DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 29
#julioprofe explica cómo determinar la derivada de una función que contiene radicales.

Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Para derivar esta función, primero debemos reescribirla. Aplicamos entonces la siguiente propiedad de la radicación. Si tenemos la raíz de índice n de otra raíz de índice p, y acá tenemos la cantidad subradical o el radicando que es a, entonces multiplicamos los índices de las raíces, en este caso n por p, y acá conservamos el radicando que es a. Entonces aquí tenemos por acá índice 2, recordemos que es invisible, entonces 2 multiplica con 5, nos quedaría entonces el índice 10, raíz de índice 10 de la misma expresión, x menos 4 sobre x más 2. Ahora, esta expresión puede escribirse de la siguiente forma, tenemos la raíz de índice 10 y dentro de ella toda esta expresión, x menos 4 sobre x más 2, la podemos escribir con paréntesis y acá con exponente 1. Digamos que esos componentes aquí son invisibles, pues acá los hacemos visibles y esto es para poder convertir esa expresión en potencia, utilizando la siguiente propiedad. Si tenemos la raíz de índice n de una potencia a a la m, esto será igual a a a la m sobre n, es decir, acá tendremos el exponente del radicando sobre el índice de la raíz. Esta propiedad es la que nos conecta la radicación con la potenciación, entonces acá tendremos la expresión x menos 4 sobre x más 2, todo esto con paréntesis elevada al exponente 1 sobre 10, un décimo, el exponente del radicando sobre el índice de la raíz. Ahora sí, vamos a iniciar el proceso de derivación, aquí ya entramos a derivar, hasta ahora lo que hemos hecho es reescribir la expresión original de la función. Lo que tenemos acá es una expresión elevada a un exponente, entonces vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias, la de manzanita a la n, en este caso la manzanita es toda esta expresión que está en términos de x y n es el exponente un décimo. El modelo dice así, baja la n, queda la manzanita intacta elevada al exponente n menos 1 y eso lo multiplicamos por la derivada interna, es decir, por la derivada de la manzanita. Esta es entonces la regla de la cadena para potencias, acá tendremos entonces para la función f de x, su derivada se denota como f' de x y siguiendo esta instrucción tenemos que baja el exponente un décimo, el que hace el papel de la n, luego eso multiplica a la manzanita que permanece intacta, es decir, la expresión x menos 4 sobre x más 2, todo esto protegido con paréntesis, eso elevado al exponente n menos 1, es decir, un décimo menos 1. Recordemos que aquí se puede aplicar el siguiente truco, 1 menos 10 nos da menos 9 y conservamos el mismo denominador que es 10, menos 9 decimos es el resultado de efectuar un décimo menos 1 y eso va multiplicado por la derivada interna, es decir, por la derivada de lo que es la manzanita, sería la derivada de x menos 4 sobre x más 2 que aquí vamos a dejar indicada. Continuamos por acá, f' de x será entonces igual a un décimo y eso multiplica con esta expresión donde podemos aplicar la siguiente propiedad de la potenciación, si tenemos una fracción a sobre b elevada al exponente menos n, esto será igual a invertir la fracción nos queda b sobre a y el exponente cambia de signo, ahora es n, entonces aquí podemos hacer eso, invertimos la fracción, nos queda x más 2, todo esto sobre x menos 4 y de esa manera ya el exponente nos cambia de signo, ahora es 9 decimos positivo y esto lo vamos a multiplicar por la derivada de esta expresión, donde vamos a utilizar la regla del cociente, recordemos que esa regla dice así, si tenemos la derivada de un cociente a sobre b, entonces será igual a la derivada del numerador, es decir, a' por el denominador sin derivar que es b menos el numerador sin derivar que es a por la derivada del denominador, o sea b' y todo esto nos