FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c.

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 Vamos a factorizar este trinomio. Para ello, lo primero que hacemos es revisar si existe factor común, es decir, algún número o alguna letra que se pueda extraer de cada uno de esos tres términos. Si hacemos la revisión vemos que eso no es posible. Entonces vamos a examinar los casos de factorización correspondientes a trinomios. Comenzamos revisando si se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Lo primero que tenemos que garantizar para este caso es que el trinomio esté organizado en forma ascendente o descendente. En este caso vemos que está ordenado en forma descendente o decreciente. El otro requisito es que el primer término y el tercero sean positivos. Esa condición vemos que se cumple. Y también esos términos deben ser cuadrados perfectos, es decir, deben tener raíz cuadrada exacta. Para el caso del primer término, 30 no es un número que tenga raíz cuadrada exacta y 14 tampoco cumple con esa condición. Por lo tanto, descartamos que se trate de un trinomio cuadrado perfecto. Revisamos ahora si se trata de un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Recordemos que la característica principal de este trinomio es que debe tener coeficiente principal 1. Y acá tenemos el número 30. Entonces no es este caso. Nos queda entonces este, un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, donde el coeficiente principal, en este caso a, que está representado por 30, es una cantidad diferente de 1. Entonces vamos a utilizar este caso de factorización. Comenzamos multiplicando y dividiendo el trinomio por su coeficiente principal, es decir, por 30. Entonces tendremos 30 que multiplica al trinomio. Y todo eso nos queda sobre 30. Entonces repetimos, primer paso es multiplicar y dividir el trinomio original por su coeficiente principal. A continuación aplicamos la propiedad distributiva en el numerador, teniendo cuidado de dejar la operación indicada en el segundo término. Tanto en el primero como en el tercero, la multiplicación se efectúa normalmente. Entonces tenemos 30 por 30x al cuadrado es 900x al cuadrado. Vamos al segundo término, más por menos nos da menos. 30 por 47x pasa a lo siguiente. El 30 entra y se agrupa con la x y por fuera dejamos el coeficiente original, o sea el número 47. Y luego 30 por más 14 nos da más 420. Y todo eso continúa sobre 30. Entonces repetimos, se aplica la propiedad distributiva dejando expresada o indicada la multiplicación en el segundo término. A continuación vamos a expresar el primer término como el cuadrado de lo que nos quedó encerrado en paréntesis en el segundo término. Es decir, que 900x al cuadrado se puede escribir como 30x, esto que está en paréntesis, elevado al cuadrado. Si aquí repartimos el exponente 2 porque aquí hay multiplicación, tendremos 30 al cuadrado que es 900 y acompañado de x al cuadrado. Lo demás permanece tal como está. Y todo eso continúa sobre 30. Enseguida vamos a utilizar un recurso bastante útil que se conoce como cambio de variable y que consiste en sustituir este componente que se repite, o sea 30x por una nueva letra. Vamos a utilizar por ejemplo la letra P. P es igual a 30x y con eso vamos a reescribir la expresión. Nos queda entonces en el numerador P al cuadrado, luego tenemos menos 47 por P, cambiando 30x por P, luego más 420 y todo eso continúa sobre 30. Ahora, en el numerador tenemos un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Recordemos que se distingue porque tiene coeficiente principal 1. Entonces vamos a factorizar esa expresión. Abrimos dos paréntesis multiplicando entre sí. Extraemos la raíz cuadrada del primer término, o sea la raíz cuadrada de P al cuadrado que nos da P. Luego definimos los signos. Aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos y menos por más nos da menos. Enseguida debemos buscar dos números negativos que multiplicados entre sí nos de como resultado 420 y que al sumarlos nos de menos 47. Para encontrar esos números hacemos lo siguiente. Escribimos 420 que proviene de la multiplicación 30x14 y vamos a descomponer estos números. 