INTEGRALES DIRECTAS - Ejercicio 9
#julioprofe explica cómo resolver una integral que contiene una expresión trigonométrica.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a resolver esta integral indefinida que como podemos observar contiene una expresión trigonométrica. Vamos entonces a realizar la transformación del integrando, es decir la función que tenemos aquí dentro de la integral y que es la que vamos a antiderivar. Entonces comenzamos por escribir esa expresión como 1 sobre 1 más coseno de x con su correspondiente diferencial de x. Simplemente es como si este diferencial lo escribimos a la derecha multiplicando a la fracción que constituye la función que se va a integrar, es decir el integrando. En seguida vamos a multiplicar esta fracción por lo que se llama el conjugado del denominador. Entonces la escribimos y vamos a multiplicar arriba y abajo por el conjugado de 1 más coseno de x que será 1 menos coseno de x. Esto mismo lo escribimos en el numerador y esto multiplicado por el respectivo diferencial de x. Recordemos que para una expresión a más b su conjugado es a menos b y viceversa para a menos b su conjugado es a más b. El objetivo de multiplicar una expresión por su conjugado es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia de dos cantidades y que origina una diferencia de cuadrados. Entonces esto lo vamos a utilizar en la multiplicación de los denominadores. Nos queda entonces de la siguiente manera. Tenemos la integral de en el numerador 1 por 1 menos coseno de x nos queda 1 menos coseno de x. En el denominador 1 más coseno de x por 1 menos coseno de x aplicamos este producto notable y nos queda la primera cantidad al cuadrado, o sea 1 al cuadrado que es 1 menos la segunda cantidad al cuadrado, es decir coseno de x elevado al cuadrado y que se puede escribir como coseno cuadrado de x. Y todo esto multiplicado por el diferencial de x. Entonces hemos visto la aplicación de este producto notable al multiplicar estos dos denominadores. A continuación vamos a utilizar la identidad fundamental de la trigonometría. Recordemos que ella dice seno al cuadrado de un ángulo por ejemplo x más coseno al cuadrado del mismo ángulo x esto es igual a 1. Y entonces de allí podemos despejar seno al cuadrado de x o también podemos despejar coseno al cuadrado de x. Si despejamos seno al cuadrado de x tendremos 1 menos coseno al cuadrado de x. Esta expresión que está sumando pasa al otro lado a restar y de manera similar podemos despejar coseno al cuadrado de x. Nos queda 1 menos seno al cuadrado de x. Pues bien, lo que tenemos aquí en el denominador es justamente esta expresión y eso equivale a seno al cuadrado de x. Entonces vamos a realizar esa sustitución aquí. 1 menos coseno de x en el numerador, eso nos queda igual. Y aquí en el denominador cambiamos 1 menos coseno al cuadrado de x por seno al cuadrado de x. Como decíamos utilizando la identidad fundamental de la trigonometría. Ahora vamos a repartir este denominador para los dos términos que tenemos en el numerador. Esto tiene su fundamento en la siguiente propiedad. Si tenemos a más o menos b, todo esto sobre c, entonces esto equivale a a sobre c más o menos b sobre c. El denominador se reparte para los términos que tenemos en el numerador, bien sea sumando o restando. Entonces aquí tendremos la integral de 1 sobre seno al cuadrado de x menos otra fracción, arriba coseno de x y abajo seno al cuadrado de x. Protegemos toda esta resta con paríntesis y escribimos el diferencial de x. Nuevamente vamos a utilizar las identidades trigonométricas. Entonces tenemos que 1 sobre seno al cuadrado de x eso equivale a cosecante al cuadrado de x. Y por acá en el siguiente término vamos a realizar la siguiente transformación. Esa fracción se puede escribir como coseno de x sobre seno de x por 1 sobre seno de x. Como hemos visto seno al cuadrado de x se ha desbaratado