INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicios 1, 2 y 3
#julioprofe demuestra tres fórmulas de integración de uso frecuente, usando el Método de Sustitución.

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 Vamos a resolver estas tres integrales donde m representa cualquier número real utilizando el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a utilizar la letra t para representar a lo que es mx. Esto vamos a derivarlo con respecto a x. Tendremos derivada de t respecto a x igual a m, o sea la derivada de mx. Recordemos que m es un número real. Y aquí despejamos de t, de x está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar, nos queda m por dx y de allí vamos a despejar de x. m que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y nos queda igual a dt sobre m. Entonces con estos dos componentes vamos a resolver cada una de esas integrales. Para el caso de la primera, tendremos lo siguiente, integral del seno de mx que se cambia por t y esto multiplicado por dx que es dt sobre m. Allí podemos extraer m como se encuentra en la parte de abajo, nos queda como 1 sobre m por fuera de la integral de seno de t con su correspondiente diferencial de t. Y esto que tenemos aquí ya constituye una integral básica o una integral directa. Tendremos 1 sobre m por la integral de seno de t con su diferencial de t que nos da como resultado menos coseno de t. Y tendremos por primera vez la constante de integración. Luego esto lo podemos organizar de la siguiente manera, 1 sobre m por menos 1 nos queda menos 1 sobre m que multiplica al coseno de t más c. Y finalmente cambiamos lo que es t por su equivalente que es mx. Tendremos entonces menos 1 sobre m por el coseno de mx. Y todo esto más la constante de integración. De esta manera ya tenemos el resultado de esta primera integral y hemos utilizado el método de sustitución. En el segundo caso tenemos la integral de coseno de mx con su diferencial dx. Entonces vamos a reescribirla como coseno de t, cambiamos mx por t y también cambiamos dx por su equivalente que es dt sobre m. De nuevo podemos extraer m, nos queda 1 sobre m por la integral de coseno de t con su diferencial dt. Y otra vez hemos llegado a una integral que es directa o una integral básica. Tendremos 1 sobre m por la integral de coseno de t con su diferencial dt que nos da seno de t y escribimos la constante de integración. Allí cambiamos t por su equivalente y nos queda 1 sobre m por el seno de mx y todo esto más c. Esta será entonces la respuesta para esa integral. En el tercer caso tenemos la integral de e a la mx con su diferencial dx. También hacemos el cambio de mx por la letra t y cambiamos el diferencial dx por su equivalente que es dt sobre m. Otra vez podemos extraer m, nos queda 1 sobre m por la integral de e a la t con su diferencial dt. Y aquí observamos otra integral que es directa o que es básica. Tendremos 1 sobre m por la integral de e a la t con su diferencial dt que nos da la misma expresión e a la t y esto más la constante de integración. Esto será entonces igual a 1 sobre m por e a la t pero t se cambia por su equivalente que es mx y a esto le añadimos la constante de integración. Esta será entonces la respuesta para esa integral. En resumen tenemos estas tres expresiones que constituyen fórmulas que nos permiten resolver de manera rápida situaciones como estas que se nos van a presentar con frecuencia en los métodos de integración por partes o integrales por fracciones parciales o también las integrales trigonométricas. Veamos algunos ejemplos de aplicación de esas tres fórmulas. Si tenemos por ejemplo la integral del seno de 3x con su diferencial dx vemos que encaja perfectamente con la primera situación. En ese caso 3 está representando a la letra m. Si aplicamos la fórmula tendremos menos 1 sobre 3 o sea menos 1 tercio por el coseno de 3x más c y así ya hemos resuelto esa situación. Si tenemos por ejemplo la integral del coseno de x medios con su diferencial dx entonces podemos reescribir eso como la integral del coseno de 1 medio de x con su diferencial dx y vemos que se ajusta perfectamente a el segundo caso. En ese caso m es 1 medio. Si aplicamos la fórmula tendremos lo siguiente 1 sobre m o sea 1 sobre 1 medio por el seno de mx o sea 1 medio por x y todo esto más la constante de integración. Esta expresión la podemos organizar de una forma más sencilla. Vamos a seguirla por acá tendremos que 1 sobre 1 medio aplicando lo que se llama ley de la oreja podemos cambiar este 1 como 1 sobre 1 multiplicamos extremos y medios entonces nos queda convertido en 2 o sea 2 sobre 1 y acá tendremos el seno de 1 medio de x que puede escribirse como x medios tal como venía inicialmente y todo esto le agregamos la constante c o sea la constante de integración repetimos esta integral da como resultado esto que tenemos acá utilizando la segunda fórmula. Veamos ahora un caso que se ajusta a la tercera situación si tenemos la integral de e a la menos x con su diferencial dx esto lo podemos escribir como integral de e a la menos 1 por x con su diferencial dx en ese caso observamos que m es menos 1 y aplicando la fórmula tendremos 1 sobre m o sea 1 sobre menos 1 por e a la mx o sea a la menos 1 por x y todo esto más c organizando esa expresión tendremos que 1 sobre menos 1 nos da menos 1 o sea simplemente anotamos el menos y acompaña a e a la menos x el resultado de efectuar menos 1 por x y todo esto más la constante de integración.
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