84. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 5)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 84: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 5).

Un objeto es lanzado horizontalmente desde la parte más alta de una torre de 45 m con una rapidez de 40 m/s. (a) ¿A qué distancia de la base de la torre caerá el objeto? (b) ¿Con qué rapidez hará impacto en el piso? 

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Para este problema lo que hacemos es un dibujo donde observamos la trayectoria del objeto. Vemos que se encuentra enmarcada en el primer cuadrante de un plano cartesiano con sus ejes X y Y en metros. Tenemos que la altura de la torre es 45 metros, desde allí el objeto es lanzado con velocidad inicial de 40 metros por segundo y nos piden encontrar cuál es su alcance máximo horizontal, es decir, a qué distancia de la base de la torre golpea el objeto en el suelo y con qué rapidez golpea, es decir, cuál es su magnitud de la velocidad final. Como es un problema de movimiento semi parabólico, si la trayectoria es media parábola, entonces tenemos que el ángulo theta, el ángulo de lanzamiento, en este caso es de cero grados. Entonces vamos a proceder con la construcción de las ecuaciones cinemáticas para este movimiento. Comenzamos con la ecuación de posición en Y, entonces escribimos el modelo y vamos a reemplazar allí la información que conocemos. Veamos la gravedad, la tomamos como 10 metros por segundo cuadrado, la velocidad inicial es 40 metros por segundo, el ángulo theta vale cero grados y la posición inicial en Y es 45 metros, el cero de cero grados equivale a cero, por lo tanto todo este término se va, es decir, se convierte en cero. Luego la ecuación de posición en Y nos queda Y igual a menos 5t cuadrado más 45, esta será la ecuación número uno para este problema. Si hacemos la derivada de esta ecuación con relación al tiempo, obtenemos la velocidad en Y, entonces veamos, derivada de menos 5t cuadrado nos da menos 10t, derivada de 45 es cero, esta será la ecuación número dos. La ecuación que nos da la componente de la velocidad vertical de ese objeto en cualquier instante. Por aquí anotamos estas dos ecuaciones y vamos a encontrar ahora la ecuación de posición en X para este objeto. El modelo dice que X es igual a velocidad inicial por coseno de theta por T más X sub cero, veamos, la velocidad inicial vale 40 metros por segundo, el ángulo theta es cero grados y la posición inicial en X, es decir, aquí en el tiempo cero, que es el momento del lanzamiento, corresponde a cero. El coseno de cero grados es uno, por lo tanto esta ecuación nos queda X igual a 40t y esta será la ecuación número tres. Si hacemos la derivada de la posición en X con relación al tiempo, obtenemos la velocidad en X, veamos, la derivada de 40t nos da 40 y esto nos queda metros por segundo. Claro, la velocidad en X de este objeto es esta misma velocidad inicial, todo el tiempo esa componente horizontal de la velocidad permanece constante y su valor es 40 metros por segundo. Escribimos por aquí esta información y procedemos ahora con el análisis de esta situación problema. Entonces decimos lo siguiente, aquí, cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo del objeto, es decir, todo este tiempo hasta que llega al suelo, tenemos que cuando t es igual a tiempo de vuelo, la posición en Y vale cero, porque en ese lugar Y es cero, es decir, es el nivel del suelo. Entonces esta información la reemplazamos en la ecuación número uno, que es la que tiene justamente Y y tiempo. Entonces anotamos la ecuación y vamos a reemplazar allí la información que tenemos. Y se convierte en cero y el tiempo se sustituye por tiempo de vuelo. Resolvemos esta ecuación para despejar el tiempo de vuelo. Ese término está negativo, pasa al lado izquierdo como positivo. Despejamos tiempo de vuelo al cuadrado, nos queda 45 dividido entre 5, tiempo de vuelo al cuadrado nos da 9, de donde tiempo de vuelo es igual a 3, sacando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Entonces tenemos que el tiempo de vuelo para ese objeto, lanzado horizontalmente desde lo alto de esa torre, es de 3 segundos. Ahora decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, que nos dio 3 segundos, entonces la posición en X del objeto, es decir aquí, su posición es X máximo, es decir, el alcance máximo horizontal que consigue. Esta información la sustituimos en la ecuación número 3, que es la que tiene justamente las variables X y T. Donde está X sustituimos X máximo, donde está T sustituimos el valor 3. Resolvemos y tenemos un alcance máximo horizontal de 120 metros. De esta manera respondemos la pregunta A del problema. Aquí en el dibujo ya podemos escribir entonces 120, como el valor que indica el alcance máximo horizontal del objeto. Ahora vamos a realizar un detalle de lo que sucede cuando el objeto está a punto de hacer impacto en el suelo. Allí es un instante justo antes de golpear. El objeto viene desde por allá. Entonces allí tenemos una velocidad final que es esta y nos piden encontrar su magnitud. Y esa velocidad tiene dos componentes. Recordemos que tiene una componente vertical que es esta, que la vamos a llamar velocidad final en Y, y tiene una componente horizontal, que sería la velocidad final en X. Vamos a dibujar las líneas punteadas que indican las componentes de este vector. Allí tenemos entonces la velocidad final descompuesta en sus dos componentes rectangulares. Esta componente es la misma velocidad en X que habíamos calculado hace un momento. Su valor es 40 metros por segundo durante todo el movimiento. La que nos falta por encontrar es esta componente. Entonces para ello decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, que son tres segundos, es decir aquí, este instante, es justamente cuando se cumple el tiempo de vuelo, que son tres segundos. Entonces tenemos que la velocidad en Y del objeto es esta componente, velocidad final en Y. Y esta información la sustituimos en la ecuación número dos. Donde está la velocidad en Y, reemplazamos velocidad final en Y igual a menos diez por el tiempo, que es tres. Entonces nos da una velocidad final en Y igual a menos 30 metros por segundo. Recordemos que el signo negativo nos indica la dirección del vector. Vemos que está dirigido hacia abajo. Entonces aquí en el dibujo podemos anotar el valor de la componente vertical de la velocidad, menos 30 metros por segundo. Y finalmente vamos a encontrar la magnitud de este vector resultante. Entonces decimos que la velocidad final, es decir, la magnitud de esa velocidad final es igual a la raíz cuadrada de la componente en X al cuadrado más la componente en Y al cuadrado. Reemplazamos los valores. La componente en X de la velocidad es 40 metros por segundo, eso al cuadrado, más la componente en Y. Podemos sustituir el menos 30, de todas formas no hay problema porque eso se eleva al cuadrado y nos da finalmente positivo. Entonces tenemos 40 al cuadrado, 1600, 30 al cuadrado, 900, 1600 más 900 nos da 2500 y la raíz cuadrada de 2500 nos da 50. Tenemos entonces una rapidez final de 50 metros por segundo. Esta será entonces la magnitud de la velocidad de este objeto justo antes de hacer impacto con el suelo. Esta será entonces la respuesta a la pregunta B. Gracias por ver el vídeo.
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