RAZÓN DE CAMBIO - Problema 2
#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre Razón de Cambio:

Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm³/s. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando su diámetro es 50 cm?

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 Veamos este problema de razón de cambio, una de las aplicaciones de las derivadas. Dice, se bombea aire hacia el interior de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm³ por segundo. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando su diámetro es 50 cm? Para este problema hacemos el dibujo de un globo esférico y aquí tenemos el dispositivo que está bombeando aire hacia su interior. Tenemos que el volumen del globo está aumentando a razón de 100 cm³ por segundo. Eso se representa de la siguiente manera, de VDT, es una razón de cambio y esto es igual a 100 cm³ por segundo. Será de signo positivo porque nos dice el problema que el volumen aumenta con el paso del tiempo. Entonces es una razón de cambio positiva, para este globo su volumen crece o aumenta a este ritmo. Vamos a suponer que en un instante cualquiera tenemos un radio R para el globo. Tenemos que encontrar con qué rapidez crece ese radio, o sea, cuanto vale de RDT en el momento o en el instante en que su diámetro es 50 cm. Recordemos que el diámetro equivale a 2 radios, entonces esto es el momento en que el radio tiene un valor de 25 cm. Este es el planteamiento inicial del problema, hemos sacado los datos que nos dan. Ahora vamos a utilizar la fórmula geométrica que nos da el volumen de una esfera en términos de su radio. Ella dice que el volumen es igual a 4 tercios de pi por el radio al cubo, fórmula de la geometría. Y esa expresión la vamos a derivar a ambos lados con respecto al tiempo. Entonces viene el proceso de derivación utilizando las reglas que se acostumbran para derivar funciones. En el lado izquierdo la derivada del volumen con respecto al tiempo se deja expresada como dvdt. Al lado derecho podemos dejar quieto lo que es el componente constante de esta expresión, o sea, 4 tercios de pi lo escribimos y multiplicamos por la derivada de la parte variable. Entonces la derivada de r al cubo es 3r al cuadrado y esto multiplicado por la derivada interna que sería la derivada de r con respecto al tiempo. Siempre debemos incluir la derivada interna de la variable porque la derivada se está realizando con respecto al tiempo que es una letra que no aparece en la expresión. En el lado derecho podemos simplificar el número 3 y entonces tenemos la expresión así dvdt igual a 4 pi por r cuadrado y esto por dr dt. Y de allí vamos a despejar la razón de cambio que nos pide el problema. Entonces tendremos que dr dt será igual a lo siguiente. Este componente que está multiplicando pasa a dividir debajo de la razón de cambio dvdt. Entonces aquí en el numerador escribimos dvdt y en el denominador tendríamos 4 pi r al cuadrado. Lo que sigue ahora es reemplazar aquí la información que conocemos. Tenemos entonces dr dt igual a dvdt que lo sustituimos por el número 100. Por las unidades no nos vamos a preocupar. Vemos que el radio está en centímetros, el volumen está en centímetros cúbicos y el tiempo estará en segundos. Entonces en esta expresión podemos reemplazar únicamente los números y al final a la razón de cambio que nos piden le escribimos las unidades correspondientes. Por acá tenemos 4 pi por el radio que es 25 y esto está al cuadrado. Entonces seguimos por acá nos queda dr dt igual a 100 en el numerador y por acá tenemos 25 al cuadrado que nos da 625 y eso multiplicado por 4 nos da 2500. Queda entonces 2500 pi en el denominador. Finalmente en esa fracción podemos simplificar ceros en el numerador y en el denominador. Tendremos entonces que dr dt es igual a 1 sobre 25 pi y las unidades de esta razón de cambio son centímetros para el radio y segundos para el tiempo. Podemos dejar la respuesta de esa manera, es decir, expresada o en calculadora científica resolviendo esa operación nos da aproximadamente 0.0127. También con sus respectivas unidades. Esta es entonces la respuesta a este problema, es la razón con que crece el radio del globo cuando este tiene un valor de 25 centímetros.
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