SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
#julioprofe explica cómo solucionar cuatro triángulos rectángulos, utilizando conceptos de trigonometría y de geometría.

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 En esta ocasión vamos a solucionar cada uno de los siguientes triángulos rectángulos. Comenzamos con el primero donde encontramos el triángulo rectángulo ABC, conocemos el ángulo agudo A que es 25 grados y conocemos el cateto BC que vale 8 unidades. Vamos entonces a aplicar lo que se conoce como SOHCATOA. Como tenemos triángulo rectángulo, entonces perfectamente podemos usar las razones trigonométricas principales. Recordemos que la S significa seno que se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, la C indica coseno que es cateto adyacente sobre hipotenusa y la T indica la tangente que es cateto opuesto sobre cateto adyacente. En ese caso, por ejemplo, para encontrar la hipotenusa y teniendo el ángulo de 25 grados y el cateto opuesto que es 8, podemos utilizar la relación seno porque de esa manera involucramos estos tres datos, dos datos conocidos, uno desconocido. Entonces, veamos, decimos, seno de 25 grados es igual a cateto opuesto, el cateto opuesto a 25 grados mide 8 unidades sobre la hipotenusa del triángulo que es el lado AC. De allí vamos a despejar AC, esto está dividiendo, lo pasamos a multiplicar y seno de 25 grados que está multiplicando pasa a dividir. Por lo tanto, despejar AC nos queda como 8 sobre seno de 25 grados, es como si hiciéramos un intercambio entre esos dos componentes. Hacemos esta operación en la calculadora científica asegurándonos de tenerla en el modo DEG, que recordemos es para trabajar los ángulos en grados. Entonces, haciendo esta operación en calculadora nos da como resultado 18.93 aproximando a dos decimales. Escribimos entonces ese resultado por aquí y ya tenemos la hipotenusa del triángulo. Conociendo ya la hipotenusa y este cateto podríamos encontrar el otro cateto AB, por ejemplo, utilizando el teorema de Pitágoras. Pero vamos a utilizar las razones trigonométricas, por ejemplo, tratemos de involucrar el lado AB con la hipotenusa que ya la encontramos. AB viene siendo el cateto adyacente al ángulo agudo de 25 grados, entonces vamos a utilizar la relación coseno. Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa, así involucramos AB con el ángulo y la hipotenusa. Tenemos entonces coseno de 25 grados es igual a cateto adyacente, que es AB, sobre la hipotenusa, que es 18.93. Ya aquí despejamos AB, pasando esta cantidad a multiplicar con coseno de 25 grados. Nos queda entonces la operación 18.93 por coseno de 25 grados. Nuevamente, en la calculadora científica hacemos esa operación y nos da como resultado 17.16 unidades. Escribimos el resultado por aquí y de esa manera ya conocemos los lados del triángulo. Finalmente, para resolver por completo el triángulo, debemos encontrar la medida del ángulo C. Recordemos que en todos los triángulos se cumple que la suma de los ángulos interiores da como resultado 180 grados. Entonces planteamos esta operación. Para este caso, decimos que la medida del ángulo A más la medida del ángulo B más la medida del ángulo C nos tiene que dar 180 grados. Tenemos que el ángulo A es 25 grados, el ángulo B es 90 grados, es el ángulo recto y nos queda como incógnita la medida del ángulo C, que es el que necesitamos encontrar. Sumamos estos dos, nos da 115 grados más medida del ángulo C y resolviendo esta ecuación despejamos la incógnita que es la medida del ángulo C. Nos queda 180 grados menos 115 grados. Esta cantidad está sumando, pasa al otro lado a restar. Resolviendo eso nos da como resultado 65 grados. Y de esa manera encontramos este ángulo que nos hacía falta. De esa manera terminamos el primer ejercicio. Hemos resuelto completamente el triángulo rectángulo ABC. En el segundo caso tenemos el triángulo rectángulo DEF, donde conocemos el ángulo