RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Al final, hace la comprobación en calculadora.

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 Vamos a efectuar el proceso de racionalización de esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener una fracción equivalente sin radicales en el denominador. Vamos a efectuar este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos escribiendo nuevamente el ejercicio. Tenemos entonces en el numerador la expresión raíz cuadrada de 2 menos 1 y en el denominador 5 más 3 raíz cuadrada de 2. Y vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugación. Vamos a multiplicar por una fracción que equivale a 1 para no alterar la expresión original y esta fracción se compone de lo que es el conjugado del denominador. Vamos a recordar ese concepto del conjugado. Si tenemos una expresión a más b, como en este caso su conjugado será a menos b y si tuviéramos a menos b su conjugado es a más b. El objetivo de la conjugación es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia que nos da origen a una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces en este caso el conjugado de 5 más 3 raíz de 2 será 5 menos 3 raíz cuadrada de 2. Siguiendo esta instrucción aquí tenemos a más b y aquí está el conjugado a menos b y esto que escribimos abajo tenemos que repetirlo arriba porque como decíamos esta fracción debe ser equivalente a 1. Para ello el numerador y el denominador deben ser iguales. Efectuamos ahora esa multiplicación de fracciones. Vamos a seguir por acá. Recordemos que las fracciones se multiplican de manera horizontal numeradores entre sí y denominadores entre sí. Entonces el producto de numeradores nos queda raíz cuadrada de 2 menos 1 todo esto multiplicado por 5 menos 3 raíz de 2 debemos proteger esos binomios utilizando paréntesis y en el denominador tendremos el producto de estas dos expresiones y es allí cuando se aplica esto lo que es el producto notable llamado suma por diferencia y que nos produce una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces la multiplicación de esto por esto nos dará el primer término al cuadrado allí lo tenemos menos el segundo término que es 3 raíz cuadrada de 2 y todo esto elevado al cuadrado. En el numerador vamos a efectuar ese producto de binomios allí nos toca aplicar la propiedad distributiva. Entonces comenzamos distribuyendo raíz cuadrada de 2 para cada uno de estos dos términos entonces veamos cómo nos queda raíz cuadrada de 2 por 5 será 5 raíz de 2 después tenemos raíz cuadrada de 2 por menos 3 raíz de 2 será menos 3 entre paréntesis raíz cuadrada de 2 y esto elevado al cuadrado. Ahora vamos a distribuir este elemento menos 1 para cada uno de estos términos propiedad distributiva entonces menos 1 por 5 nos da menos 5 y menos 1 por menos 3 raíz de 2 será más 3 raíz de 2 entonces allí hemos resuelto ese producto de binomios en el numerador y ahora en el denominador efectuamos cada una de esas potencias 5 al cuadrado nos da 25 y acá tenemos un multiplicación y eso está elevado al cuadrado. Aquí aplicamos la siguiente propiedad si tenemos por ejemplo k por l todo esto elevado al exponente n entonces nos queda k a la n por l a la n se reparte el exponente cuando tenemos multiplicación en la base entonces será 3 al cuadrado por raíz cuadrada de 2 y esto elevado al cuadrado. Seguimos resolviendo esas operaciones vamos a continuar por acá entonces en el numerador tenemos 5 raíz de 2 eso lo dejamos igual después tenemos menos 3 por raíz cuadrada de 2 todo eso al cuadrado nos da 2 allí el exponente 2 elimina la raíz cuadrada después tenemos menos 5 y después más 3 raíz de 2 ahora en el denominador vamos a tener lo siguiente aquí 25 menos 3 al cuadrado que es 9 y eso por raíz cuadrada de 2 al cuadrado otra vez el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y nos deja libre el 2. Continuamos resolviendo en el numerador tendremos 5 raíz de 2 después menos resolvemos esa multiplicación 3 por 2 que es 6 luego menos 5 y después más 3 raíz cuadrada de 2 ahora vamos al denominador donde tenemos 25 y eso menos 9 por 2 que es 18. En el numerador podemos hacer la reducción de términos por ejemplo estos dos son radicales semejantes se pueden sumar entre sí y también podemos operar estos dos números que son términos independientes vamos a continuar por acá y entonces en el numerador tendremos 5 raíz de 2 más 3 raíz de 2 eso nos da 8 raíz de 2 allí operamos los coeficientes es decir los números que acompañan a raíz de 2 y tenemos menos 6 menos 5 que es menos 11 ahora en el denominador efectuamos esa resta 25 menos 18 nos da como resultado 7 allí no se puede hacer nada más podríamos dejar el resultado presentado de esta forma o también como menos 11 más 8 raíz de 2 simplemente cambiamos la posición de los términos en el numerador y todo esto dividido entre 7 entonces con esto terminamos hemos obtenido una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador entonces con eso damos cumplimiento al propósito de la racionalización ahora vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora científica comenzamos oprimiendo el botón de fracción luego tenemos que ingresar en el numerador raíz cuadrada de 2 menos 1 entonces botón de raíz cuadrada después el 2 corremos el cursor a la derecha el botón del menos y luego el 1 bajamos el cursor al denominador y allí vamos a ingresar 5 más 3 raíz de 2 entonces 5 más 3 botón de raíz cuadrada y luego el 2 allí hemos ingresado esa expresión oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado menos 11 más 8 raíz de 2 y todo eso sobre 7 con eso comprobamos que ese ejercicio ha sido resuelto correctamente
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