INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver una integral utilizando el Método de Sustitución o Cambio de Variable.

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 Vamos a desarrollar esta integral. Como no se puede hacer en forma directa, entonces procedemos por el método de sustitución, también conocido como el método de cambio de variables. En esta ocasión vamos a tomar esta parte de abajo como la nueva letra. Por ejemplo vamos a usar la letra h, entonces h es igual a 2 más x al cuadrado. Y esta expresión la vamos a derivar con respecto a x. Entonces la derivada de h con respecto a x será la derivada de esta expresión, es decir la derivada de 2 que es 0, más la derivada de x al cuadrado que es 2x. Entonces la derivada de esto es 2x. Y de aquí vamos a despejar dx. Entonces podemos hacer lo siguiente, dx pasaría a multiplicar, nos queda que dh es igual a 2x por dx. Y finalmente para despejar dx, 2x que está multiplicando lo pasamos a dividir. Por lo tanto nos queda dh sobre 2x igual a dx. Tenemos entonces despejado dx. Vamos a notar por acá entonces h que equivale a 2 más x al cuadrado y dx que nos dio dh sobre 2x. Bien, vamos a borrar esto y vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva variable, es decir en términos de h que ahora será la letra que controla la integral. Entonces nos queda así. Esta x de arriba la dejamos quieta porque vemos que x no tiene ningún equivalente. 2 más x al cuadrado lo tenemos igualado a h. Entonces todo este denominador es h. Y esto multiplicado por dx que es dh sobre 2x. Aquí podemos apreciar que la x se cancela. Y entonces nos queda la integral de dh en el numerador y en el denominador 2h. Multiplicando h por 2 nos queda 2h y dh vemos que queda solitario en el numerador. De aquí podemos sacar este 2. Saldría como un medio. Un medio que multiplica a la integral de dh sobre h. Vamos a continuarla por acá. Esta integral también la podemos ver de la siguiente manera. Un medio por la integral de 1 sobre h con su correspondiente diferencial de h. Y la integral de 1 sobre h será el logaritmo natural del valor absoluto de h más la constante de integración. Esta ya es una integral básica. Recordemos que el método de sustitución lo que busca es conducir la integral a una integral básica. La integral que nos dan que es un poco complicada a una integral sencilla mediante un cambio apropiado de variable. Para terminar debemos cambiar h por su equivalente porque debemos regresar a la letra original del ejercicio. No podemos dejar nuestra respuesta con h siendo que la integral original viene propuesta con x. Entonces nos queda un medio por el logaritmo natural de valor absoluto de h que equivale a 2 más x al cuadrado. Cerramos valor absoluto más la constante de integración. Esta sería entonces la respuesta al ejercicio propuesto inicialmente.
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