APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL TRAZADO DE CURVAS - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo bosquejar la gráfica de una función usando derivadas para determinar sus puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y concavidades. 

Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 En este ejercicio vamos a realizar el análisis de esta función polinómica. Vamos a encontrar sus puntos críticos, los intervalos donde la función crece y donde decrece, así como los puntos de inflexión, para terminar con la gráfica. Comenzamos por establecer cuál es el dominio de esta función. Por tratarse de una función polinómica, el dominio es el conjunto de los números reales, es decir, cualquier valor de x podría sustituirse en esa función y ella existiría. Luego es una función continua desde menos infinito hasta más infinito. Vamos a comenzar obteniendo la primera y la segunda derivada. La primera derivada de la función sería derivar cada término. Derivada del primer término sería 3 por 1 tercio, es decir, 1 por x al cuadrado. Nos queda simplemente x al cuadrado menos la derivada de este término que sería 2x. Y la derivada de este término que sería menos 3. La derivada de este término constante recordemos que es 0. Vamos con la segunda derivada. Entonces, nuevamente derivamos cada uno de estos términos. Derivada de x al cuadrado es 2x. Derivada de menos 2x es menos 2. Y la derivada de menos 3 sería 0. A continuación vamos a determinar donde la función tiene puntos críticos. Recordemos que puntos críticos son aquellos donde la función tiene tangente horizontal. Es decir, puntos donde la derivada es igual a 0. Luego esta es la condición para encontrar puntos críticos. Tomar la primera derivada de la función e igualarla a 0. La primera derivada nos dio x al cuadrado menos 2x menos 3. Y al igualar a 0 tenemos una ecuación cuadrática. Vamos a resolver por factorización. Factorizamos ese trinomio. Abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de x al cuadrado que sería x. Cuadramos los signos, más por menos nos da menos. Menos por menos nos da más. Y buscamos dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados entre sí nos den menos 3. Y que sumados nos den menos 2. Esos números son menos 3 y 1. Después de haber factorizado entonces aplicamos el teorema del factor nulo. Recordemos que si dos expresiones se están multiplicando y eso está igualado a 0. Entonces cada una de esas expresiones se iguala a 0. Nos queda x menos 3 igual a 0. O x más 1 igual a 0. En cada caso despejamos x. Por acá nos queda x igual a 3. Y por acá obtenemos x igual a menos 1. De esta manera obtenemos los valores de x, es decir las abscisas, donde la función tiene puntos críticos. Seguimos con los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. Para ello vamos a realizar el análisis del signo de la primera derivada. Y recordemos que la primera derivada nos dio x al cuadrado menos 2x menos 3. Pero hace un momento vimos que esta expresión se puede factorizar. Nos quedó x menos 3 por x más 1. Entonces conviene tenerla factorizada porque esto nos facilita el análisis del signo de la primera derivada. Ahora vamos a trazar una recta que represente el dominio de la función. Es decir todos los números reales. Allí tenemos la recta que representa los valores que puede tomar x en la función. Es decir desde menos infinito hasta más infinito. Y en esa recta vamos a localizar los valores de x donde tuvimos puntos críticos. Recordemos que de aquí salió x igual a 3 y de aquí x igual a menos 1. Entonces vamos a anotar el menor de ellos que fue menos 1. Allí está el primer punto crítico. Y por acá más adelante localizamos el 3 que es donde está el otro punto crítico. Entonces podríamos colocar por aquí que este menos 1 corresponde al punto crítico 1 y 3 corresponde al punto crítico 