OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
#julioprofe explica cómo resolver diversas operaciones con números complejos.

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 Dados los números complejos z1 igual a 2 más 3i y z2 igual a 4 menos 5i vamos a determinar cada una de estas cinco operaciones. Comenzamos con la primera, donde tenemos cinco veces el número complejo z1 entonces lo sustituimos 2 más 3i entonces 5 por z1 más 7 veces z2 entonces 7 por el número complejo z2 que es 4 menos 5i y a continuación vamos a destruir los paréntesis aplicando propiedad distributiva entonces multiplicamos cada paréntesis por los números que tenemos afuera tenemos 5 por 2, 10, 5 por más 3i nos da más 15i luego 7 por 4 que nos da 28 positivo y 7 por menos 5i que nos da menos 35i enseguida operamos las partes reales entre sí, en este caso 10 más 28 que nos da 38 y operamos las partes imaginarias entre sí entonces 15i menos 35i eso nos da como resultado menos 20i de esta manera obtenemos la respuesta a la pregunta A este número complejo es el resultado de esta operación en la segunda operación tenemos el número complejo z1 que es 2 más 3i menos el conjugado del número complejo z2 siempre que veamos el número complejo con esta línea encima se refiere al conjugado de este número complejo y eso es simplemente cambiar el signo de la mitad el que separa la parte real de la parte imaginaria entonces el conjugado de z2 será 4 más 5i repetimos se cambia el signo de la mitad si tenemos menos acá es más y viceversa si aquí tuviéramos más entonces aquí tendríamos menos para este número complejo si es indispensable el uso de paréntesis porque va precedido de signo negativo a continuación destruimos ese paréntesis nos queda 2 más 3i y tenemos menos 4 menos 5i distribuimos el signo negativo aquí operamos las partes reales entre sí entonces 2i menos 4 que nos da menos 2 y operamos las partes imaginarias entre sí que sería 3i menos 5i lo que nos da como resultado menos 2i de esta manera tenemos la respuesta a la pregunta b este número complejo es el resultado de esta operación en la pregunta c tenemos la multiplicación de los números complejos dados entonces escribimos z1 que vale 2 más 3i y eso multiplicado por z2 que es 4 menos 5i entonces procedemos como se multiplican polinomios haciendo propiedad distributiva vamos con el 2 primero hacemos esta propiedad distributiva entonces esto nos da 2 por 4, 8, 2 por menos 5i, menos 10i y ahora hacemos distributiva con 3i entonces veamos 3i por 4 nos da más 12i y 3i por menos 5i nos da menos 15i al cuadrado recordemos que i al cuadrado equivale a menos 1 entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera 8 menos 10i más 12i y aquí tenemos menos 15 por menos 1 que nos da más 15 entonces vamos a operar las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí veamos 8 más 15 nos da 23 y menos 10i más 12i da como resultado 2i positivo este número complejo es la respuesta a la operación que tenemos en la pregunta C en la pregunta D tenemos el conjugado del número complejo z1 dividido entre el número complejo z2 entonces comenzamos por escribir el conjugado de z1 que será 2 menos 3i recordemos que se cambia el signo que separa la parte real de la parte imaginaria y vamos a escribir la división como fracción en el denominador escribimos z2 que es 4 menos 5i tenemos entonces una división de números complejos en este caso tenemos que multiplicar por el conjugado del denominador entonces vamos a multiplicar por 4 más 5i en la parte de arriba y por esa misma expresión en la parte de abajo entonces siempre multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del número complejo que nos queda en el denominador armamos entonces la operación recordemos que las fracciones se multiplican en forma horizontal multiplicación de numeradores entre sí y multiplicación de denominadores entre sí tenemos en la parte de arriba