LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico.

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 Para resolver este límite trigonométrico, lo primero que hacemos es evaluar esta expresión cuando x toma el valor pi medios. Veamos, en el numerador tendremos pi medios menos pi medios y en el denominador tendremos coseno de pi medios. Veamos lo que hay en la parte de arriba, vemos que pi medios menos pi medios es cero y en la parte de abajo tenemos el coseno de pi medios radianes, que es lo mismo que decir coseno de 90 grados y eso equivale a cero. Cero sobre cero constituye una indeterminación o también lo que se conoce como una forma indeterminada. Quiere decir que esta función no existe o no está definida cuando x toma el valor pi medios. También nos dice esto, que hay que realizar alguna transformación en el límite para ver a qué valor tiende la función cuando x tiende o se aproxima a pi medios. La estrategia que vamos a utilizar en este caso se llama cambio de variable. Vamos a tomar esto que está en el numerador de la expresión y vamos a llamarlo u. Entonces u será igual a pi medios menos x. Por acá vemos que x tiende a pi medios, entonces vamos a ver qué le sucede a u cuando ocurre esa tendencia para x. Decimos, si x tiende o se aproxima al valor pi medios, entonces veamos u a cuánto tiende. Si acá reemplazamos el valor pi medios, tenemos pi medios menos pi medios, eso nos da cero. Por lo tanto decimos que u tiende a cero cuando x tiende o se aproxima a pi medios. Con esta información vamos a reconstruir el límite original. Vamos a procurar que nos quede todo en términos de la nueva letra que es u. Vemos acá, límite cuando x tiende a pi medios, pero vimos que si x tiende a pi medios, entonces u tiende a cero. Ahora acá tenemos límite cuando u tiende a cero. En la parte de arriba tenemos pi medios menos x, pero acá dijimos que eso equivale a u. Y acá tenemos coseno de x, pero no podemos acá escribir x como tal porque necesitamos que todo esto nos quede en términos de la nueva letra o la nueva variable que es u. Entonces de esta igualdad vamos a despejar x. Inicialmente x como está restando a este lado, lo pasamos al otro lado a sumar. Tenemos u más x igual a pi medios. Y de allí ya nos queda más sencillo hacer el despeje de x. Para ello pasamos u que está sumando al otro lado a restar. Entonces x será igual a pi medios menos u. Y con eso hacemos acá el cambio. En lugar de x vamos a escribir pi medios menos u. De esa manera conseguimos que nuestro límite que inicialmente estaba en términos de x, ahora nos quede escrito en términos de la nueva variable que es u. Enseguida vamos a desarrollar esto que nos quedó en el denominador de la expresión. Para ello vamos a utilizar la identidad trigonométrica para el coseno de la diferencia de dos ángulos. Esto es igual a coseno de alfa por coseno de beta más seno de alfa por seno de beta. Vamos entonces a escribir acá debajo lo que tenemos acá en el denominador. Sería coseno de pi medios menos u. Vemos que pi medios actúa como alfa y la letra u actúa como beta. Entonces reemplazamos acá. Seríamos coseno de pi medios por coseno de u y esto más seno de pi medios por el seno de u. Como vimos ahora, el coseno de pi medios radianes equivale a cero. Recordemos que es el coseno de 90 grados. Y por acá tenemos el seno de pi medios radianes, o sea, el seno de 90 grados que equivale a uno. Entonces, si por acá tenemos cero por coseno de u, todo esto nos da cero. Y por acá tenemos uno por seno de u que equivale a seno de u. Por lo tanto, toda esa expresión equivale a seno de u. Y esto lo vamos a sustituir acá en el denominador de la expresión. Tenemos entonces límite de u sobre el seno de u cuando u tiende a cero. Ahora veamos lo siguiente. Si tenemos una fracción a sobre b elevada al exponente menos n, eso será igual a b sobre a, eso elevado al exponente n, una propiedad de la potenciación. Si cambiamos n por el valor uno, vemos que en el lado derecho podríamos hacer invisible este exponente. Recordemos que cualquier cantidad elevada al exponente uno es ella misma. Entonces podemos quitar este paréntesis y este exponente