DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 22
#julioprofe explica cómo obtener la #derivada de una función, realizando previamente la transformación de la misma.

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 Vamos a derivar paso a paso esta función, pero antes realizaremos su transformación. En realidad es algo que vale la pena porque al tener una expresión más sencilla se nos facilita el proceso de derivación. Comenzamos transformando esa raíz. Recordemos que la raíz de índice n de una cantidad a a la m es igual a a elevada al exponente m sobre n. En este caso a es toda esta expresión, m es el exponente de toda esta expresión que sería 1 invisible y n es 4. Entonces vamos a transformar eso en una potencia con exponente fraccionario. Nos queda la función h de t igual al logaritmo en base 10 de toda esta expresión t al cuadrado menos 1 sobre t al cubo más 5 y todo eso elevado al exponente 1 cuarto aplicando esta propiedad. Ahora vamos con otra propiedad pero de los logaritmos. Aquí observamos el logaritmo de una potencia. Entonces recordemos que el logaritmo en una base a de una potencia por ejemplo b elevada al exponente k será igual a k por el logaritmo en la base a de esa cantidad b. El exponente baja a multiplicar. Entonces en este caso 1 cuarto vamos a trasladarlo a multiplicar acá delante del logaritmo. Entonces 1 cuarto por logaritmo en base 10 recordemos que este logaritmo cuando la base a es invisible quiere decir que es base 10 y acá tendremos la expresión t al cuadrado menos 1 todo esto sobre t al cubo más 5. De nuevo vamos a aplicar otra propiedad de los logaritmos. Aquí tenemos el logaritmo de un cociente. Vamos a recordar esa propiedad logaritmo en base a de un cociente por ejemplo m sobre n. Entonces eso será igual al logaritmo en base a de m menos logaritmo en base a de n. Entonces vamos a transformar ese logaritmo de un cociente como una resta de logaritmos. Nos queda 1 cuarto por vamos a abrir aquí un corchete nos queda entonces logaritmo en base 10 de la expresión del numerador t al cuadrado menos 1 y esto menos logaritmo en base 10 de la expresión que tenemos en el denominador t al cubo más 5 y de esa manera hemos transformado ese logaritmo de un cociente en una resta de logaritmos aplicando esta propiedad. Ahora sí cuando hemos transformado la función en una expresión ya mucho más sencilla donde bueno no podemos hacer nada más entonces es el momento de comenzar con el proceso de derivación. Vamos a empezar a obtener lo que es h' de t la derivada de la función h con respecto a la variable t. Entonces tenemos lo siguiente 1 cuarto es decir una constante que multiplica a toda esta expresión que contiene la variable t entonces ese número 1 cuarto se queda allí quieto acompañando a lo que sucede acá es decir con la derivación de todo esto. Aquí observamos una resta recordemos que debemos derivar cada uno de los componentes de esa resta y para derivar cada uno de ellos vamos a aplicar la derivada del logaritmo de una cantidad logaritmo en base a de manzanita entonces vamos a recordar cómo se deriva esto la derivada se construye de la siguiente manera es una fracción acá en el numerador tenemos la derivada de la manzanita la manzanita es esta expresión que tenemos allí acompañando el logaritmo es decir el argumento y acá en el denominador tenemos la manzanita por el logaritmo natural de a. Demos que el logaritmo natural es el que tiene la base e el número de euler entonces siguiendo esta propiedad vamos a comenzar con la derivada de esta expresión lanzamos la línea en el numerador tendremos la derivada de t al cuadrado menos 1 vamos a indicarla la ponemos de esta