INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y para comenzar vamos a transformar esta función, es decir, el integrando. Como se observa aparece como el producto de dos binomios. Recordemos que en las integrales si tenemos un producto de funciones no es permitido repartir la integral para cada una de esas expresiones o funciones que están multiplicando. Es la situación que tenemos acá, dos expresiones que están multiplicando, entonces no podemos hacer esto, no podemos repartir la integral. Entonces vamos a transformar el integrando. Vamos a escribir por acá ese producto 2x menos 1 por 4x más 5 y lo vamos a desarrollar. Entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva todos con todos. Tenemos entonces lo siguiente, 2x por 4x nos da 8x al cuadrado, 2x por más 5 nos da más 10x, luego tenemos menos 1 por 4x que es menos 4x y menos 1 por más 5 que nos da menos 5. Acá podemos operar o reducir términos semejantes, estos que contienen la x. Tendremos entonces 8x al cuadrado más 10x menos 4x nos da más 6x y tenemos el término independiente que es menos 5. Entonces esta expresión es la que vamos a escribir en el integrando. Tenemos la integral desde menos 1 hasta 2 de 8x al cuadrado más 6x menos 5 y le escribimos el diferencial de x. Ahora sí podemos continuar con el desarrollo del ejercicio. Vamos a obtener una antiderivada para esta expresión que obtuvimos. Como allí tenemos suma y resta de términos entonces procedemos a integrar cada uno de ellos. Comencemos con el primero donde dejamos quieto el número 8 y vamos a integrar x al cuadrado. Eso nos va a dar x a la 2 más 1 que es 3 y todo esto sobre 3. Recordemos que este mismo número se escribe debajo. Pasamos al siguiente término donde también dejamos quieto el número 6 y vamos a integrar x que tiene exponente 1. Entonces será x a la 1 más 1 que es 2 y escribimos debajo el mismo número. Y pasamos al otro término que sería menos 5x. La integral de este número será el mismo número acompañado de la variable. Recordemos que la derivada de menos 5x es menos 5 y como es una integral definida trazamos esa línea y anotamos los límites de integración. Antes de evaluar estos dos números en la antiderivada, es decir antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo, es conveniente revisar si acá se puede simplificar algo. Vemos que en el segundo término 6 y 2 pueden simplificarse. Decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 es 3. Entonces la expresión nos queda 8x al cubo sobre 3 más 3x al cuadrado esto menos 5x y todo eso va a ser evaluado en los límites de integración. Menos 1 que es el inferior y 2 que es el superior. Ahora sí podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo. Vamos a comenzar por evaluar el límite superior acá en la antiderivada. Vamos a continuar por acá. Entonces tendremos 8 por 2 al cubo sobre 3. Allí se recomienda utilizar paréntesis para lo que son las x que ahora van a ser ocupadas por el número 6. Luego tenemos más 3 por 2 al cuadrado y acá tenemos menos 5 por 2. Esto es conveniente protegerlo con corchetes. Y ahora vamos a restarle la evaluación del límite inferior también en la antiderivada. También es conveniente utilizar paréntesis donde están las x que ahora serán ocupadas por el número menos 1. Acá tendremos menos 5 por menos 1 y también vamos a cerrar el corchete. Lo que hacemos enseguida es resolver con bastante cuidado cada una de esas operaciones que corresponden a la aritmética. Comenzamos acá. 2 al cubo nos da 8. 8 por 8 es 64 y esto queda con denominador 3. Luego tenemos más 2 al cuadrado que es 4. 4 por 3 nos da 12 y acá tenemos menos 5 por 2 que es menos 10. Y protegemos todo esto utilizando corchetes. Ahora vamos a restarle esto que tenemos acá. Menos 1 al cubo nos da menos 1. Menos 1 por 8 es menos 8 con denominador 3. Acá tenemos menos 1 al cuadrado que es 1 positivo y 1 positivo por más 3 nos da más 3. Y acá tenemos menos 5 por menos 1 que será más 5. Y de nuevo cerramos el corchete. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio. Por acá tendremos entonces 64 tercios y acá tenemos más 12 menos 10 que es más 2. Esto ya lo podemos sacar del corchete. Podemos desaparecer esos signos de agrupación. Y acá vamos a introducir o vamos a distribuir el signo negativo. Por acá tendremos en ese término menos por menos más o sea más 8 tercios. Y acá 3 más 5 nos da 8 positivo pero afectado por ese signo menos nos daría menos 8. Y vamos a resolver esas operaciones. Tenemos 64 tercios más 8 tercios. Son fracciones homogéneas. Podemos dejar el mismo denominador y sumar los numeradores. 64 más 8 nos da 72. Y por acá más 2 menos 8 nos da menos 6. Tenemos que la fracción 72 tercios puede simplificarse. Eso equivale a 24. Y a eso le restamos 6. 24 menos 6 nos da como resultado 18. Y esa será la respuesta para esta integral definida.
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Tambi\u00e9n es conveniente utilizar par\u00e9ntesis donde est\u00e1n las x que"}, {"start": 325.4, "end": 337.72, "text": " ahora ser\u00e1n ocupadas por el n\u00famero menos 1. Ac\u00e1 tendremos menos 5 por menos 1 y tambi\u00e9n"}, {"start": 337.72, "end": 346.34000000000003, "text": " vamos a cerrar el corchete. Lo que hacemos enseguida es resolver con bastante cuidado"}, {"start": 346.34, "end": 354.76, "text": " cada una de esas operaciones que corresponden a la aritm\u00e9tica. Comenzamos ac\u00e1. 2 al cubo"}, {"start": 354.76, "end": 364.88, "text": " nos da 8. 8 por 8 es 64 y esto queda con denominador 3. Luego tenemos m\u00e1s 2 al cuadrado que es"}, {"start": 364.88, "end": 374.35999999999996, "text": " 4. 4 por 3 nos da 12 y ac\u00e1 tenemos menos 5 por 2 que es menos 10. Y protegemos todo"}, {"start": 374.36, "end": 385.32, "text": " esto utilizando corchetes. Ahora vamos a restarle esto que tenemos ac\u00e1. 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