LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 15
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico utilizando doble racionalización como estrategia de solución.

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 Vamos a resolver este límite algebraico donde necesitamos saber que le sucede a esta función cuando x tiende o se aproxima a 4. Lo primero que debemos hacer es evaluar esta expresión, o sea la función, justamente cuando x toma el valor 4. Entonces vamos a reemplazar en esa expresión donde está la x, escribimos el 4. Entonces en el numerador nos queda de esta manera y en el denominador tenemos la raíz cuadrada de 4 menos 2 y todo esto menos la raíz cuadrada de 2. De seguida resolvemos las operaciones, veamos como nos queda. Aquí dentro de la raíz tenemos 2 por 4, 8, 8 más 1 nos da 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3, 3 menos 3 nos da 0, 0 en el numerador. Vamos al denominador, 4 menos 2 nos da 2, la raíz cuadrada de 2 menos raíz cuadrada de 2 también nos da 0. Y llegamos a lo que se llama una indeterminación, algo que debemos solucionar porque el resultado de un límite no puede quedar de esta manera. Tenemos que dar solución a este problema llamado indeterminación. La estrategia que vamos a utilizar para solucionar este problema de la indeterminación es racionalizar el numerador y el denominador de la expresión. Y esto lo vamos a conseguir mediante un procedimiento que se llama conjugación. Veamos en qué consiste. Si tenemos una expresión a más b, entonces su conjugado es a menos b y viceversa, el conjugado de a menos b es a más b. El objetivo de la conjugación es que al multiplicar estas dos cantidades podamos contar con a al cuadrado menos b al cuadrado. Lo que se conoce como una diferencia de cuadrados perfectos. Esto es lo que en álgebra se conoce como un producto notable llamado suma por diferencia y que da origen a una diferencia de cuadrados. Pues bien, este procedimiento es el que vamos a utilizar para racionalizar el numerador y el denominador de esta expresión. Vamos a multiplicar y dividir por el conjugado de cada expresión para de esa manera conservar la función original. Vamos entonces con el conjugado del numerador. Será la raíz cuadrada de 1 más 2x y todo esto más 3. Pues, obsérvese que únicamente cambia el signo que conecta las dos cantidades. En este caso, si aquí tenemos menos, el conjugado será con más. Pero las dos expresiones o las dos cantidades deben conservar sus componentes. Este signo no debe cambiar, únicamente el signo intermedio. Como decíamos, multiplicamos y dividimos por la misma expresión para garantizar que la función original no se altera. Y allí mismo vamos a multiplicar por el conjugado del denominador que será la raíz cuadrada de x menos 2. Vemos que esto se conserva y cambia el signo intermedio. Como decíamos, si es menos, el conjugado es con más. Esto más raíz de 2 y esta misma expresión la repetimos en la parte de arriba. Entonces allí estamos alistando todo para aprovechar este producto notable que nos va a generar diferencia de cuadrados. Esto nos va a quedar entonces así. Límite cuando x tiende a 4 y en la parte superior vamos a efectuar el producto de esta expresión con esta que tenemos aquí. Aquí está la suma, acá está la diferencia y como están multiplicando nos va a quedar la primera cantidad, es decir la raíz cuadrada de 1 más 2x. Todo esto al cuadrado menos la segunda cantidad también elevada al cuadrado. Allí estamos dándole aplicación al producto notable. Suma por diferencia nos produce una diferencia de cuadrados. Todo esto lo protegemos y