INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 29
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método de Sustitución o Cambio de Variable.

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 Para resolver esta integral indefinida, podríamos efectuar el desarrollo o la expansión de este binomio elevado al exponente 10. Allí nos apoyaríamos en el triángulo de Pascal o podríamos utilizar el binomio de Newton para hacer la expansión de este binomio a la 10. Lo que pasa es que nos daría un polinomio de 11 términos, al cual tendríamos que distribuirle la X para luego integrar cada uno de esos términos. Realmente ese camino sería muy largo. Vamos a utilizar mejor el método de sustitución. En este caso elegimos una letra, por ejemplo M, que va a representar a esto que tenemos dentro del paréntesis, 2X más 5. Y eso tenemos que derivarlo con respecto a X. Veamos entonces cómo nos queda la derivada de M con respecto a la variable X, es decir, la derivada de 2X más 5 nos da como resultado 2. Y de allí tenemos que despejar el diferencial de X. Nos queda DM igual a 2 por DX. DX está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar y de allí hacemos el despeje de DX. Entonces 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda DM sobre 2. Entonces con estos dos componentes reconstruimos la integral. Vamos a realizar eso por acá. Entonces dejamos X, luego tenemos 2X más 5 que se cambia por M y eso nos queda elevado al exponente 10 y a su vez eso va multiplicado por DX, que equivale a DM sobre 2. Aquí tenemos un inconveniente y es que la nueva integral debe estar controlada por la variable M. Sin embargo aquí permanece la X. Eso lo solucionamos despejando X de esta expresión. Entonces veamos cómo nos queda. Comenzamos pasando el 5 que está sumando al otro lado a restar. Nos queda M menos 5 igual a 2X y a su vez de allí se despeja la X pasando 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda M menos 5, todo esto sobre 2, igual con X. Entonces esto que equivale a X lo reemplazamos acá y nos queda de la siguiente forma. Integral de M menos 5 sobre 2. Todo eso multiplicando con M a la 10 y eso a su vez multiplicando con DM medios. Entonces allí ya tenemos la nueva integral que está controlada únicamente por la variable M. Vamos a organizar enseguida esta expresión. A M a la 10 podemos colocarle denominador 1. Vamos a continuar por acá. Entonces vamos a multiplicar lo que hay dentro de la integral. Tenemos entonces multiplicación de fracciones, por lo tanto multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. El producto de numeradores nos queda de esta manera. M menos 5 por M a la 10 y eso por el diferencial de M. Y el producto de denominadores nos da como resultado 4. Allí podríamos extraer este número de la integral. Vamos a seguir por acá. Nos queda entonces por fuera un cuarto que multiplica con, veamos, acá dentro de la integral podemos aplicar la propiedad distributiva. M a la 10 multiplica a cada uno de esos términos. Nos queda entonces M a la 10 por M. Nos queda M a la 11. Recordemos que se deja la base y se suman exponentes. Después tenemos menos M a la 10 por 5 que nos queda 5 M a la 10 y todo esto acompañado del diferencial de M. De esta manera llegamos ahora sí a una integral que podemos resolver de manera directa. Entonces nos queda un cuarto por, veamos, abrimos un paréntesis y tenemos aquí dos términos que están restando. Entonces integramos cada uno de ellos. La integral de M a la 11 nos quedaría M a la 12 sobre 12. Recordemos que se le suma 1 al exponente y eso se anota acá en el exponente y también acá en el denominador. Vamos al otro término donde 5 está multiplicando con M a la 10. Entonces 5 se deja quieto, simplemente acompaña y nos ocupamos de integrar M a la 10. Nos queda M a la 10 más 1 que es 11 y todo esto sobre el mismo valor, sobre 11. Cerramos el paréntesis y aparece por primera vez la constante de integración. Allí podríamos romper ese paréntesis distribuyendo un cuarto. Entonces veamos cómo nos queda. Vamos a continuar por acá. Entonces tendremos en el primer término un cuarto que multiplica con esa fracción. Otra vez multiplicamos numeradores entre sí, denominadores entre sí. 1 por M a la 12 nos queda M a la 12 en el numerador y 4 por 12, 48 en el denominador. Vamos al otro término. Tenemos menos. Un cuarto por esta fracción nos queda 1 por 5 por M a la 11 será 5 M a la 11 en el numerador y en el denominador 4 por 11 que nos da 44. Y todo eso más la constante de integración. Finalmente lo que hacemos es cambiar M por su equivalente, es decir, deshacemos el cambio de variable. Vamos a seguir entonces acá ya para escribir el resultado del ejercicio. Ese primer término lo organizamos como un 48 aho que acompaña a M a la 12, pero M se cambia por 2X más 5 y esto queda elevado al exponente 12. Después tenemos menos. Podemos escribir 544 ahos que acompaña a M a la 11, pero M equivale a 2X más 5. Todo esto nos queda elevado a la 11 y esto más la constante de integración. De esta manera terminamos el ejercicio. Esta expresión que hemos obtenido es la respuesta para esa integral indefinida.
