ANÁLISIS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo hacer el análisis de la función cuadrática y=2x-x² hallando sus principales elementos para construir la gráfica.

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 Vamos a hacer el análisis de esta función cuadrática. Lo primero que vamos a hacer es reescribirla así. Cambiamos y por f de x, que es lo mismo, y aquí organizamos la función como menos x al cuadrado más 2x. Esto para que coincida con el modelo de una función cuadrática, que dice f de x igual a x al cuadrado más bx más c. Podemos identificar que a es igual a menos 1, el coeficiente de x al cuadrado, b es el coeficiente de la de x, o sea 2, y c sería el término independiente. Como en este caso no hay nadie, entonces se vale 0. A igual a menos 1 nos indica que la gráfica de esta función, que es una parábola, va a estar orientada hacia abajo. En ese caso el vértice de la parábola va a ser el punto máximo, el punto más alto de la función. C nos indica el y-intersecto, es decir, el punto de corte de la gráfica con el eje y. Si se vale 0 significa que la parábola va a cortar el eje y en 0, es decir, en el origen. A continuación vamos a obtener entonces lo que es el vértice de la parábola, la coordenada del vértice, que normalmente se denota como la pareja h,k. Para encontrar h utilizamos la formulita menos b sobre 2a. Vamos a reemplazar entonces los valores de b y a. Para eso se recomienda abrir paréntesis donde están cada una de las letras. b vale 2, lo colocamos acá, y a vale menos 1, lo colocamos aquí. Resolvemos, esto queda menos 2 sobre 2 por 1 menos 2, que es igual a 1 positivo. h vale 1. Para encontrar k existen dos caminos. Uno sería ir a la función original y evaluarla en lo que nos dio h, que es igual a 1, o el otro camino sería usar la fórmula 4ac menos d cuadrado sobre 4a. Vamos a ver que por los dos caminos nos debe dar lo mismo. Si vamos por acá f de h sería f de 1. y f de 1 sería reemplazar en la función original el valor de x por 1. Es decir, vamos a empezar acá. Entonces nos quedaría así, vamos a hacerlo por aquí. Quedaría menos, abrimos un paréntesis, x se cambia por 1 al cuadrado más 2x. Es decir, más 2 por 1. Resolvemos, perdón, 1 al cuadrado es igual a 1, con este menos queda menos 1, más 2 por 1 que es igual a 2, y menos 1 más 2 nos da 1. Ese por un lado. Vamos a ensayar la otra posibilidad que mencionaba hace un momento, que es encontrar k con la fórmula 4ac menos d cuadrado sobre 4a. Veamos, 4 por el valor de a que es menos 1, por c que vale 0, menos el valor de b que es igual a 2 al cuadrado sobre 4 por a que es igual a menos 1. Este producto 4 por menos 1 por 0, eso nos da 0. Nos queda entonces arriba menos 2 al cuadrado que es igual a 4, abajo 4 por menos 1 da menos 4, y esto nos da 1, tal como nos había dado hace un momento. ¿Qué significa entonces lo anterior? Que el vértice de la parábola va a estar en la coordenada 1, 1, h vale 1 y k vale 1. Ya tenemos entonces la coordenada del vértice. A continuación vamos a hallar los x intersectos, es decir, los puntos de corte de la gráfica con el eje x. Para ello debemos hacer y igual a 0, o en otras palabras la función, igualarla a 0. La función original decía 2x menos x al cuadrado, entonces la igualamos a 0. Y se nos forma una ecuación cuadrática. Vamos a resolverla por factorización. Podemos sacar factor común, la x factor de 2 menos x y esto igual a 0. Como esto está multiplicando e igual a 0, vamos a aplicar el teorema del factor nulo, es decir, igualamos cada factor a 0, este factor se iguala a 0 o 2 menos x lo igualamos también a 0. Por aquí ya tenemos entonces un valor, una solución a esta ecuación y por acá despejando la x, podemos pasar esta x que está negativa al otro lado positiva, allí nos da que x vale 2. Significa esto entonces que los cortes con el eje x de nuestra función van a estar en 0 y en 2. A continuación vamos a hacer la gráfica de esta función. Vamos a llevar al plano cartesiano toda la información que hemos encontrado hasta el momento. Trasamos el eje y, por acá va el eje x, marcamos el origen, veamos, los valores que encontramos fue h igual a 1, corte con el eje x en 2 y k nos dio 1. Supongamos que es por acá. Vamos entonces a ubicar el