DESIGUALDADES CÚBICAS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo hallar el conjunto solución de una desigualdad o inecuación cúbica (o de tercer grado). Al final, hace la comprobación usando calculadora científica.

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 ¿Qué es la desigualdad de la cúbica? Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad, que es cúbica o de grado 3. Realizaremos el procedimiento manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por dejar 0 en el lado derecho, entonces pasamos esta x al lado izquierdo. Nos queda x al cubo menos x mayor o igual que 0. Es lo mismo que restar x a ambos lados de la desigualdad. Ahora vamos a factorizar completamente el lado izquierdo. Comenzamos por extraer factor común, que aquí será la x. Entonces sale x y nos queda dentro del paréntesis x al cuadrado menos 1. Y todo esto mayor o igual que 0. Continuamos factorizando. Aquí tenemos una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces vamos a realizar esa factorización. Vamos a abrir dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada de cada uno de estos términos. Para el primer término será x y para el segundo será 1. Entonces aquí anotamos x más 1, la suma de esas raíces cuadradas, y acá x menos 1. O sea la diferencia de ellas. Y todo esto nos queda mayor o igual que 0. Después de haber factorizado completamente el miembro izquierdo de la desigualdad y de tener 0 en el miembro derecho. Entonces procedemos a encontrar los puntos críticos de ella. Entonces para eso vamos a convertir esto momentáneamente en una ecuación. Es decir, x por x más 1 por x menos 1 igual a 0. Repetimos, se cambia por un momento esta desigualdad por una igualdad. O sea que se nos vuelve una ecuación. Para resolver eso entonces aplicamos el teorema del factor nulo. Que para tres componentes dice lo siguiente. Si a por b por c es igual a 0. Entonces a es igual a 0. O b es igual a 0. O c es igual a 0. En otras palabras, se igualan cada uno de los factores a 0. En este caso tendríamos x igual a 0. O x más 1 igual a 0. O x menos 1 igual a 0. Resolvemos cada una de esas situaciones para x. Aquí ya tenemos el valor de x, ya se conoce, es 0. De acá despejamos x, pasamos 1 al otro lado. Entonces llegaría a restar con 0 y nos da menos 1. Es lo mismo que restar 1 a ambos lados de la igualdad. Y por acá también despejamos x. 1 está restando, pasa al otro lado a sumar con 0 y nos da 1. De esa manera tenemos los tres valores de x que satisfacen esa ecuación. A su vez estos serán los puntos críticos de esta desigualdad. Es decir, los valores de x donde esta expresión se convierte en 0. Como tenemos símbolo mayor o igual, entonces cada uno de estos valores se debe incluir cuando ya configuremos el conjunto solución. Anotamos eso que encontramos por acá. Los puntos críticos de la desigualdad con estos punticos llenos que nos indican que se van a tomar como parte de la solución. Enseguida trazamos esta línea recta que representa los valores reales de la variable x, desde menos infinito hasta más infinito. Y en ella vamos a localizar los puntos críticos. El menor de todos ellos es menos 1. Después sigue el 0 y después tenemos el 1. Esos tres valores nos determinan cuatro zonas o cuatro intervalos en los cuales vamos a examinar el comportamiento de esa expresión para ver si su signo es positivo o es negativo. Aclaramos que en este caso nos va a servir que todo esto sea positivo porque tenemos esa expresión mayor o igual que 0. Entonces lo que vamos a hacer es seleccionar valores de prueba de cada uno de esos intervalos. Por ejemplo, en el primero podemos escoger un valor de x comprendido entre menos 1 y menos