MÁXIMO COMÚN DIVISOR: Ejemplos 3 y 4
#julioprofe explica cómo encontrar el Máximo Común Divisor (MCD) de dos conjuntos de números naturales: MCD(16,40) y MCD(24,60,72).

Contenido:

00:00 - 00:33 Introducción
00:33 - 07:33 Ejemplo 1 (forma larga)
07:33 - 12:05 Ejemplo 1 (forma corta)
12:05 - 25:09 Ejemplo 2 (forma larga)
25:09 - 29:59 Ejemplo 2 (forma corta)

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 En esta ocasión vamos a determinar el máximo común divisor para estos dos grupos de números y haremos el procedimiento de dos maneras. La primera es la forma larga, que es la que utilizan los niños que todavía no han visto la descomposición de números en factores primos. La segunda es la forma corta, donde precisamente vamos a determinar el máximo común divisor mediante la descomposición simultánea de estos números en factores primos. Comencemos. Comenzamos determinando el máximo común divisor para 16 y 40 y comenzamos con la forma larga. Entonces vamos a obtener primero el conjunto de divisores del número 16. Lo representamos de esta forma, el conjunto de sub 16. El número 16 se escribe aquí pequeño a la derecha. Entonces comenzamos con el número 1. Recordemos que 1 es divisor de cualquier número natural. 1 es divisor de 16. Seguimos con el 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de 16 o 16 es divisible por 2. Vemos que sí, porque 16 termina en número par. Además en la tabla del 2 nos aparece el 16. Seguimos con el 3. Nos preguntamos si 3 es divisor de 16 o si 16 es divisible por 3. Vemos que no, porque en la tabla del 3 no nos aparece el número 16. Además si sumamos los dígitos de este número, 1 más 6 nos da 7 y 7 no es múltiplo de 3. Entonces con mayor razón decimos que 16 no es divisible por 3. Seguiríamos con el 4. Nos preguntamos si 16 es divisible por 4. Vemos que sí, porque en la tabla del 4 aparece el número 16. Justamente 4 por 4 es 16. Entonces aquí podemos hacer lo siguiente. 4 multiplicado por sí mismo nos da 16. Quiere decir que acá el número que va a continuación debe ser aquel que multiplicado por 2 nos de 16. Vamos a la tabla de multiplicar del número 2. Hacemos la revisión y encontramos que 2 por 8 es 16. Entonces de esa forma vamos conectando ya estos números de forma simétrica. Es decir, teniendo en cuenta que aquel 4 es como la mitad de ese conjunto, entonces los números que van quedando al lado y lado de dicha mitad van a ser parejas que multiplicadas nos den 16. Y entonces el siguiente número, el siguiente divisor de 16 será aquel que multiplicado con 1 nos de 16. Pues justamente se trata del número 16. Siempre comenzamos en 1 y terminamos en el número que estamos examinando. Entonces aquí 16 por 1 o 1 por 16 nos da como resultado 16. Y de esa manera tenemos la tranquilidad de que ese conjunto de divisores está completo. Aplicando esta técnica de formar las parejas y si nos queda un número solo en el centro, quiere decir que se multiplica por sí mismo. 4 por 4 es 16. Vamos ahora con los divisores del número 40. Es el conjunto de sub 40. Y como decíamos ahora, comenzamos siempre con 1. 1 es divisor de cualquier número natural. Nos preguntamos si 2 es divisor de 40 o si 40 es divisible por 2. Vemos que sí porque 40 termina en dígito par, termina en 0. Entonces el 2 es divisor de 40. Nos preguntamos si 3 es divisor de 40. Vemos que si se suman las cifras de este número, 4 más 0 nos da 4 y 4 no es múltiplo de 3. Allí estamos aplicando el criterio de divisibilidad por 3. Entonces 40 no es divisible por 3. Pasamos a examinar el 4. Nos preguntamos si 4 es divisor de 40 o si 40 es divisible por 4. Vemos que sí porque en la tabla de multiplicar del número 4 nos aparece el 40. Entonces el 4 lo incluimos en este conjunto. Vamos ahora con el 5. Vemos que 5 sí va a ser divisor de 40 o 40 es divisible por 5 porque termina en 0. Recordemos que el criterio de divisibilidad por 5 nos dice que todo número terminado en 0 o en 5 es divisible por 5. Entonces incluimos el 5. Vamos con el 6. Nos preguntamos si 6 es divisor de 40. Vemos que en la tabla de multiplicar del 6 está el 40. Vemos que no. Además recordemos que para que un número sea divisible por 6 debe ser divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. Aquí el número es divisible por 2 pero no es divisible por 3. Por lo tanto no es divisible por 6. Pasamos al 7. 7 es divisor de 40. Revisamos en la tabla del 7 y vemos que en ningún momento aparece el 40. Entonces descartamos el 7 como divisor de dicho número. Pasamos al 8. Vemos que en la tabla del 8 sí aparece el 40. Entonces lo incluimos. Y acá como decía en el caso anterior debemos estar muy pendientes porque aquí ya se forma una pareja de números que multiplicada entre sí nos da 40. 5 por 8 es 40. Quiere decir que por aquí se forma la mitad y entonces los números que van quedando al lado y lado van a ser números que multiplicados entre sí nos den 40. El siguiente número será aquel que multiplicado con 4 entonces nos de 40. Nos preguntamos 4 multiplicado por qué número es 40. Revisamos la tabla del 4 y vemos que se trata del número 10. Vamos ahora con un número que multiplicado con 2 nos de 40. Revisamos y se trata del número 20. O también podemos hacer la división 40 dividido entre 2. La hacemos aparte y encontramos que se trata del número 20. Aquí formamos entonces otra parejita y nos queda el número que multiplicado con 1 pues nos de 40. Se trata justamente del número 40. Como decía ahora siempre comenzamos ese conjunto de divisores con el 1 y terminamos con el número que estamos examinando y siempre tratemos de hacer esta verificación de parejas de números para saber que de esa forma el conjunto de divisores está completo. Después de haber encontrado los conjuntos de divisores de estos números entonces vamos a señalar los elementos comunes o repetidos aquellos que están presentes en los dos conjuntos. Vemos que el 1 se repite también tenemos el 2 como elemento repetido. Observamos también el 4 y por acá el número 8. Allí están 4 elementos repetidos o comunes en los dos conjuntos y lo que buscamos es el máximo común divisor. Ya tenemos los divisores comunes los acabamos de señalar ahora de ellos debemos seleccionar el máximo o el más grande o el mayor en este caso se trata del número 8. Entonces de esa forma ya hemos determinado el máximo común divisor de 16 y 40. Se trata del número 8. 