manera allí tendríamos la derivada de la manzanita y en el denominador lo que es la manzanita es decir t al cuadrado menos 1 y esto por el logaritmo natural de a es decir el logaritmo natural de 10 recordemos que este es el logaritmo pulgar o de Briggs que tiene la base 10 ahora todo esto nos queda menos la derivada de esta expresión que otra vez realizamos siguiendo esta instrucción en el numerador tendremos la derivada de la manzanita es decir la derivada de t al cubo más 5 vamos a indicarla y en el denominador tendremos la manzanita que es t al cubo más 5 por el logaritmo natural de a recordemos que aquí a es otra vez 10 es la base de ese logaritmo y cerramos el corchet. Continuamos entonces desarrollando esto nos queda h prima de t la derivada de la función h con respecto a t igual a 1 cuarto que multiplica con lo siguiente veamos acá en la primera expresión vamos a derivar el numerador otra vez tenemos una resta derivada de t al cuadrado nos da 2t y la derivada de este número es 0 entonces solamente nos queda 2t y en el denominador tendremos t al cuadrado menos 1 acompañado del logaritmo natural de 10 bien pasemos ahora a la otra expresión donde la derivada del numerador es la derivada de una suma derivamos entonces cada uno de sus términos derivada de t al cubo nos da 3t al cuadrado y la derivada de este número también es 0 por lo tanto nos queda solamente 3t al cuadrado en el denominador continúa t al cubo más 5 por logaritmo natural de 10 y vamos a cerrar aquí el corchet. Podemos decir que allí ya tenemos la derivada de esa función sin embargo vamos a transformar algebraicamente todo esto para llevarlo a una expresión más simple entonces tendremos h prima de t igual a 1 cuarto por aquí vamos a extraer factor común vemos que en el numerador está t y t al cuadrado allí podemos sacar t es decir la t de menor exponente y en el denominador aparece también logaritmo natural de 10 por lo tanto el factor común será t sobre logaritmo natural de 10 y todo esto queda multiplicando por lo siguiente en la primera expresión si quitamos esos dos componentes que salen nos queda 2 sobre t al cuadrado menos 1 esta expresión ya no necesita paréntesis porque ya quitamos logaritmo natural de 10 y en la otra nos queda en el numerador 3t y en el denominador t al cubo más 5 y cerramos el corchet. Vamos con el desarrollo del ejercicio tenemos por acá h prima de t igual a lo siguiente podemos multiplicar estas dos fracciones recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí en el numerador 1 por t nos queda t y en el denominador 4 por logaritmo natural de 10 entonces se deja así expresado y aquí vamos a resolver esa resta de fracciones con distinto denominador es decir fracciones heterogéneas vamos a aplicar el truco o la técnica de la carita feliz en el numerador tenemos esta expresión por esta entonces 2 que multiplica a t al cubo más 5 menos esto por esto es decir 3t que multiplica con t al cuadrado menos 1 y en el denominador el producto de estas dos cantidades o componentes nos queda t al cuadrado menos 1 que multiplica con t al cubo más 5 entonces repetimos allí se aplicó el truco o la técnica de la carita feliz vamos a recordarla estas dos cantidades van arriba esta también va arriba y estas dos van en la parte de abajo ese es el truco de la carita feliz continuamos con el desarrollo del ejercicio nos queda por aquí h' de t igual a t sobre 4 logaritmo natural de 10 y todo esto que multiplica a lo siguiente vamos a desarrollar lo que tenemos acá en el numerador vamos a aplicar la propiedad distributiva para romper esos paréntesis entonces tendremos lo siguiente 2 por t al cubo es 2t al cubo 2 por más 5 nos