FRACCIONES COMPLEJAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo simplificar al máximo una expresión algebraica, que se convierte en fracción compleja.

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 Vamos a simplificar al máximo esta expresión algebraica. Para empezar vamos a extraer en el numerador este número 2 que está presente en los dos términos. Sale entonces como factor común. 2 será factor de x a la menos 1 por y más x por y a la menos 1 y cerramos el paréntesis. Y en el denominador continúa la misma expresión. Ahora allí podemos cancelar o eliminar ese número 2 porque se encuentra multiplicando tanto en el numerador como en el denominador. Y esto nos va a quedar de la siguiente manera. X a la menos 1 por y más x por y a la menos 1 en el numerador y x a la menos 2 más y a la menos 2 en el denominador. Como vemos la expresión ha quedado un poco más sencilla. Y enseguida vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos a elevada al exponente menos n esto es igual a 1 sobre a a la n. Es la propiedad que nos permite transformar una potencia con exponente negativo. Queda como una fracción con la potencia en el denominador y con exponente positivo. Eso lo vamos a aplicar para estas potencias que observamos en la expresión con exponentes negativos. Entonces x a la menos 1 nos va a quedar como 1 sobre x a la 1 siguiendo esa propiedad. Pero recordemos que toda potencia con exponente 1 permite que ese exponente sea invisible. Queda simplemente como 1 sobre x y esto está multiplicando por y. Luego tenemos más x por y a la menos 1 que nos va a quedar como 1 sobre y a la 1 o simplemente 1 sobre y. Ahora vamos con x a la menos 2 nos queda como 1 sobre x a la 2 más y a la menos 2 que se convierte en 1 sobre y a la 2. Ahora a estas letras y y x podemos colocarles denominador 1. Y con eso vamos a efectuar estas multiplicaciones que tenemos entre fracciones. Recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. En el primer caso tenemos 1 por y que es y sobre x por 1 que es x y esto sumando con x por 1 que es x sobre 1 por y que es y. Y en el denominador continúa la misma expresión. Esto a lo que hemos llegado es lo que se conoce con el nombre de una fracción compleja. Es una gran fracción donde en el numerador y en el denominador aparecen otras fracciones. Como se observa tenemos allí la suma entre fracciones con distinto denominador, o sea fracciones heterogéneas. Y es allí cuando podemos utilizar la técnica o el truco de la carita feliz para realizar rápida y fácilmente esas operaciones. Veamos en qué consiste. En el numerador a por d más o menos b por c y acá en el denominador b por d. Entonces lo que se ha hecho es lo siguiente. Estos dos elementos aquí, luego estos dos por acá y los del denominador que son estos dos. Por esto se llama la técnica o el truco de la carita feliz. Entonces de acuerdo con esto tendremos lo siguiente. Para esta operación y por y, o sea y al cuadrado, luego más x por x que es x al cuadrado y en el denominador x por y. Ahora con esta otra suma nos queda 1 por y al cuadrado es y al cuadrado más x al cuadrado por 1 que es x al cuadrado y en el denominador el producto entre x al cuadrado y y al cuadrado. Hemos llegado a una división entre fracciones. Vamos a recordar cómo se realiza eso fácilmente utilizando otro truco o técnica conocida como la ley de la oreja. La multiplicación de los elementos externos a por d va en el numerador y la multiplicación de los elementos internos, o sea b por c va en el denominador. Entonces siguiendo esto nos va a quedar lo siguiente. En el numerador tendremos el producto de estos dos componentes. Es y al cuadrado más x al cuadrado que debemos proteger con paréntesis y esto multiplicado por x al cuadrado y al cuadrado. Ahora en el denominador multiplicamos los componentes internos, es decir x y por y al cuadrado más x al cuadrado. Esa suma debe protegerse con paréntesis. Ahora como allí tenemos multiplicación en el numerador y también en el denominador podemos cancelar aquellos factores que se encuentren repetidos como el caso de y al cuadrado más x al cuadrado. Estos dos pueden cancelarse o eliminarse y también podemos simplificar estas potencias con esto que tenemos acá en el denominador. Allí lo que ocurre es una resta entre los exponentes. Entonces x al cuadrado se simplifica con x, es como si restamos exponentes y nos va a quedar x a la 1 o simplemente x en el numerador. Lo mismo ocurre con y al cuadrado y y. También se hace la resta entre los exponentes y nos queda en el numerador y a la 1 que es simplemente y. En definitiva esto nos ha quedado así. En el numerador simplemente x por y que es x y y en el denominador como todo se canceló quiere decir que ha quedado únicamente 1 y a su vez esto equivale a x y que será el resultado para esa expresión algebraica. Y de esta manera terminamos este ejercicio.
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