ECUACIONES DE TERCER GRADO - Ejercicio 2 - ft. Casio Classwiz
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación cúbica o de tercer grado y, al final, utiliza la calculadora Casio #Classwiz fx-991LA X tanto para comprobar la solución como para generar su respectivo código QR.

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 ¿Qué es la ecuación cubica? Tenemos en este caso una ecuación cubica o de tercer grado que vamos a resolver manualmente paso a paso y donde vamos a utilizar la calculadora Casio-Clasuis tanto para comprobar su solución como para generar su respectivo código QR. Por ser una ecuación de tercer grado entonces esperamos que tenga tres soluciones en el conjunto de los números complejos. Lo primero que hacemos es revisar si esta expresión se puede factorizar utilizando los casos principales de factorización como por ejemplo factor común o también factor común por agrupación de términos. Si hacemos esa revisión vemos que no es posible factorizar este polinomio de cuatro términos utilizando ese camino. Entonces vamos a utilizar el procedimiento de la división sintética. Comenzamos determinando el conjunto de valores de P que serán los divisores del término independiente, es decir 12. Entonces vamos a construir el conjunto de divisores enteros para 12. Comenzamos con más o menos 1, vamos subiendo, tenemos más o menos 2, luego tenemos más o menos 3, también tenemos más o menos 4, de allí pasamos a más o menos 6 y finalizamos con más o menos 12. Esos son los divisores enteros de 12 que es el término independiente en ese polinomio. Una manera de verificar si este conjunto está completo es realizar las parejas de estos valores en este conjunto. Por ejemplo 1 por 12 nos da 12, luego tenemos 6 con 2 que multiplicados entre sí nos da 12 y también tenemos 3 y 4 que multiplicados entre sí nos da 12. Y vemos que todos los valores que tenemos en este conjunto participaron en esa regla para verificar que no nos falte ninguno de los divisores de 12. Ahora vamos con el conjunto de valores Q que serán los divisores enteros del coeficiente principal de este polinomio, es decir el que corresponde al término de mayor grado o exponente, en este caso es 1. Entonces para ese número los divisores enteros serán simplemente más o menos 1. Y enseguida vamos a construir el conjunto de las posibles raíces racionales para ese polinomio. Ese conjunto estará formado por todas las combinaciones P sobre Q que podamos obtener de estos dos conjuntos, es decir cada valor de P dividido entre cada valor de Q, pero como en Q solamente tenemos una cantidad, entonces van a ser prácticamente los mismos valores del conjunto P, es decir más o menos 1, más o menos 2, más o menos 3, más o menos 4, más o menos 6 y más o menos 12. Allí tenemos entonces el conjunto de posibles raíces racionales para ese polinomio. Iniciamos entonces el proceso de la división sintética, anotando aquí en la parte superior los coeficientes de este polinomio, que por cierto ya está organizado en forma descendente o decreciente. Entonces tenemos que para el término de mayor grado o exponente el coeficiente es 1. Después tenemos menos 7 para el término de grado 2, luego tenemos 4 para el término de grado 1 y después 12 para el término independiente, que será el término de grado 0. Entonces para que tengamos mayor control del ejercicio podemos colocar acá encima a qué corresponde cada uno de esos coeficientes. 