constante"}, {"start": 101.56, "end": 103.39999999999999, "text": " es decir con el lado que mide 3"}, {"start": 103.39999999999999, "end": 106.83999999999999, "text": " esa expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica ser\u00eda la tangente"}, {"start": 106.83999999999999, "end": 108.75999999999999, "text": " recordemos que tangente de theta"}, {"start": 108.75999999999999, "end": 111.03999999999999, "text": " se define como cateto opuesto"}, {"start": 111.03999999999999, "end": 112.91999999999999, "text": " sobre cateto adyacente"}, {"start": 112.92, "end": 114.92, "text": " entonces nos queda la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 114.92, "end": 117.36, "text": " de e a la 2t menos 9"}, {"start": 117.36, "end": 119.84, "text": " todo esto sobre 3"}, {"start": 119.84, "end": 122.52, "text": " y de aqu\u00ed podemos despejar la ra\u00edz"}, {"start": 122.52, "end": 126.64, "text": " entonces nos queda que la ra\u00edz cuadrada de e a la 2t menos 9"}, {"start": 126.64, "end": 130.36, "text": " es igual a 3 por la tangente de theta"}, {"start": 130.36, "end": 132.6, "text": " y de esa manera tenemos ya"}, {"start": 132.6, "end": 135.12, "text": " una equivalencia para"}, {"start": 135.12, "end": 136.64, "text": " esta ra\u00edz"}, {"start": 136.64, "end": 137.8, "text": " entonces"}, {"start": 137.8, "end": 140.8, "text": " por aqu\u00ed escribimos el equivalente de la ra\u00edz"}, {"start": 140.8, "end": 143.48000000000002, "text": " es decir 3 por tangente de theta"}, {"start": 143.48000000000002, "end": 147.28, "text": " vamos ahora a relacionar el lado que es constante"}, {"start": 147.28, "end": 149.52, "text": " es decir el cateto que mide 3"}, {"start": 149.52, "end": 152.44, "text": " con el lado que contiene e a la t"}, {"start": 152.44, "end": 153.72, "text": " con la hipotenusa"}, {"start": 153.72, "end": 156.24, "text": " y para ello vamos a utilizar la relaci\u00f3n coseno"}, {"start": 156.24, "end": 159.28, "text": " entonces coseno de theta ser\u00e1 igual a cateto adyacente"}, {"start": 159.28, "end": 162.60000000000002, "text": " que es 3 sobre la hipotenusa que es e a la t"}, {"start": 162.60000000000002, "end": 165.04000000000002, "text": " de aqu\u00ed vamos a despejar e a la t"}, {"start": 165.04000000000002, "end": 166.44, "text": " este pasa a multiplicar"}, {"start": 166.44, "end": 167.88000000000002, "text": " este viene a dividir"}, {"start": 167.88, "end": 171.79999999999998, "text": " y nos queda 3 sobre coseno de theta"}, {"start": 171.79999999999998, "end": 173.24, "text": " pero recordemos que"}, {"start": 173.24, "end": 177.51999999999998, "text": " 1 sobre coseno de theta equivale a secante de theta"}, {"start": 177.51999999999998, "end": 181.35999999999999, "text": " entonces nos queda 3 por la secante de theta"}, {"start": 181.35999999999999, "end": 184.24, "text": " y de aqu\u00ed vamos a despejar la letra t"}, {"start": 184.24, "end": 185.44, "text": " el exponente"}, {"start": 185.44, "end": 186.76, "text": " de la letra e"}, {"start": 186.76, "end": 188.35999999999999, "text": " el n\u00famero de Euler"}, {"start": 188.35999999999999, "end": 191.12, "text": " para ello aplicamos logaritmo natural"}, {"start": 191.12, "end": 193.16, "text": " en ambos lados de la expresi\u00f3n"}, {"start": 193.16, "end": 194.84, "text": " entonces nos queda"}, {"start": 194.84, "end": 197.24, "text": " esta expresi\u00f3n"}, {"start": 197.24, "end": 199.36, "text": " y bajar\u00edamos t a multiplicar"}, {"start": 199.36, "end": 201.4, "text": " t por logaritmo natural de E"}, {"start": 201.4, "end": 205.48000000000002, "text": " igual a logaritmo natural de 3 por secante de theta"}, {"start": 