ÁREA BAJO UNA CURVA - Ejercicio 3 - ft. Casio Classwiz
#julioprofe explica cómo hallar el área bajo la curva y=x³-x²-20x en el II cuadrante, haciendo el proceso manualmente y utilizando la calculadora Casio #Classwiz fx-991LA X para:

- Generar la tabla de puntos para la curva;
- Obtener el código QR de lo anterior, para visualizar la gráfica de la función en el sitio web de Casio;
- Comprobar la integral definida correspondiente al área solicitada.

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 Tenemos en este caso un ejercicio de cálculo integral. Exactamente se trata de una aplicación de la integral definida y consiste en determinar el área bajo la curva, y igual a x al cubo menos x al cuadrado menos 20x en el segundo cuadrante. Vamos a resolver este ejercicio manualmente paso a paso y vamos a apoyarnos también con la calculadora Casio-Claswitz. Para plantear la integral definida que nos permite hallar el área requerida, entonces necesitamos conocer la gráfica de esta función y podemos comenzar determinando los puntos de corte o los cortes con el eje x. Para lo cual debemos igualar la función a cero, y es igual a cero o la función se igual a cero, en ese caso tenemos x al cubo menos x al cuadrado menos 20x igual a cero, es decir una ecuación cúbica o de grado 3. Para resolverla podemos utilizar la factorización, vemos que en este trinomio es posible extraer como factor común la x de menor exponente, es decir x a la 1, si sale la x nos queda dentro del paréntesis x al cuadrado menos x menos 20, cerramos el paréntesis y todo esto sigue igual a cero. Y acá tenemos un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, entonces podemos aplicar el caso de factorización que lleva ese nombre, entonces abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería x, la anotamos al comienzo de cada paréntesis. Ahora definimos los signos, aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos y menos por menos nos da más. Ahora buscamos dos números, uno negativo y otro positivo, que multiplicados entre sí nos de como resultado menos 20 y que al sumarlos nos de como resultado menos 1, es decir el coeficiente del segundo término, esos números son menos 5 y más 4, veamos, menos 5 por más 4 es menos 20 y menos 5 más 4 es menos 1 y todo esto permanece igual a cero. Ahora aplicamos el teorema del factor nulo, recordemos que si a por b por c es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero o c es igual a cero, en otras palabras cada uno de estos factores debe igualarse a cero, entonces tenemos el primer factor que es x igualado a cero y allí ya tenemos una solución para esa ecuación, luego tenemos o x menos 5 igual a cero o el otro factor x más 4 también igual a cero, entonces de aquí vamos a despejar x en cada caso, en el primero tenemos x igual a 5 y en el segundo nos queda x igual a menos 4. De esta manera obtenemos los tres valores que satisfacen esta ecuación cúbica o de tercer grado y constituyen los puntos de corte de esta función con el eje x, vamos a ubicar toda esta información por acá. Ahora en un plano cartesiano podemos localizar esta información que ya encontramos, los puntos de corte con el eje x que ocurren en menos 4, en cero y en 5, entonces ya sabemos que esta función va a hacer contacto con el eje x en esos puntos. Con esa información ya podemos establecer dos posibilidades para la gráfica de esta función que será una curva suave que pasa por estos tres puntos, entonces una posibilidad es que sea así y la otra es que tenga esta forma, podríamos entonces generar puntos para trazar la gráfica de dicha curva y eso lo podemos hacer aquí en la calculadora Casio ClassWiz con la opción de tabla, veamos cómo se hace, presionamos el botón menú y en pantalla se observan los iconos o accesos directos a las distintas funciones de la calculadora, nos movemos hacia abajo dos veces hasta llegar al icono identificado con el número 9, el