LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico.

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 Vamos a resolver detalladamente este límite trigonométrico y comenzamos por evaluar la función cuando x toma el valor 0. En el numerador tendríamos 2 por 0, 0, entonces nos queda tangente de 0, estos son 0 radianes y en el denominador 0 más seno de 0, también aquí son 0 radianes. Tangente de 0 radianes nos da 0, acá seno de 0 radianes también es 0 y 0 más 0 nos da 0. Llegamos a una forma indeterminada 0 sobre 0 que nos indica que debemos transformar esa función. Comenzamos utilizando esta identidad trigonométrica, tangente de un ángulo theta es igual a seno de theta sobre coseno de theta, entonces vamos a cambiar tangente de 2x utilizando esa identidad, esto nos queda límite cuando x tiende a 0 de, trazamos la línea principal de la fracción y en el numerador tendremos seno de 2x sobre coseno de 2x, repetimos se usa esta identidad trigonométrica y en el denominador tenemos x más seno de x y a todo esto le vamos a colocar denominador 1. Hacemos ahora la división de esas dos fracciones, entonces tendremos límite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, trazamos la línea principal de la fracción, en el numerador tendremos el producto de estos dos componentes seno de 2x por 1 que nos da seno de 2x y en el denominador tendremos el producto de estos dos componentes, entonces coseno de 2x que multiplica con x más seno de x. Allí vamos a utilizar otra identidad trigonométrica, la del seno del ángulo doble, vamos a recordarla por acá, seno de 2teta equivale a 2 por seno de teta por coseno de teta. Entonces vamos a transformar el numerador de esa expresión, seguimos por acá, nos queda límite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, trazamos la línea principal de la fracción en el numerador seno de 2x será 2 por seno de x por coseno de x, aplicando esta identidad para el seno del ángulo doble, en el denominador sigue la misma expresión coseno de 2x que multiplica con x más seno de x. Ahora vamos a dividir tanto el numerador como el denominador por x, tendremos entonces límite cuando x tiende a 0 de, trazamos la línea principal de la fracción y en el numerador tendremos 2 seno de x por coseno de x y todo esto dividido entre x, en el denominador tendremos coseno de 2x que multiplica con x más seno de x y todo eso lo dividimos también entre x. Como aquí tenemos el producto de tres componentes, tres factores y todo eso está sobre x, entonces elegimos a quien le colocamos x como denominador, se lo vamos a colocar a seno de x, vamos a seguir por acá, nos queda límite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, en el numerador nos queda 2 por seno de x sobre x y todo esto por coseno de x. Aquí debemos tener cuidado con lo siguiente, no se debe repartir la x para cada uno de los componentes, elegimos a cual de esos tres factores le entregamos esa x como denominador y lo mismo vamos a hacer acá en el denominador, vamos a entregarle esta x a este factor, a x más seno de x, entonces tendremos coseno de 2x y esto por x más seno de x y esto nos queda sobre x, por seguridad mejor protegemos esto con paréntesis. Ahora a su vez aquí vamos a repartir esta x para estos dos componentes de la suma, entonces tendremos límite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, línea principal de la fracción, en el numerador la misma expresión 2 por seno de x sobre x por coseno de x y en el denominador coseno de 2x por, aquí repartimos la x, nos queda x sobre x más seno de x sobre x. Aquí podemos simplificar este componente, x sobre x nos da 1 y ya hemos llegado a una expresión donde nos aparece seno de x sobre x y todo eso cuando el límite tiene la x que se aproxima a 0, allí vamos a utilizar entonces este límite o esta propiedad de los límites trigonométricos que nos dice que el límite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x esto nos da 1. Entonces vamos a aplicar las propiedades de los límites, vamos a seguir por acá, tendremos lo siguiente, inicialmente el límite afecta a un cosiente por lo tanto afecta al numerador y afecta al denominador, pero allí tenemos factores, entonces el límite afecta a cada uno de esos componentes, veamos