da más 10 luego tenemos menos 3t por t al cuadrado es menos 3t al cubo menos 3t por menos 1 nos da más 3t y en el denominador conservamos eso mismo dejamos ese producto indicado y cerramos el corchete ahora vamos a reducir términos semejantes acá en el numerador veamos entonces cómo nos queda esto h' de t igual a t sobre 4 por logaritmo natural de 10 y esto multiplica con lo siguiente revisamos en el numerador de esa expresión y vemos que los términos semejantes son estos dos los que contienen t al cubo la operación de ellos nos da menos t al cubo podemos comenzar mejor con un término positivo puede ser el 10 después más 3t y luego el resultado de esa operación que nos dio menos t al cubo allí nos queda el polinomio del numerador organizado en forma ascendente y en el denominador conservamos la misma expresión ese producto de binomios y cerramos el corchete para finalizar simplemente llevamos a este producto a una sola expresión para que nos quede entonces de manera compacta veamos entonces trazamos la línea principal de la fracción en el numerador tenemos el producto de t por este polinomio entonces lo dejamos así expresado más 3t menos t al cubo y en el denominador el producto de estas cantidades que también dejamos indicado 4 por logaritmo natural de 10 es lo que multiplica con t al cuadrado menos 1 y eso por t al cubo más 5 allí no podemos hacer nada más y de esta manera terminamos esta expresión es la respuesta es la forma más compacta o comprimida para la derivada de esa función
[{"start": 0.0, "end": 9.92, "text": " Vamos a derivar paso a paso esta funci\u00f3n, pero antes realizaremos su transformaci\u00f3n."}, {"start": 9.92, "end": 15.84, "text": " En realidad es algo que vale la pena porque al tener una expresi\u00f3n m\u00e1s sencilla se nos"}, {"start": 15.84, "end": 18.96, "text": " facilita el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 18.96, "end": 21.96, "text": " Comenzamos transformando esa ra\u00edz."}, {"start": 21.96, "end": 30.48, "text": " Recordemos que la ra\u00edz de \u00edndice n de una cantidad a a la m es igual a a elevada al"}, {"start": 30.48, "end": 33.32, "text": " exponente m sobre n."}, {"start": 33.32, "end": 39.88, "text": " En este caso a es toda esta expresi\u00f3n, m es el exponente de toda esta expresi\u00f3n que"}, {"start": 39.88, "end": 44.040000000000006, "text": " ser\u00eda 1 invisible y n es 4."}, {"start": 44.040000000000006, "end": 49.72, "text": " Entonces vamos a transformar eso en una potencia con exponente 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1 cuarto vamos a trasladarlo a multiplicar ac\u00e1 delante del logaritmo."}, {"start": 102.24, "end": 108.52, "text": " Entonces 1 cuarto por logaritmo en base 10 recordemos que este logaritmo cuando la base"}, {"start": 108.52, "end": 115.03999999999999, "text": " a es invisible quiere decir que es base 10 y ac\u00e1 tendremos la expresi\u00f3n t al cuadrado"}, {"start": 115.03999999999999, "end": 121.16, "text": " menos 1 todo esto sobre t al cubo m\u00e1s 5."}, {"start": 121.16, "end": 125.02, "text": " De nuevo vamos a aplicar otra propiedad de los logaritmos."}, {"start": 125.02, "end": 127.84, "text": " Aqu\u00ed tenemos el logaritmo de un cociente."}, {"start": 127.84, "end": 134.12, "text": " Vamos a recordar esa propiedad logaritmo en base a de un cociente por ejemplo m sobre"}, {"start": 134.12, "end": 135.8, "text": " n."}, {"start": 135.8, "end": 145.84, "text": " Entonces eso ser\u00e1 igual al logaritmo en base a de m menos logaritmo en base a de n."}, {"start": 145.84, "end": 153.16, "text": " Entonces vamos a transformar ese logaritmo de un cociente como una resta de logaritmos."