LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando la factorización.

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 Vamos a resolver detalladamente este límite al hegebraico. Veremos qué le sucede a esta función cuando x se aproxima a menos 5. Comenzamos evaluando esta expresión justamente en este número. Entonces, ¿dónde está la x? Vamos a reemplazar menos 5. Tenemos 3 por menos 5 al cuadrado más 15 por menos 5. Y todo esto sobre 2 por x que toma el valor menos 5, esto al cuadrado, menos 50. En seguida vamos a resolver esas operaciones. Acá en la parte superior tenemos menos 5 al cuadrado que es 25 positivo, eso por 3 nos da 75. Más 15 por menos 5, eso nos da menos 75. Y en la parte de abajo tenemos menos 5 al cuadrado que es 25 positivo por 2, nos da 50 y eso nos queda menos 50. Efectuamos esas dos restas, en la parte superior tenemos 75 menos 75 que es 0 y 50 menos 50 nos da 0. Tenemos allí entonces lo que se conoce como una indeterminación. Cero sobre cero es algo que no está determinado y constituye una voz de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo a esta función. Entonces vamos a ver cuál será la estrategia apropiada. En este caso vamos a factorizar completamente tanto el numerador como el denominador de esa expresión. Vamos entonces con el numerador, vamos a escribirlo por acá, 3x al cuadrado más 15x. Y revisamos entonces los casos de factorización. Recordemos que el primero que debemos examinar es el que se llama factor común. Aquí tenemos dos términos donde observamos la letra x presente en cada uno de ellos. También tenemos dos números, los coeficientes, cuyo máximo común divisor es el número 3. Entonces podemos extraer como factor común 3x. Recordemos que de la letra repetida se extrae la de menor exponente. 3x será factor común de x, que es lo que nos queda en el primer término, más 5, que es lo que nos queda en el segundo término después de que sale 3x. Allí x más 5 no es posible factorizarlo más, entonces decimos que el numerador será factorizado completamente. Veamos ahora el denominador, donde primero examinamos el caso llamado factor común. Revisamos estos dos términos, vemos que para 2 y 50 el máximo común divisor es el número 2. Entonces podemos extraerlo como factor común. 2 será factor de x al cuadrado menos 25. Y acá revisamos esta expresión. Vemos que allí hay una diferencia de cuadrados perfectos. La raíz cuadrada de este término es x y la raíz cuadrada de 25 nos da 5. Entonces podemos factorizar esta expresión utilizando el caso llamado diferencia de cuadrados. Escribimos x más 5 por x menos 5. Vemos si estos factores pueden factorizarse todavía más. Vemos que no es posible, entonces allí queda completamente factorizado el denominador. Lo que hacemos enseguida es reconstruir el límite. Nos queda límite cuando x tiende a menos 5. Empezamos la línea de la fracción y en la parte superior obtuvimos 3x por x más 5. En la parte inferior nos dio esta expresión. 2 que multiplica con x más 5 y con x menos 5. Aquí vemos que es posible cancelar o simplificar el factor que está repetido tanto en el numerador como en el denominador. Es decir, el factor x más 5. Ese será el factor problema en este ejercicio. El causante del 0 sobre 0 que nos daba al comienzo. Veamos cuando x tiende a menos 5, aquí tenemos menos 5 más 5 que es 0 y lo mismo sucede aquí. Entonces estos dos factores como decíamos ya se pueden cancelar y nos va a quedar un límite mucho más sencillo. Límite cuando x tiende a menos 5 de la expresión 3x en el numerador y 2 por x menos 5 en el denominador. Lo que hacemos ahora es evaluar esta expresión cuando x toma el valor menos 5. Esto ya lo hacemos con total tranquilidad porque como decíamos ya logramos deshacernos del factor problema. Entonces tenemos lo siguiente. 3 por x que es menos 5, esto en el numerador y en el denominador tenemos 2 por x que toma el valor menos 5 y eso menos 5. Ahora resolvemos cada una de esas operaciones. Arriba tenemos 3 por menos 5 que es menos 15 y abajo nos queda menos 5 y menos 5 que es menos 10 multiplicado por 2 es menos 20. Aquí aplicamos la ley de los signos. Menos con menos nos da más. Vamos a obtener una fracción positiva y podemos simplificar los números 15 y 20. Sacamos quinta para ambos. Quinta de 15 nos da 3. Quinta de 20 es 4. Entonces obtenemos la fracción 3 cuartos. Es una fracción irreducible y esa será entonces la respuesta para este ejercicio.
