GRÁFICA, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
#julioprofe explica cómo obtener la gráfica de una función exponencial, así como su dominio y rango.

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 Para esta función vamos a determinar su dominio, su rango y también vamos a construir su gráfica. Lo primero que podemos notar es que se trata de una función exponencial porque la variable independiente que es X se encuentra aquí en el exponente de esta potencia, únicamente la X aparece allí. Entonces, repetimos, es una función de tipo exponencial. Vamos a recordar algunos conceptos básicos de ese tipo de función. La función exponencial tiene este modelo, Y o eje de X igual a la X, donde A es una cantidad positiva y también A tiene que ser diferente de 1. La gráfica de una función exponencial es una curva que puede ser de cualquiera de estas dos formas. Puede ser una curva creciente o una curva decreciente. ¿Eso de qué depende? Depende de cómo sea A. A es una cantidad positiva diferente de 1. Si A es una cantidad mayor que 1, entonces la función exponencial, su gráfica, es decir, la curva, tiene esta forma, es creciente. Y si A es una cantidad comprendida entre 0 y 1, entonces la curva es decreciente. En ambos casos, esas curvas cortan el eje Y o el eje vertical en la ordenada 1. Y eso sucede porque cuando X toma el valor 0, aquí tendríamos A al 0 que equivale a 1. Entonces, ese será el corte o intersección con el eje Y. También se observa que en ambos casos el eje X es asíntota horizontal. Eso significa que acá la curva se aproxima cada vez más al eje X, pero nunca lo toca. Y lo mismo sucede en esta situación. Para toda función exponencial que tenga este modelo, su dominio serán todos los reales. X, que es la variable independiente, puede tomar cualquier valor perteneciente al conjunto de los reales. Puede tomar valores negativos, el 0 o valores positivos. Cualquier número real es bienvenido aquí en la función. Y en cuanto al rango, podemos decir que se trata de los valores de Y mayores que 0. Como podemos ver aquí en las gráficas, la curva habita en los cuadrantes 1 y 2. 1 y 2 cuadrantes. Solamente allí. Y como el eje X es asíntota horizontal, nunca se va a tomar el valor 0. Siempre Y toma valores positivos. Entonces, teniendo en cuenta estos conceptos de la función exponencial, vamos ahora sí a trabajar la función que nos dieron. Vamos a ver en cual de estos dos modelos encaja. Vemos que acá el modelo original tiene la X positiva y acá la tenemos negativa. Vamos entonces a realizar una transformación para esa expresión. Comenzamos tomando el exponente del 3, es decir, 1 menos X, que podemos escribir como menos X más 1. Simplemente cambiamos la posición de los términos. Y aquí podemos extraer como factor común el signo menos. Entonces nos queda dentro del paréntesis X menos 1. Al salir el menos, nos cambian los signos de esos dos términos. Y esto lo podemos escribir como menos 1 por X menos 1. Simplemente hacemos visible el 1 que aquí está invisible. Entonces, eso lo vamos a reemplazar acá. Nos quedaría Y o F de X igual a menos 3. Todo eso elevado a menos 1 por X menos 1 y todo eso menos 2. Ahora observamos un producto o una multiplicación aquí en el exponente de esta potencia. Vamos entonces a recordar esta propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia elevada a otro exponente, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Pues bien, esta situación es esto que se presenta acá. Y de acuerdo con esta propiedad, podemos presentarlo de esta manera. Entonces, la función nos queda así. Y o F de X igual a menos 3 a la menos 1 y todo esto elevado a su vez a X menos 1. Ya podemos escribirlo acá sin necesidad de ese paréntesis. Y todo esto