INTEGRAL DOBLE CON CAMBIO EN ORDEN DE INTEGRACIÓN - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una integral doble, donde es necesario cambiar el orden de integración.

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 Vamos a resolver esta integral doble donde podemos observar que estos límites de integración corresponden a la variable x, mientras que estos que observamos acá corresponden a la variable y. Entonces podemos reescribir el ejercicio como la integral que va desde x igual a 0 hasta x igual a 1, después la integral que va desde y igual a x al cuadrado hasta y igual a 1 de la función x al cubo, seno de y al cubo y todo esto con los diferenciales de y de x. Con la información que tenemos acá podemos detectar cuál es la región de integración. Vemos entonces que x está comprendida entre 0 y 1, aquí lo observamos, mientras que y está comprendida entre x al cuadrado y 1. Esto nos dice entonces que la región de integración está definida como región tipo 1, es decir con x entre números y y entre curvas. Tal como nos aparece planteado el ejercicio, deberíamos comenzar por integrar con respecto a la variable y, siendo x una constante, pero nos queda seno de y al cubo, lo cual no es fácil de integrar. Para solucionar ese problema vamos a dibujar la región de integración y vamos a cambiarla a tipo 2. Comenzamos por trazar la gráfica de x igual a 1, que será una recta vertical que pasa por la abscisa 1. Bien, allí podemos observarla. Ahora vamos a dibujar x igual a 0, que será una recta vertical que pasa por la abscisa 0, es decir el mismo eje y. Bien, allí podemos observarlo. Ahora trazamos la gráfica de y igual a 1, que será una recta horizontal que pasa por la ordenada 1. Bien, allí podemos observarla. Y finalmente dibujamos la gráfica de y igual a x al cuadrado. Recordemos que es una parábola que abre sus ramas hacia arriba y que pasa por el origen. Cuando x vale 0, y vale 0. Cuando x vale 1, y vale 1. Y cuando x vale menos 1, y vale 1. Entonces vamos a dibujar esa parábola. Bien, allí podemos observarla. Tenemos la parábola y igual a x al cuadrado. Revisamos entonces cuál es la región. Tenemos que x está comprendida entre 0 y 1, es decir entre estas dos líneas verticales y y debe estar comprendida entre x al cuadrado y y igual a 1. Entonces la región de integración, es decir la región R, será esta que tenemos acá. La destacamos entonces con este color. Allí tenemos la región R y como decíamos vamos a pasarla a región tipo 2. Decimos que la región está definida como tipo 2 cuando y está comprendida entre números. Si observamos la región vemos que está comprendida entre y igual a 0 y y igual a 1. Entonces esos eran los valores que definen la variable y. Y ahora x debe estar definida o comprendida entre curvas. Si entramos de izquierda a derecha vemos que la primera línea o el primer borde que nos encontramos es x igual a 0, o sea el eje y. Ese será nuestro límite izquierdo y si avanzamos dentro de la figura, dentro de la región R, vemos que a la salida siempre nos vamos a encontrar esta curva, es decir y igual a x al cuadrado. De allí tenemos que despejar x. x será igual a más o menos la raíz cuadrada de y. Pero en este caso tenemos la porción de curva que reside en el primer cuadrante, es decir donde los valores de x tienen que ser positivos. Entonces descartamos la opción negativa y por acá tendremos la curva raíz de y. Teniendo ya la región R definida como tipo 2, entonces podemos volver a escribir la integral doble pero ahora con el nuevo orden de integración, es decir con y comprendida entre 0 y 1 y x comprendida entre 0 y x igual a raíz cuadrada de y. La función sigue siendo la misma, x al cubo seno de y al cubo y ahora cambia el orden de los diferenciales, primero de x y después de y. