VALOR EXACTO DE Cos20°•Cos40°•Cos80°
#julioprofe explica cómo determinar el valor exacto de la expresión trigonométrica Cos20°•Cos40°•Cos80° son utilizar calculadora.

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 ¿Cómo determinar el valor exacto de esta expresión trigonométrica sin utilizar calculadora? Comenzamos con el coseno de 3θ, un ángulo que podemos descomponer de la siguiente forma. 3θ puede expresarse como θ más 2θ. Y aquí vamos a utilizar la identidad trigonométrica para el coseno de la suma de dos ángulos. Vamos a recordarla, dice coseno de alfa más beta es igual a coseno de alfa por coseno de beta y esto menos seno de alfa por seno de beta. Entonces vamos a aplicar esto aquí, donde alfa va a representar a θ y la letra griega beta representa a 2θ. Entonces tenemos coseno del primer ángulo, coseno de θ por coseno del segundo ángulo, es decir coseno de 2θ, luego tenemos menos seno del primer ángulo, es decir seno de θ y esto multiplicado por el seno del segundo ángulo, que en este caso es 2θ. Ahora observamos aquí seno de 2θ y por acá coseno de 2θ. Entonces vamos a recordar las fórmulas para seno y coseno del ángulo doble. El seno de 2θ es igual a 2 por seno de θ por coseno de θ. Tiene únicamente esa equivalencia. Ahora vamos con el coseno del ángulo doble. El coseno de 2θ digamos que tiene tres equivalencias. La primera es coseno al cuadrado de θ menos seno al cuadrado de θ. La segunda es 1 menos 2 seno al cuadrado de θ y la tercera dice 2 coseno al cuadrado de θ menos 1. Entonces vamos a efectuar aquí los respectivos reemplazos. Continuamos por acá un poco más abajo. Entonces tendremos coseno de θ, esto nos queda igual, multiplicado por coseno de 2θ. Tenemos tres expresiones para elegir. Vamos a tomar esta última, la que nos da una expresión en términos de coseno. Entonces abrimos paréntesis y reemplazamos por 2 coseno al cuadrado de θ menos 1. Cerramos el paréntesis. Luego tenemos menos seno de θ que multiplica con seno de 2θ. El seno del ángulo doble que como dijimos da 2 por seno de θ por coseno de θ. Enseguida vamos a aplicar aquí la propiedad distributiva y también vamos a efectuar este producto. Entonces vamos a continuar por acá más abajo y nos quedará de la siguiente manera. Coseno de θ por 2 coseno al cuadrado de θ será 2 coseno al cubo de θ. Luego coseno de θ por menos 1 es menos coseno de θ. Y acá efectuamos ese producto. Lo organizamos así, 2 por coseno de θ y tenemos seno de θ por seno de θ que será seno al cuadrado de θ. Ahora allí acudimos a la identidad fundamental de la trigonometría que dice seno al cuadrado de θ más coseno al cuadrado de θ. Esto es igual a 1. Y de allí podemos despejar lo que es seno al cuadrado de θ. Simplemente pasamos este término al otro lado a restar. Nos queda 1 menos coseno al cuadrado de θ. Y esto lo hacemos para cambiar aquí seno al cuadrado de θ por esta equivalencia. Vamos a realizar entonces esa sustitución. Abrimos un paréntesis y cambiamos seno al cuadrado de θ por 1 menos coseno al cuadrado de θ. Ahora aquí vamos a aplicar nuevamente la propiedad distributiva para romper este paréntesis. Entonces continuamos más abajo y tendremos lo siguiente. Esto permanece igual, es decir, 2 coseno al cubo de θ menos coseno de θ. Y aquí vamos con la distributiva, menos 2 coseno de θ por 1 será menos 2 coseno de θ. Luego tenemos menos 2 coseno de θ por menos coseno al cuadrado de θ que sería más 2 coseno al cubo de θ. Lo que podemos observar allí son términos semejantes. Por ejemplo, estos dos que contienen coseno al cubo de θ y también observamos estos dos que contienen coseno de θ. Entonces vamos a efectuar la reducción de esos términos semejantes. Tenemos 2 coseno al cubo de θ más 2 coseno al cubo de θ será 4 coseno al cubo de θ. Y por acá menos coseno de θ operado con menos 2 coseno de θ será menos 3 coseno de θ. Así concluimos que coseno de 3 θ, aquí lo tenemos, es igual a esto que nos dio por acá. Es decir, 4 coseno al cubo de θ menos 3 coseno de θ. Ahora, si en esta expresión hacemos que θ tome el valor 20 grados, entonces tendremos lo siguiente. Acá en el lado izquierdo sería coseno de 3 por θ, es decir, 3 por 20 grados, sería el coseno de 60 grados. Y acá en el lado derecho, sustituyendo θ por 20 grados, nos queda simplemente 4 coseno al cubo de 20 grados y luego menos 3 por el coseno de 20 grados. Pero recordemos que el coseno de 60 grados equivale a 1 medio. 