DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR - Ejercicio 4
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 ¿Qué es la derivada? Nos queda encontrar la segunda derivada para esta función. Entonces vamos a comenzar derivándola, es decir, vamos a obtener la primera derivada de esa función aplicando la regla del cociente. Vamos a recordarla por acá. Si tenemos un cociente A sobre B, entonces su derivada se hace de la siguiente manera. Comenzamos con la derivada del numerador, es decir, A' por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, es decir, A por B', y todo esto nos queda sobre B al cuadrado. Es decir, aquí en el denominador va este componente sin derivar elevado al cuadrado. Entonces, siguiendo esta instrucción, vamos a derivar este cociente. Es decir, la función original. Comenzamos obteniendo A', es decir, la derivada del numerador. Allí tenemos una suma. Recordemos que en ese caso se deriva cada uno de los términos. Derivada de 1 sería 0. Recordemos que la derivada de toda constante siempre es 0. Pasamos entonces a derivar logaritmo natural de X. Vamos a recordar por acá ese caso, la derivada de logaritmo natural o logaritmo neperiano de X. Es 1 sobre X. Entonces, para el caso del numerador, la derivada será 1 sobre X. Eso va multiplicando por el denominador sin derivar, es decir, lo que constituye B. Sería 1 menos logaritmo natural de X, y eso protegido con paréntesis. Después tenemos menos A, es decir, el numerador sin derivar, lo protegemos también con paréntesis, 1 más logaritmo natural de X. Y esto multiplicado por B', es decir, por la derivada del denominador. Aquí tenemos una resta, entonces también se deriva cada uno de sus términos. Derivada de 1 nos da 0. Derivada de logaritmo natural de X es 1 sobre X. Entonces nos queda menos 1 sobre X. Y por ser una cantidad negativa, entonces se protege con paréntesis. Ahora acá tendremos el componente de al cuadrado. Es decir, esto sin derivar, 1 menos logaritmo natural de X, protegido con paréntesis, y todo eso elevado al cuadrado. Ahora, en el numerador vamos a romper esos paréntesis. Vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces 1 sobre X va a multiplicar a cada uno de esos dos componentes. 1 sobre X por 1 nos da 1 sobre X. Luego tenemos menos 1 sobre X que multiplica con logaritmo natural de X. Eso nos quedaría logaritmo natural de X sobre X. Acá tendríamos menos por menos más. Entonces podemos suponer que 1 sobre X se sitúa aquí adelante y entra a distribuirse multiplicando a cada uno de esos dos términos. Es lo mismo que si aplicamos la distributiva en este sentido. Pero ya sabemos que menos por menos nos da más. Entonces no nos preocupamos porque todo lo que sigue son términos positivos. 1 sobre X por 1 nos quedaría más 1 sobre X. Y 1 sobre X por logaritmo natural de X nos daría más logaritmo natural de X sobre X. Y esto permanece igual en el denominador. 1 menos logaritmo natural de X, todo esto elevado al cuadral. Ahora, aquí en el numerador podemos hacer reducción de términos. Es el caso de estos dos que se pueden sumar entre sí. 1 sobre X más 1 sobre X nos daría 2 sobre X. Y también el caso de estos dos términos que como vemos son opuestos. Aquí está negativo y aquí está positivo. Por lo tanto se pueden eliminar. La suma de ellos dos nos daría 0. Y en el denominador conservamos lo mismo. 1 menos logaritmo natural de X, todo esto elevado al cuadrado. Y a eso podemos colocarle denominador 1. Para que enseguida hagamos la división de fracciones. Aplicando lo que se conoce como ley de la oreja, es decir, multiplicación de elementos extremos arriba. Y multiplicación de elementos internos abajo. Esto nos queda así. 2 por 1 es 2 en el numerador. Y X que multiplica con esa expresión. X por 1 menos logaritmo natural de X. Y todo esto al cuadrado queda en el denominador. Esto que hemos obtenido constituye la primera derivada de la función original. Pero lo que tenemos que hallar es la segunda derivada de esto que nos dieron. Entonces debemos volver a derivar esta expresión. Que se presenta como un cociente pero con una constante en el numerador. Entonces aquí es conveniente transformar eso en un producto. Para facilitar el proceso de derivación. Veamos entonces como nos cambia esa expresión. Aplicamos esta propiedad de la potenciación. La propiedad del exponente negativo. A a la menos n es igual a 1 sobre a a la n. Si tenemos una potencia en el denominador. Podemos trasladarla al numerador. Cambiando el signo del exponente. Es lo que tenemos aquí. En el denominador hay dos componentes multiplicando. Y esta X