ECUACIONES CON RADICALES - Ejercicio 5
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 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación que contiene una raíz cuadrada. Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad. Para comenzar debemos aislar completamente este radical. Entonces empezamos por pasar este término para el otro lado. Nos queda en el lado izquierdo 2 raíz cuadrada de 3x más 1 y todo esto igual a 7 menos 3x. Ese término que está positivo llega al lado derecho con signo negativo. A continuación pasamos este número 2 que está multiplicando con la raíz al otro lado a dividir. Entonces en el lado izquierdo ya nos queda la raíz completamente sola y en el lado derecho tendremos 7 menos 3x y todo esto dividido entre 2. Ahora con el propósito de eliminar o destruir esa raíz cuadrada vamos a elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado. Aquí tenemos el lado izquierdo elevado al exponente 2 y escribimos el lado derecho que también se va a elevar al cuadrado. En el lado izquierdo nos queda 3x más 1 porque el exponente 2 destruye o elimina la raíz cuadrada y en el lado derecho como tenemos una fracción elevada al cuadrado entonces este exponente afecta al numerador nos queda 7 menos 3x al cuadrado y también afecta al denominador nos queda como 2 al cuadrado. Lo que tenemos en el lado izquierdo 3x más 1 permanece igual y ahora en el lado derecho vamos a desarrollar esas potencias. En el numerador tenemos un binomio elevado al cuadrado que vamos a desarrollar de acuerdo con este modelo, el producto notable que corresponde a un binomio elevado al cuadrado es el primer término al cuadrado menos dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces tenemos el primer término que es 7 elevado al cuadrado menos dos veces el primer término que es 7 por el segundo que es 3x más el segundo término que es 3x elevado al cuadrado y en el denominador tenemos 2 al cuadrado que es 4. En la parte izquierda continúa 3x más 1 y ahora en el lado derecho vamos a desarrollar lo que tenemos en el numerador 7 al cuadrado es 49 menos 2 por 7 por 3x eso nos da 42x más 3x elevado al cuadrado nos da 9x al cuadrado. Recordemos que allí el exponente 2 afecta al 3 y afecta a la x porque se encuentran multiplicando y todo esto nos queda sobre 4. Como podemos observar ya la ecuación empieza a tomar forma de ecuación cuadrática o de segundo grado aquí observamos la incógnita x elevada al cuadrado entonces vamos a organizarla pasamos entonces 4 que está dividiendo en el lado derecho a multiplicar al lado izquierdo nos queda 4 por 3x más 1 y esto igual a la expresión que teníamos en el numerador 49 menos 42x más 9x al cuadrado. De seguida en el lado izquierdo aplicamos la propiedad distributiva vamos a romper ese paréntesis 4 por 3x nos da 12x más 4 por 1 que es 4 y esto nos queda igual a 49 menos 42x más 9x al cuadrado. Pasamos organizando la ecuación cuadrática dejando 0 en el lado izquierdo entonces nos queda 0 igual a estos términos 49 menos 42x más 9x al cuadrado y pasamos estos términos al lado derecho ellos llegan con signo contrario 12x llega con signo negativo y 4 también llega con signo negativo seguimos organizando la ecuación nos queda 0 igual a 9x al cuadrado comenzamos con el término que tiene x cuadrado ahora vamos con los términos que contienen x esos dos términos que son semejantes y que se pueden operar entre sí en los 42x menos 12x nos da menos 54x y también tenemos dos términos independientes que podemos operar entre sí 49 menos 4 nos da más 45. Allí podemos decir que ya se tiene la ecuación cuadrática o de segundo grado sin embargo podemos expresarla de una manera más sencilla porque en estos tres términos es posible extraer como factor común el número 9 entonces tendremos 0 igual a 9 factor de x al cuadrado menos 