EJERCICIO 1 CON NÚMEROS COMPLEJOS
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio con números complejos.

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 Dados los números complejos z1 igual a menos 3 más 4i y el número z2 igual a 5 menos 2i Encontrar el conjugado de z1 elevado al cuadrado menos el número complejo z2 elevado al cubo. Comenzamos por sustituir entonces cada número complejo. Veamos. El conjugado de z1 será menos 3 menos 4i. Recordemos que para obtener el conjugado de un número complejo simplemente cambiamos el signo de la mitad. El que separa la parte real de la parte imaginaria. Entonces en este caso ese signo más cambia por menos porque nos piden el conjugado de z1. Pero todo esto está al cuadrado. Menos z2 que es este número 5 menos 2i y todo esto elevado al cubo. A continuación tenemos que desarrollar este binomio al cuadrado y este binomio elevado al cubo. Y para ello vamos a utilizar los productos notables que llevan esos mismos nombres. Entonces recordemos la formula o el producto notable para desarrollar un binomio al cuadrado. Es el primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado. Entonces con este producto notable desarrollamos esta expresión. Y para el binomio al cubo utilizamos esta que dice a menos b al cubo y es igual a el primer término al cubo menos tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado menos el segundo al cubo. Vamos entonces a hacer el desarrollo de cada expresión. Comenzamos por acá aplicando esto. Entonces tenemos el primer término al cuadrado es decir menos tres al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo es decir menos tres por el segundo término que es 4i más el segundo término al cuadrado es decir 4i elevado al cuadrado. Hasta allí tenemos el desarrollo de este binomio al cuadrado. Ahora seguimos con esto. Tenemos un menos por lo tanto debemos abrir un corchete para proteger todo lo que sigue todo el desarrollo de este binomio al cubo porque este signo menos va a afectar posteriormente todo lo que nos quede como parte de ese desarrollo. Entonces empezamos con el primero al cubo es decir cinco al cubo menos tres veces el primero al cuadrado por el segundo es decir tres por cinco al cuadrado por 2i más vamos aquí tres veces el primero por el segundo al cuadrado es decir tres por cinco por 2i. Al cuadrado y luego menos el segundo al cubo el segundo término es 2i. Entonces todo esto elevado al cubo y cerramos el corchete. Bien a continuación vamos a desarrollar con cuidado cada una de las operaciones que tenemos aquí plan de ablas. Empezamos aquí menos tres al cuadrado eso nos da nueve positivo. Aquí tenemos la multiplicación de tres cantidades dos por tres seis seis por cuatro esto nos da veinticuatro y eso nos queda con signo positivo menos por menos da más más por más es más. Por acá tenemos más dieciséis y al cuadrado si recordemos que el cuadrado afecta al cuatro y afecta a la letra i. Menos abrimos el corchete vamos resolviendo aquí adentro cinco al cubo es ciento veinticinco menos aquí tenemos tres por cinco al cuadrado que es veinticinco por dos i. Y más tres por cinco lo podemos desarrollar de una vez nos da quince por dos y al cuadrado que es cuatro y al cuadrado. Menos aquí el cubo afecta al número y a la letra entonces dos al cubo es ocho y nos queda acompañado de y al cubo. Cerramos entonces el corchete. Aquí podemos observar algunas potencias de i como son i al cuadrado y también i al cubo. Recordemos que i se define como la raíz cuadrada de menos uno es la unidad imaginaria. Entonces i al cuadrado será igual a la raíz cuadrada de menos uno todo eso elevado al cuadrado y el cuadrado destruye la raíz y nos da menos uno. Por lo tanto i al cuadrado es igual a menos uno. Y si hacemos i al cubo entonces podemos escribirlo como i al cuadrado por i a la uno es decir lo descomponemos en dos potencias. I al cuadrado por i a la uno donde la primera nos dio menos uno y eso multiplicado por i a la uno que sería i. Menos uno por i nos da menos i. Conclusión i al cubo es igual a menos i. Entonces vamos a utilizar estas potencias de i que ya tenemos desarrolladas y vamos a reemplazarlas acá en el desarrollo que tenemos. Entonces por acá donde tenemos i al cuadrado vamos a tener menos uno lo mismo que por acá y donde tenemos i al cubo eso nos dará entonces menos i. Continuamos entonces con este desarrollo y nos queda nueve más veinticuatro i. Aquí dieciséis por menos uno nos queda menos dieciséis menos abrimos porchete tenemos ciento veinticinco menos multiplicamos tres por veinticinco por dos. Eso nos da cincuenta por tres ciento cincuenta y aquí tenemos más quince por cuatro eso da sesenta y sesenta por menos uno nos da menos sesenta. Y por acá tenemos menos ocho por menos i que es igual a más ocho i. Cerramos entonces el corchete. Como paso siguiente podemos resolver esta operación nueve menos dieciséis eso nos da menos siete más veinticuatro i. Menos abrimos el corchete y podemos operar los números reales entre sí y también los números imaginarios entre sí. Entonces ciento veinticinco menos sesenta eso nos da sesenta y cinco y menos ciento cincuenta i más ocho i nos da menos ciento cuarenta y dos i. Cerramos entonces el corchete. A continuación vamos a romper ese corchete para ello distribuimos el signo negativo nos queda entonces menos sesenta y cinco más ciento cuarenta y dos i. Y para finalizar sumamos las partes reales entre sí es decir menos siete sumado con menos sesenta y cinco que nos da menos setenta y dos y también sumamos las partes imaginarias entre sí. Esta suma de términos que tienen la i nos da ciento sesenta y seis i. De esta manera encontramos el resultado del ejercicio propuesto. Observamos entonces que el resultado es un número complejo donde se distingue la parte real de la parte imaginaria.
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