FUNCIONES COMPUESTAS Y SUS DOMINIOS
#julioprofe explica cómo obtener las funciones compuestas (f o g)(x) y (g o f)(x), así como sus respectivos dominios.

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 Para estas dos funciones que tenemos, F y G, vamos a determinar F compuesta G de X y G compuesta F de X, así como sus respectivos dominios. Comenzamos por determinar F compuesta G de X, que también se puede escribir como F de G de X. Lo que vamos a hacer en esta ocasión es reemplazar G de X en F de X, es decir, G de X que equivale a 1 sobre X, aquí lo sustituimos, vamos a reemplazarlo en la función F en el lugar que corresponde a la letra X. O sea que 1 sobre X entra aquí, donde tenemos la variable X. Nos queda entonces la raíz cuadrada de 1 sobre X menos 2. Ese es el concepto de función compuesta, es evaluar una función en otra, en este caso G de X entra a reemplazarse en la función F. Vamos a resolver esta expresión, hacemos ya la parte algebraica dentro de esa raíz cuadrada. Entonces tenemos raíz cuadrada, a este 2 le podemos escribir denominador 1 y hacemos la resta de fracciones. Allí podemos utilizar la famosa carita feliz, 1 por 1 nos da 1 menos X por 2 que nos da 2X y abajo X por 1 que nos da X. Entonces hemos utilizado esto, por eso se le llama la carita feliz para encontrar rápidamente la operación que tenemos dentro de la raíz. Entonces, en resumen, la función F compuesta G de X es igual a esa expresión algebraica, la raíz cuadrada de 1 menos 2X y todo eso sobre X. Entonces con esto respondemos a la primera pregunta. Tenemos F compuesta G de X. Vamos ahora a encontrar G compuesta F de X que también puede escribirse como G evaluada en F de X. Ahora la función F de X se va a reemplazar en la función G. Entonces veamos que es F de X, equivale a la raíz cuadrada de X menos 2. Entonces aquí hacemos la sustitución. Y ahora esta expresión la vamos a reemplazar en la función G en el lugar correspondiente a la X. O sea que esta expresión se va a escribir aquí en el denominador de esa fracción. Nos queda entonces 1 sobre la raíz cuadrada de X menos 2. Y allí no podemos hacer nada más en cuanto a la parte algebraica. Se queda de esa manera. Entonces, en resumen, G compuesta F de X es igual a esta expresión. Tenemos 1 sobre la raíz cuadrada de X menos 2. Y allí respondemos a la segunda pregunta. Tenemos G compuesta F de X. Ahora vamos a encontrar los dominios de las dos funciones compuestas que acabamos de determinar. Para ello debemos establecer primero el dominio de cada una de las dos funciones que nos dan inicialmente. Debemos establecer dominio de F y dominio de G. Para el caso de la función F de X se requiere que X menos 2 sea siempre mayor o igual que 0. Para que esta función exista en el conjunto de los números reales debemos garantizar que X menos 2 no sea negativo. Entonces por eso se establece esta condición que es que X menos 2 todo el tiempo sea mayor o igual que 0. Tenemos una desigualdad lineal, entonces la resolvemos. Simplemente el 2 que está restando pasa al otro lado a sumar y nos queda X mayor o igual que 2. Que se convierte en el dominio de la función F. Y para el caso de la función G de X, para que ella exista en el conjunto de los reales necesitamos que X no sea 0. Entonces el dominio de G serán los valores de X, valores reales, diferentes de 0. Para establecer el dominio de F compuesta G se tienen que cumplir dos condiciones. La primera que X pertenezca al dominio de G y la segunda que G de X pertenezca al dominio de F. Veamos por qué. Cuando hacemos la función compuesta F bolita G o F compuesta G. Quiere decir que X entra en la función G de X y a su vez la función G de X entra a la función F de X. Entonces por esa razón X debe pertenecer al dominio de G, esa es la primera condición. Y a su vez G de X debe pertenecer al conjunto de valores que admite la función F de X. Por eso G de X debe pertenecer al dominio de F. Entonces teniendo en cuenta esas dos condiciones vamos a determinar el dominio de F compuesta G. La primera condición X perteneciente al dominio de G se convierte en esta que habíamos establecido. Es simplemente el dominio de la función G que es X diferente de 0. Y la segunda condición es que la función G de X pertenezca al dominio de F. O sea que 1 sobre X se reemplace aquí en la condición que habíamos establecido para F. O sea que 1 sobre X sea mayor o igual que 2. Recordemos que la función G de X ocupa el lugar de la X en la función F. Por eso nos queda 1 sobre X mayor o igual que 2. Una desigualdad de tipo racional que tenemos que resolver sin olvidar esta primera condición. Resolvemos entonces esa desigualdad racional. 