[{"start": 0.0, "end": 9.120000000000001, "text": " Para resolver esta integral indefinida, podr\u00edamos efectuar el desarrollo o la expansi\u00f3n de"}, {"start": 9.120000000000001, "end": 12.56, "text": " este binomio elevado al exponente 10."}, {"start": 12.56, "end": 17.400000000000002, "text": " All\u00ed nos apoyar\u00edamos en el tri\u00e1ngulo de Pascal o podr\u00edamos utilizar el binomio de"}, {"start": 17.400000000000002, "end": 21.52, "text": " Newton para hacer la expansi\u00f3n de este binomio a la 10."}, {"start": 21.52, "end": 27.28, "text": " Lo que pasa es que nos dar\u00eda un polinomio de 11 t\u00e9rminos, al cual tendr\u00edamos que distribuirle"}, {"start": 27.28, "end": 31.520000000000003, "text": " la X para luego integrar cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 31.520000000000003, "end": 33.92, "text": " Realmente ese camino ser\u00eda muy largo."}, {"start": 33.92, "end": 37.64, "text": " Vamos a utilizar mejor el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 37.64, "end": 43.34, "text": " En este caso elegimos una letra, por ejemplo M, que va a representar a esto que tenemos"}, {"start": 43.34, "end": 46.92, "text": " dentro del par\u00e9ntesis, 2X m\u00e1s 5."}, {"start": 46.92, "end": 51.16, "text": " Y eso tenemos que derivarlo con respecto a X."}, {"start": 51.16, "end": 58.599999999999994, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda la derivada de M con respecto a la variable X, es decir,"}, {"start": 58.599999999999994, "end": 63.17999999999999, "text": " la derivada de 2X m\u00e1s 5 nos da como resultado 2."}, {"start": 63.17999999999999, "end": 66.36, "text": " Y de all\u00ed tenemos que despejar el diferencial de X."}, {"start": 66.36, "end": 69.72, "text": " Nos queda DM igual a 2 por DX."}, {"start": 69.72, "end": 74.96, "text": " DX est\u00e1 dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar y de all\u00ed hacemos el despeje"}, {"start": 74.96, "end": 75.96, "text": " de DX."}, {"start": 75.96, "end": 80.64, "text": " Entonces 2 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 80.64, "end": 84.2, "text": " Nos queda DM sobre 2."}, {"start": 84.2, "end": 88.08, "text": " Entonces con estos dos componentes reconstruimos la integral."}, {"start": 88.08, "end": 90.24, "text": " Vamos a realizar eso por ac\u00e1."}, {"start": 90.24, "end": 97.03999999999999, "text": " Entonces dejamos X, luego tenemos 2X m\u00e1s 5 que se cambia por M y eso nos queda elevado"}, {"start": 97.03999999999999, "end": 105.24000000000001, "text": " al exponente 10 y a su vez eso va multiplicado por DX, que equivale a DM sobre 2."}, {"start": 105.24, "end": 111.03999999999999, "text": " Aqu\u00ed tenemos un inconveniente y es que la nueva integral debe estar controlada por la variable M."}, {"start": 111.03999999999999, "end": 113.83999999999999, "text": " Sin embargo aqu\u00ed permanece la X."}, {"start": 113.83999999999999, "end": 118.19999999999999, "text": " Eso lo solucionamos despejando X de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 118.19999999999999, "end": 120.44, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 120.44, "end": 124.32, "text": " Comenzamos pasando el 5 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 124.32, "end": 131.72, "text": " Nos queda M menos 5 igual a 2X y a su vez de all\u00ed se despeja la X pasando 2 que est\u00e1"}, {"start": 131.72, "end": 135.06, "text": " multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 135.06, "end": 141.56, "text": " Nos queda M menos 5, todo esto sobre 2, igual con X."