INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de las Fracciones Parciales.

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 Vamos a resolver esta integral donde observamos en el integrando una fracción algebraica. Tenemos en el numerador un trinomio de grado 2 y en el denominador un polinomio de grado 3. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces tenemos una fracción propia donde no es necesario realizar la división de polinomios, preliminarmente, como cuando tenemos el caso de una expresión en el numerador de grado igual o mayor que la que tenemos en el denominador. En ese caso sí tendríamos que hacer división de polinomios. Entonces tenemos una fracción propia y comenzamos por revisar si de pronto se puede resolver por el método de sustitución. Para ello tomamos el denominador y rápidamente lo derivamos. Derivada de x al cubo es 3x al cuadrado menos derivada de 2x al cuadrado es 4x, derivada de más x nos da más 1, derivada de menos 2 es 0. Revisamos si esta expresión nos da en el numerador o si de pronto factorizándole algún número a este trinomio nos da esta expresión de arriba. Vemos que no es así, por lo tanto descartamos que se pueda hacer por el método de sustitución. Vamos entonces a resolver esta integral por el método de las fracciones parciales. Comenzamos por escribir el integrando con su denominador factorizado. Entonces vamos a realizar por acá la factorización del denominador. Observamos cuatro términos en los cuales no tenemos factor común pero podemos agrupar términos. Entonces vamos a utilizar el caso llamado factor común por agrupación de términos. De esta primera expresión sacamos factor común x al cuadrado que es factor de x menos 2 y en esta expresión no tenemos factor común o si queremos acompañamos con un 1. En seguida de toda la expresión resultante sacamos factor común x menos 2 que es factor de x al cuadrado más 1 y de esa manera tenemos la factorización del denominador de la expresión. A continuación vamos a conformar dos fracciones sumando entre sí. Una con denominador x menos 2 y la otra con denominador x al cuadrado más 1. Para la primera fracción en el numerador tendremos una expresión de un grado menos que la que tenemos en el denominador. Esto es de primer grado por lo tanto aquí tendremos una expresión de grado cero, es decir una constante. Como la desconocemos utilizamos la letra A mayúscula. Aquí vamos a hacer lo mismo. En el numerador debe ir una expresión de un grado menos que la que tenemos abajo. Como esta expresión es de grado 2 entonces aquí tendremos una expresión de primer grado. Entonces la escribimos como bx más c. Expresión de grado 1. Ahora vamos a resolver esta suma de fracciones que son heterogéneas, fracciones con distinto denominador. Recordemos como se hace rápidamente una suma de esas. En el denominador escribimos b por d. En el numerador escribimos a por d más b por c. Entonces eso lo podemos aplicar en este caso. Tendremos en el denominador x menos 2 que multiplica a x al cuadrado más 1. En el numerador tendremos a por x al cuadrado más 1 más x menos 2 por bx más c. Aplicando este modelo. La expresión del lado izquierdo la repetimos y observamos la igualdad de dos fracciones con los mismos denominadores. Entonces podríamos deshacernos de ellos. Nos queda entonces 5x al cuadrado más 3x menos 1 en el lado izquierdo. Y acá vamos a desarrollar esas operaciones. Por aquí hacemos propiedad distributiva con la letra a. Nos queda ax al cuadrado más a. Esto más la multiplicación de estos dos binomios. Vamos entonces. x por bx nos da bx al cuadrado. x por c nos queda más cx. Menos 2 por bx nos da menos 2bx. Y menos 2 por c nos queda menos 2c. En el lado izquierdo continúa la misma expresión. 