VOLUMEN HALLADO CON INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES
#julioprofe explica cómo encontrar el volumen del sólido bajo la superficie z=x²+y², encima del plano XY y dentro del cilindro x²+y²=2y.

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 Vamos a encontrar el volumen del sólido bajo la superficie z igual a x cuadrado más y cuadrado encima del plano xy y dentro del cilindro x cuadrado más y cuadrado igual a 2y. Comenzamos por determinar las características de esta ecuación que en el plano xy constituye una circunferencia pero en el espacio es un cilindro. Veamos cómo conducimos esta ecuación a algo conocido. Pasamos este término para el lado izquierdo y llega a negativo y esto nos queda igual a cero. Esto constituye la ecuación de una circunferencia y vamos a realizar la completación del trinomio cuadrado perfecto para los términos que contienen la y. Para la x no es necesario, entonces escribimos aquí el siguiente término. Sacamos la mitad de este número, la mitad de 2 es 1, 1 lo elevamos al cuadrado y nos da 1 positivo. Ese es el término que tenemos que agregar para completar el trinomio cuadrado perfecto. También lo escribimos al lado derecho. Estos tres términos con toda seguridad conforman un trinomio cuadrado perfecto. Entonces procedemos a factorizarlo. Nos queda entonces x cuadrado, este primer término queda igual y la factorización de ese trinomio cuadrado perfecto nos queda y menos 1 al cuadrado y esto igual a 1. Tenemos entonces la ecuación de una circunferencia con centro hk cuyo modelo dice así. Y igual a r al cuadrado. Circunferencia con centro hk y radio r. En este caso h vale 0 porque tenemos la x completamente sola. K en este caso viene siendo 1 que es el número que resta a la y y r cuadrado viene siendo 1 por lo tanto tenemos que r es igual a 1 sacando raíz cuadrada. Y de esta manera tenemos el centro de la circunferencia. Sería centro en 0,1 es la pareja h,k. Entonces en el plano x,y esta ecuación corresponde a una circunferencia con centro en 0,1 y radio 1. Vamos a visualizarlo. Aquí podemos observar la circunferencia. Tiene centro en 0,1 y su radio es de 1 unidad. Entonces esta figura en el plano x,y es una circunferencia pero en el espacio constituye un cilindro. Tenemos que en dirección del eje z esta circunferencia se propaga o se expande generando un cilindro. Esta figura, este circulo que tenemos delimitado es lo que va a constituir la región de integración. Vamos entonces a repintarla con este color y a esta región la vamos a llamar r. Y entonces vamos a representar r en coordenadas polares. En este caso como tenemos una superficie con x cuadrado y y cuadrado y como la región de integración también contiene x cuadrado más y cuadrado. Entonces es conveniente recurrir a las coordenadas polares. Recordemos que en las coordenadas polares la equivalencia x cuadrado más y cuadrado igual a r cuadrado es de gran importancia. Y también estas otras dos. x es igual a r coseno de theta y y es igual a r seno de theta. Estas son las equivalencias que nos sugieren que en este caso es conveniente utilizar coordenadas polares. Vamos entonces a representar r de esta manera. Para ello tomamos la ecuación de la circunferencia x cuadrado más y cuadrado igual a 2y y vamos a hacer los cambios a coordenadas polares. Entonces dijimos que x cuadrado más y cuadrado equivale a r cuadrado y y se cambia por r seno de theta. Pasamos todo ese termino para el lado izquierdo nos queda r cuadrado menos 2r seno de theta igual a 0. Sacamos factor común r que es factor de r menos 2 seno de theta igual a 0. Y entonces como esto está multiplicando e igualado a 0 aplicamos el teorema del factor nulo. Decimos r es igual a 0 o r menos 2 seno de theta es igual a 0. De lo anterior tenemos que r es igual a 0 o r es igual a 2 seno de theta