LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando la factorización.

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 Vamos a resolver detalladamente este límite algebraico. Veremos que le sucede a esta función, es decir, a que valor tiende cuando x se aproxima a menos 1. Comenzamos evaluando esta expresión justamente en este número, es decir, cuando x toma el valor menos 1. En el numerador tendremos 4 por menos 1 al cuadrado más 4 por menos 1. Y en el denominador tenemos menos 1 al cubo más menos 1 al cuadrado más x que toma el valor menos 1 y todo esto más 1. En seguida vamos a resolver todas esas operaciones. Arriba tenemos menos 1 al cuadrado es 1 positivo, por 4 nos da 4 y aquí más 4 por menos 1 es menos 4. En el denominador tenemos menos 1 al cubo que es menos 1, aquí menos 1 al cuadrado es 1 positivo, con este signo más sigue siendo más 1. Y más por menos nos da menos 1 y todo eso más 1. Resolvemos en la parte de arriba, 4 menos 4 nos da 0 y abajo menos 1 más 1 es 0, menos 1 más 1 también es 0, o sea que en el denominador también obtenemos 0. Y 0 sobre 0 es lo que se conoce como una indeterminación, es decir, algo que tenemos que se nos da que solucionar. Justamente se llama así porque no está determinado esto que nos dio. Entonces vamos a ver a continuación cuál será la estrategia apropiada para solucionar este problema. Como se observa tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios algebraicos, entonces vamos a intentar la estrategia de la factorización. Vamos entonces con el numerador, vamos a escribirlo por acá, 4x al cuadrado más 4x. Y recordemos que el primer caso de factorización que debemos revisar es el de factor común, aquí vemos dos términos en los cuales se repite la letra x y también está repetido el número 4. Entonces el factor común será el 4 y de las x extraemos la de menor exponente, o sea x a la 1 o simplemente x. 4x será factor de x más 1, que es lo que nos queda en cada uno de los términos después de que 4x sale de cada uno de ellos. Si revisamos esto que obtuvimos no es posible factorizar x más 1, entonces decimos que allí el numerador quedó factorizado completamente. Vamos ahora con el denominador, entonces lo escribimos, x al cubo más x al cuadrado más x más 1. Ahora intentamos el caso de factor común, revisamos los cuatro términos y vemos que por ejemplo la x no está presente en todos ellos, aquí no aparece, entonces descartaríamos el caso de factor común y vamos a intentar el caso llamado factor común por agrupación de términos. Como tenemos cuatro términos podemos intentar agrupando los dos primeros y los dos últimos. Eso nos queda así, abrimos paréntesis, x al cubo más x al cuadrado, cerramos, allí está la agrupación de los dos primeros términos más abrimos otro paréntesis y escribimos x más 1, allí está la agrupación de los dos últimos términos. Como aquí tenemos signo más, entonces dentro de este paréntesis no ocurre ningún cambio de signo. Enseguida extraemos factor común de cada uno de los grupos formados, en el primer caso vemos que se repite la letra x y por lo tanto se puede extraer la de menor exponente, o sea x al cuadrado, x al cuadrado será factor de x que es lo que queda en el primer término más 1, que es lo que nos queda en el segundo término después de que sale x al cuadrado. Aquí x más 1 en realidad no tiene factor común, entonces podemos acompañar esa expresión de un 1 que está multiplicando por ella, 1 por x más 1 da x más 1 por eso este 1 no tiene problema en aparecer allí. Tenemos ahora una expresión con dos términos separados por ese signo más y en ellos dos se repite la expresión x más 1, entonces ella será la que hace el papel del factor común. Extraemos x más 1 y eso queda multiplicando con x al cuadrado que es lo que nos queda en el primer término después de que sale x más 1 y esto más este 1 que es lo que nos queda en el segundo término después de que sale el factor común x más 1. Revisamos estos dos factores para ver si es posible factorizar más y vemos que no es posible, por lo tanto allí decimos que el denominador está factorizado completamente. Con esto que hemos hecho se puede reescribir el límite, tendremos límite cuando x tiende a menos 1, de lo siguiente trazamos la línea de la fracción en la parte de arriba, eso nos quedó como 4x por x más 1 y acá en el denominador ese polinomio factorizado nos dio x más 1 que multiplica con x al cuadrado más 1. Como podemos observar el factor x más 1 se repite tanto en el numerador como en el denominador y ese será el factor problema porque como x tiende a menos 1 aquí tenemos menos 1 más 1, 0 y lo mismo sucede aquí, por lo tanto ese factor x más 1 es el causante del 0 sobre 0 que nos había dado al principio, pero aquí ya podemos cancelar licitamente ese factor y el límite nos queda mucho más simple, vamos a escribirlo por acá, límite cuando x tiende a menos 1 de lo que nos quedó en la expresión, arriba 4x y abajo nos quedó x al cuadrado más 1. Lo que hacemos ahora es volver a evaluar esta expresión cuando x toma el valor menos 1, entonces arriba tendremos 4 por menos 1 y abajo nos queda x que se cambia por menos 1, esto al cuadrado más 1, vamos entonces a resolver esas operaciones, seguimos por acá, arriba tenemos 4 por menos 1 que es menos 4 y abajo menos 1 al cuadrado, esto nos da 1 positivo y 1 más 1 nos da 2 y menos 4 sobre 2 nos da como resultado menos 2, esta será entonces la respuesta para este ejercicio, eso significa que cuando x tiende a menos 1 los valores de esta función tienden o se aproximan a menos 2.
