INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 10
#julioprofe explica cómo resolver una integral por el Método de Sustitución o Cambio de Variable.

Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a resolver esta integral por el método de sustitución, también conocido como método de cambio de variable. Elegimos este método porque la integral no se puede resolver en forma directa. Vamos a tomar como nueva letra, por ejemplo, la letra W al exponente de la E, es decir, X a la 5. Veamos por qué hacemos esa elección. Si nosotros tomamos como W el exponente de la E, estamos pensando en una integral básica. La integral de E a la W con diferencial de W es E a la W más E. A esto le estamos apuntando al hacer esta elección. Pero además sabemos que es la elección correcta porque si derivamos X a la 5, nos da 5X a la 4. Y X a la 4 lo podemos apreciar acá delante de la expresión original que se encuentra multiplicando. Eso es lo que nos dice que hemos hecho la elección correcta. Entonces decíamos W es X a la 5, esto tenemos que derivarlo. Derivamos W con respecto a X. La derivada de X a la 5 será 5X a la 4. Y de aquí vamos a despejar de X. De X está dividido, lo pasamos a multiplicar. Entonces multiplicar nos queda que W es igual a 5X a la 4 por DX. Y para despejar de X tomamos 5X a la 4 que está multiplicando y lo pasamos a dividir. Entonces nos queda W sobre 5X a la 4 es igual a DX. Encerramos esto y entonces ya tenemos W que reemplaza a X a la 5 y tenemos DX. Es decir, el diferencial de la integral original. Vamos a notar por aquí esas equivalencias W es X a la 5 y DX que nos dio DW sobre 5X a la 4. Bien, vamos entonces a borrar por aquí y vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva variable. Es decir en términos de W. Nos queda entonces de la siguiente manera. X a la 4 se escribe nuevamente porque X a la 4 no tiene un equivalente. Esto multiplicado por E, el número de Euler elevado a X a la 5. Pero X a la 5 es W. Y esto multiplicado por DX. Pero DX equivale a DW sobre 5X a la 4. Y aquí podemos observar que X a la 4 se cancela. Y entonces nos queda la integral de E a la W con su diferencial DW y todo esto dividido entre 5. El 5 queda en la parte de abajo. Este 5 podemos sacarlo de la integral. Quedaría como un quinto que multiplica a la integral de E a la W con su correspondiente diferencial DW. Vamos a seguirlo por acá. Nos queda entonces un quinto por la integral de E a la W con su diferencial DW. Es una integral de las básicas. La integral de eso nos da E a la W. Y aparece la constante de integración. Finalmente debemos cambiar W por la expresión a la cual equivale. W equivale a X a la 5. Recordemos que nuestra respuesta debe quedar en términos de la letra original. Es decir en términos de X. Si dejamos nuestra respuesta en términos de W no es correcto. Debemos regresar a la letra original del ejercicio. De esta manera entonces hemos obtenido la respuesta a esa integral.
[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a resolver esta integral por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, tambi\u00e9n conocido como m\u00e9todo de cambio de variable."}, {"start": 12.0, "end": 17.0, "text": " Elegimos este m\u00e9todo porque la integral no se puede resolver en forma directa."}, {"start": 18.0, "end": 28.0, "text": " Vamos a tomar como nueva letra, por ejemplo, la letra W al exponente de la E, es decir, X a la 5."}, {"start": 28.0, "end": 30.0, "text": " Veamos por qu\u00e9 hacemos esa elecci\u00f3n."}, {"start": 31.0, "end": 39.0, "text": " Si nosotros tomamos como W el exponente de la E, estamos pensando en una integral b\u00e1sica."}, {"start": 40.0, "end": 45.0, "text": " La integral de E a la W con diferencial de W es E a la W m\u00e1s E."}, {"start": 46.0, "end": 50.0, "text": " A esto le estamos apuntando al hacer esta elecci\u00f3n."}, {"start": 50.0, "end": 62.0, "text": " Pero adem\u00e1s sabemos que es la elecci\u00f3n correcta porque si derivamos X a la 5, nos da 5X a la 4."