99. MOMENTO DE UNA FUERZA (Teoría)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 99: Momento de una Fuerza (Teoría)

Tema: Las Fuerzas y los Principios de la Dinámica.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 ¿Qué es el momento de una fuerza? Vamos a ver la teoría de lo que es el momento de una fuerza. Habíamos visto anteriormente que las fuerzas provocan cambios en los cuerpos, cambios o modificaciones que pueden ser de estado o de forma. En cuanto al estado, podemos tener dos situaciones, y es que los cuerpos presenten movimiento o reposo. Y en cuanto a la forma, es lo que llamamos deformación en los cuerpos. Las fuerzas pueden deformar los cuerpos, y habíamos visto que la deformación puede ser de dos clases, puede ser elástica o puede ser plástica. En cuanto al movimiento de los cuerpos, provocado por la acción de una o varias fuerzas, podemos encontrar dos situaciones que son, traslación y rotación. Veamos entonces en qué consiste cada una de ellas. Consideremos dos situaciones, el caso de un objeto puntual, es decir, una partícula y un sistema conformado por muchas partículas. En el primer caso, si se aplica una fuerza F sobre este objeto puntual, realmente sólo observaremos traslación, no apreciaremos rotación, es decir, el cuerpo va a cambiar de posición a un sitio distinto del que tiene originalmente. Sin embargo, cuando tenemos un sistema conformado por múltiples partículas, podemos decir que hay una de ellas, es decir, hay un punto donde se concentra la masa del sistema y es el centro de gravedad. Si la fuerza se aplica de tal forma que su línea de acción coincide con el centro de gravedad, entonces podemos afirmar que se presenta la traslación, es decir, el cambio de posición. Sin embargo, si la fuerza es aplicada en un sitio diferente, es decir, donde su línea de acción no coincide con el centro de gravedad, lo que vamos a esperar es una rotación o giro del sistema y es lo que vamos a describir mediante una cantidad vectorial llamada momento de una fuerza. Consideraremos un cuerpo de cualquier forma sobre el cual actúa una fuerza de módulo F aplicada en este punto. La línea de acción de esa fuerza no coincide con el centro de gravedad de este cuerpo. También se ha establecido un punto O por el cual pasa un eje de giro, que en este caso sería perpendicular a la superficie del tablero o pizarra. Y también observamos un vector R llamado vector posición. Este será su módulo. Va desde el punto de giro, es decir, por donde pasa el eje de giro hasta el punto de aplicación de la fuerza. En la explicación de momento de una fuerza que vimos en el curso de física para el grado cuarto de la ESO en España, aquí arriba les dejo el enlace a dicho video, vimos la definición de brazo de palanca. Es la distancia desde el punto de giro o, bueno, por donde pasa el eje de giro hasta la línea de acción de la fuerza. Es esta línea imaginaria de color verde que hemos trazado. Y únicamente esa distancia llega perpendicular hasta la línea imaginaria que es la línea de acción de la fuerza. Es la distancia de un punto a una recta. Y habíamos definido lo que era el toque o momento de la fuerza F en relación con el punto O, con el punto de giro. Repito, por donde pasa el eje de giro como el producto de la fuerza por el brazo de palanca. Y la longitud de esta fuerza F por la longitud del brazo de palanca B. Y esto producía un giro en este sentido, es decir, en contra de las manecillas del reloj para este caso. Esta expresión vamos a llamarla la número 1. Y ahora vamos a llamar el ángulo que forman aquí los dos vectores R y F. Este ángulo de aquí vamos a llamarlo alfa. Es el ángulo que forman esos dos vectores cuando están dispuestos de manera consecutiva. Lógicamente el ángulo que se forma aquí será el suplemento de alfa. Es decir, sería 180 grados menos alfa. Este triángulo rectángulo lo dibujamos por acá. Se observa el cateto B, la hipotenusa, cuya longitud es R. Y este ángulo que decíamos se expresa como 180 grados menos alfa. Y aquí vamos a aplicar Zocato A. Específicamente vamos a armar la relación seno. Entonces decimos, seno del ángulo agudo que tenemos acá, que es 180 grados menos alfa, será igual al cateto opuesto, el que se opone a ese ángulo es el cateto de longitud B. Sobre la hipotenusa, que en este caso tiene longitud R. Esto que tenemos aquí corresponde al seno de la diferencia de dos ángulos. Vamos a recordar la identidad trigonométrica para ese caso. Seno de A menos B es igual a seno de A por coseno de B menos seno de B por coseno de A. Entonces si A está representada por 180 grados y B está representada por la letra griega alfa. Entonces vamos a construir esta expresión. Comenzamos con seno de A, es decir seno de 180 grados por coseno de B, o sea coseno de alfa. Después tenemos