1 corresponde al término de grado 3, x al cubo, menos 7 corresponde al término de grado 2, x al cuadrado, 4 corresponde al término que contiene la x, x elevada al exponente 1 y 12 corresponde al término independiente de ese polinomio. Vamos entonces con la prueba de estos valores. Comenzamos con x igual a 1 positivo. Bajamos esta primera cantidad, aquí la escribimos debajo de la línea. Decimos 1 por 1 da como resultado 1, hacemos la suma en forma vertical, menos 7 más 1 es menos 6, menos 6 lo multiplicamos por 1, eso nos da menos 6, hacemos aquí la suma en forma vertical, eso nos da menos 2, menos 2 por 1 es menos 2, hacemos la suma en forma vertical y obtenemos como resultado 10 positivo. Eso quiere decir que esta cantidad que examinamos no sirve porque acá debemos obtener 0. Esto es como el residuo de la división y si nos dio 10 es señal de que este valor no sirve. Enseguida vamos a probar con x igual a menos 1. Entonces bajamos este primer número por acá, 1 por menos 1 nos da menos 1, sumamos en forma vertical, esto nos da menos 8, menos 8 por menos 1 es 8 positivo, sumamos en forma vertical, esto nos da 12, 12 por menos 1 es menos 12 y haciendo la suma en forma vertical obtenemos como resultado 0, que es lo que buscamos, 0 en el residuo de la división. Quiere decir que x igual a menos 1 sí sirve y será la primera solución para esa ecuación. Ya para lo que sigue no es necesario utilizar más la división sintética debido a que estos coeficientes corresponden a un polinomio de un grado menos que el que teníamos originalmente, es decir ahora empezaremos con grado 2. 1 será el coeficiente de x al cuadrado, menos 8 será el coeficiente de x y 12 será el nuevo término independiente. En otras palabras ese polinomio es 1x al cuadrado o simplemente x al cuadrado, luego tenemos menos 8x y después más 12 y todo esto nos queda igual a 0. Así hemos llegado a una ecuación cuadrática o de segundo grado cuyo modelo es ax al cuadrado más bx más c igual a 0 y que podemos resolver por factorización también utilizando la fórmula cuadrática o fórmula general esa que dice x es igual a menos b más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac y todo esto sobre 2a o también utilizando el camino de la completación de cuadrados. Vamos en este caso a utilizar la opción de la factorización. Si revisamos con atención esta expresión vemos que encaja con el caso de factorización llamado trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c entonces vamos a utilizarlo en esta ocasión. Abrimos dos paréntesis, todo esto se encuentra igualado a 0. Extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería x, la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Ahora definimos los signos, por acá tenemos signo positivo, más por menos nos da menos en el primer paréntesis y menos por más nos da menos en el segundo paréntesis. Ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos den como resultado más 12 y que al sumarlos nos de como resultado menos 8. Esos números son menos 6 y menos 2, vamos a ver, menos 6 por menos 2 es más 12 y menos 6 sumado con menos 2 es menos 8. Entonces allí hemos factorizado ese trinomio. A continuación aplicamos el teorema del factor nulo, recordemos que si a por b es igual a 0, entonces a es igual a 0 o b es igual a 0. En otras palabras debemos igualar a 0 cada uno de esos factores, x menos 6 igual a 0 o x menos 2 igual a 0. Es el teorema del factor nulo y en cada caso vamos a despejar la variable x, por acá tendremos x igual a 6 positivo y por acá despejando x obtenemos 2 también positivo. De esta manera hemos terminado el ejercicio, ya tenemos las tres soluciones para esa ecuación cúbica o de tercer grado. Como vemos todas son cantidades reales, entonces vamos a organizar el conjunto solución comenzando por el menor de esos tres valores que es menos 1, después seguimos con el 2 y finalmente el 6. Entonces esta será el conjunto solución para esa ecuación cúbica o de tercer grado. Una vez que hemos resuelto el ejercicio manualmente, podemos realizar su comprobación utilizando la calculadora Casio ClassWiz. Veamos cómo se hace. Presionamos el botón menú y en pantalla se observan los iconos o accesos directos a las distintas funciones de la calculadora. Nos movemos hacia abajo dos veces y luego hacia la derecha una vez hasta llegar al ícono identificado