despejando la r en la segunda igualdad. Y estos constituyen los límites de r cuando se trata de definir esta región en coordenadas polares. Veamos entonces como nos queda. r está comprendido entre 0 y 2 seno de theta. Recordemos que r sale a partir del polo, o sea el origen en todas las direcciones. El menor valor que toma es 0 y el máximo valor que toma es el de la circunferencia. Entonces sería 2 seno de theta. Y para theta tenemos los siguientes valores. Comenzaríamos en theta igual a 0 y vamos radiando hasta llegar a 180 grados. O sea desde 0 hasta pi. Entonces theta está comprendido entre 0 y pi radianes. De esta manera nos queda definida la región de integración en coordenadas polares. Ahora vamos a plantear una expresión para encontrar el volumen solicitado. Se trata de la integral doble sobre la región r de la función f de x, y con su diferencial de a. Ese es el planteamiento que nos permite encontrar el volumen bajo una superficie sobre el plano x, y. Y que está delimitada por una región r en dicho plano x, y. Entonces vamos a utilizar lo que decíamos, es decir la definición de r en coordenadas polares. Vamos entonces con la integral externa que es la que lleva los valores de theta. Entonces tenemos theta igual a 0 y por acá theta igual a pi. Luego la siguiente integral que es la que lleva los valores de r. Entonces r igual a 0 y r igual a 2 seno de theta. La función es la que nos daba el problema, es decir el paraboloide. Ella decía z igual a x cuadrado más y cuadrado. Recordemos que esto representa z. Pero decíamos que x cuadrado más y cuadrado en coordenadas polares se convierte en r al cuadrado. Entonces esa será la función que vamos a integrar. Y de a que en coordenadas cartesianas o rectangulares viene siendo dx por dy o dy por dx. Entonces ahora en coordenadas polares es r de r de theta. Esa expresión para el volumen nos queda entonces de la siguiente manera. Integral entre 0 y pi, ya sabemos que son valores de theta. Luego la integral entre 0 y 2 seno de theta. Ya sabemos que son valores de r. Y aquí tenemos ese producto que nos da r al cubo. Por dr y d theta. Procedemos entonces a resolver esa integral doble. Comenzando por la integral más interna. Entonces esto lo dejamos igual y nos vamos a concentrar en esta integral que tiene que ver con la variable r. Tenemos entonces que la integral de r al cubo viene siendo r a la 4 sobre 4. Y esto va a estar evaluado entre 0 y 2 seno de theta. Entonces protegemos todo eso con llaves. Y afuera escribimos el diferencial de theta. Evaluamos esta expresión que tenemos dentro de las llaves. Y nos queda lo siguiente. Si tenemos que esto entra aquí y se eleva a la 4. Nos queda 16 seno a la 4 de theta. Y todo esto sobre 4. Menos si entra el 0 nos daría todo 0. Esto lo podemos proteger y con su respectivo diferencial de theta. Ese 0 lo ignoramos. Y por aquí podemos simplificar 16 con 4. Eso nos va a dar 4. Que lo podemos sacar de la integral. Y entonces nos queda 4 por la integral entre 0 y pi de seno a la 4 de theta. Con su correspondiente diferencial de theta. Para resolver esta integral trigonométrica hacemos lo siguiente. Escribimos seno a la 4 como seno al cuadrado de theta. Y todo esto elevado al cuadrado. Con su diferencial de theta. Y entonces vamos a utilizar la siguiente identidad trigonométrica. 