INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de Sustitución Trigonométrica.

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 Para resolver esta integral indefinida vamos a utilizar el método de sustitución trigonométrica porque no puede resolverse por integración directa, tampoco por sustitución simple ni por el método de integración por partes. Además se observa aquí una raíz cuadrada con una diferencia de cuadrados perfectos en su interior. Entonces comenzamos por dibujar un triángulo rectángulo. La raíz cuadrada de este término, o sea 1, será la hipotenusa y la raíz cuadrada de este término que es x será uno de los catetos. Vamos a escoger este y el otro cateto se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras. Esa entonces la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado, o sea 1 al cuadrado que es 1, menos este cateto al cuadrado. Allí nos aparece entonces esta expresión que tenemos en el integrando. Vamos a seleccionar este ángulo agudo como el ángulo theta y vamos a obtener de allí las razones trigonométricas. Usamos entonces Zocatoa para recordar las definiciones de seno, coseno y tangente. Vamos a buscar una razón trigonométrica que relacione x con 1, es decir el cateto opuesto al ángulo theta con la hipotenusa. Usamos entonces seno, aquí lo tenemos, cateto opuesto sobre hipotenusa. Decimos seno de theta es igual al cateto opuesto a dicho ángulo que es x sobre la hipotenusa que es 1. Allí obtenemos que x es igual a seno de theta. Y también si elevamos al cuadrado ambos lados de esta igualdad vamos a tener que x al cuadrado es igual a seno al cuadrado de theta. Ya tenemos entonces una equivalencia para este componente x al cuadrado. Ahora vamos a derivar esta igualdad a ambos lados con respecto a theta. Entonces la derivada de x con respecto a theta queda indicada como dx de theta y en el otro lado la derivada de seno de theta con respecto a theta será coseno de theta. Y de allí despejamos dx. Nos queda entonces que dx es igual a coseno de theta por dx. Este componente que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar. Y así tenemos la equivalencia para el diferencial dx. Ahora necesitamos relacionar este componente con la hipotenusa que es 1. Este es el cateto adyacente al ángulo theta. Entonces cateto adyacente con hipotenusa, aquí lo tenemos, nos sugiere utilizar coseno. Entonces decimos coseno de theta es igual a el cateto adyacente que es la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado y todo esto nos queda sobre la hipotenusa que es 1. De allí despejamos entonces esa raíz, nos queda la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado igual a coseno de theta. Y así tenemos el reemplazo o la equivalencia para ese componente. Entonces utilizando estos elementos vamos a reconstruir la integral para que nos quede en términos de theta. Entonces veamos, en el numerador tenemos x al cuadrado que es seno al cuadrado de theta. En el denominador tenemos esa raíz cuadrada que equivale a coseno de theta y tenemos el diferencial de x que equivale a coseno de theta por d theta. Entonces allí ya tenemos la nueva integral toda en términos de la variable theta. Antes de continuar vamos a anotar estas dos equivalencias, la de seno de theta y coseno de theta por acá. Continuemos con el desarrollo de la integral. Aquí podemos cancelar coseno de theta y nos queda la integral de seno al cuadrado de theta con su diferencial de theta. Y aquí tenemos que utilizar una de las fórmulas de la trigonometría, una de las identidades que nos permite reducir potencias. Para el caso de seno al cuadrado de theta eso equivale a 1 menos coseno de 2 theta, coseno del ángulo doble y todo esto sobre 2 y todo esto acompañado del diferencial de theta. A continuación podemos extraer este número de la integral, sale como un medio y queda multiplicando con la integral de lo que hay en el numerador, 1 menos el coseno de 2 theta y todo esto con su diferencial de theta. Como se observa allí ya tenemos dos términos que podemos integrar directamente. Entonces esto es igual a un medio por, abrimos un corchete, tenemos la integral de 1, la integral con respecto a la variable theta, eso nos da theta, menos la integral del coseno de 2 theta que vamos a resolver de acuerdo con la siguiente fórmula. La integral del coseno de k por theta, k es cualquier constante, esto con el diferencial de theta es igual a 1 sobre k por seno de k por theta más la constante de integración c. Esta es una fórmula de uso frecuente que se demuestra por el método de sustitución. Entonces la integral del coseno de 2 theta donde k vale 2 siguiendo esa instrucción será un medio por el seno de 2 theta. Este paréntesis lo podemos omitir, no hay ningún problema con eso, cerramos el corchete y anotamos la constante de integración para todo el ejercicio. