Pregunta 36 TIPO EXAMEN
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio típico de examen (SAT, ACT, GMAT, PAEP, entre otros) para ingresar a estudios superiores.

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 Nos dan esta información y nos piden resolver esta resta. Entonces vamos a transformar primero esas dos expresiones para A y B. Vamos a llevarlas a su forma más simple. Para el caso de A observamos tanto en el numerador como en el denominador unas potencias con sumas en los exponentes. Entonces vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciación. Cuando se tiene producto o multiplicación de potencias de la misma base, entonces conservamos la base y sumamos los exponentes. Pues bien, esta situación es la que tenemos por aquí. Vamos a expresar eso entonces de esta manera, es decir, como producto de potencias de la misma base. Nos queda así, A será igual a lo siguiente, x a la A más tres, nos queda como x a la A por x a la tres. Ahora, en el denominador, x a la A más dos, nos queda x a la A por x a la dos. Y esto más x a la A más uno, que nos queda x a la A por x a la uno, o simplemente x. Ahora en el denominador podemos aplicar la factorización, tenemos allí dos términos, es decir, un binomio donde podemos extraer factor común. Vemos que se repite x a la A y también para el caso de x al cuadrado y x a la uno, extraemos la x de menor exponente, es decir, x a la uno o simplemente x. Eso será el factor común. Entonces ahora dentro del paréntesis, anotamos lo que queda en cada término después de que sacamos este factor común. Para el caso del primer término, nos queda x. Y en el segundo término, como todo esto sale, nos queda en su lugar un uno. Y en el numerador conservamos la misma expresión, x a la A por x a la tres. Como se observa, llegamos a una fracción algebraica que podemos simplificar. Vemos factores repetidos tanto en el numerador como en el denominador. X a la A lo podemos cancelar o eliminar y para el caso de x a la tres y x a la uno, allí podemos hacer la resta de exponentes. Es lo mismo que cancelar esta x y dejar acá en el numerador x al cuadrado. Como no se puede simplificar nada más, escribimos la fracción con lo que nos quedó en el numerador x al cuadrado y en el denominador x más uno. Y esta será la expresión simplificada para A. Entonces anotamos esto por aquí. Ahora vamos con lo que tenemos en la expresión de B. Comenzamos con este componente, donde se aplica la siguiente propiedad de la potenciación que combina también logaritmos. Si tenemos A elevada al logaritmo en base A de una cantidad P, esto será igual a P. Vamos a demostrar rápidamente esa propiedad. Si tenemos A al logaritmo en base A de P y decimos que esto es igual a cuadrito, inicialmente no sabemos a qué es igual, entonces utilizamos la definición del logaritmo. Decimos logaritmo en la base A de esta expresión, es decir, del resultado de la potencia, que acá se convierte en el argumento del logaritmo. Y eso será igual al exponente que tenemos acá en la forma exponencial, es decir, al logaritmo en base A de P. Entonces repetimos, esta es la escritura en forma de logaritmo de una potencia. Esta es la base, esto es el resultado de la potencia, y acá tenemos lo que aquí ocupa el lugar del exponente. Esta es la forma logarítmica y acá tenemos la forma exponencial. Como se observa, aquí tenemos una igualdad de logaritmos de la misma base, entonces podemos cancelar o suprimir esos logaritmos, y nos queda que el cuadrito es igual a P. Entonces aquí ya podemos escribir el resultado y de esa manera demostramos esa propiedad. Ahora, en esta expresión podemos cambiar a por E, es decir, por el número de Euler, nos queda E elevado al logaritmo en base E de P, todo esto igual a P. Pero recordemos que el logaritmo en base E de una cantidad es el mismo logaritmo natural o logaritmo neperiano. Entonces nos queda E elevado al logaritmo natural Ln de P, esto igual a P. Y allí podemos cambiar P por X, nos quedaría entonces E elevado al logaritmo natural de X igual a X. Y es lo que tenemos aquí, entonces E elevado al logaritmo natural de X es igual a X. Ahora vamos con este componente, aquí se aplica una propiedad de los logaritmos que dice lo siguiente, si tenemos logaritmo en base A de A, esto es igual a 1. Y se demuestra llevando esto a la forma exponencial, A elevada al exponente 1 es igual a propiedad de la potenciación. Entonces forma logarítmica, forma exponencial. Pues bien, si cambiamos a por el número 10 nos queda así, logaritmo en base 10 de 10 será igual a 1. Pero recordemos que el logaritmo en base 10 es el logaritmo vulgar o logaritmo de Briggs y simplemente