INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 9 - ft. Casio Classwiz
#julioprofe explica cómo resolver manualmente una integral definida y utiliza la calculadora Casio #Classwiz fx-991LA X para comprobar su resultado. 

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 Tenemos en este caso una integral definida que vamos a resolver paso a paso manualmente y que también vamos a comprobar utilizando la calculadora Casio-Claswitz. Comenzamos obteniendo la antiderivada para esta expresión, para la función que tenemos en el integrando y vamos a utilizar la siguiente propiedad. Si tenemos una fracción A sobre D más o menos la fracción B sobre D más o menos la fracción C sobre D, es decir, suma o resta de fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador. Entonces en ese caso conservamos el denominador y efectuamos la operación entre los numeradores. Entonces esto es lo que tenemos acá, una fracción compacta con un solo componente en el denominador. Vamos a llevarlo a esta forma, es decir, a fracciones individuales cada una con ese mismo denominador. Entonces nos queda de la siguiente forma, la integral definida desde 1 hasta 2. 1 es el límite inferior, 2 es el límite superior y allá tendremos x al cubo sobre x al cuadrado, después tenemos menos x al cuadrado sobre x al cuadrado y después más 2 sobre x al cuadrado. Entonces hemos repartido el denominador para cada uno de los numeradores y escribimos el diferencial de x. Enseguida vamos a simplificar los dos primeros términos y vamos a reescribir el tercero. Entonces esto nos queda de la siguiente manera, tenemos la integral definida que va desde 1 hasta 2 y en el primer término observamos un cociente de potencias de la misma base, en ese caso se conserva la base y se restan los exponentes, 3 menos 2 nos da 1, pero ese exponente 1 puede hacerse invisible y nos queda simplemente x. Pasamos al siguiente término donde podríamos aplicar la misma propiedad, cociente de potencias de la misma base, se conservaría la base que es x y al restar exponente nos quedaría 0 y x al 0 equivale a 1. Visto de otra manera, en una fracción donde el numerador es igual al denominador siendo ambos componentes distintos de 0, entonces la fracción equivale a 1. Y pasamos al otro término donde por una propiedad de la potenciación podemos trasladar este componente del denominador acá al numerador y nos queda entonces como 2 por x a la menos 2 se produce el cambio de signo en el exponente. Pasamos el paréntesis que protege el integrando y escribimos el diferencial de x. Ahora sí podemos integrar, tenemos aquí una integral de tipo directa porque no es necesario utilizar alguno de los métodos de integración, simplemente se integra cada uno de esos términos. Entonces comenzamos con la integral de x que es x a la 1 nos da x a la 2 sobre 2, recordemos que acá se suma 1, 1 más 1, 2 y escribimos lo mismo en el denominador, x al cuadrado medios. Pasamos al siguiente término, la integral de 1 sería x, es decir la variable que tenemos aquí en el diferencial y pasamos al otro término donde el 2 se queda quieto por estar multiplicando con el componente que tiene la x y nos concentramos ahora en la integral de x a la menos 2 que sería x a la menos 2 más 1 que es menos 1 y esto sobre menos 1. Y no escribimos la constante de integración porque estamos trabajando una integral definida, entonces trazamos esta línea y anotamos los límites de integración, 1 es el inferior y 2 es el superior. Antes de reemplazar estos límites de integración acá en la antiderivada que obtuvimos dando cumplimiento al teorema fundamental del cálculo, vamos a reescribir el tercer término, vamos a organizarlo, el primero nos queda tal como está, x al cuadrado sobre 2, el segundo también nos queda tal como está, es decir menos x y acá podemos aplicar ley de los signos, menos con más nos da menos, este 2 quedaría en el numerador, 1 desaparece porque