INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 26
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de Sustitución.

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Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 ¿Cómo se puede resolver esta integral? Para resolver esta integral, primero revisamos si podemos hacerla en forma directa. Vemos que no es posible. Entonces vamos a recurrir al método de sustitución, también conocido como cambio de variable. Vamos a intentar tomando el denominador como la nueva letra. Por ejemplo, vamos a utilizar la letra T mayúscula. Entonces T es igual a X al cubo más 6X. Es decir, todo el denominador. Vamos a derivar. ¿Sí? Aspiramos a que en la derivada de esta expresión nos aparezca lo que tenemos en el numerador. Eso es lo que nos dice si la sustitución es el camino apropiado. Entonces veamos. Derivada de T con respecto a X es igual a 3X al cuadrado más 6. Entonces vemos que en principio esto no se parece a X al cuadrado más 2. Sin embargo, podemos usar la factorización. Aquí podemos sacar factor común el 3 y es factor de X al cuadrado más 2. Y vemos que allí nos aparece la expresión que teníamos en el numerador. Por lo tanto, esto nos dice que vamos por el camino correcto. Vamos a despejar de X de esta igualdad. Y eso nos da DT sobre 3 que multiplica a X al cuadrado más 2. Recordemos que aquí se hace un intercambio entre esto y esto. Esto pasa a multiplicar y esto viene a dividir debajo de DT. Tenemos entonces los dos elementos con los cuales vamos a reconstruir nuestra integral. Entonces tenemos lo siguiente. La integral de X al cuadrado más 2 que se queda igual por no tener un equivalente directo. Algo que lo reemplace sobre lo que tenemos en el denominador que corresponde a la nueva letra. Es decir, T. Todo esto multiplicado por DX que aquí lo tenemos. Entonces DX es igual a DT sobre 3 que multiplica a X al cuadrado más 2. Aquí podemos simplificar X al cuadrado más 2. Esto se nos va. Y podemos sacar este 3 de la integral. Como está en el denominador, entonces debe conservar su lugar. Sale como 1 tercio que multiplica a la integral de 1 sobre T por DT. Es decir, por su respectivo diferencial. Y allí ya podemos resolver la integral. Esta es una integral básica, equivale al logaritmo natural del valor absoluto de T. Y todo esto más la constante de integración. Finalmente, debemos deshacer el cambio de variable o la sustitución. Es decir, debemos cambiar T por su equivalente original. Recordemos que era esto de aquí. Entonces la respuesta nos va a quedar 1 tercio por logaritmo natural de valor absoluto de X al cubo más 6X. Cerramos el valor absoluto y todo esto más la constante de integración. Y así hemos finalizado el ejercicio.
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