MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: Ejemplos 3, 4 y 5
#julioprofe explica cómo encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de tres conjuntos de números naturales: MCM(8,10) y MCM(6,16,18).

Contenido:

00:00 - 00:33 Introducción
00:33 - 03:14 Ejemplo 1 (forma larga)
03:14 - 07:08 Ejemplo 1 (forma corta)
07:08 - 09:25 Ejemplo 2 (forma larga)
09:25 - 13:03 Ejemplo 2 (forma corta)
13:03 - 19:48 Ejemplo 3 (forma larga)
19:48 - 24:19 Ejemplo 3 (forma corta)

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 En esta ocasión vamos a encontrar el mínimo común múltiplo para cada uno de estos grupos de números y vamos a realizar el procedimiento de dos maneras. La primera es la forma larga que es la que utilizan los niños que todavía no han visto la descomposición de números en factores primos y la otra es la forma corta que es precisamente donde se hace la descomposición simultánea en factores primos de estos números. Comencemos. Vamos entonces a encontrar el mínimo común múltiplo para 8 y 10 de la forma larga. Comenzamos entonces determinando el conjunto de múltiplos de 8. Se denota de esta manera, m sub 8, si el 8 se describe aquí en la parte de abajo como un sub índice, por eso se lee m sub 8. Entonces vamos a construir aquí el conjunto de múltiplos de 8. Recordemos que se hace generando la tabla de multiplicar del número 8. Tenemos 8 por 1, 8, 8 por 2 es 16, 8 por 3, 24, 8 por 4 es 32, 8 por 5 es 40, 8 por 6 es 48, 8 por 7 es 56, 8 por 8 es 64, 8 por 9 es 72, 8 por 10 es 80. Y bueno aquí ya podemos colocar puntos suspensivos indicando que este conjunto nunca termina, es un conjunto infinito. Vamos ahora con el conjunto de múltiplos de 10, entonces lo denotamos m sub 10. Comenzamos entonces generando la tabla de multiplicar del 10. 10 por 1 es 10, 10 por 2 es 20, 10 por 3 es 30, 10 por 4 es 40, 10 por 5 es 50, 10 por 6 es 60, 10 por 7 es 70, 10 por 8 es 80, 10 por 9 es 90, 10 por 10 es 100. Y aquí ya podemos escribir de nuevo los puntos suspensivos indicando que este también es un conjunto infinito, nunca termina. Ahora en esos dos conjuntos vamos a señalar los elementos comunes o repetidos. Vemos que el 40 está presente en los dos conjuntos y también el número 80. Entonces allí tenemos los múltiplos comunes o múltiplos repetidos en ambos conjuntos. Y ahora lo que tenemos que seleccionar es el menor de todos ellos porque recordemos que se busca el mínimo común múltiplo, es decir, de los múltiplos comunes, cuál es el mínimo o el más pequeño o también el menor, en este caso será el número 40. Entonces de esta forma ya encontramos cuál es el mínimo común múltiplo de 8 y 10, se trata del número 40. 40 es el número más pequeño que contiene exactamente a 8 y que también contiene exactamente al 10. Ahora vamos a determinar el mínimo común múltiplo de 8 y 10 utilizando la forma corta, es decir, cuando ya se conoce el proceso de descomposición de números en factores primos. Aquí vamos a realizar ese proceso de forma simultánea. Vamos a descomponer 8 y 10, los números examinados en factores primos. Entonces vamos a recordar cuál es ese conjunto de números primos. Recordemos que son los números naturales que solamente tienen dos divisores, ellos mismos y el 1. Entonces comenzamos con el 2 que es el único número que es par y primo a la vez, seguimos con el 3, después tenemos el 5, luego tenemos el 7, después tenemos el 11, luego tenemos el 13 y bueno, este conjunto nunca termina, es un conjunto infinito. Son los números naturales que solamente tienen dos divisores, ellos mismos y la unidad. Entonces nos preguntamos si el primer número primo que es el 2 sirve aquí, si 2 es divisor de 8 y 10, claro que sí, porque ambos números son pares. Entonces comenzamos utilizando el número primo 2. Decimos cuál es la mitad de 8 o cuántas veces cabe 2 en 8, encontramos que eso es 4. Cuántas veces cabe 2 en 10 o cuál es la mitad de 10 y eso nos da 5. Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir, vemos que sí, porque aquí tenemos un número que es par. Entonces utilizamos el 2, no importa si al 5 no le sirve el 2 como divisor, al 4 sí le sirve. Entonces decimos cuál es la mitad de 4 o cuántas veces cabe 2 en 4 y encontramos que eso es 2. El 5 se deja tal como está porque 5 no es divisible por 2. Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir, vemos que sí, porque aquí tenemos otra vez un número par, no importa si al 5 no le sirve, entonces utilizamos de nuevo el 2. Vamos 2 en 2 o la mitad de 2 es 1. Y para 5 pues no le sirve el 2 como divisor, el 5 se vuelve a dejar igual. Acá, con este 1 ya terminamos, lo podemos encerrar con ese círculo y es una señal de que por aquí ya no debemos preocuparnos más. Nos concentramos en lo que nos queda por acá. 5, 5 ya no es divisible por 2, tampoco es divisible por 3, será divisible por 5 porque además 5 es primo. Entonces utilizamos aquí el número primo 5. Decimos 5 en 5 cabe una vez o la quinta de 5 es 1 y aquí también ya terminamos. Entonces, lo que debemos hacer ahora es multiplicar estos números, estos que quedaron a la derecha de la línea vertical. Tenemos que eso es 2 por 2 por 2 por 5, la multiplicación de esta secuencia de números primos. Esto lo podemos resumir también como 2 al cubo por 5. Recordemos que aquí el 2 se multiplica por sí mismo tres veces. Podemos escribir esto de forma comprimida como una potencia. Recordemos que esta es la base, este número pequeñito es el exponente y este número 3 el exponente nos indica cuántas veces se multiplica por sí misma la base. En este caso vemos que el 2 se multiplica por sí mismo tres veces. Y resolvemos esto. Recordemos que 2 al cubo es 2 por 2 por 2, o sea 2 por 2 es 4, 4 por 2 es 8, todo esto nos da 8 y 8 por 5 es 40. Entonces ya tenemos el mínimo común múltiplo de 8 y 10, es 40, el mismo resultado que habíamos obtenido utilizando la forma larga. Pero acá nos fuimos por un camino mucho más corto que es utilizando la descomposición simultánea en factores primos de los dos números examinados. Vamos con el siguiente ejercicio donde vamos a determinar el mínimo común múltiplo de 9 y 12 comenzando con la forma larga. Entonces vamos a construir el conjunto de múltiplos de 9, m sub 9. Entonces tenemos que 9 por 1 es 9, 9 por 2 es 18, 9 por 3 es 27, 9 por 4 es 36, 9 por 5 es 45, 9 por 6 es 54, 9 por 7 es 63, 9 por 8 es 72, 9 por 9 es 81, 9 por 10 es 90. Y aquí ya podemos escribir los puntos suspensivos indicando que este es un conjunto infinito, nunca termina. Vamos ahora con el conjunto de múltiplos del número 12, m sub 12. Entonces vamos construyendo la tabla del 12. 