multiplicación de dos binomios entonces procedemos haciendo distributiva 2 por 4, 8, 2 por 5i nos da más 10i menos 3i por 4 es menos 12i menos 3i por 5i nos da menos 15i al cuadrado y en la parte de abajo tenemos lo que se llama en algebra un producto notable que se llama suma por diferencia vamos a recordarlo por aquí si tenemos la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas esto nos da como resultado la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado es el producto notable llamado suma por diferencia y da como resultado una diferencia de cuadrados entonces aquí lo podemos aplicar en el denominador tenemos entonces la primera cantidad que es 4 al cuadrado menos la segunda cantidad que es 5i lo escribimos dentro de paréntesis y eso al cuadrado entonces abajo aplicamos esta fórmula continuamos por acá con el desarrollo del ejercicio entonces tenemos 8 más 10i menos 12i y recordemos que i al cuadrado es igual a menos 1 entonces por aquí tenemos menos 15 por menos 1 que nos da más 15 en la parte de abajo tenemos 4 al cuadrado 16 menos aquí este cuadrado afecta el 5 y afecta la i por lo tanto nos queda 5 al cuadrado que es 25 acompañado de i al cuadrado nuevamente tenemos la potencia i al cuadrado que equivale a menos 1 nos va a quedar entonces en la parte de arriba 8 más 15 que es 23 y 10i menos 12i que nos da menos 2i operando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí en el denominador tendremos 16 y aquí tenemos menos 25 por menos 1 que es más 25 en el numerador sigue 23 menos 2i y en el denominador realizamos la suma 16 más 25 nos da 41 como paso final distribuimos este denominador para cada uno de los términos que hay en el numerador nos queda entonces 23 sobre 41 menos 2 cuarenta y un abos de i hacemos esto para que se distinga la parte real de la parte imaginaria del nuevo número complejo esta es entonces la respuesta a la pregunta de este ejercicio es el resultado de esta operación en la última pregunta nos piden encontrar el módulo o la norma o la magnitud del conjugado de la suma de los números complejos dados que son z1 y z2 esta doble barra representa o quiere decir que debemos encontrar el módulo o la magnitud o la norma del número complejo que resulte de esta operación entonces vamos en ese orden a realizar las distintas operaciones comenzamos por la suma de z1 más z2 tendremos 2 más 3i más z2 que es 4 menos 5i pero todo esto debe hacerse el conjugado continuamos resolvemos acá las operaciones entre las partes reales y las partes imaginarias 2 más 4 nos da 6 y 3i menos 5i nos da como resultado menos 2 y trazamos la línea que simboliza el conjugado entonces enseguida escribimos dentro de las barras dobles lo que es el conjugado de este número complejo entonces simplemente cambiamos este signo nos queda 6 más 2i como vemos ya desaparece la línea que tenemos encima porque ya hicimos el conjugado y enseguida vamos a determinar el módulo magnitud o norma de este número complejo 6 más 2i la fórmula para ese caso es la siguiente si tenemos un número complejo z de la forma a más bi entonces su norma módulo o magnitud viene dado por la expresión raíz cuadrada de a cuadrado más b cuadrado entonces vamos a aplicar esa fórmula en este caso tenemos a al cuadrado es decir la parte real al cuadrado que en este caso es 6 entonces 6 al cuadrado más b al cuadrado pero miremos que es b es el coeficiente de la i es decir nos fijamos en la parte imaginaria cuál es el número que acompaña a la i en este caso es 2 entonces será más 2 al cuadrado entonces al cuadrado más b al cuadrado dentro de la raíz cuadrada resolvemos esas operaciones 6 al cuadrado es 36 más 2 al cuadrado que es 4 esto nos da como resultado raíz cuadrada de 40 y esta raíz la podemos simplificar descomponiendo el 40 en factores primos veamos 40 le sacamos mitad nos da 20 20 tiene mitad nos da 10 10 tiene mitad nos da 5 y a 5 le sacamos quinta que nos da 1 entonces