ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 9
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos.

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 Vamos a resolver esta ecuación que como vemos contiene logaritmos. El objetivo será encontrar el valor de la variable X que hace verdadera esa igualdad. Comenzamos por pasar este logaritmo al lado izquierdo. Vamos a dejar todos los logaritmos que tenemos en esta expresión a un lado de la igualdad. Tenemos logaritmo base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo base 3 de 5X más 2 y esta expresión que está positiva llega negativa al lado izquierdo. Entonces menos logaritmo en base 3 de X menos 2 y todo esto igual a menos 2. Dejamos este número en el lado derecho. Enseguida vamos a agrupar estos dos logaritmos que están con signo negativo. Esto se hace de la siguiente manera. Después del signo menos abrimos un corchete y dentro de él nos queda logaritmo en base 3 de 5X más 2 más, nos cambia este signo logaritmo en base 3 de X menos 2, cerramos el corchete y todo esto queda igual a 2. Enseguida vamos a utilizar aquí en esta suma de logaritmos la siguiente propiedad. Si tenemos logaritmo en base A de un producto M por N, entonces esto es igual a logaritmo en base A de M más logaritmo en base A de N. En otras palabras, el logaritmo de un producto se convierte en la suma de los logaritmos de estas dos cantidades. Entonces esa situación la tenemos aquí. Tenemos la suma de logaritmos, entonces la vamos a transformar en el logaritmo de la multiplicación de estas dos expresiones. Entonces, logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de 5X más 2 por X menos 2. Cerramos el corchete, entonces hemos aplicado esta propiedad y todo esto igual a menos 2. Siguiente paso, vamos a resolver esta multiplicación de binomios. Entonces esto nos queda logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de lo siguiente. Veamos, hacemos la propiedad distributiva 5X por X, eso nos da 5X al cuadrado, después hacemos 5X por menos 2, eso nos da menos 10X. Luego multiplicamos 2 por X, eso nos da más 2X y finalmente 2 por menos 2, que nos da menos 4. Cerramos el corchete y hacemos eso igual a menos 2. Como paso siguiente, vamos a reducir términos semejantes en esta expresión. Entonces tenemos logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de 5X al cuadrado, que no tiene términos semejantes. Estos dos si son términos semejantes, la operación entre ellos nos da menos 8X, escribimos menos 4, cerramos el paréntesis y todo eso lo igualamos a menos 2. Hemos llegado a una resta de logaritmos, entonces vamos a utilizar la siguiente propiedad, si tenemos logaritmo en base A de un cociente P sobre Q, entonces esto es igual a logaritmo en base A de P menos logaritmo en base A de Q. Entonces el logaritmo de un cociente se convierte en una resta de logaritmos. Aquí tenemos la resta de logaritmos, entonces vamos a transformarla en el logaritmo de un cociente. Tendremos logaritmo en base 3 de 2X menos 1 y todo esto sobre esta expresión. 5X al cuadrado menos 8X menos 4, cerramos el paréntesis e igualamos a menos 2, entonces hemos utilizado esta propiedad. Ahora vamos a pasar de la forma logaritmica a la forma exponencial, veamos como se hace. Si tenemos que logaritmo en base A de una cantidad B es igual a C, entonces esto quiere decir que A elevada al exponente C tiene que ser igual a B, forma logaritmica forma exponencial, esto es de doble vía, podemos pasar de una forma a la otra o regresar. Entonces en este caso tenemos que 3 elevado al exponente menos 2 tiene que ser igual a esta expresión. Entonces