DESIGUALDADES CUADRÁTICAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo hallar el conjunto solución de una desigualdad o inecuación cuadrática (o de segundo grado).

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 Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad. Comenzamos por resolver este producto de binomios. Para ello vamos a aplicar la propiedad distributiva. Multiplicamos entonces x por x, que nos da x al cuadrado, x por menos 4, que es menos 4x, luego multiplicamos menos 5 por cada uno de esos términos, menos 5 por x es menos 5x, y menos 5 por menos 4 nos da más 20 y todo esto queda menor o igual que 6. Enseguida vamos a reducir a este lado términos semejantes. Es el caso de estos dos que contienen la letra x, tendremos x al cuadrado, menos 4x menos 5x nos da menos 9x más 20 y esto nos queda menor o igual que 6. Como se puede observar la desigualdad adquiere forma de desigualdad cuadrática o de segundo grado y en ese caso necesitamos que acá nos quede el número 0, para ello vamos a pasar este número 6 al lado izquierdo, entonces tendremos x al cuadrado, menos 9x más 20, menos 6, menor o igual que 0. 6 que está positivo llega al lado izquierdo con signo negativo. Ahora vamos a resolver la operación de estos dos números, tendremos x al cuadrado, menos 9x, más 20, menos 6, nos da más 14 y todo esto nos queda menor o igual que 0. Enseguida vamos a factorizar esta expresión, allí aplicamos el caso llamado trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de este término que es x y la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Ahora vamos a definir los signos, aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos, signo del primer paréntesis y menos por más nos da menos que es el signo del segundo paréntesis. Enseguida buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos den más 14 y que al sumarlos nos de como resultado menos 9, esos números son menos 7 y menos 2 y todo esto quedará menor o igual que 0. Cuando ya tenemos esta expresión factorizada y acá el número 0 procedemos a buscar lo que se llaman los puntos críticos de la desigualdad, es decir aquellos valores de la letra x que vuelven 0 este lado de la expresión, para ello igualamos a 0 cada uno de los dos factores, decimos x menos 7 será igual a 0 y x menos 2 también igual a 0, en cada caso hallamos el valor de x. Por acá vamos a obtener x igual a 7 y por acá obtenemos x igual a 2. Estos dos números son los puntos críticos de esta desigualdad y como acá tenemos el signo menor o igual ellos van a formar parte de la solución, o sea que se van a tomar y eso lo denotamos con esta bolita llena. Ahora trazamos esta recta que simboliza los valores reales de la variable x y en ella localizamos los puntos críticos que acabamos de encontrar, escribimos el 2 que es el número menor y el 7 que es el número mayor, como dijimos acá ambos números se deben tomar, entonces marcamos aquí la bolita llena que nos indica que ellos van a ser parte de la solución. Como vemos tenemos tres intervalos o tres zonas en las cuales debemos examinar el comportamiento del signo de esta expresión, para ello vamos a seleccionar un valor de prueba, por ejemplo el primer intervalo seleccionamos un valor de x que esté comprendido entre menos infinito y 2, podemos seleccionar el valor x igual a 0. Del segundo intervalo seleccionamos un valor de x que esté comprendido entre 2 y 7, podríamos escoger por ejemplo el número 4 y del tercer intervalo escogemos un valor de x que esté comprendido entre 7 y más infinito, podemos escoger el número 8. Como se puede observar la expresión que vamos a examinar consta de dos factores, entonces vamos a abrir dos paréntesis que representan cada uno de esos factores. Comenzamos entonces la prueba con x igual a 0, en ese factor si x toma el valor 0 tendremos 0 menos 7 que nos da menos 7, eso quiere decir que acá marcamos el signo menos, no nos interesa el número sino el signo que toma ese factor. Vamos al siguiente, probamos otra vez x igual a 0 donde 0 menos 2 nos da menos 2, o sea que ese factor es de signo negativo. Continuamos la prueba con x igual a 4, de nuevo reemplazamos en cada una de estas dos expresiones, en la primera tendremos 4 menos 7, eso nos da como resultado menos 3, marcamos entonces el signo menos y acá reemplazando el 4 tendremos 4 menos 2 que nos da como resultado 2 positivo. Ahora probamos con x igual a 8, de nuevo vamos a estos dos factores, si traemos el 8 acá tenemos 8 menos 7 que es 1 positivo y si reemplazamos 8 acá tendremos 8 menos 2 que nos da 6 positivo. Aplicamos ahora el producto de signos en cada uno de los intervalos, menos por menos nos da más, aquí menos por más nos da menos y acá más por más nos da signo más. Como la expresión que estamos examinando tiene que ser menor que 0 entonces ella debe ser negativa, eso quiere decir que nos sirve únicamente la zona del centro, esta si sirve y las otras por ser positivas no sirven, esta tampoco sirve y procedemos a rayar o destacar la zona que si sirvió y con eso procedemos a dar la respuesta. Decimos entonces que el conjunto solución de esa desigualdad son los valores reales de x que pertenecen al intervalo que va desde 2 hasta 7 cerrado en sus dos extremos, entonces utilizamos corchetes, como decíamos eso quiere decir que el 2 y el 7 se incluyen y son parciales en parte de la solución. Otra manera de presentar la respuesta es escribiéndola en forma de desigualdad, se escribe de esta manera, los x que son mayores o iguales que 2 y al mismo tiempo menores o iguales que 7. Y con esto terminamos este ejercicio.
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