FÓRMULA DE HERÓN - Demostración
#julioprofe demuestra cómo obtener la Fórmula de Herón de Alejandría, que sirve para determinar el área de un triángulo conociendo las longitudes de sus lados.

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 En esta ocasión vamos a demostrar cómo se obtiene la fórmula de Herón. Esta que tenemos aquí se atribuye al matemático griego Herón de Alejandría, quien estableció que es posible determinar el área de un triángulo solamente conociendo las longitudes ABC de sus lados. Aquí encontramos otro parámetro llamado S, que es el semiperímetro, es decir, el perímetro del triángulo, la suma de las longitudes de sus lados y todo eso dividido entre dos. Vamos a ver entonces cómo se demuestra esta fórmula. Comenzamos trazando esta altura que vamos a llamar H, es la que conecta este vértice con este lado y recordemos que la altura llega al lado formando 90 grados, son segmentos perpendiculares. Entonces con esa información podemos establecer que el área del triángulo es base por altura dividido entre dos, la base que es A minúscula por la altura que es H y todo eso dividido entre dos. Esto lo podemos escribir también de la siguiente manera, área del triángulo es igual a un medio que multiplica a A minúscula y a H. De esta manera tenemos una expresión que vamos a etiquetar con el número 1. Ahora cuando trazamos esa altura H, el segmento de longitud A, es decir, la base del triángulo queda dividido en dos tramos, uno cuya longitud vamos a llamar X y otro cuya longitud será la diferencia entre A y X. Entonces lo representamos como A menos X. Allí podemos observar dos triángulos rectángulos, aquí tenemos uno y aquí está el otro. Entonces recordemos que en los triángulos rectángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras. Vamos a comenzar con este triángulo donde los catetos son H y X. Entonces tenemos H al cuadrado más X al cuadrado, allí tenemos la suma de los cuadrados de los catetos y esto es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir, B al cuadrado. De allí vamos a realizar el despeje de H cuadrado. Entonces tenemos H cuadrado es igual a B al cuadrado menos X al cuadrado. Esta cantidad que está sumando la pasamos al otro lado a restar. De esa manera tenemos una nueva expresión que vamos a etiquetar con el número 2. Vamos ahora al otro triángulo rectángulo, este que tenemos aquí. Vamos a aplicar también el teorema de Pitágoras. Tenemos H al cuadrado más A menos X al cuadrado, allí tenemos la suma de los cuadrados de los catetos y esto es igual a la hipotenusa al cuadrado, es decir, C al cuadrado. Y de allí también vamos a despejar H al cuadrado. Entonces nos queda C al cuadrado menos, entre paréntesis, A menos X y todo eso elevado al cuadrado. Otra vez esta cantidad que está sumando pasa al otro lado a restar. De esa manera conseguimos una nueva expresión que vamos a etiquetar con el número 3. Ahora vamos a realizar la igualación de estas dos expresiones porque en ellas se encuentra despejada H al cuadrado. Entonces igualamos la expresión 2 con la expresión 3. Tenemos entonces lo siguiente, V al cuadrado menos X al cuadrado, todo eso vamos a igualarlo con esto que tenemos acá, C al cuadrado menos, entre paréntesis, A menos X y todo eso al cuadrado. Allí vamos a efectuar el desarrollo o la expansión de este binomio elevado al cuadrado. Entonces nos queda de la siguiente manera, V al cuadrado menos X al cuadrado, igual a C al cuadrado menos, abrimos paréntesis y aplicamos el producto notable. Para un binomio elevado al cuadrado tenemos que eso es igual a la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea 2 a X. Y luego tenemos más la segunda cantidad que es X elevada al cuadrado. Y cerramos el paréntesis. Ahora vamos a distribuir en este trinomio este signo negativo, vamos a romper o destruir ese paréntesis. Nos queda entonces V al cuadrado menos X al cuadrado, igual a C al cuadrado, entonces entra el signo menos, nos cambia los signos de cada uno de esos términos. Tenemos menos A al cuadrado más 2 a X y eso menos X al cuadrado. Como podemos observar a ambos lados de la igualdad tenemos repetido ese término, por lo tanto podemos cancelarlo o eliminarlo. Es como si sumáramos a ambos lados de la igualdad X al cuadrado. Entonces nos queda V al cuadrado, luego tenemos igual a C al cuadrado menos A al cuadrado y todo eso más 2 a X. Y allí vamos a realizar poco a poco el despeje de X. Entonces vamos a comenzar por pasar estos términos al otro lado. Nos queda V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado. Este está positivo, llega negativo, este está negativo, llega positivo y todo esto nos queda igualado con 2 a X. Ahora 2 a que está multiplicando con X pasa al otro lado a dividir, de esa manera despejamos X. X será entonces igual a V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado y todo eso dividido entre 2 a. De esa manera obtenemos una nueva expresión que vamos a etiquetar con el número 4. Y a continuación vamos a reemplazar X que equivale a todo esto aquí. En otras palabras la expresión 4 va a sustituirse en la expresión 2. Nos queda de la siguiente manera. H al cuadrado será igual a V al cuadrado menos X que equivale a todo esto. Entonces abrimos un paréntesis para insertar la expresión que corresponde a X. V al cuadrado menos C al cuadrado, todo eso más A al cuadrado y eso dividido entre 2 a y a su vez todo eso elevado al cuadrado. Aquí vamos a aplicar una propiedad de la potenciación en este componente. Como tenemos una fracción elevada al cuadrado, entonces este exponente afecta al numerador y afecta al denominador. Vamos a continuar por acá. Tenemos H al cuadrado igual a V al cuadrado menos, entonces trazamos la línea de la fracción en el numerador tenemos V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado, entonces todo esto queda elevado al cuadrado y el denominador que es 2 a, todo eso también elevado al cuadrado. Ahora aquí vamos a aplicar otra propiedad de la potenciación. Tenemos un producto y todo eso elevado al cuadrado. Entonces el exponente 2 afecta a cada uno de los factores. Nos queda esto de la siguiente manera. H al cuadrado es igual a V al cuadrado menos, trazamos la línea de la fracción, acá en el numerador permanece lo mismo y en el denominador entonces repartimos el exponente 2, 2 al cuadrado que nos da 4 y eso acompañado de A al cuadrado. Ahora al componente V al cuadrado podemos colocarle denominador 1 y tenemos así una resta de fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador. Vamos a resolver esa resta aplicando el truco o la técnica de la canita feliz. Veamos entonces cómo nos queda. Allá en el numerador comenzamos con el producto de estos dos componentes. V al cuadrado por 4 a al cuadrado lo organizamos como 4 a al cuadrado V al cuadrado. Luego tenemos menos esto por esto que nos da esa misma expresión entre paréntesis V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado todo esto elevado al cuadrado y en el denominador tenemos el producto de estos dos componentes que nos da 4 a al cuadrado. Entonces repetimos se ha aplicado el truco o la técnica de la canita feliz para restar dos fracciones heterogéneas o fracciones con distinto denominador. De allí vamos a despejar lo que es H. Para ello sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Entonces en el lado izquierdo nos queda raíz cuadrada de H al cuadrado y en el lado derecho la raíz cuadrada de toda esa expresión 4 a al cuadrado V al cuadrado menos entre paréntesis V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado todo esto elevado al cuadrado a su vez todo eso dividido entre 4 a al cuadrado y como decíamos a toda esa expresión le extraemos la raíz cuadrada. Es usual decir que esto equivale a H porque el exponente 2 se cancela o se elimina con la raíz cuadrada. Sin embargo esto en términos estrictos equivale a valor absoluto de H. Entonces vamos a tomarlo de esa manera. Y acá tenemos la raíz cuadrada con una fracción en su interior. Entonces esa raíz afecta tanto al numerador como al denominador. Entonces nos queda de la siguiente manera. En el numerador la raíz cuadrada de todo eso y en el denominador la raíz cuadrada de 4 a al cuadrado. Entonces repartimos la raíz para el numerador y para el denominador. Ahora para liberar H de esas barras decimos que H es igual a más o menos toda esta expresión. Vamos a escribirla por acá. En el numerador permanece lo mismo. Y en el denominador podemos simplificar esa raíz ya que tiene un producto en su interior. Entonces repartimos la raíz para cada uno de esos factores. Raíz cuadrada de 4 nos da 2 y la raíz cuadrada de a al cuadrado nos daría también valor absoluto de a. En este caso ya podemos decidir cuál de los dos signos se va a tomar. H es la altura del triángulo. Por lo tanto es una cantidad positiva. Corresponde a una longitud. Entonces nos quedamos con la opción más. Allí nos queda invisible. Y lo mismo sucede aquí. Valor absoluto de a nos daría más o menos a. Pero a es la longitud de este lado del triángulo. Por lo tanto es una cantidad positiva. Nos quedamos entonces simplemente con a. De esta manera obtenemos una nueva expresión que vamos a etiquetar con el número 5. Y enseguida vamos a reemplazar H. Que equivale a todo esto aquí. Es decir la expresión 5 se va a sustituir en la expresión 1. Veamos cómo nos queda. Vamos a fingir por acá. Tenemos entonces área del triángulo es igual a un medio por a. Y todo eso multiplicado por H. Que es toda esta expresión. Bien, allí la tenemos. Entonces se ha reemplazado H de la expresión 5 en la expresión 1. Ahora allí es completamente elícito cancelar esa letra a. Porque la tenemos tanto en el numerador como en el denominador. Y a su vez solo se tienen operaciones de multiplicación. Entonces veamos cómo nos queda la expresión para el área. Ya podemos multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí. Tal como se multiplican las fracciones. Entonces en el numerador nos queda 1 por toda esa raíz. Nos da toda esta expresión. Y en el denominador tenemos 2 por 2 que es 4. Ahora podemos cambiar 4 por la raíz cuadrada de 16. Y esto lo hacemos con el objetivo de tener un cosiente o una división de raíces cuadradas. Eso nos permite escribir una sola raíz cuadrada con el cosiente o la división en su interior. Esa es una propiedad de la radicación. Acá tenemos la misma expresión del numerador. Y acá en el denominador tenemos 16. Ahora acá en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos. Vamos entonces a factorizar esa expresión utilizando ese caso de factorización. Tenemos la raíz cuadrada de lo siguiente. Para el numerador vamos a aplicar la diferencia de cuadrados perfectos. Raíz cuadrada del primer término sería 2ab y la raíz cuadrada del segundo término sería lo que tenemos en el paréntesis. Es decir b al cuadrado menos c al cuadrado más a al cuadrado. Entonces anotamos esas dos cantidades en una suma. Protegemos todo esto con corchete y esas mismas dos cantidades en una resta. Entonces 2ab menos entre paréntesis b al cuadrado menos c al cuadrado más a al cuadrado. Allí tenemos entonces la factorización de esta diferencia de cuadrados perfectos. Acá en el denominador tenemos 16 y vamos a cerrar la raíz cuadrada. Enseguida vamos a destruir los paréntesis que tenemos dentro de los corchetes. Entonces área del triángulo será igual a lo siguiente. Por acá tenemos 2ab. Aquí para quitar el paréntesis simplemente lo borramos porque tenemos un signo más a su izquierda. Entonces salen los términos tal como están sin presentar ningún cambio. Allí podemos entonces dejar los corchetes. Ya no tenemos paréntesis en su interior y por acá nos queda 2ab pero aquí el signo menos si nos cambia los signos de cada uno de estos términos nos queda menos p al cuadrado más c al cuadrado menos a al cuadrado. Cerramos el corchete. En el denominador tenemos el número 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora dentro de los corchetes vamos a reacomodar los términos de la siguiente manera. Tenemos acá a al cuadrado más 2ab más b al cuadrado. Allí hemos acomodado esos tres términos después tenemos menos c al cuadrado. Conservamos entonces los corchetes. Vamos al siguiente. Allí comenzamos anotando el término c al cuadrado después menos a al cuadrado después más 2ab luego menos b al cuadrado. Cerramos el corchete. Todo esto lo tenemos sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora dentro de los corchetes vamos a agrupar los términos que tienen a y b. Eso lo hacemos porque con esa organización que hemos logrado allí se forman trinomios cuadrados perfectos. Vamos entonces con lo que hay en el primer corchete. Abrimos un paréntesis para realizar la agrupación de esos tres términos. A esto menos c al cuadrado cerramos el corchete y vamos al otro. Nos queda c al cuadrado menos aquí. Abrimos el paréntesis. Entonces los signos de esos términos van a cambiar. Nos queda a al cuadrado menos 2ab y eso más b al cuadrado. Cerramos el corchete. Todo esto lo tenemos sobre 16 y también cerramos la raíz cuadrada. Como decíamos esos términos que hemos agrupado con paréntesis constituyen trinomios cuadrados perfectos. Vamos entonces a factorizarlos. Recordemos que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre es un binomio elevado al cuadrado. Vamos con la factorización del primero. Para ese caso tenemos a más b al cuadrado. La raíz cuadrada del primer término, la raíz cuadrada del último. Recordemos que se cumple el doble producto de esas raíces cuadradas y en la mitad va el signo del segundo término. Allí nos queda entonces la factorización de ese trinomio cuadrado perfecto. Todo eso nos queda menos c al cuadrado. Cerramos el corchete. Vamos al siguiente donde tenemos c al cuadrado y vamos a factorizar este otro trinomio cuadrado perfecto. Sería la raíz cuadrada del primer término, raíz cuadrada del último. Aquí tenemos el doble producto de esas raíces cuadradas y anotamos el signo del segundo término. Todo eso nos queda al cuadrado. Cerramos el corchete. Todo esto está sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora tenemos dentro de cada uno de los corchetes lo que son diferencias de cuadrados perfectos. Vamos a factorizarlas. Tenemos área del triángulo igual. Vamos con la factorización de esta primera diferencia de cuadrados perfectos. Raíz cuadrada del primer término será a más b y la raíz cuadrada del segundo término es c. Entonces anotamos esas dos cantidades en una suma y en una resta. Entonces a más b protegido con paréntesis menos c. Allí tenemos la suma por la diferencia que constituye la factorización de esa primera diferencia de cuadrados perfectos. Vamos con la otra. Raíz cuadrada del primer término sería c. Raíz cuadrada del segundo término sería a menos b protegido con paréntesis. Anotamos eso con una suma y también con una resta. Entonces c menos a menos b protegido con paréntesis. Cerramos el corchete. Todo eso está sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora vamos a quitar los paréntesis que tenemos dentro de los corchetes. Nos queda área del triángulo igual. Raíz