INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el método de Sustitución Trigonométrica.

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 Vamos a resolver esta integral por el método conocido como sustitución trigonométrica. Utilizaremos este camino debido a que se trata de una integral que no puede resolverse en forma directa y tampoco por los métodos de sustitución partes o fracciones parciales. Además, observamos dentro de la raíz cuadrada una diferencia de cuadrados perfectos. Esto nos dice entonces que el camino más apropiado es la sustitución trigonométrica. Comenzamos dibujando un triángulo rectángulo al cual le vamos a llamar este ángulo agudo con la letra griega θ. Y como decíamos, aquí hay una diferencia de cuadrados perfectos. La raíz cuadrada de este primer término es 5 y ese será el lado que corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo. La raíz cuadrada de este término será 4x. Entonces podemos localizar 4x en cualquiera de los catetos. Vamos a situarlo por ejemplo acá. Y este otro cateto que nos queda faltando lo hallamos con el teorema de Pitágoras. Entonces recordemos que esto es igual a la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado, o sea 25 menos este cateto al cuadrado que será 16x al cuadrado. Entonces ya observamos acá en la figura la raíz que trae el integrando. Ahora a partir de este triángulo vamos a buscar una relación entre el lado que contiene la raíz cuadrada, este que tenemos acá, y el lado constante. En otras palabras necesitamos algo que vincule el cateto adyacente al ángulo theta con la hipotenusa del triángulo. Y para ello vamos a utilizar las razones trigonométricas principales, seno, coseno y tangente. Y para ello recordamos esto que se llama Zocatoa que nos permite fácilmente tener presente la definición de seno, coseno y tangente. Entonces para el caso que necesitamos relacionar el cateto adyacente con la hipotenusa, entonces utilizamos el coseno. Decimos entonces coseno de theta es igual a la relación que hay entre el cateto adyacente, la raíz cuadrada de 25 menos 16x al cuadrado, y la hipotenusa del triángulo que vale 5 unidades. Entonces con el coseno logramos relacionar estos dos lados. En seguida de esta expresión vamos a despejar el componente de la raíz. Para ello 5 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con coseno de theta. Entonces tenemos que la raíz cuadrada de 25 menos 16x al cuadrado será igual a 5 por coseno de theta. Ya tenemos entonces uno de los componentes del integrando que observamos en esta expresión. Ahora necesitamos relacionar este lado que contiene la X otra vez con el lado constante que es la hipotenusa. Si observamos bien en este triángulo, 4x es el cateto opuesto al ángulo theta y 5 como decíamos es la hipotenusa. Por lo tanto nos conviene utilizar el seno. Aquí tenemos cateto opuesto sobre hipotenusa. Entonces decimos que seno de theta es igual a 4x que es el cateto opuesto sobre la hipotenusa que vale 5 unidades. De esta expresión necesitamos despejar x porque aquí se observa que x es uno de los componentes del integrando. Entonces primero se despeja 4x. Para despejar 4x, 5 que está dividiendo pasa a multiplicar acá con seno de theta. Entonces nos queda 5 por seno de theta. Y ahora sí nos queda fácil hacer el despeje de x. Tenemos que x será igual a 5 seno de theta, todo esto sobre 4. 4 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Y aquí ya tenemos el otro componente que observamos acá en el integrando. Como podemos observar ya tenemos un equivalente para la raíz cuadrada en términos del ángulo theta. Y también tenemos el equivalente para x en términos de theta. Nos queda faltando buscarle un equivalente al diferencial de x también en términos del ángulo theta. Y eso lo vamos a conseguir derivando esta expresión, o sea derivando x con respecto a la variable theta. Esto lo podríamos también observar como 5 cuartos de seno de theta. Pero vamos a escribirlo de esa forma porque es más sencillo tenerlo así para efectos de la derivación. Entonces la derivada de esto será 5 cuartos que se deja quieto por ser un número que está multiplicando con la expresión seno de theta. Y pasamos a derivar justamente seno de theta. La derivada de esto será coseno de theta. Y enseguida despejamos de allí dx. Para ello, de theta que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar. Nos queda 5 cuartos por coseno de theta y esto por d theta. Así tenemos el componente que nos hacía falta. Ya tenemos entonces dx en términos de theta. Ahora lo que tenemos que hacer es reescribir toda esta integral que se encuentra en términos de x. Entonces ahora en términos de la nueva variable que será theta. Entonces veamos cómo nos queda el reemplazo de cada uno de los componentes. Tenemos acá en el numerador la raíz que equivale a 5 coseno de theta. En el denominador tenemos x que equivale a 5 cuartos de seno de theta o como lo teníamos ahora 5 seno de theta. Todo esto sobre 4. Y reemplazamos también de x. Entonces eso multiplicado por 5 cuartos coseno de theta con su correspondiente diferencial de theta. Ahora vamos a acomodar esta expresión. 