ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial.

Tema: #EcuacionesExponenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHM4fJbsnC7zzdnwRjc0ojm

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a resolver detalladamente y sin utilizar calculadora esta ecuación exponencial, llamada así porque la incógnita X se encuentra situada en los exponentes. Comenzamos por simplificar al máximo las bases, veamos, 4 décimos es una fracción que puede simplificarse dividiendo entre dos tanto el numerador como el denominador. En otras palabras les sacamos mitad, mitad de 4 es 2 y mitad de 10 es 5, 2 quintos no se puede simplificar más, es una fracción irreducible. Ahora vamos con la fracción 625 sobre 100, a esta fracción podemos sacarle quinta tanto al numerador como al denominador, vemos que los números terminan en 5 y en 0 por lo tanto son divisibles entre 5. Decimos quinta de 625 es 125 y quinta de 100 es 20, a su vez podemos seguir sacando quinta para estos dos números, decimos quinta de 125 es 25 y quinta de 20 es 4. 25 cuartos es una fracción irreducible, no se puede simplificar más. Entonces lo que hacemos enseguida es reconstruir la ecuación cambiando estas bases por los resultados obtenidos. Tenemos entonces que 4 décimos se cambia por 2 quintos y esto queda entre paréntesis elevado al exponente X menos 1. Esto queda igual a 625 sobre 100 que se transforma en 25 cuartos y todo esto queda protegido con paréntesis y elevado al exponente 6X menos 5. Ahora veamos cómo se puede transformar la fracción 25 cuartos en términos de 2 quintos, vamos a realizar el procedimiento por acá. Escribimos la fracción y vamos a escribir 25 como 5 al cuadrado y 4 como 2 al cuadrado. Entonces los escribimos ambos números como potencias con exponente 2. Esto a su vez podemos escribirlo como 5 medios entre paréntesis y todo esto elevado al cuadrado. Recordemos que esto obedece a una propiedad de la potenciación que dice lo siguiente. Si tenemos una fracción A sobre B elevada al exponente N esto es igual al numerador elevado al exponente N sobre el denominador elevado a ese mismo exponente. Entonces podemos devolvernos, si tenemos una situación como esta que es esta que tenemos acá arriba, entonces podemos pasar a la potencia con la fracción en la base y un solo exponente por fuera del paréntesis que es lo que ocurre en esta transformación. Ahora podemos utilizar otra propiedad de la potenciación que dice lo siguiente. Si tenemos una fracción elevada al exponente menos N esto será igual a invertir la fracción y cambiar el signo del exponente. Es decir que si acá está negativo acá queda positivo. Pues bien eso lo podemos hacer aquí. Podemos invertir la fracción nos queda como 2 quintos y automáticamente el signo del exponente cambia. Nos queda entonces como menos 2. Como se observa ya tenemos esta fracción 25 cuartos expresada en términos de 2 quintos. Entonces vamos a reescribir esa ecuación exponencial. El lado izquierdo de la igualdad permanece intacto. No presenta ningún cambio. Y en el lado derecho vamos a cambiar 25 cuartos por la fracción 2 quintos elevada al exponente menos 2. Pero todo esto está elevado a su vez a 6x menos 5. Entonces protegemos la expresión o la base usando corchete y en el exponente tenemos 6x menos 5. Ahora en este lado vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia elevada a otro exponente entonces se conserva la base y se multiplican los exponentes. Entonces vamos a utilizar esta propiedad para desarrollar esta parte de la ecuación. El lado derecho. El lado izquierdo permanece intacto. Nos queda 2 quintos elevado al exponente x menos 1. Y acá dejamos la misma base que es 2 quintos y vamos a multiplicar los exponentes. Nos queda entonces menos 2 que multiplica a 6x menos 5 utilizando esa propiedad. Llegamos a una etapa del ejercicio donde tenemos en ambos lados de la igualdad la misma base. Entonces se puede utilizar esta propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia a a la n igualada a otra potencia a a la m entonces se puede afirmar que n es igual a m. En otras palabras si tenemos la misma base entonces necesariamente los exponentes deben ser iguales. Y eso es justamente lo que tenemos en esta situación. Igualdad de bases. Eso nos permite entonces igualar sus exponentes. X menos 1 es igual a menos 2 que multiplica a 6x menos 5. Ahora nos concentramos en resolver esta ecuación que se trata de una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita. Comenzamos por aplicar la propiedad distributiva acá en el lado derecho para destruir el paréntesis. Nos queda entonces x menos 1 igual a menos 2 por 6x que es menos 12x y menos 2 por menos 5 que nos da más 10. En seguida hacemos transposición de términos. Vamos a dejar en el lado izquierdo aquellos términos que contienen la incógnita x y al lado derecho los números. Se queda entonces x que está en el lado izquierdo. Pasamos este término que está negativo al otro lado como positivo. Esto igual a 10 que permanece en el lado derecho. No presenta ningún cambio y este número que está negativo llega acá positivo. Esto es lo que se llama transposición de términos. Ahora reducimos términos semejantes acá en el lado izquierdo. x más 12x nos da como resultado 13x. Y acá sumamos los números. Eso nos da como resultado 11. Finalmente de aquí despejamos x. Para ello 13 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda x igual a 11 treceavos. Una fracción que no se puede simplificar o sea que es irreducible. Y este valor de x constituye la respuesta para este ejercicio. Es la solución de esta ecuación exponencial.
