Problema 5 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
#julioprofe explica cómo resolver un problema de trigonometría donde intervienen triángulos rectángulos:

El asta de una bandera está colocado en la parte superior de un edificio de 115 pies de altura. Desde un punto del mismo plano horizontal de la base del edificio, los ángulos de elevación de los extremos inferior y superior del asta son 58.6° y 63.2°, respectivamente. ¿Cuál es la longitud del asta de la bandera?

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 El hasta de una bandera está colocado en la parte superior de un edificio de 115 pies de altura. Desde un punto del mismo plano horizontal de la base del edificio, los ángulos de elevación de los extremos inferior y superior del hasta son de 58.6 grados y 63.2 grados respectivamente. ¿Cuál es la longitud del hasta de la bandera? Para este problema, hacemos un dibujo que ilustre la situación. Aquí tenemos el edificio con una altura de 115 pies, utilizamos FT, la abreviatura de FIT, o sea pies en inglés, y acá en la parte superior del edificio tenemos el hasta de la bandera, cuya longitud debemos determinar. Esa longitud vamos a llamarla L. También nos dice el problema que desde un punto que está localizado en el mismo plano horizontal de la base del edificio, vamos a suponer que es este punto P, desde allí se hacen dos observaciones, una al extremo inferior del hasta y otra al extremo superior de ese mismo elemento. Bien, allí tenemos esas dos líneas que nos indican las observaciones realizadas, desde el punto P hasta los extremos del hasta. Y nos dice el problema que los ángulos de elevación para esas dos observaciones son los siguientes. Aquí tenemos un primer ángulo de elevación hasta el extremo inferior del hasta de 58.6 grados y otro ángulo de elevación mayor será este, hasta el extremo superior del hasta, ese ángulo es de 63.2 grados. Y de esa manera ya tenemos localizada la información del problema. Como aquí tenemos ángulo recto, el que se forma entre el edificio y la línea que representa la base del mismo, entonces apreciamos dos triángulos rectángulos. Vamos a colocarle nombres a estos puntos, a los vértices de esos triángulos, podemos llamar este el punto A, este lo llamamos el punto B y este lo llamamos el punto C. Entonces tenemos ahí dos triángulos rectángulos que vamos a trabajar a continuación. Comenzamos con el triángulo rectángulo BCP, este que tenemos acá, donde el cateto BC es la altura del edificio, son 115 pies y donde este cateto CP, este de acá, no lo conocemos, entonces vamos a colocarle una letra X que representa su longitud. Vamos a utilizar entonces SOCATOA que es la forma fácil de recordar las tres razones trigonométricas principales, seno, coseno y tangente. Seno se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, coseno se define como cateto adyacente sobre hipotenusa y tangente se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente. Entonces, para este ángulo agudo que tenemos aquí de 58.6 grados, este es el cateto opuesto y este es el cateto adyacente, aquí tenemos esos dos lados, cateto opuesto, cateto adyacente, por lo tanto vamos a utilizar tangente, decimos entonces, tangente de ese ángulo agudo 58.6 grados será igual a la razón que hay entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, el cateto opuesto es 115 pies, vamos a omitir las unidades, todas las longitudes van a estar en pies sobre el cateto adyacente cuya medida es X. De allí podemos hacer el despeje de X que aquí está dividiendo, entonces pasaría a este lado a multiplicar y esta cantidad que queda multiplicando con X, pasaría acá a dividir, en otras palabras es intercambiar estos dos componentes, nos queda entonces X igual a 115, todo esto sobre o dividido entre la tangente de 58.6 grados. Anotamos eso que nos dio por acá y eso representa el valor de X expresado en pies, la longitud del segmento CP. Consideramos ahora el otro triángulo rectángulo, el triángulo ACP, el triángulo grande, donde este cateto AC será toda esta distancia, la suma de 115 más L, entonces vamos a anotar eso por acá, 115 más L, todo eso en pies es la longitud del segmento AC, uno de los catetos