INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicios 5 y 6
#julioprofe explica cómo resolver dos integrales trigonométricas.

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 En esta ocasión vamos a ver cómo se resuelven detalladamente estos dos ejercicios que corresponden a integrales trigonométricas. Para el caso del primer ejercicio necesitamos transformar esta expresión, o sea, el integrando, porque no tenemos integrales directas para cada uno de estos componentes. Recurrimos entonces a las identidades trigonométricas, una que dice tangente al cuadrado de x más 1 es igual a secante al cuadrado de x. De allí podemos despejar tangente al cuadrado de x. Nos queda entonces que eso es igual a secante al cuadrado de x menos 1. Este 1 que está sumando en el lado izquierdo pasa al lado derecho a restar. Y hay otra identidad parecida a esta que dice cotangente al cuadrado de x más 1 es igual a cosecante al cuadrado de x. Entonces de allí vamos a despejar cotangente al cuadrado de x y el procedimiento es similar al anterior. Quejamos, cosecante al cuadrado de x y esto queda menos 1. Estas se llaman identidades pitagóricas y se convierten en la clave para dar solución a este ejercicio. Lo que hacemos enseguida es sustituir esas expresiones que encontramos acá en el integrando. Tenemos entonces 5 que multiplica a tangente al cuadrado de x que es reemplazado por secante al cuadrado de x menos 1. Protejemos eso con paréntesis y acá tenemos menos 4 que multiplica a cotangente al cuadrado de x. Y ese componente se cambia por cosecante al cuadrado de x menos 1. Cerramos el paréntesis, cerramos también el corchete que protege todo el integrando y escribimos el diferencial de x. A continuación vamos a destruir estos paréntesis. Entonces tendremos la integral de 5 que multiplica a secante al cuadrado de x y 5 que multiplica a menos 1. O sea, menos 5. Allí hemos aplicado la propiedad distributiva. Lo mismo vamos a realizar acá. Aplicamos esa misma propiedad y entonces tenemos menos 4 por cosecante al cuadrado de x y menos 4 por menos 1 que nos da más 4. Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x. Ahora podemos operar estos dos números. Entonces veamos cómo nos queda la integral. Podemos cambiar ya el corchete por paréntesis. Escrevemos 5 secante al cuadrado de x luego menos 4 cosecante al cuadrado de x y menos 5 más 4 nos da como resultado menos 1. Cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de x. Como se observa tenemos ahora componentes que pueden ser integrados directamente. Para hacer eso primero vamos a repartir la integral. Entonces para el caso del primer término podemos extraer el 5 por ser una constante que está multiplicando y nos queda la integral de secante al cuadrado de x. Con su respectivo diferencial de x. Vamos al segundo término que nos queda menos 4 por la integral de cosecante al cuadrado de x con su diferencial de x. Y el último término nos queda menos la integral de 1 con su diferencial de x. Si queremos podemos omitir este número 1 y dejar la integral simplemente así como la integral del diferencial de x. Como decíamos tenemos ya en este momento integrales inmediatas o integrales directas. Vamos entonces a resolver cada una de ellas. Tendremos 5 que multiplica a la integral de secante al cuadrado de x que nos da tangente de x. Esto menos 4 que multiplica a la integral de cosecante al cuadrado de x que es menos cotangente de x. Dejemos eso con paréntesis y esto menos la integral de x que es la variable x. Y cerramos el ejercicio esta etapa con la constante de integración. Para terminar podemos efectuar aquí este producto de modo que la expresión nos quede de una manera más simple. Nos queda entonces 5 cotangente de x, acá tendremos más 4 cotangente de x, esto menos x más la constante de integración. Y de esta manera hemos resuelto la primera integral trigonométrica. En el segundo ejercicio también tenemos que transformar esta expresión, o sea el integrando, porque no podemos integrar de manera directa. Entonces comenzamos desarrollando este binomio que está elevado al cuadrado. Y para eso vamos a utilizar el producto notable de la algebra que se llama justamente así. Binomio elevado al cuadrado, recordemos que eso es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces