INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida, utilizando el Método de las Fracciones Parciales.

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 Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de las fracciones parciales. Vemos que no se puede resolver en forma directa, ni tampoco por los métodos de sustitución o partes. Como se observa, tenemos en el integrando una función de tipo racional. Observamos en el numerador un polinomio de grado 3 y en el denominador un polinomio de grado 2. Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces tenemos que comenzar por realizar esta división entre polinomios. Escribimos entonces el dividendo que como se observa ya está organizado en forma descendente o decreciente. Tenemos 3x al cubo menos 4x al cuadrado más 3x y vemos que hace falta el término independiente. En ese caso tenemos que respetar ese lugar dejando el espacio en blanco o completando con cero. En este caso vamos a agregar el número cero que representa el término independiente en ese polinomio. Ahora en este espacio vamos a escribir el divisor que es x al cuadrado más 1. Vemos que ya se encuentra organizado en forma descendente o decreciente, pero acá no es necesario dejar el espacio en blanco de aquellos términos que hagan falta. Entonces repetimos, dividendo y divisor ordenados en forma descendente o decreciente y en el dividendo respetamos el lugar de los términos que falten. Comenzamos entonces la división entre polinomios. Para obtener el primer término del cociente dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, es decir 3x al cubo dividido entre x al cuadrado. Efectuando esa división entre monomios obtenemos como resultado 3x y este será el primer término del cociente. En seguida multiplicamos 3x por x al cuadrado, eso nos da como resultado 3x al cubo y debemos traerlo a este lado con signo contrario y también tenemos que ubicarlo debajo de su término semejante. Entonces acá vamos a escribir menos 3x al cubo. Ahora multiplicamos 3x por más 1, eso nos da como resultado 3x positivo y debemos traerlo a este lado con signo contrario y lo ubicamos debajo de su término semejante, o sea de aquellos que tienen la variable x. Entonces por acá escribimos menos 3x. A continuación debemos efectuar la suma en forma vertical, si sumamos estos dos términos vemos que nos da como resultado 0, son términos opuestos que se cancelan entre sí. Este término tenemos que bajarlo porque aquí no tenemos nada, pues como si tuviéramos un 0, entonces acá escribimos menos 4x al cuadrado. Sumamos estos dos términos donde también vemos que se eliminan, también son términos opuestos, por lo tanto aquí nos daría 0 y ese 0 bajaría acá, lo cual también nos deja el espacio en blanco. Como tenemos que esta expresión es del mismo grado que el divisor, entonces podemos continuar con la división. Para obtener el siguiente término del cociente dividimos el primer término que nos quedó acá entre el primer término del divisor, o sea menos 4x al cuadrado se divide entre x al cuadrado y efectuando esa división entre monomios obtenemos como resultado menos 4 que será el segundo término del cociente. En seguida realizamos el mismo procedimiento que hicimos anteriormente, multiplicamos menos 4 por x al cuadrado, eso nos da menos 4x al cuadrado y lo traemos a este lado con signo contrario y lo ubicamos debajo de su término semejante, entonces nos llega acá como más 4x al cuadrado. Ahora multiplicamos menos 4 por más 1, eso nos da menos 4 y lo traemos acá con signo contrario en el lugar correspondiente a los términos independientes, llega entonces como más 4. Efectuamos ahora la suma en forma vertical, esos dos términos si los sumamos nos da como resultado 0, son términos opuestos, entonces podemos decir que se eliminan y por acá tenemos 0 más 4 que nos da como resultado 4, en ese caso podemos decir que la división ha terminado porque esta expresión es de grado inferior a lo que tenemos en el divisor, recordemos que esto es de grado 0 mientras que el divisor es de grado 2. Habiendo realizado ya la división de polinomios vamos a escribir por acá sus componentes, tenemos que el dividendo que lo vamos a llamar con D mayúscula es 3x al cubo menos 4x al cuadrado más 3x, el divisor que lo vamos a llamar como D minúscula es x al cuadrado más 1. Tenemos que