esto es 2 al cubo por 5 pero como tenemos una raíz cuadrada nos conviene desbaratar 2 a la 3 como 2 al cuadrado por 2 y eso por 5 entonces lo escribimos de esa manera aquí dentro de la raíz allí hemos descompuesto el número 40 y entonces de esta raíz podemos sacar este 2 que se encuentra elevado al cuadrado y queda acompañado de la raíz cuadrada de 2 por 5 que es 10 la parte que no puede salir de la raíz 2 raíz de 10 es la respuesta a este ejercicio constituye el módulo norma o magnitud de este número complejo 6 más 2i tenemos entonces la respuesta a la pregunta E y de esta manera terminamos
[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Dados los n\u00fameros complejos z1 igual a 2 m\u00e1s 3i y z2 igual a 4 menos 5i"}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " vamos a determinar cada una de estas cinco operaciones."}, {"start": 19.0, "end": 29.0, "text": " Comenzamos con la primera, donde tenemos cinco veces el n\u00famero complejo z1"}, {"start": 29.0, "end": 40.0, "text": " entonces lo sustituimos 2 m\u00e1s 3i entonces 5 por z1 m\u00e1s 7 veces z2"}, {"start": 40.0, "end": 49.0, "text": " entonces 7 por el n\u00famero complejo z2 que es 4 menos 5i"}, {"start": 49.0, "end": 57.0, "text": " y a continuaci\u00f3n vamos a destruir los par\u00e9ntesis aplicando propiedad distributiva"}, {"start": 57.0, "end": 66.0, "text": " entonces multiplicamos cada par\u00e9ntesis por los n\u00fameros que tenemos afuera"}, {"start": 66.0, "end": 74.0, "text": " tenemos 5 por 2, 10, 5 por m\u00e1s 3i nos da m\u00e1s 15i"}, {"start": 74.0, "end": 86.0, "text": " luego 7 por 4 que nos da 28 positivo y 7 por menos 5i que nos da menos 35i"}, {"start": 86.0, "end": 97.0, "text": " enseguida operamos las partes reales entre s\u00ed, en este caso 10 m\u00e1s 28 que nos da 38"}, {"start": 97.0, "end": 103.0, "text": " y operamos las partes imaginarias entre s\u00ed"}, {"start": 103.0, "end": 112.0, "text": " entonces 15i menos 35i eso nos da como resultado menos 20i"}, {"start": 112.0, "end": 119.0, "text": " de esta manera obtenemos la respuesta a la pregunta A"}, {"start": 119.0, "end": 126.0, "text": " este n\u00famero complejo es el resultado de esta operaci\u00f3n"}, {"start": 126.0, "end": 137.0, "text": " en la segunda operaci\u00f3n tenemos el n\u00famero complejo z1 que es 2 m\u00e1s 3i"}, {"start": 137.0, "end": 142.0, "text": " menos el conjugado del n\u00famero complejo z2"}, {"start": 142.0, "end": 148.0, "text": " siempre que veamos el n\u00famero complejo con esta l\u00ednea encima"}, {"start": 148.0, "end": 152.0, "text": " se refiere al conjugado de este n\u00famero complejo"}, {"start": 152.0, "end": 156.0, "text": " y eso es simplemente cambiar el signo de la mitad"}, {"start": 156.0, "end": 160.0, "text": " el que separa la parte real de la parte imaginaria"}, {"start": 160.0, "end": 168.0, "text": " entonces el conjugado de z2 ser\u00e1 4 m\u00e1s 5i"}, {"start": 168.0, "end": 172.0, "text": " repetimos se cambia el signo de la mitad"}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " si tenemos menos ac\u00e1 es m\u00e1s y viceversa"}, {"start": 176.0, "end": 181.0, "text": " si aqu\u00ed tuvi\u00e9ramos m\u00e1s entonces aqu\u00ed tendr\u00edamos menos"}, {"start": 181.0, "end": 186.0, "text": " para este n\u00famero complejo si es indispensable el uso de par\u00e9ntesis"}, {"start": 186.0, "end": 190.0, "text": " porque va precedido de signo negativo"}, {"start": 190.0, "end": 194.0, "text": " a continuaci\u00f3n destruimos ese par\u00e9ntesis"}, {"start": 194.0, "end": 204.0, "text": " nos queda 2 m\u00e1s 3i y tenemos menos 4 menos 5i"}, {"start": 204.0, "end": 207.0, "text": " distribuimos el signo negativo"}, {"start": 207.0, "end": 212.0, "text": " aqu\u00ed operamos las partes reales entre s\u00ed"}, {"start": 212.0, "end": 218.0, "text": " entonces 2i menos 4 que nos da menos 2"}, {"start": 218.0, "end": 