SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON POTENCIAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo simplificar una expresión algebraica haciendo uso de las propiedades de la potenciación.

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 Tenemos en este caso un ejercicio de multiplicación de dos fracciones con potencias y expresiones algebraicas en sus componentes. Vamos a desarrollarlo manualmente paso a paso hasta simplificarlo al máximo. Comenzamos resolviendo esto que tenemos en el numerador de la primera fracción. Allí se observa una potencia elevada a un exponente y a su vez todo eso elevado a otro exponente. Entonces veamos esa situación. Aquí tenemos una potencia a a la b elevada a un exponente c y a su vez todo esto elevado a un exponente d. Entonces acá dentro de los corchetes aplicamos la propiedad de la potenciación llamada potencia de una potencia que nos dice que se conserva la base y se multiplican los exponentes. Nos queda b por c. Ahora todo esto está elevado al exponente d. Entonces volvemos a aplicar la propiedad, se conserva la base y se multiplican los exponentes. Aquí nos queda b por c por d. En resumen, si tenemos entonces una potencia elevada a un exponente y a su vez todo esto elevado a otro exponente, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Aquí nos queda b por c por d. Entonces vamos a aplicar esto aquí en el numerador de la primera fracción. Conservamos la base que es x y aquí vamos a escribir el resultado de multiplicar los exponentes. Vamos a efectuar esa operación por acá. Sería n menos 1, esto multiplicado por n y multiplicado por 2. Aquí podemos aplicar la propiedad asociativa de la multiplicación. Tenemos tres factores. Podríamos asociar estos dos, entonces nos queda n menos 1 multiplicado por n por 2 que sería 2n. Si queremos se puede proteger con paréntesis. Entonces ahora lo que aplicamos allí es la propiedad distributiva. 2n que es un monomio va a multiplicar a los términos de este binomio. 2n por n nos da 2n al cuadrado y luego 2n por menos 1 es menos 2n. Entonces esto es lo que escribimos acá en el exponente. 2n al cuadrado y luego menos 2n. Ahora vamos con lo que tenemos en el denominador de la primera fracción. Allí se observa el producto de potencias de la misma base. Entonces recordemos la propiedad. Aquí tenemos multiplicación o producto de dos potencias con la misma base. Entonces se conserva la base y se suman los exponentes. Entonces conservamos la base que es x y en el exponente va el resultado de efectuar la suma de n menos 2 con 3. Allí conservamos la n y efectuamos menos 2 más 3 que sería más 1. Entonces aquí en el exponente tendremos n más 1. Pasamos al numerador de la segunda fracción. Comenzamos con este componente donde tenemos esta situación. Entonces se conserva la base que es x y acá tendremos el resultado de multiplicar los exponentes. Vamos a efectuar esa operación por acá. Sería menos n por 4 y eso multiplicado por n menos 2 que debemos proteger con paréntesis porque se trata de un binomio. Otra vez se observan tres factores. Aplicamos la propiedad asociativa de la multiplicación. Menos n por 4 sería menos 4n y esto va a multiplicar con el binomio n menos 2. Entonces aplicamos la propiedad distributiva. Tenemos menos 4n por n que sería menos 4n al cuadrado y luego menos 4n por menos 2 que sería más 8n. Entonces aquí escribimos este resultado. Menos 4n al cuadrado y luego más 8n. Luego tenemos esto multiplicando por esto de acá donde aplicamos de nuevo la propiedad que mencionamos. Se conserva la base que es x y acá tendremos el resultado de multiplicar los exponentes. Entonces por acá hacemos la operación n por 5 y esto multiplicado por el binomio n menos 1 que protegemos con paréntesis. Otra vez aplicamos propiedad asociativa de la multiplicación. N por 5 sería 5n y esto va a multiplicar con n menos 1. Aplicamos la propiedad distributiva. Entonces 5n por n sería 5n al cuadrado y 5n por menos 1 sería menos 5n. Entonces esto lo anotamos por acá. 5n al cuadrado y después menos 5n. Vamos ahora con el denominador de la segunda fracción. Otra vez aplicamos esta propiedad. Entonces se conserva la base que es x y vamos a multiplicar los exponentes para anotar el resultado aquí, en este lugar. Entonces tendremos 3 por entre paréntesis el binomio n más 1 y eso multiplicado por el otro binomio que es n menos 1. Aquí podemos aplicar la propiedad asociativa de la multiplicación de esta manera. Asociamos lo que es el segundo y el tercer factor y allí se observa un producto notable llamado suma por diferencia. Entonces dejamos el 3 allá quieto, abrimos el corchete y el resultado de esta operación aplicando ese producto notable sería el primer componente al cuadrado, es decir n al cuadrado, menos el segundo componente elevado al cuadrado, o sea 1 al cuadrado que es 1. Cerramos el corchete y ahora sí podemos aplicar la propiedad distributiva. Entonces 3 multiplica a cada uno de los componentes de este binomio. 