VALOR EXACTO DEL SENO DE UN ÁNGULO DOBLE
#julioprofe explica cómo encontrar el valor exacto del seno de un ángulo doble a partir de información de dicho ángulo.

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 Si la angente de α es igual a 4 tercios, donde α es un ángulo comprendido entre π radianes y 3 π radianes, determinar el valor exacto de seno de 2α. Bien, en este problema conocemos esta información y debemos encontrar el valor exacto del seno de 2α. Recordemos que esto es igual a 2 por el seno de α por el coseno de α. Se trata de la identidad trigonométrica para el seno del ángulo doble. Entonces, debemos encontrar el valor de seno de α y coseno de α, valores exactos, para poder determinar lo que nos piden en el problema. Esta información de que α es un ángulo comprendido entre π radianes y 3 π radianes, quiere decir que α es un ángulo localizado en el tercer cuadrante. Por aquí tenemos π radianes, es decir, 180 grados, y por acá tenemos 3 π radianes, que corresponde a 270 grados. Por lo tanto, α es un ángulo que pertenece a este cuadrante del plano cartesiano. Entonces, decimos que α pertenece al tercer cuadrante. En el tercer cuadrante del plano cartesiano, tenemos que las funciones seno y coseno tienen signo negativo. Entonces, seno de α y coseno de α, ambas tendrán signo negativo. Como paso siguiente, podemos dibujar un triángulo rectángulo llamando α a uno de sus ángulos agudos. Y entonces, hacemos uso de la definición de la relación trigonométrica tangente. Recordemos que en un triángulo rectángulo, la tangente de uno de los ángulos agudos es igual a la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Entonces, en este triángulo, el cateto opuesto al ángulo α es 4 unidades, mientras que el cateto adyacente al ángulo α tiene un valor de 3 unidades. Y utilizando el teorema de Pitágoras, podemos encontrar el valor de la hipotenusa de ese triángulo. Tenemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a 3 al cuadrado más 4 al cuadrado. Recordemos que el teorema de Pitágoras nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Resolviendo, esto nos da 9 más 16, que es igual a 25. Y despejando H nos queda igual a la raíz cuadrada positiva de 25. Eso nos da una hipotenusa igual a 5 unidades. Ya tenemos entonces los tres lados del triángulo rectángulo conocidos. Utilizando la información que tenemos en este triángulo rectángulo, podemos determinar con exactitud los valores de seno de α y coseno del ángulo α. Para esto, recordemos que utilizar Socatoa es de gran ayuda. Coseno es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Coseno es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa y tangente. La que tenemos como dato del problema es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, tal como lo habíamos mencionado hace un momento. Entonces, tenemos que seno de α, seno de este ángulo, es cateto opuesto sobre hipotenusa, es decir, 4 quintos. Pero no podemos olvidar que el seno de α tiene signo negativo por ser α un ángulo del tercer cuadrante. Ya tenemos entonces el valor exacto de seno de α. Y coseno α será la relación entre cateto adyacente y la hipotenusa, es decir, 3 quintos. De igual manera, el coseno tiene signo negativo, entonces lo anotamos junto al valor encontrado. Conocidos estos valores de seno de α y coseno de α, vamos entonces a encontrar lo que nos preguntan en este ejercicio. Tenemos que seno de 2 α es igual a 2 por el seno de α que nos dio menos 4 quintos. Y eso multiplicado por el coseno de α que nos dio menos 3 quintos. Resolvemos toda esa multiplicación. Recordemos que a este 2 le podemos colocar denominador 1. Y entonces tenemos la multiplicación de dos cantidades negativas, eso nos dará positivo por otra cantidad positiva. Entonces nuestro resultado será positivo. Multiplicamos numeradores entre sí, 2 por 4, 8, 8 por 3, 24. Y multiplicamos denominadores entre sí, eso nos da 25. Para este ejercicio la respuesta será entonces 24, 25 a 2. Es el valor exacto del seno de 2 α.
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