5 coseno de theta lo podemos escribir un poco más arriba. Y le escribimos denominador 1. Entonces lo subimos un poco, le anotamos denominador 1. Y aquí vamos a utilizar lo que se conoce como ley de la oreja. Lo que también es conocido como producto de extremos y producto de medios. Entonces veamos cómo nos queda la integral. Acá en el numerador tenemos la multiplicación de 4 por 5 coseno de theta. O sea los extremos. Y acá en el denominador escribimos la multiplicación de los medios. O sea 1 por 5 seno de theta que es 5 seno de theta. Y esto multiplicado a su vez por 5 cuartos coseno de theta y el correspondiente diferencial de theta. En esta expresión podemos simplificar el 4 que está arriba y también abajo. Podemos simplificar este número 5 que también está arriba y abajo. Y entonces la expresión nos va a quedar de la siguiente manera. Vamos a continuar por acá más abajo. Tenemos la integral de coseno de theta por 5 por coseno de theta es 5 coseno al cuadrado de theta. Y en el denominador tenemos lo que es seno de theta únicamente. Y todo esto acompañado del diferencial de theta. En esa expresión es posible retirar el 5. Lo escribimos por fuera de la integral por ser una constante que está multiplicando. Entonces nos queda en el integrando coseno al cuadrado de theta sobre seno de theta. Y todo esto con el diferencial de theta. Como podemos observar la integral original que estaba en términos de x ahora se ha convertido en una integral trigonométrica en términos de theta. Ahora nuestro problema es dar solución a esta integral. Para ello vamos a cambiar en el numerador lo que es coseno al cuadrado de theta por 1 menos seno al cuadrado de theta. Recordemos que eso proviene de la identidad fundamental de la trigonometría. Seno al cuadrado de theta más coseno al cuadrado de theta es igual a 1. Si hacemos el despeje de coseno al cuadrado de theta entonces este componente pasa al otro lado a restar. Y nos queda 1 menos seno al cuadrado de theta. Ese es el cambio que hemos hecho en esta ocasión. Y todo esto nos queda sobre seno de theta. Acompañado del respectivo diferencial de theta. Allí podemos repartir este componente que está en el denominador para cada uno de los términos del numerador. Entonces nos queda así. 5 por la integral de 1 sobre seno de theta menos seno al cuadrado de theta sobre seno de theta. Protegemos el integrando con paréntesis y escribimos el respectivo diferencial de theta. Vamos a continuar por acá más abajo. Escribimos el 5 que está por fuera de la integral. Y 1 sobre seno de theta se convierte en cosecante de theta. Recordemos que es una de las identidades trigonométricas básicas. Y acá tenemos que seno al cuadrado de theta sobre seno de theta. Simplificando eso nos da simplemente seno de theta. Protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de theta. Ya en esta etapa del ejercicio podemos entonces repartir la integral para cada uno de estos componentes. Si seguimos corchete tenemos la integral de cosecante de theta con su diferencial de theta menos la integral de seno de theta con su respectivo diferencial de theta. Y cerramos el corchete. Bien, vamos a continuar el ejercicio por acá. Escribimos el 5, abrimos el corchete y tenemos que el resultado de esta integral es menos logaritmo natural de cosecante de theta más cotangente de theta. Ahora que finalice la explicación de esta integral que estamos resolviendo por sustitución trigonométrica, voy a resolver esta integral para mostrar por qué su resultado es esta expresión. Esto menos la integral de seno de theta que es menos coseno de theta. Protegemos con paréntesis, cerramos el corchete y escribimos por primera vez la constante de integración. Aquí podemos aplicar ley de los signos, menos por menos es más, entonces vamos a quitar este paréntesis y aquí cambiamos al signo más. Vamos a realizar también la propiedad distributiva, seguimos por acá, tenemos 5 por todo esto, que sería menos 5 por logaritmo natural de cosecante de theta más cotangente de theta y esto más 5 por coseno de theta, todo esto más la constante de integración. Enseguida vamos a cambiar estos dos componentes por sus equivalentes en lo que son las identidades básicas de la trigonometría. Tenemos que cosecante de theta es 1 sobre seno de theta más cotangente de theta que equivale a coseno de theta sobre seno de theta y todo esto más 5 coseno de theta más la constante de integración. Esto a su vez lo podemos escribir como menos 5 por logaritmo natural de, dejamos una sola línea, conservamos el denominador que es seno de theta y arriba escribimos 1 más coseno de theta. Recordemos que esto es suma de fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador, ese componente queda igual y escribimos la constante de integración. Cuando ya tenemos el ejercicio en esta etapa en términos de seno de theta y coseno de theta podemos recurrir nuevamente al triángulo rectángulo que construimos al principio y de donde obtuvimos justamente estas razones trigonométricas en términos de X. Bien, aquí lo tenemos de nuevo y vamos a obtener como decíamos cada uno de estos componentes, seno de theta y coseno de theta en términos de la variable X. Entonces tenemos 1 más coseno de theta que es cateto adyacente sobre hipotenusa. Entonces lo vamos a escribir por acá, en el numerador el cateto adyacente raíz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado y todo esto sobre