SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3×3 POR MÉTODO DE CRAMER
#julioprofe explica cómo resolver un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas por el Método de Cramer.

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 Vamos a resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de los determinantes también conocido como regla de Kramer. Para comenzar debemos asegurarnos que las ecuaciones estén escritas de esta manera, tal como lo tenemos en este caso. Entonces, primer requisito para utilizar la regla de Kramer en el caso de un sistema de tres por tres es tener las ecuaciones escritas de esta manera. Las incógnitas son X, Y y Z. Iniciamos calculando lo que se llama el determinante del sistema que se puede representar con este triángulo y la letra S. Esta es la letra griega delta, entonces representa el determinante del sistema. Se forma con los coeficientes de las incógnitas X, Y y Z en las tres ecuaciones. Entonces, en la primera ecuación tenemos los coeficientes uno, menos tres, dos. En la segunda ecuación tenemos cinco, seis, menos uno. Y en la tercera ecuación tenemos cuatro, menos uno y tres. Trazamos entonces estas líneas verticales que indican que se trata de un determinante. Y si queremos podemos colocar aquí los encabezados que corresponden a las incógnitas X, Y y Z en las tres ecuaciones. Para resolver este determinante de tres por tres utilizamos lo que se llama la regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras filas debajo de la tercera fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna. Vamos a resolver este primer determinante repitiendo las dos primeras filas acá debajo de la tercera. Entonces escribimos por aquí uno, menos tres, dos. Allí repetimos la primera fila y luego cinco, seis y menos uno. Repitiendo entonces la segunda fila. Estas líneas verticales las podemos prolongar hacia abajo mostrando cómo se ha expandido el determinante en dirección vertical. Y a continuación procedemos con la multiplicación de los elementos de las diagonales principales. Veamos entonces. Tenemos uno por seis por tres es dieciocho. Cinco por menos uno por dos nos da menos diez. Cuatro por menos tres por menos uno nos da más doce. Esto lo protegemos porque corresponde a las diagonales principales. Ahora vamos a restar lo que resulta de operar los elementos de las diagonales secundarias. Veamos entonces. Son estas que vamos a marcar con el color azul. Entonces tenemos dos por seis por cuatro eso nos da cuarenta y ocho. Menos uno por menos uno por uno nos da más uno. Y tres por menos tres por cinco nos da menos cuarenta y cinco. Entonces resolvemos estas operaciones. Esto nos da veinte. Esto de aquí nos da cuatro. Finalmente nos queda veinte menos cuatro quitando los paréntesis y esto es igual a dieciséis. Entonces tenemos que el determinante del sistema es igual a dieciséis. Lo vamos a escribir por aquí. Continuamos ahora con el determinante de la incógnita X. Para ello vamos a escribir los siguientes encabezados. En la columna que era de la X ahora van los términos independientes. O sea estos números que están después del signo igual en cada ecuación. La columna de la incógnita Y y la de Z van a permanecer tal como venían en el determinante del sistema. Sin presentar ningún cambio. Entonces repetimos la columna que corresponde a la X ahora es ocupada por estos términos independientes que están después del signo igual. Tenemos entonces por aquí menos tres, trece y ocho. Los resultados de las tres ecuaciones. Vamos ahora con los coeficientes de la letra Y que son menos tres, seis y menos uno. Y los de la letra Z que son dos, menos uno y tres. Trazamos las líneas verticales. Y en esta ocasión vamos a resolver este determinante de tres por tres utilizando la regla de Sarrus. Pero ahora repitiendo las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna. Entonces podemos quitar esta línea y escribir entonces la primera columna, menos tres, trece y ocho. Y repetimos la segunda columna. Allí la tenemos. Cerramos por aquí el determinante que se ha expandido, en este caso hacia la derecha. Vamos ahora con las diagonales principales. Las señalamos con este color rojo. Entonces tendremos que el determinante de X es igual a lo siguiente. Menos tres por seis por tres. Eso nos da menos cincuenta y cuatro. Menos tres por menos uno por ocho nos da más veinticuatro. Dos por trece por menos uno nos da menos veintiséis. Cerramos el paréntesis y vamos ahora con las diagonales secundarias. Vamos a marcarlas con este color azul. Aquí está la primera, la segunda y la tercera. Veamos entonces. Tenemos dos por seis por ocho. Eso nos da noventa y seis. Menos tres por menos uno por menos uno. Eso nos da menos tres. Y menos tres por trece por tres nos da menos ciento diecisiete. Cerramos el paréntesis. Vamos a seguir por aquí. Resolvemos esta serie de operaciones. Y eso nos da