INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el método de Sustitución Trigonométrica.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida. Si revisamos con atención esta expresión, es decir, lo que tenemos en el integrando, vemos que no se puede integrar directamente, ni tampoco por el método de sustitución o cambio de variable. Vamos entonces a realizar lo siguiente. Primero, vamos a transformar esto que tenemos dentro de la raíz cuadrada. Esta expresión puede escribirse como menos x al cuadrado más 2x. Simplemente cambiamos la posición de los términos y en seguida a esto vamos a extraerle como factor común el signo menos. Si sale el signo negativo, nos queda dentro del paréntesis x al cuadrado menos 2x. De los términos que están dentro del paréntesis, ahora cambian de signo. Ahora a esta expresión vamos a realizarle el proceso de completación del trinomio cuadrado perfecto. Veamos, x al cuadrado, el primer término se deja como está, el siguiente 2x, vamos a escribirlo como 2 por x por 1. Y entonces vamos a agregar esta cantidad elevada al cuadrado para tener allí la estructura de un trinomio cuadrado perfecto. Pero si agregamos 1 al cuadrado que es finalmente 1, tenemos que restar al mismo tiempo esa cantidad para conservar la expresión original. Continuamos ahora por acá y tendremos el signo menos. Vamos a cambiar el paréntesis por un corchete y vamos a encerrar en paréntesis los tres primeros términos, es decir, los que forman el trinomio cuadrado perfecto. X al cuadrado menos 2 por x por 1 más 1 al cuadrado, esto queda encerrado en paréntesis, y luego el término menos 1 y cerramos el corchete. Como decíamos, aquí se tiene ya un trinomio cuadrado perfecto y podemos factorizar esa expresión. Recordemos que la factorización es un binomio elevado al cuadrado y se construye con las raíces cuadradas del primero y del tercer término. La raíz cuadrada del primer término es x y la raíz cuadrada del último término, o sea del tercero, es 1. Y aquí escribimos el signo que lleva el segundo término, o sea, signo menos. Aquí tenemos entonces el binomio al cuadrado que corresponde a la factorización de ese trinomio cuadrado perfecto. Escribimos el menos 1 y cerramos el corchete. Ahora lo que hacemos es romper este corchete aplicando propiedad distributiva con ese signo negativo. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Aquí menos por más nos da menos entre paréntesis x menos 1 al cuadrado y luego menos por menos nos da más y escribimos el número 1. Y podemos cambiar ahora la posición de esos términos. Primero el 1 que es el positivo y después el término negativo que es el binomio elevado al cuadrado. De esta manera demostramos que esta expresión equivale a esta. Entonces aquí vamos a reemplazar lo que obtuvimos. Uno menos entre paréntesis x menos 1 al cuadrado. Ahora vamos a continuar con el desarrollo de esta integral indefinida utilizando el método de sustitución o cambio de variable. Y vamos a cambiar esto x menos 1 por otra letra. Vamos a elegir por ejemplo la letra p. P es igual a x menos 1. Esto tenemos que derivarlo con respecto a x. Decimos derivada de p con respecto a x será la derivada de x que es 1 y la derivada de menos 1 que es 0. Y de acá vamos a despejar de x. De x se está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar. Nos queda que de p es igual a de x. O sea de x por 1. Y esto es lo mismo que decir que de x es igual a de p. Como se observa aquí ya tenemos los reemplazos para de x que será de p y para x menos 1 que es igual a p. Pero acá sigue permaneciendo la letra x. Entonces vamos a despejarla de esa igualdad. Si queremos despejar x uno que está restando pasa al otro lado a sumar. Nos queda p más 1 igual a x o lo que es lo mismo x igual a p más 1. Ahora sí con estos componentes vamos a reescribir la integral en términos de la nueva letra que es p. En el numerador tendremos x que se cambia por p más 1 y esto está al cuadrado. Y en el denominador tenemos dentro de la raíz 1 menos x menos 1 que se convierte en p que está al cuadrado. Y de x equivale a de p. Como podemos observar el integrando ha cambiado ahora a una expresión en términos de p. Vamos a escribir por acá que es p. Recordemos que p equivale a x menos 1 porque esto lo vamos a necesitar más adelante. Acá