Problema 2 de OPTIMIZACIÓN
#julioprofe explica cómo resolver un problema de optimización:

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser 12 metros.

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 Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz si el perímetro de la misma debe ser 12 metros. Bien, vamos a resolver este problema de optimización que es una de las aplicaciones de la derivada. Comenzamos haciendo un dibujo de la ventana. Vemos que tiene la forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Vamos a llamar X a lo que es la base del rectángulo y vamos a llamar Y a su altura. Tenemos que este lado X será este mismo, o sea la base del triángulo equilátero. Por ser ese tipo de triángulo sabemos que sus lados son iguales. Entonces, si este lado es X, ese también será X y lo mismo este de acá. Esta medida Y podemos marcarla también en este lado. Con esta información ya podemos armar la primera expresión que corresponde al perímetro de la figura. Nos dice el enunciado que la ventana tiene un perímetro de 12 metros. Entonces, recordemos que el perímetro es el contorno de la figura y se obtiene sumando sus lados. Comencemos por acá. X más Y más otra vez X más de nuevo X más Y y esto lo igualamos a 12 metros o simplemente 12. Hacemos la aclaración de que en este problema X y Y son medidas en metros. Tenemos entonces que esta expresión representa el perímetro de la ventana. Vamos a reducir términos semejantes. Tenemos estas tres letras X que al sumarlas nos da 3X y también tenemos estas letras Y que al sumarlas nos da 2Y. Tenemos que esto es igual a 12. Esta primera expresión vamos a escribirla por acá. 3X más 2Y igual a 12 y la vamos a llamar como la expresión número 1. El problema nos pide encontrar las dimensiones de la parte rectangular, o sea X y Y de tal manera que la ventana permita la máxima entrada de luz. En otras palabras tenemos que maximizar el área de la ventana. Entonces vamos a encontrar una expresión para el área A de dicha ventana. Como decíamos al principio ella se compone de un rectángulo. Entonces tenemos área del rectángulo y un triángulo equilátero. Entonces más el área de ese triángulo. Para el caso del rectángulo sabemos que su área es base por altura. En este caso X por Y. Y para el caso del triángulo equilátero como conocemos el valor de su lado que es X la expresión es X al cuadrado raíz de 3 sobre 4. Esta es digamos la fórmula que nos permite expresar el área de un triángulo equilátero en términos de su lado que en este caso es X. Esta expresión la podemos escribir así A igual a X por Y que es X Y. Y por acá resolvemos en calculadora raíz cuadrada de 3 sobre 4. Eso nos da 0.43 aproximando a dos decimales y ese número queda acompañado de X al cuadrado. Esta nueva expresión vamos a escribirla por acá. Tenemos que A es igual a X Y más 0.43 X al cuadrado y será la expresión que vamos a llamar como número 2. En esta etapa del ejercicio ya tenemos una expresión para lo que queremos optimizar que es el área de la ventana queremos maximizarla. Sin embargo tenemos un pequeño problema el área está dependiendo de dos variables que son X y Y y necesitamos que dependa solamente de una. Para solucionar ese problema podemos recurrir a la expresión número 1 y hacer el despeje de X o de Y. Vemos que es más conveniente despejar Y para que luego el área nos quede únicamente en términos de X. Entonces de la expresión 1 vamos a despejar la Y. Primero aislamos el término 2Y. Eso nos queda igual a 12 menos 3X. Este término que está positivo pasa al otro lado con signo negativo. Ahora este número 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda Y igual a 12 menos 3X y todo esto sobre 2. Allí podemos repartir este número 2 para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Tendremos Y igual a 12 medios menos 3X medios. Podemos simplificar estas fracciones de tal manera que esta expresión nos queda como Y igual a 12 medios que es 6 menos 3 medios que es 1.5 y ese número acompañado de X. Tenemos así una nueva expresión que vamos a llamar la número 3. Es el despeje de la letra Y de la expresión número 1. Ahora lo que vamos a hacer