0 cuadrado de theta es igual a 1 menos coseno de 2 theta. Y todo esto sobre 2. Es una de las fórmulas de reducción de potencias. Volumen igual a 4 por la integral entre 0 y pi de esta expresión. Hacemos la sustitución 1 menos coseno de 2 theta sobre 2. Y todo esto al cuadrado con su respectivo diferencial de theta. Desarrollamos aquí adentro esa expresión al cuadrado. Nos queda entonces 4 por la integral entre 0 y pi de el numerador al cuadrado. Y todo esto sobre el denominador al cuadrado que sería 4. Con el diferencial de theta. Aquí podemos simplificar este 4 con este. Es como si sacáramos el 4 que está en el denominador. Y se simplifica con el 4 que tenemos por fuera. Entonces tendremos la integral entre 0 y pi de este binomio al cuadrado. Y lo vamos a desarrollar. Esto es el primer término al cuadrado que es 1 menos 2 veces el primero por el segundo. O sea 2 coseno de 2 theta más el segundo término al cuadrado. Que sería coseno al cuadrado de 2 theta. Todo esto entre paréntesis con su respectivo diferencial de theta. Así como existe esta fórmula para reducir esta potencia. Existe también la de coseno. Entonces coseno al cuadrado de theta es igual a 1 más coseno de 2 theta. Y todo esto sobre 2. Pero en este caso que es donde la vamos a utilizar. Tenemos el ángulo como 2 theta. Entonces cambiaríamos theta por 2 theta. Vamos a hacer el cambio por aquí. Y aquí también haríamos el cambio. Entonces tenemos 2 por 2 theta que se convierte en 4 theta. Y esta expresión la vamos a escribir por aquí. Tenemos entonces que volumen es igual a la integral entre cero y pi de 1 menos 2 coseno de 2 theta. Más este coseno al cuadrado de 2 theta que equivale a 1 más coseno de 4 theta. Todo esto sobre 2. Y vamos a escribirle el correspondiente diferencial de theta. Entonces usamos paréntesis y aquí escribimos de theta. Ahora vamos a repartir este denominador para cada uno de los términos que hay en el numerador. Tenemos entonces la integral entre cero y pi de 1 menos 2 coseno de 2 theta más 1 medio coseno de 4 theta. Y todo esto con su correspondiente diferencial de theta. Esto lo hacemos para poder sumar estos dos números. Entonces tendremos volumen igual a la integral entre cero y pi de 1 más 1 medio que nos da 3 medios. Menos 2 coseno de 2 theta más 1 medio coseno de 4 theta. Todo esto con su respectivo diferencial de theta. Aquí ya podemos integrar cada uno de los términos. Recordemos que para integrar esto se utiliza la siguiente fórmula. Integral del coseno de k theta con su diferencial de theta es igual a 1 sobre k por el seno de k theta más la constante de integración. Entonces en este caso k es 2 o es 4 para cada uno de esos términos. Y utilizando esta fórmula vamos a integrarlos fácilmente. Tenemos entonces integral de 3 medios que sería 3 medios de theta. Menos dejamos este 2 quieto y hacemos esta integral con esta fórmula. En esta fórmula tendríamos 1 medio del seno de 2 theta, en ese caso k vale 2, más 1 medio que lo dejamos quieto por esta integral que la hacemos con esta fórmula, en ese caso k vale 4, y nos queda 1 cuarto seno de 4 theta. No escribimos la constante de integración por tratarse de una integral definida y la vamos a evaluar entre cero y pi. Antes de hacer esa evaluación vamos a pulir esta expresión. Tendremos 3 medios de theta menos 2 por 1 medio, esto nos da 1, entonces queda seno de 2 theta más 1 medio por 1 cuarto, eso nos da 1 octavo del seno de 4 theta y ahora sí evaluado entre cero y pi. Entonces aplicamos el teorema fundamental del cálculo, reemplazamos primero pi donde está theta, tendríamos 3 medios de pi menos seno de 2 pi más 1 octavo del seno de 4 pi y todo esto menos el reemplazo de cero. Por aquí nos da cero, por acá tenemos 2 por 0, cero, el seno de cero vale cero y por acá tenemos 4 por 0, cero, seno de cero es cero, luego todo nos daría cero si evaluamos en ese valor. Entonces nos quedará lo siguiente, seno de 2 pi equivale a cero y seno de 4 pi también vale cero, por lo tanto lo único que nos queda es 3 medios de pi o también 3 pi medios. Y este valor corresponde al volumen que estamos buscando, le agregamos unidades cúbicas por tratarse de un volumen, esta es entonces la respuesta a este ejercicio, se trata del volumen bajo el paraboloide sobre el plano xy y encerrado dentro del cilindro que nos daban.
