INTEGRALES DIRECTAS - Ejercicios 7 y 8
#julioprofe explica cómo resolver dos integrales que contienen potencias en el integrando.

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 En esta ocasión vamos a resolver estas dos integrales que contienen expresiones exponenciales en el integrando. Al comienzo tal vez parecen integrales complicadas, pero vamos a ver como mediante la aplicación de estrategias algebraicas ellas pueden convertirse en integrales directas fáciles de resolver. En el primer ejercicio vamos a comenzar por reescribir esto que tenemos en el exponente del integrando. Para ello utilizamos la siguiente propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de una potencia b a la c, entonces el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo. Entonces queda c por el logaritmo en base a de b. Esta propiedad también funciona en sentido contrario, es decir, nos podemos devolver. Si tenemos una cantidad multiplicando a la izquierda del logaritmo, entonces por medio de esta propiedad la podemos situar como exponente en el argumento. Eso es lo que va a pasar con este número 2. Como está aquí multiplicando, entonces lo podemos trasladar aquí como exponente. Nos queda entonces la integral de 3 elevado al logaritmo en base a 3 de la raíz cuadrada de x más 6 y todo esto al cuadrado. Todo esto con su respectivo diferencial de x. Entonces vemos como el 2 se convierte en exponente aquí en el argumento del logaritmo. Esto apoyado en esa propiedad. Ahora vamos a utilizar otra propiedad que combina potenciación con logaritmación. Si tenemos a elevada al logaritmo en base a de una cantidad p, entonces esto es igual a p. Es una propiedad que como decíamos combina potenciación, pero aquí en el exponente tenemos un logaritmo. El logaritmo tiene la misma base que tiene la base de la potencia principal. Entonces es como si se cancelan estas dos operaciones, potenciación con logaritmación y dejan libre el argumento del logaritmo. Eso es lo que está ocurriendo en este caso. Este 3 que es la base de la potencia principal coincide con la base del logaritmo. Es esta misma situación. Entonces todo esto dará como resultado esta cantidad que tenemos aquí y que es el argumento del logaritmo. Entonces esto nos va a quedar como la integral de esta expresión. Entre paréntesis la raíz cuadrada de x más 6, todo esto al cuadrado con su respectivo diferencial de x. Ahora nuestro problema es desarrollar esta expresión que nos queda en el integrando. Para ello aplicamos el producto notable llamado binomio al cuadrado. Entonces recordemos que esto es igual a la primera cantidad al cuadrado más dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado. Vamos a aplicar este producto notable en esta ocasión. Nos queda entonces la integral de, abrimos un corchete, el primer termino que es raíz de x al cuadrado más dos veces el primer termino que es raíz de x por el segundo que es 6 más el segundo termino que es 6 al cuadrado. Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x. Continuamos por acá. Esto nos va a quedar entonces de la siguiente manera. Raíz cuadrada de x elevada al cuadrado, eso nos queda x. Aquí también la potenciación y la radicación se cancelan mutuamente y nos liberan la x. Esto más 2 por raíz de x por 6 nos da 12 raíz de x. Y más 6 al cuadrado que es 36. Protejemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Ahora vamos a transformar esta raíz cuadrada de x en potencia. Nos va a quedar como x elevada al exponente 1 medio. Y tenemos todo listo para realizar la integral. Tenemos tres términos que son fácilmente integrables. Comencemos entonces con la integral de x que nos da x al cuadrado sobre 2. Más en el segundo termino dejamos el 12 quieto y hacemos la integral de x al 1 medio. Eso nos dará x a la 3 medios. Todo esto sobre 3 medios. Recordemos que a 1 medio se le suma 1 y nos da 3 medios. Y ese mismo resultado lo escribimos aquí en el denominador. Esto más la integral de 36 que es 36x. Y escribimos por primera vez la constante de integración. Finalmente vamos a pulir el segundo término. Lo que es el primero y el tercero van a quedar como están. Entonces esto nos queda de la siguiente manera. x al cuadrado sobre 2 más aquí. Este 2 sube a multiplicar con 12 nos da 24. Y 24 se simplifica con 3 y nos queda 8. 