INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver la integral indefinida  ∫ dx / (1 + cosx + senx) 

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 Vamos a resolver esta integral indefinida que contiene seno y coseno en el denominador. Comenzamos por correr el diferencial de x por acá a la derecha y aquí en el numerador escribimos el número 1. Vamos a continuar por acá. Después vamos a hacer la agrupación con paréntesis de estos dos términos en el denominador para que nos quede un binomio. Vemos que originalmente hay tres términos pero al hacer esta agrupación nos quedan solamente dos, o sea un binomio. Vamos a multiplicar por lo que se llama el conjugado de esta expresión. Vamos a trazar una línea para escribir el conjugado del denominador que sería 1 menos entre paréntesis coseno de x más seno de x. Todo esto en el denominador y la misma expresión en el numerador. Allí tenemos entonces, hemos multiplicado por el conjugado del denominador arriba y abajo y todo esto con su diferencial de x. Ahora vamos a multiplicar estas dos fracciones. Multiplicamos numeradores entre sí. 1 por todo esto nos da esto mismo. Entonces 1 menos entre paréntesis coseno de x más seno de x y en el denominador multiplicamos estas dos expresiones y allí es donde se aplica el producto notable llamado suma por diferencia y que origina una diferencia de cuadrados. O sea la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Aquí tenemos esa situación. Entonces tendremos 1 al cuadrado que es 1 menos esta expresión elevada al cuadrado. Entonces vamos a escribirla así con paréntesis y elevada al cuadrado. Todo esto con su diferencial de x. El siguiente paso es destruir el paréntesis en el numerador. Entonces nos queda 1 menos coseno de x menos seno de x. Y en el denominador vamos a desarrollar este binomio elevado al cuadrado. Entonces tenemos 1 menos. Abrimos el paréntesis y aplicamos el producto notable que se llama binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordarlo. Esto es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo elevado al cuadrado. Entonces aquí tenemos coseno al cuadrado de x, el primero al cuadrado, más dos veces el primero por el segundo o sea 2 coseno de x por seno de x y esto más el segundo término elevado al cuadrado, o sea seno al cuadrado de x. Extendemos esta línea, escribimos el diferencial de x y vamos a continuar por acá. Dejamos el numerador tal como está y en el denominador vamos a aplicar la identidad fundamental de la trigonometría. Recordemos que seno al cuadrado de x más coseno al cuadrado de x equivale a 1. Entonces tendremos 1 más 2 coseno de x seno de x. Cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de x. Volvemos a dejar el numerador tal como está y en el denominador vamos a destruir el paréntesis. Nos queda 1 menos 1 menos 2 coseno de x por seno de x y escribimos el diferencial de x. Vamos a continuar el ejercicio por acá. Entonces tendremos la integral de, en el numerador la misma expresión 1 menos coseno de x menos seno de x y en el denominador vamos a eliminar estos dos números que son opuestos. Entonces sumamos 0 y nos queda menos 2 coseno de x seno de x y escribimos el diferencial de x. En seguida vamos a repartir el denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces tenemos 1 sobre menos 2 coseno de x seno de x menos coseno de x sobre menos 2 coseno de x seno de x menos seno de x y todo eso sobre menos 2 coseno de x seno de x y protegemos toda esa expresión con un paréntesis y escribimos al final el diferencial de x. En este primer término vamos a trasladar el signo negativo al numerador, entonces nos queda menos 1 y en el denominador 2 coseno de x por seno de x se convierte en seno de 2x, allí utilizamos la identidad para el seno del ángulo doble, recordemos la dice seno de 2teta es igual a 2 por el seno de teta por el coseno de teta. Aquí lo tenemos, esto está en otro orden pero no interesa porque es multiplicación y lo llevamos a esta forma al seno del ángulo doble. Por aquí aplicamos ley de los signos, nos queda más, en el numerador tenemos coseno de x también en el