DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo obtener la segunda derivada de una función racional.

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 Vamos a encontrar la segunda derivada de esta función que nos dan, una función de tipo racional. Comenzamos por determinar f' de x, es decir, la primera derivada. Y para ello vamos a utilizar la regla del cociente. Si tenemos un cociente de expresiones a sobre b, entonces la derivada de eso se construye de la siguiente manera. Trazamos una línea para ensamblar una fracción. En la parte de arriba tenemos a' por b, es decir, la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos a por b'. O sea, el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre b², es decir, sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces, siguiendo este modelo, vamos a derivar esta función. Tenemos entonces lo siguiente. Trazamos la línea y comenzamos con la derivada del numerador. Derivada de x²-1 es 2x. Esto multiplicado por el denominador sin derivar, entonces lo escribimos entre paréntesis, menos el numerador sin derivar, también protegido con paréntesis. Y esto multiplicado por la derivada del denominador. Derivada de x²-1 es 2x. Y todo esto nos queda sobre el denominador que es x²-1 entre paréntesis elevado al cuadrado. Allí hemos aplicado este modelo. Enseguida vamos a resolver esto que nos quedó en el numerador de la expresión. Veamos entonces cómo nos queda f' de x. Vamos a utilizar el algebra. Aquí aplicamos propiedad distributiva. Entonces tenemos 2x por x² es 2x³. Luego 2x por más 1 es más 2x. Y acá también tenemos un monomio que multiplica a este binomio. Vamos a aplicar de nuevo la propiedad distributiva pero teniendo cuidado con este signo negativo que también se distribuye en esta dirección. O sea que nos va a cambiar los signos de este binomio. Veamos entonces 2x por x² nos da 2x³ pero con este signo menos nos queda menos 2x³. Ahora 2x por menos 1 nos da menos 2x. Con este negativo tenemos más 2x. Y todo esto nos queda sobre la misma expresión. x² más 1 y todo esto elevado al cuadrado. Cabe notar que esto que tenemos en el denominador se deja indicado. No es necesario desarrollarlo. Notamos que en el numerador de la expresión hay términos semejantes. Por ejemplo 2x³ con menos 2x³ son términos opuestos que se eliminan. La suma entre ellos nos da cero. Y tenemos estos dos términos que también son semejantes y que se pueden sumar entre sí. Entonces f' de x la primera derivada de la función nos va a quedar 2x más 2x que es 4x en el numerador y en el denominador la misma expresión. x² más 1 todo esto elevado al cuadrado. Ya hemos encontrado la primera derivada de la función original. Ahora tenemos que derivar nuevamente esta expresión para encontrar la segunda derivada. O sea lo que nos pide este ejercicio. Tenemos entonces que para derivar esta expresión se utiliza otra vez la regla del cociente. Veamos cómo nos queda. Trazamos la línea de la fracción. Comenzamos con la derivada del numerador. Derivada de 4x es 4. Por el denominador sin derivar. Y allí vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias. Vamos a recordar el modelo. Si tenemos una expresión que simbolizamos con una manzanita elevada al exponente n. Entonces su derivada se construye de la siguiente manera. Baja el exponente n a multiplicar a la manzanita elevada al exponente n menos 1. Vemos que la manzanita permanece intacta. Y esto se multiplica por la derivada de la manzanita. O sea lo que se conoce como la derivada interna. En este caso la derivada de la base. Esto es la regla de la cadena para potencias. Y vamos a utilizarla para derivar este componente. En este caso la manzanita es x al cuadrado más 1. Y n es 2. Seguimos entonces este modelo. Y nos queda así. Baja el exponente 2 a multiplicar a x al cuadrado más 1. Esto queda elevado al exponente 2 menos 1. Que es 1 y que podemos omitir. Y esto multiplicado por la derivada interna. O sea la derivada de x al cuadrado más 1. Que es 2x. Allí hemos aplicado esta regla de la cadena para potencias. Para derivar el denominador. Y todo esto nos queda sobre el denominador elevado al cuadrado. Es decir toda esta expresión encerrada entre corchetes y elevada al cuadrado. En