24. OPERACIONES GRÁFICAS CON VECTORES
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 24: Operaciones gráficas con vectores.

Igualdad de vectores, multiplicación de un escalar por un vector, suma y resta de vectores, en términos gráficos.

Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este vídeo teórico veremos las siguientes operaciones con vectores, en términos gráficos, igualdad de vectores, multiplicación de un escalar por un vector, suma de vectores y resta de vectores. Comencemos con la igualdad de vectores. Dos vectores A y B son iguales si tienen las mismas características, es decir, igual módulo, norma o magnitud, igual dirección e igual sentido. Gráficamente vemos que no necesariamente los vectores deben coincidir ni tener el mismo punto de origen, sin embargo, si trasladamos el vector A hasta el vector B, allí lo tenemos, observamos que se superponen en toda su extensión, evidenciándose la igualdad que hay entre ellos. Por esta propiedad resulta válido trasladar un vector en una recta, en el plano o en el espacio, sin que se afecten sus características. Multiplicación de un escalar por un vector. Si tenemos un escalar K, es decir, un número real y un vector F, al realizar el producto entre ellos, obtenemos un nuevo vector llamado K por F, cuyas características son, su módulo es el resultado de multiplicar el valor absoluto del escalar K por el módulo del vector F. Su dirección no varía, es la misma del vector original F y su sentido se conserva si K es positivo y cambia al opuesto si K es negativo. Por ejemplo, consideremos el vector fuerza F cuyo módulo es 10 newtons, en este caso es como si el vector F estuviera multiplicado por el escalar K igual a 1, puesto que es igual a sí mismo. Si el vector F se multiplica por el escalar K igual a 2, obtenemos el vector 2F, cuyo módulo se determina multiplicando el valor absoluto del escalar por el módulo del vector F, es decir, 2 por 10 newtons, lo que equivale a 20 newtons. Vemos entonces que el nuevo vector tiene el doble del tamaño del vector original. De manera similar, si el vector F se multiplica por el escalar 0.5, obtenemos el vector 0.5F, cuyo módulo es 0.5 veces el del vector F, es decir, la mitad de la magnitud de F, y esto equivale a 5 newtons. Podemos notar que los vectores 2F y 0.5F tienen el mismo sentido de F, es decir, hacia la derecha o hacia el este. Esto se debe a que en estos casos el escalar que multiplica al vector F es positivo. Ahora miremos que sucede cuando el escalar K igual a menos 1 multiplica al vector F, vemos que se obtiene el vector menos F, cuyo módulo se determina multiplicando el valor absoluto del escalar por el módulo del vector F, es decir, 1 por 10 newtons, lo que equivale a 10 newtons. De manera similar, si el vector F se multiplica por el escalar K igual a menos 3, obtenemos el vector menos 3F, cuyo módulo es 3 veces el del vector F, es decir, 30 newtons. Vemos entonces que el nuevo vector tiene el triple del tamaño del vector original. Se puede notar que los vectores menos F y menos 3F tienen sentido opuesto a F, es decir, hacia la izquierda o hacia el oeste. Esto se debe a que en estos dos últimos casos el escalar que multiplica al vector F es negativo. Entonces observa que en los cuatro casos, independientemente de si el escalar que multiplica al vector F es positivo o negativo, la dirección no cambia. Todos resultan ser vectores paralelos que tienen la misma dirección horizontal. Para efectuar la suma gráfica de vectores, veamos primero el caso de dos vectores que tienen la misma dirección y sentido, como los vectores P y Q. En este caso podemos dejar quieto el vector P y trasladar el vector Q, lógicamente conservando su magnitud y orientación, de manera que el origen de Q coincida con el extremo de P. Cuando los vectores P y Q hacen contacto, se traza el vector que va desde el origen del vector P hasta el extremo del vector Q. Ese vector que podemos llamar R es el resultante de la suma de los vectores P y Q. Note que el vector R tiene la misma orientación de los vectores que lo conforman. Ahora vamos a trasladar el vector R hacia abajo para verlo mejor. El módulo del vector R será la suma de los módulos de los vectores P y Q. Cabe resaltar que este es el único caso en que el módulo del vector suma se obtiene de esta manera tan sencilla, es decir, sumando los módulos de los vectores que allí participan. Por otro lado, se recomienda el uso de papel gráfico cuadriculado o milimetrado, así como regla, escuadras