Ejercicio 1 de HIPÉRBOLA (Parte 2)
#julioprofe continúa con la explicación del ejercicio del video anterior.

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Conociendo A y B vamos a encontrar el valor de C, C minúscula que se define en la hipérbola como la distancia que hay del centro a los focos. Entonces C se determina con esta formulita raíz cuadrada de A cuadrado más B al cuadrado. Entonces veamos, podríamos hacer uso de estos valores que ya están listos, A cuadrado equivale a 9 y B al cuadrado equivale a 16. Todo esto dentro de la raíz cuadrada. Esa suma nos da 25 y por lo tanto C es igual a 5. Entonces ya tenemos todos los elementos para ir al plano cartesiano y localizar el centro, los valores de A, B y C y de allí poder obtener los demás puntos importantes de la hipérbola. Aquí tenemos el plano cartesiano donde vamos a dibujar la hipérbola con sus elementos principales. Comenzamos por localizar el centro que está en la coordenada 6,4. 6,4 aquí está el centro y colocamos la letra C. Como se trata de una hipérbola vertical, es decir, ella va a tener como esta forma, entonces a partir del centro vamos a medir hacia arriba y hacia abajo la distancia A. Esa distancia nos dio tres unidades, entonces subimos tres unidades llegamos a este punto, bajamos tres unidades y llegamos a este punto. Todo a partir del centro. Nos podemos guiar por el número que tenemos acá, 4 más 3 nos da 7, en 7 va a este punto y 4 menos 3 nos da 1, este punto corresponde a la ordenada 1. Ahora hacia los lados, a partir del centro vamos a contabilizar la distancia B que nos dio cuatro unidades. Entonces del centro hacia la derecha contamos cuatro unidades y llegamos aquí, nos guiamos por este número 6 más 4 nos da 10. Y del centro hacia la izquierda también cuatro unidades, llegamos a este punto, nos guiamos por acá 6 menos 4 y nos da 2. Ahora con esos cuatro puntos que tenemos vamos a construir un rectángulo, trazando líneas paralelas a los ejes, X y Y, de tal forma que esto nos forme un rectángulo delimitado por esos cuatro puntos que trazamos. Allí tenemos el rectángulo y a continuación vamos a trazar sus diagonales extendiéndolas por fuera de la figura. Allí tenemos las dos diagonales del rectángulo que constituyen las asíntotas de la hipérbola. Ahora que dibujemos la curva, las dos ramas de la hipérbola veremos que la curva, la línea se va a aproximar a estas dos rectas sin haber contacto, por esa razón se llaman asíntotas de la hipérbola. En seguida vamos a marcar la distancia C, C minúscula recordemos que nos dio 5, entonces a partir del centro de la hipérbola vamos a contar 5 unidades hacia arriba y 5 unidades hacia abajo. Lo hacemos en esa dirección por ser hipérbola vertical, nos controla siempre lo que sucede en sentido vertical. Entonces del centro hacia arriba 5 unidades vamos a llegar a este punto, nos guiamos por el 4, 4 más 5 nos da 9, llegamos a este punto y allí tendremos uno de los focos, vamos a llamarlo el foco 1. Y del centro hacia abajo contamos también C unidades, es decir 5 y vamos a llegar aquí a este punto, nos guiamos por 4 menos 5 que nos da menos 1, entonces este puntico da con la ordenada menos 1, este sería el foco 2. Bien, ya podemos entonces determinar lo que son los vértices de la hipérbola, serán esos dos punticos, vamos a llamarlo el vértice 1 y el vértice 2 y vamos a dibujar las ramas, nos va a quedar una rama así como esta y la otra por acá. Recordemos sin que hagan contacto con las asintotas. Allí tenemos las dos ramas de la hipérbola dibujadas en color rojo, recuerden utilizar curvígrafo para hacer el dibujo, yo particularmente lo he utilizado aquí en el tablero para que me queden más o menos como debe ser las dos ramas de la hipérbola, para que queden bien trazadas. Vamos entonces a sacar el listado de coordenadas principales, es decir los focos, los vértices y bueno el centro que ya lo teníamos desde un comienzo. Entonces comencemos con el foco 1, la coordenada de ese foco la leemos aquí en el plano cartesiano, tiene