EC. DIF. HOMOGÉNEAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo encontrar la solución general de una Ecuación Diferencial Homogénea.

Tema: #EcuacionesDiferenciales → 
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 Vamos a encontrar la solución general de esta ecuación diferencial. Para empezar vemos aquí la combinación y más x y y menos x que nos permite descartar que se pueda resolver por separación de variables. Vamos entonces a realizar el despeje de de y de x para ver si se trata de una ecuación diferencial homogénea. Comenzamos entonces por pasar este componente al otro lado, aquí está con signo negativo, pasa acá con signo positivo. Nos queda entonces en el lado izquierdo y más x con el diferencial de y y en el lado derecho tendremos y menos x con el diferencial de x. Y a continuación vamos a pasar de x que está multiplicando a este lado a dividir y lo mismo hacemos con el componente y más x, acá está multiplicando pasa a este lado a dividir. Nos queda entonces de y sobre de x y en el lado derecho nos queda y menos x sobre y más x. Allí ya tenemos despejado de y de x y a este lado vamos a dividir arriba y abajo por x. Nos queda arriba y menos x sobre x y abajo y más x también sobre x. Ahora vamos a repartir x para cada uno de los términos que tenemos en los numeradores. Continuamos por acá nos queda de y de x igual a lo siguiente. Aquí tendremos y sobre x menos x sobre x y acá tendremos y sobre x más x sobre x, pero x sobre x equivale a 1. Entonces nos queda y sobre x menos 1 sobre y sobre x más 1 y es allí cuando vemos que se trata de una ecuación diferencial homogénea porque se observa que de y de x es función de la expresión y sobre x. De y de x depende exclusivamente de este componente que es y sobre x y esa es la condición para una ecuación diferencial homogénea. Lo que hacemos a continuación es cambiar y sobre x por otra letra. Vamos a utilizar en este caso la letra q. Entonces q será igual a y sobre x. Es como efectuar un cambio de variable. Ahora de allí vamos a despejar la variable y. Para ello x que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar. Nos queda q por x. Esto es lo mismo que decir y igual a q por x y vamos a realizar la derivada a ambos lados de esta igualdad con respecto de la variable x. En el lado izquierdo tendremos de y de x la derivada de y con respecto a x. Mientras que en el lado derecho tenemos un producto. Hacemos entonces la derivada del primer componente, derivada de q con respecto a x por el segundo componente sin derivar, o sea x, más el primer componente sin derivar que es q por la derivada del segundo componente, o sea la derivada de x con respecto a x. Allí hemos aplicado la regla del producto. Pero este componente de x sobre dx equivale a 1. Entonces tendremos que de y de x es igual a de q de x por x y esto más q. Utilizando estos dos componentes vamos a reconstruir esta expresión a la que habíamos llegado. Entonces tenemos de y de x que se cambia por eso que encontramos. Se cambia por de q de x por x y esto más q. Allí hemos cambiado entonces de y de x por esa expresión. Pasamos a este lado donde tendremos que y sobre x se cambia por q. Entonces acá tendremos q menos 1 y en el denominador tendremos q más 1. Como se observa ya tenemos una nueva ecuación diferencial donde las variables son q y x. Allí vamos a realizar poco a poco el proceso de separación de variables. Comenzamos por pasar este término al otro lado. Entonces en el lado izquierdo nos queda de q de x por x y en el lado derecho nos queda esta fracción q menos 1 sobre q más 1 y todo esto menos q. Ese término que está positivo llega a este lado con signo negativo. En el lado izquierdo vamos a efectuar esta multiplicación. A esta x le colocamos denominador 1. Continuamos por acá. Nos queda entonces en el numerador de q por x se multiplican los numeradores entre sí y en el denominador tendremos de x por 1 que es de x. Se multiplican entonces los denominadores entre sí. Y al otro lado vamos a efectuar esta resta. A esta q le colocamos denominador 1 y tenemos allí la resta de dos fracciones heterogéneas. Fracciones con distinto denominador. Vamos a aplicar entonces la técnica de la carita feliz. Multiplicamos estos dos componentes. q menos 1 por 1 que nos da q menos 