DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo comprobar una Identidad Trigonométrica.

Tema: #IdentidadesTrigonometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGAmMC3k5sI2VGHFnVdlLif

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a realizar la comprobación de esta identidad trigonométrica comenzando por trabajar lo que tenemos en el lado derecho. Vamos a desarrollar las operaciones que tenemos acá para llegar a la expresión más sencilla que es la que tenemos en el lado izquierdo. Escribimos entonces la expresión que tenemos en el lado derecho y allí comenzamos por cambiar tangente de X por su equivalente en términos de seno y coseno. Tenemos que tangente de X equivale a seno de X sobre coseno de X. Pero acá observamos tangente al cuadrado de X. Entonces debemos elevar ambos lados de esta igualdad al cuadrado. Por acá tendremos tangente al cuadrado de X y acá esta fracción, si se eleva al cuadrado, nos afecta tanto el numerador como el denominador. Entonces tendremos seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X. Hacemos entonces el cambio de tangente al cuadrado de X por esta expresión. Tenemos acá 1 menos seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X. Y acá tenemos 1 más seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X. A continuación vamos a resolver estas dos operaciones. Vamos a completar aquí con denominador 1 y tenemos una resta y una suma de fracciones con distinto denominador o fracciones heterogéneas. Para resolverlas fácilmente podemos utilizar la técnica de la calita feliz. Vamos a recordarla. Allí tenemos dos fracciones con distinto denominador que pueden estar sumando o también restando. Entonces decimos A por D en la parte de arriba más o menos según el signo que tengamos entre las dos fracciones. Luego B por C también en la parte de arriba y en la parte de abajo tenemos B por D. Entonces hicimos A por D, B por C en la parte de arriba y B por D en la parte de abajo. Por esta figura es que esa técnica se conoce como la calita feliz. Tenemos entonces lo siguiente. Con esta operación trazamos esta línea y aplicamos la calita feliz. 1 por coseno al cuadrado de X nos da coseno al cuadrado de X menos 1 por seno al cuadrado de X nos da seno al cuadrado de X y abajo tenemos 1 por coseno al cuadrado de X que nos da coseno al cuadrado de X. Vamos ahora con esta operación. La suma de fracciones con distinto denominador. Tenemos 1 por coseno al cuadrado de X que nos da coseno al cuadrado de X más 1 por seno al cuadrado de X que nos da seno al cuadrado de X y abajo 1 por coseno al cuadrado de X que nos da coseno al cuadrado de X. Vamos a continuar el ejercicio por acá más abajo y aquí tenemos la siguiente situación. Observamos aquí dos fracciones que están dividiendo y que poseen el mismo denominador. Vamos entonces a aplicar lo siguiente. Si tenemos una fracción A sobre C sobre otra fracción B sobre C ambas con el mismo denominador entonces allí podemos quitar o eliminar esos denominadores y nos va a quedar A sobre B. Entonces acá podemos aplicar esa técnica o ese truco. Podemos eliminar entonces coseno al cuadrado de X o sea los denominadores que son iguales y tendremos coseno al cuadrado de X menos seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X más seno al cuadrado de X. Ahora tenemos acá en el denominador lo que es la identidad fundamental de la trigonometría coseno al cuadrado de X más seno al cuadrado de X equivale a 1. Entonces esto nos va a quedar únicamente lo que tenemos en el numerador coseno al cuadrado de X menos seno al cuadrado de X. A su vez en esta expresión vamos a realizar lo siguiente. Tomamos de nuevo la identidad fundamental de la trigonometría la misma que acabamos de citar donde esto equivale a 1 y como tenemos que llegar a una expresión que únicamente contiene seno entonces vamos a cambiar coseno al cuadrado de X por una expresión que contenga seno y esa la vamos a obtener de aquí. Vamos a despejar coseno al cuadrado de X que será 1 menos seno al cuadrado de X. Esto que está sumando pasa al otro lado a restar. Ahora lo que hacemos es cambiar coseno al cuadrado de X por esta expresión. Vamos a continuar por acá y hacemos ese cambio. En lugar de coseno al cuadrado de X escribimos 1 menos seno al cuadrado de X y no podemos olvidar este término. Otra vez, menos seno al cuadrado de X. Finalmente tenemos acá términos semejantes que podemos operar entre sí. Entonces esto nos va a quedar como 1 menos 2 seno al cuadrado de X. El resultado de reducir estos dos términos semejantes. Y como podemos observar esto es lo que tenemos en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, de esta manera hemos terminado el ejercicio. Hemos comprobado la validez de esta identidad trigonométrica.
