LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico, utilizando un cambio de variable. Al final, comprueba el ejercicio usando calculadora científica.

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 Vamos a resolver detalladamente este límite trigonométrico y comenzamos por evaluar esta función cuando x toma el valor 0. Entonces en el numerador nos queda arco tangente de 0 y en el denominador x se sustituye por 0. En el numerador esto nos produce como resultado 0, 0 radianes y en el denominador tenemos 0. Llegamos así a una forma indeterminada, 0 sobre 0. Lógicamente esto no puede ser la respuesta para un límite, es una voz de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresión. Utilizamos entonces el concepto de función inversa, en este caso para la tangente. Entonces arco tangente de un número real que es lo mismo que tener tangente a la menos de ese número real, eso nos produce como resultado un ángulo, un ángulo que puede ser medido en grados o en radianes. En los límites trabajamos con radianes, esto quiere decir que la tangente de este ángulo nos tiene que dar como resultado el número real que tenemos allí involucrado. Entonces vamos a aplicar un cambio de variable en este ejercicio. Vamos a decir que arco tangente de x, eso que tenemos allá en el numerador es igual a una letra griega por ejemplo alfa. Siguiendo esto que tenemos acá, esto nos produce como resultado un ángulo al que hemos llamado alfa. Y de acuerdo con esto, entonces decimos que tangente de alfa debe ser igual a ese número real x. Ahora si x tiende a cero, entonces acá en esta expresión al ingresar aquí valores cada vez más próximos a cero, vamos a obtener valores del ángulo alfa, también muy cercanos a cero radianes. Entonces decimos que como consecuencia de esto, alfa también tiende a cero. Entonces utilizando esto que tenemos acá, vamos a reconstruir el límite pero ahora en términos de alfa, en términos de la nueva variable, tendremos límite ya no cuando x tiende a cero, sino cuando alfa tiende a cero. Y acá en la expresión, en la función que vamos a examinar, tenemos en el numerador arco tangente de x que se convierte en alfa, y en el denominador x que equivale a tangente de alfa. Entonces nos concentramos ahora en este límite, si volvemos a evaluar esta expresión cuando alfa toma el valor cero, nos seguirá dando cero sobre cero, otra vez la forma indeterminada. Entonces debemos seguir transformando esto que tenemos acá. Vamos a utilizar una identidad trigonométrica, aquella que nos dice que tangente equivale a seno sobre coseno. Entonces tangente de alfa, vamos a cambiarlo por seno de alfa sobre coseno de alfa. Y a eso que tenemos en el numerador, la letra grega alfa, le colocamos denominador 1. Allí resolvemos esta división de fracciones. Vamos a multiplicar estos dos componentes en el numerador y estos dos en el denominador. Aplicamos lo que se conoce como ley de la oreja. Entonces vamos a continuar por acá, nos queda límite cuando alfa tiende a cero de lo siguiente. En el numerador nos queda alfa por coseno de alfa. Entonces aquí lo escribimos y en el denominador 1 por seno de alfa que será seno de alfa. Ahora vamos a reescribir esto que tenemos acá de la siguiente manera. Tendremos límite cuando alfa tiende a cero de lo siguiente. Vamos a asegurar una fracción conformada por alfa sobre seno de alfa y todo eso multiplicado por coseno de alfa. Todo esto lo proveemos con paréntesis. Este producto equivale a esto que tenemos allá. Ahora aquí vamos a aplicar una propiedad de los límites. Recordemos que cuando un límite se aplica a un producto, entonces afecta a cada