vamos a desarrollar esa expresión que tenemos en el integrando. Comenzamos con el primer término al cuadrado, eso sería seno de teta todo esto al cuadrado, pero podemos escribirlo así, como seno al cuadrado de teta. Eso nos queda más dos veces el primer término por el segundo, o sea seno de teta por coseno de teta, y esto más el segundo término elevado al cuadrado nos queda parecido al primero, coseno al cuadrado de teta. Todo esto lo protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de teta. Aquí podemos aplicar la propiedad conmutativa de la suma. Entonces podemos reescribir al integrando como seno al cuadrado de teta más coseno al cuadrado de teta más dos seno de teta por coseno de teta y todo esto con su respectivo diferencial de teta. Como se observa hemos cambiado de posición estos dos sumandos, propiedad conmutativa de la suma. Esto lo hacemos porque esta combinación que tenemos aquí, seno al cuadrado de teta más coseno al cuadrado de teta equivale a 1. Se trata de la identidad fundamental de la trigonometría de las identidades pitagóricas es la principal. Entonces el ejercicio nos queda de la siguiente manera, integral de 1 más esta expresión, 2 seno de teta coseno de teta, todo esto protegido con paréntesis y escribimos el diferencial de teta. Ahora podemos repartir la integral para cada uno de los términos que conforma la suma. Nos queda la integral de 1 con su diferencial de teta más la integral de 2 seno de teta por coseno de teta también con su diferencial de teta. La primera integral puede escribirse como integral del diferencial de teta, tal como veíamos en el ejercicio anterior este uno puede volverse invisible. Simplemente se omite y nos queda de una manera más sencilla. Y acá podemos extraer el número 2 porque está multiplicando, nos queda entonces la integral de seno de teta por coseno de teta con su respectivo diferencial de teta. Esta primera integral ya se puede resolver en forma directa, su resultado es teta, o sea la variable. En el caso de la segunda tenemos que utilizar el método de integración conocido como sustitución o cambio de variable. Vamos a escribir eso por acá, lo relacionado con la sustitución. Vamos a utilizar por ejemplo la letra F para designar a lo que es seno de teta. Hacemos esa elección porque la derivada de seno es coseno, entonces eso nos hace conveniente escoger como seno de teta a la nueva variable que hemos elegido como la letra F. Esta expresión vamos a derivarla con respecto a la variable teta a ambos lados, en el lado izquierdo nos queda de F de teta y en el lado derecho tendremos coseno de teta. De aquí vamos a despejar de teta y hacemos un intercambio con este componente, de teta pasa a multiplicar y coseno de teta viene a dividir a ocupar este lugar. Tendremos entonces que dF sobre coseno de teta es igual a d teta y así logramos despejar ese componente que necesitamos. Con esta información vamos a reconstruir esta integral en términos de la nueva variable. Tendremos entonces integral de seno de teta que equivale a la letra F por coseno de teta por d teta que nos dio dF sobre coseno de teta. Entonces escribimos ese componente. Aquí podemos simplificar coseno de teta que está arriba y también abajo. Nos queda entonces teta más dos por la integral de F por su respectivo diferencial de F. Y aquí tenemos una integral que sí es directa. Vamos entonces a resolverla. Tendremos teta más dos por la integral de F que es F al cuadrado sobre dos y aparece por primera vez la constante de integración para todo el ejercicio. En este término podemos simplificar este número dos. Eso es totalmente lícito y la expresión nos queda teta más F al cuadrado y todo esto más la constante de integración. Como llegamos a una etapa en que no es posible hacer nada más entonces deshacemos el cambio de variable. Vamos a reemplazar F por su equivalente que es seno de teta. Nos queda entonces teta más entre paréntesis seno de teta todo esto elevado al cuadrado más la constante C. Finalmente esto puede reescribirse como teta más seno al cuadrado de teta y todo esto más la constante de integración. De esta manera llegamos a la respuesta de este segundo ejercicio y con eso terminamos esta explicación.
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