LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico utilizando la factorización.

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 Vamos a resolver detalladamente este límite algebraico. Veremos a cuanto tiende esta función cuando x se aproxima al número 3. Lo primero que debemos hacer es evaluar esta expresión justamente en este número. Entonces veamos donde está la x, reemplazamos el 3. En el numerador tenemos 3 al cubo menos 6 por 3 al cuadrado más 9 por 3. Todo esto sobre x que toma el valor 3, entonces 3 al cuadrado menos 9. Y vamos a resolver esas operaciones. En el numerador tenemos 3 al cubo que es 27 menos 3 al cuadrado 9, 9 por 6, 54. Acá 9 por 3 nos da 27 positivo. Y en el denominador tenemos 3 al cuadrado que es 9 y esto menos 9. Ahora resolvemos arriba, tenemos 27 más 27 que es 54, menos 54 nos da 0 y 9 menos 9 también nos da 0. Y 0 sobre 0 es lo que se conoce como una indeterminación. Es una voz de alerta que nos dice que debemos hacerle algo a esta expresión para superar este problema. La estrategia que vamos a utilizar en este caso es factorizar completamente el numerador y el denominador de toda esta expresión. Entonces vamos con el numerador, lo escribimos por acá. Tenemos x al cubo menos 6x al cuadrado más 9x. Y comenzamos revisando el primer caso de factorización que es factor común. Aquí tenemos tres términos y vemos que en todos ellos se encuentra la letra x. Entonces podemos extraer la de menor exponente, o sea, x a la 1 o simplemente x. Entonces sale la x y nos queda x al cuadrado en el primer término menos 6x en el segundo y más 9 en el tercer término. Revisamos ahora esto que nos quedó para ver si es posible factorizarlo todavía más. Vemos que se trata de un trinomio. Entonces examinamos los casos de factorización que hacen referencia a los trinomios. Comenzamos examinando el caso llamado trinomio cuadrado perfecto. Recordemos que las características de ese caso son las siguientes. El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente. Aquí vemos que está ordenado en forma descendente. Bajan o disminuyen los exponentes. También se necesita que el primer término y el tercero sean positivos y tengan raíz cuadrada exacta. Vemos que ellos son positivos, que la raíz cuadrada de este término es x, es exacta, y la raíz cuadrada de 9 también es exacta. Entonces cumple con ese requisito. Enseguida debemos revisar si el doble producto de estas dos cantidades nos da lo que tenemos en el segundo término, sin considerar su signo. Veamos. Multiplicamos 2 por x y por 3. Eso nos da como resultado 6x y efectivamente es lo que tenemos en el segundo término. Repetimos sin tener en cuenta su signo, que en este caso es negativo. Cuando todo esto se cumple, podemos asegurar que esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Cumple con todos los requisitos. Y podemos pasar a realizar su factorización. No podemos olvidar esta x. La escribimos allí y la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre será un binomio elevado al cuadrado. Ese binomio se construye con las raíces cuadradas del primero y del tercer término. Es decir, escribimos x, escribimos 3 y aquí debemos anotar el signo del segundo término. En este caso signo negativo. Allí tenemos entonces la factorización de este trinomio cuadrado perfecto. Repetimos, es un binomio al cuadrado y de esta manera hemos factorizado completamente el numerador. Pasamos ahora al denominador, donde revisamos primero si hay factor común en estos dos términos. Vemos que no es así. Entonces descartamos ese caso y vamos a revisar los que son propios para binomios. Vemos allí una diferencia entre dos términos. Vemos si ellos tienen raíz cuadrada exacta. La raíz cuadrada del primero sería x y la raíz cuadrada del segundo es 3. Por lo tanto, allí tenemos una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces podemos aplicar ese caso de factorización. Rescribimos estas dos cantidades en una suma y luego las mismas dos cantidades en una resta. x más 3 por x menos 3 es la factorización de esta diferencia de cuadrados perfectos. Después de haber factorizado completamente el numerador y el denominador de esta expresión, entonces reescribimos el límite, nos queda límite cuando x tiende a 3. De lo siguiente, trazamos la línea de la fracción. En el numerador obtuvimos esto, x por x menos 3 al cuadrado y en el denominador la factorización nos dio x más 3 por x menos 3. Como podemos observar, tanto en el numerador como en el denominador tenemos el factor x menos 3 que se encuentra repetido. Y ese será el factor problema para este ejercicio, porque como x tiende a 3, tenemos 3 menos 3 que es 0 y 3 menos 3 también nos da 0. Entonces este factor es el causante del 0 sobre 0, o sea, de la indeterminación que nos había dado al comienzo. Lo que podemos hacer entonces es simplificar esta expresión cancelando este factor x menos 3 con uno de los que tenemos arriba. Recordemos que esto es x menos 3 por x menos 3, por lo tanto queda uno de ellos. Entonces el límite queda mucho más simple. Tendremos límite cuando x tiende a 3 de lo siguiente, arriba, x por x menos 3 y en la parte de abajo nos quedó únicamente x más 3 que ya podemos escribir sin necesidad de paréntesis porque este factor ya logramos eliminarlo. Lo que hacemos enseguida es volver a evaluar esta expresión cuando x toma el valor 3. Entonces 3 reemplaza la x, aquí también 3 menos 3 sobre x que se convierte en 3 y esto más 3. Resolvemos entonces esas operaciones. Arriba tendremos 3 por 3 menos 3 que es 0 y en el denominador tenemos 3 más 3 que es 6. Arriba 3 por 0 nos da 0, abajo tenemos 6 y 0 sobre 6 es igual a 0. Esta será entonces la respuesta para este ejercicio. Significa que los valores de esta función tienden a 0 cuando x se aproxima a 3.
