RAZÓN DE CAMBIO - Problema 1
#julioprofe explica cómo resolver un problema de razón de cambio:

Si la arista de un cubo crece a razón de 2 cm/s, ¿A qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mide 5 cm?

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 Si la arista de un cubo crece a razón de 2 cm por segundo, ¿a qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mide 5 cm? Bien, para este problema hacemos el dibujo de un cubo cuya arista es A. Tenemos que el problema nos dice que esa arista está creciendo a razón de 2 cm por segundo. Entonces eso es lo que se conoce como una razón de cambio. Tenemos que DADT es igual a 2 cm por segundo. Es una razón de cambio positiva porque nos dice que la arista está creciendo, es decir, está aumentando de tamaño a este ritmo, a 2 cm cada segundo. Nos preguntan que a qué velocidad cambia el volumen del cubo, es decir, ¿cuál será la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo en el instante en que la arista mide 5 cm? Entonces, debemos encontrar una expresión matemática que relacione el volumen del cubo con el valor de su arista. Esa expresión es la fórmula de la geometría que nos dice que el volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevado al cubo. Recordemos que el volumen de esta figura se obtiene multiplicando las tres dimensiones, largo por ancho por altura. Pero como las tres dimensiones o todas las dimensiones son iguales, entonces A por A por A nos da A al cubo. Entonces ahora lo que tenemos que hacer es derivar esa expresión con respecto al tiempo para que nos aparezcan estas razones de cambio que necesitamos involucrar en este problema. Entonces, derivada del volumen con respecto al tiempo nos queda dv dt. Pasamos al otro lado y hacemos también la derivada de A al cubo con respecto al tiempo. En principio, debemos derivar A al cubo que nos queda 3A al cuadrado y eso multiplicado por la derivada interna, en este caso la derivada de la variable A, con respecto al tiempo. Allí conocemos el valor de la arista que es 5 centímetros y conocemos la razón de cambio de la arista con respecto al tiempo que es 2 centímetros por segundo. Entonces vamos a reemplazar allí la información que tenemos. Nos queda 3 por el valor de la arista que es 5 centímetros, eso al cuadrado, por dA dt que tiene un valor de 2 centímetros por segundo. Ya solvemos todo esto. Veamos, esto nos queda 5 al cuadrado, 25, 25 por 2, 50, y 50 por 3 nos da 150. Las unidades centímetro al cuadrado por centímetro nos queda centímetros cúbicos y abajo nos queda segundos. Estas unidades deben ser consistentes con las variables que tenemos acá, el volumen en centímetros cúbicos y el tiempo en segundos. De esta manera terminamos este problema, un problema que es una de las aplicaciones de la derivada y que se conoce como razón de cambio o tasas o ritmos relacionados.
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