va a quedar multiplicado por esta expresión que vamos a proteger con paréntesis. Raíz cuadrada de x menos 2 y esto más la raíz cuadrada de 2. Vamos al denominador. Allí vamos a efectuar el producto entre esta expresión y esta que tenemos acá. Allí está la suma, acá está la diferencia, entonces tendremos la primera expresión, la primera cantidad al cuadrado. La raíz cuadrada de x menos 2, esto al cuadrado menos la segunda cantidad que es raíz cuadrada de 2 también elevada al cuadrado. Protegemos con corchetes y esto va a quedar multiplicado por esta expresión que vamos a proteger con paréntesis. Raíz cuadrada de 1 más 2x y esto más 3. Aquí tenemos que el cuadrado elimina la raíz cuadrada y nos queda 1 más 2x menos 3 al cuadrado que es 9. Ya podemos cambiar la protección a paréntesis y escribimos la expresión que tenemos enseguida. Raíz cuadrada de x menos 2, esto más la raíz cuadrada de 2. En el denominador también tenemos que el cuadrado destruye la raíz, sucede en esas dos cantidades. Por aquí tenemos x menos 2 menos 2, protegemos con paréntesis y escribimos esta otra expresión, la raíz cuadrada de 1 más 2x, todo esto más 3. Vamos a continuar por acá, tenemos límite cuando x tiende a 4. Y en este paréntesis vamos a escribir 2x y operamos 1 menos 9 que nos da menos 8. Y escribimos la otra expresión que se queda tal como está. Y pasamos al denominador donde dejamos x y operamos estos dos números, eso nos da menos 4. Y escribimos esta misma expresión que también se queda intacta. Ahora tenemos la posibilidad de factorizar 2x menos 8. A este binomio podemos extraerle factor común 2, 2 es factor de x menos 4. Entonces vamos a realizar el cambio, aquí donde tenemos 2x menos 8, escribimos ahora 2 factor de x menos 4. De esta manera vemos que ya es posible eliminar el factor x menos 4 que se encuentra en la parte de arriba y en la parte de abajo. Este es justamente el factor problema que estaba ocasionando al principio la indeterminación 0 sobre 0. Como x tiende a 4, aquí tenemos que 4 menos 4 es 0 y lo mismo sucede acá abajo. Entonces al cancelar ese factor, al eliminarlo de manera lícita, logramos ya superar el problema de la indeterminación. Veamos entonces lo que nos queda en el numerador 2 que multiplica a la expresión encerrada en paréntesis. Y en el denominador nos queda esta expresión que ya puede escribirse sin paréntesis, no requiere protección. Enseguida lo que debemos hacer es evaluar este límite, vamos a reemplazar x cuando toma el valor 4 en esta expresión. Veamos como nos queda. 2 abrimos paréntesis, la raíz cuadrada de 4 menos 2, cerramos la raíz cuadrada, esto más la raíz cuadrada de 2. Y todo esto sobre la raíz cuadrada de 1 más 2 por x que vale 4, todo esto dentro de la raíz cuadrada y eso más 3. Procedemos a resolver las operaciones, tenemos en la parte de arriba 2 aquí, 4 menos 2 nos da 2, tenemos raíz cuadrada de 2 más raíz cuadrada de 2. Todo esto sobre 2 por 4, 8, 8 más 1, 9, la raíz cuadrada de 9 es 3 y también sumado con 3. Continuamos por acá, escribimos 2 en la parte de arriba, sumamos estos dos componentes que se llaman radicales semejantes, raíz de 2 más raíz de 2 es igual a 2 raíz de 2. Y en la parte de abajo tenemos 3 más 3 que es 6. Arriba multiplicamos 2 por 2 es 4, nos queda 4 raíz de 2, todo esto sobre 6 y allí podemos simplificar estos números. Podríamos sacarle mitad de 4 es 2, mitad de 6 es 3 y nos queda 2 raíz cuadrada de 2 sobre 3. De esta manera llegamos al resultado de este límite, como vimos se utilizó doble racionalización tanto para el numerador como para el denominador para llegar así a la respuesta.
