LOGARITMOS EN LOS NATURALES - Ejercicios 1, 2, 3 y 4
#julioprofe explica cómo encontrar logaritmos de números naturales. Explicación dedicada especialmente a los niños que ven por primera vez el tema de logaritmos.

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 Vamos a encontrar el valor de cada uno de estos logaritmos en el conjunto de los números naturales. Para comenzar vamos a recordar qué es un logaritmo, cuál es el concepto de esa operación matemática. Si tenemos una potencia, es decir, una operación donde tenemos una base elevada a un exponente y esto es igual a un resultado C, entonces de aquí se desprende la operación llamada logaritmación. Tendremos logaritmo en la base A de C es igual a B. Entonces mediante el logaritmo encontramos como resultado el exponente de la potenciación. Tenemos que A elevada al exponente B nos tiene que dar esta cantidad C. Ese es el concepto de logaritmo, una de las operaciones que se desprende de la potenciación. Tenemos entonces que en estos casos debemos encontrar un número de tal forma que este pequeñito, este número que está aquí elevado al que vamos a encontrar nos de como resultado este que tenemos acá. En los logaritmos esta cantidad se llama la base, como en este caso el 2, el número que está aquí al lado derecho, el logaritmo, se llama argumento y como decíamos lo que se obtiene es el exponente, o sea la cantidad a la cual tiene que elevarse este número pequeño, que es la base, para que nos de como resultado este número más grande que se llama el argumento. Comenzamos con el primer ejercicio. Entonces nos preguntamos 2 elevado a que número nos da como resultado 4096. Una primera forma de hacer este ejercicio consiste en explorar las potencias del número 2. Comenzamos con 2 elevado al exponente 0, esto nos da como resultado 1. Cualquier número que tenga exponente 0 nos da como resultado 1, es una de las propiedades básicas de la potenciación. El único número que no cumple esta propiedad es la base 0, 0 elevado al exponente 0 no es 1, pero de resto cualquier otro número que tenga exponente 0 nos da como resultado 1. Seguimos con 2 elevado al exponente 1 que nos da 2, tenemos 2 elevado al cuadrado, o sea 2 por 2 que nos da 4, después tenemos 2 elevado al exponente 3, 2 por 2 por 2 nos da 8, tenemos 2 elevado al exponente 4, eso sería 2 por 2 por 2 por 2, o también la anterior que es 8 multiplicado por 2 que nos da 16, tenemos 2 elevado a la 5 que sería 16 por 2, o sea 32. Seguimos con 2 a la 6 que sería 32 por 2, o sea 64, continuamos con 2 a la 7 que sería 64 por 2, o sea 128, seguimos con 2 a la 8 que sería 128 por 2, o sea 256, seguimos con 2 a la 9 que sería 256 por 2, eso nos da 512, seguimos con 2 a la 10 que sería 512 por 2, o sea 1024, seguimos con 2 a la 11 que sería 1024 por 2, eso nos da 2048, seguimos con 2 a la 12 que sería 2048 por 2, o sea 4096, y allí encontramos el número buscado, es aquí donde nos detenemos, y encontramos que el número que se busca aquí es el 12, porque como podemos observar 2 elevado al exponente 12 nos da 4096, tenemos la base, el exponente y aquí el resultado de la potencia, o sea el argumento del logaritmo. Otra manera de encontrar el valor de este logaritmo es descomponiendo en factores primos el argumento, o sea 4096, para ello trazamos una línea vertical a la derecha del número y vamos a comenzar con la descomposición en factores primos, ensayando el primer número primo que tenemos que es el 2, nos preguntamos si 2 es divisor de 4096, como este número termina en cifra par, entonces si es divisible entre 2, decimos mitad de 4096 nos da como resultado 2048, nuevamente sacamos la mitad de 2048 que nos da 1024, mitad de 1024 nos da 512, otra vez extraemos mitad de 512 que nos da 256, mitad de 256 es 128, mitad de 128 nos da 64, mitad de 64 nos da 32, mitad de 32 nos da 16, mitad de 16 es 8, mitad de 8 es 4, mitad de 4 es 2, vamos a extender esta línea, tenemos que la mitad de 2 es 1 y de esta manera terminamos, hemos realizado la descomposición en factores primos del número 4096, vamos entonces a establecer cuantas veces se repite