INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una integral usando el Método de Integración por Partes.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a resolver esta integral por el método de integración por partes, ya que ni en forma directa, ni usando el método de sustitución, podríamos hallarlo. Para empezar, debemos escoger U y para ello vamos a usar el truco de ilate. Vamos a clasificar las dos funciones que tenemos acá en una de estas cinco categorías. Veamos, inversa, logarítmica, algebraica, trigonométrica y exponencial. La X corresponde a la categoría algebraica, tenemos A, y E a la 5X corresponde a la categoría exponencial. Entonces tenemos la E. Al armar la palabra ilate de izquierda a derecha, la primera letra que nos encontramos entre la A y la E es la A, por lo tanto, ella va a ser el papel de la U. ¿Qué quiere decir esto? Que la función algebraica, es decir, la X va a ser el papel de la U. Y la otra función, es decir, la exponencial con su DX va a ser el papel de DB. Ese truco de ilate funciona en la gran mayoría de las integrales que se hacen por partes. Solamente hay unas cuantas excepciones donde no funciona. Entonces veamos, si tenemos U, que es X, U tenemos que derivarlo. La derivada de U con respecto a X va a ser igual a 1, y aquí despejamos de U. De X que está dividiendo, pasa a multiplicar con el 1 y nos queda DX. Ya tenemos U y DB. Vamos con DB, que es igual a E a la 5X DX. Esta expresión debemos integrarla a los dos lados. Veamos, al lado izquierdo la integral de DB sería B, y al lado derecho la integral de E a la 5X nos va a dar E a la 5X sobre 5. Vamos a ver por qué nos da esto. Existe una formulita que se encuentra en las tablas de integrales de los textos de cálculo, que dice que la integral de E a la MX con su DX es igual a E a la MX sobre M, más la constante de integración. Es una fórmula que ya se ha establecido, es decir, en esos casos podemos simplemente aplicarla en forma directa para encontrar con rapidez integrales como esta. En este caso, el papel de la M lo hace el número 5. Bien, con estos cuatro componentes, esas cuatro nubesillas, vamos a construir la fórmula de partes. Y la fórmula de integración por partes dice así. La integral de U por DB es igual a... perdón, es igual a 1 vaca menos la integral vestida de uniforme. A ver, otra vez, 1 vaca menos la integral vestida de uniforme. Es una forma de recordar la fórmula de integración por partes. Vamos a reemplazar cada uno de los componentes. Veamos, ¿quién es U? U es X por DB, aquí tenemos DB, que es E a la 5X con su DX, igual a U, que es X, por B, que es E a la 5X sobre 5, menos la integral de B. Veamos quién es B. Otra vez, E a la 5X sobre 5 por DU. Y DU nos dio DX. Allí hemos reemplazado los cuatro elementos que habíamos encerrado en las nubesillas. Como podemos ver aquí, tenemos la misma integral que habíamos propuesto al comienzo de este ejercicio, o sea, la integral original. Y vamos a empezar a resolver el lado derecho. Aquí, si multiplicamos, nos queda en el numerador X por E a la 5X sobre 5, menos... aquí podemos sacar el 5 que sale como 1 quinto de la integral de E a la 5X con su respectivo DX. Veamos, nos queda X por E a la 5X sobre 5, menos 1 quinto por... La integral de E a la 5X es la misma que habíamos hecho hace un momento y que nos dio E a la 5X sobre 5, la que se hace con la fórmula que vimos. Aquí aparece por primera vez la constante de integración, por tratarse de una integral indefinida. Lo que podemos hacer allí es multiplicar en esta fracción, vamos a seguirlo por acá para colocar nuestra respuesta. Nos quedaría de la siguiente manera. Este término queda igual, X por E a la 5X sobre 5, menos... Veamos, si aquí multiplicamos en forma horizontal nos queda en el numerador E a la 5X y en el denominador nos queda 25 más la constante de integración. Podríamos