INTEGRALES DIRECTAS - Ejercicio 13
#julioprofe explica cómo resolver una integral directa, previa transformación del integrando.

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Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 ¿Cómo podemos resolver esta integral? Vamos a resolver esta integral comenzando por desarrollar lo que tenemos en el integrando Por desarrollar todas estas operaciones para que nos quede un polinomio Y poder integrar en forma directa de una manera muy sencilla Comenzamos por desarrollar este binomio al cuadrado Vamos a recordar la formulita Por ejemplo, a-b al cuadrado es igual a a al cuadrado menos dos veces a por b más b al cuadrado Es un producto notable llamado binomio al cuadrado Entonces nos va a quedar de la siguiente manera Cambiamos raíz cuadrada de x por x a la 1 medio de una vez Y nos concentramos entonces en el desarrollo del binomio al cuadrado Siguiendo este modelo Entonces tenemos el primero al cuadrado, sería x al cuadrado Menos dos veces el primero por el segundo Es decir, 2 por x por 3 y eso nos da 6x Más el segundo al cuadrado, es decir este término 3 al cuadrado nos da 9 Cerramos el paréntesis y anotamos el diferencial de x A continuación vamos a realizar la propiedad distributiva X a la 1 medio entra a multiplicar cada uno de los términos del trinomio que tenemos en el paréntesis Entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera Integral de x a la 1 medio por x al cuadrado será x a la 1 medio más 2 Veamos 1 medio más 2, podemos escribirlo como 1 medio más 4 medios Y esto equivale a 5 medios Entonces nos queda x elevado al exponente 5 medios Menos x a la 1 medio por 6x nos queda 6x a la 1 medio más 1 Un medio más 1 es un medio más dos medios que x vale a 3 medios Entonces aquí colocamos exponente 3 medios Y finalmente más x a la 1 medio por 9 que nos da 9x a la 1 medio Cerramos el paréntesis y todo esto con su respectivo diferencial de x Bien, allí ya podemos integrar cada uno de los términos Tenemos un polinomio donde cada término es fácilmente integrable Entonces procedemos La integral de x a la 5 medio sería x a la 5 medios más 1 sobre 5 medios más 1 El truquito es 5 más 2 es 7 Conservamos el denominador 7 medios que es el resultado de 5 medios más 1 Todo esto entre 7 medios Menos, dejamos el 6 quieto Integral de x a la 3 medios, usamos el truquito 3 más 2 nos da 5 Conservamos el denominador que es 2 y todo esto entre 5 medios Más, dejamos el 9 quieto Integramos x a la 1 medio, nuevamente funciona el truquito 1 más 2 nos da 3 Conservamos el 2 como denominador y repetimos 3 medios debajo de la línea principal Y aparece la constante de integración Finalmente organizamos cada término Vamos a subir estos números a multiplicar acá la parte de arriba Entonces nos queda de la siguiente manera Por acá el 2 llega a multiplicar con x a las 7 medios Nos queda 2x a las 7 medios sobre 7 Menos, aquí el 2 sube a multiplicar con x a las 5 medios y también con 6 Por lo tanto nos da 12x a las 5 medios Todo esto sobre 5 Más, aquí el 2 llega a multiplicar con x a las 3 medios y también con 9 Nos quedaría 2x9 es decir 18x a las 3 medios Todo esto sobre 3 más la constante de integración Aquí podríamos simplificar 18 tercios 18 dividido entre 3 nos da 6 Por lo tanto esto podemos cambiarlo por coeficiente 6 Los demás términos vemos que no son simplificables si son fracciones irreducibles Y de esta manera hemos terminado nuestro ejercicio Este es el resultado de la integral
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"text": " Conservamos el denominador que es 2 y todo esto entre 5 medios"}, {"start": 203.0, "end": 206.0, "text": " M\u00e1s, dejamos el 9 quieto"}, {"start": 206.0, "end": 211.0, "text": " Integramos x a la 1 medio, nuevamente funciona el truquito"}, {"start": 211.0, "end": 214.0, "text": " 1 m\u00e1s 2 nos da 3"}, {"start": 214.0, "end": 221.0, "text": " Conservamos el 2 como denominador y repetimos 3 medios debajo de la l\u00ednea principal"}, {"start": 221.0, "end": 225.0, "text": " Y aparece la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 225.0, "end": 228.0, "text": " Finalmente organizamos cada t\u00e9rmino"}, {"start": 228.0, "end": 233.0, "text": " Vamos a subir estos n\u00fameros a multiplicar ac\u00e1 la parte de arriba"}, {"start": 233.0, "end": 237.0, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera"}, {"start": 237.0, "end": 241.0, "text": " Por ac\u00e1 el 2 llega a multiplicar con x a las 7 medios"}, {"start": 241.0, "end": 246.0, "text": " Nos queda 2x a las 7 medios sobre 7"}, {"start": 246.0, "end": 252.0, "text": " Menos, aqu\u00ed el 2 sube a multiplicar con x a las 5 medios y tambi\u00e9n con 6"}, {"start": 252.0, "end": 257.0, "text": " Por lo tanto nos da 12x a las 5 medios"}, {"start": 257.0, "end": 261.0, "text": " Todo esto sobre 5"}, {"start": 261.0, "end": 266.0, "text": " M\u00e1s, aqu\u00ed el 2 llega a multiplicar con x a las 3 medios y tambi\u00e9n con 9"}, {"start": 266.0, "end": 273.0, "text": " Nos quedar\u00eda 2x9 es decir 18x a las 3 medios"}, {"start": 273.0, "end": 279.0, "text": " Todo esto sobre 3 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos simplificar 18 tercios"}, {"start": 282.0, "end": 286.0, "text": " 18 dividido entre 3 nos da 6"}, {"start": 286.0, "end": 292.0, "text": " Por lo tanto esto podemos cambiarlo por coeficiente 6"}, {"start": 292.0, "end": 298.0, "text": " Los dem\u00e1s t\u00e9rminos vemos que no son simplificables si son fracciones 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