VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE EN FUNCIÓN DE X
#julioprofe explica cómo expresar el volumen de una pirámide en función de una variable X.

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 Se va a construir una tienda de campaña con forma piramidal base cuadrada del lado X metros y soportada por un poste en su centro. Si se cuenta con 10 metros cuadrados de lona para las caras laterales del albergue, expresar el volumen de la tienda en función de X. Bien para resolver este problema hacemos un dibujo de la situación. Allí tenemos una pirámide que ilustra la tienda de campaña. Vemos que tiene base cuadrada del lado X metros y también un poste en su centro que la soporta. Vamos a llamar H la longitud de ese poste que llega justo al centro del cuadrado de la base. Con esa información podemos conformar una expresión para el volumen de la pirámide que es finalmente lo que nos pide el problema. El volumen de cualquier pirámide se define como 1 tercio por el área de la base por la altura. En este caso tenemos que la base es un cuadrado del lado X. Por lo tanto esto nos queda 1 tercio por área de la base que será X por X, es decir X al cuadrado y la altura de la pirámide se define como el segmento que va desde el vértice hasta el plano de la base. Ese segmento cae formando 90 grados con la base, cae perpendicularmente. En este caso la altura es H, justamente el poste que sostiene o que soporta la tienda. Escribimos esta expresión por acá y la vamos a llamar la expresión número 1. Ahora vamos a determinar el punto medio de este lado, es decir aquí, y vamos a conectar este punto con este que hemos marcado. Bien, aquí tenemos ese segmento. Ahora si este punto lo proyectamos acá moviéndonos en dirección paralela a cualquiera de estos dos lados vamos a llegar también al punto medio de este segmento. Por lo tanto la distancia de aquí a acá será X medios, la mitad de X. Por lo tanto esto, el segmento que hemos trazado tiene una longitud X medios. Ahora vamos a conectar también este punto que es el vértice de la pirámide con este, que es el punto medio de este lado. Bien, allí tenemos este segmento cuya longitud vamos a llamar K. Es un segmento que pertenece a esta cara de la pirámide, una de las caras laterales. Y este segmento forma 90 grados con este lado de la base. Son segmentos perpendiculares. Este segmento de longitud K se convierte en la altura de este triángulo, que es una de las cuatro caras laterales de la pirámide. Esos cuatro triángulos son congruentes. Entonces este será representativo de esas cuatro caras laterales. Ya conociendo K que es la altura y sabiendo que X es la base, podemos determinar el área de este triángulo. Recordemos que el área de un triángulo es base por altura sobre 2. En este caso el área del triángulo que hemos considerado el de esta cara es la base, que es X, por la altura de ese triángulo que es K y todo esto sobre 2. Pero el problema nos dice que se cuenta con 10 metros cuadrados de lona para las caras laterales del albergue o de la tienda. Por lo tanto si multiplicamos esto por 4 nos dará el área total de lona disponible. Entonces 10 metros cuadrados será igual a 4 veces el área de ese triángulo. Repetimos el área de esta cara triangular de la pirámide. Entonces nos queda 10 es igual a 4 por el área del triángulo que nos dio X por K sobre 2. Y podemos omitir las unidades metros cuadrados porque sabemos que X se trabaja en metros y el área en este caso de la lona va en metros cuadrados. Aquí podemos simplificar 4 con 2, decimos mitad de 4 es 2, mitad de 2 es 1 y entonces eso nos queda 10 es igual a 2 por X por K, 2XK. Y a su vez de allí podemos despejar K. Vamos a realizar ese despeje por aquí. Entonces para despejar K, 2X que está multiplicando lo pasamos al otro lado a dividir. Nos queda 10 sobre 2X. Hacemos el despeje de K porque es una letra digamos intrusa, es una letra que creamos entonces debemos tratar que nos quede en términos de X que es finalmente la letra que controla o que comanda el ejercicio. Acá podemos simplificar 10 con 2, mitad de 10 nos da 5, mitad de 2 nos da 1 y entonces nos queda que K es igual a 5 sobre X. Anotamos esto por acá y llamamos esta expresión como la número 2. Ahora vamos a concentrarnos en este triángulo formado por el segmento H, el segmento que mide X medios y el segmento que mide K. Aquí se forman 90 grados porque como decíamos H representa el poste que sostiene la tienda y ese poste llega