}, {"start": 63.0, "end": 70.0, "text": " Y X a la 4 lo podemos apreciar ac\u00e1 delante de la expresi\u00f3n original que se encuentra multiplicando."}, {"start": 71.0, "end": 76.0, "text": " Eso es lo que nos dice que hemos hecho la elecci\u00f3n correcta."}, {"start": 76.0, "end": 82.0, "text": " Entonces dec\u00edamos W es X a la 5, esto tenemos que derivarlo."}, {"start": 83.0, "end": 86.0, "text": " Derivamos W con respecto a X."}, {"start": 87.0, "end": 92.0, "text": " La derivada de X a la 5 ser\u00e1 5X a la 4."}, {"start": 93.0, "end": 95.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar de X."}, {"start": 96.0, "end": 98.0, "text": " De X est\u00e1 dividido, lo pasamos a multiplicar."}, {"start": 98.0, "end": 105.0, "text": " Entonces multiplicar nos queda que W es igual a 5X a la 4 por DX."}, {"start": 106.0, "end": 111.0, "text": " Y para despejar de X tomamos 5X a la 4 que est\u00e1 multiplicando y lo pasamos a dividir."}, {"start": 112.0, "end": 118.0, "text": " Entonces nos queda W sobre 5X a la 4 es igual a DX."}, {"start": 119.0, "end": 126.0, "text": " Encerramos esto y entonces ya tenemos W que reemplaza a X a la 5 y tenemos DX."}, {"start": 126.0, "end": 129.0, "text": " Es decir, el diferencial de la integral original."}, {"start": 130.0, "end": 143.0, "text": " Vamos a notar por aqu\u00ed esas equivalencias W es X a la 5 y DX que nos dio DW sobre 5X a la 4."}, {"start": 144.0, "end": 154.0, "text": " Bien, vamos entonces a borrar por aqu\u00ed y vamos a reconstruir la integral en t\u00e9rminos de la nueva variable."}, {"start": 154.0, "end": 157.0, "text": " Es decir en t\u00e9rminos de W."}, {"start": 158.0, "end": 159.0, "text": " Nos queda entonces de la siguiente manera."}, {"start": 160.0, "end": 165.0, "text": " X a la 4 se escribe nuevamente porque X a la 4 no tiene un equivalente."}, {"start": 166.0, "end": 171.0, "text": " Esto multiplicado por E, el n\u00famero de Euler elevado a X a la 5."}, {"start": 172.0, "end": 174.0, "text": " Pero X a la 5 es W."}, {"start": 175.0, "end": 176.0, "text": " Y esto multiplicado por DX."}, {"start": 176.0, "end": 184.0, "text": " Pero DX equivale a DW sobre 5X a la 4."}, {"start": 185.0, "end": 189.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos observar que X a la 4 se cancela."}, {"start": 190.0, "end": 201.0, "text": " Y entonces nos queda la integral de E a la W con su diferencial DW y todo esto dividido entre 5."}, {"start": 202.0, "end": 204.0, "text": " El 5 queda en la parte de abajo."}, {"start": 204.0, "end": 206.0, "text": " Este 5 podemos sacarlo de la integral."}, {"start": 207.0, "end": 217.0, "text": " Quedar\u00eda como un quinto que multiplica a la integral de E a la W con su correspondiente diferencial DW."}, {"start": 218.0, "end": 219.0, "text": " Vamos a seguirlo por ac\u00e1."}, {"start": 220.0, "end": 228.0, "text": " Nos queda entonces un quinto por la integral de E a la W con su diferencial DW."}, {"start": 229.0, "end": 231.0, "text": " Es una integral de las b\u00e1sicas."}, {"start": 231.0, "end": 235.0, "text": " La integral de eso nos da E a la W."}, {"start": 236.0, "end": 238.0, "text": " Y aparece la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 239.0, "end": 246.0, "text": " Finalmente debemos cambiar W por la expresi\u00f3n a la cual equivale."}, {"start": 247.0, "end": 249.0, "text": " W equivale a X a la 5."}, {"start": 250.0, "end": 257.0, "text": " Recordemos que nuestra respuesta debe quedar en t\u00e9rminos de la letra original."}, {"start": 258.0, "end": 259.0, "text": " Es decir en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 259.0, "end": 263.0, "text": " Si dejamos nuestra respuesta en t\u00e9rminos de W no es correcto."}, {"start": 264.0, "end": 268.0, "text": " Debemos regresar a la letra original del ejercicio."}, {"start": 268.0, "end": 297.0, "text": " De esta manera entonces hemos obtenido la respuesta a esa integral."}]