ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 6
#julioprofe explica cómo determinar el valor del área encerrada por dos curvas dadas.

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 Vamos a determinar el valor del área encerrada por las curvas f de x igual a 3 más 2x menos x cuadrado y g de x igual a x cuadrado menos 4x más 3. Lo primero que tenemos que hallar son los puntos de corte o puntos de intersección de esas dos curvas. Para ello vamos a igualar las expresiones que corresponden a esas dos funciones. Tenemos que f de x es 3 más 2x menos x al cuadrado y eso lo igualamos con g de x que es x al cuadrado menos 4x más 3 y vamos a resolver esa ecuación. Como se observa tenemos la incógnita x elevada al cuadrado por lo tanto eso será una ecuación cuadrática o de segundo grado. Lo recomendable es igualarla a cero. Entonces vamos a pasar estos términos al lado izquierdo. Este llega negativo, este pasa positivo y este llega negativo y todo esto nos queda igualado a cero. Allí podemos observar que el número 3 se elimina porque tenemos 3 y menos 3 números opuestos. Podemos operar estos términos semejantes 2x más 4x que nos da 6x y estos dos términos que también son semejantes. La operación entre ellos nos da menos 2x cuadrado y eso queda igualado a cero. Como decíamos se obtiene una ecuación cuadrática o de segundo grado y que podemos resolver mediante la factorización. Acá podemos extraer factor común que será 2x y eso va a quedar multiplicando con 3 menos x y esto queda igualado a cero. Como aquí tenemos multiplicación podemos aplicar el teorema del factor nulo. Recordemos que nos dice que si el producto de dos cantidades es cero entonces cada una de ellas debe igualarse a cero. Tenemos 2x igual a cero o 3 menos x igual a cero y vamos a despejar x en cada caso. Por acá para despejar x 2 está multiplicando entonces pasa al otro lado a dividir y nos queda x igual a cero. Por acá para despejar x podemos pasar justamente la incógnita que está negativa al otro lado con signo positivo y nos queda que 3 es igual a x o lo que es lo mismo x igual a 3. Estos dos valores que encontramos para x son las soluciones de esta ecuación cuadrática y también se convierten en las abscisas de los puntos de corte de esas dos curvas. Ahora vamos a construir una tabla de valores para esas dos funciones considerando valores de x que estén comprendidos entre cero y tres. Allí podemos observarla tenemos valores de x comprendidos entre cero y tres como decíamos y entonces vamos a reemplazar cada uno de estos valores de x en cada una de las dos funciones para encontrar sus respectivos valores de y. Aquí podemos observarlos y ahora con esa información vamos a construir un plano cartesiano de tal forma que podamos localizar esos puntos y también trazar las gráficas de las dos curvas. Aquí tenemos el plano cartesiano en seguida vamos a localizar acá los puntos que corresponden a la primera función. Tenemos el punto cero coma tres que es aquí tenemos el punto uno coma cuatro que es por acá el punto dos coma tres que tenemos acá y el punto tres coma cero que lo marcamos por allí. Uniendo esos puntos tenemos ya la gráfica de la primera función comprendida entre las abscisas cero y tres. Vemos que se trata una parábola y esto se debe a que esta es una función cuadrática o de segundo grado entonces esta será y o f de x igual a tres más dos x menos x al cuadrado. Ahora vamos a localizar los puntos que corresponden a la segunda función tenemos que si x vale cero y vale tres es decir que es este mismo punto tenemos ahora el punto uno coma cero es decir aquí tenemos el punto dos coma menos uno que es por acá y finalmente el punto tres coma cero que es allí. De nuevo unimos esos puntos y así tenemos la gráfica de esta función comprendida entre las abscisas cero y tres esta línea de color azul será y o g de x igual a x al cuadrado menos cuatro x más tres. Como se puede observar los puntos de contacto o de corte de esas dos parábolas ocurren justamente en los valores x igual a cero y x igual a tres que fueron los que encontramos cuando resolvimos la ecuación cuadrática de esta manera ya podemos observar la región que queda encerrada o acotada por las dos curvas que nos dieron es esta figura cuya área debemos