GRÁFICA, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN CON VALOR ABSOLUTO
#julioprofe explica cómo determinar el dominio, los cortes con los ejes, la gráfica y el rango de una función con valor absoluto.

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Los piden representar gráficamente esta función y igual a f de x igual a x que multiplica al valor absoluto de x menos 6. Para esta función el dominio, es decir los valores que puede tomar x será el conjunto de los números reales. Aquí no tenemos problemas con ningún valor de x puesto que no hay fracción o una raíz par, así que nos ponga alguna dificultad para la función. X tiene total libertad de tomar cualquier valor del conjunto de los números reales. Podríamos obtener la gráfica de esta función haciendo una tabla de valores, dándole a x cualquier cantidad de valores, ya que x puede tomar cualquier número del conjunto de los reales, reemplazando en la función. De esa manera también tendríamos una serie de valores de y, formaríamos parejas, iríamos al plano cartesiano y ubicaríamos todos esos puntos según como nos den, no sé, y obtener la gráfica de la función. Pero no, vamos a hacer un análisis más detallado de lo que va sucediendo con esta función. Vamos a hacer uso de la definición de valor absoluto. Valor absoluto de la cantidad a se define como a si a es mayor o igual a cero, o menos a si a es menor que cero. Esta es la definición formal de lo que es el valor absoluto de una cantidad. Entonces vamos a aplicar esta definición para el caso de esta función y entonces vamos a redefinirla. Decimos entonces que x multiplicado por el valor absoluto de x menos 6 será igual a x por x menos 6 si x menos 6 es mayor o igual a cero. Vamos a hacer de cuenta que esto es a. Entonces en la primera opción sale a porque estamos considerando que a es mayor o igual a cero. Y acá será x por menos a, es decir menos paréntesis x menos 6 si x menos 6 es menor que cero. Como vemos ya no tenemos aquí las barras del valor absoluto porque hemos aplicado la definición del valor absoluto. Esto nos va a quedar x por valor absoluto de x menos 6 es igual a. Aquí hacemos propiedad distributiva. Tenemos x al cuadrado menos 6x. Si aquí despejamos x, pasamos el 6 para el otro lado, pasaría a sumar con el cero y nos queda si x es mayor o igual a 6. Acá tenemos este negativo que entraría aquí. Entonces nos quedaría x por menos x más 6. Si aquí tendríamos x menor que 6. Nuevamente el 6 está restando paso a sumar al otro lado y nos queda que si x es menor que 6. Esto nos queda finalmente así. x al cuadrado menos 6x si x es mayor o igual a 6. Y acá hacemos propiedad distributiva con la x. x por menos x nos queda menos x al cuadrado. x por más 6 nos queda más 6x si x es menor que 6. Podríamos decir que esta expresión es igual. Bueno aquí queda lo mismo. Y aquí vamos a hacer lo siguiente. Vamos a sacar factor común en signo negativo. Entonces nos queda menos, abrimos paréntesis, x al cuadrado menos 6x. Si x es menor que 6. ¿Para qué hacemos esto? Esta expresión aquí también la tenemos igual pero con signo negativo. Luego lo que tenemos que realizar es el análisis de esta función que se trata de una función cuadrática, es decir, una parábola y tener en cuenta que aquí está la función positiva y acá está negativa. Es decir que para los valores de x mayores o iguales que 6, tendremos la función como da originalmente y para valores de x menores que 6 como tiene signo negativo, dará el reflejo de esa función con relación al eje x. Veamos. Allí tenemos la función cuadrática. Recordemos que la gráfica de toda función cuadrática es una parábola vertical. Entonces vamos a determinar los cortes con el eje x. Para eso, para determinar los cortes o intersecciones con el eje x, hacemos la función igual a 0 o y igual a 0. Es decir, x al cuadrado menos 6x lo igualamos con 0. Tenemos una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización. Aquí podemos sacar factor común x, factor común de x menos 6 y esto igual a 0. Como esto está aquí multiplicando, aplicamos el teorema del factor nulo. Es decir, si el producto de dos cantidades es igual a 0, la primera es igual a 0 o la segunda también es igual a 0. Por aquí ya tenemos un resultado, es decir, un corte con el eje x y por aquí tenemos el otro. x será igual a 6. Luego esa parábola corta el eje x en las abscisas 0 y 6. Sí, esa función corta el eje x en las abscisas 0 y 6, es decir, corta aquí y acá. Y sabemos que la gráfica de eso es una parábola, por cierto, una parábola que abre sus ramas hacia arriba, ya que el coeficiente de x al cuadrado que es 1 es un valor positivo. Entonces, lo más seguro es que