[{"start": 0.0, "end": 5.2, "text": " Vamos a realizar la comprobaci\u00f3n de esta identidad trigonom\u00e9trica"}, {"start": 5.2, "end": 8.9, "text": " comenzando por trabajar lo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 8.9, "end": 12.700000000000001, "text": " Vamos a desarrollar las operaciones que tenemos ac\u00e1"}, {"start": 12.700000000000001, "end": 15.700000000000001, "text": " para llegar a la expresi\u00f3n m\u00e1s sencilla"}, {"start": 15.700000000000001, "end": 19.0, "text": " que es la que tenemos en el lado izquierdo."}, {"start": 19.0, "end": 23.2, "text": " Escribimos entonces la expresi\u00f3n que tenemos en el lado derecho"}, {"start": 23.2, "end": 26.7, "text": " y all\u00ed comenzamos por cambiar tangente de X"}, {"start": 26.7, "end": 30.799999999999997, "text": " por su equivalente en t\u00e9rminos de seno y coseno."}, {"start": 30.799999999999997, "end": 33.8, "text": " Tenemos que tangente de X"}, {"start": 33.8, "end": 36.7, "text": " equivale a seno de X"}, {"start": 36.7, "end": 39.4, "text": " sobre coseno de X."}, {"start": 39.4, "end": 43.599999999999994, "text": " Pero ac\u00e1 observamos tangente al cuadrado de X."}, {"start": 43.599999999999994, "end": 48.6, "text": " Entonces debemos elevar ambos lados de esta igualdad al cuadrado."}, {"start": 48.6, "end": 51.8, "text": " Por ac\u00e1 tendremos tangente al cuadrado de X"}, {"start": 51.8, "end": 55.4, "text": " y ac\u00e1 esta fracci\u00f3n, si se eleva al cuadrado,"}, {"start": 55.4, "end": 59.699999999999996, "text": " nos afecta tanto el numerador como el denominador."}, {"start": 59.699999999999996, "end": 62.9, "text": " Entonces tendremos seno al cuadrado de X"}, {"start": 62.9, "end": 66.9, "text": " sobre coseno al cuadrado de X."}, {"start": 66.9, "end": 71.5, "text": " Hacemos entonces el cambio de tangente al cuadrado de X"}, {"start": 71.5, "end": 73.5, "text": " por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 73.5, "end": 79.5, "text": " Tenemos ac\u00e1 1 menos seno al cuadrado de X"}, {"start": 79.5, "end": 82.7, "text": " sobre coseno al cuadrado de X."}, {"start": 82.7, "end": 88.7, "text": " Y ac\u00e1 tenemos 1 m\u00e1s seno al cuadrado de X"}, {"start": 88.7, "end": 93.4, "text": " sobre coseno al cuadrado de X."}, {"start": 93.4, "end": 96.9, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a resolver estas dos operaciones."}, {"start": 96.9, "end": 100.80000000000001, "text": " Vamos a completar aqu\u00ed con denominador 1"}, {"start": 100.80000000000001, "end": 104.10000000000001, "text": " y tenemos una resta y una suma de fracciones"}, {"start": 104.10000000000001, "end": 108.60000000000001, "text": " con distinto denominador o fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 108.60000000000001, "end": 110.60000000000001, "text": " Para resolverlas f\u00e1cilmente"}, {"start": 110.6, "end": 113.89999999999999, "text": " podemos utilizar la t\u00e9cnica de la calita feliz."}, {"start": 113.89999999999999, "end": 115.89999999999999, "text": " Vamos a recordarla."}, {"start": 115.89999999999999, "end": 119.5, "text": " All\u00ed tenemos dos fracciones con distinto denominador"}, {"start": 119.5, "end": 122.6, "text": " que pueden estar sumando o tambi\u00e9n restando."}, {"start": 122.6, "end": 126.89999999999999, "text": " Entonces decimos A por D en la parte de arriba"}, {"start": 126.89999999999999, "end": 130.0, "text": " m\u00e1s o menos seg\u00fan el signo que tengamos"}, {"start": 130.0, "end": 132.1, "text": " entre las dos fracciones."