LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 17
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico.

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 Para resolver este límite algebraico lo primero que hacemos es evaluar esta expresión cuando x toma el valor 8. Veamos, en el numerador tendremos 8 al cuadrado menos 64 y en el denominador tendremos la raíz cúbica de 8 menos 2. Veamos enseguida esas operaciones, 8 al cuadrado es 64, nos queda menos 64 y en el denominador la raíz cúbica de 8 es 2 y esto menos 2. Continuamos resolviendo, 64 menos 64 nos da 0 en el numerador y 2 menos 2 nos da 0 en el denominador. Vemos 0 sobre 0 que es una forma indeterminada o una indeterminación y que constituye una alerta para este ejercicio, debemos hacerle algo a esta expresión para solucionar este problema. Entonces vamos a realizar lo siguiente, tenemos límite cuando x tiende a 8 y en el numerador se observa una diferencia de cuadrados perfectos, vamos a factorizarla, la raíz cuadrada del primer termino es x y la raíz cuadrada del segundo termino es 8, entonces anotamos esas dos cantidades en una suma y en una resta, de x más 8 por x menos 8 es la factorización de esta diferencia de cuadrados perfectos. Y en el denominador tenemos la raíz cúbica de x menos 2 pero 2 vamos a escribirlo como la raíz cúbica de 8, de tal manera que en el denominador nos quede una diferencia de raíces cúbicas. Ahora vamos a mirar lo siguiente, recordemos el caso de factorización conocido como diferencia de cubos perfectos, a al cubo menos b al cubo, esto es igual a menos b, el binomio que se construye con las raíces cúbicas de esos dos términos y esto multiplicado por a al cuadrado más a por b más b al cuadrado, esto es la factorización de una diferencia de cubos perfectos. Ahora vamos a considerar lo siguiente, suponemos que a es igual a la raíz cúbica de p y que b es igual a la raíz cúbica de q y vamos a reconstruir toda esta expresión sustituyendo esas nuevas cantidades. Nos queda entonces por acá la raíz cúbica de p, todo esto al cubo, allí hemos cambiado a menos la raíz cúbica de q también elevada al cubo, allí hemos cambiado b, esto es igual a menos b, entonces la raíz cúbica de p menos la raíz cúbica de q y ahora vamos con el otro factor, tenemos a al cuadrado, o sea la raíz cúbica de p, esto al cuadrado más a por b, o sea la raíz cúbica de p por la raíz cúbica de q y esto más b al cuadrado, o sea la raíz cúbica de q y todo esto al cuadrado y cerramos el paréntesis que protege el segundo factor. Ahora este exponente 3 destruye la raíz cúbica y nos queda simplemente p, acá sucede lo mismo, el exponente 3 destruye la raíz cúbica y nos queda q, esta expresión permanece igual, la raíz cúbica de p menos la raíz cúbica de q y acá vamos a mirar lo siguiente, veamos cómo podemos reescribir este primer término, si tenemos la raíz enésima de k y todo esto elevado al exponente t, podemos hacer lo siguiente, esta k tiene exponente 1, entonces dentro del paréntesis nos queda k a la 1 sobre n y todo esto elevado al exponente t, ahora por propiedad de la potenciación aquí podemos multiplicar los exponentes, nos queda entonces 1 sobre n por t, eso es igual a t sobre n y si regresamos a la forma de raíz nos queda de la siguiente manera, raíz de índice n de k a la t, en otras palabras este exponente puede situarse acá dentro de la raíz y es lo que vamos a hacer con esto, nos queda entonces la raíz cúbica de p al cuadrado, más veamos ahora que hacemos aquí, si tenemos la raíz enésima de k por la raíz enésima de l, esto es igual a la raíz enésima de k por l, es decir si tenemos multiplicación de raíces del mismo índice, dejamos una sola raíz con ese índice y por dentro se multiplican los radicandos, esa es la situación que tenemos acá, nos queda entonces la raíz cúbica de p por q dentro de la raíz y en este término aplicamos lo mismo que hicimos acá, nos queda entonces la raíz cúbica de q al cuadrado y cerramos el paréntesis, con esto que hemos obtenido podemos notar que si se tiene una diferencia de raíces cúbicas como en este caso donde p está representada por x y q está representada por 8, entonces hace falta multiplicar por una expresión como esta para obtener esto que tenemos acá, es decir p menos q, en nuestro caso x menos 8, veamos entonces como se hace, extendemos la línea de la fracción, protegemos esto con paréntesis y aquí vamos a multiplicar por esta expresión teniendo en cuenta que p es x y que q es 8, entonces vamos con este primer término que será la raíz cúbica de x al cuadrado, luego tenemos más la raíz cúbica de p por q, o sea x por 8 y luego