RECTA PARALELA Y RECTA PERPENDICULAR A OTRA RECTA
#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto dado, y que es (a) paralela (b) perpendicular, a otra recta conocida.

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 Hayar la ecuación de la recta que pasa por el punto P de coordenadas 5,7 y es A paralela, B perpendicular a la recta determinada por los puntos C de coordenadas menos 4, menos 1 y D de coordenadas 6, menos 2. Bien, para resolver este ejercicio podemos organizar la información en lo que es una recta conocida llamada L1 y la recta solicitada que es L2. La recta conocida L1 es la que pasa por los puntos C y D y la recta solicitada es la que pasa por el punto P. En la pregunta A, la recta L2, o sea la recta solicitada, tiene que ser paralela a la recta L1, o sea la recta conocida. Y en la pregunta B, la recta L2 tiene que ser perpendicular a la recta L1. Para cualquiera de los dos casos necesitamos conocer la pendiente de la recta conocida, o sea la pendiente 1. Para ello vamos a utilizar la fórmula para encontrar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos. Recordemos que la pendiente de la recta se denota con la letra M y es igual a y2 menos y1, o sea diferencia de ordenadas sobre x2 menos x1, que es lo que se conoce como diferencia de abscisas. En ese caso tenemos los puntos C y D cuyas coordenadas conocemos, entonces vamos a llamar x1, y1 las coordenadas del punto C y x2, y2, a las coordenadas del punto D. Y vamos a reemplazar en esta fórmula para poder determinar M1, o sea la pendiente de la recta conocida. Comenzamos con y2 que tiene un valor de menos 2, aquí se recomienda proteger estos números con paréntesis, menos y1 que vale menos 1, todo esto sobre x2 que vale 6, menos el valor de x1 que es igual a menos 4. Y vamos a resolver esas operaciones, tenemos, vamos a seguir por acá, que M1 es igual a menos 2 más 1, allí rompemos los paréntesis, aquí se aplica la ley de los signos, porque tenemos signos vecinos, menos con menos nos da más, en la parte de abajo tenemos 6, otra vez menos con menos que es más, y el número 4. Resolvemos en el numerador nos da como resultado menos 1, y en el denominador tenemos resultado 10. Entonces, menos 1 décimo es el valor de la pendiente 1, vamos a escribirla por acá, M1 es igual a menos 1 décimo. Para el caso de la pregunta A, donde las dos rectas van a ser paralelas, entonces se cumple que la pendiente de la recta 2 tiene que ser igual a la pendiente de la recta 1, es la condición que se debe cumplir cuando tenemos dos rectas paralelas, sus pendientes deben ser iguales, por lo tanto, la pendiente 2 es igual a menos 1 décimo, el valor que obtuvimos para M1. Y enseguida vamos a utilizar lo que se llama el modelo punto pendiente, para encontrar la ecuación de la recta L2. Entonces, modelo punto pendiente dice así, es y menos y1 igual a M por x menos x1. Vamos entonces a reemplazar para la recta L2 el valor de su pendiente y el valor del punto que conocemos, que es 5,7, es decir, 5 va a representar a x1 y 7 representa a y1. Entonces, reemplazamos cada uno de los componentes, tenemos y menos el valor de y1 que es igual a 7, esto igual a la pendiente de la recta que vamos a encontrar, que es la recta L2, entonces entra el valor de M2 menos 1 décimo, y esto por x menos x1 que es igual a 5. Entonces, allí tenemos ya el modelo punto pendiente habiendo reemplazado x1, y1 y el valor de M. Recordemos que esta y y esta x se dejan tal como están, ellas no se reemplazan. Enseguida vamos a organizar esta ecuación, entonces podemos escribir y menos 7 en