RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Al final, hace la comprobación en calculadora.

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 Vamos a racionalizar esta fracción numérica, es decir, vamos a conseguir otra expresión equivalente sin radicales en el denominador. Vamos a resolver este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por simplificar la raíz cuadrada de 12. Veamos, vamos a descomponer ese número en factores primos. Decimos entonces mitad de 12, allí utilizamos el primer número primo que es el 2, entonces mitad de 12 nos da 6, otra vez usamos el 2, mitad de 6 nos da 3 y para el 3 utilizamos el número primo 3, tercera de 3 nos da 1. Entonces 12 es igual a 2 por 2 por 3, es decir, 2 al cuadrado multiplicado por 3. Aquí podemos entonces ya aplicar la raíz cuadrada a ambos lados, raíz cuadrada de 12 será igual a la raíz cuadrada de 2 al cuadrado por 3 y allí podemos aplicar una propiedad de la radicación, esa que nos dice que cuando hay multiplicación dentro de la raíz, esta puede repartirse, entonces tendremos raíz cuadrada de 2 al cuadrado y eso multiplicado por la raíz cuadrada de 3. Ahora la raíz cuadrada de 2 al cuadrado equivale a 2 porque el exponente 2 se elimina o se cancela con la raíz del índice 2, con la raíz cuadrada, visto de otra manera esto nos produce valor absoluto de 2 que es igual a 2 y eso queda multiplicando con raíz cuadrada de 3. Entonces reescribimos la expresión original cambiando raíz cuadrada de 12 por lo que obtuvimos que es 2 raíz de 3 y esto nos queda en el numerador sumando con 1, en el denominador tenemos 7 menos 2 raíz cuadrada de 3, allí no es posible simplificar esa raíz y entonces vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugación, es decir vamos a multiplicar por otra fracción que equivale a la unidad y que se conforma con el conjugado de esto que tenemos en el denominador. Para una resta de dos cantidades por ejemplo a menos b su conjugado es a más b y vice versa es decir para a más b su conjugado es a menos b simplemente se cambia el signo de la mitad, el objetivo de la conjugación es aplicar el producto notable llamado suma por diferencia que nos da como resultado una diferencia de cuadrados perfectos, es decir la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces en este caso para 7 menos 2 raíz de 3 su conjugado será 7 más 2 raíz cuadrada de 3 y esto que escribimos en el denominador debemos repetirlo en el numerador porque como decíamos esta fracción debe ser equivalente a 1, para ello tanto el numerador como el denominador deben ser iguales. Realizamos ahora la multiplicación de estas dos fracciones recordemos que eso se hace multiplicando de manera horizontal numeradores entre sí y denominadores entre sí vamos a escribir acá el producto de numeradores 2 raíz de 3 más 1 y eso multiplicado por 7 más 2 raíz de 3 allí tenemos que proteger con paréntesis cada uno de esos binomios y en el denominador la multiplicación de estas dos cantidades se hace de acuerdo con este modelo aquí tenemos a menos b y aquí tenemos a más b entonces como dice acá tendremos al cuadrado menos b al cuadrado es decir 7 que hace el papel de a elevado al cuadrado menos la cantidad que hace el papel de b que es 2 raíz de 3 y todo eso elevado al cuadrado. Ahora vamos a resolver las operaciones que tenemos tanto en el numerador como en el denominador veamos para el caso del numerador tenemos la multiplicación de dos binomios entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva comenzamos con 2 raíz de 3 que va a multiplicar a estos dos términos entonces tenemos 2 raíz de 3 por 7 eso nos da 14 raíz de 3 después tenemos 2 raíz de 3 por más 2 raíz de 3 eso nos queda término positivo y como se está multiplicando