VECTOR GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo encontrar el Vector Gradiente y la Derivada Direccional de una función de dos variables.

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 Para esta función de dos variables vamos a encontrar estas dos cosas que nos piden. Primero el vector gradiente de la función en el punto P que nos dan. Y también vamos a calcular la derivada direccional de la misma función en la dirección del vector que va del punto P al punto Q. Comenzamos reescribiendo la función. Tenemos que esto es igual a x cuadrado más y cuadrado y esto elevado al exponente un medio. Quitamos la raíz cuadrada y la cambiamos por exponente un medio. En seguida vamos a determinar las derivadas parciales. Vamos entonces con fx que recordemos es lo mismo que decir la derivada parcial de f con respecto a x. Recordemos que allí la otra variable es decir la y se comporta como una constante. Vamos entonces a derivar esta expresión. Aplicamos la regla de la cadena para potencias. Un medio baja a multiplicar a esta expresión que queda igual. Y aquí tenemos la operación un medio menos uno. Eso nos da menos un medio. Y esto lo multiplicamos por la derivada interna pero con respecto a x. Tenemos entonces una suma. La derivada de x al cuadrado es 2x y la derivada de y al cuadrado sería cero. Porque recordemos que en esta ocasión la letra y se comporta como una constante. Entonces la derivada interna es simplemente 2x. Allí podemos simplificar estos números 2 y la expresión que nos queda se puede escribir de la siguiente manera. Arriba nos queda la x y esto lo podríamos escribir acá abajo con exponente un medio positivo. Es decir que se puede convertir nuevamente en raíz cuadrada de x al cuadrado más y al cuadrado. Allí tenemos entonces la derivada parcial de la función con respecto a x. De una vez se puede evaluar esta derivada parcial en el punto p que nos da el problema. Eso se escribe de esta manera. Derivada parcial de la función con respecto a x evaluada en el punto p. Recordemos que ese punto p tiene coordenadas 4,-3. Entonces vamos a reemplazar aquí en la expresión esos valores. Tenemos en el numerador x que vale 4 y en el denominador dentro de la raíz cuadrada tenemos x que vale 4. Entonces 4 al cuadrado más y que vale menos 3 al cuadrado. Vamos a resolver esas operaciones. Tenemos entonces en el denominador raíz cuadrada de 4 al cuadrado que es 16,-3 al cuadrado nos da 9. 16 más 9 nos da 25 y esa raíz cuadrada nos da 5. Tenemos entonces que la derivada parcial de la función con respecto a x y evaluada en el punto p tiene un valor de 4,-5. Vamos a escribir ese resultado por aquí y enseguida vamos a derivar parcialmente la función con respecto a la otra variable que es y. Entonces tendremos f y, o sea la derivada parcial de la función f con respecto a la variable y. En esta ocasión la variable x se comporta como una constante. Vamos entonces con la derivada de esta expresión. Bajamos nuevamente 1 medio por esto que nos queda igual, todo esto elevado al exponente menos 1 medio que recordemos es 1 medio menos 1. Y esto multiplicado por la derivada interna con respecto de la variable y. Entonces como decíamos x es constante por lo tanto la derivada de x cuadrado es 0. Nos queda entonces únicamente la derivada de y cuadrado que es 2y. Similar a lo que nos dio ahora podemos cancelar el número 2 y esto nos va a quedar y. En el numerador esto pasa al denominador con exponente 1 medio positivo lo cual se puede convertir en raíz cuadrada. Y enseguida vamos a evaluar esta derivada parcial también en el punto p. Nos queda entonces así. Derivada parcial con respecto a y evaluada en el punto p igual a y que vale menos 3. Todo esto sobre la raíz cuadrada de x que vale 4 al cuadrado más y que vale menos 3 al cuadrado. Tal como nos dio ahora aquí en el denominador tendremos 5. Y de esa manera determinamos la derivada parcial de la función con respecto a y y evaluada en el punto p con un valor de menos 3 quintos. Con esta información que encontramos se puede ya construir lo que se llama el vector gradiente de la función f en el punto p que nos dieron. Ese vector gradiente se representa de la siguiente manera. Esta es la notación. Tenemos este triángulo que es el operador nabla que acompaña la letra f, o sea la función, y entre paréntesis el punto p en el cual vamos a evaluar ese vector. La flechita encima nos indica que se trata de un vector. Este vector tiene dos componentes. La primera es la derivada parcial de la función f con respecto a x evaluada en el punto p. Y la segunda componente es la derivada