Ejercicio 1 de ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio de Geometría que involucra ángulos en triángulos.

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 ¿Qué es la suma de los ángulos A y B? Tenemos en este caso esta figura y esta información. La suma de los ángulos A y B, la suma de sus medidas es 120 grados. Nos piden averiguar el valor del ángulo A. Para ello comenzamos por llamar este ángulo con la letra X. Y vamos a realizar lo siguiente. En B vemos que se forma un ángulo de 180 grados. La suma de estos tres ángulos, es decir, theta más X más theta, nos da 180 grados. Vemos que son ángulos consecutivos que entre sí forman lo que se llama un ángulo llano o un par lineal, es decir, 180 grados. Aquí podemos sumar theta más theta, eso nos da 2 theta. Entonces 2 theta más X es igual a 180 grados y de allí podemos despejar X. X será igual a 180 grados menos 2 theta. Pasamos este componente al otro lado con signo negativo. Entonces de esa manera vamos a cambiar X, esto que habíamos nombrado, por esto que obtuvimos. 180 grados menos 2 theta. Ahora de esta información que nos da el problema, vamos a despejar B. B será igual a 120 grados menos A. Pasamos A al lado derecho, llega entonces a restar. Ahora nos vamos a situar en el triángulo RBA. En ese triángulo, como en todos los triángulos, la suma de los tres ángulos interiores es 180 grados. Entonces comenzamos con este ángulo, el que tiene vértice en R, ese ángulo es B, más este ángulo que determinamos, el que tiene vértice en B, ese ángulo es 180 grados menos 2 theta, ángulo interior del triángulo. Y ahora este ángulo, que es 2 alpha. Entonces como decíamos, la suma de esos tres ángulos debe ser 180 grados. Ahora vemos que 180 grados está a ambos lados de la igualdad, entonces podemos cancelar esa cantidad. Es como si restamos 180 grados a ambos lados. Y también podemos sustituir B por lo que encontramos, que es 120 grados menos A. Entonces B se cambia por esto, luego tenemos menos 2 theta más 2 alpha y nos queda igual a 0. Allí podríamos dejar las letras en el lado izquierdo de la igualdad y pasamos este número al lado derecho. Este número aquí está positivo, entonces llega acá con signo negativo, llega a restar con 0 y nos da menos 120 grados. Y allí podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos 1, eso nos va a cambiar los signos a ambos lados. Aquí nos queda A positivo más 2 theta menos 2 alpha igual a 120 grados. Esa expresión la anotamos por acá y la etiquetamos como la expresión o la ecuación número 1. Ahora vamos a llamar este punto con la letra D mayúscula y vamos a situarnos en el triángulo A de C. En ese triángulo vamos a aplicar el teorema del ángulo exterior. El ángulo A es exterior a ese triángulo, vemos que el ángulo A se forma con la prolongación del lado AD. Entonces dice el teorema del ángulo exterior en un triángulo que la medida de ese ángulo, en este caso A, la medida del ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él, es decir, igual a la suma de estos dos ángulos que no hacen contacto con el ángulo A, es decir, con los que no son adyacentes a ese ángulo exterior. Entonces A será igual a alpha más beta. Repetimos aplicando el teorema del ángulo exterior en un triángulo y de allí vamos a despejar beta. Para despejar beta pasamos alpha al lado izquierdo, llegaría entonces a restar. Esta igualdad la vamos a escribir por acá, beta es igual a menos alpha y la vamos a etiquetar con el número 2. Ahora vamos a situarnos en el triángulo DDC. En ese triángulo, como dijimos ahora, la suma de los ángulos interiores es 180 grados. Los ángulos son A, luego tenemos theta y el otro ángulo es beta. Entonces la suma de esos tres ángulos debe darnos 180 grados. Y de allí vamos a despejar beta. Pasamos estas dos cantidades al lado derecho, llegarán con signo negativo. Nos queda entonces 180 grados menos A menos theta. Y esa expresión la escribimos por acá, beta es igual a 180 grados menos A menos theta. Y etiquetamos esa nueva expresión o ecuación con el número 3. Ahora lo que hacemos es una igualación con estas dos expresiones, con