ECUACIONES DE CUARTO GRADO - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación polinómica de cuarto grado.

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 Vamos a encontrar las soluciones de esta ecuación que como observamos es de grado 4. Entonces esperamos encontrar cuatro valores que satisfagan esa ecuación. Comenzamos por determinar el conjunto llamado P y que está formado por los divisores del término independiente, es decir, los divisores de 78. Aunque aquí dice menos 78, lo podemos tomar positivo. Entonces comenzamos sacando todos los números enteros que sean divisores de 78. Iniciamos en más o menos 1, luego más o menos 2, después más o menos 3, después más o menos 6, más o menos 13, más o menos 26, más o menos 39 y más o menos 78. Una manera de verificar que sacamos la lista correcta de números y que no se nos escapó ninguno es hacer lo siguiente. 1 por 78 nos da 78. Es decir, vamos verificando los números extremos y el producto entre ellos nos iliquia 78. Por aquí tenemos 2 por 39 que también nos da 78. 26 por 3 nos da 78. Y finalmente 13 por 6 también nos da 78. Eso nos permite verificar que tenemos la lista correcta de divisores del 78. Enseguida vamos a determinar el conjunto llamado Q y que está formado por los divisores del coeficiente principal del polinomio. Aquí tenemos coeficiente 1. Los divisores enteros de 1 son únicamente más y menos 1. Y enseguida sacamos lo que se llama el conjunto de posibles raíces racionales del polinomio. Es decir, los posibles números racionales que satisfacen esa ecuación. Este conjunto resulta de hacer todas las combinaciones P sobre Q. Es decir, tomamos cada valor de P y lo dividimos entre cada valor de Q. Pero como en este caso Q está conformado únicamente por el 1, entonces nos van a quedar estos mismos valores de P. Veamos entonces. Aquí lo tenemos, el conjunto de posibles raíces racionales del polinomio. Enseguida vamos a utilizar la división sintética para probar cada uno de estos valores y ver cuáles satisfacen la ecuación. Para emplear la división sintética nos aseguramos que el polinomio esté organizado en forma descendente, tal como observamos en este caso. Y anotamos los coeficientes de cada uno de los términos. Entonces comenzamos con el 1, que es el coeficiente de X a la 4, después el menos 7, que es el coeficiente de X al cubo, luego 13, que es el coeficiente del término que tiene X cuadrado, luego el 23 y finalmente el término independiente, que es menos 78. Para poder tener como una guía de cada uno de los números podemos anotar esto en la parte superior de cada uno. Es simplemente recordar a qué término corresponde cada número. Estas son las iniciales del término independiente, que es menos 78. Iniciamos la división sintética probando el valor X igual a 1. Y comenzamos por bajar este número, el 1 lo anotamos aquí y hacemos lo siguiente, 1 por 1 nos da 1, sumamos en forma vertical, menos 7 más 1 nos da menos 6, menos 6 por 1 nos da menos 6, lo escribimos aquí, sumamos en forma vertical, 13 menos 6 nos da 7, luego 7 por 1 nos da 7, sumamos en forma vertical nos da 30, 30 por 1 nos da 30 y sumando en forma vertical nos da menos 48. Como aquí no nos da 0, entonces este valor no nos sirve, 1 no sería una raíz racional de ese polinomio. Probamos ahora con el siguiente valor que es X igual a menos 1. Entonces, nuevamente bajamos este primer número, que es 1, tenemos 1 por menos 1 nos da menos 1, sumamos en forma vertical nos da menos 8, menos 8 por menos 1 nos da 8, sumamos nos da 21, 21 por menos 1 nos da menos 21, sumamos en forma vertical nos da 2, 2 por menos 1 nos da menos 2 y sumando en forma vertical nos da menos 80. Vemos que tampoco nos sirve X igual a menos 1 porque el residuo de la división no nos dio 0. Intentamos ahora con el siguiente número que es X igual a 2, veamos 1 lo bajamos aquí, 1 por 2 nos da 2, sumamos nos da menos 5, menos 5 por 2 nos da menos 10, sumamos nos da 3, 3 por 2 nos da 6, sumamos nos da 29, 29 por 2 nos da 58 y al sumar nos da menos 