SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 USANDO CAMBIO DE VARIABLE - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones literal de 2x2, donde es conveniente usar un cambio de variable.

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 ¿Qué es el sistema de dos por dos? Tenemos en este caso un sistema de dos por dos, dos ecuaciones con dos incógnitas que son las letras X y Y. Debemos encontrar entonces cuánto vale X y Y para que esas dos igualdades sean ciertas. Como vemos hay otras letras que son A y B, ellas se comportan como constantes. Entonces esto es lo que se llama un sistema de ecuaciones literal. Vamos a realizar entonces un cambio de variable. Vamos a llamar por ejemplo L a lo que es 1 sobre X más Y y vamos a utilizar la letra K que va a representar a lo que es 1 sobre X menos Y. Entonces utilizamos este recurso llamado cambio de variable para resolver con mayor facilidad este sistema de ecuaciones de dos por dos. De esa manera entonces cambiamos la ecuación 1 por otra ecuación que se va a llamar la ecuación 3. Veamos lo siguiente. Tener A sobre X más Y es lo mismo que A por 1 sobre X más Y, luego tenemos menos B sobre X menos Y. Eso es lo mismo que tener B por 1 sobre X menos Y. Todo esto igualado con 1. Entonces allí hacemos uso de estas nuevas letras. Todo esto representa la letra L y todo esto representa la letra K. Por lo tanto la nueva ecuación será A por L, es decir A L, luego tenemos menos B por K, o sea menos BK igual a 1. Entonces esta ecuación 3 sustituye a la ecuación 1. Algo similar hacemos con la ecuación 2 que ahora se va a convertir en la ecuación 4. Entonces tenemos B sobre X más Y es lo mismo que tener B por 1 sobre X más Y, después más A sobre X menos Y, o sea A por 1 sobre X menos Y. Y todo esto igual con B al cuadrado menos A al cuadrado sobre 2AB. Entonces allí hacemos nuevamente el cambio de las variables. Todo esto se va a cambiar por L y todo esto se cambia por la letra K. Por lo tanto la nueva ecuación será B por L, o sea BL, después más A por K, es decir más AK, igual a esta expresión B al cuadrado menos A al cuadrado y todo esto sobre 2AB. Entonces tenemos allí la ecuación 4 que va a sustituir a la ecuación 2. Nos concentramos ahora en la solución de este nuevo sistema de 2 por 2. Ahora es un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que serán las letras L y K. Repetimos A y B se comportan como constantes. Vamos a comenzar entonces por transformar la ecuación 4 y vamos a multiplicar por 2AB para deshacernos de esta expresión fraccionaria. Entonces multiplicamos por lo que hay en el denominador. Lógicamente hay que multiplicar ambos lados de la igualdad. Entonces si multiplicamos por 2AB el lado izquierdo esta cantidad afecta a esos dos términos. Nos queda entonces 2AB por BL será 2AB al cuadrado L. Luego 2AB por ese término nos queda más 2A al cuadrado B por K. Y si multiplicamos por 2AB esta fracción como decíamos se elimina el denominador. Nos queda únicamente lo que hay en el numerador que es B al cuadrado menos A al cuadrado. Podemos transformar la ecuación 3 en una nueva ecuación de tal forma que al sumarla con esta que obtuvimos logremos aplicar el método de eliminación. Vemos que por ejemplo este término y este ya tienen signos contrarios. Aquí K está acompañada de B y aquí K está acompañada de 2A al cuadrado B. Por lo tanto allá nos hace falta este componente para lograr la eliminación de estos dos términos. Entonces eso lo conseguimos multiplicando ambos lados de esa igualdad de la ecuación número 3 por 2A al cuadrado. Vamos entonces a multiplicar en el lado izquierdo. Afecta a cada uno de estos términos 2A al cuadrado por AL nos da 2A al cubo L. Luego tenemos menos 2A