cuadrada de lo siguiente. Trazamos la línea de la fracción y entonces en el numerador aquí quitamos el paréntesis nos queda a más b más c. Ya podríamos cambiar esos corchetes por paréntesis. Vamos al siguiente. Quitamos el paréntesis de a más b. Eso queda menos c. Cambiamos los corchetes por paréntesis. Vamos a la siguiente expresión. Cambiamos el corchete por paréntesis. Quitamos este. Entonces nos queda c más a menos b. Y vamos al último corchete que vamos a cambiar por paréntesis. Nos queda c. Aquí entra el signo menos. Nos queda menos a más b. Todo eso nos queda sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora dentro de cada uno de esos cuatro paréntesis vamos a procurar que nos quede a más b más c. Tal como sucede en el primer paréntesis. Entonces nos queda así. A más b más c. Repetimos el primer paréntesis. Ya está listo. Vamos al siguiente. Tenemos a más b. Nos hace falta más c. Entonces agregamos esa cantidad. Somamos originalmente menos c pero para no alterar la expresión debemos restar c. Si sumamos c tenemos que restar al mismo tiempo esa cantidad para conservar la expresión original. Vamos al siguiente paréntesis. Ya tenemos a. Nos hace falta más b. Entonces agregamos esa cantidad. Tenemos ya más c. También tenemos menos b. Y como sumamos b tenemos que restar esa cantidad. Vamos al último paréntesis. Allí tenemos a negativo. Nos hace falta a positivo. Entonces lo incorporamos. Tenemos más b. Tenemos más c. Tenemos originalmente menos a. Y también como sumamos a o entró a positivo debemos incluir a negativo. Restar a al mismo tiempo para conservar la expresión original. Todo eso está sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Vamos a organizar lo que hay dentro de los paréntesis. Como decíamos el primero ya se encuentra listo. Entonces a más b más c. Vamos al siguiente donde aseguramos esa misma suma. A más b más c. Y operamos estos dos términos. Menos c menos c nos da menos 2c. Vamos al siguiente. A más b más c. Y operamos estos dos términos. Menos b menos b que es menos 2b. Y vamos al último donde de nuevo aseguramos a más b más c. Y operamos estos términos. Menos a menos a nos da menos 2a. Todo eso está sobre 16. Pero aquí vamos a realizar lo siguiente. Cambiamos 16 por esta multiplicación. Dos por dos por dos por dos. Y cerramos la raíz cuadrada. Ahora lo que hacemos es partir esa gran fracción en el producto de cuatro fracciones. Veamos cómo nos queda. Área del triángulo igual a la raíz cuadrada de a más b más c. Todo esto entre paréntesis sobre 2. Allí tenemos la primera fracción. Eso multiplicado por la siguiente que será a más b más c. Todo esto menos 12. También sobre 2. Eso multiplicado por la siguiente fracción que será a más b más c. Menos 2b. Todo esto sobre 2. Y eso multiplicado por la cuarta fracción que tiene a más b más c. Menos 2a. En el numerador. Dos en el denominador. Cerramos la raíz cuadrada. Y de esa manera, como decíamos, se ha partido esa gran fracción en el producto de cuatro fracciones. Recordemos que para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Por lo tanto, este producto nos daría esto que tenemos originalmente. A su vez, vamos a organizar cada uno de estos cuatro componentes de la siguiente manera. Tenemos área del triángulo igual a la raíz cuadrada de. Aquí para el caso del primer componente, lo escribimos como a más b más c. Todo eso sobre 2. Y lo protegemos con paréntesis. Vamos al segundo componente donde este denominador lo vamos a repartir para esta suma y para este componente. Entonces nos queda a más b más c. Todo esto sobre 2. Y eso menos 2c sobre 2. Recordemos que allí se está aplicando el concepto de denominador común. Cuando restamos dos fracciones con el mismo denominador, entonces se conserva el denominador y se operan los numeradores. Estamos como reversando esa situación. Vamos acá. Tenemos a más b más c sobre 2. Y eso menos 2b sobre 2. Vamos al último componente. Sería a más b más c sobre 2. Y eso menos 2a sobre 2. Cerramos el paréntesis y cerramos la raíz cuadrada. Eso que hemos hecho nos permite utilizar el concepto de semiperímetro que definíamos al comienzo de esta explicación. Es el perímetro del triángulo, la suma de las longitudes de sus lados y todo eso dividido entre 2. Pues bien, aquí tenemos el semiperímetro. Todo esto equivale a s. Aquí también lo tenemos. Todo esto equivale a s. Aquí también tenemos el semiperímetro. Y de igual forma, aquí también contamos con ese parámetro. Ahora, tenemos también por acá que se puede simplificar el número 2. Es completamente lícito. Lo mismo sucede aquí. Y también podemos simplificar el 2 en esa última fracción. Ya puliendo la expresión, nos queda así. Área del triángulo será igual a s, semiperímetro, por, vamos al segundo paréntesis, donde nos queda s menos c. Vamos al siguiente paréntesis, donde nos queda s menos b. Y vamos al último paréntesis, donde nos queda s menos a. Y cerramos la raíz cuadrada. Finalmente, lo que hacemos es acomodar esos paréntesis para que la expresión nos quede como venía presentada originalmente. Área del triángulo será igual a la raíz cuadrada de s por s menos a. Tratamos de seguir el orden alfabético. Esto por s menos b y eso por s menos c. Allí tenemos entonces la expresión que queríamos demostrar, la fórmula de Herón. Entonces, de esa manera, hemos conseguido realizar la demostración de esta fórmula que nos permite determinar el área de un triángulo si conocemos las longitudes a, b y c de sus lados. Es la fórmula de Herón de Alejandría matemático griego.
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estas dos expresiones porque en ellas se encuentra"}, {"start": 210.8, "end": 213.64000000000001, "text": " despejada H al cuadrado."}, {"start": 213.64, "end": 218.72, "text": " Entonces igualamos la expresi\u00f3n 2 con la expresi\u00f3n 3."}, {"start": 218.72, "end": 225.76, "text": " Tenemos entonces lo siguiente, V al cuadrado menos X al cuadrado, todo eso vamos a igualarlo"}, {"start": 225.76, "end": 232.88, "text": " con esto que tenemos ac\u00e1, C al cuadrado menos, entre par\u00e9ntesis, A menos X y todo eso al"}, {"start": 232.88, "end": 233.88, "text": " cuadrado."}, {"start": 233.88, "end": 240.23999999999998, "text": " All\u00ed vamos a efectuar el desarrollo o la expansi\u00f3n de este binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 240.24, "end": 245.52, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera, V al cuadrado menos X al cuadrado, igual a"}, {"start": 245.52, "end": 251.20000000000002, "text": " C al cuadrado menos, abrimos par\u00e9ntesis y aplicamos el producto notable."}, {"start": 251.20000000000002, "end": 256.0, "text": " Para un binomio elevado al cuadrado tenemos que eso es igual a la primera cantidad al"}, {"start": 256.0, "end": 262.08, "text": " cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea 2 a X."}, {"start": 262.08, "end": 268.24, "text": " Y luego tenemos m\u00e1s la segunda cantidad que es X elevada al cuadrado."}, {"start": 268.24, "end": 270.8, "text": " Y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 270.8, "end": 276.88, "text": " Ahora vamos a distribuir en este trinomio este signo negativo, vamos a romper o destruir"}, {"start": 276.88, "end": 277.88, "text": " ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 277.88, "end": 284.28000000000003, "text": " Nos queda entonces V al cuadrado menos X al cuadrado, igual a C al cuadrado, entonces"}, {"start": 284.28000000000003, "end": 289.12, "text": " entra el signo menos, nos cambia los signos de cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 289.12, "end": 296.54, "text": " Tenemos menos A al cuadrado m\u00e1s 2 a X y eso menos X al cuadrado."