8 es el número más grande que está contenido exactamente en 16 y en 40. Es el máximo común divisor de esos dos números. Veamos ahora cuál es la forma corta para determinar el máximo común divisor de 16 y 40. Escribimos esos dos números y trazamos esta línea vertical a la derecha del último y vamos entonces a realizar la descomposición simultánea de esos números en factores primos. Vamos a recordar que son los números primos. Son aquellos números naturales que solamente tienen dos divisores es decir ellos mismos y la unidad entonces comenzamos con el 2 luego tenemos el 3 después tenemos el 5 luego tenemos el 7 después el 11 luego seguimos con el 13 y así sucesivamente este es un conjunto que nunca termina es un conjunto infinito aquellos números naturales que solamente se pueden dividir por ellos mismos y por uno son los números primos entonces los vamos a utilizar para realizar la descomposición simultánea o al mismo tiempo de estos dos números naturales. Comenzamos entonces con el 2 nos preguntamos si 2 es divisor de 16 y de 40 vemos que sí porque estos dos son números pares entonces acá comenzamos usando el número primo 2 decimos cuál es la mitad de 16 o cuántas veces cabe 2 en 16 vemos que se trata de 8 2 por 8 es 16 o 16 dividido entre 2 nos da 8 acá cuál es la mitad de 40 o cuántas veces cabe 2 en 40 o cuánto es 40 dividido entre 2 vemos que eso nos da 20 2 por 20 es 40 seguimos intentando con el número primo 2 entonces nos preguntamos si 2 es divisor de 8 y 20 vemos que sí sirve para los dos porque ambos son números pares entonces utilizamos de nuevo el número primo 2 decimos cuál es la mitad de 8 o cuántas veces cabe 2 en 8 o cuánto es 8 dividido entre 2 y vemos que eso es 4 2 por 4 es 8 ahora para el 20 cuál es la mitad de 20 o cuántas veces cabe 2 en 20 o cuánto es 20 dividido entre 2 y encontramos que eso es 10 2 por 10 nos daría 20 seguimos intentando con el número primo 2 nos preguntamos si 2 le sirve a esos dos números vemos que sí porque siguen siendo pares entonces volvemos aquí a intentar o a utilizar el número primo 2 decimos cuál es la mitad de 4 o cuántas veces cabe 2 en 4 o cuánto es 4 dividido entre 2 y eso nos da 2 ahora con el 10 cuál es la mitad de 10 o cuántas veces cabe 2 en 10 o cuánto es 10 dividido entre 2 y eso nos da 5 2 por 5 es 10 seguimos intentando con el 2 pero vemos que aquí ya 2 no le sirve como divisor al 5 porque este número es impar seguiríamos con el 3 3 no le sirve como divisor a ninguno de estos 2 seguiríamos con el 5 pero 5 solamente le sirve al 5 no le sirve al 2 entonces ya suspendemos la búsqueda de números primos porque repito acá debemos utilizar siempre números primos que le sirvan a los números que tenemos acá y que estamos examinando le deben servir a todos tiene que ser de esa manera entonces allí como decía ya suspendemos la búsqueda y los números que nos han quedado son los que se multiplican entre sí para encontrar el máximo como un divisor recordemos que este producto de números repetidos se puede expresar de forma más comprimida utilizando la potenciación esto se escribe como 2 elevado a la 3 o 2 al cubo el número 2 que es la base se multiplica por sí mismo tres veces es lo que nos indica el exponente y entonces 2 al cubo o 2 elevado a la 3 nos va a dar como resultado 2 por 2 que es 4 y 4 por 2 que es 8 de esa forma encontramos entonces acá el máximo como un divisor de 16 y 40 y podemos observar que nos da el mismo resultado que obtuvimos cuando utilizamos la forma larga pero sin duda pues está es mucho más rápida por eso se llama la forma corta porque lo que hacemos es la descomposición simultánea en factores primos de los números 16 y 40 que son los que estamos examinando vamos con el otro ejercicio donde vamos a determinar el máximo como un divisor de 24 60 y 72 comenzando con la forma larga entonces iniciamos con los divisores de 24 ese conjunto que comienza con el elemento 1 recordemos 1 es divisor de cualquier número natural nos preguntamos si el 2 es divisor de 24 o si 24 es divisible por 2 vemos que sí porque 24 termina en dígito par termina en 4 entonces 2 es divisor de 24 vamos con el 3 nos preguntamos si 3 es divisor de 24 o si 24 es divisible por 3 vemos que sí porque en la tabla del 3 nos aparece el 24 o también sumamos los dígitos de este número 2 más 4 nos da 6 y 6 es múltiplo de 3 por lo tanto 24 si es divisible por 3 vamos ahora con el 4 nos preguntamos si 4 es divisor de 24 o si 24 es divisible por 4 vemos que sí porque en la tabla de multiplicar del número 4 nos aparece justamente el 24 vamos ahora con el 5 nos preguntamos si 5 es divisor de 24 o si 24 es divisible por 5 vemos que no porque 24 no termina en 0 ni en 5 que es el criterio de divisibilidad por 5 vamos ahora con el 6 nos preguntamos si ese número 24 es divisible por 6 vemos que sí porque es divisible por 2 y también es divisible por 3 entonces garantizado va a ser divisible por 6 además en la tabla del 6 nos aparece el 24 y justamente es la parejita que se nos está formando aquí 4 por 6 o 6 por 4 nos da 24 o sea que por aquí tenemos la mitad de ese conjunto por lo tanto los números que nos van quedando al lado y lado de forma simétrica entonces multiplicados entre sí nos tienen que dar como resultado 24 el número que va a continuación será la pareja del número 3 o sea el número que multiplicado con 3 nos da como resultado 24 revisamos la tabla del 3 y encontramos que 3 por 8 es 24 ahora vamos con el número que multiplicado con 2 nos da como resultado 24 revisamos la tabla del 2 la podemos construir o también podemos dividir 24 entre 2 hacemos la división por allá aparte y encontramos que ese número es 12 entonces 12 forma pareja con el número 2 2 por 12 o 12 por 2 es 24 y nos queda el número que multiplicado con 1 nos da como resultado 24 pues justamente es 24 recordemos que como decíamos siempre comenzamos con 1 y terminamos con el número que estamos examinando en ese conjunto de divisores 24 conecta entonces con 1 allí tenemos entonces el conjunto de divisores de 24 recordemos muy importante estar pendientes de la formación de estas parejas de números para asegurarnos de ese modo que el conjunto de divisores está completo vamos ahora a construir el conjunto de divisores del número 60 divisores de 60 y comenzamos como siempre con el número natural 1 1 es divisor de 60 seguimos con el 2 2 es divisor de 60 o 60 será divisible por 2 porque 60 termina en dígito par que es el 0 seguimos con el 3 nos preguntamos si 3 es divisor de 60 o si 60 es divisible por 3 si sumamos los dígitos de este número 6 más 0 nos da 6 y 6 es múltiplo de 3 por lo tanto 60 es divisible por 3 vamos con el 4 nos preguntamos si 60 es divisible por 4 entonces en ese caso podríamos construir la tabla de multiplicar del número 4 y vamos a encontrar que si nos aparece el 60 o también aparte podríamos dividir 60 entre 4 de hecho eso nos da como resultado 15 es una operación que podemos hacer aparte seguimos con el 5 nos preguntamos si 5 es divisor de 60 o si 60 es divisible por 5 vemos que sí porque 60 termina en 0 entonces incluimos el 5 como parte de ese conjunto vamos con el 6 nos preguntamos si 60 es divisible por 6 vemos que sí porque 60 es divisible por 2 y también es divisible por 3 entonces garantizado será divisible por 6 eso es lo que nos dice el criterio de divisibilidad por 6 si un número es divisible por 2 y también es divisible por 3 entonces será divisible por 6 además en la tabla del 6 nos aparece justamente el 60 vamos con el 7 nos preguntamos si 60 es divisible por 7 vemos que no porque si construimos la tabla del 7 no nos aparece el número 60 seguiríamos con el 8 nos preguntamos si 8 es divisor de 60 o si 60 es divisible por 8 vemos que tampoco porque en la tabla de multiplicar del número 8 no aparece el número 60 vamos con el 9 nos preguntamos lo mismo si 9 es divisor de 60 o si 60 es divisible por 9 vemos que no porque si construimos la tabla de multiplicar del 9 entonces no aparece el número 60 llegamos al 10 10 si es divisor de 60 o 60 será divisible por 10 porque 60 termina en 0 entonces acá incluimos el 10 y ya se forma entonces una parejita de números que multiplicados entre sí nos da como resultado 60 aquí la tenemos 10 por 6 o 6 por 10 es 60 o sea que el siguiente número debe ser pareja del número 5 el número que multiplicado por 5 nos de 60 allí podemos hacer la división dividimos 60 entre 5 o construimos la tabla del 5 y vamos a encontrar que el número que buscamos es el 12 12 por 5 o 5 por 12 nos da como resultado 60 el número que va a continuación debe ser pareja del