RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a una curva en un punto específico.

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 Vamos a encontrar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva y igual a x cubo más 1 en el punto de abscisa 1. ¿Qué información tenemos en esta ocasión? Tenemos la función, es decir, la curva que es x al cubo más 1 y conocemos el valor x, es decir, la abscisa del punto de tangencia. Es decir, el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva. Tenemos entonces x igual a 1. Para esta función vamos a determinar su derivada. Entonces tenemos que f' de x es igual a lo siguiente. Derivamos esta expresión utilizando las reglas de derivación. Como tenemos una suma, entonces derivamos cada término. La derivada de x al cubo es 3x al cuadrado y la derivada de 1 es 0. Recordemos que la derivada de una constante siempre es 0. Esta es entonces la expresión para la derivada de la función. Para este valor x igual a 1 hacemos lo siguiente. Para la abscisa 1 vamos a encontrar la ordenada correspondiente, es decir, el valor en y. Ese valor lo encontramos en la función original. Entonces nos queda f' de 1. Pasamos en la función y nos queda 1 al cubo más 1 y resolviendo todo eso nos da 2. Por lo tanto el punto de tangencia es la pareja 1,2. Es el punto donde la recta tangente hace contacto con esta curva. Y con este mismo valor de x averiguamos cuanto vale la pendiente de la recta tangente. La llamamos mt. Ese valor se averigua en la derivada. Recordemos que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto específico. En este caso en el punto 1,2. Entonces reemplazamos en la derivada el valor x igual a 1. Nos queda entonces 3 por 1 al cuadrado y eso nos da como resultado 3. Por lo tanto tenemos que la pendiente de la recta tangente tiene un valor igual a 3. Con este punto y con la pendiente podemos encontrar la ecuación de la recta tangente. La denotamos con las iniciales ERT. Y para ello utilizamos el modelo punto pendiente. Aquel que dice y menos y1 es igual a m por x menos x1. Recordemos que esta es la formulita con la cual se encuentra la ecuación de una recta cuando se conoce un punto y la pendiente. El punto conocido es x1 y1. Entonces vamos a reemplazar acá la información. Tenemos y menos y1 que vale 2 igual a la pendiente que es igual a 3 por x menos x1. X1 es igual a 1. Aquí hacemos propiedad distributiva. Nos queda 3x menos 3 y podemos acomodar la ecuación en la forma general. Es decir la forma a x más b y más c igual a 0. Es decir pasando todo para el lado izquierdo. Nos queda entonces y menos 2 pasa menos 3x y pasa más 3. Todo eso queda en el lado izquierdo y nos queda igual a 0. Allí vamos a organizar la ecuación de tal manera que nos quede primero el término con x, es decir, menos 3x, luego el término con y, es decir, más y y después el término independiente que es el resultado de la operación menos 2 más 3. Eso nos da más 1 y esto igual a 0. En la forma general de una recta no es usual que el coeficiente de x sea negativo. Entonces eso se soluciona multiplicando por menos 1 ambos lados de la igualdad. En el lado izquierdo nos queda 3x menos y menos 1 igual a 0. Y esta es la ecuación de la recta tangente que nos pide este problema. Está escrita en la forma a x más b y más c igual a 0. Es decir la forma general para una recta. Para encontrar la ecuación de la recta normal que la vamos a llamar Ern vamos a hacer lo siguiente. Necesitamos el valor de la pendiente que la vamos a llamar Mn. Usamos el siguiente truquito. Como conocemos la pendiente de la recta tangente que es igual a 3, simplemente invertimos este número y le cambiamos el signo. Eso nos daría menos 1 tercio. ¿Por qué razón? Porque las dos rectas, la tangente y la normal son perpendiculares. Por lo tanto deben cumplir esta condición. El producto de sus pendientes debe ser igual a menos 1. Si conocemos una de las pendientes simplemente la invertimos. Es decir, hallamos su recíproco y le cambiamos el signo. Si esta está positiva, acá nos da negativa. Tenemos la pendiente de la recta normal y conocemos el punto que es el mismo punto de tangencia. Es decir, el punto 1,2. Con esta información, es decir, un punto y la pendiente conocida utilizamos nuevamente el modelo punto pendiente que es y menos y1 igual a M por x menos x1. Recordemos que esta pareja es x1 y1. Entonces, reemplazamos y menos y1 que vale 2 igual a la pendiente que es menos 1 tercio por x menos x1 que vale 1. Aquí podríamos pasar este 3 que se encuentra dividiendo a este lado. Lo pasamos a multiplicar al otro lado. Nos queda 3 por y menos 2. Recordemos que y menos 2 se debe proteger con paréntesis. Nos queda al otro lado menos 1 que multiplica a x menos 1. Hacemos propiedad distributiva. Nos queda 3y menos 6 igual a menos 1 por x que es menos x y menos 1 por menos 1 que es más 1. Pasamos estos términos para el otro lado para organizar la ecuación también en la forma general. Entonces pasa más x y menos 1 igual a 0. Sigamos por acá. Nos queda x, luego más 3y y operamos menos 6 con menos 1. Por eso nos da menos 7 y todo eso igual a 0. Esta es la ecuación de la recta normal. También expresada en la forma general. Es decir, la forma ax más dy más c igual a 0. La forma general para presentar la ecuación de una recta. De esta manera terminamos.
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