INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia.

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 Vamos a resolver paso a paso esta integral impropia, llamada así porque tenemos menos infinito y más infinito en los límites de integración. Para comenzar vamos a utilizar una propiedad de la integral definida que dice que la integral desde a hasta b de una función f de x con su diferencial puede escribirse como la integral desde a hasta c de esa función con su diferencial más la integral desde c hasta b de la misma función con su diferencial, siempre que c sea un valor comprendido entre a y b. En este caso tenemos la integral de una función que es continua en todos los números reales desde menos infinito hasta más infinito, entonces vamos a escoger un valor intermedio, puede ser cualquier número real para partir esa integral en otras dos siguiendo esta propiedad. Vamos a escoger por ejemplo el valor cero, entonces tendremos la integral desde menos infinito hasta cero de esa función 5 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x más la integral desde cero hasta infinito de la misma función con su diferencial de x. Tenemos allí dos integrales impropias que vamos a estudiar por separado, esta la vamos a llamar la integral 1 y esta vamos a llamarla la integral 2. Vamos entonces con la primera integral impropia, allí debemos cambiar el límite inferior que es menos infinito por una letra, vamos a utilizar la letra a, entonces tenemos la integral desde a hasta cero de la función 5 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x y a todo esto vamos a tomarle el límite cuando a tiende a menos infinito. Enseguida debemos determinar la antiderivada para esta función, vamos a realizar eso por acá la integral indefinida de 5 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x, allí podemos extraer el 5 que multiplica con la integral de 1 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x y aquí tenemos una integral directa, nos va a quedar 5 por tangente a la menos 1 de x, recordemos que la derivada de tangente a la menos 1 de x es esto, 1 sobre 1 más x al cuadrado, esta será entonces la antiderivada para esta función. Entonces tendremos el límite cuando a tiende a menos infinito, abrimos un corchete, la integral de esto que nos dio 5 por tangente a la menos 1 de x y como es una integral definida trazamos esta línea y anotamos los límites de integración que son a y cero y cerramos el corchete que nos protege la expresión. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y enseguida vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, entonces vamos a evaluar estos límites de integración en la antiderivada, comenzamos reemplazando el cero aquí donde está la x, nos queda 5 por tangente a la menos 1 de cero y a eso le restamos el reemplazo del límite inferior también en la antiderivada, o sea 5 por tangente a la menos 1 de a y cerramos el corchete. Ahora tenemos que resolver este límite, la tangente a la menos 1 de cero nos da como resultado cero grados o cero radianes, acá debemos trabajar en radianes y acá si a toma el valor menos infinito tendremos tangente a la menos 1 de menos infinito que podemos hacerlo en la calculadora científica, hacemos tangente a la menos 1 de menos mil o de menos diez mil y encontramos que el resultado es un valor muy cercano a menos 90 grados, eso en radianes equivale a menos pi medios. Resolvemos ahora estas operaciones, 5 por cero nos da cero, este primer término se elimina, y acá tenemos menos 5 por menos pi medios que nos da 5 pi medios positivo y ese será el resultado de la primera integral, como obtuvimos un número real decimos que esa integral impropia converge. Escribimos entonces ese resultado por aquí, la integral 1 nos dio 5 pi medios, dijimos que converge, escribimos la letra c y ahora debemos entrar a revisar la integral 2, si acá hubiéramos tenido una integral que diverge no habría necesidad de estudiar la integral 2, si acá nos da que diverge el ejercicio original será una integral impropia que diverge, pero como acá nos dio que la primera converge estamos en la obligación de analizar la segunda, si esta converge entonces toda la integral impropia converge, si esta nos da que diverge entonces la original también diverge. Comenzamos con la segunda integral, tenemos infinito en el límite superior entonces vamos a cambiar eso por la letra b, abajo nos queda el cero, la función no cambia, sigue siendo 5 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x y a todo esto le tomamos el límite cuando b tiende a infinito, lo que tenemos originalmente en el límite superior. La antiderivada de esta función ya la encontramos, entonces tenemos límite cuando b tiende a infinito, abrimos el corchete, dijimos que la integral de esa expresión es 5 por tangente a la menos 1 de x y esto vamos a evaluarlo en los límites cero y b, los límites de integración y cerramos el corchete que nos protege esa expresión. Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, vamos a seguir por acá, tendremos límite cuando b tiende a infinito y vamos a reemplazar primero el límite superior, ahora aquí donde tenemos la x nos queda 5 por tangente a la menos 1 de b menos el reemplazo de cero aquí donde tenemos x, 5 por tangente a la menos 1 de cero y cerramos el corchete. Ahora vamos a resolver este límite, aquí tenemos tangente a la menos 1 de cero que dijimos que da como resultado cero radianes y acá si b toma el valor más infinito tendremos tangente a la menos 1 de un número real muy grande, en calculadora científica podemos hacer tangente a la menos 1 de mil o de 10 mil o de un millón del número que queramos pero muy grande y eso nos da un resultado muy cercano a 90 grados que equivale a pi medios, entonces el resultado de este límite será 5 por pi medios que es 5 pi medios y acá tenemos 5 por cero que nos da cero, este término se elimina y tenemos esta respuesta que será el resultado para la segunda integral impropia, como obtuvimos un número real decimos que esa integral converge, entonces la integral 2 nos dio también 5 pi medios o sea que también converge por lo tanto la integral original va a ser convergente porque las dos integrales que la conforman ambas son convergentes, hacemos entonces la suma de esas dos cantidades y obtenemos 5 pi medios más 5 pi medios eso nos da 10 pi medios que equivale a 5 pi, entonces la conclusión para el ejercicio original es que se trata de una integral impropia que converge, escribimos entonces la respuesta por aquí y a continuación vamos a ver qué es lo que sucede con esta integral gráficamente, allí se observa un bosquejo de la gráfica de la función que tenemos en el integrando, la función 5 sobre 1 más x al cuadrado vemos que se trata de una función continua en todos los números reales, corta el eje y en la ordenada 5 porque si x toma el valor 0 esto nos da cero abajo nos queda denominador 1 y 5 sobre 1 es 5 también se observa que el eje x es asíntota horizontal, esta integral impropia representa el área que hay bajo esta curva desde menos infinito hasta más infinito es decir esta región que aparece señalada con color verde, el área de esa región plana será de 5 pi unidades cuadradas, si multiplicamos 5 por pi nos da aproximadamente 15.71 unidades cuadradas que corresponde al área bajo la curva desde menos infinito hasta más infinito con esto terminamos este ejercicio.
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553.68, "text": " converge por lo tanto la integral original va a ser convergente porque las dos integrales"}, {"start": 553.68, "end": 561.8, "text": " que la conforman ambas son convergentes, hacemos entonces la suma de esas dos cantidades y"}, {"start": 561.8, "end": 569.64, "text": " obtenemos 5 pi medios m\u00e1s 5 pi medios eso nos da 10 pi medios que equivale a 5 pi, entonces"}, {"start": 569.64, "end": 577.56, "text": " la conclusi\u00f3n para el ejercicio original es que se trata de una integral impropia que"}, {"start": 577.56, "end": 583.7199999999999, "text": " converge, escribimos entonces la respuesta por aqu\u00ed y a continuaci\u00f3n vamos a ver qu\u00e9"}, {"start": 583.7199999999999, "end": 590.56, "text": " es lo que sucede con esta integral gr\u00e1ficamente, all\u00ed se observa un bosquejo de la gr\u00e1fica"}, {"start": 590.56, "end": 600.7199999999999, "text": " de la funci\u00f3n que tenemos en el integrando, la funci\u00f3n 5 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado vemos"}, {"start": 600.7199999999999, "end": 609.04, "text": " que se trata de una funci\u00f3n continua en todos los n\u00fameros reales, corta el eje y en la ordenada"}, {"start": 609.04, "end": 616.3599999999999, "text": " 5 porque si x toma el valor 0 esto nos da cero abajo nos queda denominador 1 y 5 sobre"}, {"start": 616.36, "end": 625.24, "text": " 1 es 5 tambi\u00e9n se observa que el eje x es as\u00edntota horizontal, esta integral impropia"}, {"start": 625.24, "end": 632.36, "text": " representa el \u00e1rea que hay bajo esta curva desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito es"}, {"start": 632.36, "end": 639.5600000000001, "text": " decir esta regi\u00f3n que aparece se\u00f1alada con color verde, el \u00e1rea de esa regi\u00f3n plana"}, {"start": 639.56, "end": 651.76, "text": " ser\u00e1 de 5 pi unidades cuadradas, si multiplicamos 5 por pi nos da aproximadamente 15.71 unidades"}, {"start": 651.76, "end": 658.7199999999999, "text": " cuadradas que corresponde al \u00e1rea bajo la curva desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito"}, {"start": 658.72, "end": 670.64, "text": " con esto terminamos este ejercicio."}]