LEY DE COSENOS - Problema 2
#julioprofe explica cómo resolver un problema utilizando la Ley de Cosenos:

De un puerto sale un barco a las 2 PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el Este. A las 3 PM sale, del mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N41°E. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5 PM?

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 De un puerto sale un barco a las 2 de la tarde con velocidad constante de 60 km por hora hacia el este. A las 3 de la tarde sale del mismo puerto otro barco con velocidad constante de 40 km por hora y con rumbo norte 18 grados este. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5 de la tarde? Bien, en este problema tenemos dos barcos que se mueven con velocidad constante en línea recta. Entonces presentan lo que se llama movimiento rectilíneo uniforme. Recordemos que para este tipo de movimiento podemos utilizar la siguiente estrategia de modo que podamos recordar las fórmulas. Tenemos distancia, velocidad y tiempo. Entonces si necesitamos la distancia recorrida tapamos la letra D y nos queda velocidad por tiempo. Entonces tenemos la expresión para determinar la distancia. Vamos a llamar la distancia 1 la que recorre el primer barco. Entonces tendremos velocidad 1 por tiempo que permanece en movimiento el barco 1. Nos dice el problema que el primer barco se mueve con velocidad constante de 60 km por hora. Y nos dice también que ese primer barco sale a las 2 de la tarde del puerto y queremos ver qué sucede a las 5 de la tarde con ese barco. Entonces permanece en movimiento 3 horas. Esto nos da entonces 60 por 3, 180 km. Porque las horas se cancelan nos queda entonces la distancia del primer barco en kilómetros. De igual forma vamos a calcular la distancia recorrida por el barco 2. Velocidad del barco 2 por el tiempo que permanece en movimiento. Veamos la velocidad del segundo barco es 40 km por hora. Y el tiempo que el segundo barco permanece en movimiento es 2 horas. Porque parte a las 3 de la tarde y queremos ver qué sucede con él a las 5 de la tarde. Entonces tiene un tiempo de 2 horas en su movimiento. Esto nos da como resultado 40 por 2, 80 km. De igual forma se cancelan las horas. A continuación dibujamos un plano cartesiano en el cual podemos marcar los puntos cardinales. Tenemos norte, sur, este y oeste. Y allí vamos a dibujar las trayectorias de los barcos. Suponiendo que el puerto se encuentra en el origen. Allí podemos observar las dos trayectorias. La del primer barco que se mueve hacia el este recorriendo 180 km. Y la trayectoria del segundo barco que recorre 80 km. Con un rumbo de norte 18 grados este. Esto significa que del norte giramos 18 grados buscando el punto cardinal este. Quiere decir eso que este ángulo que tenemos aquí será lo que le falta a 18 para completar 90 grados. Entonces este ángulo es de 72 grados, es el complemento de 18. En este caso 18 y 72 son ángulos complementarios porque suman 90 grados. Entonces tenemos que este es el puerto y estas son las posiciones de los barcos a las 5 de la tarde. Vamos a determinar entonces esta distancia que separa los barcos en ese momento. Trazamos entonces ese segmento y lo vamos a llamar de la distancia que separa los barcos en ese instante. Tenemos entonces una situación de un triángulo óblico ángulo. Es decir un triángulo que no es triángulo rectángulo. Donde conocemos dos lados y el ángulo que está entre ellos. Entonces allí vamos a utilizar lo que se llama la ley de Cosenos. Y vamos a ver cómo se determina. Si tenemos un triángulo óblico ángulo ABC nombramos sus lados con letras minúsculas atendiendo al vértice opuesto. Por ejemplo si este es el vértice A mayúscula entonces el lado opuesto se denota con A minúscula. De igual forma para este vértice B mayúscula el lado opuesto es B minúscula y para este vértice C mayúscula el lado contrario es C minúscula. En este caso cuando tenemos un lado conocido, este ángulo conocido y este lado conocido. Es decir lo que se conoce como lado ángulo lado información conocida. Entonces podemos determinar este lado que nos falta utilizando la ley de Cosenos y planteando la siguiente expresión. Decimos A al cuadrado es igual a B al cuadrado más C al cuadrado menos 2 por B por C por el coseno del ángulo que se conoce. Que en este caso es el ángulo A el que se opone al lado que estamos buscando. Vamos a reemplazar en esta expresión la información que tenemos en el problema. Comenzamos con A que en este caso es la distancia D que tenemos que averiguar. Entonces tenemos D al cuadrado igual a B que viene siendo 80 kilómetros, eso al cuadrado, más C que viene siendo 180 kilómetros al cuadrado menos 2 por B por C. Es decir 80 por 180 y eso por el coseno del ángulo A que es en este caso 72 grados. Resolvemos todo esto en la calculadora científica asegurándonos de tenerla en el modo DEC que quiere decir Degree. Significa que vamos a trabajar los ángulos en grados, esto para que la función trigonométrica, en este caso el coseno, nos de el resultado correcto. Entonces veamos, al resolver todo eso en la calculadora tenemos D cuadrado igual a 29.900, 31 aproximando a 2 decimales. Luego sacamos raíz cuadrada a ambos lados para obtener D y eso nos da como resultado 172,92 y esa distancia va en kilómetros. De esta manera encontramos lo que nos pregunta este problema, esta sería la distancia que separa los dos barcos a las 5 de la tarde.