1 sobre X mayor o igual que 2. Pasamos este 2 al lado izquierdo, llega a restar de tal forma que en el lado derecho siempre tengamos el 0. A este lado resolvemos la operación. Escribimos denominador 1. Resolvemos esa resta de fracciones con el método de la carita feliz que usábamos al principio. Tenemos 1 por 1 que es 1 menos X por 2 que es 2X y abajo X por 1 que nos da X. Y todo esto mayor o igual que 0. Aquí tenemos entonces la desigualdad racional. Y vamos a determinar sus puntos críticos. Es decir, aquellos valores de X que vuelven 0 el numerador y el denominador de esta expresión. Veamos entonces puntos críticos para el numerador. Para el numerador podemos igualar a 0 la expresión 1 menos 2X. Vamos a hacerlo por aquí. 1 menos 2X se iguala a 0 y se resuelve esa ecuación para X. Podemos dejar en el lado izquierdo menos 2X. Pasamos este 1 que está positivo al otro lado negativo. Despejamos X. Pasamos menos 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Recordemos que pasa con su signo negativo. Y aquí aplicamos ley de los signos para esta división. Menos con menos nos da más. O sea que X es igual a 1 medio. Tenemos entonces el punto crítico para el numerador en X igual a 1 medio. Para el denominador establecemos que el punto crítico ocurre en X igual a 0. Entonces allí tenemos los puntos críticos para esta desigualdad. Recordemos que el punto crítico que se obtiene del denominador nunca se toma. Es decir, este valor va a representarse con bolita sin llenar. Porque el denominador de una expresión jamás puede ser 0. Entonces ese punto crítico siempre se considera abierto. Y para el caso del numerador, el punto crítico que obtuvimos en este caso si se toma o se representa con bolita llena. Porque tenemos signo mayor o igual en esa desigualdad. Siempre que tengamos signo mayor o igual o incluso menor o igual. Entonces el punto crítico o los puntos críticos que resulten del numerador se toman como parte de la solución. Vamos ahora a trazar en este espacio la recta que representa el conjunto de los reales localizando en ella estos dos puntos críticos. Bueno, aquí la tenemos y vamos a seleccionar de cada intervalo un valor de X para probarlo aquí en esta expresión. Tenemos para el primer intervalo comprendido entre menos infinito y 0 que podemos escoger X igual a menos 1. Para el segundo intervalo comprendido entre 0 y 1 medio, o sea entre 0 y 0.5, entonces podemos escoger X igual a 0.2 por ejemplo. Y para el tercer intervalo, escogemos un número comprendido entre 0.5 y más infinito. Podemos escoger el número 2 por ejemplo. Vamos ahora a reemplazar cada uno de esos números, cada uno de esos valores de prueba aquí en la expresión. Vamos entonces a reemplazar en el numerador y en el denominador. Veamos, con X igual a menos 1, si lo reemplazamos aquí, tenemos que menos 2 por menos 1 nos da 2 positivo. Y 1 más 2 nos daría 3 en el numerador. Entonces, numerador positivo, si menos 1 entra aquí en el denominador, tendremos denominador negativo. Vamos ahora con 0.2, por aquí menos 2 por 0.2 nos da menos 0.4. 1 menos 0.4 da como resultado 0.6 positivo en el numerador. Y si 0.2 entra aquí donde tenemos la X nos da resultado positivo. Vamos ahora con X igual a 2, aquí. Si X vale 2, tenemos menos 2 por 2 que es menos 4. 