60 grados es uno de los ángulos notables, uno de los que aparece con mayor frecuencia en la trigonometría. Entonces coseno de 60 grados equivale a 1 medio y de aquí tenemos esa igualdad que vamos a anotar por acá. 1 medio es igual a 4 coseno al cubo de 20 grados y eso menos 3 por el coseno de 20 grados. Esta expresión la etiquetamos con el número 1 y la dejamos allí porque se va a necesitar más adelante. Vamos ahora sí con el ejercicio que nos propusieron inicialmente y que puede escribirse así. Coseno de 20 grados, esto permanece igual, por coseno de 40 grados, pero 40 grados puede escribirse como 60 grados menos 20 grados y esto por coseno de 80 grados, pero 80 grados puede expresarse como 60 grados más 20 grados. Y allí observamos nuevamente el coseno de la diferencia de dos ángulos y el coseno de la suma de dos ángulos. Vamos a recordar esas dos fórmulas en una sola. Si tenemos coseno de alfa con beta, ahora ponemos acá los signos de suma y resta, entonces la estructura es la siguiente, coseno de alfa por coseno de beta, luego tenemos seno de alfa por seno de beta. Entonces la situación es la siguiente, si acá tenemos suma, por acá es resta y si aquí tenemos resta, entonces por acá tendremos suma. Vamos entonces a aplicar eso acá, en lo que tenemos, coseno de 20 grados, esto permanece igual por, vamos a abrir paréntesis, tenemos aquí el coseno de la diferencia de dos ángulos, alfa hace el papel de 60 grados y beta hace el papel de 20 grados. Entonces vamos con la estructura, coseno del primer ángulo, coseno de 60 grados por coseno del segundo ángulo, coseno de 20 grados, si acá tenemos resta, luego tenemos suma y vamos acá con el seno del primer ángulo, seno de 60 grados, por seno del segundo ángulo, que sería seno de 20 grados. Cerramos el paréntesis, después tenemos por coseno de la suma de dos ángulos, otra vez abrimos paréntesis y vamos con la estructura, coseno del primer ángulo, coseno de 60 grados, por coseno del segundo ángulo, coseno de 20 grados, si acá tenemos suma, entonces acá es resta, luego tenemos seno del primer ángulo, seno de 60 grados, por seno del segundo ángulo, es decir, el seno de 20 grados, y cerramos el paréntesis. De nuevo nos encontramos por aquí, seno y coseno de 60 grados, siendo 60 grados uno de los ángulos notables. Entonces recordemos que el coseno de 60 grados equivale a un medio, por acá también lo tenemos, y el seno de 60 grados equivale a la raíz cuadrada de 3 sobre 2, raíz de tres medios, y también por acá encontramos ese valor. Entonces, la expresión nos va a quedar de la siguiente manera, seguimos por acá, tendremos coseno de 20 grados, esto por, abrimos paréntesis, acá tendremos un medio, por coseno de 20 grados, luego más raíz de tres medios, que acompaña a seno de 20 grados, cerramos el paréntesis. Vamos ahora con el otro paréntesis, donde tenemos un medio por coseno de 20 grados, y luego menos raíz de tres medios, que acompaña a seno de 20 grados, y cerramos el paréntesis. Si miramos con atención lo que hay en estos dos paréntesis, encontramos que se trata de una suma por una diferencia, vamos a recordar ese producto notable de la álgebra, si tenemos a más b por a menos b, es decir, la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas, esto será igual a la primera cantidad al cuadrado, menos la segunda cantidad al cuadrado, es lo que nos dice ese producto notable. Entonces vamos a aplicar eso aquí en la expresión que hemos obtenido, nos queda coseno de 20 grados, por, vamos a abrir un corchete, y entonces, la primera cantidad la que hace el papel de A, es un medio por el coseno de 20 grados, todo esto lo protegemos con paréntesis, y lo elevamos al cuadrado, allí tenemos esto, A al cuadrado, luego va menos la segunda cantidad que es b, que está representada por raíz de tres medios, seno de 20 grados, todo eso protegido con paréntesis, y elevado al cuadrado, allí tenemos este otro componente, y vamos a cerrar el corchete. Ahora vamos a desarrollar cada una de estas potencias, nos queda así, coseno de 20 grados, por, abrimos el corchete, y aquí tenemos un producto todo eso elevado al cuadrado, recordemos que allí el exponente afecta a los dos componentes, por esta propiedad de la potenciación, si tenemos A por b a la n, esto es igual a A a la n por b a la n, entonces el exponente dos afecta a un medio, y afecta también al coseno de 20 grados, pero acá cuando el exponente afecta a la fracción, se aplica otra propiedad de la potenciación, que es esta, si tenemos A sobre b a la n, esto será igual a A a la n sobre b a la n, el exponente afecta al numerador y al denominador, en otras palabras, este exponente dos afecta a cada uno de estos componentes, sería uno al cuadrado que es uno, sobre dos al cuadrado que es cuatro, y el coseno de 20 grados elevado al cuadrado, que puede escribirse como coseno al cuadrado de 20 grados, localizamos el exponente dos aquí en la mitad, luego tenemos menos, acá la misma situación, esto que se ha presentado aquí con las propiedades de la potenciación, el exponente dos afecta a todos estos componentes, raíz cuadrada de tres elevada al cuadrado, eso nos da tres, el exponente dos destruye la raíz cuadrada, lo que nos queda sobre dos al cuadrado que es cuatro, y enseguida nos queda seno de 20 grados, todo eso elevado al cuadrado, que puede escribirse como seno al cuadrado de 20 grados, y cerramos el corchete. Vimos hace un momento que seno al cuadrado de theta es igual a uno menos coseno al cuadrado de theta, esto se desprende de la identidad fundamental de la trigonometría, pues bien, si cambiamos theta por 20 