PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO - DEMOSTRACIÓN
#julioprofe demuestra las fórmulas que se utilizan para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento en el plano cartesiano.

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 En esta ocasión vamos a demostrar las fórmulas que se utilizan para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento en el plano cartesiano. Comenzamos dibujando un plano cartesiano y en él un segmento cuyos extremos serán los puntos A y B. Y también vamos a tener como punto medio de ese segmento este que vamos a llamar M. Para el plano cartesiano recordemos que el eje horizontal o eje X es el eje de las abscisas y el eje vertical, o sea el eje Y, es el eje de las ordenadas. Entonces tenemos allí como decíamos un segmento A-B en el plano cartesiano X-Y y su punto medio que es M. Para el punto A tenemos que su abscisa es X1 y su ordenada es Y1. Entonces por acá anotamos las coordenadas de A, X1, Y1. Para el punto B tenemos que su abscisa es X2 y su ordenada es Y2. Entonces anotamos por acá las coordenadas de B, X2, Y2. Y para el punto medio del segmento A-B, es decir para el punto M, sus coordenadas serán X trazo que es la abscisa y Y trazo que será la coordenada. Entonces anotamos por acá las coordenadas de M, X trazo, Y trazo. Trasamos ahora esta línea horizontal y de esa manera se determinan otros dos puntos que vamos a llamar C y D. También allí tenemos dos triángulos rectángulos, este que tenemos aquí cuyos vértices son A, M y D. Aquí tenemos el ángulo recto y aquí tenemos otro más grande cuyos vértices son A, B y C. Aquí también tenemos ángulo recto. Como se puede observar estas dos líneas punteadas de color verde son verticales, por lo tanto son paralelas y el segmento A-B actúa como secante o transversal. Por lo tanto podemos asegurar que estos dos ángulos son congruentes por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Este está en la zona interna de ellas y este está en la zona externa, pero ambos están del mismo lado del secante o transversal. También observamos un ángulo que es común a los dos triángulos, se trata de este ángulo que tiene vértice en A, entonces le pertenece al triángulo pequeño y al triángulo grande. Con esa información podemos asegurar entonces que el triángulo rectángulo A-M-D, vamos a escribirlo por acá, triángulo A-M-D es semejante con el triángulo rectángulo grande, el que tiene vértices en A, B y C. Entonces aquí lo escribimos, triángulo A-B-C. Son triángulos semejantes por el criterio opostulado ángulo-ángulo-ángulo. Los dos triángulos tienen exactamente los mismos ángulos. Esta semejanza que existe entre los triángulos nos permite establecer una proporcionalidad entre sus lados correspondientes. Por ejemplo podríamos comparar las dos hipotenusas de los triángulos, es decir A-M se compara con A-B, la hipotenusa del triángulo pequeño se compara con la hipotenusa del triángulo grande y esa misma relación la deben guardar por ejemplo estos catetos. Entonces el cateto pequeño que es A-D con el cateto del triángulo grande que es A-C. Entonces repetimos A-M es A-B como A-D es A-C. Comparación de hipotenusas y comparación de los catetos horizontales. A continuación vamos a expresar estos datos en términos de la información que tenemos en el dibujo. Veamos, A-M lo dejamos igual. Y para el caso de A-B hacemos lo siguiente, sabemos que M es punto medio del segmento A-B, por lo tanto el segmento A-M será igual o congruente con el segmento M-B, ambos tienen la misma medida, por lo tanto podemos decir que el segmento A-B es el doble de A-M, lo expresamos entonces así, dos veces A-M. Ahora para el caso de estos dos segmentos podemos determinar sus medidas de la