LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 11
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando factorización.

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 Vamos a resolver este límite algebraico. Veremos a qué valor tiende esta función cuando x se aproxima a menos 3. Lo primero que tenemos que hacer es evaluar esta expresión en este número. Entonces, en el numerador tenemos 4 por menos 3 al cuadrado más 9 por menos 3 menos 9. Y en el denominador tendremos menos 3 al cubo más 27. Ahora resolvemos esas operaciones. Tenemos acá menos 3 al cuadrado que es 9 positivo, 9 por 4 nos da 36, 9 por menos 3 nos da menos 27 y esto menos 9. Y en el denominador tenemos menos 3 al cubo que es menos 27 más 27. Ahora resolvemos lo que nos quedó allí. Arriba tenemos 36 menos 27 nos da 9, 9 menos 9 nos da 0. En el denominador menos 27 más 27 también nos da 0. Llegamos así a lo que se llama una indeterminación. 0 sobre 0 no es un resultado aceptable para este límite. Esto constituye una voz de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo a esa expresión. En este caso la estrategia que vamos a usar es factorizar completamente el numerador y el denominador de esa expresión. Comenzamos entonces con el numerador donde tenemos un trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c. Vamos entonces a factorizar paso a paso esta expresión. Comenzamos por multiplicar toda la expresión por el coeficiente principal, es decir por 0 nos queda 4 por 4x al cuadrado más 9x menos 9 y contrarrestamos dividiendo todo eso por 4. Entonces primer paso multiplicar y dividir la expresión, o sea el trinomio por su coeficiente principal que en este caso es 4. Enseguida aplicamos la propiedad distributiva en el numerador. Vamos a multiplicar 4 por cada uno de estos términos teniendo presente que en el segundo término no se efectúa la multiplicación sino que se deja expresar. Veamos 4 por 4x al cuadrado nos da 16x al cuadrado allí se ejecuta normalmente más 4 entra a multiplicar con 9x entonces el 4 se agrupa con la x y el 9 se deja por fuera. Todo es lo que se llama dejar la multiplicación indicada o expresada y luego 4 por menos 9 nos da menos 36 allí también se hace la operación normalmente. Y todo eso continúa sobre 4. Enseguida vamos a expresar el primer término como el cuadrado de lo que nos quedó en el segundo término encerrado en paréntesis es decir que 16x al cuadrado puede escribirse como 4x y todo esto al cuadrado podemos verificar que eso es cierto el cuadrado afecta al 4 y afecta a la x por lo tanto se conserva 16x al cuadrado lo demás permanece igual y toda la expresión continúa sobre 4 allí podemos utilizar un recurso que se llama cambio de variable podemos tomar 4x y cambiarlo por otra letra vamos a utilizar por ejemplo la letra q entonces reescribimos esa expresión con esa nueva letra aquí tendremos q al cuadrado más 9 por 4x pero 4x se cambia por q menos 36 y todo eso continúa sobre 4 en el numerador de la fracción tenemos ahora un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c entonces vamos a factorizarlo abrimos dos paréntesis extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería q se anota entonces al comienzo de cada paréntesis ahora definimos los signos aquí tenemos signo positivo más por más nos da más signo del primer paréntesis y más por menos nos da menos que es el signo del segundo paréntesis ahora debemos buscar dos números uno positivo y otro negativo que multiplicados entre sí nos den menos 36 y que al sumarlos nos de como resultado más 9 esos números son más 12 y menos 3 y todo eso continúa sobre 4 después de haber factorizado el numerador de la fracción cambiamos q por su equivalente que es 4x entonces tendremos 4x más 12 y todo eso multiplicado por 4x menos 3 y todo eso nos queda sobre 4 entonces allí deshacemos el cambio de variable lo que hacemos ahora es revisar cada una de estas expresiones para ver en cuál de ellas hay factor común por ejemplo en la primera 4x más 12 podemos extraer como factor común el número 4 que es el máximo común divisor de 4 y 12 si extraemos