DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 19
#julioprofe explica cómo hallar la derivada de una función exponencial utilizando la regla de la cadena.

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 Vamos a derivar esta función donde observamos el número e elevado a una expresión en términos de x. Comenzamos utilizando el siguiente modelo, derivada de e a la manzanita. En este caso, la manzanita es toda esta expresión. Será e a la manzanita por la derivada de la manzanita. Es la regla de la cadena para esta función exponencial. Entonces, tenemos que f' de x, o sea, la derivada de la función que nos dieron, será esa misma expresión, e a la x al cuadrado por la raíz cuadrada de 3x menos 1. Allí tenemos e a la manzanita y todo eso multiplicado por la derivada de la manzanita. Entonces, vamos a escribir esa expresión acá en seguida y vamos a colocarle esta comita para indicar que tenemos que derivar esa expresión. Ese procedimiento lo vamos a realizar por acá. Abrimos corchete, tenemos x al cuadrado y reescribimos esa raíz cuadrada como 3x menos 1, esto elevado al exponente 1 medio. Y todo esto vamos a derivarlo. Tenemos acá un producto. Entonces, vamos a utilizar la regla para ese caso. La derivada de un producto a por b es la derivada del primer componente por el segundo sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente. Tenemos entonces en este caso que x al cuadrado hace el papel de a y esta potencia hace el papel de la letra b. Comenzamos entonces con la derivada del primer componente. Derivada de x al cuadrado es 2x. Eso multiplicado por el segundo componente sin derivar. O sea, 3x menos 1 elevado al exponente 1 medio. Ahora tenemos más a, o sea, el primer componente sin derivar x al cuadrado por la derivada del segundo componente. En ese caso vamos a utilizar el siguiente modelo. Si tenemos manzanita a la n. En este caso la manzanita es 3x menos 1 y n es un medio. Entonces la derivada de eso será n por manzanita al exponente n menos 1 y eso multiplicado por la derivada de la manzanita. Es la regla de la cadena para potencias. Esto es lo que se conoce como la derivada interna. Entonces siguiendo este modelo vamos a derivar 3x menos 1 eso elevado al exponente 1 medio. Tenemos entonces n, o sea, un medio que multiplica a 3x menos 1. Eso al exponente n menos 1, o sea, un medio menos 1 que nos da como resultado menos un medio y eso multiplicado por la derivada interna. O sea, por la derivada de 3x menos 1, que será únicamente 3. Recordemos que cuando se deriva una resta entonces derivamos cada término. Derivada de 3x es 3 y la derivada de este número es 0. Por lo tanto, la derivada de esto nos da el número 3. Ahora vamos a organizar esta expresión. Tenemos 2x que multiplica a 3x menos 1 todo esto elevado al exponente 1 medio y si acomodamos esto que tenemos acá vamos a construir una fracción. En la parte de arriba tendremos x al cuadrado por 1 y por 3 que nos da como resultado 3x al cuadrado. En la parte de abajo tenemos el 2 y esta expresión que tiene exponente negativo nos queda acá en el denominador con exponente positivo. Ahora vamos a realizar esta suma. Acá le escribimos denominador 1 a esta expresión. Tenemos entonces una suma de fracciones con distinto denominador. Entonces trazamos la línea y hacemos lo siguiente. Este componente se multiplica por este. Tenemos 2x por 2 que nos da 4x y 3x menos 1 al 1 medio multiplicada por la misma expresión. Allí dejamos la misma base, 3x menos 1 y sumamos los exponentes. Un medio más un medio nos da 2 medios que es igual a 1. Esto nos queda entonces con exponente 1 que podemos hacer invisible. Esto nos queda más 1 por 3x al cuadrado que nos da 3x al cuadrado y acá en el denominador escribimos el producto de estos dos denominadores. O sea 1 por esto que nos da 2 por 3x menos 1 y eso elevado al exponente un medio. Lo que hemos utilizado acá es lo que se conoce como la técnica de la carita feliz. En la parte de arriba estos dos componentes, luego estos dos y en el denominador el producto de los dos denominadores. Entonces por eso se llama la técnica de la carita feliz para realizar la suma o incluso la resta de dos fracciones con distinto denominador. A su vez acá podemos trabajar el numerador para que esta expresión nos quede un poco más sencilla. Tendremos lo siguiente. Acá podemos aplicar la propiedad distributiva. 