número 4 como les decía anteriormente al hacer la división 60 entre 4 para ver si 4 era divisor de 60 eso nos da como resultado 15 entonces 15 es el número que va aquí 15 por 4 o 4 por 15 nos da como resultado 60 el número que va a continuación es la pareja del 3 entonces 3 multiplicado por qué número nos da 60 podemos hacer la división 60 dividido entre 3 y eso nos da como resultado 20 vamos ahora con el siguiente número aquel que forma pareja con el 2 entonces veamos será el número que multiplicado con 2 nos de como resultado 60 o también la mitad de 60 ese número será 30 también podríamos hacer la división 60 dividido entre 2 y obtenemos como resultado 30 y por último el número que forma pareja con el 1 entonces que número multiplicado por 1 nos da como resultado 60 pues se trata justamente del número 60 recordemos siempre empezamos con el 1 y terminamos con el número que estamos examinando en este caso el número 60 y allí tenemos el conjunto de divisores de 60 el conjunto completo como siempre haciendo la revisión por aquí tenemos la mitad de que los números que están al lado y lado de esa mitad entonces van formando parejas que multiplicadas entre sí nos da como resultado el número que estamos examinando en ese caso el 60 vamos ahora con los divisores del número 72 entonces construimos ese conjunto comenzando con el número natural 1 uno es divisor de cualquier número en este caso 1 es divisor de 72 vamos con el 2 nos preguntamos si 72 es divisible por 2 vemos que sí porque 72 termina en dígito par que es el 2 entonces aquí incluimos el 2 como divisor vamos con el 3 entonces utilizamos el criterio de divisibilidad por 3 para saber si 72 es divisible por 3 sumamos los dígitos de este número 7 más 2 nos da 9 y 9 es múltiplo de 3 entonces se confirma que 72 es divisible por 3 o 3 es divisor de 72 vamos con el 4 nos preguntamos si 4 es divisor de 72 o si 72 es divisible por 4 en ese caso debemos hacer aparte la división 72 dividido entre 4 vemos que esa división es exacta y nos da como resultado 18 entonces 4 sí es divisor de 72 vamos con el 5 5 no es divisor de 72 o 72 no es divisible por 5 porque no termina en 0 ni en 5 pasamos al 6 vemos que 72 es divisible por 2 y también es divisible por 3 por lo tanto será divisible por 6 con toda seguridad vamos con el 7 vemos si en la tabla del 7 aparece el 72 vemos que eso no es posible o nunca aparece el 72 entonces descartamos que sea divisible por 7 vamos con el 8 entonces nos preguntamos si en la tabla del 8 nos aparece 72 vemos que sí justamente cuando hacemos 8 por 9 nos da 72 entonces allí aparece el siguiente número y ya tenemos la primera pareja 8 por 9 es 72 entonces el número que va a continuación es el que forma pareja con el 6 y en ese caso bueno tendríamos que hacer la división 72 dividido entre 6 la hacemos aparte y encontramos que ese número que buscamos es el 12 entonces 12 por 6 o 6 por 12 nos da como resultado 72 el número que va a continuación es el que multiplicado por 4 nos da 72 y se trata del 18 es lo que mencionaba anteriormente que cuando dividimos 72 entre 4 esa división es exacta y nos da como resultado 18 entonces allí tenemos la otra pareja de números vamos con el número que multiplicado con 3 nos da 72 entonces tenemos dos opciones una sería construir la tabla de multiplicar del número 3 hasta que encontremos el 72 o la otra es dividir 72 entre 3 hacemos el proceso de la división aparte encontramos que ese número que buscamos es 24 voy a conectarlos por acá por acá por encima ahora seguimos con el número que hace pareja con el 2 entonces podríamos dividir 72 entre 2 hacemos el proceso aparte y encontramos que ese número es 36 entonces 36 multiplicado por 2 nos da 72 y por último vamos a incluir el número 72 que es el que hace pareja con el 1 claro 72 multiplicado por 1 pues nos da como resultado 72 y de esa forma ya podemos cerrar el conjunto ya tenemos la tranquilidad de que ese conjunto de divisores de 72 está completo después de tener los conjuntos de divisores para esos tres números entonces lo que hacemos ahora es señalar los elementos comunes o repetidos vemos que el 1 está en los tres conjuntos también el número 2 también observamos el 3 como elemento repetido lo mismo pasa con el 4 también observamos el número 6 y también detectamos el número 12 como elemento repetido y allí tenemos los divisores comunes en esos tres conjuntos ahora de esos números seleccionados o señalados vamos a escoger el máximo o el mayor en ese caso se trata del número 12 y de esa forma determinamos ya el máximo como un divisor para 24 60 y 72 utilizando la forma larga se trata del número 12 12 es el número más grande que está contenido exactamente en 24 en 60 y en 72 ahora vamos a determinar el máximo como un divisor de 24 60 y 72 utilizando la forma corta es decir con la descomposición simultánea en factores primos de estos tres números que escribimos por acá espaciados entre sí y trazamos esta línea vertical a la derecha del último vamos a recordar por acá el conjunto de números primos los números naturales que solamente tienen dos divisores ellos mismos y la unidad entonces son el 2 el 3 el 5 tenemos el 7 luego tenemos el 11 después tenemos el 13 siguiendo el orden de los números primos y este conjunto es infinito anotamos los puntos suspensivos indicando que nunca termina entonces comenzamos examinando el número primo 2 nos preguntamos si 2 le sirve como divisor a estos tres números vemos que sí porque todos son números pares entonces comenzamos con el número primo 2 decimos cuál es la mitad de 24 o cuántas veces cabe 12 24 o cuánto es 24 dividido entre 2 y eso nos da como resultado 12 ahora cuál es la mitad de 60 o cuántas veces cabe 2 en 60 o cuánto es 60 dividido entre 2 y eso nos da como resultado 30 lo mismo con el 72 cuál es la mitad de 72 o cuántas veces cabe 2 en 72 o cuánto es 72 dividido entre 2 y encontramos que eso nos da 36 allí podemos ejecutar esas divisiones por aparte seguimos intentando con el número primo 2 nos preguntamos si 2 es divisor de estos tres números vemos que sí a todos les sirve porque estos son números pares entonces utilizamos acá el número primo 2 decimos cuál es la mitad de 12 o cuántas veces cabe 2 en 12 o cuánto es 12 dividido entre 2 y esto nos da como resultado 6 lo mismo con el 30 cuál es la mitad de 30 o cuántas veces cabe 2 en 30 o cuánto es 30 dividido entre 2 y esto nos da 15 vamos con 36 cuál es la mitad de 36 o cuántas veces cabe 2 en 36 o cuánto es 36 dividido entre 2 y eso nos da 18 volvemos a intentar con el número primo 2 vemos que 2 le sirve a 18 y también le sirve a 6 porque son números pares pero no sirve para 15 porque 15 es número impar entonces ya no podemos usar más el número primo 2 pasamos a examinar el siguiente número primo que es el 3 nos preguntamos si 3 es divisor de 6 de 15 y de 18 vemos que sí porque estos números son múltiples del 3 ellos aparecen en la tabla de multiplicar del 3 entonces usamos ese siguiente número primo decimos cuál es la tercera de 6 o cuántas veces cabe 3 en 6 o cuánto es 6 dividido entre 3 y eso nos da 2 lo mismo con el 15 cuál es la tercera parte de 15 o cuántas veces cabe 3 en 15 o cuánto es 15 dividido entre 3 y eso nos da 5 ahora con 18 cuál es la tercera o la tercera parte de 18 o cuántas veces cabe 3 en 18 o cuánto es 18 dividido entre 3 y eso nos da 6 volvemos a intentar con el 3 vemos que 3 le sirve al 6 únicamente ya no le sirve a 5 tampoco le sirve a 2 pasaríamos a