RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación.

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 Vamos a efectuar el proceso de racionalización de esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener otra expresión equivalente sin radicales en el denominador. Vamos a resolver este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por simplificar esta raíz cuadrada de 8. Veamos, 8 se puede descomponer en factores primos. Aquí podemos sacar mitad, utilizamos el primer número primo que es el 2, mitad de 8 nos da 4, al 4 le sacamos mitad, mitad de 4 es 2 y a 2 le sacamos mitad, nos da como resultado 1. Entonces tenemos que 8 es igual a 2 por 2 por 2, es decir, 2 elevado al cubo, pero 2 al cubo se puede descomponer como 2 al cuadrado por 2 a la 1, o simplemente 2. Entonces la raíz cuadrada de 8 será igual a lo siguiente, será la raíz cuadrada de esto que tenemos acá, de 2 al cuadrado por 2 a la 1. Y allí podemos aplicar la propiedad de la radicación que dice que si dentro de la raíz hay multiplicación, entonces la raíz puede repartirse para cada uno de los factores, es decir, raíz cuadrada de 2 al cuadrado por la raíz cuadrada de 2 a la 1. Esta primera raíz se puede simplificar porque aquí el exponente 2 se cancela o se elimina con la raíz de índice 2, con la raíz cuadrada. Visto de otra forma, esto nos produciría valor absoluto de 2, que equivale a 2. Entonces nos queda 2 por la raíz cuadrada de 2 a la 1, que como dijimos es 2. Entonces raíz cuadrada de 8 equivale a 2 raíz de 2. Entonces reescribimos el ejercicio, nos queda de la siguiente manera, en el numerador continúa el 10 y en el denominador cambiamos raíz de 8 por esto que nos dio, 2 raíz de 2. Y eso está restando con raíz cuadrada de 6. Raíz de 6 no se puede simplificar porque si descomponemos 6 en factores primos nos da como resultado 2 por 3. Así que no hay nada que extraer de esta raíz cuadrada. Ahora vamos a aplicar el procedimiento llamado conjugación. Vamos a multiplicar esta fracción por otra que equivale a 1 o a la unidad. Y esa fracción se construye con lo que es el conjugado de este denominador. Vamos a recordar ese concepto. El conjugado de a menos b es a más b y viceversa. El conjugado de a más b será a menos b. Simplemente se cambia el signo de la mitad y esto nos da como resultado a al cuadrado menos b al cuadrado. Se aplica el producto notable llamado suma por diferencia o diferencia por suma, que produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces el conjugado de 2 raíz de 2 menos raíz de 6 será 2 raíz de 2 más raíz de 6. Seguimos esta instrucción. Para una resta el conjugado es la suma. Y esto que escribimos en el denominador debemos escribirlo también en el numerador. Porque como decíamos esta fracción debe ser equivalente a 1. Para ello el numerador y el denominador deben ser iguales. Enseguida efectuamos esta multiplicación de fracciones. Recordemos que eso se hace de manera horizontal. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. La multiplicación de numeradores vamos a dejarla indicada. Y es que multiplica con 2 raíz de 2 más raíz de 6. Esa suma se protege con paréntesis. Y en el denominador la multiplicación de estas dos cantidades obedece a esto que tenemos acá. Es allí cuando se aplica el producto notable. Entonces será la primera cantidad al cuadrado, es decir 2 raíz de 2, todo esto protegido con paréntesis, elevado al cuadrado, menos la segunda cantidad al cuadrado. Es decir raíz cuadrada de 6 y eso elevado al cuadrado. Seguimos resolviendo el ejercicio. Vamos a continuar por acá. En el numerador permanece la misma expresión. 10 que multiplica con 2 raíz de 2 y eso más raíz de 6. Ahora en el denominador vamos a efectuar esas dos potencias. En el primer caso aplicamos esta propiedad de la potenciación. Si tenemos un producto A por B y esto elevado al exponente N, esto será A a la N por B a la N. El exponente se reparte para cada uno de los factores. Eso está sucediendo aquí. Nos queda entonces 2 al cuadrado y eso multiplicado por la raíz cuadrada de 2 también al cuadrado. Y escribimos el otro término que es menos raíz cuadrada de 6 y eso elevado al cuadrado. Continuamos resolviendo lo que hay en el denominador. Veamos cómo nos queda. Por acá 2 al cuadrado es 4, esto multiplicado por raíz cuadrada de 2 al cuadrado. Aquí el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y nos deja libre el 2. Pues tenemos menos esto, raíz cuadrada de 6 al cuadrado donde también el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y nos libera el 6. En el numerador permanece lo mismo. 