Problema 3 con ECUACIONES CUADRÁTICAS
#julioprofe explica cómo resolver un problema relacionado con un triángulo rectángulo:

Si los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros pares consecutivos, y el área del triángulo es de 24 cm², ¿Cuánto mide la hipotenusa?

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 Si los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros pares consecutivos y el área del triángulo es de 24 cm², ¿cuánto mide la hipotenusa? Comenzamos el desarrollo de este problema dibujando un triángulo rectángulo y vamos a localizar en él la información que nos da el enunciado. Nos dicen que los catetos son números enteros pares consecutivos, entonces al cateto menor podríamos llamarlo X y al cateto mayor X más 2. Allí quedan representados como números enteros pares consecutivos y nos dice también el problema que este triángulo tiene un área de 24 cm². Entonces vamos a usar la formulita para calcular el área de un triángulo. El área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura y todo eso dividido entre 2. Entonces vamos a reemplazar allá la información que tenemos. Este lado, este cateto, X más 2 actúa como base y este otro cateto, X, actúa como altura. Recordemos que el requisito para la base y la altura es que formen ángulo recto, ángulo de 90 grados, es decir que sean perpendiculares. Entonces vamos a reemplazar el área por el valor que nos da 24, la base que es X más 2 la colocamos en paréntesis por la altura que es X y todo esto dividido entre 2. Vamos a pasar este 2 que se encuentra dividiendo a multiplicar al lado izquierdo. Nos queda 24 por 2 es igual a X más 2 todo esto multiplicado por X. Resolvemos 24 por 2 nos da 48 y aquí vamos a hacer propiedad distributiva. Entonces X por X nos queda X al cuadrado más X por 2, 2X. Entonces tenemos una ecuación cuadrática, lo que pasa es que está desorganizada, vamos a acomodarla, pasamos este 48 para el lado de acá, llega negativo y allí tenemos la ecuación cuadrática. Esta ecuación vamos a reescribirla de esta manera dejando el 0 en el lado derecho. Entonces tenemos una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática que tiene la forma AX cuadrado más BX más C igual a 0. Y se presenta como una ecuación mónica porque tiene coeficiente principal 1. Vamos a resolverla por el método de completación del trinomio cuadrado perfecto o lo que llaman también completación de cuadrados. Para ello vamos a escribir la ecuación de la siguiente manera, dejamos un espacio por acá el menos 48 y esto está igualado a 0. Entonces vamos a hacer la completación de estos dos términos, hace falta otro término para que se forme un trinomio cuadrado perfecto. El procedimiento es el siguiente, primer requisito que tengamos aquí coeficiente principal 1, como decía hace un momento que la ecuación sea mónica. Entonces cuando ya ese requisito se cumple hacemos lo siguiente, a este número al que acompaña la X le sacamos la mitad. La mitad de 2 es igual a 1 y este número lo elevamos al cuadrado, entonces 1 al cuadrado es igual a 1 y ese resultado lo anotamos por aquí. Pero como hemos sumado una cantidad debemos restarla inmediatamente para que la ecuación se siga conservando tal como estaba originalmente para que no se desbalancee. De esta manera conseguimos que estos tres términos conformen lo que se llama un trinomio cuadrado perfecto, entonces podemos escribirlo dentro de un paréntesis, lo protegemos y por fuera del paréntesis nos queda menos 1 menos 48 igual a 0. Y procedemos a factorizar este trinomio cuadrado perfecto, recordemos que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre es un binomio al cuadrado conformado por la raíz cuadrada del primer término que sería X y la raíz cuadrada del último término que es 1. Y aquí en medio de ellos colocamos el signo del segundo término, allí tenemos entonces la factorización de ese trinomio cuadrado perfecto. Operamos estos dos números, eso nos da menos 49 igual a 0 y vamos a pasar este 49 para el lado derecho, nos queda entonces X más 1 al cuadrado igual a 49, este 49 llega a sumar con 0 nos da 49 positivo. A continuación vamos a sacar raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad, nos queda entonces raíz cuadrada de X más 1 al cuadrado y en el lado derecho raíz cuadrada de 49. En el lado izquierdo vamos a aplicar la siguiente propiedad, dice una propiedad de la radicación que si tenemos raíz enésima que A a la N y N es un número par como la situación que tenemos aquí, este es N y aquí tenemos el mismo valor de N, un 2 invisible. Entonces esto equivale al valor absoluto de A, debe salir con las dos barras que indican valor absoluto, por lo tanto esto nos queda convertido en valor absoluto de X más 1, apoyándonos en esta propiedad. En el lado derecho nos queda 7 que es la raíz cuadrada de 49. Llegamos entonces a una ecuación con valor absoluto, una ecuación que sigue este modelo, valor absoluto de U igual a un valor positivo K, se resuelve de la siguiente manera, U es igual a menos K o U es igual a K, debemos igualar lo que tenemos dentro de las barras a más o menos este número que tenemos aquí, siendo 7 una cantidad positiva, tal como dice el modelo. Entonces tendremos que X más 1 es igual a menos 7 o X más 1 es igual a 7, apoyándonos en esta propiedad. Resolvemos en cada caso para X, por acá tendremos que X es igual a menos 7 menos 1 y esto es igual a menos 8, por acá tendremos que X es igual a 7 menos 1 donde X es igual a 6. Como estamos buscando dimensiones de un triángulo rectángulo, los valores de los catetos debemos quedarnos con este valor que es el positivo, este valor tenemos que descartarlo porque una longitud no puede ser negativa. Conociendo ya el valor de X, regresamos al triángulo, recordemos que este cateto era X y este X más 2, números enteros pares consecutivos, entonces sustituimos allá el valor 6, entonces donde está X vamos a escribir 6, tendremos 6 centímetros el valor de este cateto y aquí tendremos 6 más 2, es decir 8 centímetros el valor del otro cateto. Ya con esa información podemos encontrar el valor de la hipotenusa, vamos a llamarla H, vamos a encontrarla utilizando el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, en este caso 6 al cuadrado más 8 al cuadrado. Entonces vamos a resolver 6 al cuadrado nos da 36, 8 al cuadrado 64, continuamos por acá, H al cuadrado es igual a la suma de estos dos números que es 100 y vamos a sacar raíz cuadrada a ambos lados. En el lado izquierdo por tener raíz cuadrada de H al cuadrado, es decir índice y exponente iguales y número par, eso nos da valor absoluto de H, y en el lado derecho nos da 10, la raíz cuadrada es 100. Resolviendo esta ecuación con valor absoluto obtenemos que H es igual a menos 10 o H es igual a 10, porque esa es la regla para resolver una ecuación con valor absoluto. Sabe el valor que está dentro de las barras igualado al negativo de este número e igualado al positivo. Vemos entonces que la hipotenusa es una longitud, es una distancia, por lo tanto descartamos la opción negativa. Nos quedamos entonces con H igual a 10, entonces la hipotenusa del triángulo es igual a 10 centímetros y de esta manera terminamos el ejercicio.
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N y aqu\u00ed tenemos el mismo valor de N, un 2 invisible."}, {"start": 386.0, "end": 405.0, "text": " Entonces esto equivale al valor absoluto de A, debe salir con las dos barras que indican valor absoluto, por lo tanto esto nos queda convertido en valor absoluto de X m\u00e1s 1, apoy\u00e1ndonos en esta propiedad."}, {"start": 405.0, "end": 426.0, "text": " En el lado derecho nos queda 7 que es la ra\u00edz cuadrada de 49. 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