está en el denominador y x a la menos 1 se convierte en x acá en el denominador, trasladamos la potencia al denominador y ya nos queda con exponente positivo, es decir como x a la 1 o simplemente x en el denominador. En resumen eso nos queda como 2 sobre x, entonces de esa manera ya nos queda una fracción más sencilla para reemplazar allí los límites de integración que es lo que vamos a realizar a continuación para dar cumplimiento al teorema fundamental del cálculo. Entonces comenzamos por reemplazar el 2, acá en la expresión obtenida nos queda 2 al cuadrado, todo esto sobre 2, después tenemos menos x, es decir menos 2, luego tenemos menos 2 sobre x, es decir menos 2 sobre 2, allí ha entrado o hemos reemplazado en la expresión el límite superior, podemos colocar corchetes para proteger toda esta expresión. Pasamos ahora al otro reemplazo, vamos a reemplazar o evaluar acá el límite inferior, abrimos el corchete, nos queda entonces, allá en el primer término 1 al cuadrado sobre 2, luego tenemos menos x, es decir menos 1 y después menos 2 sobre x, es decir menos 2 sobre 1, entonces hemos reemplazado o evaluado los límites de integración en la antiderivada obtenida, dando cumplimiento al teorema fundamental del cálculo. En seguida vamos a resolver todas estas operaciones, ya es la parte aritmética del ejercicio, vamos entonces a continuar por acá, tenemos 2 al cuadrado que es 4, 4 sobre 2 o 4 medios equivale a 2, después tenemos menos 2 y luego menos 2 sobre 2, es decir menos 1, protegemos todo esto utilizando los corchetes. Pasamos ahora al siguiente componente, vamos a abrir el corchete correspondiente, 1 al cuadrado es 1, 1 sobre 2 lo dejamos expresado como 1 medio, después tenemos menos 1 y luego menos 2 sobre 1 que será simplemente menos 2 y cerramos el corchete. Continuamos resolviendo, en el primer corchete tenemos 2 menos 2, esto nos da 0, nos queda simplemente menos 1 y ya podemos quitar los signos de agrupación, es decir los corchetes que protegen esto que teníamos acá. Pasamos al siguiente donde vamos a conservar el corchete porque allí tenemos esta operación de números enteros, 1 medio que es la fracción se queda en espera y menos 1 menos 2 nos da menos 3. Continuamos resolviendo, entonces allí ya podemos destruir esos corchetes, aplicamos la propiedad distributiva con este signo menos, nos queda menos 1, luego menos por más es menos, queda menos 1 medio y finalmente menos por menos más, es decir más 3. Operamos allí los números enteros, menos 1 más 3 nos da 2 y nos queda 2 menos 1 medio, la operación entre un entero y una fracción, podemos convertir este 2 en la fracción 4 medios porque son equivalentes y nos queda 4 medios menos 1 medio, la resta de dos fracciones homogéneas o fracciones con el mismo denominador. Conservamos el denominador y efectuamos la operación de los numeradores 4 menos 1 que es 3, 3 medios es una fracción que no se puede simplificar más, es irreducible y sería también impropia, si queremos se puede transformar en número mixto pero podemos dejarla de esa manera. Entonces 3 medios es el resultado para esa integral definida. Una vez que hemos resuelto este ejercicio manualmente, podemos hacer su comprobación en la calculadora Casio ClassWiz, veamos cómo se hace. Primero verificamos que se encuentre en el modo 1, entonces presionamos el botón menú y vemos en pantalla los iconos o accesos directos a las distintas funciones de la calculadora, vemos que está resaltado el icono 1, el de la opción Calcular, entonces allí es donde debemos trabajar, presionamos igual para ingresar a ese modo y vamos a escribir en pantalla esta integral definida tal como la tenemos acá en el tablero. Entonces para ello presionamos el botón de la integral definida y allí donde está titilando el cursor, es decir en el integrando, vamos a ingresar esa fracción, entonces botón de fracción, vamos con lo del numerador, tenemos x al cubo, botón de