ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 15
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos.

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 Vamos a resolver esta ecuación donde tenemos logaritmos en la base 10. Recordemos que cuando aquí no se observa ningún número en la base, se trata de logaritmo vulgar o logaritmo de Briggs que contiene la base 10. Comenzamos por transformar esa raíz cúbica de X utilizando lo que es esta propiedad. Si tenemos la raíz de índice N de X a la m, esto es igual a X a la m sobre n, la propiedad que nos permite transformar una raíz en potencia. Para el caso de raíz cúbica de X, es decir, raíz cúbica de X a la 1, si aplicamos esa propiedad nos queda como X a la 1 tercio. Entonces acá en la ecuación original hacemos ese cambio. Aquí nos queda logaritmo en base 10 de X a la 1 tercio igual a la raíz cuadrada del logaritmo en base 10 de X, es decir, lo que tenemos en el lado derecho no presenta ningún cambio. Ahora en el lado izquierdo de la igualdad vamos a aplicar esta propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de b elevada al exponente k, es decir, el logaritmo de una potencia, entonces este exponente va a multiplicar con el logaritmo en base a de b. Entonces allá podemos aplicar esta propiedad. Un tercio va a multiplicar con el logaritmo en base 10 de X y lo que está en el lado derecho no presenta ningún cambio. Es la raíz cuadrada del logaritmo en base 10 de X. En esta etapa del ejercicio vemos que se repite logaritmo en base 10 de X. Entonces allí es cuando podemos utilizar un recurso bastante útil que se llama cambio de variable. Vamos entonces a llamar el logaritmo en base 10 de X como la letra W. Entonces vamos a reescribir nuestra ecuación en términos de la nueva letra. Tendremos un tercio por esto que es W igual a la raíz cuadrada de esta expresión que también se cambia por W. A esta W podemos colocarle denominador 1 y tendremos aquí una multiplicación de fracciones. Recordemos entonces que se multiplican numeradores entre sí, 1 por W es W y denominadores entre sí, 3 por 1 que nos da 3 y esto nos queda igualado a la raíz cuadrada de W. Hemos llegado a lo que se llama una ecuación con radicales. Tenemos aquí una raíz cuadrada que debemos eliminar. Para ello se necesita elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado. Entonces tendremos W tercios, todo esto al cuadrado igual a la raíz cuadrada de W también elevada al cuadrado. Acá en el lado izquierdo este exponente afecta al numerador y también al denominador. Nos queda entonces W al cuadrado sobre 3 al cuadrado que es igual a 9 y acá el cuadrado destruye la raíz cuadrada y nos queda simplemente W. Allí podemos pasar este número 9 que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Nos queda W al cuadrado igual a 9 por W que es 9W. Llegamos así a lo que es una ecuación cuadrática o de segundo grado. Necesitamos tenerla igualada a 0 para poder resolverla. Entonces este término vamos a pasarlo al lado izquierdo. Nos queda W al cuadrado menos 9W igual a 0. Este término que está positivo llega al lado izquierdo con signo negativo. Ahí ya tenemos la ecuación cuadrática y vamos a resolverla por factorización porque aquí vemos que hay factor común W. Entonces por ese camino vamos a resolverla rápidamente. Sacamos entonces factor común que es W y nos queda factor de W menos 9 y todo esto nos queda igualado a 0. Ahora aplicamos el teorema del factor nulo. Recordemos que si se tiene el producto de dos expresiones y eso está igualado a 0 entonces cada una de esas expresiones debe igualarse a 0. Aplicando entonces el teorema nos queda W igual a 0 o W menos 9 igual a 0. Por acá ya tenemos una solución para la variable W y por acá podemos despejarla. Pasamos el 9 que está restando al otro lado a sumar con 0 y nos queda W igual a 9. De esta manera tenemos las dos soluciones de la ecuación cuadrática. Llega el momento de deshacer el cambio de variable. Recordemos que W equivale al logaritmo en base 10 de X. Entonces por acá tendremos que eso se convierte en logaritmo en base 10 de X igual a 0 y por acá tendremos logaritmo en base 10 de X igual a 9. Repetimos, se cambia W por la expresión logaritmo en base 10 de X. Ahora vamos a despejar X en cada caso. Para ello necesitamos pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial. Recordemos cómo se hace eso. Si tenemos logaritmo en base a de b igual a una cantidad c, entonces esto quiere decir que a a la c es igual a b. Bueno, esto es de doble vía porque nos permite pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial y también nos permite devolvernos. Entonces, en ambos casos dijimos que se tiene logaritmo en base 10. Allí hacemos visible la base que es 10 y vamos a pasar a la forma exponencial. Acá tendremos entonces 10 a la cero igual a X y por acá tendremos 10 a la 9 también igual a X. En el primer caso tenemos que 10 a la cero es igual a 1. Entonces por acá tenemos X igual a 1 y por acá X equivale a 10 a la 9 donde 10 a la 9 será 1 1 seguido de 9 ceros. Aquí lo tenemos, aquí marcamos el punto de los miles, aquí la comita que indica millones y aquí el punto que indica miles de millones. Este es el número mil millones pero podemos dejarlo expresado simplemente como potencia, como 10 a la 9. En principio estas serán las soluciones para esa ecuación, sin embargo tenemos que revisar que estos números no vayan a entorpecer la expresión original. Simplemente revisamos que al reemplazar X a K por estos valores tengamos siempre argumentos positivos. Si el 1 entra aquí nos queda la raíz cúbica de 1, cantidad positiva y si entra acá también es argumento positivo, por lo tanto el logaritmo existe sin ningún problema. Entonces X igual a 1 se acepta. Vamos con 10 a la 9, si entra aquí produce una cantidad positiva y lo mismo sucede acá. Entonces también se acepta ese resultado. Para finalizar simplemente escribimos el conjunto solución de esta ecuación. X puede tomar los valores 1 o 10 a la 9, son los que satisfacen la ecuación original y así terminamos este ejercicio.
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