queda sobre el denominador que es b elevado al cuadrado, entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar este cociente, vamos a abrir por acá un corchete que nos proteja todo eso, trazamos la línea divisoria, toda esta línea y comenzamos con la derivada del numerador que sería a', aquí tenemos una resta derivamos cada término, derivada de x es 1, derivada de este número es 0, al final la derivada del numerador será 1, eso queda multiplicando por el denominador sin derivar que en este caso es x más 2 y que protegemos con paréntesis, después tenemos menos, el numerador sin derivar que es x menos 4 también lo protegemos con paréntesis y eso multiplica con la derivada del denominador, la derivada de x más 2 es una suma, entonces derivamos cada término, derivada de x es 1, derivada de este número es 0, al final la derivada del denominador será 1 y todo esto nos queda sobre el denominador que es x más 2, todo esto protegido con paréntesis y elevado al cuadrado y por acá cerramos el corchete que protege toda esa expresión, vamos a continuar por aquí, tenemos que f' de x será igual a 1 décimo, esto sigue igual por esto de acá que tiene exponente fraccionario, podemos volver a convertirlo en forma de raíz, aplicamos la propiedad que vimos hace un momento pero en sentido contrario, si tenemos esta situación nos queda entonces la raíz de índice n de a a la m, entonces esto aquí nos va a quedar como la raíz de índice 10, el 10 queda por acá y acá tendremos dentro de la raíz x más 2 todo esto sobre x menos 4 protegido con paréntesis y elevado al exponente 9, ya hemos convertido esta potencia a la forma de raíz y ahora vamos a desarrollar todo esto que tenemos acá, entonces trazamos la línea divisoria y entonces vamos resolviendo las operaciones por acá, 1 por x más 2 nos da x más 2, luego tenemos menos x menos 4 por 1 sería x menos 4 podemos olvidarnos de este 1 y ahora el signo negativo afecta estos dos términos, al romper ese paréntesis entonces se distribuye aquí menos por más nos daría menos x y luego menos por menos nos queda más 4 y en el denominador permanece lo mismo que sería x más 2 todo esto elevado al cuadrado y eso que hemos desarrollado lo protegemos utilizando los corchetes. Continuamos por acá f' de x será igual a lo siguiente, 1 décimo vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicación, vamos a cambiar de posición estos dos factores, aquí vamos a escribir el resultado de esto, en el numerador tenemos x menos x esos son términos semejantes opuestos que se eliminan entre sí, su operación es 0 y nos queda 2 más 4 que será 6, entonces 6 por acá en el numerador en el denominador permanece lo mismo x más 2 todo esto al cuadrado y eso queda multiplicando por esta raíz, allí escribimos el otro factor que hemos intercambiado con esta expresión entonces aquí tendremos la raíz de índice 10 de x más 2 todo esto sobre x menos 4 y a su vez todo esto elevado al exponente 9. Para terminar allí podemos simplificar estas dos cantidades eso se puede hacer porque aquí tenemos multiplicación entonces decimos mitad de 6 es 3 mitad de 10 nos da 5 y podemos multiplicar estas dos fracciones entonces la expresión para f' de x para la derivada de la función nos queda así, trazamos una línea para el resultado de esta multiplicación arriba 1 por 3 nos da 3 acá en el denominador tendremos 5 que multiplica con la expresión x más 2 al cuadrado y todo esto queda multiplicando por esa raíz, la raíz de índice 10 de la expresión x más 2 sobre x menos 4 y eso elevado al exponente 9 y así hemos terminado esta expresión es la derivada para esa función
