LÍMITES INFINITOS - Ejercicio 4
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 Vamos a resolver este límite, donde queremos saber qué le sucede a esta función, que es de tipo racional, cuando x se aproxima al valor 2. Lo primero que tenemos que hacer es evaluar esta expresión en este número. Entonces vamos a realizar ese procedimiento. Vamos a desaparecer la letra x en la expresión y en ese lugar vamos a escribir el número 2. De esa manera estamos evaluando la función en x igual a 2, para ver qué le sucede en ese número. Vamos a resolver las operaciones. 2 al cuadrado es 4, tenemos menos 2 y más 5 en el numerador y 2 menos 2 en el denominador. Allí como se observa estamos destruyendo los paréntesis. A su vez, resolvemos arriba, tenemos 4 menos 2 que nos da 2 y 2 más 5 es 7 y en el denominador tenemos 2 menos 2 que es igual a 0. Este resultado vamos a escribirlo por aquí. 7 sobre 0. Lo primero que se nos ocurre es pensar que esto se nos va hacia infinito. Sabemos que en el estudio del cálculo, si tenemos un número que se divide entre una cantidad muy cercana a 0, entonces el resultado es un número cada vez más grande. Entonces tiende a infinito. El problema que tenemos es que no sabemos si se trata de más infinito o de menos infinito. Entonces nos queda ese gran interrogante que tenemos que resolver. Esta duda surge porque no sabemos con certeza cuál es la naturaleza de este número que se aproxima a 0. Sabemos que a 0 nos podemos acercar por el lado de los números positivos o por el lado de los números negativos. Entonces aquí nos sabemos si se trata de un número próximo a 0 por el lado positivo, como estos de por aquí, o por el lado negativo como estos que tenemos acá. En cuanto al numerador no hay ninguna duda, no hay ningún problema porque sabemos que se trata de 7 positivo. Entonces para resolver este interrogante vamos a analizar este límite tanto por izquierda como por derecha del número 2. Decimos entonces, límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, que se simboliza con este signo menos, arriba y a la derecha del 2, de la misma función racional, la que tenemos originalmente. Entonces vamos a ver cuál es el comportamiento de esta expresión cuando x se aproxima a 2 por la izquierda. Entonces podemos pensar en una cantidad como por ejemplo x igual a 1.9999. Veamos acá por qué escogemos ese número. Si tenemos el número 2, por acá tenemos el número 1 y acá tenemos el número 3 en la recta numérica o en el eje x, si lo queremos ver de esa manera. Si nos aproximamos a 2 por la izquierda, es decir por acá, estamos pensando en estos números que están muy cerca de 2 pero que son menores que 2. Entonces por eso escogemos el número 1.9999. Entre más 9 escojamos, más cercanos vamos a estar del número 2. Esto para tener digamos una idea de cuál es el número que vamos a reemplazar en esta expresión. Entonces si reemplazamos un número que es prácticamente 2 en el numerador, nos va a dar prácticamente 7. No importa si nos acercamos a 7 por la izquierda o por la derecha, el hecho es que allí vamos a tener un número que indiscutiblemente está cercano a 7 y es de naturaleza positiva. Lo que nos interesa es acá en el denominador. Si pensamos en este número que entra a ocupar el lugar de la x y a eso le restamos 2, vamos a obtener un número muy próximo a 0 pero de naturaleza negativa porque este número es menor que 2. Entonces nos da consigno negativo y aquí ya podemos precisar el resultado. Aplicamos la ley de los signos, más con menos nos da menos y 7 sobre 0 o 7 sobre un número muy próximo a 0 nos da como resultado infinito. Entonces el límite de esta función cuando x tiende a 2 por la izquierda se nos va hacia menos infinito. Ahora hacemos el otro límite, entonces decimos límite