APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL TRAZADO DE CURVAS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo analizar una función usando derivadas, para determinar sus puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y concavidades. 

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Bien, vamos a comenzar determinando el dominio de la función que nos dan. Pensemos en lo siguiente. Esta función tendría problemas si este denominador fuera cero. Y para que esto sea cero se necesitaría que x al cuadrado fuese menos uno. Para que menos uno más uno nos de cero. Pero no existe ningún número real que elevado al cuadrado nos de menos uno. Esto quiere decir entonces que esta parte del denominador de la función nunca será cero. Cualquier valor de x es bienvenido en esta función y ella no va a tener el riesgo de que tenga cero en el denominador. Por lo tanto podemos decir que el dominio de la función son los x que pertenecen al conjunto de los números reales. O escrito de otra manera los x que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito hasta más infinito. Con esto damos respuesta a la pregunta A del problema. Para poder determinar donde la función tiene puntos críticos, es decir máximos y mínimos, donde la función crece y donde decrece necesitamos la primera derivada de la función. Y para poder determinar puntos de inflexión y donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, necesitamos determinar la segunda derivada de la función. Entonces vamos a proceder a encontrar estas dos derivadas. Tenemos la función original que dice uno sobre uno más x al cuadrado. Y que podemos reescribir como uno más x al cuadrado todo esto elevado a la menos uno. Entonces vamos a derivar por primera vez. Vamos a obtener entonces f' de x, es decir la primera derivada. Derivamos esta expresión, bajamos el menos uno a multiplicar, queda menos uno que multiplica a uno más x al cuadrado. Todo eso elevado a la menos dos y esto multiplicado por la derivada interna. La derivada de uno más x al cuadrado sería dos x. Aquí hemos utilizado la regla de la cadena para potencias para derivar esta expresión. Vamos a organizar esto un poco. Tendríamos menos dos x, todo esto sobre uno más x al cuadrado, todo eso elevado al cuadrado. Aquí tenemos entonces la primera derivada de nuestra función. Para obtener la segunda derivada vamos entonces a derivar la primera derivada. Y entonces para ello utilizamos la regla del cociente. Entonces nos queda f' de x, la segunda derivada. Empezamos entonces con la derivada del numerador, que sería menos dos por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar, que es menos dos x. Lo escribimos entre paréntesis por la derivada del denominador. Para derivar esta expresión usamos regla de la cadena para potencias. Baja el dos, queda uno más x al cuadrado intacto, esto elevado a la uno, esto multiplicado por la derivada interna. La derivada de uno más x al cuadrado sería dos x. Y todo esto sobre el denominador, que es uno más x al cuadrado, todo esto elevado al cuadrado. Allí hemos aplicado la regla del cociente para derivar esa función, es decir, para obtener la segunda derivada. Vamos a organizar esto un poco, nos quedaría menos dos por uno más x al cuadrado al cuadrado, esto queda igual. Y acá tendremos menos por menos nos queda más dos por dos por dos, eso nos queda ocho. Esta x puede multiplicar con esta otra x, nos queda x al cuadrado, y esto acompañado de uno más x al cuadrado. Ese exponente uno puede desaparecer. Y todo esto sobre uno más x al cuadrado elevado a la cuatro. Recordemos que aquí se multiplican los exponentes, entonces nos queda cuatro. Bien, vamos a sacar factor común en el numerador de esa expresión, y entonces nos va a quedar así. F2' de x es igual. Podemos sacar factor común el dos, por estar contenido aquí en este dos y en este ocho sale el dos. Y también la expresión uno más x al cuadrado, aquí está con exponente dos y aquí está con exponente uno. Luego sale la de exponente uno, es decir, uno más x al cuadrado. Por, abrimos un corchete, del primer término nos queda el negativo y nos queda uno más x al cuadrado entre paréntesis. Del segundo término nos queda más cuatro, porque le sacamos el dos al ocho y nos queda x al cuadrado. Ese término salió por completo, uno más x al cuadrado. Y todo esto sobre uno más x al cuadrado, todo esto elevado a la cuatro. Bien, vamos a simplificar, ahí podemos simplificar uno más x al cuadrado con uno más x al cuadrado a la cuatro. Quitamos uno de acá arriba con uno de acá abajo, entonces acá nos queda elevado a la tres. Entonces tendremos dos que multiplica aquí. Destruimos el paréntesis, entra el signo negativo, nos queda menos uno menos x al cuadrado y esto más cuatro x al cuadrado. Y todo esto sobre uno más x al cuadrado, todo esto elevado a la tres. Finalmente nos queda que la segunda derivada es igual a dos que multiplica, vamos a operar términos semejantes aquí. Cuatro x al cuadrado menos x al cuadrado nos queda tres x al cuadrado menos uno. Y todo esto sobre uno más x al cuadrado elevado a la tres. Tenemos entonces la segunda derivada de nuestra función. Bien, ahora vamos a determinar donde la función presenta puntos críticos. Es decir, puntos donde la función tiene recta tangente horizontal. Para ello tomamos la primera derivada y la igualamos a cero. Esta es la clave para determinar puntos críticos. La primera derivada dice menos dos x sobre uno más x al cuadrado. Todo esto al cuadrado y esto se iguala a cero. Resolvemos esta ecuación. Esta expresión que está dividiendo puede pasar a multiplicar al otro lado con el cero. Por lo tanto nos queda menos dos x igual a cero. Despejando x nos queda cero dividido entre menos dos. Menos dos se está multiplicando pasa a dividir y esto nos da que x vale cero. Esta sería entonces la abscisa del punto crítico de la función. Eso quiere decir que solamente vamos a tener un punto crítico. Para determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función debemos analizar el signo de la primera derivada. Para ello trazamos una recta que simbolice el dominio de la función. Recordemos que el dominio eran todos los reales desde menos infinito hasta más infinito. Esta recta simboliza los valores de x. Y vamos a marcar en ella el valor donde tenemos punto crítico. El que encontramos hace un momento que fue el cero. Entonces en cero tenemos punto crítico. Y ahora vamos a seleccionar un número de cada intervalo. Por ejemplo un número que esté comprendido entre cero y menos infinito. Entonces podemos usar x igual a menos uno. Y un número que esté comprendido entre cero y más infinito podemos usar x igual a uno. Cada uno de esos números elegidos vamos a reemplazarlos en la primera derivada. Entonces aquí evaluamos la primera derivada en menos uno. Y por acá la primera derivada se evalúa en uno. Entonces vamos a reemplazar acá. Vamos a hacerlo analíticamente. Es decir mirando únicamente el signo que es la parte que nos interesa. Entonces veamos si menos uno entra acá en el numerador. Tendremos menos dos por menos uno. Eso nos da dos positivo. O sea que el numerador es positivo. Y acá en el denominador si entra menos uno donde está la x. Todo esto nos va a dar positivo. Porque aquí tenemos un exponente