ANÁLISIS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS - Ejercicio 2
#julioprofe realiza el análisis completo de la función cuadrática o de segundo grado f(x)=x²+8x+15 con sus principales elementos, su gráfica, su dominio y rango, y los intervalos donde la curva crece y decrece.

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 Vamos a realizar el análisis completo de esta función cuadrática. Para comenzar podemos decir que tener f de x es lo mismo que tener y. Entonces se puede presentar de cualquiera de las dos formas. f de x igual a esto o y igual a esto. Una función cuadrática tiene el modelo y igual a f de x igual a ax al cuadrado más bx más c. Esta es la forma que distingue a una función cuadrática o de segundo grado. Vamos a identificar los valores de a, d y c. Demos que a es el coeficiente de x al cuadrado, es decir 1. Allí tenemos un 1 invisible. b es el coeficiente de x, es decir 8. y c es el término independiente que vale 15. Sabiendo que a es positivo, ya podemos decir que la gráfica de esta función cuadrática, que es una parábola vertical, tendrá su concavidad hacia arriba. Es decir, las ramas de la parábola abrirán hacia arriba por ser a positivo. Y también podemos afirmar que su vértice será su punto mínimo, será su punto más bajo en la gráfica. A continuación podemos encontrar la coordenada del vértice, que usualmente se nombra como hk. Para encontrar h utilizamos la fórmula menos b sobre los a. Entonces allí reemplazamos los valores. Tenemos que b vale 8 y a vale 1. Entonces nos queda menos 8 sobre 2, que es igual a menos 4. Allí tenemos entonces la abscisa del vértice, es decir su algor en x, que es h. Para encontrar k, es decir la ordenada del vértice, tenemos dos opciones. Una es reemplazar en la función el valor encontrado de h, es decir, menos 4. O la otra sería utilizar la fórmula 4ac menos b al cuadrado, todo esto sobre 4a. Reemplazando aquí los valores de a, b y c. Vamos a hacerlo de las dos maneras para comprobar que nos da el mismo valor de k. Si hacemos k igual a f de h, tendríamos que encontrar f de menos 4. Y esto es, evaluar la función original en x igual a menos 4. Eso quiere decir que donde está la x sustituimos el valor menos 4. Y vamos a resolver las operaciones. Tenemos menos 4 al cuadrado es 16, 8 por menos 4, menos 32, más 15. Pues olvidemos eso, 16 más 15 es 31, menos 32 nos da menos 1. Allí tenemos el valor de k encontrándolo por este camino. Ahora vamos a hacerlo por acá. Es la fórmula que k es igual a 4ac menos b al cuadrado, todo esto sobre 4a. Entonces vamos a abrir paréntesis donde va cada letra para luego sustituir sus valores. Entonces veamos, a vale 1, c vale 15 y b vale 8. Y aquí tenemos el valor de a que es 1. Resolvemos, esto nos da 4 por 1 por 15, eso nos da 60. Menos 8 al cuadrado que es 64 y todo esto entre 4. 60 menos 64 nos da menos 4. Y menos 4 dividido entre 4 nos da como resultado menos 1. Allí vemos entonces que nos da el mismo resultado. Conclusión, tenemos que el vértice de esa parabola tiene como coordenadas menos 4, menos 1. Esta será entonces la coordenada del vértice. Como paso siguiente vamos a determinar si la parabola hace contacto o corta el eje x. Para eso hacemos un bosqueo, es decir un dibujo rápido de lo que tenemos hasta el momento. Vemos que el vértice es un punto localizado en el tercer cuadrante del plano cartesiano. Menos 4, menos 1 nos da más o menos por aquí. Allí está localizado el vértice. Y habíamos dicho al comienzo que como A es positivo la parabola abre sus ramas hacia arriba. Entonces si hacemos un bosqueo de la parabola vemos que efectivamente va a cortar el eje x. Entonces vamos a proceder a encontrar con exactitud donde se producen esos cortes. Para hallar los cortes o intersecciones de la función con el eje x, simplemente tomamos la función y la igualamos a cero. Entonces tenemos que x al cuadrado más 8x más 15 es igual a cero. Y se nos forma lo que se llama una ecuación cuadrática o una ecuación de segundo grado cuyo modelo es este. No debemos confundir función cuadrática con ecuación cuadrática. Son cosas totalmente distintas aunque se parecen