1. Esto menos la multiplicación de estos dos componentes. O sea q por q más 1. Y abajo multiplicamos estos dos componentes. q más 1 por 1 que nos da q más 1. Entonces allí hemos aplicado la técnica de la carita feliz para restar dos fracciones con distinto denominador. Lo que tenemos en el lado izquierdo permanece igual de q por x sobre de x y en el lado derecho vamos a efectuar esas operaciones que hay en el numerador. Nos queda q menos 1 y acá vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces tendremos menos q por q que es menos q al cuadrado y menos q por más 1 que es menos q. Y todo esto queda sobre q más 1. De nuevo lo del lado izquierdo queda igual. Nos queda de q por x sobre de x y en el lado derecho tendremos lo siguiente. En el numerador este término más q se cancela o se elimina con este término menos q por ser términos opuestos. Entonces en el numerador nos queda menos 1 menos q al cuadrado y en el denominador nos queda q más 1. Allí podemos pasar lo que está dividiendo al lado contrario a multiplicar. Entonces q más 1 llega a multiplicar con esto. Nos queda de q por x por esta expresión que debemos proteger con paréntesis q más 1. Y todo esto queda igual a esto que tenemos acá. Menos 1 menos q al cuadrado. También lo protegemos con paréntesis y esto queda multiplicando por de x. Repetimos lo que está dividiendo pasa a multiplicar al otro lado. Ahora sí podemos realizar la separación de variables. A este lado se observa el diferencial de q y acá tenemos el diferencial de x. Entonces vamos a dejar en el lado izquierdo toda la expresión con la letra q y en el lado derecho la expresión con la letra x. Acá nos quedará de q por q más 1 y esto que está multiplicando lo pasamos a dividir. Nos queda entonces sobre entre paréntesis menos 1 menos q al cuadrado. Al otro lado nos queda de x y nos va a quedar sobre x. Esta x que está multiplicando pasa a este lado a dividir. Allí ya tenemos las variables separadas. A este lado todo lo que tiene que ver con la letra q y a este lado todo lo relacionado con x. Vamos a organizar ambas expresiones. En el lado izquierdo nos va a quedar q más 1 por dq y abajo vamos a extraer como factor común el signo negativo. Nos queda menos dentro del paréntesis 1 más q al cuadrado y en el lado derecho permanece de x sobre x. Y ahora podemos integrar ambos lados de la igualdad. En el lado izquierdo colocamos el símbolo de la integral y vamos a extraer el signo negativo. Organizamos entonces la expresión del integrando. Por acá q más 1 sobre 1 más q al cuadrado. Todo esto con su diferencial de q. Y en el lado derecho tendremos la integral de dx sobre x. Antes de resolver cada una de estas integrales vamos a multiplicar por menos uno ambos lados de la igualdad. A este lado eliminamos este signo menos y acá nos aparece. Por comodidad trasladamos el signo negativo al lado derecho. Ahora sí resolvemos las integrales. En el lado izquierdo vamos a realizar la siguiente transformación. Repartimos este denominador para cada uno de los términos del numerador. Nos queda entonces q sobre 1 más q al cuadrado. Y esto más 1 sobre 1 más q al cuadrado. Y todo esto queda con su diferencial de q. En el lado derecho ya podríamos resolver esa integral. Recordemos que esto es lo mismo que tener la integral de 1 sobre x acompañado del diferencial de x. La integral de eso será el logaritmo natural de x. Y agregamos de una vez la constante de integración para todo el ejercicio. Ahora en el lado izquierdo vamos a aplicar la propiedad de las integrales que permite repartir este símbolo cuando tenemos una suma. Entonces tendremos la integral de q sobre 1 más q al cuadrado. Esto con su diferencial de q más la integral de 1 sobre 1 más q al cuadrado. También con su diferencial de q. Lo que tenemos en el lado derecho permanece igual. Ahora vamos a resolver cada una de estas integrales que nos quedan pendientes. En el caso de la primera vamos a multiplicar por 2 y para contrarrestar eso vamos a multiplicar por fuera por 1 medio. Para qué hacemos eso? Para aplicar esta propiedad. Si tenemos la integral de una expresión u' de x sobre u de x. Esto con su diferencial de x. Entonces la integral de esa expresión será el logaritmo natural de u de x. ¿Por qué? Porque la derivada de logaritmo