3 por n al cuadrado sería 3n al cuadrado y 3 por menos 1 es menos 3. Entonces esto lo anotamos aquí. Sería 3n al cuadrado y luego menos 3. Vamos ahora con la primera fracción donde se observa cociente o división de potencias con la misma base. Vamos a recordar la propiedad. Si tenemos a a la b todo esto dividido entre a a la c, allí está la división o cociente de potencias con la misma base. Entonces conservamos la base y se restan los exponentes. Sería entonces b menos c, el exponente del numerador o del dividendo menos el exponente del denominador, o sea del divisor. Entonces aplicando esa propiedad aquí conservamos la base que es x y vamos a efectuar la resta de los exponentes. Sería entonces 2n al cuadrado menos 2n, eso lo protegemos con paréntesis, será el minuendo y esto menos el exponente n más 1 que también protegemos con paréntesis, minuendo y sustraendo. Entonces vamos a quitar los paréntesis. Acá a la izquierda del primero tenemos signo positivo o invisible, por lo tanto deshacemos el paréntesis sin ninguna novedad, nos queda 2n al cuadrado menos 2n y luego por acá allí si el signo negativo afecta estos dos términos para poder quitar el paréntesis, nos quedaría menos n y después acá menos 1. Ahora aquí vamos a efectuar la reducción de términos semejantes que en este caso serían solamente estos de aquí, los que contienen la n, entonces nos va a quedar 2n al cuadrado menos 2n menos n sería menos 3n y luego menos 1. Entonces esto es lo que anotamos aquí en el exponente de la x, sería 2n al cuadrado, después tenemos menos 3n y luego menos 1. Ahora eso queda multiplicando por la segunda fracción donde el denominador permanece intacto sin ningún cambio y acá en el numerador vamos a aplicar esta propiedad, la del producto o multiplicación de potencias con la misma base, entonces conservamos la base que es x y acá vamos a escribir el resultado de sumar los exponentes, esta suma la podemos hacer en forma directa, tenemos entonces menos 4n al cuadrado más 5n al cuadrado, eso nos daría n al cuadrado con coeficiente 1 positivo y luego más 8n sumado con menos 5n, eso finalmente es 8n menos 5n que daría más 3n. Vamos a continuar por aquí, el primer componente permanece intacto, es decir x elevada a lo que es 2n al cuadrado menos 3n menos 1 y eso nos queda multiplicando por esto de acá donde vamos a aplicar la propiedad de la potenciación para el cociente o división de potencias con la misma base, entonces conservamos la base que es x y vamos a efectuar la resta de exponentes, vamos a realizar esa operación por acá, el minuendo sería n al cuadrado más 3n, lo protegemos con paréntesis y el sustraendo sería 3n al cuadrado menos 3 también protegido con paréntesis, vamos a quitar esos signos de agrupación, es decir los paréntesis, el primero se quita normalmente porque a su izquierda tenemos signo positivo invisible, sale entonces n al cuadrado más 3n y en el segundo afecta el signo negativo a cada uno de los términos, nos queda menos 3n al cuadrado y luego acá tendremos más 3, entonces revisamos si hay términos semejantes, vemos que estos dos contienen n al cuadrado, entonces n al cuadrado menos 3n al cuadrado sería menos 2n al cuadrado, luego tenemos más 3n y finalmente más 3, eso es lo que vamos a anotar acá en el exponente de la x, entonces menos 2n al cuadrado, luego tenemos más 3n y finalmente más 3. Finalmente tenemos el producto o la multiplicación de dos potencias con la misma base, entonces aplicamos esta propiedad, conservamos la base y vamos a sumar los exponentes, aquí tenemos la suma de dos trinomios, entonces podemos realizarla en forma directa, vamos a ir operando cada uno de los términos semejantes, comenzamos con 2n al cuadrado que sumado con menos 2n al cuadrado nos da 0, son dos términos opuestos que se cancelan, luego tenemos menos 3n, sumado con más 3n también pasa lo mismo, esa suma nos da 0 porque son términos opuestos, finalmente tendremos menos 1 más 3 que sería 2 y eso es lo que nos queda como resultado de esa suma de los dos trinomios, al final x al cuadrado será entonces el resultado, la respuesta final para este ejercicio.
