INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia.

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 Vamos a resolver paso a paso esta integral impropia. Se llama así porque se trata de una integral definida que tiene más infinito en el límite superior. Comenzamos por cambiar precisamente el límite superior, o sea, donde tenemos infinito, por una letra y vamos a utilizar la letra B. Acá en el límite inferior sigue el número de Euler, acá en la función que vamos a integrar sigue 3 sobre x, anotamos el diferencial de x y acá escribimos el límite de esta nueva variable, o sea, B, cuando ella tiende a más infinito, o sea, lo que tenemos originalmente en el límite superior. Enseguida debemos determinar la antiderivada de esta función, vamos a realizar eso por acá. La integral de 3 sobre x con su diferencial de x es una integral directa, podemos extraer el número 3 que queda multiplicando con la integral de 1 sobre x con su respectivo diferencial de x. Y esta integral recordemos que es logaritmo natural de valor absoluto de x. Entonces esta expresión es la antiderivada de la función, entonces eso nos queda límite cuando B tiende a infinito de la expresión 3 por logaritmo natural de valor absoluto de x. Pero como esta es una integral definida, trazamos esta línea y anotamos los límites de integración, E es el inferior, B es el superior y cerramos el corchete. Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, vamos a evaluar estos límites de integración en la antiderivada. Continuamos por acá, tendremos límite cuando B tiende a más infinito y entra primero el límite superior aquí donde tenemos la x. Nos queda 3 por logaritmo natural de valor absoluto de B y hasta le restamos el reemplazo o la evaluación del límite inferior que es el número de Euler. Entra aquí donde tenemos x, nos queda 3 por logaritmo natural del valor absoluto de E y cerramos el corchete. Ahora debemos resolver este límite, tenemos que B tiende a infinito, entonces vamos a reemplazarlo aquí, nos queda 3 por logaritmo natural de valor absoluto de infinito. B está tomando en este caso un número positivo que es gigantesco y a esto le restamos 3 por logaritmo natural de valor absoluto de E que es simplemente E porque el número de Euler es una cantidad positiva. Aquí tenemos que logaritmo natural de infinito nos da como resultado infinito, recordemos que la función logaritmo natural de x es una curva creciente de tal forma que si x toma valores cada vez más grandes los valores de y también van a ser más grandes, entonces por eso esto se nos va hacia infinito. Por acá tenemos que logaritmo natural de E equivale a 1, entonces nos queda 3 por infinito, eso nos da infinito, o sea un número mucho más grande y a eso le restamos 3 por 1 que nos da 3. Si a infinito le restamos 3 nos sigue dando infinito, entonces esto será el resultado de esta integral impropia nos da más infinito y por ello se concluye que esta integral diverge. Veamos lo que quiere decir esta integral impropia gráficamente, allí tenemos un bosquejo de la gráfica de la función que tenemos en el integrando, la función 3 sobre x se observa que el eje y es asíntota vertical y el eje x es asíntota horizontal, suponemos que aquí se encuentra localizado el número E, recordemos que E equivale a 2.718. Y este número sigue indefinidamente porque es un decimal infinito no periódico, se trata de un número irracional. Entonces esta integral representa el área que existe bajo esta curva comprendida entre el número E y más infinito, es decir esta región que aparece pintada con color verde cuya área no es posible determinar porque crece indefinidamente de tal forma que se va hacia más infinito, con eso terminamos este ejercicio.
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