ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicios 1 y 2
#julioprofe explica cómo solucionar dos Ecuaciones Exponenciales.

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 Para resolver esta ecuación exponencial miramos primero si las bases tienen alguna relación entre sí. Por ejemplo en este caso 64 vemos que es potencia de 4. 64 lo podemos expresar como 4 a la 3, 4 al cubo. Allí tenemos entonces la ecuación exponencial con las bases iguales. Podríamos aplicar entonces la propiedad que dice que si a a la n es igual a a la m, entonces n es igual a m. Claro, si las bases son iguales necesariamente los exponentes deben ser iguales. Esa propiedad entonces nos autoriza a igualar estos dos exponentes. 2x menos 5 igual a 3. Y allí proseguimos con el despeje de la x. Pasamos el 5 que está restando a sumar al otro lado. Queda 3 más 5. 2x va a ser entonces igual a 8. Para despejar x, el 2 que está multiplicando pasa a dividir. Queda 8 medios y entonces x vale 4. Este sería entonces el resultado o la solución de esta ecuación exponencial. Ahora veremos un caso donde no podemos hacer esto. Es decir, donde las bases no tienen ninguna relación. Veamos esta otra ecuación exponencial. Dice así, 7 elevado a la 3 menos x igual a 5 elevado a la x más 1. En ese caso 7 y 5 no tienen ninguna familiaridad entre sí. Entonces no podemos usar la estrategia anterior. ¿Qué tenemos que hacer en este caso? Tomar logaritmo a los dos lados. Podemos usar por ejemplo el logaritmo base 10. Entonces colocamos logaritmo al lado izquierdo y logaritmo base 10 al lado derecho. Por la propiedad de los logaritmos que dice así, logaritmo en base A, por ejemplo de B a la C. Logaritmo de una potencia. Aquí podemos bajar el exponente a multiplicar. Quedaría C por logaritmo en la base A de B. Entonces podemos bajar estos exponentes a multiplicar delante de los logaritmos. Entonces nos queda así, 3 menos x que multiplica al logaritmo de 7 es igual a x más 1 que multiplica al logaritmo de 5. Esas expresiones que bajan deben colocarse en paréntesis porque toda la expresión va a quedar multiplicando a los respectivos logaritmos. Vamos a hacer aquí propiedad distributiva. Quedaría entonces 3 por logaritmo de 7 menos este por este x logaritmo de 7. Al otro lado lo mismo, este logaritmo de 5 se distribuye. Quedaría entonces x logaritmo de 5 más logaritmo de 5 por 1 que da logaritmo en base 10 de 5. Podemos agrupar los términos que tienen x al lado derecho y dejar los números al lado izquierdo. Entonces nos queda así, 3 logaritmo de 7, este logaritmo de 5 pasaría a restar. Acá este término queda igual y este que está restando pasaría a sumar. Queda así. Bien, vamos a seguirlo por acá. A continuación a este lado vamos a sacar factor común la x. Entonces nos queda 3 logaritmo de 7 menos logaritmo de 5 igual. Sale la x como factor de logaritmo de 5 más logaritmo de 7. Y allí ya podemos despejar x. Toda esta expresión que está multiplicando con x pasaría a dividir al otro lado. Entonces nos queda arriba 3 logaritmo de 7 menos logaritmo de 5 y abajo toda esta suma logaritmo de 5 más logaritmo de 7. Vamos a ver cómo esta respuesta puede darse de una forma mucho más corta. Aplicando nuevamente las propiedades de los logaritmos. Ese 3 que está multiplicando puede subir y convertirse en exponente del 7. Entonces nos quedaría logaritmo de 7 a la 3 menos logaritmo de 5. Todo esto sobre logaritmo de 5 más logaritmo de 7 igual a x. 7 a la 3 eso nos da 343. Vamos a colocar los dinámicos aquí. 343 y vamos a tomar esta resta de logaritmos y la vamos a convertir en el logaritmo de un conciente. Eso se apoya en las siguientes propiedades. Yo tengo logaritmo de a menos logaritmo de b. Yo puedo convertir esto en logaritmo de a sobre b. De igual manera abajo tenemos una suma de logaritmos. La suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de un producto. Entonces logaritmo de a más logaritmo de b va a quedar convertido en logaritmo de a por b. Entonces respondiendo a estas propiedades, vamos a seguirlo por acá. Nos va a quedar así. X va a ser igual a logaritmo de 343 sobre 5. Vamos a colocarlo así usando slash. Aquí abajo quedaría logaritmo de 5 por 7. Es decir 35. De una vez podemos colocar el 35. Listo. Allí tenemos entonces la respuesta de una manera mucho más corta que como la hemos presentado anteriormente. Esto en el caso de que no estuviéramos usando la calculadora. Si usamos la calculadora haciendo toda esa operación eso nos da aproximadamente 1.1893. Es decir el valor que debe tomar X para que la ecuación exponencial sea correcta.
