INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 14
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio utilizando el Método de Integración por Partes.

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 Vamos a resolver esta integral utilizando el método de integración por partes, debido a que no se puede resolver en forma directa ni tampoco por el método de sustitución. Comenzamos clasificando estas dos expresiones en las categorías de ilate. Ahora vemos que ilate significa lo siguiente, función inversa, función logarítmica, función algebraica, función trigonométrica y función exponencial. En este caso tenemos que el componente x corresponde a la categoría de función algebraica y el caso de tangente a la menos uno de x corresponde al caso de la función inversa. Es una función trigonométrica inversa. Recordemos que utilizando ilate vamos a detectar fácilmente cuál de las dos expresiones va a representar u en el método de integración por partes. Será la primera letra que encontremos al nombrar esta palabra. De izquierda a derecha la primera que encontramos señalada es la inversa, entonces ella va a ser u. En este caso estamos hablando de tangente a la menos uno de x, entonces vamos a cambiar el orden de esas dos expresiones. Escribimos primero tangente a la menos uno de x porque va a representar u y eso queda multiplicado por x y por el diferencial de x. De esta manera ya podemos señalar que este componente va a ser u, o sea la función inversa y el resto, o sea x por dx hará el papel ddp. Tenemos allí los dos componentes del método de integración por partes. A continuación escribimos por acá que u es igual a tangente a la menos uno de x. Este componente lo destacamos porque lo vamos a necesitar más adelante y de aquí vamos a derivar esa expresión, derivamos u con respecto a x, lo cual nos va a dar la derivada de tangente a la menos uno de x, que es uno sobre uno más x al cuadrado. De allí vamos a despejar de u, para ello de x que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con esta expresión. Entonces tendremos uno sobre uno más x al cuadrado y esto multiplicado por dx. Entonces tenemos allí otro componente que destacamos y que es dq. En seguida vamos a destacar o señalar lo que es dv, x por dx y esto lo vamos a integrar a ambos lados. Decimos la integral de dv igual a la integral de x por dx. Resolvemos entonces ambas integrales. Integral de dv nos da b y la integral de x con su diferencial de x nos dará x al cuadrado sobre 2. Destacamos esto y de esa manera tenemos ya los cuatro componentes que vamos a utilizar en la fórmula de integración por partes. Esa fórmula dice lo siguiente, la integral de u por dv es igual a u por b menos la integral de b por du. Es la fórmula de integración por partes. Para aprenderla fácilmente este lado lo podemos nombrar así, una vaca menos la integral vestida de uniforme. Vamos entonces a reemplazar allí cada uno de los cuatro componentes. Tenemos por acá la integral de u que es tangente a la menos uno de x por dv que es x por dx. Esto es igual a u que es tangente a la menos uno de x. Eso multiplicado por b que nos dio x al cuadrado sobre 2. Esto menos la integral de b que es x al cuadrado sobre 2. Y eso multiplicado por du que nos dio esta expresión, 1 sobre 1 más x al cuadrado y todo eso multiplicado por el diferencial de x. Como podemos observar esto que tenemos aquí es el mismo ejercicio original. Únicamente se han cambiado de orden las dos expresiones pero es exactamente la misma. Entonces esto lo vamos a continuar acá y esto va a ser igual a este producto que podemos organizar como x al cuadrado por tangente a la menos uno de x y todo esto sobre 2. Es la forma como comprimimos y organizamos esta parte de la expresión. Acá tenemos menos este 2 que puede salir de la integral que queda como un medio y que va a multiplicar a la siguiente expresión. Tenemos acá x al cuadrado por 1, es decir x al cuadrado en el numerador. Abajo tendremos 1 más x al cuadrado y todo eso