formando 90 grados con el plano de la base. El segmento es perpendicular al cuadrado de la base. Tenemos entonces allí un triángulo rectángulo donde podemos plantear el teorema de Pitágoras. Recordemos que dice lo siguiente, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Los catetos son H y X medios. Entonces comencemos con el cateto X medios, eso al cuadrado, más el otro cateto que es H elevado al cuadrado. Allí tenemos la suma de los cuadrados de los catetos y eso es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir K al cuadrado. Allí podríamos sustituir K por esto que obtuvimos, K equivale a 5 sobre X. Entonces tendremos X medios al cuadrado más H al cuadrado igual a 5 sobre X y todo esto elevado al cuadrado. De allí vamos a despejar H al cuadrado. Entonces para ello dejamos este término donde está sin presentar ninguna modificación y movemos este para el lado derecho, está positivo entonces llega acá con signo negativo. Es como restar a ambos lados de esta igualdad esta cantidad, X medios al cuadrado. Allí podríamos trabajar esta expresión, nos queda entonces H al cuadrado igual, aquí el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador, entonces 5 al cuadrado nos da 25 y esto nos queda sobre X al cuadrado. Aquí sucede lo mismo, el cuadrado afecta a los dos componentes, nos queda en el numerador X al cuadrado y en el denominador 2 al cuadrado que es 4. Ahora resolvemos esta resta que ocurre entre dos fracciones con distinto denominador, fracciones heterogéneas, entonces tendremos lo siguiente, H al cuadrado igual, vamos a usar el truco o la técnica de la carita feliz, tenemos entonces en el numerador lo siguiente, 25 por 4 que nos da 100 menos X al cuadrado por X al cuadrado, esto nos da X a la 4 y acá en el denominador el producto de estas dos cantidades, X al cuadrado por 4 que no podemos organizar como 4X al cuadrado. Repetimos, se ha utilizado el truco o la técnica de la carita feliz que se utiliza para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador. Como vemos ya tenemos H al cuadrado en términos de X, entonces ya podemos despejar H de aquí, para ello extraemos raíz cuadrada a ambos lados de esa igualdad, entonces en el lado izquierdo raíz cuadrada de H al cuadrado y en el lado derecho la raíz cuadrada de 100 menos X a la 4 y todo esto sobre 4X al cuadrado. En el lado izquierdo esto nos daría más o menos H y acá en el lado derecho la raíz puede repartirse tanto para el numerador como para el denominador, es una de las propiedades de la radicación, entonces allí la aplicamos. H tiene que ser una cantidad positiva porque es la longitud del poste que soporta la tienda o el albergue, entonces descartamos la opción negativa, nos quedamos con más H y acá tendremos la raíz cuadrada de 100 menos X a la 4, allí no podemos hacer nada porque dentro de la raíz tenemos una resta y acá en el denominador podemos resolver esa raíz, es una raíz de tipo exacta, la raíz cuadrada de 4X al cuadrado nos da 2X, bueno eso saldría con signo más o menos pero también X es una cantidad positiva porque es la longitud del lado del cuadrado de la base de la pirámide. Esta nueva expresión donde tenemos H en términos de X la llamamos la número 3 y es allí cuando vamos a realizar una sustitución, 3 vamos a sustituirlo en 1, entonces de esa manera el volumen de la pirámide nos queda así, 1 tercio por X al cuadrado por H, pero H es todo esto, la raíz cuadrada de 100 menos X a la 4 y todo esto sobre 2X. Allí ya tenemos prácticamente lo que nos pide el problema, el volumen de esa pirámide, es decir de esa tienda de campaña en términos de X, X es el lado del cuadrado de la base pero podemos organizar un poco más esa expresión, podemos decir que el volumen en términos de X será igual a lo siguiente, 3 por 2 nos da 6, es decir 6 en el denominador podemos asegurar un sexto al principio, podemos simplificar X al cuadrado con X, entonces se va una X del denominador con una X del numerador, nos queda X en el numerador y se la escribimos acá y eso acompaña a esa raíz cuadrada, raíz de 100 menos X a la 4, todo esto dentro de la raíz cuadrada. De esta manera terminamos, esto es lo que nos pregunta el ejercicio, el volumen de esa tienda de campaña que tiene forma piramidal en función de X, X es la longitud del lado del cuadrado de la base, X dijimos que va expresada en metros y el volumen de esa pirámide o de esa tienda irá expresado en metros cúbicos, con esto terminamos este ejercicio.
