ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 11
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos de bases distintas.

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 Vamos a resolver esta ecuación que contiene logaritmos de diferentes bases. Debemos encontrar el valor o los valores de la incógnita X que hacen verdadera esta igualdad. Comenzamos utilizando una propiedad de los logaritmos que se llama cambio de base. Esta propiedad dice lo siguiente. Si tenemos el logaritmo en base A de X, esto será igual al logaritmo en base C de X sobre logaritmo en base C de A. Es decir, podemos llevar un logaritmo que tiene base A a una expresión que contiene logaritmos en otra base. En este caso denotada por la letra C. Para el caso de estos dos logaritmos que como se observa tienen bases diferentes, vamos a llevarlas a la base 2. En este caso 2 hará el papel de la letra C. Tenemos entonces que el logaritmo en base 4 de X nos queda como logaritmo en base 2 de X sobre logaritmo en base 2 de 4. Como se observa hemos aplicado esta propiedad llamada cambio de base. De base 4 pasamos a la base 2 aplicando esta propiedad. Ahora tenemos más logaritmo en base 8 de X utilizando este cambio de base. Tendremos logaritmo en base 2 de X y todo esto sobre el logaritmo en base 2 de 8. Y todo esto nos queda igualado a 1. La razón de haber escogido base 2 para transformar estos logaritmos es que 4 y 8 son potencias del número 2. Sabemos que 4 equivale a 2 al cuadrado y que 8 equivale a 2 al cubo. 4 y 8 son potencias del número 2. Eso nos permite conocer entonces el valor de estos logaritmos que tenemos en los denominadores. Por ejemplo para el caso del logaritmo en la base 2 de 4 tenemos que el resultado es 2. Porque 2 elevado al exponente 2 nos da 4 tal como observamos en esta igualdad. Y de igual forma logaritmo en base 2 de 8 será igual a 3. Porque 2 elevado al exponente 3 nos da como resultado 8 tal como observamos aquí en esta otra igualdad. Entonces teniendo ya estos dos resultados podemos reescribir esta expresión. Tendremos logaritmo en base 2 de X todo esto sobre este resultado que es 2. Acá lo tenemos y esto más logaritmo en base 2 de X todo esto sobre este resultado que nos dio 3. Y todo esto está igualado a 1. Continuamos con el desarrollo del ejercicio resolviendo esta suma de fracciones del diferente denominador. Vamos a utilizar allí la técnica o el truco de la carita feliz. Vamos a recordarlo. Para sumar estas dos fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador, decimos B por D. Acá abajo. Acá arriba tendremos A por D más B por C. Sirve para sumar o incluso para restar fracciones con distinto denominador. Esto que hemos hecho acá, B por D en el denominador, A por D acá arriba y luego B por C también arriba, es el truco o la técnica de la carita feliz. Con base en esta técnica vamos a resolver esta operación. Trazamos esta línea. Acá tendremos 2 por 3 que nos da 6. Luego tenemos logaritmo en base 2 de X multiplicado por 3. Es decir, 3 por logaritmo en base 2 de X. Luego tenemos más este número 2 multiplicado por esta expresión que nos da 2 logaritmo en base 2 de X y todo eso se encuentra igualado a 1. Ahora, en el numerador tenemos una suma de términos semejantes. Eso nos dará como resultado 5 logaritmo en base 2 de X. Recordemos que se suman los coeficientes y se conserva la parte literal o aquello que hace esos términos semejantes. Todo esto se encuentra sobre 6 y a su vez igualado a 1. De aquí nuestro objetivo es despejar la expresión logaritmo en base 2 de X y para ello comenzamos por pasar este número 6 que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Tendremos 