[{"start": 0.0, "end": 9.68, "text": " Para derivar esta funci\u00f3n, primero debemos reescribirla. Aplicamos entonces la siguiente"}, {"start": 9.68, "end": 15.96, "text": " propiedad de la radicaci\u00f3n. Si tenemos la ra\u00edz de \u00edndice n de otra ra\u00edz de \u00edndice"}, {"start": 15.96, "end": 23.06, "text": " p, y ac\u00e1 tenemos la cantidad subradical o el radicando que es a, entonces multiplicamos"}, {"start": 23.06, "end": 30.4, "text": " los \u00edndices de las ra\u00edces, en este caso n por p, y ac\u00e1 conservamos el radicando que es a."}, {"start": 30.4, "end": 37.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos por ac\u00e1 \u00edndice 2, recordemos que es invisible, entonces 2 multiplica"}, {"start": 37.0, "end": 44.76, "text": " con 5, nos quedar\u00eda entonces el \u00edndice 10, ra\u00edz de \u00edndice 10 de la misma expresi\u00f3n,"}, {"start": 44.76, "end": 54.28, "text": " x menos 4 sobre x m\u00e1s 2. Ahora, esta expresi\u00f3n puede escribirse de la siguiente forma, tenemos"}, {"start": 54.28, "end": 63.68, "text": " la ra\u00edz de \u00edndice 10 y dentro de ella toda esta expresi\u00f3n, x menos 4 sobre x m\u00e1s 2,"}, {"start": 63.68, "end": 69.96, "text": " la podemos escribir con par\u00e9ntesis y ac\u00e1 con exponente 1. Digamos que esos componentes"}, {"start": 69.96, "end": 76.83999999999999, "text": " aqu\u00ed son invisibles, pues ac\u00e1 los hacemos visibles y esto es para poder convertir esa"}, {"start": 76.83999999999999, "end": 83.63999999999999, "text": " expresi\u00f3n en potencia, utilizando la siguiente propiedad. Si tenemos la ra\u00edz de \u00edndice n de"}, {"start": 83.63999999999999, "end": 90.83999999999999, "text": " una potencia a a la m, esto ser\u00e1 igual a a a la m sobre n, es decir, ac\u00e1 tendremos el exponente"}, {"start": 90.83999999999999, "end": 97.44, "text": " del radicando sobre el \u00edndice de la ra\u00edz. Esta propiedad es la que nos conecta la radicaci\u00f3n"}, {"start": 97.44, "end": 107.72, "text": " con la potenciaci\u00f3n, entonces ac\u00e1 tendremos la expresi\u00f3n x menos 4 sobre x m\u00e1s 2, todo esto con"}, {"start": 107.72, "end": 116.12, "text": " par\u00e9ntesis elevada al exponente 1 sobre 10, un d\u00e9cimo, el exponente del radicando sobre el"}, {"start": 116.12, "end": 124.84, "text": " \u00edndice de la ra\u00edz. Ahora s\u00ed, vamos a iniciar el proceso de derivaci\u00f3n, aqu\u00ed ya entramos a derivar,"}, {"start": 124.84, "end": 132.0, "text": " hasta ahora lo que hemos hecho es reescribir la expresi\u00f3n original de la funci\u00f3n. Lo que tenemos"}, {"start": 132.0, "end": 138.96, "text": " ac\u00e1 es una expresi\u00f3n elevada a un exponente, entonces vamos a utilizar la regla de la cadena"}, {"start": 138.96, "end": 145.36, "text": " para potencias, la de manzanita a la n, en este caso la manzanita es toda esta expresi\u00f3n que"}, {"start": 145.36, "end": 152.56, "text": " est\u00e1 en t\u00e9rminos de x y n es el exponente un d\u00e9cimo. El modelo dice as\u00ed, baja la n, queda la"}, {"start": 152.56, "end": 159.88, "text": " manzanita intacta elevada al exponente n menos 1 y eso lo multiplicamos por la derivada interna,"}, {"start": 159.88, "end": 167.12, "text": " es decir, por la derivada de la manzanita. Esta es entonces la regla de la cadena para potencias,"}, {"start": 167.12, "end": 175.16, "text": " ac\u00e1 tendremos entonces para la funci\u00f3n f de x, su derivada se denota como f' de x y siguiendo esta"}, {"start": 175.16, "end": 182.32, "text": " instrucci\u00f3n tenemos que baja el exponente un d\u00e9cimo, el que hace el papel de la n, luego eso"}, {"start": 182.32, "end": 190.64, "text": " multiplica a la manzanita que permanece intacta, es decir, la expresi\u00f3n x menos 4 sobre x m\u00e1s 2,"}, {"start": 190.64, "end": 197.2, "text": " todo esto protegido con par\u00e9ntesis, eso elevado al exponente n menos 1, es decir,"}, {"start": 197.2, "end": 204.07999999999998, "text": " un d\u00e9cimo menos 1. Recordemos que aqu\u00ed se puede aplicar el siguiente truco, 1 menos 10 nos da menos"}, {"start": 204.08, "end": 212.24, "text": " 9 y conservamos el mismo denominador que es 10, menos 9 decimos es el resultado de efectuar un"}, {"start": 212.24, "end": 219.84, "text": " d\u00e9cimo menos 1 y eso va multiplicado por la derivada interna, es decir, por la derivada de"}, {"start": 219.84, "end": 228.08, "text": " lo que es la manzanita, ser\u00eda la derivada de x menos 4 sobre x m\u00e1s 2 que aqu\u00ed vamos a dejar indicada."