223.0, "text": " y operamos las partes imaginarias entre s\u00ed"}, {"start": 223.0, "end": 229.0, "text": " que ser\u00eda 3i menos 5i lo que nos da como resultado"}, {"start": 229.0, "end": 237.0, "text": " menos 2i de esta manera tenemos la respuesta"}, {"start": 237.0, "end": 243.0, "text": " a la pregunta b este n\u00famero complejo es el resultado"}, {"start": 243.0, "end": 246.0, "text": " de esta operaci\u00f3n"}, {"start": 246.0, "end": 250.0, "text": " en la pregunta c tenemos la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 250.0, "end": 253.0, "text": " de los n\u00fameros complejos dados"}, {"start": 253.0, "end": 261.0, "text": " entonces escribimos z1 que vale 2 m\u00e1s 3i"}, {"start": 261.0, "end": 269.0, "text": " y eso multiplicado por z2 que es 4 menos 5i"}, {"start": 269.0, "end": 274.0, "text": " entonces procedemos como se multiplican"}, {"start": 274.0, "end": 277.0, "text": " polinomios haciendo propiedad distributiva"}, {"start": 277.0, "end": 282.0, "text": " vamos con el 2 primero hacemos esta propiedad distributiva"}, {"start": 282.0, "end": 293.0, "text": " entonces esto nos da 2 por 4, 8, 2 por menos 5i, menos 10i"}, {"start": 293.0, "end": 299.0, "text": " y ahora hacemos distributiva con 3i"}, {"start": 299.0, "end": 307.0, "text": " entonces veamos 3i por 4 nos da m\u00e1s 12i"}, {"start": 307.0, "end": 315.0, "text": " y 3i por menos 5i nos da menos 15i al cuadrado"}, {"start": 315.0, "end": 321.0, "text": " recordemos que i al cuadrado equivale a menos 1"}, {"start": 321.0, "end": 326.0, "text": " entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera"}, {"start": 326.0, "end": 332.0, "text": " 8 menos 10i m\u00e1s 12i"}, {"start": 332.0, "end": 337.0, "text": " y aqu\u00ed tenemos menos 15 por menos 1 que nos da m\u00e1s 15"}, {"start": 337.0, "end": 344.0, "text": " entonces vamos a operar las partes reales entre s\u00ed"}, {"start": 344.0, "end": 348.0, "text": " y las partes imaginarias entre s\u00ed"}, {"start": 348.0, "end": 354.0, "text": " veamos 8 m\u00e1s 15 nos da 23"}, {"start": 354.0, "end": 362.0, "text": " y menos 10i m\u00e1s 12i da como resultado 2i positivo"}, {"start": 362.0, "end": 372.0, "text": " este n\u00famero complejo es la respuesta a la operaci\u00f3n que tenemos en la pregunta C"}, {"start": 372.0, "end": 379.0, "text": " en la pregunta D tenemos el conjugado del n\u00famero complejo z1"}, {"start": 379.0, "end": 384.0, "text": " dividido entre el n\u00famero complejo z2"}, {"start": 384.0, "end": 393.0, "text": " entonces comenzamos por escribir el conjugado de z1 que ser\u00e1 2 menos 3i"}, {"start": 393.0, "end": 400.0, "text": " recordemos que se cambia el signo que separa la parte real de la parte imaginaria"}, {"start": 400.0, "end": 405.0, "text": " y vamos a escribir la divisi\u00f3n como fracci\u00f3n"}, {"start": 405.0, "end": 413.0, "text": " en el denominador escribimos z2 que es 4 menos 5i"}, {"start": 413.0, "end": 417.0, "text": " tenemos entonces una divisi\u00f3n de n\u00fameros complejos"}, {"start": 417.0, "end": 424.0, "text": " en este caso tenemos que multiplicar por el conjugado del denominador"}, {"start": 424.0, "end": 432.0, "text": " entonces vamos a multiplicar por 4 m\u00e1s 5i en la parte de arriba"}, {"start": 432.0, "end": 437.0, "text": " y por esa misma expresi\u00f3n en la parte de abajo"}, {"start": 437.0, "end": 443.0, "text": " entonces siempre multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del n\u00famero complejo"}, {"start": 443.0, "end": 446.0, "text": " que nos queda en el denominador"}, {"start": 446.0, "end": 452.0, "text": " armamos entonces la operaci\u00f3n"}, {"start": 452.0, "end": 458.0, "text": " recordemos que las fracciones se multiplican en forma horizontal"}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " multiplicaci\u00f3n de numeradores entre s\u00ed"}, {"start": 462.0, "end": 469.0, "text": " y