5x al cuadrado más 3x menos 1. Vemos que se encuentra organizada en forma descendente. Entonces, así mismo vamos a realizar la acomodación de los términos del lado derecho. Comenzamos con ax al cuadrado más bx al cuadrado. Luego, los términos que contienen x más cx menos 2bx. Y por último, los términos independientes, los que no contienen la x. Ahora hacemos agrupación de términos en el lado derecho. Agrupamos los que contienen x al cuadrado. También agrupamos los que contienen la x. Y agrupamos los términos independientes. De esta primera agrupación sacamos factor común x al cuadrado. Pero entonces vamos a escribirlo a la derecha del paréntesis. Por aquí también sacamos factor común x. También la escribimos a la derecha del paréntesis. Y esta expresión nos queda como se encuentra. En el lado izquierdo la expresión continúa siendo la misma. Y hemos llegado al momento de confrontar los coeficientes de ambas expresiones. Entonces, el coeficiente de x al cuadrado en el lado izquierdo debe ser igual al coeficiente de x al cuadrado en el lado derecho. Sale entonces la primera ecuación. Tenemos a más b igual a 5. Estos dos coeficientes se igualan. Vamos ahora con el coeficiente de x en el lado izquierdo que es 3. Lo vamos a igualar con el coeficiente de x en el lado derecho. Sale entonces la ecuación 2 que será c menos 2b igual a 3. Y por último tenemos los términos independientes. Vamos también a igualarlos. Nos queda la ecuación 3 que será a menos 2c igual a menos 1. Confrontando coeficientes obtenemos estas tres ecuaciones que conforman lo que se llama un sistema de ecuaciones de 3 por 3. Tres ecuaciones con tres incógnitas. Para resolver este sistema de ecuaciones podemos recurrir a los métodos de sustitución o igualación o eliminación. En fin, el que queramos. Vamos a resolverlo por ejemplo por sustitución. De la ecuación 1 vamos a despejar por ejemplo la letra a. Entonces pasamos b a restar al otro lado. Nos queda a igual a 5 menos b. Esta nueva ecuación la llamamos la número 4. Y también de la ecuación 2 vamos a despejar la letra c. Entonces pasamos ese término que está restando al otro lado a sumar. Nos queda que c es igual a 3 más 2b. Y tenemos una expresión nueva que la llamamos la número 5. Ahora sustituimos las expresiones 4 y 5 en la número 3. Nos queda de la siguiente manera. A se sustituye por 5 menos b menos 2 que multiplica a c. Pero c equivale a 3 más 2b. Y todo eso igual a menos 1. Entonces vamos a resolver esta ecuación que nos ha quedado únicamente con la incógnita b. Tenemos 5 menos b. Aquí aplicamos propiedad distributiva. Menos 2 por 3 nos da menos 6. Menos 2 por 2b nos da menos 4b. Esto igual a menos 1. En el lado izquierdo operamos términos semejantes. Menos b menos 4b nos da menos 5b. Y los números 5 menos 6 nos da menos 1. Todo esto igual a menos 1. Hacemos el despeje del término menos 5b. Entonces tenemos menos 1 más 1. Este número está restando pasa a sumar. Tenemos entonces menos 5b igual a cero. El resultado de esta operación. Despejamos b. Nos queda cero dividido entre menos 5. Y eso nos da como resultado b igual a cero. Tenemos entonces la primera incógnita ya encontrada. Sabiendo entonces que b vale cero. Podemos venir a estas ecuaciones 4 y 5. Para encontrar a y c. Entonces donde está la b escribimos cero. Y por acá tendremos que a es igual a 5. Sale otra de las incógnitas. Y por acá tenemos que c es igual a 3. Y de esta manera encontramos los valores de a, b y c. Teníamos al comienzo esta igualdad. Y entonces ya podemos reemplazar los valores de a, b y c. Tenemos que a vale 5, b vale cero y c equivale a 3. Entonces en el lado izquierdo podemos escribir 5x cuadrado más 3x menos 1. Sobre este producto que equivale a este polinomio. X al cubo menos 2x al cuadrado más x menos 2. Y en el lado derecho tendremos 5 sobre x menos 2 más 3 sobre x al cuadrado más 1. De esta manera hemos obtenido las fracciones parciales de la expresión que teníamos originalmente en el integrando. Reescribimos entonces el ejercicio original de la siguiente manera. Integral