EC. DIF. HOMOGÉNEAS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo encontrar la solución general de una Ecuación Diferencial Homogénea.

Tema: #EcuacionesDiferenciales → 
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 Vamos a encontrar la solución general de esta ecuación diferencial. Si hacemos todos los intentos por hacer separación de variables veremos que no es posible. Entonces vamos a realizar lo siguiente. En el lado derecho vamos a dividir arriba y abajo entre x. Entonces tendremos que 2x menos y dividido entre x nos queda 2x sobre x menos y sobre x. De una vez distribuimos la x y lo mismo hacemos en el denominador. Tendremos x sobre x más 4y sobre x. Entonces hemos dividido el numerador y el denominador entre x y de una vez la hemos distribuido. Ahora tendremos de y de x igual a 2x sobre x que nos da 2 menos y sobre x. Acá en el denominador x sobre x que es 1 más 4y sobre x. Es decir simplificamos lo que sea posible. Y llegamos a una expresión donde se observa de y de x como una función de y sobre x. Vemos que en el lado izquierdo aparece de y de x y aquí en el lado derecho tenemos una expresión que depende de y sobre x. Es decir esta configuración. Cuando esto sucede entonces afirmamos que la ecuación diferencial es homogénea. Siempre que se pueda expresar de y de x como una función de y sobre x hablamos de una ecuación diferencial homogénea. Para resolver este tipo de ecuación diferencial tomamos y sobre x y la llamamos una nueva letra. Por ejemplo vamos a utilizar la letra p. Entonces utilizamos una sustitución de allí vamos a despejar la variable y. Para ello x que está dividiendo pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda que y es igual a p por x y esto lo vamos a derivar a ambos lados con respecto a x. Entonces en el lado izquierdo la derivada de y con respecto a x queda indicada. En el lado derecho tenemos una multiplicación entonces derivamos con la regla del producto. La derivada del primer componente sería de p de x esto por el segundo componente sin derivar que es x. Más el primer componente sin derivar que es p por la derivada del segundo componente con respecto a x. La derivada de x con respecto a x será igual a 1. Aquí tenemos que p por 1 es igual a p entonces omitimos este número 1 y entonces con esta expresión para de y de x y esta que tenemos aquí. Donde dice que p es igual a y sobre x vamos a reescribir la ecuación diferencial. Tenemos de y de x que es esta expresión de p de x por x más p y todo esto igual a este cociente donde en el numerador tendremos 2 menos p. Cambiamos y sobre x por p y aquí en el denominador tenemos 1 más 4p. Llegamos a una nueva ecuación diferencial ahora en términos de p y x. Vamos a pasar esta p al otro lado para dejar en el lado izquierdo únicamente de p de x por x. Entonces tenemos en el lado derecho 2 menos p sobre 1 más 4p y p que está sumando pasa a este lado a restar. Vamos a resolver esta operación. Aquí tenemos denominador 1 entonces sigamos por acá tendremos de p de x por x es igual a 1 más 4p por 1 tendremos 1 más 4p aquí en el denominador. Arriba tendremos 2 menos p por 1 o sea 2 menos p menos 1 más 4p por p lo vamos a escribir como p que multiplica a 1 más 4p. Hemos realizado la resta de fracciones heterogéneas utilizando el método conocido como carita feliz. Este por este abajo este por este aquí menos este por este acá. Vamos a continuar por acá en el lado izquierdo nos queda de p de x por x y vamos a resolver lo del lado derecho. Específicamente lo que tenemos en el numerador. Aquí nos queda 2 menos p por aquí aplicamos la propiedad distributiva menos p por 1 es menos p y menos p por 4p nos da menos 4p al cuadrado. En el denominador seguimos con 1 más 4p. En el numerador vamos a operar términos semejantes entonces tendremos de p de x por x igual a 2 menos 2p el resultado de operar menos p con menos p. Esto menos 4p cuadrado y todo sobre 1 más 4p. Y allí vamos a efectuar el producto en cruz recordemos que si tenemos la igualdad de dos fracciones por ejemplo a sobre b igual a c sobre d. Entonces se cumple que a por d es igual a b por c es decir el producto en cruz o en diagonal debe ser igual. Entonces imaginemos que esta x está situada aquí en el numerador la podemos ver de esta manera. Entonces tendríamos de p por x por este componente 1 más 4p igual a dx por todo este componente. Entonces dx que multiplica a 2 menos 2p menos 4p al cuadrado. Allí