tenemos una integral donde en el denominador tenemos una raíz cuadrada con una diferencia de cuadrados en su interior. Entonces aquí vamos a utilizar el método conocido como sustitución trigonométrica. En ese caso dibujamos un triángulo rectángulo donde su hipotenusa será la raíz cuadrada de este primer término que tenemos en la diferencia de cuadrados perfectos. La raíz cuadrada de 1 es 1 y la raíz cuadrada del otro término o sea p será uno de los catetos. Vamos a escoger este de acá por el teorema de Pitágoras podemos escribir la expresión correspondiente al otro cateto. Será la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado que es 1 menos este cateto al cuadrado que es p al cuadrado. Allí nos apareció esa expresión. Si llamamos este ángulo agudo como theta entonces vamos a escribir una razón trigonométrica que vinculé estos dos lados, es decir el cateto adyacente al ángulo theta con la hipotenusa. Entonces allí utilizamos SOHCATOA que es la forma de recordar seno, coseno y tangente. Si es el caso del cateto adyacente con la hipotenusa entonces utilizamos coseno. Decimos coseno de theta será igual al cateto adyacente que es la raíz cuadrada de 1 menos p al cuadrado y todo esto sobre la hipotenusa que en ese caso es 1. Por lo tanto esto nos queda simplemente la raíz. Vamos a escribir por acá esa equivalencia. Coseno de theta será entonces igual a la raíz cuadrada de 1 menos p al cuadrado porque simplemente este 1 desaparece. Ahora buscamos otra razón trigonométrica que vinculé estos dos lados, es decir el cateto opuesto al ángulo theta con la hipotenusa. Aquí los tenemos opuesto con hipotenusa es seno, decimos seno de theta será igual al cateto opuesto que es p sobre la hipotenusa que es 1. Entonces decimos que seno de theta es igual simplemente a p porque este 1 también desaparece. Esta igualdad puede escribirse en el otro sentido. P es igual a seno de theta y allí podemos hacer la derivada a ambos lados con respecto a la variable theta. En el lado izquierdo nos queda la derivada de p con respecto a theta, o sea de p de theta y al otro lado la derivada de seno de theta es coseno de theta y aquí podemos despejar entonces de p. Para ello de theta que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar. Nos queda coseno de theta por d theta y esta será la equivalencia entonces para el diferencial de p. Entonces, utilizando estos componentes vamos a reescribir esa integral que está en términos de p y que ahora nos va a quedar en términos de theta. Tendremos entonces lo siguiente, en el numerador p más 1 pero p se cambia por seno de theta, entonces tendremos seno de theta más 1 todo esto al cuadrado. En el denominador tendremos la raíz cuadrada de 1 menos p al cuadrado que equivale a coseno de theta y esto multiplicado por dp pero dp nos dio coseno de theta por el diferencial de theta. Aquí podemos simplificar la expresión del integrando vemos que coseno de theta puede cancelarse y nos queda la integral de seno de theta más 1 todo esto al cuadrado con su diferencial de theta. Hemos llegado a una integral trigonométrica y vamos a resolverla a continuación. Vamos a resolver detalladamente esta integral trigonométrica. Para comenzar debemos expandir o desarrollar este binomio que se encuentra elevado al cuadrado. Vamos a recordar la fórmula que distingue ese producto notable. Si tenemos a más b al cuadrado esto es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esa instrucción vamos a desarrollar esta expresión que tenemos en el integrando. Comenzamos con el primer término elevado al cuadrado es decir seno al cuadrado de theta más dos veces el primer término por el segundo o sea 2 por seno de theta por uno que nos da 2 seno de theta esto más el segundo término elevado al cuadrado o sea 1 al cuadrado que nos da 1 y escribimos el diferencial de theta. Como podemos observar ya tenemos en el integrando tres términos. Dos de ellos son directamente integrables. Se trata de estos dos últimos pero el primero no permite ser integrado de manera directa. Tenemos que utilizar allí una identidad trigonométrica y es la que corresponde al coseno del ángulo doble. Vamos a recordarla. Tenemos allí tres equivalencias para el coseno de 2 theta y de esas tres vamos a utilizar la segunda. Vamos entonces con esta igualdad