ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 14
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica.

Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación logarítmica. Para empezar observamos estas dos expresiones, que aunque se parecen bastante, son distintas. Veamos, una cosa es tener logaritmo en base a a la n de una cantidad p, y otra cosa diferente es tener logaritmo en base a de b elevada al exponente n. Acá n está situada en la mitad del logaritmo, o sea que afecta como exponente a toda esa expresión, por lo tanto esto puede reescribirse como logaritmo en base a de b y todo esto elevado al exponente n. Mientras tanto acá tenemos el logaritmo de una potencia, n afecta únicamente a la letra b. Por lo tanto aquí es permitido bajar el exponente n a multiplicar, nos queda n por el logaritmo en base a de b y esta es una propiedad de los logaritmos. Entonces utilizando esto podemos reescribir el ejercicio original, acá tendremos logaritmo en base 2 de x y todo esto elevado al cuadrado. Mientras que al otro lado bajamos el exponente 2 que multiplica al logaritmo en base 2 de x y todo esto queda sumando con el número 3. Como se observa acá tenemos una expresión donde se repite logaritmo en base 2 de x, entonces podemos utilizar lo que se llama un cambio de variable, algo que nos va a facilitar el desarrollo del ejercicio. En este caso decimos que logaritmo en base 2 de x puede ser igual a una nueva letra, vamos a escoger por ejemplo la letra c y con eso vamos a reescribir la expresión. Acá tendríamos c elevada al cuadrado, al otro lado tenemos 2 por este logaritmo que es c, entonces nos queda 2c y todo eso más 3. Observamos allí lo que es una ecuación cuadrática o de segundo grado donde la incógnita o la variable ahora es la letra c, para resolver esa ecuación debemos tenerla igualada a cero, entonces vamos a pasar estos dos términos al lado izquierdo, se queda entonces c al cuadrado en ese lado, 2c que está positivo llega con signo negativo al lado izquierdo y lo mismo pasa con este número que está positivo, entonces llega con signo menos al lado izquierdo y todo esto nos queda igualado a cero. Ahora sí tenemos la ecuación cuadrática, entonces podemos resolverla bien sea por factorización o sino por la fórmula cuadrática o fórmula general, podemos intentarlo por factorización, a este lado tenemos un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, nos preguntamos si existen dos números que multiplicados nos den menos 3 y que sumados entre sí nos den menos 2, pues bien esos números serían menos 3 y más 1, multiplicados nos da menos 3 y al sumarlos entre sí nos da menos 2, entonces vamos a factorizar esta expresión, abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada del primer termino que es c, la escribimos al comienzo de cada paréntesis, definimos los signos, aquí tenemos signo más, más por menos nos da menos y menos por menos nos da más y aquí van los números que habíamos determinado, el 3 que es el negativo y el 1 que es el positivo y todo esto nos queda igualado a cero. Ahora aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo, que dice lo siguiente, si a por b es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero y es la situación que tenemos acá, el producto de dos cantidades o de dos expresiones que se encuentra igualado a cero, siguiendo este teorema tendremos c menos 3 es igual a cero o c más 1 también igualado a cero. Resolvemos ahora cada situación para la incógnita c, por aquí si hacemos el despeje de esa letra tenemos que 3 está restando, pasa al otro lado a sumar con cero y nos da 3 positivo, por acá tendremos que c es igual a uno que está sumando pasa al otro lado a restar con cero, cero menos uno nos da como resultado menos uno. Estas serían las soluciones de la ecuación cuadrática que teníamos ahora y que estaba en términos de la letra c, pero