4x multiplica a cada uno de esos términos y tendremos 4x por 3x que nos da 12x al cuadrado 4x por menos 1 que nos da menos 4x y escribimos el término más 3x al cuadrado. El denominador se queda tal como está. 2 que multiplica a 3x menos 1 y todo eso elevado al exponente un medio. Finalmente en el numerador podemos reducir términos semejantes. Son estos dos que contienen x al cuadrado. Entonces 12x al cuadrado más 3x al cuadrado nos da como resultado 15x al cuadrado. Anotamos el término menos 4x que no tiene semejante y todo esto nos va a quedar sobre 2 que multiplica a esta expresión y que podemos volver a escribir con su raíz cuadrada. Deshacemos la anotación de potencia y lo volvemos en forma de raíz. Acá dentro tendremos 3x menos 1. De esa manera tenemos ya el resultado de esta derivada. Recordemos que se trataba de un producto. Este resultado lo vamos a escribir por acá. Tendremos entonces aquí en este lugar la fracción que tiene 15x al cuadrado menos 4x en el numerador y 2 por la raíz cuadrada de 3x menos 1 en el denominador. Aquí ya tenemos el resultado del ejercicio. Toda esta expresión es la derivada de la función que nos dieron. Sin embargo se puede expresar de una forma más compacta. A todo esto le escribimos denominador 1 y vamos a multiplicar las dos fracciones. Tendremos entonces que f' de x será... Trazamos la línea de la fracción final y multiplicamos numeradores entre sí. Vamos a escribir primero la expresión 15x al cuadrado menos 4x, eso por e elevado al exponente x al cuadrado por la raíz cuadrada de 3x menos 1. Y todo esto nos queda sobre 1 que multiplica con esta expresión. Eso nos da 2 por la raíz cuadrada de 3x menos 1. Como decíamos, es una forma más compacta para dar la respuesta. De esta manera terminamos este ejercicio.
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Si tenemos manzanita a la n."}, {"start": 168.2, "end": 173.2, "text": " En este caso la manzanita es 3x menos 1 y n es un medio."}, {"start": 173.2, "end": 176.2, "text": " Entonces la derivada de eso ser\u00e1"}, {"start": 176.2, "end": 181.7, "text": " n por manzanita al exponente n menos 1"}, {"start": 181.7, "end": 185.7, "text": " y eso multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 185.7, "end": 189.2, "text": " Es la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 189.2, "end": 193.2, "text": " Esto es lo que se conoce como la derivada interna."}, {"start": 193.2, "end": 197.7, "text": " Entonces siguiendo este modelo vamos a derivar 3x menos 1"}, {"start": 197.7, "end": 200.7, "text": " eso elevado al exponente 1 medio."}, {"start": 200.7, "end": 204.7, "text": " Tenemos entonces n, o sea, un medio"}, {"start": 204.7, "end": 209.7, "text": " que multiplica a 3x menos 1."}, {"start": 209.7, "end": 214.7, "text": " Eso al exponente n menos 1, o sea, un medio menos 1"}, {"start": 214.7, "end": 217.7, "text": " que nos da como resultado menos un medio"}, {"start": 217.7, "end": 221.2, "text": " y eso multiplicado por la derivada interna."}, {"start": 221.2, "end": 228.2, "text": " O sea, por la derivada de 3x menos 1, que ser\u00e1 \u00fanicamente 3."}, {"start": 228.2, "end": 230.7, "text": " Recordemos que cuando se deriva una resta"}, {"start": 230.7, "end": 233.7, "text": " entonces derivamos cada t\u00e9rmino."}, {"start": 233.7, "end": 239.2, "text": " Derivada de 3x es 3 y la derivada de este n\u00famero es 0."