entonces, trazamos la línea principal de la fracción en el numerador tendríamos límite cuando x tiende a 0 de 2, o sea el primer factor por el límite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x, allí tenemos el segundo factor y eso por el límite de coseno de x cuando x tiende a 0 y allí tenemos entonces el tercer factor. Ahora en el denominador pasa lo mismo, el límite afecta a cada uno de los componentes, respetando las operaciones, nos queda límite cuando x tiende a 0 de coseno de 2x, vamos a proteger esto utilizando corchetes y esto por el límite que afecta a esta suma, por lo tanto se toma límite a cada uno de los sumandos, límite de 1 cuando x tiende a 0 más límite de seno de x sobre x cuando x tiende también a 0, todo esto lo protegemos con paréntesis y extendemos esta línea. Ahora si resolvemos cada uno de esos límites, aquí observamos este que habíamos mencionado, esa propiedad que debemos tener bien presente, límite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x, todo esto equivale a 1, también lo tenemos acá y también tenemos otros límites que salen por reemplazo directo, acá tendremos el límite de una constante, límite de 2 cuando x tiende a 0, esto nos da la constante que es 2, acá límite de coseno de x cuando x tiende a 0, reemplazamos el 0 acá, nos queda coseno de 0, coseno de 0 radianes que equivale a 1 y por acá coseno de 2x, 2 por 0 nos da 0, coseno de 0 radianes también nos da 1 y otra vez el límite de una constante, límite de 1 cuando x tiende a 0 nos da 1. Finalmente resolvemos las operaciones con los números que nos quedaron, en el numerador 2x1x1 eso nos da 2, en el denominador todo esto nos dio 1 que multiplica con, acá dentro del paréntesis 1 más 1 nos da 2, esto al final nos queda dos medios que equivale a 1 y 1 es la respuesta para este ejercicio, para este límite trigonométrico. Podríamos comprobar esta solución ingresando esta expresión a una calculadora científica colocándola en modo de radianes y dándole a x valores muy cercanos a 0 tanto por izquierda como por derecha, veremos como esa expresión se aproxima a 1.
[{"start": 0.0, "end": 9.06, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite trigonom\u00e9trico y comenzamos por evaluar la"}, {"start": 9.06, "end": 12.620000000000001, "text": " funci\u00f3n cuando x toma el valor 0."}, {"start": 12.620000000000001, "end": 19.98, "text": " En el numerador tendr\u00edamos 2 por 0, 0, entonces nos queda tangente de 0, estos son 0 radianes"}, {"start": 19.98, "end": 28.400000000000002, "text": " y en el denominador 0 m\u00e1s seno de 0, tambi\u00e9n aqu\u00ed son 0 radianes."}, {"start": 28.4, "end": 35.6, "text": " Tangente de 0 radianes nos da 0, ac\u00e1 seno de 0 radianes tambi\u00e9n es 0 y 0 m\u00e1s 0 nos"}, {"start": 35.6, "end": 36.92, "text": " da 0."}, {"start": 36.92, "end": 42.64, "text": " Llegamos a una forma indeterminada 0 sobre 0 que nos indica que debemos transformar"}, {"start": 42.64, "end": 44.94, "text": " esa funci\u00f3n."}, {"start": 44.94, "end": 52.16, "text": " Comenzamos utilizando esta identidad trigonom\u00e9trica, tangente de un \u00e1ngulo theta es igual a seno"}, {"start": 52.16, "end": 62.04, "text": " de theta sobre coseno de theta, entonces vamos a cambiar tangente de 2x utilizando esa identidad,"}, {"start": 62.04, "end": 69.16, "text": " esto nos queda l\u00edmite cuando x tiende a 0 de, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n"}, {"start": 69.16, "end": 80.47999999999999, "text": " y en el numerador tendremos seno de 2x sobre coseno de 2x, repetimos se usa esta identidad"}, {"start": 80.48, "end": 86.9, "text": " trigonom\u00e9trica y en el denominador tenemos x m\u00e1s seno de x y a todo esto le vamos a"}, {"start": 86.9, "end": 90.24000000000001, "text": " colocar denominador 1."}, {"start": 90.24000000000001, "end": 96.16, "text": " Hacemos ahora la divisi\u00f3n de esas dos fracciones, entonces tendremos l\u00edmite cuando x tiende"}, {"start": 96.16, "end": 102.98, "text": " a 0 de lo siguiente, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n, en el numerador tendremos"}, {"start": 102.98, "end": 111.68, "text": " el producto de estos dos componentes seno de 2x por 1 que nos da seno de 2x y en el denominador"}, {"start": 111.68, "end": 121.2, "text": " tendremos el producto de estos dos componentes, entonces coseno de 2x que multiplica con x"}, {"start": 121.2, "end": 124.74000000000001, "text": " m\u00e1s seno de x."