cuando x tiende a 2 por la derecha que se simboliza con ese signo más arriba y a la derecha del 2 de la misma función racional. Entonces vamos a pensar en un número que esté muy próximo a 2 por el lado derecho o que se acerque por la derecha. Puede ser entonces el número 2.0001 veamos por qué. Otra vez tenemos la recta numérica o el eje x, allí tenemos el número 2, por acá está el número 1 y por acá tenemos el número 3. Entonces nos vamos a aproximar a 2 por el lado de la derecha, o sea que estamos pensando en estos números que están muy cercanos a 2 pero que son mayores que 2. Entonces por esa razón escogemos este número 2.0001 muy cercano a 2 por el lado derecho. De nuevo reemplazamos esta cantidad que es prácticamente 2 en el numerador y volvemos a obtener más 7, un número próximo a 7 de naturaleza positiva. Y nos concentramos ahora en el denominador, tenemos entonces un número muy próximo a 0 pero este número si ingresa aquí donde tenemos x y después le restamos 2, vemos que este es mayor que 2. Entonces nos va a producir un número cercano a 0 pero de naturaleza positiva y eso nos permite precisar el resultado. Más con más nos da signo más y 7 sobre 0 es infinito. Entonces el límite de esta función, cuando x tiende a 2 por la derecha se nos va hacia más infinito. De acuerdo con estos dos análisis ya podemos precisar el resultado de este límite. Como vimos cuando x se aproxima a 2 por la izquierda esta función tiende hacia menos infinito. Y cuando x se aproxima a 2 por la derecha la misma función se nos va hacia más infinito. Eso nos permite concluir que este límite no existe y se representa con este símbolo. Entonces esta es la respuesta para este ejercicio. Lo que acabamos de hacer se puede comprobar gráficamente. Para ello consideramos la función que teníamos en el límite, es decir la función racional y vamos a comenzar por establecer su dominio. O sea cuál es el conjunto de valores que puede tomar x para que la función siempre produzca valores reales. Como tenemos una función racional o fraccionaria tenemos que garantizar que el denominador no sea 0. Entonces establecemos esta condición, la expresión que tenemos en el denominador diferente de 0. Y esto se resuelve como una ecuación. Dejamos la x en el lado izquierdo y el 2 que está restando pasa al otro lado a sumar con 0 y nos queda acá 2. Entonces esto nos está diciendo que en esa función x puede tomar cualquier valor real. X pertenece al conjunto de los números reales con excepción del número 2. X no puede tomar ese valor porque complica la función, vuelve 0 el denominador. Como el numerador de esta fracción es una expresión que no se puede factorizar entonces no hay posibilidad de simplificar esta fracción algebraica. O sea de cancelar por ejemplo x menos 2. Eso quiere decir que x igual a 2, o sea el valor prohibido para x, o sea el que no puede tomar en el dominio se convierte automáticamente en una asíntota vertical. Es decir una línea recta vertical a la cual la gráfica de la función se va a aproximar sin llegar a tocarla, es decir sin tener contacto con ella. Eso lo veremos ahora en la gráfica. Otra característica de esta función es que como el grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 1, es decir tenemos grado del numerador mayor que el grado del denominador. Entonces vamos a tener otra asíntota que no es precisamente vertical ni tampoco horizontal. Y nos damos cuenta de que tipo es haciendo la resta de los grados. Grado del numerador es 2 menos grado del denominador que es 1. Esto nos da como resultado 1. Y eso quiere decir que tendremos una asíntota oblicua, o sea una recta inclinada a la cual la curva o la gráfica de la función se va a aproximar sin llegar a tocarla. Para establecer con exactitud cuál