de este triángulo y esta distancia CP es la que habíamos llamado X. De nuevo utilizamos SOHCATOA y como tenemos que relacionar estos dos lados, es decir los catetos del triángulo, entonces usamos tangente, decimos entonces tangente de este ángulo agudo, 63.2 grados, es igual a la relación que hay entre el cateto opuesto, entonces para este ángulo agudo, su cateto opuesto es 115 más L sobre el cateto anteacente, este cateto que hace contacto con el ángulo, cuya medida es X. De allí vamos a realizar poco a poco el despeje de L, primero X que está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar, nos queda X por tangente de 63.2 grados y todo esto igual a 115 más L, y allí despejamos L, para ello 115 que está sumando a este lado, lo pasamos al otro a restar, nos queda X por tangente de 63.2 grados y todo eso menos 115. Pero aquí ya conocemos X, su valor está representado por esta expresión numérica, entonces L nos queda igual a X que lo reemplazamos por 115 sobre tangente de 58.6 grados, todo eso multiplicado por la tangente de 63.2 grados y todo eso menos 115. A continuación vamos a resolver todo eso utilizando una calculadora científica, lo primero que tenemos que hacer es asegurarnos que la calculadora esté en el modo DEC, es decir que la unidad angular sea en grados, en la pantalla nos aparece una letra D en la parte superior que nos indica que ya la calculadora está en ese modo, el modo DEC que quiere decir degrees, o sea grados. Ahora sí procedemos a ingresar esa expresión numérica, comenzamos con el botón de fracción, en el numerador escribimos 115, pasamos al denominador con los botones del navegador y allí vamos a escribir tangente de 58.6, acá tenemos coma 6, en esta calculadora la marca decimal es una coma, acá teníamos punto, es simplemente revisar que clase de símbolo tenemos para la marca decimal, si es punto o si es coma. Luego corremos el cursor a la derecha para multiplicar por tangente de 63.2, otra vez 63.2, cerramos el paréntesis y a todo eso tenemos que restarle 115. Después de haber ingresado toda esa expresión numérica oprimimos el botón igual y allí tenemos el resultado 23,96, acá tenemos entonces L igual a 23.96 pies, que será entonces la respuesta para este ejercicio, es la longitud del hasta de esa bandera.
[{"start": 0.0, "end": 8.94, "text": " El hasta de una bandera est\u00e1 colocado en la parte superior de un edificio de 115 pies"}, {"start": 8.94, "end": 14.8, "text": " de altura. Desde un punto del mismo plano horizontal de la base del edificio, los \u00e1ngulos"}, {"start": 14.8, "end": 23.32, "text": " de elevaci\u00f3n de los extremos inferior y superior del hasta son de 58.6 grados y 63.2 grados"}, {"start": 23.32, "end": 28.560000000000002, "text": " respectivamente. \u00bfCu\u00e1l es la longitud del hasta de la bandera?"}, {"start": 28.56, "end": 34.239999999999995, "text": " Para este problema, hacemos un dibujo que ilustre la situaci\u00f3n. Aqu\u00ed tenemos el edificio"}, {"start": 34.239999999999995, "end": 42.36, "text": " con una altura de 115 pies, utilizamos FT, la abreviatura de FIT, o sea pies en ingl\u00e9s,"}, {"start": 42.36, "end": 48.54, "text": " y ac\u00e1 en la parte superior del edificio tenemos el hasta de la bandera, cuya longitud debemos"}, {"start": 48.54, "end": 53.239999999999995, "text": " determinar. Esa longitud vamos a llamarla L. Tambi\u00e9n"}, {"start": 53.24, "end": 59.52, "text": " nos dice el problema que desde un punto que est\u00e1 localizado en el mismo plano horizontal"}, {"start": 59.52, "end": 65.2, "text": " de la base del edificio, vamos a suponer que es este punto P, desde all\u00ed se hacen dos"}, {"start": 65.2, "end": 72.46000000000001, "text": " observaciones, una al extremo inferior del hasta y otra al extremo superior de ese mismo"}, {"start": 72.46000000000001, "end": 76.52000000000001, "text": " elemento. Bien, all\u00ed tenemos esas dos l\u00edneas que nos"}, {"start": 76.52000000000001, "end": 82.76, "text": " indican las observaciones realizadas, desde el punto P hasta los extremos del hasta. Y"}, {"start": 82.76, "end": 90.12, "text": " nos dice el problema que los \u00e1ngulos de elevaci\u00f3n para esas dos observaciones son los siguientes."