la x, botón de x al cuadrito para elevar esa x al exponente 3, allí en el cuadrito del exponente escribimos el 3, corremos el cursor a la derecha para que baje, vamos con el signo menos, luego tenemos x al cuadrado, botón de la x y luego la tecla para elevar al cuadrado, después escribimos más 2, pasamos al denominador y vamos a escribir x al cuadrado, botón de la x y luego el botón de elevar al cuadrado. Como se observa ya hemos escrito en pantalla esta fracción, la que corresponde al integrando, corremos el cursor a la derecha, luego otra vez a la derecha y él se sitúa aquí, es decir en el límite inferior, vamos a ingresar el 1, corremos el cursor a la derecha y él se traslada ahora acá al límite superior, ingresamos el 2, como vemos ya tenemos en pantalla la integral definida tal como se observa acá en el tablero, presionamos el botón igual y obtenemos tres medios, el resultado que nos dio por acá cuando hicimos todo el proceso manualmente, de esta manera comprobamos que este ejercicio que desarrollamos paso a paso es correcto.
[{"start": 0.0, "end": 12.040000000000001, "text": " Tenemos en este caso una integral definida que vamos a resolver paso a paso manualmente"}, {"start": 12.040000000000001, "end": 17.92, "text": " y que tambi\u00e9n vamos a comprobar utilizando la calculadora Casio-Claswitz."}, {"start": 17.92, "end": 23.0, "text": " Comenzamos obteniendo la antiderivada para esta expresi\u00f3n, para la funci\u00f3n que tenemos"}, {"start": 23.0, "end": 27.0, "text": " en el integrando y vamos a utilizar la siguiente propiedad."}, {"start": 27.0, "end": 33.52, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n A sobre D m\u00e1s o menos la fracci\u00f3n B sobre D m\u00e1s o menos la fracci\u00f3n"}, {"start": 33.52, "end": 40.8, "text": " C sobre D, es decir, suma o resta de fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 40.8, "end": 48.24, "text": " Entonces en ese caso conservamos el denominador y efectuamos la operaci\u00f3n entre los numeradores."}, {"start": 48.24, "end": 55.0, "text": " Entonces esto es lo que tenemos ac\u00e1, una fracci\u00f3n compacta con un solo componente"}, {"start": 55.0, "end": 60.88, "text": " en el denominador. Vamos a llevarlo a esta forma, es decir, a fracciones individuales"}, {"start": 60.88, "end": 67.0, "text": " cada una con ese mismo denominador. Entonces nos queda de la siguiente forma, la integral"}, {"start": 67.0, "end": 74.4, "text": " definida desde 1 hasta 2. 1 es el l\u00edmite inferior, 2 es el l\u00edmite superior y all\u00e1"}, {"start": 74.4, "end": 84.68, "text": " tendremos x al cubo sobre x al cuadrado, despu\u00e9s tenemos menos x al cuadrado sobre x al cuadrado"}, {"start": 84.68, "end": 93.4, "text": " y despu\u00e9s m\u00e1s 2 sobre x al cuadrado. Entonces hemos repartido el denominador para cada uno"}, {"start": 93.4, "end": 98.2, "text": " de los numeradores y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 98.2, "end": 105.08, "text": " Enseguida vamos a simplificar los dos primeros t\u00e9rminos y vamos a reescribir el tercero."}, {"start": 105.08, "end": 111.56, "text": " Entonces esto nos queda de la siguiente manera, tenemos la integral definida que va desde"}, {"start": 111.56, "end": 118.24000000000001, "text": " 1 hasta 2 y en el primer t\u00e9rmino observamos un cociente de potencias de la misma base,"}, {"start": 118.24000000000001, "end": 124.76, "text": " en ese caso se conserva la base y se restan los exponentes, 3 menos 2 nos da 1, pero ese"}, {"start": 124.76, "end": 129.8, "text": " exponente 1 puede hacerse invisible y nos queda simplemente x."}, {"start": 129.8, "end": 135.56, "text": " Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde podr\u00edamos aplicar la misma propiedad, cociente de potencias"}, {"start": 135.56, "end": 140.96, "text": " de la misma base, se conservar\u00eda la base que es x y al restar exponente nos quedar\u00eda"}, {"start": 140.96, "end": 148.36, "text": " 0 y x al 0 equivale a 1. Visto de otra manera, en una fracci\u00f3n donde el numerador es igual"}, {"start": 148.36, "end": 155.48000000000002, "text": " al denominador siendo ambos componentes distintos de 0, entonces la fracci\u00f3n equivale a 1."