grados, tendremos seno al cuadrado de 20 grados igual a uno menos coseno al cuadrado de 20 grados, y seno al cuadrado de 20 grados aquí lo observamos, por lo tanto esto se puede cambiar por esta expresión. Vamos entonces a realizar esa sustitución o ese cambio, tendremos coseno de 20 grados por, abrimos el corchete, tenemos allí un cuarto por coseno al cuadrado de 20 grados, luego menos tres cuartos por aquí, hacemos el cambio, va a entrar esto, entonces abrimos paréntesis, y escribimos uno menos coseno al cuadrado de 20 grados, cerramos el paréntesis y también cerramos el corchete. A continuación rompemos este paréntesis aplicando la propiedad distributiva, entonces nos va a quedar de la siguiente manera, coseno de 20 grados por, abrimos el corchete, tenemos un cuarto por coseno al cuadrado de 20 grados, y entonces acá distribuyendo menos tres cuartos nos queda, menos tres cuartos por uno es menos tres cuartos, y luego menos tres cuartos por menos coseno al cuadrado de 20 grados será más tres cuartos coseno al cuadrado de 20 grados, y cerramos el corchete. Ahora dentro de estos corchetes observamos términos semejantes, son estos dos que contienen coseno al cuadrado de 20 grados, entonces esto nos queda así, coseno de 20 grados por, abrimos el corchete y operamos estos dos términos semejantes, en realidad operamos sus coeficientes, un cuarto más tres cuartos nos da cuatro cuartos que equivaldría a uno, pero vamos a dejarlo así como cuatro cuartos, que acompaña con coseno al cuadrado de 20 grados, y luego tenemos menos tres cuartos y cerramos el corchete. Ahora aplicamos la propiedad distributiva para romper estos corchetes, entonces coseno de 20 grados va a multiplicar con cada uno de esos dos términos, nos queda así, por acá al multiplicar coseno de 20 grados por esto, tendremos cuatro cuartos por coseno de 20 grados por coseno al cuadrado de 20 grados, será coseno al cubo de 20 grados, y luego tenemos coseno de 20 grados por menos tres cuartos, sería menos tres cuartos que acompaña al coseno de 20 grados. Ahora la fracción cuatro cuartos puede escribirse como un cuarto por cuatro, es lo mismo un cuarto por cuatro es cuatro cuartos, y eso multiplica con coseno al cubo de 20 grados, luego tenemos menos tres cuartos que puede escribirse como un cuarto por tres, un cuarto por tres es tres cuartos, y eso está multiplicando a su vez por el coseno de 20 grados. Lo que observamos allí es que en los dos términos está presente un cuarto como factor, es decir, está multiplicando en cada uno de esos dos términos, por lo tanto podríamos extraerlo de esta expresión como factor común, si sale un cuarto nos queda dentro del paréntesis cuatro por coseno al cubo de 20 grados, esto nos queda en el primer término menos acá en el segundo término que nos quedaría tres por el coseno de 20 grados. Y lo que podemos observar allí es esta expresión que habíamos obtenido al principio, aquí se observa todo esto que equivale a un medio, es allí cuando utilizamos esto que habíamos llamado la expresión número uno, entonces al final tendremos un cuarto multiplicado por un medio, multiplicamos numeradores entre sí, uno por uno nos da uno, y denominadores entre sí, cuatro por dos es ocho, entonces un octavo es lo que buscamos, será el valor exacto de esa expresión trigonométrica.
[{"start": 0.0, "end": 10.32, "text": " \u00bfC\u00f3mo determinar el valor exacto de esta expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica sin utilizar calculadora?"}, {"start": 10.32, "end": 18.36, "text": " Comenzamos con el coseno de 3\u03b8, un \u00e1ngulo que podemos descomponer de la siguiente forma."}, {"start": 18.36, "end": 23.28, "text": " 3\u03b8 puede expresarse como \u03b8 m\u00e1s 2\u03b8."}, {"start": 23.28, "end": 31.060000000000002, "text": " Y aqu\u00ed vamos a utilizar la identidad trigonom\u00e9trica para el coseno de la suma de dos \u00e1ngulos."}, {"start": 31.060000000000002, "end": 39.64, "text": " Vamos a recordarla, dice coseno de alfa m\u00e1s beta es igual a coseno de alfa por coseno de beta"}, {"start": 39.64, "end": 45.28, "text": " y esto menos seno de alfa por seno de beta."}, {"start": 45.28, "end": 51.400000000000006, "text": " Entonces vamos a aplicar esto aqu\u00ed, donde alfa va a representar a \u03b8"}, {"start": 51.4, "end": 55.32, "text": " y la letra griega beta representa a 2\u03b8."}, {"start": 55.32, "end": 62.519999999999996, "text": " Entonces tenemos coseno del primer \u00e1ngulo, coseno de \u03b8 por coseno del segundo \u00e1ngulo,"}, {"start": 62.519999999999996, "end": 70.4, "text": " es decir coseno de 2\u03b8, luego tenemos menos seno del primer \u00e1ngulo, es decir seno de \u03b8"}, {"start": 70.4, "end": 77.2, "text": " y esto multiplicado por el seno del segundo \u00e1ngulo, que en este caso es 2\u03b8."}, {"start": 77.2, "end": 82.52000000000001, "text": " Ahora observamos aqu\u00ed seno de 2\u03b8 y por ac\u00e1 coseno de 2\u03b8."