APROXIMACIÓN LINEAL DE UNA FUNCIÓN - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio sobre Aproximación Lineal o Linealización de una Función en la cercanía de un valor, usando la derivada. 

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Suponga que la única información que tenemos acerca de una función f es que f de 1 es igual a 4 y la gráfica de su derivada es como la que se muestra. Pregunta A. Use una aproximación lineal para estimar f de 0.9 y f de 1.1. Pregunta B. Sus estimaciones del inciso A son demasiado grandes o pequeñas. Explique. Para responder la pregunta A necesitamos la siguiente información. El problema nos dice que f de 1 es igual a 4 y también nos da la gráfica de la derivada de la función. Aquí la tenemos y necesitamos entonces averiguar cuánto vale f' de 1. Entonces lo que tenemos que hacer es situarnos aquí en la abscisa 1 y subir hasta cortar la gráfica de la derivada. Aquí tenemos que y es igual a f' de x por lo tanto esta es la gráfica de la derivada de la función f. Entonces si nos paramos aquí en 1 y subimos hacemos contacto en este punto vamos al eje vertical y encontramos que vale 2. Entonces podemos decir que f' de 1 es igual a 2. Vamos a notar esto entonces por acá f' evaluado en 1 es igual a 2. Y como nos piden encontrar la estimación de esta función en dos valores próximos a 1 que son 0.9 y 1.1 entonces debemos encontrar la linealización L de x, es decir la aproximación lineal de la función en la cercanía de 1. Entonces la expresión que vamos a utilizar es la siguiente f de a más f' de a por x menos a. Recordemos que esta expresión es la linealización o aproximación lineal de una función f en la cercanía de un valor a que para nosotros vale 1. Entonces simplemente sustituimos a por 1 y nos queda esta expresión. Ahora vamos a reemplazar f de 1 que vale 4 y f' de 1 que vale 2. Y simplificamos esta expresión eso nos queda entonces 4 más hacemos distributiva que da 2x menos 2. Simplificamos esta expresión y nos queda 2 más 2x. Entonces esta expresión será la linealización de la función f en la cercanía del valor a igual a 1. Eso quiere decir que la función f de x es aproximadamente igual a L de x para valores de x próximos a 1. Es decir que la función f de x puede estimarse o puede aproximarse mediante la expresión 2 más 2x. Y a continuación vamos a encontrar los valores que nos pide la pregunta. Entonces nos preguntan por la estimación de f de 0.9. Entonces simplemente vamos a reemplazar donde tenemos la x 0.9 en esta expresión de aquí. Esto nos da entonces si la solvemos 2 más 2 por 0.9 es 1.8 y sumando 2 más 1.8 nos da 3.8. Entonces f de 0.9 será aproximadamente igual a 3.8. Vamos a escribirlo por acá. Esto es aproximadamente igual a 3.8. Esa es la estimación de la función evaluada en 0.9. Allí tenemos la primera respuesta y vamos a hacer lo mismo con 1.1 para estimar cuanto es f evaluado en 1.1. Nuevamente reemplazamos en la expresión donde está la de x escribimos 1.1 es decir aquí. Resolvemos sería 2 más 2 por 1.1 es 2.2 y esto es igual a 4.2. Por lo tanto la función evaluada en 1.1 es aproximadamente igual a 4.2. Y de esa manera tenemos la otra respuesta a la pregunta que nos hacían en la parte A. En la parte B nos preguntan que si las estimaciones realizadas en la parte A son demasiado grandes o demasiado pequeñas. Para ello vamos a tener en cuenta lo siguiente. Tomamos la gráfica de la derivada, la que nos da el problema y como vemos la derivada es una función decreciente. Esto quiere decir que la segunda derivada de la función será negativa. Entonces si la segunda derivada de la función es decir f2' es negativa. Esto quiere decir que la función es cóncava hacia abajo. Entonces si la función es cóncava hacia abajo, la función original, esta es la función f. Vamos a suponer que por acá tuviéramos el valor 1 en el eje x. Supongamos que está por aquí. Entonces al subir haríamos contacto en este sitio y por allí tendríamos una recta tangente. Entonces vamos a dibujarla aproximadamente como esta que vamos a trazar. Esta es la recta tangente y esa recta es la linealización lx que encontramos. Entonces, ¿qué quiere decir lo que obtuvimos en la parte A? Nosotros evaluamos la función en 0.9 que está a la izquierda de 1. Si subimos vemos que la estimación realizada, es decir el valor calculado en la linealización está ligeramente por encima del valor real de la función, en la curva roja. Esto para 0.9. Y para 1.1 también vemos que si subimos el valor que se encuentra en la linealización está ligeramente por encima del valor real en la curva. Entonces eso sucede porque como la gráfica es cóncava hacia abajo, la recta tangente va por encima de la curva, haciendo contacto únicamente en este punto, en el punto de tangencia. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta B es que las estimaciones realizadas en la parte A son demasiado grandes o también se conocen con el nombre de sobreestimaciones.
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