[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite algebraico."}, {"start": 8.0, "end": 15.120000000000001, "text": " Veremos que le sucede a esta funci\u00f3n, es decir, a que valor tiende cuando x se aproxima a"}, {"start": 15.120000000000001, "end": 17.28, "text": " menos 1."}, {"start": 17.28, "end": 24.18, "text": " Comenzamos evaluando esta expresi\u00f3n justamente en este n\u00famero, es decir, cuando x toma el"}, {"start": 24.18, "end": 26.04, "text": " valor menos 1."}, {"start": 26.04, "end": 34.84, "text": " En el numerador tendremos 4 por menos 1 al cuadrado m\u00e1s 4 por menos 1."}, {"start": 34.84, "end": 50.120000000000005, "text": " Y en el denominador tenemos menos 1 al cubo m\u00e1s menos 1 al cuadrado m\u00e1s x que toma el"}, {"start": 50.120000000000005, "end": 55.32, "text": " valor menos 1 y todo esto m\u00e1s 1."}, {"start": 55.32, "end": 59.64, "text": " En seguida vamos a resolver todas esas operaciones."}, {"start": 59.64, "end": 67.92, "text": " Arriba tenemos menos 1 al cuadrado es 1 positivo, por 4 nos da 4 y aqu\u00ed m\u00e1s 4 por menos 1"}, {"start": 67.92, "end": 70.36, "text": " es menos 4."}, {"start": 70.36, "end": 78.08, "text": " En el denominador tenemos menos 1 al cubo que es menos 1, aqu\u00ed menos 1 al cuadrado"}, {"start": 78.08, "end": 83.24000000000001, "text": " es 1 positivo, con este signo m\u00e1s sigue siendo m\u00e1s 1."}, {"start": 83.24, "end": 91.0, "text": " Y m\u00e1s por menos nos da menos 1 y todo eso m\u00e1s 1."}, {"start": 91.0, "end": 99.03999999999999, "text": " Resolvemos en la parte de arriba, 4 menos 4 nos da 0 y abajo menos 1 m\u00e1s 1 es 0, menos"}, {"start": 99.03999999999999, "end": 105.03999999999999, "text": " 1 m\u00e1s 1 tambi\u00e9n es 0, o sea que en el denominador tambi\u00e9n obtenemos 0."}, {"start": 105.03999999999999, "end": 113.19999999999999, "text": " Y 0 sobre 0 es lo que se conoce como una indeterminaci\u00f3n, es decir, algo que tenemos que se nos da"}, {"start": 113.2, "end": 115.28, "text": " que solucionar."}, {"start": 115.28, "end": 122.04, "text": " Justamente se llama as\u00ed porque no est\u00e1 determinado esto que nos dio."}, {"start": 122.04, "end": 128.24, "text": " Entonces vamos a ver a continuaci\u00f3n cu\u00e1l ser\u00e1 la estrategia apropiada para solucionar"}, {"start": 128.24, "end": 130.56, "text": " este problema."}, {"start": 130.56, "end": 137.64000000000001, "text": " Como se observa tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios algebraicos,"}, {"start": 137.64000000000001, "end": 142.6, "text": " entonces vamos a intentar la estrategia de la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 142.6, "end": 154.32, "text": " Vamos entonces con el numerador, vamos a escribirlo por ac\u00e1, 4x al cuadrado m\u00e1s 4x."}, {"start": 154.32, "end": 161.51999999999998, "text": " Y recordemos que el primer caso de factorizaci\u00f3n que debemos revisar es el de factor com\u00fan,"}, {"start": 161.51999999999998, "end": 166.84, "text": " aqu\u00ed vemos dos t\u00e9rminos en los cuales se repite la letra x y tambi\u00e9n est\u00e1 repetido"}, {"start": 166.84, "end": 168.6, "text": " el n\u00famero 4."}, {"start": 168.6, "end": 175.82, "text": " Entonces el factor com\u00fan ser\u00e1 el 4 y de las x extraemos la de menor exponente, o sea x"}, {"start": 175.82, "end": 178.04, "text": " a la 1 o simplemente x."