el lado izquierdo, y aquí en el lado derecho aplicamos la propiedad distributiva, tenemos menos 1 décimo por x es menos 1 décimo de x, y menos 1 décimo por menos 5 eso nos daría más 5 décimos, que simplificando equivale a 1 medio. Luego podemos despejar la letra y, para ello pasamos este número que está restando al otro lado a sumar, y nos queda y igual a menos 1 décimo de x más 1 medio más 7, y resolvemos esta operación, entonces tenemos y igual a menos 1 décimo de x más, veamos cuánto da la suma de 1 medio más 7. Cuando tenemos un número entero sumando con una fracción, esto es lo que puede convertirse en un número mixto, entonces es lo mismo que decir 7 enteros 1 medio, y esto lo pasamos a fracción impropia de la siguiente manera, escribimos 7 por 2 que es 14 más 1, 15, eso va en el numerador y conservamos el mismo denominador, entonces estamos pasando de número mixto a fracción impropia, 15 medios es el resultado de esta suma, y es el número que escribimos por aquí. Esta ya es la respuesta a la pregunta A, es decir, la ecuación de la recta L2, o sea la recta solicitada aquella que pasa por el punto P de coordenadas 5,7 y que es paralela a la recta L1, esta ecuación se encuentra escrita en la forma y igual a mx más b, lo que se conoce como la forma explícita, m representa la pendiente de la recta, vemos que es la misma pendiente m1, y b, este valor 15 medios, recordemos que representa el corte con el eje y, o lo que se conoce también como ordenada al origen, entonces esta es una forma de presentar la respuesta de acuerdo con el modelo y igual a mx más b, existe otra forma de dar la respuesta que es en la forma general o forma implícita de una recta, para ello vamos a deshacernos de los denominadores, podemos pensar en encontrar el mínimo común múltiplo de 10 y 2, que sería 10, entonces el mcm de 10 y 2, o sea de los denominadores es igual a 10, y de allí podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por este valor, entonces veamos, en el lado izquierdo si multiplicamos por 10 nos queda 10y, en el lado derecho si multiplicamos por 10, entonces este número multiplica a este componente y a este otro, allí se aplica la propiedad distributiva, entonces 10 por menos 1 decimo de x, eso nos daría menos 1x, o simplemente menos x, más 10 que multiplica a 15 medios, eso nos daría 150 medios que es igual a 75, haciendo la simplificación, y de allí podemos acomodar la ecuación de tal forma que al lado izquierdo nos quede el término con x, luego el término con y, después el término independiente y todo eso permanezca o quede igualado a 0, entonces veamos, pasamos primero este término para el lado izquierdo, llega como x positivo, luego escribimos más 10y, pasamos este número que llega negativo al lado izquierdo, menos 75 y todo esto igualado a 0, entonces esta es la otra forma de presentar la respuesta a la primera pregunta, a la pregunta A, entonces aquí tenemos la ecuación de la recta expresada en la forma general o forma implícita que corresponde a este modelo, ax más by más c igual a 0, allí podemos observar que esta ecuación concuerda con este modelo, entonces tenemos aquí dos maneras de presentar la ecuación de la recta L2 para la pregunta A, o sea cuando las dos rectas son paralelas, ahora vamos a responder a la pregunta B, en ese caso necesitamos que las dos rectas sean perpendiculares, o sea que se corten formando ángulo recto, en ese caso la condición que se debe cumplir es que la pendiente 2 multiplicada por la pendiente 1 tiene que dar como resultado menos 1, es la condición que deben cumplir dos