10 que multiplica con 2 raíz de 2 más raíz cuadrada de 6. En el denominador observamos multiplicación y resta. Primero se resuelve la multiplicación. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. 4 por 2 da como resultado 8 y 8 menos 6 nos da como resultado 2. Entonces ese será el denominador. En el numerador permanece lo mismo. 10 que multiplica con 2 raíz de 2 y eso más raíz cuadrada de 6. Y allí podemos simplificar esa fracción. 10 se está multiplicando en el numerador, puede simplificarse con este 2. Ambos números son divisibles por 2. La mitad de 2 nos da 1 y la mitad de 10 nos da 5. Entonces nos queda 5 que multiplica con 2 raíz de 2 y eso más raíz de 6. En el denominador nos queda 1, pero eso podemos omitirlo. Podríamos dejar el resultado presentado de esta manera. Allí ya hemos conseguido el objetivo de la racionalización que es obtener una expresión equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador. Como decíamos aquí hay denominador 1. Otra forma de presentar la respuesta es romper este paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Entonces nos queda 5 por 2 raíz de 2 será 10 raíz de 2 y luego tenemos más 5 por raíz de 6 que será 5 raíz de 6. Y también podemos presentar el resultado así como 5 raíz de 6 y eso más 10 raíz de 2. Simplemente se aplica la propiedad conmutativa de la suma. Se cambia el orden de los sumandos y lógicamente el resultado no se altera. De esta manera terminamos el ejercicio. Ahora vamos a efectuar la comprobación del ejercicio en esta calculadora científica. Comenzamos oprimiendo el botón de fracción. En el numerador ingresamos el número 10, pasamos al denominador y ahí vamos a escribir esto raíz cuadrada de 8 menos raíz cuadrada de 6. Entonces botón de raíz cuadrada escribimos el 8, corremos el cursor a la derecha, después el signo menos, ahora botón de raíz cuadrada y luego el 6. Allí ya hemos ingresado la expresión numérica a la calculadora. Oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado, 5 raíz de 6 más 10 raíz de 2. Con eso comprobamos que este ejercicio se ha resuelto correctamente.
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138.82, "end": 144.01999999999998, "text": " Ra\u00edz de 6 no se puede simplificar porque si descomponemos 6 en factores primos nos da"}, {"start": 144.01999999999998, "end": 146.32, "text": " como resultado 2 por 3."}, {"start": 146.32, "end": 151.17999999999998, "text": " As\u00ed que no hay nada que extraer de esta ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 151.17999999999998, "end": 155.56, "text": " Ahora vamos a aplicar el procedimiento llamado conjugaci\u00f3n."}, {"start": 155.56, "end": 161.61999999999998, "text": " Vamos a multiplicar esta fracci\u00f3n por otra que equivale a 1 o a la unidad."}, {"start": 161.62, "end": 167.1, "text": " Y esa fracci\u00f3n se construye con lo que es el conjugado de este denominador."}, {"start": 167.1, "end": 169.3, "text": " Vamos a recordar ese concepto."}, {"start": 169.3, "end": 174.9, "text": " El conjugado de a menos b es a m\u00e1s b y viceversa."}, {"start": 174.9, "end": 177.66, "text": " El conjugado de a m\u00e1s b ser\u00e1 a menos b."}, {"start": 177.66, "end": 183.46, "text": " Simplemente se cambia el signo de la mitad y esto nos da como resultado a al cuadrado"}, {"start": 183.46, "end": 185.1, "text": " menos b al cuadrado."}, {"start": 185.1, "end": 191.06, "text": " Se aplica el producto notable llamado suma por diferencia o diferencia por suma, que"}, {"start": 191.06, "end": 196.46, "text": " produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 196.46, "end": 204.38, "text": " Entonces el conjugado de 2 ra\u00edz de 2 menos ra\u00edz de 6 ser\u00e1 2 ra\u00edz de 2 m\u00e1s ra\u00edz de"}, {"start": 204.38, "end": 205.38, "text": " 6."