tiene exponente 1. Entonces podemos trasladar estos dos componentes al numerador. Para que queden multiplicando con 2. Nos quedaría 2 que recibe a X a la menos 1. Esto queda multiplicando. Y esto también recibe al paréntesis que sube. Como 1 menos logaritmo natural de X. Y todo esto elevado al exponente menos 2. Repetimos. Se trasladan estos dos componentes al numerador. Cambian de signo los exponentes. Y acá ya tendríamos denominador 1. Entonces ahora sí vamos a derivar este producto. Vamos a recordar la regla que corresponde a esa situación. Si tenemos un producto a por b. Entonces su derivada. Es igual a la derivada del primer componente. Es decir a prima. Por el segundo sin derivar que es b. Más el primer componente sin derivar. Por la derivada del segundo. Es decir por b prima. En este caso. Esto constituye a. Y todo esto constituye. El componente b. Entonces aparece por primera vez f2 prima de X. Es decir la notación para la segunda derivada. Es la derivada. De esto que tenemos aquí. Es decir de la primera derivada. Comenzamos obteniendo el componente a prima. Es decir la derivada de 2X a la menos 1. En ese caso menos 1 baja a multiplicar con 2. Nos queda menos 2. Y eso multiplica a su vez con X. A la menos 1 menos 1. Recordemos que este exponente. Se disminuye en una unidad. Nos queda entonces menos 2. Y esto multiplicando por b. Es decir este componente sin derivar. 1 menos logaritmo natural de X. Y todo esto elevado al exponente menos 2. Después tenemos más. A es decir 2X a la menos 1. Que multiplica con b prima. Es decir la derivada de esto que tenemos aquí. Y donde se va a utilizar. La regla de la cadena para potencias. Vamos a recordarla. Si tenemos manzanita a la n. En este caso la manzanita. Es esto que tenemos en la base. 1 menos logaritmo natural de X. Y n es menos 2. Entonces el modelo dice así. N por la manzanita. Elevada al exponente n menos 1. El exponente se disminuye en una unidad. Y eso se multiplica por la derivada interna. Que se representa como la derivada de la manzanita. Entonces siguiendo este modelo. La derivada de este componente nos queda así. Sería menos 2. Que protegemos con paréntesis por ser una cantidad negativa. Eso por la manzanita. Que es 1 menos logaritmo natural de X. Todo este elevado al exponente n menos 1. Es decir menos 2 menos 1. Que es menos 13. Y eso multiplicado por la derivada de la manzanita. La derivada de 1 menos logaritmo natural de X. Tal como lo vimos anteriormente. Es menos 1 sobre X. Y esto lo protegemos con paréntesis. Por ser una cantidad negativa. Podemos decir que aquí. Ya se ha logrado el objetivo del ejercicio. Que es determinar la segunda derivada. Para la función original. Sin embargo. Aquí vemos que hay exponentes negativos. Y una serie de operaciones. Entonces podemos efectuar todo ese proceso algebraico. Para determinar una expresión más compacta. Para la segunda derivada. Veamos entonces como nos queda. F2' de X. Será igual a lo siguiente. Comenzamos con menos 2. Por. X a la menos 2. Se transforma en 1 sobre X al cuadrado. Aplicamos la propiedad. Del exponente negativo. Que vimos anteriormente. También hacemos lo mismo aquí. Nos quedaría 1 sobre. Entre paréntesis. 1 menos logaritmo natural de X. Y todo esto al cuadrado. Luego tenemos más. 2 por X a la menos 1. Entonces 2 por 1 sobre X. Allí transformamos esta potencia. En 1 sobre X. Eso multiplicado por menos 2. Luego tenemos. 1 menos logaritmo natural de X. Todo eso a la menos 3. Que quedaría 1 sobre 1 menos logaritmo natural de X. Todo esto al cubo. Ya queda con exponente positivo en el denominador. Y todo eso multiplicando por. Menos 1 sobre X. Que protegemos con paréntesis. Ahora vamos a conformar dos fracciones. La primera resulta de multiplicar estos tres componentes. Entonces veamos. En el numerador tendríamos. Menos 2 por 1 por 1. Que es menos 2. Aquí en el denominador tendríamos 1. Aquí tenemos 1 como denominador invisible de menos 2. Entonces 1 por X cuadrado por esto. Nos queda entonces. X al cuadrado. Que multiplica con 1 menos. Logaritmo natural de X. Y todo esto al cuadrado. Vamos a la siguiente fracción que resulta. De multiplicar todos estos componentes. Comencemos definiendo el signo. Por aquí tenemos menos. Otro menos. Menos por menos nos da más. Todo lo demás es positivo. Entonces esa fracción. Irá precedida de signo positivo. En el numerador tenemos. Dos por 1 por 2 por 1 por 1. Eso nos da 4. Y en el denominador tenemos. 