no podemos olvidar que c equivale al logaritmo en base 2dx, entonces vamos a deshacer el cambio de variable. Por acá tendremos entonces que logaritmo en base 2dx queda igualado a 3 y por acá tendríamos que logaritmo en base 2dx está igualado a menos uno. Ahora vamos a resolver cada una de estas situaciones para x que es la incógnita original del ejercicio, para ello vamos a pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial, recordemos que si se tiene logaritmo en base a de la cantidad b igualado a c, entonces esto quiere decir que a a la c es igual a b, recordemos que esto es de doble vía, para pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial o también para devolvernos. Entonces siguiendo esta definición de lo que son los logaritmos, decimos que acá 2 a la 3 es igual a x y por acá decimos que 2 a la menos uno también es igual a x. Ahora vamos a pulir cada uno de estos valores, por acá tendremos que x es igual a 2 al cubo que equivale a 8 y por acá tenemos x igual a 2 a la menos uno que equivale a 1 medio, explicamos allí la propiedad del exponente negativo que nos dice que a a la menos n es igual a 1 sobre a a la n. En principio estos son los valores de x que satisfacen la ecuación original, o sea la ecuación logarítmica, sin embargo debemos verificar que cumplan en la ecuación original, lo que hacemos es revisar que estos valores produzcan argumentos positivos en cada uno de los logaritmos, 8 si entra acá efectivamente es un valor positivo, de igual forma si entra aquí se eleva al cuadrado nos da positivo, por lo tanto se acepta y lo mismo pasa con un medio, si entra aquí es positivo y acá si se eleva al cuadrado también nos da positivo, por lo tanto también se acepta. Para terminar simplemente conformamos el conjunto solución de esta ecuación logarítmica, se describe dentro de llaves los dos valores de x que hacen cierta esa igualdad.
[{"start": 0.0, "end": 8.16, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 8.16, "end": 15.0, "text": " Para empezar observamos estas dos expresiones, que aunque se parecen bastante, son distintas."}, {"start": 15.0, "end": 23.900000000000002, "text": " Veamos, una cosa es tener logaritmo en base a a la n de una cantidad p, y otra cosa diferente"}, {"start": 23.900000000000002, "end": 29.36, "text": " es tener logaritmo en base a de b elevada al exponente n."}, {"start": 29.36, "end": 36.16, "text": " Ac\u00e1 n est\u00e1 situada en la mitad del logaritmo, o sea que afecta como exponente a toda esa"}, {"start": 36.16, "end": 44.4, "text": " expresi\u00f3n, por lo tanto esto puede reescribirse como logaritmo en base a de b y todo esto"}, {"start": 44.4, "end": 46.72, "text": " elevado al exponente n."}, {"start": 46.72, "end": 52.6, "text": " Mientras tanto ac\u00e1 tenemos el logaritmo de una potencia, n afecta \u00fanicamente a la letra"}, {"start": 52.6, "end": 53.84, "text": " b."}, {"start": 53.84, "end": 60.96, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed es permitido bajar el exponente n a multiplicar, nos queda n por el logaritmo"}, {"start": 60.96, "end": 65.52000000000001, "text": " en base a de b y esta es una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 65.52000000000001, "end": 73.92, "text": " Entonces utilizando esto podemos reescribir el ejercicio original, ac\u00e1 tendremos logaritmo"}, {"start": 73.92, "end": 80.08000000000001, "text": " en base 2 de x y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 80.08, "end": 86.84, "text": " Mientras que al otro lado bajamos el exponente 2 que multiplica al logaritmo en base 2 de"}, {"start": 86.84, "end": 92.32, "text": " x y todo esto queda sumando con el n\u00famero 3."}, {"start": 92.32, "end": 98.72, "text": " Como se observa ac\u00e1 tenemos una expresi\u00f3n donde se repite logaritmo en base 2 de x,"}, {"start": 98.72, "end": 107.78, "text": " entonces podemos utilizar lo que se llama un cambio de variable, algo que nos va a facilitar"}, {"start": 107.78, "end": 110.84, "text": " el desarrollo del ejercicio."