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la distancia recorrida tapamos la letra D y nos queda velocidad por tiempo."}, {"start": 72.0, "end": 78.0, "text": " Entonces tenemos la expresi\u00f3n para determinar la distancia."}, {"start": 78.0, "end": 85.0, "text": " Vamos a llamar la distancia 1 la que recorre el primer barco."}, {"start": 85.0, "end": 94.0, "text": " Entonces tendremos velocidad 1 por tiempo que permanece en movimiento el barco 1."}, {"start": 94.0, "end": 103.0, "text": " Nos dice el problema que el primer barco se mueve con velocidad constante de 60 km por hora."}, {"start": 103.0, "end": 115.0, "text": " Y nos dice tambi\u00e9n que ese primer barco sale a las 2 de la tarde del puerto y queremos ver qu\u00e9 sucede a las 5 de la tarde con ese barco."}, {"start": 115.0, "end": 120.0, "text": " Entonces permanece en movimiento 3 horas."}, {"start": 120.0, "end": 127.0, "text": " Esto nos da entonces 60 por 3, 180 km."}, {"start": 127.0, "end": 135.0, "text": " Porque las horas se cancelan nos queda entonces 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cual podemos marcar los puntos cardinales."}, {"start": 198.0, "end": 205.0, "text": " Tenemos norte, sur, este y oeste."}, {"start": 205.0, "end": 211.0, "text": " Y all\u00ed vamos a dibujar las trayectorias de los barcos."}, {"start": 211.0, "end": 218.0, "text": " Suponiendo que el puerto se encuentra en el origen."}, {"start": 218.0, "end": 222.0, "text": " All\u00ed podemos observar las dos trayectorias."}, {"start": 222.0, "end": 232.0, "text": " La del primer barco que se mueve hacia el este recorriendo 180 km."}, {"start": 232.0, "end": 240.0, "text": " Y la trayectoria del segundo barco que recorre 80 km."}, {"start": 240.0, "end": 246.0, "text": " Con un rumbo de norte 18 grados este."}, {"start": 246.0, "end": 257.0, "text": " Esto significa que del norte giramos 18 grados buscando el punto cardinal este."}, {"start": 257.0, "end": 267.0, "text": " Quiere decir eso que este \u00e1ngulo que tenemos aqu\u00ed ser\u00e1 lo que le falta a 18 para completar 90 grados."}, {"start": 267.0, "end": 276.0, "text": " Entonces este \u00e1ngulo es de 72 grados, es el complemento de 18."}, {"start": 276.0, "end": 285.0, "text": " En este caso 18 y 72 son \u00e1ngulos complementarios porque suman 90 grados."}, {"start": 285.0, "end": 295.0, "text": " Entonces tenemos que este es el puerto y estas son las posiciones de los barcos a las 5 de la tarde."}, {"start": 295.0, "end": 303.0, "text": " Vamos a determinar entonces esta distancia que separa los barcos en ese momento."}, {"start": 303.0, "end": 312.0, "text": " Trazamos entonces ese segmento y lo vamos a llamar de la distancia que separa los barcos en ese instante."}, {"start": 312.0, "end": 318.0, "text": " Tenemos entonces una situaci\u00f3n de un tri\u00e1ngulo \u00f3blico \u00e1ngulo."}, {"start": 318.0, "end": 322.0, "text": " Es decir un tri\u00e1ngulo que no es tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 322.0, "end": 328.0, "text": " Donde conocemos dos lados y el \u00e1ngulo que est\u00e1 entre ellos."}, {"start": 328.0, "end": 337.0, "text": " Entonces all\u00ed vamos a utilizar lo que se llama la ley de Cosenos."}, {"start": 337.0, "end": 343.0, "text": " Y vamos a ver c\u00f3mo se determina."}, {"start": 343.0, "end": 355.0, "text": " Si tenemos un tri\u00e1ngulo \u00f3blico \u00e1ngulo ABC nombramos sus lados con letras min\u00fasculas atendiendo al v\u00e9rtice opuesto."}, {"start": 355.0, "end": 364.0, "text": " Por ejemplo si este es el v\u00e9rtice A may\u00fascula entonces el lado opuesto se denota con A min\u00fascula."}, {"start": 364.0, "end": 379.0, "text": " De igual forma para este v\u00e9rtice B may\u00fascula el lado opuesto es B min\u00fascula y para este v\u00e9rtice C may\u00fascula el lado contrario es C min\u00fascula."}, {"start": 379.0, "end": 387.0, "text": " En este caso cuando tenemos un lado conocido, este \u00e1ngulo conocido y este lado conocido."}, {"start": 387.0, "end": 394.0, "text": " Es decir lo que se conoce como lado \u00e1ngulo lado informaci\u00f3n conocida."}, {"start": 394.0, "end": 404.0, "text": " Entonces podemos determinar este lado que nos falta utilizando la ley de Cosenos y planteando la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 404.0, "end": 419.0, "text": " Decimos A al cuadrado es igual a B al cuadrado m\u00e1s C al cuadrado menos 2 por B por C por el coseno del \u00e1ngulo que se conoce."}, {"start": 419.0, "end": 427.0, "text": " Que en este caso es el \u00e1ngulo A el que se opone al lado que estamos buscando."}, {"start": 427.0, "end": 435.0, "text": " Vamos a reemplazar en esta expresi\u00f3n la informaci\u00f3n que tenemos en el problema."}, {"start": 435.0, "end": 443.0, "text": " Comenzamos con A que en este caso es la distancia D que tenemos que averiguar."}, {"start": 443.0, "end": 463.0, "text": " Entonces tenemos D al cuadrado igual a B que viene siendo 80 kil\u00f3metros, eso al cuadrado, m\u00e1s C que viene siendo 180 kil\u00f3metros al cuadrado menos 2 por B por C."}, {"start": 463.0, 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las 5 de la tarde."}]