2. Y a continuación vamos a elegir números de cada intervalo para probarlos aquí en la expresión factorizada de la primera derivada. Para el primer intervalo escogemos un valor de x comprendido entre menos 1 y menos infinito. Podemos usar x igual a menos 2. Para el segundo intervalo escogemos un valor de x comprendido entre menos 1 y 3. Puede ser el 0. Y para el tercer intervalo escogemos un valor de x comprendido entre 3 y más infinito. Podemos elegir el 4. Ahora vamos a abrir los paréntesis correspondientes a cada uno de los factores que conforman la primera derivada para analizar su signo. Aquí no nos interesa tanto el resultado numérico sino el signo que adopte cada paréntesis. Entonces miremos. Cuando x vale menos 2 el primer paréntesis queda menos 2 menos 3 que es menos signo. Entonces anotamos el signo negativo. No nos interesa anotar menos 5 sino únicamente el signo negativo. Vamos con menos 2 nuevamente aquí. Menos 2 más 1 nos da menos 1. Eso nos da signo negativo. Vamos acá. Vamos con 0. 0 menos 3 daría menos 3 es decir negativo. Y acá 0 más 1 nos da 1 positivo. Y en el último vamos con 4. 4 menos 3 nos da 1 positivo. Y 4 más 1 nos da 5 positivo. Entonces miremos el signo de la primera derivada como quedó. Aquí menos por menos nos da más. Acá signo de la primera derivada. Menos por más nos da menos. Y por acá signo de la primera derivada. Más por más nos da más. Y en conclusión. Si la primera derivada es positiva la función es creciente en ese intervalo que se analizó. Y si la primera derivada es negativa entonces la función es decreciente. Entonces de esa manera ya establecemos en qué intervalos la función crece. Serían estos dos. Y donde la función decrece sería en este intervalo del centro. Esto nos permite también ya establecer qué clase de puntos críticos tenemos. Por ejemplo este primer punto crítico será un máximo. Porque vemos que la función antes de él crece y luego decrece. En cambio este será un punto mínimo. Porque vemos que la función decrece y luego crece. Entonces ya hicimos el análisis de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. Ahora vamos a determinar dónde la función tiene puntos de inflexión. Recordemos que son aquellos puntos donde se presenta cambio de concavidad. Para ello tomamos la segunda derivada y la igualamos a cero. Entonces la segunda derivada nos dio 2x menos 2. Y al quedar igualado a cero entonces resolvemos esa ecuación. Es una ecuación lineal o de primer grado. Despejamos poco a poco la x y obtenemos x igual a 1. Entonces esto quiere decir que en x igual a 1 la función tiene punto de inflexión. Ahora vamos a determinar las concavidades de la función. Es decir, dónde la función es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo. Para ello realizamos el análisis del signo de la segunda derivada. Y la segunda derivada nos dio 2x menos 2. Entonces, nuevamente trazamos una recta que simbolice el dominio de la función. Allí la tenemos y en ella vamos a localizar el valor de x donde obtuvimos punto de inflexión. Es decir, en x igual a 1. Entonces, allí tendremos nuestro pi, es decir, punto de inflexión. Se determinan entonces dos intervalos donde vamos a realizar el análisis del signo de la segunda derivada. Para ello seleccionamos un valor de x en cada intervalo. Veamos, en el primero, escogemos un número comprendido entre 1 y menos infinito. Podemos escoger el cero. Y en el otro, un número comprendido entre 1 y más infinito. Podríamos escoger, por ejemplo, el tres. Y cada uno de estos valores los vamos a reemplazar aquí en la segunda derivada. Como es una sola expresión, entonces simplemente determinamos el signo resultante de hacer los reemplazos. Tenemos entonces con cero, 2x0, cero, menos 2 nos da menos 2. Es decir que aquí la segunda derivada nos da negativa. Y por acá con tres tenemos 2x3, 6. 