}, {"start": 153.16, "end": 159.76, "text": " Nos queda 1 cuarto por vamos a abrir aqu\u00ed un corchete nos queda entonces logaritmo en"}, {"start": 159.76, "end": 167.4, "text": " base 10 de la expresi\u00f3n del numerador t al cuadrado menos 1 y esto menos logaritmo en"}, {"start": 167.4, "end": 174.76, "text": " base 10 de la expresi\u00f3n que tenemos en el denominador t al cubo m\u00e1s 5 y de esa manera"}, {"start": 174.76, "end": 181.32, "text": " hemos transformado ese logaritmo de un cociente en una resta de logaritmos aplicando esta"}, {"start": 181.32, "end": 182.68, "text": " propiedad."}, {"start": 182.68, "end": 188.76000000000002, "text": " Ahora s\u00ed cuando hemos transformado la funci\u00f3n en una expresi\u00f3n ya mucho m\u00e1s sencilla donde"}, {"start": 188.76000000000002, "end": 195.20000000000002, "text": " bueno no podemos hacer nada m\u00e1s entonces es el momento de comenzar con el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 195.20000000000002, "end": 202.48000000000002, "text": " Vamos a empezar a obtener lo que es h' de t la derivada de la funci\u00f3n h con respecto"}, {"start": 202.48000000000002, "end": 204.52, "text": " a la variable t."}, {"start": 204.52, "end": 209.12, "text": " Entonces tenemos lo siguiente 1 cuarto es decir una constante que multiplica a toda"}, {"start": 209.12, "end": 214.48000000000002, "text": " esta expresi\u00f3n que contiene la variable t entonces ese n\u00famero 1 cuarto se queda all\u00ed"}, {"start": 214.48000000000002, "end": 220.92000000000002, "text": " quieto acompa\u00f1ando a lo que sucede ac\u00e1 es decir con la derivaci\u00f3n de todo esto."}, {"start": 220.92000000000002, "end": 225.96, "text": " Aqu\u00ed observamos una resta recordemos que debemos derivar cada uno de los componentes de esa"}, {"start": 225.96, "end": 233.4, "text": " resta y para derivar cada uno de ellos vamos a aplicar la derivada del logaritmo de una"}, {"start": 233.4, "end": 239.88, "text": " cantidad logaritmo en base a de manzanita entonces vamos a recordar c\u00f3mo se deriva"}, {"start": 239.88, "end": 246.64000000000001, "text": " esto la derivada se construye de la siguiente manera es una fracci\u00f3n ac\u00e1 en el numerador"}, {"start": 246.64000000000001, "end": 253.48000000000002, "text": " tenemos la derivada de la manzanita la manzanita es esta expresi\u00f3n que tenemos all\u00ed acompa\u00f1ando"}, {"start": 253.48000000000002, "end": 258.84000000000003, "text": " el logaritmo es decir el argumento y ac\u00e1 en el denominador tenemos la manzanita por"}, {"start": 258.84000000000003, "end": 261.16, "text": " el logaritmo natural de a."}, {"start": 261.16, "end": 266.44, "text": " Demos que el logaritmo natural es el que tiene la base e el n\u00famero de euler entonces siguiendo"}, {"start": 266.44, "end": 273.16, "text": " esta propiedad vamos a comenzar con la 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decir la derivada de t al cubo m\u00e1s 5 vamos a indicarla y en el denominador"}, {"start": 318.88000000000005, "end": 327.36, "text": " tendremos la manzanita que es t al cubo m\u00e1s 5 por el logaritmo natural de a recordemos"}, {"start": 327.36, "end": 334.28000000000003, "text": " que aqu\u00ed a es otra vez 10 es la base de ese logaritmo y cerramos el corchet."