TEOREMA DE LA BISECTRIZ (DEMOSTRACIÓN)
#julioprofe hace la demostración del Teorema de la Bisectriz

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 En esta ocasión vamos a ver lo que es el teorema de la bisectriz y vamos a realizar su demostración. Este teorema dice lo siguiente, la bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. Vamos a ver a continuación la demostración de este teorema. Tenemos un triángulo cualquiera ABC y en él trazamos el segmento AD que es la bisectriz de este ángulo BAC. Si es así entonces tendremos que este ángulo va a tener la misma medida que este de acá. Son ángulos congruentes porque recordemos la bisectriz de un ángulo cumple con la función de dividirlo en dos ángulos de la misma medida. Entonces como información conocida tenemos que el segmento AD es bisectriz del ángulo BAC, es lo que tenemos en este dibujo. Este segmento que trazamos divide a este ángulo que se llama BAC en dos ángulos del mismo tamaño o de la misma medida. Y vamos a demostrar lo que nos dice el teorema y es que al trazar la bisectriz de un ángulo el lado opuesto queda dividido en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. Simbólicamente eso se describe así, el segmento BD será al segmento AB como el segmento DC es al segmento AC. O sea lo que se llama una proporción, la igualdad de dos razones. Entonces esto es lo que vamos a demostrar y es lo que enuncia el teorema de la bisectriz. Para ello realizamos la siguiente construcción, por el punto B trazamos esta línea paralela al lado AC del triángulo y también extendemos el segmento AD hasta que se corte con la línea que trazamos. Vamos a retirar estos pedazos que ya no necesitamos y vamos a llamar este punto con la letra E mayúscula. Como decíamos esta línea es paralela a este lado, entonces para denotar esa condición de segmentos paralelos vamos a colocarles estas flechitas que nos indican que las dos líneas tienen la misma dirección y que son paralelas. Cuando se nos presenta el caso de dos rectas paralelas cortadas por otra recta que es secante o transversal, vamos a encontrar que este ángulo es congruente con este de acá. Se llaman ángulos alternos internos entre paralelas y tienen la misma medida. Pues bien eso está sucediendo acá. Demos que el segmento BE es paralelo con el segmento AC y el segmento AE actúa como secante o transversal. Entonces este ángulo que tenemos aquí va a ser congruente con este que estamos señalando acá por ser ángulos alternos internos entre paralelas. También podemos afirmar que este ángulo va a ser congruente con este, se llaman ángulos opuestos por el vértice y tienen la misma medida. Ahora, si consideramos el triángulo ADC y el triángulo BDE vemos que comparten los mismos ángulos. Este ángulo de color verde lo tenemos acá, también tenemos el ángulo de color rojo, por lo tanto el tercer ángulo, es decir este que estamos señalando con color azul, debe ser igual en los dos triángulos. Recordemos que eso se debe a que en todo triángulo los ángulos interiores suman 180 grados. Como tenemos que estos dos triángulos tienen exactamente los mismos ángulos, entonces podemos decir que son semejantes. Entonces, el triángulo ADC, este que tenemos acá, va a ser semejante con el triángulo BDE y eso se justifica por el postulado o por el criterio ángulo ángulo ángulo. Como decíamos, por tener los mismos ángulos, entonces esos dos triángulos son semejantes. Esa condición de semejanza nos permite también establecer una proporcionalidad entre los lados de esos triángulos. Por ejemplo, podemos decir que el lado BDE que está comprendido entre los ángulos azul y rojo en el triángulo pequeño va a ser proporcional con el lado DC, el que también está comprendido entre los ángulos del mismo color. Entonces lo escribimos acá. Y eso guarda la misma relación que por ejemplo el lado BF con el lado AC, es decir, los que están comprendidos entre los ángulos de color azul y verde en los dos triángulos. Y eso a su vez va a guardar la misma relación que el lado DEN con el lado AD, o sea, los que se encuentran comprendidos entre los ángulos de colores rojo y verde. Como se observa en la parte superior, siempre tenemos los lados de este triángulo pequeño y en la parte de abajo los lados respectivos del triángulo grande. Ahora de esta proporción que tiene tres razones, podemos considerar únicamente las dos primeras. Vamos a retirar la tercera razón y ahora vamos a mirar lo siguiente. Como podemos observar, el triángulo ABE cuenta con dos ángulos congruentes, o dos ángulos que tienen la misma medida. Entonces podemos asegurar que ese triángulo ABE es isósceles porque tiene dos ángulos iguales. Y consecuencia de ello es que va a tener dos lados iguales. En este caso el lado AB va a ser igual al lado BE, es decir, los lados distintos a la base, siendo en este caso la base el lado AE, o sea, el que contiene los dos ángulos de la misma medida. Haciendo uso de esta igualdad que acabamos de demostrar, podemos cambiar aquí el segmento BE por su equivalente que es AB. Entonces hacemos ese cambio en esta proporción. Ahora bien, recordando los elementos de una proporción, tenemos que estos dos se llaman extremos y que estos dos se llaman medios. Y dice una propiedad de las proporciones que los medios son intercambiables, o sea que podemos hacer esto. Esto nos va a llevar a lo siguiente. BD sobre AB será igual a DC sobre AC. De esa manera llegamos a lo que queríamos demostrar, esto que tenemos acá, y es lo que nos anuncia el Teorema de la Bicentris.
