LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 14
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando racionalización y factorización.

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 Vamos a resolver este límite comenzando por evaluar la función, es decir, toda esta expresión cuando x es igual a 4. Entonces vamos a reemplazar nos quedaría raíz de 4 menos 2 y aquí tendríamos 4 al cubo menos 64. Hemos reemplazado el 4 donde se encontraba la x. Vamos a resolver raíz cuadrada de 4 es 2, nos queda 2 menos 2 arriba y abajo 4 al cubo es igual a 64 menos 64. Claramente observamos que esto nos da 0 sobre 0 que es una indeterminación o una forma indeterminada. Es decir, algo que nos dice que debemos transformar esta expresión para superar este problema. Entonces como estrategia vamos a racionalizar el numerador, vamos a utilizar la conjugación y vamos también a factorizar el denominador. Vamos a comenzar por factorizar el denominador. Aquí aplicamos el caso llamado diferencia de cubos. Entonces veamos, la raíz cubica del primer término sería x, la raíz cubica del segundo sería 4. Esto nos forma el factor corto, el que lleva dos términos con el mismo signo que tenemos en la operación, es decir, resta. Ahora vamos a armar el factor largo que sería el primero al cuadrado, es decir, x al cuadrado más este por este, o sea, x por 4, que esto nos da 4x más el segundo al cuadrado, 4 al cuadrado es 16. Y hemos entonces factorizado esta diferencia de cubos. Ahora en el numerador teníamos raíz cuadrada de x menos 2 y dijimos que esto lo vamos a racionalizar. Vamos a multiplicar entonces por el conjugado de esa expresión que sería raíz cuadrada de x más 2. Pero si multiplicamos arriba, debemos también multiplicar en la parte de abajo para que se conserve la fracción. En la parte de arriba vamos entonces a multiplicar esas dos expresiones utilizando el producto notable llamado suma por diferencia. Si recordemos que si se multiplica la suma de dos cantidades por la diferencia de ellas nos queda la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado. En la parte de abajo nos quedaría exactamente lo mismo, vamos a colocar comillitas para no tener que repetirlo. Entonces nos queda límite cuando x tiende a 4, en el numerador tendremos raíz cuadrada de x al cuadrado, eso nos da x menos 2 al cuadrado que es igual a 4. Y en la parte de abajo anotamos toda la expresión, x menos 4 por x al cuadrado más 4x más 16 y todo esto multiplicado por la raíz cuadrada de x más 2. Allí ya podemos observar que tanto en el numerador como en el denominador está x menos 4. Ese es el factor problema, miremos como x tiende a 4, aquí 4 menos 4 da 0 y 4 menos 4 da 0. O sea que este factor era el causante del 0 sobre 0. Ya lo podemos eliminar lícitamente. Y entonces nos queda el límite cuando x tiende a 4 de 1, en el numerador queda 1 y nos queda en la parte de abajo x al cuadrado más 4x más 16 que multiplica a la raíz cuadrada de x más 2. Cuando ya hemos logrado deshacernos de lo que nos estaba produciendo la indeterminación, es decir del factor problema x menos 4, volvemos a evaluar la expresión cuando x vale 4. Entonces vamos a hacer el reemplazo, arriba tendremos 1, abajo tendremos 4 al cuadrado, se reemplaza donde está la x al 4, más 4 por 4 más 16 y acá tendremos la raíz cuadrada de 4 más 2. Aquí tendremos 16 más 16 más 16, eso nos da 48 y aquí tendremos la raíz cuadrada de 4 que es 2 más 2 que eso es igual a 4. Entonces nos va a quedar 1 en el numerador y abajo 48 por 4 que nos da 192. Y entonces esta sería la respuesta para ese límite propuesto.
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