INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y PARTES - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una integral utilizando dos Métodos de Integración: Sustitución y Partes.

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 Vamos a resolver esta integral comenzando por utilizar el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a llamar p a la expresión raíz cuadrada de x. Recordemos que raíz cuadrada de x es lo mismo que tener x elevada a la 1 medio. Y entonces vamos a derivar. Hacemos la derivada dp con respecto a x. Entonces dp de x nos queda 1 medio por x a la 1 medio menos 1 que nos da menos 1 medio. Eso lo podemos escribir también como 1 sobre 2x a la 1 medio bajando esta potencia para que el exponente nos quede positivo. Y también se puede escribir como 1 sobre 2 raíz de x cambiando x a la 1 medio nuevamente por raíz cuadrada de x. Pero observamos que raíz cuadrada de x es p. Entonces podemos hacer ese cambio aquí mismo. Nos quedaría entonces dp de x igual a 1 sobre 2p. Y de esta igualdad vamos a despejar de x. Hacemos producto en cruz. Decimos dx por 1 que nos da dx es igual a 2p por dp. Entonces con esto que acabamos de encontrar y con la sustitución que habíamos planteado donde p es igual a raíz cuadrada de x vamos a reconstruir la integral original. Ella nos va a quedar entonces de la siguiente manera. E a la p donde está raíz cuadrada de x tenemos p y de x que se cambia por 2p dp. Entonces hemos llegado a una integral en términos de la letra p. Como hemos visto mediante el método de sustitución esta integral que no corresponde a una integral directa o una de las integrales básicas se ha convertido en otra integral que podemos enfrentar o resolver utilizando el método de integración por partes. Tenemos dos funciones que vamos a clasificar en las categorías de i la t. Entonces esto quiere decir función inversa más exactamente las funciones trigonométricas inversas. La l quiere decir función logarítmica, la a función algebraica, t trigonométrica y e exponencial. Entonces veamos por acá tenemos e a la p que sería categoría exponencial y 2p sería categoría algebraica. Entonces i la t nos sirve para determinar lo que en el método de integración por partes es la u. Leemos la palabra i la t obviamente de izquierda a derecha y de las letras marcadas la primera que encontremos en este caso la a será la que hace el papel de la letra u en la fórmula de integración por partes. Entonces vamos a reescribir esta integral a este lado acomodando primero lo que va a ser u y enseguida lo que será dv. Tenemos entonces integral de 2p es decir el componente que hace el papel de la u y enseguida escribimos e a la p por dv. E a la p por dp que será el componente llamado dv. Esto es dv y este componente 2p será u. Entonces allí tenemos ya identificados los dos componentes que constituyen el método de integración por partes. Enseguida escribimos u que equivale a 2p y esto lo vamos a derivar. Derivamos u con respecto a p tenemos que la derivada de 2p es 2 y de aquí despejamos de u. Dp está dividiendo pasa a multiplicar con 2 nos queda entonces du igual a 2dp. Ahora escribimos dv que viene siendo e a la p por dp y esto tenemos que integrarlo a ambos lados. Entonces integral de dv es igual a la integral de e a la p con su correspondiente diferencial de p. Integral de dv nos da d integral de e a la p será e a la p y de esta manera tenemos el otro componente que es v. Enseguida escribimos la fórmula del método de integración por partes. Dice la integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du. Recordemos que para aprender esto de manera fácil podemos decir que es una vaca menos la integral vestida de uniforme. Entonces para recordar la fórmula de integración por partes. Vamos a ver pasar cada componente nos queda entonces integral de u que es 2p por dv que es e a la p por dv. Allí tenemos la integral original la que vamos a resolver por partes igual a u que es 2p por v que nos dio e a la p menos la integral de v que es e a la p por du que nos dio 2dp. Esto nos queda 2p por e a la p menos este 2 puede salir de la integral porque está multiplicando. Entonces nos queda 2 por la integral de e a la p de p una integral básica. Entonces la resolvemos nos queda menos 2 por e a la p y aparece por primera vez la constante de integración. Aquí podríamos pensar en sacar factor común lo que tenemos repetido en estos dos términos que sería 2 y e a la p factor de p menos 1. Y todo esto más la constante de integración. Esto simplemente lo repetimos al lado izquierdo y lo escribimos por aquí para que nos quede frente a frente la integral que teníamos en términos de p y su respuesta. Entonces podemos anotar a la derecha de la integral original el resultado obtenido que es 2e a la p por p menos 1 más c. Y vamos a retomar lo que habíamos utilizado en la sustitución inicial. Habíamos dicho que p equivale a raíz cuadrada de x y también habíamos dicho que dx es igual a 2p por dp. Esto para poder llevar esta integral a la letra original que es x. Entonces esta nos va a quedar de la siguiente manera. Aquí nos queda e a la p que es raíz de x por 2p por dp. Aquí lo tenemos y eso es dx. Entonces recobramos la integral original la que venía inicialmente propuesta en términos de x. En el lado derecho simplemente cambiamos la letra p por raíz cuadrada de x. Nos queda entonces 2 por e a la raíz de x. Eso factor de raíz cuadrada de x menos 1 y todo eso más la constante de integración. De esta manera terminamos este ejercicio donde hemos visto la utilización de los métodos de sustitución y partes.
