SUMAS DE RIEMANN (Parte 1 de 2)
#julioprofe explica cómo obtener el área bajo la gráfica de una función mediante Sumas de Riemann.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK 

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 hallar el área de la región limitada por las gráficas de la función 2x más 1, x igual a 1, x igual a 3 y el eje x mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann. Bien, lo primero que tenemos que hacer es tomar el intervalo 1, 3 intervalo cerrado y dividirlo en n subintervalos iguales del mismo tamaño. Entonces de esa manera obtendremos delta x, es decir, el ancho de cada uno de esos n subintervalos. La formulita para delta x es b-a dividido entre n. a sería 1 y b sería 3, es decir, los extremos del intervalo que nos dan. Entonces tenemos que b vale 3, a vale 1, todo esto sobre n y resolviendo en el numerador nos queda 2, es decir, que delta x es igual a 2 sobre n. Este es el ancho de cada uno de los n subintervalos. Por otro lado debemos encontrar lo que se conoce como x sub i, que viene siendo la abscisa del extremo derecho del rectángulo i que se arma entre 1 y 3. Entre 1 y 3 tenemos n rectángulitos, n subintervalos y de ellos vamos a considerar 1 que es el rectángulo i. Esta abscisa, de aquí la abscisa del extremo derecho que es por donde pasa la gráfica de la función si la que toca la curva entonces se obtiene con la siguiente fórmula a más y por delta de x. Recordemos que este es a, el extremo izquierdo del intervalo y aquí tenemos que se repite y veces lo que es delta de x, es decir, el ancho del intervalo que tenemos para este caso. Entonces tenemos a es igual a 1 y delta de x nos dio 2 sobre n. Entonces organizando esto un poco nos queda 1 más 2 y todo esto sobre n y tenemos lo que se conoce como x sub i. La enésima suma de Riemann dice lo siguiente, es la sumatoria que va desde i igual a 1 hasta n de f evaluado en x sub i y todo esto multiplicado por delta de x. Vamos entonces a ir reemplazando los diferentes componentes. Tenemos que x sub i nos dio 1 más 2 i sobre n y esto va a ir multiplicado por delta de x que nos dio 2 sobre n. Pero recordemos que la función que nos dieron es 2x más 1. Entonces con esta función vamos a obtener esta componente. Nos queda entonces la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de lo siguiente. Nos quedaría 2 que multiplica a la x que sería todo esto que está dentro del paréntesis 1 más 2 y sobre n. Cerramos más 1, cerramos aquí el corchete y esto multiplicado por 2 sobre n. Continuamos por acá. Nos queda la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de lo siguiente. Hacemos aquí propiedad distributiva con el 2. 2 por 1, 2 más 2 por esta fracción nos queda 4i sobre n. Todo esto más 1, cerramos el corchete y eso multiplicado por 2 sobre n. Continuamos. Aquí podemos resolver la suma entre 2 y 1. Entonces esa nos queda la sumatoria desde i igual a 1 hasta n. Ya podemos cambiar el corchete por un paréntesis. Nos queda 3 más 4i sobre n. Todo esto multiplicado por 2 sobre n. De esta sumatoria nosotros podríamos sacar 2 sobre n porque esto es constante. Recordemos que aquí lo único que va a cambiar de valores, es decir, lo único que es variable es la i. La n se comporta como una constante por lo tanto 2 sobre n podemos sacarlo de la sumatoria. Recordemos que esa es una de las propiedades de las sumatorias. Una constante