[{"start": 0.0, "end": 7.84, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite algebraico."}, {"start": 7.84, "end": 15.0, "text": " Veremos a cuanto tiende esta funci\u00f3n cuando x se aproxima al n\u00famero 3."}, {"start": 15.0, "end": 21.06, "text": " Lo primero que debemos hacer es evaluar esta expresi\u00f3n justamente en este n\u00famero."}, {"start": 21.06, "end": 25.240000000000002, "text": " Entonces veamos donde est\u00e1 la x, reemplazamos el 3."}, {"start": 25.24, "end": 35.8, "text": " En el numerador tenemos 3 al cubo menos 6 por 3 al cuadrado m\u00e1s 9 por 3."}, {"start": 35.8, "end": 45.16, "text": " Todo esto sobre x que toma el valor 3, entonces 3 al cuadrado menos 9."}, {"start": 45.16, "end": 49.0, "text": " Y vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 49.0, "end": 61.44, "text": " En el numerador tenemos 3 al cubo que es 27 menos 3 al cuadrado 9, 9 por 6, 54."}, {"start": 61.44, "end": 65.56, "text": " Ac\u00e1 9 por 3 nos da 27 positivo."}, 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"text": " y la ra\u00edz cuadrada de 9 tambi\u00e9n es exacta."}, {"start": 210.4, "end": 213.28, "text": " Entonces cumple con ese requisito."}, {"start": 213.28, "end": 220.2, "text": " Enseguida debemos revisar si el doble producto de estas dos cantidades nos da lo que tenemos"}, {"start": 220.2, "end": 223.84, "text": " en el segundo t\u00e9rmino, sin considerar su signo."}, {"start": 223.84, "end": 225.35999999999999, "text": " Veamos."}, {"start": 225.35999999999999, "end": 230.12, "text": " Multiplicamos 2 por x y por 3."}, {"start": 230.12, "end": 237.24, "text": " Eso nos da como resultado 6x y efectivamente es lo que tenemos en el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 237.24, "end": 242.12, "text": " Repetimos sin tener en cuenta su signo, que en este caso es negativo."}, {"start": 242.12, "end": 248.64000000000001, "text": " Cuando todo esto se cumple, podemos asegurar que esta expresi\u00f3n es un trinomio cuadrado"}, {"start": 248.64000000000001, "end": 249.88, "text": " perfecto."}, {"start": 249.88, "end": 252.48000000000002, "text": " Cumple con todos los requisitos."}, {"start": 252.48000000000002, "end": 256.84000000000003, "text": " Y podemos pasar a realizar su factorizaci\u00f3n."}, {"start": 256.84000000000003, "end": 258.86, "text": " No podemos olvidar esta x."}, {"start": 258.86, "end": 264.48, "text": " La escribimos all\u00ed y la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto siempre ser\u00e1"}, {"start": 264.48, "end": 267.6, "text": " un binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 267.6, "end": 276.0, "text": " Ese binomio se construye con las ra\u00edces cuadradas del primero y del tercer t\u00e9rmino."}, {"start": 276.0, "end": 285.46000000000004, "text": " Es decir, escribimos x, escribimos 3 y aqu\u00ed debemos anotar el signo del segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 285.46000000000004, "end": 287.64, "text": " En este caso signo negativo."}, {"start": 287.64, "end": 292.59999999999997, "text": " All\u00ed tenemos entonces la 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segundo es 3."}, {"start": 329.88, "end": 334.52, "text": " Por lo tanto, all\u00ed tenemos una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 334.52, "end": 338.64, "text": " Entonces podemos aplicar ese caso de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 338.64, "end": 347.15999999999997, "text": " Rescribimos estas dos cantidades en una suma y luego las mismas dos cantidades en una resta."