infinito. Puede ser x igual a menos 2. En el siguiente intervalo, escogemos un valor de x comprendido entre menos 1 y 0. Puede ser menos 0.5 o menos un medio. En el siguiente intervalo, escogemos un valor de x comprendido entre 0 y 1. Puede ser 0.5 positivo. Y en el último intervalo, escogemos un valor de x comprendido entre 1 y más infinito. Ese podría ser el 2. Como vemos, la expresión que vamos a examinar tiene tres componentes, tres factores. Entonces podemos abrir estos paréntesis para anotar el signo que toma cada uno de esos factores cuando se prueban los valores escogidos. Comencemos con x igual a menos 2. Aquí, si x toma ese valor, entonces ese factor será negativo. Acá, si x toma el valor menos 2, nos queda menos 2 más 1, que es menos 1. Signo negativo. Y acá, si x toma el valor menos 2, tendríamos menos 2 menos 1, que es menos 3. Signo negativo. Vamos al siguiente intervalo, donde probamos con x igual a menos 0.5. Acá, si x toma ese valor, entonces será de signo negativo. Si x entra aquí como menos 0.5, tendremos menos 0.5 más 1, eso nos da 0.5 positivo. Y acá, si x toma el valor menos 0.5, nos queda menos 0.5 menos 1, que nos daría menos 1.5. O sea, signo negativo. Vamos al siguiente intervalo. Ahora probamos con x igual a 0.5 positivo. Si x toma ese valor, el primer factor es positivo. Acá, 0.5 más 1, nos daría 1.5 positivo. Y acá, con x igual a 0.5, nos da 0.5 menos 1, es decir, menos 0.5, que es negativo. Vamos al último intervalo, donde probamos con x igual a 2. Si aquí entra el 2, el primer factor es positivo. Si aquí entra 2, nos queda 2 más 1, que es 3 positivo. Y acá, con x igual a 2, tendremos 2 menos 1, que nos da 1 positivo. Ahora, en cada intervalo aplicamos la ley de los signos. Vamos al primero. Menos por menos nos da más, más por menos nos da menos. Esa expresión en el primer intervalo adopta signo negativo. Vamos al segundo intervalo. Menos por menos nos da más, y eso multiplicado por más nos da más. Acá, más por más nos da más, más por menos es menos. Y acá, el producto de signos positivos nos da positivo. Como decíamos ahora, el hecho de que toda esta expresión sea mayor o igual que 0, entonces no se exige que esto sea positivo. Por lo tanto, estas dos zonas, las que dieron signo positivo, son las que sí sirven como conjunto solución del ejercicio. Otras zonas, obviamente, no sirven. Entonces, procedemos a rayar o a destacar aquellas zonas que sí sirvieron. Y también marcamos esto que dijimos. Los puntos críticos van a ser parte de la solución. Entonces, se marcan acá con bolita llena. Vamos entonces a dar la respuesta. Entonces, el conjunto solución de esa desigualdad cúbica o de grado 3 es el siguiente. Son los valores reales de x que pertenecen a los siguientes intervalos. Este que va desde menos 1 hasta 0 incluyendo los extremos. Entonces, por eso utilizamos corchetes unión con este intervalo. El que va desde 1 hasta más infinito. Como se incluye el 1, entonces colocamos aquí corchete. Y el infinito nunca se incluye, por lo tanto lleva paréntesis. Entonces, este es el conjunto solución de esa desigualdad expresado en notación de intervalos. Vamos a expresarlo también en notación de desigualdad. Sería entonces esta zona que son los x mayores o iguales que menos 1, pero al mismo tiempo menores o iguales que 0, unión con esta zona que se representa como los x mayores o iguales que 1. Esto que tenemos acá también se puede leer como 1 menor o igual que x. Es simplemente leer la desigualdad en el otro sentido. Entonces, allí tenemos el conjunto solución para esa desigualdad cúbica o de grado 3. Vamos a ver a continuación la comprobación de este ejercicio en calculadora. Para hacer la comprobación