}, {"start": 334.28, "end": 340.67999999999995, "text": " Continuamos entonces desarrollando esto nos queda h prima de t la derivada de la funci\u00f3n"}, {"start": 340.67999999999995, "end": 349.32, "text": " h con respecto a t igual a 1 cuarto que multiplica con lo siguiente veamos ac\u00e1 en la primera"}, {"start": 349.32, "end": 355.65999999999997, "text": " expresi\u00f3n vamos a derivar el numerador otra vez tenemos una resta derivada de t al cuadrado"}, {"start": 355.65999999999997, "end": 362.59999999999997, "text": " nos da 2t y la derivada de este n\u00famero es 0 entonces solamente nos queda 2t y en el"}, {"start": 362.6, "end": 368.8, "text": " denominador tendremos t al cuadrado menos 1 acompa\u00f1ado del logaritmo natural de 10"}, {"start": 368.8, "end": 375.28000000000003, "text": " bien pasemos ahora a la otra expresi\u00f3n donde la derivada del numerador es la derivada de"}, {"start": 375.28000000000003, "end": 381.86, "text": " una suma derivamos entonces cada uno de sus t\u00e9rminos derivada de t al cubo nos da 3t"}, {"start": 381.86, "end": 387.40000000000003, "text": " al cuadrado y la derivada de este n\u00famero tambi\u00e9n es 0 por lo tanto nos queda solamente"}, {"start": 387.4, "end": 394.28, "text": " 3t al cuadrado en el denominador contin\u00faa t al cubo m\u00e1s 5 por logaritmo natural de"}, {"start": 394.28, "end": 399.15999999999997, "text": " 10 y vamos a cerrar aqu\u00ed el corchet."}, {"start": 399.15999999999997, "end": 404.91999999999996, "text": " Podemos decir que all\u00ed ya tenemos la derivada de esa funci\u00f3n sin embargo vamos a transformar"}, {"start": 404.91999999999996, "end": 412.12, "text": " algebraicamente todo esto para llevarlo a una expresi\u00f3n m\u00e1s simple entonces tendremos"}, {"start": 412.12, "end": 422.24, "text": " h prima de t igual a 1 cuarto por aqu\u00ed vamos a extraer factor com\u00fan vemos que en el numerador"}, {"start": 422.24, "end": 428.28000000000003, "text": " est\u00e1 t y t al cuadrado all\u00ed podemos sacar t es decir la t de menor exponente y en el"}, {"start": 428.28000000000003, "end": 433.24, "text": " denominador aparece tambi\u00e9n logaritmo natural de 10 por lo tanto el factor com\u00fan ser\u00e1"}, {"start": 433.24, "end": 440.6, "text": " t sobre logaritmo natural de 10 y todo esto queda multiplicando por lo siguiente en la"}, {"start": 440.6, "end": 447.92, "text": " primera expresi\u00f3n si quitamos esos dos componentes que salen nos queda 2 sobre t al cuadrado menos"}, {"start": 447.92, "end": 454.16, "text": " 1 esta expresi\u00f3n ya no necesita par\u00e9ntesis porque ya quitamos logaritmo natural de 10"}, {"start": 454.16, "end": 462.92, "text": " y en la otra nos queda en el numerador 3t y en el denominador t al cubo m\u00e1s 5 y cerramos"}, {"start": 462.92, "end": 465.44, "text": " el corchet."}, {"start": 465.44, "end": 473.48, "text": " Vamos con el desarrollo del ejercicio tenemos por ac\u00e1 h prima de t igual a lo siguiente"}, {"start": 473.48, "end": 478.96, "text": " podemos multiplicar estas dos fracciones recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed y"}, {"start": 478.96, "end": 485.4, "text": " denominadores entre s\u00ed en el numerador 1 por t nos queda t y en el denominador 4 por"}, {"start": 485.4, "end": 492.88, "text": " logaritmo natural de 10 entonces se deja as\u00ed expresado y aqu\u00ed vamos a resolver esa resta"}, {"start": 492.88, "end": 498.92, "text": " de fracciones con distinto denominador es decir fracciones heterog\u00e9neas vamos a aplicar"}, {"start": 498.92, "end": 504.2, "text": " el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz en el numerador tenemos esta expresi\u00f3n por"}, {"start": 504.2, "end": 515.36, "text": " esta entonces 2 que multiplica a t al cubo m\u00e1s 5 menos esto por esto es decir 3t que"}, {"start": 515.36, "end": 522.64, "text": " multiplica con t al cuadrado menos 1 y en el denominador el producto de estas dos cantidades"}, {"start": 522.64, "end": 