6 menos 2 nos da 4. Por lo tanto, aquí la segunda derivada es positiva. La conclusión es que en esta zona, es decir, entre menos infinito y 1, la función es con k más hacia abajo. Porque la segunda derivada es negativa. Y en el otro intervalo, es decir, desde 1 hasta más infinito, la función es con k hacia arriba. Porque la segunda derivada nos dio positiva. A continuación vamos a determinar los puntos principales de la función. Tomamos los valores de x que obtuvimos hasta el momento, es decir, del análisis de puntos críticos y de puntos de inflexión. Y cada uno de ellos vamos a reemplazarlos en la función original. Para encontrar sus respectivos valores de y, es decir, sus ordenadas. De esa manera formamos parejas que serán los puntos principales para el trazado de la gráfica. Los puntos que encontramos, los valores de x, fueron en orden ascendente. Menos 1, 1 y 3. Recordemos que en x igual a menos 1 tuvimos el primer punto crítico. Punto crítico 1. En x igual a 1 fue donde obtuvimos el punto de inflexión. Y en x igual a 3 tuvimos el segundo punto crítico. Punto crítico 2. Entonces cada uno de estos números entra acá, se opera y nos producen los respectivos valores de la función o de y. Esos valores son, para menos 1 nos da 17 tercios, para 1 nos da 1 tercio y para 3 nos da menos 5. Entonces estos puntos, estas parejas, son las que vamos a llevar a continuación al plano cartesiano. Allí tenemos esos puntos principales localizados. Este es el punto crítico 1, cuyas coordenadas son menos 1 en x y 17 tercios en y. Este que es el punto de inflexión, cuyas coordenadas son 1 en x y 1 tercio en y. Y este que es el punto crítico 2, cuyas coordenadas son 3 en x y menos 5 en y. Un punto adicional que podríamos obtener es el corte de la función con el eje y. Recordemos que ese se obtiene haciendo x igual a 0. Ese valor nos da entonces aquí en 4. Es el y intersecto o intersección con el eje y. Entonces vamos a trazar la curva correspondiente a la función teniendo presente todo lo que obtuvimos del análisis en los pasos anteriores. Recordemos que la función nos dio creciente desde menos infinito hasta menos 1. Entonces ella viene así. Es de creciente entre menos 1 y 3, es decir aquí tiene que bajar, y creciente nuevamente de 3 en adelante, o sea que vuelve a levantar. Y también de las concavidades nos dio que desde menos infinito hasta 1 la función es concava hacia abajo y de 1 hasta más infinito es concava hacia arriba. Luego debemos trazar una curva suave que haga este recorrido más o menos. Y de esa manera tenemos la gráfica de la función. Vamos a mirarla. Allí tenemos la curva dibujada en color azul. Vemos que conecta los puntos principales que se obtuvieron del análisis de la función utilizando los criterios de la primera y segunda derivada. Observamos el punto crítico 1 que es un máximo, es decir un máximo local o máximo relativo de la función. Este punto crítico 2 que sería un mínimo local o mínimo relativo y el punto de inflexión. Vemos también el comportamiento creciente, decreciente y después creciente. Vemos también la concavidad hacia abajo antes del punto de inflexión y la concavidad hacia arriba después de ese punto de inflexión. Lógicamente si quisiéramos más precisión para el trazado de la gráfica necesitaríamos tabular más puntos. Pero en realidad no es necesario, basta con los puntos principales para tener un gráfico con muy buena aproximación de la función.
