Problema 4 de OPTIMIZACIÓN
#julioprofe explica cómo resolver un problema de optimización, una de las aplicaciones de la derivada:

Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Determine cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea: (a) Máxima (b) Mínima.

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Un trozo de alambre de 10 metros de largo se corta en dos partes, una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triangulo equilatero. Determine como debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea A máxima B mínima. Bien, allí tenemos el trozo de alambre de 10 metros de longitud y vamos a partirlo por ejemplo por aquí de tal forma que con este pedazo construimos un cuadrado y con el que nos queda construimos un triangulo equilatero. Vamos a colocarle un nombre a estas distancias, entonces desde aquí hasta el corte esta distancia vamos a llamarla por ejemplo X. X va a ser la longitud de alambre destinada para construir el cuadrado y el resto del alambre, es decir desde aquí hasta este punto hasta el extremo derecho sería entonces el pedazo restante que sería 10 menos X. Si, entonces con este pedazo se construye el triangulo equilatero. Allí tenemos entonces las dos figuras formadas, el cuadrado y el triangulo equilatero. El lado de este cuadrado será la longitud de todo el alambre con el que se armó, es decir X dividida entre 4. Entonces por aquí tendremos X cuartos el valor del lado de este cuadrado. Y para el caso de este triangulo vamos a colocarle al lado la letra L será igual a su perímetro es decir 10 menos X dividido entre 3. Entonces 10 menos X dividido entre 3 nos da el valor del lado del triangulo. Vamos a sacar entonces una expresión para el área del cuadrado. Entonces área del cuadrado es igual al valor de su lado elevado al cuadrado. Lado por lado es decir lado al cuadrado que es igual a X al cuadrado sobre 16. Esta sería entonces la expresión para el área del cuadrado en términos de X. Y para el caso del triangulo equilatero vamos a usar la siguiente formulita. El área de un triangulo equilatero dice que es lado al cuadrado multiplicado por raíz de 3 sobre 4. Es una formulita de la geometría que nos permite encontrar el área del triangulo equilatero en términos del valor de su lado. Usando la información que tenemos, es decir esta equivalencia nos va a quedar así. Raíz de 3 cuartos que multiplica al lado es decir 10 menos X. Todo esto sobre 3 elevado al cuadrado. Y entonces vamos a sumar esas dos expresiones para obtener el área total encerrada. Entonces si llamamos a mayúscula al área total encerrada por las dos figuras tendremos que es igual al área del cuadrado más el área del triangulo equilatero. Entonces vamos a sumar esas dos expresiones. A será igual a X al cuadrado sobre 16 más esta expresión de aquí que sería raíz de 3 cuartos que multiplica a 10 menos X. Todo esto sobre 3 elevado al cuadrado. Allí tenemos entonces lo que se llama la función objetivo. Pero vamos a acomodarla para que nos quede más fácil el proceso de derivación que debemos realizar más adelante. Veamos, por aquí esto lo podemos escribir como raíz de 3 cuartos por, aquí repartimos el exponente, entonces nos queda 10 menos X al cuadrado y 3 al cuadrado sería 9. Por lo tanto la función objetivo, el área en términos de X la podemos escribir como un 16º de X al cuadrado más raíz cuadrada de 3 sobre 36 que multiplica a 10 menos X elevado al cuadrado. Esta será entonces nuestra función objetivo que es la que queremos maximizar y minimizar en este problema. Debemos también definir lo que se llama el dominio de la función, es decir los valores que puede tomar la X en este problema. Como vimos X es la longitud de alambre destinada para formar el cuadrado, por lo tanto X tiene que tomar valores mayores o iguales que 0 pero que no pasen de 10. Si recordemos que el alambre original tenía 10 metros de longitud, entonces