par. Por lo tanto tenemos denominador positivo. Positivo con positivo es positivo. Y entonces podemos deducir que en este intervalo la función será creciente. La función original crece entre menos infinito y cero. Ahora vamos con el uno. Menos dos por uno nos da menos dos. O sea nos da negativo el numerador. Abajo nuevamente cualquier valor de x que ingrese aquí. Todo esto está con exponentes pares. Entonces nos da positivo. Menos con más nos da menos. Por lo tanto como aquí la derivada es negativa. La función será decreciente. Entonces f decrece entre cero y más infinito. Esto nos permite también concluir que nuestro punto crítico que tiene abscisa cero. Será un máximo. Máximo porque la función crece antes de él. Y le crece después de él. Vamos a determinar entonces la coordenada del punto crítico. Sabemos que tiene abscisa cero. Vamos a ver cuánto vale la ordenada. Para encontrar la ordenada, es decir el valor en y, tenemos que evaluar el cero en la función original. Es decir calculamos f de cero. Si vamos a la función original nos quedaría esta operación. Y resolviendo todo eso nos da uno. Entonces aquí tenemos que la ordenada del punto crítico será uno. Entonces ya podemos establecer la respuesta para la pregunta del problema. La función crece o presenta crecimiento para los x que van desde menos infinito hasta cero. La función decrece para los x que van desde cero hasta más infinito. Tenemos un punto crítico en la coordenada cero coma uno. Que dijimos que va a ser un máximo. Pero entonces tenemos que definir si se trata de máximo local o máximo absoluto. Como vimos hace un momento, vimos que la función será creciente y después de creciente. Eso nos hace pensar que este punto, el punto crítico que es un máximo, será el punto más alto de la función. No vamos a tener otros máximos que compitan con él. Por lo tanto podemos asegurar que se trata de un máximo absoluto. Si es el punto más alto de la gráfica de la función. Vamos a continuar con los puntos de inflexión. Que son aquellos donde la función presenta cambio de concavidad. Para ello tomamos la segunda derivada y la igualamos a cero. La segunda derivada nos dio dos que multiplica a 3x cuadrado menos uno. Todo esto sobre uno más x al cuadrado elevado al cubo. Entonces todo esto lo igualamos a cero. Vamos a resolver esa ecuación. Pasamos esto a multiplicar con el cero. Por lo tanto se nos va. Nos queda 2 por 3x cuadrado menos uno igual a cero. Podemos pasar este 2 que está multiplicando a dividir. Entonces queda cero dividido entre 2 en el lado derecho. Lo que nos da cero. Y nos queda 3x al cuadrado menos uno igual a cero. Vamos a hacer poco a poco el despeje de x. Pasamos entonces primero el uno. Uno está restando para sumar al lado derecho con el cero. Nos queda uno. Continuamos por acá. Nos queda x al cuadrado es igual a un tercio. Si el 3 se está multiplicando pasa a dividir. Despejando x nos va a quedar más o menos la raíz cuadrada de un tercio. Eso lo podemos transformar repartiendo raíz arriba, raíz abajo. Raíz de uno nos da uno. Raíz de tres la dejamos indicada. Y esto lo racionalizamos multiplicando por raíz de tres arriba y abajo. Para que no nos quede radical en el denominador. Y nos queda que x es igual a más o menos la raíz de tres sobre tres. Estas serán entonces las abscisas de los puntos de inflexión. Vamos a analizarlas con cavidades de la función. Para lo cual debemos analizar el signo de la segunda derivada. Entonces trazamos una recta que simbolice el dominio de la función. Recordemos que va de menos infinito hasta más infinito. Estos son los valores de x. Y en ella vamos a localizar los valores en x donde tenemos los puntos de inflexión. Los que encontramos en el paso anterior. Entonces tenemos menos raíz de tres sobre tres y raíz de tres sobre tres. Estas serán entonces las abscisas de los puntos de inflexión. Realizando estas operaciones en la calculadora. Tendremos por aquí un resultado aproximado de menos cero punto cincuenta y ocho. Y acá de cero punto cincuenta y ocho. Entonces vamos a seleccionar números de cada uno de los intervalos. Por ejemplo, el primer intervalo. Escogemos un número que esté comprendido entre menos cero punto cincuenta y ocho. Y menos infinito. Puede ser el menos uno. El segundo intervalo. Un número que esté comprendido entre menos cero punto cincuenta y ocho y cero punto cincuenta y ocho. Puede ser el cero. Y del último intervalo. Un número que esté más allá de cero punto cincuenta y ocho que puede ser el uno. Remplazamos cada uno de los valores elegidos en la segunda derivada. Entonces en el primer intervalo si reemplazamos el menos uno. Aquí en la segunda derivada. Tendremos arriba signo positivo. Y abajo también signo positivo. Lo que nos da signo positivo. Eso quiere decir que en el primer intervalo la función será cóncava hacia arriba. Y lo podemos simbolizar de esta manera. Vamos al siguiente intervalo. Vamos a reemplazar en la segunda derivada. El cero. El valor que escogimos. Entonces veamos. Si reemplazamos en el numerador. Eso nos da negativo. Y si reemplazamos en el denominador nos da positivo. Negativo con positivo nos da negativo. Y eso quiere decir que en este intervalo la función es cóncava hacia abajo. Por último reemplazamos el uno en la segunda derivada. Evaluamos la segunda derivada en el uno. Y miramos el signo. En el numerador. Reemplazando. Nos queda signo positivo. Y en el denominador también. Signo positivo. Vamos a quitar esta de x. Positivo con positivo nos da positivo. Lo cual significa que en este intervalo la función es cóncava hacia arriba. Vamos a determinar las coordenadas de los puntos de inflexión. Punto de inflexión uno. Será el que tiene abscisa menos raíz de tres tercios. Ahora calculamos la ordenada. Y el punto de inflexión dos. Es el que tiene abscisa raíz de tres tercios. Y vamos a calcular también su ordenada. Para calcular las ordenadas debemos entrar en la función original. Con estos valores. Vamos a entrar con menos raíz de tres tercios. A la función original. Esto quedaría uno sobre uno más. El número que vamos a evaluar que es. Menos raíz de tres tercios al cuadrado. Eso lo resolvemos. Quedaría aquí el uno. He estado resolviendo esta potencia. Eso nos queda tres novenos positivo. Es decir un tercio. Entonces uno más un tercio. Nos queda uno sobre esta sumita. Uno más un tercio. Eso nos da cuatro tercios. Y resolviendo esta división. Nos queda tres cuartos. Si hacemos el reemplazo con raíz de tres tercios. Vemos que es exactamente lo mismo. Si. Obtendríamos también el valor tres cuartos. Por lo tanto las ordenadas. De los puntos de inflexión. Serán tres cuartos. Y entonces ya podemos entrar. A dar la respuesta a la pregunta C. Nos decían. Determine los puntos de inflexión si los hay. Aquí están. Entonces los puntos de inflexión. Si sus respectivas coordenadas. Y también debemos establecer. Donde la función es con cava hacia arriba. Y donde es con cava hacia abajo. Entonces podemos decir que la función es. Con cava hacia arriba. Para los x. Que pertenecen al intervalo que va. Desde menos infinito. Hasta menos raíz de tres tercios. Y. Para los x. Que van. Desde raíz de tres tercios. Hasta más infinito. Esto fue lo que nos dio. En el análisis de las concavidadas. Y la función es. Con