DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo derivar una función usando la definición de derivada. También explica cómo determinar el dominio y el rango de dicha derivada.

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 Vamos a encontrar la derivada de esta función utilizando la definición de derivada. Recordemos que para una función, en este caso g de x, su derivada se define como el límite de g de x más delta de x menos g de x, todo esto sobre delta de x cuando delta de x tiende a cero. Esta es la definición de derivada para una función. Entonces debemos encontrar la derivada de esta función por este camino. Vemos que necesitamos g de x, que ya lo tenemos, y necesitamos g de x más delta de x. Entonces vamos a determinarlo. g de x más delta de x se obtiene simplemente reemplazando x por x más delta de x. Es decir que hacemos el cambio aquí. Por lo tanto nos queda uno más dos, abrimos paréntesis y dentro de él escribimos x más delta de x. Cerramos la raíz. Entonces ya tenemos los dos componentes que necesitamos para reemplazar en la expresión del límite. Allí hemos hecho el reemplazo. Vemos que g de x más delta de x se reemplaza por su expresión y lo mismo g de x. Vamos a resolver entonces este límite usando las técnicas de resolución de límites. Veamos. Como primera medida evaluamos esta expresión cuando delta de x vale cero. Entonces veamos, nos quedaría g' de x igual por aquí. Si delta de x vale cero, acá nos queda x más cero que es x. X por 2, 2x y nos queda dentro de la raíz uno más 2x. Menos esto que queda igual y todo esto sobre delta de x que vale cero. Como vemos el numerador nos da cero y abajo también tenemos cero. Lo cual es una indeterminación o una forma indeterminada. Recordemos que la forma indeterminada nos remite a que tenemos que transformar esta expresión. Para superar este problema. Entonces vamos a utilizar lo que es la racionalización del numerador. Mediante el procedimiento llamado conjugación. Veamos. Escribimos la expresión sin el límite para poderla trabajar de una manera más sencilla. Y entonces como decíamos vamos a racionalizar el numerador. Allí debemos multiplicar por lo que se llama el conjugado del numerador. Que no es otra cosa que las mismas dos raíces pero conectadas esta vez por signo más. Recordemos que el conjugado de por ejemplo a menos b es a más b y viceversa. Esta expresión la repetiríamos aquí abajo. Si la misma expresión iría aquí utilizamos comillas para hacerlo un poco más rápido. Recordemos que al hacer la conjugación como decíamos si tenemos a menos b multiplicado por su conjugado que es a más b. Esto es un producto notable llamado suma por diferencia. Y eso nos da origen a una diferencia de cuadrados. El primer componente al cuadrado menos el segundo componente al cuadrado. Entonces esta raíz hace el papel de la a y esta hace el papel de la b. Por lo tanto van a quedar elevadas al cuadrado. Veamos. Allí tenemos el primer componente al cuadrado menos el segundo componente al cuadrado. Lo que resulta de la multiplicación de los numeradores. Tal como lo decía el producto notable. Y en la parte de abajo escribimos delta de x multiplicado por esta expresión que va aquí que es esta. Si la que habíamos escrito en color azul. Bien. En el numerador vemos que el cuadrado y la raíz se destruyen. Por lo tanto quedan libres las expresiones. Entonces tendremos 1 más 2 que multiplica a x más delta de x. Todo esto menos 1 más 2x. Aquí tenemos que tener cuidado porque este binomio 1 más 2x que queda libre debe protegerse con paréntesis. Ya que antes de él tenemos un signo negativo que nos va a afectar los términos del interior. En la parte de abajo iría lo mismo. Todo esto quedaría igual aquí. Vamos a colocar las comillas para hacerlo más rápido. En la parte de arriba hacemos propiedad distributiva. Aquí con el 2 nos queda 2x más 2 delta de x. Y aquí destruimos el paréntesis. Entra el signo negativo y nos queda menos 1 menos 2x. Y todo esto sobre la misma expresión que mencionábamos aquí. Vemos que en el numerador se nos cancela el 1. 