INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 16
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida, usando el Método de Sustitución.

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 Vamos a resolver esta integral definida procediendo mediante la técnica o el método de sustitución. Vamos entonces a tomar como letra R lo que tenemos dentro de la raíz, es decir 1 más 3x. Esto vamos a derivarlo, derivada de R con respecto a x es igual a 3 y de aquí vamos a despejar de x. Nos queda igual a dr sobre 3. También vamos a convertir estos límites de integración que son valores originalmente de x, vamos a llevarlos a valores de la nueva variable que es R. Entonces lo hacemos acá. Comencemos con el superior, si x es igual a 8, veamos cuanto nos da R. Tenemos 3 por 8, 24 más 1 nos da 25. Y veamos el inferior, si x es igual a 1, entonces tenemos que R es igual a 3 por 1, es decir 3 más 1 que nos da 4. Reconstruyendo la integral original en términos de R, es decir utilizando toda esta información, nos queda de la siguiente manera, cuando x es igual a 1, R vale 4. Cuando x es igual a 8, R vale 25. En el integrando tenemos la raíz cuadrada de R, sí porque R es igual a 1 más 3x y esto por dx que nos dio de R tercios. Entonces, en esta integral podemos sacar este 3, nos queda como 1 tercio que multiplica por fuera a la integral que va desde 4 hasta 25. Ya sabemos que estos son valores de la variable R. Esta expresión raíz cuadrada de R la podemos escribir como R a la 1 medio y todo eso acompañado del diferencial de R. Tenemos entonces una integral básica, vamos a resolverla. La integral de R a la 1 medio será R a la 1 medio más 1, es decir 3 medios y todo esto sobre 3 medios. Evaluado entre 4 y 25. Sigamos por acá, nos queda 1 tercio por este 2 sube a multiplicar con R a la 3 medios, abajo nos queda el 3 y todo esto evaluado entre 4 y 25. Multiplicamos la parte numérica, eso nos queda 2 novenos y podemos convertir esa expresión R a la 3 medios en forma de raíz. Nos quedaría la raíz cuadrada de R al cubo. Todo esto evaluado entre 4 y 25. Esto nos va a quedar entonces así, 2 novenos de esta raíz, se puede simplificar descomponiéndola como R al cuadrado por R en el integrando. Todo esto evaluado entre 4 y 25. Nos queda entonces 2 novenos por, aquí puede salir una R de la raíz, se queda la otra dentro de la raíz. Y todo esto evaluado entre 4 y 25. Ahora sí vamos a reemplazar los límites de integración. Tenemos 2 novenos por 25 raíz cuadrada de 25. Allí reemplazamos el límite superior menos 2 novenos por 4 por raíz cuadrada de 4 reemplazando el límite inferior y de esa manera damos cumplimiento al teorema fundamental del cálculo. Por aquí la raíz cuadrada de 25 nos da 5, la raíz cuadrada de 4 nos da 2. Entonces vamos a multiplicar 2 por 25 por 5, todo eso nos da 250 novenos menos, aquí multiplicamos 2 por 4 por 2 nos queda 16 novenos. Tenemos una resta de fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador, restamos los numeradores, eso nos da 234. Y eso dividido entre 9 nos da como resultado 26. Esta sería la respuesta a esta integral definida. Entonces en esta pregunta marcamos la opción B.
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