INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida, utilizando el Método de las Fracciones Parciales.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Para resolver esta integral indefinida comenzamos analizando esta expresión que tenemos en el integrando. Se trata de una función racional, donde el numerador es un polinomio de grado 2 y el denominador es un polinomio de grado 3. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, se dice que es una fracción algebraica propia. Eso nos indica que no hay necesidad de efectuar la división de polinomios. Como se observa, no es posible resolver esa integral en forma directa. Entonces vamos a recurrir a los métodos de integración. Podemos iniciar intentando el método de sustitución para ver si se cumple esta propiedad. Si tenemos en el integrando una expresión de esta forma, donde en el numerador tenemos la derivada de lo que hay en el denominador, esto nos dará el logaritmo natural del valor absoluto de la expresión que tenemos en el denominador. Es, digamos, una fórmula que se demuestra por el método de sustitución. Entonces vamos a intentar tomando el denominador, por ejemplo llamándolo P. Entonces P es igual a x al cubo menos 4x al cuadrado más 4x. Y nos damos cuenta si esto funciona haciendo la derivada de esa expresión, derivada de P con respecto a x. Nos da 3x al cuadrado menos la derivada de este término que sería 8x y luego más la derivada de 4x que sería 4. Analizamos si esta expresión se parece o contiene lo que tenemos en el numerador. Vemos que no es así. Entonces descartamos que se pueda efectuar por este camino, es decir, utilizando el método de sustitución. Lo que vamos a intentar es el método de las fracciones parciales. Vamos a ver si el integrando se puede descomponer en expresiones más sencillas que se puedan integrar de manera individual. Tenemos entonces en el numerador x al cuadrado más 3x menos 4. Y en el denominador vamos a factorizar esa expresión. En principio vemos que la x está en todos los términos. Entonces podemos extraer la x como factor común. Si sacamos x nos queda x al cuadrado menos 4x más 4. Y ahora vamos a factorizar ese trinomio. Entonces nos queda en el numerador x al cuadrado más 3x menos 4. Y en el denominador x por, veamos, como tenemos aquí un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, miramos si se pueden abrir dos paréntesis, repartir la x en cada uno de ellos, cuadramos los signos, más por menos nos da menos, menos por más nos da menos. Buscamos dos números que multiplicados nos den 4 positivo y que al sumarlos nos de menos 4. Esos números son menos 2 y menos 2. Esto se puede expresar como x menos 2 al cuadrado. Es allí cuando nos damos cuenta que esto es un trinomio cuadrado perfecto. Su factorización nos da ese binomio al cuadrado. Entonces de esta manera ya tenemos factorizado completamente el denominador de la expresión. En seguida vamos a configurar las fracciones parciales para esta expresión. Entonces tendremos una fracción con denominador x, otra con denominador x menos 2 y otra con denominador x menos 2 al cuadrado. Para el caso de esa expresión que está al cuadrado, entonces debemos ir ascendiendo poco a poco hasta llegar al exponente que tenemos allí. Comenzamos entonces con x menos 2 elevado al exponente 1 y después esa expresión elevada al exponente 2. Ahora para saber que escribimos en el numerador, vamos a derivar lo que tenemos en el denominador. Aclaramos que en este caso se considera únicamente lo que está en la base. No se mira en conjunto, sino solamente la expresión x menos 2. Vemos que en los tres casos la derivada de eso que hemos señalado nos da 1, es decir, una constante. Esto nos indica que en los numeradores deben ir constantes, que simbolizamos con las letras A, B y C. Nuestra tarea será ahora encontrar los valores de esas letras. Entonces vamos a comenzar por resolver esa operación de fraccionarios. Trazamos entonces esta línea, buscamos el común denominador de estas expresiones. Entonces escogemos la x y para estas dos escogemos la de mayor exponente, x menos 2 al cuadrado. Allí nos aparece esta misma expresión. Veamos entonces si dividimos esto entre esto nos queda x menos 2 al cuadrado y eso multiplica con A. Entonces A por x menos 2 al cuadrado. Después tenemos más, esto dividido entre esto nos quedará x por x menos 2 y eso lo multiplicamos por B. Entonces nos queda Bx por x menos 2. Y pasamos acá donde dividimos