}, {"start": 155.48000000000002, "end": 162.04000000000002, "text": " Y pasamos al otro t\u00e9rmino donde por una propiedad de la potenciaci\u00f3n podemos trasladar este"}, {"start": 162.04000000000002, "end": 168.84, "text": " componente del denominador ac\u00e1 al numerador y nos queda entonces como 2 por x a la menos"}, {"start": 168.84, "end": 173.28000000000003, "text": " 2 se produce el cambio de signo en el exponente."}, {"start": 173.28, "end": 179.56, "text": " Pasamos el par\u00e9ntesis que protege el integrando y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 179.56, "end": 185.24, "text": " Ahora s\u00ed podemos integrar, tenemos aqu\u00ed una integral de tipo directa porque no es necesario"}, {"start": 185.24, "end": 191.88, "text": " utilizar alguno de los m\u00e9todos de integraci\u00f3n, simplemente se integra cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 191.88, "end": 197.98, "text": " Entonces comenzamos con la integral de x que es x a la 1 nos da x a la 2 sobre 2, recordemos"}, {"start": 197.98, "end": 204.07999999999998, "text": " que ac\u00e1 se suma 1, 1 m\u00e1s 1, 2 y escribimos lo mismo en el denominador, x al cuadrado"}, {"start": 204.07999999999998, "end": 205.28, "text": " medios."}, {"start": 205.28, "end": 210.44, "text": " Pasamos al siguiente t\u00e9rmino, la integral de 1 ser\u00eda x, es decir la variable que tenemos"}, {"start": 210.44, "end": 216.72, "text": " aqu\u00ed en el diferencial y pasamos al otro t\u00e9rmino donde el 2 se queda quieto por estar"}, {"start": 216.72, "end": 221.83999999999997, "text": " multiplicando con el componente que tiene la x y nos concentramos ahora en la integral"}, {"start": 221.84, "end": 228.76, "text": " de x a la menos 2 que ser\u00eda x a la menos 2 m\u00e1s 1 que es menos 1 y esto sobre menos"}, {"start": 228.76, "end": 229.76, "text": " 1."}, {"start": 229.76, "end": 236.12, "text": " Y no escribimos la constante de integraci\u00f3n porque estamos trabajando una integral definida,"}, {"start": 236.12, "end": 242.78, "text": " entonces trazamos esta l\u00ednea y anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n, 1 es el inferior"}, {"start": 242.78, "end": 245.28, "text": " y 2 es el superior."}, {"start": 245.28, "end": 251.04, "text": " Antes de reemplazar estos l\u00edmites de integraci\u00f3n ac\u00e1 en la antiderivada que obtuvimos dando"}, {"start": 251.04, "end": 257.4, "text": " cumplimiento al teorema fundamental del c\u00e1lculo, vamos a reescribir el tercer t\u00e9rmino, vamos"}, {"start": 257.4, "end": 263.84, "text": " a organizarlo, el primero nos queda tal como est\u00e1, x al cuadrado sobre 2, el segundo tambi\u00e9n"}, {"start": 263.84, "end": 269.68, "text": " nos queda tal como est\u00e1, es decir menos x y ac\u00e1 podemos aplicar ley de los signos,"}, {"start": 269.68, "end": 276.15999999999997, "text": " menos con m\u00e1s nos da menos, este 2 quedar\u00eda en el numerador, 1 desaparece porque est\u00e1"}, {"start": 276.16, "end": 282.08000000000004, "text": " en el denominador y x a la menos 1 se convierte en x ac\u00e1 en el denominador, trasladamos la"}, {"start": 282.08000000000004, "end": 288.08000000000004, "text": " potencia al denominador y ya nos queda con exponente positivo, es decir como x a la 1"}, {"start": 288.08000000000004, "end": 290.88000000000005, "text": " o simplemente x en el denominador."