INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 13
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método de Integración por Partes.

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 Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de integración por partes debido a que no se puede resolver por integración directa ni tampoco utilizando el método de sustitución. Comenzamos por reescribir esa integral de la siguiente manera, coseno a la menos uno de x por uno por dx, es decir, hacemos aparecer el uno que acá estaba invisible y eso lo hacemos para clasificar las dos expresiones que tenemos allí en las categorías de ilate. Recordemos que ilate significa lo siguiente, y función inversa, l función logarítmica, a función algebraica, t función trigonométrica y e función exponencial. Si miramos las dos expresiones que aparecen en la integral tenemos aquí un componente que se clasifica como función inversa, es una función trigonométrica inversa y acá tenemos uno que podríamos entenderlo como x al acero, es decir, una expresión de categoría algebraica. Entonces tenemos y y tenemos la letra a. Al pronunciar la palabra ilate, obviamente de izquierda a derecha, la primera que encontramos de las que fueron señaladas es la letra y. Eso quiere decir entonces que la función inversa hará el papel de la letra u. Queremos entonces que coseno a la menos uno de x, como decíamos, hace el papel de u y el resto de la expresión incluyendo al diferencial de x, hace el papel de db. Estos son los componentes de la integración por partes. A continuación escribimos por acá los componentes que encontramos, u es coseno a la menos uno de x, vamos a destacarlo y esto tenemos que derivarlo con respecto a x. De u de x será igual a la derivada de coseno a la menos uno de x, que es menos uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado y de allí vamos a despejar de u. Para ello, de x que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicarlo. Tendremos menos uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado y todo esto multiplicado por dx. Tenemos allí el componente de u que también destacamos. Ahora vamos con db. Tenemos que db es uno por dx y eso vamos a integrarlo a ambos lados. Decimos la integral de db igual a la integral de uno por dx. La integral de db será b y la integral de uno por dx es lo mismo que tener la integral de dx que nos da x. Y tenemos allí los cuatro componentes de la fórmula de integración por partes que dice lo siguiente, la integral de u por db es igual a una vaca menos la integral vestida de uniforme. Recordemos que de esa manera aprendemos fácilmente la fórmula de integración por partes. A continuación vamos a reemplazar cada uno de los componentes. Dicemos por acá la integral de u que es coseno a la menos uno de x. Eso multiplicado por db que es uno por dx. Esto igual a u que es coseno a la menos uno de x por b que es x. Y esto menos la integral de b que es x por du que nos dio esta expresión. Como es negativa la vamos a proteger con paréntesis. Tenemos menos uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado y todo esto con su diferencial de x. Esto que nos quedó al lado izquierdo del signo igual es el ejercicio original y va a ser igual a todo esto que tenemos acá y que vamos a organizar un poco. Aquí coseno a la menos uno de x multiplicado por x se organiza como x por coseno a la menos uno de x. No podemos multiplicar estas dos letras porque esta es propiedad de la función inversa del coseno. Entonces por eso esta x se localiza acá tal como hemos escrito en esto que observamos. Tenemos ahora menos esta integral donde este signo menos puede salir y tendremos entonces signo más. Y acomodando eso que tenemos allí nos va a quedar lo siguiente. X multiplicado por uno en el numerador. En el denominador tendremos esa raíz cuadrada, raíz de uno menos x al cuadrado y todo eso con el diferencial de x. Ahora debemos resolver esta integral que nos apareció aquí. Para ello vamos a utilizar el método de sustitución. Entonces vamos a escoger como la letra h a lo que tenemos dentro de la raíz, es decir uno menos x al cuadrado. Allí tenemos que derivar h con respecto a x y la derivada de esta expresión nos dará menos dos x. Recordemos que la derivada de uno es cero y la derivada de menos x al cuadrado nos da menos dos x. De allí vamos a despejar de x. Pasa de x aquí a multiplicar y menos dos x viene acá a dividir. En cierto modo estos dos componentes se intercambian. Tendremos entonces que de x es igual a dh sobre menos dos x. Y ahora con estos dos componentes vamos a reconstruir esa integral. Tendremos entonces lo siguiente. Acá en el numerador continúa la x. En el denominador tendremos la raíz cuadrada dh porque uno menos x al cuadrado equivale a h. Y esto lo vamos a multiplicar por dx que nos dio la expresión