esto entre esto nos queda x y eso multiplica con C. Entonces acá escribimos C por x. Si esto lo escribimos acá, tenemos entonces la igualdad de dos fracciones con el mismo denominador. Eso nos permite deshacernos de estas expresiones y nos vamos a concentrar solamente en la igualdad de los numeradores. Nos queda entonces así. Esto se escribe otra vez, x al cuadrado más 3x menos 4 y acabamos a ir desarrollando esas operaciones. Comenzamos expandiendo este binomio al cuadrado. Nos queda el primer término al cuadrado menos dos veces el primer término por el segundo, eso nos da 4x más el segundo término al cuadrado que nos da 4. Después aplicamos aquí la propiedad distributiva. Nos queda más Bx por x es Bx al cuadrado y Bx por menos 2 nos da menos 2Bx y todo esto más Cx. Repetimos lo que hay en el lado izquierdo y acá vamos a distribuir la letra A para esa expresión. A por x cuadrado nos queda Ax al cuadrado, A por menos 4x es menos 4Ax y A por más 4 nos da más 4A. Esto queda igual, más Bx cuadrado menos 2Bx más Cx. De nuevo esto queda igual y aquí vamos a organizar ese polinomio en forma descendente. Comenzamos entonces con los términos que tienen x al cuadrado, va ese término después este, luego los que tienen la x preferiblemente comenzando con un término positivo. Vemos que en ese caso el que cumple esa condición es más Cx, entonces más Cx, después menos 4Ax y luego menos 2Bx. Y por último miramos si hay término independiente, vemos que sí es el término más 4A, aquel que no tiene la x. Allí podemos hacer tranquilamente la agrupación de términos, aquellos que contienen x al cuadrado y aquellos que contienen la x, por eso decíamos que aquí es conveniente iniciar con un término positivo para colocar el paréntesis sin necesidad de cambiar los signos del interior. Entonces ahora extraemos factor común de esos grupos que formamos, en el primer grupo podemos extraer x al cuadrado, pero vamos a extraerla por acá, entonces nos queda dentro del paréntesis A más B. Luego vamos al siguiente grupo donde vamos a extraer la x que está en todos los términos, la escribimos aquí a la derecha y dentro del paréntesis nos queda C menos 4A y luego menos 2B y escribimos el término independiente que es más 4A. Allí vemos que las dos expresiones tienen la misma estructura, vemos el término con x al cuadrado, el término con x y el término independiente. Entonces vamos a igualar los componentes respectivos, entonces aparece una primera igualdad que será A más B, es decir el coeficiente de x al cuadrado en el lado derecho igual con 1 que es el coeficiente de x al cuadrado en el lado izquierdo. Vamos ahora con esta expresión C menos 4A y eso menos 2B que es el coeficiente de x en el lado derecho y eso lo igualamos con el coeficiente de x en el lado izquierdo, es decir con 3. Finalmente igualamos el término independiente en el lado derecho que es 4A con el término independiente en el lado izquierdo que es menos 4. Nos aparece así un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, tres ecuaciones con tres incógnitas. Vamos a comenzar resolviendo lo que hay en la expresión 3 que está fácil, de allí podemos despejar la letra A, 4 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda así y resolviendo esa división nos da como resultado menos 1, entonces digamos que aquí ya se conoce el valor de A, A es menos 1. Conociendo ese valor podemos ir a la expresión 1 para averiguar B, veamos entonces como nos queda, A se reemplaza por menos 1 eso nos queda más B igual a 1 y de allí despejamos la letra B nos queda 1 más 1, pasamos este término positivo al lado derecho y efectuando esa operación nos da que B es igual a 2, entonces aquí reemplazamos ese valor, solamente nos falta hallar el valor de C y eso lo hacemos en la expresión 2, vamos a reemplazar los valores de A y B que ya conocemos, nos queda C menos 4 por el valor de A que es menos 1, menos 2 por el valor de B que nos dio 2 y todo eso igual a 3, resolvemos esas operaciones, nos queda C aquí menos 4 por menos 1 es más 4, menos 2 por 2 es menos 4 y todo esto igual a 3, allí estos dos términos se cancelan, esto nos da 0 y entonces nos queda que C es igual a 3, reemplazamos entonces ese valor por acá, como se observa ya tenemos los valores de A, B y C y con ello conocemos las fracciones parciales de la expresión que tenemos en el integrando, si efectuamos toda esta operación nos da esto que tenemos acá, entonces como nuestro objetivo es