79. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Teoría)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 79: Movimiento de Proyectiles (Teoría).

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este video vamos a ver la teoría del movimiento de proyectiles. Se trata de un movimiento en el plano, es decir, en dos dimensiones. Es un movimiento bidimensional donde vamos a elegir como sistema o marco de referencia el primer cuadrante del plano X, Y. Preferiblemente el primer cuadrante para trabajar todo el tiempo posiciones positivas tanto de X como de Y. En este movimiento tenemos la combinación de dos movimientos independientes. En Y tenemos un movimiento rectilíneo uniformemente variado donde la aceleración que gobierna o que controla el movimiento vertical es la gravedad terrestre con signo negativo puesto que es un vector que todo el tiempo está dirigido hacia abajo. En este caso trabajaremos con 10 metros por segundo cuadrado negativo para la gravedad terrestre. En el eje X tenemos un movimiento rectilíneo uniforme por lo tanto la aceleración en X es cero, no tenemos aceleración. En cambio la velocidad en X todo el tiempo permanece constante. Entonces la combinación de estos dos movimientos nos produce el movimiento de proyectiles que vamos a ver a continuación en que modalidades se puede presentar. Aclaramos que en este tema vamos a despreciar la resistencia del aire en el movimiento de los cuerpos. El primer caso que vamos a considerar es el movimiento que se conoce como parabólico completo. Es decir por ejemplo cuando se patea un balón de fútbol o cuando se golpea una pelota de gol o cuando se dispara un proyectil. Por eso debe su nombre este movimiento precisamente al lanzamiento de proyectiles. Entonces para que se produzca este movimiento necesitamos una velocidad inicial y un ángulo de disparo o ángulo de lanzamiento que se llama theta. Este es el ángulo de tiro que se forma con respecto a la línea horizontal que es en este caso el eje X. Llamamos tiempo cero el instante en que comienza el movimiento. Si justamente después del disparo se considera como tiempo cero el inicio del movimiento la partícula comienza a subir hasta que se consigue el tiempo de subida que vamos a llamar PS. Instante en el cual la velocidad en Y es cero. Esto es exactamente lo mismo que sucede cuando lanzamos un cuerpo hacia arriba. Recordemos que en el punto más alto la velocidad es cero. En este caso la componente vertical de la velocidad en este instante es totalmente cero. Luego la velocidad que tenemos en este instante es solamente la componente en X que como dijimos hace un momento todo el tiempo permanece constante en el movimiento. Esta componente la tenemos aquí a la salida y en cualquier instante del movimiento. La partícula continúa en la etapa de caída y cuando termina el movimiento al mismo nivel que comenzó tenemos el tiempo de vuelo que corresponde al doble del tiempo de subida. Claro porque la etapa de subida tiene la misma duración que la etapa de caída. Por lo tanto el tiempo de vuelo es decir desde que el disparado hasta que termina puede obtenerse simplemente multiplicando por dos el valor del tiempo de subida. Esta velocidad se conoce como la velocidad final, es decir la que tiene la partícula justo antes de golpear con el piso y el módulo es igual al valor de la velocidad inicial. Es decir esta velocidad se restablece en este punto cuando ya termina su movimiento el cuerpo. Decíamos que este es un movimiento parabólico completo justamente porque la trayectoria que describe la partícula es una curva llamada parábola. Algunos elementos importantes de este movimiento son los siguientes la posición inicial de la partícula vale cero, vemos que parte del origen. Por lo tanto la posición inicial en Y también vale cero, tanto en X como en Y las posiciones al inicio valen cero. En el punto más alto del movimiento se consigue la altura máxima del cuerpo, es decir desde el piso hasta el punto más alto eso es lo que se conoce como la altura máxima y la vamos a llamar Y máxima. Y cuando se consigue el tiempo de