denominador y entonces tendremos 1 sobre 2 seno de x. Y por acá también aplicamos ley de los signos, nos queda más, se puede simplificar seno de x que está arriba y abajo, nos queda 1 en el numerador y en el denominador 2 por coseno de x. Cerramos el paréntesis que protege la expresión y escribimos el diferencial de x. En seguida vamos a aplicar identidades trigonométricas, recordemos que 1 sobre el seno de un ángulo es igual o equivale a la cosecante de ese ángulo. Y también si tenemos 1 sobre coseno del ángulo teta, esto es igual a secante de teta, son dos identidades trigonométricas básicas, entonces las vamos a aplicar aquí en esta expresión. Para el caso de la primera dejamos el signo menos y 1 sobre seno de 2x utilizando esto nos da cosecante de 2x más dejamos 1 medio, esto es como si tuviéramos 1 medio por 1 sobre seno de x. Entonces dejamos 1 medio y 1 sobre seno de x aplicando esto nos da cosecante de x más aquí la misma situación, 1 medio por 1 sobre coseno de x que equivale a secante, entonces secante de x. Ahora dejemos toda esta expresión con corchete y escribimos el diferencial de x. Vamos a continuar por acá y vamos a repartir la integral para cada uno de estos componentes o de esos términos. Vamos con el primero donde el signo menos puede quedar por fuera y nos queda la integral de cosecante de 2x con su correspondiente diferencial de x. Más integral de esto donde podemos escribir 1 medio por fuera, entonces 1 medio de la integral de cosecante de x con su diferencial de x más la integral de esto donde tenemos 1 medio por fuera integral de secante de x con su respectivo diferencial de x. Ahora nuestro problema consiste en resolver cada una de estas integrales. Vamos a colocar una marca por aquí este asterisco de tal manera que cuando tengamos resueltas esas 3 integrales entonces regresamos a este paso y escribimos sus resultados. Vamos a comenzar con esta que la vamos a llamar la integral número 1, después continuaremos con esta integral número 2 y finalmente vamos a resolver esta que es la número 3. Vamos con la primera, tenemos la integral de cosecante de x con su diferencial de x y vamos a utilizar un artificio matemático que consiste en multiplicar cosecante de x por la fracción que contiene cosecante de x más cotangente de x. Tanto en el numerador como en el denominador y escribimos el diferencial de x. Esto es lo que se llama un artificio matemático, es como una estrategia que nos permite darle salida a esta integral. Nos queda entonces en el numerador cosecante de x que multiplica a cosecante más cotangente aplicamos propiedad distributiva. Tenemos entonces cosecante al cuadrado de x más cosecante por cotangente. Y en el denominador, aquí hay un 1 que multiplica con esto, nos queda cosecante de x más cotangente de x y todo esto con su correspondiente diferencial de x. Aquí vamos a efectuar una sustitución donde vamos a escoger el denominador como una nueva variable, vamos a llamarla P. P es igual a cosecante de x más cotangente de x. Esto lo vamos a derivar, entonces tenemos que la derivada de P con respecto a x es igual a derivada de cosecante de x que es menos cosecante de x por cotangente de x. Y la derivada de cotangente de x que es menos cosecante al cuadrado de x. Y de allí vamos a realizar el despeje de dx. Vamos a continuarlo por acá. Dx será igual a dP sobre todo esto. Entonces menos cosecante de x por cotangente de x menos cosecante al cuadrado de x. Vamos a extender esta línea y de allí a su vez vamos a extraer factor común aquí en el denominador el signo negativo. Nos queda entonces dP en el numerador y en el denominador menos, abrimos paréntesis cosecante de x por cotangente de x más cosecante al cuadrado de x. Cerramos allí y todo esto lo vamos a destacar porque lo necesitamos para reconstruir esta integral. Al reemplazar estos dos componentes aquí nos queda lo siguiente. Integral de lo del numerador continua igual cosecante al cuadrado de x más cosecante de x por cotangente de x. En el denominador esta expresión corresponde a la letra P y todo esto multiplicado por dx que equivale a toda esta