DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 10
#julioprofe explica cómo hallar las primeras derivadas parciales de una función que depende de tres variables.

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 Para esta función que depende de tres variables, vamos a determinar sus primeras derivadas parciales. Comenzamos reescribiendo este cociente z sobre x, entonces nos queda z por x a la menos 1. Entonces vamos a comenzar obteniendo f sub x, es decir, la derivada parcial de f con respecto a la variable x. En ese caso recordemos que las variables y y z se comportan como constantes. Entonces si revisamos esta expresión vemos que la x o sea la variable se encuentra en el exponente. Tenemos entonces allí el caso de una función exponencial. Para ello vamos a recordar cómo se deriva ese tipo de funciones, a elevada a la manzanita, a es una constante y la manzanita contiene la variable. La derivada de esta función exponencial es a a la manzanita por el logaritmo natural de a por la derivada de la manzanita. Es la regla de la cadena para una función exponencial. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar esto. Tendríamos entonces a la manzanita, o sea la misma expresión y elevada al producto z por x a la menos 1, esto por el logaritmo natural de a, o sea logaritmo natural de la base, que es y, que recordemos es constante, y esto por la derivada de la manzanita, es decir, por la derivada con respecto a x de esto que tenemos en el exponente, es decir, de z x a la menos 1, que es lo que actúa como la manzanita. Nos concentramos ahora en el desarrollo de esta derivada parcial, esto vamos a dejarlo igual, solamente cambiamos aquí z por x a la menos 1 como z sobre x, es decir, como el cosiente que aparece originalmente, esto por logaritmo natural de y, y esto por la derivada con respecto a x de esta expresión, recordemos que z es constante, entonces aquí baja el exponente menos 1, baja a multiplicar con z, nos queda menos z por x a la menos 1 menos 1, que es menos 2, protegemos entonces esa cantidad que es negativa. Ahora lo que hacemos es organizar esta expresión para que no nos quede con exponente negativo, entonces la derivada parcial de f con respecto a x será igual a lo siguiente, comenzamos asegurando el signo menos, ese signo negativo, y vamos a armar una fracción, porque x a la menos 2 se ubica ahora en el denominador como x al cuadrado, en el numerador tendremos lo siguiente, comenzamos por z que multiplica con esta expresión y a la z sobre x, y eso multiplicado por el logaritmo natural de y, allí tenemos entonces la primera respuesta, es la derivada parcial de la función con respecto a la variable x, seguimos con la derivada parcial de la función con respecto a la variable y, f sub y que también se puede expresar de esta manera, en ese caso x y z se comportan como constantes, entonces si revisamos esta expresión vemos que la variable y está en la base, entonces vamos a utilizar este modelo, la derivada de manzanita a la n, la regla de la cadena para potencias, allí baja el exponente n por la manzanita que queda intacta elevada al exponente n menos 1 y eso multiplicado por la derivada interna o la derivada de la manzanita, en este caso la manzanita está representada por y, y n está representada por zx a la menos 1, vamos entonces a derivar siguiendo este modelo, tenemos entonces n, es decir z por x a la menos 1 que multiplica a la manzanita que es y elevada al exponente n menos 1, es decir zx a la menos 1, todo esto menos 1 y eso multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la base, en este caso sería la derivada de y con respecto a ella misma, esa derivada nos da 1. Ahora vamos a reescribir esta expresión de una forma más simple y sin que quede con exponentes negativos, entonces la derivada parcial de f con respecto a y será igual a lo siguiente, otra vez tendremos una fracción porque x a la menos 1 se sitúa en el denominador como x, arriba nos queda z por 1 que sería z y que multiplica a esta expresión y a la z por x a la menos 1 que es z sobre x y eso menos 1, esa resta la podemos dejar así expresada. Entonces aquí tenemos la derivada parcial de la función con respecto a la variable y. Finalmente vamos a determinar la derivada parcial de la función con respecto a z que también se puede escribir de esta manera, entonces en este caso x y se comportan como constantes, si realizamos esta expresión vemos que la variable z está otra vez en el exponente, tendríamos allí una función exponencial, otra vez vamos a utilizar este modelo, la derivada de a a la manzanita que es ella misma a la manzanita por logaritmo natural de a por la derivada de la manzanita. Entonces siguiendo este modelo derivamos parcialmente esta expresión con respecto a z, comenzamos con a a la manzanita, o sea esto mismo y elevada al exponente z por x a la menos 1, esto por logaritmo natural de a, es decir logaritmo natural de y que es la base y esto por la derivada de la manzanita, o sea la derivada parcial con respecto a z de la manzanita que es z por x a la menos 1. Nos concentramos ahora en resolver esta derivada, todo lo demás permanece igual, bueno aunque aquí podemos cambiar z por x a la menos 1 por la fracción z sobre x, esto por logaritmo natural de y y vamos con esta derivada, como vamos a derivar esto con respecto a z vemos que z está acompañado de un componente de x a la menos 1 que es constante, recordemos que cuando se deriva una constante por una variable, por ejemplo en este caso k por z, si derivamos esto con respecto a z entonces nos da k, en este caso la constante que acompaña a la variable, es decir x a la menos 1. Finalizamos entonces acomodando esta expresión para que no nos quede con exponente negativo, decimos que la derivada parcial de la función con respecto a z es igual a lo siguiente, armamos una fracción donde en el denominador nos queda x, x a la menos 1 se traslada al denominador como x a la 1 o simplemente de x y en el numerador nos quedan estos dos componentes, y elevada al cosiente z sobre x por logaritmo natural de y, de esta manera hemos obtenido la derivada parcial de la función con respecto a la variable z. De esta manera terminamos este ejercicio, hemos obtenido las primeras derivadas parciales para esa función que depende de tres variables.
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