12 por 1 es 12, 12 por 2 es 24, 12 por 3 es 36, 12 por 4 es 48, 12 por 5 es 60, 12 por 6 es 72, 12 por 7 es 84, 12 por 8 es 96, 12 por 9 es 108, 12 por 10 es 120. Y aquí ya podemos anotar los puntos suspensivos porque es un conjunto infinito. Ahora vamos a señalar los elementos comunes o repetidos en los dos conjuntos. Vemos que el número 36 se repite y también el número 72. Esos serán los múltiplos comunes y de ellos vamos a seleccionar el mínimo o el más pequeño, que en este caso será el número 36. Entonces de esta manera ya encontramos el mínimo común múltiplo de 9 y 12. Se trata del número 36. 36 es el número más pequeño que contiene exactamente al 9 y que contiene exactamente al 12. Ahora vamos con la forma corta para determinar el mínimo común múltiplo de 9 y 12. Aquí los escribimos, trazamos esta línea y otra vez vamos a realizar la descomposición simultánea de esos números en factores primos. Recordamos por aquí ese conjunto, comienza en el 2, después tenemos el 3, luego el 5, luego el 7, después tenemos el 11, luego el 13. Recurremos que son los números naturales que solamente son divisibles por ellos mismos y por 1. Es un conjunto infinito, nunca termina. Entonces comenzamos examinando el número primo 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos números. Vemos que sí, al 12 le sirve porque 12 es número par. Entonces comenzamos utilizando el número primo 2. Usamos el 2 en el 12, cabe 6 veces, o la mitad de 12 es 6. Para el 9 no sirve el 2 como divisor. 9 no es divisible por 2 porque 9 es impar. Por lo tanto el 9 se deja tal como está. Los preguntamos si el 2 vuelve a servir. Vemos que sí, porque aquí tenemos otra vez un número par. Entonces por ese hecho usamos de nuevo el 2. Usamos el 2 en el 6, cabe 3 veces, o la mitad de 6 es 3. O recordemos que también se dice 6 dividido entre 2 que nos da 3. 2 dijimos que en 9 no cabe exactamente. O sea 2 no es divisor de 9. Por lo tanto 9 se deja tal como está. Aquí ya tenemos números impares. Entonces ya no sirve el número 2 otra vez. Ya 2 no lo podemos utilizar porque acá no tenemos números pares. Vemos al siguiente número primo que es el 3. Y vemos que 3 si le sirve a estos dos números como divisor. Entonces lo utilizamos. Decimos tercera de 3, o el 3 en el 3 cabe una vez. Aquí ya terminamos. Recordemos que este círculo es señal de que por aquí ya terminamos. Y 3 en 9, o 9 dividido entre 3 nos da como resultado 3. También decimos que es la tercera de 9, que nos da 3. Y para este 3 sirve lógicamente el número primo 3. Entonces 3 en 3 cabe una vez. O 3 dividido entre 3 nos da 1. Y por aquí también terminamos. Ahora multiplicamos estos números que obtuvimos a la derecha de la línea vertical. Tenemos 2 por 2 por 3 por 3. Solamente son números primos. Y esto lo podemos escribir de forma más comprimida como 2 al cuadrado por 3 al cuadrado. Vemos que el 2 se repite dos veces. Entonces se resume como 2 al cuadrado y 3 también se multiplica por sí mismo dos veces. Se resume como 3 al cuadrado. Es decir en forma de potencias. Resolvemos cada una de ellas. 2 al cuadrado sería 2 por 2 que nos da 4. Y eso multiplicado por 3 por 3 que es 3 al cuadrado. 3 por 3 es 9. Y al final 4 por 9 nos da 36. Y de esta manera ya tenemos el valor del mínimo común múltiplo de 9 y 12. 36. Lo mismo que habíamos obtenido de la forma anterior. Es decir de la forma larga. Pero como vemos este camino es mucho más corto. Porque lo que hacemos allí es la descomposición simultánea o al mismo tiempo de los números examinados. Que en este caso son 9 y 12. Vamos con el siguiente ejercicio donde vamos a determinar el mínimo común múltiplo para 6, 16 y 18. Comenzamos entonces con la forma larga y vamos a construir el conjunto de múltiplos del primer número que es 6. Entonces vamos construyendo la tabla de multiplicar del 6. Tenemos 6 por 1 es 6. 6 por 2 es 12. 6 por 3 es 18. 6 por 4 es 24. 6 por 5 es 30. 6 por 6 es 36. 6 por 7 es 42. 6 por 8 es 48. 6 por 9 es 54. 6 por 10 es 60. Y aquí ya podemos colocar los puntos suspensivos que nos indica que este es un conjunto infinito. Comenzamos ahora con el conjunto de múltiplos del siguiente número, es decir del 16, el conjunto m sub 16 y vamos a construir la tabla de multiplicar de este número. Tenemos 16 por 1 es 16. 16 por 2 es 32. 16 por 3 es 48. 16 por 4 es 64. 16 por 5 es 80. 16 por 6 es 96. 16 por 7 será 112. 16 por 8 es 128. 16 por 9 es 144. 16 por 10 es 160. Y aquí ya podemos anotar los puntos suspensivos que nos indica que este es un conjunto infinito. Vamos ahora con el conjunto de múltiplos del tercer número, es decir del 18. Pues tenemos el conjunto m sub 18. Vamos a construir allí la tabla de multiplicar del número 18. 18 por 1 es 18. 18 por 2 es 36. 18 por 3 es 54. 18 por 4 es 72. 18 por 5 es 90. 18 por 6 será 108. 18 por 7 será 126. 18 por 8 será 144. 18 por 9 será 162. 18 por 10 es 180. Y anotamos los puntos suspensivos que nos indica que es un conjunto infinito. Revisamos hasta allí y vemos que todavía no hay cantidades que estén en los tres conjuntos. Vemos por ejemplo el número 48 repetido en estos dos conjuntos. O por ejemplo el número 36 repetido en estos dos. Pero recordemos que se necesitan números que estén presentes en los tres conjuntos, en los múltiplos de estos números que estamos examinando. Entonces nos concentramos en estos dos conjuntos, los de los múltiplos de 16 y 18. Y allí vemos que el número que se repite es este, 144. Además hay una cosa que debemos tener en cuenta y que nos puede ayudar. 