}, {"start": 110.84, "end": 118.46000000000001, "text": " En este caso decimos que logaritmo en base 2 de x puede ser igual a una nueva letra,"}, {"start": 118.46000000000001, "end": 125.28, "text": " vamos a escoger por ejemplo la letra c y con eso vamos a reescribir la expresi\u00f3n."}, {"start": 125.28, "end": 132.72, "text": " Ac\u00e1 tendr\u00edamos c elevada al cuadrado, al otro lado tenemos 2 por este logaritmo que"}, {"start": 132.72, "end": 139.6, "text": " es c, entonces nos queda 2c y todo eso m\u00e1s 3."}, {"start": 139.6, "end": 145.4, "text": " Observamos all\u00ed lo que es una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado donde la inc\u00f3gnita o la"}, {"start": 145.4, "end": 152.88, "text": " variable ahora es la letra c, para resolver esa ecuaci\u00f3n debemos tenerla igualada a cero,"}, {"start": 152.88, "end": 157.8, "text": " entonces vamos a pasar estos dos t\u00e9rminos al lado izquierdo, se queda entonces c al"}, {"start": 157.8, "end": 164.96, "text": " cuadrado en ese lado, 2c que est\u00e1 positivo llega con signo negativo al lado izquierdo"}, {"start": 164.96, "end": 169.96, "text": " y lo mismo pasa con este n\u00famero que est\u00e1 positivo, entonces llega con signo menos"}, {"start": 169.96, "end": 174.84, "text": " al lado izquierdo y todo esto nos queda igualado a cero."}, {"start": 174.84, "end": 181.0, "text": " Ahora s\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, entonces podemos resolverla bien sea por factorizaci\u00f3n"}, {"start": 181.0, "end": 187.24, "text": " o sino por la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general, podemos intentarlo por factorizaci\u00f3n,"}, {"start": 187.24, "end": 192.8, "text": " a este lado tenemos un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c, nos preguntamos"}, {"start": 192.8, "end": 198.72, "text": " si existen dos n\u00fameros que multiplicados nos den menos 3 y que sumados entre s\u00ed nos"}, {"start": 198.72, "end": 206.04000000000002, "text": " den menos 2, pues bien esos n\u00fameros ser\u00edan menos 3 y m\u00e1s 1, multiplicados nos da menos"}, {"start": 206.04000000000002, "end": 213.24, "text": " 3 y al sumarlos entre s\u00ed nos da menos 2, entonces vamos a factorizar esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 213.24, "end": 219.76000000000002, "text": " abrimos dos par\u00e9ntesis, sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer termino que es c, la escribimos"}, {"start": 219.76000000000002, "end": 225.08, "text": " al comienzo de cada par\u00e9ntesis, definimos los signos, aqu\u00ed tenemos signo m\u00e1s, m\u00e1s"}, {"start": 225.08, "end": 231.04000000000002, "text": " por menos nos da menos y menos por menos nos da m\u00e1s y aqu\u00ed van los n\u00fameros que hab\u00edamos"}, {"start": 231.04000000000002, "end": 238.12, "text": " determinado, el 3 que es el negativo y el 1 que es el positivo y todo esto nos queda"}, {"start": 238.12, "end": 240.36, "text": " igualado a cero."}, {"start": 240.36, "end": 247.48000000000002, "text": " Ahora aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo, que dice lo siguiente, si"}, {"start": 247.48000000000002, "end": 260.6, "text": " a por b es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero y es la situaci\u00f3n"}, {"start": 260.6, "end": 267.08000000000004, "text": " que tenemos ac\u00e1, el producto de dos cantidades o de dos expresiones que se encuentra igualado"}, {"start": 267.08, "end": 278.12, "text": " a cero, siguiendo este teorema tendremos c menos 3 es igual a cero o c m\u00e1s 1 tambi\u00e9n"}, {"start": 278.12, "end": 280.84, "text": " igualado a cero."