INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 14
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida usando el Método de Sustitución y una estrategia especial.

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 Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de sustitución o cambio de variable. Vamos a recurrir a este método porque esta es una integral que no es directa, no va a salir por las reglas básicas de integración. Entonces vamos a tomar el denominador y lo vamos a sustituir por otra letra, por ejemplo usamos la letra P. P es igual a X más 6. Entonces derivamos P con respecto a X, la derivada de X más 6 nos da 1 y de aquí vamos a despejar de X. Dx está dividiendo pasa a multiplicar con 1, entonces nos queda Dx igual a Dp. Procedemos entonces a reconstruir la integral que nos dan ahora en términos de la nueva letra que es P. Tendremos entonces lo siguiente, en el numerador debe quedar nuevamente 3x, en el denominador tenemos X más 6 que se convierte en la letra P y esto ha multiplicado por Dx que sería Dp. Pero aquí tenemos un pequeño problema y es que la nueva integral no queda totalmente en términos de P, sino que tenemos la letra X todavía presente en el integrano. Entonces debemos dar solución a ese problema para que nos quede únicamente en términos de P. No debe quedar la letra X puesto que esa es la letra original y debemos darle paso a la nueva letra elegida que es la letra P. Lo que hacemos en este caso es recurrir a esta igualdad que tenemos y de allí vamos a despejar la X. Hacemos el despeje de X para que nos quede en términos de P. Pasamos el 6 que está sumando al otro lado a restar y nos queda que X es igual a P menos 6. Entonces hacemos aquí la sustitución de esa X por P menos 6 y de esa manera conseguimos que la integral nos quede únicamente en términos de P. Entonces nos queda 3 por P menos 6, todo esto sobre P y esto multiplicado por el diferencial Dp. Continuando con el desarrollo de la integral, hacemos entonces la propiedad distributiva con el 3. Nos queda entonces 3P menos 18, todo esto sobre P y esto por el diferencial Dp. Ahora podemos distribuir este denominador, esa letra P, para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces repartimos la letra P y aquí podemos simplificar estas dos letras P, nos queda el número 3 menos 18 y podemos subir la P que nos queda con exponente menos 1, todo esto por Dp. Llegamos entonces a una integral que es directa, tenemos una resta, por lo tanto, integramos cada uno de los términos. Tenemos entonces que la integral de 3 es 3P y la integral del otro término nos queda 18, que permanece intacto, y la integral de P a la menos 1, que sería el logaritmo natural de valor absoluto de P, y a todo esto agregamos la constante de integración. De esta manera resolveríamos la integral que nos quedó en términos de P, pero recordemos que P equivale a X más 6. Entonces aquí donde tenemos P, debemos cambiarla por la expresión X más 6 para dar la respuesta a la integral original. Nos queda entonces 3 por P que se convierte en X más 6 menos 18 por logaritmo natural de valor absoluto de P que es X más 6, cerramos el valor absoluto y eso más la constante de integración. De esta manera llegamos a la respuesta de este ejercicio. Esta será entonces la antiderivada o el resultado de esa integral indefinida.
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