6 está incluido en 18, o sea 6 es divisor de 18. O 18 es múltiplo de 6. Entonces acá vamos a tener números que también son múltiplos del número 6. Por lo tanto lo que podemos hacer en este caso es seguir ampliando el conjunto de múltiplos de 6, a ver si nos encontramos el número 144 que es el que se repite en estos dos conjuntos. Entonces vamos a continuar con ello. Vamos a ampliar aquí el conjunto de múltiplos de 6. Estábamos en 60, 60 más 6 nos da 66, que sería lo mismo que 6 por 11. Luego tenemos 66 más 6 que nos da 72, que sería 6 por 12. 72 más 6 nos da 78, vamos a continuar allá abajo. 78 más 6 nos da 84, 84 más 6 nos da 90, 90 más 6 nos da 96, 96 más 6 nos da 102, 102 más 6 es 108, 108 más 6 es 114, 114 más 6 nos da 120. Luego tenemos 120 más 6 que será 126, 126 más 6 nos da 132, 132 más 6 será 138, 138 más 6 nos da 144, 144 más 6 daría 150. Y bueno, esto sigue, es un conjunto infinito. Pero ya nos apareció el número del cual sospechábamos. 144, porque como decíamos 144 es múltiplo de 18. Y si 18 es múltiplo de 6, entonces 144 también será múltiplo de 6. Y efectivamente aquí lo encontramos, en este conjunto que tuvimos que ampliar. Además, hay otra forma de darnos cuenta que 144 sí es múltiplo de 6. O que 144 es divisible por 6. Recordemos que un número que es divisible por 2 y por 3 a la vez, entonces es divisible por 6. 144 es divisible por 2 porque termina en cifra par. Y es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos nos da como resultado 9, que es múltiplo de 3. Entonces 144 es divisible por 2 y también es divisible por 3. Por lo tanto es divisible por 6. Y entonces eso nos garantiza que 144 está en el conjunto de múltiplos del número 6. Ahora repitiendo el procedimiento que hemos visto en los ejercicios anteriores, debemos seleccionar los múltiplos comunes que hay en los tres conjuntos. Y ya vimos que se trata del número 144. Realmente es el único que podemos apreciar. El siguiente número común sería el 288, que sería multiplicar este número por 2. Pero ya vemos que sería una lista bastante larga. En este caso con 144 es suficiente porque además se trata del menor de esos múltiplos comunes o repetidos en los tres conjuntos. Repito, el siguiente número común, múltiplo común de los tres conjuntos sería 288. Pero siempre nos quedamos con el menor porque como decíamos buscamos el mínimo común múltiplo de esos números. Entonces lo escribimos por acá. 144 es el número más pequeño que contiene exactamente al 6, al 16 y al número 18. Ahora vamos a determinar el mínimo común múltiplo de estos tres números, pero utilizando la forma corta. Es decir, la descomposición simultánea en factores primos de esas tres cantidades. Recordamos entonces de nuevo el conjunto de números primos. Aquellos números naturales que solamente tienen dos divisores, ellos mismos y el 1. Entonces aquí vamos anotando los primeros números primos de ese conjunto que es infinito. Recordemos, nunca termina, por eso le escribimos esos puntos suspensivos. Entonces comenzamos examinando el número primo 2. Nos preguntamos si 2 le sirve a alguno de estos números. Efectivamente le sirve a los tres porque son números pares. Entonces utilizamos el número primo 2. Decimos 2 en 6 cabe tres veces o la mitad de 6 es 3. 2 en 16 cabe 8 veces o la mitad de 16 es 8. Y 2 en 18 cabe 9 veces o la mitad de 18 es 9. Los preguntamos si el 2 sirve de nuevo. Vemos que sí porque aquí tenemos un número par. No importa que a estos dos números no le sirva el número 2 como divisor. Entonces utilizamos de nuevo el 2. Decimos mitad de 8 es 4 o 2 en 8 cabe 4 veces. Esos números que son impares y a los que no les sirve el número 2 como divisor se dejan iguales. Tenemos otra vez número par por aquí. Entonces otra vez se utiliza el número primo 2. Entonces decimos mitad de 4 es 2 o el 2 en el 4 cabe dos veces. 9 se deja igual, 3 se deja igual. Estos quedan intactos porque no son divisibles por 2. Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir. Vemos que sí porque aquí tenemos otra vez un número par. Entonces utilizamos el 2. Decimos el 2 en el 2 cabe una vez o la mitad de 2 es 1. Y aquí ya terminamos. 9 y 3 se dejan tal como están porque no son divisibles por 2. Y allí ya pasamos a utilizar el siguiente número primo que es el 3. Esos son múltiplos del 3 entonces sirve ese número primo. Decimos 3 en 3 cabe una vez. Por aquí ya terminamos. O 3 dividido entre 3 nos da 1. Y 3 en 9 cabe tres veces. O también 9 dividido entre 3 nos da 3. Para 3 utilizamos otra vez el número primo 3. No le sirve otro. Entonces 3 en 3 cabe una vez. O 3 dividido entre 3 nos da 1. Y por aquí también terminamos. Entonces recordemos que se multiplican estos números obtenidos a la derecha de la línea vertical. Tenemos 2 por 2 por 2 por 2. Esto por 3 y por 3. El 2 se multiplica por sí mismo 4 veces. Y el 3 se multiplica por sí mismo 2 veces. Entonces esto se puede escribir en forma resumida utilizando la potenciación. Nos queda 2 a la 4 por 3 a la 2. O también 3 al cuadrado. Este 4 nos indica que la base 2 se multiplica por sí misma 4 veces. Y este exponente 2 nos indica que la base 3 se multiplica por sí misma 2 veces. Resolvemos cada una de esas dos potencias. 2 a la 4 sería 2 por 2 que es 4. 4 por 2 es 8. Y 8 por 2 es 16. Y esto multiplicado por 3 a la 2 o 3 al cuadrado que sería 3 por 3. Y eso nos da 9. Multiplicamos 16 por 9. 9 por 6 es 54. Escribimos el 4 y llevamos 5. 9 por 1 es 9. Y 5 que llevamos nos da 14. Entonces nos da 144. El mismo número que habíamos obtenido anteriormente utilizando la forma larga. Bueno, por cierto, mucho más larga que esta. Por eso esta forma, la forma corta es mucho más conveniente. Pero atención, se debe utilizar cuando ya se conoce este procedimiento. El de la descomposición simultánea de números utilizando factores primos. Así terminamos este ejercicio. 144 es el mínimo común múltiplo de estos tres números. Es el número más pequeño que contiene exactamente a 6, a 16 y al número 18. ¡Suscríbete al canal!