vuelo, es decir cuando la partícula regresa nuevamente al nivel cero, si al nivel Y igual a cero tenemos lo que se llama el alcance máximo horizontal que vamos a llamar X máximo. Es decir la distancia que hay desde el origen hasta este punto sin la máxima distancia que logra avanzar la partícula. Entonces estos son los elementos más importantes de este tipo de movimiento. Aquí tenemos el segundo caso del lanzamiento de proyectiles, cuando se dispara el cuerpo desde cierta altura y el movimiento termina en un nivel diferente al nivel de inicio, digamos lo hacía, es decir termina o más abajo o incluso podría terminar más arriba, digamos que el movimiento empieza en este punto y termina por aquí. En un nivel diferente al nivel del cual fue disparado el cuerpo. En este caso tenemos nuevamente el movimiento enmarcado en el primer cuadrante del plano cartesiano tal como el anterior, como decíamos es conveniente elegir el sistema de referencia tomándolo como el primer cuadrante del plano XY para manejar todo el tiempo posiciones positivas tanto de Y como de X. En este movimiento tenemos una velocidad inicial, tenemos un ángulo de disparo que vamos a llamar theta, que se mide con respecto a una línea horizontal imaginaria, es decir una línea paralela al eje X, este es el ángulo de tiro o ángulo de disparo. Cuando sale el cuerpo llega a su punto más alto nuevamente donde se consigue el tiempo de subida, es decir donde la velocidad en Y es igual a cero y donde la única velocidad que tiene el cuerpo es su componente en X, la misma que tenemos a la salida. Recordemos que este es el tiempo cero, el momento en el cual se inicia el movimiento, el cuerpo en este punto alcanza su altura máxima, es decir el valor Y máximo, es decir desde el piso hasta este punto, es decir esta distancia es lo que se conoce como la altura máxima alcanzada por el cuerpo. El cuerpo luego continúa en la etapa de caída cuando llega al mismo nivel del cual fue lanzado la velocidad alcanza nuevamente este valor, es decir recupera el valor de salida. Pero como sigue cayendo bajo la acción de la gravedad entonces la componente vertical de la velocidad sigue incrementándose hacia abajo y produce al final una velocidad que va a ser en módulo mayor que la velocidad inicial, esta es la velocidad que tiene el cuerpo justo antes de terminar su movimiento. En este instante decimos que se ha cumplido el tiempo de vuelo, el tiempo que transcurre desde el momento del disparo hasta que se termina el movimiento, aquí ya no podemos decir que es el doble el tiempo de subida, lógicamente vemos que la etapa de subida tiene una duración menor a la etapa de caída entonces ya no aplica lo del caso anterior. En este momento se consigue la coordenada en X llamada X máximo, es decir el máximo alcance horizontal del cuerpo, entonces este caso también lo vamos a trabajar, es un caso bastante frecuente en los problemas de física de este tema. Algo que podemos también mencionar es que al inicio, es decir en el tiempo cero tenemos posición inicial para X igual a cero y una posición inicial para Y igual por ejemplo a H que sería esta coordenada en el eje Y, es decir la altura desde la cual se produce el disparo. El otro caso que podemos encontrar es cuando un cuerpo es disparado horizontalmente desde cierta altura, esto es lo que se conoce como un movimiento semi parabólico, o lo que se llama también tiro horizontal, vemos que la trayectoria es media parábola. Si recordemos el primer caso que era la parábola completa, entonces hacemos de cuenta que consideramos lo que sucede desde el punto más alto hasta que termina el movimiento, aquí lo podemos observar, por eso se llama movimiento semi parabólico. En este caso tenemos una velocidad inicial, una velocidad de salida del cuerpo y tenemos un ángulo theta igual a cero grados, a diferencia de los dos casos anteriores donde el ángulo theta se medía por encima del horizontal, en este caso tenemos un ángulo theta igual a cero grados. Tenemos en el tiempo cero el momento del disparo y cuando termina el movimiento tenemos el tiempo de vuelo, vemos