bastante. Pero como veíamos la función dice y o f de x igual a ax cuadrado más bx más c. Mientras que la ecuación cuadrática tiene esa misma expresión pero igualada a cero. Para resolver una ecuación cuadrática tenemos dos alternativas que son las más utilizadas. Hacerlo por factorización si vemos que esta expresión se deja factorizar o si no hacerlo por fórmula general o fórmula del bachiller. En este caso este trinomio es fácilmente factorizable. Utilizamos ese caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Donde abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de x que sería x al cuadrado que sería x. Y la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Luego los signos. Más por más nos da más. Más por más signo más para el segundo paréntesis. A continuación buscamos dos números que multiplicados nos den 15 y cuya suma nos de 8. Esos números son 5 y 3. Entonces vemos que fácilmente pudimos factorizar esa expresión. Esto es mucho más rápido que hacerlo por fórmula general. Entonces si descubrimos que sale por factorización es mejor irnos por ese camino porque lo vamos a resolver con mayor rapidez. Aquí aplicamos el teorema del factor nulo que recordemos dice así. Si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero. Si el producto de dos expresiones es igual a cero entonces cada una de ellas debe ser igual a cero. Tenemos x más 5 igual a cero o x más 3 igual a cero. En cada caso despejamos x. Por acá nos da x igual a menos 5 y por acá nos da x igual a menos 3. Estos son los valores en el eje x donde la parábola hace contacto o corta dicho eje. Por aquí anotamos entonces los puntos donde tenemos cortes con el eje x. Y vamos a determinar ahora donde se produce el corte o la intersección con el eje y. O sea con el eje vertical. Para ello hacemos simplemente x igual a cero. Entonces veamos el valor de x que se obtiene en ese caso sería si x vale cero estos dos términos se eliminan y nos queda 15. En otras palabras el corte con el eje y está determinado por este valor c que es el término independiente en la función cuadrática. Entonces siempre c nos determinará donde la parábola corta con el eje y. Entonces podemos decir que el corte con el eje y ocurre en la coordenada cero coma quince. x vale cero lleva a quince. Entonces vamos a proceder a localizar en el plano cartesiano la información que hemos encontrado. El vértice y los cortes con los ejes. Aquí tenemos el plano cartesiano y en él vamos a localizar el vértice que es la coordenada menos cuatro coma menos uno. Es decir aquí también podemos localizar los cortes con el eje x que están en menos cinco y menos tres. Y también podemos localizar el corte con el eje y que lo encontramos en quince. Entonces tenemos cuatro puntos y a continuación vamos a trazar lo que se llama el eje de simetría. Una recta vertical que pasa justamente por el vértice. Por allí lo tenemos y la ecuación de esa recta es x igual a menos cuatro. Porque se trata de una recta vertical que pasa por la abscisa menos cuatro. Gracias a ese eje de simetría podemos obtener un quinto punto para el trazado de la parábola. Es el simétrico de este que tenemos aquí. La distancia de este punto al eje de simetría se refleja al otro lado. Entonces vemos que de aquí al eje de simetría hay cuatro unidades. Por lo tanto pasamos otras cuatro unidades a la izquierda del eje de simetría y llegamos al valor menos ocho. Entonces tendríamos aquí el punto menos ocho coma quince. Vamos a escribir la coordenada. El punto menos ocho coma quince y también vamos a escribir las coordenadas de los demás puntos. Por ejemplo este que dijimos es cero coma quince. El corte con el eje vertical. Este punto que es menos cinco coma cero. Uno de los cortes con el eje de x. Aquí tenemos el otro, el menos tres coma cero. Y este que es el vértice de la parábola. La coordenada menos cuatro coma menos uno. Finalmente con un curvígrafo vamos a trazar la parábola. Allí tenemos entonces la gráfica de la función que nos dieron. Una parábola cóncava hacia arriba. Podríamos complementar nuestro análisis determinando lo que es el dominio y el rango de esta