DESIGUALDADES CUADRÁTICAS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad o inecuación cuadrática (o de segundo grado).

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 Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad. Para comenzar aplicamos la propiedad distributiva, vamos a repartir esa x. Entonces, x por 2x nos da 2x al cuadrado, x por menos 1 nos da menos x y todo esto es menor o igual que 6. Aquí observamos que se trata de una desigualdad cuadrática o de segundo grado y entonces vamos a determinar su conjunto solución. En seguida debemos garantizar que a este lado nos quede el número 0. Para ello vamos a pasar 6 al lado izquierdo. Tendremos entonces 2x al cuadrado menos x menos 6 y todo esto menor o igual que 0. Si está positivo, llega entonces con signo negativo al lado izquierdo. A continuación vamos a factorizar completamente esta expresión. Tenemos allí un trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c. Vamos entonces a realizar detalladamente ese proceso de factorización. Lo primero que tenemos que hacer es multiplicar y dividir este trinomio por el coeficiente principal que es el número 2. Entonces tendremos 2 por, abrimos paréntesis, 2x al cuadrado menos x menos 6 y todo eso nos queda dividido entre 2 y a su vez todo eso es menor o igual que 0. Entonces repetimos, primer paso para factorizar este trinomio es multiplicar y dividir la expresión por su coeficiente principal. En seguida aplicamos la propiedad distributiva en el numerador. Vamos a multiplicar 2 por cada uno de los términos teniendo presente que en el segundo término la multiplicación se deja expresada o indicada. Veamos 2 por 2x al cuadrado nos da 4x al cuadrado menos 2 llega a multiplicar con x. Entonces esto se protege o se asegura en un paréntesis y el coeficiente original que teníamos aquí que es un 1 se deja acá por fuera. Entonces esto es lo que se llama dejar la operación indicada o expresada y luego 2 por menos 6 nos da menos 12. Ahora todo eso continúa sobre 2 y a su vez menor o igual que 0. En seguida vamos a expresar el primer término del numerador como el cuadrado de lo que quedó en paréntesis en el segundo término. Es decir que 4x al cuadrado se puede expresar como 2x y todo eso al cuadrado. Es decir esto que está en paréntesis elevado al cuadrado. Podemos verificar si eso es correcto repartiendo ese exponente 2 porque estas dos cantidades están multiplicando 2 al cuadrado es 4 y tenemos x al cuadrado lo demás se deja como está. De nuevo esa expresión continúa sobre 2 y a su vez todo eso es menor o igual que 0. A continuación podemos aplicar un cambio de variable para esta expresión que tenemos en el numerador. Podemos decir que 2x es ahora la letra p. Y entonces vamos a reconstruir esa expresión. Nos queda entonces p al cuadrado menos 1p o podríamos colocar simplemente p esto menos 12 todo eso sobre 2 y a su vez todo eso es menor o igual que 0. En seguida vamos a factorizar esto que nos quedó en el numerador de esta fracción. Aquí tenemos un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Entonces se factoriza de la siguiente manera. Abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada de este primer término, es decir la raíz cuadrada de p al cuadrado que es p. La escribimos al comienzo de cada paréntesis. En seguida definimos los signos. Aquí tenemos signo positivo invisible, más por menos nos da menos y menos por menos nos da más. Buscamos ahora dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados entre sí nos de menos 12 y que al sumarlos nos de menos 1. Esos números son menos 4 y más 3. Veamos, menos 4 por más 3 da menos 12 y menos 4 sumado con 3 nos da menos 1. Ahora todo eso continúa sobre 2 y a su vez toda esa expresión es menor o igual que 0. Después de haber factorizado completamente el numerador de la expresión deshacemos el cambio de variable, es decir donde tenemos la letra p volvemos a escribir 2x. Entonces eso nos queda 2x menos 4 por 2x más 3, todo eso sobre 2 y a su vez toda esa expresión es menor o igual que 0. Ahora revisamos en cual de estas expresiones podemos extraer factor común. Vemos que en la primera se puede extraer el número 2. Factor de x menos 2. Revisamos la siguiente expresión