podemos manejar lo que se llama la separación de variables. Entonces tendremos en el lado izquierdo de p por 1 más 4p y todo esto sobre esta expresión que pasa a dividir. Entonces tenemos 2 menos 2p menos 4p al cuadrado. Y en el lado derecho tendremos dx sobre x. Entonces como se observa nos quedó en el lado izquierdo todo lo relacionado con la letra p y su respectivo diferencial de p. Y en el lado derecho todo lo relacionado con x y su respectivo diferencial de x. Después de haber logrado la separación de variables vamos a integrar ambos lados de la igualdad. En el lado izquierdo organizamos la expresión así 1 más 4p en el numerador. En el denominador 2 menos 2p menos 4p al cuadrado. Y por aquí escribimos el diferencial de p y también escribimos la integral de lo que tenemos en el lado derecho. Ahora nos ocupamos de resolver cada integral. En la que tenemos en el lado izquierdo podemos realizar lo siguiente. En el denominador podemos extraer factor común 2 pero también podemos extraer el signo menos. Entonces extraemos menos 2. Nos queda menos 1 más p más 2p al cuadrado. Hemos extraído factor común menos 2. En el numerador dejamos la misma expresión. 1 más 4p escribimos el diferencial de p y esta integral la vamos a reescribir como 1 sobre x por su diferencial de x. Aquí podemos extraer este número por ser una constante. Nos queda por fuera de la integral como menos 1 medio. Y eso multiplica a toda esta expresión. 1 más 4p en el numerador menos 1 más 2p al cuadrado en el denominador. Todo esto con su diferencial de p. Y esto igual a la integral de 1 sobre x con su correspondiente diferencial de x. Podemos deshacernos de este número multiplicando ambos lados de la igualdad por menos 2. En el lado izquierdo tendremos solamente la integral. Entonces arriba 1 más 4p en el denominador menos 1 más 2p al cuadrado. Todo esto con su respectivo diferencial de p. Y a este lado tendríamos menos 2 que multiplica a la integral de 1 sobre x con su correspondiente diferencial de x. Entonces hemos multiplicado ambos lados de la igualdad por menos 2. Para esta integral que tenemos en el lado izquierdo podemos aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos la integral de una fracción donde aquí en el denominador tenemos una expresión u de p. Y en el numerador observamos justamente su derivada u' de p. Todo esto con su diferencial de p. Entonces esto será igual al logaritmo natural del valor absoluto de u de p. O sea de lo que tenemos en el denominador. Y todo esto más la constante de integración. Esto se justifica porque la derivada del logaritmo natural de u de p es esto que tenemos aquí. Una fracción donde u de p se escribe en el denominador y en el numerador escribimos la derivada de u de p. Pues bien, eso está sucediendo aquí. Si derivamos el denominador nos queda justamente 1 más 4p. Por lo tanto tenemos autorización para utilizar esta propiedad. Entonces esta integral nos quedará logaritmo natural del valor absoluto de lo que tenemos en el denominador. O sea menos 1 más 2p al cuadrado. Entonces con base en esta propiedad. No es necesario escribir la constante en el lado izquierdo. Vamos a escribir una sola c para todo el ejercicio acá en el lado derecho. Ahora resolvemos esta integral que da menos 2 que es la constante que está por fuera. La integral de 1 sobre x es logaritmo natural de valor absoluto de x. Y escribimos la constante c para todo el ejercicio. Podemos agrupar en el lado izquierdo todos los logaritmos para dejar la c únicamente en el lado derecho. Entonces veamos. En el lado izquierdo podemos escribir esto como logaritmo natural de... Vamos a organizar la expresión para que primero tengamos los términos positivos luego el negativo. Este término que está negativo llega a sumar al lado izquierdo. Y todo esto queda igual a c. Ahora vamos a aplicar aquí una propiedad de los logaritmos. Este número que está multiplicando a la izquierda de este logaritmo puede pasar aquí y convertirse en exponente de la x. Entonces tendremos logaritmo natural de valor absoluto de 2p cuadrado más p menos 1. Más logaritmo natural de valor absoluto de x al cuadrado. 