ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo determinar el valor del área encerrada por dos curvas dadas.

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 Vamos a determinar el área de la región encerrada por esas dos curvas que son funciones. En el primer caso tenemos una función cuadrática o de segundo grado cuyo modelo es este. Allí vemos que a es 1, es el coeficiente de x al cuadrado. La gráfica de una función cuadrática es una parábola vertical y cuando a es positivo, pero en este caso la parábola abre sus ramas hacia arriba. En el segundo caso tenemos una función lineal de la forma y igual a mx más b. Su gráfica es una línea recta. Vemos que m en este caso es 2, m es la pendiente, por lo tanto en el plano cartesiano será una recta más o menos así, siendo este el eje y y este el eje x. Este es positivo, es decir una recta ascendente y aquí el corte con el eje y que en este caso es 5, es lo que representa b. Vamos a determinar con precisión cuáles son los puntos de corte de esas dos curvas. Para ello hacemos la igualación de esas dos expresiones. Vemos que en ambos casos está despejada la variable y, entonces tendremos x al cuadrado más 2x más 1, esto lo igualamos con 2x más 5. La expresión de la función cuadrática se iguala con la expresión de la función lineal. En ese caso podemos eliminar a ambos lados de la igualdad el término 2x, porque está sumando, está igual a ambos lados. Entonces nos queda x al cuadrado más 1 igual a 5. Ya vemos entonces que se trata de una ecuación cuadrática o de segundo grado. Vamos a igualarla a cero, pasamos el 5 al lado izquierdo, llega a restar y esto nos queda igual a cero. Resolvemos esta operación de los números, nos queda x al cuadrado menos 4 igual a cero y allí podemos factorizar lo que tenemos en el lado izquierdo, es una diferencia de cuadrados perfectos. Su factorización nos da x más 2 por x menos 2 y todo esto queda igualado a cero. Allí podemos aplicar el teorema del factor nulo, recordemos que si a por b es igual a cero entonces a vale cero o b vale cero, entonces tendremos x más 2 igual a cero o x menos 2 igual a cero. Vamos para x en cada caso, por acá despejando x nos queda menos 2 y en este lado tendremos x igual a 2. Entonces menos 2 y 2, vamos a anotar eso por acá, son los valores de x donde esas dos funciones se intersectan o se cortan. Ahora vamos a elaborar una tabla de valores para estas dos funciones con valores de x comprendidos entre menos 2 y 2. También comenzamos entonces con el valor menos 2 en la función cuadrática, nos queda menos 2 al cuadrado que es 4, aquí más 2 por menos 2 nos da menos 4 y eso más 1, efectuando esta operación esto nos da cero, cero más 1 nos da 1. Ahora vamos con x igual a menos 1, menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo, 2 por menos 2 nos da menos 2 y eso más 1, aquí tenemos 1 más 1, 2 menos 2 nos da cero. Vamos ahora con x igual a cero, si cero se reemplaza aquí esos términos se nos van y nos queda solamente 1, vamos con 1, 1 al cuadrado es 1, aquí más 2 por 1 nos da más 2 y eso más 1, haciendo esta operación nos da como resultado 4. Vamos ahora con x igual a 2, 2 al cuadrado nos da 4, aquí más 2 por 2 nos da más 4 y eso más 1, efectuando esa suma nos da como resultado 9. Ahora vamos a reemplazar los mismos valores de x en la función lineal, tenemos que cuando x vale menos 2, 2 por menos 2 es menos 4 y menos 4 más 5 nos da 1 positivo, cuando x vale menos 1, 2 por menos 1 es menos 2, menos 2 más 5 nos da 3, con x igual a 0, 2 por 0 nos da 0 y 0 más 5 es 5, con x igual a 1, 2 por 1 es 2, 2 más 5 nos da 7 y con x igual a 2, 2 por 2 es 4, 4 más 5 nos da 9. Ya con estos valores podemos ir al plano cartesiano y graficar los puntos que corresponden a la función cuadrática y a la función lineal. Comenzamos localizando los puntos que corresponden a la función cuadrática, cuando x vale menos 2, y vale 1, tenemos este punto, cuando x vale menos 1, y vale 0, es este punto sobre el eje x, cuando x vale 0, y vale 1, es este punto sobre el eje y, cuando x vale 1, y vale 4, es decir aquí, y cuando x vale 2, y vale 9, es decir en ese sitio. Uniendo esos puntos tenemos entonces la gráfica de la parábola que abre sus ramas hacia arriba, es la gráfica de la función cuadrática. Ahora vamos a localizar los puntos que corresponden a la función lineal, entonces cuando x vale menos 2, y vale 1, es este punto, cuando x vale menos 1, y vale 3, es decir aquí, cuando x vale 0, y vale 5, es este