y vemos que no se puede extraer nada. Se deja entonces igual. Todo eso sigue estando sobre 2 y a su vez toda esa expresión es menor o igual que 0. Luego vemos que es posible simplificar aquí el número 2. Entonces lo cancelamos y nos queda x menos 2 por 2x más 3 y todo eso es menor o igual que 0. Entonces aquí tenemos la factorización completa del trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c que nos había aparecido y esta desigualdad es equivalente con esta. Entonces vamos a llevar esta expresión aquí. Después de tener 0 en el lado derecho y en el lado izquierdo la expresión totalmente factorizada pasamos a buscar los puntos críticos de esta desigualdad. Los puntos críticos para esta desigualdad serán los valores de x que vuelven 0 en el lado izquierdo. Para ello vamos a igualar a 0 cada uno de esos factores. Vamos a despejar el valor de x. Por acá x nos da igual a 2. 2 que está sumando pasa al otro lado a sumar con 0 y por eso nos da 2. Acá primero despejamos 2x. Esto nos queda igual a menos 3. 3 que está sumando pasa al otro lado a restar con 0 y por eso nos da menos 3. Despejando x nos queda menos 3 medios porque 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Entonces estos valores de x serán los puntos críticos para esa desigualdad y como tenemos signo menor o igual entonces ellos se van a tomar. Van a incluirse en la solución por eso se representan con esta bolita llena. Escrevemos entonces esa información por acá y a continuación vamos a realizar el análisis de signos para esta expresión. Para ello trazamos una línea recta que simbolice los valores de x. La letra que tenemos en este caso para el ejercicio. Por acá tendremos más infinito y por acá tendremos menos infinito. Y sobre esa recta vamos a localizar los puntos críticos. Tenemos entonces menos 3 medios y 2 y dijimos que esos puntos críticos se toman. Van a ser parte de la solución. A continuación vamos a seleccionar un valor de prueba de cada uno de esos tres intervalos. Entonces para el primero seleccionamos un valor de x comprendido entre menos infinito y menos 3 medios. Recordemos que esto es menos 1.5. Entonces cualquier número que esté a la izquierda de menos 1.5 sirve para este primer intervalo. Vamos a coger por ejemplo el menos 3. Vamos para el segundo intervalo. Tiene que ser un valor de x comprendido entre menos 3 medios o sea menos 1.5 y 2. Podemos escoger por ejemplo el 0. Y del tercer intervalo, escogemos un valor mayor que 2. Puede ser el número 4. Cada uno de esos valores seleccionados se va a reemplazar en estos factores, es decir en la expresión a la cual debemos analizar sus signos. Entonces vamos a abrir los paréntesis correspondientes a esos dos factores y vamos a reemplazar cada uno de esos números en cada uno de ellos para ver cómo se comporta el signo en cada intervalo. Vamos entonces con el valor del primer intervalo que es menos 3. Lo probamos acá. Menos 3 menos 2 nos da menos 5. Es decir signo menos para el primer factor. Acá 2 por menos 3 nos da menos 6. Menos 6 más 3 nos da menos 3. Es decir signo menos para el segundo factor. Vamos ahora con 0, el valor del segundo intervalo. Aquí 0 menos 2 nos da menos 2. Signo menos para el primer factor. Y acá 2 por 0 nos da 0. 0 más 3 nos da 3 positivo que es el signo del segundo factor. Vamos ahora con x igual a 4. El valor escogido para el tercer intervalo. Aquí 4 menos 2 nos da 2 positivo. Signo más para el primer factor. Y luego aquí con 4 tenemos 2 por 4, 8. 8 más 3, 11 positivo. Y ese es el signo del segundo factor. Luego aplicamos ley de los signos en cada uno de los intervalos. Aquí menos por menos nos da más. Menos por más nos da menos. Y más por más nos da más. Estos son los signos definitivos para cada uno de los intervalos. Como se puede observar la desigualdad dice que esta expresión tiene que ser menor o igual que 0. O sea que esta expresión tiene que ser de signo negativo. Por lo tanto la zona positiva no sirve. Esta tampoco sirve. Y la zona negativa, la zona intermedia es la que sí sirve. Por lo tanto rayamos ese intervalo, lo destacamos y será entonces el conjunto solución. Terminamos entonces el ejercicio escribiendo justamente ese conjunto solución de dos maneras. Vamos