}, {"start": 296.54, "end": 302.40000000000003, "text": " Como podemos observar a ambos lados de la igualdad tenemos repetido ese t\u00e9rmino, por"}, {"start": 302.40000000000003, "end": 305.76000000000005, "text": " lo tanto podemos cancelarlo o eliminarlo."}, {"start": 305.76000000000005, "end": 310.6, "text": " Es como si sum\u00e1ramos a ambos lados de la igualdad X al cuadrado."}, {"start": 310.6, "end": 319.16, "text": " Entonces nos queda V al cuadrado, luego tenemos igual a C al cuadrado menos A al cuadrado"}, {"start": 319.16, "end": 323.28000000000003, "text": " y todo eso m\u00e1s 2 a X."}, {"start": 323.28, "end": 327.28, "text": " Y all\u00ed vamos a realizar poco a poco el despeje de X."}, {"start": 327.28, "end": 330.71999999999997, "text": " Entonces vamos a comenzar por pasar estos t\u00e9rminos al otro lado."}, {"start": 330.71999999999997, "end": 336.28, "text": " Nos queda V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado."}, {"start": 336.28, "end": 341.2, "text": " Este est\u00e1 positivo, llega negativo, este est\u00e1 negativo, llega positivo y todo esto"}, {"start": 341.2, "end": 345.47999999999996, "text": " nos queda igualado con 2 a X."}, {"start": 345.47999999999996, "end": 352.23999999999995, "text": " Ahora 2 a que est\u00e1 multiplicando con X pasa al otro lado a dividir, de esa manera despejamos"}, {"start": 352.24, "end": 353.24, "text": " X."}, {"start": 353.24, "end": 360.8, "text": " X ser\u00e1 entonces igual a V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado y todo eso"}, {"start": 360.8, "end": 364.40000000000003, "text": " dividido entre 2 a."}, {"start": 364.40000000000003, "end": 370.04, "text": " De esa manera obtenemos una nueva expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 4."}, {"start": 370.04, "end": 375.36, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a reemplazar X que equivale a todo esto aqu\u00ed."}, {"start": 375.36, "end": 381.32, "text": " En otras palabras la expresi\u00f3n 4 va a sustituirse en la expresi\u00f3n 2."}, {"start": 381.32, "end": 383.96, "text": " Nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 383.96, "end": 392.15999999999997, "text": " H al cuadrado ser\u00e1 igual a V al cuadrado menos X que equivale a todo esto."}, {"start": 392.15999999999997, "end": 397.71999999999997, "text": " Entonces abrimos un par\u00e9ntesis para insertar la expresi\u00f3n que corresponde a X."}, {"start": 397.71999999999997, "end": 404.2, "text": " V al cuadrado menos C al cuadrado, todo eso m\u00e1s A al cuadrado y eso dividido entre 2"}, {"start": 404.2, "end": 408.64, "text": " a y a su vez todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 408.64, "end": 413.2, "text": " Aqu\u00ed vamos a aplicar una propiedad de la potenciaci\u00f3n en este componente."}, {"start": 413.2, "end": 419.44, "text": " Como tenemos una fracci\u00f3n elevada al cuadrado, entonces este exponente afecta al numerador"}, {"start": 419.44, "end": 421.71999999999997, "text": " y afecta al denominador."}, {"start": 421.71999999999997, "end": 423.59999999999997, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 423.59999999999997, "end": 431.24, "text": " Tenemos H al cuadrado igual a V al cuadrado menos, entonces trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n"}, {"start": 431.24, "end": 438.96000000000004, "text": " en el numerador tenemos V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado, entonces"}, {"start": 438.96000000000004, "end": 447.88, "text": " todo esto queda elevado al cuadrado y el denominador que es 2 a, todo eso tambi\u00e9n elevado al cuadrado."}, {"start": 447.88, "end": 451.94, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a aplicar otra propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 451.94, "end": 455.56, "text": " Tenemos un producto y todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 455.56, "end": 459.92, "text": " Entonces el exponente 2 afecta a cada uno de los factores."}, {"start": 459.92, "end": 462.28000000000003, "text": " Nos queda esto de la siguiente manera."}, {"start": 462.28000000000003, "end": 469.12, "text": " H al cuadrado es igual a V al cuadrado menos, trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n, ac\u00e1 en"}, {"start": 469.12, "end": 476.88, "text": " el numerador permanece lo mismo y en el denominador entonces repartimos el exponente 2, 2 al cuadrado"}, {"start": 476.88, "end": 481.72, "text": " que nos da 4 y eso acompa\u00f1ado de A al cuadrado."}, {"start": 481.72, "end": 487.6, "text": " Ahora al componente V al cuadrado podemos colocarle denominador 1 y tenemos as\u00ed una"}, {"start": 487.6, "end": 492.76000000000005, "text": " resta de fracciones heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador."}, {"start": 492.76000000000005, "end": 499.48, "text": " Vamos a resolver esa resta aplicando el truco o la t\u00e9cnica de la canita feliz."}, {"start": 499.48, "end": 501.48, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 501.48, "end": 505.6, "text": " All\u00e1 en el numerador comenzamos con el producto de estos dos componentes."}, {"start": 505.6, "end": 512.4, "text": " V al cuadrado por 4 a al cuadrado lo organizamos como 4 a al cuadrado V al cuadrado."}, {"start": 512.4, "end": 518.1999999999999, "text": " Luego tenemos menos esto por esto que nos da esa misma expresi\u00f3n entre par\u00e9ntesis"}, {"start": 518.1999999999999, "end": 526.72, "text": " V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado todo esto elevado al cuadrado y en"}, {"start": 526.72, "end": 533.88, "text": " el denominador tenemos el producto de estos dos componentes que nos da 4 a al cuadrado."}, {"start": 533.88, "end": 540.4, "text": " Entonces repetimos se ha aplicado el truco o la t\u00e9cnica de la canita feliz para restar"}, {"start": 540.4, "end": 545.4, "text": " dos fracciones heterog\u00e9neas o fracciones con distinto denominador."}, {"start": 545.4, "end": 548.4, "text": " De all\u00ed vamos a despejar lo que es H."}, {"start": 548.4, "end": 553.12, "text": " Para ello sacamos ra\u00edz cuadrada a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 553.12, "end": 558.92, "text": " Entonces en el lado izquierdo nos queda ra\u00edz cuadrada de H al cuadrado y en el lado derecho"}, {"start": 558.92, "end": 566.0799999999999, "text": " la ra\u00edz cuadrada de toda esa expresi\u00f3n 4 a al cuadrado V al cuadrado menos entre par\u00e9ntesis"}, {"start": 566.08, "end": 573.72, "text": " V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado todo esto elevado al cuadrado a su"}, {"start": 573.72, "end": 582.12, "text": " vez todo eso dividido entre 4 a al cuadrado y como dec\u00edamos a toda esa expresi\u00f3n le extraemos"}, {"start": 582.12, "end": 584.48, "text": " la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 584.48, "end": 590.6800000000001, "text": " Es usual decir que esto equivale a H porque el exponente 2 se cancela o se elimina con"}, {"start": 590.6800000000001, "end": 592.2, "text": " la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 592.2, "end": 598.5600000000001, "text": " Sin embargo esto en t\u00e9rminos estrictos equivale a valor absoluto de H."}, {"start": 598.5600000000001, "end": 600.8000000000001, "text": " Entonces vamos a tomarlo de esa manera."