}, {"start": 82.52000000000001, "end": 87.76, "text": " Entonces vamos a recordar las f\u00f3rmulas para seno y coseno del \u00e1ngulo doble."}, {"start": 87.76, "end": 95.36, "text": " El seno de 2\u03b8 es igual a 2 por seno de \u03b8 por coseno de \u03b8."}, {"start": 95.36, "end": 98.24000000000001, "text": " Tiene \u00fanicamente esa equivalencia."}, {"start": 98.24000000000001, "end": 101.08, "text": " Ahora vamos con el coseno del \u00e1ngulo doble."}, {"start": 101.08, "end": 105.24000000000001, "text": " El coseno de 2\u03b8 digamos que tiene tres equivalencias."}, {"start": 105.24, "end": 111.67999999999999, "text": " La primera es coseno al cuadrado de \u03b8 menos seno al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 111.67999999999999, "end": 117.75999999999999, "text": " La segunda es 1 menos 2 seno al cuadrado de \u03b8"}, {"start": 117.75999999999999, "end": 123.91999999999999, "text": " y la tercera dice 2 coseno al cuadrado de \u03b8 menos 1."}, {"start": 123.91999999999999, "end": 128.2, "text": " Entonces vamos a efectuar aqu\u00ed los respectivos reemplazos."}, {"start": 128.2, "end": 131.48, "text": " Continuamos por ac\u00e1 un poco m\u00e1s abajo."}, {"start": 131.48, "end": 139.64, "text": " Entonces tendremos coseno de \u03b8, esto nos queda igual, multiplicado por coseno de 2\u03b8."}, {"start": 139.64, "end": 142.28, "text": " Tenemos tres expresiones para elegir."}, {"start": 142.28, "end": 148.07999999999998, "text": " Vamos a tomar esta \u00faltima, la que nos da una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de coseno."}, {"start": 148.07999999999998, "end": 156.23999999999998, "text": " Entonces abrimos par\u00e9ntesis y reemplazamos por 2 coseno al cuadrado de \u03b8 menos 1."}, {"start": 156.23999999999998, "end": 157.92, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 157.92, "end": 164.07999999999998, "text": " Luego tenemos menos seno de \u03b8 que multiplica con seno de 2\u03b8."}, {"start": 164.07999999999998, "end": 172.44, "text": " El seno del \u00e1ngulo doble que como dijimos da 2 por seno de \u03b8 por coseno de \u03b8."}, {"start": 172.44, "end": 176.95999999999998, "text": " Enseguida vamos a aplicar aqu\u00ed la propiedad distributiva"}, {"start": 176.95999999999998, "end": 180.23999999999998, "text": " y tambi\u00e9n vamos a efectuar este producto."}, {"start": 180.23999999999998, "end": 184.6, "text": " Entonces vamos a continuar por ac\u00e1 m\u00e1s abajo"}, {"start": 184.6, "end": 187.51999999999998, "text": " y nos quedar\u00e1 de la siguiente manera."}, {"start": 187.52, "end": 194.68, "text": " Coseno de \u03b8 por 2 coseno al cuadrado de \u03b8 ser\u00e1 2 coseno al cubo de \u03b8."}, {"start": 194.68, "end": 199.84, "text": " Luego coseno de \u03b8 por menos 1 es menos coseno de \u03b8."}, {"start": 199.84, "end": 202.12, "text": " Y ac\u00e1 efectuamos ese producto."}, {"start": 202.12, "end": 206.92000000000002, "text": " Lo organizamos as\u00ed, 2 por coseno de \u03b8"}, {"start": 206.92000000000002, "end": 213.68, "text": " y tenemos seno de \u03b8 por seno de \u03b8 que ser\u00e1 seno al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 213.68, "end": 218.68, "text": " Ahora all\u00ed acudimos a la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda"}, {"start": 218.68, "end": 223.36, "text": " que dice seno al cuadrado de \u03b8 m\u00e1s coseno al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 223.36, "end": 225.4, "text": " Esto es igual a 1."}, {"start": 225.4, "end": 230.32, "text": " Y de all\u00ed podemos despejar lo que es seno al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 230.32, "end": 233.96, "text": " Simplemente pasamos este t\u00e9rmino al otro lado a restar."}, {"start": 233.96, "end": 238.44, "text": " Nos queda 1 menos coseno al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 238.44, "end": 245.24, "text": " Y esto lo hacemos para cambiar aqu\u00ed seno al cuadrado de \u03b8 por esta equivalencia."}, {"start": 245.24, "end": 248.4, "text": " Vamos a realizar entonces esa sustituci\u00f3n."}, {"start": 248.4, "end": 257.36, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis y cambiamos seno al cuadrado de \u03b8 por 1 menos coseno al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 257.36, "end": 262.28, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a aplicar nuevamente la propiedad distributiva"}, {"start": 262.28, "end": 264.52, "text": " para romper este par\u00e9ntesis."}, {"start": 264.52, "end": 270.35999999999996, "text": " Entonces continuamos m\u00e1s abajo y tendremos lo siguiente."}, {"start": 270.35999999999996, "end": 278.79999999999995, "text": " Esto permanece igual, es decir, 2 coseno al cubo de \u03b8 menos coseno de \u03b8."}, {"start": 278.79999999999995, "end": 285.96, "text": " Y aqu\u00ed vamos con la distributiva, menos 2 coseno de \u03b8 por 1 ser\u00e1 menos 2 coseno de \u03b8."}, {"start": 285.96, "end": 290.35999999999996, "text": " Luego tenemos menos 2 coseno de \u03b8 por menos coseno al cuadrado de \u03b8"}, {"start": 290.36, "end": 295.88, "text": " que ser\u00eda m\u00e1s 2 coseno al cubo de \u03b8."