función. Recordemos que el dominio hace referencia a los valores de x que participan en la función. Aquí observamos que la parábola abre hacia arriba y da participación a todos los valores del eje x. Por lo tanto decimos que el dominio son los x pertenecientes al conjunto de los números reales. Mientras tanto el rango de la función hace referencia a los valores de y que participan en la función. Aquí observamos que la parábola tiene su punto más bajo, es decir, su punto mínimo en el vértice y corresponde a la ordenada menos uno. Entonces de menos uno hacia arriba es que participan los valores de y. Vemos que de menos uno hacia abajo no tenemos gráfica. Entonces decimos que el rango son los valores de y mayores o iguales que menos uno. O escrito en notación de intervalo, el rango serían los y pertenecientes al intervalo que va desde menos uno hasta más infinito. Desde menos uno cerrado porque se incluye, es el punto del vértice, hasta más infinito abierto. Es decir, desde aquí para arriba. Otra cosa que nos pueden preguntar es determinar donde la función crece y donde decrece. Si recorremos la parábola de izquierda a derecha vemos que es decreciente hasta el vértice. Es decir, desde menos infinito hasta menos cuatro. Entonces escribimos así, la función decrece para los x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos cuatro abierto. No tomamos el valor de menos cuatro sino hasta antecito de él. Y vemos que crece en el resto de su dominio. Es decir, desde menos cuatro después de menos cuatro hasta más infinito. Entonces lo escribimos así. La función es creciente para los x pertenecientes al intervalo que va desde menos cuatro hasta más infinito. Siempre los mencionamos como intervalos aviados. De esta manera terminamos el análisis completo de esa función cuadrática.
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par\u00e9ntesis donde va cada letra para luego sustituir sus valores."}, {"start": 255.0, "end": 264.0, "text": " Entonces veamos, a vale 1, c vale 15 y b vale 8."}, {"start": 264.0, "end": 268.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos el valor de a que es 1."}, {"start": 268.0, "end": 275.0, "text": " Resolvemos, esto nos da 4 por 1 por 15, eso nos da 60."}, {"start": 275.0, "end": 282.0, "text": " Menos 8 al cuadrado que es 64 y todo esto entre 4."}, {"start": 282.0, "end": 287.0, "text": " 60 menos 64 nos da menos 4."}, {"start": 287.0, "end": 294.0, "text": " Y menos 4 dividido entre 4 nos da como resultado menos 1."}, {"start": 294.0, "end": 298.0, "text": " All\u00ed vemos entonces que nos da el mismo resultado."}, {"start": 298.0, "end": 311.0, "text": " Conclusi\u00f3n, tenemos que el v\u00e9rtice de esa parabola tiene como coordenadas menos 4, menos 1."}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la coordenada del v\u00e9rtice."}, {"start": 316.0, "end": 326.0, "text": " Como paso siguiente vamos a determinar si la parabola hace contacto o corta el eje x."}, {"start": 326.0, "end": 332.0, "text": " Para eso hacemos un bosqueo, es decir un dibujo r\u00e1pido de lo que tenemos hasta el momento."}, {"start": 332.0, "end": 339.0, "text": " Vemos que el v\u00e9rtice es un punto localizado en el tercer cuadrante del plano cartesiano."}, {"start": 339.0, "end": 343.0, "text": " Menos 4, menos 1 nos da m\u00e1s o menos por aqu\u00ed."}, {"start": 343.0, "end": 346.0, "text": " All\u00ed est\u00e1 localizado el v\u00e9rtice."}, {"start": 346.0, "end": 353.0, "text": " Y hab\u00edamos dicho al comienzo que como A es positivo la parabola abre sus ramas hacia arriba."}, {"start": 353.0, "end": 362.0, "text": " Entonces si hacemos un bosqueo de la parabola vemos que efectivamente va a cortar el eje x."}, {"start": 362.0, "end": 369.0, "text": " Entonces vamos a proceder a encontrar con exactitud donde se producen esos cortes."}, {"start": 369.0, "end": 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Esos n\u00fameros son 5 y 3."}, {"start": 485.0, "end": 491.0, "text": " Entonces vemos que f\u00e1cilmente pudimos factorizar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 491.0, "end": 495.0, "text": " Esto es mucho m\u00e1s r\u00e1pido que hacerlo por f\u00f3rmula general."