80. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 1)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 80: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 1).

Un futbolista patea un balón imprimiéndole una velocidad inicial de 10 m/s. Si el balón sale con un ángulo de 37° por encima del césped, determine: (a) La altura máxima; (b) El tiempo de vuelo; (c) El alcance máximo horizontal; (d) La ecuación de la trayectoria; (e) Su rapidez 1 segundo después de haber sido pateado.

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema tenemos el caso de un movimiento parabólico completo. Vemos el movimiento enmarcado en el primer cuadrante del plano cartesiano. El eje X representa el césped. Esta será la velocidad inicial del balón, que es 10 metros por segundo. Y este será el ángulo de tiro o ángulo de disparo, es decir, theta, y es igual a 37 grados. Se toma positivo porque es un ángulo que se mide por encima de la horizontal. Tenemos tiempo cero, el momento en el cual el balón inicia su movimiento. Vamos a mirar cómo tomamos seno de 37 y coseno de 37 a partir del triángulo egipcio. Recordemos que el triángulo egipcio es un triángulo rectángulo con catetos 3 y 4 y con hipotenusa 5. Por eso se conoce también como el triángulo 3-4-5. En este triángulo, este ángulo que tenemos aquí opuesto al menor cateto es el de 37 grados. Y el otro ángulo agudo opuesto al mayor cateto es de 53 grados. Por lo tanto, de allí podemos obtener una expresión exacta para el seno de 37 grados. Seno de 37 grados será cateto opuesto sobre hipotenusa, es decir, 3 quintos. Y el coseno de 37 grados será igual al cateto adyacente sobre la hipotenusa, es decir, 4 quintos. Entonces vamos a utilizar en este problema estos valores. Seno de 37 igual a 3 quintos y coseno de 37 grados igual a 4 quintos. A continuación vamos a obtener las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad para este movimiento. Preiteramos, tenemos el movimiento con sistema o marco de referencia, el primer cuadrante del plano cartesiano, en unidades de metros. Las posiciones de X en Y se trabajarán en metros. Tenemos ya la velocidad en metros por segundo. Luego tenemos todo en unidades del sistema internacional. Entonces comenzamos con la ecuación cinemática para la posición en Y. Vamos a copiar el modelo y vamos a reemplazar los valores que conocemos al inicio. Tenemos para la gravedad 10, ya está en metros por segundo cuadrado. La velocidad inicial 10 metros por segundo. Tenemos el seno del ángulo de tiro que es 37 grados y tenemos como posición inicial en Y 0. Si vemos que en el tiempo 0 la posición del balón en el eje Y vale 0. Dijimos que el seno de 37 grados es 3 quintos. Entonces utilizamos ese valor y esto nos va a quedar así. Y es igual a menos 5t cuadrado más 10 por 3 quintos, eso nos da 30 quintos que es igual a 6. Queda más 6t y este 0 pues no aporta nada. Esta será entonces la ecuación de posición en Y. Ecuación número 1. Si hacemos la derivada de esta ecuación con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de velocidad en Y. Entonces nos queda de la siguiente manera. Derivada de menos 5t cuadrado es igual a menos 10t y la derivada de más 6t nos da más 6. Tenemos entonces la ecuación de velocidad en Y que vamos a llamar la ecuación número 2. Vamos a anotar por aquí esas dos ecuaciones. Por aquí las tenemos y a continuación vamos a construir la ecuación de posición en X para ese balón. Allí tenemos el modelo. Vamos a reemplazar lo que conocemos. Velocidad inicial es 10 metros por segundo. Teta es igual a 37 grados por el tiempo más la posición inicial en X. Vemos que en el tiempo 0 la posición en X del balón es 0. Parte del origen. Con seno de 37 lo reemplazamos por el valor que encontramos. Es decir, 4 quintos. Y entonces esa ecuación nos queda como X igual a 10 por 4 quintos. Eso es 40 quintos. O sea, 8t. Esta será entonces la ecuación número 3. Es decir, la ecuación de posición en X para el balón. Si hacemos la derivada de esta expresión, es decir, derivamos X con