SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 3x3, usando el Método de Reducción o Eliminación y después el Método de Sustitución.

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 TENEMOS EN ESTE CASO UN SISTEMA DE EQUACIONES LINEALES DE 3x3, 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que son las letras M, N y P. Comenzamos por numerar las ecuaciones y vamos a utilizar el método de eliminación o reducción. Vamos a deshacernos de una de esas letras para llevar el sistema a uno de 2x2. Podemos elegir las ecuaciones 2 y 3 para deshacernos de la letra P. Vemos que aquí P tiene coeficiente menos 6. Necesitamos que acá tenga coeficiente 6. Entonces para ello multiplicamos la ecuación 2x6. Multiplicamos por 6 a ambos lados de la igualdad. 6xP nos da 6P, 6x-7N nos da-42N y al otro lado del signo igual tenemos 6x4 que nos da 24. La ecuación 3 la escribimos acá debajo. Esa no sufre ningún cambio. Entonces tenemos M-6P y todo eso igual a 1. Ahora sumamos esas dos expresiones en forma vertical. Lo que se nota allí es que 6P se elimina con menos 6P. Esa suma nos da cero. Es allí cuando ocurre la reducción o eliminación de esa incógnita. Nos queda entonces M-42N y al otro lado del signo igual sumamos estos números. Eso nos da 25. Esa ecuación que es nueva la escribimos por acá. M-42N igual a 25. Y la vamos a etiquetar como la ecuación número 4. Podríamos volver a utilizar el método de eliminación o reducción trabajando la ecuación 4 con la ecuación 1 que tienen las incógnitas M y N. Pero vamos a cambiar de método. Vamos a utilizar el método de sustitución. Para ello despejamos de aquí una incógnita que esté fácil. En este caso la letra M. Entonces para despejar M pasamos este término al otro lado. Nos queda 25 más 42N. Y esta nueva expresión la etiquetamos como la expresión o ecuación número 5. Ahora vamos a realizar la sustitución de 5 en 1. Entonces la expresión 5 va a entrar en la expresión 1. Allí hacemos la sustitución. Tenemos entonces lo siguiente. 3M. Entonces 3 por lo que equivale M que es 25 más 42N. Todo eso más 2N igual a 11. Y vamos a resolver esta ecuación que ahora solamente contiene la incógnita N. Rompemos este paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Tenemos 3 por 25 que nos da 75. 3 por más 42N. Eso nos da más 126N. Todo esto más 2N igualado con 11. Y vamos a realizar la transposición de términos. Dejamos en el lado izquierdo los términos que contienen la N. Y en el lado derecho los números. Se queda 11. Y pasamos este número. Llega al otro lado a restar. Efectuamos acá. Esto nos da 128N. Suma de términos semejantes. Y acá 11 menos 75 nos da menos 64. De allí podemos hacer el despeje de la incógnita N. Para ello pasamos 128 que está multiplicando al otro lado a dividir. O es como dividir ambos lados de la igualdad por 128. Nos queda menos 64 dividido entre 128. Y vamos a simplificar al máximo esa fracción. Esto nos va a quedar con signo de 12. Podríamos sacar por ejemplo mitad de 64 nos da 32. Y mitad de 128 nos da 64. Y vemos que 32 es la mitad de 64. Entonces allí podemos dividir arriba y abajo por 32. 32A de 32 nos da 1. 32A de 64 nos da 2. Entonces el resultado para N será menos un medio. Anotamos ese resultado por acá. Y podemos aprovechar la expresión 5. Donde la letra M está despejada. Solamente necesitamos ingresar aquí el valor que encontramos para N. Entonces aquí en esta expresión tenemos M igual a 25 más 42 por el valor de N que es menos un medio. Y resolvemos esas operaciones. Tenemos M igual a 25. Aquí tenemos más por menos nos da menos. 42 por un medio será 42 medios. Es decir la mitad de 42 que es 21. Y efectuando esa operación nos da 4. Ese será el valor de la incógnita M. Anotamos ese resultado por acá. Y nos queda por averiguar el valor de P. Para ello podemos utilizar bien sea la ecuación 2 o la ecuación 3. La que nos parezca más fácil. Entonces vamos a la ecuación 2. Allí vamos a reemplazar el valor de N. Y de esa manera averiguamos P. Nos queda P menos 7 por N. 7 por menos un medio. El valor de N. Y todo esto igual a 4. Resolvemos ahora esa ecuación. Nos queda P aquí menos por menos nos da más. 7 por un medio es 7 medios. Esto igual a 4. Y allí despejamos P. Pasamos 7 medios al otro lado. Nos queda 4 menos 7 medios. Podemos cambiar el 4 por 8 medios. Para que tengamos una resta de fracciones homogéneas. Fracciones con el mismo denominador. Entonces P será igual a lo siguiente. Conservamos el denominador que es 2. Y efectuamos la resta de numeradores. 8 menos 7 nos da 1. De esta manera ya tenemos los valores de las incógnitas. En este sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Comenzamos con el valor de M que es 4. Luego el valor de N que es menos un medio. Y después el valor de P que nos dio un medio. Respetamos el orden alfabético. M, N y P. De esta manera conformamos la terna que constituye la solución para ese sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Y así terminamos. Es un sistema con solución única.
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