Problema 2 con ECUACIONES CUADRÁTICAS
#julioprofe explica cómo resolver un problema de geometría, que involucra una ecuación cuadrática y el uso del Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo un cateto excede al otro en 3 cm. Determinar el perímetro del triángulo si su área es 54 cm².

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 En un triángulo rectángulo un cateto excede al otro en 3 centímetros. Determinar el perímetro del triángulo si su área es 54 centímetros cuadrados. Para resolver este problema hacemos un dibujo de un triángulo rectángulo. Recordemos que triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto o ángulo de 90 grados. Los lados que forman ese ángulo recto se llaman catetos y este lado, el que se opone al ángulo recto se llama la hipotenusa. Entonces nos dice el problema que un cateto excede al otro en 3 centímetros. Podríamos llamar a este cateto el menor como x y por lo tanto este lo expresamos como x más 3. Debido a que este es mayor que este en 3 centímetros. Entonces allí tenemos ya la información que nos da el problema traducida en términos matemáticos. Nos dice también el problema que este triángulo tiene un área de 54 centímetros cuadrados. Entonces vamos a plantear una ecuación que nos permita encontrar el área de ese triángulo. Recordemos que el área de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura y todo eso dividido entre 2. En este caso esta puede ser la base y esta puede ser la altura. Recordemos que la condición para la base y la altura es que sean perpendiculares que formen 90 grados. Efectivamente allí tenemos ángulo recto entre estos dos lados. Entonces decimos el área es igual a 54 igual a la base que sería x más 3 por la altura que sería x y todo esto dividido entre 2. Podríamos pasar este 2 que se encuentra dividiendo a multiplicar al otro lado. Entonces nos queda 54 por 2 igual a x más 3 todo esto por x. 54 por 2 nos da 108 y aquí vamos a realizar la propiedad distributiva. Entonces tenemos x por x, x al cuadrado más x por 3 que sería 3x. Pasando este 108 para el lado derecho nos queda aquí 0, 0 es igual a x al cuadrado más 3x menos 108 y tenemos una ecuación cuadrática. Vamos a reescribirla como suele darse el modelo. Allí tenemos la ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado cuyo modelo dice a x al cuadrado más bx más c igual a 0. Vamos a resolver esta ecuación cuadrática por el método de factorización. Esto es un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Entonces recordemos que se factoriza así, se abren dos paréntesis, se le saca la raíz cuadrada a este término, es decir x, y se escribe al comienzo de cada paréntesis. Luego decimos más por más nos da más, signo del primer paréntesis, más por menos nos da menos, signo del segundo paréntesis y todo esto está igualado a 0. Ahora debemos buscar dos números, uno positivo y otro negativo que multiplicados entre sí nos den menos 108 y que sumados entre sí nos den 3. Para facilitar la búsqueda de esos dos números entonces podemos descomponer el 108. Vamos a descomponerlo en factores primos, sacamos mitad de 108 es 54, mitad de 54 es 27, aquí sacamos tercera de 27 nos da 9, tercera de 9 nos da 3 y tercera de 3 es 1. Entonces empezamos a buscar parejas de números, los sacamos de este listado de factores tales que sumados entre sí nos den 3. Recordemos que uno de ellos será positivo y el otro será negativo, por ejemplo tomemos estos dos, 2x2 es 4 y 3x3 es 9, 9x3 es 27. Como la suma de ellos debe darnos 3 positivo entonces 27 debe ser el positivo y 4 el negativo, entonces la suma de estos dos nos daría 23, luego no sirve entonces descartamos esta posibilidad. Ahora ensayemos esta, tomemos estos tres números 2x2 es 4, 4x3 es 12 y 3x3 es 9. Como la suma debe dar 3 entonces el positivo será el mayor y obviamente el otro será el negativo. Si sumamos 12 con menos 9 efectivamente nos da 3, o sea que esta es la pareja que buscamos, entonces el 12 lo escribimos por aquí y el menos 9 queda aquí. Entonces tenemos que 12 por menos 9 da menos 108 y 12 sumado con menos 9 nos da este 3. Después de haber factorizado la expresión entonces aplicamos el teorema del factor nulo. Entonces este teorema dice lo siguiente, si a por b es igual a 0 entonces a es igual a 0 o b es igual a 0. Entonces aquí tenemos la multiplicación de 12 expresiones igualadas a 0, hacemos de cuenta que esto es a y esto es b y aplicamos este teorema. Entonces cada factor debe igualarse a 0, x más 12 es igual a 0 o x menos 9 es igual a 0. Resolvemos para x en cada caso, por acá nos queda que x es igual a menos 12 y por acá x es igual a 9. Como estamos buscando lados de un triángulo no podemos aceptar un valor negativo por lo tanto esto se descarta, sería algo ilógico para el problema que estamos trabajando. Y entonces nos quedamos con esta opción, si x es igual a 9 centímetros, aquí tendríamos el valor del cateto menor. Regresamos al triángulo rectángulo original donde ya conocemos x, x es igual a 9 centímetros, por lo tanto ya podemos encontrar este cateto, sería 9 más 3 es decir 12 centímetros. Claro aquí observamos que este cateto excede a este en 3 centímetros. Bien, nos pregunta el problema por el perímetro de este triángulo, es decir por la suma de sus lados, desconocemos el valor de la hipotenusa. Entonces vamos a encontrarla utilizando el teorema de Pitágoras. Recordemos que el teorema de Pitágoras dice que en todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a y b son los catetos, c es la hipotenusa. Esta expresión entonces es la que vamos a utilizar para encontrar el valor de la hipotenusa, vamos a llamarla c, tal como aparece en este triángulo. Entonces tenemos que 12 al cuadrado, este cateto al cuadrado, más 9 al cuadrado, este otro cateto al cuadrado, es igual a la hipotenusa que es c al cuadrado. Allí estamos aplicando el teorema de Pitágoras, 12 al cuadrado nos da 144, más 9 al cuadrado que es 81, es igual a c al cuadrado. Esta suma nos da 225 y esto es igual a c al cuadrado. Sacamos raíz cuadrada a ambos lados, raíz cuadrada de 225 es igual a raíz cuadrada de c al cuadrado y entonces la raíz cuadrada de este número es igual a 15. Y por este lado nos da c, pero legalmente debemos considerar las dos opciones, la positiva y la negativa. Pero nuevamente como c es una longitud en este triángulo, entonces debemos descartar la opción negativa, por lo tanto c equivale a 15 centímetros. Este sería entonces el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo. Entonces ya podemos escribir las medidas de los lados de este triángulo rectángulo. Ya conocemos el valor de la hipotenusa y el valor de los catetos. Entonces este cateto vale 9 centímetros, este vale 12 centímetros y la hipotenusa que nos dio 15 centímetros. Conocidos los tres lados de ese triángulo podemos encontrar el perímetro que vamos a llamar p. Recordemos que es la suma de los lados, entonces tenemos 15 más 12 más 9, todo esto en centímetros y eso nos da un total de 36 centímetros. Ese sería el perímetro de ese triángulo y de esta manera terminamos este problema.