[{"start": 0.0, "end": 14.8, "text": " Vamos a resolver detalladamente y sin utilizar calculadora esta ecuaci\u00f3n exponencial, llamada as\u00ed porque la inc\u00f3gnita X se encuentra situada en los exponentes."}, {"start": 14.8, "end": 30.0, "text": " Comenzamos por simplificar al m\u00e1ximo las bases, veamos, 4 d\u00e9cimos es una fracci\u00f3n que puede simplificarse dividiendo entre dos tanto el numerador como el denominador."}, {"start": 30.0, "end": 44.0, "text": " En otras palabras les sacamos mitad, mitad de 4 es 2 y mitad de 10 es 5, 2 quintos no se puede simplificar m\u00e1s, es una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 44.0, "end": 64.2, "text": " Ahora vamos con la fracci\u00f3n 625 sobre 100, a esta fracci\u00f3n podemos sacarle quinta tanto al numerador como al denominador, vemos que los n\u00fameros terminan en 5 y en 0 por lo tanto son divisibles entre 5."}, {"start": 64.2, "end": 87.4, "text": " Decimos quinta de 625 es 125 y quinta de 100 es 20, a su vez podemos seguir sacando quinta para estos dos n\u00fameros, decimos quinta de 125 es 25 y quinta de 20 es 4."}, {"start": 87.4, "end": 94.60000000000001, "text": " 25 cuartos es una fracci\u00f3n irreducible, no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 94.60000000000001, "end": 104.60000000000001, "text": " Entonces lo que hacemos enseguida es reconstruir la ecuaci\u00f3n cambiando estas bases por los resultados obtenidos."}, {"start": 104.60000000000001, "end": 116.60000000000001, "text": " Tenemos entonces que 4 d\u00e9cimos se cambia por 2 quintos y esto queda entre par\u00e9ntesis elevado al exponente X menos 1."}, {"start": 116.6, "end": 134.4, "text": " Esto queda igual a 625 sobre 100 que se transforma en 25 cuartos y todo esto queda protegido con par\u00e9ntesis y elevado al exponente 6X menos 5."}, {"start": 134.4, "end": 146.4, "text": " Ahora veamos c\u00f3mo se puede transformar la fracci\u00f3n 25 cuartos en t\u00e9rminos de 2 quintos, vamos a realizar el procedimiento por ac\u00e1."}, {"start": 146.4, "end": 157.0, "text": " Escribimos la fracci\u00f3n y vamos a escribir 25 como 5 al cuadrado y 4 como 2 al cuadrado."}, {"start": 157.0, "end": 163.6, "text": " Entonces los escribimos ambos n\u00fameros como potencias con exponente 2."}, {"start": 163.6, "end": 173.20000000000002, "text": " Esto a su vez podemos escribirlo como 5 medios entre par\u00e9ntesis y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 173.2, "end": 180.0, "text": " Recordemos que esto obedece a una propiedad de la potenciaci\u00f3n que dice lo siguiente."}, {"start": 180.0, "end": 194.0, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n A sobre B elevada al exponente N esto es igual al numerador elevado al exponente N sobre el denominador elevado a ese mismo exponente."}, {"start": 194.0, "end": 214.2, "text": " Entonces podemos devolvernos, si tenemos una situaci\u00f3n como esta que es esta que tenemos ac\u00e1 arriba, entonces podemos pasar a la potencia con la fracci\u00f3n en la base y un solo exponente por fuera del par\u00e9ntesis que es lo que ocurre en esta transformaci\u00f3n."}, {"start": 214.2, "end": 221.0, "text": " Ahora podemos utilizar otra propiedad de la potenciaci\u00f3n que dice lo siguiente."}, {"start": 221.0, "end": 232.8, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n elevada al exponente menos N esto ser\u00e1 igual a invertir la fracci\u00f3n y cambiar el signo del exponente."}, {"start": 232.8, "end": 236.8, "text": " Es decir que si ac\u00e1 est\u00e1 negativo ac\u00e1 queda positivo."}, {"start": 236.8, "end": 239.6, "text": " Pues bien eso lo podemos hacer aqu\u00ed."}, {"start": 239.6, "end": 248.0, "text": " Podemos invertir la fracci\u00f3n nos queda como 2 quintos y autom\u00e1ticamente el signo del exponente cambia."}, {"start": 248.0, "end": 251.0, "text": " Nos queda entonces como menos 2."}, {"start": 251.0, "end": 260.0, "text": " Como se observa ya tenemos esta fracci\u00f3n 25 cuartos expresada en t\u00e9rminos de 2 quintos."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Entonces vamos a reescribir esa ecuaci\u00f3n exponencial."}, {"start": 264.0, "end": 269.0, "text": " El lado izquierdo de la igualdad permanece intacto."}, {"start": 269.0, "end": 271.0, "text": " No presenta ning\u00fan cambio."}, {"start": 271.0, "end": 281.0, "text": " Y en el lado derecho vamos a cambiar 25 cuartos por la fracci\u00f3n 2 quintos elevada al exponente menos 2."