[{"start": 0.0, "end": 18.0, "text": " En este ejercicio vamos a realizar el an\u00e1lisis de esta funci\u00f3n polin\u00f3mica."}, {"start": 18.0, "end": 30.0, "text": " Vamos a encontrar sus puntos cr\u00edticos, los intervalos donde la funci\u00f3n crece y donde decrece, as\u00ed como los puntos de inflexi\u00f3n, para terminar con la gr\u00e1fica."}, {"start": 30.0, "end": 35.0, "text": " Comenzamos por establecer cu\u00e1l es el dominio de esta funci\u00f3n."}, {"start": 35.0, "end": 50.0, "text": " Por tratarse de una funci\u00f3n polin\u00f3mica, el dominio es el conjunto de los n\u00fameros reales, es decir, cualquier valor de x podr\u00eda sustituirse en esa funci\u00f3n y ella existir\u00eda."}, {"start": 50.0, "end": 57.0, "text": " Luego es una funci\u00f3n continua desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 57.0, "end": 64.0, "text": " Vamos a comenzar obteniendo la primera y la segunda derivada."}, {"start": 64.0, "end": 69.0, "text": " La primera derivada de la funci\u00f3n ser\u00eda derivar cada t\u00e9rmino."}, {"start": 69.0, "end": 76.0, "text": " Derivada del primer t\u00e9rmino ser\u00eda 3 por 1 tercio, es decir, 1 por x al cuadrado."}, {"start": 76.0, "end": 82.0, "text": " Nos queda simplemente x al cuadrado menos la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda 2x."}, {"start": 82.0, "end": 91.0, "text": " Y la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda menos 3. La derivada de este t\u00e9rmino constante recordemos que es 0."}, {"start": 91.0, "end": 94.0, "text": " Vamos con la segunda derivada."}, {"start": 94.0, "end": 100.0, "text": " Entonces, nuevamente derivamos cada uno de estos t\u00e9rminos."}, {"start": 100.0, "end": 111.0, "text": " Derivada de x al cuadrado es 2x. Derivada de menos 2x es menos 2. Y la derivada de menos 3 ser\u00eda 0."}, {"start": 111.0, "end": 116.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a determinar donde la funci\u00f3n tiene puntos cr\u00edticos."}, {"start": 116.0, "end": 123.0, "text": " Recordemos que puntos cr\u00edticos son aquellos donde la funci\u00f3n tiene tangente horizontal."}, {"start": 123.0, "end": 128.0, "text": " Es decir, puntos donde la derivada es igual a 0."}, {"start": 128.0, "end": 132.0, "text": " Luego esta es la condici\u00f3n para encontrar puntos cr\u00edticos."}, {"start": 132.0, "end": 136.0, "text": " Tomar la primera derivada de la funci\u00f3n e igualarla a 0."}, {"start": 136.0, "end": 143.0, "text": " La primera derivada nos dio x al cuadrado menos 2x menos 3."}, {"start": 143.0, "end": 147.0, "text": " Y al igualar a 0 tenemos una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 147.0, "end": 150.0, "text": " Vamos a resolver por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 150.0, "end": 153.0, "text": " Factorizamos ese trinomio."}, {"start": 153.0, "end": 159.0, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis, sacamos la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado que ser\u00eda x."}, {"start": 159.0, "end": 163.0, "text": " Cuadramos los signos, m\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 163.0, "end": 165.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 165.0, "end": 172.0, "text": " Y buscamos dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo que multiplicados entre s\u00ed nos den menos 3."}, {"start": 172.0, "end": 174.0, "text": " Y que sumados nos den menos 2."}, {"start": 174.0, "end": 178.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos 3 y 1."}, {"start": 178.0, "end": 184.0, "text": " Despu\u00e9s de haber factorizado entonces aplicamos el teorema del factor nulo."}, {"start": 184.0, "end": 190.0, "text": " Recordemos que si dos expresiones se est\u00e1n multiplicando y eso est\u00e1 igualado a 0."}, {"start": 190.0, "end": 196.0, "text": " Entonces cada una de esas expresiones se iguala a 0."}, {"start": 196.0, "end": 199.0, "text": " Nos queda x menos 3 igual a 0."}, {"start": 199.0, "end": 204.0, "text": " O x m\u00e1s 1 igual a 0."}, {"start": 204.0, "end": 207.0, "text": " En cada caso despejamos x."}, {"start": 207.0, "end": 210.0, "text": " Por ac\u00e1 nos queda x igual a 3."}, {"start": 210.0, "end": 215.0, "text": " Y por ac\u00e1 obtenemos x igual a menos 1."