Problema 6 con SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2×2 - ft. Casio Classwiz
#julioprofe explica cómo resolver el siguiente problema de aplicación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2×2:

Añadiendo 2 al numerador de una fracción y restando 1 al denominador, la fracción se convierte en 5/3. Si se resta 1 al numerador y se añade 3 al denominador, la fracción equivale a 2/7. ¿Cuál es la fracción original?

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Al final, utiliza la calculadora Casio #Classwiz fx-991LA X para comprobar la solución del ejercicio.

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 En esta ocasión vamos a resolver un problema de aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales de 2x2. Haremos el proceso manualmente y al final veremos su comprobación utilizando la calculadora Casio-Claswitz. El problema dice lo siguiente, añadiendo 2 al numerador de una fracción y restando 1 al denominador, la fracción se convierte en 5 tercios. Si se resta 1 al numerador y se añade 3 al denominador, la fracción equivale a 2 séptimos. ¿Cuál es la fracción original? Bien, comenzamos estableciendo que x sobre y será la fracción original, es decir, la que buscamos. X es el numerador y y es el denominador. Entonces, vamos a traducir al lenguaje matemático, es decir, al lenguaje simbólico, estas dos informaciones que nos dan en el enunciado del problema. Vamos entonces con la primera información que nos dará lugar a la primera ecuación. Dice, añadiendo 2 al numerador de una fracción y restando 1 al denominador, la fracción se convierte en 5 tercios. Entonces, como la fracción original, la que buscamos es x sobre y, tenemos que añadiendo 2 al numerador, es decir, x más 2 y luego restando 1 al denominador, es decir, y menos 1, entonces la fracción se convierte en 5 tercios. Esto lo igualamos a la fracción 5 tercios. Allí tenemos entonces la primera información convertida en una expresión matemática. Vamos ahora con la segunda información que también nos dará lugar a otra ecuación. Tenemos que si se resta 1 al numerador, es decir, x menos 1 y luego se añade 3 al denominador, es decir, y más 3, entonces la fracción equivale a dos séptimos. Igualamos esto a la fracción dos séptimos. Y ahí tenemos la segunda información traducida al lenguaje matemático. De esta manera ya tenemos un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, es decir, dos ecuaciones con dos incógnitas que son las letras x y y. Esto es lo que vamos a resolver a continuación. Comenzamos por llevar estas dos ecuaciones a la forma lineal, es decir, la que tiene este modelo ax más by igual a c, es decir, un término con x, un término con y y después del signo igual el término independiente. Como podemos observar, ambas ecuaciones están escritas de esta manera, de la forma en que se caracteriza una proporción, la igualdad de dos razones. Entonces recordemos que en toda proporción se cumple que el producto de extremos, es decir, a por d, es igual al producto de medios, es decir, b por c. Visto de otra manera, lo que está dividiendo a un lado pasa a multiplicar al otro, entonces d llegaría a multiplicar con a y b llegaría al otro lado a multiplicar con c. Entonces, aplicando esto para la primera ecuación tenemos lo siguiente, x más 2 por 3, es decir, 3 que multiplica a la expresión x más 2 será igual al producto de y menos 1 por 5, es decir, 5 que multiplica a y menos 1 y todo esto protegido con paréntesis. Entonces vamos a romper esos signos de agrupación aplicando la propiedad distributiva, entonces nos queda de la siguiente manera 3 por x es 3x, luego 3 por más 2 es más 6, al otro lado tenemos 5 por y que es 5y y luego 5 por menos 1 que es menos 5. Vamos a dejar al lado izquierdo los términos que contienen x y y, entonces