el cociente nos dio 3x menos 4, lo derrotamos con la letra C y el residuo de la división nos dio como resultado 4. Ahora vamos a recordar lo siguiente, en una división tenemos los cuatro componentes que acabamos de nombrar acá, son ellos entonces el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo, y recordemos que para probar una división siempre multiplicamos el cociente por el divisor a eso le sumamos el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo, entonces dividendo tiene que ser igual a cociente por divisor, C por D minúscula más el residuo que es R. Esta expresión podemos dividirla a ambos lados por D minúscula, entonces nos queda de esta manera y acá en el lado derecho podemos repartir esta letra de minúscula para cada uno de los términos que tenemos en el numerador, nos quedará entonces de la siguiente manera, dividendo sobre divisor es igual a cociente por divisor sobre divisor más residuo sobre divisor, y acá podemos simplificar la letra de minúscula porque está multiplicando arriba y también se encuentra en la parte de abajo, con esto llegamos a la siguiente expresión, dividendo sobre divisor es igual a cociente más residuo sobre divisor, entonces haciendo uso de esta expresión que acabamos de obtener vamos a reconstruir el ejercicio original, tenemos que el dividendo es lo que tenemos en el numerador, o sea 3x al cubo menos 4x al cuadrado más 3x, tenemos que el divisor es lo que tenemos acá, x al cuadrado más 1, o sea el mismo denominador de la función racional y esto tiene que ser igual al cociente que nos dio 3x menos 4 más el residuo que nos dio 4 sobre el divisor que es x al cuadrado más 1, como se observa tenemos acá la función que vamos a integrar, la función racional y esta equivale a otra expresión en términos mucho más sencillos, por lo tanto podemos decir que esta integral va a ser igual a la integral de toda esta expresión, 3x menos 4 más 4 sobre x al cuadrado más 1, protegemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x, ahora tenemos que concentrarnos en resolver esto que tenemos acá y para ello vamos a repartir la integral para cada uno de esos términos, tendremos entonces la integral de 3x con su respectivo diferencial de x, luego menos la integral de 4 con su diferencial de x y por último más la integral de 4 sobre x al cuadrado más 1 también con su diferencial de x, continuamos entonces el ejercicio por acá donde podemos ya resolver esta primera integral, es directa nos quedará 3x al cuadrado sobre 2, recordemos que el 3 es la constante que queda quieta y la integral de x que tiene exponente 1 es x al cuadrado sobre 2, esto menos la integral de 4 que será 4x y acá vamos a extraer el número 4 de esa integral, sale la constante y nos queda multiplicando por la integral de 1 sobre x al cuadrado más 1 y todo esto con su diferencial de x, como se observa esta integral también corresponde a una de las integrales básicas, su resultado será tangente a la menos 1 de x o también arco tangente de x, entonces vamos ya a dar la respuesta, por acá tendremos 3 medios de x al cuadrado reescribiendo ese primer término menos 4x y acá tenemos más 4 que multiplica al resultado de esta integral que vamos a escribir en esta ocasión como arco tangente de x y a esto le agregamos la constante de integración porque se trata de una integral indefinida, de esta manera terminamos este ejercicio.
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"text": " vemos que nos da como resultado 0, son t\u00e9rminos opuestos que se cancelan entre s\u00ed."}, {"start": 193.16, "end": 197.72, "text": " Este t\u00e9rmino tenemos que bajarlo porque aqu\u00ed no tenemos nada, pues como si tuvi\u00e9ramos"}, {"start": 197.72, "end": 203.52, "text": " un 0, entonces ac\u00e1 escribimos menos 4x al cuadrado."}, {"start": 203.52, "end": 208.04000000000002, "text": " Sumamos estos dos t\u00e9rminos donde tambi\u00e9n vemos que se eliminan, tambi\u00e9n son t\u00e9rminos"}, {"start": 208.04, "end": 214.07999999999998, "text": " opuestos, por lo tanto aqu\u00ed nos dar\u00eda 0 y ese 0 bajar\u00eda ac\u00e1, lo cual tambi\u00e9n nos"}, {"start": 214.07999999999998, "end": 217.14, "text": " deja el espacio en blanco."}, {"start": 217.14, "end": 224.23999999999998, "text": " Como tenemos que esta expresi\u00f3n es del mismo grado que el divisor, entonces podemos continuar"}, {"start": 224.23999999999998, "end": 226.0, "text": " con la divisi\u00f3n."