}, {"start": 228.08, "end": 240.08, "text": " Continuamos por ac\u00e1, f' de x ser\u00e1 entonces igual a un d\u00e9cimo y eso multiplica con esta expresi\u00f3n"}, {"start": 240.08, "end": 246.08, "text": " donde podemos aplicar la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n, si tenemos una fracci\u00f3n a sobre"}, {"start": 246.08, "end": 253.96, "text": " b elevada al exponente menos n, esto ser\u00e1 igual a invertir la fracci\u00f3n nos queda b sobre a y el"}, {"start": 253.96, "end": 260.28000000000003, "text": " exponente cambia de signo, ahora es n, entonces aqu\u00ed podemos hacer eso, invertimos la fracci\u00f3n,"}, {"start": 260.28000000000003, "end": 270.64, "text": " nos queda x m\u00e1s 2, todo esto sobre x menos 4 y de esa manera ya el exponente nos cambia de signo,"}, {"start": 270.64, "end": 278.0, "text": " ahora es 9 decimos positivo y esto lo vamos a multiplicar por la derivada de esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 278.0, "end": 285.08, "text": " donde vamos a utilizar la regla del cociente, recordemos que esa regla dice as\u00ed, si tenemos"}, {"start": 285.08, "end": 292.28, "text": " la derivada de un cociente a sobre b, entonces ser\u00e1 igual a la derivada del numerador, es decir,"}, {"start": 292.28, "end": 299.96, "text": " a' por el denominador sin derivar que es b menos el numerador sin derivar que es a por la derivada"}, {"start": 299.96, "end": 308.59999999999997, "text": " del denominador, o sea b' y todo esto nos queda sobre el denominador que es b elevado al cuadrado,"}, {"start": 308.59999999999997, "end": 314.84, "text": " entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n vamos a derivar este cociente, vamos a abrir por ac\u00e1"}, {"start": 314.84, "end": 322.56, "text": " un corchete que nos proteja todo eso, trazamos la l\u00ednea divisoria, toda esta l\u00ednea y comenzamos con"}, {"start": 322.56, "end": 328.79999999999995, "text": " la derivada del numerador que ser\u00eda a', aqu\u00ed tenemos una resta derivamos cada t\u00e9rmino, derivada"}, {"start": 328.8, "end": 335.6, "text": " de x es 1, derivada de este n\u00famero es 0, al final la derivada del numerador ser\u00e1 1, eso queda"}, {"start": 335.6, "end": 342.72, "text": " multiplicando por el denominador sin derivar que en este caso es x m\u00e1s 2 y que protegemos con par\u00e9ntesis,"}, {"start": 342.72, "end": 350.44, "text": " despu\u00e9s tenemos menos, el numerador sin derivar que es x menos 4 tambi\u00e9n lo protegemos con par\u00e9ntesis"}, {"start": 350.44, "end": 357.76, "text": " y eso multiplica con la derivada del denominador, la derivada de x m\u00e1s 2 es una suma, entonces derivamos"}, {"start": 357.76, "end": 364.8, "text": " cada t\u00e9rmino, derivada de x es 1, derivada de este n\u00famero es 0, al final la derivada del denominador"}, {"start": 364.8, "end": 372.71999999999997, "text": " ser\u00e1 1 y todo esto nos queda sobre el denominador que es x m\u00e1s 2, todo esto protegido con par\u00e9ntesis"}, {"start": 372.71999999999997, "end": 381.64, "text": " y elevado al cuadrado y por ac\u00e1 cerramos el corchete que protege toda esa expresi\u00f3n, vamos a continuar"}, {"start": 381.64, "end": 393.03999999999996, "text": " por aqu\u00ed, tenemos que f' de x ser\u00e1 igual a 1 d\u00e9cimo, esto sigue igual por esto de ac\u00e1 que tiene exponente"}, {"start": 393.03999999999996, "end": 399.68, "text": " fraccionario, podemos volver a convertirlo en forma de