SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 USANDO CAMBIO DE VARIABLE - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones de 2x2, donde es conveniente usar un cambio de variable.

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 Vamos a resolver este sistema de ecuaciones de 2x2, es decir, tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. Pero observamos que las letras X y Y, que son las incógnitas, se encuentran localizadas en los denominadores de esas fracciones. Entonces conviene reescribir las ecuaciones de la siguiente manera, es decir, independizando los números, es decir, el 3 y el 4, digamos, de las fracciones que contienen las letras. 3 sobre X es lo mismo que decir 3 por 1 sobre X, así como 4 sobre Y es lo mismo que decir 4 por 1 sobre Y. La ecuación de abajo, la ecuación número 2, también vamos a realizarle la misma transformación. Y esto lo hacemos con el objetivo de realizar lo que se conoce como un cambio de variable. Es un recurso que se utiliza en matemática y que facilita el desarrollo de ejercicios como este. Podemos cambiar 1 sobre X, por ejemplo, por la letra A, y lo que es 1 sobre Y, podemos cambiarla por la letra B. Entonces lo que hacemos es reescribir estas dos ecuaciones. Veamos, esta primera ecuación nos quedaría así, 3A menos 4B menos 7 igual a 0. Mientras que la segunda ecuación nos queda 2A más 3B más 1 igual a 0. Vemos que ya el sistema se vuelve un poco más sencillo, ya no tenemos letras en los denominadores. Tenemos como incógnitas las letras A y B. Vamos a realizar otro poco estas dos ecuaciones. Podemos escribirlas así, la primera 3A menos 4B igual a 7. Simplemente pasamos el término independiente al otro lado, para que nos queden al lado izquierdo las letras. Lo mismo hacemos con la segunda ecuación, decimos 2A más 3B igual a menos 1. Este 1 que está sumando lo pasamos a restar al otro lado. Y este será el nuevo sistema de ecuaciones, vamos a llamar estas las ecuaciones 3 y 4, para diferenciarlas de la 1 y 2, que eran las ecuaciones originales que nos daba el ejercicio. A continuación vamos a resolver este sistema por cualquiera de los métodos conocidos. Tenemos sustitución, igualación, eliminación, también conocido como reducción o método de suma y resta. O incluso podríamos usar el método de los determinantes, es decir, lo que se conoce la regla de Cramer. En este caso vamos a resolver utilizando el método de igualación, que consiste en despejar la misma letra en las dos ecuaciones. Vamos a despejar por ejemplo la letra A en las dos ecuaciones. En la ecuación 3 tenemos que 3A menos 4B es igual a 7, de donde 3A es igual a 7 más 4B, y A es igual a 7 más 4B sobre 3. Esta expresión, que es nueva, la vamos a llamar la ecuación número 5. Y ahora, en la ecuación 4 tenemos que 2A más 3B es igual a menos 1, de donde 2A es igual a menos 1 menos 3B, y A equivale a menos 1 menos 3B, todo esto sobre 2. Esta expresión la etiquetamos con el número 6. Y a continuación vamos a igualar las expresiones 5 y 6, porque en ambas tenemos despejada la misma variable, es decir, la letra A. Para hacer la igualación nos queda entonces 7 más 4B sobre 3 es igual a menos 1 menos 3B sobre 2. Vamos a dar solución a esta ecuación. Aquí vamos a pasar el 2 a multiplicar al lado izquierdo, y el 3 lo pasamos a multiplicar al lado derecho. Y queda entonces así, 2 por 7 más 4B es igual a 3 que multiplica a menos 1 menos 3B. Continuamos con el desarrollo de la ecuación, hacemos aquí propiedad distributiva, lo mismo que aquí. Tenemos 2 por 7 es 14, más 2 por 4B que es 8B es igual a 3 por menos 1 que nos da menos 3, y 3 por menos 3B que es menos 9B. Pasamos las letras B al lado izquierdo, es decir, los términos que contienen la incógnita B los dejamos en el lado izquierdo. 8B se queda y este pasa allá, como este está restando pasa a sumar. Menos 3 queda en su territorio, queda en el lado derecho, y pasamos este 14 para acá, llega negativo, llega a restar. 