la hipotenusa que es 5. Acá en el denominador tenemos seno de theta que es cateto opuesto sobre hipotenusa, o sea 4X sobre 5 y así cerramos este paréntesis que protege el argumento de ese logaritmo natural. Y ahora esto más 5 que multiplica a coseno de theta. Coseno de theta es otra vez cateto adyacente sobre hipotenusa. Entonces acá en el numerador tenemos 25 menos 16X al cuadrado, todo esto dentro de la raíz cuadrada y acá en el denominador justamente la hipotenusa que vale 5. Y todo esto más la constante de integración. En seguida vamos a resolver esta operación que tenemos dentro del paréntesis. Podemos cambiar este 1 por la fracción 5 quintos. Si recordemos que 5 quintos es una fracción equivalente a la unidad, entonces eso lo hacemos para tener suma de fracciones homogéneas en el numerador. Entonces abrimos el paréntesis, conservamos el mismo denominador, allí tenemos el 5 y escribimos la suma de los numeradores. 5 más la raíz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado. Y en el denominador continuamos con 4X sobre 5 y cerramos el paréntesis. Por acá podemos simplificar estos números 5. Entonces estos los cancelamos y nos queda la raíz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado y todo esto más la constante de integración. Aquí en este conciente de fracciones podemos aplicar el siguiente truco. Recordemos que si tenemos una fracción A sobre C sobre otra fracción B sobre C, entonces como tienen el mismo denominador podemos suprimirlos y nos quedaría únicamente A sobre B. Pues bien, eso está sucediendo acá. Podemos suprimir estos dos denominadores que son iguales y nos va a quedar dentro del paréntesis esto sobre 4X. Bien, aquí podemos observar ese resultado y de esta manera terminamos el ejercicio. Hemos encontrado la expresión que corresponde a la integral, vamos a recordarla, de la raíz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado y todo esto sobre X con su respectivo diferencial de X. Entonces, como hemos visto, se utilizó el método de la sustitución trigonométrica. El resultado de esta integral es toda esta expresión. Bien, como decía anteriormente, vamos a resolver esta integral, la decosecante de θ con su respectivo diferencial de θ. Para empezar, debemos utilizar un artificio matemático, una especie de truco que consiste en multiplicar esa expresión por lo que es cosecante de θ más cotangente de θ y dividimos por esa misma expresión. Entonces, multiplicamos y dividimos cosecante de θ por lo que es cosecante de θ más cotangente de θ. Es lo que se llama un artificio matemático. En seguida, vamos a multiplicar los numeradores. Recordemos que esto aquí tiene denominador 1. Entonces, al multiplicar numeradores, tenemos cosecante de θ que se distribuye para estos dos componentes y tenemos cosecante al cuadrado de θ más cosecante de θ por cotangente de θ. Y todo esto sobre la misma expresión que estaría multiplicada con este uno invisible que tenemos acá debajo de cosecante de θ. Entonces, 1 por esto nos da cosecante de θ más cotangente de θ y todo esto con su respectivo diferencial de θ. Ahora, aquí vamos a utilizar una sustitución, el método de sustitución o cambio de variable. Vamos a llamar, por ejemplo, con la letra P a lo que es el denominador de la fracción. Entonces, P es igual a cosecante de θ más cotangente de θ. Vamos a destacar este componente y en seguida esto lo vamos a derivar. Vamos a derivar P con respecto a θ. Tenemos que la derivada de cosecante de θ es menos cosecante de θ por cotangente de θ. Y la derivada de cotangente de θ es menos cosecante al cuadrado de θ. Ahora, de allí necesitamos despejar de θ. De θ que están dividiendo, pasaría al otro lado a multiplicar. Vamos a quitarlo de aquí, dejamos aquí solamente de P. Y entonces todo esto queda multiplicado por de θ. Como decíamos, pasa a multiplicar al otro lado. Y ya nos queda fácil despejar de θ. Ahora, todo esto que está multiplicando pasa a dividir debajo de de P. Entonces, vamos a escribir eso por acá. De θ es igual a dt sobre toda esta expresión. Menos cosecante de θ por cotangente de θ, menos cosecante al cuadrado de θ. A su vez, acá en el denominador podemos extraer factor común el signo negativo. Entonces, esto lo podemos escribir así, protegido con paréntesis, el signo negativo por fuera. Y acá tenemos signo positivo. Y a su vez, ese signo menos podemos trasladarlo acá al numerador. Entonces, nos queda mejor presentado de esta manera. Vamos a destacar este componente porque lo necesitamos ahora para reconstruir esta integral. Haciendo entonces los cambios en la integral original, tenemos lo siguiente. Para el caso del numerador, la misma expresión. Cosecante al cuadrado de θ, más cosecante de θ, por cotangente de θ. En el denominador tenemos esto que equivale a P, y esto multiplicado por dt, que es todo esto. Entonces, vamos a escribirlo por acá. Tenemos menos de P, sobre cosecante de θ, por cotangente de θ, más cosecante al cuadrado de θ. El paréntesis que teníamos acá ya se puede omitir en ese caso. Observamos que en toda esta expresión, este componente es exactamente igual a este. Y se pueden cancelar. Entonces, vamos a eliminar todo eso y el ejercicio nos va a quedar como la integral de menos de P, sobre P. Aquí podemos extraer el signo menos. Nos