examinar el siguiente número primo que es el 5 pero 5 solamente le sirve a 5 no le sirve a 6 tampoco le sirve a 2 y bueno ya ninguno de los demás números primos nos va a servir entonces allí nos toca suspender el proceso y ya nos quedamos solamente con estos números que aparecen a la derecha de la línea vertical 2 por 2 por 3 aquí podemos resumir esa escritura 2 por 2 utilizando la potenciación sería 2 al cuadrado y esto queda por 3 recordemos el 2 se multiplica por sí mismo dos veces lo podemos expresar como la potencia 2 a la 2 o 2 al cuadrado esa es la base y este es el exponente y esto al final nos da 2 por 2 que es 4 y 4 por 3 es 12 entonces de esa forma encontramos el máximo común divisor de 24 60 y 72 utilizando la forma corta mucho más corta mucho más breve que la anterior pero al final obtenemos el mismo resultado solamente que acá lo que hemos hecho es la descomposición simultánea o al mismo tiempo de estos 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Seguimos con el 3. Nos preguntamos si 3 es divisor de 16 o si"}, {"start": 79.52, "end": 85.28, "text": " 16 es divisible por 3. Vemos que no, porque en la tabla del 3 no nos aparece el n\u00famero"}, {"start": 85.28, "end": 92.24, "text": " 16. Adem\u00e1s si sumamos los d\u00edgitos de este n\u00famero, 1 m\u00e1s 6 nos da 7 y 7 no es m\u00faltiplo"}, {"start": 92.24, "end": 98.44, "text": " de 3. Entonces con mayor raz\u00f3n decimos que 16 no es divisible por 3. Seguir\u00edamos con"}, {"start": 98.44, "end": 104.58, "text": " el 4. Nos preguntamos si 16 es divisible por 4. Vemos que s\u00ed, porque en la tabla del 4"}, {"start": 104.58, "end": 112.16, "text": " aparece el n\u00famero 16. Justamente 4 por 4 es 16. Entonces aqu\u00ed podemos hacer lo siguiente."}, {"start": 112.16, "end": 119.2, "text": " 4 multiplicado por s\u00ed mismo nos da 16. Quiere decir que ac\u00e1 el n\u00famero que va a continuaci\u00f3n"}, {"start": 119.2, "end": 125.6, "text": " debe ser aquel que multiplicado por 2 nos de 16. Vamos a la tabla de multiplicar del"}, {"start": 125.6, "end": 132.78, "text": " n\u00famero 2. Hacemos la revisi\u00f3n y encontramos que 2 por 8 es 16. Entonces de esa forma"}, {"start": 132.78, "end": 138.4, "text": " vamos conectando ya estos n\u00fameros de forma sim\u00e9trica. Es decir, teniendo en cuenta que"}, {"start": 138.4, "end": 144.42000000000002, "text": " aquel 4 es como la mitad de ese conjunto, entonces los n\u00fameros que van quedando al lado y lado"}, {"start": 144.42000000000002, "end": 151.48, "text": " de dicha mitad van a ser parejas que multiplicadas nos den 16. Y entonces el siguiente n\u00famero,"}, {"start": 151.48, "end": 158.48, "text": " el siguiente divisor de 16 ser\u00e1 aquel que multiplicado con 1 nos de 16. Pues justamente"}, {"start": 158.48, "end": 164.34, "text": " se trata del n\u00famero 16. Siempre comenzamos en 1 y terminamos en el n\u00famero que estamos"}, {"start": 164.34, "end": 173.33999999999997, "text": " examinando. Entonces aqu\u00ed 16 por 1 o 1 por 16 nos da como resultado 16. Y de esa manera"}, {"start": 173.33999999999997, "end": 179.62, "text": " tenemos la tranquilidad de que ese conjunto de divisores est\u00e1 completo. Aplicando esta"}, {"start": 179.62, "end": 185.07999999999998, "text": " t\u00e9cnica de formar las parejas y si nos queda un n\u00famero solo en el centro, quiere decir"}, {"start": 185.08, "end": 191.62, "text": " que se multiplica por s\u00ed mismo. 4 por 4 es 16. Vamos ahora con los divisores del n\u00famero"}, {"start": 191.62, "end": 199.54000000000002, "text": " 40. Es el conjunto de sub 40. Y como dec\u00edamos ahora, comenzamos siempre con 1. 1 es divisor"}, {"start": 199.54000000000002, "end": 205.08, "text": " de cualquier n\u00famero natural. Nos preguntamos si 2 es divisor de 40 o si 40 es divisible"}, {"start": 205.08, "end": 211.82000000000002, "text": " por 2. Vemos que s\u00ed porque 40 termina en d\u00edgito par, termina en 0. Entonces el 2 es"}, {"start": 211.82, "end": 217.94, "text": " divisor de 40. Nos preguntamos si 3 es divisor de 40. Vemos que si se suman las cifras de"}, {"start": 217.94, "end": 224.7, "text": " este n\u00famero, 4 m\u00e1s 0 nos da 4 y 4 no es m\u00faltiplo de 3. All\u00ed estamos aplicando el criterio"}, {"start": 224.7, "end": 231.66, "text": " de divisibilidad por 3. Entonces 40 no es divisible por 3. Pasamos a examinar el 4."}, {"start": 231.66, "end": 236.62, "text": " Nos preguntamos si 4 es divisor de 40 o si 40 es divisible por 4. Vemos que s\u00ed porque"}, {"start": 236.62, "end": 242.66, "text": " en la tabla de multiplicar del n\u00famero 4 nos aparece el 40. Entonces el 4 lo incluimos"}, {"start": 242.66, "end": 249.42000000000002, "text": " en este conjunto. Vamos ahora con el 5. Vemos que 5 s\u00ed va a ser divisor de 40 o 40 es divisible"}, {"start": 249.42000000000002, "end": 255.58, "text": " por 5 porque termina en 0. Recordemos que el criterio de divisibilidad por 5 nos dice"}, {"start": 255.58, "end": 263.06, "text": " que todo n\u00famero terminado en 0 o en 5 es divisible por 5. Entonces incluimos el 5."}, {"start": 263.06, "end": 267.9, "text": " Vamos con el 6. Nos preguntamos si 6 es divisor de 40. Vemos que en la tabla de multiplicar"}, {"start": 267.9, "end": 274.06, "text": " del 6 est\u00e1 el 40. Vemos que no. Adem\u00e1s recordemos que para que un n\u00famero sea divisible por"}, {"start": 274.06, "end": 279.34000000000003, "text": " 6 debe ser divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. Aqu\u00ed el n\u00famero es divisible por"}, {"start": 279.34000000000003, "end": 286.5, "text": " 2 pero no es divisible por 3. Por lo tanto no es divisible por 6. Pasamos al 7. 7 es"}, {"start": 286.5, "end": 292.5, "text": " divisor de 40. Revisamos en la tabla del 7 y vemos que en ning\u00fan momento aparece el"}, {"start": 292.5, "end": 298.86, "text": " 40. Entonces descartamos el 7 como divisor de dicho n\u00famero. Pasamos al 8. Vemos que"}, {"start": 298.86, "end": 305.86, "text": " en la tabla del 8 s\u00ed aparece el 40. Entonces lo incluimos. Y ac\u00e1 como dec\u00eda en el caso"}, {"start": 305.86, "end": 311.48, "text": " anterior debemos estar muy pendientes porque aqu\u00ed ya se forma una pareja de n\u00fameros que"}, {"start": 311.48, "end": 319.34, "text": " multiplicada entre s\u00ed nos da 40. 5 por 8 es 40. Quiere decir que por aqu\u00ed se forma"}, {"start": 319.34, "end": 325.02, "text": " la mitad y entonces los n\u00fameros que van quedando al lado y lado van a ser n\u00fameros que multiplicados"}, {"start": 325.02, "end": 331.9, "text": " entre s\u00ed nos den 40. El siguiente n\u00famero ser\u00e1 aquel que multiplicado con 4 entonces"}, {"start": 331.9, "end": 337.91999999999996, "text": " nos de 40. Nos preguntamos 4 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero es 40. Revisamos la tabla"}, {"start": 337.91999999999996, "end": 344.41999999999996, "text": " del 4 y vemos que se trata del n\u00famero 10. Vamos ahora con un n\u00famero que multiplicado"}, {"start": 344.42, "end": 351.74, "text": " con 2 nos de 40. Revisamos y se trata del n\u00famero 20. O tambi\u00e9n podemos hacer la divisi\u00f3n"}, {"start": 351.74, "end": 358.62, "text": " 40 dividido entre 2. La hacemos aparte y encontramos que se trata del n\u00famero 20. Aqu\u00ed formamos"}, {"start": 358.62, "end": 366.06, "text": " entonces otra parejita y nos queda el n\u00famero que multiplicado con 1 pues nos de 40. Se"}, {"start": 366.06, "end": 373.98, "text": " trata justamente del n\u00famero 40. Como dec\u00eda ahora siempre comenzamos ese conjunto de divisores"}, {"start": 373.98, "end": 380.22, "text": " con el 1 y terminamos con el n\u00famero que estamos examinando y siempre tratemos de hacer esta"}, {"start": 380.22, "end": 386.28000000000003, "text": " verificaci\u00f3n de parejas de n\u00fameros para saber que de esa forma el conjunto de divisores"}, {"start": 386.28000000000003, "end": 392.86, "text": " est\u00e1 completo. Despu\u00e9s de haber encontrado los conjuntos de divisores de estos n\u00fameros"}, {"start": 392.86, "end": 399.42, "text": " entonces vamos a se\u00f1alar los elementos comunes o repetidos aquellos que est\u00e1n presentes"}, {"start": 399.42, "end": 406.78000000000003, "text": " en los dos conjuntos. Vemos que el 1 se repite tambi\u00e9n tenemos el 2 como elemento repetido."