es reemplazar la expresión número 3 en la número 2. Es decir que Y que equivale a esta expresión vamos a sustituirla aquí. Tendremos entonces que A es igual a X que multiplica a la expresión que representa la letra Y. 6 menos 1.5X eso lo protegemos con paréntesis y todo esto más 0.43X al cuadrado. A continuación vamos a destruir este paréntesis. Aplicamos entonces la propiedad distributiva. Tenemos A igual a X por 6 que es 6X menos X por 1.5X que será 1.5X al cuadrado y esto más 0.43X al cuadrado. En esta expresión podemos operar estos dos términos semejantes. Ambos contienen X al cuadrado entonces nos va a quedar de la siguiente manera. A igual a 6X y la operación de estos dos términos nos da menos 1.07X al cuadrado. Tenemos así una nueva expresión que vamos a llamar la número 4. De esta manera ya hemos conseguido expresar el área A de la ventana en términos de una sola variable que es X. Esto es lo que llamamos A de X o sea A como función de X y también es lo que conocemos como la función objetivo. O sea aquella que queremos optimizar en este problema. Queremos encontrar cuando X produce el valor máximo. Procedemos entonces a encontrar la primera y segunda derivada de esta función. Vamos a escribirlas por acá. Primera derivada o sea A' de X será igual a lo siguiente. Como tenemos una resta entonces derivamos cada término. La derivada de 6X nos da 6 y la derivada del otro término nos da 2 por 1.07 que es 2.14 y eso por X. Recordemos que al exponente le restamos una unidad y por eso nos queda aquí exponente 1 invisible. De aquí vamos a obtener ahora la segunda derivada o sea A' de X. Entonces derivamos de nuevo esta expresión. Derivada de 6 nos da 0 por ser una constante y la derivada de este término nos da como resultado 2.14. A continuación vamos a encontrar el valor o los valores de X que producen los puntos críticos de la función objetivo. O sea los candidatos a maximizar o minimizar el área A. Para ello tomamos la primera derivada y la igualamos a 0. Entonces tenemos A' de X igual a 0 es decir la expresión 6 menos 2.14X igual a 0. Una ecuación de primer grado con una incógnita donde tenemos que despejar X. Aislamos primero este término nos queda menos 2.14X igual a menos 6. Este término que está positivo llega al otro lado negativo. Ahora vamos a despejar X. Para ello este número que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y conserva su mismo signo. Tenemos menos 6 sobre menos 2.14. Y resolviendo esa operación en la calculadora nos da aproximadamente 2.80 positivo. Recordemos que X es un valor en metros. Como decíamos este valor de X es el que produce punto crítico en la función objetivo. O sea en la función del área de la ventana. Si queremos verificar cuál es la naturaleza de ese valor crítico. Es decir si produce un máximo o un mínimo. Entonces recurrimos a la segunda derivada. Aquí vemos claramente que si se evalúa este número aquí en la segunda derivada. Vamos a obtener como resultado menos 2.14. O sea un valor negativo. Eso quiere decir que en ese punto la función es cóncava hacia abajo. Y está produciendo un valor máximo. Entonces esto nos da la tranquilidad de saber que X igual a 2.80 metros está maximizando la función objetivo. Como el problema nos está pidiendo las dimensiones de la parte rectangular. Para que el área de la ventana sea máxima. Entonces nos hace falta encontrar el valor de Y. Es allí cuando vamos a la expresión que habíamos llamado número 3. Donde tenemos despejada la letra Y en términos de X. Y X ya conocemos su valor. Entonces tendremos que Y es igual a 6 menos 1.5 por el valor de X que es 2.80. Resolvemos esas operaciones. Tenemos 6 menos este producto que nos da 4.2 en calculadora. Y haciendo esta resta obtenemos como resultado 1.80 que también está en metros. De esta manera encontramos el valor de Y. Y así terminamos el problema. Vamos a colocar por acá la respuesta a la pregunta. Decimos que para la parte rectangular de la ventana su base debe ser 2.80 metros. Y su altura debe ser 1.80 metros. Son las dimensiones de la parte rectangular para que esa ventana permita la máxima entrada de luz. O sea para que tenga su área máxima.
