LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico.

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 Comenzamos la solución de este ejercicio evaluando theta en cero, puesto que theta tiende a cero. Entonces veamos, tendremos en el numerador seno de cero y en el denominador cero más tangente de cero. El seno de cero vale cero, tangente de cero vale cero, sumado con cero nos da cero. Tenemos una indeterminación que es cero sobre cero y esto nos obliga a realizar alguna transformación de esa expresión. Veamos, quitamos momentáneamente el límite para que nos quede más cómodo el trabajo de la expresión. Vamos a comenzar por transformar tangente de theta en seno sobre coseno. Entonces arriba dejamos el seno y abajo tendremos theta más seno de theta sobre el coseno de theta. A este theta podemos colocarle denominador 1 para que realicemos aquí abajo la suma de fracciones. Entonces veamos, trazamos la línea, abajo podemos multiplicar 1 por coseno de theta nos queda coseno de theta. Arriba tendremos theta por coseno de theta más 1 por seno de theta que es seno de theta. En el numerador tenemos seno de theta que lo podemos elevar un poco para colocarle denominador 1. Y allí aplicamos la ley de extremos y medios también conocida como ley de la oreja. Veamos, en el numerador nos quedará el producto de seno de theta con el coseno de theta. Entonces seno de theta por coseno de theta en el numerador y en el denominador 1 que multiplica a todo esto. Es decir, theta coseno de theta más el seno de theta. A continuación vamos a dividir arriba y abajo por theta buscando que nos aparezca en algún momento lo siguiente. El límite de seno de theta sobre theta cuando theta tiende a cero esto es igual a 1. Vamos a apuntarle a esto. Entonces por eso necesitamos dividir arriba y abajo por theta para que esos senos que tenemos se conviertan en esto y por lo tanto poder hacer uso de esta propiedad. Veamos, vamos a dividir arriba y abajo como decíamos por theta. Tendremos entonces en el numerador seno de theta por coseno de theta todo esto sobre theta. Y en el denominador theta coseno de theta más seno de theta todo esto sobre theta. Esto es lícito porque hemos dividido tanto el numerador como el denominador por una misma cantidad que en este caso es el ángulo theta. Bien, ahora veamos. En el numerador tenemos un producto entonces decidimos a quien entregamos este theta. Si al seno de theta o al coseno de theta nos conviene que quede debajo del seno. Entonces nos quedaría seno de theta sobre theta y eso multiplicado por el coseno de theta. Esto pensando en la propiedad de los límites que mencionábamos hace un momento. Y en el denominador si estamos en la obligación de repartir theta por eso que tenemos una suma. Entonces theta va para este componente y va para este. Entonces tendremos theta coseno de theta sobre theta más seno de theta sobre theta. Y aquí en esta expresión vemos que theta se puede simplificar. Podríamos quitarla por lo tanto aquí nos va a quedar únicamente el coseno de theta. Bien, tenemos todo listo entonces para aplicarle el límite a esa expresión. Si le ponemos el límite cuando theta tiende a cero tal como viene en el ejercicio original. Si se lo colocamos a esta expresión entonces ya podemos pensar en repartirlo respetando las operaciones que tenemos allí. Entonces veamos. Esto nos va a quedar de la siguiente manera. En el numerador tenemos un producto por lo tanto nos quedará límite del seno de theta sobre theta cuando theta tiende a cero. Protegemos con corchete eso multiplicado por el límite del coseno de theta cuando theta tiende a cero. También lo protegemos con corchete. En el denominador tenemos una suma entonces también se respeta esa operación. Que había límite del coseno de theta cuando theta tiende a cero. Podemos proteger más el límite del seno de theta. Todo esto sobre theta cuando theta tiende a cero. Protegemos con el corchete. Allí ya podemos resolver individualmente cada uno de los límites. Veamos. Este límite y este son los que dan 1 por la propiedad que mencionábamos hace un rato. Esos ya por propiedad sabemos que dan 1. Este límite sale por evaluación directa. Veamos. Como theta tiende a cero al reemplazar aquí theta por cero nos quedará coseno de cero. Y ese coseno de cero equivale a 1. Por lo tanto ese límite vale 1. Al igual que este de acá. Tenemos que vale 1. Para terminar hacemos las operaciones de los números que nos quedaron. Veamos. En la parte de arriba tenemos 1 multiplicado por 1 que es igual a 1. Y en la parte de abajo tenemos 1 sumado con 1 que es igual a 2. Por lo tanto la respuesta para este límite es 1 medio.
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