parcial de la función f con respecto a y también evaluada en el punto p. Es decir, ese vector lo vamos a construir con esas dos componentes que encontramos. La primera nos dio 4 quintos y la segunda nos dio menos 3 quintos. Allí tenemos entonces el vector gradiente de la función evaluada en el punto p. También se puede escribir en términos de los vectores unitarios. Tenemos 4 quintos en dirección y menos 3 quintos en dirección cota. De esta manera respondemos a la pregunta a de este problema. Tenemos el vector gradiente de la función f en el punto p que nos dieron. Ahora para la siguiente pregunta vamos a considerar el punto q que nos da el problema. Es el punto 1,0. Con esos dos puntos vamos a determinar el vector pq. Porque nos piden la derivada direccional de esa función en la dirección de ese vector que va desde el punto p hacia el punto q. Determinamos entonces ese vector y para ello hacemos la resta de las coordenadas. Primero el punto final, es decir las coordenadas de q que son 1,0 y eso menos las coordenadas del punto inicial que son 4,-3. Se forma entonces ya el vector y hacemos la operación 1,-4 que nos da menos 3 y 0,-3 es decir 0,3 que es igual a 3. Este es entonces el vector pq. En seguida debemos calcular la norma, magnitud o módulo de este vector. Recordemos que eso se representa con doble barra y es igual a la raíz cuadrada de la componente en x al cuadrado más la componente en y al cuadrado. Entonces todo eso dentro de la raíz cuadrada. Tenemos 9 más 9 que nos da 18, 18 lógicamente es 2 por 9 y de allí podemos sacar el 9 que da como 3 raíz cuadrada de 2. Podemos simplificar esta raíz y nos queda como 3 raíz de 2. Esta será entonces la magnitud, módulo o norma del vector pq. Con esta información vamos a determinar el vector u, es decir el vector unitario en la dirección del vector pq. Para ello tomamos el vector que es pq y lo dividimos entre su norma o módulo. Recordemos que esa es la manera de convertir cualquier vector en vector unitario, o sea vector con magnitud 1. Tenemos entonces las componentes del vector que son menos 3,3 y eso dividido entre la norma o módulo que nos dio 3 raíz cuadrada de 2. Tendremos entonces que u es igual a menos 3 sobre 3 raíz de 2, 3 sobre 3 raíz de 2. Sencillamente la magnitud del vector entra al vector que da como denominador de cada uno de los componentes. Simplificamos, aquí se saca tercera arriba y abajo, nos queda menos 1 sobre raíz cuadrada de 2. Lo mismo hacemos aquí y nos queda 1 sobre raíz cuadrada de 2. Este es entonces el vector unitario en la dirección del vector pq. Conociendo este vector unitario podemos proceder a encontrar lo que se llama la derivada direccional de la función f de esta función en la dirección del vector pq. Ella se representa de la siguiente manera, dqf, derivada direccional de la función f en la dirección del vector u, o sea el vector unitario que encontramos. Para ello tomamos el vector gradiente de la función evaluado en el punto p, o sea en el origen del vector pq y eso le hacemos producto punto o producto escalar con el vector unitario que encontramos. Con el vector de magnitud 1 que va en la dirección del vector indicado que es pq. Entonces vamos a reemplazar aquí los componentes de cada uno de los vectores. Para el vector gradiente nos dio 4 quintos coma menos 3 quintos y esto producto punto con el vector u que es menos 1 sobre raíz de 2 coma 1 sobre raíz de 2. Resolvemos entonces esta operación entre vectores. Recordemos que se multiplican las componentes en x entre sí, 4 quintos por menos 1 sobre raíz de 2 y a esto se le suma la multiplicación de las componentes en y entre sí, menos 3 quintos por 1 sobre raíz cuadrada de 2. Esta multiplicación nos da como resultado menos 4 sobre 5 raíz de 2 y esta otra multiplicación nos da menos 3 sobre 5 raíz de 2. Tenemos una operación con fracciones homogéneas, conservamos el mismo denominador y operamos los numeradores, menos 4 menos 3 nos da menos 7. Podemos decir que este resultado ya es la derivada direccional, pero recordemos que esto queda mejor si se racionaliza para eliminar ese radical del denominador. Para ello multiplicamos por raíz cuadrada de 2 arriba y abajo. Veamos cómo nos queda, arriba menos 7 por raíz de 2 y en la parte de abajo tenemos lo siguiente, raíz de 2 por raíz de 2, eso nos da 2, que multiplicado con 5 nos da 10. Llegamos entonces a la respuesta, la derivada direccional de la función en la dirección del vector PQ tiene este valor, menos 7 raíz de 2 sobre 10. Y de esta manera respondemos a la pregunta B de este problema y también terminamos la explicación.
