PROGRESIONES ARITMÉTICAS - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Aritméticas:

La suma de los primeros 21 términos de una Progresión Aritmética es 420. El décimo noveno término es cuatro veces el tercer término. Encontrar el primer término y la diferencia común.

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 La suma de los primeros 21 términos de una progresión aritmética es 420. El décimo noveno término es cuatro veces el tercer término. Encontrar el primer término y la diferencia común. Bien en este problema tenemos la siguiente información. Nos dice que la suma de los primeros 21 términos de una progresión o sucesión aritmética es 420. Entonces eso lo representamos así. La suma de los primeros 21 términos, ese con sub índice 21, es 420. Luego nos dice el problema que el décimo noveno término es cuatro veces el tercer término. El décimo noveno término se representa como A sub 19 y esto es igual a cuatro veces, o sea cuatro por el tercer término que representamos como A sub 3. Nos piden encontrar el primer término que se denota como A sub 1 y la diferencia común en esa progresión aritmética que se distingue con la letra D. Bien para resolver este problema vamos a recordar las fórmulas de las progresiones aritméticas. Dicimos que para el término enésimo la expresión es A sub 1, o sea el primer término más N menos 1 por D, donde D es la diferencia común. Y para encontrar la suma de los N primeros términos de una progresión o sucesión aritmética la expresión dice así, N por A sub 1 más A sub N y todo esto dividido entre 2. Bien, en este caso vamos a obtener una nueva expresión para S sub N reemplazando A sub N que es toda esta expresión aquí. Entonces veamos cómo nos queda, S sub N será igual a N por, abrimos paréntesis, A sub 1 más A sub N que se reemplaza por A sub 1 más N menos 1 por D. Cerramos el paréntesis y todo esto nos queda dividido entre 2. Aquí podemos sumar estos dos términos, A sub 1 que son semejantes y vamos a obtener entonces la siguiente expresión para S sub N. N por, abrimos un corchete, A sub 1 más A sub 1 nos da 2 A sub 1 más esto que tenemos acá N menos 1 por D, cerramos el corchete y todo esto nos queda sobre 2. Entonces vamos a utilizar la primera información que nos da el enunciado, nos dice que S sub 21 es igual a 420, la suma de los primeros 21 términos de esa progresión aritmética es 420, entonces vamos a utilizar esta expresión cambiando N por el número 21. Nos queda S sub 21 es igual a N que es 21 por, abrimos el corchete, 2 por A sub 1, recordemos que A sub 1, o sea el primer término se desconoce, más abrimos paréntesis, N se cambia por 21, nos queda 21 menos 1, todo esto por D, cerramos el corchete y dividimos todo esto entre 2. Ahora sabemos que S sub 21 es igual a 420, entonces vamos a reemplazar ese valor y esto nos queda 420 igual a 21 por, abrimos el corchete, 2 a sub 1, más, efectuamos esta operación 21 menos 1 nos da 20 por D, cerramos el corchete y todo esto nos queda dividido entre 2. Ahora este número 2 que está dividiendo en el lado derecho lo podemos pasar a multiplicar al lado izquierdo, 2 por 420 nos da 840 y esto queda igual a 21 que multiplica con toda esta expresión 2 a sub 1, más, 20 por D y cerramos el corchete. Ahora 21 que está multiplicando con toda esta expresión lo podemos pasar a dividir al lado izquierdo, nos queda 840 dividido entre 21, igual a todo esto, 2 a sub 1, más, 20 por D. Enseguida resolvemos esta división, 840 dividido entre 21 nos da 40 y esto es igual a 2 a sub 1, más, 20 D. Tenemos entonces allí una igualdad donde aparecen dos letras desconocidas, dos incógnitas que son precisamente los datos que debemos encontrar. Esa ecuación la podemos simplificar dividiéndola por 2, vemos que todos los números son pares, entonces la podemos reducir para trabajarla con números más pequeños, 40 dividido entre 2 nos da 20, acá nos queda 2 dividido entre 2 es 1, o sea que nos queda simplemente a sub 1, más, 20 dividido entre 2 que nos da 