EC. DIF. HOMOGÉNEAS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación diferencial homogénea.

Tema: #EcuacionesDiferenciales → 
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 Vamos a encontrar la solución general de esta ecuación diferencial. Si hacemos todos los intentos por lograr separación de variables, vemos que por ese camino es totalmente inútil. Entonces descartamos que esta sea una ecuación diferencial de variables separables. Vamos a utilizar entonces otra estrategia. Tenemos una propiedad de la potenciación que nos dice que si una fracción A sobre B está elevada al exponente menos N, esto será igual a la fracción B sobre A elevada al exponente N. Es decir, la fracción se invierte y el exponente cambia de signo. Ahora bien, si cambiamos N por 1, entonces tenemos que A sobre B elevado al exponente menos 1 será B sobre A, todo eso elevado al exponente 1. Pero recordemos que el exponente 1 puede omitirse. Entonces podemos desaparecerlo y también desaparecemos el paréntesis. Y nos queda que A sobre B, todo eso a la menos 1, es simplemente B sobre A. Pues bien, también podemos devolvernos. Es decir, que si tenemos una fracción así, podemos expresarla de esta manera. Y eso es lo que vamos a hacer con este componente. Entonces, la ecuación diferencial la reescribimos así. de y de x es igual a y sobre x más acá y sobre x y todo esto elevado al exponente menos 1, aplicando esta propiedad. Aquí ya podemos observar que de y de x está en términos de y sobre x. Eso lo podemos escribir de esta forma. De y de x es una función que depende de y sobre x. Y cuando tenemos esta situación, entonces decimos que esta es una ecuación diferencial homogénea. Entonces vamos a resolver esta ecuación diferencial. Y para comenzar vamos a llamar y sobre x como una nueva variable. Vamos a utilizar por ejemplo la letra w. Entonces y sobre x será w y de aquí vamos a despejar y. Tenemos entonces que y es igual a w por x. Y por x que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y esto lo vamos a derivar a ambos lados con respecto a x. Al lado izquierdo nos queda de y de x derivada de y con respecto a x. Y en el lado derecho tenemos un producto. Entonces aplicamos la regla de derivación para la multiplicación. Esto sea para el producto derivada del primer termino con respecto a x será de w de x por el segundo termino sin derivar que es x. Esto más el primer termino sin derivar que es w y eso por la derivada del segundo termino con respecto a x. La derivada de x con respecto a ella misma será 1. Entonces w por 1 podemos dejarlo simplemente como w. Y esta expresión para de y de x junto con esta que tenemos que dice que y sobre x es igual a w. Vamos a utilizarlas para reconstruir esta expresión. Tenemos entonces de y de x que se cambia por esto que tenemos acá de w de x. Esto por x y eso más w. Entonces allí hemos cambiado este componente. Esto igual a y sobre x que es w más y sobre x que es w y eso elevado al exponente menos 1. En esta nueva igualdad vemos que w es un término positivo que está a los dos lados. O sea que podemos cancelarlo o eliminarlo. Y tendremos que w de x esto por x es igual a w elevado al exponente menos 1 que es igual a 1 sobre w. También aplicando propiedad de la potenciación. Allí vemos entonces la posibilidad de hacer separación de variables. Veamos cómo nos queda. Si multiplicamos en el lado izquierdo tendremos de w por x todo eso sobre de x. Recordemos que esta x tiene denominador 1. Entonces multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Y en el lado derecho tenemos 1 sobre w. Y aquí podemos aplicar producto en diagonal. Recordemos que cuando