se queda 3x, pasamos 5y que aquí está positivo, llega al otro lado con signo negativo, sería lo mismo que restar a ambos lados de la igualdad el término 5y y esto nos queda igual a menos 5, acá más 6, pasaría al otro lado como menos 6, sería lo mismo que restar a ambos lados de la igualdad la cantidad 6. Entonces esto nos queda 3x menos 5y igual a menos 5 menos 6 que es igual a menos 11. Entonces de esa manera la ecuación 1 ahora se transforma en una ecuación que vamos a llamar la número 3 y que es esta expresión 3x menos 5y todo esto igual a menos 11. Entonces hemos llevado esta expresión al modelo lineal de una ecuación, aquel que tiene un término con x, un término con y y después del signo igual el término independiente. Ahora hacemos un proceso similar con la segunda ecuación, entonces el producto de x menos 1 por 7 es decir 7 que multiplica a x menos 1 protegido con paréntesis será igual al producto de y más 3 por 2 es decir 2 que multiplica por y más 3 también protegido con paréntesis. Vamos a aplicar la propiedad distributiva para romper esos signos de agrupación. Entonces tenemos 7 por x que es 7y y 7y que es 7x, 7 por menos 1 es menos 7 esto igual a 2 por y que sería 2y y 2 por más 3 que es más 6. Vamos a dejar entonces al lado izquierdo de la igualdad los términos que tienen x y y, entonces se queda 7x, pasamos 2y que está positivo llega al otro lado con signo negativo y esto es igual a 6 positivo y pasamos este menos 7 al otro lado como más 7 entonces nos queda 7x menos 2y igual a 6 más 7 que es igual a 13. De esta manera ya tenemos una nueva ecuación la número 4 que reemplaza a la número 2 la ecuación 4 dice 7x menos 2y todo esto igual a 13. Ya hemos llevado entonces esta ecuación número 2 al modelo lineal. De esta manera hemos conformado un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 mucho más fácil de resolver que el que teníamos inicialmente. Entonces podemos escoger aquí cualquiera de los 5 métodos recordemos que son el método gráfico, el método de sustitución, el método de igualación, el método de eliminación y el de la solución por determinantes conocido como la regla de Cramer. En esta ocasión vamos a utilizar el método de igualación que consiste en despejar la misma letra en las dos ecuaciones y luego hacer la igualación de las expresiones resultantes. Vamos en este caso a despejar la letra x en las ecuaciones 3 y 4. Entonces en la ecuación número 3 comenzamos por aislar el término 3x nos queda igual a menos 11 y pasamos menos 5y al otro lado llega como más 5y. Sería lo mismo que sumar a ambos lados de esta igualdad el término 5y. Ahora vamos a despejar x para ello 3 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Sería lo mismo que si dividimos ambos lados de esta igualdad por 3. Entonces x será igual a menos 11 más 5y y todo esto sobre o dividido entre 3. De esa manera ya tenemos una expresión nueva que se etiqueta con el número 5 es el despeje de x de la ecuación número 3. Ahora vamos a realizar también el despeje de x pero en la ecuación número 4. Entonces comenzamos por aislar el término 7x nos queda igual a 13 y pasamos ese término menos 2y al otro lado llega como más 2y. Sería lo mismo que sumar a ambos lados de esta igualdad el término 2y. Ahora vamos a despejar x para ello 7 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Recordemos que es lo mismo que si dividimos ambos lados de la igualdad por 7 nos queda entonces x igual a 13 más 2y y todo esto sobre o dividido entre 7. De esa manera tenemos una nueva expresión que etiquetamos con el número 6 y que será el despeje de x en la ecuación número 4. Enseguida vamos a igualar estas dos expresiones es decir los despejes de x que acabamos de obtener. En otras palabras igualamos las expresiones 5 y 6. Entonces tenemos acá menos 11 más 5y todo