PUNTOS CRÍTICOS EN UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo hallar los puntos críticos de una función de dos variables, decidiendo si son máximos, mínimos o puntos de silla.

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 Para esta función de dos variables vamos a determinar si tiene puntos máximos, mínimos o puntos de silla. Comenzamos por encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden. Vamos con las de primer orden. Tenemos fx, o sea la derivada parcial de la función con respecto a la variable x. Recordemos que allí la otra variable, o sea la y, se comporta como una constante. Tenemos entonces la derivada de este término que es 28x, la derivada de este término que sería menos 6x al cuadrado, la derivada de este término sería cero porque aquí no tenemos la x, todo esto es constante. Y la derivada de este término con respecto a x sería más 4y. Tenemos entonces la primera derivada de la función con respecto a x. Vamos ahora con la derivada parcial con respecto a la variable y. Ahora la letra x es la que se comporta como constante. Comencemos. Derivada de este término sería cero porque aquí no tenemos la y. Lo mismo sucede con este término. Su derivada es cero. Llegamos a este, donde la derivada es 4y. Y para este último término su derivada parcial con respecto a y es más 4x. Estas son las derivadas parciales del primer orden. Vamos ahora con las de segundo orden. Comenzamos con fxx, que significa la derivada parcial de esta fx nuevamente con respecto a x. Entonces aquí vamos a considerar la y como constante. Comenzamos con la derivada de 28x que sería 28 y la derivada de este término que sería menos 12x. Para el caso de 4y su derivada es cero porque aquí no tenemos la x que es la variable que controla esta derivada de segundo orden. Vamos ahora con la derivada de fx nuevamente con respecto a y. Ahora la x será constante. Entonces tenemos derivada de 4y que es 4 y la derivada de 4x por ser un término constante es cero. Nos queda por encontrar lo que es la derivada mixta o cruzada fxy que significa la derivada de fx con respecto a la variable y. O sea que la x se comporta como constante. Entonces la derivada de este término sería cero. Lo mismo sucede con este término que no contiene la y, su derivada es cero. Y llegamos a este donde la derivada parcial con respecto a y es 4. Recordemos que esta nos da lo mismo que si calculamos fx. O sea derivar esta con respecto a x. En ese caso la derivada de esto es cero y la derivada de 4x nos da el mismo número 4. Por aquí escribimos las derivadas parciales que encontramos. Las de primer orden y las de segundo orden. Y enseguida vamos a determinar donde la función presenta puntos críticos. Y para ello lo que tenemos que hacer es igualar a cero las primeras derivadas parciales. Tenemos entonces fx igual a cero que sería 28x menos 6x cuadrado más 4y igual a cero. Una ecuación que podemos dividir a ambos lados entre dos. Para hacerla más simple nos queda entonces 14x menos 3x al cuadrado más 2y igual a cero. Y esta ecuación la llamamos número uno. Ahora hacemos la otra derivada parcial de primer orden igualada a cero. Tenemos 4y más 4x igual a cero. Y aquí por ejemplo podríamos despejar la y de una vez. Entonces nos queda 4y igual a menos 4x despejando y. 4 está multiplicando pasa a dividir al otro lado y nos queda y igual a menos x. Y esta ecuación la etiquetamos con el número 2. Llegamos a lo que se llama un sistema de ecuaciones de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Entonces ahora nuestro problema es dar solución a este sistema de ecuaciones. Podemos hacer una sustitución. Sustituir esto que tenemos en la expresión 2 en la expresión 1. Entonces decimos la expresión 2 se sustituye en la número 1. Es decir donde está y aquí vamos a reemplazar menos x. Nos queda 14x menos 3x al cuadrado más 2 por y que se cambia o se sustituye por menos x. Y todo esto igual a cero. Entonces vamos a resolver esta ecuación. Tendremos 14x menos 3x al cuadrado. Aquí tenemos menos 2x igual a cero. Operamos términos semejantes. 