}, {"start": 215.0, "end": 225.0, "text": " De esta manera obtenemos los valores de x, es decir las abscisas, donde la funci\u00f3n tiene puntos cr\u00edticos."}, {"start": 225.0, "end": 232.0, "text": " Seguimos con los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funci\u00f3n."}, {"start": 232.0, "end": 243.0, "text": " Para ello vamos a realizar el an\u00e1lisis del signo de la primera derivada."}, {"start": 243.0, "end": 253.0, "text": " Y recordemos que la primera derivada nos dio x al cuadrado menos 2x menos 3."}, {"start": 253.0, "end": 260.0, "text": " Pero hace un momento vimos que esta expresi\u00f3n se puede factorizar."}, {"start": 260.0, "end": 266.0, "text": " Nos qued\u00f3 x menos 3 por x m\u00e1s 1."}, {"start": 266.0, "end": 274.0, "text": " Entonces conviene tenerla factorizada porque esto nos facilita el an\u00e1lisis del signo de la primera derivada."}, {"start": 274.0, "end": 279.0, "text": " Ahora vamos a trazar una recta que represente el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " Es decir todos los n\u00fameros reales."}, {"start": 282.0, "end": 288.0, "text": " All\u00ed tenemos la recta que representa los valores que puede tomar x en la funci\u00f3n."}, {"start": 288.0, "end": 292.0, "text": " Es decir desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 292.0, "end": 299.0, "text": " Y en esa recta vamos a localizar los valores de x donde tuvimos puntos cr\u00edticos."}, {"start": 299.0, "end": 305.0, "text": " Recordemos que de aqu\u00ed sali\u00f3 x igual a 3 y de aqu\u00ed x igual a menos 1."}, {"start": 305.0, "end": 311.0, "text": " Entonces vamos a anotar el menor de ellos que fue menos 1."}, {"start": 311.0, "end": 315.0, "text": " All\u00ed est\u00e1 el primer punto cr\u00edtico."}, {"start": 315.0, "end": 324.0, "text": " Y por ac\u00e1 m\u00e1s adelante localizamos el 3 que es donde est\u00e1 el otro punto cr\u00edtico."}, {"start": 324.0, "end": 340.0, "text": " Entonces podr\u00edamos colocar por aqu\u00ed que este menos 1 corresponde al punto cr\u00edtico 1 y 3 corresponde al punto cr\u00edtico 2."}, {"start": 340.0, "end": 351.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a elegir n\u00fameros de cada intervalo para probarlos aqu\u00ed en la expresi\u00f3n factorizada de la primera derivada."}, {"start": 351.0, "end": 359.0, "text": " Para el primer intervalo escogemos un valor de x comprendido entre menos 1 y menos infinito."}, {"start": 359.0, "end": 364.0, "text": " Podemos usar x igual a menos 2."}, {"start": 364.0, "end": 372.0, "text": " Para el segundo intervalo escogemos un valor de x comprendido entre menos 1 y 3."}, {"start": 372.0, "end": 374.0, "text": " Puede ser el 0."}, {"start": 374.0, "end": 382.0, "text": " Y para el tercer intervalo escogemos un valor de x comprendido entre 3 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 382.0, "end": 385.0, "text": " Podemos elegir el 4."}, {"start": 385.0, "end": 398.0, "text": " Ahora vamos a abrir los par\u00e9ntesis correspondientes a cada uno de los factores que conforman la primera derivada para analizar su signo."}, {"start": 398.0, "end": 406.0, "text": " Aqu\u00ed no nos interesa tanto el resultado num\u00e9rico sino el signo que adopte cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 406.0, "end": 407.0, "text": " Entonces miremos."}, {"start": 407.0, "end": 414.0, "text": " Cuando x vale menos 2 el primer par\u00e9ntesis queda menos 2 menos 3 que es menos signo."}, {"start": 414.0, "end": 416.0, "text": " Entonces anotamos el signo negativo."}, {"start": 416.0, "end": 421.0, "text": " No nos interesa anotar menos 5 sino \u00fanicamente el signo negativo."}, {"start": 421.0, "end": 424.0, "text": " Vamos con menos 2 nuevamente aqu\u00ed."}, {"start": 424.0, "end": 426.0, "text": " Menos 2 m\u00e1s 1 nos da menos 1."}, {"start": 426.0, "end": 429.0, "text": " Eso nos da signo negativo."