esto sobre 3 igualado con esta expresión 13 más 2y y todo esto sobre 7. Tal como vimos al comienzo esto es una proporción es decir la igualdad de dos razones y allí se cumple que el producto de extremos será igual al producto de medios. En otras palabras 7 multiplicado por esto 7 por menos 11 más 5y todo esto con paréntesis será igual a 3 que multiplica con esta expresión es decir 13 más 2y. Vamos entonces a aplicar la propiedad distributiva para romper esos paréntesis estos signos de agrupación. Entonces por acá tenemos 7 por menos 11 que es menos 77 luego 7 por más 5y que será más 35y esto igual a 3 por 13 que nos da 39 y luego 3 por más 2y que es más 6y. Ahora vamos a aplicar aquí lo que se llama la transposición de términos es decir vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos que contienen la letra y acá en el lado derecho los números. Entonces en el lado izquierdo se queda 35y y pasamos este término que está positivo llega al otro lado con signo negativo llega como menos 6y luego en el lado derecho dejamos 39 y pasamos este término que está negativo llega al otro lado con signo positivo. Resolvemos en cada lado por acá 35y menos 6y nos da 29y y en el otro lado 39 más 77 nos da 116. Allí ya podemos realizar el despeje de y para ello 29 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir es lo mismo que dividir ambos lados de la igualdad por 29 entonces nos queda que y es igual a 116 sobre o dividido entre 29. Efectuando esta división obtenemos como resultado 4 y así ya tenemos el valor de la incógnita y en ese sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 entonces y será igual a 4. Una vez conocido el valor de y podemos hallar el valor de x reemplazando en cualquiera de estas cuatro expresiones pero lógicamente será más sencillo acá es decir aprovechar los despejes que ya tenemos para la variable x en las ecuaciones 5 y 6. Vamos a utilizar por ejemplo la número 6 entonces tendremos lo siguiente x será igual a 13 más 2y es decir más 2 por el valor que obtuvimos para y que es 4 y todo esto dividido entre 7. Resolvemos ahora esas operaciones. Acá en el numerador tenemos suma y multiplicación primero se hace la multiplicación es decir 2 por 4 que sería 8 nos queda 13 más 8 que es 21 y todo esto nos queda sobre 7 y efectuando esa división nos da como resultado 3 que será el valor de x para ese sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 entonces x será igual a 3. Con estos valores ya podemos dar la respuesta al problema nos decían que cuál era la fracción original y habíamos dicho que era x sobre y pero x nos dio 3 y y nos dio 4 entonces tres cuartos es la fracción buscada o la fracción original. Ahora veamos cómo resolver este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 en la calculadora Casio ClassWiz se hace de la siguiente manera presionamos el botón menú y en pantalla se observan los iconos o accesos directos a las distintas funciones de la calculadora nos movemos hacia abajo y después hacia la derecha hasta llegar al icono identificado con la letra a mayúscula el de las ecuaciones presionamos el botón igual para ingresar allí y vemos en pantalla dos opciones la primera es la de los sistemas de ecuaciones lineales que se puede resolver hasta de 4 por 4 y la segunda es la solución de ecuaciones polinómicas entonces presionamos en este caso el botón 1 para ingresar a los sistemas de ecuaciones lineales vemos que la calculadora nos pregunta ahora por el número de incógnitas como vemos tenemos 2 que son x y y entonces presionamos el botón 2 y ya tenemos en pantalla esta estructura vamos entonces a llenar los datos correspondientes a los coeficientes de x y y en cada una de las ecuaciones y también los términos independientes es decir los que están después del signo igual comenzamos entonces