es esa asíntota oblicua, es decir cuál es su ecuación, debemos realizar esta división. Lo que en álgebra se conoce como la división de polinomios. Tenemos que el numerador, o sea el dividendo, ya se encuentra organizado en forma descendente. Entonces vamos a escribirlo. X al cuadrado menos X más 5. Vemos que tampoco falta ningún término de la secuencia. Tenemos aquí grado 2, grado 1 y acá el término independiente, o sea el que tiene grado 0. Y vamos a escribir aquí lo que es el divisor, o sea el denominador, que también se escribe en forma descendente. Ahí ya lo tenemos ordenado de esa manera. Para encontrar el primer término del cociente, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Es decir, hacemos X al cuadrado sobre X y esto nos da como resultado X. Y eso constituye el primer término del cociente. Decimos ahora, X por X nos da X al cuadrado con signo positivo. Y pasa acá con signo contrario, es decir, con signo negativo y se localiza debajo del término correspondiente. O sea del término que tiene el mismo grado. Después hacemos X por menos 2, que nos da menos 2X y llega a este lado con signo contrario, o sea más 2X, también localizado debajo de su respectivo término semejante. Efectuamos ahora la suma en forma vertical. Tenemos que X al cuadrado sumado con menos X al cuadrado nos da 0. Son términos opuestos que se pueden eliminar. Tenemos por acá menos X más 2X y eso nos da como resultado más 1X o simplemente X. Y bajamos el número 5. Para encontrar el siguiente término del cociente, entonces dividimos el primer término del nuevo dividendo, por así decirlo. O sea, el que tenemos ya actualizado entre el primer término del divisor. Es decir, que hacemos X dividido entre X. Y eso nos da como resultado 1 positivo. Y ese es el siguiente término del cociente. Decimos entonces 1 por X nos da más X. Pasa a este lado con signo contrario, o sea como menos X y se localiza debajo de su término semejante. Decimos ahora 1 por menos 2, que es menos 2, pasa a este lado como más 2 y se localiza debajo del término independiente. Hacemos entonces la suma en forma vertical. Tenemos X que sumado con menos X nos da 0. También son términos opuestos que se eliminan entre sí. Y por acá tenemos 5 más 2 que nos da como resultado 7 positivo. Allí termina la división, porque como se observa el residuo es una expresión de grado inferior que el divisor. Esto es un término independiente de grado 0, mientras que el divisor es un binomio de primer grado. Entonces, como allí termina el procedimiento, el cociente es la asíntota oblicua. Decimos entonces que esa asíntota, que es como decíamos una recta oblicua o una recta inclinada, será la que tiene por ecuación Y igual a X más 1. Con esta información ya podemos ir construyendo la gráfica de la función. Comenzamos entonces por trazar el plano cartesiano. Bien, allí lo tenemos. Y vamos a trazar la asíntota X igual a 2, es decir, una recta vertical que pasa por este número. Allí podemos observarla. Vamos a escribirle su nombre, la recta X igual a 2, que es la asíntota vertical para esta función. Vamos ahora con la asíntota oblicua. Como decíamos, se trata de una recta inclinada. Y para trazarla podemos determinar dos de sus puntos. Por ejemplo, si X toma el valor 4, entonces tenemos que Y es igual a 4 más 1 igual a 5. Es decir, la pareja 4,5. Nos ubicamos aquí en X igual a 4 y subimos hasta 5. Y de esa manera tenemos un primer punto. Ahora, por ejemplo, si X toma el valor menos 4, decimos que Y es igual a menos 4 más 1, que es igual a menos 3. Entonces es la pareja menos 4, menos 3. Nos ubicamos aquí en X igual a menos 4 y bajamos hasta llegar a menos 3. Y de esa manera tenemos el otro punto para trazar la recta que corresponde a la asíntota oblicua. Bien, allí