}, {"start": 226.0, "end": 231.57999999999998, "text": " Para obtener el siguiente t\u00e9rmino del cociente dividimos el primer t\u00e9rmino que nos qued\u00f3"}, {"start": 231.58, "end": 240.12, "text": " ac\u00e1 entre el primer t\u00e9rmino del divisor, o sea menos 4x al cuadrado se divide entre"}, {"start": 240.12, "end": 247.98000000000002, "text": " x al cuadrado y efectuando esa divisi\u00f3n entre monomios obtenemos como resultado menos 4"}, {"start": 247.98000000000002, "end": 252.96, "text": " que ser\u00e1 el segundo t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 252.96, "end": 259.24, "text": " En seguida realizamos el mismo procedimiento que hicimos anteriormente, multiplicamos menos"}, {"start": 259.24, "end": 265.40000000000003, "text": " 4 por x al cuadrado, eso nos da menos 4x al cuadrado y lo traemos a este lado con signo"}, {"start": 265.40000000000003, "end": 272.72, "text": " contrario y lo ubicamos debajo de su t\u00e9rmino semejante, entonces nos llega ac\u00e1 como m\u00e1s"}, {"start": 272.72, "end": 275.6, "text": " 4x al cuadrado."}, {"start": 275.6, "end": 281.40000000000003, "text": " Ahora multiplicamos menos 4 por m\u00e1s 1, eso nos da menos 4 y lo traemos ac\u00e1 con signo"}, {"start": 281.40000000000003, "end": 287.76, "text": " contrario en el lugar correspondiente a los t\u00e9rminos independientes, llega entonces como"}, {"start": 287.76, "end": 291.08, "text": " m\u00e1s 4."}, {"start": 291.08, "end": 296.84, "text": " Efectuamos ahora la suma en forma vertical, esos dos t\u00e9rminos si los sumamos nos da como"}, {"start": 296.84, "end": 304.03999999999996, "text": " resultado 0, son t\u00e9rminos opuestos, entonces podemos decir que se eliminan y por ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 304.03999999999996, "end": 311.76, "text": " 0 m\u00e1s 4 que nos da como resultado 4, en ese caso podemos decir que la divisi\u00f3n ha terminado"}, {"start": 311.76, "end": 317.76, "text": " porque esta expresi\u00f3n es de grado inferior a lo que tenemos en el divisor, recordemos"}, {"start": 317.76, "end": 324.36, "text": " que esto es de grado 0 mientras que el divisor es de grado 2."}, {"start": 324.36, "end": 330.84, "text": " Habiendo realizado ya la divisi\u00f3n de polinomios vamos a escribir por ac\u00e1 sus componentes,"}, {"start": 330.84, "end": 340.24, "text": " tenemos que el dividendo que lo vamos a llamar con D may\u00fascula es 3x al cubo menos 4x al"}, {"start": 340.24, "end": 349.68, "text": " cuadrado m\u00e1s 3x, el divisor que lo vamos a llamar como D min\u00fascula es x al cuadrado"}, {"start": 349.68, "end": 352.0, "text": " m\u00e1s 1."}, {"start": 352.0, "end": 361.8, "text": " Tenemos que el cociente nos dio 3x menos 4, lo derrotamos con la letra C y el residuo"}, {"start": 361.8, "end": 366.94, "text": " de la divisi\u00f3n nos dio como resultado 4."}, {"start": 366.94, "end": 373.64, "text": " Ahora vamos a recordar lo siguiente, en una divisi\u00f3n tenemos los cuatro componentes que"}, {"start": 373.64, "end": 381.68, "text": " acabamos de nombrar ac\u00e1, son ellos entonces el dividendo, el divisor, el cociente y el"}, {"start": 381.68, "end": 387.6, "text": " residuo, y recordemos que para probar una divisi\u00f3n siempre multiplicamos el cociente"}, {"start": 387.6, "end": 394.52, "text": " por el divisor a eso le sumamos el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo,"}, {"start": 394.52, "end": 402.76, "text": " entonces dividendo tiene que ser igual a cociente por divisor, C por D min\u00fascula m\u00e1s el residuo"}, {"start": 402.76, "end": 405.2, "text": " que es R."