menos seno de B, es decir seno de alfa por coseno de A. Es decir coseno de 180 grados. Tenemos que el seno de 180 grados equivale a cero y el coseno de 180 grados equivale a menos uno. Cero por coseno de alfa nos da todo esto cero y menos seno de alfa por menos uno nos da como resultado seno de alfa positivo. Por lo tanto podemos cambiar esto, seno de 180 grados menos alfa por seno de alfa. Y esto será igual a B sobre R. Ahora de esta expresión vamos a despejar B. Para ello R que está dividiendo en el lado derecho pasa a multiplicar al lado izquierdo. Nos queda R por seno de alfa. Es como si multiplicamos ambos lados de la igualdad por R. Llamamos esta expresión la número 2. Y a continuación hacemos una sustitución. Vamos a reemplazar 2 en 1. Entonces la expresión 1 nos queda así. Tau, es decir el toque, es igual a F por B, pero B equivale a R por seno de alfa. En esta expresión vamos a cambiar la letra griega tau, la que simboliza el toque, por la letra M mayúscula. Que ahora simboliza el momento de la fuerza. Y en el lado derecho de la igualdad vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicación. Es decir, cambiamos el orden de los factores de esta manera. R por F por seno de alfa. De esta manera tenemos una expresión para determinar el módulo o la magnitud del momento de la fuerza F. En relación con el punto O, que es por donde pasa el eje de giro. Vemos que aquí ya no participa el brazo de palanca B. Sino R, que es el módulo o la magnitud del vector posición. El que va desde el punto por donde pasa el eje de giro hasta el punto de aplicación de la fuerza. F que es el módulo de la fuerza aplicada. Y alfa que es el ángulo que forman estos dos vectores cuando están dispuestos de manera consecutiva. Esto que tenemos aquí no es otra cosa que la expresión para determinar el módulo, la magnitud o la norma. De un vector llamado m, que será el vector momento de una fuerza. Y que es igual al producto cruz o producto vectorial de los vectores posición y fuerza. En términos estrictos, el módulo, norma o magnitud de este vector m. Resultante de este producto vectorial será igual al módulo, norma o magnitud del primer vector. Es decir R, por el módulo, norma o magnitud del segundo vector, que es F. Por el seno del ángulo que forman esos dos vectores cuando coinciden sus orígenes. Acá en la figura hemos trazado por el punto O una línea paralela a la línea de acción de la fuerza F. Y se observa también que hemos trasladado la fuerza F de tal manera que su origen coincida con el del vector R. Por lo tanto vemos que eso se puede hacer porque los vectores son deslizantes. Es decir, se pueden trasladar sin modificar su magnitud ni su orientación. Entonces lo que observamos en este caso es que el ángulo que forman los dos vectores cuando coinciden sus orígenes será igual a este. Serán ángulos alternos internos entre paralelas. Estas dos líneas son paralelas. R actúa como una secante o transversal. Por lo tanto esos dos ángulos son congruentes. Este ángulo tiene una medida de 180 grados menos alfa. Entonces es el que anotamos por acá. 180 grados menos alfa. Pero habíamos dicho que la magnitud del vector posición es R. La magnitud del vector fuerza es F. Y que el seno de 180 grados menos alfa equivale a seno de alfa. Cuando aplicamos la identidad trigonométrica para el seno de la diferencia de dos ángulos. El producto R por F por seno de alfa es lo que tenemos acá. Y en el lado izquierdo la letra M mayúscula simboliza el módulo norma o magnitud del vector momento. Entonces esta expresión que habíamos obtenido es la manera de calcular el módulo, magnitud o norma del vector momento de una fuerza. Recordemos que cuando se realiza el producto cruz o producto vectorial de dos vectores. Se obtiene otro vector que es perpendicular a los dos vectores participantes. Tal como se observa en este dibujo. El vector M que es el resultante de esta operación es perpendicular al vector R y también perpendicular al vector F. Como conclusión podemos decir que el momento de una fuerza en relación con un punto por donde pasa el eje de giro. Es un vector perpendicular al plano que forman los vectores posición y fuerza. Los que observamos acá, cuyo módulo se puede determinar con esta expresión magnitud del vector posición que es R. Magnitud del vector fuerza que es F. Y el seno del ángulo alfa que es el que forman los vectores cuando están dispuestos de manera consecutiva. Y el sentido de ese vector está determinado por la regla de la mano derecha. Esta regla nos dice que si efectuamos esa operación R cruce F, colocamos esta parte de la mano derecha coincidiendo con el primer vector. Es decir con R. Y cerramos los dedos buscando el segundo vector que es F. Entonces al realizar ese movimiento vemos que el dedo pulgar queda señalando