al cuadrado por BK será 2A al cuadrado BK. Y todo esto igual a 1 por 2A al cuadrado que nos da eso mismo 2A al cuadrado. Entonces como decíamos aquí ya tenemos dos términos que son opuestos. Ellos al sumarse nos va a dar como resultado 0. Entonces se cancelan o eliminan. Vamos a sumar los otros términos que nos quedan. La suma de estos dos vamos a escribirla por acá 2A al cubo L más 2A al cuadrado L. Y al otro lado del signo igual anotamos también la suma de esas cantidades 2A al cuadrado más esto que tenemos acá de al cuadrado menos A al cuadrado. Ahora nos concentramos en resolver esta ecuación donde la incógnita es L. En el lado izquierdo podríamos extraer factor común. Vemos que hay cosas que se repiten en los dos términos. Vemos por ejemplo el 2. Vemos también la letra A. Allí extraemos la de menor exponente. O sea A a la 1 es decir A. Y también está repetida la letra L. Veamos que nos queda dentro del paréntesis. En el primer término si extraemos 2AL nos queda A al cuadrado. Y en el segundo término si extraemos 2AL nos queda B al cuadrado. Ahora en el lado derecho aquí tenemos dos términos que son semejantes. Los podemos operar entre sí. 2A al cuadrado menos A al cuadrado nos da A al cuadrado y esto queda sumando con B al cuadrado. Y allí podemos hacer el espeje de L. Para ello pasamos todo esto que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda entonces A al cuadrado más B al cuadrado sobre o dividido entre 2A por A al cuadrado más B al cuadrado. Y allí podemos simplificar el componente A cuadrado más B cuadrado. Se va totalmente en el numerador y se va con esto del denominador. Por lo tanto el valor de L será 1 sobre 2A. Vamos a escribir eso por acá. Y a continuación debemos encontrar el valor de K. Para ello vamos a reemplazar esto que encontramos por ejemplo en la expresión 3 que está más sencilla que la expresión 4. Entonces la expresión 3 nos queda así. Sería A por L o sea A por 1 sobre 2A. Luego tenemos menos BK igual a 1. Entonces de allí vamos a obtener el valor de K. Aquí al efectuar esta multiplicación esto nos queda A sobre 2A. Luego tenemos menos BK igual a 1. Y en esta fracción podemos simplificar la letra A. Entonces se cancela esa letra y nos queda un medio. Un medio menos BK igual a 1. Luego aislamos el componente menos BK el que contiene la incógnita y nos queda 1 menos un medio. Pasamos este número que está positivo al otro lado negativo. En el lado derecho efectuamos esta operación. Nos queda menos BK igual a. Recordemos que 1 puede cambiarse por dos medios. Dos medios menos un medio nos da un medio. Y de allí vamos a despejar K. Para ello pasamos menos BK que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda un medio sobre menos BK. Pero a esto le colocamos denominador 1. Resolvemos ahora esta división de fracciones. Allá aplicamos el producto de extremos y el producto de medios. O lo que se conoce también como ley de la oreja. Entonces en la parte de arriba 1 por 1 nos da 1 y en la parte de abajo 2 por menos BK es menos 2B. Pero aquí podemos reacomodar el signo menos para que no nos quede en la parte de abajo. Lo situamos en la mitad o en la parte de arriba. Y de esa manera encontramos el valor de K. Sería menos 1 sobre 2B. Allí hemos resuelto este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Donde las incógnitas eran L y K. Vemos que nos han quedado en términos de A y B. Las letras que se comportan como constantes. Como se observa tenemos que L equivale a 1 sobre X más Y. Pero también obtuvimos L igual a 1 sobre 2A. Por lo tanto estas dos expresiones pueden igualarse. Nos queda 1 sobre X más Y igual a 1 sobre 2A. Y aquí podemos invertir ambos lados de esa igualdad. Es como si elevamos ambos lados al