DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 12
#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función donde hay un cociente dentro de una raíz cuadrada.

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 Tenemos en este caso una función donde la variable dependiente es y y la variable independiente es x, y depende de x. Esta letra a que aparece en la expresión es una constante, es decir, se comporta como si fuera un número real. Vamos entonces a determinar la derivada de esa función y con respecto de la variable x. Comenzamos por reescribir esta expresión, allí nos aparece en forma de raíz, vamos a llevarla a forma de potencia con exponente fraccionario aplicando esta propiedad. Si tenemos la raíz de índice n de una cantidad q elevada a la m, esto será igual a q elevada al exponente m sobre n. En este caso todo esto tiene exponente interno a 1, es como si le colocáramos paréntesis e hiciéramos visible su exponente que es 1, y acá tenemos índice 2. Entonces de acuerdo con esta propiedad nos queda a al cuadrado más x al cuadrado, todo esto sobre a al cuadrado menos x al cuadrado y entre paréntesis elevada al exponente 1 medio, el exponente que tenemos acá que es 1 sobre el índice de la raíz que es 2. Ahora si podemos iniciar el proceso de derivación, se puede ver que la derivada de la función y es la derivada de la variable x. Recordemos que a representa una constante, vamos a utilizar en este caso lo que se conoce como la regla de la cadena para potencias, cuyo modelo dice así, manzanita es todo esto que depende de la derivada de la cadena. Entonces la derivada de la cadena será la siguiente, n va a multiplicar por la manzanita que queda intacta elevada al exponente n menos 1 y eso multiplicado por la derivada de la manzanita, es decir lo que se conoce como la derivada interna. Entonces siguiendo esta instrucción tendremos n que es 1 medio por la manzanita que es toda esta expresión protegida con paréntesis a al cuadrado más x al cuadrado sobre a al cuadrado menos x al cuadrado y eso elevado al exponente n menos 1, es decir 1 medio menos 1, el resultado de esa operación es menos 1 medio. Recordemos que aquí se puede utilizar un troco rápido para obtener este resultado, entonces acá restamos estos dos números, el numerador menos el denominador, 1 menos 2 nos da menos 1 y ese será el número que ocupa el numerador de la fracción y conservamos el mismo denominador. Ahora eso va multiplicado por la derivada interna, es decir por la derivada de la manzanita que vamos a dejar indicada, más adelante la resolvemos, entonces todo esto le ponemos esta comita para indicar que debemos derivarlo. Vamos a continuar por acá, tenemos t de x igual a 1 medio por, vamos a transformar esta potencia que tiene exponente negativo, si tenemos p sobre q todo esto elevado al exponente menos n será igual a q sobre p y todo esto elevado al exponente n, propiedad de la potenciación, se invierte la fracción y el exponente cambia de signo, entonces acá nos queda en el numerador a al cuadrado menos x al cuadrado en el denominador a al cuadrado más x al cuadrado y acá en el exponente nos queda un medio positivo. Ahora eso tenemos que multiplicarlo por la derivada de esta expresión que será la derivada de un cociente, vamos a recordar ese modelo, si tenemos el cociente p sobre q entonces su derivada es igual a lo siguiente, en el numerador p' por q es decir derivada del numerador por el denominador sin derivar menos p por q' es decir el numerador sin derivar por la derivada del denominador y acá tendremos el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar esto que tenemos allí, comenzamos con la derivada del numerador donde recordemos que a es una constante por lo tanto a al cuadrado también será constante, tenemos allí la derivada de una suma, derivamos entonces cada uno de sus términos, derivada de a al cuadrado será cero por ser constante y derivada de x al cuadrado nos da 2x, entonces cero más 2x es 2x y allí tenemos la derivada del numerador, ahora eso va multiplicado por el denominador sin derivar es decir a al cuadrado menos x al cuadrado, seguimos acá menos el numerador sin derivar es decir a al cuadrado más x al cuadrado y eso multiplicado por la derivada del denominador, tenemos allí una resta derivamos cada uno de los términos, derivada de a al cuadrado es cero por ser constante, derivada de x al cuadrado es 2x, cero menos 2x nos da menos 2x y acá tenemos el denominador al cuadrado es decir a al cuadrado menos x al cuadrado y todo esto elevado al cuadrado y cerramos el paréntesis que protege toda esa derivada, continuamos por acá nos queda de y de x igual a un medio y esta expresión podemos llevarla otra vez a la forma de raíz, nos queda entonces raíz cuadrada de esto que tenemos en su interior es decir a al cuadrado menos x al cuadrado sobre a al cuadrado más x al cuadrado y vamos a trabajar algebraicamente esa expresión, en el numerador vamos a aplicar la propiedad distributiva para romper aquí este paréntesis entonces tendremos 2x por a al cuadrado es 2a al cuadrado