DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO - Casos 2 y 3
#julioprofe explica como resolver una desigualdad con tres miembros y valor absoluto.

Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Para resolver esta desigualdad que tiene tres componentes y un valor absoluto en el centro, hacemos lo siguiente, vamos a considerar dos desigualdades, esta vamos a llamarla la desigualdad A y esta la llamamos la desigualdad B. La desigualdad A dice 2 menor que valor absoluto de X menos 3, pero esto podemos leerlo en este sentido y nos queda como valor absoluto de X menos 3 mayor que 2. Y ahora vamos a escribir por acá la desigualdad B, entonces esa dice valor absoluto de X menos 3, todo esto menor o igual que 4. Cada una de esas desigualdades tendrá su respectivo conjunto solución, entonces por acá tendremos la solución de la desigualdad A y por acá la solución de la desigualdad B y al final para encontrar la solución total del ejercicio propuesto, debemos hacer la intersección de las dos soluciones, de los dos conjuntos solución correspondientes a estas desigualdades. Comenzamos resolviendo la desigualdad A que corresponde al caso número 3, entonces vamos a escribir por acá ese modelo valor absoluto de A mayor que B y su respectiva solución será A menor que menos B unión con A mayor que B. Vamos a reemplazar entonces sus componentes respectivos, A está representada por X menos 3, esto será menor que menos B, es decir menos 2, todo esto unión con A que es X menos 3 mayor que B, pero B está representada por 2. Transolvemos ahora cada una de estas dos desigualdades que son de tipo lineal, entonces despejamos siempre la X en el lado izquierdo, acá nos queda X menor que menos 2 más 3, pues como sumar 3 a ambos lados de la desigualdad, por acá X mayor que 2 más 3, lo mismo, es como sumar 3 a ambos lados. Resolvemos ahora estas operaciones, por acá tendremos X menor que 1 y por acá X mayor que 5 y a esos dos conjuntos debemos efectuarle la operación unión. Para determinar con facilidad el conjunto solución de esa primera desigualdad, vamos a una recta numérica que simboliza los valores reales de X, desde menos infinito hasta más infinito, localizamos el 1 y localizamos el 5 y tenemos entonces los X menores que 1, es decir sin incluir el 1 y todos los números reales que están a la izquierda y por acá tenemos los X mayores que 5, sin incluir el 5 y todos los reales que tenemos a la derecha. De esta manera se observa con claridad cuál es la región que corresponde a la solución de esa primera desigualdad, estas dos zonas se unen y entonces tendremos que la solución para la desigualdad A son los X que van desde menos infinito hasta 1 sin incluirlo, por eso va con paréntesis, unión con el intervalo que va desde 5 sin incluirlo también con paréntesis hasta más infinito. Allí tenemos entonces la solución de la desigualdad A. Vamos ahora con la desigualdad B, entonces dice valor absoluto de X menos 3 menor o igual que 4, esa desigualdad corresponde al caso número 2, entonces vamos a escribir por acá el modelo valor absoluto de A menor o igual que B y su solución dice menos B menor o igual que A menor o igual que B. Vamos entonces a reemplazar cada uno de los componentes, menos B sería menos 4, esto menor o igual que A pero A está representada por X menos 3 y esto menor o igual que B pero B equivale a 4. Tenemos allí una desigualdad lineal con tres componentes donde la X está en el centro, entonces vamos a aislar esa letra aquí en el componente central, para ello sumamos 3 en los tres miembros de la desigualdad, vamos a hacer entonces eso, sumamos 3 a cada componente y vamos resolviendo, menos 4 más 3 nos da menos 1 menor o igual que aquí, menos 3 y más 3 eso nos da 0, nos queda entonces la X ya aislada en el componente central y por acá 4 más 3 nos da 7. De nuevo utilizamos esta gráfica para ver mejor este conjunto solución, es la recta que representa los valores reales de X, desde menos infinito hasta más infinito, localizamos entonces el menos 1 y el 7 y tenemos allí que son los X comprendidos entre estos dos números, es decir todos estos valores reales incluyendo los extremos porque tenemos aquí signo menor o