la vamos a escribir 2X menos 1 sobre 5X al cuadrado menos 8X menos 4. Ahora vamos a transformar 3 a la menos 2, allí utilizamos esta propiedad de la potenciación. Si tenemos X a la menos N eso es igual a 1 sobre X a la N, propiedad del exponente negativo. Entonces 3 a la menos 2 será igual a 1 sobre 3 a la 2, es decir 1 sobre 9 desarrollando 3 al cuadrado. Entonces sustituimos 3 a la menos 2 por un noveno y todo esto nos queda igual a esa expresión. Para esta situación aplicamos lo siguiente, si tenemos la igualdad de dos fracciones entonces se cumple que el producto A por D es igual al producto B por C. Esto es lo que se conoce en matemáticas como una proporción, la igualdad de dos razones. Estos dos elementos se llaman extremos y estos dos se llaman medios. Entonces dice la propiedad fundamental de las proporciones que el producto de los extremos, o sea A por D, es igual al producto de los medios, o sea B por C. Vamos a utilizar esta propiedad para esta situación, producto de extremos 1 por todo esto, menos 8X menos 4 es igual al producto de los medios 9 por 2X menos 1. Resolvemos en cada lado, aquí tenemos la misma expresión, 5X al cuadrado menos 8X menos 4 y aquí aplicamos la propiedad distributiva, 9 por 2X nos da 18X, 9 por menos 1 nos da menos 9. Y esto toma la forma de una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Vamos a pasar estos términos para el lado izquierdo de modo que la ecuación nos quede igualada a 0. Entonces tenemos 5X al cuadrado menos 8X menos 4 pasa a este término negativo, menos 18X y este pasa positivo y todo esto queda igual a 0. Reducimos términos semejantes, 5X al cuadrado es término único, no tiene semejante. Entonces tenemos estos dos términos que se pueden operar entre sí, nos da menos 26X y tenemos los números que están libres, o sea los términos independientes cuya operación nos da más 5 y esto es igual a 0. Como decíamos hace un momento, esto es una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Esa forma, aX al cuadrado más bX más c igual a 0. Y tenemos la opción de resolverla por factorización o también por la fórmula cuadrática o fórmula general. Vamos a resolverla en esta ocasión utilizando la fórmula cuadrática o general. Recordemos que ella nos dice que X es igual a menos b más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac, todo esto sobre 2a. Identificamos los valores de a, b y c. Tenemos que a es igual a 5, el coeficiente de X al cuadrado, b es igual a menos 26, o sea el coeficiente de X y c vale 5, o sea el término independiente. Vamos a reemplazar cada uno de esos valores en la fórmula cuadrática o fórmula general. Comenzamos con b que vale menos 26, se recomienda usar paréntesis para reemplazar cada número, más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, entonces menos 26 al cuadrado menos 4 por a que vale 5, por c que vale también 5. Cerramos la raíz cuadrada, extendemos esta línea y aquí en el denominador tenemos 2 por a y tenemos que a vale 5. Resolvemos cada una de esas operaciones, entonces tenemos 26 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 26 al cuadrado que nos da 676, menos 4 por 5 por 5, eso nos da 100. Cerramos la raíz cuadrada y todo esto nos queda sobre 2 por 5 que es 10. Resolvemos ahora lo que tenemos dentro de la raíz, entonces X es igual a 26, más o menos la raíz cuadrada de 576 y todo esto sobre 10. Ahora resolvemos la raíz cuadrada de 576 que es 24, entonces tendremos 26, más o menos 24 y todo esto sobre 10. Y allí tenemos dos posibilidades para encontrar X, la primera será 26 menos 24, todo esto sobre 10 y la segunda será X igual a 26 más 24, todo