REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
#julioprofe expone las reglas para derivar funciones trigonométricas y algunos ejemplos de aplicación de ellas.

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 En esta ocasión vamos a ver las reglas para derivar funciones trigonométricas y también veremos ejemplos de aplicación de ellas. Tenemos en esta tabla las seis funciones trigonométricas. Vamos a escribir en esta columna sus correspondientes derivadas. Comenzamos con la función seno de x, cuya derivada es coseno de x. Para coseno de x, su derivada es menos seno de x. Para tangente de x, su derivada es secante al cuadrado de x. Para cotangente de x, su derivada es menos cosecante al cuadrado de x. Para la función secante de x, su derivada es secante de x por tangente de x. Y para cosecante de x, su derivada es menos cosecante de x por cotangente de x. Ahora veamos cómo es la regla de la cadena aplicada a la derivación de funciones trigonométricas. Tenemos ahora las seis funciones trigonométricas, pero en el ángulo ya no tenemos una simple x, sino una expresión u de x. Es decir, una expresión más compleja que una simple x y que se encuentra en términos de dicha variable. Para el caso de seno de u de x, su derivada será coseno de u de x por u' de x. O sea, el coseno del mismo ángulo multiplicado por la derivada del ángulo, o sea, por lo que se llama la derivada interna. Tenemos que para coseno de u de x, su derivada será menos seno de u de x por la derivada interna, que es la derivada del ángulo, o sea, u' de x. Para cotangente de u de x, la derivada es secante al cuadrado de u de x por u' de x. Para cotangente de u de x, la derivada es menos cosecante al cuadrado de u de x por u' de x, por la derivada interna. Son secante de u de x. Su derivada es secante de u de x por tangente de u de x por la derivada del ángulo, que es u' de x. Y finalmente, para el caso de cosecante de u de x, su derivada es menos cosecante de u de x por cotangente de u de x, y esto multiplicado por la derivada interna, que es u' de x. También podemos ver estas reglas utilizando la manzanita en lugar de u de x. Veamos cómo nos quedan. Si tenemos seno de manzanita, su derivada es coseno de manzanita por la derivada de la manzanita. Si tenemos coseno de manzanita, su derivada es menos seno de la manzanita multiplicado por la derivada interna, o sea, la derivada de la manzanita. Si tenemos tangente de manzanita, su derivada es secante al cuadrado de manzanita por la derivada de la manzanita. Si tenemos cotangente de manzanita, su derivada es menos cosecante al cuadrado de la manzanita por la derivada de la manzanita. Si tenemos secante de manzanita, su derivada es secante de manzanita por tangente de manzanita por la derivada interna, o sea, la derivada de la manzanita. Y para terminar, si tenemos cosecante de manzanita, su derivada es menos cosecante de manzanita por cotangente de manzanita, y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. Bien, estas son las seis reglas para derivar funciones trigonométricas. A continuación veremos ejemplos de aplicación de ellas. En el primer ejemplo tenemos la función f de x igual a seno de x por coseno de x. Para derivar esta función debemos aplicar la regla del producto, porque como se observa tenemos la multiplicación de dos expresiones que contienen la variable x. Vamos a recordar aquí rápidamente cómo se deriva un producto a por b. Entonces tenemos la derivada del primer componente, o sea, a' por el segundo componente sin derivar, más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente. Entonces en este caso hacemos de cuenta que seno de x es a y coseno de x es b. Entonces vamos a aplicar la regla del producto. Nos queda que la derivada de esa función f' de x es igual a derivada del primer componente, o sea, la derivada de seno de x que es coseno de x. Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es coseno de x más el primer componente sin derivar que es seno de x. Y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, o sea, la derivada de coseno de x que es menos seno de x tal como vimos en las reglas anteriores. Este componente como es negativo necesita protección con paréntesis. Ahora vamos a resolver estas operaciones. f' de x nos va a quedar igual a coseno de x por coseno de x es coseno al cuadrado de x. Y seno de x multiplicado por menos seno de x tenemos ley de los signos más por menos menos y estos dos componentes nos producen seno al cuadrado de x. Entonces coseno al cuadrado de x menos seno al cuadrado de x será la derivada para esa función. Esta es la respuesta para este primer ejemplo. En el segundo ejemplo tenemos la función y igual a tangente de 5x al cuadrado. Como vemos aquí en el ángulo de la función trigonométrica ya no tenemos una simple x sino que tenemos una expresión un poco más compleja. Entonces aquí es cuando vamos a utilizar la regla de la cadena. Vamos a recordar para este caso como es. Si tenemos tangente de manzanita su derivada será secante al cuadrado de la manzanita y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea por la derivada del ángulo o lo que se conoce también como la derivada interna. Entonces siguiendo este modelo vamos a obtener la derivada de esa función. Nos quedará de y de x o sea derivada de la función y con respecto a la variable x será igual a secante al cuadrado de la manzanita. O sea secante al cuadrado de 5x al cuadrado. La manzanita es este componente y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea por la derivada de 5x al cuadrado. Recordemos que eso nos da 10x. 2 baja a multiplicar con 5 nos da 10 y este exponente se disminuye en una unidad. 