PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación del plano tangente y un conjunto de ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta normal a una superficie dada en un punto específico.

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 Vamos a encontrar la ecuación del plano tangente y un conjunto de ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta normal a la superficie x cuadrado más y cuadrado menos z cuadrado igual a 64 en el punto P de coordenadas 8,8,8. Tenemos que la ecuación de la superficie corresponde al modelo f de x,y,z igual a c. En este caso c es 64 y en el lado izquierdo observamos la expresión que contiene las variables. Entonces vamos a escribir por acá la función de tres variables que es x al cuadrado más y al cuadrado menos z al cuadrado. A esta función le vamos a determinar el vector gradiente que se denota como nabla f. Este triángulo es el operador nabla. Entonces ese vector gradiente está conformado por las derivadas parciales con respecto a las tres variables x,y, y,z. Entonces vamos a determinar las componentes de dicho vector. Tenemos derivada parcial de la función con respecto a x. Recordemos que en ese caso y y z se comportan como constantes. Entonces la derivada de esta expresión con respecto a x será únicamente 2x. Vamos ahora con la derivada parcial de la función con respecto a y. En ese caso x y z se comportan como constantes. La derivada de esta expresión con respecto a y es 2y. Y de manera similar se obtiene la derivada parcial de la función con respecto a z. En ese caso x y y se comportan como constantes. Entonces tendremos menos 2z. Zz es entonces el vector gradiente de la función. Y ahora tenemos que evaluarlo en el punto P que nos dieron. Entonces lo representamos de esta manera. Recordemos que el punto P tiene coordenadas 8,8,8. Entonces tendremos lo siguiente. 2 por el valor x que es 8 nos da 16. 2 por el valor y que también es 8 nos da 16. Y menos 2 por el valor z que es 8 nos da como resultado menos 16. Tenemos allí el vector gradiente de la función evaluado en el punto P. Este vector gradiente resulta ser normal a la superficie en este punto. Entonces automáticamente se convierte en el vector n, o sea el vector normal del plano tangente a la superficie en este punto. Recordemos que ese vector se denota con componentes a, b y c. Vamos entonces a determinar la ecuación del plano tangente. La ecuación del plano tangente tiene el siguiente modelo. A por x menos x sub cero más b por y menos y sub cero más c por z menos z sub cero igual a cero. Es el modelo para determinar la ecuación de un plano cuando conocemos su vector normal de componentes a, b, c y un punto perteneciente al plano. En ese caso la terna que nos dan será x sub cero, y sub cero y z sub cero. Vamos entonces a reemplazar cada uno de los componentes. Que multiplica a x menos x sub cero que es 8 más b que también vale 16 y que multiplica a y menos y sub cero que es 8, c que vale menos 16 y multiplica a z menos z sub cero que también vale 8. Y todo esto lo igualamos a cero. Podemos dividir toda esta ecuación a ambos lados entre 16 de manera que podamos simplificar esos números. Tendremos entonces x menos 8 más y menos 8 y por acá tendremos menos, mejor protegemos con paréntesis, z menos 8 y todo esto igual a cero. Recordemos que si al lado derecho dividimos entre 16 sigue conservándose el cero. Vamos a destruir ese paréntesis. Tendremos x menos 8 más y menos 8 menos z más 8 y todo eso igualado a cero. En esta expresión podemos cancelar menos 8 con más 8 y organizamos la ecuación de la siguiente manera. x más y menos z igual a 8. Pasamos este 8 que está negativo al otro lado a sumar con el cero nos queda igual a 8. Entonces esta será la ecuación del plano tangente a la superficie que nos dieron en este punto P. Pasamos ahora a encontrar las ecuaciones de la recta normal a la superficie en este mismo punto P. De nuevo el vector gradiente de la función, o sea de la superficie evaluado en el punto P que nos dio 16,16,-16 se convierte en el vector director de esa recta normal. Porque como decíamos ahora el vector gradiente es normal a la superficie en este punto. Entonces se convierte en el vector llamado V y que le da la dirección a esa recta que buscamos. O sea la recta normal a la superficie en el punto P. Las componentes de este vector son nuevamente ABC tal como sucedía en el vector normal del plano. Entonces con esto vamos a determinar las ecuaciones paramétricas de la recta normal. Y las ecuaciones paramétricas tienen el siguiente modelo. X es igual a AT más X sub cero, Y es igual a BT más Y sub cero y Z es igual a CT más Z sub cero. T es el parámetro y tenemos entonces las expresiones para X, Y y Z en esa recta. Vamos entonces a reemplazar la información que conocemos. Tendremos X igual a el valor A que vale 16 por T más X sub cero que es 8. Tenemos Y igual a BT, o sea 16T más Y sub cero que también vale 8. Y tenemos Z igual a CT, o sea menos 16T más Z sub cero que también vale 8. Y estas son las ecuaciones paramétricas de la recta normal. Las otras ecuaciones que debemos encontrar se llaman ecuaciones simétricas. Y se obtienen desparametrizando estas ecuaciones, es decir, vamos a despejar el parámetro T en cada una de ellas. En la primera ecuación tenemos que el despeje de T nos da X menos X sub cero sobre A. En la segunda expresión el despeje del parámetro T nos da Y menos Y sub cero sobre B. Y en la tercera ecuación el despeje de T nos da Z menos Z sub cero todo esto sobre C. Entonces igualamos estas tres expresiones porque todas equivalen a T y así tendremos las ecuaciones simétricas. Allí podemos observarlas y lo que hacemos a continuación es reemplazar los componentes que se conocen. Tenemos entonces X menos X sub cero que vale 8, todo esto sobre A que es 16, igualado con Y menos Y sub cero que también vale 8, sobre el valor de B que es 16 y esto igualado con Z menos Z sub cero que vale 8, sobre el valor C que es menos 16. Podemos simplificar esta igualdad multiplicando todo por 16. Cada uno de los tres componentes es multiplicado por 16 y de esa manera logramos eliminar los denominadores. Entonces el primer componente nos queda X menos 8, el segundo componente multiplicando por 16 nos queda Y menos 8 y en el tercer componente se elimina el 16 pero queda el signo negativo. Entonces lo trasladamos al numerador y nos queda afectando a la expresión Z menos 8 que se recomienda protegerla con paréntesis. A continuación vamos a romper ese paréntesis, nos queda X menos 8 igual a Y menos 8 y aquí el signo menos se distribuye y nos queda menos Z más 8. Para finalizar podríamos sumar 8 a todos los miembros de esa igualdad. Entonces si sumamos 8 al primer componente nos queda X, si sumamos 8 al segundo componente nos queda Y y si le sumamos 8 al tercer componente nos queda menos Z más 16. Es una forma más sencilla, más simple de expresar las ecuaciones simétricas de la recta normal a la superficie que nos dieron en este punto P. Y con esto terminamos el ejercicio.
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