y transportador para realizar la suma gráfica de vectores con precisión y exactitud. Continuando con la suma gráfica de vectores, veamos ahora el caso de dos vectores que tienen diferente dirección y sentido, como los vectores A y B. Una forma de sumarlos es usando el método del triángulo, que consiste en disponerlos de manera consecutiva, es decir, extremo con origen o, en otras palabras, cabeza con cola. Podemos dejar quieto el vector A y trasladar el vector B hasta que su origen coincida con el extremo de A. Luego, trazamos el vector que une el origen de A con el extremo de B, y de esa manera obtenemos el vector R, que es el resultante de la suma de los vectores A y B. Otra forma de sumar los vectores A y B es usando el método del paralelogramo, que consiste en disponer los vectores de manera que coincidan sus orígenes, es decir, cola con cola. A continuación, por el extremo de A, trazamos un segmento paralelo a B, y por el extremo del vector B, trazamos un segmento paralelo al vector A. Si trazamos un vector desde el punto donde coinciden los orígenes de A y B, hasta el punto donde se cortaron los segmentos trazados, tendremos la diagonal del paralelogramo formado por los vectores A y B. Ese vector será R, es decir, el resultante de la suma de los vectores A y B. Note que si en este paralelogramo trasladamos el vector B al lado contrario, tenemos los vectores A y B dispuestos como vimos en el método del triángulo, y el vector suma, es decir, R, es el mismo. Por otro lado, si en el paralelogramo trasladamos el vector A al lado opuesto, tenemos los vectores B y A colocados de manera consecutiva, como en el método del triángulo, y el vector R, que corresponde al resultante de B más A, sería exactamente el mismo que obtuvimos como A más B. Con esto se demuestra que la suma de vectores es conmutativa. Nuevamente se reitera la importancia de usar papel gráfico adecuado e instrumentos para determinar con precisión y exactitud tanto la magnitud como la orientación del vector resultante de la suma de este tipo de vectores. Veamos a continuación cómo se suman más de dos vectores. Consideremos los vectores A, B y C que tienen diferente orientación. Para sumarlos gráficamente utilizamos el método del polígono, que consiste en lo siguiente. Dejamos quieto el vector A y trasladamos el vector B de tal manera que su origen haga contacto con el extremo de A. Luego trasladamos el vector C de modo que su origen coincida con el extremo de B. Finalmente, trazamos el vector que conecta el origen del vector A con el extremo del vector C y así obtenemos el vector R, que es el resultante de sumar los vectores A, B y C. Como se dijo antes, la suma de vectores es conmutativa. Luego podríamos iniciar dejando quieto el vector B y luego trasladar los vectores A y C de forma que queden cabeza con cola, o sea consecutivos. Al unir el origen de B con el extremo de C cerramos el polígono y obtenemos el vector R resultante de la suma de B, A y C. Note que es el mismo que nos dio cuando hicimos la suma en el orden A, B, C. Si tuviéramos N vectores, hacemos el mismo procedimiento. Dejamos quieto un vector y trasladamos los demás de forma que todos queden dispuestos consecutivamente. Para determinar la resultante de la suma de ellos, se traza el vector que une el origen del primer vector con el extremo del último. En este caso podemos observar el vector R que es el resultante de sumar los vectores P1, P2, P3, P4 y P5. Finalmente miremos cómo se restan vectores gráficamente. Consideremos los vectores m y n y vamos a obtener gráficamente la diferencia entre ellos, es decir m menos n. Lo primero que debemos hacer es determinar el vector menos n, es decir el que resulta de multiplicar n por el escalar menos 1. Recordemos que este vector tiene el mismo módulo y dirección de n pero sentido opuesto. Ahora nos olvidamos de n y vamos a realizar la suma entre m y menos n. Podemos usar el método del triángulo, para lo cual trasladamos el vector menos n hasta que su origen haga contacto con el extremo de m. Al unir el origen de m con el extremo de menos n obtenemos el vector suma m más menos n, que equivale a m menos n, destruyendo el paréntesis y aplicando ley de los signos. También por el método del paralelogramo podemos sumar los vectores m y menos n. En este caso trasladamos el vector menos n hasta que su origen haga contacto con el origen de m. Construimos el paralelogramo y trazamos la diagonal que es el vector suma m más menos n, es decir m menos n.