[{"start": 0.0, "end": 8.8, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n exponencial miramos primero si las bases tienen alguna relaci\u00f3n entre s\u00ed."}, {"start": 8.8, "end": 14.200000000000001, "text": " Por ejemplo en este caso 64 vemos que es potencia de 4."}, {"start": 14.200000000000001, "end": 21.6, "text": " 64 lo podemos expresar como 4 a la 3, 4 al cubo."}, {"start": 21.6, "end": 27.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la ecuaci\u00f3n exponencial con las bases iguales."}, {"start": 27.0, "end": 40.0, "text": " Podr\u00edamos aplicar entonces la propiedad que dice que si a a la n es igual a a la m, entonces n es igual a m."}, {"start": 40.0, "end": 45.2, "text": " Claro, si las bases son iguales necesariamente los exponentes deben ser iguales."}, {"start": 45.2, "end": 49.6, "text": " Esa propiedad entonces nos autoriza a igualar estos dos exponentes."}, {"start": 49.6, "end": 53.6, "text": " 2x menos 5 igual a 3."}, {"start": 53.6, "end": 56.800000000000004, "text": " 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{"start": 135.4, "end": 139.4, "text": " Quedar\u00eda C por logaritmo en la base A de B."}, {"start": 139.4, "end": 146.8, "text": " Entonces podemos bajar estos exponentes a multiplicar delante de los logaritmos."}, {"start": 146.8, "end": 159.8, "text": " Entonces nos queda as\u00ed, 3 menos x que multiplica al logaritmo de 7 es igual a x m\u00e1s 1 que multiplica al logaritmo de 5."}, {"start": 159.8, "end": 163.8, "text": " Esas expresiones que bajan deben colocarse en par\u00e9ntesis"}, {"start": 163.8, "end": 168.6, "text": " porque toda la expresi\u00f3n va a quedar multiplicando a los respectivos logaritmos."}, {"start": 168.6, "end": 170.79999999999998, "text": " Vamos a hacer aqu\u00ed propiedad distributiva."}, {"start": 170.79999999999998, "end": 179.4, "text": " Quedar\u00eda entonces 3 por logaritmo de 7 menos este por este x logaritmo de 7."}, {"start": 179.4, "end": 183.2, "text": " Al otro lado lo mismo, este logaritmo de 5 se distribuye."}, {"start": 183.2, "end": 192.0, "text": " Quedar\u00eda entonces x logaritmo de 5 m\u00e1s logaritmo de 5 por 1 que da logaritmo en base 10 de 5."}, {"start": 192.0, "end": 197.79999999999998, "text": " Podemos agrupar los t\u00e9rminos que tienen x al lado derecho y dejar los n\u00fameros al lado izquierdo."}, {"start": 197.8, "end": 206.4, "text": " Entonces nos queda as\u00ed, 3 logaritmo de 7, este logaritmo de 5 pasar\u00eda a restar."}, {"start": 206.4, "end": 215.0, "text": " Ac\u00e1 este t\u00e9rmino queda igual y este que est\u00e1 restando pasar\u00eda a sumar."}, {"start": 215.0, "end": 216.60000000000002, "text": " Queda as\u00ed."}, {"start": 216.60000000000002, "end": 221.20000000000002, "text": " Bien, vamos a seguirlo por ac\u00e1."}, {"start": 221.20000000000002, "end": 226.4, "text": " A continuaci\u00f3n a este lado vamos a sacar factor com\u00fan la x."}, {"start": 226.4, "end": 233.8, "text": " Entonces nos queda 3 logaritmo de 7 menos logaritmo de 5 igual."}, {"start": 233.8, "end": 243.20000000000002, "text": " Sale la x como factor de logaritmo de 5 m\u00e1s logaritmo de 7."}, {"start": 243.20000000000002, "end": 245.4, "text": " Y all\u00ed ya podemos despejar x."