VOLUMEN DE UNA CAJA EN FUNCIÓN DE X
#julioprofe explica cómo expresar el volumen de una caja en función de una variable X.

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Se va a construir una caja rectangular sin tapa a partir de una lámina metálica de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Para ello se van a recortar cuadrados del lado X en las esquinas y luego se van a doblar los lados hacia arriba. Expresar el volumen V de la caja como una función de X. En este problema nos dicen que contamos con una lámina rectangular de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Vamos a dibujar un rectángulo que represente la lámina. Vamos a colocar aquí la dimensión mayor, 30 cm, que es el largo, y por acá vamos a señalar el ancho, que son 20 cm. Bien, y nos dicen que a partir de esa lámina se va a construir una caja recortando cuadraditos en las esquinas. Es decir, vamos a quitar cuadraditos de lado X. Nos dice el problema. Nos va a quedar como estos pliegues por donde vamos a doblar luego hacia arriba para conformar la caja. Entonces, imaginemos que hacemos esto. Quitamos estas esquinas, quitamos los cuadraditos de las esquinas que son del lado X, y con las aletas que quedan, las doblamos hacia arriba y de esa manera tenemos la caja. Vamos a dibujar la caja por acá. Es una caja sin tapa, más o menos como este dibujo que estamos haciendo por acá. Bien, entonces vamos a colocar las dimensiones de la caja ya construida para la cual hacemos el siguiente análisis. Nos dicen que el lado del cuadradito que se quita vale X. Vamos a colocarle por aquí X y por aquí también le ponemos X. Al igual que por aquí, esto vale X, y también por aquí. Bien, entonces vamos a determinar qué longitud nos quedó aquí, que correspondería a esta misma de acá, a la dimensión más larga de la caja ya construida. Entonces veamos, originalmente de aquí a aquí, o sea, el largo de la lámina original era 30 centímetros, lo tenemos acá señalado, pero a 30 centímetros le hemos quitado este pedacito que es X y este otro pedacito que también es X, es decir que le hemos quitado 2X. Entonces esta dimensión será 30 menos 2X y es la que vamos a marcar por aquí. Bien, de manera similar vamos a determinar esta distancia que queda aquí, que corresponde a esta dimensión de la caja, como el ancho de la caja. Entonces veamos, la dimensión original es 20 centímetros, es decir, desde aquí hasta aquí, pero también le quitamos X por aquí y X por aquí, es decir que en total le quitamos 2X. Entonces esta dimensión será 20 menos 2X, que corresponde, como decíamos, a esta dimensión. Bien, ahora miremos qué altura tiene la caja, cuánto vale esta distancia de aquí a acá. Entonces, pensemos en lo siguiente, este pedacito que vale X se va a encontrar con este pedacito de X cuando se doblen hacia arriba estas dos aletas, es decir, supongamos que al subirlas entonces ellas coinciden aquí, en esta unión, por lo tanto la altura de la caja corresponde a la longitud X, es decir, al lado del cuadrado. El problema nos está pidiendo entonces determinar una expresión para el volumen de la caja en términos de X. Entonces vamos a hacer lo siguiente, el volumen de esta figura geométrica que corresponde a lo que se llama un paralelepípedo recto se obtiene multiplicando sus tres dimensiones, que son largo por ancho por altura. Entonces tenemos 30 menos 2X multiplicado por 20 menos 2X y eso multiplicado por X. Aquí tenemos largo, tenemos ancho y tenemos altura multiplicada entre sí. Vamos a continuar con el desarrollo algebraico de esto de producto, entonces vamos a comenzar por ejemplo distribuyendo esta X para este bilomio que tenemos aquí, únicamente para este, entonces X entra en esta expresión, este 30 menos 2X se queda quieto, en espera, y entonces X por 20 nos queda 20X y X por menos 2X nos queda menos 2X al cuadrado. Y a continuación vamos a realizar el producto de estos dos binomios, recordemos que se hace multiplicando todos con todos, empecemos con el 30, 30 por 20X eso nos da 600X, 30 por menos 2X al cuadrado nos queda menos 60X al cuadrado, menos 2X por 20X eso nos da menos 40X al cuadrado y menos 2X por menos 2X al cuadrado eso nos da más 4X al cubo. Para finalizar vamos a reducir términos semejantes en esa expresión, vemos que términos semejantes son estos dos que contienen X al cuadrado y de una vez para dar nuestra respuesta vamos a organizar el polinomio en forma descendente, vamos a continuarlo por acá, entonces nos queda que el volumen es igual a, empezamos con 4X a la 3 con el término de mayor exponente, seguimos con estos dos que al operarlos entre sí nos da menos 100X al cuadrado y por último más 600X y de esa manera hemos obtenido la expresión del volumen de la caja como una función de X, es decir V en términos de X, de esa manera entonces hemos dado solución a nuestro problema.