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n\u00famero 80."}, {"start": 153.88, "end": 160.48000000000002, "text": " Entonces all\u00ed tenemos los m\u00faltiplos comunes o m\u00faltiplos repetidos en ambos conjuntos."}, {"start": 160.48, "end": 165.01999999999998, "text": " Y ahora lo que tenemos que seleccionar es el menor de todos ellos porque recordemos"}, {"start": 165.01999999999998, "end": 170.28, "text": " que se busca el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo, es decir, de los m\u00faltiplos comunes, cu\u00e1l"}, {"start": 170.28, "end": 177.23999999999998, "text": " es el m\u00ednimo o el m\u00e1s peque\u00f1o o tambi\u00e9n el menor, en este caso ser\u00e1 el n\u00famero 40."}, {"start": 177.23999999999998, "end": 184.22, "text": " Entonces de esta forma ya encontramos cu\u00e1l es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 8 y 10,"}, {"start": 184.22, "end": 186.23999999999998, "text": " se trata del n\u00famero 40."}, {"start": 186.24, "end": 192.84, "text": " 40 es el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que contiene exactamente a 8 y que tambi\u00e9n contiene exactamente"}, {"start": 192.84, "end": 194.88, "text": " al 10."}, {"start": 194.88, "end": 201.08, "text": " Ahora vamos a determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 8 y 10 utilizando la forma corta,"}, {"start": 201.08, "end": 206.74, "text": " es decir, cuando ya se conoce el proceso de descomposici\u00f3n de n\u00fameros en factores primos."}, {"start": 206.74, "end": 210.56, "text": " Aqu\u00ed vamos a realizar ese proceso de forma simult\u00e1nea."}, {"start": 210.56, "end": 216.86, "text": " Vamos a descomponer 8 y 10, los n\u00fameros examinados en factores primos."}, {"start": 216.86, "end": 222.04, "text": " Entonces vamos a recordar cu\u00e1l es ese conjunto de n\u00fameros primos."}, {"start": 222.04, "end": 226.0, "text": " Recordemos que son los n\u00fameros naturales que solamente tienen dos divisores, ellos"}, {"start": 226.0, "end": 228.28, "text": " mismos y el 1."}, {"start": 228.28, "end": 233.84, "text": " Entonces comenzamos con el 2 que es el \u00fanico n\u00famero que es par y primo a la vez, seguimos"}, {"start": 233.84, "end": 242.36, "text": " con el 3, despu\u00e9s tenemos el 5, luego tenemos el 7, despu\u00e9s tenemos el 11, luego tenemos"}, {"start": 242.36, "end": 248.4, "text": " el 13 y bueno, este conjunto nunca termina, es un conjunto infinito."}, {"start": 248.4, "end": 255.48000000000002, "text": " Son los n\u00fameros naturales que solamente tienen dos divisores, ellos mismos y la unidad."}, {"start": 255.48000000000002, "end": 260.68, "text": " Entonces nos preguntamos si el primer n\u00famero primo que es el 2 sirve aqu\u00ed, si 2 es divisor"}, {"start": 260.68, "end": 265.24, "text": " de 8 y 10, claro que s\u00ed, porque ambos n\u00fameros son pares."}, {"start": 265.24, "end": 269.12, "text": " Entonces comenzamos utilizando el n\u00famero primo 2."}, {"start": 269.12, "end": 274.36, "text": " Decimos cu\u00e1l es la mitad de 8 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 8, encontramos que eso es"}, {"start": 274.36, "end": 275.36, "text": " 4."}, {"start": 275.36, "end": 280.28000000000003, "text": " Cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 10 o cu\u00e1l es la mitad de 10 y eso nos da 5."}, {"start": 280.28000000000003, "end": 284.64, "text": " Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir, vemos que s\u00ed, porque aqu\u00ed tenemos un n\u00famero"}, {"start": 284.64, "end": 286.2, "text": " que es par."}, {"start": 286.2, "end": 292.08, "text": " Entonces utilizamos el 2, no importa si al 5 no le sirve el 2 como divisor, al 4 s\u00ed"}, {"start": 292.08, "end": 293.32, "text": " le sirve."}, {"start": 293.32, "end": 298.84, "text": " Entonces decimos cu\u00e1l es la mitad de 4 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 4 y encontramos que eso es"}, {"start": 298.84, "end": 299.84, "text": " 2."}, {"start": 299.84, "end": 304.0, "text": " El 5 se deja tal como est\u00e1 porque 5 no es divisible por 2."}, {"start": 304.0, "end": 309.03999999999996, "text": " Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir, vemos que s\u00ed, porque aqu\u00ed tenemos otra vez un"}, {"start": 309.03999999999996, "end": 315.12, "text": " n\u00famero par, no importa si al 5 no le sirve, entonces utilizamos de nuevo el 2."}, {"start": 315.12, "end": 318.76, "text": " Vamos 2 en 2 o la mitad de 2 es 1."}, {"start": 318.76, "end": 323.92, "text": " Y para 5 pues no le sirve el 2 como divisor, el 5 se vuelve a dejar igual."}, {"start": 323.92, "end": 329.84000000000003, "text": " Ac\u00e1, con este 1 ya terminamos, lo podemos encerrar con ese c\u00edrculo y es una se\u00f1al"}, {"start": 329.84000000000003, "end": 333.32, "text": " de que por aqu\u00ed ya no debemos preocuparnos m\u00e1s."}, {"start": 333.32, "end": 335.6, "text": " Nos concentramos en lo que nos queda por ac\u00e1."}, {"start": 335.6, "end": 341.88, "text": " 5, 5 ya no es divisible por 2, tampoco es divisible por 3, ser\u00e1 divisible por 5 porque"}, {"start": 341.88, "end": 343.74, "text": " adem\u00e1s 5 es primo."}, {"start": 343.74, "end": 346.88, "text": " Entonces utilizamos aqu\u00ed el n\u00famero primo 5."}, {"start": 346.88, "end": 353.72, "text": " Decimos 5 en 5 cabe una vez o la quinta de 5 es 1 y aqu\u00ed tambi\u00e9n ya terminamos."}, {"start": 353.72, "end": 359.48, "text": " Entonces, lo que debemos hacer ahora es multiplicar estos n\u00fameros, estos que quedaron a la derecha"}, {"start": 359.48, "end": 361.48, "text": " de la l\u00ednea vertical."}, {"start": 361.48, "end": 368.24, "text": " Tenemos que eso es 2 por 2 por 2 por 5, la multiplicaci\u00f3n de esta secuencia de n\u00fameros"}, {"start": 368.24, "end": 369.48, "text": " primos."}, {"start": 369.48, "end": 374.48, "text": " Esto lo podemos resumir tambi\u00e9n como 2 al cubo por 5."}, {"start": 374.48, "end": 378.12, "text": " Recordemos que aqu\u00ed el 2 se multiplica por s\u00ed mismo tres veces."}, {"start": 378.12, "end": 382.12, "text": " Podemos escribir esto de forma comprimida como una potencia."}, {"start": 382.12, "end": 387.08000000000004, "text": " Recordemos que esta es la base, este n\u00famero peque\u00f1ito es el exponente y este n\u00famero"}, {"start": 387.08000000000004, "end": 391.6, "text": " 3 el exponente nos indica cu\u00e1ntas veces se multiplica por s\u00ed misma la base."