APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL TRAZADO DE CURVAS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo trazar la gráfica de una función polinómica usando derivadas para hallar sus elementos más importantes.

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 Utilizando derivadas, vamos a graficar esta función mostrando sus elementos más importantes. Comenzamos por establecer su dominio. Tenemos en este caso una función polinómica de grado 3. Y para ese tipo de funciones, x puede tomar cualquier valor del conjunto de los reales. Por lo tanto, para esta función decimos que son los x pertenecientes a los reales. X puede tomar cualquier valor, bien sea negativo, positivo, el cero, valores decimales, valores enteros, cualquier valor perteneciente a los reales. Como segundo paso, vamos a determinar la primera y la segunda derivada de la función. Entonces, vamos con la primera. f' de x es igual a lo siguiente. Como tenemos un polinomio, entonces derivamos cada uno de los términos. Comenzamos con x al cubo. Su derivada es 3x al cuadrado. Vamos al siguiente término. Baja el 2 a multiplicar con 6. Nos queda 12x a la 1. Recordemos que acá restamos 1. Menos derivada de 15x que nos da 15. Y la derivada de 40 es 0. Recordemos que la derivada de toda constante es 0. Allí tenemos entonces f' de x, o sea la primera derivada. Vamos con la segunda derivada. Derivamos entonces esta expresión. Nuevamente derivamos cada uno de los términos. Comenzamos con 3x al cuadrado, cuya derivada es 6x. Menos derivada de 12x que nos da 12. Y la derivada de menos 15 nos da 0, por ser la derivada de una constante. Escribimos por acá en la parte superior la función original, la primera derivada y la segunda derivada. Que es lo que vamos a utilizar para este ejercicio. Y vamos entonces al tercer paso. Donde vamos a determinar los puntos críticos de la función. Los puntos críticos de una función se definen como aquellos sitios de la gráfica donde tenemos recta tangente horizontal. Y se determinan igualando a 0 la primera derivada. Entonces hacemos f' de x igual a 0, es decir la expresión 3x al cuadrado menos 12x menos 15 igual a 0. Resolviendo esta ecuación vamos a determinar las abscisas, es decir los valores en x de los puntos críticos. Podríamos resolver esta ecuación primero dividiendo todo entre 3. Observamos que los números son todos múltiplos de 3. Entonces podemos dividir por 3 para que nos queden números más pequeños. Nos queda entonces x cuadrado menos 4x menos 5 y esto igual a 0. Al otro lado también 0 se divide entre 3 y nos da 0. Tenemos entonces una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Vamos a resolver por factorización. Este trinomio se puede factorizar utilizando el caso llamado trinomio de la forma x cuadrado más bx más c. Repartimos la x en cada paréntesis. Vamos con los signos más por menos nos da menos, menos por menos nos da más y buscamos los números que multiplicados de menos 5 y que sumados entre sí nos den menos 4. Esos números son menos 5 y 1. A continuación utilizamos el teorema del factor nulo. Recordemos que ese teorema, teorema del factor nulo nos dice que si a por b es igual a 0, entonces a es igual a 0 o b es igual a 0. Entonces aquí decimos que x menos 5 es igual a 0 o x más 1 igual a 0. Cada factor se iguala a 0. Por acá despejamos x y nos da 5. Por acá despejamos x y nos da menos 1. Estas son entonces las abscisas de los puntos críticos, es decir, los valores en x donde vamos a tener en esta curva recta tangente horizontal. Vamos a escribirlos por aquí. De x igual a menos 1 y de x igual a 5, los valores en x donde hay puntos críticos. Y vamos ahora con el paso número 4 que será determinar dónde la función es creciente y dónde es decreciente. Esto lo vamos a hacer con la primera derivada. Vamos a analizar su signo y de esa manera determinamos si la función es creciente o decreciente. El criterio es el siguiente. Si la primera derivada es positiva en un intervalo, entonces la función es creciente en dicho intervalo. Si la primera derivada es negativa en un intervalo, entonces la función es decreciente en dicho intervalo. Para hacer ese análisis de la primera derivada vamos a factorizarla. En este caso podemos sacar factor común 3. Nos queda factor de x cuadrado menos 4x menos 5. Y también podemos factorizar este trinomio tal como vimos ahora en la solución de la ecuación cuadrática. Recordemos que eso nos dio x menos x más, dos números que multiplicados de menos 5 y que sumados de menos 4 son menos 5 y 1. Recordemos esto porque lo que viene a continuación resulta más sencillo si tenemos la expresión factorizada. Comenzamos dibujando una recta que represente el dominio de la función. Y recordemos que habíamos dicho que para esa función el dominio son los x pertenecientes a los números reales. Sobre esta recta vamos a ubicar el valor menos 1, supongamos que está por aquí, y también el valor 5, es decir, las abscisas de los puntos críticos. Por aquí tendremos el punto crítico 1 en menos 1 y el punto crítico 2 en 5. Trazamos estas líneas verticales por donde tenemos los puntos críticos y de esa manera se determinan tres intervalos donde vamos a analizar el signo de la primera derivada. Y para eso seleccionamos valores de cada intervalo, lo que se llaman valores de prueba. Entonces del primero seleccionamos cualquier número real comprendido entre menos 1 y menos infinito. Podríamos escoger el menos 3. Del segundo intervalo, escogemos un número real comprendido entre menos 1 y 5. Podríamos tomar el 0. Y del tercer