90. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 11)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 90: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 11).

Queremos introducir un objeto en un recinto que está rodeado por una valla de 15 m de altura y sólo podemos acercarnos hasta una distancia de 60 m de la valla para hacer el lanzamiento. Si la velocidad con la que lanzamos el objeto es de 30 m/s y el ángulo de lanzamiento es de 40°, ¿Caerá el objeto dentro del recinto? La longitud del recinto es de 50 m. 

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema tenemos el caso de un disparo de un objeto que va a presentar movimiento parabólico. Tenemos una velocidad inicial de 30 metros por segundo. Vamos a marcar nuestro movimiento en el primer cuadrante del plano X, Y. Tenemos un ángulo theta, un ángulo de lanzamiento de 40 grados. Vamos a determinar cuanto es el tiempo de subida, cuanto es el tiempo de vuelo, cuál es la altura máxima, y cuál es el valor del alcance máximo horizontal. Es decir, los elementos más importantes de este tipo de movimiento para luego mirar qué sucede en el caso de la información que nos dan si el objeto cae o no dentro del recinto. Comenzamos determinando el tiempo de subida y vamos a utilizar esta fórmula que demostramos en un video anterior. Entonces reemplazamos los datos. Velocidad inicial es 30, theta vale 40 grados, y la gravedad la tomamos como 10 metros por segundo cuadrado. Haciendo toda esa operación en calculadora nos da como resultado 1.93 segundos. Entonces anotamos por aquí el tiempo de subida, 1.93 segundos. Podemos determinar el tiempo de vuelo duplicando el tiempo de subida, es decir, dos veces 1.93 y eso nos da 3.86 segundos. Vamos a anotar por aquí ese resultado. Tenemos entonces ya los valores de tiempo de subida y tiempo de vuelo. Continuamos con la altura máxima, y máxima, que viene dada por la fórmula velocidad inicial al cuadrado por el seno al cuadrado de theta y todo esto dividido entre dos veces la gravedad. Reemplazamos los datos, velocidad inicial es 30 por seno del ángulo que es 40 grados y todo esto al cuadrado y todo eso dividido entre dos por la gravedad que tomamos como 10, 10 metros por segundo cuadrado. Haciendo toda esta operación en la calculadora nos da como resultado 18.59 metros y vamos a escribir ese valor por aquí. Esta es la altura máxima alcanzada por ese objeto. Y continuamos con el alcance máximo horizontal cuya fórmula dice velocidad inicial al cuadrado por el seno de 2 theta, todo esto dividido entre la gravedad. Replazamos, la velocidad inicial es 30 al cuadrado por el seno de 2 por 40 grados, es decir aquí tendremos el seno de 80 grados y la gravedad que se toma como 10. Reemplazando todo esto en la calculadora y resolviendo nos da como resultado 88.63 metros. Anotamos por acá ese resultado y a continuación vamos a hacer el dibujo de la trayectoria de ese objeto con estos valores y también localizando la información que nos dan acerca del recinto. Bien, allí tenemos el dibujo realizado a escala, tenemos los ejes X y Y en metros, aquí vemos el recinto representado por estas dos líneas verticales que simbolizan la valla, esa valla tiene una altura de 15 metros, vemos que coincide con la marca 15 en el eje Y, allí tenemos los bordes del recinto. El punto de disparo del objeto se encuentra a 60 metros del recinto, entonces de aquí a aquí tenemos una distancia de 60 metros y nos dicen que la longitud del recinto es de 50 metros. Entonces desde aquí hasta aquí tenemos 50 metros, por eso esta marquita llega al valor 110, 60 más 50 nos da 110. Como vemos, enmarcamos todo en el primer cuadrante del plano cartesiano, este es nuestro sistema o marco de referencia. Tenemos tiempo igual a cero, el momento del disparo, aquí está la velocidad inicial que es 30 metros por segundo, el ángulo theta, ángulo de lanzamiento que es 40 grados, tenemos tiempo de subida 1.93 segundos, el momento en que se alcanza el punto más alto, aquí la altura máxima es 18.59 metros y tenemos tiempo de vuelo que nos dio 