}, {"start": 391.6, "end": 395.8, "text": " En este caso vemos que el 2 se multiplica por s\u00ed mismo tres veces."}, {"start": 395.8, "end": 397.62, "text": " Y resolvemos esto."}, {"start": 397.62, "end": 404.12, "text": " Recordemos que 2 al cubo es 2 por 2 por 2, o sea 2 por 2 es 4, 4 por 2 es 8, todo esto"}, {"start": 404.12, "end": 407.92, "text": " nos da 8 y 8 por 5 es 40."}, {"start": 407.92, "end": 414.92, "text": " Entonces ya tenemos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 8 y 10, es 40, el mismo resultado que hab\u00edamos"}, {"start": 414.92, "end": 418.36, "text": " obtenido utilizando la forma larga."}, {"start": 418.36, "end": 423.3, "text": " Pero ac\u00e1 nos fuimos por un camino mucho m\u00e1s corto que es utilizando la descomposici\u00f3n"}, {"start": 423.3, "end": 429.0, "text": " simult\u00e1nea en factores primos de los dos n\u00fameros examinados."}, {"start": 429.0, "end": 433.32, "text": " Vamos con el siguiente ejercicio donde vamos a determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de"}, {"start": 433.32, "end": 437.96000000000004, "text": " 9 y 12 comenzando con la forma larga."}, {"start": 437.96000000000004, "end": 444.0, "text": " Entonces vamos a construir el conjunto de m\u00faltiplos de 9, m sub 9."}, {"start": 444.0, "end": 455.04, "text": " Entonces tenemos que 9 por 1 es 9, 9 por 2 es 18, 9 por 3 es 27, 9 por 4 es 36, 9 por"}, {"start": 455.04, "end": 472.64, "text": " 5 es 45, 9 por 6 es 54, 9 por 7 es 63, 9 por 8 es 72, 9 por 9 es 81, 9 por 10 es 90."}, {"start": 472.64, "end": 479.52, "text": " Y aqu\u00ed ya podemos escribir los puntos suspensivos indicando que este es un conjunto infinito,"}, {"start": 479.52, "end": 481.4, "text": " nunca termina."}, {"start": 481.4, "end": 487.56, "text": " Vamos ahora con el conjunto de m\u00faltiplos del n\u00famero 12, m sub 12."}, {"start": 487.56, "end": 490.71999999999997, "text": " Entonces vamos construyendo la tabla del 12."}, {"start": 490.72, "end": 504.52000000000004, "text": " 12 por 1 es 12, 12 por 2 es 24, 12 por 3 es 36, 12 por 4 es 48, 12 por 5 es 60, 12 por"}, {"start": 504.52, "end": 520.56, "text": " 6 es 72, 12 por 7 es 84, 12 por 8 es 96, 12 por 9 es 108, 12 por 10 es 120."}, {"start": 520.56, "end": 527.14, "text": " Y aqu\u00ed ya podemos anotar los puntos suspensivos porque es un conjunto infinito."}, {"start": 527.14, "end": 532.54, "text": " Ahora vamos a se\u00f1alar los elementos comunes o repetidos en los dos conjuntos."}, {"start": 532.54, "end": 538.54, "text": " Vemos que el n\u00famero 36 se repite y tambi\u00e9n el n\u00famero 72."}, {"start": 538.54, "end": 545.4399999999999, "text": " Esos ser\u00e1n los m\u00faltiplos comunes y de ellos vamos a seleccionar el m\u00ednimo o el m\u00e1s peque\u00f1o,"}, {"start": 545.4399999999999, "end": 549.24, "text": " que en este caso ser\u00e1 el n\u00famero 36."}, {"start": 549.24, "end": 554.9, "text": " Entonces de esta manera ya encontramos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 9 y 12."}, {"start": 554.9, "end": 557.0, "text": " Se trata del n\u00famero 36."}, {"start": 557.0, "end": 563.66, "text": " 36 es el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que contiene exactamente al 9 y que contiene exactamente"}, {"start": 563.66, "end": 565.54, "text": " al 12."}, {"start": 565.54, "end": 571.38, "text": " Ahora vamos con la forma corta para determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 9 y 12."}, {"start": 571.38, "end": 576.32, "text": " Aqu\u00ed los escribimos, trazamos esta l\u00ednea y otra vez vamos a realizar la descomposici\u00f3n"}, {"start": 576.32, "end": 580.78, "text": " simult\u00e1nea de esos n\u00fameros en factores primos."}, {"start": 580.78, "end": 586.9, "text": " Recordamos por aqu\u00ed ese conjunto, comienza en el 2, despu\u00e9s tenemos el 3, luego el 5,"}, {"start": 586.9, "end": 591.9, "text": " luego el 7, despu\u00e9s tenemos el 11, luego el 13."}, {"start": 591.9, "end": 597.3, "text": " Recurremos que son los n\u00fameros naturales que solamente son divisibles por ellos mismos"}, {"start": 597.3, "end": 598.6, "text": " y por 1."}, {"start": 598.6, "end": 601.74, "text": " Es un conjunto infinito, nunca termina."}, {"start": 601.74, "end": 604.38, "text": " Entonces comenzamos examinando el n\u00famero primo 2."}, {"start": 604.38, "end": 608.54, "text": " Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos n\u00fameros."}, {"start": 608.54, "end": 612.84, "text": " Vemos que s\u00ed, al 12 le sirve porque 12 es n\u00famero par."}, {"start": 612.84, "end": 616.54, "text": " Entonces comenzamos utilizando el n\u00famero primo 2."}, {"start": 616.54, "end": 622.8199999999999, "text": " Usamos el 2 en el 12, cabe 6 veces, o la mitad de 12 es 6."}, {"start": 622.8199999999999, "end": 625.5799999999999, "text": " Para el 9 no sirve el 2 como divisor."}, {"start": 625.5799999999999, "end": 628.98, "text": " 9 no es divisible por 2 porque 9 es impar."}, {"start": 628.98, "end": 631.9, "text": " Por lo tanto el 9 se deja tal como est\u00e1."}, {"start": 631.9, "end": 634.38, "text": " Los preguntamos si el 2 vuelve a servir."}, {"start": 634.38, "end": 638.3, "text": " Vemos que s\u00ed, porque aqu\u00ed tenemos otra vez un n\u00famero par."}, {"start": 638.3, "end": 642.18, "text": " Entonces por ese hecho usamos de nuevo el 2."}, {"start": 642.18, "end": 647.18, "text": " Usamos el 2 en el 6, cabe 3 veces, o la mitad de 6 es 3."}, {"start": 647.18, "end": 651.6999999999999, "text": " O recordemos que tambi\u00e9n se dice 6 dividido entre 2 que nos da 3."}, {"start": 651.6999999999999, "end": 655.14, "text": " 2 dijimos que en 9 no cabe exactamente."}, {"start": 655.14, "end": 658.02, "text": " O sea 2 no es divisor de 9."}, {"start": 658.02, "end": 660.9, "text": " Por lo tanto 9 se deja tal como est\u00e1."}, {"start": 660.9, "end": 663.3399999999999, "text": " Aqu\u00ed ya tenemos n\u00fameros impares."}, {"start": 663.3399999999999, "end": 666.62, "text": " Entonces ya no sirve el n\u00famero 2 otra vez."}, {"start": 666.62, "end": 671.66, "text": " Ya 2 no lo podemos utilizar porque ac\u00e1 no tenemos n\u00fameros pares."}, {"start": 671.66, "end": 674.1, "text": " Vemos al siguiente n\u00famero primo que es el 3."}, {"start": 674.1, "end": 678.5799999999999, "text": " Y vemos que 3 si le sirve a estos dos n\u00fameros como divisor."}, {"start": 678.5799999999999, "end": 680.3399999999999, "text": " Entonces lo utilizamos."}, {"start": 680.3399999999999, "end": 684.5, "text": " Decimos tercera de 3, o el 3 en el 3 cabe una vez."