LÍMITES AL INFINITO (Ejercicios 1 - 4)
#julioprofe explica qué son límites al infinito (o en el infinito) y cómo calcularlos en cuatro situaciones.

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 Los límites al infinito, conocidos también como límites en el infinito, se distinguen porque la variable independiente en la función que se está examinando, en este caso x, tiende a más infinito o a menos infinito. Este tipo de límites pueden dar como resultado tres posibilidades, más infinito, menos infinito o un número real que vamos a denotar con la letra L. Vamos a ver a continuación cuatro ejercicios sobre límites al infinito. Vamos a determinar para diferentes funciones que les sucede a ellas cuando x tiende a más infinito o a menos infinito. En el primer caso tenemos la gráfica de una función f de x, entonces vamos a determinar según ese dibujo cuál es el límite de esa función f de x cuando x tiende hacia más infinito, es decir cuando x empieza a tomar valores positivos cada vez más grandes. Si vemos el comportamiento de la gráfica vemos que a medida que x avanza hacia la derecha los puntos van correspondiendo a valores de y que tienden hacia arriba y esta flecha nos indica que la gráfica se extiende de manera indefinida, por lo tanto decimos que los valores de y que corresponden a x cada vez más grande también son valores que tienden hacia más infinito. Entonces este será el resultado de ese primer límite. Ahora veamos cuál es el límite de esa misma función cuando x tiende hacia menos infinito. Si x empieza a tomar valores hacia la izquierda cada vez más negativos, entonces vemos que el comportamiento de la gráfica es que los puntos asociados a esos valores de x cada vez van más arriba, es decir corresponden a valores de y que también se van yendo hacia más infinito, por lo tanto el resultado de este límite es más infinito. Ahora si decimos que esa curva corresponde a la gráfica de la función x al cuadrado, efectivamente se trata de una parábola que abre sus ramas hacia arriba y que tiene vértice en el origen, podemos también calcular el límite de esa función ya tomando la expresión matemática cuando de x tiende a más infinito. En este caso lo que hacemos es evaluar esta expresión en esto que tenemos acá. Recordemos que infinito no es precisamente un número sino la idea de una cantidad muy grande. Entonces si eso se reemplaza donde tenemos la x y se eleva al cuadrado, tendremos un número muy grande multiplicado por sí mismo que nos va a dar como resultado otro número gigantesco, un número enorme que se puede considerar como más infinito. De igual forma podemos calcular el límite de x al cuadrado de esta función cuando de x tiende a menos infinito, hacemos el reemplazo donde está la x, allí entra menos infinito y hacemos el análisis de cuál será el resultado de esta expresión. Toda cantidad negativa elevada al cuadrado nos da como resultado signo positivo y lo que decíamos ahora, infinito multiplicado por infinito nos va a dar otra cantidad enorme que se considera infinito. Por lo tanto vemos que el resultado de calcular los límites analíticamente coinciden con los obtenidos cuando solamente hicimos el análisis del dibujo. En el segundo ejercicio tenemos la gráfica correspondiente a una función g de x, vamos a determinar el límite de esa función cuando x tiende a más infinito. Entonces vamos a la gráfica y empezamos a mirar cuál es el comportamiento de la función cuando x va tomando valores positivos cada vez más grandes. Los puntos asociados a esos números de x van a ser estos de por acá cuya tendencia es a ir subiendo, por lo tanto van correspondiendo valores de y que tienden hacia más infinito. Entonces el resultado de este primer límite es más infinito. Ahora para la misma función vamos a mirar qué le sucede a ella cuando x tiende hacia menos infinito. Si vemos en la gráfica a medida que nos movemos hacia la izquierda en el eje x, es decir yéndonos hacia menos infinito vemos que el comportamiento de la función es a ir bajando, por lo tanto los puntos que corresponden van asociados con valores de y que también se van yendo hacia menos infinito y este será el resultado de ese límite. Si consideramos que esta curva corresponde a la gráfica de la función x al cubo, entonces vamos a calcular los límites al infinito de esa función. Límite de x al cubo cuando x tiende a más infinito. Entonces aquí donde está la x, reemplazamos más infinito y analizamos a que es igual a esto. Signo positivo elevado a cualquier exponente nos da como resultado signo positivo y tenemos infinito al cubo, o sea infinito por infinito por infinito y eso nos da como resultado una cantidad muy grande que sigue siendo infinito. Por lo tanto más infinito es el resultado de ese primer límite. Ahora miremos cuál es el límite de x al