50. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS (Ejercicio 6)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 50: Movimientos Rectilíneos (Ejercicio 6).

Sobre un camino recto, dos puntos A y B están separados 300 m. Partiendo del reposo, un móvil sale de A hacia B acelerando a razón de 2 m/s². Simultáneamente otro móvil sale de B hacia A con velocidad constante de 20 m/s. ¿A qué distancia de A ocurre el encuentro? 

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En esta situación vamos a tomar como sistema de referencia el eje X en metros y sobre él localizamos los puntos A y B que se encuentran separados entre sí 300 metros tal como lo dice el enunciado entonces podemos establecer como posición 0 el sitio donde está A y como posición 300 el sitio donde está B nos dicen que del punto A sale un móvil hacia B el se va a mover hacia la derecha este móvil parte del reposo es decir su velocidad inicial es igual a 0 y va a presentar una aceleración de 2 metros por segundo cuadrado este lo vamos a llamar entonces el móvil A vamos a establecer su ecuación de posición tiene movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y parte de la posición 0 entonces esta es la ecuación de posición para este tipo de movimiento y en ella vamos a reemplazar la información que conocemos llamamos XA a la posición del móvil A y esto es igual a 1 medio por la aceleración que entra como 2 por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial que es 0 porque más la posición inicial que es 0 simplificando toda esa expresión nos queda que la posición del móvil A es igual a T al cuadrado tenemos entonces la ecuación número 1 que es la de posición en términos del tiempo para el móvil A vamos a escribirla por aquí y nos dice también el problema que del punto B sale otro móvil hacia A se mueve hacia la izquierda parte en el mismo instante en que empieza a moverse el móvil A pero este se mueve con una velocidad constante de 20 metros por segundo entonces para el móvil B tenemos un movimiento rectilíneo uniforme con una velocidad igual a menos 20 metros por segundo y el signo negativo obedece a que se mueve hacia la izquierda en nuestro sistema de referencia la ecuación de posición para un movimiento rectilíneo uniforme tiene esta forma entonces la adecuamos para el móvil B entonces posición del móvil B será igual a menos 20 que es la velocidad por el tiempo más la posición inicial este móvil empieza a moverse en la posición 300 entonces su posición inicial es 300 metros esta es la expresión número 2 para el móvil B esa expresión la anotamos por acá y el problema nos pregunta dónde ocurre el encuentro de los dos móviles es decir más o menos como por aquí se van a encontrar queremos saber cuál es la posición de encuentro medida a partir de A que se encuentra en el origen ese encuentro se va a producir cuando las dos posiciones sean iguales cuando los móviles se encuentren exactamente en la misma posición entonces vamos a reemplazar cada posición por su expresión correspondiente y vemos que se nos forma una ecuación cuadrática vamos a pasar esos términos para el lado izquierdo para dejarla igualada a cero y vamos a resolver esa ecuación cuadrática podríamos usar la factorización factorizamos este trinomio 2 paréntesis eso está igualado a cero raíz cuadrada de t al cuadrado este signos más por más nos da más más por menos nos da menos y buscamos dos números uno positivo y otro negativo que multiplicados entre sí nos den menos 300 y que sumados entre sí nos den 20 esos números son 30 positivo y 10 negativo entonces allí hemos logrado factorizar la expresión aquí aplicamos el teorema del factor nulo si esto por eso es igual a cero entonces esto se iguala a cero o esto también se iguala a cero tenemos t más 30 igual a cero o t menos 10 igual a cero despejamos para t en cada caso por aquí nos queda t igual a menos 30 y por acá t igual a 10 lógicamente un tiempo no puede ser negativo por lo tanto descartamos esta posibilidad y nos quedamos con t igual a 10 segundos entonces esto nos dice que el encuentro de los dos móviles ocurre 10 segundos después de que empiezan a moverse para determinar la posición de encuentro de los móviles entonces simplemente sustituimos t igual a 10 segundos en cualquiera de las expresiones uno o dos vamos a reemplazar por ejemplo en la primera tendremos xa igual a 10 al cuadrado y eso nos da xa igual a 100 metros que quiere decir esto que el encuentro de los dos móviles ocurre en la posición 100 es decir más o menos como por aquí aquí se encuentran es decir se encuentran a 100 metros del punto A todo lo anterior podríamos llevarlo a una gráfica posición contra tiempo la posición en metros y el tiempo en segundos vemos en color azul la gráfica correspondiente a la posición del móvil A como este cuadrado forma una parábola concava hacia arriba eso nos indica que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia la derecha y vemos en color rojo la gráfica del móvil B es una función lineal una línea recta con pendiente negativa porque ese móvil va hacia la izquierda tiene velocidad igual a menos 20 recordemos que en una recta que tengamos en el gráfico posición tiempo la pendiente nos indica la velocidad vemos el punto de corte de las dos gráficas que es justamente el encuentro el encuentro ocurre en T igual a 10 segundos y ocurre en la posición 100 es decir 100 metros separados del punto A que se encuentra en la posición 0 aquí teníamos el punto A en 0 y por acá en la posición 300 teníamos el punto B entonces de esta manera terminamos el ejercicio
