INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y PARTES - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando los Métodos de Sustitución y Partes.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida. Comenzamos revisando si se puede efectuar en forma directa. Vemos que no es posible porque la expresión está bastante compleja. Entonces vamos a utilizar los métodos de integración. Comenzamos aplicando el de sustitución. Vamos a cambiar x al cuadrado por otra letra. Entonces utilizamos el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Entonces decimos por ejemplo que t es igual a x al cuadrado. Allí utilizamos una nueva letra, en este caso t, y esto vamos a derivarlo con respecto a x. Entonces decimos derivada de t con respecto de x será igual a la derivada de x al cuadrado que es 2x. Y de allí vamos a despejar el diferencial dx. Nos queda entonces dt igual a 2x por dx. Esto que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y de allí despejamos dx. Entonces 2x que está multiplicando pasa a este lado a dividir. Nos queda que dx es igual a dt sobre 2x. Con estos dos componentes vamos a reconstruir la integral. Nos queda de la siguiente manera. Tenemos x al cubo, eso se deja igual, por coseno de x al cuadrado, pero allí cambiamos x al cuadrado por t. Y eso por el diferencial dx que nos dio dt sobre 2x. Allí podemos simplificar esa expresión. Por ejemplo podemos cancelar esta x, con una x de acá nos va a quedar x al cuadrado y también podemos extraer este 2. Nos queda por fuera de la integral como un medio. Entonces eso multiplica con la integral de x al cuadrado por coseno de t por dt. Pero x al cuadrado equivale a t. Entonces se hace nuevamente la sustitución. Y eso nos queda de la siguiente forma. Un medio por la integral de t que multiplica con coseno de t y acompañado del diferencial dt. Vamos a anotar esto por aquí y esta integral por allá. Tenemos ahora una nueva integral que depende de t y que vamos a resolver utilizando el método de integración por partes. Tenemos aquí dos funciones. Una de tipo algebraico y otra de tipo trigonométrico. Entonces aplicamos ilate para determinar cual de las dos expresiones será u. Tenemos entonces una función algebraica y otra trigonométrica. De izquierda a derecha la primera que nos encontramos de esas dos es la algebraica. Por lo tanto t hará el papel de u. Anotamos eso por aquí. U será igual a t y en seguida derivamos esta expresión con respecto a la variable t. Derivada de u con respecto a t. O sea la derivada de t nos da 1. Y de allí despejamos du. Para ello dt que está dividiendo pasa a multiplicar con 1 y nos queda igual a dt. Ya tenemos entonces que t hace el papel de u. El resto de la expresión hace el papel de dv. Entonces dv será igual a cos t con su diferencial dt. Esto tenemos que integrarlo a ambos lados. Entonces integral de dv igual a la integral de cos dt con su diferencial dt. Resolvemos entonces ambas integrales. Integral de dv nos da v y la integral de cos dt nos da sen dt. Estos cuatro componentes que hemos encerrado son los que conforman la fórmula de integración por partes. Vamos a recordarla. La integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du. Recordemos que para aprender fácilmente esa fórmula decimos que esto es igual a una paca menos la integral vestida de uniforme. Entonces allí vamos a reemplazar cada uno de estos elementos. Tenemos que u equivale a t. Entonces nos queda t por dv. Aquí lo tenemos. Es cos dt por el diferencial dt. Allí nos aparece esta integral y esto será igual a u que equivale a t por v. Pero v nos dio sen dt. Y eso menos la integral de v que es sen dt y eso multiplicado por du. Pero du nos dio dt. Aquí debemos resolver esta integral que es directa. La integral de sen dt nos da menos cos dt. Entonces la expresión que corresponde a esa integral nos queda así. T por sen dt. T sen dt. Y aquí tenemos menos menos cos dt que nos queda más cos dt. Entonces todo esto será el resultado para esta integral que es la que tenemos aquí. Por lo tanto podemos continuar con el desarrollo del ejercicio. Tenemos un medio que multiplica con el resultado de esa integral y que nos dio t sen dt más cos dt. Protegemos eso con paréntesis. Ahora lo que hacemos en esta expresión es cambiar t por su equivalente que es x al cuadrado. En otras palabras deshacemos el cambio de variable. Nos queda un medio por t que es x al cuadrado. Eso a su vez multiplica con sen dt. O sea sen x al cuadrado más cos dt. Cos x al cuadrado. Cerramos el paréntesis y anotamos la constante de integración para obtener así la respuesta de este ejercicio. Esta expresión es el resultado para esa integral indefinida.