uno de los factores. Seguimos por acá, nos queda límite. Cuando alfa tiende a cero, aplicado al primer factor que sería alfa sobre seno de alfa, aseguramos todo esto y eso multiplicado por el límite de coseno de alfa, del otro factor, cuando alfa tiende a cero y aseguramos ese otro componente. Ahora vamos a transformar esto que tenemos aquí utilizando la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos una fracción a sobre b, ella está elevada al exponente uno. Si invertimos la fracción, entonces el exponente nos cambia de signo, nos queda menos uno. Entonces vamos a aplicar eso para esta fracción que tenemos en el primer límite. Nos queda límite cuando alfa tiende a cero de seno de alfa sobre alfa. Aquí invertimos la fracción, pero para seguir conservando la expresión original debe quedar elevada al exponente menos uno, siguiendo esa propiedad. Aseguramos esto utilizando corchetes y nos queda multiplicando por este componente que no sufre ningún cambio, límite de coseno de alfa cuando alfa tiende a cero. Ahora aquí vamos a utilizar otra propiedad de los límites, cuando un límite se aplica a una potencia, entonces afecta a la base y afecta al exponente. Entonces vamos a seguir por acá y se nos queda límite de seno de alfa sobre alfa cuando alfa tiende a cero. Allí el límite afecta a la base y acá límite cuando alfa tiende a cero de menos uno. Aquí el límite afecta al exponente y todo eso multiplicado por el límite de coseno de alfa cuando alfa tiende a cero. Allí ya podemos resolver cada uno de estos límites. Por acá tenemos uno que es clásico, que es vital en el tema de límites trigonométricos. Normalmente lo encontramos como límite de seno de x sobre x cuando x tiende a cero y este límite equivale a uno. Este límite lo tenemos acá pero con la variable alfa. Entonces como decimos acá, todo esto que tenemos en la base equivale a uno. Acá el límite aplicado a una constante es la misma constante, o sea menos uno. Y acá este límite lo resolvemos por evaluación directa. Si alfa toma el valor cero acá nos queda coseno de cero radianes que equivale a uno. Finalmente resolvemos esto. Uno elevado al exponente menos uno nos sigue dando uno y eso multiplicado por uno es igual a uno. De esta manera encontramos el resultado del límite original, es uno. Esta será entonces la respuesta para este ejercicio. Veamos ahora la comprobación de este ejercicio utilizando una calculadora científica. Usualmente en las calculadoras científicas nos aparece esta letra D en la pantalla. Eso quiere decir que está configurada en el modo DEG, o sea degrees, que quiere decir ángulos en grados. Entonces lo primero que hacemos es llevarla al modo radianes. Para ello oprimimos la tecla shift y aquí el botón de configuración o setup y vamos a escoger la opción 4. Oprimimos aquí la tecla del número 4 para que nos quede entonces configurada en radianes. Nos aparece esta letra R en la parte superior de la pantalla. Enseguida vamos a ingresar la expresión que tenemos en el límite. Para ello comenzamos con el botón de fracción y en el numerador debemos escribir lo que es arco tangente de x. Ahora acá vamos a utilizar la función tangente a la menos 1, la inversa de la tangente. Como vemos está en la parte superior de la tecla de tangente y está en color amarillo. Por lo tanto oprimimos primero el botón shift y luego el botón tangente para activar la función tangente a la menos 1. La calculadora nos abre este paréntesis. En él debemos escribir la x. Aquí tenemos la x encima del botón del paréntesis derecho, pero la x está en color rojo, por lo tanto oprimimos primero el botón alfa y luego el botón del