2 pasa aquí como exponente de la x. Y todo esto queda igual a c. Enseguida aplicamos otra propiedad de los logaritmos. Si tenemos suma de logaritmos esto se convierte en el logaritmo de una multiplicación. Entonces logaritmo natural de valor absoluto de esta expresión que la escribimos dentro de un paréntesis. Y esto multiplicado por x al cuadrado. Cerramos el valor absoluto y todo esto queda igualado a c. A continuación nos vamos a deshacer de esta expresión logaritmica. Para ello recordemos que el logaritmo natural o logaritmo neperiano corresponde al logaritmo en la base e. El número de Euler. Entonces vamos a pasar de la forma logaritmica a la forma exponencial. Tenemos número de Euler elevado a la constante c igual a toda esta expresión. Valor absoluto de 2p al cuadrado más p menos 1. Todo eso por x al cuadrado. Podemos afirmar que el número de Euler elevado a cualquier constante c nos dará como resultado una nueva constante c positiva. Porque recordemos que el número de Euler es un número real positivo. Equivale a 2.71828. Es un número infinito no periódico. Entonces elevado a cualquier constante c nos dará como resultado una nueva constante c positiva. Por lo tanto podemos afirmar que esa constante c será igual a toda esta expresión. A todo ese valor absoluto. Y allí vamos a resolver esa ecuación que contiene valor absoluto. El modelo para resolver ecuaciones con valor absoluto dice lo siguiente. Valor absoluto de w igual a una cantidad positiva a. Entonces se resuelve como w igual a menos a o w igual a a. Entonces en pocas palabras decimos que w es igual a más o menos a. Para este caso podemos afirmar que lo que tenemos dentro de las barras. O sea 2p al cuadrado más p menos 1. Todo esto por x al cuadrado será igual a más o menos esta constante c. Que como decíamos ahora se trata de una cantidad positiva. Y esto con base en la propiedad para resolver ecuaciones con valor absoluto. Ya en este momento podemos cambiar p por su equivalente inicial. Recordemos que p es igual a y sobre x. Entonces tenemos 2 por p al cuadrado. P al cuadrado será y al cuadrado sobre x al cuadrado. Más p que es y sobre x menos 1. Y todo esto multiplicado por x al cuadrado. Aquí con más o menos c podemos afirmar con toda tranquilidad. Que esto corresponde a una constante c que está determinada por las condiciones iniciales de la ecuación diferencial. Finalmente pulimos esta expresión aplicando la propiedad distributiva. Vamos a multiplicar cada uno de estos términos por x al cuadrado. Para el caso del primero nos queda 2y al cuadrado. Para el segundo término tendremos y por x o xy. Y para el tercer término tendremos menos x al cuadrado. Todo esto igual a c. De esta manera obtenemos la solución general de la ecuación diferencial que nos daban al comienzo. La ecuación diferencial homogénea. Allí terminamos el ejercicio. Vamos a realizar la comprobación de si efectivamente esta es solución de la ecuación diferencial. Para ello vamos a derivar implícitamente la expresión a ambos lados con respecto a x. Veamos. Derivada de 2y al cuadrado será 4y por y'. Recordemos que y' representa a de y de x. Más llegamos a un producto derivada del primero será 1 por el segundo sin derivar que es y. Más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo. La derivada de y es y'. O 1 por y' que es y'. Menos la derivada de x al cuadrado que es 2x. Y todo esto igual a la derivada de la constante c que es igual a cero. En seguida dejamos en el lado izquierdo los términos que contienen y'. Tenemos 4y por y' más x por y'. Y pasamos al lado derecho los otros dos términos. Pasamos este que está negativo al otro lado positivo y este término que sería más y llega al otro lado como menos y. Ahora en el lado izquierdo extraemos factor común y'. Tendremos y' factor común de 4y más x y todo esto igual a 2x menos y. Y vamos a despejar y'. Nos queda igual a 2x menos y sobre esta expresión 4y más x. Y esta viene siendo la ecuación diferencial original. Aquí donde está y' esto equivale a dy de x. Y acá se cambia el orden de los sumandos. Tendremos entonces x más 4y tal como teníamos la ecuación diferencial original. Entonces con esto queda demostrado que efectivamente esta expresión es la solución general de la ecuación diferencial original.