siguiente manera, para A-D tendríamos que restar las abscisas, es decir la longitud de este segmento será la diferencia entre la abscisa mayor y la abscisa menor, vamos a señalar esa distancia por acá. Entonces nos referimos a este segmento que se obtiene restando X trazo menos X sub 1 abscisa mayor menos abscisa menor, entonces eso lo anotamos por acá, X trazo menos X sub 1 es la longitud del segmento A-D. Para el caso del segmento A-C hacemos algo similar, será la diferencia entre las abscisas X sub 2 y X sub 1, entonces hacemos referencia a esta distancia que repetimos se obtiene restando X sub 2 menos X sub 1, la diferencia de las abscisas, entonces eso lo anotamos por acá, X sub 2 menos X sub 1 es la longitud que corresponde al segmento A-C. Ahora podemos simplificar esta primera razón, podríamos cancelar o eliminar el componente A-M, es como si dividimos arriba y abajo por esa cantidad, por lo tanto nos queda un medio y un medio será igual a esto que tenemos acá, es decir, X trazo menos X sub 1 en el numerador y X sub 2 menos X sub 1 en el denominador. Ahora aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones, recordemos que en una proporción que es la igualdad de dos razones, estos elementos se llaman los extremos y estos se llaman los medios y la propiedad fundamental nos dice que el producto de extremos debe ser igual al producto de los medios, en otras palabras 1 por esto nos da X sub 2 menos X sub 1 y eso debe ser igual a 2 por esto, entonces lo dejamos indicado, 2 por X trazo menos X sub 1, allí lo del lado izquierdo permanece igual, nos queda X sub 2 menos X sub 1 y en el lado derecho vamos a romper ese paréntesis aplicando la propiedad distributiva, entonces tenemos 2 por X trazo, 2 X trazo menos 2 por X sub 1, o sea 2 X sub 1. Allí podemos aislar este término en el lado derecho y para ello pasamos este componente al lado izquierdo, veamos como nos queda, tenemos en el lado izquierdo X sub 2 menos X sub 1 y pasamos esto que está restando al otro lado a sumar, llega como más 2 X sub 1 y eso nos queda igual a 2 por X trazo, como decíamos ya se consigue aislar ese componente. A su vez en el lado izquierdo de la igualdad encontramos dos términos que son semejantes, entonces los podemos operar entre sí, nos queda X sub 2 y menos X sub 1 más 2 X sub 1 nos daría más 1 X sub 1 o simplemente más X sub 1 y eso es igual a 2 por X trazo. Ahora de allí ya podemos efectuar el despeje de X trazo, simplemente 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir o lo que es lo mismo dividir ambos lados de la igualdad por 2, entonces nos queda así, X sub 2 más X sub 1 todo esto dividido entre 2 igual a X trazo, allí hemos despejado este elemento. De esta manera ya tenemos una expresión para X trazo, es decir para la abscisa del punto M que es el punto medio del segmento AB, vamos a anotar eso que obtuvimos por acá, X trazo será igual a X1 más X2 simplemente cambiamos el orden de los sumandos propiedad conmutativa de la suma y todo esto nos queda dividido entre 2. Ahora volvemos a considerar la semejanza de los dos triángulos y vamos a realizar la siguiente comparación, otra vez tomamos las hipotenusas, AM es al segmento AB la hipotenusa del triángulo pequeño la comparamos con la hipotenusa del triángulo grande y ahora vamos a comparar los catetos verticales, es decir el cateto MD lo comparamos con el cateto BC, entonces como decíamos se conserva la proporción por ser triángulos semejantes. Otra vez vamos a dejar el segmento AM tal como está y vamos a reemplazar AB por 2 veces AM porque como decíamos M es punto medio del segmento AB y ahora vamos a escribir acá las expresiones que corresponden a las longitudes de estos segmentos, vamos con el segmento