el 4 nos queda x más 3 la segunda expresión no tiene factor común entonces se deja tal como está y todo eso queda sobre 4 ahora en esta expresión podemos simplificar esos dos números podemos cancelar el 4 y nos va a quedar x más 3 por 4x menos 3 que es la factorización completa de esta expresión que tenemos en el numerador de este modo ya podemos empezar a reconstruir el límite acá en el numerador anotamos la factorización que obtuvimos x más 3 por 4x menos 3 en seguida vamos a factorizar el denominador de esa fracción aquí tenemos otro caso de factorización llamado suma de cubos perfectos vamos a recordar el modelo para factorizar esa situación aquí tenemos la suma de dos cantidades elevadas al cubo vamos entonces con el primer factor que se conforma con las raíces cúbicas de estos dos términos raíz cúbica de a al cubo es a raíz cúbica de b al cubo nos da b y aquí anotamos el mismo signo que tenemos acá o sea signo más este será entonces el factor corto que es un binomio el otro factor se arma de la siguiente forma comenzamos con ese término al cuadrado al cuadrado luego menos este término por este a por b y después más este término al cuadrado entonces el otro factor es un poco más largo es un trinomio y entonces este es el modelo para factorizar una suma de cubos perfectos entonces siguiendo esta instrucción vamos a factorizar x al cubo más 27 abrimos el paréntesis extraemos la raíz cúbica del primer término que sería x y la raíz cúbica del segundo término que es 3 y aquí anotamos el mismo signo que tenemos en la expresión inicial aquí tenemos entonces el factor corto vamos ahora con el factor largo comenzamos con este término al cuadrado o sea x al cuadrado menos este término por este x por 3 nos da 3x y luego más este término al cuadrado o sea 3 al cuadrado que nos da 9 allí tenemos la factorización completa del denominador de esa fracción y eso lo vamos a anotar aquí cuando ya tenemos el límite reconstruido es decir con el numerador y el denominador completamente factorizados revisamos los factores que están allí vemos el factor x más 3 que es el que está causando la indeterminación o sea el 0 sobre 0 porque como vemos x tiende a menos 3 aquí menos 3 más 3 nos da 0 y lo mismo sucede acá en el denominador pero allí ya es posible cancelar o eliminar lícitamente x más 3 entonces vamos a continuar por acá y tendremos el límite cuando x tiende a menos 3 de 4 x menos 3 en el numerador y x al cuadrado menos 3 x más 9 en el denominador lo que hacemos ahora es volver a evaluar esta expresión cuando de x toma el valor menos 3 veamos en el numerador tendremos 4 por menos 3 menos 3 y en el denominador tendremos menos 3 al cuadrado menos 3 por menos 3 y eso más 9 resolvemos ahora todas esas operaciones vamos a continuar por acá en el numerador tendremos 4 por menos 3 que es menos 12 y esto menos 3 mientras que en el denominador tendremos menos 3 al cuadrado que es 9 menos 3 por menos 3 nos da más 9 y luego otra vez más 9 resolvemos arriba menos 12 menos 3 nos da menos 15 y abajo tendremos que la suma de esos números es 27 menos 15 27 abos es una fracción que podemos simplificar podemos sacarle tercera a ambos números decimos tercera de 15 nos da 5 y tercera de 27 nos da 9 por lo tanto el resultado para este ejercicio será menos 5 no menos una fracción que no se puede simplificar más o sea una fracción irreducible con esto entonces terminamos este ejercicio este es el valor al cual tiende esta función cuando x se aproxima a menos 3.