expresión. Entonces vamos a escribirla por acá. Tenemos dP en el numerador y menos paréntesis cosecante de x por cotangente de x más cosecante al cuadrado de x en el denominador. Esa es la reconstrucción de esta integral en términos de la nueva variable. Aquí podemos cancelar estas dos expresiones por ser iguales y nos queda la integral de en el numerador dP y en el denominador P por menos uno. Por lo menos debemos conservarlo y queda entonces menos P. Esto es lo mismo que extraer el signo negativo y lo podemos ver también como la integral de 1 sobre P con su diferencial dP que corresponde a una de las integrales básicas. Recordemos que esto es igual al logaritmo natural de valor absoluto de P sin olvidar el signo negativo que tenemos por fuera. Aquí vamos a reemplazar P por su expresión equivalente. Tenemos menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de x más cotangente de x. Aquí podríamos escribir más C si queremos pero por ahora la constante de integración no nos interesa. Esa la escribimos al final de todo el ejercicio. Aquí tenemos entonces el resultado de la primera integral. Pasamos a la segunda integral que es la de cosecante de 2x con su correspondiente diferencial de x. Vamos a ver cuanto da eso. En la integral vamos a utilizar justamente la que acabamos de obtener. Es decir la integral de cosecante de x con su diferencial de x nos acaba de dar esto. Menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de x más cotangente de x. Aquí vamos a cambiar x por otra letra. Vamos a utilizar por ejemplo la w. Entonces donde está la x escribimos en su lugar w y vamos a realizar una sustitución que consiste en decir que w es igual a 2x. Es decir justamente lo que necesitamos obtener la cosecante de 2x. Como aquí tenemos cosecante de w vamos a asignarle a la w la expresión 2x. Esto lo vamos a derivar. Derivada de w con respecto a x sería igual a 2. Y de aquí vamos a despejar de w que corresponde a 2 por dx. Entonces esto lo destacamos y vamos a reconstruir esta expresión, esta integral que ya obtuvimos en términos de la nueva variable. Nos queda de la siguiente manera. Integral de la cosecante de w que es 2x por dw que sería 2dx igual a menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de 2x más cotangente de 2x. Cambiando dw por 2x tal como lo hemos establecido. Y de aquí vamos a extraer este número 2. Lo vamos a escribir por fuera. Entonces nos queda 2 por la integral de cosecante de 2x con su diferencial de x igual a todo esto. Y finalmente para llegar a esta expresión pasamos el 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Podríamos escribir todo esto dividido entre 2 o simplemente acompañar esta expresión aquí adelante de la fracción 1 medio. Entonces vamos a escribir lo mejor así 1 medio por todo esto. Entonces el menos va a la izquierda de 1 medio y tenemos el logaritmo natural de esta expresión. Más cotangente de 2x cerramos el valor absoluto y de esta manera nos queda ya lista la integral número 2. Vamos ahora con la tercera integral que es la de secante de x. Para resolver esta integral vamos a utilizar un artificio muy parecido al que usamos cuando se resolvió la integral de cosecante de x. En este caso vamos a multiplicar y a dividir por secante de x más tangente de x. Esa será la estrategia para dar solución a esta integral. Escribimos el diferencial de x. Vamos a multiplicar ahora numeradores entre sí y denominadores entre sí. En el numerador tendremos secante que se distribuye para estos dos términos. Secante de x por secante de x es secante al cuadrado de x más secante de x por tangente de x y todo esto sobre esto mismo. Recordemos que aquí hay denominador 1, 1 por esto nos da la misma expresión. Y escribimos el diferencial de x. Enseguida vamos a utilizar aquí una sustitución. Vamos a escoger con la letra z a todo el denominador secante de x más tangente de x. Y esto lo vamos a derivar. Decimos derivada de z con respecto a x es igual a derivada de la secante que es secante de x por tangente de x más derivada de la tangente de x que es secante al cuadrado de x. Y de aquí vamos a despejar el diferencial