DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 2
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 Vamos a resolver esta identidad trigonométrica empezando por el lado izquierdo que es el que tiene más superaciones y así demostrar que es igual al lado derecho que está mucho más simple. Entonces empezamos por resolver la resta de fracciones heterogéneas que encontramos en el lado izquierdo. Vamos a realizarla en cruz abajo multiplicaríamos estos dos entonces 1 menos seno de x que va a multiplicar a 1 más seno de x. Arriba tendríamos este por este como son iguales queda 1 más seno de x todo eso al cuadrado. Esto por esto entonces que haría 1 más seno de x al cuadrado menos, es decir este menos de acá, este por este también son iguales entonces nos queda 1 menos seno de x y todo eso al cuadrado. Esto pues quedaría igual. Vamos a desarrollar entonces las operaciones que tenemos allí. Aquí encontramos una conexión con el álgebra por ejemplo aquí tenemos un binomio al cuadrado recordemos el binomio al cuadrado a más b al cuadrado es igual al primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado. Entonces vamos a realizar uno al cuadrado sería uno tenemos ese término más dos veces el primero por el segundo es decir 2 por 1 por seno de x eso nos da 2 seno de x más el segundo al cuadrado es decir seno de x elevado al cuadrado lo podemos escribir como seno al cuadrado de x. Vamos a proteger esto con paréntesis porque es el resultado de este primer desarrollo menos abrimos el paréntesis y vamos a desarrollar este otro binomio cuando aquí tenemos signo negativo es decir un binomio al cuadrado pero con resta cambiaría solamente este signo de aquí entonces tendremos el primero al cuadrado o sea uno al cuadrado que es 1 menos o sea este menos de acá dos veces el primero por el segundo entonces 2 por 1 por seno de x quedaría 2 seno de x más el segundo al cuadrado es decir seno de x al cuadrado quedaría seno cuadrado de x. Cerramos el paréntesis. En el denominador tenemos otro producto notable que se llama suma por diferencia vamos a recordarlo a más b por a menos b nos da a al cuadrado menos b al cuadrado es decir una diferencia de cuadrados entonces en este caso esto es a más b esto es a menos b por lo tanto nos queda el primero al cuadrado es decir 1 al cuadrado que es 1 menos o sea este menos de acá el segundo al cuadrado es decir ese término de acá entonces nos quedaría seno al cuadrado de x. A continuación vamos a destruir paréntesis en el numerador esto quedaría igual a esto de acá destruimos paréntesis en el numerador entonces nos queda 1 más 2 seno de x más seno al cuadrado de x aquí el signo menos cambia todos estos signos del interior del paréntesis entonces nos queda 1 negativo más 2 seno de x menos seno al cuadrado de x y abajo 1 menos seno cuadrado de x eso equivale a coseno al cuadrado de x recordemos que esto sale de la identidad fundamental de la trigonometría eso quedaría igual al otro lado. Ponemos acá y vamos a continuando entonces por acá acá en el numerador observamos términos que se nos van a cancelar como 1 y menos 1 se eliminan también se van a cancelar seno cuadrado de x con menos seno cuadrado de x se nos van estos dos términos y en cambio nos quedan dos términos que se suman los términos semejantes que son estos dos 2 seno de x más 2 seno de x eso nos va a quedar 4 seno de x y en el denominador nos quedó coseno al cuadrado de x a continuación vamos a repartir coseno al cuadrado de x vamos a colocarlo como coseno de x por coseno de x y arriba tenemos 4 seno de x igual supuestamente a esto y ahora vamos a reacomodarlos lo que tenemos en esta en esa fracción lo podemos escribir de la siguiente manera 4 por seno de x sobre coseno de x es decir este seno de x sobre este coseno de x por este coseno de x aparte pero con un 1 en la parte superior y cambiamos seno de x sobre coseno de x se cambia por tangente de x y 1 sobre coseno de x que equivale a la secante de x y de esa manera hemos llegado a lo que teníamos en el lado derecho y así hemos verificado la identidad trigonométrica
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