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y nos queda un medio por, abrimos el corchete, theta menos un medio por seno de 2 theta que equivale a 2 por el seno de theta por el coseno de theta, es otra de las identidades trigonométricas de gran importancia, la del seno del ángulo doble y esto queda más la constante de integración. Allí podemos simplificar estos dos números y nos queda lo siguiente, un medio por, abrimos el corchete, tenemos theta menos seno de theta por coseno de theta, cerramos el corchete y anotamos la constante de integración. Allí ya podemos cambiar estos componentes que tienen la variable theta por sus equivalentes en la variable X que es la variable original del ejercicio. Veamos entonces cómo nos queda, un medio por, abrimos el corchete, aquí tenemos theta que podemos despejar bien sea de esta expresión o también de esta, está más sencillo acá, si despejamos theta de esta igualdad nos queda que theta es igual a seno a la menos uno de X o también podemos utilizar la notación arco seno de X, vamos a escribirlo así, theta es seno a la menos uno de X, luego tenemos menos seno de theta que equivale a X por coseno de theta que equivale a la raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado. Entonces así hemos retornado a la variable original que es X. Para terminar podemos distribuir este número a los términos que hay dentro del corchete, entonces nos queda un medio por seno a la menos uno de X, esto menos un medio por X por la raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado, todo esto más la constante de integración. Y así hemos resuelto esa integral indefinida por el método de sustitución trigonométrica.
[{"start": 0.0, "end": 10.28, "text": " Para resolver esta integral indefinida vamos a utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica"}, {"start": 10.28, "end": 17.0, "text": " porque no puede resolverse por integraci\u00f3n directa, tampoco por sustituci\u00f3n simple ni"}, {"start": 17.0, "end": 20.12, "text": " por el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 20.12, "end": 27.0, "text": " Adem\u00e1s se observa aqu\u00ed una ra\u00edz cuadrada con una diferencia de cuadrados perfectos"}, {"start": 27.0, "end": 28.44, "text": " en su interior."}, {"start": 28.44, "end": 33.08, "text": " Entonces comenzamos por dibujar un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 33.08, "end": 40.0, "text": " La ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino, o sea 1, ser\u00e1 la hipotenusa y la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 40.0, "end": 44.120000000000005, "text": " este t\u00e9rmino que es x ser\u00e1 uno de los catetos."}, {"start": 44.120000000000005, "end": 51.040000000000006, "text": " Vamos a escoger este y el otro cateto se obtiene utilizando el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 51.04, "end": 59.0, "text": " Esa entonces la ra\u00edz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado, o sea 1 al cuadrado que es 1,"}, {"start": 59.0, "end": 62.0, "text": " menos este cateto al cuadrado."}, {"start": 62.0, "end": 67.08, "text": " All\u00ed nos aparece entonces esta expresi\u00f3n que tenemos en el integrando."}, {"start": 67.08, "end": 74.16, "text": " Vamos a seleccionar este \u00e1ngulo agudo como el \u00e1ngulo theta y vamos a obtener de all\u00ed"}, {"start": 74.16, "end": 77.44, "text": " las razones trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 77.44, "end": 83.67999999999999, "text": " Usamos entonces Zocatoa para recordar las definiciones de seno, coseno y tangente."}, {"start": 83.67999999999999, "end": 89.56, "text": " Vamos a buscar una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica que relacione x con 1, es decir el cateto"}, {"start": 89.56, "end": 93.8, "text": " opuesto al \u00e1ngulo theta con la hipotenusa."}, {"start": 93.8, "end": 99.24, "text": " Usamos entonces seno, aqu\u00ed lo tenemos, cateto opuesto sobre hipotenusa."}, {"start": 99.24, "end": 109.83999999999999, "text": " Decimos seno de theta es igual al cateto opuesto a dicho \u00e1ngulo que es x sobre la hipotenusa"}, {"start": 109.83999999999999, "end": 111.83999999999999, "text": " que es 1."