natural de u de x es u' de x sobre u de x. Es decir, si vemos aquí una expresión donde en el numerador aparece la derivada de lo que tenemos abajo. Entonces podemos obtener la integral de forma directa como logaritmo natural de lo que hay en el denominador. Es lo que está sucediendo acá. 2q es la derivada de 1 más q al cuadrado. Entonces esto nos va a quedar como un medio por logaritmo natural de lo que tenemos en el denominador que es 1 más q al cuadrado. Ahora esta integral es directa. Esto da como resultado tangente a la menos 1 de q. Y todo esto queda igualado a la misma expresión, menos logaritmo natural de x más c. Cuando ya hemos resuelto las integrales, llega el momento de deshacer el cambio de variable. Donde tenemos q, vamos a volver a escribir y sobre x. Entonces esto nos queda un medio por logaritmo natural de 1 más q al cuadrado. Entonces y sobre x se eleva al cuadrado y nos queda y al cuadrado sobre x al cuadrado. Ahora esto nos queda más tangente a la menos 1 de q. Pero q se cambia por la expresión y sobre x y todo esto queda igualado a menos logaritmo natural de x más c. Enseguida vamos a resolver esta suma que tenemos dentro de este paréntesis. Para ello le colocamos denominador 1 a ese número 1. Tendremos un medio por logaritmo natural de... aplicamos otra vez la carita feliz. Porque tenemos una suma de fracciones con distinto denominador. Tendremos 1 por x al cuadrado que es x al cuadrado más 1 por y al cuadrado que es y al cuadrado. Y en la parte de abajo 1 por x al cuadrado que es x al cuadrado. Lo demás permanece igual. Ahora aquí podemos aplicar una propiedad de los logaritmos. Recordemos que el logaritmo de una división se transforma en una resta de logaritmos. Entonces tendremos lo siguiente. Un medio por... Abrimos un corchete para proteger esa expresión que sigue y nos queda logaritmo natural de lo que hay en el numerador x al cuadrado más y al cuadrado menos logaritmo natural de lo que tenemos en el denominador que es x al cuadrado. Recordamos el corchete y escribimos todo lo demás. Aquí podemos aplicar otra propiedad de los logaritmos. Este exponente puede bajar a multiplicar. Entonces tendremos un medio por... Abrimos el corchete logaritmo natural de esta expresión que no cambia. X al cuadrado más y al cuadrado. Y aquí tendremos menos 2 que llega a multiplicar con logaritmo natural de x. Cerramos el corchete y escribimos todo lo demás. Ahora aquí podemos romper este corchete aplicando la propiedad distributiva con este número. Tendremos un medio por este logaritmo. Nos queda un medio por logaritmo natural de x al cuadrado más y al cuadrado. Tenemos un medio que llega a multiplicar con esto. Pero un medio por 2 nos da 1 que queda acompañando al logaritmo natural de x. Y lo demás permanece igual. Como se observa a ambos lados de la igualdad aparece el término menos logaritmo natural de x. Entonces podemos cancelarlo o eliminarlo. Y también aquí podemos aplicar propiedad de los logaritmos. Este número que está multiplicando puede trasladarse aquí como exponente. Es aplicar al contrario la propiedad que habíamos utilizado hace poco. Entonces nos queda todo este paréntesis elevado al exponente un medio. Y lo demás permanece igual. Para terminar y para que la respuesta quede mejor presentada hacemos los siguientes cambios. Aquí esta expresión que está elevada al exponente un medio puede escribirse como raíz cuadrada. Entonces nos queda el logaritmo natural de la raíz cuadrada de x al cuadrado más y al cuadrado. Y tangente a la menos 1 de y sobre x puede escribirse como arco tangente de esa expresión. Y sobre x. Y esto igual a c. Y de esta manera hemos terminado este ejercicio. Esta es la solución general para esa ecuación diferencial que es de tipo homogénea.