en la multiplicación seno de x por seno de x. En el numerador como tenemos el coseno de x ese lo escribimos en la primera fracción y en la segunda escribimos un 1. Eso con el fin de conservar la expresión original. Protegemos con paríntesis y escribimos el diferencial de x. Siguiente paso, esto nos queda igual cosecante al cuadrado de x. Y aquí vamos a utilizar nuevamente las identidades trigonométricas. Coseno de x sobre seno de x equivale a cotangente de x. Y esto multiplicado por 1 sobre seno de x que equivale a cosecante de x. Protegemos con paríntesis y escribimos el diferencial de x. Vamos a seguir por acá y vamos a reescribir el segundo término. Este primero queda tal como está, nos queda cosecante al cuadrado de x menos, aquí aplicamos la propiedad conmutativa de la multiplicación. Cambiamos el orden de los factores. Entonces tendremos cosecante de x por cotangente de x. En lugar de esto que teníamos originalmente, cerramos los paríntesis y escribimos el diferencial de x. Y con esto llegamos a una integral que tiene una resta y donde cada término constituye una expresión que es fácilmente integrable. Son integrales directas. Entonces la integral del primer componente, la integral de cosecante al cuadrado de x es menos cotangente de x. Menos la integral de cosecante por cotangente de x es menos cosecante de x. Entonces como decíamos se trata de integrales directas. Estas son esas antiderivadas y escribimos la constante de integración por primera vez. Para terminar destruimos este paríntesis aplicando aquí la ley de los signos. Menos con menos nos da más. Entonces podemos quitar esto y escribir aquí signo más. De esa manera tenemos ya el resultado de este ejercicio. Esta será la respuesta para la integral indefinida que estaba propuesta inicialmente. Como hemos visto es muy importante tener buenas bases de álgebra y de trigonometría para lo que es el cálculo. Como hemos visto en este ejercicio hemos utilizado el producto notable suma por diferencia. Que como decíamos da origen a una diferencia de cuadrados y también hemos utilizado identidades trigonométricas. Entonces fundamental para cálculo tener muy bien cimentado todo lo que corresponde al precalculo. En especial el álgebra y la trigonometría.
[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver esta integral indefinida que como podemos observar contiene una expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 10.0, "end": 24.0, "text": " Vamos entonces a realizar la transformaci\u00f3n del integrando, es decir la funci\u00f3n que tenemos aqu\u00ed dentro de la integral y que es la que vamos a antiderivar."}, {"start": 24.0, "end": 38.0, "text": " Entonces comenzamos por escribir esa expresi\u00f3n como 1 sobre 1 m\u00e1s coseno de x con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 38.0, "end": 52.0, "text": " Simplemente es como si este diferencial lo escribimos a la derecha multiplicando a la fracci\u00f3n que constituye la funci\u00f3n que se va a integrar, es decir el integrando."}, {"start": 52.0, "end": 66.0, "text": " En seguida vamos a multiplicar esta fracci\u00f3n por lo que se llama el conjugado del denominador."}, {"start": 66.0, "end": 80.0, "text": " Entonces la escribimos y vamos a multiplicar arriba y abajo por el conjugado de 1 m\u00e1s coseno de x que ser\u00e1 1 menos coseno de x."}, {"start": 80.0, "end": 90.0, "text": " Esto mismo lo escribimos en el numerador y esto multiplicado por el respectivo diferencial de x."}, {"start": 90.0, "end": 103.0, "text": " Recordemos que para una expresi\u00f3n a m\u00e1s b su conjugado es a menos b y viceversa para a menos b su conjugado es a m\u00e1s b."}, {"start": 103.0, "end": 120.0, "text": " El objetivo de multiplicar una expresi\u00f3n por su conjugado es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia de dos cantidades y que origina una diferencia de cuadrados."