agudo F que vale 70 grados y conocemos el valor de la hipotenusa que es 12 unidades. Nuevamente podemos utilizar Zocato A, porque tenemos el triángulo rectángulo. Entonces veamos, si tenemos el ángulo de 70 grados podríamos pensar en involucrar el cateto opuesto que es DE y la hipotenusa que la conocemos. Entonces cateto opuesto con hipotenusa nos permite usar la relación Zeno. Decimos entonces Zeno de 70 grados es igual a el cateto opuesto que es el cateto DE sobre la hipotenusa que tiene un valor de 12 unidades. De allí despejamos DE. 12 está dividiendo pasa a multiplicar con Zeno de 70 grados. Resolvemos esto en la calculadora científica y el resultado aproximándolo a dos decimales nos da 11.28. Vamos a escribirlo por aquí. De esa manera encontramos la medida del cateto DE. Para encontrar el cateto EF tenemos varias alternativas. Una podría ser utilizar el teorema de Titágoras porque ya conocemos la hipotenusa y uno de los catetos. Otra podría ser recurrir a las razones trigonométricas. Por ejemplo si utilizamos el coseno de 70 grados involucraríamos el cateto adyacente con la hipotenusa que la conocemos. Por allí podríamos encontrar el valor de EF. Pero vamos a utilizar la tangente que todavía no la hemos usado. Entonces veamos, tangente de 70 grados es igual a cateto opuesto. Veamos, el cateto opuesto a este ángulo de 70 grados es el que está al frente, es 11.28. Y sobre el cateto adyacente al ángulo de 70 grados que es el cateto EF, el que vamos a encontrar. Y aquí vamos a despejar EF pasándolo a multiplicar a este lado. Por lo tanto tangente de 70 grados que queda multiplicando pasa a dividir. Nos queda entonces EF igual a 11.28 sobre tangente de 70 grados. Nuevamente hacemos un intercambio entre esos dos componentes. Resolviendo esto en la calculadora científica nos da como resultado 4.09, aproximando a dos cifras decimales. Entonces tenemos que el cateto EF mide 4.09 unidades. Por último debemos encontrar la medida del ángulo D. Nuevamente sabemos que la suma de los tres ángulos internos del triángulo nos debe dar 180 grados. Vamos a hacerlo mentalmente esta vez. Por aquí ya tenemos 90 grados asegurados. Por lo tanto estos dos ángulos agudos deben totalizar los otros 90 grados. Si este ángulo mide 70 grados entonces este mide 20. Para que como decíamos entre los dos totalicen los otros 90 grados que le faltan a este para completar los 180 grados. De esta manera terminamos el segundo triángulo. Ya conocemos los lados y el ángulo que nos hacía falta. Vamos ahora con el tercer caso. Tenemos el triángulo rectángulo QPR donde conocemos la hipotenusa y uno de los catetos. Podríamos entonces comenzar con el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del cateto PR. Decimos entonces que el cateto PR al cuadrado más el cateto PQ que mide 12 unidades esto al cuadrado nos tiene que dar como resultado la hipotenusa que mide 25 al cuadrado. Ese es el teorema de Pitágoras. Tenemos entonces PR al cuadrado más 12 al cuadrado que nos da 144 igual a 25 al cuadrado que es 625. De allí despejamos PR al cuadrado, pasamos 144 que está sumando al otro lado a restar. Resolvemos la resta. Entonces tenemos PR al cuadrado igual a 481 y para despejar PR tomamos raíz cuadrada a ambos lados. Entonces en el lado derecho tenemos la raíz cuadrada de 481. Recordemos que en el lado izquierdo la raíz cuadrada elimina el exponente 2 y esto en calculadora nos da aproximadamente igual a 21.93 redondeando a dos cifras decimales. Entonces escribimos el resultado por aquí. El cateto PR mide 21.93 unidades. Como ya conocemos las medidas de los lados del triángulo rectángulo entonces podemos utilizar Zocatoa para determinar la medida de uno de los ángulos agudos. Podría ser el ángulo Q o también el ángulo R. Vamos a calcular el ángulo Q y para eso hacemos uso de la información que nos da el problema. Entonces veamos, para este ángulo 12 es el cateto adyacente y 25 es la hipotenusa. Por