20. Vemos que el residuo no nos dio 0, por lo tanto X igual a 2 no es solución de la ecuación. Probamos ahora el siguiente número que es X igual a menos 2, veamos, bajamos el 1, 1 por menos 2 nos da menos 2, sumamos nos da menos 9, menos 9 por menos 2 da 18, sumamos nos da 31, 31 por menos 2 nos da menos 62, sumamos nos da menos 39, menos 39 por menos 2 da 78 positivo y al sumar en forma vertical nos da 0. Al obtener residuo 0 en la división, tenemos que X igual a menos 2 es la primera raíz racional de este polinomio. Vamos a escribirla por acá y tenemos entonces la primera solución para esa ecuación. Estos números que tenemos hasta aquí constituyen los coeficientes de un polinomio de grado 3, porque al realizar la división sintética y encontrar un primer valor que sirve, entonces el polinomio original disminuye en un grado. Entonces para este polinomio de grado 3 seguimos intentando con división sintética a ver cuales de los valores restantes pueden servir. Debemos iniciar con X igual a menos 2, es decir, el valor que nos acabo de servir, debemos volverlo a ensayar para estos nuevos números, porque a veces puede suceder que una misma solución se repita varias veces, es lo que se llama la multiplicidad. Entonces vamos a realizar el intento con X igual a menos 2. Tenemos entonces con X igual a menos 2 lo siguiente, bajamos el 1, 1 por menos 2 nos da menos 2, sumamos nos da menos 11, menos 11 por menos 2 da 22 positivo, sumamos da 53, 53 por menos 2 nos da menos 106, y sumando nos da menos 145. No obtuvimos residuo 0, por lo tanto descartamos que menos 2 vuelva a servir. Vamos entonces ahora a probar el siguiente valor que sería X igual a 3. Entonces con X igual a 3 tenemos, baja el 1, 1 por 3 nos da 3, menos 9 más 3 nos da menos 6, menos 6 por 3 da menos 18, sumamos da 13 positivo, 13 por 3 da 39, y al sumar en forma vertical nos da residuo 0. Por lo tanto aquí tenemos otra solución de la ecuación, X igual a 3. Estos números que nos quedan acá son los coeticientes de un polinomio de grado 2. Como decíamos, vuelve a disminuir en un grado. Teníamos grado 4, grado 3, y esto es un polinomio de grado 2. Este polinomio queda de la siguiente manera, X al cuadrado menos 6X más 13 igual a 0. Lo igualamos a 0 porque desde un comienzo la ecuación viene igual a 0. Y esto es una ecuación cuadrática. Vamos entonces a resolverla. Recordemos que una ecuación cuadrática o de segundo grado tiene el modelo X al cuadrado más de X más C igual a 0. Tenemos dos opciones para resolver esta ecuación. Una sería por factorización, si este trinomio se puede factorizar, o el otro camino sería utilizando la fórmula cuadrática. Primero revisamos si esto se puede factorizar. Miramos si hay dos números que multiplicados den 13 y que sumados en tres y nos den menos 6. Vemos que no es posible, entonces descartamos la factorización y nos vamos por el camino de la fórmula cuadrática. Para ello identificamos los valores de A, B y C. Tenemos A es igual a 1, el coeficiente de X al cuadrado. Tenemos que B es menos 6, el coeficiente de X y C vale 13 positivo, que es el término independiente. Procedemos entonces a recordar la fórmula cuadrática o fórmula del bachiller, o también conocida como fórmula del estudiante. Aquí la tenemos y vamos a reemplazar en ella cada uno de estos valores que identificamos. Recomendación, abrir un paréntesis para cada letrica para reemplazar correctamente cada valor. Desaparecemos las letras y abrimos un paréntesis donde está cada una de ellas. Vamos a reemplazar los valores numéricos. B vale menos 6, entonces reemplazamos por aquí. A vale 1, reemplazamos aquí. Y C vale 13, allí lo reemplazamos. Resolviendo cada una de las operaciones tenemos lo siguiente. Por aquí nos da 6 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 6 al cuadrado que es 36, menos 4 por 1 por 13 que nos da 52. Y todo esto dentro de la raíz cuadrada y todo esto sobre 2 por 1 que es 2. Continuamos, nos queda x igual a 6, más o menos la raíz cuadrada de 36 menos 52 nos da como resultado