}, {"start": 239.2, "end": 243.7, "text": " Por lo tanto, la derivada de esto nos da el n\u00famero 3."}, {"start": 243.7, "end": 247.7, "text": " Ahora vamos a organizar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 247.7, "end": 253.7, "text": " Tenemos 2x que multiplica a 3x menos 1"}, {"start": 253.7, "end": 257.7, "text": " todo esto elevado al exponente 1 medio"}, {"start": 257.7, "end": 260.2, "text": " y si acomodamos esto que tenemos ac\u00e1"}, {"start": 260.2, "end": 262.7, "text": " vamos a construir una fracci\u00f3n."}, {"start": 262.7, "end": 266.2, "text": " En la parte de arriba tendremos x al cuadrado"}, {"start": 266.2, "end": 271.7, "text": " por 1 y por 3 que nos da como resultado 3x al cuadrado."}, {"start": 271.7, "end": 273.7, "text": " En la parte de abajo tenemos el 2"}, {"start": 273.7, "end": 277.7, "text": " y esta expresi\u00f3n que tiene exponente negativo"}, {"start": 277.7, "end": 284.2, "text": " nos queda ac\u00e1 en el denominador con exponente positivo."}, {"start": 284.2, "end": 287.2, "text": " Ahora vamos a realizar esta suma."}, {"start": 287.2, "end": 292.2, "text": " Ac\u00e1 le escribimos denominador 1 a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 292.2, "end": 294.7, "text": " Tenemos entonces una suma de fracciones"}, {"start": 294.7, "end": 297.2, "text": " con distinto denominador."}, {"start": 297.2, "end": 302.2, "text": " Entonces trazamos la l\u00ednea y hacemos lo siguiente."}, {"start": 302.2, "end": 304.7, "text": " Este componente se multiplica por este."}, {"start": 304.7, "end": 308.7, "text": " Tenemos 2x por 2 que nos da 4x"}, {"start": 308.7, "end": 314.2, "text": " y 3x menos 1 al 1 medio multiplicada por la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 314.2, "end": 318.2, "text": " All\u00ed dejamos la misma base, 3x menos 1"}, {"start": 318.2, "end": 320.7, "text": " y sumamos los exponentes."}, {"start": 320.7, "end": 325.2, "text": " Un medio m\u00e1s un medio nos da 2 medios que es igual a 1."}, {"start": 325.2, "end": 327.7, "text": " Esto nos queda entonces con exponente 1"}, {"start": 327.7, "end": 330.7, "text": " que podemos hacer invisible."}, {"start": 330.7, "end": 334.7, "text": " Esto nos queda m\u00e1s 1 por 3x al cuadrado"}, {"start": 334.7, "end": 337.2, "text": " que nos da 3x al cuadrado"}, {"start": 337.2, "end": 340.7, "text": " y ac\u00e1 en el denominador escribimos el producto"}, {"start": 340.7, "end": 343.2, "text": " de estos dos denominadores."}, {"start": 343.2, "end": 350.7, "text": " O sea 1 por esto que nos da 2 por 3x menos 1"}, {"start": 350.7, "end": 355.2, "text": " y eso elevado al exponente un medio."}, {"start": 355.2, "end": 358.7, "text": " Lo que hemos utilizado ac\u00e1 es lo que se conoce"}, {"start": 358.7, "end": 361.2, "text": " como la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 361.2, "end": 364.2, "text": " En la parte de arriba estos dos componentes,"}, {"start": 364.2, "end": 367.7, "text": " luego estos dos y en el denominador"}, {"start": 367.7, "end": 370.2, "text": " el producto de los dos denominadores."}, {"start": 370.2, "end": 374.2, "text": " Entonces por eso se llama la t\u00e9cnica de la carita feliz"}, {"start": 374.2, "end": 377.7, "text": " para realizar la suma o incluso la resta"}, {"start": 377.7, "end": 381.2, "text": " de dos fracciones con distinto denominador."}, {"start": 381.2, "end": 384.7, "text": " A su vez ac\u00e1 podemos trabajar el numerador"}, {"start": 384.7, "end": 389.2, "text": " para que esta expresi\u00f3n nos quede un poco m\u00e1s sencilla."}, {"start": 389.2, "end": 391.7, "text": " Tendremos lo siguiente."