10 y que acompaña a la letra D. Esta expresión que hemos obtenido vamos a escribirla por acá como a sub 1, más, 10 D, igual a 20 y constituye la primera ecuación para este ejercicio. Ahora utilizando esta fórmula, la que corresponde al término enésimo de una progresión aritmética, vamos a ver que es a sub 19 y que es a sub 3, vamos con el primero, simplemente en la fórmula del término enésimo N toma el valor 19, esto será igual a a sub 1, más, aquí 19 menos 1 es 18 por D y veamos que es a sub 3, vamos a la misma expresión será a sub 1, más N que ahora toma el valor 3, 3 menos 1 nos da 2 por la letra D. Esto que hemos encontrado vamos a reemplazarlo aquí en la segunda información que nos da el enunciado del problema, tenemos que a sub 19, o sea el 19 término que es a sub 1, más 18 por D es igual a 4 veces el tercer término, o sea a sub 3, abrimos un paréntesis y escribimos a sub 1, más 2 D y vamos a organizar esa ecuación, aquí podemos aplicar la propiedad distributiva para romper ese paréntesis, tenemos que a sub 1, más 18 D es igual a 4 por a sub 1, más 4 por 2 D que nos da 8 D y allí podemos acomodar los términos al lado izquierdo, decimos a sub 1, más 18 D, pasamos entonces estos términos al otro lado, llega a menos 4 a sub 1 y pasa a menos 8 D y todo esto queda igualado a 0, allí podemos operar términos semejantes, es el caso de estos que tienen a sub 1, entonces a sub 1 menos 4 a sub 1 es menos 3 a sub 1 y también es el caso de estos dos términos que tienen la letra D, entonces más 18 D menos 8 D nos da como resultado más 10 D y todo esto nos queda igualado a 0, podemos multiplicar esta igualdad a ambos lados por menos 1, veamos entonces como nos queda, multiplicamos por menos 1 a ambos miembros de la igualdad, acá nos queda entonces 3 a sub 1, acá nos queda menos 10 D y al otro lado 0 por menos 1 sigue siendo 0 y así obtenemos la segunda ecuación para este ejercicio. Llegamos entonces a lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, dos ecuaciones con dos incógnitas, recordemos que aquí tenemos diferentes métodos para solucionar el sistema, está el método de sustitución, también está el método de igualación, tenemos el método de eliminación o si queremos se puede resolver por determinantes, es decir utilizando la regla de Cramer, sin embargo aquí observamos que estos dos términos ya tienen coeficientes opuestos, más 10 y menos 10, entonces nos conviene utilizar el método de eliminación, vamos entonces a sumar verticalmente ambas ecuaciones, sumamos cada uno de los términos y tenemos lo siguiente, a sub 1 más 3 a sub 1 nos da 4 a sub 1, si sumamos estos dos términos ellos se cancelan o se eliminan por ser términos opuestos y al otro lado del signo igual nos queda 20 más 0 que es 20, allí vemos que ya es posible despejar a sub 1, para ello simplemente pasamos 4 que está multiplicando al otro lado a dividir, nos queda 20 dividido entre 4 y resolviendo esa operación obtenemos a sub 1 que vamos a escribir por acá, eso nos da como resultado 5 y allí tenemos el primer término de la progresión alimética, uno de los datos que teníamos que encontrar. Ahora para encontrar la diferencia común de, es decir el otro dato que nos piden, reemplazamos a sub 1 que vale 5 en cualquiera de esas dos ecuaciones, vamos a reemplazar por ejemplo en la primera, tenemos a sub 1 que es 5 más 10d igual a 20, una ecuación de primer grado con una incógnita que es d y que vamos a despejar, primero aislamos el término 10d, pasamos 5 que está sumando al otro lado a restar, esto nos queda 10d igual a 15 y de allí podemos despejar d, para ello 10 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda 15 sobre 10 y esa fracción puede simplificarse, ambos números son divisibles por 5, decimos quinta de 15 es 3 y quinta de 10 es 2, 3 medios es una fracción que no se puede simplificar más, es una fracción irreducible y allí hemos encontrado la diferencia común, entonces aquí tenemos d, aquí tenemos a sub 1 y así terminamos este ejercicio.