}, {"start": 141.56, "end": 148.56, "text": " Entonces esto que equivale a X lo reemplazamos ac\u00e1 y nos queda de la siguiente forma."}, {"start": 148.56, "end": 152.88, "text": " Integral de M menos 5 sobre 2."}, {"start": 152.88, "end": 161.24, "text": " Todo eso multiplicando con M a la 10 y eso a su vez multiplicando con DM medios."}, {"start": 161.24, "end": 168.24, "text": " Entonces all\u00ed ya tenemos la nueva integral que est\u00e1 controlada \u00fanicamente por la variable M."}, {"start": 168.24, "end": 171.08, "text": " Vamos a organizar enseguida esta expresi\u00f3n."}, {"start": 171.08, "end": 174.84, "text": " A M a la 10 podemos colocarle denominador 1."}, {"start": 174.84, "end": 177.64000000000001, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 177.64000000000001, "end": 182.14000000000001, "text": " Entonces vamos a multiplicar lo que hay dentro de la integral."}, {"start": 182.14000000000001, "end": 186.92000000000002, "text": " Tenemos entonces multiplicaci\u00f3n de fracciones, por lo tanto multiplicamos numeradores entre"}, {"start": 186.92000000000002, "end": 189.56, "text": " s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 189.56, "end": 193.24, "text": " El producto de numeradores nos queda de esta manera."}, {"start": 193.24, "end": 198.92000000000002, "text": " M menos 5 por M a la 10 y eso por el diferencial de M."}, {"start": 198.92000000000002, "end": 203.8, "text": " Y el producto de denominadores nos da como resultado 4."}, {"start": 203.8, "end": 207.2, "text": " All\u00ed podr\u00edamos extraer este n\u00famero de la integral."}, {"start": 207.2, "end": 209.12, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1."}, {"start": 209.12, "end": 217.96, "text": " Nos queda entonces por fuera un cuarto que multiplica con, veamos, ac\u00e1 dentro de la integral"}, {"start": 217.96, "end": 220.84, "text": " podemos aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 220.84, "end": 225.12, "text": " M a la 10 multiplica a cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 225.12, "end": 227.64000000000001, "text": " Nos queda entonces M a la 10 por M."}, {"start": 227.64000000000001, "end": 229.56, "text": " Nos queda M a la 11."}, {"start": 229.56, "end": 232.68, "text": " Recordemos que se deja la base y se suman exponentes."}, {"start": 232.68, "end": 241.4, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos M a la 10 por 5 que nos queda 5 M a la 10 y todo esto acompa\u00f1ado"}, {"start": 241.4, "end": 243.96, "text": " del diferencial de M."}, {"start": 243.96, "end": 250.4, "text": " De esta manera llegamos ahora s\u00ed a una integral que podemos resolver de manera directa."}, {"start": 250.4, "end": 255.20000000000002, "text": " Entonces nos queda un cuarto por, veamos, abrimos un par\u00e9ntesis y tenemos aqu\u00ed dos"}, {"start": 255.20000000000002, "end": 257.68, "text": " t\u00e9rminos que est\u00e1n restando."