con 3 que es el coeficiente de x en la primera ecuación presionamos igual vamos ahora con menos 5 coeficiente de y en la primera ecuación presionamos igual y llegamos al término independiente que es menos 11 en la primera ecuación presionamos igual pasamos a la segunda ecuación coeficiente de x es 7 presionamos igual vamos ahora con el coeficiente de y que es menos 2 presionamos igual y después el término independiente que es 13 y presionamos igual de esa manera ya la calculadora ha almacenado los valores para este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 presionamos el botón igual y obtenemos en pantalla x igual a 3 el resultado que obtuvimos por acá presionamos de nuevo el botón igual y obtenemos y igual a 4 allí tenemos entonces las soluciones de ese sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 y así comprobamos que esto que hicimos manualmente es correcto Encuentra las calculadoras Casio Classwiss en tiendas Panamericana
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Vamos en este caso a despejar"}, {"start": 443.72, "end": 451.32, "text": " la letra x en las ecuaciones 3 y 4. Entonces en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3 comenzamos por"}, {"start": 451.32, "end": 460.2, "text": " aislar el t\u00e9rmino 3x nos queda igual a menos 11 y pasamos menos 5y al otro lado llega"}, {"start": 460.2, "end": 467.64, "text": " como m\u00e1s 5y. Ser\u00eda lo mismo que sumar a ambos lados de esta igualdad el t\u00e9rmino 5y."}, {"start": 467.64, "end": 473.96, "text": " Ahora vamos a despejar x para ello 3 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 473.96, "end": 480.48, "text": " Ser\u00eda lo mismo que si dividimos ambos lados de esta igualdad por 3. Entonces x ser\u00e1 igual"}, {"start": 480.48, "end": 491.14000000000004, "text": " a menos 11 m\u00e1s 5y y todo esto sobre o dividido entre 3. De esa manera ya tenemos una expresi\u00f3n"}, {"start": 491.14000000000004, "end": 499.44, "text": " nueva que se etiqueta con el n\u00famero 5 es el despeje de x de la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 499.44, "end": 505.40000000000003, "text": " Ahora vamos a realizar tambi\u00e9n el despeje de x pero en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4. Entonces"}, {"start": 505.4, "end": 514.0799999999999, "text": " comenzamos por aislar el t\u00e9rmino 7x nos queda igual a 13 y pasamos ese t\u00e9rmino menos 2y"}, {"start": 514.0799999999999, "end": 520.66, "text": " al otro lado llega como m\u00e1s 2y. Ser\u00eda lo mismo que sumar a ambos lados de esta igualdad"}, {"start": 520.66, "end": 527.24, "text": " el t\u00e9rmino 2y. Ahora vamos a despejar x para ello 7 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro"}, {"start": 527.24, "end": 533.16, "text": " lado a dividir. Recordemos que es lo mismo que si dividimos ambos lados de la igualdad"}, {"start": 533.16, "end": 543.4399999999999, "text": " por 7 nos queda entonces x igual a 13 m\u00e1s 2y y todo esto sobre o dividido entre 7. De"}, {"start": 543.4399999999999, "end": 549.64, "text": " esa manera tenemos una nueva expresi\u00f3n que etiquetamos con el n\u00famero 6 y que ser\u00e1 el"}, {"start": 549.64, "end": 557.52, "text": " despeje de x en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4. Enseguida vamos a igualar estas dos expresiones es decir"}, {"start": 557.52, "end": 564.76, "text": " los despejes de x que acabamos de obtener. En otras palabras igualamos las expresiones"}, {"start": 564.76, "end": 577.62, "text": " 5 y 6. Entonces tenemos ac\u00e1 menos 11 m\u00e1s 5y todo esto sobre 3 igualado con esta expresi\u00f3n"}, {"start": 577.62, "end": 586.9399999999999, "text": " 13 m\u00e1s 2y y todo esto sobre 7. Tal como vimos al comienzo esto es una proporci\u00f3n es decir"}, {"start": 