LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 18
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico.

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 Vamos a resolver este límite algebraico y comenzamos por evaluar esta expresión cuando x toma el valor 1. Tenemos en el numerador la raíz cuadrada de 1 menos 1 y en el denominador la raíz cúbica de 1 también menos 1. Continuamos resolviendo. La raíz cuadrada de 1 nos da 1, esto menos 1 y en el denominador la raíz cúbica de 1 es 1 y también esto queda menos 1. Tenemos 1 menos 1, 0 en el numerador y 1 menos 1, 0 en el denominador. Y hemos llegado a lo que se llama una indeterminación. 0 sobre 0 no es una respuesta válida para este ejercicio. Entonces vamos a mirar cómo superamos este problema. Vamos a proteger tanto el numerador como el denominador con paréntesis. Y para el caso del numerador vamos a multiplicar por la expresión conjugada que sería la raíz cuadrada de x más 1. Y esta misma expresión vamos a escribirla acá abajo. Si multiplicamos arriba por raíz cuadrada de x más 1, también tenemos que hacerlo abajo para conservar la expresión. Ahora en este componente vamos a cambiar este 1 por la raíz cúbica de 1. Es lo mismo. Raíz cúbica de 1 equivale a 1. Y esto con el objetivo de que nos aparezca aquí una diferencia de raíces cúbicas. Recordemos cómo se factoriza una diferencia de cubos perfectos. Esto es a menos b, el binomio que se construye con las raíces cúbicas de estos términos y esto multiplicado por a al cuadrado más a por b más b al cuadrado. Y allí vamos a realizar los siguientes cambios. Deseamos a decir que a es igual a la raíz cúbica de p y que b es igual a la raíz cúbica de q. Sustituyendo estos componentes acá tendremos lo siguiente. Aquí la raíz cúbica de p que reemplaza la a, todo esto al cubo, menos la raíz cúbica de q que reemplaza a la b, todo esto al cubo, es igual a a menos b, o sea la raíz cúbica de p, menos la raíz cúbica de q y todo esto por a al cuadrado, o sea la raíz cúbica de p, esto elevado al cuadrado, más a por b, o sea la raíz cúbica de p por la raíz cúbica de q y esto más b al cuadrado, que sería la raíz cúbica de q elevada al cuadrado y cerramos el paráímpesis. Ahora en este término el exponente 3 elimina la raíz cúbica y nos queda p. Lo mismo ocurre en el siguiente término y nos queda q. Esta expresión permanece igual y en esta hacemos lo siguiente, para este primer término lo escribimos como la raíz cúbica de p al cuadrado, luego tenemos este producto de raíces del mismo índice que nos queda la raíz cúbica de p por q y luego tenemos este término que podemos escribir como la raíz cúbica de q al cuadrado y cerramos el paráímpesis. Allí podemos observar que esta expresión concuerda con esta, p representa a x y q representa a 1, entonces hace falta multiplicar por esta expresión para obtener p menos q. Entonces extendemos la línea y aquí vamos a construir esta expresión siendo px y q1, entonces aquí tendremos la raíz cúbica de x al cuadrado más la raíz cúbica de p por q, o sea x por 1, más la raíz cúbica de q al cuadrado, o sea 1 al cuadrado y ahora esta expresión debemos escribirla también arriba. Entonces el límite nos queda así, límite cuando x tiende a 1 de lo siguiente, el producto de estas dos expresiones corresponde a un producto notable llamado suma por diferencia, si tenemos a más b por a menos b esto es igual a a al cuadrado menos b al cuadrado, se genera una diferencia de cuadrados perfectos y ese es justamente el propósito de la conjugación, el conjugado de a más b es a menos b y viceversa, al multiplicar esas dos expresiones se obtiene esa diferencia de cuadrados. Entonces vamos a aplicar eso aquí, a representa a raíz cuadrada de x y b representa a 1, raíz al cuadrado sería esta raíz cuadrada de x elevada al cuadrado que nos da x y esto menos b al cuadrado, o sea 1 al cuadrado que es 1, protegemos esto con paréntesis y ahora vamos con esta expresión que nos queda así, la raíz cúbica de x al cuadrado más la raíz cúbica de x por 1 que es x más veamos acá 1 al cuadrado es 1 y la raíz cúbica de 1 nos da 1 y cerramos el paréntesis. Ahora en el denominador el producto de esta expresión por esta corresponde al desarrollo que hicimos hace un momento que nos daba t menos q, en este caso nos va a dar x menos 1 y no podemos olvidar esta expresión, la raíz cuadrada de x más 1. Como se observa allí tenemos esta expresión multiplicando arriba y abajo, entonces podemos cancelarla o eliminarla lésitamente, este es el factor problema, el causante de la indeterminación 0 sobre 0 que nos daba al principio porque como x tiende a 1, 1 menos 1 tiende a 0 y lo mismo sucede acá. Entonces el límite nos queda así, límite cuando x tiende a 1 de la raíz cúbica de x al cuadrado más la raíz cúbica de x más 1 en el numerador y la raíz cuadrada de x más 1 en el denominador. Lo que hacemos para terminar es volver a evaluar esta expresión cuando x toma el valor 1, entonces en el numerador tendremos la raíz cúbica de 1 al cuadrado más la raíz cúbica de 1 más 1 y en el denominador tendremos la raíz cuadrada de 1 más 1. Resolviendo todo eso nos queda lo siguiente, en el numerador esto equivale a 1, eso también nos da 1, 1 más 1 más 1 es 3 y en el denominador esto nos da 1 más 1 es 2. Entonces tres medios es la respuesta para este ejercicio, significa que en esta función cuando x se aproxima a 1 por izquierda y por derecha los valores de la variable dependiente, o sea la variable y que finalmente son los valores de la función se aproximan o tienden a tres medios.
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404.04, "end": 411.36, "text": " 0 sobre 0 que nos daba al principio porque como x tiende a 1, 1 menos 1 tiende a 0 y"}, {"start": 411.36, "end": 414.08000000000004, "text": " lo mismo sucede ac\u00e1."}, {"start": 414.08000000000004, "end": 421.64000000000004, "text": " Entonces el l\u00edmite nos queda as\u00ed, l\u00edmite cuando x tiende a 1 de la ra\u00edz c\u00fabica de"}, {"start": 421.64, "end": 435.76, "text": " x al cuadrado m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de x m\u00e1s 1 en el numerador y la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 1 en el denominador."}, {"start": 435.76, "end": 442.91999999999996, "text": " Lo que hacemos para terminar es volver a evaluar esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor 1, entonces"}, {"start": 442.92, "end": 452.36, "text": " en el numerador tendremos la ra\u00edz c\u00fabica de 1 al cuadrado m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de 1"}, {"start": 452.36, "end": 460.12, "text": " m\u00e1s 1 y en el denominador tendremos la ra\u00edz cuadrada de 1 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