}, {"start": 257.68, "end": 259.8, "text": " Entonces integramos cada uno de ellos."}, {"start": 259.8, "end": 266.16, "text": " La integral de M a la 11 nos quedar\u00eda M a la 12 sobre 12."}, {"start": 266.16, "end": 271.24, "text": " Recordemos que se le suma 1 al exponente y eso se anota ac\u00e1 en el exponente y tambi\u00e9n"}, {"start": 271.24, "end": 273.28000000000003, "text": " ac\u00e1 en el denominador."}, {"start": 273.28, "end": 277.44, "text": " Vamos al otro t\u00e9rmino donde 5 est\u00e1 multiplicando con M a la 10."}, {"start": 277.44, "end": 284.0, "text": " Entonces 5 se deja quieto, simplemente acompa\u00f1a y nos ocupamos de integrar M a la 10."}, {"start": 284.0, "end": 291.23999999999995, "text": " Nos queda M a la 10 m\u00e1s 1 que es 11 y todo esto sobre el mismo valor, sobre 11."}, {"start": 291.23999999999995, "end": 296.96, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 296.96, "end": 301.64, "text": " All\u00ed podr\u00edamos romper ese par\u00e9ntesis distribuyendo un cuarto."}, {"start": 301.64, "end": 303.4, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 303.4, "end": 306.53999999999996, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 306.53999999999996, "end": 312.24, "text": " Entonces tendremos en el primer t\u00e9rmino un cuarto que multiplica con esa fracci\u00f3n."}, {"start": 312.24, "end": 316.46, "text": " Otra vez multiplicamos numeradores entre s\u00ed, denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 316.46, "end": 324.59999999999997, "text": " 1 por M a la 12 nos queda M a la 12 en el numerador y 4 por 12, 48 en el denominador."}, {"start": 324.59999999999997, "end": 326.2, "text": " Vamos al otro t\u00e9rmino."}, {"start": 326.2, "end": 327.2, "text": " Tenemos menos."}, {"start": 327.2, "end": 335.56, "text": " Un cuarto por esta fracci\u00f3n nos queda 1 por 5 por M a la 11 ser\u00e1 5 M a la 11 en el numerador"}, {"start": 335.56, "end": 339.8, "text": " y en el denominador 4 por 11 que nos da 44."}, {"start": 339.8, "end": 343.52, "text": " Y todo eso m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 343.52, "end": 350.15999999999997, "text": " Finalmente lo que hacemos es cambiar M por su equivalente, es decir, deshacemos el cambio"}, {"start": 350.15999999999997, "end": 351.15999999999997, "text": " de variable."}, {"start": 351.15999999999997, "end": 356.36, "text": " Vamos a seguir entonces ac\u00e1 ya para escribir el resultado del ejercicio."}, {"start": 356.36, "end": 363.64, "text": " Ese primer t\u00e9rmino lo organizamos como un 48 aho que acompa\u00f1a a M a la 12, pero M se"}, {"start": 363.64, "end": 370.78000000000003, "text": " cambia por 2X m\u00e1s 5 y esto queda elevado al exponente 12."}, {"start": 370.78000000000003, "end": 372.48, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos."}, {"start": 372.48, "end": 382.1, "text": " Podemos escribir 544 ahos que acompa\u00f1a a M a la 11, pero M equivale a 2X m\u00e1s 5."}, {"start": 382.1, "end": 387.48, "text": " Todo esto nos queda elevado a la 11 y esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 387.48, "end": 390.44, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 390.44, "end": 417.36, "text": " Esta expresi\u00f3n que hemos obtenido es la respuesta para esa integral indefinida."}]