paréntesis donde tenemos la x y allí nos aparece en pantalla y ahora si cerramos ese paréntesis. Ahora con el botón del navegador nos dirigimos hacia abajo a la parte inferior de la fracción y allí debemos anotar la x. Nuevamente utilizamos el botón alfa y el botón del paréntesis derecho para que nos aparezca la x. Después de haber ingresado la expresión de tenerla aquí en pantalla, entonces vamos a evaluarla, vamos a ver que le sucede a esto cuando x toma valores cada vez más cercanos a 0, tanto por izquierda como por derecha. Para ello utilizamos este botón, el que dice calc, que quiere decir calcular. Si lo oprimimos entonces la calculadora nos pregunta por un valor de x, entonces vamos a escoger un número cercano a 0 por la derecha, puede ser por ejemplo 0.1, lo escribimos, le damos igual y la calculadora nos muestra el valor al que tiende esta expresión, cuando x toma el valor 0.1, vemos que nos da 0.996, bueno un número que está cercano a 1. Vamos con otro valor de x, para ello oprimimos el botón igual y escribimos otro número más cercano a 0, por ejemplo 0.01 y en ese caso le damos igual para ver a cuanto equivale la expresión, vemos que nos da 0.9999 y otros números que siguen, es decir el resultado está cada vez más cerca de 1. Vamos a intentar con otro valor más cercano a 0 por la derecha, por ejemplo 0.0001, le damos igual y vemos el resultado, un número cada vez más cercano a 1, eso nos confirma entonces que esta expresión se aproxima a 1 cuando x toma valores cercanos a 0 por la derecha. Ahora veamos que pasa cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, oprimimos el botón igual y le vamos a dar a x el número menos 0.1, ya nos acercamos a 0 por el lado de los números negativos, si le damos igual vemos que el resultado de la expresión, es decir cuando x toma ese número es de 0.9966 también cercano a 1. Otro oprimimos otra vez el botón igual, ingresamos menos 0.0001, es decir un número más cercano a 0 por la izquierda, le damos igual y vemos el resultado, también un número muy cercano a 1. Finalmente, examinemos otro, un número negativo más cercano a 0, vamos a hacerlo así, muy cercano a 0, al darle igual vemos que la calculadora ya nos hace la aproximación. Entonces, de esta manera podemos concluir que el límite que hemos resuelto manualmente utilizando el cambio de variable, las identidades trigonométricas y aquel límite de gran importancia que es el de seno de alfa sobre alfa, límite cuando alfa tiende a 0 y que nos da 1, vemos que todo eso al final nos produce como resultado 1 para el ejercicio propuesto.
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{"start": 219.12, "end": 226.84, "text": " Entonces vamos a continuar por ac\u00e1, nos queda l\u00edmite cuando alfa tiende a cero de lo siguiente."}, {"start": 226.84, "end": 230.96, "text": " En el numerador nos queda alfa por coseno de alfa."}, {"start": 230.96, "end": 238.24, "text": " Entonces aqu\u00ed lo escribimos y en el denominador 1 por seno de alfa que ser\u00e1 seno de alfa."}, {"start": 238.24, "end": 242.88, "text": " Ahora vamos a reescribir esto que tenemos ac\u00e1 de la siguiente manera."}, {"start": 242.88, "end": 248.44, "text": " Tendremos l\u00edmite cuando alfa tiende a cero de lo siguiente."}, {"start": 248.44, "end": 255.16, "text": " Vamos a asegurar una fracci\u00f3n conformada por alfa sobre seno de alfa y todo eso multiplicado"}, {"start": 255.16, "end": 257.48, "text": " por coseno de alfa."