[{"start": 0.0, "end": 6.4, "text": " Vamos a encontrar la soluci\u00f3n general de esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 6.4, "end": 14.0, "text": " Si hacemos todos los intentos por hacer separaci\u00f3n de variables veremos que no es posible."}, {"start": 14.0, "end": 18.8, "text": " Entonces vamos a realizar lo siguiente."}, {"start": 18.8, "end": 25.2, "text": " En el lado derecho vamos a dividir arriba y abajo entre x."}, {"start": 25.2, "end": 38.0, "text": " Entonces tendremos que 2x menos y dividido entre x nos queda 2x sobre x menos y sobre x."}, {"start": 38.0, "end": 44.4, "text": " De una vez distribuimos la x y lo mismo hacemos en el denominador."}, {"start": 44.4, "end": 50.8, "text": " Tendremos x sobre x m\u00e1s 4y sobre x."}, {"start": 50.8, "end": 59.599999999999994, "text": " Entonces hemos dividido el numerador y el denominador entre x y de una vez la hemos distribuido."}, {"start": 59.599999999999994, "end": 72.4, "text": " Ahora tendremos de y de x igual a 2x sobre x que nos da 2 menos y sobre x."}, {"start": 72.4, "end": 82.0, "text": " Ac\u00e1 en el denominador x sobre x que es 1 m\u00e1s 4y sobre x."}, {"start": 82.0, "end": 86.0, "text": " Es decir simplificamos lo que sea posible."}, {"start": 86.0, "end": 102.8, "text": " Y llegamos a una expresi\u00f3n donde se observa de y de x como una funci\u00f3n de y sobre x."}, {"start": 102.8, "end": 114.0, "text": " Vemos que en el lado izquierdo aparece de y de x y aqu\u00ed en el lado derecho tenemos una expresi\u00f3n que depende de y sobre x."}, {"start": 114.0, "end": 116.4, "text": " Es decir esta configuraci\u00f3n."}, {"start": 116.4, "end": 128.0, "text": " Cuando esto sucede entonces afirmamos que la ecuaci\u00f3n diferencial es homog\u00e9nea."}, {"start": 128.0, "end": 140.4, "text": " Siempre que se pueda expresar de y de x como una funci\u00f3n de y sobre x hablamos de una ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea."}, {"start": 140.4, "end": 151.20000000000002, "text": " Para resolver este tipo de ecuaci\u00f3n diferencial tomamos y sobre x y la llamamos una nueva letra."}, {"start": 151.20000000000002, "end": 154.4, "text": " Por ejemplo vamos a utilizar la letra p."}, {"start": 154.4, "end": 162.4, "text": " Entonces utilizamos una sustituci\u00f3n de all\u00ed vamos a despejar la variable y."}, {"start": 162.4, "end": 167.6, "text": " Para ello x que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar al otro lado."}, {"start": 167.6, "end": 176.79999999999998, "text": " Nos queda que y es igual a p por x y esto lo vamos a derivar a ambos lados con respecto a x."}, {"start": 176.79999999999998, "end": 184.4, "text": " Entonces en el lado izquierdo la derivada de y con respecto a x queda indicada."}, {"start": 184.4, "end": 192.0, "text": " En el lado derecho tenemos una multiplicaci\u00f3n entonces derivamos con la regla del producto."}, {"start": 192.0, "end": 202.4, "text": " La derivada del primer componente ser\u00eda de p de x esto por el segundo componente sin derivar que es x."}, {"start": 202.4, "end": 212.8, "text": " M\u00e1s el primer componente sin derivar que es p por la derivada del segundo componente con respecto a x."}, {"start": 212.8, "end": 218.4, "text": " La derivada de x con respecto a x ser\u00e1 igual a 1."}, {"start": 218.4, "end": 235.6, "text": " Aqu\u00ed tenemos que p por 1 es igual a p entonces omitimos este n\u00famero 1 y entonces con esta expresi\u00f3n para de y de x y esta que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 235.6, "end": 244.4, "text": " Donde dice que p es igual a y sobre x vamos a reescribir la ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 244.4, "end": 265.2, "text": " Tenemos de y de x que es esta expresi\u00f3n de p de x por x m\u00e1s p y todo esto igual a este cociente donde en el numerador tendremos 2 menos p."}, {"start": 265.2, "end": 275.59999999999997, "text": " Cambiamos y sobre x por p y aqu\u00ed en el denominador tenemos 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 275.59999999999997, "end": 281.59999999999997, "text": " Llegamos a una nueva ecuaci\u00f3n diferencial ahora en t\u00e9rminos de p y x."}, {"start": 281.59999999999997, "end": 292.4, "text": " Vamos a pasar esta p al otro lado para dejar en el lado izquierdo \u00fanicamente de p de x por x."}, {"start": 292.4, "end": 305.59999999999997, "text": " Entonces tenemos en el lado derecho 2 menos p sobre 1 m\u00e1s 4p y p que est\u00e1 sumando pasa a este lado a restar."}, {"start": 305.59999999999997, "end": 308.0, "text": " Vamos a resolver esta operaci\u00f3n."}, {"start": 308.0, "end": 330.4, "text": " Aqu\u00ed tenemos denominador 1 entonces sigamos por ac\u00e1 tendremos de p de x por x es igual a 1 m\u00e1s 4p por 1 tendremos 1 m\u00e1s 4p aqu\u00ed en el denominador."