[{"start": 0.0, "end": 12.56, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite algebraico. Veremos a qu\u00e9 valor tiende esta funci\u00f3n cuando"}, {"start": 12.56, "end": 16.080000000000002, "text": " x se aproxima a menos 3."}, {"start": 16.080000000000002, "end": 22.04, "text": " Lo primero que tenemos que hacer es evaluar esta expresi\u00f3n en este n\u00famero. Entonces,"}, {"start": 22.04, "end": 35.66, "text": " en el numerador tenemos 4 por menos 3 al cuadrado m\u00e1s 9 por menos 3 menos 9. Y en el denominador"}, {"start": 35.66, "end": 41.44, "text": " tendremos menos 3 al cubo m\u00e1s 27."}, {"start": 41.44, "end": 48.16, "text": " Ahora resolvemos esas operaciones. Tenemos ac\u00e1 menos 3 al cuadrado que es 9 positivo,"}, {"start": 48.16, "end": 58.559999999999995, "text": " 9 por 4 nos da 36, 9 por menos 3 nos da menos 27 y esto menos 9. Y en el denominador tenemos"}, {"start": 58.559999999999995, "end": 64.72, "text": " menos 3 al cubo que es menos 27 m\u00e1s 27."}, {"start": 64.72, "end": 72.47999999999999, "text": " Ahora resolvemos lo que nos qued\u00f3 all\u00ed. Arriba tenemos 36 menos 27 nos da 9, 9 menos"}, {"start": 72.48, "end": 79.84, "text": " 9 nos da 0. En el denominador menos 27 m\u00e1s 27 tambi\u00e9n nos da 0."}, {"start": 79.84, "end": 87.2, "text": " Llegamos as\u00ed a lo que se llama una indeterminaci\u00f3n. 0 sobre 0 no es un resultado aceptable para"}, {"start": 87.2, "end": 93.96000000000001, "text": " este l\u00edmite. Esto constituye una voz de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo"}, {"start": 93.96000000000001, "end": 96.08000000000001, "text": " a esa expresi\u00f3n."}, {"start": 96.08, "end": 102.4, "text": " En este caso la estrategia que vamos a usar es factorizar completamente el numerador y"}, {"start": 102.4, "end": 106.16, "text": " el denominador de esa expresi\u00f3n."}, {"start": 106.16, "end": 112.2, "text": " Comenzamos entonces con el numerador donde tenemos un trinomio de la forma ax al cuadrado"}, {"start": 112.2, "end": 118.88, "text": " m\u00e1s bx m\u00e1s c. Vamos entonces a factorizar paso a paso esta expresi\u00f3n."}, {"start": 118.88, "end": 124.75999999999999, "text": " Comenzamos por multiplicar toda la expresi\u00f3n por el coeficiente principal, es decir por"}, {"start": 124.76, "end": 136.24, "text": " 0 nos queda 4 por 4x al cuadrado m\u00e1s 9x menos 9 y contrarrestamos dividiendo todo eso por"}, {"start": 136.24, "end": 137.24, "text": " 4."}, {"start": 137.24, "end": 144.68, "text": " Entonces primer paso multiplicar y dividir la expresi\u00f3n, o sea el trinomio por su coeficiente"}, {"start": 144.68, "end": 148.44, "text": " principal que en este caso es 4."}, {"start": 148.44, "end": 154.12, "text": " Enseguida aplicamos la propiedad distributiva en el numerador. Vamos a multiplicar 4 por"}, {"start": 154.12, "end": 159.84, "text": " cada uno de estos t\u00e9rminos teniendo presente que en el segundo t\u00e9rmino no se efect\u00faa"}, {"start": 159.84, "end": 163.68, "text": " la multiplicaci\u00f3n sino que se deja expresar."}, {"start": 163.68, "end": 172.84, "text": " Veamos 4 por 4x al cuadrado nos da 16x al cuadrado all\u00ed se ejecuta normalmente m\u00e1s"}, {"start": 172.84, "end": 182.0, "text": " 4 entra a multiplicar con 9x entonces el 4 se agrupa con la x y el 9 se deja por fuera."}, {"start": 182.0, "end": 189.28, "text": " Todo es lo que se llama dejar la multiplicaci\u00f3n indicada o expresada y luego 4 por menos 9"}, {"start": 189.28, "end": 194.84, "text": " nos da menos 36 all\u00ed tambi\u00e9n se hace la operaci\u00f3n normalmente."}, {"start": 194.84, "end": 198.6, "text": " Y todo eso contin\u00faa sobre 4."}, {"start": 198.6, "end": 204.04, "text": " Enseguida vamos a expresar el primer t\u00e9rmino como el cuadrado de lo que nos qued\u00f3 en el"}, {"start": 204.04, "end": 211.2, "text": " segundo t\u00e9rmino encerrado en par\u00e9ntesis es decir que 16x al cuadrado puede escribirse"}, {"start": 211.2, "end": 219.07999999999998, "text": " como 4x y todo esto al cuadrado podemos verificar que eso es cierto el cuadrado afecta al 4"}, {"start": 219.07999999999998, "end": 226.79999999999998, "text": " y afecta a la x por lo tanto se conserva 16x al cuadrado lo dem\u00e1s permanece igual y toda"}, {"start": 226.79999999999998, "end": 234.73999999999998, "text": " la expresi\u00f3n contin\u00faa sobre 4 all\u00ed podemos utilizar un recurso que se llama cambio de"}, {"start": 234.74, "end": 243.52, "text": " variable podemos tomar 4x y cambiarlo por otra letra vamos a utilizar por ejemplo la letra"}, {"start": 243.52, "end": 252.56, "text": " q entonces reescribimos esa