Ejercicio 1 de ELIPSE (Parte 1)
#julioprofe explica cómo transformar la ecuación general de una Elipse hasta llevarla a la forma que permite identificar sus elementos principales.

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 Vamos a trazar la gráfica de la ecuación que nos dan aquí. Para comenzar tenemos que detectar qué clase de gráfica vamos a construir. Por tener x al cuadrado y y al cuadrado con coeficientes del mismo signo, ambos positivos, aquí tenemos un 1, y numéricamente diferentes, entonces tenemos la ecuación de una elipse. Repito, deben tener coeficientes numéricamente diferentes y del mismo signo, en este caso ambos positivos, para que sea una elipse. Vamos entonces a transformar esta ecuación para llevarla al modelo de la ecuación de una elipse. Entonces empezamos por escribir los términos que contienen las x seguidos entre sí, luego los que contienen la y también seguidos entre sí, y vamos a pasar el término independiente para el otro lado, quedan menos 21. En seguida vamos a agrupar con paréntesis los términos que contienen la misma letra, las x entre sí, lo mismo con los términos que contienen la y, aquí están agrupados con paréntesis. A continuación necesitamos que tanto x al cuadrado como y al cuadrado tengan coeficiente 1, en ese caso vemos que x al cuadrado ya cumple con esa condición, pero acá y al cuadrado no, debemos retirar entonces este 4. Para ello vamos a utilizar la factorización, vamos a sacar aquí factor común el 4, únicamente el numerito, y la y aunque podría salir no la vamos a sacar, únicamente retiramos el numerito, en este caso el 4, y entonces nos queda y al cuadrado menos 4y, igual a menos 21. A continuación vamos a hacer lo que se conoce como la completación del trinomio cuadrado perfecto, es decir, dentro de cada paréntesis vamos a completar la expresión con un tercer término para que aquí se nos forme un trinomio cuadrado perfecto, entonces dejamos aquí un espacio en blanco y por acá también otro espacio en blanco. Veamos cómo se completa cada trinomio. Aquí sacamos la mitad de este número que acompaña la x, la mitad de 6 es 3, 3 se eleva al cuadrado y nos da 9, entonces aquí completamos con 9, y acá la mitad de 4, el número que acompaña la y, la mitad de 4 es 2, 2 se eleva al cuadrado y nos da 4 positivo, y de esa manera encontramos el número que nos hace falta para que se conforme un trinomio cuadrado perfecto, tenemos entonces en los paréntesis lo que son trinomios cuadrados perfectos, pero si escribimos números a este lado debemos también escribirlos al otro lado, para que la ecuación mantenga la igualdad, para que no se desbalanceen, entonces hacemos lo siguiente, acá fuera de este paréntesis tenemos un número 1 invisible multiplicando, entonces hacemos lo siguiente, 1 por más 9 nos da más 9, es el número que debemos escribir acá para que compense este 9 de aquí, y acá tenemos 4 por más 4 que da más 16, ese es el número que debemos escribir también al lado de acá, para que compense el hecho de haber escrito este 4, de esa manera la ecuación ya está balanceada nuevamente. A continuación vamos entonces a factorizar cada trinomio cuadrado perfecto, veamos la factorización de este trinomio cuadrado perfecto se hace así, siempre nos va a quedar un dinomio al cuadrado, aquí van dos términos que son, la raíz cuadrada del primer término, es decir x, y la raíz cuadrada del tercer término que sería 3, y entre ellos el signo del segundo término, vamos con el otro trinomio cuadrado perfecto, aquí la raíz cuadrada del primer término sería y, la raíz cuadrada del tercer término sería 2, cerramos, esto va al cuadrado, siempre va a ser un dinomio al cuadrado, y aquí el signo del segundo término, es decir negativo. Al otro lado debemos resolver esta operación, esto da 25, 9 más 16 da 25, menos 21 nos da 4. Ya empieza a tomar forma la ecuación de la alipse, pero recordemos que el modelo de la ecuación de una alipse está siempre igualado a 1, por lo tanto debemos convertir este 4 en un 1, y para ello debemos dividir la ecuación a ambos lados entre 4, entonces hacemos lo siguiente, tenemos esto, entonces dividimos todo entre 4, de una vez aquí repartimos el número 4, si hubiéramos colocado toda la línea, y un 4 debajo, entonces lo repartimos para los dos términos que quedan en el numerador, entonces de una vez repartimos el número 4. Bien, ahorita vamos a simplificar aquí estos dos, y aquí también estos dos, esto no se puede simplificar, nos quedaría