}, {"start": 684.5, "end": 685.5, "text": " Aqu\u00ed ya terminamos."}, {"start": 685.5, "end": 689.1, "text": " Recordemos que este c\u00edrculo es se\u00f1al de que por aqu\u00ed ya terminamos."}, {"start": 689.1, "end": 695.02, "text": " Y 3 en 9, o 9 dividido entre 3 nos da como resultado 3."}, {"start": 695.02, "end": 698.26, "text": " Tambi\u00e9n decimos que es la tercera de 9, que nos da 3."}, {"start": 698.26, "end": 702.58, "text": " Y para este 3 sirve l\u00f3gicamente el n\u00famero primo 3."}, {"start": 702.58, "end": 705.42, "text": " Entonces 3 en 3 cabe una vez."}, {"start": 705.42, "end": 708.3, "text": " O 3 dividido entre 3 nos da 1."}, {"start": 708.3, "end": 710.74, "text": " Y por aqu\u00ed tambi\u00e9n terminamos."}, {"start": 710.74, "end": 716.26, "text": " Ahora multiplicamos estos n\u00fameros que obtuvimos a la derecha de la l\u00ednea vertical."}, {"start": 716.26, "end": 720.22, "text": " Tenemos 2 por 2 por 3 por 3."}, {"start": 720.22, "end": 722.5, "text": " Solamente son n\u00fameros primos."}, {"start": 722.5, "end": 730.06, "text": " Y esto lo podemos escribir de forma m\u00e1s comprimida como 2 al cuadrado por 3 al cuadrado."}, {"start": 730.06, "end": 732.38, "text": " Vemos que el 2 se repite dos veces."}, {"start": 732.38, "end": 738.1, "text": " Entonces se resume como 2 al cuadrado y 3 tambi\u00e9n se multiplica por s\u00ed mismo dos veces."}, {"start": 738.1, "end": 740.3, "text": " Se resume como 3 al cuadrado."}, {"start": 740.3, "end": 742.7, "text": " Es decir en forma de potencias."}, {"start": 742.7, "end": 744.7, "text": " Resolvemos cada una de ellas."}, {"start": 744.7, "end": 748.1, "text": " 2 al cuadrado ser\u00eda 2 por 2 que nos da 4."}, {"start": 748.1, "end": 752.18, "text": " Y eso multiplicado por 3 por 3 que es 3 al cuadrado."}, {"start": 752.18, "end": 754.02, "text": " 3 por 3 es 9."}, {"start": 754.02, "end": 757.54, "text": " Y al final 4 por 9 nos da 36."}, {"start": 757.54, "end": 763.5799999999999, "text": " Y de esta manera ya tenemos el valor del m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 9 y 12."}, {"start": 763.5799999999999, "end": 764.5799999999999, "text": " 36."}, {"start": 764.5799999999999, "end": 767.8199999999999, "text": " Lo mismo que hab\u00edamos obtenido de la forma anterior."}, {"start": 767.8199999999999, "end": 769.78, "text": " Es decir de la forma larga."}, {"start": 769.78, "end": 772.7399999999999, "text": " Pero como vemos este camino es mucho m\u00e1s corto."}, {"start": 772.7399999999999, "end": 778.9, "text": " Porque lo que hacemos all\u00ed es la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea o al mismo tiempo de los n\u00fameros"}, {"start": 778.9, "end": 780.0999999999999, "text": " examinados."}, {"start": 780.1, "end": 783.86, "text": " Que en este caso son 9 y 12."}, {"start": 783.86, "end": 789.02, "text": " Vamos con el siguiente ejercicio donde vamos a determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo para"}, {"start": 789.02, "end": 791.46, "text": " 6, 16 y 18."}, {"start": 791.46, "end": 797.94, "text": " Comenzamos entonces con la forma larga y vamos a construir el conjunto de m\u00faltiplos del"}, {"start": 797.94, "end": 800.5, "text": " primer n\u00famero que es 6."}, {"start": 800.5, "end": 804.14, "text": " Entonces vamos construyendo la tabla de multiplicar del 6."}, {"start": 804.14, "end": 805.7, "text": " Tenemos 6 por 1 es 6."}, {"start": 805.7, "end": 807.58, "text": " 6 por 2 es 12."}, {"start": 807.58, "end": 809.82, "text": " 6 por 3 es 18."}, {"start": 809.82, "end": 812.4200000000001, "text": " 6 por 4 es 24."}, {"start": 812.4200000000001, "end": 814.7, "text": " 6 por 5 es 30."}, {"start": 814.7, "end": 817.1800000000001, "text": " 6 por 6 es 36."}, {"start": 817.1800000000001, "end": 820.0200000000001, "text": " 6 por 7 es 42."}, {"start": 820.0200000000001, "end": 822.62, "text": " 6 por 8 es 48."}, {"start": 822.62, "end": 825.86, "text": " 6 por 9 es 54."}, {"start": 825.86, "end": 828.1400000000001, "text": " 6 por 10 es 60."}, {"start": 828.1400000000001, "end": 835.1, "text": " Y aqu\u00ed ya podemos colocar los puntos suspensivos que nos indica que este es un conjunto infinito."}, {"start": 835.1, "end": 840.3000000000001, "text": " Comenzamos ahora con el conjunto de m\u00faltiplos del siguiente n\u00famero, es decir del 16, el"}, {"start": 840.3000000000001, "end": 846.26, "text": " conjunto m sub 16 y vamos a construir la tabla de multiplicar de este n\u00famero."}, {"start": 846.26, "end": 848.26, "text": " Tenemos 16 por 1 es 16."}, {"start": 848.26, "end": 850.5, "text": " 16 por 2 es 32."}, {"start": 850.5, "end": 853.38, "text": " 16 por 3 es 48."}, {"start": 853.38, "end": 856.1800000000001, "text": " 16 por 4 es 64."}, {"start": 856.1800000000001, "end": 858.94, "text": " 16 por 5 es 80."}, {"start": 858.94, "end": 861.86, "text": " 16 por 6 es 96."}, {"start": 861.86, "end": 865.74, "text": " 16 por 7 ser\u00e1 112."}, {"start": 865.74, "end": 869.34, "text": " 16 por 8 es 128."}, {"start": 869.34, "end": 872.82, "text": " 16 por 9 es 144."}, {"start": 872.82, "end": 876.34, "text": " 16 por 10 es 160."}, {"start": 876.34, "end": 884.1800000000001, "text": " Y aqu\u00ed ya podemos anotar los puntos suspensivos que nos indica que este es un conjunto infinito."}, {"start": 884.1800000000001, "end": 889.44, "text": " Vamos ahora con el conjunto de m\u00faltiplos del tercer n\u00famero, es decir del 18."}, {"start": 889.44, "end": 892.8800000000001, "text": " Pues tenemos el conjunto m sub 18."}, {"start": 892.8800000000001, "end": 896.94, "text": " Vamos a construir all\u00ed la tabla de multiplicar del n\u00famero 18."}, {"start": 896.94, "end": 898.94, "text": " 18 por 1 es 18."}, {"start": 898.94, "end": 900.94, "text": " 18 por 2 es 36."}, {"start": 900.94, "end": 903.94, "text": " 18 por 3 es 54."}, {"start": 903.94, "end": 906.94, "text": " 18 por 4 es 72."}, {"start": 906.94, "end": 909.94, "text": " 18 por 5 es 90."}, {"start": 909.94, "end": 912.94, "text": " 18 por 6 ser\u00e1 108."}, {"start": 912.94, "end": 916.94, "text": " 18 por 7 ser\u00e1 126."}, {"start": 916.94, "end": 920.94, "text": " 18 por 8 ser\u00e1 144."}, {"start": 920.94, "end": 923.94, "text": " 18 por 9 ser\u00e1 162."}, {"start": 923.94, "end": 926.94, "text": " 18 por 10 es 180."}, {"start": 926.94, "end": 932.94, "text": " Y anotamos los puntos suspensivos que nos indica que es un conjunto infinito."