que vamos a escribir por acá. Aquí la tenemos y a partir de allí vamos a despejar poco a poco este componente es decir seno al cuadrado de theta. Como se puede observar todo este término está restando podemos pasarlo al lado izquierdo para que llegue a sumar con coseno de 2 theta pero al mismo tiempo coseno de 2 theta podemos pasarlo a este lado a restar. Nos queda entonces 2 seno al cuadrado de theta igual a 1 menos coseno de 2 theta. En otras palabras intercambiamos estos dos términos y de allí despejamos seno al cuadrado de theta. Para ello 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Aquí la tenemos y también podemos repartir este denominador para cada uno de esos términos que hay en el numerador. Entonces tendremos seno al cuadrado de theta es igual a 1 medio menos coseno de 2 theta y todo esto sobre 2. Entonces lo que hacemos ahora es sustituir seno al cuadrado de theta en el integrando por esta expresión. Vamos a continuar por acá y entonces nos queda de la siguiente forma. Seno al cuadrado de theta será 1 medio menos este término coseno de 2 theta todo esto sobre 2. Ahora escribimos el resto de la expresión que es más 2 seno de theta más 1 cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de theta. Ahora en el integrando podemos sumar estos dos números. Nos queda entonces la integral de 1 medio más 1 que nos da 3 medios menos este término que podemos reescribir como 1 medio coseno de 2 theta y luego el término más 2 seno de theta. Cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de theta. Ahora sí tenemos tres términos que se pueden integrar de manera directa. Vamos a continuar por acá. Entonces la integral de 3 medios será 3 medios de theta. Recordemos que theta es la variable que controla el ejercicio. Menos 1 medio, esta constante se deja quieta y vamos a integrar coseno de 2 theta utilizando la siguiente fórmula. La integral de coseno de k por theta con su diferencial de theta es 1 sobre k por seno de k por theta. Más la constante de integración siendo estrictos con las integrales indefinidas. Entonces utilizando este modelo que por cierto se demuestra por sustitución vamos a resolver esta integral. Como se observa k es 2. Entonces aplicando esa fórmula tendremos 1 sobre k, o sea 1 sobre 2 por el seno de k por theta, o sea 2 theta. Y vamos al último término. Este número 2 se deja quieto. La integral de seno de theta es menos coseno de theta y allí ya podemos escribir por primera vez la constante de integración. Ahora lo que hacemos es huir esta expresión hasta llevarla a su forma más simple. Veamos, este primer término se deja como está, 3 medios de theta, luego tenemos menos 1 medio por 1 medio que es 1 cuarto y aquí aplicamos otra identidad trigonométrica, el seno de 2 theta que equivale a 2 por seno de theta por coseno de theta. Y acá tendremos menos 2 coseno de theta, se hace ley de los signos, más por menos nos da menos y aparece otra vez la constante de integración. Para terminar vamos a escribir la expresión totalmente simplificada. Este primer término se deja como está, 3 medios de theta, luego tenemos menos 1 cuarto por 2 que sería 2 cuartos o 1 medio, simplificando esa fracción, eso por seno de theta por coseno de theta y luego tenemos menos 2 coseno de theta más la constante de integración. Y de esta manera hemos resuelto esa integral trigonométrica. Bien, después de haber resuelto esta integral trigonométrica, aquí tenemos el resultado. Vamos a cambiar cada uno de estos componentes que tiene theta en términos de la variable P. Vamos a continuar por acá y tendremos lo siguiente, 3 medios de theta, pero theta podemos despejarlo de aquí. Si seno de theta es igual a P, quiere decir que theta es seno a la menos 1 de P. Utilizamos la función trigonométrica inversa, seno a la menos 1 de P, que podría escribirse también como arco seno de P. Luego tenemos menos 1 medio por el seno de theta que equivale a P por coseno de theta que equivale a la raíz cuadrada de 1 menos P al cuadrado. Y luego tenemos menos 2 por coseno de theta, de nuevo se cambia coseno de theta por esa raíz cuadrada y agregamos la constante de integración. Para terminar debemos retornar a la variable original del ejercicio que es x. Para ello utilizamos esta equivalencia, P es igual a x menos 1. Entonces vamos