la número 2 y con la número 3. Vemos que en ambas está despejada la letra beta. Entonces, si igualamos la expresión 2 y la expresión 3, obtenemos lo siguiente. A menos alfa igual a 180 grados menos A menos theta. Y allí vamos a pasar todas las letras, vamos a dejarlas en el lado izquierdo. Entonces comenzamos con esas dos que quedan en su territorio y pasamos estas de acá. Llegan al lado izquierdo con signo positivo y todo esto nos queda igualado con 180 grados. Allí podemos sumar términos semejantes. A más A es 2A, nos queda 2A más theta, luego menos alfa, igual a 180 grados. Y esa expresión vamos a escribirla por acá como la número 4. Entonces tenemos 2A más theta menos alfa igual a 180 grados. Como se puede observar, las expresiones 1 y 4 tienen similitud. Aparecen las mismas tres letras que son A, theta y alfa. Entonces vamos a deshacernos de lo que es theta y alfa. Y para ello vamos a multiplicar la expresión 4 por menos 2. Entonces hacemos lo siguiente, multiplicamos por menos 2 a ambos lados de la igualdad. En el lado izquierdo menos 2 afecta a estos tres componentes. Entonces menos 2 por 2A es menos 4A. Menos 2 por más theta será menos 2 theta. Menos 2 por menos alfa será más 2 alfa. Y al otro lado de la igualdad tenemos menos 2 por 180 grados, que nos da menos 360 grados. Ahora, debajo de esto, vamos a anotar la expresión número 1. Que dice lo siguiente, A más 2 theta menos 2 alfa igual a 120 grados. Y enseguida vamos a efectuar la suma de esas dos igualdades en forma vertical. Tenemos entonces, menos 4A más A, eso nos da menos 3A. Vemos también que menos 2 theta más 2 theta, eso da cero. Entonces es allí cuando se elimina esa variable. Lo mismo sucede aquí con más 2 alfa y menos 2 alfa. Su suma da cero, entonces se elimina alfa. Y por acá tenemos menos 360 grados más 120 grados, eso nos da menos 240 grados. Y de allí podemos despejar A, que es finalmente lo que nos pide el ejercicio. Para ello, menos 3 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Como dividir ambos lados de esa igualdad por menos 3. Entonces nos queda menos 240 grados divido entre menos 3. Y efectuando esa operación nos da como resultado 80 grados positivo. Entonces de esta manera terminamos el ejercicio. Y por último, el valor del ángulo A, el que nos piden es 80 grados.
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{"start": 49.0, "end": 53.0, "text": " Aqu\u00ed podemos sumar theta m\u00e1s theta, eso nos da 2 theta."}, {"start": 53.0, "end": 60.0, "text": " Entonces 2 theta m\u00e1s X es igual a 180 grados y de all\u00ed podemos despejar X."}, {"start": 60.0, "end": 65.0, "text": " X ser\u00e1 igual a 180 grados menos 2 theta."}, {"start": 65.0, "end": 69.0, "text": " Pasamos este componente al otro lado con signo negativo."}, {"start": 69.0, "end": 77.0, "text": " Entonces de esa manera vamos a cambiar X, esto que hab\u00edamos nombrado, por esto que obtuvimos."}, {"start": 77.0, "end": 85.0, "text": " 180 grados menos 2 theta."}, {"start": 85.0, "end": 91.0, "text": " Ahora de esta informaci\u00f3n que nos da el problema, vamos a despejar B."}, {"start": 91.0, "end": 96.0, "text": " B ser\u00e1 igual a 120 grados menos A."}, {"start": 96.0, "end": 100.0, "text": " Pasamos A al lado derecho, llega entonces a restar."}, {"start": 100.0, "end": 105.0, "text": " Ahora nos vamos a situar en el tri\u00e1ngulo RBA."}, {"start": 105.0, "end": 114.0, "text": " En ese tri\u00e1ngulo, como en todos los tri\u00e1ngulos, la suma de los tres \u00e1ngulos interiores es 180 grados."}, {"start": 114.0, "end": 120.0, "text": " Entonces comenzamos con este \u00e1ngulo, el que tiene v\u00e9rtice en R, ese \u00e1ngulo es B,"}, {"start": 120.0, "end": 132.0, "text": " m\u00e1s este \u00e1ngulo que determinamos, el que tiene v\u00e9rtice en B, ese \u00e1ngulo es 180 grados menos 2 theta, \u00e1ngulo interior del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 132.0, "end": 136.0, "text": " Y ahora este \u00e1ngulo, que es 2 alpha."}, {"start": 136.0, "end": 143.0, "text": " Entonces como dec\u00edamos, la suma de esos tres \u00e1ngulos debe ser 180 grados."