uno. Entonces, apoyándonos en esta propiedad, podemos cambiar esta fracción por su recíproca o su inversa elevada al exponente menos uno. Tendremos entonces lo siguiente. Límite cuando u tiende a cero de seno de u, todo esto sobre u, y elevado al exponente menos uno. Repetimos, pasamos de aquí a esto que tenemos acá, apoyados en esta propiedad de la potenciación. Ahora vamos a recordar la siguiente propiedad de los límites. Si tenemos el límite de una función f de u elevada a un número real n, todo esto cuando u tiende a otro número real c, entonces eso será igual al límite de f de u cuando u tiende a c y todo esto elevado al exponente n. Pues bien, eso podemos aplicar en este caso. Entonces tendremos el límite de seno de u sobre u cuando u tiende a cero y todo esto estará elevado al exponente menos uno. Acá dentro del paréntesis tenemos una situación que seguramente ya conocemos. El límite de seno de x sobre x cuando x tiende a cero y que esto está demostrado que equivale a uno. Como se observa es exactamente lo mismo, solamente que acá tenemos x y acá tenemos la letra u. Entonces podemos afirmar que todo este límite de la base equivale a uno y tendremos uno elevado al exponente menos uno. Aquí aplicamos otra propiedad de la potenciación. Si tenemos a a la menos n, eso es igual a uno sobre a a la n. Entonces vamos a continuar el desarrollo por acá. Eso nos va a quedar uno sobre uno a la uno, aplicando esta propiedad de la potenciación. Para terminar desarrollamos lo que hay en el denominador uno elevado al exponente uno es uno, arriba tenemos uno y finalmente uno sobre uno equivale a uno. Y esa será entonces la respuesta para ese límite trigonométrico.
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190.32, "end": 195.04, "text": " Para ello pasamos u que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 195.04, "end": 198.95999999999998, "text": " Entonces x ser\u00e1 igual a pi medios menos u."}, {"start": 198.95999999999998, "end": 201.51999999999998, "text": " Y con eso hacemos ac\u00e1 el cambio."}, {"start": 201.51999999999998, "end": 208.4, "text": " En lugar de x vamos a escribir pi medios menos u."}, {"start": 208.4, "end": 216.2, "text": " De esa manera conseguimos que nuestro l\u00edmite que inicialmente estaba en t\u00e9rminos de x,"}, {"start": 216.2, "end": 222.6, "text": " ahora nos quede escrito en t\u00e9rminos de la nueva variable que es u."}, {"start": 222.6, "end": 228.39999999999998, "text": " Enseguida vamos a desarrollar esto que nos qued\u00f3 en el denominador de la expresi\u00f3n."}, {"start": 228.39999999999998, "end": 235.95999999999998, "text": " Para ello vamos a utilizar la identidad trigonom\u00e9trica para el coseno de la diferencia de dos \u00e1ngulos."}, {"start": 235.96, "end": 246.44, "text": " Esto es igual a coseno de alfa por coseno de beta m\u00e1s seno de alfa por seno de beta."}, {"start": 246.44, "end": 253.52, "text": " Vamos entonces a escribir ac\u00e1 debajo lo que tenemos ac\u00e1 en el denominador."}, {"start": 253.52, "end": 256.48, "text": " Ser\u00eda coseno de pi medios menos u."}, {"start": 256.48, "end": 263.16, "text": " Vemos que pi medios act\u00faa como alfa y la letra u act\u00faa como beta."}, {"start": 263.16, "end": 265.12, "text": " Entonces reemplazamos ac\u00e1."}, {"start": 265.12, "end": 277.8, "text": " Ser\u00edamos coseno de pi medios por coseno de u y esto m\u00e1s seno de pi medios por el seno de u."}, {"start": 277.8, "end": 282.92, "text": " Como vimos ahora, el coseno de pi medios radianes equivale a cero."}, {"start": 282.92, "end": 286.44, "text": " Recordemos que es el coseno de 90 grados."}, {"start": 286.44, "end": 294.12, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos el seno de pi medios radianes, o sea, el seno de 90 grados que equivale a uno."}, {"start": 294.12, "end": 299.36, "text": " Entonces, si por ac\u00e1 tenemos cero por coseno de u, todo esto nos da cero."}, {"start": 299.36, "end": 304.28000000000003, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos uno por seno de u que equivale a seno de u."}, {"start": 304.28000000000003, "end": 310.76, "text": " Por lo tanto, toda esa expresi\u00f3n equivale a seno de u."