a realizar ese cambio. Tendremos 3 medios por seno a la menos 1 de P, pero P se cambia por x menos 1. Luego tenemos menos 1 medio por P que es x menos 1 por la raíz cuadrada de 1 menos P que se cambia por x menos 1. Esto al cuadrado. Cerramos la raíz cuadrada. Menos 2 por la raíz cuadrada de 1 menos P al cuadrado, pero otra vez P se cambia por x menos 1. Y agregamos la constante de integración. Para terminar podemos cambiar esto que tenemos dentro de la raíz cuadrada. O sea esta expresión por su original. Recordemos que estas dos expresiones son equivalentes. Entonces aquí escribimos 2x menos x al cuadrado. Hacemos ese cambio. Y de esta manera hemos terminado. Esta es la respuesta para ese ejercicio.
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equivale a esta."}, {"start": 232.16, "end": 235.88, "text": " Entonces aqu\u00ed vamos a reemplazar lo que obtuvimos."}, {"start": 235.88, "end": 242.56, "text": " Uno menos entre par\u00e9ntesis x menos 1 al cuadrado."}, {"start": 242.56, "end": 248.28, "text": " Ahora vamos a continuar con el desarrollo de esta integral indefinida utilizando el"}, {"start": 248.28, "end": 253.44, "text": " m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 253.44, "end": 258.6, "text": " Y vamos a cambiar esto x menos 1 por otra letra."}, {"start": 258.6, "end": 261.04, "text": " Vamos a elegir por ejemplo la letra p."}, {"start": 261.04, "end": 264.64, "text": " P es igual a x menos 1."}, {"start": 264.64, "end": 269.16, "text": " Esto tenemos que derivarlo con respecto a x."}, {"start": 269.16, "end": 277.24, "text": " Decimos derivada de p con respecto a x ser\u00e1 la derivada de x que es 1 y la derivada de"}, {"start": 277.24, "end": 279.08, "text": " menos 1 que es 0."}, {"start": 279.08, "end": 281.28, "text": " Y de ac\u00e1 vamos a despejar de x."}, {"start": 281.28, "end": 285.2, "text": " De x se est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar."}, {"start": 285.2, "end": 288.44, "text": " Nos queda que de p es igual a de x."}, {"start": 288.44, "end": 290.28, "text": " O sea de x por 1."}, {"start": 290.28, "end": 296.35999999999996, "text": " Y esto es lo mismo que decir que de x es igual a de p."}, {"start": 296.35999999999996, "end": 304.03999999999996, "text": " Como se observa aqu\u00ed ya tenemos los reemplazos para de x que ser\u00e1 de p y para x menos 1"}, {"start": 304.03999999999996, "end": 305.59999999999997, "text": " que es igual a p."}, {"start": 305.59999999999997, "end": 308.79999999999995, "text": " Pero ac\u00e1 sigue permaneciendo la letra x."}, {"start": 308.8, "end": 313.28000000000003, "text": " Entonces vamos a despejarla de esa igualdad."}, {"start": 313.28000000000003, "end": 318.44, "text": " Si queremos despejar x uno que est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar."}, {"start": 318.44, "end": 328.28000000000003, "text": " Nos queda p m\u00e1s 1 igual a x o lo que es lo mismo x igual a p m\u00e1s 1."}, {"start": 328.28000000000003, "end": 335.88, "text": " Ahora s\u00ed con estos componentes vamos a reescribir la integral en t\u00e9rminos de la nueva letra"}, {"start": 335.88, "end": 336.88, "text": " que es p."}, {"start": 336.88, "end": 345.88, "text": " En el numerador tendremos x que se cambia por p m\u00e1s 1 y esto est\u00e1 al cuadrado."}, {"start": 345.88, "end": 354.92, "text": " Y en el denominador tenemos dentro de la ra\u00edz 1 menos x menos 1 que se convierte en p que"}, {"start": 354.92, "end": 356.52, "text": " est\u00e1 al cuadrado."}, {"start": 356.52, "end": 361.28, "text": " Y de x equivale a de p."}, {"start": 361.28, "end": 367.52, "text": " Como podemos observar el integrando ha cambiado ahora a una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de p."}, {"start": 367.52, "end": 370.2, "text": " Vamos a escribir por ac\u00e1 que es p."}, {"start": 370.2, "end": 378.0, "text": " Recordemos que p equivale a x menos 1 porque esto lo vamos a necesitar m\u00e1s adelante."}, {"start": 378.0, "end": 384.4, "text": " Ac\u00e1 tenemos una integral donde en el denominador tenemos una ra\u00edz cuadrada con una diferencia"}, {"start": 384.4, "end": 387.23999999999995, "text": " de cuadrados en su interior."