esto sobre 10. Vamos a resolver cada una, por acá tenemos que X es igual a 2 sobre 10, dos décimos que nos da como resultado la fracción un quinto, sacando mitad al numerador y al denominador. Entonces tenemos una solución para la ecuación cuadrática, por acá resolvemos X es igual a 26 más 24 que nos da 50 y nos queda 50 sobre 10 que es X igual a 5. Entonces estas dos son las soluciones de la ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Pero aquí no termina todo, debemos tener presente que el ejercicio original es una ecuación con logaritmos, entonces debemos asegurarnos que estos valores satisfagan la ecuación original. Principalmente debemos garantizar que estas expresiones que tenemos en cada uno de los logaritmos no vayan a ser negativas ni cero. Recordemos que los logaritmos únicamente existen para cantidades positivas. Entonces vamos a realizar la prueba con un quinto, un quinto en número decimal equivale a 0.2, entonces veamos aquí, si traemos ese resultado para X tenemos 2 por 0.2 que es 0.4 y 0.4 menos 1 allí nos da menos 0.6. Entonces ya en el primer logaritmo tenemos una cantidad aquí negativa por lo tanto este resultado no podemos aceptarlo porque entorpece este logaritmo y con seguridad tendrá problemas en alguno de los demás como por ejemplo aquí. Aquí 0.2 menos 2 también tiene problemas porque da un resultado negativo. Verificamos entonces con 5, veamos 2 por 5 es 10, 10 menos 1 es 9 da positivo, 5 por 5 es 25, 25 más 2 da 27 da positivo y aquí 5 menos 2 nos da 3 positivo. Entonces este valor si cumple en la ecuación original. Luego la respuesta a todo este ejercicio es X igual a 5, es el valor de la variable X que hace verdadera toda esa igualdad.
[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que como vemos contiene logaritmos."}, {"start": 7.0, "end": 15.0, "text": " El objetivo ser\u00e1 encontrar el valor de la variable X que hace verdadera esa igualdad."}, {"start": 15.0, "end": 19.0, "text": " Comenzamos por pasar este logaritmo al lado izquierdo."}, {"start": 19.0, "end": 26.0, "text": " Vamos a dejar todos los logaritmos que tenemos en esta expresi\u00f3n a un lado de la igualdad."}, {"start": 26.0, "end": 39.0, "text": " Tenemos logaritmo base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo base 3 de 5X m\u00e1s 2"}, {"start": 39.0, "end": 45.0, "text": " y esta expresi\u00f3n que est\u00e1 positiva llega negativa al lado izquierdo."}, {"start": 45.0, "end": 53.0, "text": " Entonces menos logaritmo en base 3 de X menos 2 y todo esto igual a menos 2."}, {"start": 53.0, "end": 57.0, "text": " Dejamos este n\u00famero en el lado derecho."}, {"start": 57.0, "end": 63.0, "text": " Enseguida vamos a agrupar estos dos logaritmos que est\u00e1n con signo negativo."}, {"start": 63.0, "end": 69.0, "text": " Esto se hace de la siguiente manera."}, {"start": 69.0, "end": 79.0, "text": " Despu\u00e9s del signo menos abrimos un corchete y dentro de \u00e9l nos queda logaritmo en base 3 de 5X m\u00e1s 2"}, {"start": 79.0, "end": 94.0, "text": " m\u00e1s, nos cambia este signo logaritmo en base 3 de X menos 2, cerramos el corchete y todo esto queda igual a 2."}, {"start": 94.0, "end": 101.0, "text": " Enseguida vamos a utilizar aqu\u00ed en esta suma de logaritmos la siguiente propiedad."}, {"start": 101.0, "end": 119.0, "text": " Si tenemos logaritmo en base A de un producto M por N, entonces esto es igual a logaritmo en base A de M m\u00e1s logaritmo en base A de N."}, {"start": 119.0, "end": 129.0, "text": " En otras palabras, el logaritmo de un producto se convierte en la suma de los logaritmos de estas dos cantidades."