respecto al tiempo. Tendremos la expresión para la velocidad en X. Entonces vemos que la velocidad en X es igual a la derivada de 8t que es igual a 8. Claro, es una velocidad constante. Estos son 8 metros por segundo. Recordemos que en todo momento la componente en X de la velocidad vale siempre 8 metros por segundo. Es constante. Sería esta velocidad que apreciamos en el punto más alto. Por ejemplo, esta velocidad del balón en ese instante es igual a 8 metros por segundo. Vamos entonces a anotar esta información por acá. Por aquí tenemos esa información. Y vamos a comenzar con el análisis del problema. Vamos a situarnos en este punto. Es decir, cuando se cumple el tiempo de subida del cuerpo. En este instante sabemos que la velocidad en Y es igual a cero. Esa es siempre la condición que se cumple en el punto más alto de un movimiento de proyectiles. Entonces decimos lo siguiente. Cuando el tiempo es igual al tiempo de subida. Tenemos que la velocidad en Y es igual a cero. Como tenemos información de tiempo y de velocidad en Y. Entonces utilizamos la ecuación número 2. Vamos a escribirla. Nos queda. Velocidad en Y es igual a menos 10t más 6. Y vamos a reemplazar la información que conocemos. Aquí le emplazamos el cero. Donde está el tiempo entra el tiempo de subida. Y de allí vamos a despejar esa incógnita del tiempo de subida. Pasamos este término que está negativo al otro lado positivo. Esto nos queda igual a 6. Despejamos el tiempo de subida. Nos queda 6 dividido entre 10. De donde el tiempo de subida es igual a 0.6 segundos. Tenemos entonces que este balón tarda 0.6 segundos. Desde que es pateado hasta que llega al punto más alto. Vamos a escribir este resultado aquí en la gráfica. Observamos que en este instante el balón alcanza la posición en Y. Llamada Y máxima. Es decir la altura máxima con respecto del piso. Decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida. Que nos dio 0.6 segundos. Entonces la posición Y del balón se llama Y máxima. Es decir la altura máxima. En este caso como tenemos información de tiempo y de Y. Utilizamos la ecuación número 1. Entonces anotamos la ecuación y reemplazamos la información. Donde está Y vamos a escribir Y máxima. Y donde está el tiempo escribimos 0.6. Esto al cuadrado más 6 por 0.6. Resolviendo todo eso en la calculadora. Tenemos Y máxima igual a 1.8 metros. De esta manera respondemos la pregunta A del problema. Esta es la altura máxima que alcanza el balón. Ahora vamos a situarnos en este instante. Es decir cuando se cumple el tiempo de vuelo. Entonces recordemos que en este tipo de movimiento. El parabólico completo tenemos que el tiempo de vuelo es igual al doble del tiempo de subida. Si tarda lo mismo la etapa de subida que la etapa de caída. Por lo tanto el tiempo de vuelo desde que el balón es pateado. Hasta que vuelve nuevamente al piso. Ese tiempo será el doble del tiempo de subida. Entonces en este caso será 2 por 0.6 segundos. Eso nos da un tiempo de vuelo para hacer balón de 1.2 segundos. Y esta es la respuesta a la pregunta B del problema. Tiempo de vuelo igual a 1.2 segundos. Cuando el balón cumple el tiempo de vuelo. Es cuando obtiene el alcance máximo horizontal que vamos a llamar X máximo. Esta coordenada sobre el eje X. Entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo. Es decir igual a 1.2 segundos. Entonces la posición X del balón se llama X máximo. Es decir el alcance máximo horizontal. Cuando tenemos información de tiempo y de X. Utilizamos la ecuación número 3. Entonces tenemos que X es igual a 8t. Reemplazamos donde está X. Entra X máximo. Igual a 8 por el tiempo que es 1.2 segundos. Resolviendo esa multiplicación nos da como resultado 9.6 metros. Y esta es la respuesta a la pregunta C del problema. El alcance máximo del balón es 9.6 metros. En la pregunta D nos piden encontrar la ecuación de la trayectoria. Es decir una ecuación en términos de X y Y para esta parábola. Esa ecuación la vamos a conseguir vinculando las ecuaciones 1 y 3. Es decir la ecuación de posición en Y