LONGITUD DE UNA CURVA - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo hallar la longitud de una curva usando una integral definida.

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 En este problema nos dicen que y se mueve entre 0 y 1 a lo largo de la curva de x igual a y o y elevada a la 3 medias. Y nos piden la longitud de la curva entre 0 y 1 valores de la variable y. Entonces vamos a usar la siguiente formulita. La formula para longitud de arco para estos casos que dice así. Es la integral entre los valores a y b, valores de la variable y, de la raíz cuadrada de 1 más de x de y al cuadrado. Todo esto dentro de la raíz cuadrada multiplicado por el respectivo diferencial de y. Entonces, ¿qué tenemos? a y b serán los valores 0 y 1. a será 0, b será 1. Y necesitamos obtener dx de y, es decir la derivada de esta expresión con respecto a la variable y. Vamos a obtenerla. dx de y será entonces derivada ya de la 3 medias. y bajaría a 3 medias. A multiplicar queda y elevado a la 3 medias menos 1 que sería 1 medio. Entonces vamos a conformar nuestra integral reemplazando esto aquí y los valores de a y b por 0 y 1. Allí hemos hecho los cambios 0, 1 y aquí dentro de esta expresión. Vamos entonces a borrar esto y nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta integral definida. Comenzamos por desarrollar esto que se encuentra al cuadrado dentro de la raíz. Si entra al cuadrado nos quedaría 9 cuartos de y. Todo esto dentro de la raíz con su respectivo diferencial de y. Para resolver esta integral definida vamos a utilizar el método de sustitución. Vamos a llamar por ejemplo h mayúscula a la expresión que tenemos dentro de la raíz. Es decir 1 más 9 cuartos de y. Esta expresión tenemos que derivarla. Vamos a derivar h con respecto a y. La derivada nos da 9 cuartos. Y de aquí vamos a despejar de y. El despeje de de y nos daría 4dh sobre 9. Y tenemos entonces el reemplazo de este diferencial de y. Vamos a aprovechar también para cambiar los límites de integración 0 y 1 que originalmente son valores de y. Vamos a llevarlos a la nueva variable que es h. Entonces vamos a hacer esos cambios por acá. Tomemos el límite superior, es decir el 1. Si y es igual a 1 entonces veamos h cuanto vale. Si traemos el 1 aquí y reemplazamos y resolvemos eso nos quedaría 1 más 9 cuartos que sería 13 cuartos. Y lo mismo vamos a realizar con el límite inferior. Es decir cuando y vale 0 entonces veamos h cuanto vale. Traemos el 0 aquí. Resolviendo todo eso nos queda que h es igual a 1. Entonces vamos a reconstruir nuestra integral en términos de la variable h. Veamos aquí en lugar del 0 tendremos el 1. Valor de h. Aquí en lugar del 1 nos queda 13 cuartos. 13 cuartos valores de h. Acá dentro de la raíz cambiaríamos todo esto por h. Entonces escribimos h por acá. Y lo que es el diferencial de y lo cambiamos por 4dh novenos. Y ya tenemos una integral sencilla que vamos a resolver. Vamos a continuarla por acá. Tenemos que l es igual, podemos sacar 4 novenos de la integral. Quedaría multiplicando. Y tenemos la integral que va desde 1 hasta 13 cuartos. De raíz cuadrada de h que sería h elevado a la 1 medio. Por su respectivo diferencial de h. Vamos a borrar esto y vamos a continuar con el desarrollo de la integral. Esto nos queda 4 novenos que multiplica a. Vamos a integrar h a la 1 medio. Eso sería h a la 3 medios sobre 3 medios. Recordemos que a 1 medio se le suma 1. Y esto evaluado entre 1 y 13 cuartos. Organizamos. Nos queda 4 novenos. Subimos el 2 que haría 2 por h a la 3 medios. Todo esto sobre 3 evaluado entre 1 y 13 cuartos. Nos queda l igual, podemos sacar 2 tercios a multiplicar con 4 novenos. Eso nos quedaría 8, 27 abos. Que va a multiplicar a h a la 3 medios. Que lo podemos escribir de una vez como raíz cuadrada de h al cubo. Y esto evaluado entre 1 y 13 cuartos. Cerramos por acá. Borramos por aquí. Nos queda l es igual a 8, 27 abos por raíz cuadrada de h al cubo. Simplificando nos queda h por la raíz cuadrada de h. Y esto evaluado entre 1 y 13 cuartos. Y hacemos toda esa transformación. Para que al reemplazar los valores 13 cuartos y 1. Nos quede de una vez lo más simplificado posible. Entonces vamos a reemplazar 13 cuartos. Donde está la h quedaría 13 cuartos. Por la raíz cuadrada del 13 cuartos. Menos si entra el 1 tendríamos 1 por la raíz cuadrada de 1. Que nos da 1. Vamos a simplificar esto un poco más. Nos queda l igual a 8, 27 abos. Y acá tendremos 13 cuartos. Por aquí repartimos la raíz cuadrada para el numerador y para el denominador. Entonces nos queda la raíz cuadrada de 13 indicada. Por ser una raíz inexacta. Y abajo la raíz cuadrada de 4 que es 2. Esto menos 1. Vamos a seguirlo. Nos queda entonces l igual a 8, 27 abos. Y aquí nos quedaría 13 raíz de 13. Todo esto sobre 8. Menos 1 que podemos convertir en 8 octavos. Para facilitar la resta. Nos queda entonces 8, 27 abos. Que multiplica a 13 raíz de 13. Menos 8. Todo esto con denominador 8 que queda igual. Y allí podemos observar que el 8 se puede simplificar. Por lo que aquí tenemos multiplicación. Entonces la respuesta nos queda de la siguiente manera. En el numerador 13 raíz de 13 menos 8. En el denominador 27. Y a esto le colocamos la U que indica unidades lineales. Si porque se trata de la longitud de una curva. Haciendo esto en una calculadora nos da aproximadamente igual a 1.44 unidades. Y entonces de esta manera. Hemos encontrado la longitud de curva que nos preguntan en este ejercicio.
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