cava hacia abajo. Para los x. Que van desde. Menos raíz de tres tercios. Hasta raíz de tres tercios. Intervalo abierto. De esta manera entonces. Hemos dado respuesta. A la pregunta C. Del problema. Para determinar si la función original. Tiene asíntotas. Entonces nos fijamos en lo siguiente. Se trata de una función racional. Donde el grado del numerador. Es menor que el grado del denominador. Vemos que acá arriba no está la variable x. Por lo tanto decimos que el numerador es de grado cero. Y que el denominador es de grado dos. Por lo tanto decimos que es una función propia. Si es una función propia. Solo tiene la posibilidad de que tenga. Asíntotas verticales. O asíntotas horizontales. Fijemos que para esta función el dominio. Eran todos los reales. Por lo tanto allí no vamos a tener asíntotas verticales. Si es una función perfectamente. Continua en el conjunto de los números reales. Por lo tanto no tiene ninguna interrupción. En forma de asíntotas. Entonces procedemos a mirar. Si hay asíntotas horizontales. Y esto se determina. Tomando. El límite de la función. Cuando x tiende a menos infinito. Y luego cuando x tiende a más infinito. Empecemos con menos infinito. Sería entonces el límite de la función original. Uno sobre uno más x cuadrado. Cuando x tiende a menos infinito. Hagamos el reemplazo. Donde está la x vamos a colocar el menos infinito. Y analizamos que sucede. Entonces tenemos. Uno sobre menos infinito al cuadrado. Eso nos da infinito positivo. Infinito positivo más uno nos da infinito. Y uno sobre infinito. Esto tiende a cero. Si lo hacemos. Cuando x tiende a infinito positivo. A más infinito. Será un proceso exactamente como este. Es decir. Cambiando aquí. En lugar de menos infinito. Cambiaremos por más infinito. Pero al final llegaríamos al mismo resultado. Por lo tanto podemos pasar directamente al cero. ¿Qué significa eso entonces? Que para esta función. Cuando x tiende hacia menos infinito. Tenemos una asíntota horizontal. Que es la recta y igual a cero. Y cuando x tiende hacia más infinito. Es decir hacia la derecha. Tenemos la misma recta y igual a cero. Como asíntota horizontal. Conclusión. La asíntota horizontal. Será la recta y igual a cero. Es decir. El mismo eje x. El eje de las x. Será. La asíntota horizontal. Para esta función. Y es la única asíntota. Que presenta la gráfica. Aunque este problema. No nos pide la gráfica. Y la función. Vamos a dibujarla. Para apreciar todo lo que acabamos. De obtener. En los pasos anteriores. Entonces. Teníamos por ejemplo punto crítico. En cero coma uno. Es decir aquí. Teníamos puntos de inflexión. En las coordenadas. Más o menos. Rai de tres sobre tres. Coma tres cuartos. Que dijimos. Que esto equivale en decimal. A cero cincuenta y ocho. Entonces sería más o menos. Cero cincuenta y ocho coma. Cero punto setenta y cinco. Que es el tres cuartos. Entonces vamos a ubicarlos aproximadamente. Esto puede ser como. Cero punto seis menos cero punto seis. Sube hasta cero setenta y cinco. Más o menos por acá. Y acá cero punto seis positivo. Que sube hasta cero setenta y cinco. Más o menos por acá. Allí tendríamos ubicados. Los puntos de inflexión. Y también hemos determinado. Que el eje x será asíntota. En la función. Asíntota horizontal. Decíamos también que el no viene a todos los reales. O sea que la función va a ser continua. En todos los números del eje x. Y ya procediendo a darle forma. A la curva. Si tiene que ser una curva suave. Entonces más o menos tendrá. Este aspecto. Habíamos dicho que aquí. El punto cero coma uno teníamos un máximo. Que iba hacia el absoluto. Y entonces la curva. Va a tener. Más o menos esta forma. Ella sigue para allá. Y sigue también hacia allá. Buscando aproximarse cada vez más al eje x. Pero sin llevar contacto. Tanto hacia menos infinito. Como hacia más infinito. Por eso el comportamiento de asíntota. Horizontal para el eje de las x. Entonces aquí teníamos. El punto de inflexión uno. Si el punto donde se presenta cambia con calidad. Este que era el punto crítico. Que dijimos que era el máximo absoluto. Ahí se ve claramente que es el punto más alto de la función. Si ninguno le gana. Y aquí tenemos el otro punto de inflexión. Punto de inflexión dos. Entonces allí se puede apreciar. Todos los datos. Toda la información que se logró obtener. En este ejercicio. En los pasos anteriores.
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derivada del numerador, que ser\u00eda menos dos por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar, que es menos dos x."}, {"start": 213.36, "end": 217.6, "text": " Lo escribimos entre par\u00e9ntesis por la derivada del denominador."}, {"start": 217.6, "end": 222.4, "text": " Para derivar esta expresi\u00f3n usamos regla de la cadena para potencias."}, {"start": 222.4, "end": 231.44, "text": " Baja el dos, queda uno m\u00e1s x al cuadrado intacto, esto elevado a la uno, esto multiplicado por la derivada interna."}, {"start": 231.44, "end": 235.44, "text": " La derivada de uno m\u00e1s x al cuadrado ser\u00eda dos x."}, {"start": 235.44, "end": 244.16, "text": " Y todo esto sobre el denominador, que es uno m\u00e1s x al cuadrado, todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 244.16, "end": 252.4, "text": " All\u00ed hemos aplicado la regla del cociente para derivar esa funci\u00f3n, es decir, para obtener la segunda derivada."}, {"start": 252.4, "end": 259.6, "text": " Vamos a organizar esto un poco, nos quedar\u00eda menos dos por uno m\u00e1s x al cuadrado al cuadrado, esto queda igual."}, {"start": 259.6, "end": 266.48, "text": " Y ac\u00e1 tendremos menos por menos nos queda m\u00e1s dos por dos por dos, eso nos queda ocho."}, {"start": 266.48, "end": 274.40000000000003, "text": " Esta x puede multiplicar con esta otra x, nos queda x al cuadrado, y esto acompa\u00f1ado de uno m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 274.40000000000003, "end": 276.96000000000004, "text": " Ese exponente uno puede desaparecer."}, {"start": 276.96000000000004, "end": 282.96000000000004, "text": " Y todo esto sobre uno m\u00e1s x al cuadrado elevado a la cuatro."}, {"start": 282.96000000000004, "end": 287.12, "text": " Recordemos que aqu\u00ed se multiplican los exponentes, entonces nos queda cuatro."}, {"start": 287.12, "end": 293.68, "text": " Bien, vamos a sacar factor com\u00fan en el numerador de esa expresi\u00f3n, y entonces nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 293.68, "end": 296.72, "text": " F2' de x es igual."}, {"start": 296.72, "end": 302.32, "text": " Podemos sacar factor com\u00fan el dos, por estar contenido aqu\u00ed en este dos y en este ocho sale el dos."}, {"start": 302.32, "end": 308.32, "text": " Y tambi\u00e9n la expresi\u00f3n uno m\u00e1s x al cuadrado, aqu\u00ed est\u00e1 con exponente dos y aqu\u00ed est\u00e1 con exponente uno."}, {"start": 308.32, "end": 312.88, "text": " Luego sale la de exponente uno, es decir, uno m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 312.88, "end": 322.64, "text": " Por, abrimos un corchete, del primer t\u00e9rmino nos queda el negativo y nos queda uno m\u00e1s x al cuadrado entre par\u00e9ntesis."}, {"start": 322.64, "end": 331.68, "text": " Del segundo t\u00e9rmino nos queda m\u00e1s cuatro, porque le sacamos el dos al ocho y nos queda x al cuadrado."