55. CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL DE CUERPOS (Ejercicio 4)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 55: Caída Libre y Lanzamiento Vertical de Cuerpos (Ejercicio 4).

Desde lo alto de una torre de 52 m, José deja caer un objeto. Un segundo más tarde, otro objeto es lanzado hacia arriba desde el suelo por Gabriel, con velocidad inicial de 30 m/s. ¿A qué altura del suelo se encuentran los dos objetos? ¿Qué velocidad lleva cada uno en ese instante?

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema vamos a determinar las ecuaciones para cada objeto. Vamos con el objeto 1 que es el que deja caer José desde lo alto de la torre. Su ecuación de posición sigue este modelo. Lo anotamos y vamos a reemplazar la información que sabemos de este objeto. Llamamos y1 a la posición igual a menos un medio por la gravedad que tomamos como 10 metros por segundo cuadrado por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial es cero porque se deja caer más la posición inicial que será 52 metros. Vamos a tomar como nivel cero de nuestro sistema de referencia el piso luego el punto más alto de la torre que está a una altura de 52 metros se convierte en la posición inicial de este cuerpo que va a presentar caída libre. Esta ecuación organizándola nos queda como menos 5t cuadrado más 52 y constituye la primera ecuación de este problema. Es la ecuación de posición para el objeto 1. Haciendo la derivada de esta ecuación vamos a obtener la expresión para la velocidad del objeto 1. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. La derivada de menos 5t cuadrado es igual a menos 10t y la derivada de 52 es cero por ser un término constante. Aquí tenemos la ecuación número 2 que es la de velocidad para el objeto 1. Ahora pasamos al objeto 2. El que lanza Gabriel desde el piso hacia arriba un segundo después de que José dejó caer el objeto 1. Entonces partimos del mismo modelo para la posición y es igual a menos un medio por la gravedad que seguimos tomando como 10 metros por segundo cuadrado. Aquí donde está el tiempo debemos escribir t menos 1 porque este objeto es lanzado un segundo después de que se dejó caer el primero. Luego su tiempo en escena es un segundo menos que el tiempo que permanece en movimiento el primer cuerpo. Más la velocidad inicial. Este cuerpo es lanzado hacia arriba con velocidad de 30 metros por segundo. Un valor positivo que es el de la velocidad inicial. Por el tiempo que entra como t menos 1 al igual que aquí más la posición inicial que será cero. Porque este cuerpo es lanzado desde el piso, desde el nivel cero. Esta ecuación la podemos organizar de la siguiente manera. Nos queda menos 5 por, desarrollamos este binomio al cuadrado que es el primer término al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo 2t más el segundo al cuadrado que es 1. Más aquí podemos hacer propiedad distributiva con el 30 nos queda 30t menos 30. Hacemos propiedad distributiva aquí con el menos 5 nos queda menos 5t cuadrado más 10t menos 5 y todo eso más 30t menos 30. Finalmente reducimos términos semejantes y nos queda menos 5t cuadrado. Tenemos 10t más 30t eso nos da más 40t y los números nos da menos 35. Esta será entonces la ecuación número 3 para este problema. Es la ecuación que nos da la posición del objeto 2. Ahora derivamos esta ecuación para obtener la ecuación de velocidad para el objeto 2. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Derivada de menos 5t cuadrado nos da menos 10t. Derivada de más 40t nos da más 40. Y la derivada de menos 35 es cero por ser un término constante. Esta es la ecuación número 4 que nos indica la velocidad en cualquier tiempo para el objeto 2. Allí tenemos las cuatro ecuaciones que encontramos. Estas dos para el objeto 1 y estas para el objeto 2. Y la primera pregunta nos dice que a qué altura ocurre el encuentro de los dos objetos. Ese encuentro ocurre cuando las dos posiciones sean iguales. Posición del objeto 1 igual a la posición del objeto 2. Vamos a reemplazar por las expresiones correspondientes y vamos a resolver esa ecuación para la incógnita t. Es decir para el tiempo. Allí tenemos la igualdad de las dos ecuaciones. Podemos eliminar este término que se encuentra haciendo lo mismo a ambos lados. Y podemos pasar al lado izquierdo los números y dejar en el lado derecho el término que contiene la t. Sumando estos dos números nos da 87 igual a 40t. De aquí despejamos t. El 40 está multiplicando pasa a dividir nos queda 87.40. Y esa división nos da como resultado 2.18 segundos. Y esto significa que 2.18 segundos después de que José dejó caer el objeto 1 es que se produce el encuentro de los dos cuerpos. Para saber a qué altura del suelo ocurre el encuentro entonces reemplazamos este tiempo en cualquiera de estas dos ecuaciones de posición. En la que consideremos más sencilla. Vamos a reemplazar en la primera. Nos queda entonces y1 igual a menos 5 por el tiempo que es 2.18 al cuadrado más 52. Trasolviendo todo eso nos da como resultado 28.24 metros. Y de esta manera respondemos a la primera pregunta del problema. Es decir el encuentro de los dos cuerpos ocurre a una altura de 28.24 metros del piso. Ahora nos preguntan qué velocidad lleva cada objeto en el momento del encuentro. Entonces reemplazamos este tiempo en las expresiones 2 y 4 que son las que nos determinan esas velocidades. Vamos a la expresión número 2. Nos queda y1 igual a menos 10 por el tiempo que es 2.18 segundos. Efectuando esa operación nos da como resultado menos 21.8 metros por segundo. Y esta será entonces la velocidad del objeto 1 cuando se encuentra con el objeto 2. Claro que el objeto 1 fue liberado desde lo alto de la torre. Viene en caída libre. Por lo tanto su velocidad es negativa porque es un vector dirigido hacia abajo. Vamos a la expresión número 4. Donde vamos a encontrar la velocidad del cuerpo 2. Y es igual a menos 10 por el tiempo que es 2.18 y eso más 40. Resolviendo eso nos da 18.2 metros por segundo. Entonces en el momento en que el objeto 2 se encuentra con el objeto 1. Este va subiendo porque la velocidad nos dio positiva. Y tiene un módulo de 18.2 metros por segundo. De esta manera terminamos el problema. Subtítulos realizados por la comunidad de Amara.org
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