}, {"start": 129.0, "end": 141.0, "text": " Entonces esa situaci\u00f3n la tenemos aqu\u00ed. Tenemos la suma de logaritmos, entonces la vamos a transformar en el logaritmo de la multiplicaci\u00f3n de estas dos expresiones."}, {"start": 141.0, "end": 161.0, "text": " Entonces, logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de 5X m\u00e1s 2 por X menos 2."}, {"start": 161.0, "end": 170.0, "text": " Cerramos el corchete, entonces hemos aplicado esta propiedad y todo esto igual a menos 2."}, {"start": 170.0, "end": 175.0, "text": " Siguiente paso, vamos a resolver esta multiplicaci\u00f3n de binomios."}, {"start": 175.0, "end": 187.0, "text": " Entonces esto nos queda logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de lo siguiente."}, {"start": 187.0, "end": 204.0, "text": " Veamos, hacemos la propiedad distributiva 5X por X, eso nos da 5X al cuadrado, despu\u00e9s hacemos 5X por menos 2, eso nos da menos 10X."}, {"start": 204.0, "end": 220.0, "text": " Luego multiplicamos 2 por X, eso nos da m\u00e1s 2X y finalmente 2 por menos 2, que nos da menos 4."}, {"start": 220.0, "end": 227.0, "text": " Cerramos el corchete y hacemos eso igual a menos 2."}, {"start": 227.0, "end": 234.0, "text": " Como paso siguiente, vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 234.0, "end": 251.0, "text": " Entonces tenemos logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de 5X al cuadrado, que no tiene t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 251.0, "end": 269.0, "text": " Estos dos si son t\u00e9rminos semejantes, la operaci\u00f3n entre ellos nos da menos 8X, escribimos menos 4, cerramos el par\u00e9ntesis y todo eso lo igualamos a menos 2."}, {"start": 269.0, "end": 282.0, "text": " Hemos llegado a una resta de logaritmos, entonces vamos a utilizar la siguiente propiedad, si tenemos logaritmo en base A de un cociente P sobre Q,"}, {"start": 282.0, "end": 299.0, "text": " entonces esto es igual a logaritmo en base A de P menos logaritmo en base A de Q. Entonces el logaritmo de un cociente se convierte en una resta de logaritmos."}, {"start": 299.0, "end": 318.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la resta de logaritmos, entonces vamos a transformarla en el logaritmo de un cociente. Tendremos logaritmo en base 3 de 2X menos 1 y todo esto sobre esta expresi\u00f3n."}, {"start": 318.0, "end": 330.0, "text": " 5X al cuadrado menos 8X menos 4, cerramos el par\u00e9ntesis e igualamos a menos 2, entonces hemos utilizado esta propiedad."}, {"start": 330.0, "end": 339.0, "text": " Ahora vamos a pasar de la forma logaritmica a la forma exponencial, veamos como se hace."}, {"start": 339.0, "end": 354.0, "text": " Si tenemos que logaritmo en base A de una cantidad B es igual a C, entonces esto quiere decir que A elevada al exponente C tiene que ser igual a B,"}, {"start": 354.0, "end": 364.0, "text": " forma logaritmica forma exponencial, esto es de doble v\u00eda, podemos pasar de una forma a la otra o regresar."}, {"start": 364.0, "end": 376.0, "text": " Entonces en este caso tenemos que 3 elevado al exponente menos 2 tiene que ser igual a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 376.0, "end": 387.0, "text": " Entonces la vamos a escribir 2X menos 1 sobre 5X al cuadrado menos 8X menos 4."}, {"start": 387.0, "end": 395.0, "text": " Ahora vamos a transformar 3 a la menos 2, all\u00ed utilizamos esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 395.0, "end": 404.0, "text": " Si tenemos X a la menos N eso es igual a 1 sobre X a la N, propiedad del exponente negativo."