FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c.

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 Para factorizar esta expresión algebraica de tres términos, es decir, un trinomio, comenzamos revisando el caso número 1, es decir, miramos si hay factor común, por ejemplo, algún número que podamos extraer de esos que tenemos acá. Vemos que eso no es posible, tampoco se puede extraer la letra P porque aquí no la tenemos. Entonces, descartamos el caso número 1 que es el de factor común. También descartamos el caso de factor común por agrupación de términos porque ese se aplica para polinomios de 4, 6, 8 o más términos siempre que la cantidad de ellos sea par. También podemos descartar el caso de la diferencia de cuadrados perfectos porque ese solamente se aplica para binomios. Ahora, ya en los trinomios vemos que se tiene el caso de trinomio cuadrado perfecto, el cual aquí no se aplica porque se necesita que el primer término y el tercero sean positivos, esta condición aquí no se cumple. Y tampoco podríamos aplicar ese que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c porque tenemos acá coeficiente diferente de 1. Entonces, nos queda por utilizar ese que se llama trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c. En realidad podríamos decir que es trinomio de la forma ax a la 2n más bx a la n más c porque se requiere que el exponente o grado del primer término sea el doble del exponente o grado del segundo término, tal como observamos acá 4 es el doble de 2. Y también se necesita que el coeficiente principal, es decir, el término de mayor grado o mayor exponente sea diferente de 1, es el que representa la letra a. En este caso es 6. Comenzamos entonces con el proceso de factorización de este trinomio de acuerdo con el caso que mencionamos. Lo primero que hay que hacer es multiplicar y dividir este trinomio por el coeficiente principal que es 6. Entonces 6 multiplica con 6 e a 4 menos 7 p al cuadrado menos 5. Protegemos el trinomio con paréntesis y todo esto debemos dividirlo por 6 para conservar de esa manera la expresión original. Entonces multiplicamos y dividimos por el coeficiente principal. Enseguida vamos a aplicar la propiedad distributiva en el numerador, es decir, 6 va a multiplicar a cada uno de estos términos y de esa manera rompemos el paréntesis. Entonces tenemos 6 por 6 p al a 4, eso nos da 36 p al a 4. En el segundo término la multiplicación se va a dejar indicada de la siguiente manera. Bueno, más por menos nos da menos, 6 entra y se agrupa con p al cuadrado, eso lo hacemos colocando paréntesis y el coeficiente original queda por fuera. Esto es lo que se llama dejar el producto o la multiplicación de manera indicada. Y ahora 6 por menos 5 que nos da menos 30. Entonces como vemos, en el primero y en el tercer término la multiplicación se hace común y corriente, pero en el segundo término el producto se deja indicado. Y todo esto continúa sobre el número 6. Ahora vamos a expresar el primer término del numerador como el cuadrado, de esto que nos quedó encerrado en paréntesis en el segundo término, es decir, 36 p al a 4 será 6 p al cuadrado, lo que tenemos aquí dentro de los paréntesis y todo esto elevado al cuadrado. Veamos si eso es cierto. Cuando en la potenciación tenemos un producto en la base, el exponente afecta los dos componentes o los dos factores, entonces sería 6 al cuadrado que es 36 y p al cuadrado otra vez elevado al cuadrado, en ese caso se multiplicarían los exponentes y nos queda p al a 4. Entonces efectivamente esto equivale a 36 p al a 4 y todo lo demás lo dejamos tal como está, menos 7 que multiplica con 6 p al cuadrado, eso menos 30 y todo esto sobre el número 6. En seguida vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable, esto que tenemos dentro de los paréntesis y que se repite podemos hacerlo igual a una nueva letra, por ejemplo vamos a usar h y lo que tenemos que hacer ahora es reconstruir