INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida.

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Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Para resolver esta integral definida, vamos a proceder en forma directa, puesto que tenemos dos términos que son fácilmente integrables. Entonces tenemos la integral de x al cubo nos da x a la 4 sobre 4, menos la integral de x a la 5 nos da x a la 6 sobre 6. Y todo esto evaluado entre menos 2 y 2. Ahora vamos a reemplazar el límite superior en la antiderivada que encontramos. Nos queda 2 a la 4 sobre 4, menos 2 a la 6 sobre 6. Allí hemos realizado el reemplazo del límite superior y todo esto menos el reemplazo del límite inferior en la expresión. Nos queda menos 2 a la 4 sobre 4, menos 2 a la 6 sobre 6. Y vamos a desarrollar las operaciones. Nos queda 2 a la 4 es 16, nos queda 16 cuartos. Por acá 2 a la 6 nos da 64, queda 64 sextos. Protejemos todo esto con el corchete. Menos, por acá menos 2 a la 4 nos da 16 positivo. Todo esto entre 4, menos, menos 2 a la 6 daría 64 positivo entre 6. Observamos que esto es exactamente igual a esto. Y como son términos o cantidades que se están restando entre sí, el resultado final será 0. Entonces tenemos que el resultado de esa integral definida es 0. Por lo tanto, en este ejercicio marcamos la opción C. Una propiedad que se cumple en las integrales definidas dice lo siguiente. Si f de x es una función impar, entonces la integral entre menos a y a de esa función f de x que es impar nos da como resultado 0. Es lo que sucede en este ejercicio. Esta función es impar. Vamos a mirar qué es el concepto de función impar dentro de un momento. Vemos también que menos a y a serían estos números menos 2 y 2. Son números opuestos. Entonces el resultado de toda esa integral nos da 0. Que fue lo que obtuvimos como resultado para ese ejercicio. Decimos que una función f de x es impar si se cumple que f de menos x es igual a menos f de x. Entonces vamos a verificar que esta función cumple esta condición. Tenemos f de x igual a x al cubo menos x a la 5. Vamos a desaparecer la x dejando el paréntesis en blanco y vamos a llenar con menos x para calcular f de menos x. Veamos, nos queda entonces aquí, menos x al cubo nos da menos x cubo. Recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar nos da como resultado una cantidad negativa. Aquí, menos x elevado a la 5 nos daría también menos x a la 5. Entonces esto nos queda así. Destruyendo el paréntesis nos queda menos x al cubo más x a la 5. Si vamos por acá nos queda entonces que f de menos x es igual a, podemos sacar aquí factor común el signo negativo. Entonces tendríamos menos paréntesis x al cubo menos x a la 5. Y esto que tenemos aquí es la función original. Por lo tanto hemos llegado a que f de menos x es igual a menos f de x. Simplemente sustituimos esto por f de x porque así lo dice la función original. Entonces como se está cumpliendo esta condición concluimos que la función x al cubo menos x a la 5 es impar. Entonces ya teniendo claridad o la plena seguridad de que esta función es impar y como aquí los números que tenemos en los límites de integración son números opuestos, decir menos 2 y 2, decimos que esta integral es igual a 0. Se está cumpliendo la propiedad que enunciábamos hace un momento.
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