INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y PARTES - Ejercicio 1 (Parte 1)
#julioprofe explica cómo solucionar una integral usando los métodos de sustitución y partes.

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 Vamos a solucionar esta integral comenzando por una sustitución Vamos a llamar por ejemplo P a este componente que es raíz cuadrada de X Vamos a resaltarlo Recordemos que raíz cuadrada de X viene siendo lo mismo que X elevado a la 1 medio y entonces vamos a derivar P con respecto a X Entonces la derivada de esto con respecto a X sería 1 medio de X elevado a la menos 1 medio Tendremos que de P de X es igual a 1 sobre 2X a la 1 medio Es decir bajamos esta potencia para que quede con exponente positivo Vamos a seguirlo por acá Nos queda entonces que de P de X es igual a 1 sobre 2 raíz cuadrada de X Cambiamos X a la 1 medio nuevamente por raíz cuadrada de X Y de aquí vamos a despejar de X Vamos a despejar la diferencia a la original para posteriormente reconstruir la integral en términos de la variable P Entonces hacemos multiplicación en cruz Decimos de X por 1 nos da de X es igual al producto de estos dos elementos Que sería entonces 2 raíz cuadrada de X por dP Pero podemos observar que raíz cuadrada de X equivale a P Por lo tanto aquí podemos cambiar raíz cuadrada de X por la letra P Y nos queda que de X es igual a 2P por dP Y entonces resaltamos esto para reconstruir nuestra integral en términos de P Entonces la integral nos queda así Integral de tan la menos 1 de raíz de X La raíz de X vale P por dX que vale 2P con su correspondiente diferencial dP Entonces hemos visto como haciendo la sustitución reconstruimos la integral en términos de una nueva variable que es la letra P A continuación vamos a resolver esta integral por el método de partes Vamos a usar el método de integración por partes Recordemos que en partes debemos definir quien es U y quien es D Entonces vamos a clasificar las dos funciones que tenemos aquí en las categorías de ilate Para determinar quien hace el papel de la U Recordemos que ilate quiere decir función inversa logarítmica, algebraica, trigonométrica y exponencial Targente la menos 1 de P corresponde a la categoría de las funciones inversas Y lo que es 2P corresponde a la categoría de las funciones algebraicas Entonces tenemos I y tenemos A Si leemos la palabra ilate de izquierda a derecha vemos que la primera letra que nos encontramos entre la I y la A es esta Por lo tanto esa será la que hace el papel de la U Entonces la función tangente a la menos 1 de P será U Y el resto de la expresión, es decir 2P con su respectivo diferencial de P será lo que hace el papel de D Para proceder entonces a realizar el método de integración por partes Entonces tenemos U es igual a tangente a la menos 1 de P Vamos a destacar esto Y esto lo vamos a derivar con respecto a la letra P Entonces nos queda D U D P es igual a la derivada de tangente a la menos 1 de P será 1 sobre P al cuadrado más 1 Y de aquí vamos a despejar D U Entonces simplemente pasamos D P que se encuentra dividiendo a multiplicar al otro lado Entonces lo podemos escribir así D U es igual a D P, D P viene a multiplicar con 1, entonces se sitúa en el numerador nos queda D P sobre P al cuadrado más 1 Y de esta manera tenemos el componente llamado D U Ya tenemos entonces U y D U Vamos entonces con D B D B será igual a 2P con su respectivo de P también lo vamos a destacar Y entonces esto lo vamos a integrar a ambos lados Colocamos el simbolito de la integral a ambos lados Nos queda entonces aquí la intral de 2P con su respectivo de P Y entonces tenemos que la integral de D B sería B, vamos a escribirla por acá Y la integral de 2P sería 2P al cuadrado sobre 2 Pero aquí podemos simplificar el 2, se cancelaría y nos quedaría simplemente P al cuadrado Entonces vamos a escribir P al cuadrado Y tenemos entonces el componente llamado B Entonces tenemos los cuatro componentes de la fórmula del método de integración por partes Que son U, D U, D B y B Veamos entonces la fórmula a continuación La formulita del método de integración por partes dice así La integral de U por D B es igual a 1B menos la integral vestida de uniforme Es una forma de memorizar esta formulita Entonces vamos a reemplazar los diferentes componentes Veamos quién es U, U es tangente a la menos 1 de P Entonces la reemplazamos por D B que es este 2P por D P Es igual a U que vale tangente a la menos 1 de P Por B que sería P al cuadrado Menos la integral de D que es P al cuadrado multiplicado por D U Y D U es esta expresión de P sobre P al cuadrado más 1