del ejercicio utilizamos esta calculadora. Oprimimos el botón menú y nos desplazamos en la pantalla, inicialmente hacia abajo, luego hacia la derecha, hasta llegar a la opción de inequaciones o desigualdades. En ese caso oprimimos la tecla del signo igual para ingresar a ese modo. Como vemos, la calculadora nos pregunta por el grado del polinomio. En este caso vamos a seleccionar 3. Entonces oprimimos la tecla del número 3 y allí nos aparecen 4 opciones. En nuestro caso debemos escoger la opción 3 porque es la que corresponde a una desigualdad cúbica de grado 3 cuando tenemos la expresión mayor o igual que 0. Entonces seleccionamos la opción 3, oprimimos la tecla del 3 y vemos en pantalla que nos aparecen los diferentes componentes de ese polinomio de grado 3. Lo que tenemos que hacer ahora es ingresar los coeficientes. Como la expresión que tenemos es x al cubo menos x y todo eso está mayor o igual que 0, el coeficiente de x al cubo será 1. Entonces oprimimos la tecla del 1 y le damos igual. Vemos que allí ya ingresa ese valor como coeficiente de x al cubo. No tenemos término con x al cuadrado, por lo tanto ese coeficiente se mantiene en 0. Oprimimos la tecla del 0, le damos igual, pasamos ahora al término que tiene x. En ese caso si tenemos término con x, su coeficiente es menos 1, entonces oprimimos el botón del signo negativo, después el botón del 1, le damos igual, allí vemos que ya nos ingresa menos 1 acompañando a la x y no tenemos término independiente en ese polinomio, por lo tanto allí tecleamos el 0 y le damos igual. Después de haber ingresado los coeficientes de los términos que conforman este polinomio de grado 3, entonces tecleamos nuevamente el igual y allí nos aparece la solución de esa desigualdad o inequación. Aquí tenemos el primer intervalo que nos dio, el que va desde menos 1 hasta 0, incluyendo esos valores extremos, y aquí tenemos el otro, uno menor o igual que x, que correspondía a los x mayores o iguales que uno. Pues de esta manera comprobamos que lo que hicimos manualmente es correcto. ¡Suscríbete al canal!
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llenos"}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " que nos indican que se van a tomar como parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 221.0, "end": 225.0, "text": " Enseguida trazamos esta l\u00ednea recta que representa los valores reales"}, {"start": 225.0, "end": 232.0, "text": " de la variable x, desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 232.0, "end": 235.0, "text": " Y en ella vamos a localizar los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 235.0, "end": 238.0, "text": " El menor de todos ellos es menos 1."}, {"start": 238.0, "end": 245.0, "text": " Despu\u00e9s sigue el 0 y despu\u00e9s tenemos el 1."}, {"start": 245.0, "end": 250.0, "text": " Esos tres valores nos determinan cuatro zonas o cuatro intervalos"}, {"start": 250.0, "end": 255.0, "text": " en los cuales vamos a examinar el comportamiento de esa expresi\u00f3n"}, {"start": 255.0, "end": 259.0, "text": " para ver si su signo es positivo o es negativo."}, {"start": 259.0, "end": 264.0, "text": " Aclaramos que en este caso nos va a servir que todo esto sea positivo"}, {"start": 264.0, "end": 268.0, "text": " porque tenemos esa expresi\u00f3n mayor o igual que 0."}, {"start": 268.0, "end": 272.0, "text": " Entonces lo que vamos a hacer es seleccionar valores de prueba"}, {"start": 272.0, "end": 274.0, "text": " de cada uno de esos intervalos."}, {"start": 274.0, "end": 278.0, "text": " Por ejemplo, en el primero podemos escoger un valor de x comprendido"}, {"start": 278.0, "end": 281.0, "text": " entre menos 1 y menos infinito."