8 que acompaña a x a la 3 medios. Y esto más 36x más la constante de integración. Esta será entonces la respuesta a este ejercicio que originalmente traía una expresión exponencial en el integrando. Vemos entonces la importancia de aplicar las propiedades de la algebra para llegar en este caso a una expresión más sencilla. Y que hace que la integral se convierta en una integral directa. Esta es entonces la respuesta del primer ejercicio. Para el segundo ejercicio vamos a comenzar recordando que el logaritmo natural o logaritmo neperiano de una cantidad x es igual al logaritmo en la base e de esa cantidad x. Donde e es el número de Euler y equivale a 2.71828 puntos suspensivos. Se trata de un número decimal infinito no periódico. Los números siguen caóticamente extendiéndose sin terminar y por eso hacen que sea un número decimal infinito no periódico. Se trata de un número que pertenece al conjunto de los números irracionales. Las mismas propiedades que habíamos visto como en el ejercicio anterior para un logaritmo en cualquier base como la que habíamos citado. Entonces se van a cumplir para los logaritmos naturales. Si tenemos logaritmo natural de P elevada al exponente Q. Entonces esto es igual a Q por logaritmo natural de P. La misma situación que tenemos con un logaritmo en cualquier otra base. Entonces de igual forma esta cantidad que está multiplicando delante del logaritmo se convierte en exponente en el argumento. Y eso es lo que vamos a realizar aquí. Nos queda entonces E elevada al logaritmo natural de 4x menos 5 y todo esto elevado al cubo. Este 3 pasa a convertirse en exponente de 4x menos 5 y escribimos el diferencial de x de la integral. La propiedad que habíamos visto en el ejercicio anterior que decía que A elevada al logaritmo en base a de una cantidad P esto es igual a esa misma cantidad P también se cumple si en lugar de la letra A tenemos el número de Euler. Entonces sería E elevada al logaritmo en la base E de esa cantidad P y esto nos da como resultado P. Pero como vimos hace un momento el logaritmo en la base E se convierte en el logaritmo natural o logaritmo neperiano que se representa como Ln. Entonces esta propiedad se puede aplicar en esta situación. Esto que tenemos aquí dará como resultado 4x menos 5 elevado al cubo. Entonces vamos a reescribir el integrando. Nos queda la integral de entre paréntesis 4x menos 5, esto elevado al cubo con su respectivo diferencial de x. Entonces esto se convierte en esta expresión utilizando esta propiedad. Ahora vamos a desarrollar este binomio al cubo utilizando el producto notable que se llama justamente así. Vamos a recordarlo. Binomio A menos B elevado al cubo es igual al primer termino al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado por el segundo más tres veces el primer termino por el segundo elevado al cuadrado menos el segundo termino elevado al cubo. Entonces vamos a aplicar esto para hacer el desarrollo de este binomio elevado al cubo. Vamos a seguir por acá y nos queda así. Abrimos un corchete y entonces tenemos el primer termino elevado al cubo. O sea entre paréntesis 4x elevado al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado, o sea 4x al cuadrado por el segundo que es 5. Cuando nos referimos al segundo termino únicamente consideramos la cantidad, no incluimos el signo menos. El signo menos ya hace su papel aquí en el hecho de que los signos van a quedar intercalados en el desarrollo. Siempre comenzamos con positivo, positivo, negativo, positivo, negativo. Entonces en el segundo termino, es decir aquí donde tenemos la b, va a entrar únicamente el 5 más tres por a que es 4x por b que es 5 al cuadrado menos b que vale 5 al cubo. Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x. Vamos a continuar el ejercicio por aquí y a continuación vamos a desarrollar las potencias que tenemos en este polinomio. Comenzamos por aquí, vamos a abrir paréntesis, tenemos que 4x elevado al cubo es 64x al cubo. Dicemos que el 3 afecta al número 4 y a la letra x, menos 3 por aquí desarrollamos 4x al cuadrado, eso nos da 16x al cuadrado, esto por 5 más 3 por 4x por 5 al cuadrado que es 25 menos 5 al cubo que es 125, cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de x. Paso siguiente, vamos a desarrollar las multiplicaciones que tenemos en el segundo y en el tercer termino de este polinomio. Que da 64x al cubo menos 3 por 16 por 5, eso nos da 240 acompañado de x al cuadrado, más 3 por 4 por 25, eso nos da 300 acompañado de la letra x, esto menos 125, protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Y allí llegamos a una expresión fácilmente integrable, es una integral directa, hacemos la integral de cada uno de los términos de la siguiente manera. La integral del primero dejamos el 64 quieto y nos ocupamos de integrar x al cubo, la integral de x a la 3 es x a la 4 sobre 4, menos 240 que se queda intacto, integramos x a la 2 que nos da x a la 3 sobre 3, más 300, se deja como está, integramos la x que tiene exponente 1, eso nos da x a la 2 sobre 2, menos la integral de 125 que será 125x y escribimos la constante de integración por primera vez. Para terminar realizamos la simplificación de los términos donde eso sea posible, se puede simplificar aquí también en este término y en este también. Entonces aquí tenemos 64 dividido entre 4 nos da 16 que queda acompañado de x a la 4, menos 240 simplificando con 3 nos queda 80x al cubo, más 300 dividido entre 2 nos da 150 acompañado de x al cuadrado, menos 125x y esto más c. Y así llegamos al resultado de esta integral.