tenemos más la raíz cúbica de q que es 8 al cuadrado y cerramos el paréntesis, pero si multiplicamos por esta expresión abajo también debemos multiplicar arriba, entonces la escribimos por acá, ahora esto nos queda así, límite cuando x tiende a 8 en el numerador x más 8 por x menos 8, ahora podemos ir organizando algunas cosas, nos queda la raíz cúbica de x al cuadrado más la raíz cúbica de x por 8 que podemos escribir 8x más la raíz cúbica de 8 al cuadrado que es 64 y en el denominador tenemos el producto de estas dos expresiones que corresponden a esto que tenemos acá y que nos da p menos q, en este caso x menos 8, en la expresión que hemos obtenido se puede observar el factor problema, el causante de la indeterminación 0 sobre 0 porque como x tiende a 8 vemos que aquí 8 menos 8 nos da 0 y lo mismo sucede acá pero ya podemos deshacernos de dicho factor, entonces el límite nos queda así, límite cuando x tiende a 8 de x más 8 por esta expresión la raíz cúbica de x al cuadrado más la raíz cúbica de 8x más la raíz cúbica de 64 y lo que hacemos para terminar es volver a evaluar esta expresión cuando x toma el valor 8, entonces por acá tenemos 8 más 8 vamos al otro factor la raíz cúbica de 8 al cuadrado más la raíz cúbica de 8 por 8 más la raíz cúbica de 64 continuamos resolviendo 8 más 8 nos da 16 esto multiplicado por la raíz cúbica de 8 al cuadrado que es 64 más la raíz cúbica de 8 por 8 que también es 64 más la raíz cúbica de 64 ahora la raíz cúbica de 64 es 4 entonces esto nos queda así 16 por 4 más 4 más 4 que es 12 y 16 por 12 nos da como resultado 192 que será la respuesta para este ejercicio es el valor de ese límite que quiere decir esto que cuando x se aproxima a 8 por izquierda y por derecha los valores de esta función se aproximan a 192.
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c\u00fabica de q y esto m\u00e1s b al cuadrado,"}, {"start": 220.08, "end": 226.76, "text": " o sea la ra\u00edz c\u00fabica de q y todo esto al cuadrado y cerramos el par\u00e9ntesis que protege"}, {"start": 226.76, "end": 228.88, "text": " el segundo factor."}, {"start": 228.88, "end": 236.4, "text": " Ahora este exponente 3 destruye la ra\u00edz c\u00fabica y nos queda simplemente p, ac\u00e1 sucede lo mismo,"}, {"start": 236.4, "end": 244.20000000000002, "text": " el exponente 3 destruye la ra\u00edz c\u00fabica y nos queda q, esta expresi\u00f3n permanece igual,"}, {"start": 244.20000000000002, "end": 252.48000000000002, "text": " la ra\u00edz c\u00fabica de p menos la ra\u00edz c\u00fabica de q y ac\u00e1 vamos a mirar lo siguiente, veamos"}, {"start": 252.48000000000002, "end": 261.12, "text": " c\u00f3mo podemos reescribir este primer t\u00e9rmino, si tenemos la ra\u00edz en\u00e9sima de k y todo esto"}, {"start": 261.12, "end": 268.52, "text": " elevado al exponente t, podemos hacer lo siguiente, esta k tiene exponente 1, entonces dentro"}, {"start": 268.52, "end": 276.52, "text": " del par\u00e9ntesis nos queda k a la 1 sobre n y todo esto elevado al exponente t, ahora"}, {"start": 276.52, "end": 283.04, "text": " por propiedad de la potenciaci\u00f3n aqu\u00ed podemos multiplicar los exponentes, nos queda entonces"}, {"start": 283.04, "end": 291.40000000000003, "text": " 1 sobre n por t, eso es igual a t sobre n y si regresamos a la forma de ra\u00edz nos queda"}, {"start": 291.40000000000003, "end": 299.20000000000005, "text": " de la siguiente manera, ra\u00edz de \u00edndice n de k a la t, en otras palabras este exponente"}, {"start": 299.20000000000005, "end": 305.68, "text": " puede situarse ac\u00e1 dentro de la ra\u00edz y es lo que vamos a hacer con esto, nos queda entonces"}, {"start": 305.68, "end": 314.52, "text": " la ra\u00edz c\u00fabica de p al cuadrado, m\u00e1s veamos ahora que hacemos aqu\u00ed, si tenemos la ra\u00edz"}, {"start": 314.52, "end": 325.12, "text": " en\u00e9sima de k por la ra\u00edz en\u00e9sima de l, esto es igual a la ra\u00edz en\u00e9sima de k por"}, {"start": 325.12, "end": 331.52, "text": " l, es decir si tenemos multiplicaci\u00f3n de ra\u00edces del mismo \u00edndice, dejamos una sola"}, {"start": 331.52, "end": 338.56, "text": " ra\u00edz con ese \u00edndice y por dentro se multiplican los radicandos, esa es la situaci\u00f3n que tenemos"}, {"start": 338.56, "end": 346.44, "text": " ac\u00e1, nos queda entonces la ra\u00edz c\u00fabica de p por q dentro de la ra\u00edz y en este t\u00e9rmino"}, {"start": 346.44, "end": 354.15999999999997, "text": " aplicamos lo mismo que hicimos ac\u00e1, nos queda entonces la ra\u00edz c\u00fabica de q al cuadrado"}, {"start": 354.15999999999997, "end": 