que únicamente es caída, ya no tenemos la etapa de subida, sino que todo el tiempo la partícula está presentando caída. Al comienzo la velocidad inicial en y vale cero, no tiene componente en y de la velocidad y a medida que el cuerpo va cayendo esa velocidad en y se va incrementando de tal manera que al final tenemos la velocidad final, es decir la que tiene el cuerpo justo antes de golpear en el piso o determinar su movimiento. Tenemos entonces para este tipo de movimiento lo que es la posición inicial en x vale cero y la posición inicial en y sería h, donde h sería esta coordenada, vamos a marcarla por aquí, en el eje y, es decir la altura desde la cual se hace el disparo horizontal. Y tenemos en este instante, es decir cuando se cumple el tiempo de vuelo, tenemos la posición x máxima, es decir el máximo alcance horizontal de la partícula. El otro caso que podemos encontrar es cuando la partícula se dispara con velocidad inicial pero ahora formando un ángulo theta por debajo del horizontal, es decir como un disparo inclinado hacia abajo. Si consideramos esta línea imaginaria horizontal paralela al eje x, entonces tenemos este ángulo que se llama theta y que se mide por debajo de esa línea horizontal, en este caso el ángulo theta se considera negativo. En los dos primeros casos cuando el disparo se hacía hacia arriba, theta es positivo porque se mide por encima del horizontal. Tenemos tiempo cero el momento en que se inicia el movimiento, tiempo de vuelo el momento en que termina. Decíamos que aquí está la velocidad inicial, por acá tendremos la velocidad final, también tendremos como posición inicial en x cero, si vemos que corresponde al origen en x, mientras que en y la posición inicial vale h, donde h es esta coordenada correspondiente a la altura desde la cual se hace el disparo. Y cuando se cumple el tiempo de vuelo, es decir en este instante, tenemos la posición en x llamada x máxima, es decir el alcance máximo horizontal. Con esto hemos visto los cuatro casos más frecuentes que se pueden dar, reiteramos que se recomienda trabajar con el primer cuadrante del plano x y para facilitar el estudio de este tipo de movimientos. Cuando se tiene el lanzamiento de un proyectil, es decir en el instante, t igual a cero, el cuerpo o la partícula o el proyectil tiene una velocidad inicial que hemos llamado b sub cero y forma un ángulo theta, en este caso por encima del horizontal, en este caso theta es positivo. Recordemos que si el disparo se hace en esta dirección, el ángulo theta es negativo. Esa velocidad inicial por ser un vector puede descomponerse, tenemos una componente en x y una componente en y, pero esta componente en x podemos llamarla simplemente velocidad en x. Es decir que en el movimiento de proyectiles, esta componente de la velocidad permanece constante mientras dura el movimiento. Recordemos que en x la aceleración vale cero, por lo tanto esta velocidad mantiene su valor durante todo el movimiento. Entonces aplicando lo que vimos atrás en descomposición de un vector, tenemos que la componente en x de la velocidad se obtiene multiplicando el módulo de la velocidad, es decir la hipotenusa, por el coseno del ángulo theta. Si por el coseno de este ángulo, debido a que este es el cateto adyacente en este triángulo rectángulo, el cateto adyacente al ángulo de tiro. Y la componente en el eje y, es decir la velocidad inicial en y, se obtiene multiplicando el módulo de la velocidad, es decir la hipotenusa, por el seno del ángulo theta. Recordemos que este vector lo podemos trasladar aquí y se convierte en el cateto opuesto al ángulo theta, por eso se obtiene multiplicando por el seno de theta. Entonces estas serán las componentes de la velocidad inicial en el lanzamiento de un proyectil. ¿Cómo se puede ver en la secuencia de un movimiento de proyectiles? Vamos a mirar las ecuaciones cinemáticas de un movimiento de proyectiles, es decir las que nos describen posición y velocidad en cualquier instante del movimiento. Comenzamos por la ecuación de posición en y. Allí vamos a utilizar la ecuación de posición que