con la letra A mayúscula que es el correspondiente a las ecuaciones. Presionamos el botón igual para ingresar allí y vemos en pantalla dos opciones. La primera es la de los sistemas de ecuaciones lineales, la segunda es la que tiene que ver con solución de ecuaciones polinómicas. En este caso elegimos la opción 2. Y nos preguntan por el grado del polinomio. Como vemos es un polinomio o una ecuación de grado 3. Entonces seleccionamos el 3 y en la parte superior de la pantalla vemos un polinomio con la estructura AX al cubo más BX al cuadrado más CX más D igual a 0. Tal como el que tenemos acá. Entonces vamos a ingresar sus coeficientes. Vemos el rectángulo negro situado en el que corresponde al término de grado 3. Al término que tiene X al cubo. En ese caso debemos ingresar el valor 1. Presionamos igual. Ahora tenemos el rectángulo negro aquí. En el coeficiente de X al cuadrado. Vamos a ingresar menos 7. Botón del signo negativo luego el 7 y presionamos igual. Ahora tenemos el rectángulo negro aquí. En el coeficiente de X. Vamos a ingresar 4 positivo o simplemente 4. Presionamos igual. Y ahora tenemos el rectángulo negro acá. Es decir en el sitio correspondiente al término independiente. Vamos a ingresar 12. Presionamos igual. Y de esa manera ya hemos alimentado la calculadora con los coeficientes de este polinomio de grado 3. Presionamos el botón igual nuevamente y obtenemos la primera solución para esa ecuación. Dice X sub 1 igual a 6. Acá tenemos ese valor. Presionamos el botón igual de nuevo. Tenemos la segunda solución. X sub 2 igual a 2. El valor que teníamos por allá. Y presionando igual de nuevo. Tenemos la tercera solución. X sub 3 igual a menos 1. De esta manera comprobamos que el proceso que hicimos manualmente es correcto. También con la calculadora Casio ClassWiz podemos generar el código QR para este ejercicio que hemos desarrollado. Veamos cómo se hace. Presionamos el botón shift y luego el botón de opciones. Y en pantalla nos aparece el código QR. Ahora lo que hacemos es escanear dicho código utilizando preferiblemente la aplicación Casio EduMAS que es gratuita y que cuenta con el lector para dicho código que nos genera la calculadora. Veamos cómo se hace. Una vez instalada la aplicación Casio EduMAS en nuestro teléfono, entonces la abrimos y seleccionamos la opción de código QR. De esa manera habilitamos el lector para escanear el código que nos ha generado la calculadora. Una vez que se produce la lectura, presionamos este botón azul para conectarnos con el sitio web de Casio. Allí podemos observar el ejercicio original, es decir la ecuación cúbica o de tercer grado. Y también podemos observar su solución. Allí tenemos los tres valores, x sub 1 igual a 6, x sub 2 igual a 2 y x sub 3 igual a menos 1. Más abajo encontramos un dibujo que corresponde a la gráfica de la función y igual a x al cubo, menos 7x al cuadrado más 4x más 12. Y donde podemos apreciar los puntos de corte de esa curva o de esa función con el eje x. Son justamente las tres soluciones de la ecuación cúbica o de tercer grado. Se observa el primer punto que es x igual a menos 1, el segundo x igual a 2 y el tercero x igual a 6. También podemos compartir esto que hemos obtenido a través de nuestras redes sociales. Presionamos esos tres puntos y seleccionamos compartir para habilitar nuestras redes. Encuentra las calculadoras Casio-Claswitz en Papelerías Garabatos.