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y dejamos la integral externa tal como está desde y igual a 0 hasta y igual a 1. Y vamos a ocuparnos de la integral interna, es decir la que se debe realizar con respecto de la variable x. Podemos dejar aquello que permanece constante totalmente quieto, en este caso seno de y al cubo. Y esto multiplica por la integral de x al cubo, recordemos que estamos integrando con respecto a la variable x. Integral de x al cubo será x a la 4 sobre 4 y eso tenemos que evaluarlo entre x igual a 0 y x igual a la raíz cuadrada de y. Cerramos la llave que protege este desarrollo y escribimos el diferencial de y. En esta integral podemos extraer este número por ser una constante, lo podemos ubicar por fuera como 1 cuarto, esto multiplica a la integral que va desde y igual a 0 hasta y igual a 1 y vamos a evaluar lo que nos queda en estos límites de integración. Primero entra el límite superior, si raíz cuadrada de y entra aquí donde tenemos la x, tenemos raíz cuadrada de y elevada a la 4 y eso nos da y al cuadrado que multiplica con seno de y al cubo. Si luego evaluamos x igual a 0 vemos que aquí tenemos 0 a la 4 que nos da 0 y anula completamente la expresión, entonces sería esto menos 0 que nos da esto mismo y no podemos olvidar el diferencial de y. Ahora tenemos que concentrarnos en el desarrollo de esta integral que ya está en términos de la variable y. Si observamos con atención vemos que no se puede resolver en forma directa, entonces podemos recurrir al método de sustitución o cambio de variable porque encontramos que la derivada de y al cubo nos da 3y al cuadrado y acá por fuera tenemos justamente y al cuadrado. Entonces vamos a utilizar el método de sustitución o cambio de variable, vamos a utilizar por ejemplo la letra k para llamar lo que es y al cubo y esto tenemos que derivarlo, decimos entonces derivada de k con respecto a y, es decir la derivada de y al cubo nos da 3y al cuadrado y de allí podemos despejar de y, para despejar de y esto pasa a multiplicar y 3y al cuadrado pasa a k a dividir. En otras palabras estos dos componentes se intercambian y nos queda que de y es igual a de k sobre 3y al cuadrado, aquí tenemos otro componente que vamos a necesitar. Podemos también hacer el cambio de los límites de integración, estos valores de y se pueden llevar a valores de la nueva variable k, entonces tenemos que si y es igual a 1, es decir el límite superior, entonces el valor correspondiente de k será 1 al cubo, es decir 1, y si tenemos y igual a 0, es decir el límite inferior, entonces el valor de k será 0 al cubo que nos da 0. Ahora con esta información vamos a reconstruir esta integral en términos de la nueva letra que es k, vamos a continuar por acá, tenemos 1 cuarto que multiplica a la integral que va desde y igual a 0, pero y igual a 0 corresponde a k igual a 0 hasta y igual a 1 que corresponde a k igual a 1. Tenemos por acá y al cuadrado que se queda como está, después tenemos seno de y al cubo, pero y al cubo equivale a la letra k y tenemos el diferencial de y que equivale a dk sobre 3y al cuadrado. Aquí podemos simplificar y al cuadrado y también podemos extraer este número 3, nos queda entonces 1 cuarto por 1 tercio y esto multiplicado por la integral que va desde k igual a 0 hasta k igual a 1, y en el integrando tenemos seno de k por su respectivo diferencial de k. Continuamos el desarrollo del ejercicio por acá y multiplicamos estas dos fracciones, eso nos da un doceavo que multiplica a esta integral definida, vamos entonces a resolverla, la integral de seno de k nos da menos coseno de k y esto debe estar evaluado entre k igual a 0 y k igual a 1. Para evitar complicaciones con este signo negativo podemos escribirlo por fuera de esta llave, entonces tendremos menos un doceavo que multiplica a coseno de 1, reemplazamos el límite superior menos coseno de 0, reemplazando el límite inferior. Acá tenemos lo que es coseno de un radian y eso lo podemos dejar indicado, y acá tenemos el coseno de cero radianes que equivale a 1, entonces esta expresión nos va a quedar como menos un doceavo que multiplica a coseno de un radian menos 1. Podemos multiplicar en forma horizontal, recordemos que acá tenemos denominador 1 y tendremos en el numerador menos coseno de 1 más 1 y en el denominador tendremos el número 12, o sea 12 por 1. Podemos reescribir el numerador como 1 menos coseno de 1 y de nuevo todo esto sobre 12. De esta manera terminamos el ejercicio, este será el resultado de esa integral doble, 1 menos el coseno de 1, todo esto sobre 12 que en calculadora nos da aproximadamente 0.038. Recordemos que se debe colocar la calculadora en el modo de radianes para que esto nos produzca el resultado correcto. De esta manera terminamos este ejercicio.
