MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS - Video 2
#julioprofe explica cómo efectuar la multiplicación y la división de dos números complejos. En cada caso, comprueba la operación usando calculadora científica.

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 TENEROS 2 NÚMEROS COMPLEJOS Tenemos en este caso dos números complejos y nos piden hallar tanto el producto como el cosiente de ellos. Vamos a resolver detalladamente estos dos ejercicios y también vamos a realizar su comprobación en calculadora científica. Comenzamos entonces con la multiplicación de ellos. Entonces z1 por z2 será igual a lo siguiente, el número complejo z1 es menos 2 más 7i. Allí tenemos la parte real y la parte imaginaria. Protegemos esto con paréntesis y lo vamos a multiplicar por el número complejo z2 que es menos 6 menos 4i. Allí también se observa la parte real y la parte imaginaria. En este caso procedemos como se multiplican en algebra dos binomios, es decir multiplicamos los términos todos con todos. Aplicando la propiedad distributiva. Entonces vamos a efectuar esta multiplicación de menos 2 por cada uno de estos términos. Nos queda entonces lo siguiente, menos 2 por menos 6 es 12 positivo, menos 2 por menos 4i nos da más 8i. Ahora vamos a distribuir este término, el término más 7i, para cada uno de estos dos. Entonces más 7i por menos 6 nos da menos 42i y más 7i por menos 4i nos da menos 28i al cuadrado. Allí podemos operar términos semejantes, es el caso de estos dos que contienen la i, es decir la unidad imaginaria. Entonces vamos a operar esos términos, nos queda 12, tenemos más 8i menos 42i, operamos más 8 con menos 42, eso nos da menos 34 y esto queda acompañado de la letra i o la unidad imaginaria. Y por acá tenemos i al cuadrado, recordemos que eso equivale a menos 1. Entonces tendremos menos 28 por menos 1 que es más 28. Finalmente podemos operar estas dos cantidades, los números que no contienen la i, es decir los componentes que conforman la parte real del número complejo. Entonces tenemos 12 más 28 que es 40 y esto queda acompañado de menos 34i. Allí se observa entonces la parte real y la parte imaginaria del número complejo que resulta del producto de los dos números complejos que nos dieron. Esta sería entonces la primera respuesta para el ejercicio. Veamos ahora la comprobación de este producto de números complejos en la calculadora científica. Para efectuar la comprobación de este ejercicio en calculadora científica lo primero que tenemos que hacer es llevarla al modo de números complejos. Para ello oprimimos este botón o esta tecla, la que dice modo, y vemos en pantalla 8 opciones. En este caso debemos seleccionar la segunda que es la de números complejos. Entonces oprimimos el botón del número 2 y de esa manera ya la calculadora nos queda en el modo de números complejos. Enseguida vamos a ingresar la operación, es decir la multiplicación o el producto de los números complejos. Para ello abrimos el paréntesis, botón de paréntesis izquierdo, luego debemos anotar menos 2 más 7i. Entonces utilizamos el botón del signo negativo, luego el 2, después más 7 y la unidad imaginaria la encontramos aquí. Está en color morado encima de la tecla que dice ENG, que es la tecla de ingeniería. Entonces oprimimos esa tecla y ya nos aparece la unidad imaginaria y cerramos el paréntesis. Luego si queremos se puede colocar el signo por, el signo de la multiplicación, o si queremos simplemente se abre el otro paréntesis. Ya la calculadora sabe que aquí existe la operación multiplicación. Vamos con el siguiente número complejo que es menos 6 menos 4i. Entonces botón del signo negativo, luego el 6, después el menos de la resta y 4i, 4 y este botón otra vez para activar la unidad imaginaria i. Cerramos el paréntesis y después de haber ingresado la operación le damos igual. Vemos allí el resultado 40 menos 34i, efectivamente lo que nos dio cuando resolvimos esa multiplicación de números complejos manualmente. Veremos ahora el otro ejercicio donde debemos encontrar el cociente o la división de esos números complejos. Tenemos entonces z1 sobre z2, vamos a reemplazar lo que nos da el enunciado. Z1 es menos 2 más 7i y el número complejo z2 es menos 6 menos 4i. Allí vamos a multiplicar por otra fracción que se conforma con el conjugado de esto que tenemos acá en el denominador. Aquí se observa una resta, entonces la expresión conjugada será la suma de esas dos cantidades, o sea menos 6 más 4i. Y esta cantidad la repetimos acá arriba porque esta fracción equivale a 1. Finalmente multiplicar todo esto por 1 nos garantiza que se conserva la expresión original. Recordemos que para multiplicar fracciones entonces efectuamos el producto de los numeradores y el producto de los denominadores. Vamos entonces a