[{"start": 0.0, "end": 10.48, "text": " La suma de los primeros 21 t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es 420."}, {"start": 10.48, "end": 14.72, "text": " El d\u00e9cimo noveno t\u00e9rmino es cuatro veces el tercer t\u00e9rmino."}, {"start": 14.72, "end": 18.92, "text": " Encontrar el primer t\u00e9rmino y la diferencia com\u00fan."}, {"start": 18.92, "end": 22.16, "text": " Bien en este problema tenemos la siguiente informaci\u00f3n."}, {"start": 22.16, "end": 28.68, "text": " Nos dice que la suma de los primeros 21 t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n o sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica"}, {"start": 28.68, "end": 30.6, "text": " es 420."}, {"start": 30.6, "end": 33.16, "text": " Entonces eso lo representamos as\u00ed."}, {"start": 33.16, "end": 42.16, "text": " La suma de los primeros 21 t\u00e9rminos, ese con sub \u00edndice 21, es 420."}, {"start": 42.16, "end": 48.879999999999995, "text": " Luego nos dice el problema que el d\u00e9cimo noveno t\u00e9rmino es cuatro 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"text": " Y para encontrar la suma de los N primeros t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n o sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica"}, {"start": 109.16, "end": 119.75999999999999, "text": " la expresi\u00f3n dice as\u00ed, N por A sub 1 m\u00e1s A sub N y todo esto dividido entre 2."}, {"start": 119.75999999999999, "end": 127.08, "text": " Bien, en este caso vamos a obtener una nueva expresi\u00f3n para S sub N reemplazando A sub"}, {"start": 127.08, "end": 130.96, "text": " N que es toda esta expresi\u00f3n aqu\u00ed."}, {"start": 130.96, "end": 141.08, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda, S sub N ser\u00e1 igual a N por, abrimos par\u00e9ntesis, A sub 1"}, {"start": 141.08, "end": 149.76000000000002, "text": " m\u00e1s A sub N que se reemplaza por A sub 1 m\u00e1s N menos 1 por D."}, {"start": 149.76000000000002, "end": 157.32, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y todo esto nos queda dividido entre 2."}, {"start": 157.32, "end": 164.6, "text": " Aqu\u00ed podemos sumar estos dos t\u00e9rminos, A sub 1 que son semejantes y vamos a obtener"}, {"start": 164.6, "end": 169.0, "text": " entonces la siguiente expresi\u00f3n para S sub N."}, {"start": 169.0, "end": 178.24, "text": " N por, abrimos un corchete, A sub 1 m\u00e1s A sub 1 nos da 2 A sub 1 m\u00e1s esto que tenemos"}, {"start": 178.24, "end": 191.56, "text": " ac\u00e1 N menos 1 por D, cerramos el corchete y todo esto nos queda sobre 2."}, {"start": 191.56, "end": 196.96, "text": " Entonces vamos a utilizar la primera informaci\u00f3n que nos da el enunciado, nos dice que S sub"}, {"start": 196.96, "end": 203.96, "text": " 21 es igual a 420, la suma de los primeros 21 t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n aritm\u00e9tica"}, {"start": 203.96, "end": 211.60000000000002, "text": " es 420, entonces vamos a utilizar esta expresi\u00f3n cambiando N por el n\u00famero 21."