hacia afuera del tablero o pizarrón. Es decir que el vector M tendría esta forma. Coincidiría con el eje de giro que penetra el tablero o pizarrón en el punto O. Haciéndolo en este dibujo sería de esta manera. Vemos que el dedo pulgar queda señalando hacia arriba si utilizamos la regla de la mano derecha. Para estos casos se ha establecido como convenio de signos que los giros o rotaciones que se produzcan en contra de las manecillas del reloj son positivos. Es decir el sentido antihorario será positivo. Como en este caso si la fuerza F actúa en este punto sobre este cuerpo que tiene un eje de giro que pasa por O. Entonces esperamos que el giro o rotación se produzca en este sentido. Es decir sería positivo. Entonces para los momentos se ha establecido como convenio de signos que los giros en contra de las manecillas del reloj son positivos. Y los que van a favor son negativos. Para complementar lo anterior veamos el concepto de par de fuerzas. Un sistema formado por dos fuerzas paralelas. Es decir que tienen la misma dirección de igual módulo o magnitud pero de sentido contrario. Y que están aplicadas en puntos distintos de un objeto. En este caso una barra rectangular uniforme. Si hacemos la descomposición de estas dos fuerzas en sus componentes rectangulares tendremos lo siguiente. Para el caso de esta fuerza su componente vertical se obtiene multiplicando la magnitud de ella, es decir F, por el seno de alfa. Y la componente horizontal se obtiene multiplicando la magnitud de la fuerza que es F por el coseno de alfa. Ahora para el caso de esta fuerza que tenemos acá ocurre algo similar a lo que teníamos en la fuerza de allá. La componente vertical se obtiene multiplicando F, el módulo de la fuerza por el seno de alfa. Y la componente horizontal se obtiene multiplicando F, la magnitud de la fuerza por el coseno de alfa. Si en este sistema hacemos la sumatoria de fuerzas en X o fuerzas horizontales vemos que nos da cero. Porque esta componente se anula con esta. Ambas tienen la misma magnitud o módulo, la misma dirección pero sentido contrario. Por lo tanto la suma de estas dos componentes nos da cero. Si hacemos la sumatoria de fuerzas verticales o fuerzas en Y o en el eje Y también nos dará cero. Porque esta componente F seno de alfa se anula con esta que tenemos acá. Son de la misma magnitud, de la misma dirección pero tienen sentido contrario. Luego la suma de ellas también nos dará cero. Esto quiere decir que la fuerza resultante o fuerza total sobre ese sistema será igual a cero. Lo cual nos indica que este sistema no va a presentar traslación. Ahora vamos a calcular el momento para cada una de estas dos fuerzas en relación con un eje que pasa por este punto. El punto medio de la barra que será también el centro de gravedad de la misma. Por tratarse de una barra con su masa uniformemente distribuida. Entonces ese será el punto O, el punto por donde pasa el eje de giro y que también es el centro de gravedad. Allí tenemos los vectores posición, cada uno con módulo o magnitud R. Van desde el punto por donde pasa el eje de giro hasta el punto donde se aplica cada una de esas dos fuerzas paralelas. Vemos entonces que la longitud de la barra sería 2R. Entonces ya con eso podemos determinar el momento total sobre ese sistema. Comenzamos entonces determinando el momento de esta fuerza. Aplicando la fórmula que demostramos anteriormente. Multiplicamos R, el módulo del vector posición, por F, el módulo del vector fuerza, por el seno del ángulo que forman esos dos vectores cuando están dispuestos de manera consecutiva. Es decir, el seno de alfa. Y a eso le sumamos el momento de esta fuerza. De la misma manera multiplicamos R, el módulo del vector posición, por F, el módulo del vector fuerza. Y eso por el seno de alfa, que es el ángulo que forman esos dos vectores cuando están dispuestos de manera consecutiva. Llegamos así a una expresión donde hay dos términos semejantes que se pueden sumar. Para obtener el módulo o magnitud del momento total de ese sistema. En relación con un eje de giro que pasa por el punto O, el punto medio de esa barra. Entonces la suma de esos dos términos semejantes nos da 2 por R por F por el seno de alfa. Esa será entonces la expresión para determinar el módulo o magnitud para el momento total de ese sistema. Sería un momento diferente de 0. Lo cual nos garantiza que allí se presenta rotación o giro a favor de las manecillas del reloj. Sería entonces un momento con signo negativo. Un buen ejemplo de par de fuerzas es lo que sucede con el volante o timón de un automóvil. Donde justamente en los extremos se aplican fuerzas y hacen girar esa estructura o sistema alrededor de un eje que pasa por su punto medio. Música