[{"start": 0.0, "end": 8.4, "text": " Vamos a encontrar la soluci\u00f3n general de esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 8.4, "end": 14.58, "text": " Para empezar vemos aqu\u00ed la combinaci\u00f3n y m\u00e1s x y y menos x que nos permite descartar"}, {"start": 14.58, "end": 18.76, "text": " que se pueda resolver por separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 18.76, "end": 25.5, "text": " Vamos entonces a realizar el despeje de de y de x para ver si se trata de una ecuaci\u00f3n"}, {"start": 25.5, "end": 27.060000000000002, "text": " diferencial homog\u00e9nea."}, {"start": 27.06, "end": 33.36, "text": " Comenzamos entonces por pasar este componente al otro lado, aqu\u00ed est\u00e1 con signo negativo,"}, {"start": 33.36, "end": 36.16, "text": " pasa ac\u00e1 con signo positivo."}, {"start": 36.16, "end": 44.3, "text": " Nos queda entonces en el lado izquierdo y m\u00e1s x con el diferencial de y y en el lado"}, {"start": 44.3, "end": 50.2, "text": " derecho tendremos y menos x con el diferencial de x."}, {"start": 50.2, "end": 55.82, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a pasar de x que est\u00e1 multiplicando a este lado a dividir"}, {"start": 55.82, "end": 62.06, "text": " y lo mismo hacemos con el componente y m\u00e1s x, ac\u00e1 est\u00e1 multiplicando pasa a este lado"}, {"start": 62.06, "end": 63.78, "text": " a dividir."}, {"start": 63.78, "end": 74.42, "text": " Nos queda entonces de y sobre de x y en el lado derecho nos queda y menos x sobre y m\u00e1s"}, {"start": 74.42, "end": 75.42, "text": " x."}, {"start": 75.42, "end": 83.3, "text": " All\u00ed ya tenemos despejado de y de x y a este lado vamos a dividir arriba y abajo por x."}, {"start": 83.3, "end": 94.5, "text": " Nos queda arriba y menos x sobre x y abajo y m\u00e1s x tambi\u00e9n sobre x."}, {"start": 94.5, "end": 100.5, "text": " Ahora vamos a repartir x para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en los numeradores."}, {"start": 100.5, "end": 107.58, "text": " Continuamos por 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respecto a x."}, {"start": 208.42, "end": 212.05999999999997, "text": " Mientras que en el lado derecho tenemos un producto."}, {"start": 212.05999999999997, "end": 219.61999999999998, "text": " Hacemos entonces la derivada del primer componente, derivada de q con respecto a x por el segundo"}, {"start": 219.61999999999998, "end": 227.33999999999997, "text": " componente sin derivar, o sea x, m\u00e1s el primer componente sin derivar que es q por la derivada"}, {"start": 227.33999999999997, "end": 232.54, "text": " del segundo componente, o sea la derivada de x con respecto a x."}, {"start": 232.54, "end": 236.82, "text": " All\u00ed hemos aplicado la regla del producto."}, {"start": 236.82, "end": 241.82, "text": " Pero este componente de x sobre dx equivale a 1."}, {"start": 241.82, "end": 259.02, "text": " Entonces tendremos que de y de x es igual a de q de x por x y esto m\u00e1s q."}, {"start": 259.02, "end": 266.06, "text": " Utilizando estos dos componentes vamos a reconstruir esta expresi\u00f3n a la que hab\u00edamos llegado."}, {"start": 266.06, "end": 271.1, "text": " Entonces tenemos de y de x que se cambia por eso que encontramos."}, {"start": 271.1, "end": 276.34, "text": " Se cambia por de q de x por x y esto m\u00e1s q."}, {"start": 276.34, "end": 281.34000000000003, "text": " All\u00ed hemos cambiado entonces de y de x por esa expresi\u00f3n."}, {"start": 281.34000000000003, "end": 288.48, "text": " Pasamos a este lado donde tendremos que y sobre x se cambia por q."}, {"start": 288.48, "end": 296.54, "text": " Entonces ac\u00e1 tendremos q menos 1 y en el denominador tendremos q m\u00e1s 1."}, {"start": 296.54, "end": 304.06, "text": " Como se observa ya tenemos una nueva ecuaci\u00f3n diferencial donde las variables son q y x."}, {"start": 304.06, "end": 309.5, "text": " All\u00ed vamos a realizar poco a poco el proceso de separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 309.5, "end": 312.70000000000005, "text": " Comenzamos por pasar este t\u00e9rmino al otro lado."}, {"start": 312.7, "end": 320.82, "text": " Entonces en el lado izquierdo nos queda de q de x por x y en el lado derecho nos queda"}, {"start": 320.82, "end": 329.78, "text": " esta fracci\u00f3n q menos 1 sobre q m\u00e1s 1 y todo esto menos q."}, {"start": 329.78, "end": 334.94, "text": " Ese t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo llega a este lado con signo negativo."}, {"start": 334.94, "end": 338.78, "text": " En el lado izquierdo vamos a efectuar esta multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 338.78, "end": 342.94, "text": " A esta x le colocamos denominador 1."