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Luego tenemos"}, {"start": 257.48, "end": 264.64, "text": " esto multiplicando por esto de ac\u00e1 donde aplicamos de nuevo la propiedad que mencionamos. Se"}, {"start": 264.64, "end": 271.56, "text": " conserva la base que es x y ac\u00e1 tendremos el resultado de multiplicar los exponentes."}, {"start": 271.56, "end": 278.24, "text": " Entonces por ac\u00e1 hacemos la operaci\u00f3n n por 5 y esto multiplicado por el binomio n menos"}, {"start": 278.24, "end": 285.15999999999997, "text": " 1 que protegemos con par\u00e9ntesis. Otra vez aplicamos propiedad asociativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 285.15999999999997, "end": 294.24, "text": " N por 5 ser\u00eda 5n y esto va a multiplicar con n menos 1. Aplicamos la propiedad distributiva."}, {"start": 294.24, "end": 303.6, "text": " Entonces 5n por n ser\u00eda 5n al cuadrado y 5n por menos 1 ser\u00eda menos 5n. 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Entonces esto lo"}, {"start": 389.84000000000003, "end": 399.44, "text": " anotamos aqu\u00ed. Ser\u00eda 3n al cuadrado y luego menos 3. Vamos ahora con la primera fracci\u00f3n"}, {"start": 399.44, "end": 406.88, "text": " donde se observa cociente o divisi\u00f3n de potencias con la misma base. Vamos a recordar la propiedad."}, {"start": 406.88, "end": 412.68, "text": " Si tenemos a a la b todo esto dividido entre a a la c, all\u00ed est\u00e1 la divisi\u00f3n o cociente"}, {"start": 412.68, "end": 419.76, "text": " de potencias con la misma base. Entonces conservamos la base y se restan los exponentes. Ser\u00eda"}, {"start": 419.76, "end": 427.6, "text": " entonces b menos c, el exponente del numerador o del dividendo menos el exponente del denominador,"}, {"start": 427.6, "end": 433.48, "text": " o sea del divisor. Entonces aplicando esa propiedad aqu\u00ed conservamos la base que es"}, {"start": 433.48, "end": 443.0, "text": " x y vamos a efectuar la resta de los exponentes. Ser\u00eda entonces 2n al cuadrado menos 2n, eso"}, {"start": 443.0, "end": 450.0, "text": " lo protegemos con par\u00e9ntesis, ser\u00e1 el minuendo y esto menos el exponente n m\u00e1s 1 que tambi\u00e9n"}, {"start": 450.0, "end": 456.8, "text": " protegemos con par\u00e9ntesis, minuendo y sustraendo. Entonces vamos a quitar los par\u00e9ntesis. Ac\u00e1"}, {"start": 456.8, "end": 463.08, "text": " a la izquierda del primero tenemos signo positivo o invisible, por lo tanto deshacemos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 463.08, "end": 469.24, "text": " sin ninguna novedad, nos queda 2n al cuadrado menos 2n y luego por ac\u00e1 all\u00ed si el signo"}, {"start": 469.24, "end": 475.12, "text": " negativo afecta estos dos t\u00e9rminos para poder quitar el par\u00e9ntesis, nos quedar\u00eda menos"}, {"start": 475.12, "end": 482.48, "text": " n y despu\u00e9s ac\u00e1 menos 1. Ahora aqu\u00ed vamos a efectuar la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes"}, {"start": 482.48, "end": 487.52000000000004, "text": " que en este caso ser\u00edan solamente estos de aqu\u00ed, los que contienen la n, entonces nos"}, {"start": 487.52000000000004, "end": 496.38, "text": " va a quedar 2n al cuadrado menos 2n menos n ser\u00eda menos 3n y luego menos 1. Entonces"}, {"start": 496.38, "end": 505.88, "text": " esto es lo que anotamos aqu\u00ed en el exponente de la x, ser\u00eda 2n al cuadrado, despu\u00e9s tenemos"}, {"start": 505.88, "end": 515.4, "text": " menos 3n y luego menos 1. Ahora eso queda multiplicando por la segunda fracci\u00f3n donde"}, {"start": 515.4, "end": 522.04, "text": " el denominador permanece intacto sin ning\u00fan cambio y ac\u00e1 en el numerador vamos a aplicar"}, {"start": 522.04, "end": 528.8, "text": " esta propiedad, la del producto o multiplicaci\u00f3n de potencias