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como resultado 0, que es lo que buscamos, 0 en el residuo de la divisi\u00f3n."}, {"start": 353.52, "end": 361.44, "text": " Quiere decir que x igual a menos 1 s\u00ed sirve y ser\u00e1 la primera soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 361.44, "end": 368.44, "text": " Ya para lo que sigue no es necesario utilizar m\u00e1s la divisi\u00f3n sint\u00e9tica debido a que estos coeficientes"}, {"start": 368.44, "end": 377.44, "text": " corresponden a un polinomio de un grado menos que el que ten\u00edamos originalmente, es decir ahora empezaremos con grado 2."}, {"start": 377.44, "end": 386.44, "text": " 1 ser\u00e1 el coeficiente de x al cuadrado, menos 8 ser\u00e1 el coeficiente de x y 12 ser\u00e1 el nuevo t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 386.44, "end": 396.84, "text": " En otras palabras ese polinomio es 1x al cuadrado o simplemente x al cuadrado, luego tenemos menos 8x y despu\u00e9s m\u00e1s 12"}, {"start": 396.84, "end": 400.04, "text": " y todo esto nos queda igual a 0."}, {"start": 400.04, "end": 411.44, "text": " As\u00ed hemos llegado a una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado cuyo modelo es ax al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a 0"}, {"start": 411.44, "end": 419.84000000000003, "text": " y que podemos resolver por factorizaci\u00f3n tambi\u00e9n utilizando la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general"}, {"start": 419.84, "end": 430.23999999999995, "text": " esa que dice x es igual a menos b m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac y todo esto sobre 2a"}, {"start": 430.23999999999995, "end": 434.64, "text": " o tambi\u00e9n utilizando el camino de la completaci\u00f3n de cuadrados."}, {"start": 434.64, "end": 440.03999999999996, "text": " Vamos en este caso a utilizar la opci\u00f3n de la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 440.04, "end": 450.44, "text": " Si revisamos con atenci\u00f3n esta expresi\u00f3n vemos que encaja con el caso de factorizaci\u00f3n llamado trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c"}, {"start": 450.44, "end": 454.24, "text": " entonces vamos a utilizarlo en esta ocasi\u00f3n."}, {"start": 454.24, "end": 459.44, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis, todo esto se encuentra igualado a 0."}, {"start": 459.44, "end": 466.04, "text": " Extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda x, la escribimos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 466.04, "end": 473.84000000000003, "text": " Ahora definimos los signos, por ac\u00e1 tenemos signo positivo, m\u00e1s por menos nos da menos en el primer par\u00e9ntesis"}, {"start": 473.84000000000003, "end": 477.84000000000003, "text": " y menos por m\u00e1s nos da menos en el segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 477.84000000000003, "end": 484.84000000000003, "text": " Ahora buscamos dos n\u00fameros negativos que multiplicados entre s\u00ed nos den como resultado m\u00e1s 12"}, {"start": 484.84000000000003, "end": 489.04, "text": " y que al sumarlos nos de como resultado menos 8."}, {"start": 489.04, "end": 500.44, "text": " Esos n\u00fameros son menos 6 y menos 2, vamos a ver, menos 6 por menos 2 es m\u00e1s 12 y menos 6 sumado con menos 2 es menos 8."}, {"start": 500.44, "end": 504.64000000000004, "text": " Entonces all\u00ed hemos factorizado ese trinomio."}, {"start": 504.64000000000004, "end": 515.64, "text": " A continuaci\u00f3n aplicamos el teorema del factor nulo, recordemos que si a por b es igual a 0, entonces a es igual a 0 o b es igual a 0."}, {"start": 515.64, "end": 526.4399999999999, "text": " En otras palabras debemos igualar a 0 cada uno de esos factores, x menos 6 igual a 0 o x menos 2 igual a 0."}, {"start": 526.4399999999999, "end": 536.4399999999999, "text": " Es el teorema del factor nulo y en cada caso vamos a despejar la variable x, por ac\u00e1 tendremos x igual a 6 positivo"}, {"start": 536.4399999999999, "end": 541.84, "text": " y por ac\u00e1 despejando x obtenemos 2 tambi\u00e9n positivo."}, {"start": 541.84, "end": 550.84, "text": " De esta manera hemos terminado el ejercicio, ya tenemos las tres soluciones para esa ecuaci\u00f3n c\u00fabica o de tercer grado."