LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 16
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico utilizando conjugación del numerador y del denominador como estrategia de solución.

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 Para resolver este límite algebraico lo primero que hacemos es evaluar esta expresión cuando de x toma el valor 4. Nos queda entonces 3 menos la raíz cuadrada de 5 más 4 y todo esto sobre 1 menos la raíz cuadrada de 5 menos 4. Resolvemos entonces esas operaciones. En el numerador nos queda 3 menos 5 más 4 es 9. La raíz cuadrada de 9 nos da 3. En el denominador tendremos 1 menos 5 menos 4 nos da 1. Raíz cuadrada de 1 es igual a 1. En el numerador 3 menos 3 nos da 0. En el denominador 1 menos 1 nos da 0. Y hemos llegado a una forma indeterminada que es 0 sobre 0. Eso nos dice que hay que hacerle algo a esa expresión. La estrategia que vamos a utilizar entonces es conjugar tanto el numerador como el denominador. Nos queda así. Límite cuando de x tiende a 4 de 3 menos la raíz cuadrada de 5 más x. Todo esto lo vamos a proteger con paréntesis sobre 1 menos la raíz cuadrada de 5 menos x. Y todo esto también lo vamos a proteger con paréntesis. Aquí tenemos la expresión original y hemos trazado la línea divisoria más larga porque aquí vamos a colocar los componentes necesarios para efectuar la conjugación del numerador y del denominador. Para el caso de lo que tenemos en el numerador su expresión conjugada será 3 más la raíz cuadrada de 5 más x. Y para el caso de lo que tenemos en el denominador su expresión conjugada será 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x. Pero si multiplicamos por esos nuevos componentes debemos contrarrestar ese efecto. Por lo tanto esta expresión debemos colocarla también abajo. Multiplica también en el denominador y lo mismo hacemos con esta que debemos escribir acá en el numerador para conservar la expresión original. Lo que hacemos ahora es multiplicar estos dos componentes y también estos dos aplicando el producto notable que se llama suma por diferencia. Bueno en realidad aquí tenemos primero la diferencia y después la suma pero no importa recordemos que la multiplicación es conmutativa y esto nos da el primer componente al cuadrado menos el segundo componente al cuadrado. Entonces con la conjugación lo que buscamos es aprovechar este producto notable llamado suma por diferencia y que nos genera una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces para el caso de estos dos componentes nos queda así abrimos un corchete tendremos el primer componente que es 3 al cuadrado menos el segundo componente que es la raíz cuadrada de 5 más x y todo esto también elevado al cuadrado. Allí hemos aplicado el producto notable 3 hace el papel de a y esta raíz cuadrada de 5 más x hace el papel de b. Escribimos esta expresión, no podemos olvidarla, 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x y en el denominador vamos ahora con este producto donde se aplica otra vez el producto notable. Nos queda abrimos corchete 1 al cuadrado el primer componente al cuadrado menos el segundo componente que es la raíz cuadrada de 5 menos x y todo esto elevado al cuadrado. De nuevo 1 hace el papel de a y esta raíz cuadrada de 5 menos x hace el papel de b y anotamos ese componente 3 más la raíz cuadrada de 5 más x. Resolvemos ahora lo que hay dentro de los corchetes en el numerador nos queda 3 al cuadrado que es 9 y aquí este exponente 2 destruye la raíz cuadrada y nos deja libre 5 más x pero entonces el signo menos hace su efecto se distribuye para estos dos componentes nos da entonces menos 5 menos x cerramos el corchete y anotamos esta expresión 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x. Ahora vamos al denominador aquí 1 al cuadrado nos da 1 el cuadrado destruye la raíz nos queda libre 5 menos x este signo menos hace su efecto se distribuye y nos queda menos 5 más x cerramos el corchete y anotamos esta expresión 3 más la raíz cuadrada de 5 más x cerramos entonces el paréntesis. Continuamos resolviendo lo que hay dentro de los corchetes que ya podemos cambiar por paréntesis aquí 9 menos 5 nos da 4 nos queda 4 menos x anotamos esta expresión 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x y en el denominador tendremos cambiamos ese corchete por paréntesis 1 menos 5 es menos 4 esto más x cerramos y anotamos esa expresión 3 más la raíz cuadrada de 5 más x cerramos la raíz y cerramos el paréntesis. En esta expresión del denominador podemos extraer como factor común el signo menos si hacemos eso colocamos el menos por acá este signo nos cambia a positivo y este nos cambia a negativo de esta manera observamos el factor 4 menos x repetido tanto en el numerador como en el denominador y si observamos bien este era el causante del 0 sobre 0 porque como x tiende a 4 entonces esto nos va a dar 0 y esto también cuando se haga el reemplazo por lo tanto cancelamos de manera lícita este componente y nos queda la expresión de la siguiente manera en el numerador 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x podemos proteger esto con paréntesis y trasladar el signo menos al numerador y en el denominador nos queda 3 más la raíz cuadrada de 5 más x allí no es necesario el paréntesis y podemos quitar esta parte de la línea divisoria. Ahora lo que hacemos es evaluar esta expresión cuando x toma el valor 4 esto ya lo hacemos con tranquilidad porque como decíamos ya se eliminó el factor problema el causante del 0 sobre 0 que era la indeterminación inicial el signo menos vamos a colocarlo en la mitad entonces en el numerador tendremos lo siguiente 1 más la raíz cuadrada de 5 menos 4 y en el denominador 3 más la raíz cuadrada de 5 más 4 continuamos el desarrollo por acá y vamos resolviendo esas operaciones aseguramos el signo negativo en la mitad de la fracción por acá en el numerador tendremos 1 más 5 menos 4 es 1 la raíz cuadrada de 1 nos da 1 en el denominador tenemos 3 más 5 más 4 nos da 9 la raíz cuadrada de 9 es 3 seguimos resolviendo en el numerador nos da 2 en el denominador nos da 6 y esta fracción se puede simplificar sacamos mitad tanto en el numerador como en el denominador y nos queda 1 tercio negativo de esta manera terminamos el ejercicio menos 1 tercio es la respuesta para ese límite algebraico
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