}, {"start": 330.4, "end": 345.59999999999997, "text": " Arriba tendremos 2 menos p por 1 o sea 2 menos p menos 1 m\u00e1s 4p por p lo vamos a escribir como p que multiplica a 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 345.59999999999997, "end": 356.4, "text": " Hemos realizado la resta de fracciones heterog\u00e9neas utilizando el m\u00e9todo conocido como carita feliz."}, {"start": 356.4, "end": 364.4, "text": " Este por este abajo este por este aqu\u00ed menos este por este ac\u00e1."}, {"start": 364.4, "end": 378.79999999999995, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 en el lado izquierdo nos queda de p de x por x y vamos a resolver lo del lado derecho."}, {"start": 378.79999999999995, "end": 382.0, "text": " Espec\u00edficamente lo que tenemos en el numerador."}, {"start": 382.0, "end": 397.2, "text": " Aqu\u00ed nos queda 2 menos p por aqu\u00ed aplicamos la propiedad distributiva menos p por 1 es menos p y menos p por 4p nos da menos 4p al cuadrado."}, {"start": 397.2, "end": 404.4, "text": " En el denominador seguimos con 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 404.4, "end": 422.79999999999995, "text": " En el numerador vamos a operar t\u00e9rminos semejantes entonces tendremos de p de x por x igual a 2 menos 2p el resultado de operar menos p con menos p."}, {"start": 422.79999999999995, "end": 429.2, "text": " Esto menos 4p cuadrado y todo sobre 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 429.2, "end": 443.59999999999997, "text": " Y all\u00ed vamos a efectuar el producto en cruz recordemos que si tenemos la igualdad de dos fracciones por ejemplo a sobre b igual a c sobre d."}, {"start": 443.59999999999997, "end": 454.8, "text": " Entonces se cumple que a por d es igual a b por c es decir el producto en cruz o en diagonal debe ser igual."}, {"start": 454.8, "end": 464.0, "text": " Entonces imaginemos que esta x est\u00e1 situada aqu\u00ed en el numerador la podemos ver de esta manera."}, {"start": 464.0, "end": 477.2, "text": " Entonces tendr\u00edamos de p por x por este componente 1 m\u00e1s 4p igual a dx por todo este componente."}, {"start": 477.2, "end": 486.4, "text": " Entonces dx que multiplica a 2 menos 2p menos 4p al cuadrado."}, {"start": 486.4, "end": 491.59999999999997, "text": " All\u00ed podemos manejar lo que se llama la separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 491.6, "end": 507.20000000000005, "text": " Entonces tendremos en el lado izquierdo de p por 1 m\u00e1s 4p y todo esto sobre esta expresi\u00f3n que pasa a dividir."}, {"start": 507.20000000000005, "end": 515.2, "text": " Entonces tenemos 2 menos 2p menos 4p al cuadrado."}, {"start": 515.2, "end": 523.6, "text": " Y en el lado derecho tendremos dx sobre x."}, {"start": 523.6, "end": 533.6, "text": " Entonces como se observa nos qued\u00f3 en el lado izquierdo todo lo relacionado con la letra p y su respectivo diferencial de p."}, {"start": 533.6, "end": 541.6, "text": " Y en el lado derecho todo lo relacionado con x y su respectivo diferencial de x."}, {"start": 541.6, "end": 549.6, "text": " Despu\u00e9s de haber logrado la separaci\u00f3n de variables vamos a integrar ambos lados de la igualdad."}, {"start": 549.6, "end": 558.0, "text": " En el lado izquierdo organizamos la expresi\u00f3n as\u00ed 1 m\u00e1s 4p en el numerador."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " En el denominador 2 menos 2p menos 4p al cuadrado."}, {"start": 566.0, "end": 579.6, "text": " Y por aqu\u00ed escribimos el diferencial de p y tambi\u00e9n escribimos la integral de lo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 579.6, "end": 583.6, "text": " Ahora nos ocupamos de resolver cada integral."}, {"start": 583.6, "end": 590.8, "text": " En la que tenemos en el lado izquierdo podemos realizar lo siguiente."}, {"start": 590.8, "end": 598.4, "text": " En el denominador podemos extraer factor com\u00fan 2 pero tambi\u00e9n podemos extraer el signo menos."}, {"start": 598.4, "end": 600.8, "text": " Entonces extraemos menos 2."}, {"start": 600.8, "end": 608.4, "text": " Nos queda menos 1 m\u00e1s p m\u00e1s 2p al cuadrado."}, {"start": 608.4, "end": 612.4, "text": " Hemos extra\u00eddo factor com\u00fan menos 2."}, {"start": 612.4, "end": 616.4, "text": " En el numerador dejamos la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 616.4, "end": 629.6, "text": " 1 m\u00e1s 4p escribimos el diferencial de p y esta integral la vamos a reescribir como 1 sobre x por su diferencial de x."