LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 13
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando racionalización y factorización.

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 Vamos a resolver este límite, para iniciar debemos evaluar esta expresión en x igual a menos 3 Veamos, donde está la x entonces vamos a escribir menos 3 Entonces nos queda así en la parte de arriba y en la parte de abajo 3 por menos 3 más 9 Vamos a hacerlo mentalmente, menos 3 al cuadrado nos da 9, 9 más 7 nos da 16 La raíz cuadrada de 16 es 4 y 4 menos 4 nos da 0, es decir en el numerador nos da 0 Veamos en el denominador que ocurre, 3 por menos 3 da menos 9 y menos 9 más 9 también nos da 0 Nos da 0 sobre 0 lo cual se conoce como una indeterminación, es decir algo que tenemos que darle solución Un límite nunca puede dar como resultado una indeterminación Entonces eso nos hace pensar en una estrategia para resolver, para modificar esta expresión de acá Vamos a recurrir a la algebra y vamos a utilizar lo que se llama la racionalización Vamos a racionalizar el numerador de la expresión, entonces vamos a volver a escribir la expresión Y para racionalizar este numerador debemos multiplicar por el conjugado de esta expresión El conjugado de 4 menos la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7 va a ser 4 más la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7 Y abajo repetimos lo mismo, esto se llama conjugación y nos permite racionalizar el numerador en este caso Veamos, al multiplicar numeradores entre sí vamos a encontrarnos con una situación algebraica Un producto notable que se llama suma por diferencia, tenemos a menos b por a más b Aquí está la suma y acá está la diferencia, eso nos da como resultado el primero al cuadrado menos el segundo al cuadrado Es decir lo que se conoce como una diferencia de cuadrados Veamos, entonces arriba nos quedaría 4 al cuadrado menos la raíz de x al cuadrado más 7, todo esto al cuadrado Allí tenemos 4 haciendo el papel de la a y esta raíz haciendo el papel de la b, aquí también los encontramos sumando Y por lo tanto aplicando este producto notable nos queda el primero al cuadrado, aquí está, menos este menos el segundo al cuadrado Y de esa manera vamos a lograr destruir la raíz Abajo nos queda el producto indicado, quedaría 3x más 9, debemos colocarlo entre paréntesis Que multiplica a esta expresión que también debe ir dentro de un paréntesis A continuación en el numerador vamos entonces a desarrollar 4 al cuadrado sería 16 menos, aquí el cuadrado me destruye la raíz Por lo tanto nos queda libre x al cuadrado más 7 y tenemos que mantener el paréntesis ya que el menos va a ser importante en este caso Porque nos va a afectar lo que está dentro de la expresión, entonces si colocamos esto sin paréntesis estaríamos cometiendo un error Debemos mantener protegida la expresión de adentro, abajo esta expresión quedaría exactamente igual, no vamos a repetirla Vamos a continuarlo por acá, borraríamos esto hasta aquí para que lo continuemos por acá Entonces arriba nos quedaría 16, aquí el menos entra nos queda menos x al cuadrado menos 7, el menos cambia los signos de esta expresión Y abajo nos queda esto mismo, 3x más 9 que multiplica a 4 más la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7, cierra la raíz y se cierra el paréntesis Borramos esto de por aquí y vamos a continuarlo, arriba nos queda 16 menos 7 nos da 9 menos x al cuadrado y abajo continuamos con la misma expresión Ahorita vamos a recurrir a lo que es la factorización, si miramos en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados Entonces vamos a factorizarla, raíz cuadrada de 9 sería 3, raíz cuadrada de x al cuadrado sería x, entonces anotamos eso en una suma y en una resta Allí estaríamos factorizando el numerador con diferencia de cuadrados, y acá en el denominador vamos a sacar factor común de esta expresión Allí puede salir el 3 que es factor común de x más 3 y sigue acompañado de 4 más la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7 Aquí es donde vamos a simplificar el factor problema de nuestro límite, resulta que 3 más x es lo mismo que x más 3, por ser exactamente iguales los podemos eliminar Y si recordamos nuestro límite decía que x tendía a menos 3, veamos 3 más menos 3 nos da 0 y acá menos 3 más 3 nos da 0, o sea que este era el causante del 0 sobre 0 que nos estaba dando al comienzo del ejercicio Pero como aquí logramos eliminarlo entonces ya la expresión que nos va a quedar seguramente no tiene indeterminación Y