1 por X. Por 1 por esto por X. Entonces X por X. Es X al cuadrado. Y eso queda acompañado de 1 menos. Logaritmo natural de X. Y todo esto elevado al cubo. Enseguida vamos a efectuar la suma. De estas dos fracciones que son heterogéneas. Fracciones con distinto denominador. Entonces aquí. Vamos a determinar el mínimo común múltiplo. Para estas dos expresiones. Lo que se conoce como común denominador. Vemos que se repite el factor X al cuadrado. Entonces lo consideramos. Una sola vez. Y para el caso de 1 menos. Logaritmo natural de X que se repite. Entonces escogemos. La expresión con mayor exponente. Que sería 1 menos. Logaritmo natural de X. Y todo esto al cubo. Esta es la menor expresión que contiene. Exactamente. A cada uno de estos dos denominadores. Entonces ahora decimos. Esto dividido entre esto. Nos daría 1 menos logaritmo natural de X. Y eso multiplica con menos 2. Entonces menos 2 por. 1 menos logaritmo natural de X. Después tenemos más. Esto dividido entre esto nos daría como resultado 1. Y eso multiplica por 4. Entonces allí tenemos ya. Lo que es la suma. De estas dos fracciones heterogéneas. En el numerador podemos romper ese paréntesis. Aplicando la propiedad distributiva. Entonces tendremos. Menos 2 por 1. Que es menos 2. Menos 2 por menos logaritmo natural de X. Daría más 2 logaritmo natural de X. Luego tenemos más 4. Y en el denominador se conserva lo mismo. Es decir X al cuadrado. Que multiplica con 1 menos. Logaritmo natural de X. Y eso elevado al cubo. En el numerador podríamos efectuar la operación de estos dos números. Entonces. Menos 2 más 4. Nos da 2 positivo. Y eso queda sumando con 2 logaritmo natural de X. Lo del denominador permanece igual. Finalmente observamos en el numerador. Dos términos. En los cuales está repetido el 2. Entonces podemos extraerlo como factor común. Si sale el 2. Nos queda dentro del paréntesis. Uno más logaritmo natural de X. Y el denominador permanece igual. De esta manera terminamos. Esta expresión constituye la respuesta. Para el ejercicio. Es la segunda derivada. De la función original.
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ese caso, la derivada de logaritmo natural o logaritmo neperiano de X."}, {"start": 89.16, "end": 91.56, "text": " Es 1 sobre X."}, {"start": 91.56, "end": 97.16, "text": " Entonces, para el caso del numerador, la derivada ser\u00e1 1 sobre X."}, {"start": 97.16, "end": 103.75999999999999, "text": " Eso va multiplicando por el denominador sin derivar, es decir, lo que constituye B."}, {"start": 103.75999999999999, "end": 109.36, "text": " Ser\u00eda 1 menos logaritmo natural de X, y eso protegido con par\u00e9ntesis."}, {"start": 109.36, "end": 114.56, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos A, es decir, el numerador sin derivar,"}, {"start": 114.56, "end": 119.36, "text": " lo protegemos tambi\u00e9n con par\u00e9ntesis, 1 m\u00e1s logaritmo natural de X."}, {"start": 119.36, "end": 124.36, "text": " Y esto multiplicado por B', es decir, por la derivada del denominador."}, {"start": 124.36, "end": 129.56, "text": " Aqu\u00ed tenemos una resta, entonces tambi\u00e9n se deriva cada uno de sus t\u00e9rminos."}, {"start": 129.56, "end": 131.76, "text": " Derivada de 1 nos da 0."}, {"start": 131.76, "end": 135.96, "text": " Derivada de logaritmo natural de X es 1 sobre X."}, {"start": 135.96, "end": 139.36, "text": " Entonces nos queda menos 1 sobre X."}, {"start": 139.36, "end": 144.56, "text": " Y por ser una cantidad negativa, entonces se protege con par\u00e9ntesis."}, {"start": 144.56, "end": 147.96, "text": " Ahora ac\u00e1 tendremos el componente de al cuadrado."}, {"start": 147.96, "end": 152.56, "text": " Es decir, esto sin derivar, 1 menos logaritmo natural de X,"}, {"start": 152.56, "end": 157.36, "text": " protegido con par\u00e9ntesis, y todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 157.36, "end": 161.36, "text": " Ahora, en el numerador vamos a romper esos par\u00e9ntesis."}, {"start": 161.36, "end": 164.36, "text": " Vamos a aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 164.36, "end": 169.96, "text": " Entonces 1 sobre X va a multiplicar a cada uno de esos dos componentes."}, {"start": 169.96, "end": 174.36, "text": " 1 sobre X por 1 nos da 1 sobre X."}, {"start": 174.36, "end": 179.36, "text": " Luego tenemos menos 1 sobre X que multiplica con logaritmo natural de X."}, {"start": 179.36, "end": 183.36, "text": " Eso nos quedar\u00eda logaritmo natural de X sobre X."}, {"start": 183.36, "end": 186.56, "text": " Ac\u00e1 tendr\u00edamos menos por menos m\u00e1s."