14x menos 2x nos da 12x. Esto menos 3x al cuadrado igual a cero. Y aquí podemos resolver esta ecuación que es cuadrática por el método de factorización. Aquí podemos extraer factor común 3x que es factor de 4 menos x. Y todo esto igualado a cero. Como aquí tenemos multiplicación podemos aplicar el teorema del factor nulo. Vamos a recordarlo rápidamente. Si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero. Entonces allá lo que hacemos es igualar a cero cada uno de los factores. 3x es igual a cero o 4 menos x igual a cero. Y en cada caso despejamos x. Por acá x será igual a cero dividido entre tres que nos da cero. Y por acá despejando x nos da como resultado 4 positivo. Entonces tenemos los valores de x en los cuales la función tiene puntos críticos. Conociendo los valores de x podemos encontrar entonces los valores de y aquí en la expresión 2. Resulta sencillo traer esos números acá para encontrar los correspondientes valores de y. Y así conformar los puntos críticos de la función. Punto crítico 1 y punto crítico 2. El punto crítico 1 ocurre cuando x vale cero. Si acá traemos el valor x igual a cero nos da y igual a cero. Allí tenemos el primer punto crítico. Y el segundo ocurre cuando x vale 4. Si 4 lo traemos aquí nos da y igual a menos 4. Entonces allí están los dos puntos críticos de la función. Sabiendo que la función tiene esos dos puntos críticos, nuestro problema ahora es clasificarlos en las categorías de máximo, mínimo o punto de silla. Y uno de los parámetros que nos ayuda a esa clasificación se llama el discriminante. Vamos entonces a determinar ese discriminante que se simboliza con la letra D. Entonces D es igual a fxx segunda derivada parcial de la función con respecto a x por fyy segunda derivada parcial de la función con respecto a y menos la derivada parcial cruzada o mixta al cuadrado. Esa es la fórmula para encontrar el discriminante. Vamos a reemplazar cada uno de los componentes. Fxx es 28 menos 12x esto por fyy que vale 4 menos fxy que vale 4 y esto al cuadrado. Aquí vamos a aplicar propiedad distributiva con ese 4. Tenemos D igual a 4 por 28 que es 112, 4 por menos 12x da menos 48x y aquí resolvemos esa potencia y nos da 16. Resolviendo la operación entre estos dos números nos da como resultado 96 menos 48x y esto representa el discriminante. Ahora lo que vamos a necesitar para la clasificación de los puntos críticos es la segunda derivada parcial de la función con respecto a x que es 38 menos 12x la segunda derivada parcial de la función con respecto a y que tiene un valor fijo en 4 y el discriminante que nos acaba de dar 96 menos 48x. Ahora evaluamos cada uno de estos puntos críticos en estos tres parámetros. Veamos entonces, comenzamos con el punto crítico 1, la pareja 0,0 y vamos a determinar el valor de fxx, el valor de fyy y el discriminante para este punto crítico. Entonces veamos, lo que hacemos por ejemplo para fxx es tomar el valor x que es 0 si aquí x vale 0 nos da como resultado 28, fyy permanece fijo en 4 y el discriminante lo que hace es tomar el valor x que es 0 aquí si x se reemplaza por 0 nos da como resultado para el discriminante 96. Tenemos entonces discriminante positivo y estos dos parámetros también positivos. Cuando esto sucede tenemos que el punto crítico es clasificado como mínimo local. Entonces ya queda establecido que clase de punto crítico es el número 1. Ahora hacemos lo mismo para el punto crítico 2 que es la pareja 4,-4. Veamos fxx, venimos acá con el valor x que es 4, tenemos que menos 12 por 4 da menos 48 entonces 28 menos 48 da como resultado menos 20, fyy permanece otra vez fijo en 4 y acá en el discriminante si x toma el valor 4 entonces tenemos menos 48 por 4 que es menos 192 y 96 menos 192 da como resultado menos 96. Entonces tenemos discriminante negativo, este parámetro negativo y este positivo. Entonces cuando esto sucede tenemos que el punto crítico examinado es un punto de silla. Esto ocurre principalmente