2 menos 1 nos da aquí exponente 1. Podemos acomodar esta expresión de la siguiente manera. De y de x igual a 10x es decir escribimos primero este componente y enseguida el componente trigonométrico secante al cuadrado de 5x al cuadrado. Vale la pena aclarar que en esta expresión esto no se puede multiplicar con esto porque esta expresión es propiedad de la función trigonométrica. Por eso este componente que es externo se puede escribir al principio de la expresión. Con esto terminamos el segundo ejemplo. En el tercer ejemplo tenemos la función g de x igual a cotangente de x sobre x es decir un cociente. Tenemos allí una división de dos expresiones donde ambas contienen la variable x. Entonces para derivar esta función debemos aplicar la regla del cociente. Vamos a recordarla por aquí. Derivada de un cociente a sobre b será la derivada del numerador a prima por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador. Y todo eso sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a obtener la derivada de esa función. Entonces tendremos que g' de x será igual a derivada del numerador o sea derivada de cotangente de x que es menos cosecante al cuadrado de x. Allí aplicamos la derivada de la función trigonométrica. Esto multiplicado por el denominador sin derivar que es x menos el numerador sin derivar que es cotangente de x por la derivada del denominador. La derivada de x es 1. Y todo eso nos queda sobre el denominador elevado al cuadrado. En este caso x al cuadrado. Podemos reescribir esa expresión de la siguiente manera. g' de x será igual a lo siguiente. El producto de estas dos cantidades se puede escribir como menos x que multiplica cosecante al cuadrado de x. De nuevo se advierte que estas dos x no se pueden multiplicar. Esta x es propiedad de la función trigonométrica y esta x es externa a dicha expresión. Por esa razón se ubica acá delante de la función trigonométrica. Esto nos queda menos cotangente de x por 1 que será cotangente de x. Y todo eso nos queda sobre x al cuadrado. El denominador no presenta ningún cambio. De esta manera llegamos a la respuesta para este tercer ejemplo. Miremos el ejemplo número 4 donde tenemos la función y igual a secante de 8x al cubo más 1. El modelo que tenemos que aplicar en este caso es la regla de la cadena para el caso de la función secante. Entonces como vimos en la tabla es secante de la manzanita. La derivada de eso será secante de manzanita por tangente de manzanita y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea la derivada interna. En este caso la manzanita está representada por esta expresión. Entonces siguiendo la instrucción la derivada de esta función, o sea de y de x nos va a quedar así. Comenzamos con secante de manzanita, o sea secante de 8x al cubo más 1. Eso multiplicado por tangente de manzanita, o sea tangente de la misma expresión 8x al cubo más 1. Y esto multiplicado por la derivada del ángulo, o sea la derivada de la manzanita que vamos a indicar de esta manera. Entonces ahora hacemos esta derivada. Tenemos aquí una suma, entonces recordemos que se deriva cada término. Derivada de 8x al cubo es 24x al cuadrado. De nuevo 3 baja a multiplicar con 8 nos da 24 y este exponente se disminuye en una unidad. Por eso nos queda exponente 2. Y la derivada de 1 es 0. Recordemos que la derivada de toda constante es 0. Podemos organizar esta expresión de la siguiente manera. De y de x igual a 24x al cuadrado, es decir, trasladamos este componente acá al principio y enseguida escribimos todos los componentes trigonométricos. Secante de 8x al cubo más 1 por tangente de 8x al cubo más 1. Y de esta manera hemos llegado a la respuesta para este cuarto ejemplo. Para terminar veamos el quinto ejemplo que se trata de la función h de x igual a cosecante de pi x. Como aquí en el ángulo de la función trigonométrica ya no tenemos una simple x, sino una expresión un poco más compleja. Entonces debemos utilizar la regla de la cadena. En este caso derivada de la cosecante de manzanita. Entonces la manzanita será pi x. Esa derivada tal como vimos en la tabla es menos cosecante de manzanita por cotangente de manzanita y esto multiplicado por la derivada interna que será la derivada de la manzanita. Entonces vamos a obtener la derivada de esa función siguiendo esta instrucción. Tendremos h' de x igual a menos cosecante de manzanita, o sea menos cosecante de pi x por cotangente de manzanita, o sea cotangente de pi x. Y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada de pi x, o sea la derivada del componente que actúa como el ángulo de la función trigonométrica. La derivada de pi x será pi. Recordemos que cuando tenemos una constante por la variable su derivada es la constante. Recordemos que pi es una constante matemática. Entonces podemos reescribir esta expresión de la siguiente manera. Tendremos menos pi por cosecante de pi x por cotangente de pi x. Entonces esto lo escribimos al comienzo de la expresión con su signo negativo y enseguida el componente trigonométrico. De esta manera llegamos a la respuesta de este quinto ejemplo y así terminamos esta explicación.