rectas que sean perpendiculares, entonces vamos a ver cómo se determina la pendiente de la recta 2, tenemos que M2 sería igual a menos 1 sobre M1, simplemente pasamos M1 que está multiplicando al otro lado a dividir, entonces podríamos traer este fraccionario, escribirlo aquí en el denominador y hacer toda la operación para encontrar M2, pero una manera rápida o un truco fácil de hallar el valor de M2 es simplemente tomar el valor de M1, invertirlo y cambiarle el signo, entonces si tenemos un décimo e invertimos esa fracción nos da el número 10, bueno tendríamos 10 sobre 1, pero recordemos que ese 1 del denominador puede volverse invisible, entonces invirtiendo la fracción nos da 10 y cambiando el signo nos queda acá signo positivo, recordemos que ese signo puede hacerse invisible, entonces M2 toma el valor 10, si multiplicamos este número por menos un décimo efectivamente nos da menos 1 que es la condición que deben cumplir dos rectas perpendiculares. Ahora conociendo el valor de la pendiente de la recta 2 y el punto por donde pasa dicha recta, podemos utilizar de nuevo el modelo punto pendiente para encontrar la ecuación de la recta solicitada, entonces vamos a recordarlo, modelo punto pendiente y menos y1 igual a la pendiente M que multiplica a x menos x1, vamos a reemplazar entonces, tendríamos y menos y1 que es nuevamente el valor 7, esto es y1 y esto es x1, o sea las coordenadas del punto por el cual pasa la recta que vamos a encontrar, entonces y1 vale 7 igual a la pendiente M que es igual a 10 por x menos el valor de x1 que es 5, aquí aplicamos la propiedad distributiva y tenemos y menos 7 igual a 10x menos 10 por 5, 50, ahora vamos a despejar y, para eso pasamos este número 7 que está restando al otro lado a sumar, nos queda y igual a 10x menos 50 más 7 y por último hacemos la operación de estos dos números, entonces tenemos y es igual a 10x menos 50 más 7 nos da como resultado y aquí tenemos la ecuación de la recta L2 cuando es perpendicular a L1, aquí esa ecuación corresponde al modelo y igual a Mx más b, o sea lo que se llama la forma explícita de la ecuación de una recta, de allí podemos pasar a la forma implícita o forma general, recordemos que se deja el cero en este lado derecho, vamos entonces a pasar estos términos para el lado izquierdo, tendríamos lo siguiente, menos 10x, este término está positivo aquí, llega negativo al lado izquierdo, luego escribimos el término más y, como puede observarse y permanece en su territorio, entonces continúa siendo positiva y pasamos este número que está negativo al otro lado, entonces llega positivo, queda más 43 y todo esto igual a cero, pero no se acostumbra que la ecuación en su forma general o implícita inicie con número negativo, entonces para corregir eso simplemente multiplicamos ambos lados de la igualdad por menos uno, eso lo que ocasiona es cambio de signos en el lado izquierdo, en el lado derecho cero por menos uno sigue siendo cero, entonces haciendo eso vamos a escribir por aquí, multiplicamos por menos uno, ambos lados de la igualdad, tenemos 10x menos y menos 43 y todo eso igual a cero y esta es la otra respuesta, tenemos la ecuación escrita de la forma general o implícita que es ax más by más c igual a cero, bien con esto terminamos el ejercicio, estas dos ecuaciones son las de la recta L2 para la situación B, es decir en el caso en que la recta solicitada es perpendicular a la recta cuya información conocemos.