esa expresión en términos de la nueva letra, es decir en términos de h, por acá tendríamos h al cuadrado, luego menos 7 por todo esto que es h, entonces menos 7h, después menos 30 y todo esto nos queda sobre 6. De esa manera tenemos en el numerador un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, aquel que tiene coeficiente principal 1, entonces vamos a factorizar ese trinomio de acuerdo con lo que nos indica ese caso, hay que abrir dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería h, se escribe esa letra al comienzo de cada paréntesis, después definimos los signos, más por menos es menos, signo del primer paréntesis, menos por menos nos da más, el signo del segundo paréntesis y ahora buscamos dos números, uno negativo y otro positivo que al multiplicarlos entre sí nos de como resultado menos 30 y que al sumarlos nos de como resultado menos 7, al hacer la búsqueda encontramos que esos números son menos 10 y más 3, veamos, menos 10 por más 3 da menos 30 y menos 10 sumado con 3 es menos 7 y todo esto continúa sobre 6. Después de haber factorizado el numerador entonces deshacemos el cambio de variable, es decir donde tenemos h volvemos a escribir 6p al cuadrado, de esa manera retornamos a la variable original, entonces nos queda 6p al cuadrado menos 10, 6p al cuadrado más 3 y todo esto está sobre el número 6. En seguida revisamos estos dos paréntesis para ver si es posible aplicar el caso número 1 en ellos, es decir el caso de factor común, si revisamos el primer paréntesis vemos los números 6 y 10, allí es posible extraer como factor común el máximo común divisor de esos números que será el 2, entonces si sale el 2 nos queda en el primer término 3p al cuadrado y en el segundo término nos queda menos 5, vamos ahora al otro paréntesis, allí vemos los números 6 y 3, podemos extraer el máximo común divisor de ellos que es 3, si sale 3 nos queda en el primer término 2p al cuadrado y en el segundo término nos queda más 1 y todo esto continúa sobre el número 6. Finalmente hacemos la simplificación de esta fracción, por ejemplo para 2 y 6 podemos sacar mitad, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3, es como dividir arriba y abajo por 2, ahora también podemos simplificar estos dos números, aquí sacamos tercera, tercera de 3 nos da 1, tercera de 3 es 1, es como dividir arriba y abajo por 3, nos queda entonces el producto de estos dos paréntesis, es decir 3p al cuadrado menos 5 y eso multiplicado por 2p al cuadrado más 1, revisamos si cada uno de estos dos paréntesis se puede factorizar nuevamente, vemos que no es posible, entonces ya podemos escribir acá el resultado del ejercicio, los factores de esa expresión son 3p al cuadrado menos 5 y el otro es 2p al cuadrado más 1, con eso entonces damos cumplimiento al proceso de factorización de este trinomio. Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba de este ejercicio que consiste en hacer la multiplicación de estos dos binomios, vamos a escribirlos por acá, 3p al cuadrado menos 5 y eso multiplicado por 2p al cuadrado más 1, entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva, comenzamos con 3p al cuadrado que va a multiplicar a cada uno de estos términos, eso nos queda así, 3p al cuadrado por 2p al cuadrado es 6p al a 4, luego 3p al cuadrado por más 1 nos da más 3p al cuadrado, ahora vamos a distribuir ese término menos 5, va a multiplicar a cada uno de esos dos términos, eso nos da menos 5 por 2p al cuadrado es menos 10p al cuadrado y después tenemos menos 5 por más 1 que nos da menos 5, allí podemos hacer la reducción de términos semejantes, son estos dos que contienen p al cuadrado, entonces nos queda 6p al a 4, operamos estos dos términos, más 3p al cuadrado menos 10p al cuadrado es menos 7p al cuadrado y anotamos menos 5, revisamos y hemos obtenido el trinomio original, con esto comprobamos que el proceso de factorización que realizamos es correcto. ¡Suscríbete al canal!
