FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 8
#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c.

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 Vamos a factorizar esta expresión algebraica que corresponde a un trinomio de la forma AX a la 2n más BX a la n más C. Vamos a revisar sus características. Vemos que se encuentra organizado en forma descendente o decreciente. Comienza con grado 10, después tenemos grado 5 y acá grado 0. Aquí no aparece la variable, únicamente tenemos el número, o sea el término independiente. Otra característica es que A, es decir, el coeficiente principal, el que corresponde al primer término, es diferente de 1. En este caso se trata de menos 6. Y la otra característica es que el grado o exponente del primer término, es decir, 2n, debe ser el doble del grado o exponente del segundo término, que aquí es n. Vemos que esa condición se cumple. Acá tenemos grado 10 y acá tenemos grado 5. 10 es el doble de 5. Se está cumpliendo con esta condición. Vamos entonces a comenzar con su factorización. Lo primero que hacemos es aplicar el caso de factorización llamado factor común, porque no se acostumbra trabajar con ese tipo de trinomios, empezando aquí con coeficiente negativo. Entonces, para evitar esa molestia del signo negativo, lo podemos factorizar. Si sale el menos, nos va a quedar todo este trinomio con signos cambiados, es decir, 6x a la 10 en el primer término, después tenemos menos, 103, x a la 5 en el segundo término y después más 17. Simplemente, este signo negativo, que en realidad corresponde a un menos 1, que multiplica por fuera del paréntesis, nos va a acompañar durante todo el proceso. Entonces, hacemos visible ese menos 1 y comenzamos con el proceso de factorización de este trinomio. Debemos entonces multiplicar y dividir toda esta expresión por el coeficiente principal, que es 6. Entonces tenemos 6, que multiplica a 6x a la 10, menos 103, x a la 5, más 17, cerramos el paréntesis y todo esto nos queda sobre 6. Entonces, primer paso, multiplicar y dividir el trinomio, es decir, la expresión que vamos a factorizar por su coeficiente principal. Ahora, aquí en el numerador vamos a aplicar la propiedad distributiva. 6 va a multiplicar a cada uno de los términos de este trinomio. Tenemos entonces 6 por 6x a la 10, eso nos da 36x a la 10, allí tenemos el primer término, después tenemos más por menos, es menos, 6 por 103x a la 5, allí es donde debemos tener cuidado porque no se realiza la multiplicación 6 por 103, sino que ese producto se deja indicado. Se hace de la siguiente manera, 6 entra y se agrupa con x a la 5, se agrupa dentro de paréntesis y el coeficiente que teníamos originalmente, es decir, 103, se deja aquí por fuera. Esto es lo que se llama dejar ese producto indicado. Después multiplicamos 6 por más 17, que sería más 102. Entonces, en resumen, se hace la propiedad distributiva multiplicando normalmente lo que es el primero y el tercer término, y acá en el segundo término se deja esa multiplicación o ese producto indicado. Acá en el denominador conservamos el 6 y no podemos olvidar el menos 1 que nos acompaña al principio de la expresión. Ahora, en el numerador vamos a expresar este primer término del trinomio como el cuadrado de lo que nos quedó encerrado en paréntesis en el segundo término, es decir, 36x a la 10 será 6x a la 5, esto que está encerrado con paréntesis y todo esto elevado al cuadrado. Si desarrollamos esta potencia vamos a obtener 36x a la 10. Recordemos que 2 afecta al 6, 6 al cuadrado es 36 y afecta a x a la 5, x a la 5 a la 2 nos da x a la 10, se conserva la base y se multiplican los exponentes y esta repartición del exponente ocurre porque aquí existe multiplicación. Entonces, simplemente esto se expresa de esta manera, lo demás permanece igual, es decir, menos 103 acompañado de 6x a la 5 y después tenemos más 102. En el denominador continúa el 6 y por acá al principio escribimos el factor menos 1. Enseguida podemos utilizar un recurso que se llama cambio de variable que consiste en lo siguiente, esto que se repite 6x a la 5 lo podemos llamar por ejemplo P, hacemos que esto 6x a la 5 se convierta en una nueva letra y eso para reescribir esta expresión nos va a quedar entonces de la siguiente forma, menos 1 que multiplica con, en el numerador nos queda P al cuadrado, luego tenemos menos 103P y después más 102. Lo que hacemos es simplemente cambiar 6x a la 5, esta expresión que se repite por la letra P y ya nos queda una expresión un poco más simple, en el denominador conservamos el 6. Esto que nos ha quedado en el numerador corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, en este caso la variable x está representada por la letra P. Entonces vamos con su factorización, abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término, la raíz cuadrada de P al cuadrado es P, eso lo escribimos al comienzo de cada paréntesis, después definimos los signos, aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos que es el signo del primer paréntesis y luego menos por más nos da menos que es el signo del segundo paréntesis. Ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos de como resultado más 102 y que al sumarlos nos de como resultado menos 103, pues esos números son menos 102 y menos 1, veamos, menos 102 por menos 1 nos da 102 positivo y al efectuar la suma de estas dos cantidades negativas es decir, menos 102 sumado con menos 1 nos da menos 103 que es el coeficiente del segundo término, entonces ya hemos factorizado esta expresión del numerador, conservamos el 6 en el denominador y el factor menos 1 que nos acompaña al principio de la expresión. Enseguida deshacemos el cambio de variable, donde tenemos la letra P, ahora volvemos a escribir 6x a la 5, entonces tendremos 6x a la 5 menos 102 en el primer paréntesis y en el otro tendremos 6x a la 5 menos 1, de esta manera retornamos a la variable original del ejercicio que es x, conservamos el 6 en el denominador y el factor menos 1 al principio de la expresión. Es importante advertir que cuando ya se tiene cierta habilidad en el desarrollo de este tipo de factorización podemos pasar de aquí directamente a esta etapa, es decir, nos podemos ahorrar la parte correspondiente al cambio de variable, simplemente detectamos que esto que se repite acá en los dos paréntesis es lo que ocupa el principio de cada uno de los paréntesis que se forman acá y entonces ya procedemos a buscar los números que multiplicados nos den más 102 y que sumados entre sí sean menos 103, que como vimos son menos 102 y menos 1. Ahora lo que hacemos es revisar si hay factor común en cada uno de estos dos paréntesis, por ejemplo en el primero miramos si hay factor común en los números 6 y 102, recordemos que 102 se obtuvo al multiplicar 6 por 17, por lo tanto 102 es divisible por 6, aquí entonces en el primer paréntesis el factor común será el 6, si sale el 6 nos queda x a la 5 en el primer término menos 17 en el segundo término, recordemos 6 por menos 17 es menos 102, revisamos acá el otro paréntesis y vemos que no hay factor común, entonces permanece igual 6x a la 5 menos 1, acá en el denominador conservamos el 6 y el factor menos 1 al principio de la expresión. Finalmente simplificamos acá lo que sea posible, se trata de estos dos números, el 6 que está multiplicando en el numerador y que se encuentra en el denominador, entonces tendremos lo siguiente, menos 1 que multiplica con el factor x a la 5 menos 17 y esto multiplica con el otro paréntesis con el otro factor que es 6x a la 5 menos 1. Lo que podemos hacer ahora es incorporar este factor menos 1 a cualquiera de estos dos paréntesis, se hace la distributiva pero solamente a uno de estos dos, no a los dos, es algo que debemos tener presente y esto obedece a la propiedad asociativa de la multiplicación, si tenemos el producto de tres factores entonces elegimos si se multiplican los dos primeros o si se multiplican los dos últimos de manera prioritaria. Entonces en este caso menos 1 por ejemplo lo podemos introducir acá al primer paréntesis, si quisiéramos traerlo acá al segundo paréntesis entonces aplicamos primero la propiedad conmutativa de la multiplicación que es cambiar el orden de los factores, para aplicar esto que nos dice la propiedad asociativa, vamos entonces con la distributiva aquí en el primer paréntesis, tendremos entonces lo siguiente, abrimos paréntesis menos 1 por x a la 5 sería menos x a la 5 y luego menos 1 por menos 17 que es más 17, esto permanece intacto es decir 6x a la 5 menos 1. Para terminar podríamos cambiar aquí el orden de estos dos términos, entonces nos queda abrimos paréntesis primero el 17 después menos x a la 5 para que esto empiece con una cantidad positiva y el otro paréntesis que permanece tal como está 6x a la 5 menos 1 y de esta manera terminamos el ejercicio, esta será la factorización de ese trinomio. Para nuestra tranquilidad podemos hacer la comprobación del ejercicio y esto se hace efectuando este producto de binomios, los dos factores que encontramos 17 menos x a la 5 y esto multiplicado por 6x a la 5 menos 1, vamos entonces a efectuar esa multiplicación de binomios, vamos a aplicar la propiedad distributiva inicialmente con 17 entonces tendremos 17 por 6x a la 5 eso nos da 102x a la 5 luego 17 por menos 1 es menos 17. Ahora vamos a distribuir este término menos x a la 5 para que multiplique con estos dos términos entonces nos queda menos x a la 5 por 6x a la 5 sería menos 6x a la 10 y luego menos x a la 5 por menos 1 sería más x a la 5. Lo que hacemos finalmente es organizar la expresión y también reducir términos semejantes, comenzamos con el término de mayor exponente o mayor grado que es este, menos 6x a la 10 después tenemos estos dos términos que son semejantes ambos contienen x a la 5 entonces se pueden sumar entre sí aquí tenemos 102 más 1 que sería más 103x a la 5 y finalmente el término independiente que es menos 17 y comparamos con la expresión original vemos que se trata de lo mismo por lo tanto allí confirmamos que esta factorización que realizamos es correcta.
