DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 12
#julioprofe explica cómo obtener dos segundas #DerivadasParciales de una función logarítmica que depende de tres variables.

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 Los piden determinar estas segundas derivadas parciales para esta función que depende de tres variables. Comenzamos con fx, que será la derivada parcial de la función f con respecto de la variable x. En este caso hacemos que las letras y y z se comporten como constantes. Observamos allí un logaritmo natural de esta expresión. Entonces vamos a recordar cómo se deriva ese tipo de situación. Recordemos que el logaritmo natural de la manzanita, la derivada de esa expresión, se construye de la siguiente manera. Trazamos una línea. Acá en el denominador escribimos la manzanita, es decir, el argumento del logaritmo, y acá en la parte superior la derivada de la manzanita. Esta es la estructura para derivar el logaritmo natural de una expresión. Entonces vamos con esto que nos dieron. Tenemos el logaritmo natural de todo esto, será entonces trazar una línea y en la parte inferior vamos a escribir lo que corresponde a la manzanita, es decir, la expresión x al cuadrado más y al cubo y eso más z a la 4. Allí tenemos lo que es la manzanita sin derivar, eso es lo que va en el denominador. Ahora en la parte superior vamos a derivar la manzanita, es decir, vamos a derivar esta expresión que tenemos acá, pero teniendo en cuenta que la derivada ocurre con respecto de la variable x. Recordemos y y z se comportan como constantes. Como tenemos una suma de términos, entonces vamos derivando uno por uno. La derivada de x al cuadrado sería 2x. Allí tenemos la derivada de esto con respecto a x. Para el caso de estos dos términos, como ya y y z se comportan como constantes, entonces sus derivadas serán cero. Por lo tanto, la derivada de lo que corresponde a la manzanita, es decir, la prima, en este caso es solamente 2x. Ahora vamos a determinar esto, es decir, fx, que será la derivada parcial de fx con respecto de la variable x. Es decir, esto que acabamos de obtener que es fx, vamos a volverlo a derivar con respecto de la variable x. Quiere decir que otra vez las letras y y z se comportan como constantes. Vemos que la variable x aparece en el numerador y en el denominador. Por lo tanto, aquí, para efectuar la derivación, vamos a utilizar la regla del cociente. Vamos a recordarla por acá. Si tenemos un cociente a sobre b, entonces su derivada se construye de la siguiente manera. Tenemos la derivada del numerador, es decir, a' por el denominador sin derivar, esto menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, es decir, b'. Y todo esto nos queda sobre el denominador sin derivar, es decir, b elevado al cuadrado. Entonces, siguiendo esta instrucción, vamos a obtener la derivada de esta expresión con respecto de la variable x. Comenzamos entonces con la derivada del numerador. La derivada de 2x con respecto de la variable x será 2. Allí tenemos la derivada del numerador. Esto va multiplicado por el denominador sin derivar. Entonces, abrimos paréntesis y escribimos x al cuadrado más y al cubo más z a la 4 en su interior. Cerramos el paréntesis. Después tenemos menos el numerador sin derivar, es decir, 2x, y eso multiplicado por la derivada del denominador, es decir, la derivada de esta expresión pero en relación con la variable x. Recordemos, y y z son constantes. Tal como vimos ahora, la derivada de estos dos términos será 0. Por lo tanto, solamente derivamos x al cuadrado. Su derivada es 2x. Podemos escribirlo así sin necesidad de paréntesis. Y ahora, en el denominador va lo que tenemos acá, es decir, x al cuadrado más y al cubo más z a la 4 y todo eso elevado al cuadrado. Entonces, protegemos con paréntesis y aquí escribimos el exponente 2. En el numerador vamos a romper este paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Entonces tenemos 2 por x al cuadrado, que es 2x al cuadrado. Luego tenemos 2 por más y al cubo, que será más 2y al cubo. Y luego tenemos 2 por más z a la 4, será más 2z a la 4. Y después tenemos menos 2x por 2x, que será menos 4x al cuadrado. En el denominador permanece la misma expresión. Esa la dejamos indicada. X al cuadrado más y al cubo más z a la 4 y todo esto elevado al cuadrado. Finalmente, en el numerador podemos operar términos semejantes. Es el caso de estos dos que contienen x al cuadrado. Entonces tendremos que fxx será igual a lo siguiente. 