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siguiente, si a por b es igual a 0 entonces a es igual a 0 o b es igual a 0."}, {"start": 382.0, "end": 392.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos la multiplicaci\u00f3n de 12 expresiones igualadas a 0, hacemos de cuenta que esto es a y esto es b y aplicamos este teorema."}, {"start": 392.0, "end": 403.0, "text": " Entonces cada factor debe igualarse a 0, x m\u00e1s 12 es igual a 0 o x menos 9 es igual a 0."}, {"start": 403.0, "end": 413.0, "text": " Resolvemos para x en cada caso, por ac\u00e1 nos queda que x es igual a menos 12 y por ac\u00e1 x es igual a 9."}, {"start": 413.0, "end": 426.0, "text": " Como estamos buscando lados de un tri\u00e1ngulo no podemos aceptar un valor negativo por lo tanto esto se descarta, ser\u00eda algo il\u00f3gico para el problema que estamos trabajando."}, {"start": 426.0, "end": 435.0, "text": " Y entonces nos quedamos con esta opci\u00f3n, si x es igual a 9 cent\u00edmetros, aqu\u00ed tendr\u00edamos el valor del cateto menor."}, {"start": 435.0, 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es la que vamos a utilizar para encontrar el valor de la hipotenusa, vamos a llamarla c, tal como aparece en este tri\u00e1ngulo."}, {"start": 502.0, "end": 517.0, "text": " Entonces tenemos que 12 al cuadrado, este cateto al cuadrado, m\u00e1s 9 al cuadrado, este otro cateto al cuadrado, es igual a la hipotenusa que es c al cuadrado."}, {"start": 517.0, "end": 528.0, "text": " All\u00ed estamos aplicando el teorema de Pit\u00e1goras, 12 al cuadrado nos da 144, m\u00e1s 9 al cuadrado que es 81, es igual a c al cuadrado."}, {"start": 528.0, "end": 534.0, "text": " Esta suma nos da 225 y esto es igual a c al cuadrado."}, {"start": 534.0, "end": 549.0, "text": " Sacamos ra\u00edz cuadrada a ambos lados, ra\u00edz cuadrada de 225 es igual a ra\u00edz cuadrada de c al cuadrado y entonces la ra\u00edz cuadrada de este n\u00famero es igual a 15."}, {"start": 549.0, "end": 558.0, "text": " Y por este lado nos da c, pero legalmente debemos considerar las dos opciones, la positiva y la negativa."}, {"start": 558.0, "end": 571.0, "text": " Pero nuevamente como c es una longitud en este tri\u00e1ngulo, entonces debemos descartar la opci\u00f3n negativa, por lo tanto c equivale a 15 cent\u00edmetros."}, {"start": 571.0, "end": 579.0, "text": " Este ser\u00eda entonces el valor de la hipotenusa del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 579.0, "end": 588.0, "text": " Entonces ya podemos escribir las medidas de los lados de este tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 588.0, "end": 595.0, "text": " Ya conocemos el valor de la hipotenusa y el valor de los catetos."}, {"start": 595.0, "end": 605.0, "text": " Entonces este cateto vale 9 cent\u00edmetros, este vale 12 cent\u00edmetros y la hipotenusa que nos dio 15 cent\u00edmetros."}, {"start": 605.0, "end": 612.0, "text": " Conocidos los tres lados de ese tri\u00e1ngulo podemos encontrar el per\u00edmetro que vamos a llamar p."}, {"start": 612.0, "end": 626.0, "text": " Recordemos que es la suma de los lados, entonces tenemos 15 m\u00e1s 12 m\u00e1s 9, todo esto en cent\u00edmetros y eso nos da un total de 36 cent\u00edmetros."}, {"start": 626.0, "end": 645.0, "text": " Ese ser\u00eda el per\u00edmetro de ese tri\u00e1ngulo y de esta manera terminamos este problema."}]