}, {"start": 90.12, "end": 97.24000000000001, "text": " Aqu\u00ed tenemos un primer \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n hasta el extremo inferior del hasta de 58.6"}, {"start": 97.24000000000001, "end": 106.52000000000001, "text": " grados y otro \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n mayor ser\u00e1 este, hasta el extremo superior del"}, {"start": 106.52, "end": 116.16, "text": " hasta, ese \u00e1ngulo es de 63.2 grados. Y de esa manera ya tenemos localizada la informaci\u00f3n"}, {"start": 116.16, "end": 120.47999999999999, "text": " del problema. Como aqu\u00ed tenemos \u00e1ngulo recto, el que se"}, {"start": 120.47999999999999, "end": 128.16, "text": " forma entre el edificio y la l\u00ednea que representa la base del mismo, entonces apreciamos dos"}, {"start": 128.16, "end": 134.72, "text": " tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos. Vamos a colocarle nombres a estos puntos, a los v\u00e9rtices de"}, {"start": 134.72, "end": 141.24, "text": " esos tri\u00e1ngulos, podemos llamar este el punto A, este lo llamamos el punto B y este lo llamamos"}, {"start": 141.24, "end": 148.6, "text": " el punto C. Entonces tenemos ah\u00ed dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos que vamos a trabajar a continuaci\u00f3n."}, {"start": 148.6, "end": 155.54, "text": " Comenzamos con el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo BCP, este que tenemos ac\u00e1, donde el cateto BC"}, {"start": 155.54, "end": 165.64, "text": " es la altura del edificio, son 115 pies y donde este cateto CP, este de ac\u00e1, no lo conocemos,"}, {"start": 165.64, "end": 171.23999999999998, "text": " entonces vamos a colocarle una letra X que representa su longitud."}, {"start": 171.23999999999998, "end": 176.88, "text": " Vamos a utilizar entonces SOCATOA que es la forma f\u00e1cil de recordar las tres razones"}, {"start": 176.88, "end": 181.2, "text": " trigonom\u00e9tricas principales, seno, coseno y tangente."}, {"start": 181.2, "end": 188.07999999999998, "text": " Seno se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, coseno se define como cateto adyacente sobre"}, {"start": 188.07999999999998, "end": 194.35999999999999, "text": " hipotenusa y tangente se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 194.35999999999999, "end": 202.64, "text": " Entonces, para este \u00e1ngulo agudo que tenemos aqu\u00ed de 58.6 grados, este es el cateto opuesto"}, {"start": 202.64, "end": 209.32, "text": " y este es el cateto adyacente, aqu\u00ed tenemos esos dos lados, cateto opuesto, cateto adyacente,"}, {"start": 209.32, "end": 218.54, "text": " por lo tanto vamos a utilizar tangente, decimos entonces, tangente de ese \u00e1ngulo agudo 58.6"}, {"start": 218.54, "end": 225.04, "text": " grados ser\u00e1 igual a la raz\u00f3n que hay entre el cateto opuesto y el cateto adyacente,"}, {"start": 225.04, "end": 232.72, "text": " el cateto opuesto es 115 pies, vamos a omitir las unidades, todas las longitudes van a estar"}, {"start": 232.72, "end": 238.04, "text": " en pies sobre el cateto adyacente cuya medida es X."}, {"start": 238.04, "end": 243.12, "text": " De all\u00ed podemos hacer el despeje de X que aqu\u00ed est\u00e1 dividiendo, entonces pasar\u00eda"}, {"start": 243.12, "end": 248.72, "text": " a este lado a multiplicar y esta cantidad que queda multiplicando con X, pasar\u00eda ac\u00e1"}, {"start": 248.72, "end": 254.64, "text": " a dividir, en otras palabras es intercambiar estos dos componentes, nos queda entonces"}, {"start": 254.64, "end": 266.44, "text": " X igual a 115, todo esto sobre o dividido entre la tangente de 58.6 grados."}, {"start": 266.44, "end": 273.84, "text": " Anotamos eso que nos dio por ac\u00e1 y eso representa el valor de X expresado en pies, la longitud"}, {"start": 273.84, "end": 277.16, "text": " del segmento CP."