la cantidad por sí misma nos queda entonces 2 raíz de 3 todo esto al cuadrado ahora vamos a distribuir este uno multiplica a cada uno de esos términos entonces tenemos más 1 por 7 positivo nos da más 7 y más 1 por más 2 raíz de 3 nos da más 2 raíz de 3 ahora en el denominador vamos a desarrollar esas dos potencias acá 7 al cuadrado nos da 49 y esto menos esto que tenemos acá que resolvemos utilizando una propiedad de la potenciación si tenemos la multiplicación de dos cantidades y eso está elevado a un exponente n entonces se reparte el exponente para cada uno de los factores que tenemos en la base entonces en este caso será 2 al cuadrado y eso multiplicado por el otro componente raíz cuadrada de 3 que también queda elevado al cuadrado en esta expresión numérica este componente es igual a este recordemos que este proviene de acá y este es el mismo que tenemos en el numerador acá se ha repartido el exponente 2 tal como vimos hace un momento con la propiedad de la potenciación entonces vamos a resolver esto aquí tendremos 2 al cuadrado que es 4 por la raíz cuadrada de 3 que al elevarse al cuadrado nos da 3 el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y esto nos da como resultado 12 entonces todo este componente equivale a 12 vamos a escribir entonces lo que nos queda en el numerador allí podemos ya operar términos semejantes es el caso de 14 raíz de 3 más 2 raíz de 3 en realidad son radicales semejantes se suma 14 más 2 que es 16 eso queda acompañado de raíz cuadrada de 3 y este número que nos dio 12 toda esta expresión numérica que dio 12 se suma con 7 y nos da 19 positivo en el denominador tenemos 49 menos 12 que nos da como resultado 37 revisamos si esta expresión se puede simplificar vemos que no es posible allí tenemos que dejarla entonces con esto terminamos el ejercicio hemos obtenido una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador entonces allí damos cumplimiento al propósito de la racionalización otra forma de presentar el resultado es simplemente cambiar la posición de los términos en el numerador entonces nos queda 19 más 16 raíz de 3 aplicamos la propiedad conmutativa de la suma y todo esto nos queda sobre 37 entonces como decíamos allí termina el ejercicio la respuesta puede presentarse así o también de esta manera ahora vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora científica comenzamos oprimiendo el botón de fracción en el numerador vamos a escribir raíz cuadrada de 12 más 1 entonces botón de raíz cuadrada escribimos el 12 corremos el cursor hacia la derecha y escribimos más 1 pasamos ahora al denominador donde tenemos que escribir esto 7 menos 2 raíz de 3 entonces 7 menos 2 botón de raíz cuadrada y el 3 allí hemos ingresado la expresión numérica original oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado 19 más 16 raíz de 3 y todo eso sobre 37 con eso comprobamos que este ejercicio sea resuelto correctamente
[{"start": 0.0, "end": 9.3, "text": " Vamos a racionalizar esta fracci\u00f3n num\u00e9rica, es decir, vamos a conseguir otra expresi\u00f3n"}, {"start": 9.3, "end": 12.92, "text": " equivalente sin radicales en el denominador."}, {"start": 12.92, "end": 19.72, "text": " Vamos a resolver este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora."}, {"start": 19.72, "end": 23.44, "text": " Comenzamos por simplificar la ra\u00edz cuadrada de 12."}, {"start": 23.44, "end": 28.8, "text": " Veamos, vamos a descomponer ese n\u00famero en factores primos."}, {"start": 28.8, "end": 34.96, "text": " Decimos entonces mitad de 12, all\u00ed utilizamos el primer n\u00famero primo que es el 2, entonces"}, {"start": 34.96, "end": 42.120000000000005, "text": " mitad de 12 nos da 6, otra vez usamos el 2, mitad de 6 nos da 3 y para el 3 utilizamos"}, {"start": 42.120000000000005, "end": 46.040000000000006, "text": " el n\u00famero primo 3, tercera de 3 nos da 1."