igual, entonces de esa manera ya tenemos el conjunto solución para la desigualdad B, vamos a escribirlo por acá, tendríamos entonces el conjunto que va desde menos 1 cerrado por eso utilizamos corchete hasta 7 también cerrado y así hemos resuelto la desigualdad B. Lo que hacemos ahora es la intersección de esos dos conjuntos para determinar la solución total, el conjunto solución del ejercicio original, entonces será solución de la desigualdad A, intersección con la solución de la desigualdad B. Para ello vamos a utilizar otra vez este diagrama, la recta real para valores de X desde menos infinito hasta más infinito y en ella vamos a localizar los números que aparecen aquí implicados, el menor de todos ellos es el menos 1, entonces comenzamos con él, revisamos y el siguiente será el número 1, después tenemos el número 5 y luego el número 7, aquí no tenemos que preocuparnos por escala, podemos localizarlos de manera libre, eso sí teniendo en cuenta el orden que llevan en la recta numérica. Vamos entonces a localizar aquí el conjunto solución A y vamos a rayarlo de la siguiente manera, en este sentido, entonces el conjunto solución A va de menos infinito hasta 1 sin incluir el 1, rayamos entonces toda esta zona de esa manera y también lo que va desde 5 hasta más infinito abierto en 5, seguimos utilizando el mismo tipo de rayado. Ahora vamos con el conjunto solución B y vamos a utilizar rayado en la otra dirección, ese conjunto va desde menos 1 cerrado hasta 7 cerrado, es decir, incluyendo menos 1 e incluyendo el 7 y rayamos entonces teniendo en cuenta esa dirección que hemos establecido, allí tenemos entonces el conjunto solución B, como debemos determinar la intersección de esos dos conjuntos, entonces nos concentramos en las zonas donde se presentan los dos tipos de rayado, que sería aquí y también acá y de esa manera determinamos el conjunto solución total, será entonces el que va desde menos 1 hasta 1 cerrado en menos 1 abierto en 1 y esta zona, es decir, unión con el intervalo que va desde 5 hasta 7 abierto en 5 y cerrado en 7 y ese será el conjunto solución para la desigualdad original.
[{"start": 0.0, "end": 9.4, "text": " Para resolver esta desigualdad que tiene tres componentes y un valor absoluto en el centro,"}, {"start": 9.4, "end": 15.84, "text": " hacemos lo siguiente, vamos a considerar dos desigualdades, esta vamos a llamarla la desigualdad"}, {"start": 15.84, "end": 20.080000000000002, "text": " A y esta la llamamos la desigualdad B."}, {"start": 20.080000000000002, "end": 28.240000000000002, "text": " La desigualdad A dice 2 menor que valor absoluto de X menos 3, pero esto podemos leerlo en"}, {"start": 28.24, "end": 34.519999999999996, "text": " este sentido y nos queda como valor absoluto de X menos 3 mayor que 2."}, {"start": 34.519999999999996, "end": 42.68, "text": " Y ahora vamos a escribir por ac\u00e1 la desigualdad B, entonces esa dice valor absoluto de X menos"}, {"start": 42.68, "end": 47.16, "text": " 3, todo esto menor o igual que 4."}, {"start": 47.16, "end": 53.12, "text": " Cada una de esas desigualdades tendr\u00e1 su respectivo conjunto soluci\u00f3n, entonces por"}, {"start": 53.12, "end": 59.36, "text": " ac\u00e1 tendremos la soluci\u00f3n de la desigualdad A y por ac\u00e1 la soluci\u00f3n de la desigualdad"}, {"start": 59.36, "end": 66.44, "text": " B y al final para encontrar la soluci\u00f3n total del ejercicio propuesto, debemos hacer la"}, {"start": 66.44, "end": 74.4, "text": " intersecci\u00f3n de las dos soluciones, de los dos conjuntos soluci\u00f3n correspondientes a"}, {"start": 74.4, "end": 76.44, "text": " estas desigualdades."}, {"start": 76.44, "end": 83.39999999999999, "text": " Comenzamos resolviendo la desigualdad A que corresponde al caso n\u00famero 3, entonces vamos"}, {"start": 83.39999999999999, "end": 92.6, "text": " a escribir por ac\u00e1 ese modelo valor absoluto de A mayor que B y su respectiva soluci\u00f3n"}, {"start": 92.6, "end": 99.0, "text": " ser\u00e1 A menor que menos B uni\u00f3n con A mayor que B."