}, {"start": 629.6, "end": 634.0, "text": " Aqu\u00ed podemos extraer este n\u00famero por ser una constante."}, {"start": 634.0, "end": 638.4, "text": " Nos queda por fuera de la integral como menos 1 medio."}, {"start": 638.4, "end": 643.1999999999999, "text": " Y eso multiplica a toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 643.2, "end": 653.2, "text": " 1 m\u00e1s 4p en el numerador menos 1 m\u00e1s 2p al cuadrado en el denominador."}, {"start": 653.2, "end": 656.0, "text": " Todo esto con su diferencial de p."}, {"start": 656.0, "end": 666.0, "text": " Y esto igual a la integral de 1 sobre x con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 666.0, "end": 673.6, "text": " Podemos deshacernos de este n\u00famero multiplicando ambos lados de la igualdad por menos 2."}, {"start": 673.6, "end": 678.8, "text": " En el lado izquierdo tendremos solamente la integral."}, {"start": 678.8, "end": 691.6, "text": " Entonces arriba 1 m\u00e1s 4p en el denominador menos 1 m\u00e1s 2p al cuadrado."}, {"start": 691.6, "end": 695.2, "text": " Todo esto con su respectivo diferencial de p."}, {"start": 695.2, "end": 705.6, "text": " Y a este lado tendr\u00edamos menos 2 que multiplica a la integral de 1 sobre x con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 705.6, "end": 713.2, "text": " Entonces hemos multiplicado ambos lados de la igualdad por menos 2."}, {"start": 713.2, "end": 721.2, "text": " Para esta integral que tenemos en el lado izquierdo podemos aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 721.2, "end": 729.6, "text": " Si tenemos la integral de una fracci\u00f3n donde aqu\u00ed en el denominador tenemos una expresi\u00f3n u de p."}, {"start": 729.6, "end": 736.4000000000001, "text": " Y en el numerador observamos justamente su derivada u' de p."}, {"start": 736.4000000000001, "end": 739.2, "text": " Todo esto con su diferencial de p."}, {"start": 739.2, "end": 746.4000000000001, "text": " Entonces esto ser\u00e1 igual al logaritmo natural del valor absoluto de u de p."}, {"start": 746.4000000000001, "end": 749.6, "text": " O sea de lo que tenemos en el denominador."}, {"start": 749.6, "end": 753.6, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 753.6, "end": 761.6, "text": " Esto se justifica porque la derivada del logaritmo natural de u de p es esto que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 761.6, "end": 770.8000000000001, "text": " Una fracci\u00f3n donde u de p se escribe en el denominador y en el numerador escribimos la derivada de u de p."}, {"start": 770.8000000000001, "end": 773.6, "text": " Pues bien, eso est\u00e1 sucediendo aqu\u00ed."}, {"start": 773.6, "end": 778.8000000000001, "text": " Si derivamos el denominador nos queda justamente 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 778.8, "end": 784.0, "text": " Por lo tanto tenemos autorizaci\u00f3n para utilizar esta propiedad."}, {"start": 784.0, "end": 794.0, "text": " Entonces esta integral nos quedar\u00e1 logaritmo natural del valor absoluto de lo que tenemos en el denominador."}, {"start": 794.0, "end": 801.1999999999999, "text": " O sea menos 1 m\u00e1s 2p al cuadrado."}, {"start": 801.1999999999999, "end": 804.4, "text": " Entonces con base en esta propiedad."}, {"start": 804.4, "end": 808.8, "text": " No es necesario escribir la constante en el lado izquierdo."}, {"start": 808.8, "end": 814.4, "text": " Vamos a escribir una sola c para todo el ejercicio ac\u00e1 en el lado derecho."}, {"start": 814.4, "end": 820.4, "text": " Ahora resolvemos esta integral que da menos 2 que es la constante que est\u00e1 por fuera."}, {"start": 820.4, "end": 826.8, "text": " La integral de 1 sobre x es logaritmo natural de valor absoluto de x."}, {"start": 826.8, "end": 833.6, "text": " Y escribimos la constante c para todo el ejercicio."}, {"start": 833.6, "end": 843.6, "text": " Podemos agrupar en el lado izquierdo todos los logaritmos para dejar la c \u00fanicamente en el lado derecho."}, {"start": 843.6, "end": 845.6, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 845.6, "end": 850.4, "text": " En el lado izquierdo podemos escribir esto como logaritmo natural de..."}, {"start": 850.4, "end": 858.0, "text": " Vamos a organizar la expresi\u00f3n para que primero tengamos los t\u00e9rminos positivos luego el negativo."