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\u00e1ngulos congruentes porque recordemos la bisectriz de un \u00e1ngulo cumple con la funci\u00f3n"}, {"start": 59.120000000000005, "end": 64.16, "text": " de dividirlo en dos \u00e1ngulos de la misma medida."}, {"start": 64.16, "end": 70.08, "text": " Entonces como informaci\u00f3n conocida tenemos que el segmento AD es bisectriz del \u00e1ngulo"}, {"start": 70.08, "end": 73.72, "text": " BAC, es lo que tenemos en este dibujo."}, {"start": 73.72, "end": 80.56, "text": " Este segmento que trazamos divide a este \u00e1ngulo que se llama BAC en dos \u00e1ngulos del mismo"}, {"start": 80.56, "end": 83.64, "text": " tama\u00f1o o de la misma medida."}, {"start": 83.64, "end": 93.66, "text": " Y vamos a demostrar lo que nos dice el teorema y es que al trazar la bisectriz de un \u00e1ngulo"}, {"start": 93.66, "end": 101.56, "text": " el lado opuesto queda dividido en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados"}, {"start": 101.56, "end": 102.80000000000001, "text": " del 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a llamar este punto con la letra E"}, {"start": 162.76, "end": 164.76, "text": " may\u00fascula."}, {"start": 164.76, "end": 173.0, "text": " Como dec\u00edamos esta l\u00ednea es paralela a este lado, entonces para denotar esa condici\u00f3n"}, {"start": 173.0, "end": 180.8, "text": " de segmentos paralelos vamos a colocarles estas flechitas que nos indican que las dos"}, {"start": 180.8, "end": 185.68, "text": " l\u00edneas tienen la misma direcci\u00f3n y que son paralelas."}, {"start": 185.68, "end": 192.36, "text": " Cuando se nos presenta el caso de dos rectas paralelas cortadas por otra recta que es secante"}, {"start": 192.36, "end": 199.64000000000001, "text": " o transversal, vamos a encontrar que este \u00e1ngulo es congruente con este de ac\u00e1."}, {"start": 199.64000000000001, "end": 206.32000000000002, "text": " Se llaman \u00e1ngulos alternos internos entre paralelas y tienen la misma medida."}, {"start": 206.32000000000002, "end": 209.12, "text": " Pues bien eso est\u00e1 sucediendo ac\u00e1."}, {"start": 209.12, "end": 217.76, "text": " Demos que el segmento BE es paralelo con el segmento AC y el segmento AE act\u00faa como secante"}, {"start": 217.76, "end": 219.68, "text": " o transversal."}, {"start": 219.68, "end": 225.68, "text": " Entonces este \u00e1ngulo que tenemos aqu\u00ed va a ser congruente con este que estamos se\u00f1alando"}, {"start": 225.68, "end": 231.68, "text": " ac\u00e1 por ser \u00e1ngulos alternos internos entre paralelas."}, {"start": 231.68, "end": 239.72, "text": " Tambi\u00e9n podemos afirmar que este \u00e1ngulo va a ser congruente con este, se llaman \u00e1ngulos"}, {"start": 239.72, "end": 244.28, "text": " opuestos por el v\u00e9rtice y tienen la misma medida."}, {"start": 244.28, "end": 253.0, "text": " Ahora, si consideramos el tri\u00e1ngulo ADC y el tri\u00e1ngulo BDE vemos que comparten los"}, {"start": 253.0, "end": 254.56, "text": " mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 254.56, "end": 260.28000000000003, "text": " Este \u00e1ngulo de color verde lo tenemos ac\u00e1, tambi\u00e9n tenemos el \u00e1ngulo de color rojo,"}, {"start": 260.28, "end": 266.71999999999997, "text": " por lo tanto el tercer \u00e1ngulo, es decir este que estamos se\u00f1alando con color azul, debe"}, {"start": 266.71999999999997, "end": 269.79999999999995, "text": " ser igual en los dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 269.79999999999995, "end": 278.35999999999996, "text": " Recordemos que eso se debe a que en todo tri\u00e1ngulo los \u00e1ngulos interiores suman 180 grados."}, {"start": 278.35999999999996, "end": 284.85999999999996, "text": " Como tenemos que estos dos tri\u00e1ngulos tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos, entonces"}, {"start": 284.85999999999996, "end": 287.79999999999995, "text": " podemos decir que son semejantes."}, {"start": 287.8, "end": 295.88, "text": " Entonces, el tri\u00e1ngulo ADC, este que tenemos ac\u00e1, va a ser semejante con el tri\u00e1ngulo"}, {"start": 295.88, "end": 307.64, "text": " BDE y eso se justifica por el postulado o por el criterio \u00e1ngulo \u00e1ngulo \u00e1ngulo."