}, {"start": 404.0, "end": 416.0, "text": " Entonces 3 a la menos 2 ser\u00e1 igual a 1 sobre 3 a la 2, es decir 1 sobre 9 desarrollando 3 al cuadrado."}, {"start": 416.0, "end": 434.0, "text": " Entonces sustituimos 3 a la menos 2 por un noveno y todo esto nos queda igual a esa expresi\u00f3n."}, {"start": 434.0, "end": 451.0, "text": " Para esta situaci\u00f3n aplicamos lo siguiente, si tenemos la igualdad de dos fracciones entonces se cumple que el producto A por D es igual al producto B por C."}, {"start": 451.0, "end": 459.0, "text": " Esto es lo que se conoce en matem\u00e1ticas como una proporci\u00f3n, la igualdad de dos razones."}, {"start": 459.0, "end": 464.0, "text": " Estos dos elementos se llaman extremos y estos dos se llaman medios."}, {"start": 464.0, "end": 476.0, "text": " Entonces dice la propiedad fundamental de las proporciones que el producto de los extremos, o sea A por D, es igual al producto de los medios, o sea B por C."}, {"start": 476.0, "end": 499.0, "text": " Vamos a utilizar esta propiedad para esta situaci\u00f3n, producto de extremos 1 por todo esto, menos 8X menos 4 es igual al producto de los medios 9 por 2X menos 1."}, {"start": 499.0, "end": 518.0, "text": " Resolvemos en cada lado, aqu\u00ed tenemos la misma expresi\u00f3n, 5X al cuadrado menos 8X menos 4 y aqu\u00ed aplicamos la propiedad distributiva, 9 por 2X nos da 18X, 9 por menos 1 nos da menos 9."}, {"start": 518.0, "end": 525.0, "text": " Y esto toma la forma de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 525.0, "end": 532.0, "text": " Vamos a pasar estos t\u00e9rminos para el lado izquierdo de modo que la ecuaci\u00f3n nos quede igualada a 0."}, {"start": 532.0, "end": 545.0, "text": " Entonces tenemos 5X al cuadrado menos 8X menos 4 pasa a este t\u00e9rmino negativo, menos 18X y este pasa positivo y todo esto queda igual a 0."}, {"start": 545.0, "end": 553.0, "text": " Reducimos t\u00e9rminos semejantes, 5X al cuadrado es t\u00e9rmino \u00fanico, no tiene semejante."}, {"start": 553.0, "end": 565.0, "text": " Entonces tenemos estos dos t\u00e9rminos que se pueden operar entre s\u00ed, nos da menos 26X y tenemos los n\u00fameros que est\u00e1n libres,"}, {"start": 565.0, "end": 573.0, "text": " o sea los t\u00e9rminos independientes cuya operaci\u00f3n nos da m\u00e1s 5 y esto es igual a 0."}, {"start": 573.0, "end": 581.0, "text": " Como dec\u00edamos hace un momento, esto es una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 581.0, "end": 588.0, "text": " Esa forma, aX al cuadrado m\u00e1s bX m\u00e1s c igual a 0."}, {"start": 588.0, "end": 598.0, "text": " Y tenemos la opci\u00f3n de resolverla por factorizaci\u00f3n o tambi\u00e9n por la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 598.0, "end": 605.0, "text": " Vamos a resolverla en esta ocasi\u00f3n utilizando la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o general."}, {"start": 605.0, "end": 627.0, "text": " Recordemos que ella nos dice que X es igual a menos b m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac, todo esto sobre 2a."}, {"start": 627.0, "end": 641.0, "text": " Identificamos los valores de a, b y c. Tenemos que a es igual a 5, el coeficiente de X al cuadrado, b es igual a menos 26,"}, {"start": 641.0, "end": 649.0, "text": " o sea el coeficiente de X y c vale 5, o sea el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 649.0, "end": 657.0, "text": " Vamos a reemplazar cada uno de esos valores en la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 657.0, "end": 682.0, "text": " Comenzamos con b que vale menos 26, se recomienda usar par\u00e9ntesis para reemplazar cada n\u00famero, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de b al cuadrado, entonces menos 26 al cuadrado menos 4 por a que vale 5, por c que vale tambi\u00e9n 5."