LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico.

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 Bien, lo primero que tenemos que hacer al resolver este límite es evaluar la letra T en cero. Entonces, veamos. Si tenemos que T vale cero, aquí tenemos 6 por cero, es decir, cero. Y acá en el denominador también tendremos seno de 2 por cero, que es igual a cero. La tangente de cero vale cero y el seno de cero también vale cero. Por lo tanto, tenemos una forma indeterminada que es cero sobre cero. Esto nos obliga a realizar alguna transformación en la expresión del límite para superar este problema de la indeterminación. Vamos a realizar la transformación de esta expresión retirando provisionalmente el límite. Entonces, comenzamos por utilizar aquella identidad trigonométrica que dice que la tangente es igual a seno sobre coseno. Entonces, tenemos que tangente de 6T es igual al seno de 6T, todo esto sobre el coseno de 6T. De esa manera, convertimos la tangente en esta expresión. Debajo tenemos seno de 2T y a esto le podemos colocar denominador 1. Para que apliquemos la ley de extremos y medios, o conocida también como ley de la oreja. Entonces, tendremos arriba lo siguiente, seno de 6T por 1, es decir, seno de 6T. Y debajo tendremos el coseno de 6T por el seno de 2T. Necesitamos que este seno de 6T tenga denominador 6T y también que este seno de 2T tenga como denominador 2T. Todo esto es pensando en esta propiedad. Si tenemos seno, por ejemplo, de KT, todo esto sobre KT, y el límite cuando te tiende a 0, este límite será igual a 1. A esto es que tenemos que apuntarle en este ejercicio. Recordemos que esta expresión tiene aquí adelante límite cuando te tiende a 0. Ahora más adelante volvemos a colocarlo. Entonces, siempre debemos apuntarle a este modelo, a tratar de que nos aparezca esto. Es decir, seno de 6T sobre 6T y seno de 2T sobre 2T. Entonces, veamos cómo se consigue ese objetivo. Hacemos lo siguiente. Seno de 6T, le vamos a colocar el denominador que necesitamos, que es 6T. Pero para contrarrestar eso, debemos multiplicar por 6T. Eso es lo que permite que este recurso o este artificio matemático sea lícito. Multiplicar y dividir por la misma cantidad. Por acá tenemos coseno de 6T. Ese no necesita ninguna transformación. Y vamos a hacerle lo mismo al seno de 2T. Entonces, dejamos un espacio. Tenemos seno de 2T. Todo esto sobre 2T. Y aquí multiplicamos por 2T. Es decir, insertamos 2T, que es el mismo que tengo aquí abajo. Para que también sea lícito en el denominador la transformación que requerimos. A continuación, vemos que podríamos simplificar este 6T con este 2T. Es decir, podemos retirar la T y podríamos simplificar el 6 con el 2. Sacamos mitad. Mital de 6 es 3. Mital de 2 es 1. Entonces, veamos que nos quedó en definitiva. Arriba tenemos 3 que multiplica al seno de 6T. Todo esto sobre 6T. Por acá abajo tenemos coseno de 6T que multiplica al seno de 2T. Y todo esto sobre 2T. Como podemos ver, ya hemos conseguido lo que necesitábamos para el límite. Entonces, a continuación, vamos a colocar el límite acá adelante y damos solución al ejercicio. Si escribimos el límite cuando te tiende a 0, aquí delante de toda esta expresión. Vemos que podemos aplicar las propiedades de los límites. Recordemos que el límite de una expresión se reparte para cada uno de los componentes de la expresión. Respetando las operaciones que se encuentran allí. Inicialmente tenemos un cociente, entonces el límite afectaría tanto al numerador como al denominador. Pero a su vez vemos que en el numerador hay un producto de una constante por una expresión. Entonces allí también el límite se reparte para cada componente. Y acá abajo otro producto, entonces también el límite se repartiría para ese producto. Entonces, eso nos quedaría de la siguiente manera. Vamos a hacerlo por acá. Tendremos en el numerador el límite de 3 cuando te tiende a 0. Vamos a colocarlo así con corchetico. Todo esto multiplicando por el límite del seno de 6t sobre 6t cuando te tiende a 0. Y debajo tendremos límite del coseno de 6t cuando te tiende a 0. Todo esto multiplicando por el límite del seno de 2t, todo esto sobre 2t cuando te tiende a 0. Entonces vemos como el límite ha afectado cada uno de los componentes de la expresión respetando las operaciones. Ya lo que hacemos es resolver cada uno de esos límites. Entonces por ejemplo aquí tenemos el límite de una constante. Recordemos que el límite de una constante es la constante. Por lo tanto el límite de 3 cuando te tiende a 0 será igual a 3. Por aquí tenemos el límite del coseno de 6t cuando te tiende a 0. Si reemplazamos el 0 aquí tendremos 6 por 0 que nos da 0. Y el coseno de 0 equivale a 1. Es decir que este límite sale por evaluación directa y nos da 1. Estos dos límites son los que se ajustan a la propiedad que mencionábamos hace un rato. Límite del seno de kt sobre kt cuando te tiende a 0 es igual a 1. K es cualquier constante, cualquier número real. Como en este caso vemos que es el 6 y aquí vemos que es el 2. Por lo tanto este límite de aquí vale 1 y este límite vale 1. Esto está sustentado por esta propiedad. En definitiva tendremos lo siguiente. En el numerador nos quedó 3 multiplicado por 1 que es igual a 3. Y en el denominador 1 por 1 que es igual a 1. Por lo tanto esto nos da 3 que sería la respuesta para nuestro ejercicio. Aquí hemos terminado.
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conseguido lo que necesit\u00e1bamos para el l\u00edmite."}, {"start": 269.0, "end": 275.0, "text": " Entonces, a continuaci\u00f3n, vamos a colocar el l\u00edmite ac\u00e1 adelante y damos soluci\u00f3n al ejercicio."}, {"start": 275.0, "end": 282.0, "text": " Si escribimos el l\u00edmite cuando te tiende a 0, aqu\u00ed delante de toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 282.0, "end": 285.0, "text": " Vemos que podemos aplicar las propiedades de los l\u00edmites."}, {"start": 285.0, "end": 293.0, "text": " Recordemos que el l\u00edmite de una expresi\u00f3n se reparte para cada uno de los componentes de la expresi\u00f3n."}, {"start": 293.0, "end": 296.0, "text": " Respetando las operaciones que se encuentran all\u00ed."}, {"start": 296.0, "end": 303.0, "text": " Inicialmente tenemos un cociente, entonces el l\u00edmite afectar\u00eda tanto al numerador como al denominador."}, {"start": 303.0, "end": 308.0, "text": " Pero a su vez vemos que en el numerador hay un producto de una 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