que está multiplicando puede salir. Entonces nos queda la sumatoria de 3 más 4 por i sobre n. Esto nos queda igual a 2 sobre n por, vamos a abrir un paréntesis, y aquí tenemos una sumatoria de una suma de términos. Entonces podemos repartir la sumatoria para cada término. Nos queda la sumatoria de 3 desde i igual a 1 hasta n más la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de 4i sobre n. Cerramos el paréntesis. A continuación vamos entonces a dejar la primera sumatoria quieta, sumatoria desde i igual a 1 hasta n y de la segunda vamos a retirar 4 sobre n que recordemos que viene siendo constante porque está multiplicando con la i. Por lo tanto nos queda 4 sobre n que multiplica a la sumatoria de i desde i igual a 1 hasta n. Hacemos uso de estas dos propiedades para poder continuar. En esta sumatoria aplicamos esta. La sumatoria de la constante desde i igual a 1 hasta n es igual a k por n. Entonces acá tendremos 2 sobre n que multiplica, acá sería 3 por n. En este caso 3 hace el papel de k más 4 sobre n que multiplica a esta sumatoria y que equivale a esto. Esta es la formulita para la sumatoria de i desde i igual a 1 hasta n. Entonces reemplazamos este resultado por acá. Nos queda n por n más 1 sobre 2 y cerramos el paréntesis. Aquí en este término podemos simplificar la n y también podemos simplificar el 4 con el 2. Sacamos mitad de 2 es 1, mitad de 4 es 2. Y esto nos queda 2 sobre n por 3n más. Este 2 que quedó se distribuye para n más 1 y nos queda 2n más 2. Nos queda 2 sobre n que multiplica a 5n más 2. Y haciendo propiedad distributiva tenemos 10 más 4 sobre n.
[{"start": 0.0, "end": 7.2, "text": " hallar el \u00e1rea de la regi\u00f3n limitada por las gr\u00e1ficas de la funci\u00f3n 2x m\u00e1s 1,"}, {"start": 7.2, "end": 16.76, "text": " x igual a 1, x igual a 3 y el eje x mediante el c\u00e1lculo del l\u00edmite de las"}, {"start": 16.76, "end": 24.0, "text": " sumas de Riemann. Bien, lo primero que tenemos que hacer es tomar el intervalo"}, {"start": 24.0, "end": 35.76, "text": " 1, 3 intervalo cerrado y dividirlo en n subintervalos iguales"}, {"start": 36.36, "end": 44.08, "text": " del mismo tama\u00f1o. Entonces de esa manera obtendremos delta x, es decir, el ancho de"}, {"start": 44.08, "end": 52.08, "text": " cada uno de esos n subintervalos. La formulita para delta x es b-a"}, {"start": 52.08, "end": 61.28, "text": " dividido entre n. a ser\u00eda 1 y b ser\u00eda 3, es decir, los extremos del intervalo que"}, {"start": 61.28, "end": 70.32, "text": " nos dan. Entonces tenemos que b vale 3, a vale 1, todo esto sobre n y resolviendo"}, {"start": 70.32, "end": 80.36, "text": " en el numerador nos queda 2, es decir, que delta x es igual a 2 sobre n."}, {"start": 80.36, "end": 87.2, "text": " Este es el ancho de cada uno de los n subintervalos. Por otro lado debemos"}, {"start": 87.2, "end": 94.48, "text": " encontrar lo que se conoce como x sub i, que viene siendo la abscisa del extremo"}, {"start": 94.48, "end": 102.2, "text": " derecho del rect\u00e1ngulo i que se arma entre 1 y 3. Entre 1 y 3 tenemos n"}, {"start": 102.2, "end": 109.24, "text": " rect\u00e1ngulitos, n subintervalos y de ellos vamos a considerar 1"}, {"start": 109.24, "end": 116.67999999999999, "text": " que es el rect\u00e1ngulo i. Esta abscisa, de aqu\u00ed la abscisa del extremo derecho que"}, {"start": 116.67999999999999, "end": 