integrar esa expresión vamos a integrar esto que nos dio y como están sumando esas fracciones se puede integrar cada una de ellas, comenzamos entonces con la integral de la primera donde podemos extraer el signo menos, nos quedaría así menos y acá dentro de la integral 1 sobre x con su respectivo diferencial de x, vamos ahora con la integral de la segunda fracción donde podemos extraer el 2 que está en el numerador, nos queda 2 por la integral de 1 sobre x menos 2 y eso con su diferencial de x, finalmente tenemos la integral de la tercera fracción donde podemos extraer el 3 que va en el numerador, nos queda 3 por la integral de 1 sobre entre paréntesis x menos 2 al cuadrado y eso con su diferencial de x, como se observa aquí ya tenemos integrales sencillas vamos a resolver cada una de ellas, vamos con la primera donde escribimos el menos y la integral de 1 sobre x recordemos que es logaritmo natural de valor absoluto de x, vamos a la siguiente donde aseguramos el 2 y la integral de 1 sobre x menos 2 la resolvemos con este modelo, la integral de 1 sobre x más a con su diferencial de x es igual a logaritmo natural de valor absoluto de x más a es una integral que se demuestra por el método de sustitución cambiando x más a por otra letra, en este caso a está representada por menos 2 entonces simplemente nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2, para el caso de la tercera integral hacemos lo siguiente, nos queda así integral de x menos 2 esto elevado al exponente menos 2 con el diferencial de x subimos esa expresión al numerador y nos queda con exponente negativo continuamos con el desarrollo del ejercicio nos queda menos logaritmo natural de valor absoluto de x aquí podemos aplicar una propiedad de los logaritmos recordemos que si se tiene logaritmo natural de a elevada al exponente b eso es igual a b por logaritmo natural de a el exponente baja a multiplicar pero podemos devolvernos es decir esta cantidad puede situarse aquí como exponente en el argumento luego acá nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 y esto al cuadrado el 2 entra al valor absoluto como exponente de x menos 2 y vamos a resolver esta integral allí utilizamos el siguiente modelo la integral de x más a a la n con su diferencial de x será x más a a la n más 1 sobre n más 1 también se demuestra por sustitución cambiando x más a por otra letra entonces vemos que esta integral se ajusta perfectamente a ese modelo nos quedaría entonces x menos 2 a la menos 2 más 1 que es menos 1 y esto sobre menos 2 más 1 que es menos 1 y aquí aparece por primera vez la constante de integración allí ya hemos cumplido con el objetivo de integrar esa función racional todo esto es su antiderivada sin embargo vamos a organizar esa expresión para que nos quede de una forma más simple comenzamos escribiendo este término logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 al cuadrado luego este menos logaritmo natural de valor absoluto de x y vamos a organizar este término aquí este 1 puede desaparecer pero el menos interactúa con este más y nos queda signo menos queda 3 acompañado de x menos 2 y esto elevado al exponente menos 1 y todo eso más c con esta resta de logaritmos podemos aplicar la siguiente propiedad si tenemos el logaritmo natural de un cociente a sobre b esto es igual al logaritmo natural de a menos logaritmo natural de b pero podemos aplicar esta propiedad en sentido contrario es decir pasar de la resta de logaritmos al logaritmo de un cociente entonces aplicamos eso acá nos quedaría logaritmo natural de trazamos la línea para el cociente en el numerador tendremos valor absoluto de x menos 2 al cuadrado y en el denominador valor absoluto de x y pasamos ahora al otro término que nos queda menos 3 sobre x menos 2 que nos quedaría simplemente así porque baja al denominador con exponente 1 positivo propiedad de la potenciación propiedad del exponente negativo y todo esto más la constante de integración finalmente aplicamos aquí una propiedad del valor absoluto valor absoluto de un cociente a sobre b es igual a valor absoluto de a sobre valor absoluto de b pero también podemos aplicar esta propiedad en sentido contrario por lo tanto nos quedará logaritmo natural de un solo valor absoluto que contiene en su interior ese cociente en el numerador x menos 2 al cuadrado y en el denominador x y todo esto menos 3 sobre x menos 2 más la constante de integración de esta manera terminamos esta expresión es la forma más simple para la antiderivada o la integral de esa función racional que resolvimos por el método de las fracciones parciales.