531.6800000000001, "text": " o componentes nos queda t al cuadrado menos 1 que multiplica con t al cubo m\u00e1s 5 entonces"}, {"start": 531.6800000000001, "end": 538.12, "text": " repetimos all\u00ed se aplic\u00f3 el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz vamos a recordarla estas"}, {"start": 538.12, "end": 543.6800000000001, "text": " dos cantidades van arriba esta tambi\u00e9n va arriba y estas dos van en la parte de abajo"}, {"start": 543.68, "end": 549.28, "text": " ese es el truco de la carita feliz continuamos con el desarrollo del ejercicio nos queda"}, {"start": 549.28, "end": 562.0, "text": " por aqu\u00ed h' de t igual a t sobre 4 logaritmo natural de 10 y todo esto que multiplica a"}, {"start": 562.0, "end": 569.4399999999999, "text": " lo siguiente vamos a desarrollar lo que tenemos ac\u00e1 en el numerador vamos a aplicar la propiedad"}, {"start": 569.44, "end": 576.9200000000001, "text": " distributiva para romper esos par\u00e9ntesis entonces tendremos lo siguiente 2 por t al"}, {"start": 576.9200000000001, "end": 585.7600000000001, "text": " cubo es 2t al cubo 2 por m\u00e1s 5 nos da m\u00e1s 10 luego tenemos menos 3t por t al cuadrado"}, {"start": 585.7600000000001, "end": 593.48, "text": " es menos 3t al cubo menos 3t por menos 1 nos da m\u00e1s 3t y en el denominador conservamos"}, {"start": 593.48, "end": 603.64, "text": " eso mismo dejamos ese producto indicado y cerramos el corchete ahora vamos a reducir"}, {"start": 603.64, "end": 612.0, "text": " t\u00e9rminos semejantes ac\u00e1 en el numerador veamos entonces c\u00f3mo nos queda esto h' de t igual"}, {"start": 612.0, "end": 622.54, "text": " a t sobre 4 por logaritmo natural de 10 y esto multiplica con lo siguiente revisamos"}, {"start": 622.54, "end": 629.0, "text": " en el numerador de esa expresi\u00f3n y vemos que los t\u00e9rminos semejantes son estos dos"}, {"start": 629.0, "end": 634.9599999999999, "text": " los que contienen t al cubo la operaci\u00f3n de ellos nos da menos t al cubo podemos comenzar"}, {"start": 634.9599999999999, "end": 642.68, "text": " mejor con un t\u00e9rmino positivo puede ser el 10 despu\u00e9s m\u00e1s 3t y luego el resultado de"}, {"start": 642.68, "end": 648.5799999999999, "text": " esa operaci\u00f3n que nos dio menos t al cubo all\u00ed nos queda el polinomio del numerador"}, {"start": 648.58, "end": 656.1600000000001, "text": " organizado en forma ascendente y en el denominador conservamos la misma expresi\u00f3n ese producto"}, {"start": 656.1600000000001, "end": 664.08, "text": " de binomios y cerramos el corchete para finalizar simplemente llevamos a este producto a una"}, {"start": 664.08, "end": 671.4000000000001, "text": " sola expresi\u00f3n para que nos quede entonces de manera compacta veamos entonces trazamos"}, {"start": 671.4000000000001, "end": 677.5600000000001, "text": " la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n en el numerador tenemos el producto de t por este"}, {"start": 677.56, "end": 686.88, "text": " polinomio entonces lo dejamos as\u00ed expresado m\u00e1s 3t menos t al cubo y en el denominador"}, {"start": 686.88, "end": 692.52, "text": " el producto de estas cantidades que tambi\u00e9n dejamos indicado 4 por logaritmo natural de"}, {"start": 692.52, "end": 700.8, "text": " 10 es lo que multiplica con t al cuadrado menos 1 y eso por t al cubo m\u00e1s 5 all\u00ed no"}, {"start": 700.8, "end": 708.68, "text": " podemos hacer nada m\u00e1s y de esta manera terminamos esta expresi\u00f3n es la respuesta es la forma"}, {"start": 708.68, "end": 737.8, "text": " m\u00e1s compacta o comprimida para la derivada de esa funci\u00f3n"}]