dejar la respuesta allí, pero uno puede mejorarla, darla un poco más compacta. Podríamos buscar aquel común denominador entre 5 y 25, que es 25. Veamos, 25 dividido entre 5 nos da 5, multiplicado por el numerador nos daría 5X por E a la 5X, menos 25 dividido entre 25 nos da 1, y 1 por E a la 5X nos da E a la 5X más C. Y finalmente, como para que quede más bonita la respuesta, podríamos factorizar en el numerador lo que es E a la 5X, que es factor común D, 5X menos 1, todo esto queda sobre 25 más la constante de integración. Y al lado izquierdo traíamos la integral original que nos aparece a este lado, era X por E a la 5X con su X. Aquí tenemos frente a frente la integral original y su respuesta.
[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a resolver esta integral por el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes, ya que ni en forma directa, ni usando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, podr\u00edamos hallarlo."}, {"start": 11.0, "end": 17.0, "text": " Para empezar, debemos escoger U y para ello vamos a usar el truco de ilate."}, {"start": 17.0, "end": 22.0, "text": " Vamos a clasificar las dos funciones que tenemos ac\u00e1 en una de estas cinco categor\u00edas."}, {"start": 22.0, "end": 28.0, "text": " Veamos, inversa, logar\u00edtmica, algebraica, trigonom\u00e9trica y exponencial."}, {"start": 28.0, "end": 39.0, "text": " La X corresponde a la categor\u00eda algebraica, tenemos A, y E a la 5X corresponde a la categor\u00eda exponencial."}, {"start": 39.0, "end": 42.0, "text": " Entonces tenemos la E."}, {"start": 42.0, "end": 54.0, "text": " Al armar la palabra ilate de izquierda a derecha, la primera letra que nos encontramos entre la A y la E es la A, por lo tanto, ella va a ser el papel de la U."}, {"start": 54.0, "end": 62.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 quiere decir esto? Que la funci\u00f3n algebraica, es decir, la X va a ser el papel de la U."}, {"start": 62.0, "end": 71.0, "text": " Y la otra funci\u00f3n, es decir, la exponencial con su DX va a ser el papel de DB."}, {"start": 71.0, "end": 77.0, "text": " Ese truco de ilate funciona en la gran mayor\u00eda de las integrales que se hacen por partes."}, {"start": 77.0, "end": 80.0, "text": " Solamente hay unas cuantas excepciones donde no funciona."}, {"start": 80.0, "end": 88.0, "text": " Entonces veamos, si tenemos U, que es X, U tenemos que derivarlo."}, {"start": 88.0, "end": 95.0, "text": " La derivada de U con respecto a X va a ser igual a 1, y aqu\u00ed despejamos de U."}, {"start": 95.0, "end": 100.0, "text": " De X que est\u00e1 dividiendo, pasa a multiplicar con el 1 y nos queda DX."}, {"start": 100.0, "end": 102.0, "text": " Ya tenemos U y DB."}, {"start": 102.0, "end": 112.0, "text": " Vamos con DB, que es igual a E a la 5X DX."}, {"start": 112.0, "end": 121.0, "text": " Esta expresi\u00f3n debemos integrarla a los dos lados."}, {"start": 121.0, "end": 132.0, "text": " Veamos, al lado izquierdo la integral de DB ser\u00eda B, y al lado derecho la integral de E a la 5X nos va a dar E a la 5X sobre 5."}, {"start": 132.0, "end": 134.0, "text": " Vamos a ver por qu\u00e9 nos da esto."}, {"start": 134.0, "end": 143.0, "text": " Existe una formulita que se encuentra en las tablas de integrales de los textos de c\u00e1lculo,"}, {"start": 143.0, "end": 153.0, "text": " que dice que la integral de E a la MX con su DX es igual a E a la MX sobre M, m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 153.0, "end": 162.0, "text": " Es una f\u00f3rmula que ya se ha establecido, es decir, en esos casos podemos simplemente aplicarla en forma directa para encontrar con rapidez integrales como esta."}, {"start": 162.0, "end": 166.0, "text": " En este caso, el papel de la M lo hace el n\u00famero 5."