}, {"start": 111.83999999999999, "end": 117.44, "text": " All\u00ed obtenemos que x es igual a seno de theta."}, {"start": 117.44, "end": 125.19999999999999, "text": " Y tambi\u00e9n si elevamos al cuadrado ambos lados de esta igualdad vamos a tener que x al cuadrado"}, {"start": 125.2, "end": 129.8, "text": " es igual a seno al cuadrado de theta."}, {"start": 129.8, "end": 135.72, "text": " Ya tenemos entonces una equivalencia para este componente x al cuadrado."}, {"start": 135.72, "end": 141.64000000000001, "text": " Ahora vamos a derivar esta igualdad a ambos lados con respecto a theta."}, {"start": 141.64000000000001, "end": 148.92000000000002, "text": " Entonces la derivada de x con respecto a theta queda indicada como dx de theta y en"}, {"start": 148.92, "end": 155.72, "text": " el otro lado la derivada de seno de theta con respecto a theta ser\u00e1 coseno de theta."}, {"start": 155.72, "end": 158.32, "text": " Y de all\u00ed despejamos dx."}, {"start": 158.32, "end": 165.79999999999998, "text": " Nos queda entonces que dx es igual a coseno de theta por dx."}, {"start": 165.79999999999998, "end": 170.44, "text": " Este componente que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar."}, {"start": 170.44, "end": 175.27999999999997, "text": " Y as\u00ed tenemos la equivalencia para el diferencial dx."}, {"start": 175.28, "end": 181.0, "text": " Ahora necesitamos relacionar este componente con la hipotenusa que es 1."}, {"start": 181.0, "end": 184.16, "text": " Este es el cateto adyacente al \u00e1ngulo theta."}, {"start": 184.16, "end": 191.12, "text": " Entonces cateto adyacente con hipotenusa, aqu\u00ed lo tenemos, nos sugiere utilizar coseno."}, {"start": 191.12, "end": 200.36, "text": " Entonces decimos coseno de theta es igual a el cateto adyacente que es la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 200.36, "end": 210.64000000000001, "text": " de 1 menos x al cuadrado y todo esto nos queda sobre la hipotenusa que es 1."}, {"start": 210.64000000000001, "end": 218.36, "text": " De all\u00ed despejamos entonces esa ra\u00edz, nos queda la ra\u00edz cuadrada de 1 menos x al cuadrado"}, {"start": 218.36, "end": 221.8, "text": " igual a coseno de theta."}, {"start": 221.8, "end": 226.96, "text": " Y as\u00ed tenemos el reemplazo o la equivalencia para ese componente."}, {"start": 226.96, "end": 233.72, "text": " Entonces utilizando estos elementos vamos a reconstruir la integral para que nos quede"}, {"start": 233.72, "end": 236.12, "text": " en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 236.12, "end": 244.52, "text": " Entonces veamos, en el numerador tenemos x al cuadrado que es seno al cuadrado de theta."}, {"start": 244.52, "end": 252.0, "text": " En el denominador tenemos esa ra\u00edz cuadrada que equivale a coseno de theta y tenemos el"}, {"start": 252.0, "end": 259.36, "text": " diferencial de x que equivale a coseno de theta por d theta."}, {"start": 259.36, "end": 265.88, "text": " Entonces all\u00ed ya tenemos la nueva integral toda en t\u00e9rminos de la variable theta."}, {"start": 265.88, "end": 271.56, "text": " Antes de continuar vamos a anotar estas dos equivalencias, la de seno de theta y coseno"}, {"start": 271.56, "end": 273.88, "text": " de theta por ac\u00e1."}, {"start": 273.88, "end": 276.12, "text": " Continuemos con el desarrollo de la integral."}, {"start": 276.12, "end": 288.6, "text": " Aqu\u00ed podemos cancelar coseno de theta y nos queda la integral de seno al cuadrado de theta"}, {"start": 288.6, "end": 291.68, "text": " con su diferencial de theta."}, {"start": 291.68, "end": 297.84000000000003, "text": " Y aqu\u00ed tenemos que utilizar una de las f\u00f3rmulas de la trigonometr\u00eda, una de las identidades"}, {"start": 297.84000000000003, "end": 300.6, "text": " que nos permite reducir potencias."}, {"start": 300.6, "end": 310.08000000000004, "text": " Para el caso de seno al cuadrado de theta eso equivale a 1 menos coseno de 2 theta, coseno"}, {"start": 310.08000000000004, "end": 319.24, "text": " del \u00e1ngulo doble y todo esto sobre 2 y todo esto acompa\u00f1ado del diferencial de theta."}, {"start": 319.24, "end": 326.72, "text": " A continuaci\u00f3n podemos extraer este n\u00famero de la integral, sale como un medio y queda"}, {"start": 326.72, "end": 337.12, "text": " multiplicando con la integral de lo que hay en el numerador, 1 menos el coseno de 2 theta"}, {"start": 337.12, "end": 341.16, "text": " y todo esto con su diferencial de theta."