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listo para realizar la integral."}, {"start": 312.0, "end": 316.0, "text": " Tenemos tres t\u00e9rminos que son f\u00e1cilmente integrables."}, {"start": 316.0, "end": 324.0, "text": " Comencemos entonces con la integral de x que nos da x al cuadrado sobre 2."}, {"start": 324.0, "end": 332.0, "text": " M\u00e1s en el segundo termino dejamos el 12 quieto y hacemos la integral de x al 1 medio."}, {"start": 332.0, "end": 335.0, "text": " Eso nos dar\u00e1 x a la 3 medios."}, {"start": 335.0, "end": 338.0, "text": " Todo esto sobre 3 medios."}, {"start": 338.0, "end": 343.0, "text": " Recordemos que a 1 medio se le suma 1 y nos da 3 medios."}, {"start": 343.0, "end": 347.0, "text": " Y ese mismo resultado lo escribimos aqu\u00ed en el denominador."}, {"start": 347.0, "end": 353.0, "text": " Esto m\u00e1s la integral de 36 que es 36x."}, {"start": 353.0, "end": 359.0, "text": " Y escribimos por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 359.0, "end": 363.0, "text": " 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{"start": 474.0, "end": 481.0, "text": " Se trata de un n\u00famero que pertenece al conjunto de los n\u00fameros irracionales."}, {"start": 481.0, "end": 486.0, "text": " Las mismas propiedades que hab\u00edamos visto como en el ejercicio anterior"}, {"start": 486.0, "end": 491.0, "text": " para un logaritmo en cualquier base como la que hab\u00edamos citado."}, {"start": 491.0, "end": 496.0, "text": " Entonces se van a cumplir para los logaritmos naturales."}, {"start": 496.0, "end": 502.0, "text": " Si tenemos logaritmo natural de P elevada al exponente Q."}, {"start": 502.0, "end": 507.0, "text": " Entonces esto es igual a Q por logaritmo natural de P."}, {"start": 507.0, "end": 513.0, "text": " La misma situaci\u00f3n que tenemos con un logaritmo en cualquier otra base."}, {"start": 513.0, "end": 522.0, "text": " Entonces de igual forma esta cantidad que est\u00e1 multiplicando delante del logaritmo se convierte en exponente en el argumento."}, {"start": 522.0, "end": 526.0, "text": " Y eso es lo que vamos a realizar aqu\u00ed."}, {"start": 526.0, "end": 537.0, "text": " Nos queda entonces E elevada al logaritmo natural de 4x menos 5 y todo esto elevado al cubo."}, {"start": 537.0, "end": 549.0, "text": " Este 3 pasa a convertirse en exponente de 4x menos 5 y escribimos el diferencial de x de la integral."}, {"start": 549.0, "end": 560.0, "text": " La propiedad que hab\u00edamos visto en el ejercicio anterior que dec\u00eda que A elevada al logaritmo en base a de una cantidad P"}, {"start": 560.0, "end": 570.0, "text": " esto es igual a esa misma cantidad P tambi\u00e9n se cumple si en lugar de la letra A tenemos el n\u00famero de Euler."}, {"start": 570.0, "end": 581.0, "text": " Entonces ser\u00eda E elevada al logaritmo en la base E de esa cantidad P y esto nos da como resultado P."}, {"start": 581.0, "end": 594.0, "text": " Pero como vimos hace un momento el logaritmo en la base E se convierte en el logaritmo natural o logaritmo neperiano que se representa como Ln."}, {"start": 594.0, "end": 600.0, "text": " Entonces esta propiedad se puede aplicar en esta situaci\u00f3n."}, {"start": 600.0, "end": 607.0, "text": " Esto que tenemos aqu\u00ed dar\u00e1 como resultado 4x menos 5 elevado al cubo."}, {"start": 607.0, "end": 612.0, "text": " Entonces vamos a reescribir el integrando."}, {"start": 612.0, "end": 625.0, "text": " Nos queda la integral de entre par\u00e9ntesis 4x menos 5, esto elevado al cubo con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 625.0, "end": 632.0, "text": " Entonces esto se convierte en esta expresi\u00f3n utilizando esta propiedad."}, {"start": 632.0, "end": 642.0, "text": " Ahora vamos a desarrollar este binomio al cubo utilizando el producto notable que se llama justamente as\u00ed."}, {"start": 642.0, "end": 644.0, "text": " Vamos a recordarlo."