[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es el momento de una fuerza?"}, {"start": 12.0, "end": 16.0, "text": " Vamos a ver la teor\u00eda de lo que es el momento de una fuerza."}, {"start": 16.0, "end": 22.0, "text": " Hab\u00edamos visto anteriormente que las fuerzas provocan cambios en los cuerpos,"}, {"start": 22.0, "end": 28.0, "text": " cambios o modificaciones que pueden ser de estado o de forma."}, {"start": 28.0, "end": 32.0, "text": " En cuanto al estado, podemos tener dos situaciones,"}, {"start": 32.0, "end": 37.0, "text": " y es que los cuerpos presenten movimiento o reposo."}, {"start": 37.0, "end": 43.0, "text": " Y en cuanto a la forma, es lo que llamamos deformaci\u00f3n en los cuerpos."}, {"start": 43.0, "end": 46.0, "text": " Las fuerzas pueden deformar los cuerpos,"}, {"start": 46.0, "end": 50.0, "text": " y hab\u00edamos visto que la deformaci\u00f3n puede ser de dos clases,"}, {"start": 50.0, "end": 55.0, "text": " puede ser el\u00e1stica o puede ser pl\u00e1stica."}, {"start": 55.0, "end": 58.0, "text": " En cuanto al movimiento de los cuerpos,"}, {"start": 58.0, "end": 61.0, "text": " provocado por la acci\u00f3n de una o varias fuerzas,"}, {"start": 61.0, "end": 64.0, "text": " podemos encontrar dos situaciones que son,"}, {"start": 64.0, "end": 67.0, "text": " traslaci\u00f3n y rotaci\u00f3n."}, {"start": 67.0, "end": 71.0, "text": " Veamos entonces en qu\u00e9 consiste cada una de ellas."}, {"start": 71.0, "end": 73.0, "text": " Consideremos dos situaciones,"}, {"start": 73.0, "end": 76.0, "text": " el caso de un objeto puntual, es decir,"}, {"start": 76.0, "end": 81.0, "text": " una part\u00edcula y un sistema conformado por muchas part\u00edculas."}, {"start": 81.0, "end": 87.0, "text": " En el primer caso, si se aplica una fuerza F sobre este objeto puntual,"}, {"start": 87.0, "end": 90.0, "text": " realmente s\u00f3lo observaremos traslaci\u00f3n,"}, {"start": 90.0, "end": 92.0, "text": " no apreciaremos rotaci\u00f3n,"}, {"start": 92.0, "end": 99.0, "text": " es decir, el cuerpo va a cambiar de posici\u00f3n a un sitio distinto del que tiene originalmente."}, {"start": 99.0, "end": 104.0, "text": " Sin embargo, cuando tenemos un sistema conformado por m\u00faltiples part\u00edculas,"}, {"start": 104.0, "end": 106.0, "text": " podemos decir que hay una de ellas,"}, {"start": 106.0, "end": 111.0, "text": " es decir, hay un punto donde se concentra la masa del sistema"}, {"start": 111.0, "end": 113.0, "text": " y es el centro de gravedad."}, {"start": 113.0, "end": 120.0, "text": " Si la fuerza se aplica de tal forma que su l\u00ednea de acci\u00f3n coincide con el centro de gravedad,"}, {"start": 120.0, "end": 123.0, "text": " entonces podemos afirmar que se presenta la traslaci\u00f3n,"}, {"start": 123.0, "end": 126.0, "text": " es decir, el cambio de posici\u00f3n."}, {"start": 126.0, "end": 130.0, "text": " Sin embargo, si la fuerza es aplicada en un sitio diferente,"}, {"start": 130.0, "end": 134.0, "text": " es decir, donde su l\u00ednea de acci\u00f3n no coincide con el centro de gravedad,"}, {"start": 134.0, "end": 139.0, "text": " lo que vamos a esperar es una rotaci\u00f3n o giro del sistema"}, {"start": 139.0, "end": 147.0, "text": " y es lo que vamos a describir mediante una cantidad vectorial llamada momento de una fuerza."}, {"start": 147.0, "end": 155.0, "text": " Consideraremos un cuerpo de cualquier forma sobre el cual act\u00faa una fuerza de m\u00f3dulo F aplicada en este punto."}, {"start": 155.0, "end": 161.0, "text": " La l\u00ednea de acci\u00f3n de esa fuerza no coincide con el centro de gravedad de este cuerpo."}, {"start": 161.0, "end": 166.0, "text": " Tambi\u00e9n se ha establecido un punto O por el cual pasa un eje de giro,"}, {"start": 166.0, "end": 171.0, "text": " que en este caso ser\u00eda perpendicular a la superficie del tablero o pizarra."}, {"start": 171.0, "end": 176.0, "text": " Y tambi\u00e9n observamos un vector R llamado vector posici\u00f3n."}, {"start": 176.0, "end": 179.0, "text": " Este ser\u00e1 su m\u00f3dulo. Va desde el punto de giro,"}, {"start": 179.0, "end": 185.0, "text": " es decir, por donde pasa el eje de giro hasta el punto de aplicaci\u00f3n de la fuerza."}, {"start": 185.0, "end": 193.0, "text": " En la explicaci\u00f3n de momento de una fuerza que vimos en el curso de f\u00edsica para el grado cuarto de la ESO en Espa\u00f1a,"}, {"start": 193.0, "end": 196.0, "text": " aqu\u00ed arriba les dejo el enlace a dicho video,"}, {"start": 196.0, "end": 199.0, "text": " vimos la definici\u00f3n de brazo de palanca."}, {"start": 199.0, "end": 207.0, "text": " Es la distancia desde el punto de giro o, bueno, por donde pasa el eje de giro hasta la l\u00ednea de acci\u00f3n de la fuerza."}, {"start": 207.0, "end": 211.0, "text": " Es esta l\u00ednea imaginaria de color verde que hemos trazado."