con la forma de intervalo. Están los x que pertenecen al intervalo que va desde menos tres medios hasta dos. Es decir esta zona central. Como dijimos que menos tres medios y dos se toman, es decir se incluyen en la solución, entonces llevan corchetes. Se trata de un intervalo cerrado en sus dos extremos. Y la otra forma de presentar la respuesta es como desigualdad. Se leen los valores de x que están comprendidos en esta zona. Es decir que se escribe como menos tres medios, menor o igual que x y esto a su vez menor o igual que 2. Se leen los valores de x comprendidos entre menos tres medios y dos incluyendo los valores extremos. De esta manera terminamos este ejercicio que corresponde a una desigualdad cuadrática o de segundo grado.
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est\u00e1n multiplicando 2 al cuadrado es 4 y tenemos x al cuadrado lo dem\u00e1s se deja como"}, {"start": 197.04000000000002, "end": 198.44, "text": " est\u00e1."}, {"start": 198.44, "end": 206.08, "text": " De nuevo esa expresi\u00f3n contin\u00faa sobre 2 y a su vez todo eso es menor o igual que 0."}, {"start": 206.08, "end": 211.28, "text": " A continuaci\u00f3n podemos aplicar un cambio de variable para esta expresi\u00f3n que tenemos"}, {"start": 211.28, "end": 213.28, "text": " en el numerador."}, {"start": 213.28, "end": 217.88000000000002, "text": " Podemos decir que 2x es ahora la letra p."}, {"start": 217.88, "end": 221.64, "text": " Y entonces vamos a reconstruir esa expresi\u00f3n."}, {"start": 221.64, "end": 231.72, "text": " Nos queda entonces p al cuadrado menos 1p o podr\u00edamos colocar simplemente p esto menos"}, {"start": 231.72, "end": 239.92, "text": " 12 todo eso sobre 2 y a su vez todo eso es menor o igual que 0."}, {"start": 239.92, "end": 245.07999999999998, 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su vez toda esa expresi\u00f3n"}, {"start": 332.71999999999997, "end": 336.18, "text": " es menor o igual que 0."}, {"start": 336.18, "end": 341.76, "text": " Ahora revisamos en cual de estas expresiones podemos extraer factor com\u00fan."}, {"start": 341.76, "end": 346.0, "text": " Vemos que en la primera se puede extraer el n\u00famero 2."}, {"start": 346.0, "end": 350.72, "text": " Factor de x menos 2."}, {"start": 350.72, "end": 355.4, "text": " Revisamos la siguiente expresi\u00f3n y vemos que no se puede extraer nada."}, {"start": 355.4, "end": 358.28, "text": " Se deja entonces igual."}, {"start": 358.28, "end": 366.44, "text": " Todo eso sigue estando sobre 2 y a su vez toda esa expresi\u00f3n es menor o igual que 0."}, {"start": 366.44, "end": 370.76, "text": " Luego vemos que es posible simplificar aqu\u00ed el n\u00famero 2."}, {"start": 370.76, "end": 384.92, "text": " Entonces lo cancelamos y nos queda x menos 2 por 2x m\u00e1s 3 y todo eso es menor o igual"}, {"start": 384.92, "end": 386.96, "text": " que 0."}, {"start": 386.96, "end": 392.71999999999997, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos la factorizaci\u00f3n completa del trinomio de la forma ax al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 392.71999999999997, "end": 400.03999999999996, "text": " bx m\u00e1s c que nos hab\u00eda aparecido y esta desigualdad es equivalente con esta."}, {"start": 400.04, "end": 403.56, "text": " Entonces vamos a llevar esta expresi\u00f3n aqu\u00ed."}, {"start": 403.56, "end": 409.12, "text": " Despu\u00e9s de tener 0 en el lado derecho y en el lado izquierdo la expresi\u00f3n totalmente"}, {"start": 409.12, "end": 415.3, "text": " factorizada pasamos a buscar los puntos cr\u00edticos de esta desigualdad."}, {"start": 415.3, "end": 421.04, "text": " Los puntos cr\u00edticos para esta desigualdad ser\u00e1n los valores de x que vuelven 0 en el"}, {"start": 421.04, "end": 422.58000000000004, "text": " lado izquierdo."}, {"start": 422.58000000000004, "end": 427.64000000000004, "text": " Para ello vamos a igualar a 0 cada uno de esos factores."}, {"start": 427.64, "end": 440.0, "text": " Vamos a despejar el valor de x."}, {"start": 440.0, "end": 442.64, "text": " Por ac\u00e1 x nos da igual a 2."}, {"start": 442.64, "end": 448.91999999999996, "text": " 2 que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a sumar con 0 y por eso nos da 2."