DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO - Casos 1 y 3
#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad con valor absoluto. Al final, propone un ejercicio similar.

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 Vamos a determinar el conjunto solución para esta desigualdad con valor absoluto. Analizando esta situación vemos que encaja con el siguiente modelo, valor absoluto de A menor que B, que es el primero de los cuatro casos para desigualdades con valor absoluto. La solución para este caso dice menos B menor que A menor que B. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a comenzar con el desarrollo de este ejercicio. Vemos que B es 1 por lo tanto aquí menos B será menos 1, después tenemos menor que A, que es A lo que tenemos dentro de las barras, aquí están las barras por lo tanto todo esto es A, es decir valor absoluto de X menos 1 y todo esto menos 1 y después tenemos eso menor que B, pero B recordemos que es 1. Ahora aquí en el centro vamos a dejar este valor absoluto completamente solo, para ello tenemos que deshacernos de este menos 1 y eso lo logramos sumando 1 a cada uno de los tres miembros de esa desigualdad. Entonces tenemos menos 1 más 1, allí sumamos 1 al miembro izquierdo, esto menor que valor absoluto de X menos 1, menos 1, aquí sumamos 1 en el miembro central y esto menor que 1 más 1, allí sumamos 1 en el miembro derecho. Resolvemos lo que hay en cada uno de esos tres miembros, por acá menos 1 más 1 esto nos va a dar 0, tenemos allí la interacción de dos números opuestos, nos da 0 en el miembro izquierdo, acá en el miembro central hacemos la suma de estas dos cantidades y también nos da 0, logramos el objetivo de dejar allí el valor absoluto de X menos 1 completamente solo y en el miembro derecho esta suma nos da 2. Llegamos así a una situación donde se presentan dos desigualdades, por aquí tenemos la primera y por acá se observa la segunda, entonces la primera dice 0 menor que valor absoluto de X menos 1, pues eso lo podemos escribir de aquí hacia acá, es decir leyéndola en sentido contrario, sería entonces valor absoluto de X menos 1 y esto mayor que 0, repetimos es leerla en sentido contrario, allí tenemos entonces la primera desigualdad, ahora la segunda vamos a anotarla por acá, tenemos entonces valor absoluto de X menos 1 y todo esto menor que 2, lo que vamos a hacer a continuación es resolver cada una de estas dos desigualdades con valor absoluto para encontrar sus respectivos conjuntos solución, tendremos la solución de la desigualdad 1 y la solución de la desigualdad 2, al final lo que debemos hacer es intersectar esas dos soluciones para de esa manera determinar el conjunto solución del ejercicio original, vamos entonces con la primera desigualdad que corresponde al caso valor absoluto de A mayor que B, es decir el tercero de las situaciones que se presentan para desigualdades con valor absoluto, la solución para este caso dice que A es menor que menos B y esto va unido con los valores de A mayores que B, entonces siguiendo esa instrucción vamos a ir reemplazando los componentes, tenemos que A es lo que se encuentra dentro de las barras, es decir X menos 1, aquí lo reemplazamos esto menor que menos B, pero en este caso B es 0, si escribimos menos 0 será lo mismo que 0, realmente sigue siendo la misma cantidad y esto nos va a quedar unido con A que es X menos 1 y eso mayor que B, pero B en este caso es 0, resolvemos ahora cada una de estas dos situaciones que corresponden a desigualdades lineales, por acá para aislar X pasamos 1 que está restando al otro lado a sumar con 0 y nos queda X menor que 1, sería lo mismo que si sumamos 1 a ambos lados de esta desigualdad, lo mismo hacemos por acá para aislar X pasamos 1 que está restando al otro lado a sumar, tenemos entonces que X será mayor que 1, de nuevo sería lo mismo que si sumamos 1 a ambos lados de esa desigualdad, lo que tenemos que hacer ahora es la unión de estos dos conjuntos, para ello podemos acudir a este dibujo, una recta que representa los valores reales de X desde menos infinito hasta más infinito, en esa recta localizamos el 1, supongamos que se encuentra aquí en ese lugar y entonces el primer conjunto dice que son los valores de X menores que 1, es decir sin incluir el 1 lo dibujamos así con bolita abierta y todos los valores que se encuentran a la izquierda de ese valor, es decir los menores que 1, este conjunto lo hemos rayado de esta manera, ahora vamos con el otro conjunto que son los X mayores que 1, de nuevo no se incluye el 1 y serán los valores que se encuentran a la derecha de este valor, los mayores que 1, podemos utilizar un rayado en el otro sentido, entonces aquí tenemos los mayores que 1 que hemos representado de esta manera, al final como lo que nos piden es la unión de esos dos conjuntos, entonces será todo lo que nos quedó rayado en ese dibujo, es decir todos los reales excluyendo el valor 1, de esa