Pregunta 24 TIPO EXAMEN
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio típico de examen (SAT, ACT, GMAT, PAEP, entre otros) para ingresar a estudios superiores.

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 Tenemos en este caso la operación A carita feliz B definida por esta expresión que podemos simplificar de la siguiente manera. Podemos factorizar tanto el numerador como el denominador. En el numerador podemos extraer factor común que es la letra A. Si sale A nos queda dentro del paréntesis 1 más B. Ahora en el denominador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos. Vamos a factorizarla. Recordemos que se extrae la raíz cuadrada de cada uno de estos términos. Para ese término nos da B y para este nos da 1. Entonces anotamos acá la suma de esas dos raíces cuadradas multiplicada por su diferencia. B más 1 por B menos 1 es la factorización de B al cuadrado menos 1. Es decir de esta diferencia de cuadrados perfectos. Como se observa tenemos en el numerador y en el denominador un factor que se repite. Se trata de 1 más B que es lo mismo que B más 1 por la propiedad conmutativa de la suma. Entonces podemos cancelar o eliminar ese factor repetido. Y nos queda entonces lo siguiente. En el numerador la letra A y en el denominador B menos 1. Entonces esto que tenemos acá es la expresión simplificada de la que nos dieron al principio. Y esto equivale a la operación A carita feliz B. Ahora el ejercicio nos pregunta por la operación carita feliz entre estas dos cantidades. Esto hace el papel de A es decir el mínimo común múltiplo de los números 2, 6 y 10. Y esto que tenemos acá hace el papel de B es decir el máximo común divisor de los números 32 y 48. Vamos a comenzar entonces determinando el mínimo común múltiplo de 2, 6 y 10. Empezamos el proceso de descomposición simultánea en factores primos para estos tres números. Comenzamos utilizando el primer número primo que es el 2. 2 le sirve a todos ellos porque son números pares. Decimos mitad de 2 es 1, mitad de 6 es 3 y mitad de 10 nos da 5. Aquí ya hemos terminado. Nos concentramos ahora en estos dos números. Utilizamos el siguiente número primo que es el 3 porque le sirve a este que tenemos acá. Decimos tercera de 3 es 1, al 5 no le sirve entonces el 5 se deja igual. Aquí también hemos terminado. Y ahora usamos el siguiente número primo que es el 5. Justamente el que le sirve a este. Quinta de 5 nos da 1. Entonces la multiplicación de estos tres números nos dará como resultado el mínimo común múltiplo de 2, 6 y 10. Tenemos entonces 2 por 3 es 6 y 6 por 5 es 30. Entonces allí tenemos el primer número, el que hace el papel de A. Ahora vamos a determinar el máximo común divisor de 32 y 48. También realizamos el proceso de descomposición simultánea en factores primos. Comenzamos con el primer número primo que es el 2. 2 es divisor de estos dos números. Entonces mitad de 32 nos da 16 y mitad de 48 es 24. El 2 vuelve a servir porque tenemos números pares. Entonces se utiliza de nuevo. Decimos mitad de 16 es 8 y mitad de 24 es 12. Otra vez tenemos números pares. Usamos el 2. Decimos mitad de 8 es 4 y mitad de 12 nos da 6. De nuevo se puede usar el 2 porque tenemos números pares. Decimos mitad de 4 es 2 y mitad de 6 es 3. Allí nos toca suspender el proceso porque el 2 ya no le sirve al 3. El 3 tampoco le sirve al 2. Entonces allí terminamos y la multiplicación de estos números nos dará el máximo común divisor de 32 y 48. Entonces 2 por 2 es 4, 4 por 2 es 8 y 8 por 2 es 16. Entonces ya tenemos la operación carita feliz entre estas dos cantidades. Repetimos 30 hace el papel de A y 16 hace el papel de B. Pero vamos a reemplazar aquí, es decir, en la expresión simplificada que habíamos obtenido al principio. Entonces tenemos en el numerador A que en este caso es 30 y en el denominador B que vale 16 pero eso menos 1. Entonces ahora resolvemos lo que tenemos allí. Arriba continúa el 30, abajo 16 menos 1 nos da 15 y tenemos 30 quinceavos que haciendo la división nos da como resultado 2. Así terminamos el ejercicio y entonces seleccionamos la opción B.
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