menos cincuenta y seis. Resolvemos estas de aquí y nos da menos veinticuatro. Quitamos los paréntesis. Nos da menos cincuenta y seis más veinticuatro. Y esta operación nos da como resultado menos treinta y dos. Entonces por acá vamos a escribir el determinante de la incógnita X. Vale menos treinta y dos. Continuamos ahora con el determinante de la incógnita Y. Entonces veamos los encabezados. En la columna de X tendremos los coeficientes de X. Ahora en la columna de Y tendremos los términos independientes. O sea los resultados de las ecuaciones. Y en la columna de Z tendremos los coeficientes de la incógnita Z. Veamos entonces. Para la primera columna van los coeficientes de X que son uno, cinco y cuatro. Segunda columna estos números. Menos tres, trece, ocho. Y en la tercera columna van los coeficientes de Z que son dos, menos uno y tres. Trazamos las líneas verticales que delimitan este determinante de tres por tres. Y lo vamos a resolver utilizando la regla de Sarrus repitiendo nuevamente las dos primeras filas debajo de la tercera fila. Tenemos uno, menos tres, dos y cinco, trece y menos uno. Extendemos estas líneas verticales y de esa manera hemos extendido el determinante hacia abajo. Vamos ahora con la operación de las diagonales principales. Nos queda entonces. Uno por trece por tres da treinta y nueve. Cinco por ocho por dos da más ochenta. Cuatro por menos tres por menos uno nos da más doce. Encerramos el paréntesis y vamos ahora con las diagonales secundarias. Tenemos entonces. Dos por trece por cuatro, eso nos da ciento cuatro. Menos uno por ocho por uno nos da menos ocho y tres por menos tres por cinco nos da menos cuarenta y cinco. Resolviendo estas operaciones tenemos ciento treinta y uno. Y resolviendo esto de aquí nos da cincuenta y uno. Encerramos los paréntesis, tenemos ciento treinta y uno, menos cincuenta y uno y eso da como resultado ochenta. Entonces escribimos por aquí el determinante de y cuyo valor es ochenta. Por último vamos a encontrar el determinante de la incógnita z. Veamos cómo quedan los encabezados. La columna de las x sigue intacta. Lo mismo la columna de los valores de y. Pero ahora la columna de la letra z es ocupada por los términos independientes. O sea los resultados en cada una de las ecuaciones. Veamos entonces los valores de x. Uno, cinco, cuatro. Primera columna. Los valores de y menos tres, seis, menos uno. Segunda columna. Y la tercera columna los números que tenemos después del signo igual en cada ecuación. Vamos a resolver este determinante de tres por tres utilizando la regla de Sarrus. Repitiendo en esta ocasión las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna. Tenemos entonces por aquí uno, cinco, cuatro. Repetimos la primera columna y luego menos tres, seis y menos uno repitiendo la segunda columna. Cerramos por aquí el determinante. Vamos entonces con las diagonales principales. Entonces tenemos determinante de z es igual a uno por seis por ocho nos da cuarenta y ocho. Menos tres por trece por cuatro eso nos da menos ciento cincuenta y seis. Menos tres por cinco por menos uno nos da más quince y cerramos el paréntesis. Menos los resultados de operar los elementos de las diagonales secundarias. Entonces veamos. Tenemos menos tres por seis por cuatro eso nos da menos setenta y dos. Uno por trece por menos uno nos da menos trece y menos tres por cinco por ocho nos da menos ciento veinte. Continuamos por acá. Determinante de z es igual a esta operación nos da menos noventa y tres. Y esta que tenemos por aquí nos da menos doscientos cinco. Quitamos los paréntesis. Nos queda menos noventa y tres más doscientos cinco. Y esa operación da como resultado ciento doce positivo. Entonces escribimos por aquí el determinante de la incógnita z cuyo valor es ciento doce. Habiendo encontrado estos determinantes el del sistema y el de cada una de las incógnitas que tenemos en este ejercicio. Entramos a la fase final que es encontrar los valores de dichas incógnitas. Veamos por ejemplo cómo se obtiene x. Para ello tomamos el determinante de x y lo vamos a dividir entre el determinante del sistema. Entonces tenemos menos treinta y dos dividido entre dieciséis. Y eso nos da como resultado menos dos. Encontramos entonces el valor de x. Vamos con la incógnita y. Tomamos el determinante de y y lo dividimos entre el determinante del sistema. Entonces tenemos ochenta. Dividido entre dieciséis y eso nos da como resultado cinco. Vamos ahora con z. Tomamos entonces el determinante de z. Dividido entre el determinante del sistema. O sea que tenemos ciento doce dividido entre dieciséis. Y eso nos da como resultado siete. De esta manera podemos dar la respuesta a este sistema de ecuaciones de tres por tres. Tenemos entonces que x vale menos dos. Y vale cinco. Y z vale siete. Esto es lo que se llama solución única. Esta terna de valores es la que satisface las tres ecuaciones.