tenemos una igualdad de fracciones la multiplicación de estos dos elementos es igual a la multiplicación de estos otros dos. Entonces dw por x por w será igual a dx por 1. O sea simplemente dx. Y allí podemos dejar en el lado izquierdo dw por w. Y pasamos esta x al lado derecho nos queda como dx sobre x. Esto podemos reescribirlo como dw por dw en el lado izquierdo y acá como 1 sobre x por dx. Como decíamos ahora aquí ya logramos tener separación de variables. En el lado izquierdo la letra dw con su diferencial y en el lado derecho la variable x también con su respectivo diferencial. Entonces allí podemos integrar a ambos lados. Nos queda la integral de dw por su diferencial dw. Y en el lado derecho la integral de 1 sobre x por su diferencial dx. Ahora resolvemos cada una de las integrales. La del lado izquierdo nos queda dw al cuadrado sobre 2. Y la integral del lado derecho nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x. Y aparece por primera vez la constante de integración para todo el ejercicio. De allí vamos a despejar dw al cuadrado. Pasamos entonces 2 que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Tenemos 2 que multiplica a logaritmo natural de valor absoluto de x más c. Vamos a aplicar propiedad distributiva en el lado derecho. Tenemos 2 por logaritmo natural de valor absoluto de x más 2c. Y allí vamos a aplicar una propiedad de los logaritmos. Logaritmo natural de a elevada al exponente b. Esto es lo mismo que tener b por logaritmo natural de a. Si tenemos el logaritmo de una potencia el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo. Pasa de este lugar a ocupar este. Es decir multiplicando con logaritmo natural de a. Pues bien, esta propiedad la podemos aplicar en sentido contrario. Es lo que tenemos en este caso. 2 que está multiplicando. Puede localizarse acá como exponente. Entonces tenemos dw al cuadrado es igual a logaritmo natural de valor absoluto de x. Y esto elevado al cuadrado más 2 por c. Que puede convertirse en una nueva constante. C es constante si multiplica por el número 2. Otra constante entonces obtenemos una nueva constante c. Este valor absoluto que encierra la x. Lo que hace es garantizar que esto sea positivo. Pero recordemos que cualquier cantidad elevada al cuadrado será siempre positiva. Entonces es perfectamente elicito quitar las barras del valor absoluto. Dejar esto simplemente como logaritmo natural de x al cuadrado. Esto nos garantiza que el argumento de este logaritmo sea positivo. Y allí cuando vemos que no es posible hacer nada más. Cambiamos dw por su equivalente. Recordemos que dw es y sobre x. Entonces para reemplazar acá tenemos que elevar ambos lados al cuadrado. W al cuadrado será esta fracción toda elevada al cuadrado. Y eso nos queda y al cuadrado sobre x al cuadrado. Recordemos que el exponente afecta al numerador y al denominador. Entonces vamos a cambiar esto aquí. Tenemos entonces y al cuadrado sobre x al cuadrado. Igual al logaritmo natural de x al cuadrado y esto más c. Como decíamos se cambia dw al cuadrado por su expresión equivalente. Ahora podemos despejar y al cuadrado. Entonces pasamos x al cuadrado que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Tenemos x al cuadrado que va a quedar multiplicando con esta expresión y que protegemos con paréntesis. Y de allí vamos a aplicar propiedad distributiva. Tenemos x al cuadrado por logaritmo natural de x al cuadrado. Y esto más x al cuadrado por c que podemos escribir como cx al cuadrado. De esta manera hemos llegado a la respuesta de este ejercicio. Esta expresión es lo que se llama la solución general de esa ecuación diferencial homogénea.