123.6, "text": " es por donde pasa la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n si la que toca la curva entonces"}, {"start": 123.6, "end": 130.56, "text": " se obtiene con la siguiente f\u00f3rmula a m\u00e1s y por delta de x. Recordemos que"}, {"start": 130.56, "end": 137.2, "text": " este es a, el extremo izquierdo del intervalo y aqu\u00ed tenemos que se repite"}, {"start": 137.2, "end": 146.56, "text": " y veces lo que es delta de x, es decir, el ancho del intervalo que tenemos para"}, {"start": 146.56, "end": 157.28, "text": " este caso. Entonces tenemos a es igual a 1 y delta de x nos dio 2 sobre n."}, {"start": 157.28, "end": 167.4, "text": " Entonces organizando esto un poco nos queda 1 m\u00e1s 2 y todo esto sobre n y tenemos"}, {"start": 167.4, "end": 175.4, "text": " lo que se conoce como x sub i. La en\u00e9sima suma de Riemann dice lo"}, {"start": 175.4, "end": 186.0, "text": " siguiente, es la sumatoria que va desde i igual a 1 hasta n de f evaluado en x sub i"}, {"start": 186.0, "end": 196.44, "text": " y todo esto multiplicado por delta de x. Vamos entonces a ir reemplazando los"}, {"start": 196.44, "end": 209.92000000000002, "text": " diferentes componentes. Tenemos que x sub i nos dio 1 m\u00e1s 2 i sobre n y esto va a"}, {"start": 209.92, "end": 217.44, "text": " ir multiplicado por delta de x que nos dio 2 sobre n. Pero recordemos que la"}, {"start": 217.44, "end": 219.95999999999998, "text": " funci\u00f3n"}, {"start": 221.16, "end": 230.2, "text": " que nos dieron es 2x m\u00e1s 1. Entonces con esta funci\u00f3n vamos a obtener esta"}, {"start": 230.2, "end": 239.35999999999999, "text": " componente. Nos queda entonces la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de"}, {"start": 239.36, "end": 246.04000000000002, "text": " lo siguiente. Nos quedar\u00eda 2 que multiplica a la x que ser\u00eda todo esto que"}, {"start": 246.04000000000002, "end": 256.8, "text": " est\u00e1 dentro del par\u00e9ntesis 1 m\u00e1s 2 y sobre n. Cerramos m\u00e1s 1, cerramos aqu\u00ed el"}, {"start": 256.8, "end": 263.08000000000004, "text": " corchete y esto multiplicado por 2 sobre n."}, {"start": 263.08, "end": 271.44, "text": " Continuamos por ac\u00e1. Nos queda la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de"}, {"start": 271.44, "end": 278.24, "text": " lo siguiente. Hacemos aqu\u00ed propiedad distributiva con el 2. 2 por 1, 2 m\u00e1s 2"}, {"start": 278.24, "end": 286.84, "text": " por esta fracci\u00f3n nos queda 4i sobre n. Todo esto m\u00e1s 1, cerramos el"}, {"start": 286.84, "end": 293.15999999999997, "text": " corchete y eso multiplicado por 2 sobre n."}, {"start": 293.15999999999997, "end": 299.64, "text": " Continuamos. Aqu\u00ed podemos resolver la suma entre 2 y 1."}, {"start": 299.64, "end": 305.23999999999995, "text": " Entonces esa nos queda la sumatoria desde i igual a 1 hasta n. Ya podemos"}, {"start": 305.23999999999995, "end": 313.96, "text": " cambiar el corchete por un par\u00e9ntesis. Nos queda 3 m\u00e1s 4i sobre n. Todo esto"}, {"start": 313.96, "end": 321.35999999999996, "text": " multiplicado por 2 sobre n. De esta sumatoria nosotros podr\u00edamos sacar 2"}, {"start": 321.35999999999996, "end": 325.91999999999996, "text": " sobre n porque esto es constante. Recordemos que aqu\u00ed lo \u00fanico que va a"}, {"start": 325.91999999999996, "end": 332.2, "text": " cambiar de valores, es decir, lo \u00fanico que es variable es la i. La n se comporta como"}, {"start": 332.2, "end": 338.24, "text": " una constante por lo tanto 2 sobre n podemos sacarlo de la sumatoria."