}, {"start": 290.88000000000005, "end": 297.76000000000005, "text": " En resumen eso nos queda como 2 sobre x, entonces de esa manera ya nos queda una fracci\u00f3n m\u00e1s"}, {"start": 297.76000000000005, "end": 304.3, "text": " sencilla para reemplazar all\u00ed los l\u00edmites de integraci\u00f3n que es lo que vamos a realizar"}, {"start": 304.3, "end": 309.64, "text": " a continuaci\u00f3n para dar cumplimiento al teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 309.64, "end": 316.08, "text": " Entonces comenzamos por reemplazar el 2, ac\u00e1 en la expresi\u00f3n obtenida nos queda 2 al cuadrado,"}, {"start": 316.08, "end": 322.44, "text": " todo esto sobre 2, despu\u00e9s tenemos menos x, es decir menos 2, luego tenemos menos 2 sobre"}, {"start": 322.44, "end": 330.56, "text": " x, es decir menos 2 sobre 2, all\u00ed ha entrado o hemos reemplazado en la expresi\u00f3n el l\u00edmite"}, {"start": 330.56, "end": 336.76, "text": " superior, podemos colocar corchetes para proteger toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 336.76, "end": 343.8, "text": " Pasamos ahora al otro reemplazo, vamos a reemplazar o evaluar ac\u00e1 el l\u00edmite inferior, abrimos"}, {"start": 343.8, "end": 351.92, "text": " el corchete, nos queda entonces, all\u00e1 en el primer t\u00e9rmino 1 al cuadrado sobre 2, luego"}, {"start": 351.92, "end": 361.36, "text": " tenemos menos x, es decir menos 1 y despu\u00e9s menos 2 sobre x, es decir menos 2 sobre 1,"}, {"start": 361.36, "end": 366.92, "text": " entonces hemos reemplazado o evaluado los l\u00edmites de integraci\u00f3n en la antiderivada"}, {"start": 366.92, "end": 371.96000000000004, "text": " obtenida, dando cumplimiento al teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 371.96000000000004, "end": 379.04, "text": " En seguida vamos a resolver todas estas operaciones, ya es la parte aritm\u00e9tica del ejercicio, vamos"}, {"start": 379.04, "end": 386.44, "text": " entonces a continuar por ac\u00e1, tenemos 2 al cuadrado que es 4, 4 sobre 2 o 4 medios equivale"}, {"start": 386.44, "end": 394.88, "text": " a 2, despu\u00e9s tenemos menos 2 y luego menos 2 sobre 2, es decir menos 1, protegemos todo"}, {"start": 394.88, "end": 398.52000000000004, "text": " esto utilizando los corchetes."}, {"start": 398.52000000000004, "end": 403.88, "text": " Pasamos ahora al siguiente componente, vamos a abrir el corchete correspondiente, 1 al"}, {"start": 403.88, "end": 411.54, "text": " cuadrado es 1, 1 sobre 2 lo dejamos expresado como 1 medio, despu\u00e9s tenemos menos 1 y luego"}, {"start": 411.54, "end": 419.28, "text": " menos 2 sobre 1 que ser\u00e1 simplemente menos 2 y cerramos el corchete."}, {"start": 419.28, "end": 425.0, "text": " Continuamos resolviendo, en el primer corchete tenemos 2 menos 2, esto nos da 0, nos queda"}, {"start": 425.0, "end": 430.48, "text": " simplemente menos 1 y ya podemos quitar los signos de agrupaci\u00f3n, es decir los corchetes"}, {"start": 430.48, "end": 436.6, "text": " que protegen esto que ten\u00edamos ac\u00e1. Pasamos al siguiente donde vamos a conservar el corchete"}, {"start": 436.6, "end": 441.82, "text": " porque all\u00ed tenemos esta operaci\u00f3n de n\u00fameros enteros, 1 medio que es la fracci\u00f3n se queda"}, {"start": 441.82, "end": 449.0, "text": " en espera y menos 1 menos 2 nos da menos 3. Continuamos resolviendo, entonces all\u00ed ya"}, {"start": 449.0, "end": 455.72, "text": " podemos destruir esos corchetes, aplicamos la propiedad distributiva con este signo menos,"}, {"start": 455.72, "end": 463.56, "text": " nos queda menos 1, luego menos por m\u00e1s es menos, queda menos 1 medio y finalmente menos"}, {"start": 463.56, "end": 470.08000000000004, "text": " por menos m\u00e1s, es decir m\u00e1s 3. Operamos all\u00ed los n\u00fameros enteros, menos 1 m\u00e1s 3 nos da"}, {"start": 470.08000000000004, "end": 477.28000000000003, "text": " 2 y nos queda 2 menos 1 medio, la operaci\u00f3n entre un entero y una fracci\u00f3n, podemos convertir"}, {"start": 477.28000000000003, "end": 484.08000000000004, "text": " este 2 en la fracci\u00f3n 4 medios