FRACCIONES GENERATRICES DE NÚMEROS DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS PUROS
#julioprofe explica cómo obtener la fracción generatriz de diferentes números decimales infinitos periódicos puros.

#julioprofe explica cómo obtener la fracción generatriz de un número decimal infinito periódico puro.

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 En esta ocasión vamos a determinar la fracción generatriz para cada uno de estos cinco números que son decimales infinitos periódicos puros. Se llaman así porque después del punto decimal se observa una cantidad que se repite indefinidamente y que se llama periodo. Acá el periodo es 8, tiene una cifra. Acá el periodo es 21, tiene dos cifras. Acá el periodo es 537, tiene tres cifras. Acá el periodo es 4, tiene una cifra. Y acá el periodo es 48, tiene dos cifras. Comenzamos con el primer número que podemos escribir de la siguiente manera. 0.8 con el circunflejo encima del número 8, es decir encima del periodo, indicando que es la cantidad que se repite indefinidamente. Para encontrar la fracción generatriz utilizamos el siguiente truco rápido. Trazamos la línea de la fracción. En la parte superior escribimos el periodo que es 8 y en la parte inferior escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo. Como el periodo tiene en este caso una cifra, entonces anotamos solamente un 9. Entonces 8 novenos, que es una fracción irreducible porque no se puede simplificar, corresponde a la fracción generatriz de este número decimal infinito periódico puro. Note que para poder aplicar este truco rápido se necesita que antes del punto decimal tengamos el número 0. Vamos con el segundo número que podemos escribir en forma resumida. Así, 0.21 con el circunflejo encima del periodo, encima de la cantidad que se repite indefinidamente y que en este caso tiene dos cifras. Como se observa a la izquierda del punto decimal tenemos el 0, entonces podemos aplicar el truco rápido que veíamos en el ejercicio anterior. Trazamos la línea de la fracción. En la parte de arriba escribimos el periodo que es 21 y acá en la parte de abajo escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo. Como vemos el periodo tiene dos cifras, por lo tanto en la parte de abajo escribimos dos nueves. Esta es la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico puro, pero esta fracción puede simplificarse. Ambos números son divisibles por 3, tercera de 21 nos da 7 y tercera de 99 nos da 33. 7.33 es ya una fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar más y constituye la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico puro. En el caso del tercer número lo escribimos también en forma resumida así, con el circunflejo encima de 537 que es el periodo, o sea la cantidad que se repite indefinidamente. Como a la izquierda del punto decimal tenemos el 0, podemos aplicar el truco rápido. Trazamos la línea, encima de ella anotamos el periodo que es 537 y acá en la parte de abajo escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo. Como vemos se trata de un número de tres cifras, por lo tanto en la parte de abajo escribimos tres nueves. Miramos si esta fracción se puede simplificar. 537 podemos revisar si es divisible por 3, 5 más 3 nos da 8, 8 más 7 es 15, 15 es múltiplo de 3 por lo tanto 537 puede dividirse entre 3, esa división nos da 179 y si este número lo dividimos por 3 nos da 333. Esta será entonces la fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar más y constituye la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico puro. Para el caso del cuarto número vamos a escribirlo en forma resumida así, con el circunflejo encima del 4 que en este caso es el periodo o la cantidad que se repite indefinidamente. Como se observa a la izquierda del punto decimal ya no tenemos el 0, entonces inicialmente no podemos aplicar el truco rápido de los nueves, pero podemos solucionar esto de la siguiente manera, descomponemos este número como 2 más 0.4 periódico, es decir, independizamos lo que está a la izquierda del punto, o sea la parte entera de la parte decimal y a esto si podemos aplicarle el truco porque tenemos a la izquierda del punto el número 0, entonces el 2 se queda allí y acá aplicamos el truco rápido, trazamos la línea, en la parte superior el 4, o sea el periodo y en la parte inferior tantos nueves como cifras tiene el periodo, en este caso un solo 9. Como tenemos la suma de un número entero y una fracción podemos escribir eso en forma de número mixto, se lee 2 enteros y 4 novenos y eso ya podemos pasarlo a fracción. Hacemos lo siguiente, en la parte de arriba multiplicamos 2 por 9 que nos da 18, a eso le sumamos 4 que nos da 22 y en la parte de abajo conservamos el mismo denominador que es 9, 22 novenos es una fracción irreducible, no se puede simplificar más y constituye la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico puro. Finalizamos con este número que podemos escribir en forma resumida así, con el circunflejo encima del 48 porque es el periodo, la cantidad que se repite indefinidamente, como vemos a la izquierda del punto decimal no tenemos el 0 sino el número 10, entonces todavía no podemos aplicar el truco de los nueves sino que tenemos que descomponer este número en su parte entera y su parte decimal, nos queda 10 más 0.48 periódico y acá si podemos aplicar el truco. Conservamos entonces el número 10 y acá trazamos la línea, en la parte superior escribimos el periodo que es 48 y acá escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo, como se observa tenemos dos cifras por lo tanto anotamos dos nueves. Antes de conformar el número mixto revisamos si esta fracción puede simplificarse, te busques si porque 48 y 99 son números divisibles por 3, entonces realizamos esa simplificación tercera de 48 nos da 16 y tercera de 99 nos da 33, revisamos y vemos que no se puede simplificar más entonces procedemos a conformar el número mixto que en este caso se lee 10 enteros y 16 33 abos y de allí podemos pasarlo a fracción. Entonces en la parte de arriba multiplicamos 10 por 33 que es 330 a eso le sumamos 16 que nos da 346 y acá conservamos el mismo denominador. Esta fracción ya no se puede simplificar más, es irreducible y constituye la fracción generatriz para ese número decimal infinito periódico puro.
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