DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 11
#julioprofe explica cómo obtener las primeras y segundas derivadas parciales de una función de dos variables f(x,y).

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 Para la función que tenemos en este caso, vamos a determinar las primeras y segundas derivadas parciales. Comenzamos con la derivada parcial de la función f con respecto de la variable x, que también podemos denotar como fx. En este caso, vamos a derivar esta función con respecto a x tomando la otra variable, es decir, la letra y como si fuera una constante. Comenzamos entonces derivando cada término. Derivada de 6x al cuadrado nos da 12x. Allí derivamos con respecto a x. Pasamos al siguiente término donde podemos asegurar primero lo que permanece constante. En este caso aseguramos 5 y y a la 4. Eso lo escribimos porque es el componente constante en este término y eso lo multiplicamos por la derivada de x al cubo que nos da 3x al cuadrado. Vamos al siguiente término. Aquí tenemos componentes constantes, no tenemos la x, por lo tanto todo este término es constante y su derivada es 0. Finalmente realizamos esta operación. Nos queda entonces 12x más 5 por 3, 15. Organizamos las letras como x al cuadrado y y a la 4. Tenemos entonces la primera derivada parcial de la función con respecto a x. Escribimos el resultado por acá y a continuación vamos a encontrar la derivada parcial de la función con respecto a la variable y que también podemos denotar como f y. Ahora vamos a considerar la letra x como si fuera una constante. Nos vamos a concentrar en la variable y. Comenzamos con la derivada de este término donde no tenemos presente la letra y, por lo tanto todo esto es constante y su derivada es 0. Vamos al siguiente término donde vamos a asegurar el componente constante. Sería 5x al cubo y eso multiplicado por la derivada de y a la 4 que es 4y al cubo. Pasamos al último término que tiene la letra y. Derivamos eso. Nos da 50 y a la 4. Pulimos la expresión. Nos queda entonces que la derivada parcial de f con respecto a y es igual a 20x al cubo y al cubo menos 50y a la 4. Escribimos por acá el resultado obtenido y de esta manera tenemos las primeras derivadas parciales de la función que nos han dado. Vamos ahora a encontrar las segundas derivadas parciales. Comenzamos con la segunda derivada de la función f con respecto a x que se puede escribir de esta manera o también la derivada con respecto a x de f de x o también para mayor comodidad puede escribirse como fxx. Entonces nos vamos a concentrar en la primera derivada con respecto a x y la vamos a volver a derivar parcialmente con respecto a x. Entonces nuevamente en esta expresión consideramos la letra y como constante. Tenemos dos términos entonces vamos a derivar cada uno de ellos. Derivada de 12x nos da 12. Pasamos al siguiente término donde podemos asegurar los componentes constantes. Sería 15y a la 4. Esos quedan intactos y multiplicamos por la derivada de x al cuadrado. Eso nos da 2x. Vamos a escribir por acá entonces esa expresión ya organizada nos queda 12 más por aquí 15 por 2 es 30 x y a la 4. Tenemos entonces la segunda derivada parcial de la función con respecto a x. Vamos ahora a encontrar la derivada con respecto a y de f de x que también puede escribirse como d2f de y de x. Esto es lo mismo que tener fx es decir esta primera derivada con respecto a x pero ahora derivada con respecto a y. Entonces vamos a considerar en esta expresión la x como si fuera constante. Nos vamos a concentrar en las derivadas con respecto a la variable y. Comenzamos. Aquí este término sería constante por lo tanto su derivada es 0. Pasamos al siguiente término donde aseguramos la parte constante que sería 15x al cuadrado y multiplicamos por la derivada de lo que estamos considerando como variable. Es decir la derivada de y a la 4. Eso nos da 4y al cubo. Puliendo esta expresión nos queda entonces 15 por 4 es 60 x al cuadrado y al cubo. Tenemos entonces otra de las segundas derivadas parciales de esta función y se llama la derivada cruzada o mixta. Vamos ahora a calcular la derivada parcial con respecto a x de la primera derivada de f con respecto a y. Esto también se puede escribir como t2f de x de y y en otras palabras es fx. Entonces vamos a tomar la primera derivada parcial con respecto a y y ahora la vamos a derivar con respecto a x. Entonces consideramos la letra y como si fuera una constante. Nos vamos a centrar en las derivadas de lo que tiene la x. Derivamos el primer término donde vamos a asegurar el componente constante que sería 20y al cubo y derivamos x al cubo. Nos da 3x al cuadrado. Pasamos al siguiente término donde tenemos el componente constante. Aquí no tenemos