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217.32, "text": " Pero el problema nos dice que se cuenta con 10 metros cuadrados de lona para las caras"}, {"start": 217.32, "end": 220.48, "text": " laterales del albergue o de la tienda."}, {"start": 220.48, "end": 226.39999999999998, "text": " Por lo tanto si multiplicamos esto por 4 nos dar\u00e1 el \u00e1rea total de lona disponible."}, {"start": 226.39999999999998, "end": 233.64, "text": " Entonces 10 metros cuadrados ser\u00e1 igual a 4 veces el \u00e1rea de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 233.64, "end": 238.16, "text": " Repetimos el \u00e1rea de esta cara triangular de la pir\u00e1mide."}, {"start": 238.16, "end": 246.04, "text": " Entonces nos queda 10 es igual a 4 por el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo que nos dio X por K sobre"}, {"start": 246.04, "end": 247.04, "text": " 2."}, {"start": 247.04, "end": 252.56, "text": " Y podemos omitir las unidades metros cuadrados porque sabemos que X se trabaja en metros y"}, {"start": 252.56, "end": 257.15999999999997, "text": " el 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"text": " o que comanda el ejercicio."}, {"start": 300.56, "end": 307.8, "text": " Ac\u00e1 podemos simplificar 10 con 2, mitad de 10 nos da 5, mitad de 2 nos da 1 y entonces"}, {"start": 307.8, "end": 313.28000000000003, "text": " nos queda que K es igual a 5 sobre X."}, {"start": 313.28000000000003, "end": 320.44, "text": " Anotamos esto por ac\u00e1 y llamamos esta expresi\u00f3n como la n\u00famero 2."}, {"start": 320.44, "end": 326.62, "text": " Ahora vamos a concentrarnos en este tri\u00e1ngulo formado por el segmento H, el segmento que"}, {"start": 326.62, "end": 330.16, "text": " mide X medios y el segmento que mide K."}, {"start": 330.16, "end": 337.56, "text": " Aqu\u00ed se forman 90 grados porque como dec\u00edamos H representa el poste que sostiene la tienda"}, {"start": 337.56, "end": 342.16, "text": " y ese poste llega formando 90 grados con el plano de la base."}, {"start": 342.16, "end": 346.36, "text": " El segmento es perpendicular al cuadrado de la base."}, {"start": 346.36, "end": 352.56, "text": " Tenemos entonces all\u00ed un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo donde podemos plantear el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 352.56, "end": 356.76000000000005, "text": " Recordemos que dice lo siguiente, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al"}, {"start": 356.76000000000005, "end": 359.12, "text": " cuadrado de la hipotenusa."}, {"start": 359.12, "end": 362.4, "text": " Los catetos son H y X medios."}, {"start": 362.4, "end": 369.16, "text": " Entonces comencemos con el cateto X medios, eso al cuadrado, m\u00e1s el otro cateto que es"}, {"start": 369.16, "end": 372.12, "text": " H elevado al cuadrado."}, {"start": 372.12, "end": 377.2, "text": " All\u00ed tenemos la suma de los cuadrados de los catetos y eso es igual al cuadrado de"}, {"start": 377.2, "end": 381.56, "text": " la hipotenusa, es decir K al cuadrado."}, {"start": 381.56, "end": 387.88, "text": " All\u00ed podr\u00edamos sustituir K por esto que obtuvimos, K equivale a 5 sobre X."