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Entonces theta est\u00e1 comprendido entre 0 y pi radianes."}, {"start": 423.0, "end": 429.0, "text": " De esta manera nos queda definida la regi\u00f3n de integraci\u00f3n en coordenadas polares."}, {"start": 430.0, "end": 438.0, "text": " Ahora vamos a plantear una expresi\u00f3n para encontrar el volumen solicitado."}, {"start": 438.0, "end": 451.0, "text": " Se trata de la integral doble sobre la regi\u00f3n r de la funci\u00f3n f de x, y con su diferencial de a."}, {"start": 452.0, "end": 460.0, "text": " Ese es el planteamiento que nos permite encontrar el volumen bajo una superficie sobre el plano x, y."}, {"start": 460.0, "end": 467.0, "text": " Y que est\u00e1 delimitada por una regi\u00f3n r en dicho plano x, y."}, {"start": 468.0, "end": 477.0, "text": " Entonces vamos a utilizar lo que dec\u00edamos, es decir la definici\u00f3n de r en coordenadas polares."}, {"start": 478.0, "end": 484.0, "text": " Vamos entonces con la integral externa que es la que lleva los valores de 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por dx."}, {"start": 540.0, "end": 546.0, "text": " Entonces ahora en coordenadas polares es r de r de theta."}, {"start": 547.0, "end": 552.0, "text": " Esa expresi\u00f3n para el volumen nos queda entonces de la siguiente manera."}, {"start": 553.0, "end": 557.0, "text": " Integral entre 0 y pi, ya sabemos que son valores de theta."}, {"start": 557.0, "end": 563.0, "text": " Luego la integral entre 0 y 2 seno de theta."}, {"start": 564.0, "end": 566.0, "text": " Ya sabemos que son valores de r."}, {"start": 567.0, "end": 570.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos ese producto que nos da r al cubo."}, {"start": 571.0, "end": 573.0, "text": " Por dr y d theta."}, {"start": 574.0, "end": 578.0, "text": " Procedemos entonces a resolver esa integral doble."}, {"start": 579.0, "end": 584.0, "text": " Comenzando por la integral m\u00e1s interna."}, {"start": 584.0, "end": 593.0, "text": " Entonces esto lo dejamos igual y nos vamos a concentrar en esta integral que tiene que ver con la variable r."}, {"start": 594.0, "end": 601.0, "text": " Tenemos entonces que la integral de r al cubo viene siendo r a la 4 sobre 4."}, {"start": 602.0, "end": 609.0, "text": " Y esto va a estar evaluado entre 0 y 2 seno de theta."}, {"start": 609.0, "end": 613.0, "text": " Entonces protegemos todo eso con llaves."}, {"start": 614.0, "end": 617.0, "text": " Y afuera escribimos el diferencial de theta."}, {"start": 618.0, "end": 623.0, "text": " Evaluamos esta expresi\u00f3n que tenemos dentro de las llaves."}, {"start": 624.0, "end": 626.0, "text": " Y nos queda lo siguiente."}, {"start": 627.0, "end": 630.0, "text": " Si tenemos que esto entra aqu\u00ed y se eleva a la 4."}, {"start": 631.0, "end": 636.0, "text": " Nos queda 16 seno a la 4 de theta."}, {"start": 636.0, "end": 638.0, "text": " Y todo esto sobre 4."}, {"start": 639.0, "end": 643.0, "text": " Menos si entra el 0 nos dar\u00eda todo 0."}, {"start": 644.0, "end": 649.0, "text": " Esto lo podemos proteger y con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 650.0, "end": 651.0, "text": " Ese 0 lo ignoramos."}, {"start": 652.0, "end": 654.0, "text": " Y por aqu\u00ed podemos simplificar 16 con 4."}, {"start": 655.0, "end": 656.0, "text": " Eso nos va a dar 4."}, {"start": 657.0, "end": 658.0, "text": " Que lo podemos sacar de la integral."}, {"start": 658.0, "end": 666.0, "text": " Y entonces nos queda 4 por la integral entre 0 y pi de seno a la 4 de theta."}, {"start": 667.0, "end": 670.0, "text": " Con su correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 671.0, "end": 675.0, "text": " Para resolver esta integral trigonom\u00e9trica hacemos lo siguiente."