de 5 sobre x menos 2 más 3 sobre x al cuadrado más 1. Hemos sustituido la expresión original por la suma de las fracciones parciales. Y todo esto con su respectivo diferencial de x. Sabemos que en esta suma podemos repartir el símbolo de la integral. Y también podemos sacar estos números que están multiplicando en cada una de las expresiones. Nos queda entonces 5 por la integral de 1 sobre x menos 2, esto con su respectivo diferencial de x más 3 por la integral de 1 sobre x al cuadrado más 1. También con su respectivo diferencial de x. Entonces hemos sacado estos números a multiplicar a la izquierda de cada integral. Ahora nos ocupamos de resolver cada una de estas integrales. Para el caso de la primera podemos utilizar la siguiente fórmula. Si tenemos la integral de 1 sobre x más una constante a que incluso podría ser negativa, como en este caso, esto es igual al logaritmo natural de valor absoluto de x más a. Obviamente con su constante de integración. Entonces para este caso tendremos logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2. Todo esto más 3 por el resultado de esta integral que es tangente a la menos 1 de x. O también lo podemos escribir como arco tangente de x, si preferimos de esa manera. Y agregamos la constante de integración que aparece por primera vez. Finalmente podríamos escribir este término de la siguiente manera. Este 5 que está multiplicando a este logaritmo puede convertirse en exponente gracias a la propiedad de los logaritmos. Entonces nos queda dentro de valor absoluto x menos 2 elevado al exponente 5. Protegemos con valor absoluto porque esto es susceptible de ser negativo. Entonces con el valor absoluto garantizamos que sea una cantidad positiva para que el logaritmo natural no tenga problemas. Todo esto más 3 por, como decíamos, se puede escribir también como arco tangente de x más c. De esta manera terminamos el ejercicio. Esta expresión es el resultado de esa integral.
[{"start": 0.0, "end": 8.5, "text": " Vamos a resolver esta integral donde observamos en el integrando una fracci\u00f3n algebraica."}, {"start": 8.5, "end": 17.5, "text": " Tenemos en el numerador un trinomio de grado 2 y en el denominador un polinomio de grado 3."}, {"start": 17.5, "end": 23.0, "text": " Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador,"}, {"start": 23.0, "end": 33.0, "text": " entonces tenemos una fracci\u00f3n propia donde no es necesario realizar la divisi\u00f3n de polinomios,"}, {"start": 33.0, "end": 45.5, "text": " preliminarmente, como cuando tenemos el caso de una expresi\u00f3n en el numerador de grado igual o mayor que la que tenemos en el denominador."}, {"start": 45.5, "end": 49.5, "text": " En ese caso s\u00ed tendr\u00edamos que hacer divisi\u00f3n de polinomios."}, {"start": 49.5, "end": 59.0, "text": " Entonces tenemos una fracci\u00f3n propia y comenzamos por revisar si de pronto se puede resolver por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 59.0, "end": 64.0, "text": " Para ello tomamos el denominador y r\u00e1pidamente lo derivamos."}, {"start": 64.0, "end": 79.5, "text": " Derivada de x al cubo es 3x al cuadrado menos derivada de 2x al cuadrado es 4x, derivada de m\u00e1s x nos da m\u00e1s 1, derivada de menos 2 es 0."}, {"start": 79.5, "end": 91.0, "text": " Revisamos si esta expresi\u00f3n nos da en el numerador o si de pronto factoriz\u00e1ndole alg\u00fan n\u00famero a este trinomio nos da esta expresi\u00f3n de arriba."}, {"start": 91.0, "end": 100.0, "text": " Vemos que no es as\u00ed, por lo tanto descartamos que se pueda hacer por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 100.0, "end": 108.0, "text": " Vamos entonces a resolver esta integral por el m\u00e9todo de las fracciones parciales."}, {"start": 108.0, "end": 119.0, "text": " Comenzamos por escribir el integrando con su denominador factorizado."