[{"start": 0.0, "end": 9.700000000000001, "text": " Para resolver esta integral indefinida comenzamos analizando esta expresi\u00f3n que tenemos en"}, {"start": 9.700000000000001, "end": 16.18, "text": " el integrando. Se trata de una funci\u00f3n racional, donde el numerador es un polinomio de grado"}, {"start": 16.18, "end": 22.38, "text": " 2 y el denominador es un polinomio de grado 3. Como el grado del numerador es menor que"}, {"start": 22.38, "end": 28.68, "text": " el grado del denominador, se dice que es una fracci\u00f3n algebraica propia. Eso nos indica"}, {"start": 28.68, "end": 35.2, "text": " que no hay necesidad de efectuar la divisi\u00f3n de polinomios. Como se observa, no es posible"}, {"start": 35.2, "end": 42.0, "text": " resolver esa integral en forma directa. Entonces vamos a recurrir a los m\u00e9todos de integraci\u00f3n."}, {"start": 42.0, "end": 49.239999999999995, "text": " Podemos iniciar intentando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n para ver si se cumple esta propiedad. Si tenemos"}, {"start": 49.239999999999995, "end": 56.519999999999996, "text": " en el integrando una expresi\u00f3n de esta forma, donde en el numerador tenemos la derivada"}, {"start": 56.52, "end": 62.0, "text": " de lo que hay en el denominador, esto nos dar\u00e1 el logaritmo natural del valor absoluto"}, {"start": 62.0, "end": 67.2, "text": " de la expresi\u00f3n que tenemos en el denominador. Es, digamos, una f\u00f3rmula que se demuestra"}, {"start": 67.2, "end": 72.56, "text": " por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Entonces vamos a intentar tomando el denominador, por ejemplo"}, {"start": 72.56, "end": 81.5, "text": " llam\u00e1ndolo P. Entonces P es igual a x al cubo menos 4x al cuadrado m\u00e1s 4x. Y nos damos"}, {"start": 81.5, "end": 88.32, "text": " cuenta si esto funciona haciendo la derivada de esa expresi\u00f3n, derivada de P con respecto"}, {"start": 88.32, "end": 97.52, "text": " a x. Nos da 3x al cuadrado menos la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda 8x y luego m\u00e1s"}, {"start": 97.52, "end": 104.44, "text": " la derivada de 4x que ser\u00eda 4. Analizamos si esta expresi\u00f3n se parece o contiene lo"}, {"start": 104.44, "end": 110.38, "text": " que tenemos en el numerador. Vemos que no es as\u00ed. Entonces descartamos que se pueda"}, {"start": 110.38, "end": 116.6, "text": " efectuar por este camino, es decir, utilizando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Lo que vamos a"}, {"start": 116.6, "end": 123.44, "text": " intentar es el m\u00e9todo de las fracciones parciales. Vamos a ver si el integrando se puede descomponer"}, {"start": 123.44, "end": 130.01999999999998, "text": " en expresiones m\u00e1s sencillas que se puedan integrar de manera individual. Tenemos entonces"}, {"start": 130.01999999999998, "end": 138.35999999999999, "text": " en el numerador x al cuadrado m\u00e1s 3x menos 4. Y en el denominador vamos a factorizar"}, {"start": 138.36, "end": 143.98000000000002, "text": " esa expresi\u00f3n. En principio vemos que la x est\u00e1 en todos los t\u00e9rminos. Entonces podemos"}, {"start": 143.98000000000002, "end": 153.02, "text": " extraer la x como factor com\u00fan. Si sacamos x nos queda x al cuadrado menos 4x m\u00e1s 4."}, {"start": 153.02, "end": 159.32000000000002, "text": " Y ahora vamos a factorizar ese trinomio. Entonces nos queda en el numerador x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 159.32, "end": 169.07999999999998, "text": " 3x menos 4. Y en el denominador x por, veamos, como tenemos aqu\u00ed un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 169.07999999999998, "end": 176.74, "text": " bx m\u00e1s c, miramos si se pueden abrir dos par\u00e9ntesis, repartir la x en cada uno de ellos, cuadramos"}, {"start": 176.74, "end": 182.04, "text": " los signos, m\u00e1s por menos nos da menos, menos por m\u00e1s nos da menos. Buscamos dos n\u00fameros"}, {"start": 182.04, "end": 188.22, "text": " que multiplicados nos den 4 positivo y que al sumarlos nos de menos 4. Esos n\u00fameros"}, {"start": 188.22, "end": 194.42, "text": " son menos 2 y menos 2. Esto se puede expresar como x menos 2 al cuadrado. Es all\u00ed cuando"}, {"start": 194.42, "end": 201.32, "text": " nos damos cuenta que esto es un trinomio cuadrado perfecto. Su factorizaci\u00f3n nos da ese binomio"}, {"start": 201.32, "end": 207.57999999999998, "text": " al cuadrado. Entonces de esta manera ya tenemos factorizado completamente el denominador de"}, {"start": 207.57999999999998, "end": 214.62, "text": " la expresi\u00f3n. En seguida vamos a configurar las fracciones parciales para esta expresi\u00f3n."