}, {"start": 448.91999999999996, "end": 451.28, "text": " Ac\u00e1 primero despejamos 2x."}, {"start": 451.28, "end": 453.15999999999997, "text": " Esto nos queda igual a menos 3."}, {"start": 453.16, "end": 460.08000000000004, "text": " 3 que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar con 0 y por eso nos da menos 3."}, {"start": 460.08000000000004, "end": 466.78000000000003, "text": " Despejando x nos queda menos 3 medios porque 2 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado"}, {"start": 466.78000000000003, "end": 468.92, "text": " a dividir."}, {"start": 468.92, "end": 475.28000000000003, "text": " Entonces estos valores de x ser\u00e1n los puntos cr\u00edticos para esa desigualdad y como tenemos"}, {"start": 475.28000000000003, "end": 479.68, "text": " signo menor o igual entonces ellos se van a tomar."}, {"start": 479.68, "end": 486.08, "text": " Van a incluirse en la soluci\u00f3n por eso se representan con esta bolita llena."}, {"start": 486.08, "end": 492.16, "text": " Escrevemos entonces esa informaci\u00f3n por ac\u00e1 y a continuaci\u00f3n vamos a realizar el an\u00e1lisis"}, {"start": 492.16, "end": 496.04, "text": " de signos para esta expresi\u00f3n."}, {"start": 496.04, "end": 500.6, "text": " Para ello trazamos una l\u00ednea recta que simbolice los valores de x."}, {"start": 500.6, "end": 504.04, "text": " La letra que tenemos en este caso para el ejercicio."}, {"start": 504.04, "end": 509.06, "text": " Por ac\u00e1 tendremos m\u00e1s infinito y por ac\u00e1 tendremos menos infinito."}, {"start": 509.06, "end": 514.68, "text": " Y sobre esa recta vamos a localizar los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 514.68, "end": 521.6, "text": " Tenemos entonces menos 3 medios y 2 y dijimos que esos puntos cr\u00edticos se toman."}, {"start": 521.6, "end": 524.64, "text": " Van a ser parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 524.64, "end": 531.8, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a seleccionar un valor de prueba de cada uno de esos tres intervalos."}, {"start": 531.8, "end": 537.76, "text": " Entonces para el primero seleccionamos un valor de x comprendido entre menos infinito"}, {"start": 537.76, "end": 539.56, "text": " y menos 3 medios."}, {"start": 539.56, "end": 542.76, "text": " Recordemos que esto es menos 1.5."}, {"start": 542.76, "end": 549.16, "text": " Entonces cualquier n\u00famero que est\u00e9 a la izquierda de menos 1.5 sirve para este primer"}, {"start": 549.16, "end": 550.16, "text": " intervalo."}, {"start": 550.16, "end": 552.92, "text": " Vamos a coger por ejemplo el menos 3."}, {"start": 552.92, "end": 555.84, "text": " Vamos para el segundo intervalo."}, {"start": 555.84, "end": 562.84, "text": " Tiene que ser un valor de x comprendido entre menos 3 medios o sea menos 1.5 y 2."}, {"start": 562.84, "end": 565.36, "text": " Podemos escoger por ejemplo el 0."}, {"start": 565.36, "end": 570.48, "text": " Y del tercer intervalo, escogemos un valor mayor que 2."}, {"start": 570.48, "end": 573.4, "text": " Puede ser el n\u00famero 4."}, {"start": 573.4, "end": 580.44, "text": " Cada uno de esos valores seleccionados se va a reemplazar en estos factores, es decir"}, {"start": 580.44, "end": 585.6, "text": " en la expresi\u00f3n a la cual debemos analizar sus signos."}, {"start": 585.6, "end": 593.02, "text": " Entonces vamos a abrir los par\u00e9ntesis correspondientes a esos dos factores y vamos a reemplazar cada"}, {"start": 593.02, "end": 600.1999999999999, "text": " uno de esos n\u00fameros en cada uno de ellos para ver c\u00f3mo se comporta el signo en cada"}, {"start": 600.1999999999999, "end": 602.0799999999999, "text": " intervalo."}, {"start": 602.0799999999999, "end": 606.4399999999999, "text": " Vamos entonces con el valor del primer intervalo que es menos 3."}, {"start": 606.4399999999999, "end": 607.98, "text": " Lo probamos ac\u00e1."}, {"start": 607.98, "end": 610.56, "text": " Menos 3 menos 2 nos da menos 5."}, {"start": 610.56, "end": 613.92, "text": " Es decir signo menos para el primer factor."}, {"start": 613.92, "end": 616.96, "text": " Ac\u00e1 2 por menos 3 nos da menos 6."