RECTA TANGENTE A UNA CURVA - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto cuya abscisa se conoce.

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 Vamos a resolver este ejercicio donde nos piden hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y igual a 3x al cuadrado por logaritmo natural de x, todo eso más 4x en el punto de abscisa 1. Para comenzar vamos a definir cuál es el punto, es decir, un punto P de coordenadas x, y que es lo que se conoce también como el punto de tangencia, o sea el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva. Para ese punto conocemos el valor de su abscisa, cuando el problema nos dice que el punto tiene abscisa 1, se refiere a que el valor de x es 1. Entonces vamos a escribirlo aquí y vamos a determinar cuál es el valor de y, para eso tenemos que reemplazar x igual a 1 aquí en lo que es la función, porque vemos que y depende de x. Entonces eso nos va a quedar de la siguiente manera, y será igual a 3x que vale 1 al cuadrado, eso multiplicado por logaritmo natural de x, pero x vale 1, y todo eso más 4x, o sea 4x1. Tenemos que logaritmo natural de 1 vale 0, el logaritmo en cualquier base de 1 siempre será igual a 0, y 0 multiplicado por todo esto nos da como resultado 0, por lo tanto nos queda 4x1 que es igual a 4, y 0 más 4 es igual a 4. Entonces conocemos entonces el valor de y, que vale 4, tenemos la abscisa y la ordenada, es decir las coordenadas de lo que es el punto de tangencia. Ahora tenemos lo siguiente, la función que vamos a escribir por acá, y igual a 3x al cuadrado por logaritmo natural de x, y todo eso más 4x, y también conocemos el punto de tangencia, que tiene coordenadas 1,4. Como nos piden encontrar la ecuación de la recta tangente, entonces debemos encontrar la derivada de la función que nos dan, porque con esa derivada vamos a determinar el valor de la pendiente de esa recta tangente. Entonces vamos a derivar esta función, vamos a derivar y con respecto a la variable x. En principio vemos que la función es una suma, entonces dice la regla de derivación para la suma que debemos derivar cada uno de los términos. Entonces vamos con la derivada del primero, pero allí observamos un producto, dos componentes que contienen la variable x. Entonces vamos a recordar cómo se deriva un producto, si tenemos un producto A por B, su derivada será igual a la derivada del primer componente, o sea A' por el segundo componente sin derivar, más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente, o sea lo que conocemos como B'. En este caso, 3x al cuadrado hace el papel de A y logaritmo natural de x hace el papel de B. Entonces vamos a seguir esta instrucción, vamos a cumplir con cada uno de estos componentes para derivar correctamente ese producto. Comenzamos con la derivada del primer componente, la derivada de 3x al cuadrado es 6x, esto multiplicado por el segundo componente sin derivar, que es logaritmo natural de x, eso más el primer componente sin derivar que es 3x al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, la derivada del logaritmo natural de x es 1 sobre x. Bien, allí hemos derivado el primer componente de la suma utilizando la regla del producto, y ahora derivamos el segundo componente de esa suma, derivada de 4x es simplemente 4. Aquí podemos simplificar la expresión haciendo el producto de estas dos cantidades, 3x al cuadrado multiplicado por 1 sobre x se convierte en 3x al cuadrado sobre x, y podemos simplificar o cancelar una x y eso nos va a quedar simplemente como 3x, entonces cambiamos este término por 3x. Esta expresión que acabamos de obtener es la derivada de la función original, o sea de la curva que nos han dado al comienzo del problema. Lo que tenemos que hacer ahora es evaluar esa derivada en el punto de tangencia, pero como se observa la derivada únicamente depende de x, como aquí tenemos una pareja de x, como a y, o sea la abscisa y la ordenada, entonces solamente necesitamos el valor de x, es decir 1, vamos a reemplazar donde está la x ese valor 1 y de esa manera vamos a encontrar la pendiente de la recta tangente que se simboliza como m sub índice t, nos queda entonces 6x1 por logaritmo natural de 1 más 3x1 y esto más 4, de nuevo tenemos el logaritmo natural de 1 que como vimos ahora equivale a 0, y 0 multiplicado por esto nos da como resultado 0, por acá tenemos 3, 3x1, 3, entonces 0 más 3 más 4 nos da como resultado 7, tenemos así que la pendiente de la recta tangente tiene un valor de 7. Como ya conocemos el valor de la pendiente y conocemos un punto de la recta que nos piden, entonces vamos a utilizar lo que se llama el modelo punto pendiente, que es el que se utiliza para encontrar la ecuación de una recta cuando se conoce justamente esta información, conocemos un punto de la recta y el valor de su pendiente, el modelo dice así, y menos y sub 1 es igual a m por x menos x sub 1, esa es la formula o el modelo punto pendiente, en ese caso la pareja que conocemos es decir el punto de tangencia será x1 y y1, entonces vamos a reemplazar esa información acá en el modelo, vemos y menos y1, y1 vale 4 igual a la pendiente m que nos dio 7 y esto multiplicado por x menos x1 que vale 1, ahora podemos aplicar aquí la propiedad distributiva, entonces tenemos lo siguiente, y menos 4 es igual a 7 por x que es 7x menos 7 por 1 que es 7 y de allí vamos a llevar la ecuación a la forma y igual a mx más b, para despejar lo que es la letra y, para eso pasamos el 4 que esta restando al otro lado a sumar, nos queda y igual a 7x menos 7 más 4, resolviendo esta operación tenemos y igual a 7x y esto nos da menos 3 y de esta manera hemos llegado a la respuesta, tenemos la ecuación de la recta tangente, o sea la que nos están pidiendo expresada en la forma explicita, o sea la que se conoce como y igual a mx más b, recordemos que m es la pendiente en este caso 7 tal como nos dio por acá y b representa el corte o la intersección de la recta con el eje y, en este caso ocurre en menos 3, b vale menos 3, otra forma de presentar la respuesta es en la forma general o implicita que consiste en dejar 0 en uno de los lados de la igualdad, para ello podemos pasar y que esta a este lado izquierdo, esta positiva, podemos pasarla al lado derecho y nos quedara negativa, entonces tenemos 0 es igual a 7x, dejamos este termino intacto, llega a menos y y escribimos enseguida menos 3, siempre procuramos que nos quede primero el termino con x, después el termino con y y por último el termino independiente, esta será entonces la otra forma de presentar la ecuación de la recta tangente, lo que nos pide el problema, pero como decíamos aquí se encuentra expresada en la forma general o implicita, cuyo modelo dice ax más by más c igual a 0, así dice normalmente pero el 0 puede estar también al otro lado, lo podríamos escribir acá tal como observamos en ese caso, con esto terminamos este ejercicio, tenemos la ecuación de la recta tangente presentada de las dos formas y es la recta que hace contacto a esta curva en este punto.
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