}, {"start": 214.62, "end": 223.46, "text": " Entonces tendremos una fracci\u00f3n con denominador x, otra con denominador x menos 2 y otra con"}, {"start": 223.46, "end": 232.56, "text": " denominador x menos 2 al cuadrado. Para el caso de esa expresi\u00f3n que est\u00e1 al cuadrado,"}, {"start": 232.56, "end": 237.62, "text": " entonces debemos ir ascendiendo poco a poco hasta llegar al exponente que tenemos all\u00ed."}, {"start": 237.62, "end": 243.64000000000001, "text": " Comenzamos entonces con x menos 2 elevado al exponente 1 y despu\u00e9s esa expresi\u00f3n elevada"}, {"start": 243.64, "end": 250.42, "text": " al exponente 2. Ahora para saber que escribimos en el numerador, vamos a derivar lo que tenemos"}, {"start": 250.42, "end": 255.35999999999999, "text": " en el denominador. Aclaramos que en este caso se considera \u00fanicamente lo que est\u00e1 en la"}, {"start": 255.35999999999999, "end": 260.91999999999996, "text": " base. No se mira en conjunto, sino solamente la expresi\u00f3n x menos 2. Vemos que en los"}, {"start": 260.91999999999996, "end": 267.5, "text": " tres casos la derivada de eso que hemos se\u00f1alado nos da 1, es decir, una constante. Esto nos"}, {"start": 267.5, "end": 274.58, "text": " indica que en los numeradores deben ir constantes, que simbolizamos con las letras A, B y C."}, {"start": 274.58, "end": 279.98, "text": " Nuestra tarea ser\u00e1 ahora encontrar los valores de esas letras. Entonces vamos a comenzar"}, {"start": 279.98, "end": 287.02, "text": " por resolver esa operaci\u00f3n de fraccionarios. Trazamos entonces esta l\u00ednea, buscamos el"}, {"start": 287.02, "end": 293.64, "text": " com\u00fan denominador de estas expresiones. Entonces escogemos la x y para estas dos escogemos"}, {"start": 293.64, "end": 300.97999999999996, "text": " la de mayor exponente, x menos 2 al cuadrado. All\u00ed nos aparece esta misma expresi\u00f3n. Veamos"}, {"start": 300.97999999999996, "end": 306.38, "text": " entonces si dividimos esto entre esto nos queda x menos 2 al cuadrado y eso multiplica"}, {"start": 306.38, "end": 314.21999999999997, "text": " con A. Entonces A por x menos 2 al cuadrado. Despu\u00e9s tenemos m\u00e1s, esto dividido entre"}, {"start": 314.21999999999997, "end": 321.53999999999996, "text": " esto nos quedar\u00e1 x por x menos 2 y eso lo multiplicamos por B. Entonces nos queda Bx"}, {"start": 321.54, "end": 330.42, "text": " por x menos 2. Y pasamos ac\u00e1 donde dividimos esto entre esto nos queda x y eso multiplica"}, {"start": 330.42, "end": 337.18, "text": " con C. Entonces ac\u00e1 escribimos C por x. Si esto lo escribimos ac\u00e1, tenemos entonces"}, {"start": 337.18, "end": 343.74, "text": " la igualdad de dos fracciones con el mismo denominador. Eso nos permite deshacernos de"}, {"start": 343.74, "end": 350.38, "text": " estas expresiones y nos vamos a concentrar solamente en la igualdad de los numeradores."}, {"start": 350.38, "end": 357.74, "text": " Nos queda entonces as\u00ed. Esto se escribe otra vez, x al cuadrado m\u00e1s 3x menos 4 y acabamos"}, {"start": 357.74, "end": 363.78, "text": " a ir desarrollando esas operaciones. Comenzamos expandiendo este binomio al cuadrado. Nos"}, {"start": 363.78, "end": 368.74, "text": " queda el primer t\u00e9rmino al cuadrado menos dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo,"}, {"start": 368.74, "end": 375.3, "text": " eso nos da 4x m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado que nos da 4. Despu\u00e9s aplicamos"}, {"start": 375.3, "end": 382.58, "text": " aqu\u00ed la propiedad distributiva. Nos queda m\u00e1s Bx por x es Bx al cuadrado y Bx por"}, {"start": 382.58, "end": 391.82, "text": " menos 2 nos da menos 2Bx y todo esto m\u00e1s Cx. Repetimos lo que hay en el lado izquierdo"}, {"start": 391.82, "end": 398.62, "text": " y ac\u00e1 vamos a distribuir la letra A para esa expresi\u00f3n. A por x cuadrado nos queda"}, {"start": 398.62, "end": 408.58, "text": " Ax al cuadrado, A por menos 4x es menos 4Ax y A por m\u00e1s 4 nos da m\u00e1s 