57. CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL DE CUERPOS (Ejercicio 6)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 57: Caída Libre y Lanzamiento Vertical de Cuerpos (Ejercicio 6).

Se deja caer una moneda en un pozo y 5 segundos después se escucha el impacto de ésta en el fondo. ¿Cuál es la profundidad del pozo?

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Para este problema hacemos un dibujo del pozo, vamos a suponer que aquí en el fondo tenemos agua y al lado colocamos el sistema de referencia que será el eje Y en metros. Entonces colocamos el cero, es decir el origen, en el fondo del pozo y aquí colocamos H, es decir la altura o la profundidad que tiene ese pozo. Nos dicen que se suelta una moneda desde aquí, ella cae, golpea acá en el fondo del pozo, es decir en el agua y el sonido que es una onda que viaja por el pozo sube y en ese lapso de tiempo, es decir desde que se suelta la moneda hasta que se escucha el sonido, transcurren 5 segundos. Entonces vamos a realizar el análisis de la caída de la moneda y de la subida de la onda sonora. Comenzamos con la caída de la moneda, por tratarse de un cuerpo en caída libre utilizamos este modelo para la ecuación de posición. Entonces vamos a reemplazar la información que conocemos, la gravedad la tomamos como 10 metros por segundo cuadrado, la velocidad inicial será cero, vamos a llamar aquí tiempo cero el momento en que se suelta la moneda y allí la velocidad inicial vale cero y la posición inicial, es decir en el tiempo cero será H. Esta ecuación nos queda entonces como y igual a menos 5t cuadrado más H, es decir esta será la ecuación número uno para este problema. El instante en que la moneda llega al fondo del pozo, es decir aquí lo vamos a llamar Tcm, es decir tiempo de caída de la moneda, entonces decimos cuando el tiempo es igual a Tcm la posición de la moneda es igual a cero, aquí lo podemos observar, la moneda llega al nivel cero que es el fondo del pozo y esta información vamos a sustituirla en la expresión uno, nos queda entonces donde esta y escribimos cero igual a menos cinco por el tiempo que lo hemos llamado Tcm al cuadrado más H, de allí vamos a despejar Tcm, pasamos entonces este término que está negativo al otro lado, llega positivo nos queda así, despejando primero Tcm al cuadrado nos da H quintos y despejando Tcm nos quedaría más o menos la raíz cuadrada de H quintos, pero como estamos encontrando un tiempo, es decir el tiempo de caída de la moneda, debemos quedarnos con la opción positiva, entonces lo dejamos así y tenemos esta expresión para el tiempo de caída de la moneda. Ahora analizamos la subida del sonido, cuando la moneda pega en el fondo del pozo la onda sonora viaja por todo este ducto y llega a la parte superior, entonces tenemos un movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad de la onda sonora es 340 metros por segundo, recordemos que si no nos advierten nada acerca de la temperatura ambiente tomamos este valor como velocidad del sonido, la distancia que va a recorrer el sonido desde el fondo del pozo hasta este punto será H, recorre todo el pozo y el tiempo vamos a llamarlo Tss, es decir tiempo de subida del sonido, como tenemos un movimiento rectilíneo uniforme, entonces recordemos que aquí se puede utilizar el triangulito formado con las variables que involucra este tipo de movimiento, como necesitamos el tiempo, entonces lo tapamos aquí y tenemos distancia sobre velocidad, reemplazando nos queda Tss es igual a la distancia que es H y abajo la velocidad que es 340 metros por segundo, tenemos entonces la expresión para el tiempo de subida del sonido, ahora la suma de estos dos tiempos, es decir el tiempo de caída de la moneda más el tiempo de subida del sonido nos debe dar 5 segundos, es el tiempo total desde que se suelta la moneda hasta que se escucha acá en este punto el impacto de la moneda con el fondo del pozo, entonces la suma de estos dos tiempos nos da 5 segundos y lo que hacemos es reemplazar aquí las dos expresiones que obtuvimos en términos de H, nos queda entonces la raíz cuadrada de H quintos más Tss que vale H sobre 340 igual a 5 y vamos a resolver esa ecuación para la variable H, comenzamos por aislar el término que contiene la raíz, nos queda entonces raíz cuadrada de H quintos igual a 5 menos H 340, a este 5 podemos colocarle denominador 1 y esto nos queda raíz cuadrada de H quintos igual a, resolvemos esta resta de fracciones, abajo nos queda 340, arriba eso nos da 1700 menos H y para poder quitar esta raíz vamos a elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado, nos queda entonces por aquí H quintos y por acá el exponente afecta al numerador y al denominador, nos quedaría entonces arriba un binomio al cuadrado y abajo nos quedaría 340 al cuadrado, desarrollando el binomio al cuadrado nos queda así, el primero al cuadrado es 2890,000 menos dos veces el primero por el segundo nos da 3400 H más el segundo al cuadrado que será H cuadrado y todo esto entre 340 al cuadrado que nos da 115600, allí podemos simplificar estos dos números, podemos sacarle quinta a ambos, entonces quinta de 5 es 1 y quinta de este número nos da 23120 y allí podemos multiplicar en cruz, entonces este paso a multiplicar con H nos queda 23120 H igual a 1 por todo esto que nos queda igual, 2890,000 menos 3400 H más H al cuadrado y tenemos allí una ecuación que tiene aspecto de cuadrática, vamos a dejar cero en este lado y aquí vamos a organizar, empezamos con H cuadrado que haría menos 3400 H menos este, es decir este termino pasa acá negativo se opera con este y eso nos da menos 26520 H más 2890,000 y tenemos una ecuación cuadrática. Resolviéndola por fórmula cuadrática o fórmula general tenemos los siguientes resultados, uno es 26410.57 esto va en metros y el otro es 109.43 metros, aunque ambos valores son positivos es decir corresponden a dos distancias el que resulta razonable para este problema es 109.43 metros, sería imposible que ese pozo tenga una profundidad tan grande como de 26.4 kilómetros, ahí sería imposible decir que si soltamos una moneda vamos a escuchar el sonido cinco segundos después por lo tanto este resultado resulta ilógico para nuestro problema y nos quedamos con este valor, entonces la profundidad del pozo son 109.43 metros. Muchas gracias.
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