}, {"start": 342.94, "end": 343.94, "text": " Continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 343.94, "end": 350.21999999999997, "text": " Nos queda entonces en el numerador de q por x se multiplican los numeradores entre s\u00ed"}, {"start": 350.21999999999997, "end": 354.67999999999995, "text": " y en el denominador tendremos de x por 1 que es de x."}, {"start": 354.67999999999995, "end": 358.17999999999995, "text": " Se multiplican entonces los denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 358.17999999999995, "end": 361.5, "text": " Y al otro lado vamos a efectuar esta resta."}, {"start": 361.5, "end": 369.06, "text": " A esta q le colocamos denominador 1 y tenemos all\u00ed la resta de dos fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 369.06, "end": 372.34, "text": " Fracciones con distinto denominador."}, {"start": 372.34, "end": 376.7, "text": " Vamos a aplicar entonces la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 376.7, "end": 378.34, "text": " Multiplicamos estos dos componentes."}, {"start": 378.34, "end": 382.34, "text": " q menos 1 por 1 que nos da q menos 1."}, {"start": 382.34, "end": 386.9, "text": " Esto menos la multiplicaci\u00f3n de estos dos componentes."}, {"start": 386.9, "end": 392.26, "text": " O sea q por q m\u00e1s 1."}, {"start": 392.26, "end": 396.02, "text": " Y abajo multiplicamos estos dos componentes."}, {"start": 396.02, "end": 400.41999999999996, "text": " q m\u00e1s 1 por 1 que nos da q m\u00e1s 1."}, {"start": 400.41999999999996, "end": 406.34, "text": " Entonces all\u00ed hemos aplicado la t\u00e9cnica de la carita feliz para restar dos fracciones"}, {"start": 406.34, "end": 408.82, "text": " con distinto denominador."}, {"start": 408.82, "end": 418.46, "text": " Lo que tenemos en el lado izquierdo permanece igual de q por x sobre de x y en el lado derecho"}, {"start": 418.46, "end": 423.02, "text": " vamos a efectuar esas operaciones que hay en el numerador."}, {"start": 423.02, "end": 429.53999999999996, "text": " Nos queda q menos 1 y ac\u00e1 vamos a aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 429.53999999999996, "end": 437.78, "text": " Entonces tendremos menos q por q que es menos q al cuadrado y menos q por m\u00e1s 1 que es"}, {"start": 437.78, "end": 438.97999999999996, "text": " menos q."}, {"start": 438.97999999999996, "end": 443.7, "text": " Y todo esto queda sobre q m\u00e1s 1."}, {"start": 443.7, "end": 447.05999999999995, "text": " De nuevo lo del lado izquierdo queda igual."}, {"start": 447.05999999999995, "end": 455.9, "text": " Nos queda de q por x sobre de x y en el lado derecho tendremos lo siguiente."}, {"start": 455.9, "end": 461.85999999999996, "text": " En el numerador este t\u00e9rmino m\u00e1s q se cancela o se elimina con este t\u00e9rmino menos q por"}, {"start": 461.85999999999996, "end": 463.94, "text": " ser t\u00e9rminos opuestos."}, {"start": 463.94, "end": 470.66, "text": " Entonces en el numerador nos queda menos 1 menos q al cuadrado y en el denominador nos"}, {"start": 470.66, "end": 474.3, "text": " queda q m\u00e1s 1."}, {"start": 474.3, "end": 479.22, "text": " All\u00ed podemos pasar lo que est\u00e1 dividiendo al lado contrario a multiplicar."}, {"start": 479.22, "end": 482.9, "text": " Entonces q m\u00e1s 1 llega a multiplicar con esto."}, {"start": 482.9, "end": 492.22, "text": " Nos queda de q por x por esta expresi\u00f3n que debemos proteger con par\u00e9ntesis q m\u00e1s 1."}, {"start": 492.22, "end": 496.42, "text": " Y todo esto queda igual a esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 496.42, "end": 500.22, "text": " Menos 1 menos q al cuadrado."}, {"start": 500.22, "end": 504.98, "text": " Tambi\u00e9n lo protegemos con par\u00e9ntesis y esto queda multiplicando por de x."}, {"start": 504.98, "end": 509.70000000000005, "text": " Repetimos lo que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar al otro lado."}, {"start": 509.70000000000005, "end": 513.6600000000001, "text": " Ahora s\u00ed podemos realizar la separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 513.6600000000001, "end": 518.7, "text": " A este lado se observa el diferencial de q y ac\u00e1 tenemos el diferencial de x."