}, {"start": 550.84, "end": 557.84, "text": " Como vemos todas son cantidades reales, entonces vamos a organizar el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 557.84, "end": 566.44, "text": " comenzando por el menor de esos tres valores que es menos 1, despu\u00e9s seguimos con el 2 y finalmente el 6."}, {"start": 566.44, "end": 573.24, "text": " Entonces esta ser\u00e1 el conjunto soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n c\u00fabica o de tercer grado."}, {"start": 573.24, "end": 582.0400000000001, "text": " Una vez que hemos resuelto el ejercicio manualmente, podemos realizar su comprobaci\u00f3n utilizando la calculadora Casio ClassWiz."}, {"start": 582.0400000000001, "end": 583.84, "text": " Veamos c\u00f3mo se hace."}, {"start": 583.84, "end": 591.84, "text": " Presionamos el bot\u00f3n men\u00fa y en pantalla se observan los iconos o accesos directos a las distintas funciones de la calculadora."}, {"start": 591.84, "end": 600.44, "text": " Nos movemos hacia abajo dos veces y luego hacia la derecha una vez hasta llegar al \u00edcono identificado con la letra A may\u00fascula"}, {"start": 600.44, "end": 603.44, "text": " que es el correspondiente a las ecuaciones."}, {"start": 603.44, "end": 608.64, "text": " Presionamos el bot\u00f3n igual para ingresar all\u00ed y vemos en pantalla dos opciones."}, {"start": 608.64, "end": 617.84, "text": " La primera es la de los sistemas de ecuaciones lineales, la segunda es la que tiene que ver con soluci\u00f3n de ecuaciones polin\u00f3micas."}, {"start": 617.84, "end": 621.0400000000001, "text": " En este caso elegimos la opci\u00f3n 2."}, {"start": 621.04, "end": 624.04, "text": " Y nos preguntan por el grado del polinomio."}, {"start": 624.04, "end": 629.04, "text": " Como vemos es un polinomio o una ecuaci\u00f3n de grado 3."}, {"start": 629.04, "end": 642.8399999999999, "text": " Entonces seleccionamos el 3 y en la parte superior de la pantalla vemos un polinomio con la estructura AX al cubo m\u00e1s BX al cuadrado m\u00e1s CX m\u00e1s D igual a 0."}, {"start": 642.8399999999999, "end": 644.64, "text": " Tal como el que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 644.64, "end": 648.04, "text": " Entonces vamos a ingresar sus coeficientes."}, {"start": 648.04, "end": 653.8399999999999, "text": " Vemos el rect\u00e1ngulo negro situado en el que corresponde al t\u00e9rmino de grado 3."}, {"start": 653.8399999999999, "end": 656.24, "text": " Al t\u00e9rmino que tiene X al cubo."}, {"start": 656.24, "end": 659.4399999999999, "text": " En ese caso debemos ingresar el valor 1."}, {"start": 659.4399999999999, "end": 660.8399999999999, "text": " Presionamos igual."}, {"start": 660.8399999999999, "end": 663.4399999999999, "text": " Ahora tenemos el rect\u00e1ngulo negro aqu\u00ed."}, {"start": 663.4399999999999, "end": 666.4399999999999, "text": " En el coeficiente de X al cuadrado."}, {"start": 666.4399999999999, "end": 668.24, "text": " Vamos a ingresar menos 7."}, {"start": 668.24, "end": 672.8399999999999, "text": " Bot\u00f3n del signo negativo luego el 7 y presionamos igual."}, {"start": 672.8399999999999, "end": 675.4399999999999, "text": " Ahora tenemos el rect\u00e1ngulo negro aqu\u00ed."}, {"start": 675.4399999999999, "end": 677.4399999999999, "text": " En el coeficiente de X."}, {"start": 677.44, "end": 681.0400000000001, "text": " Vamos a ingresar 4 positivo o simplemente 4."}, {"start": 681.0400000000001, "end": 682.44, "text": " Presionamos igual."}, {"start": 682.44, "end": 685.0400000000001, "text": " Y ahora tenemos el rect\u00e1ngulo negro ac\u00e1."}, {"start": 685.0400000000001, "end": 689.84, "text": " Es decir en el sitio correspondiente al t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 689.84, "end": 691.84, "text": " Vamos a ingresar 12."}, {"start": 691.84, "end": 693.24, "text": " Presionamos igual."}, {"start": 693.24, "end": 701.24, "text": " Y de esa manera ya hemos alimentado la calculadora con los coeficientes de este polinomio de grado 3."