MD es decir este que tenemos acá, venimos al eje Y y vemos que es la diferencia entre las ordenadas la mayor menos la menor nos referimos a esta distancia que será entonces la ordenada mayor es decir Y trazo menos la ordenada menor que es Y sub 1, entonces esa información la anotamos por acá, Y trazo menos Y sub 1. Vamos ahora con el segmento BC aquí lo tenemos vamos al eje Y y vemos que es también la diferencia entre las ordenadas respectivas, vamos a anotar eso por acá hacemos referencia a todo este segmento entonces será la ordenada mayor que es Y sub 2 menos la ordenada menor que es Y sub 1 y eso lo escribimos por acá, Y sub 2 menos Y sub 1. Otra vez vamos a simplificar la primera razón cancelamos o simplificamos este componente y nos queda que se convierte en un medio igual a esto mismo, Y trazo menos Y sub 1 y todo esto sobre Y sub 2 menos Y sub 1, allí aplicamos de nuevo la propiedad fundamental de las proporciones producto de los extremos es decir 1 por Y sub 2 menos Y sub 1 que nos da eso mismo es igual al producto de los medios es decir 2 que multiplica con Y trazo menos Y sub 1. Aplicamos en el lado derecho la propiedad distributiva para romper ese paréntesis entonces en el lado izquierdo nos queda lo mismo Y sub 2 menos Y sub 1 y en el lado derecho después de distribuir el 2 nos queda 2 Y trazo menos 2 Y sub 1. Ahora vamos a aislar este componente y para ello pasamos este término que está restando al otro lado a sumar entonces nos queda Y sub 2 menos Y sub 1 y llega más 2 Y sub 1 de esa manera eso nos queda igual a 2 Y trazo. En seguida operamos estos dos términos que son semejantes entonces nos queda así Y sub 2 y la operación de estos dos términos nos da más 1 Y sub 1 o simplemente Y sub 1 igual a 2 Y trazo. Finalmente despejamos Y trazo el 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir nos queda Y sub 2 más Y sub 1 todo esto dividido entre 2 igual a Y trazo. Así obtenemos el otro componente Y trazo que es la coordenada de M el punto medio del segmento A B anotamos el resultado por acá Y trazo entonces es igual a Y sub 1 más Y sub 2 otra vez cambiamos el orden de los sumandos y todo esto nos queda dividido entre 2. De esta manera terminamos tenemos aquí entonces como obtener las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son A y B con coordenadas X1 Y1 y X2 Y2 como decíamos las coordenadas del punto medio son X trazo Y trazo y aquí podemos ver que simplemente lo que se hace es promediar las abscisas para el caso de X trazo y las coordenadas para el caso de Y trazo. Entonces con esto terminamos estas son las coordenadas para el punto medio de un segmento cuando estos son sus extremos.
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{"start": 190.4, "end": 193.79999999999998, "text": " el que tiene v\u00e9rtices en A, B y C."}, {"start": 193.79999999999998, "end": 196.84, "text": " Entonces aqu\u00ed lo escribimos, tri\u00e1ngulo A-B-C."}, {"start": 196.84, "end": 203.6, "text": " Son tri\u00e1ngulos semejantes por el criterio opostulado \u00e1ngulo-\u00e1ngulo-\u00e1ngulo."}, {"start": 203.6, "end": 208.44, "text": " Los dos tri\u00e1ngulos tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 208.44, "end": 214.48, "text": " Esta semejanza que existe entre los tri\u00e1ngulos nos permite establecer una proporcionalidad"}, {"start": 214.48, "end": 216.8, "text": " entre sus lados correspondientes."}, {"start": 216.8, "end": 224.92, "text": " Por ejemplo podr\u00edamos comparar las dos hipotenusas de los tri\u00e1ngulos, es decir A-M se compara"}, {"start": 224.92, "end": 231.44, "text": " con A-B, la hipotenusa del tri\u00e1ngulo peque\u00f1o se compara con la hipotenusa del tri\u00e1ngulo"}, {"start": 231.44, "end": 237.48, "text": " grande y esa misma relaci\u00f3n la deben guardar por ejemplo estos catetos."