Problema 2 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
#julioprofe explica cómo resolver un problema con triángulos rectángulos.  

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 En este problema tenemos la siguiente situación, un globo aerostático que es observado desde dos puntos A y B separados entre sí, una distancia de 100 metros. Desde el punto A tenemos un ángulo de elevación de 60 grados al globo y desde el punto B tenemos un ángulo de elevación de 30 grados mirando el globo. Nos pide encontrar a qué altura se encuentra el globo por encima del suelo, entonces nuestro objetivo será encontrar el valor de H. Antes de comenzar vamos a nombrar este punto con la letra C, este punto con la letra D donde tenemos ángulo recto, ángulo de 90 grados y vamos a llamar esta distancia con la letra X. La distancia comprendida entre los puntos D y A. A continuación vamos entonces a dibujar el triángulo C, D, A, vamos a hacerlo por acá. Aquí lo tenemos y como se trata de un triángulo rectángulo entonces vamos a utilizar SOH CAH TOA para relacionar la información que tenemos allí. Recordemos que SOH CAH TOA es la manera de recordar fácilmente que es seno, coseno y tangente, recordemos que el seno, la relación seno se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, el coseno se define como cateto adyacente sobre hipotenusa y tangente se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente. En este caso tenemos que relacionar los catetos por lo tanto utilizamos la tangente. Planeamos entonces la tangente de 60 grados que es igual a el cateto opuesto que sería H sobre el cateto adyacente que es X si el cateto adyacente al ángulo de 60 grados. Entonces allí ya tenemos una primera relación vamos a determinar el valor exacto de la tangente de 60 grados. Recordemos que hay una identidad trigonométrica que dice que la tangente de un ángulo theta equivale a seno de theta sobre coseno de theta. También para el caso de tangente de 60 grados tenemos que es igual a seno de 60 grados sobre el coseno de 60 grados. El seno de 60 grados equivale a raíz de tres medios y el coseno de 60 grados equivale a un medio. Como aquí tenemos el cosiente de dos tracciones del mismo denominador entonces podemos suprimir los denominadores y nos quedaría raíz de tres sobre uno es decir raíz cuadrada de tres. Por lo tanto el valor exacto de la tangente de 60 grados es raíz cuadrada de tres y vamos a sustituirlo por aquí. Entonces tenemos que raíz cuadrada de tres es igual a h sobre x. De aquí vamos a despejar x en términos de h. Entonces x que está dividiendo pasa a multiplicar con raíz de tres nos queda x por raíz de tres igual a h de donde x es igual a h sobre raíz cuadrada de tres. Raíz de tres que está multiplicando pasa a dividir al otro lado. Esta será entonces la ecuación número uno para este problema. Vamos a escribirla por aquí. x es igual a h sobre raíz cuadrada de tres. A continuación vamos a considerar el otro triángulo rectángulo es decir el triángulo C de B. Vamos a dibujarlo por acá. Allí lo tenemos y nuevamente podemos utilizar Soccatoa en este triángulo por tratarse de un triángulo rectángulo. Necesitamos relacionar los catetos porque es donde tenemos la información. Entonces utilizamos la relación tangente. Decimos tangente de 30 grados es igual a cateto opuesto. El cateto opuesto al ángulo de 30 grados es h sobre cateto adyacente que sería x más 100. Es decir toda la distancia de B que tenemos acá como la suma de los segmentos x y el que vale 100 metros. Vamos a encontrar el valor exacto de la tangente de 30 grados. Tangente de 30 grados es igual a seno de 30 grados sobre coseno de 30 grados. El valor exacto de seno de 30 grados es 1 medio y el de coseno de 30 grados es raíz de 3 medios. Por tener el cosiente de dos fracciones con el mismo denominador, entonces podemos suprimir dichos denominadores y nos queda como resultado 1 sobre raíz cuadrada de 3. Entonces ese resultado lo vamos a anotar por aquí para poder continuar con el desarrollo de esa expresión. Entonces aquí donde teníamos tangente de 30 grados escribimos el resultado obtenido que es 1 sobre raíz cuadrada de 3. Vamos a despejar de esta relación la letra x en términos de h y podemos aplicar producto en cruz. Recordemos que si tenemos una proporción, es decir la igualdad de dos razones, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Entonces 1 por x más 100 es x más 100 igual a raíz cuadrada de 3 por h, o sea raíz de 3h. Y allí despejamos x, nos queda raíz de 3h menos 100. Si en que está sumando pasa al otro lado a restar. Esto constituye la ecuación número 2 para este ejercicio. Dice que x es igual a raíz de 3h menos 100. Tenemos entonces dos ecuaciones con dos sincórnitas, es decir lo que en álgebra se conoce como un sistema de ecuaciones de 2 por 2. Como tenemos la letra x despejada en ambas ecuaciones, entonces podemos resolver por el método de igualación. Entonces igualamos las expresiones 1 y 2. Nos queda entonces h sobre raíz de 3 igual a raíz de 3h menos 100. Y de esta igualdad vamos a realizar el despeje de h. Decimos que h es igual a este raíz de 3 que pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda raíz de 3 que multiplica a raíz de 3h menos 100. Hacemos propiedad distributiva. Raíz de 3 por raíz de 3h, eso nos da 3h. Y recordemos que raíz de 3 por raíz de 3 nos da raíz de 3 al cuadrado y allí se destruye la raíz y queda libre el 3 menos raíz de 3 por 100 que podemos escribir como 100 raíz de 3. Podemos pasar este término al lado izquierdo. Nos queda h menos 3h es igual a menos 100 raíz de 3. Operamos estos dos términos. H menos 3h nos da menos 2h igual a menos 100 raíz de 3. Y de allí vamos a despejar h. Hacemos entonces lo siguiente. Menos 2 que está multiplicando pasa a dividir al otro lado. Nos queda menos 100 raíz de 3 dividido entre menos 2. Y simplificando, es decir, lente los signos, menos con menos nos da más. Obtenemos el valor de h en metros. Esta será entonces la respuesta a este ejercicio. Si queremos encontrar el valor decimal para h, vamos a la calculadora y efectuamos esta operación.
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