5 que multiplica al logaritmo en base 2 de X igual a 6 por 1 que nos da como resultado 6. Ahora, pasamos este número 5 que está multiplicando al otro lado a dividir y tendremos logaritmo en base 2 de X igual a 6 sobre 5 o 6 quintos. Bien, ahora tenemos que encontrar el valor de la letra o incógnita X de esta expresión y para ello vamos a recordar la definición o el concepto de logaritmo. Decimos que el logaritmo en base a de b es igual a c si y solamente si a elevada al exponente c es igual a b. Fue lo que vimos al comienzo de este ejercicio. Cuando teníamos logaritmo en base 2 de 4 que nos dio como resultado 2, esto debido a que 2 elevado al exponente 2 o 2 al cuadrado es igual a 4 o también cuando teníamos que el logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3. Esto porque 2 elevado al exponente 3, 2 al cubo nos da como resultado 8. Pues bien, siguiendo esta instrucción o el concepto de logaritmo vamos a pasar esta expresión a la forma de potencia. Decimos 2 elevado al exponente 6 quintos igual a X. Bien, aquí podemos afirmar que ya conocemos el valor de X que hace verdadera esta igualdad, o sea que satisface la ecuación original. Esta será la solución y se acepta porque es una cantidad positiva, requisito para que estos dos organismos existan. Sin embargo, podemos pulir o refinar este resultado utilizando la siguiente propiedad. Si tenemos una cantidad a elevada al exponente m sobre n como en este caso, esto corresponde a una raíz donde tenemos acá en el radicando a a la m y acá en el índice de la raíz la letra n, propiedad de la radicación que conecta con la potenciación. Entonces vamos a transformar esta expresión a la forma de raíz. Tendremos raíz, acá dentro 2 a la 6 y acá afuera el 5. Siguiendo esta instrucción y todo esto igual a X. Ahora, como en el radicando tenemos una potencia cuyo exponente es mayor que el índice de la raíz, entonces podemos descomponerla de tal forma que podamos simplificar ese radical. Tendremos entonces que X será igual a la raíz quinta de 2 a la 6 que se puede descomponer como 2 a la 5 por 2 a la 1. Escogemos aquí el 5 para que pueda simplificarse con el índice de la raíz. Entonces 2 a la 6 lo desbaratamos o descomponemos como 2 a la 5 por 2 a la 1. Ahora aquí podemos aplicar otra propiedad de la radicación. Aquella que nos dice que la raíz enésima de A por B es igual a la raíz enésima de A por la raíz enésima de B. Si tenemos la raíz de un producto, entonces la raíz puede repartirse para cada uno de sus componentes, o sea de los factores. Esto nos va a quedar entonces como la raíz quinta de 2 a la 5 por la raíz quinta de 2 a la 1. Ahora para el caso de este radical donde tenemos estas dos cantidades iguales, podemos aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos raíz enésima de A a la N, esto será igual a valor absoluto de A si N es un número par, y será igual a la letra A si N es impar. Entonces como en este caso tenemos un número impar, esta raíz será simplemente igual a A, es decir en este caso al número 2. Tenemos entonces que X será igual a 2, resultado de este radical que multiplica a la raíz quinta de 2 a la 1, pero acá podemos hacer invisible el exponente 1 y nos queda simplemente 2. Bien, de esta manera ya hemos encontrado el valor de X, la solución de la ecuación inicial expresada en una forma un poco mejor que la que habíamos obtenido inicialmente. Habíamos tenido X igual a 2 elevado al exponente 6 quintos, o también se puede expresar como 2 por la raíz quinta de 2. Entonces podemos suprimir este punto que sabemos que indica multiplicación, y de esta manera encontramos la respuesta para este ejercicio.