}, {"start": 429.0, "end": 430.0, "text": " Vamos ac\u00e1."}, {"start": 430.0, "end": 431.0, "text": " Vamos con 0."}, {"start": 431.0, "end": 435.0, "text": " 0 menos 3 dar\u00eda menos 3 es decir negativo."}, {"start": 435.0, "end": 439.0, "text": " Y ac\u00e1 0 m\u00e1s 1 nos da 1 positivo."}, {"start": 439.0, "end": 442.0, "text": " Y en el \u00faltimo vamos con 4."}, {"start": 442.0, "end": 445.0, "text": " 4 menos 3 nos da 1 positivo."}, {"start": 445.0, "end": 449.0, "text": " Y 4 m\u00e1s 1 nos da 5 positivo."}, {"start": 449.0, "end": 454.0, "text": " Entonces miremos el signo de la primera derivada como qued\u00f3."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " Aqu\u00ed menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 458.0, "end": 461.0, "text": " Ac\u00e1 signo de la primera derivada."}, {"start": 461.0, "end": 464.0, "text": " Menos por m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 464.0, "end": 467.0, "text": " Y por ac\u00e1 signo de la primera derivada."}, {"start": 467.0, "end": 471.0, "text": " M\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 471.0, "end": 472.0, "text": " Y en conclusi\u00f3n."}, {"start": 472.0, "end": 482.0, "text": " Si la primera derivada es positiva la funci\u00f3n es creciente en ese intervalo que se analiz\u00f3."}, {"start": 482.0, "end": 488.0, "text": " Y si la primera derivada es negativa entonces la funci\u00f3n es decreciente."}, {"start": 488.0, "end": 494.0, "text": " Entonces de esa manera ya establecemos en qu\u00e9 intervalos la funci\u00f3n crece."}, {"start": 494.0, "end": 495.0, "text": " Ser\u00edan estos dos."}, {"start": 495.0, "end": 500.0, "text": " Y donde la funci\u00f3n decrece ser\u00eda en este intervalo del centro."}, {"start": 500.0, "end": 505.0, "text": " Esto nos permite tambi\u00e9n ya establecer qu\u00e9 clase de puntos cr\u00edticos tenemos."}, {"start": 505.0, "end": 511.0, "text": " Por ejemplo este primer punto cr\u00edtico ser\u00e1 un m\u00e1ximo."}, {"start": 511.0, "end": 516.0, "text": " Porque vemos que la funci\u00f3n antes de \u00e9l crece y luego decrece."}, {"start": 516.0, "end": 519.0, "text": " En cambio este ser\u00e1 un punto m\u00ednimo."}, {"start": 519.0, "end": 524.0, "text": " Porque vemos que la funci\u00f3n decrece y luego crece."}, {"start": 524.0, "end": 531.0, "text": " Entonces ya hicimos el an\u00e1lisis de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funci\u00f3n."}, {"start": 531.0, "end": 535.0, "text": " Ahora vamos a determinar d\u00f3nde la funci\u00f3n tiene puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 535.0, "end": 541.0, "text": " Recordemos que son aquellos puntos donde se presenta cambio de concavidad."}, {"start": 541.0, "end": 546.0, "text": " Para ello tomamos la segunda derivada y la igualamos a cero."}, {"start": 546.0, "end": 552.0, "text": " Entonces la segunda derivada nos dio 2x menos 2."}, {"start": 552.0, "end": 558.0, "text": " Y al quedar igualado a cero entonces resolvemos esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 558.0, "end": 562.0, "text": " Es una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado."}, {"start": 562.0, "end": 568.0, "text": " Despejamos poco a poco la x y obtenemos x igual a 1."}, {"start": 568.0, "end": 576.0, "text": " Entonces esto quiere decir que en x igual a 1 la funci\u00f3n tiene punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 576.0, "end": 580.0, "text": " Ahora vamos a determinar las concavidades de la funci\u00f3n."}, {"start": 580.0, "end": 587.0, "text": " Es decir, d\u00f3nde la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia arriba y d\u00f3nde es c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 587.0, "end": 599.0, "text": " Para ello realizamos el an\u00e1lisis del signo de la segunda derivada."