PRODUCTOS NOTABLES: SUMA POR DIFERENCIA (Ejercicio 4)
#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Suma por Diferencia.

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 Vamos a resolver esta multiplicación de tres binomios aplicando un producto notable que se llama suma por diferencia. Comenzamos escribiendo este factor de primero y a su vez allí vamos a cambiar la posición de esos dos términos, es decir, vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la suma. El orden de los sumandos no altera el resultado. Entonces vamos a escribir en este factor primero el término 5t a la 6q a la 8 y después este más 12t al cubo. Después vamos a escribir este factor que se queda tal como está, 5p a la 6q a la 8 y esto menos 12t al cubo y enseguida escribimos este que tampoco presenta variación. 144t a la 6 más 25t a la 12q a la 16 y cerramos el paréntesis. Como se observa allí se ha aplicado también la propiedad conmutativa de la multiplicación. El orden de los factores no altera el producto. Primero escribimos este, después va este y el último queda en su lugar. Ahora vamos a aplicar aquí otra propiedad de la multiplicación que es la propiedad asociativa. Si tenemos la multiplicación de tres cantidades podemos armar grupos asociando por ejemplo los dos primeros factores o los dos últimos factores. Es la propiedad asociativa de la multiplicación. En este caso nos conviene agrupar estos dos términos. Entonces eso lo hacemos colocándole un corchete que encierre esa operación. Allí estamos aplicando entonces la propiedad asociativa de la multiplicación. En eso que agrupamos se observa la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia o resta de ellas y es allí cuando aplicamos el producto notable llamado suma por diferencia y que nos da como resultado una diferencia de cuadrados perfectos. La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces aquí está sucediendo eso. Vamos a aplicar entonces este producto notable llamado suma por diferencia. Comenzamos con la primera cantidad que es 5p a la 6, q a la 8, todo esto elevado al cuadrado menos la segunda cantidad que es 12t al cubo, todo eso protegido con paréntesis y elevado al cuadrado y seguimos manteniendo los corchetes que protegen esta operación y a su vez tenemos que dejar el último factor allí acompañando. 444t a la 6 más 25p a la 12, q a la 16 y le cerramos en paréntesis. Desarrollamos ahora estas dos potencias. Allí aplicamos otra propiedad de la potenciación que dice que si tenemos el producto de varias cantidades todo es elevado a un exponente n. Entonces ese exponente afecta a cada uno de los factores, se reparte para cada uno de ellos. Entonces acá tendremos lo siguiente, 5 al cuadrado por p a la 6, todo esto al cuadrado, por eso debemos colocarle paréntesis y eso por q a la 8 que también queda al cuadrado. Después tenemos menos, aquí la misma situación pero ahora con dos factores, cada uno queda elevado al cuadrado. Entonces 12 al cuadrado por t al cubo que también debe protegerse con paréntesis para elevarlo al cuadrado. Colocamos el corchete que protege toda esa operación y escribimos el último factor, 144t a la 6 más 25p a la 12, q a la 16 y cerramos en paréntesis. Colocamos ahora lo que tenemos dentro de los corchetes, por acá 5 al cuadrado nos da 25, acá tenemos una potencia elevada a otro exponente, aplicamos entonces esta propiedad de la potenciación, para esta situación se deja la misma base y se multiplican los exponentes. Entonces aquí conservamos la base que es p y multiplicamos los exponentes, 6 por 2 nos da 12, acá tenemos la misma situación, conservamos la base que es q y multiplicamos los exponentes, 8 por 2 nos da 16. Después tenemos menos, 12 al cuadrado, 12 por 12 que nos da 144 y esto nos queda acompañado de t a la 3 por 2 que es 6. Ya podemos cambiar ese corchete por paréntesis y anotamos el último factor, 144t a la 6 más 25p a la 12, q a la 16 y cerramos en paréntesis. Tenemos ahora la multiplicación de dos binomios donde también vamos a aplicar el producto notable llamado suma por diferencia. Con ello comenzamos por escribir este factor de primero y allí vamos a cambiar la posición de los términos, es decir aplicamos la propiedad conmutativa de la suma. Comenzamos con 25p a la 12, q a la 16 y después más 144t a la 6, allí tenemos entonces ese factor acá cambiando la posición de los sumandos y después escribimos el