}, {"start": 600.8000000000001, "end": 605.9200000000001, "text": " Y ac\u00e1 tenemos la ra\u00edz cuadrada con una fracci\u00f3n en su interior."}, {"start": 605.9200000000001, "end": 611.08, "text": " Entonces esa ra\u00edz afecta tanto al numerador como al denominador."}, {"start": 611.08, "end": 613.5600000000001, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 613.5600000000001, "end": 620.88, "text": " En el numerador la ra\u00edz cuadrada de todo eso y en el denominador la ra\u00edz cuadrada de 4"}, {"start": 620.88, "end": 622.84, "text": " a al cuadrado."}, {"start": 622.84, "end": 628.04, "text": " Entonces repartimos la ra\u00edz para el numerador y para el denominador."}, {"start": 628.04, "end": 636.88, "text": " Ahora para liberar H de esas barras decimos que H es igual a m\u00e1s o menos toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 636.88, "end": 639.04, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 639.04, "end": 641.96, "text": " En el numerador permanece lo mismo."}, {"start": 641.96, "end": 648.16, "text": " Y en el denominador podemos simplificar esa ra\u00edz ya que tiene un producto en su interior."}, {"start": 648.16, "end": 652.28, "text": " Entonces repartimos la ra\u00edz para cada uno de esos factores."}, {"start": 652.28, "end": 658.28, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 4 nos da 2 y la ra\u00edz cuadrada de a al cuadrado nos dar\u00eda tambi\u00e9n valor"}, {"start": 658.28, "end": 660.52, "text": " absoluto de a."}, {"start": 660.52, "end": 664.8, "text": " En este caso ya podemos decidir cu\u00e1l de los dos signos se va a tomar."}, {"start": 664.8, "end": 667.28, "text": " H es la altura del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 667.28, "end": 669.52, "text": " Por lo tanto es una cantidad positiva."}, {"start": 669.52, "end": 671.92, "text": " Corresponde a una longitud."}, {"start": 671.92, "end": 674.28, "text": " Entonces nos quedamos con la opci\u00f3n m\u00e1s."}, {"start": 674.28, "end": 675.8399999999999, "text": " All\u00ed nos queda invisible."}, {"start": 675.8399999999999, "end": 677.56, "text": " Y lo mismo sucede aqu\u00ed."}, {"start": 677.56, "end": 680.0, "text": " Valor absoluto de a nos dar\u00eda m\u00e1s o menos a."}, {"start": 680.0, "end": 683.4799999999999, "text": " Pero a es la longitud de este lado del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 683.4799999999999, "end": 686.04, "text": " Por lo tanto es una cantidad positiva."}, {"start": 686.04, "end": 689.7199999999999, "text": " Nos quedamos entonces simplemente con a."}, {"start": 689.7199999999999, "end": 695.56, "text": " De esta manera obtenemos una nueva expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 5."}, {"start": 695.56, "end": 697.92, "text": " Y enseguida vamos a reemplazar H."}, {"start": 697.92, "end": 700.56, "text": " Que equivale a todo esto aqu\u00ed."}, {"start": 700.56, "end": 705.7199999999999, "text": " Es decir la expresi\u00f3n 5 se va a sustituir en la expresi\u00f3n 1."}, {"start": 705.7199999999999, "end": 707.3199999999999, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 707.32, "end": 708.98, "text": " Vamos a fingir por ac\u00e1."}, {"start": 708.98, "end": 714.84, "text": " Tenemos entonces \u00e1rea del tri\u00e1ngulo es igual a un medio por a."}, {"start": 714.84, "end": 717.0400000000001, "text": " Y todo eso multiplicado por H."}, {"start": 717.0400000000001, "end": 718.96, "text": " Que es toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 718.96, "end": 721.24, "text": " Bien, all\u00ed la tenemos."}, {"start": 721.24, "end": 726.6400000000001, "text": " Entonces se ha reemplazado H de la expresi\u00f3n 5 en la expresi\u00f3n 1."}, {"start": 726.6400000000001, "end": 731.1600000000001, "text": " Ahora all\u00ed es completamente el\u00edcito cancelar esa letra a."}, {"start": 731.1600000000001, "end": 734.32, "text": " Porque la tenemos tanto en el numerador como en el denominador."}, {"start": 734.32, "end": 738.2800000000001, "text": " Y a su vez solo se tienen operaciones de multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 738.2800000000001, "end": 742.08, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda la expresi\u00f3n para el \u00e1rea."}, {"start": 742.08, "end": 747.12, "text": " Ya podemos multiplicar numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 747.12, "end": 749.8000000000001, "text": " Tal como se multiplican las fracciones."}, {"start": 749.8000000000001, "end": 753.72, "text": " Entonces en el numerador nos queda 1 por toda esa ra\u00edz."}, {"start": 753.72, "end": 756.08, "text": " Nos da toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 756.08, "end": 760.6, "text": " Y en el denominador tenemos 2 por 2 que es 4."}, {"start": 760.6, "end": 765.64, "text": " Ahora podemos cambiar 4 por la ra\u00edz cuadrada de 16."}, {"start": 765.64, "end": 772.24, "text": " Y esto lo hacemos con el objetivo de tener un cosiente o una divisi\u00f3n de ra\u00edces cuadradas."}, {"start": 772.24, "end": 780.84, "text": " Eso nos permite escribir una sola ra\u00edz cuadrada con el cosiente o la divisi\u00f3n en su interior."}, {"start": 780.84, "end": 783.32, "text": " Esa es una propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 783.32, "end": 786.72, "text": " Ac\u00e1 tenemos la misma expresi\u00f3n del numerador."}, {"start": 786.72, "end": 791.0, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador tenemos 16."}, {"start": 791.0, "end": 796.8000000000001, "text": " Ahora ac\u00e1 en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 796.8000000000001, "end": 803.48, "text": " Vamos entonces a factorizar esa expresi\u00f3n utilizando ese caso de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 803.48, "end": 806.2, "text": " Tenemos la ra\u00edz cuadrada de lo siguiente."}, {"start": 806.2, "end": 811.8000000000001, "text": " Para el numerador vamos a aplicar la diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 811.8, "end": 818.12, "text": " Ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00eda 2ab y la ra\u00edz cuadrada del segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 818.12, "end": 820.3199999999999, "text": " ser\u00eda lo que tenemos en el par\u00e9ntesis."}, {"start": 820.3199999999999, "end": 825.56, "text": " Es decir b al cuadrado menos c al cuadrado m\u00e1s a al cuadrado."}, {"start": 825.56, "end": 829.24, "text": " Entonces anotamos esas dos cantidades en una suma."}, {"start": 829.24, "end": 835.68, "text": " Protegemos todo esto con corchete y esas mismas dos cantidades en una resta."}, {"start": 835.68, "end": 843.5999999999999, "text": " Entonces 2ab menos entre par\u00e9ntesis b al cuadrado menos c al cuadrado m\u00e1s a al cuadrado."}, {"start": 843.5999999999999, "end": 849.92, "text": " All\u00ed tenemos entonces la factorizaci\u00f3n de esta diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 849.92, "end": 856.4, "text": " Ac\u00e1 en el denominador tenemos 16 y vamos a cerrar la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 856.4, "end": 861.88, "text": " Enseguida vamos a destruir los par\u00e9ntesis que tenemos dentro de los corchetes."}, {"start": 861.88, "end": 865.4, "text": " Entonces \u00e1rea del tri\u00e1ngulo ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 865.4, "end": 867.6, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 2ab."}, {"start": 867.6, "end": 872.68, "text": " Aqu\u00ed para quitar el par\u00e9ntesis simplemente lo borramos porque tenemos un signo m\u00e1s a"}, {"start": 872.68, "end": 873.92, "text": " su izquierda."