INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y PARTES - Ejercicio 1 (Parte 2)
#julioprofe explica la solución de una integral usando los métodos de sustitución y partes.

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 Entonces, esto lo vamos a dejar igual, aquí tenemos la integral original y acá nos queda lo siguiente, vamos a colocar p al cuadrado adelante, es decir, p al cuadrado que multiplica a tangente a la menos 1 de p. Recordemos que esto no se puede multiplicar porque esta p le pertenece a la función inversa de la tangente, es decir, el arco tangente o tangente a la menos 1 de p, por eso es prudente pasar p al cuadrado acá al comienzo. Menos la integral de, vamos a acomodar esto de la siguiente manera, aquí arribita colocamos p al cuadrado, abajo p al cuadrado más 1 y esto multiplicado por dp, el dp lo corremos un poco hacia la derecha y vamos entonces a resolver esta integral que es la que nos ocupa en estos momentos. Esto ya no nos preocupa porque esto no tiene integral, entonces veamos, esto nos queda p al cuadrado que multiplica a tangente a la menos 1 de p, menos la integral, aquí vamos a utilizar el siguiente artificio matemático, es decir, como una estrategia matemática que sería arriba escribir p al cuadrado más 1 menos 1 y abajo dejamos p al cuadrado más 1 con el correspondiente a diferencia de dp. ¿Para qué hacemos eso? Para separar aquí en la integral de la siguiente manera, vamos a usar un paréntesis, entonces vamos a separar así, p al cuadrado más 1 sobre p al cuadrado más 1 menos 1 sobre p al cuadrado más 1. Dicemos el paréntesis y el correspondiente diferencial de p, simplemente lo que hemos hecho es separar, partir por aquí, separar la expresión de arriba aquí donde está el menos, es decir, que un componente nos quede p al cuadrado más 1 y en el otro el menos 1, pero obviamente con el denominador para cada uno de ellos, el denominador se reparte para esa partición que hemos hecho en el numerador, esto con el objetivo de obtener aquí 1, p al cuadrado más 1 sobre p al cuadrado más 1 nos da 1 y aquí una integral que va a ser sencilla, la integral de esto será tangente a la menos 1 de p. Entonces nos queda p al cuadrado tangente a la menos 1 de p menos la integral de 1, esto nos dio 1 menos 1 sobre p al cuadrado más 1 con el correspondiente diferencial de p. Por lo que protegemos la expresión con paréntesis, entonces vamos a tener lo siguiente, p al cuadrado tangente a la menos 1 de p, aquí menos, vamos a abrir un paréntesis y vamos a resolver estas dos integrales, en el central de cada uno de estos dos términos, la integral de 1 sería p, porque en este caso estamos manejando la variable p menos la integral de 1 sobre p al cuadrado más 1, como dijimos hace un momento, será tangente a la menos 1 de p. Descubramos el paréntesis y aparece por primera vez la constante de integración, rompemos ese paréntesis, nos queda p al cuadrado por tangente a la menos 1 de p, nos queda menos p más tangente a la menos 1 de p, esto más c, podemos agrupar al comienzo los términos que tienen tangente a la menos 1 de p, entonces nos quedan así, estos dos quedan aquí seguidos, colocamos el menos p más la constante de integración, y aquí, si agrupamos esos dos términos y sacamos factor común tangente a la menos 1 de p, vamos a sacarla por acá, nos queda acá dentro del paréntesis lo que es p al cuadrado más 1, después de sacar factor común tangente a la menos 1 de p. Lo del lado izquierdo simplemente lo traemos hasta este paso final y nos queda entonces acá el lado izquierdo tangente a la menos 1 de p por 2p con el correspondiente diferencial de p, es decir la integral original. Finalmente debemos expresar todo esto en términos de la variable original del ejercicio, es decir en términos de x, para ello vamos a utilizar entonces las equivalencias que habíamos escrito al comienzo, teníamos que p era igual a raíz de x y que 2p de p era igual a dx, pero también de aquí podemos observar que si elevamos al cuadrado a los dos lados nos queda que p al cuadrado es igual a x, si acá elevamos al cuadrado entonces la raíz se va y nos queda simplemente la x, entonces utilizando esto vamos a reescribir esto en términos de x, nos va a quedar entonces así, la integral de tangente a la menos 1 de p que se cambia por raíz de x y 2p de p todo esto se convierte en dx, vemos como vuelve y nos aparece la integral original, y en el lado derecho tendremos p al cuadrado que es x más 1, cierro la paréntesis, por tangente a la menos 1 de p que es raíz cuadrada de x, todo esto menos p que es raíz cuadrada de x y todo esto más la constante de integración. De esta manera hemos solucionado el ejercicio propuesto, esta sería entonces la respuesta, vemos entonces que para hacer esta integral fue necesario utilizar el método de sustitución y el método de integración por partes.
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