}, {"start": 281.0, "end": 283.0, "text": " Puede ser x igual a menos 2."}, {"start": 283.0, "end": 288.0, "text": " En el siguiente intervalo, escogemos un valor de x comprendido"}, {"start": 288.0, "end": 290.0, "text": " entre menos 1 y 0."}, {"start": 290.0, "end": 294.0, "text": " Puede ser menos 0.5 o menos un medio."}, {"start": 294.0, "end": 298.0, "text": " En el siguiente intervalo, escogemos un valor de x comprendido"}, {"start": 298.0, "end": 299.0, "text": " entre 0 y 1."}, {"start": 299.0, "end": 302.0, "text": " Puede ser 0.5 positivo."}, {"start": 302.0, "end": 306.0, "text": " Y en el \u00faltimo intervalo, escogemos un valor de x comprendido"}, {"start": 306.0, "end": 308.0, "text": " entre 1 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 308.0, "end": 311.0, "text": " Ese podr\u00eda ser el 2."}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " Como vemos, la expresi\u00f3n que vamos a examinar tiene tres componentes,"}, {"start": 316.0, "end": 317.0, "text": " tres factores."}, {"start": 317.0, "end": 323.0, "text": " Entonces podemos abrir estos par\u00e9ntesis para anotar el signo"}, {"start": 323.0, "end": 330.0, "text": " que toma cada uno de esos factores cuando se prueban los valores escogidos."}, {"start": 330.0, "end": 332.0, "text": " Comencemos con x igual a menos 2."}, {"start": 332.0, "end": 337.0, "text": " Aqu\u00ed, si x toma ese valor, entonces ese factor ser\u00e1 negativo."}, {"start": 337.0, "end": 342.0, "text": " Ac\u00e1, si x toma el valor menos 2, nos queda menos 2 m\u00e1s 1, que es menos 1."}, {"start": 342.0, "end": 343.0, "text": " Signo negativo."}, {"start": 343.0, "end": 349.0, "text": " Y ac\u00e1, si x toma el valor menos 2, tendr\u00edamos menos 2 menos 1, que es menos 3."}, {"start": 349.0, "end": 351.0, "text": " Signo negativo."}, {"start": 351.0, "end": 356.0, "text": " Vamos al siguiente intervalo, donde probamos con x igual a menos 0.5."}, {"start": 356.0, "end": 360.0, "text": " Ac\u00e1, si x toma ese valor, entonces ser\u00e1 de signo negativo."}, {"start": 360.0, "end": 369.0, "text": " Si x entra aqu\u00ed como menos 0.5, tendremos menos 0.5 m\u00e1s 1, eso nos da 0.5 positivo."}, {"start": 369.0, "end": 376.0, "text": " Y ac\u00e1, si x toma el valor menos 0.5, nos queda menos 0.5 menos 1, que nos dar\u00eda menos 1.5."}, {"start": 376.0, "end": 378.0, "text": " O sea, signo negativo."}, {"start": 378.0, "end": 380.0, "text": " Vamos al siguiente intervalo."}, {"start": 380.0, "end": 384.0, "text": " Ahora probamos con x igual a 0.5 positivo."}, {"start": 384.0, "end": 388.0, "text": " Si x toma ese valor, el primer factor es positivo."}, {"start": 388.0, "end": 393.0, "text": " Ac\u00e1, 0.5 m\u00e1s 1, nos dar\u00eda 1.5 positivo."}, {"start": 393.0, "end": 401.0, "text": " Y ac\u00e1, con x igual a 0.5, nos da 0.5 menos 1, es decir, menos 0.5, que es negativo."}, {"start": 401.0, "end": 405.0, "text": " Vamos al \u00faltimo intervalo, donde probamos con x igual a 2."}, {"start": 405.0, "end": 409.0, "text": " Si aqu\u00ed entra el 2, el primer factor es positivo."}, {"start": 409.0, "end": 413.0, "text": " Si aqu\u00ed entra 2, nos queda 2 m\u00e1s 1, que es 3 positivo."}, {"start": 413.0, "end": 419.0, "text": " Y ac\u00e1, con x igual a 2, tendremos 2 menos 1, que nos da 1 positivo."}, {"start": 419.0, "end": 423.0, "text": " Ahora, en cada intervalo aplicamos la ley de los signos."}, {"start": 423.0, "end": 424.0, "text": " Vamos al primero."}, {"start": 424.0, "end": 428.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s, m\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 428.0, "end": 433.0, "text": " Esa expresi\u00f3n en el primer intervalo adopta signo negativo."