ECUACIONES CON RADICALES - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene una raíz cuadrada.

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación que contiene una raíz cuadrada. Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad. Comenzamos por aislar este componente, es decir, la raíz cuadrada. Nos queda entonces raíz cuadrada de 3x más 1 y esto igual a x menos 3. Elegamos este número que está sumando al otro lado a restar. Es lo mismo que restar 3 a ambos lados de la igualdad. De esa manera ya tenemos aislada esa raíz. Ahora vamos a quitarla y eso se logra elevando ambos lados de la igualdad al exponente 2, es decir, al mismo número que tenemos aquí en el índice de la raíz. Entonces tenemos la raíz cuadrada de 3x más 1, todo eso elevado al exponente 2, es decir, elevado al cuadrado. Y en el lado derecho hacemos lo mismo, x menos 3 nos queda elevado al cuadrado. Ahora en el lado izquierdo este exponente 2 destruye o elimina la raíz cuadrada. Allí ocurre la interacción de dos operaciones contrarias que son la potenciación y la radicación. Nos libera entonces 3x más 1, lo que estaba dentro de la raíz. Y en el lado derecho tenemos un binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordar cómo se resuelve esa situación. Si tenemos una resta de dos cantidades y eso elevado al cuadrado, esto es igual a la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado. Es un producto notable de gran importancia. Entonces vamos a aplicarlo aquí. Tenemos la primera cantidad al cuadrado, es decir, x al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda, es decir, 2 por x por 3 que nos da 6x y después tenemos más la segunda cantidad al cuadrado, es decir, 3 al cuadrado que nos da como resultado 9. Como se puede observar aquí ya tenemos una expresión que corresponde a una ecuación de grado 2, es decir, una ecuación cuadrática. Vamos a organizarla, vamos a dejar cero en el lado izquierdo. Entonces pasamos estos términos para el lado derecho. Esos términos se quedan tal como están, x al cuadrado menos 6x más 9, ellos permanecen en su territorio y pasamos estos que están positivos. Entonces llegan acá con signo negativo. De esa manera todo esto nos queda igualado a cero. A continuación en este lado de la igualdad efectuamos lo que se llama la reducción de términos semejantes, es decir, operamos estos dos que contienen la x y estos dos que son los números o términos independientes. Entonces nos queda así, cero igual a x al cuadrado, luego tenemos menos 6x menos 3x que nos da menos 9x y después más 9 menos 1 que nos da más 8. De esta manera llegamos a la ecuación cuadrática o de segundo grado, cuyo modelo es ax al cuadrado más bx más c igual a cero. Normalmente viene presentado de esta manera, pero también podemos tener el cero en el lado izquierdo. Entonces allí encaja perfectamente con esto que hemos obtenido. Esta ecuación cuadrática o de segundo grado podemos resolverla, bien sea por fórmula cuadrática o fórmula general o también podríamos intentar factorizando esta expresión. Vamos a ver si es posible. Eso corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Vamos a ver si es posible factorizar ese trinomio. Abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer termino que sería x, la anotamos al comienzo de cada paréntesis, después definimos los signos, aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos que es el signo del primer paréntesis y menos por más nos da menos, signo del segundo paréntesis. Ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos de como resultado más ocho y que al sumarlos nos de como resultado menos nueve, esos números son menos ocho y menos uno, entonces vemos que esto sí se pudo factorizar y por este camino resulta más rápido que tomar el de la fórmula cuadrática o fórmula general. Aquí aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo, que recordemos dice así, si a por b es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero, en otras palabras si el producto de estas dos expresiones es cero, entonces cada una de ellas tiene la misma oportunidad de ser cero, entonces vamos a igualar a cero cada una de ellas, vamos a seguir por acá, nos queda x menos ocho igual a cero o x menos uno igual a cero, aplicando el teorema del factor nulo. Resolvemos ahora cada situación, por acá despejamos x pasando ocho que está restando al otro lado a sumar con cero, nos queda x igual a ocho, es como sumar ocho a ambos lados de esa igualdad y por acá hacemos algo similar, despejamos x pasando uno que está restando al otro lado a sumar con cero, nos queda x igual a uno, es como sumar uno a ambos lados de esa igualdad. De esta manera obtenemos dos valores candidatos a ser solución del ejercicio original de la ecuación con