INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo integrar la cuarta potencia del coseno.

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 Vamos a resolver la integral de coseno a la 4 de x, es decir, la integral de la cuarta potencia del coseno. Comenzamos por escribir el integrando de la siguiente manera, como coseno al cuadrado de x y todo esto elevado al cuadrado. Hacemos esto para utilizar aquí lo que se llaman las fórmulas de reducción de potencias que hay en la trigonometría. Si tenemos, por ejemplo, coseno al cuadrado de θ, esto equivale a 1 más el coseno de 2θ y todo esto dividido entre 2. Por ejemplo, para el caso de seno al cuadrado, la fórmula dice 1 menos coseno de 2θ sobre 2. Vemos que se parecen bastante, la única diferencia está en este signo. Entonces vamos a utilizar esta fórmula para transformar el coseno al cuadrado de x. Entonces nos quedará de la siguiente manera, paréntesis, 1 más coseno de 2x, todo esto dividido entre 2 y a su vez todo eso elevado al cuadrado. Hemos cambiado coseno al cuadrado de x por esta expresión de acuerdo con esta identidad trigonométrica. Enseguida vamos a repartir este exponente 2 para el numerador y para el denominador. Recordemos que esa es la propiedad de la potenciación. Entonces tendremos 1 más coseno de 2x, todo esto al cuadrado y en el denominador tendríamos 2 al cuadrado que nos da 4. Todo esto con su diferencial de x. Este 4 lo podemos escribir por fuera de la integral como 1 cuarto y nos queda adentro 1 más coseno de 2x y todo esto al cuadrado con su diferencial de x. Y enseguida vamos a desarrollar este binomio al cuadrado. Vamos a aplicar allí el producto notable llamado binomio al cuadrado. Recordemos que es el primer término al cuadrado, o sea 1 más 2 veces el primero por el segundo, o sea 2 coseno de 2x y eso más el segundo término al cuadrado. Entonces coseno al cuadrado de 2x, todo esto entre paréntesis con su respectivo diferencial de x. Ahora vamos a utilizar aquí nuevamente la fórmula de reducción de potencias que vimos hace un momento. La recordamos nuevamente, coseno al cuadrado de theta es igual a 1 más coseno de 2 theta, todo esto sobre 2. En este caso vamos a cambiar theta por 2x. Entonces nos queda así y aquí si cambiamos theta por 2x nos queda 2x por 2 que es 4x. Entonces haciendo esa sustitución nos va a quedar la integral de la siguiente manera. Seguimos por acá, 1 cuarto de la integral de 1 más 2 coseno de 2x más aquí hacemos el cambio 1 más coseno de 4x y todo esto sobre 2. Cerramos el paréntesis y el diferencial de x. Ahora vamos a repartir este denominador 2 para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Nos queda 1 cuarto por la integral de 1 más 2 coseno de 2x más 1 medio más coseno de 4x sobre 2. Cerramos paréntesis y escribimos el diferencial de x. El número del paréntesis es decir en el integrando podemos sumar 1 y 1 medio. Esa suma nos da 3 medios y escribimos lo demás 2 coseno de 2x más esto se puede escribir como 1 medio coseno de 4x. Cerramos el paréntesis y el diferencial de x. Ahora vamos a proceder con la integral de cada uno de los términos de esta suma. Veamos. 1 cuarto por integral de 3 medios será 3 medios de x más este 2 lo dejamos quieto y vamos a integrar el coseno de 2x. Vamos a recordar la siguiente fórmula la integral del coseno de ax con su dx es igual a 1 sobre a por el seno de ax y todo esto más la constante de integración. Utilizando esta fórmula podemos integrar rápidamente coseno de 2x y coseno de 4x. Entonces vamos a realizar la integral de coseno de 2x donde a vale 2 sería 1 medio del seno de 2x. Podemos escribirlo así no es indispensable el paréntesis más 1 medio por integral de coseno de 4x. Utilizamos la fórmula esta vez a vale 4 entonces tendremos 1 cuarto seno de 4x. Cerramos el paréntesis principal y escribimos por primera vez la constante de integración. Dentro del paréntesis podemos resolver estas operaciones. Entonces nos queda de la siguiente manera 1 cuarto por 3 medios de x más 2 por 1 medio nos da 1. Entonces simplemente escribimos seno de 2x más 1 medio por 1 cuarto eso nos da 1 octavo del seno de 4x. Cerramos el paréntesis más la constante de integración. Y finalmente vamos a distribuir 1 cuarto para cada uno de los términos que tenemos en el paréntesis. 1 cuarto por 3 medios eso nos da 3 octavos de x más 1 cuarto por el seno de 2x más 1 cuarto por 1 octavo nos da 1.32 ao seno de 4x y todo esto más c. Esta expresión es entonces la integral del coseno a la 4 de x con su respectivo diferencial de x. Entonces de esta manera terminamos el ejercicio.
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