RECTA TANGENTE A UNA CURVA - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva cuya ecuación debe derivarse implícitamente.

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 Bien, en este ejercicio debemos encontrar y' y la ecuación de la recta tangente a esta curva en este punto que nos da. Entonces comenzamos por derivar implícitamente la ecuación que nos dieron. Hacemos derivación implícita con respecto a x a los dos lados de la expresión. Entonces en el lado izquierdo tenemos una suma derivada de x al cuadrado será los x, derivada de y al cuadrado sería 2y por y'. Recordemos que en derivación implícita cada vez que derivamos algo con y agregamos y'. Igual pasamos al lado derecho donde tenemos una expresión elevada al cuadrado, allí debemos aplicar la regla de la cadena para potencias, entonces baja el dos a multiplicar a la misma expresión que hay dentro del paréntesis, cerramos todo esto que da elevado al exponente 1 y eso multiplicado por la derivada interna que vamos a dejar indicada, la indicamos con esta comita y la vamos a realizar en el siguiente paso, este de 1 ya podemos quitarlo, entonces ahora vamos a realizar esta derivada. Bien, entonces veamos para derivar esto de aquí derivamos cada término, derivada de 2x al cuadrado será 4x más derivada de 2y al cuadrado que será 4y por y' menos la derivada de x que es igual a 1. Esa expresión podemos dividirla toda por 2 a ambos lados para deshaciarnos de estos numeritos que tenemos allí como coeficientes, entonces veamos como nos queda la expresión dividiéndola toda por 2, nos queda de esta manera, un poco más sencilla que la anterior. Ahora esta expresión que tenemos aquí que no contiene y', podemos denominarla con una nueva letra, por ejemplo a mayúscula, vamos a hacer ese cambio para que lo que sigue sea un poco más sencillo de trabajar. Haciendo ese cambio la expresión nos queda así y por acá anotamos lo que es a, para que no vamos a olvidarlo. Entonces vamos a continuar, debemos hacer distributiva con esta a para romper este paréntesis, entonces nos queda x más y por y' es igual a 4x por a más 4y por y' por a menos a. Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo únicamente los términos que contienen y', entonces se queda y por y' y debemos pasar este término que contiene y', está sumando pasa a restar queda menos 4y por y' por a, en el lado derecho se queda 4x a, se queda menos a y pasamos esta x a restar, dejando al lado izquierdo los términos que contienen y' y acá los que no contienen y'. Acá podemos sacar factor común que sería y por y', factor común de 1 menos 4a y acá podríamos hacer una agrupación de términos, podemos agrupar 4x a menos a y todo esto menos x, esto lo hacemos con el objetivo de sacar factor común a, como veremos en el paso que sigue nos queda esto igual y acá podríamos sacarla a que es factor común de 4x menos 1 y todo esto menos x. Ahora si podemos despejar y', para despejar y' todo lo que se encuentra acá multiplicando con ella debe pasar a dividir al otro lado, entonces nos queda a que multiplica a 4x menos 1, todo esto menos x sobre y que es factor de 1 menos 4a. Bien ahora que ya tenemos despejado y', debemos hacer el cambio de la a, recordemos que a es esta expresión de acá, entonces nos queda y' de la siguiente manera será igual a, esta a se cambia por 2x al cuadrado más 2y al cuadrado menos x que multiplica a 4x menos 1 menos x y todo esto sobre y que multiplica este paréntesis lo cambiamos por un corchete nos queda 1 menos 4 abrimos un paréntesis y vamos a insertar lo que equivale a que es 2x al cuadrado más 2y al cuadrado menos x. Cerramos el paréntesis y cerramos el corchete de esta manera hemos encontrado y' que es la primera pregunta de este ejercicio, esta sería entonces la expresión para y' o lo que se conoce también como de y de x. Bien ahora debemos encontrar la pendiente de la recta tangente, esa pendiente se encuentra evaluando la derivada es decir y' en el punto que nos dieron vamos a evaluar el punto cero coma un medio que es lo que se conoce como el punto de tangencia entonces que vamos a hacer reemplazar donde esta la x por cero y donde esta la y por el valor un medio entonces veamos como nos queda. Allí hemos hecho los reemplazos de x y y entonces vamos a desarrollar esas operaciones veamos por aquí esto nos da cero por acá también 4 por cero nos da cero por acá esto nos da cero entonces vamos a ver que nos queda en definitiva. Tendremos m igual, veamos en la parte de arriba el resultado final únicamente operamos aquí un medio al cuadrado eso es un cuarto y un cuarto multiplicado por dos nos da dos cuartos que simplificando es un medio osea que el resultado definitivo de ese primer corchete de todo este es un medio esto multiplicado por cero menos uno que nos da menos uno este cero lo ignoramos en la parte de abajo tenemos un medio que va a multiplicar a lo siguiente tenemos uno menos cuatro abrimos el corchete y veamos cual es el resultado de la operación que hay dentro de este corchete esto se llama que cero nos queda únicamente esto de aquí un medio al cuadrado es un cuarto un cuarto por dos nos da dos cuartos que simplificando nos da un medio cerramos el corchete cerramos la llave y entonces esto nos queda m igual a lo siguiente veamos un medio por menos uno nos da menos un medio y en la parte de abajo tenemos un medio que multiplica veamos cuatro por un medio nos da dos uno menos dos nos da menos uno entonces esto nos queda menos un medio en el numerador y menos un medio en el denominador para un total de uno si por lo tanto la pendiente de la recta tangente vale uno con la información que tenemos ya podemos encontrar la ecuación de la recta tangente que podemos denotar como ERP con las iniciales tenemos el punto que es cero coma un medio el punto de tangencia o punto donde la recta tangente hace contacto con la curva y tenemos la pendiente que nos dio uno entonces debemos utilizar lo que se llama el modelo punto pendiente que dice que menos de uno es igual a m por x menos x uno x uno y uno corresponde a los valores del punto de tangencia entonces vamos a reemplazar tenemos que menos el valor de y uno que es un medio igual a la pendiente que nos dio uno que multiplica a x menos x uno que vale cero bien esto nos queda y menos un medio es igual a veamos x menos cero nos da x y x multiplicado por uno nos da x y aquí podemos despejar y y nos queda x más un medio esta será entonces la ecuación de la recta tangente a la curva que nos dieron en el punto indicado y con esto damos finalización al ejercicio
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