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Entonces la funci\u00f3n tangente a la menos 1 de P ser\u00e1 U"}, {"start": 242.0, "end": 254.0, "text": " Y el resto de la expresi\u00f3n, es decir 2P con su respectivo diferencial de P ser\u00e1 lo que hace el papel de D"}, {"start": 254.0, "end": 262.0, "text": " Para proceder entonces a realizar el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes"}, {"start": 262.0, "end": 270.0, "text": " Entonces tenemos U es igual a tangente a la menos 1 de P"}, {"start": 270.0, "end": 274.0, "text": " Vamos a destacar esto"}, {"start": 274.0, "end": 279.0, "text": " Y esto lo vamos a derivar con respecto a la letra P"}, {"start": 279.0, "end": 292.0, "text": " Entonces nos queda D U D P es igual a la derivada de tangente a la menos 1 de P ser\u00e1 1 sobre P al cuadrado m\u00e1s 1"}, {"start": 292.0, "end": 295.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar D U"}, {"start": 295.0, "end": 301.0, "text": " Entonces simplemente pasamos D P que se encuentra dividiendo a multiplicar al otro lado"}, {"start": 301.0, "end": 303.0, "text": " Entonces lo podemos escribir as\u00ed"}, {"start": 303.0, "end": 315.0, "text": " D U es igual a D P, D P viene a multiplicar con 1, entonces se sit\u00faa en el numerador nos queda D P sobre P al cuadrado m\u00e1s 1"}, {"start": 315.0, "end": 320.0, "text": " Y de esta manera tenemos el componente llamado D U"}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Ya tenemos entonces U y D U"}, {"start": 323.0, "end": 326.0, "text": " Vamos entonces con D B"}, {"start": 326.0, "end": 338.0, "text": " D B ser\u00e1 igual a 2P con su respectivo de P tambi\u00e9n lo vamos a destacar"}, {"start": 338.0, "end": 344.0, "text": " Y entonces esto lo vamos a integrar a ambos lados"}, {"start": 344.0, "end": 347.0, "text": " Colocamos el simbolito de la integral a ambos lados"}, {"start": 347.0, "end": 352.0, "text": " Nos queda entonces aqu\u00ed la intral de 2P con su respectivo de P"}, {"start": 352.0, "end": 358.0, "text": " Y entonces tenemos que la integral de D B ser\u00eda B, vamos a escribirla por ac\u00e1"}, {"start": 358.0, "end": 365.0, "text": " Y la integral de 2P ser\u00eda 2P al cuadrado sobre 2"}, {"start": 365.0, "end": 372.0, "text": " Pero aqu\u00ed podemos simplificar el 2, se cancelar\u00eda y nos quedar\u00eda simplemente P al cuadrado"}, {"start": 372.0, "end": 376.0, "text": " Entonces vamos a escribir P al cuadrado"}, {"start": 376.0, "end": 381.0, "text": " Y tenemos entonces el componente llamado B"}, {"start": 381.0, "end": 387.0, "text": " Entonces tenemos los cuatro componentes de la f\u00f3rmula del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes"}, {"start": 387.0, "end": 391.0, "text": " Que son U, D U, D B y B"}, {"start": 391.0, "end": 394.0, "text": " Veamos entonces la f\u00f3rmula a continuaci\u00f3n"}, {"start": 394.0, "end": 399.0, "text": " La formulita del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes dice as\u00ed"}, {"start": 399.0, "end": 412.0, "text": " La integral de U por D B es igual a 1B menos la integral vestida de uniforme"}, {"start": 412.0, "end": 416.0, "text": " Es una forma de memorizar esta formulita"}, {"start": 416.0, "end": 419.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar los diferentes componentes"}, {"start": 419.0, "end": 424.0, "text": " Veamos qui\u00e9n es U, U es tangente a la menos 1 de P"}, {"start": 424.0, "end": 434.0, "text": " Entonces la reemplazamos por D B que es este 2P por D P"}, {"start": 434.0, "end": 441.0, "text": " Es igual a U que vale tangente a la menos 1 de P"}, {"start": 441.0, "end": 446.0, "text": " Por B que ser\u00eda P al cuadrado"}, {"start": 446.0, "end": 456.0, "text": " Menos la integral de D que es P al cuadrado multiplicado por D U"}, {"start": 456.0, "end": 479.0, "text": " Y D U es esta expresi\u00f3n de P sobre P al cuadrado m\u00e1s 1"}]