LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico, utilizando un cambio de variable.

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 Para resolver este límite trigonométrico comenzamos por evaluar esta expresión cuando x toma el valor 0. En el numerador tendremos arco seno de 0 y en el denominador x se reemplaza por 0. Resolvemos lo de arriba. Arco seno de 0 nos da como resultado 0, en este caso 0 radianes y todo esto sobre 0. 0 sobre 0 es lo que se llama una indeterminación, es como una voz de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo al límite, alguna transformación a esta expresión. No podemos dar esto como resultado. La estrategia que vamos a utilizar es un cambio de variable y nos vamos a apoyar en el concepto de función inversa del seno. Recordemos que arco seno de un número real nos produce como resultado un ángulo y esto quiere decir que el seno de este ángulo debe darnos como resultado este número real, que por cierto recordemos que debe estar comprendido entre menos 1 y 1. Entonces podemos decir que arco seno de x es igual a una letra, por ejemplo, theta y eso significa que seno de theta es igual a x. Theta es el ángulo y x es el número real. El ángulo se mide en grados o en radianes, aunque para los límites trigonométricos los ángulos van en radianes y x es el número real. Nos dice acá que x tiende a cero y cuando eso sucede acá en la función inversa del seno, entonces si estos valores se aproximan a cero, el resultado de todo esto también nos produce un ángulo cercano a cero. Podemos decir entonces que si x tiende a cero, theta también tiende a cero. Entonces utilizando esto vamos a reconstruir el límite, allí es donde vamos a aplicar el cambio de variable. Allá dice que x tiende a cero, entonces ahora escribimos acá theta tiende a cero. En el numerador tenemos arco seno de x, pero dijimos que eso equivale a theta y en el denominador tenemos x, pero x equivale a seno de theta. Recordemos que en los límites trigonométricos hay uno de gran importancia, un límite que es clave, que dice límite cuando k tiende a cero, de seno de k sobre k, todo esto es igual a 1 y este límite se parece mucho al que tenemos acá, pero vemos que la expresión está invertida, entonces eso lo solucionamos aplicando una propiedad de la potenciación. Si tenemos una fracción, ella tiene exponente 1 invisible, si la invertimos, es decir, si nos queda b sobre a, entonces el exponente nos cambia de signo, nos quedaría elevada a la menos 1. Es lo que podemos aplicar acá, límite cuando theta tiende a cero, de seno de theta sobre theta, allí hemos invertido la fracción, pero para que siga conservándose lo que tenemos originalmente, debe quedar elevado a la menos 1, aplicando esta propiedad. Allí aplicamos ahora una propiedad de los límites, recordemos que si se tiene límite de una potencia, el límite afecta a la base y afecta al exponente, entonces tendremos el límite de seno de theta sobre theta, cuando theta tiende a cero, allí el límite ha afectado la base y el límite de menos 1, cuando theta tiende a cero, allí el límite ha afectado al exponente. En la base ya tenemos esta situación, solamente que aquí tenemos como variable la letra theta y aquí tenemos como variable la letra k, pero es lo mismo, entonces todo esto equivale a 1 y en el exponente tenemos el límite cuando theta tiende a cero, aplicado a una constante, el límite de una constante es la misma constante, o sea, menos 1 y 1 elevado a la menos 1 nos da como resultado 1. De esta manera terminamos, el resultado de todo ese límite trigonométrico es 1, podríamos probarlo en una calculadora científica, ingresamos esta expresión, ponemos la calculadora en modo de radianes y empezamos a darle valores a x cercanos a cero, tanto por izquierda como por derecha, veremos cómo esta expresión cada vez se aproxima al valor 1.
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