}, {"start": 341.16, "end": 346.48, "text": " Como se observa all\u00ed ya tenemos dos t\u00e9rminos que podemos integrar directamente."}, {"start": 346.48, "end": 355.0, "text": " Entonces esto es igual a un medio por, abrimos un corchete, tenemos la integral de 1, la"}, {"start": 355.0, "end": 361.6, "text": " integral con respecto a la variable theta, eso nos da theta, menos la integral del coseno"}, {"start": 361.6, "end": 367.92, "text": " de 2 theta que vamos a resolver de acuerdo con la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 367.92, "end": 374.88, "text": " La integral del coseno de k por theta, k es cualquier constante, esto con el diferencial"}, {"start": 374.88, "end": 386.6, "text": " de theta es igual a 1 sobre k por seno de k por theta m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 386.6, "end": 387.6, "text": " c."}, {"start": 387.6, "end": 393.92, "text": " Esta es una f\u00f3rmula de uso frecuente que se demuestra por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 393.92, "end": 401.2, "text": " Entonces la integral del coseno de 2 theta donde k vale 2 siguiendo esa instrucci\u00f3n"}, {"start": 401.2, "end": 406.59999999999997, "text": " ser\u00e1 un medio por el seno de 2 theta."}, {"start": 406.59999999999997, "end": 412.97999999999996, "text": " Este par\u00e9ntesis lo podemos omitir, no hay ning\u00fan problema con eso, cerramos el corchete"}, {"start": 412.97999999999996, "end": 419.08, "text": " y anotamos la constante de integraci\u00f3n para todo el ejercicio."}, {"start": 419.08, "end": 426.71999999999997, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1 y nos queda un medio por, abrimos"}, {"start": 426.72, "end": 436.32000000000005, "text": " el corchete, theta menos un medio por seno de 2 theta que equivale a 2 por el seno de"}, {"start": 436.32000000000005, "end": 444.40000000000003, "text": " theta por el coseno de theta, es otra de las identidades trigonom\u00e9tricas de gran importancia,"}, {"start": 444.40000000000003, "end": 450.88000000000005, "text": " la del seno del \u00e1ngulo doble y esto queda m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 450.88, "end": 460.32, "text": " All\u00ed podemos simplificar estos dos n\u00fameros y nos queda lo siguiente, un medio por, abrimos"}, {"start": 460.32, "end": 471.2, "text": " el corchete, tenemos theta menos seno de theta por coseno de theta, cerramos el corchete"}, {"start": 471.2, "end": 475.15999999999997, "text": " y anotamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 475.16, "end": 481.56, "text": " All\u00ed ya podemos cambiar estos componentes que tienen la variable theta por sus equivalentes"}, {"start": 481.56, "end": 486.96000000000004, "text": " en la variable X que es la variable original del ejercicio."}, {"start": 486.96000000000004, "end": 494.52000000000004, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda, un medio por, abrimos el corchete, aqu\u00ed tenemos theta que"}, {"start": 494.52000000000004, "end": 501.34000000000003, "text": " podemos despejar bien sea de esta expresi\u00f3n o tambi\u00e9n de esta, est\u00e1 m\u00e1s sencillo ac\u00e1,"}, {"start": 501.34, "end": 510.0, "text": " si despejamos theta de esta igualdad nos queda que theta es igual a seno a la menos uno de"}, {"start": 510.0, "end": 520.4399999999999, "text": " X o tambi\u00e9n podemos utilizar la notaci\u00f3n arco seno de X, vamos a escribirlo as\u00ed, theta"}, {"start": 520.44, "end": 539.6, "text": " es seno a la menos uno de X, luego tenemos menos seno de theta que equivale a X por coseno de theta que equivale a la ra\u00edz cuadrada de uno menos X al cuadrado."}, {"start": 539.6, "end": 546.6, "text": " Entonces as\u00ed hemos retornado a la variable original que es X."}, {"start": 546.6, "end": 553.0400000000001, "text": " Para terminar podemos distribuir este n\u00famero a los t\u00e9rminos que hay dentro del corchete,"}, {"start": 553.0400000000001, "end": 562.84, "text": " entonces nos queda un medio por seno a la menos uno de X, esto menos un medio por X"}, {"start": 562.84, "end": 572.9200000000001, "text": " por la ra\u00edz cuadrada de uno menos X al cuadrado, todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 572.92, "end": 580.24, "text": " Y as\u00ed hemos resuelto esa integral indefinida por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}]