}, {"start": 257.48, "end": 260.08, "text": " Todo esto lo proveemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 260.08, "end": 263.68, "text": " Este producto equivale a esto 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aqu\u00ed utilizando la siguiente propiedad de"}, {"start": 303.08000000000004, "end": 304.48, "text": " la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 304.48, "end": 309.76, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n a sobre b, ella est\u00e1 elevada al exponente uno."}, {"start": 309.76, "end": 317.68, "text": " Si invertimos la fracci\u00f3n, entonces el exponente nos cambia de signo, nos queda menos uno."}, {"start": 317.68, "end": 323.92, "text": " Entonces vamos a aplicar eso para esta fracci\u00f3n que tenemos en el primer l\u00edmite."}, {"start": 323.92, "end": 330.88, "text": " Nos queda l\u00edmite cuando alfa tiende a cero de seno de alfa sobre alfa."}, {"start": 330.88, "end": 336.71999999999997, "text": " Aqu\u00ed invertimos la fracci\u00f3n, pero para seguir conservando la expresi\u00f3n original debe quedar"}, {"start": 336.71999999999997, "end": 341.48, "text": " elevada al exponente menos uno, siguiendo esa propiedad."}, {"start": 341.48, "end": 347.88, "text": " Aseguramos esto utilizando corchetes y nos queda multiplicando por este componente que"}, {"start": 347.88, "end": 354.68, "text": " no sufre ning\u00fan cambio, l\u00edmite de coseno de alfa cuando alfa tiende a cero."}, {"start": 354.68, "end": 359.71999999999997, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a utilizar otra propiedad de los l\u00edmites, cuando un l\u00edmite se aplica"}, {"start": 359.72, "end": 365.76000000000005, "text": " a una potencia, entonces afecta a la base y afecta al exponente."}, {"start": 365.76000000000005, "end": 375.12, "text": " Entonces vamos a seguir por ac\u00e1 y se nos queda l\u00edmite de seno de alfa sobre alfa cuando"}, {"start": 375.12, "end": 377.04, "text": " alfa tiende a cero."}, {"start": 377.04, "end": 385.12, "text": " All\u00ed el l\u00edmite afecta a la base y ac\u00e1 l\u00edmite cuando alfa tiende a cero de menos uno."}, {"start": 385.12, "end": 391.84000000000003, "text": " Aqu\u00ed el l\u00edmite afecta al exponente y todo eso multiplicado por el l\u00edmite de coseno de"}, {"start": 391.84000000000003, "end": 396.92, "text": " alfa cuando alfa tiende a cero."}, {"start": 396.92, "end": 400.5, "text": " All\u00ed ya podemos resolver cada uno de estos l\u00edmites."}, {"start": 400.5, "end": 406.52, "text": " Por ac\u00e1 tenemos uno que es cl\u00e1sico, que es vital en el tema de l\u00edmites trigonom\u00e9tricos."}, {"start": 406.52, "end": 413.2, "text": " Normalmente lo encontramos como l\u00edmite de seno de x sobre x cuando x tiende a cero y"}, {"start": 413.2, "end": 416.0, "text": " este l\u00edmite equivale a uno."}, {"start": 416.0, "end": 419.92, "text": " Este l\u00edmite lo tenemos ac\u00e1 pero con la variable alfa."}, {"start": 419.92, "end": 425.71999999999997, "text": " Entonces como decimos ac\u00e1, todo esto que tenemos en la base equivale a uno."}, {"start": 425.71999999999997, "end": 431.96, "text": " Ac\u00e1 el l\u00edmite aplicado a una constante es la misma constante, o sea menos uno."}, {"start": 431.96, "end": 435.88, "text": " Y ac\u00e1 este l\u00edmite lo resolvemos por evaluaci\u00f3n directa."}, {"start": 435.88, "end": 443.08, "text": " Si alfa toma el valor cero ac\u00e1 nos queda coseno de cero radianes que equivale a uno."}, {"start": 443.08, "end": 445.56, "text": " Finalmente resolvemos esto."}, {"start": 445.56, "end": 451.76, "text": " Uno elevado al exponente menos uno nos sigue dando uno y eso multiplicado por uno es igual"}, {"start": 451.76, "end": 452.76, "text": " a uno."