DERIVACIÓN LOGARÍTMICA - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo derivar una función utilizando la Derivación o Diferenciación Logarítmica.

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 Vamos a derivar esta función que como observamos consta de un cociente pero a su vez en el numerador tenemos un producto y en el denominador también. Entonces si nos vamos por el camino de las reglas tradicionales de derivación como la regla del cociente, la regla del producto, en fin, sería un proceso muy dispendioso. Vamos a utilizar entonces una alternativa que es mucho más fácil que se llama la derivación logarítmica. Vamos entonces a comenzar tomando logaritmo natural a los dos lados. Allí observamos el logaritmo natural aplicado a los dos lados de la igualdad y enseguida vamos a transformar el lado derecho haciendo uso de las propiedades de los logaritmos. Vemos que la operación principal aquí es un cociente, entonces recordemos cómo se transforma el logaritmo de un cociente, por ejemplo logaritmo natural de A sobre B. Esto es igual a logaritmo natural de A menos el logaritmo natural de B. Esa propiedad la vamos a aplicar en ese caso. Tendremos entonces logaritmo natural de Y igual al logaritmo natural del numerador X cuadrado más 1 a la 4 por E a la 5X. Cerramos el corchete menos el logaritmo natural del denominador que es seno de X por raíz cuadrada de X que la podemos escribir de una vez como X elevada a la un medio, cambiando la raíz por exponente fraccionario. Entonces hemos transformado inicialmente el logaritmo con esta propiedad. Tenemos ahora el logaritmo de un producto y por aquí también la misma situación. Entonces recordemos que el logaritmo de un producto, por ejemplo logaritmo natural de A por B es igual a logaritmo natural de A más logaritmo natural de B. Logaritmo de un producto se convierte en una suma de logaritmos. Veamos entonces como nos queda. Logaritmo natural de Y será igual a logaritmo natural de X al cuadrado más 1 a la 4 más logaritmo natural de E a la 5X. Menos, aquí debemos tener mucho cuidado con ese signo menos. Vamos a abrir un corchete y aplicamos aquí la misma propiedad para este producto. Entonces tendremos logaritmo natural del seno de X más logaritmo natural de X elevada al exponente un medio y cerramos el corchete. A continuación vamos a romper el corchete. Entra el signo negativo y cambia los signos de lo que tenemos dentro del corchete. Entonces este signo más cambia a menos. Ahora veamos que sucede con estos logaritmos que corresponden a potencias. Si tenemos el logaritmo natural de A elevada al exponente B, esto es igual a B por el logaritmo natural de A. El exponente baja a multiplicar delante del logaritmo. Entonces esto nos queda de la siguiente manera. Logaritmo natural de Y es igual a 4 que multiplica al logaritmo natural de X al cuadrado más 1. Más, por acá tenemos 5X que multiplica al logaritmo natural de E menos logaritmo natural del seno de X. E se queda tal como está y por acá un medio baja a multiplicar con el logaritmo natural de X. En esta etapa tenemos que el logaritmo natural de E equivale a 1. Recordemos por qué sucede eso. Si tenemos logaritmo natural de E, o sea el número de Euler, entonces estamos hablando del logaritmo en la base E del mismo número E. Recordemos que el logaritmo natural es el logaritmo en la base E, número de Euler. Y esto equivale a 1 porque E tiene que ser elevada al exponente 1 para que nos de el mismo número E. Entonces por esa razón logaritmo natural de E equivale a 1 y 5X por 1 nos quedará 5X. Entonces vamos a pulir la expresión. Allí la tenemos y cuando vemos que no se pueden aplicar más propiedades de los logaritmos, entonces procedemos con la derivación. Aquí tendremos una derivación implícita. Veamos por qué. Derivamos implícitamente. Esto sucede porque la variable dependiente y ahora hace parte de la función logaritmo natural. Ya no está como al comienzo. Aquí teníamos una expresión explícita. La y despejada en términos de X. Pero acá nos quedó la y como argumento del logaritmo natural. Entonces tenemos que derivar implícitamente. Como lo que predomina en esta expresión son los logaritmos naturales, vamos a recordar cómo se deriva el logaritmo natural de una expresión. Vamos a representarlo como logaritmo natural de la manzanita. Entonces la derivada de eso será igual a 1 sobre la manzanita y eso multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea la derivada interna. Esto es la regla de la cadena. Pero es más fácil si esta manzanita prima multiplica con el numerador 1 quedando manzanita prima sobre la manzanita. Es una forma fácil de recordarlo. Entonces veamos. Para el caso del logaritmo natural de y su derivada será abajo y. Y es la manzanita y en el numerador la derivada de la manzanita. O sea y prima. Recordemos que en la derivación implícita cada vez que derivamos la y debemos agregar o escribir y prima. Porque esa es la variable dependiente. Pasamos al otro lado de la expresión. Vamos a derivar todos estos componentes. Comenzamos con el primero donde el 4 se deja quieto por estar multiplicando a esta expresión. Y nos ocupamos de la derivada de este logaritmo natural. Seguimos esta regla. Trasamos una línea. En el denominador escribimos la manzanita que sería x cuadrado más 1. Y en el numerador la derivada de la manzanita. La derivada de esto es 2x. Entonces va en el numerador. Más derivada de 5x que nos da 5 menos llegamos a otro logaritmo natural. Nuevamente aplicamos esta regla. Trasamos la línea. En el denominador va la manzanita que sería seno de x. Y arriba escribimos la derivada de la manzanita. La derivada de seno de x es coseno de x. Menos un medio que se deja quieto por estar multiplicando con este componente. Y la derivada del logaritmo natural de x siguiendo esta regla sería la manzanita abajo que es x. Y arriba su derivada que sería 1. También sabemos que la derivada del logaritmo natural de x ya por las reglas básicas de derivación es siempre 1 sobre x. Ahora vamos a pulir esta expresión. Tendremos y' sobre y en el lado izquierdo y aquí en el lado derecho tenemos 4 por esta fracción se multiplica 4 por 2x nos queda 8x en el numerador y abajo nos queda x cuadrado más 1. Esto más 5 menos coseno de x sobre seno de x. Recordemos que eso equivale a cotangente de x. Es una de las identidades básicas de la trigonometría. Menos un medio por 1 sobre x nos queda 1 sobre 2x. Recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Cuando esta expresión está escrita en su forma más simple entonces procedemos a despejar y'. Entonces tendremos que y' es igual a y que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con toda esa expresión. Entonces y por 8x sobre x cuadrado más 1 esto más 5 menos cotangente de x menos 1 sobre 2x. Y cerramos el paréntesis. Finalmente cambiamos y' por dy dx. Es mejor expresar la derivada de esta manera porque se especifica cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente en la función. Ahora vamos a escribir aquí el equivalente para y, o sea la función original que nos dieron. Allí lo tenemos. Y esto multiplicado por toda esta expresión. Aquí la podemos observar. Bien, de esta manera hemos llegado a la derivada de la función. Lo que nos perdían inicialmente. Como vimos se ha utilizado la derivación logarítmica como una estrategia que permite derivar con facilidad una función que en este caso viene conformada por cosiente pero a su vez en el numerador y en el denominador tiene productos y también hay potencias y raíces. Entonces en esos casos cuando la función viene muy complicada o muy congestionada con este tipo de operaciones se recomienda por medio de la derivación logarítmica aplicar las propiedades de los logaritmos y llegar a una expresión que sea más sencilla de derivar.
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