Pregunta 18 TIPO EXAMEN
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio típico de examen (SAT, ACT, GMAT, PAEP, entre otros) para ingresar a estudios superiores.

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 Para resolver este ejercicio vamos a igualar toda esta expresión numérica a una letra, por ejemplo, x, y vamos a elevar ambos lados de esa igualdad al exponente 3. Entonces acá nos queda x al cubo y acá toda esta expresión elevada al cubo. Bien allí la tenemos y en el lado derecho observamos la suma de dos cantidades y todo eso elevado al cubo, es decir lo que se conoce como un binomio al cubo. Vamos a recordar la fórmula para ese producto notable, esto es igual a la primera cantidad al cubo más tres veces la primera cantidad al cuadrado por la segunda, más tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado y todo eso más la segunda cantidad elevada al cubo. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a realizar el desarrollo de este binomio al cubo, esta expresión hace el papel de A y esta otra hace el papel de B. Comenzamos con la primera cantidad al cubo, o sea todo esto elevado al cubo, más tres veces la primera cantidad al cuadrado, entonces tres por todo esto al cuadrado por la segunda cantidad, es decir esto, más vamos a continuar por acá tres veces la primera cantidad, o sea esta expresión por la segunda cantidad al cuadrado, o sea esta expresión más la segunda cantidad elevada al cubo, o sea todo esto elevado al cubo. Entonces allí hemos desarrollado el binomio al cubo siguiendo el modelo de este producto notable. Ahora esto nos queda así, x al cubo igual, aquí en el primer termino el exponente tres destruye o elimina la raíz cúbica, por lo tanto nos queda lo que hay en su interior, nueve más cuatro por raíz cuadrada de cinco. Y vamos a realizar lo siguiente con los dos términos que siguen, vamos a hacer una agrupación de términos, lo podemos hacer tranquilamente porque aquí tenemos signo más, simplemente colocamos los corchetes para encerrar este término junto con este. Los dos términos que hemos asociado corresponden a tres A al cuadrado B más tres A B al cuadrado, en el desarrollo que hicimos hace un momento para recordar el producto notable binomio al cubo, pues bien allí podemos extraer factor común, es el caso del número tres que se repite en los dos términos, también tenemos el caso de la letra A, entonces sale la del menor exponente A a la uno y también ocurre lo mismo con la letra B, sale B a la uno y nos queda dentro del paréntesis A más B. Repetimos, allí se aplica el caso llamado factor común para factorizar esos dos términos. Entonces aplicando esto en la agrupación que hicimos tenemos lo siguiente, sale como factor común el número tres, sale lo que es A, o sea esta expresión raíz cúbica de nueve más cuatro raíz de cinco y sale también lo que es B, o sea esta expresión, raíz cúbica de nueve menos cuatro raíz de cinco. Bien allí hemos conformado este componente y eso queda multiplicando por A más B, entonces abrimos el corchete, recordemos que A es esta expresión, la raíz cúbica de nueve más cuatro raíz de cinco, más B que es esta expresión, la raíz cúbica de nueve menos cuatro raíz de cinco y cerramos el corchete. Entonces esto que tenemos aquí corresponde a esto que hemos planteado por acá y nos falta este término, entonces seguimos por acá, tendremos más, aquí el exponente tres también destruye o elimina la raíz cúbica y nos deja libre nueve menos cuatro raíz cuadrada de cinco. Vamos a continuar por acá, x al cubo es igual a lo siguiente, acá en toda esta secuencia de números tenemos el caso de estos dos que se pueden sumar, nueve más nueve nos da dieciocho, tenemos también el caso de estos dos términos que son opuestos por lo tanto se eliminan y vamos a trabajar esto de acá, nos queda más tres que multiplica a lo siguiente, aquí hay un producto de radicales con el mismo índice, entonces aplicamos esta propiedad de la radicación, si tenemos la raíz enésima de A por la raíz enésima de B, esto es igual a la raíz enésima de A por B, entonces dejamos dentro de la misma raíz el producto de los radicales, entonces vamos a aplicar eso, allí nos queda la raíz cúbica del producto de estas dos expresiones, nueve más cuatro raíz de cinco por nueve menos cuatro raíz de cinco y todo esto dentro de la raíz cúbica y todo eso queda multiplicando por esta expresión, es la misma que tenemos al principio, la que equivale a x, todo esto es x, entonces aquí escribimos esa variable, vamos a resolver enseguida lo que tenemos dentro de la raíz cúbica, eso corresponde a otro producto notable llamado suma por diferencia, que es igual a la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado, entonces vamos a desarrollar ese producto por acá, nueve más cuatro raíz de cinco, todo eso multiplicado por nueve menos cuatro raíz de cinco, entonces será igual a nueve al cuadrado menos cuatro raíz de cinco y todo eso elevado al cuadrado, nueve al cuadrado nos da ochenta y uno menos aquí como hay multiplicación el exponente se reparte o afecta a los dos factores, entonces cuatro al cuadrado es dieciséis por la raíz cuadrada de cinco elevada al