}, {"start": 295.88, "end": 299.52000000000004, "text": " Lo que podemos observar all\u00ed son t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 299.52000000000004, "end": 303.36, "text": " Por ejemplo, estos dos que contienen coseno al cubo de \u03b8"}, {"start": 303.36, "end": 308.16, "text": " y tambi\u00e9n observamos estos dos que contienen coseno de \u03b8."}, {"start": 308.16, "end": 312.16, "text": " Entonces vamos a efectuar la reducci\u00f3n de esos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 312.16, "end": 320.24, "text": " Tenemos 2 coseno al cubo de \u03b8 m\u00e1s 2 coseno al cubo de \u03b8 ser\u00e1 4 coseno al cubo de \u03b8."}, {"start": 320.24, "end": 325.08, "text": " Y por ac\u00e1 menos coseno de \u03b8 operado con menos 2 coseno de \u03b8"}, {"start": 325.08, "end": 329.24, "text": " ser\u00e1 menos 3 coseno de \u03b8."}, {"start": 329.24, "end": 335.8, "text": " As\u00ed concluimos que coseno de 3 \u03b8, aqu\u00ed lo tenemos, es igual a esto que nos dio por ac\u00e1."}, {"start": 335.8, "end": 340.6, "text": " Es decir, 4 coseno al cubo de \u03b8 menos 3 coseno de \u03b8."}, {"start": 340.6, "end": 346.92, "text": " Ahora, si en esta expresi\u00f3n hacemos que \u03b8 tome el valor 20 grados,"}, {"start": 346.92, "end": 348.92, "text": " entonces tendremos lo siguiente."}, {"start": 348.92, "end": 355.32, "text": " Ac\u00e1 en el lado izquierdo ser\u00eda coseno de 3 por \u03b8, es decir, 3 por 20 grados,"}, {"start": 355.32, "end": 358.48, "text": " ser\u00eda el coseno de 60 grados."}, {"start": 358.48, "end": 362.12, "text": " Y ac\u00e1 en el lado derecho, sustituyendo \u03b8 por 20 grados,"}, {"start": 362.12, "end": 366.88, "text": " nos queda simplemente 4 coseno al cubo de 20 grados"}, {"start": 366.88, "end": 372.32, "text": " y luego menos 3 por el coseno de 20 grados."}, {"start": 372.32, "end": 378.36, "text": " Pero recordemos que el coseno de 60 grados equivale a 1 medio."}, {"start": 378.36, "end": 382.0, "text": " 60 grados es uno de los \u00e1ngulos notables,"}, {"start": 382.0, "end": 385.6, "text": " uno de los que aparece con mayor frecuencia en la trigonometr\u00eda."}, {"start": 385.6, "end": 389.72, "text": " Entonces coseno de 60 grados equivale a 1 medio"}, {"start": 389.72, "end": 393.72, "text": " y de aqu\u00ed tenemos esa igualdad que vamos a anotar por ac\u00e1."}, {"start": 393.72, "end": 401.0, "text": " 1 medio es igual a 4 coseno al cubo de 20 grados"}, {"start": 401.0, "end": 407.04, "text": " y eso menos 3 por el coseno de 20 grados."}, {"start": 407.04, "end": 410.24, "text": " Esta expresi\u00f3n la etiquetamos con el n\u00famero 1"}, {"start": 410.24, "end": 414.24, "text": " y la dejamos all\u00ed porque se va a necesitar m\u00e1s adelante."}, {"start": 414.24, "end": 418.16, "text": " Vamos ahora s\u00ed con el ejercicio que nos propusieron inicialmente"}, {"start": 418.16, "end": 420.44, "text": " y que puede escribirse as\u00ed."}, {"start": 420.44, "end": 423.72, "text": " Coseno de 20 grados, esto permanece igual,"}, {"start": 423.72, "end": 429.24, "text": " por coseno de 40 grados, pero 40 grados puede escribirse"}, {"start": 429.24, "end": 432.24, "text": " como 60 grados menos 20 grados"}, {"start": 432.24, "end": 438.6, "text": " y esto por coseno de 80 grados, pero 80 grados puede expresarse"}, {"start": 438.6, "end": 442.44, "text": " como 60 grados m\u00e1s 20 grados."}, {"start": 442.44, "end": 447.04, "text": " Y all\u00ed observamos nuevamente el coseno de la diferencia de dos \u00e1ngulos"}, {"start": 447.04, "end": 449.64, "text": " y el coseno de la suma de dos \u00e1ngulos."}, {"start": 449.64, "end": 453.64, "text": " Vamos a recordar esas dos f\u00f3rmulas en una sola."}, {"start": 453.64, "end": 459.44, "text": " Si tenemos coseno de alfa con beta, ahora ponemos ac\u00e1 los signos de suma y resta,"}, {"start": 459.44, "end": 465.64, "text": " entonces la estructura es la siguiente, coseno de alfa por coseno de beta,"}, {"start": 465.64, "end": 470.64, "text": " luego tenemos seno de alfa por seno de beta."}, {"start": 470.64, "end": 473.44, "text": " Entonces la situaci\u00f3n es la siguiente,"}, {"start": 473.44, "end": 477.44, "text": " si ac\u00e1 tenemos suma, por ac\u00e1 es resta"}, {"start": 477.44, "end": 483.64, "text": " y si aqu\u00ed tenemos resta, entonces por ac\u00e1 tendremos suma."}, {"start": 483.64, "end": 486.84, "text": " Vamos entonces a aplicar eso ac\u00e1,"}, {"start": 486.84, "end": 492.44, "text": " en lo que tenemos, coseno de 20 grados, esto permanece igual por,"}, {"start": 492.44, "end": 497.03999999999996, "text": " vamos a abrir par\u00e9ntesis, tenemos aqu\u00ed el coseno de la diferencia de dos \u00e1ngulos,"}, {"start": 497.03999999999996, "end": 502.23999999999995, "text": " alfa hace el papel de 60 grados y beta hace el papel de 20 grados."