}, {"start": 211.0, "end": 219.0, "text": " Y \u00fanicamente esa distancia llega perpendicular hasta la l\u00ednea imaginaria que es la l\u00ednea de acci\u00f3n de la fuerza."}, {"start": 219.0, "end": 223.0, "text": " Es la distancia de un punto a una recta."}, {"start": 223.0, "end": 232.0, "text": " Y hab\u00edamos definido lo que era el toque o momento de la fuerza F en relaci\u00f3n con el punto O, con el punto de giro."}, {"start": 232.0, "end": 239.0, "text": " Repito, por donde pasa el eje de giro como el producto de la fuerza por el brazo de palanca."}, {"start": 239.0, "end": 244.0, "text": " Y la longitud de esta fuerza F por la longitud del brazo de palanca B."}, {"start": 244.0, "end": 252.0, "text": " Y esto produc\u00eda un giro en este sentido, es decir, en contra de las manecillas del reloj para este caso."}, {"start": 252.0, "end": 255.0, "text": " Esta expresi\u00f3n vamos a llamarla la n\u00famero 1."}, {"start": 255.0, "end": 260.0, "text": " Y ahora vamos a llamar el \u00e1ngulo que forman aqu\u00ed los dos vectores R y F."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Este \u00e1ngulo de aqu\u00ed vamos a llamarlo alfa."}, {"start": 264.0, "end": 270.0, "text": " Es el \u00e1ngulo que forman esos dos vectores cuando est\u00e1n dispuestos de manera consecutiva."}, {"start": 270.0, "end": 275.0, "text": " L\u00f3gicamente el \u00e1ngulo que se forma aqu\u00ed ser\u00e1 el suplemento de alfa."}, {"start": 275.0, "end": 280.0, "text": " Es decir, ser\u00eda 180 grados menos alfa."}, {"start": 280.0, "end": 284.0, "text": " Este tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo lo dibujamos por ac\u00e1."}, {"start": 284.0, "end": 289.0, "text": " Se observa el cateto B, la hipotenusa, cuya longitud es R."}, {"start": 289.0, "end": 295.0, "text": " Y este \u00e1ngulo que dec\u00edamos se expresa como 180 grados menos alfa."}, {"start": 295.0, "end": 298.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a aplicar Zocato A."}, {"start": 298.0, "end": 303.0, "text": " Espec\u00edficamente vamos a armar la relaci\u00f3n seno."}, {"start": 303.0, "end": 312.0, "text": " Entonces decimos, seno del \u00e1ngulo agudo que tenemos ac\u00e1, que es 180 grados menos alfa,"}, {"start": 312.0, "end": 318.0, "text": " ser\u00e1 igual al cateto opuesto, el que se opone a ese \u00e1ngulo es el cateto de longitud B."}, {"start": 318.0, "end": 323.0, "text": " Sobre la hipotenusa, que en este caso tiene longitud R."}, {"start": 323.0, "end": 328.0, "text": " Esto que tenemos aqu\u00ed corresponde al seno de la diferencia de dos \u00e1ngulos."}, {"start": 328.0, "end": 333.0, "text": " Vamos a recordar la identidad trigonom\u00e9trica para ese caso."}, {"start": 333.0, "end": 345.0, "text": " Seno de A menos B es igual a seno de A por coseno de B menos seno de B por coseno de A."}, {"start": 345.0, "end": 353.0, "text": " Entonces si A est\u00e1 representada por 180 grados y B est\u00e1 representada por la letra griega alfa."}, {"start": 353.0, "end": 356.0, "text": " Entonces vamos a construir esta expresi\u00f3n."}, {"start": 356.0, "end": 366.0, "text": " Comenzamos con seno de A, es decir seno de 180 grados por coseno de B, o sea coseno de alfa."}, {"start": 366.0, "end": 372.0, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos seno de B, es decir seno de alfa por coseno de A."}, {"start": 372.0, "end": 377.0, "text": " Es decir coseno de 180 grados."}, {"start": 377.0, "end": 385.0, "text": " Tenemos que el seno de 180 grados equivale a cero y el coseno de 180 grados equivale a menos uno."}, {"start": 385.0, "end": 395.0, "text": " Cero por coseno de alfa nos da todo esto cero y menos seno de alfa por menos uno nos da como resultado seno de alfa positivo."}, {"start": 395.0, "end": 401.0, "text": " Por lo tanto podemos cambiar esto, seno de 180 grados menos alfa por seno de alfa."}, {"start": 401.0, "end": 406.0, "text": " Y esto ser\u00e1 igual a B sobre R."}, {"start": 406.0, "end": 409.0, "text": " Ahora de esta expresi\u00f3n vamos a despejar B."}, {"start": 409.0, "end": 416.0, "text": " Para ello R que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho pasa a multiplicar al lado izquierdo."}, {"start": 416.0, "end": 418.0, "text": " Nos queda R por seno de alfa."}, {"start": 418.0, "end": 423.0, "text": " Es como si multiplicamos ambos lados de la igualdad por R."}, {"start": 423.0, "end": 426.0, "text": " Llamamos esta expresi\u00f3n la n\u00famero 2."}, {"start": 426.0, "end": 429.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n hacemos una sustituci\u00f3n."}, {"start": 429.0, "end": 432.0, "text": " Vamos a reemplazar 2 en 1."}, {"start": 432.0, "end": 435.0, "text": " Entonces la expresi\u00f3n 1 nos queda as\u00ed."