205.48000000000002, "end": 207.76000000000002, "text": " recordemos que esto equivale a 1"}, {"start": 207.76000000000002, "end": 209.64000000000001, "text": " y entonces vamos a escribirlo por ac\u00e1"}, {"start": 209.64000000000001, "end": 212.08, "text": " nos queda que t por 1 es igual a t"}, {"start": 212.08, "end": 217.48000000000002, "text": " igual a este logaritmo natural de 3 por la secante de theta"}, {"start": 217.48000000000002, "end": 220.44, "text": " enseguida vamos a derivar esta expresi\u00f3n"}, {"start": 220.44, "end": 222.12, "text": " con respecto a theta"}, {"start": 222.12, "end": 226.0, "text": " entonces nos queda derivada de t respecto a theta"}, {"start": 226.0, "end": 227.72, "text": " ser\u00e1 igual a lo siguiente"}, {"start": 227.72, "end": 230.12, "text": " si tenemos un logaritmo natural de una expresi\u00f3n"}, {"start": 230.12, "end": 232.08, "text": " recordemos que se traza una l\u00ednea"}, {"start": 232.08, "end": 234.12, "text": " abajo se escribe esta expresi\u00f3n"}, {"start": 234.12, "end": 236.24, "text": " es decir 3 secante de theta"}, {"start": 236.24, "end": 239.04, "text": " y encima se escribe la derivada"}, {"start": 239.04, "end": 241.16, "text": " de lo que notamos en la parte de abajo"}, {"start": 241.16, "end": 243.6, "text": " es decir la derivada de 3 secante de theta"}, {"start": 243.6, "end": 246.08, "text": " ser\u00e1 3 por secante de theta"}, {"start": 246.08, "end": 248.28, "text": " por la tangente de theta"}, {"start": 248.28, "end": 250.36, "text": " y all\u00ed podemos cancelar"}, {"start": 250.36, "end": 251.88, "text": " lo que es el 3"}, {"start": 251.88, "end": 254.44, "text": " y lo que es secante de theta"}, {"start": 254.44, "end": 255.8, "text": " por lo tanto"}, {"start": 255.8, "end": 257.68, "text": " dt de theta"}, {"start": 257.68, "end": 260.56, "text": " nos queda igual a tangente de theta"}, {"start": 260.56, "end": 262.52000000000004, "text": " y de all\u00ed despejamos dt"}, {"start": 262.52000000000004, "end": 265.8, "text": " pasamos dt a multiplicar con la tangente"}, {"start": 265.8, "end": 268.68, "text": " entonces nos queda que dt es igual a tangente de theta"}, {"start": 268.68, "end": 270.72, "text": " multiplicado por dt"}, {"start": 270.72, "end": 273.32, "text": " y entonces eso nos permite"}, {"start": 273.32, "end": 275.84000000000003, "text": " reemplazar este dt"}, {"start": 275.84000000000003, "end": 277.08000000000004, "text": " por esta expresi\u00f3n"}, {"start": 277.08000000000004, "end": 279.08000000000004, "text": " entonces tangente de theta"}, {"start": 279.08000000000004, "end": 280.84000000000003, "text": " con su correspondiente"}, {"start": 280.84000000000003, "end": 281.64, "text": " de theta"}, {"start": 281.64, "end": 284.32, "text": " esto quiere decir que la integral original"}, {"start": 284.32, "end": 288.32, "text": " se transforma en una integral trigonom\u00e9trica"}, {"start": 288.32, "end": 290.24, "text": " entonces tenemos 3"}, {"start": 290.24, "end": 294.44, "text": " tangente por tangente es tangente al cuadrado de theta"}, {"start": 294.44, "end": 297.24, "text": " multiplicado por el diferencial de theta"}, {"start": 297.24, "end": 299.71999999999997, "text": " vamos a resolverla de la siguiente manera"}, {"start": 299.71999999999997, "end": 303.28, "text": " este 3 que est\u00e1 multiplicando puede salir de la integral"}, {"start": 303.28, "end": 305.28, "text": " y la tangente cuadrado"}, {"start": 305.28, "end": 308.32, "text": " podemos reemplazarla por lo que es"}, {"start": 308.32, "end": 311.96, "text": " secante al cuadrado de theta menos 1"}, {"start": 311.96, "end": 313.28, "text": " recordemos que"}, {"start": 