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861.0, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 861.0, "end": 868.0, "text": " Tenemos menos tres por seis por cuatro eso nos da menos setenta y dos."}, {"start": 868.0, "end": 880.0, "text": " Uno por trece por menos uno nos da menos trece y menos tres por cinco por ocho nos da menos ciento veinte."}, {"start": 880.0, "end": 881.0, "text": " Continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 881.0, "end": 890.0, "text": " Determinante de z es igual a esta operaci\u00f3n nos da menos noventa y tres."}, {"start": 890.0, "end": 896.0, "text": " Y esta que tenemos por aqu\u00ed nos da menos doscientos cinco."}, {"start": 896.0, "end": 899.0, "text": " Quitamos los par\u00e9ntesis."}, {"start": 899.0, "end": 904.0, "text": " Nos queda menos noventa y tres m\u00e1s doscientos cinco."}, {"start": 904.0, "end": 909.0, "text": " Y esa operaci\u00f3n da como resultado ciento doce positivo."}, {"start": 909.0, "end": 918.0, "text": " Entonces escribimos por aqu\u00ed el determinante de la inc\u00f3gnita z cuyo valor es ciento doce."}, {"start": 918.0, "end": 929.0, "text": " Habiendo encontrado estos determinantes el del sistema y el de cada una de las inc\u00f3gnitas que tenemos en este ejercicio."}, {"start": 929.0, "end": 935.0, "text": " Entramos a la fase final que es encontrar los valores de dichas inc\u00f3gnitas."}, {"start": 935.0, "end": 938.0, "text": " Veamos por ejemplo c\u00f3mo se obtiene x."}, {"start": 938.0, "end": 946.0, "text": " Para ello tomamos el determinante de x y lo vamos a dividir entre el determinante del sistema."}, {"start": 946.0, "end": 954.0, "text": " Entonces tenemos menos treinta y dos dividido entre diecis\u00e9is."}, {"start": 954.0, "end": 958.0, "text": " Y eso nos da como resultado menos dos."}, {"start": 958.0, "end": 961.0, "text": " Encontramos entonces el valor de x."}, {"start": 961.0, "end": 964.0, "text": " Vamos con la inc\u00f3gnita y."}, {"start": 964.0, "end": 974.0, "text": " Tomamos el determinante de y y lo dividimos entre el determinante del sistema."}, {"start": 974.0, "end": 977.0, "text": " Entonces tenemos ochenta."}, {"start": 977.0, "end": 983.0, "text": " Dividido entre diecis\u00e9is y eso nos da como resultado cinco."}, {"start": 983.0, "end": 987.0, "text": " Vamos ahora con z."}, {"start": 987.0, "end": 993.0, "text": " Tomamos entonces el determinante de z."}, {"start": 993.0, "end": 997.0, "text": " Dividido entre el determinante del sistema."}, {"start": 997.0, "end": 1004.0, "text": " O sea que tenemos ciento doce dividido entre diecis\u00e9is."}, {"start": 1004.0, "end": 1008.0, "text": " Y eso nos da como resultado siete."}, {"start": 1008.0, "end": 1019.0, "text": " De esta manera podemos dar la respuesta a este sistema de ecuaciones de tres por tres."}, {"start": 1019.0, "end": 1022.0, "text": " Tenemos entonces que x vale menos dos."}, {"start": 1022.0, "end": 1028.0, "text": " Y vale cinco. Y z vale siete."}, {"start": 1028.0, "end": 1032.0, "text": " Esto es lo que se llama soluci\u00f3n \u00fanica."}, {"start": 1032.0, "end": 1061.0, "text": " Esta terna de valores es la que satisface las tres ecuaciones."}]