}, {"start": 99.0, "end": 106.28, "text": " Vamos a reemplazar entonces sus componentes respectivos, A est\u00e1 representada por X menos"}, {"start": 106.28, "end": 115.72, "text": " 3, esto ser\u00e1 menor que menos B, es decir menos 2, todo esto uni\u00f3n con A que es X menos 3"}, {"start": 115.72, "end": 120.94, "text": " mayor que B, pero B est\u00e1 representada por 2."}, {"start": 120.94, "end": 126.58, "text": " Transolvemos ahora cada una de estas dos desigualdades que son de tipo lineal, entonces despejamos"}, {"start": 126.58, "end": 133.92, "text": " siempre la X en el lado izquierdo, ac\u00e1 nos queda X menor que menos 2 m\u00e1s 3, pues como"}, {"start": 133.92, "end": 141.92, "text": " sumar 3 a ambos lados de la desigualdad, por ac\u00e1 X mayor que 2 m\u00e1s 3, lo mismo, es como"}, {"start": 141.92, "end": 144.48, "text": " sumar 3 a ambos lados."}, {"start": 144.48, "end": 151.64, "text": " Resolvemos ahora estas operaciones, por ac\u00e1 tendremos X menor que 1 y por ac\u00e1 X mayor"}, {"start": 151.64, "end": 159.44, "text": " que 5 y a esos dos conjuntos debemos efectuarle la operaci\u00f3n uni\u00f3n."}, {"start": 159.44, "end": 164.2, "text": " Para determinar con facilidad el conjunto soluci\u00f3n de esa primera desigualdad, vamos"}, {"start": 164.2, "end": 170.23999999999998, "text": " a una recta num\u00e9rica que simboliza los valores reales de X, desde menos infinito hasta m\u00e1s"}, {"start": 170.23999999999998, "end": 178.6, "text": " infinito, localizamos el 1 y localizamos el 5 y tenemos entonces los X menores que 1,"}, {"start": 178.6, "end": 184.68, "text": " es decir sin incluir el 1 y todos los n\u00fameros reales que est\u00e1n a la izquierda y por ac\u00e1"}, {"start": 184.68, "end": 192.68, "text": " tenemos los X mayores que 5, sin incluir el 5 y todos los reales que tenemos a la derecha."}, {"start": 192.68, "end": 197.92, "text": " De esta manera se observa con claridad cu\u00e1l es la regi\u00f3n que corresponde a la soluci\u00f3n"}, {"start": 197.92, "end": 204.4, "text": " de esa primera desigualdad, estas dos zonas se unen y entonces tendremos que la soluci\u00f3n"}, {"start": 204.4, "end": 212.52, "text": " para la desigualdad A son los X que van desde menos infinito hasta 1 sin incluirlo, por"}, {"start": 212.52, "end": 219.24, "text": " eso va con par\u00e9ntesis, uni\u00f3n con el intervalo que va desde 5 sin incluirlo tambi\u00e9n con"}, {"start": 219.24, "end": 222.36, "text": " par\u00e9ntesis hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 222.36, "end": 227.28, "text": " All\u00ed tenemos entonces la soluci\u00f3n de la desigualdad A."}, {"start": 227.28, "end": 236.76, "text": " Vamos ahora con la desigualdad B, entonces dice valor absoluto de X menos 3 menor o igual"}, {"start": 236.76, "end": 244.96, "text": " que 4, esa desigualdad corresponde al caso n\u00famero 2, entonces vamos a escribir por ac\u00e1"}, {"start": 244.96, "end": 253.04, "text": " el modelo valor absoluto de A menor o igual que B y su soluci\u00f3n dice menos B menor o"}, {"start": 253.04, "end": 260.15999999999997, "text": " igual que A menor o igual que B. Vamos entonces a reemplazar cada uno de los componentes,"}, {"start": 260.15999999999997, "end": 268.12, "text": " menos B ser\u00eda menos 4, esto menor o igual que A pero A est\u00e1 representada por X menos"}, {"start": 268.12, "end": 273.88, "text": " 3 y esto menor o igual que B pero B equivale a 4."}, {"start": 273.88, "end": 279.88, "text": " Tenemos all\u00ed una desigualdad lineal con tres componentes donde la X est\u00e1 en el centro,"}, {"start": 279.88, "end": 286.15999999999997, "text": " entonces vamos a aislar esa letra aqu\u00ed en el componente central, para ello sumamos 3"}, {"start": 286.15999999999997, "end": 296.2, "text": " en los tres miembros de la desigualdad, vamos a hacer entonces eso, sumamos 3 a cada componente"}, {"start": 296.2, "end": 303.4, "text": " y vamos resolviendo, menos 4 m\u00e1s 3 nos da menos 1 menor o igual que aqu\u00ed, menos 3 y"}, {"start": 303.4, "end": 310.2, "text": " m\u00e1s 3 eso nos da 0, nos queda entonces la X ya aislada en el componente central y por"}, {"start": 310.2, "end": 317.2, "text": " ac\u00e1 4 m\u00e1s 3 nos da 7. De nuevo utilizamos esta gr\u00e1fica para ver mejor este