INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 15
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida haciendo una transformación del integrando.

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 Para resolver esta integral, vamos a utilizar el siguiente truco matemático. A la parte del numerador, es decir, a la X, vamos a sumarle 1 y al mismo tiempo le restamos 1. Lo que tenemos en el denominador no presenta ningún cambio. Entonces, esto es perfectamente elícito porque es como si a la X del numerador le hubiéramos sumado 0. Estamos sumando y restando la misma cantidad. Por eso, esa estrategia es totalmente válida. Eso lo hacemos para transformar esta expresión de la siguiente manera. Vamos a repartir este denominador para X más 1 y para este 1, conectando las dos fracciones con la operación resta. Nos queda entonces así. X más 1 sobre X más 1 y esto menos 1 sobre X más 1. Simplemente, X más 1 es el mismo denominador de esas dos cantidades. Protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de X. Tenemos que esta parte de la expresión se convierte en 1. Es una fracción donde el numerador es exactamente igual al denominador. Por lo tanto, todo eso corresponde a 1. La expresión, o el integrando, nos queda ahora de la siguiente manera. 1 menos esta fracción que es 1 sobre X más 1. Todo esto protegido con paréntesis y con el correspondiente diferencial de X. Como aquí tenemos una resta, entonces podemos repartir la integral para ambos componentes. Esto nos queda de la siguiente manera. Integral de 1 con su correspondiente diferencial de X menos la integral de esta fracción. 1 sobre X más 1 también con su diferencial de X. Ya podemos resolver cada una de las dos integrales. Para la primera tenemos que esto es lo mismo que decir la integral de X. La integral del diferencial. Y eso nos da como resultado simplemente X. Vamos a escribir por acá esa respuesta. Para la primera integral el resultado es X. Y esto menos, veamos el resultado de la segunda. Aquí podemos utilizar una fórmula, por así decirlo, que dice 1 sobre X más A con el diferencial de X. A es cualquier número real. Esto será igual al logaritmo natural de valor absoluto de X más A. Lógicamente más la constante de integración. Es una fórmula que aparece con frecuencia en las tablas de integrales. Y que se demuestra por el método de sustitución o cambio de variable. Simplemente tomando X más A como una nueva letra. Para efectos de este ejercicio vamos a utilizar directamente la fórmula. Tenemos que A es 1. Entonces aplicando este resultado nos queda logaritmo natural de valor absoluto de X más 1. Cerramos el valor absoluto y terminamos el ejercicio con la constante de integración. Entonces esto es el resultado de esa integral.
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