X igual a 0 sería que no formemos ningún cuadrado y que todos los 10 metros se utilicen para formar el triángulo y X igual a 10 sería el caso contrario, es decir que usemos los 10 metros para formar el cuadrado y no formáramos el triángulo. En todo caso X debe tomar algún valor contenido en este intervalo de 0 a 10. Procedemos entonces a derivar esta función, entonces tendremos A' de X es igual, empezamos con este término, aquí 2 vamos a multiplicar con un 16º, ese nos queda 1 octavo de X, más aquí 2 vamos a multiplicar con esta fracción que haría 2 raíz de 3 sobre 36 que simplificando nos queda raíz de 3 sobre 18 por 10 menos X elevado al exponente 1 por la derivada interna, la derivada de 10 menos X sería menos 1, entonces tendremos que la derivada puede escribirse como X octavos, más con menos da menos nos queda en el numerador raíz de 3 que multiplica a 10 menos X y en el denominador colocamos el 18 y esa sería entonces nuestra derivada de la función objetivo. Vamos a buscar los puntos críticos de la función y recordemos que para hallar los puntos críticos vamos a igualar A0 la primera derivada, entonces tendremos X sobre 8 menos raíz de 3 que multiplica a 10 menos X sobre 18, todo esto lo igualamos A0 y entonces vamos a resolver esta ecuación, vamos a pasar al otro lado, esta fracción pasaría positiva al lado derecho, entonces queda raíz de 3 por 10 menos X sobre 18, podemos simplificar estos dos numeritos mitad de 8 sería 4 mitad de 18 sería 9 y multiplicamos en cruz entonces nos queda 9X igual a 4 que multiplica a raíz de 3 por 10 menos X, entonces nos queda 9X es igual hacemos propiedad distributiva nos queda 40 raíz de 3 menos 4 raíz de 3 por X y como nuestro objetivo es despejar X entonces agrupamos en el lado izquierdo los términos que contienen X dejamos en el lado derecho el número que está solo o sea 40 raíz de 3 por aquí podemos sacar factor común X factor de 9 más 4 raíz de 3 igual a 40 raíz de 3 despejamos X entonces nos queda 40 raíz de 3 dividido entre 9 más 4 raíz de 3, efectuando esta operación en la calculadora nos da aproximadamente 4.35 metros que será entonces la abscisa del punto crítico es decir el probable valor de X donde vamos a tener máximo o mínimo debemos anotar que este valor es aceptado porque pertenece al intervalo que habíamos definido en un comienzo recordemos que el dominio de la variable X está en el intervalo cerrado que va de 0 a 10 y 4.35 pertenece a dicho intervalo por lo tanto se acepta este valor para terminar podemos hacer una tabla donde examinamos los valores en X más importantes del problema en la función objetivo es decir la función del área encerrada por las dos figuras entonces tenemos como valores en X 0 4.35 y 10 recordemos 0 y 10 son los extremos del intervalo y 4.35 fue el valor que obtuvimos como punto crítico, reemplazando cada uno de estos valores en la función objetivo tendremos los siguientes resultados aproximados a dos decimales 4.81 2.72 y 6.25 de esos tres resultados podemos apreciar que el más grande es 6.25 pues aquí aquí tendríamos el área máxima encerrada y el más pequeño de ellos tres es 2.72 por lo tanto aquí tendríamos el área mínima encerrada entonces la respuesta sería para la pregunta a que nos decía que en qué momento el área es máxima entonces decimos el área máxima se obtiene es decir aquí otorgando la longitud total del alambre es decir los 10 metros para formar el cuadrado y obviamente nada 0 metros para el triángulo si se forma con los 10 metros de alambre el cuadrado no se forma el triángulo y de esa manera tendríamos el área máxima encerrada y para la parte B del problema es decir en qué momento se consigue el área mínima es decir aquí entonces sería otorgando 4.35 metros para el cuadrado y el resto del alambre es decir 10 menos 4.35 es decir 5.65 metros para formar el triángulo de esta manera entonces se conseguiría el área mínima encerrada.
