Ejercicio 4 de CIRCUNFERENCIA
#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4,-1) y es tangente a la recta 3x+2y-12=0.

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 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (-4,-1), y es tangente a la recta 3x más 2y menos 12 igual a cero. Bien, para resolver este problema dibujamos una circunferencia y también la recta tangente, es decir, la recta que solamente hace contacto en un punto de la circunferencia. Vamos a marcar por aquí el centro de la circunferencia, ese centro tiene las coordenadas (-4,-1), es la información que nos dan, y la recta tangente que también nos dan tiene por ecuación 3x más 2y menos 12 igual a cero. El problema nos pide encontrar la ecuación de la circunferencia, entonces eso nos hace pensar en este modelo, x menos h al cuadrado más y menos k al cuadrado igual a r al cuadrado. h y k son las coordenadas del centro, que ya lo conocemos, h es menos 4 y k es menos 1, sin embargo nos queda faltando r, o sea el radio de la circunferencia. En ese caso podríamos unir el centro con este punto, el segmento que une esos dos puntos, este se conoce como el punto de tangencia, es decir, el punto donde la recta tangente hace contacto con la circunferencia. Ese segmento constituye el radio de dicha circunferencia. Bien, aquí tenemos el segmento dibujado, lo llamamos r, por tratarse del radio de la circunferencia. Y también se observa que el radio es perpendicular a la tangente en ese punto de tangencia, es una propiedad que se cumple, siempre el radio y la tangente forman 90 grados entre sí en el punto de tangencia o punto de contacto. Para encontrar la medida de ese radio vamos a utilizar un concepto de la geometría analítica que se llama distancia de un punto a una recta, veamos en que consiste. Si tenemos un punto de coordenadas x1,y1 y una recta escrita en la forma implícita o general, es decir, la forma ax más by más c igual a cero, entonces la distancia de este punto a esa recta será la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta. Aquí tenemos 90 grados y entonces esa distancia que se denota con la letra d se obtiene mediante esta formula. La formula dice lo siguiente, valor absoluto de a por x1 más b por y1 más c, es decir, que evaluamos el punto que nos dan en la ecuación de la recta, en la expresión que tenemos a la izquierda del signo igual y todo eso se divide entre la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado. a y b son los coeficientes de x y y en la ecuación de la recta. Entonces vamos a aplicar esta definición, este concepto de la geometría analítica para encontrar el radio de esta circunferencia que aquí sería la distancia del centro, o sea desde este punto hasta esta recta que nos dan. Para este caso tenemos que x1 y y1 son estos dos valores, las coordenadas del centro, x1 es menos cuatro y y1 vale menos uno. Y tenemos que la ecuación de la recta tangente ya está expresada en la forma implícita o general, la forma ax más by más c igual a cero. Entonces podemos proceder a aplicar esta fórmula. Tenemos entonces que la distancia que es el radio será igual a, dice a por x1 es decir tres por x1 que es menos cuatro, luego sigue más b por y1, b en este caso sería más dos y eso por y1 que es menos uno, luego más c, c en este caso es menos doce, allí tenemos esta expresión evaluada en estos dos valores y todo esto sobre la raíz cuadrada de a al cuadrado, a es tres, entonces tres al cuadrado más b al cuadrado, b observamos que vale dos, entonces tenemos dos al cuadrado y todo esto lo protegemos con valor absoluto. La razón de ser de ese valor absoluto es para garantizar que la distancia obtenida sea siempre positiva. Bien, enseguida nos dedicamos a resolver estas operaciones, tenemos que r es igual a tres por menos cuatro que es menos doce, dos por menos uno es menos dos y escribimos menos doce, todo esto sobre la raíz cuadrada de tres al cuadrado que es nueve más dos al cuadrado que es cuatro y todo esto dentro de valor absoluto. Vamos a seguir por acá, resolvemos en la parte de arriba, menos doce menos dos es menos catorce con menos doce nos da menos veintiséis y en el denominador tenemos