INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de las Fracciones Parciales (es decir, descomponiendo el integrando en las expresiones fraccionarias que lo conforman). 

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 En esta integral podemos observar en el integrando una expresión racional donde el grado del numerador, que es 3, es mayor que el grado del denominador, que sería 1. Entonces se trata de una fracción impropia. Lo más recomendable en estos casos es efectuar la división de esos dos polinomios. Vamos entonces a desarrollarla y a reescribir toda esa integral. Comenzamos por revisar que el dividendo esté organizado en forma descendente. Vemos que efectivamente así está. Entonces lo vamos a escribir, pero debemos respetar el lugar correspondiente a x cuadrado, que no aparece en el polinomio. Entonces dejamos el espacio en blanco, luego escribimos más adelante más x y finalmente el término independiente que es más 1. Y todo esto vamos a dividirlo entre x más 1, que ya está organizado en forma descendente. Vamos entonces a efectuar esa división de polinomios. Para obtener el primer término del cociente, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Entonces x al cubo dividido entre x nos da x cuadrado. Así obtenemos el primer término del cociente. Entonces ahora multiplicamos este por cada uno de estos dos y lo que nos dé lo vamos a trasladar a esta zona, pero con signos contrarios, ubicándolos debajo de sus términos semejantes. Empecemos, x cuadrado por x nos da x cubo, pasaría allá como menos x cubo y lo ubicamos debajo del término que tiene x cubo. Luego, x cuadrado por más 1 nos da más x cuadrado, pasaría como menos x cuadrado. Lo ubicamos aquí porque este es el lugar correspondiente a x cuadrado, es el que habíamos dejado en blanco. Cuando aquí hemos terminado la multiplicación y hemos trasladado los términos allá, hacemos la suma de términos en forma vertical. Allí observamos que x al cubo se elimina, bajaría menos x cuadrado, bajaría más x y más 1. Para obtener el siguiente término del cociente, dividimos el primer término del nuevo dividendo, por así decirlo, porque este es el que queda actualizado. Entonces, el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Entonces tenemos menos x cuadrado dividido entre x, eso nos da menos x. Y volvemos a repetir el procedimiento que hicimos hace un momento, menos x por x nos da menos x cuadrado, pasaría a este lado como más x cuadrado ubicándolo en la columna respectiva. Menos x por más 1 nos da menos x, pasa a este lado como más x. Hemos terminado las multiplicaciones, ya hemos trasladado los términos, por lo tanto sumamos en forma vertical. Vemos que menos x cuadrado y más x cuadrado se eliminan. Tenemos x más x que nos da 2x positivo más 1. Y a continuación obtenemos el siguiente término del cociente dividiendo 2x que es el primer término del nuevo dividendo, entre x que es el primer término del divisor. Entonces 2x dividido entre x nos da 2 positivo. 2 por x da 2x, pasa como menos 2x. 2 por 1 nos da 2 positivo, pasa como menos 2. Hacemos la suma de los términos, encontramos que 2x y menos 2x se eliminan. Y la suma de 1 y menos 2 nos da como resultado menos 1. Ese es el residuo y hemos terminado la división de polinomios. Anotamos por acá el resultado de la división, es decir, el cociente que vamos a llamar C y el residuo que nos dio menos 1. A ese lo vamos a llamar R. Entonces vamos a mirar lo siguiente. Cuando tenemos una división, tenemos dividendo, divisor nos da un cociente y por acá nos da un residuo. Si queremos hacer la prueba de que una división está bien hecha, entonces el dividendo debe ser igual al cociente por el divisor C por D más el residuo. Esa es la prueba que hacemos para una división. Si ambos lados de la igualdad los dividimos entre D minúscula, es decir, entre el divisor, vamos a obtener lo siguiente. En el lado derecho podemos repartir el denominador de la siguiente manera. Esta D reparte para cada término del numerador y finalmente esto nos queda así. Esta D se nos cancela con esta D y nos queda C más R sobre D. Conclusión. Esta expresión es la que nos va a permitir reescribir esto de acá. Tenemos dividendo que es x cubo más x más 1, divisor que es x más 1, cociente lo tenemos por acá, residuo es menos 1 y el divisor que es x más 1. Eso nos queda así. Allí vemos que hemos sustituido cada componente. Entonces el dividendo, aquí lo tenemos, divisor x más 1, cociente todo esto, más el residuo que es menos 1 sobre el divisor que es x más 1. Si esta expresión la integramos a ambos lados con respecto a x, entonces tendremos lo siguiente. Aquí podemos cambiar de una vez por menos 1 sobre x más 1, cerramos y anotamos el respectivo diferencial de x. Vemos que en el lado izquierdo tenemos el ejercicio original. Aquí está la integral, pero vamos a dedicarnos a trabajar esta parte de acá, que es la parte fácil. Claro, es la transformación que se hizo haciendo la división de polinomios. Aquí prácticamente podemos integrar cada uno de los términos. Vemos que son términos fácilmente integrables. Entonces nos va a quedar así. Integral de x cuadrado es x al cubo sobre 3, menos integral de x es x cuadrado sobre 2, más integral de 2 es 2x, menos la integral de 1 sobre x más 1 será el logaritmo natural del valor absoluto de x más 1. Porque vemos que en el numerador está la derivada de la expresión que tenemos en el denominador. Luego podemos aplicar esa propiedad que nos da directamente el logaritmo natural del denominador. Y todo esto más la constante de integración. Esta sería entonces la respuesta a este ejercicio que es el original.
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