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decir, 3 por logaritmo en base 2 de X."}, {"start": 291.6, "end": 302.0, "text": " Luego tenemos m\u00e1s este n\u00famero 2 multiplicado por esta expresi\u00f3n que nos da 2 logaritmo en base 2 de X"}, {"start": 302.0, "end": 307.0, "text": " y todo eso se encuentra igualado a 1."}, {"start": 307.0, "end": 312.6, "text": " Ahora, en el numerador tenemos una suma de t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 312.6, "end": 319.20000000000005, "text": " Eso nos dar\u00e1 como resultado 5 logaritmo en base 2 de X."}, {"start": 319.2, "end": 329.2, "text": " Recordemos que se suman los coeficientes y se conserva la parte literal o aquello que hace esos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 329.2, "end": 335.2, "text": " Todo esto se encuentra sobre 6 y a su vez igualado a 1."}, {"start": 335.2, "end": 341.8, "text": " De aqu\u00ed nuestro objetivo es despejar la expresi\u00f3n logaritmo en base 2 de X"}, {"start": 341.8, "end": 349.2, "text": " y para ello comenzamos por pasar este n\u00famero 6 que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 349.2, "end": 360.0, "text": " Tendremos 5 que multiplica al logaritmo en base 2 de X igual a 6 por 1 que nos da como resultado 6."}, {"start": 360.0, "end": 366.40000000000003, "text": " Ahora, pasamos este n\u00famero 5 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir"}, {"start": 366.4, "end": 377.59999999999997, "text": " y tendremos logaritmo en base 2 de X igual a 6 sobre 5 o 6 quintos."}, {"start": 377.59999999999997, "end": 384.59999999999997, "text": " Bien, ahora tenemos que encontrar el valor de la letra o inc\u00f3gnita X de esta expresi\u00f3n"}, {"start": 384.59999999999997, "end": 391.2, "text": " y para ello vamos a recordar la definici\u00f3n o el concepto de logaritmo."}, {"start": 391.2, "end": 404.2, "text": " Decimos que el logaritmo en base a de b es igual a c si y solamente si a elevada al exponente c es igual a b."}, {"start": 404.2, "end": 408.59999999999997, "text": " Fue lo que vimos al comienzo de este ejercicio."}, {"start": 408.59999999999997, "end": 415.4, "text": " Cuando ten\u00edamos logaritmo en base 2 de 4 que nos dio como resultado 2,"}, {"start": 415.4, "end": 423.59999999999997, "text": " esto debido a que 2 elevado al exponente 2 o 2 al cuadrado es igual a 4"}, {"start": 423.59999999999997, "end": 430.0, "text": " o tambi\u00e9n cuando ten\u00edamos que el logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3."}, {"start": 430.0, "end": 438.4, "text": " Esto porque 2 elevado al exponente 3, 2 al cubo nos da como resultado 8."}, {"start": 438.4, "end": 443.4, "text": " Pues bien, siguiendo esta instrucci\u00f3n o el concepto de logaritmo"}, {"start": 443.4, "end": 447.59999999999997, "text": " vamos a pasar esta expresi\u00f3n a la forma de potencia."}, {"start": 447.59999999999997, "end": 457.59999999999997, "text": " Decimos 2 elevado al exponente 6 quintos igual a X."}, {"start": 457.59999999999997, "end": 464.79999999999995, "text": " Bien, aqu\u00ed podemos afirmar que ya conocemos el valor de X que hace verdadera esta igualdad,"}, {"start": 464.79999999999995, "end": 468.79999999999995, "text": " o sea que satisface la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 468.8, "end": 474.6, "text": " Esta ser\u00e1 la soluci\u00f3n y se acepta porque es una cantidad positiva,"}, {"start": 474.6, "end": 479.0, "text": " requisito para que estos dos organismos existan."}, {"start": 479.0, "end": 485.8, "text": " Sin embargo, podemos pulir o refinar este resultado utilizando la siguiente propiedad."