APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL TRAZADO DE CURVAS - Ejercicio 1 (Parte 2)
#julioprofe continúa con la explicación del video anterior, hasta llegar a la gráfica.

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 Paso séptimo, vamos a determinar donde la función es cóncava hacia abajo y donde es cóncava hacia arriba Para ello debemos analizar el signo de la segunda derivada La segunda derivada nos dio 1 sobre x Entonces, de nuevo, trazamos una línea que nos simbolice el dominio de la función Dijimos que la función va desde 0 sin incluirlo hasta más infinito Esto representa los valores en x Como no tuvimos puntos de inflexión, pues no marcamos aquí ningún valor Entonces, quiere decir que podemos escoger cualquier valor de x dentro de este conjunto Por ejemplo, podríamos escoger el número 3 Y al evaluar ese número en la segunda derivada F2' evaluada en 3, nos quedaría 1 tercio 1 tercio equivale a 0.33 Lo que nos interesa aquí es el signo de ese resultado La segunda derivada nos acaba de dar positiva Eso significa que nuestra función va a ser cóncava hacia arriba En todo su dominio, por lo que no había intervalos O subintervalos, mejor Como octavo paso, vamos a determinar las coordenadas de los puntos principales de la función Es decir, de los puntos claves para ir a hacer la gráfica Vamos a hacer una tabla donde ubiquemos los valores en x Y los valores de y que se encuentran en la función original Recordemos que la función original decía x por logaritmo natural de x Los valores claves encontrados fueron x igual a 1 Que fue el x intersecto, para el cual y vale 0 Lo podemos sacar de aquí, logaritmo natural de 1 es 0 Multiplicado por x que vale 1, nos da 0 Y el otro valor importante fue 0.37 Que fue donde obtuvimos la abscisa del punto crítico Para encontrar la ordenada, o sea el valor en y Lo que hacemos es reemplazar 0.37 aquí donde está la x Evaluamos la función original en 0.37 Y eso, haciéndolo con la calculadora, nos da menos 0.37 Quiere decir que esta va a ser la coordenada del punto crítico Y la coordenada 1,0 es la coordenada del x intersecto El último paso, paso noveno, vamos a bosquear la gráfica de la función Paso noveno va a ser este Trazamos un plano cartesiano donde podamos ubicar los valores obtenidos Entonces vamos a tener el punto 1,0 aquí Que fue el x intersecto y el punto 0,37 con menos 0,37 Veamos, aquí hemos dividido la unidad en 10 partes Eso sería 0.1, 0.2, 0.3 0.37 es aproximadamente por acá Y hacia abajo el mismo conteo Menos 0.1, menos 0.2, menos 0.3, menos 0.37 es como por acá Donde se encuentren esos dos valores, más o menos por acá Ahí vamos a tener la coordenada del punto crítico Podemos colocarle de una vez el punto crítico A continuación vamos a trazar las pistas de lo que nos vio en el análisis Aquí donde está el punto crítico podemos trazar como una linecita imaginaria vertical Donde podemos establecer lo que nos dio en el análisis de donde la función crecía y donde decrecía Habíamos encontrado que la función iba a ser decreciente entre 0 y 0.37 Entonces decreciente por acá Y en el resto del conjunto, en el resto del dominio iba a ser creciente También encontramos que la función va a ser cóncava hacia arriba en todo su dominio Es decir, desde 0 hasta más infinito la función debe tener esta forma Lo que tenemos que hacer ahorita es trazar una gráfica que pase por este punto, por este Y fuera de eso tener en cuenta que cuando nos aproximamos a 0 por el lado derecho La función tiende a 0 Veamos por qué La función original es x por logaritmo natural de x Si x toma valores cercanos a 0 esto se vuelve a 0 Y acá los valores de x próximos a 0 hacen que el logaritmo de un número negativo Pero al ser multiplicado por algo muy próximo a 0 finalmente todo esto tiende