[{"start": 0.0, "end": 8.2, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida."}, {"start": 8.2, "end": 12.16, "text": " Comenzamos revisando si se puede efectuar en forma directa."}, {"start": 12.16, "end": 17.04, "text": " Vemos que no es posible porque la expresi\u00f3n est\u00e1 bastante compleja."}, {"start": 17.04, "end": 20.76, "text": " Entonces vamos a utilizar los m\u00e9todos de integraci\u00f3n."}, {"start": 20.76, "end": 22.88, "text": " Comenzamos aplicando el de sustituci\u00f3n."}, {"start": 22.88, "end": 26.12, "text": " Vamos a cambiar x al cuadrado por otra letra."}, {"start": 26.12, "end": 31.92, "text": " Entonces utilizamos el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n conocido tambi\u00e9n como cambio de variable."}, {"start": 31.92, "end": 36.92, "text": " Entonces decimos por ejemplo que t es igual a x al cuadrado."}, {"start": 36.92, "end": 44.2, "text": " All\u00ed utilizamos una nueva letra, en este caso t, y esto vamos a derivarlo con respecto"}, {"start": 44.2, "end": 45.68, "text": " a x."}, {"start": 45.68, "end": 52.52, "text": " Entonces decimos derivada de t con respecto de x ser\u00e1 igual a la derivada de x al cuadrado"}, {"start": 52.52, "end": 54.040000000000006, "text": " que es 2x."}, {"start": 54.04, "end": 57.76, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar el diferencial dx."}, {"start": 57.76, "end": 62.58, "text": " Nos queda entonces dt igual a 2x por dx."}, {"start": 62.58, "end": 68.36, "text": " Esto que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y de all\u00ed despejamos dx."}, {"start": 68.36, "end": 72.72, "text": " Entonces 2x que est\u00e1 multiplicando pasa a este lado a dividir."}, {"start": 72.72, "end": 79.18, "text": " Nos queda que dx es igual a dt sobre 2x."}, {"start": 79.18, "end": 83.94, "text": " Con estos dos componentes vamos a reconstruir la integral."}, {"start": 83.94, "end": 86.64, "text": " Nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 86.64, "end": 93.64, "text": " Tenemos x al cubo, eso se deja igual, por coseno de x al cuadrado, pero all\u00ed cambiamos"}, {"start": 93.64, "end": 95.48, "text": " x al cuadrado por t."}, {"start": 95.48, "end": 102.08, "text": " Y eso por el diferencial dx que nos dio dt sobre 2x."}, {"start": 102.08, "end": 105.03999999999999, "text": " All\u00ed podemos simplificar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 105.03999999999999, "end": 111.24, "text": " Por ejemplo podemos cancelar esta x, con una x de ac\u00e1 nos va a quedar x al cuadrado y"}, {"start": 111.24, "end": 113.7, "text": " tambi\u00e9n podemos extraer este 2."}, {"start": 113.7, "end": 117.92, "text": " Nos queda por fuera de la integral como un medio."}, {"start": 117.92, "end": 127.64, "text": " Entonces eso multiplica con la integral de x al cuadrado por coseno de t por dt."}, {"start": 127.64, "end": 131.58, "text": " Pero x al cuadrado equivale a t."}, {"start": 131.58, "end": 135.24, "text": " Entonces se hace nuevamente la sustituci\u00f3n."}, {"start": 135.24, "end": 137.86, "text": " Y eso nos queda de la siguiente forma."}, {"start": 137.86, "end": 146.28, "text": " Un medio por la integral de t que multiplica con coseno de t y acompa\u00f1ado del diferencial"}, {"start": 146.28, "end": 147.82000000000002, "text": " dt."}, {"start": 147.82000000000002, "end": 152.46, "text": " Vamos a anotar esto por aqu\u00ed y esta integral por all\u00e1."}, {"start": 152.46, "end": 158.3, "text": " Tenemos ahora una nueva integral que depende de t y que vamos a resolver utilizando el m\u00e9todo"}, {"start": 158.3, "end": 160.92000000000002, "text": " de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 160.92000000000002, "end": 162.82000000000002, "text": " Tenemos aqu\u00ed dos funciones."}, {"start": 162.82000000000002, "end": 167.44000000000003, "text": " Una de tipo algebraico y otra de tipo trigonom\u00e9trico."}, {"start": 167.44, "end": 174.28, "text": " Entonces aplicamos ilate para determinar cual de las dos expresiones ser\u00e1 u."}, {"start": 174.28, "end": 179.12, "text": " Tenemos entonces una funci\u00f3n algebraica y otra trigonom\u00e9trica."}, {"start": 179.12, "end": 184.68, "text": " De izquierda a derecha la primera que nos encontramos de esas dos es la algebraica."}, {"start": 184.68, "end": 188.56, "text": " Por lo tanto t har\u00e1 el papel de u."}, {"start": 188.56, "end": 190.36, "text": " Anotamos eso por aqu\u00ed."}, {"start": 190.36, "end": 198.16000000000003, "text": " U ser\u00e1 igual a t y en seguida derivamos esta expresi\u00f3n con respecto a la variable t."}, {"start": 198.16000000000003, "end": 199.92000000000002, "text": " Derivada de u con respecto a t."