INTEGRALES DIRECTAS - Ejercicio 10
#julioprofe explica cómo resolver una integral directa, previa transformación del integrando. 

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 ¿Qué es la antiderivada? Determine la antiderivada más general de la función g de t igual a t al cubo más 2t cuadrado todo eso dividido entre raíz cuadrada de t. Bien, lo que nos piden en este caso es lo que se llama la primitiva o integral indefinida de esta función, es decir, la misma antiderivada. Vamos a llamarla como g mayúscula de t y será entonces igual a la integral indefinida de la función que nos dieron con su correspondiente diferencial de t. Entonces vamos a reemplazar la función g de t, es esta, y de una vez vamos a hacer un cambio en esta raíz cuadrada. Vamos a escribirla como t elevado a la 1 medio y su correspondiente de t. Ahora vamos a repartir este denominador para estos dos términos que tenemos en el numerador. Nos queda g de t es igual a la integral de, abrimos paréntesis, t al cubo sobre t al a 1 medio más 2t cuadrado, todo esto sobre t al a 1 medio, cerramos el paréntesis y el correspondiente diferencial de t. Vamos a simplificar aquí estas potencias, entonces recordemos que cuando tenemos un conciente de potencias de la misma base, dejamos la misma base y restamos los exponentes. Cuando restamos 3 menos 1 medio, entonces tendremos 5 medios, y esto queda más 2 por 10 elevado a la 2 menos 1 medio que sería 3 medios. Colocamos el paréntesis y el diferencial de t. Aquí ya tenemos entonces lista la expresión para integrar, por tratarse de una suma de términos, entonces integramos este término y después este. Entonces nos queda de la siguiente manera. Por aquí, la integral de t a las 5 medios sería t a las 5 medios más 1 sobre 5 medios más 1. ¿Qué es el truquito de sumar estos dos numeritos? 5 más 2 nos da 7, conservamos el denominador y abajo escribimos también 7 medios. 7 medios es el resultado de sumar 5 medios más 1, es una forma rápida de obtenerlo. Aquí tenemos 2 que multiplica a t elevado a la 3 más 2 que es 5 medios sobre 5 medios. Y aquí aparece por primera vez la constante de integración. Y finalmente vamos a organizar estas expresiones, vamos a aplicar la propiedad de la ley de la oreja o la ley de extremos y medios. Este 2 sube a multiplicar con la t, entonces nos queda 2t elevado a las 7 medios sobre 7. Y por acá el 2 sube a multiplicar con t a las 5 medios, pero este 2 multiplicaría con este 2 de acá y nos queda 4t elevado a las 5 medios. Todo esto sobre 5 y esto más c, más la constante de integración. Y de esta manera entonces hemos obtenido la antiderivada más general de la función que nos dieron.
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