nuestra gráfica tenga esta forma, que más o menos haga esto, que sea una parábola orientada con sus ramas hacia arriba. Luego, el punto medio del segmento que va entre 0 y 6, el punto medio de estas dos coordenadas, es decir, el 3, será el valor de x correspondiente a lo que se llama el vértice de la parábola. Vamos a determinar entonces cuál es la ordenada para esta abscisa 3. Veamos, y será igual a la abscisa 3 al cuadrado menos 6 por 3. Es decir, sustituimos el 3 en esta función, nos queda 9 menos 18 y esto nos da menos 9. Luego, esta ordenada será menos 9, la coordenada del vértice será 3, menos 9. Entonces, esta curva que tenemos en color rojo corresponde a y igual a x al cuadrado menos 6x. El negativo de esta expresión nos da una función que es el reflejo de esta curva con relación al eje x, es decir, algo como esto. Si hacemos de cuenta que la gráfica presenta un reflejo con relación al eje x, luego esta que hemos hecho en color azul corresponde a menos, abrimos paréntesis, x al cuadrado menos 6x. Es decir, el negativo de esta función. Lógicamente, como este punto se refleja acá, esto corresponde aquí a la ordenada 9. Entonces, con base en estas dos gráficas, es que vamos a determinar cómo queda la gráfica de la función que estamos analizando. Allí tenemos la función original y en lo que se había convertido usando la definición del valor absoluto. Aquí podemos apreciar esta función, x al cuadrado menos 6x es esta, que es la que tenemos en color rojo. Pero aquí dice que esa función, esa curva de color rojo, tiene validez si x es mayor o igual que 6. O sea, para valores de x mayores o iguales que 6, de 6 hacia acá. Es decir, que debemos borrar esta partecita de acá. Únicamente nos quedaría este pedacito de la gráfica de color rojo. Y la otra función, la que tenemos acá en color azul, esta, dice que tiene validez si x es menor que 6. Es decir, de 6 sin considerar el 6 hacia acá. Entonces debemos borrar este pedacito de acá y le colocamos aquí el nombre a la función y igual a menos paréntesis x al cuadrado menos 6x. Únicamente consideraríamos este pedazo de acá y dice que x es menor que 6, luego donde inicia debe ser la bolita abierta empatando con esta parte de la curva. Vamos a ver entonces la gráfica con mucho más detalle. Bien, aquí tenemos la gráfica de la función, ya con un plano cartesiano elaborado con más precisión, con escala, mostrando los puntos principales que habíamos obtenido. Recordemos que este es el punto 3,9 correspondiente al reflejo del vértice que nos había dado como por aquí, cuando la parábola originalmente abría sus ramas hacia arriba. Vamos a escribir aquí al lado de la función las dos expresiones a las cuales dio origen esto. Entonces tenemos la parte que está en color rojo, decía x al cuadrado menos 6x, si x es mayor o igual a 6. Y la parte que está en color azul corresponde a menos paréntesis x al cuadrado menos 6x, cerramos paréntesis si x es menor que 6. Recordemos que por el hecho de que aquí x es menor que 6, entonces aquí en el inicio el puntico, la coordenada 6,0 se toma abierta y se dirige la rama hacia acá. Pero este punto que es abierto con la parte azul es completado o digamos es llenado con el punto 6,0 que se toma en la parte roja. Luego la función es perfectamente continua, si no tiene ningún punto aquí de interrupción o de discontinuidad. Algo que también podemos determinar de esta gráfica es el rango de la función, como para complementar todos los elementos de la función. Dicimos al comienzo que el dominio era el conjunto de los números reales, si los x que pertenecen al conjunto de los reales. En la gráfica podemos apreciar que el rango son los valores de y pertenecientes al conjunto de los números reales también. Veamos por qué, esta parte de la curva nos dice que participan valores desde 9 hacia abajo, es decir desde menos infinito hasta 9. Esta parte nos dice que participan entre 0 y 9 y esta parte roja que apunta hacia arriba nos dice que participan desde 0 hasta más infinito. Con conclusión participan todos los valores del eje vertical, es decir todos los reales. Para finalizar vamos a mirar esta gráfica elaborada con un programa de computador. Aquí podemos apreciar la gráfica de la función realizada con un programa graficador en el computador. Vemos la forma de la gráfica, como decía es una gráfica continua, esta parte de la gráfica termina aquí en 6 en el punto 6,0 e inmediatamente empata con la otra parte de la gráfica que sigue hacia arriba. Aquí vemos el punto 3,9 que correspondía al reflejo del vértice de la parábola original. Entonces esto nos complementa todo el análisis que hemos realizado de nuestra función.
