DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función usando la regla del producto y la regla de la cadena para potencias.

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 En esta función tenemos que la variable y depende de la variable t. La letra a se comporta como una constante. Antes de derivarla vamos a reescribirla. Entonces, reescribimos la función y nos queda de la siguiente manera. y es igual a t que multiplica a al cuadrado más t al cuadrado elevado a la un medio. Entonces, cambiamos la raíz por exponente un medio y vamos a proceder a derivar utilizando la regla del producto. Porque aquí vemos dos componentes donde está la variable t. Este componente será a y todo este componente será b. Para que utilicemos la regla del producto recordemos la derivada de un producto es igual a la derivada del primer componente por el segundo sin derivar más la derivada del segundo componente por el primero sin derivar. Entonces, en este caso la derivada se denota como de y de t. Derivada de la función y con respecto a la variable t. Entonces comencemos. Derivada del primer componente, derivada de t es igual a uno por el segundo componente sin derivar. Que sería a al cuadrado más t al cuadrado a la un medio. Más derivada del segundo componente, es decir la derivada de esta expresión. Entonces allí aplicamos la regla de la cadena para potencias. Bajamos el exponente un medio. Queda entonces a al cuadrado más t al cuadrado. Queda esto quietico elevado a la un medio menos uno. Un medio menos uno nos da menos un medio. Y todo esto multiplicado por la derivada interna. Es decir la derivada de esta expresión con respecto a t. Que es la variable independiente de la función. Ojo, como a era una constante, a al cuadrado también será constante. Por lo tanto la derivada de esto será cero. Y la derivada de t al cuadrado será 2t. Entonces únicamente cuenta la derivada de t al cuadrado que es 2t. Esta es la derivada interna de esto. Bien, y esto multiplicado por el primer componente que era a. Es decir la letra t. Entonces tenemos aquí a'. Todo esto es b. Todo esto, perdón, desde aquí. Todo esto es b'. Y este componente es a. Ahí hemos aplicado la regla del producto. Ahora lo que vamos a hacer es organizar esa expresión. Para que quede de una forma un poco más simple. Entonces vamos a ahorrar por aquí. Y lo continuamos acá. Nos queda entonces de y de t es igual a. Veamos, uno por esto da esto mismo. Lo podemos dejar entonces con su exponente un medio. A cuadrado más t cuadrado elevado a la un medio. Y por acá vemos que este 2 se puede simplificar con este 2. Debido a que todo esto está multiplicando entre sí. Aquí también hay multiplicación. Entonces se nos va este 2. Con este 2 de aquí. Nos quedaría t por t que es igual a t al cuadrado. Aquí podemos armar una fracción. Arriba nos queda t al cuadrado. Sí, el resultado de multiplicar estas dos letras t. Y esta expresión que tiene exponente de menos un medio. Queda en el denominador con exponente un medio. Entonces queda a cuadrado más t cuadrado elevado a la un medio. Esta expresión podríamos resolverla. Para darla de una manera mucho más simple. Aquí podemos colocar denominador 1. Y tendríamos una suma de fracciones. Vamos a resolverla. Entonces nos queda en el denominador el producto de estos 2. Que queda al cuadrado más t cuadrado. Elevado a la un medio. Arriba nos queda este por este. A ver, este por este tiene la misma base. Se suman los exponentes. Un medio más un medio nos da dos medios que es igual a uno. Por lo tanto nos queda a cuadrado más t al cuadrado. Todo esto elevado a la uno. Pero recordemos que una expresión elevada a la uno. Es como si volviéramos ese exponente invisible. O sea que a la larga es como dejar a cuadrado más t cuadrado. Más este por este. Uno por t cuadrado nos queda t al cuadrado. Finalmente. Para dar nuestra respuesta. Entonces en la parte de arriba sumamos términos semejantes. Nos queda entonces a al cuadrado. Más 2t cuadrado. Y en la parte de abajo podríamos retornar a la forma de raíz. Esta nos queda raíz cuadrada de a cuadrado más t al cuadrado. Allí queda entonces nuestra respuesta. De la forma más simple. Y sin exponentes negativos. Y en forma de raíz como venia presentada originalmente.