coordenada 6,9, abscisa 6, ordenada 9, vamos con el foco 2 que sería el punto 6,-1, ya tenemos los focos de la hipérbola, vamos con los vértices, entonces vértice 1 tiene coordenada 6,7, vértice 2 tiene coordenada 6,1 y podríamos colocar nuevamente el centro, este punto que tiene coordenada 6,4. Esos son entonces los puntos principales de la hipérbola, nos faltan dar las ecuaciones de las dos asíntotas, vamos a llamar la asíntota ascendente, la vamos a llamar la asíntota número 1, la que va a tener pendiente positiva por ser ascendente y asíntota 2 a la que es descendente, vamos a colocar por acá el numerito y vamos entonces a proceder a encontrar sus ecuaciones. Para encontrar las asíntotas de una hipérbola vertical vamos a utilizar la siguiente formulita, y-k es igual a más o menos a sobre b que multiplica a x-h, simplemente reemplazamos allí los valores que ya tenemos, es decir k nos dio 4, aquí más o menos a que nos dio 3, b nos dio 4 y h que nos dio 6, entonces de allí vamos a organizar poco a poco las dos ecuaciones de las asíntotas, vamos a pasar este 4 al lado derecho y entonces vamos a tomar las dos opciones, la opción positiva que corresponde a la asíntota 1, la que es ascendente, la que tiene pendiente positiva y luego la opción negativa que es la que corresponde a la asíntota 2, es decir la que es descendente. Entonces para la asíntota 1 tendremos y es igual a 3 cuartos que multiplica a x-6 más 4, vamos a organizar la ecuación, nos queda 3 cuartos de x menos 3 cuartos por 6 nos da 18 cuartos que simplificando es menos 9 medios y este 4 lo podemos sustituir por 8 medios para que quede más fácil la operación de fraccionarios, entonces nos queda 3 cuartos de x menos 1 medio. Allí tenemos entonces la ecuación de la primera asíntota, es decir la que es ascendente, recordemos que esto corresponde a la ecuación de una recta, está en la forma y igual a mx más b, la recta tiene pendiente 3 cuartos, pendiente positiva por eso es ascendente y corte con el eje y o con el eje vertical en menos 1 medio. Ahora la asíntota 2 que será y igual a menos 3 cuartos que multiplica a x menos 6 más 4, entonces tendremos menos 3 cuartos de x menos 3 cuartos por menos 6 nos queda más 18 cuartos que es 9 medios y 4 nuevamente lo sustituimos por 8 medios, esto nos queda entonces menos 3 cuartos de x más 17 medios. Tenemos entonces la ecuación de la asíntota 2 también escrita en la forma y igual a mx más b, la pendiente m vale menos 3 cuartos por eso es que es descendente y corta el eje vertical o el eje y en la ordenada 17 medios. Finalmente vamos a determinar la excentricidad de la hipérbola que es la relación entre c y a, en nuestro caso c nos dio 5 y a nos dio 3, 5 tercios es una cantidad mayor que 1 y se cumple entonces la condición para toda hipérbola que es que su excentricidad sea mayor que 1.
[{"start": 0.0, "end": 16.0, "text": " Conociendo A y B vamos a encontrar el valor de C, C min\u00fascula que se define en la hip\u00e9rbola como la distancia que hay del centro a los focos."}, {"start": 16.0, "end": 23.0, "text": " Entonces C se determina con esta formulita ra\u00edz cuadrada de A cuadrado m\u00e1s B al cuadrado."}, {"start": 23.0, "end": 35.0, "text": " Entonces veamos, podr\u00edamos hacer uso de estos valores que ya est\u00e1n listos, A cuadrado equivale a 9 y B al cuadrado equivale a 16."}, {"start": 35.0, "end": 38.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 38.0, "end": 44.0, "text": " Esa suma nos da 25 y por lo tanto C es igual a 5."}, {"start": 44.0, "end": 59.0, "text": " Entonces ya tenemos todos los elementos para ir al plano cartesiano y localizar el centro, los valores de A, B y C y de all\u00ed poder obtener los dem\u00e1s puntos importantes de la hip\u00e9rbola."}, {"start": 59.0, "end": 66.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el plano cartesiano donde vamos a dibujar la hip\u00e9rbola con sus elementos principales."}, {"start": 66.0, "end": 77.0, "text": " Comenzamos por localizar el centro que est\u00e1 en la coordenada 6,4. 