}, {"start": 387.88, "end": 396.68, "text": " Entonces tendremos X medios al cuadrado m\u00e1s H al cuadrado igual a 5 sobre X y todo esto"}, {"start": 396.68, "end": 399.24, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 399.24, "end": 403.4, "text": " De all\u00ed vamos a despejar H al cuadrado."}, {"start": 403.4, "end": 408.4, "text": " Entonces para ello dejamos este t\u00e9rmino donde est\u00e1 sin presentar ninguna modificaci\u00f3n"}, {"start": 408.4, "end": 415.24, "text": " y movemos este para el lado derecho, est\u00e1 positivo entonces llega ac\u00e1 con signo negativo."}, {"start": 415.24, "end": 422.2, "text": " Es como restar a ambos lados de esta igualdad esta cantidad, X medios al cuadrado."}, {"start": 422.2, "end": 428.48, "text": " All\u00ed podr\u00edamos trabajar esta expresi\u00f3n, nos queda entonces H al cuadrado igual, aqu\u00ed"}, {"start": 428.48, "end": 433.84000000000003, "text": " el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador, entonces 5 al cuadrado nos"}, {"start": 433.84000000000003, "end": 438.88, "text": " da 25 y esto nos queda sobre X al cuadrado."}, {"start": 438.88, "end": 443.96000000000004, "text": " Aqu\u00ed sucede lo mismo, el cuadrado afecta a los dos componentes, nos queda en el numerador"}, {"start": 443.96, "end": 449.4, "text": " X al cuadrado y en el denominador 2 al cuadrado que es 4."}, {"start": 449.4, "end": 456.2, "text": " Ahora resolvemos esta resta que ocurre entre dos fracciones con distinto denominador, fracciones"}, {"start": 456.2, "end": 462.47999999999996, "text": " heterog\u00e9neas, entonces tendremos lo siguiente, H al cuadrado igual, vamos a usar el truco"}, {"start": 462.47999999999996, "end": 469.09999999999997, "text": " o la t\u00e9cnica de la carita feliz, tenemos entonces en el numerador lo siguiente, 25 por 4 que"}, {"start": 469.1, "end": 477.96000000000004, "text": " nos da 100 menos X al cuadrado por X al cuadrado, esto nos da X a la 4 y ac\u00e1 en el denominador"}, {"start": 477.96000000000004, "end": 486.52000000000004, "text": " el producto de estas dos cantidades, X al cuadrado por 4 que no podemos organizar como 4X al cuadrado."}, {"start": 486.52000000000004, "end": 492.76000000000005, "text": " Repetimos, se ha utilizado el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz que se utiliza para sumar"}, {"start": 492.76000000000005, "end": 497.3, "text": " o restar dos fracciones con distinto denominador."}, {"start": 497.3, "end": 504.04, "text": " Como vemos ya tenemos H al cuadrado en t\u00e9rminos de X, entonces ya podemos despejar H de aqu\u00ed,"}, {"start": 504.04, "end": 509.52000000000004, "text": " para ello extraemos ra\u00edz cuadrada a ambos lados de esa igualdad, entonces en el lado"}, {"start": 509.52000000000004, "end": 515.48, "text": " izquierdo ra\u00edz cuadrada de H al cuadrado y en el lado derecho la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 515.48, "end": 523.04, "text": " 100 menos X a la 4 y todo esto sobre 4X al cuadrado."}, {"start": 523.04, "end": 529.8399999999999, "text": " En el lado izquierdo esto nos dar\u00eda m\u00e1s o menos H y ac\u00e1 en el lado derecho la ra\u00edz"}, {"start": 529.8399999999999, "end": 538.3199999999999, "text": " puede repartirse tanto para el numerador como para el denominador, es una de las propiedades"}, {"start": 538.3199999999999, "end": 543.9599999999999, "text": " de la radicaci\u00f3n, entonces all\u00ed la aplicamos."