}, {"start": 245.4, "end": 251.0, "text": " Toda esta expresi\u00f3n que est\u00e1 multiplicando con x pasar\u00eda a dividir al otro lado."}, {"start": 251.0, "end": 263.0, "text": " Entonces nos queda arriba 3 logaritmo de 7 menos logaritmo de 5 y abajo toda esta suma logaritmo de 5 m\u00e1s logaritmo de 7."}, {"start": 263.0, "end": 268.2, "text": " Vamos a ver c\u00f3mo esta respuesta puede darse de una forma mucho m\u00e1s corta."}, {"start": 268.2, "end": 271.0, "text": " Aplicando nuevamente las propiedades de los logaritmos."}, {"start": 271.0, "end": 277.0, "text": " Ese 3 que est\u00e1 multiplicando puede subir y convertirse en exponente del 7."}, {"start": 277.0, "end": 284.0, "text": " Entonces nos quedar\u00eda logaritmo de 7 a la 3 menos logaritmo de 5."}, {"start": 284.0, "end": 291.6, "text": " Todo esto sobre logaritmo de 5 m\u00e1s logaritmo de 7 igual a x."}, {"start": 291.6, "end": 294.4, "text": " 7 a la 3 eso nos da 343."}, {"start": 294.4, "end": 297.0, "text": " Vamos a colocar los din\u00e1micos aqu\u00ed."}, {"start": 297.0, "end": 305.8, "text": " 343 y vamos a tomar esta resta de logaritmos y la vamos a convertir en el logaritmo de un conciente."}, {"start": 305.8, "end": 308.40000000000003, "text": " Eso se apoya en las siguientes propiedades."}, {"start": 308.40000000000003, "end": 314.2, "text": " Yo tengo logaritmo de a menos logaritmo de b."}, {"start": 314.2, "end": 319.0, "text": " Yo puedo convertir esto en logaritmo de a sobre b."}, {"start": 319.0, "end": 323.0, "text": " De igual manera abajo tenemos una suma de logaritmos."}, {"start": 323.0, "end": 329.40000000000003, "text": " La suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de un producto."}, {"start": 329.4, "end": 336.59999999999997, "text": " Entonces logaritmo de a m\u00e1s logaritmo de b va a quedar convertido en logaritmo de a por b."}, {"start": 336.59999999999997, "end": 343.59999999999997, "text": " Entonces respondiendo a estas propiedades, vamos a seguirlo por ac\u00e1."}, {"start": 343.59999999999997, "end": 345.4, "text": " Nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 345.4, "end": 353.0, "text": " X va a ser igual a logaritmo de 343 sobre 5."}, {"start": 353.0, "end": 356.4, "text": " Vamos a colocarlo as\u00ed usando slash."}, {"start": 356.4, "end": 360.79999999999995, "text": " Aqu\u00ed abajo quedar\u00eda logaritmo de 5 por 7."}, {"start": 360.79999999999995, "end": 362.2, "text": " Es decir 35."}, {"start": 362.2, "end": 365.0, "text": " De una vez podemos colocar el 35."}, {"start": 365.0, "end": 365.59999999999997, "text": " Listo."}, {"start": 365.59999999999997, "end": 373.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la respuesta de una manera mucho m\u00e1s corta que como la hemos presentado anteriormente."}, {"start": 373.0, "end": 377.4, "text": " Esto en el caso de que no estuvi\u00e9ramos usando la calculadora."}, {"start": 377.4, "end": 385.4, "text": " Si usamos la calculadora haciendo toda esa operaci\u00f3n eso nos da aproximadamente 1.1893."}, {"start": 385.4, "end": 390.4, "text": " Es decir el valor que debe tomar X para que la ecuaci\u00f3n exponencial sea correcta."}]