porque son equivalentes y nos queda 4 medios menos 1"}, {"start": 484.08, "end": 490.68, "text": " medio, la resta de dos fracciones homog\u00e9neas o fracciones con el mismo denominador. Conservamos"}, {"start": 490.68, "end": 497.91999999999996, "text": " el denominador y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores 4 menos 1 que es 3, 3 medios"}, {"start": 497.91999999999996, "end": 503.84, "text": " es una fracci\u00f3n que no se puede simplificar m\u00e1s, es irreducible y ser\u00eda tambi\u00e9n impropia,"}, {"start": 503.84, "end": 510.56, "text": " si queremos se puede transformar en n\u00famero mixto pero podemos dejarla de esa manera."}, {"start": 510.56, "end": 516.08, "text": " Entonces 3 medios es el resultado para esa integral definida."}, {"start": 516.08, "end": 521.8, "text": " Una vez que hemos resuelto este ejercicio manualmente, podemos hacer su comprobaci\u00f3n"}, {"start": 521.8, "end": 527.56, "text": " en la calculadora Casio ClassWiz, veamos c\u00f3mo se hace. Primero verificamos que se encuentre"}, {"start": 527.56, "end": 533.38, "text": " en el modo 1, entonces presionamos el bot\u00f3n men\u00fa y vemos en pantalla los iconos o accesos"}, {"start": 533.38, "end": 540.28, "text": " directos a las distintas funciones de la calculadora, vemos que est\u00e1 resaltado el icono 1, el"}, {"start": 540.28, "end": 545.1999999999999, "text": " de la opci\u00f3n Calcular, entonces all\u00ed es donde debemos trabajar, presionamos igual"}, {"start": 545.1999999999999, "end": 551.92, "text": " para ingresar a ese modo y vamos a escribir en pantalla esta integral definida tal como"}, {"start": 551.92, "end": 557.0799999999999, "text": " la tenemos ac\u00e1 en el tablero. Entonces para ello presionamos el bot\u00f3n de la integral"}, {"start": 557.0799999999999, "end": 563.92, "text": " definida y all\u00ed donde est\u00e1 titilando el cursor, es decir en el integrando, vamos a"}, {"start": 563.92, "end": 569.72, "text": " ingresar esa fracci\u00f3n, entonces bot\u00f3n de fracci\u00f3n, vamos con lo del numerador, tenemos"}, {"start": 569.72, "end": 576.8000000000001, "text": " x al cubo, bot\u00f3n de la x, bot\u00f3n de x al cuadrito para elevar esa x al exponente 3,"}, {"start": 576.8000000000001, "end": 582.44, "text": " all\u00ed en el cuadrito del exponente escribimos el 3, corremos el cursor a la derecha para"}, {"start": 582.44, "end": 589.0400000000001, "text": " que baje, vamos con el signo menos, luego tenemos x al cuadrado, bot\u00f3n de la x y luego"}, {"start": 589.0400000000001, "end": 596.08, "text": " la tecla para elevar al cuadrado, despu\u00e9s escribimos m\u00e1s 2, pasamos al denominador"}, {"start": 596.08, "end": 602.76, "text": " y vamos a escribir x al cuadrado, bot\u00f3n de la x y luego el bot\u00f3n de elevar al cuadrado."}, {"start": 602.76, "end": 610.08, "text": " Como se observa ya hemos escrito en pantalla esta fracci\u00f3n, la que corresponde al integrando,"}, {"start": 610.08, "end": 615.0400000000001, "text": " corremos el cursor a la derecha, luego otra vez a la derecha y \u00e9l se sit\u00faa aqu\u00ed, es"}, {"start": 615.0400000000001, "end": 621.1600000000001, "text": " decir en el l\u00edmite inferior, vamos a ingresar el 1, corremos el cursor a la derecha y \u00e9l"}, {"start": 621.16, "end": 628.04, "text": " se traslada ahora ac\u00e1 al l\u00edmite superior, ingresamos el 2, como vemos ya tenemos en"}, {"start": 628.04, "end": 633.92, "text": " pantalla la integral definida tal como se observa ac\u00e1 en el tablero, presionamos el"}, {"start": 633.92, "end": 640.0, "text": " bot\u00f3n igual y obtenemos tres medios, el resultado que nos dio por ac\u00e1 cuando hicimos todo el"}, {"start": 640.0, "end": 645.4, "text": " proceso manualmente, de esta manera comprobamos que este ejercicio que desarrollamos paso"}, {"start": 645.4, "end": 651.68, "text": " a paso es correcto."}]