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la segunda cantidad que es ra\u00edz cuadrada de 2 tambi\u00e9n elevada al cuadrado."}, {"start": 392.0, "end": 403.0, "text": " Protegemos con corchetes y esto va a quedar multiplicado por esta expresi\u00f3n que vamos a proteger con par\u00e9ntesis."}, {"start": 403.0, "end": 411.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s 2x y esto m\u00e1s 3."}, {"start": 411.0, "end": 427.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos que el cuadrado elimina la ra\u00edz cuadrada y nos queda 1 m\u00e1s 2x menos 3 al cuadrado que es 9."}, {"start": 427.0, "end": 436.0, "text": " Ya podemos cambiar la protecci\u00f3n a par\u00e9ntesis y escribimos la expresi\u00f3n que tenemos enseguida."}, {"start": 436.0, "end": 443.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de x menos 2, esto m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 443.0, "end": 453.0, "text": " En el denominador tambi\u00e9n tenemos que el cuadrado destruye la ra\u00edz, sucede en esas dos cantidades."}, {"start": 453.0, "end": 473.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos x menos 2 menos 2, protegemos con par\u00e9ntesis y escribimos esta otra expresi\u00f3n, la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s 2x, todo esto m\u00e1s 3."}, {"start": 473.0, "end": 481.0, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1, tenemos l\u00edmite cuando x tiende a 4."}, {"start": 481.0, "end": 490.0, "text": " Y en este par\u00e9ntesis vamos a escribir 2x y operamos 1 menos 9 que nos da menos 8."}, {"start": 490.0, "end": 500.0, "text": " Y escribimos la otra expresi\u00f3n que se queda tal como est\u00e1."}, {"start": 500.0, "end": 512.0, "text": " Y pasamos al denominador donde dejamos x y operamos estos dos n\u00fameros, eso nos da menos 4."}, {"start": 512.0, "end": 526.0, "text": " Y escribimos esta misma expresi\u00f3n que tambi\u00e9n se queda intacta."}, {"start": 526.0, "end": 533.0, "text": " Ahora tenemos la posibilidad de factorizar 2x menos 8."}, {"start": 533.0, "end": 542.0, "text": " A este binomio podemos extraerle factor com\u00fan 2, 2 es factor de x menos 4."}, {"start": 542.0, "end": 559.0, "text": " Entonces vamos a realizar el cambio, aqu\u00ed donde tenemos 2x menos 8, escribimos ahora 2 factor de x menos 4."}, {"start": 559.0, "end": 570.0, "text": " De esta manera vemos que ya es posible eliminar el factor x menos 4 que se encuentra en la parte de arriba y en la parte de abajo."}, {"start": 570.0, "end": 580.0, "text": " Este es justamente el factor problema que estaba ocasionando al principio la indeterminaci\u00f3n 0 sobre 0."}, {"start": 580.0, "end": 588.0, "text": " Como x tiende a 4, aqu\u00ed tenemos que 4 menos 4 es 0 y lo mismo sucede ac\u00e1 abajo."}, {"start": 588.0, "end": 600.0, "text": " Entonces al cancelar ese factor, al eliminarlo de manera l\u00edcita, logramos ya superar el problema de la indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 600.0, "end": 611.0, "text": " Veamos entonces lo que nos queda en el numerador 2 que multiplica a la expresi\u00f3n encerrada en par\u00e9ntesis."}, {"start": 611.0, "end": 627.0, "text": " Y en el denominador nos queda esta expresi\u00f3n que ya puede escribirse sin par\u00e9ntesis, no requiere protecci\u00f3n."}, {"start": 627.0, "end": 638.0, "text": " Enseguida lo que debemos hacer es evaluar este l\u00edmite, vamos a reemplazar x cuando toma el valor 4 en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 638.0, "end": 655.0, "text": " Veamos como nos queda. 2 abrimos par\u00e9ntesis, la ra\u00edz cuadrada de 4 menos 2, cerramos la ra\u00edz cuadrada, esto m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 655.0, "end": 672.0, "text": " Y todo esto sobre la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s 2 por x que vale 4, todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada y eso m\u00e1s 3."}, {"start": 672.0, "end": 688.0, "text": " Procedemos a resolver las operaciones, tenemos en la parte de arriba 2 aqu\u00ed, 4 menos 2 nos da 2, tenemos ra\u00edz cuadrada de 2 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 688.0, "end": 704.0, "text": " Todo esto sobre 2 por 4, 8, 8 m\u00e1s 1, 9, la ra\u00edz cuadrada de 9 es 3 y tambi\u00e9n sumado con 3."}, {"start": 704.0, "end": 725.0, "text": " Continuamos por ac\u00e1, escribimos 2 en la parte de arriba, sumamos estos dos componentes que se llaman radicales semejantes, ra\u00edz de 2 m\u00e1s ra\u00edz de 2 es igual a 2 ra\u00edz de 2."}, {"start": 725.0, "end": 742.0, "text": " Y en la parte de abajo tenemos 3 m\u00e1s 3 que es 6. Arriba multiplicamos 2 por 2 es 4, nos queda 4 ra\u00edz de 2, todo esto sobre 6 y all\u00ed podemos simplificar estos n\u00fameros."}, {"start": 742.0, "end": 758.0, "text": " Podr\u00edamos sacarle mitad de 4 es 2, mitad de 6 es 3 y nos queda 2 ra\u00edz cuadrada de 2 sobre 3."}, {"start": 758.0, "end": 779.0, "text": " De esta manera llegamos al resultado de este l\u00edmite, como vimos se utiliz\u00f3 doble racionalizaci\u00f3n tanto para el numerador como para el denominador para llegar as\u00ed a la respuesta."}]