con la posición en X. Eso lo vamos a conseguir despejando el tiempo de la ecuación número 3. Entonces decimos de la expresión número 3 tenemos que tiempo es igual a X dividido entre 8. Este 8 que está multiplicando con el tiempo pasa a dividir a la X. Entonces nos queda así. Y esto lo vamos a sustituir en la ecuación número 1. Entonces reemplazando el 1 nos queda Y es igual a menos 5 por aquí donde está el tiempo ingresa X octavos. Y eso está al cuadrado. Más 6t. Es decir más 6 por X octavos. Organizamos un poco esa ecuación. Nos queda menos 5 por aquí el exponente afecta al numerador y denominador. Nos queda X cuadrado 64t. Más aquí quedaría 6X octavos. Donde podemos simplificar el 6 con el 8 sacando mitad. Nos queda 3X cuartos. Finalmente la ecuación para la trayectoria de ese balón puede organizarse como menos 564t de X al cuadrado más 3 cuartos de X. Vemos que efectivamente es una función cuadrática. Si es la ecuación de una parábola. Y esta es la respuesta a la pregunta D. Es la ecuación de la trayectoria del balón. En la pregunta E nos piden encontrar la velocidad del balón un segundo después de que ha sido pateado. Vemos que el balón tarda 0.6 segundos en llegar al punto más alto. Y 1.2 segundos en completar toda la trayectoria. Es decir que más o menos un segundo después de haber sido pateado es como por aquí. Es decir cuando el balón viene en la etapa de caída. En ese momento su velocidad que sería un vector tangente a la trayectoria tiene dos componentes. Una en X que recordemos que es constante. Esa vale siempre 8 metros por segundo. Y tiene una componente en Y. Sí vamos a llamar la velocidad en Y que está dirigida hacia abajo. Entonces vamos a encontrar el valor de esa componente. Y para ello utilizamos la ecuación número 2. Entonces decimos que en la expresión 2 hallamos la velocidad en Y cuando t es igual a un segundo. Nos queda menos 10 por 1 más 6. Si reemplazamos aquí el instante t igual a un segundo. Resolviendo esto nos queda menos 10 más 6 es igual a menos 4. Escribimos las unidades correspondientes a la velocidad. Y entonces en este momento la componente vertical de la velocidad es negativa. Claro porque va dirigida hacia abajo y tiene un módulo de 4 metros por segundo. Entonces vamos a encontrar cuál es la velocidad en este instante. Hallando la resultante de esas dos componentes. Para hallar el módulo de esta velocidad utilizamos esta expresión. Recordemos que es igual a la componente en X al cuadrado más la componente en Y al cuadrado. Y todo esto dentro de la raíz cuadrada. Recordemos que esto obedece al teorema de Pitágoras. Porque esas dos componentes son mutuamente perpendiculares. Y esta velocidad, es decir el módulo de la velocidad se comporta como la hipotenusa. Mientras que estas se comportan como catetos. Vamos a reemplazar los valores. La velocidad en X tiene un módulo de 8. Sabemos que está en metros por segundo, eso al cuadrado. Más la velocidad en Y que tiene un módulo de 4 metros por segundo. Aquí le interesa el signo, únicamente consideramos el módulo, o sea el valor positivo. Y esto nos queda entonces la raíz cuadrada de 64 más 16. Esto nos queda la raíz cuadrada de 80. Esto haciéndolo en calculadora nos da aproximadamente igual a 8.94 metros por segundo. Y esta sería la respuesta a la pregunta E del problema. Es la rapidez del balón un segundo después de que ha sido pateado..
[{"start": 0.0, "end": 23.0, "text": " En este problema tenemos el caso de un movimiento parab\u00f3lico completo."}, {"start": 23.0, "end": 30.0, "text": " Vemos el movimiento enmarcado en el primer cuadrante del plano cartesiano."}, {"start": 30.0, "end": 33.0, "text": " El eje X representa el c\u00e9sped."}, {"start": 33.0, "end": 41.0, "text": " Esta ser\u00e1 la velocidad inicial del bal\u00f3n, que es 10 metros por segundo."}, {"start": 41.0, "end": 50.0, "text": " Y este ser\u00e1 el \u00e1ngulo de tiro o \u00e1ngulo de disparo, es decir, theta, y es igual a 37 grados."}, {"start": 50.0, "end": 56.0, "text": " Se toma positivo porque es un \u00e1ngulo que se mide por encima de la horizontal."