ECUACIONES CUADRÁTICAS POR MÉTODO GRÁFICO - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación de segundo grado gráficamente, usando regla y compás. Al final, comprueba resolviendo la ecuación por factorización.

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 Vamos a mirar cómo se resuelve esta ecuación cuadrática, una ecuación de segundo grado, que en este caso se llama ecuación mónica. Y se llama de esa manera porque tiene coeficiente principal 1. Siempre que tenga coeficiente principal 1 se llamará ecuación mónica. Vamos a ver entonces cómo se soluciona utilizando un método gráfico. Entonces vamos a determinar los valores de A, B y C. Los mismos que lleva el modelo de una ecuación cuadrática. Recordemos que es este. Entonces tenemos que A vale 1. Si recordemos que A tiene que ser 1 para que sea ecuación mónica, B vale 4 y C vale menos 5. Entonces vamos a ir al plano cartesiano y vamos a localizar esta información para mostrar el método de solución de esta ecuación cuadrática. Bien, allí tenemos el plano cartesiano y en él vamos a localizar los valores de A, B y C. A nos dio 1, B es igual a 4 y C vale menos 5. Lo hacemos de la siguiente manera. A partir del origen, que vamos a llamar el punto O, vamos a representar la distancia A en el eje Y. Vamos a movernos entonces hacia arriba por lo que A es positivo y vamos a obtener el punto A. Entonces a partir de O subimos una unidad y aquí tenemos el punto A. Para localizar B nos movemos en el eje X a partir del origen. Entonces como es positivo nos movemos hacia la derecha 4 unidades y localizamos el punto B mayúscula, es decir aquí. Finalmente C que vale menos 5 lo localizamos en el eje Y entonces como es negativo nos movemos hacia abajo a partir del origen. 5 unidades hacia abajo nos da aquí y tenemos el punto C mayúscula. Entonces hemos determinado los puntos A, B y C mayúsculas. Ahora hacemos lo siguiente, vamos a obtener el opuesto de este punto, es decir como el reflejo de B en el eje X, es decir aquí en menos 4. Buscamos el punto opuesto a este con relación al origen, este punto lo vamos a llamar B'. El opuesto al punto B y ahora vamos a movernos en esta dirección a partir de B' a encontrarnos con C. Entonces nos vamos a encontrar en este punto, bajamos verticalmente por aquí, nos movemos horizontalmente por acá y llegamos a un punto que vamos a llamar D. Este punto tendría la coordenada menos 4, menos 5. Ahora vamos a trazar con una regla el segmento que va desde A hasta D. Allí lo tenemos y vamos a encontrar el punto medio de este segmento AD. Vamos a encontrarlo en forma analítica, vamos a tomar los puntos extremos, es decir el punto A de coordenada 0,1 y el punto D de coordenada menos 4, menos 5. Y vamos a llamar M al punto medio del segmento AD. Vamos a utilizar una formulita que dice así, si los extremos del segmento son los puntos X1, Y1 y X2, Y2, entonces el punto medio se encuentra con esta formulita. X1 más X2 sobre 2 y Y1 más Y2 sobre 2. Entonces vamos a aplicarla para encontrar las coordenadas del punto M. Entonces veamos, X1 más X2 sería 0 sumado con menos 4, eso nos da menos 4, dividido entre 2 nos queda menos 2. Y por este lado sería 1 sumado con menos 5, eso nos da menos 4, menos 4 dividido entre 2 nos queda menos 2. Entonces localizamos en nuestro segmento el punto menos 2, menos 2. Nos ubicamos por aquí en menos 2, nos encontramos con este menos 2 y aquí tenemos el punto M que es el punto medio del segmento AD. Ahora utilizando un compás vamos a trazar la circunferencia que tiene centro en el punto M y cuyo radio es la distancia que hay de M a A o de M a D, si por ser distancias iguales. Entonces va a ser una circunferencia que pasa por los puntos A y D y tiene centro en M. Allí tenemos la circunferencia