}, {"start": 599.0, "end": 605.0, "text": " Y la segunda derivada nos dio 2x menos 2."}, {"start": 605.0, "end": 612.0, "text": " Entonces, nuevamente trazamos una recta que simbolice el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 612.0, "end": 621.0, "text": " All\u00ed la tenemos y en ella vamos a localizar el valor de x donde obtuvimos punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 621.0, "end": 624.0, "text": " Es decir, en x igual a 1."}, {"start": 624.0, "end": 631.0, "text": " Entonces, all\u00ed tendremos nuestro pi, es decir, punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 631.0, "end": 639.0, "text": " Se determinan entonces dos intervalos donde vamos a realizar el an\u00e1lisis del signo de la segunda derivada."}, {"start": 639.0, "end": 645.0, "text": " Para ello seleccionamos un valor de x en cada intervalo."}, {"start": 645.0, "end": 652.0, "text": " Veamos, en el primero, escogemos un n\u00famero comprendido entre 1 y menos infinito."}, {"start": 652.0, "end": 654.0, "text": " Podemos escoger el cero."}, {"start": 654.0, "end": 659.0, "text": " Y en el otro, un n\u00famero comprendido entre 1 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 659.0, "end": 662.0, "text": " Podr\u00edamos escoger, por ejemplo, el tres."}, {"start": 662.0, "end": 668.0, "text": " Y cada uno de estos valores los vamos a reemplazar aqu\u00ed en la segunda derivada."}, {"start": 668.0, "end": 677.0, "text": " Como es una sola expresi\u00f3n, entonces simplemente determinamos el signo resultante de hacer los reemplazos."}, {"start": 677.0, "end": 683.0, "text": " Tenemos entonces con cero, 2x0, cero, menos 2 nos da menos 2."}, {"start": 683.0, "end": 690.0, "text": " Es decir que aqu\u00ed la segunda derivada nos da negativa."}, {"start": 690.0, "end": 694.0, "text": " Y por ac\u00e1 con tres tenemos 2x3, 6."}, {"start": 694.0, "end": 697.0, "text": " 6 menos 2 nos da 4."}, {"start": 697.0, "end": 702.0, "text": " Por lo tanto, aqu\u00ed la segunda derivada es positiva."}, {"start": 702.0, "end": 712.0, "text": " La conclusi\u00f3n es que en esta zona, es decir, entre menos infinito y 1, la funci\u00f3n es con k m\u00e1s hacia abajo."}, {"start": 712.0, "end": 715.0, "text": " Porque la segunda derivada es negativa."}, {"start": 715.0, "end": 723.0, "text": " Y en el otro intervalo, es decir, desde 1 hasta m\u00e1s infinito, la funci\u00f3n es con k hacia arriba."}, {"start": 723.0, "end": 727.0, "text": " Porque la segunda derivada nos dio positiva."}, {"start": 727.0, "end": 732.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a determinar los puntos principales de la funci\u00f3n."}, {"start": 732.0, "end": 742.0, "text": " Tomamos los valores de x que obtuvimos hasta el momento, es decir, del an\u00e1lisis de puntos cr\u00edticos y de puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 742.0, "end": 747.0, "text": " Y cada uno de ellos vamos a reemplazarlos en la funci\u00f3n original."}, {"start": 747.0, "end": 753.0, "text": " Para encontrar sus respectivos valores de y, es decir, sus ordenadas."}, {"start": 753.0, "end": 761.0, "text": " De esa manera formamos parejas que ser\u00e1n los puntos principales para el trazado de la gr\u00e1fica."}, {"start": 761.0, "end": 766.0, "text": " Los puntos que encontramos, los valores de x, fueron en orden ascendente."}, {"start": 766.0, "end": 770.0, "text": " Menos 1, 1 y 3."}, {"start": 770.0, "end": 776.0, "text": " Recordemos que en x igual a menos 1 tuvimos el primer punto cr\u00edtico."}, {"start": 776.0, "end": 778.0, "text": " Punto cr\u00edtico 1."}, {"start": 778.0, "end": 784.0, "text": " En x igual a 1 fue donde obtuvimos el punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 784.0, "end": 789.0, "text": " Y en x igual a 3 tuvimos el segundo punto cr\u00edtico."}, {"start": 789.0, "end": 791.0, "text": " Punto cr\u00edtico 2."