Problema 3 de OPTIMIZACIÓN
#julioprofe explica cómo resolver un problema de optimización:

Se necesita construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de largo 24 cm y ancho 12 cm. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado que debe cortarse en cada esquina para maximizar el volumen de la caja? ¿Cuál es el valor de dicho volumen máximo?

Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1

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 ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado que debe cortarse en cada esquina para maximizar el volumen de la caja? ¿Cuál es el valor de dicho volumen máximo? Bien, para resolver este problema dibujamos un rectángulo que represente la lámina original cuyas de las esquinas se va a cortar. ¿Cuál es el valor de dicho volumen máximo? Bien, para resolver este problema dibujamos un rectángulo que represente la lámina original cuyas dimensiones son 24 centímetros de largo y 12 centímetros de ancho. Ahora, a esa lámina rectangular vamos a cortarle estos cuadrados en las esquinas, vamos a asignarle a estos cuadrados una medida para su lado que será x. Entonces, si retiramos estos cuadrados de las esquinas tenemos esta figura donde esta dimensión será 24 centímetros menos 2 veces x. Entonces, la escribimos aquí 24 menos 2x, esto está en centímetros y esta dimensión será 12 centímetros que es el ancho de la lámina rectangular menos 2 veces x. Es decir, 12 menos 2x, esto también en centímetros. Y ahora con este trozo de lámina que nos ha quedado construimos la caja sin tapa que tendrá las siguientes dimensiones. Largo es esta medida, o sea 24 menos 2x, el ancho será esta otra medida, es decir 12 menos 2x y la altura será la medida del cuadrado que se recortó en las esquinas, es decir x. Entonces, el objetivo de este problema de optimización que es una de las aplicaciones de la derivada es encontrar el valor de x que maximiza el volumen de esta caja sin tapa. Y también debemos averiguar cuál es el valor de dicho volumen máximo. También para x que es el lado del cuadrado que se va a recortar en cada esquina de la lámina original debemos definir cuál es su conjunto de valores posibles. Lógicamente, x tiene que ser un valor mayor que 0, tenemos que recortar algún cuadrado en la esquina, pero no puede exceder de la mitad de la menor dimensión que trae la lámina original. Es decir, la mitad de 12 centímetros que será 6 centímetros. Podemos recortar en cada esquina cuadrados de diferentes medidas, la mayor de ellas sería 6 centímetros, pero solamente uno de esos cuadrados será el que produce el volumen máximo. Lo que hacemos a continuación es construir la función objetivo, es decir, aquella que queremos maximizar y en este caso se trata del volumen de esta caja que se obtiene multiplicando sus tres dimensiones. El largo que es 24 menos 2x, esto por el ancho que es 12 menos 2x y esto por la altura que es x. Vamos a efectuar ese producto, comenzamos por distribuir x para este binomio, entonces tendremos lo siguiente, volumen de la caja es igual a 24 menos 2x por aquí, x por 12 que nos da 12x menos x por 2x que es 2x al cuadrado. Ahora vamos a efectuar este producto de binomios, entonces volumen de la caja será igual a lo siguiente, vamos a distribuir 24 para estos dos términos, tenemos 24 por 12x que es 288x, luego 24 por menos 2x al cuadrado, eso es menos 48x al cuadrado, ahora vamos a distribuir menos 2x, eso nos queda, menos 2x por 12x es menos 24x al cuadrado y menos 2x por menos 2x al cuadrado nos da más 4x al cubo. Ahora vamos a organizar esta expresión y ya tendremos el volumen de la caja en términos de x, comenzamos con el término de mayor grado, 4x al cubo, allí tenemos términos semejantes, estos dos que contienen x al cuadrado, la operación entre ellos nos da menos 72x al cuadrado y luego el término más 288x, de esa manera tenemos ya la función objetivo. Vamos a escribirla por acá y a continuación vamos a obtener la primera y segunda derivada de esta función, vamos con la primera derivada, derivamos con respecto a x, vamos a derivar cada uno de los términos porque allí tenemos un polinomio, en el caso del primer término tenemos 3 por 4 que es 12x al cuadrado, recordemos que acá se resta 1, esto menos 2 por 72 que es 144 y nos quedaría x a la 1 o simplemente x más la derivada de 288x que es 288, esa es la primera derivada y de una vez obtenemos la segunda derivada. También es un polinomio, derivamos el primer término, 2 por 12 que es 24x que daría x a la 1 menos derivada de 144x que sería 144 y la derivada de este número es 0. A continuación debemos igualar a 0 la primera derivada para buscar donde la función original, o sea la función objetivo, tiene puntos críticos, o sea los candidatos a maximizar la función que es lo que pretendemos, entonces tomamos la primera derivada que es 12x al cuadrado menos 144x más 288 y hacemos la igualación a 0. Como vemos se trata de una ecuación cuadrática o de segundo grado, pero antes de resolverla podemos simplificarla dividiendo ambos lados por 12 porque todos estos números son divisibles por 12. En el caso del primer término nos queda x al cuadrado, en el caso del segundo nos queda menos 12x y para el tercero nos queda más 24 y al otro lado continúa el 0. Entonces como decíamos esta es una ecuación cuadrática o de segundo grado que corresponde al modelo a x al cuadrado más bx más c igual a 0. Primero hacemos el intento de factorizar este trinomio, pero vemos que eso no es posible, entonces acudimos a la fórmula cuadrática o fórmula general, en este caso a es 1, b es menos 12 y c es más 24 y obtenemos estas dos soluciones x igual a 2.54 o x igual a 9.46, pero allí es cuando utilizamos esta condición que habíamos establecido al principio, y x debe estar comprendida entre 0 y 6 por lo tanto 9.46 no podemos aceptarla, nos quedamos entonces con este valor de x 2.54 centímetros. Entonces esto significa que muy seguramente este valor maximiza la función objetivo que corresponde al volumen de la caja en este intervalo, sin embargo para mayor seguridad vamos a evaluar este número en la segunda derivada. Nos queda entonces así 24 por 2.54 y esto menos 144, resolviendo todo esto nos da como resultado menos 83.04 que es un valor menor que 0, recordemos que si la segunda derivada es menor que 0 indica que en ese sitio la función es concava hacia abajo, por lo tanto el valor que estamos examinando produce un máximo en la función. Así ya tenemos la primera respuesta para este problema, x igual a 2.54 centímetros es el valor que maximiza el volumen de la caja, es la medida del cuadrado que debe cortarse en cada esquina de la lámina original para lograr el volumen máximo de esta caja sin tapa. Y ahora para encontrar el volumen máximo, el valor de ese volumen máximo de la caja, lo que hacemos es evaluar este número, este valor de x acá en la función objetivo, en la función del volumen de la caja en términos de x. Y resolviendo todo esto nos da como resultado 332.55 por lo tanto ese será el valor del volumen máximo de esa caja sin tapa expresado en centímetros cúbicos, con eso terminamos este problema.
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