INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo integrar una función usando el Método de Sustitución o Cambio de Variable.

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 Vamos a resolver esta integral por el método de sustitución o método de cambio de variable. En este caso vamos a cambiar esta expresión 3x más 1 por una nueva letra. Por ejemplo, vamos a utilizar la letra f. f será entonces 3x más 1. Y esto tenemos que derivarlo con respecto a x. Entonces la derivada de f con respecto a x será igual a 3. La derivada de 3x es 3, la derivada de 1 es 0. Y de aquí vamos a despejar dx. Entonces nos queda df es igual a 3 por dx. dx se está dividiendo, pasa a multiplicar con el 3. Y entonces de aquí despejamos dx. El 3 que está multiplicando pasa a dividir debajo df. Tenemos entonces el despeje dx. Entonces vamos a notar por acá los nuevos componentes f equivale a 3x más 1 y dx que equivale a df sobre 3. Con esos dos componentes vamos entonces a reconstruir la integral que tenemos en términos de la nueva variable. Es decir, en términos de la letra f. Entonces nos queda de la siguiente manera. dx se cambia por df sobre 3. Acá en el numerador escribimos df sobre 3. Y acá en el denominador tendremos esto que se convierte en f. f elevado a la 4. F elevado a la 4, que le podemos colocar denominador 1 para poder hacer esto. La ley de extremos y medios, también conocida como ley de la oreja. Entonces en el numerador nos queda 1 por df que es df. Y en el denominador nos queda 3 por f a la 4. 3 f a la 4. De esta integral podemos sacar este 3. Saldría como 1 tercio que queda multiplicando a la integral de df sobre f elevado a la 4. Continuamos por acá. Esto nos queda entonces 1 tercio de la integral de f elevado a la menos 4 acompañado de su diferencial de f. Subimos esta f, entonces nos queda f a la menos 4. Y esto ya es una integral básica. Entonces nos queda 1 tercio por la integral de f a la menos 4 será f a la menos 3 sobre menos 3. Protejamos esto con un paréntesis porque eso está multiplicando con 1 tercio. Y aparece la constante de integración. Recordemos que a menos 4 se le suma 1, por eso nos queda f a la menos 3 sobre menos 3. Vamos a organizar esta expresión. Esto nos quedaría inicialmente f a la menos 3. En el numerador abajo 3 por menos 3 nos queda menos 9. Más la constante de integración. Vamos a continuarla por acá. Aquí nos queda entonces, acomodando, nos queda el 9 que acompaña a f a la 3. Es decir, f a la menos 3 lo bajamos. En el numerador debemos escribir un 1. Y este menos lo podemos acomodar bien sea aquí en la mitad o bien sea en el numerador. Pongámoslo esta vez en el numerador. Todo esto más la constante de integración. Después de haber acomodado la expresión de tal forma que no quede con exponentes negativos. Y con el menos acomodado. Entonces cambiamos f por su equivalente original. Que es 3x más 1. Entonces nos va a quedar menos 1 sobre 9. Abrimos paréntesis. F se cambia por 3x más 1. Cerramos elevado a la 3. Extendemos esta línea. Y esto más la constante de integración. Esta sería entonces la respuesta a la integral propuesta en este ejercicio.
[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver esta integral por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o m\u00e9todo de cambio de variable."}, {"start": 10.0, "end": 18.0, "text": " En este caso vamos a cambiar esta expresi\u00f3n 3x m\u00e1s 1 por una nueva letra."}, {"start": 18.0, "end": 24.0, "text": " Por ejemplo, vamos a utilizar la letra f. f ser\u00e1 entonces 3x m\u00e1s 1."}, {"start": 24.0, "end": 30.0, "text": " Y esto tenemos que derivarlo con respecto a x."}, {"start": 30.0, "end": 36.0, "text": " Entonces la derivada de f con respecto a x ser\u00e1 igual a 3."}, {"start": 36.0, "end": 42.0, "text": " La derivada de 3x es 3, la derivada de 1 es 0."}, {"start": 42.0, "end": 44.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar dx."}, {"start": 44.0, "end": 50.0, "text": " Entonces nos queda df es igual a 3 por dx."}, {"start": 50.0, "end": 53.0, "text": " dx se est\u00e1 dividiendo, pasa a multiplicar con el 3."}, {"start": 53.0, "end": 56.0, "text": " Y entonces de aqu\u00ed despejamos dx."}, {"start": 56.0, "end": 62.0, "text": " El 3 que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir debajo df."}, {"start": 62.0, "end": 66.0, "text": " Tenemos entonces el despeje dx."