punto sobre el eje y, cuando x vale 1, y vale 7, es decir este punto, y cuando x vale 2, y vale 9, este punto. Así podemos trazar la recta que corresponde a la función lineal, como decíamos ahora es una recta ascendente con pendiente positiva, la pendiente vale 2, y corta el eje vertical, el eje y en la ordenada 5. Observamos entonces la región que queda encerrada por las dos gráficas, es la zona que hemos pintado con color verde, es el área que debemos averiguar, entonces esa región queda limitada en su parte superior por la función lineal, la función y igual a 2x más 5, en su parte inferior está limitada por la función cuadrática, es decir, y igual a x al cuadrado más 2x más 1, y también queda limitada por las abscisas menos 2 y 2. Entonces, con esta información ya podemos plantear una integral definida para determinar el área que está encerrada por las dos curvas, será entonces una integral comprendida entre x igual a menos 2 y x igual a 2, esos serán los límites de integración, menos 2 es el límite inferior y 2 es el límite superior, a continuación anotamos la función superior que es 2x más 5, esa la escribimos primero, esta es la función superior y a eso le vamos a restar la función inferior, es decir, la parábola que es x al cuadrado más 2x más 1, protegemos todo esto con corchetes y le escribimos el diferencial de x, entonces resolviendo esa integral definida determinamos el área encerrada por las dos funciones. Vamos a resolver entonces paso a paso esta integral, nos queda integral entre menos 2 y 2 y vamos a romper esos paréntesis, nos queda 2x más 5, el primer paréntesis lo quitamos sin problema y acá el signo menos nos cambia todos estos signos, entonces nos queda menos x al cuadrado menos 2x menos 1, protegemos ahora con paréntesis y anotamos el diferencial de x, allí se observa en el integrando dos términos opuestos, dos términos que podemos cancelar o eliminar, nos queda entonces a igual a la integral entre menos 2 y 2 de lo siguiente, efectuamos la operación numérica, 5 menos 1 nos da 4 y eso nos queda menos x al cuadrado, protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Como ya no tenemos nada por resolver en el integrando entonces procedemos a resolver la integral en forma directa, podemos integrar cada uno de estos términos, entonces nos queda integral de 4 será 4x y esto menos la integral de x al cuadrado que es x al cubo sobre 3 y todo esto lo vamos a evaluar en los límites de integración que son menos 2 y 2. Aplicamos ahora el teorema fundamental del cálculo, vamos a evaluar esta expresión primero en el límite superior, es decir cuando x toma el valor 2, eso será 4x2 menos 2 al cubo sobre 3, protegemos todo esto con corchetes y a eso vamos a restarle la evaluación de esta expresión en el límite inferior, cuando x toma el valor menos 2 nos queda 4x-2 y esto menos 2 al cubo sobre 3, es importante usar paréntesis para proteger las cantidades, en especial cuando son negativas. A continuación resolvemos cada una de esas operaciones, entonces tendremos aquí 4x2 es 8 menos 2 al cubo nos da 8 y nos queda sobre 3, 8 tercios, protegemos todo esto con los corchetes, tenemos menos, vamos al otro corchete, aquí tenemos 4x-2 es menos 8, aquí menos 2 al cubo nos da menos 8, pero con este menos nos queda más, entonces 8 tercios y cerramos el corchete. A continuación vamos a destruir esos signos de agrupación, vamos a quitar los corchetes, esta expresión numérica sale tal como está y en esta tenemos cambio de signos, entra este signo menos y entonces nos queda más 8 y menos 8 tercios. Seguimos resolviendo estas operaciones numéricas, nos queda 8 más 8 es 16 y menos 8 tercios con menos 8 tercios es menos 16 tercios, son fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador, entonces se conserva y operamos los numeradores. Finalmente a este 16 le colocamos denominador 1 y tenemos así la resta de dos fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador, podemos aplicar entonces el truco o la técnica de la carita feliz, 16x3 nos da 48 menos 1x16 que es 16 y abajo 1x3 que nos da 3, entonces repetimos, se aplicó esto que es el truco o la técnica de la carita feliz. Por último resolvemos esa operación que tenemos en el numerador 48 menos 16 nos da 32, esto nos queda sobre 3, una fracción que no se puede simplificar es una fracción irreducible y a esto le colocamos unidades cuadradas porque es el valor del área encerrada por esas dos funciones, de esta manera terminamos.