}, {"start": 644.0, "end": 665.0, "text": " Binomio A menos B elevado al cubo es igual al primer termino al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado por el segundo m\u00e1s tres veces el primer termino por el segundo elevado al cuadrado menos el segundo termino elevado al cubo."}, {"start": 665.0, "end": 674.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esto para hacer el desarrollo de este binomio elevado al cubo."}, {"start": 674.0, "end": 678.0, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1 y nos queda as\u00ed."}, {"start": 678.0, "end": 683.0, "text": " Abrimos un corchete y entonces tenemos el primer termino elevado al cubo."}, {"start": 683.0, "end": 697.0, "text": " O sea entre par\u00e9ntesis 4x elevado al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado, o sea 4x al cuadrado por el segundo que es 5."}, {"start": 697.0, "end": 705.0, "text": " Cuando nos referimos al segundo termino \u00fanicamente consideramos la cantidad, no incluimos el signo menos."}, {"start": 705.0, "end": 713.0, "text": " El signo menos ya hace su papel aqu\u00ed en el hecho de que los signos van a quedar intercalados en el desarrollo."}, {"start": 713.0, "end": 718.0, "text": " Siempre comenzamos con positivo, positivo, negativo, positivo, negativo."}, {"start": 718.0, "end": 743.0, "text": " Entonces en el segundo termino, es decir aqu\u00ed donde tenemos la b, va a entrar \u00fanicamente el 5 m\u00e1s tres por a que es 4x por b que es 5 al cuadrado menos b que vale 5 al cubo."}, {"start": 743.0, "end": 750.0, "text": " Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 750.0, "end": 763.0, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por aqu\u00ed y a continuaci\u00f3n vamos a desarrollar las potencias que tenemos en este polinomio."}, {"start": 763.0, "end": 773.0, "text": " Comenzamos por aqu\u00ed, vamos a abrir par\u00e9ntesis, tenemos que 4x elevado al cubo es 64x al cubo."}, {"start": 773.0, "end": 799.0, "text": " Dicemos que el 3 afecta al n\u00famero 4 y a la letra x, menos 3 por aqu\u00ed desarrollamos 4x al cuadrado, eso nos da 16x al cuadrado, esto por 5 m\u00e1s 3 por 4x por 5 al cuadrado que es 25"}, {"start": 799.0, "end": 810.0, "text": " menos 5 al cubo que es 125, cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 810.0, "end": 824.0, "text": " Paso siguiente, vamos a desarrollar las multiplicaciones que tenemos en el segundo y en el tercer termino de este polinomio."}, {"start": 824.0, "end": 852.0, "text": " Que da 64x al cubo menos 3 por 16 por 5, eso nos da 240 acompa\u00f1ado de x al cuadrado, m\u00e1s 3 por 4 por 25, eso nos da 300 acompa\u00f1ado de la letra x, esto menos 125, protegemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 852.0, "end": 869.0, "text": " Y all\u00ed llegamos a una expresi\u00f3n f\u00e1cilmente integrable, es una integral directa, hacemos la integral de cada uno de los t\u00e9rminos de la siguiente manera."}, {"start": 869.0, "end": 888.0, "text": " La integral del primero dejamos el 64 quieto y nos ocupamos de integrar x al cubo, la integral de x a la 3 es x a la 4 sobre 4, menos 240 que se queda intacto,"}, {"start": 888.0, "end": 906.0, "text": " integramos x a la 2 que nos da x a la 3 sobre 3, m\u00e1s 300, se deja como est\u00e1, integramos la x que tiene exponente 1, eso nos da x a la 2 sobre 2,"}, {"start": 906.0, "end": 918.0, "text": " menos la integral de 125 que ser\u00e1 125x y escribimos la constante de integraci\u00f3n por primera vez."}, {"start": 918.0, "end": 933.0, "text": " Para terminar realizamos la simplificaci\u00f3n de los t\u00e9rminos donde eso sea posible, se puede simplificar aqu\u00ed tambi\u00e9n en este t\u00e9rmino y en este tambi\u00e9n."}, {"start": 933.0, "end": 949.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos 64 dividido entre 4 nos da 16 que queda acompa\u00f1ado de x a la 4, menos 240 simplificando con 3 nos queda 80x al cubo,"}, {"start": 949.0, "end": 966.0, "text": " m\u00e1s 300 dividido entre 2 nos da 150 acompa\u00f1ado de x al cuadrado, menos 125x y esto m\u00e1s c."}, {"start": 966.0, "end": 983.0, "text": " Y as\u00ed llegamos al resultado de esta integral."}]