1 menos 4 nos da menos 3, o sea resultado negativo en el numerador. Y X como toma el valor 2 será positivo en el denominador. Aplicamos ley de los signos en cada caso. Por acá tenemos más con menos que es menos. Más con más nos da más. Menos con más nos da menos. Y lo que necesitamos es que toda esta expresión sea mayor o igual que 0. O sea que tiene que ser positiva. Por lo tanto, sirven las zonas positivas. Entonces, esta zona sí sirve y las zonas negativas no sirven. Trayamos entonces la zona que sí sirvió, la zona positiva. Y recordemos que dijimos hace un momento que X igual a 0 no se toma. Entonces, se representa con bolita abierta y que un medio sí se toma. Entonces, se representa con bolita llena o lo que llamamos bolita cerrada. Y con esto tenemos el conjunto solución de esta desigualdad racional. Vamos a escribirlo por acá. Solución serían los X que pertenecen al intervalo que va desde 0 abierto. Entonces, con paréntesis hasta un medio cerrado. O sea, con corchete. Y esta solución debe complementarse con la primera condición que habíamos establecido. Que era esta, la del dominio de la función G. X tiene que ser diferente de 0. Pero en este intervalo observamos que 0 no hace parte de la solución. O sea que tenemos ya garantizada esta condición en este conjunto. De esta manera tenemos entonces el dominio de F compuesta G. Será este intervalo. Los valores de X pertenecientes al intervalo que va desde 0 hasta un medio abierto en 0 y cerrado en un medio. Para finalizar vamos a determinar el dominio de G compuesta F. Que en este caso también debe cumplir con dos condiciones. Ahora es que X pertenezca al dominio de F. Y que la función F de X pertenezca al dominio de G. Esto se entiende mejor con el esquema similar al que hacíamos hace un momento. X entra a la función F de X. A esta primera función. Y a su vez F entra a la función G de X. F entra en G. Entonces esto que tenemos aquí está representado por esta condición. Que X pertenezca al dominio de F. Y la segunda condición es que F sea admitida en la función G. Por eso F debe pertenecer al dominio de la función G de X. Entonces veamos como nos queda esto. Para el caso de la primera condición. Tenemos que X tiene que ser mayor o igual que 2. Y para satisfacer la segunda. Tenemos que F de X debe entrar a esta condición. Debe pertenecer al dominio de G. Entonces esto como ocupa el lugar de la X. Nos queda raíz cuadrada de X menos 2. Diferente de 0. Entonces resolvemos esto elevando al cuadrado a ambos lados. Si elevamos al cuadrado en el lado izquierdo. Destruimos la raíz cuadrada. Y nos queda X menos 2. Si elevamos al cuadrado al lado derecho. Sigue dando 0. Entonces tenemos X menos 2 diferente de 0. De donde X es diferente de 2. 2 está restando pasa a sumar al otro lado. Entonces debemos garantizar estas dos condiciones. Esto es en otras palabras el intervalo que va desde 2 cerrado. Hasta más infinito que siempre va abierto. Pero si a este conjunto le añadimos esta condición. Entonces lo que se excluye es el valor 2. Ya no queda con corchete. Sino que esta vez nos queda con paréntesis. Entonces de esa manera establecemos el dominio de G compuesta F. Será entonces. El conjunto de valores de X pertenecientes al intervalo que va desde 2 abierto. Hasta más infinito. Y allí tenemos el dominio de G compuesta F. Bien con eso terminamos esta explicación.
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Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 582.0, "end": 584.0, "text": " O sea que X es igual a 1 medio."}, {"start": 585.0, "end": 591.0, "text": " Tenemos entonces el punto cr\u00edtico para el numerador en X igual a 1 medio."}, {"start": 591.0, "end": 607.0, "text": " Para el denominador establecemos que el punto cr\u00edtico ocurre en X igual a 0."}, {"start": 608.0, "end": 613.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos los puntos cr\u00edticos para esta desigualdad."}, {"start": 613.0, "end": 624.0, "text": " Recordemos que el punto cr\u00edtico que se obtiene del denominador nunca se toma. 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cr\u00edticos."}, {"start": 676.0, "end": 688.0, "text": " Bueno, aqu\u00ed la tenemos y vamos a seleccionar de cada intervalo un valor de X para probarlo aqu\u00ed en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 689.0, "end": 697.0, "text": " Tenemos para el primer intervalo comprendido entre menos infinito y 0 que podemos escoger X igual a menos 1."}, {"start": 697.0, "end": 710.0, "text": " Para el segundo intervalo comprendido entre 0 y 1 medio, o sea entre 0 y 0.5, entonces podemos escoger X igual a 0.2 por ejemplo."