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esta informaci\u00f3n ya podemos plantear una integral definida para determinar"}, {"start": 423.64, "end": 431.15999999999997, "text": " el \u00e1rea que est\u00e1 encerrada por las dos curvas, ser\u00e1 entonces una integral comprendida entre"}, {"start": 431.15999999999997, "end": 437.4, "text": " x igual a menos 2 y x igual a 2, esos ser\u00e1n los l\u00edmites de integraci\u00f3n, menos 2 es el"}, {"start": 437.4, "end": 444.24, "text": " l\u00edmite inferior y 2 es el l\u00edmite superior, a continuaci\u00f3n anotamos la funci\u00f3n superior"}, {"start": 444.24, "end": 452.04, "text": " que es 2x m\u00e1s 5, esa la escribimos primero, esta es la funci\u00f3n superior y a eso le vamos"}, {"start": 452.04, "end": 460.72, "text": " a restar la funci\u00f3n inferior, es decir, la par\u00e1bola que es x al cuadrado m\u00e1s 2x m\u00e1s"}, {"start": 460.72, "end": 469.94, "text": " 1, protegemos todo esto con corchetes y le escribimos el diferencial de x, entonces resolviendo"}, {"start": 469.94, "end": 476.88, "text": " esa integral definida determinamos el \u00e1rea encerrada por las dos funciones."}, {"start": 476.88, "end": 484.32, "text": " Vamos a resolver entonces paso a paso esta integral, nos queda integral entre menos 2"}, {"start": 484.32, "end": 492.88, "text": " y 2 y vamos a romper esos par\u00e9ntesis, nos queda 2x m\u00e1s 5, el primer par\u00e9ntesis lo quitamos"}, {"start": 492.88, "end": 498.28, "text": " sin problema y ac\u00e1 el signo menos nos cambia todos estos signos, entonces nos queda menos"}, {"start": 498.28, "end": 506.2, "text": " x al cuadrado menos 2x menos 1, protegemos ahora con par\u00e9ntesis y anotamos el diferencial"}, {"start": 506.2, "end": 512.1999999999999, "text": " de x, all\u00ed se observa en el integrando dos t\u00e9rminos opuestos, dos t\u00e9rminos que podemos"}, {"start": 512.1999999999999, "end": 521.12, "text": " cancelar o eliminar, nos queda entonces a igual a la integral entre menos 2 y 2 de lo"}, {"start": 521.12, "end": 527.92, "text": " siguiente, efectuamos la operaci\u00f3n num\u00e9rica, 5 menos 1 nos da 4 y eso nos queda menos x"}, {"start": 527.92, "end": 533.7199999999999, "text": " al cuadrado, protegemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 533.7199999999999, "end": 539.12, "text": " Como ya no tenemos nada por resolver en el integrando entonces procedemos a resolver la"}, {"start": 539.12, "end": 544.7199999999999, "text": " integral en forma directa, podemos integrar cada uno de estos t\u00e9rminos, entonces nos"}, {"start": 544.7199999999999, "end": 553.4599999999999, "text": " queda integral de 4 ser\u00e1 4x y esto menos la integral de x al cuadrado que es x al cubo"}, {"start": 553.46, "end": 560.0, "text": " sobre 3 y todo esto lo vamos a evaluar en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son menos"}, {"start": 560.0, "end": 562.76, "text": " 2 y 2."