vértice, la coordenada del vértice dijimos que era la parejita 1,1, aquí está el vértice. Los cortes con los ejes, ahora hemos dicho que el corte con el eje y iba a ocurrir en x, perdón, en y igual a 0, o sea en el origen y hace un momento vimos que los cortes con el eje x estaban en 0 y en 2. Es decir, la parábola debe pasar por esos tres puntos y adicionalmente al comienzo del ejercicio habíamos dicho que la parábola iba a abrir hacia abajo. Entonces vamos a trazar la gráfica de la parábola, ella sigue por acá y sigue hacia acá. Allí podemos apreciar como el vértice es el punto más alto de la función, corresponde al valor máximo, el máximo valor que toma la función va a ser igual a 1. Otra cosa que podemos determinar aquí en este ejercicio es lo que se llama el eje de simetría, que es una recta vertical que pasa por el vértice. El eje de simetría es simplemente una recta que divide la parábola en dos ramas iguales, es decir, la rama izquierda va a ser igual a la rama derecha. La ecuación del eje de simetría, en este caso por ser una recta vertical que pasa por 1 va a ser x igual a 1. Para terminar podríamos determinar lo que es el dominio de la función y el rango de la función. Recordemos que el dominio constituye el conjunto de valores que toma la x en la función. Para este caso, por tratarse de una función cuadrática, cualquier valor de x es bienvenido, cualquier valor negativo, 0, positivo, decimal, fraccionario puede entrar a la función. Por lo tanto el dominio se dice que son los números reales, los x que pertenecen al conjunto de los reales. Y el rango de la función van a ser los valores que toma la y en la función. En este caso vemos que la parábola toma valores desde 1 hacia abajo, es decir, podemos decir que son los y menores o iguales que 1. Ese sería entonces el rango. También este conjunto se puede expresar como los y pertenecientes al conjunto que van desde menos infinito hasta 1. Menos infinito abierto y 1 cerrado. Allí terminamos entonces el análisis de la función.
[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " Vamos a hacer el an\u00e1lisis de esta funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 4.0, "end": 8.0, "text": " Lo primero que vamos a hacer es reescribirla as\u00ed."}, {"start": 8.0, "end": 12.0, "text": " Cambiamos y por f de x, que es lo mismo,"}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " y aqu\u00ed organizamos la funci\u00f3n como menos x al cuadrado m\u00e1s 2x."}, {"start": 19.0, "end": 25.0, "text": " Esto para que coincida con el modelo de una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica,"}, {"start": 25.0, "end": 32.0, "text": " que dice f de x igual a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 32.0, "end": 36.0, "text": " Podemos identificar que a es igual a menos 1,"}, {"start": 36.0, "end": 41.0, "text": " el coeficiente de x al cuadrado, b es el coeficiente de la de x,"}, {"start": 41.0, "end": 46.0, "text": " o sea 2, y c ser\u00eda el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 46.0, "end": 50.0, "text": " Como en este caso no hay nadie, entonces se vale 0."}, {"start": 50.0, "end": 55.0, "text": " A igual a menos 1 nos indica que la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n,"}, {"start": 55.0, "end": 60.0, "text": " que es una par\u00e1bola, va a estar orientada hacia abajo."}, {"start": 60.0, "end": 66.0, "text": " En ese caso el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola va a ser el punto m\u00e1ximo,"}, {"start": 66.0, "end": 69.0, "text": " el punto m\u00e1s alto de la funci\u00f3n."}, {"start": 69.0, "end": 73.0, "text": " C nos indica el y-intersecto,"}, {"start": 73.0, "end": 79.0, "text": " es decir, el punto de corte de la gr\u00e1fica con el eje y."}, {"start": 79.0, "end": 84.0, "text": " Si se vale 0 significa que la par\u00e1bola va a cortar el eje y en 0,"}, {"start": 84.0, "end": 86.0, "text": " es decir, en el origen."}, {"start": 86.0, "end": 90.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a obtener entonces lo que es el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola,"}, {"start": 90.0, "end": 93.0, "text": " la coordenada del v\u00e9rtice,"}, {"start": 93.0, "end": 98.0, "text": " que normalmente se denota como la pareja h,k."