menos 2. Ahora con 3 a la menos 1, podemos aplicar la propiedad de la potenciación para el exponente negativo. Vamos a recordarla. A a la menos n es igual a 1 sobre a a la n. Si n toma el valor 1, nos queda que a a la menos 1 es igual a 1 sobre a a la 1. Pero recordemos que a a la 1 equivale a este exponente 1. Se hace invisible. Entonces a la menos 1 es 1 sobre a. Luego la función nos queda Y o F de X igual a menos, abrimos el paréntesis, 3 a la menos 1, se convierte en 1 tercio. De acuerdo con esta propiedad, todo eso queda elevado al exponente X menos 1 y todo eso menos 2. Vamos a escribir esto por acá. Entonces esta función que hemos obtenido que es equivalente a la original ya tiene parecido con este modelo. La base en este caso será 1 tercio. 1 tercio hace el papel de a. Y aquí ya vemos la X positiva. Entonces podemos pensar en que el modelo original para esa función, es decir, la primitiva que llamamos, la función que será el punto de partida, corresponde a este caso. Podemos decir que esta función es la que corresponde a Y igual a 1 tercio a la X. En este caso a es 1 tercio. Es una cantidad comprendida entre 0 y 1. Es entonces una curva decreciente. Entonces a partir de esta gráfica vamos a llegar poco a poco a la función que hemos obtenido. Vamos a realizar las transformaciones necesarias. Comenzamos entonces aplicando este menos 1, el que afecta aquí a la X. Entonces vamos a ver cómo nos quedaría la nueva gráfica. Bien, allí la tenemos. Esa nueva gráfica resulta de trasladar esta, que es la función primitiva o la función patrón, una unidad hacia la derecha. Esta curva corresponde a la función Y igual a 1 tercio, todo esto elevado al exponente X menos 1. Allí tenemos ya este componente. Esa gráfica tiene este punto de acá, el punto que aquí era 0,1, lo tenemos ahora en este sitio. Se ha corrido una unidad hacia la derecha. Ahora corresponde a la coordenada 1,1. También podríamos establecer cuál es su corte con el eje vertical, con el eje Y. Y eso se obtiene cuando X toma el valor 0. Si aquí X toma 0, nos queda 0 menos 1, es decir, menos 1, y un tercio elevado a la menos 1, nos daría 3 a la 1. Aplicando la propiedad de la potencia con exponente negativo, cuando la base es una fracción. Si tenemos A sobre B a la menos N, esto es igual a B sobre A a la N. Entonces si tenemos un tercio, todo esto a la menos 1, entonces aplicando esto nos queda 3 sobre 1 a la 1. Pero 3 sobre 1 nos da 3, y 3 a la 1 nos da 3. Entonces, es el número que tenemos allí. 3, la ordenada 3, es el punto donde la curva corta al eje Y. Esta traslación que hemos hecho de la función original de una unidad hacia la derecha, corresponde a una de las transformaciones que puede experimentar una función. F de X menos A es la gráfica de la función original F de X trasladada a unidades hacia la derecha. Ahora también se presenta el caso contrario. Si aquí tuviéramos F de X más A, entonces sería la gráfica de F de X trasladada a unidades, pero hacia la izquierda. Repetimos, en este caso, a la X se le ha restado 1, para poder obtener esto de acá, y lo que hemos visto es que la curva original se ha trasladado una unidad hacia la derecha. Bien, ya tenemos este componente, aquí tenemos la nueva curva, y vamos ahora a aplicar este signo menos, que afecta a esa potencia. Este signo menos ocasiona que esta curva presente una reflexión en relación con el eje X. Va a reflejarse acá, en los cuadrantes 3 y 4. Entonces, este punto nos va a quedar aquí, es decir, en la coordenada 1, menos 1, y este nos va a quedar acá, en la ordenada menos 3. Bien, aquí la tenemos. Entonces, esta curva es el reflejo de esta en relación con el eje X. Esa curva corresponde a la función menos, entre paréntesis 1 tercio, y todo esto elevado