360.15999999999997, "text": " y cerramos el par\u00e9ntesis, con esto que hemos obtenido podemos notar que si se tiene una"}, {"start": 360.16, "end": 367.6, "text": " diferencia de ra\u00edces c\u00fabicas como en este caso donde p est\u00e1 representada por x y q"}, {"start": 367.6, "end": 374.64000000000004, "text": " est\u00e1 representada por 8, entonces hace falta multiplicar por una expresi\u00f3n como esta para"}, {"start": 374.64000000000004, "end": 381.44000000000005, "text": " obtener esto que tenemos ac\u00e1, es decir p menos q, en nuestro caso x menos 8, veamos"}, {"start": 381.44000000000005, "end": 388.66, "text": " entonces como se hace, extendemos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n, protegemos esto con par\u00e9ntesis"}, {"start": 388.66, "end": 397.8, "text": " y aqu\u00ed vamos a multiplicar por esta expresi\u00f3n teniendo en cuenta que p es x y que q es 8,"}, {"start": 397.8, "end": 404.88, "text": " entonces vamos con este primer t\u00e9rmino que ser\u00e1 la ra\u00edz c\u00fabica de x al cuadrado, luego"}, {"start": 404.88, "end": 415.20000000000005, "text": " tenemos m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de p por q, o sea x por 8 y luego tenemos m\u00e1s la ra\u00edz"}, {"start": 415.2, "end": 423.44, "text": " c\u00fabica de q que es 8 al cuadrado y cerramos el par\u00e9ntesis, pero si multiplicamos por"}, {"start": 423.44, "end": 430.9, "text": " esta expresi\u00f3n abajo tambi\u00e9n debemos multiplicar arriba, entonces la escribimos por ac\u00e1, ahora"}, {"start": 430.9, "end": 443.59999999999997, "text": " esto nos queda as\u00ed, l\u00edmite cuando x tiende a 8 en el numerador x m\u00e1s 8 por x menos 8,"}, {"start": 443.6, "end": 451.12, "text": " ahora podemos ir organizando algunas cosas, nos queda la ra\u00edz c\u00fabica de x al cuadrado"}, {"start": 451.12, "end": 461.08000000000004, "text": " m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de x por 8 que podemos escribir 8x m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de 8 al"}, {"start": 461.08000000000004, "end": 470.44, "text": " cuadrado que es 64 y en el denominador tenemos el producto de estas dos expresiones que corresponden"}, {"start": 470.44, "end": 479.08, "text": " a esto que tenemos ac\u00e1 y que nos da p menos q, en este caso x menos 8, en la expresi\u00f3n"}, {"start": 479.08, "end": 485.04, "text": " que hemos obtenido se puede observar el factor problema, el causante de la indeterminaci\u00f3n"}, {"start": 485.04, "end": 492.36, "text": " 0 sobre 0 porque como x tiende a 8 vemos que aqu\u00ed 8 menos 8 nos da 0 y lo mismo sucede"}, {"start": 492.36, "end": 500.96000000000004, "text": " ac\u00e1 pero ya podemos deshacernos de dicho factor, entonces el l\u00edmite nos queda as\u00ed, l\u00edmite"}, {"start": 500.96000000000004, "end": 512.08, "text": " cuando x tiende a 8 de x m\u00e1s 8 por esta expresi\u00f3n la ra\u00edz c\u00fabica de x al cuadrado m\u00e1s la"}, {"start": 512.08, "end": 522.8000000000001, "text": " ra\u00edz c\u00fabica de 8x m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de 64 y lo que hacemos para terminar es volver"}, {"start": 522.8000000000001, "end": 528.8000000000001, "text": " a evaluar esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor 8, entonces por ac\u00e1 tenemos 8 m\u00e1s"}, {"start": 528.8000000000001, "end": 537.88, "text": " 8 vamos al otro factor la ra\u00edz c\u00fabica de 8 al cuadrado m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de 8 por"}, {"start": 537.88, "end": 548.36, "text": " 8 m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de 64 continuamos resolviendo 8 m\u00e1s 8 nos da 16 esto multiplicado"}, {"start": 548.36, "end": 557.4399999999999, "text": " por la ra\u00edz c\u00fabica de 8 al cuadrado que es 64 m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de 8 por 8 que"}, {"start": 557.44, "end": 569.5600000000001, "text": " tambi\u00e9n es 64 m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de 64 ahora la ra\u00edz c\u00fabica de 64 es 4 entonces"}, {"start": 569.5600000000001, "end": 580.6800000000001, "text": " esto nos queda as\u00ed 16 por 4 m\u00e1s 4 m\u00e1s 4 que es 12 y 16 por 12 nos da como resultado"}, {"start": 580.68, "end": 589.4399999999999, "text": " 192 que ser\u00e1 la respuesta para este ejercicio es el valor de ese l\u00edmite que quiere decir"}, {"start": 589.4399999999999, "end": 597.28, "text": " esto que cuando x se aproxima a 8 por izquierda y por derecha los valores de esta funci\u00f3n"}, {"start": 597.28, "end": 610.8, "text": " se aproximan a 192."}]