DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 38
#julioprofe explica cómo determinar la derivada de una función, evaluada en un valor específico, a partir de una condición dada.

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 nos dan esta expresión, esta información y nos piden hallar la derivada de f cuando x toma el valor 2. Comenzamos entonces derivando ambos lados de esta igualdad con respecto de la variable x. Entonces vamos a escribir ese operador. En el lado izquierdo la derivada con respecto a x de x al cuadrado por f de x, esto al cubo más x y en el lado derecho la derivada con respecto a x de esta expresión que es 5x al cuadrado. En el lado izquierdo tenemos inicialmente la derivada de una suma, entonces vamos a derivar cada uno de los componentes, vamos a indicar eso, derivada con respecto a x de x al cuadrado por f de x al cubo y todo eso más la derivada con respecto a x de este componente, es decir de x. Y en el lado derecho ya podríamos efectuar esta derivada, derivada con respecto a x de 5x al cuadrado nos da 10x, recordemos que 2 baja a multiplicar con 5 por eso nos da 10 y acá restamos 1, por eso nos queda x elevada al exponente 1. Tenemos por aquí la derivada de un producto, entonces vamos a recordar cómo se deriva esa situación, derivada de un producto a por b es la derivada del primer componente por el segundo sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo, en este caso a está representada por x al cuadrado y b está representada por f de x al cubo. Entonces siguiendo esta instrucción tenemos que la derivada de este producto es derivada del primer componente derivada de x al cuadrado que es 2x por el segundo componente sin derivar es decir f de x y todo esto elevado al cubo, después tenemos más el primer componente sin derivar que es x al cuadrado por la derivada del segundo componente, para derivar f de x elevada al cubo aplicamos la regla de la cadena para potencias, baja el 3 a multiplicar esto por f de x a la 3 menos 1 que sería 2 y esto multiplicado por la derivada interna que denotamos como f' de x, allí hemos derivado ese producto. Continuemos con la derivada de este componente, entonces tenemos más la derivada con respecto a x de x eso nos da 1 y todo esto igualado con 10x. Aquí ya hemos efectuado el proceso de derivación con respecto a x de esta expresión, lo que hacemos ahora es cambiar x por el valor 2, entonces tendremos 2 por 2, esto por abrimos corchete f de 2 todo esto elevado al cubo, después tenemos más aquí se cambia x por 2 nos queda 2 al cuadrado por 3 por abrimos corchete f de 2 todo esto elevado al cuadrado y esto multiplicado por f' de 2 cambiamos x por el valor 2, esto más 1 igual con 10x es decir 10 por 2. Todos resolviendo lo que tenemos allí, por acá 2 por 2 nos da 4, esto multiplica con f de 2 que equivale a 2, allí utilizamos la información que nos da el enunciado del ejercicio esto está elevado al cubo más 2 al cuadrado que es 4 por 3 por abrimos el corchete otra vez f de 2 que equivale a 2 allí lo reemplazamos esto al cuadrado y esto multiplicado por f' de 2 que es justamente lo que debemos averiguar lo dejamos allí expresado todo esto más 1 igualado con 10 por 2 que es 20. Continuemos resolviendo 2 al cubo nos da 8, 8 por 4 es 32, luego tenemos 4 por 3 es 12, 12 al cuadrado nos da 4 entonces 12 por 4 es 48 y eso multiplica con f' de 2 todo esto más 1 igualado con 20. En el lado izquierdo de la igualdad podemos sumar estos dos números 32 más 1 nos da 33 esto queda más 48 por f' de 2 y eso igualado con 20. Después aislamos este término el que contiene el componente que debemos averiguar entonces nos queda 48 por f' de 2 igual a 20 menos 33 pasamos este número al lado derecho a restar eso nos queda entonces así 48 por f' de 2 igual a 20 menos 33 que nos da menos 13 y allí ya podemos despejar lo que nos pide el ejercicio f' de 2 será menos 13 sobre 48, 48 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir esta fracción no se puede simplificar es una fracción irreducible y tenemos de esta manera la respuesta al ejercicio este es el valor de la derivada de f evaluada en x igual a 2.