al exponente X menos 1. Repetimos, es anteponerle a esta función un signo menos, y eso nos ocasiona un reflejo con respecto del eje X. Como decíamos, aquí está el reflejo de este punto. Esta será la coordenada 1, menos 1, y este será el reflejo de este que teníamos acá. Ahora corta el eje Y en la ordenada menos 3. Esta es otra de las transformaciones que puede experimentar una función. Menos F de X es el reflejo de la gráfica de la función original F de X en relación con el eje de las X. El eje de las abscisas produce una reflexión con respecto del eje X. Como podemos ver, ya se tiene todo esto. Aquí tenemos la gráfica que corresponde a este componente. Nos hace falta restarle 2 para obtener la gráfica que buscamos. Este menos 2 va a ocasionar que esta función, esta gráfica, se desplace hacia abajo dos unidades, incluyendo la síntota horizontal, que aquí es el eje X. La síntota hasta el momento no se ha modificado. Es la misma que traía el modelo inicial, el que correspondía a la función Y igual a 1 tercio a la X. Bien, aquí tenemos la nueva gráfica que como decíamos resulta de trasladar esta de acá, incluyendo su síntota dos unidades hacia abajo. Aquí tenemos la nueva síntota. La hemos pintado en color azul con línea ponteada. Es la recta Y igual a menos 2. Una recta horizontal que pasa por la ordenada menos 2. También tenemos este punto, el que veníamos considerando, este de acá que antes era este de allá. Ahora será la coordenada 1, menos 3. Y el nuevo punto de intersección con el eje vertical o con el eje Y será este. Ahora tenemos el corte en la ordenada menos 5, porque anteriormente era menos 3. Si se bajan dos unidades, ahora queda en menos 5. Esta será entonces la curva que corresponde a la función Y igual a menos 1 tercio. Todo esto a la X menos 1 y todo eso menos 2. La que habíamos obtenido por acá. Lógicamente esto es un bosquejo de la curva. Si quisiéramos un gráfico con mayor precisión, deberíamos hacer una tabla de valores, ingresar números reales de X, negativos el cero positivos. Y de esa manera obtendríamos parejas XY que nos permitirían trazar la curva con precisión. Esta traslación hacia abajo que sufría la función es otra de las transformaciones que puede experimentar una función. F de X menos A es la traslación de la función original F de X a unidades hacia abajo. De igual forma, si tuviéramos F de X más A, entonces sería la traslación de la gráfica de F de X a unidades hacia arriba. Es importante distinguir los dos tipos de traslación que se pueden dar en una función. La traslación horizontal y la traslación vertical. Entonces debemos diferenciar estas dos situaciones. Acá tenemos que la función original F de X se traslada a unidades hacia la derecha. En cambio acá la función original F de X se traslada a unidades hacia abajo. La diferencia está en lo que afecta la A. Aquí A afecta a la X, mientras que aquí A afecta a toda la función. De igual forma, el caso de F de X más A es diferente a tener F de X todo eso más A. Aquí la función original F de X se desplaza o se traslada a unidades hacia la izquierda, mientras que aquí la gráfica original de F de X se traslada a unidades hacia arriba. Ya tenemos entonces el bosquejo de la gráfica de la función que habíamos obtenido al transformar la original, la que nos dieron inicialmente. Entonces a partir de esta gráfica vamos a determinar lo que es el dominio y el rango para esa función. Como decíamos al comienzo, si es una función de tipo exponencial, entonces el dominio serán todos los reales. X que es la variable independiente puede tomar cualquier valor perteneciente al conjunto de los reales. Y aquí vemos que la curva ratifica eso. Es una curva que toma valores negativos, toma el cero y toma valores