}, {"start": 406.78000000000003, "end": 414.78000000000003, "text": " Observamos tambi\u00e9n el 4 y por ac\u00e1 el n\u00famero 8. All\u00ed est\u00e1n 4 elementos repetidos o comunes"}, {"start": 414.78000000000003, "end": 420.24, "text": " en los dos conjuntos y lo que buscamos es el m\u00e1ximo com\u00fan divisor. Ya tenemos los"}, {"start": 420.24, "end": 426.22, "text": " divisores comunes los acabamos de se\u00f1alar ahora de ellos debemos seleccionar el m\u00e1ximo"}, {"start": 426.22, "end": 434.34000000000003, "text": " o el m\u00e1s grande o el mayor en este caso se trata del n\u00famero 8. Entonces de esa forma"}, {"start": 434.34000000000003, "end": 443.14000000000004, "text": " ya hemos determinado el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 16 y 40. Se trata del n\u00famero 8. 8 es el"}, {"start": 443.14000000000004, "end": 451.3, "text": " n\u00famero m\u00e1s grande que est\u00e1 contenido exactamente en 16 y en 40. Es el m\u00e1ximo com\u00fan divisor"}, {"start": 451.3, "end": 457.3, "text": " de esos dos n\u00fameros. Veamos ahora cu\u00e1l es la forma corta para determinar el m\u00e1ximo"}, {"start": 457.3, "end": 464.3, "text": " com\u00fan divisor de 16 y 40. Escribimos esos dos n\u00fameros y trazamos esta l\u00ednea vertical"}, {"start": 464.3, "end": 469.48, "text": " a la derecha del \u00faltimo y vamos entonces a realizar la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea de"}, {"start": 469.48, "end": 475.22, "text": " esos n\u00fameros en factores primos. Vamos a recordar que son los n\u00fameros primos. Son"}, {"start": 475.22, "end": 481.28000000000003, "text": " aquellos n\u00fameros naturales que solamente tienen dos divisores es decir ellos mismos y la unidad"}, {"start": 481.28, "end": 489.21999999999997, "text": " entonces comenzamos con el 2 luego tenemos el 3 despu\u00e9s tenemos el 5 luego tenemos el 7"}, {"start": 489.21999999999997, "end": 498.02, "text": " despu\u00e9s el 11 luego seguimos con el 13 y as\u00ed sucesivamente este es un conjunto que nunca termina"}, {"start": 498.02, "end": 505.38, "text": " es un conjunto infinito aquellos n\u00fameros naturales que solamente se pueden dividir por ellos mismos"}, {"start": 505.38, "end": 512.66, "text": " y por uno son los n\u00fameros primos entonces los vamos a utilizar para realizar la descomposici\u00f3n"}, {"start": 512.66, "end": 520.02, "text": " simult\u00e1nea o al mismo tiempo de estos dos n\u00fameros naturales. Comenzamos entonces con el 2 nos"}, {"start": 520.02, "end": 527.2, "text": " preguntamos si 2 es divisor de 16 y de 40 vemos que s\u00ed porque estos dos son n\u00fameros pares entonces"}, {"start": 527.2, "end": 534.74, "text": " ac\u00e1 comenzamos usando el n\u00famero primo 2 decimos cu\u00e1l es la mitad de 16 o cu\u00e1ntas veces cabe 2"}, {"start": 534.74, "end": 543.34, "text": " en 16 vemos que se trata de 8 2 por 8 es 16 o 16 dividido entre 2 nos da 8 ac\u00e1 cu\u00e1l es la mitad"}, {"start": 543.34, "end": 551.94, "text": " de 40 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 40 o cu\u00e1nto es 40 dividido entre 2 vemos que eso nos da 20 2 por"}, {"start": 551.94, "end": 559.94, "text": " 20 es 40 seguimos intentando con el n\u00famero primo 2 entonces nos preguntamos si 2 es divisor de 8 y"}, {"start": 559.94, "end": 567.7800000000001, "text": " 20 vemos que s\u00ed sirve para los dos porque ambos son n\u00fameros pares entonces utilizamos de nuevo el"}, {"start": 567.7800000000001, "end": 575.3000000000001, "text": " n\u00famero primo 2 decimos cu\u00e1l es la mitad de 8 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 8 o cu\u00e1nto es 8 dividido"}, {"start": 575.3000000000001, "end": 584.1800000000001, "text": " entre 2 y vemos que eso es 4 2 por 4 es 8 ahora para el 20 cu\u00e1l es la mitad de 20 o cu\u00e1ntas veces cabe"}, {"start": 584.18, "end": 592.78, "text": " 2 en 20 o cu\u00e1nto es 20 dividido entre 2 y encontramos que eso es 10 2 por 10 nos dar\u00eda 20 seguimos"}, {"start": 592.78, "end": 598.8199999999999, "text": " intentando con el n\u00famero primo 2 nos preguntamos si 2 le sirve a esos dos n\u00fameros vemos que s\u00ed"}, {"start": 598.8199999999999, "end": 606.8199999999999, "text": " porque siguen siendo pares entonces volvemos aqu\u00ed a intentar o a utilizar el n\u00famero primo 2 decimos"}, {"start": 606.82, "end": 614.86, "text": " cu\u00e1l es la mitad de 4 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 4 o cu\u00e1nto es 4 dividido entre 2 y eso nos da 2 ahora"}, {"start": 614.86, "end": 621.46, "text": " con el 10 cu\u00e1l es la mitad de 10 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 10 o cu\u00e1nto es 10 dividido entre 2 y eso"}, {"start": 621.46, "end": 629.22, "text": " nos da 5 2 por 5 es 10 seguimos intentando con el 2 pero vemos que aqu\u00ed ya 2 no le sirve como divisor"}, {"start": 629.22, "end": 635.7800000000001, "text": " al 5 porque este n\u00famero es impar seguir\u00edamos con el 3 3 no le sirve como divisor a ninguno de estos"}, {"start": 635.78, "end": 643.98, "text": " 2 seguir\u00edamos con el 5 pero 5 solamente le sirve al 5 no le sirve al 2 entonces ya suspendemos la"}, {"start": 643.98, "end": 650.06, "text": " b\u00fasqueda de n\u00fameros primos porque repito ac\u00e1 debemos utilizar siempre n\u00fameros primos que le"}, {"start": 650.06, "end": 656.9599999999999, "text": " sirvan a los n\u00fameros que tenemos ac\u00e1 y que estamos examinando le deben servir a todos tiene"}, {"start": 656.9599999999999, "end": 662.9, "text": " que ser de esa manera entonces all\u00ed como dec\u00eda ya suspendemos la b\u00fasqueda y los n\u00fameros que nos"}, {"start": 662.9, "end": 669.4599999999999, "text": " han quedado son los que se multiplican entre s\u00ed para encontrar el m\u00e1ximo como un divisor recordemos"}, {"start": 669.4599999999999, "end": 676.02, "text": " que este producto de n\u00fameros repetidos se puede expresar de forma m\u00e1s comprimida utilizando la"}, {"start": 676.02, "end": 684.8199999999999, "text": " potenciaci\u00f3n esto se escribe como 2 elevado a la 3 o 2 al cubo el n\u00famero 2 que es la base se multiplica"}, {"start": 684.8199999999999, "end": 692.1, "text": " por s\u00ed mismo tres veces es lo que nos indica el exponente y entonces 2 al cubo o 2 elevado a la"}, {"start": 692.1, "end": 700.62, "text": " 3 nos va a dar como resultado 2 por 2 que es 4 y 4 por 2 que es 8 de esa forma encontramos entonces"}, {"start": 700.62, "end": 708.26, "text": " ac\u00e1 