Problema 1 de OPTIMIZACIÓN
#julioprofe explica cómo resolver un problema de optimización aplicando las derivadas:

El costo total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de x automóviles es C(x)=4x+720+921600/x. Determine el tamaño del pedido que minimiza el costo total.

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 En este problema nos dan la función de costo total de pedido y almacenaje de X automóviles. Es la función que apreciamos en pantalla. Ese costo se expresa en miles de pesos. Nos piden determinar el tamaño del pedido que minimiza el costo total. Bien, este es un problema de optimización, una de las aplicaciones de las derivadas. En este caso nos piden minimizar el valor de una variable que es el costo total. Entonces vamos a requerir derivar esta función que se conoce con el nombre de función objetivo. Vamos a comenzar por reescribirla. Entonces nos queda de la siguiente manera. CDX es igual a 4X más 720 más 921600 X elevado a la menos 1. Esta X que tenemos aquí en el denominador la pasamos acá al numerador. Entonces se nos presenta un cambio de signo en el exponente. Entonces vamos a proceder ahora sí con la derivada. Vamos a derivar esa función. Entonces nos va a quedar como C' de X, la función derivada. Vamos derivando entonces cada uno de los términos por tratarse de una suma. Entonces la derivada de 4X es 4, la derivada de 720 es 0. Recordemos que la derivada de una constante siempre es 0 y la derivada de este término nos queda menos 921600 X elevado al exponente menos 2. Recordemos que este exponente baja a multiplicar con este número, por esa razón nos queda menos 921600 y al exponente que teníamos le restamos 1. Menos 1 menos 1 nos da menos 2. Bien, a continuación vamos a determinar los puntos críticos de la función. Para ya los puntos críticos tomamos la primera derivada, es decir C' de X y la igualamos a 0. Entonces tomamos la expresión que obtuvimos, 4 menos 921600 X elevado al exponente menos 2 y eso lo igualamos a 0. Entonces vamos a resolver esta ecuación. Esto podemos reescribirlo como 4 menos 921600 sobre X elevado al cuadrado. Entonces lo que hemos hecho es pasar esta potencia, la pasamos al denominador para que nos quede con exponente positivo. Esto está igualado a 0. Ahora vamos a pasar la fracción, toda esta fracción que está negativa la pasamos al otro lado, es decir que nos llega positiva, nos quedaría 4 igual a 921600 sobre X al cuadrado. Ahora podemos pasar X al cuadrado que se encuentra dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces nos queda 4X al cuadrado igual a 921600. Despejamos X al cuadrado nos queda igual a 921600, todo esto dividido entre 4. Resolvemos esa división y nos queda que X al cuadrado es igual a 230400. Para despejar X sacamos raíz cuadrada a ambos lados. Sin olvidar que en el lado derecho debemos colocar las dos opciones más y menos, entonces nos queda más o menos la raíz cuadrada de 230400. En el lado izquierdo nos queda X y en el lado derecho nos daría más o menos 480. Pero en este problema X representa automóviles, es el tamaño del pedido, por lo tanto es ilógico pensar en una cantidad de automóviles negativa. Luego nos quedamos únicamente con la opción positiva. Entonces X igual a 480 viene siendo el valor donde hay punto crítico para esta función, es decir donde probablemente vamos a tener el mínimo de la función de costo. Para verificar si el valor obtenido es decir X igual a 480 maximiza o minimiza la función objetivo, es decir la función de costo, podemos hacer esto que apreciamos en la tabla, es decir una tabulación en la función objetivo, es decir en la función de costo total. Tomamos diferentes valores de X, entre ellos el valor obtenido que es 480 y cada uno de estos valores los reemplazamos en la función objetivo. Estos son los valores obtenidos, recordemos que estos valores son de costo total expresados en miles de pesos. Como vemos de todos los valores obtenidos el que corresponde a 480 es decir 4560 es el más pequeño de todos, por lo tanto esto nos confirma que 480 es el valor que produce el costo mínimo. Este valor se interpretaría como 4.560.000 pesos, si recordemos que acá nos dicen que el costo total está expresado en miles de pesos, luego a estos valores tendríamos que agregarles tres ceros, es decir multiplicarlos por mil para obtener el dato real. Entonces terminamos el problema diciendo que el tamaño del pedido que minimiza el costo total es de 480 automóviles.
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