6x más 5 y ahora 9 que está multiplicando lo podemos pasar al otro lado a dividir nos queda 0 sobre 9 igual a x cuadrado menos 6x más 5 pero 0 sobre 9 nos da como resultado 0 entonces allí ya tenemos la ecuación cuadrática o de segundo grado recordemos que su modelo es 0 igual a x al cuadrado más bx más c entramos a resolver esa ecuación recordemos que los dos caminos principales son la factorización o la fórmula cuadrática o fórmula general en este caso tenemos aquí un trinomio de la forma x cuadrado más bx más c que podemos factorizar entonces vamos a tomar ese camino que es mucho más rápido que hacerlo por fórmula cuadrática factorizamos entonces ese trinomio abriendo dos paréntesis sacamos la raíz cuadrada del primer término que sería x x va al comienzo de cada paréntesis ahora definimos los signos el signo del primer paréntesis se obtiene multiplicando estos dos signos más por menos nos da menos y el signo del segundo paréntesis se obtiene multiplicando estos dos signos menos por más nos da menos ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos de más 5 y que al sumarlos nos de como resultado menos 6 esos números son menos 5 y menos 1 entonces así hemos factorizado esa expresión a continuación aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo que dice lo siguiente si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero y es la situación que tenemos acá dos expresiones que están multiplicando y eso está igualado a cero entonces decimos x menos 5 es igual a cero o x menos 1 también es igual a cero en cada caso vamos a despejar por aquí tenemos x igual a 5 5 está restando pasa a sumar con cero al otro lado y por acá despejamos x que nos da 1 la misma situación uno está restando pasa al otro lado a sumar con cero entonces allí tenemos las dos soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado x igual a 5 o x igual a 1 entonces vamos a comprobar enseguida si estos valores cumplen o satisfacen la ecuación original que es la que contiene la raíz cuadrada comenzamos probando el primer valor que es x igual a 5 vamos a reemplazarlo entonces en la expresión original nos queda 3 por 5 más 2 raíz cuadrada de 3 por 5 más 1 y todo esto supuestamente igual a 7 por acá tenemos 3 por 5 que es 15 más veamos cuánto nos da todo este término 3 por 5 15 15 más 1 16 raíz cuadrada de 16 es 4 y 4 por 2 nos da 8 y todo esto supuestamente igual a 7 15 más 8 nos da 23 que es diferente de 7 por lo tanto decimos que x igual a 5 no satisface la ecuación original y por esa razón lo descartamos ahora hacemos la prueba con el otro valor con x igual a 1 vamos entonces a reemplazarlo en la ecuación original tenemos 3 por 1 más 2 por la raíz cuadrada de 3 por 1 más 1 y todo esto supuestamente igual a 7 acá 3 por 1 nos da 3 más 3 por 1 3 más 1 4 la raíz cuadrada de 4 es 2 y 2 por 2 nos da 4 y esto supuestamente igual a 7 3 más 4 nos da 7 que efectivamente es igual a 7 y eso nos confirma que x igual a 1 si cumple en la ecuación original para terminar escribimos la respuesta de este ejercicio x igual a 1 es la única solución para esa ecuación que contiene una raíz cuadrada.
[{"start": 0.0, "end": 9.92, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n que contiene una ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 9.92, "end": 16.080000000000002, "text": " Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad."}, {"start": 16.080000000000002, "end": 20.96, "text": " Para comenzar debemos aislar completamente este radical."}, {"start": 20.96, "end": 24.84, "text": " Entonces empezamos por pasar este t\u00e9rmino para el otro lado."}, {"start": 24.84, "end": 38.96, "text": " Nos queda en el lado izquierdo 2 ra\u00edz cuadrada de 3x m\u00e1s 1 y todo esto igual a 7 menos 3x."