INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 9
#julioprofe explica cómo integrar una función por el Método de Sustitución o Cambio de Variable.

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 Vamos a resolver esta integral, como no se puede hacer en forma directa, vamos a recurrir al método de sustitución, también conocido como cambio de variable. En esta ocasión vamos a tomar como P, por ejemplo elegimos la letra P a lo que es logaritmo natural de X, esa será la expresión que vamos a sustituir por la nueva letra. Y entonces vamos a derivar esto, vamos a derivar P con respecto a X, la derivada de logaritmo natural de X es igual a 1 sobre X, y de aquí vamos a despejar de X, entonces podemos hacer producto en cruz. De X por 1 es de X igual a X por DP, entonces tenemos que de X equivale a X por DP. Vamos a notar estas dos expresiones, por acá P es igual a logaritmo natural de X, y de X es igual a X por DP, y vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva letra, es decir en términos de P. Nos queda entonces así, la integral de logaritmo natural de X tenemos que se convierte en P, esta X la dejamos quieta y esto multiplicado por DX, pero DX equivale a X por DP. Y aquí podemos observar que la letra X se cancela, cancelamos la X por lo tanto nos queda la integral de P multiplicado por su respectivo diferencial de P, y esta es una integral básica. Esta integral nos da P al cuadrado sobre 2, recordemos que esta P tiene exponente 1, por lo tanto lo que hacemos es sumarle 1 y nos queda P al cuadrado sobre 2, y todo esto más la constante de integración. Finalmente cambiamos P por su equivalente, porque tenemos que regresar a la letra original del ejercicio, que es la letra X. Entonces nos queda logaritmo natural de X elevado al cuadrado, todo esto sobre 2 más la constante de integración, esta sería entonces la respuesta a esta integral propuesta.
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