LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver el límite de una función algebraica.

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 Vamos a resolver este límite donde necesitamos averiguar qué le sucede a esta función cuando x se aproxima a 0. Lo primero que tenemos que hacer es evaluar esta expresión en este número, es decir que vamos a reemplazar x por el número 0. Entonces escribimos la expresión y donde tenemos la letra x vamos a sustituir allí el número 0 y vamos a resolver esas operaciones. Aquí tenemos 0 más 2 que nos da como resultado 2, entonces escribimos ese resultado y tenemos acá en el numerador 1 medio menos 1 medio que nos da 0. Y en el denominador también tenemos 0. Llegamos entonces a lo que se conoce en cálculo como una indeterminación o también conocida como forma indeterminada. 0 sobre 0 no es un resultado aceptable para un límite, entonces esto constituye una señal de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esta expresión para superar este inconveniente. Lo que vamos a hacer en esta ocasión es resolver todas estas operaciones. Entonces tenemos límite cuando x tiende a 0 y acá en el numerador vamos a efectuar la resta de fracciones que observamos allí. Es una resta de fracciones heterogéneas, o sea fracciones con distinto denominador. Vamos a recordar cómo se hace eso. Aquí tenemos dos fracciones heterogéneas, entonces hacemos lo siguiente, abajo multiplicamos los denominadores b por d, arriba tenemos a por d y esto menos b por c. Esto es lo que se conoce con el nombre de la carita feliz. Veamos b por d, aquí tenemos eso en el denominador, a por d este componente y b por c el otro componente. Por la forma de esas líneas se dice que esto es el método de la carita feliz. Entonces vamos a utilizarlo para resolver esa resta. Aquí tenemos x más 2 por 2, entonces escribimos x más 2 entre paréntesis porque eso va a multiplicar con 2. Acá tenemos 1 por 2 que es 2 menos x más 2 por 1 que nos da como resultado x más 2. También se requiere proteger con paréntesis x más 2 porque es una expresión que está precedida de signo negativo. Y todo esto nos queda sobre x. Vamos a continuar el ejercicio por acá donde tenemos límite cuando x tiende a 0. Y aquí vamos a destruir el paréntesis, nos queda entonces 2 menos x menos 2. El signo negativo se distribuye y nos cambia los signos de estos dos términos, ambos quedan negativos. Eso nos queda sobre x más 2 por 2, dejamos esa expresión intacta, no es necesario desarrollar ese producto. Y todo eso lo tenemos a su vez sobre x. Vamos a continuar acá, tenemos límite cuando x tiende a 0. Y acá vamos a efectuar la operación de estos dos números, 2 menos 2 nos da como resultado 0. O sea que podemos eliminar esos números. Nos queda únicamente menos x sobre x más 2 por 2 y todo eso sobre x. Aquí vamos a escribirle denominador 1 a esta x que tenemos debajo de la línea principal. Vamos a continuar por acá, tendremos límite cuando x tiende a 0. Y vamos a aplicar lo que se conoce como la ley de la oreja o también el producto de extremos y el producto de medios. La parte externa, es decir, menos x por 1 se escribe en el numerador de la fracción. Eso nos da como resultado menos x. Y acá en el denominador escribimos la multiplicación de los componentes que están en medio, o sea la multiplicación de los medios. Eso nos queda entonces, x más 2 por 2 y eso por x. Aquí podemos hacer un cambio con menos x. Podemos escribir esto como menos 1 por x. Es exactamente lo mismo y se observa que es posible cancelar esta x. Esta x constituye en el ejercicio el elemento problema. Era el causante del 0 sobre 0 que veíamos al comienzo. Como x tiende a 0, entonces aquí tenemos el que estaba ocasionando 0 en el numerador y 0 en el denominador. Entonces tendremos límite cuando x tiende a 0 de menos 1 sobre x más 2 por 2. Como aquí ya tenemos la tranquilidad de haber eliminado el causante del 0 sobre 0, entonces procedemos a evaluar esta expresión cuando x toma el valor 0. Eso nos queda menos 1 sobre 0 más 2 es 2 y 2 por 2 es 4. Entonces menos 1 cuarto será el resultado de este ejercicio. Significa que cuando en esta función x se aproxima o tiende al valor 0, entonces los valores de y, o sea los valores de la función tienden al valor menos 1 cuarto.
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