escribir eso por acá. En el numerador entonces multiplicamos estos dos números complejos. Hacemos un procedimiento similar al que hicimos anteriormente, es decir multiplicando los números o las cantidades todos con todos. Comenzamos entonces con menos 2 por menos 6, eso nos da 12 positivo. Luego menos 2 por más 4i, eso es menos 8i. Luego tenemos más 7i por menos 6, eso es menos 42i. Y finalmente más 7i por más 4i, eso nos da más 28i al cuadrado. Ahora en el denominador para multiplicar estas dos expresiones que es lo que debemos escribir aquí aplicamos un producto notable que se llama suma por diferencia. Ese es el objetivo de la conjugación, el conjugado de a menos b es a más b y viceversa. El objetivo de la conjugación es que se aplique este producto notable, suma por diferencia que nos produce una diferencia de cuadrados perfectos. La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado. Entonces aquí se observa esa situación, aquí está la suma de las dos cantidades y aquí está la resta de ellas. Y si multiplicamos eso aplicamos este producto notable y construimos esta expresión. Sería entonces la primera cantidad que es menos 6 elevada al cuadrado por eso protegemos eso con paréntesis. Menos la segunda cantidad que es 4i también protegida con paréntesis y todo eso elevado al cuadrado. Continuamos con el desarrollo del ejercicio por acá. En el numerador observamos términos semejantes, estos se contienen la i. Entonces tendremos 12, operamos esos dos términos, menos 8i menos 42i nos da menos 50i. Y también tenemos por acá i al cuadrado que equivale a menos 1. Entonces tendremos más 28 por menos 1 que es menos 28. En el denominador tenemos menos 6 al cuadrado que es igual a 36. Recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente par nos produce un resultado positivo. Y después tenemos menos 4i todo eso al cuadrado. Como esto está multiplicando el exponente 2 afecta a cada una de esas cantidades. Nos quedaría 4 al cuadrado por i al cuadrado, es decir 16i al cuadrado. Continuamos resolviendo. En el numerador podemos operar esas dos cantidades, son números netamente reales, no tienen la i o la unidad imaginaria. Entonces 12 menos 28 es menos 16 y eso queda acompañado de menos 50i. Este es el componente imaginario. Ahora en el denominador tenemos 36 y por acá i al cuadrado que nuevamente se nos convierte en menos 1. Entonces menos 16 por menos 1 nos da más 16. En el numerador seguimos teniendo la misma expresión, menos 16 menos 50i. Aquí no podemos hacer nada y acá en el denominador efectuamos esa suma que nos da 52. Y allí ya podemos ir configurando nuestra respuesta. Lo que hacemos es repartir este denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces tendremos menos 16 sobre 52 y luego menos 50i sobre 52. Aquí ya se distingue la parte real de la parte imaginaria en el número complejo que resulta de la división de los dos números complejos dados. Sin embargo esto se puede simplificar. Veamos, en el caso de la primera fracción podríamos sacar mitad, mitad de 16 nos da 8, mitad de 52 es 26. Y en la siguiente fracción también podemos sacar mitad de 50 y de 52. Mitad de 50 nos da 25, mitad de 52 es 26 y todo esto queda acompañado de i. Finalmente vemos que esta fracción se puede simplificar otra vez. Podemos volver a sacar mitad, mitad de 8 nos da 4, mitad de 26 nos da 13. Esta fracción no se puede simplificar, es irreducible, se queda tal como está, acompañada de la unidad imaginaria. Y así terminamos el ejercicio. Este número complejo es el resultado de la división ocosiente de los números complejos dados. A continuación veremos cómo comprobar este resultado, esa división de números complejos en la calculadora científica. Vamos a efectuar la comprobación del ejercicio. Ya tenemos la calculadora en el modo de números complejos. Entonces vamos a ingresar a la operación. Para ello utilizamos el botón de fracción y en el numerador vamos a escribir el número complejo menos 2 más 7i. Entonces botón del signo negativo, luego el 2, después más 7 y la unidad imaginaria que está encima de esta tecla. Entonces la oprimimos. Allí tenemos menos 2 más 7i en el numerador de la fracción. Ahora pasamos al denominador. Para ello con el botón del navegador nos dirigimos hacia abajo y al cursor queda en la parte de abajo de la fracción. Y allí vamos a ingresar el otro número complejo, menos 6 menos 4i. Entonces botón del signo negativo, el 6, luego el menos de la resta y 4i. Allí tenemos entonces los dos números complejos que están dividiendo. Oprimimos el signo igual y allí tenemos el resultado, menos 4 treceavos menos 25 26avos de i. El número complejo que se obtiene al efectuar la división de los dos números complejos dados. Esto nos confirma que el procedimiento que hicimos manualmente es correcto.