30 será 2x3x5, o sea 6x5 que nos da 30 y 14 es 2x7. Y de aquí vamos a empezar a buscar parejas de números que nos de como resultado la suma menos 47. Ya sabemos que los dos números son negativos. Comenzamos ensayando esta posibilidad. Tomamos estos dos números y estos tres. 2x3 es 6 y 5x2 es 10, 10x7 es 70. Hacemos la suma de ellos, nos da 76, nos sirve porque necesitamos que nos de 47, por lo tanto se descarta. Miramos otra posibilidad. Tomamos estos tres números estos dos. 2x3 es 6, 6x5 es 30 y 2x7 que es 14. La suma de estos números es 44. Tampoco sirve porque necesitamos que nos de 47. Ensayamos otra. Tomemos estos dos números 2x5 que es 10 y estos tres que nos quedan 3x2 es 6, 6x7 es 42. La suma de ellos nos da 52. Tampoco sirve. Intentamos otra posibilidad. Tomemos estos dos números. 5x7 es 35 y los que nos quedan 2x3 es 6, 6x2 es 12. La suma de ellos nos da 47. Entonces allí están los dos números buscados. Menos 35 y menos 12. Si se multiplican entre sí nos da como resultado más 420 y si se suman nos da menos 47. Y todo eso continúa sobre 30. Después de haber factorizado el numerador de la expresión, deshacemos el cambio de variable. Ahora donde tenemos P vamos a escribir 30x. Entonces nos queda 30x menos 35 en el primer paréntesis y 30x menos 12 en el segundo paréntesis. Y todo eso continúa sobre 30. A continuación revisamos cada uno de los factores obtenidos en el numerador para ver en cuál de ellos hay factor común. Si revisamos el primero vemos que el número 5 puede extraerse de esos dos términos. Si sale el 5 nos queda factor de 6x menos 7. Y en el segundo factor, en el segundo paréntesis, si revisamos con atención vemos que el factor común es el máximo común divisor de 30 y 12 que será el número 6. Entonces si sale 6 nos queda en el primer término 5x y en el segundo término nos queda menos 2. Allí entonces hemos extraído el factor común en cada uno de esos dos paréntesis. Y todo eso continúa sobre 30. Ahora revisamos que se puede simplificar allí. Vemos que 5x6 nos da 30. Entonces estos dos números se pueden cancelar o eliminar con el 30 que tenemos en el denominador y nos queda la expresión 6x menos 7 por 5x menos 2. Y esta será la factorización de ese trinomio. Escrevemos por acá el resultado obtenido y enseguida vamos a realizar la prueba de este ejercicio. Para ello vamos a realizar la multiplicación de estos dos binomios. Comenzamos entonces aplicando la propiedad distributiva con el término 6x. Veamos 6x por 5x nos da 30x al cuadrado. 6x por menos 2 nos da menos 12x. Ahora vamos a distribuir este término menos 7. Tenemos menos 7 por 5x es menos 35x y menos 7 por menos 2 nos da como resultado más 14. Allí observamos términos semejantes. Estos dos que contienen la x. Entonces se pueden operar entre sí. Nos queda 30x al cuadrado. Acá menos 12x menos 35x nos da menos 47x y por último el término independiente que es más 14. Vemos entonces que se ha obtenido la expresión original. Por lo tanto esta factorización es correcta. Así terminamos este ejercicio.
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Entonces estos dos n\u00fameros se pueden"}, {"start": 550.24, "end": 556.5999999999999, "text": " cancelar o eliminar con el 30 que tenemos en el denominador y nos queda la expresi\u00f3n"}, {"start": 556.6, "end": 568.32, "text": " 6x menos 7 por 5x menos 2. Y esta ser\u00e1 la factorizaci\u00f3n de ese trinomio. Escrevemos"}, {"start": 568.32, "end": 576.08, "text": " por ac\u00e1 el resultado obtenido y enseguida vamos a realizar la prueba de este ejercicio."}, {"start": 576.08, "end": 582.6800000000001, "text": " Para ello vamos a realizar la multiplicaci\u00f3n de estos dos binomios. Comenzamos entonces"}, {"start": 582.68, "end": 592.92, "text": " aplicando la propiedad distributiva con el t\u00e9rmino 6x. Veamos 6x por 5x nos da 30x al"}, {"start": 592.92, "end": 602.64, "text": " cuadrado. 6x por menos 2 nos da menos 12x. Ahora vamos a distribuir este t\u00e9rmino menos"}, {"start": 602.64, "end": 616.52, "text": " 7. 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