}, {"start": 56.0, "end": 63.0, "text": " Tenemos tiempo cero, el momento en el cual el bal\u00f3n inicia su movimiento."}, {"start": 63.0, "end": 72.0, "text": " Vamos a mirar c\u00f3mo tomamos seno de 37 y coseno de 37 a partir del tri\u00e1ngulo egipcio."}, {"start": 72.0, "end": 84.0, "text": " Recordemos que el tri\u00e1ngulo egipcio es un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo con catetos 3 y 4 y con hipotenusa 5."}, {"start": 84.0, "end": 89.0, "text": " Por eso se conoce tambi\u00e9n como el tri\u00e1ngulo 3-4-5."}, {"start": 89.0, "end": 97.0, "text": " En este tri\u00e1ngulo, este \u00e1ngulo que tenemos aqu\u00ed opuesto al menor cateto es el de 37 grados."}, {"start": 97.0, "end": 104.0, "text": " Y el otro \u00e1ngulo agudo opuesto al mayor cateto es de 53 grados."}, {"start": 104.0, "end": 111.0, "text": " Por lo tanto, de all\u00ed podemos obtener una expresi\u00f3n exacta para el seno de 37 grados."}, {"start": 111.0, "end": 118.0, "text": " Seno de 37 grados ser\u00e1 cateto opuesto sobre hipotenusa, es decir, 3 quintos."}, {"start": 118.0, "end": 129.0, "text": " Y el coseno de 37 grados ser\u00e1 igual al cateto adyacente sobre la hipotenusa, es decir, 4 quintos."}, {"start": 129.0, "end": 134.0, "text": " Entonces vamos a utilizar en este problema estos valores."}, {"start": 134.0, "end": 145.0, "text": " Seno de 37 igual a 3 quintos y coseno de 37 grados igual a 4 quintos."}, {"start": 145.0, "end": 153.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a obtener las ecuaciones cinem\u00e1ticas de posici\u00f3n y velocidad para este movimiento."}, {"start": 153.0, "end": 165.0, "text": " Preiteramos, tenemos el movimiento con sistema o marco de referencia, el primer cuadrante del plano cartesiano, en unidades de metros."}, {"start": 165.0, "end": 172.0, "text": " Las posiciones de X en Y se trabajar\u00e1n en metros. Tenemos ya la velocidad en metros por segundo."}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " Luego tenemos todo en unidades del sistema internacional."}, {"start": 176.0, "end": 182.0, "text": " Entonces comenzamos con la ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica para la posici\u00f3n en Y."}, {"start": 182.0, "end": 189.0, "text": " Vamos a copiar el modelo y vamos a reemplazar los valores que conocemos al inicio."}, {"start": 189.0, "end": 196.0, "text": " Tenemos para la gravedad 10, ya est\u00e1 en metros por segundo cuadrado."}, {"start": 196.0, "end": 200.0, "text": " La velocidad inicial 10 metros por segundo."}, {"start": 200.0, "end": 209.0, "text": " Tenemos el seno del \u00e1ngulo de tiro que es 37 grados y tenemos como posici\u00f3n inicial en Y 0."}, {"start": 209.0, "end": 216.0, "text": " Si vemos que en el tiempo 0 la posici\u00f3n del bal\u00f3n en el eje Y vale 0."}, {"start": 216.0, "end": 220.0, "text": " Dijimos que el seno de 37 grados es 3 quintos."}, {"start": 220.0, "end": 226.0, "text": " Entonces utilizamos ese valor y esto nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 226.0, "end": 235.0, "text": " Y es igual a menos 5t cuadrado m\u00e1s 10 por 3 quintos, eso nos da 30 quintos que es igual a 6."}, {"start": 235.0, "end": 239.0, "text": " Queda m\u00e1s 6t y este 0 pues no aporta nada."}, {"start": 239.0, "end": 244.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en Y."}, {"start": 244.0, "end": 246.0, "text": " Ecuaci\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 246.0, "end": 255.0, "text": " Si hacemos la derivada de esta ecuaci\u00f3n con respecto al tiempo, obtenemos la ecuaci\u00f3n de velocidad en Y."}, {"start": 255.0, "end": 257.0, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 257.0, "end": 267.0, "text": " Derivada de menos 5t cuadrado es igual a menos 10t y la derivada de m\u00e1s 6t nos da m\u00e1s 6."}, {"start": 267.0, "end": 275.0, "text": " Tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de velocidad en Y que vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 275.0, "end": 278.0, "text": " Vamos a anotar por aqu\u00ed esas dos ecuaciones."