6,4 aqu\u00ed est\u00e1 el centro y colocamos la letra C."}, {"start": 77.0, "end": 89.0, "text": " Como se trata de una hip\u00e9rbola vertical, es decir, ella va a tener como esta forma, entonces a partir del centro vamos a medir hacia arriba y hacia abajo la distancia A."}, {"start": 89.0, "end": 99.0, "text": " Esa distancia nos dio tres unidades, entonces subimos tres unidades llegamos a este punto, bajamos tres unidades y llegamos a este punto."}, {"start": 99.0, "end": 101.0, "text": " Todo a partir del centro."}, {"start": 101.0, "end": 114.0, "text": " Nos podemos guiar por el n\u00famero que tenemos ac\u00e1, 4 m\u00e1s 3 nos da 7, en 7 va a este punto y 4 menos 3 nos da 1, este punto corresponde a la ordenada 1."}, {"start": 114.0, "end": 122.0, "text": " Ahora hacia los lados, a partir del centro vamos a contabilizar la distancia B que nos dio cuatro unidades."}, {"start": 122.0, "end": 130.0, "text": " Entonces del centro hacia la derecha contamos cuatro unidades y llegamos aqu\u00ed, nos guiamos por este n\u00famero 6 m\u00e1s 4 nos da 10."}, {"start": 130.0, "end": 140.0, "text": " Y del centro hacia la izquierda tambi\u00e9n cuatro unidades, llegamos a este punto, nos guiamos por ac\u00e1 6 menos 4 y nos da 2."}, {"start": 140.0, "end": 156.0, "text": " Ahora con esos cuatro puntos que tenemos vamos a construir un rect\u00e1ngulo, trazando l\u00edneas paralelas a los ejes, X y Y, de tal forma que esto nos forme un rect\u00e1ngulo delimitado por esos cuatro puntos que trazamos."}, {"start": 156.0, "end": 166.0, "text": " All\u00ed tenemos el rect\u00e1ngulo y a continuaci\u00f3n vamos a trazar sus diagonales extendi\u00e9ndolas por fuera de la figura."}, {"start": 166.0, "end": 176.0, "text": " All\u00ed tenemos las dos diagonales del rect\u00e1ngulo que constituyen las as\u00edntotas de la hip\u00e9rbola."}, {"start": 176.0, "end": 196.0, "text": " Ahora que dibujemos la curva, las dos ramas de la hip\u00e9rbola veremos que la curva, la l\u00ednea se va a aproximar a estas dos rectas sin haber contacto, por esa raz\u00f3n se llaman as\u00edntotas de la hip\u00e9rbola."}, {"start": 196.0, "end": 212.0, "text": " En seguida vamos a marcar la distancia C, C min\u00fascula recordemos que nos dio 5, entonces a partir del centro de la hip\u00e9rbola vamos a contar 5 unidades hacia arriba y 5 unidades hacia abajo."}, {"start": 212.0, "end": 221.0, "text": " Lo hacemos en esa direcci\u00f3n por ser hip\u00e9rbola vertical, nos controla siempre lo que sucede en sentido vertical."}, {"start": 221.0, "end": 237.0, "text": " Entonces del centro hacia arriba 5 unidades vamos a llegar a este punto, nos guiamos por el 4, 4 m\u00e1s 5 nos da 9, llegamos a este punto y all\u00ed tendremos uno de los focos, vamos a llamarlo el foco 1."}, {"start": 237.0, "end": 255.0, "text": " Y del centro hacia abajo contamos tambi\u00e9n C unidades, es decir 5 y vamos a llegar aqu\u00ed a este punto, nos guiamos por 4 menos 5 que nos da menos 1, entonces este puntico da con la ordenada menos 1, este ser\u00eda el foco 2."}, {"start": 255.0, "end": 274.0, "text": " Bien, ya podemos entonces determinar lo que son los v\u00e9rtices de la hip\u00e9rbola, ser\u00e1n esos dos punticos, vamos a llamarlo el v\u00e9rtice 1 y el v\u00e9rtice 2 y vamos a dibujar las ramas, nos va a quedar una rama as\u00ed como esta y la otra por ac\u00e1."}, {"start": 274.0, "end": 299.0, "text": " Recordemos sin que hagan contacto con las asintotas. All\u00ed tenemos las dos ramas de la hip\u00e9rbola dibujadas en color rojo, recuerden utilizar curv\u00edgrafo para hacer el dibujo, yo particularmente lo he utilizado aqu\u00ed en el tablero para que me queden m\u00e1s o menos como debe ser las dos ramas de la hip\u00e9rbola, para que queden bien trazadas."}, {"start": 299.0, "end": 310.0, "text": " Vamos entonces a sacar el listado de coordenadas principales, es decir los focos, los v\u00e9rtices y bueno el centro que ya lo ten\u00edamos desde un comienzo."