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Por lo tanto la funci\u00f3n objetivo, el \u00e1rea"}, {"start": 269.88, "end": 278.64, "text": " en t\u00e9rminos de X la podemos escribir como un 16\u00ba de X al cuadrado m\u00e1s ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 278.64, "end": 287.44, "text": " de 3 sobre 36 que multiplica a 10 menos X elevado al cuadrado."}, {"start": 287.44, "end": 296.2, "text": " Esta ser\u00e1 entonces nuestra funci\u00f3n objetivo que es la que queremos maximizar y minimizar"}, {"start": 296.2, "end": 302.28, "text": " en este problema. Debemos tambi\u00e9n definir lo que se llama el dominio de la funci\u00f3n,"}, {"start": 302.28, "end": 307.12, "text": " es decir los valores que puede tomar la X en este problema."}, {"start": 307.12, "end": 315.03999999999996, "text": " Como vimos X es la longitud de alambre destinada para formar el cuadrado, por lo tanto X tiene"}, {"start": 315.03999999999996, "end": 322.08, "text": " que tomar valores mayores o iguales que 0 pero que no pasen de 10."}, {"start": 322.08, "end": 326.4, "text": " Si recordemos que el alambre original ten\u00eda 10 metros de longitud, entonces X igual a"}, {"start": 326.4, "end": 331.96, "text": " 0 ser\u00eda que no formemos ning\u00fan cuadrado y que todos los 10 metros se utilicen para"}, {"start": 331.96, "end": 337.8, "text": " formar el tri\u00e1ngulo y X igual a 10 ser\u00eda el caso contrario, es decir que usemos los"}, {"start": 337.8, "end": 342.28, "text": " 10 metros para formar el cuadrado y no form\u00e1ramos el tri\u00e1ngulo."}, {"start": 342.28, "end": 349.68, "text": " En todo caso X debe tomar alg\u00fan valor contenido en este intervalo de 0 a 10."}, {"start": 349.68, "end": 358.52, "text": " Procedemos entonces a derivar esta funci\u00f3n, entonces tendremos A' de X es igual, empezamos"}, {"start": 358.52, "end": 366.88, "text": " con este t\u00e9rmino, aqu\u00ed 2 vamos a multiplicar con un 16\u00ba, ese nos queda 1 octavo de X,"}, {"start": 366.88, "end": 374.88, "text": " m\u00e1s aqu\u00ed 2 vamos a multiplicar con esta fracci\u00f3n que har\u00eda 2 ra\u00edz de 3 sobre 36"}, {"start": 374.88, "end": 387.76, "text": " que simplificando nos queda ra\u00edz de 3 sobre 18 por 10 menos X elevado al exponente 1"}, {"start": 387.76, "end": 395.15999999999997, "text": " por la derivada interna, la derivada de 10 menos X ser\u00eda menos 1, entonces tendremos"}, {"start": 395.16, "end": 406.16, "text": " que la derivada puede escribirse como X octavos, m\u00e1s con menos da menos nos queda en el numerador"}, 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sobre 18, podemos simplificar"}, {"start": 465.48, "end": 475.36, "text": " estos dos numeritos mitad de 8 ser\u00eda 4 mitad de 18 ser\u00eda 9 y multiplicamos en cruz entonces"}, {"start": 475.36, "end": 488.8, "text": " nos queda 9X igual a 4 que multiplica a ra\u00edz de 3 por 10 menos X, entonces nos queda 9X"}, {"start": 488.8, "end": 496.24, "text": " es igual hacemos propiedad distributiva nos queda 40 ra\u00edz de 3 menos 4 ra\u00edz de 3 por"}, {"start": 496.24, "end": 504.24, "text": " X y como nuestro objetivo es despejar X entonces agrupamos en el lado izquierdo los t\u00e9rminos"}, {"start": 504.24, "end": 510.24, "text": " que contienen X dejamos en el lado derecho el n\u00famero que est\u00e1 solo o sea 40 ra\u00edz de"}, {"start": 510.24, "end": 519.72, "text": " 