INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 2 (Parte 2)
#julioprofe continúa con el desarrollo del ejercicio del video anterior (integral por el método de sustitución trigonométrica).

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 ¿Qué es el siguiente? Para resolver la integral de secante de theta, debemos utilizar un artificio matemático. ¿Qué es el siguiente? Tenemos secante de theta, tenemos que multiplicarlo por secante de theta más tangente de theta y dividir por esa misma cantidad secante de theta más tangente de theta para no alterar la expresión original. Colocamos el diferencial. Entonces, en la parte de arriba vamos a distribuir secante de theta. Entonces secante por secante nos queda secante al cuadrado de theta más secante por tangente nos queda secante de theta por tangente de theta. Y todo esto sobre secante de theta más tangente de theta. Todo esto con su correspondiente diferencial de theta. Ahora hacemos una sustitución para resolver esta integral. Una sustitución normal. Vamos a tomar esta parte de abajo como una nueva letra. Por ejemplo, usemos la letra K. K será igual a secante de theta más tangente de theta. Y esto vamos a derivarlo. Entonces decimos que la derivada de K con respecto a theta será igual a derivada de la secante es secante de theta por tangente de theta. Más derivada de la tangente es secante al cuadrado de theta. Y observamos que al derivar esto, o sea la derivada del denominador nos está dando lo que tenemos en el numerador. O este es el camino correcto de esta sustitución. Vamos a despejar de K. Entonces podemos cambiar el orden de esta suma. Nos queda secante al cuadrado de theta más secante de theta por tangente de theta. Y todo esto multiplicado por de theta. Allí podemos apreciar entonces que todo esto con el de theta es lo que tenemos aquí en el numerador. Por lo tanto, allí lo podemos dejar para realizar la sustitución a K. Entonces esta integral nos queda convertida en lo siguiente. Haciendo los cambios correspondientes tendremos en la parte de arriba, es decir, esto queda como de K. Y en la parte de abajo, esto es lo que teníamos acá y eso equivale a la letra K. Esta integral, recordemos que se puede también escribir como la integral de K a la menos 1. Con su respectivo diferencial de K. Esto y esto es lo mismo. Y la integral de K a la menos 1 será el logaritmo natural de valor absoluto de K. Y todo esto más la constante de integración. Pero debemos hacer el cambio de K. K era esta expresión que tenemos aquí. Entonces nos queda igual al logaritmo natural de valor absoluto de secante de theta más tangente de theta. Todo esto más la constante de integración. Repetimos, hemos cambiado K por su equivalente dentro del valor absoluto. Entonces vamos a retomar todo lo que hemos obtenido. Este resultado, este de aquí, es el que corresponde a la integral de secante de theta con su respectivo de theta. Allí tenemos el resultado de esta integral. Y recordemos que esta era a su vez el resultado de la integral que traíamos como de P sobre la raíz cuadrada de 1 más P cuadrado. Cuando hicimos la sustitución trigonométrica, esto se convirtió en esto. Por lo tanto esto va a ser también equivalente a esto. Pero de una vez hacemos los cambios correspondientes a estas dos funciones trigonométricas. Recordemos que secante de theta, lo hicimos más atrás, equivale a la raíz cuadrada de 1 más P al cuadrado. Más tangente de theta nos había dado P. Entonces ya hemos logrado cambiar esta expresión en términos de theta a esta expresión que es equivalente en términos de P. Y para regresar a la integral original, recordemos que ella decía la integral de e a la x sobre la raíz cuadrada de 1 más e a la 2x. Todo esto con su respectivo de x. Esta integral en algún momento se nos convirtió en esto, haciendo la sustitución. Pero como son equivalentes, entonces hacemos el cambio aquí también. Recordemos que por allá al comienzo dijimos que P era e a la x. Por lo tanto nos queda la raíz cuadrada de 1 más P que se cambia por e a la x. Entonces e a la x al cuadrado nos queda e a la 2x. Cerramos la raíz más P que se cambia por e a la x. Cerramos el valor absoluto más C. Y de esta manera hemos encontrado entonces la integral que nos solicitaban al comienzo de este ejercicio. Y esta sería entonces la respuesta.