podemos observarla. Es la recta Y igual a X más 1. Escribimos su nombre y corresponde a la asíntota oblicua de esta función. También podemos determinar cuál es el punto de corte de la función con el eje Y. Y eso se consigue haciendo X igual a 0. Entonces, imaginamos que la X desaparece porque toma el valor 0 y nos queda únicamente 5 sobre menos 2. Y eso equivale a menos 2,5. Entonces, cuando X vale 0, Y vale menos 2,5. Es decir, aquí y constituye el punto de corte de la función con el eje Y. Si queremos obtener más puntos para la gráfica, entonces podemos hacer una tabulación o una tabla de valores. Escogiendo para X valores reales que sean diferentes del número 2. Entonces podemos tabular valores negativos, positivos, pero no podemos tomar el 2. La gráfica que obtenemos al conectar esos puntos es muy aproximada a esa que tenemos en color rojo. Vemos entonces que por acá la gráfica sigue extendiéndose de tal forma que no llega a tocar esta línea recta, que es la asíntota oblicua. Y lo mismo sucede por acá. La gráfica de la función sigue extendiéndose hacia abajo sin llegar a tocar la asíntota vertical. Lo mismo sucede por acá arriba. Acá esta parte de la gráfica sigue extendiéndose hacia arriba sin tocar la asíntota vertical. Y esta parte sigue extendiéndose en esta dirección sin hacer contacto con la recta Y igual a X más 1, que constituye la asíntota oblicua. Con base en esta gráfica podemos establecer cuál es el límite de esta función que vamos a llamar f de X cuando X tiende a 2 por la izquierda. Entonces veamos. Si nos ubicamos por aquí valores de X muy cercanos a 2 por la izquierda, como decíamos 1.9 o 1.99, vemos que la gráfica tiene su tendencia hacia abajo. Es decir que los valores de Y tienden hacia menos infinito. Y esto fue lo que obtuvimos ahora cuando lo hicimos analíticamente. Ahora con base en esta misma gráfica, veamos qué sucede con el límite de la función cuando X tiende a 2 por la derecha. Entonces nos vamos a situar por aquí valores muy próximos a 2 por la derecha, como 2.1 o 2.01 o 2.0001, muy próximo a 2 por ese lado, por el lado derecho. Si nos ubicamos aquí y vamos a buscar la gráfica de la función tenemos que subir y encontramos que los puntos se nos van hacia arriba. O sea que los valores de Y tienden hacia más infinito. Como podemos observar cuando X se aproxima a 2 por izquierda y por derecha la tendencia de la función es totalmente distinta. Por izquierda tiende hacia menos infinito y por la derecha tiende hacia más infinito. Por esa razón dijimos ahora que el límite de la función, de esta función racional, cuando X tiende a 2 entonces no existe. Esa es la respuesta que obtuvimos analíticamente y que aquí podemos comprobar gráficamente. Vemos entonces que en X igualados está la asíntota vertical y por ambos lados la función tiene tendencias totalmente diferentes. De esta manera terminamos este ejercicio.
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pr\u00f3ximo a 7 de naturaleza positiva."}, {"start": 392.0, "end": 406.0, "text": " Y nos concentramos ahora en el denominador, tenemos entonces un n\u00famero muy pr\u00f3ximo a 0 pero este n\u00famero si ingresa aqu\u00ed donde tenemos x y despu\u00e9s le restamos 2, vemos que este es mayor que 2."}, {"start": 406.0, "end": 415.0, "text": " Entonces nos va a producir un n\u00famero cercano a 0 pero de naturaleza positiva y eso nos permite precisar el resultado."}, {"start": 415.0, "end": 430.0, "text": " M\u00e1s con m\u00e1s nos da signo m\u00e1s y 7 sobre 0 es infinito. Entonces el l\u00edmite de esta funci\u00f3n, cuando x tiende a 2 por la derecha se nos va hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 430.0, "end": 446.0, "text": " De acuerdo con estos dos an\u00e1lisis ya podemos precisar el resultado de este l\u00edmite. Como vimos cuando x se aproxima a 2 por la izquierda esta funci\u00f3n tiende hacia menos infinito."