ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 3 (Parte 2 de 2)
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 Nos queda 2 sen al cuadrado de x, 1, todo esto entre paréntesis elevado al cuadrado y utilizamos el signo del segundo termino, es decir, signo negativo. Recordemos que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre nos da un binomio al cuadrado. No podemos olvidar que esto se encuentra igualado a cero. Entonces vamos a resolver esa ecuación. Allí podríamos sacar raíz cuadrada a ambos lados. Sacamos raíz cuadrada al lado izquierdo, al lado derecho y de esa manera eliminamos este cuadrado. Nos quedaría 2 sen al cuadrado de x, menos 1. En el lado derecho la raíz cuadrada de cero será cero. Y de allí poco a poco vamos a hacer el despeje de la función cero. Nos queda 2 sen al cuadrado de x igual a 1. Pasamos primero el 1, que pasaría a sumar con el cero. Después decimos que sen al cuadrado de x es igual a 1 medio. 2 se está multiplicando, pasa a dividir. Y despejando la función sen tx nos va a quedar más o menos la raíz cuadrada de 1 medio. Como sacamos raíz cuadrada a ambos lados para poder quitar el cuadrado. En el lado derecho anotamos las dos opciones más y menos. Vamos a organizar esta expresión. Aquí podemos repartir la raíz tanto al numerador como al denominador. Raíz cuadrada de 1 nos da 1 y la raíz cuadrada de 2 la dejamos expresada. Esa expresión la podemos o más bien la debemos racionalizar. Porque nos ha quedado con la raíz en el denominador. Vamos a multiplicar por raíz de 2 tanto arriba como abajo. Nos queda que sen x es igual a más o menos. En el numerador nos queda raíz cuadrada de 2. El producto de 1 por raíz de 2. Y acá abajo raíz de 2 por raíz de 2 nos queda raíz de 2 al cuadrado que equivale a 2. Tenemos dos posibilidades. Una que el sen x es igual a menos raíz de 2 sobre 2. Y la otra que el sen x es igual a raíz de 2 sobre 2. Vamos a mirar entonces para que valores de x, es decir para que ángulos se cumple que el sen tome estos dos valores. Si vamos al círculo unitario vamos a encontrar que los ángulos para los cuales la función sen vale raíz de 2 medios. Que es aquí. Son entonces 45 grados. Esta posición de aquí y esta que corresponde a 135 grados. Recordemos que en el círculo unitario los valores del sen se localizan sobre el eje vertical. El eje y. Los valores de cos se ubican sobre el eje x. Entonces decíamos el sen toma el valor raíz de 2 sobre 2 cuando el ángulo es 45 o cuando es 135. Y toma el valor menos raíz de 2 medios cuando los ángulos son estos de acá. Es decir 225 grados y 315 grados. Todos estos ángulos son digamos lo así múltiplos de 45 grados. De este que se forma por aquí. Para la respuesta debemos darlos en radianes. Entonces 45 grados corresponde a pi cuartos radianes. Este ángulo veamos como lo sacamos de manera fácil. Podemos contar de la siguiente manera. Aquí inicia el conteo en 0. 0 grados o 0 radianes. Aquí tenemos 1 pi cuartos, 2 pi cuartos. Aquí sería 3 pi cuartos. Aquí tendremos 4 pi cuartos, o sea pi. Aquí sería 5 pi cuartos. Aquí sería 6 pi cuartos, o sea 3 pi medios. Aquí sería 7 pi cuartos. Y si terminamos la vuelta tendríamos 8 pi cuartos que corresponde a 2 pi radianes, o sea 360 grados. Entonces las soluciones de nuestra ecuación van a ser estos cuatro valores. Veamos como se presenta entonces la respuesta. El conjunto solución para esta ecuación será el siguiente. X puede tomar los siguientes valores. Sería pi cuartos, o sea 45 grados. 3 pi cuartos, que es 135 grados. Después 5 pi cuartos, que corresponde a 225 grados. Y 7 pi cuartos, que viene siendo 315 grados. Estas son entonces las soluciones para el intervalo de X comprendido entre 0 y 2 pi. Que usualmente es la zona de trabajo en las ecuaciones trigonométricas.
