MAGNITUD Y ORIENTACIÓN DE UN VECTOR EN R2
#julioprofe explica cómo determinar la magnitud y la orientación de un vector en el plano, conocidos sus puntos extremos.

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 Dados los puntos A, 8,-2 y B,-3,-4 en R2, determine la magnitud y orientación del vector AB. Bien, para comenzar vamos a sacar entonces la información que necesitamos, es decir, las coordenadas de los puntos dados en R2, es decir, en el plano. Entonces tenemos la coordenada del punto A, que es 8,-2 y la coordenada de B, que es,-3,-4 y vamos a obtener, para comenzar, el vector AB, sus componentes. Tomamos el punto final del vector, que sería B, de coordenada,-3,-4 y le restamos la coordenada del punto inicial, que es A, 8,-2. Siempre, punto final, menos punto inicial, para determinar el vector. Entonces, tendremos lo siguiente, usando la notación vectorial, sería,-3,-8 restando las componentes en X y,-4,-2 restando las correspondientes coordenadas en Y. Resolvemos,-3,-8 nos da,-11 y,-4,-2 eso nos da,-4,-2, es decir,-2 y de esta manera tenemos las componentes del vector AB. Recordemos que esto sería equivalente a tener,-11 en la dirección Y, menos 2 en la dirección J, usando vectores unitarios, Y,J, para X y Y, respectivamente. Pero esta notación resulta mucho más sencilla para trabajar el problema. Vamos entonces a calcular la magnitud del vector AB, también conocida como módulo o norma del vector. Se obtiene de la siguiente manera, será la vez cuadrada de la componente en X al cuadrado, es decir,-11 al cuadrado, más la componente en Y al cuadrado. Esto nos da,-11 al cuadrado, 121 positivo, más,-2 al cuadrado, sería 4. Sumamos, nos da la raíz cuadrada de 125. Y resolviendo esto en la calculadora, nos da aproximadamente, una magnitud para el vector AB, que será en forma de aproximadamente igual a 11.18 unidades. Allí tenemos entonces la respuesta a la primera pregunta, ¿qué magnitud tiene el vector? Es 11.18 unidades. Bien, a continuación vamos a determinar la orientación, y para ello vamos a calcular el ángulo theta, el ángulo theta que forma el vector con el eje X, usando la siguiente relación, tangente de theta es igual a Y sobre X. Veamos qué significa esto, el vector AB que tenemos tiene como componentes,-11,-2, entonces esta será la componente en X y esta es la componente en Y. Entonces eso es lo que vamos a reemplazar aquí, Y sería,-2, X sería,-11, simplificamos los signos, menos con menos nos da más, nos queda 2 onceavos positivo, y despejamos theta, usando la función inversa de la tangente, y la menor de 1, de 2 onceavos, haciéndose en la calculadora, nos da un resultado de 10.3 grados. Entonces ese es el ángulo que va a formar la línea que contiene el vector con el eje de las X. Vamos a verlo gráficamente, y de allí vamos a sacar la orientación del vector, para responder la segunda pregunta que nos hacían. Entonces trazamos un plano cartesiano, donde podamos ubicar las componentes del vector, el vector tenía en X,-11, supongamos que es por aquí, y en Y,-2, entonces donde se encuentren estos dos valores, allí tenemos el punto que debemos unir con el origen, y que nos va a dar el vector AB. Entonces trazamos el vector, ese sería entonces el vector AB, cuya magnitud nos dio 11.18 unidades, y donde el ángulo θ nos dio 10.3, vamos a ver que es ese ángulo θ. Entonces como decía, trazamos la línea que contiene el vector, vamos a hacerlo con la línea punteada, esta es la línea que contiene el vector, entonces ese ángulo de 10.3 será este de aquí, por eso nos dio positivo, 10.3 grados, porque se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, partiendo del eje X positivo, aquí tenemos el origen. Este ángulo de 10.3 grados será el mismo que tenemos acá, estos dos ángulos son opuestos por el vértice, por lo tanto son congruentes, son iguales, y como vemos el vector hace parte del cuadrante sur-oeste, por lo tanto debemos determinar este ángulo de aquí, el ángulo que del sur nos movemos buscando el oeste, este ángulo se obtiene haciendo la siguiente resta, a 90 grados que es el ángulo que tenemos aquí, le vamos a restar este que es 10.3 grados, y eso nos da un resultado de 79.7 grados. De esta manera entonces ya podemos establecer la orientación o el rumbo del vector AB, sería entonces sur-79.7 grados, pues si la primera letra indica el origen, la segunda letra indica el destino, cuando hacemos el movimiento, el giro, necesario para llegar hacia donde está el vector. Entonces para resumir, nuestro vector AB tiene las siguientes características, una magnitud de 11.18 unidades, y una orientación de sur-79.7 grados oeste, de esta manera entonces respondemos la pregunta que nos hacía el problema.
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