menos 16. Y todo esto sobre 2. La raíz cuadrada de menos 16 es una cantidad que se sale del mundo de los números reales y hace parte del mundo de las cantidades imaginarias. Entonces tenemos lo siguiente. Vamos a ver cómo se transforma raíz cuadrada de menos 16 en una cantidad imaginaria. Dentro de la raíz podemos expresar menos 16 como 16 por menos 1. Y esto a su vez es raíz de 16 por raíz de menos 1. Recordemos que en la radicación, si hay multiplicación, podemos separar raíces para cada componente de esta operación. Entonces, raíz cuadrada de 16 nos da 4 y la raíz cuadrada de menos 1 es la unidad imaginaria conocida como I. Entonces, la raíz cuadrada de menos 16 nos da como resultado 4 y, una cantidad imaginaria. Entonces, tendremos lo siguiente. X es igual a 6 más o menos 4 y y todo esto sobre 2. Aquí podemos repartir este denominador para cada uno de estos términos del numerador. Tenemos entonces 6 medios más o menos 4 y medios. Y simplificando en cada caso, tenemos 6 medios que es 3 más o menos 4. Se simplifica con 2 y nos queda 2I. De esta manera encontramos las otras dos soluciones para la ecuación. Sería entonces 3 más 2I y 3 menos 2I. Es decir, la conjugada de esta que teníamos inicialmente. Vemos entonces que aparecen ya las cuatro soluciones de la ecuación, tal como habíamos dicho al comienzo. Si es una ecuación de grado 4, esperamos obtener cuatro soluciones. Como paso final, damos la respuesta al ejercicio. Escribimos el conjunto solución de esa ecuación. Entonces, organizamos los valores obtenidos. Primero podemos escribir los dos números reales y después las dos cantidades complejas. Estos son números complejos, estos dos porque recordemos que se componen de una parte real y una parte imaginaria. De esta manera tenemos el conjunto de soluciones de esta ecuación.
[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a encontrar las soluciones de esta ecuaci\u00f3n que como observamos es de grado 4."}, {"start": 8.0, "end": 16.0, "text": " Entonces esperamos encontrar cuatro valores que satisfagan esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 16.0, "end": 26.0, "text": " Comenzamos por determinar el conjunto llamado P y que est\u00e1 formado por los divisores del t\u00e9rmino independiente,"}, {"start": 26.0, "end": 35.0, "text": " es decir, los divisores de 78. Aunque aqu\u00ed dice menos 78, lo podemos tomar positivo."}, {"start": 35.0, "end": 44.0, "text": " Entonces comenzamos sacando todos los n\u00fameros enteros que sean divisores de 78."}, {"start": 44.0, "end": 68.0, "text": " Iniciamos en m\u00e1s o menos 1, luego m\u00e1s o menos 2, despu\u00e9s m\u00e1s o menos 3, despu\u00e9s m\u00e1s o menos 6, m\u00e1s o menos 13, m\u00e1s o menos 26, m\u00e1s o menos 39 y m\u00e1s o menos 78."}, {"start": 68.0, "end": 81.0, "text": " Una manera de verificar que sacamos la lista correcta de n\u00fameros y que no se nos escap\u00f3 ninguno es hacer lo siguiente."}, {"start": 81.0, "end": 93.0, "text": " 1 por 78 nos da 78. Es decir, vamos verificando los n\u00fameros extremos y el producto entre ellos nos iliquia 78."}, {"start": 93.0, "end": 102.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos 2 por 39 que tambi\u00e9n nos da 78. 26 por 3 nos da 78."}, {"start": 102.0, "end": 118.0, "text": " Y finalmente 13 por 6 tambi\u00e9n nos da 78. Eso nos permite verificar que tenemos la lista correcta de divisores del 78."}, {"start": 118.0, "end": 129.0, "text": " Enseguida vamos a determinar el conjunto llamado Q y que est\u00e1 formado por los divisores del coeficiente principal del polinomio."}, {"start": 129.0, "end": 140.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos coeficiente 1. Los divisores enteros de 1 son \u00fanicamente m\u00e1s y menos 1."}, {"start": 140.0, "end": 155.0, "text": " Y enseguida sacamos lo que se llama el conjunto de posibles ra\u00edces racionales del polinomio."