el m\u00e1ximo como un divisor de 16 y 40 y podemos observar que nos da el mismo resultado"}, {"start": 708.26, "end": 714.78, "text": " que obtuvimos cuando utilizamos la forma larga pero sin duda pues est\u00e1 es mucho m\u00e1s r\u00e1pida por"}, {"start": 714.78, "end": 720.62, "text": " eso se llama la forma corta porque lo que hacemos es la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea en factores primos"}, {"start": 720.62, "end": 727.46, "text": " de los n\u00fameros 16 y 40 que son los que estamos examinando vamos con el otro ejercicio donde"}, {"start": 727.46, "end": 735.5, "text": " vamos a determinar el m\u00e1ximo como un divisor de 24 60 y 72 comenzando con la forma larga entonces"}, {"start": 735.5, "end": 743.9, "text": " iniciamos con los divisores de 24 ese conjunto que comienza con el elemento 1 recordemos 1 es"}, {"start": 743.9, "end": 750.58, "text": " divisor de cualquier n\u00famero natural nos preguntamos si el 2 es divisor de 24 o si 24 es divisible por"}, {"start": 750.58, "end": 759.46, "text": " 2 vemos que s\u00ed porque 24 termina en d\u00edgito par termina en 4 entonces 2 es divisor de 24 vamos con"}, {"start": 759.46, "end": 766.26, "text": " el 3 nos preguntamos si 3 es divisor de 24 o si 24 es divisible por 3 vemos que s\u00ed porque en la"}, {"start": 766.26, "end": 774.4200000000001, "text": " tabla del 3 nos aparece el 24 o tambi\u00e9n sumamos los d\u00edgitos de este n\u00famero 2 m\u00e1s 4 nos da 6 y 6 es"}, {"start": 774.42, "end": 782.3399999999999, "text": " m\u00faltiplo de 3 por lo tanto 24 si es divisible por 3 vamos ahora con el 4 nos preguntamos si 4 es"}, {"start": 782.3399999999999, "end": 788.86, "text": " divisor de 24 o si 24 es divisible por 4 vemos que s\u00ed porque en la tabla de multiplicar del n\u00famero"}, {"start": 788.86, "end": 798.18, "text": " 4 nos aparece justamente el 24 vamos ahora con el 5 nos preguntamos si 5 es divisor de 24 o si 24"}, {"start": 798.18, "end": 806.26, "text": " es divisible por 5 vemos que no porque 24 no termina en 0 ni en 5 que es el criterio de"}, {"start": 806.26, "end": 812.8599999999999, "text": " divisibilidad por 5 vamos ahora con el 6 nos preguntamos si ese n\u00famero 24 es divisible por 6"}, {"start": 812.8599999999999, "end": 819.8199999999999, "text": " vemos que s\u00ed porque es divisible por 2 y tambi\u00e9n es divisible por 3 entonces garantizado va a ser"}, {"start": 819.8199999999999, "end": 827.4599999999999, "text": " divisible por 6 adem\u00e1s en la tabla del 6 nos aparece el 24 y justamente es la parejita que se"}, {"start": 827.46, "end": 836.84, "text": " nos est\u00e1 formando aqu\u00ed 4 por 6 o 6 por 4 nos da 24 o sea que por aqu\u00ed tenemos la mitad de ese"}, {"start": 836.84, "end": 843.74, "text": " conjunto por lo tanto los n\u00fameros que nos van quedando al lado y lado de forma sim\u00e9trica entonces"}, {"start": 843.74, "end": 850.14, "text": " multiplicados entre s\u00ed nos tienen que dar como resultado 24 el n\u00famero que va a continuaci\u00f3n"}, {"start": 850.14, "end": 857.1800000000001, "text": " ser\u00e1 la pareja del n\u00famero 3 o sea el n\u00famero que multiplicado con 3 nos da como resultado"}, {"start": 857.18, "end": 866.02, "text": " 24 revisamos la tabla del 3 y encontramos que 3 por 8 es 24 ahora vamos con el n\u00famero que"}, {"start": 866.02, "end": 872.9, "text": " multiplicado con 2 nos da como resultado 24 revisamos la tabla del 2 la podemos construir"}, {"start": 872.9, "end": 880.3399999999999, "text": " o tambi\u00e9n podemos dividir 24 entre 2 hacemos la divisi\u00f3n por all\u00e1 aparte y encontramos que ese"}, {"start": 880.34, "end": 891.1, "text": " n\u00famero es 12 entonces 12 forma pareja con el n\u00famero 2 2 por 12 o 12 por 2 es 24 y nos queda"}, {"start": 891.1, "end": 898.22, "text": " el n\u00famero que multiplicado con 1 nos da como resultado 24 pues justamente es 24 recordemos"}, {"start": 898.22, "end": 905.5, "text": " que como dec\u00edamos siempre comenzamos con 1 y terminamos con el n\u00famero que estamos examinando"}, {"start": 905.5, "end": 913.22, "text": " en ese conjunto de divisores 24 conecta entonces con 1 all\u00ed tenemos entonces el conjunto de"}, {"start": 913.22, "end": 918.66, "text": " divisores de 24 recordemos muy importante estar pendientes de la formaci\u00f3n de estas"}, {"start": 918.66, "end": 926.98, "text": " parejas de n\u00fameros para asegurarnos de ese modo que el conjunto de divisores est\u00e1 completo vamos"}, {"start": 926.98, "end": 934.82, "text": " ahora a construir el conjunto de divisores del n\u00famero 60 divisores de 60 y comenzamos como siempre"}, {"start": 934.82, "end": 943.3000000000001, "text": " con el n\u00famero natural 1 1 es divisor de 60 seguimos con el 2 2 es divisor de 60 o 60 ser\u00e1"}, {"start": 943.3000000000001, "end": 950.1400000000001, "text": " divisible por 2 porque 60 termina en d\u00edgito par que es el 0 seguimos con el 3 nos preguntamos si"}, {"start": 950.1400000000001, "end": 957.86, "text": " 3 es divisor de 60 o si 60 es divisible por 3 si sumamos los d\u00edgitos de este n\u00famero 6 m\u00e1s 0 nos da"}, {"start": 957.86, "end": 966.02, "text": " 6 y 6 es m\u00faltiplo de 3 por lo tanto 60 es divisible por 3 vamos con el 4 nos preguntamos si 60 es"}, {"start": 966.02, "end": 972.54, "text": " divisible por 4 entonces en ese caso podr\u00edamos construir la tabla de multiplicar del n\u00famero 4"}, {"start": 972.54, "end": 981.22, "text": " y vamos a encontrar que si nos aparece el 60 o tambi\u00e9n aparte podr\u00edamos dividir 60 entre 4 de"}, {"start": 981.22, "end": 987.62, "text": " hecho eso nos da como resultado 15 es una operaci\u00f3n que podemos hacer aparte seguimos con el 5"}, {"start": 987.62, "end": 995.0600000000001, "text": " nos preguntamos si 5 es divisor de 60 o si 60 es divisible por 5 vemos que s\u00ed porque 60 termina"}, {"start": 995.0600000000001, "end": 1003.34, "text": " en 0 entonces incluimos el 5 como parte de ese conjunto vamos con el 6 nos preguntamos si 60 es"}, {"start": 1003.34, "end": 1010.02, "text": " divisible por 6 vemos que s\u00ed porque 60 es divisible por 2 y tambi\u00e9n es divisible por 3 entonces"}, {"start": 1010.02, "end": 1017.5, "text": " garantizado ser\u00e1 divisible por 6 eso es lo que nos dice el criterio de divisibilidad por 6 si un"}, {"start": 1017.5, "end": 1024.3, "text": " n\u00famero es divisible por 2 y tambi\u00e9n es divisible por 3 entonces ser\u00e1 divisible por 6 adem\u00e1s en la"}, {"start": 1024.3, "end": 1032.26, "text": " tabla del 6 nos aparece justamente el 60 vamos con el 7 nos preguntamos si 60 es divisible por 7 vemos"}, {"start": 1032.26, "end": 1039.5, "text": " que no porque si construimos la tabla del 7 no nos aparece el n\u00famero 60 seguir\u00edamos con el 8 nos"}, {"start": 1039.5, "end": 1045.82, "text": " preguntamos si 8 es divisor de 60 o si 60 es divisible por 8 vemos que tampoco porque en la"}, {"start": 1045.82, "end": 1053.54, "text": " tabla de multiplicar del n\u00famero 8 no aparece el n\u00famero 60 vamos con el 9 nos preguntamos lo mismo"}, {"start": 1053.54, "end": 1061.06, "text": " si 9 es divisor de 60 o si 60 es divisible por 9 vemos que no porque si construimos la tabla de"}, {"start": 1061.06, "end": 1070.62, "text": " multiplicar del 9 entonces no aparece el n\u00famero 60 llegamos al 10 10 si es divisor de 60 o 60 ser\u00e1"}, {"start": 