intervalo, seleccionamos un número real comprendido entre 5 y más infinito. En ese caso podríamos tomar el 7. Cada uno de esos valores seleccionados lo vamos a reemplazar en la primera derivada. Entonces por acá tendremos f' de menos 3, por acá tendremos f' de 0 y por acá f' de 7. Y lo que nos interesa analizar en cada caso es el signo que adopta la primera derivada. Para ello vamos a determinar entonces el signo de cada uno de los factores. Por este 3 no nos preocupamos porque siempre es una cantidad positiva. Entonces vamos a ocuparnos de los factores que contienen la X. Vamos a determinar su signo. Comenzamos entonces con menos 3. Por acá, menos 3 menos 5 nos da menos 8. Entonces aquí el primer factor es negativo. Vamos acá otra vez con menos 3. Menos 3 más 1 nos da menos 2. Anotamos como decíamos los signos. No nos interesa tanto el resultado numérico sino los signos. De esa manera tendremos para este primer intervalo que la primera derivada es positiva. Menos por menos nos da más. En el segundo intervalo vamos a probar con X igual a 0. Aquí 0 menos 5 da menos 5, o sea negativo. Y aquí 0 más 1 nos da 1 positivo. De esa manera tendremos en el segundo intervalo que la primera derivada es negativa. Menos por más nos da menos. Y en el tercer intervalo probamos con X igual a 7. Veamos, 7 menos 5 nos da 2 positivo. 7 más 1 nos da 8 positivo. De esa manera la primera derivada es positiva en el tercer intervalo. Más por más nos da más. Y allí ya podemos decidir el comportamiento de la función. Para el primer intervalo donde la primera derivada es positiva tenemos que la función es creciente. En el segundo intervalo donde la derivada es negativa la función es decreciente. Y en el tercer intervalo donde la derivada es positiva entonces la función es creciente. Con eso que acabamos de determinar también podemos establecer la naturaleza de los puntos críticos. Veamos para el caso del primero. Si la función crece y después decrece entonces aquí tendremos lo que se llama un máximo local o máximo relativo de la función. Y por acá en el punto crítico 2 si la función decrece y después crece entonces tendremos un mínimo. Mínimo local o mínimo relativo de la función. Vamos a escribir entonces esa información por acá. En la abscisa x igual a menos 1 tenemos un punto crítico máximo. Y en la abscisa x igual a 5 tendremos un punto crítico mínimo. Entonces hasta allí utilizamos la primera derivada. Nos sirvió para determinar puntos críticos y para determinar donde la función crece y donde decrece. Vamos ahora con el paso número 5. Aquí se trata de encontrar donde la función tiene lo que se llaman puntos de inflexión. Que son los puntos donde se presenta cambio de concavidad. Para ello tomamos la segunda derivada y la igualamos a 0. Esa será entonces la clave para encontrar los puntos de inflexión de una función. Vamos entonces con la segunda derivada que es 6x menos 12. Al igualar a 0 tenemos una ecuación de primer grado. Entonces despejamos primero el término 6x, pasa el 12 positivo a la derecha, despejamos x, nos queda 12 dividido 6 de donde x es igual a 2. De esa manera encontramos la abscisa, es decir el valor en x del punto de inflexión. Como paso número 6 vamos a determinar las concavidades de la función. Vamos a establecer donde la función es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo. Y para ello el criterio es el siguiente. Si en un intervalo la segunda derivada es positiva entonces tendremos que allí la función es cóncava hacia arriba. Si en un intervalo la segunda derivada es negativa entonces en ese intervalo la curva o la función es cóncava hacia abajo. Entonces para determinar las concavidades trazamos una recta que simbolice el dominio de la función, es decir todos los x pertenecientes a los reales. Y sobre ella vamos a localizar el valor en x, es decir 2, donde tuvimos punto de inflexión. Trazamos entonces esta línea vertical por el valor x igual a 2 y de esa manera se determinan dos intervalos donde vamos a realizar el análisis del signo de la segunda derivada. Entonces elegimos valores de prueba, valores de cada intervalo. Del primero escogemos un número real comprendido entre 2 y menos infinito, podríamos tomar el 0. Y del segundo intervalo un número real comprendido entre 2 y más infinito, vamos a seleccionar por ejemplo el 4. Cada uno de esos números los vamos a probar en la segunda derivada. Vamos a ver que signo adopta la segunda derivada para cada uno de ellos. Veamos entonces con x igual a 0, por acá tenemos 6 por 0 nos da 0, 0 menos 12 nos da menos 12. Nos interesa es el signo, es decir negativo. Entonces por acá tenemos segunda derivada negativa. Vamos al siguiente intervalo, tenemos con x igual a 4 lo siguiente, 6 por 4 da 24, 24 menos 12 nos da 12 positivo. Entonces para el segundo intervalo tenemos que la segunda derivada tiene signo positivo. Esto nos dice entonces que en el primer intervalo donde la segunda derivada es negativa la función será cóncava hacia abajo. Y en el siguiente intervalo donde la segunda derivada es positiva tendremos con cavidad hacia arriba. Como séptimo paso vamos a determinar lo que se llaman los puntos principales de la función. Como hemos observado todo el análisis que se ha hecho nos ha producido valores de x, es decir abscisas. Entonces ahora vamos a ir a la función original, vamos a reemplazar en ella los valores de x obtenidos para obtener las ordenadas. Recordemos que los valores de y o las ordenadas se obtienen reemplazando en la función original y de esa manera tendremos los puntos o las parejas ordenadas que