regresamos al límite, límite cuando x tendía a menos 3 de la expresión que nos quedó, arriba 3 menos x y abajo este 3 y esta expresión de aquí, paréntesis 4 más la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7 De acuerdo entonces, borremos esto de acá y ya podemos volver a evaluar la expresión en x igual a menos 3 ya que logramos deshacernos del factor problema Entonces reemplazamos, donde está la x escribimos menos 3, aquí sería menos 3 al cuadrado más 7, cierra el paréntesis y vamos a resolver esto Hagámoslo mentalmente, arriba 3 menos menos 3 se convierte en 3 más 3 que nos da 6, abajo queda el 3, este 3 queda igual que multiplica veamos acá dentro cómo nos queda Menos 3 al cuadrado da 9, 9 más 7 son 16, raíz cuadrada 16 sería 4 y 4 más 4 son 8 Aquí tenemos 3 por 8 en el denominador, podríamos por ejemplo simplificar 3, 3 y 6 sacarle tercera, esto nos quedaría 1 y 2 y 2 y 8 también podemos simplificarlo sacándole cuarta Pero mitad de 2 es 1, mitad de 8 es 4 y el resultado final de nuestro ejercicio será 1 cuarta, ese es el valor entonces del límite propuesto
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Y abajo repetimos lo mismo, esto se llama conjugaci\u00f3n y nos permite racionalizar el numerador en este caso"}, {"start": 114.96000000000001, "end": 121.76, "text": " Veamos, al multiplicar numeradores entre s\u00ed vamos a encontrarnos con una situaci\u00f3n algebraica"}, {"start": 121.76, "end": 128.32, "text": " Un producto notable que se llama suma por diferencia, tenemos a menos b por a m\u00e1s b"}, {"start": 128.32, "end": 136.0, "text": " Aqu\u00ed est\u00e1 la suma y ac\u00e1 est\u00e1 la diferencia, eso nos da como resultado el primero al cuadrado menos el segundo al cuadrado"}, {"start": 136.0, "end": 139.35999999999999, "text": " Es decir lo que se conoce como una diferencia de cuadrados"}, {"start": 139.35999999999999, "end": 151.2, "text": " Veamos, entonces arriba nos quedar\u00eda 4 al cuadrado menos la ra\u00edz de x al cuadrado m\u00e1s 7, todo esto al cuadrado"}, {"start": 151.2, "end": 159.44, "text": " All\u00ed tenemos 4 haciendo el papel de la a y esta 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y sigue acompa\u00f1ado de 4 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s 7"}, {"start": 327.2, "end": 341.44, "text": " Aqu\u00ed es donde vamos a simplificar el factor problema de nuestro l\u00edmite, resulta que 3 m\u00e1s x es lo mismo que x m\u00e1s 3, por ser exactamente iguales los podemos eliminar"}, {"start": 341.44, "end": 358.24, "text": " Y si recordamos nuestro l\u00edmite dec\u00eda que x tend\u00eda a menos 3, veamos 3 m\u00e1s menos 3 nos da 0 y ac\u00e1 menos 3 m\u00e1s 3 nos da 0, o sea que este era el causante del 0 sobre 0 que nos estaba dando al comienzo del ejercicio"}, {"start": 358.24, "end": 366.4, "text": " Pero como aqu\u00ed logramos eliminarlo entonces ya la expresi\u00f3n que nos va a quedar seguramente no tiene indeterminaci\u00f3n"}, {"start": 366.4, "end": 386.47999999999996, "text": " Y regresamos al l\u00edmite, l\u00edmite cuando x tend\u00eda a menos 3 de la expresi\u00f3n que nos qued\u00f3, arriba 3 menos x y abajo este 3 y esta expresi\u00f3n de aqu\u00ed, par\u00e9ntesis 4 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s 7"}, {"start": 386.48, "end": 400.16, "text": " De acuerdo entonces, borremos esto de ac\u00e1 y ya podemos volver a evaluar la expresi\u00f3n en x igual a menos 3 ya que logramos deshacernos del factor problema"}, {"start": 400.16, "end": 415.36, "text": " Entonces reemplazamos, donde est\u00e1 la x escribimos menos 3, aqu\u00ed ser\u00eda menos 3 al cuadrado m\u00e1s 7, cierra el par\u00e9ntesis y vamos a resolver esto"}, {"start": 415.36, "end": 429.04, "text": " Hag\u00e1moslo mentalmente, arriba 3 menos menos 3 se convierte en 3 m\u00e1s 3 que nos da 6, abajo queda el 3, este 3 queda igual que multiplica veamos ac\u00e1 dentro c\u00f3mo nos queda"}, {"start": 429.04, "end": 439.52000000000004, "text": " Menos 3 al cuadrado da 9, 9 m\u00e1s 7 son 16, ra\u00edz cuadrada 16 ser\u00eda 4 y 4 m\u00e1s 4 son 8"}, {"start": 439.52, "end": 453.44, "text": " Aqu\u00ed tenemos 3 por 8 en el denominador, podr\u00edamos por ejemplo simplificar 3, 3 y 6 sacarle tercera, esto nos quedar\u00eda 1 y 2 y 2 y 8 tambi\u00e9n podemos simplificarlo sac\u00e1ndole cuarta"}, {"start": 453.44, "end": 466.64, "text": " Pero mitad de 2 es 1, mitad de 8 es 4 y el resultado final de nuestro ejercicio ser\u00e1 1 cuarta, ese es el valor entonces del l\u00edmite propuesto"}]