}, {"start": 278.0, "end": 287.0, "text": " Por aqu\u00ed las tenemos y a continuaci\u00f3n vamos a construir la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en X para ese bal\u00f3n."}, {"start": 287.0, "end": 289.0, "text": " All\u00ed tenemos el modelo."}, {"start": 289.0, "end": 291.0, "text": " Vamos a reemplazar lo que conocemos."}, {"start": 291.0, "end": 295.0, "text": " Velocidad inicial es 10 metros por segundo."}, {"start": 295.0, "end": 302.0, "text": " Teta es igual a 37 grados por el tiempo m\u00e1s la posici\u00f3n inicial en X."}, {"start": 302.0, "end": 309.0, "text": " Vemos que en el tiempo 0 la posici\u00f3n en X del bal\u00f3n es 0. Parte del origen."}, {"start": 309.0, "end": 314.0, "text": " Con seno de 37 lo reemplazamos por el valor que encontramos."}, {"start": 314.0, "end": 317.0, "text": " Es decir, 4 quintos."}, {"start": 317.0, "end": 323.0, "text": " Y entonces esa ecuaci\u00f3n nos queda como X igual a 10 por 4 quintos."}, {"start": 323.0, "end": 325.0, "text": " Eso es 40 quintos."}, {"start": 325.0, "end": 326.0, "text": " O sea, 8t."}, {"start": 326.0, "end": 329.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 329.0, "end": 333.0, "text": " Es decir, la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en X para el bal\u00f3n."}, {"start": 333.0, "end": 339.0, "text": " Si hacemos la derivada de esta expresi\u00f3n, es decir, derivamos X con respecto al tiempo."}, {"start": 339.0, "end": 344.0, "text": " Tendremos la expresi\u00f3n para la velocidad en X."}, {"start": 344.0, "end": 351.0, "text": " Entonces vemos que la velocidad en X es igual a la derivada de 8t que es igual a 8."}, {"start": 351.0, "end": 353.0, "text": " Claro, es una velocidad constante."}, {"start": 353.0, "end": 355.0, "text": " Estos son 8 metros por segundo."}, {"start": 355.0, "end": 364.0, "text": " Recordemos que en todo momento la componente en X de la velocidad vale siempre 8 metros por segundo."}, {"start": 364.0, "end": 365.0, "text": " Es constante."}, {"start": 365.0, "end": 369.0, "text": " Ser\u00eda esta velocidad que apreciamos en el punto m\u00e1s alto."}, {"start": 369.0, "end": 375.0, "text": " Por ejemplo, esta velocidad del bal\u00f3n en ese instante es igual a 8 metros por segundo."}, {"start": 375.0, "end": 378.0, "text": " Vamos entonces a anotar esta informaci\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 378.0, "end": 381.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos esa informaci\u00f3n."}, {"start": 381.0, "end": 386.0, "text": " Y vamos a comenzar con el an\u00e1lisis del problema."}, {"start": 386.0, "end": 389.0, "text": " Vamos a situarnos en este punto."}, {"start": 389.0, "end": 394.0, "text": " Es decir, cuando se cumple el tiempo de subida del cuerpo."}, {"start": 394.0, "end": 400.0, "text": " En este instante sabemos que la velocidad en Y es igual a cero."}, {"start": 400.0, "end": 407.0, "text": " Esa es siempre la condici\u00f3n que se cumple en el punto m\u00e1s alto de un movimiento de proyectiles."}, {"start": 407.0, "end": 409.0, "text": " Entonces decimos lo siguiente."}, {"start": 409.0, "end": 414.0, "text": " Cuando el tiempo es igual al tiempo de subida."}, {"start": 414.0, "end": 419.0, "text": " Tenemos que la velocidad en Y es igual a cero."}, {"start": 419.0, "end": 423.0, "text": " Como tenemos informaci\u00f3n de tiempo y de velocidad en Y."}, {"start": 423.0, "end": 427.0, "text": " Entonces utilizamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 427.0, "end": 429.0, "text": " Vamos a escribirla."}, {"start": 429.0, "end": 431.0, "text": " Nos queda."}, {"start": 431.0, "end": 434.0, "text": " Velocidad en Y es igual a menos 10t m\u00e1s 6."}, {"start": 434.0, "end": 437.0, "text": " Y vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que conocemos."}, {"start": 437.0, "end": 440.0, "text": " Aqu\u00ed le emplazamos el cero."