VALOR DE UNA CONSTANTE PARA SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 CON SOLUCIÓN ÚNICA
#julioprofe explica cómo hallar el valor de una constante K para que un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 tenga solución única.

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 En este sistema de ecuaciones vamos a determinar el valor de K para que el sistema sea compatible determinado, es decir, para que tenga solución única. Entonces vamos a trabajarlo por el método de Cramer, es decir, la solución por determinantes. Comenzamos numerando las dos ecuaciones, ecuación número 1 y ecuación número 2. Y recordemos que en el método de Cramer debemos construir tres determinantes, que son el del sistema, el de la incógnita X y el de la incógnita Y. Para el caso de este sistema de 2x2, entonces un determinante para todo el sistema y uno para cada una de las incógnitas que tenemos en este caso, que son X y Y. Comenzamos con el determinante del sistema. Entonces trazamos las dos barras y vamos a colocar el encabezado de nuestro determinante. Aquí los valores de X, los valores de Y en la ecuación 1 y en la ecuación número 2. Recordemos que aquí anotamos los coeficientes de las dos letras en las dos ecuaciones. Previamente ellas deben estar organizadas como las tenemos en este caso, es decir, término con X, término con Y y después del igual el número que se encuentra solo, es decir, el término independiente. Para X en la primera ecuación tenemos el coeficiente K. Para Y en la ecuación 1 tenemos coeficiente 4. Para X en la ecuación 2 tenemos coeficiente 1. Está invisible el 1 y para Y en la ecuación 2 tenemos el coeficiente que es K. Resolvemos este determinante. Multiplicamos los elementos de la diagonal principal. Tenemos K por K menos la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria que son 4 y 1. Resolvemos K por K, nos queda K al cuadrado menos 4 por 1 que es 4. Tenemos entonces el resultado del determinante del sistema que es K al cuadrado menos 4. Vamos ahora con el determinante de la letra X, de la incógnita X. Colocamos el encabezado, ecuación número 1, 2 y en la columna de las X van los términos independientes. En la columna de las Y continúan las Y. Los términos independientes son 1 y 1 medio, vamos a escribirlos, 1 y 1 medio. Y los coeficientes de Y son 4 y K. Entonces, resolvemos diagonal principal 1 por K menos diagonal secundaria 4 por 1 medio. Resolvemos 1 por K es igual a K menos 4 por 1 medio, eso nos da 4 medios que equivale a 2. Entonces nos da K menos 2. Y vamos con el determinante de la letra Y que se hace de manera similar. Trasamos las dos barras, colocamos el encabezado, ecuación número 1, ecuación número 2. En la columna que originalmente era de la X van las X y en la columna que era de la Y ahora tenemos los términos independientes. Porque estamos calculando el determinante de la Y. Coeficientes de X serían K y 1. Terminos independientes serían 1 y 1 medio. Entonces, resolvemos, multiplicamos los elementos de la diagonal principal K por 1 medio menos los elementos de la diagonal secundaria que serían 1 por 1. Entonces K por 1 medio nos da K medios menos 1 por 1 que es igual a 1. Entonces el resultado del determinante de Y es K medios menos 1. A continuación entraríamos a calcular las 5 unitas X y Y. Entonces veamos, para hallar X tomamos el determinante de X y lo dividimos entre el determinante del sistema. Para hallar Y el determinante de Y entre el determinante del sistema. El determinante de X vale K menos 2 y el del sistema vale K al cuadrado menos 4. En el caso del determinante de Y vale K medios menos 1 y el determinante del sistema vale K al cuadrado menos 4. Como la pregunta de nuestro problema dice que cuanto debe valer K para que este sistema sea compatible determinado, es decir para que tenga solución única, necesitamos que este denominador no vaya a ser 0. Porque con eso garantizamos que tanto X como Y van a tener valores numéricos. Entonces esa va a ser nuestra característica o nuestra condición a tener en cuenta. Que este determinante no puede ser 0. Entonces vámonos por allí. Condición determinante del sistema diferente de 0. Es decir K al cuadrado menos 4 diferente de 0. Podemos factorizar aquí. Esto es una diferencia de cuadrados. Vemos que la factorización nos queda K más 2 por K menos 2 diferente de 0. Y si tenemos el producto de dos cantidades y eso es diferente de 0, entonces cada una de ellas debe ser diferente de 0. Entonces K más 2 diferente de 0 o K menos 2 diferente de 0. Y resolvemos como si fueran ecuaciones. Aquí despejamos K, queda K diferente de, el 2 se está sumando, pasa a restar con el 0, queda menos 2. Y aquí K diferente de, el 2 se está restando, pasa a sumar con el 0, nos queda 2. Conclusión. Para este ejercicio K tiene que ser diferente de menos 2 y K tiene que ser diferente de 2. Para que el sistema sea compatible determinado, es decir para que tenga solución única. La respuesta la podemos presentar entonces de la siguiente manera. Respuesta. K puede tomar cualquier valor del conjunto de los números reales, K pertenece a los reales con excepción de los elementos menos 2 y 2. Si K tiene prohibido que sea menos 2 o que sea 2, para que el sistema sea compatible determinado, es decir para que tenga solución única.
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