586.94, "end": 592.8800000000001, "text": " la igualdad de dos razones y all\u00ed se cumple que el producto de extremos ser\u00e1 igual al"}, {"start": 592.8800000000001, "end": 602.84, "text": " producto de medios. En otras palabras 7 multiplicado por esto 7 por menos 11 m\u00e1s 5y todo esto con"}, {"start": 602.84, "end": 611.72, "text": " par\u00e9ntesis ser\u00e1 igual a 3 que multiplica con esta expresi\u00f3n es decir 13 m\u00e1s 2y. Vamos"}, {"start": 611.72, "end": 618.28, "text": " entonces a aplicar la propiedad distributiva para romper esos par\u00e9ntesis estos signos"}, {"start": 618.28, "end": 626.0400000000001, "text": " de agrupaci\u00f3n. Entonces por ac\u00e1 tenemos 7 por menos 11 que es menos 77 luego 7 por"}, {"start": 626.0400000000001, "end": 635.6800000000001, "text": " m\u00e1s 5y que ser\u00e1 m\u00e1s 35y esto igual a 3 por 13 que nos da 39 y luego 3 por m\u00e1s 2y que"}, {"start": 635.68, "end": 642.0, "text": " es m\u00e1s 6y. Ahora vamos a aplicar aqu\u00ed lo que se llama la transposici\u00f3n de t\u00e9rminos"}, {"start": 642.0, "end": 646.92, "text": " es decir vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos que contienen la letra"}, {"start": 646.92, "end": 655.16, "text": " y ac\u00e1 en el lado derecho los n\u00fameros. Entonces en el lado izquierdo se queda 35y y pasamos"}, {"start": 655.16, "end": 660.68, "text": " este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo llega al otro lado con signo negativo llega como menos"}, {"start": 660.68, "end": 667.0799999999999, "text": " 6y luego en el lado derecho dejamos 39 y pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo llega al"}, {"start": 667.0799999999999, "end": 676.0799999999999, "text": " otro lado con signo positivo. Resolvemos en cada lado por ac\u00e1 35y menos 6y nos da 29y"}, {"start": 676.0799999999999, "end": 685.9599999999999, "text": " y en el otro lado 39 m\u00e1s 77 nos da 116. All\u00ed ya podemos realizar el despeje de y para ello"}, {"start": 685.96, "end": 692.2, "text": " 29 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir es lo mismo que dividir ambos lados"}, {"start": 692.2, "end": 702.2800000000001, "text": " de la igualdad por 29 entonces nos queda que y es igual a 116 sobre o dividido entre 29."}, {"start": 702.2800000000001, "end": 708.52, "text": " Efectuando esta divisi\u00f3n obtenemos como resultado 4 y as\u00ed ya tenemos el valor de la inc\u00f3gnita"}, {"start": 708.52, "end": 716.8, "text": " y en ese sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 entonces y ser\u00e1 igual a 4. Una vez"}, {"start": 716.8, "end": 723.16, "text": " conocido el valor de y podemos hallar el valor de x reemplazando en cualquiera de estas cuatro"}, {"start": 723.16, "end": 729.52, "text": " expresiones pero l\u00f3gicamente ser\u00e1 m\u00e1s sencillo ac\u00e1 es decir aprovechar los despejes que"}, {"start": 729.52, "end": 736.72, "text": " ya tenemos para la variable x en las ecuaciones 5 y 6. Vamos a utilizar por ejemplo la n\u00famero"}, {"start": 736.72, "end": 746.24, "text": " 6 entonces tendremos lo siguiente x ser\u00e1 igual a 13 m\u00e1s 2y es decir m\u00e1s 2 por el"}, {"start": 746.24, "end": 754.12, "text": " valor que obtuvimos para y que es 4 y todo esto dividido entre 7. Resolvemos ahora esas"}, {"start": 754.12, "end": 760.52, "text": " operaciones. Ac\u00e1 en el numerador tenemos suma y multiplicaci\u00f3n primero se hace la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 760.52, "end": 768.16, "text": " es decir 2 por 4 que ser\u00eda 8 nos queda 13 m\u00e1s 8 que es 21 y todo esto nos queda sobre"}, {"start": 768.16, "end": 775.6, "text": " 7 y efectuando esa divisi\u00f3n nos da como resultado 3 que ser\u00e1 el valor de x para ese sistema"}, {"start": 775.6, "end": 