EC. DIF. POR VARIABLES SEPARABLES - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo hallar la solución general de una Ecuación Diferencial por el método de separación de variables.

Tema: #EcuacionesDiferenciales → 
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 ¿Qué es la solución general? Vamos a resolver detalladamente esta ecuación diferencial. Debemos obtener su solución general. Como podemos ver, aquí tenemos despejada de y de x, que es lo mismo que y'. Y acá tenemos una expresión fraccionaria, donde podemos factorizar tanto el numerador como el denominador. En el numerador podemos extraer factor común x. Entonces, x queda multiplicando por 2 más y al cuadrado. Y en el denominador aplicamos el mismo caso. Extraemos factor común, la letra y, que multiplica a 4 más x al cuadrado. Entonces, observamos ya una independencia entre las variables. Aquí tenemos un componente solo con y, que multiplica con x. Y acá la situación contraria. Un componente que tiene solamente x y que multiplica con y. Entonces, vamos a multiplicar esto por dy. Esto está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar. Nos queda y por 4 más x al cuadrado. Eso por el diferencial de y. Y pasamos de x a multiplicar a este lado. Nos queda x por 2 más y al cuadrado. Todo eso multiplicado por el diferencial de x. Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo todo lo que contiene la letra y. Y en el lado derecho todo lo que contiene x. Entonces acá se queda y por dy. Y pasamos esto a dividir. Nos queda sobre 2 más y al cuadrado. Igual a x por dx. Y pasamos esto acá a dividir. Nos queda sobre 4 más x al cuadrado. Allí ya hemos logrado separar las variables. Como decíamos, acá quedó todo lo relacionado con y con su diferencial de y. Y acá todo lo relacionado con x con su diferencial de x. Lo que sigue es ahora integrar ambos lados. Tenemos entonces integral de la expresión del lado izquierdo. Organizamos así. Y sobre 2 más y al cuadrado. Esto con su diferencial de y. Y la integral de lo que tenemos en el lado derecho. Que organizamos como x en el numerador. 4 más x al cuadrado en el denominador. Y todo eso con su diferencial de x. Ahora debemos resolver esas dos integrales. Y para ello vamos a utilizar el siguiente modelo. Si tenemos la integral de una fracción. Donde en el denominador hay una expresión k de t. Y en el numerador tenemos la derivada de eso que está abajo. Es decir, k' de t. Todo esto con su diferencial de t. Entonces eso será igual al logaritmo natural de valor absoluto de k de t. Es decir, de lo que tenemos acá en el denominador. Todo esto más la constante de integración. Porque la derivada del logaritmo natural de k de t. Que es esto que tenemos acá. K' de t sobre k de t. Si observamos esta integral. Vemos que la derivada de lo que está abajo. La derivada de 2 más y al cuadrado. Sería 2y. Hace falta aquí un 2 en el numerador. Para conseguir lo que sucede en este modelo. Entonces ese 2 que hace falta en el numerador. Lo hacemos así. Multiplicamos acá por 2. Queda 2 por y. En el denominador 2 más y al cuadrado. Todo esto con su diferencial de y. Pero si multiplicamos por 2 en el numerador. Debemos multiplicar por 2 en el denominador. Para no alterar la fracción. Ese 2 que queda multiplicando aquí abajo. Lo podemos sacar de la integral como 1 medio. Entonces allí conservamos la integral original. Para utilizar este modelo. Lo mismo vamos a realizar acá. Con la otra integral. La derivada de esto es 2x. Acá tenemos solamente x. Entonces nos hace falta multiplicar en el numerador por 2. Tendremos 2x abajo 4 más x al cuadrado. Todo esto con su diferencial de x. Pero para contrarrestar ese 2 que multiplicamos arriba. Multiplicamos de una vez afuera por 1 medio. Allí es perfectamente elícito cancelar 1 medio. Porque está multiplicando a ambos lados de la igualdad. Entonces nos deshacemos esas cantidades. Y ya podemos resolver estas 2 integrales. Siguiendo esta instrucción. La integral de esto será logaritmo natural. De valor absoluto de lo que tenemos abajo. 