92. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 13)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 92: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 13).

Un jugador de baloncesto se sitúa a 14 m de la canasta. Desde allí lanza un tiro, liberando el balón a una altura de 2.20 m y con un ángulo de 30° por encima de la horizontal. Si desde el piso hasta la canasta hay 3.05 m, ¿Cuál debe ser la velocidad inicial del balón para encestar sin tocar el tablero? 

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema tenemos el jugador de baloncesto, aquí tenemos la canasta y él desea realizar un tiro de tal manera que enceste sin tocar el tablero. Entonces veamos las características de este movimiento, es decir, vamos a anotar los datos que nos da el problema. El momento en que la pelota sale, en este instante, tenemos una distancia a la cesta, es decir, una distancia horizontal de 14 metros. Si, esa es la información que nos da el problema. Tenemos también que el balón es liberado a una altura de 2 metros con 20 centímetros, y también el balón sale con una velocidad inicial que es lo que debemos determinar que forma un ángulo de 30 grados con respecto de una línea horizontal imaginaria. Si la trayectoria que queremos para el balón es una trayectoria parabólica, más o menos como esta, queremos que el balón entre a la canasta sin tocar el tablero, y tenemos el balón. Y nos dice también el problema que la altura de la canasta es de 3.05 metros, de la canasta al suelo tenemos esa altura. Entonces, vamos a enmarcar este problema, como siempre, en el primer cuadrante del plano cartesiano. Vamos a trazar nuestro eje Y por aquí, en metros, y nuestro eje X por acá, haciéndolo coincidir con el piso, ese eje X también en metros, y llamamos tiempo cero, el momento en que el balón es lanzado, y vamos a llamar tiempo igual a T1, el momento en que llega a la canasta. Vamos a hacer entonces este mismo dibujo, un poco más simplificado, para que pasemos a construir las ecuaciones cinemáticas. Bien, allí tenemos el dibujo más simplificado con la información necesaria, y entonces procedemos a construir la ecuación de posición en Y, escribimos el modelo y reemplazamos la información que se conoce. Entonces, tenemos la gravedad que se toma como 10 metros por segundo cuadrado, la velocidad inicial no la conocemos, es la pregunta del ejercicio. Conocemos el ángulo que es 30 grados, en este caso es un ángulo positivo, porque vemos que se mide por encima de la horizontal, y lo que es Y sub cero sería 2.20, es decir, la altura desde donde sale el balón, con respecto al nivel del suelo. Recordemos que en el tiempo cero, esta es la posición del balón, es decir, corresponde a Y sub cero igual a 2.20. El cero de 30 grados equivale a un medio que podemos tomar como 0.5, entonces la ecuación de posición en Y nos queda así, y la vamos a llamar la ecuación número 1, entonces esta ecuación vamos a escribirla por acá. Aquí la tenemos, y a continuación vamos a construir la ecuación de posición en X. En realidad no necesitamos obtener la ecuación de velocidad en Y, puesto que no nos preguntan la velocidad en un momento posterior al lanzamiento, nos interesa básicamente manejar los datos de posición con que contamos. Entonces, procedemos con la ecuación de posición en X, aquí tenemos el modelo y reemplazamos lo que se conoce, velocidad inicial es desconocida, conocemos el ángulo theta que es 30 grados por el tiempo más X sub cero que vale 0, en el tiempo cero la posición del balón en X vale 0, el coser de 30 grados lo podemos aproximar a 0.87, y entonces la ecuación de posición en X nos queda así, esta será entonces la ecuación número 2 y la vamos a escribir por aquí. Y ya tenemos, y después de tener esas dos ecuaciones cinemáticas que son las de posición, procedemos con el análisis del problema. Entonces, decimos que cuando el tiempo es igual a T1, es decir, en este instante cuando el basquetbolista hace la canasta, tenemos que la posición en X vale 14 metros, conocemos la posición en X del balón. Esta información la vamos a sustituir en la ecuación número 2, escribimos dicha ecuación y reemplazamos allí la información que tenemos. X se cambia por 14 y el tiempo se sustituye por T1, de allí vamos a despejar T1 para que nos quede en términos de la velocidad inicial, esto será igual a 14 dividido entre 0.87 por la velocidad inicial. Si resolvemos el calculador a 14 dividido entre 0.87, eso nos da 16.09 y esto queda sobre la velocidad inicial. Entonces tenemos una expresión para T1 que vamos a escribir por aquí, 16.09 sobre la velocidad inicial. Bien, ahora decimos que cuando el tiempo es igual a T1 que nos dio 16.09 sobre la velocidad inicial, tenemos que la posición Y del balón vale 3.05, es decir la altura de la canasta con respecto del piso. Esta información vamos a reemplazarla en la ecuación número 1, entonces la escribimos y vamos a reemplazar allí la información que tenemos. Donde está Y escribimos 3.05, donde tenemos T vamos a escribir 16.09 sobre la velocidad inicial, aquí va al cuadrado, más 0.5 por la velocidad inicial por el tiempo que es 16.09 sobre la velocidad inicial y esto más 2.20. Nos queda entonces 3.05 es igual a menos 5 por, aquí el cuadrado afecta al numerador y al denominador, 16.09 elevado al cuadrado nos da 258.89 y en el denominador nos queda la velocidad inicial al cuadrado, más aquí en este término podemos simplificar la velocidad inicial, la podemos eliminar por estar arriba y abajo, entonces nos queda 0.5 por 16.09 y eso nos da 8.05 más 2.20, esto nos queda 3.05 es igual, aquí multiplicamos los numeradores, nos queda menos 1294.45, en el denominador nos queda la velocidad inicial al cuadrado y la suma de estos dos números nos da 10.25. Vamos a continuar entonces por acá, pasamos este número que está sumando al lado izquierdo a restar, nos queda 3.05 menos 10.25 igual a menos 1294.45, todo esto sobre la velocidad inicial al cuadrado, resolvemos esta resta, eso nos da menos 7.2 igual a menos 1294.45 sobre la velocidad inicial al cuadrado, de allí tenemos que hacer el despeje de la velocidad inicial, entonces podemos hacer esto, esta cantidad que está dividiendo la pasamos a multiplicar, nos queda menos 7.2 por la velocidad inicial al cuadrado igual a este número negativo, despejamos velocidad inicial al cuadrado, menos 7.2 que está multiplicando pasa a dividir al lado derecho, efectuando esa división nos da como resultado 179.78 aproximando a dos decimales y finalmente para despejar la velocidad inicial sacamos la raíz cuadrada de 179.78 y nos da una velocidad inicial para el balón de 13.41 y esto en metros por segundo, entonces esta es la respuesta al problema, si la velocidad inicial con la que debe lanzarse el balón para encestar es de 13.41 metros por segundo. ¡Suscríbete al canal!
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