313.28, "end": 315.76, "text": " una de las identidades pitag\u00f3ricas"}, {"start": 315.76, "end": 320.96, "text": " dice que tangente al cuadrado de theta m\u00e1s 1 es igual a secante al cuadrado de theta"}, {"start": 320.96, "end": 321.84, "text": " entonces"}, {"start": 321.84, "end": 324.47999999999996, "text": " si de all\u00ed despejamos tangente al cuadrado de theta"}, {"start": 324.47999999999996, "end": 327.23999999999995, "text": " este uno pasa a restar ac\u00e1 al lado derecho"}, {"start": 327.23999999999995, "end": 329.71999999999997, "text": " y tenemos esta expresi\u00f3n"}, {"start": 329.71999999999997, "end": 333.03999999999996, "text": " tenemos entonces dos expresiones que son f\u00e1cilmente"}, {"start": 333.03999999999996, "end": 335.08, "text": " integrables"}, {"start": 335.08, "end": 338.4, "text": " la integral de secante al cuadrado de theta"}, {"start": 338.4, "end": 341.15999999999997, "text": " es tangente de theta"}, {"start": 341.15999999999997, "end": 342.79999999999995, "text": " menos la integral de 1"}, {"start": 342.8, "end": 344.32, "text": " ser\u00eda theta"}, {"start": 344.32, "end": 346.52000000000004, "text": " y todo esto acompa\u00f1ado de la"}, {"start": 346.52000000000004, "end": 348.68, "text": " constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 348.68, "end": 353.76, "text": " del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que hab\u00edamos dibujado ten\u00edamos que tangente de theta"}, {"start": 353.76, "end": 355.56, "text": " era igual a esta expresi\u00f3n"}, {"start": 355.56, "end": 358.76, "text": " si recordemos que era cateto opuesto sobre adyacente"}, {"start": 358.76, "end": 360.64, "text": " y ten\u00edamos que coselo de theta"}, {"start": 360.64, "end": 362.08000000000004, "text": " era esta expresi\u00f3n"}, {"start": 362.08000000000004, "end": 365.28000000000003, "text": " es decir cateto adyacente sobre hipotenusa"}, {"start": 365.28000000000003, "end": 366.68, "text": " entonces podemos"}, {"start": 366.68, "end": 369.68, "text": " regresar a la expresi\u00f3n que obtuvimos de la integral"}, {"start": 369.68, "end": 370.8, "text": " y cambiar"}, {"start": 370.8, "end": 374.24, "text": " lo que es tangente de theta por esta expresi\u00f3n"}, {"start": 374.24, "end": 376.8, "text": " que ser\u00eda ra\u00edz cuadrada de e a la 2t"}, {"start": 376.8, "end": 377.8, "text": " menos 9"}, {"start": 377.8, "end": 378.88, "text": " todo esto"}, {"start": 378.88, "end": 381.0, "text": " dividido entre 3"}, {"start": 381.0, "end": 382.48, "text": " menos theta"}, {"start": 382.48, "end": 385.56, "text": " theta por ejemplo lo podr\u00edamos despejar de aqu\u00ed"}, {"start": 385.56, "end": 387.48, "text": " que nos queda un poco m\u00e1s sencillo"}, {"start": 387.48, "end": 388.92, "text": " que hacerlo en esta"}, {"start": 388.92, "end": 391.96000000000004, "text": " recordemos que el despeje correcto del \u00e1ngulo theta"}, {"start": 391.96000000000004, "end": 394.64, "text": " es igual a coseno a la menos 1"}, {"start": 394.64, "end": 399.88, "text": " y la funci\u00f3n inversa del coseno de 3 sobre e a la t"}, {"start": 399.88, "end": 401.6, "text": " entonces esta expresi\u00f3n"}, {"start": 401.6, "end": 403.68, "text": " la anotamos aqu\u00ed"}, {"start": 403.68, "end": 405.6, "text": " donde va theta"}, {"start": 405.6, "end": 408.4, "text": " nos queda 3 sobre e a la t"}, {"start": 408.4, "end": 410.15999999999997, "text": " cerramos el corchete"}, {"start": 410.15999999999997, "end": 415.28, "text": " y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n de esta manera hemos"}, {"start": 415.28, "end": 434.28, "text": " resuelto la integral propuesta"}]