}, {"start": 186.56, "end": 190.76000000000002, "text": " Entonces podemos suponer que 1 sobre X se sit\u00faa aqu\u00ed adelante"}, {"start": 190.76, "end": 195.95999999999998, "text": " y entra a distribuirse multiplicando a cada uno de esos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 195.95999999999998, "end": 200.35999999999999, "text": " Es lo mismo que si aplicamos la distributiva en este sentido."}, {"start": 200.35999999999999, "end": 203.35999999999999, "text": " Pero ya sabemos que menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 203.35999999999999, "end": 208.35999999999999, "text": " Entonces no nos preocupamos porque todo lo que sigue son t\u00e9rminos positivos."}, {"start": 208.35999999999999, "end": 213.16, "text": " 1 sobre X por 1 nos quedar\u00eda m\u00e1s 1 sobre X."}, {"start": 213.16, "end": 220.35999999999999, "text": " Y 1 sobre X por logaritmo natural de X nos dar\u00eda m\u00e1s logaritmo natural de X sobre X."}, {"start": 220.36, "end": 223.36, "text": " Y esto permanece igual en el denominador."}, {"start": 223.36, "end": 228.76000000000002, "text": " 1 menos logaritmo natural de X, todo esto elevado al cuadral."}, {"start": 228.76000000000002, "end": 233.36, "text": " Ahora, aqu\u00ed en el numerador podemos hacer reducci\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 233.36, "end": 237.96, "text": " Es el caso de estos dos que se pueden sumar entre s\u00ed."}, {"start": 237.96, "end": 242.96, "text": " 1 sobre X m\u00e1s 1 sobre X nos dar\u00eda 2 sobre X."}, {"start": 242.96, "end": 248.76000000000002, "text": " Y tambi\u00e9n el caso de estos dos t\u00e9rminos que como vemos son opuestos."}, {"start": 248.76, "end": 251.56, "text": " Aqu\u00ed est\u00e1 negativo y aqu\u00ed est\u00e1 positivo."}, {"start": 251.56, "end": 253.95999999999998, "text": " Por lo tanto se pueden eliminar."}, {"start": 253.95999999999998, "end": 256.96, "text": " La suma de ellos dos nos dar\u00eda 0."}, {"start": 256.96, "end": 259.56, "text": " Y en el denominador conservamos lo mismo."}, {"start": 259.56, "end": 264.76, "text": " 1 menos logaritmo natural de X, todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 264.76, "end": 269.15999999999997, "text": " Y a eso podemos colocarle denominador 1."}, {"start": 269.15999999999997, "end": 273.96, "text": " Para que enseguida hagamos la divisi\u00f3n de fracciones."}, {"start": 273.96, "end": 281.76, "text": " Aplicando lo que se conoce como ley de la oreja, es decir, multiplicaci\u00f3n de elementos extremos arriba."}, {"start": 281.76, "end": 285.56, "text": " Y multiplicaci\u00f3n de elementos internos abajo."}, {"start": 285.56, "end": 287.15999999999997, "text": " Esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 287.15999999999997, "end": 290.56, "text": " 2 por 1 es 2 en el numerador."}, {"start": 290.56, "end": 293.96, "text": " Y X que multiplica con esa expresi\u00f3n."}, {"start": 293.96, "end": 297.96, "text": " X por 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 297.96, "end": 301.96, "text": " Y todo esto al cuadrado queda en el denominador."}, {"start": 301.96, "end": 307.56, "text": " Esto que hemos obtenido constituye la primera derivada de la funci\u00f3n original."}, {"start": 307.56, "end": 313.15999999999997, "text": " Pero lo que tenemos que hallar es la segunda derivada de esto que nos dieron."}, {"start": 313.15999999999997, "end": 317.15999999999997, "text": " Entonces debemos volver a derivar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 317.15999999999997, "end": 322.35999999999996, "text": " Que se presenta como un cociente pero con una constante en el numerador."}, {"start": 322.35999999999996, "end": 326.76, "text": " Entonces aqu\u00ed es conveniente transformar eso en un producto."}, {"start": 326.76, "end": 330.15999999999997, "text": " Para facilitar el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 330.16, "end": 333.56, "text": " Veamos entonces como nos cambia esa expresi\u00f3n."}, {"start": 333.56, "end": 336.76000000000005, "text": " Aplicamos esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 336.76000000000005, "end": 339.16, "text": " La propiedad del exponente negativo."}, {"start": 339.16, "end": 343.36, "text": " A a la menos n es igual a 1 sobre a a la n."}, {"start": 343.36, "end": 346.16, "text": " Si tenemos una potencia en el denominador."}, {"start": 346.16, "end": 348.96000000000004, "text": " Podemos trasladarla al numerador."}, {"start": 348.96000000000004, "end": 351.36, "text": " Cambiando el signo del exponente."}, {"start": 351.36, "end": 353.36, "text": " Es lo que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 353.36, "end": 356.56, "text": " En el denominador hay dos componentes multiplicando."