INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia.

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Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 ¿Qué es la función de la integral? Para calcular esta integral, primero debemos analizar lo siguiente. Esta función, la función 1 sobre x, tiene problemas cuando x vale cero. ¿Sí? Porque el denominador no puede ser cero. Y vemos que entre menos 2 y 3 está el cero. Por lo tanto, esta integral tenemos que partirla de la siguiente manera. Como la integral desde menos 2 hasta cero, de 1 sobre x, con su dx, más la integral que va desde cero hasta 3, de 1 sobre x, con su respectivo diferencial dx. Y tenemos entonces dos integrales que serán impropias. Vamos a tratarlas por separado. Esta la vamos a llamar la integral número 1, y esta la vamos a llamar la integral número 2. La integral número 1, como decíamos, es una integral impropia, porque cero es un valor que complica esta función. Por lo tanto, debemos cambiar ese cero por una letra. Vamos a usar por ejemplo la letra b, y entonces aquí decimos que b tiende a cero. Como vamos desde menos 2 hasta cero, entonces decimos que este valor tiende a cero por la izquierda. ¿Sí? Porque nos acercamos a cero por la izquierda de este valor. Aquí abajo tenemos menos 2 y la función que vamos a integrar, que es 1 sobre x, con su correspondiente a diferencial dx. Hacemos la integral, entonces nos queda límite cuando b tiende a cero por la izquierda. Vamos a abrir una llave y la integral de 1 sobre x sería el logaritmo natural del valor absoluto de x. Y todo esto evaluado entre menos 2 y b, es decir, en los límites de integración. Vamos a reemplazar el límite superior y después el límite inferior, aplicando el teorema fundamental del cálculo. Entonces nos queda límite cuando b tiende a cero por la izquierda del logaritmo natural de valor absoluto de b menos el logaritmo natural del valor absoluto de menos 2, y cerramos la llave. Continuamos el desarrollo del límite, entonces eso nos queda límite cuando b tiende a cero por la izquierda del logaritmo natural del valor absoluto de b menos el logaritmo natural de 2, sí, valor absoluto de menos 2 nos queda 2 positivo. Y ahora vamos a elegir un número que cumpla con esta condición, un valor de b que se aproxime a 0 por la izquierda. Entonces podríamos tomar el número menos 0.0001. Por ejemplo, si lo reemplazamos nos queda entonces el algoritmo natural de valor absoluto de menos 0.0001, cierda valor absoluto, menos el algoritmo natural de 2. Aquí el valor absoluto nos garantiza que este número se va a convertir en positivo, deja de ser negativo y se vuelve positivo para que el algoritmo natural pueda existir. Veamos entonces a cuanto tiende este valor. Si recordamos en el plano cartesiano la gráfica de la función logaritmo natural de x es como esta. Esta es la función logaritmo natural de x. Y podemos apreciar que cuando se toman valores de x muy próximos a 0, como el caso de este número, entonces la función tiende hacia menos infinito. Por lo tanto este logaritmo tiende hacia menos infinito. Y teniendo en cuenta que esto es un número, una constante que podemos hallar en una calculadora, entonces el resultado de todo esto será menos infinito. Es decir, predomina el menos infinito sobre este resultado. Esto quiere decir entonces que la integral 1, la que estábamos calculando, al dar este resultado, entonces es integral divergente. Y entonces podemos ahorrarnos el cálculo de la integral 2, porque si la primera integral diverge, entonces ya toda la integral, si la original propuesta del ejercicio, podemos decir que diverge.
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