RECTA NORMAL A UNA CURVA - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta normal a una curva en un punto específico.

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 Vamos a hallar la ecuación de la recta normal a esa curva en el punto de abscisa 1. No conocemos su ordenada. Vamos a comenzar entonces por hallar ese dato. Para ello evaluamos la función cuando x toma el valor 1. Entonces y es igual al logaritmo natural de la raíz quinta de 2 por 1 menos 1, esto sobre 1 al cubo. Allí entonces reemplazamos x o la abscisa por el valor 1 y resolvemos esas operaciones. Nos queda el logaritmo natural de la raíz quinta de 2 por 1 nos da 2, 2 menos 1 es 1. En el numerador 1 al cubo nos da 1 en el denominador. Seguimos resolviendo. 1 sobre 1 nos da 1. Y la raíz quinta de 1 es igual a 1. Y logaritmo natural de 1 nos da 0. Esa será entonces la ordenada del punto donde debemos hallar la ecuación de la recta normal. Supongamos que esa curva tiene esta forma y que el punto donde nos pide hallar la ecuación de la recta es este. Tenemos allí el punto P. Por ese punto pasa una recta tangente cuya pendiente la vamos a llamar MT. Pendiente de la recta tangente. Y este valor se determina evaluando la derivada de esa función en este punto. Que se convierte en el punto de tangencia. Ahora por ese mismo punto pasa otra recta que es la normal. Y que es perpendicular a la recta tangente. Esta recta tiene pendiente MM. La pendiente de la recta normal. Como esas dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes debe ser menos 1. Recordemos que esa es la propiedad que cumplen dos rectas que son perpendiculares. El producto de sus pendientes es menos 1. Entonces lo que hacemos a continuación es obtener la derivada de la función que nos dan. Para poder hallar el valor de la pendiente de la recta tangente en ese punto. Comenzamos por transformar esa función. Tenemos allí una raíz quinta que podemos cambiar al exponente un quinto. Esto de adentro nos queda igual. 2x menos 1 sobre x al cubo. Y ahora este exponente puede bajar por propiedad de los logaritmos. Nos queda un quinto por logaritmo natural de 2x menos 1 sobre x al cubo. Allí hemos aplicado la propiedad que dice que si tenemos el logaritmo de una potencia. En este caso logaritmo natural de A elevada al exponente B. Entonces B baja a multiplicar con el logaritmo. Esto es la propiedad que hemos aplicado en ese caso. A su vez esto puede transformarse. Tenemos aquí el logaritmo de un cociente. Recordemos la propiedad que se aplica en ese caso. Logaritmo natural de A sobre B es igual a logaritmo natural de A menos logaritmo natural de B. Por lo tanto esto nos queda así. Y igual a un quinto por vamos a abrir un corchete. Nos queda logaritmo natural de 2x menos 1 y esto menos logaritmo natural de x al cubo. Aplicando entonces esa propiedad. De nuevo tenemos el logaritmo de una potencia. Entonces este exponente puede bajar a multiplicar por la propiedad que veíamos hace un momento. Entonces la función nos queda y igual a un quinto por logaritmo natural de 2x menos 1. Y esto menos, aquí bajamos el 3 a multiplicar. Nos queda 3 por logaritmo natural de x y cerramos el corchete. Entonces esta expresión que hemos obtenido es equivalente a la original. Es la misma función. Solamente que acá está mucho más fácil de derivar. Por eso vale la pena hacer esa transformación. Ahora sí iniciamos el proceso de derivación. Derivada de y con respecto a x será igual a lo siguiente. Como un quinto multiplica a toda esta expresión entonces se queda quieto. Esa constante está multiplicando, la dejamos allí como acompañante. Y entramos a derivar lo que hay dentro del corchete. Allí tenemos una resta. Entonces derivamos cada uno de los componentes. Vamos con el primero. Recordemos que si tenemos logaritmo natural de manzanita. Entonces la derivada de eso será igual a manzanita prima sobre manzanita. En este caso la manzanita es 2x menos 1. Entonces siguiendo esta instrucción nos queda así. En el numerador la derivada de la manzanita. La derivada de 2x menos 1. Allí derivamos cada término por ser una resta. Derivada de 2x nos da 2. Derivada de este número nos da 0. Por lo tanto la derivada de 2x menos 1 es 2. Y en el denominador va la manzanita. Es decir 2x menos 1. Pasamos ahora al siguiente término. Donde otra vez el 3 se está multiplicando con esta expresión que contiene la x. Entonces 3 se deja quieto. Está multiplicando. Es lo mismo que pasaba con un quinto. Y derivamos este componente. La derivada del logaritmo natural de x. Siguiendo esta instrucción será 1 sobre x. 1 es la derivada de x. Y cerramos el corchete. Podríamos organizar esa expresión de una forma mucho más compacta. Pero podemos dejarla allí. Porque lo que nos interesa es obtener el valor de la pendiente de la recta tangente. Entonces como decíamos ahora. La pendiente de la tangente será la derivada de y de x. Evaluada en el punto de tangencia. Es decir cuando x toma el valor 1. En ese caso solamente se utiliza el valor de x. Porque es el que aparece en esta expresión. No se utiliza el valor de y. Entonces vamos a reemplazar. 1 aquí donde tenemos las x. Vamos resolviendo. Nos queda un quinto por. Abrimos el corchete. 2 sobre. Veamos. 2 por 1 nos da 2. 2 menos 1 nos da 1. Menos. Aquí. 1 sobre 1 nos da 1. Y 3 por 1 nos da 3. Continuamos resolviendo. Esto nos queda un quinto. Por. Esto nos da 2. 2 menos 3 nos da menos 1. Y un quinto por menos 1 es menos un quinto. Entonces la pendiente de la recta tangente. A esa curva en este punto. Nos dio menos un quinto. Para encontrar fácilmente el valor de la pendiente de la normal. Hacemos lo siguiente. Invertimos este valor. Y le cambiamos el signo. Si le invertimos nos queda menos 5. Y cambiando el signo nos queda 5 positivo. De esa manera menos un quinto por 5. Nos da menos 1. Ahí se cumple el requisito. Para la tangente y la normal. Que son rectas perpendiculares. Conociendo el valor de la pendiente de la recta normal. Y el punto por donde pasa. Podemos hallar la ecuación que nos solicitan. La ecuación de la recta normal. Para ello vamos a utilizar el modelo punto pendiente. Recordemos que dice y menos y uno. Igual a m por x menos x uno. Donde x uno y y uno. Son los componentes del punto p. El punto por donde pasa la recta normal. Reemplazamos entonces los componentes. Nos queda y menos y uno. Que vale cero. Igual a la pendiente. De la recta normal que vale cinco. Y esto multiplicado por x menos x uno. Pero x uno vale uno. Resolvemos eso. Y menos cero nos queda y. Y acá distribuimos el cinco. Cinco por x nos da cinco x. Cinco por menos uno es menos cinco. Aquí tenemos entonces la ecuación de la recta normal. A esta curva en este punto. En el punto de abscisa uno. Esta presentada en la forma y igual a mx más b.
