VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN USANDO DISCOS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo determinar el volumen de un sólido de revolución, usando el Método de los Discos.

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 Para resolver este ejercicio vamos a considerar la región que nos da el problema. Esta parte de acá que está limitada por la curva y igual a 1 sobre x. Como esa región va a girar con relación al eje de x, va a presentar el giro, entonces vamos a dibujar cuál es el reflejo de esta figura acá por debajo del eje x. Este punto lo reflejamos por acá, es decir, si tiene ordenada 1 ahora tendrá ordenada menos 1, y este puntito que tiene ordenada 1 medio ahora tendrá ordenada menos 1 medio. Entonces podemos dibujar como el reflejo de esta figura acá. Esta parte de la curva la tendremos más o menos como así. Esto quiere decir que el sólido será macizo porque la región que teníamos originalmente, es decir, esta de acá, al presentar la rotación con respecto al eje de las x, entonces conforma un sólido que es completamente macizo. Vamos a ver la forma del sólido, más o menos sería algo como así. Viéndolo en forma tridimensional esto formaría una figura parecida a esto. Si es una figura completamente maciza, por acá tendríamos el eje de rotación que sería el eje x, por acá saldría ese eje, entonces tendríamos un sólido totalmente macizo. Para este sólido vamos a utilizar el método de los discos. Si imaginamos que este sólido está conformado por una serie de discos o una serie de rebanadas, entonces vamos a considerar una de ellas. Por ejemplo, cogemos esta rebanadita, que correspondería a realizar aquí una franja vertical, más o menos como esta que estamos dibujando, que sería entonces este rectángulito que representa como el corte de este sólido y la rebanadita que hemos considerado. Esta rebanadita tendrá un volumen que vamos a llamar dv. Entonces vamos a concentrarnos en el cálculo de ese volumen de esa rebanadita. Esta franja está ubicada en un valor x cualquiera comprendido entre 1 y 2. Entonces podemos decir que x es cualquier valor comprendido entre 1 y 2. Entonces si nosotros la sacamos aparte nos forma como una especie de monedita, que vamos a dibujar por aquí, esta monedita de un grosor muy pequeño, un grosor que va a ser el ancho de esta franja y es una medida que vamos a llamar dx. El ancho de esa franjita será dx. ¿Por qué dx? Porque es un pedacito muy pequeñito que se mide en la dirección del eje x. Entonces ese será el espesor de esta monedita. De esta rebanada que hemos tomado del sólido. Por aquí tenemos el eje x y nos interesa entonces determinar el radio de esta monedita, de este cilindrito. Entonces veamos cuál es el radio. El radio será esta distancia desde aquí hasta la curva. Es decir, será una distancia y controlada por esta curva y esa curva se llama 1 sobre x. Es decir, la distancia de aquí a aquí, la ordenada para esta abscisa x viene determinada por la función que es 1 sobre x. Entonces ya hemos determinado lo más importante de esta rebanada. Esa será entonces la altura del cilindro, el espesor del cilindro. Tenemos su radio y entonces como decíamos, eso será dv, el diferencial de volumen del sólido que vamos a calcular. Vamos entonces a encontrar dv y a proceder con la integral. dv es el volumen del disco, lo que nosotros hemos llamado la monedita o la rebanadita. Ese dv corresponde al volumen de un cilindro y la formulita geométrica para el calculo del volumen de un cilindro es ir cuadrado por h. Pi por el radio al cuadrado por la altura del cilindro. En nuestro caso hemos dicho que el radio viene determinado por la curva que es 1 sobre x, este elevado al cuadrado, y la altura del cilindro, es decir, el espesor de nuestro disco o monedita, dijimos que es dx. Desarrollando esta expresión nos quedaría pi sobre x al cuadrado dx y procedemos a integrar a los dos lados. Vamos entonces a integrar, colocamos el símbolo de integral en ambos lados de la igualdad y de una vez vamos a definir nuestros límites de integración. Habíamos dicho que x tomaba valores entre 1 y 2, por lo tanto esos eran los límites de integración para el lado derecho. La integral de db será b, vamos a continuarlo por acá, la integral de db será b, es decir, el volumen del sólido que estamos calculando. De aquí podemos sacar el número pi por ser una constante y nos queda la integral que va desde 1 hasta 2 y podemos subir esa x quedando como x a la menos 2 acompañado de su diferencial dx. Ahorremos esa integral, nos queda entonces pi, abrimos una llavecita, integral de x a la menos 2 sería x a la menos 1 sobre menos 1, todo esto evaluado entre 1 y 2. Organizamos un poco esa expresión, este menos podemos sacarlo para que acompañe el número pi y adentro nos quedaría x a la menos 1 que corresponde a 1 sobre x. Todo esto evaluado entre 1 y 2. Replazamos los límites de integración, primero entra el superior, nos queda 1 medio, luego entra el inferior, quedaría 1 sobre 1, es decir 1. Resolviendo eso nos queda menos pi por menos 1 medio y esto, efectuando ley de los signos, multiplicación y organizando, nos da un resultado final de pi medios. Como esto corresponde a un volumen, entonces escribimos unidades cúbicas. Y esta será entonces la respuesta a nuestro problema, este es entonces el volumen del sólido de revolución que nos plantean.
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