}, {"start": 124.74000000000001, "end": 130.8, "text": " All\u00ed vamos a utilizar otra identidad trigonom\u00e9trica, la del seno del \u00e1ngulo doble, vamos a recordarla"}, {"start": 130.8, "end": 142.32000000000002, "text": " por ac\u00e1, seno de 2teta equivale a 2 por seno de teta por coseno de teta."}, {"start": 142.32000000000002, "end": 148.36, "text": " Entonces vamos a transformar el numerador de esa expresi\u00f3n, seguimos por ac\u00e1, nos"}, {"start": 148.36, "end": 155.96, "text": " queda l\u00edmite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n"}, {"start": 155.96, "end": 164.5, "text": " en el numerador seno de 2x ser\u00e1 2 por seno de x por coseno de x, aplicando esta identidad"}, {"start": 164.5, "end": 171.16, "text": " para el seno del \u00e1ngulo doble, en el denominador sigue la misma expresi\u00f3n coseno de 2x que"}, {"start": 171.16, "end": 176.56, "text": " multiplica con x m\u00e1s seno de x."}, {"start": 176.56, "end": 183.12, "text": " Ahora vamos a dividir tanto el numerador como el denominador por x, tendremos entonces l\u00edmite"}, {"start": 183.12, "end": 189.20000000000002, "text": " cuando x tiende a 0 de, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n y en el numerador"}, {"start": 189.20000000000002, "end": 198.72, "text": " tendremos 2 seno de x por coseno de x y todo esto dividido entre x, en el denominador tendremos"}, {"start": 198.72, "end": 207.56, "text": " coseno de 2x que multiplica con x m\u00e1s seno de x y todo eso lo dividimos tambi\u00e9n entre"}, {"start": 207.56, "end": 209.02, "text": " x."}, {"start": 209.02, "end": 217.12, "text": " Como aqu\u00ed tenemos el producto de tres componentes, tres factores y todo eso est\u00e1 sobre x, entonces"}, {"start": 217.12, "end": 223.92000000000002, "text": " elegimos a quien le colocamos x como denominador, se lo vamos a colocar a seno de x, vamos"}, {"start": 223.92000000000002, "end": 231.8, "text": " a seguir por ac\u00e1, nos queda l\u00edmite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, en el numerador"}, {"start": 231.8, "end": 242.28, "text": " nos queda 2 por seno de x sobre x y todo esto por coseno de x."}, {"start": 242.28, "end": 247.16000000000003, "text": " Aqu\u00ed debemos tener cuidado con lo siguiente, no se debe repartir la x para cada uno de"}, {"start": 247.16000000000003, "end": 253.92000000000002, "text": " los componentes, elegimos a cual de esos tres factores le entregamos esa x como denominador"}, {"start": 253.92000000000002, "end": 261.36, "text": " y lo mismo vamos a hacer ac\u00e1 en el denominador, vamos a entregarle esta x a este factor, a"}, {"start": 261.36, "end": 270.28000000000003, "text": " x m\u00e1s seno de x, entonces tendremos coseno de 2x y esto por x m\u00e1s seno de x y esto nos"}, {"start": 270.28000000000003, "end": 276.52000000000004, "text": " queda sobre x, por seguridad mejor protegemos esto con par\u00e9ntesis."}, {"start": 276.52000000000004, "end": 283.48, "text": " Ahora a su vez aqu\u00ed vamos a repartir esta x para estos dos componentes de la suma, entonces"}, {"start": 283.48, "end": 291.36, "text": " tendremos l\u00edmite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n,"}, {"start": 291.36, "end": 299.88, "text": " en el numerador la misma expresi\u00f3n 2 por seno de x sobre x por coseno de x y en el denominador"}, {"start": 299.88, "end": 311.52000000000004, "text": " coseno de 2x por, aqu\u00ed repartimos la x, nos queda x sobre x m\u00e1s seno de x sobre x."}, {"start": 311.52, "end": 319.88, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar este componente, x sobre x nos da 1 y ya hemos llegado a una"}, {"start": 319.88, "end": 327.0, "text": " expresi\u00f3n donde nos aparece seno de x sobre x y todo eso cuando el l\u00edmite tiene la x"}, {"start": 327.0, "end": 334.47999999999996, "text": " que se aproxima a 0, all\u00ed vamos a utilizar entonces este l\u00edmite o esta propiedad de"}, {"start": 334.47999999999996, "end": 339.32, "text": " los l\u00edmites trigonom\u00e9tricos que nos dice que el l\u00edmite cuando x tiende a 0 de seno"}, {"start": 339.32, "end": 344.12, "text": " de x sobre x esto nos da 1."