}, {"start": 132.1, "end": 136.0, "text": " Luego B por C tambi\u00e9n en la parte de arriba"}, {"start": 136.0, "end": 139.2, "text": " y en la parte de abajo tenemos B por D."}, {"start": 139.2, "end": 144.89999999999998, "text": " Entonces hicimos A por D, B por C en la parte de arriba"}, {"start": 144.89999999999998, "end": 147.5, "text": " y B por D en la parte de abajo."}, {"start": 147.5, "end": 151.29999999999998, "text": " Por esta figura es que esa t\u00e9cnica se conoce"}, {"start": 151.29999999999998, "end": 153.7, "text": " como la calita feliz."}, {"start": 153.7, "end": 155.7, "text": " Tenemos entonces lo siguiente."}, {"start": 155.7, "end": 159.29999999999998, "text": " Con esta operaci\u00f3n trazamos esta l\u00ednea"}, {"start": 159.29999999999998, "end": 161.5, "text": " y aplicamos la calita feliz."}, {"start": 161.5, "end": 166.7, "text": " 1 por coseno al cuadrado de X nos da coseno al cuadrado de X"}, {"start": 166.7, "end": 173.89999999999998, "text": " menos 1 por seno al cuadrado de X nos da seno al cuadrado de X"}, {"start": 173.89999999999998, "end": 177.7, "text": " y abajo tenemos 1 por coseno al cuadrado de X"}, {"start": 177.7, "end": 180.89999999999998, "text": " que nos da coseno al cuadrado de X."}, {"start": 180.89999999999998, "end": 183.2, "text": " Vamos ahora con esta operaci\u00f3n."}, {"start": 183.2, "end": 186.6, "text": " La suma de fracciones con distinto denominador."}, {"start": 186.6, "end": 189.7, "text": " Tenemos 1 por coseno al cuadrado de X"}, {"start": 189.7, "end": 192.39999999999998, "text": " que nos da coseno al cuadrado de X"}, {"start": 192.4, "end": 196.9, "text": " m\u00e1s 1 por seno al cuadrado de X"}, {"start": 196.9, "end": 199.6, "text": " que nos da seno al cuadrado de X"}, {"start": 199.6, "end": 202.5, "text": " y abajo 1 por coseno al cuadrado de X"}, {"start": 202.5, "end": 206.6, "text": " que nos da coseno al cuadrado de X."}, {"start": 206.6, "end": 213.70000000000002, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1 m\u00e1s abajo"}, {"start": 213.70000000000002, "end": 217.1, "text": " y aqu\u00ed tenemos la siguiente situaci\u00f3n."}, {"start": 217.1, "end": 220.3, "text": " Observamos aqu\u00ed dos fracciones que est\u00e1n dividiendo"}, {"start": 220.3, "end": 223.20000000000002, "text": " y que poseen el mismo denominador."}, {"start": 223.20000000000002, "end": 226.0, "text": " Vamos entonces a aplicar lo siguiente."}, {"start": 226.0, "end": 228.9, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n A sobre C"}, {"start": 228.9, "end": 232.4, "text": " sobre otra fracci\u00f3n B sobre C"}, {"start": 232.4, "end": 234.9, "text": " ambas con el mismo denominador"}, {"start": 234.9, "end": 240.4, "text": " entonces all\u00ed podemos quitar o eliminar esos denominadores"}, {"start": 240.4, "end": 244.4, "text": " y nos va a quedar A sobre B."}, {"start": 244.4, "end": 249.20000000000002, "text": " Entonces ac\u00e1 podemos aplicar esa t\u00e9cnica o ese truco."}, {"start": 249.2, "end": 253.0, "text": " Podemos eliminar entonces coseno al cuadrado de X"}, {"start": 253.0, "end": 255.79999999999998, "text": " o sea los denominadores que son iguales"}, {"start": 255.79999999999998, "end": 260.9, "text": " y tendremos coseno al cuadrado de X"}, {"start": 260.9, "end": 265.9, "text": " menos seno al cuadrado de X"}, {"start": 265.9, "end": 271.0, "text": " sobre coseno al cuadrado de X"}, {"start": 271.0, "end": 276.09999999999997, "text": " m\u00e1s seno al cuadrado de X."