VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN USANDO DISCOS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo determinar el volumen de un sólido de revolución, usando el Método de los Discos.

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 Allar el volumen del sólido que resulta de girar alrededor del eje X la región limitada por la curva Y igual a raíz cuadrada de X y las rectas Y igual a 0 y X igual a 4. Bien, para comenzar vamos a dibujar en el plano cartesiano las líneas que nos da el problema. Aquí en color rojo podemos apreciar la gráfica Y igual a raíz cuadrada de X. En color azul podemos apreciar la recta X igual a 4 y el eje X sería la recta Y igual a 0. Esas tres líneas nos forman la región que vamos a pintar con este color verde. Y esta región es la que va a presentar giro con respecto al eje X. Va a presentar la rotación con respecto al eje X generando un sólido de revolución. Aquí podemos apreciar que la recta X igual a 4 y la curva Y igual a raíz cuadrada de X se cortan en este punto de coordenada 4,2. A continuación vamos a hacer el reflejo de esta figura acá por debajo del eje X. Aquí tenemos el reflejo de la región por debajo del eje X y entonces esto que está pintado en color verde representa un corte del sólido. El sólido tendrá una forma parecida a esto. Será un sólido completamente macizo. Allí está el sólido y por aquí tendremos el eje X, es decir el eje de giro. Cuando esta región gira alrededor del eje X conforma este sólido llamado sólido de revolución. Vamos a imaginar que este sólido está conformado por una serie de rebanadas una tras otra que empieza la primera en cero, es decir aquí. Y termina aquí en 4, es decir en este valor. Si imaginamos que esto está formado por muchas rebanadas vamos a considerar una de ellas. Una rebanada que entonces es la que vamos a analizar. Como una especie de disco, podemos ver que es un disco sólido y entonces vamos a dibujarlo como una franja vertical que corta al eje X de manera perpendicular. Allí tenemos la franja dibujada. Esta franja como decíamos corresponde al corte del disco y es totalmente maciza. Esa franja tendrá un espesor muy pequeño, un grosor que vamos a llamar de X. Y se llama de X porque se refiere a este pedacito que es una longitud muy pequeña que se mide en la dirección del eje de las X. Vamos a sacar entonces acá la forma del disco correspondiente a esta franja. Aquí tenemos el disco cuyo volumen se llamará de B, es decir el diferencial del volumen de todo el sólido que estamos calculando. Este disco geométricamente corresponde a un cilindro. Y entonces para un cilindro necesitamos conocer cuál es su altura o su espesor y cuál es su radio. Esta distancia que tenemos aquí. Entonces altura será de X y el radio será la distancia que hay desde el centro hasta este punto y que corresponde a la distancia que hay desde este punto hasta este. Si nosotros nos paramos aquí en una abscisa X cualquiera comprendida entre 0 y 4 vemos que la altura es una distancia Y, es decir ese será el radio, una distancia Y que está controlada por esta curva. Y la curva se llama raíz cuadrada de X. Entonces ya tenemos el radio y la altura para poder encontrar el volumen de este disco que corresponde a un cilindro. Repetimos, X tomará valores entre 0 y 4. Vamos entonces a obtener una expresión para Db. Db será el volumen del cilindro. Geométricamente el volumen de un cilindro se calcula con la fórmula pi radio al cuadrado por la altura. Vamos entonces a reemplazar cada componente. El radio dijimos que es raíz cuadrada de X. Lo sustituimos, esto va al cuadrado y es un multiplicado por H que es de X. Resolvemos, por aquí nos queda X acompañado del diferencial de X. Vamos a integrar a los dos lados. Colocamos el símbolo de integral. Y en el lado derecho vamos a colocar los límites de integración para la variable X. Decíamos que X toma valores entre 0 y 4. Es decir, las infinitas rebanaditas o los infinitos discos que forman el sólido, el primero se encuentra en 0 y el último se encuentra en 4. Entonces, integramos al lado izquierdo integral Db, será b. Y en el lado derecho podemos sacarla con sante pi. Y nos quedaría la integral definida desde 0 hasta 4 de X con su respectivo dx. Continuamos, volumen será igual a pi por... Resolvemos esta integral, la integral de X será X al cuadrado sobre 2. Y esto va a estar evaluado entre 0 y 4. Vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Este nos queda volumen igual a pi que multiplica a lo siguiente. Si entra al 4, tenemos 4 al cuadrado sobre 2, menos si entra al 0 tendremos 0 al cuadrado sobre 2. Esta parte nos da 0, la podemos eliminar y resolvemos aquí. 4 al cuadrado será 16, 16 sobre 2 será 8. Todo esto nos da 8. Y 8 multiplicado por pi será 8 pi. Como este es el volumen del sólido, le escribimos unidades cúbicas. De esta manera entonces hemos encontrado el volumen de este sólido de revolución.
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Y 8 multiplicado por pi ser\u00e1 8 pi."}, {"start": 454.0, "end": 460.0, "text": " Como este es el volumen del s\u00f3lido, le escribimos unidades c\u00fabicas."}, {"start": 460.0, "end": 475.0, "text": " De esta manera entonces hemos encontrado el volumen de este s\u00f3lido de revoluci\u00f3n."}]