4A. Esto queda"}, {"start": 408.58, "end": 419.66, "text": " igual, m\u00e1s Bx cuadrado menos 2Bx m\u00e1s Cx. De nuevo esto queda igual y aqu\u00ed vamos a organizar"}, {"start": 419.66, "end": 425.06, "text": " ese polinomio en forma descendente. Comenzamos entonces con los t\u00e9rminos que tienen x al"}, {"start": 425.06, "end": 432.02, "text": " cuadrado, va ese t\u00e9rmino despu\u00e9s este, luego los que tienen la x preferiblemente comenzando"}, {"start": 432.02, "end": 437.3, "text": " con un t\u00e9rmino positivo. Vemos que en ese caso el que cumple esa condici\u00f3n es m\u00e1s"}, {"start": 437.3, "end": 447.9, "text": " Cx, entonces m\u00e1s Cx, despu\u00e9s menos 4Ax y luego menos 2Bx. Y por \u00faltimo miramos si"}, {"start": 447.9, "end": 455.41999999999996, "text": " hay t\u00e9rmino independiente, vemos que s\u00ed es el t\u00e9rmino m\u00e1s 4A, aquel que no tiene la x."}, {"start": 455.41999999999996, "end": 461.53999999999996, "text": " All\u00ed podemos hacer tranquilamente la agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos, aquellos que contienen x al cuadrado"}, {"start": 461.53999999999996, "end": 467.58, "text": " y aquellos que contienen la x, por eso dec\u00edamos que aqu\u00ed es conveniente iniciar con un t\u00e9rmino"}, {"start": 467.58, "end": 474.5, "text": " positivo para colocar el par\u00e9ntesis sin necesidad de cambiar los signos del interior. Entonces"}, {"start": 474.5, "end": 481.22, "text": " ahora extraemos factor com\u00fan de esos grupos que formamos, en el primer grupo podemos extraer"}, {"start": 481.22, "end": 487.66, "text": " x al cuadrado, pero vamos a extraerla por ac\u00e1, entonces nos queda dentro del par\u00e9ntesis"}, {"start": 487.66, "end": 494.7, "text": " A m\u00e1s B. Luego vamos al siguiente grupo donde vamos a extraer la x que est\u00e1 en todos los"}, {"start": 494.7, "end": 500.3, "text": " t\u00e9rminos, la escribimos aqu\u00ed a la derecha y dentro del par\u00e9ntesis nos queda C menos"}, {"start": 500.3, "end": 509.74, "text": " 4A y luego menos 2B y escribimos el t\u00e9rmino independiente que es m\u00e1s 4A. All\u00ed vemos"}, {"start": 509.74, "end": 515.7, "text": " que las dos expresiones tienen la misma estructura, vemos el t\u00e9rmino con x al cuadrado, el t\u00e9rmino"}, {"start": 515.7, "end": 523.14, "text": " con x y el t\u00e9rmino independiente. Entonces vamos a igualar los componentes respectivos,"}, {"start": 523.14, "end": 531.14, "text": " entonces aparece una primera igualdad que ser\u00e1 A m\u00e1s B, es decir el coeficiente de x al cuadrado"}, {"start": 531.14, "end": 539.1, "text": " en el lado derecho igual con 1 que es el coeficiente de x al cuadrado en el lado izquierdo. Vamos"}, {"start": 539.1, "end": 549.02, "text": " ahora con esta expresi\u00f3n C menos 4A y eso menos 2B que es el coeficiente de x en el"}, {"start": 549.02, "end": 555.8199999999999, "text": " lado derecho y eso lo igualamos con el coeficiente de x en el lado izquierdo, es decir con 3."}, {"start": 555.8199999999999, "end": 562.5799999999999, "text": " Finalmente igualamos el t\u00e9rmino independiente en el lado derecho que es 4A con el t\u00e9rmino"}, {"start": 562.5799999999999, "end": 569.5, "text": " independiente en el lado izquierdo que es menos 4. Nos aparece as\u00ed un sistema de ecuaciones"}, {"start": 569.5, "end": 575.98, "text": " lineales de 3 por 3, tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas. Vamos a comenzar resolviendo"}, {"start": 575.98, "end": 582.02, "text": " lo que hay en la expresi\u00f3n 3 que est\u00e1 f\u00e1cil, de all\u00ed podemos despejar la letra A, 4 que"}, {"start": 582.02, "end": 588.74, "text": " est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda as\u00ed y resolviendo esa divisi\u00f3n"}, {"start": 588.74, "end": 595.78, "text": " nos da como resultado menos 1, entonces digamos que aqu\u00ed ya se conoce el valor de A, A es"}, {"start": 595.78, "end": 603.14, "text": " menos 1. Conociendo ese valor podemos ir a la expresi\u00f3n 1 para averiguar B, veamos entonces"}, {"start": 603.14, "end": 609.58, "text": " como nos queda, A se reemplaza por menos 1 eso nos queda m\u00e1s B igual a 1 y de all\u00ed"}, {"start": 609.58, "end": 616.74, "text": " despejamos la letra B nos queda 1 m\u00e1s 1, pasamos este t\u00e9rmino positivo al lado derecho"}, {"start": 616.74, "end": 624.02, "text": " y efectuando esa operaci\u00f3n nos