}, {"start": 873.92, "end": 878.9599999999999, "text": " Entonces salen los t\u00e9rminos tal como est\u00e1n sin presentar ning\u00fan cambio."}, {"start": 878.9599999999999, "end": 882.4, "text": " All\u00ed podemos entonces dejar los corchetes."}, {"start": 882.4, "end": 888.88, "text": " Ya no tenemos par\u00e9ntesis en su interior y por ac\u00e1 nos queda 2ab pero aqu\u00ed el signo"}, {"start": 888.88, "end": 894.76, "text": " menos si nos cambia los signos de cada uno de estos t\u00e9rminos nos queda menos p al cuadrado"}, {"start": 894.76, "end": 899.2, "text": " m\u00e1s c al cuadrado menos a al cuadrado."}, {"start": 899.2, "end": 901.08, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 901.08, "end": 909.16, "text": " En el denominador tenemos el n\u00famero 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 909.16, "end": 915.6, "text": " Ahora dentro de los corchetes vamos a reacomodar los t\u00e9rminos de la siguiente manera."}, {"start": 915.6, "end": 922.88, "text": " Tenemos ac\u00e1 a al cuadrado m\u00e1s 2ab m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 922.88, "end": 928.2, "text": " All\u00ed hemos acomodado esos tres t\u00e9rminos despu\u00e9s tenemos menos c al cuadrado."}, {"start": 928.2, "end": 931.32, "text": " Conservamos entonces los corchetes."}, {"start": 931.32, "end": 932.32, "text": " Vamos al siguiente."}, {"start": 932.32, "end": 938.92, "text": " All\u00ed comenzamos anotando el t\u00e9rmino c al cuadrado despu\u00e9s menos a al cuadrado despu\u00e9s"}, {"start": 938.92, "end": 944.16, "text": " m\u00e1s 2ab luego menos b al cuadrado."}, {"start": 944.16, "end": 945.88, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 945.88, "end": 953.18, "text": " Todo esto lo tenemos sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 953.18, "end": 958.6, "text": " Ahora dentro de los corchetes vamos a agrupar los t\u00e9rminos que tienen a y b."}, {"start": 958.6, "end": 964.56, "text": " Eso lo hacemos porque con esa organizaci\u00f3n que hemos logrado all\u00ed se forman trinomios"}, {"start": 964.56, "end": 966.36, "text": " cuadrados perfectos."}, {"start": 966.36, "end": 968.96, "text": " Vamos entonces con lo que hay en el primer corchete."}, {"start": 968.96, "end": 975.48, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis para realizar la agrupaci\u00f3n de esos tres t\u00e9rminos."}, {"start": 975.48, "end": 981.4, "text": " A esto menos c al cuadrado cerramos el corchete y vamos al otro."}, {"start": 981.4, "end": 984.36, "text": " Nos queda c al cuadrado menos aqu\u00ed."}, {"start": 984.36, "end": 985.84, "text": " Abrimos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 985.84, "end": 988.8000000000001, "text": " Entonces los signos de esos t\u00e9rminos van a cambiar."}, {"start": 988.8000000000001, "end": 995.52, "text": " Nos queda a al cuadrado menos 2ab y eso m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 995.52, "end": 997.2, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 997.2, "end": 1004.5600000000001, "text": " Todo esto lo tenemos sobre 16 y tambi\u00e9n cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1004.56, "end": 1010.04, "text": " Como dec\u00edamos esos t\u00e9rminos que hemos agrupado con par\u00e9ntesis constituyen trinomios cuadrados"}, {"start": 1010.04, "end": 1011.04, "text": " perfectos."}, {"start": 1011.04, "end": 1013.4399999999999, "text": " Vamos entonces a factorizarlos."}, {"start": 1013.4399999999999, "end": 1018.76, "text": " Recordemos que la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto siempre es un binomio elevado"}, {"start": 1018.76, "end": 1019.76, "text": " al cuadrado."}, {"start": 1019.76, "end": 1022.0799999999999, "text": " Vamos con la factorizaci\u00f3n del primero."}, {"start": 1022.0799999999999, "end": 1026.76, "text": " Para ese caso tenemos a m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 1026.76, "end": 1030.8, "text": " La ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, la ra\u00edz cuadrada del \u00faltimo."}, {"start": 1030.8, "end": 1035.9199999999998, "text": " Recordemos que se cumple el doble producto de esas ra\u00edces cuadradas y en la mitad va"}, {"start": 1035.9199999999998, "end": 1038.1599999999999, "text": " el signo del segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 1038.1599999999999, "end": 1043.08, "text": " All\u00ed nos queda entonces la factorizaci\u00f3n de ese trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 1043.08, "end": 1045.68, "text": " Todo eso nos queda menos c al cuadrado."}, {"start": 1045.68, "end": 1047.12, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 1047.12, "end": 1053.04, "text": " Vamos al siguiente donde tenemos c al cuadrado y vamos a factorizar este otro trinomio cuadrado"}, {"start": 1053.04, "end": 1054.04, "text": " perfecto."}, {"start": 1054.04, "end": 1058.36, "text": " Ser\u00eda la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, ra\u00edz cuadrada del \u00faltimo."}, {"start": 1058.36, "end": 1063.56, "text": " Aqu\u00ed tenemos el doble producto de esas ra\u00edces cuadradas y anotamos el signo del segundo"}, {"start": 1063.56, "end": 1064.56, "text": " t\u00e9rmino."}, {"start": 1064.56, "end": 1067.04, "text": " Todo eso nos queda al cuadrado."}, {"start": 1067.04, "end": 1068.6, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 1068.6, "end": 1075.8, "text": " Todo esto est\u00e1 sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1075.8, "end": 1082.0, "text": " Ahora tenemos dentro de cada uno de los corchetes lo que son diferencias de cuadrados perfectos."}, {"start": 1082.0, "end": 1084.0, "text": " Vamos a factorizarlas."}, {"start": 1084.0, "end": 1086.0, "text": " Tenemos \u00e1rea del tri\u00e1ngulo igual."}, {"start": 1086.0, "end": 1090.36, "text": " Vamos con la factorizaci\u00f3n de esta primera diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 1090.36, "end": 1096.52, "text": " Ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00e1 a m\u00e1s b y la ra\u00edz cuadrada del segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 1096.52, "end": 1097.52, "text": " es c."}, {"start": 1097.52, "end": 1103.0, "text": " Entonces anotamos esas dos cantidades en una suma y en una resta."}, {"start": 1103.0, "end": 1107.68, "text": " Entonces a m\u00e1s b protegido con par\u00e9ntesis menos c."}, {"start": 1107.68, "end": 1113.0, "text": " All\u00ed tenemos la suma por la diferencia que constituye la factorizaci\u00f3n de esa primera"}, {"start": 1113.0, "end": 1115.56, "text": " diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 1115.56, "end": 1116.9199999999998, "text": " Vamos con la otra."}, {"start": 1116.9199999999998, "end": 1119.26, "text": " Ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00eda c."}, {"start": 1119.26, "end": 1125.06, "text": " Ra\u00edz cuadrada del segundo t\u00e9rmino ser\u00eda a menos b protegido con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1125.06, "end": 1129.6399999999999, "text": " Anotamos eso con una suma y tambi\u00e9n con una resta."}, {"start": 1129.6399999999999, "end": 1133.48, "text": " Entonces c menos a menos b protegido con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1133.48, "end": 1134.9199999999998, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 1134.9199999999998, "end": 1142.0, "text": " Todo eso est\u00e1 sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1142.0, "end": 1146.72, "text": " Ahora vamos a quitar los par\u00e9ntesis que tenemos dentro de los corchetes."