nos permite omitir ese 10, nos queda así, logaritmo de 10 es igual a 1, el 10 se hace invisible. Por lo tanto ya conocemos el valor de ese componente, nos queda entonces 1 y todo esto se encuentra elevado al exponente menos 1. Ahora aquí vamos a aplicar otra propiedad de la potenciación, recordemos que si se tiene una potencia con exponente negativo, por ejemplo k a la menos n, eso será igual a 1 sobre k a la n. Ahora si cambiamos n por 1 nos queda así, k a la menos 1 es igual a 1 sobre k a la 1. Pero también en la potenciación hay una propiedad que nos dice que toda cantidad elevada al exponente 1 es ella misma, por lo tanto k a la menos 1 es lo mismo que tener 1 sobre k. Pues bien, x más 1 a la menos 1 nos va a quedar como 1 sobre x más 1. Después de haber encontrado las expresiones simplificadas para a y b, ya podemos resolver la operación que nos piden. Entonces a menos b será igual a lo siguiente, el valor de a nos dio x al cuadrado sobre x más 1 y esto menos el valor de b que es 1 sobre x más 1. Se observa allí una resta de fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador, entonces conservamos ese denominador y acá en el numerador escribimos la operación de los numeradores, es decir x al cuadrado menos 1. En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos, entonces podemos factorizar esa expresión, recordemos que se extrae la raíz cuadrada de cada uno de estos términos, para el caso de x al cuadrado su raíz cuadrada es x y para el caso de 1 su raíz cuadrada nos da 1. Esas dos raíces cuadradas que se obtienen entonces las anotamos en una suma y en una resta. Esta será entonces la factorización de esta diferencia de cuadrados perfectos. Ahora en el denominador conservamos la misma expresión x más 1. Como se observa tanto en el numerador como en el denominador tenemos presente el factor x más 1, entonces podemos cancelarlo o eliminarlo, acá en el denominador nos quedaría 1, entonces el resultado final de esa simplificación será x menos 1, allí no podemos hacer más, esa será entonces la respuesta para a menos b. Seleccionamos entonces la opción E.
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base A de esta expresi\u00f3n, es decir, del resultado de la potencia, que"}, {"start": 214.68, "end": 217.76, "text": " ac\u00e1 se convierte en el argumento del logaritmo."}, {"start": 217.76, "end": 224.24, "text": " Y eso ser\u00e1 igual al exponente que tenemos ac\u00e1 en la forma exponencial, es decir, al"}, {"start": 224.24, "end": 226.92000000000002, "text": " logaritmo en base A de P."}, {"start": 226.92000000000002, "end": 234.12, "text": " Entonces repetimos, esta es la escritura en forma de logaritmo de una potencia."}, {"start": 234.12, "end": 240.36, "text": " Esta es la base, esto es el resultado de la potencia, y ac\u00e1 tenemos lo que aqu\u00ed ocupa"}, {"start": 240.36, "end": 243.04, "text": " el lugar del exponente."}, {"start": 243.04, "end": 248.08, "text": " Esta es la forma logar\u00edtmica y ac\u00e1 tenemos la forma exponencial."}, {"start": 248.08, "end": 253.8, "text": " Como se observa, aqu\u00ed tenemos una igualdad de logaritmos de la misma base, entonces podemos"}, {"start": 253.8, "end": 261.4, "text": " cancelar o suprimir esos logaritmos, y nos queda que el cuadrito es igual a P."}, {"start": 261.4, "end": 267.56, "text": " Entonces aqu\u00ed ya podemos escribir el resultado y de esa manera demostramos esa propiedad."}, {"start": 267.56, "end": 274.88, "text": " Ahora, en esta expresi\u00f3n podemos cambiar a por E, es decir, por el n\u00famero de Euler,"}, {"start": 274.88, "end": 281.91999999999996, "text": " nos queda E elevado al logaritmo en base E de P, todo esto igual a P."}, {"start": 281.91999999999996, "end": 288.08, "text": " Pero recordemos que el logaritmo en base E de una cantidad es el mismo logaritmo natural"}, {"start": 288.08, "end": 290.32, "text": " o logaritmo neperiano."}, {"start": 290.32, "end": 296.96, "text": " Entonces nos queda E elevado al logaritmo natural Ln de P, esto igual a P."}, {"start": 296.96, "end": 303.15999999999997, "text": " Y all\u00ed podemos cambiar P por X, nos quedar\u00eda entonces E elevado al logaritmo natural de"}, {"start": 303.15999999999997, "end": 305.8, "text": " X igual a X."}, {"start": 305.8, "end": 313.8, "text": " Y es lo que tenemos aqu\u00ed, entonces E elevado al logaritmo natural de X es igual a X."}, {"start": 313.8, "end": 318.92, "text": " Ahora vamos con este componente, aqu\u00ed se aplica una propiedad de los logaritmos que"}, {"start": 318.92, "end": 324.96000000000004, "text": " dice lo siguiente, si tenemos logaritmo en base A de A, esto es igual a 1."