DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo obtener el cociente de las dos primeras derivadas parciales de una función que depende de dos variables.

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 Tenemos en este caso una función z que depende de dos variables x y y. Nos piden encontrar este cociente de derivadas parciales. La derivada parcial de la función z con respecto de la variable x sobre la derivada parcial de esa función z con respecto de la variable y. Comenzamos determinando zx, es decir, la derivada parcial de la función z con respecto de la variable x. En este caso la otra letra, es decir, la otra variable independiente en la función que es la letra y, se va a comportar como una constante. Bien, miramos esta función y vemos que aquí hay un producto. Tenemos acá un componente donde está la x acompañada de la letra que es constante, o sea la y, y acá otro componente donde tenemos coseno de esas dos letras, la x, que es la variable que nos interesa y la y que como decimos se va a comportar como constante. Entonces allí observamos un producto. Vamos a recordar cómo se deriva un producto de expresiones. La derivada de a por b es igual a la derivada de a por b sin derivar más a sin derivar por la derivada de b. Es la regla del producto para la derivación. Entonces, en este caso, x a la 5 por y a la 10 hace el papel de a y coseno de x y cuadrado hace el papel de b. Vamos entonces a seguir esta instrucción. Comenzamos con a' la derivada parcial de este primer componente con respecto de la variable x. Recordemos y se comporta como constante. Entonces aquí debemos asegurar primero aquello que es constante, que sería y a la 10. Pasamos a derivar entonces x a la 5. La derivada de x a la 5 es 5x a la 4. Allí tenemos entonces el componente a'. Esto va multiplicado por b, es decir, el segundo componente sin derivar que es coseno de x y al cuadrado. Después tenemos más. El primer componente sin derivar, es decir, a que es x a la 5 por y a la 10 y esto multiplicado por la derivada del segundo componente. Allí tenemos el coseno de una expresión. Entonces, para derivar eso, recordemos que el modelo dice así. Derivada del coseno de la manzanita es igual a menos el seno de la manzanita por la derivada interna, es decir, por la derivada de la manzanita, la derivada del ángulo que corresponde a la función coseno. Entonces, siguiendo esta instrucción, tendremos lo siguiente. Abrimos un corchete para proteger lo que sigue porque empieza con signo negativo. Tenemos menos el seno de la manzanita. Aquí la manzanita es x y al cuadrado y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, la derivada de x y al cuadrado, pero con respecto a la variable x. Recordemos, y se comporta como constante. Entonces, aseguramos el componente constante que es y al cuadrado y procedemos a derivar la x. En este caso la derivada de x es 1. Esto representa la derivada de la manzanita. Y cerramos el corchete. Enseguida vamos a organizar esa expresión. Nos queda que zx es igual a, aquí en el primer término podemos acomodar eso como 5x a la 4, y a la 10 y eso multiplicado por coseno de x y al cuadrado. Pasamos al otro término donde podemos aplicar ley de los signos. Más por menos es menos y revisamos qué letras se puede multiplicar. Bueno, la x a la 5 está sola, no hay otra x por acá libre. Tenemos y a la 10 por y a la 2 que será y a la 12. En ese caso conservamos la base y sumamos los exponentes y esto queda acompañado de seno de x y al cuadrado. Ahora, allí lo que podemos hacer es sacar factor común. En este caso de estas letras que se repiten nos va a quedar zx igual a lo siguiente. Traemos de x y y las que tienen menor exponente. Si acá tenemos x a la 4 y x a la 5 sale x a la 4 y si tenemos y a la 10 y acá y a la 12 sale entonces y a la 10. Ese será el factor común. Entonces, dentro del corchete nos va a quedar lo siguiente. En el primer término 