cuando el discriminante es negativo. Esta podría ser la respuesta al ejercicio pues ya sabemos donde la función presenta mínimo local y donde tiene punto de silla pero queda más completa si entregamos como resultados los puntos espaciales o sea las ternas x,y y z. Para ese propósito tomamos la función original que es la que nos va a entregar el valor de z. Entonces vamos con la pareja 0,0,x vale 0,y vale 0, reemplazamos acá y obtenemos z igual a 0. Entonces añadimos la tercera componente y ya tenemos el punto espacial o sea el origen, la terna 0,0,0. Y hacemos lo mismo con el otro punto crítico si x vale 4 y y vale menos 4 aquí en toda la expresión obtenemos como resultado z igual a 64. Entonces este es el punto espacial donde la función está presentando punto de silla. Con esto damos por terminado el ejercicio. Tenemos para esta función sus puntos críticos ya clasificados.
[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Para esta funci\u00f3n de dos variables vamos a determinar si tiene puntos m\u00e1ximos, m\u00ednimos o puntos de silla."}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " Comenzamos por encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden."}, {"start": 19.0, "end": 28.0, "text": " Vamos con las de primer orden. Tenemos fx, o sea la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a la variable x."}, {"start": 28.0, "end": 34.0, "text": " Recordemos que all\u00ed la otra variable, o sea la y, se comporta como una constante."}, {"start": 34.0, "end": 46.0, "text": " Tenemos entonces la derivada de este t\u00e9rmino que es 28x, la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda menos 6x al cuadrado,"}, {"start": 46.0, "end": 53.0, "text": " la derivada de este t\u00e9rmino ser\u00eda cero porque aqu\u00ed no tenemos la x, todo esto es constante."}, {"start": 53.0, "end": 61.0, "text": " Y la derivada de este t\u00e9rmino con respecto a x ser\u00eda m\u00e1s 4y."}, {"start": 61.0, "end": 67.0, "text": " Tenemos entonces la primera derivada de la funci\u00f3n con respecto a x."}, {"start": 67.0, "end": 73.0, "text": " Vamos ahora con la derivada parcial con respecto a la variable y."}, {"start": 73.0, "end": 78.0, "text": " Ahora la letra x es la que se comporta como constante."}, {"start": 78.0, "end": 84.0, "text": " Comencemos. Derivada de este t\u00e9rmino ser\u00eda cero porque aqu\u00ed no tenemos la y."}, {"start": 84.0, "end": 88.0, "text": " Lo mismo sucede con este t\u00e9rmino. Su derivada es cero."}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " Llegamos a este, donde la derivada es 4y."}, {"start": 93.0, "end": 103.0, "text": " Y para este \u00faltimo t\u00e9rmino su derivada parcial con respecto a y es m\u00e1s 4x."}, {"start": 103.0, "end": 109.0, "text": " Estas son las derivadas parciales del primer orden."}, {"start": 109.0, "end": 112.0, "text": " Vamos ahora con las de segundo orden."}, {"start": 112.0, "end": 122.0, "text": " Comenzamos con fxx, que significa la derivada parcial de esta fx nuevamente con respecto a x."}, {"start": 122.0, "end": 127.0, "text": " Entonces aqu\u00ed vamos a considerar la y como constante."}, {"start": 127.0, "end": 137.0, "text": " Comenzamos con la derivada de 28x que ser\u00eda 28 y la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda menos 12x."}, {"start": 137.0, "end": 149.0, "text": " Para el caso de 4y su derivada es cero porque aqu\u00ed no tenemos la x que es la variable que controla esta derivada de segundo orden."}, {"start": 149.0, "end": 159.0, "text": " Vamos ahora con la derivada de fx nuevamente con respecto a y."}, {"start": 159.0, "end": 162.0, "text": " Ahora la x ser\u00e1 constante."}, {"start": 162.0, "end": 171.0, "text": " Entonces tenemos derivada de 4y que es 4 y la derivada de 4x por ser un t\u00e9rmino constante es cero."}, {"start": 171.0, "end": 183.0, "text": " Nos queda por encontrar lo que es la derivada mixta o cruzada fxy que significa la derivada de fx con respecto a la variable y."