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Es importante advertir que cuando ya se tiene"}, {"start": 488.32, "end": 494.44, "text": " cierta habilidad en el desarrollo de este tipo de factorizaci\u00f3n podemos pasar de aqu\u00ed"}, {"start": 494.44, "end": 501.15999999999997, "text": " directamente a esta etapa, es decir, nos podemos ahorrar la parte correspondiente al cambio"}, {"start": 501.15999999999997, "end": 506.67999999999995, "text": " de variable, simplemente detectamos que esto que se repite ac\u00e1 en los dos par\u00e9ntesis"}, {"start": 506.67999999999995, "end": 512.64, "text": " es lo que ocupa el principio de cada uno de los par\u00e9ntesis que se forman ac\u00e1 y entonces"}, {"start": 512.64, "end": 519.12, "text": " ya procedemos a buscar los n\u00fameros que multiplicados nos den m\u00e1s 102 y que sumados entre s\u00ed sean"}, {"start": 519.12, "end": 524.22, "text": " menos 103, que como vimos son menos 102 y menos 1."}, {"start": 524.22, "end": 530.08, "text": " Ahora lo que hacemos es revisar si hay factor com\u00fan en cada uno de estos dos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 530.08, "end": 536.52, "text": " por ejemplo en el primero miramos si hay factor com\u00fan en los n\u00fameros 6 y 102, recordemos"}, {"start": 536.52, "end": 544.88, "text": " que 102 se obtuvo al multiplicar 6 por 17, por lo tanto 102 es divisible por 6, aqu\u00ed"}, {"start": 544.88, "end": 551.24, "text": " entonces en el primer par\u00e9ntesis el factor com\u00fan ser\u00e1 el 6, si sale el 6 nos queda x"}, {"start": 551.24, "end": 559.8, "text": " a la 5 en el primer t\u00e9rmino menos 17 en el segundo t\u00e9rmino, recordemos 6 por menos 17"}, {"start": 559.8, "end": 566.8399999999999, "text": " es menos 102, revisamos ac\u00e1 el otro par\u00e9ntesis y vemos que no hay factor com\u00fan, entonces"}, {"start": 566.8399999999999, "end": 575.18, "text": " permanece igual 6x a la 5 menos 1, ac\u00e1 en el denominador conservamos el 6 y el factor"}, {"start": 575.18, "end": 578.8, "text": " menos 1 al principio de la expresi\u00f3n."}, {"start": 578.8, "end": 585.8399999999999, "text": " Finalmente simplificamos ac\u00e1 lo que sea posible, se trata de estos dos n\u00fameros, el 6 que est\u00e1"}, {"start": 585.84, "end": 593.6800000000001, "text": " multiplicando en el numerador y que se encuentra en el denominador, entonces tendremos lo siguiente,"}, {"start": 593.6800000000001, "end": 605.0400000000001, "text": " menos 1 que multiplica con el factor x a la 5 menos 17 y esto multiplica con el otro par\u00e9ntesis"}, {"start": 605.0400000000001, "end": 611.2800000000001, "text": " con el otro factor que es 6x a la 5 menos 1."}, {"start": 611.28, "end": 618.4399999999999, "text": " Lo que podemos hacer ahora es incorporar este factor menos 1 a cualquiera de estos dos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 618.4399999999999, "end": 624.8399999999999, "text": " se hace la distributiva pero solamente a uno de estos dos, no a los dos, es algo que debemos"}, {"start": 624.8399999999999, "end": 631.48, "text": " tener presente y esto obedece a la propiedad asociativa de la multiplicaci\u00f3n, si tenemos"}, {"start": 631.48, "end": 637.72, "text": " el producto de tres factores entonces elegimos si se multiplican los dos primeros o si se"}, {"start": 637.72, "end": 642.44, "text": " multiplican los dos \u00faltimos de manera prioritaria."