RECTA TANGENTE A UNA CURVA - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva cuya ecuación debe derivarse implícitamente.

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 Aquí vamos a encontrar la ecuación de la recta tangente a esta curva en este punto que nos da. Por tratarse de una expresión donde X y Y están combinadas, debemos derivar implícitamente a los dos lados de la expresión. Debemos encontrar de Y de X. Como vamos a derivar respecto a X a ambos lados, debemos tener la precaución de que cada vez que derivemos algo con Y, tenemos que agregar Y'. Este Y', que es lo mismo que decir el Y de X. Veamos entonces, al lado izquierdo de la expresión tenemos una suma. Vamos a derivar cada término. Derivada de X a la 3 sería 3X a la 2. Derivada de Y a la 3 sería 3Y a la 2 por Y'. Aquí es cuando tenemos que añadir Y'. Pasamos al otro lado de la expresión de la igualdad. Aquí en este primer término observamos un producto, luego tenemos que aplicar la regla del producto. La derivada del primero que es 4X, eso nos da 4. Por el segundo sin derivar que sería Y, más la derivada del segundo, la derivada de Y sería 1 por Y', es decir Y', por el primero sin derivar que sería 4X. Más la derivada de 1 que sería 0, la derivada de la constante es 0. Vamos a pasar ahorita al lado izquierdo los términos que contengan Y'. Por ejemplo, este término 3Y al cuadrado por Y' se queda allí. Y vamos a pasar este término que sería 4X por Y', el pasaría negativo. Solamente están esos dos. Igual a 4Y que queda en el lado derecho y ese término que llegaría negativo al lado de acá. Por este lado vamos a sacar un factor común Y', es un factor de 3Y al cuadrado menos 4X, igual a esto mismo. Vamos a despejar Y'. Para despejar Y' esta expresión que está multiplicando pasaría a dividir, nos queda 4Y-3X al cuadrado sobre 3Y al cuadrado menos 4X. Esa expresión que acabamos de obtener que es Y' es lo mismo que decir de Y de X. Aquí lo cambiamos y con esto vamos a encontrar la pendiente de la recta tangente, es decir, de la recta que vamos a calcular. Eso se hace evaluando la derivada en el punto que nos dieron. Vamos a hacer entonces esa parte por aquí. Para encontrar la pendiente de la recta tangente debemos evaluar la derivada en el punto 2,1 que es el punto que nos dieron. 2 es X, 1 es Y. Veamos cuanto nos da eso. Aquí 4 por Y es decir 4 por 1 menos 3 por X al cuadrado es decir 2 al cuadrado, abajo 3Y al cuadrado es decir 3 por 1 al cuadrado menos 4X es decir menos 4 por 2. Resolvemos todas estas operaciones. 4 por 1 es 4 menos, aquí daría 2 al cuadrado, 4 por 3 es 12, acá 1 al cuadrado es 1 por 3, son 3 menos 4 por 2 es 8. Arriba nos queda 4 menos 12, eso es menos 8 y abajo 3 menos 8 sería menos 5. Aquí menos con menos nos da más, 8 quintos no se puede simplificar, ahí hemos encontrado entonces la pendiente de la recta tangente. A continuación vamos a usar entonces lo que se conoce como el modelo punto pendiente, es decir, la fórmula que nos va a permitir encontrar la ecuación de la recta que buscamos. Ahí está el modelo punto pendiente, esta pareja va a ser el papel de X1 y Y1, entonces vamos a reemplazar, quedaría Y menos Y1 que vale 1 igual a la pendiente de la recta que nos dio 8 quintos que multiplica a X menos el valor de X1 que es 2. Aquí para que no trabajemos con fraccionarios podemos pasar este 5 que está dividiendo al otro lado a multiplicar, nos queda 5 por Y menos 1 es igual a 8 que multiplica a X menos 2. Hacemos distributiva, aquí sería 5 por Y menos 5 por 1, o sea 5 Y menos 5, aquí también distributiva quedaría 8X menos 16. Podríamos organizar la ecuación despejando la Y poco a poco, el 5 que está restando pasaría a sumar al otro lado, nos queda 8X menos 16 más 5, nos queda 5Y igual a 8X menos 11. Despejando la Y nos quedaría 8X menos 11 sobre 5 y este 5 lo podemos repartir, nos quedaría 8 quintos de X menos 11 quintos. Aquí hemos encontrado la ecuación que nos pedían, la ecuación de la recta tangente escrita en la forma explícita, es decir la forma Y igual a X más B.
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