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326.6, "text": " que es la recta L2, entonces entra el valor de M2 menos 1 d\u00e9cimo, y esto por x menos x1 que es igual a 5."}, {"start": 326.6, "end": 335.6, "text": " Entonces, all\u00ed tenemos ya el modelo punto pendiente habiendo reemplazado x1, y1 y el valor de M."}, {"start": 335.6, "end": 342.6, "text": " Recordemos que esta y y esta x se dejan tal como est\u00e1n, ellas no se reemplazan."}, {"start": 342.6, "end": 351.6, "text": " Enseguida vamos a organizar esta ecuaci\u00f3n, entonces podemos escribir y menos 7 en el lado izquierdo,"}, {"start": 351.6, "end": 362.6, "text": " y aqu\u00ed en el lado derecho aplicamos la propiedad distributiva, tenemos menos 1 d\u00e9cimo por x es menos 1 d\u00e9cimo de x,"}, {"start": 362.6, "end": 374.6, "text": " y menos 1 d\u00e9cimo por menos 5 eso nos dar\u00eda m\u00e1s 5 d\u00e9cimos, que simplificando equivale a 1 medio."}, {"start": 374.6, "end": 383.6, "text": " Luego podemos despejar la letra y, para ello pasamos este n\u00famero que est\u00e1 restando al otro lado a sumar,"}, {"start": 383.6, "end": 394.6, "text": " y nos queda y igual a menos 1 d\u00e9cimo de x m\u00e1s 1 medio m\u00e1s 7, y resolvemos esta operaci\u00f3n,"}, {"start": 394.6, "end": 405.6, "text": " entonces tenemos y igual a menos 1 d\u00e9cimo de x m\u00e1s, veamos cu\u00e1nto da la suma de 1 medio m\u00e1s 7."}, {"start": 405.6, "end": 412.6, "text": " Cuando tenemos un n\u00famero entero sumando con una fracci\u00f3n, esto es lo que puede convertirse en un n\u00famero mixto,"}, {"start": 412.6, "end": 421.6, "text": " entonces es lo mismo que decir 7 enteros 1 medio, y esto lo pasamos a fracci\u00f3n impropia de la siguiente manera,"}, {"start": 421.6, "end": 431.6, "text": " escribimos 7 por 2 que es 14 m\u00e1s 1, 15, eso va en el numerador y conservamos el mismo denominador,"}, {"start": 431.6, "end": 440.6, "text": " entonces estamos pasando de n\u00famero mixto a fracci\u00f3n impropia, 15 medios es el resultado de esta suma,"}, {"start": 440.6, "end": 444.6, "text": " y es el n\u00famero que escribimos por aqu\u00ed."}, {"start": 444.6, "end": 453.6, "text": " Esta ya es la respuesta a la pregunta A, es decir, la ecuaci\u00f3n de la recta L2,"}, {"start": 453.6, "end": 464.6, "text": " o sea la recta solicitada aquella que pasa por el punto P de coordenadas 5,7 y que es paralela a la recta L1,"}, {"start": 464.6, "end": 475.6, "text": " esta ecuaci\u00f3n se encuentra escrita en la forma y igual a mx m\u00e1s b, lo que se conoce como la forma expl\u00edcita,"}, {"start": 475.6, "end": 484.6, "text": " m representa la pendiente de la recta, vemos que es la misma pendiente m1, y b, este valor 15 medios,"}, {"start": 484.6, "end": 492.6, "text": " recordemos que representa el corte con el eje y, o lo que se conoce tambi\u00e9n como ordenada al origen,"}, {"start": 492.6, "end": 500.6, "text": " entonces esta es una forma de presentar la respuesta de acuerdo con el modelo y igual a mx m\u00e1s b,"}, {"start": 500.6, "end": 510.6, "text": " existe otra forma de dar la respuesta que es en la forma general o forma impl\u00edcita de una recta,"}, {"start": 510.6, "end": 513.6, "text": " para ello vamos a deshacernos de los denominadores,"}, {"start": 513.6, "end": 526.6, "text": " podemos pensar en encontrar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 10 y 2, que ser\u00eda 10, entonces el mcm de 10 y 2,"}, {"start": 526.6, "end": 536.6, "text": " o sea de los denominadores es igual a 10, y de all\u00ed podemos multiplicar ambos lados de la ecuaci\u00f3n por este valor,"}, {"start": 536.6, "end": 545.6, "text": " entonces veamos, en el lado izquierdo si