seguida vamos a utilizar el álgebra para expresar todo esto de una manera más sencilla. Veamos cómo nos queda la segunda derivada. En el numerador podemos extraer factor común. Tenemos dos términos donde se repite el número 4. Y donde está repetida la expresión x al cuadrado más 1. Entonces puede salir la de menor exponente. O sea esta que tiene exponente 1. Y todo esto será factor común de lo que nos queda en el primer término. Es decir x al cuadrado más 1 menos lo que queda en el segundo término. Después de que 4 y esta expresión abandonan dicho término. Nos queda x por 2 por 2x. Eso nos da 4x al cuadrado. Cerramos el corchete y en el denominador aplicamos una propiedad de la potenciación. Aquella que se llama potencia de una potencia. En este caso multiplicamos los exponentes. Y nos queda x al cuadrado más 1 todo esto elevado al exponente 4. En esta etapa del ejercicio podemos simplificar estas dos expresiones. Vemos que x al cuadrado más 1 está arriba con exponente 1. Y se encuentra abajo con exponente 4. Entonces podemos retirar esta expresión con una del denominador. Y nos quedará exponente 3. Veamos entonces cómo nos queda la segunda derivada. Tenemos 4 que multiplica a todo este corchete. Allí vamos a destruir el paréntesis. Queda libre x al cuadrado más 1. Todo esto menos 4x al cuadrado. Y en el denominador tendremos x al cuadrado más 1. Todo esto elevado al exponente 3. Para finalizar podemos operar términos semejantes aquí dentro del corchete. Tenemos el caso de estos dos que tienen x al cuadrado. Entonces la segunda derivada nos queda de la siguiente manera. 4 que multiplica a esta expresión. Ya se puede proteger con paréntesis. Escribimos primero el número 1 que nos queda positivo. Y la operación entre estos dos términos semejantes nos da como resultado menos 3x al cuadrado. Y todo esto queda sobre la misma expresión. x al cuadrado más 1. Todo esto elevado al cubo. Así hemos llegado a la respuesta de este ejercicio. Esta expresión es la segunda derivada de esa función racional que nos dieron.
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resolver esto que nos qued\u00f3 en el numerador de la expresi\u00f3n."}, {"start": 135.0, "end": 140.0, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda f' de x."}, {"start": 140.0, "end": 142.0, "text": " Vamos a utilizar el algebra."}, {"start": 142.0, "end": 146.0, "text": " Aqu\u00ed aplicamos propiedad distributiva."}, {"start": 146.0, "end": 152.0, "text": " Entonces tenemos 2x por x\u00b2 es 2x\u00b3."}, {"start": 152.0, "end": 158.0, "text": " Luego 2x por m\u00e1s 1 es m\u00e1s 2x."}, {"start": 158.0, "end": 163.0, "text": " Y ac\u00e1 tambi\u00e9n tenemos un monomio que multiplica a este binomio."}, {"start": 163.0, "end": 174.0, "text": " Vamos a aplicar de nuevo la propiedad distributiva pero teniendo cuidado con este signo negativo que tambi\u00e9n se distribuye en esta direcci\u00f3n."}, {"start": 174.0, "end": 180.0, "text": " O sea que nos va a cambiar los signos de este binomio."}, {"start": 180.0, "end": 190.0, "text": " Veamos entonces 2x por x\u00b2 nos da 2x\u00b3 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t\u00e9rminos que tambi\u00e9n son semejantes y que se pueden sumar entre s\u00ed."}, {"start": 243.0, "end": 259.0, "text": " Entonces f' de x la primera derivada de la funci\u00f3n nos va a quedar 2x m\u00e1s 2x que es 4x en el numerador y en el denominador la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 259.0, "end": 266.0, "text": " x\u00b2 m\u00e1s 1 todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " Ya hemos encontrado la primera derivada de la funci\u00f3n original."}, {"start": 271.0, "end": 279.0, "text": " Ahora tenemos que derivar nuevamente esta expresi\u00f3n para encontrar la segunda derivada."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " O sea lo que nos pide este ejercicio."}, {"start": 282.0, "end": 291.0, "text": " Tenemos entonces que para derivar esta expresi\u00f3n se utiliza otra vez la regla del cociente."}, {"start": 291.0, "end": 293.0, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 293.0, "end": 296.0, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la 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