}, {"start": 277.16, "end": 282.84, "text": " Consideramos ahora el otro tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, el tri\u00e1ngulo ACP, el tri\u00e1ngulo grande,"}, {"start": 282.84, "end": 291.28, "text": " donde este cateto AC ser\u00e1 toda esta distancia, la suma de 115 m\u00e1s L, entonces vamos a anotar"}, {"start": 291.28, "end": 298.23999999999995, "text": " eso por ac\u00e1, 115 m\u00e1s L, todo eso en pies es la longitud del segmento AC, uno de los"}, {"start": 298.23999999999995, "end": 305.03999999999996, "text": " catetos de este tri\u00e1ngulo y esta distancia CP es la que hab\u00edamos llamado X."}, {"start": 305.03999999999996, "end": 311.02, "text": " De nuevo utilizamos SOHCATOA y como tenemos que relacionar estos dos lados, es decir los"}, {"start": 311.02, "end": 319.28, "text": " catetos del tri\u00e1ngulo, entonces usamos tangente, decimos entonces tangente de este \u00e1ngulo"}, {"start": 319.28, "end": 327.91999999999996, "text": " agudo, 63.2 grados, es igual a la relaci\u00f3n que hay entre el cateto opuesto, entonces"}, {"start": 327.91999999999996, "end": 337.11999999999995, "text": " para este \u00e1ngulo agudo, su cateto opuesto es 115 m\u00e1s L sobre el cateto anteacente,"}, {"start": 337.11999999999995, "end": 342.08, "text": " este cateto que hace contacto con el \u00e1ngulo, cuya medida es X."}, {"start": 342.08, "end": 348.15999999999997, "text": " De all\u00ed vamos a realizar poco a poco el despeje de L, primero X que est\u00e1 dividiendo, pasa"}, {"start": 348.16, "end": 356.92, "text": " al otro lado a multiplicar, nos queda X por tangente de 63.2 grados y todo esto igual"}, {"start": 356.92, "end": 366.08000000000004, "text": " a 115 m\u00e1s L, y all\u00ed despejamos L, para ello 115 que est\u00e1 sumando a este lado, lo pasamos"}, {"start": 366.08000000000004, "end": 377.68, "text": " al otro a restar, nos queda X por tangente de 63.2 grados y todo eso menos 115."}, {"start": 377.68, "end": 384.40000000000003, "text": " Pero aqu\u00ed ya conocemos X, su valor est\u00e1 representado por esta expresi\u00f3n num\u00e9rica,"}, {"start": 384.40000000000003, "end": 397.28000000000003, "text": " entonces L nos queda igual a X que lo reemplazamos por 115 sobre tangente de 58.6 grados, todo"}, {"start": 397.28, "end": 409.15999999999997, "text": " eso multiplicado por la tangente de 63.2 grados y todo eso menos 115."}, {"start": 409.15999999999997, "end": 414.28, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a resolver todo eso utilizando una calculadora cient\u00edfica, lo"}, {"start": 414.28, "end": 419.67999999999995, "text": " primero que tenemos que hacer es asegurarnos que la calculadora est\u00e9 en el modo DEC, es"}, {"start": 419.67999999999995, "end": 425.0, "text": " decir que la unidad angular sea en grados, en la pantalla nos aparece una letra D en"}, {"start": 425.0, "end": 430.64, "text": " la parte superior que nos indica que ya la calculadora est\u00e1 en ese modo, el modo DEC"}, {"start": 430.64, "end": 434.08, "text": " que quiere decir degrees, o sea grados."}, {"start": 434.08, "end": 440.2, "text": " Ahora s\u00ed procedemos a ingresar esa expresi\u00f3n num\u00e9rica, comenzamos con el bot\u00f3n de fracci\u00f3n,"}, {"start": 440.2, "end": 446.3, "text": " en el numerador escribimos 115, pasamos al denominador con los botones del navegador"}, {"start": 446.3, "end": 454.78000000000003, "text": " y all\u00ed vamos a escribir tangente de 58.6, ac\u00e1 tenemos coma 6, en esta calculadora la"}, {"start": 454.78000000000003, "end": 460.72, "text": " marca decimal es una coma, ac\u00e1 ten\u00edamos punto, es simplemente revisar que clase de"}, {"start": 460.72, "end": 465.32, "text": " s\u00edmbolo tenemos para la marca decimal, si es punto o si es coma."}, {"start": 465.32, "end": 474.88, "text": " Luego corremos el cursor a la derecha para multiplicar por tangente de 63.2, otra vez"}, {"start": 474.88, "end": 482.64, "text": " 63.2, cerramos el par\u00e9ntesis y a todo eso tenemos que restarle 115."}, {"start": 482.64, "end": 488.48, "text": " Despu\u00e9s de haber ingresado toda esa expresi\u00f3n num\u00e9rica oprimimos el bot\u00f3n igual y all\u00ed"}, {"start": 488.48, "end": 501.28, "text": " tenemos el resultado 23,96, ac\u00e1 tenemos entonces L igual a 23.96 pies, que ser\u00e1 entonces la"}, {"start": 501.28, "end": 508.08, "text": " respuesta para este ejercicio, es la longitud del hasta de esa bandera."}]