}, {"start": 562.76, "end": 567.72, "text": " Aplicamos ahora el teorema fundamental del c\u00e1lculo, vamos a evaluar esta expresi\u00f3n"}, {"start": 567.72, "end": 575.84, "text": " primero en el l\u00edmite superior, es decir cuando x toma el valor 2, eso ser\u00e1 4x2 menos 2 al"}, {"start": 575.84, "end": 585.52, "text": " cubo sobre 3, protegemos todo esto con corchetes y a eso vamos a restarle la evaluaci\u00f3n de"}, {"start": 585.52, "end": 594.8000000000001, "text": " esta expresi\u00f3n en el l\u00edmite inferior, cuando x toma el valor menos 2 nos queda 4x-2 y esto"}, {"start": 594.8000000000001, "end": 603.6800000000001, "text": " menos 2 al cubo sobre 3, es importante usar par\u00e9ntesis para proteger las cantidades, en"}, {"start": 603.68, "end": 606.28, "text": " especial cuando son negativas."}, {"start": 606.28, "end": 612.52, "text": " A continuaci\u00f3n resolvemos cada una de esas operaciones, entonces tendremos aqu\u00ed 4x2"}, {"start": 612.52, "end": 620.5999999999999, "text": " es 8 menos 2 al cubo nos da 8 y nos queda sobre 3, 8 tercios, protegemos todo esto con"}, {"start": 620.5999999999999, "end": 629.0, "text": " los corchetes, tenemos menos, vamos al otro corchete, aqu\u00ed tenemos 4x-2 es menos 8, aqu\u00ed"}, {"start": 629.0, "end": 635.64, "text": " menos 2 al cubo nos da menos 8, pero con este menos nos queda m\u00e1s, entonces 8 tercios y"}, {"start": 635.64, "end": 638.04, "text": " cerramos el corchete."}, {"start": 638.04, "end": 643.76, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a destruir esos signos de agrupaci\u00f3n, vamos a quitar los corchetes,"}, {"start": 643.76, "end": 650.2, "text": " esta expresi\u00f3n num\u00e9rica sale tal como est\u00e1 y en esta tenemos cambio de signos, entra"}, {"start": 650.2, "end": 656.92, "text": " este signo menos y entonces nos queda m\u00e1s 8 y menos 8 tercios."}, {"start": 656.92, "end": 665.0799999999999, "text": " Seguimos resolviendo estas operaciones num\u00e9ricas, nos queda 8 m\u00e1s 8 es 16 y menos 8 tercios"}, {"start": 665.0799999999999, "end": 671.36, "text": " con menos 8 tercios es menos 16 tercios, son fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el"}, {"start": 671.36, "end": 677.12, "text": " mismo denominador, entonces se conserva y operamos los numeradores."}, {"start": 677.12, "end": 683.8, "text": " Finalmente a este 16 le colocamos denominador 1 y tenemos as\u00ed la resta de dos fracciones"}, {"start": 683.8, "end": 690.5999999999999, "text": " heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador, podemos aplicar entonces el truco o la t\u00e9cnica"}, {"start": 690.5999999999999, "end": 701.0799999999999, "text": " de la carita feliz, 16x3 nos da 48 menos 1x16 que es 16 y abajo 1x3 que nos da 3, entonces"}, {"start": 701.0799999999999, "end": 706.88, "text": " repetimos, se aplic\u00f3 esto que es el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 706.88, "end": 714.48, "text": " Por \u00faltimo resolvemos esa operaci\u00f3n que tenemos en el numerador 48 menos 16 nos da 32, esto"}, {"start": 714.48, "end": 720.8, "text": " nos queda sobre 3, una fracci\u00f3n que no se puede simplificar es una fracci\u00f3n irreducible"}, {"start": 720.8, "end": 727.16, "text": " y a esto le colocamos unidades cuadradas porque es el valor del \u00e1rea encerrada por esas dos"}, {"start": 727.16, "end": 754.16, "text": " funciones, de esta manera terminamos."}]