}, {"start": 211.60000000000002, "end": 223.0, "text": " Nos queda S sub 21 es igual a N que es 21 por, abrimos el corchete, 2 por A sub 1, recordemos"}, {"start": 223.0, "end": 230.32, "text": " que A sub 1, o sea el primer t\u00e9rmino se desconoce, m\u00e1s abrimos par\u00e9ntesis, N se cambia por"}, {"start": 230.32, "end": 242.44, "text": " 21, nos queda 21 menos 1, todo esto por D, cerramos el corchete y dividimos todo esto"}, {"start": 242.44, "end": 244.88, "text": " entre 2."}, {"start": 244.88, "end": 253.28, "text": " Ahora sabemos que S sub 21 es igual a 420, entonces vamos a reemplazar ese valor y esto"}, {"start": 253.28, "end": 267.32, "text": " nos queda 420 igual a 21 por, abrimos el corchete, 2 a sub 1, m\u00e1s, efectuamos esta operaci\u00f3n"}, {"start": 267.32, "end": 278.68, "text": " 21 menos 1 nos da 20 por D, cerramos el corchete y todo esto nos queda dividido entre 2."}, {"start": 278.68, "end": 284.32, "text": " Ahora este n\u00famero 2 que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho lo podemos pasar a multiplicar"}, {"start": 284.32, "end": 294.68, "text": " al lado izquierdo, 2 por 420 nos da 840 y esto queda igual a 21 que multiplica con toda"}, {"start": 294.68, "end": 304.76, "text": " esta expresi\u00f3n 2 a sub 1, m\u00e1s, 20 por D y cerramos el corchete."}, {"start": 304.76, "end": 311.08, "text": " Ahora 21 que est\u00e1 multiplicando con toda esta expresi\u00f3n lo podemos pasar a dividir"}, {"start": 311.08, "end": 323.88, "text": " al lado izquierdo, nos queda 840 dividido entre 21, igual a todo esto, 2 a sub 1, m\u00e1s, 20"}, {"start": 323.88, "end": 325.76, "text": " por D."}, {"start": 325.76, "end": 334.15999999999997, "text": " Enseguida resolvemos esta divisi\u00f3n, 840 dividido entre 21 nos da 40 y esto es igual"}, {"start": 334.16, "end": 339.0, "text": " a 2 a sub 1, m\u00e1s, 20 D."}, {"start": 339.0, "end": 345.20000000000005, "text": " Tenemos entonces all\u00ed una igualdad donde aparecen dos letras desconocidas, dos inc\u00f3gnitas"}, {"start": 345.20000000000005, "end": 348.92, "text": " que son precisamente los datos que debemos encontrar."}, {"start": 348.92, "end": 356.52000000000004, "text": " Esa ecuaci\u00f3n la podemos simplificar dividi\u00e9ndola por 2, vemos que todos los n\u00fameros son pares,"}, {"start": 356.52000000000004, "end": 362.40000000000003, "text": " entonces la podemos reducir para trabajarla con n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os, 40 dividido entre"}, {"start": 362.4, "end": 368.96, "text": " 2 nos da 20, ac\u00e1 nos queda 2 dividido entre 2 es 1, o sea que nos queda simplemente a"}, {"start": 368.96, "end": 377.44, "text": " sub 1, m\u00e1s, 20 dividido entre 2 que nos da 10 y que acompa\u00f1a a la letra D."}, {"start": 377.44, "end": 384.79999999999995, "text": " Esta expresi\u00f3n que hemos obtenido vamos a escribirla por ac\u00e1 como a sub 1, m\u00e1s, 10"}, {"start": 384.8, "end": 396.6, "text": " D, igual a 20 y constituye la primera ecuaci\u00f3n para este ejercicio."