de x. Entonces dx será dz sobre todo esto. Esto pasa a multiplicar y todo esto pasa a dividir debajo del diferencial de z. Entonces dz sobre secante de x por tangente de x más secante al cuadrado de x. Esto lo vamos a destacar para utilizarlo en la reconstrucción de esta integral. Al reemplazar estos dos componentes en esta integral nos queda de la siguiente manera. En el numerador tendremos la misma expresión secante al cuadrado de x más secante de x por tangente de x. En el denominador secante más tangente corresponde a la letra z y esto multiplicado por dx que equivale a esa expresión dz sobre secante de x por tangente de x más secante al cuadrado de x. Aquí podemos simplificar la expresión cancelando estas dos sumas que tenemos arriba y abajo. Y entonces nos queda la integral de dz sobre z que la podemos también escribir como la integral de 1 sobre z con su respectivo diferencial de z. Y esta es una integral básica es igual a logaritmo natural o logaritmo neperiano de valor absoluto de z. Y allí la z se cambia por su expresión equivalente que sería secante de x más tangente de x. Y de esta manera obtenemos la respuesta a la integral número 3. Cuando ya se tienen las tres integrales resueltas entonces regresamos al paso donde habíamos colocado la marca del asterisco. Entonces entramos a la recta final del ejercicio y vamos a dar su respuesta. Ahora el caso de esta primera integral que está precedida de signo negativo entonces esta respuesta se convierte en positiva. Nos queda un medio de logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de 2x más cotangente de 2x. Y cerramos el valor absoluto. Vamos a la siguiente esta integral es negativa multiplicada por un medio positivo entonces nos da menos un medio del logaritmo natural de cosecante de x más cotangente de x. Y llegamos a la última integral que está multiplicada por un medio entonces vamos a escribirla por acá un medio del logaritmo natural de secante de x más tangente de x. Y a todo esto le agregamos la constante de integración. Allí es el momento de escribirla. En las integrales que se hicieron durante el procedimiento vemos que no era necesario estar escribiendo la constante de integración. Pero si hay necesidad de escribirla en el resultado final. Con esto terminamos esta explicación y esta es la respuesta a la integral originalmente planteada.
[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a resolver esta integral indefinida que contiene seno y coseno en el denominador."}, {"start": 10.0, "end": 21.0, "text": " Comenzamos por correr el diferencial de x por ac\u00e1 a la derecha y aqu\u00ed en el numerador escribimos el n\u00famero 1."}, {"start": 21.0, "end": 41.0, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1. Despu\u00e9s vamos a hacer la agrupaci\u00f3n con par\u00e9ntesis de estos dos t\u00e9rminos en el denominador para que nos quede un binomio."}, {"start": 41.0, "end": 50.0, "text": " Vemos que originalmente hay tres t\u00e9rminos pero al hacer esta agrupaci\u00f3n nos quedan solamente dos, o sea un binomio."}, {"start": 50.0, "end": 77.0, "text": " Vamos a multiplicar por lo que se llama el conjugado de esta expresi\u00f3n. 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Vamos con el primero donde el signo menos puede quedar por fuera y nos queda la integral de cosecante de 2x con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 610.0, "end": 639.0, "text": " M\u00e1s integral de esto donde podemos escribir 1 medio por fuera, entonces 1 medio de la integral de cosecante de x con su diferencial de x m\u00e1s la integral de esto donde tenemos 1 medio por fuera integral de secante de x con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 639.0, "end": 663.0, "text": " Ahora nuestro problema consiste en resolver cada una de estas integrales. Vamos a colocar una marca por aqu\u00ed este asterisco de tal manera que cuando tengamos resueltas esas 3 integrales entonces regresamos a este paso y escribimos sus resultados."