cubo cuando x tiende a menos infinito. Hacemos la evaluación, entra allí menos infinito, donde es el lugar de la x y hacemos el siguiente análisis. Toda cantidad negativa elevada al cubo elevada a exponente impar da como resultado signo negativo y vuelve a suceder lo mismo que acá. Minuto por infinito por infinito, o sea infinito al cubo nos da infinito, por lo tanto menos infinito es el resultado de este límite y vemos que ambos coinciden con lo que obtuvimos cuando se hizo el análisis de solamente la gráfica. En el tercer ejercicio tenemos la gráfica correspondiente a una función h de x. Vamos entonces a calcular los límites al infinito para dicha función. Veamos límite de la función h de x cuando x tiende a más infinito. Entonces vamos a la gráfica y empezamos a considerar valores de x cada vez más grandes. Vamos moviéndonos hacia la derecha y miramos cuál es el comportamiento de la curva o de la función. Vemos que son estos puntos de por acá que corresponden a valores de y que cada vez están más próximos a cero. Por lo tanto el resultado de este primer límite es un número real, es cero. Miremos ahora que le sucede a la función h de x cuando x tiende hacia menos infinito. Entonces consideramos valores de x por acá cada vez más hacia la izquierda y vemos que a esos números corresponden puntos en la curva que van asociados a valores de y muy próximos a cero. Por lo tanto el resultado de este segundo límite según la gráfica es cero. Esta gráfica corresponde aproximadamente a la función uno sobre x, es decir, una función racional. Vamos a calcular entonces para esta expresión los correspondientes límites al infinito. Tenemos límite de uno sobre x cuando x tiende a más infinito. Vemos el reemplazo donde está la x ingresa más infinito. Repetimos, esto es una cantidad muy grande, positiva y si uno se divide entre un número enorme, el resultado tiende a cero. Podemos asegurar simplemente que es cero. En el otro caso, es decir, el límite de uno sobre x, cuando x tiende hacia menos infinito hacemos de cuenta que no tenemos la gráfica, entonces hacemos lo siguiente, donde está la x ingresa menos infinito. Y acá sucede lo mismo que nos pasó en el caso anterior, uno dividido entre un número muy grande da como resultado algo muy pequeño que tiende a cero. Y acá no nos preocupamos por el signo, aunque acá más con menos nos da menos, recordemos que cero no tiene signo. Como se observa, al efectuar el procedimiento netamente analítico se obtienen los mismos resultados que cuando calculamos los límites considerando únicamente la gráfica. En el cuarto ejercicio tenemos la gráfica correspondiente a una función p de x. Vamos entonces a calcular a partir de la gráfica los límites al infinito, límite de p de x, cuando x tiende a más infinito, entonces vemos que a medida que x avanza hacia la derecha los puntos de la curva tienden hacia arriba, por lo tanto corresponden a valores de y, que también se nos van hacia más infinito. Es el resultado, el primer límite. Ahora miremos que le sucede a la función p de x cuando x tiende hacia menos infinito. Veamos a la gráfica y vemos que cuando x va tomando valores más hacia la izquierda, es decir hacia menos infinito, los puntos de la curva, los puntos que corresponden a esos valores de x van asociados con valores de y cada vez más próximos a cero, por lo tanto aquí el límite cuando x tiende hacia menos infinito es un número real, es cero. Ese tipo de curvas corresponden a lo que son funciones exponenciales, esta en particular podría ser la gráfica de 2 a la x, entonces vamos a calcular los límites al infinito de esa función, de 2 a la x. Comenzamos cuando x tiende a más infinito, reemplazamos acá más infinito y hacemos el siguiente análisis, si el número 2 se eleva a un exponente cada vez más grande, vamos a obtener como resultados números también cada vez más grandes, por lo tanto podemos asegurar que eso tiende a más infinito. Para terminar resolvemos analíticamente el límite de 2 a la x cuando x tiende a menos infinito, entonces donde está la x ingresa menos infinito y vamos a resolver esto aplicando la siguiente propiedad de la potenciación, si tenemos a elevada al exponente menos n, esto es igual a 1 sobre a a la n, la potencia se traslada a la parte de abajo y el exponente cambia de signo, por lo tanto aquí nos queda 1 sobre 2 elevado a más infinito y pasa lo mismo que en el caso anterior, 2 elevado a más infinito nos da como resultado una cantidad muy grande positiva, o sea más infinito y 1 si se divide entre algo muy grande, entre una cantidad enorme nos da como resultado algo muy pequeño que tiende a 0. Como se observa los resultados obtenidos al resolver estos límites al infinito analíticamente corresponden a los mismos que obtuvimos cuando se hizo el análisis de la gráfica.