2 más y al cuadrado. La integral de esto será logaritmo natural. De valor absoluto de 4 más x al cuadrado. Y aparece por primera vez. La constante de integración. Para todo el ejercicio. Recordemos que estos valores absolutos. Nos garantizan argumentos positivos. Para que estos logaritmos existan. Sin embargo las variables están elevadas al cuadrado. Por lo tanto tenemos la plena seguridad. De que esto es positivo. Podemos cambiar entonces los valores absolutos. Por paréntesis. Y vamos a tomar base E a ambos lados de esa igualdad. Nos queda entonces E elevado al logaritmo natural. De 2 más y al cuadrado. Igual a E elevado a todo esto. Logaritmo natural de 4 más y al cuadrado. Logaritmo natural de 4 más x al cuadrado. Y eso más C. Vamos a dejar lo del lado izquierdo. Tal como está. Número de Euler elevado al logaritmo natural. De 2 más y al cuadrado. Y acá vamos a aplicar una propiedad de la potenciación. Recordemos que cuando se tiene producto de potencias. De la misma base. Entonces conservamos la base y sumamos los exponentes. Pues bien vamos a aplicar esta propiedad. En sentido contrario. Tenemos esta situación. Una potencia con suma de exponentes. Vamos a convertirla entonces en producto de potencias. De la misma base. Es decir esto nos queda como E elevado al logaritmo natural. De 4 más x al cuadrado. Y el exponente C. Ahora vamos a aplicar una propiedad que combina potenciación y logaritmación. Si tenemos A elevado al logaritmo. En base a de una cantidad. Por ejemplo de manzanita. Entonces eso será igual a la manzanita. Es porque intervienen dos operaciones contrarias. Potenciación con logaritmación. Nos liberan esta cantidad. Por el número de Euler nos queda E elevado al logaritmo. En base a de logaritmo natural o neperiano. De la manzanita. Y esto es igual a la manzanita. Entonces eso quiere decir que esta expresión. Se nos convierte en 2 más y al cuadrado. Aplicando esta propiedad. Y esta nos queda como 4 más x al cuadrado. Protegemos esto con paréntesis. Y aquí tenemos E a la C. Que se nos convierte en una nueva constante. Vamos a llamarla por ejemplo K. Porque recordemos el número de Euler es una constante matemática. Al elevarse a otra constante. Nos da una nueva constante que llamamos K. Finalmente organizamos esa expresión. De la siguiente manera. Y al cuadrado más 2 es igual a la constante K. Que multiplica con x al cuadrado. Más 4. Y de esta manera. Hemos obtenido la solución general. Para esa ecuación diferencial. Que se resolvió por el método de separación de variables.
[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es la soluci\u00f3n general?"}, {"start": 3.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 7.0, "end": 10.0, "text": " Debemos obtener su soluci\u00f3n general."}, {"start": 10.0, "end": 16.0, "text": " Como podemos ver, aqu\u00ed tenemos despejada de y de x, que es lo mismo que y'."}, {"start": 16.0, "end": 19.0, "text": " Y ac\u00e1 tenemos una expresi\u00f3n fraccionaria,"}, {"start": 19.0, "end": 24.0, "text": " donde podemos factorizar tanto el numerador como el denominador."}, {"start": 24.0, "end": 28.0, "text": " En el numerador podemos extraer factor com\u00fan x."}, {"start": 28.0, "end": 34.0, "text": " Entonces, x queda multiplicando por 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 34.0, "end": 37.0, "text": " Y en el denominador aplicamos el mismo caso."}, {"start": 37.0, "end": 44.0, "text": " Extraemos factor com\u00fan, la letra y, que multiplica a 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 44.0, "end": 48.0, "text": " Entonces, observamos ya una independencia entre las variables."}, {"start": 48.0, "end": 52.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos un componente solo con y, que multiplica con x."}, {"start": 52.0, "end": 54.0, "text": " Y ac\u00e1 la situaci\u00f3n contraria."}, {"start": 54.0, "end": 58.0, "text": " Un componente que tiene solamente x y que multiplica con y."}, {"start": 58.0, "end": 62.0, "text": " Entonces, vamos a multiplicar esto por dy."}, {"start": 62.0, "end": 66.0, "text": " Esto est\u00e1 dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar."}, {"start": 66.0, "end": 70.0, "text": " Nos queda y por 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 70.0, "end": 72.0, "text": " Eso por el diferencial de y."}, {"start": 72.0, "end": 76.0, "text": " Y pasamos de x a multiplicar a este lado."}, {"start": 76.0, "end": 80.0, "text": " Nos queda x por 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 80.0, "end": 83.0, "text": " Todo eso multiplicado por el diferencial de x."}, {"start": 83.0, "end": 87.0, "text": " Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo todo lo que contiene la letra y."}, {"start": 87.0, "end": 90.0, "text": " Y en el lado derecho todo lo que contiene x."}, {"start": 90.0, "end": 94.0, "text": " Entonces ac\u00e1 se queda y por dy."}, {"start": 94.0, "end": 96.0, "text": " Y pasamos esto a dividir."}, {"start": 96.0, "end": 101.0, "text": " Nos queda sobre 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 101.0, "end": 105.0, "text": " Igual a x por dx."}, {"start": 105.0, "end": 109.0, "text": " Y pasamos esto ac\u00e1 a dividir."}, {"start": 109.0, "end": 114.0, "text": " Nos queda sobre 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 114.0, "end": 118.0, "text": " All\u00ed ya hemos logrado separar las variables."}, {"start": 118.0, "end": 123.0, "text": " Como dec\u00edamos, ac\u00e1 qued\u00f3 todo lo relacionado con y con su diferencial de y."}, {"start": 123.0, "end": 127.0, "text": " Y ac\u00e1 todo lo relacionado con x con su diferencial de x."}, {"start": 127.0, "end": 131.0, "text": " Lo que sigue es ahora integrar ambos lados."}, {"start": 131.0, "end": 136.0, "text": " Tenemos entonces integral de la expresi\u00f3n del lado izquierdo."}, {"start": 136.0, "end": 139.0, "text": " Organizamos as\u00ed."}, {"start": 139.0, "end": 142.0, "text": " Y sobre 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 142.0, "end": 145.0, "text": " Esto con su diferencial de y."}, {"start": 145.0, "end": 149.0, "text": " Y la integral de lo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 149.0, "end": 152.0, "text": " Que organizamos como x en el numerador."}, {"start": 152.0, "end": 156.0, "text": " 4 m\u00e1s x al cuadrado en el denominador."}, {"start": 156.0, "end": 159.0, "text": " Y todo eso con su diferencial de x."}, {"start": 159.0, "end": 162.0, "text": " Ahora debemos resolver esas dos integrales."}, {"start": 162.0, "end": 165.0, "text": " Y para ello vamos a utilizar el siguiente modelo."}, {"start": 165.0, "end": 168.0, "text": " Si tenemos la integral de una fracci\u00f3n."}, {"start": 168.0, "end": 172.0, "text": " Donde en el denominador hay una expresi\u00f3n k de t."}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " Y en el numerador tenemos la derivada de eso que est\u00e1 abajo."}, {"start": 176.0, "end": 179.0, "text": " Es decir, k' de t."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " Todo esto con su diferencial de t."}, {"start": 182.0, "end": 187.0, "text": " Entonces eso ser\u00e1 igual al logaritmo natural de valor absoluto de k de t."}, {"start": 187.0, "end": 190.0, "text": " Es decir, de lo que tenemos ac\u00e1 en el denominador."}, {"start": 190.0, "end": 193.0, "text": " Todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 193.0, "end": 196.0, "text": " Porque la derivada del logaritmo natural de k de t."}, {"start": 196.0, "end": 199.0, "text": " Que es esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 199.0, "end": 202.0, "text": " K' de t sobre k de t."}, {"start": 202.0, "end": 205.0, "text": " Si observamos esta integral."}, {"start": 205.0, "end": 208.0, "text": " Vemos que la derivada de lo que est\u00e1 abajo."}, {"start": 208.0, "end": 211.0, "text": " La derivada de 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 211.0, "end": 214.0, "text": " Ser\u00eda 2y. Hace falta aqu\u00ed un 2 en el numerador."}, {"start": 214.0, "end": 217.0, "text": " Para conseguir lo que sucede en este modelo."}, {"start": 217.0, "end": 220.0, "text": " Entonces ese 2 que hace falta en el numerador."}, {"start": 220.0, "end": 223.0, "text": " Lo hacemos as\u00ed. Multiplicamos ac\u00e1 por 2."