[{"start": 0.0, "end": 9.84, "text": " nos dan esta expresi\u00f3n, esta informaci\u00f3n y nos piden hallar la derivada de f cuando"}, {"start": 9.84, "end": 12.64, "text": " x toma el valor 2."}, {"start": 12.64, "end": 18.28, "text": " Comenzamos entonces derivando ambos lados de esta igualdad con respecto de la variable"}, {"start": 18.28, "end": 19.28, "text": " x."}, {"start": 19.28, "end": 22.44, "text": " Entonces vamos a escribir ese operador."}, {"start": 22.44, "end": 31.72, "text": " En el lado izquierdo la derivada con respecto a x de x al cuadrado por f de x, esto al cubo"}, {"start": 31.72, "end": 43.040000000000006, "text": " m\u00e1s x y en el lado derecho la derivada con respecto a x de esta expresi\u00f3n que es 5x"}, {"start": 43.040000000000006, "end": 44.88, "text": " al cuadrado."}, {"start": 44.88, "end": 50.120000000000005, "text": " En el lado izquierdo tenemos inicialmente la derivada de una suma, entonces vamos a"}, {"start": 50.12, "end": 57.16, "text": " derivar cada uno de los componentes, vamos a indicar eso, derivada con respecto a x de"}, {"start": 57.16, "end": 68.84, "text": " x al cuadrado por f de x al cubo y todo eso m\u00e1s la derivada con respecto a x de este"}, {"start": 68.84, "end": 71.75999999999999, "text": " componente, es decir de x."}, {"start": 71.75999999999999, "end": 76.96, "text": " Y en el lado derecho ya podr\u00edamos efectuar esta derivada, derivada con respecto a x de"}, {"start": 76.96, "end": 83.52, "text": " 5x al cuadrado nos da 10x, recordemos que 2 baja a multiplicar con 5 por eso nos da"}, {"start": 83.52, "end": 89.08, "text": " 10 y ac\u00e1 restamos 1, por eso nos queda x elevada al exponente 1."}, {"start": 89.08, "end": 94.56, "text": " Tenemos por aqu\u00ed la derivada de un producto, entonces vamos a recordar c\u00f3mo se deriva"}, {"start": 94.56, "end": 101.88, "text": " esa situaci\u00f3n, derivada de un producto a por b es la derivada del primer componente"}, {"start": 101.88, "end": 108.11999999999999, "text": " por el segundo sin derivar m\u00e1s el primer componente sin derivar por la derivada del"}, {"start": 108.11999999999999, "end": 114.8, "text": " segundo, en este caso a est\u00e1 representada por x al cuadrado y b est\u00e1 representada por"}, {"start": 114.8, "end": 117.28, "text": " f de x al cubo."}, {"start": 117.28, "end": 122.32, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n tenemos que la derivada de este producto es derivada"}, {"start": 122.32, "end": 129.28, "text": " del primer componente derivada de x al cuadrado que es 2x por el segundo componente sin derivar"}, {"start": 129.28, "end": 137.08, "text": " es decir f de x y todo esto elevado al cubo, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s el primer componente"}, {"start": 137.08, "end": 144.36, "text": " sin derivar que es x al cuadrado por la derivada del segundo componente, para derivar f de"}, {"start": 144.36, "end": 151.52, "text": " x elevada al cubo aplicamos la regla de la cadena para potencias, baja el 3 a multiplicar"}, {"start": 151.52, "end": 160.04000000000002, "text": " esto por f de x a la 3 menos 1 que ser\u00eda 2 y esto multiplicado por la derivada interna"}, {"start": 160.04000000000002, "end": 165.84, "text": " que denotamos como f' de x, all\u00ed hemos derivado ese producto."}, {"start": 165.84, "end": 171.60000000000002, "text": " Continuemos con la derivada de este componente, entonces tenemos m\u00e1s la derivada con respecto"}, {"start": 171.60000000000002, "end": 178.4, "text": " a x de x eso nos da 1 y todo esto igualado con 10x."}, {"start": 178.4, "end": 184.56, "text": " Aqu\u00ed ya hemos efectuado el proceso de derivaci\u00f3n con respecto a x de esta expresi\u00f3n, lo que"}, {"start": 184.56, "end": 192.96, "text": " hacemos ahora es cambiar x por el valor 2, entonces tendremos 2 por 2, esto por abrimos"}, {"start": 192.96, "end": 201.0, "text": " corchete f de 2 todo esto elevado al cubo, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s aqu\u00ed se cambia 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multiplicado por f' de 2 que es justamente lo que debemos averiguar lo dejamos all\u00ed"}, {"start": 258.84, "end": 266.2, "text": " expresado todo esto m\u00e1s 1 igualado con 10 por 2 que es 20."}, {"start": 266.2, "end": 275.52, "text": " Continuemos resolviendo 2 al cubo nos da 8, 8 por 4 es 32, luego tenemos 4 por 3 es 12,"}, {"start": 275.52, "end": 285.44, "text": " 12 al cuadrado nos da 4 entonces 12 por 4 es 48 y eso multiplica con f' de 2 todo esto"}, {"start": 285.44, "end": 290.32, "text": " m\u00e1s 1 igualado con 20."}, {"start": 290.32, "end": 297.24, "text": " En el lado izquierdo de la igualdad podemos sumar estos dos n\u00fameros 32 m\u00e1s 1 nos da 33"}, {"start": 297.24, "end": 306.44, "text": " esto queda m\u00e1s 48 por f' de 2 y eso igualado con 20."}, {"start": 306.44, "end": 311.96000000000004, "text": " Despu\u00e9s aislamos este t\u00e9rmino el que contiene el componente que debemos averiguar entonces"}, {"start": 311.96000000000004, "end": 322.96000000000004, "text": " nos queda 48 por f' de 2 igual a 20 menos 33 pasamos este n\u00famero al lado derecho a"}, {"start": 322.96, "end": 333.84, "text": " restar eso nos queda entonces as\u00ed 48 por f' de 2 igual a 20 menos 33 que nos da menos"}, {"start": 333.84, "end": 342.14, "text": " 13 y all\u00ed ya podemos despejar lo que nos pide el ejercicio f' de 2 ser\u00e1 menos 13 sobre"}, {"start": 342.14, "end": 348.64, "text": " 48, 48 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir esta fracci\u00f3n no se puede"}, {"start": 348.64, "end": 355.74, "text": " simplificar es una fracci\u00f3n irreducible y tenemos de esta manera la respuesta al ejercicio"}, {"start": 355.74, "end": 385.04, "text": " este es el valor de la derivada de f evaluada en x igual a 2."}]