}, {"start": 452.76, "end": 458.68, "text": " De esta manera encontramos el resultado del l\u00edmite original, es uno."}, {"start": 458.68, "end": 463.15999999999997, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 463.16, "end": 469.28000000000003, "text": " Veamos ahora la comprobaci\u00f3n de este ejercicio utilizando una calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 469.28000000000003, "end": 475.28000000000003, "text": " Usualmente en las calculadoras cient\u00edficas nos aparece esta letra D en la pantalla."}, {"start": 475.28000000000003, "end": 480.56, "text": " Eso quiere decir que est\u00e1 configurada en el modo DEG, o sea degrees, que quiere decir"}, {"start": 480.56, "end": 482.08000000000004, "text": " \u00e1ngulos en grados."}, {"start": 482.08000000000004, "end": 486.56, "text": " Entonces lo primero que hacemos es llevarla al modo radianes."}, {"start": 486.56, "end": 492.68, "text": " Para ello oprimimos la tecla shift y aqu\u00ed el bot\u00f3n de configuraci\u00f3n o setup y vamos"}, {"start": 492.68, "end": 495.44, "text": " a escoger la opci\u00f3n 4."}, {"start": 495.44, "end": 501.28000000000003, "text": " Oprimimos aqu\u00ed la tecla del n\u00famero 4 para que nos quede entonces configurada en radianes."}, {"start": 501.28000000000003, "end": 506.0, "text": " Nos aparece esta letra R en la parte superior de la pantalla."}, {"start": 506.0, "end": 510.08, "text": " Enseguida vamos a ingresar la expresi\u00f3n que tenemos en el l\u00edmite."}, {"start": 510.08, "end": 516.12, "text": " Para ello comenzamos con el bot\u00f3n de fracci\u00f3n y en el numerador debemos escribir lo que"}, {"start": 516.12, "end": 519.0, "text": " es arco tangente de x."}, {"start": 519.0, "end": 524.64, "text": " Ahora ac\u00e1 vamos a utilizar la funci\u00f3n tangente a la menos 1, la inversa de la tangente."}, {"start": 524.64, "end": 530.72, "text": " Como vemos est\u00e1 en la parte superior de la tecla de tangente y est\u00e1 en color amarillo."}, {"start": 530.72, "end": 537.4, "text": " Por lo tanto oprimimos primero el bot\u00f3n shift y luego el bot\u00f3n tangente para activar la"}, {"start": 537.4, "end": 539.92, "text": " funci\u00f3n tangente a la menos 1."}, {"start": 539.92, "end": 542.48, "text": " La calculadora nos abre este par\u00e9ntesis."}, {"start": 542.48, "end": 545.12, "text": " En \u00e9l debemos escribir la x."}, {"start": 545.12, "end": 551.28, "text": " Aqu\u00ed tenemos la x encima del bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho, pero la x est\u00e1 en color rojo, por"}, {"start": 551.28, "end": 557.08, "text": " lo tanto oprimimos primero el bot\u00f3n alfa y luego el bot\u00f3n del par\u00e9ntesis donde tenemos"}, {"start": 557.08, "end": 563.28, "text": " la x y all\u00ed nos aparece en pantalla y ahora si cerramos ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 563.28, "end": 569.4, "text": " Ahora con el bot\u00f3n del navegador nos dirigimos hacia abajo a la parte inferior de la fracci\u00f3n"}, {"start": 569.4, "end": 571.76, "text": " y all\u00ed debemos anotar la x."}, {"start": 571.76, "end": 577.48, "text": " Nuevamente utilizamos el bot\u00f3n alfa y el bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho para que nos"}, {"start": 577.48, "end": 580.64, "text": " aparezca la x."}, {"start": 580.64, "end": 585.3, "text": " Despu\u00e9s de haber ingresado la expresi\u00f3n de tenerla aqu\u00ed en pantalla, entonces vamos"}, {"start": 585.3, "end": 591.08, "text": " a evaluarla, vamos a ver que le sucede a esto cuando x toma valores cada vez m\u00e1s cercanos"}, {"start": 591.08, "end": 594.8199999999999, "text": " a 0, tanto por izquierda como por derecha."