}, {"start": 495.0, "end": 505.0, "text": " Entonces si descubrimos que sale por factorizaci\u00f3n es mejor irnos por ese camino porque lo vamos a resolver con mayor rapidez."}, {"start": 505.0, "end": 510.0, "text": " Aqu\u00ed aplicamos el teorema del factor nulo que recordemos dice as\u00ed."}, {"start": 510.0, "end": 521.0, "text": " Si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero."}, {"start": 521.0, "end": 529.0, "text": " Si el producto de dos expresiones es igual a cero entonces cada una de ellas debe ser igual a cero."}, {"start": 529.0, "end": 537.0, "text": " Tenemos x m\u00e1s 5 igual a cero o x m\u00e1s 3 igual a cero."}, {"start": 537.0, "end": 547.0, "text": " En cada caso despejamos x. Por ac\u00e1 nos da x igual a menos 5 y por ac\u00e1 nos da x igual a menos 3."}, {"start": 547.0, "end": 560.0, "text": " Estos son los valores en el eje x donde la par\u00e1bola hace contacto o corta dicho eje."}, {"start": 560.0, "end": 566.0, "text": " Por aqu\u00ed anotamos entonces los puntos donde tenemos cortes con el eje x."}, {"start": 566.0, "end": 578.0, "text": " Y vamos a determinar ahora donde se produce el corte o la intersecci\u00f3n con el eje y."}, {"start": 578.0, "end": 585.0, "text": " O sea con el eje vertical. Para ello hacemos simplemente x igual a cero."}, {"start": 585.0, "end": 596.0, "text": " Entonces veamos el valor de x que se obtiene en ese caso ser\u00eda si x vale cero estos dos t\u00e9rminos se eliminan y nos queda 15."}, {"start": 596.0, "end": 607.0, "text": " En otras palabras el corte con el eje y est\u00e1 determinado por este valor c que es el t\u00e9rmino independiente en la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 607.0, "end": 615.0, "text": " Entonces siempre c nos determinar\u00e1 donde la par\u00e1bola corta con el eje y."}, {"start": 615.0, "end": 623.0, "text": " Entonces podemos decir que el corte con el eje y ocurre en la coordenada cero coma quince."}, {"start": 623.0, "end": 626.0, "text": " x vale cero lleva a quince."}, {"start": 626.0, "end": 632.0, "text": " Entonces vamos a proceder a localizar en el plano cartesiano la informaci\u00f3n que hemos encontrado."}, {"start": 632.0, "end": 637.0, "text": " El v\u00e9rtice y los cortes con los ejes."}, {"start": 637.0, "end": 646.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el plano cartesiano y en \u00e9l vamos a localizar el v\u00e9rtice que es la coordenada menos cuatro coma menos uno."}, {"start": 646.0, "end": 658.0, "text": " Es decir aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos localizar los cortes con el eje x que est\u00e1n en menos cinco y menos tres."}, {"start": 658.0, "end": 666.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos localizar el corte con el eje y que lo encontramos en quince."}, {"start": 666.0, "end": 675.0, "text": " Entonces tenemos cuatro puntos y a continuaci\u00f3n vamos a trazar lo que se llama el eje de simetr\u00eda."}, {"start": 675.0, "end": 681.0, "text": " Una recta vertical que pasa justamente por el v\u00e9rtice."}, {"start": 681.0, "end": 691.0, "text": " Por all\u00ed lo tenemos y la ecuaci\u00f3n de esa recta es x igual a menos cuatro."}, {"start": 691.0, "end": 698.0, "text": " Porque se trata de una recta vertical que pasa por la abscisa menos cuatro."}, {"start": 698.0, "end": 705.0, "text": " Gracias a ese eje de simetr\u00eda podemos obtener un quinto punto para el trazado de la par\u00e1bola."}, {"start": 705.0, "end": 714.0, "text": " Es el sim\u00e9trico de este que tenemos aqu\u00ed. La distancia de este punto al eje de simetr\u00eda se refleja al otro lado."}, {"start": 714.0, "end": 719.0, "text": " Entonces vemos que de aqu\u00ed al eje de simetr\u00eda hay cuatro unidades."}, {"start": 719.0, "end": 727.0, "text": " Por lo tanto pasamos otras cuatro unidades a la izquierda del eje de simetr\u00eda y llegamos al valor menos ocho."}, {"start": 727.0, "end": 736.0, "text": " Entonces tendr\u00edamos aqu\u00ed el punto menos ocho coma quince. Vamos a escribir la coordenada."