[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Para esta funci\u00f3n de dos variables vamos a encontrar estas dos cosas que nos piden."}, {"start": 7.0, "end": 13.0, "text": " Primero el vector gradiente de la funci\u00f3n en el punto P que nos dan."}, {"start": 13.0, "end": 26.0, "text": " Y tambi\u00e9n vamos a calcular la derivada direccional de la misma funci\u00f3n en la direcci\u00f3n del vector que va del punto P al punto Q."}, {"start": 26.0, "end": 39.0, "text": " Comenzamos reescribiendo la funci\u00f3n. Tenemos que esto es igual a x cuadrado m\u00e1s y cuadrado y esto elevado al exponente un medio."}, {"start": 39.0, "end": 45.0, "text": " Quitamos la ra\u00edz cuadrada y la cambiamos por exponente un medio."}, {"start": 45.0, "end": 49.0, "text": " En seguida vamos a determinar las derivadas parciales."}, {"start": 49.0, "end": 60.0, "text": " Vamos entonces con fx que recordemos es lo mismo que decir la derivada parcial de f con respecto a x."}, {"start": 60.0, "end": 67.0, "text": " Recordemos que all\u00ed la otra variable es decir la y se comporta como una constante."}, {"start": 67.0, "end": 70.0, "text": " Vamos entonces a derivar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 70.0, "end": 83.0, "text": " Aplicamos la regla de la cadena para potencias. Un medio baja a multiplicar a esta expresi\u00f3n que queda igual."}, {"start": 83.0, "end": 90.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos la operaci\u00f3n un medio menos uno. Eso nos da menos un medio."}, {"start": 90.0, "end": 96.0, "text": " Y esto lo multiplicamos por la derivada interna pero con respecto a x."}, {"start": 96.0, "end": 106.0, "text": " Tenemos entonces una suma. La derivada de x al cuadrado es 2x y la derivada de y al cuadrado ser\u00eda cero."}, {"start": 106.0, "end": 112.0, "text": " Porque recordemos que en esta ocasi\u00f3n la letra y se comporta como una constante."}, {"start": 112.0, "end": 118.0, "text": " Entonces la derivada interna es simplemente 2x."}, {"start": 118.0, "end": 130.0, "text": " All\u00ed podemos simplificar estos n\u00fameros 2 y la expresi\u00f3n que nos queda se puede escribir de la siguiente manera."}, {"start": 130.0, "end": 138.0, "text": " Arriba nos queda la x y esto lo podr\u00edamos escribir ac\u00e1 abajo con exponente un medio positivo."}, {"start": 138.0, "end": 147.0, "text": " Es decir que se puede convertir nuevamente en ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 147.0, "end": 154.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x."}, {"start": 154.0, "end": 163.0, "text": " De una vez se puede evaluar esta derivada parcial en el punto p que nos da el problema."}, {"start": 163.0, "end": 171.0, "text": " Eso se escribe de esta manera. 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Tenemos este tri\u00e1ngulo que es el operador nabla que acompa\u00f1a la letra f, o sea la funci\u00f3n, y entre par\u00e9ntesis el punto p en el cual vamos a evaluar ese vector."}, {"start": 417.0, "end": 423.0, "text": " La flechita encima nos indica que se trata de un vector."}, {"start": 423.0, "end": 433.0, "text": " Este vector tiene dos componentes. La primera es la derivada parcial de la funci\u00f3n f con respecto a x evaluada en el punto p."}, {"start": 433.0, "end": 443.0, "text": " Y la segunda componente es la derivada parcial de la funci\u00f3n f con respecto a y tambi\u00e9n evaluada en el punto p."}, {"start": 443.0, "end": 450.0, "text": " Es decir, ese vector lo vamos a construir con esas dos componentes que encontramos."}, {"start": 450.0, "end": 459.0, "text": " La primera nos dio 4 quintos y la segunda nos dio menos 3 quintos."}, {"start": 459.0, "end": 467.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces el vector gradiente de la funci\u00f3n evaluada en el punto p."}, {"start": 467.0, "end": 472.0, "text": " Tambi\u00e9n se puede escribir en t\u00e9rminos de los vectores unitarios."}, {"start": 472.0, "end": 482.0, "text": " Tenemos 4 quintos en direcci\u00f3n y menos 3 quintos en direcci\u00f3n cota."}, {"start": 482.0, "end": 488.0, "text": " De esta manera respondemos a la pregunta a de este problema."}, {"start": 488.0, "end": 495.0, "text": " Tenemos el vector gradiente de la funci\u00f3n f en el punto p que nos dieron."}, {"start": 495.0, "end": 504.0, "text": " Ahora para la siguiente pregunta vamos a considerar el punto q que nos da el problema."}, {"start": 504.0, "end": 507.0, "text": " Es el punto 1,0."}, {"start": 507.0, "end": 513.0, "text": " Con esos dos puntos vamos a determinar el vector pq."}, {"start": 513.0, "end": 525.0, "text": " Porque nos piden la derivada direccional de esa funci\u00f3n en la direcci\u00f3n de ese vector que va desde el punto p hacia el punto q."