}, {"start": 119.0, "end": 126.0, "text": " Entonces vamos a realizar por ac\u00e1 la factorizaci\u00f3n del denominador."}, {"start": 126.0, "end": 135.5, "text": " Observamos cuatro t\u00e9rminos en los cuales no tenemos factor com\u00fan pero podemos agrupar t\u00e9rminos."}, {"start": 135.5, "end": 144.5, "text": " Entonces vamos a utilizar el caso llamado factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 144.5, "end": 162.0, "text": " De esta primera expresi\u00f3n sacamos factor com\u00fan x al cuadrado que es factor de x menos 2 y en esta expresi\u00f3n no tenemos factor com\u00fan o si queremos acompa\u00f1amos con un 1."}, {"start": 162.0, "end": 186.0, "text": " En seguida de toda la expresi\u00f3n resultante sacamos factor com\u00fan x menos 2 que es factor de x al cuadrado m\u00e1s 1 y de esa manera tenemos la factorizaci\u00f3n del denominador de la expresi\u00f3n."}, {"start": 186.0, "end": 195.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a conformar dos fracciones sumando entre s\u00ed."}, {"start": 195.0, "end": 204.0, "text": " Una con denominador x menos 2 y la otra con denominador x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 204.0, "end": 214.0, "text": " Para la primera fracci\u00f3n en el numerador tendremos una expresi\u00f3n de un grado menos que la que tenemos en el denominador."}, {"start": 214.0, "end": 223.0, "text": " Esto es de primer grado por lo tanto aqu\u00ed tendremos una expresi\u00f3n de grado cero, es decir una constante."}, {"start": 223.0, "end": 228.0, "text": " Como la desconocemos utilizamos la letra A may\u00fascula."}, {"start": 228.0, "end": 231.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a hacer lo mismo."}, {"start": 231.0, "end": 237.0, "text": " En el numerador debe ir una expresi\u00f3n de un grado menos que la que tenemos abajo."}, {"start": 237.0, "end": 246.0, "text": " Como esta expresi\u00f3n es de grado 2 entonces aqu\u00ed tendremos una expresi\u00f3n de primer grado."}, {"start": 246.0, "end": 251.0, "text": " Entonces la escribimos como bx m\u00e1s c."}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " Expresi\u00f3n de grado 1."}, {"start": 255.0, "end": 265.0, "text": " Ahora vamos a resolver esta suma de fracciones que son heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador."}, {"start": 265.0, "end": 272.0, "text": " Recordemos como se hace r\u00e1pidamente una suma de esas."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " En el denominador escribimos b por d."}, {"start": 276.0, "end": 283.0, "text": " En el numerador escribimos a por d m\u00e1s b por c."}, {"start": 283.0, "end": 287.0, "text": " Entonces eso lo podemos aplicar en este caso."}, {"start": 287.0, "end": 299.0, "text": " Tendremos en el denominador x menos 2 que multiplica a x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 299.0, "end": 318.0, "text": " En el numerador tendremos a por x al cuadrado m\u00e1s 1 m\u00e1s x menos 2 por bx m\u00e1s c."}, {"start": 318.0, "end": 321.0, "text": " Aplicando este modelo."}, {"start": 321.0, "end": 333.0, "text": " La expresi\u00f3n del lado izquierdo la repetimos y observamos la igualdad de dos fracciones con los mismos denominadores."}, {"start": 333.0, "end": 338.0, "text": " Entonces podr\u00edamos deshacernos de ellos."}, {"start": 338.0, "end": 348.0, "text": " Nos queda entonces 5x al cuadrado m\u00e1s 3x menos 1 en el lado izquierdo."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " Y ac\u00e1 vamos a desarrollar esas operaciones."}, {"start": 351.0, "end": 355.0, "text": " Por aqu\u00ed hacemos propiedad distributiva con la letra a."}, {"start": 355.0, "end": 359.0, "text": " Nos queda ax al cuadrado m\u00e1s a."}, {"start": 359.0, "end": 363.0, "text": " Esto m\u00e1s la multiplicaci\u00f3n de estos dos binomios."}, {"start": 363.0, "end": 365.0, "text": " Vamos entonces."}, {"start": 365.0, "end": 369.0, "text": " x por bx nos da bx al cuadrado."