determinar entonces vamos a realizar el planteamiento utilizando para ello una integral definida que va entre las abscisas o valores de x cero y tres justamente los valores de corte que nos dieron cuando resolvimos la ecuación cuadrática enseguida debemos anotar aquí las dos funciones las dos curvas comenzando con la superior la curva superior es f de x o sea tres más dos x menos x al cuadrado la vamos a proteger y a eso vamos a restarle la curva inferior que es la que tenemos en color azul y que corresponde a g de x es decir x al cuadrado menos 4x más tres todo esto lo protegemos utilizando corchetes y le escribimos el diferencial de x entonces repetimos planteando esta integral definida donde se observa la curva superior menos la curva inferior vamos a encontrar el valor del área de esta región que queda encerrada por esas dos líneas vamos entonces a desarrollar lo que tenemos en el integrando comenzamos por destruir los paréntesis en el caso del primero los términos salen tal como están sin presentar ningún cambio y en el segundo el signo menos lo distribuimos tenemos menos x al cuadrado más 4x menos tres cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x en esta expresión podemos eliminar el número tres porque aparece positivo y negativo y vamos a reducir términos semejantes podemos cambiar ya el corchete por paréntesis tenemos 2x más 4x que nos da 6x y menos x cuadrado con menos x cuadrado nos da menos 2x al cuadrado cerramos paréntesis y escribimos el diferencial de x como tenemos aquí una resta de términos podemos entonces integrar cada uno de ellos tenemos que la integral de 6x será 6 por x al cuadrado sobre 2 menos la integral de 2x al cuadrado donde el 2 se deja quieto integramos x al cuadrado que nos da x al cubo sobre 3 y eso lo vamos a evaluar en los límites de integración que son 0 y 3 observamos que aquí se puede simplificar 6 con 2 entonces tendremos área igual a 6 medios que es 3 por x al cuadrado eso menos 2x al cubo sobre 3 y esto va a estar evaluado entre 0 y 3 allí vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo vamos a evaluar primero el límite superior en esa expresión tendremos área igual a 3 por 3 al cuadrado menos 2 por 3 al cubo sobre 3 protegemos todo esto y después tenemos que restarle la evaluación de esta expresión en el límite inferior como se observa si 0 entra aquí donde está la x vamos a observar que este término nos da 0 y este también se convierte en 0 por lo tanto esa evaluación en el límite inferior nos va a dar como resultado 0 finalmente resolvemos estas operaciones tenemos que 3 al cuadrado es 9 9 por 3 nos da 27 y esto nos queda menos 3 al cubo que es 27 27 por 2 nos da 54 y 54 dividido entre 3 nos da como resultado 18 resolviendo esa resta tenemos como resultado 9 que será el valor del área expresado en unidades cuadradas de esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado el valor del área encerrada por las dos curvas o funciones que nos dieron
[{"start": 0.0, "end": 10.200000000000001, "text": " Vamos a determinar el valor del \u00e1rea encerrada por las curvas f de x igual a 3 m\u00e1s 2x menos"}, {"start": 10.200000000000001, "end": 17.36, "text": " x cuadrado y g de x igual a x cuadrado menos 4x m\u00e1s 3."}, {"start": 17.36, "end": 22.6, "text": " Lo primero que tenemos que hallar son los puntos de corte o puntos de intersecci\u00f3n de"}, {"start": 22.6, "end": 24.8, "text": " esas dos curvas."}, {"start": 24.8, "end": 33.08, "text": " Para ello vamos a igualar las expresiones que corresponden a esas dos funciones."}, {"start": 33.08, "end": 43.120000000000005, "text": " Tenemos que f de x es 3 m\u00e1s 2x menos x al cuadrado y eso lo igualamos con g de x que"}, {"start": 43.120000000000005, "end": 52.2, "text": " es x al cuadrado menos 4x m\u00e1s 3 y vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 52.2, "end": 59.52, "text": " Como se observa tenemos la inc\u00f3gnita x elevada al cuadrado por lo tanto eso ser\u00e1 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242.88, "end": 244.95999999999998, "text": " a la primera funci\u00f3n."