utilizábamos en el movimiento vertical, en el lanzamiento vertical de cuerpos. Era menos un medio de la gravedad por el tiempo al cuadrado, más la velocidad inicial en y, por el tiempo más la posición inicial. En este caso lo que hacemos es sustituir aquí la velocidad inicial y por la expresión que acabamos de obtener hace un momento, que era b sub cero por el seno de theta. Luego la ecuación de posición en y para un movimiento de proyectiles es esta que estamos escribiendo. Con esta vamos a trabajar. Observamos también la presencia de la gravedad, como la aceleración vertical, y ya tiene incorporado el signo negativo. Si esta expresión la derivamos con respecto al tiempo, si hacemos la derivada de y con respecto al tiempo, recordemos que vamos a obtener la velocidad. La derivada de la posición nos da la velocidad, en este caso en y. Por lo tanto la ecuación de velocidad en y será la siguiente. Derivada de este termino con respecto al tiempo, bajamos el 2 a multiplicar a menos un medio de g y eso nos queda simplemente menos g por t que queda elevada al exponente 1. Entonces queda simplemente menos gravedad por tiempo. Más, en este termino, como derivamos con respecto a t, este termino se asume como una constante, luego la derivada de todo esto será b sub cero por el seno de theta. La derivada de t recordemos que vale 1. Y la derivada de este último componente, que no tiene nada que ver con t, es decir que es una constante, entonces es 0. De esta manera tenemos la ecuación que nos da la velocidad en y para un movimiento de proyectiles. Esta será la ecuación cinemática de velocidad vertical. Mientras tanto, en x, como tenemos un movimiento rectilíneo uniforme, entonces utilizamos la ecuación cinemática que es característica de ese tipo de movimiento, cuando el sistema o marco de referencia es el eje x. Recordemos que esta es la ecuación. Lo que hacemos es sustituir la velocidad en x por la expresión que obtuvimos cuando descompusimos el vector velocidad inicial, es decir b sub cero por el coseno de theta. Nos queda entonces que x es igual a b sub cero por coseno de theta por el tiempo y todo esto más x sub cero. Esta será entonces la ecuación de posición en x para un movimiento de proyectiles. Algo que debemos advertir es que si elegimos como marco de referencia el primer cuadrante del plano cartesiano y colocamos siempre el eje y coincidiendo con el punto de salida de la partícula, vamos a encontrar que este componente x sub cero siempre va a ser igual a cero. Es algo característico que va a suceder y que lo pudimos observar en los cuatro casos que citamos anteriormente. Finalmente si hacemos la derivada de la posición en x con respecto al tiempo, tendremos la velocidad en x. Veamos que se obtiene. Tenemos dos términos, entonces derivamos cada uno de ellos. Para derivar este término todo este componente es constante, no depende del tiempo, por lo tanto la derivada de este término será b sub cero por coseno de theta. Y la derivada de este término, por ser un término constante que no depende del tiempo, entonces es cero. Lo que obtenemos es lo mismo que habíamos obtenido al momento de descomponer la velocidad inicial. Es decir, una velocidad en x que permanece constante durante todo el movimiento del proyectil. Esta será la expresión que nos permite encontrar la velocidad en x en cualquier instante del movimiento. ¡Suscríbete al canal!
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Tenemos tiempo cero el momento en que se inicia el movimiento, tiempo de vuelo el momento en que termina."}, {"start": 806.0, "end": 834.0, "text": " Dec\u00edamos que aqu\u00ed est\u00e1 la velocidad inicial, por ac\u00e1 tendremos la velocidad final, tambi\u00e9n tendremos como posici\u00f3n inicial en x cero, si vemos que corresponde al origen en x, mientras que en y la posici\u00f3n inicial vale h, donde h es esta coordenada correspondiente a la altura desde la cual se hace el disparo."}, {"start": 834.0, "end": 847.0, "text": " Y cuando se cumple el tiempo de vuelo, es decir en este instante, tenemos la posici\u00f3n en x llamada x m\u00e1xima, es decir el alcance m\u00e1ximo horizontal."