REGLA DE L'HOPITAL - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver un límite usando la Regla de L'Hopital

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 Vamos a resolver este límite comenzando por analizar que le sucede a la función cuando n toma el valor infinito. Veamos, eso será igual a infinito por el seno de pi sobre infinito. Aquí tenemos el número pi que es 3.14 aproximadamente dividido entre infinito, es decir, entre un número grandísimo, un número gigante. Por lo tanto, esta expresión de aquí tiende a cero. Tenemos entonces infinito por el seno de cero. Y el seno de cero, es decir, cero grados o cero radianes, en este caso cero radianes, vale cero. Por lo tanto, tenemos infinito por cero que es una forma indeterminada o lo que se conoce como una indeterminación. Esto nos dice que no podemos dejar el límite allí, tenemos que buscarle solución. Para ello, vamos a realizar la siguiente transformación. Límite cuando n tiende a infinito de... vamos a dejar la expresión como una fracción donde en el numerador tenemos el seno de pi sobre n. Y esta n que la teníamos por aquí, la podemos bajar y llega como n a la menos uno. Simplemente la trasladamos del numerador al denominador. Y eso se puede hacer porque aquí tenemos multiplicación. Nos queda entonces así. Seno de pi sobre n, vamos a escribirlo como pi por uno sobre n. Es lo mismo. N a la menos uno lo escribimos como uno sobre n. Y aquí tenemos que n tiende a infinito. Y allí podemos utilizar un recurso que es bastante útil llamado cambio de variable. Vamos a cambiar uno sobre n, por ejemplo, por la variable x. Hacemos ese cambio, vamos a llamar uno sobre n como x. Y analicemos qué sucede cuando n tiende a infinito en esta expresión. Vemos que si n toma valores muy grandes, si n tiende a infinito, entonces el comportamiento de x es que tiende a cero. Porque tendríamos uno dividido entre un número gigante, entre infinito. Por lo tanto esto se va hacia cero. Con estos cambios reconstruimos el límite. Nos queda entonces así. Límite del seno de pi x sobre x cuando x tiende a cero. Vemos que el límite ya no tiene la variable n, sino que tiene la variable x. Porque hemos realizado un cambio de variable. Analizamos este límite, lo evaluamos cuando x toma el valor cero. Veamos, tenemos el seno de pi por cero, o sea, el seno de cero, que es cero. Y abajo x, que vale cero. Tenemos otra forma indeterminada, es decir, otra indeterminación que nos autoriza el uso de la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital puede aplicarse en límites como este, que da una forma indeterminada como cero sobre cero, o incluso en aquellos que nos da infinito sobre infinito. La regla de l'Hôpital consiste en derivar la expresión arriba y abajo por separado. Entonces, derivamos el seno de pi x, y eso nos da coseno de pi x por la derivada interna, es decir, la derivada de pi x que es igual a pi. Aquí hemos derivado el numerador. Ahora vamos con el denominador. La derivada de x nos da uno. Y volvemos a evaluar este límite. Entonces tenemos coseno de pi por x que toma el valor cero, todo eso por pi, y todo esto dividido entre uno. Arriba tenemos el coseno de cero, pi por cero nos da cero. Por lo tanto, el coseno de cero equivale a uno. Y finalmente nos queda uno por pi que es igual a pi. Recordemos que este uno puede incluso desaparecer. Esta es entonces la respuesta a ese límite propuesto, y vemos que la solución se obtiene utilizando la regla de L'Hôpital.
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