multiplicaci\u00f3n de denominadores entre s\u00ed"}, {"start": 469.0, "end": 476.0, "text": " tenemos en la parte de arriba multiplicaci\u00f3n de dos binomios"}, {"start": 476.0, "end": 481.0, "text": " entonces procedemos haciendo distributiva"}, {"start": 481.0, "end": 489.0, "text": " 2 por 4, 8, 2 por 5i nos da m\u00e1s 10i"}, {"start": 489.0, "end": 496.0, "text": " menos 3i por 4 es menos 12i"}, {"start": 496.0, "end": 504.0, "text": " menos 3i por 5i nos da menos 15i al cuadrado"}, {"start": 504.0, "end": 510.0, "text": " y en la parte de abajo tenemos lo que se llama en algebra un producto notable"}, {"start": 510.0, "end": 513.0, "text": " que se llama suma por diferencia"}, {"start": 513.0, "end": 515.0, "text": " vamos a recordarlo por aqu\u00ed"}, {"start": 515.0, "end": 521.0, "text": " si tenemos la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas"}, {"start": 521.0, "end": 526.0, "text": " esto nos da como resultado la primera cantidad al cuadrado"}, {"start": 526.0, "end": 530.0, "text": " menos la segunda cantidad al cuadrado"}, {"start": 530.0, "end": 533.0, "text": " es el producto notable llamado suma por diferencia"}, {"start": 533.0, "end": 538.0, "text": " y da como resultado una diferencia de cuadrados"}, {"start": 538.0, "end": 541.0, "text": " entonces aqu\u00ed lo podemos aplicar en el denominador"}, {"start": 541.0, "end": 546.0, "text": " tenemos entonces la primera cantidad que es 4 al cuadrado"}, {"start": 546.0, "end": 552.0, "text": " menos la segunda cantidad que es 5i"}, {"start": 552.0, "end": 556.0, "text": " lo escribimos dentro de par\u00e9ntesis y eso al cuadrado"}, {"start": 556.0, "end": 561.0, "text": " entonces abajo aplicamos esta f\u00f3rmula"}, {"start": 561.0, "end": 567.0, "text": " continuamos por ac\u00e1 con el desarrollo del ejercicio"}, {"start": 567.0, "end": 577.0, "text": " entonces tenemos 8 m\u00e1s 10i menos 12i"}, {"start": 577.0, "end": 584.0, "text": " y recordemos que i al cuadrado es igual a menos 1"}, {"start": 584.0, "end": 592.0, "text": " entonces por aqu\u00ed tenemos menos 15 por menos 1 que nos da m\u00e1s 15"}, {"start": 592.0, "end": 598.0, "text": " en la parte de abajo tenemos 4 al cuadrado 16 menos"}, {"start": 598.0, "end": 603.0, "text": " aqu\u00ed este cuadrado afecta el 5 y afecta la i"}, {"start": 603.0, "end": 606.0, "text": " por lo tanto nos queda 5 al cuadrado que es 25"}, {"start": 606.0, "end": 610.0, "text": " acompa\u00f1ado de i al cuadrado"}, {"start": 610.0, "end": 618.0, "text": " nuevamente tenemos la potencia i al cuadrado que equivale a menos 1"}, {"start": 618.0, "end": 625.0, "text": " nos va a quedar entonces en la parte de arriba"}, {"start": 625.0, "end": 636.0, "text": " 8 m\u00e1s 15 que es 23 y 10i menos 12i que nos da menos 2i"}, {"start": 636.0, "end": 642.0, "text": " operando partes reales entre s\u00ed y partes imaginarias entre s\u00ed"}, {"start": 642.0, "end": 653.0, "text": " en el denominador tendremos 16 y aqu\u00ed tenemos menos 25 por menos 1 que es m\u00e1s 25"}, {"start": 653.0, "end": 661.0, "text": " en el numerador sigue 23 menos 2i"}, {"start": 661.0, "end": 668.0, "text": " y en el denominador realizamos la suma 16 m\u00e1s 25 nos da 41"}, {"start": 668.0, "end": 677.0, "text": " como paso final distribuimos este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que hay en el numerador"}, {"start": 677.0, "end": 688.0, "text": " nos queda entonces 23 sobre 41 menos 2 cuarenta y un abos de i"}, {"start": 688.0, "end": 697.0, "text": " hacemos esto para que se distinga la parte real de la parte imaginaria del nuevo n\u00famero complejo"}, {"start": 697.0, "end": 705.0, "text": " esta es entonces la respuesta a la pregunta de este ejercicio"}, {"start": 705.0, "end": 710.0, "text": " es el resultado de esta operaci\u00f3n"}, {"start": 710.0, "end": 720.0, "text": " en la \u00faltima pregunta nos piden encontrar el