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Esta es la respuesta para este primer ejemplo."}, {"start": 456.0, "end": 474.0, "text": " En el segundo ejemplo tenemos la funci\u00f3n y igual a tangente de 5x al cuadrado. Como vemos aqu\u00ed en el \u00e1ngulo de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica ya no tenemos una simple x sino que tenemos una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja."}, {"start": 474.0, "end": 481.0, "text": " Entonces aqu\u00ed es cuando vamos a utilizar la regla de la cadena. Vamos a recordar para este caso como es."}, {"start": 481.0, "end": 498.0, "text": " Si tenemos tangente de manzanita su derivada ser\u00e1 secante al cuadrado de la manzanita y esto multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 498.0, "end": 504.0, "text": " O sea por la derivada del \u00e1ngulo o lo que se conoce tambi\u00e9n como la derivada interna."}, {"start": 504.0, "end": 523.0, "text": " Entonces siguiendo este modelo vamos a obtener la derivada de esa funci\u00f3n. Nos quedar\u00e1 de y de x o sea derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable x ser\u00e1 igual a secante al cuadrado de la manzanita."}, {"start": 523.0, "end": 541.0, "text": " O sea secante al cuadrado de 5x al cuadrado. La manzanita es este componente y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea por la derivada de 5x al cuadrado."}, {"start": 541.0, "end": 557.0, "text": " Recordemos que eso nos da 10x. 2 baja a multiplicar con 5 nos da 10 y este exponente se disminuye en una unidad. 2 menos 1 nos da aqu\u00ed exponente 1."}, {"start": 557.0, "end": 580.0, "text": " Podemos acomodar esta expresi\u00f3n de la siguiente manera. De y de x igual a 10x es decir escribimos primero este componente y enseguida el componente trigonom\u00e9trico secante al cuadrado de 5x al cuadrado."}, {"start": 580.0, "end": 592.0, "text": " Vale la pena aclarar que en esta expresi\u00f3n esto no se puede multiplicar con esto porque esta expresi\u00f3n es propiedad de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 592.0, "end": 605.0, "text": " Por eso este componente que es externo se puede escribir al principio de la expresi\u00f3n. Con esto terminamos el segundo ejemplo."}, {"start": 605.0, "end": 621.0, "text": " En el tercer ejemplo tenemos la funci\u00f3n g de x igual a cotangente de x sobre x es decir un cociente. Tenemos all\u00ed una divisi\u00f3n de dos expresiones donde ambas contienen la variable x."}, {"start": 621.0, "end": 647.0, "text": " Entonces para derivar esta funci\u00f3n debemos aplicar la regla del cociente. Vamos a recordarla por aqu\u00ed. Derivada de un cociente a sobre b ser\u00e1 la derivada del numerador a prima por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador."}, {"start": 647.0, "end": 659.0, "text": " Y todo eso sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n vamos a obtener la derivada de esa funci\u00f3n."}, {"start": 659.0, "end": 677.0, "text": " Entonces tendremos que g' de x ser\u00e1 igual a derivada del numerador o sea derivada de cotangente de x que es menos cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 677.0, "end": 695.0, "text": " All\u00ed aplicamos la derivada de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica. Esto multiplicado por el denominador sin derivar que es x menos el numerador sin derivar que es cotangente de x por la derivada del denominador."}, {"start": 695.0, "end": 707.0, "text": " La derivada de x es 1. Y todo eso nos queda sobre el denominador elevado al cuadrado. En este caso x al cuadrado."}, {"start": 707.0, "end": 727.0, "text": " Podemos reescribir esa expresi\u00f3n de la siguiente manera. g' de x ser\u00e1 igual a lo siguiente. El producto de estas dos cantidades se puede escribir como menos x que multiplica cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 727.0, "end": 741.0, "text": " De nuevo se advierte que estas dos x no se pueden multiplicar. Esta x es propiedad de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica y esta x es externa a dicha expresi\u00f3n."}, {"start": 741.0, "end": 753.0, "text": " Por esa raz\u00f3n se ubica ac\u00e1 delante de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica. Esto nos queda menos cotangente de x por 1 que ser\u00e1 cotangente de x."