expresi\u00f3n con esa nueva letra aqu\u00ed tendremos q al cuadrado"}, {"start": 252.56, "end": 265.96, "text": " m\u00e1s 9 por 4x pero 4x se cambia por q menos 36 y todo eso contin\u00faa sobre 4 en el numerador"}, {"start": 265.96, "end": 272.8, "text": " de la fracci\u00f3n tenemos ahora un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c entonces"}, {"start": 272.8, "end": 280.0, "text": " vamos a factorizarlo abrimos dos par\u00e9ntesis extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino"}, {"start": 280.0, "end": 286.8, "text": " que ser\u00eda q se anota entonces al comienzo de cada par\u00e9ntesis ahora definimos los signos"}, {"start": 286.8, "end": 292.86, "text": " aqu\u00ed tenemos signo positivo m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s signo del primer par\u00e9ntesis y"}, {"start": 292.86, "end": 298.76, "text": " m\u00e1s por menos nos da menos que es el signo del segundo par\u00e9ntesis ahora debemos buscar"}, {"start": 298.76, "end": 304.84, "text": " dos n\u00fameros uno positivo y otro negativo que multiplicados entre s\u00ed nos den menos"}, {"start": 304.84, "end": 315.15999999999997, "text": " 36 y que al sumarlos nos de como resultado m\u00e1s 9 esos n\u00fameros son m\u00e1s 12 y menos 3"}, {"start": 315.15999999999997, "end": 323.12, "text": " y todo eso contin\u00faa sobre 4 despu\u00e9s de haber factorizado el numerador de la fracci\u00f3n cambiamos"}, {"start": 323.12, "end": 334.79999999999995, "text": " q por su equivalente que es 4x entonces tendremos 4x m\u00e1s 12 y todo eso multiplicado por 4x"}, {"start": 334.8, "end": 343.76, "text": " menos 3 y todo eso nos queda sobre 4 entonces all\u00ed deshacemos el cambio de variable lo"}, {"start": 343.76, "end": 349.8, "text": " que hacemos ahora es revisar cada una de estas expresiones para ver en cu\u00e1l de ellas hay"}, {"start": 349.8, "end": 356.52, "text": " factor com\u00fan por ejemplo en la primera 4x m\u00e1s 12 podemos extraer como factor com\u00fan"}, {"start": 356.52, "end": 364.64, "text": " el n\u00famero 4 que es el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 4 y 12 si extraemos el 4 nos queda x m\u00e1s"}, {"start": 364.64, "end": 374.0, "text": " 3 la segunda expresi\u00f3n no tiene factor com\u00fan entonces se deja tal como est\u00e1 y todo eso"}, {"start": 374.0, "end": 382.36, "text": " queda sobre 4 ahora en esta expresi\u00f3n podemos simplificar esos dos n\u00fameros podemos cancelar"}, {"start": 382.36, "end": 394.59999999999997, "text": " el 4 y nos va a quedar x m\u00e1s 3 por 4x menos 3 que es la factorizaci\u00f3n completa de esta"}, {"start": 394.6, "end": 401.24, "text": " expresi\u00f3n que tenemos en el numerador de este modo ya podemos empezar a reconstruir"}, {"start": 401.24, "end": 409.44, "text": " el l\u00edmite ac\u00e1 en el numerador anotamos la factorizaci\u00f3n que obtuvimos x m\u00e1s 3 por"}, {"start": 409.44, "end": 419.04, "text": " 4x menos 3 en seguida vamos a factorizar el denominador de esa fracci\u00f3n aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 419.04, "end": 425.88, "text": " otro caso de factorizaci\u00f3n llamado suma de cubos perfectos vamos a recordar el modelo"}, {"start": 425.88, "end": 432.68, "text": " para factorizar esa situaci\u00f3n aqu\u00ed tenemos la suma de dos cantidades elevadas al cubo"}, {"start": 432.68, "end": 438.36, "text": " vamos entonces con el primer factor que se conforma con las ra\u00edces c\u00fabicas de estos"}, {"start": 438.36, "end": 446.46000000000004, "text": " dos t\u00e9rminos ra\u00edz c\u00fabica de a al cubo es a ra\u00edz c\u00fabica de b al cubo nos da b y aqu\u00ed"}, {"start": 446.46, "end": 451.71999999999997, "text": " anotamos el mismo signo que tenemos ac\u00e1 o sea signo m\u00e1s este ser\u00e1 entonces el factor"}, {"start": 451.71999999999997, "end": 459.15999999999997, "text": " corto que es un binomio el otro factor se arma de la siguiente forma comenzamos con ese t\u00e9rmino"}, {"start": 459.15999999999997, "end": 468.84, "text": " al cuadrado al cuadrado luego menos este t\u00e9rmino