}, {"start": 310.0, "end": 336.0, "text": " Entonces comencemos con el foco 1, la coordenada de ese foco la leemos aqu\u00ed en el plano cartesiano, tiene coordenada 6,9, abscisa 6, ordenada 9, vamos con el foco 2 que ser\u00eda el punto 6,-1, ya tenemos los focos de la hip\u00e9rbola,"}, {"start": 336.0, "end": 360.0, "text": " vamos con los v\u00e9rtices, entonces v\u00e9rtice 1 tiene coordenada 6,7, v\u00e9rtice 2 tiene coordenada 6,1 y podr\u00edamos colocar nuevamente el centro, este punto que tiene coordenada 6,4."}, {"start": 360.0, "end": 376.0, "text": " Esos son entonces los puntos principales de la hip\u00e9rbola, nos faltan dar las ecuaciones de las dos as\u00edntotas, vamos a llamar la as\u00edntota ascendente, la vamos a llamar la as\u00edntota n\u00famero 1,"}, {"start": 376.0, "end": 392.0, "text": " la que va a tener pendiente positiva por ser ascendente y as\u00edntota 2 a la que es descendente, vamos a colocar por ac\u00e1 el numerito y vamos entonces a proceder a encontrar sus ecuaciones."}, {"start": 392.0, "end": 408.0, "text": " Para encontrar las as\u00edntotas de una hip\u00e9rbola vertical vamos a utilizar la siguiente formulita, y-k es igual a m\u00e1s o menos a sobre b que multiplica a x-h,"}, {"start": 408.0, "end": 424.0, "text": " simplemente reemplazamos all\u00ed los valores que ya tenemos, es decir k nos dio 4, aqu\u00ed m\u00e1s o menos a que nos dio 3, b nos dio 4 y h que nos dio 6,"}, {"start": 424.0, "end": 439.0, "text": " entonces de all\u00ed vamos a organizar poco a poco las dos ecuaciones de las as\u00edntotas, vamos a pasar este 4 al lado derecho y entonces vamos a tomar las dos opciones,"}, {"start": 439.0, "end": 453.0, "text": " la opci\u00f3n positiva que corresponde a la as\u00edntota 1, la que es ascendente, la que tiene pendiente positiva y luego la opci\u00f3n negativa que es la que corresponde a la as\u00edntota 2, es decir la que es descendente."}, {"start": 453.0, "end": 475.0, "text": " Entonces para la as\u00edntota 1 tendremos y es igual a 3 cuartos que multiplica a x-6 m\u00e1s 4, vamos a organizar la ecuaci\u00f3n, nos queda 3 cuartos de x menos 3 cuartos por 6 nos da 18 cuartos que simplificando es"}, {"start": 475.0, "end": 488.0, "text": " menos 9 medios y este 4 lo podemos sustituir por 8 medios para que quede m\u00e1s f\u00e1cil la operaci\u00f3n de fraccionarios, entonces nos queda 3 cuartos de x menos 1 medio."}, {"start": 488.0, "end": 503.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de la primera as\u00edntota, es decir la que es ascendente, recordemos que esto corresponde a la ecuaci\u00f3n de una recta, est\u00e1 en la forma y igual a mx m\u00e1s b,"}, {"start": 503.0, "end": 513.0, "text": " la recta tiene pendiente 3 cuartos, pendiente positiva por eso es ascendente y corte con el eje y o con el eje vertical en menos 1 medio."}, {"start": 513.0, "end": 538.0, "text": " Ahora la as\u00edntota 2 que ser\u00e1 y igual a menos 3 cuartos que multiplica a x menos 6 m\u00e1s 4, entonces tendremos menos 3 cuartos de x menos 3 cuartos por menos 6 nos queda m\u00e1s 18 cuartos que es 9 medios"}, {"start": 538.0, "end": 550.0, "text": " y 4 nuevamente lo sustituimos por 8 medios, esto nos queda entonces menos 3 cuartos de x m\u00e1s 17 medios."}, {"start": 550.0, "end": 564.0, "text": " Tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de la as\u00edntota 2 tambi\u00e9n escrita en la forma y igual a mx m\u00e1s b, la pendiente m vale menos 3 cuartos por eso es que es descendente"}, {"start": 564.0, "end": 570.0, "text": " y corta el eje vertical o el eje y en la ordenada 17 medios."}, {"start": 570.0, "end": 585.0, "text": " Finalmente vamos a determinar la excentricidad de la hip\u00e9rbola que es la relaci\u00f3n entre c y a, en nuestro caso c nos dio 5 y a nos dio 3, 5 tercios es una cantidad mayor que 1"}, {"start": 585.0, "end": 594.0, "text": " y se cumple entonces la condici\u00f3n para toda hip\u00e9rbola que es que su excentricidad sea mayor que 1."}]