}, {"start": 143.0, "end": 150.0, "text": " Ahora vemos que 180 grados est\u00e1 a ambos lados de la igualdad, entonces podemos cancelar esa cantidad."}, {"start": 150.0, "end": 154.0, "text": " Es como si restamos 180 grados a ambos lados."}, {"start": 154.0, "end": 162.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos sustituir B por lo que encontramos, que es 120 grados menos A."}, {"start": 162.0, "end": 171.0, "text": " Entonces B se cambia por esto, luego tenemos menos 2 theta m\u00e1s 2 alpha y nos queda igual a 0."}, {"start": 171.0, "end": 180.0, "text": " All\u00ed podr\u00edamos dejar las letras en el lado izquierdo de la igualdad y pasamos este n\u00famero al lado derecho."}, {"start": 180.0, "end": 188.0, "text": " Este n\u00famero aqu\u00ed est\u00e1 positivo, entonces llega ac\u00e1 con signo negativo, llega a restar con 0 y nos da menos 120 grados."}, {"start": 188.0, "end": 197.0, "text": " Y all\u00ed podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos 1, eso nos va a cambiar los signos a ambos lados."}, {"start": 197.0, "end": 207.0, "text": " Aqu\u00ed nos queda A positivo m\u00e1s 2 theta menos 2 alpha igual a 120 grados."}, {"start": 207.0, "end": 216.0, "text": " Esa expresi\u00f3n la anotamos por ac\u00e1 y la etiquetamos como la expresi\u00f3n o la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 216.0, "end": 226.0, "text": " Ahora vamos a llamar este punto con la letra D may\u00fascula y vamos a situarnos en el tri\u00e1ngulo A de C."}, {"start": 226.0, "end": 232.0, "text": " En ese tri\u00e1ngulo vamos a aplicar el teorema del \u00e1ngulo exterior."}, {"start": 232.0, "end": 240.0, "text": " El \u00e1ngulo A es exterior a ese tri\u00e1ngulo, vemos que el \u00e1ngulo A se forma con la prolongaci\u00f3n del lado AD."}, {"start": 240.0, "end": 248.0, "text": " Entonces dice el teorema del \u00e1ngulo exterior en un tri\u00e1ngulo que la medida de ese \u00e1ngulo, en este caso A,"}, {"start": 248.0, "end": 254.0, "text": " la medida del \u00e1ngulo exterior es igual a la suma de los \u00e1ngulos interiores no adyacentes a \u00e9l,"}, {"start": 254.0, "end": 260.0, "text": " es decir, igual a la suma de estos dos \u00e1ngulos que no hacen contacto con el \u00e1ngulo A,"}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " es decir, con los que no son adyacentes a ese \u00e1ngulo exterior."}, {"start": 264.0, "end": 268.0, "text": " Entonces A ser\u00e1 igual a alpha m\u00e1s beta."}, {"start": 268.0, "end": 276.0, "text": " Repetimos aplicando el teorema del \u00e1ngulo exterior en un tri\u00e1ngulo y de all\u00ed vamos a despejar beta."}, {"start": 276.0, "end": 282.0, "text": " Para despejar beta pasamos alpha al lado izquierdo, llegar\u00eda entonces a restar."}, {"start": 282.0, "end": 294.0, "text": " Esta igualdad la vamos a escribir por ac\u00e1, beta es igual a menos alpha y la vamos a etiquetar con el n\u00famero 2."}, {"start": 294.0, "end": 298.0, "text": " Ahora vamos a situarnos en el tri\u00e1ngulo DDC."}, {"start": 298.0, "end": 306.0, "text": " En ese tri\u00e1ngulo, como dijimos ahora, la suma de los \u00e1ngulos interiores es 180 grados."}, {"start": 306.0, "end": 314.0, "text": " Los \u00e1ngulos son A, luego tenemos theta y el otro \u00e1ngulo es beta."}, {"start": 314.0, "end": 320.0, "text": " Entonces la suma de esos tres \u00e1ngulos debe darnos 180 grados."}, {"start": 320.0, "end": 322.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar beta."}, {"start": 322.0, "end": 327.0, "text": " Pasamos estas dos cantidades al lado derecho, llegar\u00e1n con signo negativo."}, {"start": 327.0, "end": 332.0, "text": " Nos queda entonces 180 grados menos A menos theta."}, {"start": 332.0, "end": 342.0, "text": " Y esa expresi\u00f3n la escribimos por ac\u00e1, beta es igual a 180 grados menos A menos theta."}, {"start": 342.0, "end": 349.0, "text": " Y etiquetamos esa nueva expresi\u00f3n o ecuaci\u00f3n con el n\u00famero 3."}, {"start": 349.0, "end": 355.0, "text": " Ahora lo que hacemos es una igualaci\u00f3n con estas dos expresiones, con la n\u00famero 2 y con la n\u00famero 3."