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sea infinito por infinito por infinito y eso nos da como resultado una"}, {"start": 357.7, "end": 361.46, "text": " cantidad muy grande que sigue siendo infinito."}, {"start": 361.46, "end": 367.08, "text": " Por lo tanto m\u00e1s infinito es el resultado de ese primer l\u00edmite."}, {"start": 367.08, "end": 372.82, "text": " Ahora miremos cu\u00e1l es el l\u00edmite de x al cubo cuando x tiende a menos infinito."}, {"start": 372.82, "end": 380.3, "text": " Hacemos la evaluaci\u00f3n, entra all\u00ed menos infinito, donde es el lugar de la x y hacemos el siguiente"}, {"start": 380.3, "end": 381.58, "text": " an\u00e1lisis."}, {"start": 381.58, "end": 387.62, "text": " Toda cantidad negativa elevada al cubo elevada a exponente impar da como resultado signo"}, {"start": 387.62, "end": 391.5, "text": " negativo y vuelve a suceder lo mismo que ac\u00e1."}, {"start": 391.5, "end": 397.5, "text": " Minuto por infinito por infinito, o sea infinito al cubo nos da infinito, por lo tanto 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lo tanto el resultado de este segundo l\u00edmite seg\u00fan la gr\u00e1fica es cero."}, {"start": 484.06, "end": 491.58000000000004, "text": " Esta gr\u00e1fica corresponde aproximadamente a la funci\u00f3n uno sobre x, es decir, una funci\u00f3n"}, {"start": 491.58000000000004, "end": 492.58000000000004, "text": " racional."}, {"start": 492.58000000000004, "end": 499.74, "text": " Vamos a calcular entonces para esta expresi\u00f3n los correspondientes l\u00edmites al infinito."}, {"start": 499.74, "end": 506.42, "text": " Tenemos l\u00edmite de uno sobre x cuando x tiende a m\u00e1s infinito."}, {"start": 506.42, "end": 511.42, "text": " Vemos el reemplazo donde est\u00e1 la x ingresa m\u00e1s infinito."}, {"start": 511.42, "end": 517.82, "text": " Repetimos, esto es una cantidad muy grande, positiva y si uno se divide entre un n\u00famero"}, {"start": 517.82, "end": 521.34, "text": " enorme, el resultado tiende a cero."}, {"start": 521.34, "end": 524.74, "text": " Podemos asegurar simplemente que es cero."}, {"start": 524.74, "end": 530.98, "text": " En el otro caso, es decir, el l\u00edmite de uno sobre x, cuando x tiende hacia menos infinito"}, {"start": 530.98, "end": 536.54, "text": " hacemos de cuenta que no tenemos la gr\u00e1fica, entonces hacemos lo siguiente, donde est\u00e1"}, {"start": 536.54, "end": 539.9, "text": " la x ingresa menos infinito."}, {"start": 539.9, "end": 545.54, "text": " Y ac\u00e1 sucede lo mismo que nos pas\u00f3 en el caso anterior, uno dividido entre un n\u00famero"}, {"start": 545.54, "end": 550.3000000000001, "text": " muy grande da como resultado algo muy peque\u00f1o que tiende a cero."}, {"start": 550.3000000000001, "end": 555.4200000000001, "text": " Y ac\u00e1 no nos preocupamos por el signo, aunque ac\u00e1 m\u00e1s con menos nos da menos, recordemos"}, {"start": 555.4200000000001, "end": 557.74, "text": " que cero no tiene signo."}, {"start": 557.74, "end": 563.82, "text": " Como se observa, al efectuar el procedimiento netamente anal\u00edtico se obtienen los mismos"}, {"start": 563.82, "end": 570.94, "text": " resultados que cuando calculamos los l\u00edmites considerando \u00fanicamente la gr\u00e1fica."}, {"start": 570.94, "end": 576.86, "text": " En el cuarto ejercicio tenemos la gr\u00e1fica correspondiente a una funci\u00f3n p de x."