2x al cuadrado menos 4x al cuadrado nos da menos 2x al cuadrado. Luego tenemos más 2y al cubo y finalmente más 2z a la 4. Eso es lo que nos queda en el numerador. Y en el denominador tendremos la misma expresión. Es decir, abrimos paréntesis x al cuadrado más y al cubo más z a la 4 y todo esto elevado al cuadrado. Podríamos dejar la respuesta de esa manera. También en el numerador se podría extraer como factor común el número 2 y acomodar los términos de tal manera que empecemos con un término positivo. Haciendo eso nos quedaría así. Extraemos el 2, abrimos paréntesis y podemos iniciar con y al cubo término positivo, luego más z a la 4 y finalmente menos x al cuadrado. Es otra manera de presentar la respuesta. Todo esto nos queda sobre la misma expresión. X al cuadrado más y al cubo más z a la 4 y todo esto elevado al cuadrado. Así hemos encontrado la respuesta de la primera pregunta. Es decir, la segunda derivada parcial de esa función en relación con la variable x. Ahora vamos con el proceso para encontrar esto que nos preguntan acá, es decir, fx y. ¿Qué será la derivada parcial de fx pero ahora en relación con la variable y? Quiere decir que esta expresión de acá tenemos que derivarla solamente con respecto de esta letra, de la letra y. Quiere decir que x y z en esta ocasión se comportarán como constantes. Como vemos, la variable que nos interesa que es la y, únicamente aparece en el denominador, acá en el numerador no está. Por lo tanto, esto se puede reescribir de la siguiente forma. Dejamos 2x, es decir, el numerador y todo esto que tiene acá exponente invisible 1, entonces lo trasladamos al numerador, llega a multiplicar y nos va a quedar con exponente de signo contrario, es decir, nos va a quedar con exponente menos 1. Entonces repetimos, esta expresión que es fx se reescribe de esta manera trasladando el denominador acá al numerador cambiando de signo el exponente para poder iniciar la derivada en relación con la variable y. Teniendo en cuenta que aquí las letras x y z son constantes y que la única variable es y, entonces para derivar esta expresión vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias. Vamos a recordar su modelo. Si tenemos manzanita a la n, entonces su derivada será n por la manzanita sin derivar elevada al exponente n menos 1 y esto multiplicado por la derivada interna, es decir, la derivada de la manzanita. En este caso, esta sería la manzanita y esto de acá sería n, pero vemos que hay acá una cantidad por delante que es constante, entonces simplemente cuando baja el exponente multiplica con esta cantidad. Tendremos entonces que la derivada que buscamos será menos 1 que baja a multiplicar con 2x, eso nos queda menos 2x, luego multiplicado por la manzanita sin derivar, es decir, x al cuadrado más y al cubo más z a la 4, todo esto elevada al exponente n menos 1, es decir, menos 1 menos 1 que nos da menos 2 y eso multiplicado por la derivada interna, es decir, la derivada de la manzanita, la derivada de esta expresión pero en relación con la variable y. Recordemos que x y z son constantes, la derivada de esto es 0, la derivada de esto también es 0, entonces solamente derivamos y al cubo que nos da 3y al cuadrado, allí tendríamos entonces la derivada de esa expresión en bruto, ahora lo que hacemos es entrar a pulirla. Tendremos entonces que f x y es igual a lo siguiente, multiplicamos menos 2x por 3y al cuadrado y eso nos da menos 6x y al cuadrado y todo esto que tiene exponente negativo lo trasladamos al denominador para que nos quede con exponente positivo, aplicamos esa propiedad de la potenciación, entonces por acá en el denominador tendremos x al cuadrado más y al cubo más z a la 4 y todo esto elevado al exponente 2, repetimos el signo del exponente nos cambia, revisamos acá y vemos que no es posible simplificar nada más, por lo tanto esta será la respuesta de lo otro que nos pedían, otra segunda derivada parcial para esa función que depende de tres variables.
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Quiere decir que x y z en esta ocasi\u00f3n se comportar\u00e1n como constantes. Como vemos,"}, {"start": 471.5, "end": 477.26, "text": " la variable que nos interesa que es la y, \u00fanicamente aparece en el denominador, ac\u00e1"}, {"start": 477.26, "end": 483.74, "text": " en el numerador no est\u00e1. Por lo tanto, esto se puede reescribir de la siguiente forma."}, {"start": 483.74, "end": 491.74, "text": " Dejamos 2x, es decir, el numerador y todo esto que tiene ac\u00e1 exponente invisible 1,"}, {"start": 491.74, "end": 499.1, "text": " entonces lo trasladamos al numerador, llega a multiplicar y nos va a quedar con exponente"}, {"start": 499.1, "end": 506.94, "text": " de signo contrario, es decir, nos va a quedar con exponente menos 1. 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