}, {"start": 616.96, "end": 619.8, "text": " Menos 6 m\u00e1s 3 nos da menos 3."}, {"start": 619.8, "end": 623.0799999999999, "text": " Es decir signo menos para el segundo factor."}, {"start": 623.0799999999999, "end": 627.0, "text": " Vamos ahora con 0, el valor del segundo intervalo."}, {"start": 627.0, "end": 630.0799999999999, "text": " Aqu\u00ed 0 menos 2 nos da menos 2."}, {"start": 630.0799999999999, "end": 632.1999999999999, "text": " Signo menos para el primer factor."}, {"start": 632.1999999999999, "end": 634.8399999999999, "text": " Y ac\u00e1 2 por 0 nos da 0."}, {"start": 634.8399999999999, "end": 641.12, "text": " 0 m\u00e1s 3 nos da 3 positivo que es el signo del segundo factor."}, {"start": 641.12, "end": 643.12, "text": " Vamos ahora con x igual a 4."}, {"start": 643.12, "end": 646.52, "text": " El valor escogido para el tercer intervalo."}, {"start": 646.52, "end": 650.12, "text": " Aqu\u00ed 4 menos 2 nos da 2 positivo."}, {"start": 650.12, "end": 652.24, "text": " Signo m\u00e1s para el primer factor."}, {"start": 652.24, "end": 656.04, "text": " Y luego aqu\u00ed con 4 tenemos 2 por 4, 8."}, {"start": 656.04, "end": 658.76, "text": " 8 m\u00e1s 3, 11 positivo."}, {"start": 658.76, "end": 661.8, "text": " Y ese es el signo del segundo factor."}, {"start": 661.8, "end": 665.84, "text": " Luego aplicamos ley de los signos en cada uno de los intervalos."}, {"start": 665.84, "end": 669.24, "text": " Aqu\u00ed menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 669.24, "end": 671.4399999999999, "text": " Menos por m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 671.4399999999999, "end": 674.4399999999999, "text": " Y m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 674.44, "end": 679.72, "text": " Estos son los signos definitivos para cada uno de los intervalos."}, {"start": 679.72, "end": 685.1600000000001, "text": " Como se puede observar la desigualdad dice que esta expresi\u00f3n tiene que ser menor o"}, {"start": 685.1600000000001, "end": 686.36, "text": " igual que 0."}, {"start": 686.36, "end": 691.8000000000001, "text": " O sea que esta expresi\u00f3n tiene que ser de signo negativo."}, {"start": 691.8000000000001, "end": 696.6, "text": " Por lo tanto la zona positiva no sirve."}, {"start": 696.6, "end": 698.7600000000001, "text": " Esta tampoco sirve."}, {"start": 698.76, "end": 705.64, "text": " Y la zona negativa, la zona intermedia es la que s\u00ed sirve."}, {"start": 705.64, "end": 714.4399999999999, "text": " Por lo tanto rayamos ese intervalo, lo destacamos y ser\u00e1 entonces el conjunto soluci\u00f3n."}, {"start": 714.4399999999999, "end": 721.84, "text": " Terminamos entonces el ejercicio escribiendo justamente ese conjunto soluci\u00f3n de dos maneras."}, {"start": 721.84, "end": 724.88, "text": " Vamos con la forma de intervalo."}, {"start": 724.88, "end": 732.0, "text": " Est\u00e1n los x que pertenecen al intervalo que va desde menos tres medios hasta dos."}, {"start": 732.0, "end": 734.72, "text": " Es decir esta zona central."}, {"start": 734.72, "end": 741.36, "text": " Como dijimos que menos tres medios y dos se toman, es decir se incluyen en la soluci\u00f3n,"}, {"start": 741.36, "end": 743.48, "text": " entonces llevan corchetes."}, {"start": 743.48, "end": 748.24, "text": " Se trata de un intervalo cerrado en sus dos extremos."}, {"start": 748.24, "end": 753.44, "text": " Y la otra forma de presentar la respuesta es como desigualdad."}, {"start": 753.44, "end": 756.8800000000001, "text": " Se leen los valores de x que est\u00e1n comprendidos en esta zona."}, {"start": 756.8800000000001, "end": 763.5600000000001, "text": " Es decir que se escribe como menos tres medios, menor o igual que x y esto a su vez menor"}, {"start": 763.5600000000001, "end": 765.08, "text": " o igual que 2."}, {"start": 765.08, "end": 771.98, "text": " Se leen los valores de x comprendidos entre menos tres medios y dos incluyendo los valores"}, {"start": 771.98, "end": 772.98, "text": " extremos."}, {"start": 772.98, "end": 779.5600000000001, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio que corresponde a una desigualdad cuadr\u00e1tica"}, {"start": 779.56, "end": 786.56, "text": " o de segundo grado."}]