}, {"start": 46.040000000000006, "end": 55.519999999999996, "text": " Entonces 12 es igual a 2 por 2 por 3, es decir, 2 al cuadrado multiplicado por 3."}, {"start": 55.52, "end": 61.160000000000004, "text": " Aqu\u00ed podemos entonces ya aplicar la ra\u00edz cuadrada a ambos lados, ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 61.160000000000004, "end": 68.32000000000001, "text": " 12 ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado por 3 y all\u00ed podemos aplicar una"}, {"start": 68.32000000000001, "end": 73.08, "text": " propiedad de la radicaci\u00f3n, esa que nos dice que cuando hay multiplicaci\u00f3n dentro de la"}, {"start": 73.08, "end": 80.96000000000001, "text": " ra\u00edz, esta puede repartirse, entonces tendremos ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado y eso multiplicado"}, {"start": 80.96000000000001, "end": 84.64, "text": " por la ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 84.64, "end": 91.44, "text": " Ahora la ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado equivale a 2 porque el exponente 2 se elimina 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235.48000000000002, "text": " y en el denominador la multiplicaci\u00f3n de estas dos cantidades se hace de acuerdo con este"}, {"start": 235.48000000000002, "end": 241.18, "text": " modelo aqu\u00ed tenemos a menos b y aqu\u00ed tenemos a m\u00e1s b entonces como dice ac\u00e1 tendremos"}, {"start": 241.18, "end": 248.72, "text": " al cuadrado menos b al cuadrado es decir 7 que hace el papel de a elevado al cuadrado"}, {"start": 248.72, "end": 257.04, "text": " menos la cantidad que hace el papel de b que es 2 ra\u00edz de 3 y todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 257.04, "end": 263.04, "text": " Ahora vamos a resolver las operaciones que tenemos tanto en el numerador como en el denominador"}, {"start": 263.04, "end": 269.54, "text": " veamos para el caso del numerador tenemos la multiplicaci\u00f3n de dos binomios entonces"}, {"start": 269.54, "end": 276.0, "text": " vamos a aplicar la propiedad distributiva comenzamos con 2 ra\u00edz de 3 que va a multiplicar"}, {"start": 276.0, "end": 284.76, "text": " a estos dos t\u00e9rminos entonces tenemos 2 ra\u00edz de 3 por 7 eso nos da 14 ra\u00edz de 3 despu\u00e9s"}, {"start": 284.76, "end": 291.36, "text": " tenemos 2 ra\u00edz de 3 por m\u00e1s 2 ra\u00edz de 3 eso nos queda t\u00e9rmino positivo y como se"}, {"start": 291.36, "end": 298.24, "text": " est\u00e1 multiplicando la cantidad por s\u00ed misma nos queda entonces 2 ra\u00edz de 3 todo esto"}, {"start": 298.24, "end": 304.88, "text": " al cuadrado ahora vamos a distribuir este uno multiplica a cada uno de esos t\u00e9rminos"}, {"start": 304.88, "end": 312.8, "text": " entonces tenemos m\u00e1s 1 por 7 positivo nos da m\u00e1s 7 y m\u00e1s 1 por m\u00e1s 2 ra\u00edz de 3 nos"}, {"start": 312.8, "end": 321.94, "text": " da m\u00e1s 2 ra\u00edz de 3 ahora en el denominador vamos a desarrollar esas dos potencias ac\u00e1"}, {"start": 321.94, "end": 330.46, "text": " 7 al cuadrado nos da 49 y esto menos esto que tenemos ac\u00e1 que resolvemos utilizando"}, {"start": 330.46, "end": 335.71999999999997, "text": " una propiedad de la potenciaci\u00f3n si tenemos la multiplicaci\u00f3n de dos cantidades y eso"}, {"start": 335.71999999999997, "end": 341.64, "text": " est\u00e1 elevado a un exponente n entonces se reparte el exponente para cada uno de los"}, {"start": 341.64, "end": 349.17999999999995, "text": " factores que tenemos en la base entonces en este caso ser\u00e1 2 al cuadrado y eso