ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial, donde un cambio de variable permite convertirla en ecuación cuadrática.

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 Para resolver esta ecuación comenzamos por reescribir el primer término de la siguiente manera. Como 3 a la x y eso a su vez al cuadrado. Lo demás se deja igual. Este cambio podemos hacerlo porque recordemos que cuando se tiene una potencia elevada a otro exponente ellos se multiplican y los exponentes se multiplican por lo tanto nos da 2x. Y aquí podemos utilizar un recurso bastante útil en matemáticas que se llama cambio de variable. Vamos a cambiar la expresión 3 a la x por otra letra, por ejemplo la letra u. Y con esto vamos a reescribir la ecuación. Nos queda entonces u al cuadrado más 9 igual a 10 u. Como vemos donde estaba 3 a la x se escribe ahora la letra u y la ecuación ya toma otro aspecto. Empieza a tomar forma de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Recordemos que para poderla resolver debemos igualarla a cero. Entonces pasamos este término para el lado izquierdo, llega negativo, nos queda como menos 10 u más 9 que queda igual. Y todo eso igualado a cero. Tenemos entonces una ecuación cuadrática. En este caso podemos resolver la ecuación cuadrática por factorización. Ya que tenemos un trinomio que se puede factorizar fácilmente. Por ese caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. En este caso lo tenemos con la letra u. Entonces abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de este término que es u. La escribimos al comienzo de cada paréntesis. Luego cuadramos los signos así. Más por menos nos da menos, menos por más nos da menos. Todo esto está igualado a cero. Y ahora buscamos dos números que van a ser negativos y que multiplicados nos tienen que dar nueve positivo. Y que sumados nos tienen que dar menos diez. Esos números son menos nueve y menos uno. Entonces como vemos esta expresión se factoriza fácilmente y nos queda así. A continuación aplicamos el teorema del factor nulo. Recordemos que si tenemos el producto de dos expresiones igualado a cero. Entonces cada una de ellas se debe igualar a cero. Nos queda u menos nueve igual a cero o u menos uno igual a cero. En cada caso se resuelve para la variable u. Entonces tenemos u es igual a nueve que está restando pasa a sumar al otro lado con el cero. Nos queda u igual a nueve. Y por acá nos queda u igual a uno positivo. Uno está restando pasa a sumar con el cero. Hemos encontrado entonces la solución para esa ecuación cuadrática en términos de u. Sin las dos soluciones u igual a nueve y u igual a uno. Pero allí no termina nuestro ejercicio porque debemos recordar que u equivale a tres a la x. Entonces debemos deshacer el cambio de variable. Cambiando la letra u por su equivalente que es tres a la x. Nos queda entonces tres a la x igual a nueve y por acá tres a la x igual a uno. Vamos a resolver entonces en cada caso para la variable x. En este caso podemos decir que tres a la x es igual a tres al cuadrado. Simplemente cambiando nueve por la potencia tres al cuadrado. Y en este caso como nos quedan dos potencias igualadas con la misma base. Entonces podemos igualar sus exponentes. Nos queda entonces que x es igual a dos. Y ya tenemos una solución para la ecuación original. Uno de los valores de x será dos. Ahora veamos por acá. Podemos escribir eso como tres a la x igual a tres a la cero. Si recordemos que tres a la cero equivale a uno. Y aquí tenemos la misma situación que teníamos acá. Igualdad de potencias de la misma base. Por lo tanto sus exponentes se pueden igualar. Nos queda entonces que x vale cero. Y de esta manera encontramos la otra solución. Como respuesta final del ejercicio tenemos entonces que el conjunto solución de la ecuación son los valores cero y dos. Esta será entonces la respuesta.
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