INTEGRACIÓN POR MÉTODO TABULAR - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método Tabular.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida. Inicialmente podríamos pensar en utilizar el método de integración por partes, por la combinación de funciones que aparecen acá. Bueno, previamente revisamos si la integral se puede resolver en forma directa, vemos que no es así, tampoco funcionaría el método de sustitución, entonces decidimos utilizar el método de integración por partes. Como decíamos, aquí tenemos dos funciones, una de tipo algebraico, que es una potencia x al cuadrado y otra de tipo trigonométrico. Si utilizamos la técnica de Ilate, entonces clasificaríamos las funciones en las categorías algebraica y trigonométrica. De izquierda a derecha, la primera letra que encontramos es la letra A, por lo tanto la función algebraica, es decir, x al cuadrado haría el papel de u y todo lo demás, incluyendo el diferencial de x, haría el papel de dv para utilizar el método de integración por partes. Sin embargo, escoger ese camino puede demandar un proceso extenso para resolver esta integral indefinida. Tendríamos que utilizar el método de integración por partes en dos ocasiones. Vamos a tomar entonces otro camino, que es el método tabular. Y para ello tenemos aquí una función x al cuadrado que si se deriva sucesivamente, va a llegar un momento en que obtenemos cero. Por acá tenemos una función que también es fácilmente integrable. Entonces vamos a llamar a la función que se va a derivar, la vamos a llamar adx y a la que vamos a integrar la llamaremos bdx. Creamos entonces dos columnas cuyos encabezados son adx y sus derivadas. Entonces aquí anotamos x al cuadrado, la expresión correspondiente a adx y por acá tenemos bdx y sus integrales. Acá anotamos coseno de x, que es la expresión correspondiente a bdx. En seguida vamos a obtener acá las derivadas. Derivada de x al cuadrado es 2x, derivada de 2x es 2, derivada de 2 es cero, derivada de cero vuelve a dar cero, entonces hacia abajo ya sabemos que vamos a obtener siempre cero. Pasamos acá donde vamos a integrar sucesivamente las funciones que nos aparezcan aquí. Es integral de coseno de x es seno de x, integral de seno de x es menos coseno de x, integral de menos coseno de x es menos seno de x, integral de menos seno de x será coseno de x y así sucesivamente. Ahora vamos a conectar este primer componente con el segundo que tenemos en la otra columna. Utilizamos para ello esta flecha y vamos a seguir esa misma configuración para conectar los otros componentes, siempre en diagonal y para ello utilizamos estas flechas. Ahora en la primera vamos a escribir signo más, en la segunda signo menos, en la que sigue signo más y en la otra signo menos. Sigue intercalados comenzando con signo más. Con esto que hemos hecho ya podemos conformar la solución para esa integral. Comenzamos con signo positivo y multiplicamos estos dos componentes, x al cuadrado por seno de x. Continuamos con signo negativo y multiplicamos estos dos componentes, 2x por entre paréntesis menos coseno de x. Luego tenemos signo más, multiplicamos 2 por menos seno de x. Luego tendríamos signo menos y multiplicaríamos 0 por coseno de x, pero allí el producto se anula y lo mismo sucedería para los elementos que siguen. Entonces allí, como no tenemos más términos para agregar, escribimos la constante de integración. Ahora lo que vamos a hacer es pulir esta expresión. Tendremos por acá x al cuadrado por seno de x. Acá menos por menos nos da más, 2x por coseno de x. Y acá, más por menos nos da menos, 2x seno de x. Y de esta manera ya tenemos el resultado para esa integral indefinida. Para mayor tranquilidad vamos a realizar la comprobación de este ejercicio. Para ello vamos a derivar con respecto a x toda esta expresión que obtuvimos. Como se observa, aquí tenemos suma y resta de términos. Entonces vamos a derivar cada uno de ellos. Comenzamos con el primero donde hay un producto. Utilizamos entonces la regla del producto para derivar funciones. Comenzamos con la derivada del primer componente, derivada de x al cuadrado que es 2x, por el segundo sin derivar, seno de x, más el primer componente sin derivar, x al cuadrado por la derivada del segundo componente, la derivada de seno de x es coseno de x. Vamos al siguiente término. Tenemos aquí otro producto. Otra vez utilizamos la regla del producto para derivación. Derivada del primer componente, derivada de 2x es 2, por el segundo componente sin derivar, que es coseno de x, luego tenemos más el primer componente sin derivar, que es 2x, por la derivada del segundo componente, la derivada de coseno de x es menos seno de x. Vamos al siguiente término, donde este número se deja quieto y derivamos lo que está enseguida. Derivada de seno de x es coseno de x y la derivada de la constante c es cero. A continuación pulimos esta expresión. Por acá este primer término queda igual 2x seno de x. El siguiente también permanece igual más x al cuadrado por coseno de x. Este también queda igual más 2 coseno de x. Aquí, más por menos nos da menos 2x por seno de x. Este queda igual y obviamos el cero. Revisamos los términos que nos quedaron y allí se observan algunos que son opuestos, como estos dos que se pueden cancelar o eliminar. También sucede lo mismo con estos dos. Entonces los quitamos y nos queda x al cuadrado por coseno de x, que es lo que tenemos acá en el integrando. Entonces con eso verificamos que este resultado es correcto. ¡Suscríbete al canal!
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