otro factor que es 25p a la 12, q a la 16 y esto menos 144t a la 6 y cerramos en paréntesis. Allí tenemos entonces la configuración del producto notable que veníamos mencionando, suma por diferencia a más b por a menos b y que como decíamos produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos. Aquí tenemos entonces esa situación, vamos a resolverla aplicando este producto notable. Será entonces la primera cantidad al cuadrado, es decir 25p a la 12, q a la 16, todo esto elevado al cuadrado menos la segunda cantidad que es 144t a la 6 y todo esto elevado al cuadrado. Ahora resolvemos cada una de estas potencias aplicando las propiedades de la potenciación que ya mencionamos, por ejemplo acá el exponente 2 afecta cada uno de estos factores, cada uno de esos componentes que están multiplicando entre sí, entonces nos queda 25 al cuadrado, esto por p a la 12, todo esto entre paréntesis al cuadrado y eso por q a la 16 también protegido con paréntesis y elevado al cuadrado. Pasamos al otro término, también hay dos cantidades que están elevadas al cuadrado, esas cantidades están multiplicando entre sí, entonces el exponente 2 afecta a cada una de ellas, nos queda 144 al cuadrado y esto por t a la 6, todo eso elevado al cuadrado. Seguimos resolviendo, por acá 25 al cuadrado, es decir 25 por 25 nos da 625, acá dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes, tal como vemos ahora en la propiedad que se llama potencia de una potencia, 12 por 2 es 24, acá dejamos la base que es q y multiplicamos los exponentes, 16 por 2 que es 32, ahora tenemos 144 al cuadrado, es decir 144 por 144 eso nos da 20736 y queda acompañado de t y acá multiplicamos los exponentes, 6 por 2 nos da 12. De esta manera terminamos el ejercicio, esta expresión es la respuesta para esa multiplicación de tres binomios que teníamos inicialmente, como vimos esta situación se resolvió aplicando el producto notable llamado suma por diferencia. Muchas gracias.
[{"start": 0.0, "end": 8.9, "text": " Vamos a resolver esta multiplicaci\u00f3n de tres binomios aplicando un producto notable que"}, {"start": 8.9, "end": 11.540000000000001, "text": " se llama suma por diferencia."}, {"start": 11.540000000000001, "end": 16.740000000000002, "text": " Comenzamos escribiendo este factor de primero y a su vez all\u00ed vamos a cambiar la posici\u00f3n"}, {"start": 16.740000000000002, "end": 22.900000000000002, "text": " de esos dos t\u00e9rminos, es decir, vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la suma."}, {"start": 22.900000000000002, "end": 25.86, "text": " El orden de los sumandos no altera el resultado."}, {"start": 25.86, "end": 35.74, "text": " Entonces vamos a escribir en este factor primero el t\u00e9rmino 5t a la 6q a la 8 y despu\u00e9s este"}, {"start": 35.74, "end": 39.56, "text": " m\u00e1s 12t al cubo."}, {"start": 39.56, "end": 46.879999999999995, "text": " Despu\u00e9s vamos a escribir este factor que se queda tal como est\u00e1, 5p a la 6q a la 8"}, {"start": 46.879999999999995, "end": 55.36, "text": " y esto menos 12t al cubo y enseguida escribimos este que tampoco presenta variaci\u00f3n."}, {"start": 55.36, "end": 68.3, "text": " 144t a la 6 m\u00e1s 25t a la 12q a la 16 y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 68.3, "end": 73.86, "text": " Como se observa all\u00ed se ha aplicado tambi\u00e9n la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 73.86, "end": 77.28, "text": " El orden de los factores no altera el producto."}, {"start": 77.28, "end": 81.9, "text": " Primero escribimos este, despu\u00e9s va este y el \u00faltimo queda en su lugar."}, {"start": 81.9, "end": 86.7, "text": " Ahora vamos a aplicar aqu\u00ed otra propiedad de la multiplicaci\u00f3n que es la propiedad"}, {"start": 86.7, "end": 88.06, "text": " asociativa."}, {"start": 88.06, "end": 94.34, "text": " Si tenemos la multiplicaci\u00f3n de tres cantidades podemos armar grupos asociando por ejemplo"}, {"start": 94.34, "end": 99.7, "text": " los dos primeros factores o los dos \u00faltimos factores."}, {"start": 99.7, "end": 103.64000000000001, "text": " Es la propiedad asociativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 103.64000000000001, "end": 107.34, "text": " En este caso nos conviene agrupar estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 107.34, "end": 113.94, "text": " Entonces eso lo hacemos coloc\u00e1ndole un corchete que encierre esa operaci\u00f3n."