conjunto"}, {"start": 317.2, "end": 322.84, "text": " soluci\u00f3n, es la recta que representa los valores reales de X, desde menos infinito"}, {"start": 322.84, "end": 330.52, "text": " hasta m\u00e1s infinito, localizamos entonces el menos 1 y el 7 y tenemos all\u00ed que son"}, {"start": 330.52, "end": 336.64, "text": " los X comprendidos entre estos dos n\u00fameros, es decir todos estos valores reales incluyendo"}, {"start": 336.64, "end": 342.91999999999996, "text": " los extremos porque tenemos aqu\u00ed signo menor o igual, entonces de esa manera ya tenemos"}, {"start": 342.91999999999996, "end": 349.0, "text": " el conjunto soluci\u00f3n para la desigualdad B, vamos a escribirlo por ac\u00e1, tendr\u00edamos"}, {"start": 349.0, "end": 355.84, "text": " entonces el conjunto que va desde menos 1 cerrado por eso utilizamos corchete hasta"}, {"start": 355.84, "end": 363.03999999999996, "text": " 7 tambi\u00e9n cerrado y as\u00ed hemos resuelto la desigualdad B. Lo que hacemos ahora es la"}, {"start": 363.03999999999996, "end": 370.71999999999997, "text": " intersecci\u00f3n de esos dos conjuntos para determinar la soluci\u00f3n total, el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 370.71999999999997, "end": 377.88, "text": " del ejercicio original, entonces ser\u00e1 soluci\u00f3n de la desigualdad A, intersecci\u00f3n con la"}, {"start": 377.88, "end": 384.64, "text": " soluci\u00f3n de la desigualdad B. Para ello vamos a utilizar otra vez este diagrama, la recta"}, {"start": 384.64, "end": 391.68, "text": " real para valores de X desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito y en ella vamos a localizar"}, {"start": 391.68, "end": 398.44, "text": " los n\u00fameros que aparecen aqu\u00ed implicados, el menor de todos ellos es el menos 1, entonces"}, {"start": 398.44, "end": 405.59999999999997, "text": " comenzamos con \u00e9l, revisamos y el siguiente ser\u00e1 el n\u00famero 1, despu\u00e9s tenemos el n\u00famero"}, {"start": 405.59999999999997, "end": 414.0, "text": " 5 y luego el n\u00famero 7, aqu\u00ed no tenemos que preocuparnos por escala, podemos localizarlos"}, {"start": 414.0, "end": 419.96, "text": " de manera libre, eso s\u00ed teniendo en cuenta el orden que llevan en la recta num\u00e9rica."}, {"start": 419.96, "end": 425.76, "text": " Vamos entonces a localizar aqu\u00ed el conjunto soluci\u00f3n A y vamos a rayarlo de la siguiente"}, {"start": 425.76, "end": 433.0, "text": " manera, en este sentido, entonces el conjunto soluci\u00f3n A va de menos infinito hasta 1 sin"}, {"start": 433.0, "end": 440.08, "text": " incluir el 1, rayamos entonces toda esta zona de esa manera y tambi\u00e9n lo que va desde"}, {"start": 440.08, "end": 448.03999999999996, "text": " 5 hasta m\u00e1s infinito abierto en 5, seguimos utilizando el mismo tipo de rayado. Ahora"}, {"start": 448.03999999999996, "end": 455.15999999999997, "text": " vamos con el conjunto soluci\u00f3n B y vamos a utilizar rayado en la otra direcci\u00f3n, ese"}, {"start": 455.15999999999997, "end": 462.86, "text": " conjunto va desde menos 1 cerrado hasta 7 cerrado, es decir, incluyendo menos 1 e incluyendo"}, {"start": 462.86, "end": 470.86, "text": " el 7 y rayamos entonces teniendo en cuenta esa direcci\u00f3n que hemos establecido, all\u00ed"}, {"start": 470.86, "end": 476.96000000000004, "text": " tenemos entonces el conjunto soluci\u00f3n B, como debemos determinar la intersecci\u00f3n de"}, {"start": 476.96000000000004, "end": 483.12, "text": " esos dos conjuntos, entonces nos concentramos en las zonas donde se presentan los dos tipos"}, {"start": 483.12, "end": 490.0, "text": " de rayado, que ser\u00eda aqu\u00ed y tambi\u00e9n ac\u00e1 y de esa manera determinamos el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 490.0, "end": 499.36, "text": " total, ser\u00e1 entonces el que va desde menos 1 hasta 1 cerrado en menos 1 abierto en 1"}, {"start": 499.36, "end": 508.28, "text": " y esta zona, es decir, uni\u00f3n con el intervalo que va desde 5 hasta 7 abierto en 5 y cerrado"}, {"start": 508.28, "end": 530.92, "text": " en 7 y ese ser\u00e1 el conjunto soluci\u00f3n para la desigualdad original."}]