DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO: DEMOSTRACIÓN Y EJEMPLO
#julioprofe hace la demostración de la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos del plano cartesiano. Luego expone un ejemplo de aplicación de dicha fórmula.

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 En esta ocasión veremos la demostración de la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos del plano cartesiano. Después veremos un ejemplo de aplicación de esa fórmula. Comenzamos considerando dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano. Por ejemplo, tomamos este que vamos a llamar el punto P1 y podemos tomar este de acá que vamos a llamar el punto P2. Cada uno de esos puntos tiene su abscisa y su ordenada. Entonces, para el caso del punto P1 vamos a llamar su abscisa x1 y su ordenada la llamamos y1. Ahora para el punto P2 su abscisa, o sea su valor en x, es x2 y su ordenada, o sea su valor en el eje y, lo llamamos y2. Ahora entre los puntos P1 y P2 tenemos un segmento de recta cuya longitud es la que vamos a determinar. Siendo P1 el punto cuyas coordenadas son x1, y1 y el punto P2 aquel cuyas coordenadas son x2, y2. Entonces vamos a llamar esa distancia de y es la que vamos a determinar. En eso consiste nuestra demostración. Para ello vamos a considerar este triángulo rectángulo. Vamos a llamar este punto con la letra Q es allí donde tenemos el ángulo recto o el ángulo de 90 grados. Vamos entonces a determinar la longitud de cada uno de los catetos de ese triángulo. La longitud de este cateto, el segmento que va desde P1 hasta Q será la diferencia entre estas dos abscisas, la mayor menos la menor. Entonces vamos a escribirla por acá. x2 menos x1 será esta distancia que corresponde a la longitud de ese cateto. Ahora la longitud del otro cateto, es decir el segmento que va desde P2 hasta Q será esta distancia que corresponde a la diferencia entre esas dos coordenadas. Vamos a escribir eso por acá. Será la mayor que es y2 menos la menor que se ha representado como y1. Entonces lo que hacemos ahora es dibujar por acá ese triángulo rectángulo. El que tiene como vértices los puntos P1, P2 y Q. Entonces escribimos acá sus dimensiones. La hipotenusa es la letra D. Este cateto dijimos que su longitud se representa o se expresa como x2 menos x1 y el otro cateto tiene una longitud representada por y2 menos y1. Ahora por ser este un triángulo rectángulo entonces es perfectamente lícito aplicar el teorema de Pitágoras. Recordemos que ese teorema nos dice lo siguiente. La longitud de la hipotenusa al cuadrado, o sea el segmento P1, P2, todo esto elevado al cuadrado debe ser igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos, es decir el cateto P1, Q, ese segmento su longitud elevada al cuadrado más el otro cateto que será el segmento P2, Q, su longitud también elevada al cuadrado. Ahora para cada uno de esos segmentos vamos a reemplazar las medidas que tenemos acá. El segmento P1, P2, o sea la hipotenusa tiene una longitud que hemos llamado D, entonces nos queda D al cuadrado. Este segmento P1, Q, su longitud dijimos que es x2 menos x1 y esto va al cuadrado más el otro segmento P2, Q cuya longitud es y2 menos y1 y todo esto elevado al cuadrado. Lo que hacemos ahora es tomar raíz cuadrada a ambos lados de esta igualdad. Bien allí tenemos eso y en el lado izquierdo esta raíz cuadrada con este exponente 2 se cancelan mutuamente, nos libera la letra D. Vamos a escribirle entonces pero no podemos olvidar que esto nos produce dos resultados, D será igual a más o menos esta raíz cuadrada. Sin embargo debemos recordar que D es la longitud de este segmento, es la distancia entre los puntos P1 y P2 y las distancias siempre deben ser cantidades positivas, por lo tanto quitamos esto y pulimos nuestra expresión. Allí tenemos entonces la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos P1 y P2 en el plano cartesiano. Veamos este ejemplo, hallar la distancia entre los puntos A de coordenadas menos 3,1 y B de coordenadas 1,2. Este hace el papel del punto P1, entonces lo llamamos x1 y1 y este otro hace el papel del punto P2, entonces lo nombramos como x2 y2, aunque podríamos llamar este punto como P2 con x2 y2 y este como P1 con x1 y1, eso no importa en el desarrollo del ejercicio. Usamos entonces la fórmula que demostramos, veamos entonces como nos queda distancia de entre los puntos A y B será igual a la raíz cuadrada de x2 que vale 1, esto menos x1 que vale menos 3, entonces ese número lo protegemos con paréntesis por ser negativo y toda esta diferencia la protegemos con corchetes para que esté elevada al cuadrado. Vamos con el otro componente, tenemos y2 que es menos 2, esto menos y1 que vale 1, esto lo protegemos con paréntesis y va elevado al cuadrado. Resolviendo esas operaciones nos queda así, raíz cuadrada de 1 menos menos 3, esto es como tener 1 más 3 que nos da 4 y 4 elevado al cuadrado es 16, más menos 2 menos 1 esto nos da menos 3 y menos 3 al cuadrado nos da 9. Ahora esta suma que tenemos dentro de la raíz nos da 25, por lo tanto el valor de D será la raíz cuadrada de 25 que es igual a 5, entonces la distancia D entre los puntos A y B que pertenecen al plano cartesiano es de 5 unidades. Lo anterior que hemos determinado analíticamente utilizando la fórmula que demostramos podemos verificarlo ahora gráficamente. Venimos al plano cartesiano, localizamos el punto A con coordenadas menos 3,1 ese punto nos queda aquí en el segundo cuadrante y ahora localizamos el punto B coordenadas 1,2 queda localizado acá en el cuarto cuadrante. Ahora analíticamente la longitud del segmento AB nos dio 5 unidades, vamos a comprobarlo. Con esta escuadra podemos hacer dos marcas que correspondan a los puntos A y B, aquí tenemos el punto A y acá el punto B y ahora venimos acá al eje X para verificar si efectivamente esa distancia corresponde a 5 unidades, vamos a bajarla un poco, allí la tenemos, tenemos entonces que corresponde a la distancia que hay entre 0 y 5 en el eje X, eso nos confirma que la longitud de ese segmento es de 5 unidades.
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