[{"start": 0.0, "end": 20.0, "text": " Nos queda 2 sen al cuadrado de x, 1, todo esto entre par\u00e9ntesis elevado al cuadrado y utilizamos el signo del segundo termino, es decir, signo negativo."}, {"start": 20.0, "end": 27.0, "text": " Recordemos que la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto siempre nos da un binomio al cuadrado."}, {"start": 27.0, "end": 31.0, "text": " No podemos olvidar que esto se encuentra igualado a cero."}, {"start": 31.0, "end": 36.0, "text": " Entonces vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 36.0, "end": 41.0, "text": " All\u00ed podr\u00edamos sacar ra\u00edz cuadrada a ambos lados."}, {"start": 41.0, "end": 48.0, "text": " Sacamos ra\u00edz cuadrada al lado izquierdo, al lado derecho y de esa manera eliminamos este cuadrado."}, {"start": 48.0, "end": 52.0, "text": " Nos quedar\u00eda 2 sen al cuadrado de x, menos 1."}, {"start": 52.0, "end": 55.0, "text": " En el lado derecho la ra\u00edz cuadrada de cero ser\u00e1 cero."}, {"start": 55.0, "end": 61.0, "text": " Y de all\u00ed poco a poco vamos a hacer el despeje de la funci\u00f3n cero."}, {"start": 61.0, "end": 65.0, "text": " Nos queda 2 sen al cuadrado de x igual a 1."}, {"start": 65.0, "end": 69.0, "text": " Pasamos primero el 1, que pasar\u00eda a sumar con el cero."}, {"start": 69.0, "end": 73.0, "text": " Despu\u00e9s decimos que sen al cuadrado de x es igual a 1 medio."}, {"start": 73.0, "end": 76.0, "text": " 2 se est\u00e1 multiplicando, pasa a dividir."}, {"start": 76.0, "end": 85.0, "text": " Y despejando la funci\u00f3n sen tx nos va a quedar m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 1 medio."}, {"start": 85.0, "end": 90.0, "text": " Como sacamos ra\u00edz cuadrada a ambos lados para poder quitar el cuadrado."}, {"start": 90.0, "end": 95.0, "text": " En el lado derecho anotamos las dos opciones m\u00e1s y menos."}, {"start": 95.0, "end": 99.0, "text": " Vamos a organizar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 99.0, "end": 107.0, "text": " Aqu\u00ed podemos repartir la ra\u00edz tanto al numerador como al denominador."}, {"start": 107.0, "end": 113.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 1 nos da 1 y la ra\u00edz cuadrada de 2 la dejamos expresada."}, {"start": 113.0, "end": 119.0, "text": " Esa expresi\u00f3n la podemos o m\u00e1s bien la debemos racionalizar."}, {"start": 119.0, "end": 122.0, "text": " Porque nos ha quedado con la ra\u00edz en el denominador."}, {"start": 122.0, "end": 129.0, "text": " Vamos a multiplicar por ra\u00edz de 2 tanto arriba como abajo."}, {"start": 129.0, "end": 132.0, "text": " Nos queda que sen x es igual a m\u00e1s o menos."}, {"start": 132.0, "end": 135.0, "text": " En el numerador nos queda ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 135.0, "end": 138.0, "text": " El producto de 1 por ra\u00edz de 2."}, {"start": 138.0, "end": 144.0, "text": " Y ac\u00e1 abajo ra\u00edz de 2 por ra\u00edz de 2 nos queda ra\u00edz de 2 al cuadrado que equivale a 2."}, {"start": 144.0, "end": 147.0, "text": " Tenemos dos posibilidades."}, {"start": 147.0, "end": 155.0, "text": " Una que el sen x es igual a menos ra\u00edz de 2 sobre 2."}, {"start": 155.0, "end": 160.0, "text": " Y la otra que el sen x es igual a ra\u00edz de 2 sobre 2."}, {"start": 160.0, "end": 169.0, "text": " Vamos a mirar entonces para que valores de x, es decir para que \u00e1ngulos se cumple que el sen tome estos dos valores."