[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Vamos a encontrar la soluci\u00f3n general de esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 5.0, "end": 14.0, "text": " Si hacemos todos los intentos por lograr separaci\u00f3n de variables, vemos que por ese camino es totalmente in\u00fatil."}, {"start": 14.0, "end": 21.0, "text": " Entonces descartamos que esta sea una ecuaci\u00f3n diferencial de variables separables."}, {"start": 21.0, "end": 24.0, "text": " Vamos a utilizar entonces otra estrategia."}, {"start": 24.0, "end": 34.0, "text": " Tenemos una propiedad de la potenciaci\u00f3n que nos dice que si una fracci\u00f3n A sobre B est\u00e1 elevada al exponente menos N,"}, {"start": 34.0, "end": 41.0, "text": " esto ser\u00e1 igual a la fracci\u00f3n B sobre A elevada al exponente N."}, {"start": 41.0, "end": 46.0, "text": " Es decir, la fracci\u00f3n se invierte y el exponente cambia de signo."}, {"start": 46.0, "end": 60.0, "text": " Ahora bien, si cambiamos N por 1, entonces tenemos que A sobre B elevado al exponente menos 1 ser\u00e1 B sobre A,"}, {"start": 60.0, "end": 63.0, "text": " todo eso elevado al exponente 1."}, {"start": 63.0, "end": 67.0, "text": " Pero recordemos que el exponente 1 puede omitirse."}, {"start": 67.0, "end": 72.0, "text": " Entonces podemos desaparecerlo y tambi\u00e9n desaparecemos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 72.0, "end": 79.0, "text": " Y nos queda que A sobre B, todo eso a la menos 1, es simplemente B sobre A."}, {"start": 79.0, "end": 82.0, "text": " Pues bien, tambi\u00e9n podemos devolvernos."}, {"start": 82.0, "end": 87.0, "text": " Es decir, que si tenemos una fracci\u00f3n as\u00ed, podemos expresarla de esta manera."}, {"start": 87.0, "end": 91.0, "text": " Y eso es lo que vamos a hacer con este componente."}, {"start": 91.0, "end": 96.0, "text": " Entonces, la ecuaci\u00f3n diferencial la reescribimos as\u00ed."}, {"start": 96.0, "end": 111.0, "text": " de y de x es igual a y sobre x m\u00e1s ac\u00e1 y sobre x y todo esto elevado al exponente menos 1, aplicando esta propiedad."}, {"start": 111.0, "end": 118.0, "text": " Aqu\u00ed ya podemos observar que de y de x est\u00e1 en t\u00e9rminos de y sobre x."}, {"start": 118.0, "end": 120.0, "text": " Eso lo podemos escribir de esta forma."}, {"start": 120.0, "end": 127.0, "text": " De y de x es una funci\u00f3n que depende de y sobre x."}, {"start": 127.0, "end": 137.0, "text": " Y cuando tenemos esta situaci\u00f3n, entonces decimos que esta es una ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea."}, {"start": 137.0, "end": 143.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 143.0, "end": 151.0, "text": " Y para comenzar vamos a llamar y sobre x como una nueva variable."}, {"start": 151.0, "end": 155.0, "text": " Vamos a utilizar por ejemplo la letra w."}, {"start": 155.0, "end": 162.0, "text": " Entonces y sobre x ser\u00e1 w y de aqu\u00ed vamos a despejar y."}, {"start": 162.0, "end": 167.0, "text": " Tenemos entonces que y es igual a w por x."}, {"start": 167.0, "end": 176.0, "text": " Y por x que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y esto lo vamos a derivar a ambos lados con respecto a x."}, {"start": 176.0, "end": 183.0, "text": " Al lado izquierdo nos queda de y de x derivada de y con respecto a x."}, {"start": 183.0, "end": 186.0, "text": " Y en el lado derecho tenemos un producto."}, {"start": 186.0, "end": 191.0, "text": " Entonces aplicamos la regla de derivaci\u00f3n para la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 191.0, "end": 203.0, "text": " Esto sea para el producto derivada del primer termino con respecto a x ser\u00e1 de w de x por el segundo termino sin derivar que es x."}, {"start": 203.0, "end": 213.0, "text": " Esto m\u00e1s el primer termino sin derivar que es w y eso por la derivada del segundo termino con respecto a x."}, {"start": 213.0, "end": 217.0, "text": " La derivada de x con respecto a ella misma ser\u00e1 1."}, {"start": 217.0, "end": 223.0, "text": " Entonces w por 1 podemos dejarlo simplemente como w."}, {"start": 223.0, "end": 232.0, "text": " Y esta expresi\u00f3n para de y de x junto con esta que tenemos que dice que y sobre x es igual a w."