Problema 6 de OPTIMIZACIÓN
#julioprofe explica cómo resolver un problema de optimización, una de las aplicaciones de la derivada:

Un industrial desea construir una caja abierta, es decir sin tapa, de base cuadrada y superficie total 108 cm². ¿Qué dimensiones tendrá la caja de volumen máximo?

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 Un industrial desea construir una caja abierta, es decir sin tapa, de base cuadrada y superficie total 108 cm². ¿Qué dimensiones tendrá la caja de volumen máximo? En este problema nos dicen que se quiere construir una caja sin tapa, es decir una caja abierta de base cuadrada con dimensiones X, es decir un cuadrado de lado X en la base y una altura H. Y nos dicen que esa caja va a utilizar un material cuya superficie totaliza 108 cm². Entonces vamos a imaginar que la caja la cortamos por estos filos y vamos a desbaratarla dibujándola aquí. Allí tenemos el dibujo de la caja desbaratada y podemos observar la base cuadrada de lado X. Y estos pedacitos son los que miden H, los que determinan la altura de la caja cuando vuelve y se arma. Entonces, toda esta superficie que tenemos aquí es la que debe totalizar 108 cm². Entonces vamos a obtener una expresión con estas variables para esa superficie. Entonces tenemos por aquí esta parte cuadrada tiene un área igual a X por X, es decir X al cuadrado. Más, estos rectángulos son todos iguales y cada uno tiene área X por H. Recordemos que es base por altura o largo por ancho. Como son cuatro rectángulos iguales, ellos totalizan un área de 4 X H y todo esto lo igualamos con 108 cm². Si estamos trabajando la superficie en cm², entonces advertimos que tanto X como H serán medidas en cm y que tanto X como H deben ser cantidades positivas por tratarse de longitudes. Esta expresión podemos llamarla la ecuación número 1. Y ahora vamos a la caja ya construida. Vamos a determinar una expresión para su volumen. El volumen de esta caja se obtiene multiplicando sus tres dimensiones, es decir X por X por H. Nos queda entonces que el volumen es igual a X al cuadrado por H y ésta constituye la ecuación número 2. Nuestro problema consiste en determinar cuáles son las dimensiones de la caja que nos producen el volumen máximo. Entonces nuestra función objetivo será la del volumen de la caja, pero debe quedar en términos de una sola variable para poder maximizarla. Como acá tenemos otra ecuación con las mismas variables que tenemos acá, es decir X y H, buscamos cuál está más fácil de despejar. Por ejemplo vemos que H es fácil de despejarla y ese despeje lo podemos sustituir acá. Entonces decimos que de la expresión 1 despejamos H. Primero despejamos el término que contiene la H. 4XH es igual a 108 menos X al cuadrado. Y despejando H nos queda 108 menos X al cuadrado, todo esto dividido entre 4X. Esta expresión nueva la llamamos la número 3. Y ahora esto lo vamos a sustituir aquí en la expresión número 2. Nos queda entonces que volumen es igual a X al cuadrado por el valor de H que es 108 menos X al cuadrado, todo esto entre 4X. Y vamos a organizar esta expresión. Aquí podemos simplificar una X con esta que tenemos por acá. Pero sin antes reiterar que X debe ser una cantidad positiva, X mayor que 0 por ser una dimensión, una longitud de la caja. Entonces nos queda la expresión así. Si se va esta X con una de acá nos queda una X por acá. Esta se cancela y esta X puede multiplicar a 108 menos X al cuadrado. Nos queda entonces 108X menos X al cubo y todo esto dividido entre 4. Allí podemos repartir ese denominador 4. Nos queda así. Menos X al cubo sobre 4 y podemos simplificar 108 con 4, eso nos da 27, que da 27X, menos X al cubo sobre 4 que puede escribirse como un cuarto de X al cubo. Y tenemos la función objetivo de nuestro problema, es decir, la función que nos da el volumen de la caja en términos de X. Para hacer el proceso de maximización de esta función del