}, {"start": 166.0, "end": 174.0, "text": " Bien, con estos cuatro componentes, esas cuatro nubesillas, vamos a construir la f\u00f3rmula de partes."}, {"start": 174.0, "end": 178.0, "text": " Y la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes dice as\u00ed."}, {"start": 178.0, "end": 190.0, "text": " La integral de U por DB es igual a... perd\u00f3n, es igual a 1 vaca menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 190.0, "end": 200.0, "text": " A ver, otra vez, 1 vaca menos la integral vestida de uniforme. Es una forma de recordar la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 200.0, "end": 202.0, "text": " Vamos a reemplazar cada uno de los componentes."}, {"start": 202.0, "end": 203.0, "text": " Veamos, \u00bfqui\u00e9n es U?"}, {"start": 203.0, "end": 226.0, "text": " U es X por DB, aqu\u00ed tenemos DB, que es E a la 5X con su DX, igual a U, que es X, por B, que es E a la 5X sobre 5, menos la integral de B."}, {"start": 226.0, "end": 234.0, "text": " Veamos qui\u00e9n es B. Otra vez, E a la 5X sobre 5 por DU."}, {"start": 234.0, "end": 238.0, "text": " Y DU nos dio DX."}, {"start": 238.0, "end": 246.0, "text": " All\u00ed hemos reemplazado los cuatro elementos que hab\u00edamos encerrado en las nubesillas."}, {"start": 246.0, "end": 254.0, "text": " Como podemos ver aqu\u00ed, tenemos la misma integral que hab\u00edamos propuesto al comienzo de este ejercicio, o sea, la integral original."}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " Y vamos a empezar a resolver el lado derecho."}, {"start": 257.0, "end": 276.0, "text": " Aqu\u00ed, si multiplicamos, nos queda en el numerador X por E a la 5X sobre 5, menos... aqu\u00ed podemos sacar el 5 que sale como 1 quinto de la integral de E a la 5X con su respectivo DX."}, {"start": 276.0, "end": 284.0, "text": " Veamos, nos queda X por E a la 5X sobre 5, menos 1 quinto por..."}, {"start": 284.0, "end": 295.0, "text": " La integral de E a la 5X es la misma que hab\u00edamos hecho hace un momento y que nos dio E a la 5X sobre 5, la que se hace con la f\u00f3rmula que vimos."}, {"start": 295.0, "end": 301.0, "text": " Aqu\u00ed aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n, por tratarse de una integral indefinida."}, {"start": 301.0, "end": 311.0, "text": " Lo que podemos hacer all\u00ed es multiplicar en esta fracci\u00f3n, vamos a seguirlo por ac\u00e1 para colocar nuestra respuesta."}, {"start": 311.0, "end": 313.0, "text": " Nos quedar\u00eda de la siguiente manera."}, {"start": 313.0, "end": 321.0, "text": " Este t\u00e9rmino queda igual, X por E a la 5X sobre 5, menos..."}, {"start": 321.0, "end": 331.0, "text": " Veamos, si aqu\u00ed multiplicamos en forma horizontal nos queda en el numerador E a la 5X y en el denominador nos queda 25 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 331.0, "end": 340.0, "text": " Podr\u00edamos dejar la respuesta all\u00ed, pero uno puede mejorarla, darla un poco m\u00e1s compacta."}, {"start": 340.0, "end": 344.0, "text": " Podr\u00edamos buscar aquel com\u00fan denominador entre 5 y 25, que es 25."}, {"start": 344.0, "end": 362.0, "text": " Veamos, 25 dividido entre 5 nos da 5, multiplicado por el numerador nos dar\u00eda 5X por E a la 5X, menos 25 dividido entre 25 nos da 1, y 1 por E a la 5X nos da E a la 5X m\u00e1s C."}, {"start": 362.0, "end": 379.0, "text": " Y finalmente, como para que quede m\u00e1s bonita la respuesta, podr\u00edamos factorizar en el numerador lo que es E a la 5X, que es factor com\u00fan D, 5X menos 1, todo esto queda sobre 25 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 379.0, "end": 389.0, "text": " Y al lado izquierdo tra\u00edamos la integral original que nos aparece a este lado, era X por E a la 5X con su X."}, {"start": 389.0, "end": 394.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos frente a frente la integral original y su respuesta."}]