}, {"start": 331.68, "end": 335.76, "text": " Ese t\u00e9rmino sali\u00f3 por completo, uno m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 335.76, "end": 342.96, "text": " Y todo esto sobre uno m\u00e1s x al cuadrado, todo esto elevado a la cuatro."}, {"start": 342.96, "end": 353.44, "text": " Bien, vamos a simplificar, ah\u00ed podemos simplificar uno m\u00e1s x al cuadrado con uno m\u00e1s x al cuadrado a la cuatro."}, {"start": 353.44, "end": 358.79999999999995, "text": " Quitamos uno de ac\u00e1 arriba con uno de ac\u00e1 abajo, entonces ac\u00e1 nos queda elevado a la tres."}, {"start": 358.79999999999995, "end": 362.79999999999995, "text": " Entonces tendremos dos que multiplica aqu\u00ed."}, {"start": 362.79999999999995, "end": 372.08, "text": " Destruimos el par\u00e9ntesis, entra el signo negativo, nos queda menos uno menos x al cuadrado y esto m\u00e1s cuatro x al cuadrado."}, {"start": 372.08, "end": 378.88, "text": " Y todo esto sobre uno m\u00e1s x al cuadrado, todo esto elevado a la tres."}, {"start": 378.88, "end": 387.12, "text": " Finalmente nos queda que la segunda derivada es igual a dos que multiplica, vamos a operar t\u00e9rminos semejantes aqu\u00ed."}, {"start": 387.12, "end": 393.12, "text": " Cuatro x al cuadrado menos x al cuadrado nos queda tres x al cuadrado menos uno."}, {"start": 393.12, "end": 399.44, "text": " Y todo esto sobre uno m\u00e1s x al cuadrado elevado a la tres."}, {"start": 399.44, "end": 404.56, "text": " Tenemos entonces la segunda derivada de nuestra funci\u00f3n."}, {"start": 404.56, "end": 412.16, "text": " Bien, ahora vamos a determinar donde la funci\u00f3n presenta puntos cr\u00edticos."}, {"start": 412.16, "end": 418.48, "text": " Es decir, puntos donde la funci\u00f3n tiene recta tangente horizontal."}, {"start": 418.48, "end": 423.12, "text": " Para ello tomamos la primera derivada y la igualamos a cero."}, {"start": 423.12, "end": 426.24, "text": " Esta es la clave para determinar puntos cr\u00edticos."}, {"start": 426.24, "end": 432.0, "text": " La primera derivada dice menos dos x sobre uno m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 432.0, "end": 434.88, "text": " Todo esto al cuadrado y esto se iguala a cero."}, {"start": 434.88, "end": 437.12, "text": " Resolvemos esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 437.12, "end": 442.0, "text": " Esta expresi\u00f3n que est\u00e1 dividiendo puede pasar a multiplicar al otro lado con el cero."}, {"start": 442.0, "end": 446.48, "text": " Por lo tanto nos queda menos dos x igual a cero."}, {"start": 446.48, "end": 450.88, "text": " Despejando x nos queda cero dividido entre menos dos."}, {"start": 450.88, "end": 456.0, "text": " Menos dos se est\u00e1 multiplicando pasa a dividir y esto nos da que x vale cero."}, {"start": 456.0, "end": 460.64, "text": " Esta ser\u00eda entonces la abscisa del punto cr\u00edtico de la funci\u00f3n."}, {"start": 460.64, "end": 464.96, "text": " Eso quiere decir que solamente vamos a tener un punto cr\u00edtico."}, {"start": 464.96, "end": 469.68, "text": " Para determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funci\u00f3n"}, {"start": 469.68, "end": 473.92, "text": " debemos analizar el signo de la primera derivada."}, {"start": 473.92, "end": 479.28, "text": " Para ello trazamos una recta que simbolice el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 479.28, "end": 486.15999999999997, "text": " Recordemos que el dominio eran todos los reales desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 486.15999999999997, "end": 490.08, "text": " Esta recta simboliza los valores de x."}, {"start": 490.08, "end": 494.4, "text": " Y vamos a marcar en ella el valor donde tenemos punto cr\u00edtico."}, {"start": 494.4, "end": 498.0, "text": " El que encontramos hace un momento que fue el cero."}, {"start": 498.0, "end": 501.67999999999995, "text": " Entonces en cero tenemos punto cr\u00edtico."}, {"start": 501.67999999999995, "end": 505.59999999999997, "text": " Y ahora vamos a seleccionar un n\u00famero de cada intervalo."}, {"start": 505.6, "end": 510.48, "text": " Por ejemplo un n\u00famero que est\u00e9 comprendido entre cero y menos infinito."}, {"start": 510.48, "end": 514.72, "text": " Entonces podemos usar x igual a menos uno."}, {"start": 514.72, "end": 521.2, "text": " Y un n\u00famero que est\u00e9 comprendido entre cero y m\u00e1s infinito podemos usar x igual a uno."}, {"start": 521.2, "end": 526.24, "text": " Cada uno de esos n\u00fameros elegidos vamos a reemplazarlos en la primera derivada."}, {"start": 526.24, "end": 530.96, "text": " Entonces aqu\u00ed evaluamos la primera derivada en menos uno."}, {"start": 530.96, "end": 535.28, "text": " Y por ac\u00e1 la primera derivada se eval\u00faa en uno."}, {"start": 535.28, "end": 537.1999999999999, "text": " Entonces vamos a reemplazar ac\u00e1."}, {"start": 537.1999999999999, "end": 539.12, "text": " Vamos a hacerlo anal\u00edticamente."}, {"start": 539.12, "end": 543.68, "text": " Es decir mirando \u00fanicamente el signo que es la parte que nos interesa."}, {"start": 543.68, "end": 546.9599999999999, "text": " Entonces veamos si menos uno entra ac\u00e1 en el numerador."}, {"start": 546.9599999999999, "end": 549.36, "text": " Tendremos menos dos por menos uno."}, {"start": 549.36, "end": 550.9599999999999, "text": " Eso nos da dos positivo."}, {"start": 550.9599999999999, "end": 553.1999999999999, "text": " O sea que el numerador es positivo."}, {"start": 553.1999999999999, "end": 557.1999999999999, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador si entra menos uno donde est\u00e1 la x."}, {"start": 557.1999999999999, "end": 559.1999999999999, "text": " Todo esto nos va a dar positivo."}, {"start": 559.1999999999999, "end": 561.68, "text": " Porque aqu\u00ed tenemos un exponente par."}, {"start": 561.68, "end": 565.3599999999999, "text": " Por lo tanto tenemos denominador positivo."}, {"start": 565.3599999999999, "end": 568.2399999999999, "text": " Positivo con positivo es positivo."}, {"start": 568.2399999999999, "end": 574.16, "text": " Y entonces podemos deducir que en este intervalo la funci\u00f3n ser\u00e1 creciente."}, {"start": 574.16, "end": 578.9599999999999, "text": " La funci\u00f3n original crece entre menos infinito y cero."}, {"start": 578.9599999999999, "end": 580.64, "text": " Ahora vamos con el uno."}, {"start": 580.64, "end": 582.88, "text": " Menos dos por uno nos da menos dos."}, {"start": 582.88, "end": 585.12, "text": " O sea nos da negativo el numerador."}, {"start": 585.12, "end": 589.04, "text": " Abajo nuevamente cualquier valor de x que ingrese aqu\u00ed."}, {"start": 589.04, "end": 591.28, "text": " Todo esto est\u00e1 con exponentes pares."}, {"start": 591.28, "end": 592.88, "text": " Entonces nos da positivo."}, {"start": 592.88, "end": 595.12, "text": " Menos con m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 595.12, "end": 598.48, "text": " Por lo tanto como aqu\u00ed la derivada es negativa."}, {"start": 598.48, "end": 601.12, "text": " La funci\u00f3n ser\u00e1 decreciente."}, {"start": 601.12, "end": 606.0799999999999, "text": " Entonces f decrece entre cero y m\u00e1s infinito."