[{"start": 0.0, "end": 6.12, "text": " Una ventana tiene forma de rect\u00e1ngulo coronado por un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero."}, {"start": 6.12, "end": 12.6, "text": " Encuentre las dimensiones del rect\u00e1ngulo para que la ventana permita la m\u00e1xima entrada de luz"}, {"start": 12.6, "end": 17.2, "text": " si el per\u00edmetro de la misma debe ser 12 metros."}, {"start": 17.2, "end": 25.2, "text": " Bien, vamos a resolver este problema de optimizaci\u00f3n que es una de las aplicaciones de la derivada."}, {"start": 25.2, "end": 29.0, "text": " Comenzamos haciendo un dibujo de la ventana."}, {"start": 29.0, "end": 35.6, "text": " Vemos que tiene la forma de un rect\u00e1ngulo coronado por un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero."}, {"start": 35.6, "end": 44.8, "text": " Vamos a llamar X a lo que es la base del rect\u00e1ngulo y vamos a llamar Y a su altura."}, {"start": 44.8, "end": 52.0, "text": " Tenemos que este lado X ser\u00e1 este mismo, o sea la base del tri\u00e1ngulo 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lo igualamos a 12 metros o simplemente 12."}, {"start": 113.4, "end": 120.4, "text": " Hacemos la aclaraci\u00f3n de que en este problema X y Y son medidas en metros."}, {"start": 120.4, "end": 126.2, "text": " Tenemos entonces que esta expresi\u00f3n representa el per\u00edmetro de la ventana."}, {"start": 126.2, "end": 129.20000000000002, "text": " Vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 129.20000000000002, "end": 141.20000000000002, "text": " Tenemos estas tres letras X que al sumarlas nos da 3X y tambi\u00e9n tenemos estas letras Y que al sumarlas nos da 2Y."}, {"start": 141.2, "end": 144.79999999999998, "text": " Tenemos que esto es igual a 12."}, {"start": 144.79999999999998, "end": 149.2, "text": " Esta primera expresi\u00f3n vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 149.2, "end": 164.2, "text": " 3X m\u00e1s 2Y igual a 12 y la vamos a llamar como la expresi\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 164.2, "end": 176.0, "text": " El problema nos pide encontrar las dimensiones de la parte rectangular, o sea X y Y de tal manera que la ventana permita la m\u00e1xima entrada de luz."}, {"start": 176.0, "end": 181.0, "text": " En otras palabras tenemos que maximizar el \u00e1rea de la ventana."}, {"start": 181.0, "end": 188.2, "text": " Entonces vamos a encontrar una expresi\u00f3n para el \u00e1rea A de dicha ventana."}, {"start": 188.2, "end": 193.0, "text": " Como dec\u00edamos al principio ella se compone de un rect\u00e1ngulo."}, {"start": 193.0, "end": 198.6, "text": " Entonces tenemos \u00e1rea del rect\u00e1ngulo y un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero."}, {"start": 198.6, "end": 203.2, "text": " Entonces m\u00e1s el \u00e1rea de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 203.2, "end": 210.2, "text": " Para el caso del rect\u00e1ngulo sabemos que su \u00e1rea es base por altura."}, {"start": 210.2, "end": 212.8, "text": " En este caso X por Y."}, {"start": 212.8, "end": 225.0, "text": " Y para el caso del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero como conocemos el valor de su lado que es X la expresi\u00f3n es X al cuadrado ra\u00edz de 3 sobre 4."}, {"start": 225.0, "end": 237.20000000000002, "text": " Esta es digamos la f\u00f3rmula que nos permite expresar el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero en t\u00e9rminos de su lado que en este caso es X."