manera ya tenemos la solución de la desigualdad 1, se puede expresar así en forma de intervalo desde menos infinito hasta 1 abierto, es decir sin incluir el 1 y esto unión con el intervalo que va desde 1 abierto hasta más infinito, estos serán los valores de X que satisfacen esa desigualdad, ahora vamos con la segunda desigualdad, vamos a escribirla por acá dice valor absoluto de X menos 1 y eso menor que 2 y esta corresponde al caso que citamos al inicio, es decir valor absoluto de A menor que B, es decir la primera situación de las 4 correspondientes a las desigualdades con valor absoluto, recordemos que la solución para este caso dice menos B menor que A menor que B, entonces vamos a reemplazar los componentes, B está representada por 2 por lo tanto menos B será menos 2, luego tenemos esto menor que A pero A es lo que se encuentra dentro de las barras, es decir X menos 1 y esto será menor que B pero B en este caso es 2, enseguida vamos a dejar aquí en el centro la variable X completamente sola, debemos deshacernos de menos 1, para ello sumamos 1 a los tres miembros de esa desigualdad, tenemos entonces menos 2 más 1 allí sumamos 1 en el miembro izquierdo, luego eso menor que X menos 1 más 1, allí sumamos 1 en el miembro central y esto menor que 2 más 1, allí sumamos 1 en el miembro derecho, resolvemos ahora lo que hay en cada uno de los miembros, por acá menos 2 más 1 nos da menos 1, eso será menor que X menos 1 más 1, aquí se cancelan estos dos números que son opuestos, esa suma nos da 0 y nos queda simplemente la X, como decíamos el objetivo es dejar la variable X completamente sola en el centro y esto será menor que 2 más 1 que es igual a 3, de nuevo este conjunto se puede representar en una recta donde están los valores reales para X desde menos infinito hasta más infinito, localizamos entonces los valores menos 1 y 3 y vamos a representar gráficamente ese conjunto, dice que son los valores reales de X comprendidos entre menos 1 y 3 pero sin incluir los dos extremos, entonces se representa de esta manera con bolita abierta en esos dos números y representamos o rayamos esa zona comprendida entre esos dos valores, entonces ya podemos establecer cuál es la solución de la desigualdad 2, presentada en forma de intervalo, son entonces los valores que van desde menos 1 abierto hasta 3 también abierto, son los valores de X que satisfacen esta desigualdad, ahora para determinar la solución total de la desigualdad que nos han presentado al inicio, es decir el conjunto solución de esta situación, debemos hacer la intersección de la solución 1 y la solución 2, hacemos entonces la intersección de estos dos conjuntos, para ello acudimos de nuevo a una recta que represente los valores reales de la variable X desde menos infinito hasta más infinito y allí vamos a localizar entonces estos dos conjuntos, vamos a representarlos, para el primero tenemos el valor 1, vamos a suponer que 1 se encuentra aquí en este lugar y entonces vamos a utilizar este tipo de rayado para representar la solución 1, dice acá que son los valores que van desde menos infinito hasta 1 abierto, unidos con el intervalo que va desde 1 abierto hasta más infinito, entonces el 1 no se toma, recordemos que se representa así con la bolita sin llenar y entonces utilizando ese tipo de rayado representamos lo que corresponde a la solución 1, aquí tenemos entonces ya ese conjunto representado en esa recta, ahora vamos con el conjunto S2 que lo vamos a representar de esta manera rayando en el otro sentido, para ese conjunto debemos marcar los valores menos 1 y 3, supongamos que menos 1 está por acá y 3 está localizado por aquí, entonces dice que son los valores de X comprendidos entre menos 1 y 3 sin incluir los extremos, es decir con bolita abierta en menos 1 y también en 3 y vamos a rayar la zona comprendida entre esos dos valores utilizando este tipo de rayado, entonces allí lo tenemos, está representado el conjunto S2 en esta recta, como lo que buscamos finalmente es la intersección de estos dos conjuntos, entonces acá en el dibujo nos fijamos en las zonas donde se cruzan los dos tipos de rayado, así vamos a determinar la solución total para el ejercicio, serán entonces los valores reales de X que pertenecen a los siguientes intervalos, aquí vemos una primera zona donde se cruzan los dos tipos de rayado que está comprendida entre menos 1 y 1, entonces allí tenemos un primer intervalo que será abierto, no se incluyen los extremos y eso va unido con el intervalo que va entre 1 y 3, también abierto en sus dos extremos, entonces se utiliza paréntesis, el valor 1 recordemos va abierto con bolita sin llenar, de esta manera tenemos ya el conjunto solución para el ejercicio planteado originalmente, esa desigualdad con valor absoluto, antes de irme les propongo este ejercicio similar al que acabamos de resolver, pueden dejarme el conjunto solución acá en los comentarios, nos vemos en la próxima.