vamos a localizar en el plano cartesiano. Hacemos entonces una tabla de valores y para x vamos a tomar los valores obtenidos, menos uno después le sigue dos y después cinco. Tratamos de organizarlos en forma ascendente. Ahora vamos a reemplazar cada uno de estos valores en la función, eso ya lo hemos realizado en una calculadora científica y hemos obtenido los siguientes valores. Para x igual a menos uno y vale 48, para x igual a 2 y vale menos 6 y para x igual a 5 y vale menos 60. Entonces estos puntos son los que vamos a llevar al plano cartesiano y serán los puntos críticos y el punto de inflexión. Por aquí escribimos esas parejas ordenadas y algo adicional que podemos hacer para darle más precisión a la gráfica en el plano cartesiano es encontrar los cortes o intersecciones de la función con los ejes coordenados. Entonces el corte o intersección con el eje y recordemos que se obtiene haciendo x igual a cero. Entonces si en esta función x vale cero, esos términos se nos van y nos queda y igual a 40. Entonces tendremos corte en el eje y en la ordenada 40. Si vamos a hallar los cortes con el eje x, entonces hacemos y igual a cero. En ese caso tenemos esta expresión x al cubo menos 6x cuadrado menos 15x más 40 igual a cero. Una ecuación cúbica. Esa ecuación la hemos resuelto también en una calculadora científica y hemos obtenido los siguientes resultados. x igual a menos 3.1, x igual a 1.8 y x igual a 7.3 serían entonces las tres abscisas donde la curva intersecta o corta al eje x. Por aquí hemos anotado esa información. y intersecto en 40, x intersecto en los tres valores que encontramos al solucionar la ecuación cúbica. Y como paso final vamos entonces a construir la gráfica en el plano cartesiano. Allí lo tenemos dibujado con escalas apropiadas para poder localizar los valores y los puntos obtenidos. Entonces comenzamos con el punto menos 1,48. Cuando x vale menos 1 subimos hasta 48. Aquí tenemos 50 entonces un poco más abajo tenemos la localización de este primer punto que corresponde al punto crítico 1. Vamos a colocarle por aquí p1, punto crítico 1 que ya lo tenemos localizado. Vamos ahora con el punto 2,6. Entonces aquí estamos en x igual a 2 y bajamos hasta menos 6 que es aproximadamente por acá. Este valor sería menos 10 entonces aquí es menos 6. Tenemos entonces allí el punto de inflexión. Recordemos que en x igual a 2 habíamos determinado el punto de inflexión de la curva. Vamos ahora con el punto 5, menos 60. Nos ubicamos aquí en 5 y bajamos hasta menos 60 y de esa manera tenemos localizado el punto crítico 2 de esta función. A continuación vamos a localizar los cortes con los ejes. Corte con el eje y ocurre en la ordenada 40 y los cortes con el eje x ocurren en las abscisas menos 3,1, 1,8 por aquí más o menos y 7,3 que es por acá. Entonces tenemos 3 puntos de corte con el eje x y enseguida vamos a dibujar la curva que pase por estos puntos. Vamos a trazar una curva suave y para ello se recomienda utilizar el curvígrafo. Allí tenemos la primera parte de la curva pasa por el punto de corte menos 3,1 en el eje x y por el primer punto crítico. Vemos que es una porción creciente de la función. Recordemos que habíamos dicho en el análisis en el punto 4 que de menos infinito hasta menos 1, es decir hasta el primer punto crítico la función era creciente. Allí la primera derivada nos dio positiva. Entonces allí podemos observar ese comportamiento. Vemos ahora otra parte de la curva. Inicia aquí en el punto crítico 1, pasa por el punto de corte con el eje y, pasa por el punto de corte con el eje x, el que tenemos en 1,8 y llega al punto de inflexión, al punto 2,-6. Allí podemos observar como la curva esconcava hacia abajo desde menos infinito hasta 2, que fue lo que obtuvimos del análisis en el punto 6. Dibujamos la otra parte de la curva, va desde el punto de inflexión hasta el punto crítico 2. Allí puede apreciarse como la función es decreciente desde x igual a menos 1 hasta x igual a 5. En esa zona la función presenta primera derivada negativa tal como lo vimos en el análisis del punto 4. Finalmente trazamos esta parte de la curva, va desde el punto crítico 2, pasando por el corte con el eje x que ocurre en 7,3. Entonces por acá tenemos que la función continúa subiendo, es decir, los valores en y se van hacia más infinito. Y por acá si continuamos hacia la izquierda entonces la función seguirá bajando. La curva hará tendencia en los valores de y hacia menos infinito. Entonces vemos como con derivadas hemos realizado el análisis de esta función y hemos llegado a la construcción de su gráfica. Tenemos entonces como puntos principales el punto crítico 1, que como decíamos es un máximo local o máximo relativo de la función. Punto crítico 2, que es un punto mínimo, mínimo local o mínimo relativo de la función. Aquí como decíamos son puntos críticos porque tenemos recta tangente horizontal. Esa es la razón de ser de los puntos críticos. Y también tenemos el punto de inflexión que es donde se presenta cambio de concavidad. Vemos que la función aquí es cóncava hacia abajo desde menos infinito hasta 2 y luego cambia su concavidad hacia arriba desde 2 hacia más infinito. También el comportamiento creciente y decreciente de la función. Creciente desde menos infinito hasta menos 1, decreciente desde menos 1 hasta 5 y nuevamente creciente desde 5 hasta más infinito. Ya teniendo la gráfica de la función es posible determinar el rango de la misma. Aquí observamos como todos los valores del eje y, todos los valores reales que se encuentran sobre este eje tienen participación en la función. Además que ella, como decíamos, aquí sigue hacia abajo y aquí va hacia arriba. Entonces le da participación a todos los valores reales del eje y. Se escribe entonces así. Rango de la función, los valores de y pertenecientes a los números reales. Entonces para esta función cúbica el dominio y el rango son todos los reales. Bien, de esta manera finalizamos este ejercicio donde utilizando derivadas hemos llegado a la gráfica de esta función mostrando sus elementos principales.
