DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo demostrar una identidad trigonométrica.

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 Vamos a demostrar esta identidad trigonométrica. Para ello vamos a trabajar el lado más complicado, el que tiene más elementos para operar y de allí vamos a llegar a la expresión que tenemos en el lado derecho que es mucho más simple. Comenzamos entonces anotando la expresión del lado izquierdo. Y a continuación vamos a cambiar tangente y cotangente en términos de seno y coseno. Recordemos que tangente de X equivale a seno de X sobre coseno de X y cotangente de X equivale a coseno de X sobre seno de X. Estamos utilizando las identidades básicas tangente igual a seno sobre coseno y cotangente igual a coseno sobre seno. En la parte de abajo también hacemos esos cambios. Entonces tangente de X que es seno de X sobre coseno de X más cotangente de X que será coseno de X sobre seno de X. Ahora vamos a resolver las operaciones que tenemos encima y debajo de la línea principal. Se observa una resta y una suma de fracciones heterogeneas, o sea fracciones con distinto denominador. Vamos a recordar cómo se resuelve ese tipo de operación. Entonces si tenemos la suma o resta de dos fracciones con distinto denominador hacemos lo siguiente. Abajo B por D, en la parte superior tenemos A por D más o menos B por C. Esto es lo que se conoce como el método de la carita feliz. Abajo estos dos, B por D, arriba A por D y luego B por C, conservando el signo que tengamos entre las dos fracciones, bien sea suma o resta. Entonces se le llama método de la carita feliz para efectuar una resta o una suma de fracciones heterogeneas. Tenemos entonces línea principal siempre a la altura del signo igual y en la parte superior trazamos otra línea un poco más corta y aplicamos este método. Abajo cos x por sen x, nos queda cos x por sen, arriba sen x por sen x, que será sen al cuadrado de x menos cos x por cos x que es cos al cuadrado de x. Y en la parte de abajo hacemos el mismo procedimiento, este que mostramos acá, abajo cos x por sen x, nos queda cos x por sen x, arriba sen x por sen x, nos da sen al cuadrado de x más cos x por cos x que es cos al cuadrado de x. En esta situación se puede aplicar lo siguiente, cuando tenemos una fracción A sobre C y todo eso sobre otra fracción B sobre C, es decir dos fracciones que tienen el mismo denominador, entonces podemos cancelar esos denominadores y nos queda simplemente A sobre B, entonces podemos aplicar ese truco en esta situación. Vemos que los dos denominadores son exactamente iguales, tenemos cos x por sen x en el denominador de la parte de arriba y también en la parte de abajo, por lo tanto podemos cancelarlos apoyándonos en esta propiedad. Y entonces nos queda lo siguiente, sen x al cuadrado de x menos cos x al cuadrado de x en el numerador y sen x al cuadrado de x más cos x al cuadrado de x en el denominador. Aquí también podemos hacer uso de una identidad trigonométrica, esta que es la fundamental, tenemos que sen al cuadrado de un ángulo x más cos al cuadrado de ese mismo ángulo x es igual a 1, es la identidad fundamental de la trigonometría. Entonces todo este denominador se convierte en 1 y entonces nos queda únicamente la expresión del numerador, sen al cuadrado de x menos cos al cuadrado de x. De nuevo utilizamos la identidad fundamental de la trigonometría, sen al cuadrado de x más cos al cuadrado de x igual a 1 y entonces tenemos lo siguiente, esa expresión tiene sen al cuadrado y cos al cuadrado, pero necesitamos llegar a una expresión que contiene únicamente sen al cuadrado de x. Por lo tanto debemos tratar de cambiar cos al cuadrado de x en términos de sen al cuadrado de x y eso lo conseguimos utilizando la identidad fundamental de la trigonometría. Después despejamos de allí lo que es cos al cuadrado de x, para ello pasamos este componente que está positivo, que está sumando al lado derecho, entonces llega a restar, nos queda que cos al cuadrado de x es igual a 1 menos sen al cuadrado de x. Entonces esta expresión, vamos a seguir por acá, nos queda de la siguiente manera, sen al cuadrado de x se deja tal como está, menos, abrimos un paréntesis y reemplazamos el cos al cuadrado de x por esta expresión, entonces 1 menos sen al cuadrado de x. Lo que hacemos ahora es destruir ese paréntesis, entonces tenemos sen al cuadrado de x y aquí el signo negativo se distribuye, en realidad aplicamos la ley de los signos, tenemos menos por más es menos 1 y menos por menos nos da más sen al cuadrado de x, de esa manera hemos destruido el paréntesis. Y por último vamos a operar términos semejantes, se trata de estos dos, entonces tenemos que eso será igual a 2 sen al cuadrado de x, una suma de términos semejantes y esto menos 1. Y como se observa hemos llegado a la expresión que tenemos en el lado derecho, entonces con esto decimos que esta igualdad es completamente cierta, hemos verificado la identidad trigonométrica.
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