LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 9
#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico.

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 Vamos a resolver detalladamente este límite trigonométrico y comenzamos por evaluar esta expresión cuando x toma el valor pi medios radianes. Veamos, en el numerador tendremos seno de 2 por el valor de x que es pi medios y todo esto está al cuadrado. Vamos a expresarlo de esta manera. Ahora, en el denominador tenemos 1 menos seno de x, pero x se cambia por pi medios. Veamos entonces cómo nos queda esto. En el numerador tendremos seno de 2 por pi medios, aquí podemos cancelar el número 2 y nos queda seno de pi. Todo esto elevado al cuadrado. En el denominador dejamos lo mismo, 1 menos el seno de pi medios. Ahora vamos a resolver cada una de esas expresiones trigonométricas. El seno de pi radianes corresponde al seno de 180 grados que equivale a 0. Y el seno de pi medios radianes corresponde al seno de 90 grados que equivale a 1. Entonces en el numerador tendremos 0 al cuadrado que nos da 0 y en el denominador 1 menos 1 que también es 0. Vemos así a una forma indeterminada, 0 sobre 0, que es como una voz de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresión. Comenzamos por utilizar la identidad trigonométrica para el seno del ángulo doble. Recordemos que dice así, seno de 2teta es igual a 2 por seno de teta por coseno del ángulo teta. Entonces acá tenemos seno de 2x, siguiendo esta instrucción será 2 por seno de x por coseno de x. Pero todo esto está elevado al cuadrado. Entonces aquí colocamos ese exponente. En el denominador permanece la misma expresión, 1 menos seno de x. Ahora como aquí tenemos un producto y todo eso está elevado al cuadrado, entonces podemos repartir este exponente para cada uno de los factores. Aplicamos esta propiedad de la potenciación. Si tenemos a por b por c, todo esto elevado al exponente n será igual a a la n por b a la n por c a la n. Entonces veamos, aquí 2 al cuadrado es 4, eso multiplicado por seno de x, todo eso al cuadrado lo escribimos como seno al cuadrado de x, por coseno de x elevado al cuadrado lo escribimos como coseno al cuadrado de x y en el denominador permanece lo mismo, 1 menos seno de x. Ahora aquí podemos utilizar la identidad fundamental de la trigonometría. Recordemos que dice seno al cuadrado de teta más coseno al cuadrado de teta y todo eso igual a 1. Pues bien, de allí podemos despejar lo que es coseno al cuadrado de teta. Entonces nos queda igual a 1 menos seno al cuadrado de teta. Pasamos este componente al otro lado a restar. Eso lo utilizamos aquí para cambiar coseno al cuadrado de x. Entonces nos queda 4 por seno al cuadrado de x, por allí hacemos el cambio siguiendo esta instrucción, coseno al cuadrado de x será 1 menos seno al cuadrado de x. Y en el denominador conservamos lo mismo, 1 menos seno de x. Ahora aquí tenemos lo que se llama una diferencia de cuadrados perfectos. Vamos a recordar el modelo que corresponde a ese caso de factorización. A al cuadrado menos b al cuadrado es igual a más b por a menos b, es decir se extrae la raíz cuadrada de cada uno de estos términos, para el primer caso sería a, para el segundo caso sería b y se anotan esas dos cantidades en una suma y en una diferencia multiplicando entre sí. Entonces vamos a factorizar siguiendo ese modelo esta diferencia de cuadrados perfectos. Lo demás permanece igual, 4 por seno al cuadrado de x. Y vamos entonces con la factorización, raíz cuadrada de uno nos da 1, raíz cuadrada de seno al cuadrado de x será seno de x. Entonces aquí anotamos la suma de esas dos cantidades y enseguida la diferencia de ellas. Como decíamos esas dos expresiones quedan multiplicando entre sí. Y en el denominador permanece lo mismo, 1 menos seno de x. Ahora aquí podemos simplificar esta expresión, vemos que 1 menos seno de x también lo tenemos arriba como factor, entonces podemos cancelar o eliminar ese componente. Nos queda entonces el límite cuando x tiene apimedios de 4 por seno al cuadrado de x y eso multiplicado por 1 más seno de x. Aquí podemos decir que este componente que logramos eliminar era el factor problema, porque como x tiende a apimedios, seno de apimedios nos da 1 y 1 menos 1 da 0. Entonces esto era el causante de la indeterminación inicial 0 sobre 0. Como ya logramos eliminar ese componente ya tenemos una expresión donde tranquilamente podemos volver a evaluar apimedios ya sin el riesgo de tener indeterminación. Entonces nos queda 4 por seno de x, en este caso seno de apimedios, todo esto elevado al cuadrado y eso multiplicado por 1 más seno de x, pero x toma el valor apimedios y protegemos esto con paréntesis. Como decíamos hace un momento, el seno de apimedios radianes, o sea, el seno de 90 grados equivale a 1. Entonces ya podemos reemplazar esos valores y podemos resolver las operaciones. Aquí tenemos 1 al cuadrado, entonces todo esto nos da 1 y por acá tenemos 1 más 1 que nos da como resultado 2. Entonces nos queda 4 por 1 por 2 que es igual a 8. Y de esta manera terminamos el ejercicio. 8 es el resultado para ese límite trigonométrico.
