RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación.

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 Vamos a racionalizar esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener una expresión equivalente libre de radicales en el denominador. Vamos a efectuar este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por escribir nuevamente el ejercicio. En el numerador tenemos raíz cuadrada de 13, esto menos la raíz cuadrada de 11 y en el denominador tenemos esas mismas dos cantidades pero sumando raíz cuadrada de 13 más raíz cuadrada de 11. Y vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugación, es decir, vamos a multiplicar por una fracción que equivale a la unidad, o sea, a1 y que se compone de lo que es el conjugado de esto que tenemos en el denominador. Vamos a recordar ese concepto, el conjugado de dos elementos que están sumando como en este caso el conjugado de a más b será a menos b y viceversa, el conjugado de a menos b será a más b. El objetivo de la conjugación es aplicar el producto notable llamado suma por diferencia y que nos produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces el conjugado de raíz cuadrada de 13 más raíz cuadrada de 11 será raíz cuadrada de 13 menos raíz cuadrada de 11. Como se observa únicamente cambia el signo de la mitad tal como se aprecia en este modelo. Aquí tenemos suma, eso va multiplicado por la diferencia para generar la diferencia de cuadrados perfectos. Y esto que escribimos en el denominador debemos repetirlo en el numerador porque como decíamos esta fracción debe ser equivalente a 1, para ello tanto el numerador como el denominador deben ser iguales. Ahora vamos a resolver esta multiplicación de fracciones, recordemos que eso se hace de manera horizontal, es decir multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para el caso de los numeradores, allí tenemos la multiplicación de la misma expresión, entonces podemos escribir eso como raíz cuadrada de 13 menos raíz cuadrada de 11 y todo esto elevado al cuadrado. Y en el denominador la multiplicación de estas dos cantidades obedece a este producto notable, entonces será la primera cantidad al cuadrado, raíz cuadrada de 13, todo esto al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado, es decir raíz cuadrada de 11 y todo esto elevado al cuadrado. En el numerador tenemos lo que es un binomio elevado al cuadrado, vamos a aplicar entonces ese producto notable, si tenemos a menos b al cuadrado, esto es igual a la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al cuadrado, otro producto notable de gran importancia. Entonces comencemos con la primera cantidad al cuadrado, o sea raíz cuadrada de 13, todo esto al cuadrado, después tenemos menos dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea dos por raíz cuadrada de 13 y eso multiplicado por raíz cuadrada de 11 y luego tenemos más la segunda cantidad elevada al cuadrado, es decir raíz cuadrada de 11 y todo esto elevado al cuadrado. Ahora en el denominador vamos a desarrollar estas dos potencias, allí el exponente 2 elimina la raíz cuadrada, entonces en el primer caso nos queda 13 y en el segundo nos queda 11. Seguimos resolviendo las operaciones, en el numerador aquí el exponente 2 también elimina la raíz cuadrada y nos queda libre el 13, después tenemos menos dos por este producto de radicales podemos resolverlo de acuerdo con la siguiente propiedad, si tenemos raíz enésima de A por B, es decir la raíz de un producto, esto es igual a la raíz enésima de A por la raíz enésima de B, entonces si hay multiplicación dentro de la raíz se puede repartir el radical, pero también si tenemos este producto de raíces podemos llegar acá, la propiedad se aplica también en sentido contrario, entonces eso será la raíz cuadrada de 13 por 11, escribimos eso dentro de una sola raíz cuadrada, después tenemos más raíz cuadrada de 11 elevado al cuadrado que nos da 11, allí el exponente 2 elimina el radical y en el denominador efectuamos esa resta, 13 menos 11 nos da 2. En el numerador podemos efectuar la operación de estos