}, {"start": 324.96000000000004, "end": 334.24, "text": " Y se demuestra llevando esto a la forma exponencial, A elevada al exponente 1 es igual a propiedad"}, {"start": 334.24, "end": 335.72, "text": " de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 335.72, "end": 339.76, "text": " Entonces forma logar\u00edtmica, forma exponencial."}, {"start": 339.76, "end": 346.36, "text": " Pues bien, si cambiamos a por el n\u00famero 10 nos queda as\u00ed, logaritmo en base 10 de 10"}, {"start": 346.36, "end": 348.40000000000003, "text": " ser\u00e1 igual a 1."}, {"start": 348.4, "end": 354.91999999999996, "text": " Pero recordemos que el logaritmo en base 10 es el logaritmo vulgar o logaritmo de Briggs"}, {"start": 354.91999999999996, "end": 362.4, "text": " y simplemente nos permite omitir ese 10, nos queda as\u00ed, logaritmo de 10 es igual a 1,"}, {"start": 362.4, "end": 364.67999999999995, "text": " el 10 se hace invisible."}, {"start": 364.67999999999995, "end": 370.56, "text": " Por lo tanto ya conocemos el valor de ese componente, nos queda entonces 1 y todo esto"}, {"start": 370.56, "end": 374.88, "text": " se encuentra elevado al exponente menos 1."}, {"start": 374.88, "end": 380.12, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a aplicar otra propiedad de la potenciaci\u00f3n, recordemos que si se"}, {"start": 380.12, "end": 386.44, "text": " tiene una potencia con exponente negativo, por ejemplo k a la menos n, eso ser\u00e1 igual"}, {"start": 386.44, "end": 389.56, "text": " a 1 sobre k a la n."}, {"start": 389.56, "end": 398.12, "text": " Ahora si cambiamos n por 1 nos queda as\u00ed, k a la menos 1 es igual a 1 sobre k a la 1."}, {"start": 398.12, "end": 403.38, "text": " Pero tambi\u00e9n en la potenciaci\u00f3n hay una propiedad que nos dice que toda cantidad elevada"}, {"start": 403.38, "end": 411.48, "text": " al exponente 1 es ella misma, por lo tanto k a la menos 1 es lo mismo que tener 1 sobre"}, {"start": 411.48, "end": 412.48, "text": " k."}, {"start": 412.48, "end": 421.08, "text": " Pues bien, x m\u00e1s 1 a la menos 1 nos va a quedar como 1 sobre x m\u00e1s 1."}, {"start": 421.08, "end": 427.04, "text": " Despu\u00e9s de haber encontrado las expresiones simplificadas para a y b, ya podemos resolver"}, {"start": 427.04, "end": 429.4, "text": " la operaci\u00f3n que nos piden."}, {"start": 429.4, "end": 437.4, "text": " Entonces a menos b ser\u00e1 igual a lo siguiente, el valor de a nos dio x al cuadrado sobre"}, {"start": 437.4, "end": 446.52, "text": " x m\u00e1s 1 y esto menos el valor de b que es 1 sobre x m\u00e1s 1."}, {"start": 446.52, "end": 453.88, "text": " Se observa all\u00ed una resta de fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el mismo denominador, entonces"}, {"start": 453.88, "end": 461.6, "text": " conservamos ese denominador y ac\u00e1 en el numerador escribimos la operaci\u00f3n de los numeradores,"}, {"start": 461.6, "end": 466.04, "text": " es decir x al cuadrado menos 1."}, {"start": 466.04, "end": 472.6, "text": " En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos, entonces podemos factorizar esa"}, {"start": 472.6, "end": 478.44, "text": " expresi\u00f3n, recordemos que se extrae la ra\u00edz cuadrada de cada uno de estos t\u00e9rminos, para"}, {"start": 478.44, "end": 484.44, "text": " el caso de x al cuadrado su ra\u00edz cuadrada es x y para el caso de 1 su ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 484.44, "end": 485.96, "text": " nos da 1."}, {"start": 485.96, "end": 492.08, "text": " Esas dos ra\u00edces cuadradas que se obtienen entonces las anotamos en una suma y en una"}, {"start": 492.08, "end": 493.48, "text": " resta."}, {"start": 493.48, "end": 499.12, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la factorizaci\u00f3n de esta diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 499.12, "end": 505.4, "text": " Ahora en el denominador conservamos la misma expresi\u00f3n x m\u00e1s 1."}, {"start": 505.4, "end": 510.59999999999997, "text": " Como se observa tanto en el numerador como en el denominador tenemos presente el factor"}, {"start": 510.59999999999997, "end": 518.56, "text": " x m\u00e1s 1, entonces podemos cancelarlo o eliminarlo, ac\u00e1 en el denominador nos quedar\u00eda 1, entonces"}, {"start": 518.56, "end": 526.6, "text": " el resultado final de esa simplificaci\u00f3n ser\u00e1 x menos 1, all\u00ed no podemos hacer m\u00e1s,"}, {"start": 526.6, "end": 530.1999999999999, "text": " esa ser\u00e1 entonces la respuesta para a menos b."}, {"start": 530.2, "end": 558.0, "text": " Seleccionamos entonces la opci\u00f3n E."}]