RAZÓN DE CAMBIO - Problema 6
#julioprofe explica cómo resolver un problema de razón de cambio o tasas relacionadas, una de las aplicaciones de la derivada:

La Ley de Boyle dice que cuando un gas se comprime a temperatura constante, la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación PV=C, donde C es una constante. Suponga que en cierto instante el volumen es 600 cm³, la presión es 150 kPa, y la presión crece a una tasa de 20 kPa/min. ¿A qué tasa cambia el volumen en ese instante?

Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1

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 La ley de Boyle dice que cuando un gas se comprime a temperatura constante, la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación P por V igual a C, donde C es una constante. Suponga que en cierto instante el volumen es 600 cm³, la presión es 150 kPa y la presión crece a una tasa de 20 kPa por minuto. ¿A qué tasa cambia el volumen en ese instante? Bien, en este problema nos dicen que en cierto instante el volumen vale 600 cm³, la presión vale 150 kPa y la presión crece a una razón de 20 kPa por minuto, eso será de PDT, si la razón de cambio de la presión con respecto al tiempo. Como la presión está creciendo, entonces será una razón de cambio positiva y vale 20 kPa por minuto. Nos preguntan en ese mismo instante qué variación sufre el volumen, si crece o decrece y a qué ritmo. También nos dice el problema que se cumple la relación presión por volumen igual a una constante C. Entonces vamos a derivar esta expresión a ambos lados con respecto al tiempo, con respecto a la letra T. En el lado izquierdo tenemos un producto, entonces aplicamos la regla del producto. La derivada del primero será de PDT por el segundo sin derivar que será el volumen, más el primero sin derivar que es P por la derivada del segundo que será de PDT. Y pasamos al otro lado donde tenemos una constante, la derivada de esa constante o de cualquier constante es igual a 0. En esta expresión que tenemos lo que debemos encontrar es de PDT, que es la incógnita del problema, entonces podríamos despejarla. Entonces decimos de PDT será igual a lo siguiente, pasamos primero este término que se encuentra sumando, entonces pasa al otro lado a restar, nos queda menos de PDT por P y todo esto dividido entre P. Esta P que se queda multiplicando con DVDT pasaría a dividir. Y lo que hacemos ahora es reemplazar los valores, los valores que nos da el problema, nos queda que DVDT es igual a, el signo negativo lo escribimos, DPT que vale 20, podemos reemplazar directamente los numeritos ya que todas las unidades están digamos compatibilizadas, la presión en kPa, el volumen en centímetros cúbicos y el tiempo en minutos, el volumen que vale 600 y en el denominador la presión que vale 150. Bien, si resolvemos toda esta operación nos da un total de menos 80 y entonces escribimos las unidades correspondientes a esta magnitud. El volumen debe ir en centímetros cúbicos y el tiempo debe ir en minutos. Entonces, ¿cómo se interpreta este resultado? Que en ese instante el volumen está decreciendo, esa es la razón de ese signo negativo, entonces está decreciendo a una razón de 80 centímetros cúbicos por minuto. Aquí hemos entonces terminado nuestro problema.
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