PROGRESIONES GEOMÉTRICAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Geométricas:

En una Progresión Geométrica el cuarto término es 8 y el noveno término es 1/4. Hallar la suma de todos los términos de la progresión.

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 En una progresión geométrica el cuarto término es 8 y el noveno término es 1 cuarto. Hayar la suma de todos los términos de la progresión. Bien, en este caso tenemos un ejercicio relacionado con progresiones o sucesiones geométricas. Nos dice el enunciado que el cuarto término es 8, entonces lo denotamos como A sub 4, su valor es 8 y que el noveno término es 1 cuarto. Entonces A sub 9 tiene un valor de 1 cuarto. Nos piden hallar la suma de todos los términos de la progresión. Esta será una progresión infinita, entonces debemos hallar la suma de los infinitos términos de esa progresión geométrica. Comenzamos citando la fórmula para hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. Ella dice A sub 1, o sea el primer término dividido entre 1 menos R. Recordemos que R es la razón común en una progresión o sucesión geométrica, pero esto tiene una condición, si valor absoluto de R es menor que 1. Entonces, vemos que en este caso se desconoce el primer término y la razón R. Tenemos información del cuarto término y del noveno. Entonces comenzaremos por hallar estos dos datos que necesitamos para calcular la suma de los infinitos términos de esa progresión geométrica. Para ello debemos utilizar la fórmula para el término general o término enésimo de este tipo de progresiones, que dice A sub 1, o sea el primer término por la razón común elevada al exponente n menos 1. Vamos entonces con la primera información. El cuarto término vale 8. Entonces n toma el valor 4, nos queda A sub 4 es igual a A sub 1 por R a la 4 menos 1. Y el cuarto término vale 8. Entonces 8 es igual a A sub 1 por R a la 3, efectuando esa resta. Entonces aquí tenemos una primera expresión que vamos a etiquetar como la número 1. Ahora utilizando esta misma fórmula vamos a cambiar n por 9. Para utilizar esta información tenemos A sub 9 es igual a A sub 1 por R a la 9 menos 1. A sub 9, el noveno término, es un cuarto y esto nos queda igual a A sub 1 por R a la 8, resolviendo esa resta que hay en el exponente. Así tenemos otra expresión que etiquetamos como la número 2. Tenemos allí un sistema de dos por dos, dos ecuaciones con dos incógnitas. Podemos utilizar por ejemplo el método de sustitución. Para ello hay que despejar una de las incógnitas de alguna de las ecuaciones. Por ejemplo de la primera ecuación podemos despejar A sub 1, el primer término de la progresión, nos queda A sub 1 igual a 8 sobre R al cubo. Esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Y esta nueva expresión la etiquetamos como la número 3. Ahora esto que encontramos podemos sustituirlo en la ecuación número 2. Entonces nos va a quedar así, un cuarto igual a A sub 1 que se cambia por 8 sobre R al cubo y eso multiplicado por R a la 8. Allí hemos hecho la sustitución. Ahora vamos a resolver esta ecuación donde vamos a hallar el valor de R. Tendremos un cuarto igual a 8 por R a la 8 sobre R a la 3 nos da R a la 5. Tenemos allí un cociente de potencias de la misma base. Recordemos que se conserva la base y se restan los exponentes. Ahora aquí vamos a pasar 8 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda un cuarto sobre o dividido entre 8 y todo esto igual a R a la 5. A este número 8 podemos colocarle denominador 1 y tenemos allí una división entre fracciones. Podemos aplicar entonces lo que se conoce como ley de la oreja. Arriba multiplicamos los extremos 1 por 1 que nos da 1 y abajo multiplicamos los elementos internos o los medios. Cuatro por 8 nos da 32 y esto nos queda igualado con R a la 5. Ahora para despejar R debemos quitar este exponente 5 y para ello debemos tomar raíz quinta a ambos lados de la igualdad. Entonces decimos raíz quinta de 1 32º igual a la raíz quinta de R a la 5. En el lado izquierdo esta raíz quinta afecta al numerador y también al denominador. Entonces tendremos la raíz quinta de 1 sobre la raíz quinta de 32. Y en el lado derecho tendremos la letra R porque