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"text": " este m\u00f3vil empieza a moverse en la posici\u00f3n 300 entonces su posici\u00f3n inicial es 300 metros"}, {"start": 202.72, "end": 208.72, "text": " esta es la expresi\u00f3n n\u00famero 2 para el m\u00f3vil B"}, {"start": 208.72, "end": 217.72, "text": " esa expresi\u00f3n la anotamos por ac\u00e1 y el problema nos pregunta d\u00f3nde ocurre el encuentro de los dos m\u00f3viles"}, {"start": 217.72, "end": 224.72, "text": " es decir m\u00e1s o menos como por aqu\u00ed se van a encontrar queremos saber cu\u00e1l es la posici\u00f3n de encuentro"}, {"start": 224.72, "end": 235.72, "text": " medida a partir de A que se encuentra en el origen ese encuentro se va a producir cuando las dos posiciones sean iguales"}, {"start": 235.72, "end": 246.72, "text": " cuando los m\u00f3viles se encuentren exactamente en la misma posici\u00f3n entonces vamos a reemplazar cada posici\u00f3n por su expresi\u00f3n correspondiente"}, {"start": 246.72, "end": 252.72, "text": " y vemos que se nos forma una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica vamos a pasar esos t\u00e9rminos para el lado izquierdo"}, {"start": 252.72, "end": 260.72, "text": " para dejarla igualada a cero y vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 260.72, "end": 268.72, "text": " podr\u00edamos usar la factorizaci\u00f3n factorizamos este trinomio 2 par\u00e9ntesis eso est\u00e1 igualado a cero"}, {"start": 268.72, "end": 277.72, "text": " ra\u00edz cuadrada de t al cuadrado este signos m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s m\u00e1s por menos nos da menos"}, {"start": 277.72, "end": 286.72, "text": " y buscamos dos n\u00fameros uno positivo y otro negativo que multiplicados entre s\u00ed nos den menos 300 y que sumados entre s\u00ed nos den 20"}, {"start": 286.72, "end": 296.72, "text": " esos n\u00fameros son 30 positivo y 10 negativo entonces all\u00ed hemos logrado factorizar la expresi\u00f3n"}, {"start": 296.72, "end": 306.72, "text": " aqu\u00ed aplicamos el teorema del factor nulo si esto por eso es igual a cero entonces esto se iguala a cero o esto tambi\u00e9n se iguala a cero"}, {"start": 306.72, "end": 321.72, "text": " tenemos t m\u00e1s 30 igual a cero o t menos 10 igual a cero despejamos para t en cada caso por aqu\u00ed nos queda t igual a menos 30 y por ac\u00e1 t igual a 10"}, {"start": 321.72, "end": 332.72, "text": " l\u00f3gicamente un tiempo no puede ser negativo por lo tanto descartamos esta posibilidad y nos quedamos con t igual a 10 segundos"}, {"start": 332.72, "end": 342.72, "text": " entonces esto nos dice que el encuentro de los dos m\u00f3viles ocurre 10 segundos despu\u00e9s de que empiezan a moverse"}, {"start": 342.72, "end": 355.72, "text": " para determinar la posici\u00f3n de encuentro de los m\u00f3viles entonces simplemente sustituimos t igual a 10 segundos en cualquiera de las expresiones uno o dos"}, {"start": 355.72, "end": 367.72, "text": " vamos a reemplazar por ejemplo en la primera tendremos xa igual a 10 al cuadrado y eso nos da xa igual a 100 metros"}, {"start": 367.72, "end": 385.72, "text": " que quiere decir esto que el encuentro de los dos m\u00f3viles ocurre en la posici\u00f3n 100 es decir m\u00e1s o menos como por aqu\u00ed aqu\u00ed se encuentran es decir se encuentran a 100 metros del punto A"}, {"start": 385.72, "end": 393.72, "text": " todo lo anterior podr\u00edamos llevarlo a una gr\u00e1fica posici\u00f3n contra tiempo la posici\u00f3n en metros y el tiempo en segundos"}, {"start": 393.72, "end": 404.72, "text": " vemos en color azul la gr\u00e1fica correspondiente a la posici\u00f3n del m\u00f3vil A como este cuadrado forma una par\u00e1bola concava hacia arriba"}, {"start": 404.72, "end": 415.72, "text": " eso nos indica que se trata de un movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado hacia la derecha y vemos en color rojo la gr\u00e1fica del m\u00f3vil B"}, {"start": 415.72, "end": 427.72, "text": " es una funci\u00f3n lineal una l\u00ednea recta con pendiente negativa porque ese m\u00f3vil va hacia la izquierda tiene velocidad igual a menos 20"}, {"start": 427.72, "end": 435.72, "text": " recordemos que en una recta que tengamos en el gr\u00e1fico posici\u00f3n tiempo la pendiente nos indica la velocidad"}, {"start": 435.72, "end": 449.72, "text": " vemos el punto de corte de las dos gr\u00e1ficas que es justamente el encuentro el encuentro ocurre en T igual a 10 segundos y ocurre en la posici\u00f3n 100"}, {"start": 449.72, "end": 463.72, "text": " es decir 100 metros separados del punto A que se encuentra en la posici\u00f3n 0 aqu\u00ed ten\u00edamos el punto A en 0 y por ac\u00e1 en la posici\u00f3n 300 ten\u00edamos el punto B"}, {"start": 463.72, "end": 467.72, "text": " entonces de esta manera terminamos el ejercicio"}]