que corresponde a las tablas, presionamos el botón igual para ingresar allí y nos aparece en pantalla f de x igual, es decir allí vamos a ingresar la función, es decir la que tenemos denotada como y, entonces tenemos x al cubo, presionamos el botón de la x y elevamos al cubo presionando el botón shift y luego el botón de x al cuadrado, allí nos aparece el exponente 3, después tenemos menos x al cuadrado, entonces menos botón de la x y luego el botón de elevar al cuadrado y después tenemos menos 20x, entonces menos 20 y luego el botón de la x, allí ya tenemos en pantalla la función f de x que es la misma que tenemos denotada como y, ahora presionamos el botón igual y nos aparece en pantalla la posibilidad de ingresar una segunda función g de x, en este caso no la tenemos, entonces presionamos igual y llegamos a otra pantalla donde nos aparece el valor inicial para x, el valor final y el paso, es decir los incrementos en x desde el valor inicial hasta llegar al valor final, como valor inicial podemos establecer por ejemplo menos 8, entonces botón del signo negativo luego el 8, presionamos igual, como valor final podríamos escoger por ejemplo 8 si para tener un amplio margen o intervalo de valores de x, presionamos igual y el paso lo podemos dejar en 1, es decir que los incrementos van a ser de 1 en 1, presionamos igual y nos aparece en pantalla la tabla de valores para esa función f de x la que estamos trabajando con valores de x comprendidos entre menos 8 y 8, ahora como esta no es una calculadora graficadora sino científica estándar podemos generar su respectivo código qr para visualizar la gráfica, entonces presionamos el botón shift y luego el botón de opciones y nos aparece en pantalla el código qr, ahora lo que hacemos es escanear dicho código utilizando preferiblemente la aplicación Casio edu más que es gratuita y que cuenta con el lector para dicho código que nos genera la calculadora, veamos como se hace, una vez instalada la aplicación casio edu más en nuestro teléfono entonces la abrimos y seleccionamos la opción de código qr de esa manera habilitamos el lector para escanear el código que nos generó la calculadora, una vez que se produce la lectura presionamos el botón azul para conectarnos con el sitio web de casio, allí podemos observar la función f de x igual a x al cubo menos x al cuadrado menos 20x y más abajo vemos el gráfico que podemos ampliar, entonces con eso ya tenemos una idea de la curva vemos entonces los puntos de corte o contacto con el eje x que ocurren en x igual a menos 4 en x igual a 0 y en x igual a 5, entonces con eso ya podemos plantear la integral definida para determinar el área bajo la curva en el segundo cuadrante. Entonces aquí tenemos la forma de la curva la que nos ha suministrado la calculadora casio classwiss ya que se observa el área que debemos determinar se trata del área bajo esa función bajo esa curva en el segundo cuadrante vamos a llamarla a mayúscula y por acá vamos a plantear la integral definida para determinarla, entonces será la integral comprendida entre menos 4 y 0 esos serán los límites de integración de esta función la curva x al cubo menos x al cuadrado menos 20x todo esto protegido con paréntesis y con su correspondiente diferencial de x. Vamos entonces a resolver esa integral que es de tipo directa o inmediata es decir no necesitamos aplicar aquí ningún método de integración simplemente integramos cada uno de esos términos la integral de x al cubo es x a la 4 sobre 4 pasamos al siguiente término donde la integral de x al cuadrado será x al cubo sobre 3 y vamos al otro término donde menos 20 se deja quieto e integramos x, x tiene exponente 1 entonces nos queda x a la 2 sobre 2 no escribimos la constante de integración porque estamos resolviendo una integral definida pero en cambio anotamos los límites de integración que son menos 4 y 0 en seguida podemos simplificar este término lo que