dos números, son términos independientes que están sumando entre sí, entonces 13 más 11 nos da 24 y esto queda menos 2 que multiplica con la raíz cuadrada de 13 por 11 que nos da 143 y todo esto queda dividido entre 2. Ahora allí podemos aplicar lo que es la factorización en el numerador, podemos extraer como factor común el número 2, entonces si sale el 2 nos queda factor de 12 en el primer término menos raíz cuadrada de 143 en el segundo término, cerramos el paréntesis y todo esto nos queda sobre 2. Finalmente podemos simplificar esta fracción, este número 2 que está multiplicando en el numerador puede cancelarse con este 2 que tenemos en el denominador, es como dividir por 2 tanto en el numerador como en el denominador, nos quedarían unos, entonces veamos, el resultado nos queda presentado de la siguiente forma, en el numerador 1 por todo esto nos da 12 menos la raíz cuadrada de 143 y en el denominador nos quedó 1, por lo tanto ese denominador lo omitimos y de esa manera terminamos, hemos llegado a una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador, repetimos aquí hay denominador 1, entonces con esto damos cumplimiento al propósito de la racionalización. Enseguida vamos a efectuar la verificación de este ejercicio utilizando esta calculadora científica, comenzamos soprimiendo el botón de fracción, en el numerador vamos a ingresar esto, raíz cuadrada de 13 menos raíz cuadrada de 11, entonces botón de raíz cuadrada, luego el 13, corremos a la derecha el cursor, después el menos, otra vez botón de raíz cuadrada y allí escribimos el 11, corremos el cursor a la derecha, lo bajamos al denominador y allí vamos a ingresar esto, raíz cuadrada de 13, entonces botón de raíz cuadrada, el 13, corremos el cursor a la derecha, después más raíz cuadrada de 11, entonces botón de raíz cuadrada y el 11, de esa manera ya tenemos la expresión numérica en la calculadora, oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado 12 menos la raíz cuadrada de 143, con esto comprobamos que este ejercicio se haya resuelto correctamente.
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y luego tenemos m\u00e1s"}, {"start": 229.8, "end": 237.72, "text": " la segunda cantidad elevada al cuadrado, es decir ra\u00edz cuadrada de 11 y todo esto elevado"}, {"start": 237.72, "end": 239.84, "text": " al cuadrado."}, {"start": 239.84, "end": 244.92000000000002, "text": " Ahora en el denominador vamos a desarrollar estas dos potencias, all\u00ed el exponente 2"}, {"start": 244.92000000000002, "end": 251.68, "text": " elimina la ra\u00edz cuadrada, entonces en el primer caso nos queda 13 y en el segundo nos"}, {"start": 251.68, "end": 253.92000000000002, "text": " queda 11."}, {"start": 253.92000000000002, "end": 260.46, "text": " Seguimos resolviendo las operaciones, en el numerador aqu\u00ed el exponente 2 tambi\u00e9n elimina"}, {"start": 260.46, "end": 268.84000000000003, "text": " la ra\u00edz cuadrada y nos queda libre el 13, despu\u00e9s tenemos menos dos por este producto"}, {"start": 268.84, "end": 274.59999999999997, "text": " de radicales podemos resolverlo de acuerdo con la siguiente propiedad, si tenemos ra\u00edz"}, {"start": 274.59999999999997, "end": 280.71999999999997, "text": " en\u00e9sima de A por B, es decir la ra\u00edz de un producto, esto es igual a la ra\u00edz en\u00e9sima"}, {"start": 280.71999999999997, "end": 288.2, "text": " de A por la ra\u00edz en\u00e9sima de B, entonces si hay multiplicaci\u00f3n dentro de la ra\u00edz"}, {"start": 288.2, "end": 293.91999999999996, "text": " se puede repartir el radical, pero tambi\u00e9n si tenemos este producto de ra\u00edces podemos"}, {"start": 293.92, "end": 299.36, "text": " llegar ac\u00e1, la propiedad se aplica tambi\u00e9n en sentido contrario, entonces eso ser\u00e1 la"}, {"start": 299.36, "end": 307.46000000000004, "text": " ra\u00edz cuadrada de 13 por 11, escribimos eso dentro de una sola ra\u00edz cuadrada, despu\u00e9s"}, {"start": 307.46000000000004, "end": 314.40000000000003, "text": " tenemos m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 11 elevado al cuadrado que nos da 11, all\u00ed el exponente"}, {"start": 314.40000000000003, "end": 322.76, "text": " 2 elimina el radical y en el denominador efectuamos esa resta, 13 menos 11 nos da 2."