queda integral de DP sobre P, que también podemos escribir como la integral de 1 sobre P, con su correspondiente diferencial de P. Y recordemos que esa es una integral básica, una integral directa, que nos da menos logaritmo natural del valor absoluto de P. Y allí escribiríamos por primera vez la constante de integración. Lo que tenemos que hacer ahora es cambiar P por esta expresión. Es decir, deshacer la sustitución o el cambio de variable. Entonces, tenemos menos logaritmo natural de valor absoluto de P, que equivale a cosecante de θ, más cotangente de θ. Cerramos valor absoluto y escribimos la constante de integración. Asumiendo que todo esto representa una cantidad positiva, podemos entonces cambiar el valor absoluto por paréntesis. Y de esa manera tenemos el resultado de la integral de cosecante de θ, con su respectivo diferencial de θ. Y así nos queda ya demostrado eso que utilizamos en el ejercicio anterior, que resolvimos por sustitución trigonométrica.
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integrando que observamos en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 235.84, "end": 244.16, "text": " Ahora necesitamos relacionar este lado que contiene la X otra vez con el lado constante que es la hipotenusa."}, {"start": 244.16, "end": 253.56, "text": " Si observamos bien en este tri\u00e1ngulo, 4x es el cateto opuesto al \u00e1ngulo theta y 5 como dec\u00edamos es la hipotenusa."}, {"start": 253.56, "end": 257.28000000000003, "text": " Por lo tanto nos conviene utilizar el seno."}, {"start": 257.28000000000003, "end": 261.48, "text": " Aqu\u00ed tenemos cateto opuesto sobre hipotenusa."}, {"start": 261.48, "end": 276.12, "text": " Entonces decimos que seno de theta es igual a 4x que es el cateto opuesto sobre la hipotenusa que vale 5 unidades."}, {"start": 276.12, "end": 285.4, "text": " De esta expresi\u00f3n necesitamos despejar x porque aqu\u00ed se observa que x es uno de los componentes del integrando."}, {"start": 285.4, "end": 288.64, "text": " Entonces primero se despeja 4x."}, {"start": 288.64, "end": 295.96, "text": " Para despejar 4x, 5 que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar ac\u00e1 con seno de theta."}, {"start": 295.96, "end": 300.28000000000003, "text": " Entonces nos queda 5 por seno de theta."}, {"start": 300.28000000000003, "end": 304.88, "text": " Y ahora s\u00ed nos queda f\u00e1cil hacer el despeje de x."}, {"start": 304.88, "end": 314.28, "text": " Tenemos que x ser\u00e1 igual a 5 seno de theta, todo esto sobre 4."}, {"start": 314.28, "end": 318.8, "text": " 4 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 318.8, "end": 326.28, "text": " Y aqu\u00ed ya tenemos el otro componente que observamos ac\u00e1 en el integrando."}, {"start": 326.28, "end": 333.36, "text": " Como podemos observar ya tenemos un equivalente para la ra\u00edz cuadrada en t\u00e9rminos del \u00e1ngulo theta."}, {"start": 333.36, "end": 338.04, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos el equivalente para x en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 338.04, "end": 345.76, "text": " Nos queda faltando buscarle un equivalente al diferencial de x tambi\u00e9n en t\u00e9rminos del \u00e1ngulo theta."}, {"start": 345.76, "end": 356.36, "text": " Y eso lo vamos a conseguir derivando esta expresi\u00f3n, o sea derivando x con respecto a la variable theta."}, {"start": 356.36, "end": 360.84000000000003, "text": " Esto lo podr\u00edamos tambi\u00e9n observar como 5 cuartos de seno de theta."}, {"start": 360.84, "end": 369.44, "text": " Pero vamos a escribirlo de esa forma porque es m\u00e1s sencillo tenerlo as\u00ed para efectos de la derivaci\u00f3n."}, {"start": 369.44, "end": 379.15999999999997, "text": " Entonces la derivada de esto ser\u00e1 5 cuartos que se deja quieto por ser un n\u00famero que est\u00e1 multiplicando con la expresi\u00f3n seno de theta."}, {"start": 379.15999999999997, "end": 383.23999999999995, "text": " Y pasamos a derivar justamente seno de theta."}, {"start": 383.23999999999995, "end": 387.44, "text": " La derivada de esto ser\u00e1 coseno de theta."}, {"start": 387.44, "end": 391.44, "text": " Y enseguida despejamos de all\u00ed dx."}, {"start": 391.44, "end": 396.84, "text": " Para ello, de theta que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar."}, {"start": 396.84, "end": 402.04, "text": " Nos queda 5 cuartos por coseno de theta y esto por d theta."}, {"start": 402.04, "end": 406.84, "text": " As\u00ed tenemos el componente que nos hac\u00eda falta."}, {"start": 406.84, "end": 412.44, "text": " Ya tenemos entonces dx en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 412.44, "end": 419.44, "text": " Ahora lo que tenemos que hacer es reescribir toda esta integral que se encuentra en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 419.44, "end": 424.44, "text": " Entonces ahora en t\u00e9rminos de la nueva variable que ser\u00e1 theta."}, {"start": 424.44, "end": 432.24, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda el reemplazo de cada uno de los componentes."}, {"start": 432.24, "end": 440.84, "text": " Tenemos ac\u00e1 en el numerador la ra\u00edz que equivale a 5 coseno de theta."