DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo obtener dy/dx derivando implícitamente una expresión.

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 Para obtener de y de x de esta expresión vamos a utilizar la derivación implícita, porque aquí tenemos las variables x y y combinadas de tal manera que no es posible despejar y en términos de x. Entonces derivamos ambos miembros de esa igualdad con respecto de x. En el lado izquierdo escribimos derivada con respecto a x, de esto que tenemos acá que es un producto, el producto x por y y en el lado derecho escribimos la derivada con respecto a x de esa expresión coseno de x más y. Acá tenemos la derivada de un producto, recordemos que se deriva el primero por el segundo sin derivar luego más el primero por la derivada del segundo. Pasamos entonces a aplicar esa regla del producto, derivada del primero con respecto a x, sería de x de x, esto por el segundo sin derivar, es decir y, luego tenemos más el primer componente sin derivar que es x por la derivada del segundo componente, es decir de y de x, recordemos que la derivada se está efectuando con respecto de la variable x. Pasamos al otro lado de la igualdad donde tenemos la derivada con respecto a x de coseno de x más y, recordemos que la derivada de coseno es menos seno del ángulo, en este caso x más y y eso multiplicado por la derivada del ángulo, en este caso por la derivada con respecto de x de x más y, estamos aplicando allí la regla de la cadena para derivar una función trigonométrica. En el lado izquierdo tenemos que de x de x, es decir la derivada de x con respecto a x nos da como resultado 1, entonces tenemos 1 por y que es igual a y, esto más x por la derivada de y con respecto a x que se deja indicada, es justamente lo que estamos buscando y todo esto igual a menos seno de x más y y todo esto multiplicado por la derivada con respecto a x de esta suma, recordemos que allí se deriva cada uno de los componentes, sería entonces la derivada de x con respecto a x más la derivada de y con respecto a x. Este componente de x sobre dx, es decir la derivada de x con respecto a x nos da como resultado 1 y vamos a cambiar de y de x por y', que es lo mismo, esto lo hacemos para facilitar el proceso de lo que viene, entonces la expresión nos queda así, y más x por y', todo esto igual a menos seno de x más y y todo eso multiplicado por 1 más y' y cerramos el corchete. Continuamos con el desarrollo del ejercicio, en el lado izquierdo nos queda lo mismo, y más x por y', y acá vamos a romper ese corchete, vamos a aplicar la propiedad distributiva, entonces tenemos menos seno de x más y por 1 nos da lo mismo, menos seno de x más y y menos seno de x más y por y', eso nos queda menos y', que queda multiplicando con seno de x más y. Como vemos hay dos términos que contienen y' y dos términos que no contienen ese componente, recordemos que y' es de y de x, entonces vamos a agrupar en el lado izquierdo aquellos términos que contienen y' y dejamos en el lado derecho los términos que no tienen ese elemento, entonces en el lado izquierdo se queda x por y' y pasamos este término que está negativo, entonces llega allá con signo positivo, más y' por seno de x más y. Ahora en el lado derecho se queda este término, menos seno de x más y y pasamos este término, llega con signo negativo. Después de haber agrupado en el miembro izquierdo de la igualdad los términos que contienen y' vamos a extraer ese componente como factor común, nos queda entonces y' que multiplica con x más seno de x más y. Cerramos el corchete y todo esto igual a esta expresión en la que vamos a extraer como factor común el signo menos, nos queda así, sale el menos dentro del corchete seno de x más y y todo eso más y. Allí ya podemos hacer el despeje de y', para ello todo esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda entonces menos, abrimos el corchete, escribimos esa expresión y todo eso nos queda sobre x más seno de x más y. Para terminar hacemos lo siguiente, cambiamos y' por de y de x y en el lado derecho aseguramos el signo menos que vuelve negativa toda esa fracción y en el numerador cambiamos el orden de estos dos sumando, nos queda y más seno de x más y. En el denominador dejamos la misma expresión, x más seno de x más y y de esta manera terminamos, hemos encontrado de y de x a partir de esa expresión utilizando derivación implícita. ¡Suscríbete!
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