radical que tenemos propuesta inicialmente, hasta no hacer la prueba no sabremos cual de los dos sirve, entonces vamos a realizar a continuación la verificación de cada uno de estos valores en la ecuación original. Comenzamos entonces probando x igual a ocho, vamos a realizar la prueba con ese valor, entonces acá en la ecuación original vamos a reemplazar ocho donde tenemos x y vemos si esa igualdad se cumple, nos queda entonces tres más la raíz cuadrada de tres por ocho más uno y todo eso supuestamente igual a x que es ocho, seguimos resolviendo, acá tres más la raíz cuadrada de, tenemos acá una multiplicación y una suma, entonces resolvemos primero la multiplicación, tres por ocho veinticuatro, luego veinticuatro le sumamos uno y nos da veinticinco y todo eso es supuestamente igual a ocho, seguimos resolviendo, tres más la raíz cuadrada de veinticinco que nos da cinco y eso supuestamente igual a ocho, resolvemos acá tres más cinco nos da ocho y efectivamente ocho es igual a ocho, como esto es cierto quiere decir que x igual a ocho es solución de esa ecuación. Hacemos ahora la prueba con el otro valor, es decir con x igual a uno, veamos entonces como nos queda en la ecuación original, tendremos tres más la raíz cuadrada de tres por x es decir tres por uno, todo esto más uno y eso supuestamente igual a x que toma el valor uno, resolvemos esto del lado izquierdo, tenemos tres más la raíz cuadrada de, aquí hay una multiplicación y después una suma, primero se hace la multiplicación, tres por uno nos da tres, tres más uno es cuatro y todo esto supuestamente igual a uno, seguimos resolviendo, tres más la raíz cuadrada de cuatro que nos da dos y eso supuestamente igual a uno, resolvemos acá tres más dos cinco y nos queda cinco supuestamente igual a uno lo cual es completamente falso y eso nos permite concluir que x igual a uno no es solución para esa ecuación, de esta manera podemos asegurar que el único valor que satisface esa igualdad es x igual a ocho, o sea que es la única solución para esta ecuación que contiene una raíz cuadrada, con eso terminamos este ejercicio.
[{"start": 0.0, "end": 8.88, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n que contiene una ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 8.88, "end": 14.48, "text": " Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad."}, {"start": 14.48, "end": 19.68, "text": " Comenzamos por aislar este componente, es decir, la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 19.68, "end": 26.400000000000002, "text": " Nos queda entonces ra\u00edz cuadrada de 3x m\u00e1s 1 y esto igual a x menos 3."}, {"start": 26.4, "end": 30.4, "text": " Elegamos este n\u00famero que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 30.4, "end": 34.16, "text": " Es lo mismo que restar 3 a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 34.16, "end": 37.64, "text": " De esa manera ya tenemos aislada esa ra\u00edz."}, {"start": 37.64, "end": 44.0, "text": " Ahora vamos a quitarla y eso se logra elevando ambos lados de la igualdad al exponente 2,"}, {"start": 44.0, "end": 48.92, "text": " es decir, al mismo n\u00famero que tenemos aqu\u00ed en el \u00edndice de la ra\u00edz."}, {"start": 48.92, "end": 55.8, "text": " Entonces tenemos la ra\u00edz cuadrada de 3x m\u00e1s 1, todo eso elevado al exponente 2, es decir,"}, {"start": 55.8, "end": 56.8, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 56.8, "end": 63.72, "text": " Y en el lado derecho hacemos lo mismo, x menos 3 nos queda elevado al cuadrado."}, {"start": 63.72, "end": 69.56, "text": " Ahora en el lado izquierdo este exponente 2 destruye o elimina la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 69.56, "end": 75.84, "text": " All\u00ed ocurre la interacci\u00f3n de dos operaciones contrarias que son la potenciaci\u00f3n y la radicaci\u00f3n."}, {"start": 75.84, "end": 81.36, "text": " Nos libera entonces 3x m\u00e1s 1, lo que estaba dentro de la ra\u00edz."}, {"start": 81.36, "end": 85.84, "text": " Y en el lado derecho tenemos un binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 85.84, "end": 89.08, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se resuelve esa situaci\u00f3n."}, {"start": 89.08, "end": 95.84, "text": " Si tenemos una resta de dos cantidades y eso elevado al cuadrado, esto es igual a la primera"}, {"start": 95.84, "end": 103.3, "text": " cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda m\u00e1s la segunda cantidad"}, {"start": 103.3, "end": 104.56, "text": " al cuadrado."}, {"start": 104.56, "end": 107.68, "text": " Es un producto notable de gran importancia."}, {"start": 107.68, "end": 110.48, "text": " Entonces vamos a aplicarlo aqu\u00ed."