DOMINIOS DE FUNCIONES
#julioprofe explica cómo hallar el dominio en diferentes #Funciones.

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 Para una función de la forma y igual a f de x se define el dominio como el conjunto de valores que toma la x en la función. Ese es el dominio de la función. Y se define el rango de la función como el conjunto de valores que toma la y en dicha función. Veamos algunos ejemplos de dominios de funciones. Si nuestra función es polinómica, como en este caso un polinomio de primer grado o por ejemplo una función cuadrática, como por ejemplo esta, una función de segundo grado, o una función por ejemplo r de u, u a la cinco menos tres u a la cuatro más diez, función de quinto grado, en cualquiera de estos casos el dominio va a ser el conjunto de los números reales. Porque la variable independiente en cada caso puede tomar cualquier valor del conjunto de los reales. No hay ningún problema. Entonces, en el caso de la función f, su dominio van a ser los x pertenecientes a los reales. En el caso de la función g, el dominio de la función g van a ser los valores de t pertenecientes a los reales. Y en el caso de la función r, el dominio van a ser los valores de u pertenecientes al conjunto de los números reales. Veamos ahora el caso de lo que se llaman funciones racionales, como por ejemplo esta. La función h de x igual a x menos seis sobre x menos cinco. En este caso debemos garantizar que el denominador de la expresión no sea cero. Entonces la condición que debemos fijar es esta, x menos cinco tiene que ser diferente de cero. Si despejamos la x, esto es parecido a una ecuación, cinco está restando pasa a sumar al otro lado, y nos queda que x es diferente de cinco. Por lo tanto, el dominio de la función h van a ser los x pertenecientes al conjunto de los reales, con excepción del elemento cinco, que es el único que no puede tomarse allí. Otro caso de función racional puede ser este. La función r de n igual a n más uno sobre n al cuadrado menos seis n más ocho. La misma situación anterior, tenemos que garantizar que este denominador no sea cero. Entonces colocamos la condición, la expresión del denominador diferente de cero. Esto lo podemos factorizar como un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Abrimos dos paréntesis, por aquí colocamos la letra n, cuadramos los signos, más con menos nos da menos, menos con más nos da menos, dos números que multiplicados nos den ocho, y que sumados nos den menos seis, van a ser menos cuatro y menos dos. Y esto diferente de cero. Tomamos cada factor, n menos cuatro, lo colocamos diferente de cero, y el otro factor, n menos dos, también diferente de cero. Despejando n en cada caso, por acá nos quedaría n diferente de cuatro, y por acá n diferente de dos. Por lo tanto, el dominio de esta función que se llama r mayúscula, van a ser los valores de n pertenecientes al conjunto de los reales, con excepción de los números dos y cuatro. Son los dos valores que no puede tomar n, porque volvería cero el denominador de la expresión. Veamos otra situación, por ejemplo la función q de l, igual a l menos dos sobre l al cuadrado más uno. También tenemos que garantizar que este denominador no sea cero. Pero si analizamos esa expresión, l al cuadrado siempre será una cantidad positiva. No importa que valor tome la l, al ser elevada al cuadrado da positiva, y si le sumamos uno, con mayor razón va a dar positiva. Por lo tanto, esto jamás será cero. En ese caso decimos entonces que el dominio de la función q mayúscula van a ser los valores de l pertenecientes al conjunto de los números reales. Pasemos ahora a lo que son funciones que tienen raíces. Por ejemplo, la función z de u igual a la raíz cuarta, por ejemplo, de u menos nueve. Cuando tenemos una función con raíz de índice par, tenemos que garantizar que esto no vaya a ser negativo. Entonces colocamos la condición de que u menos nueve tiene que ser mayor o igual que cero. Resolviendo esta desigualdad lineal, el nueve está restando, pasa a sumar al otro lado, nos queda que u es mayor o igual que nueve. Entonces el dominio de la función z lo podemos colocar de la siguiente manera. Son los valores de u que pertenecen al intervalo que va desde nueve cerrado hasta más infinito. Recordemos que eso se puede ubicar en una recta numérica. Si por acá está el cero y por acá está el nueve, dice que u mayor o igual que nueve sería considerando el nueve y todo lo que esté a su derecha. Es decir, hasta más infinito, suponiendo que estas rectas son valores de la variable u. Veamos otra situación que tenga raíz de índice par. Por ejemplo, la función m de y igual a y más diez sobre la raíz cuadrada de y menos uno. En este caso, esta expresión y menos uno que se encuentra dentro de la raíz tiene que ser positiva. Pero como está en el denominador, tenemos que prohibirle que sea cero. Por lo tanto, la condición en este caso sería que y menos uno sea solamente mayor que cero. Despejando la y, el uno está rezando para sumar, nos queda que y es mayor que uno. Por lo tanto, el dominio de la función m van a ser los valores de y que van desde uno abierto hasta más infinito. Ese sería entonces el dominio. Otra situación con raíz de índice par podría ser esta. Si tenemos la raíz cuadrada de x al cuadrado más veinticinco, como hemos venido diciendo, tenemos que garantizar que esto sea mayor o igual que cero. Pero analizando x al cuadrado más veinticinco, vemos que x al cuadrado siempre será una cantidad positiva. Si la sumamos veinticinco con mayor razón, será positiva. Por lo tanto, esto jamás será negativo. En ese caso, entonces, decimos que por lo tanto, el dominio de la función w van a ser los x pertenecientes al conjunto de los números reales. Otra situación que vamos a encontrar es cuando tenemos raíces de índice impar. Por ejemplo, la raíz cúbica de t menos cuatro. En ese caso, no hay ningún problema con que eso sea negativo, ya que las raíces de índice impar se admiten aquí en su interior cantidades negativas. O sea que allí podemos decir que el dominio de la función a son los valores de t pertenecientes al conjunto de los números reales. Cualquier valor de t puede ser reemplazado en esa función. Y para terminar, veamos esta función. La función z de x igual, por ejemplo, a x menos tres sobre la raíz quinta de x menos dos. Por ejemplo, en este caso tenemos que garantizar que esta expresión de acá dentro no sea cero. No tiene problema si es negativa, porque es una raíz de índice impar, pero tendría problemas si es cero. Entonces la condición va a ser que x menos dos sea diferente de cero. Despejando x, el dos pasa al otro lado a sumar, queda x distinto de dos. Por lo tanto el dominio de la función c van a ser los x pertenecientes a los reales, con excepción del elemento dos.
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