}, {"start": 576.86, "end": 583.74, "text": " Vamos entonces a calcular a partir de la gr\u00e1fica los l\u00edmites al infinito, l\u00edmite de p de"}, {"start": 583.74, "end": 591.42, "text": " x, cuando x tiende a m\u00e1s infinito, entonces vemos que a medida que x avanza hacia la derecha"}, {"start": 591.42, "end": 598.3, "text": " los puntos de la curva tienden hacia arriba, por lo tanto corresponden a valores de y,"}, {"start": 598.3, "end": 601.9, "text": " que tambi\u00e9n se nos van hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 601.9, "end": 605.3, "text": " Es el resultado, el primer l\u00edmite."}, {"start": 605.3, "end": 610.82, "text": " Ahora miremos que le sucede a la funci\u00f3n p de x cuando x tiende hacia menos infinito."}, {"start": 610.82, "end": 616.7, "text": " Veamos a la gr\u00e1fica y vemos que cuando x va tomando valores m\u00e1s hacia la izquierda,"}, {"start": 616.7, "end": 622.1400000000001, "text": " es decir hacia menos infinito, los puntos de la curva, los puntos que corresponden a esos"}, {"start": 622.1400000000001, "end": 629.1400000000001, "text": " valores de x van asociados con valores de y cada vez m\u00e1s pr\u00f3ximos a cero, por lo tanto"}, {"start": 629.1400000000001, "end": 636.34, "text": " aqu\u00ed el l\u00edmite cuando x tiende hacia menos infinito es un n\u00famero real, es cero."}, {"start": 636.34, "end": 643.6600000000001, "text": " Ese tipo de curvas corresponden a lo que son funciones exponenciales, esta en particular"}, {"start": 643.6600000000001, "end": 651.38, "text": " podr\u00eda ser la gr\u00e1fica de 2 a la x, entonces vamos a calcular los l\u00edmites al infinito"}, {"start": 651.38, "end": 654.3000000000001, "text": " de esa funci\u00f3n, de 2 a la x."}, {"start": 654.3000000000001, "end": 662.86, "text": " Comenzamos cuando x tiende a m\u00e1s infinito, reemplazamos ac\u00e1 m\u00e1s infinito y hacemos el"}, {"start": 662.86, "end": 668.74, "text": " siguiente an\u00e1lisis, si el n\u00famero 2 se eleva a un exponente cada vez m\u00e1s grande, vamos"}, {"start": 668.74, "end": 674.14, "text": " a obtener como resultados n\u00fameros tambi\u00e9n cada vez m\u00e1s grandes, por lo tanto podemos"}, {"start": 674.14, "end": 677.66, "text": " asegurar que eso tiende a m\u00e1s infinito."}, {"start": 677.66, "end": 683.42, "text": " Para terminar resolvemos anal\u00edticamente el l\u00edmite de 2 a la x cuando x tiende a menos"}, {"start": 683.42, "end": 691.54, "text": " infinito, entonces donde est\u00e1 la x ingresa menos infinito y vamos a resolver esto aplicando"}, {"start": 691.54, "end": 698.42, "text": " la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n, si tenemos a elevada al exponente menos n,"}, {"start": 698.42, "end": 704.98, "text": " esto es igual a 1 sobre a a la n, la potencia se traslada a la parte de abajo y el exponente"}, {"start": 704.98, "end": 714.24, "text": " cambia de signo, por lo tanto aqu\u00ed nos queda 1 sobre 2 elevado a m\u00e1s infinito y pasa lo"}, {"start": 714.24, "end": 721.02, "text": " mismo que en el caso anterior, 2 elevado a m\u00e1s infinito nos da como resultado una cantidad"}, {"start": 721.02, "end": 727.9399999999999, "text": " muy grande positiva, o sea m\u00e1s infinito y 1 si se divide entre algo muy grande, entre"}, {"start": 727.9399999999999, "end": 734.5799999999999, "text": " una cantidad enorme nos da como resultado algo muy peque\u00f1o que tiende a 0."}, {"start": 734.5799999999999, "end": 741.64, "text": " Como se observa los resultados obtenidos al resolver estos l\u00edmites al infinito anal\u00edticamente"}, {"start": 741.64, "end": 751.54, "text": " corresponden a los mismos que obtuvimos cuando se hizo el an\u00e1lisis de la gr\u00e1fica."}]