}, {"start": 847.0, "end": 865.0, "text": " Con esto hemos visto los cuatro casos m\u00e1s frecuentes que se pueden dar, reiteramos que se recomienda trabajar con el primer cuadrante del plano x y para facilitar el estudio de este tipo de movimientos."}, {"start": 865.0, "end": 889.0, "text": " Cuando se tiene el lanzamiento de un proyectil, es decir en el instante, t igual a cero, el cuerpo o la part\u00edcula o el proyectil tiene una velocidad inicial que hemos llamado b sub cero y forma un \u00e1ngulo theta, en este caso por encima del horizontal, en este caso theta es positivo."}, {"start": 889.0, "end": 912.0, "text": " Recordemos que si el disparo se hace en esta direcci\u00f3n, el \u00e1ngulo theta es negativo. Esa velocidad inicial por ser un vector puede descomponerse, tenemos una componente en x y una componente en y, pero esta componente en x podemos llamarla simplemente velocidad en x."}, {"start": 912.0, "end": 922.0, "text": " Es decir que en el movimiento de proyectiles, esta componente de la velocidad permanece constante mientras dura el movimiento."}, {"start": 922.0, "end": 932.0, "text": " Recordemos que en x la aceleraci\u00f3n vale cero, por lo tanto esta velocidad mantiene su valor durante todo el movimiento."}, {"start": 932.0, "end": 953.0, "text": " Entonces aplicando lo que vimos atr\u00e1s en descomposici\u00f3n de un vector, tenemos que la componente en x de la velocidad se obtiene multiplicando el m\u00f3dulo de la velocidad, es decir la hipotenusa, por el coseno del \u00e1ngulo theta."}, {"start": 953.0, "end": 963.0, "text": " Si por el coseno de este \u00e1ngulo, debido a que este es el cateto adyacente en este tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, el cateto adyacente al \u00e1ngulo de tiro."}, {"start": 963.0, "end": 978.0, "text": " Y la componente en el eje y, es decir la velocidad inicial en y, se obtiene multiplicando el m\u00f3dulo de la velocidad, es decir la hipotenusa, por el seno del \u00e1ngulo theta."}, {"start": 978.0, "end": 990.0, "text": " Recordemos que este vector lo podemos trasladar aqu\u00ed y se convierte en el cateto opuesto al \u00e1ngulo theta, por eso se obtiene multiplicando por el seno de theta."}, {"start": 990.0, "end": 998.0, "text": " Entonces estas ser\u00e1n las componentes de la velocidad inicial en el lanzamiento de un proyectil."}, {"start": 998.0, "end": 1002.0, "text": " \u00bfC\u00f3mo se puede ver en la secuencia de un movimiento de proyectiles?"}, {"start": 1002.0, "end": 1014.0, "text": " Vamos a mirar las ecuaciones cinem\u00e1ticas de un movimiento de proyectiles, es decir las que nos describen posici\u00f3n y velocidad en cualquier instante del movimiento."}, {"start": 1014.0, "end": 1019.0, "text": " Comenzamos por la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en y."}, {"start": 1019.0, "end": 1028.0, "text": " All\u00ed vamos a utilizar la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n que utiliz\u00e1bamos en el movimiento vertical, en el lanzamiento vertical de cuerpos."}, {"start": 1028.0, "end": 1041.0, "text": " Era menos un medio de la gravedad por el tiempo al cuadrado, m\u00e1s la velocidad inicial en y, por el tiempo m\u00e1s la posici\u00f3n inicial."}, {"start": 1041.0, "end": 1055.0, "text": " En este caso lo que hacemos es sustituir aqu\u00ed la velocidad inicial y por la expresi\u00f3n que acabamos de obtener hace un momento, que era b sub cero por el seno de theta."}, {"start": 1055.0, "end": 1067.0, "text": " Luego la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en y para un movimiento de proyectiles es esta que estamos escribiendo."}, {"start": 1067.0, "end": 1069.0, "text": " Con esta vamos a trabajar."}, {"start": 1069.0, "end": 1080.0, "text": " Observamos tambi\u00e9n la presencia de la gravedad, como la aceleraci\u00f3n vertical, y ya tiene incorporado el signo negativo."}, {"start": 1080.0, "end": 1093.0, "text": " Si esta expresi\u00f3n la derivamos con respecto al tiempo, si hacemos la derivada de y con respecto al tiempo, recordemos que vamos a obtener la velocidad."