}, {"start": 1146.72, "end": 1149.2, "text": " Nos queda \u00e1rea del tri\u00e1ngulo igual."}, {"start": 1149.2, "end": 1151.12, "text": " Ra\u00edz cuadrada de lo siguiente."}, {"start": 1151.12, "end": 1157.16, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n y entonces en el numerador aqu\u00ed quitamos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 1157.16, "end": 1160.44, "text": " nos queda a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1160.44, "end": 1164.12, "text": " Ya podr\u00edamos cambiar esos corchetes por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1164.12, "end": 1165.64, "text": " Vamos al siguiente."}, {"start": 1165.64, "end": 1167.48, "text": " Quitamos el par\u00e9ntesis de a m\u00e1s b."}, {"start": 1167.48, "end": 1169.04, "text": " Eso queda menos c."}, {"start": 1169.04, "end": 1172.1599999999999, "text": " Cambiamos los corchetes por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1172.1599999999999, "end": 1174.1599999999999, "text": " Vamos a la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 1174.1599999999999, "end": 1176.3999999999999, "text": " Cambiamos el corchete por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1176.3999999999999, "end": 1177.3999999999999, "text": " Quitamos este."}, {"start": 1177.3999999999999, "end": 1180.84, "text": " Entonces nos queda c m\u00e1s a menos b."}, {"start": 1180.84, "end": 1185.1599999999999, "text": " Y vamos al \u00faltimo corchete que vamos a cambiar por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1185.1599999999999, "end": 1186.1599999999999, "text": " Nos queda c."}, {"start": 1186.1599999999999, "end": 1187.6, "text": " Aqu\u00ed entra el signo menos."}, {"start": 1187.6, "end": 1190.44, "text": " Nos queda menos a m\u00e1s b."}, {"start": 1190.44, "end": 1196.0, "text": " Todo eso nos queda sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1196.0, "end": 1202.08, "text": " Ahora dentro de cada uno de esos cuatro par\u00e9ntesis vamos a procurar que nos quede a m\u00e1s b m\u00e1s"}, {"start": 1202.08, "end": 1203.08, "text": " c."}, {"start": 1203.08, "end": 1205.88, "text": " Tal como sucede en el primer par\u00e9ntesis."}, {"start": 1205.88, "end": 1207.6, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 1207.6, "end": 1209.04, "text": " A m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1209.04, "end": 1211.0, "text": " Repetimos el primer par\u00e9ntesis."}, {"start": 1211.0, "end": 1212.52, "text": " Ya est\u00e1 listo."}, {"start": 1212.52, "end": 1213.52, "text": " Vamos al siguiente."}, {"start": 1213.52, "end": 1215.52, "text": " Tenemos a m\u00e1s b."}, {"start": 1215.52, "end": 1217.44, "text": " Nos hace falta m\u00e1s c."}, {"start": 1217.44, "end": 1221.28, "text": " Entonces agregamos esa cantidad."}, {"start": 1221.28, "end": 1227.72, "text": " Somamos originalmente menos c pero para no alterar la expresi\u00f3n debemos restar c."}, {"start": 1227.72, "end": 1234.2, "text": " Si sumamos c tenemos que restar al mismo tiempo esa cantidad para conservar la expresi\u00f3n original."}, {"start": 1234.2, "end": 1235.72, "text": " Vamos al siguiente par\u00e9ntesis."}, {"start": 1235.72, "end": 1237.0, "text": " Ya tenemos a."}, {"start": 1237.0, "end": 1238.96, "text": " Nos hace falta m\u00e1s b."}, {"start": 1238.96, "end": 1241.76, "text": " Entonces agregamos esa cantidad."}, {"start": 1241.76, "end": 1244.16, "text": " Tenemos ya m\u00e1s c."}, {"start": 1244.16, "end": 1245.8799999999999, "text": " Tambi\u00e9n tenemos menos b."}, {"start": 1245.8799999999999, "end": 1250.8799999999999, "text": " Y como sumamos b tenemos que restar esa cantidad."}, {"start": 1250.88, "end": 1253.0, "text": " Vamos al \u00faltimo par\u00e9ntesis."}, {"start": 1253.0, "end": 1255.3600000000001, "text": " All\u00ed tenemos a negativo."}, {"start": 1255.3600000000001, "end": 1257.88, "text": " Nos hace falta a positivo."}, {"start": 1257.88, "end": 1259.8000000000002, "text": " Entonces lo incorporamos."}, {"start": 1259.8000000000002, "end": 1261.64, "text": " Tenemos m\u00e1s b."}, {"start": 1261.64, "end": 1263.44, "text": " Tenemos m\u00e1s c."}, {"start": 1263.44, "end": 1265.68, "text": " Tenemos originalmente menos a."}, {"start": 1265.68, "end": 1272.1200000000001, "text": " Y tambi\u00e9n como sumamos a o entr\u00f3 a positivo debemos incluir a negativo."}, {"start": 1272.1200000000001, "end": 1276.96, "text": " Restar a al mismo tiempo para conservar la expresi\u00f3n original."}, {"start": 1276.96, "end": 1283.16, "text": " Todo eso est\u00e1 sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1283.16, "end": 1286.2, "text": " Vamos a organizar lo que hay dentro de los par\u00e9ntesis."}, {"start": 1286.2, "end": 1289.6000000000001, "text": " Como dec\u00edamos el primero ya se encuentra listo."}, {"start": 1289.6000000000001, "end": 1293.08, "text": " Entonces a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1293.08, "end": 1296.76, "text": " Vamos al siguiente donde aseguramos esa misma suma."}, {"start": 1296.76, "end": 1298.2, "text": " A m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1298.2, "end": 1300.28, "text": " Y operamos estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 1300.28, "end": 1303.68, "text": " Menos c menos c nos da menos 2c."}, {"start": 1303.68, "end": 1305.44, "text": " Vamos al siguiente."}, {"start": 1305.44, "end": 1308.3600000000001, "text": " A m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1308.3600000000001, "end": 1310.16, "text": " Y operamos estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 1310.16, "end": 1313.0800000000002, "text": " Menos b menos b que es menos 2b."}, {"start": 1313.0800000000002, "end": 1318.4, "text": " Y vamos al \u00faltimo donde de nuevo aseguramos a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1318.4, "end": 1320.1200000000001, "text": " Y operamos estos t\u00e9rminos."}, {"start": 1320.1200000000001, "end": 1323.3200000000002, "text": " Menos a menos a nos da menos 2a."}, {"start": 1323.3200000000002, "end": 1326.1200000000001, "text": " Todo eso est\u00e1 sobre 16."}, {"start": 1326.1200000000001, "end": 1328.56, "text": " Pero aqu\u00ed vamos a realizar lo siguiente."}, {"start": 1328.56, "end": 1331.76, "text": " Cambiamos 16 por esta multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 1331.76, "end": 1334.52, "text": " Dos por dos por dos por dos."}, {"start": 1334.52, "end": 1338.32, "text": " Y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1338.32, "end": 1342.36, "text": " Ahora lo que hacemos es partir esa gran fracci\u00f3n en el producto"}, {"start": 1342.36, "end": 1343.92, "text": " de cuatro fracciones."}, {"start": 1343.92, "end": 1345.6, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 1345.6, "end": 1350.8, "text": " \u00c1rea del tri\u00e1ngulo igual a la ra\u00edz cuadrada de a m\u00e1s b m\u00e1s"}, {"start": 1350.8, "end": 1351.72, "text": " c."}, {"start": 1351.72, "end": 1354.48, "text": " Todo esto entre par\u00e9ntesis sobre 2."}, {"start": 1354.48, "end": 1356.52, "text": " All\u00ed tenemos la primera fracci\u00f3n."}, {"start": 1356.52, "end": 1362.92, "text": " Eso multiplicado por la siguiente que ser\u00e1 a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1362.92, "end": 1365.3200000000002, "text": " Todo esto menos 12."}, {"start": 1365.3200000000002, "end": 1367.1200000000001, "text": " Tambi\u00e9n sobre 2."