INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 23
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Indefinida por el Método de Sustitución.

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 Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Veremos cómo con esta estrategia logramos transformar esta expresión en varios términos que puedan ser integrados en forma individual de manera fácil. Vamos a cambiar lo que tenemos en el denominador por otra letra, vamos a utilizar n mayúscula, entonces n es igual a x menos 2 y esto tenemos que derivarlo con respecto a x, decimos derivada de n con respecto a esa variable es igual a lo siguiente, aquí tenemos una resta derivada de x es 1 y la derivada de este número es 0, y aquí pasamos de x que está dividiendo al otro lado a multiplicar, nos queda que de n es igual a de x o lo que es lo mismo de x igual a de n, entonces de esta manera hemos despejado el diferencial de x. Con estos dos componentes debemos reconstruir la integral para que nos quede en términos de la nueva letra, es decir para que todo quede controlado por n, veamos x menos 2 se cambia por n, el diferencial de x se cambia por dn, pero seguimos teniendo en el numerador la letra x y eso tenemos que solucionarlo, para ello vamos a despejar x de aquí, entonces para despejar x que está en el lado derecho pasamos 2 que está restando al lado izquierdo a sumar, nos quedaría n más 2, esto es lo mismo que tener x igual a n más 2, y entonces con esto ya podemos ir y reemplazar en la integral original para que nos quede toda en términos de n. Tendremos entonces la integral de x que es n más 2, todo esto elevado al cubo, esto sobre x menos 2 que se cambia por n y el diferencial de x se cambia por el diferencial de n, entonces esta es la integral que vamos a resolver a continuación y como vemos ya está gobernada únicamente por la variable n. Tenemos en el numerador un binomio elevado al cubo que vamos a desarrollar utilizando el siguiente producto notable a más b al cubo es el primer termino al cubo más tres veces el primer termino al cuadrado por el segundo más tres veces el primer termino por el segundo al cuadrado más el segundo termino al cubo. Entonces siguiendo esta fórmula que es un producto notable vamos a desarrollar n más 2 al cubo, vamos a realizar ese procedimiento por acá, n más 2 al cubo será el primer termino que es n al cubo más tres veces el primer termino que es n al cuadrado por el segundo que es 2 más tres veces el primer termino que es n por el segundo termino que es 2 al cuadrado más el segundo termino que es 2 elevado al cubo. Resolvemos ahora estas operaciones el primer termino queda igual n al cubo acá tenemos 3 por 2 que es 6 por n al cuadrado más 3 por 2 al cuadrado 2 al cuadrado es 4 por 3 nos da 12 por n más 2 al cubo que es 8. Entonces esta integral nos va a quedar así continuamos por acá en el numerador tendremos todo este desarrollo que obtuvimos n al cubo más 6 n al cuadrado más 12 n más 8 y todo eso sobre n con el respectivo diferencial de n. Enseguida vamos a repartir este denominador para cada uno de los términos que hay en el numerador seguimos por acá entonces tendremos la integral de n al cubo sobre n más 6 n al cuadrado sobre n después el término 12 n sobre n y luego el término 8 sobre n toda esta expresión la protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de n. Ahora vamos a simplificar y organizar cada uno de esos términos nos queda la integral de n al cubo sobre n que nos da n al cuadrado más 6 n al cuadrado sobre n nos queda 6 n más en este término n se cancela nos queda simplemente 12 y acá podemos subir n nos queda con exponente menos 1 protegemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de n. Como podemos observar ya tenemos cuatro términos que se pueden integrar en forma directa veamos entonces la integral de n al cuadrado será n al cubo sobre 3 recordemos que aquí se le suma 1 al exponente y ese mismo número va en el denominador luego tenemos este término donde el 6 se deja quieto y la integral de n a la 1 será n al cuadrado sobre 2 pasamos al otro término 12 cuya integral será 12 por n es decir por la letra que controla el ejercicio y en este término el 8 se deja quieto porque está multiplicando y la integral de n a la menos 1 será logaritmo natural de valor absoluto de n y a todo eso le agregamos por primera vez la constante de integración revisamos ahora esta expresión para ver si de pronto hay algo por simplificar eso ocurre en el segundo término donde 6 y 2 pueden simplificarse sacamos mitad a ambos números mitad de 6 nos da 3 y mitad de 2 es 1 ahora sí podemos dar la respuesta del ejercicio original en esta expresión vamos a cambiar n por x menos 2 veamos en el primer término tendremos x menos 2 todo esto al cubo sobre 3 vamos al siguiente término que nos queda más 3 por n al cuadrado o sea 3 por n que se cambia por x menos 2 y esto queda al cuadrado después tenemos más 12 por n entonces más 12 que multiplica con x menos 2 después tenemos más 8 por logaritmo natural de valor absoluto de n que se cambia por x menos 2 a todo esto le agregamos la constante de integración y así terminamos este ejercicio
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