positivos de la variable X. Ahora para el rango nos concentramos en la gráfica. Vemos que la curva habita en esta zona, es decir, en lo que está por debajo de la asíntota horizontal y igual a menos 2. Entonces podemos decir que el rango de la función son los valores de Y menores que menos 2. No toma menos 2 porque como decíamos aquí la curva se aproxima cada vez más a la asíntota pero nunca la toca. Otra forma de presentar el rango de la función es la siguiente, valores de Y pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 2. Lógicamente abierto en los dos extremos. Venimos desde menos infinito subiendo con valores negativos de Y hasta un poco antes de menos 2. Entonces los puntos de esta curva toman valores de Y que están presentes o contenidos en este intervalo. Bien, de esta manera terminamos. A partir de la función original que nos dieron, obtuvimos esta. Y con ella fue posible construir la gráfica tomando la función patrón o primitiva 1 tercio a la X corriendo la primero una unidad hacia la derecha, después reflejándola en relación con el eje X y por último trasladándola hacia abajo dos unidades. Eso nos permitió ver los elementos principales de la gráfica como son la asíntota horizontal que es la recta Y igual a menos 2, el punto de corte con el eje Y que nos quedó en 0,5 y este punto que nos sirvió de guía durante todo el proceso de transformación. Finalmente fue 1,-3. También fue posible determinar el dominio y el rango para esta función que es equivalente a la original. Gracias por ver el vídeo.
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Repetimos, en este caso, a la X se le ha restado 1, para poder obtener esto de ac\u00e1,"}, {"start": 517.0, "end": 524.0, "text": " y lo que hemos visto es que la curva original se ha trasladado una unidad hacia la derecha."}, {"start": 524.0, "end": 533.0, "text": " Bien, ya tenemos este componente, aqu\u00ed tenemos la nueva curva, y vamos ahora a aplicar este signo menos, que afecta a esa potencia."}, {"start": 533.0, "end": 544.0, "text": " Este signo menos ocasiona que esta curva presente una reflexi\u00f3n en relaci\u00f3n con el eje X. Va a reflejarse ac\u00e1, en los cuadrantes 3 y 4."}, {"start": 544.0, "end": 555.0, "text": " Entonces, este punto nos va a quedar aqu\u00ed, es decir, en la coordenada 1, menos 1, y este nos va a quedar ac\u00e1, en la ordenada menos 3."}, {"start": 555.0, "end": 562.0, "text": " Bien, aqu\u00ed la tenemos. Entonces, esta curva es el reflejo de esta en relaci\u00f3n con el eje X."}, {"start": 562.0, "end": 571.0, "text": " Esa curva corresponde a la funci\u00f3n menos, entre par\u00e9ntesis 1 tercio, y todo esto elevado al exponente X menos 1."}, {"start": 571.0, "end": 580.0, "text": " Repetimos, es anteponerle a esta funci\u00f3n un signo menos, y eso nos ocasiona un reflejo con respecto del eje X."}, {"start": 580.0, "end": 584.0, "text": " Como dec\u00edamos, aqu\u00ed est\u00e1 el reflejo de este punto."}, {"start": 584.0, "end": 590.0, "text": " Esta ser\u00e1 la coordenada 1, menos 1, y este ser\u00e1 el reflejo de este que ten\u00edamos ac\u00e1."}, {"start": 590.0, "end": 594.0, "text": " Ahora corta el eje Y en la ordenada menos 3."}, {"start": 594.0, "end": 599.0, "text": " Esta es otra de las transformaciones que puede experimentar una funci\u00f3n."}, {"start": 599.0, "end": 612.0, "text": " Menos F de X es el reflejo de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n original F de X en relaci\u00f3n con el eje de las X."}, {"start": 612.0, "end": 619.0, "text": " El eje de las abscisas produce una reflexi\u00f3n con respecto del eje X."}, {"start": 619.0, "end": 622.0, "text": " Como podemos ver, ya se tiene todo esto."}, {"start": 622.0, "end": 626.