}, {"start": 1367.1200000000001, "end": 1371.72, "text": " Eso multiplicado por la siguiente fracci\u00f3n que ser\u00e1 a"}, {"start": 1371.72, "end": 1374.2, "text": " m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1374.2, "end": 1376.5600000000002, "text": " Menos 2b."}, {"start": 1376.5600000000002, "end": 1378.48, "text": " Todo esto sobre 2."}, {"start": 1378.48, "end": 1383.6000000000001, "text": " Y eso multiplicado por la cuarta fracci\u00f3n que tiene a m\u00e1s b m\u00e1s"}, {"start": 1383.6000000000001, "end": 1384.88, "text": " c."}, {"start": 1384.88, "end": 1386.8400000000001, "text": " Menos 2a."}, {"start": 1386.8400000000001, "end": 1388.2, "text": " En el numerador."}, {"start": 1388.2, "end": 1389.96, "text": " Dos en el denominador."}, {"start": 1389.96, "end": 1392.44, "text": " Cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1392.44, "end": 1397.3200000000002, "text": " Y de esa manera, como dec\u00edamos, se ha partido esa gran fracci\u00f3n en"}, {"start": 1397.3200000000002, "end": 1399.72, "text": " el producto de cuatro fracciones."}, {"start": 1399.72, "end": 1403.3200000000002, "text": " Recordemos que para multiplicar fracciones se multiplican"}, {"start": 1403.3200000000002, "end": 1406.64, "text": " numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 1406.64, "end": 1410.28, "text": " Por lo tanto, este producto nos dar\u00eda esto que tenemos"}, {"start": 1410.28, "end": 1411.8400000000001, "text": " originalmente."}, {"start": 1411.8400000000001, "end": 1415.8400000000001, "text": " A su vez, vamos a organizar cada uno de estos cuatro componentes"}, {"start": 1415.8400000000001, "end": 1417.48, "text": " de la siguiente manera."}, {"start": 1417.48, "end": 1421.44, "text": " Tenemos \u00e1rea del tri\u00e1ngulo igual a la ra\u00edz cuadrada de."}, {"start": 1421.44, "end": 1424.3200000000002, "text": " Aqu\u00ed para el caso del primer componente,"}, {"start": 1424.3200000000002, "end": 1426.72, "text": " lo escribimos como a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1426.72, "end": 1428.52, "text": " Todo eso sobre 2."}, {"start": 1428.52, "end": 1431.1200000000001, "text": " Y lo protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1431.1200000000001, "end": 1435.3600000000001, "text": " Vamos al segundo componente donde este denominador lo vamos"}, {"start": 1435.3600000000001, "end": 1438.72, "text": " a repartir para esta suma y para este componente."}, {"start": 1438.72, "end": 1442.56, "text": " Entonces nos queda a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1442.56, "end": 1444.92, "text": " Todo esto sobre 2."}, {"start": 1444.92, "end": 1448.68, "text": " Y eso menos 2c sobre 2."}, {"start": 1448.68, "end": 1451.8, "text": " Recordemos que all\u00ed se est\u00e1 aplicando el concepto de"}, {"start": 1451.8, "end": 1453.28, "text": " denominador com\u00fan."}, {"start": 1453.28, "end": 1456.28, "text": " Cuando restamos dos fracciones con el mismo denominador,"}, {"start": 1456.28, "end": 1459.28, "text": " entonces se conserva el denominador y se operan los"}, {"start": 1459.28, "end": 1460.24, "text": " numeradores."}, {"start": 1460.24, "end": 1463.28, "text": " Estamos como reversando esa situaci\u00f3n."}, {"start": 1463.28, "end": 1464.28, "text": " Vamos ac\u00e1."}, {"start": 1464.28, "end": 1467.76, "text": " Tenemos a m\u00e1s b m\u00e1s c sobre 2."}, {"start": 1467.76, "end": 1472.92, "text": " Y eso menos 2b sobre 2."}, {"start": 1472.92, "end": 1474.88, "text": " Vamos al \u00faltimo componente."}, {"start": 1474.88, "end": 1479.92, "text": " Ser\u00eda a m\u00e1s b m\u00e1s c sobre 2."}, {"start": 1479.92, "end": 1484.5200000000002, "text": " Y eso menos 2a sobre 2."}, {"start": 1484.5200000000002, "end": 1488.92, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1488.92, "end": 1492.92, "text": " Eso que hemos hecho nos permite utilizar el concepto de"}, {"start": 1492.92, "end": 1498.5200000000002, "text": " semiper\u00edmetro que defin\u00edamos al comienzo de esta explicaci\u00f3n."}, {"start": 1498.5200000000002, "end": 1502.24, "text": " Es el per\u00edmetro del tri\u00e1ngulo, la suma de las longitudes de"}, {"start": 1502.24, "end": 1505.68, "text": " sus lados y todo eso dividido entre 2."}, {"start": 1505.68, "end": 1508.64, "text": " Pues bien, aqu\u00ed tenemos el semiper\u00edmetro."}, {"start": 1508.64, "end": 1510.88, "text": " Todo esto equivale a s."}, {"start": 1510.88, "end": 1512.64, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n lo tenemos."}, {"start": 1512.64, "end": 1514.92, "text": " Todo esto equivale a s."}, {"start": 1514.92, "end": 1518.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n tenemos el semiper\u00edmetro."}, {"start": 1518.0, "end": 1522.64, "text": " Y de igual forma, aqu\u00ed tambi\u00e9n contamos con ese par\u00e1metro."}, {"start": 1522.64, "end": 1526.88, "text": " Ahora, tenemos tambi\u00e9n por ac\u00e1 que se puede simplificar el"}, {"start": 1526.88, "end": 1528.1200000000001, "text": " n\u00famero 2."}, {"start": 1528.1200000000001, "end": 1529.84, "text": " Es completamente l\u00edcito."}, {"start": 1529.84, "end": 1531.6, "text": " Lo mismo sucede aqu\u00ed."}, {"start": 1531.6, "end": 1535.28, "text": " Y tambi\u00e9n podemos simplificar el 2 en esa \u00faltima fracci\u00f3n."}, {"start": 1535.28, "end": 1538.76, "text": " Ya puliendo la expresi\u00f3n, nos queda as\u00ed."}, {"start": 1538.76, "end": 1544.6799999999998, "text": " \u00c1rea del tri\u00e1ngulo ser\u00e1 igual a s, semiper\u00edmetro, por,"}, {"start": 1544.6799999999998, "end": 1550.9599999999998, "text": " vamos al segundo par\u00e9ntesis, donde nos queda s menos c."}, {"start": 1550.9599999999998, "end": 1556.9599999999998, "text": " Vamos al siguiente par\u00e9ntesis, donde nos queda s menos b."}, {"start": 1556.96, "end": 1562.64, "text": " Y vamos al \u00faltimo par\u00e9ntesis, donde nos queda s menos a."}, {"start": 1562.64, "end": 1565.6000000000001, "text": " Y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1565.6000000000001, "end": 1569.1200000000001, "text": " Finalmente, lo que hacemos es acomodar esos par\u00e9ntesis para"}, {"start": 1569.1200000000001, "end": 1572.32, "text": " que la expresi\u00f3n nos quede como ven\u00eda presentada"}, {"start": 1572.32, "end": 1573.68, "text": " originalmente."}, {"start": 1573.68, "end": 1577.68, "text": " \u00c1rea del tri\u00e1ngulo ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de s por s"}, {"start": 1577.68, "end": 1578.72, "text": " menos a."}, {"start": 1578.72, "end": 1581.72, "text": " Tratamos de seguir el orden alfab\u00e9tico."}, {"start": 1581.72, "end": 1588.6000000000001, "text": " Esto por s menos b y eso por s menos c."}, {"start": 1588.6000000000001, "end": 1592.08, "text": " All\u00ed tenemos entonces la expresi\u00f3n que quer\u00edamos"}, {"start": 1592.08, "end": 1595.3600000000001, "text": " demostrar, la f\u00f3rmula de Her\u00f3n."}, {"start": 1595.3600000000001, "end": 1599.44, "text": " Entonces, de esa manera, hemos conseguido realizar la"}, {"start": 1599.44, "end": 1603.3600000000001, "text": " demostraci\u00f3n de esta f\u00f3rmula que nos permite determinar el"}, {"start": 1603.3600000000001, "end": 1607.52, "text": " \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo si conocemos las longitudes a, b"}, {"start": 1607.52, "end": 1609.56, "text": " y c de sus lados."}, {"start": 1609.56, "end": 1613.84, "text": " Es la f\u00f3rmula de Her\u00f3n de Alejandr\u00eda matem\u00e1tico griego."}]