1 se va con menos 1 y se nos cancela 2x. 2x y menos 2x se nos va. Por lo tanto nos queda únicamente 2 delta de x sobre la expresión que tenemos en comillas. Veamos. Tenemos la línea. Arriba 2 delta de x. Y en el denominador lo que decíamos de las comillas que es todo esto. Entonces será delta de x que multiplica a... Abrimos corchete, abrimos raíz. 1 más 2 que multiplica a x más delta de x. Cerramos paréntesis, cerramos aquí la raíz. Más esta otra raíz que es 1 más 2x. Cierra la raíz, extendemos la línea y cerramos el corchete. Vamos a simplificar en esa expresión. Vamos a simplificar lo que es delta de x. Delta de x se puede ir por lo que está multiplicando arriba y abajo. Y nos queda entonces la expresión 2 sobre la raíz cuadrada de 1 más 2 por x más delta de x. Más la raíz de 1 más 2x. Bien, entonces allí ya lo podemos hacer más en cuanto a simplificaciones. Y a esta expresión es a la que debemos tomarle el límite. El límite que habemos quitado anteriormente. Aquí lo volvemos a aplicar para ver cuánto nos da la derivada. Como delta de x tiende a 0 lo reemplazamos aquí únicamente. Y entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Veamos, 2 aquí. Si delta de x vale 0 nos queda entonces 0 más x es x multiplicado por 2, 2x. O sea que dentro de la raíz nos queda 1 más 2x. Y todo esto sumado con esta otra raíz. Bien, entonces este es el resultado de evaluar esta expresión cuando delta de x vale 0. Como apreciamos en el denominador tenemos una suma de radicales semejantes. Eso nos da 2 raíz cuadrada de 1 más 2x. Y el 2 se puede simplificar. Este 2c nos va, por lo tanto nos queda 1 en el numerador y en el denominador la raíz cuadrada de 1 más 2x. Entonces esta será la expresión de la derivada. Luego g' de x, es decir la derivada de la función será igual a esta expresión. A la que obtuvimos después de haber realizado el límite. Hemos encontrado la derivada mediante la definición. Esa será entonces la respuesta a la primera pregunta. Vamos a encontrar el dominio y el rango de esta función derivada. Para que esta función que es la derivada de la función g exista se necesita que esta partecita, es decir 1 más 2x sea estrictamente positiva. Positiva para que la raíz exista y diferente de 0 por lo que se encuentra en el denominador. Resolviendo para x esta desigualdad nos queda así. 2x mayor que menos 1. Uno está sumando lo podemos pasar a restar y aquí dividimos por 2 ambos lados de la desigualdad. Como hemos dividido por un número positivo la desigualdad no cambia de signo. Se cancela el 2 por este lado y nos queda x mayor que menos 1 medio. Entonces eso nos dice que el dominio de esta función que es la derivada, el dominio de g', vamos a colocarlo así. Serán los valores que van desde menos 1 medio hasta infinito. Entonces lo escribimos así. De menos 1 medio hasta más infinito. Como dicen los mayores que menos 1 medio aquí colocamos paréntesis y aquí también paréntesis por tratarse de infinito. Tenemos un intervalo abierto en ambos extremos. Este conjunto será entonces el dominio de la derivada de la función. Para el rango hacemos el siguiente análisis. Pensemos en lo siguiente. Si esta raíz va a existir únicamente puede tomar valores positivos. Vemos que la raíz por fuera tiene signo positivo invisible. Y arriba el numerador también es una cantidad positiva, el 1. Entonces siempre los resultados que vamos a obtener para g' de x serán positivos. Entonces podemos decir que son los valores mayores que 0. 0 nunca podrá ser porque como vemos el numerador es 1. Entonces para que la fracción nos de 0 se requiere que el numerador sea 0. Y en este caso tenemos un 1 que siempre estará fijo. Por lo tanto el rango de la función de la derivada será los valores que van desde 0 hasta más infinito. Es decir el conjunto de valores estrictamente positivos. De esta manera entonces hemos dado solución a la otra pregunta del ejercicio. Determinar el dominio y el rango de la derivada.