1070.62, "end": 1079.82, "text": " divisible por 10 porque 60 termina en 0 entonces ac\u00e1 incluimos el 10 y ya se forma entonces una"}, {"start": 1079.82, "end": 1087.3799999999999, "text": " parejita de n\u00fameros que multiplicados entre s\u00ed nos da como resultado 60 aqu\u00ed la tenemos 10 por 6"}, {"start": 1087.3799999999999, "end": 1095.54, "text": " o 6 por 10 es 60 o sea que el siguiente n\u00famero debe ser pareja del n\u00famero 5 el n\u00famero que"}, {"start": 1095.54, "end": 1103.02, "text": " multiplicado por 5 nos de 60 all\u00ed podemos hacer la divisi\u00f3n dividimos 60 entre 5 o construimos la"}, {"start": 1103.02, "end": 1111.1399999999999, "text": " tabla del 5 y vamos a encontrar que el n\u00famero que buscamos es el 12 12 por 5 o 5 por 12 nos da como"}, {"start": 1111.1399999999999, "end": 1118.46, "text": " resultado 60 el n\u00famero que va a continuaci\u00f3n debe ser pareja del n\u00famero 4 como les dec\u00eda anteriormente"}, {"start": 1118.46, "end": 1127.42, "text": " al hacer la divisi\u00f3n 60 entre 4 para ver si 4 era divisor de 60 eso nos da como resultado 15"}, {"start": 1127.42, "end": 1136.26, "text": " entonces 15 es el n\u00famero que va aqu\u00ed 15 por 4 o 4 por 15 nos da como resultado 60 el n\u00famero que va"}, {"start": 1136.26, "end": 1143.94, "text": " a continuaci\u00f3n es la pareja del 3 entonces 3 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 60 podemos"}, {"start": 1143.94, "end": 1151.78, "text": " hacer la divisi\u00f3n 60 dividido entre 3 y eso nos da como resultado 20 vamos ahora con el siguiente"}, {"start": 1151.78, "end": 1159.46, "text": " n\u00famero aquel que forma pareja con el 2 entonces veamos ser\u00e1 el n\u00famero que multiplicado con 2"}, {"start": 1159.46, "end": 1167.3, "text": " nos de como resultado 60 o tambi\u00e9n la mitad de 60 ese n\u00famero ser\u00e1 30 tambi\u00e9n podr\u00edamos hacer"}, {"start": 1167.3, "end": 1174.58, "text": " la divisi\u00f3n 60 dividido entre 2 y obtenemos como resultado 30 y por \u00faltimo el n\u00famero que forma"}, {"start": 1174.58, "end": 1181.94, "text": " pareja con el 1 entonces que n\u00famero multiplicado por 1 nos da como resultado 60 pues se trata"}, {"start": 1181.94, "end": 1189.26, "text": " justamente del n\u00famero 60 recordemos siempre empezamos con el 1 y terminamos con el n\u00famero"}, {"start": 1189.26, "end": 1196.74, "text": " que estamos examinando en este caso el n\u00famero 60 y all\u00ed tenemos el conjunto de divisores de 60 el"}, {"start": 1196.74, "end": 1203.38, "text": " conjunto completo como siempre haciendo la revisi\u00f3n por aqu\u00ed tenemos la mitad de que los n\u00fameros que"}, {"start": 1203.38, "end": 1209.9, "text": " est\u00e1n al lado y lado de esa mitad entonces van formando parejas que multiplicadas entre s\u00ed nos"}, {"start": 1209.9, "end": 1217.14, "text": " da como resultado el n\u00famero que estamos examinando en ese caso el 60 vamos ahora con los divisores"}, {"start": 1217.14, "end": 1225.46, "text": " del n\u00famero 72 entonces construimos ese conjunto comenzando con el n\u00famero natural 1 uno es divisor"}, {"start": 1225.46, "end": 1232.26, "text": " de cualquier n\u00famero en este caso 1 es divisor de 72 vamos con el 2 nos preguntamos si 72 es"}, {"start": 1232.26, "end": 1239.38, "text": " divisible por 2 vemos que s\u00ed porque 72 termina en d\u00edgito par que es el 2 entonces aqu\u00ed incluimos"}, {"start": 1239.38, "end": 1246.8600000000001, "text": " el 2 como divisor vamos con el 3 entonces utilizamos el criterio de divisibilidad por 3 para saber si"}, {"start": 1246.8600000000001, "end": 1254.94, "text": " 72 es divisible por 3 sumamos los d\u00edgitos de este n\u00famero 7 m\u00e1s 2 nos da 9 y 9 es m\u00faltiplo de 3"}, {"start": 1254.94, "end": 1264.6200000000001, "text": " entonces se confirma que 72 es divisible por 3 o 3 es divisor de 72 vamos con el 4 nos preguntamos"}, {"start": 1264.6200000000001, "end": 1273.54, "text": " si 4 es divisor de 72 o si 72 es divisible por 4 en ese caso debemos hacer aparte la divisi\u00f3n 72"}, {"start": 1273.54, "end": 1281.66, "text": " dividido entre 4 vemos que esa divisi\u00f3n es exacta y nos da como resultado 18 entonces 4 s\u00ed es divisor"}, {"start": 1281.66, "end": 1292.14, "text": " de 72 vamos con el 5 5 no es divisor de 72 o 72 no es divisible por 5 porque no termina en 0 ni en"}, {"start": 1292.14, "end": 1300.14, "text": " 5 pasamos al 6 vemos que 72 es divisible por 2 y tambi\u00e9n es divisible por 3 por lo tanto ser\u00e1"}, {"start": 1300.14, "end": 1308.78, "text": " divisible por 6 con toda seguridad vamos con el 7 vemos si en la tabla del 7 aparece el 72 vemos que"}, {"start": 1308.78, "end": 1316.46, "text": " eso no es posible o nunca aparece el 72 entonces descartamos que sea divisible por 7 vamos con el"}, {"start": 1316.46, "end": 1323.46, "text": " 8 entonces nos preguntamos si en la tabla del 8 nos aparece 72 vemos que s\u00ed justamente cuando"}, {"start": 1323.46, "end": 1331.82, "text": " hacemos 8 por 9 nos da 72 entonces all\u00ed aparece el siguiente n\u00famero y ya tenemos la primera pareja"}, {"start": 1331.82, "end": 1340.86, "text": " 8 por 9 es 72 entonces el n\u00famero que va a continuaci\u00f3n es el que forma pareja con el 6 y"}, {"start": 1340.86, "end": 1348.1399999999999, "text": " en ese caso bueno tendr\u00edamos que hacer la divisi\u00f3n 72 dividido entre 6 la hacemos aparte y encontramos"}, {"start": 1348.1399999999999, "end": 1356.6599999999999, "text": " que ese n\u00famero que buscamos es el 12 entonces 12 por 6 o 6 por 12 nos da como resultado 72 el"}, {"start": 1356.66, "end": 1364.3000000000002, "text": " n\u00famero que va a continuaci\u00f3n es el que multiplicado por 4 nos da 72 y se trata del 18 es lo que"}, {"start": 1364.3000000000002, "end": 1372.0600000000002, "text": " mencionaba anteriormente que cuando dividimos 72 entre 4 esa divisi\u00f3n es exacta y nos da como"}, {"start": 1372.0600000000002, "end": 1379.26, "text": " resultado 18 entonces all\u00ed tenemos la otra pareja de n\u00fameros vamos con el n\u00famero que multiplicado"}, {"start": 1379.26, "end": 1386.38, "text": " con 3 nos da 72 entonces tenemos dos opciones una ser\u00eda construir la tabla de multiplicar del n\u00famero"}, {"start": 1386.38, "end": 1394.6200000000001, "text": " 3 hasta que encontremos el 72 o la otra es dividir 72 entre 3 hacemos el proceso de la divisi\u00f3n aparte"}, {"start": 1394.6200000000001, "end": 1402.18, "text": " encontramos que ese n\u00famero que buscamos es 24 voy a conectarlos por ac\u00e1 por ac\u00e1 por encima ahora"}, {"start": 1402.18, "end": 1410.14, "text": " seguimos con el n\u00famero que hace pareja con el 2 entonces podr\u00edamos dividir 72 entre 2 hacemos"}, {"start": 1410.14, "end": 1420.5400000000002, "text": " el proceso aparte y encontramos que ese n\u00famero es 36 entonces 36 multiplicado por 2 nos da 72 y"}, {"start": 1420.5400000000002, "end": 1429.42, "text": " por \u00faltimo vamos a incluir el n\u00famero 72 que es el que hace pareja con el 1 claro 72 multiplicado"}, {"start": 1429.42, "end": 1436.0600000000002, "text": " por 1 pues nos da como resultado 72 y de esa forma ya podemos cerrar el conjunto ya tenemos"}, {"start": 1436.06, "end": 1444.7, "text": " la tranquilidad de que ese conjunto de divisores de 72 est\u00e1 completo despu\u00e9s de tener los conjuntos"}, {"start": 1444.7, "end": 