}, {"start": 594.8199999999999, "end": 599.9, "text": " Para ello utilizamos este bot\u00f3n, el que dice calc, que quiere decir calcular."}, {"start": 599.9, "end": 605.28, "text": " Si lo oprimimos entonces la calculadora nos pregunta por un valor de x, entonces vamos"}, {"start": 605.28, "end": 613.0799999999999, "text": " a escoger un n\u00famero cercano a 0 por la derecha, puede ser por ejemplo 0.1, lo escribimos,"}, {"start": 613.0799999999999, "end": 619.1999999999999, "text": " le damos igual y la calculadora nos muestra el valor al que tiende esta expresi\u00f3n, cuando"}, {"start": 619.1999999999999, "end": 627.92, "text": " x toma el valor 0.1, vemos que nos da 0.996, bueno un n\u00famero que est\u00e1 cercano a 1."}, {"start": 627.92, "end": 634.88, "text": " Vamos con otro valor de x, para ello oprimimos el bot\u00f3n igual y escribimos otro n\u00famero"}, {"start": 634.88, "end": 641.9599999999999, "text": " m\u00e1s cercano a 0, por ejemplo 0.01 y en ese caso le damos igual para ver a cuanto equivale"}, {"start": 641.9599999999999, "end": 649.9399999999999, "text": " la expresi\u00f3n, vemos que nos da 0.9999 y otros n\u00fameros que siguen, es decir el resultado"}, {"start": 649.9399999999999, "end": 652.88, "text": " est\u00e1 cada vez m\u00e1s cerca de 1."}, {"start": 652.88, "end": 660.28, "text": " Vamos a intentar con otro valor m\u00e1s cercano a 0 por la derecha, por ejemplo 0.0001, le"}, {"start": 660.28, "end": 667.32, "text": " damos igual y vemos el resultado, un n\u00famero cada vez m\u00e1s cercano a 1, eso nos confirma"}, {"start": 667.32, "end": 674.92, "text": " entonces que esta expresi\u00f3n se aproxima a 1 cuando x toma valores cercanos a 0 por"}, {"start": 674.92, "end": 675.92, "text": " la derecha."}, {"start": 675.92, "end": 680.88, "text": " Ahora veamos que pasa cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, oprimimos el bot\u00f3n"}, {"start": 680.88, "end": 689.76, "text": " igual y le vamos a dar a x el n\u00famero menos 0.1, ya nos acercamos a 0 por el lado de los"}, {"start": 689.76, "end": 695.56, "text": " n\u00fameros negativos, si le damos igual vemos que el resultado de la expresi\u00f3n, es decir"}, {"start": 695.56, "end": 702.32, "text": " cuando x toma ese n\u00famero es de 0.9966 tambi\u00e9n cercano a 1."}, {"start": 702.32, "end": 712.08, "text": " Otro oprimimos otra vez el bot\u00f3n igual, ingresamos menos 0.0001, es decir un n\u00famero m\u00e1s cercano"}, {"start": 712.08, "end": 718.48, "text": " a 0 por la izquierda, le damos igual y vemos el resultado, tambi\u00e9n un n\u00famero muy cercano"}, {"start": 718.48, "end": 719.48, "text": " a 1."}, {"start": 719.48, "end": 727.6600000000001, "text": " Finalmente, examinemos otro, un n\u00famero negativo m\u00e1s cercano a 0, vamos a hacerlo as\u00ed, muy"}, {"start": 727.66, "end": 733.1999999999999, "text": " cercano a 0, al darle igual vemos que la calculadora ya nos hace la aproximaci\u00f3n."}, {"start": 733.1999999999999, "end": 740.56, "text": " Entonces, de esta manera podemos concluir que el l\u00edmite que hemos resuelto manualmente"}, {"start": 740.56, "end": 747.1999999999999, "text": " utilizando el cambio de variable, las identidades trigonom\u00e9tricas y aquel l\u00edmite de gran importancia"}, {"start": 747.1999999999999, "end": 752.72, "text": " que es el de seno de alfa sobre alfa, l\u00edmite cuando alfa tiende a 0 y que nos da 1, vemos"}, {"start": 752.72, "end": 758.48, "text": " que todo eso al final nos produce como resultado 1 para el ejercicio propuesto."}]