}, {"start": 682.0, "end": 696.0, "text": " Cerramos la ra\u00edz cuadrada, extendemos esta l\u00ednea y aqu\u00ed en el denominador tenemos 2 por a y tenemos que a vale 5."}, {"start": 696.0, "end": 717.0, "text": " Resolvemos cada una de esas operaciones, entonces tenemos 26 positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 26 al cuadrado que nos da 676, menos 4 por 5 por 5, eso nos da 100."}, {"start": 717.0, "end": 728.0, "text": " Cerramos la ra\u00edz cuadrada y todo esto nos queda sobre 2 por 5 que es 10."}, {"start": 728.0, "end": 749.0, "text": " Resolvemos ahora lo que tenemos dentro de la ra\u00edz, entonces X es igual a 26, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 576 y todo esto sobre 10."}, {"start": 749.0, "end": 767.0, "text": " Ahora resolvemos la ra\u00edz cuadrada de 576 que es 24, entonces tendremos 26, m\u00e1s o menos 24 y todo esto sobre 10."}, {"start": 767.0, "end": 789.0, "text": " Y all\u00ed tenemos dos posibilidades para encontrar X, la primera ser\u00e1 26 menos 24, todo esto sobre 10 y la segunda ser\u00e1 X igual a 26 m\u00e1s 24, todo esto sobre 10."}, {"start": 789.0, "end": 805.0, "text": " Vamos a resolver cada una, por ac\u00e1 tenemos que X es igual a 2 sobre 10, dos d\u00e9cimos que nos da como resultado la fracci\u00f3n un quinto, sacando mitad al numerador y al denominador."}, {"start": 805.0, "end": 826.0, "text": " Entonces tenemos una soluci\u00f3n para la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, por ac\u00e1 resolvemos X es igual a 26 m\u00e1s 24 que nos da 50 y nos queda 50 sobre 10 que es X igual a 5."}, {"start": 826.0, "end": 835.0, "text": " Entonces estas dos son las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 835.0, "end": 852.0, "text": " Pero aqu\u00ed no termina todo, debemos tener presente que el ejercicio original es una ecuaci\u00f3n con logaritmos, entonces debemos asegurarnos que estos valores satisfagan la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 852.0, "end": 864.0, "text": " Principalmente debemos garantizar que estas expresiones que tenemos en cada uno de los logaritmos no vayan a ser negativas ni cero."}, {"start": 864.0, "end": 870.0, "text": " Recordemos que los logaritmos \u00fanicamente existen para cantidades positivas."}, {"start": 870.0, "end": 890.0, "text": " Entonces vamos a realizar la prueba con un quinto, un quinto en n\u00famero decimal equivale a 0.2, entonces veamos aqu\u00ed, si traemos ese resultado para X tenemos 2 por 0.2 que es 0.4 y 0.4 menos 1 all\u00ed nos da menos 0.6."}, {"start": 890.0, "end": 908.0, "text": " Entonces ya en el primer logaritmo tenemos una cantidad aqu\u00ed negativa por lo tanto este resultado no podemos aceptarlo porque entorpece este logaritmo y con seguridad tendr\u00e1 problemas en alguno de los dem\u00e1s como por ejemplo aqu\u00ed."}, {"start": 908.0, "end": 915.0, "text": " Aqu\u00ed 0.2 menos 2 tambi\u00e9n tiene problemas porque da un resultado negativo."}, {"start": 915.0, "end": 931.0, "text": " Verificamos entonces con 5, veamos 2 por 5 es 10, 10 menos 1 es 9 da positivo, 5 por 5 es 25, 25 m\u00e1s 2 da 27 da positivo y aqu\u00ed 5 menos 2 nos da 3 positivo."}, {"start": 931.0, "end": 937.0, "text": " Entonces este valor si cumple en la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 937.0, "end": 953.0, "text": " Luego la respuesta a todo este ejercicio es X igual a 5, es el valor de la variable X que hace verdadera toda esa igualdad."}]