}, {"start": 347.15999999999997, "end": 355.44, "text": " x m\u00e1s 3 por x menos 3 es la factorizaci\u00f3n de esta diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 355.44, "end": 361.91999999999996, "text": " Despu\u00e9s de haber factorizado completamente el numerador y el denominador de esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 361.92, "end": 368.8, "text": " entonces reescribimos el l\u00edmite, nos queda l\u00edmite cuando x tiende a 3."}, {"start": 368.8, "end": 372.64000000000004, "text": " De lo siguiente, trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n."}, {"start": 372.64000000000004, "end": 383.0, "text": " En el numerador obtuvimos esto, x por x menos 3 al cuadrado y en el denominador la factorizaci\u00f3n"}, {"start": 383.0, "end": 390.96000000000004, "text": " nos dio x m\u00e1s 3 por x menos 3."}, {"start": 390.96, "end": 396.88, "text": " Como podemos observar, tanto en el numerador como en el denominador tenemos el factor x"}, {"start": 396.88, "end": 399.91999999999996, "text": " menos 3 que se encuentra repetido."}, {"start": 399.91999999999996, "end": 407.35999999999996, "text": " Y ese ser\u00e1 el factor problema para este ejercicio, porque como x tiende a 3, tenemos 3 menos"}, {"start": 407.35999999999996, "end": 411.91999999999996, "text": " 3 que es 0 y 3 menos 3 tambi\u00e9n nos da 0."}, {"start": 411.91999999999996, "end": 418.2, "text": " Entonces este factor es el causante del 0 sobre 0, o sea, de la indeterminaci\u00f3n que"}, {"start": 418.2, "end": 421.08, "text": " nos hab\u00eda dado al comienzo."}, {"start": 421.08, "end": 427.24, "text": " Lo que podemos hacer entonces es simplificar esta expresi\u00f3n cancelando este factor x menos"}, {"start": 427.24, "end": 430.08, "text": " 3 con uno de los que tenemos arriba."}, {"start": 430.08, "end": 437.28, "text": " Recordemos que esto es x menos 3 por x menos 3, por lo tanto queda uno de ellos."}, {"start": 437.28, "end": 442.52, "text": " Entonces el l\u00edmite queda mucho m\u00e1s simple."}, {"start": 442.52, "end": 453.24, "text": " Tendremos l\u00edmite cuando x tiende a 3 de lo siguiente, arriba, x por x menos 3 y en la"}, {"start": 453.24, "end": 460.32, "text": " parte de abajo nos qued\u00f3 \u00fanicamente x m\u00e1s 3 que ya podemos escribir sin necesidad de"}, {"start": 460.32, "end": 465.28, "text": " par\u00e9ntesis porque este factor ya logramos eliminarlo."}, {"start": 465.28, "end": 471.88, "text": " Lo que hacemos enseguida es volver a evaluar esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor 3."}, {"start": 471.88, "end": 482.32, "text": " Entonces 3 reemplaza la x, aqu\u00ed tambi\u00e9n 3 menos 3 sobre x que se convierte en 3 y"}, {"start": 482.32, "end": 484.32, "text": " esto m\u00e1s 3."}, {"start": 484.32, "end": 488.32, "text": " Resolvemos entonces esas operaciones."}, {"start": 488.32, "end": 496.68, "text": " Arriba tendremos 3 por 3 menos 3 que es 0 y en el denominador tenemos 3 m\u00e1s 3 que es"}, {"start": 496.68, "end": 497.68, "text": " 6."}, {"start": 497.68, "end": 505.64, "text": " Arriba 3 por 0 nos da 0, abajo tenemos 6 y 0 sobre 6 es igual a 0."}, {"start": 505.64, "end": 509.92, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 509.92, "end": 531.9200000000001, "text": " Significa que los valores de esta funci\u00f3n tienden a 0 cuando x se aproxima a 3."}]