m\u00f3dulo o la norma o la magnitud del conjugado"}, {"start": 720.0, "end": 728.0, "text": " de la suma de los n\u00fameros complejos dados que son z1 y z2"}, {"start": 728.0, "end": 739.0, "text": " esta doble barra representa o quiere decir que debemos encontrar el m\u00f3dulo o la magnitud o la norma"}, {"start": 739.0, "end": 743.0, "text": " del n\u00famero complejo que resulte de esta operaci\u00f3n"}, {"start": 743.0, "end": 751.0, "text": " entonces vamos en ese orden a realizar las distintas operaciones"}, {"start": 751.0, "end": 765.0, "text": " comenzamos por la suma de z1 m\u00e1s z2 tendremos 2 m\u00e1s 3i m\u00e1s z2 que es 4 menos 5i"}, {"start": 765.0, "end": 773.0, "text": " pero todo esto debe hacerse el conjugado"}, {"start": 773.0, "end": 777.0, "text": " continuamos"}, {"start": 777.0, "end": 797.0, "text": " resolvemos ac\u00e1 las operaciones entre las partes reales y las partes imaginarias 2 m\u00e1s 4 nos da 6 y 3i menos 5i nos da como resultado menos 2"}, {"start": 797.0, "end": 812.0, "text": " y trazamos la l\u00ednea que simboliza el conjugado entonces enseguida escribimos dentro de las barras dobles"}, {"start": 812.0, "end": 823.0, "text": " lo que es el conjugado de este n\u00famero complejo entonces simplemente cambiamos este signo nos queda 6 m\u00e1s 2i"}, {"start": 823.0, "end": 830.0, "text": " como vemos ya desaparece la l\u00ednea que tenemos encima porque ya hicimos el conjugado"}, {"start": 830.0, "end": 841.0, "text": " y enseguida vamos a determinar el m\u00f3dulo magnitud o norma de este n\u00famero complejo 6 m\u00e1s 2i"}, {"start": 841.0, "end": 848.0, "text": " la f\u00f3rmula para ese caso es la siguiente si tenemos un n\u00famero complejo z de la forma a m\u00e1s bi"}, {"start": 848.0, "end": 860.0, "text": " entonces su norma m\u00f3dulo o magnitud viene dado por la expresi\u00f3n ra\u00edz cuadrada de a cuadrado m\u00e1s b cuadrado"}, {"start": 860.0, "end": 869.0, "text": " entonces vamos a aplicar esa f\u00f3rmula en este caso tenemos a al cuadrado es decir la parte real al cuadrado que en este caso es 6"}, {"start": 869.0, "end": 880.0, "text": " entonces 6 al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado pero miremos que es b es el coeficiente de la i es decir nos fijamos en la parte imaginaria"}, {"start": 880.0, "end": 891.0, "text": " cu\u00e1l es el n\u00famero que acompa\u00f1a a la i en este caso es 2 entonces ser\u00e1 m\u00e1s 2 al cuadrado entonces al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado"}, {"start": 891.0, "end": 906.0, "text": " dentro de la ra\u00edz cuadrada resolvemos esas operaciones 6 al cuadrado es 36 m\u00e1s 2 al cuadrado que es 4"}, {"start": 906.0, "end": 926.0, "text": " esto nos da como resultado ra\u00edz cuadrada de 40 y esta ra\u00edz la podemos simplificar descomponiendo el 40 en factores primos"}, {"start": 926.0, "end": 941.0, "text": " veamos 40 le sacamos mitad nos da 20 20 tiene mitad nos da 10 10 tiene mitad nos da 5 y a 5 le sacamos quinta que nos da 1"}, {"start": 941.0, "end": 957.0, "text": " entonces esto es 2 al cubo por 5 pero como tenemos una ra\u00edz cuadrada nos conviene desbaratar 2 a la 3 como 2 al cuadrado por 2 y eso por 5"}, {"start": 957.0, "end": 971.0, "text": " entonces lo escribimos de esa manera aqu\u00ed dentro de la ra\u00edz all\u00ed hemos descompuesto el n\u00famero 40 y entonces de esta ra\u00edz podemos sacar este 2"}, {"start": 971.0, "end": 984.0, "text": " que se encuentra elevado al cuadrado y queda acompa\u00f1ado de la ra\u00edz cuadrada de 2 por 5 que es 10 la parte que no puede salir de la ra\u00edz"}, {"start": 984.0, "end": 998.0, "text": " 2 ra\u00edz de 10 es la respuesta a este ejercicio constituye el m\u00f3dulo norma o magnitud de este n\u00famero complejo 6 m\u00e1s 2i"}, {"start": 998.0, "end": 1017.0, "text": " tenemos entonces la respuesta a la pregunta E y de esta manera terminamos"}]