}, {"start": 440.84, "end": 451.84, "text": " En el denominador tenemos x que equivale a 5 cuartos de seno de theta o como lo ten\u00edamos ahora 5 seno de theta."}, {"start": 451.84, "end": 455.44, "text": " Todo esto sobre 4."}, {"start": 455.44, "end": 458.03999999999996, "text": " Y reemplazamos tambi\u00e9n de x."}, {"start": 458.03999999999996, "end": 469.64, "text": " Entonces eso multiplicado por 5 cuartos coseno de theta con su correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 469.64, "end": 473.64, "text": " Ahora vamos a acomodar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 473.64, "end": 482.44, "text": " 5 coseno de theta lo podemos escribir un poco m\u00e1s arriba."}, {"start": 482.44, "end": 485.64, "text": " Y le escribimos denominador 1."}, {"start": 485.64, "end": 490.64, "text": " Entonces lo subimos un poco, le anotamos denominador 1."}, {"start": 490.64, "end": 495.64, "text": " Y aqu\u00ed vamos a utilizar lo que se conoce como ley de la oreja."}, {"start": 495.64, "end": 502.64, "text": " Lo que tambi\u00e9n es conocido como producto de extremos y producto de medios."}, {"start": 502.64, "end": 508.64, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda la integral."}, {"start": 508.64, "end": 516.64, "text": " Ac\u00e1 en el numerador tenemos la multiplicaci\u00f3n de 4 por 5 coseno de theta."}, {"start": 516.64, "end": 519.64, "text": " O sea los extremos."}, {"start": 519.64, "end": 524.64, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador escribimos la multiplicaci\u00f3n de los medios."}, {"start": 524.64, "end": 529.64, "text": " O sea 1 por 5 seno de theta que es 5 seno de theta."}, {"start": 529.64, "end": 540.64, "text": " Y esto multiplicado a su vez por 5 cuartos coseno de theta y el correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 540.64, "end": 547.64, "text": " En esta expresi\u00f3n podemos simplificar el 4 que est\u00e1 arriba y tambi\u00e9n abajo."}, {"start": 547.64, "end": 554.64, "text": " Podemos simplificar este n\u00famero 5 que tambi\u00e9n est\u00e1 arriba y abajo."}, {"start": 554.64, "end": 559.64, "text": " Y entonces la expresi\u00f3n nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 559.64, "end": 562.64, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 m\u00e1s abajo."}, {"start": 562.64, "end": 573.64, "text": " Tenemos la integral de coseno de theta por 5 por coseno de theta es 5 coseno al cuadrado de theta."}, {"start": 573.64, "end": 581.64, "text": " Y en el denominador tenemos lo que es seno de theta \u00fanicamente."}, {"start": 581.64, "end": 586.64, "text": " Y todo esto acompa\u00f1ado del diferencial de theta."}, {"start": 586.64, "end": 591.64, "text": " En esa expresi\u00f3n es posible retirar el 5."}, {"start": 591.64, "end": 597.64, "text": " Lo escribimos por fuera de la integral por ser una constante que est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 597.64, "end": 604.64, "text": " Entonces nos queda en el integrando coseno al cuadrado de theta sobre seno de theta."}, {"start": 604.64, "end": 608.64, "text": " Y todo esto con el diferencial de theta."}, {"start": 608.64, "end": 621.64, "text": " Como podemos observar la integral original que estaba en t\u00e9rminos de x ahora se ha convertido en una integral trigonom\u00e9trica en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 621.64, "end": 626.64, "text": " Ahora nuestro problema es dar soluci\u00f3n a esta integral."}, {"start": 626.64, "end": 641.64, "text": " Para ello vamos a cambiar en el numerador lo que es coseno al cuadrado de theta por 1 menos seno al cuadrado de theta."}, {"start": 641.64, "end": 648.64, "text": " Recordemos que eso proviene de la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 648.64, "end": 653.64, "text": " Seno al cuadrado de theta m\u00e1s coseno al cuadrado de theta es igual a 1."}, {"start": 653.64, "end": 662.64, "text": " Si hacemos el despeje de coseno al cuadrado de theta entonces este componente pasa al otro lado a restar."}, {"start": 662.64, "end": 666.64, "text": " Y nos queda 1 menos seno al cuadrado de theta."}, {"start": 666.64, "end": 670.64, "text": " Ese es el cambio que hemos hecho en esta ocasi\u00f3n."}, {"start": 670.64, "end": 675.64, "text": " Y todo esto nos queda sobre seno de theta."}, {"start": 675.64, "end": 681.64, "text": " Acompa\u00f1ado del respectivo diferencial de theta."}, {"start": 681.64, "end": 691.64, "text": " All\u00ed podemos repartir este componente que est\u00e1 en el denominador para cada uno de los t\u00e9rminos del numerador."}, {"start": 691.64, "end": 693.64, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 693.64, "end": 706.64, "text": " 5 por la integral de 1 sobre seno de theta menos seno al cuadrado de theta sobre seno de theta."}, {"start": 706.64, "end": 713.64, "text": " Protegemos el integrando con par\u00e9ntesis y escribimos el respectivo diferencial de theta."}, {"start": 713.64, "end": 718.64, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 m\u00e1s abajo."}, {"start": 718.64, "end": 722.64, "text": " Escribimos el 5 que est\u00e1 por fuera de la integral."}, {"start": 722.64, "end": 728.64, "text": " Y 1 sobre seno de theta se convierte en cosecante de theta."}, {"start": 728.64, "end": 733.64, "text": " Recordemos que es una de las identidades trigonom\u00e9tricas b\u00e1sicas."