3 por aqu\u00ed podemos sacar factor com\u00fan X factor de 9 m\u00e1s 4 ra\u00edz de 3 igual a 40 ra\u00edz"}, {"start": 519.72, "end": 531.5600000000001, "text": " de 3 despejamos X entonces nos queda 40 ra\u00edz de 3 dividido entre 9 m\u00e1s 4 ra\u00edz de 3, efectuando"}, {"start": 531.56, "end": 543.28, "text": " esta operaci\u00f3n en la calculadora nos da aproximadamente 4.35 metros que ser\u00e1 entonces la abscisa del"}, {"start": 543.28, "end": 550.4, "text": " punto cr\u00edtico es decir el probable valor de X donde vamos a tener m\u00e1ximo o m\u00ednimo"}, {"start": 550.4, "end": 558.9599999999999, "text": " debemos anotar que este valor es aceptado porque pertenece al intervalo que hab\u00edamos"}, {"start": 558.96, "end": 564.44, "text": " definido en un comienzo recordemos que el dominio de la variable X est\u00e1 en el intervalo"}, {"start": 564.44, "end": 572.1600000000001, "text": " cerrado que va de 0 a 10 y 4.35 pertenece a dicho intervalo por lo tanto se acepta este"}, {"start": 572.1600000000001, "end": 579.24, "text": " valor para terminar podemos hacer una tabla donde examinamos los valores en X m\u00e1s importantes"}, {"start": 579.24, "end": 584.72, "text": " del problema en la funci\u00f3n objetivo es decir la funci\u00f3n del \u00e1rea encerrada por las dos"}, {"start": 584.72, "end": 596.2, "text": " figuras entonces tenemos como valores en X 0 4.35 y 10 recordemos 0 y 10 son los extremos"}, {"start": 596.2, "end": 602.8000000000001, "text": " del intervalo y 4.35 fue el valor que obtuvimos como punto cr\u00edtico, reemplazando cada uno"}, {"start": 602.8000000000001, "end": 608.96, "text": " de estos valores en la funci\u00f3n objetivo tendremos los siguientes resultados aproximados a dos"}, {"start": 608.96, "end": 622.6800000000001, "text": " decimales 4.81 2.72 y 6.25 de esos tres resultados podemos apreciar que el m\u00e1s grande es 6.25"}, {"start": 622.6800000000001, "end": 629.9200000000001, "text": " pues aqu\u00ed aqu\u00ed tendr\u00edamos el \u00e1rea m\u00e1xima encerrada y el m\u00e1s peque\u00f1o de ellos tres"}, {"start": 629.92, "end": 640.56, "text": " es 2.72 por lo tanto aqu\u00ed tendr\u00edamos el \u00e1rea m\u00ednima encerrada entonces la respuesta"}, {"start": 640.56, "end": 647.64, "text": " ser\u00eda para la pregunta a que nos dec\u00eda que en qu\u00e9 momento el \u00e1rea es m\u00e1xima entonces"}, {"start": 647.64, "end": 656.76, "text": " decimos el \u00e1rea m\u00e1xima se obtiene es decir aqu\u00ed otorgando la longitud total del alambre"}, {"start": 656.76, "end": 667.96, "text": " es decir los 10 metros para formar el cuadrado y obviamente nada 0 metros para el tri\u00e1ngulo"}, {"start": 667.96, "end": 673.24, "text": " si se forma con los 10 metros de alambre el cuadrado no se forma el tri\u00e1ngulo y de esa"}, {"start": 673.24, "end": 680.0, "text": " manera tendr\u00edamos el \u00e1rea m\u00e1xima encerrada y para la parte B del problema es decir en"}, {"start": 680.0, "end": 689.64, "text": " qu\u00e9 momento se consigue el \u00e1rea m\u00ednima es decir aqu\u00ed entonces ser\u00eda otorgando 4.35"}, {"start": 689.64, "end": 702.96, "text": " metros para el cuadrado y el resto del alambre es decir 10 menos 4.35 es decir 5.65 metros"}, {"start": 702.96, "end": 710.1600000000001, "text": " para formar el tri\u00e1ngulo de esta manera entonces se conseguir\u00eda el \u00e1rea m\u00ednima encerrada."}]