}, {"start": 110.48, "end": 116.68, "text": " Tenemos la primera cantidad al cuadrado, es decir, x al cuadrado menos dos veces la primera"}, {"start": 116.68, "end": 124.56, "text": " cantidad por la segunda, es decir, 2 por x por 3 que nos da 6x y despu\u00e9s tenemos m\u00e1s"}, {"start": 124.56, "end": 131.28, "text": " la segunda cantidad al cuadrado, es decir, 3 al cuadrado que nos da como resultado 9."}, {"start": 131.28, "end": 136.44, "text": " Como se puede observar aqu\u00ed ya tenemos una expresi\u00f3n que corresponde a una ecuaci\u00f3n"}, {"start": 136.44, "end": 140.32, "text": " de grado 2, es decir, una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 140.32, "end": 144.6, "text": " Vamos a organizarla, vamos a dejar cero en el lado izquierdo."}, {"start": 144.6, "end": 147.51999999999998, "text": " Entonces pasamos estos t\u00e9rminos para el lado derecho."}, {"start": 147.51999999999998, "end": 154.84, "text": " Esos t\u00e9rminos se quedan tal como est\u00e1n, x al cuadrado menos 6x m\u00e1s 9, ellos permanecen"}, {"start": 154.84, "end": 159.6, "text": " en su territorio y pasamos estos que est\u00e1n positivos."}, {"start": 159.6, "end": 162.16, "text": " Entonces llegan ac\u00e1 con signo negativo."}, {"start": 162.16, "end": 166.16, "text": " De esa manera todo esto nos queda igualado a cero."}, {"start": 166.16, "end": 171.24, "text": " A continuaci\u00f3n en este lado de la igualdad efectuamos lo que se llama la reducci\u00f3n de"}, {"start": 171.24, "end": 177.5, "text": " t\u00e9rminos semejantes, es decir, operamos estos dos que contienen la x y estos dos que son"}, {"start": 177.5, "end": 180.84, "text": " los n\u00fameros o t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 180.84, "end": 189.6, "text": " Entonces nos queda as\u00ed, cero igual a x al cuadrado, luego tenemos menos 6x menos 3x"}, {"start": 189.6, "end": 196.68, "text": " que nos da menos 9x y despu\u00e9s m\u00e1s 9 menos 1 que nos da m\u00e1s 8."}, {"start": 196.68, "end": 203.98, "text": " De esta manera llegamos a la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado, cuyo modelo es ax al cuadrado"}, {"start": 203.98, "end": 208.16, "text": " m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a cero."}, {"start": 208.16, "end": 213.44, "text": " Normalmente viene presentado de esta manera, pero tambi\u00e9n podemos tener el cero en el"}, {"start": 213.44, "end": 214.84, "text": " lado izquierdo."}, {"start": 214.84, "end": 219.76, "text": " Entonces all\u00ed encaja perfectamente con esto que hemos obtenido."}, {"start": 219.76, "end": 224.92000000000002, "text": " Esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado podemos resolverla, bien sea por f\u00f3rmula"}, {"start": 224.92000000000002, "end": 232.16, "text": " cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general o tambi\u00e9n podr\u00edamos intentar factorizando esta expresi\u00f3n."}, {"start": 232.16, "end": 234.0, "text": " Vamos a ver si es posible."}, {"start": 234.0, "end": 239.32, "text": " Eso corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 239.32, "end": 242.6, "text": " Vamos a ver si es posible factorizar ese trinomio."}, {"start": 242.6, "end": 248.92, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer termino que ser\u00eda x,"}, {"start": 248.92, "end": 254.12, "text": " la anotamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis, despu\u00e9s definimos los signos, aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 254.12, "end": 260.04, "text": " signo positivo, m\u00e1s por menos nos da menos que es el signo del primer par\u00e9ntesis y menos"}, {"start": 260.04, "end": 264.08, "text": " por m\u00e1s nos da menos, signo del segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 264.08, "end": 269.5, "text": " Ahora buscamos dos n\u00fameros negativos que multiplicados entre s\u00ed nos de como resultado"}, {"start": 269.5, "end": 276.16, "text": " m\u00e1s ocho y que al sumarlos nos de como resultado menos nueve, esos n\u00fameros son menos ocho"}, {"start": 276.16, "end": 281.8, "text": " y menos uno, entonces vemos que esto s\u00ed se pudo factorizar y por este camino resulta"}, {"start": 281.8, "end": 287.64, "text": " m\u00e1s r\u00e1pido que tomar el de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 287.64, "end": 293.94, "text": " Aqu\u00ed aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo, que recordemos dice as\u00ed,"}, {"start": 293.94, "end": 303.4, "text": " si a por b es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero, en otras"}, {"start": 303.4, "end": 310.0, "text": " palabras si el producto de estas dos expresiones es cero, entonces cada una de ellas tiene"}, {"start": 310.0, "end": 316.26, "text": " la misma oportunidad de ser cero, entonces vamos a igualar a cero cada una de ellas,"}, {"start": 316.26, "end": 324.71999999999997, "text": " vamos a seguir por ac\u00e1, nos queda x menos ocho igual a cero o x menos uno igual a cero,"}, {"start": 324.71999999999997, "end": 328.56, "text": " aplicando el teorema del factor nulo."