EC. DIF. POR VARIABLES SEPARABLES - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación diferencial con condición inicial, por el método de separación de variables.

Tema: #EcuacionesDiferenciales → 
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 Vamos a resolver esta ecuación diferencial que tiene condición inicial. Comenzamos por reescribir el lado derecho de la ecuación y vamos a utilizar esta propiedad de la potenciación. Si tenemos producto de potencias de la misma base, conservamos la base y sumamos los exponentes. Esta situación es la que tenemos aquí. Por lo tanto, podemos escribir eso como un producto de potencias con la misma base. Nos queda entonces de y de x igual a e a la 2x por e elevado a la 3y. A continuación, podemos agrupar a un lado todo lo que tenga la letra y y al otro lado todo lo que tenga la letra x. Este componente que está multiplicando lo pasamos a dividir y de x que está dividiendo lo pasamos a multiplicar. Es como si hiciéramos un intercambio entre estos dos componentes. Tendremos entonces de y sobre e a la 3y igual a e a la 2x por de x. De esa manera, hemos realizado lo que se llama la separación de variables. De tal forma que en un lado quede todo lo que tenga la letra y y en el otro lado nos quede todo lo que tenga la letra x. Ahora vamos a subir esta potencia. Nos queda entonces e a la 3y por dy y al otro lado dejamos tal como está. Y podemos proceder a integrar. Entonces escribimos el símbolo de la integral a ambos lados de la igualdad. Para resolver cada una de estas integrales, podemos utilizar el siguiente modelo. Si tenemos la integral de e a la k por u con el respectivo diferencial de u, en este caso k es cualquier número real, esto nos da como resultado 1 sobre k por e a la k por u más la constante de integración. Es una fórmula que ya está establecida y que se puede demostrar por el método de sustitución, cambiando este componente por otra letra. Entonces con base en ese modelo realizamos las dos integrales. Tendremos entonces para esta integral que la respuesta es 1 sobre menos 3, en este caso k es menos 3, entonces aplicamos esto por e a la menos 3y y al otro lado tendremos 1 sobre 2 por e a la 2x y escribimos la constante de integración una sola al lado derecho de la igualdad. Podemos decir que esta expresión ya constituye la solución general de la ecuación diferencial, pero podemos mejorar la presentación deshaciéndonos de estas fracciones. Para ello multiplicamos ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo de 3 y 2, que es 6. Entonces tenemos 6 por menos 1 tercio nos da menos 2, que acompaña a e a la menos 3y. Al otro lado tenemos 6 por 1 medio que nos da 3 por e a la 2x más 6 por c que puede escribirse como una nueva constante c. De esta manera tenemos la solución general de la ecuación diferencial y ya no tiene coeficientes fraccionarios sino coeficientes enteros, mucho más fácil de trabajar. A continuación vamos a utilizar la condición inicial que nos da el ejercicio. Esto significa que cuando x toma el valor 0 entonces y también vale 0. Vamos a reemplazar eso aquí en la solución general con el objetivo de encontrar el valor de la constante c. Tenemos entonces menos 2 por e a la menos 3 por 0 que será 0 igual a 3 por e elevado a la 2 por 0 que nos da 0 y eso más c. Recordemos que e a la 0 equivale a 1, por lo tanto esto nos da menos 2 igual a 3 más c. De allí despejamos c. 3 está sumando pasa al otro lado a restar y esto nos da menos 5 igual a c. Por lo tanto aquí podemos cambiar el valor c por menos 5 y de esa manera tenemos ya lo que se llama la solución particular de la ecuación diferencial. Ahora vamos a realizar el procedimiento para dar esta solución particular de la forma y de x. Es decir, vamos a despejar y en términos de x. Primero vamos a despejar esta potencia e a la menos 3y y para eso pasamos menos 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Entonces tendremos 3 por e a la 2x menos 5 y todo eso dividido entre menos 2. Recordemos que si el número está multiplicando y pasa