}, {"start": 183.0, "end": 187.0, "text": " O sea que la x se comporta como constante."}, {"start": 187.0, "end": 190.0, "text": " Entonces la derivada de este t\u00e9rmino ser\u00eda cero."}, {"start": 190.0, "end": 195.0, "text": " Lo mismo sucede con este t\u00e9rmino que no contiene la y, su derivada es cero."}, {"start": 195.0, "end": 201.0, "text": " Y llegamos a este donde la derivada parcial con respecto a y es 4."}, {"start": 201.0, "end": 206.0, "text": " Recordemos que esta nos da lo mismo que si calculamos fx."}, {"start": 206.0, "end": 210.0, "text": " O sea derivar esta con respecto a x."}, {"start": 210.0, "end": 219.0, "text": " En ese caso la derivada de esto es cero y la derivada de 4x nos da el mismo n\u00famero 4."}, {"start": 219.0, "end": 225.0, "text": " Por aqu\u00ed escribimos las derivadas parciales que encontramos."}, {"start": 225.0, "end": 229.0, "text": " Las de primer orden y las de segundo orden."}, {"start": 229.0, "end": 237.0, "text": " Y enseguida vamos a determinar donde la funci\u00f3n presenta puntos cr\u00edticos."}, {"start": 237.0, "end": 246.0, "text": " Y para ello lo que tenemos que hacer es igualar a cero las primeras derivadas parciales."}, {"start": 246.0, "end": 260.0, "text": " Tenemos entonces fx igual a cero que ser\u00eda 28x menos 6x cuadrado m\u00e1s 4y igual a cero."}, {"start": 260.0, "end": 266.0, "text": " Una ecuaci\u00f3n que podemos dividir a ambos lados entre dos."}, {"start": 266.0, "end": 280.0, "text": " Para hacerla m\u00e1s simple nos queda entonces 14x menos 3x al cuadrado m\u00e1s 2y igual a cero."}, {"start": 280.0, "end": 288.0, "text": " Y esta ecuaci\u00f3n la llamamos n\u00famero uno."}, {"start": 288.0, "end": 296.0, "text": " Ahora hacemos la otra derivada parcial de primer orden igualada a cero."}, {"start": 296.0, "end": 304.0, "text": " Tenemos 4y m\u00e1s 4x igual a cero."}, {"start": 304.0, "end": 309.0, "text": " Y aqu\u00ed por ejemplo podr\u00edamos despejar la y de una vez."}, {"start": 309.0, "end": 315.0, "text": " Entonces nos queda 4y igual a menos 4x despejando y."}, {"start": 315.0, "end": 322.0, "text": " 4 est\u00e1 multiplicando pasa a dividir al otro lado y nos queda y igual a menos x."}, {"start": 322.0, "end": 329.0, "text": " Y esta ecuaci\u00f3n la etiquetamos con el n\u00famero 2."}, {"start": 329.0, "end": 335.0, "text": " Llegamos a lo que se llama un sistema de ecuaciones de 2 por 2."}, {"start": 335.0, "end": 337.0, "text": " Dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 337.0, "end": 343.0, "text": " Entonces ahora nuestro problema es dar soluci\u00f3n a este sistema de ecuaciones."}, {"start": 343.0, "end": 345.0, "text": " Podemos hacer una sustituci\u00f3n."}, {"start": 345.0, "end": 351.0, "text": " Sustituir esto que tenemos en la expresi\u00f3n 2 en la expresi\u00f3n 1."}, {"start": 351.0, "end": 357.0, "text": " Entonces decimos la expresi\u00f3n 2 se sustituye en la n\u00famero 1."}, {"start": 357.0, "end": 362.0, "text": " Es decir donde est\u00e1 y aqu\u00ed vamos a reemplazar menos x."}, {"start": 362.0, "end": 377.0, "text": " Nos queda 14x menos 3x al cuadrado m\u00e1s 2 por y que se cambia o se sustituye por menos x."}, {"start": 377.0, "end": 379.0, "text": " Y todo esto igual a cero."}, {"start": 379.0, "end": 382.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 382.0, "end": 386.0, "text": " Tendremos 14x menos 3x al cuadrado."}, {"start": 386.0, "end": 391.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos menos 2x igual a cero."}, {"start": 391.0, "end": 393.0, "text": " Operamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " 14x menos 2x nos da 12x."}, {"start": 398.0, "end": 402.0, "text": " Esto menos 3x al cuadrado igual a cero."}, {"start": 402.0, "end": 409.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos resolver esta ecuaci\u00f3n que es cuadr\u00e1tica por el m\u00e9todo de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 409.0, "end": 417.0, "text": " Aqu\u00ed podemos extraer factor com\u00fan 3x que es factor de 4 menos x."