DESIGUALDADES RACIONALES - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad o inecuación racional.

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 Vamos a resolver esta desigualdad que es de tipo racional y comenzamos por dejar el 0 en el lado derecho, para ello debemos pasar esta expresión al lado izquierdo. Tendremos entonces 1 sobre x más 2 menos 1 sobre 3 menos x y todo esto mayor o igual que 0, esa expresión que está aquí positiva llega al lado izquierdo con signo negativo. A continuación vamos a resolver esta operación que nos quedó en el lado izquierdo de la desigualdad, vamos a reducir todo esto a una sola expresión racional, es decir a una sola fracción, vamos a restar esas dos fracciones que tienen distinto denominador utilizando el método más sencillo que existe que es el de la carita feliz, es decir vamos a multiplicar estas dos cantidades 1 por 3 menos x que nos da 3 menos x menos esto por esto, es decir x más 2 por 1 que nos dará x más 2 y que protegemos con paréntesis porque queda precedida de signo menos y abajo multiplicamos estas dos cantidades x más 2 entre paréntesis por 3 menos x también protegida con paréntesis. Entonces repetimos se hizo esto que es lo que se conoce como la carita feliz para restar dos fracciones con distinto denominador y todo esto nos queda mayor o igual que 0. Ahora en el numerador vamos a destruir este paréntesis, tendremos 3 menos x menos x menos 2, se distribuye el signo menos y nos cambia los signos de esos dos términos que se encuentran dentro del paréntesis y todo esto nos queda sobre x más 2 que está multiplicando por 3 menos x y todo esto sigue siendo mayor o igual que 0. Ahora en el numerador vamos a reducir términos semejantes, es el caso de estos dos que contiene la x menos x menos x nos da menos 2x y también es el caso de los números 3 menos 2 nos da 1 positivo entonces menos 2x más 1 será el resultado de las operaciones del numerador y en el denominador continúa el producto de x más 2 por 3 menos x y todo esto sigue siendo mayor o igual que 0. Esta expresión que hemos obtenido es equivalente a la original pero acá ya tenemos el 0 en el lado derecho y en el lado izquierdo ya se observa una sola expresión racional o sea una sola fracción donde también el denominador está factorizado en el numerador no es posible realizar ninguna factorización. Lo que hacemos enseguida es determinar los puntos críticos de la desigualdad es decir aquellos valores de la variable x que vuelven 0 tanto el numerador como el denominador de la expresión racional. En el caso del numerador tomamos la expresión que tenemos allí y la igualamos a 0 menos 2x más 1 se iguala a 0 y vamos a despejar la variable x tenemos menos 2x igual a menos 1 pasamos este número que está sumando al lado contrario a restar y allí vamos a despejar x pasando menos 2 que está multiplicando al otro lado a dividir nos queda menos 1 dividido entre menos 2 recordemos que al pasar esa cantidad a dividir conserva su signo aquí aplicamos ley de los signos menos con menos nos da más recordemos que ella se aplica en la multiplicación y la división por lo tanto aquí tendremos que x es igual a un medio y será el punto crítico del numerador ese valor lo vamos a escribir por acá y también vamos a decidir si será parte de la solución de la desigualdad como tenemos signo mayor o igual entonces este punto crítico que corresponde al numerador se debe tomar va a ir cerrado ahora vamos a hallar los puntos críticos del denominador y para ello igualamos a 0 toda esta expresión tenemos x más 2 por 3 menos x y esto queda igualado a 0 para resolver esto aplicamos el teorema del factor nulo ese que nos dice que si el producto de dos cantidades o expresiones es igual a 0 entonces cada una de ellas debe igualarse a 0 tenemos que x más 2 es igual a 0 o 3 menos x es igual a 0 y en cada caso vamos a despejar x por acá tenemos que x será igual a menos 2 2 que está sumando pasa al otro lado a restar y por acá si despejamos el 3 pasaríamos entonces la x que está restando luego pasa al otro lado a sumar con 0 nos queda x en el lado derecho y esto es lo mismo que decir x igual a 3 esos dos valores vamos a anotarlos por acá x igual a menos 2 y x igual a 3 que serán los puntos críticos del denominador y por pertenecer al denominador entonces no se pueden tomar ambos van a ir abiertos no pueden ser parte de la solución porque en una expresión racional no se puede permitir que el denominador sea 0 después de haber determinado los puntos críticos de la