LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico.

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 Para resolver este límite trigonométrico, lo primero que hacemos es evaluar esta expresión que corresponde a una función cuando x toma el valor pi. Veamos, en el numerador tendremos sen pi y en el denominador tendremos pi menos pi. Repetimos, x se cambia por el número pi. Tenemos sen pi radianes, o sea sen 180 grados, que equivale a 0 sobre pi menos pi, que también nos da como resultado 0. Y 0 sobre 0 es una indeterminación, algo que no está definido y que nos dice que debemos utilizar alguna estrategia para resolver ese límite. En esta ocasión vamos a utilizar lo que se llama un cambio de variable. Vamos a llamar con la letra T a la expresión que tenemos en el denominador de la función. T será igual a x menos pi. Y de allí vamos a despejar la letra X. Entonces, para ello pasamos pi que está restando al lado izquierdo a sumar. Nos queda T más pi igual a x, o lo que es lo mismo, x es igual a T más pi. Con esto ya tenemos cómo cambiar la función original. X menos pi será T y la X que está en el numerador será cambiada por T más pi. Ahora también debemos definir la tendencia de la variable original, que es X. Tenemos que ver qué le sucede a la nueva variable que es T cuando X se aproxima a pi. Entonces, eso lo revisamos acá. Decimos, si X tiende o se aproxima a pi, veamos aquí qué sucede, pi menos pi nos da 0. Entonces, la variable T tiende a 0. Ahora sí podemos reescribir el límite utilizando la nueva variable que es T. Tendremos entonces límite ya no cuando X tiende a pi, sino cuando T tiende a 0 de seno de X. Pero dijimos que X es T más pi. Entonces, tendremos seno de T más pi y todo esto sobre X menos pi. Aquí lo tenemos y eso equivale a T. Veamos ahora a qué equivale seno de T más pi. Vamos a utilizar allí una identidad trigonométrica. El seno de la suma de dos ángulos. Seno de A más B es igual a seno de A por coseno de B más seno de B por coseno de A. Entonces, veamos cómo nos queda seno de T más pi. Tendremos seno de T por coseno de pi más seno de pi por coseno de T. Tenemos que el coseno de pi, es decir, el coseno de pi radianes, que es el coseno de 180 grados, equivale a menos 1. Y el seno de pi, el mismo que habíamos evaluado al comienzo, seno de pi radianes, o sea, seno de 180 grados, equivale a 0. 0 por coseno de T nos da 0. Todo este término desaparece. Y acá tenemos seno de T por menos 1, que equivale a menos seno de T. Entonces, esto lo podemos sustituir acá en el numerador. Y tendremos el límite cuando T tiende a 0 de menos seno de T, todo esto sobre T. Aquí podemos reescribir esta expresión de la siguiente manera. Límite de menos 1 que multiplica a la expresión seno de T sobre T cuando T tiende a 0. Vamos a continuar el ejercicio por acá. Y a continuación vamos a aplicar una propiedad de los límites. Una que dice que el límite de un producto de dos expresiones será igual al producto de los límites. Es decir, límite del primer componente por límite del segundo componente. Eso será entonces límite de menos 1 cuando T tiende a 0, todo esto multiplicando al límite cuando T tiende a 0 de seno de T sobre T. Y allí también aplicamos otra propiedad de los límites. Esa que nos dice que el límite de una constante es la misma constante. Luego todo este límite equivale a menos 1. Y este límite, límite cuando T tiende a 0, del seno de T sobre T, por definición, equivale a 1. Por lo tanto tenemos menos 1 por 1 que da como resultado menos 1. Y esta será la respuesta para este ejercicio.
