INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método de Integración por Partes. 

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 ¿Qué es la integral de x al cuadrado? Resuelva la integral de x al cuadrado por logaritmo natural de x con su correspondiente de x. Vamos a utilizar el método de integración por partes, dado que por integración directa o por ejemplo por el método de sustitución, esa integral no se puede resolver. Entonces vamos a comenzar por clasificar las dos funciones en las categorías de ilate para poder determinar quién es u y quién es dv. y es función inversa, l logaritmica, a algebraica, t trigonométrica y e exponencial. Veamos, x al cuadrado se clasificaría como algebraica, por ser x elevada a un exponente, y logaritmo natural de x sería categoría logaritmica. Por lo tanto, el truco para determinar u es escoger la primera letra que encontramos de ilate al leer la palabra de izquierda a derecha. Entonces tenemos la l primero que la a, luego la función logaritmica será la u, es decir, lo que es logaritmo natural de x. Y el resto de la expresión, es decir, x al cuadrado por dx será dv. Entonces tenemos u es logaritmo natural de x, y esto vamos a derivarlo, entonces nos queda derivada de u con respecto a x, será igual a 1 sobre x, de donde despejamos de u. Para despejar de u, tomamos dx que se encuentra dividiendo y lo pasamos al otro lado a multiplicar. Por lo tanto nos queda 1 sobre x multiplicado por dx. Allí tenemos entonces u y du. dv, dijimos que es el resto de la expresión que tenemos en la integral, entonces sería x al cuadrado multiplicado por dx. Bien, y esto tenemos que integrarlo en ambos lados, entonces la integral de dv será igual a la integral de x al cuadrado con su correspondiente dx. La integral de dv será v, y la integral de x al cuadrado será x a la 3 sobre 3. Aquí tenemos entonces lo que es v. Para otros componentes vamos a aplicar la fórmula de integración por partes, y para recordarla usamos el siguiente truco. La integral de u por dv es igual a 1 vaca menos la integral vestida de uniforme. Con esa formulita recordamos la expresión para integración por partes. Entonces vamos a reemplazar cada uno de los componentes. Entonces nos queda la integral de u que era logaritmo natural de x por dv que nos dio x al cuadrado de x. Es igual a u que nos dio logaritmo natural de x por v que nos dio x a la 3 sobre 3, todo esto menos la integral de v que es x a la 3 sobre 3 por du. Y du nos dio 1 sobre x con su correspondiente dx. Organizamos aquí la expresión, nos queda x al cuadrado por el logaritmo natural de x con su correspondiente dx, es decir la expresión original del ejercicio. Aquí tenemos la integral propuesta. Empezamos a organizar este lado. Aquí resulta mejor escribirlo como x a la 3 por logaritmo natural de x sobre 3. Recordemos que no se puede multiplicar este x a la 3 por esta x ya que esta x es propiedad de este logaritmo, por lo tanto es mejor escribir x a la 3 delante del logaritmo. Y por acá podemos sacar este 3 que por encontrarse en el denominador sale como 1 tercio y nos queda la integral de x a la 3 sobre x que simplificando nos da x al cuadrado con su respectivo diferencial de x. Finalmente esto nos va a quedar x al cuadrado logaritmo natural de x con su dx es igual a x a la 3 logaritmo natural de x sobre 3 menos 1 tercio por... Resolvemos esta última integral que nos queda pendiente. La integral de x a la 2 sería x a la 3 sobre 3 y aparece la constante de integración. Podemos pulir nuestra respuesta multiplicando estas dos fracciones. Entonces nos va a quedar que la integral de x al cuadrado por el logaritmo natural de x con su dx es igual a x a la 3 por logaritmo natural de x sobre 3 menos x a la 3 sobre 9 y todo esto más la constante de integración. De esta manera entonces hemos resuelto la integral propuesta usando el método de integración por partes.
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