INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 9
#julioprofe explica cómo resolver una integral trigonométrica  ∫ (cotx)^4 dx

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 Para resolver esta integral trigonométrica hacemos lo siguiente, vamos a descomponer cotangente a la 4 de x en cotangente al cuadrado de x por cotangente al cuadrado de x y allí vamos a utilizar una identidad trigonométrica que surge a partir de la identidad fundamental de la trigonometría, vamos a recordarla seno al cuadrado de x más coseno al cuadrado de x es igual a 1, recordemos que es la identidad pitagórica más importante de la trigonometría, es la fundamental. Aquí podemos dividir ambos lados de la igualdad por seno al cuadrado, es decir vamos a dividir acá por seno al cuadrado de x y lo mismo hacemos al lado derecho, pero en el lado izquierdo si dividimos por seno al cuadrado podemos repartirlo para cada uno de estos sumandos, entonces tendremos seno al cuadrado de x sobre seno al cuadrado de x, esto más coseno al cuadrado de x sobre seno al cuadrado de x y como decíamos al lado derecho también se divide por seno al cuadrado de x. En esta primera fracción obtenemos 1 porque el numerador es igual al denominador, luego tenemos coseno al cuadrado de x sobre seno al cuadrado de x, recordemos que coseno sobre seno nos da cotangente, pero como ambos componentes están al cuadrado nos dará cotangente al cuadrado de x y acá recordemos que 1 sobre seno nos da cosecante, pero como tenemos 1 sobre seno al cuadrado de x esto nos da cosecante al cuadrado de x, de allí podemos hacer el despeje de cotangente al cuadrado de x, entonces nos da cosecante al cuadrado de x menos 1, pasamos este número al lado derecho nos llega a restar, entonces tenemos aquí como decíamos una identidad trigonométrica que hace parte de las identidades pitagóricas y con esta vamos a resolver ese ejercicio, entonces vamos a reemplazar aquí esto que obtuvimos, vamos a dejar la primera expresión, el primer componente cotangente al cuadrado de x, este lo dejamos quieto y hacemos aquí el cambio, entonces tendremos cosecante al cuadrado de x menos 1 y todo esto con el diferencial de x, aplicamos aquí la propiedad distributiva, entonces esto nos queda de la siguiente manera, vamos a continuar por acá tendremos la integral de cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x y después tenemos cotangente al cuadrado de x por menos 1, es decir menos cotangente al cuadrado de x, protejemos todo esto con paréntesis y anotamos el diferencial de x, vamos a escribir esto por acá, vamos a cambiar este componente por esto que obtuvimos, entonces continuamos por acá tendremos la integral de, vamos a abrir corchete, cambiamos el paréntesis por corchete, esto nos queda cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x menos, aquí abrimos un paréntesis y cambiamos cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x menos 1, cerramos paréntesis, cerramos el corchete y anotamos el diferencial de x, ahora vamos a romper este paréntesis, ingresa el signo negativo, continuamos por acá y nos queda la integral de, podemos volver a cambiar los corchetes por paréntesis, nos queda cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x y aquí nos da menos cosecante al cuadrado de x y menos por menos nos da más 1, cerramos el paréntesis y anotamos el diferencial de x, allí podemos partir esa integral en tres integrales porque tenemos resta y suma, entonces nos queda la integral del primer componente cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x con su diferencial de x, después menos la integral de cosecante al cuadrado de x con su diferencial de x y luego más la integral de 1 con su diferencial de x, vamos entonces a resolver cada una de estas integrales, para el caso de la primera vamos a utilizar el método de sustitución, vamos a realizar por acá eso de la sustitución o cambio de variable, vamos a utilizar por ejemplo como w el componente cotangente de x y esto vamos a derivarlo con respecto a x, derivada de w con respecto a x nos da la derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x y de allí vamos a despejar el componente de x, entonces dx pasa a multiplicar, esto viene a dividir y nos queda lo del lado izquierdo como menos de w sobre cosecante al cuadrado de x, entonces con estos dos componentes, con estas dos nubesillas vamos a reconstruir esa primera integral, tendremos entonces lo siguiente, seguimos por acá, acá en la primera integral cambiamos cotangente de x por w pero como eso está al cuadrado, aquí nos da w al cuadrado por cosecante al cuadrado de x, esto lo dejamos quieto y cambiamos de x por esto que nos dio acá, que sería menos de w sobre cosecante al cuadrado de x, seguimos con el desarrollo de estas dos integrales las podemos hacer de una vez porque son integrales directas, veamos la integral de cosecante al cuadrado de x nos da menos cotangente de x, aquí podemos ver eso, la derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x, si integramos esto nos da menos cotangente de x, que es lo que tenemos aquí, más la integral de 1 con su diferencial de x nos da x, podríamos colocar de una vez la constante de integración que será para todo el ejercicio, vamos a continuar por acá y tenemos lo siguiente, aquí en esta integral podríamos cancelar este componente cosecante al cuadrado de x, podemos sacar el signo menos y nos queda la integral de w al cuadrado con su diferencial w, continuamos con esto nos queda más, aquí menos por menos nos da más cotangente de x, luego más x y esto más la constante de integración, seguimos con el desarrollo del ejercicio, podemos resolver esa primera integral que está en términos de w, nos queda menos integral de w al cuadrado nos da w al cubo sobre 3, es una integral directa, esto nos queda más cotangente de x, más x y esto más la constante de integración, finalmente cambiamos aquí w por su equivalente en términos de x, w es igual a cotangente de x, entonces nos queda así, menos, no podemos olvidar ese signo menos, tendremos en el numerador w al cubo, es decir cotangente de x elevada al cubo que podemos expresar así, cotangente al cubo de x, esto sobre 3, luego tenemos más cotangente de x, más x y esto más la constante de integración y de esta manera hemos terminado el ejercicio, esta expresión es el resultado de esa integral trigonométrica.
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