[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Se va a construir una caja rectangular sin tapa a partir de una l\u00e1mina met\u00e1lica de 30 cm de largo por 20 cm de ancho."}, {"start": 11.0, "end": 21.0, "text": " Para ello se van a recortar cuadrados del lado X en las esquinas y luego se van a doblar los lados hacia arriba."}, {"start": 21.0, "end": 40.0, "text": " Expresar el volumen V de la caja como una funci\u00f3n de X. En este problema nos dicen que contamos con una l\u00e1mina rectangular de 30 cm de largo por 20 cm de ancho."}, {"start": 40.0, "end": 63.0, "text": " Vamos a dibujar un rect\u00e1ngulo que represente la l\u00e1mina. Vamos a colocar aqu\u00ed la dimensi\u00f3n mayor, 30 cm, que es el largo, y por ac\u00e1 vamos a se\u00f1alar el ancho, que son 20 cm."}, {"start": 63.0, "end": 73.0, "text": " Bien, y nos dicen que a partir de esa l\u00e1mina se va a construir una caja recortando cuadraditos en las esquinas."}, {"start": 73.0, "end": 98.0, "text": " Es decir, vamos a quitar cuadraditos de lado X. Nos dice el problema. Nos va a quedar como estos pliegues por donde vamos a doblar luego hacia arriba para conformar la caja."}, {"start": 98.0, "end": 109.0, "text": " Entonces, imaginemos que hacemos esto. Quitamos estas esquinas, quitamos los cuadraditos de las esquinas que son del lado X,"}, {"start": 109.0, "end": 131.0, "text": " y con las aletas que quedan, las doblamos hacia arriba y de esa manera tenemos la caja. Vamos a dibujar la caja por ac\u00e1. Es una caja sin tapa, m\u00e1s o menos como este dibujo que estamos haciendo por ac\u00e1."}, {"start": 131.0, "end": 147.0, "text": " Bien, entonces vamos a colocar las dimensiones de la caja ya construida para la cual hacemos el siguiente an\u00e1lisis."}, {"start": 147.0, "end": 159.0, "text": " Nos dicen que el lado del cuadradito que se quita vale X. Vamos a colocarle por aqu\u00ed X y por aqu\u00ed tambi\u00e9n le ponemos X."}, {"start": 159.0, "end": 170.0, "text": " Al igual que por aqu\u00ed, esto vale X, y tambi\u00e9n por aqu\u00ed."}, {"start": 170.0, "end": 186.0, "text": " Bien, entonces vamos a determinar qu\u00e9 longitud nos qued\u00f3 aqu\u00ed, que corresponder\u00eda a esta misma de ac\u00e1, a la dimensi\u00f3n m\u00e1s larga de la caja ya construida."}, {"start": 186.0, "end": 195.0, "text": " Entonces veamos, originalmente de aqu\u00ed a aqu\u00ed, o sea, el largo de la l\u00e1mina original era 30 cent\u00edmetros, lo tenemos ac\u00e1 se\u00f1alado,"}, {"start": 195.0, "end": 204.0, "text": " pero a 30 cent\u00edmetros le hemos quitado este pedacito que es X y este otro pedacito que tambi\u00e9n es X, es decir que le hemos quitado 2X."}, {"start": 204.0, "end": 212.0, "text": " Entonces esta dimensi\u00f3n ser\u00e1 30 menos 2X y es la que vamos a marcar por aqu\u00ed."}, {"start": 212.0, "end": 227.0, "text": " Bien, de manera similar vamos a determinar esta distancia que queda aqu\u00ed, que corresponde a esta dimensi\u00f3n de la caja, como el ancho de la caja."}, {"start": 227.0, "end": 237.0, "text": " Entonces veamos, la dimensi\u00f3n original es 20 cent\u00edmetros, es decir, desde aqu\u00ed hasta aqu\u00ed, pero tambi\u00e9n le quitamos X por aqu\u00ed y X por aqu\u00ed,"}, {"start": 237.0, "end": 249.0, "text": " es decir que en total le quitamos 2X. Entonces esta dimensi\u00f3n ser\u00e1 20 menos 2X, que corresponde, como dec\u00edamos, a esta dimensi\u00f3n."