[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite al hegebraico."}, {"start": 8.0, "end": 14.24, "text": " Veremos qu\u00e9 le sucede a esta funci\u00f3n cuando x se aproxima a menos 5."}, {"start": 14.24, "end": 18.8, "text": " Comenzamos evaluando esta expresi\u00f3n justamente en este n\u00famero."}, {"start": 18.8, "end": 20.84, "text": " Entonces, \u00bfd\u00f3nde est\u00e1 la x?"}, {"start": 20.84, "end": 22.72, "text": " Vamos a reemplazar menos 5."}, {"start": 22.72, "end": 32.0, "text": " Tenemos 3 por menos 5 al cuadrado m\u00e1s 15 por menos 5."}, {"start": 32.0, "end": 45.0, "text": " Y todo esto sobre 2 por x que toma el valor menos 5, esto al cuadrado, menos 50."}, {"start": 45.0, "end": 48.96, "text": " En seguida vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 48.96, "end": 55.44, "text": " Ac\u00e1 en la parte superior tenemos menos 5 al cuadrado que es 25 positivo, eso por 3 nos"}, {"start": 55.44, "end": 57.32, "text": " da 75."}, {"start": 57.32, "end": 63.0, "text": " M\u00e1s 15 por menos 5, eso nos da menos 75."}, {"start": 63.0, "end": 69.88, "text": " Y en la parte de abajo tenemos menos 5 al cuadrado que es 25 positivo por 2, nos da"}, {"start": 69.88, "end": 74.36, "text": " 50 y eso nos queda menos 50."}, {"start": 74.36, "end": 83.12, "text": " Efectuamos esas dos restas, en la parte superior tenemos 75 menos 75 que es 0 y 50 menos 50"}, {"start": 83.12, "end": 85.12, "text": " nos da 0."}, {"start": 85.12, "end": 90.6, "text": " Tenemos all\u00ed entonces lo que se conoce como una indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 90.6, "end": 98.88, "text": " Cero sobre cero es algo que no est\u00e1 determinado y constituye una voz de alerta que nos dice"}, {"start": 98.88, "end": 102.44, "text": " que tenemos que hacerle algo a esta funci\u00f3n."}, {"start": 102.44, "end": 107.2, "text": " Entonces vamos a ver cu\u00e1l ser\u00e1 la estrategia apropiada."}, {"start": 107.2, "end": 113.88, "text": " En este caso vamos a factorizar completamente tanto el numerador como el denominador de"}, {"start": 113.88, "end": 115.56, "text": " esa expresi\u00f3n."}, {"start": 115.56, "end": 126.75999999999999, "text": " Vamos entonces con el numerador, vamos a escribirlo por ac\u00e1, 3x al cuadrado m\u00e1s 15x."}, {"start": 126.75999999999999, "end": 130.56, "text": " Y revisamos entonces los casos de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 130.56, "end": 136.48, "text": " Recordemos que el primero que debemos examinar es el que se llama factor com\u00fan."}, {"start": 136.48, "end": 143.36, "text": " Aqu\u00ed tenemos dos t\u00e9rminos donde observamos la letra x presente en cada uno de ellos."}, {"start": 143.36, "end": 149.84, "text": " Tambi\u00e9n tenemos dos n\u00fameros, los coeficientes, cuyo m\u00e1ximo com\u00fan divisor es el n\u00famero"}, {"start": 149.84, "end": 151.12, "text": " 3."}, {"start": 151.12, "end": 155.12, "text": " Entonces podemos extraer como factor com\u00fan 3x."}, {"start": 155.12, "end": 160.76, "text": " Recordemos que de la letra repetida se extrae la de menor exponente."}, {"start": 160.76, "end": 167.96, "text": " 3x ser\u00e1 factor com\u00fan de x, que es lo que nos queda en el primer t\u00e9rmino, m\u00e1s 5, que"}, {"start": 167.96, "end": 173.08, "text": " es lo que nos queda en el segundo t\u00e9rmino despu\u00e9s de que sale 3x."}, {"start": 173.08, "end": 180.28, "text": " All\u00ed x m\u00e1s 5 no es posible factorizarlo m\u00e1s, entonces decimos que el numerador ser\u00e1 factorizado"}, {"start": 180.28, "end": 182.04000000000002, "text": " completamente."}, {"start": 182.04, "end": 188.64, "text": " Veamos ahora el denominador, donde primero examinamos el caso llamado factor com\u00fan."}, {"start": 188.64, "end": 195.6, "text": " Revisamos estos dos t\u00e9rminos, vemos que para 2 y 50 el m\u00e1ximo com\u00fan divisor es el n\u00famero"}, {"start": 195.6, "end": 196.6, "text": " 2."}, {"start": 196.6, "end": 200.35999999999999, "text": " Entonces podemos extraerlo como factor com\u00fan."}, {"start": 200.35999999999999, "end": 205.72, "text": " 2 ser\u00e1 factor de x al cuadrado menos 25."}, {"start": 205.72, "end": 208.84, "text": " Y ac\u00e1 revisamos esta expresi\u00f3n."