}, {"start": 435.0, "end": 445.0, "text": " Tau, es decir el toque, es igual a F por B, pero B equivale a R por seno de alfa."}, {"start": 445.0, "end": 453.0, "text": " En esta expresi\u00f3n vamos a cambiar la letra griega tau, la que simboliza el toque, por la letra M may\u00fascula."}, {"start": 453.0, "end": 456.0, "text": " Que ahora simboliza el momento de la fuerza."}, {"start": 456.0, "end": 462.0, "text": " Y en el lado derecho de la igualdad vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 462.0, "end": 465.0, "text": " Es decir, cambiamos el orden de los factores de esta manera."}, {"start": 465.0, "end": 469.0, "text": " R por F por seno de alfa."}, {"start": 469.0, "end": 476.0, "text": " De esta manera tenemos una expresi\u00f3n para determinar el m\u00f3dulo o la magnitud del momento de la fuerza F."}, {"start": 476.0, "end": 481.0, "text": " En relaci\u00f3n con el punto O, que es por donde pasa el eje de giro."}, {"start": 481.0, "end": 485.0, "text": " Vemos que aqu\u00ed ya no participa el brazo de palanca B."}, {"start": 485.0, "end": 489.0, "text": " Sino R, que es el m\u00f3dulo o la magnitud del vector posici\u00f3n."}, {"start": 489.0, "end": 496.0, "text": " El que va desde el punto por donde pasa el eje de giro hasta el punto de aplicaci\u00f3n de la fuerza."}, {"start": 496.0, "end": 499.0, "text": " F que es el m\u00f3dulo de la fuerza aplicada."}, {"start": 499.0, "end": 507.0, "text": " Y alfa que es el \u00e1ngulo que forman estos dos vectores cuando est\u00e1n dispuestos de manera consecutiva."}, {"start": 507.0, "end": 514.0, "text": " Esto que tenemos aqu\u00ed no es otra cosa que la expresi\u00f3n para determinar el m\u00f3dulo, la magnitud o la norma."}, {"start": 514.0, "end": 520.0, "text": " De un vector llamado m, que ser\u00e1 el vector momento de una fuerza."}, {"start": 520.0, "end": 529.0, "text": " Y que es igual al producto cruz o producto vectorial de los vectores posici\u00f3n y fuerza."}, {"start": 529.0, "end": 534.0, "text": " En t\u00e9rminos estrictos, el m\u00f3dulo, norma o magnitud de este vector m."}, {"start": 534.0, "end": 542.0, "text": " Resultante de este producto vectorial ser\u00e1 igual al m\u00f3dulo, norma o magnitud del primer vector."}, {"start": 542.0, "end": 549.0, "text": " Es decir R, por el m\u00f3dulo, norma o magnitud del segundo vector, que es F."}, {"start": 549.0, "end": 555.0, "text": " Por el seno del \u00e1ngulo que forman esos dos vectores cuando coinciden sus or\u00edgenes."}, {"start": 555.0, "end": 562.0, "text": " Ac\u00e1 en la figura hemos trazado por el punto O una l\u00ednea paralela a la l\u00ednea de acci\u00f3n de la fuerza F."}, {"start": 562.0, "end": 570.0, "text": " Y se observa tambi\u00e9n que hemos trasladado la fuerza F de tal manera que su origen coincida con el del vector R."}, {"start": 570.0, "end": 574.0, "text": " Por lo tanto vemos que eso se puede hacer porque los vectores son deslizantes."}, {"start": 574.0, "end": 580.0, "text": " Es decir, se pueden trasladar sin modificar su magnitud ni su orientaci\u00f3n."}, {"start": 580.0, "end": 588.0, "text": " Entonces lo que observamos en este caso es que el \u00e1ngulo que forman los dos vectores cuando coinciden sus or\u00edgenes ser\u00e1 igual a este."}, {"start": 588.0, "end": 592.0, "text": " Ser\u00e1n \u00e1ngulos alternos internos entre paralelas."}, {"start": 592.0, "end": 594.0, "text": " Estas dos l\u00edneas son paralelas."}, {"start": 594.0, "end": 597.0, "text": " R act\u00faa como una secante o transversal."}, {"start": 597.0, "end": 600.0, "text": " Por lo tanto esos dos \u00e1ngulos son congruentes."}, {"start": 600.0, "end": 606.0, "text": " Este \u00e1ngulo tiene una medida de 180 grados menos alfa."}, {"start": 606.0, "end": 609.0, "text": " Entonces es el que anotamos por ac\u00e1."}, {"start": 609.0, "end": 612.0, "text": " 180 grados menos alfa."}, {"start": 612.0, "end": 617.0, "text": " Pero hab\u00edamos dicho que la magnitud del vector posici\u00f3n es R."}, {"start": 617.0, "end": 620.0, "text": " La magnitud del vector fuerza es F."}, {"start": 620.0, "end": 626.0, "text": " Y que el seno de 180 grados menos alfa equivale a seno de alfa."}, {"start": 626.0, "end": 632.0, "text": " Cuando aplicamos la identidad trigonom\u00e9trica para el seno de la diferencia de dos \u00e1ngulos."}, {"start": 632.0, "end": 636.0, "text": " El producto R por F por seno de alfa es lo que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 636.0, "end": 645.0, "text": " Y en el lado izquierdo la letra M may\u00fascula simboliza el m\u00f3dulo norma o magnitud del vector momento."}, {"start": 645.0, "end": 656.0, "text": " Entonces esta expresi\u00f3n que hab\u00edamos obtenido es la manera de calcular el m\u00f3dulo, magnitud o norma del vector momento de una fuerza."