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Esto nos da 2."}, {"start": 417.0, "end": 420.0, "text": " 2 menos 3 nos da menos 1."}, {"start": 420.0, "end": 425.0, "text": " Y un quinto por menos 1 es menos un quinto."}, {"start": 425.0, "end": 428.0, "text": " Entonces la pendiente de la recta tangente."}, {"start": 428.0, "end": 430.0, "text": " A esa curva en este punto."}, {"start": 430.0, "end": 432.0, "text": " Nos dio menos un quinto."}, {"start": 432.0, "end": 436.0, "text": " Para encontrar f\u00e1cilmente el valor de la pendiente de la normal."}, {"start": 436.0, "end": 438.0, "text": " Hacemos lo siguiente."}, {"start": 438.0, "end": 440.0, "text": " Invertimos este valor."}, {"start": 440.0, "end": 442.0, "text": " Y le cambiamos el signo."}, {"start": 442.0, "end": 444.0, "text": " Si le invertimos nos queda menos 5."}, {"start": 444.0, "end": 447.0, "text": " Y cambiando el signo nos queda 5 positivo."}, {"start": 447.0, "end": 449.0, "text": " De esa manera menos un quinto por 5."}, {"start": 449.0, "end": 451.0, "text": " Nos da menos 1."}, {"start": 451.0, "end": 453.0, "text": " Ah\u00ed se cumple el requisito."}, {"start": 453.0, "end": 455.0, "text": " Para la tangente y la normal."}, {"start": 455.0, "end": 457.0, "text": " Que son rectas perpendiculares."}, {"start": 457.0, "end": 460.0, "text": " Conociendo el valor de la pendiente de la recta normal."}, {"start": 460.0, "end": 462.0, "text": " Y el punto por donde pasa."}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " Podemos hallar la ecuaci\u00f3n que nos solicitan."}, {"start": 466.0, "end": 469.0, "text": " La ecuaci\u00f3n de la recta normal."}, {"start": 469.0, "end": 473.0, "text": " Para ello vamos a utilizar el modelo punto pendiente."}, {"start": 473.0, "end": 475.0, "text": " Recordemos que dice y menos y uno."}, {"start": 475.0, "end": 479.0, "text": " Igual a m por x menos x uno."}, {"start": 479.0, "end": 481.0, "text": " Donde x uno y y uno."}, {"start": 481.0, "end": 484.0, "text": " Son los componentes del punto p."}, {"start": 484.0, "end": 487.0, "text": " El punto por donde pasa la recta normal."}, {"start": 487.0, "end": 489.0, "text": " Reemplazamos entonces los componentes."}, {"start": 489.0, "end": 492.0, "text": " Nos queda y menos y uno."}, {"start": 492.0, "end": 494.0, "text": " Que vale cero."}, {"start": 494.0, "end": 496.0, "text": " Igual a la pendiente."}, {"start": 496.0, "end": 499.0, "text": " De la recta normal que vale cinco."}, {"start": 499.0, "end": 502.0, "text": " Y esto multiplicado por x menos x uno."}, {"start": 502.0, "end": 505.0, "text": " Pero x uno vale uno."}, {"start": 505.0, "end": 507.0, "text": " Resolvemos eso."}, {"start": 507.0, "end": 509.0, "text": " Y menos cero nos queda y."}, {"start": 509.0, "end": 511.0, "text": " Y ac\u00e1 distribuimos el cinco."}, {"start": 511.0, "end": 513.0, "text": " Cinco por x nos da cinco x."}, {"start": 513.0, "end": 516.0, "text": " Cinco por menos uno es menos cinco."}, {"start": 516.0, "end": 520.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de la recta normal."}, {"start": 520.0, "end": 523.0, "text": " A esta curva en este punto."}, {"start": 523.0, "end": 525.0, "text": " En el punto de abscisa uno."}, {"start": 525.0, "end": 530.0, "text": " Esta presentada en la forma y igual a mx m\u00e1s b."}]