lo tanto tenemos que utilizar coseno. Sería coseno del ángulo Q igual al cateto adyacente que es el cateto que hace contacto con el ángulo y que mide 12 sobre la hipotenusa del triángulo que mide 25. De allí vamos a despejar el ángulo Q utilizando para ello la función inversa del coseno. Entonces tenemos coseno a la menos 1 de 12.25 agos o esto también se puede escribir como arco coseno de 12.25 agos. Nuevamente nos aseguramos que nuestra calculadora científica esté en el modo DEC para que el resultado del ángulo nos de en grados. Haciendo esto en la calculadora nos da como resultado una medida para el ángulo Q de 61.3 grados aproximando a una cifra decimal. Entonces vamos a escribir el resultado por aquí. El ángulo Q mide 61.3 grados. Por último determinamos la medida del ángulo R y para ello usamos la propiedad de los triángulos. La suma de los ángulos internos es 180 grados. Como aquí ya tenemos 90 grados, entonces estos dos ángulos deben sumar 90 grados. Medida del ángulo Q más medida del ángulo R es igual a 90 grados. Deseamos que estos se llaman ángulos complementarios. El ángulo Q lo conocemos que vale 61.3 grados y nos queda como incógnita la medida del ángulo R. Despejamos entonces la incógnita. Tenemos 90 grados menos 61.3 grados y resolviendo esa resta nos da como resultado 28.7 grados. Allí tenemos entonces la medida del ángulo R y de esa manera tenemos resuelto ese triángulo rectángulo. En el cuarto caso tenemos el triángulo rectángulo XYZ donde conocemos las medidas de los capetos. Vamos a comenzar utilizando Zocatoa para determinar la medida de uno de los ángulos agudos con la información que tenemos. Por ejemplo, vamos a determinar la medida del ángulo X. Aclaramos que también podríamos iniciar utilizando el teorema de Pitágoras porque conocidos los dos capetos podríamos determinar la hipotenusa. En realidad hay varias formas de comenzar el ejercicio. Vamos entonces a determinar el ángulo X utilizando los dos capetos y para ello empleamos la relación tangente. Entonces decimos tangente del ángulo X es igual a cateto opuesto, veamos el cateto que está al frente del ángulo X mide 6 sobre el cateto adyacente que vale 16. Es el cateto que hace contacto con el ángulo X. Y allí despejamos ese ángulo utilizando la función inversa de la tangente que se llama tangente a la menos uno y que se le aplica a este valor 6,16. Esto también se puede escribir como arco tangente de 6,16. Resolviendo esto en la calculadora nos da como resultado para X 20.6 grados aproximando a una cifra decimal. Escribimos por aquí ese resultado. 20.6 grados es la medida del ángulo X. De nuevo podríamos utilizar Socatoa para encontrar la hipotenusa utilizando cualquiera de los catetos y el ángulo que ya conocemos. Vamos entonces por ejemplo a usar la relación seno. Decimos seno de 20.6 grados es igual a cateto opuesto, veamos el cateto opuesto a ese ángulo es 6 sobre la hipotenusa del triángulo que es el lado X,Z. Y de allí despejamos la incógnita. Decimos entonces que X,Z es igual a lo siguiente. Esto pasa a multiplicar seno de 20.6 grados pasa a dividir. Nos queda entonces 6 sobre el seno de 20.6 grados haciendo nuevamente el intercambio entre esos dos componentes. Resolviendo en la calculadora esa operación nos da como resultado 17.09 aproximando a dos decimales. Escribimos entonces el resultado por aquí y ya conocemos la medida de la hipotenusa. Por último determinamos la medida del ángulo Z. Utilizamos el hecho de que los ángulos X y Z son ángulos complementarios. Entre los dos suman 90 grados. Entonces tenemos el ángulo X que vale 20.6 grados más la medida del ángulo Z esto es igual a 90 grados. Y despejamos la incógnita en esa ecuación. Nos queda 90 grados menos 20.6 grados. Resolviendo esa resta nos da como resultado 69.4 grados. Escribimos el resultado acá en el triángulo. El ángulo Z mide 69.4 grados y de esa manera hemos resuelto este triángulo rectángulo.