}, {"start": 663.0, "end": 680.0, "text": " Vamos a comenzar con esta que la vamos a llamar la integral n\u00famero 1, despu\u00e9s continuaremos con esta integral n\u00famero 2 y finalmente vamos a resolver esta que es la n\u00famero 3."}, {"start": 680.0, "end": 709.0, "text": " Vamos con la primera, tenemos la integral de cosecante de x con su diferencial de x y vamos a utilizar un artificio matem\u00e1tico que consiste en multiplicar cosecante de x por la fracci\u00f3n que contiene cosecante de x m\u00e1s cotangente de x."}, {"start": 709.0, "end": 730.0, "text": " Tanto en el numerador como en el denominador y escribimos el diferencial de x. Esto es lo que se llama un artificio matem\u00e1tico, es como una estrategia que nos permite darle salida a esta integral."}, {"start": 730.0, "end": 753.0, "text": " Nos queda entonces en el numerador cosecante de x que multiplica a cosecante m\u00e1s cotangente aplicamos propiedad distributiva. Tenemos entonces cosecante al cuadrado de x m\u00e1s cosecante por cotangente."}, {"start": 753.0, "end": 768.0, "text": " Y en el denominador, aqu\u00ed hay un 1 que multiplica con esto, nos queda cosecante de x m\u00e1s cotangente de x y todo esto con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 768.0, "end": 790.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a efectuar una sustituci\u00f3n donde vamos a escoger el denominador como una nueva variable, vamos a llamarla P. P es igual a cosecante de x m\u00e1s cotangente de x."}, {"start": 790.0, "end": 809.0, "text": " Esto lo vamos a derivar, entonces tenemos que la derivada de P con respecto a x es igual a derivada de cosecante de x que es menos cosecante de x por cotangente de x."}, {"start": 809.0, "end": 825.0, "text": " Y la derivada de cotangente de x que es menos cosecante al cuadrado de x. Y de all\u00ed vamos a realizar el despeje de dx. Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 825.0, "end": 846.0, "text": " Dx ser\u00e1 igual a dP sobre todo esto. Entonces menos cosecante de x por cotangente de x menos cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 846.0, "end": 860.0, "text": " Vamos a extender esta l\u00ednea y de all\u00ed a su vez vamos a extraer factor com\u00fan aqu\u00ed en el denominador el signo negativo."}, {"start": 860.0, "end": 879.0, "text": " Nos queda entonces dP en el numerador y en el denominador menos, abrimos par\u00e9ntesis cosecante de x por cotangente de x m\u00e1s cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 879.0, "end": 891.0, "text": " Cerramos all\u00ed y todo esto lo vamos a destacar porque lo necesitamos para reconstruir esta integral."}, {"start": 891.0, "end": 912.0, "text": " Al reemplazar estos dos componentes aqu\u00ed nos queda lo siguiente. Integral de lo del numerador continua igual cosecante al cuadrado de x m\u00e1s cosecante de x por cotangente de x."}, {"start": 912.0, "end": 925.0, "text": " En el denominador esta expresi\u00f3n corresponde a la letra P y todo esto multiplicado por dx que equivale a toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 925.0, "end": 945.0, "text": " Entonces vamos a escribirla por ac\u00e1. Tenemos dP en el numerador y menos par\u00e9ntesis cosecante de x por cotangente de x m\u00e1s cosecante al cuadrado de x en el denominador."}, {"start": 945.0, "end": 953.0, "text": " Esa es la reconstrucci\u00f3n de esta integral en t\u00e9rminos de la nueva variable."}, {"start": 953.0, "end": 973.0, "text": " Aqu\u00ed podemos cancelar estas dos expresiones por ser iguales y nos queda la integral de en el numerador dP y en el denominador P por menos uno."}, {"start": 973.0, "end": 993.0, "text": " Por lo menos debemos conservarlo y queda entonces menos P. Esto es lo mismo que extraer el signo negativo y lo podemos ver tambi\u00e9n como la integral de 1 sobre P con su diferencial dP que corresponde a una de las integrales b\u00e1sicas."}, {"start": 993.0, "end": 1006.0, "text": " Recordemos que esto es igual al logaritmo natural de valor absoluto de P sin olvidar el signo negativo que tenemos por fuera."}, {"start": 1006.0, "end": 1023.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a reemplazar P por su expresi\u00f3n equivalente. Tenemos menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de x m\u00e1s cotangente de x."