}, {"start": 387.24, "end": 392.88, "text": " Entonces aqu\u00ed vamos a utilizar el m\u00e9todo conocido como sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 392.88, "end": 399.58, "text": " En ese caso dibujamos un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo donde su hipotenusa ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 399.58, "end": 404.6, "text": " de este primer t\u00e9rmino que tenemos en la diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 404.6, "end": 412.52, "text": " La ra\u00edz cuadrada de 1 es 1 y la ra\u00edz cuadrada del otro t\u00e9rmino o sea p ser\u00e1 uno de los"}, {"start": 412.52, "end": 413.64, "text": " catetos."}, {"start": 413.64, "end": 419.2, "text": " Vamos a escoger este de ac\u00e1 por el teorema de Pit\u00e1goras podemos escribir la expresi\u00f3n"}, {"start": 419.2, "end": 422.0, "text": " correspondiente al otro cateto."}, {"start": 422.0, "end": 430.59999999999997, "text": " Ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado que es 1 menos este cateto al cuadrado"}, {"start": 430.59999999999997, "end": 432.52, "text": " que es p al cuadrado."}, {"start": 432.52, "end": 436.44, "text": " All\u00ed nos apareci\u00f3 esa expresi\u00f3n."}, {"start": 436.44, "end": 445.08, "text": " Si llamamos este \u00e1ngulo agudo como theta entonces vamos a escribir una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica"}, {"start": 445.08, "end": 453.52, "text": " que vincul\u00e9 estos dos lados, es decir el cateto adyacente al \u00e1ngulo theta con la hipotenusa."}, {"start": 453.52, "end": 462.56, "text": " Entonces all\u00ed utilizamos SOHCATOA que es la forma de recordar seno, coseno y tangente."}, {"start": 462.56, "end": 468.48, "text": " Si es el caso del cateto adyacente con la hipotenusa entonces utilizamos coseno."}, {"start": 468.48, "end": 477.12, "text": " Decimos coseno de theta ser\u00e1 igual al cateto adyacente que es la ra\u00edz cuadrada de 1 menos"}, {"start": 477.12, "end": 486.24, "text": " p al cuadrado y todo esto sobre la hipotenusa que en ese caso es 1."}, {"start": 486.24, "end": 490.2, "text": " Por lo tanto esto nos queda simplemente la ra\u00edz."}, {"start": 490.2, "end": 493.52, "text": " Vamos a escribir por ac\u00e1 esa equivalencia."}, {"start": 493.52, "end": 503.38, "text": " Coseno de theta ser\u00e1 entonces igual a la ra\u00edz cuadrada de 1 menos p al cuadrado porque simplemente"}, {"start": 503.38, "end": 505.64, "text": " este 1 desaparece."}, {"start": 505.64, "end": 511.76, "text": " Ahora buscamos otra raz\u00f3n trigonom\u00e9trica que vincul\u00e9 estos dos lados, es decir el"}, {"start": 511.76, "end": 516.04, "text": " cateto opuesto al \u00e1ngulo theta con la hipotenusa."}, {"start": 516.04, "end": 523.5999999999999, "text": " Aqu\u00ed los tenemos opuesto con hipotenusa es seno, decimos seno de theta ser\u00e1 igual al"}, {"start": 523.5999999999999, "end": 531.0799999999999, "text": " cateto opuesto que es p sobre la hipotenusa que es 1."}, {"start": 531.0799999999999, "end": 539.68, "text": " Entonces decimos que seno de theta es igual simplemente a p porque este 1 tambi\u00e9n desaparece."}, {"start": 539.68, "end": 543.52, "text": " Esta igualdad puede escribirse en el otro sentido."}, {"start": 543.52, "end": 550.0, "text": " P es igual a seno de theta y all\u00ed podemos hacer la derivada a ambos lados con respecto"}, {"start": 550.0, "end": 551.88, "text": " a la variable theta."}, {"start": 551.88, "end": 557.4, "text": " En el lado izquierdo nos queda la derivada de p con respecto a theta, o sea de p de"}, {"start": 557.4, "end": 564.1999999999999, "text": " theta y al otro lado la derivada de seno de theta es coseno de theta y aqu\u00ed podemos despejar"}, {"start": 564.1999999999999, "end": 566.68, "text": " entonces de p."}, {"start": 566.68, "end": 572.12, "text": " Para ello de theta que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar."}, {"start": 572.12, "end": 579.12, "text": " Nos queda coseno de theta por d theta y esta ser\u00e1 la equivalencia entonces para el diferencial"}, {"start": 579.12, "end": 580.12, "text": " de p."