}, {"start": 656.0, "end": 662.0, "text": " Recordemos que cuando se realiza el producto cruz o producto vectorial de dos vectores."}, {"start": 662.0, "end": 668.0, "text": " Se obtiene otro vector que es perpendicular a los dos vectores participantes."}, {"start": 668.0, "end": 670.0, "text": " Tal como se observa en este dibujo."}, {"start": 670.0, "end": 679.0, "text": " El vector M que es el resultante de esta operaci\u00f3n es perpendicular al vector R y tambi\u00e9n perpendicular al vector F."}, {"start": 679.0, "end": 687.0, "text": " Como conclusi\u00f3n podemos decir que el momento de una fuerza en relaci\u00f3n con un punto por donde pasa el eje de giro."}, {"start": 687.0, "end": 693.0, "text": " Es un vector perpendicular al plano que forman los vectores posici\u00f3n y fuerza."}, {"start": 693.0, "end": 701.0, "text": " Los que observamos ac\u00e1, cuyo m\u00f3dulo se puede determinar con esta expresi\u00f3n magnitud del vector posici\u00f3n que es R."}, {"start": 701.0, "end": 704.0, "text": " Magnitud del vector fuerza que es F."}, {"start": 704.0, "end": 711.0, "text": " Y el seno del \u00e1ngulo alfa que es el que forman los vectores cuando est\u00e1n dispuestos de manera consecutiva."}, {"start": 711.0, "end": 717.0, "text": " Y el sentido de ese vector est\u00e1 determinado por la regla de la mano derecha."}, {"start": 717.0, "end": 725.0, "text": " Esta regla nos dice que si efectuamos esa operaci\u00f3n R cruce F, colocamos esta parte de la mano derecha coincidiendo con el primer vector."}, {"start": 725.0, "end": 727.0, "text": " Es decir con R."}, {"start": 727.0, "end": 731.0, "text": " Y cerramos los dedos buscando el segundo vector que es F."}, {"start": 731.0, "end": 739.0, "text": " Entonces al realizar ese movimiento vemos que el dedo pulgar queda se\u00f1alando hacia afuera del tablero o pizarr\u00f3n."}, {"start": 739.0, "end": 742.0, "text": " Es decir que el vector M tendr\u00eda esta forma."}, {"start": 742.0, "end": 749.0, "text": " Coincidir\u00eda con el eje de giro que penetra el tablero o pizarr\u00f3n en el punto O."}, {"start": 749.0, "end": 752.0, "text": " Haci\u00e9ndolo en este dibujo ser\u00eda de esta manera."}, {"start": 752.0, "end": 759.0, "text": " Vemos que el dedo pulgar queda se\u00f1alando hacia arriba si utilizamos la regla de la mano derecha."}, {"start": 759.0, "end": 769.0, "text": " Para estos casos se ha establecido como convenio de signos que los giros o rotaciones que se produzcan en contra de las manecillas del reloj son positivos."}, {"start": 769.0, "end": 772.0, "text": " Es decir el sentido antihorario ser\u00e1 positivo."}, {"start": 772.0, "end": 780.0, "text": " Como en este caso si la fuerza F act\u00faa en este punto sobre este cuerpo que tiene un eje de giro que pasa por O."}, {"start": 780.0, "end": 785.0, "text": " Entonces esperamos que el giro o rotaci\u00f3n se produzca en este sentido."}, {"start": 785.0, "end": 787.0, "text": " Es decir ser\u00eda positivo."}, {"start": 787.0, "end": 796.0, "text": " Entonces para los momentos se ha establecido como convenio de signos que los giros en contra de las manecillas del reloj son positivos."}, {"start": 796.0, "end": 800.0, "text": " Y los que van a favor son negativos."}, {"start": 800.0, "end": 805.0, "text": " Para complementar lo anterior veamos el concepto de par de fuerzas."}, {"start": 805.0, "end": 808.0, "text": " Un sistema formado por dos fuerzas paralelas."}, {"start": 808.0, "end": 815.0, "text": " Es decir que tienen la misma direcci\u00f3n de igual m\u00f3dulo o magnitud pero de sentido contrario."}, {"start": 815.0, "end": 820.0, "text": " Y que est\u00e1n aplicadas en puntos distintos de un objeto."}, {"start": 820.0, "end": 824.0, "text": " En este caso una barra rectangular uniforme."}, {"start": 824.0, "end": 831.0, "text": " Si hacemos la descomposici\u00f3n de estas dos fuerzas en sus componentes rectangulares tendremos lo siguiente."}, {"start": 831.0, "end": 841.0, "text": " Para el caso de esta fuerza su componente vertical se obtiene multiplicando la magnitud de ella, es decir F, por el seno de alfa."}, {"start": 841.0, "end": 849.0, "text": " Y la componente horizontal se obtiene multiplicando la magnitud de la fuerza que es F por el coseno de alfa."}, {"start": 849.0, "end": 856.0, "text": " Ahora para el caso de esta fuerza que tenemos ac\u00e1 ocurre algo similar a lo que ten\u00edamos en la fuerza de all\u00e1."}, {"start": 856.0, "end": 862.0, "text": " La componente vertical se obtiene multiplicando F, el m\u00f3dulo de la fuerza por el seno de alfa."}, {"start": 862.0, "end": 871.0, "text": " Y la componente horizontal se obtiene multiplicando F, la magnitud de la fuerza por el coseno de alfa."