}, {"start": 169.0, "end": 183.0, "text": " Si vamos al c\u00edrculo unitario vamos a encontrar que los \u00e1ngulos para los cuales la funci\u00f3n sen vale ra\u00edz de 2 medios."}, {"start": 183.0, "end": 185.0, "text": " Que es aqu\u00ed."}, {"start": 185.0, "end": 190.0, "text": " Son entonces 45 grados."}, {"start": 190.0, "end": 197.0, "text": " Esta posici\u00f3n de aqu\u00ed y esta que corresponde a 135 grados."}, {"start": 197.0, "end": 206.0, "text": " Recordemos que en el c\u00edrculo unitario los valores del sen se localizan sobre el eje vertical."}, {"start": 206.0, "end": 207.0, "text": " El eje y."}, {"start": 207.0, "end": 213.0, "text": " Los valores de cos se ubican sobre el eje x."}, {"start": 213.0, "end": 225.0, "text": " Entonces dec\u00edamos el sen toma el valor ra\u00edz de 2 sobre 2 cuando el \u00e1ngulo es 45 o cuando es 135."}, {"start": 225.0, "end": 234.0, "text": " Y toma el valor menos ra\u00edz de 2 medios cuando los \u00e1ngulos son estos de ac\u00e1."}, {"start": 234.0, "end": 242.0, "text": " Es decir 225 grados y 315 grados."}, {"start": 242.0, "end": 249.0, "text": " Todos estos \u00e1ngulos son digamos lo as\u00ed m\u00faltiplos de 45 grados."}, {"start": 249.0, "end": 252.0, "text": " De este que se forma por aqu\u00ed."}, {"start": 252.0, "end": 256.0, "text": " Para la respuesta debemos darlos en radianes."}, {"start": 256.0, "end": 263.0, "text": " Entonces 45 grados corresponde a pi cuartos radianes."}, {"start": 263.0, "end": 266.0, "text": " Este \u00e1ngulo veamos como lo sacamos de manera f\u00e1cil."}, {"start": 266.0, "end": 268.0, "text": " Podemos contar de la siguiente manera."}, {"start": 268.0, "end": 272.0, "text": " Aqu\u00ed inicia el conteo en 0. 0 grados o 0 radianes."}, {"start": 272.0, "end": 275.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos 1 pi cuartos, 2 pi cuartos."}, {"start": 275.0, "end": 279.0, "text": " Aqu\u00ed ser\u00eda 3 pi cuartos."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " Aqu\u00ed tendremos 4 pi cuartos, o sea pi."}, {"start": 282.0, "end": 286.0, "text": " Aqu\u00ed ser\u00eda 5 pi cuartos."}, {"start": 286.0, "end": 290.0, "text": " Aqu\u00ed ser\u00eda 6 pi cuartos, o sea 3 pi medios."}, {"start": 290.0, "end": 294.0, "text": " Aqu\u00ed ser\u00eda 7 pi cuartos."}, {"start": 294.0, "end": 304.0, "text": " Y si terminamos la vuelta tendr\u00edamos 8 pi cuartos que corresponde a 2 pi radianes, o sea 360 grados."}, {"start": 304.0, "end": 309.0, "text": " Entonces las soluciones de nuestra ecuaci\u00f3n van a ser estos cuatro valores."}, {"start": 309.0, "end": 313.0, "text": " Veamos como se presenta entonces la respuesta."}, {"start": 313.0, "end": 318.0, "text": " El conjunto soluci\u00f3n para esta ecuaci\u00f3n ser\u00e1 el siguiente."}, {"start": 318.0, "end": 322.0, "text": " X puede tomar los siguientes valores."}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " Ser\u00eda pi cuartos, o sea 45 grados."}, {"start": 326.0, "end": 331.0, "text": " 3 pi cuartos, que es 135 grados."}, {"start": 331.0, "end": 338.0, "text": " Despu\u00e9s 5 pi cuartos, que corresponde a 225 grados."}, {"start": 338.0, "end": 343.0, "text": " Y 7 pi cuartos, que viene siendo 315 grados."}, {"start": 343.0, "end": 352.0, "text": " Estas son entonces las soluciones para el intervalo de X comprendido entre 0 y 2 pi."}, {"start": 352.0, "end": 361.0, "text": " Que usualmente es la zona de trabajo en las ecuaciones trigonom\u00e9tricas."}]