3.86 segundos, el momento en que se consigue el alcance máximo horizontal que nos dio 88.63 metros. Aquí tenemos el punto localizado según la escala del eje X. Vemos entonces que según la trayectoria que dibujamos el objeto sí cae dentro del recinto, vemos que aquí pasa por encima de la valla, ahora lo que vamos a hacer es determinar que tanto por encima de la parte superior de la valla pasa el objeto para poder establecer con mayor precisión si pasa de manera holgada, de manera sobrada ese cuerpo por encima de esta valla y poder afirmar si entra en el recinto, hasta ahora según lo que tenemos podemos decir que sí, pero vamos a comprobarlo ya con las ecuaciones cinemáticas del movimiento y con mayor precisión para corroborar nuestra estimación. Comenzamos con la ecuación de posición en Y, escribimos el modelo y vamos a reemplazar allí la información que conocemos, entonces tenemos la gravedad que tomamos como 10 por tiempo el cuadrado más la velocidad inicial que es 30, el ángulo theta es 40 grados por el tiempo más la posición inicial en Y que es 0, en el tiempo 0 tenemos como posición inicial en Y igual a 0, entonces olvidando todo esto nos queda Y igual a menos 5t cuadrado más 19.28t y esta será entonces nuestra primera ecuación, vamos a escribirla por aquí la ecuación número 1 que va a ser la de posición en Y, menos 5t cuadrado más 19.28t. En este problema no vamos a necesitar la ecuación de velocidad en Y, recordemos que esa se obtiene derivando esta primera ecuación, en cambio si necesitamos la de posición en X, entonces escribimos el modelo y vamos a reemplazar allí la información que conocemos, velocidad inicial es 30 metros por segundo, esto por el coseno de theta que es 40 grados, por el tiempo más la posición inicial en X que también vale 0, parte del origen, el objeto. Resolviendo eso nos queda 22.98t y esta será entonces la ecuación número 2 para este problema, vamos a escribirla por aquí, ecuación número 2, la de posición en X que es igual a 22.98t. Bien, ahora vamos a llamar el instante t1 aquí, es decir cuando el objeto pasa justo por donde se encuentra la valla, es decir cuando X vale 60, entonces viene nuestra primera consideración de lo que llamamos el análisis del problema, entonces decimos cuando el tiempo es igual a t1 tenemos que la posición X del objeto es 60 metros y corresponde a esta abscisa 60, esta información debemos sustituirla en la ecuación número 2, entonces anotamos por aquí dicha ecuación y vamos a reemplazar la información, X se reemplaza por 60 y el tiempo t lo reemplazamos por t1, de allí despejamos t1 nos queda 60 dividido entre 22.98 y eso nos da t1 igual a 2.61 segundos, entonces ya podemos anotar aquí ese instante de tiempo 2.61 segundos, vemos que tiene sentido de acuerdo a los tiempos que hemos marcado en el dibujo, el tiempo de subida se consigue a los 1.93 segundos después de haber sido disparado, entonces a los 2.61 segundos ya el objeto viene en la etapa de caída y es cuando pasa justo por donde se encuentra la valla del recinto, bien podemos llamar H la posición en Y cuando el objeto se encuentra en el instante t1 y vamos a determinar entonces ese valor de H para compararlo con 15 metros que es la altura de la valla, entonces decimos que cuando el tiempo es igual a t1 que nos dio 2.61 segundos la posición en Y del objeto se llama H, la que hemos designado en el eje Y, entonces esa información la vamos a sustituir en la ecuación número 1, la escribimos por aquí y vamos a reemplazar en ella la información que tenemos, Y se cambia por H y el tiempo se cambia por 2.61, entonces reemplazamos y resolviendo en la calculadora H nos da como resultado 16.26 metros, con esto tenemos un valor de H mayor que 15 metros, 15 metros es la altura de la valla y esto que acabamos de obtener nos dice que este objeto se encuentra en este instante a 16.26 metros por encima del suelo, es decir a una distancia de 1.26 metros por encima de la parte superior de la valla, esto nos permite entonces confirmar con toda seguridad que el objeto cae dentro del recinto.
