INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 24
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de Sustitución.

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 ¿Cómo se puede resolver esta integral? Vamos a resolver esta integral por el método de sustitución, también conocido como cambio de variable. Nos toca recurrir a este método ya que no se puede realizar en forma directa. Vamos a utilizar, por ejemplo, la letra P para sustituir el denominador, es decir, 4 menos 3x. Y esto vamos a derivarlo. Derivada de P con respecto a x es igual a menos 3, la derivada de este binomio. Y de aquí vamos a despejar de x. El despeje de dx nos queda igual a dP sobre menos 3. Este pasa a multiplicar y este viene a dividir. Hacemos un intercambio entre estos dos elementos. Nos queda, entonces, dx despejado. Ahora vamos a reemplazar estos dos componentes en la expresión original para reconstruir la integral. Nos queda, entonces, de la siguiente manera. Integral de 5 sobre esto, 4 menos 3x que se convierte en P, por dx que equivale a dP sobre menos 3. De esta manera reconstruimos la integral original en términos de la nueva variable que es P. En esta integral podemos sacar la constante menos 5 tercios. Tenemos el 5 en el numerador, el 3 en el denominador y el signo negativo lo colocamos allí en la mitad. Entonces sale menos 5 tercios, queda multiplicando por fuera de la integral. Y adentro nos queda 1 sobre P con su diferencial de P. Esto es igual a menos 5 tercios por la integral de 1 sobre P con su diferencial de P. Es logaritmo natural del valor absoluto de P. Es una integral de las básicas que nos da este resultado. Y aquí aparece la constante de integración por primera vez. Finalmente debemos cambiar P por su equivalente. Porque debemos retornar a la letra original, a la variable que nos presentaba el ejercicio inicialmente. Entonces recordemos que P era 4 menos 3x. Entonces deshacemos el cambio, el cambio de variable o la sustitución y llegamos a una expresión en términos de la variable x. Es decir, la variable original. De esta manera terminamos nuestro ejercicio.
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