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Podr\u00eda ser el \u00e1ngulo Q o tambi\u00e9n el \u00e1ngulo R."}, {"start": 815.0, "end": 825.0, "text": " Vamos a calcular el \u00e1ngulo Q y para eso hacemos uso de la informaci\u00f3n que nos da el problema."}, {"start": 825.0, "end": 838.0, "text": " Entonces veamos, para este \u00e1ngulo 12 es el cateto adyacente y 25 es la hipotenusa. Por lo tanto tenemos que utilizar coseno."}, {"start": 838.0, "end": 851.0, "text": " Ser\u00eda coseno del \u00e1ngulo Q igual al cateto adyacente que es el cateto que hace contacto con el \u00e1ngulo y que mide 12"}, {"start": 851.0, "end": 866.0, "text": " sobre la hipotenusa del tri\u00e1ngulo que mide 25. De all\u00ed vamos a despejar el \u00e1ngulo Q utilizando para ello la funci\u00f3n inversa del coseno."}, {"start": 866.0, "end": 882.0, "text": " Entonces tenemos coseno a la menos 1 de 12.25 agos o esto tambi\u00e9n se puede escribir como arco coseno de 12.25 agos."}, {"start": 882.0, "end": 896.0, "text": " Nuevamente nos aseguramos que nuestra calculadora cient\u00edfica est\u00e9 en el modo DEC para que el resultado del \u00e1ngulo nos de en grados."}, {"start": 896.0, "end": 910.0, "text": " Haciendo esto en la calculadora nos da como resultado una medida para el \u00e1ngulo Q de 61.3 grados aproximando a una cifra decimal."}, {"start": 910.0, "end": 920.0, "text": " Entonces vamos a escribir el resultado por aqu\u00ed. El \u00e1ngulo Q mide 61.3 grados."}, {"start": 920.0, "end": 931.0, "text": " Por \u00faltimo determinamos la medida del \u00e1ngulo R y para ello usamos la propiedad de los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 931.0, "end": 943.0, "text": " La suma de los \u00e1ngulos internos es 180 grados. Como aqu\u00ed ya tenemos 90 grados, entonces estos dos \u00e1ngulos deben sumar 90 grados."}, {"start": 943.0, "end": 952.0, "text": " Medida del \u00e1ngulo Q m\u00e1s medida del \u00e1ngulo R es igual a 90 grados."}, {"start": 952.0, "end": 967.0, "text": " Deseamos que estos se llaman \u00e1ngulos complementarios. El \u00e1ngulo Q lo conocemos que vale 61.3 grados y nos queda como inc\u00f3gnita la medida del \u00e1ngulo R."}, {"start": 967.0, "end": 987.0, "text": " Despejamos entonces la inc\u00f3gnita. Tenemos 90 grados menos 61.3 grados y resolviendo esa resta nos da como resultado 28.7 grados."}, {"start": 987.0, "end": 1000.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la medida del \u00e1ngulo R y de esa manera tenemos resuelto ese tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 1000.0, "end": 1011.0, "text": " En el cuarto caso tenemos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo XYZ donde conocemos las medidas de los capetos."}, {"start": 1011.0, "end": 1025.0, "text": " Vamos a comenzar utilizando Zocatoa para determinar la medida de uno de los \u00e1ngulos agudos con la informaci\u00f3n que tenemos."}, {"start": 1025.0, "end": 1035.0, "text": " Por ejemplo, vamos a determinar la medida del \u00e1ngulo X. Aclaramos que tambi\u00e9n podr\u00edamos iniciar utilizando el teorema de Pit\u00e1goras"}, {"start": 1035.0, "end": 1046.0, "text": " porque conocidos los dos capetos podr\u00edamos determinar la hipotenusa. En realidad hay varias formas de comenzar el ejercicio."