[{"start": 0.0, "end": 26.560000000000002, "text": " En este problema tenemos el caso de un disparo de un objeto que va a presentar movimiento"}, {"start": 26.560000000000002, "end": 27.88, "text": " parab\u00f3lico."}, {"start": 27.88, "end": 36.6, "text": " Tenemos una velocidad inicial de 30 metros por segundo."}, {"start": 36.6, "end": 43.62, "text": " Vamos a marcar nuestro movimiento en el primer cuadrante del plano X, Y."}, {"start": 43.62, "end": 49.879999999999995, "text": " Tenemos un \u00e1ngulo theta, un \u00e1ngulo de lanzamiento de 40 grados."}, {"start": 49.879999999999995, "end": 56.96, "text": " Vamos a determinar cuanto es el tiempo de subida, cuanto es el tiempo de vuelo, cu\u00e1l"}, {"start": 56.96, "end": 66.12, "text": " es la altura m\u00e1xima, y cu\u00e1l es el valor del alcance m\u00e1ximo horizontal."}, {"start": 66.12, "end": 72.88, "text": " Es decir, los elementos m\u00e1s importantes de este tipo de movimiento para luego mirar"}, {"start": 72.88, "end": 82.04, "text": " qu\u00e9 sucede en el caso de la informaci\u00f3n que nos dan si el objeto cae o no dentro del recinto."}, {"start": 82.04, "end": 92.16000000000001, "text": " Comenzamos determinando el tiempo de subida y vamos a utilizar esta f\u00f3rmula que demostramos"}, {"start": 92.16000000000001, "end": 94.28, "text": " en un video anterior."}, {"start": 94.28, "end": 96.76, "text": " Entonces reemplazamos los datos."}, {"start": 96.76, "end": 106.08000000000001, "text": " Velocidad inicial es 30, theta vale 40 grados, y la gravedad la tomamos como 10 metros por"}, {"start": 106.08000000000001, "end": 107.68, "text": " segundo cuadrado."}, {"start": 107.68, "end": 116.0, "text": " Haciendo toda esa operaci\u00f3n en calculadora nos da como resultado 1.93 segundos."}, {"start": 116.0, "end": 122.24000000000001, "text": " Entonces anotamos por aqu\u00ed el tiempo de subida, 1.93 segundos."}, {"start": 122.24000000000001, "end": 131.08, "text": " Podemos determinar el tiempo de vuelo duplicando el tiempo de subida, es decir, dos veces 1.93"}, {"start": 131.08, "end": 135.4, "text": " y eso nos da 3.86 segundos."}, {"start": 135.4, "end": 139.48000000000002, "text": " Vamos a anotar por aqu\u00ed ese resultado."}, {"start": 139.48000000000002, "end": 145.20000000000002, "text": " Tenemos entonces ya los valores de tiempo de subida y tiempo de vuelo."}, {"start": 145.20000000000002, "end": 153.6, "text": " Continuamos con la altura m\u00e1xima, y m\u00e1xima, que viene dada por la f\u00f3rmula velocidad inicial"}, {"start": 153.6, "end": 163.48000000000002, "text": " al cuadrado por el seno al cuadrado de theta y todo esto dividido entre dos veces la gravedad."}, {"start": 163.48, "end": 171.44, "text": " Reemplazamos los datos, velocidad inicial es 30 por seno del \u00e1ngulo que es 40 grados"}, {"start": 171.44, "end": 179.0, "text": " y todo esto al cuadrado y todo eso dividido entre dos por la gravedad que tomamos como"}, {"start": 179.0, "end": 182.2, 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"text": " El punto de disparo del objeto se encuentra a 60 metros del recinto, entonces de aqu\u00ed"}, {"start": 291.28, "end": 297.64, "text": " a aqu\u00ed tenemos una distancia de 60 metros y nos dicen que la longitud del recinto es de 50 metros."