}, {"start": 155.0, "end": 162.0, "text": " Es decir, los posibles n\u00fameros racionales que satisfacen esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 162.0, "end": 173.0, "text": " Este conjunto resulta de hacer todas las combinaciones P sobre Q. Es decir, tomamos cada valor de P y lo dividimos entre cada valor de Q."}, {"start": 173.0, "end": 182.0, "text": " Pero como en este caso Q est\u00e1 conformado \u00fanicamente por el 1, entonces nos van a quedar estos mismos valores de P."}, {"start": 182.0, "end": 192.0, "text": " Veamos entonces. Aqu\u00ed lo tenemos, el conjunto de posibles ra\u00edces racionales del polinomio."}, {"start": 192.0, "end": 205.0, "text": " Enseguida vamos a utilizar la divisi\u00f3n sint\u00e9tica para probar cada uno de estos valores y ver cu\u00e1les satisfacen la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 205.0, "end": 217.0, "text": " Para emplear la divisi\u00f3n sint\u00e9tica nos aseguramos que el polinomio est\u00e9 organizado en forma descendente, tal como observamos en este caso."}, {"start": 217.0, "end": 246.0, "text": " Y anotamos los coeficientes de cada uno de los t\u00e9rminos. Entonces comenzamos con el 1, que es el coeficiente de X a la 4, despu\u00e9s el menos 7, que es el coeficiente de X al cubo, luego 13, que es el coeficiente del t\u00e9rmino que tiene X cuadrado, luego el 23 y finalmente el t\u00e9rmino independiente, que es menos 78."}, {"start": 246.0, "end": 257.0, "text": " Para poder tener como una gu\u00eda de cada uno de los n\u00fameros podemos anotar esto en la parte superior de cada uno."}, {"start": 257.0, "end": 271.0, "text": " Es simplemente recordar a qu\u00e9 t\u00e9rmino corresponde cada n\u00famero. Estas son las iniciales del t\u00e9rmino independiente, que es menos 78."}, {"start": 271.0, "end": 280.0, "text": " Iniciamos la divisi\u00f3n sint\u00e9tica probando el valor X igual a 1."}, {"start": 280.0, "end": 307.0, "text": " Y comenzamos por bajar este n\u00famero, el 1 lo anotamos aqu\u00ed y hacemos lo siguiente, 1 por 1 nos da 1, sumamos en forma vertical, menos 7 m\u00e1s 1 nos da menos 6, menos 6 por 1 nos da menos 6, lo escribimos aqu\u00ed, sumamos en forma vertical, 13 menos 6 nos da 7,"}, {"start": 307.0, "end": 322.0, "text": " luego 7 por 1 nos da 7, sumamos en forma vertical nos da 30, 30 por 1 nos da 30 y sumando en forma vertical nos da menos 48."}, {"start": 322.0, "end": 334.0, "text": " Como aqu\u00ed no nos da 0, entonces este valor no nos sirve, 1 no ser\u00eda una ra\u00edz racional de ese polinomio."}, {"start": 334.0, "end": 340.0, "text": " Probamos ahora con el siguiente valor que es X igual a menos 1."}, {"start": 340.0, "end": 367.0, "text": " Entonces, nuevamente bajamos este primer n\u00famero, que es 1, tenemos 1 por menos 1 nos da menos 1, sumamos en forma vertical nos da menos 8, menos 8 por menos 1 nos da 8, sumamos nos da 21, 21 por menos 1 nos da menos 21, sumamos en forma vertical nos da 2,"}, {"start": 367.0, "end": 386.0, "text": " 2 por menos 1 nos da menos 2 y sumando en forma vertical nos da menos 80. Vemos que tampoco nos sirve X igual a menos 1 porque el residuo de la divisi\u00f3n no nos dio 0."}, {"start": 386.0, "end": 407.0, "text": " Intentamos ahora con el siguiente n\u00famero que es X igual a 2, veamos 1 lo bajamos aqu\u00ed, 1 por 2 nos da 2, sumamos nos da menos 5, menos 5 por 2 nos da menos 10, sumamos nos da 3,"}, {"start": 407.0, "end": 429.0, "text": " 3 por 2 nos da 6, sumamos nos da 29, 29 por 2 nos da 58 y al sumar nos da menos 20. Vemos que el residuo no nos dio 0, por lo tanto X igual a 2 no es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 429.0, "end": 452.0, "text": " Probamos ahora el siguiente n\u00famero que es X igual a menos 2, veamos, bajamos el 1, 1 por menos 2 nos da menos 2, sumamos nos da menos 9, menos 9 por menos 2 da 18, sumamos nos da 31,"}, {"start": 452.0, "end": 470.0, "text": " 31 por menos 2 nos da menos 62, sumamos nos da menos 39, menos 39 por menos 2 da 78 positivo y al sumar en forma vertical nos da 0."