}, {"start": 237.48, "end": 244.67999999999998, "text": " Entonces el cateto peque\u00f1o que es A-D con el cateto del tri\u00e1ngulo grande que es A-C."}, {"start": 244.67999999999998, "end": 250.23999999999998, "text": " Entonces repetimos A-M es A-B como A-D es A-C."}, {"start": 250.23999999999998, "end": 254.88, "text": " Comparaci\u00f3n de hipotenusas y comparaci\u00f3n de los catetos horizontales."}, {"start": 254.88, "end": 260.44, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a expresar estos datos en t\u00e9rminos de la informaci\u00f3n que tenemos"}, {"start": 260.44, "end": 261.64, "text": " en el dibujo."}, {"start": 261.64, "end": 265.36, "text": " Veamos, A-M lo dejamos igual."}, {"start": 265.36, "end": 272.08000000000004, "text": " Y para el caso de A-B hacemos lo siguiente, sabemos que M es punto medio del segmento"}, {"start": 272.08000000000004, "end": 280.12, "text": " A-B, por lo tanto el segmento A-M ser\u00e1 igual o congruente con el segmento M-B, ambos tienen"}, {"start": 280.12, "end": 287.0, "text": " la misma medida, por lo tanto podemos decir que el segmento A-B es el doble de A-M, lo"}, {"start": 287.0, "end": 291.2, "text": " expresamos entonces as\u00ed, dos veces A-M."}, {"start": 291.2, "end": 297.12, "text": " Ahora para el caso de estos dos segmentos podemos determinar sus medidas de la siguiente"}, {"start": 297.12, "end": 304.03999999999996, "text": " manera, para A-D tendr\u00edamos que restar las abscisas, es decir la longitud de este segmento"}, {"start": 304.03999999999996, "end": 310.32, "text": " ser\u00e1 la diferencia entre la abscisa mayor y la abscisa menor, vamos a se\u00f1alar esa distancia"}, {"start": 310.32, "end": 312.03999999999996, "text": " por ac\u00e1."}, {"start": 312.03999999999996, "end": 319.52, "text": " Entonces nos referimos a este segmento que se obtiene restando X trazo menos X sub 1"}, {"start": 319.52, "end": 325.91999999999996, "text": " abscisa mayor menos abscisa menor, entonces eso lo anotamos por ac\u00e1, X trazo menos X"}, {"start": 325.91999999999996, "end": 330.2, "text": " sub 1 es la longitud del segmento A-D."}, {"start": 330.2, "end": 336.56, "text": " Para el caso del segmento A-C hacemos algo similar, ser\u00e1 la diferencia entre las abscisas"}, {"start": 336.56, "end": 346.08, "text": " X sub 2 y X sub 1, entonces hacemos referencia a esta distancia que repetimos se obtiene"}, {"start": 346.08, "end": 354.32, "text": " restando X sub 2 menos X sub 1, la diferencia de las abscisas, entonces eso lo anotamos"}, {"start": 354.32, "end": 361.28, "text": " por ac\u00e1, X sub 2 menos X sub 1 es la longitud que corresponde al segmento A-C."}, {"start": 361.28, "end": 367.4, "text": " Ahora podemos simplificar esta primera raz\u00f3n, podr\u00edamos cancelar o eliminar el componente"}, {"start": 367.4, "end": 375.24, "text": " A-M, es como si dividimos arriba y abajo por esa cantidad, por lo tanto nos queda un medio"}, {"start": 375.24, "end": 383.36, "text": " y un medio ser\u00e1 igual a esto que tenemos ac\u00e1, es decir, X trazo menos X sub 1 en el numerador"}, {"start": 383.36, "end": 388.34000000000003, "text": " y X sub 2 menos X sub 1 en el denominador."