}, {"start": 1023.0, "end": 1029.0, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos escribir m\u00e1s C si queremos pero por ahora la constante de integraci\u00f3n no nos interesa."}, {"start": 1029.0, "end": 1040.0, "text": " Esa la escribimos al final de todo el ejercicio. Aqu\u00ed tenemos entonces el resultado de la primera integral."}, {"start": 1040.0, "end": 1059.0, "text": " Pasamos a la segunda integral que es la de cosecante de 2x con su correspondiente diferencial de x. Vamos a ver cuanto da eso."}, {"start": 1059.0, "end": 1071.0, "text": " En la integral vamos a utilizar justamente la que acabamos de obtener. Es decir la integral de cosecante de x con su diferencial de x nos acaba de dar esto."}, {"start": 1071.0, "end": 1085.0, "text": " Menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de x m\u00e1s cotangente de x."}, {"start": 1085.0, "end": 1094.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a cambiar x por otra letra. Vamos a utilizar por ejemplo la w."}, {"start": 1094.0, "end": 1117.0, "text": " Entonces donde est\u00e1 la x escribimos en su lugar w y vamos a realizar una sustituci\u00f3n que consiste en decir que w es igual a 2x."}, {"start": 1117.0, "end": 1130.0, "text": " Es decir justamente lo que necesitamos obtener la cosecante de 2x. Como aqu\u00ed tenemos cosecante de w vamos a asignarle a la w la expresi\u00f3n 2x."}, {"start": 1130.0, "end": 1148.0, "text": " Esto lo vamos a derivar. Derivada de w con respecto a x ser\u00eda igual a 2. Y de aqu\u00ed vamos a despejar de w que corresponde a 2 por dx."}, {"start": 1148.0, "end": 1164.0, "text": " Entonces esto lo destacamos y vamos a reconstruir esta expresi\u00f3n, esta integral que ya obtuvimos en t\u00e9rminos de la nueva variable."}, {"start": 1164.0, "end": 1193.0, "text": " Nos queda de la siguiente manera. Integral de la cosecante de w que es 2x por dw que ser\u00eda 2dx igual a menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de 2x m\u00e1s cotangente de 2x."}, {"start": 1193.0, "end": 1207.0, "text": " Cambiando dw por 2x tal como lo hemos establecido. Y de aqu\u00ed vamos a extraer este n\u00famero 2. Lo vamos a escribir por fuera."}, {"start": 1207.0, "end": 1230.0, "text": " Entonces nos queda 2 por la integral de cosecante de 2x con su diferencial de x igual a todo esto."}, {"start": 1230.0, "end": 1249.0, "text": " Y finalmente para llegar a esta expresi\u00f3n pasamos el 2 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir. Podr\u00edamos escribir todo esto dividido entre 2 o simplemente acompa\u00f1ar esta expresi\u00f3n aqu\u00ed adelante de la fracci\u00f3n 1 medio."}, {"start": 1249.0, "end": 1265.0, "text": " Entonces vamos a escribir lo mejor as\u00ed 1 medio por todo esto. Entonces el menos va a la izquierda de 1 medio y tenemos el logaritmo natural de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1265.0, "end": 1281.0, "text": " M\u00e1s cotangente de 2x cerramos el valor absoluto y de esta manera nos queda ya lista la integral n\u00famero 2."}, {"start": 1281.0, "end": 1300.0, "text": " Vamos ahora con la tercera integral que es la de secante de x. Para resolver esta integral vamos a utilizar un artificio muy parecido al que usamos cuando se resolvi\u00f3 la integral de cosecante de x."}, {"start": 1300.0, "end": 1318.0, "text": " En este caso vamos a multiplicar y a dividir por secante de x m\u00e1s tangente de x. Esa ser\u00e1 la estrategia para dar soluci\u00f3n a esta integral."}, {"start": 1318.0, "end": 1335.0, "text": " Escribimos el diferencial de x. Vamos a multiplicar ahora numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed. En el numerador tendremos secante que se distribuye para estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 1335.0, "end": 1351.0, "text": " Secante de x por secante de x es secante al cuadrado de x m\u00e1s secante de x por tangente de x y todo esto sobre esto mismo."