Problema 1 con ANTIDERIVADAS
#julioprofe explica cómo obtener una función si se conoce su segunda derivada y algunas condiciones (ecuación diferencial de segundo orden).

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 Encuentre la función f si se sabe que la segunda derivada de dicha función es igual a 4x más x al cuadrado se sabe también que f' de 2 es igual a menos 2 y que f de 1 vale 3. Bien vamos a comenzar por encontrar f' de x es decir la primera derivada de la función y eso se consigue antiderivando o integrando la segunda derivada de la función de f' de x que es la expresión que nos dan. Entonces f' de x será igual a la integral de 4x más x al cuadrado. Bien vamos a integrar entonces esa expresión como tenemos una suma de términos entonces procedemos a integrar cada uno de ellos. Entonces la integral de 4x será dejar el 4 quieto e integramos x como esta x está elevada a la 1 al exponente 1 entonces nos queda x a la 2 sobre 2 más integral de x a la 2 será x a la 3 sobre 3 y aquí aparece la primera constante de integración. Vamos a simplificar esto un poco aquí cuatro medios lo podemos escribir como 2x a la 2 más x a la 3 sobre 3 y todo esto más c1 y ahí vamos a utilizar la información que nos da el problema aquella que nos dice que f' de 2 es igual a menos 2. Con esta información vamos a encontrar el valor de c1 entonces nos queda así f' de 2 es igual a 2 por 2 al cuadrado más 2 a la 3 sobre 3 más c1 sigamos por acá entonces nos queda esto vale menos 2 si tal como nos dice la instrucción entonces nos queda menos 2 es igual a 8 esta multiplicación de a 8 más esto aquí nos da 8 tercios más el valor de c1 despejamos c1 de allí entonces nos queda menos 2 menos 8 menos 8 tercios igual a c1 esto daría menos 10 menos 8 tercios igual a c1 y resolviendo esta operación nos queda que c1 es igual a menos 38 tercios y de esta manera ya tenemos entonces el valor de la primera constante de integración ese valor lo colocamos aquí donde está c1 como es negativo de una vez lo escribimos como menos 38 tercios y de esa manera vamos a encontrar ahora f integrando o antiderivando f' de x entonces f de x será la antiderivada o la integral de f' de x con su respectivo de x es decir que f de x será la integral de esta expresión que vamos a escribir así 2x al cuadrado más aquí un tercio de x a la 3 menos 38 tercios cerramos y escribimos el diferencial vamos a realizar esa integral entonces nos queda que f de x es igual como tenemos suma y resta de términos integramos cada uno de los términos integral de este primer término será 2 que queda quieto x a la 3 sobre 3 más un tercio en el siguiente término un tercio queda quieto por la integral de x a la 3 que será x a la 4 sobre 4 menos la integral de 38 tercios será 38 tercios x más c2 aparece la constante de integración 2 organizamos esto un poco esto nos quedaría 2x a la 3 sobre 3 más x a la 4 sobre 12 menos 38 tercios x más c2 y allí vamos a utilizar la otra información que nos da el problema es decir esta instrucción f de 1 es igual a 3 con esto vamos a poder encontrar el valor de c2 entonces veamos f de 1 será sustituir x por 1 nos queda 2 por 1 a la 3 sobre 3 más aquí 1 a la 4 sobre 12 menos 38 por 1 sobre 3 más c2 entonces f de 1 vale 3 por lo tanto esto nos queda 3 es igual por aquí tenemos 2 tercios más un doceavo y por acá menos 38 tercios más c2 si nosotros despejamos c2 nos queda 3 menos 2 tercios menos un doceavo más 38 tercios esto es igual a c2 y resolviendo toda esa operación en una calculadora obteremos que c2 vale 179 12 entonces esto vale la constante de integración número 2 entonces nos queda solamente reemplazar aquí donde teníamos la expresión para f de x aquí reemplazamos c2 por este valor que encontramos es decir 179 doceavos y de esta manera hemos encontrado la función que cumple con todas esas condiciones que nos dieron al comienzo aquí hemos terminado el ejercicio
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