}, {"start": 322.76, "end": 329.03999999999996, "text": " En el numerador podemos efectuar la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros, son t\u00e9rminos independientes"}, {"start": 329.03999999999996, "end": 336.08, "text": " que est\u00e1n sumando entre s\u00ed, entonces 13 m\u00e1s 11 nos da 24 y esto queda menos 2 que"}, {"start": 336.08, "end": 345.56, "text": " multiplica con la ra\u00edz cuadrada de 13 por 11 que nos da 143 y todo esto queda dividido"}, {"start": 345.56, "end": 352.96, "text": " entre 2. Ahora all\u00ed podemos aplicar lo que es la factorizaci\u00f3n en el numerador, podemos"}, {"start": 352.96, "end": 360.76, "text": " extraer como factor com\u00fan el n\u00famero 2, entonces si sale el 2 nos queda factor de 12 en el"}, {"start": 360.76, "end": 369.48, "text": " primer t\u00e9rmino menos ra\u00edz cuadrada de 143 en el segundo t\u00e9rmino, cerramos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 369.48, "end": 377.28000000000003, "text": " y todo esto nos queda sobre 2. Finalmente podemos simplificar esta fracci\u00f3n, este n\u00famero"}, {"start": 377.28000000000003, "end": 381.72, "text": " 2 que est\u00e1 multiplicando en el numerador puede cancelarse con este 2 que tenemos en"}, {"start": 381.72, "end": 387.20000000000005, "text": " el denominador, es como dividir por 2 tanto en el numerador como en el denominador, nos"}, {"start": 387.20000000000005, "end": 395.44, "text": " quedar\u00edan unos, entonces veamos, el resultado nos queda presentado de la siguiente forma,"}, {"start": 395.44, "end": 405.24, "text": " en el numerador 1 por todo esto nos da 12 menos la ra\u00edz cuadrada de 143 y en el denominador"}, {"start": 405.24, "end": 412.04, "text": " nos qued\u00f3 1, por lo tanto ese denominador lo omitimos y de esa manera terminamos, hemos"}, {"start": 412.04, "end": 419.12, "text": " llegado a una expresi\u00f3n num\u00e9rica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales"}, {"start": 419.12, "end": 425.84000000000003, "text": " en el denominador, repetimos aqu\u00ed hay denominador 1, entonces con esto damos cumplimiento al"}, {"start": 425.84000000000003, "end": 432.0, "text": " prop\u00f3sito de la racionalizaci\u00f3n. Enseguida vamos a efectuar la verificaci\u00f3n de este"}, {"start": 432.0, "end": 438.36, "text": " ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica, comenzamos soprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n,"}, {"start": 438.36, "end": 444.36, "text": " en el numerador vamos a ingresar esto, ra\u00edz cuadrada de 13 menos ra\u00edz cuadrada de 11,"}, {"start": 444.36, "end": 450.08000000000004, "text": " entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada, luego el 13, corremos a la derecha el cursor, despu\u00e9s"}, {"start": 450.08000000000004, "end": 456.44, "text": " el menos, otra vez bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y all\u00ed escribimos el 11, corremos el cursor"}, {"start": 456.44, "end": 462.24, "text": " a la derecha, lo bajamos al denominador y all\u00ed vamos a ingresar esto, ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 462.24, "end": 469.24, "text": " de 13, entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada, el 13, corremos el cursor a la derecha, despu\u00e9s"}, {"start": 469.24, "end": 476.12, "text": " m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 11, entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y el 11, de esa manera ya"}, {"start": 476.12, "end": 482.72, "text": " tenemos la expresi\u00f3n num\u00e9rica en la calculadora, oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este"}, {"start": 482.72, "end": 489.8, "text": " resultado 12 menos la ra\u00edz cuadrada de 143, con esto comprobamos que este ejercicio se"}, {"start": 489.8, "end": 496.8, "text": " haya resuelto correctamente."}]