}, {"start": 249.0, "end": 256.0, "text": " Bien, ahora miremos qu\u00e9 altura tiene la caja, cu\u00e1nto vale esta distancia de aqu\u00ed a ac\u00e1."}, {"start": 256.0, "end": 266.0, "text": " Entonces, pensemos en lo siguiente, este pedacito que vale X se va a encontrar con este pedacito de X cuando se doblen hacia arriba estas dos aletas,"}, {"start": 266.0, "end": 278.0, "text": " es decir, supongamos que al subirlas entonces ellas coinciden aqu\u00ed, en esta uni\u00f3n, por lo tanto la altura de la caja corresponde a la longitud X,"}, {"start": 278.0, "end": 289.0, "text": " es decir, al lado del cuadrado. El problema nos est\u00e1 pidiendo entonces determinar una expresi\u00f3n para el volumen de la caja en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 289.0, "end": 297.0, "text": " Entonces vamos a hacer lo siguiente, el volumen de esta figura geom\u00e9trica que corresponde a lo que se llama un paralelep\u00edpedo recto"}, {"start": 297.0, "end": 311.0, "text": " se obtiene multiplicando sus tres dimensiones, que son largo por ancho por altura. Entonces tenemos 30 menos 2X multiplicado por 20 menos 2X"}, {"start": 311.0, "end": 319.0, "text": " y eso multiplicado por X. Aqu\u00ed tenemos largo, tenemos ancho y tenemos altura multiplicada entre s\u00ed."}, {"start": 319.0, "end": 329.0, "text": " Vamos a continuar con el desarrollo algebraico de esto de producto, entonces vamos a comenzar por ejemplo distribuyendo esta X para este bilomio que tenemos aqu\u00ed,"}, {"start": 329.0, "end": 342.0, "text": " \u00fanicamente para este, entonces X entra en esta expresi\u00f3n, este 30 menos 2X se queda quieto, en espera, y entonces X por 20 nos queda 20X"}, {"start": 342.0, "end": 350.0, "text": " y X por menos 2X nos queda menos 2X al cuadrado. Y a continuaci\u00f3n vamos a realizar el producto de estos dos binomios,"}, {"start": 350.0, "end": 364.0, "text": " recordemos que se hace multiplicando todos con todos, empecemos con el 30, 30 por 20X eso nos da 600X, 30 por menos 2X al cuadrado nos queda menos 60X al cuadrado,"}, {"start": 364.0, "end": 378.0, "text": " menos 2X por 20X eso nos da menos 40X al cuadrado y menos 2X por menos 2X al cuadrado eso nos da m\u00e1s 4X al cubo."}, {"start": 378.0, "end": 388.0, "text": " Para finalizar vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en esa expresi\u00f3n, vemos que t\u00e9rminos semejantes son estos dos que contienen X al cuadrado"}, {"start": 388.0, "end": 397.0, "text": " y de una vez para dar nuestra respuesta vamos a organizar el polinomio en forma descendente, vamos a continuarlo por ac\u00e1,"}, {"start": 397.0, "end": 404.0, "text": " entonces nos queda que el volumen es igual a, empezamos con 4X a la 3 con el t\u00e9rmino de mayor exponente,"}, {"start": 404.0, "end": 417.0, "text": " seguimos con estos dos que al operarlos entre s\u00ed nos da menos 100X al cuadrado y por \u00faltimo m\u00e1s 600X"}, {"start": 417.0, "end": 430.0, "text": " y de esa manera hemos obtenido la expresi\u00f3n del volumen de la caja como una funci\u00f3n de X, es decir V en t\u00e9rminos de X,"}, {"start": 430.0, "end": 434.0, "text": " de esa manera entonces hemos dado soluci\u00f3n a nuestro problema."}]