igual, aquí 4 con 4 se nos va, entonces nos quedaría únicamente y menos 2 al cuadrado, y aquí 4 sobre 4 nos da 1. Y hemos llegado entonces al modelo de la ecuación de una alipse, aquí tendremos denominador 1, por lo tanto se trata de una alipse horizontal cuyo modelo dice, x menos h al cuadrado sobre a cuadrado, más y menos k al cuadrado, sobre b al cuadrado, igual a 1. ¿Cómo sabemos que es una alipse horizontal? Porque el denominador más grande, que en este caso es 4, si 4 es mayor que 1, entonces 4 está debajo de la x, por lo tanto encaja perfectamente con este modelo que es el de una alipse horizontal con centro en hk. Vamos a determinar quién es h, quién es k, quién es a cuadrado y quién es b cuadrado. Para poder determinar h vamos a hacer lo siguiente, vamos a considerar este menos h de aquí, lo vamos a igualar con este menos 3, entonces hacemos lo siguiente, menos h es igual a menos 3, aquí multiplicamos por menos 1 a los dos lados y nos queda que h vale 3 positivo. Aquí hacemos algo similar, menos k, este menos k de aquí, tenemos que confrontarlo o igualarlo con este menos 2, entonces decimos, menos k es igual a menos 2, de nuevo multiplicamos por menos 1 a los dos lados y nos queda que k es igual a 2, de esta manera tenemos el centro de la alipse que va a estar en la coordenada 3,2. Algo parecido vamos a hacer entonces con los denominadores, este a cuadrado que tenemos aquí lo vamos a igualar con este 4, entonces vamos a hacerlo por acá, si a cuadrado es igual a 4, entonces sacando raíz a los dos lados nos queda que a vale 2, legalmente la raíz de 4 es más o menos 2, pero en este caso tomamos la opción positiva porque a es una distancia, recordemos que a en la elipse es lo que se conoce como la longitud del semieje mayor. Ahora veamos b cuadrado, ¿quién es? b cuadrado lo vamos a igualar con este 1, entonces b cuadrado es igual a 1, sacamos raíz cuadrada a los dos lados, tomamos la opción positiva y entonces b nos da 1. Ya tenemos entonces la longitud del semieje mayor que vale 2, la longitud del semieje menor que vale 1 y el centro de la elipse. 2 falta determinar cuanto vale c, que se conoce como la distancia que hay del centro a cualquiera de los focos de la elipse. Para determinar c vamos a utilizar siempre esta relación, la raíz cuadrada de a cuadrado menos b al cuadrado, como a es más grande que b esta diferencia siempre nos va a dar positiva, entonces veamos, ¿quién es a cuadrado? a cuadrado vale 4, lo podemos colocar directamente, menos b cuadrado que vale 1, por lo tanto se vale raíz de 3. La raíz de 3 es aproximadamente igual a 1.7, para efectos de hacer la gráfica trabajaremos con 1.7. Entonces vamos a reunir todos los elementos que tenemos, vamos a escribirlos por acá, centro en 3,2, a que vale 2, b que vale 1 y c que nos acaba de dar raíz de 3 que dijimos que era aproximadamente 1.7 y vamos a construir la gráfica de la elipse. Para ello trazamos un planito cartesiano que va a ser el siguiente, vamos a continuar el video en la segunda parte.
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contienen la y tambi\u00e9n seguidos entre s\u00ed,"}, {"start": 53.0, "end": 61.0, "text": " y vamos a pasar el t\u00e9rmino independiente para el otro lado, quedan menos 21."}, {"start": 61.0, "end": 69.0, "text": " En seguida vamos a agrupar con par\u00e9ntesis los t\u00e9rminos que contienen la misma letra, las x entre s\u00ed,"}, {"start": 69.0, "end": 78.0, "text": " lo mismo con los t\u00e9rminos que contienen la y, aqu\u00ed est\u00e1n agrupados con par\u00e9ntesis."}, {"start": 78.0, "end": 85.0, "text": " A continuaci\u00f3n necesitamos que tanto x al cuadrado como y al cuadrado tengan coeficiente 1,"}, {"start": 85.0, "end": 94.0, "text": " en ese caso vemos que x al cuadrado ya cumple con esa condici\u00f3n, pero ac\u00e1 y al cuadrado no, debemos retirar entonces este 4."}, {"start": 94.0, "end": 104.0, "text": " Para ello vamos a utilizar la factorizaci\u00f3n, vamos a sacar aqu\u00ed factor com\u00fan el 4, \u00fanicamente el numerito,"}, {"start": 104.0, "end": 117.0, 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vale 2, b que vale 1"}, {"start": 565.0, "end": 574.0, "text": " y c que nos acaba de dar ra\u00edz de 3 que dijimos que era aproximadamente 1.7 y vamos a construir la gr\u00e1fica de la elipse."}, {"start": 574.0, "end": 586.0, "text": " Para ello trazamos un planito cartesiano que va a ser el siguiente, vamos a continuar el video en la segunda parte."}]