INTEGRACIÓN POR MÉTODO TABULAR - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método Tabular.

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 Vamos a resolver esta integral indefinida que no corresponde a una integral directa y que tampoco se puede hacer por el método de sustitución. Pensaríamos entonces en utilizar el método de integración por partes. Recordemos que es el de la fórmula integral de U por dV y donde esto es igual a U por V menos la integral de V por dU. Recordemos que se puede aprender de una manera fácil diciendo que la integral de U por dV es igual a una vaca menos la integral vestida de uniforme. Es una técnica de memorización de esta fórmula. En este caso, para escoger U se utiliza también la técnica de ilate que consiste en clasificar las dos funciones que tenemos en estas categorías. Función inversa, para ser exactos, las trigonométricas inversas, función logarítmica, función algebraica, función trigonométrica y función exponencial. En este caso, X al cubo es categoría algebraica y E a la X es categoría exponencial. Armando la palabra ilate vemos que de izquierda a derecha la primera que encontramos de estas dos selecciones es la función algebraica. Por lo tanto, ella hace el papel de la U. Tendríamos entonces que esto es U y lo que nos queda todo esto correspondería a dV. Tenemos ya el componente U y el componente dV para pensar en usar el método de integración por partes. Lo que sucede con este ejercicio es que si nos vamos por este camino tendríamos que utilizar el método de integración por partes en tres ocasiones. Y esto hace que ese desarrollo sea muy extenso. Vamos a ver entonces otra alternativa para hacer esta integral de una manera más corta. Se trata de lo que se conoce como el método tabular o también se le conoce como integración tabular. Veamos en qué consiste. Se aplica cuando tenemos dos funciones. Vamos a llamar la primera la función ADX y la segunda la función BDX. Dos funciones como vimos que se pueden clasificar en las categorías de ilate y que nos conducen a la utilización del método de integración por partes. Pero la característica que observamos aquí es que una de las funciones, en este caso ADX que es X al cubo, al derivarla sucesivamente llega un momento en que se obtiene cero. Y la otra función es fácilmente integrable. Entonces allí es conveniente utilizar el método tabular. Veremos que es muy sencillo. Comenzamos por crear dos encabezados para hacer dos columnas. La primera se va a llamar ADX y sus derivadas y la segunda se va a llamar BDX y sus integrales. Entonces escribimos por aquí la función que está designada como ADX y por acá la otra función la que hace el papel de BDX. Y esta la vamos a derivar sucesivamente. Tenemos entonces derivada de X al cubo es 3X al cuadrado. Derivamos nuevamente la derivada de 3X al cuadrado es 6X. Volvemos a derivar la derivada de 6X es 6. Y al derivar nuevamente tenemos la derivada de una constante que nos da cero. Si volviéramos a derivar cero obtenemos cero y así sucesivamente cero hacia abajo. Ahora vamos con esta función que vamos a integrarla. Entonces recordemos que la integral de E a la X es ella misma. Volvemos a integrar nos da otra vez E a la X, otra vez su integral E a la X. Y así sucesivamente también nos daría todo el tiempo E a la X. Entonces ahora lo que hacemos es conectar la primera función ADX con la segunda que tenemos a este lado. No tomamos la primera sino la segunda. Entonces nos queda esta flecha en diagonal. Conectamos 3X al cuadrado con la siguiente 6X aquí con la siguiente 6 con E a la X. Y bueno cero con las que siguen por acá vamos a escribir otra E a la X y los puntos suspensivos por acá. Entonces conectaríamos cero con este E a la X que tenemos por acá. Ahora en estas flechas que nos quedaron en diagonal vamos a escribir los signos más menos más menos más y bueno menos si siguieran las flechas hacia abajo. Siempre empezando con signo positivo y hacia abajo signos intercalados. Esto nos permite ya conseguir la respuesta de esta integral veamos como nos queda. Tendremos entonces lo siguiente el resultado de esta integral será X al cubo por E a la X y ese producto con signo positivo. Entonces tendremos X al cubo E a la X. Vamos con el siguiente producto 3X al cuadrado por E a la X y eso con signo menos. Entonces nos queda menos 3X al cuadrado E a la X. Vamos ahora con este producto 6X por E a la X con signo positivo nos queda más 6X E a la X. Luego 6 por E a la X con signo menos nos queda menos 6E a la X. Y el siguiente sería 0 por E a la X pero allí el producto se anula y lo mismo sucedería con todo lo que sigue de aquí para abajo. Porque a este lado tenemos 0 entonces de aquí hacia abajo ya no tenemos nada más y rematamos el ejercicio con la constante de integración. De esta manera hemos encontrado el resultado de esta integral indefinida utilizando el método tabular o lo que se conoce también como integración tabular. Podríamos escribir la respuesta de la siguiente manera. Imaginemos que aquí se agrupan todos estos términos con paréntesis sin incluir la C y extraemos factor común E a la X. Tendremos entonces E a la X factor común de X al cubo menos 3X al cuadrado más 6X menos 6. Cerramos el paréntesis y escribimos la constante de integración. Es otra manera de presentar la respuesta a ese ejercicio. Y podemos comprobar la validez de todo este procedimiento derivando esta expresión. Si la derivada de esto nos da esto que tenemos acá entonces este procedimiento es correcto. Vamos entonces a efectuar la comprobación de este ejercicio. Entonces procedemos a derivar esta expresión derivada con respecto a X de E a la X que multiplica con X al cubo menos 3X al cuadrado más 6X menos 6. Bueno la C no es necesario incluirla porque recordemos que la derivada de una constante es cero. Nos vamos a concentrar en la expresión que contiene la X. Vamos entonces con esta derivada. Como aquí tenemos una multiplicación utilizamos la regla del producto para derivadas. Es la derivada del primer componente, o sea E a la X por el segundo componente sin derivar, o sea X al cubo menos 3X al cuadrado más 6X menos 6 y todo esto más el primer componente sin derivar, o sea E a la X multiplicado por la derivada del segundo componente. Entonces tenemos derivada de X al cubo es 3X al cuadrado, derivada de menos 3X al cuadrado es menos 6X, derivada de 6X es más 6 y derivada de menos 6 es cero. Entonces allí terminamos el proceso de derivación. Efectuamos la propiedad distributiva E a la X por X al cubo nos queda X al cubo E a la X, E a la X por esto nos queda menos 3X al cuadrado por E a la X, E a la X por este término nos queda más 6X E a la X, E a la X por menos 6 nos queda menos 6 E a la X. Seguimos por acá también con propiedad distributiva E a la X por 3X al cuadrado será más 3X al cuadrado E a la X, este por este nos queda menos 6X E a la X y este por este nos da más 6E a la X. Revisamos los términos que tenemos allí y encontramos que hay términos semejantes como estos dos que a la vez son opuestos por lo tanto se pueden eliminar. Tenemos también el caso de 6X con E a la X aquí está positivo, por acá está negativo también se pueden cancelar y sucede lo mismo con menos 6E a la X y más 6E a la X. Terminos opuestos que se anulan entre sí y nos quedó únicamente X al cubo E a la X, o sea lo que tenemos aquí en el integrando. Eso nos permite confirmar que todo este procedimiento es correcto, entonces hemos resuelto esa integral indefinida utilizando el método tabular otra alternativa para llegar a la respuesta con rapidez.
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confirmar que todo este procedimiento es correcto, entonces hemos resuelto esa integral indefinida utilizando el m\u00e9todo tabular otra alternativa para llegar a la respuesta con rapidez."}]