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86.76, "end": 96.92000000000002, "text": " Nos queda T m\u00e1s pi igual a x, o lo que es lo mismo, x es igual a T m\u00e1s pi."}, {"start": 96.92000000000002, "end": 101.24000000000001, "text": " Con esto ya tenemos c\u00f3mo cambiar la funci\u00f3n original."}, {"start": 101.24000000000001, "end": 109.2, "text": " X menos pi ser\u00e1 T y la X que est\u00e1 en el numerador ser\u00e1 cambiada por T m\u00e1s pi."}, {"start": 109.2, "end": 115.2, "text": " Ahora tambi\u00e9n debemos definir la tendencia de la variable original, que es X."}, {"start": 115.2, "end": 121.84, "text": " Tenemos que ver qu\u00e9 le sucede a la nueva variable que es T cuando X se aproxima a pi."}, {"start": 121.84, "end": 124.44, "text": " Entonces, eso lo revisamos ac\u00e1."}, {"start": 124.44, "end": 132.96, "text": " Decimos, si X tiende o se aproxima a pi, veamos aqu\u00ed qu\u00e9 sucede, pi menos pi nos da 0."}, {"start": 132.96, "end": 138.16, "text": " Entonces, la variable T tiende a 0."}, {"start": 138.16, "end": 145.0, "text": " Ahora s\u00ed podemos reescribir el l\u00edmite utilizando la nueva variable que es T."}, {"start": 145.0, "end": 155.32, "text": " Tendremos entonces l\u00edmite ya no cuando X tiende a pi, sino cuando T tiende a 0 de seno de X."}, {"start": 155.32, "end": 158.16, "text": " Pero dijimos que X es T m\u00e1s pi."}, {"start": 158.16, "end": 167.64, "text": " Entonces, tendremos seno de T m\u00e1s pi y todo esto sobre X menos pi."}, {"start": 167.64, "end": 172.64, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos y eso equivale a T."}, {"start": 172.64, "end": 176.0, "text": " Veamos ahora a qu\u00e9 equivale seno de T m\u00e1s pi."}, {"start": 176.0, "end": 179.39999999999998, "text": " Vamos a utilizar all\u00ed una identidad trigonom\u00e9trica."}, {"start": 179.39999999999998, "end": 182.16, "text": " El seno de la suma de dos \u00e1ngulos."}, {"start": 182.16, "end": 193.6, "text": " Seno de A m\u00e1s B es igual a seno de A por coseno de B m\u00e1s seno de B por coseno de A."}, {"start": 193.6, "end": 201.0, "text": " Entonces, veamos c\u00f3mo nos queda seno de T m\u00e1s pi."}, {"start": 201.0, "end": 212.6, "text": " Tendremos seno de T por coseno de pi m\u00e1s seno de pi por coseno de T."}, {"start": 212.6, "end": 222.6, "text": " Tenemos que el coseno de pi, es decir, el coseno de pi radianes, que es el coseno de 180 grados, equivale a menos 1."}, {"start": 222.6, "end": 232.6, "text": " Y el seno de pi, el mismo que hab\u00edamos evaluado al comienzo, seno de pi radianes, o sea, seno de 180 grados, equivale a 0."}, {"start": 232.6, "end": 235.0, "text": " 0 por coseno de T nos da 0."}, {"start": 235.0, "end": 236.92, "text": " Todo este t\u00e9rmino desaparece."}, {"start": 236.92, "end": 245.6, "text": " Y ac\u00e1 tenemos seno de T por menos 1, que equivale a menos seno de T."}, {"start": 245.6, "end": 250.44, "text": " Entonces, esto lo podemos sustituir ac\u00e1 en el numerador."}, {"start": 250.44, "end": 262.6, "text": " Y tendremos el l\u00edmite cuando T tiende a 0 de menos seno de T, todo esto sobre T."}, {"start": 262.6, "end": 267.96, "text": " Aqu\u00ed podemos reescribir esta expresi\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 267.96, "end": 278.56, "text": " L\u00edmite de menos 1 que multiplica a la expresi\u00f3n seno de T sobre T cuando T tiende a 0."}, {"start": 278.56, "end": 282.68, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 282.68, "end": 286.64, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a aplicar una propiedad de los l\u00edmites."}, {"start": 286.64, "end": 294.24, "text": " Una que dice que el l\u00edmite de un producto de dos expresiones ser\u00e1 igual al producto de los l\u00edmites."}, {"start": 294.24, "end": 300.64, "text": " Es decir, l\u00edmite del primer componente por l\u00edmite del segundo componente."}, {"start": 300.64, "end": 312.32, "text": " Eso ser\u00e1 entonces l\u00edmite de menos 1 cuando T tiende a 0, todo esto multiplicando al l\u00edmite"}, {"start": 312.32, "end": 319.68, "text": " cuando T tiende a 0 de seno de T sobre T."}, {"start": 319.68, "end": 323.4, "text": " Y all\u00ed tambi\u00e9n aplicamos otra propiedad de los l\u00edmites."}, {"start": 323.4, "end": 328.47999999999996, "text": " Esa que nos dice que el l\u00edmite de una constante es la misma constante."}, {"start": 328.48, "end": 332.76, "text": " Luego todo este l\u00edmite equivale a menos 1."}, {"start": 332.76, "end": 341.20000000000005, "text": " Y este l\u00edmite, l\u00edmite cuando T tiende a 0, del seno de T sobre T, por definici\u00f3n, equivale a 1."}, {"start": 341.20000000000005, "end": 347.32, "text": " Por lo tanto tenemos menos 1 por 1 que da como resultado menos 1."}, {"start": 347.32, "end": 358.76, "text": " Y esta ser\u00e1 la respuesta para este ejercicio."}]