multiplicado por el diferencial de x. Ahora nos vamos a ocupar por resolver esta integral. Vamos entonces a efectuar ese procedimiento por acá. Tenemos la integral de x al cuadrado sobre 1 más x al cuadrado y todo eso con su diferencial de x. Aquí vamos a realizar la siguiente estrategia. En el numerador tenemos x al cuadrado y vamos a sumar y al mismo tiempo vamos a restar 1. En el denominador nos queda 1 más x al cuadrado y esto multiplicado por dx. Lo que hicimos en el numerador es completamente lícito porque es como si a x al cuadrado le sumáramos 0. Ese 0 está representado por la operación más 1 y menos 1. A continuación vamos a repartir este denominador para esta expresión x al cuadrado más 1 y para ese menos 1 que están en el numerador. Tendremos entonces x al cuadrado más 1 sobre 1 más x al cuadrado y esto menos 1 sobre 1 más x al cuadrado. Protejemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Con esa transformación que hicimos vemos que esto aquí va a ser equivalente a 1 porque el numerador es exactamente igual al denominador. Entonces todo esto se convierte en 1 y así vamos a poder repartir esta integral para estos dos componentes que están restando. Tendremos entonces la integral de 1 con su diferencial de x y esto menos la integral de 1 sobre 1 más x al cuadrado y esto también con su diferencial de x. Ya podemos entonces resolver ambas integrales que serán directas o inmediatas. La integral de 1 por dx, que es lo mismo que decir la integral de dx será igual a x y esto menos la integral de 1 sobre 1 más x al cuadrado que nos da tangente a la menos 1 dx. Y allí aparecería por primera vez la constante de integración para esta integral indefinida. Como se observa ya podemos reemplazar esta integral por el resultado obtenido. Tendremos lo siguiente, este termino puede reescribirse como 1 medio de x al cuadrado por tangente a la menos 1 de x. Esto menos 1 medio que multiplica a el resultado de esta integral que nos dio x menos tangente a la menos 1 de x. Cerramos el paréntesis y escribimos la constante de integración. Esta expresión que tenemos aquí ya constituye la respuesta para ese ejercicio. Sin embargo, podemos escribir todo esto de una forma un poco más sencilla. Podemos extraer factor común 1 medio y eso nos va a quedar multiplicando con x al cuadrado tangente a la menos 1 de x y esto menos lo que tenemos dentro del paréntesis. Pero podemos romperlo. Aplicamos la propiedad distributiva ingresando ese signo negativo. Tenemos menos por más x nos da menos x y menos por menos tangente a la menos 1 de x nos va a dar más tangente a la menos 1 de x. Cerramos el paréntesis y escribimos la constante de integración. Ahora sí podemos decir que todo eso es la respuesta para esa integral indefinida.
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101.24000000000001, "text": " multiplicado por x y por el diferencial de x."}, {"start": 101.24000000000001, "end": 108.84, "text": " De esta manera ya podemos se\u00f1alar que este componente va a ser u, o sea la funci\u00f3n inversa"}, {"start": 108.84, "end": 114.8, "text": " y el resto, o sea x por dx har\u00e1 el papel ddp."}, {"start": 114.8, "end": 120.12, "text": " Tenemos all\u00ed los dos componentes del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 120.12, "end": 127.88, "text": " A continuaci\u00f3n escribimos por ac\u00e1 que u es igual a tangente a la menos uno de x."}, {"start": 127.88, "end": 134.04, "text": " Este componente lo destacamos porque lo vamos a necesitar m\u00e1s adelante y de aqu\u00ed vamos"}, {"start": 134.04, "end": 142.39999999999998, "text": " a derivar esa expresi\u00f3n, derivamos u con respecto a x, lo cual nos va a dar la derivada"}, {"start": 142.39999999999998, "end": 149.0, "text": " de tangente a la menos uno de x, que es uno sobre 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Integral de dv nos da b y la integral de x con su diferencial de x nos dar\u00e1 x al cuadrado"}, {"start": 201.70000000000002, "end": 203.44, "text": " sobre 2."