}, {"start": 525.0, "end": 531.0, "text": " Determinamos entonces ese vector y para ello hacemos la resta de las coordenadas."}, {"start": 531.0, "end": 547.0, "text": " Primero el punto final, es decir las coordenadas de q que son 1,0 y eso menos las coordenadas del punto inicial que son 4,-3."}, {"start": 547.0, "end": 563.0, "text": " Se forma entonces ya el vector y hacemos la operaci\u00f3n 1,-4 que nos da menos 3 y 0,-3 es decir 0,3 que es igual a 3."}, {"start": 563.0, "end": 571.0, "text": " Este es entonces el vector pq."}, {"start": 571.0, "end": 578.0, "text": " En seguida debemos calcular la norma, magnitud o m\u00f3dulo de este vector."}, {"start": 578.0, "end": 594.0, "text": " Recordemos que eso se representa con doble barra y es igual a la ra\u00edz cuadrada de la componente en x al cuadrado m\u00e1s la componente en y al cuadrado."}, {"start": 594.0, "end": 600.0, "text": " Entonces todo eso dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 600.0, "end": 618.0, "text": " Tenemos 9 m\u00e1s 9 que nos da 18, 18 l\u00f3gicamente es 2 por 9 y de all\u00ed podemos sacar el 9 que da como 3 ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 618.0, "end": 623.0, "text": " Podemos simplificar esta ra\u00edz y nos queda como 3 ra\u00edz de 2."}, {"start": 623.0, "end": 630.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la magnitud, m\u00f3dulo o norma del vector pq."}, {"start": 630.0, "end": 643.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n vamos a determinar el vector u, es decir el vector unitario en la direcci\u00f3n del vector pq."}, {"start": 643.0, "end": 656.0, "text": " Para ello tomamos el vector que es pq y lo dividimos entre su norma o m\u00f3dulo."}, {"start": 656.0, "end": 667.0, "text": " Recordemos que esa es la manera de convertir cualquier vector en vector unitario, o sea vector con magnitud 1."}, {"start": 667.0, "end": 685.0, "text": " Tenemos entonces las componentes del vector que son menos 3,3 y eso dividido entre la norma o m\u00f3dulo que nos dio 3 ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 685.0, "end": 701.0, "text": " Tendremos entonces que u es igual a menos 3 sobre 3 ra\u00edz de 2, 3 sobre 3 ra\u00edz de 2."}, {"start": 701.0, "end": 712.0, "text": " Sencillamente la magnitud del vector entra al vector que da como denominador de cada uno de los componentes."}, {"start": 712.0, "end": 722.0, "text": " Simplificamos, aqu\u00ed se saca tercera arriba y abajo, nos queda menos 1 sobre ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 722.0, "end": 729.0, "text": " Lo mismo hacemos aqu\u00ed y nos queda 1 sobre ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 729.0, "end": 737.0, "text": " Este es entonces el vector unitario en la direcci\u00f3n del vector pq."}, {"start": 737.0, "end": 759.0, "text": " Conociendo este vector unitario podemos proceder a encontrar lo que se llama la derivada direccional de la funci\u00f3n f de esta funci\u00f3n en la direcci\u00f3n del vector pq."}, {"start": 759.0, "end": 773.0, "text": " Ella se representa de la siguiente manera, dqf, derivada direccional de la funci\u00f3n f en la direcci\u00f3n del vector u, o sea el vector unitario que encontramos."}, {"start": 773.0, "end": 793.0, "text": " Para ello tomamos el vector gradiente de la funci\u00f3n evaluado en el punto p, o sea en el origen del vector pq y eso le hacemos producto punto o producto escalar con el vector unitario que encontramos."}, {"start": 793.0, "end": 801.0, "text": " Con el vector de magnitud 1 que va en la direcci\u00f3n del vector indicado que es pq."}, {"start": 801.0, "end": 808.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar aqu\u00ed los componentes de cada uno de los vectores."}, {"start": 808.0, "end": 834.0, "text": " Para el vector gradiente nos dio 4 quintos coma menos 3 quintos y esto producto punto con el vector u que es menos 1 sobre ra\u00edz de 2 coma 1 sobre ra\u00edz de 2."}, {"start": 834.0, "end": 838.0, "text": " Resolvemos entonces esta operaci\u00f3n entre vectores."}, {"start": 838.0, "end": 856.0, "text": " Recordemos que se multiplican las componentes en x entre s\u00ed, 4 quintos por menos 1 sobre ra\u00edz de 2 y a esto se le suma la multiplicaci\u00f3n de las componentes en y entre s\u00ed,"}, {"start": 856.0, "end": 862.0, "text": " menos 3 quintos por 1 sobre ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 862.0, "end": 877.0, "text": " Esta multiplicaci\u00f3n nos da como resultado menos 4 sobre 5 ra\u00edz de 2 y esta otra multiplicaci\u00f3n nos da 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