[{"start": 0.0, "end": 5.4, "text": " En esta funci\u00f3n tenemos que la variable y depende de la variable t."}, {"start": 5.4, "end": 9.1, "text": " La letra a se comporta como una constante."}, {"start": 9.1, "end": 12.700000000000001, "text": " Antes de derivarla vamos a reescribirla."}, {"start": 12.700000000000001, "end": 19.2, "text": " Entonces, reescribimos la funci\u00f3n y nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 19.2, "end": 28.6, "text": " y es igual a t que multiplica a al cuadrado m\u00e1s t al cuadrado elevado a la un medio."}, {"start": 28.6, "end": 35.4, "text": " Entonces, cambiamos la ra\u00edz por exponente un medio y vamos a proceder a derivar utilizando la regla del producto."}, {"start": 35.4, "end": 39.400000000000006, "text": " Porque aqu\u00ed vemos dos componentes donde est\u00e1 la variable t."}, {"start": 39.400000000000006, "end": 44.400000000000006, "text": " Este componente ser\u00e1 a y todo este componente ser\u00e1 b."}, {"start": 44.400000000000006, "end": 50.900000000000006, "text": " Para que utilicemos la regla del producto recordemos la derivada de un producto"}, {"start": 50.9, "end": 62.5, "text": " es igual a la derivada del primer componente por el segundo sin derivar m\u00e1s la derivada del segundo componente por el primero sin derivar."}, {"start": 62.5, "end": 66.5, "text": " Entonces, en este caso la derivada se denota como de y de t."}, {"start": 66.5, "end": 70.2, "text": " Derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable t."}, {"start": 70.2, "end": 71.6, "text": " Entonces comencemos."}, {"start": 71.6, "end": 78.1, "text": " Derivada del primer componente, derivada de t es igual a uno por el segundo componente sin derivar."}, {"start": 78.1, "end": 84.6, "text": " Que ser\u00eda a al cuadrado m\u00e1s t al cuadrado a la un medio."}, {"start": 84.6, "end": 89.8, "text": " M\u00e1s derivada del segundo componente, es decir la derivada de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 89.8, "end": 93.3, "text": " Entonces all\u00ed aplicamos la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 93.3, "end": 96.69999999999999, "text": " Bajamos el exponente un medio."}, {"start": 96.69999999999999, "end": 101.69999999999999, "text": " Queda entonces a al cuadrado m\u00e1s t al cuadrado."}, {"start": 101.69999999999999, "end": 104.89999999999999, "text": " Queda esto quietico elevado a la un medio menos uno."}, {"start": 104.9, "end": 108.7, "text": " Un medio menos uno nos da menos un medio."}, {"start": 108.7, "end": 111.7, "text": " Y todo esto multiplicado por la derivada interna."}, {"start": 111.7, "end": 115.60000000000001, "text": " Es decir la derivada de esta expresi\u00f3n con respecto a t."}, {"start": 115.60000000000001, "end": 119.7, "text": " Que es la variable independiente de la funci\u00f3n."}, {"start": 119.7, "end": 124.10000000000001, "text": " Ojo, como a era una constante, a al cuadrado tambi\u00e9n ser\u00e1 constante."}, {"start": 124.10000000000001, "end": 126.60000000000001, "text": " Por lo tanto la derivada de esto ser\u00e1 cero."}, {"start": 126.60000000000001, "end": 130.4, "text": " Y la derivada de t al cuadrado ser\u00e1 2t."}, {"start": 130.4, "end": 134.4, "text": " Entonces \u00fanicamente cuenta la derivada de t al cuadrado que es 2t."}, {"start": 134.4, "end": 136.9, "text": " Esta es la derivada interna de esto."}, {"start": 136.9, "end": 140.4, "text": " Bien, y esto multiplicado por el primer componente que era a."}, {"start": 140.4, "end": 142.9, "text": " Es decir la letra t."}, {"start": 142.9, "end": 148.1, "text": " Entonces tenemos aqu\u00ed a'."}, {"start": 148.1, "end": 150.6, "text": " Todo esto es b."}, {"start": 150.6, "end": 154.4, "text": " Todo esto, perd\u00f3n, desde aqu\u00ed."}, {"start": 154.4, "end": 158.9, "text": " Todo esto es b'."}, {"start": 158.9, "end": 161.20000000000002, "text": " Y este componente es a."}, {"start": 161.20000000000002, "end": 164.0, "text": " Ah\u00ed hemos aplicado la regla del producto."}, {"start": 164.0, "end": 166.4, "text": " Ahora lo que vamos a hacer es organizar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 166.4, "end": 169.7, "text": " Para que quede de una forma un poco m\u00e1s simple."}, {"start": 169.7, "end": 173.1, "text": " Entonces vamos a ahorrar por aqu\u00ed."}, {"start": 173.1, "end": 177.4, "text": " Y lo continuamos ac\u00e1."