multiplicamos por 10 nos queda 10y, en el lado derecho si multiplicamos por 10,"}, {"start": 545.6, "end": 552.6, "text": " entonces este n\u00famero multiplica a este componente y a este otro, all\u00ed se aplica la propiedad distributiva,"}, {"start": 552.6, "end": 565.6, "text": " entonces 10 por menos 1 decimo de x, eso nos dar\u00eda menos 1x, o simplemente menos x, m\u00e1s 10 que multiplica a 15 medios,"}, {"start": 565.6, "end": 574.6, "text": " eso nos dar\u00eda 150 medios que es igual a 75, haciendo la simplificaci\u00f3n,"}, {"start": 574.6, "end": 583.6, "text": " y de all\u00ed podemos acomodar la ecuaci\u00f3n de tal forma que al lado izquierdo nos quede el t\u00e9rmino con x, luego el t\u00e9rmino con y,"}, {"start": 583.6, "end": 590.6, "text": " despu\u00e9s el t\u00e9rmino independiente y todo eso permanezca o quede igualado a 0,"}, {"start": 590.6, "end": 600.6, "text": " entonces veamos, pasamos primero este t\u00e9rmino para el lado izquierdo, llega como x positivo, luego escribimos m\u00e1s 10y,"}, {"start": 600.6, "end": 609.6, "text": " pasamos este n\u00famero que llega negativo al lado izquierdo, menos 75 y todo esto igualado a 0,"}, {"start": 609.6, "end": 621.6, "text": " entonces esta es la otra forma de presentar la respuesta a la primera pregunta, a la pregunta A,"}, {"start": 621.6, "end": 632.6, "text": " entonces aqu\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n de la recta expresada en la forma general o forma impl\u00edcita que corresponde a este modelo,"}, {"start": 632.6, "end": 641.6, "text": " ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a 0, all\u00ed podemos observar que esta ecuaci\u00f3n concuerda con este modelo,"}, {"start": 641.6, "end": 654.6, "text": " entonces tenemos aqu\u00ed dos maneras de presentar la ecuaci\u00f3n de la recta L2 para la pregunta A, o sea cuando las dos rectas son paralelas,"}, {"start": 654.6, "end": 663.6, "text": " ahora vamos a responder a la pregunta B, en ese caso necesitamos que las dos rectas sean perpendiculares,"}, {"start": 663.6, "end": 675.6, "text": " o sea que se corten formando \u00e1ngulo recto, en ese caso la condici\u00f3n que se debe cumplir es que la pendiente 2 multiplicada por la pendiente 1"}, {"start": 675.6, "end": 685.6, "text": " tiene que dar como resultado menos 1, es la condici\u00f3n que deben cumplir dos rectas que sean perpendiculares,"}, {"start": 685.6, "end": 697.6, "text": " entonces vamos a ver c\u00f3mo se determina la pendiente de la recta 2, tenemos que M2 ser\u00eda igual a menos 1 sobre M1,"}, {"start": 697.6, "end": 705.6, "text": " simplemente pasamos M1 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir, entonces podr\u00edamos traer este fraccionario,"}, {"start": 705.6, "end": 717.6, "text": " escribirlo aqu\u00ed en el denominador y hacer toda la operaci\u00f3n para encontrar M2, pero una manera r\u00e1pida o un truco f\u00e1cil de hallar el valor de M2"}, {"start": 717.6, "end": 730.6, "text": " es simplemente tomar el valor de M1, invertirlo y cambiarle el signo, entonces si tenemos un d\u00e9cimo e invertimos esa fracci\u00f3n nos da el n\u00famero 10,"}, {"start": 730.6, "end": 740.6, "text": " bueno tendr\u00edamos 10 sobre 1, pero recordemos que ese 1 del denominador puede volverse invisible, entonces invirtiendo la fracci\u00f3n nos da 10"}, {"start": 740.6, "end": 752.6, "text": " y cambiando el signo nos queda ac\u00e1 signo positivo, recordemos que ese signo puede hacerse invisible, entonces M2 toma el valor 10,"}, {"start": 752.6, "end": 764.6, "text": " si multiplicamos este n\u00famero por menos un d\u00e9cimo efectivamente nos da menos 1 que es la condici\u00f3n que deben cumplir dos rectas perpendiculares."