}, {"start": 642.44, "end": 649.52, "text": " Entonces en este caso menos 1 por ejemplo lo podemos introducir ac\u00e1 al primer par\u00e9ntesis,"}, {"start": 649.52, "end": 656.24, "text": " si quisi\u00e9ramos traerlo ac\u00e1 al segundo par\u00e9ntesis entonces aplicamos primero la propiedad conmutativa"}, {"start": 656.24, "end": 661.9200000000001, "text": " de la multiplicaci\u00f3n que es cambiar el orden de los factores, para aplicar esto que nos"}, {"start": 661.92, "end": 669.12, "text": " dice la propiedad asociativa, vamos entonces con la distributiva aqu\u00ed en el primer par\u00e9ntesis,"}, {"start": 669.12, "end": 676.5, "text": " tendremos entonces lo siguiente, abrimos par\u00e9ntesis menos 1 por x a la 5 ser\u00eda menos x a la 5"}, {"start": 676.5, "end": 685.68, "text": " y luego menos 1 por menos 17 que es m\u00e1s 17, esto permanece intacto es decir 6x a la 5"}, {"start": 685.68, "end": 687.64, "text": " menos 1."}, {"start": 687.64, "end": 692.4399999999999, "text": " Para terminar podr\u00edamos cambiar aqu\u00ed el orden de estos dos t\u00e9rminos, entonces nos"}, {"start": 692.4399999999999, "end": 701.42, "text": " queda abrimos par\u00e9ntesis primero el 17 despu\u00e9s menos x a la 5 para que esto empiece con una"}, {"start": 701.42, "end": 709.04, "text": " cantidad positiva y el otro par\u00e9ntesis que permanece tal como est\u00e1 6x a la 5 menos 1"}, {"start": 709.04, "end": 717.12, "text": " y de esta manera terminamos el ejercicio, esta ser\u00e1 la factorizaci\u00f3n de ese trinomio."}, {"start": 717.12, "end": 723.36, "text": " Para nuestra tranquilidad podemos hacer la comprobaci\u00f3n del ejercicio y esto se hace"}, {"start": 723.36, "end": 732.72, "text": " efectuando este producto de binomios, los dos factores que encontramos 17 menos x a la 5"}, {"start": 732.72, "end": 741.08, "text": " y esto multiplicado por 6x a la 5 menos 1, vamos entonces a efectuar esa multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 741.08, "end": 747.9200000000001, "text": " de binomios, vamos a aplicar la propiedad distributiva inicialmente con 17 entonces"}, {"start": 747.9200000000001, "end": 760.4000000000001, "text": " tendremos 17 por 6x a la 5 eso nos da 102x a la 5 luego 17 por menos 1 es menos 17."}, {"start": 760.4000000000001, "end": 766.6400000000001, "text": " Ahora vamos a distribuir este t\u00e9rmino menos x a la 5 para que multiplique con estos dos"}, {"start": 766.64, "end": 775.52, "text": " t\u00e9rminos entonces nos queda menos x a la 5 por 6x a la 5 ser\u00eda menos 6x a la 10 y"}, {"start": 775.52, "end": 781.48, "text": " luego menos x a la 5 por menos 1 ser\u00eda m\u00e1s x a la 5."}, {"start": 781.48, "end": 788.4399999999999, "text": " Lo que hacemos finalmente es organizar la expresi\u00f3n y tambi\u00e9n reducir t\u00e9rminos semejantes,"}, {"start": 788.4399999999999, "end": 796.48, "text": " comenzamos con el t\u00e9rmino de mayor exponente o mayor grado que es este, menos 6x a la 10"}, {"start": 796.48, "end": 802.72, "text": " despu\u00e9s tenemos estos dos t\u00e9rminos que son semejantes ambos contienen x a la 5 entonces"}, {"start": 802.72, "end": 812.08, "text": " se pueden sumar entre s\u00ed aqu\u00ed tenemos 102 m\u00e1s 1 que ser\u00eda m\u00e1s 103x a la 5 y finalmente"}, {"start": 812.08, "end": 819.6, "text": " el t\u00e9rmino independiente que es menos 17 y comparamos con la expresi\u00f3n original vemos"}, {"start": 819.6, "end": 827.44, "text": " que se trata de lo mismo por lo tanto all\u00ed confirmamos que esta factorizaci\u00f3n que realizamos"}, {"start": 827.44, "end": 852.44, "text": " es correcta."}]