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la gr\u00e1fica que corresponde a este componente."}, {"start": 626.0, "end": 631.0, "text": " Nos hace falta restarle 2 para obtener la gr\u00e1fica que buscamos."}, {"start": 631.0, "end": 643.0, "text": " Este menos 2 va a ocasionar que esta funci\u00f3n, esta gr\u00e1fica, se desplace hacia abajo dos unidades, incluyendo la s\u00edntota horizontal, que aqu\u00ed es el eje X."}, {"start": 643.0, "end": 646.0, "text": " La s\u00edntota hasta el momento no se ha modificado."}, {"start": 646.0, "end": 653.0, "text": " Es la misma que tra\u00eda el modelo inicial, el que correspond\u00eda a la funci\u00f3n Y igual a 1 tercio a la X."}, {"start": 653.0, "end": 663.0, "text": " Bien, aqu\u00ed tenemos la nueva gr\u00e1fica que como dec\u00edamos resulta de trasladar esta de ac\u00e1, incluyendo su s\u00edntota dos unidades hacia abajo."}, {"start": 663.0, "end": 669.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la nueva s\u00edntota. La hemos pintado en color azul con l\u00ednea ponteada."}, {"start": 669.0, "end": 673.0, "text": " Es la recta Y igual a menos 2."}, {"start": 673.0, "end": 678.0, "text": " Una recta horizontal que pasa por la ordenada menos 2."}, {"start": 678.0, "end": 685.0, "text": " Tambi\u00e9n tenemos este punto, el que ven\u00edamos considerando, este de ac\u00e1 que antes era este de all\u00e1."}, {"start": 685.0, "end": 689.0, "text": " Ahora ser\u00e1 la coordenada 1, menos 3."}, {"start": 689.0, "end": 695.0, "text": " Y el nuevo punto de intersecci\u00f3n con el eje vertical o con el eje Y ser\u00e1 este."}, {"start": 695.0, "end": 702.0, "text": " Ahora tenemos el corte en la ordenada menos 5, porque anteriormente era menos 3."}, {"start": 702.0, "end": 706.0, "text": " Si se bajan dos unidades, ahora queda en menos 5."}, {"start": 706.0, "end": 713.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la curva que corresponde a la funci\u00f3n Y igual a menos 1 tercio."}, {"start": 713.0, "end": 718.0, "text": " Todo esto a la X menos 1 y todo eso menos 2."}, {"start": 718.0, "end": 720.0, "text": " La que hab\u00edamos obtenido por ac\u00e1."}, {"start": 720.0, "end": 723.0, "text": " L\u00f3gicamente esto es un bosquejo de la curva."}, {"start": 723.0, "end": 733.0, "text": " Si quisi\u00e9ramos un gr\u00e1fico con mayor precisi\u00f3n, deber\u00edamos hacer una tabla de valores, ingresar n\u00fameros reales de X, negativos el cero positivos."}, {"start": 733.0, "end": 741.0, "text": " Y de esa manera obtendr\u00edamos parejas XY que nos permitir\u00edan trazar la curva con precisi\u00f3n."}, {"start": 741.0, "end": 749.0, "text": " Esta traslaci\u00f3n hacia abajo que sufr\u00eda la funci\u00f3n es otra de las transformaciones que puede experimentar una funci\u00f3n."}, {"start": 749.0, "end": 759.0, "text": " F de X menos A es la traslaci\u00f3n de la funci\u00f3n original F de X a unidades hacia abajo."}, {"start": 759.0, "end": 768.0, "text": " De igual forma, si tuvi\u00e9ramos F de X m\u00e1s A, entonces ser\u00eda la traslaci\u00f3n de la gr\u00e1fica de F de X a unidades hacia arriba."}, {"start": 768.0, "end": 773.0, "text": " Es importante distinguir los dos tipos de traslaci\u00f3n que se pueden dar en una funci\u00f3n."}, {"start": 773.0, "end": 777.0, "text": " La traslaci\u00f3n horizontal y la traslaci\u00f3n vertical."}, {"start": 777.0, "end": 781.0, "text": " Entonces debemos diferenciar estas dos situaciones."}, {"start": 781.0, "end": 787.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos que la funci\u00f3n original F de X se traslada a unidades hacia la derecha."}, {"start": 787.0, "end": 793.0, "text": " En cambio ac\u00e1 la funci\u00f3n original F de X se traslada a unidades hacia abajo."