}, {"start": 606.0799999999999, "end": 611.8399999999999, "text": " Esto nos permite tambi\u00e9n concluir que nuestro punto cr\u00edtico que tiene abscisa cero."}, {"start": 611.8399999999999, "end": 613.8399999999999, "text": " Ser\u00e1 un m\u00e1ximo."}, {"start": 613.8399999999999, "end": 617.1999999999999, "text": " M\u00e1ximo porque la funci\u00f3n crece antes de \u00e9l."}, {"start": 617.1999999999999, "end": 619.28, "text": " Y le crece despu\u00e9s de \u00e9l."}, {"start": 619.28, "end": 623.6, "text": " Vamos a determinar entonces la coordenada del punto cr\u00edtico."}, {"start": 623.6, "end": 626.0799999999999, "text": " Sabemos que tiene abscisa cero."}, {"start": 626.0799999999999, "end": 628.0799999999999, "text": " Vamos a ver cu\u00e1nto vale la ordenada."}, {"start": 628.0799999999999, "end": 634.0, "text": " Para encontrar la ordenada, es decir el valor en y, tenemos que evaluar el cero en la funci\u00f3n original."}, {"start": 634.0, "end": 636.56, "text": " Es decir calculamos f de cero."}, {"start": 636.56, "end": 640.4, "text": " Si vamos a la funci\u00f3n original nos quedar\u00eda esta operaci\u00f3n."}, {"start": 640.4, "end": 643.1999999999999, "text": " Y resolviendo todo eso nos da uno."}, {"start": 643.1999999999999, "end": 647.92, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos que la ordenada del punto cr\u00edtico ser\u00e1 uno."}, {"start": 647.92, "end": 653.76, "text": " Entonces ya podemos establecer la respuesta para la pregunta del problema."}, {"start": 653.76, "end": 662.16, "text": " La funci\u00f3n crece o presenta crecimiento para los x que van desde menos infinito hasta cero."}, {"start": 662.16, "end": 669.04, "text": " La funci\u00f3n decrece para los x que van desde cero hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 669.04, "end": 674.0, "text": " Tenemos un punto cr\u00edtico en la coordenada cero coma uno."}, {"start": 674.0, "end": 676.0799999999999, "text": " Que dijimos que va a ser un m\u00e1ximo."}, {"start": 676.08, "end": 681.9200000000001, "text": " Pero entonces tenemos que definir si se trata de m\u00e1ximo local o m\u00e1ximo absoluto."}, {"start": 681.9200000000001, "end": 687.84, "text": " Como vimos hace un momento, vimos que la funci\u00f3n ser\u00e1 creciente y despu\u00e9s de creciente."}, {"start": 687.84, "end": 695.0400000000001, "text": " Eso nos hace pensar que este punto, el punto cr\u00edtico que es un m\u00e1ximo, ser\u00e1 el punto m\u00e1s alto de la funci\u00f3n."}, {"start": 695.0400000000001, "end": 699.2, "text": " No vamos a tener otros m\u00e1ximos que compitan con \u00e9l."}, {"start": 699.2, "end": 703.6, "text": " Por lo tanto podemos asegurar que se trata de un m\u00e1ximo absoluto."}, {"start": 703.6, "end": 707.9200000000001, "text": " Si es el punto m\u00e1s alto de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}, {"start": 710.96, "end": 714.48, "text": " Vamos a continuar con los puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 714.48, "end": 718.5600000000001, "text": " Que son aquellos donde la funci\u00f3n presenta cambio de concavidad."}, {"start": 718.5600000000001, "end": 722.64, "text": " Para ello tomamos la segunda derivada y la igualamos a cero."}, {"start": 722.64, "end": 728.08, "text": " La segunda derivada nos dio dos que multiplica a 3x cuadrado menos uno."}, {"start": 728.08, "end": 732.1600000000001, "text": " Todo esto sobre uno m\u00e1s x al cuadrado elevado al cubo."}, {"start": 732.16, "end": 734.4, "text": " Entonces todo esto lo igualamos a cero."}, {"start": 734.4, "end": 736.0, "text": " Vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 736.0, "end": 738.64, "text": " Pasamos esto a multiplicar con el cero."}, {"start": 738.64, "end": 740.24, "text": " Por lo tanto se nos va."}, {"start": 740.24, "end": 744.24, "text": " Nos queda 2 por 3x cuadrado menos uno igual a cero."}, {"start": 744.24, "end": 747.68, "text": " Podemos pasar este 2 que est\u00e1 multiplicando a dividir."}, {"start": 747.68, "end": 750.88, "text": " Entonces queda cero dividido entre 2 en el lado derecho."}, {"start": 750.88, "end": 752.16, "text": " Lo que nos da cero."}, {"start": 752.16, "end": 755.68, "text": " Y nos queda 3x al cuadrado menos uno igual a cero."}, {"start": 755.68, "end": 758.24, "text": " Vamos a hacer poco a poco el despeje de x."}, {"start": 758.24, "end": 759.92, "text": " Pasamos entonces primero el uno."}, {"start": 759.92, "end": 762.4799999999999, "text": " Uno est\u00e1 restando para sumar al lado derecho con el cero."}, {"start": 762.4799999999999, "end": 763.8399999999999, "text": " Nos queda uno."}, {"start": 763.8399999999999, "end": 765.04, "text": " Continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 765.04, "end": 768.3199999999999, "text": " Nos queda x al cuadrado es igual a un tercio."}, {"start": 768.3199999999999, "end": 770.7199999999999, "text": " Si el 3 se est\u00e1 multiplicando pasa a dividir."}, {"start": 770.7199999999999, "end": 775.92, "text": " Despejando x nos va a quedar m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de un tercio."}, {"start": 775.92, "end": 780.9599999999999, "text": " Eso lo podemos transformar repartiendo ra\u00edz arriba, ra\u00edz abajo."}, {"start": 780.9599999999999, "end": 782.9599999999999, "text": " Ra\u00edz de uno nos da uno."}, {"start": 782.9599999999999, "end": 785.36, "text": " Ra\u00edz de tres la dejamos indicada."}, {"start": 785.36, "end": 790.72, "text": " Y esto lo racionalizamos multiplicando por ra\u00edz de tres arriba y abajo."}, {"start": 790.72, "end": 793.6800000000001, "text": " Para que no nos quede radical en el denominador."}, {"start": 793.6800000000001, "end": 798.96, "text": " Y nos queda que x es igual a m\u00e1s o menos la ra\u00edz de tres sobre tres."}, {"start": 798.96, "end": 804.0, "text": " Estas ser\u00e1n entonces las abscisas de los puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 804.0, "end": 806.64, "text": " Vamos a analizarlas con cavidades de la funci\u00f3n."}, {"start": 806.64, "end": 811.04, "text": " Para lo cual debemos analizar el signo de la segunda derivada."}, {"start": 811.04, "end": 816.3199999999999, "text": " Entonces trazamos una recta que simbolice el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 816.3199999999999, "end": 820.0799999999999, "text": " Recordemos que va de menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 820.0799999999999, "end": 822.0799999999999, "text": " Estos son los valores de x."}, {"start": 822.0799999999999, "end": 828.3199999999999, "text": " Y en ella vamos a localizar los valores en x donde tenemos los puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 828.3199999999999, "end": 832.0, "text": " Los que encontramos en el paso anterior."}, {"start": 832.0, "end": 838.0799999999999, "text": " Entonces tenemos menos ra\u00edz de tres sobre tres y ra\u00edz de tres sobre tres."}, {"start": 838.08, "end": 842.64, "text": " Estas ser\u00e1n entonces las abscisas de los puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 842.64, "end": 846.0, "text": " Realizando estas operaciones en la calculadora."}, {"start": 846.0, "end": 851.0400000000001, "text": " Tendremos por aqu\u00ed un resultado aproximado de menos cero punto cincuenta y ocho."