PROBLEMA DE EQUILIBRIO TRASLACIONAL Y ROTACIONAL
#julioprofe explica cómo resolver un problema de estática, donde deben cumplirse las condiciones de equilibrio traslacional y rotacional.

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 Tenemos en esta ocasión un andamio uniforme de longitud 3 metros y que pesa 345 newtons. El andamio se encuentra sostenido en sus extremos por dos cables. También se observan dos pintores, uno de peso 750 newtons, que se encuentra localizado a un metro de distancia del extremo izquierdo del andamio y el otro pintor de peso 1000 newtons que se encuentra localizado a 0.5 metros del extremo derecho del andamio. También se tiene el recipiente con pintura que pesa 500 newtons y que se encuentra localizado a dos metros del extremo izquierdo del andamio. Si suponemos que esta estructura, es decir el andamio, está en posición horizontal en ese momento, vamos a determinar cuál es la fuerza que soporta cada uno de los cables que sostiene todo el conjunto. Para resolver este problema con mayor facilidad vamos a construir lo que se llama un diagrama de cuerpo libre, DCL, por sus iniciales. Eso consiste en una línea que represente el andamio y sobre esa línea vamos a marcar las fuerzas y las distancias que intervienen en el problema. Comenzamos con la tensión que soporta el cable izquierdo, vamos a llamarla la tensión 1. Luego tenemos a una distancia de un metro el peso del primer pintor que es 750 newtons. Después tenemos el peso del andamio localizado en el punto central del mismo porque se trata de una estructura uniforme, o sea que su masa está perfectamente distribuida a lo largo del andamio. Tenemos entonces un peso de 345 newtons y la distancia que tenemos del extremo izquierdo a este punto será la mitad de 3 metros, es decir 1.5 metros. Se trata del punto central del andamio. Después dibujamos el vector que representa el peso de la pintura, son 500 newtons y ese punto donde actúa esa fuerza está localizado a una distancia de 2 metros del extremo izquierdo del andamio. En seguida tenemos el peso del segundo pintor, son 1000 newtons y este punto se encuentra localizado a una distancia de 2.5 metros del extremo izquierdo. A 3 metros le restamos 0.5 metros y nos queda 2.5 metros que es esta distancia del extremo izquierdo del andamio a donde se localiza el pintor que pesa 1000 newtons. Por último dibujamos esta fuerza que representa la tensión en el cable derecho, entonces vamos a llamarla la tensión 2. Y la distancia que tenemos del extremo izquierdo al punto donde actúa esa tensión será la longitud de todo el andamio, es decir 3 metros. Tenemos de esta manera lo que es el diagrama de cuerpo libre, una representación mucho más sencilla de esta situación donde como decíamos únicamente se localizan las fuerzas y las distancias que intervienen en el problema. Tenemos entonces una situación donde hay equilibrio, entendiéndose el equilibrio como aquel de tipo traslacional y también de tipo rotacional. Equilibrio traslacional significa que la sumatoria de fuerzas en la estructura es igual a 0 y esto lo vamos a trabajar en dos dimensiones. Tenemos una situación bidimensional donde decimos que la sumatoria de fuerzas en X tiene que ser igual a 0 y la sumatoria de fuerzas en Y igual a 0, es decir suma de fuerzas horizontales igual a 0 y suma de fuerzas verticales igual a 0. Pero como en este dibujo no tenemos fuerzas horizontales entonces podemos despreciar esta condición. En otras palabras tenemos garantizado el equilibrio horizontal. Entonces no vamos a trabajar esta ecuación por así decirlo sino que nos vamos a centrar en la sumatoria de fuerzas verticales igual a 0. Y el equilibrio rotacional quiere decir que esta estructura no va a presentar giros. En otras palabras la sumatoria de torques tiene que ser igual a 0. Y para ello debemos establecer un punto de giro, un punto llamado O. Ese punto lo vamos a tomar aquí, en el extremo izquierdo del andamio. Como se observa todas las distancias están tomadas con respecto de este punto O. Entonces vamos a trabajar sumatoria de fuerzas en Y igual a 0 para garantizar el equilibrio traslacional y también sumatoria de torques con respecto al punto O igual a 0 para garantizar el equilibrio rotacional. Iniciamos con la sumatoria de fuerzas en Y o fuerzas verticales igual a 0. Considerando que las que van hacia arriba son las positivas. Lógicamente las que van dirigidas hacia abajo serán negativas. Comenzamos por la izquierda. Tenemos la tensión 1 que es una fuerza positiva porque señala hacia arriba. Después nos encontramos con menos 750 que es el peso del primer pintor. Luego menos 345 newtons que es el peso del andamio. Luego menos 500 el peso de la pintura. Luego menos 1000 que es el peso del segundo pintor. Y finalmente más T2 la tensión