}, {"start": 369.0, "end": 373.0, "text": " x por c nos queda m\u00e1s cx."}, {"start": 373.0, "end": 378.0, "text": " Menos 2 por bx nos da menos 2bx."}, {"start": 378.0, "end": 384.0, "text": " Y menos 2 por c nos queda menos 2c."}, {"start": 384.0, "end": 389.0, "text": " En el lado izquierdo contin\u00faa la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 389.0, "end": 394.0, "text": " 5x al cuadrado m\u00e1s 3x menos 1."}, {"start": 394.0, "end": 398.0, "text": " Vemos que se encuentra organizada en forma descendente."}, {"start": 398.0, "end": 406.0, "text": " Entonces, as\u00ed mismo vamos a realizar la acomodaci\u00f3n de los t\u00e9rminos del lado derecho."}, {"start": 406.0, "end": 413.0, "text": " Comenzamos con ax al cuadrado m\u00e1s bx al cuadrado."}, {"start": 413.0, "end": 421.0, "text": " Luego, los t\u00e9rminos que contienen x m\u00e1s cx menos 2bx."}, {"start": 421.0, "end": 430.0, "text": " Y por \u00faltimo, los t\u00e9rminos independientes, los que no contienen la x."}, {"start": 430.0, "end": 435.0, "text": " Ahora hacemos agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos en el lado derecho."}, {"start": 435.0, "end": 440.0, "text": " Agrupamos los que contienen x al cuadrado."}, {"start": 440.0, "end": 445.0, "text": " Tambi\u00e9n agrupamos los que contienen la x."}, {"start": 445.0, "end": 451.0, "text": " Y agrupamos los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 451.0, "end": 456.0, "text": " De esta primera agrupaci\u00f3n sacamos factor com\u00fan x al cuadrado."}, {"start": 456.0, "end": 463.0, "text": " Pero entonces vamos a escribirlo a la derecha del par\u00e9ntesis."}, {"start": 463.0, "end": 467.0, "text": " Por aqu\u00ed tambi\u00e9n sacamos factor com\u00fan x."}, {"start": 467.0, "end": 472.0, "text": " Tambi\u00e9n la escribimos a la derecha del par\u00e9ntesis."}, {"start": 472.0, "end": 476.0, "text": " Y esta expresi\u00f3n nos queda como se encuentra."}, {"start": 476.0, "end": 484.0, "text": " En el lado izquierdo la expresi\u00f3n contin\u00faa siendo la misma."}, {"start": 484.0, "end": 494.0, "text": " Y hemos llegado al momento de confrontar los coeficientes de ambas expresiones."}, {"start": 494.0, "end": 505.0, "text": " Entonces, el coeficiente de x al cuadrado en el lado izquierdo debe ser igual al coeficiente de x al cuadrado en el lado derecho."}, {"start": 505.0, "end": 509.0, "text": " Sale entonces la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 509.0, "end": 515.0, "text": " Tenemos a m\u00e1s b igual a 5."}, {"start": 515.0, "end": 519.0, "text": " Estos dos coeficientes se igualan."}, {"start": 519.0, "end": 525.0, "text": " Vamos ahora con el coeficiente de x en el lado izquierdo que es 3."}, {"start": 525.0, "end": 531.0, "text": " Lo vamos a igualar con el coeficiente de x en el lado derecho."}, {"start": 531.0, "end": 541.0, "text": " Sale entonces la ecuaci\u00f3n 2 que ser\u00e1 c menos 2b igual a 3."}, {"start": 541.0, "end": 547.0, "text": " Y por \u00faltimo tenemos los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 547.0, "end": 551.0, "text": " Vamos tambi\u00e9n a igualarlos."}, {"start": 551.0, "end": 562.0, "text": " Nos queda la ecuaci\u00f3n 3 que ser\u00e1 a menos 2c igual a menos 1."}, {"start": 562.0, "end": 575.0, "text": " Confrontando coeficientes obtenemos estas tres ecuaciones que conforman lo que se llama un sistema de ecuaciones de 3 por 3."}, {"start": 575.0, "end": 580.0, "text": " Tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas."}, {"start": 580.0, "end": 591.0, "text": " Para resolver este sistema de ecuaciones podemos recurrir a los m\u00e9todos de sustituci\u00f3n o igualaci\u00f3n o eliminaci\u00f3n."}, {"start": 591.0, "end": 593.0, "text": " En fin, el que queramos."}, {"start": 593.0, "end": 597.0, "text": " Vamos a resolverlo por ejemplo por sustituci\u00f3n."