}, {"start": 237.2, "end": 244.79999999999998, "text": " Esta expresi\u00f3n la podemos escribir as\u00ed A igual a X por Y que es X Y."}, {"start": 244.79999999999998, "end": 250.39999999999998, "text": " Y por ac\u00e1 resolvemos en calculadora ra\u00edz cuadrada de 3 sobre 4."}, {"start": 250.39999999999998, "end": 260.4, "text": " Eso nos da 0.43 aproximando a dos decimales y ese n\u00famero queda acompa\u00f1ado de X al cuadrado."}, {"start": 260.4, "end": 265.2, "text": " Esta nueva expresi\u00f3n vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 265.2, "end": 281.8, "text": " Tenemos que A es igual a X Y m\u00e1s 0.43 X al cuadrado y ser\u00e1 la expresi\u00f3n que vamos a llamar como n\u00famero 2."}, {"start": 281.8, "end": 292.2, "text": " En esta etapa del ejercicio ya tenemos una expresi\u00f3n para lo que queremos optimizar que es el \u00e1rea de la ventana queremos maximizarla."}, {"start": 292.2, "end": 303.0, "text": " Sin embargo tenemos un peque\u00f1o problema el \u00e1rea est\u00e1 dependiendo de dos variables que son X y Y y necesitamos que dependa solamente de una."}, {"start": 303.0, "end": 311.4, "text": " Para solucionar ese problema podemos recurrir a la expresi\u00f3n n\u00famero 1 y hacer el despeje de X o de Y."}, {"start": 311.4, "end": 320.2, "text": " Vemos que es m\u00e1s conveniente despejar Y para que luego el \u00e1rea nos quede \u00fanicamente en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 320.2, "end": 324.2, "text": " Entonces de la expresi\u00f3n 1 vamos a despejar la Y."}, {"start": 324.2, "end": 327.4, "text": " Primero aislamos el t\u00e9rmino 2Y."}, {"start": 327.4, "end": 332.2, "text": " Eso nos queda igual a 12 menos 3X."}, {"start": 332.2, "end": 338.2, "text": " Este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo pasa al otro lado con signo negativo."}, {"start": 338.2, "end": 344.0, "text": " Ahora este n\u00famero 2 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 344.0, "end": 350.8, "text": " Nos queda Y igual a 12 menos 3X y todo esto sobre 2."}, {"start": 350.8, "end": 358.0, "text": " All\u00ed podemos repartir este n\u00famero 2 para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 358.0, "end": 365.8, "text": " Tendremos Y igual a 12 medios menos 3X medios."}, {"start": 365.8, "end": 376.8, "text": " Podemos simplificar estas fracciones de tal manera que esta expresi\u00f3n nos queda como Y igual a 12 medios que es 6"}, {"start": 376.8, "end": 384.8, "text": " menos 3 medios que es 1.5 y ese n\u00famero acompa\u00f1ado de X."}, {"start": 384.8, "end": 391.6, "text": " Tenemos as\u00ed una nueva expresi\u00f3n que vamos a llamar la n\u00famero 3."}, {"start": 391.6, "end": 398.0, "text": " Es el despeje de la letra Y de la expresi\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 398.0, "end": 404.0, "text": " Ahora lo que vamos a hacer es reemplazar la expresi\u00f3n n\u00famero 3 en la n\u00famero 2."}, {"start": 404.0, "end": 410.0, "text": " Es decir que Y que equivale a esta expresi\u00f3n vamos a sustituirla aqu\u00ed."}, {"start": 410.0, "end": 419.0, "text": " Tendremos entonces que A es igual a X que multiplica a la expresi\u00f3n que representa la letra Y."}, {"start": 419.0, "end": 430.0, "text": " 6 menos 1.5X eso lo protegemos con par\u00e9ntesis y todo esto m\u00e1s 0.43X al cuadrado."}, {"start": 430.0, "end": 434.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a destruir este par\u00e9ntesis."