el número 2, hacemos el conteo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, 12 veces el número 2 multiplicando por sí mismo, o sea que es la potencia 2 elevada al exponente 12, 2 a la 12 nos da 4096, entonces se obtiene aquí el resultado de ese primer logaritmo, como vemos esta es la otra alternativa que es descomponiendo en factores primos el argumento. Vamos con el segundo ejercicio y vamos a tomar el camino de la descomposición en factores primos del argumento, entonces tenemos 2187, vamos a realizar la descomposición de este número utilizando factores primos, comenzamos examinando el 2 pero observamos que este número termina en cifra impar, por lo tanto no es divisible entre 2, seguimos con el número 3, el siguiente número primo, para saber si este número es divisible por 3, entonces lo que hacemos es sumar sus dígitos, tenemos 2 más 1 más 8 más 7, eso da como resultado 18, 18 es múltiplo de 3, por lo tanto tenemos garantizado que este número es divisible entre 3, decimos tercera de 2187 nos da como resultado 729, nuevamente hacemos la revisión de este número, sumamos sus dígitos, nos da como resultado 18, entonces tiene efectivamente tercera, tercera de 729 nos da 243, hacemos la suma de los dígitos, eso nos da como resultado 9, entonces garantizado tiene tercera, tercera de 243 nos da 81, hacemos la suma de dígitos, 8 más 1 nos da 9, entonces tiene tercera, tercera de 81 es 27, 27 sabemos que está en la tabla del número 3, tercera de 27 nos da 9, 9 tiene tercera, tercera de 9 nos da 3 y 3 tiene tercera y nos da como resultado 1, entonces contamos cuantas veces se repite el número 3, tenemos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, entonces por aquí tenemos que 3 elevado al exponente 7 nos da como resultado 2187, por lo tanto el resultado de este logaritmo es el número 7. Para el siguiente ejercicio vamos a realizar la descomposición de 1024, entonces de nuevo vamos a utilizar números primos únicamente y comenzamos examinando el 2, resulta que 1024 es un número que termina en cifra par, por lo tanto garantizado tiene mitad, mitad de 1024 nos da 512, mitad de 512 nos da 256, mitad de 256 es 128, mitad de 128 nos da 64, mitad de 64 es 32, mitad de 32 es 16, mitad de 16 es 8, mitad de 8 es 4, mitad de 4 es 2 y mitad de 2 es 1, pero tenemos que averiguar 4 elevado a que número nos da como resultado 1024, entonces de este listado de números 2 que tenemos allí vamos a formar parejitas para tener listado ahora de números 4, tenemos 2x2 es 4, 2x2 es 4, por aquí 4, 4 y también 4, entonces observamos que el 4 se repite 5 veces, por lo tanto decimos que 1024 es 4 elevado al exponente 5, entonces ya tenemos aquí el resultado de este logaritmo, sería igual a 5 porque 4 elevado al exponente 5 da como resultado 1024, vamos con el último ejercicio y hacemos la descomposición en factores primos del argumento, o sea de 1296, comenzamos por examinar el 2, tenemos que 1296 termina en cifra par, por lo tanto tiene mitad, mitad de este número es 648, podemos sacar mitad nos da 324, otra vez mitad daría 1, por aquí daría 6 y aquí daría 2, o sea 162, podemos sacar mitad que nos da 81 y aquí el 2 ya no sirve porque 81 termina en cifra impar, pasamos a extraer tercera, tercera de 81 nos da 27, tercera de 27 nos da 9, tercera de 9 nos da 3 y tercera de 3 nos da 1, tenemos que buscar entonces 6 elevado a que número nos da como resultado 1296, entonces podemos hacer lo siguiente, formamos grupitos entre estos números de tal forma que obtengamos siempre el 6, por aquí tenemos 1, 2 por 3 da 6, acá tenemos otro, 2 por 3 da 6, otro y aquí tenemos otro, tendríamos entonces el 6 repetido 4 veces, o sea 6 elevado al exponente 4 da como resultado 1296, recordemos que también se puede hacer explorando las potencias del 6, 6 elevado al exponente 0 nos da 1, 6 elevado al exponente 1 nos da 6, 6 elevado a 2 nos da 36, 6 elevado a 3 nos da 216 y 6 elevado a 4 nos da como resultado 1296, por lo tanto ese es el que buscamos, el resultado de este último logaritmo será 4, 6 elevado a 4 nos da 1296 y con esto terminamos esta explicación.