}, {"start": 711.0, "end": 719.0, "text": " Y para el tercer intervalo, escogemos un n\u00famero comprendido entre 0.5 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 720.0, "end": 722.0, "text": " Podemos escoger el n\u00famero 2 por ejemplo."}, {"start": 722.0, "end": 731.0, "text": " Vamos ahora a reemplazar cada uno de esos n\u00fameros, cada uno de esos valores de prueba aqu\u00ed en la expresi\u00f3n."}, {"start": 732.0, "end": 737.0, "text": " Vamos entonces a reemplazar en el numerador y en el denominador."}, {"start": 738.0, "end": 744.0, "text": " Veamos, con X igual a menos 1, si lo reemplazamos aqu\u00ed, tenemos que menos 2 por menos 1 nos da 2 positivo."}, {"start": 745.0, "end": 749.0, "text": " Y 1 m\u00e1s 2 nos dar\u00eda 3 en el numerador."}, {"start": 749.0, "end": 758.0, "text": " Entonces, numerador positivo, si menos 1 entra aqu\u00ed en el denominador, tendremos denominador negativo."}, {"start": 759.0, "end": 765.0, "text": " Vamos ahora con 0.2, por aqu\u00ed menos 2 por 0.2 nos da menos 0.4."}, {"start": 766.0, "end": 772.0, "text": " 1 menos 0.4 da como resultado 0.6 positivo en el numerador."}, {"start": 772.0, "end": 780.0, "text": " Y si 0.2 entra aqu\u00ed donde tenemos la X nos da resultado positivo."}, {"start": 781.0, "end": 784.0, "text": " Vamos ahora con X igual a 2, aqu\u00ed."}, {"start": 785.0, "end": 789.0, "text": " Si X vale 2, tenemos menos 2 por 2 que es menos 4."}, {"start": 790.0, "end": 795.0, "text": " 1 menos 4 nos da menos 3, o sea resultado negativo en el numerador."}, {"start": 795.0, "end": 802.0, "text": " Y X como toma el valor 2 ser\u00e1 positivo en el denominador."}, {"start": 803.0, "end": 805.0, "text": " Aplicamos ley de los signos en cada caso."}, {"start": 806.0, "end": 810.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s con menos que es menos."}, {"start": 811.0, "end": 813.0, "text": " M\u00e1s con m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 814.0, "end": 817.0, "text": " Menos con m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 817.0, "end": 824.0, "text": " Y lo que necesitamos es que toda esta expresi\u00f3n sea mayor o igual que 0."}, {"start": 825.0, "end": 828.0, "text": " O sea que tiene que ser positiva."}, {"start": 829.0, "end": 832.0, "text": " Por lo tanto, sirven las zonas positivas."}, {"start": 833.0, "end": 839.0, "text": " Entonces, esta zona s\u00ed sirve y las zonas negativas no sirven."}, {"start": 839.0, "end": 846.0, "text": " Trayamos entonces la zona que s\u00ed sirvi\u00f3, la zona positiva."}, {"start": 847.0, "end": 852.0, "text": " Y recordemos que dijimos hace un momento que X igual a 0 no se toma."}, {"start": 853.0, "end": 859.0, "text": " Entonces, se representa con bolita abierta y que un medio s\u00ed se toma."}, {"start": 860.0, "end": 866.0, "text": " Entonces, se representa con bolita llena o lo que llamamos bolita cerrada."}, {"start": 866.0, "end": 873.0, "text": " Y con esto tenemos el conjunto soluci\u00f3n de esta desigualdad racional."}, {"start": 874.0, "end": 876.0, "text": " Vamos a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 877.0, "end": 885.0, "text": " Soluci\u00f3n ser\u00edan los X que pertenecen al intervalo que va desde 0 abierto."}, {"start": 886.0, "end": 891.0, "text": " Entonces, con par\u00e9ntesis hasta un medio cerrado."}, {"start": 892.0, "end": 894.0, "text": " O sea, con corchete."}, {"start": 894.0, "end": 901.0, "text": " Y esta soluci\u00f3n debe complementarse con la primera condici\u00f3n que hab\u00edamos establecido."}, {"start": 902.0, "end": 905.0, "text": " Que era esta, la del dominio de la funci\u00f3n G."}, {"start": 906.0, "end": 908.0, "text": " X tiene que ser diferente de 0."}, {"start": 909.0, "end": 914.0, "text": " Pero en este intervalo observamos que 0 no hace parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 915.0, "end": 919.0, "text": " O sea que tenemos ya garantizada esta condici\u00f3n en este conjunto."}, {"start": 919.0, "end": 925.0, "text": " De esta manera tenemos entonces el dominio de F compuesta G."}, {"start": 926.0, "end": 927.0, "text": " Ser\u00e1 este intervalo."