}, {"start": 518.7, "end": 524.4200000000001, "text": " Entonces vamos a dejar en el lado izquierdo toda la expresi\u00f3n con la letra q y en el"}, {"start": 524.4200000000001, "end": 527.86, "text": " lado derecho la expresi\u00f3n con la letra x."}, {"start": 527.86, "end": 538.0200000000001, "text": " Ac\u00e1 nos quedar\u00e1 de q por q m\u00e1s 1 y esto que est\u00e1 multiplicando lo pasamos a dividir."}, {"start": 538.0200000000001, "end": 544.3000000000001, "text": " Nos queda entonces sobre entre par\u00e9ntesis menos 1 menos q al cuadrado."}, {"start": 544.3, "end": 550.3399999999999, "text": " Al otro lado nos queda de x y nos va a quedar sobre x."}, {"start": 550.3399999999999, "end": 555.14, "text": " Esta x que est\u00e1 multiplicando pasa a este lado a dividir."}, {"start": 555.14, "end": 558.18, "text": " All\u00ed ya tenemos las variables separadas."}, {"start": 558.18, "end": 563.0999999999999, "text": " A este lado todo lo que tiene que ver con la letra q y a este lado todo lo relacionado"}, {"start": 563.0999999999999, "end": 564.18, "text": " con x."}, {"start": 564.18, "end": 567.06, "text": " Vamos a organizar ambas expresiones."}, {"start": 567.06, "end": 576.42, "text": " En el lado izquierdo nos va a quedar q m\u00e1s 1 por dq y abajo vamos a extraer como factor"}, {"start": 576.42, "end": 578.78, "text": " com\u00fan el signo negativo."}, {"start": 578.78, "end": 586.9, "text": " Nos queda menos dentro del par\u00e9ntesis 1 m\u00e1s q al cuadrado y en el lado derecho permanece"}, {"start": 586.9, "end": 589.54, "text": " de x sobre x."}, {"start": 589.54, "end": 593.9399999999999, "text": " Y ahora podemos integrar ambos lados de la igualdad."}, {"start": 593.94, "end": 599.6600000000001, "text": " En el lado izquierdo colocamos el s\u00edmbolo de la integral y vamos a extraer el signo"}, {"start": 599.6600000000001, "end": 600.82, "text": " negativo."}, {"start": 600.82, "end": 603.94, "text": " Organizamos entonces la expresi\u00f3n del integrando."}, {"start": 603.94, "end": 610.0600000000001, "text": " Por ac\u00e1 q m\u00e1s 1 sobre 1 m\u00e1s q al cuadrado."}, {"start": 610.0600000000001, "end": 612.5, "text": " Todo esto con su diferencial de q."}, {"start": 612.5, "end": 619.3000000000001, "text": " Y en el lado derecho tendremos la integral de dx sobre x."}, {"start": 619.3, "end": 625.2199999999999, "text": " Antes de resolver cada una de estas integrales vamos a multiplicar por menos uno ambos lados"}, {"start": 625.2199999999999, "end": 626.3, "text": " de la igualdad."}, {"start": 626.3, "end": 630.62, "text": " A este lado eliminamos este signo menos y ac\u00e1 nos aparece."}, {"start": 630.62, "end": 635.54, "text": " Por comodidad trasladamos el signo negativo al lado derecho."}, {"start": 635.54, "end": 638.06, "text": " Ahora s\u00ed resolvemos las integrales."}, {"start": 638.06, "end": 642.9399999999999, "text": " En el lado izquierdo vamos a realizar la siguiente transformaci\u00f3n."}, {"start": 642.94, "end": 649.3000000000001, "text": " Repartimos este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos del numerador."}, {"start": 649.3000000000001, "end": 654.94, "text": " Nos queda entonces q sobre 1 m\u00e1s q al cuadrado."}, {"start": 654.94, "end": 662.94, "text": " Y esto m\u00e1s 1 sobre 1 m\u00e1s q al cuadrado."}, {"start": 662.94, "end": 667.46, "text": " Y todo esto queda con su diferencial de q."}, {"start": 667.46, "end": 671.74, "text": " En el lado derecho ya podr\u00edamos resolver esa integral."}, {"start": 671.74, "end": 677.74, "text": " Recordemos que esto es lo mismo que tener la integral de 1 sobre x acompa\u00f1ado del diferencial"}, {"start": 677.74, "end": 678.74, "text": " de x."}, {"start": 678.74, "end": 682.46, "text": " La integral de eso ser\u00e1 el logaritmo natural de x."}, {"start": 682.46, "end": 688.62, "text": " Y agregamos de una vez la constante de integraci\u00f3n para todo el ejercicio."}, {"start": 688.62, "end": 694.02, "text": " Ahora en el lado izquierdo vamos a aplicar la propiedad de las integrales que permite"}, {"start": 694.02, "end": 698.46, "text": " repartir este s\u00edmbolo cuando tenemos una suma."}, {"start": 698.46, "end": 706.26, "text": " Entonces tendremos la integral de q sobre 1 m\u00e1s q al cuadrado."