783.56, "text": " de ecuaciones lineales de 2 por 2 entonces x ser\u00e1 igual a 3. Con estos valores ya podemos"}, {"start": 783.56, "end": 789.24, "text": " dar la respuesta al problema nos dec\u00edan que cu\u00e1l era la fracci\u00f3n original y hab\u00edamos"}, {"start": 789.24, "end": 798.32, "text": " dicho que era x sobre y pero x nos dio 3 y y nos dio 4 entonces tres cuartos es la fracci\u00f3n"}, {"start": 798.32, "end": 804.72, "text": " buscada o la fracci\u00f3n original. Ahora veamos c\u00f3mo resolver este sistema de ecuaciones"}, {"start": 804.72, "end": 811.44, "text": " lineales de 2 por 2 en la calculadora Casio ClassWiz se hace de la siguiente manera presionamos"}, {"start": 811.44, "end": 816.8, "text": " el bot\u00f3n men\u00fa y en pantalla se observan los iconos o accesos directos a las distintas"}, {"start": 816.8, "end": 822.88, "text": " funciones de la calculadora nos movemos hacia abajo y despu\u00e9s hacia la derecha hasta llegar"}, {"start": 822.88, "end": 829.12, "text": " al icono identificado con la letra a may\u00fascula el de las ecuaciones presionamos el bot\u00f3n"}, {"start": 829.12, "end": 835.12, "text": " igual para ingresar all\u00ed y vemos en pantalla dos opciones la primera es la de los sistemas"}, {"start": 835.12, "end": 841.88, "text": " de ecuaciones lineales que se puede resolver hasta de 4 por 4 y la segunda es la soluci\u00f3n"}, {"start": 841.88, "end": 847.88, "text": " de ecuaciones polin\u00f3micas entonces presionamos en este caso el bot\u00f3n 1 para ingresar a los"}, {"start": 847.88, "end": 853.4, "text": " sistemas de ecuaciones lineales vemos que la calculadora nos pregunta ahora por el n\u00famero"}, {"start": 853.4, "end": 860.28, "text": " de inc\u00f3gnitas como vemos tenemos 2 que son x y y entonces presionamos el bot\u00f3n 2 y ya"}, {"start": 860.28, "end": 866.24, "text": " tenemos en pantalla esta estructura vamos entonces a llenar los datos correspondientes"}, {"start": 866.24, "end": 873.36, "text": " a los coeficientes de x y y en cada una de las ecuaciones y tambi\u00e9n los t\u00e9rminos independientes"}, {"start": 873.36, "end": 878.88, "text": " es decir los que est\u00e1n despu\u00e9s del signo igual comenzamos entonces con 3 que es el"}, {"start": 878.88, "end": 884.78, "text": " coeficiente de x en la primera ecuaci\u00f3n presionamos igual vamos ahora con menos 5"}, {"start": 884.78, "end": 890.52, "text": " coeficiente de y en la primera ecuaci\u00f3n presionamos igual y llegamos al t\u00e9rmino independiente"}, {"start": 890.52, "end": 898.1999999999999, "text": " que es menos 11 en la primera ecuaci\u00f3n presionamos igual pasamos a la segunda ecuaci\u00f3n coeficiente"}, {"start": 898.1999999999999, "end": 905.52, "text": " de x es 7 presionamos igual vamos ahora con el coeficiente de y que es menos 2 presionamos"}, {"start": 905.52, "end": 912.24, "text": " igual y despu\u00e9s el t\u00e9rmino independiente que es 13 y presionamos igual de esa manera"}, {"start": 912.24, "end": 918.92, "text": " ya la calculadora ha almacenado los valores para este sistema de ecuaciones lineales de"}, {"start": 918.92, "end": 925.1999999999999, "text": " 2 por 2 presionamos el bot\u00f3n igual y obtenemos en pantalla x igual a 3 el resultado que"}, {"start": 925.1999999999999, "end": 931.52, "text": " obtuvimos por ac\u00e1 presionamos de nuevo el bot\u00f3n igual y obtenemos y igual a 4 all\u00ed"}, {"start": 931.52, "end": 939.0, "text": " tenemos entonces las soluciones de ese sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 y as\u00ed comprobamos"}, {"start": 939.0, "end": 942.1999999999999, "text": " que esto que hicimos manualmente es correcto"}, {"start": 942.2, "end": 950.76, "text": " Encuentra las calculadoras Casio Classwiss en tiendas Panamericana"}]