}, {"start": 113.94, "end": 119.74000000000001, "text": " All\u00ed estamos aplicando entonces la propiedad asociativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 119.74000000000001, "end": 125.94, "text": " En eso que agrupamos se observa la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia"}, {"start": 125.94, "end": 132.86, "text": " o resta de ellas y es all\u00ed cuando aplicamos el producto notable llamado suma por diferencia"}, {"start": 132.86, "end": 138.22000000000003, "text": " y que nos da como resultado una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 138.22000000000003, "end": 144.46, "text": " La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado."}, {"start": 144.46, "end": 146.76000000000002, "text": " Entonces aqu\u00ed est\u00e1 sucediendo eso."}, {"start": 146.76000000000002, "end": 151.98000000000002, "text": " Vamos a aplicar entonces este producto notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 151.98000000000002, "end": 159.34, "text": " Comenzamos con la primera cantidad que es 5p a la 6, q a la 8, todo esto elevado al"}, {"start": 159.34, "end": 168.1, "text": " cuadrado menos la segunda cantidad que es 12t al cubo, todo eso protegido con par\u00e9ntesis"}, {"start": 168.1, "end": 175.86, "text": " y elevado al cuadrado y seguimos manteniendo los corchetes que protegen esta operaci\u00f3n"}, {"start": 175.86, "end": 181.1, "text": " y a su vez tenemos que dejar el \u00faltimo factor all\u00ed acompa\u00f1ando."}, {"start": 181.1, "end": 193.5, "text": " 444t a la 6 m\u00e1s 25p a la 12, q a la 16 y le cerramos en par\u00e9ntesis."}, {"start": 193.5, "end": 196.62, "text": " Desarrollamos ahora estas dos potencias."}, {"start": 196.62, "end": 202.01999999999998, "text": " All\u00ed aplicamos otra propiedad de la potenciaci\u00f3n que dice que si tenemos el producto de varias"}, {"start": 202.01999999999998, "end": 205.57999999999998, "text": " cantidades todo es elevado a un exponente n."}, {"start": 205.58, "end": 212.58, "text": " Entonces ese exponente afecta a cada uno de los factores, se reparte para cada uno de"}, {"start": 212.58, "end": 213.58, "text": " ellos."}, {"start": 213.58, "end": 222.02, "text": " Entonces ac\u00e1 tendremos lo siguiente, 5 al cuadrado por p a la 6, todo esto al cuadrado,"}, {"start": 222.02, "end": 229.42000000000002, "text": " por eso debemos colocarle par\u00e9ntesis y eso por q a la 8 que tambi\u00e9n queda al cuadrado."}, {"start": 229.42000000000002, "end": 234.66000000000003, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos, aqu\u00ed la misma situaci\u00f3n pero ahora con dos factores, cada uno queda"}, {"start": 234.66, "end": 236.78, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 236.78, "end": 242.74, "text": " Entonces 12 al cuadrado por t al cubo que tambi\u00e9n debe protegerse con par\u00e9ntesis para"}, {"start": 242.74, "end": 245.1, "text": " elevarlo al cuadrado."}, {"start": 245.1, "end": 251.62, "text": " Colocamos el corchete que protege toda esa operaci\u00f3n y escribimos el \u00faltimo factor,"}, {"start": 251.62, "end": 264.18, "text": " 144t a la 6 m\u00e1s 25p a la 12, q a la 16 y cerramos en par\u00e9ntesis."}, {"start": 264.18, "end": 270.82, "text": " Colocamos ahora lo que tenemos dentro de los corchetes, por ac\u00e1 5 al cuadrado nos da 25,"}, {"start": 270.82, "end": 278.18, "text": " ac\u00e1 tenemos una potencia elevada a otro exponente, aplicamos entonces esta propiedad de la potenciaci\u00f3n,"}, {"start": 278.18, "end": 284.18, "text": " para esta situaci\u00f3n se deja la misma base y se multiplican los exponentes."}, {"start": 284.18, "end": 289.86, "text": " Entonces aqu\u00ed conservamos la base que es p y multiplicamos los exponentes, 6 por 2"}, {"start": 289.86, "end": 296.78000000000003, "text": " nos da 12, ac\u00e1 tenemos la misma situaci\u00f3n, conservamos la base que es q y multiplicamos"}, {"start": 296.78000000000003, "end": 300.98, "text": " los exponentes, 8 por 2 nos da 16."}, {"start": 300.98, "end": 309.34000000000003, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos, 12 al cuadrado, 12 por 12 que nos da 144 y esto nos queda acompa\u00f1ado"}, {"start": 309.34000000000003, "end": 313.22, "text": " de t a la 3 por 2 que es 6."