}, {"start": 676.0, "end": 684.0, "text": " Escribimos seno a la 4 como seno al cuadrado de theta."}, {"start": 685.0, "end": 686.0, "text": " Y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 686.0, "end": 688.0, "text": " Con su diferencial de theta."}, {"start": 689.0, "end": 693.0, "text": " Y entonces vamos a utilizar la siguiente identidad trigonom\u00e9trica."}, {"start": 694.0, "end": 700.0, "text": " 0 cuadrado de theta es igual a 1 menos coseno de 2 theta."}, {"start": 701.0, "end": 703.0, "text": " Y todo esto sobre 2."}, {"start": 704.0, "end": 707.0, "text": " Es una de las f\u00f3rmulas de reducci\u00f3n de potencias."}, {"start": 707.0, "end": 719.0, "text": " Volumen igual a 4 por la integral entre 0 y pi de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 720.0, "end": 725.0, "text": " Hacemos la sustituci\u00f3n 1 menos coseno de 2 theta sobre 2."}, {"start": 726.0, "end": 732.0, "text": " Y todo esto al cuadrado con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 732.0, "end": 737.0, "text": " Desarrollamos aqu\u00ed adentro esa expresi\u00f3n al cuadrado."}, {"start": 738.0, "end": 744.0, "text": " Nos queda entonces 4 por la integral entre 0 y pi de el numerador al cuadrado."}, {"start": 749.0, "end": 753.0, "text": " Y todo esto sobre el denominador al cuadrado que ser\u00eda 4."}, {"start": 754.0, "end": 756.0, "text": " Con el diferencial de theta."}, {"start": 757.0, "end": 759.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar este 4 con este."}, {"start": 759.0, "end": 762.0, "text": " Es como si sac\u00e1ramos el 4 que est\u00e1 en el denominador."}, {"start": 763.0, "end": 765.0, "text": " Y se simplifica con el 4 que tenemos por fuera."}, {"start": 766.0, "end": 773.0, "text": " Entonces tendremos la integral entre 0 y pi de este binomio al cuadrado."}, {"start": 774.0, "end": 775.0, "text": " Y lo vamos a desarrollar."}, {"start": 776.0, "end": 781.0, "text": " Esto es el primer t\u00e9rmino al cuadrado que es 1 menos 2 veces el primero por el segundo."}, {"start": 782.0, "end": 787.0, "text": " O sea 2 coseno de 2 theta m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado."}, {"start": 787.0, "end": 790.0, "text": " Que ser\u00eda coseno al cuadrado de 2 theta."}, {"start": 791.0, "end": 796.0, "text": " Todo esto entre par\u00e9ntesis con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 797.0, "end": 801.0, "text": " As\u00ed como existe esta f\u00f3rmula para reducir esta potencia."}, {"start": 802.0, "end": 804.0, "text": " Existe tambi\u00e9n la de coseno."}, {"start": 805.0, "end": 811.0, "text": " Entonces coseno al cuadrado de theta es igual a 1 m\u00e1s coseno de 2 theta."}, {"start": 812.0, "end": 813.0, "text": " Y todo esto sobre 2."}, {"start": 813.0, "end": 817.0, "text": " Pero en este caso que es donde la vamos a utilizar."}, {"start": 818.0, "end": 820.0, "text": " Tenemos el \u00e1ngulo como 2 theta."}, {"start": 821.0, "end": 823.0, "text": " Entonces cambiar\u00edamos theta por 2 theta."}, {"start": 824.0, "end": 825.0, "text": " Vamos a hacer el cambio por aqu\u00ed."}, {"start": 826.0, "end": 829.0, "text": " Y aqu\u00ed tambi\u00e9n har\u00edamos el cambio."}, {"start": 830.0, "end": 834.0, "text": " Entonces tenemos 2 por 2 theta que se convierte en 4 theta."}, {"start": 835.0, "end": 838.0, "text": " Y esta expresi\u00f3n la vamos a escribir por aqu\u00ed."}, {"start": 838.0, "end": 852.0, "text": " Tenemos entonces que volumen es igual a la integral entre cero y pi de 1 menos 2 coseno de 2 theta."}, {"start": 855.0, "end": 864.0, "text": " M\u00e1s este coseno al cuadrado de 2 theta que equivale a 1 m\u00e1s coseno de 4 theta."}, {"start": 864.0, "end": 867.0, "text": " Todo esto sobre 2."}, {"start": 868.0, "end": 877.0, "text": " Y vamos a escribirle el correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 878.0, "end": 883.0, "text": " Entonces usamos par\u00e9ntesis y aqu\u00ed escribimos de theta."