1450.6599999999999, "text": " de divisores para esos tres n\u00fameros entonces lo que hacemos ahora es se\u00f1alar los elementos"}, {"start": 1450.6599999999999, "end": 1458.58, "text": " comunes o repetidos vemos que el 1 est\u00e1 en los tres conjuntos tambi\u00e9n el n\u00famero 2 tambi\u00e9n"}, {"start": 1458.58, "end": 1467.58, "text": " observamos el 3 como elemento repetido lo mismo pasa con el 4 tambi\u00e9n observamos el n\u00famero 6 y"}, {"start": 1467.58, "end": 1474.86, "text": " tambi\u00e9n detectamos el n\u00famero 12 como elemento repetido y all\u00ed tenemos los divisores comunes"}, {"start": 1474.86, "end": 1481.86, "text": " en esos tres conjuntos ahora de esos n\u00fameros seleccionados o se\u00f1alados vamos a escoger el"}, {"start": 1481.86, "end": 1492.2199999999998, "text": " m\u00e1ximo o el mayor en ese caso se trata del n\u00famero 12 y de esa forma determinamos ya el m\u00e1ximo como"}, {"start": 1492.2199999999998, "end": 1502.3, "text": " un divisor para 24 60 y 72 utilizando la forma larga se trata del n\u00famero 12 12 es el n\u00famero"}, {"start": 1502.3, "end": 1511.5, "text": " m\u00e1s grande que est\u00e1 contenido exactamente en 24 en 60 y en 72 ahora vamos a determinar el"}, {"start": 1511.5, "end": 1518.78, "text": " m\u00e1ximo como un divisor de 24 60 y 72 utilizando la forma corta es decir con la descomposici\u00f3n"}, {"start": 1518.78, "end": 1525.5, "text": " simult\u00e1nea en factores primos de estos tres n\u00fameros que escribimos por ac\u00e1 espaciados entre"}, {"start": 1525.5, "end": 1532.66, "text": " s\u00ed y trazamos esta l\u00ednea vertical a la derecha del \u00faltimo vamos a recordar por ac\u00e1 el conjunto"}, {"start": 1532.66, "end": 1539.26, "text": " de n\u00fameros primos los n\u00fameros naturales que solamente tienen dos divisores ellos mismos y"}, {"start": 1539.26, "end": 1549.54, "text": " la unidad entonces son el 2 el 3 el 5 tenemos el 7 luego tenemos el 11 despu\u00e9s tenemos el 13"}, {"start": 1549.54, "end": 1555.82, "text": " siguiendo el orden de los n\u00fameros primos y este conjunto es infinito anotamos los puntos suspensivos"}, {"start": 1555.82, "end": 1562.9, "text": " indicando que nunca termina entonces comenzamos examinando el n\u00famero primo 2 nos preguntamos si"}, {"start": 1562.9, "end": 1570.3400000000001, "text": " 2 le sirve como divisor a estos tres n\u00fameros vemos que s\u00ed porque todos son n\u00fameros pares entonces"}, {"start": 1570.3400000000001, "end": 1578.42, "text": " comenzamos con el n\u00famero primo 2 decimos cu\u00e1l es la mitad de 24 o cu\u00e1ntas veces cabe 12 24 o cu\u00e1nto"}, {"start": 1578.42, "end": 1586.3000000000002, "text": " es 24 dividido entre 2 y eso nos da como resultado 12 ahora cu\u00e1l es la mitad de 60 o cu\u00e1ntas veces"}, {"start": 1586.3, "end": 1594.7, "text": " cabe 2 en 60 o cu\u00e1nto es 60 dividido entre 2 y eso nos da como resultado 30 lo mismo con el 72"}, {"start": 1594.7, "end": 1602.98, "text": " cu\u00e1l es la mitad de 72 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 72 o cu\u00e1nto es 72 dividido entre 2 y encontramos"}, {"start": 1602.98, "end": 1609.46, "text": " que eso nos da 36 all\u00ed podemos ejecutar esas divisiones por aparte seguimos intentando con el"}, {"start": 1609.46, "end": 1615.86, "text": " n\u00famero primo 2 nos preguntamos si 2 es divisor de estos tres n\u00fameros vemos que s\u00ed a todos les"}, {"start": 1615.86, "end": 1623.54, "text": " sirve porque estos son n\u00fameros pares entonces utilizamos ac\u00e1 el n\u00famero primo 2 decimos cu\u00e1l"}, {"start": 1623.54, "end": 1630.9399999999998, "text": " es la mitad de 12 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 12 o cu\u00e1nto es 12 dividido entre 2 y esto nos da como"}, {"start": 1630.9399999999998, "end": 1638.6999999999998, "text": " resultado 6 lo mismo con el 30 cu\u00e1l es la mitad de 30 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 30 o cu\u00e1nto es 30"}, {"start": 1638.7, "end": 1647.38, "text": " dividido entre 2 y esto nos da 15 vamos con 36 cu\u00e1l es la mitad de 36 o cu\u00e1ntas veces cabe 2 en 36"}, {"start": 1647.38, "end": 1655.1000000000001, "text": " o cu\u00e1nto es 36 dividido entre 2 y eso nos da 18 volvemos a intentar con el n\u00famero primo 2 vemos"}, {"start": 1655.1000000000001, "end": 1663.54, "text": " que 2 le sirve a 18 y tambi\u00e9n le sirve a 6 porque son n\u00fameros pares pero no sirve para 15 porque 15"}, {"start": 1663.54, "end": 1670.58, "text": " es n\u00famero impar entonces ya no podemos usar m\u00e1s el n\u00famero primo 2 pasamos a examinar el siguiente"}, {"start": 1670.58, "end": 1677.82, "text": " n\u00famero primo que es el 3 nos preguntamos si 3 es divisor de 6 de 15 y de 18 vemos que s\u00ed porque"}, {"start": 1677.82, "end": 1684.3799999999999, "text": " estos n\u00fameros son m\u00faltiples del 3 ellos aparecen en la tabla de multiplicar del 3 entonces usamos"}, {"start": 1684.3799999999999, "end": 1691.74, "text": " ese siguiente n\u00famero primo decimos cu\u00e1l es la tercera de 6 o cu\u00e1ntas veces cabe 3 en 6 o cu\u00e1nto"}, {"start": 1691.74, "end": 1699.46, "text": " es 6 dividido entre 3 y eso nos da 2 lo mismo con el 15 cu\u00e1l es la tercera parte de 15 o cu\u00e1ntas"}, {"start": 1699.46, "end": 1707.54, "text": " veces cabe 3 en 15 o cu\u00e1nto es 15 dividido entre 3 y eso nos da 5 ahora con 18 cu\u00e1l es la tercera"}, {"start": 1707.54, "end": 1715.9, "text": " o la tercera parte de 18 o cu\u00e1ntas veces cabe 3 en 18 o cu\u00e1nto es 18 dividido entre 3 y eso nos da"}, {"start": 1715.9, "end": 1723.8600000000001, "text": " 6 volvemos a intentar con el 3 vemos que 3 le sirve al 6 \u00fanicamente ya no le sirve a 5 tampoco"}, {"start": 1723.8600000000001, "end": 1729.72, "text": " le sirve a 2 pasar\u00edamos a examinar el siguiente n\u00famero primo que es el 5 pero 5 solamente le"}, {"start": 1729.72, "end": 1735.94, "text": " sirve a 5 no le sirve a 6 tampoco le sirve a 2 y bueno ya ninguno de los dem\u00e1s n\u00fameros primos nos"}, {"start": 1735.94, "end": 1742.3400000000001, "text": " va a servir entonces all\u00ed nos toca suspender el proceso y ya nos quedamos solamente con estos"}, {"start": 1742.34, "end": 1750.74, "text": " n\u00fameros que aparecen a la derecha de la l\u00ednea vertical 2 por 2 por 3 aqu\u00ed podemos resumir esa"}, {"start": 1750.74, "end": 1757.78, "text": " escritura 2 por 2 utilizando la potenciaci\u00f3n ser\u00eda 2 al cuadrado y esto queda por 3 recordemos el 2"}, {"start": 1757.78, "end": 1764.5, "text": " se multiplica por s\u00ed mismo dos veces lo podemos expresar como la potencia 2 a la 2 o 2 al cuadrado"}, {"start": 1764.5, "end": 1772.1799999999998, "text": " esa es la base y este es el exponente y esto al final nos da 2 por 2 que es 4 y 4 por 3 es"}, {"start": 1772.18, "end": 1782.74, "text": " 12 entonces de esa forma encontramos el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 24 60 y 72 utilizando la forma"}, {"start": 1782.74, "end": 1789.3, "text": " corta mucho m\u00e1s corta mucho m\u00e1s breve que la anterior pero al final obtenemos el mismo resultado"}, {"start": 1789.3, "end": 1795.14, "text": " solamente que ac\u00e1 lo que hemos hecho es la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea o al mismo tiempo"}, {"start": 1795.14, "end": 1802.7, "text": " de estos n\u00fameros utilizando factores primos"}]