SISTEMA DE ECUACIONES 4×4 POR GAUSS
#julioprofe explica cómo determinar, usando el Método de Gauss, los valores de dos constantes "a" y "b" en un sistema de ecuaciones lineales de 4×4 de modo que éste tenga solución única, infinitas soluciones y no tenga solución. 

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 Para este sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, vamos a determinar los valores de las constantes A y B. Aquí las podemos observar. De tal forma que el sistema tenga solución única, que tenga infinitas soluciones o que no tenga solución. Lo primero que vamos a realizar es la construcción de la matriz aumentada. Y ella se conforma con los coeficientes de las incógnitas y también con estos elementos que tenemos a la derecha del signo igual en cada ecuación. Vemos que las cuatro ecuaciones se encuentran ordenadas. Primero la incógnita x1, después x2, luego x3 y por último x4. Entonces vamos con los coeficientes de la primera ecuación. Tenemos para x1, 1, para x2 tenemos menos 1, para x3 tenemos menos 1 y para x4 tenemos A. Vamos con los de la segunda ecuación. Tenemos coeficiente 1 para x2 también 1, para x3 1 y para x4 coeficiente 1. Vamos con la tercera ecuación. Por acá tenemos coeficiente 1, coeficiente menos 1 para x2, coeficiente 1 para x3 y por acá menos 1 para la incógnita x4. Vamos ahora con la cuarta ecuación. Tenemos coeficiente 1, por acá coeficiente 1, aquí coeficiente menos 1 y acá coeficiente 1. Trazamos esta línea vertical y vamos a escribir aquí estas cuatro cantidades. Entonces para la primera ecuación tenemos B, para la segunda tenemos 0, para la tercera tenemos 12 y para la cuarta tenemos menos 8. Bien, aquí tenemos construida la matriz aumentada y lo que vamos a hacer a continuación es conseguir ceros por debajo de la diagonal principal. Es decir, en estas seis celdas que tenemos, como decíamos, por debajo de esta diagonal que se conoce como la diagonal principal. Vamos a realizar esa búsqueda de ceros utilizando el método de Gauss. Y el orden recomendado será el siguiente. Primero esta celda que viene siendo la celda 4-1, fila 4 columna 1. Entonces primero la celda 4-1, después esta de aquí que es la celda 3-1, fila 3 columna 1, después esta celda de aquí que es 2-1. Luego esta que tenemos por aquí sería la celda 4-2. Luego esta que tenemos por aquí es la celda 3-2. Y por último esta celda que es la que tiene dirección 4-3, fila 4 columna 3. Allí están entonces las seis celdas donde tenemos que conseguir ceros, las que están por debajo de la diagonal principal. Iniciamos entonces con la búsqueda del cero que está en la celda 4-1. Y allí se recomienda utilizar los renglones o filas número 4 y número 1. Es decir, estos dos, lo que quiere decir que debemos ingeniarnos una operación entre estos dos elementos. Allí tenemos número 1 en cada una de esas celdas. Por lo tanto basta con hacer la resta de ellas y ya obtenemos el cero. Entonces vamos a escribir por aquí la operación que se va a realizar entre esas dos filas o renglones. Entonces simplemente restamos la fila 1 menos la fila 4. Esta operación se suele escribir a este lado, pero aquí por razones de espacio la escribo mejor al lado derecho. Entonces tenemos 1 menos 1 nos da cero. Entonces aquí escribimos el cero. Por acá tenemos menos 1 menos 1 eso daría menos 2. Por acá tenemos menos 1 a lo que se le resta otra vez menos 1 y eso nos da cero. Por acá tenemos a menos 1 eso nos da la expresión a menos 1 y por acá tenemos b menos menos 8 que se convierte en la expresión b más 8. Bien ya hemos conseguido el cero que va en la celda 4-1. Pasamos ahora a buscar el cero que corresponde a la celda 3-1. Entonces se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones. La fila 3 con la fila 1. Nuevamente podemos hacer una resta entre esas dos filas porque tenemos uno aquí y uno por acá. Entonces la fila destino será esta, la fila 3 y vamos a realizar la operación fila 1 menos fila 3. Entonces veamos 1 menos 1 nos da cero. Aquí escribimos cero. Menos 1 menos menos 1 eso nos da también cero. Seguimos con menos 1 menos 1 que nos da menos 2. Y por acá tenemos a menos menos 1 que se convierte en la expresión a más 1. Y por acá tenemos b menos 12 que se deja así expresado como b menos 12. Como vemos ya se consiguió el cero en la celda 3-1. Pasamos ahora a buscar el cero que corresponde a la celda 2-1. Entonces hacemos una operación entre esas dos filas. Fila 2 con fila 1. Nuevamente podemos hacer la resta. Entonces esta es la fila destino y escribimos la operación fila 1 menos fila 2. 