}, {"start": 223.0, "end": 227.0, "text": " Queda 2 por y. En el denominador 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 227.0, "end": 230.0, "text": " Todo esto con su diferencial de y."}, {"start": 230.0, "end": 233.0, "text": " Pero si multiplicamos por 2 en el numerador."}, {"start": 233.0, "end": 236.0, "text": " Debemos multiplicar por 2 en el denominador."}, {"start": 236.0, "end": 239.0, "text": " Para no alterar la fracci\u00f3n."}, {"start": 239.0, "end": 242.0, "text": " Ese 2 que queda multiplicando aqu\u00ed abajo."}, {"start": 242.0, "end": 245.0, "text": " Lo podemos sacar de la integral como 1 medio."}, {"start": 245.0, "end": 248.0, "text": " Entonces all\u00ed conservamos la integral original."}, {"start": 248.0, "end": 251.0, "text": " Para utilizar este modelo."}, {"start": 251.0, "end": 254.0, "text": " Lo mismo vamos a realizar ac\u00e1."}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " Con la otra integral."}, {"start": 257.0, "end": 260.0, "text": " La derivada de esto es 2x."}, {"start": 260.0, "end": 263.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos solamente x."}, {"start": 263.0, "end": 266.0, "text": " Entonces nos hace falta multiplicar en el numerador por 2."}, {"start": 266.0, "end": 269.0, "text": " Tendremos 2x abajo 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 269.0, "end": 272.0, "text": " Todo esto con su diferencial de x."}, {"start": 272.0, "end": 275.0, "text": " Pero para contrarrestar ese 2 que multiplicamos arriba."}, {"start": 275.0, "end": 279.0, "text": " Multiplicamos de una vez afuera por 1 medio."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " All\u00ed es perfectamente el\u00edcito cancelar 1 medio."}, {"start": 282.0, "end": 285.0, "text": " Porque est\u00e1 multiplicando a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 285.0, "end": 288.0, "text": " Entonces nos deshacemos esas cantidades."}, {"start": 288.0, "end": 291.0, "text": " Y ya podemos resolver estas 2 integrales."}, {"start": 291.0, "end": 294.0, "text": " Siguiendo esta instrucci\u00f3n."}, {"start": 294.0, "end": 297.0, "text": " La integral de esto ser\u00e1 logaritmo natural."}, {"start": 297.0, "end": 300.0, "text": " De valor absoluto de lo que tenemos abajo."}, {"start": 300.0, "end": 303.0, "text": " 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 303.0, "end": 306.0, "text": " La integral de esto ser\u00e1 logaritmo natural."}, {"start": 306.0, "end": 309.0, "text": " De valor absoluto de 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 309.0, "end": 312.0, "text": " Y aparece por primera vez."}, {"start": 312.0, "end": 315.0, "text": " La constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 315.0, "end": 318.0, "text": " Para todo el ejercicio."}, {"start": 318.0, "end": 321.0, "text": " Recordemos que estos valores absolutos."}, {"start": 321.0, "end": 324.0, "text": " Nos garantizan argumentos positivos."}, {"start": 324.0, "end": 327.0, "text": " Para que estos logaritmos existan."}, {"start": 327.0, "end": 330.0, "text": " Sin embargo las variables est\u00e1n elevadas al cuadrado."}, {"start": 330.0, "end": 333.0, "text": " Por lo tanto tenemos la plena seguridad."}, {"start": 333.0, "end": 336.0, "text": " De que esto es positivo."}, {"start": 336.0, "end": 339.0, "text": " Podemos cambiar entonces los valores absolutos."}, {"start": 339.0, "end": 342.0, "text": " Por par\u00e9ntesis."}, {"start": 342.0, "end": 345.0, "text": " Y vamos a tomar base E a ambos lados de esa igualdad."}, {"start": 345.0, "end": 348.0, "text": " Nos queda entonces E elevado al logaritmo natural."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " De 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 351.0, "end": 354.0, "text": " Igual a E elevado a todo esto."}, {"start": 354.0, "end": 357.0, "text": " Logaritmo natural de 4 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 357.0, "end": 360.0, "text": " Logaritmo natural de 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 360.0, "end": 363.0, "text": " Y eso m\u00e1s C."}, {"start": 363.0, "end": 366.0, "text": " Vamos a dejar lo del lado izquierdo."