x, 2x por menos x al cuadrado será menos 2x al cubo acá tenemos lo siguiente este signo menos con este menos nos queda más entonces vamos a distribuir 2x a cada uno de estos términos pero teniendo en cuenta que es un término positivo es una cantidad que se vuelve positiva por este producto de signos negativos entonces 2x por a al cuadrado será más 2a al cuadrado x y 2x por más x al cuadrado será más 2x al cubo esto permanece igual al cuadrado menos x al cuadrado todo esto al cuadrado y protegemos todo esto por seguridad utilizando un gran paréntesis seguimos por acá de y de x es igual a un medio que multiplica con esto que permanece igual y eso es multiplicado por esto que vamos a organizar de la siguiente manera acá en el numerador vemos términos que son opuestos es el caso de estos dos acá está negativo acá está positivo la suma de ellos nos da cero entonces los podemos eliminar y también podemos hacer la suma de esos dos términos que son semejantes entonces eso nos da 4 al cuadrado x y en el denominador permanece lo mismo al cuadrado menos x al cuadrado y todo esto elevado al cuadrado allí ya no es necesario el paréntesis generalmente podemos simplificar esa expresión es el caso de estos dos números 4 y 2 a los que podemos sacar mitad decimos mitad de 4 2 mitad de 2 es 1 es como dividir arriba y abajo por 2 entonces la derivada de y con respecto a x nos queda así vamos a acomodar primero la fracción que tenemos a este lado en el numerador queda 2 a al cuadrado x sobre al cuadrado menos x al cuadrado todo esto elevado al cuadrado y eso queda multiplicando por la raíz cuadrada de todo eso en el numerador al cuadrado menos x al cuadrado y en el denominador al cuadrado más x al cuadrado de esta manera terminamos toda esta expresión constituye la derivada de esta función que nos dieron originalmente donde y depende de x y la letra a se comporta como constante..
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Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n"}, {"start": 287.28, "end": 293.34, "text": " vamos a derivar esto que tenemos all\u00ed, comenzamos con la derivada del numerador donde recordemos"}, {"start": 293.34, "end": 299.4, "text": " que a es una constante por lo tanto a al cuadrado tambi\u00e9n ser\u00e1 constante, tenemos all\u00ed la"}, {"start": 299.4, "end": 305.35999999999996, "text": " derivada de una suma, derivamos entonces cada uno de sus t\u00e9rminos, derivada de a al cuadrado"}, {"start": 305.35999999999996, "end": 312.12, "text": " ser\u00e1 cero por ser constante y derivada de x al cuadrado nos da 2x, entonces cero m\u00e1s"}, {"start": 312.12, "end": 319.4, "text": " 2x es 2x y all\u00ed tenemos la derivada del numerador, ahora eso va multiplicado por el denominador"}, {"start": 319.4, "end": 327.59999999999997, "text": " sin derivar es decir a al cuadrado menos x al cuadrado, seguimos ac\u00e1 menos el numerador"}, {"start": 327.59999999999997, "end": 335.32, "text": " sin derivar es decir a al cuadrado m\u00e1s x al cuadrado y eso multiplicado por la derivada"}, {"start": 335.32, "end": 341.56, "text": " del denominador, tenemos all\u00ed una resta derivamos cada uno de los t\u00e9rminos, derivada de a al"}, {"start": 341.56, "end": 348.71999999999997, "text": " cuadrado es cero por ser constante, derivada de x al cuadrado es 2x, cero menos 2x nos"}, {"start": 348.72, "end": 356.72, "text": " da menos 2x y ac\u00e1 tenemos el denominador al cuadrado es decir a al cuadrado menos x"}, {"start": 356.72, "end": 363.96000000000004, "text": " al cuadrado y todo esto elevado al cuadrado y cerramos el par\u00e9ntesis que protege toda"}, {"start": 363.96000000000004, "end": 374.12, "text": " esa derivada, continuamos por ac\u00e1 nos queda de y de x igual a un medio y esta expresi\u00f3n"}, {"start": 374.12, "end": 382.36, "text": " podemos llevarla otra vez a la forma de ra\u00edz, nos queda entonces ra\u00edz cuadrada de esto"}, {"start": 382.36, "end": 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433.71999999999997, "end": 443.4, "text": " 2x por a al cuadrado ser\u00e1 m\u00e1s 2a al cuadrado x y 2x por m\u00e1s x al cuadrado ser\u00e1 m\u00e1s 2x"}, {"start": 443.4, "end": 451.82, "text": " al cubo esto permanece igual al cuadrado menos x al cuadrado todo esto al cuadrado y protegemos"}, {"start": 451.82, "end": 459.71999999999997, "text": " todo esto por seguridad utilizando un gran par\u00e9ntesis seguimos por ac\u00e1 de y de x es"}, {"start": 459.71999999999997, "end": 468.48, "text": " igual a un medio que multiplica con esto que permanece igual y eso es multiplicado por"}, {"start": 468.48, "end": 475.48, "text": " esto que vamos a organizar de la siguiente manera ac\u00e1 en el numerador vemos t\u00e9rminos"}, {"start": 475.48, "end": 480.92, "text": " que son opuestos es el caso de estos dos ac\u00e1 est\u00e1 negativo ac\u00e1 est\u00e1 positivo la suma"}, {"start": 480.92, "end": 487.6, "text": " de ellos nos da cero entonces los podemos eliminar y tambi\u00e9n 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