}, {"start": 38.96, "end": 44.64, "text": " Ese t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo llega al lado derecho con signo negativo."}, {"start": 44.64, "end": 50.08, "text": " A continuaci\u00f3n pasamos este n\u00famero 2 que est\u00e1 multiplicando con la ra\u00edz al otro lado"}, {"start": 50.08, "end": 51.400000000000006, "text": " a dividir."}, {"start": 51.4, "end": 59.36, "text": " Entonces en el lado izquierdo ya nos queda la ra\u00edz completamente sola y en el lado derecho"}, {"start": 59.36, "end": 66.6, "text": " tendremos 7 menos 3x y todo esto dividido entre 2."}, {"start": 66.6, "end": 75.4, "text": " Ahora con el prop\u00f3sito de eliminar o destruir esa ra\u00edz cuadrada vamos a elevar ambos miembros"}, {"start": 75.4, "end": 80.36, "text": " de la igualdad al cuadrado."}, {"start": 80.36, "end": 87.8, "text": " Aqu\u00ed tenemos el lado izquierdo elevado al exponente 2 y escribimos el lado derecho"}, {"start": 87.8, "end": 92.72, "text": " que tambi\u00e9n se va a elevar al cuadrado."}, {"start": 92.72, "end": 102.52, "text": " En el lado izquierdo nos queda 3x m\u00e1s 1 porque el exponente 2 destruye o elimina la ra\u00edz"}, {"start": 102.52, "end": 109.68, "text": " cuadrada y en el lado derecho como tenemos una fracci\u00f3n elevada al cuadrado entonces"}, {"start": 109.68, "end": 118.52000000000001, "text": " este exponente afecta al numerador nos queda 7 menos 3x al cuadrado y tambi\u00e9n afecta al"}, {"start": 118.52000000000001, "end": 122.96000000000001, "text": " denominador nos queda como 2 al cuadrado."}, {"start": 122.96000000000001, "end": 130.56, "text": " Lo que tenemos en el lado izquierdo 3x m\u00e1s 1 permanece igual y ahora en el lado derecho"}, {"start": 130.56, "end": 134.16, "text": " vamos a desarrollar esas potencias."}, {"start": 134.16, "end": 140.88, "text": " En el numerador tenemos un binomio elevado al cuadrado que vamos a desarrollar de acuerdo"}, {"start": 140.88, "end": 148.51999999999998, "text": " con este modelo, el producto notable que corresponde a un binomio elevado al cuadrado es el primer"}, {"start": 148.51999999999998, "end": 155.18, "text": " t\u00e9rmino al cuadrado menos dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 155.18, "end": 156.84, "text": " al cuadrado."}, {"start": 156.84, "end": 164.72, "text": " Entonces tenemos el primer t\u00e9rmino que es 7 elevado al cuadrado menos dos veces el primer"}, {"start": 164.72, "end": 175.24, "text": " t\u00e9rmino que es 7 por el segundo que es 3x m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino que es 3x elevado"}, {"start": 175.24, "end": 183.36, "text": " al cuadrado y en el denominador tenemos 2 al cuadrado que es 4."}, {"start": 183.36, "end": 193.12, "text": " En la parte izquierda contin\u00faa 3x m\u00e1s 1 y ahora en el lado derecho vamos a desarrollar"}, {"start": 193.12, "end": 204.96, "text": " lo que tenemos en el numerador 7 al cuadrado es 49 menos 2 por 7 por 3x eso nos da 42x"}, {"start": 204.96, "end": 211.4, "text": " m\u00e1s 3x elevado al cuadrado nos da 9x al cuadrado."}, {"start": 211.4, "end": 217.84, "text": " Recordemos que all\u00ed el exponente 2 afecta al 3 y afecta a la x porque se encuentran"}, {"start": 217.84, "end": 222.52, "text": " multiplicando y todo esto nos queda sobre 4."}, {"start": 222.52, "end": 229.16, "text": " Como podemos observar ya la ecuaci\u00f3n empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de"}, {"start": 229.16, "end": 236.76, "text": " segundo grado aqu\u00ed observamos la inc\u00f3gnita x elevada al cuadrado entonces vamos a organizarla"}, {"start": 236.76, "end": 243.39999999999998, "text": " pasamos entonces 4 que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho a multiplicar al lado izquierdo"}, {"start": 243.39999999999998, "end": 254.35999999999999, "text": " nos queda 4 por 3x m\u00e1s 1 y esto igual a la expresi\u00f3n que ten\u00edamos en el numerador 49"}, {"start": 254.35999999999999, "end": 261.92, "text": " menos 42x m\u00e1s 9x al cuadrado."