DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo derivar implícitamente una expresión para obtener dy/dx.

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 En este ejercicio nos dan esta expresión y nos piden encontrar la derivada de y de x. Entonces vamos a proceder con la derivación implícita. Para iniciar vamos a cambiar esto aquí por exponente fraccionario. Entonces nos queda 3xy cuadrado menos 5x más entre paréntesis xy y esto elevado al exponente 1 medio igual a 4. Allí ya podemos iniciar la derivación implícita. Derivamos implícitamente ambos miembros de la igualdad con respecto a x. Teniendo presente que cada vez que derivemos algo con y debemos agregar y', es decir el mismo de y de x. Entonces comencemos con ese término. Aquí tenemos un producto, vamos a derivar usando la regla del producto. La derivada del primero, es decir la derivada de 3x sería 3. Por el segundo sin derivar que es y al cuadrado más el primero sin derivar 3x por la derivada del segundo. La derivada de y al cuadrado sería 2y pero multiplicamos por y' porque acabamos de derivar algo que contiene la letra y. Seguimos menos la derivada de 5x que sería 5 más la derivada de esto lo hacemos con la regla de la cadena para potencias. Baja el exponente 1 medio a multiplicar queda dentro del paréntesis el producto xy intacto elevado a la menos 1 medio. Que es el resultado de efectuar un medio menos 1 y todo esto multiplicado por la derivada interna que vamos a dejar indicada. La derivada de x por y en el próximo paso la realizamos igual a la derivada de 4 que sería 0. Recordemos que la derivada de una constante siempre es 0. Esto nos queda 3 por y cuadrado más aquí podemos multiplicar nos quedaría 6xy por y' menos 5 más 1 medio por este xy ala menos 1 medio. Podríamos escribir como 1 sobre xy ala 1 medio para que de una vez nos quede con exponente positivo. Esto multiplicado por la derivada de x por y entonces allí vamos a abrir un paréntesis y vamos a hacer la derivada usando la regla del producto. La derivada del primero es decir de x nos da 1 por el segundo sin derivar que sería y más el primero sin derivar es decir x por la derivada del segundo. La derivada de y sería 1 por y' entonces escribimos directamente y'. Cerramos el paréntesis y todo esto igual a 0. Esto lo podemos escribir como 3y cuadrado más 6xy por y' menos 5 más aquí vamos a multiplicar 1 por 1 es 1 los numeradores y abajo también multiplicamos y de una vez podemos cambiar xy ala 1 medio por la raíz cuadrada de xy. Y todo esto que va a multiplicar a 1 por y que es y más xy' y todo esto igual a 0. A continuación vamos a hacer aquí propiedad distributiva vamos a multiplicar esta expresión por estos dos términos y entonces nos va a quedar así 3y cuadrado más 6xy por y' menos 5. Y aquí esto por y nos va a quedar positivo y en el numerador y en el denominador 2 raíz cuadrada de xy. Y todo eso igual a 0. Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo los términos que contienen y' es decir estos dos entonces nos queda 6xy por y' más xy' todo esto sobre 2 raíz cuadrada de xy. Igual los demás los pasamos al lado derecho este 5 llega positivo este término llega negativo y este también llega negativo. Ahora sacamos factor común en el lado izquierdo y' y' será factor común de 6xy más x sobre 2 raíz cuadrada de xy cerramos el paréntesis igual a esto mismo que tenemos en el lado derecho. Bien y enseguida vamos a despejar y' para despejar y' entonces pasamos toda esta expresión que está multiplicando a dividir al otro lado. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera en el numerador 5 menos 3y cuadrado menos y sobre 2 raíz cuadrada de xy y en el denominador tendremos 6xy más x sobre 2 raíz cuadrada de xy. Como siguiente paso cambiamos y' por dy de x en el proceso utilizamos y' por comodidad pero al final debe cambiarse por dy de x. Al otro lado vamos a resolver las operaciones que tenemos en el numerador y en el denominador en la parte de arriba el común denominador será 2 raíz cuadrada de xy y entonces acá nos va a quedar 10 raíz cuadrada de xy menos 3y cuadrado multiplicado por 2 raíz de xy nos queda 6y cuadrado raíz cuadrada de xy menos y todo esto nos queda encima de la línea principal. En la parte de abajo nos va a quedar como común denominador también 2 raíz cuadrada de xy y aquí nos va a quedar esto por esto sería 12xy raíz cuadrada de xy más x. Bien allí podemos cancelar los denominadores por ser iguales y la respuesta para este ejercicio nos va a quedar así. Dy de x es igual a en la parte de arriba tenemos 10 raíz cuadrada de xy menos 6y cuadrado raíz cuadrada de xy menos y. En la parte de abajo tenemos 12xy raíz cuadrada de xy más x. De esta manera hemos terminado este ejercicio. Hemos encontrado dy de x utilizando derivación implícita.
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multiplicando a dividir al otro lado."}, {"start": 374.0, "end": 400.0, "text": " Entonces nos va a quedar de la siguiente manera en el numerador 5 menos 3y cuadrado menos y sobre 2 ra\u00edz cuadrada de xy y en el denominador tendremos 6xy m\u00e1s x sobre 2 ra\u00edz cuadrada de xy."}, {"start": 400.0, "end": 413.0, "text": " Como siguiente paso cambiamos y' por dy de x en el proceso utilizamos y' por comodidad pero al final debe cambiarse por dy de x."}, {"start": 413.0, "end": 435.0, "text": " Al otro lado vamos a resolver las operaciones que tenemos en el numerador y en el denominador en la parte de arriba el com\u00fan denominador ser\u00e1 2 ra\u00edz cuadrada de xy y entonces ac\u00e1 nos va a quedar 10 ra\u00edz cuadrada de xy"}, {"start": 435.0, "end": 455.0, "text": " menos 3y cuadrado multiplicado por 2 ra\u00edz de xy nos queda 6y cuadrado ra\u00edz cuadrada de xy menos y todo esto nos queda encima de la l\u00ednea principal."}, {"start": 455.0, "end": 478.0, "text": " En 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