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denominadores."}, {"start": 361.0, "end": 365.0, "text": " Vamos entonces a escribir eso por ac\u00e1."}, {"start": 365.0, "end": 369.0, "text": " En el numerador entonces multiplicamos estos dos n\u00fameros complejos."}, {"start": 369.0, "end": 378.0, "text": " Hacemos un procedimiento similar al que hicimos anteriormente, es decir multiplicando los n\u00fameros o las cantidades todos con todos."}, {"start": 378.0, "end": 383.0, "text": " Comenzamos entonces con menos 2 por menos 6, eso nos da 12 positivo."}, {"start": 383.0, "end": 389.0, "text": " Luego menos 2 por m\u00e1s 4i, eso es menos 8i."}, {"start": 389.0, "end": 395.0, "text": " Luego tenemos m\u00e1s 7i por menos 6, eso es menos 42i."}, {"start": 395.0, "end": 403.0, "text": " Y finalmente m\u00e1s 7i por m\u00e1s 4i, eso nos da m\u00e1s 28i al cuadrado."}, {"start": 403.0, "end": 416.0, "text": " Ahora en el denominador para multiplicar estas dos expresiones que es lo que debemos escribir aqu\u00ed aplicamos un producto notable que se llama suma por diferencia."}, {"start": 416.0, "end": 423.0, "text": " Ese es el objetivo de la conjugaci\u00f3n, el conjugado de a menos b es a m\u00e1s b y viceversa."}, {"start": 423.0, "end": 432.0, "text": " El objetivo de la conjugaci\u00f3n es que se aplique este producto notable, suma por diferencia que nos produce una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 432.0, "end": 437.0, "text": " La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 437.0, "end": 444.0, "text": " Entonces aqu\u00ed se observa esa situaci\u00f3n, aqu\u00ed est\u00e1 la suma de las dos cantidades y aqu\u00ed est\u00e1 la resta de ellas."}, {"start": 444.0, "end": 450.0, "text": " Y si multiplicamos eso aplicamos este producto notable y construimos esta expresi\u00f3n."}, {"start": 450.0, "end": 458.0, "text": " Ser\u00eda entonces la primera cantidad que es menos 6 elevada al cuadrado por eso protegemos eso con par\u00e9ntesis."}, {"start": 458.0, "end": 467.0, "text": " Menos la segunda cantidad que es 4i tambi\u00e9n protegida con par\u00e9ntesis y todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 467.0, "end": 470.0, "text": " Continuamos con el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 470.0, "end": 475.0, "text": " En el numerador observamos t\u00e9rminos semejantes, estos se contienen la i."}, {"start": 475.0, "end": 485.0, "text": " Entonces tendremos 12, operamos esos dos t\u00e9rminos, menos 8i menos 42i nos da menos 50i."}, {"start": 485.0, "end": 491.0, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos por ac\u00e1 i al cuadrado que equivale a menos 1."}, {"start": 491.0, "end": 497.0, "text": " Entonces tendremos m\u00e1s 28 por menos 1 que es menos 28."}, {"start": 497.0, "end": 503.0, "text": " En el denominador tenemos menos 6 al cuadrado que es igual a 36."}, {"start": 503.0, "end": 509.0, "text": " Recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente par nos produce un resultado positivo."}, {"start": 509.0, "end": 513.0, "text": " Y despu\u00e9s tenemos menos 4i todo eso al cuadrado."}, {"start": 513.0, "end": 518.0, "text": " Como esto est\u00e1 multiplicando el exponente 2 afecta a cada una de esas cantidades."}, {"start": 518.0, "end": 526.0, "text": " Nos quedar\u00eda 4 al cuadrado por i al cuadrado, es decir 16i al cuadrado."}, {"start": 526.0, "end": 528.0, "text": " Continuamos resolviendo."}, {"start": 528.0, "end": 537.0, "text": " En el numerador podemos operar esas dos cantidades, son n\u00fameros netamente reales, no tienen la i o la unidad imaginaria."}, {"start": 537.0, "end": 545.0, "text": " Entonces 12 menos 28 es menos 16 y eso queda acompa\u00f1ado de menos 50i."}, {"start": 545.0, "end": 547.0, "text": " Este es el componente imaginario."}, {"start": 547.0, "end": 556.0, "text": " Ahora en el denominador tenemos 36 y por ac\u00e1 i al cuadrado que nuevamente se nos convierte en menos 1."}, {"start": 556.0, "end": 562.0, "text": " Entonces menos 16 por menos 1 nos da m\u00e1s 16."