}, {"start": 199.92000000000002, "end": 202.60000000000002, "text": " O sea la derivada de t nos da 1."}, {"start": 202.60000000000002, "end": 205.20000000000002, "text": " Y de all\u00ed despejamos du."}, {"start": 205.20000000000002, "end": 212.16000000000003, "text": " Para ello dt que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar con 1 y nos queda igual a dt."}, {"start": 212.16000000000003, "end": 215.36, "text": " Ya tenemos entonces que t hace el papel de u."}, {"start": 215.36, "end": 219.84, "text": " El resto de la expresi\u00f3n hace el papel de dv."}, {"start": 219.84, "end": 225.28, "text": " Entonces dv ser\u00e1 igual a cos t con su diferencial dt."}, {"start": 225.28, "end": 228.6, "text": " Esto tenemos que integrarlo a ambos lados."}, {"start": 228.6, "end": 237.68, "text": " Entonces integral de dv igual a la integral de cos dt con su diferencial dt."}, {"start": 237.68, "end": 239.56, "text": " Resolvemos entonces ambas integrales."}, {"start": 239.56, "end": 246.4, "text": " Integral de dv nos da v y la integral de cos dt nos da sen dt."}, {"start": 246.4, "end": 251.88, "text": " Estos cuatro componentes que hemos encerrado son los que conforman la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n"}, {"start": 251.88, "end": 253.20000000000002, "text": " por partes."}, {"start": 253.20000000000002, "end": 254.44, "text": " Vamos a recordarla."}, {"start": 254.44, "end": 264.0, "text": " La integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du."}, {"start": 264.0, "end": 269.66, "text": " Recordemos que para aprender f\u00e1cilmente esa f\u00f3rmula decimos que esto es igual a una paca"}, {"start": 269.66, "end": 273.6, "text": " menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 273.6, "end": 277.28000000000003, "text": " Entonces all\u00ed vamos a reemplazar cada uno de estos elementos."}, {"start": 277.28000000000003, "end": 280.48, "text": " Tenemos que u equivale a t."}, {"start": 280.48, "end": 283.0, "text": " Entonces nos queda t por dv."}, {"start": 283.0, "end": 284.0, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 284.0, "end": 288.48, "text": " Es cos dt por el diferencial dt."}, {"start": 288.48, "end": 295.48, "text": " All\u00ed nos aparece esta integral y esto ser\u00e1 igual a u que equivale a t por v."}, {"start": 295.48, "end": 298.68, "text": " Pero v nos dio sen dt."}, {"start": 298.68, "end": 306.92, "text": " Y eso menos la integral de v que es sen dt y eso multiplicado por du."}, {"start": 306.92, "end": 309.8, "text": " Pero du nos dio dt."}, {"start": 309.8, "end": 313.48, "text": " Aqu\u00ed debemos resolver esta integral que es directa."}, {"start": 313.48, "end": 318.04, "text": " La integral de sen dt nos da menos cos dt."}, {"start": 318.04, "end": 322.64, "text": " Entonces la expresi\u00f3n que corresponde a esa integral nos queda as\u00ed."}, {"start": 322.64, "end": 324.4, "text": " T por sen dt."}, {"start": 324.4, "end": 325.4, "text": " T sen dt."}, {"start": 325.4, "end": 332.44, "text": " Y aqu\u00ed tenemos menos menos cos dt que nos queda m\u00e1s cos dt."}, {"start": 332.44, "end": 339.59999999999997, "text": " Entonces todo esto ser\u00e1 el resultado para esta integral que es la que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 339.59999999999997, "end": 343.91999999999996, "text": " Por lo tanto podemos continuar con el desarrollo del ejercicio."}, {"start": 343.91999999999996, "end": 352.56, "text": " Tenemos un medio que multiplica con el resultado de esa integral y que nos dio t sen dt m\u00e1s"}, {"start": 352.56, "end": 354.44, "text": " cos dt."}, {"start": 354.44, "end": 357.16, "text": " Protegemos eso con par\u00e9ntesis."}, {"start": 357.16, "end": 363.64, "text": " Ahora lo que hacemos en esta expresi\u00f3n es cambiar t por su equivalente que es x al cuadrado."}, {"start": 363.64, "end": 366.96, "text": " En otras palabras deshacemos el cambio de variable."}, {"start": 366.96, "end": 370.96, "text": " Nos queda un medio por t que es x al cuadrado."}, {"start": 370.96, "end": 373.12, "text": " Eso a su vez multiplica con sen dt."}, {"start": 373.12, "end": 377.56, "text": " O sea sen x al cuadrado m\u00e1s cos dt."}, {"start": 377.56, "end": 379.72, "text": " Cos x al cuadrado."}, {"start": 379.72, "end": 386.56, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y anotamos la constante de integraci\u00f3n para obtener as\u00ed la respuesta"}, {"start": 386.56, "end": 388.36, "text": " de este ejercicio."}, {"start": 388.36, "end": 417.64, "text": " Esta expresi\u00f3n es el resultado para esa integral indefinida."}]