}, {"start": 178.04, "end": 187.84, "text": " 4x ser\u00e1 factor de x m\u00e1s 1, que es lo que nos queda en cada uno de los t\u00e9rminos despu\u00e9s"}, {"start": 187.84, "end": 192.72, "text": " de que 4x sale de cada uno de ellos."}, {"start": 192.72, "end": 198.72, "text": " Si revisamos esto que obtuvimos no es posible factorizar x m\u00e1s 1, entonces decimos que"}, {"start": 198.72, "end": 203.4, "text": " all\u00ed el numerador qued\u00f3 factorizado completamente."}, {"start": 203.4, "end": 215.12, "text": " Vamos ahora con el denominador, entonces lo escribimos, x al cubo m\u00e1s x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 215.12, "end": 217.64, "text": " x m\u00e1s 1."}, {"start": 217.64, "end": 223.55999999999997, "text": " Ahora intentamos el caso de factor com\u00fan, revisamos los cuatro t\u00e9rminos y vemos que"}, {"start": 223.55999999999997, "end": 230.23999999999998, "text": " por ejemplo la x no est\u00e1 presente en todos ellos, aqu\u00ed no aparece, entonces descartar\u00edamos"}, {"start": 230.23999999999998, "end": 236.64, "text": " el caso de factor com\u00fan y vamos a intentar el caso llamado factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n"}, {"start": 236.64, "end": 237.92, "text": " de t\u00e9rminos."}, {"start": 237.92, "end": 246.2, "text": " Como tenemos cuatro t\u00e9rminos podemos intentar agrupando los dos primeros y los dos \u00faltimos."}, {"start": 246.2, "end": 254.28, "text": " Eso nos queda as\u00ed, abrimos par\u00e9ntesis, x al cubo m\u00e1s x al cuadrado, cerramos, all\u00ed"}, {"start": 254.28, "end": 260.44, "text": " est\u00e1 la agrupaci\u00f3n de los dos primeros t\u00e9rminos m\u00e1s abrimos otro par\u00e9ntesis y escribimos"}, {"start": 260.44, "end": 266.59999999999997, "text": " x m\u00e1s 1, all\u00ed est\u00e1 la agrupaci\u00f3n de los dos \u00faltimos t\u00e9rminos."}, {"start": 266.59999999999997, "end": 273.08, "text": " Como aqu\u00ed tenemos signo m\u00e1s, entonces dentro de este par\u00e9ntesis no ocurre ning\u00fan cambio"}, {"start": 273.08, "end": 274.9, "text": " de signo."}, {"start": 274.9, "end": 281.67999999999995, "text": " Enseguida extraemos factor com\u00fan de cada uno de los grupos formados, en el primer caso"}, {"start": 281.67999999999995, "end": 288.15999999999997, "text": " vemos que se repite la letra x y por lo tanto se puede extraer la de menor exponente, o"}, {"start": 288.15999999999997, "end": 295.67999999999995, "text": " sea x al cuadrado, x al cuadrado ser\u00e1 factor de x que es lo que queda en el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 295.67999999999995, "end": 302.44, "text": " m\u00e1s 1, que es lo que nos queda en el segundo t\u00e9rmino despu\u00e9s de que sale x al cuadrado."}, {"start": 302.44, "end": 309.2, "text": " Aqu\u00ed x m\u00e1s 1 en realidad no tiene factor com\u00fan, entonces podemos acompa\u00f1ar esa expresi\u00f3n"}, {"start": 309.2, "end": 316.44, "text": " de un 1 que est\u00e1 multiplicando por ella, 1 por x m\u00e1s 1 da x m\u00e1s 1 por eso este 1"}, {"start": 316.44, "end": 320.12, "text": " no tiene problema en aparecer all\u00ed."}, {"start": 320.12, "end": 326.36, "text": " Tenemos ahora una expresi\u00f3n con dos t\u00e9rminos separados por ese signo m\u00e1s y en ellos dos"}, {"start": 326.36, "end": 333.84000000000003, "text": " se repite la expresi\u00f3n x m\u00e1s 1, entonces ella ser\u00e1 la que hace el papel del factor"}, {"start": 333.84000000000003, "end": 334.84000000000003, "text": " com\u00fan."