este exponente se cancela con el índice de la raíz por ser iguales. Resolviendo cada una de estas raíces ya podemos encontrar el valor de R. La raíz quinta de 1 es 1 y la raíz quinta de 32 nos da 2. Recordemos que 32 si lo descomponemos en factores primos nos da 2 a la 5 por eso la raíz quinta de 2 a la 5 nos da 2. De esta manera hemos encontrado el valor de la razón común para esa progresión geométrica pero nos queda faltando el primer término. Ese lo hallamos entonces aquí en la ecuación 3, reemplazando un medio acá donde tenemos R. Entonces veamos cómo nos queda a sub 1 será igual a 8 sobre R que es un medio y todo esto elevado al cubo. En la parte de arriba de esta fracción podemos reescribir 8 como 8 sobre 1 y en la parte de abajo este exponente 3 afecta al numerador y también al denominador. 1 al cubo es 1 y 2 al cubo nos da 8. De nuevo tenemos una división entre fracciones podemos aplicar la ley de la oreja entonces multiplicamos los elementos extremos 8 por 8 es 64 esto va arriba y 1 por 1 es 1 que nos queda abajo y 64 sobre 1 es 64. De esta manera ya tenemos el valor del primer término de esa progresión geométrica. Ahora sí tenemos los elementos que se necesitan en esta fórmula para encontrar la suma de todos los términos de esa progresión geométrica. Sin embargo debemos verificar esa condición la razón es un medio entonces revisamos si valor absoluto de un medio es menor que 1 valor absoluto de un medio será un medio y efectivamente es una cantidad menor que 1 entonces aquí se cumple con esta condición y por lo tanto estamos autorizados para reemplazar estos datos en esa fórmula. Tenemos entonces S sub infinito la suma de todos los términos de esa progresión geométrica igual a S sub uno el primer término que es 64 sobre 1 menos R o sea 1 menos un medio que es la razón común. Resolvemos esta operación del denominador 1 menos un medio nos da como resultado un medio y 64 lo escribimos como 64 sobre 1. Una vez tenemos una división entre fracciones aplicamos la ley de la oreja entonces eso nos queda así en la parte de arriba 64 por 2 que es 128 y en la parte de abajo 1 por 1 que es 1 y esto será igual a 128. De esta manera ya tenemos la suma de todos los términos o sea de los infinitos términos que conforman esa progresión geométrica su valor es 128 y así terminamos este ejercicio.
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sustituirlo en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 240.36, "end": 250.60000000000002, "text": " Entonces nos va a quedar as\u00ed, un cuarto igual a A sub 1 que se cambia por 8 sobre R al cubo"}, {"start": 250.60000000000002, "end": 254.44000000000003, "text": " y eso multiplicado por R a la 8."}, {"start": 254.44000000000003, "end": 257.6, "text": " All\u00ed hemos hecho la sustituci\u00f3n."}, {"start": 257.6, "end": 263.56, "text": " Ahora vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n donde vamos a hallar el valor de R."}, {"start": 263.56, "end": 274.08, "text": " Tendremos un cuarto igual a 8 por R a la 8 sobre R a la 3 nos da R a la 5."}, {"start": 274.08, "end": 277.52, "text": " Tenemos all\u00ed un cociente de potencias de la misma base."}, {"start": 277.52, "end": 283.24, "text": " Recordemos que se conserva la base y se restan los exponentes."}, {"start": 283.24, "end": 289.12, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a pasar 8 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, 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351.52000000000004, "text": " Entonces decimos ra\u00edz quinta de 1 32\u00ba igual a la ra\u00edz quinta de R a la 5."}, {"start": 351.52000000000004, "end": 357.96000000000004, "text": " En el lado izquierdo esta ra\u00edz quinta afecta al numerador y tambi\u00e9n al denominador."}, {"start": 357.96000000000004, "end": 365.88, "text": " Entonces tendremos la ra\u00edz quinta de 1 sobre la ra\u00edz quinta de 32."}, {"start": 365.88, "end": 374.04, "text": " Y en el lado derecho tendremos la letra R porque este exponente se cancela con el \u00edndice"}, {"start": 374.04, "end": 377.12, "text": " de la ra\u00edz por ser iguales."}, {"start": 377.12, "end": 382.64, "text": " Resolviendo cada una de estas ra\u00edces ya podemos encontrar el valor de R."