}, {"start": 434.0, "end": 438.0, "text": " Aplicamos entonces la propiedad distributiva."}, {"start": 438.0, "end": 457.0, "text": " Tenemos A igual a X por 6 que es 6X menos X por 1.5X que ser\u00e1 1.5X al cuadrado y esto m\u00e1s 0.43X al cuadrado."}, {"start": 457.0, "end": 462.0, "text": " En esta expresi\u00f3n podemos operar estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 462.0, "end": 468.0, "text": " Ambos contienen X al cuadrado entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 468.0, "end": 480.0, "text": " A igual a 6X y la operaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos nos da menos 1.07X al cuadrado."}, {"start": 480.0, "end": 489.0, "text": " Tenemos as\u00ed una nueva expresi\u00f3n que vamos a llamar la n\u00famero 4."}, {"start": 489.0, "end": 498.0, "text": " De esta manera ya hemos conseguido expresar el \u00e1rea A de la ventana en t\u00e9rminos de una sola variable que es X."}, {"start": 498.0, "end": 508.0, "text": " Esto es lo que llamamos A de X o sea A como funci\u00f3n de X y tambi\u00e9n es lo que conocemos como la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 508.0, "end": 513.0, "text": " O sea aquella que queremos optimizar en este problema."}, {"start": 513.0, "end": 518.0, "text": " Queremos encontrar cuando X produce el valor m\u00e1ximo."}, {"start": 518.0, "end": 525.0, "text": " Procedemos entonces a encontrar la primera y segunda derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 525.0, "end": 527.0, "text": " Vamos a escribirlas por ac\u00e1."}, {"start": 527.0, "end": 533.0, "text": " Primera derivada o sea A' de X ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 533.0, "end": 537.0, "text": " Como tenemos una resta entonces derivamos cada t\u00e9rmino."}, {"start": 537.0, "end": 550.0, "text": " La derivada de 6X nos da 6 y la derivada del otro t\u00e9rmino nos da 2 por 1.07 que es 2.14 y eso por X."}, {"start": 550.0, "end": 558.0, "text": " Recordemos que al exponente le restamos una unidad y por eso nos queda aqu\u00ed exponente 1 invisible."}, {"start": 558.0, "end": 567.0, "text": " De aqu\u00ed vamos a obtener ahora la segunda derivada o sea A' de X."}, {"start": 567.0, "end": 570.0, "text": " Entonces derivamos de nuevo esta expresi\u00f3n."}, {"start": 570.0, "end": 582.0, "text": " Derivada de 6 nos da 0 por ser una constante y la derivada de este t\u00e9rmino nos da como resultado 2.14."}, {"start": 582.0, "end": 590.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a encontrar el valor o los valores de X que producen los puntos cr\u00edticos de la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 590.0, "end": 596.0, "text": " O sea los candidatos a maximizar o minimizar el \u00e1rea A."}, {"start": 596.0, "end": 602.0, "text": " Para ello tomamos la primera derivada y la igualamos a 0."}, {"start": 602.0, "end": 614.0, "text": " Entonces tenemos A' de X igual a 0 es decir la expresi\u00f3n 6 menos 2.14X igual a 0."}, {"start": 614.0, "end": 622.0, "text": " Una ecuaci\u00f3n de primer grado con una inc\u00f3gnita donde tenemos que despejar X."}, {"start": 622.0, "end": 630.0, "text": " Aislamos primero este t\u00e9rmino nos queda menos 2.14X igual a menos 6."}, {"start": 630.0, "end": 635.0, "text": " Este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo llega al otro lado negativo."}, {"start": 635.0, "end": 638.0, "text": " Ahora vamos a despejar X."