}, {"start": 733.64, "end": 739.64, "text": " Y ac\u00e1 tenemos que seno al cuadrado de theta sobre seno de theta."}, {"start": 739.64, "end": 744.64, "text": " Simplificando eso nos da simplemente seno de theta."}, {"start": 744.64, "end": 749.64, "text": " Protegemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de theta."}, {"start": 749.64, "end": 761.64, "text": " Ya en esta etapa del ejercicio podemos entonces repartir la integral para cada uno de estos componentes."}, {"start": 761.64, "end": 770.64, "text": " Si seguimos corchete tenemos la integral de cosecante de theta con su diferencial de theta"}, {"start": 770.64, "end": 779.64, "text": " menos la integral de seno de theta con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 779.64, "end": 782.64, "text": " Y cerramos el corchete."}, {"start": 782.64, "end": 788.64, "text": " Bien, vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 788.64, "end": 796.64, "text": " Escribimos el 5, abrimos el corchete y tenemos que el resultado de esta integral es"}, {"start": 796.64, "end": 803.64, "text": " menos logaritmo natural de cosecante de theta m\u00e1s cotangente de theta."}, {"start": 803.64, "end": 811.64, "text": " Ahora que finalice la explicaci\u00f3n de esta integral que estamos resolviendo por sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica,"}, {"start": 811.64, "end": 819.64, "text": " voy a resolver esta integral para mostrar por qu\u00e9 su resultado es esta expresi\u00f3n."}, {"start": 819.64, "end": 826.64, "text": " Esto menos la integral de seno de theta que es menos coseno de theta."}, {"start": 826.64, "end": 836.64, "text": " Protegemos con par\u00e9ntesis, cerramos el corchete y escribimos por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 836.64, "end": 846.64, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar ley de los signos, menos por menos es m\u00e1s, entonces vamos a quitar este par\u00e9ntesis"}, {"start": 846.64, "end": 849.64, "text": " y aqu\u00ed cambiamos al signo m\u00e1s."}, {"start": 849.64, "end": 857.64, "text": " Vamos a realizar tambi\u00e9n la propiedad distributiva, seguimos por ac\u00e1, tenemos 5 por todo esto,"}, {"start": 857.64, "end": 867.64, "text": " que ser\u00eda menos 5 por logaritmo natural de cosecante de theta m\u00e1s cotangente de theta"}, {"start": 867.64, "end": 876.64, "text": " y esto m\u00e1s 5 por coseno de theta, todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 876.64, "end": 883.64, "text": " Enseguida vamos a cambiar estos dos componentes por sus equivalentes"}, {"start": 883.64, "end": 887.64, "text": " en lo que son las identidades b\u00e1sicas de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 887.64, "end": 896.64, "text": " Tenemos que cosecante de theta es 1 sobre seno de theta m\u00e1s cotangente de theta"}, {"start": 896.64, "end": 909.64, "text": " que equivale a coseno de theta sobre seno de theta y todo esto m\u00e1s 5 coseno de theta m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 909.64, "end": 919.64, "text": " Esto a su vez lo podemos escribir como menos 5 por logaritmo natural de, dejamos una sola l\u00ednea,"}, {"start": 919.64, "end": 927.64, "text": " conservamos el denominador que es seno de theta y arriba escribimos 1 m\u00e1s coseno de theta."}, {"start": 927.64, "end": 934.64, "text": " Recordemos que esto es suma de fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el mismo denominador,"}, {"start": 934.64, "end": 939.64, "text": " ese componente queda igual y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 939.64, "end": 946.64, "text": " Cuando ya tenemos el ejercicio en esta etapa en t\u00e9rminos de seno de theta y coseno de theta"}, {"start": 946.64, "end": 953.64, "text": " podemos recurrir nuevamente al tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que construimos al principio"}, {"start": 953.64, "end": 961.64, "text": " y de donde obtuvimos justamente estas razones trigonom\u00e9tricas en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 961.64, "end": 970.64, "text": " Bien, aqu\u00ed lo tenemos de nuevo y vamos a obtener como dec\u00edamos cada uno de estos componentes,"}, {"start": 970.64, "end": 976.64, "text": " seno de theta y coseno de theta en t\u00e9rminos de la variable X."}, {"start": 976.64, "end": 984.64, "text": " Entonces tenemos 1 m\u00e1s coseno de theta que es cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 984.64, "end": 992.64, "text": " Entonces lo vamos a escribir por ac\u00e1, en el numerador el cateto adyacente ra\u00edz cuadrada de 25"}, {"start": 992.64, "end": 1003.64, "text": " menos 16X al cuadrado y todo esto sobre la hipotenusa que es 5."}, {"start": 1003.64, "end": 1010.64, "text": " Ac\u00e1 en el denominador tenemos seno de theta que es cateto opuesto sobre hipotenusa,"}, {"start": 1010.64, "end": 1021.64, "text": " o sea 4X sobre 5 y as\u00ed cerramos este par\u00e9ntesis que protege el argumento de ese logaritmo natural."}, {"start": 1021.64, "end": 1028.6399999999999, "text": " Y ahora esto m\u00e1s 5 que multiplica a coseno de theta."