}, {"start": 580.12, "end": 587.72, "text": " Entonces, utilizando estos componentes vamos a reescribir esa integral que est\u00e1 en t\u00e9rminos"}, {"start": 587.72, "end": 592.98, "text": " de p y que ahora nos va a quedar en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 592.98, "end": 600.16, "text": " Tendremos entonces lo siguiente, en el numerador p m\u00e1s 1 pero p se cambia por seno de theta,"}, {"start": 600.16, "end": 607.28, "text": " entonces tendremos seno de theta m\u00e1s 1 todo esto al cuadrado."}, {"start": 607.28, "end": 614.52, "text": " En el denominador tendremos la ra\u00edz cuadrada de 1 menos p al cuadrado que equivale a coseno"}, {"start": 614.52, "end": 624.3199999999999, "text": " de theta y esto multiplicado por dp pero dp nos dio coseno de theta por el diferencial"}, {"start": 624.3199999999999, "end": 625.9599999999999, "text": " de theta."}, {"start": 625.96, "end": 631.88, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar la expresi\u00f3n del integrando vemos que coseno de theta puede"}, {"start": 631.88, "end": 644.5400000000001, "text": " cancelarse y nos queda la integral de seno de theta m\u00e1s 1 todo esto al cuadrado con"}, {"start": 644.5400000000001, "end": 647.36, "text": " su diferencial de theta."}, {"start": 647.36, "end": 654.48, "text": " Hemos llegado a una integral trigonom\u00e9trica y vamos a resolverla a continuaci\u00f3n."}, {"start": 654.48, "end": 658.64, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral trigonom\u00e9trica."}, {"start": 658.64, "end": 665.96, "text": " Para comenzar debemos expandir o desarrollar este binomio que se encuentra elevado al cuadrado."}, {"start": 665.96, "end": 671.48, "text": " Vamos a recordar la f\u00f3rmula que distingue ese producto notable."}, {"start": 671.48, "end": 677.22, "text": " Si tenemos a m\u00e1s b al cuadrado esto es igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado m\u00e1s dos veces"}, {"start": 677.22, "end": 683.76, "text": " el primer t\u00e9rmino por el segundo m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado."}, {"start": 683.76, "end": 690.04, "text": " Entonces siguiendo esa instrucci\u00f3n vamos a desarrollar esta expresi\u00f3n que tenemos"}, {"start": 690.04, "end": 691.84, "text": " en el integrando."}, {"start": 691.84, "end": 696.88, "text": " Comenzamos con el primer t\u00e9rmino elevado al cuadrado es decir seno al cuadrado de"}, {"start": 696.88, "end": 703.96, "text": " theta m\u00e1s dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo o sea 2 por seno de theta por"}, {"start": 703.96, "end": 719.0, "text": " uno que nos da 2 seno de theta esto m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado o sea 1 al cuadrado que nos da 1 y escribimos el diferencial de theta."}, {"start": 719.0, "end": 723.0400000000001, "text": " Como podemos observar ya tenemos en el integrando tres t\u00e9rminos."}, {"start": 723.0400000000001, "end": 726.12, "text": " Dos de ellos son directamente integrables."}, {"start": 726.12, "end": 733.48, "text": " Se trata de estos dos \u00faltimos pero el primero no permite ser integrado de manera directa."}, {"start": 733.48, "end": 742.28, "text": " Tenemos que utilizar all\u00ed una identidad trigonom\u00e9trica y es la que corresponde al coseno del \u00e1ngulo doble."}, {"start": 742.28, "end": 744.8000000000001, "text": " Vamos a recordarla."}, {"start": 744.8000000000001, "end": 751.64, "text": " Tenemos all\u00ed tres equivalencias para el coseno de 2 theta y de esas tres vamos a utilizar"}, {"start": 751.64, "end": 753.4, "text": " la segunda."}, {"start": 753.4, "end": 760.04, "text": " Vamos entonces con esta igualdad que vamos a escribir por ac\u00e1."}, {"start": 760.04, "end": 765.92, "text": " Aqu\u00ed la tenemos y a partir de all\u00ed vamos a despejar poco a poco este componente es"}, {"start": 765.92, "end": 768.68, "text": " decir seno al cuadrado de theta."}, {"start": 768.68, "end": 774.88, "text": " Como se puede observar todo este t\u00e9rmino est\u00e1 restando podemos pasarlo al lado izquierdo"}, {"start": 774.88, "end": 780.56, "text": " para que llegue a sumar con coseno de 2 theta pero al mismo tiempo coseno de 2 theta podemos"}, {"start": 780.56, "end": 783.0999999999999, "text": " pasarlo a este lado a restar."}, {"start": 783.1, "end": 793.52, "text": " Nos queda entonces 2 seno al cuadrado de theta igual a 1 menos coseno de 2 theta."