}, {"start": 502.23999999999995, "end": 505.64, "text": " Entonces vamos con la estructura, coseno del primer \u00e1ngulo,"}, {"start": 505.64, "end": 511.44, "text": " coseno de 60 grados por coseno del segundo \u00e1ngulo, coseno de 20 grados,"}, {"start": 511.44, "end": 514.8399999999999, "text": " si ac\u00e1 tenemos resta, luego tenemos suma"}, {"start": 514.84, "end": 520.44, "text": " y vamos ac\u00e1 con el seno del primer \u00e1ngulo, seno de 60 grados,"}, {"start": 520.44, "end": 525.0400000000001, "text": " por seno del segundo \u00e1ngulo, que ser\u00eda seno de 20 grados."}, {"start": 525.0400000000001, "end": 530.64, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis, despu\u00e9s tenemos por coseno de la suma de dos \u00e1ngulos,"}, {"start": 530.64, "end": 534.64, "text": " otra vez abrimos par\u00e9ntesis y vamos con la estructura,"}, {"start": 534.64, "end": 537.84, "text": " coseno del primer \u00e1ngulo, coseno de 60 grados,"}, {"start": 537.84, "end": 542.0400000000001, "text": " por coseno del segundo \u00e1ngulo, coseno de 20 grados,"}, {"start": 542.04, "end": 545.4399999999999, "text": " si ac\u00e1 tenemos suma, entonces ac\u00e1 es resta,"}, {"start": 545.4399999999999, "end": 549.24, "text": " luego tenemos seno del primer \u00e1ngulo, seno de 60 grados,"}, {"start": 549.24, "end": 553.64, "text": " por seno del segundo \u00e1ngulo, es decir, el seno de 20 grados,"}, {"start": 553.64, "end": 556.04, "text": " y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 556.04, "end": 560.64, "text": " De nuevo nos encontramos por aqu\u00ed, seno y coseno de 60 grados,"}, {"start": 560.64, "end": 564.4399999999999, "text": " siendo 60 grados uno de los \u00e1ngulos notables."}, {"start": 564.4399999999999, "end": 569.4399999999999, "text": " Entonces recordemos que el coseno de 60 grados equivale a un medio,"}, {"start": 569.44, "end": 574.6400000000001, "text": " por ac\u00e1 tambi\u00e9n lo tenemos, y el seno de 60 grados"}, {"start": 574.6400000000001, "end": 580.24, "text": " equivale a la ra\u00edz cuadrada de 3 sobre 2, ra\u00edz de tres medios,"}, {"start": 580.24, "end": 583.24, "text": " y tambi\u00e9n por ac\u00e1 encontramos ese valor."}, {"start": 583.24, "end": 588.6400000000001, "text": " Entonces, la expresi\u00f3n nos va a quedar de la siguiente manera,"}, {"start": 588.6400000000001, "end": 593.24, "text": " seguimos por ac\u00e1, tendremos coseno de 20 grados,"}, {"start": 593.24, "end": 597.6400000000001, "text": " esto por, abrimos par\u00e9ntesis, ac\u00e1 tendremos un medio,"}, {"start": 597.64, "end": 605.64, "text": " por coseno de 20 grados, luego m\u00e1s ra\u00edz de tres medios,"}, {"start": 605.64, "end": 611.84, "text": " que acompa\u00f1a a seno de 20 grados, cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 611.84, "end": 614.24, "text": " Vamos ahora con el otro par\u00e9ntesis,"}, {"start": 614.24, "end": 620.04, "text": " donde tenemos un medio por coseno de 20 grados,"}, {"start": 620.04, "end": 623.84, "text": " y luego menos ra\u00edz de tres medios,"}, {"start": 623.84, "end": 631.44, "text": " que acompa\u00f1a a seno de 20 grados, y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 631.44, "end": 635.0400000000001, "text": " Si miramos con atenci\u00f3n lo que hay en estos dos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 635.0400000000001, "end": 639.64, "text": " encontramos que se trata de una suma por una diferencia,"}, {"start": 639.64, "end": 643.24, "text": " vamos a recordar ese producto notable de la \u00e1lgebra,"}, {"start": 643.24, "end": 646.44, "text": " si tenemos a m\u00e1s b por a menos b,"}, {"start": 646.44, "end": 651.24, "text": " es decir, la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas,"}, {"start": 651.24, "end": 654.44, "text": " esto ser\u00e1 igual a la primera cantidad al cuadrado,"}, {"start": 654.44, "end": 657.44, "text": " menos la segunda cantidad al cuadrado,"}, {"start": 657.44, "end": 660.44, "text": " es lo que nos dice ese producto notable."}, {"start": 660.44, "end": 665.44, "text": " Entonces vamos a aplicar eso aqu\u00ed en la expresi\u00f3n que hemos obtenido,"}, {"start": 665.44, "end": 671.04, "text": " nos queda coseno de 20 grados, por, vamos a abrir un corchete,"}, {"start": 671.04, "end": 674.84, "text": " y entonces, la primera cantidad la que hace el papel de A,"}, {"start": 674.84, "end": 680.04, "text": " es un medio por el coseno de 20 grados,"}, {"start": 680.04, "end": 684.64, "text": " todo esto lo protegemos con par\u00e9ntesis, y lo elevamos al cuadrado,"}, {"start": 684.64, "end": 686.8399999999999, "text": " all\u00ed tenemos esto, A al cuadrado,"}, {"start": 686.8399999999999, "end": 690.64, "text": " luego va menos la segunda cantidad que es b,"}, {"start": 690.64, "end": 694.24, "text": " que est\u00e1 representada por ra\u00edz de tres medios,"}, {"start": 694.24, "end": 699.64, "text": " seno de 20 grados, todo eso protegido con par\u00e9ntesis,"}, {"start": 699.64, "end": 703.8399999999999, "text": " y elevado al cuadrado, all\u00ed tenemos este otro componente,"}, {"start": 703.8399999999999, "end": 707.24, "text": " y vamos a cerrar el corchete."