}, {"start": 280.84, "end": 287.12, "text": " Resolvemos ahora cada situaci\u00f3n para la inc\u00f3gnita c, por aqu\u00ed si hacemos el despeje de esa"}, {"start": 287.12, "end": 294.59999999999997, "text": " letra tenemos que 3 est\u00e1 restando, pasa al otro lado a sumar con cero y nos da 3 positivo,"}, {"start": 294.6, "end": 300.72, "text": " por ac\u00e1 tendremos que c es igual a uno que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar con"}, {"start": 300.72, "end": 306.0, "text": " cero, cero menos uno nos da como resultado menos uno."}, {"start": 306.0, "end": 310.52000000000004, "text": " Estas ser\u00edan las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que ten\u00edamos ahora y que estaba"}, {"start": 310.52000000000004, "end": 316.92, "text": " en t\u00e9rminos de la letra c, pero no podemos olvidar que c equivale al logaritmo en base"}, {"start": 316.92, "end": 322.12, "text": " 2dx, entonces vamos a deshacer el cambio de variable."}, {"start": 322.12, "end": 330.52, "text": " Por ac\u00e1 tendremos entonces que logaritmo en base 2dx queda igualado a 3 y por ac\u00e1 tendr\u00edamos"}, {"start": 330.52, "end": 337.92, "text": " que logaritmo en base 2dx est\u00e1 igualado a menos uno."}, {"start": 337.92, "end": 344.36, "text": " Ahora vamos a resolver cada una de estas situaciones para x que es la inc\u00f3gnita original del"}, {"start": 344.36, "end": 350.88, "text": " ejercicio, para ello vamos a pasar de la forma logar\u00edtmica a la forma exponencial, recordemos"}, {"start": 350.88, "end": 357.44, "text": " que si se tiene logaritmo en base a de la cantidad b igualado a c, entonces esto quiere"}, {"start": 357.44, "end": 363.48, "text": " decir que a a la c es igual a b, recordemos que esto es de doble v\u00eda, para pasar de la"}, {"start": 363.48, "end": 368.8, "text": " forma logar\u00edtmica a la forma exponencial o tambi\u00e9n para devolvernos."}, {"start": 368.8, "end": 375.0, "text": " Entonces siguiendo esta definici\u00f3n de lo que son los logaritmos, decimos que ac\u00e1 2"}, {"start": 375.0, "end": 385.6, "text": " a la 3 es igual a x y por ac\u00e1 decimos que 2 a la menos uno tambi\u00e9n es igual a x."}, {"start": 385.6, "end": 392.7, "text": " Ahora vamos a pulir cada uno de estos valores, por ac\u00e1 tendremos que x es igual a 2 al cubo"}, {"start": 392.7, "end": 400.68, "text": " que equivale a 8 y por ac\u00e1 tenemos x igual a 2 a la menos uno que equivale a 1 medio,"}, {"start": 400.68, "end": 406.16, "text": " explicamos all\u00ed la propiedad del exponente negativo que nos dice que a a la menos n es"}, {"start": 406.16, "end": 411.0, "text": " igual a 1 sobre a a la n."}, {"start": 411.0, "end": 417.56, "text": " En principio estos son los valores de x que satisfacen la ecuaci\u00f3n original, o sea la"}, {"start": 417.56, "end": 424.4, "text": " ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica, sin embargo debemos verificar que cumplan en la ecuaci\u00f3n original,"}, {"start": 424.4, "end": 430.84, "text": " lo que hacemos es revisar que estos valores produzcan argumentos positivos en cada uno"}, {"start": 430.84, "end": 437.4, "text": " de los logaritmos, 8 si entra ac\u00e1 efectivamente es un valor positivo, de igual forma si entra"}, {"start": 437.4, "end": 443.03999999999996, "text": " aqu\u00ed se eleva al cuadrado nos da positivo, por lo tanto se acepta y lo mismo pasa con"}, {"start": 443.03999999999996, "end": 449.46, "text": " un medio, si entra aqu\u00ed es positivo y ac\u00e1 si se eleva al cuadrado tambi\u00e9n nos da positivo,"}, {"start": 449.46, "end": 452.2, "text": " por lo tanto tambi\u00e9n se acepta."}, {"start": 452.2, "end": 458.84, "text": " Para terminar simplemente conformamos el conjunto soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica,"}, {"start": 458.84, "end": 482.52, "text": " se describe dentro de llaves los dos valores de x que hacen cierta esa igualdad."}]