}, {"start": 446.0, "end": 460.0, "text": " Y cuando x se aproxima a 2 por la derecha la misma funci\u00f3n se nos va hacia m\u00e1s infinito. Eso nos permite concluir que este l\u00edmite no existe y se representa con este s\u00edmbolo."}, {"start": 460.0, "end": 465.0, "text": " Entonces esta es la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 465.0, "end": 480.0, "text": " Lo que acabamos de hacer se puede comprobar gr\u00e1ficamente. Para ello consideramos la funci\u00f3n que ten\u00edamos en el l\u00edmite, es decir la funci\u00f3n racional y vamos a comenzar por establecer su dominio."}, {"start": 480.0, "end": 488.0, "text": " O sea cu\u00e1l es el conjunto de valores que puede tomar x para que la funci\u00f3n siempre produzca valores reales."}, {"start": 488.0, "end": 496.0, "text": " Como tenemos una funci\u00f3n racional o fraccionaria tenemos que garantizar que el denominador no sea 0."}, {"start": 496.0, "end": 503.0, "text": " Entonces establecemos esta condici\u00f3n, la expresi\u00f3n que tenemos en el denominador diferente de 0."}, {"start": 503.0, "end": 514.0, "text": " Y esto se resuelve como una ecuaci\u00f3n. Dejamos la x en el lado izquierdo y el 2 que est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar con 0 y nos queda ac\u00e1 2."}, {"start": 514.0, "end": 520.0, "text": " Entonces esto nos est\u00e1 diciendo que en esa funci\u00f3n x puede tomar cualquier valor real."}, {"start": 520.0, "end": 527.0, "text": " X pertenece al conjunto de los n\u00fameros reales con excepci\u00f3n del n\u00famero 2."}, {"start": 527.0, "end": 535.0, "text": " X no puede tomar ese valor porque complica la funci\u00f3n, vuelve 0 el denominador."}, {"start": 535.0, "end": 547.0, "text": " Como el numerador de esta fracci\u00f3n es una expresi\u00f3n que no se puede factorizar entonces no hay posibilidad de simplificar esta fracci\u00f3n algebraica."}, {"start": 547.0, "end": 550.0, "text": " O sea de cancelar por ejemplo x menos 2."}, {"start": 550.0, "end": 567.0, "text": " Eso quiere decir que x igual a 2, o sea el valor prohibido para x, o sea el que no puede tomar en el dominio se convierte autom\u00e1ticamente en una as\u00edntota vertical."}, {"start": 567.0, "end": 581.0, "text": " Es decir una l\u00ednea recta vertical a la cual la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n se va a aproximar sin llegar a tocarla, es decir sin tener contacto con ella."}, {"start": 581.0, "end": 584.0, "text": " Eso lo veremos ahora en la gr\u00e1fica."}, {"start": 584.0, "end": 598.0, "text": " Otra caracter\u00edstica de esta funci\u00f3n es que como el grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 1, es decir tenemos grado del numerador mayor que el grado del denominador."}, {"start": 598.0, "end": 605.0, "text": " Entonces vamos a tener otra as\u00edntota que no es precisamente vertical ni tampoco horizontal."}, {"start": 605.0, "end": 610.0, "text": " Y nos damos cuenta de que tipo es haciendo la resta de los grados."}, {"start": 610.0, "end": 615.0, "text": " Grado del numerador es 2 menos grado del denominador que es 1."}, {"start": 615.0, "end": 617.0, "text": " Esto nos da como resultado 1."}, {"start": 617.0, "end": 636.0, "text": " Y eso quiere decir que tendremos una as\u00edntota oblicua, o sea una recta inclinada a la cual la curva o la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n se va a aproximar sin llegar a tocarla."}, {"start": 636.0, "end": 645.0, "text": " Para establecer con exactitud cu\u00e1l es esa as\u00edntota oblicua, es decir cu\u00e1l es su ecuaci\u00f3n, debemos realizar esta divisi\u00f3n."