1 menos 1 nos da cero. Menos 1 menos 1 nos da menos 2. Menos 1 menos 1 da también menos 2. Entonces queda aquí expresado a menos 1 y b menos cero nos da como resultado b. Y aquí conseguimos el cero que corresponde a la celda 2-1. Pasamos ahora a buscar el cero en la celda 4-2. Fila 4 columna 2. O sea el que tenemos aquí. Tenemos una operación entre las filas 4 y 2. O sea pensando en estos dos elementos. Como son iguales bastaría con hacer la resta de ellos. Entonces fila destino la fila 4 y vamos a restar la fila 2 menos la fila 4. Menos 2 menos menos 2 nos da cero. Por acá tenemos menos 2 menos cero nos daría menos 2. Por acá tenemos a menos 1 menos a menos 1. Y aquí están restando dos expresiones exactamente iguales. Por lo tanto eso nos da cero. Y acá tenemos b menos b más 8. Vamos a realizar esa resta por aquí. B menos b más 8. Eso es igual a b menos b menos 8. Recordemos que aquí el menos rompe el paréntesis y cambia los signos de estas dos cantidades. B se nos elimina con menos b y nos queda menos 8. Entonces esta resta da como resultado aquí igual a menos 8. Bien así conseguimos el cero que corresponde a la celda 4-2. Pasamos ahora a la celda 3-2 que es esta y allí ya tenemos el cero. Entonces pasaríamos a la celda 4-3 que es esta. Trabajamos con las filas 4 y 3. O sea que nos concentramos en estos dos elementos. Nuevamente por ser iguales entonces basta con restarlos. La fila destino será la fila 4 y la operación será fila 3 menos fila 4. Veamos. Aquí a menos 2 menos menos 2 eso nos da cero. Aquí a más 1 menos cero nos da a más 1. Y b menos 12 menos menos 8 eso se convierte en b menos 12 más 8. O sea b menos 4. De esta manera tenemos ya el cero en la celda 4-3. Y hemos conseguido los ceros que buscábamos por debajo de la diagonal principal. Esto es lo que se conoce como el método de Gauss. Y lo que se busca es convertir esta matriz en una matriz triangular superior. O sea que tenga ceros por debajo de la diagonal principal. Con esto que hemos conseguido vamos a responder a las tres preguntas iniciales. Veamos la primera. Debemos averiguar para qué condiciones el sistema tiene solución única. Entonces esto va a ocurrir cuando esta celda a más 1 sea diferente de cero. Sin importar que valor tenga esta de acá. O sea que de una vez podemos decir que b puede tomar cualquier valor real. Que pertenece al conjunto de los reales. Entonces para que haya solución única esta es la condición más importante. Que esta celda no valga cero. Y de aquí obtenemos que a tiene que ser diferente de menos 1. Entonces la respuesta a la primera pregunta es que a tiene que ser diferente de menos 1 y b puede tomar cualquier valor del conjunto de los números reales. La segunda pregunta nos dice que en qué circunstancias el sistema tiene infinitas soluciones. Pues bien eso sucede cuando estas dos celdas valen cero al mismo tiempo. O sea cuando la última fila está compuesta en su totalidad por ceros. Veamos entonces a más 1 tiene que ser igual a cero y también b menos 4 tiene que ser igual a cero. En cada caso hallamos el valor de la letra. Por aquí a vale menos 1 y por acá b vale 4. Entonces esto constituye la respuesta a la segunda pregunta. Para que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones a tiene que valer menos 1 y b tiene que valer 4. Y vamos con la tercera pregunta. Vamos a ver para qué valores de a y b el sistema no tiene solución. Esto sucede cuando esta celda vale cero. Entonces a más 1 es igual a cero y esta celda es diferente de cero. Veamos por qué. Si esta celda vale cero entonces al tener cero en toda esta fila hasta aquí eso implica que las incógnitas se anulan. O sea que este lado de la igualdad vale cero. Y si esto es diferente de cero entonces aquí tendríamos justamente un número que no es cero. Entonces cero igualado con algo que no es cero constituye una contradicción. Por eso en esa situación el sistema no tiene solución. Despejamos de aquí la a nos queda a igual a menos 1 y por acá tenemos que b tiene que ser diferente de 4. Entonces esto constituye la respuesta a la tercera pregunta. Para a igual a menos 1 y b diferente de 4 este sistema de ecuaciones no tiene solución. Bien con esto terminamos este ejercicio.
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