}, {"start": 932.94, "end": 938.44, "text": " Revisamos hasta all\u00ed y vemos que todav\u00eda no hay cantidades que est\u00e9n en los tres conjuntos."}, {"start": 938.44, "end": 943.44, "text": " Vemos por ejemplo el n\u00famero 48 repetido en estos dos conjuntos."}, {"start": 943.44, "end": 947.94, "text": " O por ejemplo el n\u00famero 36 repetido en estos dos."}, {"start": 947.94, "end": 952.94, "text": " Pero recordemos que se necesitan n\u00fameros que est\u00e9n presentes en los tres conjuntos,"}, {"start": 952.94, "end": 955.94, "text": " en los m\u00faltiplos de estos n\u00fameros que estamos examinando."}, {"start": 955.94, "end": 961.94, "text": " Entonces nos concentramos en estos dos conjuntos, los de los m\u00faltiplos de 16 y 18."}, {"start": 961.94, "end": 965.94, "text": " Y all\u00ed vemos que el n\u00famero que se repite es este, 144."}, {"start": 965.94, "end": 970.94, "text": " Adem\u00e1s hay una cosa que debemos tener en cuenta y que nos puede ayudar."}, {"start": 970.94, "end": 975.94, "text": " 6 est\u00e1 incluido en 18, o sea 6 es divisor de 18."}, {"start": 975.94, "end": 977.94, "text": " O 18 es m\u00faltiplo de 6."}, {"start": 977.94, "end": 983.94, "text": " Entonces ac\u00e1 vamos a tener n\u00fameros que tambi\u00e9n son m\u00faltiplos del n\u00famero 6."}, {"start": 983.94, "end": 991.94, "text": " Por lo tanto lo que podemos hacer en este caso es seguir ampliando el conjunto de m\u00faltiplos de 6,"}, {"start": 991.94, "end": 998.94, "text": " a ver si nos encontramos el n\u00famero 144 que es el que se repite en estos dos conjuntos."}, {"start": 998.94, "end": 1000.94, "text": " Entonces vamos a continuar con ello."}, {"start": 1000.94, "end": 1004.94, "text": " Vamos a ampliar aqu\u00ed el conjunto de m\u00faltiplos de 6."}, {"start": 1004.94, "end": 1010.94, "text": " Est\u00e1bamos en 60, 60 m\u00e1s 6 nos da 66, que ser\u00eda lo mismo que 6 por 11."}, {"start": 1010.94, "end": 1015.94, "text": " Luego tenemos 66 m\u00e1s 6 que nos da 72, que ser\u00eda 6 por 12."}, {"start": 1015.94, "end": 1019.94, "text": " 72 m\u00e1s 6 nos da 78, vamos a continuar all\u00e1 abajo."}, {"start": 1019.94, "end": 1042.94, "text": " 78 m\u00e1s 6 nos da 84, 84 m\u00e1s 6 nos da 90, 90 m\u00e1s 6 nos da 96, 96 m\u00e1s 6 nos da 102, 102 m\u00e1s 6 es 108, 108 m\u00e1s 6 es 114, 114 m\u00e1s 6 nos da 120."}, {"start": 1042.94, "end": 1063.94, "text": " Luego tenemos 120 m\u00e1s 6 que ser\u00e1 126, 126 m\u00e1s 6 nos da 132, 132 m\u00e1s 6 ser\u00e1 138, 138 m\u00e1s 6 nos da 144, 144 m\u00e1s 6 dar\u00eda 150."}, {"start": 1063.94, "end": 1066.94, "text": " Y bueno, esto sigue, es un conjunto infinito."}, {"start": 1066.94, "end": 1070.94, "text": " Pero ya nos apareci\u00f3 el n\u00famero del cual sospech\u00e1bamos."}, {"start": 1070.94, "end": 1075.94, "text": " 144, porque como dec\u00edamos 144 es m\u00faltiplo de 18."}, {"start": 1075.94, "end": 1081.94, "text": " Y si 18 es m\u00faltiplo de 6, entonces 144 tambi\u00e9n ser\u00e1 m\u00faltiplo de 6."}, {"start": 1081.94, "end": 1087.94, "text": " Y efectivamente aqu\u00ed lo encontramos, en este conjunto que tuvimos que ampliar."}, {"start": 1087.94, "end": 1092.94, "text": " Adem\u00e1s, hay otra forma de darnos cuenta que 144 s\u00ed es m\u00faltiplo de 6."}, {"start": 1092.94, "end": 1095.94, "text": " O que 144 es divisible por 6."}, {"start": 1095.94, "end": 1102.94, "text": " Recordemos que un n\u00famero que es divisible por 2 y por 3 a la vez, entonces es divisible por 6."}, {"start": 1102.94, "end": 1106.94, "text": " 144 es divisible por 2 porque termina en cifra par."}, {"start": 1106.94, "end": 1113.94, "text": " Y es divisible por 3 porque la suma de sus d\u00edgitos nos da como resultado 9, que es m\u00faltiplo de 3."}, {"start": 1113.94, "end": 1118.94, "text": " Entonces 144 es divisible por 2 y tambi\u00e9n es divisible por 3."}, {"start": 1118.94, "end": 1120.94, "text": " Por lo tanto es divisible por 6."}, {"start": 1120.94, "end": 1128.94, "text": " Y entonces eso nos garantiza que 144 est\u00e1 en el conjunto de m\u00faltiplos del n\u00famero 6."}, {"start": 1128.94, "end": 1132.94, "text": " Ahora repitiendo el procedimiento que hemos visto en los ejercicios anteriores,"}, {"start": 1132.94, "end": 1138.94, "text": " debemos seleccionar los m\u00faltiplos comunes que hay en los tres conjuntos."}, {"start": 1138.94, "end": 1142.94, "text": " Y ya vimos que se trata del n\u00famero 144."}, {"start": 1142.94, "end": 1144.94, "text": " Realmente es el \u00fanico que podemos apreciar."}, {"start": 1144.94, "end": 1150.94, "text": " El siguiente n\u00famero com\u00fan ser\u00eda el 288, que ser\u00eda multiplicar este n\u00famero por 2."}, {"start": 1150.94, "end": 1153.94, "text": " Pero ya vemos que ser\u00eda una lista bastante larga."}, {"start": 1153.94, "end": 1164.94, "text": " En este caso con 144 es suficiente porque adem\u00e1s se trata del menor de esos m\u00faltiplos comunes o repetidos en los tres conjuntos."}, {"start": 1164.94, "end": 1169.94, "text": " Repito, el siguiente n\u00famero com\u00fan, m\u00faltiplo com\u00fan de los tres conjuntos ser\u00eda 288."}, {"start": 1169.94, "end": 1177.94, "text": " Pero siempre nos quedamos con el menor porque como dec\u00edamos buscamos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de esos n\u00fameros."}, {"start": 1177.94, "end": 1179.94, "text": " Entonces lo escribimos por ac\u00e1."}, {"start": 1179.94, "end": 1188.94, "text": " 144 es el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que contiene exactamente al 6, al 16 y al n\u00famero 18."}, {"start": 1188.94, "end": 1195.94, "text": " Ahora vamos a determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de estos tres n\u00fameros, pero utilizando la forma corta."}, {"start": 1195.94, "end": 1202.94, "text": " Es decir, la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea en factores primos de esas tres cantidades."}, {"start": 1202.94, "end": 1206.94, "text": " Recordamos entonces de nuevo el conjunto de n\u00fameros primos."}, {"start": 1206.94, "end": 1213.94, "text": " Aquellos n\u00fameros naturales que solamente tienen dos divisores, ellos mismos y el 1."}, {"start": 1213.94, "end": 1222.94, "text": " Entonces aqu\u00ed vamos anotando los primeros n\u00fameros primos de ese conjunto que es infinito."}, {"start": 1222.94, "end": 1227.94, "text": " Recordemos, nunca termina, por eso le escribimos esos puntos suspensivos."