desigualdad vamos entonces a realizar el análisis de signos de esta expresión y para ello vamos a trazar una recta que represente el conjunto de los números reales allí podemos observarla va desde menos infinito hasta más infinito y esa recta va a representar los valores de la variable x y también en ella vamos a localizar los tres puntos críticos que encontramos el menor de todos ellos es menos 2 después le sigue un medio y por último tenemos el número 3 y vamos a marcar también aquello que determinamos que es si se toman o no se toman como parte de la solución de la desigualdad dijimos que menos 2 no se toma será abierto un medio si se toma será cerrado y para el caso del número 3 también será abierto o sea que no pertenece al conjunto solución ahora tenemos que revisar en cada uno de estos cuatro intervalos cuál es el signo resultante de esta expresión fraccionaria que al final debe ser positiva porque aquí se observa que todo esto tiene que ser mayor o igual que 0 para ello vamos a elegir de cada uno de los intervalos un valor de x que pertenezca a cada uno de ellos vamos al primero necesitamos un valor real de x que esté comprendido entre menos 2 y menos infinito puede ser el número menos 3 en el siguiente intervalo necesitamos usar un valor de x que esté comprendido entre menos 2 y un medio puede ser el 0 vamos al siguiente intervalo donde usamos un valor de x comprendido entre un medio y 3 puede ser el número 1 y en el último intervalo usamos un valor de x mayor que 3 o comprendido entre 3 y más infinito en ese caso podría ser el número 4 como se observa la expresión que vamos a revisar tiene la siguiente estructura en el numerador una sola expresión y en el denominador dos expresiones que están multiplicando entre sí entonces vamos a repetir este esquema en cada uno de los intervalos bien aquí ya lo tenemos y vamos a comenzar a anotar dentro de cada paréntesis el signo que adopta cada expresión cuando se evalúa el valor seleccionado de x comencemos con x igual a menos 3 vamos al numerador decimos menos 2 por menos 3 eso nos daría 6 positivo y 6 más 1 nos da 7 positivo entonces escribimos signo más en ese paréntesis del numerador vamos ahora a este paréntesis cuando x toma el valor menos 3 menos 3 más 2 nos da como resultado 1 signo negativo y en este paréntesis si x toma el valor menos 3 tendremos 3 menos menos 3 o sea 3 más 3 que nos daría 6 positivo entonces signo más en ese paréntesis vamos ahora con x igual a 0 vamos al numerador menos 2 por 0 da 0 0 más 1 nos da 1 positivo vamos ahora al denominador comenzamos con este paréntesis si x vale 0 tenemos 0 más 2 que es 2 positivo y acá 3 menos 0 nos daría 3 también positivo seguimos ahora con x igual a 1 vamos al numerador menos 2 por 1 da menos 2 menos 2 más 1 nos daría menos 1 signo negativo en el numerador vamos acá cuando x toma el valor 1 tenemos 1 más 2 que es 3 positivo y acá 3 menos 1 nos daría 2 también positivo finalmente vamos con x igual a 4 vamos al numerador menos 2 por 4 daría menos 8 menos 8 más 1 es menos 7 signo negativo en el numerador vamos acá con x igual a 4 4 más 2 nos daría 6 positivo y acá tendríamos 3 menos 4 que nos da menos 1 entonces signo negativo en ese paréntesis ahora en cada caso vamos a aplicar la ley de los signos para establecer el signo resultante realmente por los signos positivos no debemos preocuparnos recordemos que es el signo menos al que debemos ponerle mucha atención en este caso todo esto nos quedará con signo negativo acá tenemos todo positivo signo más como signo resultante acá también tenemos un signo menos luego todo eso es negativo y acá tenemos dos signos negativos menos con menos nos daría más como decíamos ahora toda esta expresión debe ser positiva porque repetimos todo esto tiene que ser mayor o igual que cero por lo tanto las zonas positivas son las que sirven las zonas negativas lógicamente no van a servir entonces rayamos o destacamos aquellas zonas que sí sirvieron las que quedaron con signo más como signo resultante de esta manera ya podemos dar la respuesta para este ejercicio para esta desigualdad racional que como decíamos se transformó en esta que es la que al final analizamos la variable x debe pertenecer a los siguientes intervalos en el conjunto de los reales el intervalo que va desde menos 2 hasta un medio en este caso es abierto en menos 2 y cerrado en un medio y todo esto unido con el intervalo que va desde 3 abierto hasta más infinito que también será abierto de esta manera terminamos este ejercicio.
