Ejercicio 2 de PARÁBOLA
#julioprofe explica cómo hallar las coordenadas del vértice y del foco de una parábola vertical cuya ecuación general se conoce.

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 Tenemos en este caso la ecuación de una parábola y para ella vamos a determinar las coordenadas de su vértice y también de su foco. Para ser más precisos se trata de una parábola vertical porque es la letra x la que se encuentra elevada al cuadrado. Entonces esta ecuación debemos conducirla al modelo x menos h al cuadrado igual a más o menos 4p por y menos k. Este es el modelo correspondiente a una parábola vertical. Se trabaja con el signo más si la parábola abre sus ramas hacia arriba y con el signo menos si abre sus ramas hacia abajo. En este caso h y k son las coordenadas del vértice y p es la distancia que existe entre el vértice y el foco. Entonces para llevar esta ecuación al modelo que habíamos presentado vamos a hacer lo siguiente. Comenzamos por dejar en el lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen la x. Entonces se queda 2x al cuadrado más 8x y pasamos estos términos al otro lado. Nos queda igual a y menos 8. Y está negativa llega con signo positivo y 8 que está con signo positivo llega al lado derecho con signo negativo. Ahora en el lado izquierdo necesitamos que este término que contiene x al cuadrado nos quede con coeficiente 1. Para ello vamos a dividir ambos lados de la igualdad por 2. Si este término se divide por 2 nos queda x al cuadrado ya tiene coeficiente 1. Si este término lo dividimos por 2 nos queda más 4x. Al otro lado de la igualdad y dividido entre 2 nos queda como y medios y esto menos 8 dividido entre 2 que nos da 4. Enseguida vamos a realizar lo que se llama la completación del trinomio cuadrado perfecto en el lado izquierdo. Entonces volvemos a escribir esos dos términos x al cuadrado más 4x dejamos un espacio y escribimos lo del lado derecho. Entonces acá en el lado izquierdo como decíamos aquí ya hay coeficiente 1 entonces nos concentramos en el segundo término. A este coeficiente es decir a este número que acompaña la x vamos a extraerle la mitad. La mitad de 4 nos da 2 y ahora este número se debe elevar al cuadrado. Si 2 se eleva al cuadrado nos da como resultado 4. Ese 4 se agrega en el lado izquierdo y para mantener el equilibrio de la igualdad también se agrega en el lado derecho. De esta forma conseguimos en el lado izquierdo lo que se llama un trinomio cuadrado perfecto. Es decir una expresión que podemos factorizar y que nos va a dar como resultado un binomio elevado al cuadrado. Ese binomio se construye de la siguiente manera extraemos la raíz cuadrada del primer término que es x la raíz cuadrada del último término es decir del tercero que será 2 y en la mitad escribimos el signo que trae el segundo término es decir signo más. Entonces x más 2 todo eso elevado al cuadrado es la factorización de este trinomio cuadrado perfecto. En el lado derecho tenemos lo siguiente menos 4 y más 4 se eliminan entre sí son términos opuestos entonces nos queda y medios que se puede escribir como un medio de y. Así hemos llegado al modelo que distingue la parábola vertical el que habíamos mencionado al principio x menos h al cuadrado igual a más o menos 4p por y menos k. Como se observa en este caso tenemos signo positivo después del igual entonces acá ya podemos descartar este signo menos y sabemos con exactitud que se trata de una parábola vertical que abre sus ramas hacia arriba. Si hacemos la confrontación de cada uno de los elementos de esta ecuación y su modelo entonces tenemos lo siguiente el término menos h lo podemos igualar con más 2 es decir lo que aquí está después de la x en el modelo lo igualamos a lo que tenemos después de la x en la ecuación obtenida aquí multiplicamos por menos 1 ambos lados de la igualdad allá nos queda h positivo y en el lado derecho nos queda más 2 por menos 1 que es menos 2. Ahora el término menos k lo tenemos que igualar con lo que haya después de la y esta letra y la podríamos escribir también como y menos 0 esto sigue siendo y entonces decimos que menos k es igual a menos 0 haciendo la confrontación esto se multiplica por menos 1 a ambos lados en el lado izquierdo nos queda k y en el lado derecho 0 por menos 1 sigue siendo 0 recordemos que 0 no tiene signo y de esta manera ya tenemos la pareja hk que constituye el vértice de la parábola será la pareja menos 2,0 esto es h y 0 es k anotamos por acá el resultado obtenido y a continuación debemos determinar cuánto vale p para ello igualamos 4p es decir lo que tenemos a la izquierda de este paréntesis con lo que nos dio acá en la ecuación obtenida es decir con un medio de allí vamos a realizar el despeje de p podemos dividir ambos lados de la igualdad entre 4 nos queda 4p sobre 4 y en el lado derecho tenemos la fracción un medio que se divide entre 4 pero a este 4 le completamos con denominador 1 en el lado izquierdo de la igualdad estos dos números se cancelan o se eliminan y nos queda entonces p mientras que en el lado derecho podemos aplicar la ley de la oreja para efectuar esa división de fracciones en la parte de arriba tenemos 1 por 1 que nos da 1 y en la parte de abajo 2 por 4 que nos da 8 entonces el valor de p es 1 octavo sin necesidad de graficar con exactitud esa parábola en el plano cartesiano es posible determinar las coordenadas del foco de la siguiente manera esta ecuación dijimos que corresponde a una parábola vertical que abre sus ramas hacia arriba por acá tenemos el vértice y recordemos que por ese punto pasa una línea vertical que corresponde al eje de simetría de la parábola y sobre esa recta vamos a tener el foco en el interior de la parábola recordemos que p es la distancia que existe entre el vértice y el foco también será la distancia que hay entre el vértice y la directriz en este caso la directriz será una recta horizontal que pasa más o menos por acá y que es perpendicular al eje de simetría de la parábola entonces repetimos p es la distancia que hay desde el vértice hasta el foco esto es p y también la distancia que hay desde el vértice hasta el punto de corte de la directriz con el eje de simetría por lo tanto para encontrar las coordenadas del foco pasa lo siguiente como el foco y el vértice se encuentran en la misma vertical entonces la coordenada en x no se afecta sigue siendo menos 2 y como el foco está arriba del vértice a una distancia p lo que hacemos es a la ordenada del vértice sumarle el valor de p es decir que a cero le sumamos un octavo y eso nos da como resultado un octavo entonces menos 2,1 octavo serán las coordenadas del foco de esa parábola y así hemos terminado este ejercicio estas coordenadas constituyen la respuesta
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