en el cable derecho que sostiene la estructura. Y esa ecuación la cerramos igualándola a 0. Con eso garantizamos el equilibrio traslacional. Hacemos la operación de los números. Dejamos T1 y operamos estos números negativos y eso nos da como resultado menos 2595. Esto más T2 igual a 0. Ya sabemos que esta cantidad está en newtons. De allí podemos escribir la ecuación de esta manera. Dejamos las incógnitas en el lado izquierdo y pasamos este número al lado derecho. Llega positivo. Como decíamos ese valor está en newtons. Y de esta manera tenemos la primera ecuación. Las llamamos la ecuación 1. Pasamos ahora a garantizar lo que es el equilibrio rotacional. Y eso se hace construyendo la ecuación sumatoria de torques igual a 0. Los torques o momentos calculados con respecto al punto O. El punto que elegimos como punto de giro. Por cierto se recomienda establecer punto de giro en alguna de las fuerzas desconocidas. En ese caso lo hemos situado donde se encuentra la tensión 1. Esto para hacer que el torque de esta fuerza sea 0. De esa manera logramos eliminar una incógnita. Decimos que la sumatoria de torques es igual a 0. Considerando el sentido antihorario, o sea contrario a las manecillas del reloj, como sentido positivo. Vamos a iniciar otra vez por la izquierda. Vamos de izquierda a derecha anotando la fuerza, el brazo y el signo de giro. O sea el signo del torque. Comenzamos con T1. Dijimos que esa fuerza no tiene brazo de palanca porque es una fuerza que está aplicada justamente en el punto de giro. Entonces su brazo de palanca es 0. De esa manera anulamos el torque que produce la fuerza desconocida T1. Pasamos a la siguiente fuerza que es 750 newtons multiplicada por su brazo de palanca que es esa distancia y que vale 1 metro. Ahora definimos el signo del torque que produce esta fuerza alrededor de este punto. Si le damos libertad a esa fuerza de que gire presentará una rotación en sentido de las manecillas del reloj. O sea que tiene signo negativo. Pasamos ahora a la fuerza de 345 newtons cuyo brazo de palanca será 1.5 metros. La distancia que hay desde el punto de giro perpendicular a donde se encuentra aplicada la fuerza. El signo del torque de esta fuerza alrededor del punto O también será negativo. Como se observa habría una rotación a favor de las manecillas del reloj. Entonces allí tenemos el signo negativo. Vamos a seguir por acá con la fuerza de 500 newtons cuyo brazo de palanca es toda esta distancia que corresponde a 2 metros. Y si le damos libertad a esa fuerza de girar alrededor del punto O presentará una rotación a favor de las manecillas del reloj. Entonces tiene signo negativo. Pasamos a la fuerza de 1000 newtons cuyo brazo de palanca será toda esta distancia, es decir 2.5 metros. Y donde el signo de giro también será negativo. Es una rotación a favor de las manecillas del reloj. Pasamos por último a la tensión 2. Vamos a escribirla por acá T2. Su brazo de palanca será toda esta distancia que es 3 metros. Y si esa fuerza gira alrededor del punto O presentará una rotación contraria a las manecillas del reloj. O sea con signo positivo. Y como hemos terminado cerramos la ecuación igualándola a cero. Con eso garantizamos el equilibrio rotacional. Resolvemos enseguida estas operaciones. Tenemos que T1 por cero vale cero. Tenemos menos 750 por uno igual a menos 750. Menos 345 por 1.5 eso nos da menos 517.5. Luego tenemos menos 500 por 2 que es menos 1000. Después menos 1000 por 2.5 que es menos 2500. Y eso más T2 por 3, o sea más 3T2 que queda igualado a cero. Operamos estos números negativos y eso nos da como resultado menos 4767.5 más 3T2 igual a cero. Dejamos en el lado izquierdo 3T2. Pasamos al lado derecho este número que llega positivo y de allí despejamos T2. Tres que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Y esa división nos da como resultado 1589.17 aproximando a dos cifras decimales. Y ese valor se encuentra en newtons. De esta manera encontramos el valor de la tensión 2. Es decir la tensión en el cable derecho. Con este resultado podemos ir a la ecuación número uno. Aquella que habíamos encontrado y que decía T1 más T2 igual a 2595 newtons. Ya conocemos T2 lo reemplazamos por aquí y de esa manera ya nos queda muy sencillo encontrar el valor de T1. Hacemos el despeje. T1 será igual a 2595 menos 1589.17 y realizando esa resta nos da como resultado 1005.83 newtons. Que es el valor de la tensión 1. De esta manera hemos terminado el ejercicio. Aquí tenemos los valores de las tensiones en los cables. Las fuerzas que soportan toda la estructura. En la vida real un análisis de este tipo se hace para elegir los materiales de los cables. De tal manera que soporten estas tensiones, estas fuerzas y que la estructura sea segura.
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