}, {"start": 440.0, "end": 444.0, "text": " Donde est\u00e1 el tiempo entra el tiempo de subida."}, {"start": 444.0, "end": 449.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar esa inc\u00f3gnita del tiempo de subida."}, {"start": 449.0, "end": 453.0, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo al otro lado positivo."}, {"start": 453.0, "end": 455.0, "text": " Esto nos queda igual a 6."}, {"start": 455.0, "end": 457.0, "text": " Despejamos el tiempo de subida."}, {"start": 457.0, "end": 460.0, "text": " Nos queda 6 dividido entre 10."}, {"start": 460.0, "end": 465.0, "text": " De donde el tiempo de subida es igual a 0.6 segundos."}, {"start": 465.0, "end": 470.0, "text": " Tenemos entonces que este bal\u00f3n tarda 0.6 segundos."}, {"start": 470.0, "end": 474.0, "text": " Desde que es pateado hasta que llega al punto m\u00e1s alto."}, {"start": 474.0, "end": 480.0, "text": " Vamos a escribir este resultado aqu\u00ed en la gr\u00e1fica."}, {"start": 480.0, "end": 486.0, "text": " Observamos que en este instante el bal\u00f3n alcanza la posici\u00f3n en Y."}, {"start": 486.0, "end": 488.0, "text": " Llamada Y m\u00e1xima."}, {"start": 488.0, "end": 493.0, "text": " Es decir la altura m\u00e1xima con respecto del piso."}, {"start": 493.0, "end": 499.0, "text": " Decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida."}, {"start": 499.0, "end": 503.0, "text": " Que nos dio 0.6 segundos."}, {"start": 503.0, "end": 510.0, "text": " Entonces la posici\u00f3n Y del bal\u00f3n se llama Y m\u00e1xima."}, {"start": 510.0, "end": 512.0, "text": " Es decir la altura m\u00e1xima."}, {"start": 512.0, "end": 516.0, "text": " En este caso como tenemos informaci\u00f3n de tiempo y de Y."}, {"start": 516.0, "end": 519.0, "text": " Utilizamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 519.0, "end": 524.0, "text": " Entonces anotamos la ecuaci\u00f3n y reemplazamos la informaci\u00f3n."}, {"start": 524.0, "end": 529.0, "text": " Donde est\u00e1 Y vamos a escribir Y m\u00e1xima."}, {"start": 529.0, "end": 534.0, "text": " Y donde est\u00e1 el tiempo escribimos 0.6."}, {"start": 534.0, "end": 538.0, "text": " Esto al cuadrado m\u00e1s 6 por 0.6."}, {"start": 538.0, "end": 542.0, "text": " Resolviendo todo eso en la calculadora."}, {"start": 542.0, "end": 548.0, "text": " Tenemos Y m\u00e1xima igual a 1.8 metros."}, {"start": 548.0, "end": 553.0, "text": " De esta manera respondemos la pregunta A del problema."}, {"start": 553.0, "end": 560.0, "text": " Esta es la altura m\u00e1xima que alcanza el bal\u00f3n."}, {"start": 560.0, "end": 565.0, "text": " Ahora vamos a situarnos en este instante."}, {"start": 565.0, "end": 569.0, "text": " Es decir cuando se cumple el tiempo de vuelo."}, {"start": 569.0, "end": 573.0, "text": " Entonces recordemos que en este tipo de movimiento."}, {"start": 573.0, "end": 580.0, "text": " El parab\u00f3lico completo tenemos que el tiempo de vuelo es igual al doble del tiempo de subida."}, {"start": 580.0, "end": 584.0, "text": " Si tarda lo mismo la etapa de subida que la etapa de ca\u00edda."}, {"start": 584.0, "end": 588.0, "text": " Por lo tanto el tiempo de vuelo desde que el bal\u00f3n es pateado."}, {"start": 588.0, "end": 592.0, "text": " Hasta que vuelve nuevamente al piso."}, {"start": 592.0, "end": 596.0, "text": " Ese tiempo ser\u00e1 el doble del tiempo de subida."}, {"start": 596.0, "end": 601.0, "text": " Entonces en este caso ser\u00e1 2 por 0.6 segundos."}, {"start": 601.0, "end": 607.0, "text": " Eso nos da un tiempo de vuelo para hacer bal\u00f3n de 1.2 segundos."}, {"start": 607.0, "end": 613.0, "text": " Y esta es la respuesta a la pregunta B del problema."}, {"start": 613.0, "end": 621.0, "text": " Tiempo de vuelo igual a 1.2 segundos."}, {"start": 621.0, "end": 625.0, "text": " Cuando el bal\u00f3n cumple el tiempo de vuelo."}, {"start": 625.0, "end": 632.0, "text": " Es cuando obtiene el alcance m\u00e1ximo horizontal que vamos a llamar X m\u00e1ximo."}, {"start": 632.0, "end": 635.0, "text": " Esta coordenada sobre el eje X."