}, {"start": 791.0, "end": 803.0, "text": " Entonces cada uno de estos n\u00fameros entra ac\u00e1, se opera y nos producen los respectivos valores de la funci\u00f3n o de y."}, {"start": 803.0, "end": 815.0, "text": " Esos valores son, para menos 1 nos da 17 tercios, para 1 nos da 1 tercio y para 3 nos da menos 5."}, {"start": 815.0, "end": 823.0, "text": " Entonces estos puntos, estas parejas, son las que vamos a llevar a continuaci\u00f3n al plano cartesiano."}, {"start": 823.0, "end": 828.0, "text": " All\u00ed tenemos esos puntos principales localizados."}, {"start": 828.0, "end": 839.0, "text": " Este es el punto cr\u00edtico 1, cuyas coordenadas son menos 1 en x y 17 tercios en y."}, {"start": 839.0, "end": 849.0, "text": " Este que es el punto de inflexi\u00f3n, cuyas coordenadas son 1 en x y 1 tercio en y."}, {"start": 849.0, "end": 860.0, "text": " Y este que es el punto cr\u00edtico 2, cuyas coordenadas son 3 en x y menos 5 en y."}, {"start": 860.0, "end": 866.0, "text": " Un punto adicional que podr\u00edamos obtener es el corte de la funci\u00f3n con el eje y."}, {"start": 866.0, "end": 871.0, "text": " Recordemos que ese se obtiene haciendo x igual a 0."}, {"start": 871.0, "end": 874.0, "text": " Ese valor nos da entonces aqu\u00ed en 4."}, {"start": 874.0, "end": 880.0, "text": " Es el y intersecto o intersecci\u00f3n con el eje y."}, {"start": 880.0, "end": 891.0, "text": " Entonces vamos a trazar la curva correspondiente a la funci\u00f3n teniendo presente todo lo que obtuvimos del an\u00e1lisis en los pasos anteriores."}, {"start": 891.0, "end": 898.0, "text": " Recordemos que la funci\u00f3n nos dio creciente desde menos infinito hasta menos 1."}, {"start": 898.0, "end": 900.0, "text": " Entonces ella viene as\u00ed."}, {"start": 900.0, "end": 911.0, "text": " Es de creciente entre menos 1 y 3, es decir aqu\u00ed tiene que bajar, y creciente nuevamente de 3 en adelante, o sea que vuelve a levantar."}, {"start": 911.0, "end": 925.0, "text": " Y tambi\u00e9n de las concavidades nos dio que desde menos infinito hasta 1 la funci\u00f3n es concava hacia abajo y de 1 hasta m\u00e1s infinito es concava hacia arriba."}, {"start": 925.0, "end": 931.0, "text": " Luego debemos trazar una curva suave que haga este recorrido m\u00e1s o menos."}, {"start": 931.0, "end": 935.0, "text": " Y de esa manera tenemos la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}, {"start": 935.0, "end": 938.0, "text": " Vamos a mirarla."}, {"start": 938.0, "end": 942.0, "text": " All\u00ed tenemos la curva dibujada en color azul."}, {"start": 942.0, "end": 954.0, "text": " Vemos que conecta los puntos principales que se obtuvieron del an\u00e1lisis de la funci\u00f3n utilizando los criterios de la primera y segunda derivada."}, {"start": 954.0, "end": 963.0, "text": " Observamos el punto cr\u00edtico 1 que es un m\u00e1ximo, es decir un m\u00e1ximo local o m\u00e1ximo relativo de la funci\u00f3n."}, {"start": 963.0, "end": 971.0, "text": " Este punto cr\u00edtico 2 que ser\u00eda un m\u00ednimo local o m\u00ednimo relativo y el punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 971.0, "end": 977.0, "text": " Vemos tambi\u00e9n el comportamiento creciente, decreciente y despu\u00e9s creciente."}, {"start": 977.0, "end": 988.0, "text": " Vemos tambi\u00e9n la concavidad hacia abajo antes del punto de inflexi\u00f3n y la concavidad hacia arriba despu\u00e9s de ese punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 988.0, "end": 995.0, "text": " L\u00f3gicamente si quisi\u00e9ramos m\u00e1s precisi\u00f3n para el trazado de la gr\u00e1fica necesitar\u00edamos tabular m\u00e1s puntos."}, {"start": 995.0, "end": 1019.0, "text": " Pero en realidad no es necesario, basta con los puntos principales para tener un gr\u00e1fico con muy buena aproximaci\u00f3n de la funci\u00f3n."}]