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"text": " seguimos con 2 a la 10 que ser\u00eda 512 por 2, o sea 1024, seguimos con 2 a la 11 que ser\u00eda 1024 por 2, eso nos da 2048,"}, {"start": 261.5, "end": 278.0, "text": " seguimos con 2 a la 12 que ser\u00eda 2048 por 2, o sea 4096, y all\u00ed encontramos el n\u00famero buscado, es aqu\u00ed donde nos detenemos,"}, {"start": 278.0, "end": 292.0, "text": " y encontramos que el n\u00famero que se busca aqu\u00ed es el 12, porque como podemos observar 2 elevado al exponente 12 nos da 4096,"}, {"start": 292.0, "end": 301.5, "text": " tenemos la base, el exponente y aqu\u00ed el resultado de la potencia, o sea el argumento del logaritmo."}, {"start": 301.5, "end": 315.0, "text": " Otra manera de encontrar el valor de este logaritmo es descomponiendo en factores primos el argumento, o sea 4096,"}, {"start": 315.0, "end": 328.5, "text": " para ello trazamos una l\u00ednea vertical a la derecha del n\u00famero y vamos a comenzar con la descomposici\u00f3n en factores primos,"}, {"start": 328.5, "end": 341.5, "text": " ensayando el primer n\u00famero primo que tenemos que es el 2, nos preguntamos si 2 es divisor de 4096, como este n\u00famero termina en cifra par,"}, {"start": 341.5, "end": 360.5, "text": " entonces si es divisible entre 2, decimos mitad de 4096 nos da como resultado 2048, nuevamente sacamos la mitad de 2048 que nos da 1024,"}, {"start": 360.5, "end": 383.5, "text": " mitad de 1024 nos da 512, otra vez extraemos mitad de 512 que nos da 256, mitad de 256 es 128, mitad de 128 nos da 64,"}, {"start": 383.5, "end": 404.5, "text": " mitad de 64 nos da 32, mitad de 32 nos da 16, mitad de 16 es 8, mitad de 8 es 4, mitad de 4 es 2, vamos a extender esta l\u00ednea,"}, {"start": 404.5, "end": 420.5, "text": " tenemos que la mitad de 2 es 1 y de esta manera terminamos, hemos realizado la descomposici\u00f3n en factores primos del n\u00famero 4096,"}, {"start": 420.5, "end": 438.5, "text": " vamos entonces a establecer cuantas veces se repite el n\u00famero 2, hacemos el conteo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, 12 veces el n\u00famero 2 multiplicando por s\u00ed mismo,"}, {"start": 438.5, "end": 452.5, "text": " o sea que es la potencia 2 elevada al exponente 12, 2 a la 12 nos da 4096, entonces se obtiene aqu\u00ed el resultado de ese primer logaritmo,"}, {"start": 452.5, "end": 461.5, "text": " como vemos esta es la otra alternativa que es descomponiendo en factores primos el argumento."}, {"start": 461.5, "end": 476.5, "text": " Vamos con el segundo ejercicio y vamos a tomar el camino de la descomposici\u00f3n en factores primos del argumento, entonces tenemos 2187,"}, {"start": 476.5, "end": 490.5, "text": " vamos a realizar la descomposici\u00f3n de este n\u00famero utilizando factores primos, comenzamos examinando el 2 pero observamos que este n\u00famero termina en cifra impar,"}, {"start": 490.5, "end": 501.5, "text": " por lo tanto no es divisible entre 2, seguimos con el n\u00famero 3, el siguiente n\u00famero primo, para saber si este n\u00famero es divisible por 3,"}, {"start": 501.5, "end": 520.5, "text": " entonces lo que hacemos es sumar sus d\u00edgitos, tenemos 2 m\u00e1s 1 m\u00e1s 8 m\u00e1s 7, eso da como resultado 18, 18 es m\u00faltiplo de 3, por lo tanto tenemos garantizado que este n\u00famero es divisible entre 3,"}, {"start": 520.5, "end": 538.5, "text": " decimos tercera de 2187 nos da como resultado 729, nuevamente hacemos la revisi\u00f3n de este n\u00famero, sumamos sus d\u00edgitos, nos da como resultado 18, entonces tiene efectivamente tercera,"}, {"start": 538.5, "end": 557.5, "text": " tercera de 729 nos da 243, hacemos la suma de los d\u00edgitos, eso nos da como resultado 9, entonces garantizado tiene tercera, tercera de 243 nos da 81,"}, {"start": 557.5, "end": 