[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Utilizando derivadas, vamos a graficar esta funci\u00f3n mostrando sus elementos m\u00e1s importantes."}, {"start": 9.0, "end": 14.0, "text": " Comenzamos por establecer su dominio."}, {"start": 14.0, "end": 20.0, "text": " Tenemos en este caso una funci\u00f3n polin\u00f3mica de grado 3."}, {"start": 20.0, "end": 29.0, "text": " Y para ese tipo de funciones, x puede tomar cualquier valor del conjunto de los reales."}, {"start": 29.0, "end": 37.0, "text": " Por lo tanto, para esta funci\u00f3n decimos que son los x pertenecientes a los reales."}, {"start": 37.0, "end": 50.0, "text": " X puede tomar cualquier valor, bien sea negativo, positivo, el cero, valores decimales, valores enteros, cualquier valor perteneciente a los reales."}, {"start": 50.0, "end": 60.0, "text": " Como segundo paso, vamos a determinar la primera y la segunda derivada de la funci\u00f3n."}, {"start": 60.0, "end": 64.0, "text": " Entonces, vamos con la primera."}, {"start": 64.0, "end": 68.0, "text": " f' de x es igual a lo siguiente."}, {"start": 68.0, "end": 73.0, "text": " Como tenemos un polinomio, entonces derivamos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 73.0, "end": 75.0, "text": " Comenzamos con x al cubo."}, {"start": 75.0, "end": 79.0, "text": " Su derivada es 3x al cuadrado."}, {"start": 79.0, "end": 81.0, "text": " Vamos al siguiente t\u00e9rmino."}, {"start": 81.0, "end": 83.0, "text": " Baja el 2 a multiplicar con 6."}, {"start": 83.0, "end": 86.0, "text": " Nos queda 12x a la 1."}, {"start": 86.0, "end": 89.0, "text": " Recordemos que ac\u00e1 restamos 1."}, {"start": 89.0, "end": 93.0, "text": " Menos derivada de 15x que nos da 15."}, {"start": 93.0, "end": 97.0, "text": " Y la derivada de 40 es 0."}, {"start": 97.0, "end": 102.0, "text": " Recordemos que la derivada de toda constante es 0."}, {"start": 102.0, "end": 108.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces f' de x, o sea la primera derivada."}, {"start": 108.0, "end": 110.0, "text": " Vamos con la segunda derivada."}, {"start": 110.0, "end": 113.0, "text": " Derivamos entonces esta expresi\u00f3n."}, {"start": 113.0, "end": 117.0, "text": " Nuevamente derivamos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 117.0, "end": 122.0, "text": " Comenzamos con 3x al cuadrado, cuya derivada es 6x."}, {"start": 122.0, "end": 126.0, "text": " Menos derivada de 12x que nos da 12."}, {"start": 126.0, "end": 134.0, "text": " Y la derivada de menos 15 nos da 0, por ser la derivada de una constante."}, {"start": 134.0, "end": 144.0, "text": " Escribimos por ac\u00e1 en la parte superior la funci\u00f3n original, la primera derivada y la segunda derivada."}, {"start": 144.0, "end": 149.0, "text": " Que es lo que vamos a utilizar para este ejercicio."}, {"start": 149.0, "end": 154.0, "text": " Y vamos entonces al tercer paso."}, {"start": 154.0, "end": 163.0, "text": " Donde vamos a determinar los puntos cr\u00edticos de la funci\u00f3n."}, {"start": 163.0, "end": 175.0, "text": " Los puntos cr\u00edticos de una funci\u00f3n se definen como aquellos sitios de la gr\u00e1fica donde tenemos recta tangente horizontal."}, {"start": 175.0, "end": 181.0, "text": " Y se determinan igualando a 0 la primera derivada."}, {"start": 181.0, "end": 197.0, "text": " Entonces hacemos f' de x igual a 0, es decir la expresi\u00f3n 3x al cuadrado menos 12x menos 15 igual a 0."}, {"start": 197.0, "end": 207.0, "text": " Resolviendo esta ecuaci\u00f3n vamos a determinar las abscisas, es decir los valores en x de los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 207.0, "end": 215.0, "text": " Podr\u00edamos resolver esta ecuaci\u00f3n primero dividiendo todo entre 3."}, {"start": 215.0, "end": 219.0, "text": " Observamos que los n\u00fameros son todos m\u00faltiplos de 3."}, {"start": 219.0, "end": 224.0, "text": " Entonces podemos dividir por 3 para que nos queden n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os."}, {"start": 224.0, "end": 232.0, "text": " Nos queda entonces x cuadrado menos 4x menos 5 y esto igual a 0."}, {"start": 232.0, "end": 237.0, "text": " Al otro lado tambi\u00e9n 0 se divide entre 3 y nos da 0."}, {"start": 237.0, "end": 242.0, "text": " Tenemos entonces una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 242.0, "end": 245.0, "text": " Vamos a resolver por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 245.0, "end": 254.0, "text": " Este trinomio se puede factorizar utilizando el caso llamado trinomio de la forma x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " Repartimos la x en cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 257.0, "end": 271.0, "text": " Vamos con los signos m\u00e1s por menos nos da menos, menos por menos nos da m\u00e1s y buscamos los n\u00fameros que multiplicados de menos 5 y que sumados entre s\u00ed nos den menos 4."}, {"start": 271.0, "end": 276.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos 5 y 1."}, {"start": 276.0, "end": 280.0, "text": " A continuaci\u00f3n utilizamos el teorema del factor nulo."