}, {"start": 858.0, "end": 865.6, "text": " Este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo llega a sumar al lado izquierdo."}, {"start": 865.6, "end": 869.2, "text": " Y todo esto queda igual a c."}, {"start": 869.2, "end": 873.6, "text": " Ahora vamos a aplicar aqu\u00ed una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 873.6, "end": 883.2, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando a la izquierda de este logaritmo puede pasar aqu\u00ed y convertirse en exponente de la x."}, {"start": 883.2, "end": 892.4000000000001, "text": " Entonces tendremos logaritmo natural de valor absoluto de 2p cuadrado m\u00e1s p menos 1."}, {"start": 892.4000000000001, "end": 898.0, "text": " M\u00e1s logaritmo natural de valor absoluto de x al cuadrado."}, {"start": 898.0, "end": 901.2, "text": " 2 pasa aqu\u00ed como exponente de la x."}, {"start": 901.2, "end": 906.4000000000001, "text": " Y todo esto queda igual a c."}, {"start": 906.4000000000001, "end": 910.4000000000001, "text": " Enseguida aplicamos otra propiedad de los logaritmos."}, {"start": 910.4, "end": 917.1999999999999, "text": " Si tenemos suma de logaritmos esto se convierte en el logaritmo de una multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 917.1999999999999, "end": 930.4, "text": " Entonces logaritmo natural de valor absoluto de esta expresi\u00f3n que la escribimos dentro de un par\u00e9ntesis."}, {"start": 930.4, "end": 934.4, "text": " Y esto multiplicado por x al cuadrado."}, {"start": 934.4, "end": 941.1999999999999, "text": " Cerramos el valor absoluto y todo esto queda igualado a c."}, {"start": 941.1999999999999, "end": 946.8, "text": " A continuaci\u00f3n nos vamos a deshacer de esta expresi\u00f3n logaritmica."}, {"start": 946.8, "end": 957.6, "text": " Para ello recordemos que el logaritmo natural o logaritmo neperiano corresponde al logaritmo en la base e."}, {"start": 957.6, "end": 959.6, "text": " El n\u00famero de Euler."}, {"start": 959.6, "end": 964.8000000000001, "text": " Entonces vamos a pasar de la forma logaritmica a la forma exponencial."}, {"start": 964.8000000000001, "end": 972.4, "text": " Tenemos n\u00famero de Euler elevado a la constante c igual a toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 972.4, "end": 978.4, "text": " Valor absoluto de 2p al cuadrado m\u00e1s p menos 1."}, {"start": 978.4, "end": 983.6, "text": " Todo eso por x al cuadrado."}, {"start": 983.6, "end": 995.6, "text": " Podemos afirmar que el n\u00famero de Euler elevado a cualquier constante c nos dar\u00e1 como resultado una nueva constante c positiva."}, {"start": 995.6, "end": 1001.6, "text": " Porque recordemos que el n\u00famero de Euler es un n\u00famero real positivo."}, {"start": 1001.6, "end": 1007.6, "text": " Equivale a 2.71828. Es un n\u00famero infinito no peri\u00f3dico."}, {"start": 1007.6, "end": 1015.6, "text": " Entonces elevado a cualquier constante c nos dar\u00e1 como resultado una nueva constante c positiva."}, {"start": 1015.6, "end": 1023.6, "text": " Por lo tanto podemos afirmar que esa constante c ser\u00e1 igual a toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1023.6, "end": 1027.6, "text": " A todo ese valor absoluto."}, {"start": 1027.6, "end": 1037.6, "text": " Y all\u00ed vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n que contiene valor absoluto."}, {"start": 1037.6, "end": 1041.6, "text": " El modelo para resolver ecuaciones con valor absoluto dice lo siguiente."}, {"start": 1041.6, "end": 1047.6, "text": " Valor absoluto de w igual a una cantidad positiva a."}, {"start": 1047.6, "end": 1055.6, "text": " Entonces se resuelve como w igual a menos a o w igual a a."}, {"start": 1055.6, "end": 1061.6, "text": " Entonces en pocas palabras decimos que w es igual a m\u00e1s o menos a."}, {"start": 1061.6, "end": 1067.6, "text": " Para este caso podemos afirmar que lo que tenemos dentro de las barras."}, {"start": 1067.6, "end": 1073.6, "text": " O sea 2p al cuadrado m\u00e1s p menos 1."}, {"start": 1073.6, "end": 1081.6, "text": " Todo esto por x al cuadrado ser\u00e1 igual a m\u00e1s o menos esta constante c."}, {"start": 1081.6, "end": 1085.6, "text": " Que como dec\u00edamos ahora se trata de una cantidad positiva."}, {"start": 1085.6, "end": 1093.6, "text": " Y esto con base en la propiedad para resolver ecuaciones con valor absoluto."}, {"start": 1093.6, "end": 1099.6, "text": " Ya en este momento podemos cambiar p por su equivalente inicial."