}, {"start": 1028.6399999999999, "end": 1033.6399999999999, "text": " Coseno de theta es otra vez cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 1033.64, "end": 1043.64, "text": " Entonces ac\u00e1 en el numerador tenemos 25 menos 16X al cuadrado, todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 1043.64, "end": 1050.64, "text": " y ac\u00e1 en el denominador justamente la hipotenusa que vale 5."}, {"start": 1050.64, "end": 1057.64, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1057.64, "end": 1064.64, "text": " En seguida vamos a resolver esta operaci\u00f3n que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 1064.64, "end": 1069.64, "text": " Podemos cambiar este 1 por la fracci\u00f3n 5 quintos."}, {"start": 1069.64, "end": 1074.64, "text": " Si recordemos que 5 quintos es una fracci\u00f3n equivalente a la unidad,"}, {"start": 1074.64, "end": 1081.64, "text": " entonces eso lo hacemos para tener suma de fracciones homog\u00e9neas en el numerador."}, {"start": 1081.64, "end": 1090.64, "text": " Entonces abrimos el par\u00e9ntesis, conservamos el mismo denominador, all\u00ed tenemos el 5"}, {"start": 1090.64, "end": 1094.64, "text": " y escribimos la suma de los numeradores."}, {"start": 1094.64, "end": 1105.64, "text": " 5 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado."}, {"start": 1105.64, "end": 1113.64, "text": " Y en el denominador continuamos con 4X sobre 5 y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 1113.64, "end": 1118.64, "text": " Por ac\u00e1 podemos simplificar estos n\u00fameros 5."}, {"start": 1118.64, "end": 1129.64, "text": " Entonces estos los cancelamos y nos queda la ra\u00edz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado"}, {"start": 1129.64, "end": 1135.64, "text": " y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1135.64, "end": 1141.64, "text": " Aqu\u00ed en este conciente de fracciones podemos aplicar el siguiente truco."}, {"start": 1141.64, "end": 1147.64, "text": " Recordemos que si tenemos una fracci\u00f3n A sobre C sobre otra fracci\u00f3n B sobre C,"}, {"start": 1147.64, "end": 1157.64, "text": " entonces como tienen el mismo denominador podemos suprimirlos y nos quedar\u00eda \u00fanicamente A sobre B."}, {"start": 1157.64, "end": 1159.64, "text": " Pues bien, eso est\u00e1 sucediendo ac\u00e1."}, {"start": 1159.64, "end": 1170.64, "text": " Podemos suprimir estos dos denominadores que son iguales y nos va a quedar dentro del par\u00e9ntesis esto sobre 4X."}, {"start": 1170.64, "end": 1178.64, "text": " Bien, aqu\u00ed podemos observar ese resultado y de esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 1178.64, "end": 1189.64, "text": " Hemos encontrado la expresi\u00f3n que corresponde a la integral, vamos a recordarla,"}, {"start": 1189.64, "end": 1204.64, "text": " de la ra\u00edz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado y todo esto sobre X con su respectivo diferencial de X."}, {"start": 1204.64, "end": 1211.64, "text": " Entonces, como hemos visto, se utiliz\u00f3 el m\u00e9todo de la sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 1211.64, "end": 1218.64, "text": " El resultado de esta integral es toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1218.64, "end": 1223.64, "text": " Bien, como dec\u00eda anteriormente, vamos a resolver esta integral,"}, {"start": 1223.64, "end": 1228.64, "text": " la decosecante de \u03b8 con su respectivo diferencial de \u03b8."}, {"start": 1228.64, "end": 1238.64, "text": " Para empezar, debemos utilizar un artificio matem\u00e1tico, una especie de truco que consiste en multiplicar esa expresi\u00f3n"}, {"start": 1238.64, "end": 1250.64, "text": " por lo que es cosecante de \u03b8 m\u00e1s cotangente de \u03b8 y dividimos por esa misma expresi\u00f3n."}, {"start": 1250.64, "end": 1259.64, "text": " Entonces, multiplicamos y dividimos cosecante de \u03b8 por lo que es cosecante de \u03b8 m\u00e1s cotangente de \u03b8."}, {"start": 1259.64, "end": 1262.64, "text": " Es lo que se llama un artificio matem\u00e1tico."}, {"start": 1262.64, "end": 1271.64, "text": " En seguida, vamos a multiplicar los numeradores. Recordemos que esto aqu\u00ed tiene denominador 1."}, {"start": 1271.64, "end": 1280.64, "text": " Entonces, al multiplicar numeradores, tenemos cosecante de \u03b8 que se distribuye para estos dos componentes"}, {"start": 1280.64, "end": 1290.64, "text": " y tenemos cosecante al cuadrado de \u03b8 m\u00e1s cosecante de \u03b8 por cotangente de \u03b8."}, {"start": 1290.64, "end": 1300.64, "text": " Y todo esto sobre la misma expresi\u00f3n que estar\u00eda multiplicada con este uno invisible que tenemos ac\u00e1 debajo de cosecante de \u03b8."}, {"start": 1300.64, "end": 1313.64, "text": " Entonces, 1 por esto nos da cosecante de \u03b8 m\u00e1s cotangente de \u03b8 y todo esto con su respectivo diferencial de \u03b8."}, {"start": 1313.64, "end": 1323.64, "text": " Ahora, aqu\u00ed vamos a utilizar una sustituci\u00f3n, el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 1323.64, "end": 1330.64, "text": " Vamos a llamar, por ejemplo, con la letra P a lo que es el denominador de la fracci\u00f3n."}, {"start": 1330.64, "end": 1336.64, "text": " Entonces, P es igual a cosecante de \u03b8 m\u00e1s cotangente de \u03b8."}, {"start": 1336.64, "end": 1346.64, "text": " Vamos a destacar este componente y en seguida esto lo vamos a derivar."