}, {"start": 205.38, "end": 207.58, "text": " Seguimos esta instrucci\u00f3n."}, {"start": 207.58, "end": 210.7, "text": " Para una resta el conjugado es la suma."}, {"start": 210.7, "end": 217.18, "text": " Y esto que escribimos en el denominador debemos escribirlo tambi\u00e9n en el numerador."}, {"start": 217.18, "end": 221.66, "text": " Porque como dec\u00edamos esta fracci\u00f3n debe ser equivalente a 1."}, {"start": 221.66, "end": 226.38, "text": " Para ello el numerador y el denominador deben ser iguales."}, {"start": 226.38, "end": 230.22, "text": " Enseguida efectuamos esta multiplicaci\u00f3n de fracciones."}, {"start": 230.22, "end": 233.78, "text": " Recordemos que eso se hace de manera horizontal."}, {"start": 233.78, "end": 238.28, "text": " Se multiplican numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 238.28, "end": 242.28, "text": " La multiplicaci\u00f3n de numeradores vamos a dejarla indicada."}, {"start": 242.28, "end": 247.66, "text": " Y es que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 m\u00e1s ra\u00edz de 6."}, {"start": 247.66, "end": 250.44, "text": " Esa suma se protege con par\u00e9ntesis."}, {"start": 250.44, "end": 255.9, "text": " Y en el denominador la multiplicaci\u00f3n de estas dos cantidades obedece a esto que tenemos"}, {"start": 255.9, "end": 256.9, "text": " ac\u00e1."}, {"start": 256.9, "end": 259.58, "text": " Es all\u00ed cuando se aplica el producto notable."}, {"start": 259.58, "end": 265.28, "text": " Entonces ser\u00e1 la primera cantidad al cuadrado, es decir 2 ra\u00edz de 2, todo esto protegido"}, {"start": 265.28, "end": 271.36, "text": " con par\u00e9ntesis, elevado al cuadrado, menos la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 271.36, "end": 276.46000000000004, "text": " Es decir ra\u00edz cuadrada de 6 y eso elevado al cuadrado."}, {"start": 276.46000000000004, "end": 279.42, "text": " Seguimos resolviendo el ejercicio."}, {"start": 279.42, "end": 281.56, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 281.56, "end": 284.82, "text": " En el numerador permanece la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 284.82, "end": 292.42, "text": " 10 que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 y eso m\u00e1s ra\u00edz de 6."}, {"start": 292.42, "end": 298.38, "text": " Ahora en el denominador vamos a efectuar esas dos potencias."}, {"start": 298.38, "end": 302.9, "text": " En el primer caso aplicamos esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 302.9, "end": 309.46, "text": " Si tenemos un producto A por B y esto elevado al exponente N, esto ser\u00e1 A a la N por B"}, {"start": 309.46, "end": 310.46, "text": " a la N."}, {"start": 310.46, "end": 314.02, "text": " El exponente se reparte para cada uno de los factores."}, {"start": 314.02, "end": 315.54, "text": " Eso est\u00e1 sucediendo aqu\u00ed."}, {"start": 315.54, "end": 323.88, "text": " Nos queda entonces 2 al cuadrado y eso multiplicado por la ra\u00edz cuadrada de 2 tambi\u00e9n al cuadrado."}, {"start": 323.88, "end": 331.38, "text": " Y escribimos el otro t\u00e9rmino que es menos ra\u00edz cuadrada de 6 y eso elevado al cuadrado."}, {"start": 331.38, "end": 334.86, "text": " Continuamos resolviendo lo que hay en el denominador."}, {"start": 334.86, "end": 336.78, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 336.78, "end": 343.7, "text": " Por ac\u00e1 2 al cuadrado es 4, esto multiplicado por ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado."}, {"start": 343.7, "end": 348.78, "text": " Aqu\u00ed el exponente 2 elimina la ra\u00edz cuadrada y nos deja libre el 2."}, {"start": 348.78, "end": 354.61999999999995, "text": " Pues tenemos menos esto, ra\u00edz cuadrada de 6 al cuadrado donde tambi\u00e9n el exponente"}, {"start": 354.61999999999995, "end": 358.46, "text": " 2 elimina la ra\u00edz cuadrada y nos libera el 6."}, {"start": 358.46, "end": 360.58, "text": " En el numerador permanece lo mismo."