}, {"start": 396.6, "end": 404.04, "text": " Ahora utilizando esta f\u00f3rmula, la que corresponde al t\u00e9rmino en\u00e9simo de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica,"}, {"start": 404.04, "end": 410.0, "text": " vamos a ver que es a sub 19 y que es a sub 3, vamos con el primero, simplemente en la"}, {"start": 410.0, "end": 420.28, "text": " f\u00f3rmula del t\u00e9rmino en\u00e9simo N toma el valor 19, esto ser\u00e1 igual a a sub 1, m\u00e1s, aqu\u00ed"}, {"start": 420.28, "end": 431.16, "text": " 19 menos 1 es 18 por D y veamos que es a sub 3, vamos a la misma expresi\u00f3n ser\u00e1 a sub"}, {"start": 431.16, "end": 441.0, "text": " 1, m\u00e1s N que ahora toma el valor 3, 3 menos 1 nos da 2 por la letra D."}, {"start": 441.0, "end": 446.36, "text": " Esto que hemos encontrado vamos a reemplazarlo aqu\u00ed en la segunda informaci\u00f3n que nos da"}, {"start": 446.36, "end": 455.48, "text": " el enunciado del problema, tenemos que a sub 19, o sea el 19 t\u00e9rmino que es a sub 1, m\u00e1s"}, {"start": 455.48, "end": 465.20000000000005, "text": " 18 por D es igual a 4 veces el tercer t\u00e9rmino, o sea a sub 3, abrimos un par\u00e9ntesis y escribimos"}, {"start": 465.20000000000005, "end": 473.76, "text": " a sub 1, m\u00e1s 2 D y vamos a organizar esa ecuaci\u00f3n, aqu\u00ed podemos aplicar la propiedad"}, {"start": 473.76, "end": 482.52000000000004, "text": " distributiva para romper ese par\u00e9ntesis, tenemos que a sub 1, m\u00e1s 18 D es igual a"}, {"start": 482.52, "end": 492.59999999999997, "text": " 4 por a sub 1, m\u00e1s 4 por 2 D que nos da 8 D y all\u00ed podemos acomodar los t\u00e9rminos al"}, {"start": 492.59999999999997, "end": 501.15999999999997, "text": " lado izquierdo, decimos a sub 1, m\u00e1s 18 D, pasamos entonces estos t\u00e9rminos al otro lado,"}, {"start": 501.15999999999997, "end": 509.71999999999997, "text": " llega a menos 4 a sub 1 y pasa a menos 8 D y todo esto queda igualado a 0, all\u00ed podemos"}, {"start": 509.72, "end": 515.88, "text": " operar t\u00e9rminos semejantes, es el caso de estos que tienen a sub 1, entonces a sub 1"}, {"start": 515.88, "end": 524.64, "text": " menos 4 a sub 1 es menos 3 a sub 1 y tambi\u00e9n es el caso de estos dos t\u00e9rminos que tienen"}, {"start": 524.64, "end": 533.28, "text": " la letra D, entonces m\u00e1s 18 D menos 8 D nos da como resultado m\u00e1s 10 D y todo esto nos"}, {"start": 533.28, "end": 540.88, "text": " queda igualado a 0, podemos multiplicar esta igualdad a ambos lados por menos 1, veamos"}, {"start": 540.88, "end": 547.88, "text": " entonces como nos queda, multiplicamos por menos 1 a ambos miembros de la igualdad, ac\u00e1"}, {"start": 547.88, "end": 559.4399999999999, "text": " nos queda entonces 3 a sub 1, ac\u00e1 nos queda menos 10 D y al otro lado 0 por menos 1 sigue"}, {"start": 559.44, "end": 567.36, "text": " siendo 0 y as\u00ed obtenemos la segunda ecuaci\u00f3n para este ejercicio."}, {"start": 567.36, "end": 572.5200000000001, "text": " Llegamos entonces a lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales de 2 por"}, {"start": 572.5200000000001, "end": 579.2800000000001, "text": " 2, dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas, recordemos que aqu\u00ed tenemos diferentes m\u00e9todos para"}, {"start": 579.2800000000001, "end": 584.32, "text": " solucionar el sistema, est\u00e1 el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, tambi\u00e9n est\u00e1 el m\u00e9todo de"}, {"start": 584.32, "end": 