}, {"start": 334.84000000000003, "end": 341.88, "text": " Extraemos x m\u00e1s 1 y eso queda multiplicando con x al cuadrado que es lo que nos queda"}, {"start": 341.88, "end": 348.56, "text": " en el primer t\u00e9rmino despu\u00e9s de que sale x m\u00e1s 1 y esto m\u00e1s este 1 que es lo que"}, {"start": 348.56, "end": 354.48, "text": " nos queda en el segundo t\u00e9rmino despu\u00e9s de que sale el factor com\u00fan x m\u00e1s 1."}, {"start": 354.48, "end": 360.64000000000004, "text": " Revisamos estos dos factores para ver si es posible factorizar m\u00e1s y vemos que no es"}, {"start": 360.64000000000004, "end": 367.6, "text": " posible, por lo tanto all\u00ed decimos que el denominador est\u00e1 factorizado completamente."}, {"start": 367.6, "end": 375.12, "text": " Con esto que hemos hecho se puede reescribir el l\u00edmite, tendremos l\u00edmite cuando x tiende"}, {"start": 375.12, "end": 383.26, "text": " a menos 1, de lo siguiente trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n en la parte de arriba, eso"}, {"start": 383.26, "end": 394.64, "text": " nos qued\u00f3 como 4x por x m\u00e1s 1 y ac\u00e1 en el denominador ese polinomio factorizado nos"}, {"start": 394.64, "end": 405.53999999999996, "text": " dio x m\u00e1s 1 que multiplica con x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 405.53999999999996, "end": 412.64, "text": " Como podemos observar el factor x m\u00e1s 1 se repite tanto en el numerador como en el denominador"}, {"start": 412.64, "end": 419.03999999999996, "text": " y ese ser\u00e1 el factor problema porque como x tiende a menos 1 aqu\u00ed tenemos menos 1 m\u00e1s"}, {"start": 419.03999999999996, "end": 426.36, "text": " 1, 0 y lo mismo sucede aqu\u00ed, por lo tanto ese factor x m\u00e1s 1 es el causante del 0 sobre"}, {"start": 426.36, "end": 434.59999999999997, "text": " 0 que nos hab\u00eda dado al principio, pero aqu\u00ed ya podemos cancelar licitamente ese factor"}, {"start": 434.6, "end": 443.16, "text": " y el l\u00edmite nos queda mucho m\u00e1s simple, vamos a escribirlo por ac\u00e1, l\u00edmite cuando"}, {"start": 443.16, "end": 454.40000000000003, "text": " x tiende a menos 1 de lo que nos qued\u00f3 en la expresi\u00f3n, arriba 4x y abajo nos qued\u00f3"}, {"start": 454.40000000000003, "end": 459.64000000000004, "text": " x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 459.64, "end": 467.0, "text": " Lo que hacemos ahora es volver a evaluar esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor menos 1,"}, {"start": 467.0, "end": 475.32, "text": " entonces arriba tendremos 4 por menos 1 y abajo nos queda x que se cambia por menos"}, {"start": 475.32, "end": 484.28, "text": " 1, esto al cuadrado m\u00e1s 1, vamos entonces a resolver esas operaciones, seguimos por"}, {"start": 484.28, "end": 492.35999999999996, "text": " ac\u00e1, arriba tenemos 4 por menos 1 que es menos 4 y abajo menos 1 al cuadrado, esto"}, {"start": 492.35999999999996, "end": 501.59999999999997, "text": " nos da 1 positivo y 1 m\u00e1s 1 nos da 2 y menos 4 sobre 2 nos da como resultado menos 2, esta"}, {"start": 501.59999999999997, "end": 509.35999999999996, "text": " ser\u00e1 entonces la respuesta para este ejercicio, eso significa que cuando x tiende a menos"}, {"start": 509.36, "end": 515.64, "text": " 1 los valores de esta funci\u00f3n tienden o se aproximan a menos 2."}]