}, {"start": 281.0, "end": 286.0, "text": " Pero todo esto est\u00e1 elevado a su vez a 6x menos 5."}, {"start": 286.0, "end": 298.0, "text": " Entonces protegemos la expresi\u00f3n o la base usando corchete y en el exponente tenemos 6x menos 5."}, {"start": 298.0, "end": 304.0, "text": " Ahora en este lado vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 304.0, "end": 315.0, "text": " Si tenemos una potencia elevada a otro exponente entonces se conserva la base y se multiplican los exponentes."}, {"start": 315.0, "end": 321.0, "text": " Entonces vamos a utilizar esta propiedad para desarrollar esta parte de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 321.0, "end": 323.0, "text": " El lado derecho."}, {"start": 323.0, "end": 326.0, "text": " El lado izquierdo permanece intacto."}, {"start": 326.0, "end": 332.0, "text": " Nos queda 2 quintos elevado al exponente x menos 1."}, {"start": 332.0, "end": 340.0, "text": " Y ac\u00e1 dejamos la misma base que es 2 quintos y vamos a multiplicar los exponentes."}, {"start": 340.0, "end": 351.0, "text": " Nos queda entonces menos 2 que multiplica a 6x menos 5 utilizando esa propiedad."}, {"start": 351.0, "end": 360.0, "text": " Llegamos a una etapa del ejercicio donde tenemos en ambos lados de la igualdad la misma base."}, {"start": 360.0, "end": 365.0, "text": " Entonces se puede utilizar esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 365.0, "end": 379.0, "text": " Si tenemos una potencia a a la n igualada a otra potencia a a la m entonces se puede afirmar que n es igual a m."}, {"start": 379.0, "end": 387.0, "text": " En otras palabras si tenemos la misma base entonces necesariamente los exponentes deben ser iguales."}, {"start": 387.0, "end": 392.0, "text": " Y eso es justamente lo que tenemos en esta situaci\u00f3n."}, {"start": 392.0, "end": 393.0, "text": " Igualdad de bases."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " Eso nos permite entonces igualar sus exponentes."}, {"start": 398.0, "end": 408.0, "text": " X menos 1 es igual a menos 2 que multiplica a 6x menos 5."}, {"start": 408.0, "end": 419.0, "text": " Ahora nos concentramos en resolver esta ecuaci\u00f3n que se trata de una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 419.0, "end": 428.0, "text": " Comenzamos por aplicar la propiedad distributiva ac\u00e1 en el lado derecho para destruir el par\u00e9ntesis."}, {"start": 428.0, "end": 442.0, "text": " Nos queda entonces x menos 1 igual a menos 2 por 6x que es menos 12x y menos 2 por menos 5 que nos da m\u00e1s 10."}, {"start": 442.0, "end": 446.0, "text": " En seguida hacemos transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 446.0, "end": 454.0, "text": " Vamos a dejar en el lado izquierdo aquellos t\u00e9rminos que contienen la inc\u00f3gnita x y al lado derecho los n\u00fameros."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " Se queda entonces x que est\u00e1 en el lado izquierdo."}, {"start": 458.0, "end": 465.0, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo al otro lado como positivo."}, {"start": 465.0, "end": 469.0, "text": " Esto igual a 10 que permanece en el lado derecho."}, {"start": 469.0, "end": 476.0, "text": " No presenta ning\u00fan cambio y este n\u00famero que est\u00e1 negativo llega ac\u00e1 positivo."}, {"start": 476.0, "end": 481.0, "text": " Esto es lo que se llama transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 481.0, "end": 486.0, "text": " Ahora reducimos t\u00e9rminos semejantes ac\u00e1 en el lado izquierdo."}, {"start": 486.0, "end": 491.0, "text": " x m\u00e1s 12x nos da como resultado 13x."}, {"start": 491.0, "end": 494.0, "text": " Y ac\u00e1 sumamos los n\u00fameros."}, {"start": 494.0, "end": 497.0, "text": " Eso nos da como resultado 11."}, {"start": 497.0, "end": 501.0, "text": " Finalmente de aqu\u00ed despejamos x."}, {"start": 501.0, "end": 507.0, "text": " Para ello 13 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 507.0, "end": 511.0, "text": " Nos queda x igual a 11 treceavos."}, {"start": 511.0, "end": 516.0, "text": " Una fracci\u00f3n que no se puede simplificar o sea que es irreducible."}, {"start": 516.0, "end": 522.0, "text": " Y este valor de x constituye la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 522.0, "end": 538.0, "text": " Es la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n exponencial."}]