}, {"start": 177.4, "end": 179.9, "text": " Nos queda entonces de y de t es igual a."}, {"start": 179.9, "end": 181.7, "text": " Veamos, uno por esto da esto mismo."}, {"start": 181.7, "end": 184.7, "text": " Lo podemos dejar entonces con su exponente un medio."}, {"start": 184.7, "end": 188.6, "text": " A cuadrado m\u00e1s t cuadrado elevado a la un medio."}, {"start": 188.6, "end": 192.8, "text": " Y por ac\u00e1 vemos que este 2 se puede simplificar con este 2."}, {"start": 192.8, "end": 195.9, "text": " Debido a que todo esto est\u00e1 multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 195.9, "end": 197.70000000000002, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n hay multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 197.70000000000002, "end": 199.60000000000002, "text": " Entonces se nos va este 2."}, {"start": 199.60000000000002, "end": 201.10000000000002, "text": " Con este 2 de aqu\u00ed."}, {"start": 201.10000000000002, "end": 206.10000000000002, "text": " Nos quedar\u00eda t por t que es igual a t al cuadrado."}, {"start": 206.10000000000002, "end": 208.10000000000002, "text": " Aqu\u00ed podemos armar una fracci\u00f3n."}, {"start": 208.10000000000002, "end": 210.10000000000002, "text": " Arriba nos queda t al cuadrado."}, {"start": 210.10000000000002, "end": 212.9, "text": " S\u00ed, el resultado de multiplicar estas dos letras t."}, {"start": 212.9, "end": 215.8, "text": " Y esta expresi\u00f3n que tiene exponente de menos un medio."}, {"start": 215.8, "end": 220.8, "text": " Queda en el denominador con exponente un medio."}, {"start": 220.8, "end": 225.5, "text": " Entonces queda a cuadrado m\u00e1s t cuadrado elevado a la un medio."}, {"start": 225.5, "end": 227.8, "text": " Esta expresi\u00f3n podr\u00edamos resolverla."}, {"start": 227.8, "end": 231.4, "text": " Para darla de una manera mucho m\u00e1s simple."}, {"start": 231.4, "end": 235.60000000000002, "text": " Aqu\u00ed podemos colocar denominador 1."}, {"start": 235.60000000000002, "end": 237.9, "text": " Y tendr\u00edamos una suma de fracciones."}, {"start": 237.9, "end": 239.4, "text": " Vamos a resolverla."}, {"start": 239.4, "end": 243.9, "text": " Entonces nos queda en el denominador el producto de estos 2."}, {"start": 243.9, "end": 248.10000000000002, "text": " Que queda al cuadrado m\u00e1s t cuadrado."}, {"start": 248.1, "end": 250.9, "text": " Elevado a la un medio."}, {"start": 250.9, "end": 252.9, "text": " Arriba nos queda este por este."}, {"start": 252.9, "end": 256.1, "text": " A ver, este por este tiene la misma base."}, {"start": 256.1, "end": 257.7, "text": " Se suman los exponentes."}, {"start": 257.7, "end": 261.1, "text": " Un medio m\u00e1s un medio nos da dos medios que es igual a uno."}, {"start": 261.1, "end": 265.2, "text": " Por lo tanto nos queda a cuadrado m\u00e1s t al cuadrado."}, {"start": 265.2, "end": 267.3, "text": " Todo esto elevado a la uno."}, {"start": 267.3, "end": 269.7, "text": " Pero recordemos que una expresi\u00f3n elevada a la uno."}, {"start": 269.7, "end": 272.7, "text": " Es como si volvi\u00e9ramos ese exponente invisible."}, {"start": 272.7, "end": 276.6, "text": " O sea que a la larga es como dejar a cuadrado m\u00e1s t cuadrado."}, {"start": 276.6, "end": 278.6, "text": " M\u00e1s este por este."}, {"start": 278.6, "end": 282.20000000000005, "text": " Uno por t cuadrado nos queda t al cuadrado."}, {"start": 282.20000000000005, "end": 284.5, "text": " Finalmente."}, {"start": 284.5, "end": 286.6, "text": " Para dar nuestra respuesta."}, {"start": 286.6, "end": 290.1, "text": " Entonces en la parte de arriba sumamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 290.1, "end": 292.3, "text": " Nos queda entonces a al cuadrado."}, {"start": 292.3, "end": 294.90000000000003, "text": " M\u00e1s 2t cuadrado."}, {"start": 294.90000000000003, "end": 299.20000000000005, "text": " Y en la parte de abajo podr\u00edamos retornar a la forma de ra\u00edz."}, {"start": 299.20000000000005, "end": 305.70000000000005, "text": " Esta nos queda ra\u00edz cuadrada de a cuadrado m\u00e1s t al cuadrado."}, {"start": 305.7, "end": 309.5, "text": " All\u00ed queda entonces nuestra respuesta."}, {"start": 309.5, "end": 312.4, "text": " De la forma m\u00e1s simple."}, {"start": 312.4, "end": 315.9, "text": " Y sin exponentes negativos."}, {"start": 315.9, "end": 343.9, "text": " Y en forma de ra\u00edz como venia presentada originalmente."}]