LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 10
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando factorización.

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 Vamos a solucionar este límite algebraico comenzando por evaluar la función cuando x toma el valor 2. Veamos donde está la x, sustituimos el número 2 y vamos a ver cuánto nos da la función evaluándola en ese valor. Tenemos 2 a la 4 que es 16, menos 16 en el numerador y 2 al cubo que es 8, menos 8 en el denominador. Esto nos da arriba 0 y abajo también nos da 0. Tenemos lo que se llama una indeterminación. 0 sobre 0 es una forma indeterminada o también conocida como indeterminación. Esto nos obliga a realizarle alguna transformación a la función porque no podemos dar esto como respuesta. Entonces como estrategia vamos a factorizar tanto el numerador como el denominador. Para la expresión que tenemos en el numerador podemos aplicar el caso llamado diferencia de cuadrados. Entonces sacamos la raíz cuadrada de cada término. Para x a la 4 la raíz cuadrada es x al cuadrado y para 16 la raíz cuadrada es 4. Entonces anotamos eso en una suma y en una resta. Pero aquí observamos otra diferencia de cuadrados, entonces debemos factorizarla. Esta parte de acá que constituye una suma de cuadrados no se puede factorizar. Esa expresión se queda como está y procedemos a factorizar esta diferencia de cuadrados. Raíz cuadrada de x al cuadrado es x, raíz cuadrada de 4 es 2. Entonces escribimos x más 2 por x menos 2. En el denominador la expresión x al cubo menos 8 constituye una diferencia de cubos perfectos. Entonces hacemos la factorización de la siguiente manera. Tendremos un factor corto y otro largo, uno formado por dos términos y otro formado por tres términos. Este se conforma con las raíces cúbicas de los dos términos. Entonces raíz cúbica de x al cubo nos da x, raíz cúbica de 8 nos da 2. Y aquí escribimos el mismo signo de la operación, en este caso diferencia. El factor que tiene los tres términos se construye de la siguiente manera. Comenzamos con este término al cuadrado. Entonces x al cuadrado. Luego escribimos la multiplicación de estos dos términos. Entonces x por 2 nos da 2x. Y luego tendremos este término al cuadrado. Entonces 2 al cuadrado nos da 4. Y en este componente todos los signos son positivos. Cuando tenemos diferencia de cubos perfectos, el factor corto lleva el mismo signo, el decir menos. Y el factor largo lleva signos positivos. Habiendo factorizado completamente tanto el numerador como el denominador de la función, entonces reconstruimos el límite. Tenemos límite cuando x tiende a 2 de la expresión del numerador que es x al cuadrado más 4 por x más 2 por x menos 2. Esto nos dio la factorización del numerador. Y en el denominador nos dio esta expresión. Entonces x menos 2 por x al cuadrado más 2x más 4. Y allí observamos la posibilidad de simplificar este binomio x menos 2. Como se encuentra arriba y abajo multiplicando, entonces lo podemos eliminar. Nos queda entonces el límite cuando x tiende a 2 de x al cuadrado más 4 por x más 2 y todo esto sobre x al cuadrado más 2x más 4. Como paso final, hacemos nuevamente el reemplazo en esta expresión del valor x igual a 2. Evaluamos la expresión resultante cuando x toma el valor 2. Con toda seguridad ya no tendremos el problema de la indeterminación. Porque como observamos acá se nos fue el factor problema. La expresión x menos 2 cuando x toma el valor 2 se convierte en 0. Entonces esta expresión era la causante del problema de la indeterminación. Pero como vemos aquí ya se eliminó esa expresión de manera lícita. Entonces, como decíamos procedemos a evaluar la expresión cuando x toma el valor 2. Tendremos entonces 2 al cuadrado más 4 por 2 más 2 y en el denominador tendremos 2 al cuadrado más 2 por 2 más 4. Resolvemos entonces esas operaciones. Veamos, 2 al cuadrado es 4, 4 más 4 es 8, por 2 más 2 que es 4. Abajo tenemos 2 al cuadrado es 4, 2 por 2 es 4 y otro 4, 4 más 4 más 4 nos da 12. Tenemos entonces 8 por 4 sobre 12 donde podemos simplificar por ejemplo 4 con 12. Entonces sacamos cuarta de 4, 1, cuarta de 12, 3. Nos queda entonces 8 por 1, 8 y abajo el 3. Quiere decir esto que el resultado para este límite es el número real 8 tercios.
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Entonces x menos 2 por x al cuadrado m\u00e1s 2x m\u00e1s 4."}, {"start": 287.0, "end": 294.0, "text": " Y all\u00ed observamos la posibilidad de simplificar este binomio x menos 2."}, {"start": 294.0, "end": 300.0, "text": " Como se encuentra arriba y abajo multiplicando, entonces lo podemos eliminar."}, {"start": 300.0, "end": 325.0, "text": " Nos queda entonces el l\u00edmite cuando x tiende a 2 de x al cuadrado m\u00e1s 4 por x m\u00e1s 2 y todo esto sobre x al cuadrado m\u00e1s 2x m\u00e1s 4."}, {"start": 325.0, "end": 334.0, "text": " Como paso final, hacemos nuevamente el reemplazo en esta expresi\u00f3n del valor x igual a 2."}, {"start": 334.0, "end": 340.0, "text": " Evaluamos la expresi\u00f3n resultante cuando x toma el valor 2."}, {"start": 340.0, "end": 345.0, "text": " Con toda seguridad ya no tendremos el problema de la indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 345.0, "end": 357.0, "text": " Porque como observamos ac\u00e1 se nos fue el factor problema. La expresi\u00f3n x menos 2 cuando x toma el valor 2 se convierte en 0."}, {"start": 357.0, "end": 364.0, "text": " Entonces esta expresi\u00f3n era la causante del problema de la indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 364.0, "end": 371.0, "text": " Pero como vemos aqu\u00ed ya se elimin\u00f3 esa expresi\u00f3n de manera l\u00edcita."}, {"start": 371.0, "end": 381.0, "text": " Entonces, como dec\u00edamos procedemos a evaluar la expresi\u00f3n cuando x toma el valor 2."}, {"start": 381.0, "end": 402.0, "text": " Tendremos entonces 2 al cuadrado m\u00e1s 4 por 2 m\u00e1s 2 y en el denominador tendremos 2 al cuadrado m\u00e1s 2 por 2 m\u00e1s 4."}, {"start": 402.0, "end": 414.0, "text": " Resolvemos entonces esas operaciones. Veamos, 2 al cuadrado es 4, 4 m\u00e1s 4 es 8, por 2 m\u00e1s 2 que es 4."}, {"start": 414.0, "end": 422.0, "text": " Abajo tenemos 2 al cuadrado es 4, 2 por 2 es 4 y otro 4, 4 m\u00e1s 4 m\u00e1s 4 nos da 12."}, {"start": 422.0, "end": 430.0, "text": " Tenemos entonces 8 por 4 sobre 12 donde podemos simplificar por ejemplo 4 con 12."}, {"start": 430.0, "end": 443.0, "text": " Entonces sacamos cuarta de 4, 1, cuarta de 12, 3. Nos queda entonces 8 por 1, 8 y abajo el 3."}, {"start": 443.0, "end": 462.0, "text": " Quiere decir esto que el resultado para este l\u00edmite es el n\u00famero real 8 tercios."}]