}, {"start": 232.0, "end": 238.0, "text": " Vamos a utilizarlas para reconstruir esta expresi\u00f3n."}, {"start": 238.0, "end": 246.0, "text": " Tenemos entonces de y de x que se cambia por esto que tenemos ac\u00e1 de w de x."}, {"start": 246.0, "end": 252.0, "text": " Esto por x y eso m\u00e1s w."}, {"start": 252.0, "end": 255.0, "text": " Entonces all\u00ed hemos cambiado este componente."}, {"start": 255.0, "end": 267.0, "text": " Esto igual a y sobre x que es w m\u00e1s y sobre x que es w y eso elevado al exponente menos 1."}, {"start": 267.0, "end": 275.0, "text": " En esta nueva igualdad vemos que w es un t\u00e9rmino positivo que est\u00e1 a los dos lados."}, {"start": 275.0, "end": 279.0, "text": " O sea que podemos cancelarlo o eliminarlo."}, {"start": 279.0, "end": 294.0, "text": " Y tendremos que w de x esto por x es igual a w elevado al exponente menos 1 que es igual a 1 sobre w."}, {"start": 294.0, "end": 298.0, "text": " Tambi\u00e9n aplicando propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 298.0, "end": 303.0, "text": " All\u00ed vemos entonces la posibilidad de hacer separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 303.0, "end": 305.0, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 305.0, "end": 314.0, "text": " Si multiplicamos en el lado izquierdo tendremos de w por x todo eso sobre de x."}, {"start": 314.0, "end": 317.0, "text": " Recordemos que esta x tiene denominador 1."}, {"start": 317.0, "end": 322.0, "text": " Entonces multiplicamos numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " Y en el lado derecho tenemos 1 sobre w."}, {"start": 326.0, "end": 329.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos aplicar producto en diagonal."}, {"start": 329.0, "end": 338.0, "text": " Recordemos que cuando tenemos una igualdad de fracciones la multiplicaci\u00f3n de estos dos elementos es igual a la multiplicaci\u00f3n de estos otros dos."}, {"start": 338.0, "end": 346.0, "text": " Entonces dw por x por w ser\u00e1 igual a dx por 1."}, {"start": 346.0, "end": 349.0, "text": " O sea simplemente dx."}, {"start": 349.0, "end": 355.0, "text": " Y all\u00ed podemos dejar en el lado izquierdo dw por w."}, {"start": 355.0, "end": 361.0, "text": " Y pasamos esta x al lado derecho nos queda como dx sobre x."}, {"start": 361.0, "end": 373.0, "text": " Esto podemos reescribirlo como dw por dw en el lado izquierdo y ac\u00e1 como 1 sobre x por dx."}, {"start": 373.0, "end": 378.0, "text": " Como dec\u00edamos ahora aqu\u00ed ya logramos tener separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 378.0, "end": 387.0, "text": " En el lado izquierdo la letra dw con su diferencial y en el lado derecho la variable x tambi\u00e9n con su respectivo diferencial."}, {"start": 387.0, "end": 391.0, "text": " Entonces all\u00ed podemos integrar a ambos lados."}, {"start": 391.0, "end": 396.0, "text": " Nos queda la integral de dw por su diferencial dw."}, {"start": 396.0, "end": 405.0, "text": " Y en el lado derecho la integral de 1 sobre x por su diferencial dx."}, {"start": 405.0, "end": 409.0, "text": " Ahora resolvemos cada una de las integrales."}, {"start": 409.0, "end": 414.0, "text": " La del lado izquierdo nos queda dw al cuadrado sobre 2."}, {"start": 414.0, "end": 421.0, "text": " Y la integral del lado derecho nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x."}, {"start": 421.0, "end": 427.0, "text": " Y aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n para todo el ejercicio."}, {"start": 427.0, "end": 432.0, "text": " De all\u00ed vamos a despejar dw al cuadrado."}, {"start": 432.0, "end": 437.0, "text": " Pasamos entonces 2 que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 437.0, "end": 444.0, "text": " Tenemos 2 que multiplica a logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s c."}, {"start": 444.0, "end": 448.0, "text": " Vamos a aplicar propiedad distributiva en el lado derecho."}, {"start": 448.0, "end": 456.0, "text": " Tenemos 2 por logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s 2c."