}, {"start": 635.0, "end": 641.0, "text": " Entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo."}, {"start": 641.0, "end": 644.0, "text": " Es decir igual a 1.2 segundos."}, {"start": 644.0, "end": 650.0, "text": " Entonces la posici\u00f3n X del bal\u00f3n se llama X m\u00e1ximo."}, {"start": 650.0, "end": 653.0, "text": " Es decir el alcance m\u00e1ximo horizontal."}, {"start": 653.0, "end": 656.0, "text": " Cuando tenemos informaci\u00f3n de tiempo y de X."}, {"start": 656.0, "end": 659.0, "text": " Utilizamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 659.0, "end": 663.0, "text": " Entonces tenemos que X es igual a 8t."}, {"start": 663.0, "end": 665.0, "text": " Reemplazamos donde est\u00e1 X."}, {"start": 665.0, "end": 667.0, "text": " Entra X m\u00e1ximo."}, {"start": 667.0, "end": 673.0, "text": " Igual a 8 por el tiempo que es 1.2 segundos."}, {"start": 673.0, "end": 680.0, "text": " Resolviendo esa multiplicaci\u00f3n nos da como resultado 9.6 metros."}, {"start": 680.0, "end": 685.0, "text": " Y esta es la respuesta a la pregunta C del problema."}, {"start": 685.0, "end": 693.0, "text": " El alcance m\u00e1ximo del bal\u00f3n es 9.6 metros."}, {"start": 693.0, "end": 698.0, "text": " En la pregunta D nos piden encontrar la ecuaci\u00f3n de la trayectoria."}, {"start": 698.0, "end": 704.0, "text": " Es decir una ecuaci\u00f3n en t\u00e9rminos de X y Y para esta par\u00e1bola."}, {"start": 704.0, "end": 709.0, "text": " Esa ecuaci\u00f3n la vamos a conseguir vinculando las ecuaciones 1 y 3."}, {"start": 709.0, "end": 714.0, "text": " Es decir la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en Y con la posici\u00f3n en X."}, {"start": 714.0, "end": 718.0, "text": " Eso lo vamos a conseguir despejando el tiempo de la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 718.0, "end": 727.0, "text": " Entonces decimos de la expresi\u00f3n n\u00famero 3 tenemos que tiempo es igual a X dividido entre 8."}, {"start": 727.0, "end": 732.0, "text": " Este 8 que est\u00e1 multiplicando con el tiempo pasa a dividir a la X."}, {"start": 732.0, "end": 734.0, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 734.0, "end": 738.0, "text": " Y esto lo vamos a sustituir en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 738.0, "end": 753.0, "text": " Entonces reemplazando el 1 nos queda Y es igual a menos 5 por aqu\u00ed donde est\u00e1 el tiempo ingresa X octavos."}, {"start": 753.0, "end": 755.0, "text": " Y eso est\u00e1 al cuadrado."}, {"start": 755.0, "end": 761.0, "text": " M\u00e1s 6t. Es decir m\u00e1s 6 por X octavos."}, {"start": 761.0, "end": 763.0, "text": " Organizamos un poco esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 763.0, "end": 768.0, "text": " Nos queda menos 5 por aqu\u00ed el exponente afecta al numerador y denominador."}, {"start": 768.0, "end": 772.0, "text": " Nos queda X cuadrado 64t."}, {"start": 772.0, "end": 775.0, "text": " M\u00e1s aqu\u00ed quedar\u00eda 6X octavos."}, {"start": 775.0, "end": 779.0, "text": " Donde podemos simplificar el 6 con el 8 sacando mitad."}, {"start": 779.0, "end": 782.0, "text": " Nos queda 3X cuartos."}, {"start": 782.0, "end": 787.0, "text": " Finalmente la ecuaci\u00f3n para la trayectoria de ese bal\u00f3n puede organizarse como"}, {"start": 787.0, "end": 795.0, "text": " menos 564t de X al cuadrado m\u00e1s 3 cuartos de X."}, {"start": 795.0, "end": 801.0, "text": " Vemos que efectivamente es una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 801.0, "end": 803.0, "text": " Si es la ecuaci\u00f3n de una par\u00e1bola."}, {"start": 803.0, "end": 807.0, "text": " Y esta es la respuesta a la pregunta D."}, {"start": 807.0, "end": 811.0, "text": " Es la ecuaci\u00f3n de la trayectoria del bal\u00f3n."}, {"start": 811.0, "end": 815.0, "text": " En la pregunta E nos piden encontrar la velocidad del bal\u00f3n"}, {"start": 815.0, "end": 818.0, "text": " un segundo despu\u00e9s de que ha sido pateado."