}, {"start": 485.8, "end": 493.6, "text": " Si tenemos una cantidad a elevada al exponente m sobre n como en este caso,"}, {"start": 493.6, "end": 501.0, "text": " esto corresponde a una ra\u00edz donde tenemos ac\u00e1 en el radicando a a la m"}, {"start": 501.0, "end": 505.40000000000003, "text": " y ac\u00e1 en el \u00edndice de la ra\u00edz la letra n,"}, {"start": 505.40000000000003, "end": 510.40000000000003, "text": " propiedad de la radicaci\u00f3n que conecta con la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 510.40000000000003, "end": 515.6, "text": " Entonces vamos a transformar esta expresi\u00f3n a la forma de ra\u00edz."}, {"start": 515.6, "end": 523.4, "text": " Tendremos ra\u00edz, ac\u00e1 dentro 2 a la 6 y ac\u00e1 afuera el 5."}, {"start": 523.4, "end": 529.6, "text": " Siguiendo esta instrucci\u00f3n y todo esto igual a X."}, {"start": 529.6, "end": 538.6, "text": " Ahora, como en el radicando tenemos una potencia cuyo exponente es mayor que el \u00edndice de la ra\u00edz,"}, {"start": 538.6, "end": 545.4, "text": " entonces podemos descomponerla de tal forma que podamos simplificar ese radical."}, {"start": 545.4, "end": 560.0, "text": " Tendremos entonces que X ser\u00e1 igual a la ra\u00edz quinta de 2 a la 6 que se puede descomponer como 2 a la 5 por 2 a la 1."}, {"start": 560.0, "end": 566.1999999999999, "text": " Escogemos aqu\u00ed el 5 para que pueda simplificarse con el \u00edndice de la ra\u00edz."}, {"start": 566.1999999999999, "end": 574.6, "text": " Entonces 2 a la 6 lo desbaratamos o descomponemos como 2 a la 5 por 2 a la 1."}, {"start": 574.6, "end": 580.2, "text": " Ahora aqu\u00ed podemos aplicar otra propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 580.2, "end": 590.6, "text": " Aquella que nos dice que la ra\u00edz en\u00e9sima de A por B es igual a la ra\u00edz en\u00e9sima de A por la ra\u00edz en\u00e9sima de B."}, {"start": 590.6, "end": 598.6, "text": " Si tenemos la ra\u00edz de un producto, entonces la ra\u00edz puede repartirse para cada uno de sus componentes,"}, {"start": 598.6, "end": 611.6, "text": " o sea de los factores. Esto nos va a quedar entonces como la ra\u00edz quinta de 2 a la 5 por la ra\u00edz quinta de 2 a la 1."}, {"start": 611.6, "end": 617.6, "text": " Ahora para el caso de este radical donde tenemos estas dos cantidades iguales,"}, {"start": 617.6, "end": 620.6, "text": " podemos aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 620.6, "end": 630.6, "text": " Si tenemos ra\u00edz en\u00e9sima de A a la N, esto ser\u00e1 igual a valor absoluto de A si N es un n\u00famero par,"}, {"start": 630.6, "end": 638.6, "text": " y ser\u00e1 igual a la letra A si N es impar."}, {"start": 638.6, "end": 646.6, "text": " Entonces como en este caso tenemos un n\u00famero impar, esta ra\u00edz ser\u00e1 simplemente igual a A,"}, {"start": 646.6, "end": 650.6, "text": " es decir en este caso al n\u00famero 2."}, {"start": 650.6, "end": 660.6, "text": " Tenemos entonces que X ser\u00e1 igual a 2, resultado de este radical que multiplica a la ra\u00edz quinta de 2 a la 1,"}, {"start": 660.6, "end": 666.6, "text": " pero ac\u00e1 podemos hacer invisible el exponente 1 y nos queda simplemente 2."}, {"start": 666.6, "end": 677.6, "text": " Bien, de esta manera ya hemos encontrado el valor de X, la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n inicial expresada en una forma un poco mejor"}, {"start": 677.6, "end": 680.6, "text": " que la que hab\u00edamos obtenido inicialmente."}, {"start": 680.6, "end": 692.6, "text": " Hab\u00edamos tenido X igual a 2 elevado al exponente 6 quintos, o tambi\u00e9n se puede expresar como 2 por la ra\u00edz quinta de 2."}, {"start": 692.6, "end": 698.6, "text": " Entonces podemos suprimir este punto que sabemos que indica multiplicaci\u00f3n,"}, {"start": 698.6, "end": 726.6, "text": " y de esta manera encontramos la respuesta para este ejercicio."}]