}, {"start": 356.56, "end": 359.16, "text": " Y esta X tiene exponente 1."}, {"start": 359.16, "end": 363.56, "text": " Entonces podemos trasladar estos dos componentes al numerador."}, {"start": 363.56, "end": 365.96000000000004, "text": " Para que queden multiplicando con 2."}, {"start": 365.96000000000004, "end": 370.16, "text": " Nos quedar\u00eda 2 que recibe a X a la menos 1."}, {"start": 370.16, "end": 371.76000000000005, "text": " Esto queda multiplicando."}, {"start": 371.76000000000005, "end": 375.16, "text": " Y esto tambi\u00e9n recibe al par\u00e9ntesis que sube."}, {"start": 375.16, "end": 377.96000000000004, "text": " Como 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 377.96000000000004, "end": 381.16, "text": " Y todo esto elevado al exponente menos 2."}, {"start": 381.16, "end": 381.96000000000004, "text": " Repetimos."}, {"start": 381.96000000000004, "end": 385.16, "text": " Se trasladan estos dos componentes al numerador."}, {"start": 385.16, "end": 387.36, "text": " Cambian de signo los exponentes."}, {"start": 387.36, "end": 390.36, "text": " Y ac\u00e1 ya tendr\u00edamos denominador 1."}, {"start": 390.36, "end": 393.96000000000004, "text": " Entonces ahora s\u00ed vamos a derivar este producto."}, {"start": 393.96000000000004, "end": 398.36, "text": " Vamos a recordar la regla que corresponde a esa situaci\u00f3n."}, {"start": 398.36, "end": 400.56, "text": " Si tenemos un producto a por b."}, {"start": 400.56, "end": 402.36, "text": " Entonces su derivada."}, {"start": 402.36, "end": 405.16, "text": " Es igual a la derivada del primer componente."}, {"start": 405.16, "end": 406.56, "text": " Es decir a prima."}, {"start": 406.56, "end": 409.36, "text": " Por el segundo sin derivar que es b."}, {"start": 409.36, "end": 412.16, "text": " M\u00e1s el primer componente sin derivar."}, {"start": 412.16, "end": 414.16, "text": " Por la derivada del segundo."}, {"start": 414.16, "end": 415.96000000000004, "text": " Es decir por b prima."}, {"start": 415.96000000000004, "end": 417.16, "text": " En este caso."}, {"start": 417.16, "end": 419.36, "text": " Esto constituye a."}, {"start": 419.36, "end": 421.66, "text": " Y todo esto constituye."}, {"start": 421.66, "end": 423.76000000000005, "text": " El componente b."}, {"start": 423.76000000000005, "end": 427.56, "text": " Entonces aparece por primera vez f2 prima de X."}, {"start": 427.56, "end": 430.76000000000005, "text": " Es decir la notaci\u00f3n para la segunda derivada."}, {"start": 430.76000000000005, "end": 432.16, "text": " Es la derivada."}, {"start": 432.16, "end": 433.76000000000005, "text": " De esto que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 433.76000000000005, "end": 436.16, "text": " Es decir de la primera derivada."}, {"start": 436.16, "end": 438.96000000000004, "text": " Comenzamos obteniendo el componente a prima."}, {"start": 438.96000000000004, "end": 441.76000000000005, "text": " Es decir la derivada de 2X a la menos 1."}, {"start": 441.76000000000005, "end": 444.86, "text": " En ese caso menos 1 baja a multiplicar con 2."}, {"start": 444.86, "end": 446.36, "text": " Nos queda menos 2."}, {"start": 446.36, "end": 448.56, "text": " Y eso multiplica a su vez con X."}, {"start": 448.56, "end": 450.36, "text": " A la menos 1 menos 1."}, {"start": 450.36, "end": 452.56, "text": " Recordemos que este exponente."}, {"start": 452.56, "end": 454.76, "text": " Se disminuye en una unidad."}, {"start": 454.76, "end": 456.96000000000004, "text": " Nos queda entonces menos 2."}, {"start": 456.96000000000004, "end": 458.76, "text": " Y esto multiplicando por b."}, {"start": 458.76, "end": 461.36, "text": " Es decir este componente sin derivar."}, {"start": 461.36, "end": 464.36, "text": " 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 464.36, "end": 467.96000000000004, "text": " Y todo esto elevado al exponente menos 2."}, {"start": 467.96000000000004, "end": 470.16, "text": " Despu\u00e9s tenemos m\u00e1s."}, {"start": 470.16, "end": 474.16, "text": " A es decir 2X a la menos 1."}, {"start": 474.16, "end": 477.36, "text": " Que multiplica con b prima."}, {"start": 477.36, "end": 480.36, "text": " Es decir la derivada de esto que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 480.36, "end": 482.96000000000004, "text": " Y donde se va a utilizar."}, {"start": 482.96000000000004, "end": 485.16, "text": " La regla de la cadena para potencias."}, {"start": 485.16, "end": 486.96000000000004, "text": " Vamos a recordarla."}, {"start": 486.96000000000004, "end": 489.16, "text": " Si tenemos manzanita a la n."