}, {"start": 388.34000000000003, "end": 393.8, "text": " Ahora aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones, recordemos que en una proporci\u00f3n"}, {"start": 393.8, "end": 399.6, "text": " que es la igualdad de dos razones, estos elementos se llaman los extremos y estos se llaman los"}, {"start": 399.6, "end": 405.40000000000003, "text": " medios y la propiedad fundamental nos dice que el producto de extremos debe ser igual"}, {"start": 405.40000000000003, "end": 413.8, "text": " al producto de los medios, en otras palabras 1 por esto nos da X sub 2 menos X sub 1 y"}, {"start": 413.8, "end": 422.68, "text": " eso debe ser igual a 2 por esto, entonces lo dejamos indicado, 2 por X trazo 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"text": " A su vez en el lado izquierdo de la igualdad encontramos dos t\u00e9rminos que son semejantes,"}, {"start": 479.48, "end": 485.76, "text": " entonces los podemos operar entre s\u00ed, nos queda X sub 2 y menos X sub 1 m\u00e1s 2 X sub"}, {"start": 485.76, "end": 494.6, "text": " 1 nos dar\u00eda m\u00e1s 1 X sub 1 o simplemente m\u00e1s X sub 1 y eso es igual a 2 por X trazo."}, {"start": 494.6, "end": 500.6, "text": " Ahora de all\u00ed ya podemos efectuar el despeje de X trazo, simplemente 2 que est\u00e1 multiplicando"}, {"start": 500.6, "end": 506.90000000000003, "text": " pasa al otro lado a dividir o lo que es lo mismo dividir ambos lados de la igualdad por"}, {"start": 506.9, "end": 516.4399999999999, "text": " 2, entonces nos queda as\u00ed, X sub 2 m\u00e1s X sub 1 todo esto dividido entre 2 igual a X"}, {"start": 516.4399999999999, "end": 523.84, "text": " trazo, all\u00ed hemos despejado este elemento. De esta manera ya tenemos una expresi\u00f3n para"}, {"start": 523.84, "end": 530.56, "text": " X trazo, es decir para la abscisa del punto M que es el punto medio del segmento AB, vamos"}, {"start": 530.56, "end": 538.4, "text": " a anotar eso que obtuvimos por ac\u00e1, X trazo ser\u00e1 igual a X1 m\u00e1s X2 simplemente cambiamos"}, {"start": 538.4, "end": 544.5999999999999, "text": " el orden de los sumandos propiedad conmutativa de la suma y todo esto nos queda dividido"}, {"start": 544.5999999999999, "end": 551.16, "text": " entre 2. Ahora volvemos a considerar la semejanza de los dos tri\u00e1ngulos y vamos a realizar"}, {"start": 551.16, "end": 559.8, "text": " la siguiente comparaci\u00f3n, otra vez tomamos las hipotenusas, AM es al segmento AB la hipotenusa"}, {"start": 559.8, "end": 564.76, "text": " del tri\u00e1ngulo peque\u00f1o la comparamos con la hipotenusa del tri\u00e1ngulo grande y ahora"}, {"start": 564.76, "end": 572.4399999999999, "text": " vamos a comparar los catetos verticales, es decir el cateto MD lo comparamos con el cateto"}, {"start": 572.4399999999999, "end": 580.4, "text": " BC, entonces como dec\u00edamos se conserva la proporci\u00f3n por ser tri\u00e1ngulos semejantes."}, {"start": 580.4, "end": 588.12, "text": " Otra vez vamos a dejar el segmento AM tal como est\u00e1 y vamos a reemplazar AB por 2"}, {"start": 588.12, "end": 596.0, "text": " veces AM porque como dec\u00edamos M es punto medio del segmento AB y ahora vamos a escribir"}, {"start": 596.0, "end": 601.92, "text": " ac\u00e1 las expresiones que corresponden a las longitudes de estos segmentos, vamos con el"}, {"start": 601.92, "end": 608.4, "text": " segmento MD es decir este que tenemos ac\u00e1, venimos al eje Y y vemos que es la diferencia"}, {"start": 608.4, "end": 616.36, "text": " entre las ordenadas la mayor menos la menor nos referimos a esta distancia que ser\u00e1 entonces"}, {"start": 616.36, "end": 624.08, "text": " la ordenada mayor es decir Y trazo menos la ordenada menor que es Y sub 1, entonces esa"}, {"start": 624.08, "end": 629.28, "text": " informaci\u00f3n la anotamos por ac\u00e1, Y trazo menos Y sub 1."}, {"start": 629.28, "end": 634.66, "text": " Vamos ahora con el segmento BC aqu\u00ed lo tenemos vamos al eje Y y vemos que es tambi\u00e9n la"}, {"start": 634.66, "end": 642.84, "text": " diferencia entre las ordenadas respectivas, vamos a anotar eso por ac\u00e1 hacemos referencia"}, {"start": 642.84, "end": 650.44, "text": " a todo este segmento entonces ser\u00e1 la ordenada mayor que es Y sub 2 menos la ordenada menor"}, {"start": 650.44, "end": 658.44, "text": " que es Y sub 1 y eso lo escribimos por ac\u00e1, Y sub 2 menos Y sub 1."