}, {"start": 928.0, "end": 939.0, "text": " Los valores de X pertenecientes al intervalo que va desde 0 hasta un medio abierto en 0 y cerrado en un medio."}, {"start": 939.0, "end": 948.0, "text": " Para finalizar vamos a determinar el dominio de G compuesta F."}, {"start": 949.0, "end": 953.0, "text": " Que en este caso tambi\u00e9n debe cumplir con dos condiciones."}, {"start": 954.0, "end": 958.0, "text": " Ahora es que X pertenezca al dominio de F."}, {"start": 959.0, "end": 966.0, "text": " Y que la funci\u00f3n F de X pertenezca al dominio de G."}, {"start": 966.0, "end": 973.0, "text": " Esto se entiende mejor con el esquema similar al que hac\u00edamos hace un momento."}, {"start": 974.0, "end": 977.0, "text": " X entra a la funci\u00f3n F de X."}, {"start": 978.0, "end": 979.0, "text": " A esta primera funci\u00f3n."}, {"start": 980.0, "end": 984.0, "text": " Y a su vez F entra a la funci\u00f3n G de X."}, {"start": 985.0, "end": 986.0, "text": " F entra en G."}, {"start": 987.0, "end": 991.0, "text": " Entonces esto que tenemos aqu\u00ed est\u00e1 representado por esta condici\u00f3n."}, {"start": 991.0, "end": 995.0, "text": " Que X pertenezca al dominio de F."}, {"start": 996.0, "end": 1001.0, "text": " Y la segunda condici\u00f3n es que F sea admitida en la funci\u00f3n G."}, {"start": 1002.0, "end": 1008.0, "text": " Por eso F debe pertenecer al dominio de la funci\u00f3n G de X."}, {"start": 1009.0, "end": 1012.0, "text": " Entonces veamos como nos queda esto."}, {"start": 1013.0, "end": 1015.0, "text": " Para el caso de la primera condici\u00f3n."}, {"start": 1015.0, "end": 1022.0, "text": " Tenemos que X tiene que ser mayor o igual que 2."}, {"start": 1023.0, "end": 1025.0, "text": " Y para satisfacer la segunda."}, {"start": 1026.0, "end": 1030.0, "text": " Tenemos que F de X debe entrar a esta condici\u00f3n."}, {"start": 1031.0, "end": 1033.0, "text": " Debe pertenecer al dominio de G."}, {"start": 1034.0, "end": 1037.0, "text": " Entonces esto como ocupa el lugar de la X."}, {"start": 1038.0, "end": 1040.0, "text": " Nos queda ra\u00edz cuadrada de X menos 2."}, {"start": 1041.0, "end": 1043.0, "text": " Diferente de 0."}, {"start": 1043.0, "end": 1048.0, "text": " Entonces resolvemos esto elevando al cuadrado a ambos lados."}, {"start": 1049.0, "end": 1051.0, "text": " Si elevamos al cuadrado en el lado izquierdo."}, {"start": 1052.0, "end": 1054.0, "text": " Destruimos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1055.0, "end": 1056.0, "text": " Y nos queda X menos 2."}, {"start": 1057.0, "end": 1059.0, "text": " Si elevamos al cuadrado al lado derecho."}, {"start": 1060.0, "end": 1061.0, "text": " Sigue dando 0."}, {"start": 1062.0, "end": 1065.0, "text": " Entonces tenemos X menos 2 diferente de 0."}, {"start": 1066.0, "end": 1069.0, "text": " De donde X es diferente de 2."}, {"start": 1069.0, "end": 1073.0, "text": " 2 est\u00e1 restando pasa a sumar al otro lado."}, {"start": 1074.0, "end": 1076.0, "text": " Entonces debemos garantizar estas dos condiciones."}, {"start": 1077.0, "end": 1083.0, "text": " Esto es en otras palabras el intervalo que va desde 2 cerrado."}, {"start": 1084.0, "end": 1087.0, "text": " Hasta m\u00e1s infinito que siempre va abierto."}, {"start": 1088.0, "end": 1092.0, "text": " Pero si a este conjunto le a\u00f1adimos esta condici\u00f3n."}, {"start": 1093.0, "end": 1096.0, "text": " Entonces lo que se excluye es el valor 2."}, {"start": 1096.0, "end": 1098.0, "text": " Ya no queda con corchete."}, {"start": 1099.0, "end": 1102.0, "text": " Sino que esta vez nos queda con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1103.0, "end": 1108.0, "text": " Entonces de esa manera establecemos el dominio de G compuesta F."}, {"start": 1109.0, "end": 1111.0, "text": " Ser\u00e1 entonces."}, {"start": 1112.0, "end": 1120.0, "text": " El conjunto de valores de X pertenecientes al intervalo que va desde 2 abierto."}, {"start": 1121.0, "end": 1123.0, "text": " Hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 1123.0, "end": 1128.0, "text": " Y all\u00ed tenemos el dominio de G compuesta F."}, {"start": 1128.0, "end": 1156.0, "text": " Bien con eso terminamos esta explicaci\u00f3n."}]