ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica.

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 Para resolver esta ecuación que contiene logaritmos, vamos a empezar por agruparlos al lado izquierdo, es decir, vamos a pasar este logaritmo que está restando a sumar al otro lado. Entonces nos queda logaritmo en base 4 de x menos 3 más logaritmo en base 4 de x y esto igual a 1. Aquí, cuando tenemos una suma de logaritmos, vamos a aplicar esta propiedad, cuando tenemos por ejemplo logaritmo en base A de M más logaritmo en base A de N, esto es igual al logaritmo en base A de M por N. Es decir, se convierte en logaritmo de un producto o de una multiplicación. Entonces, autorizados por esta propiedad nos quedaría así. Logaritmo en base 4 de x menos 3 por x igual a 1. Podemos hacer propiedad distributiva con esta x, entonces nos queda logaritmo en base 4 de x al cuadrado, x por x, x al cuadrado, y x por 3 queda menos 3x y esto igual a 1. Ya en esta etapa lo que nos queda es llevar esto de la forma logarítmica a la forma exponencial. Veamos cómo nos queda entonces. Nos quedaría 4 elevado a la 1 igual a esta expresión de aquí, x al cuadrado menos 3x. Tenemos entonces una ecuación que tiene forma de ecuación cuadrática, 4 elevado a la 1 será 4 y para que quede configurada como una ecuación cuadrática debemos dejar el 0 en uno de los dos lados. Vamos a dejar el 0 aquí, entonces pasamos este 4 para acá, nos quedaría 0 igual a x al cuadrado menos 3x menos 4. Allí tenemos entonces la ecuación cuadrática que es de la forma a x al cuadrado más bx más c igual a 0. Podemos resolverla por factorización ya que este trinomio tiene cara de ser factorizable, entonces veamos, abrimos dos paréntesis, repartimos la x, los signos, más por menos da menos, menos por menos da más, dos números que multiplicados de menos 4 y que sumados entre signos de menos 3 van a ser menos 4 y 1, entonces efectivamente si se dejó factorizado. A continuación aplicamos el teorema del factor nulo, si esto por eso está igualado a 0, cada una de las dos expresiones debe igualarse a 0, entonces x menos 4 es igual a 0 o x más 1 es igual a 0. Despejando x por acá nos da x igual a 4 y por acá x nos da menos 1, pero mucho cuidado que no hemos terminado nuestro ejercicio, ¿por qué razón? La ecuación original decía logaritmo en base 4 de x menos 3 igual a 1 menos logaritmo en base 4 de x, no podemos olvidar que la ecuación original contiene logaritmos y los logaritmos no admiten cantidades negativas. Entonces veamos con 4, si aquí entra 4, 4 menos 3 da 1 positivo no tiene problema y aquí si el 4 entra donde está la x, tampoco tiene problema por lo tanto este resultado se acepta. Veamos el menos 1, menos 1 menos 3, aquí hay problemas porque menos 1 menos 3 nos da menos 4, aquí también habría problemas por lo tanto este valor lo tenemos que descartar, no nos sirve. Entonces la solución a nuestra ecuación va a ser únicamente x igual a 4.
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