}, {"start": 338.24, "end": 342.2, "text": " Recordemos que esa es una de las propiedades de las sumatorias. Una constante"}, {"start": 342.2, "end": 347.59999999999997, "text": " que est\u00e1 multiplicando puede salir. Entonces nos queda la sumatoria de 3 m\u00e1s"}, {"start": 347.59999999999997, "end": 352.76, "text": " 4 por i sobre n."}, {"start": 353.88, "end": 359.4, "text": " Esto nos queda igual a 2 sobre n por, vamos a abrir un par\u00e9ntesis, y aqu\u00ed"}, {"start": 359.4, "end": 365.59999999999997, "text": " tenemos una sumatoria de una suma de t\u00e9rminos. Entonces podemos repartir la"}, {"start": 365.59999999999997, "end": 372.03999999999996, "text": " sumatoria para cada t\u00e9rmino. Nos queda la sumatoria de 3 desde i igual a 1 hasta n"}, {"start": 372.04, "end": 387.48, "text": " m\u00e1s la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de 4i sobre n. Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 388.64000000000004, "end": 391.64000000000004, "text": " A continuaci\u00f3n"}, {"start": 391.96000000000004, "end": 394.96000000000004, "text": " vamos entonces"}, {"start": 394.96, "end": 404.56, "text": " a dejar la primera sumatoria quieta, sumatoria desde i igual a 1 hasta n y de"}, {"start": 404.56, "end": 409.56, "text": " la segunda vamos a retirar 4 sobre n que recordemos que viene siendo constante"}, {"start": 409.56, "end": 414.32, "text": " porque est\u00e1 multiplicando con la i. Por lo tanto nos queda 4 sobre n que"}, {"start": 414.32, "end": 423.64, "text": " multiplica a la sumatoria de i desde i igual a 1 hasta n."}, {"start": 423.64, "end": 429.84, "text": " Hacemos uso de estas dos propiedades para poder continuar. En esta sumatoria"}, {"start": 429.84, "end": 435.88, "text": " aplicamos esta. La sumatoria de la constante desde i igual a 1 hasta n es"}, {"start": 435.88, "end": 445.03999999999996, "text": " igual a k por n. Entonces ac\u00e1 tendremos 2 sobre n que multiplica, ac\u00e1 ser\u00eda 3 por"}, {"start": 445.04, "end": 454.52000000000004, "text": " n. En este caso 3 hace el papel de k m\u00e1s 4 sobre n que multiplica a esta sumatoria"}, {"start": 454.52000000000004, "end": 461.96000000000004, "text": " y que equivale a esto. Esta es la formulita para la sumatoria de i desde i igual a 1"}, {"start": 461.96000000000004, "end": 469.12, "text": " hasta n. Entonces reemplazamos este resultado por ac\u00e1."}, {"start": 469.12, "end": 476.68, "text": " Nos queda n por n m\u00e1s 1 sobre 2 y cerramos el par\u00e9ntesis. Aqu\u00ed en este"}, {"start": 476.68, "end": 483.84000000000003, "text": " t\u00e9rmino podemos simplificar la n y tambi\u00e9n podemos simplificar el 4 con el 2."}, {"start": 483.84000000000003, "end": 494.8, "text": " Sacamos mitad de 2 es 1, mitad de 4 es 2. Y esto nos queda 2 sobre n por 3n"}, {"start": 494.8, "end": 505.2, "text": " m\u00e1s. Este 2 que qued\u00f3 se distribuye para n m\u00e1s 1 y nos queda 2n m\u00e1s 2."}, {"start": 505.2, "end": 512.52, "text": " Nos queda 2 sobre n que multiplica a 5n m\u00e1s 2."}, {"start": 512.52, "end": 524.96, "text": " Y haciendo propiedad distributiva tenemos 10 m\u00e1s 4 sobre n."}]