}, {"start": 203.44, "end": 210.0, "text": " Destacamos esto y de esa manera tenemos ya los cuatro componentes que vamos a utilizar"}, {"start": 210.0, "end": 213.82, "text": " en la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 213.82, "end": 224.2, "text": " Esa f\u00f3rmula dice lo siguiente, la integral de u por dv es igual a u por b menos la integral"}, {"start": 224.2, "end": 226.46, "text": " de b por du."}, {"start": 226.46, "end": 229.84, "text": " Es la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 229.84, "end": 238.32, "text": " Para aprenderla f\u00e1cilmente este lado lo podemos nombrar as\u00ed, una vaca menos la integral vestida"}, {"start": 238.32, "end": 239.8, "text": " de uniforme."}, {"start": 239.8, "end": 244.52, "text": " Vamos entonces a reemplazar all\u00ed cada uno de los cuatro componentes."}, {"start": 244.52, "end": 257.32, "text": " Tenemos por ac\u00e1 la integral de u que es tangente a la menos uno de x por dv que es x por dx."}, {"start": 257.32, "end": 263.88, "text": " Esto es igual a u que es tangente a la menos uno de x."}, {"start": 263.88, "end": 271.0, "text": " Eso multiplicado por b que nos dio x al cuadrado sobre 2."}, {"start": 271.0, "end": 278.56, "text": " Esto menos la integral de b que es x al cuadrado sobre 2."}, {"start": 278.56, "end": 287.56, "text": " Y eso multiplicado por du que nos dio esta expresi\u00f3n, 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado y"}, {"start": 287.56, "end": 292.71999999999997, "text": " todo eso multiplicado por el diferencial de x."}, {"start": 292.72, "end": 298.32000000000005, "text": " Como podemos observar esto que tenemos aqu\u00ed es el mismo ejercicio original."}, {"start": 298.32000000000005, "end": 305.04, "text": " \u00danicamente se han cambiado de orden las dos expresiones pero es exactamente la misma."}, {"start": 305.04, "end": 311.64000000000004, "text": " Entonces esto lo vamos a continuar ac\u00e1 y esto va a ser igual a este producto que podemos"}, {"start": 311.64000000000004, "end": 321.28000000000003, "text": " organizar como x al cuadrado por tangente a la menos uno de x y todo esto sobre 2."}, {"start": 321.28, "end": 326.84, "text": " Es la forma como comprimimos y organizamos esta parte de la expresi\u00f3n."}, {"start": 326.84, "end": 333.2, "text": " Ac\u00e1 tenemos menos este 2 que puede salir de la integral que queda como un medio y que"}, {"start": 333.2, "end": 337.79999999999995, "text": " va a multiplicar a la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 337.79999999999995, "end": 343.08, "text": " Tenemos ac\u00e1 x al cuadrado por 1, es decir x al cuadrado en el numerador."}, {"start": 343.08, "end": 351.91999999999996, "text": " Abajo tendremos 1 m\u00e1s x al cuadrado y todo eso multiplicado por el diferencial de x."}, {"start": 351.91999999999996, "end": 356.88, "text": " Ahora nos vamos a ocupar por resolver esta integral."}, {"start": 356.88, "end": 360.91999999999996, "text": " Vamos entonces a efectuar ese procedimiento por ac\u00e1."}, {"start": 360.91999999999996, "end": 368.91999999999996, "text": " Tenemos la integral de x al cuadrado sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado y todo eso con su diferencial"}, {"start": 368.91999999999996, "end": 370.0, "text": " de x."}, {"start": 370.0, "end": 374.04, "text": " Aqu\u00ed vamos a realizar la siguiente estrategia."}, {"start": 374.04, "end": 381.64, "text": " En el numerador tenemos x al cuadrado y vamos a sumar y al mismo tiempo vamos a restar 1."}, {"start": 381.64, "end": 387.88, "text": " En el denominador nos queda 1 m\u00e1s x al cuadrado y esto multiplicado por dx."}, {"start": 387.88, "end": 393.88, "text": " Lo que hicimos en el numerador es completamente l\u00edcito porque es como si a x al cuadrado"}, {"start": 393.88, "end": 395.88, "text": " le sum\u00e1ramos 0."}, {"start": 395.88, "end": 401.44, "text": " Ese 0 est\u00e1 representado por la operaci\u00f3n m\u00e1s 1 y menos 1."