5 por coseno de x y al cuadrado y en el otro término nos va a quedar lo siguiente. Si teníamos x a la 5 y sale x a la 4 nos queda x. Si teníamos y a la 12 y sale y a la 10 nos queda y al cuadrado y es acompañado del seno de x y al cuadrado. Cerramos el paréntesis y cerramos el corchete. Esta expresión para zx la anotamos por acá y a continuación vamos a determinar zy, es decir, la derivada parcial de la función z con respecto de la variable y. En ese caso la x se va a comportar como constante. De nuevo aplicamos la regla del producto. Este componente es a y este es b, tal como en la situación anterior. Comenzamos entonces con a', la derivada del primer componente pero en relación con la variable y. Aseguramos entonces x a la 5 que es la parte constante y procedemos a derivar y a la 10. Su derivada es 10 y a la 9. Allí tenemos entonces a'. Esto va multiplicado por b que es cos x y al cuadrado, es decir, el segundo componente sin derivar. Luego tenemos más a, es decir, el primer componente sin derivar que es x a la 5 por y a la 10 y esto multiplicado por b'. La derivada del segundo componente. Nuevamente seguimos la instrucción que vimos para la derivada de la función cos. Eso será entonces menos seno de la manzanita seno de x y al cuadrado y eso multiplicado por la derivada de la manzanita. La derivada de esta expresión pero en relación con la variable y. Entonces aseguramos la x que es la parte constante y nos concentramos en derivar y al cuadrado. La derivada de y a la 2 o y al cuadrado será 2y. Esto representa entonces la derivada de este ángulo, es decir, la derivada de la manzanita y cerramos el corchete. A continuación vamos a organizar esa expresión. Nos queda que zy es igual a lo siguiente. Acá en el primer término organizamos esto como 10x a la 5 y a la 9 y eso acompañado del cos x y al cuadrado. Vamos al segundo término aplicamos la ley de los signos, más por menos nos da menos. Por acá tenemos un número 2 que podemos escribir al inicio. Luego tenemos x a la 5 por x, es decir, por x a la 1. Allí conservamos la base que es x y sumamos los exponentes. Nos queda exponente 6 y también tenemos y a la 10 por y a la 1. En ese caso conservamos la base, sumamos exponentes y nos queda entonces y a la 11 y eso nos queda acompañado del seno de x y al cuadrado. Enseguida vamos a extraer también aquí factor común de estas letras que se repiten. También tenemos para 10 y 2 el factor común que será el 2, es decir, el máximo común divisor de esos dos números. Entonces zy nos va a quedar de la siguiente forma. Sale el 2 como dijimos, es el que se puede extraer para 10 y 2 y con las letras que se repiten, tal como vimos ahora salen aquellas con su menor exponente de x a la 5 y x a la 6 sale x a la 5, de y a la 9 y y a la 11 sale y a la 9. Nos queda entonces lo siguiente, en el primer término tendremos que si sale aquí del 10 el 2 nos queda el factor 5. Esto salió, esto salió, de x a la 5 y a la 9 nos queda entonces coseno de x y al cuadrado y vamos al segundo término donde tenemos menos, este 2 salió de x a la 6 salió x a la 5 nos queda x, de y a la 11 salió y a la 9 nos queda y al cuadrado y eso acompañado del seno de x y al cuadrado. Cerramos el paréntesis y cerramos el corchete. Esto que obtuvimos para zy lo escribimos por acá y ahora si vamos a determinar lo que nos piden, el cosiente zx sobre zy. Entonces acá en la parte superior escribimos esto que obtuvimos para zx que fue x a la 4 y a la 10 acompañado de entre corchetes 5 coseno de x y al cuadrado luego menos x y al cuadrado por seno de entre paréntesis x y al cuadrado y cerramos el corchete. Ahora acá en el denominador escribimos la expresión que obtuvimos para zy que fue 2x a la 5 y a la 9 y eso acompañado de todo esto que se encuentra entre los corchetes que es 5 coseno de x y al cuadrado luego tenemos menos x y al cuadrado por seno de x y al cuadrado. Cerramos paréntesis y