}, {"start": 871.0, "end": 879.0, "text": " Si en este sistema hacemos la sumatoria de fuerzas en X o fuerzas horizontales vemos que nos da cero."}, {"start": 879.0, "end": 882.0, "text": " Porque esta componente se anula con esta."}, {"start": 882.0, "end": 888.0, "text": " Ambas tienen la misma magnitud o m\u00f3dulo, la misma direcci\u00f3n pero sentido contrario."}, {"start": 888.0, "end": 892.0, "text": " Por lo tanto la suma de estas dos componentes nos da cero."}, {"start": 892.0, "end": 899.0, "text": " Si hacemos la sumatoria de fuerzas verticales o fuerzas en Y o en el eje Y tambi\u00e9n nos dar\u00e1 cero."}, {"start": 899.0, "end": 905.0, "text": " Porque esta componente F seno de alfa se anula con esta que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 905.0, "end": 910.0, "text": " Son de la misma magnitud, de la misma direcci\u00f3n pero tienen sentido contrario."}, {"start": 910.0, "end": 913.0, "text": " Luego la suma de ellas tambi\u00e9n nos dar\u00e1 cero."}, {"start": 913.0, "end": 920.0, "text": " Esto quiere decir que la fuerza resultante o fuerza total sobre ese sistema ser\u00e1 igual a cero."}, {"start": 920.0, "end": 927.0, "text": " Lo cual nos indica que este sistema no va a presentar traslaci\u00f3n."}, {"start": 927.0, "end": 935.0, "text": " Ahora vamos a calcular el momento para cada una de estas dos fuerzas en relaci\u00f3n con un eje que pasa por este punto."}, {"start": 935.0, "end": 940.0, "text": " El punto medio de la barra que ser\u00e1 tambi\u00e9n el centro de gravedad de la misma."}, {"start": 940.0, "end": 946.0, "text": " Por tratarse de una barra con su masa uniformemente distribuida."}, {"start": 946.0, "end": 954.0, "text": " Entonces ese ser\u00e1 el punto O, el punto por donde pasa el eje de giro y que tambi\u00e9n es el centro de gravedad."}, {"start": 954.0, "end": 959.0, "text": " All\u00ed tenemos los vectores posici\u00f3n, cada uno con m\u00f3dulo o magnitud R."}, {"start": 959.0, "end": 967.0, "text": " Van desde el punto por donde pasa el eje de giro hasta el punto donde se aplica cada una de esas dos fuerzas paralelas."}, {"start": 967.0, "end": 971.0, "text": " Vemos entonces que la longitud de la barra ser\u00eda 2R."}, {"start": 971.0, "end": 977.0, "text": " Entonces ya con eso podemos determinar el momento total sobre ese sistema."}, {"start": 977.0, "end": 981.0, "text": " Comenzamos entonces determinando el momento de esta fuerza."}, {"start": 981.0, "end": 984.0, "text": " Aplicando la f\u00f3rmula que demostramos anteriormente."}, {"start": 984.0, "end": 991.0, "text": " Multiplicamos R, el m\u00f3dulo del vector posici\u00f3n, por F, el m\u00f3dulo del vector fuerza,"}, {"start": 991.0, "end": 997.0, "text": " por el seno del \u00e1ngulo que forman esos dos vectores cuando est\u00e1n dispuestos de manera consecutiva."}, {"start": 997.0, "end": 999.0, "text": " Es decir, el seno de alfa."}, {"start": 999.0, "end": 1003.0, "text": " Y a eso le sumamos el momento de esta fuerza."}, {"start": 1003.0, "end": 1010.0, "text": " De la misma manera multiplicamos R, el m\u00f3dulo del vector posici\u00f3n, por F, el m\u00f3dulo del vector fuerza."}, {"start": 1010.0, "end": 1018.0, "text": " Y eso por el seno de alfa, que es el \u00e1ngulo que forman esos dos vectores cuando est\u00e1n dispuestos de manera consecutiva."}, {"start": 1018.0, "end": 1023.0, "text": " Llegamos as\u00ed a una expresi\u00f3n donde hay dos t\u00e9rminos semejantes que se pueden sumar."}, {"start": 1023.0, "end": 1028.0, "text": " Para obtener el m\u00f3dulo o magnitud del momento total de ese sistema."}, {"start": 1028.0, "end": 1034.0, "text": " En relaci\u00f3n con un eje de giro que pasa por el punto O, el punto medio de esa barra."}, {"start": 1034.0, "end": 1042.0, "text": " Entonces la suma de esos dos t\u00e9rminos semejantes nos da 2 por R por F por el seno de alfa."}, {"start": 1042.0, "end": 1050.0, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la expresi\u00f3n para determinar el m\u00f3dulo o magnitud para el momento total de ese sistema."}, {"start": 1050.0, "end": 1053.0, "text": " Ser\u00eda un momento diferente de 0."}, {"start": 1053.0, "end": 1061.0, "text": " Lo cual nos garantiza que all\u00ed se presenta rotaci\u00f3n o giro a favor de las manecillas del reloj."}, {"start": 1061.0, "end": 1065.0, "text": " Ser\u00eda entonces un momento con signo negativo."}, {"start": 1065.0, "end": 1071.0, "text": " Un buen ejemplo de par de fuerzas es lo que sucede con el volante o tim\u00f3n de un autom\u00f3vil."}, {"start": 1071.0, "end": 1093.0, "text": " Donde justamente en los extremos se aplican fuerzas y hacen girar esa estructura o sistema alrededor de un eje que pasa por su punto medio."}, {"start": 1101.0, "end": 1106.0, "text": " M\u00fasica"}]