}, {"start": 645.0, "end": 650.0, "text": " Lo que en \u00e1lgebra se conoce como la divisi\u00f3n de polinomios."}, {"start": 650.0, "end": 656.0, "text": " Tenemos que el numerador, o sea el dividendo, ya se encuentra organizado en forma descendente."}, {"start": 656.0, "end": 658.0, "text": " Entonces vamos a escribirlo."}, {"start": 658.0, "end": 661.0, "text": " X al cuadrado menos X m\u00e1s 5."}, {"start": 661.0, "end": 664.0, "text": " Vemos que tampoco falta ning\u00fan t\u00e9rmino de la secuencia."}, {"start": 664.0, "end": 672.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed grado 2, grado 1 y ac\u00e1 el t\u00e9rmino independiente, o sea el que tiene grado 0."}, {"start": 672.0, "end": 681.0, "text": " Y vamos a escribir aqu\u00ed lo que es el divisor, o sea el denominador, que tambi\u00e9n se escribe en forma descendente."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " Ah\u00ed ya lo tenemos ordenado de esa manera."}, {"start": 684.0, "end": 692.0, "text": " Para encontrar el primer t\u00e9rmino del cociente, dividimos el primer t\u00e9rmino del dividendo entre el primer t\u00e9rmino del divisor."}, {"start": 692.0, "end": 698.0, "text": " Es decir, hacemos X al cuadrado sobre X y esto nos da como resultado X."}, {"start": 698.0, "end": 702.0, "text": " Y eso constituye el primer t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 702.0, "end": 707.0, "text": " Decimos ahora, X por X nos da X al cuadrado con signo positivo."}, {"start": 707.0, "end": 716.0, "text": " Y pasa ac\u00e1 con signo contrario, es decir, con signo negativo y se localiza debajo del t\u00e9rmino correspondiente."}, {"start": 716.0, "end": 719.0, "text": " O sea del t\u00e9rmino que tiene el mismo grado."}, {"start": 719.0, "end": 733.0, "text": " Despu\u00e9s hacemos X por menos 2, que nos da menos 2X y llega a este lado con signo contrario, o sea m\u00e1s 2X, tambi\u00e9n localizado debajo de su respectivo t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 733.0, "end": 736.0, "text": " Efectuamos ahora la suma en forma vertical."}, {"start": 736.0, "end": 741.0, "text": " Tenemos que X al cuadrado sumado con menos X al cuadrado nos da 0."}, {"start": 741.0, "end": 744.0, "text": " Son t\u00e9rminos opuestos que se pueden eliminar."}, {"start": 744.0, "end": 752.0, "text": " Tenemos por ac\u00e1 menos X m\u00e1s 2X y eso nos da como resultado m\u00e1s 1X o simplemente X."}, {"start": 752.0, "end": 755.0, "text": " Y bajamos el n\u00famero 5."}, {"start": 755.0, "end": 764.0, "text": " Para encontrar el siguiente t\u00e9rmino del cociente, entonces dividimos el primer t\u00e9rmino del nuevo dividendo, por as\u00ed decirlo."}, {"start": 764.0, "end": 769.0, "text": " O sea, el que tenemos ya actualizado entre el primer t\u00e9rmino del divisor."}, {"start": 769.0, "end": 772.0, "text": " Es decir, que hacemos X dividido entre X."}, {"start": 772.0, "end": 775.0, "text": " Y eso nos da como resultado 1 positivo."}, {"start": 775.0, "end": 779.0, "text": " Y ese es el siguiente t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 779.0, "end": 783.0, "text": " Decimos entonces 1 por X nos da m\u00e1s X."}, {"start": 783.0, "end": 791.0, "text": " Pasa a este lado con signo contrario, o sea como menos X y se localiza debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 791.0, "end": 801.0, "text": " Decimos ahora 1 por menos 2, que es menos 2, pasa a este lado como m\u00e1s 2 y se localiza debajo del t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 801.0, "end": 805.0, "text": " Hacemos entonces la suma en forma vertical."}, {"start": 805.0, "end": 809.0, "text": " Tenemos X que sumado con menos X nos da 0."}, {"start": 809.0, "end": 813.0, "text": " Tambi\u00e9n son t\u00e9rminos opuestos que se eliminan entre s\u00ed."