}, {"start": 98.0, "end": 104.0, "text": " Para encontrar h utilizamos la formulita menos b sobre 2a."}, {"start": 104.0, "end": 109.0, "text": " Vamos a reemplazar entonces los valores de b y a."}, {"start": 109.0, "end": 114.0, "text": " Para eso se recomienda abrir par\u00e9ntesis donde est\u00e1n cada una de las letras."}, {"start": 114.0, "end": 121.0, "text": " b vale 2, lo colocamos ac\u00e1, y a vale menos 1, lo colocamos aqu\u00ed."}, {"start": 121.0, "end": 129.0, "text": " Resolvemos, esto queda menos 2 sobre 2 por 1 menos 2, que es igual a 1 positivo."}, {"start": 129.0, "end": 131.0, "text": " h vale 1."}, {"start": 131.0, "end": 135.0, "text": " Para encontrar k existen dos caminos."}, {"start": 135.0, "end": 142.0, "text": " Uno ser\u00eda ir a la funci\u00f3n original y evaluarla en lo que nos dio h, que es igual a 1,"}, {"start": 142.0, "end": 151.0, "text": " o el otro camino ser\u00eda usar la f\u00f3rmula 4ac menos d cuadrado sobre 4a."}, {"start": 151.0, "end": 154.0, "text": " Vamos a ver que por los dos caminos nos debe dar lo mismo."}, {"start": 154.0, "end": 159.0, "text": " Si vamos por ac\u00e1 f de h ser\u00eda f de 1."}, {"start": 159.0, "end": 166.0, "text": " y f de 1 ser\u00eda reemplazar en la funci\u00f3n original el valor de x por 1."}, {"start": 166.0, "end": 168.0, "text": " Es decir, vamos a empezar ac\u00e1."}, {"start": 168.0, "end": 171.0, "text": " Entonces nos quedar\u00eda as\u00ed, vamos a hacerlo por aqu\u00ed."}, {"start": 171.0, "end": 179.0, "text": " Quedar\u00eda menos, abrimos un par\u00e9ntesis, x se cambia por 1 al cuadrado m\u00e1s 2x."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " Es decir, m\u00e1s 2 por 1."}, {"start": 182.0, "end": 190.0, "text": " Resolvemos, perd\u00f3n, 1 al cuadrado es igual a 1, con este menos queda menos 1, m\u00e1s 2 por 1 que es igual a 2,"}, {"start": 190.0, "end": 194.0, "text": " y menos 1 m\u00e1s 2 nos da 1."}, {"start": 194.0, "end": 196.0, "text": " Ese por un lado."}, {"start": 196.0, "end": 200.0, "text": " Vamos a ensayar la otra posibilidad que mencionaba hace un momento,"}, {"start": 200.0, "end": 209.0, "text": " que es encontrar k con la f\u00f3rmula 4ac menos d cuadrado sobre 4a."}, {"start": 209.0, "end": 217.0, "text": " Veamos, 4 por el valor de a que es menos 1, por c que vale 0,"}, {"start": 217.0, "end": 229.0, "text": " menos el valor de b que es igual a 2 al cuadrado sobre 4 por a que es igual a menos 1."}, {"start": 229.0, "end": 233.0, "text": " Este producto 4 por menos 1 por 0, eso nos da 0."}, {"start": 233.0, "end": 241.0, "text": " Nos queda entonces arriba menos 2 al cuadrado que es igual a 4, abajo 4 por menos 1 da menos 4,"}, {"start": 241.0, "end": 246.0, "text": " y esto nos da 1, tal como nos hab\u00eda dado hace un momento."}, {"start": 246.0, "end": 249.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 significa entonces lo anterior?"}, {"start": 249.0, "end": 260.0, "text": " Que el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola va a estar en la coordenada 1, 1, h vale 1 y k vale 1."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Ya tenemos entonces la coordenada del v\u00e9rtice."}, {"start": 264.0, "end": 274.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hallar los x intersectos, es decir, los puntos de corte de la gr\u00e1fica con el eje x."}, {"start": 274.0, "end": 281.0, "text": " Para ello debemos hacer y igual a 0, o en otras palabras la funci\u00f3n, igualarla a 0."}, {"start": 281.0, "end": 288.0, "text": " La funci\u00f3n original dec\u00eda 2x menos x al cuadrado, entonces la igualamos a 0."}, {"start": 288.0, "end": 290.0, "text": " Y se nos forma una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 290.0, "end": 292.0, "text": " Vamos a resolverla por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 292.0, "end": 299.0, "text": " Podemos sacar factor com\u00fan, la x factor de 2 menos x y esto igual a 0."}, {"start": 299.0, "end": 304.0, "text": " Como esto est\u00e1 multiplicando e igual a 0, vamos a aplicar el teorema del factor nulo, es decir,"}, {"start": 304.0, "end": 313.0, "text": " igualamos cada factor a 0, este factor se iguala a 0 o 2 menos x lo igualamos tambi\u00e9n a 0."