TEOREMA DE LAMY - Demostración
#julioprofe hace la demostración del Teorema de Lamy.

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 El francés Bernard Lamy, enunció el siguiente teorema. Si tres fuerzas coplanares están equilibradas, entonces la magnitud de cada una es directamente proporcional al seno de su ángulo opuesto. Como vemos en este dibujo, tenemos tres fuerzas coplanares, es decir que pertenecen al plano de la pizarra y tenemos que se encuentran equilibradas. Esto significa que si hacemos la sumatoria de ellas nos tiene que dar igual a cero, es decir, el vector nulo. En otras palabras, si tenemos f1 más f2 más f3 sumadas como vectores, entonces eso será igual a cero, es decir, el vector nulo. Son fuerzas que se anulan entre sí si las sumamos, produciendo entonces una situación de equilibrio. Lo que enunció el señor Lamy es que la magnitud o el mordo de cada fuerza es directamente proporcional al seno de su ángulo opuesto. Entonces, la magnitud de la fuerza f1, que la llamamos simplemente f1 sin la flechita encima, es al seno del ángulo alfa, es decir, el ángulo opuesto. Como la magnitud de la fuerza 2, es decir, f2 es al seno de beta, es decir, el ángulo opuesto. Y esto como la magnitud de la fuerza 3, es decir, f3 es al seno de su ángulo opuesto, que es theta. Vamos a realizar entonces la demostración de esta expresión que es el enunciado del teorema de Lamy. Comenzamos haciendo lo siguiente. Por el extremo de f1 y de f2 vamos a trazar líneas rectas paralelas a la fuerza 3 y al mismo tiempo, por el extremo de f3 vamos a trazar una línea recta paralela a f1 y otra línea recta paralela a f2. Allí podemos observar esas líneas y lo que hemos construido hasta el momento son dos paralelogramos. Recordemos que en este tipo de cuadrilateros se cumple que ángulos consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180 grados. Entonces, si tenemos que este ángulo mide beta, entonces este de aquí será un ángulo cuya medida es 180 grados menos beta, es decir, el suplemento de este ángulo beta. Vamos a quitar este ángulo y otra propiedad que cumplen los paralelogramos es que los lados opuestos son congruentes o son iguales. Entonces podemos tomar este vector f3 y trasladarlo a este lado. Vamos entonces a dibujarlo de tal forma que coincida con esta línea. Aquí tenemos entonces el vector f3 y en este paralelogramos también tenemos que estos ángulos son suplementarios. Por lo tanto, si la medida de este ángulo es alpha, entonces la medida de este será 180 grados menos alpha, es decir, el suplemento de este ángulo cuya medida es alpha. Vamos entonces a dibujar el vector f2 aquí coincidiendo con este lado opuesto y, como decíamos, aprovechando la propiedad de los paralelogramos donde los lados opuestos son iguales. Aquí tenemos entonces la fuerza f2 y a continuación vamos a tomar este mismo vector y lo vamos a dibujar en este sitio. Vamos a dar entonces cumplimiento al hecho de que las tres fuerzas sumadas entre sí se anulan. Aquí tenemos entonces la fuerza f2 y, como observamos en esta parte, el ángulo que forma f3 con f2 es 180 grados menos alpha. Entonces es el mismo ángulo que tenemos aquí formado por f3 y f2, entonces escribimos su valor, 180 grados menos alpha. También podemos observar que estos dos vectores quedan sobre una misma línea recta. Se trata de dos vectores iguales donde esta línea imaginaria determina su dirección. Entonces, si este ángulo es theta, entonces este será el suplemento de theta. Recordemos que son ángulos adyacentes, es decir, ángulos vecinos que forman un ángulo llano, es decir, un ángulo de 180 grados. Entonces la medida de este ángulo será 180 grados menos theta, es decir, el suplemento de este ángulo. Como podemos observar, tenemos un triángulo formado por las tres fuerzas. Vamos a nombrar esta fuerza f1 por aquí. Y podemos apreciar entonces que la suma de esas tres fuerzas, f1 más f2 más f3 sumadas como vectores que son, nos da igual al vector nulo, o sea, al vector de magnitud cero. Vemos que son fuerzas que cierran el triángulo. Entonces eso nos garantiza la condición de equilibrio que debe existir en ellas. Si la sumatoria de fuerzas debe ser igual a cero prácticamente, es decir, la condición que nos plantea el teorema del ámbito. En ese triángulo podemos hacer uso del concepto de la trigonometría conocido como la ley de senos. Esta nos dice que en cualquier triángulo ABC se cumple que el lado A es al seno del ángulo opuesto, es decir, de este ángulo A, como el lado B es al seno del ángulo opuesto, es decir, este ángulo B, como el lado C es al seno del ángulo opuesto C. Entonces, esto mismo podemos aplicarlo en este triángulo. Veamos cómo nos quedaría. Decimos que el módulo con la magnitud de la fuerza 1, es decir, F1 es al seno de 180 grados menos alfa, como F2 es al seno de su ángulo opuesto, que es 180 grados menos beta, como F3 es al seno del ángulo opuesto, que es 180 grados menos beta. Entonces vemos la aplicación de este concepto trigonométrico en la física. También de la trigonometría tenemos la identidad para el seno de la resta de los ángulos. Si tenemos el seno de X menos Y, eso es igual al seno de X por el coseno de Y menos el seno de Y por el coseno de X. Entonces vamos a aplicar esa identidad para ver en qué se convierte cada una de estas expresiones que tenemos en los denominadores. Veamos para el caso de seno de 180 grados, por ejemplo, menos un ángulo T. Lo siguiente sería el seno de 180 grados por el coseno de T menos el seno de T por el coseno de 180 grados, aplicando la identidad trigonométrica. Tenemos que el seno de 180 grados equivale a cero y que el coseno de 180 grados es igual a menos uno. Por lo tanto, este primer término se convierte en cero y el segundo término nos queda positivo y es igual a seno de T. Conclusión, el seno de 180 grados menos T es igual al seno de T. Entonces, utilizando esto que acabamos de demostrar, tenemos que el seno de 180 grados menos alfa equivale al seno de alfa. Tenemos que el seno de 180 grados menos beta equivale al seno de beta y que el seno de 180 grados menos beta equivale al seno de theta. Y de esta manera llegamos a la expresión que damos al comienzo, es decir, lo que enuncia el teorema de LAMY. Tenemos entonces de esta manera la demostración de lo que nos dice ese importante teorema.
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