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A continuaci\u00f3n, por el extremo de A, trazamos un segmento paralelo a B, y"}, {"start": 433.12, "end": 439.15999999999997, "text": " por el extremo del vector B, trazamos un segmento paralelo al vector A."}, {"start": 439.15999999999997, "end": 445.52, "text": " Si trazamos un vector desde el punto donde coinciden los or\u00edgenes de A y B, hasta el"}, {"start": 445.52, "end": 451.6, "text": " punto donde se cortaron los segmentos trazados, tendremos la diagonal del paralelogramo formado"}, {"start": 451.6, "end": 459.44, "text": " por los vectores A y B. Ese vector ser\u00e1 R, es decir, el resultante de la suma de los"}, {"start": 459.44, "end": 461.44, "text": " vectores A y B."}, {"start": 461.44, "end": 468.24, "text": " Note que si en este paralelogramo trasladamos el vector B al lado contrario, tenemos los"}, {"start": 468.24, "end": 475.56, "text": " vectores A y B dispuestos como vimos en el m\u00e9todo del tri\u00e1ngulo, y el vector suma,"}, {"start": 475.56, "end": 478.28000000000003, "text": " es decir, R, es el mismo."}, {"start": 478.28, "end": 485.64, "text": " Por otro lado, si en el paralelogramo trasladamos el vector A al lado opuesto, tenemos los vectores"}, {"start": 485.64, "end": 492.44, "text": " B y A colocados de manera consecutiva, como en el m\u00e9todo del tri\u00e1ngulo, y el vector"}, {"start": 492.44, "end": 500.71999999999997, "text": " R, que corresponde al resultante de B m\u00e1s A, ser\u00eda exactamente el mismo que obtuvimos"}, {"start": 500.71999999999997, "end": 507.28, "text": " como A m\u00e1s B. Con esto se demuestra que la suma de vectores es conmutativa."}, {"start": 507.28, "end": 513.6, "text": " Nuevamente se reitera la importancia de usar papel gr\u00e1fico adecuado e instrumentos para"}, {"start": 513.6, "end": 519.12, "text": " determinar con precisi\u00f3n y exactitud tanto la magnitud como la orientaci\u00f3n del vector"}, {"start": 519.12, "end": 523.28, "text": " resultante de la suma de este tipo de vectores."}, {"start": 523.28, "end": 528.12, "text": " Veamos a continuaci\u00f3n c\u00f3mo se suman m\u00e1s de dos vectores."}, {"start": 528.12, "end": 532.8, "text": " Consideremos los vectores A, B y C que tienen diferente orientaci\u00f3n."}, {"start": 532.8, "end": 538.5999999999999, "text": " Para sumarlos gr\u00e1ficamente utilizamos el m\u00e9todo del pol\u00edgono, que consiste en lo"}, {"start": 538.5999999999999, "end": 539.5999999999999, "text": " siguiente."}, {"start": 539.5999999999999, "end": 545.52, "text": " Dejamos quieto el vector A y trasladamos el vector B de tal manera que su origen haga"}, {"start": 545.52, "end": 547.8399999999999, "text": " contacto con el extremo de A."}, {"start": 547.8399999999999, "end": 554.24, "text": " Luego trasladamos el vector C de modo que su origen coincida con el extremo de B."}, {"start": 554.24, "end": 560.64, "text": " Finalmente, trazamos el vector que conecta el origen del vector A con el extremo del"}, {"start": 560.64, "end": 568.56, "text": " vector C y as\u00ed obtenemos el vector R, que es el resultante de sumar los vectores A,"}, {"start": 568.56, "end": 570.04, "text": " B y C."}, {"start": 570.04, "end": 573.76, "text": " Como se dijo antes, la suma de vectores es conmutativa."