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De esa manera tenemos en el numerador un trinomio"}, {"start": 317.84, "end": 324.4, "text": " de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c, aquel que tiene coeficiente principal 1,"}, {"start": 324.4, "end": 330.65999999999997, "text": " entonces vamos a factorizar ese trinomio de acuerdo con lo que nos indica ese caso, hay"}, {"start": 330.65999999999997, "end": 337.03999999999996, "text": " que abrir dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda h,"}, {"start": 337.03999999999996, "end": 343.59999999999997, "text": " se escribe esa letra al comienzo de cada par\u00e9ntesis, despu\u00e9s definimos los signos, m\u00e1s por menos"}, {"start": 343.6, "end": 349.68, "text": " es menos, signo del primer par\u00e9ntesis, menos por menos nos da m\u00e1s, el signo del segundo"}, {"start": 349.68, "end": 356.56, "text": " par\u00e9ntesis y ahora buscamos dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo que al multiplicarlos"}, {"start": 356.56, "end": 362.98, "text": " entre s\u00ed nos de como resultado menos 30 y que al sumarlos nos de como resultado menos"}, {"start": 362.98, "end": 370.72, "text": " 7, al hacer la b\u00fasqueda encontramos que esos n\u00fameros son menos 10 y m\u00e1s 3, veamos, menos"}, {"start": 370.72, "end": 379.56, "text": " 10 por m\u00e1s 3 da menos 30 y menos 10 sumado con 3 es menos 7 y todo esto contin\u00faa sobre"}, {"start": 379.56, "end": 386.8, "text": " 6. 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Finalmente hacemos la simplificaci\u00f3n de esta fracci\u00f3n, por ejemplo para 2 y 6"}, {"start": 469.92, "end": 477.48, "text": " podemos sacar mitad, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3, es como dividir arriba"}, {"start": 477.48, "end": 483.8, "text": " y abajo por 2, ahora tambi\u00e9n podemos simplificar estos dos n\u00fameros, aqu\u00ed sacamos tercera,"}, {"start": 483.8, "end": 490.68, "text": " tercera de 3 nos da 1, tercera de 3 es 1, es como dividir arriba y abajo por 3, nos"}, {"start": 490.68, "end": 500.48, "text": " queda entonces el producto de estos dos par\u00e9ntesis, es decir 3p al cuadrado menos 5 y eso multiplicado"}, {"start": 500.48, "end": 511.3, "text": " por 2p al cuadrado m\u00e1s 1, revisamos si cada uno de estos dos par\u00e9ntesis se puede factorizar"}, {"start": 511.3, "end": 517.48, "text": " nuevamente, vemos que no es posible, entonces ya podemos escribir ac\u00e1 el resultado del"}, {"start": 517.48, "end": 527.08, "text": " ejercicio, los factores de esa expresi\u00f3n son 3p al cuadrado menos 5 y el otro es 2p al"}, {"start": 527.08, "end": 536.36, "text": " cuadrado m\u00e1s 1, con eso entonces damos cumplimiento al proceso de factorizaci\u00f3n de este trinomio."}, {"start": 536.36, "end": 543.0, "text": " Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba de este ejercicio que consiste en hacer la"}, {"start": 543.0, "end": 549.8000000000001, "text": " multiplicaci\u00f3n de estos dos binomios, vamos a escribirlos por ac\u00e1, 3p al cuadrado menos"}, {"start": 549.8, "end": 559.24, "text": " 5 y eso multiplicado por 2p al cuadrado m\u00e1s 1, entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva,"}, {"start": 559.24, "end": 566.4, "text": " comenzamos con 3p al cuadrado que va a multiplicar a cada uno de estos t\u00e9rminos, eso nos queda"}, {"start": 566.4, "end": 575.12, "text": " as\u00ed, 3p al cuadrado por 2p al cuadrado es 6p al a 4, luego 3p al cuadrado por m\u00e1s 1"}, {"start": 575.12, "end": 584.54, "text": " nos da m\u00e1s 3p al cuadrado, ahora vamos a distribuir ese t\u00e9rmino menos 5, va a multiplicar"}, {"start": 584.54, "end": 591.72, "text": " a cada uno de esos dos t\u00e9rminos, eso nos da menos 5 por 2p al cuadrado es menos 10p"}, {"start": 591.72, "end": 599.84, "text": " al cuadrado y despu\u00e9s tenemos menos 5 por m\u00e1s 1 que nos da menos 5, all\u00ed podemos hacer"}, {"start": 599.84, "end": 605.96, "text": " la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes, son estos dos que contienen p al cuadrado, entonces"}, {"start": 605.96, "end": 614.2, "text": " nos queda 6p al a 4, operamos estos dos t\u00e9rminos, m\u00e1s 3p al cuadrado menos 10p al cuadrado"}, {"start": 614.2, "end": 624.74, "text": " es menos 7p al cuadrado y anotamos menos 5, revisamos y hemos obtenido el trinomio original,"}, {"start": 624.74, "end": 630.0, "text": " con esto comprobamos que el proceso de factorizaci\u00f3n que realizamos es correcto."}, {"start": 654.74, "end": 656.74, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]