[{"start": 0.0, "end": 10.72, "text": " Vamos a resolver esta integral comenzando por utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n"}, {"start": 10.72, "end": 23.6, "text": " conocido tambi\u00e9n como cambio de variable. Vamos a llamar p a la expresi\u00f3n ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 23.6, "end": 32.96, "text": " Recordemos que ra\u00edz cuadrada de x es lo mismo que tener x elevada a la 1 medio."}, {"start": 32.96, "end": 45.28, "text": " Y entonces vamos a derivar. 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multiplicar con 2 nos queda entonces du igual a 2dp."}, {"start": 356.24, "end": 370.32, "text": " Ahora escribimos dv que viene siendo e a la p por dp y esto tenemos que integrarlo a ambos lados."}, {"start": 370.32, "end": 381.2, "text": " Entonces integral de dv es igual a la integral de e a la p con su correspondiente diferencial de p."}, {"start": 381.2, "end": 394.15999999999997, "text": " Integral de dv nos da d integral de e a la p ser\u00e1 e a la p y de esta manera tenemos el otro componente que es v."}, {"start": 394.16, "end": 402.24, "text": " Enseguida escribimos la f\u00f3rmula del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 402.24, "end": 414.8, "text": " Dice la integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du."}, {"start": 414.8, "end": 426.88, "text": " Recordemos que para aprender esto de manera f\u00e1cil podemos decir que es una vaca menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 426.88, "end": 433.12, "text": " Entonces para recordar la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 433.12, "end": 449.6, "text": " Vamos a ver pasar cada componente nos queda entonces integral de u que es 2p por dv que es e a la p por dv."}, {"start": 449.6, "end": 466.40000000000003, "text": " All\u00ed tenemos la integral original la que vamos a resolver por partes igual a u que es 2p por v que nos dio e a la p"}, {"start": 466.4, "end": 480.08, "text": " menos la integral de v que es e a la p por du que nos dio 2dp."}, {"start": 480.08, "end": 493.59999999999997, "text": " Esto nos queda 2p por e a la p menos este 2 puede salir de la integral porque est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 493.6, "end": 501.92, "text": " Entonces nos queda 2 por la integral de e a la p de p una integral b\u00e1sica."}, {"start": 501.92, "end": 513.9200000000001, "text": " Entonces la resolvemos nos queda menos 2 por e a la p y aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 513.92, "end": 529.12, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos pensar en sacar factor com\u00fan lo que tenemos repetido en estos dos t\u00e9rminos que ser\u00eda 2 y e a la p factor de p menos 1."}, {"start": 529.12, "end": 533.36, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 533.36, "end": 552.4, "text": " Esto simplemente lo repetimos al lado izquierdo y lo escribimos por aqu\u00ed para que nos quede frente a frente la integral que ten\u00edamos en t\u00e9rminos de p y su respuesta."}, {"start": 552.4, "end": 570.64, "text": " Entonces podemos anotar a la derecha de la integral original el resultado obtenido que es 2e a la p por p menos 1 m\u00e1s c."}, {"start": 570.64, "end": 581.6, "text": " Y vamos a retomar lo que hab\u00edamos utilizado en la sustituci\u00f3n inicial."}, {"start": 581.6, "end": 595.52, "text": " Hab\u00edamos dicho que p equivale a ra\u00edz cuadrada de x y tambi\u00e9n hab\u00edamos dicho que dx es igual a 2p por dp."}, {"start": 595.52, "end": 601.6800000000001, "text": " Esto para poder llevar esta integral a la letra original que es x."}, {"start": 601.6800000000001, "end": 605.6, "text": " Entonces esta nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 605.6, "end": 615.6800000000001, "text": " Aqu\u00ed nos queda e a la p que es ra\u00edz de x por 2p por dp."}, {"start": 615.6800000000001, "end": 619.52, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos y eso es dx."}, {"start": 619.52, "end": 629.76, "text": " Entonces recobramos la integral original la que ven\u00eda inicialmente propuesta en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 629.76, "end": 636.56, "text": " En el lado derecho simplemente cambiamos la letra p por ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 636.56, "end": 641.76, "text": " Nos queda entonces 2 por e a la ra\u00edz de x."}, {"start": 641.76, "end": 651.04, "text": " Eso factor de ra\u00edz cuadrada de x menos 1 y todo eso m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 651.04, "end": 664.56, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio donde hemos visto la utilizaci\u00f3n de los m\u00e9todos de sustituci\u00f3n y partes."}]