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tres puntos cr\u00edticos que encontramos el menor de todos ellos es menos"}, {"start": 427.12, "end": 438.6, "text": " 2 despu\u00e9s le sigue un medio y por \u00faltimo tenemos el n\u00famero 3 y vamos a marcar tambi\u00e9n"}, {"start": 438.6, "end": 444.72, "text": " aquello que determinamos que es si se toman o no se toman como parte de la soluci\u00f3n de"}, {"start": 444.72, "end": 454.96000000000004, "text": " la desigualdad dijimos que menos 2 no se toma ser\u00e1 abierto un medio si se toma ser\u00e1 cerrado"}, {"start": 454.96000000000004, "end": 461.56, "text": " y para el caso del n\u00famero 3 tambi\u00e9n ser\u00e1 abierto o sea que no pertenece al conjunto"}, {"start": 461.56, "end": 468.6, "text": " soluci\u00f3n ahora tenemos que revisar en cada uno de estos cuatro intervalos cu\u00e1l es el"}, {"start": 468.6, "end": 476.56, "text": " signo resultante de esta expresi\u00f3n fraccionaria que al final debe ser positiva porque aqu\u00ed"}, {"start": 476.56, "end": 483.44, "text": " se observa que todo esto tiene que ser mayor o igual que 0 para ello vamos a elegir de"}, {"start": 483.44, "end": 492.28000000000003, "text": " cada uno de los intervalos un valor de x que pertenezca a cada uno de ellos vamos al primero"}, {"start": 492.28, "end": 499.23999999999995, "text": " necesitamos un valor real de x que est\u00e9 comprendido entre menos 2 y menos infinito puede ser el"}, {"start": 499.23999999999995, "end": 507.52, "text": " n\u00famero menos 3 en el siguiente intervalo necesitamos usar un valor de x que est\u00e9 comprendido"}, {"start": 507.52, "end": 516.28, "text": " entre menos 2 y un medio puede ser el 0 vamos al siguiente intervalo donde usamos un valor"}, {"start": 516.28, "end": 525.0, "text": " de x comprendido entre un medio y 3 puede ser el n\u00famero 1 y en el \u00faltimo intervalo"}, {"start": 525.0, "end": 532.92, "text": " usamos un valor de x mayor que 3 o comprendido entre 3 y m\u00e1s infinito en ese caso podr\u00eda"}, {"start": 532.92, "end": 541.8399999999999, "text": " ser el n\u00famero 4 como se observa la expresi\u00f3n que vamos a revisar tiene la siguiente estructura"}, {"start": 541.84, "end": 549.0400000000001, "text": " en el numerador una sola expresi\u00f3n y en el denominador dos expresiones que est\u00e1n multiplicando"}, {"start": 549.0400000000001, "end": 557.48, "text": " entre s\u00ed entonces vamos a repetir este esquema en cada uno de los intervalos bien aqu\u00ed ya"}, {"start": 557.48, "end": 565.22, "text": " lo tenemos y vamos a comenzar a anotar dentro de cada par\u00e9ntesis el signo que adopta cada"}, {"start": 565.22, "end": 573.4, "text": " expresi\u00f3n cuando se eval\u00faa el valor seleccionado de x comencemos con x igual a menos 3 vamos"}, {"start": 573.4, "end": 580.96, "text": " al numerador decimos menos 2 por menos 3 eso nos dar\u00eda 6 positivo y 6 m\u00e1s 1 nos da 7"}, {"start": 580.96, "end": 587.84, "text": " positivo entonces escribimos signo m\u00e1s en ese par\u00e9ntesis del numerador vamos ahora"}, {"start": 587.84, "end": 595.44, "text": " a este par\u00e9ntesis cuando x toma el valor menos 3 menos 3 m\u00e1s 2 nos da como resultado"}, {"start": 595.44, "end": 602.48, "text": " 1 signo negativo y en este par\u00e9ntesis si x toma el valor menos 3 tendremos 3 menos"}, {"start": 602.48, "end": 611.6, "text": " menos 3 o sea 3 m\u00e1s 3 que nos dar\u00eda 6 positivo entonces signo m\u00e1s en ese par\u00e9ntesis vamos"}, {"start": 