la x por lo tanto la derivada de esta constante es 0. Escribimos entonces el resultado fx es igual a 20 por 3 60x al cuadrado y al cubo. Es la otra derivada parcial llamada cruzada o mixta y algo que podemos verificar es que estas dos derivadas parciales nos debe dar el mismo resultado. Entonces siempre se debe cumplir que fxy nos tiene que dar lo mismo que fx. Finalmente vamos a derivar parcialmente con respecto a y la primera derivada parcial con respecto a y. Entonces estamos hablando de la segunda derivada de la función f con respecto a y y puede escribirse de una manera más sencilla así como fyy. En ese caso vamos a derivar esta expresión con respecto a y considerando la variable x como constante. Entonces comenzamos con el primer término aseguramos el componente constante que sería 20x al cubo y esto lo multiplicamos por la derivada de y al cubo que es 3y al cuadrado. Pasamos al siguiente término donde tenemos únicamente la letra y entonces derivamos con respecto a esa letra. Tenemos 4 por 50 200 y al cubo. Vamos entonces a escribir por aquí el resultado de esa segunda derivada parcial. Para este término tenemos 20 por 360 x al cubo y al cuadrado menos 200 y al cubo. Es entonces la segunda derivada parcial de la función con respecto a la variable y. Bien de esta manera terminamos el ejercicio. Hemos encontrado las primeras derivadas parciales de la función que nos dan y también las segundas derivadas parciales. Como vemos en las segundas derivadas parciales se presentan todas las combinaciones posibles fxx, fxy, fxx y fyy. Recordemos que estas dos siempre nos deben dar iguales.
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Derivada de 12x nos da 12."}, {"start": 277.04, "end": 283.40000000000003, "text": " Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde podemos asegurar los componentes constantes."}, {"start": 283.40000000000003, "end": 294.36, "text": " Ser\u00eda 15y a la 4. Esos quedan intactos y multiplicamos por la derivada de x al"}, {"start": 294.36, "end": 303.68, "text": " cuadrado. Eso nos da 2x. Vamos a escribir por ac\u00e1 entonces esa expresi\u00f3n ya"}, {"start": 303.68, "end": 315.36, "text": " organizada nos queda 12 m\u00e1s por aqu\u00ed 15 por 2 es 30 x y a la 4."}, {"start": 315.36, "end": 324.32, "text": " Tenemos entonces la segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x."}, {"start": 324.32, "end": 334.28, "text": " Vamos ahora a encontrar la derivada con respecto a y de f de x"}, {"start": 334.28, "end": 338.28, "text": " que tambi\u00e9n puede escribirse como"}, {"start": 338.28, "end": 347.96, "text": " d2f de y de x. Esto es lo mismo que tener fx es decir esta primera derivada con"}, {"start": 347.96, "end": 355.4, "text": " respecto a x pero ahora derivada con respecto a y. Entonces vamos a"}, {"start": 355.4, "end": 362.32, "text": " considerar en esta expresi\u00f3n la x como si fuera constante. Nos vamos a concentrar"}, {"start": 362.32, "end": 369.59999999999997, "text": " en las derivadas con respecto a la variable y. Comenzamos. Aqu\u00ed este t\u00e9rmino"}, {"start": 369.59999999999997, "end": 374.67999999999995, "text": " ser\u00eda constante por lo tanto su derivada es 0."}, {"start": 374.68, "end": 380.76, "text": " Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde aseguramos la parte constante que ser\u00eda"}, {"start": 380.76, "end": 384.52, "text": " 15x al cuadrado"}, {"start": 385.12, "end": 391.0, "text": " y multiplicamos por la derivada de lo que estamos considerando como variable."}, {"start": 391.0, "end": 397.88, "text": " Es decir la derivada de y a la 4. 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Nos vamos a"}, {"start": 461.64, "end": 469.12, "text": " centrar en las derivadas de lo que tiene la x. Derivamos el primer t\u00e9rmino donde"}, {"start": 469.12, "end": 479.32, "text": " vamos a asegurar el componente constante que ser\u00eda 20y al cubo y derivamos x al"}, {"start": 479.32, "end": 488.4, "text": " cubo. Nos da 3x al cuadrado. Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde tenemos el"}, {"start": 488.4, "end": 494.71999999999997, "text": " componente constante. Aqu\u00ed no tenemos la x por lo tanto la derivada de esta"}, {"start": 494.71999999999997, "end": 506.71999999999997, "text": " constante es 0. Escribimos entonces el resultado fx es igual a 20 por 3"}, {"start": 506.72, "end": 517.76, "text": " 60x al cuadrado y al cubo. Es la otra derivada parcial llamada cruzada o mixta"}, {"start": 517.76, "end": 525.4, "text": " y algo que podemos verificar es que estas dos derivadas parciales nos debe dar el"}, {"start": 525.4, "end": 532.96, "text": " mismo resultado. 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