ALTURA MÁXIMA DE UN MOVIMIENTO PARABÓLICO
#julioprofe explica cómo obtener la fórmula para la altura máxima que alcanza una partícula con movimiento parabólico.

Video producido por #julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este video vamos a demostrar la formula que nos permite encontrar la altura máxima alcanzada por una partícula que es disparada con una velocidad inicial de sub cero formando un ángulo theta por encima de la horizontal describiendo lo que se llama una trayectoria parabólica. Para ello vamos a elegir un marco de referencia que va a ser el primer cuadrante del plano cartesiano. Entonces trazamos el eje x por acá y trazamos el eje y por acá haciendo coincidir el origen del plano cartesiano con el punto de disparo. Este va a ser el eje y o la letra y y y este va a ser el eje de las x. Entonces cuando la partícula es disparada vamos a llamar el tiempo cero, el momento del disparo. Cuando llega a su punto más alto vamos a llamarlo el tiempo de subida, la vamos a llamar ts. En ese punto la velocidad en y de la partícula vale cero porque en este sitio la componente vertical de la velocidad se anula totalmente. Entonces en este punto este valor de acá es lo que necesitamos encontrar, eso es lo que se va a llamar entonces el y máximo, o sea la altura máxima alcanzada por la partícula con relación al suelo que en este caso es el eje de las x. Entonces esta va a ser la información clave, cuando el tiempo es igual al tiempo de subida la velocidad en y, es decir la componente vertical de la velocidad vale cero. Para ello vamos a construir las ecuaciones cinemáticas de un movimiento parabólico que son las siguientes, la posición en y dice que es igual a menos un medio por la gravedad de tiempo al cuadrado más velocidad inicial por el seno de theta por el tiempo más la posición inicial en y. Para nuestro caso la posición inicial en y tendrá un valor de cero ya que como pudimos ver en el dibujo la partícula sale del origen, entonces podríamos eliminar este término de acá, nos queda solamente esto, aquí vemos la velocidad de disparo de sub cero y el ángulo de tiro, aquí está la gravedad con signo negativo porque recordemos que la gravedad es un vector dirigido hacia abajo y la componente de la velocidad vertical en todo momento tiene un valor de menos gravedad por tiempo más velocidad inicial por el cero del ángulo theta. Entonces vamos a llamar esta la expresión número uno y esta la expresión número dos y vamos a decir lo siguiente, cuando el tiempo es igual al tiempo de subida dijimos que la velocidad en y vale cero, entonces en ese caso debemos utilizar la expresión número dos porque es la que nos da información de velocidad vertical, velocidad en y y tiempo, entonces utilizando la expresión número dos tendremos lo siguiente, la velocidad se convierte en cero igual a menos la gravedad por el tiempo que es tiempo de subida más b sub cero seno de theta, hemos utilizado esta expresión, de allí podemos despejar el tiempo de subida pasando este término que está negativo al otro lado positivo, entonces nos queda la gravedad por tiempo de subida es igual a b sub cero por seno de theta y de aquí despejamos el tiempo de subida pasando la gravedad a dividir, entonces nos queda b sub cero por el seno de theta sobre la gravedad y de esta manera tenemos entonces una expresión para hallar el tiempo de subida de la partícula, entonces ya este valor lo vamos a poder reemplazar en la ecuación número uno porque cuando el tiempo es igual al tiempo de subida la posición en y de la partícula es la posición y máxima, la posición más alta de la partícula, entonces eso es lo que vamos a reemplazar a continuación, veamos aquí en la expresión número uno y se convierte en y máximo cuando el tiempo se vuelve tiempo de subida es decir esta expresión de acá, entonces tendremos menos un medio por la gravedad entre paréntesis entra b sub cero seno de theta sobre la gravedad al cuadrado, porque este tiempo está al cuadrado más b sub cero seno de theta por el tiempo que es igual al tiempo de subida que es b sub cero seno de theta sobre la gravedad, resolvemos toda esa expresión es decir vamos a usar allí la matemática nos queda así, ya máximo es igual, aquí vamos a elevar al cuadrado todo esto entonces nos queda menos un medio por la gravedad por b sub cero cuadrado seno al cuadrado de theta sobre la gravedad al cuadrado y aquí vamos a multiplicar esto podemos colocarle denominador uno a b sub cero seno de theta multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí, entonces nos queda b sub cero por b sub cero queda b sub cero al cuadrado seno de theta por seno de theta nos va a quedar seno al cuadrado de theta y abajo uno por la gravedad la gravedad, en este término de aquí vamos a multiplicar y vamos a simplificar también podemos simplificar una gravedad de aquí con una de acá, entonces nos va a quedar en la parte de arriba menos b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta y en la parte de abajo nos quedaría dos por la gravedad que quedó aquí, porque se va una con una entonces nos queda la otra g más esta expresión que nos sufre modificación, podríamos hacer lo siguiente para que estas dos fracciones nos queden con el mismo denominador entonces podríamos multiplicar aquí por dos al lado de la gravedad y para que la fracción no se altere multiplicaremos también por dos en la parte de arriba, entonces de esa manera conseguimos que las dos fracciones queden con el mismo denominador es decir lo que se conocen como fracciones homogéneas lo que nos permite hacer lo siguiente dejar el mismo denominador que es 2g y arriba efectuar la suma de los numeradores como podemos ver menos b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta más 2 b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta son términos semejantes que al sumarlos entra así pues nos va a dar menos uno más dos igual a 1 menos uno b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta y de esa manera hemos obtenido la fórmula para encontrar la altura máxima de una partícula disparada con movimiento parabólico desde el suelo, que variables necesitamos conocer la velocidad de disparo, la velocidad inicial el ángulo de tiro y obviamente la gravedad con eso obtenemos entonces la altura máxima
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