dh sobre menos dos x. Ahora en esta nueva integral es posible simplificar o cancelar la x. Y también podemos extraer este número que daría acá por fuera de la integral. Como es negativo sale a interactuar con ese signo positivo y nos va a quedar signo menos y tendremos el número un medio que acompaña o que multiplica a la integral de uno sobre la raíz cuadrada dh y eso con su respectivo diferencial dh. Ahora vamos a cambiar raíz cuadrada dh por h elevada al exponente un medio y eso con el diferencial dh. Y enseguida vamos a subir esta potencia. Nos va a quedar h a la menos un medio y eso acompañado con el diferencial dh. De esa manera hemos logrado llevar esta integral a uno de los modelos básicos. Ya podemos resolverla. Tendremos entonces x por coseno a la menos uno de x eso menos un medio y vamos entonces a resolver esa integral que nos dará h a la menos un medio más uno que es un medio sobre menos un medio más uno que también es un medio. Y allí es el momento de escribir por primera vez la constante de integración. Como paso siguiente vamos a subir este número dos a multiplicar con h a la un medio. Esto nos quedaría con denominador uno y de nuevo escribimos la constante c. Ahora podemos simplificar el número dos y nos va a quedar h a la un medio que podemos escribir otra vez como raíz cuadrada de h y eso más la constante de integración. Como ya no es posible hacer nada más aquí entonces cambiamos h por su expresión equivalente. Nos queda entonces x por coseno a la menos uno de x menos la raíz cuadrada de h que es uno menos x al cuadrado y a todo esto le agregamos la constante de integración. De esta manera hemos encontrado ya la respuesta a ese ejercicio. Esta integral también puede venir presentada como la integral de arco coseno de x con su diferencial de x. Esto y esto es exactamente lo mismo. Entonces con esto hemos terminado este ejercicio.
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sale a interactuar con ese signo positivo y nos va a quedar signo menos"}, {"start": 477.8, "end": 486.24, "text": " y tendremos el n\u00famero un medio que acompa\u00f1a o que multiplica a la integral de uno sobre"}, {"start": 486.24, "end": 494.44, "text": " la ra\u00edz cuadrada dh y eso con su respectivo diferencial dh."}, {"start": 494.44, "end": 504.24, "text": " Ahora vamos a cambiar ra\u00edz cuadrada dh por h elevada al exponente un medio y eso con"}, {"start": 504.24, "end": 506.82, "text": " el diferencial dh."}, {"start": 506.82, "end": 510.2, "text": " Y enseguida vamos a subir esta potencia."}, {"start": 510.2, "end": 519.64, "text": " Nos va a quedar h a la menos un medio y eso acompa\u00f1ado con el diferencial dh."}, {"start": 519.64, "end": 525.52, "text": " De esa manera hemos logrado llevar esta integral a uno de los modelos b\u00e1sicos."}, {"start": 525.52, "end": 527.36, "text": " Ya podemos resolverla."}, {"start": 527.36, "end": 536.92, "text": " Tendremos entonces x por coseno a la menos uno de x eso menos un medio y vamos entonces"}, {"start": 536.92, "end": 546.36, "text": " a resolver esa integral que nos dar\u00e1 h a la menos un medio m\u00e1s uno que es un medio"}, {"start": 546.36, "end": 551.0, "text": " sobre menos un medio m\u00e1s uno que tambi\u00e9n es un medio."}, {"start": 551.0, "end": 558.16, "text": " Y all\u00ed es el momento de escribir por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 558.16, "end": 566.88, "text": " Como paso siguiente vamos a subir este n\u00famero dos a multiplicar con h a la un medio."}, {"start": 566.88, "end": 574.88, "text": " Esto nos quedar\u00eda con denominador uno y de nuevo escribimos la constante c."}, {"start": 574.88, "end": 583.64, "text": " Ahora podemos simplificar el n\u00famero dos y nos va a quedar h a la un medio que podemos"}, {"start": 583.64, "end": 592.2, "text": " escribir otra vez como ra\u00edz cuadrada de h y eso m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 592.2, "end": 600.28, "text": " Como ya no es posible hacer nada m\u00e1s aqu\u00ed entonces cambiamos h por su expresi\u00f3n equivalente."}, {"start": 600.28, "end": 607.56, "text": " Nos queda entonces x por coseno a la menos uno de x menos la ra\u00edz cuadrada de h que"}, {"start": 607.56, "end": 618.0, "text": " es uno menos x al cuadrado y a todo esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 618.0, "end": 623.64, "text": " De esta manera hemos encontrado ya la respuesta a ese ejercicio."}, {"start": 623.64, "end": 632.0, "text": " Esta integral tambi\u00e9n puede venir presentada como la integral de arco coseno de x con su"}, {"start": 632.0, "end": 633.96, "text": " diferencial de x."}, {"start": 633.96, "end": 638.12, "text": " Esto y esto es exactamente lo mismo."}, {"start": 638.12, "end": 654.92, "text": " Entonces con esto hemos terminado este ejercicio."}]