Pregunta 32 TIPO EXAMEN
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio típico de examen (SAT, ACT, GMAT, PAEP, entre otros) para ingresar a estudios superiores.

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 ¿Qué es el volumen de esta caja? Sabemos que el volumen de esta caja es 30 centímetros cúbicos y allí tenemos sus dimensiones en centímetros. Recordemos que para una caja rectangular su volumen se calcula multiplicando sus tres dimensiones, es decir, largo por ancho por altura. Entonces vamos a reemplazar allí la información que conocemos. El volumen es 30, ya sabemos que todo eso está en centímetros, las dimensiones y el volumen en centímetros cúbicos. El largo de la caja es la expresión 3x-1, esto multiplicado por el ancho que es la expresión x más 1 y eso multiplicado por la altura que es 2 centímetros. Allí podemos pasar este número 2 que está multiplicando al otro lado a dividir, nos queda entonces 30 medios en el lado izquierdo y acá podemos resolver este producto de binomios, allí aplicamos la propiedad distributiva, entonces 3x por x nos da 3x al cuadrado, 3x por más 1 es más 3x, luego menos 1 por x nos da menos x y menos 1 por más 1 es menos 1. En el lado izquierdo resolvemos la división, 30 dividido entre 2 nos da 15 y acá en el lado derecho vamos a operar estos dos términos que son semejantes, entonces tendremos 3x al cuadrado, ese primer término queda igual, la operación de estos dos términos nos da más 2x y escribimos el término independiente que es menos 1. Ahora vamos a pasar este 15 al lado derecho, nos queda entonces 0 acá igual a 3x al cuadrado más 2x menos 1 y el 15 que está positivo llega a este lado con signo negativo, llega a restar, esto nos queda 0 igual a 3x al cuadrado más 2x y la operación de estos dos números nos da menos 16. Llegamos así a una ecuación cuadrática o de segundo grado, recordemos que el modelo dice 0 es igual a ax al cuadrado más bx más c, entonces vamos a resolver esta ecuación utilizando la fórmula cuadrática o fórmula general, tenemos que el valor de a, vamos a escribir por acá esos valores, a es el coeficiente de x al cuadrado, o sea que a vale 3, b es el coeficiente de x, es decir 2 positivo y c es el término independiente que en este caso es menos 16. Tenemos aquí la fórmula cuadrática o fórmula general, vamos a escribirla nuevamente cambiando las letras por paréntesis. Ahora llenamos esos espacios con estos valores, tenemos que b vale 2, el valor de a es 3 y el valor de c es menos 16. Resolvemos entonces estas operaciones, nos queda x es igual, aquí tenemos menos 2 más o menos la raíz cuadrada de 2 al cuadrado que es 4, aquí tenemos menos 4 por 3, esto nos da menos 12 y menos 12 por menos 16 nos da más 192, todo esto dentro de la raíz cuadrada y a su vez todo esto dividido entre el producto de 2 por 3 que es 6. Esto nos queda entonces x igual a menos 2 más o menos la raíz cuadrada de 4 más 192 nos da 196, todo esto dentro de la raíz cuadrada y todo esto sobre 6. Para conocer el valor de la raíz cuadrada de 196 hacemos la descomposición en factores primos de ese número, comenzamos sacando la mitad porque él termina en cifra par, entonces la mitad de 196 nos da 98, otra vez podemos sacar mitad, mitad de 98 nos da 49, ya para el 49 no nos sirve el 2, pero podemos sacar séptima, usamos el número primo 7, séptima de 49 nos da 7 y para 7 usamos el 7, séptima de 7 nos da 1. Como se observa 196 es igual a 2 por 2 que lo podemos escribir como 2 al cuadrado y esto por 7 por 7 que es 7 al cuadrado, esto a su vez se puede escribir así 2 por 7 todo esto entre paréntesis y acá el exponente 2, estamos usando una propiedad de la potenciación, resolvemos acá adentro 2 por 7 nos da 14 y nos queda que 14 al cuadrado es 196, por lo tanto la raíz cuadrada de 196 es 14, entonces esto nos queda así, x igual a menos 2 más o menos 14 el resultado de esa raíz cuadrada y todo esto dividido entre 6, de allí vamos a obtener las dos soluciones de la ecuación cuadrática, una será menos 2 menos 14 sobre 6 y la otra será x igual a menos 2 más 14 todo esto sobre 6, resolvemos acá, menos 2 menos 14 nos da menos 16, esto queda sobre 6, podemos simplificar nos queda menos 8 tercios sacando mitad en el numerador y en el denominador, por acá menos 2 más 14 nos da 12 positivo y 12 dividido entre 6 nos da como resultado 2, menos 8 tercios y 2 son las soluciones de la ecuación cuadrática, vemos que son soluciones reales, sin embargo tenemos que fijarnos acá en los datos del problema, como se observa x hace parte de las dimensiones de la caja y las dimensiones tienen que ser valores positivos, entonces tenemos que descartar menos 8 tercios porque por ejemplo aquí 3 por menos 8 tercios eso nos daría menos 8 y menos 8 menos 1 es menos 9 lo cual es totalmente ilógico, no podemos tener longitudes negativas entonces descartamos este valor y nos quedamos con la opción 2, entonces sabiendo cuánto vale x podemos determinar estas dos dimensiones, aquí 3 por 2 nos da 6, 6 menos 1 es 5, 5 centímetros es el largo de la caja y acá 2 más 1 nos da 3, entonces 3 centímetros es el ancho de esa caja, con estos valores podemos confirmar el valor del volumen, 5 por 3 por 2 nos da como resultado 30 centímetros cúbicos, ahora vamos a averiguar lo que nos pide el problema que es el área del material con que fue construida la caja, para ello tenemos que hacer lo siguiente, consideramos el área del fondo de la caja, es decir de su base que es un rectángulo cuyas dimensiones son largo 5 centímetros y ancho 3 centímetros, entonces allí tendremos 5 por 3 largo por ancho el área del fondo de la caja de ese rectángulo que conforma su base y también tenemos estas caras verticales, vamos a comenzar con esta que es otro rectángulo su base es 5 y su altura es 2 centímetros, entonces más 5 por 2 pero esta cara se repite dos veces, entonces a su vez esto se multiplica por 2 y a esto le vamos a sumar el área de esta cara vertical que es otro rectángulo, su base es 3 y su altura es 2, entonces 3 por 2, pero también esta cara se repite dos veces, entonces este valor lo multiplicamos por 2, aclaramos que como todos estos valores o sea las dimensiones de la caja están en centímetros, entonces el área que vamos a obtener será un valor en centímetros cuadrados, vamos a resolver entonces esas operaciones, comenzamos con las multiplicaciones, 5 por 3 es 15 más 2 por 5 es 10, 10 por 2 es 20 más 2 por 3 es 6, 6 por 2 es 12 y al efectuar esa suma nos da como resultado 47, 47 centímetros cuadrados que es el área del material con que fue construida la caja, seleccionamos entonces la opción E
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