}, {"start": 297.64, "end": 305.2, "text": " Entonces desde aqu\u00ed hasta aqu\u00ed tenemos 50 metros, por eso esta marquita llega al valor 110,"}, {"start": 305.2, "end": 308.0, "text": " 60 m\u00e1s 50 nos da 110."}, {"start": 308.0, "end": 315.67999999999995, "text": " Como vemos, enmarcamos todo en el primer cuadrante del plano cartesiano, este es nuestro sistema"}, {"start": 315.67999999999995, "end": 317.55999999999995, "text": " o marco de referencia."}, {"start": 317.56, "end": 322.0, "text": " Tenemos tiempo igual a cero, el momento del disparo, aqu\u00ed est\u00e1 la velocidad inicial"}, {"start": 322.0, "end": 328.76, "text": " que es 30 metros por segundo, el \u00e1ngulo theta, \u00e1ngulo de lanzamiento que es 40 grados,"}, 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con mayor precisi\u00f3n si pasa de manera holgada, de manera sobrada ese cuerpo por encima de"}, {"start": 384.76, "end": 392.04, "text": " esta valla y poder afirmar si entra en el recinto, hasta ahora seg\u00fan lo que tenemos"}, {"start": 392.04, "end": 397.76, "text": " podemos decir que s\u00ed, pero vamos a comprobarlo ya con las ecuaciones cinem\u00e1ticas del movimiento"}, {"start": 397.76, "end": 403.68, "text": " y con mayor precisi\u00f3n para corroborar nuestra estimaci\u00f3n."}, {"start": 403.68, "end": 415.71999999999997, "text": " Comenzamos con la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en Y, escribimos el modelo y vamos a reemplazar"}, {"start": 415.71999999999997, "end": 425.32, "text": " all\u00ed la informaci\u00f3n que conocemos, entonces tenemos la gravedad que tomamos como 10 por"}, {"start": 425.32, "end": 434.36, "text": " tiempo el cuadrado m\u00e1s la velocidad inicial que es 30, el \u00e1ngulo theta es 40 grados por"}, {"start": 434.36, "end": 443.12, "text": " el tiempo m\u00e1s la posici\u00f3n inicial en Y que es 0, en el tiempo 0 tenemos como posici\u00f3n"}, {"start": 443.12, "end": 451.64, "text": " inicial en Y igual a 0, entonces olvidando todo esto nos queda Y igual a menos 5t cuadrado"}, {"start": 451.64, "end": 466.59999999999997, "text": " m\u00e1s 19.28t y esta ser\u00e1 entonces nuestra primera ecuaci\u00f3n, vamos a escribirla por aqu\u00ed la"}, {"start": 466.59999999999997, "end": 481.2, "text": " ecuaci\u00f3n n\u00famero 1 que va a ser la de posici\u00f3n en Y, menos 5t cuadrado m\u00e1s 19.28t."}, {"start": 481.2, "end": 487.76, "text": " En este problema no vamos a necesitar la ecuaci\u00f3n de velocidad en Y, recordemos que esa se"}, {"start": 487.76, "end": 494.52, "text": " obtiene derivando esta primera ecuaci\u00f3n, en cambio si necesitamos la de posici\u00f3n en"}, {"start": 494.52, "end": 502.76, "text": " X, entonces escribimos el modelo y vamos a reemplazar all\u00ed la informaci\u00f3n que conocemos,"}, {"start": 502.76, "end": 511.03999999999996, "text": " velocidad inicial es 30 metros por segundo, esto por el coseno de theta que es 40 grados,"}, {"start": 511.03999999999996, "end": 518.48, "text": " por el tiempo m\u00e1s la posici\u00f3n inicial en X que tambi\u00e9n vale 0, parte del origen, el"}, {"start": 518.48, "end": 530.6, "text": " objeto. Resolviendo eso nos queda 22.98t y esta ser\u00e1 entonces la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2"}, {"start": 530.6, "end": 536.5600000000001, "text": " para este problema, vamos a escribirla por aqu\u00ed, ecuaci\u00f3n n\u00famero 2, la de posici\u00f3n"}, {"start": 536.5600000000001, "end": 550.52, "text": " en X