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todo esto sobre secante de theta m\u00e1s tangente de theta."}, {"start": 62.0, "end": 66.0, "text": " Todo esto con su correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 66.0, "end": 74.0, "text": " Ahora hacemos una sustituci\u00f3n para resolver esta integral."}, {"start": 74.0, "end": 76.0, "text": " Una sustituci\u00f3n normal."}, {"start": 76.0, "end": 80.0, "text": " Vamos a tomar esta parte de abajo como una nueva letra."}, {"start": 80.0, "end": 83.0, "text": " Por ejemplo, usemos la letra K."}, {"start": 83.0, "end": 90.0, "text": " K ser\u00e1 igual a secante de theta m\u00e1s tangente de theta."}, {"start": 90.0, "end": 93.0, "text": " Y esto vamos a derivarlo."}, {"start": 93.0, "end": 107.0, "text": " Entonces decimos que la derivada de K con respecto a theta ser\u00e1 igual a derivada de la secante es secante de theta por tangente de theta."}, {"start": 107.0, "end": 114.0, "text": " M\u00e1s derivada de la tangente es secante al cuadrado de theta."}, {"start": 114.0, "end": 121.0, "text": " Y observamos que al derivar esto, o sea la derivada del denominador nos est\u00e1 dando lo que tenemos en el numerador."}, {"start": 121.0, "end": 125.0, "text": " O este es el camino correcto de esta sustituci\u00f3n."}, {"start": 125.0, "end": 127.0, "text": " Vamos a despejar de K."}, {"start": 127.0, "end": 131.0, "text": " Entonces podemos cambiar el orden de esta suma."}, {"start": 131.0, "end": 139.0, "text": " Nos queda secante al cuadrado de theta m\u00e1s secante de theta por tangente de theta."}, {"start": 139.0, "end": 142.0, "text": " Y todo esto multiplicado por de theta."}, {"start": 142.0, "end": 148.0, "text": " All\u00ed podemos apreciar entonces que todo esto con el de theta es lo que tenemos aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 148.0, "end": 155.0, "text": " Por lo tanto, all\u00ed lo podemos dejar para realizar la sustituci\u00f3n a K."}, {"start": 155.0, "end": 159.0, "text": " Entonces esta integral nos queda convertida en lo siguiente."}, {"start": 159.0, "end": 168.0, "text": " Haciendo los cambios correspondientes tendremos en la parte de arriba, es decir, esto queda como de K."}, {"start": 168.0, "end": 176.0, "text": " Y en la parte de abajo, esto es lo que ten\u00edamos ac\u00e1 y eso equivale a la letra K."}, {"start": 176.0, "end": 186.0, "text": " Esta integral, recordemos que se puede tambi\u00e9n escribir como la integral de K a la menos 1."}, {"start": 186.0, "end": 189.0, "text": " Con su respectivo diferencial de K."}, {"start": 189.0, "end": 191.0, "text": " Esto y esto es lo mismo."}, {"start": 191.0, "end": 197.0, "text": " Y la integral de K a la menos 1 ser\u00e1 el logaritmo natural de valor absoluto de K."}, {"start": 197.0, "end": 201.0, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 201.0, "end": 204.0, "text": " Pero debemos hacer el cambio de K."}, {"start": 204.0, "end": 208.0, "text": " K era esta expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 208.0, "end": 220.0, "text": " Entonces nos queda igual al logaritmo natural de valor absoluto de secante de theta m\u00e1s tangente de theta."}, {"start": 220.0, "end": 224.0, "text": " Todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 224.0, "end": 229.0, "text": " Repetimos, hemos cambiado K por su equivalente dentro del valor absoluto."}, {"start": 229.0, "end": 234.0, "text": " Entonces vamos a retomar todo lo que hemos obtenido."}, {"start": 234.0, "end": 244.0, "text": " Este resultado, este de aqu\u00ed, es el que corresponde a la integral de secante de theta con su respectivo de theta."}, {"start": 244.0, "end": 248.0, "text": " All\u00ed tenemos el resultado de esta integral."}, {"start": 248.0, "end": 261.0, "text": " Y recordemos que esta era a su vez el resultado de la integral que tra\u00edamos como de P sobre la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P cuadrado."}, {"start": 261.0, "end": 265.0, "text": " Cuando hicimos la sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica, esto se convirti\u00f3 en esto."}, {"start": 265.0, "end": 269.0, "text": " Por lo tanto esto va a ser tambi\u00e9n equivalente a esto."}, {"start": 269.0, "end": 276.0, "text": " Pero de una vez hacemos los cambios correspondientes a estas dos funciones trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 276.0, "end": 287.0, "text": " Recordemos que secante de theta, lo hicimos m\u00e1s atr\u00e1s, equivale a la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P al cuadrado."}, {"start": 287.0, "end": 292.0, "text": " M\u00e1s tangente de theta nos hab\u00eda dado P."}, {"start": 292.0, "end": 302.0, "text": " Entonces ya hemos logrado cambiar esta expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de theta a esta expresi\u00f3n que es equivalente en t\u00e9rminos de P."}, {"start": 302.0, "end": 320.0, "text": " Y para regresar a la integral original, recordemos que ella dec\u00eda la integral de e a la x sobre la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s e a la 2x."}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Todo esto con su respectivo de x."}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " Esta integral en alg\u00fan momento se nos convirti\u00f3 en esto, haciendo la sustituci\u00f3n."}, {"start": 327.0, "end": 331.0, "text": " Pero como son equivalentes, entonces hacemos el cambio aqu\u00ed tambi\u00e9n."}, {"start": 331.0, "end": 337.0, "text": " Recordemos que por all\u00e1 al comienzo dijimos que P era e a la x."}, {"start": 337.0, "end": 343.0, "text": " Por lo tanto nos queda la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P que se cambia por e a la x."}, {"start": 343.0, "end": 349.0, "text": " Entonces e a la x al cuadrado nos queda e a la 2x."}, {"start": 349.0, "end": 355.0, "text": " Cerramos la ra\u00edz m\u00e1s P que se cambia por e a la x."}, {"start": 355.0, "end": 359.0, "text": " Cerramos el valor absoluto m\u00e1s C."}, {"start": 359.0, "end": 370.0, "text": " Y de esta manera hemos encontrado entonces la integral que nos solicitaban al comienzo de este ejercicio."}, {"start": 370.0, "end": 398.0, "text": " Y esta ser\u00eda entonces la respuesta."}]