}, {"start": 793.0, "end": 801.0, "text": " La diferencia est\u00e1 en lo que afecta la A. Aqu\u00ed A afecta a la X, mientras que aqu\u00ed A afecta a toda la funci\u00f3n."}, {"start": 801.0, "end": 810.0, "text": " De igual forma, el caso de F de X m\u00e1s A es diferente a tener F de X todo eso m\u00e1s A."}, {"start": 810.0, "end": 817.0, "text": " Aqu\u00ed la funci\u00f3n original F de X se desplaza o se traslada a unidades hacia la izquierda,"}, {"start": 817.0, "end": 823.0, "text": " mientras que aqu\u00ed la gr\u00e1fica original de F de X se traslada a unidades hacia arriba."}, {"start": 823.0, "end": 832.0, "text": " Ya tenemos entonces el bosquejo de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n que hab\u00edamos obtenido al transformar la original, la que nos dieron inicialmente."}, {"start": 832.0, "end": 841.0, "text": " Entonces a partir de esta gr\u00e1fica vamos a determinar lo que es el dominio y el rango para esa funci\u00f3n."}, {"start": 841.0, "end": 849.0, "text": " Como dec\u00edamos al comienzo, si es una funci\u00f3n de tipo exponencial, entonces el dominio ser\u00e1n todos los reales."}, {"start": 849.0, "end": 856.0, "text": " X que es la variable independiente puede tomar cualquier valor perteneciente al conjunto de los reales."}, {"start": 856.0, "end": 867.0, "text": " Y aqu\u00ed vemos que la curva ratifica eso. Es una curva que toma valores negativos, toma el cero y toma valores positivos de la variable X."}, {"start": 867.0, "end": 880.0, "text": " Ahora para el rango nos concentramos en la gr\u00e1fica. Vemos que la curva habita en esta zona, es decir, en lo que est\u00e1 por debajo de la as\u00edntota horizontal y igual a menos 2."}, {"start": 880.0, "end": 887.0, "text": " Entonces podemos decir que el rango de la funci\u00f3n son los valores de Y menores que menos 2."}, {"start": 887.0, "end": 895.0, "text": " No toma menos 2 porque como dec\u00edamos aqu\u00ed la curva se aproxima cada vez m\u00e1s a la as\u00edntota pero nunca la toca."}, {"start": 895.0, "end": 904.0, "text": " Otra forma de presentar el rango de la funci\u00f3n es la siguiente, valores de Y pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 2."}, {"start": 904.0, "end": 914.0, "text": " L\u00f3gicamente abierto en los dos extremos. Venimos desde menos infinito subiendo con valores negativos de Y hasta un poco antes de menos 2."}, {"start": 914.0, "end": 921.0, "text": " Entonces los puntos de esta curva toman valores de Y que est\u00e1n presentes o contenidos en este intervalo."}, {"start": 921.0, "end": 927.0, "text": " Bien, de esta manera terminamos. A partir de la funci\u00f3n original que nos dieron, obtuvimos esta."}, {"start": 927.0, "end": 938.0, "text": " Y con ella fue posible construir la gr\u00e1fica tomando la funci\u00f3n patr\u00f3n o primitiva 1 tercio a la X corriendo la primero una unidad hacia la derecha,"}, {"start": 938.0, "end": 945.0, "text": " despu\u00e9s reflej\u00e1ndola en relaci\u00f3n con el eje X y por \u00faltimo traslad\u00e1ndola hacia abajo dos unidades."}, {"start": 945.0, "end": 953.0, "text": " Eso nos permiti\u00f3 ver los elementos principales de la gr\u00e1fica como son la as\u00edntota horizontal que es la recta Y igual a menos 2,"}, {"start": 953.0, "end": 963.0, "text": " el punto de corte con el eje Y que nos qued\u00f3 en 0,5 y este punto que nos sirvi\u00f3 de gu\u00eda durante todo el proceso de transformaci\u00f3n."}, {"start": 963.0, "end": 984.0, "text": " Finalmente fue 1,-3. Tambi\u00e9n fue posible determinar el dominio y el rango para esta funci\u00f3n que es equivalente a la original."}, {"start": 993.0, "end": 997.0, "text": " Gracias por ver el v\u00eddeo."}]