}, {"start": 401.44, "end": 408.76, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a repartir este denominador para esta expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s 1"}, {"start": 408.76, "end": 413.08, "text": " y para ese menos 1 que est\u00e1n en el numerador."}, {"start": 413.08, "end": 421.88, "text": " Tendremos entonces x al cuadrado m\u00e1s 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado y esto menos 1 sobre"}, {"start": 421.88, "end": 425.08, "text": " 1 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 425.08, "end": 431.12, "text": " Protejemos todo esto con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 431.12, "end": 437.12, "text": " Con esa transformaci\u00f3n que hicimos vemos que esto aqu\u00ed va a ser equivalente a 1 porque"}, {"start": 437.12, "end": 441.91999999999996, "text": " el numerador es exactamente igual al denominador."}, {"start": 441.91999999999996, "end": 448.91999999999996, "text": " Entonces todo esto se convierte en 1 y as\u00ed vamos a poder repartir esta integral para"}, {"start": 448.91999999999996, "end": 452.64, "text": " estos dos componentes que est\u00e1n restando."}, {"start": 452.64, "end": 462.84, "text": " Tendremos entonces la integral de 1 con su diferencial de x y esto menos la integral"}, {"start": 462.84, "end": 471.32, "text": " de 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado y esto tambi\u00e9n con su diferencial de x."}, {"start": 471.32, "end": 477.88, "text": " Ya podemos entonces resolver ambas integrales que ser\u00e1n directas o inmediatas."}, {"start": 477.88, "end": 485.28, "text": " La integral de 1 por dx, que es lo mismo que decir la integral de dx ser\u00e1 igual a x y"}, {"start": 485.28, "end": 491.88, "text": " esto menos la integral de 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado que nos da tangente a la menos"}, {"start": 491.88, "end": 493.52, "text": " 1 dx."}, {"start": 493.52, "end": 502.28, "text": " Y all\u00ed aparecer\u00eda por primera vez la constante de integraci\u00f3n para esta integral indefinida."}, {"start": 502.28, "end": 508.64, "text": " Como se observa ya podemos reemplazar esta integral por el resultado obtenido."}, {"start": 508.64, "end": 516.0799999999999, "text": " Tendremos lo siguiente, este termino puede reescribirse como 1 medio de x al cuadrado"}, {"start": 516.0799999999999, "end": 519.8399999999999, "text": " por tangente a la menos 1 de x."}, {"start": 519.8399999999999, "end": 529.24, "text": " Esto menos 1 medio que multiplica a el resultado de esta integral que nos dio x menos tangente"}, {"start": 529.24, "end": 532.0799999999999, "text": " a la menos 1 de x."}, {"start": 532.08, "end": 538.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 538.0, "end": 543.88, "text": " Esta expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed ya constituye la respuesta para ese ejercicio."}, {"start": 543.88, "end": 550.0, "text": " Sin embargo, podemos escribir todo esto de una forma un poco m\u00e1s sencilla."}, {"start": 550.0, "end": 558.44, "text": " Podemos extraer factor com\u00fan 1 medio y eso nos va a quedar multiplicando con x al cuadrado"}, {"start": 558.44, "end": 564.9200000000001, "text": " tangente a la menos 1 de x y esto menos lo que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 564.9200000000001, "end": 566.6, "text": " Pero podemos romperlo."}, {"start": 566.6, "end": 571.36, "text": " Aplicamos la propiedad distributiva ingresando ese signo negativo."}, {"start": 571.36, "end": 577.48, "text": " Tenemos menos por m\u00e1s x nos da menos x y menos por menos tangente a la menos 1 de"}, {"start": 577.48, "end": 583.2800000000001, "text": " x nos va a dar m\u00e1s tangente a la menos 1 de x."}, {"start": 583.28, "end": 589.28, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 589.28, "end": 617.8399999999999, "text": " Ahora s\u00ed podemos decir que todo eso es la respuesta para esa integral indefinida."}]