FACTORIZAR POR EVALUACIÓN (CON DIVISIÓN SINTÉTICA) - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo factorizar un polinomio de sexto grado por el Método de Evaluación, usando la División Sintética.

Video del tema #Factorización de polinomios, producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d

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 Nos piden descomponer factorialmente este polinomio, es decir, vamos a realizar su factorización. Entonces comenzamos por sacar factor común. Vemos que la X está en todos los términos y puede salir la que tiene menor exponente. Entonces sale X al cubo. Nos queda dentro del paréntesis X al cubo menos 9X al cuadrado más 24X menos 20. Esto es lo que queda después de que sale X al cubo. Ahora vamos a realizar la factorización de este polinomio de cuatro términos usando la división sintética. Comenzamos por encontrar los divisores de 20. Vamos a sacar el listado de divisores de 20 que serían más o menos 1, más o menos 2, más o menos 4, más o menos 5, más o menos 10 y más o menos 20. Es decir, todos los números enteros, positivos y negativos, que sean divisores de 20. Como aquí al comienzo tenemos coeficiente principal 1, entonces ese no lo consideramos. Únicamente vamos a probar con estos valores en este polinomio a ver cuáles satisfacen que tengamos residuo 0 usando la división sintética. Entonces procedemos a evaluar por medio de la división sintética. Este es el método de factorización por evaluación. Entonces ya tenemos el polinomio organizado en forma descendente o decreciente. Anotamos sus coeficientes. Tenemos 1 para este término, que sigue coeficiente menos 9, después 24 y el término independiente que es menos 20. Podríamos anotar aquí encima a qué letras corresponde cada coeficiente y a este le colocamos t y, es decir término independiente, el número que no tiene la x. Entonces vamos a realizar la evaluación, hacemos la división sintética ensayando cada uno de estos numeritos. Comencemos con x igual a 1. Este numerito siempre lo bajamos y hacemos esto, 1 por 1 nos da 1, colocamos aquí el resultado, sumamos eso nos da menos 8, menos 8 por 1 nos queda menos 8, sumamos aquí nos da 16, 16 por 1 queda 16, sumamos nos da menos 4. Ese no nos sirve porque nos dio residuo menos 4. Ahora ensayamos con menos 1. Veamos, 1 por menos 1 da menos 1, sumamos nos da menos 10, menos 10 por menos 1 queda 10 positivo, sumamos da 34, 34 por menos 1 da menos 34 y al sumar por aquí nos da menos 54. Tampoco sirve porque nos da residuo diferente de 0. Ahora ensayamos con el 2, lo colocamos por acá, 1 por 2 nos da 2, sumamos da menos 7, menos 7 por 2 queda menos 14, sumamos, esto nos da 10, 10 por 2 da 20 y al sumar nos da 0. Entonces quiere decir que este número si sirve y este nos produce el factor x menos 2, que resulta de pasar el 2 para el lado izquierdo, nos quedaría x menos 2 igual a 0, o sea que otro factor del polinomio será x menos 2. Con estos 3 números conformamos el cociente de la división. Esto forma un trinomio de un grado menos que el que teníamos originalmente. Entonces estos son los coeficientes de x al cuadrado menos 7x más 10. Si vamos disminuyendo hasta llegar al 10 que sería el nuevo término independiente. Y este es un trinomio que podemos factorizar con ese caso que se llama trinomio de la forma x cuadrado más bx más c. Abrimos 2 paréntesis, repartimos la x, cuadramos los signos, más por menos nos da menos y menos por más nos da menos. Entonces buscamos 2 números negativos que multiplicados entre sí nos den 10 y que sumados entre sí nos den menos 7. Esos 2 números son menos 5 y menos 2. Y de esa manera hemos factorizado este trinomio. Eso quiere decir que este polinomio de 4 términos habiéndolo factorizado por el método de evaluación que se apoya en la división sintética nos da como resultado estos 3 factores. x menos 5 por x menos 2 por x menos 2. Luego podríamos colocarlo ya como el producto de sus factores de los que obtuvimos. Tenemos que x menos 2 se repite dos veces por lo tanto x menos 2 por x menos 2 sería x menos 2 al cuadrado y anotamos x menos 5. Y entonces de esa manera hemos logrado factorizar completamente el polinomio que nos dieron.
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