}, {"start": 489.16, "end": 490.96000000000004, "text": " En este caso la manzanita."}, {"start": 490.96000000000004, "end": 492.76000000000005, "text": " Es esto que tenemos en la base."}, {"start": 492.76000000000005, "end": 494.96000000000004, "text": " 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 494.96000000000004, "end": 496.36, "text": " Y n es menos 2."}, {"start": 496.36, "end": 498.76000000000005, "text": " Entonces el modelo dice as\u00ed."}, {"start": 498.76000000000005, "end": 501.16, "text": " N por la manzanita."}, {"start": 501.16, "end": 503.76000000000005, "text": " Elevada al exponente n menos 1."}, {"start": 503.76, "end": 506.56, "text": " El exponente se disminuye en una unidad."}, {"start": 506.56, "end": 509.36, "text": " Y eso se multiplica por la derivada interna."}, {"start": 509.36, "end": 512.96, "text": " Que se representa como la derivada de la manzanita."}, {"start": 512.96, "end": 514.96, "text": " Entonces siguiendo este modelo."}, {"start": 514.96, "end": 517.96, "text": " La derivada de este componente nos queda as\u00ed."}, {"start": 517.96, "end": 519.36, "text": " Ser\u00eda menos 2."}, {"start": 519.36, "end": 523.16, "text": " Que protegemos con par\u00e9ntesis por ser una cantidad negativa."}, {"start": 523.16, "end": 525.16, "text": " Eso por la manzanita."}, {"start": 525.16, "end": 528.56, "text": " Que es 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 528.56, "end": 531.36, "text": " Todo este elevado al exponente n menos 1."}, {"start": 531.36, "end": 533.16, "text": " Es decir menos 2 menos 1."}, {"start": 533.16, "end": 535.16, "text": " Que es menos 13."}, {"start": 535.16, "end": 538.36, "text": " Y eso multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 538.36, "end": 541.36, "text": " La derivada de 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 541.36, "end": 543.56, "text": " Tal como lo vimos anteriormente."}, {"start": 543.56, "end": 546.36, "text": " Es menos 1 sobre X."}, {"start": 546.36, "end": 548.56, "text": " Y esto lo protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 548.56, "end": 551.36, "text": " Por ser una cantidad negativa."}, {"start": 551.36, "end": 552.9599999999999, "text": " Podemos decir que aqu\u00ed."}, {"start": 552.9599999999999, "end": 555.9599999999999, "text": " Ya se ha logrado el objetivo del ejercicio."}, {"start": 555.9599999999999, "end": 558.56, "text": " Que es determinar la segunda derivada."}, {"start": 558.56, "end": 560.76, "text": " Para la funci\u00f3n original."}, {"start": 560.76, "end": 561.76, "text": " Sin embargo."}, {"start": 561.76, "end": 564.16, "text": " Aqu\u00ed vemos que hay exponentes negativos."}, {"start": 564.16, "end": 566.16, "text": " Y una serie de operaciones."}, {"start": 566.16, "end": 569.76, "text": " Entonces podemos efectuar todo ese proceso algebraico."}, {"start": 569.76, "end": 573.16, "text": " Para determinar una expresi\u00f3n m\u00e1s compacta."}, {"start": 573.16, "end": 575.16, "text": " Para la segunda derivada."}, {"start": 575.16, "end": 577.16, "text": " Veamos entonces como nos queda."}, {"start": 577.16, "end": 578.96, "text": " F2' de X."}, {"start": 578.96, "end": 581.56, "text": " Ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 581.56, "end": 583.56, "text": " Comenzamos con menos 2."}, {"start": 583.56, "end": 584.56, "text": " Por."}, {"start": 584.56, "end": 586.36, "text": " X a la menos 2."}, {"start": 586.36, "end": 589.96, "text": " Se transforma en 1 sobre X al cuadrado."}, {"start": 589.96, "end": 591.96, "text": " Aplicamos la propiedad."}, {"start": 591.96, "end": 593.5600000000001, "text": " Del exponente negativo."}, {"start": 593.5600000000001, "end": 595.5600000000001, "text": " Que vimos anteriormente."}, {"start": 595.5600000000001, "end": 597.96, "text": " Tambi\u00e9n hacemos lo mismo aqu\u00ed."}, {"start": 597.96, "end": 599.96, "text": " Nos quedar\u00eda 1 sobre."}, {"start": 599.96, "end": 601.36, "text": " Entre par\u00e9ntesis."}, {"start": 601.36, "end": 604.36, "text": " 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 604.36, "end": 606.96, "text": " Y todo esto al cuadrado."}, {"start": 606.96, "end": 609.1600000000001, "text": " Luego tenemos m\u00e1s."}, {"start": 609.1600000000001, "end": 611.1600000000001, "text": " 2 por X a la menos 1."}, {"start": 611.1600000000001, "end": 613.96, "text": " Entonces 2 por 1 sobre X."}, {"start": 613.96, "end": 616.5600000000001, "text": " All\u00ed transformamos esta potencia."