}, {"start": 366.0, "end": 369.0, "text": " Tal como est\u00e1."}, {"start": 369.0, "end": 372.0, "text": " N\u00famero de Euler elevado al logaritmo natural."}, {"start": 372.0, "end": 375.0, "text": " De 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 375.0, "end": 378.0, "text": " Y ac\u00e1 vamos a aplicar una propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 378.0, "end": 381.0, "text": " Recordemos que cuando se tiene producto de potencias."}, {"start": 381.0, "end": 384.0, "text": " De la misma base."}, {"start": 384.0, "end": 387.0, "text": " Entonces conservamos la base y sumamos los exponentes."}, {"start": 387.0, "end": 390.0, "text": " Pues bien vamos a aplicar esta propiedad."}, {"start": 390.0, "end": 393.0, "text": " En sentido contrario."}, {"start": 393.0, "end": 396.0, "text": " Tenemos esta situaci\u00f3n."}, {"start": 396.0, "end": 399.0, "text": " Una potencia con suma de exponentes."}, {"start": 399.0, "end": 402.0, "text": " Vamos a convertirla entonces en producto de potencias."}, {"start": 402.0, "end": 405.0, "text": " De la misma base."}, {"start": 405.0, "end": 408.0, "text": " Es decir esto nos queda como E elevado al logaritmo natural."}, {"start": 408.0, "end": 411.0, "text": " De 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 411.0, "end": 414.0, "text": " Y el exponente C."}, {"start": 414.0, "end": 417.0, "text": " Ahora vamos a aplicar una propiedad que combina potenciaci\u00f3n y logaritmaci\u00f3n."}, {"start": 417.0, "end": 420.0, "text": " Si tenemos A elevado al logaritmo."}, {"start": 420.0, "end": 423.0, "text": " En base a de una cantidad."}, {"start": 423.0, "end": 426.0, "text": " Por ejemplo de manzanita."}, {"start": 426.0, "end": 429.0, "text": " Entonces eso ser\u00e1 igual a la manzanita."}, {"start": 429.0, "end": 432.0, "text": " Es porque intervienen dos operaciones contrarias."}, {"start": 432.0, "end": 435.0, "text": " Potenciaci\u00f3n con logaritmaci\u00f3n."}, {"start": 435.0, "end": 438.0, "text": " Nos liberan esta cantidad."}, {"start": 438.0, "end": 441.0, "text": " Por el n\u00famero de Euler nos queda E elevado al logaritmo."}, {"start": 441.0, "end": 444.0, "text": " En base a de logaritmo natural o neperiano."}, {"start": 444.0, "end": 447.0, "text": " De la manzanita."}, {"start": 447.0, "end": 450.0, "text": " Y esto es igual a la manzanita."}, {"start": 450.0, "end": 453.0, "text": " Entonces eso quiere decir que esta expresi\u00f3n."}, {"start": 453.0, "end": 456.0, "text": " Se nos convierte en 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 456.0, "end": 459.0, "text": " Aplicando esta propiedad."}, {"start": 459.0, "end": 462.0, "text": " Y esta nos queda como 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 462.0, "end": 465.0, "text": " Protegemos esto con par\u00e9ntesis."}, {"start": 465.0, "end": 468.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos E a la C."}, {"start": 468.0, "end": 471.0, "text": " Que se nos convierte en una nueva constante."}, {"start": 471.0, "end": 474.0, "text": " Vamos a llamarla por ejemplo K."}, {"start": 474.0, "end": 477.0, "text": " Porque recordemos el n\u00famero de Euler es una constante matem\u00e1tica."}, {"start": 477.0, "end": 480.0, "text": " Al elevarse a otra constante."}, {"start": 480.0, "end": 483.0, "text": " Nos da una nueva constante que llamamos K."}, {"start": 483.0, "end": 486.0, "text": " Finalmente organizamos esa expresi\u00f3n."}, {"start": 486.0, "end": 489.0, "text": " De la siguiente manera."}, {"start": 489.0, "end": 492.0, "text": " Y al cuadrado m\u00e1s 2 es igual a la constante K."}, {"start": 492.0, "end": 495.0, "text": " Que multiplica con x al cuadrado."}, {"start": 495.0, "end": 498.0, "text": " M\u00e1s 4. Y de esta manera."}, {"start": 498.0, "end": 501.0, "text": " Hemos obtenido la soluci\u00f3n general."}, {"start": 501.0, "end": 504.0, "text": " Para esa ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 504.0, "end": 533.0, "text": " Que se resolvi\u00f3 por el m\u00e9todo de separaci\u00f3n de variables."}]