dibujada, la podemos observar en color rojo y entonces los puntos donde esa circunferencia corta al eje X, es decir en menos 5 y en 1, serán las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática. Entonces tenemos que una primera raíz R1 es igual a menos 5 y la otra raíz R2 equivale a 1. De esa manera solucionamos gráficamente esa ecuación cuadrática llamada ecuación Mónica. Vamos a comprobar que efectivamente las soluciones de esta ecuación cuadrática son las que acabamos de obtener utilizando el método gráfico. Vamos a resolverla analíticamente utilizando por ejemplo la factorización. Esto que tenemos aquí es un trinomio de la forma X cuadrado más BX más C que se puede factorizar. Veamos, abrimos dos grupos de paréntesis, sacamos la raíz cuadrada del primer término que sería X y la anotamos al comienzo de cada paréntesis. Si alteramos los signos, veamos, positivo por positivo nos da positivo, positivo por negativo nos da negativo y a continuación buscamos dos números, uno positivo y otro negativo que multiplicados nos de menos 5 y cuya suma nos de 4 positivo. Esos números son 5 y menos 1. Entonces vemos que el trinomio es factorizable. A continuación utilizamos el teorema del factor nulo. Recordemos que dice lo siguiente, si A por B es igual a 0, entonces A es igual a 0 o B es igual a 0. Entonces cada factor se iguala a 0, X más 5 igual a 0 o X menos 1 igual a 0 y resolvemos para X en cada caso. Por acá obtenemos que X es igual a menos 5 y por acá X es igual a 1 y obtenemos los mismos valores y las mismas raíces, menos 5 y 1 que obtuvimos en el método gráfico. Luego ese procedimiento es correcto y aquí lo acabamos de verificar en forma analítica.
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De esa manera solucionamos gr\u00e1ficamente esa ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica llamada ecuaci\u00f3n M\u00f3nica."}, {"start": 377.0, "end": 391.0, "text": " Vamos a comprobar que efectivamente las soluciones de esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica son las que acabamos de obtener utilizando el m\u00e9todo gr\u00e1fico."}, {"start": 391.0, "end": 397.0, "text": " Vamos a resolverla anal\u00edticamente utilizando por ejemplo la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 397.0, "end": 415.0, "text": " Esto que tenemos aqu\u00ed es un trinomio de la forma X cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C que se puede factorizar. Veamos, abrimos dos grupos de par\u00e9ntesis, sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda X y la anotamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 415.0, "end": 433.0, "text": " Si alteramos los signos, veamos, positivo por positivo nos da positivo, positivo por negativo nos da negativo y a continuaci\u00f3n buscamos dos n\u00fameros, uno positivo y otro negativo que multiplicados nos de menos 5 y cuya suma nos de 4 positivo."}, {"start": 433.0, "end": 441.0, "text": " Esos n\u00fameros son 5 y menos 1. Entonces vemos que el trinomio es factorizable."}, {"start": 441.0, "end": 454.0, "text": " A continuaci\u00f3n utilizamos el teorema del factor nulo. Recordemos que dice lo siguiente, si A por B es igual a 0, entonces A es igual a 0 o B es igual a 0."}, {"start": 454.0, "end": 467.0, "text": " Entonces cada factor se iguala a 0, X m\u00e1s 5 igual a 0 o X menos 1 igual a 0 y resolvemos para X en cada caso."}, {"start": 467.0, "end": 483.0, "text": " Por ac\u00e1 obtenemos que X es igual a menos 5 y por ac\u00e1 X es igual a 1 y obtenemos los mismos valores y las mismas ra\u00edces, menos 5 y 1 que obtuvimos en el m\u00e9todo gr\u00e1fico."}, {"start": 483.0, "end": 500.0, "text": " Luego ese procedimiento es correcto y aqu\u00ed lo acabamos de verificar en forma anal\u00edtica."}]