}, {"start": 313.0, "end": 321.0, "text": " Por aqu\u00ed ya tenemos entonces un valor, una soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n y por ac\u00e1 despejando la x,"}, {"start": 321.0, "end": 328.0, "text": " podemos pasar esta x que est\u00e1 negativa al otro lado positiva, all\u00ed nos da que x vale 2."}, {"start": 328.0, "end": 336.0, "text": " Significa esto entonces que los cortes con el eje x de nuestra funci\u00f3n van a estar en 0 y en 2."}, {"start": 336.0, "end": 341.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hacer la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n."}, {"start": 341.0, "end": 348.0, "text": " Vamos a llevar al plano cartesiano toda la informaci\u00f3n que hemos encontrado hasta el momento."}, {"start": 348.0, "end": 357.0, "text": " Trasamos el eje y, por ac\u00e1 va el eje x, marcamos el origen,"}, {"start": 357.0, "end": 366.0, "text": " veamos, los valores que encontramos fue h igual a 1, corte con el eje x en 2 y k nos dio 1."}, {"start": 366.0, "end": 368.0, "text": " Supongamos que es por ac\u00e1."}, {"start": 368.0, "end": 378.0, "text": " Vamos entonces a ubicar el v\u00e9rtice, la coordenada del v\u00e9rtice dijimos que era la parejita 1,1, aqu\u00ed est\u00e1 el v\u00e9rtice."}, {"start": 378.0, "end": 384.0, "text": " Los cortes con los ejes, ahora hemos dicho que el corte con el eje y iba a ocurrir en x, perd\u00f3n, en y igual a 0,"}, {"start": 384.0, "end": 391.0, "text": " o sea en el origen y hace un momento vimos que los cortes con el eje x estaban en 0 y en 2."}, {"start": 391.0, "end": 402.0, "text": " Es decir, la par\u00e1bola debe pasar por esos tres puntos y adicionalmente al comienzo del ejercicio hab\u00edamos dicho que la par\u00e1bola iba a abrir hacia abajo."}, {"start": 402.0, "end": 414.0, "text": " Entonces vamos a trazar la gr\u00e1fica de la par\u00e1bola, ella sigue por ac\u00e1 y sigue hacia ac\u00e1."}, {"start": 414.0, "end": 423.0, "text": " All\u00ed podemos apreciar como el v\u00e9rtice es el punto m\u00e1s alto de la funci\u00f3n, corresponde al valor m\u00e1ximo, el m\u00e1ximo valor que toma la funci\u00f3n va a ser igual a 1."}, {"start": 423.0, "end": 436.0, "text": " Otra cosa que podemos determinar aqu\u00ed en este ejercicio es lo que se llama el eje de simetr\u00eda, que es una recta vertical que pasa por el v\u00e9rtice."}, {"start": 436.0, "end": 448.0, "text": " El eje de simetr\u00eda es simplemente una recta que divide la par\u00e1bola en dos ramas iguales, es decir, la rama izquierda va a ser igual a la rama derecha."}, {"start": 448.0, "end": 457.0, "text": " La ecuaci\u00f3n del eje de simetr\u00eda, en este caso por ser una recta vertical que pasa por 1 va a ser x igual a 1."}, {"start": 457.0, "end": 464.0, "text": " Para terminar podr\u00edamos determinar lo que es el dominio de la funci\u00f3n y el rango de la funci\u00f3n."}, {"start": 464.0, "end": 471.0, "text": " Recordemos que el dominio constituye el conjunto de valores que toma la x en la funci\u00f3n."}, {"start": 471.0, "end": 483.0, "text": " Para este caso, por tratarse de una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica, cualquier valor de x es bienvenido, cualquier valor negativo, 0, positivo, decimal, fraccionario puede entrar a la funci\u00f3n."}, {"start": 483.0, "end": 491.0, "text": " Por lo tanto el dominio se dice que son los n\u00fameros reales, los x que pertenecen al conjunto de los reales."}, {"start": 491.0, "end": 495.0, "text": " Y el rango de la funci\u00f3n van a ser los valores que toma la y en la funci\u00f3n."}, {"start": 495.0, "end": 505.0, "text": " En este caso vemos que la par\u00e1bola toma valores desde 1 hacia abajo, es decir, podemos decir que son los y menores o iguales que 1."}, {"start": 505.0, "end": 507.0, "text": " Ese ser\u00eda entonces el rango."}, {"start": 507.0, "end": 518.0, "text": " Tambi\u00e9n este conjunto se puede expresar como los y pertenecientes al conjunto que van desde menos infinito hasta 1."}, {"start": 518.0, "end": 522.0, "text": " Menos infinito abierto y 1 cerrado."}, {"start": 522.0, "end": 549.0, "text": " All\u00ed terminamos entonces el an\u00e1lisis de la funci\u00f3n."}]