}, {"start": 707.24, "end": 711.04, "text": " Ahora vamos a desarrollar cada una de estas potencias,"}, {"start": 711.04, "end": 718.04, "text": " nos queda as\u00ed, coseno de 20 grados, por, abrimos el corchete,"}, {"start": 718.04, "end": 721.04, "text": " y aqu\u00ed tenemos un producto todo eso elevado al cuadrado,"}, {"start": 721.04, "end": 724.84, "text": " recordemos que all\u00ed el exponente afecta a los dos componentes,"}, {"start": 724.84, "end": 727.44, "text": " por esta propiedad de la potenciaci\u00f3n,"}, {"start": 727.44, "end": 732.44, "text": " si tenemos A por b a la n, esto es igual a A a la n por b a la n,"}, {"start": 732.44, "end": 735.44, "text": " entonces el exponente dos afecta a un medio,"}, {"start": 735.44, "end": 738.24, "text": " y afecta tambi\u00e9n al coseno de 20 grados,"}, {"start": 738.24, "end": 741.0400000000001, "text": " pero ac\u00e1 cuando el exponente afecta a la fracci\u00f3n,"}, {"start": 741.0400000000001, "end": 745.44, "text": " se aplica otra propiedad de la potenciaci\u00f3n, que es esta,"}, {"start": 745.44, "end": 752.0400000000001, "text": " si tenemos A sobre b a la n, esto ser\u00e1 igual a A a la n sobre b a la n,"}, {"start": 752.0400000000001, "end": 755.84, "text": " el exponente afecta al numerador y al denominador,"}, {"start": 755.84, "end": 760.6400000000001, "text": " en otras palabras, este exponente dos afecta a cada uno de estos componentes,"}, {"start": 760.64, "end": 765.64, "text": " ser\u00eda uno al cuadrado que es uno, sobre dos al cuadrado que es cuatro,"}, {"start": 765.64, "end": 769.24, "text": " y el coseno de 20 grados elevado al cuadrado,"}, {"start": 769.24, "end": 773.64, "text": " que puede escribirse como coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 773.64, "end": 777.04, "text": " localizamos el exponente dos aqu\u00ed en la mitad,"}, {"start": 777.04, "end": 780.24, "text": " luego tenemos menos, ac\u00e1 la misma situaci\u00f3n,"}, {"start": 780.24, "end": 784.24, "text": " esto que se ha presentado aqu\u00ed con las propiedades de la potenciaci\u00f3n,"}, {"start": 784.24, "end": 787.4399999999999, "text": " el exponente dos afecta a todos estos componentes,"}, {"start": 787.44, "end": 791.6400000000001, "text": " ra\u00edz cuadrada de tres elevada al cuadrado, eso nos da tres,"}, {"start": 791.6400000000001, "end": 794.6400000000001, "text": " el exponente dos destruye la ra\u00edz cuadrada,"}, {"start": 794.6400000000001, "end": 797.84, "text": " lo que nos queda sobre dos al cuadrado que es cuatro,"}, {"start": 797.84, "end": 803.0400000000001, "text": " y enseguida nos queda seno de 20 grados, todo eso elevado al cuadrado,"}, {"start": 803.0400000000001, "end": 807.84, "text": " que puede escribirse como seno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 807.84, "end": 811.24, "text": " y cerramos el corchete."}, {"start": 811.24, "end": 821.84, "text": " Vimos hace un momento que seno al cuadrado de theta es igual a uno menos coseno al cuadrado de theta,"}, {"start": 821.84, "end": 826.64, "text": " esto se desprende de la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda,"}, {"start": 826.64, "end": 830.64, "text": " pues bien, si cambiamos theta por 20 grados,"}, {"start": 830.64, "end": 838.64, "text": " tendremos seno al cuadrado de 20 grados igual a uno menos coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 838.64, "end": 841.84, "text": " y seno al cuadrado de 20 grados aqu\u00ed lo observamos,"}, {"start": 841.84, "end": 846.24, "text": " por lo tanto esto se puede cambiar por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 846.24, "end": 850.4399999999999, "text": " Vamos entonces a realizar esa sustituci\u00f3n o ese cambio,"}, {"start": 850.4399999999999, "end": 855.24, "text": " tendremos coseno de 20 grados por, abrimos el corchete,"}, {"start": 855.24, "end": 861.84, "text": " tenemos all\u00ed un cuarto por coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 861.84, "end": 865.64, "text": " luego menos tres cuartos por aqu\u00ed,"}, {"start": 865.64, "end": 870.64, "text": " hacemos el cambio, va a entrar esto, entonces abrimos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 870.64, "end": 877.84, "text": " y escribimos uno menos coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 877.84, "end": 882.24, "text": " cerramos el par\u00e9ntesis y tambi\u00e9n cerramos el corchete."