}, {"start": 313.22, "end": 322.22, "text": " Ya podemos cambiar ese corchete por par\u00e9ntesis y anotamos el \u00faltimo factor, 144t a la 6"}, {"start": 322.22, "end": 331.82000000000005, "text": " m\u00e1s 25p a la 12, q a la 16 y cerramos en par\u00e9ntesis."}, {"start": 331.82000000000005, "end": 337.5, "text": " Tenemos ahora la multiplicaci\u00f3n de dos binomios donde tambi\u00e9n vamos a aplicar el producto"}, {"start": 337.5, "end": 340.70000000000005, "text": " notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 340.7, "end": 346.65999999999997, "text": " Con ello comenzamos por escribir este factor de primero y all\u00ed vamos a cambiar la posici\u00f3n"}, {"start": 346.65999999999997, "end": 352.5, "text": " de los t\u00e9rminos, es decir aplicamos la propiedad conmutativa de la suma."}, {"start": 352.5, "end": 366.18, "text": " Comenzamos con 25p a la 12, q a la 16 y despu\u00e9s m\u00e1s 144t a la 6, all\u00ed tenemos entonces ese"}, {"start": 366.18, "end": 371.90000000000003, "text": " factor ac\u00e1 cambiando la posici\u00f3n de los sumandos y despu\u00e9s escribimos el otro factor"}, {"start": 371.90000000000003, "end": 384.9, "text": " que es 25p a la 12, q a la 16 y esto menos 144t a la 6 y cerramos en par\u00e9ntesis."}, {"start": 384.9, "end": 391.14, "text": " All\u00ed tenemos entonces la configuraci\u00f3n del producto notable que ven\u00edamos mencionando,"}, {"start": 391.14, "end": 397.78, "text": " suma por diferencia a m\u00e1s b por a menos b y que como dec\u00edamos produce como resultado"}, {"start": 397.78, "end": 400.58, "text": " una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 400.58, "end": 407.18, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces esa situaci\u00f3n, vamos a resolverla aplicando este producto notable."}, {"start": 407.18, "end": 416.46, "text": " Ser\u00e1 entonces la primera cantidad al cuadrado, es decir 25p a la 12, q a la 16, todo esto"}, {"start": 416.46, "end": 427.02, "text": " elevado al cuadrado menos la segunda cantidad que es 144t a la 6 y todo esto elevado al"}, {"start": 427.02, "end": 428.65999999999997, "text": " cuadrado."}, {"start": 428.65999999999997, "end": 434.26, "text": " Ahora resolvemos cada una de estas potencias aplicando las propiedades de la potenciaci\u00f3n"}, {"start": 434.26, "end": 440.53999999999996, "text": " que ya mencionamos, por ejemplo ac\u00e1 el exponente 2 afecta cada uno de estos factores, cada"}, {"start": 440.54, "end": 446.86, "text": " uno de esos componentes que est\u00e1n multiplicando entre s\u00ed, entonces nos queda 25 al cuadrado,"}, {"start": 446.86, "end": 456.18, "text": " esto por p a la 12, todo esto entre par\u00e9ntesis al cuadrado y eso por q a la 16 tambi\u00e9n protegido"}, {"start": 456.18, "end": 459.18, "text": " con par\u00e9ntesis y elevado al cuadrado."}, {"start": 459.18, "end": 464.18, "text": " Pasamos al otro t\u00e9rmino, tambi\u00e9n hay dos cantidades que est\u00e1n elevadas al cuadrado,"}, {"start": 464.18, "end": 468.94, "text": " esas cantidades est\u00e1n multiplicando entre s\u00ed, entonces el exponente 2 afecta a cada"}, {"start": 468.94, "end": 479.5, "text": " una de ellas, nos queda 144 al cuadrado y esto por t a la 6, todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 479.5, "end": 488.26, "text": " Seguimos resolviendo, por ac\u00e1 25 al cuadrado, es decir 25 por 25 nos da 625, ac\u00e1 dejamos"}, {"start": 488.26, "end": 494.22, "text": " la misma base y multiplicamos los exponentes, tal como vemos ahora en la propiedad que se"}, {"start": 494.22, "end": 502.22, "text": " llama potencia de una potencia, 12 por 2 es 24, ac\u00e1 dejamos la base que es q y multiplicamos"}, {"start": 502.22, "end": 510.66, "text": " los exponentes, 16 por 2 que es 32, ahora tenemos 144 al cuadrado, es decir 144 por"}, {"start": 510.66, "end": 520.26, "text": " 144 eso nos da 20736 y queda acompa\u00f1ado de t y ac\u00e1 multiplicamos los exponentes, 6 por"}, {"start": 520.26, "end": 528.74, "text": " 2 nos da 12. De esta manera terminamos el ejercicio, esta expresi\u00f3n es la respuesta"}, {"start": 528.74, "end": 534.84, "text": " para esa multiplicaci\u00f3n de tres binomios que ten\u00edamos inicialmente, como vimos esta"}, {"start": 534.84, "end": 551.5400000000001, "text": " situaci\u00f3n se resolvi\u00f3 aplicando el producto notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 551.54, "end": 565.5799999999999, "text": " Muchas gracias."}]