exponente menos 1. Acá nos quedaría X más Y y en el otro lado 2A. Allí aparece entonces una nueva ecuación. Una nueva igualdad. Vamos a llamarla la ecuación número 5. Vamos a escribirla por acá. Que será entonces X más Y igual a 2A. De modo similar igualamos estas dos expresiones porque ambas equivalen acá. Entonces 1 sobre X menos Y será igual a menos 1 sobre 2B. Y si invertimos ambos lados de la igualdad. Repetimos es como elevar al exponente menos 1. Nos queda X menos Y igual a menos 2B. Entonces esta nueva igualdad la escribimos por acá y constituye la ecuación número 6. Una nueva ecuación que junto con la ecuación 5 nos va a formar un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Vamos a escribir este sistema de ecuaciones por acá. Como se observa allí también podemos resolver este sistema por el método de eliminación. Tenemos aquí más Y y acá menos Y. Entonces vamos a efectuar la suma en forma vertical de esas dos ecuaciones. Tenemos X más X, 2X. Más Y y menos Y, eso nos da 0. Son términos que se cancelan o eliminan. Y en el lado derecho la suma de esos dos términos será 2A menos 2B. Allí podemos efectuar la factorización del lado derecho. Sale el 2 como factor común. 2 será factor de A menos B. Y allí podemos cancelar el 2. Es como dividir ambos lados de la igualdad por 2. Se nos cancela este número y de esa manera obtenemos X. X será igual a A menos B. Conociendo el valor de X podemos encontrar el valor de Y. Para ello elegimos cualquiera de estas dos ecuaciones. La que nos parezca más fácil. Vamos a la ecuación 5. Entonces allí reemplazamos el valor de X que es A menos B. Nos queda A menos B más Y igual a 2A. Y de allí vamos a efectuar el espeje de Y. Entonces Y será igual a 2A menos A más B. Pasamos estos términos para el lado derecho. Y allí podemos operar 2A menos A. Son términos semejantes. Esto nos da A y nos queda más B. De esta manera terminamos. Esta pareja de valores X, Y constituyen la respuesta para el ejercicio. Son los valores de las incógnitas X y Y que hacen cierto el sistema de ecuaciones que nos dieron originalmente.
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All\u00e1 aplicamos el producto de extremos y el"}, {"start": 537.24, "end": 542.52, "text": " producto de medios. O lo que se conoce tambi\u00e9n como ley de la oreja. Entonces en"}, {"start": 542.52, "end": 547.76, "text": " la parte de arriba 1 por 1 nos da 1 y en la parte de abajo 2 por menos BK es"}, {"start": 547.76, "end": 553.08, "text": " menos 2B. Pero aqu\u00ed podemos reacomodar el signo menos para que no nos quede en la"}, {"start": 553.08, "end": 558.64, "text": " parte de abajo. Lo situamos en la mitad o en la parte de arriba. Y de esa manera"}, {"start": 558.64, "end": 565.92, "text": " encontramos el valor de K. Ser\u00eda menos 1 sobre 2B. All\u00ed hemos resuelto este"}, {"start": 565.92, "end": 572.4399999999999, "text": " sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Donde las inc\u00f3gnitas eran L y K. Vemos"}, {"start": 572.4399999999999, "end": 577.0, "text": " que nos han quedado en t\u00e9rminos de A y B. Las letras que se comportan como"}, {"start": 577.0, "end": 583.12, "text": " constantes. Como se observa tenemos que L equivale a 1 sobre X m\u00e1s Y. Pero"}, {"start": 583.12, "end": 589.0, "text": " tambi\u00e9n obtuvimos L igual a 1 sobre 2A. Por lo tanto estas dos expresiones"}, {"start": 589.0, "end": 596.8, "text": " pueden igualarse. Nos queda 1 sobre X m\u00e1s Y igual a 1 sobre 2A. Y aqu\u00ed podemos"}, {"start": 596.8, "end": 602.56, "text": " invertir ambos lados de esa igualdad. Es como si elevamos ambos lados al exponente"}, {"start": 602.56, "end": 609.4399999999999, "text": " menos 1. Ac\u00e1 nos quedar\u00eda X m\u00e1s Y y en el otro lado 2A. All\u00ed aparece entonces"}, {"start": 609.4399999999999, "end": 616.0, "text": " una nueva ecuaci\u00f3n. Una nueva igualdad. Vamos a llamarla la ecuaci\u00f3n n\u00famero 5."