INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 12
#julioprofe explica cómo resolver una integral por el Método de Sustitución.

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 Vamos a realizar esta integral por el método de sustitución, ya que por integración directa no es posible realizarla. Comenzaríamos por reescribir x al cubo como x por x al cuadrado por x al cuadrado más 1 elevado al exponente 8 con su diferencial de x. Entonces la sustitución que vamos a utilizar será cambiar esto, x al cuadrado más 1 por ser la base de la potencia más importante, lo que está elevado al exponente 8. Entonces vamos a llamarlo p, p sería igual a x al cuadrado más 1, tenemos entonces lo que vamos a sustituir y esto vamos a derivarlo. Entonces decimos derivada de p con respecto a x será igual a 2x, si la derivada de x al cuadrado más 1 es 2x. Y de aquí vamos a despejar de x, si despejamos de x nos queda de p sobre 2x, encerramos esto que lo vamos a necesitar más adelante. Y también vamos a despejar lo que es x al cuadrado de esta expresión, para reemplazar este x al cuadrado que nos queda por aquí solo, vamos a despejarlo de aquí. Entonces tenemos que x al cuadrado será igual a, pasamos este 1 a restar a este lado y nos queda p menos 1. Entonces allí tenemos el despeje de x al cuadrado. Entonces con estas tres expresiones vamos a reconstruir nuestra integral. Nos queda entonces así, integral de esta x la dejamos quieta, si en realidad esa x no tiene reemplazo por acá. Entonces x al cuadrado vamos a sustituirla por p menos 1, la escribimos en un paréntesis, por x al cuadrado más 1 que lo tenemos aquí y es p, queda elevado al exponente 8 por dx, aquí tenemos dx que sería dp sobre 2x. Allí hemos entonces reconstruido nuestra integral en términos de lo que teníamos por acá. Vamos a escribir por acá el equivalente de p, p es igual a x al cuadrado más 1, porque esto lo vamos a necesitar más adelante, cuando ya tengamos el resultado de esa integral. Vamos entonces a borrar esta parte para que hagamos el desarrollo de esa integral. Veamos lo siguiente, x se puede cancelar, esta x de aquí se puede ir con esta de acá y podríamos sacar este 2. Este 2 queda por fuera de la integral como un medio por estar situado en el denominador, sale un medio a multiplicar fuera de la integral y nos queda dentro de ella p menos 1 por p a la 8 con su respectivo diferencial de p. A continuación vamos a realizar la propiedad distributiva, vamos a multiplicar p a la 8 por estos dos términos que tenemos aquí y nos queda lo siguiente, integral de p a la 9 menos p a la 8, eso por dp. Y hemos llegado a una integral directa, una integral que se puede resolver de una sola vez porque tenemos dos términos fácilmente integrables y que se encuentran restando. Entonces abrimos un paréntesis, integral de p a la 9 sería p a la 10 sobre 10 menos la integral de p a la 8 que sería p a la 9 sobre 9. Cerramos el paréntesis y aparece por primera vez la constante de integración. Podríamos hacer propiedad distributiva con un medio, entra a multiplicar los dos términos y nos queda entonces p a la 10 sobre 20 menos aquí quedaría p a la 9 sobre 18. Y todo esto más la constante de integración. Finalmente lo que tenemos que hacer es cambiar p por su equivalente, si no podemos dejar nuestra respuesta en términos de p. Debemos cambiar p por su equivalente original que es x al cuadrado más 1, entonces hacemos la sustitución, x al cuadrado más 1 a la 10 sobre 20 menos x al cuadrado más 1 a la 9 sobre 18. Y todo esto más la constante de integración. De esta manera hemos encontrado la respuesta al ejercicio.
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