}, {"start": 120.0, "end": 126.0, "text": " Entonces esto lo vamos a utilizar en la multiplicaci\u00f3n de los denominadores."}, {"start": 126.0, "end": 145.0, "text": " Nos queda entonces de la siguiente manera. Tenemos la integral de en el numerador 1 por 1 menos coseno de x nos queda 1 menos coseno de x."}, {"start": 145.0, "end": 156.0, "text": " En el denominador 1 m\u00e1s coseno de x por 1 menos coseno de x aplicamos este producto notable y nos queda la primera cantidad al cuadrado,"}, {"start": 156.0, "end": 171.0, "text": " o sea 1 al cuadrado que es 1 menos la segunda cantidad al cuadrado, es decir coseno de x elevado al cuadrado y que se puede escribir como coseno cuadrado de x."}, {"start": 171.0, "end": 183.0, "text": " Y todo esto multiplicado por el diferencial de x. Entonces hemos visto la aplicaci\u00f3n de este producto notable al multiplicar estos dos denominadores."}, {"start": 183.0, "end": 191.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a utilizar la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 191.0, "end": 203.0, "text": " Recordemos que ella dice seno al cuadrado de un \u00e1ngulo por ejemplo x m\u00e1s coseno al cuadrado del mismo \u00e1ngulo x esto es igual a 1."}, {"start": 203.0, "end": 215.0, "text": " Y entonces de all\u00ed podemos despejar seno al cuadrado de x o tambi\u00e9n podemos despejar coseno al cuadrado de x."}, {"start": 215.0, "end": 223.0, "text": " Si despejamos seno al cuadrado de x tendremos 1 menos coseno al cuadrado de x."}, {"start": 223.0, "end": 232.0, "text": " Esta expresi\u00f3n que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y de manera similar podemos despejar coseno al cuadrado de x."}, {"start": 232.0, "end": 236.0, "text": " Nos queda 1 menos seno al cuadrado de x."}, {"start": 236.0, "end": 246.0, "text": " Pues bien, lo que tenemos aqu\u00ed en el denominador es justamente esta expresi\u00f3n y eso equivale a seno al cuadrado de x."}, {"start": 246.0, "end": 255.0, "text": " Entonces vamos a realizar esa sustituci\u00f3n aqu\u00ed. 1 menos coseno de x en el numerador, eso nos queda igual."}, {"start": 255.0, "end": 263.0, "text": " Y aqu\u00ed en el denominador cambiamos 1 menos coseno al cuadrado de x por seno al cuadrado de x."}, {"start": 263.0, "end": 270.0, "text": " Como dec\u00edamos utilizando la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 270.0, "end": 278.0, "text": " Ahora vamos a repartir este denominador para los dos t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 278.0, "end": 282.0, "text": " Esto tiene su fundamento en la siguiente propiedad."}, {"start": 282.0, "end": 294.0, "text": " Si tenemos a m\u00e1s o menos b, todo esto sobre c, entonces esto equivale a a sobre c m\u00e1s o menos b sobre c."}, {"start": 294.0, "end": 301.0, "text": " El denominador se reparte para los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador, bien sea sumando o restando."}, {"start": 301.0, "end": 313.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tendremos la integral de 1 sobre seno al cuadrado de x menos otra fracci\u00f3n,"}, {"start": 313.0, "end": 319.0, "text": " arriba coseno de x y abajo seno al cuadrado de x."}, {"start": 319.0, "end": 326.0, "text": " Protegemos toda esta resta con par\u00edntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 326.0, "end": 333.0, "text": " Nuevamente vamos a utilizar las identidades trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 333.0, "end": 345.0, "text": " Entonces tenemos que 1 sobre seno al cuadrado de x eso equivale a cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 345.0, "end": 352.0, "text": " Y por ac\u00e1 en el siguiente t\u00e9rmino vamos a realizar la siguiente transformaci\u00f3n."}, {"start": 352.0, "end": 366.0, "text": " Esa fracci\u00f3n se puede escribir como coseno de x sobre seno de x por 1 sobre seno de x."