}, {"start": 736.0, "end": 741.0, "text": " El punto menos ocho coma quince y tambi\u00e9n vamos a escribir las coordenadas de los dem\u00e1s puntos."}, {"start": 741.0, "end": 749.0, "text": " Por ejemplo este que dijimos es cero coma quince. El corte con el eje vertical."}, {"start": 749.0, "end": 756.0, "text": " Este punto que es menos cinco coma cero. Uno de los cortes con el eje de x."}, {"start": 756.0, "end": 764.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el otro, el menos tres coma cero. Y este que es el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola."}, {"start": 764.0, "end": 767.0, "text": " La coordenada menos cuatro coma menos uno."}, {"start": 767.0, "end": 772.0, "text": " Finalmente con un curv\u00edgrafo vamos a trazar la par\u00e1bola."}, {"start": 772.0, "end": 778.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n que nos dieron."}, {"start": 778.0, "end": 782.0, "text": " Una par\u00e1bola c\u00f3ncava hacia arriba."}, {"start": 782.0, "end": 789.0, "text": " Podr\u00edamos complementar nuestro an\u00e1lisis determinando lo que es el dominio y el rango de esta funci\u00f3n."}, {"start": 789.0, "end": 797.0, "text": " Recordemos que el dominio hace referencia a los valores de x que participan en la funci\u00f3n."}, {"start": 797.0, "end": 805.0, "text": " Aqu\u00ed observamos que la par\u00e1bola abre hacia arriba y da participaci\u00f3n a todos los valores del eje x."}, {"start": 805.0, "end": 814.0, "text": " Por lo tanto decimos que el dominio son los x pertenecientes al conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 814.0, "end": 824.0, "text": " Mientras tanto el rango de la funci\u00f3n hace referencia a los valores de y que participan en la funci\u00f3n."}, {"start": 824.0, "end": 835.0, "text": " Aqu\u00ed observamos que la par\u00e1bola tiene su punto m\u00e1s bajo, es decir, su punto m\u00ednimo en el v\u00e9rtice y corresponde a la ordenada menos uno."}, {"start": 835.0, "end": 841.0, "text": " Entonces de menos uno hacia arriba es que participan los valores de y."}, {"start": 841.0, "end": 846.0, "text": " Vemos que de menos uno hacia abajo no tenemos gr\u00e1fica."}, {"start": 846.0, "end": 854.0, "text": " Entonces decimos que el rango son los valores de y mayores o iguales que menos uno."}, {"start": 854.0, "end": 866.0, "text": " O escrito en notaci\u00f3n de intervalo, el rango ser\u00edan los y pertenecientes al intervalo que va desde menos uno hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 866.0, "end": 875.0, "text": " Desde menos uno cerrado porque se incluye, es el punto del v\u00e9rtice, hasta m\u00e1s infinito abierto."}, {"start": 875.0, "end": 878.0, "text": " Es decir, desde aqu\u00ed para arriba."}, {"start": 878.0, "end": 884.0, "text": " Otra cosa que nos pueden preguntar es determinar donde la funci\u00f3n crece y donde decrece."}, {"start": 884.0, "end": 891.0, "text": " Si recorremos la par\u00e1bola de izquierda a derecha vemos que es decreciente hasta el v\u00e9rtice."}, {"start": 891.0, "end": 896.0, "text": " Es decir, desde menos infinito hasta menos cuatro."}, {"start": 896.0, "end": 907.0, "text": " Entonces escribimos as\u00ed, la funci\u00f3n decrece para los x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos cuatro abierto."}, {"start": 907.0, "end": 912.0, "text": " No tomamos el valor de menos cuatro sino hasta antecito de \u00e9l."}, {"start": 912.0, "end": 918.0, "text": " Y vemos que crece en el resto de su dominio."}, {"start": 918.0, "end": 925.0, "text": " Es decir, desde menos cuatro despu\u00e9s de menos cuatro hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 925.0, "end": 927.0, "text": " Entonces lo escribimos as\u00ed."}, {"start": 927.0, "end": 936.0, "text": " La funci\u00f3n es creciente para los x pertenecientes al intervalo que va desde menos cuatro hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 936.0, "end": 940.0, "text": " Siempre los mencionamos como intervalos aviados."}, {"start": 940.0, "end": 956.0, "text": " De esta manera terminamos el an\u00e1lisis completo de esa funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}]