572.5, "text": " hacemos la suma de d\u00edgitos, 8 m\u00e1s 1 nos da 9, entonces tiene tercera, tercera de 81 es 27, 27 sabemos que est\u00e1 en la tabla del n\u00famero 3,"}, {"start": 572.5, "end": 591.5, "text": " tercera de 27 nos da 9, 9 tiene tercera, tercera de 9 nos da 3 y 3 tiene tercera y nos da como resultado 1, entonces contamos cuantas veces se repite el n\u00famero 3, tenemos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7,"}, {"start": 591.5, "end": 608.5, "text": " entonces por aqu\u00ed tenemos que 3 elevado al exponente 7 nos da como resultado 2187, por lo tanto el resultado de este logaritmo es el n\u00famero 7."}, {"start": 608.5, "end": 628.5, "text": " Para el siguiente ejercicio vamos a realizar la descomposici\u00f3n de 1024, entonces de nuevo vamos a utilizar n\u00fameros primos \u00fanicamente y comenzamos examinando el 2,"}, {"start": 628.5, "end": 641.5, "text": " resulta que 1024 es un n\u00famero que termina en cifra par, por lo tanto garantizado tiene mitad, mitad de 1024 nos da 512,"}, {"start": 641.5, "end": 665.5, "text": " mitad de 512 nos da 256, mitad de 256 es 128, mitad de 128 nos da 64, mitad de 64 es 32, mitad de 32 es 16,"}, {"start": 665.5, "end": 688.5, "text": " mitad de 16 es 8, mitad de 8 es 4, mitad de 4 es 2 y mitad de 2 es 1, pero tenemos que averiguar 4 elevado a que n\u00famero nos da como resultado 1024,"}, {"start": 688.5, "end": 703.5, "text": " entonces de este listado de n\u00fameros 2 que tenemos all\u00ed vamos a formar parejitas para tener listado ahora de n\u00fameros 4,"}, {"start": 703.5, "end": 716.5, "text": " tenemos 2x2 es 4, 2x2 es 4, por aqu\u00ed 4, 4 y tambi\u00e9n 4, entonces observamos que el 4 se repite 5 veces,"}, {"start": 716.5, "end": 728.5, "text": " por lo tanto decimos que 1024 es 4 elevado al exponente 5, entonces ya tenemos aqu\u00ed el resultado de este logaritmo,"}, {"start": 728.5, "end": 744.5, "text": " ser\u00eda igual a 5 porque 4 elevado al exponente 5 da como resultado 1024, vamos con el \u00faltimo ejercicio y hacemos la descomposici\u00f3n"}, {"start": 744.5, "end": 759.5, "text": " en factores primos del argumento, o sea de 1296, comenzamos por examinar el 2, tenemos que 1296 termina en cifra par,"}, {"start": 759.5, "end": 778.5, "text": " por lo tanto tiene mitad, mitad de este n\u00famero es 648, podemos sacar mitad nos da 324, otra vez mitad dar\u00eda 1, por aqu\u00ed dar\u00eda 6 y aqu\u00ed dar\u00eda 2,"}, {"start": 778.5, "end": 791.5, "text": " o sea 162, podemos sacar mitad que nos da 81 y aqu\u00ed el 2 ya no sirve porque 81 termina en cifra impar,"}, {"start": 791.5, "end": 809.5, "text": " pasamos a extraer tercera, tercera de 81 nos da 27, tercera de 27 nos da 9, tercera de 9 nos da 3 y tercera de 3 nos da 1,"}, {"start": 809.5, "end": 821.5, "text": " tenemos que buscar entonces 6 elevado a que n\u00famero nos da como resultado 1296, entonces podemos hacer lo siguiente,"}, {"start": 821.5, "end": 833.5, "text": " formamos grupitos entre estos n\u00fameros de tal forma que obtengamos siempre el 6, por aqu\u00ed tenemos 1, 2 por 3 da 6,"}, {"start": 833.5, "end": 849.5, "text": " ac\u00e1 tenemos otro, 2 por 3 da 6, otro y aqu\u00ed tenemos otro, tendr\u00edamos entonces el 6 repetido 4 veces, o sea 6 elevado al exponente 4"}, {"start": 849.5, "end": 863.5, "text": " da como resultado 1296, recordemos que tambi\u00e9n se puede hacer explorando las potencias del 6, 6 elevado al exponente 0 nos da 1, 6 elevado al exponente 1 nos da 6,"}, {"start": 863.5, "end": 879.5, "text": " 6 elevado a 2 nos da 36, 6 elevado a 3 nos da 216 y 6 elevado a 4 nos da como resultado 1296, por lo tanto ese es el que buscamos,"}, {"start": 879.5, "end": 891.5, "text": " el resultado de este \u00faltimo logaritmo ser\u00e1 4, 6 elevado a 4 nos da 1296 y con esto terminamos esta explicaci\u00f3n."}]