}, {"start": 616.5600000000001, "end": 618.1600000000001, "text": " En 1 sobre X."}, {"start": 618.16, "end": 620.9599999999999, "text": " Eso multiplicado por menos 2."}, {"start": 620.9599999999999, "end": 622.16, "text": " Luego tenemos."}, {"start": 622.16, "end": 624.56, "text": " 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 624.56, "end": 625.9599999999999, "text": " Todo eso a la menos 3."}, {"start": 625.9599999999999, "end": 629.9599999999999, "text": " Que quedar\u00eda 1 sobre 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 629.9599999999999, "end": 631.56, "text": " Todo esto al cubo."}, {"start": 631.56, "end": 634.9599999999999, "text": " Ya queda con exponente positivo en el denominador."}, {"start": 634.9599999999999, "end": 636.76, "text": " Y todo eso multiplicando por."}, {"start": 636.76, "end": 639.16, "text": " Menos 1 sobre X."}, {"start": 639.16, "end": 641.9599999999999, "text": " Que protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 641.9599999999999, "end": 644.76, "text": " Ahora vamos a conformar dos fracciones."}, {"start": 644.76, "end": 648.76, "text": " La primera resulta de multiplicar estos tres componentes."}, {"start": 648.76, "end": 650.16, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 650.16, "end": 651.56, "text": " En el numerador tendr\u00edamos."}, {"start": 651.56, "end": 653.56, "text": " Menos 2 por 1 por 1."}, {"start": 653.56, "end": 655.36, "text": " Que es menos 2."}, {"start": 655.36, "end": 657.96, "text": " Aqu\u00ed en el denominador tendr\u00edamos 1."}, {"start": 657.96, "end": 661.36, "text": " Aqu\u00ed tenemos 1 como denominador invisible de menos 2."}, {"start": 661.36, "end": 663.96, "text": " Entonces 1 por X cuadrado por esto."}, {"start": 663.96, "end": 665.16, "text": " Nos queda entonces."}, {"start": 665.16, "end": 666.76, "text": " X al cuadrado."}, {"start": 666.76, "end": 668.96, "text": " Que multiplica con 1 menos."}, {"start": 668.96, "end": 671.16, "text": " Logaritmo natural de X."}, {"start": 671.16, "end": 673.36, "text": " Y todo esto al cuadrado."}, {"start": 673.36, "end": 675.76, "text": " Vamos a la siguiente fracci\u00f3n que resulta."}, {"start": 675.76, "end": 678.36, "text": " De multiplicar todos estos componentes."}, {"start": 678.36, "end": 680.5600000000001, "text": " Comencemos definiendo el signo."}, {"start": 680.5600000000001, "end": 681.96, "text": " Por aqu\u00ed tenemos menos."}, {"start": 681.96, "end": 682.96, "text": " Otro menos."}, {"start": 682.96, "end": 684.5600000000001, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 684.5600000000001, "end": 686.16, "text": " Todo lo dem\u00e1s es positivo."}, {"start": 686.16, "end": 687.96, "text": " Entonces esa fracci\u00f3n."}, {"start": 687.96, "end": 690.76, "text": " Ir\u00e1 precedida de signo positivo."}, {"start": 690.76, "end": 692.16, "text": " En el numerador tenemos."}, {"start": 692.16, "end": 694.5600000000001, "text": " Dos por 1 por 2 por 1 por 1."}, {"start": 694.5600000000001, "end": 696.36, "text": " Eso nos da 4."}, {"start": 696.36, "end": 697.76, "text": " Y en el denominador tenemos."}, {"start": 697.76, "end": 699.16, "text": " 1 por X."}, {"start": 699.16, "end": 701.16, "text": " Por 1 por esto por X."}, {"start": 701.16, "end": 702.96, "text": " Entonces X por X."}, {"start": 702.96, "end": 704.96, "text": " Es X al cuadrado."}, {"start": 704.96, "end": 707.76, "text": " Y eso queda acompa\u00f1ado de 1 menos."}, {"start": 707.76, "end": 709.76, "text": " Logaritmo natural de X."}, {"start": 709.76, "end": 712.76, "text": " Y todo esto elevado al cubo."}, {"start": 712.76, "end": 714.96, "text": " Enseguida vamos a efectuar la suma."}, {"start": 714.96, "end": 718.1600000000001, "text": " De estas dos fracciones que son heterog\u00e9neas."}, {"start": 718.1600000000001, "end": 720.36, "text": " Fracciones con distinto denominador."}, {"start": 720.36, "end": 721.5600000000001, "text": " Entonces aqu\u00ed."}, {"start": 721.5600000000001, "end": 724.5600000000001, "text": " Vamos a determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo."}, {"start": 724.5600000000001, "end": 726.76, "text": " Para estas dos expresiones."}, {"start": 726.76, "end": 729.5600000000001, "text": " Lo que se conoce como com\u00fan denominador."}, {"start": 729.5600000000001, "end": 732.36, "text": " Vemos que se repite el factor X al cuadrado."}, {"start": 732.36, "end": 734.36, "text": " Entonces lo consideramos."}, {"start": 734.36, "end": 735.5600000000001, "text": " Una sola vez."}, {"start": 735.5600000000001, "end": 737.5600000000001, "text": " Y para el caso de 1 menos."