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los puntos principales que hab\u00edamos obtenido."}, {"start": 494.7, "end": 507.7, "text": " Recordemos que este es el punto 3,9 correspondiente al reflejo del v\u00e9rtice que nos hab\u00eda dado como por aqu\u00ed, cuando la par\u00e1bola originalmente abr\u00eda sus ramas hacia arriba."}, {"start": 507.7, "end": 513.7, "text": " Vamos a escribir aqu\u00ed al lado de la funci\u00f3n las dos expresiones a las cuales dio origen esto."}, {"start": 513.7, "end": 522.7, "text": " Entonces tenemos la parte que est\u00e1 en color rojo, dec\u00eda x al cuadrado menos 6x, si x es mayor o igual a 6."}, {"start": 522.7, "end": 533.7, "text": " Y la parte que est\u00e1 en color azul corresponde a menos par\u00e9ntesis x al cuadrado menos 6x, cerramos par\u00e9ntesis si x es menor que 6."}, {"start": 533.7, "end": 545.7, "text": " Recordemos que por el hecho de que aqu\u00ed x es menor que 6, entonces aqu\u00ed en el inicio el puntico, la coordenada 6,0 se toma abierta y se dirige la rama hacia ac\u00e1."}, {"start": 545.7, "end": 554.7, "text": " Pero este punto que es abierto con la parte azul es completado o digamos es llenado con el punto 6,0 que se toma en la parte roja."}, {"start": 554.7, "end": 561.7, "text": " Luego la funci\u00f3n es perfectamente continua, si no tiene ning\u00fan punto aqu\u00ed de interrupci\u00f3n o de discontinuidad."}, {"start": 561.7, "end": 569.7, "text": " Algo que tambi\u00e9n podemos determinar de esta gr\u00e1fica es el rango de la funci\u00f3n, como para complementar todos los elementos de la funci\u00f3n."}, {"start": 569.7, "end": 575.7, "text": " Dicimos al comienzo que el dominio era el conjunto de los n\u00fameros reales, si los x que pertenecen al conjunto de los reales."}, {"start": 575.7, "end": 583.7, "text": " En la gr\u00e1fica podemos apreciar que el rango son los valores de y pertenecientes al conjunto de los n\u00fameros reales tambi\u00e9n."}, {"start": 583.7, "end": 592.7, "text": " Veamos por qu\u00e9, esta parte de la curva nos dice que participan valores desde 9 hacia abajo, es decir desde menos infinito hasta 9."}, {"start": 592.7, "end": 602.7, "text": " Esta parte nos dice que participan entre 0 y 9 y esta parte roja que apunta hacia arriba nos dice que participan desde 0 hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 602.7, "end": 607.7, "text": " Con conclusi\u00f3n participan todos los valores del eje vertical, es decir todos los reales."}, {"start": 607.7, "end": 612.7, "text": " Para finalizar vamos a mirar esta gr\u00e1fica elaborada con un programa de computador."}, {"start": 612.7, "end": 618.7, "text": " Aqu\u00ed podemos apreciar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n realizada con un programa graficador en el computador."}, {"start": 618.7, "end": 632.7, "text": " Vemos la forma de la gr\u00e1fica, como dec\u00eda es una gr\u00e1fica continua, esta parte de la gr\u00e1fica termina aqu\u00ed en 6 en el punto 6,0 e inmediatamente empata con la otra parte de la gr\u00e1fica que sigue hacia arriba."}, {"start": 632.7, "end": 638.7, "text": " Aqu\u00ed vemos el punto 3,9 que correspond\u00eda al reflejo del v\u00e9rtice de la par\u00e1bola original."}, {"start": 638.7, "end": 648.7, "text": " Entonces esto nos complementa todo el an\u00e1lisis que hemos realizado de nuestra funci\u00f3n."}]