volumen de la caja debemos obtener la primera derivada. Entonces veamos, tenemos dos términos, derivamos cada uno de ellos. Derivada de 27X es 27 menos la derivada de este término que será así. 3 va a multiplicar con un cuarto, nos queda tres cuartos de X al cuadrado. Recordemos que al 3 se le resta una unidad. Esa es entonces la primera derivada. Y vamos a obtener la segunda derivada que la vamos a utilizar para hacer la verificación de los puntos críticos que obtengamos. Vamos a hacerla por acá. Entonces segunda derivada es igual a lo siguiente. Derivada de 27 es cero por ser un término constante menos la derivada de este término. 2 va a multiplicar con tres cuartos, nos daría seis cuartos, es decir, tres medios simplificando la fracción. Y esta X queda elevada al exponente 1, es decir, 2 menos 1. De esta manera tenemos la segunda derivada de la función objetivo. Ahora procedemos a buscar los puntos críticos de la función objetivo, es decir, de la función de volumen de la caja. Para ello debemos tomar la primera derivada de la función objetivo e igualarla a cero. Nos queda entonces que 27 menos tres cuartos de X al cuadrado es igual a cero. Resolvemos esa ecuación. Podemos dejar aquí 27 y pasar ese término al otro lado para que llegue positivo. Lo podemos organizar así. Este cuatro está dividiendo, lo pasamos a multiplicar, nos queda entonces 27 por 4 igual a 3X cuadrado. Despejamos X al cuadrado, pasando el 3 a dividir, nos queda 27 por 4 dividido entre 3. Allí podemos simplificar 27 con 3, tercera de 3 es una, tercera de 27 nos da nueve. Nos queda entonces nueve por cuatro que es 36 igual a X al cuadrado, de donde X será igual a más o menos la raíz cuadrada de 36. Resolviendo para X nos queda que X es igual a más o menos 6. Pero dijimos que X es una cantidad positiva por tratarse de la medida de la base de la caja. Por lo tanto nos quedamos con la opción 6. X es igual a 6 centímetros y éste constituye el valor de X para el cual tenemos punto crítico. Por ser éste el único punto crítico que tenemos para la función de volumen en el intervalo comprendido entre cero e infinito para X. Entonces procedemos a verificar, hacemos la verificación en la segunda derivada. Para eso fue que obtuvimos la segunda derivada. Entonces la evaluamos en 6. Tenemos segunda derivada evaluada en el X del punto crítico, es decir en 6. Vamos a ver cuánto nos da eso. Nos queda menos 3 medios por 6. Todo esto nos da menos nueve. Y menos nueve es un valor menor que cero. Si la segunda derivada nos da menor que cero, nos indica que en ese punto hay con cavidad hacia abajo. Por lo tanto tenemos un punto máximo. Esto nos confirma que éste valor, X igual a 6 centímetros, maximiza la función de volumen. Siendo éste valor de X el que maximiza el volumen de la caja, entonces podemos ir a la expresión número 3 que era donde teníamos despejado el valor de H. Era esta expresión. Y entonces allí podemos sustituir X igual a 6. Nos queda entonces 108 menos 6 al cuadrado. Todo esto dividido entre 4 por 6. Nos queda 108 menos 36 sobre 24. Eso nos da 72 sobre 24. Y H nos da 3 centímetros. De esta manera conocemos las dimensiones de la caja de volumen máximo. Finalizamos el problema dando en el dibujo las dimensiones de la caja. X nos dio 6 centímetros. Por acá también. Y la altura H nos dio 3 centímetros. Tenemos entonces una caja abierta de base cuadrada, de lado 6 centímetros y de altura 3 centímetros. Es la caja de mayor volumen que ocupa una superficie en su material de 108 centímetros cuadrados. Vamos a calcular el volumen de esa caja, que sería el volumen máximo. Sería multiplicar 6 por 6 por 3. Eso coincidencialmente nos da 108, pero en centímetros cúbicos. Entonces, este es el valor máximo del volumen de esa caja, que como decíamos coinciden numéricamente con el valor de la superficie que ocupa su material.
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