da que B es igual a 2, entonces aqu\u00ed reemplazamos ese"}, {"start": 624.02, "end": 630.98, "text": " valor, solamente nos falta hallar el valor de C y eso lo hacemos en la expresi\u00f3n 2,"}, {"start": 630.98, "end": 637.34, "text": " vamos a reemplazar los valores de A y B que ya conocemos, nos queda C menos 4 por el valor"}, {"start": 637.34, "end": 647.1800000000001, "text": " de A que es menos 1, menos 2 por el valor de B que nos dio 2 y todo eso igual a 3, resolvemos"}, {"start": 647.1800000000001, "end": 654.1, "text": " esas operaciones, nos queda C aqu\u00ed menos 4 por menos 1 es m\u00e1s 4, menos 2 por 2 es"}, {"start": 654.1, "end": 660.7, "text": " menos 4 y todo esto igual a 3, all\u00ed estos dos t\u00e9rminos se cancelan, esto nos da 0 y"}, {"start": 660.7, "end": 668.5400000000001, "text": " entonces nos queda que C es igual a 3, reemplazamos entonces ese valor por ac\u00e1, como se observa"}, {"start": 668.5400000000001, "end": 675.58, "text": " ya tenemos los valores de A, B y C y con ello conocemos las fracciones parciales de la expresi\u00f3n"}, {"start": 675.58, "end": 680.58, "text": " que tenemos en el integrando, si efectuamos toda esta operaci\u00f3n nos da esto que tenemos"}, {"start": 680.58, "end": 687.5, "text": " ac\u00e1, entonces como nuestro objetivo es integrar esa expresi\u00f3n vamos a integrar esto que nos"}, {"start": 687.5, "end": 694.74, "text": " dio y como est\u00e1n sumando esas fracciones se puede integrar cada una de ellas, comenzamos"}, {"start": 694.74, "end": 701.7, "text": " entonces con la integral de la primera donde podemos extraer el signo menos, nos quedar\u00eda"}, {"start": 701.7, "end": 709.7, "text": " as\u00ed menos y ac\u00e1 dentro de la integral 1 sobre x con su respectivo diferencial de x,"}, {"start": 709.7, "end": 715.34, "text": " vamos ahora con la integral de la segunda fracci\u00f3n donde podemos extraer el 2 que est\u00e1"}, {"start": 715.34, "end": 724.5400000000001, "text": " en el numerador, nos queda 2 por la integral de 1 sobre x menos 2 y eso con su diferencial"}, {"start": 724.5400000000001, "end": 730.62, "text": " de x, finalmente tenemos la integral de la tercera fracci\u00f3n donde podemos extraer el"}, {"start": 730.62, "end": 738.14, "text": " 3 que va en el numerador, nos queda 3 por la integral de 1 sobre entre par\u00e9ntesis x"}, {"start": 738.14, "end": 745.1800000000001, "text": " menos 2 al cuadrado y eso con su diferencial de x, como se observa aqu\u00ed ya tenemos integrales"}, {"start": 745.18, "end": 751.18, "text": " sencillas vamos a resolver cada una de ellas, vamos con la primera donde escribimos el"}, {"start": 751.18, "end": 757.4599999999999, "text": " menos y la integral de 1 sobre x recordemos que es logaritmo natural de valor absoluto"}, {"start": 757.4599999999999, "end": 764.9799999999999, "text": " de x, vamos a la siguiente donde aseguramos el 2 y la integral de 1 sobre x menos 2 la"}, {"start": 764.9799999999999, "end": 774.0, "text": " resolvemos con este modelo, la integral de 1 sobre x m\u00e1s a con su diferencial de x es"}, {"start": 774.0, "end": 781.3, "text": " igual a logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s a es una integral que se demuestra"}, {"start": 781.3, "end": 787.58, "text": " por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n cambiando x m\u00e1s a por otra letra, en este caso a est\u00e1"}, {"start": 787.58, "end": 794.06, "text": " representada por menos 2 entonces simplemente nos queda logaritmo natural de valor absoluto"}, {"start": 794.06, "end": 801.92, "text": " de x menos 2, para el caso de la tercera integral hacemos lo siguiente, nos queda as\u00ed integral"}, {"start": 801.92, "end": 810.5799999999999, "text": " de x menos 2 esto elevado al exponente menos 2 con el diferencial de x subimos esa expresi\u00f3n"}, {"start": 810.5799999999999, "end": 816.74, "text": " al numerador y nos queda con exponente negativo continuamos con el desarrollo del ejercicio"}, {"start": 816.74, "end": 823.66, "text": " nos queda menos logaritmo natural de valor absoluto de x aqu\u00ed podemos aplicar una propiedad"}, {"start": 823.66, "end": 829.5, "text": " de los logaritmos recordemos que si se tiene logaritmo natural de a elevada al exponente"}, {"start": 829.5, "end": 836.14, "text": " b eso es igual a b por logaritmo natural de a el exponente baja a multiplicar pero podemos"}, {"start": 836.14, "end": 