}, {"start": 701.24, "end": 707.64, "text": " Presionamos el bot\u00f3n igual nuevamente y obtenemos la primera soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 707.64, "end": 710.24, "text": " Dice X sub 1 igual a 6."}, {"start": 710.24, "end": 712.04, "text": " Ac\u00e1 tenemos ese valor."}, {"start": 712.04, "end": 714.04, "text": " Presionamos el bot\u00f3n igual de nuevo."}, {"start": 714.04, "end": 716.04, "text": " Tenemos la segunda soluci\u00f3n."}, {"start": 716.04, "end": 718.04, "text": " X sub 2 igual a 2."}, {"start": 718.04, "end": 720.04, "text": " El valor que ten\u00edamos por all\u00e1."}, {"start": 720.04, "end": 722.44, "text": " Y presionando igual de nuevo."}, {"start": 722.44, "end": 724.64, "text": " Tenemos la tercera soluci\u00f3n."}, {"start": 724.64, "end": 727.24, "text": " X sub 3 igual a menos 1."}, {"start": 727.24, "end": 732.84, "text": " De esta manera comprobamos que el proceso que hicimos manualmente es correcto."}, {"start": 732.84, "end": 740.84, "text": " Tambi\u00e9n con la calculadora Casio ClassWiz podemos generar el c\u00f3digo QR para este ejercicio que hemos desarrollado."}, {"start": 740.84, "end": 742.44, "text": " Veamos c\u00f3mo se hace."}, {"start": 742.44, "end": 746.44, "text": " Presionamos el bot\u00f3n shift y luego el bot\u00f3n de opciones."}, {"start": 746.44, "end": 750.24, "text": " Y en pantalla nos aparece el c\u00f3digo QR."}, {"start": 750.24, "end": 758.24, "text": " Ahora lo que hacemos es escanear dicho c\u00f3digo utilizando preferiblemente la aplicaci\u00f3n Casio EduMAS que es gratuita"}, {"start": 758.24, "end": 763.24, "text": " y que cuenta con el lector para dicho c\u00f3digo que nos genera la calculadora."}, {"start": 763.24, "end": 765.24, "text": " Veamos c\u00f3mo se hace."}, {"start": 765.24, "end": 770.24, "text": " Una vez instalada la aplicaci\u00f3n Casio EduMAS en nuestro tel\u00e9fono,"}, {"start": 770.24, "end": 775.24, "text": " entonces la abrimos y seleccionamos la opci\u00f3n de c\u00f3digo QR."}, {"start": 775.24, "end": 783.24, "text": " De esa manera habilitamos el lector para escanear el c\u00f3digo que nos ha generado la calculadora."}, {"start": 783.24, "end": 792.24, "text": " Una vez que se produce la lectura, presionamos este bot\u00f3n azul para conectarnos con el sitio web de Casio."}, {"start": 792.24, "end": 799.24, "text": " All\u00ed podemos observar el ejercicio original, es decir la ecuaci\u00f3n c\u00fabica o de tercer grado."}, {"start": 799.24, "end": 802.24, "text": " Y tambi\u00e9n podemos observar su soluci\u00f3n."}, {"start": 802.24, "end": 811.24, "text": " All\u00ed tenemos los tres valores, x sub 1 igual a 6, x sub 2 igual a 2 y x sub 3 igual a menos 1."}, {"start": 811.24, "end": 818.24, "text": " M\u00e1s abajo encontramos un dibujo que corresponde a la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n y igual a x al cubo,"}, {"start": 818.24, "end": 823.24, "text": " menos 7x al cuadrado m\u00e1s 4x m\u00e1s 12."}, {"start": 823.24, "end": 831.24, "text": " Y donde podemos apreciar los puntos de corte de esa curva o de esa funci\u00f3n con el eje x."}, {"start": 831.24, "end": 837.24, "text": " Son justamente las tres soluciones de la ecuaci\u00f3n c\u00fabica o de tercer grado."}, {"start": 837.24, "end": 847.24, "text": " Se observa el primer punto que es x igual a menos 1, el segundo x igual a 2 y el tercero x igual a 6."}, {"start": 847.24, "end": 853.24, "text": " Tambi\u00e9n podemos compartir esto que hemos obtenido a trav\u00e9s de nuestras redes sociales."}, {"start": 853.24, "end": 861.24, "text": " Presionamos esos tres puntos y seleccionamos compartir para habilitar nuestras redes."}, {"start": 861.24, "end": 890.24, "text": " Encuentra las calculadoras Casio-Claswitz en Papeler\u00edas Garabatos."}]