es 20 y 2 ambos números tienen mitad mitad de 20 es 10 y mitad de 2 es 1 y ahora sí podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo vamos a evaluar los límites de integración primero el superior y después el inferior si reemplazamos el límite superior que es 0 en cada uno de estos términos vemos que todo eso nos dará 0 entonces ya tenemos allí digamos el resultado de evaluar el límite superior en la expresión obtenida y a eso le restamos la evaluación del límite inferior que es menos 4 entonces entra aquí menos 4 a la 4 todo esto sobre 4 luego tenemos menos entre paréntesis menos 4 al cubo sobre 3 y después tenemos menos 10 por el valor de x que ahora es menos 4 y eso elevado al cuadrado y cerramos la llave continuamos por acá entonces tenemos 0 esto lo podemos omitir luego menos abrimos la llave que protege toda esta expresión vamos desarrollando cada una de estas operaciones menos 4 a la 4 nos da 256 positivo y 256 dividido entre 4 es 64 luego tenemos menos 4 al cubo que es menos 64 pero con este menos nos queda más entonces tendremos más 64 tercios y después tenemos menos 4 al cuadrado que es 16 positivo pero 16 por menos 10 es menos 160 y cerramos la llave continuamos resolviendo eso que tenemos entonces a es igual a menos abrimos la llave 64 menos 160 es menos 96 y eso queda sumando con la fracción 64 tercios y cerramos la llave ahora podemos destruir esa llave distribuyendo el signo negativo entonces tendremos a igual a lo siguiente menos por menos nos da más nos queda 96 positivo y menos por más es menos 64 tercios y vamos a resolver esa operación podemos aplicar entonces el truco de la carita feliz le escribimos 1 como denominador al 96 entonces hacemos lo siguiente por acá en la parte superior tenemos el producto de 96 por 3 que sería 288 luego tenemos menos el producto de 1 por 64 que es 64 y acá en el denominador el producto de 1 por 3 que sería 3 entonces hemos aplicado la carita feliz para sumar o en este caso restar dos fracciones con distinto denominador finalmente resolvemos esta operación del numerador 288 menos 64 nos da 224 y esto queda con denominador 3 una fracción irreducible que no se puede simplificar y le escribimos las unidades al cuadrado correspondientes al área de esa región que tenemos en esta situación el área bajo esta curva en el segundo cuadrante así terminamos el ejercicio utilizando la calculadora casio clasuis podemos hacer la comprobación de esa integral definida que resolvimos manualmente veamos cómo se hace oprimimos el botón de integral definida y en pantalla nos aparece el símbolo de la integral con los cuadritos correspondientes a los límites de integración y un cuadrito más grande donde vamos a ingresar la función allí está parpadeando el cursor entonces vamos a abrir el paréntesis luego ingresamos x al cubo botón de la x luego botón shift y botón de x al cuadrado para que nos aparezca el exponente 3 luego tenemos menos x al cuadrado y después menos 20 x cerramos el paréntesis y allí ya tenemos la función en el integrando corremos el cursor a la derecha y él se sitúa en el límite inferior donde vamos a ingresar menos 4 entonces botón del signo negativo luego el 4 corremos el cursor a la derecha él se sitúa ahora en el límite superior donde vamos a ingresar el 0 allí ya tenemos entonces la integral definida en pantalla presionamos el botón igual y obtenemos como resultado 224 tercios el resultado que habíamos obtenido manualmente de esta manera comprobamos que ese proceso que hicimos para determinar el área bajo esa curva es correcto. Encontramos las calculadoras Casio-Clazuis en Papelerías Tauro.