la raíz cuadrada de nueve más cuatro que es igual a trece y todo esto con valor absoluto. Allí tenemos que r es igual a veintiséis sobre la raíz cuadrada de trece, aplicamos el valor absoluto y esta cantidad que está negativa entonces sale positiva. Allí podemos utilizar también la racionalización para eliminar esta raíz cuadrada que tenemos en el denominador, entonces vamos a multiplicar por la raíz cuadrada de trece y al mismo tiempo dividimos por raíz cuadrada de trece. Multiplicamos y dividimos por raíz de trece para conservar la expresión original y tendremos lo siguiente, arriba veintiséis por raíz de trece entonces se deja así expresado y en el denominador tenemos raíz de trece por raíz de trece, eso nos da raíz de trece elevado al cuadrado y a su vez eso se convierte en trece, el cuadrado destruye la raíz cuadrada y deja libre el número trece y allí podemos simplificar estos dos números, decimos treceava de trece que es uno, treceava de veintiséis es dos. Y obtenemos para el radio el valor dos raíz cuadrada de trece, esa será entonces la medida de este segmento, vamos a escribirlo por acá, el radio de esta circunferencia es dos raíz de trece unidades y es la distancia de este punto a esta recta que nos da. Como decíamos ahora ya se tiene el centro de la circunferencia y se conoce el radio entonces ya podemos usar el modelo x menos h al cuadrado más y menos k al cuadrado igual al radio elevado al cuadrado, que es el modelo para la ecuación de una circunferencia con centro hk y radio r, habíamos dicho que h es menos cuatro y k vale menos uno, entonces vamos a reemplazar esta información en este modelo, tendremos x menos h pero h es menos cuatro entonces aquí nos queda de una vez x más cuatro al cuadrado, como h es negativo entonces aquí nos queda con signo positivo más y menos k pero k es menos uno entonces se convierte en más uno, la misma situación que teníamos acá y esto es igual al radio que es dos raíz de trece y eso elevado al cuadrado, entonces vamos a desarrollar principalmente lo que tenemos en el lado derecho, esto lo dejamos igual y acá tenemos lo siguiente, el cuadrado afecta el dos y afecta a raíz cuadrada de trece, eso sucede porque aquí hay multiplicación entonces dos al cuadrado será cuatro y raíz cuadrada de trece al cuadrado nos da trece, entonces tenemos cuatro por trece que es cincuenta y dos y de esta manera tenemos ya la respuesta a este ejercicio, esta es la ecuación de la circunferencia que nos pedían escrita en la forma canónica o forma estándar, la que corresponde al modelo que veíamos ahora para circunferencia con centro hk y radio r, otra manera de presentar la respuesta es de la forma general que consiste en desarrollar estos binomios elevados al cuadrado, vamos a hacerlo también para dar la respuesta de la otra manera, desarrollamos este primer binomio al cuadrado, tenemos el primer termino al cuadrado, x al cuadrado más dos veces el primer termino por el segundo, entonces dos por x por cuatro que nos da ocho x más el segundo termino al cuadrado, o sea cuatro al cuadrado que es dieciséis, allí hemos desarrollado este primer binomio al cuadrado más vamos con el siguiente, el primer termino al cuadrado será y al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, o sea dos por y por uno que es dos y más el segundo termino al cuadrado que sería uno, uno al cuadrado y de una vez vamos a pasar este número al otro lado, entonces nos llega como menos cincuenta y dos, llega negativo y todo esto queda igualado a cero, de allí vamos a organizar la ecuación de la siguiente manera, arrancamos con x al cuadrado, luego seguimos con más y al cuadrado, después con más ocho x, después tenemos más dos y y finalmente operamos los términos independientes, tenemos dieciséis más uno que es diecisiete y diecisiete menos cincuenta y dos nos da menos treinta y cinco, y esto queda igualado a cero, y con esto llegamos a la otra respuesta, entonces como decíamos, forma estándar o forma canónica y forma general de esta circunferencia que nos estaban pidiendo, que tiene centro en este punto y que es tangente a esta recta que nos dan.
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