RAZÓN DE CAMBIO - Problema 4
#julioprofe explica cómo plantear y resolver un problema sobre Razón de Cambio:

Se introduce agua en un recipiente cónico a razón de 40 ft³/min. Si la altura del recipiente es 15 ft y su abertura circular tiene radio 6 ft, ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando el líquido tiene una profundidad de 10 ft?

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 ¿Qué es el problema? Se introduce agua en un recipiente cónico a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Si la altura del recipiente es 15 pies y su abertura circular tiene radio 6 pies, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando el líquido tiene una profundidad de 10 pies? Bien, para este problema hacemos un dibujo que ilustre la situación. Tenemos allí un recipiente con forma de cono con altura de 15 pies y con una abertura circular de radio 6 pies. A ese recipiente se le está introduciendo agua a una taza o a un ritmo de 40 pies cúbicos por minuto. Y el agua forma también un cono de radio R y altura H. Si llamamos V al volumen de agua que hay en cualquier instante en el recipiente, podemos afirmar que de V dt, o sea la razón de cambio del volumen de líquido con respecto al tiempo, es igual al flujo de entrada que es 40 pies cúbicos por minuto. Y lo que tenemos que averiguar en este caso es con qué rapidez sube el nivel del agua, es decir, cuánto vale de H dt. En el instante en que H, o sea la profundidad, es de 10 pies. Esto es lo que vamos a encontrar y para ello vamos a utilizar la derivada. Comenzamos entonces estableciendo una expresión para el volumen de líquido en cualquier instante. Como decíamos, el agua forma un cono de radio R y altura H. Entonces utilizamos la fórmula de la geometría para el volumen de un cono, que dice 1 tercio de pi por el radio al cuadrado por la altura H. Esta expresión será la número 1 y a continuación vamos a realizar una construcción en esa figura. Trazamos esas líneas de color verde que nos determinan dos triángulos rectángulos. Ellos tienen ángulo recto aquí y también por acá. Vamos a nombrar esos triángulos con letras mayúsculas. Tenemos aquí el punto A, el punto B, este será el punto C, este es el punto D y este es el punto E. Y vamos a dibujarlos por acá. Bien, allí podemos observarlos. Entonces tenemos dos triángulos rectángulos con un ángulo común que es este que observamos acá. En esta figura sería este ángulo. Y por lo tanto son triángulos semejantes. El tercer ángulo también sería igual. Podemos decir entonces que el triángulo A, D, E, el triángulo rectángulo grande es semejante con el triángulo C, D, E. Es decir, el triángulo rectángulo pequeño. Y esto se justifica por el postulado ángulo, ángulo, ángulo. Tienen sus tres ángulos respectivamente iguales. Esa semejanza de triángulos nos permite establecer una proporción entre sus lados correspondientes. Por ejemplo, el lado AB decimos que es al lado C, D, como el lado AE es al lado CE. En otras palabras, comparamos los catetos. Los catetos pequeños guardan la misma relación que los catetos grandes en ambos triángulos. Ahora, de acuerdo con la información que tenemos en el dibujo, podemos reemplazar los valores para cada uno de esos segmentos. Comenzamos con AB, que será el radio de la abertura circular del recipiente y que son seis pies. CD es el radio del círculo que forma el agua, que es R. Al otro lado tenemos AE, que será la altura del recipiente, que son 15 pies. Y CE, que será la profundidad que tiene el agua en ese instante, y que es H. Tenemos allí lo que es una proporción, es decir, la igualdad de dos razones. Y recordemos que en toda proporción se cumple que el producto de los extremos, o sea, 6 por H, es igual al producto de los medios, o sea, R por 15. De esa expresión podemos despejar R, para que nos quede en términos de H, que es finalmente la letra que nos interesa para encontrar en ese problema. Entonces, si despejamos R, 15 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda 6 por H sobre 15, y allí podemos simplificar estos dos números. Decimos tercera de 6 es 2, tercera de 15 nos da 5. Por lo tanto, decimos que R equivale a 2H sobre 5. Esta expresión que es nueva la llamamos la número 2, y vamos a sustituirla en la expresión número 1. Aquí donde tenemos R va a entrar 2H sobre 5. Eso nos queda entonces así. Volumen es igual a 1 tercio de pi por, abrimos paréntesis, cambiamos R por 2H quinto, todo esto al cuadrado, y esto multiplicado por H. A continuación vamos a desarrollar esta potencia. Tendremos volumen igual a 1 tercio por pi por. El cuadrado afecta a todos estos componentes, porque tenemos una división y en el numerador también hay una multiplicación. Recordemos que la potenciación se distribuye cuando hay multiplicación o cuando hay división. Tendremos entonces 2 al cuadrado que es 4, H al cuadrado, y abajo 5 al cuadrado que es 25, y todo esto multiplicado por H. Organizamos ahora toda esta expresión. Tendremos volumen igual a 1 por pi por 4, eso es 4 pi. En el denominador tenemos 3 por 25, que nos da 75, y H al cuadrado por H nos da H al cubo. Es decir, hemos logrado expresar el volumen de agua en el recipiente en términos de su profundidad, que es H. A continuación derivamos ambos lados de esa igualdad con respecto al tiempo. Es aquí cuando entra a aplicarse la derivación. Entonces en el lado izquierdo la derivada del volumen con respecto al tiempo se deja expresada como dv dt. En el lado derecho tenemos una multiplicación de un componente que es constante, entonces ese componente se deja quieto, 4 pi 75, y procedemos a derivar lo que está enseguida, o sea lo que contiene la variable. La derivada de H al cubo será 3H al cuadrado por su derivada interna, es decir, la derivada de H con respecto al tiempo. En esta expresión que hemos obtenido ya podemos reemplazar valores para encontrar dh dt, que es lo que nos pide el problema. Tenemos dv dt que es 40 pies cúbicos por minuto. No es necesario escribir estas unidades porque como se observa todas las dimensiones están en pies, el volumen está en pies cúbicos y el tiempo se va a manejar en minutos. Seguimos, igual a 4 pi sobre 75 por 3 por H que es 10 pies, entonces 10 al cuadrado y todo esto por dh dt. Esto nos queda entonces así, 40 igual a 4 pi sobre 75 por 3 por 10 al cuadrado que es 100, todo esto por dh dt. Allí podemos simplificar algunos números, por ejemplo 3 con 75 decimos tercera de 75 es 25, tercera de 3 es 1 y también podemos simplificar 100 con 25, 25 ava de 25 es 1 y 25 ava de 100 es 4. Nos ha quedado entonces 40 es igual a 4 pi por 4, o sea 16 pi que multiplica a dh dt. Finalmente de allí podemos despejar dh dt, 16 pi que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda 40 sobre 16 pi igual a dh dt. Para terminar podemos simplificar esta fracción, 40 se puede simplificar con 16, decimos octava de 45, octava de 16 es 2. Entonces dh dt nos ha dado 5 sobre 2 pi y allí le escribimos las unidades correspondientes, h es una distancia, es la profundidad del agua que va en pies y t, o sea el tiempo, dijimos que va en minutos. Haciendo esto en calculadora nos da aproximadamente 0.8 pies por minuto y será la rapidez con la que sube el agua cuando la profundidad es de 10 pies. Como vemos es una razón de cambio positiva porque el nibre agua, o sea h va aumentando con el paso del tiempo. De esta manera terminamos este problema.
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