}, {"start": 280.0, "end": 297.0, "text": " Recordemos que ese teorema, teorema del factor nulo nos dice que si a por b es igual a 0, entonces a es igual a 0 o b es igual a 0."}, {"start": 297.0, "end": 310.0, "text": " Entonces aqu\u00ed decimos que x menos 5 es igual a 0 o x m\u00e1s 1 igual a 0."}, {"start": 310.0, "end": 313.0, "text": " Cada factor se iguala a 0."}, {"start": 313.0, "end": 316.0, "text": " Por ac\u00e1 despejamos x y nos da 5."}, {"start": 316.0, "end": 321.0, "text": " Por ac\u00e1 despejamos x y nos da menos 1."}, {"start": 321.0, "end": 336.0, "text": " Estas son entonces las abscisas de los puntos cr\u00edticos, es decir, los valores en x donde vamos a tener en esta curva recta tangente horizontal."}, {"start": 336.0, "end": 341.0, "text": " Vamos a escribirlos por aqu\u00ed."}, {"start": 341.0, "end": 351.0, "text": " De x igual a menos 1 y de x igual a 5, los valores en x donde hay puntos cr\u00edticos."}, {"start": 351.0, "end": 368.0, "text": " Y vamos ahora con el paso n\u00famero 4 que ser\u00e1 determinar d\u00f3nde la funci\u00f3n es creciente y d\u00f3nde es decreciente."}, {"start": 368.0, "end": 372.0, "text": " Esto lo vamos a hacer con la primera derivada."}, {"start": 372.0, "end": 380.0, "text": " Vamos a analizar su signo y de esa manera determinamos si la funci\u00f3n es creciente o decreciente."}, {"start": 380.0, "end": 383.0, "text": " El criterio es el siguiente."}, {"start": 383.0, "end": 395.0, "text": " Si la primera derivada es positiva en un intervalo, entonces la funci\u00f3n es creciente en dicho intervalo."}, {"start": 395.0, "end": 407.0, "text": " Si la primera derivada es negativa en un intervalo, entonces la funci\u00f3n es decreciente en dicho intervalo."}, {"start": 407.0, "end": 414.0, "text": " Para hacer ese an\u00e1lisis de la primera derivada vamos a factorizarla."}, {"start": 414.0, "end": 418.0, "text": " En este caso podemos sacar factor com\u00fan 3."}, {"start": 418.0, "end": 423.0, "text": " Nos queda factor de x cuadrado menos 4x menos 5."}, {"start": 423.0, "end": 433.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos factorizar este trinomio tal como vimos ahora en la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 433.0, "end": 445.0, "text": " Recordemos que eso nos dio x menos x m\u00e1s, dos n\u00fameros que multiplicados de menos 5 y que sumados de menos 4 son menos 5 y 1."}, {"start": 445.0, "end": 454.0, "text": " Recordemos esto porque lo que viene a continuaci\u00f3n resulta m\u00e1s sencillo si tenemos la expresi\u00f3n factorizada."}, {"start": 454.0, "end": 460.0, "text": " Comenzamos dibujando una recta que represente el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 460.0, "end": 469.0, "text": " Y recordemos que hab\u00edamos dicho que para esa funci\u00f3n el dominio son los x pertenecientes a los n\u00fameros reales."}, {"start": 469.0, "end": 484.0, "text": " Sobre esta recta vamos a ubicar el valor menos 1, supongamos que est\u00e1 por aqu\u00ed, y tambi\u00e9n el valor 5, es decir, las abscisas de los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 484.0, "end": 492.0, "text": " Por aqu\u00ed tendremos el punto cr\u00edtico 1 en menos 1 y el punto cr\u00edtico 2 en 5."}, {"start": 492.0, "end": 509.0, "text": " Trazamos estas l\u00edneas verticales por donde tenemos los puntos cr\u00edticos y de esa manera se determinan tres intervalos donde vamos a analizar el signo de la primera derivada."}, {"start": 509.0, "end": 515.0, "text": " Y para eso seleccionamos valores de cada intervalo, lo que se llaman valores de prueba."}, {"start": 515.0, "end": 523.0, "text": " Entonces del primero seleccionamos cualquier n\u00famero real comprendido entre menos 1 y menos infinito."}, {"start": 523.0, "end": 526.0, "text": " Podr\u00edamos escoger el menos 3."}, {"start": 526.0, "end": 533.0, "text": " Del segundo intervalo, escogemos un n\u00famero real comprendido entre menos 1 y 5."}, {"start": 533.0, "end": 536.0, "text": " Podr\u00edamos tomar el 0."}, {"start": 536.0, "end": 544.0, "text": " Y del tercer intervalo, seleccionamos un n\u00famero real comprendido entre 5 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 544.0, "end": 548.0, "text": " En ese caso podr\u00edamos tomar el 7."}, {"start": 551.0, "end": 559.0, "text": " Cada uno de esos valores seleccionados lo vamos a reemplazar en la primera derivada."}, {"start": 559.0, "end": 573.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 tendremos f' de menos 3, por ac\u00e1 tendremos f' de 0 y por ac\u00e1 f' de 7."}, {"start": 573.0, "end": 582.0, "text": " Y lo que nos interesa analizar en cada caso es el signo que adopta la primera derivada."}, {"start": 582.0, "end": 587.0, "text": " Para ello vamos a determinar entonces el signo de cada uno de los factores."}, {"start": 587.0, "end": 592.0, "text": " Por este 3 no nos preocupamos porque siempre es una cantidad positiva."}, {"start": 592.0, "end": 599.0, "text": " Entonces vamos a ocuparnos de los factores que contienen la X."}, {"start": 599.0, "end": 602.0, "text": " Vamos a determinar su signo."}, {"start": 602.0, "end": 605.0, "text": " Comenzamos entonces con menos 3."}, {"start": 605.0, "end": 609.0, "text": " Por ac\u00e1, menos 3 menos 5 nos da menos 8."}, {"start": 609.0, "end": 612.0, "text": " Entonces aqu\u00ed el primer factor es negativo."}, {"start": 612.0, "end": 615.0, "text": " Vamos ac\u00e1 otra vez con menos 3."}, {"start": 615.0, "end": 619.0, "text": " Menos 3 m\u00e1s 1 nos da menos 2."