por este a por b y despu\u00e9s m\u00e1s este t\u00e9rmino"}, {"start": 468.84, "end": 476.2, "text": " al cuadrado entonces el otro factor es un poco m\u00e1s largo es un trinomio y entonces"}, {"start": 476.2, "end": 482.7, "text": " este es el modelo para factorizar una suma de cubos perfectos entonces siguiendo esta"}, {"start": 482.7, "end": 489.76, "text": " instrucci\u00f3n vamos a factorizar x al cubo m\u00e1s 27 abrimos el par\u00e9ntesis extraemos la"}, {"start": 489.76, "end": 495.0, "text": " ra\u00edz c\u00fabica del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda x y la ra\u00edz c\u00fabica del segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 495.0, "end": 502.28, "text": " que es 3 y aqu\u00ed anotamos el mismo signo que tenemos en la expresi\u00f3n inicial aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 502.28, "end": 508.36, "text": " entonces el factor corto vamos ahora con el factor largo comenzamos con este t\u00e9rmino"}, {"start": 508.36, "end": 517.68, "text": " al cuadrado o sea x al cuadrado menos este t\u00e9rmino por este x por 3 nos da 3x y luego"}, {"start": 517.68, "end": 525.5999999999999, "text": " m\u00e1s este t\u00e9rmino al cuadrado o sea 3 al cuadrado que nos da 9 all\u00ed tenemos la factorizaci\u00f3n"}, {"start": 525.5999999999999, "end": 533.12, "text": " completa del denominador de esa fracci\u00f3n y eso lo vamos a anotar aqu\u00ed cuando ya tenemos"}, {"start": 533.12, "end": 539.76, "text": " el l\u00edmite reconstruido es decir con el numerador y el denominador completamente factorizados"}, {"start": 539.76, "end": 546.6999999999999, "text": " revisamos los factores que est\u00e1n all\u00ed vemos el factor x m\u00e1s 3 que es el que est\u00e1 causando"}, {"start": 546.7, "end": 553.9200000000001, "text": " la indeterminaci\u00f3n o sea el 0 sobre 0 porque como vemos x tiende a menos 3 aqu\u00ed menos"}, {"start": 553.9200000000001, "end": 561.9200000000001, "text": " 3 m\u00e1s 3 nos da 0 y lo mismo sucede ac\u00e1 en el denominador pero all\u00ed ya es posible cancelar"}, {"start": 561.9200000000001, "end": 570.84, "text": " o eliminar l\u00edcitamente x m\u00e1s 3 entonces vamos a continuar por ac\u00e1 y tendremos el"}, {"start": 570.84, "end": 583.2, "text": " l\u00edmite cuando x tiende a menos 3 de 4 x menos 3 en el numerador y x al cuadrado menos 3"}, {"start": 583.2, "end": 591.72, "text": " x m\u00e1s 9 en el denominador lo que hacemos ahora es volver a evaluar esta expresi\u00f3n cuando"}, {"start": 591.72, "end": 600.96, "text": " de x toma el valor menos 3 veamos en el numerador tendremos 4 por menos 3 menos 3 y en el denominador"}, {"start": 600.96, "end": 612.0400000000001, "text": " tendremos menos 3 al cuadrado menos 3 por menos 3 y eso m\u00e1s 9 resolvemos ahora todas"}, {"start": 612.0400000000001, "end": 619.0400000000001, "text": " esas operaciones vamos a continuar por ac\u00e1 en el numerador tendremos 4 por menos 3 que"}, {"start": 619.04, "end": 627.16, "text": " es menos 12 y esto menos 3 mientras que en el denominador tendremos menos 3 al cuadrado"}, {"start": 627.16, "end": 636.4, "text": " que es 9 menos 3 por menos 3 nos da m\u00e1s 9 y luego otra vez m\u00e1s 9 resolvemos arriba"}, {"start": 636.4, "end": 645.7199999999999, "text": " menos 12 menos 3 nos da menos 15 y abajo tendremos que la suma de esos n\u00fameros es 27 menos"}, {"start": 645.72, "end": 655.4, "text": " 15 27 abos es una fracci\u00f3n que podemos simplificar podemos sacarle tercera a ambos n\u00fameros decimos"}, {"start": 655.4, "end": 665.8000000000001, "text": " tercera de 15 nos da 5 y tercera de 27 nos da 9 por lo tanto el resultado para este ejercicio"}, {"start": 665.8000000000001, "end": 671.76, "text": " ser\u00e1 menos 5 no menos una fracci\u00f3n que no se puede simplificar m\u00e1s o sea una fracci\u00f3n"}, {"start": 671.76, "end": 679.0, "text": " irreducible con esto entonces terminamos este ejercicio este es el valor al cual tiende"}, {"start": 679.0, "end": 702.68, "text": " esta funci\u00f3n cuando x se aproxima a menos 3."}]