a dividir conserva su signo. Ahora podemos multiplicar en el lado derecho el numerador y el denominador por menos 1. Esto con el objetivo de deshacernos de este denominador negativo. Entonces en el numerador multiplicando por menos 1 tendremos que este término queda negativo y este queda positivo. Entonces comenzamos escribiendo el término positivo, después el que queda negativo y abajo nos queda 2 positivo. Ahora vamos a tomar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad. Entonces agrupamos con paréntesis lo que tenemos en el lado derecho. Todo esto sobre 2 y aquí aplicamos la siguiente propiedad. Si tenemos logaritmo natural de e elevado a cualquier cantidad a, entonces eso equivale a esa misma cantidad a. Luego en este caso tendremos eso igual a menos 3y apoyándonos en esa propiedad. Esto igual al logaritmo natural de la expresión del lado derecho. Por último despejamos y, pasamos menos 3 que está multiplicando al otro lado a dividir. Puede escribirse entonces de la siguiente manera, menos 1 tercio que multiplica al logaritmo natural de todo esto dentro del paréntesis. Y de esta manera tenemos la solución particular de la ecuación diferencial escrita en la forma explícita. Es decir, teniendo y en función o en términos de x. De esta manera terminamos este ejercicio.
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el objetivo de encontrar el valor de la constante c."}, {"start": 314.0, "end": 322.0, "text": " Tenemos entonces menos 2 por e a la menos 3 por 0 que ser\u00e1 0"}, {"start": 322.0, "end": 336.0, "text": " igual a 3 por e elevado a la 2 por 0 que nos da 0 y eso m\u00e1s c."}, {"start": 336.0, "end": 349.0, "text": " Recordemos que e a la 0 equivale a 1, por lo tanto esto nos da menos 2 igual a 3 m\u00e1s c."}, {"start": 349.0, "end": 362.0, "text": " De all\u00ed despejamos c. 3 est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y esto nos da menos 5 igual a c."}, {"start": 362.0, "end": 370.0, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed podemos cambiar el valor c por menos 5"}, {"start": 370.0, "end": 384.0, "text": " y de esa manera tenemos ya lo que se llama la soluci\u00f3n particular de la ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 384.0, "end": 393.0, "text": " Ahora vamos a realizar el procedimiento para dar esta soluci\u00f3n particular de la forma y de x."}, {"start": 393.0, "end": 399.0, "text": " Es decir, vamos a despejar y en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 399.0, "end": 407.0, "text": " Primero vamos a despejar esta potencia e a la menos 3y"}, {"start": 407.0, "end": 414.0, "text": " y para eso pasamos menos 2 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 414.0, "end": 422.0, "text": " Entonces tendremos 3 por e a la 2x menos 5 y todo eso dividido entre menos 2."}, {"start": 422.0, "end": 430.0, "text": " Recordemos que si el n\u00famero est\u00e1 multiplicando y pasa a dividir conserva su signo."}, {"start": 430.0, "end": 438.0, "text": " Ahora podemos multiplicar en el lado derecho el numerador y el denominador por menos 1."}, {"start": 438.0, "end": 445.0, "text": " Esto con el objetivo de deshacernos de este denominador negativo."}, {"start": 445.0, "end": 454.0, "text": " Entonces en el numerador multiplicando por menos 1 tendremos que este t\u00e9rmino queda negativo y este queda positivo."}, {"start": 454.0, "end": 466.0, "text": " 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dividir."}, {"start": 533.0, "end": 554.0, "text": " Puede escribirse entonces de la siguiente manera, menos 1 tercio que multiplica al logaritmo natural de todo esto dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 554.0, "end": 570.0, "text": " Y de esta manera tenemos la soluci\u00f3n particular de la ecuaci\u00f3n diferencial escrita en la forma expl\u00edcita."}, {"start": 570.0, "end": 579.0, "text": " Es decir, teniendo y en funci\u00f3n o en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 579.0, "end": 584.0, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]