INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 14
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral definida. Lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para esta expresión, o sea la función que tenemos en el integrando. Vamos entonces a desarrollar este binomio que se encuentra elevado al cuadrado y para ello vamos a recordar la fórmula correspondiente. Si tenemos un binomio elevado al cuadrado eso es igual al primer termino elevado al cuadrado más dos veces el primer termino por el segundo más el segundo termino elevado al cuadrado. Entonces, si tenemos secante de x más tangente de x, todo esto elevado al cuadrado, vamos a seguir esta fórmula o este desarrollo. Comenzamos entonces con el primer termino elevado al cuadrado que será secante al cuadrado de x más dos veces el primer termino por el segundo, entonces dos veces secante de x por tangente de x y esto nos queda más el segundo termino elevado al cuadrado, o sea tangente al cuadrado de x. Revisamos si los términos obtenidos pueden integrarse directamente, para el caso de secante al cuadrado de x vemos que sí porque la integral de esta expresión es tangente de x, para el caso de secante de x por tangente de x su integral también es directa, nos daría como resultado secante de x, pero para el caso de tangente al cuadrado de x no la podemos hacer de una vez, sino que nos toca recurrir a una identidad trigonométrica que dice lo siguiente tangente al cuadrado de x más uno es igual a secante al cuadrado de x, es una de las identidades pitagóricas, entonces de aquí vamos a despejar tangente al cuadrado de x, pasamos uno que está sumando al otro lado a restar y nos queda secante al cuadrado de x menos uno, entonces si aquí cambiamos tangente al cuadrado de x por la expresión obtenida secante al cuadrado de x menos uno podemos reducir esta expresión a lo siguiente, estos dos términos son semejantes pueden sumarse entre sí, nos queda dos secante al cuadrado de x, luego escribimos el término más dos secante de x por tangente de x y finalmente el menos uno y repetimos ya tenemos términos que son directamente integrables, entonces lo que hacemos ahora es reescribir el ejercicio original, es la integral definida desde menos pi cuartos hasta pi cuartos y aquí vamos a escribir la expresión que obtuvimos, abrimos paréntesis dos secante al cuadrado de x, luego tenemos más dos secante de x por tangente de x, después tenemos menos uno, cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de x, como decíamos ahora estos términos pueden integrarse de manera directa, entonces vamos a continuar por acá y comenzamos con el primer término donde el número dos se deja quieto porque es la constante que está multiplicando y decimos la integral de secante al cuadrado de x es tangente de x, es una integral directa porque la derivada de tangente de x es secante al cuadrado de x, pasamos al siguiente término donde este número dos se conserva, se queda quieto y vamos a integrar secante de x por tangente de x, la integral de esta expresión es secante de x porque la derivada de secante de x es secante de x por tangente de x y finalmente la integral de uno será x, o sea la variable que controla el ejercicio y como tenemos una integral definida, trazamos esta línea y anotamos los límites de integración, menos pi cuartos que es el inferior y pi cuartos que es el superior. Ahora vamos a reemplazar estos valores en la antiderivada que obtuvimos, vamos entonces a aplicar el teorema fundamental del cálculo, reemplazamos primero el límite superior en la antiderivada, nos queda dos tangente de pi cuartos, luego tenemos más dos por secante de pi cuartos y después tenemos menos x, o sea menos pi cuartos, esa expresión vamos a protegerla utilizando corcheten y a eso vamos a restarle el reemplazo del límite inferior que es menos pi cuartos, también en la antiderivada, tendremos dos tangente de menos pi cuartos, lo protegemos con paréntesis por ser una cantidad negativa, más dos por secante de menos pi cuartos y después tenemos menos x, o sea menos pi cuartos protegido con paréntesis y cerramos el corchete. A continuación vamos a organizar esto que tenemos acá, funciones trigonométricas con ángulos negativos, para el caso de la función tangente tenemos que tangente de menos theta es igual a menos tangente de theta, la tangente es una función impar, y para el caso de la secante de menos theta, esto es igual a secante de theta, la secante es una función par. Entonces, según esto, la tangente de menos pi cuartos equivale a menos la tangente de pi cuartos y la secante de menos pi cuartos equivale a secante de pi cuartos. Vamos entonces a reescribir todo esto de una manera más sencilla, incluso ya podemos quitar los corchetes. Veamos, aquí salen los términos que tenemos, dos tangente de pi cuartos, más dos secante de pi cuartos, menos pi cuartos. Y acá el signo negativo va a afectar a cada uno de los términos, este término nos quedaría menos dos tangente de pi cuartos, pero con este menos queda positivo, más dos tangente de pi cuartos. Ese término nos queda positivo, dos secante de pi cuartos, pero con este menos ahora queda negativo, en los dos secante de pi cuartos, y acá menos por menos nos da más, pero si entra este menos vuelve a quedar negativo, nos queda menos pi cuartos. Si revisamos esto con atención vemos que allí hay términos semejantes, por ejemplo estos dos que contienen tangente de pi cuartos, también estos dos que contienen secante de pi cuartos, y también tenemos los términos independientes, o sea estos dos números. Entonces vamos a operar entre sí estos términos semejantes, los que marcamos con color rojo se suman entre sí y eso nos da cuatro tangente de pi cuartos, los que marcamos con color verde vemos que son opuestos, este está positivo y este está negativo, por lo tanto si se suman nos da como resultado cero, entonces se eliminan entre sí. Y los que marcamos con color azul también se pueden sumar, vemos que son fracciones con el mismo denominador, entonces conservamos el cuatro como denominador y operamos los numeradores, menos pi y menos pi nos da como resultado menos dos pi, aquí tenemos el signo menos. Recordemos que la tangente de pi cuartos radianes equivale a la tangente de 45 grados y su valor es uno, y por acá podemos simplificar estos dos números, mitad de cuatro dos y mitad de dos nos da uno, entonces la respuesta nos va a quedar así, cuatro por uno es cuatro menos pi medios que es el resultado simplificado de esta fracción, esta será entonces la respuesta, o sea el valor numérico de esa integral definida.
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