ra\u00edz, aplicamos la propiedad que vimos"}, {"start": 399.68, "end": 407.12, "text": " hace un momento pero en sentido contrario, si tenemos esta situaci\u00f3n nos queda entonces la ra\u00edz de \u00edndice n"}, {"start": 407.12, "end": 416.8, "text": " de a a la m, entonces esto aqu\u00ed nos va a quedar como la ra\u00edz de \u00edndice 10, el 10 queda por ac\u00e1"}, {"start": 416.8, "end": 425.24, "text": " y ac\u00e1 tendremos dentro de la ra\u00edz x m\u00e1s 2 todo esto sobre x menos 4 protegido con par\u00e9ntesis"}, {"start": 425.24, "end": 432.52, "text": " y elevado al exponente 9, ya hemos convertido esta potencia a la forma de ra\u00edz y ahora vamos a desarrollar"}, {"start": 432.52, "end": 438.88, "text": " todo esto que tenemos ac\u00e1, entonces trazamos la l\u00ednea divisoria y entonces vamos resolviendo las"}, {"start": 438.88, "end": 447.76, "text": " operaciones por ac\u00e1, 1 por x m\u00e1s 2 nos da x m\u00e1s 2, luego tenemos menos x menos 4 por 1 ser\u00eda x menos 4"}, {"start": 447.76, "end": 454.0, "text": " podemos olvidarnos de este 1 y ahora el signo negativo afecta estos dos t\u00e9rminos, al romper"}, {"start": 454.0, "end": 461.15999999999997, "text": " ese par\u00e9ntesis entonces se distribuye aqu\u00ed menos por m\u00e1s nos dar\u00eda menos x y luego menos por menos"}, {"start": 461.16, "end": 469.6, "text": " nos queda m\u00e1s 4 y en el denominador permanece lo mismo que ser\u00eda x m\u00e1s 2 todo esto elevado al cuadrado"}, {"start": 469.6, "end": 479.6, "text": " y eso que hemos desarrollado lo protegemos utilizando los corchetes. Continuamos por ac\u00e1 f' de x ser\u00e1"}, {"start": 479.6, "end": 486.56, "text": " igual a lo siguiente, 1 d\u00e9cimo vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n,"}, {"start": 486.56, "end": 491.72, "text": " vamos a cambiar de posici\u00f3n estos dos factores, aqu\u00ed vamos a escribir el resultado de esto,"}, {"start": 491.72, "end": 498.48, "text": " en el numerador tenemos x menos x esos son t\u00e9rminos semejantes opuestos que se eliminan"}, {"start": 498.48, "end": 506.2, "text": " entre s\u00ed, su operaci\u00f3n es 0 y nos queda 2 m\u00e1s 4 que ser\u00e1 6, entonces 6 por ac\u00e1 en el numerador"}, {"start": 506.2, "end": 514.08, "text": " en el denominador permanece lo mismo x m\u00e1s 2 todo esto al cuadrado y eso queda multiplicando por esta"}, {"start": 514.08, "end": 520.4000000000001, "text": " ra\u00edz, all\u00ed escribimos el otro factor que hemos intercambiado con esta expresi\u00f3n entonces aqu\u00ed"}, {"start": 520.4000000000001, "end": 529.2800000000001, "text": " tendremos la ra\u00edz de \u00edndice 10 de x m\u00e1s 2 todo esto sobre x menos 4 y a su vez todo esto elevado"}, {"start": 529.2800000000001, "end": 536.5200000000001, "text": " al exponente 9. Para terminar all\u00ed podemos simplificar estas dos cantidades eso se puede"}, {"start": 536.52, "end": 544.68, "text": " hacer porque aqu\u00ed tenemos multiplicaci\u00f3n entonces decimos mitad de 6 es 3 mitad de 10 nos da 5 y"}, {"start": 544.68, "end": 553.4399999999999, "text": " podemos multiplicar estas dos fracciones entonces la expresi\u00f3n para f' de x para la derivada de"}, {"start": 553.4399999999999, "end": 560.12, "text": " la funci\u00f3n nos queda as\u00ed, trazamos una l\u00ednea para el resultado de esta multiplicaci\u00f3n arriba"}, {"start": 560.12, "end": 569.52, "text": " 1 por 3 nos da 3 ac\u00e1 en el denominador tendremos 5 que multiplica con la expresi\u00f3n x m\u00e1s 2 al cuadrado"}, {"start": 569.52, "end": 580.12, "text": " y todo esto queda multiplicando por esa ra\u00edz, la ra\u00edz de \u00edndice 10 de la expresi\u00f3n x m\u00e1s 2 sobre"}, {"start": 580.12, "end": 592.76, "text": " x menos 4 y eso elevado al exponente 9 y as\u00ed hemos terminado esta expresi\u00f3n es la derivada para esa funci\u00f3n"}]