DERIVACIÓN LOGARÍTMICA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo derivar una función utilizando la Derivación o Diferenciación Logarítmica.

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 Vamos a derivar esta función donde observamos una potencia que tiene la letra X, es decir, la variable independiente, tanto en la base como en el exponente. En las reglas de derivación tenemos una propiedad para el caso en que la X o la variable independiente se encuentra en la base. Recordemos que la derivada, por ejemplo, de X a la N, donde N es un número real, es N por X a la N menos 1. Entonces esta es la propiedad donde tenemos la X en la base. Y también tenemos la propiedad donde la X se encuentra en el exponente. Cuando tenemos el caso de una función exponencial, recordemos que a es un número real. Para este caso la derivada nos dice que es a a la X por logaritmo natural de a. Pero no tenemos entre las reglas de derivación una propiedad para el caso en que la X está simultáneamente en la base y en el exponente. Entonces es allí cuando nos toca recurrir a lo que se llama la derivación logarítmica o también conocida como diferenciación logarítmica. Comenzamos por tomar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad. Tenemos entonces logaritmo natural de y igual a logaritmo natural de X al cuadrado más 3, todo esto elevado a la expresión 5X menos 1. Y en este lado vamos a aplicar la propiedad de los logaritmos que dice, por ejemplo para el caso de logaritmo natural, que si tenemos una potencia entonces el exponente baja a multiplicar. Esto nos queda por ejemplo b por logaritmo natural de a. Entonces tendremos en este lado aplicando esta propiedad 5X menos 1 por logaritmo natural de X al cuadrado más 3. Enseguida procedemos a derivar esta expresión utilizando lo que se llama la derivación implícita. Debemos hacerlo de esta manera porque ya vemos que la letra Y no se encuentra totalmente libre como estaba al comienzo, sino que hace parte de una función logarítmica. Entonces vamos a derivar implícitamente a ambos lados con respecto a la variable X. Recordemos que en estos casos la precaución es agregar Y', es decir de Y de X cada vez que derivemos algo que contenga la letra Y. Por ejemplo para el caso del logaritmo natural de Y su derivada será 1 sobre Y por Y'. Recordemos que este Y' representa a de Y de X. Eso en el lado izquierdo. En el lado derecho tenemos un producto entonces utilizamos la regla del producto para derivadas. Sería la derivada del primer componente derivada de 5X menos 1 que nos da 5 por el segundo sin derivar logaritmo natural de X al cuadrado más 3. Esto más el primero sin derivar 5X menos 1 por la derivada del segundo componente que sería 1 sobre X al cuadrado más 3. Es decir 1 sobre esto y eso multiplicado por la derivada interna. Recordemos que para derivar esto debemos aplicar la regla de la cadena. La derivada interna es decir la derivada de X al cuadrado más 3 es 2X. Entonces nuevamente tenemos derivada del primer componente por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo componente. Organizamos un poco esta expresión y nos queda en el lado izquierdo Y' sobre Y y en el lado derecho tenemos 5 por logaritmo natural de X al cuadrado más 3. Aquí podemos acomodar esto como 2X que multiplica a 5X menos 1 y todo esto sobre X al cuadrado más 3. En este paso ya podemos hacer el despeje de Y'. Entonces simplemente pasamos esta Y que está dividiendo al otro lado a multiplicar. La podemos colocar al comienzo. Entonces Y multiplica a toda esa expresión. Todo esto sobre X al cuadrado más 3 y cerramos el corchete. Finalmente cambiamos Y' por de Y de X y cambiamos Y por la expresión original que es X al cuadrado más 3. Eso elevado a la expresión 5X menos 1 y todo eso multiplicado por la expresión que tenemos encerrada dentro de los corchetes. Y de esa manera llegaríamos a la respuesta. Obtendríamos entonces la derivada de la función original. Esta es la respuesta a este ejercicio.
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