}, {"start": 307.64, "end": 316.12, "text": " Como dec\u00edamos, por tener los mismos \u00e1ngulos, entonces esos dos tri\u00e1ngulos son semejantes."}, {"start": 316.12, "end": 323.72, "text": " Esa condici\u00f3n de semejanza nos permite tambi\u00e9n establecer una proporcionalidad entre los"}, {"start": 323.72, "end": 325.96, "text": " lados de esos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 325.96, "end": 333.6, "text": " Por ejemplo, podemos decir que el lado BDE que est\u00e1 comprendido entre los \u00e1ngulos azul"}, {"start": 333.6, "end": 340.16, "text": " y rojo en el tri\u00e1ngulo peque\u00f1o va a ser proporcional con el lado DC, el que tambi\u00e9n"}, {"start": 340.16, "end": 344.84000000000003, "text": " est\u00e1 comprendido entre los \u00e1ngulos del mismo color."}, {"start": 344.84, "end": 346.64, "text": " Entonces lo escribimos ac\u00e1."}, {"start": 346.64, "end": 357.44, "text": " Y eso guarda la misma relaci\u00f3n que por ejemplo el lado BF con el lado AC, es decir, los que"}, {"start": 357.44, "end": 364.15999999999997, "text": " est\u00e1n comprendidos entre los \u00e1ngulos de color azul y verde en los dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 364.16, "end": 376.56, "text": " Y eso a su vez va a guardar la misma relaci\u00f3n que el lado DEN con el lado AD, o sea, los"}, {"start": 376.56, "end": 382.64000000000004, "text": " que se encuentran comprendidos entre los \u00e1ngulos de colores rojo y verde."}, {"start": 382.64000000000004, "end": 388.6, "text": " Como se observa en la parte superior, siempre tenemos los lados de este tri\u00e1ngulo peque\u00f1o"}, {"start": 388.6, "end": 394.52000000000004, "text": " y en la parte de abajo los lados respectivos del tri\u00e1ngulo grande."}, {"start": 394.52000000000004, "end": 402.6, "text": " Ahora de esta proporci\u00f3n que tiene tres razones, podemos considerar \u00fanicamente las dos primeras."}, {"start": 402.6, "end": 409.16, "text": " Vamos a retirar la tercera raz\u00f3n y ahora vamos a mirar lo siguiente."}, {"start": 409.16, "end": 416.64000000000004, "text": " Como podemos observar, el tri\u00e1ngulo ABE cuenta con dos \u00e1ngulos congruentes, o dos \u00e1ngulos"}, {"start": 416.64, "end": 418.76, "text": " que tienen la misma medida."}, {"start": 418.76, "end": 430.68, "text": " Entonces podemos asegurar que ese tri\u00e1ngulo ABE es is\u00f3sceles porque tiene dos \u00e1ngulos"}, {"start": 430.68, "end": 431.8, "text": " iguales."}, {"start": 431.8, "end": 437.56, "text": " Y consecuencia de ello es que va a tener dos lados iguales."}, {"start": 437.56, "end": 448.88, "text": " En este caso el lado AB va a ser igual al lado BE, es decir, los lados distintos a la"}, {"start": 448.88, "end": 456.96, "text": " base, siendo en este caso la base el lado AE, o sea, el que contiene los dos \u00e1ngulos"}, {"start": 456.96, "end": 459.2, "text": " de la misma medida."}, {"start": 459.2, "end": 466.2, "text": " Haciendo uso de esta igualdad que acabamos de demostrar, podemos cambiar aqu\u00ed el segmento"}, {"start": 466.2, "end": 470.64, "text": " BE por su equivalente que es AB."}, {"start": 470.64, "end": 476.52, "text": " Entonces hacemos ese cambio en esta proporci\u00f3n."}, {"start": 476.52, "end": 482.26, "text": " Ahora bien, recordando los elementos de una proporci\u00f3n, tenemos que estos dos se llaman"}, {"start": 482.26, "end": 485.68, "text": " extremos y que estos dos se llaman medios."}, {"start": 485.68, "end": 492.44, "text": " Y dice una propiedad de las proporciones que los medios son intercambiables, o sea que"}, {"start": 492.44, "end": 495.71999999999997, "text": " podemos hacer esto."}, {"start": 495.72, "end": 498.96000000000004, "text": " Esto nos va a llevar a lo siguiente."}, {"start": 498.96000000000004, "end": 509.48, "text": " BD sobre AB ser\u00e1 igual a DC sobre AC."}, {"start": 509.48, "end": 515.8000000000001, 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