}, {"start": 1099.6, "end": 1103.6, "text": " Recordemos que p es igual a y sobre x."}, {"start": 1103.6, "end": 1107.6, "text": " Entonces tenemos 2 por p al cuadrado."}, {"start": 1107.6, "end": 1113.6, "text": " P al cuadrado ser\u00e1 y al cuadrado sobre x al cuadrado."}, {"start": 1113.6, "end": 1121.6, "text": " M\u00e1s p que es y sobre x menos 1."}, {"start": 1121.6, "end": 1127.6, "text": " Y todo esto multiplicado por x al cuadrado."}, {"start": 1127.6, "end": 1131.6, "text": " Aqu\u00ed con m\u00e1s o menos c podemos afirmar con toda tranquilidad."}, {"start": 1131.6, "end": 1143.6, "text": " Que esto corresponde a una constante c que est\u00e1 determinada por las condiciones iniciales de la ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 1143.6, "end": 1151.6, "text": " Finalmente pulimos esta expresi\u00f3n aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 1151.6, "end": 1157.6, "text": " Vamos a multiplicar cada uno de estos t\u00e9rminos por x al cuadrado."}, {"start": 1157.6, "end": 1161.6, "text": " Para el caso del primero nos queda 2y al cuadrado."}, {"start": 1161.6, "end": 1167.6, "text": " Para el segundo t\u00e9rmino tendremos y por x o xy."}, {"start": 1167.6, "end": 1171.6, "text": " Y para el tercer t\u00e9rmino tendremos menos x al cuadrado."}, {"start": 1171.6, "end": 1175.6, "text": " Todo esto igual a c."}, {"start": 1175.6, "end": 1187.6, "text": " De esta manera obtenemos la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n diferencial que nos daban al comienzo."}, {"start": 1187.6, "end": 1191.6, "text": " La ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea."}, {"start": 1191.6, "end": 1193.6, "text": " All\u00ed terminamos el ejercicio."}, {"start": 1193.6, "end": 1203.6, "text": " Vamos a realizar la comprobaci\u00f3n de si efectivamente esta es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 1203.6, "end": 1211.6, "text": " Para ello vamos a derivar impl\u00edcitamente la expresi\u00f3n a ambos lados con respecto a x."}, {"start": 1211.6, "end": 1219.6, "text": " Veamos. Derivada de 2y al cuadrado ser\u00e1 4y por y'."}, {"start": 1219.6, "end": 1223.6, "text": " Recordemos que y' representa a de y de x."}, {"start": 1223.6, "end": 1233.6, "text": " M\u00e1s llegamos a un producto derivada del primero ser\u00e1 1 por el segundo sin derivar que es y."}, {"start": 1233.6, "end": 1237.6, "text": " M\u00e1s el primer componente sin derivar por la derivada del segundo."}, {"start": 1237.6, "end": 1241.6, "text": " La derivada de y es y'."}, {"start": 1241.6, "end": 1243.6, "text": " O 1 por y' que es y'."}, {"start": 1243.6, "end": 1247.6, "text": " Menos la derivada de x al cuadrado que es 2x."}, {"start": 1247.6, "end": 1253.6, "text": " Y todo esto igual a la derivada de la constante c que es igual a cero."}, {"start": 1253.6, "end": 1259.6, "text": " En seguida dejamos en el lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen y'."}, {"start": 1259.6, "end": 1265.6, "text": " Tenemos 4y por y' m\u00e1s x por y'."}, {"start": 1265.6, "end": 1271.6, "text": " Y pasamos al lado derecho los otros dos t\u00e9rminos."}, {"start": 1271.6, "end": 1281.6, "text": " Pasamos este que est\u00e1 negativo al otro lado positivo y este t\u00e9rmino que ser\u00eda m\u00e1s y llega al otro lado como menos y."}, {"start": 1281.6, "end": 1285.6, "text": " Ahora en el lado izquierdo extraemos factor com\u00fan y'."}, {"start": 1285.6, "end": 1297.6, "text": " Tendremos y' factor com\u00fan de 4y m\u00e1s x y todo esto igual a 2x menos y."}, {"start": 1297.6, "end": 1301.6, "text": " Y vamos a despejar y'."}, {"start": 1301.6, "end": 1315.6, "text": " Nos queda igual a 2x menos y sobre esta expresi\u00f3n 4y m\u00e1s x."}, {"start": 1315.6, "end": 1319.6, "text": " Y esta viene siendo la ecuaci\u00f3n diferencial original."}, {"start": 1319.6, "end": 1325.6, "text": " Aqu\u00ed donde est\u00e1 y' esto equivale a dy de x."}, {"start": 1325.6, "end": 1329.6, "text": " Y ac\u00e1 se cambia el orden de los sumandos."}, {"start": 1329.6, "end": 1339.6, "text": " Tendremos entonces x m\u00e1s 4y tal como ten\u00edamos la ecuaci\u00f3n diferencial original."}, {"start": 1339.6, "end": 1355.6, "text": " Entonces con esto queda demostrado que efectivamente esta expresi\u00f3n es la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n diferencial original."}]