}, {"start": 813.0, "end": 818.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos 5 m\u00e1s 2 que nos da como resultado 7 positivo."}, {"start": 818.0, "end": 827.0, "text": " All\u00ed termina la divisi\u00f3n, porque como se observa el residuo es una expresi\u00f3n de grado inferior que el divisor."}, {"start": 827.0, "end": 835.0, "text": " Esto es un t\u00e9rmino independiente de grado 0, mientras que el divisor es un binomio de primer grado."}, {"start": 835.0, "end": 842.0, "text": " Entonces, como all\u00ed termina el procedimiento, el cociente es la as\u00edntota oblicua."}, {"start": 842.0, "end": 853.0, "text": " Decimos entonces que esa as\u00edntota, que es como dec\u00edamos una recta oblicua o una recta inclinada,"}, {"start": 853.0, "end": 859.0, "text": " ser\u00e1 la que tiene por ecuaci\u00f3n Y igual a X m\u00e1s 1."}, {"start": 859.0, "end": 865.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n ya podemos ir construyendo la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}, {"start": 865.0, "end": 869.0, "text": " Comenzamos entonces por trazar el plano cartesiano."}, {"start": 869.0, "end": 871.0, "text": " Bien, all\u00ed lo tenemos."}, {"start": 871.0, "end": 880.0, "text": " Y vamos a trazar la as\u00edntota X igual a 2, es decir, una recta vertical que pasa por este n\u00famero."}, {"start": 880.0, "end": 891.0, "text": " All\u00ed podemos observarla. Vamos a escribirle su nombre, la recta X igual a 2, que es la as\u00edntota vertical para esta funci\u00f3n."}, {"start": 891.0, "end": 897.0, "text": " Vamos ahora con la as\u00edntota oblicua. Como dec\u00edamos, se trata de una recta inclinada."}, {"start": 897.0, "end": 901.0, "text": " Y para trazarla podemos determinar dos de sus puntos."}, {"start": 901.0, "end": 909.0, "text": " Por ejemplo, si X toma el valor 4, entonces tenemos que Y es igual a 4 m\u00e1s 1 igual a 5."}, {"start": 909.0, "end": 917.0, "text": " Es decir, la pareja 4,5. Nos ubicamos aqu\u00ed en X igual a 4 y subimos hasta 5."}, {"start": 917.0, "end": 920.0, "text": " Y de esa manera tenemos un primer punto."}, {"start": 920.0, "end": 930.0, "text": " Ahora, por ejemplo, si X toma el valor menos 4, decimos que Y es igual a menos 4 m\u00e1s 1, que es igual a menos 3."}, {"start": 930.0, "end": 934.0, "text": " Entonces es la pareja menos 4, menos 3."}, {"start": 934.0, "end": 940.0, "text": " Nos ubicamos aqu\u00ed en X igual a menos 4 y bajamos hasta llegar a menos 3."}, {"start": 940.0, "end": 949.0, "text": " Y de esa manera tenemos el otro punto para trazar la recta que corresponde a la as\u00edntota oblicua."}, {"start": 949.0, "end": 956.0, "text": " Bien, all\u00ed podemos observarla. Es la recta Y igual a X m\u00e1s 1."}, {"start": 956.0, "end": 963.0, "text": " Escribimos su nombre y corresponde a la as\u00edntota oblicua de esta funci\u00f3n."}, {"start": 963.0, "end": 969.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos determinar cu\u00e1l es el punto de corte de la funci\u00f3n con el eje Y."}, {"start": 969.0, "end": 972.0, "text": " Y eso se consigue haciendo X igual a 0."}, {"start": 972.0, "end": 981.0, "text": " Entonces, imaginamos que la X desaparece porque toma el valor 0 y nos queda \u00fanicamente 5 sobre menos 2."}, {"start": 981.0, "end": 983.0, "text": " Y eso equivale a menos 2,5."}, {"start": 983.0, "end": 987.0, "text": " Entonces, cuando X vale 0, Y vale menos 2,5."}, {"start": 987.0, "end": 994.0, "text": " Es decir, aqu\u00ed y constituye el punto de corte de la funci\u00f3n con el eje Y."}, {"start": 994.0, "end": 1002.0, "text": " Si queremos obtener m\u00e1s puntos para la gr\u00e1fica, entonces podemos hacer una tabulaci\u00f3n o una tabla de valores."