}, {"start": 597.0, "end": 605.0, "text": " De la ecuaci\u00f3n 1 vamos a despejar por ejemplo la letra a."}, {"start": 605.0, "end": 609.0, "text": " Entonces pasamos b a restar al otro lado."}, {"start": 609.0, "end": 612.0, "text": " Nos queda a igual a 5 menos b."}, {"start": 612.0, "end": 618.0, "text": " Esta nueva ecuaci\u00f3n la llamamos la n\u00famero 4."}, {"start": 618.0, "end": 627.0, "text": " Y tambi\u00e9n de la ecuaci\u00f3n 2 vamos a despejar la letra c."}, {"start": 627.0, "end": 632.0, "text": " Entonces pasamos ese t\u00e9rmino que est\u00e1 restando al otro lado a sumar."}, {"start": 632.0, "end": 637.0, "text": " Nos queda que c es igual a 3 m\u00e1s 2b."}, {"start": 637.0, "end": 645.0, "text": " Y tenemos una expresi\u00f3n nueva que la llamamos la n\u00famero 5."}, {"start": 645.0, "end": 652.0, "text": " Ahora sustituimos las expresiones 4 y 5 en la n\u00famero 3."}, {"start": 652.0, "end": 655.0, "text": " Nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 655.0, "end": 663.0, "text": " A se sustituye por 5 menos b menos 2 que multiplica a c."}, {"start": 663.0, "end": 668.0, "text": " Pero c equivale a 3 m\u00e1s 2b."}, {"start": 668.0, "end": 671.0, "text": " Y todo eso igual a menos 1."}, {"start": 671.0, "end": 679.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que nos ha quedado \u00fanicamente con la inc\u00f3gnita b."}, {"start": 679.0, "end": 681.0, "text": " Tenemos 5 menos b."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " Aqu\u00ed aplicamos propiedad distributiva."}, {"start": 684.0, "end": 687.0, "text": " Menos 2 por 3 nos da menos 6."}, {"start": 687.0, "end": 691.0, "text": " Menos 2 por 2b nos da menos 4b."}, {"start": 691.0, "end": 694.0, "text": " Esto igual a menos 1."}, {"start": 694.0, "end": 697.0, "text": " En el lado izquierdo operamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 697.0, "end": 702.0, "text": " Menos b menos 4b nos da menos 5b."}, {"start": 702.0, "end": 706.0, "text": " Y los n\u00fameros 5 menos 6 nos da menos 1."}, {"start": 706.0, "end": 709.0, "text": " Todo esto igual a menos 1."}, {"start": 709.0, "end": 713.0, "text": " Hacemos el despeje del t\u00e9rmino menos 5b."}, {"start": 713.0, "end": 716.0, "text": " Entonces tenemos menos 1 m\u00e1s 1."}, {"start": 716.0, "end": 721.0, "text": " Este n\u00famero est\u00e1 restando pasa a sumar."}, {"start": 721.0, "end": 727.0, "text": " Tenemos entonces menos 5b igual a cero."}, {"start": 727.0, "end": 729.0, "text": " El resultado de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 729.0, "end": 735.0, "text": " Despejamos b. Nos queda cero dividido entre menos 5."}, {"start": 735.0, "end": 741.0, "text": " Y eso nos da como resultado b igual a cero."}, {"start": 741.0, "end": 747.0, "text": " Tenemos entonces la primera inc\u00f3gnita ya encontrada."}, {"start": 747.0, "end": 751.0, "text": " Sabiendo entonces que b vale cero."}, {"start": 751.0, "end": 755.0, "text": " Podemos venir a estas ecuaciones 4 y 5."}, {"start": 755.0, "end": 757.0, "text": " Para encontrar a y c."}, {"start": 757.0, "end": 763.0, "text": " Entonces donde est\u00e1 la b escribimos cero."}, {"start": 763.0, "end": 769.0, "text": " Y por ac\u00e1 tendremos que a es igual a 5."}, {"start": 769.0, "end": 773.0, "text": " Sale otra de las inc\u00f3gnitas."}, {"start": 773.0, "end": 780.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos que c es igual a 3."}, {"start": 780.0, "end": 788.0, "text": " Y de esta manera encontramos los valores de a, b y c."}, {"start": 788.0, "end": 792.0, "text": " Ten\u00edamos al comienzo esta igualdad."}, {"start": 792.0, "end": 798.0, "text": " Y entonces ya podemos reemplazar los valores de a, b y c."}, {"start": 798.0, "end": 810.0, "text": " Tenemos que a vale 5, b vale cero y c equivale a 3."