25. COMPONENTES DE UN VECTOR (Teoría)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 25: Componentes de un Vector (Teoría).

Componentes de vectores en una, dos y tres dimensiones, en términos de vectores unitarios.

Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Comencemos definiendo que son vectores unitarios. Se llaman así a aquellos vectores cuyo módulo, magnitud o norma es 1. Considerando el espacio tridimensional generado por los ejes x, y y y z, se llama y al vector unitario que tiene sentido positivo en la dirección del eje x, j el vector unitario con sentido positivo en la dirección del eje y y k el vector unitario que tiene sentido positivo en la dirección del eje z. Entonces los vectores i, j, k tienen módulo 1 y son perpendiculares entre sí. Miremos el dibujo más grande considerando únicamente los semiejes positivos o x o y y o z. Supongamos que escalares a, b y c, diferentes entre sí y mayores que 1, multiplican a los vectores unitarios i, j, k respectivamente. Obtenemos entonces los vectores a, i, b, j y c, k con módulos o tamaños respectivos a, b y c. Si sumamos el vector amarillo a, i con el vector rojo b, j por el método del paralelogramo, obtenemos el vector violeta a, i más b, j. Y si nuevamente usamos el método del paralelogramo para sumar el vector violeta con el vector azul c, k, obtenemos el vector verde a, i más b, j más c, k que vamos a llamar n. Luego el vector n es igual a la suma de los vectores a, i más b, j más c, k. Y esto también se puede escribir como la terna de valores a, b, c. De esta manera el vector n queda expresado en términos de sus componentes rectangulares. Los vectores a, i, b, j y c, k se llaman componentes rectangulares de n porque siendo perpendiculares entre sí, la resultante de su suma es el vector n. Estas componentes siempre se enuncian en el orden x, y, z cuando se trata de vectores en el espacio. Por otro lado el punto o es el origen del sistema de referencia tridimensional, que corresponde a x igual a 0, y igual a 0 y z igual a 0. Luego sus coordenadas son 0, 0, 0. Mientras tanto desde x igual a, y igual a b y z igual a c se generan segmentos paralelos a los ejes, formando como una especie de caja que permite determinar el punto p, cuyas coordenadas son a, b, c. Obsérvese que para el vector n su origen, cola o punto inicial es o y su extremo, cabeza o punto final es p. Luego el vector n puede escribirse también como el vector o p, y las componentes de n resultan de hacer la diferencia entre las coordenadas de p y las coordenadas de o, es decir punto final menos punto inicial. Veamos, al punto final p de coordenadas a, b, c le restamos el punto inicial o de coordenadas 0, 0, 0. Efectuando la resta entre las coordenadas respectivas, es decir x con x, y con y y z con z obtenemos la terna a, b, c que definen las componentes rectangulares del vector n. Como dijimos hace un momento, esto equivale a escribir a, y más b, j más c, k. Para obtener el módulo, magnitud o norma del vector espacial n, hallamos la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado más c al cuadrado, es decir la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Bien, hemos visto entonces como un vector en el espacio puede expresarse en términos de sus componentes, y como se determina su módulo, norma o magnitud. Si en todo esto hacemos el escalar c igual a 0, entonces eliminamos todo aquello que contiene la c. Desaparece el vector c, k y por lo tanto el vector n. Quedan entonces los vectores a, i y b, j cuya suma habíamos obtenido por el método del paralelogramo. Si a este vector violeta lo llamamos g, tenemos que es igual a, a, i más b, j, o la pareja de componentes a, b. Se trata de un vector en el plano x y griega y su módulo es igual a la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado. Mirando esto con más detalle y desde otro ángulo, tenemos el sistema de referencia bidimensional, es decir el plano cartesiano formado por los ejes x y griega, los vectores a, i y b, j y la resultante de su suma es decir el vector g, que aparece expresado en términos de sus componentes rectangulares. Para este vector dijimos hace un momento que su módulo viene dado por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Note que si dibujamos los vectores a, i y b, j de manera consecutiva por el método del triángulo se obtiene su suma, es decir el vector g. Tenemos entonces un triángulo rectángulo con catetos de longitud a y b, cuya hipotenusa mide la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado, según el teorema de Pitágoras. De esta manera se demuestra que el módulo del vector g es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Por otro lado el ángulo theta que forma el vector g con el semieje positivo o x, lo encontramos también en el triángulo rectángulo. Si aplicamos la relación trigonométrica tangente al ángulo theta, es decir cateto opuesto sobre cateto adyacente, tenemos que tangente de theta es igual a b sobre a, es decir el cosiente entre la componente en el eje y y la componente en el eje x. De allí podemos despejar el ángulo theta aplicando la función trigonométrica inversa, es decir theta es igual a tangente a la menos 1 de b sobre a, o lo que es lo mismo arco tangente de b sobre a. De esta manera se encuentra el ángulo theta que determina la dirección de un vector en el plano. Para determinar las componentes de un vector en el plano, si se conocen las coordenadas del origen y del extremo, también se hace la resta entre el punto final y el punto inicial, es decir las coordenadas de P2 menos las coordenadas de P1. Restando coordenadas respectivas, es decir x2-x1 e y2-y1, tenemos las componentes del vector P1 P2. Recordemos que esto se puede escribir también así, en términos de los vectores unitarios i, j. Finalmente, para un vector que pertenece a un sistema de referencia unidimensional como el eje x, solamente se especifica su componente en dicho eje, en términos del vector unitario i. Recordemos el caso del vector a y, cuyo tamaño es a. Si este vector lo llamamos l, entonces se expresa como l igual a a y o simplemente la componente a, su módulo expresado con doble barra es la raíz cuadrada de a al cuadrado, lo que matemáticamente equivale al valor absoluto de a. Si el vector tiene su origen en el punto P1 de coordenada x1 y su extremo en el punto P2 de coordenada x2, entonces la componente del vector P1 P2 queda definida nuevamente por la diferencia entre el punto final y el punto inicial, es decir P2 menos P1. Recordemos entonces que el vector unidimensional P1 P2 tiene la componente x2 menos x1 o también x2 menos x1 en i.
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