}, {"start": 1346.64, "end": 1350.64, "text": " Vamos a derivar P con respecto a \u03b8."}, {"start": 1350.64, "end": 1359.64, "text": " Tenemos que la derivada de cosecante de \u03b8 es menos cosecante de \u03b8 por cotangente de \u03b8."}, {"start": 1359.64, "end": 1367.64, "text": " Y la derivada de cotangente de \u03b8 es menos cosecante al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 1367.64, "end": 1371.64, "text": " Ahora, de all\u00ed necesitamos despejar de \u03b8."}, {"start": 1371.64, "end": 1376.64, "text": " De \u03b8 que est\u00e1n dividiendo, pasar\u00eda al otro lado a multiplicar."}, {"start": 1376.64, "end": 1383.64, "text": " Vamos a quitarlo de aqu\u00ed, dejamos aqu\u00ed solamente de P."}, {"start": 1383.64, "end": 1388.64, "text": " Y entonces todo esto queda multiplicado por de \u03b8."}, {"start": 1388.64, "end": 1391.64, "text": " Como dec\u00edamos, pasa a multiplicar al otro lado."}, {"start": 1391.64, "end": 1393.64, "text": " Y ya nos queda f\u00e1cil despejar de \u03b8."}, {"start": 1393.64, "end": 1399.64, "text": " Ahora, todo esto que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir debajo de de P."}, {"start": 1399.64, "end": 1402.64, "text": " Entonces, vamos a escribir eso por ac\u00e1."}, {"start": 1402.64, "end": 1411.64, "text": " De \u03b8 es igual a dt sobre toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1411.64, "end": 1420.64, "text": " Menos cosecante de \u03b8 por cotangente de \u03b8, menos cosecante al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 1420.64, "end": 1427.64, "text": " A su vez, ac\u00e1 en el denominador podemos extraer factor com\u00fan el signo negativo."}, {"start": 1427.64, "end": 1434.64, "text": " Entonces, esto lo podemos escribir as\u00ed, protegido con par\u00e9ntesis, el signo negativo por fuera."}, {"start": 1434.64, "end": 1437.64, "text": " Y ac\u00e1 tenemos signo positivo."}, {"start": 1437.64, "end": 1442.64, "text": " Y a su vez, ese signo menos podemos trasladarlo ac\u00e1 al numerador."}, {"start": 1442.64, "end": 1446.64, "text": " Entonces, nos queda mejor presentado de esta manera."}, {"start": 1446.64, "end": 1454.64, "text": " Vamos a destacar este componente porque lo necesitamos ahora para reconstruir esta integral."}, {"start": 1454.64, "end": 1464.64, "text": " Haciendo entonces los cambios en la integral original, tenemos lo siguiente."}, {"start": 1464.64, "end": 1468.64, "text": " Para el caso del numerador, la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 1468.64, "end": 1478.64, "text": " Cosecante al cuadrado de \u03b8, m\u00e1s cosecante de \u03b8, por cotangente de \u03b8."}, {"start": 1478.64, "end": 1486.64, "text": " En el denominador tenemos esto que equivale a P, y esto multiplicado por dt, que es todo esto."}, {"start": 1486.64, "end": 1488.64, "text": " Entonces, vamos a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 1488.64, "end": 1503.64, "text": " Tenemos menos de P, sobre cosecante de \u03b8, por cotangente de \u03b8, m\u00e1s cosecante al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 1503.64, "end": 1508.64, "text": " El par\u00e9ntesis que ten\u00edamos ac\u00e1 ya se puede omitir en ese caso."}, {"start": 1508.64, "end": 1515.64, "text": " Observamos que en toda esta expresi\u00f3n, este componente es exactamente igual a este."}, {"start": 1515.64, "end": 1517.64, "text": " Y se pueden cancelar."}, {"start": 1517.64, "end": 1534.64, "text": " Entonces, vamos a eliminar todo eso y el ejercicio nos va a quedar como la integral de menos de P, sobre P."}, {"start": 1534.64, "end": 1537.64, "text": " Aqu\u00ed podemos extraer el signo menos."}, {"start": 1537.64, "end": 1550.64, "text": " Nos queda integral de DP sobre P, que tambi\u00e9n podemos escribir como la integral de 1 sobre P, con su correspondiente diferencial de P."}, {"start": 1550.64, "end": 1560.64, "text": " Y recordemos que esa es una integral b\u00e1sica, una integral directa, que nos da menos logaritmo natural del valor absoluto de P."}, {"start": 1560.64, "end": 1564.64, "text": " Y all\u00ed escribir\u00edamos por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1564.64, "end": 1569.64, "text": " Lo que tenemos que hacer ahora es cambiar P por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1569.64, "end": 1575.64, "text": " Es decir, deshacer la sustituci\u00f3n o el cambio de variable."}, {"start": 1575.64, "end": 1588.64, "text": " Entonces, tenemos menos logaritmo natural de valor absoluto de P, que equivale a cosecante de \u03b8, m\u00e1s cotangente de \u03b8."}, {"start": 1588.64, "end": 1594.64, "text": " Cerramos valor absoluto y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1594.64, "end": 1604.64, "text": " Asumiendo que todo esto representa una cantidad positiva, podemos entonces cambiar el valor absoluto por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1604.64, "end": 1616.64, "text": " Y de esa manera tenemos el resultado de la integral de cosecante de \u03b8, con su respectivo diferencial de \u03b8."}, {"start": 1616.64, "end": 1627.64, "text": " Y as\u00ed nos queda ya demostrado eso que utilizamos en el ejercicio anterior, que resolvimos por sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}]