}, {"start": 706.26, "end": 716.74, "text": " Esto con su diferencial de q m\u00e1s la integral de 1 sobre 1 m\u00e1s q al cuadrado."}, {"start": 716.74, "end": 718.98, "text": " Tambi\u00e9n con su diferencial de q."}, {"start": 718.98, "end": 722.74, "text": " Lo que tenemos en el lado derecho permanece igual."}, {"start": 722.74, "end": 727.62, "text": " Ahora vamos a resolver cada una de estas integrales que nos quedan pendientes."}, {"start": 727.62, "end": 733.46, "text": " En el caso de la primera vamos a multiplicar por 2 y para contrarrestar eso vamos a multiplicar"}, {"start": 733.46, "end": 736.26, "text": " por fuera por 1 medio."}, {"start": 736.26, "end": 738.22, "text": " Para qu\u00e9 hacemos eso?"}, {"start": 738.22, "end": 741.36, "text": " Para aplicar esta propiedad."}, {"start": 741.36, "end": 750.02, "text": " Si tenemos la integral de una expresi\u00f3n u' de x sobre u de x."}, {"start": 750.02, "end": 752.26, "text": " Esto con su diferencial de x."}, {"start": 752.26, "end": 758.38, "text": " Entonces la integral de esa expresi\u00f3n ser\u00e1 el logaritmo natural de u de x."}, {"start": 758.38, "end": 759.38, "text": " \u00bfPor qu\u00e9?"}, {"start": 759.38, "end": 765.34, "text": " Porque la derivada de logaritmo natural de u de x es u' de x sobre u de x."}, {"start": 765.34, "end": 770.58, "text": " Es decir, si vemos aqu\u00ed una expresi\u00f3n donde en el numerador aparece la derivada de lo"}, {"start": 770.58, "end": 771.9, "text": " que tenemos abajo."}, {"start": 771.9, "end": 778.3199999999999, "text": " Entonces podemos obtener la integral de forma directa como logaritmo natural de lo que hay"}, {"start": 778.3199999999999, "end": 779.78, "text": " en el denominador."}, {"start": 779.78, "end": 781.9, "text": " Es lo que est\u00e1 sucediendo ac\u00e1."}, {"start": 781.9, "end": 785.62, "text": " 2q es la derivada de 1 m\u00e1s q al cuadrado."}, {"start": 785.62, "end": 793.5, "text": " Entonces esto nos va a quedar como un medio por logaritmo natural de lo que tenemos en"}, {"start": 793.5, "end": 797.66, "text": " el denominador que es 1 m\u00e1s q al cuadrado."}, {"start": 797.66, "end": 801.34, "text": " Ahora esta integral es directa."}, {"start": 801.34, "end": 807.38, "text": " Esto da como resultado tangente a la menos 1 de q."}, {"start": 807.38, "end": 815.02, "text": " Y todo esto queda igualado a la misma expresi\u00f3n, menos logaritmo natural de x m\u00e1s c."}, {"start": 815.02, "end": 821.54, "text": " Cuando ya hemos resuelto las integrales, llega el momento de deshacer el cambio de variable."}, {"start": 821.54, "end": 826.06, "text": " Donde tenemos q, vamos a volver a escribir y sobre x."}, {"start": 826.06, "end": 833.7, "text": " Entonces esto nos queda un medio por logaritmo natural de 1 m\u00e1s q al cuadrado."}, {"start": 833.7, "end": 841.34, "text": " Entonces y sobre x se eleva al cuadrado y nos queda y al cuadrado sobre x al cuadrado."}, {"start": 841.34, "end": 847.0200000000001, "text": " Ahora esto nos queda m\u00e1s tangente a la menos 1 de q."}, {"start": 847.0200000000001, "end": 855.0600000000001, "text": " Pero q se cambia por la expresi\u00f3n y sobre x y todo esto queda igualado a menos logaritmo"}, {"start": 855.0600000000001, "end": 858.82, "text": " natural de x m\u00e1s c."}, {"start": 858.82, "end": 864.0200000000001, "text": " Enseguida vamos a resolver esta suma que tenemos dentro de este par\u00e9ntesis."}, {"start": 864.0200000000001, "end": 869.7, "text": " Para ello le colocamos denominador 1 a ese n\u00famero 1."}, {"start": 869.7, "end": 876.38, "text": " Tendremos un medio por logaritmo natural de... aplicamos otra vez la carita feliz."}, {"start": 876.38, "end": 880.6600000000001, "text": " Porque tenemos una suma de fracciones con distinto denominador."}, {"start": 880.66, "end": 889.66, "text": " Tendremos 1 por x al cuadrado que es x al cuadrado m\u00e1s 1 por y al cuadrado que es y"}, {"start": 889.66, "end": 891.9399999999999, "text": " al cuadrado."}, {"start": 891.9399999999999, "end": 898.62, "text": " Y en la parte de abajo 1 por x al cuadrado que es x al cuadrado."}, {"start": 898.62, "end": 900.6999999999999, "text": " Lo dem\u00e1s permanece igual."