APROXIMACIÓN LINEAL DE UNA FUNCIÓN - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio sobre Aproximación Lineal o Linealización de una Función en la cercanía de un valor, usando la derivada. 

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1

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 Si la función f de x es igual a la raíz cúbica de x, A determine f' de 1, es decir, la primera derivada de la función evaluada en 1. B encuentra la aproximación lineal para la función f en A igual a 1 y C estime las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1 usando el resultado de la parte B de este problema. Vamos a hacer la parte A, tenemos una función f de x que viene definida como la raíz cúbica de x y que podemos reescribir como x elevado a la 1 tercio. Entonces vamos a derivar esta función. La derivada que se denota como f' será igual, aquí tenemos que baja 1 tercio y queda x elevado a la 1 tercio menos 1. 1 tercio menos 1 nos da menos 2 tercios. Podemos aplicar el siguiente truquito, a 1 le restamos 3, eso nos da menos 2, ese es el valor que colocamos en el numerador y conservamos el denominador. Esta expresión la podemos organizar como 1 sobre 3x a la 2 tercios, esa sería entonces la derivada, pero nos piden f' de 1, es decir, que debemos sustituir x por 1. Vamos a hacerlo aquí entonces, nos queda 1 sobre 3x1 elevado a la 2 tercios, esto nos queda 1 sobre 3x1 elevado a la 2 tercios, eso nos da 1 y por lo tanto resolviendo esto nos queda 1 tercio. Entonces f' de 1 vale 1 tercio y tenemos la respuesta a la pregunta A. Para la parte B vamos a utilizar la siguiente fórmula, L de x que se conoce como la linealización o aproximación lineal de la función en la cercanía de un valor a, se define como f de a más f' de a por x menos a. Con esta expresión encontramos L de x, es decir, la aproximación lineal de la función. Para el caso de este problema a vale 1, entonces tendríamos lo siguiente, L de x es igual a f de 1 más f' de 1 por x menos 1, simplemente donde está la letra a escribimos el número 1. Vamos a ver quién es f de 1, recordemos que la función original viene definida como raíz cúbica de x, entonces f de 1 será la raíz cúbica de 1 y esto es igual a 1, entonces este f de 1 vale 1. Y f' de 1 es el valor que acabamos de encontrar en la parte A de este problema y que nos dio 1 tercio, entonces vamos a reemplazar f de 1 vale 1 y f' de 1 nos dio 1 tercio, 1 tercio que multiplica a x menos 1. Vamos a borrar esto, bien, organizando esa expresión podemos hacer lo siguiente, dejamos aquí el 1 más, aquí podemos multiplicar en forma horizontal, nos queda en el numerador x menos 1, abajo nos queda 3, 3 por 1 que es el denominador de x menos 1. Podemos cambiar este 1 por 3 tercios para que nos queden fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador, sumamos los numeradores 3 más x menos 1, eso nos da como resultado x más 2, de una vez organizando en la parte de arriba. Esta será entonces la aproximación lineal o linealización de nuestra función en la cercanía del valor A igual a 1. Para terminar en la parte C nos piden estimar la raíz cúbica de 0.9 y la raíz cúbica de 1.1 utilizando lo que encontramos en la parte B del problema. Tenemos entonces que la función original es aproximadamente igual a la linealización, es decir a la aproximación lineal que encontramos en la parte B en la cercanía de 1. Entonces tenemos la función original era raíz cúbica de x y la linealización nos dio x más 2 sobre 3, repetimos para valores cercanos a 1. Como vemos 0.9 y 1.1 son números que están muy cerca de 1, por lo tanto esto es totalmente confiable. Entonces vamos a hacer la raíz cúbica de 0.9, entonces simplemente lo que hacemos es sustituir x por 0.9 en ambos lados de la expresión. Entonces nos queda en el lado derecho 0.9 más 2 sobre 3, esto nos da 2.9 sobre 3 y esto en la calculadora nos da 0.96 periódico en 6, es decir el 6 se repite indefinidamente. Si nosotros hacemos este resultado, esta operación en una calculadora nos da un valor como 0.96, 54, 89, etc. Vemos entonces que estamos muy cerca, por lo tanto esta aproximación es totalmente confiable. Bien, ahora vamos con la aproximación de raíz cúbica de 1.1, hacemos lo mismo. Aquí en esta expresión sustituimos x por 1.1, luego también debemos sustituirla en el otro lado. Entonces nos queda 1.1 más 2, todo eso sobre 3, es decir 3,1 o 3.1 sobre 3 y esto en la calculadora nos da el número 1,03 periódico en 3, es decir repite el 3 indefinidamente. Nuevamente, si esto lo hacemos en una calculadora, ella nos da el siguiente resultado, 1,03, 22,80 y bueno, unos números que continúan. Vemos entonces que el resultado está muy cerca de la estimación, por lo tanto nuestra aproximación es totalmente confiable. Entonces la respuesta a la pregunta C son estos dos numeritos, la aproximación de la raíz cúbica de 0.9 y la aproximación de la raíz cúbica de 1.1.
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