}, {"start": 851.0400000000001, "end": 854.24, "text": " Y ac\u00e1 de cero punto cincuenta y ocho."}, {"start": 854.24, "end": 858.1600000000001, "text": " Entonces vamos a seleccionar n\u00fameros de cada uno de los intervalos."}, {"start": 858.1600000000001, "end": 860.08, "text": " Por ejemplo, el primer intervalo."}, {"start": 860.08, "end": 864.1600000000001, "text": " Escogemos un n\u00famero que est\u00e9 comprendido entre menos cero punto cincuenta y ocho."}, {"start": 864.1600000000001, "end": 865.36, "text": " Y menos infinito."}, {"start": 865.36, "end": 866.72, "text": " Puede ser el menos uno."}, {"start": 866.72, "end": 868.24, "text": " El segundo intervalo."}, {"start": 868.24, "end": 873.28, "text": " Un n\u00famero que est\u00e9 comprendido entre menos cero punto cincuenta y ocho y cero punto cincuenta y ocho."}, {"start": 873.28, "end": 874.64, "text": " Puede ser el cero."}, {"start": 874.64, "end": 876.64, "text": " Y del \u00faltimo intervalo."}, {"start": 876.64, "end": 881.28, "text": " Un n\u00famero que est\u00e9 m\u00e1s all\u00e1 de cero punto cincuenta y ocho que puede ser el uno."}, {"start": 881.28, "end": 885.28, "text": " Remplazamos cada uno de los valores elegidos en la segunda derivada."}, {"start": 885.28, "end": 888.8000000000001, "text": " Entonces en el primer intervalo si reemplazamos el menos uno."}, {"start": 888.8000000000001, "end": 890.5600000000001, "text": " Aqu\u00ed en la segunda derivada."}, {"start": 890.5600000000001, "end": 894.24, "text": " Tendremos arriba signo positivo."}, {"start": 894.24, "end": 896.96, "text": " Y abajo tambi\u00e9n signo positivo."}, {"start": 896.96, "end": 899.12, "text": " Lo que nos da signo positivo."}, {"start": 899.12, "end": 904.08, "text": " Eso quiere decir que en el primer intervalo la funci\u00f3n ser\u00e1 c\u00f3ncava hacia arriba."}, {"start": 904.08, "end": 906.48, "text": " Y lo podemos simbolizar de esta manera."}, {"start": 906.48, "end": 908.24, "text": " Vamos al siguiente intervalo."}, {"start": 908.24, "end": 910.72, "text": " Vamos a reemplazar en la segunda derivada."}, {"start": 910.72, "end": 911.76, "text": " El cero."}, {"start": 911.76, "end": 913.12, "text": " El valor que escogimos."}, {"start": 913.12, "end": 914.08, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 914.08, "end": 915.6800000000001, "text": " Si reemplazamos en el numerador."}, {"start": 915.6800000000001, "end": 916.96, "text": " Eso nos da negativo."}, {"start": 916.96, "end": 920.64, "text": " Y si reemplazamos en el denominador nos da positivo."}, {"start": 920.64, "end": 922.96, "text": " Negativo con positivo nos da negativo."}, {"start": 922.96, "end": 928.48, "text": " Y eso quiere decir que en este intervalo la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 928.48, "end": 932.1600000000001, "text": " Por \u00faltimo reemplazamos el uno en la segunda derivada."}, {"start": 932.1600000000001, "end": 935.0400000000001, "text": " Evaluamos la segunda derivada en el uno."}, {"start": 935.0400000000001, "end": 936.72, "text": " Y miramos el signo."}, {"start": 936.72, "end": 937.9200000000001, "text": " En el numerador."}, {"start": 937.9200000000001, "end": 938.96, "text": " Reemplazando."}, {"start": 938.96, "end": 941.0400000000001, "text": " Nos queda signo positivo."}, {"start": 941.0400000000001, "end": 942.72, "text": " Y en el denominador tambi\u00e9n."}, {"start": 942.72, "end": 943.9200000000001, "text": " Signo positivo."}, {"start": 943.9200000000001, "end": 945.44, "text": " Vamos a quitar esta de x."}, {"start": 945.44, "end": 948.0, "text": " Positivo con positivo nos da positivo."}, {"start": 948.0, "end": 953.12, "text": " Lo cual significa que en este intervalo la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia arriba."}, {"start": 953.12, "end": 956.32, "text": " Vamos a determinar las coordenadas de los puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 956.32, "end": 957.68, "text": " Punto de inflexi\u00f3n uno."}, {"start": 957.68, "end": 961.28, "text": " Ser\u00e1 el que tiene abscisa menos ra\u00edz de tres tercios."}, {"start": 961.28, "end": 963.2, "text": " Ahora calculamos la ordenada."}, {"start": 963.2, "end": 965.04, "text": " Y el punto de inflexi\u00f3n dos."}, {"start": 965.04, "end": 968.72, "text": " Es el que tiene abscisa ra\u00edz de tres tercios."}, {"start": 968.72, "end": 971.52, "text": " Y vamos a calcular tambi\u00e9n su ordenada."}, {"start": 971.52, "end": 975.52, "text": " Para calcular las ordenadas debemos entrar en la funci\u00f3n original."}, {"start": 975.52, "end": 976.8, "text": " Con estos valores."}, {"start": 976.8, "end": 979.3599999999999, "text": " Vamos a entrar con menos ra\u00edz de tres tercios."}, {"start": 979.3599999999999, "end": 980.8, "text": " A la funci\u00f3n original."}, {"start": 980.8, "end": 984.4799999999999, "text": " Esto quedar\u00eda uno sobre uno m\u00e1s."}, {"start": 984.4799999999999, "end": 987.4399999999999, "text": " El n\u00famero que vamos a evaluar que es."}, {"start": 987.4399999999999, "end": 990.24, "text": " Menos ra\u00edz de tres tercios al cuadrado."}, {"start": 990.24, "end": 992.9599999999999, "text": " Eso lo resolvemos. Quedar\u00eda aqu\u00ed el uno."}, {"start": 992.9599999999999, "end": 995.4399999999999, "text": " He estado resolviendo esta potencia."}, {"start": 995.4399999999999, "end": 997.76, "text": " Eso nos queda tres novenos positivo."}, {"start": 997.76, "end": 999.12, "text": " Es decir un tercio."}, {"start": 999.12, "end": 1001.12, "text": " Entonces uno m\u00e1s un tercio."}, {"start": 1001.12, "end": 1004.16, "text": " Nos queda uno sobre esta sumita."}, {"start": 1004.16, "end": 1005.3599999999999, "text": " Uno m\u00e1s un tercio."}, {"start": 1005.36, "end": 1007.92, "text": " Eso nos da cuatro tercios."}, {"start": 1007.92, "end": 1009.84, "text": " Y resolviendo esta divisi\u00f3n."}, {"start": 1009.84, "end": 1012.08, "text": " Nos queda tres cuartos."}, {"start": 1012.08, "end": 1014.96, "text": " Si hacemos el reemplazo con ra\u00edz de tres tercios."}, {"start": 1014.96, "end": 1017.6, "text": " Vemos que es exactamente lo mismo."}, {"start": 1017.6, "end": 1018.08, "text": " Si."}, {"start": 1018.08, "end": 1020.08, "text": " Obtendr\u00edamos tambi\u00e9n el valor tres cuartos."}, {"start": 1020.08, "end": 1022.4, "text": " Por lo tanto las ordenadas."}, {"start": 1022.4, "end": 1024.0, "text": " De los puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 1024.0, "end": 1025.44, "text": " Ser\u00e1n tres cuartos."}, {"start": 1025.44, "end": 1027.6, "text": " Y entonces ya podemos entrar."}, {"start": 1027.6, "end": 1030.4, "text": " A dar la respuesta a la pregunta C."}, {"start": 1030.4, "end": 1031.2, "text": " Nos dec\u00edan."}, {"start": 1031.2, "end": 1033.76, "text": " Determine los puntos de inflexi\u00f3n si los hay."}, {"start": 1033.76, "end": 1034.56, "text": " Aqu\u00ed est\u00e1n."}, {"start": 1034.56, "end": 1036.56, "text": " Entonces los puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 1036.56, "end": 1039.44, "text": " Si sus respectivas coordenadas."}, {"start": 1039.44, "end": 1040.8799999999999, "text": " Y tambi\u00e9n debemos establecer."