}, {"start": 573.76, "end": 581.06, "text": " Luego podr\u00edamos iniciar dejando quieto el vector B y luego trasladar los vectores A"}, {"start": 581.06, "end": 586.68, "text": " y C de forma que queden cabeza con cola, o sea consecutivos."}, {"start": 586.68, "end": 594.5999999999999, "text": " Al unir el origen de B con el extremo de C cerramos el pol\u00edgono y obtenemos el vector"}, {"start": 594.5999999999999, "end": 599.3599999999999, "text": " R resultante de la suma de B, A y C."}, {"start": 599.3599999999999, "end": 606.56, "text": " Note que es el mismo que nos dio cuando hicimos la suma en el orden A, B, C."}, {"start": 606.56, "end": 611.3599999999999, "text": " Si tuvi\u00e9ramos N vectores, hacemos el mismo procedimiento."}, {"start": 611.36, "end": 619.08, "text": " Dejamos quieto un vector y trasladamos los dem\u00e1s de forma que todos queden dispuestos"}, {"start": 619.08, "end": 620.8000000000001, "text": " consecutivamente."}, {"start": 620.8000000000001, "end": 628.4, "text": " Para determinar la resultante de la suma de ellos, se traza el vector que une el origen"}, {"start": 628.4, "end": 632.0, "text": " del primer vector con el extremo del \u00faltimo."}, {"start": 632.0, "end": 638.52, "text": " En este caso podemos observar el vector R que es el resultante de sumar los vectores"}, {"start": 638.52, "end": 643.64, "text": " P1, P2, P3, P4 y P5."}, {"start": 643.64, "end": 647.28, "text": " Finalmente miremos c\u00f3mo se restan vectores gr\u00e1ficamente."}, {"start": 647.28, "end": 655.0799999999999, "text": " Consideremos los vectores m y n y vamos a obtener gr\u00e1ficamente la diferencia entre"}, {"start": 655.0799999999999, "end": 657.8, "text": " ellos, es decir m menos n."}, {"start": 657.8, "end": 664.56, "text": " Lo primero que debemos hacer es determinar el vector menos n, es decir el que resulta"}, {"start": 664.56, "end": 667.96, "text": " de multiplicar n por el escalar menos 1."}, {"start": 667.96, "end": 675.08, "text": " Recordemos que este vector tiene el mismo m\u00f3dulo y direcci\u00f3n de n pero sentido opuesto."}, {"start": 675.08, "end": 682.0400000000001, "text": " Ahora nos olvidamos de n y vamos a realizar la suma entre m y menos n."}, {"start": 682.0400000000001, "end": 688.14, "text": " Podemos usar el m\u00e9todo del tri\u00e1ngulo, para lo cual trasladamos el vector menos n hasta"}, {"start": 688.14, "end": 693.24, "text": " que su origen haga contacto con el extremo de m."}, {"start": 693.24, "end": 701.5600000000001, "text": " Al unir el origen de m con el extremo de menos n obtenemos el vector suma m m\u00e1s menos n,"}, {"start": 701.5600000000001, "end": 710.64, "text": " que equivale a m menos n, destruyendo el par\u00e9ntesis y aplicando ley de los signos."}, {"start": 710.64, "end": 716.36, "text": " Tambi\u00e9n por el m\u00e9todo del paralelogramo podemos sumar los vectores m y menos n."}, {"start": 716.36, "end": 723.34, "text": " En este caso trasladamos el vector menos n hasta que su origen haga contacto con el origen"}, {"start": 723.34, "end": 724.34, "text": " de m."}, {"start": 724.34, "end": 732.76, "text": " Construimos el paralelogramo y trazamos la diagonal que es el vector suma m m\u00e1s menos"}, {"start": 732.76, "end": 760.68, "text": " n, es decir m menos n."}]