INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo resolver la integral trigonométrica  ∫ (senx)^2 dx

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 ¿Qué es la antiderivada de la función f de x? Hay la antiderivada más general de la función f de x igual a seno al cuadrado de x. Vamos a llamar la antiderivada que nos solicitan como f mayúscula de x, que será entonces igual a la integral indefinida de la función f minúscula de x con su correspondiente diferencial de x. Entonces vamos a hacer la integral de seno al cuadrado de x. Bien, esta integral no es inmediata, nos toca hacer una transformación. Nos toca ver una expresión más sencilla que represente a seno al cuadrado de x. Vamos a ver cómo se obtiene. De la trigonometría tenemos que el coseno del ángulo doble, es decir, el coseno de 2x, tiene tres fórmulas equivalentes. La primera dice coseno al cuadrado de x menos seno al cuadrado de x. La segunda sale de cambiar coseno al cuadrado de x por 1 menos seno al cuadrado. Entonces nos quedaría 1 menos 2 seno al cuadrado de x. Y la tercera sale de cambiar seno al cuadrado de x por 1 menos coseno al cuadrado de x. Si hacemos el reemplazo y operamos nos queda 2 coseno al cuadrado de x menos 1. Pero vamos a enfocarnos en la segunda igualdad, es decir, en esta de aquí. De esa igualdad vamos a hacer el despeje de lo que es seno al cuadrado de x. Entonces tenemos lo siguiente, coseno de 2x es igual a 1 menos 2 seno al cuadrado de x. Pasamos este término que está negativo al lado izquierdo, llega positivo. En el lado derecho dejamos el 1 y nos traemos este término para acá, que llegaría a negativo. Finalmente despejamos seno al cuadrado de x, pasando este 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Entonces nos queda 1 menos coseno de 2x y todo eso dividido entre 2. Y entonces esta expresión es la que vamos a utilizar para cambiar seno al cuadrado de x por esta expresión en la integral que estamos calculando. Entonces nos queda f mayúscula de x es igual a la integral de 1 menos coseno de 2x, todo esto dividido entre 2 con su correspondiente de x. Entonces esta expresión nos sustituye a lo que era seno al cuadrado de x. ¿Cómo se abre esta integral entonces? Primero podemos sacar este 2 de la integral, saldría como 1 medio, entonces nos queda 1 medio que multiplica a la integral de, abrimos un corchete, 1 menos el coseno de 2x, cerramos corchete y su respectivo diferencial de x. Y entonces aquí tenemos una resta donde vamos a integrar cada uno de los términos. Para integrar el 1 no es problema, la integral de 1 será x. Y para hacer esta integral vamos a utilizar la siguiente formulita. La integral del coseno de kx con su de x será igual a 1 sobre k por el seno de kx más c. Siempre que tengamos el coseno de un número que acompaña a la variable será 1 sobre ese número por el seno del numerito por la variable. Entonces vamos ya a la recta final del ejercicio. Nos queda f mayúscula de x es igual a 1 medio por, abrimos el corchete, integral de 1 será x menos la integral del coseno de 2x usando la fórmula que acabamos de mostrar sería 1 medio del seno de 2x. En este caso el 2 hace el papel de la k en la fórmula que acabamos de mirar y aquí aparece por primera vez la constante de integración. Para finalizar podríamos hacer distributiva con 1 medio. 1 medio multiplica estos dos términos y nos queda entonces así. 1 medio por x sería x medios menos 1 medio por 1 medio sería 1 cuarto que multiplica al seno de 2x que lo podemos escribir como seno de 2x, todo esto sobre 4 y es sumar la constante de integración. De esta manera entonces hemos obtenido la antiderivada de la función que nos dieron.
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