}, {"start": 1040.8799999999999, "end": 1042.8799999999999, "text": " Donde la funci\u00f3n es con cava hacia arriba."}, {"start": 1042.8799999999999, "end": 1044.8799999999999, "text": " Y donde es con cava hacia abajo."}, {"start": 1044.8799999999999, "end": 1047.6799999999998, "text": " Entonces podemos decir que la funci\u00f3n es."}, {"start": 1047.6799999999998, "end": 1049.28, "text": " Con cava hacia arriba."}, {"start": 1049.28, "end": 1050.48, "text": " Para los x."}, {"start": 1050.48, "end": 1052.8799999999999, "text": " Que pertenecen al intervalo que va."}, {"start": 1052.8799999999999, "end": 1054.3999999999999, "text": " Desde menos infinito."}, {"start": 1054.3999999999999, "end": 1057.12, "text": " Hasta menos ra\u00edz de tres tercios."}, {"start": 1057.12, "end": 1058.48, "text": " Y."}, {"start": 1058.48, "end": 1059.76, "text": " Para los x."}, {"start": 1059.76, "end": 1060.6399999999999, "text": " Que van."}, {"start": 1060.6399999999999, "end": 1062.8, "text": " Desde ra\u00edz de tres tercios."}, {"start": 1062.8, "end": 1064.6399999999999, "text": " Hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 1064.6399999999999, "end": 1066.3999999999999, "text": " Esto fue lo que nos dio."}, {"start": 1066.3999999999999, "end": 1068.3999999999999, "text": " En el an\u00e1lisis de las concavidadas."}, {"start": 1068.3999999999999, "end": 1070.3999999999999, "text": " Y la funci\u00f3n es."}, {"start": 1070.3999999999999, "end": 1072.3999999999999, "text": " Con cava hacia abajo."}, {"start": 1072.3999999999999, "end": 1073.84, "text": " Para los x."}, {"start": 1073.84, "end": 1075.6, "text": " Que van desde."}, {"start": 1075.6, "end": 1078.1599999999999, "text": " Menos ra\u00edz de tres tercios."}, {"start": 1078.1599999999999, "end": 1080.8799999999999, "text": " Hasta ra\u00edz de tres tercios."}, {"start": 1080.8799999999999, "end": 1082.1599999999999, "text": " Intervalo abierto."}, {"start": 1082.1599999999999, "end": 1083.52, "text": " De esta manera entonces."}, {"start": 1083.52, "end": 1085.28, "text": " Hemos dado respuesta."}, {"start": 1085.28, "end": 1087.28, "text": " A la pregunta C."}, {"start": 1087.28, "end": 1089.28, "text": " Del problema."}, {"start": 1090.24, "end": 1092.24, "text": " Para determinar si la funci\u00f3n original."}, {"start": 1092.24, "end": 1094.0, "text": " Tiene as\u00edntotas."}, {"start": 1094.0, "end": 1096.0, "text": " Entonces nos fijamos en lo siguiente."}, {"start": 1096.0, "end": 1098.0, "text": " Se trata de una funci\u00f3n racional."}, {"start": 1098.0, "end": 1100.0, "text": " Donde el grado del numerador."}, {"start": 1100.0, "end": 1102.96, "text": " Es menor que el grado del denominador."}, {"start": 1102.96, "end": 1105.6, "text": " Vemos que ac\u00e1 arriba no est\u00e1 la variable x."}, {"start": 1105.6, "end": 1108.72, "text": " Por lo tanto decimos que el numerador es de grado cero."}, {"start": 1108.72, "end": 1111.36, "text": " Y que el denominador es de grado dos."}, {"start": 1111.36, "end": 1114.32, "text": " Por lo tanto decimos que es una funci\u00f3n propia."}, {"start": 1114.32, "end": 1115.52, "text": " Si es una funci\u00f3n propia."}, {"start": 1115.52, "end": 1117.52, "text": " Solo tiene la posibilidad de que tenga."}, {"start": 1117.52, "end": 1119.04, "text": " As\u00edntotas verticales."}, {"start": 1119.04, "end": 1121.04, "text": " O as\u00edntotas horizontales."}, {"start": 1121.04, "end": 1123.6, "text": " Fijemos que para esta funci\u00f3n el dominio."}, {"start": 1123.6, "end": 1125.6, "text": " Eran todos los reales."}, {"start": 1125.6, "end": 1129.04, "text": " Por lo tanto all\u00ed no vamos a tener as\u00edntotas verticales."}, {"start": 1129.04, "end": 1131.04, "text": " Si es una funci\u00f3n perfectamente."}, {"start": 1131.04, "end": 1134.72, "text": " Continua en el conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 1134.72, "end": 1137.2, "text": " Por lo tanto no tiene ninguna interrupci\u00f3n."}, {"start": 1137.2, "end": 1138.72, "text": " En forma de as\u00edntotas."}, {"start": 1138.72, "end": 1140.72, "text": " Entonces procedemos a mirar."}, {"start": 1140.72, "end": 1143.68, "text": " Si hay as\u00edntotas horizontales."}, {"start": 1143.68, "end": 1145.68, "text": " Y esto se determina."}, {"start": 1145.68, "end": 1146.8799999999999, "text": " Tomando."}, {"start": 1146.8799999999999, "end": 1149.76, "text": " El l\u00edmite de la funci\u00f3n."}, {"start": 1149.76, "end": 1153.44, "text": " Cuando x tiende a menos infinito."}, {"start": 1153.44, "end": 1156.48, "text": " Y luego cuando x tiende a m\u00e1s infinito."}, {"start": 1156.48, "end": 1158.0, "text": " Empecemos con menos infinito."}, {"start": 1158.0, "end": 1161.28, "text": " Ser\u00eda entonces el l\u00edmite de la funci\u00f3n original."}, {"start": 1161.28, "end": 1163.6, "text": " Uno sobre uno m\u00e1s x cuadrado."}, {"start": 1163.6, "end": 1166.4, "text": " Cuando x tiende a menos infinito."}, {"start": 1166.4, "end": 1168.08, "text": " Hagamos el reemplazo."}, {"start": 1168.08, "end": 1170.96, "text": " Donde est\u00e1 la x vamos a colocar el menos infinito."}, {"start": 1170.96, "end": 1172.48, "text": " Y analizamos que sucede."}, {"start": 1172.48, "end": 1173.76, "text": " Entonces tenemos."}, {"start": 1173.76, "end": 1176.72, "text": " Uno sobre menos infinito al cuadrado."}, {"start": 1176.72, "end": 1178.4, "text": " Eso nos da infinito positivo."}, {"start": 1178.4, "end": 1180.96, "text": " Infinito positivo m\u00e1s uno nos da infinito."}, {"start": 1180.96, "end": 1182.3200000000002, "text": " Y uno sobre infinito."}, {"start": 1182.3200000000002, "end": 1183.76, "text": " Esto tiende a cero."}, {"start": 1183.76, "end": 1184.96, "text": " Si lo hacemos."}, {"start": 1184.96, "end": 1187.8400000000001, "text": " Cuando x tiende a infinito positivo."}, {"start": 1187.8400000000001, "end": 1189.2, "text": " A m\u00e1s infinito."}, {"start": 1189.2, "end": 1192.0800000000002, "text": " Ser\u00e1 un proceso exactamente como este."}, {"start": 1192.0800000000002, "end": 1192.8000000000002, "text": " Es decir."}, {"start": 1192.8000000000002, "end": 1193.92, "text": " Cambiando aqu\u00ed."}, {"start": 1193.92, "end": 1195.2800000000002, "text": " En lugar de menos infinito."}, {"start": 1195.2800000000002, "end": 1197.1200000000001, "text": " Cambiaremos por m\u00e1s infinito."}, {"start": 1197.1200000000001, "end": 1199.44, "text": " Pero al final llegar\u00edamos al mismo resultado."}, {"start": 1199.44, "end": 1202.0800000000002, "text": " Por lo tanto podemos pasar directamente al cero."}, {"start": 1202.0800000000002, "end": 1203.44, "text": " \u00bfQu\u00e9 significa eso entonces?"}, {"start": 1203.44, "end": 1204.72, "text": " Que para esta funci\u00f3n."}, {"start": 1204.72, "end": 1206.5600000000002, "text": " Cuando x tiende hacia menos infinito."}, {"start": 1206.56, "end": 1208.56, "text": " Tenemos una as\u00edntota horizontal."}, {"start": 1208.56, "end": 1210.3999999999999, "text": " Que es la recta y igual a cero."}, {"start": 1210.3999999999999, "end": 1212.6399999999999, "text": " Y cuando x tiende hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1212.6399999999999, "end": 1213.84, "text": " Es decir hacia la derecha."