}, {"start": 619.0, "end": 622.0, "text": " Anotamos como dec\u00edamos los signos."}, {"start": 622.0, "end": 628.0, "text": " No nos interesa tanto el resultado num\u00e9rico sino los signos."}, {"start": 628.0, "end": 635.0, "text": " De esa manera tendremos para este primer intervalo que la primera derivada es positiva."}, {"start": 635.0, "end": 638.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 638.0, "end": 643.0, "text": " En el segundo intervalo vamos a probar con X igual a 0."}, {"start": 643.0, "end": 647.0, "text": " Aqu\u00ed 0 menos 5 da menos 5, o sea negativo."}, {"start": 647.0, "end": 651.0, "text": " Y aqu\u00ed 0 m\u00e1s 1 nos da 1 positivo."}, {"start": 651.0, "end": 658.0, "text": " De esa manera tendremos en el segundo intervalo que la primera derivada es negativa."}, {"start": 658.0, "end": 661.0, "text": " Menos por m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 661.0, "end": 666.0, "text": " Y en el tercer intervalo probamos con X igual a 7."}, {"start": 666.0, "end": 670.0, "text": " Veamos, 7 menos 5 nos da 2 positivo."}, {"start": 670.0, "end": 674.0, "text": " 7 m\u00e1s 1 nos da 8 positivo."}, {"start": 674.0, "end": 681.0, "text": " De esa manera la primera derivada es positiva en el tercer intervalo."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " M\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 684.0, "end": 690.0, "text": " Y all\u00ed ya podemos decidir el comportamiento de la funci\u00f3n."}, {"start": 690.0, "end": 697.0, "text": " Para el primer intervalo donde la primera derivada es positiva tenemos que la funci\u00f3n es creciente."}, {"start": 697.0, "end": 703.0, "text": " En el segundo intervalo donde la derivada es negativa la funci\u00f3n es decreciente."}, {"start": 703.0, "end": 714.0, "text": " Y en el tercer intervalo donde la derivada es positiva entonces la funci\u00f3n es creciente."}, {"start": 714.0, "end": 723.0, "text": " Con eso que acabamos de determinar tambi\u00e9n podemos establecer la naturaleza de los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 723.0, "end": 725.0, "text": " Veamos para el caso del primero."}, {"start": 725.0, "end": 737.0, "text": " Si la funci\u00f3n crece y despu\u00e9s decrece entonces aqu\u00ed tendremos lo que se llama un m\u00e1ximo local o m\u00e1ximo relativo de la funci\u00f3n."}, {"start": 737.0, "end": 747.0, "text": " Y por ac\u00e1 en el punto cr\u00edtico 2 si la funci\u00f3n decrece y despu\u00e9s crece entonces tendremos un m\u00ednimo."}, {"start": 747.0, "end": 752.0, "text": " M\u00ednimo local o m\u00ednimo relativo de la funci\u00f3n."}, {"start": 752.0, "end": 755.0, "text": " Vamos a escribir entonces esa informaci\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 755.0, "end": 761.0, "text": " En la abscisa x igual a menos 1 tenemos un punto cr\u00edtico m\u00e1ximo."}, {"start": 761.0, "end": 768.0, "text": " Y en la abscisa x igual a 5 tendremos un punto cr\u00edtico m\u00ednimo."}, {"start": 768.0, "end": 772.0, "text": " Entonces hasta all\u00ed utilizamos la primera derivada."}, {"start": 772.0, "end": 781.0, "text": " Nos sirvi\u00f3 para determinar puntos cr\u00edticos y para determinar donde la funci\u00f3n crece y donde decrece."}, {"start": 781.0, "end": 785.0, "text": " Vamos ahora con el paso n\u00famero 5."}, {"start": 785.0, "end": 793.0, "text": " Aqu\u00ed se trata de encontrar donde la funci\u00f3n tiene lo que se llaman puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 793.0, "end": 799.0, "text": " Que son los puntos donde se presenta cambio de concavidad."}, {"start": 799.0, "end": 807.0, "text": " Para ello tomamos la segunda derivada y la igualamos a 0."}, {"start": 807.0, "end": 814.0, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la clave para encontrar los puntos de inflexi\u00f3n de una funci\u00f3n."}, {"start": 814.0, "end": 819.0, "text": " Vamos entonces con la segunda derivada que es 6x menos 12."}, {"start": 819.0, "end": 823.0, "text": " Al igualar a 0 tenemos una ecuaci\u00f3n de primer grado."}, {"start": 823.0, "end": 836.0, "text": " Entonces despejamos primero el t\u00e9rmino 6x, pasa el 12 positivo a la derecha, despejamos x, nos queda 12 dividido 6 de donde x es igual a 2."}, {"start": 836.0, "end": 848.0, "text": " De esa manera encontramos la abscisa, es decir el valor en x del punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 848.0, "end": 856.0, "text": " Como paso n\u00famero 6 vamos a determinar las concavidades de la funci\u00f3n."}, {"start": 856.0, "end": 864.0, "text": " Vamos a establecer donde la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia arriba y donde es c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 864.0, "end": 868.0, "text": " Y para ello el criterio es el siguiente."}, {"start": 868.0, "end": 878.0, "text": " Si en un intervalo la segunda derivada es positiva entonces tendremos que all\u00ed la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia arriba."}, {"start": 878.0, "end": 892.0, "text": " Si en un intervalo la segunda derivada es negativa entonces en ese intervalo la curva o la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 892.0, "end": 904.0, "text": " Entonces para determinar las concavidades trazamos una recta que simbolice el dominio de la funci\u00f3n, es decir todos los x pertenecientes a los reales."