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Entonces aqu\u00ed tenemos la forma de la curva la que nos ha suministrado"}, {"start": 463.92, "end": 470.58000000000004, "text": " la calculadora casio classwiss ya que se observa el \u00e1rea que debemos determinar se trata del"}, {"start": 470.58, "end": 477.84, "text": " \u00e1rea bajo esa funci\u00f3n bajo esa curva en el segundo cuadrante vamos a llamarla a may\u00fascula"}, {"start": 477.84, "end": 483.59999999999997, "text": " y por ac\u00e1 vamos a plantear la integral definida para determinarla, entonces ser\u00e1 la integral"}, {"start": 483.59999999999997, "end": 490.82, "text": " comprendida entre menos 4 y 0 esos ser\u00e1n los l\u00edmites de integraci\u00f3n de esta funci\u00f3n"}, {"start": 490.82, "end": 499.4, "text": " la curva x al cubo menos x al cuadrado menos 20x todo esto protegido con par\u00e9ntesis y"}, {"start": 499.4, "end": 506.35999999999996, "text": " con su correspondiente diferencial de x. Vamos entonces a resolver esa integral que es de"}, {"start": 506.35999999999996, "end": 513.28, "text": " tipo directa o inmediata es decir no necesitamos aplicar aqu\u00ed ning\u00fan m\u00e9todo de integraci\u00f3n"}, {"start": 513.28, "end": 520.64, "text": " simplemente integramos cada uno de esos t\u00e9rminos la integral de x al cubo es x a la 4 sobre"}, {"start": 520.64, "end": 527.52, "text": " 4 pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde la integral de x al cuadrado ser\u00e1 x al cubo sobre 3 y"}, {"start": 527.52, "end": 534.28, "text": " vamos al otro t\u00e9rmino donde menos 20 se deja quieto e integramos x, x tiene exponente 1"}, {"start": 534.28, "end": 541.24, "text": " entonces nos queda x a la 2 sobre 2 no escribimos la constante de integraci\u00f3n porque estamos"}, {"start": 541.24, "end": 547.8, "text": " resolviendo una integral definida pero en cambio anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 547.8, "end": 555.54, "text": " que son menos 4 y 0 en seguida podemos simplificar este t\u00e9rmino lo que es 20 y 2 ambos n\u00fameros"}, {"start": 555.54, "end": 562.64, "text": " tienen mitad mitad de 20 es 10 y mitad de 2 es 1 y ahora s\u00ed podemos aplicar el teorema"}, {"start": 562.64, "end": 569.0, "text": " fundamental del c\u00e1lculo vamos a evaluar los l\u00edmites de integraci\u00f3n primero el superior"}, {"start": 569.0, "end": 575.0799999999999, "text": " y despu\u00e9s el inferior si reemplazamos el l\u00edmite superior que es 0 en cada uno de estos"}, {"start": 575.0799999999999, "end": 581.98, "text": " t\u00e9rminos vemos que todo eso nos dar\u00e1 0 entonces ya tenemos all\u00ed digamos el resultado de evaluar"}, {"start": 581.98, "end": 588.04, "text": " el l\u00edmite superior en la expresi\u00f3n obtenida y a eso le restamos la evaluaci\u00f3n del l\u00edmite"}, {"start": 588.04, "end": 596.6800000000001, "text": " inferior que es menos 4 entonces entra aqu\u00ed menos 4 a la 4 todo esto sobre 4 luego tenemos"}, {"start": 596.6800000000001, "end": 605.08, "text": " menos entre par\u00e9ntesis menos 4 al cubo sobre 3 y despu\u00e9s tenemos menos 10 por el valor"}, {"start": 605.08, "end": 612.6800000000001, "text": " de x que ahora es menos 4 y eso elevado al cuadrado y cerramos la llave continuamos por"}, {"start": 612.6800000000001, "end": 620.6800000000001, "text": " ac\u00e1 entonces tenemos 0 esto lo podemos omitir luego menos abrimos la llave que protege toda"}, {"start": 620.6800000000001, "end": 626.8000000000001, "text": " esta expresi\u00f3n vamos desarrollando cada una de estas operaciones menos 4 a la 4 nos da"}, {"start": 626.8, "end": 638.56, "text": " 256 positivo y 256 dividido entre 4 es 64 luego tenemos menos 4 al cubo que es menos 64 pero"}, {"start": 638.56, "end": 646.12, "text": " con este menos nos queda m\u00e1s entonces tendremos m\u00e1s 64 tercios y despu\u00e9s tenemos menos 4"}, {"start": 646.12, "end": 655.64, "text": " al cuadrado que es 16 positivo pero 16 por menos 10 es menos 160 y cerramos la llave"}, {"start": 655.64, "end": 663.4, "text": " continuamos resolviendo eso que tenemos entonces a es igual a menos abrimos la llave 64 menos"}, {"start": 663.4, "end": 