}, {"start": 208.84, "end": 213.0, "text": " Vemos que all\u00ed hay una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 213.0, "end": 220.04, "text": " La ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino es x y la ra\u00edz cuadrada de 25 nos da 5."}, {"start": 220.04, "end": 228.24, "text": " Entonces podemos factorizar esta expresi\u00f3n utilizando el caso llamado diferencia de cuadrados."}, {"start": 228.24, "end": 235.38, "text": " Escribimos x m\u00e1s 5 por x menos 5."}, {"start": 235.38, "end": 240.0, "text": " Vemos si estos factores pueden factorizarse todav\u00eda m\u00e1s."}, {"start": 240.0, "end": 247.16, "text": " Vemos que no es posible, entonces all\u00ed queda completamente factorizado el denominador."}, {"start": 247.16, "end": 251.51999999999998, "text": " Lo que hacemos enseguida es reconstruir el l\u00edmite."}, {"start": 251.51999999999998, "end": 256.8, "text": " Nos queda l\u00edmite cuando x tiende a menos 5."}, {"start": 256.8, "end": 267.08, "text": " Empezamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n y en la parte superior obtuvimos 3x por x m\u00e1s 5."}, {"start": 267.08, "end": 271.44, "text": " En la parte inferior nos dio esta expresi\u00f3n."}, {"start": 271.44, "end": 280.44, "text": " 2 que multiplica con x m\u00e1s 5 y con x menos 5."}, {"start": 280.44, "end": 287.56, "text": " Aqu\u00ed vemos que es posible cancelar o simplificar el factor que est\u00e1 repetido tanto en el numerador"}, {"start": 287.56, "end": 289.24, "text": " como en el denominador."}, {"start": 289.24, "end": 292.12, "text": " Es decir, el factor x m\u00e1s 5."}, {"start": 292.12, "end": 295.92, "text": " Ese ser\u00e1 el factor problema en este ejercicio."}, {"start": 295.92, "end": 300.2, "text": " El causante del 0 sobre 0 que nos daba al comienzo."}, {"start": 300.2, "end": 306.84, "text": " Veamos cuando x tiende a menos 5, aqu\u00ed tenemos menos 5 m\u00e1s 5 que es 0 y lo mismo sucede"}, {"start": 306.84, "end": 307.84, "text": " aqu\u00ed."}, {"start": 307.84, "end": 315.52, "text": " Entonces estos dos factores como dec\u00edamos ya se pueden cancelar y nos va a quedar un"}, {"start": 315.52, "end": 317.88, "text": " l\u00edmite mucho m\u00e1s sencillo."}, {"start": 317.88, "end": 335.71999999999997, "text": " L\u00edmite cuando x tiende a menos 5 de la expresi\u00f3n 3x en el numerador y 2 por x menos 5 en el"}, {"start": 335.71999999999997, "end": 336.71999999999997, "text": " denominador."}, {"start": 336.72, "end": 343.52000000000004, "text": " Lo que hacemos ahora es evaluar esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor menos 5."}, {"start": 343.52000000000004, "end": 349.6, "text": " Esto ya lo hacemos con total tranquilidad porque como dec\u00edamos ya logramos deshacernos"}, {"start": 349.6, "end": 351.76000000000005, "text": " del factor problema."}, {"start": 351.76000000000005, "end": 353.68, "text": " Entonces tenemos lo siguiente."}, {"start": 353.68, "end": 363.92, "text": " 3 por x que es menos 5, esto en el numerador y en el denominador tenemos 2 por x que toma"}, {"start": 363.92, "end": 367.84000000000003, "text": " el valor menos 5 y eso menos 5."}, {"start": 367.84000000000003, "end": 372.40000000000003, "text": " Ahora resolvemos cada una de esas operaciones."}, {"start": 372.40000000000003, "end": 381.28000000000003, "text": " Arriba tenemos 3 por menos 5 que es menos 15 y abajo nos queda menos 5 y menos 5 que"}, {"start": 381.28000000000003, "end": 387.04, "text": " es menos 10 multiplicado por 2 es menos 20."}, {"start": 387.04, "end": 389.76, "text": " Aqu\u00ed aplicamos la ley de los signos."}, {"start": 389.76, "end": 391.6, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 391.6, "end": 398.96000000000004, "text": " Vamos a obtener una fracci\u00f3n positiva y podemos simplificar los n\u00fameros 15 y 20."}, {"start": 398.96000000000004, "end": 400.64000000000004, "text": " Sacamos quinta para ambos."}, {"start": 400.64000000000004, "end": 402.84000000000003, "text": " Quinta de 15 nos da 3."}, {"start": 402.84000000000003, "end": 405.72, "text": " Quinta de 20 es 4."}, {"start": 405.72, "end": 409.04, "text": " Entonces obtenemos la fracci\u00f3n 3 cuartos."}, {"start": 409.04, "end": 422.56, "text": " Es una fracci\u00f3n irreducible y esa ser\u00e1 entonces la respuesta para este ejercicio."}]