}, {"start": 470.0, "end": 483.0, "text": " Al obtener residuo 0 en la divisi\u00f3n, tenemos que X igual a menos 2 es la primera ra\u00edz racional de este polinomio."}, {"start": 483.0, "end": 491.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1 y tenemos entonces la primera soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 491.0, "end": 509.0, "text": " Estos n\u00fameros que tenemos hasta aqu\u00ed constituyen los coeficientes de un polinomio de grado 3, porque al realizar la divisi\u00f3n sint\u00e9tica y encontrar un primer valor que sirve,"}, {"start": 509.0, "end": 527.0, "text": " entonces el polinomio original disminuye en un grado. Entonces para este polinomio de grado 3 seguimos intentando con divisi\u00f3n sint\u00e9tica a ver cuales de los valores restantes pueden servir."}, {"start": 527.0, "end": 540.0, "text": " Debemos iniciar con X igual a menos 2, es decir, el valor que nos acabo de servir, debemos volverlo a ensayar para estos nuevos n\u00fameros,"}, {"start": 540.0, "end": 550.0, "text": " porque a veces puede suceder que una misma soluci\u00f3n se repita varias veces, es lo que se llama la multiplicidad."}, {"start": 550.0, "end": 562.0, "text": " Entonces vamos a realizar el intento con X igual a menos 2. Tenemos entonces con X igual a menos 2 lo siguiente,"}, {"start": 562.0, "end": 583.0, "text": " bajamos el 1, 1 por menos 2 nos da menos 2, sumamos nos da menos 11, menos 11 por menos 2 da 22 positivo, sumamos da 53, 53 por menos 2 nos da menos 106,"}, {"start": 583.0, "end": 597.0, "text": " y sumando nos da menos 145. No obtuvimos residuo 0, por lo tanto descartamos que menos 2 vuelva a servir."}, {"start": 597.0, "end": 615.0, "text": " Vamos entonces ahora a probar el siguiente valor que ser\u00eda X igual a 3. Entonces con X igual a 3 tenemos, baja el 1, 1 por 3 nos da 3,"}, {"start": 615.0, "end": 635.0, "text": " menos 9 m\u00e1s 3 nos da menos 6, menos 6 por 3 da menos 18, sumamos da 13 positivo, 13 por 3 da 39, y al sumar en forma vertical nos da residuo 0."}, {"start": 635.0, "end": 652.0, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed tenemos otra soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n, X igual a 3. Estos n\u00fameros que nos quedan ac\u00e1 son los coeticientes de un polinomio de grado 2."}, {"start": 652.0, "end": 668.0, "text": " Como dec\u00edamos, vuelve a disminuir en un grado. Ten\u00edamos grado 4, grado 3, y esto es un polinomio de grado 2. Este polinomio queda de la siguiente manera,"}, {"start": 668.0, "end": 683.0, "text": " X al cuadrado menos 6X m\u00e1s 13 igual a 0. Lo igualamos a 0 porque desde un comienzo la ecuaci\u00f3n viene igual a 0. Y esto es una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 683.0, "end": 700.0, "text": " Vamos entonces a resolverla. Recordemos que una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado tiene el modelo X al cuadrado m\u00e1s de X m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 700.0, "end": 714.0, "text": " Tenemos dos opciones para resolver esta ecuaci\u00f3n. Una ser\u00eda por factorizaci\u00f3n, si este trinomio se puede factorizar, o el otro camino ser\u00eda utilizando la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 714.0, "end": 724.0, "text": " Primero revisamos si esto se puede factorizar. Miramos si hay dos n\u00fameros que multiplicados den 13 y que sumados en tres y nos den menos 6."}, {"start": 724.0, "end": 734.0, "text": " Vemos que no es posible, entonces descartamos la factorizaci\u00f3n y nos vamos por el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 734.0, "end": 756.0, "text": " Para ello identificamos los valores de A, B y C. Tenemos A es igual a 1, el coeficiente de X al cuadrado. Tenemos que B es menos 6, el coeficiente de X y C vale 13 positivo, que es el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 756.0, "end": 771.0, "text": " Procedemos entonces a recordar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula del bachiller, o tambi\u00e9n conocida como f\u00f3rmula del estudiante."