}, {"start": 344.12, "end": 350.84, "text": " Entonces vamos a aplicar las propiedades de los l\u00edmites, vamos a seguir por ac\u00e1, tendremos"}, {"start": 350.84, "end": 357.1, "text": " lo siguiente, inicialmente el l\u00edmite afecta a un cosiente por lo tanto afecta al numerador"}, {"start": 357.1, "end": 362.92, "text": " y afecta al denominador, pero all\u00ed tenemos factores, entonces el l\u00edmite afecta a cada"}, {"start": 362.92, "end": 369.76, "text": " uno de esos componentes, veamos entonces, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n"}, {"start": 369.76, "end": 378.84000000000003, "text": " en el numerador tendr\u00edamos l\u00edmite cuando x tiende a 0 de 2, o sea el primer factor"}, {"start": 378.84000000000003, "end": 390.16, "text": " por el l\u00edmite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x, all\u00ed tenemos el segundo factor"}, {"start": 390.16, "end": 400.16, "text": " y eso por el l\u00edmite de coseno de x cuando x tiende a 0 y all\u00ed tenemos entonces el tercer"}, {"start": 400.16, "end": 401.16, "text": " factor."}, {"start": 401.16, "end": 407.34000000000003, "text": " Ahora en el denominador pasa lo mismo, el l\u00edmite afecta a cada uno de los componentes, respetando"}, {"start": 407.34000000000003, "end": 415.04, "text": " las operaciones, nos queda l\u00edmite cuando x tiende a 0 de coseno de 2x, vamos a proteger"}, {"start": 415.04, "end": 422.1, "text": " esto utilizando corchetes y esto por el l\u00edmite que afecta a esta suma, por lo tanto se toma"}, {"start": 422.1, "end": 431.14000000000004, "text": " l\u00edmite a cada uno de los sumandos, l\u00edmite de 1 cuando x tiende a 0 m\u00e1s l\u00edmite de seno"}, {"start": 431.14000000000004, "end": 438.82000000000005, "text": " de x sobre x cuando x tiende tambi\u00e9n a 0, todo esto lo protegemos con par\u00e9ntesis y"}, {"start": 438.82, "end": 446.36, "text": " extendemos esta l\u00ednea. Ahora si resolvemos cada uno de esos l\u00edmites, aqu\u00ed observamos"}, {"start": 446.36, "end": 452.15999999999997, "text": " este que hab\u00edamos mencionado, esa propiedad que debemos tener bien presente, l\u00edmite cuando"}, {"start": 452.15999999999997, "end": 460.53999999999996, "text": " x tiende a 0 de seno de x sobre x, todo esto equivale a 1, tambi\u00e9n lo tenemos ac\u00e1 y tambi\u00e9n"}, {"start": 460.53999999999996, "end": 467.4, "text": " tenemos otros l\u00edmites que salen por reemplazo directo, ac\u00e1 tendremos el l\u00edmite de una constante,"}, {"start": 467.4, "end": 473.06, "text": " l\u00edmite de 2 cuando x tiende a 0, esto nos da la constante que es 2, ac\u00e1 l\u00edmite de coseno"}, {"start": 473.06, "end": 478.56, "text": " de x cuando x tiende a 0, reemplazamos el 0 ac\u00e1, nos queda coseno de 0, coseno de 0"}, {"start": 478.56, "end": 487.06, "text": " radianes que equivale a 1 y por ac\u00e1 coseno de 2x, 2 por 0 nos da 0, coseno de 0 radianes"}, {"start": 487.06, "end": 493.47999999999996, "text": " tambi\u00e9n nos da 1 y otra vez el l\u00edmite de una constante, l\u00edmite de 1 cuando x tiende"}, {"start": 493.48, "end": 502.36, "text": " a 0 nos da 1. Finalmente resolvemos las operaciones con los n\u00fameros que nos quedaron, en el numerador"}, {"start": 502.36, "end": 511.36, "text": " 2x1x1 eso nos da 2, en el denominador todo esto nos dio 1 que multiplica con, ac\u00e1 dentro"}, {"start": 511.36, "end": 519.04, "text": " del par\u00e9ntesis 1 m\u00e1s 1 nos da 2, esto al final nos queda dos medios que equivale a"}, {"start": 519.04, "end": 527.38, "text": " 1 y 1 es la respuesta para este ejercicio, para este l\u00edmite trigonom\u00e9trico. Podr\u00edamos"}, {"start": 527.38, "end": 534.24, "text": " comprobar esta soluci\u00f3n ingresando esta expresi\u00f3n a una calculadora cient\u00edfica coloc\u00e1ndola"}, {"start": 534.24, "end": 540.18, "text": " en modo de radianes y d\u00e1ndole a x valores muy cercanos a 0 tanto por izquierda como"}, {"start": 540.18, "end": 569.68, "text": " por derecha, veremos como esa expresi\u00f3n se aproxima a 1."}]