que es igual a 22.98t. Bien, ahora vamos a llamar el instante t1 aqu\u00ed, es decir cuando"}, {"start": 550.52, "end": 559.98, "text": " el objeto pasa justo por donde se encuentra la valla, es decir cuando X vale 60, entonces"}, {"start": 559.98, "end": 566.88, "text": " viene nuestra primera consideraci\u00f3n de lo que llamamos el an\u00e1lisis del problema, entonces"}, {"start": 566.88, "end": 578.44, "text": " decimos cuando el tiempo es igual a t1 tenemos que la posici\u00f3n X del objeto es 60 metros"}, {"start": 578.44, "end": 585.8000000000001, "text": " y corresponde a esta abscisa 60, esta informaci\u00f3n debemos sustituirla en la ecuaci\u00f3n n\u00famero"}, {"start": 585.8, "end": 596.1999999999999, "text": " 2, entonces anotamos por aqu\u00ed dicha ecuaci\u00f3n y vamos a reemplazar la informaci\u00f3n, X se"}, {"start": 596.1999999999999, "end": 607.8, "text": " reemplaza por 60 y el tiempo t lo reemplazamos por t1, de all\u00ed despejamos t1 nos queda 60"}, {"start": 607.8, "end": 619.1999999999999, "text": " dividido entre 22.98 y eso nos da t1 igual a 2.61 segundos, entonces ya podemos anotar"}, {"start": 619.1999999999999, "end": 627.04, "text": " aqu\u00ed ese instante de tiempo 2.61 segundos, vemos que tiene sentido de acuerdo a los tiempos"}, {"start": 627.04, "end": 633.4399999999999, "text": " que hemos marcado en el dibujo, el tiempo de subida se consigue a los 1.93 segundos"}, {"start": 633.44, "end": 639.7600000000001, "text": " despu\u00e9s de haber sido disparado, entonces a los 2.61 segundos ya el objeto viene en"}, {"start": 639.7600000000001, "end": 646.5200000000001, "text": " la etapa de ca\u00edda y es cuando pasa justo por donde se encuentra la valla del recinto,"}, {"start": 646.5200000000001, "end": 656.72, "text": " bien podemos llamar H la posici\u00f3n en Y cuando el objeto se encuentra en el instante t1 y"}, {"start": 656.72, "end": 664.24, "text": " vamos a determinar entonces ese valor de H para compararlo con 15 metros que es la altura"}, {"start": 664.24, "end": 677.36, "text": " de la valla, entonces decimos que cuando el tiempo es igual a t1 que nos dio 2.61 segundos"}, {"start": 677.36, "end": 685.44, "text": " la posici\u00f3n en Y del objeto se llama H, la que hemos designado en el eje Y, entonces"}, {"start": 685.44, "end": 694.44, "text": " esa informaci\u00f3n la vamos a sustituir en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1, la escribimos por aqu\u00ed"}, {"start": 694.44, "end": 702.24, "text": " y vamos a reemplazar en ella la informaci\u00f3n que tenemos, Y se cambia por H y el tiempo"}, {"start": 702.24, "end": 716.52, "text": " se cambia por 2.61, entonces reemplazamos y resolviendo en la calculadora H nos da como"}, {"start": 716.52, "end": 732.04, "text": " resultado 16.26 metros, con esto tenemos un valor de H mayor que 15 metros, 15 metros es"}, {"start": 732.04, "end": 738.36, "text": " la altura de la valla y esto que acabamos de obtener nos dice que este objeto se encuentra"}, {"start": 738.36, "end": 747.5600000000001, "text": " en este instante a 16.26 metros por encima del suelo, es decir a una distancia de 1.26"}, {"start": 747.5600000000001, "end": 754.32, "text": " metros por encima de la parte superior de la valla, esto nos permite entonces confirmar"}, {"start": 754.32, "end": 769.96, "text": " con toda seguridad que el objeto cae dentro del recinto."}]