}, {"start": 244.96, "end": 252.52, "text": " Tenemos el punto cero coma tres que es aqu\u00ed tenemos el punto uno coma cuatro que es por"}, {"start": 252.52, "end": 261.32, "text": " ac\u00e1 el punto dos coma tres que tenemos ac\u00e1 y el punto tres coma cero que lo marcamos"}, {"start": 261.32, "end": 262.88, "text": " por all\u00ed."}, {"start": 262.88, "end": 269.76, "text": " Uniendo esos puntos tenemos ya la gr\u00e1fica de la primera funci\u00f3n comprendida entre las"}, {"start": 269.76, "end": 272.16, "text": " abscisas cero y tres."}, {"start": 272.16, "end": 278.32000000000005, "text": " Vemos que se trata una par\u00e1bola y esto se debe a que esta es una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 278.32000000000005, "end": 291.92, "text": " o de segundo grado entonces esta ser\u00e1 y o f de x igual a tres m\u00e1s dos x menos x al"}, {"start": 291.92, "end": 293.68, "text": " cuadrado."}, {"start": 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comenzamos por destruir los par\u00e9ntesis en el caso del"}, {"start": 462.98, "end": 469.44, "text": " primero los t\u00e9rminos salen tal como est\u00e1n sin presentar ning\u00fan cambio y en el segundo"}, {"start": 469.44, "end": 478.64, "text": " el signo menos lo distribuimos tenemos menos x al cuadrado m\u00e1s 4x menos tres cerramos"}, {"start": 478.64, "end": 486.96, "text": " el corchete y escribimos el diferencial de x en esta expresi\u00f3n podemos eliminar el n\u00famero"}, {"start": 486.96, "end": 496.92, "text": " tres porque aparece positivo y negativo y vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes podemos"}, {"start": 496.92, "end": 504.52000000000004, "text": " cambiar ya el corchete por par\u00e9ntesis tenemos 2x m\u00e1s 4x que nos da 6x y menos x cuadrado"}, {"start": 504.52000000000004, "end": 512.6, "text": " con menos x cuadrado nos da menos 2x al cuadrado cerramos par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial"}, {"start": 512.6, "end": 522.24, "text": " de x como tenemos aqu\u00ed una resta de t\u00e9rminos podemos entonces integrar cada uno de ellos"}, {"start": 522.24, "end": 529.72, "text": " tenemos que la integral de 6x ser\u00e1 6 por x al cuadrado sobre 2 menos la integral de"}, {"start": 529.72, "end": 538.4, "text": " 2x al cuadrado donde el 2 se deja quieto integramos x al cuadrado que nos da x al cubo sobre 3"}, {"start": 538.4, "end": 547.52, "text": " y eso lo vamos a evaluar en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 0 y 3 observamos que"}, {"start": 547.52, "end": 555.68, "text": " aqu\u00ed se puede simplificar 6 con 2 entonces tendremos \u00e1rea igual a 6 medios que es 3"}, {"start": 555.68, "end": 569.04, "text": " por x al cuadrado eso menos 2x al cubo sobre 3 y esto va a estar evaluado entre 0 y 3 all\u00ed"}, {"start": 569.04, "end": 574.72, "text": " vamos a aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo vamos a evaluar primero el l\u00edmite"}, {"start": 574.72, "end": 585.48, "text": " superior en esa expresi\u00f3n tendremos \u00e1rea igual a 3 por 3 al cuadrado menos 2 por 3"}, {"start": 585.48, "end": 595.52, "text": " al cubo sobre 3 protegemos todo esto y despu\u00e9s tenemos que restarle la evaluaci\u00f3n de esta"}, {"start": 595.52, "end": 602.5600000000001, "text": " expresi\u00f3n en el l\u00edmite inferior como se observa si 0 entra aqu\u00ed donde est\u00e1 la x vamos a"}, {"start": 602.56, "end": 609.16, "text": " observar que este t\u00e9rmino nos da 0 y este tambi\u00e9n se convierte en 0 por lo tanto esa"}, {"start": 609.16, "end": 617.04, "text": " evaluaci\u00f3n en el l\u00edmite inferior nos va a dar como resultado 0 finalmente resolvemos"}, {"start": 617.04, "end": 626.68, "text": " estas operaciones tenemos que 3 al cuadrado es 9 9 por 3 nos da 27 y esto nos queda menos"}, {"start": 626.68, "end": 637.2399999999999, "text": " 3 al cubo que es 27 27 por 2 nos da 54 y 54 dividido entre 3 nos da como resultado 18"}, {"start": 637.2399999999999, "end": 644.3199999999999, "text": " resolviendo esa resta tenemos como resultado 9 que ser\u00e1 el valor del \u00e1rea expresado en"}, {"start": 644.3199999999999, "end": 652.4, "text": " unidades cuadradas de esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado el valor del"}, {"start": 652.4, "end": 658.3199999999999, "text": " \u00e1rea encerrada por las dos curvas o funciones que nos dieron"}]