}, {"start": 261.92, "end": 267.56, "text": " De seguida en el lado izquierdo aplicamos la propiedad distributiva vamos a romper"}, {"start": 267.56, "end": 279.70000000000005, "text": " ese par\u00e9ntesis 4 por 3x nos da 12x m\u00e1s 4 por 1 que es 4 y esto nos queda igual a 49"}, {"start": 279.70000000000005, "end": 287.20000000000005, "text": " menos 42x m\u00e1s 9x al cuadrado."}, {"start": 287.2, "end": 293.0, "text": " Pasamos organizando la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica dejando 0 en el lado izquierdo entonces nos"}, {"start": 293.0, "end": 307.03999999999996, "text": " queda 0 igual a estos t\u00e9rminos 49 menos 42x m\u00e1s 9x al cuadrado y pasamos estos t\u00e9rminos"}, {"start": 307.03999999999996, "end": 315.28, "text": " al lado derecho ellos llegan con signo contrario 12x llega con signo negativo y 4 tambi\u00e9n"}, {"start": 315.28, "end": 324.08, "text": " llega con signo negativo seguimos organizando la ecuaci\u00f3n nos queda 0 igual a 9x al cuadrado"}, {"start": 324.08, "end": 329.32, "text": " comenzamos con el t\u00e9rmino que tiene x cuadrado ahora vamos con los t\u00e9rminos que contienen"}, {"start": 329.32, "end": 336.17999999999995, "text": " x esos dos t\u00e9rminos que son semejantes y que se pueden operar entre s\u00ed en los 42x"}, {"start": 336.18, "end": 345.96, "text": " menos 12x nos da menos 54x y tambi\u00e9n tenemos dos t\u00e9rminos independientes que podemos operar"}, {"start": 345.96, "end": 352.52, "text": " entre s\u00ed 49 menos 4 nos da m\u00e1s 45."}, {"start": 352.52, "end": 358.38, "text": " All\u00ed podemos decir que ya se tiene la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado sin embargo"}, {"start": 358.38, "end": 365.72, "text": " podemos expresarla de una manera m\u00e1s sencilla porque en estos tres t\u00e9rminos es posible extraer"}, {"start": 365.72, "end": 375.08000000000004, "text": " como factor com\u00fan el n\u00famero 9 entonces tendremos 0 igual a 9 factor de x al cuadrado menos"}, {"start": 375.08000000000004, "end": 384.6, "text": " 6x m\u00e1s 5 y ahora 9 que est\u00e1 multiplicando lo podemos pasar al otro lado a dividir nos"}, {"start": 384.6, "end": 395.96000000000004, "text": " queda 0 sobre 9 igual a x cuadrado menos 6x m\u00e1s 5 pero 0 sobre 9 nos da como resultado"}, {"start": 395.96000000000004, "end": 404.04, "text": " 0 entonces all\u00ed ya tenemos la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado recordemos que su modelo"}, {"start": 404.04, "end": 413.8, "text": " es 0 igual a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c entramos a resolver esa ecuaci\u00f3n recordemos"}, {"start": 413.8, "end": 421.6, "text": " que los dos caminos principales son la factorizaci\u00f3n o la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general"}, {"start": 421.6, "end": 428.56, "text": " en este caso tenemos aqu\u00ed un trinomio de la forma x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c que podemos"}, {"start": 428.56, "end": 435.92, "text": " factorizar entonces vamos a tomar ese camino que es mucho m\u00e1s r\u00e1pido que hacerlo por"}, {"start": 435.92, "end": 442.8, "text": " f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica factorizamos entonces ese trinomio abriendo dos par\u00e9ntesis sacamos"}, {"start": 442.8, "end": 449.92, "text": " la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda x x va al comienzo de cada par\u00e9ntesis ahora"}, {"start": 449.92, "end": 456.64, "text": " definimos los signos el signo del primer par\u00e9ntesis se obtiene multiplicando estos dos signos"}, {"start": 456.64, "end": 462.52, "text": " m\u00e1s