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489.71999999999997, "text": " miembro central y esto menor que 2 m\u00e1s 1, all\u00ed sumamos 1 en el miembro derecho, resolvemos ahora"}, {"start": 489.71999999999997, "end": 497.0, "text": " lo que hay en cada uno de los miembros, por ac\u00e1 menos 2 m\u00e1s 1 nos da menos 1, eso ser\u00e1 menor que"}, {"start": 497.0, "end": 504.44, "text": " X menos 1 m\u00e1s 1, aqu\u00ed se cancelan estos dos n\u00fameros que son opuestos, esa suma nos da 0 y"}, {"start": 504.44, "end": 510.92, "text": " nos queda simplemente la X, como dec\u00edamos el objetivo es dejar la variable X completamente"}, {"start": 510.92, "end": 519.38, "text": " sola en el centro y esto ser\u00e1 menor que 2 m\u00e1s 1 que es igual a 3, de nuevo este conjunto se puede"}, {"start": 519.38, "end": 526.4, "text": " representar en una recta donde est\u00e1n los valores reales para X desde menos infinito hasta m\u00e1s"}, {"start": 526.4, "end": 535.88, "text": " infinito, localizamos entonces los valores menos 1 y 3 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inicio, es decir el conjunto soluci\u00f3n de esta situaci\u00f3n, debemos hacer la intersecci\u00f3n de la"}, {"start": 587.04, "end": 595.28, "text": " soluci\u00f3n 1 y la soluci\u00f3n 2, hacemos entonces la intersecci\u00f3n de estos dos conjuntos, para ello"}, {"start": 595.28, "end": 602.4399999999999, "text": " acudimos de nuevo a una recta que represente los valores reales de la variable X desde menos"}, {"start": 602.4399999999999, "end": 608.92, "text": " infinito hasta m\u00e1s infinito y all\u00ed vamos a localizar entonces estos dos conjuntos, vamos a"}, {"start": 608.92, "end": 615.56, "text": " representarlos, para el primero tenemos el valor 1, vamos a suponer que 1 se encuentra aqu\u00ed en este"}, {"start": 615.56, "end": 623.64, "text": " lugar y entonces vamos a utilizar este tipo de rayado para representar la soluci\u00f3n 1, dice ac\u00e1"}, {"start": 623.64, "end": 629.64, "text": " que son los valores que van desde menos infinito hasta 1 abierto, unidos con el intervalo que va"}, {"start": 629.64, "end": 636.72, "text": " desde 1 abierto hasta m\u00e1s infinito, entonces el 1 no se toma, recordemos que se representa as\u00ed con"}, {"start": 636.72, "end": 643.88, "text": " la bolita sin llenar y entonces utilizando ese tipo de rayado representamos lo que corresponde"}, {"start": 643.88, "end": 652.4, "text": " a la soluci\u00f3n 1, aqu\u00ed tenemos entonces ya ese conjunto representado en esa recta, ahora vamos"}, {"start": 652.4, "end": 659.72, "text": " con el conjunto S2 que lo vamos a representar de esta manera rayando en el otro sentido,"}, {"start": 659.72, "end": 669.12, "text": " para ese conjunto debemos marcar los valores menos 1 y 3, supongamos que menos 1 est\u00e1 por ac\u00e1 y 3"}, {"start": 669.12, "end": 676.6, "text": " est\u00e1 localizado por aqu\u00ed, entonces dice que son los valores de X comprendidos entre menos 1 y 3"}, {"start": 676.6, "end": 684.4, "text": " sin incluir los extremos, es decir con bolita abierta en menos 1 y tambi\u00e9n en 3 y vamos a"}, {"start": 684.4, "end": 691.6800000000001, "text": " rayar la zona comprendida entre esos dos valores utilizando este tipo de rayado, entonces all\u00ed lo"}, {"start": 691.6800000000001, "end": 699.22, "text": " tenemos, est\u00e1 representado el conjunto S2 en esta recta, como lo que buscamos finalmente es la"}, {"start": 699.22, "end": 705.96, "text": " intersecci\u00f3n de estos dos conjuntos, entonces ac\u00e1 en el dibujo nos fijamos en las zonas donde se"}, {"start": 705.96, "end": 712.6, "text": " cruzan los dos tipos de rayado, as\u00ed vamos a determinar la soluci\u00f3n total para el ejercicio,"}, {"start": 712.6, "end": 719.8000000000001, "text": " ser\u00e1n entonces los valores reales de X que pertenecen a los siguientes intervalos,"}, {"start": 719.8000000000001, "end": 725.76, "text": " aqu\u00ed vemos una primera zona donde se cruzan los dos tipos de rayado que est\u00e1 comprendida entre"}, {"start": 725.76, "end": 732.76, "text": " menos 1 y 1, entonces all\u00ed tenemos un primer intervalo que ser\u00e1 abierto, no se incluyen los"}, {"start": 732.76, "end": 741.84, "text": " extremos y eso va unido con el intervalo que va entre 1 y 3, tambi\u00e9n abierto en sus dos extremos,"}, {"start": 741.84, "end": 748.64, "text": " entonces se utiliza par\u00e9ntesis, el valor 1 recordemos va abierto con bolita sin llenar,"}, {"start": 748.64, "end": 755.84, "text": " de esta manera tenemos ya el conjunto soluci\u00f3n para el ejercicio planteado originalmente,"}, {"start": 755.84, "end": 764.12, "text": " esa desigualdad con valor absoluto, antes de irme les propongo este ejercicio similar al que"}, {"start": 764.12, "end": 770.8000000000001, "text": " acabamos de resolver, pueden dejarme el conjunto soluci\u00f3n ac\u00e1 en los comentarios, nos vemos en la"}, {"start": 770.8, "end": 796.3599999999999, "text": " pr\u00f3xima."}]