}, {"start": 366.0, "end": 375.0, "text": " Como hemos visto seno al cuadrado de x se ha desbaratado en la multiplicaci\u00f3n seno de x por seno de x."}, {"start": 375.0, "end": 384.0, "text": " En el numerador como tenemos el coseno de x ese lo escribimos en la primera fracci\u00f3n y en la segunda escribimos un 1."}, {"start": 384.0, "end": 388.0, "text": " Eso con el fin de conservar la expresi\u00f3n original."}, {"start": 388.0, "end": 394.0, "text": " Protegemos con par\u00edntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 394.0, "end": 402.0, "text": " Siguiente paso, esto nos queda igual cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 402.0, "end": 408.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a utilizar nuevamente las identidades trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 408.0, "end": 414.0, "text": " Coseno de x sobre seno de x equivale a cotangente de x."}, {"start": 414.0, "end": 422.0, "text": " Y esto multiplicado por 1 sobre seno de x que equivale a cosecante de x."}, {"start": 422.0, "end": 429.0, "text": " Protegemos con par\u00edntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 429.0, "end": 440.0, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1 y vamos a reescribir el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 440.0, "end": 449.0, "text": " Este primero queda tal como est\u00e1, nos queda cosecante al cuadrado de x menos, aqu\u00ed aplicamos la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 449.0, "end": 451.0, "text": " Cambiamos el orden de los factores."}, {"start": 451.0, "end": 457.0, "text": " Entonces tendremos cosecante de x por cotangente de x."}, {"start": 457.0, "end": 466.0, "text": " En lugar de esto que ten\u00edamos originalmente, cerramos los par\u00edntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 466.0, "end": 477.0, "text": " Y con esto llegamos a una integral que tiene una resta y donde cada t\u00e9rmino constituye una expresi\u00f3n que es f\u00e1cilmente integrable."}, {"start": 477.0, "end": 479.0, "text": " Son integrales directas."}, {"start": 479.0, "end": 489.0, "text": " Entonces la integral del primer componente, la integral de cosecante al cuadrado de x es menos cotangente de x."}, {"start": 489.0, "end": 499.0, "text": " Menos la integral de cosecante por cotangente de x es menos cosecante de x."}, {"start": 499.0, "end": 504.0, "text": " Entonces como dec\u00edamos se trata de integrales directas."}, {"start": 504.0, "end": 512.0, "text": " Estas son esas antiderivadas y escribimos la constante de integraci\u00f3n por primera vez."}, {"start": 512.0, "end": 519.0, "text": " Para terminar destruimos este par\u00edntesis aplicando aqu\u00ed la ley de los signos."}, {"start": 519.0, "end": 521.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 521.0, "end": 528.0, "text": " Entonces podemos quitar esto y escribir aqu\u00ed signo m\u00e1s."}, {"start": 528.0, "end": 534.0, "text": " De esa manera tenemos ya el resultado de este ejercicio."}, {"start": 534.0, "end": 544.0, "text": " Esta ser\u00e1 la respuesta para la integral indefinida que estaba propuesta inicialmente."}, {"start": 544.0, "end": 553.0, "text": " Como hemos visto es muy importante tener buenas bases de \u00e1lgebra y de trigonometr\u00eda para lo que es el c\u00e1lculo."}, {"start": 553.0, "end": 560.0, "text": " Como hemos visto en este ejercicio hemos utilizado el producto notable suma por diferencia."}, {"start": 560.0, "end": 568.0, "text": " Que como dec\u00edamos da origen a una diferencia de cuadrados y tambi\u00e9n hemos utilizado identidades trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 568.0, "end": 576.0, "text": " Entonces fundamental para c\u00e1lculo tener muy bien cimentado todo lo que corresponde al precalculo."}, {"start": 576.0, "end": 583.0, "text": " En especial el \u00e1lgebra y la trigonometr\u00eda."}]