}, {"start": 793.52, "end": 800.12, "text": " En otras palabras intercambiamos estos dos t\u00e9rminos y de all\u00ed despejamos seno al cuadrado"}, {"start": 800.12, "end": 801.12, "text": " de theta."}, {"start": 801.12, "end": 807.44, "text": " Para ello 2 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 807.44, "end": 813.6, "text": " Aqu\u00ed la tenemos y tambi\u00e9n podemos repartir este denominador para cada uno de esos t\u00e9rminos"}, {"start": 813.6, "end": 815.8800000000001, "text": " que hay en el numerador."}, {"start": 815.8800000000001, "end": 827.12, "text": " Entonces tendremos seno al cuadrado de theta es igual a 1 medio menos coseno de 2 theta"}, {"start": 827.12, "end": 831.08, "text": " y todo esto sobre 2."}, {"start": 831.08, "end": 836.48, "text": " Entonces lo que hacemos ahora es sustituir seno al cuadrado de theta en el integrando"}, {"start": 836.48, "end": 838.64, "text": " por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 838.64, "end": 846.84, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 y entonces nos queda de la siguiente forma."}, {"start": 846.84, "end": 858.88, "text": " Seno al cuadrado de theta ser\u00e1 1 medio menos este t\u00e9rmino coseno de 2 theta todo esto sobre"}, {"start": 858.88, "end": 859.88, "text": " 2."}, {"start": 859.88, "end": 867.96, "text": " Ahora escribimos el resto de la expresi\u00f3n que es m\u00e1s 2 seno de theta m\u00e1s 1 cerramos"}, {"start": 867.96, "end": 872.92, "text": " el par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de theta."}, {"start": 872.92, "end": 877.2, "text": " Ahora en el integrando podemos sumar estos dos n\u00fameros."}, {"start": 877.2, "end": 889.52, "text": " Nos queda entonces la integral de 1 medio m\u00e1s 1 que nos da 3 medios menos este t\u00e9rmino"}, {"start": 889.52, "end": 899.8, "text": " que podemos reescribir como 1 medio coseno de 2 theta y luego el t\u00e9rmino m\u00e1s 2 seno"}, {"start": 899.8, "end": 901.4, "text": " de theta."}, {"start": 901.4, "end": 906.56, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de theta."}, {"start": 906.56, "end": 911.8, "text": " Ahora s\u00ed tenemos tres t\u00e9rminos que se pueden integrar de manera directa."}, {"start": 911.8, "end": 916.72, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 916.72, "end": 922.0, "text": " Entonces la integral de 3 medios ser\u00e1 3 medios de theta."}, {"start": 922.0, "end": 926.1600000000001, "text": " Recordemos que theta es la variable que controla el ejercicio."}, {"start": 926.1600000000001, "end": 934.72, "text": " Menos 1 medio, esta constante se deja quieta y vamos a integrar coseno de 2 theta utilizando"}, {"start": 934.72, "end": 936.5600000000001, "text": " la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 936.56, "end": 947.1999999999999, "text": " La integral de coseno de k por theta con su diferencial de theta es 1 sobre k por seno"}, {"start": 947.1999999999999, "end": 949.1999999999999, "text": " de k por theta."}, {"start": 949.1999999999999, "end": 955.1199999999999, "text": " M\u00e1s la constante de integraci\u00f3n siendo estrictos con las integrales indefinidas."}, {"start": 955.1199999999999, "end": 961.0, "text": " Entonces utilizando este modelo que por cierto se demuestra por sustituci\u00f3n vamos a resolver"}, {"start": 961.0, "end": 962.56, "text": " esta integral."}, {"start": 962.56, "end": 964.9599999999999, "text": " Como se observa k es 2."}, {"start": 964.96, "end": 972.88, "text": " Entonces aplicando esa f\u00f3rmula tendremos 1 sobre k, o sea 1 sobre 2 por el seno de k"}, {"start": 972.88, "end": 976.2800000000001, "text": " por theta, o sea 2 theta."}, {"start": 976.2800000000001, "end": 978.4000000000001, "text": " Y vamos al \u00faltimo t\u00e9rmino."}, {"start": 978.4000000000001, "end": 980.24, "text": " Este n\u00famero 2 se deja quieto."}, {"start": 980.24, "end": 987.0400000000001, "text": " La integral de seno de theta es menos coseno de theta y all\u00ed ya podemos escribir por primera"}, {"start": 987.0400000000001, "end": 990.76, "text": " vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 990.76, "end": 997.72, "text": " Ahora lo que hacemos es huir esta expresi\u00f3n hasta llevarla a su forma m\u00e1s simple."