}, {"start": 884.0, "end": 891.0, "text": " Ahora vamos a repartir este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que hay en el numerador."}, {"start": 891.0, "end": 909.0, "text": " Tenemos entonces la integral entre cero y pi de 1 menos 2 coseno de 2 theta m\u00e1s 1 medio coseno de 4 theta."}, {"start": 910.0, "end": 913.0, "text": " Y todo esto con su correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 914.0, "end": 916.0, "text": " Esto lo hacemos para poder sumar estos dos n\u00fameros."}, {"start": 916.0, "end": 927.0, "text": " Entonces tendremos volumen igual a la integral entre cero y pi de 1 m\u00e1s 1 medio que nos da 3 medios."}, {"start": 928.0, "end": 937.0, "text": " Menos 2 coseno de 2 theta m\u00e1s 1 medio coseno de 4 theta."}, {"start": 938.0, "end": 940.0, "text": " Todo esto con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 941.0, "end": 944.0, "text": " Aqu\u00ed ya podemos integrar cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 944.0, "end": 949.0, "text": " Recordemos que para integrar esto se utiliza la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 950.0, "end": 964.0, "text": " Integral del coseno de k theta con su diferencial de theta es igual a 1 sobre k por el seno de k theta m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 965.0, "end": 970.0, "text": " Entonces en este caso k es 2 o es 4 para cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 970.0, "end": 975.0, "text": " Y utilizando esta f\u00f3rmula vamos a integrarlos f\u00e1cilmente."}, {"start": 976.0, "end": 981.0, "text": " Tenemos entonces integral de 3 medios que ser\u00eda 3 medios de theta."}, {"start": 982.0, "end": 988.0, "text": " Menos dejamos este 2 quieto y hacemos esta integral con esta f\u00f3rmula."}, {"start": 988.0, "end": 1015.0, "text": " En esta f\u00f3rmula tendr\u00edamos 1 medio del seno de 2 theta, en ese caso k vale 2, m\u00e1s 1 medio que lo dejamos quieto por esta integral que la hacemos con esta f\u00f3rmula, en ese caso k vale 4, y nos queda 1 cuarto seno de 4 theta."}, {"start": 1015.0, "end": 1025.0, "text": " No escribimos la constante de integraci\u00f3n por tratarse de una integral definida y la vamos a evaluar entre cero y pi."}, {"start": 1026.0, "end": 1031.0, "text": " Antes de hacer esa evaluaci\u00f3n vamos a pulir esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1031.0, "end": 1051.0, "text": " Tendremos 3 medios de theta menos 2 por 1 medio, esto nos da 1, entonces queda seno de 2 theta m\u00e1s 1 medio por 1 cuarto, eso nos da 1 octavo del seno de 4 theta y ahora s\u00ed evaluado entre cero y pi."}, {"start": 1051.0, "end": 1076.0, "text": " Entonces aplicamos el teorema fundamental del c\u00e1lculo, reemplazamos primero pi donde est\u00e1 theta, tendr\u00edamos 3 medios de pi menos seno de 2 pi m\u00e1s 1 octavo del seno de 4 pi y todo esto menos el reemplazo de cero."}, {"start": 1076.0, "end": 1091.0, "text": " Por aqu\u00ed nos da cero, por ac\u00e1 tenemos 2 por 0, cero, el seno de cero vale cero y por ac\u00e1 tenemos 4 por 0, cero, seno de cero es cero, luego todo nos dar\u00eda cero si evaluamos en ese valor."}, {"start": 1091.0, "end": 1110.0, "text": " Entonces nos quedar\u00e1 lo siguiente, seno de 2 pi equivale a cero y seno de 4 pi tambi\u00e9n vale cero, por lo tanto lo \u00fanico que nos queda es 3 medios de pi o tambi\u00e9n 3 pi medios."}, {"start": 1110.0, "end": 1134.0, "text": " Y este valor corresponde al volumen que estamos buscando, le agregamos unidades c\u00fabicas por tratarse de un volumen, esta es entonces la respuesta a este ejercicio, se trata del volumen bajo el paraboloide sobre el plano xy y encerrado dentro del cilindro que nos daban."}]