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nuevo orden de integraci\u00f3n,"}, {"start": 307.8, "end": 323.8, "text": " es decir con y comprendida entre 0 y 1 y x comprendida entre 0 y x igual a ra\u00edz cuadrada de y."}, {"start": 323.8, "end": 333.8, "text": " La funci\u00f3n sigue siendo la misma, x al cubo seno de y al cubo y ahora cambia el orden de los diferenciales,"}, {"start": 333.8, "end": 338.8, "text": " primero de x y despu\u00e9s de y."}, {"start": 338.8, "end": 345.8, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1"}, {"start": 345.8, "end": 355.8, "text": " y dejamos la integral externa tal como est\u00e1 desde y igual a 0 hasta y igual a 1."}, {"start": 355.8, "end": 365.8, "text": " Y vamos a ocuparnos de la integral interna, es decir la que se debe realizar con respecto de la variable x."}, {"start": 365.8, "end": 374.8, "text": " Podemos dejar aquello que permanece constante totalmente quieto, en este caso seno de y al cubo."}, {"start": 374.8, "end": 382.8, "text": " Y esto multiplica por la integral de x al cubo, recordemos que estamos integrando con respecto a la variable x."}, {"start": 382.8, "end": 400.8, "text": " Integral de x al cubo ser\u00e1 x a la 4 sobre 4 y eso tenemos que evaluarlo entre x igual a 0 y x igual a la ra\u00edz cuadrada de y."}, {"start": 400.8, "end": 408.8, "text": " Cerramos la llave que protege este desarrollo y escribimos el diferencial de y."}, {"start": 408.8, "end": 419.8, "text": " En esta integral podemos extraer este n\u00famero por ser una constante, lo podemos ubicar por fuera como 1 cuarto,"}, {"start": 419.8, "end": 433.8, "text": " esto multiplica a la integral que va desde y igual a 0 hasta y igual a 1 y vamos a evaluar lo que nos queda en estos l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 433.8, "end": 440.8, "text": " Primero entra el l\u00edmite superior, si ra\u00edz cuadrada de y entra aqu\u00ed donde tenemos la x,"}, {"start": 440.8, "end": 453.8, "text": " tenemos ra\u00edz cuadrada de y elevada a la 4 y eso nos da y al cuadrado que multiplica con seno de y al cubo."}, {"start": 453.8, "end": 462.8, "text": " Si luego evaluamos x igual a 0 vemos que aqu\u00ed tenemos 0 a la 4 que nos da 0 y anula completamente la expresi\u00f3n,"}, {"start": 462.8, "end": 470.8, "text": " entonces ser\u00eda esto menos 0 que nos da esto mismo y no podemos olvidar el diferencial de y."}, {"start": 470.8, "end": 479.8, "text": " Ahora tenemos que concentrarnos en el desarrollo de esta integral que ya est\u00e1 en t\u00e9rminos de la variable y."}, {"start": 479.8, "end": 483.8, "text": " Si observamos con atenci\u00f3n vemos que no se puede resolver en forma directa,"}, {"start": 483.8, "end": 494.8, "text": " entonces podemos recurrir al m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable porque encontramos que la derivada de y al cubo nos da 3y al cuadrado"}, {"start": 494.8, "end": 497.8, "text": " y ac\u00e1 por fuera tenemos justamente y al cuadrado."}, {"start": 497.8, "end": 505.8, "text": " Entonces vamos a utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable,"}, {"start": 505.8, "end": 518.8, "text": " vamos a utilizar por ejemplo la letra k para llamar lo que es y al cubo y esto tenemos que derivarlo,"}, {"start": 518.8, "end": 528.8, "text": " decimos entonces derivada de k con respecto a y, es decir la derivada de y al cubo nos da 3y al cuadrado"}, {"start": 528.8, "end": 539.8, "text": " y de all\u00ed podemos despejar de y, para despejar de y esto pasa a multiplicar y 3y al cuadrado pasa a k a dividir."}, {"start": 539.8, "end": 549.8, "text": " En otras palabras estos dos componentes se intercambian y nos queda que de y es igual a de k sobre 3y al cuadrado,"}, {"start": 549.8, "end": 553.8, "text": " aqu\u00ed tenemos otro componente que vamos a necesitar."}, {"start": 553.8, "end": 558.8, "text": " Podemos tambi\u00e9n hacer el cambio de los l\u00edmites de integraci\u00f3n,"}, {"start": 558.8, "end": 563.8, "text": " estos valores de y se pueden llevar a 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de y al cubo,"}, {"start": 630.8, "end": 645.8, "text": " pero y al cubo equivale a la letra k y tenemos el diferencial de y que equivale a dk sobre 3y al cuadrado."}, {"start": 645.8, "end": 652.8, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar y al cuadrado y tambi\u00e9n podemos extraer este n\u00famero 3,"}, {"start": 652.8, "end": 666.8, "text": " nos queda entonces 1 cuarto por 1 tercio y esto multiplicado por la integral que va desde k igual a 0 hasta k igual a 1,"}, {"start": 666.8, "end": 673.8, "text": " y en el integrando tenemos seno de k por su respectivo diferencial de k."}, {"start": 673.8, "end": 682.8, "text": " Continuamos el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1 y multiplicamos estas dos fracciones,"}, {"start": 682.8, "end": 691.8, "text": " eso nos da un doceavo que multiplica a esta integral definida, vamos entonces a resolverla,"}, {"start": 691.8, "end": 706.8, "text": " la integral de seno de k nos da menos coseno de k y esto debe estar evaluado entre k igual a 0 y k 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