}, {"start": 638.0, "end": 647.0, "text": " Para ello este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir y conserva su mismo signo."}, {"start": 647.0, "end": 653.0, "text": " Tenemos menos 6 sobre menos 2.14."}, {"start": 653.0, "end": 662.0, "text": " Y resolviendo esa operaci\u00f3n en la calculadora nos da aproximadamente 2.80 positivo."}, {"start": 662.0, "end": 667.0, "text": " Recordemos que X es un valor en metros."}, {"start": 667.0, "end": 674.0, "text": " Como dec\u00edamos este valor de X es el que produce punto cr\u00edtico en la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 674.0, "end": 678.0, "text": " O sea en la funci\u00f3n del \u00e1rea de la ventana."}, {"start": 678.0, "end": 683.0, "text": " Si queremos verificar cu\u00e1l es la naturaleza de ese valor cr\u00edtico."}, {"start": 683.0, "end": 687.0, "text": " Es decir si produce un m\u00e1ximo o un m\u00ednimo."}, {"start": 687.0, "end": 691.0, "text": " Entonces recurrimos a la segunda derivada."}, {"start": 691.0, "end": 697.0, "text": " Aqu\u00ed vemos claramente que si se eval\u00faa este n\u00famero aqu\u00ed en la segunda derivada."}, {"start": 697.0, "end": 701.0, "text": " Vamos a obtener como resultado menos 2.14."}, {"start": 701.0, "end": 703.0, "text": " O sea un valor negativo."}, {"start": 703.0, "end": 709.0, "text": " Eso quiere decir que en ese punto la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 709.0, "end": 713.0, "text": " Y est\u00e1 produciendo un valor m\u00e1ximo."}, {"start": 713.0, "end": 724.0, "text": " Entonces esto nos da la tranquilidad de saber que X igual a 2.80 metros est\u00e1 maximizando la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 724.0, "end": 730.0, "text": " Como el problema nos est\u00e1 pidiendo las dimensiones de la parte rectangular."}, {"start": 730.0, "end": 734.0, "text": " Para que el \u00e1rea de la ventana sea m\u00e1xima."}, {"start": 734.0, "end": 738.0, "text": " Entonces nos hace falta encontrar el valor de Y."}, {"start": 738.0, "end": 743.0, "text": " Es all\u00ed cuando vamos a la expresi\u00f3n que hab\u00edamos llamado n\u00famero 3."}, {"start": 743.0, "end": 747.0, "text": " Donde tenemos despejada la letra Y en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 747.0, "end": 750.0, "text": " Y X ya conocemos su valor."}, {"start": 750.0, "end": 762.0, "text": " Entonces tendremos que Y es igual a 6 menos 1.5 por el valor de X que es 2.80."}, {"start": 762.0, "end": 765.0, "text": " Resolvemos esas operaciones."}, {"start": 765.0, "end": 771.0, "text": " Tenemos 6 menos este producto que nos da 4.2 en calculadora."}, {"start": 771.0, "end": 781.0, "text": " Y haciendo esta resta obtenemos como resultado 1.80 que tambi\u00e9n est\u00e1 en metros."}, {"start": 781.0, "end": 785.0, "text": " De esta manera encontramos el valor de Y."}, {"start": 785.0, "end": 788.0, "text": " Y as\u00ed terminamos el problema."}, {"start": 788.0, "end": 793.0, "text": " Vamos a colocar por ac\u00e1 la respuesta a la pregunta."}, {"start": 793.0, "end": 805.0, "text": " Decimos que para la parte rectangular de la ventana su base debe ser 2.80 metros."}, {"start": 805.0, "end": 814.0, "text": " Y su altura debe ser 1.80 metros."}, {"start": 814.0, "end": 823.0, "text": " Son las dimensiones de la parte rectangular para que esa ventana permita la m\u00e1xima entrada de luz."}, {"start": 823.0, "end": 852.0, "text": " O sea para que tenga su \u00e1rea m\u00e1xima."}]