}, {"start": 417.0, "end": 421.0, "text": " Y todo esto igualado a cero."}, {"start": 421.0, "end": 428.0, "text": " Como aqu\u00ed tenemos multiplicaci\u00f3n podemos aplicar el teorema del factor nulo."}, {"start": 428.0, "end": 430.0, "text": " Vamos a recordarlo r\u00e1pidamente."}, {"start": 430.0, "end": 440.0, "text": " Si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero."}, {"start": 440.0, "end": 446.0, "text": " Entonces all\u00e1 lo que hacemos es igualar a cero cada uno de los factores."}, {"start": 446.0, "end": 452.0, "text": " 3x es igual a cero o 4 menos x igual a cero."}, {"start": 452.0, "end": 455.0, "text": " Y en cada caso despejamos x."}, {"start": 455.0, "end": 461.0, "text": " Por ac\u00e1 x ser\u00e1 igual a cero dividido entre tres que nos da cero."}, {"start": 461.0, "end": 466.0, "text": " Y por ac\u00e1 despejando x nos da como resultado 4 positivo."}, {"start": 466.0, "end": 476.0, "text": " Entonces tenemos los valores de x en los cuales la funci\u00f3n tiene puntos cr\u00edticos."}, {"start": 476.0, "end": 484.0, "text": " Conociendo los valores de x podemos encontrar entonces los valores de y aqu\u00ed en la expresi\u00f3n 2."}, {"start": 484.0, "end": 491.0, "text": " Resulta sencillo traer esos n\u00fameros ac\u00e1 para encontrar los correspondientes valores de y."}, {"start": 491.0, "end": 496.0, "text": " Y as\u00ed conformar los puntos cr\u00edticos de la funci\u00f3n."}, {"start": 496.0, "end": 500.0, "text": " Punto cr\u00edtico 1 y punto cr\u00edtico 2."}, {"start": 500.0, "end": 504.0, "text": " El punto cr\u00edtico 1 ocurre cuando x vale cero."}, {"start": 504.0, "end": 509.0, "text": " Si ac\u00e1 traemos el valor x igual a cero nos da y igual a cero."}, {"start": 509.0, "end": 513.0, "text": " All\u00ed tenemos el primer punto cr\u00edtico."}, {"start": 513.0, "end": 516.0, "text": " Y el segundo ocurre cuando x vale 4."}, {"start": 516.0, "end": 521.0, "text": " Si 4 lo traemos aqu\u00ed nos da y igual a menos 4."}, {"start": 521.0, "end": 527.0, "text": " Entonces all\u00ed est\u00e1n los dos puntos cr\u00edticos de la funci\u00f3n."}, {"start": 527.0, "end": 531.0, "text": " Sabiendo que la funci\u00f3n tiene esos dos puntos cr\u00edticos,"}, {"start": 531.0, "end": 539.0, "text": " nuestro problema ahora es clasificarlos en las categor\u00edas de m\u00e1ximo, m\u00ednimo o punto de silla."}, {"start": 539.0, "end": 548.0, "text": " Y uno de los par\u00e1metros que nos ayuda a esa clasificaci\u00f3n se llama el discriminante."}, {"start": 548.0, "end": 558.0, "text": " Vamos entonces a determinar ese discriminante que se simboliza con la letra D."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " Entonces D es igual a fxx segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x"}, {"start": 566.0, "end": 571.0, "text": " por fyy segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a y"}, {"start": 571.0, "end": 576.0, "text": " menos la derivada parcial cruzada o mixta al cuadrado."}, {"start": 576.0, "end": 581.0, "text": " Esa es la f\u00f3rmula para encontrar el discriminante."}, {"start": 581.0, "end": 584.0, "text": " Vamos a reemplazar cada uno de los componentes."}, {"start": 584.0, "end": 600.0, "text": " Fxx es 28 menos 12x esto por fyy que vale 4 menos fxy que vale 4 y esto al cuadrado."}, {"start": 600.0, "end": 606.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a aplicar propiedad distributiva con ese 4."}, {"start": 606.0, "end": 617.0, "text": " Tenemos D igual a 4 por 28 que es 112, 4 por menos 12x da menos 48x"}, {"start": 617.0, "end": 621.0, "text": " y aqu\u00ed resolvemos esa potencia y nos da 16."}, {"start": 621.0, "end": 631.0, "text": " Resolviendo la operaci\u00f3n entre estos dos n\u00fameros nos da como resultado 96 menos 48x"}, {"start": 631.0, "end": 636.0, "text": " y esto representa el discriminante."