}, {"start": 771.0, "end": 786.0, "text": " Aqu\u00ed la tenemos y vamos a reemplazar en ella cada uno de estos valores que identificamos."}, {"start": 786.0, "end": 808.0, "text": " Recomendaci\u00f3n, abrir un par\u00e9ntesis para cada letrica para reemplazar correctamente cada valor. Desaparecemos las letras y abrimos un par\u00e9ntesis donde est\u00e1 cada una de ellas."}, {"start": 808.0, "end": 820.0, "text": " Vamos a reemplazar los valores num\u00e9ricos. B vale menos 6, entonces reemplazamos por aqu\u00ed. A vale 1, reemplazamos aqu\u00ed."}, {"start": 820.0, "end": 847.0, "text": " Y C vale 13, all\u00ed lo reemplazamos. Resolviendo cada una de las operaciones tenemos lo siguiente. Por aqu\u00ed nos da 6 positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 6 al cuadrado que es 36, menos 4 por 1 por 13 que nos da 52."}, {"start": 847.0, "end": 868.0, "text": " Y todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada y todo esto sobre 2 por 1 que es 2. Continuamos, nos queda x igual a 6, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 36 menos 52 nos da como resultado menos 16."}, {"start": 868.0, "end": 889.0, "text": " Y todo esto sobre 2. La ra\u00edz cuadrada de menos 16 es una cantidad que se sale del mundo de los n\u00fameros reales y hace parte del mundo de las cantidades imaginarias."}, {"start": 889.0, "end": 900.0, "text": " Entonces tenemos lo siguiente. Vamos a ver c\u00f3mo se transforma ra\u00edz cuadrada de menos 16 en una cantidad imaginaria."}, {"start": 900.0, "end": 915.0, "text": " Dentro de la ra\u00edz podemos expresar menos 16 como 16 por menos 1. Y esto a su vez es ra\u00edz de 16 por ra\u00edz de menos 1."}, {"start": 915.0, "end": 925.0, "text": " Recordemos que en la radicaci\u00f3n, si hay multiplicaci\u00f3n, podemos separar ra\u00edces para cada componente de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 925.0, "end": 937.0, "text": " Entonces, ra\u00edz cuadrada de 16 nos da 4 y la ra\u00edz cuadrada de menos 1 es la unidad imaginaria conocida como I."}, {"start": 937.0, "end": 946.0, "text": " Entonces, la ra\u00edz cuadrada de menos 16 nos da como resultado 4 y, una cantidad imaginaria."}, {"start": 946.0, "end": 948.0, "text": " Entonces, tendremos lo siguiente."}, {"start": 948.0, "end": 967.0, "text": " X es igual a 6 m\u00e1s o menos 4 y y todo esto sobre 2. Aqu\u00ed podemos repartir este denominador para cada uno de estos t\u00e9rminos del numerador."}, {"start": 967.0, "end": 974.0, "text": " Tenemos entonces 6 medios m\u00e1s o menos 4 y medios."}, {"start": 974.0, "end": 986.0, "text": " Y simplificando en cada caso, tenemos 6 medios que es 3 m\u00e1s o menos 4. Se simplifica con 2 y nos queda 2I."}, {"start": 986.0, "end": 993.0, "text": " De esta manera encontramos las otras dos soluciones para la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 993.0, "end": 1007.0, "text": " Ser\u00eda entonces 3 m\u00e1s 2I y 3 menos 2I. Es decir, la conjugada de esta que ten\u00edamos inicialmente."}, {"start": 1007.0, "end": 1015.0, "text": " Vemos entonces que aparecen ya las cuatro soluciones de la ecuaci\u00f3n, tal como hab\u00edamos dicho al comienzo."}, {"start": 1015.0, "end": 1021.0, "text": " Si es una ecuaci\u00f3n de grado 4, esperamos obtener cuatro soluciones."}, {"start": 1021.0, "end": 1026.0, "text": " Como paso final, damos la respuesta al ejercicio."}, {"start": 1026.0, "end": 1032.0, "text": " Escribimos el conjunto soluci\u00f3n de esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 1032.0, "end": 1035.0, "text": " Entonces, organizamos los valores obtenidos."}, {"start": 1035.0, "end": 1046.0, "text": " Primero podemos escribir los dos n\u00fameros reales y despu\u00e9s las dos cantidades complejas."}, {"start": 1046.0, "end": 1057.0, "text": " Estos son n\u00fameros complejos, estos dos porque recordemos que se componen de una parte real y una parte imaginaria."}, {"start": 1057.0, "end": 1077.0, "text": " De esta manera tenemos el conjunto de soluciones de esta ecuaci\u00f3n."}]