}, {"start": 382.64, "end": 389.15999999999997, "text": " La ra\u00edz quinta de 1 es 1 y la ra\u00edz quinta de 32 nos da 2."}, {"start": 389.16, "end": 397.0, "text": " Recordemos que 32 si lo descomponemos en factores primos nos da 2 a la 5 por eso la ra\u00edz quinta"}, {"start": 397.0, "end": 400.48, "text": " de 2 a la 5 nos da 2."}, {"start": 400.48, "end": 406.28000000000003, "text": " De esta manera hemos encontrado el valor de la raz\u00f3n com\u00fan para esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica"}, {"start": 406.28000000000003, "end": 409.20000000000005, "text": " pero nos queda faltando el primer t\u00e9rmino."}, {"start": 409.20000000000005, "end": 415.36, "text": " Ese lo hallamos entonces aqu\u00ed en la ecuaci\u00f3n 3, reemplazando un medio ac\u00e1 donde tenemos"}, {"start": 415.36, "end": 416.36, "text": " R."}, {"start": 416.36, "end": 426.48, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda a sub 1 ser\u00e1 igual a 8 sobre R que es un medio y todo esto"}, {"start": 426.48, "end": 429.6, "text": " elevado al cubo."}, {"start": 429.6, "end": 437.08000000000004, "text": " En la parte de arriba de esta fracci\u00f3n podemos reescribir 8 como 8 sobre 1 y en la parte"}, {"start": 437.08000000000004, "end": 443.04, "text": " de abajo este exponente 3 afecta al numerador y tambi\u00e9n al denominador."}, {"start": 443.04, "end": 448.24, "text": " 1 al cubo es 1 y 2 al cubo nos da 8."}, {"start": 448.24, "end": 455.52000000000004, "text": " De nuevo tenemos una divisi\u00f3n entre fracciones podemos aplicar la ley de la oreja entonces"}, {"start": 455.52000000000004, "end": 463.52000000000004, "text": " multiplicamos los elementos extremos 8 por 8 es 64 esto va arriba y 1 por 1 es 1 que"}, {"start": 463.52000000000004, "end": 467.84000000000003, "text": " nos queda abajo y 64 sobre 1 es 64."}, {"start": 467.84, "end": 475.56, "text": " De esta manera ya tenemos el valor del primer t\u00e9rmino de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica."}, {"start": 475.56, "end": 482.15999999999997, "text": " Ahora s\u00ed tenemos los elementos que se necesitan en esta f\u00f3rmula para encontrar la suma de"}, {"start": 482.15999999999997, "end": 485.88, "text": " todos los t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica."}, {"start": 485.88, "end": 492.88, "text": " Sin embargo debemos verificar esa condici\u00f3n la raz\u00f3n es un medio entonces revisamos si"}, {"start": 492.88, "end": 499.64, "text": " valor absoluto de un medio es menor que 1 valor absoluto de un medio ser\u00e1 un medio"}, {"start": 499.64, "end": 506.64, "text": " y efectivamente es una cantidad menor que 1 entonces aqu\u00ed se cumple con esta condici\u00f3n"}, {"start": 506.64, "end": 514.12, "text": " y por lo tanto estamos autorizados para reemplazar estos datos en esa f\u00f3rmula."}, {"start": 514.12, "end": 522.38, "text": " Tenemos entonces S sub infinito la suma de todos los t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica"}, {"start": 522.38, "end": 531.68, "text": " igual a S sub uno el primer t\u00e9rmino que es 64 sobre 1 menos R o sea 1 menos un medio"}, {"start": 531.68, "end": 534.32, "text": " que es la raz\u00f3n com\u00fan."}, {"start": 534.32, "end": 541.56, "text": " Resolvemos esta operaci\u00f3n del denominador 1 menos un medio nos da como resultado un"}, {"start": 541.56, "end": 548.28, "text": " medio y 64 lo escribimos como 64 sobre 1."}, {"start": 548.28, "end": 557.4, "text": " Una vez tenemos una divisi\u00f3n entre fracciones aplicamos la ley de la oreja entonces eso"}, {"start": 557.4, "end": 567.56, "text": " nos queda as\u00ed en la parte de arriba 64 por 2 que es 128 y en la parte de abajo 1 por"}, {"start": 567.56, "end": 572.92, "text": " 1 que es 1 y esto ser\u00e1 igual a 128."}, {"start": 572.92, "end": 580.56, "text": " De esta manera ya tenemos la suma de todos los t\u00e9rminos o sea de los infinitos t\u00e9rminos"}, {"start": 580.56, "end": 604.0, "text": " que conforman esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica su valor es 128 y as\u00ed terminamos este ejercicio."}]