FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c.

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 ¿Qué es el trinomio de la forma ax al cuadrado? Tenemos en este caso un trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c. Bueno, en realidad podríamos decir que es de la forma ax a la 2n más bx a la n más c. Se ve que el exponente o grado de este término del primero tiene que ser el doble del exponente o grado del segundo término. Como acá, 6 es el doble de 3. También identificamos a, que en este caso es 8, el coeficiente principal, diferente de 1. Entonces vamos a realizar el proceso de factorización de este trinomio siguiendo este caso. Ya previamente se ha revisado si hay factor común o si sirven los otros casos de los trinomios y vemos que eso no es posible. Comenzamos entonces multiplicando y dividiendo el trinomio por el coeficiente principal, que es 8. Entonces 8 multiplica a esa expresión que protegemos con paréntesis y tenemos que dividir por esa misma cantidad. Entonces, primer paso es multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal. Ahora, en el numerador vamos a romper ese paréntesis aplicando la propiedad distributiva. 8 va a multiplicar a cada uno de esos términos dejando en el segundo término el producto indicado. Veamos cómo nos queda. 8 por 8 u a la 6 nos da 64 u a la 6. Allí se multiplica normalmente. Después tenemos menos, 8 entra y se agrupa con u al cubo. Eso lo encerramos con paréntesis y acá dejamos el coeficiente original que es menos 19. Esto es lo que se llama dejar el producto o la multiplicación de manera indicada. Y ahora multiplicamos 8 por más 6 que es más 48. Allí también el producto se realiza normalmente. Y todo esto continúa sobre el número 8. Como paso siguiente vamos a expresar este primer término del numerador como el cuadrado de esto. De lo que nos quedó encerrado en paréntesis en el segundo término. Es decir, 64 u a la 6 será 8 u al cubo y todo esto elevado al cuadrado. Veamos si eso es cierto. Cuando tenemos una potencia con un producto en la base el exponente afecta a cada uno de los factores. Entonces 8 al cuadrado es 64 y u al cubo elevado al cuadrado. Allí conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Vemos que se obtiene el 6. Entonces esto efectivamente equivale al primer término 64 u a la 6. Lo demás se deja tal como está. En los 19 por 8 u al cubo más 48 y todo esto sobre 8. Enseguida vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable. Esto que tenemos dentro de los paréntesis y que se repite, es decir, 8 u al cubo, podemos igualarlo a una nueva letra. Por ejemplo, vamos a usar L y vamos a reconstruir esta expresión en términos de la nueva letra. En términos de L. Comenzamos acá. Todo esto se cambia por L y nos queda L al cuadrado. Después menos 19 por esto que se cambia por L. Es decir, menos 19 L y luego tenemos más 48. Todo esto está sobre 8 y de esa manera hemos utilizado el cambio de variable para llegar a lo que es un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. El que tiene coeficiente principal 1. Factorizamos entonces ese trinomio. Se abren dos paréntesis. Extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería L. Anotamos eso al comienzo de cada paréntesis. Luego definimos los signos. Aquí tenemos signo positivo. Más por menos nos da menos y menos por más es menos. Ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos de como resultado más 48 y que al sumarlos nos de como resultado menos 19. Después de hacer la búsqueda encontramos que esos números son menos 16 y menos 3. Veamos, menos 16 por menos 3 nos da más 48 y menos 16 sumado con menos 3 es menos 19. Y todo esto está sobre 8. Cuando ya hemos factorizado el numerador, entonces donde tenemos L se vuelve a escribir 8 u al cubo. De esa manera deshacemos el cambio de variable y así retornamos a la letra original que en este caso es u. Entonces allí hemos cambiado L por su equivalente que es 8 u al cubo. Y todo esto continúa sobre 8. Ahora revisamos esos dos paréntesis que obtuvimos para ver dónde es posible aplicar el primer caso de factorización que es factor común. Revisamos el primer paréntesis y allí observamos los números 8 y 16. Se puede extraer entonces el máximo común divisor de esos dos números que es 8. Si sale 8 nos queda u al cubo en el primer término y eso menos 2 que es lo que nos queda en el segundo término. Vamos al otro paréntesis. Hacemos la revisión y vemos que no es posible extraer ningún factor común. Entonces se queda tal como está, 8 u al cubo menos 3. Y todo esto continúa sobre el número 8. Para terminar simplificamos esa fracción. Podemos cancelar este número 8. Entonces es como si dividimos arriba y abajo por 8. Octava de 8 es 1 y octava de 8 también nos da 1. Entonces en el numerador nos ha quedado el producto de esos dos binomios u al cubo menos 2. Y eso multiplicado por 8 u al cubo menos 3. Revisamos si se puede hacer algo más, si de pronto esos dos paréntesis o estas dos expresiones pueden factorizarse otra vez de acuerdo con los casos conocidos y vemos que eso no es posible. Entonces ya podemos escribir por acá el resultado, es decir la factorización de ese trinomio. El primer factor nos dio u al cubo menos 2. Y el segundo factor nos dio 8 u al cubo menos 3. Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba de este ejercicio que consiste en multiplicar estos dos binomios. Vamos a escribirlos por acá. Tenemos u al cubo menos 2. Este es el primer factor o el primer binomio. Y el otro que es 8 u al cubo menos 3. Entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva. Comenzamos con u al cubo que va a multiplicar a cada uno de estos dos términos. Nos queda u al cubo por 8 u al cubo, será 8 u a la 6. Recordemos que al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes. Después u al cubo por menos 3 nos da menos 3 u al cubo. Ahora vamos a distribuir este término menos 2. Va a multiplicar a cada uno de esos términos. Entonces será menos 2 por 8 u al cubo es menos 16 u al cubo. Y menos 2 por menos 3 nos da más 6. Allí podemos hacer la reducción de términos semejantes. Son estos dos que contienen u al cubo. Entonces esto nos queda 8 u a la 6. Acá menos 3 u al cubo menos 16 u al cubo es menos 19 u al cubo. Recordemos que se operan los coeficientes y se conserva la parte literal con su exponente. Y finalmente tenemos más 6. Revisamos y vemos que se ha obtenido el trinomio original. Con esto comprobamos que el proceso de factorización de esta expresión es correcto. Gracias por ver el vídeo.
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