RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Al final, hace la comprobación en calculadora.

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 Vamos a efectuar el proceso de racionalización de esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener una expresión equivalente, sin radicales aquí en el denominador. Vamos a resolver este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Primero revisamos si es posible simplificar esa expresión. Dicemos que no es posible, 7 y 3 son números primos, no pueden ser descompuestos, entonces no hay nada por hacer allí. Vamos a reescribir el ejercicio, raíz cuadrada de 7 más 3 en el numerador y en el denominador, raíz cuadrada de 7 menos 3 y vamos a iniciar el proceso de racionalización que lo vamos a hacer mediante lo que se llama conjugación. Esto consiste en multiplicar por una fracción que equivale a 1, con eso garantizamos que la expresión original no se va a alterar. Entonces esta fracción se conforma con lo que es el conjugado del denominador original. Veamos en qué consiste eso del conjugado. Para una resta de cantidades, como en este caso, para a menos b, su conjugado es a más b. Y viceversa, si tenemos a más b, su conjugado es a menos b. El objetivo de hacer la conjugación es que se produzca una diferencia de cuadrados perfectos. Este es un producto notable que se llama suma por diferencia y genera una diferencia o resta de cuadrados perfectos. La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces para raíz cuadrada de 7 menos 3, su conjugado será raíz cuadrada de 7 más 3. Y es porque escribimos en el denominador, debemos repetirlo en el numerador. Porque como decíamos, esta fracción tiene que ser equivalente a 1. Para ello tanto el numerador como el denominador deben ser iguales. Ahora vamos a multiplicar esas dos fracciones. Recordemos que eso se hace de manera horizontal. Es decir, se multiplican numeradores entre sí y se multiplican denominadores entre sí. Entonces para el caso de los numeradores vemos que son iguales. Entonces el producto de esa cantidad por ella misma nos va a dar raíz cuadrada de 7 más 3 y todo esto elevado al cuadrado. Para el caso de los denominadores, esta multiplicación la hacemos de acuerdo con este modelo. Aquí tenemos la resta de las cantidades y aquí la suma de ellas, entonces vamos a generar la diferencia de cuadrados perfectos. Es decir, la primera cantidad que es raíz cuadrada de 7, todo esto al cuadrado, menos la segunda cantidad que en este caso es 3, también elevado al cuadrado. Para resolver lo que tenemos en el numerador vamos a aplicar otro producto notable que se llama binomio al cuadrado o el cuadrado de un binomio. El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a la primera cantidad al cuadrado más dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al cuadrado. Es otro producto notable de gran importancia. Entonces vamos a aplicar eso acá en el numerador. Comenzamos con la primera cantidad que es raíz cuadrada de 7 y todo esto elevado al cuadrado. Después tenemos más dos veces la primera cantidad por la segunda, entonces 2 por raíz cuadrada de 7 y eso por 3. Y después tenemos más la segunda cantidad al cuadrado, es decir 3 al cuadrado. Y en el denominador vamos a escribir lo mismo, es decir raíz cuadrada de 7 al cuadrado y eso menos 3 al cuadrado. Resolvemos lo que tenemos allí en el numerador, raíz cuadrada de 7 y eso elevado al cuadrado nos da 7. El exponente 2 elimina la raíz cuadrada. Después tenemos más 2 por raíz de 7 por 3, allí podemos multiplicar 2 por 3 que es 6 y eso queda multiplicando con raíz cuadrada de 7. Después tenemos más 3 al cuadrado que es 9. Ahora en el denominador desarrollamos cada una de estas potencias. Raíz cuadrada de 7 al cuadrado nos da 7 y eso menos 3 al cuadrado que es 9. Continuamos resolviendo. En el numerador pueden sumarse estos dos números, 7 más 9 que nos da 16 y eso queda sumando con 6 raíz cuadrada de 7. Ahora en el denominador resolvemos esa resta 7 menos 9 que nos da menos 2. En el numerador podemos aplicar la factorización. Allí podemos extraer como factor común el máximo común divisor de 16 y 6 que será 2. Entonces, si extraemos el 2 nos queda 8 en el primer término más 3 raíz cuadrada de 7 en el segundo término y en el denominador continúa menos 2. Allí podemos simplificar esta fracción. 2 se está multiplicando en el numerador, puede simplificarse con menos 2. Entonces, sacamos mitad de este número, mitad de 2 nos da 1 y mitad de menos 2 es menos 1. Es como dividir arriba y abajo por 2. En el numerador nos queda 1 por esta expresión numérica que nos da en su mismo 8 más 3 raíz cuadrada de 7. Ya podemos quitarle el paréntesis. Y en el denominador nos ha quedado menos 1. Aquí aplicamos lo siguiente. Recordemos que cuando una fracción es negativa el signo menos puede ocupar tres posiciones. Puede estar en la mitad, puede estar en el numerador o puede estar en el denominador. En este caso tenemos el signo menos ubicado en el denominador. Entonces podemos trasladarlo al numerador tal como aparece aquí. Entonces esto nos queda de la siguiente forma. Sería menos, abrimos paréntesis, 8 más 3 raíz de 7 y de esa manera en el denominador nos quedaría 1 positivo. Por lo tanto ese 1 que está en el denominador podemos omitirlo. Aquí podemos decir que el ejercicio ya terminó porque hemos conseguido una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador. Repetimos aquí hay denominador 1 invisible. Entonces con eso hemos dado cumplimiento al propósito de la racionalización. Otra forma de presentar el resultado es romper ese paréntesis. Es decir aplicar la propiedad distributiva con ese signo menos. Pues que haría menos por 8 sería menos 8 y menos por más 3 raíz de 7 sería menos 3 raíz de 7. Simplemente los dos términos que están positivos ahora quedan negativos. Entonces la respuesta puede presentarse así o también de esta manera. Ahora vamos a comprobar el ejercicio utilizando esta calculadora científica. Comenzamos oprimiendo el botón de fracción. En el numerador vamos a escribir raíz cuadrada de 7 más 3. Entonces botón de raíz cuadrada escribimos el 7. Corremos el cursor a la derecha y después escribimos más 3. Pasamos al denominador donde debemos escribir esto raíz cuadrada de 7 menos 3. Entonces botón de raíz cuadrada escribimos el 7, corremos el cursor a la derecha y después menos 3. Así ya hemos ingresado la expresión numérica a la calculadora. Enseguida oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado, menos 8 menos 3 raíz de 7. Con eso comprobamos que este ejercicio se ha resuelto correctamente.
