ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial.

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 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación exponencial, llamada así porque la incógnita x se encuentra ubicada en los exponentes de esas dos potencias. Lo primero que hacemos es revisar si las bases tienen alguna relación, es decir, si son potencias de un mismo número. Vemos que eso no se cumple, entonces tenemos que aplicar logaritmo a ambos lados. Podemos utilizar el logaritmo en la base 10 o el logaritmo natural, o sea, el que tiene la base e, es decir, el número de Euler. En este caso vamos a utilizar logaritmo natural. Entonces lo escribimos a ambos lados de la igualdad, a la izquierda de cada una de las potencias. Ese será entonces el primer paso, tomar logaritmo natural a ambos lados. Como se observa, tenemos dos situaciones que corresponden al logaritmo de una potencia. Entonces vamos a aplicar esta propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de m elevada al exponente k, o sea, el logaritmo de una potencia, entonces el exponente k pasa acá adelante a multiplicar con el logaritmo en base a de m. Esto lo vamos a aplicar a ambos lados de la igualdad. Aquí el exponente x-2 baja a multiplicar protegido con paréntesis a lo que es logaritmo natural de 12. Y acá lo que es el exponente x baja a multiplicar con logaritmo natural de 4. Ahora, en el lado izquierdo de la igualdad vamos a aplicar la propiedad distributiva. Recordemos que logaritmo natural de 12 representa una cantidad numérica. Entonces vamos a distribuirla para cada uno de estos términos que tenemos dentro del paréntesis. Logaritmo natural de 12 por x podemos escribirlo como x por logaritmo natural de 12. Y esto menos logaritmo natural de 12 por 2 que podemos escribir como 2 por logaritmo natural de 12. Y al otro lado escribimos x que multiplica al logaritmo natural de 4. Como se observa tenemos allí lo que es una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que es la x. Vamos a aplicar lo que se llama la transposición de términos dejando en el lado izquierdo aquellos que contienen la x y en el lado derecho únicamente la cantidad numérica. Entonces se queda x logaritmo natural de 12 en el lado izquierdo. Pasamos esto que está positivo llega al lado izquierdo con signo negativo en los x logaritmo natural de 4 y esta cantidad que está negativa pasa al lado derecho con signo positivo. 2 que multiplica al logaritmo natural de 12. Luego, en el lado izquierdo de la igualdad vemos que la x se encuentra multiplicando en ambos términos. Entonces podemos extraerla como factor común. Aplicamos entonces la factorización. Sale la x que será factor de logaritmo natural de 12 menos logaritmo natural de 4. Cerramos el paréntesis y esto nos queda igualado a 2 que multiplica al logaritmo natural de 12. Esta expresión que nos quedó dentro del paréntesis podemos escribirla de una manera más simple y para ello vamos a recordar esta propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de un cociente m sobre n, entonces esto será igual al logaritmo en base a de m, o sea del numerador, menos el logaritmo en base a de n, o sea del denominador. Pero esta propiedad se puede aplicar de derecha a izquierda, es decir que es reversible. Entonces tenemos aquí la resta de logaritmos, que es esto que tenemos acá. Podemos volverlo entonces, el logaritmo de un cociente. Tendremos entonces x que multiplica a logaritmo natural de 12 que hace el papel de m sobre 4 que hace el papel de la letra n. Y al otro lado tenemos también la posibilidad de escribir esto de una forma también más simple. Allí aplicamos la propiedad que citamos ahora, logaritmo en base a de una potencia m elevada a la k. Entonces, dijimos que es k por logaritmo en base a de m. Pues también la propiedad es reversible. Si tenemos una cantidad multiplicando acá a la izquierda del logaritmo, puede situarse como exponente acá en el argumento. Entonces es lo que podemos hacer con este número 2, que está multiplicando. Nos queda el logaritmo natural de 12 elevado al exponente 2. Lo pasamos de esta posición acá como exponente. Podemos resolver esta división y también esta potencia. Nos queda x por logaritmo natural de 3 que es el resultado de 12 dividido entre 4. Y esto es igual al logaritmo natural de 144 que es el resultado de efectuar 12 elevado al cuadrado. Como ya ambos logaritmos están reducidos a su mínima expresión, entonces podemos despejar x, o sea la incógnita en esta ecuación. Esta cantidad que está multiplicando la pasamos al otro lado a dividir. Nos queda logaritmo natural de 144 y esto sobre el logaritmo natural de 3. Esto que hemos obtenido ya es la respuesta para esa ecuación exponencial. Si utilizamos la calculadora, esto nos va a dar aproximadamente igual a 4.5237, que es el valor de x que satisface esa igualdad, o sea la solución de esta ecuación exponencial. Esta sería entonces la respuesta a este ejercicio. Es importante señalar que en un logaritmo aquí no existe multiplicación. 144 es propiedad de este logaritmo natural. Es el argumento que le da sentido a este logaritmo. Lo mismo pasa acá, 3 es propiedad del logaritmo natural. Entonces por el hecho de que aquí no hay multiplicación, por favor no podemos pensar en quitar los logaritmos naturales, o sea cancelarlos, ni tampoco simplificar 144 con 3. Sencillamente eso se deja allí y como decíamos, si se utiliza la calculadora llegamos al resultado decimal. Con esto terminamos este ejercicio.
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