}, {"start": 1213.84, "end": 1216.32, "text": " Tenemos la misma recta y igual a cero."}, {"start": 1216.32, "end": 1218.3999999999999, "text": " Como as\u00edntota horizontal."}, {"start": 1218.3999999999999, "end": 1219.36, "text": " Conclusi\u00f3n."}, {"start": 1219.36, "end": 1221.28, "text": " La as\u00edntota horizontal."}, {"start": 1221.28, "end": 1223.52, "text": " Ser\u00e1 la recta y igual a cero."}, {"start": 1223.52, "end": 1224.3999999999999, "text": " Es decir."}, {"start": 1224.3999999999999, "end": 1226.48, "text": " El mismo eje x."}, {"start": 1226.48, "end": 1227.76, "text": " El eje de las x."}, {"start": 1227.76, "end": 1228.48, "text": " Ser\u00e1."}, {"start": 1228.48, "end": 1230.8, "text": " La as\u00edntota horizontal."}, {"start": 1230.8, "end": 1232.56, "text": " Para esta funci\u00f3n."}, {"start": 1232.56, "end": 1234.72, "text": " Y es la \u00fanica as\u00edntota."}, {"start": 1234.72, "end": 1236.72, "text": " Que presenta la gr\u00e1fica."}, {"start": 1238.88, "end": 1240.56, "text": " Aunque este problema."}, {"start": 1240.56, "end": 1242.0, "text": " No nos pide la gr\u00e1fica."}, {"start": 1242.0, "end": 1242.96, "text": " Y la funci\u00f3n."}, {"start": 1242.96, "end": 1244.16, "text": " Vamos a dibujarla."}, {"start": 1244.16, "end": 1246.32, "text": " Para apreciar todo lo que acabamos."}, {"start": 1246.32, "end": 1247.52, "text": " De obtener."}, {"start": 1247.52, "end": 1249.1200000000001, "text": " En los pasos anteriores."}, {"start": 1249.1200000000001, "end": 1249.92, "text": " Entonces."}, {"start": 1249.92, "end": 1252.24, "text": " Ten\u00edamos por ejemplo punto cr\u00edtico."}, {"start": 1252.24, "end": 1253.76, "text": " En cero coma uno."}, {"start": 1253.76, "end": 1254.64, "text": " Es decir aqu\u00ed."}, {"start": 1254.64, "end": 1256.4, "text": " Ten\u00edamos puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 1256.4, "end": 1258.4, "text": " En las coordenadas."}, {"start": 1258.4, "end": 1259.28, "text": " M\u00e1s o menos."}, {"start": 1259.28, "end": 1260.64, "text": " Rai de tres sobre tres."}, {"start": 1260.64, "end": 1262.64, "text": " Coma tres cuartos."}, {"start": 1263.04, "end": 1264.32, "text": " Que dijimos."}, {"start": 1264.32, "end": 1266.08, "text": " Que esto equivale en decimal."}, {"start": 1266.08, "end": 1267.6, "text": " A cero cincuenta y ocho."}, {"start": 1267.6, "end": 1269.28, "text": " Entonces ser\u00eda m\u00e1s o menos."}, {"start": 1269.28, "end": 1271.28, "text": " Cero cincuenta y ocho coma."}, {"start": 1271.28, "end": 1273.28, "text": " Cero punto setenta y cinco."}, {"start": 1273.28, "end": 1274.96, "text": " Que es el tres cuartos."}, {"start": 1274.96, "end": 1277.6, "text": " Entonces vamos a ubicarlos aproximadamente."}, {"start": 1277.6, "end": 1278.8799999999999, "text": " Esto puede ser como."}, {"start": 1278.8799999999999, "end": 1281.28, "text": " Cero punto seis menos cero punto seis."}, {"start": 1281.28, "end": 1282.8799999999999, "text": " Sube hasta cero setenta y cinco."}, {"start": 1282.8799999999999, "end": 1284.1599999999999, "text": " M\u00e1s o menos por ac\u00e1."}, {"start": 1284.1599999999999, "end": 1286.32, "text": " Y ac\u00e1 cero punto seis positivo."}, {"start": 1286.32, "end": 1288.08, "text": " Que sube hasta cero setenta y cinco."}, {"start": 1288.08, "end": 1289.28, "text": " M\u00e1s o menos por ac\u00e1."}, {"start": 1289.28, "end": 1290.8, "text": " All\u00ed tendr\u00edamos ubicados."}, {"start": 1290.8, "end": 1292.3999999999999, "text": " Los puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 1292.4, "end": 1294.72, "text": " Y tambi\u00e9n hemos determinado."}, {"start": 1294.72, "end": 1297.6000000000001, "text": " Que el eje x ser\u00e1 as\u00edntota."}, {"start": 1297.6000000000001, "end": 1299.0400000000002, "text": " En la funci\u00f3n."}, {"start": 1299.0400000000002, "end": 1300.72, "text": " As\u00edntota horizontal."}, {"start": 1300.72, "end": 1303.2, "text": " Dec\u00edamos tambi\u00e9n que el no viene a todos los reales."}, {"start": 1303.2, "end": 1305.0400000000002, "text": " O sea que la funci\u00f3n va a ser continua."}, {"start": 1305.0400000000002, "end": 1307.2, "text": " En todos los n\u00fameros del eje x."}, {"start": 1307.2, "end": 1309.44, "text": " Y ya procediendo a darle forma."}, {"start": 1309.44, "end": 1310.24, "text": " A la curva."}, {"start": 1310.24, "end": 1312.24, "text": " Si tiene que ser una curva suave."}, {"start": 1312.24, "end": 1314.24, "text": " Entonces m\u00e1s o menos tendr\u00e1."}, {"start": 1314.24, "end": 1316.0, "text": " Este aspecto."}, {"start": 1316.0, "end": 1317.2800000000002, "text": " Hab\u00edamos dicho que aqu\u00ed."}, {"start": 1317.2800000000002, "end": 1320.88, "text": " El punto cero coma uno ten\u00edamos un m\u00e1ximo."}, {"start": 1320.88, "end": 1322.64, "text": " Que iba hacia el absoluto."}, {"start": 1322.64, "end": 1324.0800000000002, "text": " Y entonces la curva."}, {"start": 1324.0800000000002, "end": 1325.2800000000002, "text": " Va a tener."}, {"start": 1325.2800000000002, "end": 1327.0400000000002, "text": " M\u00e1s o menos esta forma."}, {"start": 1327.0400000000002, "end": 1328.5600000000002, "text": " Ella sigue para all\u00e1."}, {"start": 1328.5600000000002, "end": 1329.92, "text": " Y sigue tambi\u00e9n hacia all\u00e1."}, {"start": 1329.92, "end": 1332.64, "text": " Buscando aproximarse cada vez m\u00e1s al eje x."}, {"start": 1332.64, "end": 1333.92, "text": " Pero sin llevar contacto."}, {"start": 1333.92, "end": 1335.8400000000001, "text": " Tanto hacia menos infinito."}, {"start": 1335.8400000000001, "end": 1337.8400000000001, "text": " Como hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1337.8400000000001, "end": 1340.8000000000002, "text": " Por eso el comportamiento de as\u00edntota."}, {"start": 1340.8000000000002, "end": 1342.72, "text": " Horizontal para el eje de las x."}, {"start": 1342.72, "end": 1344.0800000000002, "text": " Entonces aqu\u00ed ten\u00edamos."}, {"start": 1344.0800000000002, "end": 1347.1200000000001, "text": " El punto de inflexi\u00f3n uno."}, {"start": 1347.1200000000001, "end": 1349.8400000000001, "text": " Si el punto donde se presenta cambia con calidad."}, {"start": 1349.84, "end": 1352.0, "text": " Este que era el punto cr\u00edtico."}, {"start": 1352.0, "end": 1354.9599999999998, "text": " Que dijimos que era el m\u00e1ximo absoluto."}, {"start": 1354.9599999999998, "end": 1358.24, "text": " Ah\u00ed se ve claramente que es el punto m\u00e1s alto de la funci\u00f3n."}, {"start": 1358.24, "end": 1360.08, "text": " Si ninguno le gana."}, {"start": 1360.08, "end": 1362.6399999999999, "text": " Y aqu\u00ed tenemos el otro punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 1362.6399999999999, "end": 1364.56, "text": " Punto de inflexi\u00f3n dos."}, {"start": 1364.56, "end": 1366.8, "text": " Entonces all\u00ed se puede apreciar."}, {"start": 1366.8, "end": 1368.3999999999999, "text": " Todos los datos."}, {"start": 1368.3999999999999, "end": 1371.12, "text": " Toda la informaci\u00f3n que se logr\u00f3 obtener."}, {"start": 1371.12, "end": 1372.48, "text": " En este ejercicio."}, {"start": 1372.48, "end": 1380.16, "text": " En los pasos anteriores."}]