INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 1
#julioprofe explica paso a paso cómo resolver una integral definida.

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 Vamos a resolver paso a paso esta integral definida. Se lee la integral que va desde menos 3 hasta 2 de la función x al cuadrado con su respectivo diferencial dx. Para comenzar debemos encontrar la antiderivada dx al cuadrado y para ello utilizamos la siguiente regla o propiedad básica de la integración. La integral de x a la n con su diferencial dx es igual a x a la n más 1 y todo esto sobre n más 1 y a su vez a eso se le debe agregar la constante de integración. Recordemos que esta propiedad es para las integrales indefinidas. Aquí tenemos una restricción y es que n no puede tomar el valor menos 1. Esto porque acá nos daría 0 y toda fracción con denominador 0 no existe. Entonces aplicando esta propiedad obtenemos la integral de x al cuadrado. Tendremos x a la 2 más 1, en este caso 2 es n, 2 más 1 nos da 3 y esto nos queda sobre 3. Acérvese que este exponente es el mismo número que debemos escribir en el denominador y trazamos esta línea que nos permite localizar los límites de integración, el inferior que es menos 3 y el superior que es 2. Como estamos resolviendo una integral definida no escribimos la constante de integración. Ahora vamos a utilizar lo que se llama el teorema fundamental del cálculo. Nos dice que la integral desde a hasta b de una función f minúscula de x con su diferencial de x será igual a la antiderivada de esa función f minúscula que la vamos a llamar f minúscula de x evaluada en los límites de integración que son a y b, a es el inferior y b es el superior. Y lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo es que primero tenemos que evaluar este límite en la antiderivada, o sea f minúscula de b y a esto tenemos que restarle la evaluación del límite inferior también en la antiderivada, es decir f minúscula de a. Entonces en este caso esta expresión actúa como f minúscula de x, es la antiderivada de x al cuadrado. Vamos a hacer a continuación esto, es decir vamos a evaluar esta expresión en el límite superior. Tendríamos 2 al cubo sobre 3, como se observa 2 ocupa el lugar de la x y a esto tenemos que restarle la misma expresión evaluada en menos 3, o sea en el límite inferior. Abrimos paréntesis, escribimos menos 3 en lugar de la x y de esa manera ya hemos aplicado esto que es el teorema fundamental del cálculo. Lo que tenemos que hacer ahora con bastante cuidado es resolver estas operaciones que son de aritmética. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y comenzamos resolviendo las potencias. 2 al cubo nos da 8, nos queda 8 tercios y acá tenemos menos, menos 3 al cubo que nos da menos 27, recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar nos da como resultado un número negativo y nos queda sobre 3. Ahora aquí tenemos 2 signos negativos que son vecinos, entonces esto nos queda 8 tercios, menos por menos nos da más y nos queda aquí la fracción 27 tercios. Este menos vuelve negativa toda esta fracción y al interactuar con este menos es por eso que nos da más. Y aquí tenemos la suma de dos fracciones del mismo denominador, fracciones homogéneas. En ese caso conservamos el denominador y vamos a efectuar la suma de los numeradores. Vemos esa operación 8 más 27 que nos da 35 y esto nos queda sobre 3. Revisamos si esa fracción se puede simplificar, vemos que no es posible, es una fracción irreducible y de esa manera terminamos el ejercicio. Este es el valor de esa integral definida.
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