}, {"start": 1093.0, "end": 1098.0, "text": " La derivada de la posici\u00f3n nos da la velocidad, en este caso en y."}, {"start": 1098.0, "end": 1104.0, "text": " Por lo tanto la ecuaci\u00f3n de velocidad en y ser\u00e1 la siguiente."}, {"start": 1104.0, "end": 1117.0, "text": " Derivada de este termino con respecto al tiempo, bajamos el 2 a multiplicar a menos un medio de g y eso nos queda simplemente menos g por t que queda elevada al exponente 1."}, {"start": 1117.0, "end": 1121.0, "text": " Entonces queda simplemente menos gravedad por tiempo."}, {"start": 1121.0, "end": 1136.0, "text": " M\u00e1s, en este termino, como derivamos con respecto a t, este termino se asume como una constante, luego la derivada de todo esto ser\u00e1 b sub cero por el seno de theta."}, {"start": 1136.0, "end": 1139.0, "text": " La derivada de t recordemos que vale 1."}, {"start": 1139.0, "end": 1149.0, "text": " Y la derivada de este \u00faltimo componente, que no tiene nada que ver con t, es decir que es una constante, entonces es 0."}, {"start": 1149.0, "end": 1161.0, "text": " De esta manera tenemos la ecuaci\u00f3n que nos da la velocidad en y para un movimiento de proyectiles."}, {"start": 1161.0, "end": 1167.0, "text": " Esta ser\u00e1 la ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica de velocidad vertical."}, {"start": 1167.0, "end": 1181.0, "text": " Mientras tanto, en x, como tenemos un movimiento rectil\u00edneo uniforme, entonces utilizamos la ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica que es caracter\u00edstica de ese tipo de movimiento,"}, {"start": 1181.0, "end": 1185.0, "text": " cuando el sistema o marco de referencia es el eje x."}, {"start": 1185.0, "end": 1187.0, "text": " Recordemos que esta es la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 1187.0, "end": 1201.0, "text": " Lo que hacemos es sustituir la velocidad en x por la expresi\u00f3n que obtuvimos cuando descompusimos el vector velocidad inicial, es decir b sub cero por el coseno de theta."}, {"start": 1201.0, "end": 1212.0, "text": " Nos queda entonces que x es igual a b sub cero por coseno de theta por el tiempo y todo esto m\u00e1s x sub cero."}, {"start": 1212.0, "end": 1221.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en x para un movimiento de proyectiles."}, {"start": 1221.0, "end": 1230.0, "text": " Algo que debemos advertir es que si elegimos como marco de referencia el primer cuadrante del plano cartesiano"}, {"start": 1230.0, "end": 1243.0, "text": " y colocamos siempre el eje y coincidiendo con el punto de salida de la part\u00edcula, vamos a encontrar que este componente x sub cero siempre va a ser igual a cero."}, {"start": 1243.0, "end": 1253.0, "text": " Es algo caracter\u00edstico que va a suceder y que lo pudimos observar en los cuatro casos que citamos anteriormente."}, {"start": 1253.0, "end": 1263.0, "text": " Finalmente si hacemos la derivada de la posici\u00f3n en x con respecto al tiempo, tendremos la velocidad en x."}, {"start": 1263.0, "end": 1269.0, "text": " Veamos que se obtiene. Tenemos dos t\u00e9rminos, entonces derivamos cada uno de ellos."}, {"start": 1269.0, "end": 1282.0, "text": " Para derivar este t\u00e9rmino todo este componente es constante, no depende del tiempo, por lo tanto la derivada de este t\u00e9rmino ser\u00e1 b sub cero por coseno de theta."}, {"start": 1282.0, "end": 1290.0, "text": " Y la derivada de este t\u00e9rmino, por ser un t\u00e9rmino constante que no depende del tiempo, entonces es cero."}, {"start": 1290.0, "end": 1300.0, "text": " Lo que obtenemos es lo mismo que hab\u00edamos obtenido al momento de descomponer la velocidad inicial."}, {"start": 1300.0, "end": 1310.0, "text": " Es decir, una velocidad en x que permanece constante durante todo el movimiento del proyectil."}, {"start": 1310.0, "end": 1320.0, "text": " Esta ser\u00e1 la expresi\u00f3n que nos permite encontrar la velocidad en x en cualquier instante del movimiento."}, {"start": 1340.0, "end": 1345.0, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]