}, {"start": 900.6999999999999, "end": 905.26, "text": " Ahora aqu\u00ed podemos aplicar una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 905.26, "end": 912.06, "text": " Recordemos que el logaritmo de una divisi\u00f3n se transforma en una resta de logaritmos."}, {"start": 912.06, "end": 913.8199999999999, "text": " Entonces tendremos lo siguiente."}, {"start": 913.8199999999999, "end": 915.06, "text": " Un medio por..."}, {"start": 915.06, "end": 921.34, "text": " Abrimos un corchete para proteger esa expresi\u00f3n que sigue y nos queda logaritmo natural de"}, {"start": 921.34, "end": 928.3, "text": " lo que hay en el numerador x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado menos logaritmo natural de lo"}, {"start": 928.3, "end": 932.38, "text": " que tenemos en el denominador que es x al cuadrado."}, {"start": 932.38, "end": 936.34, "text": " Recordamos el corchete y escribimos todo lo dem\u00e1s."}, {"start": 936.34, "end": 940.1, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar otra propiedad de los logaritmos."}, {"start": 940.1, "end": 943.34, "text": " Este exponente puede bajar a multiplicar."}, {"start": 943.34, "end": 946.7, "text": " Entonces tendremos un medio por..."}, {"start": 946.7, "end": 952.5, "text": " Abrimos el corchete logaritmo natural de esta expresi\u00f3n que no cambia."}, {"start": 952.5, "end": 955.42, "text": " X al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 955.42, "end": 962.4599999999999, "text": " Y aqu\u00ed tendremos menos 2 que llega a multiplicar con logaritmo natural de x."}, {"start": 962.4599999999999, "end": 966.42, "text": " Cerramos el corchete y escribimos todo lo dem\u00e1s."}, {"start": 966.42, "end": 973.2199999999999, "text": " Ahora aqu\u00ed podemos romper este corchete aplicando la propiedad distributiva con este n\u00famero."}, {"start": 973.2199999999999, "end": 976.06, "text": " Tendremos un medio por este logaritmo."}, {"start": 976.06, "end": 984.74, "text": " Nos queda un medio por logaritmo natural de x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 984.74, "end": 987.9, "text": " Tenemos un medio que llega a multiplicar con esto."}, {"start": 987.9, "end": 993.74, "text": " Pero un medio por 2 nos da 1 que queda acompa\u00f1ando al logaritmo natural de x."}, {"start": 993.74, "end": 996.1, "text": " Y lo dem\u00e1s permanece igual."}, {"start": 996.1, "end": 1001.5, "text": " Como se observa a ambos lados de la igualdad aparece el t\u00e9rmino menos logaritmo natural"}, {"start": 1001.5, "end": 1002.5, "text": " de x."}, {"start": 1002.5, "end": 1006.26, "text": " Entonces podemos cancelarlo o eliminarlo."}, {"start": 1006.26, "end": 1010.24, "text": " Y tambi\u00e9n aqu\u00ed podemos aplicar propiedad de los logaritmos."}, {"start": 1010.24, "end": 1015.86, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando puede trasladarse aqu\u00ed como exponente."}, {"start": 1015.86, "end": 1022.74, "text": " Es aplicar al contrario la propiedad que hab\u00edamos utilizado hace poco."}, {"start": 1022.74, "end": 1027.22, "text": " Entonces nos queda todo este par\u00e9ntesis elevado al exponente un medio."}, {"start": 1027.22, "end": 1030.22, "text": " Y lo dem\u00e1s permanece igual."}, {"start": 1030.22, "end": 1035.98, "text": " Para terminar y para que la respuesta quede mejor presentada hacemos los siguientes cambios."}, {"start": 1035.98, "end": 1042.8600000000001, "text": " Aqu\u00ed esta expresi\u00f3n que est\u00e1 elevada al exponente un medio puede escribirse como"}, {"start": 1042.8600000000001, "end": 1044.34, "text": " ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1044.34, "end": 1050.06, "text": " Entonces nos queda el logaritmo natural de la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s y"}, {"start": 1050.06, "end": 1051.26, "text": " al cuadrado."}, {"start": 1051.26, "end": 1060.38, "text": " Y tangente a la menos 1 de y sobre x puede escribirse como arco tangente de esa expresi\u00f3n."}, {"start": 1060.38, "end": 1061.98, "text": " Y sobre x."}, {"start": 1061.98, "end": 1064.02, "text": " Y esto igual a c."}, {"start": 1064.02, "end": 1069.34, "text": " Y de esta manera hemos terminado este ejercicio."}, {"start": 1069.34, "end": 1097.8999999999999, "text": " Esta es la soluci\u00f3n general para esa ecuaci\u00f3n diferencial que es de tipo homog\u00e9nea."}]