673.0, "text": " 160 es menos 96 y eso queda sumando con la fracci\u00f3n 64 tercios y cerramos la llave ahora"}, {"start": 673.0, "end": 680.08, "text": " podemos destruir esa llave distribuyendo el signo negativo entonces tendremos a igual"}, {"start": 680.08, "end": 686.24, "text": " a lo siguiente menos por menos nos da m\u00e1s nos queda 96 positivo y menos por m\u00e1s es"}, {"start": 686.24, "end": 695.4000000000001, "text": " menos 64 tercios y vamos a resolver esa operaci\u00f3n podemos aplicar entonces el truco de la carita"}, {"start": 695.4000000000001, "end": 703.32, "text": " feliz le escribimos 1 como denominador al 96 entonces hacemos lo siguiente por ac\u00e1"}, {"start": 703.32, "end": 711.6400000000001, "text": " en la parte superior tenemos el producto de 96 por 3 que ser\u00eda 288 luego tenemos menos"}, {"start": 711.6400000000001, "end": 721.2800000000001, "text": " el producto de 1 por 64 que es 64 y ac\u00e1 en el denominador el producto de 1 por 3 que"}, {"start": 721.2800000000001, "end": 728.2800000000001, "text": " ser\u00eda 3 entonces hemos aplicado la carita feliz para sumar o en este caso restar dos"}, {"start": 728.28, "end": 736.24, "text": " fracciones con distinto denominador finalmente resolvemos esta operaci\u00f3n del numerador 288"}, {"start": 736.24, "end": 744.52, "text": " menos 64 nos da 224 y esto queda con denominador 3 una fracci\u00f3n irreducible que no se puede"}, {"start": 744.52, "end": 751.36, "text": " simplificar y le escribimos las unidades al cuadrado correspondientes al \u00e1rea de esa"}, {"start": 751.36, "end": 758.52, "text": " regi\u00f3n que tenemos en esta situaci\u00f3n el \u00e1rea bajo esta curva en el segundo cuadrante"}, {"start": 758.52, "end": 763.96, "text": " as\u00ed terminamos el ejercicio utilizando la calculadora casio clasuis podemos hacer la"}, {"start": 763.96, "end": 770.44, "text": " comprobaci\u00f3n de esa integral definida que resolvimos manualmente veamos c\u00f3mo se hace"}, {"start": 770.44, "end": 775.72, "text": " oprimimos el bot\u00f3n de integral definida y en pantalla nos aparece el s\u00edmbolo de la"}, {"start": 775.72, "end": 781.24, "text": " integral con los cuadritos correspondientes a los l\u00edmites de integraci\u00f3n y un cuadrito"}, {"start": 781.24, "end": 787.84, "text": " m\u00e1s grande donde vamos a ingresar la funci\u00f3n all\u00ed est\u00e1 parpadeando el cursor entonces"}, {"start": 787.84, "end": 795.0, "text": " vamos a abrir el par\u00e9ntesis luego ingresamos x al cubo bot\u00f3n de la x luego bot\u00f3n shift"}, {"start": 795.0, "end": 802.84, "text": " y bot\u00f3n de x al cuadrado para que nos aparezca el exponente 3 luego tenemos menos x al cuadrado"}, {"start": 802.84, "end": 811.44, "text": " y despu\u00e9s menos 20 x cerramos el par\u00e9ntesis y all\u00ed ya tenemos la funci\u00f3n en el integrando"}, {"start": 811.44, "end": 817.8000000000001, "text": " corremos el cursor a la derecha y \u00e9l se sit\u00faa en el l\u00edmite inferior donde vamos a ingresar"}, {"start": 817.8000000000001, "end": 824.2800000000001, "text": " menos 4 entonces bot\u00f3n del signo negativo luego el 4 corremos el cursor a la derecha"}, {"start": 824.2800000000001, "end": 831.0400000000001, "text": " \u00e9l se sit\u00faa ahora en el l\u00edmite superior donde vamos a ingresar el 0 all\u00ed ya tenemos"}, {"start": 831.04, "end": 837.04, "text": " entonces la integral definida en pantalla presionamos el bot\u00f3n igual y obtenemos como"}, {"start": 837.04, "end": 845.28, "text": " resultado 224 tercios el resultado que hab\u00edamos obtenido manualmente de esta manera comprobamos"}, {"start": 845.28, "end": 855.7199999999999, "text": " que ese proceso que hicimos para determinar el \u00e1rea bajo esa curva es correcto."}, {"start": 855.72, "end": 880.5600000000001, "text": " Encontramos las calculadoras Casio-Clazuis en Papeler\u00edas Tauro."}]