SUMAR FRACCIONES ALGEBRAICAS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo sumar dos fracciones algebraicas heterogéneas (con distinto denominador).

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 Vamos a resolver detalladamente esta suma de fracciones algebraicas heterogéneas, es decir, fracciones que tienen distinto denominador. Lo primero que tenemos que hacer es factorizar completamente cada una de estas expresiones que tenemos en los denominadores. Tenemos en este caso una diferencia de cuadrados perfectos y acá un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Entonces, en la primera situación hacemos lo siguiente, extraemos la raíz cuadrada de cada uno de estos términos, la raíz cuadrada de x al cuadrado es x y la raíz cuadrada de 25 es 5. Anotamos entonces esas dos cantidades en una suma y en una resta, x más 5 por x menos 5 es la factorización de esta diferencia de cuadrados perfectos. Ahora vamos con esta expresión, allí abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería x, definimos ahora los signos, tenemos aquí signo positivo, más por menos nos da menos y menos por menos nos da más. Buscamos enseguida dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados entre sí nos de menos 15 y que al sumarlos nos de como resultado menos 2, esos números son menos 5 y más 3, veamos, menos 5 por más 3 nos da menos 15 y menos 5 sumado con 3 nos da menos 2. Enseguida determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores que ya han sido factorizados completamente, para ello debemos seleccionar los factores repetidos y no repetidos, en el caso de los repetidos se busca el de mayor exponente, en este caso el factor repetido es x menos 5 pero vemos que ambos tienen exponente 1, entonces se selecciona simplemente x menos 5 y también como decíamos se seleccionan los factores no repetidos, es el caso de x más 5 y x más 3. Lo que tenemos que hacer enseguida es conseguir que ambas fracciones queden con toda esta expresión en el denominador y para ello vamos a multiplicar arriba y abajo por lo que sea necesario para tener esto en cada uno de los denominadores. Para el caso de la primera fracción vemos que abajo ya tenemos x más 5 y x menos 5, falta entonces x más 3 pero esta expresión debe escribirse también arriba, entonces se multiplica en el numerador y en el denominador y por acá tenemos que para la segunda fracción ya tenemos el factor x menos 5 y el factor x más 3, nos falta el factor x más 5 que también debemos escribirlo en la parte de arriba pero aquí necesitamos proteger con paréntesis la expresión x más 2 que va a ser multiplicada por x más 5. Como podemos observar ya tenemos en el denominador de cada una de las fracciones el mínimo común múltiplo que habíamos determinado, es decir que en este caso ya son fracciones homogéneas, ambas tienen el mismo denominador. Recordemos entonces que para sumar fracciones homogéneas se debe conservar el mismo denominador, allí lo tenemos y en la parte superior escribimos la suma de los numeradores, por acá tenemos 4 que multiplica con x más 3 y esto se va a sumar con esto que tenemos acá, x más 2 que se va a multiplicar con x más 5. Ahora desarrollamos todas las operaciones que quedaron en el numerador, tenemos por acá que el número 4 se distribuye, tenemos 4 por x que es 4x más 4 por 3 que nos da 12 y acá tenemos una multiplicación de binumios, comenzamos distribuyendo la x, entonces como acá tenemos signo más no necesitamos proteger lo que sigue con paréntesis, podemos hacerlo directamente, x por x nos da x al cuadrado, x por más 5 nos da más 5x y luego distribuimos el número 2, nos queda entonces más 2 por x que es más 2x y más 2 por más 5 que nos da más 10 y todo eso nos queda sobre x más 5 por x menos 5 por x más 3, es decir conservamos el denominador. Ahora en el numerador vamos a reducir términos semejantes, comenzamos con el de mayor grado, el de mayor exponente que es x al cuadrado para que de una vez nos vaya quedando la expresión organizada continuamos con los términos que contienen la x que son estos tres, entonces sumamos sus coeficientes, 4 más 5 nos da 9, 9 más 2 nos da 11, entonces nos queda más 11x y después operamos los términos independientes, los dos números que no dependen de x, tenemos 12 más 10 que nos da 22 positivo y todo esto nos queda sobre x más 5 por x menos 5 por x más 3, de nuevo se conserva el denominador. Ya para finalizar revisamos si esta fracción algebraica puede simplificarse, para ello tendríamos que factorizar completamente el numerador porque el denominador ya está totalmente factorizado. Revisemos entonces si el numerador se puede factorizar, tenemos allí un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, el mismo caso que aplicamos aquí, entonces abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que es x, definimos ahora los signos, más por más nos da más y más por más también nos da más, buscaríamos dos números positivos que multiplicados entre sí nos de más 22 y que al sumarlos nos de más 11, veamos números que multiplicados de 22 son 22 y 1, ambos positivos, pero al sumarlos nos da 23, no nos da 11, entonces esta posibilidad no sirve, otra que tenemos es 11 y 2, multiplicados entre sí nos da 22, pero al sumarlos nos da 13, no nos da 11, por lo tanto no existen esos números enteros que cumplen con esas condiciones. Por lo tanto concluimos que el numerador no es factorizable, de ese modo terminamos el ejercicio, esta será entonces la respuesta para esa suma de fracciones algebricas heterogéneas.
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