}, {"start": 1002.0, "end": 1009.0, "text": " Escogiendo para X valores reales que sean diferentes del n\u00famero 2."}, {"start": 1009.0, "end": 1016.0, "text": " Entonces podemos tabular valores negativos, positivos, pero no podemos tomar el 2."}, {"start": 1016.0, "end": 1024.0, "text": " La gr\u00e1fica que obtenemos al conectar esos puntos es muy aproximada a esa que tenemos en color rojo."}, {"start": 1024.0, "end": 1035.0, "text": " Vemos entonces que por ac\u00e1 la gr\u00e1fica sigue extendi\u00e9ndose de tal forma que no llega a tocar esta l\u00ednea recta, que es la as\u00edntota oblicua."}, {"start": 1035.0, "end": 1037.0, "text": " Y lo mismo sucede por ac\u00e1."}, {"start": 1037.0, "end": 1045.0, "text": " La gr\u00e1fica de la funci\u00f3n sigue extendi\u00e9ndose hacia abajo sin llegar a tocar la as\u00edntota vertical."}, {"start": 1045.0, "end": 1047.0, "text": " Lo mismo sucede por ac\u00e1 arriba."}, {"start": 1047.0, "end": 1056.0, "text": " Ac\u00e1 esta parte de la gr\u00e1fica sigue extendi\u00e9ndose hacia arriba sin tocar la as\u00edntota vertical."}, {"start": 1056.0, "end": 1069.0, "text": " Y esta parte sigue extendi\u00e9ndose en esta direcci\u00f3n sin hacer contacto con la recta Y igual a X m\u00e1s 1, que constituye la as\u00edntota oblicua."}, {"start": 1069.0, "end": 1082.0, "text": " Con base en esta gr\u00e1fica podemos establecer cu\u00e1l es el l\u00edmite de esta funci\u00f3n que vamos a llamar f de X cuando X tiende a 2 por la izquierda."}, {"start": 1082.0, "end": 1084.0, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 1084.0, "end": 1098.0, "text": " Si nos ubicamos por aqu\u00ed valores de X muy cercanos a 2 por la izquierda, como dec\u00edamos 1.9 o 1.99, vemos que la gr\u00e1fica tiene su tendencia hacia abajo."}, {"start": 1098.0, "end": 1103.0, "text": " Es decir que los valores de Y tienden hacia menos infinito."}, {"start": 1103.0, "end": 1108.0, "text": " Y esto fue lo que obtuvimos ahora cuando lo hicimos anal\u00edticamente."}, {"start": 1108.0, "end": 1119.0, "text": " Ahora con base en esta misma gr\u00e1fica, veamos qu\u00e9 sucede con el l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando X tiende a 2 por la derecha."}, {"start": 1119.0, "end": 1134.0, "text": " Entonces nos vamos a situar por aqu\u00ed valores muy pr\u00f3ximos a 2 por la derecha, como 2.1 o 2.01 o 2.0001, muy pr\u00f3ximo a 2 por ese lado, por el lado derecho."}, {"start": 1134.0, "end": 1143.0, "text": " Si nos ubicamos aqu\u00ed y vamos a buscar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n tenemos que subir y encontramos que los puntos se nos van hacia arriba."}, {"start": 1143.0, "end": 1148.0, "text": " O sea que los valores de Y tienden hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1148.0, "end": 1158.0, "text": " Como podemos observar cuando X se aproxima a 2 por izquierda y por derecha la tendencia de la funci\u00f3n es totalmente distinta."}, {"start": 1158.0, "end": 1165.0, "text": " Por izquierda tiende hacia menos infinito y por la derecha tiende hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1165.0, "end": 1177.0, "text": " Por esa raz\u00f3n dijimos ahora que el l\u00edmite de la funci\u00f3n, de esta funci\u00f3n racional, cuando X tiende a 2 entonces no existe."}, {"start": 1177.0, "end": 1185.0, "text": " Esa es la respuesta que obtuvimos anal\u00edticamente y que aqu\u00ed podemos comprobar gr\u00e1ficamente."}, {"start": 1185.0, "end": 1195.0, "text": " Vemos entonces que en X igualados est\u00e1 la as\u00edntota vertical y por ambos lados la funci\u00f3n tiene tendencias totalmente diferentes."}, {"start": 1195.0, "end": 1208.0, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]