INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida usando el Método de Sustitución o Cambio de Variable.

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 Vamos a resolver esta integral por el método de sustitución, ya que de manera directa no se puede resolver. Vamos a tomar como la letra P a la expresión que tenemos en el denominador, es decir, x al cuadrado más 1. Esto vamos a derivarlo, entonces derivada de P con respecto a x es igual a 2x. Vemos que en la derivada nos da lo que tenemos en el numerador. De aquí despejamos de x, que será igual a dP sobre 2x. Y con estas dos componentes vamos a reconstruir la integral. Nos queda entonces así, integral de 2x que lo dejamos igual en el numerador. Aquí en el denominador cambiamos x al cuadrado más 1 por P. Y esto multiplicado por dx que es igual a dP sobre 2x. Allí podemos cancelar 2x. Y nos va a quedar la integral de 1 sobre P por dP. Esta integral nos da como resultado logaritmo natural del valor absoluto de P. Y aparece la constante de integración. Finalmente cambiamos el equivalente de P. Recordemos que P era la expresión x al cuadrado más 1. Esto queda en valor absoluto más C. Y esta sería la respuesta al ejercicio. Entonces en este caso marcamos la opción d. Otra forma de hacer esta integral es utilizando la siguiente propiedad. Si tenemos la integral de una fracción donde abajo tenemos una expresión por ejemplo ux. Y encima, es decir en el numerador, observamos la derivada de lo que tenemos abajo. Como nos pasa aquí, vemos que 2x es la derivada de x al cuadrado más 1. Entonces podemos pasar directamente a este resultado logaritmo natural del valor absoluto de ux. Es decir, de lo que tenemos en el denominador. Y todo esto más la constante de integración. Esta propiedad se fundamenta precisamente en la derivada de un logaritmo natural de una expresión. Recordemos que la derivada del logaritmo natural de una expresión A es igual a A' sobre A. Es decir, esto va en el denominador y en el numerador va la derivada de lo que se escribió abajo. Entonces vemos que esto es la derivada de esto. Luego cumple el concepto de integral o antiderivada. Entonces aplicando esta propiedad pasamos directamente al resultado que sería logaritmo natural del valor absoluto de x al cuadrado más 1. Es decir, tal denominador y todo esto más la constante de integración. Vemos que nos da exactamente el mismo resultado.
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