ÁREAS SOMBREADAS - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo hallar la medida del área de una región sombreada.

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 TENEMOS EN ESTE CASO UN TRIANGULO EQUILÁTERO, ES DECIR QUE TIENE SUS TRES LADOS IGUALES Y CADA UNO DE ELLOS MIDE 4 CENTÍMETROS. ESTOS SON LOS PUNTOS MEDIOS DE SUS LADOS Y SE HAN TRAZADO ESTOS ARCOS DE CIRCONFERENCIA, HACIENDO CENTRO EN CADA UNO DE LOS VÉRTICES Y TOMANDO COMO RADIO ESTOS SEGMENTOS QUE MIDEN 2 CENTÍMETROS. LO QUE TENEMOS QUE AYAR EN ESTE CASO ES EL VALOR DEL ÁREA QUE APARECE SOMBREADA. ENTONCES, VAMOS A DENOTARLA CON LA LETRA A MAYÚSCULA Y SUBÍNDICE S Y REALIZAMOS EL SIGUIENTE PLANTEAMIENTO. AL ÁREA DEL TRIANGULO EQUILÁTERO, VAMOS A RESTARLE EL ÁREA QUE CORRESPONDE A ESTOS 3 SECTORES CIRCULARES. ENTONCES, 3 VEZES EL ÁREA D PUEDE SER ESTE SECTOR CIRCULAR. LOS 3 VAMOS A SER IGUALES. ¿POR QUE RAZÓN? Porque todos tienen radio 2 centímetros y también el ángulo que corresponde a cada uno es el mismo. Será un ángulo de 60 grados. Recuramos que en el triángulo equilátero, sus 3 ángulos también son iguales. Cada uno mide 60 grados. Entonces, a continuación, vamos a escribir las expresiones correspondientes al área de un triángulo equilátero en función de su lado y para el área de un sector circular en términos de su ángulo central y de su radio. Entonces tenemos lo siguiente. Área sombreada será igual. Al área del triángulo equilátero que es el lado al cuadrado multiplicado por raíz de 3 y todo esto dividido entre 4. Ahora a esto le restamos 3 veces el área del sector circular cuya fórmula es el ángulo central theta por pi r al cuadrado y todo esto dividido entre 360 grados. Ese ángulo central theta debe estar en grados. Vamos a ver a continuación cómo se obtiene esta expresión. Para determinar el área de este sector circular que tiene radio r y ángulo central theta, podemos plantear una regla de 3 simple directa. Creamos los siguientes encabezados. Ángulo central y acá el área correspondiente. Entonces si tenemos la vuelta completa, es decir un ángulo theta de 360 grados, a ese ángulo corresponde el área de todo el círculo cuya expresión es pi por el radio al cuadrado. Ahora nos preguntamos para esta zona, es decir para este sector circular que tiene ángulo central theta, cuál será el área correspondiente. Entonces como decíamos, esta es una regla de 3 simple directa donde el despeje de la incógnita x se hace de la siguiente manera. Multiplicamos estos dos componentes y eso lo dividimos por el dato que nos queda sobrando. Entonces creamos una fracción, acá en el numerador multiplicamos estos dos elementos, o sea theta por pi por el radio al cuadrado y todo eso lo dividimos entre 360 grados. Repetimos el ángulo theta debe ingresar a esta fórmula o a esa expresión en grados. De esta manera tenemos la fórmula o la expresión que nos permite calcular el área de un sector circular que tiene ángulo central theta y radio R. Enseguida vamos a reemplazar aquí los valores correspondientes al lado del triángulo, el ángulo central theta del sector circular y el radio. Como nos dice el ejercicio todas las medidas están en centímetros, entonces en esa expresión vamos a reemplazar únicamente números, entonces nos queda así, área sombreada es igual al lado del triángulo al cuadrado, el lado mide 4 centímetros, entonces tendremos 4 al cuadrado, esto multiplicado por raíz cuadrada de 3 y todo esto dividido entre 4, luego menos 3 por el ángulo central de cada sector circular, ese ángulo mide 60 grados, eso multiplicado por pi por el radio que es 2 centímetros, eso al cuadrado y todo esto dividido entre 360 grados. Ahora vamos a resolver esas operaciones, tendremos área sombreada igual a 4 al cuadrado que es 16, eso queda multiplicando con raíz cuadrada de 3 y todo eso sobre 4, luego tenemos menos 3 por 60, aquí los grados se pueden cancelar, entonces queda 60 por pi por 2 al cuadrado que es 4 y todo esto dividido entre 360. Tenemos que en la primera fracción se puede simplificar 16 y 4, decimos cuarta de 4 es 1 y cuarta de 16 es 4, entonces nos queda área sombreada igual a 4 por raíz cuadrada de 3 y en la otra expresión también podemos simplificar números, 60 se puede simplificar con 360, podemos quitar este 0 que es como si dividimos por 10, luego decimos sexta de 6 es 1, sexta de 36 nos da 6, también podemos simplificar 3 con 6, tercera de 3 es 1, tercera de 6 es 2 y también podemos simplificar 4 con 2, decimos mitad de 4 es 2 y mitad de 2 es 1, entonces que nos quedó en definitiva pi por 2 que es 2 pi, esta podría ser una forma de presentar la respuesta, el área sombreada es igual a esta expresión numérica que va en centímetros cuadrados porque recordemos las medidas iniciales vienen en centímetros, sin embargo esta expresión también se puede escribir así, aquí podemos extraer factor común de estos dos números de 4 y 2, extraemos el máximo común divisor de esos números que es 2 y nos queda 2 por raíz de 3 en el primer término y menos pi en el segundo término y todo esto nos queda en centímetros cuadrados. Ahora si consideramos raíz cuadrada de 3 como 1.73 y pi como 3.14 y resolvemos todas esas operaciones manualmente o en calculadora nos da el área sombreada igual a 0.64 centímetros cuadrados, entonces el área que estamos buscando el área de esta región sombreada se puede presentar de cualquiera de esas tres formas.
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