}, {"start": 737.5600000000001, "end": 739.96, "text": " Logaritmo natural de X que se repite."}, {"start": 739.96, "end": 741.5600000000001, "text": " Entonces escogemos."}, {"start": 741.5600000000001, "end": 744.16, "text": " La expresi\u00f3n con mayor exponente."}, {"start": 744.16, "end": 745.76, "text": " Que ser\u00eda 1 menos."}, {"start": 745.76, "end": 747.76, "text": " Logaritmo natural de X."}, {"start": 747.76, "end": 749.5600000000001, "text": " Y todo esto al cubo."}, {"start": 749.5600000000001, "end": 752.5600000000001, "text": " Esta es la menor expresi\u00f3n que contiene."}, {"start": 752.5600000000001, "end": 753.96, "text": " Exactamente."}, {"start": 753.96, "end": 756.5600000000001, "text": " A cada uno de estos dos denominadores."}, {"start": 756.5600000000001, "end": 758.16, "text": " Entonces ahora decimos."}, {"start": 758.16, "end": 760.36, "text": " Esto dividido entre esto."}, {"start": 760.36, "end": 763.36, "text": " Nos dar\u00eda 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 763.36, "end": 765.36, "text": " Y eso multiplica con menos 2."}, {"start": 765.36, "end": 767.5600000000001, "text": " Entonces menos 2 por."}, {"start": 767.5600000000001, "end": 770.36, "text": " 1 menos logaritmo natural de X."}, {"start": 770.36, "end": 772.16, "text": " Despu\u00e9s tenemos m\u00e1s."}, {"start": 772.16, "end": 775.96, "text": " Esto dividido entre esto nos dar\u00eda como resultado 1."}, {"start": 775.96, "end": 778.36, "text": " Y eso multiplica por 4."}, {"start": 778.36, "end": 780.36, "text": " Entonces all\u00ed tenemos ya."}, {"start": 780.36, "end": 781.96, "text": " Lo que es la suma."}, {"start": 781.96, "end": 785.16, "text": " De estas dos fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 785.16, "end": 788.36, "text": " En el numerador podemos romper ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 788.36, "end": 790.96, "text": " Aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 790.96, "end": 792.5600000000001, "text": " Entonces tendremos."}, {"start": 792.5600000000001, "end": 794.16, "text": " Menos 2 por 1."}, {"start": 794.16, "end": 795.5600000000001, "text": " Que es menos 2."}, {"start": 795.5600000000001, "end": 798.36, "text": " Menos 2 por menos logaritmo natural de X."}, {"start": 798.36, "end": 801.36, "text": " Dar\u00eda m\u00e1s 2 logaritmo natural de X."}, {"start": 801.36, "end": 803.5600000000001, "text": " Luego tenemos m\u00e1s 4."}, {"start": 803.5600000000001, "end": 806.5600000000001, "text": " Y en el denominador se conserva lo mismo."}, {"start": 806.5600000000001, "end": 808.36, "text": " Es decir X al cuadrado."}, {"start": 808.36, "end": 810.76, "text": " Que multiplica con 1 menos."}, {"start": 810.76, "end": 812.5600000000001, "text": " Logaritmo natural de X."}, {"start": 812.5600000000001, "end": 814.96, "text": " Y eso elevado al cubo."}, {"start": 814.96, "end": 818.96, "text": " En el numerador podr\u00edamos efectuar la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros."}, {"start": 818.96, "end": 819.96, "text": " Entonces."}, {"start": 819.96, "end": 821.76, "text": " Menos 2 m\u00e1s 4."}, {"start": 821.76, "end": 823.96, "text": " Nos da 2 positivo."}, {"start": 823.96, "end": 827.96, "text": " Y eso queda sumando con 2 logaritmo natural de X."}, {"start": 827.96, "end": 830.96, "text": " Lo del denominador permanece igual."}, {"start": 830.96, "end": 833.5600000000001, "text": " Finalmente observamos en el numerador."}, {"start": 833.5600000000001, "end": 834.5600000000001, "text": " Dos t\u00e9rminos."}, {"start": 834.5600000000001, "end": 836.96, "text": " En los cuales est\u00e1 repetido el 2."}, {"start": 836.96, "end": 840.1600000000001, "text": " Entonces podemos extraerlo como factor com\u00fan."}, {"start": 840.1600000000001, "end": 841.5600000000001, "text": " Si sale el 2."}, {"start": 841.5600000000001, "end": 843.5600000000001, "text": " Nos queda dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 843.56, "end": 846.16, "text": " Uno m\u00e1s logaritmo natural de X."}, {"start": 846.16, "end": 849.16, "text": " Y el denominador permanece igual."}, {"start": 849.16, "end": 850.76, "text": " De esta manera terminamos."}, {"start": 850.76, "end": 853.9599999999999, "text": " Esta expresi\u00f3n constituye la respuesta."}, {"start": 853.9599999999999, "end": 855.56, "text": " Para el ejercicio."}, {"start": 855.56, "end": 857.56, "text": " Es la segunda derivada."}, {"start": 857.56, "end": 884.56, "text": " De la funci\u00f3n original."}]