48. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS (Ejercicio 4)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 48: Movimientos Rectilíneos (Ejercicio 4).

Cuando la luz del semáforo cambia a verde, un motociclista inicia su marcha con aceleración constante de 2 m/s². Justo en ese momento, un camión que marcha con velocidad constante de 15 m/s pasa al motociclista.
a) ¿A qué distancia del semáforo el motociclista alcanza al camión?
b) ¿Qué velocidad (en km/h) tendrá el motociclista en ese instante?

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema vamos a considerar como sistema de referencia el eje X en metros. Vamos a trabajar sobre esa recta los movimientos de los dos vehículos. Entonces vamos a establecer como origen el sitio donde se encuentra el semáforo porque es allí donde empiezan a moverse la motocicleta y el camión. Vamos a considerar los dos vehículos como objetos puntuales. Este punto rojo representa la motocicleta en el punto de partida y este punto azul representa el camión. Ambos parten del origen. Para la motocicleta tenemos un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Veamos los datos. Se mueve con aceleración igual a 2 metros sobre segundo cuadrado. Parte del reposo es decir su velocidad inicial es cero y su posición inicial es decir en el tiempo cero vale cero. Si porque parte del origen. Entonces vamos a conformar la ecuación de posición para la motocicleta. Tomamos este modelo y vamos a escribirla así. Xm es decir posición de la motocicleta es igual a un medio por la aceleración que es 2 por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial es cero más la posición inicial que también vale cero. Simplificando todo esto nos queda que la posición de la motocicleta es igual a t al cuadrado. Si tenemos que esto se va y aquí un medio por 2 nos da 1. Por lo tanto tenemos esta primera expresión que es la posición de la motocicleta. Si derivamos esta ecuación es decir derivamos la posición de la motocicleta con respecto al tiempo vamos a obtener la expresión para la velocidad de la motocicleta. Recordemos que la velocidad es la derivada de la posición por lo tanto la velocidad de la motocicleta será igual a la derivada de t al cuadrado que es 2t y tenemos la expresión número 2. La expresión para la velocidad de la motocicleta en cualquier instante. Escribimos estas dos expresiones por acá y vamos ahora con el camión. Para el camión tenemos un movimiento rectilíneo uniforme. El se está moviendo con una velocidad constante de 15 metros por segundo. Por lo tanto su ecuación de posición sigue este modelo. Vamos a reemplazar entonces. Vamos a llamar xc la posición del camión. Su velocidad es 15 positiva porque va hacia la derecha por t más la posición inicial del camión es decir 0. Así la que tiene en el instante t igual a 0. Todo esto es lo que ocurre al inicio del movimiento es decir en t igual a 0. Tenemos entonces posición del camión igual a 15t y esta se convierte en la expresión número 3. La escribimos por acá y a continuación vamos a mirar lo siguiente. Los dos móviles parten del mismo sitio el camión se le adelanta a la motocicleta. Es decir digamos que en un instante posterior a 0 el camión va por aquí y la motocicleta va un poco más atrás mientras ella empieza a ganar velocidad. Pero como la motocicleta presenta movimiento rectilíneo uniformemente acelerada va a llegar un momento en que alcanza nuevamente al camión y eso es lo que queremos determinar. Donde ocurre ese encuentro es decir cuál sería el valor de esta posición donde se presenta el encuentro de los dos móviles. Entonces el encuentro ocurre cuando la posición de la motocicleta sea igual a la posición del camión. Entonces vamos a sustituir ambas variables por sus expresiones equivalentes. xm vale t cuadrado y xc vale 15t y se nos forma una ecuación cuadrática. Vamos a resolverla igualándola a 0. Pasamos este término para la izquierda sigamos por acá. Esto lo podemos resolver por factorización sacamos factor como un t que es factor de t menos 