cerramos el corchete. Lo que observamos allí es que todo esto que se encuentra encerrado por los corchetes se encuentra multiplicando en el numerador y también en el denominador por lo tanto podemos simplificar toda esa expresión y ahora nos concentramos en esto que pasa con las letras x y nos va a quedar entonces lo siguiente por acá tenemos x a la 4 y acá x a la 5 si dividimos arriba y abajo por x a la 4 nos va a quedar entonces por acá una x por acá tenemos ya la 10 y acá ya la 9 si dividimos arriba y abajo por ya la 9 nos va a quedar en la parte superior una y entonces al final lo que nos va a quedar en esa expresión será y en el numerador y en el denominador 2 por x es decir 2x y esta será entonces la respuesta para el ejercicio y sobre 2x es el resultado de este cociente de derivadas parciales.
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All\u00ed tenemos el coseno de una expresi\u00f3n. Entonces,"}, {"start": 149.56, "end": 156.64000000000001, "text": " para derivar eso, recordemos que el modelo dice as\u00ed. Derivada del coseno de la manzanita"}, {"start": 156.64000000000001, "end": 164.84, "text": " es igual a menos el seno de la manzanita por la derivada interna, es decir, por la derivada"}, {"start": 164.84, "end": 171.08, "text": " de la manzanita, la derivada del \u00e1ngulo que corresponde a la funci\u00f3n coseno. Entonces,"}, {"start": 171.08, "end": 177.72, "text": " siguiendo esta instrucci\u00f3n, tendremos lo siguiente. Abrimos un corchete para proteger lo que sigue"}, {"start": 177.72, "end": 184.64000000000001, "text": " porque empieza con signo negativo. Tenemos menos el seno de la manzanita. Aqu\u00ed la manzanita"}, {"start": 184.64000000000001, "end": 191.68, "text": " es x y al cuadrado y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, la derivada de"}, {"start": 191.68, "end": 198.92000000000002, "text": " x y al cuadrado, pero con respecto a la variable x. Recordemos, y se comporta como constante."}, {"start": 198.92000000000002, "end": 204.76000000000002, "text": " Entonces, aseguramos el componente constante que es y al cuadrado y procedemos a derivar"}, {"start": 204.76000000000002, "end": 212.76000000000002, "text": " la x. En este caso la derivada de x es 1. Esto representa la derivada de la manzanita."}, {"start": 212.76000000000002, "end": 220.74, "text": " Y cerramos el corchete. Enseguida vamos a organizar esa expresi\u00f3n. Nos queda que zx"}, {"start": 220.74, "end": 229.26000000000002, "text": " es igual a, aqu\u00ed en el primer t\u00e9rmino podemos acomodar eso como 5x a la 4, y a la 10 y eso"}, {"start": 229.26000000000002, "end": 236.96, "text": " multiplicado por coseno de x y al cuadrado. Pasamos al otro t\u00e9rmino donde podemos aplicar"}, {"start": 236.96, "end": 243.4, "text": " ley de los signos. M\u00e1s por menos es menos y revisamos qu\u00e9 letras se puede multiplicar."}, {"start": 243.4, "end": 249.26000000000002, "text": " Bueno, la x a la 5 est\u00e1 sola, no hay otra x por ac\u00e1 libre. Tenemos y a la 10 por y"}, {"start": 249.26, "end": 256.9, "text": " a la 2 que ser\u00e1 y a la 12. En ese caso conservamos la base y sumamos los exponentes y esto queda"}, {"start": 256.9, "end": 265.03999999999996, "text": " acompa\u00f1ado de seno de x y al cuadrado. Ahora, all\u00ed lo que podemos hacer es sacar factor"}, {"start": 265.03999999999996, "end": 272.88, "text": " com\u00fan. En este caso de estas letras que se repiten nos va a quedar zx igual a lo siguiente."