por menos nos da menos y el signo del segundo par\u00e9ntesis se obtiene multiplicando"}, {"start": 462.52, "end": 469.72, "text": " estos dos signos menos por m\u00e1s nos da menos ahora buscamos dos n\u00fameros negativos que"}, {"start": 469.72, "end": 476.8, "text": " multiplicados entre s\u00ed nos de m\u00e1s 5 y que al sumarlos nos de como resultado menos 6"}, {"start": 476.8, "end": 485.96000000000004, "text": " esos n\u00fameros son menos 5 y menos 1 entonces as\u00ed hemos factorizado esa expresi\u00f3n a continuaci\u00f3n"}, {"start": 485.96000000000004, "end": 494.88000000000005, "text": " aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo que dice lo siguiente si a por b es igual"}, {"start": 494.88, "end": 506.8, "text": " a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero y es la situaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1"}, {"start": 506.8, "end": 513.32, "text": " dos expresiones que est\u00e1n multiplicando y eso est\u00e1 igualado a cero entonces decimos"}, {"start": 513.32, "end": 525.12, "text": " x menos 5 es igual a cero o x menos 1 tambi\u00e9n es igual a cero en cada caso vamos a despejar"}, {"start": 525.12, "end": 531.6800000000001, "text": " por aqu\u00ed tenemos x igual a 5 5 est\u00e1 restando pasa a sumar con cero al otro lado y por"}, {"start": 531.6800000000001, "end": 539.0600000000001, "text": " ac\u00e1 despejamos x que nos da 1 la misma situaci\u00f3n uno est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar"}, {"start": 539.06, "end": 547.0, "text": " con cero entonces all\u00ed tenemos las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado"}, {"start": 547.0, "end": 556.1999999999999, "text": " x igual a 5 o x igual a 1 entonces vamos a comprobar enseguida si estos valores cumplen"}, {"start": 556.1999999999999, "end": 563.14, "text": " o satisfacen la ecuaci\u00f3n original que es la que contiene la ra\u00edz cuadrada comenzamos"}, {"start": 563.14, "end": 569.74, "text": " probando el primer valor que es x igual a 5 vamos a reemplazarlo entonces en la expresi\u00f3n"}, {"start": 569.74, "end": 584.76, "text": " original nos queda 3 por 5 m\u00e1s 2 ra\u00edz cuadrada de 3 por 5 m\u00e1s 1 y todo esto supuestamente"}, {"start": 584.76, "end": 591.8199999999999, "text": " igual a 7 por ac\u00e1 tenemos 3 por 5 que es 15 m\u00e1s veamos cu\u00e1nto nos da todo este t\u00e9rmino"}, {"start": 591.82, "end": 602.6, "text": " 3 por 5 15 15 m\u00e1s 1 16 ra\u00edz cuadrada de 16 es 4 y 4 por 2 nos da 8 y todo esto supuestamente"}, {"start": 602.6, "end": 612.2, "text": " igual a 7 15 m\u00e1s 8 nos da 23 que es diferente de 7 por lo tanto decimos que x igual a 5"}, {"start": 612.2, "end": 619.8800000000001, "text": " no satisface la ecuaci\u00f3n original y por esa raz\u00f3n lo descartamos ahora hacemos la prueba"}, {"start": 619.88, "end": 627.96, "text": " con el otro valor con x igual a 1 vamos entonces a reemplazarlo en la ecuaci\u00f3n original tenemos"}, {"start": 627.96, "end": 641.86, "text": " 3 por 1 m\u00e1s 2 por la ra\u00edz cuadrada de 3 por 1 m\u00e1s 1 y todo esto supuestamente igual"}, {"start": 641.86, "end": 652.12, "text": " a 7 ac\u00e1 3 por 1 nos da 3 m\u00e1s 3 por 1 3 m\u00e1s 1 4 la ra\u00edz cuadrada de 4 es 2 y 2 por 2"}, {"start": 652.12, "end": 660.2, "text": " nos da 4 y esto supuestamente igual a 7 3 m\u00e1s 4 nos da 7 que efectivamente es igual"}, {"start": 660.2, "end": 668.86, "text": " a 7 y eso nos confirma que x igual a 1 si cumple en la ecuaci\u00f3n original para terminar"}, {"start": 668.86, "end": 678.92, "text": " escribimos la respuesta de este ejercicio x igual a 1 es la \u00fanica soluci\u00f3n para esa"}, {"start": 678.92, "end": 703.0799999999999, "text": " ecuaci\u00f3n que contiene una ra\u00edz cuadrada."}]