33. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 3)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 33: Vectores en Cinemática (Ejercicio 3).

El vector de posición de un móvil viene dado por r = t³i + 2tj + 3t²k. Calcula:
(a) Su velocidad al cabo de 2 segundos.
(b) Su velocidad media durante los cuatro primeros segundos.

Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Nos da el vector posición de un móvil, vemos que tiene las tres componentes I, J, K, O, X, Y, Z, es decir, se trata de un movimiento en el espacio. Vamos a reescribir esa ecuación como una función vectorial así, con componentes T al cubo, 2T y 3T al cuadrado. Si esa posición en metros, si el tiempo entra en segundos. Nos piden entonces encontrar la velocidad al cabo de dos segundos, es decir, la velocidad instantánea. Entonces tenemos que encontrar el vector velocidad, que se obtiene derivando la posición. Si vamos a derivar este vector, entonces procedemos a derivar cada una de sus componentes. Entonces tenemos la derivada de T al cubo, sería 3T al cuadrado. La derivada de 2T es 2, y la derivada de 3T al cuadrado sería 6T. Estas serían entonces las componentes del vector velocidad. A continuación vamos a encontrar en el instante T igual a dos segundos, cuál es el valor de esa velocidad. Entonces sustituimos el 2, sería calcular V de 2, esto nos queda 3 por 2 al cuadrado, coma 2,6 por 2, y resolvemos, nos da 2 al cuadrado, 4 por 3, 12. Aquí nos queda 2 y 6 por 2, 12. Sustituimos el módulo en metros sobre segundos, que son las unidades de la velocidad. Entonces en T igual a dos segundos, la velocidad de la partícula o del móvil es este vector, componentes 12,2,12 en metros sobre segundos. Vamos a encontrar el módulo de esta velocidad, es decir, lo que se llamaría la rapidez en ese instante. El módulo o magnitud de la velocidad en el instante T igual a dos segundos se calcula de la siguiente manera, raíz cuadrada de 12 al cuadrado, más 2 al cuadrado, más 12 al cuadrado. La suma de los cuadrados de sus componentes, todo eso dentro de una raíz cuadrada. Vemos esto nos da 144, más 4, más 144. Toda esa operación nos da como resultado 292 dentro de la raíz cuadrada, y simplificando eso al máximo nos queda 2 raíz cuadrada de 73 en metros sobre segundos. Aproximadamente igual a 17.09 metros sobre segundos. Esa sería entonces la rapidez instantánea, si el módulo de la velocidad de esa partícula en el instante T igual a dos segundos. En la parte B de este ejercicio nos preguntan por la velocidad media en los cuatro primeros segundos. Es decir que vamos a calcular esa velocidad entre T igual a cero y T igual a cuatro segundos. Vamos entonces a calcular la posición en cero y la posición en cuatro. R de cero, en el instante cero la posición vale cero, cero, cero. Vemos claramente que si reemplazamos T por cero nos da todo cero. Claro, eso quiere decir que la partícula en el instante T igual a cero se encuentra en el origen. Ahora miremos en T igual a cuatro segundos cuál es la posición. Sustituimos el cuatro en cada uno de los valores del tiempo y nos queda así. Aquí dos por cuatro, ocho. Aquí cuatro al cuadrado dieciséis, dieciséis por tres, cuarenta y ocho. Y esto en metros. Esto será entonces la posición, el vector posición de ese móvil en T igual a cuatro segundos. Con esto ya podemos calcular el vector desplazamiento delta R que sería posición final, es decir R de cuatro menos posición inicial que es R de cero. Nos queda entonces delta R igual a, tomamos el vector R de cuatro, sesenta y cuatro, coma ocho coma cuarenta y ocho, menos el vector R de cero que es la terna de ceros. Efectuando la resta tenemos que el vector desplazamiento delta R es equivale a sesenta y cuatro coma ocho coma cuarenta y ocho en metros. Calculamos entonces el desplazamiento de ese móvil en el intervalo que va desde cero hasta cuatro. Calculamos delta T, es decir el valor del intervalo de tiempo sería cuatro menos cero, instante final menos instante inicial, esto nos da cuatro segundos. Y ya con estos dos datos podemos encontrar la velocidad media en ese intervalo de tiempo, será el vector desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo. El vector desplazamiento nos dio componentes sesenta y cuatro coma ocho coma cuarenta y ocho en metros y el intervalo de tiempo cuatro segundos. Vamos entonces a distribuir el escalar tiempo, es decir los cuatro segundos, vamos a distribuirlos a cada componente, nos queda entonces sesenta y cuatro cuartos, ocho cuartos y cuarenta y ocho cuartos y ya esto toma unidades metros sobre segundos. Veamos cuanto nos da esta división, nos da dieciséis, por acá nos da dos y luego nos da doce metros sobre segundos. Y tenemos entonces el vector velocidad media para ese móvil en el intervalo de tiempo que va entre cero y cuatro segundos. Para terminar calculemos su módulo o su magnitud o su norma, recordemos que se puede llamar de esas tres formas, será entonces la raíz cuadrada de dieciséis al cuadrado más dos al cuadrado más doce al cuadrado, todo esto dentro de la raíz cuadrada. Resolvemos dieciséis al cuadrado es doscientos cincuenta y seis, dos al cuadrado es cuatro y doce al cuadrado es ciento cuarenta y cuatro, todo eso dentro de la raíz cuadrada. Hacemos esta suma y eso nos da como resultado cuatrocientos cuatro, que simplificando al máximo esa raíz nos da dos raíz cuadrada de ciento uno en metros sobre segundos. En número decimal esto aproxima a veinte punto uno en metros sobre segundos. Entonces, de esta manera hemos encontrado el módulo de nuestro vector velocidad media para el intervalo que nos dieron y terminamos el ejercicio.
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