}, {"start": 753.0, "end": 767.0, "text": " Y todo eso nos queda sobre x al cuadrado. El denominador no presenta ning\u00fan cambio. De esta manera llegamos a la respuesta para este tercer ejemplo."}, {"start": 767.0, "end": 785.0, "text": " Miremos el ejemplo n\u00famero 4 donde tenemos la funci\u00f3n y igual a secante de 8x al cubo m\u00e1s 1. El modelo que tenemos que aplicar en este caso es la regla de la cadena para el caso de la funci\u00f3n secante."}, {"start": 785.0, "end": 806.0, "text": " Entonces como vimos en la tabla es secante de la manzanita. La derivada de eso ser\u00e1 secante de manzanita por tangente de manzanita y esto multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 806.0, "end": 824.0, "text": " O sea la derivada interna. En este caso la manzanita est\u00e1 representada por esta expresi\u00f3n. Entonces siguiendo la instrucci\u00f3n la derivada de esta funci\u00f3n, o sea de y de x nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 824.0, "end": 844.0, "text": " Comenzamos con secante de manzanita, o sea secante de 8x al cubo m\u00e1s 1. Eso multiplicado por tangente de manzanita, o sea tangente de la misma expresi\u00f3n 8x al cubo m\u00e1s 1."}, {"start": 844.0, "end": 855.0, "text": " Y esto multiplicado por la derivada del \u00e1ngulo, o sea la derivada de la manzanita que vamos a indicar de esta manera."}, {"start": 855.0, "end": 877.0, "text": " Entonces ahora hacemos esta derivada. Tenemos aqu\u00ed una suma, entonces recordemos que se deriva cada t\u00e9rmino. Derivada de 8x al cubo es 24x al cuadrado. De nuevo 3 baja a multiplicar con 8 nos da 24 y este exponente se disminuye en una unidad."}, {"start": 877.0, "end": 891.0, "text": " Por eso nos queda exponente 2. Y la derivada de 1 es 0. Recordemos que la derivada de toda constante es 0. Podemos organizar esta expresi\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 891.0, "end": 910.0, "text": " De y de x igual a 24x al cuadrado, es decir, trasladamos este componente ac\u00e1 al principio y enseguida escribimos todos los componentes trigonom\u00e9tricos."}, {"start": 910.0, "end": 927.0, "text": " Secante de 8x al cubo m\u00e1s 1 por tangente de 8x al cubo m\u00e1s 1. Y de esta manera hemos llegado a la respuesta para este cuarto ejemplo."}, {"start": 927.0, "end": 944.0, "text": " Para terminar veamos el quinto ejemplo que se trata de la funci\u00f3n h de x igual a cosecante de pi x. Como aqu\u00ed en el \u00e1ngulo de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica ya no tenemos una simple x, sino una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja."}, {"start": 944.0, "end": 957.0, "text": " Entonces debemos utilizar la regla de la cadena. En este caso derivada de la cosecante de manzanita. Entonces la manzanita ser\u00e1 pi x."}, {"start": 957.0, "end": 976.0, "text": " Esa derivada tal como vimos en la tabla es menos cosecante de manzanita por cotangente de manzanita y esto multiplicado por la derivada interna que ser\u00e1 la derivada de la manzanita."}, {"start": 976.0, "end": 1002.0, "text": " Entonces vamos a obtener la derivada de esa funci\u00f3n siguiendo esta instrucci\u00f3n. Tendremos h' de x igual a menos cosecante de manzanita, o sea menos cosecante de pi x por cotangente de manzanita, o sea cotangente de pi x."}, {"start": 1002.0, "end": 1017.0, "text": " Y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada de pi x, o sea la derivada del componente que act\u00faa como el \u00e1ngulo de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 1017.0, "end": 1030.0, "text": " La derivada de pi x ser\u00e1 pi. Recordemos que cuando tenemos una constante por la variable su derivada es la constante. Recordemos que pi es una constante matem\u00e1tica."}, {"start": 1030.0, "end": 1051.0, "text": " Entonces podemos reescribir esta expresi\u00f3n de la siguiente manera. Tendremos menos pi por cosecante de pi x por cotangente de pi x."}, {"start": 1051.0, "end": 1067.0, "text": " Entonces esto lo escribimos al comienzo de la expresi\u00f3n con su signo negativo y enseguida el componente trigonom\u00e9trico. De esta manera llegamos a la respuesta de este quinto ejemplo y as\u00ed terminamos esta explicaci\u00f3n."}]