}, {"start": 904.0, "end": 915.0, "text": " Y sobre ella vamos a localizar el valor en x, es decir 2, donde tuvimos punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 915.0, "end": 931.0, "text": " Trazamos entonces esta l\u00ednea vertical por el valor x igual a 2 y de esa manera se determinan dos intervalos donde vamos a realizar el an\u00e1lisis del signo de la segunda derivada."}, {"start": 931.0, "end": 937.0, "text": " Entonces elegimos valores de prueba, valores de cada intervalo."}, {"start": 937.0, "end": 946.0, "text": " Del primero escogemos un n\u00famero real comprendido entre 2 y menos infinito, podr\u00edamos tomar el 0."}, {"start": 946.0, "end": 956.0, "text": " Y del segundo intervalo un n\u00famero real comprendido entre 2 y m\u00e1s infinito, vamos a seleccionar por ejemplo el 4."}, {"start": 956.0, "end": 962.0, "text": " Cada uno de esos n\u00fameros los vamos a probar en la segunda derivada."}, {"start": 962.0, "end": 970.0, "text": " Vamos a ver que signo adopta la segunda derivada para cada uno de ellos."}, {"start": 970.0, "end": 978.0, "text": " Veamos entonces con x igual a 0, por ac\u00e1 tenemos 6 por 0 nos da 0, 0 menos 12 nos da menos 12."}, {"start": 978.0, "end": 982.0, "text": " Nos interesa es el signo, es decir negativo."}, {"start": 982.0, "end": 987.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 tenemos segunda derivada negativa."}, {"start": 987.0, "end": 998.0, "text": " Vamos al siguiente intervalo, tenemos con x igual a 4 lo siguiente, 6 por 4 da 24, 24 menos 12 nos da 12 positivo."}, {"start": 998.0, "end": 1006.0, "text": " Entonces para el segundo intervalo tenemos que la segunda derivada tiene signo positivo."}, {"start": 1006.0, "end": 1016.0, "text": " Esto nos dice entonces que en el primer intervalo donde la segunda derivada es negativa la funci\u00f3n ser\u00e1 c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 1016.0, "end": 1027.0, "text": " Y en el siguiente intervalo donde la segunda derivada es positiva tendremos con cavidad hacia arriba."}, {"start": 1027.0, "end": 1040.0, "text": " Como s\u00e9ptimo paso vamos a determinar lo que se llaman los puntos principales de la funci\u00f3n."}, {"start": 1040.0, "end": 1049.0, "text": " Como hemos observado todo el an\u00e1lisis que se ha hecho nos ha producido valores de x, es decir abscisas."}, {"start": 1049.0, "end": 1061.0, "text": " Entonces ahora vamos a ir a la funci\u00f3n original, vamos a reemplazar en ella los valores de x obtenidos para obtener las ordenadas."}, {"start": 1061.0, "end": 1078.0, "text": " Recordemos que los valores de y o las ordenadas se obtienen reemplazando en la funci\u00f3n original y de esa manera tendremos los puntos o las parejas ordenadas que vamos a localizar en el plano cartesiano."}, {"start": 1078.0, "end": 1092.0, "text": " Hacemos entonces una tabla de valores y para x vamos a tomar los valores obtenidos, menos uno despu\u00e9s le sigue dos y despu\u00e9s cinco."}, {"start": 1092.0, "end": 1096.0, "text": " Tratamos de organizarlos en forma ascendente."}, {"start": 1096.0, "end": 1109.0, "text": " Ahora vamos a reemplazar cada uno de estos valores en la funci\u00f3n, eso ya lo hemos realizado en una calculadora cient\u00edfica y hemos obtenido los siguientes valores."}, {"start": 1109.0, "end": 1121.0, "text": " Para x igual a menos uno y vale 48, para x igual a 2 y vale menos 6 y para x igual a 5 y vale menos 60."}, {"start": 1121.0, "end": 1133.0, "text": " Entonces estos puntos son los que vamos a llevar al plano cartesiano y ser\u00e1n los puntos cr\u00edticos y el punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 1133.0, "end": 1156.0, "text": " Por aqu\u00ed escribimos esas parejas ordenadas y algo adicional que podemos hacer para darle m\u00e1s precisi\u00f3n a la gr\u00e1fica en el plano cartesiano es encontrar los cortes o intersecciones de la funci\u00f3n con los ejes coordenados."}, {"start": 1156.0, "end": 1170.0, "text": " Entonces el corte o intersecci\u00f3n con el eje y recordemos que se obtiene haciendo x igual a cero."}, {"start": 1170.0, "end": 1186.0, "text": " Entonces si en esta funci\u00f3n x vale cero, esos t\u00e9rminos se nos van y nos queda y igual a 40. Entonces tendremos corte en el eje y en la ordenada 40."}, {"start": 1186.0, "end": 1212.0, "text": " Si vamos a hallar los cortes con el eje x, entonces hacemos y igual a cero. En ese caso tenemos esta expresi\u00f3n x al cubo menos 6x cuadrado menos 15x m\u00e1s 40 igual a cero."}, {"start": 1212.0, "end": 1225.0, "text": " Una ecuaci\u00f3n c\u00fabica. Esa ecuaci\u00f3n la hemos resuelto tambi\u00e9n en una calculadora cient\u00edfica y hemos obtenido los siguientes resultados."}, {"start": 1225.0, "end": 1246.0, "text": " x igual a menos 3.1, x igual a 1.8 y x igual a 7.3 ser\u00edan entonces las tres abscisas donde la curva intersecta o corta al eje x."}, {"start": 1246.0, "end": 1262.0, "text": " Por aqu\u00ed hemos anotado esa informaci\u00f3n. y intersecto en 40, x intersecto en los tres valores que encontramos al solucionar la ecuaci\u00f3n c\u00fabica."}, {"start": 1262.0, "end": 1271.0, "text": " Y como paso final vamos entonces a construir la gr\u00e1fica en el plano cartesiano."}, {"start": 1271.0, "end": 1283.0, "text": " All\u00ed lo tenemos dibujado con escalas apropiadas para poder localizar los valores y los puntos obtenidos."}, {"start": 1283.0, "end": 1304.0, "text": " Entonces comenzamos con el punto menos 1,48. Cuando x vale menos 1 subimos hasta 48. Aqu\u00ed tenemos 50 entonces un poco m\u00e1s abajo tenemos la localizaci\u00f3n de este primer punto que corresponde al punto cr\u00edtico 1."}, {"start": 1304.0, "end": 1316.0, "text": " Vamos a colocarle por aqu\u00ed p1, punto cr\u00edtico 1 que ya lo tenemos localizado. Vamos ahora con el punto 2,6."