}, {"start": 328.56, "end": 333.92, "text": " Resolvemos ahora cada situaci\u00f3n, por ac\u00e1 despejamos x pasando ocho que est\u00e1 restando"}, {"start": 333.92, "end": 339.5, "text": " al otro lado a sumar con cero, nos queda x igual a ocho, es como sumar ocho a ambos"}, {"start": 339.5, "end": 345.8, "text": " lados de esa igualdad y por ac\u00e1 hacemos algo similar, despejamos x pasando uno que est\u00e1"}, {"start": 345.8, "end": 352.58, "text": " restando al otro lado a sumar con cero, nos queda x igual a uno, es como sumar uno a ambos"}, {"start": 352.58, "end": 354.92, "text": " lados de esa igualdad."}, {"start": 354.92, "end": 362.0, "text": " De esta manera obtenemos dos valores candidatos a ser soluci\u00f3n del ejercicio original de"}, {"start": 362.0, "end": 367.92, "text": " la ecuaci\u00f3n con radical que tenemos propuesta inicialmente, hasta no hacer la prueba no"}, {"start": 367.92, "end": 373.32, "text": " sabremos cual de los dos sirve, entonces vamos a realizar a continuaci\u00f3n la verificaci\u00f3n"}, {"start": 373.32, "end": 378.4, "text": " de cada uno de estos valores en la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 378.4, "end": 386.24, "text": " Comenzamos entonces probando x igual a ocho, vamos a realizar la prueba con ese valor,"}, {"start": 386.24, "end": 392.15999999999997, "text": " entonces ac\u00e1 en la ecuaci\u00f3n original vamos a reemplazar ocho donde tenemos x y vemos"}, {"start": 392.15999999999997, "end": 398.44, "text": " si esa igualdad se cumple, nos queda entonces tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de tres por ocho"}, {"start": 398.44, "end": 405.68, "text": " m\u00e1s uno y todo eso supuestamente igual a x que es ocho, seguimos resolviendo, ac\u00e1"}, {"start": 405.68, "end": 412.08, "text": " tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de, tenemos ac\u00e1 una multiplicaci\u00f3n y una suma, entonces resolvemos"}, {"start": 412.08, "end": 417.08, "text": " primero la multiplicaci\u00f3n, tres por ocho veinticuatro, luego veinticuatro le sumamos"}, {"start": 417.08, "end": 426.15999999999997, "text": " uno y nos da veinticinco y todo eso es supuestamente igual a ocho, seguimos resolviendo, tres"}, {"start": 426.16, "end": 433.48, "text": " m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de veinticinco que nos da cinco y eso supuestamente igual a ocho,"}, {"start": 433.48, "end": 439.16, "text": " resolvemos ac\u00e1 tres m\u00e1s cinco nos da ocho y efectivamente ocho es igual a ocho, como"}, {"start": 439.16, "end": 446.8, "text": " esto es cierto quiere decir que x igual a ocho es soluci\u00f3n de esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 446.8, "end": 452.96000000000004, "text": " Hacemos ahora la prueba con el otro valor, es decir con x igual a uno, veamos entonces"}, {"start": 452.96, "end": 463.03999999999996, "text": " como nos queda en la ecuaci\u00f3n original, tendremos tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de tres por x"}, {"start": 463.03999999999996, "end": 470.56, "text": " es decir tres por uno, todo esto m\u00e1s uno y eso supuestamente igual a x que toma el valor"}, {"start": 470.56, "end": 477.12, "text": " uno, resolvemos esto del lado izquierdo, tenemos tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de, aqu\u00ed hay"}, {"start": 477.12, "end": 482.96, "text": " una multiplicaci\u00f3n y despu\u00e9s una suma, primero se hace la multiplicaci\u00f3n, tres por uno nos"}, {"start": 482.96, "end": 492.08, "text": " da tres, tres m\u00e1s uno es cuatro y todo esto supuestamente igual a uno, seguimos resolviendo,"}, {"start": 492.08, "end": 499.12, "text": " tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de cuatro que nos da dos y eso supuestamente igual a uno,"}, {"start": 499.12, "end": 508.0, "text": " resolvemos ac\u00e1 tres m\u00e1s dos cinco y nos queda cinco supuestamente igual a uno lo cual es completamente falso"}, {"start": 508.0, "end": 515.36, "text": " y eso nos permite concluir que x igual a uno no es soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n, de esta"}, {"start": 515.36, "end": 523.16, "text": " manera podemos asegurar que el \u00fanico valor que satisface esa igualdad es x igual a ocho,"}, {"start": 523.16, "end": 528.12, "text": " o sea que es la \u00fanica soluci\u00f3n para esta ecuaci\u00f3n que contiene una ra\u00edz cuadrada,"}, {"start": 528.12, "end": 530.12, "text": " con eso terminamos este ejercicio."}]