}, {"start": 818.0, "end": 824.0, "text": " Vemos que el bal\u00f3n tarda 0.6 segundos en llegar al punto m\u00e1s alto."}, {"start": 824.0, "end": 828.0, "text": " Y 1.2 segundos en completar toda la trayectoria."}, {"start": 828.0, "end": 836.0, "text": " Es decir que m\u00e1s o menos un segundo despu\u00e9s de haber sido pateado es como por aqu\u00ed."}, {"start": 836.0, "end": 840.0, "text": " Es decir cuando el bal\u00f3n viene en la etapa de ca\u00edda."}, {"start": 840.0, "end": 848.0, "text": " En ese momento su velocidad que ser\u00eda un vector tangente a la trayectoria tiene dos componentes."}, {"start": 848.0, "end": 852.0, "text": " Una en X que recordemos que es constante."}, {"start": 852.0, "end": 855.0, "text": " Esa vale siempre 8 metros por segundo."}, {"start": 855.0, "end": 858.0, "text": " Y tiene una componente en Y."}, {"start": 858.0, "end": 863.0, "text": " S\u00ed vamos a llamar la velocidad en Y que est\u00e1 dirigida hacia abajo."}, {"start": 863.0, "end": 866.0, "text": " Entonces vamos a encontrar el valor de esa componente."}, {"start": 866.0, "end": 869.0, "text": " Y para ello utilizamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 869.0, "end": 879.0, "text": " Entonces decimos que en la expresi\u00f3n 2 hallamos la velocidad en Y cuando t es igual a un segundo."}, {"start": 879.0, "end": 883.0, "text": " Nos queda menos 10 por 1 m\u00e1s 6."}, {"start": 883.0, "end": 887.0, "text": " Si reemplazamos aqu\u00ed el instante t igual a un segundo."}, {"start": 887.0, "end": 891.0, "text": " Resolviendo esto nos queda menos 10 m\u00e1s 6 es igual a menos 4."}, {"start": 891.0, "end": 895.0, "text": " Escribimos las unidades correspondientes a la velocidad."}, {"start": 895.0, "end": 901.0, "text": " Y entonces en este momento la componente vertical de la velocidad es negativa."}, {"start": 901.0, "end": 908.0, "text": " Claro porque va dirigida hacia abajo y tiene un m\u00f3dulo de 4 metros por segundo."}, {"start": 908.0, "end": 912.0, "text": " Entonces vamos a encontrar cu\u00e1l es la velocidad en este instante."}, {"start": 912.0, "end": 916.0, "text": " Hallando la resultante de esas dos componentes."}, {"start": 916.0, "end": 922.0, "text": " Para hallar el m\u00f3dulo de esta velocidad utilizamos esta expresi\u00f3n."}, {"start": 922.0, "end": 929.0, "text": " Recordemos que es igual a la componente en X al cuadrado m\u00e1s la componente en Y al cuadrado."}, {"start": 929.0, "end": 933.0, "text": " Y todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 933.0, "end": 936.0, "text": " Recordemos que esto obedece al teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 936.0, "end": 940.0, "text": " Porque esas dos componentes son mutuamente perpendiculares."}, {"start": 940.0, "end": 945.0, "text": " Y esta velocidad, es decir el m\u00f3dulo de la velocidad se comporta como la hipotenusa."}, {"start": 945.0, "end": 949.0, "text": " Mientras que estas se comportan como catetos."}, {"start": 949.0, "end": 955.0, "text": " Vamos a reemplazar los valores. La velocidad en X tiene un m\u00f3dulo de 8."}, {"start": 955.0, "end": 958.0, "text": " Sabemos que est\u00e1 en metros por segundo, eso al cuadrado."}, {"start": 958.0, "end": 963.0, "text": " M\u00e1s la velocidad en Y que tiene un m\u00f3dulo de 4 metros por segundo."}, {"start": 963.0, "end": 969.0, "text": " Aqu\u00ed le interesa el signo, \u00fanicamente consideramos el m\u00f3dulo, o sea el valor positivo."}, {"start": 969.0, "end": 976.0, "text": " Y esto nos queda entonces la ra\u00edz cuadrada de 64 m\u00e1s 16."}, {"start": 976.0, "end": 980.0, "text": " Esto nos queda la ra\u00edz cuadrada de 80."}, {"start": 980.0, "end": 989.0, "text": " Esto haci\u00e9ndolo en calculadora nos da aproximadamente igual a 8.94 metros por segundo."}, {"start": 989.0, "end": 995.0, "text": " Y esta ser\u00eda la respuesta a la pregunta E del problema."}, {"start": 995.0, "end": 1006.0, "text": " Es la rapidez del bal\u00f3n un segundo despu\u00e9s de que ha sido pateado."}, {"start": 1025.0, "end": 1027.0, "text": "."}]