}, {"start": 1227.94, "end": 1231.94, "text": " Entonces comenzamos examinando el n\u00famero primo 2."}, {"start": 1231.94, "end": 1234.94, "text": " Nos preguntamos si 2 le sirve a alguno de estos n\u00fameros."}, {"start": 1234.94, "end": 1239.94, "text": " Efectivamente le sirve a los tres porque son n\u00fameros pares."}, {"start": 1239.94, "end": 1242.94, "text": " Entonces utilizamos el n\u00famero primo 2."}, {"start": 1242.94, "end": 1246.94, "text": " Decimos 2 en 6 cabe tres veces o la mitad de 6 es 3."}, {"start": 1246.94, "end": 1252.94, "text": " 2 en 16 cabe 8 veces o la mitad de 16 es 8."}, {"start": 1252.94, "end": 1258.94, "text": " Y 2 en 18 cabe 9 veces o la mitad de 18 es 9."}, {"start": 1258.94, "end": 1261.94, "text": " Los preguntamos si el 2 sirve de nuevo."}, {"start": 1261.94, "end": 1264.94, "text": " Vemos que s\u00ed porque aqu\u00ed tenemos un n\u00famero par."}, {"start": 1264.94, "end": 1268.94, "text": " No importa que a estos dos n\u00fameros no le sirva el n\u00famero 2 como divisor."}, {"start": 1268.94, "end": 1271.94, "text": " Entonces utilizamos de nuevo el 2."}, {"start": 1271.94, "end": 1276.94, "text": " Decimos mitad de 8 es 4 o 2 en 8 cabe 4 veces."}, {"start": 1276.94, "end": 1283.94, "text": " Esos n\u00fameros que son impares y a los que no les sirve el n\u00famero 2 como divisor se dejan iguales."}, {"start": 1283.94, "end": 1285.94, "text": " Tenemos otra vez n\u00famero par por aqu\u00ed."}, {"start": 1285.94, "end": 1289.94, "text": " Entonces otra vez se utiliza el n\u00famero primo 2."}, {"start": 1289.94, "end": 1294.94, "text": " Entonces decimos mitad de 4 es 2 o el 2 en el 4 cabe dos veces."}, {"start": 1294.94, "end": 1298.94, "text": " 9 se deja igual, 3 se deja igual."}, {"start": 1298.94, "end": 1301.94, "text": " Estos quedan intactos porque no son divisibles por 2."}, {"start": 1301.94, "end": 1303.94, "text": " Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir."}, {"start": 1303.94, "end": 1306.94, "text": " Vemos que s\u00ed porque aqu\u00ed tenemos otra vez un n\u00famero par."}, {"start": 1306.94, "end": 1308.94, "text": " Entonces utilizamos el 2."}, {"start": 1308.94, "end": 1313.94, "text": " Decimos el 2 en el 2 cabe una vez o la mitad de 2 es 1."}, {"start": 1313.94, "end": 1314.94, "text": " Y aqu\u00ed ya terminamos."}, {"start": 1314.94, "end": 1320.94, "text": " 9 y 3 se dejan tal como est\u00e1n porque no son divisibles por 2."}, {"start": 1320.94, "end": 1324.94, "text": " Y all\u00ed ya pasamos a utilizar el siguiente n\u00famero primo que es el 3."}, {"start": 1324.94, "end": 1328.94, "text": " Esos son m\u00faltiplos del 3 entonces sirve ese n\u00famero primo."}, {"start": 1328.94, "end": 1331.94, "text": " Decimos 3 en 3 cabe una vez."}, {"start": 1331.94, "end": 1332.94, "text": " Por aqu\u00ed ya terminamos."}, {"start": 1332.94, "end": 1335.94, "text": " O 3 dividido entre 3 nos da 1."}, {"start": 1335.94, "end": 1337.94, "text": " Y 3 en 9 cabe tres veces."}, {"start": 1337.94, "end": 1340.94, "text": " O tambi\u00e9n 9 dividido entre 3 nos da 3."}, {"start": 1340.94, "end": 1344.94, "text": " Para 3 utilizamos otra vez el n\u00famero primo 3."}, {"start": 1344.94, "end": 1345.94, "text": " No le sirve otro."}, {"start": 1345.94, "end": 1348.94, "text": " Entonces 3 en 3 cabe una vez."}, {"start": 1348.94, "end": 1350.94, "text": " O 3 dividido entre 3 nos da 1."}, {"start": 1350.94, "end": 1353.94, "text": " Y por aqu\u00ed tambi\u00e9n terminamos."}, {"start": 1353.94, "end": 1359.94, "text": " Entonces recordemos que se multiplican estos n\u00fameros obtenidos a la derecha de la l\u00ednea vertical."}, {"start": 1359.94, "end": 1363.94, "text": " Tenemos 2 por 2 por 2 por 2."}, {"start": 1363.94, "end": 1366.94, "text": " Esto por 3 y por 3."}, {"start": 1366.94, "end": 1369.94, "text": " El 2 se multiplica por s\u00ed mismo 4 veces."}, {"start": 1369.94, "end": 1372.94, "text": " Y el 3 se multiplica por s\u00ed mismo 2 veces."}, {"start": 1372.94, "end": 1377.94, "text": " Entonces esto se puede escribir en forma resumida utilizando la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 1377.94, "end": 1381.94, "text": " Nos queda 2 a la 4 por 3 a la 2."}, {"start": 1381.94, "end": 1383.94, "text": " O tambi\u00e9n 3 al cuadrado."}, {"start": 1383.94, "end": 1388.94, "text": " Este 4 nos indica que la base 2 se multiplica por s\u00ed misma 4 veces."}, {"start": 1388.94, "end": 1394.94, "text": " Y este exponente 2 nos indica que la base 3 se multiplica por s\u00ed misma 2 veces."}, {"start": 1394.94, "end": 1397.94, "text": " Resolvemos cada una de esas dos potencias."}, {"start": 1397.94, "end": 1400.94, "text": " 2 a la 4 ser\u00eda 2 por 2 que es 4."}, {"start": 1400.94, "end": 1401.94, "text": " 4 por 2 es 8."}, {"start": 1401.94, "end": 1403.94, "text": " Y 8 por 2 es 16."}, {"start": 1403.94, "end": 1409.94, "text": " Y esto multiplicado por 3 a la 2 o 3 al cuadrado que ser\u00eda 3 por 3."}, {"start": 1409.94, "end": 1410.94, "text": " Y eso nos da 9."}, {"start": 1410.94, "end": 1412.94, "text": " Multiplicamos 16 por 9."}, {"start": 1412.94, "end": 1414.94, "text": " 9 por 6 es 54."}, {"start": 1414.94, "end": 1417.94, "text": " Escribimos el 4 y llevamos 5."}, {"start": 1417.94, "end": 1419.94, "text": " 9 por 1 es 9."}, {"start": 1419.94, "end": 1421.94, "text": " Y 5 que llevamos nos da 14."}, {"start": 1421.94, "end": 1424.94, "text": " Entonces nos da 144."}, {"start": 1424.94, "end": 1429.94, "text": " El mismo n\u00famero que hab\u00edamos obtenido anteriormente utilizando la forma larga."}, {"start": 1429.94, "end": 1432.94, "text": " Bueno, por cierto, mucho m\u00e1s larga que esta."}, {"start": 1432.94, "end": 1436.94, "text": " Por eso esta forma, la forma corta es mucho m\u00e1s conveniente."}, {"start": 1436.94, "end": 1441.94, "text": " Pero atenci\u00f3n, se debe utilizar cuando ya se conoce este procedimiento."}, {"start": 1441.94, "end": 1446.94, "text": " El de la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea de n\u00fameros utilizando factores primos."}, {"start": 1446.94, "end": 1448.94, "text": " As\u00ed terminamos este ejercicio."}, {"start": 1448.94, "end": 1452.94, "text": " 144 es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de estos tres n\u00fameros."}, {"start": 1452.94, "end": 1480.94, "text": " Es el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que contiene exactamente a 6, a 16 y al n\u00famero 18."}, {"start": 1482.94, "end": 1488.94, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]