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Recordemos que cuando una fracci\u00f3n es negativa el signo menos puede ocupar tres posiciones."}, {"start": 372.52000000000004, "end": 378.8, "text": " Puede estar en la mitad, puede estar en el numerador o puede estar en el denominador."}, {"start": 378.8, "end": 383.12, "text": " En este caso tenemos el signo menos ubicado en el denominador."}, {"start": 383.12, "end": 387.96000000000004, "text": " Entonces podemos trasladarlo al numerador tal como aparece aqu\u00ed."}, {"start": 387.96000000000004, "end": 391.28000000000003, "text": " Entonces esto nos queda de la siguiente forma."}, {"start": 391.28000000000003, "end": 400.0, "text": " Ser\u00eda menos, abrimos par\u00e9ntesis, 8 m\u00e1s 3 ra\u00edz de 7 y de esa manera en el denominador"}, {"start": 400.0, "end": 402.2, "text": " nos quedar\u00eda 1 positivo."}, {"start": 402.2, "end": 407.64, "text": " Por lo tanto ese 1 que est\u00e1 en el denominador podemos omitirlo."}, {"start": 407.64, "end": 413.36, "text": " Aqu\u00ed podemos decir que el ejercicio ya termin\u00f3 porque hemos conseguido una expresi\u00f3n num\u00e9rica"}, {"start": 413.36, "end": 418.32, "text": " equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador."}, {"start": 418.32, "end": 421.52, "text": " Repetimos aqu\u00ed hay denominador 1 invisible."}, {"start": 421.52, "end": 426.91999999999996, "text": " Entonces con eso hemos dado cumplimiento al prop\u00f3sito de la racionalizaci\u00f3n."}, {"start": 426.91999999999996, "end": 431.08, "text": " Otra forma de presentar el resultado es romper ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 431.08, "end": 434.84, "text": " Es decir aplicar la propiedad distributiva con ese signo menos."}, {"start": 434.84, "end": 441.32, "text": " Pues que har\u00eda menos por 8 ser\u00eda menos 8 y menos por m\u00e1s 3 ra\u00edz de 7 ser\u00eda menos"}, {"start": 441.32, "end": 443.08, "text": " 3 ra\u00edz de 7."}, {"start": 443.08, "end": 447.79999999999995, "text": " Simplemente los dos t\u00e9rminos que est\u00e1n positivos ahora quedan negativos."}, {"start": 447.79999999999995, "end": 454.0, "text": " Entonces la respuesta puede presentarse as\u00ed o tambi\u00e9n de esta manera."}, {"start": 454.0, "end": 458.79999999999995, "text": " Ahora vamos a comprobar el ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 458.79999999999995, "end": 461.2, "text": " Comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 461.2, "end": 465.36, "text": " En el numerador vamos a escribir ra\u00edz cuadrada de 7 m\u00e1s 3."}, {"start": 465.36, "end": 468.71999999999997, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada escribimos el 7."}, {"start": 468.71999999999997, "end": 473.15999999999997, "text": " Corremos el cursor a la derecha y despu\u00e9s escribimos m\u00e1s 3."}, {"start": 473.15999999999997, "end": 479.2, "text": " Pasamos al denominador donde debemos escribir esto ra\u00edz cuadrada de 7 menos 3."}, {"start": 479.2, "end": 485.2, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada escribimos el 7, corremos el cursor a la derecha y despu\u00e9s"}, {"start": 485.2, "end": 486.76, "text": " menos 3."}, {"start": 486.76, "end": 491.28, "text": " As\u00ed ya hemos ingresado la expresi\u00f3n num\u00e9rica a la calculadora."}, {"start": 491.28, "end": 498.92, "text": " Enseguida oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado, menos 8 menos 3 ra\u00edz de 7."}, {"start": 498.92, "end": 527.76, "text": " Con eso comprobamos que este ejercicio se ha resuelto correctamente."}]