}, {"start": 405.2, "end": 413.2, "text": " Esta expresi\u00f3n podemos dividirla a ambos lados por D min\u00fascula, entonces nos queda"}, {"start": 413.2, "end": 421.32, "text": " de esta manera y ac\u00e1 en el lado derecho podemos repartir esta letra de min\u00fascula para cada"}, {"start": 421.32, "end": 428.0, "text": " uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador, nos quedar\u00e1 entonces de la siguiente manera,"}, {"start": 428.0, "end": 435.08, "text": " dividendo sobre divisor es igual a cociente por divisor sobre divisor m\u00e1s residuo sobre"}, {"start": 435.08, "end": 442.71999999999997, "text": " divisor, y ac\u00e1 podemos simplificar la letra de min\u00fascula porque est\u00e1 multiplicando arriba"}, {"start": 442.71999999999997, "end": 450.24, "text": " y tambi\u00e9n se encuentra en la parte de abajo, con esto llegamos a la siguiente expresi\u00f3n,"}, {"start": 450.24, "end": 458.36, "text": " dividendo sobre divisor es igual a cociente m\u00e1s residuo sobre divisor, entonces haciendo"}, {"start": 458.36, "end": 465.16, "text": " uso de esta expresi\u00f3n que acabamos de obtener vamos a reconstruir el ejercicio original,"}, {"start": 465.16, "end": 472.84000000000003, "text": " tenemos que el dividendo es lo que tenemos en el numerador, o sea 3x al cubo menos 4x"}, {"start": 472.84, "end": 482.79999999999995, "text": " al cuadrado m\u00e1s 3x, tenemos que el divisor es lo que tenemos ac\u00e1, x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 482.79999999999995, "end": 490.28, "text": " 1, o sea el mismo denominador de la funci\u00f3n racional y esto tiene que ser igual al cociente"}, {"start": 490.28, "end": 504.11999999999995, "text": " que nos dio 3x menos 4 m\u00e1s el residuo que nos dio 4 sobre el divisor que es x al cuadrado"}, {"start": 504.11999999999995, "end": 512.8, "text": " m\u00e1s 1, como se observa tenemos ac\u00e1 la funci\u00f3n que vamos a integrar, la funci\u00f3n racional"}, {"start": 512.8, "end": 520.0799999999999, "text": " y esta equivale a otra expresi\u00f3n en t\u00e9rminos mucho m\u00e1s sencillos, por lo tanto podemos"}, {"start": 520.0799999999999, "end": 529.4399999999999, "text": " decir que esta integral va a ser igual a la integral de toda esta expresi\u00f3n, 3x menos"}, {"start": 529.4399999999999, "end": 540.7199999999999, "text": " 4 m\u00e1s 4 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1, protegemos todo esto con par\u00e9ntesis y escribimos el"}, {"start": 540.72, "end": 549.0, "text": " diferencial de x, ahora tenemos que concentrarnos en resolver esto que tenemos ac\u00e1 y para ello"}, {"start": 549.0, "end": 557.8000000000001, "text": " vamos a repartir la integral para cada uno de esos t\u00e9rminos, tendremos entonces la integral"}, {"start": 557.8000000000001, "end": 568.6800000000001, "text": " de 3x con su respectivo diferencial de x, luego menos la integral de 4 con su diferencial"}, {"start": 568.68, "end": 580.0799999999999, "text": " de x y por \u00faltimo m\u00e1s la integral de 4 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1 tambi\u00e9n con su diferencial"}, {"start": 580.0799999999999, "end": 589.64, "text": " de x, continuamos entonces el ejercicio por ac\u00e1 donde podemos ya resolver esta primera"}, {"start": 589.64, "end": 597.9399999999999, "text": " integral, es directa nos quedar\u00e1 3x al cuadrado sobre 2, recordemos que el 3 es la constante"}, {"start": 597.94, "end": 605.4000000000001, "text": " que queda quieta y la integral de x que tiene exponente 1 es x al cuadrado sobre 2, esto"}, {"start": 605.4000000000001, "end": 614.9200000000001, "text": " menos la integral de 4 que ser\u00e1 4x y ac\u00e1 vamos a extraer el n\u00famero 4 de esa integral,"}, {"start": 614.9200000000001, "end": 622.48, "text": " sale la constante y nos queda multiplicando por la integral de 1 sobre x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 622.48, "end": 630.48, "text": " 1 y todo esto con su diferencial de x, como se observa esta integral tambi\u00e9n corresponde"}, {"start": 630.48, "end": 636.86, "text": " a una de las integrales b\u00e1sicas, su resultado ser\u00e1 tangente a la menos 1 de x o tambi\u00e9n"}, {"start": 636.86, "end": 646.48, "text": " arco tangente de x, entonces vamos ya a dar la respuesta, por ac\u00e1 tendremos 3 medios"}, {"start": 646.48, "end": 654.9, "text": " de x al cuadrado reescribiendo ese primer t\u00e9rmino menos 4x y ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 4 que"}, {"start": 654.9, "end": 661.2, "text": " multiplica al resultado de esta integral que vamos a escribir en esta ocasi\u00f3n como arco"}, {"start": 661.2, "end": 670.52, "text": " tangente de x y a esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n porque se trata de una integral"}, {"start": 670.52, "end": 677.52, "text": " indefinida, de esta manera terminamos este ejercicio."}]