}, {"start": 310.76, "end": 316.64, "text": " Y esto lo vamos a sustituir ac\u00e1 en el denominador de la expresi\u00f3n."}, {"start": 316.64, "end": 325.91999999999996, "text": " Tenemos entonces l\u00edmite de u sobre el seno de u cuando u tiende a cero."}, {"start": 325.91999999999996, "end": 327.88, "text": " Ahora veamos lo siguiente."}, {"start": 327.88, "end": 336.24, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n a sobre b elevada al exponente menos n, eso ser\u00e1 igual a b sobre a,"}, {"start": 336.24, "end": 341.4, "text": " eso elevado al exponente n, una propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 341.4, "end": 352.64, "text": " Si cambiamos n por el valor uno, vemos que en el lado derecho podr\u00edamos hacer invisible este exponente."}, {"start": 352.64, "end": 357.56, "text": " Recordemos que cualquier cantidad elevada al exponente uno es ella misma."}, {"start": 357.56, "end": 362.44, "text": " Entonces podemos quitar este par\u00e9ntesis y este exponente uno."}, {"start": 362.44, "end": 369.0, "text": " Entonces, apoy\u00e1ndonos en esta propiedad, podemos cambiar esta fracci\u00f3n por su rec\u00edproca"}, {"start": 369.0, "end": 372.92, "text": " o su inversa elevada al exponente menos uno."}, {"start": 372.92, "end": 376.88, "text": " Tendremos entonces lo siguiente."}, {"start": 376.88, "end": 389.4, "text": " L\u00edmite cuando u tiende a cero de seno de u, todo esto sobre u, y elevado al exponente menos uno."}, {"start": 389.4, "end": 396.88, "text": " Repetimos, pasamos de aqu\u00ed a esto que tenemos ac\u00e1, apoyados en esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 396.88, "end": 401.48, "text": " Ahora vamos a recordar la siguiente propiedad de los l\u00edmites."}, {"start": 401.48, "end": 409.36, "text": " Si tenemos el l\u00edmite de una funci\u00f3n f de u elevada a un n\u00famero real n, todo esto cuando"}, {"start": 409.36, "end": 419.12, "text": " u tiende a otro n\u00famero real c, entonces eso ser\u00e1 igual al l\u00edmite de f de u cuando u tiende"}, {"start": 419.12, "end": 424.44, "text": " a c y todo esto elevado al exponente n."}, {"start": 424.44, "end": 428.12, "text": " Pues bien, eso podemos aplicar en este caso."}, {"start": 428.12, "end": 439.48, "text": " Entonces tendremos el l\u00edmite de seno de u sobre u cuando u tiende a cero y todo esto estar\u00e1"}, {"start": 439.48, "end": 443.8, "text": " elevado al exponente menos uno."}, {"start": 443.8, "end": 449.84, "text": " Ac\u00e1 dentro del par\u00e9ntesis tenemos una situaci\u00f3n que seguramente ya conocemos."}, {"start": 449.84, "end": 458.71999999999997, "text": " El l\u00edmite de seno de x sobre x cuando x tiende a cero y que esto est\u00e1 demostrado que equivale"}, {"start": 458.71999999999997, "end": 459.71999999999997, "text": " a uno."}, {"start": 459.71999999999997, "end": 465.96, "text": " Como se observa es exactamente lo mismo, solamente que ac\u00e1 tenemos x y ac\u00e1 tenemos la letra"}, {"start": 465.96, "end": 466.96, "text": " u."}, {"start": 466.96, "end": 473.4, "text": " Entonces podemos afirmar que todo este l\u00edmite de la base equivale a uno y tendremos uno"}, {"start": 473.4, "end": 476.91999999999996, "text": " elevado al exponente menos uno."}, {"start": 476.92, "end": 480.48, "text": " Aqu\u00ed aplicamos otra propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 480.48, "end": 486.56, "text": " Si tenemos a a la menos n, eso es igual a uno sobre a a la n."}, {"start": 486.56, "end": 491.04, "text": " Entonces vamos a continuar el desarrollo por ac\u00e1."}, {"start": 491.04, "end": 499.48, "text": " Eso nos va a quedar uno sobre uno a la uno, aplicando esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 499.48, "end": 505.32, "text": " Para terminar desarrollamos lo que hay en el denominador uno elevado al exponente uno"}, {"start": 505.32, "end": 511.68, "text": " es uno, arriba tenemos uno y finalmente uno sobre uno equivale a uno."}, {"start": 511.68, "end": 535.88, "text": " Y esa ser\u00e1 entonces la respuesta para ese l\u00edmite trigonom\u00e9trico."}]