[{"start": 0.0, "end": 18.72, "text": " Vamos a encontrar la derivada de esta funci\u00f3n utilizando la definici\u00f3n de derivada."}, {"start": 18.72, "end": 39.68, "text": " Recordemos que para una funci\u00f3n, en este caso g de x, su derivada se define como el l\u00edmite de g de x m\u00e1s delta de x menos g de x, todo esto sobre delta de x cuando delta de x tiende a cero."}, {"start": 39.68, "end": 43.84, "text": " Esta es la definici\u00f3n de derivada para una funci\u00f3n."}, {"start": 43.84, "end": 49.68000000000001, "text": " Entonces debemos encontrar la derivada de esta funci\u00f3n por este camino."}, {"start": 49.68000000000001, "end": 57.36, "text": " Vemos que necesitamos g de x, que ya lo tenemos, y necesitamos g de x m\u00e1s delta de x."}, {"start": 57.36, "end": 59.2, "text": " Entonces vamos a determinarlo."}, {"start": 59.2, "end": 67.36, "text": " g de x m\u00e1s delta de x se obtiene simplemente reemplazando x por x m\u00e1s delta de x."}, {"start": 67.36, 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"text": " Esta expresi\u00f3n la repetir\u00edamos aqu\u00ed abajo."}, {"start": 195.04000000000002, "end": 201.52, "text": " Si la misma expresi\u00f3n ir\u00eda aqu\u00ed utilizamos comillas para hacerlo un poco m\u00e1s r\u00e1pido."}, {"start": 201.52, "end": 208.96, "text": " Recordemos que al hacer la conjugaci\u00f3n como dec\u00edamos si tenemos a menos b multiplicado por su conjugado que es a m\u00e1s b."}, {"start": 208.96, "end": 212.24, "text": " Esto es un producto notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 212.24, "end": 215.76000000000002, "text": " Y eso nos da origen a una diferencia de cuadrados."}, {"start": 215.76000000000002, "end": 220.0, "text": " El primer componente al cuadrado menos el segundo componente al cuadrado."}, {"start": 220.0, "end": 224.72, "text": " Entonces esta ra\u00edz hace el papel de la a y esta hace el papel de la b."}, {"start": 224.72, "end": 227.20000000000002, "text": " Por lo tanto van a quedar elevadas al cuadrado."}, {"start": 227.20000000000002, "end": 227.92000000000002, "text": " Veamos."}, {"start": 227.92, "end": 233.6, "text": " All\u00ed tenemos el primer componente al cuadrado menos el segundo componente al cuadrado."}, {"start": 233.6, "end": 236.72, "text": " Lo que resulta de la multiplicaci\u00f3n de los numeradores."}, {"start": 236.72, "end": 239.35999999999999, "text": " Tal como lo dec\u00eda el producto notable."}, {"start": 239.35999999999999, "end": 245.83999999999997, "text": " Y en la parte de abajo escribimos delta de x multiplicado por esta expresi\u00f3n que va aqu\u00ed que es esta."}, {"start": 245.83999999999997, "end": 248.32, "text": " Si la que hab\u00edamos escrito en color azul."}, {"start": 248.32, "end": 248.79999999999998, "text": " Bien."}, {"start": 248.79999999999998, "end": 253.83999999999997, "text": " En el numerador vemos que el cuadrado y la ra\u00edz se destruyen."}, {"start": 253.83999999999997, "end": 257.36, "text": " Por lo tanto quedan libres las expresiones."}, {"start": 257.36, "end": 263.04, "text": " Entonces tendremos 1 m\u00e1s 2 que multiplica a x m\u00e1s delta de x."}, {"start": 263.04, "end": 266.32, "text": " Todo esto menos 1 m\u00e1s 2x."}, {"start": 266.32, "end": 273.6, "text": " Aqu\u00ed tenemos que tener cuidado porque este binomio 1 m\u00e1s 2x que queda libre debe protegerse con par\u00e9ntesis."}, {"start": 273.6, "end": 280.32, "text": " Ya que antes de \u00e9l tenemos un signo negativo que nos va a afectar los t\u00e9rminos del interior."}, {"start": 280.32, "end": 282.40000000000003, "text": " En la parte de abajo ir\u00eda lo mismo."}, {"start": 282.40000000000003, "end": 284.32, "text": " Todo esto quedar\u00eda igual aqu\u00ed."}, {"start": 284.32, "end": 287.44, "text": " Vamos a colocar las comillas para hacerlo m\u00e1s r\u00e1pido."}, {"start": 287.44, "end": 289.92, "text": " En la parte de arriba hacemos propiedad distributiva."}, {"start": 289.92, "end": 295.36, "text": " Aqu\u00ed con el 2 nos queda 2x m\u00e1s 2 delta de x."}, {"start": 295.36, "end": 297.6, "text": " Y aqu\u00ed destruimos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 297.6, "end": 301.44, "text": " Entra el signo negativo y nos queda menos 1 menos 2x."