}, {"start": 433.0, "end": 434.0, "text": " Vamos al segundo intervalo."}, {"start": 434.0, "end": 439.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s, y eso multiplicado por m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 439.0, "end": 444.0, "text": " Ac\u00e1, m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s, m\u00e1s por menos es menos."}, {"start": 444.0, "end": 448.0, "text": " Y ac\u00e1, el producto de signos positivos nos da positivo."}, {"start": 448.0, "end": 454.0, "text": " Como dec\u00edamos ahora, el hecho de que toda esta expresi\u00f3n sea mayor o igual que 0,"}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " entonces no se exige que esto sea positivo."}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " Por lo tanto, estas dos zonas, las que dieron signo positivo,"}, {"start": 462.0, "end": 467.0, "text": " son las que s\u00ed sirven como conjunto soluci\u00f3n del ejercicio."}, {"start": 467.0, "end": 470.0, "text": " Otras zonas, obviamente, no sirven."}, {"start": 470.0, "end": 477.0, "text": " Entonces, procedemos a rayar o a destacar aquellas zonas que s\u00ed sirvieron."}, {"start": 477.0, "end": 480.0, "text": " Y tambi\u00e9n marcamos esto que dijimos."}, {"start": 480.0, "end": 483.0, "text": " Los puntos cr\u00edticos van a ser parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 483.0, "end": 487.0, "text": " Entonces, se marcan ac\u00e1 con bolita llena."}, {"start": 487.0, "end": 490.0, "text": " Vamos entonces a dar la respuesta."}, {"start": 490.0, "end": 496.0, "text": " Entonces, el conjunto soluci\u00f3n de esa desigualdad c\u00fabica o de grado 3 es el siguiente."}, {"start": 496.0, "end": 502.0, "text": " Son los valores reales de x que pertenecen a los siguientes intervalos."}, {"start": 502.0, "end": 508.0, "text": " Este que va desde menos 1 hasta 0 incluyendo los extremos."}, {"start": 508.0, "end": 513.0, "text": " Entonces, por eso utilizamos corchetes uni\u00f3n con este intervalo."}, {"start": 513.0, "end": 517.0, "text": " El que va desde 1 hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 517.0, "end": 521.0, "text": " Como se incluye el 1, entonces colocamos aqu\u00ed corchete."}, {"start": 521.0, "end": 526.0, "text": " Y el infinito nunca se incluye, por lo tanto lleva par\u00e9ntesis."}, {"start": 526.0, "end": 532.0, "text": " Entonces, este es el conjunto soluci\u00f3n de esa desigualdad expresado en notaci\u00f3n de intervalos."}, {"start": 532.0, "end": 537.0, "text": " Vamos a expresarlo tambi\u00e9n en notaci\u00f3n de desigualdad."}, {"start": 537.0, "end": 542.0, "text": " Ser\u00eda entonces esta zona que son los x mayores o iguales que menos 1,"}, {"start": 542.0, "end": 545.0, "text": " pero al mismo tiempo menores o iguales que 0,"}, {"start": 545.0, "end": 552.0, "text": " uni\u00f3n con esta zona que se representa como los x mayores o iguales que 1."}, {"start": 552.0, "end": 558.0, "text": " Esto que tenemos ac\u00e1 tambi\u00e9n se puede leer como 1 menor o igual que x."}, {"start": 558.0, "end": 562.0, "text": " Es simplemente leer la desigualdad en el otro sentido."}, {"start": 562.0, "end": 569.0, "text": " Entonces, all\u00ed tenemos el conjunto soluci\u00f3n para esa desigualdad c\u00fabica o de grado 3."}, {"start": 569.0, "end": 574.0, "text": " Vamos a ver a continuaci\u00f3n la comprobaci\u00f3n de este ejercicio en calculadora."}, {"start": 574.0, "end": 579.0, "text": " Para hacer la comprobaci\u00f3n del ejercicio utilizamos esta calculadora."