a 0 Quiere decir que la función sale de aquí Pero como el 0 no se toma aquí es abierto Y la curva debe ir desde este punto hasta este punto crítico Y pasar por el intersecto con el eje x cumpliendo con estas condiciones Entonces más o menos la curva va a tener la siguiente forma Bueno, la voy a dibujar, no en el orden en que se genera pero para que podamos apreciarla Esta gráfica sigue hacia allá, entonces aquí podemos ver el comportamiento De creciente hasta el punto crítico, creciente después del punto crítico Y en todo su dominio la curva es concava hacia arriba Recordemos que este punto crítico habíamos dicho que iba a ser un mínimo Pues aquí se ratifica su condición de mínimo Sería el mínimo absoluto de la función ya que es el punto más bajito que podemos encontrar en ella Puntos más abajo que este no vamos a encontrar Ese sería entonces el bosquejo de la función f de x igual a x por logaritmo natural de x Si quisiéramos ver la gráfica con más precisión podríamos utilizar un programa graficador De esa manera podríamos ver con más exactitud el trazado de la gráfica
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vertical"}, {"start": 239.0, "end": 247.0, "text": " Donde podemos establecer lo que nos dio en el an\u00e1lisis de donde la funci\u00f3n crec\u00eda y donde decrec\u00eda"}, {"start": 247.0, "end": 254.0, "text": " Hab\u00edamos encontrado que la funci\u00f3n iba a ser decreciente entre 0 y 0.37"}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " Entonces decreciente por ac\u00e1"}, {"start": 257.0, "end": 263.0, "text": " Y en el resto del conjunto, en el resto del dominio iba a ser creciente"}, {"start": 263.0, "end": 268.0, "text": " Tambi\u00e9n encontramos que la funci\u00f3n va a ser c\u00f3ncava hacia arriba en todo su dominio"}, {"start": 268.0, "end": 274.0, "text": " Es decir, desde 0 hasta m\u00e1s infinito la funci\u00f3n debe tener esta forma"}, {"start": 274.0, "end": 281.0, "text": " Lo que tenemos que hacer ahorita es trazar una gr\u00e1fica que pase por este punto, por este"}, {"start": 281.0, "end": 287.0, "text": " Y fuera de eso tener en cuenta que cuando nos aproximamos a 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x cumpliendo con estas condiciones"}, {"start": 332.0, "end": 337.0, "text": " Entonces m\u00e1s o menos la curva va a tener la siguiente forma"}, {"start": 337.0, "end": 346.0, "text": " Bueno, la voy a dibujar, no en el orden en que se genera pero para que podamos apreciarla"}, {"start": 346.0, "end": 351.0, "text": " Esta gr\u00e1fica sigue hacia all\u00e1, entonces aqu\u00ed podemos ver el comportamiento"}, {"start": 351.0, "end": 357.0, "text": " De creciente hasta el punto cr\u00edtico, creciente despu\u00e9s del punto cr\u00edtico"}, {"start": 357.0, "end": 361.0, "text": " Y en todo su dominio la curva es concava hacia arriba"}, {"start": 361.0, "end": 364.0, "text": " Recordemos que este punto cr\u00edtico hab\u00edamos dicho que iba a ser un m\u00ednimo"}, {"start": 364.0, "end": 368.0, "text": " Pues aqu\u00ed se ratifica su condici\u00f3n de m\u00ednimo"}, {"start": 368.0, "end": 373.0, "text": " Ser\u00eda el m\u00ednimo absoluto de la funci\u00f3n ya que es el punto m\u00e1s bajito que podemos encontrar en ella"}, {"start": 373.0, "end": 377.0, "text": " Puntos m\u00e1s abajo que este no vamos a encontrar"}, {"start": 377.0, "end": 387.0, "text": " Ese ser\u00eda entonces el bosquejo de la funci\u00f3n f de x igual a x por logaritmo natural de x"}, {"start": 387.0, "end": 391.0, "text": " Si quisi\u00e9ramos ver la gr\u00e1fica con m\u00e1s precisi\u00f3n podr\u00edamos utilizar un programa graficador"}, {"start": 391.0, "end": 403.0, "text": " De esa manera podr\u00edamos ver con m\u00e1s exactitud el trazado de la gr\u00e1fica"}]