591.8000000000001, "text": " igualaci\u00f3n, tenemos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n o si queremos se puede resolver por determinantes,"}, {"start": 591.8000000000001, "end": 598.12, "text": " es decir utilizando la regla de Cramer, sin embargo aqu\u00ed observamos que estos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 598.12, "end": 604.6400000000001, "text": " ya tienen coeficientes opuestos, m\u00e1s 10 y menos 10, entonces nos conviene utilizar"}, {"start": 604.6400000000001, "end": 613.0, "text": " el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n, vamos entonces a sumar verticalmente ambas ecuaciones, sumamos"}, {"start": 613.0, "end": 621.56, "text": " cada uno de los t\u00e9rminos y tenemos lo siguiente, a sub 1 m\u00e1s 3 a sub 1 nos da 4 a sub 1, si"}, {"start": 621.56, "end": 628.22, "text": " sumamos estos dos t\u00e9rminos ellos se cancelan o se eliminan por ser t\u00e9rminos opuestos"}, {"start": 628.22, "end": 636.72, "text": " y al otro lado del signo igual nos queda 20 m\u00e1s 0 que es 20, all\u00ed vemos que ya es posible"}, {"start": 636.72, "end": 644.8000000000001, "text": " despejar a sub 1, para ello simplemente pasamos 4 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir,"}, {"start": 644.8000000000001, "end": 652.0, "text": " nos queda 20 dividido entre 4 y resolviendo esa operaci\u00f3n obtenemos a sub 1 que vamos"}, {"start": 652.0, "end": 658.6, "text": " a escribir por ac\u00e1, eso nos da como resultado 5 y all\u00ed tenemos el primer t\u00e9rmino de la"}, {"start": 658.6, "end": 664.6, "text": " progresi\u00f3n alim\u00e9tica, uno de los datos que ten\u00edamos que encontrar."}, {"start": 664.6, "end": 670.2, "text": " Ahora para encontrar la diferencia com\u00fan de, es decir el otro dato que nos piden, reemplazamos"}, {"start": 670.2, "end": 676.72, "text": " a sub 1 que vale 5 en cualquiera de esas dos ecuaciones, vamos a reemplazar por ejemplo"}, {"start": 676.72, "end": 689.5600000000001, "text": " en la primera, tenemos a sub 1 que es 5 m\u00e1s 10d igual a 20, una ecuaci\u00f3n de primer grado"}, {"start": 689.56, "end": 697.5999999999999, "text": " con una inc\u00f3gnita que es d y que vamos a despejar, primero aislamos el t\u00e9rmino 10d,"}, {"start": 697.5999999999999, "end": 707.4799999999999, "text": " pasamos 5 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar, esto nos queda 10d igual a 15 y de"}, {"start": 707.4799999999999, "end": 716.68, "text": " all\u00ed podemos despejar d, para ello 10 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir,"}, {"start": 716.68, "end": 723.76, "text": " nos queda 15 sobre 10 y esa fracci\u00f3n puede simplificarse, ambos n\u00fameros son divisibles"}, {"start": 723.76, "end": 731.4799999999999, "text": " por 5, decimos quinta de 15 es 3 y quinta de 10 es 2, 3 medios es una fracci\u00f3n que"}, {"start": 731.4799999999999, "end": 738.5999999999999, "text": " no se puede simplificar m\u00e1s, es una fracci\u00f3n irreducible y all\u00ed hemos encontrado la diferencia"}, {"start": 738.6, "end": 745.96, "text": " com\u00fan, entonces aqu\u00ed tenemos d, aqu\u00ed tenemos a sub 1 y as\u00ed terminamos este ejercicio."}]