}, {"start": 355.0, "end": 359.0, "text": " Vemos que en ambas est\u00e1 despejada la letra beta."}, {"start": 359.0, "end": 367.0, "text": " Entonces, si igualamos la expresi\u00f3n 2 y la expresi\u00f3n 3, obtenemos lo siguiente."}, {"start": 367.0, "end": 375.0, "text": " A menos alfa igual a 180 grados menos A menos theta."}, {"start": 375.0, "end": 380.0, "text": " Y all\u00ed vamos a pasar todas las letras, vamos a dejarlas en el lado izquierdo."}, {"start": 380.0, "end": 385.0, "text": " Entonces comenzamos con esas dos que quedan en su territorio y pasamos estas de ac\u00e1."}, {"start": 385.0, "end": 393.0, "text": " Llegan al lado izquierdo con signo positivo y todo esto nos queda igualado con 180 grados."}, {"start": 393.0, "end": 396.0, "text": " All\u00ed podemos sumar t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 396.0, "end": 407.0, "text": " A m\u00e1s A es 2A, nos queda 2A m\u00e1s theta, luego menos alfa, igual a 180 grados."}, {"start": 407.0, "end": 413.0, "text": " Y esa expresi\u00f3n vamos a escribirla por ac\u00e1 como la n\u00famero 4."}, {"start": 413.0, "end": 425.0, "text": " Entonces tenemos 2A m\u00e1s theta menos alfa igual a 180 grados."}, {"start": 425.0, "end": 430.0, "text": " Como se puede observar, las expresiones 1 y 4 tienen similitud."}, {"start": 430.0, "end": 435.0, "text": " Aparecen las mismas tres letras que son A, theta y alfa."}, {"start": 435.0, "end": 439.0, "text": " Entonces vamos a deshacernos de lo que es theta y alfa."}, {"start": 439.0, "end": 445.0, "text": " Y para ello vamos a multiplicar la expresi\u00f3n 4 por menos 2."}, {"start": 445.0, "end": 452.0, "text": " Entonces hacemos lo siguiente, multiplicamos por menos 2 a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 452.0, "end": 456.0, "text": " En el lado izquierdo menos 2 afecta a estos tres componentes."}, {"start": 456.0, "end": 461.0, "text": " Entonces menos 2 por 2A es menos 4A."}, {"start": 461.0, "end": 465.0, "text": " Menos 2 por m\u00e1s theta ser\u00e1 menos 2 theta."}, {"start": 465.0, "end": 470.0, "text": " Menos 2 por menos alfa ser\u00e1 m\u00e1s 2 alfa."}, {"start": 470.0, "end": 478.0, "text": " Y al otro lado de la igualdad tenemos menos 2 por 180 grados, que nos da menos 360 grados."}, {"start": 478.0, "end": 484.0, "text": " Ahora, debajo de esto, vamos a anotar la expresi\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 484.0, "end": 497.0, "text": " Que dice lo siguiente, A m\u00e1s 2 theta menos 2 alfa igual a 120 grados."}, {"start": 497.0, "end": 503.0, "text": " Y enseguida vamos a efectuar la suma de esas dos igualdades en forma vertical."}, {"start": 503.0, "end": 509.0, "text": " Tenemos entonces, menos 4A m\u00e1s A, eso nos da menos 3A."}, {"start": 509.0, "end": 513.0, "text": " Vemos tambi\u00e9n que menos 2 theta m\u00e1s 2 theta, eso da cero."}, {"start": 513.0, "end": 516.0, "text": " Entonces es all\u00ed cuando se elimina esa variable."}, {"start": 516.0, "end": 520.0, "text": " Lo mismo sucede aqu\u00ed con m\u00e1s 2 alfa y menos 2 alfa."}, {"start": 520.0, "end": 524.0, "text": " Su suma da cero, entonces se elimina alfa."}, {"start": 524.0, "end": 532.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos menos 360 grados m\u00e1s 120 grados, eso nos da menos 240 grados."}, {"start": 532.0, "end": 537.0, "text": " Y de all\u00ed podemos despejar A, que es finalmente lo que nos pide el ejercicio."}, {"start": 537.0, "end": 542.0, "text": " Para ello, menos 3 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 542.0, "end": 546.0, "text": " Como dividir ambos lados de esa igualdad por menos 3."}, {"start": 546.0, "end": 551.0, "text": " Entonces nos queda menos 240 grados divido entre menos 3."}, {"start": 551.0, "end": 557.0, "text": " Y efectuando esa operaci\u00f3n nos da como resultado 80 grados positivo."}, {"start": 557.0, "end": 561.0, "text": " Entonces de esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 561.0, "end": 589.0, "text": " Y por \u00faltimo, el valor del \u00e1ngulo A, el que nos piden es 80 grados."}]