}, {"start": 579.0, "end": 583.0, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n men\u00fa y nos desplazamos en la pantalla,"}, {"start": 583.0, "end": 587.0, "text": " inicialmente hacia abajo, luego hacia la derecha,"}, {"start": 587.0, "end": 592.0, "text": " hasta llegar a la opci\u00f3n de inequaciones o desigualdades."}, {"start": 592.0, "end": 598.0, "text": " En ese caso oprimimos la tecla del signo igual para ingresar a ese modo."}, {"start": 598.0, "end": 602.0, "text": " Como vemos, la calculadora nos pregunta por el grado del polinomio."}, {"start": 602.0, "end": 606.0, "text": " En este caso vamos a seleccionar 3."}, {"start": 606.0, "end": 612.0, "text": " Entonces oprimimos la tecla del n\u00famero 3 y all\u00ed nos aparecen 4 opciones."}, {"start": 612.0, "end": 616.0, "text": " En nuestro caso debemos escoger la opci\u00f3n 3"}, {"start": 616.0, "end": 621.0, "text": " porque es la que corresponde a una desigualdad c\u00fabica de grado 3"}, {"start": 621.0, "end": 625.0, "text": " cuando tenemos la expresi\u00f3n mayor o igual que 0."}, {"start": 625.0, "end": 630.0, "text": " Entonces seleccionamos la opci\u00f3n 3, oprimimos la tecla del 3"}, {"start": 630.0, "end": 637.0, "text": " y vemos en pantalla que nos aparecen los diferentes componentes de ese polinomio de grado 3."}, {"start": 637.0, "end": 641.0, "text": " Lo que tenemos que hacer ahora es ingresar los coeficientes."}, {"start": 641.0, "end": 645.0, "text": " Como la expresi\u00f3n que tenemos es x al cubo menos x"}, {"start": 645.0, "end": 651.0, "text": " y todo eso est\u00e1 mayor o igual que 0, el coeficiente de x al cubo ser\u00e1 1."}, {"start": 651.0, "end": 655.0, "text": " Entonces oprimimos la tecla del 1 y le damos igual."}, {"start": 655.0, "end": 660.0, "text": " Vemos que all\u00ed ya ingresa ese valor como coeficiente de x al cubo."}, {"start": 660.0, "end": 666.0, "text": " No tenemos t\u00e9rmino con x al cuadrado, por lo tanto ese coeficiente se mantiene en 0."}, {"start": 666.0, "end": 669.0, "text": " Oprimimos la tecla del 0, le damos igual,"}, {"start": 669.0, "end": 672.0, "text": " pasamos ahora al t\u00e9rmino que tiene x."}, {"start": 672.0, "end": 677.0, "text": " En ese caso si tenemos t\u00e9rmino con x, su coeficiente es menos 1,"}, {"start": 677.0, "end": 680.0, "text": " entonces oprimimos el bot\u00f3n del signo negativo,"}, {"start": 680.0, "end": 683.0, "text": " despu\u00e9s el bot\u00f3n del 1, le damos igual,"}, {"start": 683.0, "end": 688.0, "text": " all\u00ed vemos que ya nos ingresa menos 1 acompa\u00f1ando a la x"}, {"start": 688.0, "end": 692.0, "text": " y no tenemos t\u00e9rmino independiente en ese polinomio,"}, {"start": 692.0, "end": 697.0, "text": " por lo tanto all\u00ed tecleamos el 0 y le damos igual."}, {"start": 697.0, "end": 704.0, "text": " Despu\u00e9s de haber ingresado los coeficientes de los t\u00e9rminos que conforman este polinomio de grado 3,"}, {"start": 704.0, "end": 708.0, "text": " entonces tecleamos nuevamente el igual"}, {"start": 708.0, "end": 714.0, "text": " y all\u00ed nos aparece la soluci\u00f3n de esa desigualdad o inequaci\u00f3n."}, {"start": 714.0, "end": 719.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el primer intervalo que nos dio, el que va desde menos 1 hasta 0,"}, {"start": 719.0, "end": 722.0, "text": " incluyendo esos valores extremos,"}, {"start": 722.0, "end": 725.0, "text": " y aqu\u00ed tenemos el otro, uno menor o igual que x,"}, {"start": 725.0, "end": 729.0, "text": " que correspond\u00eda a los x mayores o iguales que uno."}, {"start": 729.0, "end": 738.0, "text": " Pues de esta manera comprobamos que lo que hicimos manualmente es correcto."}, {"start": 759.0, "end": 769.0, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]