}, {"start": 272.88, "end": 280.24, "text": " Traemos de x y y las que tienen menor exponente. Si ac\u00e1 tenemos x a la 4 y x a la 5 sale x"}, {"start": 280.24, "end": 287.68, "text": " a la 4 y si tenemos y a la 10 y ac\u00e1 y a la 12 sale entonces y a la 10. Ese ser\u00e1 el factor"}, {"start": 287.68, "end": 293.68, "text": " com\u00fan. Entonces, dentro del corchete nos va a quedar lo siguiente. En el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 293.68, "end": 302.66, "text": " 5 por coseno de x y al cuadrado y en el otro t\u00e9rmino nos va a quedar lo siguiente. Si"}, {"start": 302.66, "end": 309.64, "text": " ten\u00edamos x a la 5 y sale x a la 4 nos queda x. Si ten\u00edamos y a la 12 y sale y a la 10"}, {"start": 309.64, "end": 317.64, "text": " nos queda y al cuadrado y es acompa\u00f1ado del seno de x y al cuadrado. Cerramos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 317.64, "end": 324.71999999999997, "text": " y cerramos el corchete. Esta expresi\u00f3n para zx la anotamos por ac\u00e1 y a continuaci\u00f3n"}, {"start": 324.71999999999997, "end": 333.2, "text": " vamos a determinar zy, es decir, la derivada parcial de la funci\u00f3n z con respecto de la"}, {"start": 333.2, "end": 340.91999999999996, "text": " variable y. En ese caso la x se va a comportar como constante. De nuevo aplicamos la regla"}, {"start": 340.92, "end": 347.72, "text": " del producto. Este componente es a y este es b, tal como en la situaci\u00f3n anterior."}, {"start": 347.72, "end": 353.04, "text": " Comenzamos entonces con a', la derivada del primer componente pero en relaci\u00f3n con la"}, {"start": 353.04, "end": 360.36, "text": " variable y. Aseguramos entonces x a la 5 que es la parte constante y procedemos a derivar"}, {"start": 360.36, "end": 368.48, "text": " y a la 10. Su derivada es 10 y a la 9. All\u00ed tenemos entonces a'. Esto va multiplicado"}, {"start": 368.48, "end": 376.84000000000003, "text": " por b que es cos x y al cuadrado, es decir, el segundo componente sin derivar. Luego tenemos"}, {"start": 376.84000000000003, "end": 383.96000000000004, "text": " m\u00e1s a, es decir, el primer componente sin derivar que es x a la 5 por y a la 10 y esto"}, {"start": 383.96000000000004, "end": 389.92, "text": " multiplicado por b'. La derivada del segundo componente. Nuevamente seguimos la instrucci\u00f3n"}, {"start": 389.92, "end": 397.40000000000003, "text": " que vimos para la derivada de la funci\u00f3n cos. Eso ser\u00e1 entonces menos seno de la manzanita"}, {"start": 397.4, "end": 404.64, "text": " seno de x y al cuadrado y eso multiplicado por la derivada de la manzanita. La derivada"}, {"start": 404.64, "end": 411.12, "text": " de esta expresi\u00f3n pero en relaci\u00f3n con la variable y. Entonces aseguramos la x que es"}, {"start": 411.12, "end": 417.12, "text": " la parte constante y nos concentramos en derivar y al cuadrado. La derivada de y a la 2 o"}, {"start": 417.12, "end": 424.03999999999996, "text": " y al cuadrado ser\u00e1 2y. Esto representa entonces la derivada de este \u00e1ngulo, es decir, la"}, {"start": 424.04, "end": 431.76000000000005, "text": " derivada de la manzanita y cerramos el corchete. A continuaci\u00f3n vamos a organizar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 431.76000000000005, "end": 438.04, "text": " Nos queda que zy es igual a lo siguiente. Ac\u00e1 en el primer t\u00e9rmino organizamos esto"}, {"start": 438.04, "end": 448.32000000000005, "text": " como 10x a la 5 y a la 9 y eso acompa\u00f1ado del cos x y al cuadrado. Vamos al segundo"}, {"start": 448.32, "end": 454.24, "text": " t\u00e9rmino aplicamos la ley de los signos, m\u00e1s por menos nos da menos. Por ac\u00e1 tenemos un"}, {"start": 454.24, "end": 461.12, "text": " n\u00famero 2 que podemos escribir al inicio. Luego tenemos x a la 5 por x, es decir, por"}, {"start": 461.12, "end": 467.96, "text": " x a la 1. All\u00ed conservamos la base que es x y sumamos los exponentes. Nos queda exponente"}, {"start": 467.96, "end": 475.88, "text": " 6 y tambi\u00e9n tenemos y a la 10 por y a la 1. En ese caso conservamos la base, sumamos exponentes"}, {"start": 475.88, "end": 484.8, "text": " y nos queda entonces y a la 11 y eso nos queda acompa\u00f1ado del seno de x y al cuadrado. Enseguida"}, {"start": 