8B más 9B son términos semejantes cuya suma nos da 17B, y estos dos números enteros operados entre sí nos da menos 17. Despejando B nos queda menos 17 dividido entre 17, de donde B es igual a menos 1. Y hemos encontrado el valor de la incógnita B. Conocido el valor B podemos encontrar A. Para ello podemos hacer uso de cualquiera de las dos expresiones 5 o 6. Recordemos que la expresión 5 decía que A es igual a 7 más 4B sobre 3, y la expresión 6 decía que A es igual a menos 1 menos 3B sobre 2. Replazamos en cualquiera de las dos. Vamos a elegir por ejemplo la expresión 5, donde nos queda entonces que A es igual a 7 más 4 por el valor de la letra B, que nos dio menos 1, y todo esto sobre 3. Resolvemos, esto nos queda 7 menos 4, aquí multiplicamos 4 positivo por 1 negativo, nos queda menos 4, y esto dividido entre 3. Resolvemos, 7 menos 4 nos da 3, y nos queda 3 tercios, por lo tanto A equivale a 1. Entonces ya hemos encontrado los valores de las letras A y B. Ahora debemos retornar a las letras originales, es decir, debemos encontrar X y Y. Para ello debemos recordar que 1 sobre X, habíamos dicho que representa a la letra A, y 1 sobre Y representa a la letra B, cuando hicimos el cambio de variable. Ahora lo que vamos a hacer es deshacer ese cambio de variable. Por ejemplo A equivale a 1, entonces tenemos que 1 sobre X es igual a 1, de donde X que está dividiendo pasa a multiplicar, nos queda que 1 es igual a 1 por X, 1 es igual a X, y lo escribimos como X igual a 1. Aquí tenemos entonces el valor de la incógnita X. Ahora vamos por acá, B es igual a menos 1, tenemos entonces que 1 sobre Y es igual a menos 1, nos queda que 1 es igual a menos 1 por Y, Y está dividiendo pasa a multiplicar, nos queda que 1 es igual a menos Y, efectuando esta multiplicación. Y aquí podemos pasar la Y para el lado izquierdo, llega a positiva, y el 1 que está positivo pasa negativo al lado derecho. Hacemos un intercambio entre la letra y el número y obtenemos el resultado para Y. Entonces, como respuesta de este ejercicio tenemos que la solución del sistema es la siguiente, X es igual a 1 y Y es igual a menos 1. Recordemos que A y B son letras transitorias en el ejercicio, hacen parte del cambio de variable que lo único que pretende es facilitar el desarrollo del sistema de ecuaciones. Pero al final debemos recordar que la respuesta debe darse en términos de las letras originales.
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con el desarrollo de la ecuaci\u00f3n, hacemos aqu\u00ed propiedad distributiva, lo mismo que aqu\u00ed."}, {"start": 358.0, "end": 374.0, "text": " Tenemos 2 por 7 es 14, m\u00e1s 2 por 4B que es 8B es igual a 3 por menos 1 que nos da menos 3, y 3 por menos 3B que es menos 9B."}, {"start": 374.0, "end": 382.0, "text": " Pasamos las letras B al lado izquierdo, es decir, los t\u00e9rminos que contienen la inc\u00f3gnita B los dejamos en el lado izquierdo."}, {"start": 382.0, "end": 390.0, "text": " 8B se queda y este pasa all\u00e1, como este est\u00e1 restando pasa a sumar."}, {"start": 390.0, "end": 401.0, "text": " Menos 3 queda en su territorio, queda en el lado derecho, y pasamos este 14 para ac\u00e1, llega negativo, llega a restar."}, {"start": 401.0, "end": 415.0, "text": " 8B m\u00e1s 9B son t\u00e9rminos semejantes cuya suma nos da 17B, y estos dos n\u00fameros enteros operados entre s\u00ed nos da menos 17."}, {"start": 415.0, "end": 427.0, "text": " Despejando B nos queda 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queda menos 4, y esto dividido entre 3."}, {"start": 498.0, "end": 507.0, "text": " Resolvemos, 7 menos 4 nos da 3, y nos queda 3 tercios, por lo tanto A equivale a 1."}, {"start": 507.0, "end": 513.0, "text": " Entonces ya hemos encontrado los valores de las letras A y B."}, {"start": 513.0, "end": 522.0, "text": " Ahora debemos retornar a las letras originales, es decir, debemos encontrar X y Y."}, {"start": 522.0, "end": 538.0, "text": " Para ello debemos recordar que 1 sobre X, hab\u00edamos dicho que representa a la letra A, y 1 sobre Y representa a la letra B, cuando hicimos el cambio de variable."}, {"start": 538.0, "end": 543.0, "text": " Ahora lo que vamos a hacer es deshacer ese cambio de variable."}, {"start": 543.0, "end": 565.0, "text": " Por ejemplo A equivale a 1, entonces tenemos que 1 sobre X es igual a 1, de donde X que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar, nos queda que 1 es igual a 1 por X, 1 es igual a X, y lo escribimos como X igual a 1."}, {"start": 565.0, 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cambio de variable que lo \u00fanico que pretende es facilitar el desarrollo del sistema de ecuaciones."}, {"start": 637.0, "end": 653.0, "text": " Pero al final debemos recordar que la respuesta debe darse en t\u00e9rminos de las letras originales."}]