RAZÓN DE CAMBIO - Problema 5
#julioprofe explica cómo resolver un problema de razón de cambio o tasas relacionadas, una de las aplicaciones de la derivada:

Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de alto camina desde la lámpara hacia el edificio a una velocidad de 1.6 m/s, ¿Con qué rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se encuentra a 4 m de éste?
 
Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 metros de distancia. Si un hombre de 2 metros de alto camina desde la lámpara hacia el edificio a una velocidad de 1.6 metros por segundo, ¿con qué rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se encuentra a 4 metros de este? Bien, en este dibujo podemos esquematizar lo que nos dice el problema. Tenemos la lámpara proyectora situada en el piso que ilumina una pared y está situada a 12 metros de distancia. De la lámpara a la pared tenemos 12 metros y tenemos un hombre de 2 metros de altura que camina hacia la pared. La distancia que hay de la persona de este hombre a la pared es una distancia variable, por eso le colocamos x a esta distancia y esto que es la longitud de su sombra también es una longitud variable, por eso le vamos a llamar h, porque a medida que la persona va caminando entonces la longitud de la sombra va a ir disminuyendo. Nos dice el problema que la persona camina a una velocidad de 1.6 metros sobre segundo. Vamos a marcar ese dato por aquí, 1.6 metros sobre segundo se convierte en la razón de cambio de x con respecto al tiempo, es decir, de x de t. Y como a medida que la persona camina, x va disminuyendo, x se reduce, entonces eso será una razón de cambio negativa, porque x con el paso del tiempo disminuye, por esa razón es el signo menos. Y entonces esa es la velocidad con la que camina la persona. La pregunta del ejercicio nos dice con qué rapidez disminuye el tamaño de la sombra, es decir, cuánto vale de h de t, cómo varía esta distancia h en el instante en que la persona se encuentra a 4 metros de la pared, es decir, cuando x vale 4 metros. Simplificamos el análisis del problema con esta figura donde esta distancia será la altura de la persona que son 2 metros. Vamos a escribir únicamente los numeritos, ya sabemos que todas las distancias en este problema están en metros. La distancia de aquí hasta este punto será h, la longitud de la sombra. Tenemos obviamente aquí ángulo recto y aquí también ángulo recto. Tenemos que la distancia desde aquí hasta este punto será x, que es la distancia a la cual se encuentra la persona en un momento dado, es la distancia variable. Y también sabemos que la distancia desde la lámpara proyectora hasta la pared es de 12 metros. Entonces vamos a representarla por aquí, escribimos únicamente el 12 hasta este punto. Por lo tanto la distancia que tenemos desde la lámpara hasta donde está la persona será la diferencia entre 12 y x. Entonces tenemos por aquí 12 menos x. Entonces será toda esta distancia que estamos señalando. Bien, miremos la parte geométrica. Tenemos un ángulo, este ángulo que es compartido por los dos triángulos, por el pequeño y por el más grande. Y a su vez tenemos que este ángulo de acá será congruente con este de acá. Porque estas dos líneas verticales son paralelas, esta es una transversal, por lo tanto estos ángulos son correspondientes entre paralelas y por ende son congruentes. Entonces tenemos dos triángulos, uno grande y otro más pequeño que vamos a separar a continuación. Aquí tenemos los dos triángulos separados. Vemos que los ángulos son exactamente los mismos, por lo tanto se convierten en triángulos semejantes por el criterio ángulo, ángulo, ángulo. Por tener exactamente los mismos ángulos son triángulos semejantes. Y por ser triángulos semejantes podemos armar una proporcionalidad entre sus lados. Por ejemplo podemos decir que h es a2 como 12 es a12 menos x. Por ejemplo allí estamos haciendo una comparación entre sus catetos, por ser triángulos rectángulos semejantes. De aquí podemos despejar la variable h, para ello pasamos el 2 que está dividiendo a multiplicar al otro lado. Entonces 2 que multiplica a la fracción 12 sobre 12 menos x. Este 2 multiplica en el numerador y nos queda 24 sobre 12 menos x. Como vemos tenemos ya una relación entre las dos variables del problema que son h y x. A continuación tenemos que derivar esta expresión con respecto al tiempo, pero para efectos de derivar más fácilmente vamos a convertir la expresión así, 24 por 12 menos x elevado a la menos 1. Entonces lo que hemos hecho es subir 12 menos x para que derivemos con mayor comodidad. Entonces derivando esta expresión implícitamente a ambos lados con respecto al tiempo nos queda de la siguiente manera. Derivar a dh con respecto al tiempo será dh dt. Pasamos al otro lado de la expresión, vamos a derivar en este caso baja menos 1 multiplicar con 24 nos queda menos 24 por 12 menos x que queda igual elevado a la menos 1 menos 1 es decir menos 2 y esto multiplicado por la derivada interna. Veamos la derivada de 12 será 0 menos la derivada de x con respecto al tiempo será dx dt. Cerramos el paréntesis y allí tenemos nuestra derivada. Vamos a organizarla. Entonces tenemos que dh dt es igual a menos 24 por, esto lo podemos escribir como 1 sobre 12 menos x elevado a la 2 y esto que sería menos dx dt. Organizando otro poco nos queda una sola fracción donde en el numerador tendremos el producto de estas dos cantidades lo cual nos da positivo 24 por dx dt y aquí en el denominador tendremos 12 menos x elevado al cuadrado. A continuación vamos entonces a reemplazar los valores. Tenemos dh dt igual a 24 por el valor de dx dt que dijimos que es menos 1.6 y ya sabemos que eso está en metros sobre segundo y acá x vale 4. Recordemos que la pregunta decía cuánto vale dh dt cuando x vale 4 metros. Esto elevado al cuadrado. Resolviendo toda esta operación en la calculadora obtenemos el siguiente resultado. Dhd t es igual a menos 0.6 metros por segundo y esto quiere decir que cuando la persona, cuando ese hombre de 2 metros de altura se encuentra a 4 metros de la pared en ese instante el tamaño de su sombra está decreciendo a razón de 0.6 metros sobre segundo.
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