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100.12, "text": " Comenzamos por utilizar la identidad trigonom\u00e9trica para el seno del \u00e1ngulo doble."}, {"start": 100.12, "end": 106.92, "text": " Recordemos que dice as\u00ed, seno de 2teta es igual a 2 por seno de teta por coseno del"}, {"start": 106.92, "end": 108.60000000000001, "text": " \u00e1ngulo teta."}, {"start": 108.6, "end": 116.08, "text": " Entonces ac\u00e1 tenemos seno de 2x, siguiendo esta instrucci\u00f3n ser\u00e1 2 por seno de x por"}, {"start": 116.08, "end": 117.75999999999999, "text": " coseno de x."}, {"start": 117.75999999999999, "end": 121.39999999999999, "text": " Pero todo esto est\u00e1 elevado al cuadrado."}, {"start": 121.39999999999999, "end": 124.08, "text": " Entonces aqu\u00ed colocamos ese exponente."}, {"start": 124.08, "end": 130.44, "text": " En el denominador permanece la misma expresi\u00f3n, 1 menos seno de x."}, {"start": 130.44, "end": 136.44, "text": " Ahora como aqu\u00ed tenemos un producto y todo eso est\u00e1 elevado al 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ser\u00e1 1 menos seno al cuadrado de x."}, {"start": 222.32, "end": 228.88, "text": " Y en el denominador conservamos lo mismo, 1 menos seno de x."}, {"start": 228.88, "end": 233.96, "text": " Ahora aqu\u00ed tenemos lo que se llama una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 233.96, "end": 238.56, "text": " Vamos a recordar el modelo que corresponde a ese caso de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 238.56, "end": 245.76, "text": " A al cuadrado menos b al cuadrado es igual a m\u00e1s b por a menos b, es decir se extrae"}, {"start": 245.76, "end": 251.36, "text": " la ra\u00edz cuadrada de cada uno de estos t\u00e9rminos, para el primer caso ser\u00eda a, para el segundo"}, {"start": 251.36, "end": 257.56, "text": " caso ser\u00eda b y se anotan esas dos cantidades en una suma y en una diferencia multiplicando"}, {"start": 257.56, "end": 258.56, "text": " entre s\u00ed."}, {"start": 258.56, "end": 263.88, "text": " Entonces vamos a factorizar siguiendo ese modelo esta diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 263.88, "end": 268.0, "text": " Lo dem\u00e1s permanece igual, 4 por seno al cuadrado de x."}, {"start": 268.0, "end": 273.68, "text": " Y vamos entonces con la factorizaci\u00f3n, ra\u00edz cuadrada de uno nos da 1, ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 273.68, "end": 277.08, "text": " seno al cuadrado de x ser\u00e1 seno de x."}, {"start": 277.08, "end": 283.16, "text": " Entonces aqu\u00ed anotamos la suma de esas dos cantidades y enseguida la diferencia de ellas."}, {"start": 283.16, "end": 287.8, "text": " Como dec\u00edamos esas dos expresiones quedan multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 287.8, "end": 293.24, "text": " Y en el denominador permanece lo mismo, 1 menos seno de x."}, {"start": 293.24, "end": 299.44, "text": " Ahora aqu\u00ed podemos simplificar esta expresi\u00f3n, vemos que 1 menos seno de x tambi\u00e9n lo tenemos"}, {"start": 299.44, "end": 305.52, "text": " arriba como factor, entonces podemos cancelar o eliminar ese componente."}, {"start": 305.52, "end": 313.2, "text": " Nos queda entonces el l\u00edmite cuando x tiene apimedios de 4 por seno al cuadrado de x y"}, {"start": 313.2, "end": 318.48, "text": " eso multiplicado por 1 m\u00e1s seno de x."}, {"start": 318.48, "end": 324.96000000000004, "text": " Aqu\u00ed podemos decir que este componente que logramos eliminar era el factor problema,"}, {"start": 324.96000000000004, "end": 331.36, "text": " porque como x tiende a apimedios, seno de apimedios nos da 1 y 1 menos 1 da 0."}, {"start": 331.36, "end": 336.88, "text": " Entonces esto era el causante de la indeterminaci\u00f3n inicial 0 sobre 0."}, {"start": 336.88, "end": 342.58000000000004, "text": " Como ya logramos eliminar ese componente ya tenemos una expresi\u00f3n donde tranquilamente"}, {"start": 342.58, "end": 349.28, "text": " podemos volver a evaluar apimedios ya sin el riesgo de tener indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 349.28, "end": 356.64, "text": " Entonces nos queda 4 por seno de x, en este caso seno de apimedios, todo esto elevado"}, {"start": 356.64, "end": 365.03999999999996, "text": " al cuadrado y eso multiplicado por 1 m\u00e1s seno de x, pero x toma el valor apimedios"}, {"start": 365.03999999999996, "end": 368.0, "text": " y protegemos esto con par\u00e9ntesis."}, {"start": 368.0, "end": 374.36, "text": " Como dec\u00edamos hace un momento, el seno de apimedios radianes, o sea, el seno de 90 grados"}, {"start": 374.36, "end": 376.76, "text": " equivale a 1."}, {"start": 376.76, "end": 382.52, "text": " Entonces ya podemos reemplazar esos valores y podemos resolver las operaciones."}, {"start": 382.52, "end": 388.64, "text": " Aqu\u00ed tenemos 1 al cuadrado, entonces todo esto nos da 1 y por ac\u00e1 tenemos 1 m\u00e1s 1"}, {"start": 388.64, "end": 391.32, "text": " que nos da como resultado 2."}, {"start": 391.32, "end": 395.92, "text": " Entonces nos queda 4 por 1 por 2 que es igual a 8."}, {"start": 395.92, "end": 399.04, "text": " Y de esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 399.04, "end": 428.16, "text": " 8 es el resultado para ese l\u00edmite trigonom\u00e9trico."}]