611.6, "end": 621.5600000000001, "text": " ahora con x igual a 0 vamos al numerador menos 2 por 0 da 0 0 m\u00e1s 1 nos da 1 positivo vamos"}, {"start": 621.5600000000001, "end": 630.52, "text": " ahora al denominador comenzamos con este par\u00e9ntesis si x vale 0 tenemos 0 m\u00e1s 2 que es 2 positivo"}, {"start": 630.52, "end": 640.52, "text": " y ac\u00e1 3 menos 0 nos dar\u00eda 3 tambi\u00e9n positivo seguimos ahora con x igual a 1 vamos al numerador"}, {"start": 640.52, "end": 648.88, "text": " menos 2 por 1 da menos 2 menos 2 m\u00e1s 1 nos dar\u00eda menos 1 signo negativo en el numerador"}, {"start": 648.88, "end": 657.1999999999999, "text": " vamos ac\u00e1 cuando x toma el valor 1 tenemos 1 m\u00e1s 2 que es 3 positivo y ac\u00e1 3 menos"}, {"start": 657.1999999999999, "end": 666.0799999999999, "text": " 1 nos dar\u00eda 2 tambi\u00e9n positivo finalmente vamos con x igual a 4 vamos al numerador menos"}, {"start": 666.08, "end": 674.9200000000001, "text": " 2 por 4 dar\u00eda menos 8 menos 8 m\u00e1s 1 es menos 7 signo negativo en el numerador vamos ac\u00e1"}, {"start": 674.9200000000001, "end": 683.6800000000001, "text": " con x igual a 4 4 m\u00e1s 2 nos dar\u00eda 6 positivo y ac\u00e1 tendr\u00edamos 3 menos 4 que nos da menos"}, {"start": 683.6800000000001, "end": 691.76, "text": " 1 entonces signo negativo en ese par\u00e9ntesis ahora en cada caso vamos a aplicar la ley"}, {"start": 691.76, "end": 699.4399999999999, "text": " de los signos para establecer el signo resultante realmente por los signos positivos no debemos"}, {"start": 699.4399999999999, "end": 706.04, "text": " preocuparnos recordemos que es el signo menos al que debemos ponerle mucha atenci\u00f3n en"}, {"start": 706.04, "end": 713.38, "text": " este caso todo esto nos quedar\u00e1 con signo negativo ac\u00e1 tenemos todo positivo signo"}, {"start": 713.38, "end": 719.84, "text": " m\u00e1s como signo resultante ac\u00e1 tambi\u00e9n tenemos un signo menos luego todo eso es negativo"}, {"start": 719.84, "end": 727.1600000000001, "text": " y ac\u00e1 tenemos dos signos negativos menos con menos nos dar\u00eda m\u00e1s como dec\u00edamos ahora"}, {"start": 727.1600000000001, "end": 735.6800000000001, "text": " toda esta expresi\u00f3n debe ser positiva porque repetimos todo esto tiene que ser mayor o"}, {"start": 735.6800000000001, "end": 745.32, "text": " igual que cero por lo tanto las zonas positivas son las que sirven las zonas negativas l\u00f3gicamente"}, {"start": 745.32, "end": 754.88, "text": " no van a servir entonces rayamos o destacamos aquellas zonas que s\u00ed sirvieron las que quedaron"}, {"start": 754.88, "end": 763.88, "text": " con signo m\u00e1s como signo resultante de esta manera ya podemos dar la respuesta para este"}, {"start": 763.88, "end": 771.0, "text": " ejercicio para esta desigualdad racional que como dec\u00edamos se transform\u00f3 en esta que"}, {"start": 771.0, "end": 778.88, "text": " es la que al final analizamos la variable x debe pertenecer a los siguientes intervalos"}, {"start": 778.88, "end": 788.6, "text": " en el conjunto de los reales el intervalo que va desde menos 2 hasta un medio en este"}, {"start": 788.6, "end": 799.38, "text": " caso es abierto en menos 2 y cerrado en un medio y todo esto unido con el intervalo que"}, {"start": 799.38, "end": 813.32, "text": " va desde 3 abierto hasta m\u00e1s infinito que tambi\u00e9n ser\u00e1 abierto de esta manera terminamos"}, {"start": 813.32, "end": 829.9200000000001, "text": " este ejercicio."}]