}, {"start": 658.44, "end": 664.32, "text": " Otra vez vamos a simplificar la primera raz\u00f3n cancelamos o simplificamos este componente"}, {"start": 664.32, "end": 673.9200000000001, "text": " y nos queda que se convierte en un medio igual a esto mismo, Y trazo menos Y sub 1 y todo"}, {"start": 673.9200000000001, "end": 683.08, "text": " esto sobre Y sub 2 menos Y sub 1, all\u00ed aplicamos de nuevo la propiedad fundamental de las proporciones"}, {"start": 683.08, "end": 690.0, "text": " producto de los extremos es decir 1 por Y sub 2 menos Y sub 1 que nos da eso mismo es"}, {"start": 690.0, "end": 698.88, "text": " igual al producto de los medios es decir 2 que multiplica con Y trazo menos Y sub 1."}, {"start": 698.88, "end": 704.6, "text": " Aplicamos en el lado derecho la propiedad distributiva para romper ese par\u00e9ntesis entonces"}, {"start": 704.6, "end": 711.14, "text": " en el lado izquierdo nos queda lo mismo Y sub 2 menos Y sub 1 y en el lado derecho despu\u00e9s"}, {"start": 711.14, "end": 718.2, "text": " de distribuir el 2 nos queda 2 Y trazo menos 2 Y sub 1."}, {"start": 718.2, "end": 723.4200000000001, "text": " Ahora vamos a aislar este componente y para ello pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 restando"}, {"start": 723.4200000000001, "end": 732.96, "text": " al otro lado a sumar entonces nos queda Y sub 2 menos Y sub 1 y llega m\u00e1s 2 Y sub 1"}, {"start": 732.96, "end": 738.5200000000001, "text": " de esa manera eso nos queda igual a 2 Y trazo."}, {"start": 738.5200000000001, "end": 744.84, "text": " En seguida operamos estos dos t\u00e9rminos que son semejantes entonces nos queda as\u00ed Y"}, {"start": 744.84, "end": 751.84, "text": " sub 2 y la operaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos nos da m\u00e1s 1 Y sub 1 o simplemente Y sub"}, {"start": 751.84, "end": 754.84, "text": " 1 igual a 2 Y trazo."}, {"start": 754.84, "end": 760.84, "text": " Finalmente despejamos Y trazo el 2 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir"}, {"start": 760.84, "end": 768.76, "text": " nos queda Y sub 2 m\u00e1s Y sub 1 todo esto dividido entre 2 igual a Y trazo."}, {"start": 768.76, "end": 775.4399999999999, "text": " As\u00ed obtenemos el otro componente Y trazo que es la coordenada de M el punto medio del segmento"}, {"start": 775.4399999999999, "end": 783.16, "text": " A B anotamos el resultado por ac\u00e1 Y trazo entonces es igual a Y sub 1 m\u00e1s Y sub 2 otra"}, {"start": 783.16, "end": 789.64, "text": " vez cambiamos el orden de los sumandos y todo esto nos queda dividido entre 2."}, {"start": 789.64, "end": 796.2, "text": " De esta manera terminamos tenemos aqu\u00ed entonces como obtener las coordenadas del punto medio"}, {"start": 796.2, "end": 806.0, "text": " de un segmento cuyos extremos son A y B con coordenadas X1 Y1 y X2 Y2 como dec\u00edamos las"}, {"start": 806.0, "end": 811.5600000000001, "text": " coordenadas del punto medio son X trazo Y trazo y aqu\u00ed podemos ver que simplemente"}, {"start": 811.5600000000001, "end": 818.36, "text": " lo que se hace es promediar las abscisas para el caso de X trazo y las coordenadas para"}, {"start": 818.36, "end": 820.5200000000001, "text": " el caso de Y trazo."}, {"start": 820.52, "end": 826.24, "text": " Entonces con esto terminamos estas son las coordenadas para el punto medio de un segmento"}, {"start": 826.24, "end": 853.48, "text": " cuando estos son sus extremos."}]