}, {"start": 616.0, "end": 624.56, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1. Que ser\u00e1 entonces X m\u00e1s Y igual a 2A."}, {"start": 624.56, "end": 630.1999999999999, "text": " De modo similar igualamos estas dos expresiones porque ambas equivalen ac\u00e1."}, {"start": 630.2, "end": 641.8000000000001, "text": " Entonces 1 sobre X menos Y ser\u00e1 igual a menos 1 sobre 2B. Y si invertimos ambos"}, {"start": 641.8000000000001, "end": 647.0, "text": " lados de la igualdad. Repetimos es como elevar al exponente menos 1. Nos queda X"}, {"start": 647.0, "end": 656.0400000000001, "text": " menos Y igual a menos 2B. Entonces esta nueva igualdad la escribimos por ac\u00e1 y"}, {"start": 656.04, "end": 663.16, "text": " constituye la ecuaci\u00f3n n\u00famero 6. Una nueva ecuaci\u00f3n que junto con la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 663.16, "end": 669.92, "text": " 5 nos va a formar un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Vamos a"}, {"start": 669.92, "end": 674.5999999999999, "text": " escribir este sistema de ecuaciones por ac\u00e1. Como se observa all\u00ed tambi\u00e9n"}, {"start": 674.5999999999999, "end": 679.52, "text": " podemos resolver este sistema por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n. Tenemos aqu\u00ed m\u00e1s"}, {"start": 679.52, "end": 685.92, "text": " Y y ac\u00e1 menos Y. Entonces vamos a efectuar la suma en forma vertical de esas"}, {"start": 685.92, "end": 694.4399999999999, "text": " dos ecuaciones. Tenemos X m\u00e1s X, 2X. M\u00e1s Y y menos Y, eso nos da 0. Son t\u00e9rminos"}, {"start": 694.4399999999999, "end": 699.16, "text": " que se cancelan o eliminan. Y en el lado derecho la suma de esos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 699.16, "end": 707.0799999999999, "text": " ser\u00e1 2A menos 2B. All\u00ed podemos efectuar la factorizaci\u00f3n del lado derecho. Sale"}, {"start": 707.0799999999999, "end": 713.12, "text": " el 2 como factor com\u00fan. 2 ser\u00e1 factor de A menos B. Y all\u00ed podemos cancelar el 2."}, {"start": 713.12, "end": 718.6, "text": " Es como dividir ambos lados de la igualdad por 2. Se nos cancela este"}, {"start": 718.6, "end": 726.08, "text": " n\u00famero y de esa manera obtenemos X. X ser\u00e1 igual a A menos B. Conociendo el"}, {"start": 726.08, "end": 731.52, "text": " valor de X podemos encontrar el valor de Y. Para ello elegimos cualquiera de estas"}, {"start": 731.52, "end": 737.5600000000001, "text": " dos ecuaciones. La que nos parezca m\u00e1s f\u00e1cil. Vamos a la ecuaci\u00f3n 5. Entonces"}, {"start": 737.56, "end": 744.4, "text": " all\u00ed reemplazamos el valor de X que es A menos B. Nos queda A menos B m\u00e1s Y"}, {"start": 744.4, "end": 752.92, "text": " igual a 2A. Y de all\u00ed vamos a efectuar el espeje de Y. Entonces Y ser\u00e1 igual a"}, {"start": 752.92, "end": 759.92, "text": " 2A menos A m\u00e1s B. Pasamos estos t\u00e9rminos para el lado derecho. Y all\u00ed podemos"}, {"start": 759.92, "end": 765.64, "text": " operar 2A menos A. Son t\u00e9rminos semejantes. Esto nos da A y nos queda"}, {"start": 765.64, "end": 772.36, "text": " m\u00e1s B. De esta manera terminamos. Esta pareja de valores X, Y constituyen la"}, {"start": 772.36, "end": 778.3199999999999, "text": " respuesta para el ejercicio. Son los valores de las inc\u00f3gnitas X y Y que"}, {"start": 778.32, "end": 806.8800000000001, "text": " hacen cierto el sistema de ecuaciones que nos dieron originalmente."}]