}, {"start": 1351.0, "end": 1375.0, "text": " Recordemos que aqu\u00ed hay denominador 1, 1 por esto nos da la misma expresi\u00f3n. Y escribimos el diferencial de x. Enseguida vamos a utilizar aqu\u00ed una sustituci\u00f3n."}, {"start": 1375.0, "end": 1391.0, "text": " Vamos a escoger con la letra z a todo el denominador secante de x m\u00e1s tangente de x."}, {"start": 1391.0, "end": 1416.0, "text": " Y esto lo vamos a derivar. Decimos derivada de z con respecto a x es igual a derivada de la secante que es secante de x por tangente de x m\u00e1s derivada de la tangente de x que es secante al cuadrado de x."}, {"start": 1416.0, "end": 1436.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar el diferencial de x. Entonces dx ser\u00e1 dz sobre todo esto. Esto pasa a multiplicar y todo esto pasa a dividir debajo del diferencial de z."}, {"start": 1436.0, "end": 1458.0, "text": " Entonces dz sobre secante de x por tangente de x m\u00e1s secante al cuadrado de x. Esto lo vamos a destacar para utilizarlo en la reconstrucci\u00f3n de esta integral."}, {"start": 1458.0, "end": 1467.0, "text": " Al reemplazar estos dos componentes en esta integral nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 1467.0, "end": 1478.0, "text": " En el numerador tendremos la misma expresi\u00f3n secante al cuadrado de x m\u00e1s secante de x por tangente de x."}, {"start": 1478.0, "end": 1507.0, "text": " En el denominador secante m\u00e1s tangente corresponde a la letra z y esto multiplicado por dx que equivale a esa expresi\u00f3n dz sobre secante de x por tangente de x m\u00e1s secante al cuadrado de x."}, {"start": 1507.0, "end": 1519.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar la expresi\u00f3n cancelando estas dos sumas que tenemos arriba y abajo."}, {"start": 1519.0, "end": 1543.0, "text": " Y entonces nos queda la integral de dz sobre z que la podemos tambi\u00e9n escribir como la integral de 1 sobre z con su respectivo diferencial de z."}, {"start": 1543.0, "end": 1553.0, "text": " Y esta es una integral b\u00e1sica es igual a logaritmo natural o logaritmo neperiano de valor absoluto de z."}, {"start": 1553.0, "end": 1564.0, "text": " Y all\u00ed la z se cambia por su expresi\u00f3n equivalente que ser\u00eda secante de x m\u00e1s tangente de x."}, {"start": 1564.0, "end": 1574.0, "text": " Y de esta manera obtenemos la respuesta a la integral n\u00famero 3."}, {"start": 1574.0, "end": 1585.0, "text": " Cuando ya se tienen las tres integrales resueltas entonces regresamos al paso donde hab\u00edamos colocado la marca del asterisco."}, {"start": 1585.0, "end": 1592.0, "text": " Entonces entramos a la recta final del ejercicio y vamos a dar su respuesta."}, {"start": 1592.0, "end": 1601.0, "text": " Ahora el caso de esta primera integral que est\u00e1 precedida de signo negativo entonces esta respuesta se convierte en positiva."}, {"start": 1601.0, "end": 1613.0, "text": " Nos queda un medio de logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de 2x m\u00e1s cotangente de 2x."}, {"start": 1613.0, "end": 1615.0, "text": " Y cerramos el valor absoluto."}, {"start": 1615.0, "end": 1636.0, "text": " Vamos a la siguiente esta integral es negativa multiplicada por un medio positivo entonces nos da menos un medio del logaritmo natural de cosecante de x m\u00e1s cotangente de x."}, {"start": 1636.0, "end": 1654.0, "text": " Y llegamos a la \u00faltima integral que est\u00e1 multiplicada por un medio entonces vamos a escribirla por ac\u00e1 un medio del logaritmo natural de secante de x m\u00e1s tangente de x."}, {"start": 1654.0, "end": 1664.0, "text": " Y a todo esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1664.0, "end": 1666.0, "text": " All\u00ed es el momento de escribirla."}, {"start": 1666.0, "end": 1676.0, "text": " En las integrales que se hicieron durante el procedimiento vemos que no era necesario estar escribiendo la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1676.0, "end": 1681.0, "text": " Pero si hay necesidad de escribirla en el resultado final."}, {"start": 1681.0, "end": 1694.0, "text": " Con esto terminamos esta explicaci\u00f3n y esta es la respuesta a la integral originalmente planteada."}]