HALLAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN
#julioprofe explica cómo determinar la inversa de una función.

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 Vamos a determinar la inversa de esta función. Y para empezar, debemos probar que se trata de una función inyectiva o función uno a uno. La condición para ello es la siguiente. Si f de x1 es igual a f de x2, entonces x1 tiene que ser igual a x2. Esa es la condición que debemos verificar para que una función sea inyectiva. Si logra pasar esa prueba, es decir, si esta función es inyectiva, entonces podemos encontrar su inversa. Entonces vamos a comenzar por conformar esta parte de la condición. f de x1 es tomar la función y cambiar x por x1. Nos queda entonces así. y f de x2 es tomar la función y cambiar x por x2. Tenemos entonces lo que se llama en matemáticas una proporción, que es la igualdad de dos razones. Recordemos que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Entonces vamos a aplicar esa propiedad. 2x1 más 3 por 5 menos x2 lo igualamos con 5 menos x1, que multiplica con 2x2 más 3. Hacemos propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad. Tenemos 2x1 por 5 nos da 10x1, 2x1 por menos x2 nos da menos 2x1x2, 3 por 5 nos da 15 positivo y 3 por menos x2 nos da menos 3x2. Pasamos al otro lado de la igualdad. Por acá tenemos 5 por 2x2 que nos da 10x2, 5 por 3 nos da más 15, menos x1 por 2x2 nos da menos 2x1x2 y menos x1 por 3 nos da menos 3x1. En esta igualdad podemos observar términos que se repiten a ambos lados, entonces los podemos eliminar o cancelar. Es el caso de este término, menos 2x1x2 y también el término numérico más 15, que se encuentra haciendo la misma operación a ambos lados. Vamos a continuar por aquí escribiendo los términos que nos quedaron. Entonces veamos cómo nos queda. En el lado izquierdo tenemos 10x1 menos 3x2 y en el lado derecho tenemos 10x2 menos 3x1. Podemos agrupar al lado izquierdo los términos que contienen x1 y en el lado derecho podemos dejar los términos que tienen x2. Entonces nos queda en el lado izquierdo 10x1 y pasamos ese término que está negativo al lado izquierdo positivo, llega a sumar esto igual a 10x2 más 3x2. Pasamos ese término que está restando a sumar al lado derecho. Sumamos términos semejantes, en el lado izquierdo nos da 13x1 y en el lado derecho también sumamos términos semejantes y nos da 13x2. Observamos el 13 multiplicando a ambos lados de la igualdad, lo podemos eliminar. Es como si dividiéramos entre 13 ambos lados de la igualdad. Al cancelarse el 13 llegamos a la condición que esperábamos, que es esta que tenemos aquí. Hemos probado que x1 es igual a x2. Por lo tanto esta función es inyectiva y podemos continuar con el proceso de determinar su inversa. Como paso inicial para hallar la inversa vamos a cambiar f de x por y. Recordemos que es lo mismo y vamos entonces a llamar esta función la función original f de x. Tal como viene enunciada desde el comienzo. Paso siguiente vamos a intercambiar las letras, es decir donde está la y vamos a escribir x y donde están las x vamos a escribir y. Nos queda entonces x igual a 2y más 3, todo esto sobre 5 menos y. Hemos realizado el intercambio de letras. A continuación vamos a realizar el procedimiento para despejar la letra y de esta igualdad. Esta expresión que está en el denominador o que está dividiendo en el lado derecho la podemos pasar a multiplicar al lado izquierdo. Nos queda entonces x por 5 menos y y esto igual a 2y más 3. Hacemos aquí la propiedad distributiva x por 5 nos da 5x, x por menos y nos da menos xy igual a 2y más 3. Vamos a agrupar al lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen la letra y. Tenemos menos xy menos 2y, este pasa al negativo al lado izquierdo. En el lado derecho nos queda 3 y pasamos ese término que está positivo en el lado izquierdo entonces llega negativo al lado derecho. Podríamos multiplicar toda esa igualdad por menos 1 a ambos lados para deshacernos de ese exceso de signos negativos. Entonces vamos a multiplicar por menos 1 ambos lados de la igualdad nos queda en el lado izquierdo xy más 2y y en el lado derecho nos queda menos 3 más 5x. En el lado izquierdo podemos sacar factor común la y que es factor de x más 2. Y aquí en el lado derecho podemos reescribir los términos iniciando con el término positivo. Finalmente para despejar la letra y tomamos la expresión x más 2 que se encuentra multiplicando y la pasamos a dividir al otro lado. Vamos a escribirla por aquí y es igual a 5x menos 3. Todo esto sobre x más 2. Y de esta manera hemos llegado a la función inversa que se denota como f a la menos 1 de x. Entonces la respuesta la presentamos de la siguiente manera. La pregunta dice determinar la inversa de esta función. Entonces la función inversa es f a la menos 1 de x es igual a 5x menos 3. Todo esto sobre x más 2.
[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Vamos a determinar la inversa de esta funci\u00f3n."}, {"start": 5.0, "end": 14.0, "text": " Y para empezar, debemos probar que se trata de una funci\u00f3n inyectiva o funci\u00f3n uno a uno."}, {"start": 14.0, "end": 17.0, "text": " La condici\u00f3n para ello es la siguiente."}, {"start": 17.0, "end": 32.0, "text": " Si f de x1 es igual a f de x2, entonces x1 tiene que ser igual a x2."}, {"start": 32.0, "end": 39.0, "text": " Esa es la condici\u00f3n que debemos verificar para que una funci\u00f3n sea inyectiva."}, {"start": 39.0, "end": 48.0, "text": " Si logra pasar esa prueba, es decir, si esta funci\u00f3n es inyectiva, entonces podemos encontrar su inversa."}, {"start": 48.0, "end": 54.0, "text": " Entonces vamos a comenzar por conformar esta parte de la condici\u00f3n."}, {"start": 54.0, "end": 62.0, "text": " f de x1 es tomar la funci\u00f3n y cambiar x por x1."}, {"start": 62.0, "end": 66.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 66.0, "end": 77.0, "text": " y f de x2 es tomar la funci\u00f3n y cambiar x por x2."}, {"start": 77.0, "end": 84.0, "text": " Tenemos entonces lo que se llama en matem\u00e1ticas una proporci\u00f3n, que es la igualdad de dos razones."}, {"start": 84.0, "end": 91.0, "text": " Recordemos que en toda proporci\u00f3n, el producto de extremos es igual al producto de medios."}, {"start": 91.0, "end": 96.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esa propiedad."}, {"start": 96.0, "end": 114.0, "text": " 2x1 m\u00e1s 3 por 5 menos x2 lo igualamos con 5 menos x1, que multiplica con 2x2 m\u00e1s 3."}, {"start": 114.0, "end": 118.0, "text": " Hacemos propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 118.0, "end": 140.0, "text": " Tenemos 2x1 por 5 nos da 10x1, 2x1 por menos x2 nos da menos 2x1x2, 3 por 5 nos da 15 positivo y 3 por menos x2 nos da menos 3x2."}, {"start": 140.0, "end": 151.0, "text": " Pasamos al otro lado de la igualdad. 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