}, {"start": 562.0, "end": 569.0, "text": " En el numerador seguimos teniendo la misma expresi\u00f3n, menos 16 menos 50i."}, {"start": 569.0, "end": 576.0, "text": " Aqu\u00ed no podemos hacer nada y ac\u00e1 en el denominador efectuamos esa suma que nos da 52."}, {"start": 576.0, "end": 581.0, "text": " Y all\u00ed ya podemos ir configurando nuestra respuesta."}, {"start": 581.0, "end": 587.0, "text": " Lo que hacemos es repartir este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 587.0, "end": 600.0, "text": " Entonces tendremos menos 16 sobre 52 y luego menos 50i sobre 52."}, {"start": 600.0, "end": 611.0, "text": " Aqu\u00ed ya se distingue la parte real de la parte imaginaria en el n\u00famero complejo que resulta de la divisi\u00f3n de los dos n\u00fameros complejos dados."}, {"start": 611.0, "end": 613.0, "text": " Sin embargo esto se puede simplificar."}, {"start": 613.0, "end": 623.0, "text": " Veamos, en el caso de la primera fracci\u00f3n podr\u00edamos sacar mitad, mitad de 16 nos da 8, mitad de 52 es 26."}, {"start": 623.0, "end": 628.0, "text": " Y en la siguiente fracci\u00f3n tambi\u00e9n podemos sacar mitad de 50 y de 52."}, {"start": 628.0, "end": 636.0, "text": " Mitad de 50 nos da 25, mitad de 52 es 26 y todo esto queda acompa\u00f1ado de i."}, {"start": 636.0, "end": 640.0, "text": " Finalmente vemos que esta fracci\u00f3n se puede simplificar otra vez."}, {"start": 640.0, "end": 647.0, "text": " Podemos volver a sacar mitad, mitad de 8 nos da 4, mitad de 26 nos da 13."}, {"start": 647.0, "end": 656.0, "text": " Esta fracci\u00f3n no se puede simplificar, es irreducible, se queda tal como est\u00e1, acompa\u00f1ada de la unidad imaginaria."}, {"start": 656.0, "end": 659.0, "text": " Y as\u00ed terminamos el ejercicio."}, {"start": 659.0, "end": 667.0, "text": " Este n\u00famero complejo es el resultado de la divisi\u00f3n ocosiente de los n\u00fameros complejos dados."}, {"start": 667.0, "end": 675.0, "text": " A continuaci\u00f3n veremos c\u00f3mo comprobar este resultado, esa divisi\u00f3n de n\u00fameros complejos en la calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 675.0, "end": 677.0, "text": " Vamos a efectuar la comprobaci\u00f3n del ejercicio."}, {"start": 677.0, "end": 681.0, "text": " Ya tenemos la calculadora en el modo de n\u00fameros complejos."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " Entonces vamos a ingresar a la operaci\u00f3n."}, {"start": 684.0, "end": 691.0, "text": " Para ello utilizamos el bot\u00f3n de fracci\u00f3n y en el numerador vamos a escribir el n\u00famero complejo menos 2 m\u00e1s 7i."}, {"start": 691.0, "end": 702.0, "text": " Entonces bot\u00f3n del signo negativo, luego el 2, despu\u00e9s m\u00e1s 7 y la unidad imaginaria que est\u00e1 encima de esta tecla."}, {"start": 702.0, "end": 704.0, "text": " Entonces la oprimimos."}, {"start": 704.0, "end": 708.0, "text": " All\u00ed tenemos menos 2 m\u00e1s 7i en el numerador de la fracci\u00f3n."}, {"start": 708.0, "end": 710.0, "text": " Ahora pasamos al denominador."}, {"start": 710.0, "end": 717.0, "text": " Para ello con el bot\u00f3n del navegador nos dirigimos hacia abajo y al cursor queda en la parte de abajo de la fracci\u00f3n."}, {"start": 717.0, "end": 723.0, "text": " Y all\u00ed vamos a ingresar el otro n\u00famero complejo, menos 6 menos 4i."}, {"start": 723.0, "end": 730.0, "text": " Entonces bot\u00f3n del signo negativo, el 6, luego el menos de la resta y 4i."}, {"start": 730.0, "end": 734.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces los dos n\u00fameros complejos que est\u00e1n dividiendo."}, {"start": 734.0, "end": 742.0, "text": " Oprimimos el signo igual y all\u00ed tenemos el resultado, menos 4 treceavos menos 25 26avos de i."}, {"start": 742.0, "end": 748.0, "text": " El n\u00famero complejo que se obtiene al efectuar la divisi\u00f3n de los dos n\u00fameros complejos dados."}, {"start": 748.0, "end": 777.0, "text": " Esto nos confirma que el procedimiento que hicimos manualmente es correcto."}]