FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
#julioprofe explica cómo factorizar polinomios usando el caso llamado FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

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 Vamos a ver dos situaciones en las cuales se aplica el caso número 2 de factorización llamado factor común por agrupación de términos. Veamos este ejercicio. Tenemos cuatro términos. Vemos que no hay factor común, es decir, primero revisamos si hay algo que está repetido en los cuatro términos. Alguna letra, algún número, vemos que no es así. Entonces debemos pensar en agrupar términos. Como hay cuatro términos, lo ideal, lo recomendable es formar grupos de dos. Pensando que exista cierta familiaridad entre los términos. Por ejemplo, podemos observar que estos dos términos contienen la X y que estos dos contienen la Y. Eso sería un rasgo común para los términos que vamos a agrupar. Entonces procedemos a hacer la agrupación. Agrupamos los dos primeros términos colocándole paréntesis y los dos siguientes también colocando paréntesis. Allí podemos agrupar tranquilamente estos dos términos porque se encuentran precedidos de signo más. Es decir, al colocar el paréntesis no se produce ningún cambio interno en los signos de la expresión. A continuación, de cada una de las expresiones agrupadas vamos a sacar el factor común que observemos. Por ejemplo, en la primera expresión vemos que la X está repetida, entonces es el factor común. La extraemos y nos queda X factor de P más M. Si sacamos la X nos queda hasta P y está M. Más de aquí vemos que se encuentra repetida la letra Y, entonces Y es el factor común. Decidimos que Y es factor de P más M que es lo que queda después de que sale la Y. Ahora miremos la expresión que tenemos. Hay dos términos separados por ese signo más y vemos que en los dos términos está repetida la expresión P más M. Está multiplicando aquí y está multiplicando acá. Por lo tanto P más M se convierte en el nuevo factor común. Entonces lo sacamos P más M y esto es factor de X más Y que es lo que queda, queda esta X y esta Y después de que P más M sale de la expresión. Esta sería entonces la factorización de este polinomio. Si queremos verificar que está bien hecho hacemos la propiedad distributiva todos con todos y nos tiene que dar esta expresión de aquí. Veamos ahorita otra situación un poco más compleja donde tenemos seis términos. Dice así 2ac menos 5bd menos 2a más 2ad más 5b menos 5bc. Tenemos seis términos, revisamos si hay algo que esté repetido en los seis términos, un número, una letra. Si revisamos con cuidado vemos que no es así. Entonces debemos pensar en agrupar términos. Como hay seis términos podríamos pensar en formar dos grupos de tres o tres grupos de dos términos. Pensemos inicialmente en formar dos grupos de tres que sería lo más sencillo. Tratemos de buscar algún rasgo en común en los términos. Por ejemplo vemos que hay tres términos que contienen el número 2 como coeficiente y hay otros tres términos que tienen el coeficiente 5. Eso podría ser una guía para hacer la agrupación. Entonces primero debemos reacumodar los términos. Vamos a empezar con los que tienen el coeficiente 2. Entonces 2ac, después menos 2a y después más 2ad. Allí quedan consecutivos los tres términos que tienen el coeficiente 2. Y ahora vamos a colocar los tres términos que tienen el coeficiente 5 que sería este, este y este. Pero también es bueno ir organizando, ir acomodando los términos de tal forma que veamos algún parecido con esa expresión de acá. Entonces por ejemplo entre este, este y este guiándonos por este primer término vemos que este contiene la letra C. Que de pronto es una guía para poder ubicar de primero este término. Entonces nos quedaría menos 5bc. Entonces este ya quedó. Veamos entre estos dos cuál conviene colocar acá. Miramos aquí que tenemos. Vemos que está el 2 con la a. Podríamos pensar entonces en este término que es el que está como más solitario. Este ya queda. Y por último este término de acá, menos 5bc. Claro, coincide con el comportamiento de este término. Observemos que este término tiene la letra D que es acorde con este que tenemos acá. Entonces ahora sí procedemos a hacer la agrupación. Colocamos paréntesis para los tres primeros. Allí no pasa nada con los signos internos porque acá adelante tenemos signo más. Y vamos a colocarle paréntesis a estos tres. Aquí tenemos que tener bastante cuidado con ese signo negativo. Porque al abrir paréntesis todos los signos de esos términos que van a quedar agrupados van a cambiar. Entonces este término que estaba negativo dentro del paréntesis queda positivo. Este que estaba positivo ahora queda negativo. Y este que estaba negativo ahora queda positivo. Vamos a sacar entonces factor común de cada uno de los grupos formados. De aquí sacaríamos el 2 que claramente vemos que está repetido. Y la letra A que también está repetida. Factor de C menos aquí. Y la letra A abandona por completo. Entonces en su lugar colocamos un 1. Y aquí 2A al abandonar nos deja la letra D. Listo. Pasamos al siguiente grupo. De aquí sacamos el 5. Y vemos que la letra B también está repetida. Entonces sale la B. Sería factor D. Del primer término sale 5B nos queda la C. De aquí sale 5B en su totalidad nos queda el 1. Y del siguiente término al salir 5B nos queda la letra D. Listo. Tenemos un término acá y otro término acá. En los cuales podemos observar que la expresión C menos 1 más D se encuentra multiplicando en ambos términos. Entonces esta expresión va a ser el nuevo factor común. La sacamos, la extraemos adelante y decimos que eso es factor B. 2A menos 5B. Y de esa manera hemos factorizado entonces la expresión original. Nuevamente si queremos verificar que esto quedó bien hecho hacemos la propiedad distributiva todos con todos. Y nos tiene que dar estos seis términos.
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