}, {"start": 810.0, "end": 819.0, "text": " Entonces en el lado izquierdo podemos escribir 5x cuadrado m\u00e1s 3x menos 1."}, {"start": 819.0, "end": 826.0, "text": " Sobre este producto que equivale a este polinomio."}, {"start": 826.0, "end": 833.0, "text": " X al cubo menos 2x al cuadrado m\u00e1s x menos 2."}, {"start": 833.0, "end": 848.0, "text": " Y en el lado derecho tendremos 5 sobre x menos 2 m\u00e1s 3 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 848.0, "end": 860.0, "text": " De esta manera hemos obtenido las fracciones parciales de la expresi\u00f3n que ten\u00edamos originalmente en el integrando."}, {"start": 860.0, "end": 884.0, "text": " Reescribimos entonces el ejercicio original de la siguiente manera. Integral de 5 sobre x menos 2 m\u00e1s 3 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 884.0, "end": 894.0, "text": " Hemos sustituido la expresi\u00f3n original por la suma de las fracciones parciales."}, {"start": 894.0, "end": 900.0, "text": " Y todo esto con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 900.0, "end": 908.0, "text": " Sabemos que en esta suma podemos repartir el s\u00edmbolo de la integral."}, {"start": 908.0, "end": 918.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos sacar estos n\u00fameros que est\u00e1n multiplicando en cada una de las expresiones."}, {"start": 918.0, "end": 940.0, "text": " Nos queda entonces 5 por la integral de 1 sobre x menos 2, esto con su respectivo diferencial de x m\u00e1s 3 por la integral de 1 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 940.0, "end": 945.0, "text": " Tambi\u00e9n con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 945.0, "end": 953.0, "text": " Entonces hemos sacado estos n\u00fameros a multiplicar a la izquierda de cada integral."}, {"start": 953.0, "end": 959.0, "text": " Ahora nos ocupamos de resolver cada una de estas integrales."}, {"start": 959.0, "end": 965.0, "text": " Para el caso de la primera podemos utilizar la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 965.0, "end": 982.0, "text": " Si tenemos la integral de 1 sobre x m\u00e1s una constante a que incluso podr\u00eda ser negativa, como en este caso, esto es igual al logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s a."}, {"start": 982.0, "end": 987.0, "text": " Obviamente con su constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 987.0, "end": 998.0, "text": " Entonces para este caso tendremos logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2."}, {"start": 998.0, "end": 1009.0, "text": " Todo esto m\u00e1s 3 por el resultado de esta integral que es tangente a la menos 1 de x."}, {"start": 1009.0, "end": 1017.0, "text": " O tambi\u00e9n lo podemos escribir como arco tangente de x, si preferimos de esa manera."}, {"start": 1017.0, "end": 1023.0, "text": " Y agregamos la constante de integraci\u00f3n que aparece por primera vez."}, {"start": 1023.0, "end": 1029.0, "text": " Finalmente podr\u00edamos escribir este t\u00e9rmino de la siguiente manera."}, {"start": 1029.0, "end": 1039.0, "text": " Este 5 que est\u00e1 multiplicando a este logaritmo puede convertirse en exponente gracias a la propiedad de los logaritmos."}, {"start": 1039.0, "end": 1048.0, "text": " Entonces nos queda dentro de valor absoluto x menos 2 elevado al exponente 5."}, {"start": 1048.0, "end": 1054.0, "text": " Protegemos con valor absoluto porque esto es susceptible de ser negativo."}, {"start": 1054.0, "end": 1063.0, "text": " Entonces con el valor absoluto garantizamos que sea una cantidad positiva para que el logaritmo natural no tenga problemas."}, {"start": 1063.0, "end": 1074.0, "text": " Todo esto m\u00e1s 3 por, como dec\u00edamos, se puede escribir tambi\u00e9n como arco tangente de x m\u00e1s c."}, {"start": 1074.0, "end": 1078.0, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 1078.0, "end": 1085.0, "text": " Esta expresi\u00f3n es el resultado de esa integral."}]