484.8, "end": 490.88, "text": " vamos a extraer tambi\u00e9n aqu\u00ed factor com\u00fan de estas letras que se repiten. Tambi\u00e9n tenemos"}, {"start": 490.88, "end": 497.18, "text": " para 10 y 2 el factor com\u00fan que ser\u00e1 el 2, es decir, el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de esos"}, {"start": 497.18, "end": 504.32, "text": " dos n\u00fameros. Entonces zy nos va a quedar de la siguiente forma. Sale el 2 como dijimos,"}, {"start": 504.32, "end": 509.88, "text": " es el que se puede extraer para 10 y 2 y con las letras que se repiten, tal como vimos"}, {"start": 509.88, "end": 518.1, "text": " ahora salen aquellas con su menor exponente de x a la 5 y x a la 6 sale x a la 5, de y"}, {"start": 518.1, "end": 525.7, "text": " a la 9 y y a la 11 sale y a la 9. Nos queda entonces lo siguiente, en el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 525.7, "end": 532.8199999999999, "text": " tendremos que si sale aqu\u00ed del 10 el 2 nos queda el factor 5. Esto sali\u00f3, esto sali\u00f3,"}, {"start": 532.82, "end": 540.6, "text": " de x a la 5 y a la 9 nos queda entonces coseno de x y al cuadrado y vamos al segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 540.6, "end": 548.08, "text": " donde tenemos menos, este 2 sali\u00f3 de x a la 6 sali\u00f3 x a la 5 nos queda x, de y a la 11"}, {"start": 548.08, "end": 556.48, "text": " sali\u00f3 y a la 9 nos queda y al cuadrado y eso acompa\u00f1ado del seno de x y al cuadrado. Cerramos"}, {"start": 556.48, "end": 563.9, "text": " el par\u00e9ntesis y cerramos el corchete. Esto que obtuvimos para zy lo escribimos por ac\u00e1"}, {"start": 563.9, "end": 570.72, "text": " y ahora si vamos a determinar lo que nos piden, el cosiente zx sobre zy. Entonces ac\u00e1 en"}, {"start": 570.72, "end": 579.28, "text": " la parte superior escribimos esto que obtuvimos para zx que fue x a la 4 y a la 10 acompa\u00f1ado"}, {"start": 579.28, "end": 591.56, "text": " de entre corchetes 5 coseno de x y al cuadrado luego menos x y al cuadrado por seno de entre"}, {"start": 591.56, "end": 599.1999999999999, "text": " par\u00e9ntesis x y al cuadrado y cerramos el corchete. Ahora ac\u00e1 en el denominador escribimos"}, {"start": 599.2, "end": 609.32, "text": " la expresi\u00f3n que obtuvimos para zy que fue 2x a la 5 y a la 9 y eso acompa\u00f1ado de todo"}, {"start": 609.32, "end": 618.38, "text": " esto que se encuentra entre los corchetes que es 5 coseno de x y al cuadrado luego tenemos"}, {"start": 618.38, "end": 630.12, "text": " menos x y al cuadrado por seno de x y al cuadrado. Cerramos par\u00e9ntesis y cerramos el corchete."}, {"start": 630.12, "end": 635.64, "text": " Lo que observamos all\u00ed es que todo esto que se encuentra encerrado por los corchetes se"}, {"start": 635.64, "end": 643.38, "text": " encuentra multiplicando en el numerador y tambi\u00e9n en el denominador por lo tanto podemos simplificar"}, {"start": 643.38, "end": 650.92, "text": " toda esa expresi\u00f3n y ahora nos concentramos en esto que pasa con las letras x y nos va"}, {"start": 650.92, "end": 658.12, "text": " a quedar entonces lo siguiente por ac\u00e1 tenemos x a la 4 y ac\u00e1 x a la 5 si dividimos arriba"}, {"start": 658.12, "end": 665.08, "text": " y abajo por x a la 4 nos va a quedar entonces por ac\u00e1 una x por ac\u00e1 tenemos ya la 10 y"}, {"start": 665.08, "end": 671.88, "text": " ac\u00e1 ya la 9 si dividimos arriba y abajo por ya la 9 nos va a quedar en la parte superior"}, {"start": 671.88, "end": 680.48, "text": " una y entonces al final lo que nos va a quedar en esa expresi\u00f3n ser\u00e1 y en el numerador"}, {"start": 680.48, "end": 689.84, "text": " y en el denominador 2 por x es decir 2x y esta ser\u00e1 entonces la respuesta para el ejercicio"}, {"start": 689.84, "end": 706.64, "text": " y sobre 2x es el resultado de este cociente de derivadas parciales."}]