}, {"start": 764.6, "end": 779.6, "text": " Ahora conociendo el valor de la pendiente de la recta 2 y el punto por donde pasa dicha recta, podemos utilizar de nuevo el modelo punto pendiente"}, {"start": 779.6, "end": 797.6, "text": " para encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta solicitada, entonces vamos a recordarlo, modelo punto pendiente y menos y1 igual a la pendiente M que multiplica a x menos x1,"}, {"start": 797.6, "end": 812.6, "text": " vamos a reemplazar entonces, tendr\u00edamos y menos y1 que es nuevamente el valor 7, esto es y1 y esto es x1, o sea las coordenadas del punto por el cual pasa la recta"}, {"start": 812.6, "end": 831.6, "text": " que vamos a encontrar, entonces y1 vale 7 igual a la pendiente M que es igual a 10 por x menos el valor de x1 que es 5, aqu\u00ed aplicamos la propiedad distributiva"}, {"start": 831.6, "end": 851.6, "text": " y tenemos y menos 7 igual a 10x menos 10 por 5, 50, ahora vamos a despejar y, para eso pasamos este n\u00famero 7 que est\u00e1 restando al otro lado a sumar,"}, {"start": 851.6, "end": 872.6, "text": " nos queda y igual a 10x menos 50 m\u00e1s 7 y por \u00faltimo hacemos la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros, entonces tenemos y es igual a 10x menos 50 m\u00e1s 7 nos da como resultado"}, {"start": 872.6, "end": 889.6, "text": " y aqu\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n de la recta L2 cuando es perpendicular a L1, aqu\u00ed esa ecuaci\u00f3n corresponde al modelo y igual a Mx m\u00e1s b,"}, {"start": 889.6, "end": 903.6, "text": " o sea lo que se llama la forma expl\u00edcita de la ecuaci\u00f3n de una recta, de all\u00ed podemos pasar a la forma impl\u00edcita o forma general,"}, {"start": 903.6, "end": 913.6, "text": " recordemos que se deja el cero en este lado derecho, vamos entonces a pasar estos t\u00e9rminos para el lado izquierdo, tendr\u00edamos lo siguiente,"}, {"start": 913.6, "end": 928.6, "text": " menos 10x, este t\u00e9rmino est\u00e1 positivo aqu\u00ed, llega negativo al lado izquierdo, luego escribimos el t\u00e9rmino m\u00e1s y, como puede observarse y permanece en su territorio,"}, {"start": 928.6, "end": 943.6, "text": " entonces contin\u00faa siendo positiva y pasamos este n\u00famero que est\u00e1 negativo al otro lado, entonces llega positivo, queda m\u00e1s 43 y todo esto igual a cero, pero no se acostumbra"}, {"start": 943.6, "end": 958.6, "text": " que la ecuaci\u00f3n en su forma general o impl\u00edcita inicie con n\u00famero negativo, entonces para corregir eso simplemente multiplicamos ambos lados de la igualdad por menos uno,"}, {"start": 958.6, "end": 974.6, "text": " eso lo que ocasiona es cambio de signos en el lado izquierdo, en el lado derecho cero por menos uno sigue siendo cero, entonces haciendo eso vamos a escribir por aqu\u00ed, multiplicamos por menos uno, ambos lados de la igualdad,"}, {"start": 974.6, "end": 1000.6, "text": " tenemos 10x menos y menos 43 y todo eso igual a cero y esta es la otra respuesta, tenemos la ecuaci\u00f3n escrita de la forma general o impl\u00edcita que es ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a cero,"}, {"start": 1000.6, "end": 1019.6, "text": " bien con esto terminamos el ejercicio, estas dos ecuaciones son las de la recta L2 para la situaci\u00f3n B, es decir en el caso en que la recta solicitada es perpendicular a la recta cuya informaci\u00f3n conocemos."}]