}, {"start": 301.44, "end": 306.71999999999997, "text": " Y todo esto sobre la misma expresi\u00f3n que mencion\u00e1bamos aqu\u00ed."}, {"start": 306.71999999999997, "end": 310.0, "text": " Vemos que en el numerador se nos cancela el 1."}, {"start": 310.0, "end": 313.6, "text": " 1 se va con menos 1 y se nos cancela 2x."}, {"start": 313.6, "end": 316.64000000000004, "text": " 2x y menos 2x se nos va."}, {"start": 316.64000000000004, "end": 322.88, "text": " Por lo tanto nos queda \u00fanicamente 2 delta de x sobre la expresi\u00f3n que tenemos en comillas."}, {"start": 322.88, "end": 324.08000000000004, "text": " Veamos."}, {"start": 324.08000000000004, "end": 326.64000000000004, "text": " Tenemos la l\u00ednea."}, {"start": 326.64000000000004, "end": 329.12, "text": " Arriba 2 delta de x."}, {"start": 329.12, "end": 332.64000000000004, "text": " Y en el denominador lo que dec\u00edamos de las comillas que es todo esto."}, {"start": 332.64000000000004, "end": 335.92, "text": " Entonces ser\u00e1 delta de x que multiplica a..."}, {"start": 335.92, "end": 338.40000000000003, "text": " Abrimos corchete, abrimos ra\u00edz."}, {"start": 338.40000000000003, "end": 343.52000000000004, "text": " 1 m\u00e1s 2 que multiplica a x m\u00e1s delta de x."}, {"start": 343.52, "end": 346.88, "text": " Cerramos par\u00e9ntesis, cerramos aqu\u00ed la ra\u00edz."}, {"start": 346.88, "end": 352.15999999999997, "text": " M\u00e1s esta otra ra\u00edz que es 1 m\u00e1s 2x."}, {"start": 352.15999999999997, "end": 357.2, "text": " Cierra la ra\u00edz, extendemos la l\u00ednea y cerramos el corchete."}, {"start": 357.2, "end": 360.64, "text": " Vamos a simplificar en esa expresi\u00f3n."}, {"start": 360.64, "end": 362.88, "text": " Vamos a simplificar lo que es delta de x."}, {"start": 362.88, "end": 366.96, "text": " Delta de x se puede ir por lo que est\u00e1 multiplicando arriba y abajo."}, {"start": 366.96, "end": 376.79999999999995, "text": " Y nos queda entonces la expresi\u00f3n 2 sobre la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s 2 por x m\u00e1s delta de x."}, {"start": 376.79999999999995, "end": 380.4, "text": " M\u00e1s la ra\u00edz de 1 m\u00e1s 2x."}, {"start": 380.4, "end": 384.71999999999997, "text": " Bien, entonces all\u00ed ya lo podemos hacer m\u00e1s en cuanto a simplificaciones."}, {"start": 384.71999999999997, "end": 389.28, "text": " Y a esta expresi\u00f3n es a la que debemos tomarle el l\u00edmite."}, {"start": 389.28, "end": 391.67999999999995, "text": " El l\u00edmite que habemos quitado anteriormente."}, {"start": 391.67999999999995, "end": 396.24, "text": " Aqu\u00ed lo volvemos a aplicar para ver cu\u00e1nto nos da la derivada."}, {"start": 396.24, "end": 399.92, "text": " Como delta de x tiende a 0 lo reemplazamos aqu\u00ed \u00fanicamente."}, {"start": 399.92, "end": 403.04, "text": " Y entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 403.04, "end": 404.48, "text": " Veamos, 2 aqu\u00ed."}, {"start": 404.48, "end": 410.96000000000004, "text": " Si delta de x vale 0 nos queda entonces 0 m\u00e1s x es x multiplicado por 2, 2x."}, {"start": 410.96000000000004, "end": 414.48, "text": " O sea que dentro de la ra\u00edz nos queda 1 m\u00e1s 2x."}, {"start": 414.48, "end": 416.96000000000004, "text": " Y todo esto sumado con esta otra ra\u00edz."}, {"start": 416.96000000000004, "end": 423.36, "text": " Bien, entonces este es el resultado de evaluar esta expresi\u00f3n cuando delta de x vale 0."}, {"start": 423.36, "end": 427.68, "text": " Como apreciamos en el denominador tenemos una suma de radicales semejantes."}, {"start": 427.68, "end": 433.04, "text": " Eso nos da 2 ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s 2x."}, {"start": 433.04, "end": 435.52000000000004, "text": " Y el 2 se puede simplificar."}, {"start": 435.52000000000004, "end": 444.88, "text": " Este 2c nos va, por lo tanto nos queda 1 en el numerador y en el denominador la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s 2x."}, {"start": 444.88, "end": 448.56, "text": " Entonces esta ser\u00e1 la expresi\u00f3n de la derivada."