}, {"start": 1316.0, "end": 1328.0, "text": " Entonces aqu\u00ed estamos en x igual a 2 y bajamos hasta menos 6 que es aproximadamente por ac\u00e1. Este valor ser\u00eda menos 10 entonces aqu\u00ed es menos 6."}, {"start": 1328.0, "end": 1340.0, "text": " Tenemos entonces all\u00ed el punto de inflexi\u00f3n. Recordemos que en x igual a 2 hab\u00edamos determinado el punto de inflexi\u00f3n de la curva."}, {"start": 1340.0, "end": 1361.0, "text": " Vamos ahora con el punto 5, menos 60. Nos ubicamos aqu\u00ed en 5 y bajamos hasta menos 60 y de esa manera tenemos localizado el punto cr\u00edtico 2 de esta funci\u00f3n."}, {"start": 1361.0, "end": 1388.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a localizar los cortes con los ejes. Corte con el eje y ocurre en la ordenada 40 y los cortes con el eje x ocurren en las abscisas menos 3,1, 1,8 por aqu\u00ed m\u00e1s o menos y 7,3 que es por ac\u00e1."}, {"start": 1388.0, "end": 1407.0, "text": " Entonces tenemos 3 puntos de corte con el eje x y enseguida vamos a dibujar la curva que pase por estos puntos. Vamos a trazar una curva suave y para ello se recomienda utilizar el curv\u00edgrafo."}, {"start": 1407.0, "end": 1426.0, "text": " All\u00ed tenemos la primera parte de la curva pasa por el punto de corte menos 3,1 en el eje x y por el primer punto cr\u00edtico. Vemos que es una porci\u00f3n creciente de la funci\u00f3n."}, {"start": 1426.0, "end": 1442.0, "text": " Recordemos que hab\u00edamos dicho en el an\u00e1lisis en el punto 4 que de menos infinito hasta menos 1, es decir hasta el primer punto cr\u00edtico la funci\u00f3n era creciente."}, {"start": 1442.0, "end": 1450.0, "text": " All\u00ed la primera derivada nos dio positiva. Entonces all\u00ed podemos observar ese comportamiento."}, {"start": 1450.0, "end": 1470.0, "text": " Vemos ahora otra parte de la curva. Inicia aqu\u00ed en el punto cr\u00edtico 1, pasa por el punto de corte con el eje y, pasa por el punto de corte con el eje x, el que tenemos en 1,8 y llega al punto de inflexi\u00f3n, al punto 2,-6."}, {"start": 1470.0, "end": 1484.0, "text": " All\u00ed podemos observar como la curva esconcava hacia abajo desde menos infinito hasta 2, que fue lo que obtuvimos del an\u00e1lisis en el punto 6."}, {"start": 1484.0, "end": 1503.0, "text": " Dibujamos la otra parte de la curva, va desde el punto de inflexi\u00f3n hasta el punto cr\u00edtico 2. All\u00ed puede apreciarse como la funci\u00f3n es decreciente desde x igual a menos 1 hasta x igual a 5."}, {"start": 1503.0, "end": 1515.0, "text": " En esa zona la funci\u00f3n presenta primera derivada negativa tal como lo vimos en el an\u00e1lisis del punto 4."}, {"start": 1515.0, "end": 1538.0, "text": " Finalmente trazamos esta parte de la curva, va desde el punto cr\u00edtico 2, pasando por el corte con el eje x que ocurre en 7,3. Entonces por ac\u00e1 tenemos que la funci\u00f3n contin\u00faa subiendo, es decir, los valores en y se van hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1538.0, "end": 1553.0, "text": " Y por ac\u00e1 si continuamos hacia la izquierda entonces la funci\u00f3n seguir\u00e1 bajando. La curva har\u00e1 tendencia en los valores de y hacia menos infinito."}, {"start": 1553.0, "end": 1578.0, "text": " Entonces vemos como con derivadas hemos realizado el an\u00e1lisis de esta funci\u00f3n y hemos llegado a la construcci\u00f3n de su gr\u00e1fica. Tenemos entonces como puntos principales el punto cr\u00edtico 1, que como dec\u00edamos es un m\u00e1ximo local o m\u00e1ximo relativo de la funci\u00f3n."}, {"start": 1578.0, "end": 1593.0, "text": " Punto cr\u00edtico 2, que es un punto m\u00ednimo, m\u00ednimo local o m\u00ednimo relativo de la funci\u00f3n. Aqu\u00ed como dec\u00edamos son puntos cr\u00edticos porque tenemos recta tangente horizontal."}, {"start": 1593.0, "end": 1615.0, "text": " Esa es la raz\u00f3n de ser de los puntos cr\u00edticos. Y tambi\u00e9n tenemos el punto de inflexi\u00f3n que es donde se presenta cambio de concavidad. Vemos que la funci\u00f3n aqu\u00ed es c\u00f3ncava hacia abajo desde menos infinito hasta 2 y luego cambia su concavidad hacia arriba desde 2 hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1615.0, "end": 1634.0, "text": " Tambi\u00e9n el comportamiento creciente y decreciente de la funci\u00f3n. Creciente desde menos infinito hasta menos 1, decreciente desde menos 1 hasta 5 y nuevamente creciente desde 5 hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 1634.0, "end": 1655.0, "text": " Ya teniendo la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n es posible determinar el rango de la misma. Aqu\u00ed observamos como todos los valores del eje y, todos los valores reales que se encuentran sobre este eje tienen participaci\u00f3n en la funci\u00f3n."}, {"start": 1655.0, "end": 1668.0, "text": " Adem\u00e1s que ella, como dec\u00edamos, aqu\u00ed sigue hacia abajo y aqu\u00ed va hacia arriba. Entonces le da participaci\u00f3n a todos los valores reales del eje y. Se escribe entonces as\u00ed."}, {"start": 1668.0, "end": 1681.0, "text": " Rango de la funci\u00f3n, los valores de y pertenecientes a los n\u00fameros reales. Entonces para esta funci\u00f3n c\u00fabica el dominio y el rango son todos los reales."}, {"start": 1681.0, "end": 1695.0, "text": " Bien, de esta manera finalizamos este ejercicio donde utilizando derivadas hemos llegado a la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n mostrando sus elementos principales."}]