}, {"start": 997.72, "end": 1003.64, "text": " Veamos, este primer t\u00e9rmino se deja como est\u00e1, 3 medios de theta, luego tenemos menos"}, {"start": 1003.64, "end": 1011.04, "text": " 1 medio por 1 medio que es 1 cuarto y aqu\u00ed aplicamos otra identidad trigonom\u00e9trica,"}, {"start": 1011.04, "end": 1018.2, "text": " el seno de 2 theta que equivale a 2 por seno de theta por coseno de theta."}, {"start": 1018.2, "end": 1025.0800000000002, "text": " Y ac\u00e1 tendremos menos 2 coseno de theta, se hace ley de los signos, m\u00e1s por menos"}, {"start": 1025.0800000000002, "end": 1030.48, "text": " nos da menos y aparece otra vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1030.48, "end": 1035.4, "text": " Para terminar vamos a escribir la expresi\u00f3n totalmente simplificada."}, {"start": 1035.4, "end": 1041.96, "text": " Este primer t\u00e9rmino se deja como est\u00e1, 3 medios de theta, luego tenemos menos 1 cuarto"}, {"start": 1041.96, "end": 1051.3600000000001, "text": " por 2 que ser\u00eda 2 cuartos o 1 medio, simplificando esa fracci\u00f3n, eso por seno de theta por coseno"}, {"start": 1051.3600000000001, "end": 1060.0, "text": " de theta y luego tenemos menos 2 coseno de theta m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1060.0, "end": 1064.96, "text": " Y de esta manera hemos resuelto esa integral trigonom\u00e9trica."}, {"start": 1064.96, "end": 1071.8, "text": " Bien, despu\u00e9s de haber resuelto esta integral trigonom\u00e9trica, aqu\u00ed tenemos el resultado."}, {"start": 1071.8, "end": 1078.32, "text": " Vamos a cambiar cada uno de estos componentes que tiene theta en t\u00e9rminos de la variable"}, {"start": 1078.32, "end": 1079.9199999999998, "text": " P."}, {"start": 1079.9199999999998, "end": 1089.3999999999999, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 y tendremos lo siguiente, 3 medios de theta, pero theta podemos despejarlo"}, {"start": 1089.3999999999999, "end": 1090.3999999999999, "text": " de aqu\u00ed."}, {"start": 1090.3999999999999, "end": 1097.48, "text": " Si seno de theta es igual a P, quiere decir que theta es seno a la menos 1 de P. Utilizamos"}, {"start": 1097.48, "end": 1104.88, "text": " la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica inversa, seno a la menos 1 de P, que podr\u00eda escribirse tambi\u00e9n"}, {"start": 1104.88, "end": 1114.28, "text": " como arco seno de P. Luego tenemos menos 1 medio por el seno de theta que equivale a"}, {"start": 1114.28, "end": 1123.24, "text": " P por coseno de theta que equivale a la ra\u00edz cuadrada de 1 menos P al cuadrado."}, {"start": 1123.24, "end": 1130.8, "text": " Y luego tenemos menos 2 por coseno de theta, de nuevo se cambia coseno de theta por esa"}, {"start": 1130.8, "end": 1137.52, "text": " ra\u00edz cuadrada y agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1137.52, "end": 1143.04, "text": " Para terminar debemos retornar a la variable original del ejercicio que es x."}, {"start": 1143.04, "end": 1149.48, "text": " Para ello utilizamos esta equivalencia, P es igual a x menos 1."}, {"start": 1149.48, "end": 1153.44, "text": " Entonces vamos a realizar ese cambio."}, {"start": 1153.44, "end": 1163.16, "text": " Tendremos 3 medios por seno a la menos 1 de P, pero P se cambia por x menos 1."}, {"start": 1163.16, "end": 1174.76, "text": " Luego tenemos menos 1 medio por P que es x menos 1 por la ra\u00edz cuadrada de 1 menos P"}, {"start": 1174.76, "end": 1182.68, "text": " que se cambia por x menos 1. Esto al cuadrado. Cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1182.68, "end": 1191.36, "text": " Menos 2 por la ra\u00edz cuadrada de 1 menos P al cuadrado, pero otra vez P se cambia por"}, {"start": 1191.36, "end": 1199.4, "text": " x menos 1. Y agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1199.4, "end": 1203.64, "text": " Para terminar podemos cambiar esto que tenemos dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1203.64, "end": 1212.0400000000002, "text": " O sea esta expresi\u00f3n por su original. Recordemos que estas dos expresiones son equivalentes."}, {"start": 1212.0400000000002, "end": 1223.0800000000002, "text": " Entonces aqu\u00ed escribimos 2x menos x al cuadrado. Hacemos ese cambio."}, {"start": 1223.08, "end": 1234.4399999999998, "text": " Y de esta manera hemos terminado. Esta es la respuesta para ese ejercicio."}]