}, {"start": 882.24, "end": 888.24, "text": " A continuaci\u00f3n rompemos este par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva,"}, {"start": 888.24, "end": 892.04, "text": " entonces nos va a quedar de la siguiente manera,"}, {"start": 892.04, "end": 897.8399999999999, "text": " coseno de 20 grados por, abrimos el corchete,"}, {"start": 897.8399999999999, "end": 904.8399999999999, "text": " tenemos un cuarto por coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 904.8399999999999, "end": 908.24, "text": " y entonces ac\u00e1 distribuyendo menos tres cuartos nos queda,"}, {"start": 908.24, "end": 912.24, "text": " menos tres cuartos por uno es menos tres cuartos,"}, {"start": 912.24, "end": 916.4399999999999, "text": " y luego menos tres cuartos por menos coseno al cuadrado de 20 grados"}, {"start": 916.44, "end": 923.24, "text": " ser\u00e1 m\u00e1s tres cuartos coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 923.24, "end": 926.24, "text": " y cerramos el corchete."}, {"start": 926.24, "end": 931.0400000000001, "text": " Ahora dentro de estos corchetes observamos t\u00e9rminos semejantes,"}, {"start": 931.0400000000001, "end": 935.84, "text": " son estos dos que contienen coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 935.84, "end": 941.6400000000001, "text": " entonces esto nos queda as\u00ed, coseno de 20 grados por,"}, {"start": 941.6400000000001, "end": 946.0400000000001, "text": " abrimos el corchete y operamos estos dos t\u00e9rminos semejantes,"}, {"start": 946.04, "end": 948.8399999999999, "text": " en realidad operamos sus coeficientes,"}, {"start": 948.8399999999999, "end": 954.24, "text": " un cuarto m\u00e1s tres cuartos nos da cuatro cuartos que equivaldr\u00eda a uno,"}, {"start": 954.24, "end": 957.4399999999999, "text": " pero vamos a dejarlo as\u00ed como cuatro cuartos,"}, {"start": 957.4399999999999, "end": 960.8399999999999, "text": " que acompa\u00f1a con coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 960.8399999999999, "end": 966.4399999999999, "text": " y luego tenemos menos tres cuartos y cerramos el corchete."}, {"start": 966.4399999999999, "end": 971.4399999999999, "text": " Ahora aplicamos la propiedad distributiva para romper estos corchetes,"}, {"start": 971.44, "end": 977.24, "text": " entonces coseno de 20 grados va a multiplicar con cada uno de esos dos t\u00e9rminos,"}, {"start": 977.24, "end": 982.44, "text": " nos queda as\u00ed, por ac\u00e1 al multiplicar coseno de 20 grados por esto,"}, {"start": 982.44, "end": 988.84, "text": " tendremos cuatro cuartos por coseno de 20 grados por coseno al cuadrado de 20 grados,"}, {"start": 988.84, "end": 992.44, "text": " ser\u00e1 coseno al cubo de 20 grados,"}, {"start": 992.44, "end": 995.84, "text": " y luego tenemos coseno de 20 grados por menos tres cuartos,"}, {"start": 995.84, "end": 1002.64, "text": " ser\u00eda menos tres cuartos que acompa\u00f1a al coseno de 20 grados."}, {"start": 1002.64, "end": 1008.84, "text": " Ahora la fracci\u00f3n cuatro cuartos puede escribirse como un cuarto por cuatro,"}, {"start": 1008.84, "end": 1012.24, "text": " es lo mismo un cuarto por cuatro es cuatro cuartos,"}, {"start": 1012.24, "end": 1017.44, "text": " y eso multiplica con coseno al cubo de 20 grados,"}, {"start": 1017.44, "end": 1023.64, "text": " luego tenemos menos tres cuartos que puede escribirse como un cuarto por tres,"}, {"start": 1023.64, "end": 1026.04, "text": " un cuarto por tres es tres cuartos,"}, {"start": 1026.04, "end": 1031.6399999999999, "text": " y eso est\u00e1 multiplicando a su vez por el coseno de 20 grados."}, {"start": 1031.6399999999999, "end": 1037.84, "text": " Lo que observamos all\u00ed es que en los dos t\u00e9rminos est\u00e1 presente un cuarto como factor,"}, {"start": 1037.84, "end": 1041.84, "text": " es decir, est\u00e1 multiplicando en cada uno de esos dos t\u00e9rminos,"}, {"start": 1041.84, "end": 1047.84, "text": " por lo tanto podr\u00edamos extraerlo de esta expresi\u00f3n como factor com\u00fan,"}, {"start": 1047.84, "end": 1056.4399999999998, "text": " si sale un cuarto nos queda dentro del par\u00e9ntesis cuatro por coseno al cubo de 20 grados,"}, {"start": 1056.4399999999998, "end": 1061.24, "text": " esto nos queda en el primer t\u00e9rmino menos ac\u00e1 en el segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 1061.24, "end": 1066.24, "text": " que nos quedar\u00eda tres por el coseno de 20 grados."}, {"start": 1066.24, "end": 1073.04, "text": " Y lo que podemos observar all\u00ed es esta expresi\u00f3n que hab\u00edamos obtenido al principio,"}, {"start": 1073.04, "end": 1078.04, "text": " aqu\u00ed se observa todo esto que equivale a un medio,"}, {"start": 1078.04, "end": 1084.44, "text": " es all\u00ed cuando utilizamos esto que hab\u00edamos llamado la expresi\u00f3n n\u00famero uno,"}, {"start": 1084.44, "end": 1090.44, "text": " entonces al final tendremos un cuarto multiplicado por un medio,"}, {"start": 1090.44, "end": 1095.04, "text": " multiplicamos numeradores entre s\u00ed, uno por uno nos da uno,"}, {"start": 1095.04, "end": 1099.44, "text": " y denominadores entre s\u00ed, cuatro por dos es ocho,"}, {"start": 1099.44, "end": 1103.24, "text": " entonces un octavo es lo que buscamos,"}, {"start": 1103.24, "end": 1133.04, "text": " ser\u00e1 el valor exacto de esa expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica."}]