}, {"start": 448.56, "end": 455.12, "text": " Luego g' de x, es decir la derivada de la funci\u00f3n ser\u00e1 igual a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 455.12, "end": 459.6, "text": " A la que obtuvimos despu\u00e9s de haber realizado el l\u00edmite."}, {"start": 459.6, "end": 463.92, "text": " Hemos encontrado la derivada mediante la definici\u00f3n."}, {"start": 463.92, "end": 468.16, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la respuesta a la primera pregunta."}, {"start": 468.16, "end": 472.72, "text": " Vamos a encontrar el dominio y el rango de esta funci\u00f3n derivada."}, {"start": 472.72, "end": 486.88000000000005, "text": " Para que esta funci\u00f3n que es la derivada de la funci\u00f3n g exista se necesita que esta partecita, es decir 1 m\u00e1s 2x sea estrictamente positiva."}, {"start": 486.88000000000005, "end": 492.88000000000005, "text": " Positiva para que la ra\u00edz exista y diferente de 0 por lo que se encuentra en el denominador."}, {"start": 492.88000000000005, "end": 495.92, "text": " Resolviendo para x esta desigualdad nos queda as\u00ed."}, {"start": 495.92, "end": 497.84000000000003, "text": " 2x mayor que menos 1."}, {"start": 497.84, "end": 504.0, "text": " Uno est\u00e1 sumando lo podemos pasar a restar y aqu\u00ed dividimos por 2 ambos lados de la desigualdad."}, {"start": 504.0, "end": 509.03999999999996, "text": " Como hemos dividido por un n\u00famero positivo la desigualdad no cambia de signo."}, {"start": 509.03999999999996, "end": 513.92, "text": " Se cancela el 2 por este lado y nos queda x mayor que menos 1 medio."}, {"start": 513.92, "end": 522.3199999999999, "text": " Entonces eso nos dice que el dominio de esta funci\u00f3n que es la derivada, el dominio de g', vamos a colocarlo as\u00ed."}, {"start": 522.3199999999999, "end": 527.12, "text": " Ser\u00e1n los valores que van desde menos 1 medio hasta infinito."}, {"start": 527.12, "end": 528.64, "text": " Entonces lo escribimos as\u00ed."}, {"start": 528.64, "end": 531.28, "text": " De menos 1 medio hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 531.28, "end": 539.36, "text": " Como dicen los mayores que menos 1 medio aqu\u00ed colocamos par\u00e9ntesis y aqu\u00ed tambi\u00e9n par\u00e9ntesis por tratarse de infinito."}, {"start": 539.36, "end": 542.64, "text": " Tenemos un intervalo abierto en ambos extremos."}, {"start": 542.64, "end": 546.96, "text": " Este conjunto ser\u00e1 entonces el dominio de la derivada de la funci\u00f3n."}, {"start": 546.96, "end": 549.84, "text": " Para el rango hacemos el siguiente an\u00e1lisis."}, {"start": 549.84, "end": 551.44, "text": " Pensemos en lo siguiente."}, {"start": 551.44, "end": 555.84, "text": " Si esta ra\u00edz va a existir \u00fanicamente puede tomar valores positivos."}, {"start": 555.84, "end": 559.52, "text": " Vemos que la ra\u00edz por fuera tiene signo positivo invisible."}, {"start": 559.52, "end": 563.52, "text": " Y arriba el numerador tambi\u00e9n es una cantidad positiva, el 1."}, {"start": 563.52, "end": 569.36, "text": " Entonces siempre los resultados que vamos a obtener para g' de x ser\u00e1n positivos."}, {"start": 569.36, "end": 572.88, "text": " Entonces podemos decir que son los valores mayores que 0."}, {"start": 572.88, "end": 576.32, "text": " 0 nunca podr\u00e1 ser porque como vemos el numerador es 1."}, {"start": 576.32, "end": 581.52, "text": " Entonces para que la fracci\u00f3n nos de 0 se requiere que el numerador sea 0."}, {"start": 581.52, "end": 584.48, "text": " Y en este caso tenemos un 1 que siempre estar\u00e1 fijo."}, {"start": 584.48, "end": 591.36, "text": " Por lo tanto el rango de la funci\u00f3n de la derivada ser\u00e1 los valores que van desde 0 hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 591.36, "end": 595.28, "text": " Es decir el conjunto de valores estrictamente positivos."}, {"start": 595.28, "end": 600.8000000000001, "text": " De esta manera entonces hemos dado soluci\u00f3n a la otra pregunta del ejercicio."}, {"start": 600.8, "end": 615.04, "text": " Determinar el dominio y el rango de la derivada."}]