}, {"start": 276.09999999999997, "end": 278.9, "text": " Ahora tenemos ac\u00e1 en el denominador"}, {"start": 278.9, "end": 283.0, "text": " lo que es la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda"}, {"start": 283.0, "end": 287.79999999999995, "text": " coseno al cuadrado de X m\u00e1s seno al cuadrado de X"}, {"start": 287.79999999999995, "end": 290.2, "text": " equivale a 1."}, {"start": 290.2, "end": 294.2, "text": " Entonces esto nos va a quedar \u00fanicamente"}, {"start": 294.2, "end": 296.29999999999995, "text": " lo que tenemos en el numerador"}, {"start": 296.29999999999995, "end": 299.2, "text": " coseno al cuadrado de X"}, {"start": 299.2, "end": 303.79999999999995, "text": " menos seno al cuadrado de X."}, {"start": 303.79999999999995, "end": 306.09999999999997, "text": " A su vez en esta expresi\u00f3n"}, {"start": 306.09999999999997, "end": 308.5, "text": " vamos a realizar lo siguiente."}, {"start": 308.5, "end": 313.1, "text": " Tomamos de nuevo la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda"}, {"start": 313.1, "end": 315.4, "text": " la misma que acabamos de citar"}, {"start": 315.4, "end": 317.7, "text": " donde esto equivale a 1"}, {"start": 317.7, "end": 320.9, "text": " y como tenemos que llegar a una expresi\u00f3n"}, {"start": 320.9, "end": 323.0, "text": " que \u00fanicamente contiene seno"}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " entonces vamos a cambiar coseno al cuadrado de X"}, {"start": 327.0, "end": 329.8, "text": " por una expresi\u00f3n que contenga seno"}, {"start": 329.8, "end": 332.2, "text": " y esa la vamos a obtener de aqu\u00ed."}, {"start": 332.2, "end": 336.0, "text": " Vamos a despejar coseno al cuadrado de X"}, {"start": 336.0, "end": 340.6, "text": " que ser\u00e1 1 menos seno al cuadrado de X."}, {"start": 340.6, "end": 342.1, "text": " Esto que est\u00e1 sumando"}, {"start": 342.1, "end": 345.2, "text": " pasa al otro lado a restar."}, {"start": 345.2, "end": 349.0, "text": " Ahora lo que hacemos es cambiar coseno al cuadrado de X"}, {"start": 349.0, "end": 350.7, "text": " por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 350.7, "end": 353.7, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1"}, {"start": 353.7, "end": 355.6, "text": " y hacemos ese cambio."}, {"start": 355.6, "end": 358.1, "text": " En lugar de coseno al cuadrado de X"}, {"start": 358.1, "end": 363.1, "text": " escribimos 1 menos seno al cuadrado de X"}, {"start": 363.1, "end": 365.6, "text": " y no podemos olvidar este t\u00e9rmino."}, {"start": 365.6, "end": 370.20000000000005, "text": " Otra vez, menos seno al cuadrado de X."}, {"start": 370.20000000000005, "end": 374.0, "text": " Finalmente tenemos ac\u00e1 t\u00e9rminos semejantes"}, {"start": 374.0, "end": 376.6, "text": " que podemos operar entre s\u00ed."}, {"start": 376.6, "end": 379.6, "text": " Entonces esto nos va a quedar como"}, {"start": 379.6, "end": 384.8, "text": " 1 menos 2 seno al cuadrado de X."}, {"start": 384.8, "end": 389.3, "text": " El resultado de reducir estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 389.3, "end": 391.1, "text": " Y como podemos observar"}, {"start": 391.1, "end": 392.8, "text": " esto es lo que tenemos"}, {"start": 392.8, "end": 396.8, "text": " en el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 396.8, "end": 399.3, "text": " Entonces, de esta manera"}, {"start": 399.3, "end": 402.40000000000003, "text": " hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 402.40000000000003, "end": 404.6, "text": " Hemos comprobado la validez"}, {"start": 404.6, "end": 423.6, "text": " de esta identidad trigonom\u00e9trica."}]