multiplicado"}, {"start": 349.17999999999995, "end": 356.76, "text": " por el otro componente ra\u00edz cuadrada de 3 que tambi\u00e9n queda elevado al cuadrado en"}, {"start": 356.76, "end": 362.24, "text": " esta expresi\u00f3n num\u00e9rica este componente es igual a este recordemos que este proviene"}, {"start": 362.24, "end": 367.48, "text": " de ac\u00e1 y este es el mismo que tenemos en el numerador ac\u00e1 se ha repartido el exponente"}, {"start": 367.48, "end": 373.48, "text": " 2 tal como vimos hace un momento con la propiedad de la potenciaci\u00f3n entonces vamos a resolver"}, {"start": 373.48, "end": 380.15999999999997, "text": " esto aqu\u00ed tendremos 2 al cuadrado que es 4 por la ra\u00edz cuadrada de 3 que al elevarse"}, {"start": 380.15999999999997, "end": 386.56, "text": " al cuadrado nos da 3 el exponente 2 elimina la ra\u00edz cuadrada y esto nos da como resultado"}, {"start": 386.56, "end": 393.52, "text": " 12 entonces todo este componente equivale a 12 vamos a escribir entonces lo que nos"}, {"start": 393.52, "end": 400.16, "text": " queda en el numerador all\u00ed podemos ya operar t\u00e9rminos semejantes es el caso de 14 ra\u00edz"}, {"start": 400.16, "end": 409.0, "text": " de 3 m\u00e1s 2 ra\u00edz de 3 en realidad son radicales semejantes se suma 14 m\u00e1s 2 que es 16 eso"}, {"start": 409.0, "end": 415.48, "text": " queda acompa\u00f1ado de ra\u00edz cuadrada de 3 y este n\u00famero que nos dio 12 toda esta expresi\u00f3n"}, {"start": 415.48, "end": 425.12, "text": " num\u00e9rica que dio 12 se suma con 7 y nos da 19 positivo en el denominador tenemos 49 menos"}, {"start": 425.12, "end": 433.76, "text": " 12 que nos da como resultado 37 revisamos si esta expresi\u00f3n se puede simplificar vemos"}, {"start": 433.76, "end": 439.56, "text": " que no es posible all\u00ed tenemos que dejarla entonces con esto terminamos el ejercicio"}, {"start": 439.56, "end": 446.32, "text": " hemos obtenido una expresi\u00f3n num\u00e9rica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales"}, {"start": 446.32, "end": 452.96, "text": " en el denominador entonces all\u00ed damos cumplimiento al prop\u00f3sito de la racionalizaci\u00f3n otra"}, {"start": 452.96, "end": 458.52, "text": " forma de presentar el resultado es simplemente cambiar la posici\u00f3n de los t\u00e9rminos en el"}, {"start": 458.52, "end": 466.88, "text": " numerador entonces nos queda 19 m\u00e1s 16 ra\u00edz de 3 aplicamos la propiedad conmutativa de"}, {"start": 466.88, "end": 475.04, "text": " la suma y todo esto nos queda sobre 37 entonces como dec\u00edamos all\u00ed termina el ejercicio"}, {"start": 475.04, "end": 482.12, "text": " la respuesta puede presentarse as\u00ed o tambi\u00e9n de esta manera ahora vamos a comprobar este"}, {"start": 482.12, "end": 488.38, "text": " ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n"}, {"start": 488.38, "end": 494.82, "text": " en el numerador vamos a escribir ra\u00edz cuadrada de 12 m\u00e1s 1 entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 494.82, "end": 501.88, "text": " escribimos el 12 corremos el cursor hacia la derecha y escribimos m\u00e1s 1 pasamos ahora"}, {"start": 501.88, "end": 509.96, "text": " al denominador donde tenemos que escribir esto 7 menos 2 ra\u00edz de 3 entonces 7 menos"}, {"start": 509.96, "end": 517.36, "text": " 2 bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y el 3 all\u00ed hemos ingresado la expresi\u00f3n num\u00e9rica original"}, {"start": 517.36, "end": 524.5, "text": " oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado 19 m\u00e1s 16 ra\u00edz de 3 y todo eso"}, {"start": 524.5, "end": 530.56, "text": " sobre 37 con eso comprobamos que este ejercicio sea resuelto correctamente"}]