}, {"start": 636.0, "end": 644.0, "text": " Ahora lo que vamos a necesitar para la clasificaci\u00f3n de los puntos cr\u00edticos es"}, {"start": 644.0, "end": 653.0, "text": " la segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x que es 38 menos 12x"}, {"start": 653.0, "end": 662.0, "text": " la segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a y que tiene un valor fijo en 4"}, {"start": 662.0, "end": 674.0, "text": " y el discriminante que nos acaba de dar 96 menos 48x."}, {"start": 674.0, "end": 681.0, "text": " Ahora evaluamos cada uno de estos puntos cr\u00edticos en estos tres par\u00e1metros."}, {"start": 681.0, "end": 690.0, "text": " Veamos entonces, comenzamos con el punto cr\u00edtico 1, la pareja 0,0"}, {"start": 690.0, "end": 704.0, "text": " y vamos a determinar el valor de fxx, el valor de fyy y el discriminante"}, {"start": 704.0, "end": 706.0, "text": " para este punto cr\u00edtico."}, {"start": 706.0, "end": 713.0, "text": " Entonces veamos, lo que hacemos por ejemplo para fxx es tomar el valor x que es 0"}, {"start": 713.0, "end": 722.0, "text": " si aqu\u00ed x vale 0 nos da como resultado 28, fyy permanece fijo en 4"}, {"start": 722.0, "end": 728.0, "text": " y el discriminante lo que hace es tomar el valor x que es 0"}, {"start": 728.0, "end": 735.0, "text": " aqu\u00ed si x se reemplaza por 0 nos da como resultado para el discriminante 96."}, {"start": 735.0, "end": 743.0, "text": " Tenemos entonces discriminante positivo y estos dos par\u00e1metros tambi\u00e9n positivos."}, {"start": 743.0, "end": 754.0, "text": " Cuando esto sucede tenemos que el punto cr\u00edtico es clasificado como m\u00ednimo local."}, {"start": 754.0, "end": 763.0, "text": " Entonces ya queda establecido que clase de punto cr\u00edtico es el n\u00famero 1."}, {"start": 763.0, "end": 774.0, "text": " Ahora hacemos lo mismo para el punto cr\u00edtico 2 que es la pareja 4,-4."}, {"start": 774.0, "end": 784.0, "text": " Veamos fxx, venimos ac\u00e1 con el valor x que es 4, tenemos que menos 12 por 4 da menos 48"}, {"start": 784.0, "end": 794.0, "text": " entonces 28 menos 48 da como resultado menos 20, fyy permanece otra vez fijo en 4"}, {"start": 794.0, "end": 804.0, "text": " y ac\u00e1 en el discriminante si x toma el valor 4 entonces tenemos menos 48 por 4 que es menos 192"}, {"start": 804.0, "end": 811.0, "text": " y 96 menos 192 da como resultado menos 96."}, {"start": 811.0, "end": 820.0, "text": " Entonces tenemos discriminante negativo, este par\u00e1metro negativo y este positivo."}, {"start": 820.0, "end": 832.0, "text": " Entonces cuando esto sucede tenemos que el punto cr\u00edtico examinado es un punto de silla."}, {"start": 832.0, "end": 839.0, "text": " Esto ocurre principalmente cuando el discriminante es negativo."}, {"start": 839.0, "end": 847.0, "text": " Esta podr\u00eda ser la respuesta al ejercicio pues ya sabemos donde la funci\u00f3n presenta m\u00ednimo local"}, {"start": 847.0, "end": 857.0, "text": " y donde tiene punto de silla pero queda m\u00e1s completa si entregamos como resultados los puntos espaciales"}, {"start": 857.0, "end": 862.0, "text": " o sea las ternas x,y y z."}, {"start": 862.0, "end": 873.0, "text": " Para ese prop\u00f3sito tomamos la funci\u00f3n original que es la que nos va a entregar el valor de z."}, {"start": 873.0, "end": 883.0, "text": " Entonces vamos con la pareja 0,0,x vale 0,y vale 0, reemplazamos ac\u00e1 y obtenemos z igual a 0."}, {"start": 883.0, "end": 895.0, "text": " Entonces a\u00f1adimos la tercera componente y ya tenemos el punto espacial o sea el origen, la terna 0,0,0."}, {"start": 895.0, "end": 905.0, "text": " Y hacemos lo mismo con el otro punto cr\u00edtico si x vale 4 y y vale menos 4 aqu\u00ed en toda la expresi\u00f3n"}, {"start": 905.0, "end": 919.0, "text": " obtenemos como resultado z igual a 64. Entonces este es el punto espacial donde la funci\u00f3n est\u00e1 presentando punto de silla."}, {"start": 919.0, "end": 936.0, "text": " Con esto damos por terminado el ejercicio. Tenemos para esta funci\u00f3n sus puntos cr\u00edticos ya clasificados."}]