}, {"start": 543.9599999999999, "end": 550.36, "text": " H tiene que ser una cantidad positiva porque es la longitud del poste que soporta la tienda"}, {"start": 550.36, "end": 557.44, "text": " o el albergue, entonces descartamos la opci\u00f3n negativa, nos quedamos con m\u00e1s H y ac\u00e1 tendremos"}, {"start": 557.44, "end": 564.92, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 100 menos X a la 4, all\u00ed no podemos hacer nada porque dentro de la"}, {"start": 564.92, "end": 571.64, "text": " ra\u00edz tenemos una resta y ac\u00e1 en el denominador podemos resolver esa ra\u00edz, es una ra\u00edz de"}, {"start": 571.64, "end": 578.4200000000001, "text": " tipo exacta, la ra\u00edz cuadrada de 4X al cuadrado nos da 2X, bueno eso saldr\u00eda con signo m\u00e1s"}, {"start": 578.42, "end": 585.12, "text": " o menos pero tambi\u00e9n X es una cantidad positiva porque es la longitud del lado del cuadrado"}, {"start": 585.12, "end": 587.5999999999999, "text": " de la base de la pir\u00e1mide."}, {"start": 587.5999999999999, "end": 594.86, "text": " Esta nueva expresi\u00f3n donde tenemos H en t\u00e9rminos de X la llamamos la n\u00famero 3 y es all\u00ed cuando"}, {"start": 594.86, "end": 601.8399999999999, "text": " vamos a realizar una sustituci\u00f3n, 3 vamos a sustituirlo en 1, entonces de esa manera"}, {"start": 601.84, "end": 610.36, "text": " el volumen de la pir\u00e1mide nos queda as\u00ed, 1 tercio por X al cuadrado por H, pero H es"}, {"start": 610.36, "end": 621.72, "text": " todo esto, la ra\u00edz cuadrada de 100 menos X a la 4 y todo esto sobre 2X."}, {"start": 621.72, "end": 627.32, "text": " All\u00ed ya tenemos pr\u00e1cticamente lo que nos pide el problema, el volumen de esa pir\u00e1mide,"}, {"start": 627.32, "end": 633.6, "text": " es decir de esa tienda de campa\u00f1a en t\u00e9rminos de X, X es el lado del cuadrado de la base"}, {"start": 633.6, "end": 638.84, "text": " pero podemos organizar un poco m\u00e1s esa expresi\u00f3n, podemos decir que el volumen en t\u00e9rminos"}, {"start": 638.84, "end": 646.7600000000001, "text": " de X ser\u00e1 igual a lo siguiente, 3 por 2 nos da 6, es decir 6 en el denominador podemos"}, {"start": 646.7600000000001, "end": 653.44, "text": " asegurar un sexto al principio, podemos simplificar X al cuadrado con X, entonces se va una X"}, {"start": 653.44, "end": 658.72, "text": " del denominador con una X del numerador, nos queda X en el numerador y se la escribimos"}, {"start": 658.72, "end": 667.08, "text": " ac\u00e1 y eso acompa\u00f1a a esa ra\u00edz cuadrada, ra\u00edz de 100 menos X a la 4, todo esto dentro"}, {"start": 667.08, "end": 671.8800000000001, "text": " de la ra\u00edz cuadrada. De esta manera terminamos, esto es lo que"}, {"start": 671.8800000000001, "end": 677.9200000000001, "text": " nos pregunta el ejercicio, el volumen de esa tienda de campa\u00f1a que tiene forma piramidal"}, {"start": 677.92, "end": 685.1999999999999, "text": " en funci\u00f3n de X, X es la longitud del lado del cuadrado de la base, X dijimos que va"}, {"start": 685.1999999999999, "end": 694.3199999999999, "text": " expresada en metros y el volumen de esa pir\u00e1mide o de esa tienda ir\u00e1 expresado en metros c\u00fabicos,"}, {"start": 694.32, "end": 721.08, "text": " con esto terminamos este ejercicio."}]