}, {"start": 66.0, "end": 83.0, "text": " Entonces vamos a notar por ac\u00e1 los nuevos componentes f equivale a 3x m\u00e1s 1 y dx que equivale a df sobre 3."}, {"start": 83.0, "end": 92.0, "text": " Con esos dos componentes vamos entonces a reconstruir la integral que tenemos en t\u00e9rminos de la nueva variable."}, {"start": 92.0, "end": 96.0, "text": " Es decir, en t\u00e9rminos de la letra f."}, {"start": 96.0, "end": 99.0, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 99.0, "end": 104.0, "text": " dx se cambia por df sobre 3."}, {"start": 104.0, "end": 108.0, "text": " Ac\u00e1 en el numerador escribimos df sobre 3."}, {"start": 108.0, "end": 115.0, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador tendremos esto que se convierte en f. f elevado a la 4."}, {"start": 115.0, "end": 123.0, "text": " F elevado a la 4, que le podemos colocar denominador 1 para poder hacer esto."}, {"start": 123.0, "end": 129.0, "text": " La ley de extremos y medios, tambi\u00e9n conocida como ley de la oreja."}, {"start": 129.0, "end": 136.0, "text": " Entonces en el numerador nos queda 1 por df que es df."}, {"start": 136.0, "end": 140.0, "text": " Y en el denominador nos queda 3 por f a la 4."}, {"start": 140.0, "end": 143.0, "text": " 3 f a la 4."}, {"start": 143.0, "end": 146.0, "text": " De esta integral podemos sacar este 3."}, {"start": 146.0, "end": 157.0, "text": " Saldr\u00eda como 1 tercio que queda multiplicando a la integral de df sobre f elevado a la 4."}, {"start": 157.0, "end": 160.0, "text": " Continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 160.0, "end": 172.0, "text": " Esto nos queda entonces 1 tercio de la integral de f elevado a la menos 4 acompa\u00f1ado de su diferencial de f."}, {"start": 172.0, "end": 177.0, "text": " Subimos esta f, entonces nos queda f a la menos 4."}, {"start": 177.0, "end": 180.0, "text": " Y esto ya es una integral b\u00e1sica."}, {"start": 180.0, "end": 190.0, "text": " Entonces nos queda 1 tercio por la integral de f a la menos 4 ser\u00e1 f a la menos 3 sobre menos 3."}, {"start": 190.0, "end": 195.0, "text": " Protejamos esto con un par\u00e9ntesis porque eso est\u00e1 multiplicando con 1 tercio."}, {"start": 195.0, "end": 198.0, "text": " Y aparece la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 198.0, "end": 205.0, "text": " Recordemos que a menos 4 se le suma 1, por eso nos queda f a la menos 3 sobre menos 3."}, {"start": 205.0, "end": 207.0, "text": " Vamos a organizar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 207.0, "end": 212.0, "text": " Esto nos quedar\u00eda inicialmente f a la menos 3."}, {"start": 212.0, "end": 218.0, "text": " En el numerador abajo 3 por menos 3 nos queda menos 9."}, {"start": 218.0, "end": 221.0, "text": " M\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 221.0, "end": 225.0, "text": " Vamos a continuarla por ac\u00e1."}, {"start": 225.0, "end": 234.0, "text": " Aqu\u00ed nos queda entonces, acomodando, nos queda el 9 que acompa\u00f1a a f a la 3."}, {"start": 234.0, "end": 237.0, "text": " Es decir, f a la menos 3 lo bajamos."}, {"start": 237.0, "end": 240.0, "text": " En el numerador debemos escribir un 1."}, {"start": 240.0, "end": 247.0, "text": " Y este menos lo podemos acomodar bien sea aqu\u00ed en la mitad o bien sea en el numerador."}, {"start": 247.0, "end": 251.0, "text": " Pong\u00e1moslo esta vez en el numerador."}, {"start": 251.0, "end": 253.0, "text": " Todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 253.0, "end": 259.0, "text": " Despu\u00e9s de haber acomodado la expresi\u00f3n de tal forma que no quede con exponentes negativos."}, {"start": 259.0, "end": 261.0, "text": " Y con el menos acomodado."}, {"start": 261.0, "end": 265.0, "text": " Entonces cambiamos f por su equivalente original."}, {"start": 265.0, "end": 267.0, "text": " Que es 3x m\u00e1s 1."}, {"start": 267.0, "end": 272.0, "text": " Entonces nos va a quedar menos 1 sobre 9."}, {"start": 272.0, "end": 274.0, "text": " Abrimos par\u00e9ntesis."}, {"start": 274.0, "end": 278.0, "text": " F se cambia por 3x m\u00e1s 1."}, {"start": 278.0, "end": 281.0, "text": " Cerramos elevado a la 3."}, {"start": 281.0, "end": 283.0, "text": " Extendemos esta l\u00ednea."}, {"start": 283.0, "end": 287.0, "text": " Y esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 287.0, "end": 312.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la respuesta a la integral propuesta en este ejercicio."}]