}, {"start": 1046.0, "end": 1056.0, "text": " Vamos entonces a determinar el \u00e1ngulo X utilizando los dos capetos y para ello empleamos la relaci\u00f3n tangente."}, {"start": 1056.0, "end": 1070.0, "text": " Entonces decimos tangente del \u00e1ngulo X es igual a cateto opuesto, veamos el cateto que est\u00e1 al frente del \u00e1ngulo X mide 6"}, {"start": 1070.0, "end": 1080.0, "text": " sobre el cateto adyacente que vale 16. Es el cateto que hace contacto con el \u00e1ngulo X."}, {"start": 1080.0, "end": 1092.0, "text": " Y all\u00ed despejamos ese \u00e1ngulo utilizando la funci\u00f3n inversa de la tangente que se llama tangente a la menos uno"}, {"start": 1092.0, "end": 1106.0, "text": " y que se le aplica a este valor 6,16. Esto tambi\u00e9n se puede escribir como arco tangente de 6,16."}, {"start": 1106.0, "end": 1119.0, "text": " Resolviendo esto en la calculadora nos da como resultado para X 20.6 grados aproximando a una cifra decimal."}, {"start": 1119.0, "end": 1129.0, "text": " Escribimos por aqu\u00ed ese resultado. 20.6 grados es la medida del \u00e1ngulo X."}, {"start": 1129.0, "end": 1142.0, "text": " De nuevo podr\u00edamos utilizar Socatoa para encontrar la hipotenusa utilizando cualquiera de los catetos y el \u00e1ngulo que ya conocemos."}, {"start": 1142.0, "end": 1162.0, "text": " Vamos entonces por ejemplo a usar la relaci\u00f3n seno. Decimos seno de 20.6 grados es igual a cateto opuesto, veamos el cateto opuesto a ese \u00e1ngulo es 6"}, {"start": 1162.0, "end": 1176.0, "text": " sobre la hipotenusa del tri\u00e1ngulo que es el lado X,Z. Y de all\u00ed despejamos la inc\u00f3gnita. Decimos entonces que X,Z es igual a lo siguiente."}, {"start": 1176.0, "end": 1194.0, "text": " Esto pasa a multiplicar seno de 20.6 grados pasa a dividir. Nos queda entonces 6 sobre el seno de 20.6 grados haciendo nuevamente el intercambio entre esos dos componentes."}, {"start": 1194.0, "end": 1207.0, "text": " Resolviendo en la calculadora esa operaci\u00f3n nos da como resultado 17.09 aproximando a dos decimales."}, {"start": 1207.0, "end": 1216.0, "text": " Escribimos entonces el resultado por aqu\u00ed y ya conocemos la medida de la hipotenusa."}, {"start": 1216.0, "end": 1231.0, "text": " Por \u00faltimo determinamos la medida del \u00e1ngulo Z. Utilizamos el hecho de que los \u00e1ngulos X y Z son \u00e1ngulos complementarios."}, {"start": 1231.0, "end": 1246.0, "text": " Entre los dos suman 90 grados. Entonces tenemos el \u00e1ngulo X que vale 20.6 grados m\u00e1s la medida del \u00e1ngulo Z esto es igual a 90 grados."}, {"start": 1246.0, "end": 1266.0, "text": " Y despejamos la inc\u00f3gnita en esa ecuaci\u00f3n. Nos queda 90 grados menos 20.6 grados. Resolviendo esa resta nos da como resultado 69.4 grados."}, {"start": 1266.0, "end": 1281.0, "text": " Escribimos el resultado ac\u00e1 en el tri\u00e1ngulo. El \u00e1ngulo Z mide 69.4 grados y de esa manera hemos resuelto este tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}]