15 y todo esto igual a 0. Y aquí aplicamos el teorema del factor nulo si dos expresiones se están multiplicando y eso está igualado a 0 cada una de ellas se debe igualar a 0. Entonces tenemos t igual a 0 o t menos 15 igual a 0. Por aquí despejamos t y nos da 15. Como es un tiempo va en segundos. Entonces tenemos dos soluciones para la ecuación cuadrática t igual a 0 que es el momento donde coinciden los dos móviles es decir al inicio y t igual a 15 segundos que es aquí. Es decir el encuentro ocurre a los 15 segundos de haberse iniciado el movimiento. Para determinar entonces la posición donde se encuentran los dos móviles es decir donde el motociclista alcanza al camión. Entonces simplemente reemplazamos t igual a 15 en cualquiera de las dos expresiones que tenemos para la posición de los vehículos. Vamos a reemplazarlo en la primera ecuación. Calculamos xm cuando t vale 15 entonces nos queda 15 al cuadrado y eso nos da 225 metros. Entonces respondemos de esta manera la pregunta A. El motociclista alcanza al camión 225 metros más adelante del semáforo. En la parte B nos preguntan que velocidad tiene el motociclista en este instante. Es decir vamos a utilizar esta ecuación. Entonces en la expresión 2 calculamos la velocidad del motociclista cuando t es igual a 15 nos queda 2 por 15 y eso nos da 30 en unidades metros por segundo. Pero el problema nos pregunta esta velocidad en kilómetros por hora. Entonces hacemos la conversión de metros a kilómetros y de segundos a horas. Un kilómetro tiene 1000 metros y una hora son 3600 segundos. Allí podemos deshacernos de los segundos y de los metros. Efectuando la operación numérica es decir 30 por 3600 dividido entre 1000. Todo eso nos da como resultado 108 y queda en kilómetros por hora. Entonces esta es la respuesta a la pregunta B y es la velocidad de la motocicleta en este instante es decir cuando alcanza al camión. Como anterior podríamos llevarlo a una gráfica posición contra tiempo. Posición en metros tiempo en segundos y vemos en color rojo la gráfica de posición de la motocicleta. Es una función cuadrática porque te está al cuadrado por lo tanto su gráfica es una paraula que es cóncava hacia arriba. Eso nos indica que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Allí vemos los puntos cuando te vale 0, cuando te vale 5, cuando te vale 25, cuando te vale 10, cuando te vale 100, cuando te vale 15, cuando te vale 225 y allí tenemos la parábola en color rojo. De manera similar hacemos la gráfica de la posición del camión que es una línea recta. Si cuando te vale 0, cuando te vale 5, cuando te vale 10 nos queda 150 y cuando te vale 15 nos da 225. Por lo tanto se aprecia claramente el momento del encuentro de los dos móviles que ocurre a los 15 segundos y en la posición 225, es decir 225 metros más adelante de la posición 0 que fue el punto de partida, es decir donde estaba el semáforo.
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pregunta B y es la velocidad de la motocicleta en este"}, {"start": 492.28, "end": 496.2, "text": " instante es decir cuando alcanza al cami\u00f3n."}, {"start": 496.2, "end": 502.08, "text": " Como anterior podr\u00edamos llevarlo a una gr\u00e1fica posici\u00f3n contra tiempo."}, {"start": 502.08, "end": 508.59999999999997, "text": " Posici\u00f3n en metros tiempo en segundos y vemos en color rojo la gr\u00e1fica de posici\u00f3n de"}, {"start": 508.59999999999997, "end": 509.96, "text": " la motocicleta."}, {"start": 509.96, "end": 515.0, "text": " Es una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica porque te est\u00e1 al cuadrado por lo tanto su gr\u00e1fica es una"}, {"start": 515.0, "end": 518.92, "text": " paraula que es c\u00f3ncava hacia arriba."}, {"start": 518.92, "end": 524.48, "text": " Eso nos indica que se trata de un movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado."}, {"start": 524.48, "end": 532.28, "text": " All\u00ed vemos los puntos cuando te vale 0, cuando te vale 5, cuando te 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