}, {"start": 456.0, "end": 460.0, "text": " Y all\u00ed vamos a aplicar una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 460.0, "end": 464.0, "text": " Logaritmo natural de a elevada al exponente b."}, {"start": 464.0, "end": 468.0, "text": " Esto es lo mismo que tener b por logaritmo natural de a."}, {"start": 468.0, "end": 475.0, "text": " Si tenemos el logaritmo de una potencia el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo."}, {"start": 475.0, "end": 478.0, "text": " Pasa de este lugar a ocupar este."}, {"start": 478.0, "end": 482.0, "text": " Es decir multiplicando con logaritmo natural de a."}, {"start": 482.0, "end": 487.0, "text": " Pues bien, esta propiedad la podemos aplicar en sentido contrario."}, {"start": 487.0, "end": 491.0, "text": " Es lo que tenemos en este caso. 2 que est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 491.0, "end": 494.0, "text": " Puede localizarse ac\u00e1 como exponente."}, {"start": 494.0, "end": 501.0, "text": " Entonces tenemos dw al cuadrado es igual a logaritmo natural de valor absoluto de x."}, {"start": 501.0, "end": 504.0, "text": " Y esto elevado al cuadrado m\u00e1s 2 por c."}, {"start": 504.0, "end": 507.0, "text": " Que puede convertirse en una nueva constante."}, {"start": 507.0, "end": 511.0, "text": " C es constante si multiplica por el n\u00famero 2."}, {"start": 511.0, "end": 517.0, "text": " Otra constante entonces obtenemos una nueva constante c."}, {"start": 517.0, "end": 521.0, "text": " Este valor absoluto que encierra la x."}, {"start": 521.0, "end": 525.0, "text": " Lo que hace es garantizar que esto sea positivo."}, {"start": 525.0, "end": 530.0, "text": " Pero recordemos que cualquier cantidad elevada al cuadrado ser\u00e1 siempre positiva."}, {"start": 530.0, "end": 536.0, "text": " Entonces es perfectamente elicito quitar las barras del valor absoluto."}, {"start": 536.0, "end": 542.0, "text": " Dejar esto simplemente como logaritmo natural de x al cuadrado."}, {"start": 542.0, "end": 547.0, "text": " Esto nos garantiza que el argumento de este logaritmo sea positivo."}, {"start": 547.0, "end": 551.0, "text": " Y all\u00ed cuando vemos que no es posible hacer nada m\u00e1s."}, {"start": 551.0, "end": 555.0, "text": " Cambiamos dw por su equivalente."}, {"start": 555.0, "end": 558.0, "text": " Recordemos que dw es y sobre x."}, {"start": 558.0, "end": 563.0, "text": " Entonces para reemplazar ac\u00e1 tenemos que elevar ambos lados al cuadrado."}, {"start": 563.0, "end": 568.0, "text": " W al cuadrado ser\u00e1 esta fracci\u00f3n toda elevada al cuadrado."}, {"start": 568.0, "end": 573.0, "text": " Y eso nos queda y al cuadrado sobre x al cuadrado."}, {"start": 573.0, "end": 578.0, "text": " Recordemos que el exponente afecta al numerador y al denominador."}, {"start": 578.0, "end": 582.0, "text": " Entonces vamos a cambiar esto aqu\u00ed."}, {"start": 582.0, "end": 588.0, "text": " Tenemos entonces y al cuadrado sobre x al cuadrado."}, {"start": 588.0, "end": 596.0, "text": " Igual al logaritmo natural de x al cuadrado y esto m\u00e1s c."}, {"start": 596.0, "end": 602.0, "text": " Como dec\u00edamos se cambia dw al cuadrado por su expresi\u00f3n equivalente."}, {"start": 602.0, "end": 606.0, "text": " Ahora podemos despejar y al cuadrado."}, {"start": 606.0, "end": 612.0, "text": " Entonces pasamos x al cuadrado que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 612.0, "end": 620.0, "text": " Tenemos x al cuadrado que va a quedar multiplicando con esta expresi\u00f3n y que protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 620.0, "end": 625.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a aplicar propiedad distributiva."}, {"start": 625.0, "end": 631.0, "text": " Tenemos x al cuadrado por logaritmo natural de x al cuadrado."}, {"start": 631.0, "end": 640.0, "text": " Y esto m\u00e1s x al cuadrado por c que podemos escribir como cx al cuadrado."}, {"start": 640.0, "end": 647.0, "text": " De esta manera hemos llegado a la respuesta de este ejercicio."}, {"start": 647.0, "end": 670.0, "text": " Esta expresi\u00f3n es lo que se llama la soluci\u00f3n general de esa ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea."}]