INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 10
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida que contiene un binomio al cuadrado en el integrando.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y vamos a comenzar por transformar el integrando, es decir, esta expresión que se presenta como un binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordar ese producto notable, la fórmula para desarrollar o expandir un binomio al cuadrado. Recordemos que es el primer término al cuadrado más dos veces el primero por el segundo y eso más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces, tenemos en este caso la expresión dos sobre x más tres x, todo esto elevado al cuadrado. Como se observa, A está representada por dos sobre x y B está representada por el término tres x. Entonces vamos a aplicar esa fórmula o ese producto notable. Comenzamos con el primer término elevado al cuadrado, es decir, dos sobre x, todo eso al cuadrado, más dos veces el primer término por el segundo, o sea, dos sobre x por tres x y a eso vamos a sumarle el segundo término elevado al cuadrado, es decir, tres x entre paréntesis y eso elevado al cuadrado. Enseguida vamos a desarrollar cada una de estas operaciones. Comenzamos aquí con esta potencia. Tenemos una fracción elevada al cuadrado, en ese caso el exponente afecta al numerador y también al denominador. Tendríamos dos al cuadrado, que es cuatro, sobre x elevada al cuadrado. Esto más la multiplicación de estos tres componentes, en ese caso vemos que la x puede cancelarse o eliminarse y nos quedaría dos por dos por tres, que nos da como resultado doce. Y acá tenemos la multiplicación de dos cantidades y todo eso elevado al cuadrado. Allí el exponente afecta a cada uno de estos dos factores. Entonces tres al cuadrado será nueve y también la x queda elevada al cuadrado. Lo que buscamos es que esta expresión que tenemos en el integrando se transforme en otra expresión que sea fácil de integrar. Como se observa, aquí ya tenemos tres términos sumando, por lo tanto al momento de integrar podemos trabajar cada uno de ellos. Sin embargo, este primer término es conveniente reescribirlo como cuatro x a la menos dos. Recordemos que si esta potencia se sube, entonces cambia de signo el exponente. Los demás términos se dejan tal como están. Ya están listos para ser integrados. Entonces traemos esa expresión acá a la integral definida que va desde dos hasta cuatro. Entonces escribimos cuatro x a la menos dos más doce y todo esto más el término nueve x al cuadrado y escribimos el diferencial de x. Ahora sí, como decíamos hace un momento, ya podemos integrar cada uno de esos términos que están sumando entre sí. Comenzamos con el primero donde el número cuatro se deja quieto, es la constante de ese término y procedemos a integrar x a la menos dos. Recordemos que en ese caso se le suma uno al exponente. Menos dos más uno nos da menos uno y ese mismo número se escribe acá en el denominador. Pasamos al siguiente término donde la integral de doce será doce x y vamos al tercer término donde el número nueve se deja quieto, es la constante de ese término y procedemos a integrar x al cuadrado. Entonces tendremos x a la dos más uno que es tres y esto sobre tres. Y como es una integral definida, trazamos esta línea y anotamos los límites de integración que son dos y cuatro. Antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo, es decir, antes de evaluar estos números acá en la antiderivada, es conveniente revisar esta expresión para ver si hay términos que se puedan organizar o simplificar de modo que este reemplazo sea más sencillo. Vemos que el primer término puede escribirse de la siguiente manera. Dejamos el número cuatro. Esta x que tiene exponente menos uno bajaría, se ubica debajo del cuatro y este signo menos podemos trasladarlo a la parte de arriba. Nos queda entonces el término menos cuatro sobre x. El siguiente término se deja tal como está. No se puede hacer nada allí y en este término podemos simplificar estos dos números. Tercera de tres es uno y tercera de nueve es tres. Por lo tanto nos queda como tres x al cubo y de nuevo escribimos los límites de integración. Dos que es el inferior y cuatro que es el superior. Ahora sí vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Vamos a comenzar evaluando el límite superior en la antiderivada ya simplificada y organizada. Entonces cuatro va a entrar donde tenemos las x. Tendremos menos cuatro sobre cuatro, luego tenemos más doce por x, o sea más doce por cuatro y acá tenemos más tres x al cubo, o sea más tres por cuatro elevado al cubo. Como se observa es conveniente utilizar paréntesis donde se reemplaza la x por el número cuatro. Todo esto también es recomendable protegerlo con corchete y a eso vamos a restarle el reemplazo o la evaluación del límite inferior también en la antiderivada. Abrimos el corchete, dos va a entrar donde tenemos las x, quedaría menos cuatro sobre dos, más doce por dos y acá tenemos más tres por dos elevado al cubo y cerramos ese corchete. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá. Y vamos a desarrollar cada una de estas operaciones que corresponden a la aritmética. Por acá tenemos menos cuatro sobre cuatro, que es menos uno, más doce por cuatro que es cuarenta y ocho y aquí tenemos cuatro al cubo que es sesenta y cuatro y sesenta y cuatro por tres nos da ciento noventa y dos. Esto lo protegemos y a eso vamos a restarle lo que nos den estas operaciones. Por acá tenemos menos cuatro medios o menos cuatro sobre dos que es menos dos. Acá tenemos más doce por dos que es más veinticuatro y acá tenemos dos al cubo que es ocho y ocho por tres nos da veinticuatro y cerramos el corchete. Seguimos ahora por acá y tenemos dentro del primer corchete la operación ciento noventa y dos más cuarenta y ocho que nos da doscientos cuarenta y doscientos cuarenta menos uno que es doscientos treinta y nueve. Protegemos por seguridad abrimos el otro corchete acá tenemos veinticuatro más veinticuatro que es cuarenta y ocho, cuarenta y ocho menos dos nos da cuarenta y seis. Allí ya podemos destruir o romper los corchetes y nos queda doscientos treinta y nueve menos cuarenta y seis. Por último resolvemos esta resta y obtenemos ciento noventa y tres que será el resultado o la respuesta para esta integral definida.
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