}, {"start": 391.7, "end": 396.7, "text": " Ac\u00e1 podemos aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 396.7, "end": 400.2, "text": " 4x multiplica a cada uno de esos t\u00e9rminos"}, {"start": 400.2, "end": 405.7, "text": " y tendremos 4x por 3x que nos da 12x al cuadrado"}, {"start": 405.7, "end": 409.7, "text": " 4x por menos 1 que nos da menos 4x"}, {"start": 409.7, "end": 413.7, "text": " y escribimos el t\u00e9rmino m\u00e1s 3x al cuadrado."}, {"start": 413.7, "end": 417.2, "text": " El denominador se queda tal como est\u00e1."}, {"start": 417.2, "end": 420.7, "text": " 2 que multiplica a 3x menos 1"}, {"start": 420.7, "end": 424.7, "text": " y todo eso elevado al exponente un medio."}, {"start": 424.7, "end": 426.7, "text": " Finalmente en el numerador"}, {"start": 426.7, "end": 429.7, "text": " podemos reducir t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 429.7, "end": 433.7, "text": " Son estos dos que contienen x al cuadrado."}, {"start": 433.7, "end": 437.7, "text": " Entonces 12x al cuadrado m\u00e1s 3x al cuadrado"}, {"start": 437.7, "end": 441.2, "text": " nos da como resultado 15x al cuadrado."}, {"start": 441.2, "end": 445.7, "text": " Anotamos el t\u00e9rmino menos 4x que no tiene semejante"}, {"start": 445.7, "end": 448.7, "text": " y todo esto nos va a quedar sobre 2"}, {"start": 448.7, "end": 451.2, "text": " que multiplica a esta expresi\u00f3n"}, {"start": 451.2, "end": 455.7, "text": " y que podemos volver a escribir con su ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 455.7, "end": 458.2, "text": " Deshacemos la anotaci\u00f3n de potencia"}, {"start": 458.2, "end": 461.2, "text": " y lo volvemos en forma de ra\u00edz."}, {"start": 461.2, "end": 465.7, "text": " Ac\u00e1 dentro tendremos 3x menos 1."}, {"start": 465.7, "end": 470.2, "text": " De esa manera tenemos ya el resultado de esta derivada."}, {"start": 470.2, "end": 473.2, "text": " Recordemos que se trataba de un producto."}, {"start": 473.2, "end": 477.2, "text": " Este resultado lo vamos a escribir por ac\u00e1."}, {"start": 477.2, "end": 480.7, "text": " Tendremos entonces aqu\u00ed en este lugar"}, {"start": 480.7, "end": 485.2, "text": " la fracci\u00f3n que tiene 15x al cuadrado"}, {"start": 485.2, "end": 488.7, "text": " menos 4x en el numerador"}, {"start": 488.7, "end": 493.7, "text": " y 2 por la ra\u00edz cuadrada de 3x menos 1"}, {"start": 493.7, "end": 496.7, "text": " en el denominador."}, {"start": 496.7, "end": 500.2, "text": " Aqu\u00ed ya tenemos el resultado del ejercicio."}, {"start": 500.2, "end": 503.2, "text": " Toda esta expresi\u00f3n es la derivada"}, {"start": 503.2, "end": 505.2, "text": " de la funci\u00f3n que nos dieron."}, {"start": 505.2, "end": 509.7, "text": " Sin embargo se puede expresar de una forma m\u00e1s compacta."}, {"start": 509.7, "end": 513.2, "text": " A todo esto le escribimos denominador 1"}, {"start": 513.2, "end": 516.7, "text": " y vamos a multiplicar las dos fracciones."}, {"start": 516.7, "end": 521.7, "text": " Tendremos entonces que f' de x ser\u00e1..."}, {"start": 521.7, "end": 525.2, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n final"}, {"start": 525.2, "end": 528.2, "text": " y multiplicamos numeradores entre s\u00ed."}, {"start": 528.2, "end": 533.2, "text": " Vamos a escribir primero la expresi\u00f3n 15x al cuadrado"}, {"start": 533.2, "end": 540.7, "text": " menos 4x, eso por e elevado al exponente x al cuadrado"}, {"start": 540.7, "end": 545.2, "text": " por la ra\u00edz cuadrada de 3x menos 1."}, {"start": 545.2, "end": 548.7, "text": " Y todo esto nos queda sobre 1"}, {"start": 548.7, "end": 551.2, "text": " que multiplica con esta expresi\u00f3n."}, {"start": 551.2, "end": 556.7, "text": " Eso nos da 2 por la ra\u00edz cuadrada de 3x menos 1."}, {"start": 556.7, "end": 560.2, "text": " Como dec\u00edamos, es una forma m\u00e1s compacta"}, {"start": 560.2, "end": 562.7, "text": " para dar la respuesta."}, {"start": 562.7, "end": 566.2, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]