ÁREA BAJO UNA CURVA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo hallar el área bajo una curva usando la Integral Definida.

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 Una de las aplicaciones más importantes de la integral definida es el cálculo de áreas. Vamos a encontrar el área de la región que queda encerrada por esta función y estas líneas verticales x igual a 1 y x igual a 4 y esta línea y igual a 0 que es una línea horizontal que viene siendo más exactamente el eje de las ejes. Entonces vamos a hallar el área de la región encerrada por esas cuatro líneas. Para empezar vamos a tabular nuestra función, nuestra curva que se trata de una función cuadrática, por lo tanto su gráfica será una parábola. Vamos a tabularla entre los valores 1 y 4 que son los que nos dan aquí. Entonces veamos, vamos a darle valores a x como 1, 2, 3 y puede ser 4. Si reemplazamos esos valores aquí en la función cuadrática obtenemos lo siguiente. Para 1 eso nos da 4, para 2 eso nos da 13, para 3 nos da 26 y para 4 nos da 43. Ya lo he realizado previamente. Entonces vamos a localizar estos puntos en un planito cartesiano. Entonces veamos, trazamos un eje y y por acá podemos trazar el eje x para poder visualizar la gráfica. Este es el origen. Veamos, en el eje y nuestros valores van a ir de 4 hasta 43. Podríamos utilizar una escala de 10 en 10. Veamos, esto aquí puede ser 10, 20, 30, 40, 50 para que nos alcance a un nivel de 43. Y en el eje horizontal los valores van hasta 4. Entonces aquí podemos utilizar una escala diferente, una escala un poco más amplia que nos lleve hasta 4. Veamos, los puntos 1,4 sería aproximadamente por aquí. 2,13 sería aproximadamente por aquí. 3,26 nos da aproximadamente por acá. Y 4,43 aproximadamente por acá. Esos puntos los vamos a unir con una curva. Claro, esta va a ser la porción de parabola que nos va a interesar visualizar. La porción de esta gráfica de acá, esa parabola sigue para allá y sigue por acá. Y vamos a trazar estas otras líneas. Veamos, la gráfica de x igual a 1 va a ser una línea vertical que pasa por 1. Es decir, sería una recta así. Y la recta x igual a 4 va a ser otra línea vertical. La recta vertical que pasa por 4. Ahí están las dos rectas. Entonces, veamos, esta de aquí es x igual a 1. Recta vertical que pasa por 1. Y esta de aquí va a ser la recta x igual a 4. Dijimos ahora que la recta y igual a 0 es esta línea horizontal que pasa por 0. Por lo tanto, es el mismo eje de x. Luego, la región que queda encerrada por esas cuatro lineas va a ser esta de aquí. Y el área de esa región es la que vamos a encontrar mediante una integral definida. Esta curva que tenemos en color rojo es la función que nos dieron. 2x al cuadrado más 3x menos 1. Bien, entonces vamos a plantear una integral definida que nos permita encontrar el área de esa región. Veamos. El área se va a encontrar entonces como la integral desde 1 hasta 4 de esta función. Aquí estamos aplicando el concepto de área bajo la curva. Ahí está planteada entonces la integral definida que nos va a permitir encontrar con exactitud el área que acabamos de graficar. Vamos a resolverla. Empezamos por encontrar la integral de cada uno de los términos por tratar de hacer una suma y una resta. La integral del primer término sería 2x a la 3 sobre 3 más la integral de 3x sería 3 que queda quieto. La integral de x sería x al cuadrado sobre 2 menos la integral de 1 que sería x. Y esto lo vamos entonces a evaluar entre 1 y 4 que son nuestros límites de integración. Veamos. Primero entra el límite superior, entra el 4 aquí en la antiderivada. Vamos a resolver. Si aquí entra el 4, 4 a la 3 nos da 64 por 2 son 128 tercios. Más aquí si el 4 entra por acá, 4 al cuadrado sería 16, 16 por 3 son 48, sobre 2 son 24, menos aquí si entra el 4 pues nos queda 4. Esto lo protegemos y vamos a restar el reemplazo del 1 en la expresión de la antiderivada. Si entra el 1 aquí, veamos 1 a la 3 nos da 1 por 2 es 2, queda 2 tercios. Más aquí si el 1 entra en este sitio donde está la x, 1 al cuadrado es 1 por 3, nos da 3, es decir nos queda 3 medios, menos aquí si entra el 1 pues nos queda 1. Resolviendo toda esta operación, la podemos hacer manualmente o en una calculadora, el resultado final que obtenemos es 123 medios. Por tratarse de un área, este resultado le colocamos 1 al cuadrado, es decir unidades cuadradas. En decimal eso nos daría 61.5 unidades cuadradas, que es entonces el área de la región que nos pedíamos.
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