}, {"start": 360.58, "end": 368.14, "text": " 10 que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 6."}, {"start": 368.14, "end": 372.09999999999997, "text": " En el denominador observamos multiplicaci\u00f3n y resta."}, {"start": 372.09999999999997, "end": 374.82, "text": " Primero se resuelve la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 374.82, "end": 377.67999999999995, "text": " Entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 377.68, "end": 384.94, "text": " 4 por 2 da como resultado 8 y 8 menos 6 nos da como resultado 2."}, {"start": 384.94, "end": 387.18, "text": " Entonces ese ser\u00e1 el denominador."}, {"start": 387.18, "end": 389.3, "text": " En el numerador permanece lo mismo."}, {"start": 389.3, "end": 395.9, "text": " 10 que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 y eso m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 6."}, {"start": 395.9, "end": 398.7, "text": " Y all\u00ed podemos simplificar esa fracci\u00f3n."}, {"start": 398.7, "end": 403.06, "text": " 10 se est\u00e1 multiplicando en el numerador, puede simplificarse con este 2."}, {"start": 403.06, "end": 405.82, "text": " Ambos n\u00fameros son divisibles por 2."}, {"start": 405.82, "end": 411.02, "text": " La mitad de 2 nos da 1 y la mitad de 10 nos da 5."}, {"start": 411.02, "end": 418.14, "text": " Entonces nos queda 5 que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 y eso m\u00e1s ra\u00edz de 6."}, {"start": 418.14, "end": 423.1, "text": " En el denominador nos queda 1, pero eso podemos omitirlo."}, {"start": 423.1, "end": 426.9, "text": " Podr\u00edamos dejar el resultado presentado de esta manera."}, {"start": 426.9, "end": 432.58, "text": " All\u00ed ya hemos conseguido el objetivo de la racionalizaci\u00f3n que es obtener una expresi\u00f3n"}, {"start": 432.58, "end": 437.78, "text": " equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador."}, {"start": 437.78, "end": 440.53999999999996, "text": " Como dec\u00edamos aqu\u00ed hay denominador 1."}, {"start": 440.53999999999996, "end": 447.5, "text": " Otra forma de presentar la respuesta es romper este par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 447.5, "end": 454.84, "text": " Entonces nos queda 5 por 2 ra\u00edz de 2 ser\u00e1 10 ra\u00edz de 2 y luego tenemos m\u00e1s 5 por"}, {"start": 454.84, "end": 458.5, "text": " ra\u00edz de 6 que ser\u00e1 5 ra\u00edz de 6."}, {"start": 458.5, "end": 468.06, "text": " Y tambi\u00e9n podemos presentar el resultado as\u00ed como 5 ra\u00edz de 6 y eso m\u00e1s 10 ra\u00edz"}, {"start": 468.06, "end": 469.06, "text": " de 2."}, {"start": 469.06, "end": 473.34, "text": " Simplemente se aplica la propiedad conmutativa de la suma."}, {"start": 473.34, "end": 478.54, "text": " Se cambia el orden de los sumandos y l\u00f3gicamente el resultado no se altera."}, {"start": 478.54, "end": 482.06, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 482.06, "end": 487.06, "text": " Ahora vamos a efectuar la comprobaci\u00f3n del ejercicio en esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 487.06, "end": 489.98, "text": " Comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 489.98, "end": 495.94, "text": " En el numerador ingresamos el n\u00famero 10, pasamos al denominador y ah\u00ed vamos a escribir"}, {"start": 495.94, "end": 500.5, "text": " esto ra\u00edz cuadrada de 8 menos ra\u00edz cuadrada de 6."}, {"start": 500.5, "end": 506.54, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada escribimos el 8, corremos el cursor a la derecha, despu\u00e9s"}, {"start": 506.54, "end": 512.02, "text": " el signo menos, ahora bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y luego el 6."}, {"start": 512.02, "end": 516.02, "text": " All\u00ed ya hemos ingresado la expresi\u00f3n num\u00e9rica a la calculadora."}, {"start": 516.02, "end": 523.14, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado, 5 ra\u00edz de 6 m\u00e1s 10 ra\u00edz de 2."}, {"start": 523.14, "end": 552.06, "text": " Con eso comprobamos que este ejercicio se ha resuelto correctamente."}]