842.7, "text": " devolvernos es decir esta cantidad puede situarse aqu\u00ed como exponente en el argumento luego"}, {"start": 842.7, "end": 850.78, "text": " ac\u00e1 nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 y esto al cuadrado el 2 entra"}, {"start": 850.78, "end": 859.34, "text": " al valor absoluto como exponente de x menos 2 y vamos a resolver esta integral all\u00ed utilizamos"}, {"start": 859.34, "end": 869.34, "text": " el siguiente modelo la integral de x m\u00e1s a a la n con su diferencial de x ser\u00e1 x m\u00e1s"}, {"start": 869.34, "end": 879.6600000000001, "text": " a a la n m\u00e1s 1 sobre n m\u00e1s 1 tambi\u00e9n se demuestra por sustituci\u00f3n cambiando x m\u00e1s"}, {"start": 879.6600000000001, "end": 886.9000000000001, "text": " a por otra letra entonces vemos que esta integral se ajusta perfectamente a ese modelo nos quedar\u00eda"}, {"start": 886.9, "end": 895.74, "text": " entonces x menos 2 a la menos 2 m\u00e1s 1 que es menos 1 y esto sobre menos 2 m\u00e1s 1 que"}, {"start": 895.74, "end": 902.38, "text": " es menos 1 y aqu\u00ed aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n all\u00ed ya hemos"}, {"start": 902.38, "end": 909.34, "text": " cumplido con el objetivo de integrar esa funci\u00f3n racional todo esto es su antiderivada sin"}, {"start": 909.34, "end": 916.06, "text": " embargo vamos a organizar esa expresi\u00f3n para que nos quede de una forma m\u00e1s simple comenzamos"}, {"start": 916.06, "end": 923.5799999999999, "text": " escribiendo este t\u00e9rmino logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 al cuadrado"}, {"start": 923.5799999999999, "end": 930.42, "text": " luego este menos logaritmo natural de valor absoluto de x y vamos a organizar este t\u00e9rmino"}, {"start": 930.42, "end": 935.6999999999999, "text": " aqu\u00ed este 1 puede desaparecer pero el menos interact\u00faa con este m\u00e1s y nos queda signo"}, {"start": 935.6999999999999, "end": 944.3, "text": " menos queda 3 acompa\u00f1ado de x menos 2 y esto elevado al exponente menos 1 y todo eso m\u00e1s"}, {"start": 944.3, "end": 950.9, "text": " c con esta resta de logaritmos podemos aplicar la siguiente propiedad si tenemos el logaritmo"}, {"start": 950.9, "end": 957.4599999999999, "text": " natural de un cociente a sobre b esto es igual al logaritmo natural de a menos logaritmo"}, {"start": 957.4599999999999, "end": 963.5, "text": " natural de b pero podemos aplicar esta propiedad en sentido contrario es decir pasar de la"}, {"start": 963.5, "end": 970.06, "text": " resta de logaritmos al logaritmo de un cociente entonces aplicamos eso ac\u00e1 nos quedar\u00eda"}, {"start": 970.06, "end": 976.9, "text": " logaritmo natural de trazamos la l\u00ednea para el cociente en el numerador tendremos valor"}, {"start": 976.9, "end": 983.3399999999999, "text": " absoluto de x menos 2 al cuadrado y en el denominador valor absoluto de x y pasamos"}, {"start": 983.3399999999999, "end": 991.6199999999999, "text": " ahora al otro t\u00e9rmino que nos queda menos 3 sobre x menos 2 que nos quedar\u00eda simplemente"}, {"start": 991.6199999999999, "end": 997.5, "text": " as\u00ed porque baja al denominador con exponente 1 positivo propiedad de la potenciaci\u00f3n propiedad"}, {"start": 997.5, "end": 1003.78, "text": " del exponente negativo y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n finalmente aplicamos"}, {"start": 1003.78, "end": 1010.14, "text": " aqu\u00ed una propiedad del valor absoluto valor absoluto de un cociente a sobre b es igual"}, {"start": 1010.14, "end": 1017.46, "text": " a valor absoluto de a sobre valor absoluto de b pero tambi\u00e9n podemos aplicar esta propiedad"}, {"start": 1017.46, "end": 1024.64, "text": " en sentido contrario por lo tanto nos quedar\u00e1 logaritmo natural de un solo valor absoluto"}, {"start": 1024.64, "end": 1031.8200000000002, "text": " que contiene en su interior ese cociente en el numerador x menos 2 al cuadrado y en el"}, {"start": 1031.8200000000002, "end": 1041.26, "text": " denominador x y todo esto menos 3 sobre x menos 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n de esta"}, {"start": 1041.26, "end": 1048.8600000000001, "text": " manera terminamos esta expresi\u00f3n es la forma m\u00e1s simple para la antiderivada o la integral"}, {"start": 1048.86, "end": 1054.86, "text": " de esa funci\u00f3n racional que resolvimos por el m\u00e9todo de las fracciones parciales."}]