con la misma base, entonces conservamos"}, {"start": 528.8, "end": 535.76, "text": " la base que es x y ac\u00e1 vamos a escribir el resultado de sumar los exponentes, esta suma"}, {"start": 535.76, "end": 542.6, "text": " la podemos hacer en forma directa, tenemos entonces menos 4n al cuadrado m\u00e1s 5n al cuadrado,"}, {"start": 542.6, "end": 549.48, "text": " eso nos dar\u00eda n al cuadrado con coeficiente 1 positivo y luego m\u00e1s 8n sumado con menos"}, {"start": 549.48, "end": 558.38, "text": " 5n, eso finalmente es 8n menos 5n que dar\u00eda m\u00e1s 3n. Vamos a continuar por aqu\u00ed, el primer"}, {"start": 558.38, "end": 566.88, "text": " componente permanece intacto, es decir x elevada a lo que es 2n al cuadrado menos 3n menos"}, {"start": 566.88, "end": 573.52, "text": " 1 y eso nos queda multiplicando por esto de ac\u00e1 donde vamos a aplicar la propiedad de"}, {"start": 573.52, "end": 579.14, "text": " la potenciaci\u00f3n para el cociente o divisi\u00f3n de potencias con la misma base, entonces conservamos"}, {"start": 579.14, "end": 585.4, "text": " la base que es x y vamos a efectuar la resta de exponentes, vamos a realizar esa operaci\u00f3n"}, {"start": 585.4, "end": 592.76, "text": " por ac\u00e1, el minuendo ser\u00eda n al cuadrado m\u00e1s 3n, lo protegemos con par\u00e9ntesis y el"}, {"start": 592.76, "end": 600.72, "text": " sustraendo ser\u00eda 3n al cuadrado menos 3 tambi\u00e9n protegido con par\u00e9ntesis, vamos a quitar"}, {"start": 600.72, "end": 606.76, "text": " esos signos de agrupaci\u00f3n, es decir los par\u00e9ntesis, el primero se quita normalmente porque a su"}, {"start": 606.76, "end": 612.88, "text": " izquierda tenemos signo positivo invisible, sale entonces n al cuadrado m\u00e1s 3n y en el"}, {"start": 612.88, "end": 620.04, "text": " segundo afecta el signo negativo a cada uno de los t\u00e9rminos, nos queda menos 3n al cuadrado"}, {"start": 620.04, "end": 627.72, "text": " y luego ac\u00e1 tendremos m\u00e1s 3, entonces revisamos si hay t\u00e9rminos semejantes, vemos que estos"}, {"start": 627.72, "end": 633.0, "text": " dos contienen n al cuadrado, entonces n al cuadrado menos 3n al cuadrado ser\u00eda menos"}, {"start": 633.0, "end": 643.08, "text": " 2n al cuadrado, luego tenemos m\u00e1s 3n y finalmente m\u00e1s 3, eso es lo que vamos a anotar ac\u00e1"}, {"start": 643.08, "end": 653.12, "text": " en el exponente de la x, entonces menos 2n al cuadrado, luego tenemos m\u00e1s 3n y finalmente"}, {"start": 653.12, "end": 655.88, "text": " m\u00e1s 3."}, {"start": 655.88, "end": 661.56, "text": " Finalmente tenemos el producto o la multiplicaci\u00f3n de dos potencias con la misma base, entonces"}, {"start": 661.56, "end": 668.28, "text": " aplicamos esta propiedad, conservamos la base y vamos a sumar los exponentes, aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 668.28, "end": 674.9599999999999, "text": " la suma de dos trinomios, entonces podemos realizarla en forma directa, vamos a ir operando"}, {"start": 674.9599999999999, "end": 681.04, "text": " cada uno de los t\u00e9rminos semejantes, comenzamos con 2n al cuadrado que sumado con menos 2n"}, {"start": 681.04, "end": 687.6199999999999, "text": " al cuadrado nos da 0, son dos t\u00e9rminos opuestos que se cancelan, luego tenemos menos 3n, sumado"}, {"start": 687.62, "end": 694.2, "text": " con m\u00e1s 3n tambi\u00e9n pasa lo mismo, esa suma nos da 0 porque son t\u00e9rminos opuestos, finalmente"}, {"start": 694.2, "end": 701.12, "text": " tendremos menos 1 m\u00e1s 3 que ser\u00eda 2 y eso es lo que nos queda como resultado de esa"}, {"start": 701.12, "end": 708.44, "text": " suma de los dos trinomios, al final x al cuadrado ser\u00e1 entonces el resultado, la respuesta"}, {"start": 708.44, "end": 731.8000000000001, "text": " final para este ejercicio."}]