cuadrado que nos da cinco, pero dieciséis por cinco nos da ochenta y ochenta y uno menos ochenta nos da uno, en resumen todo esto que hay dentro de la raíz equivale a uno y la raíz cúbica de uno nos da uno, por lo tanto eso nos queda x al cubo igual a dieciocho más tres por uno por x, que es simplemente tres x, llegamos así a una ecuación de tercer grado que vamos a igualar a cero, entonces dejamos x al cubo en el lado izquierdo y pasamos estos términos para ese mismo lado, llega a menos tres x menos dieciocho y todo esto queda igualado a cero. Si hacemos el intento de resolver esta ecuación de tercer grado mediante los casos principales de factorización veremos que no es posible, entonces vamos a hacerlo mediante la división sintética, comenzamos obteniendo los divisores de dieciocho, del término independiente, no importa que aquí diga menos dieciocho, aquí lo podemos considerar como dieciocho positivo, entonces serán más o menos uno, más o menos dos, más o menos tres, de allí sigue más o menos seis, aquí podemos encontrar ya el producto de números que nos da dieciocho, o sea que aquí sigue el número que multiplicado con dos nos da dieciocho o sea nueve y sigue el número que multiplicado con uno es dieciocho, que será dieciocho, allí tenemos entonces los divisores enteros de dieciocho. Anotamos ahora los coeficientes del polinomio que por cierto ya está organizado en forma descendente, comenzamos con uno que es el coeficiente de x al cubo, seguiría cero porque el término x al cuadrado no está presente, sigue menos tres que es el coeficiente de x al a uno y después el término independiente que es menos dieciocho, podemos guiarnos entonces colocando encima de cada número a que letra o a que grado corresponde cada uno, y acá tenemos el término independiente, enseguida hacemos la prueba de cada uno de estos números mediante la división sintética, comenzamos con x igual a uno, bajamos este primer número, decimos uno por uno es igual a uno, sumamos cero más uno nos da uno, luego uno por uno nos da uno, sumamos menos tres más uno es menos dos, menos dos multiplicado por uno es menos dos, sumamos en forma vertical, menos dieciocho y menos dos nos da menos veinte y no nos sirve este valor porque hemos obtenido residuo diferente de cero, ensayamos ahora x igual a menos uno, de nuevo este número lo bajamos, uno por menos uno es menos uno, sumamos cero con menos uno nos da menos uno, menos uno multiplicado por menos uno es uno positivo, sumamos menos tres más uno es menos dos, menos dos por menos uno es dos positivo y al sumar nos da menos dieciséis, tampoco sirve este valor porque tenemos residuo diferente de cero, probamos ahora el valor x igual a dos, bajamos este número acá, decimos uno por dos es dos, sumamos nos da dos, dos por dos es cuatro, sumamos nos da uno, uno por dos es dos y al sumar nos da menos dieciséis, descartamos el dos porque acá nos dio residuo diferente de cero, ensayamos ahora x igual a menos dos, bajamos el uno, uno por menos dos es menos dos, sumamos nos da menos dos, menos dos por menos dos es cuatro positivo, sumamos eso nos da uno, uno por menos dos es menos dos, sumamos nos da menos veinte, tampoco sirve menos dos porque no tenemos residuo cero. Ensayamos ahora x igual a tres, bajamos entonces el uno, decimos uno por tres es tres, sumamos nos da tres, tres por tres nos da nueve, sumamos nos da seis positivo, seis por tres es dieciocho y al sumar nos da cero, este valor entonces si sirve, aceptamos x igual a tres porque ya tenemos residuo cero. Estos números que nos han quedado acá son los coeficientes del cociente cuando se efectúa la división sintética, con estos números conformamos la expresión x al cuadrado más tres x más seis, el uno lo tenemos aquí, luego el tres y luego el seis, recordemos que esta expresión es de un grado menos que la original que era de grado tres, pero como todo esto está igualado a cero, acá también igualamos el cociente a cero y resulta una ecuación cuadrática. Recordemos que la ecuación cuadrática corresponde al modelo ax al cuadrado más bx más c igual a cero, donde observamos que a es el coeficiente de x al cuadrado, o sea uno, b es el coeficiente de x, es decir tres y c es el término independiente que es seis. Podemos revisar rápidamente la naturaleza de las soluciones de esa ecuación cuadrática hallando lo que en la fórmula cuadrática se conoce como el discriminante, que es lo que tenemos aquí dentro de la raíz cuadrada, recordemos que esta es la fórmula cuadrática y esto que esta acá dentro de la raíz se llama discriminante, entonces vamos a encontrar su valor. Replazamos entonces los números, tenemos b que vale tres al cuadrado menos cuatro por a que es uno por c que vale seis, entonces tenemos d igual a tres al cuadrado que es nueve menos cuatro por uno por seis, eso haría menos veinticuatro y al efectuar esa diferencia nos da como resultado menos quince, tenemos entonces discriminante negativo, o sea que aquí tendríamos la raíz cuadrada de una cantidad negativa, eso nos da imaginario, por lo tanto las soluciones de esa ecuación cuadrática corresponden a números complejos. Entonces en resumen las soluciones de esta ecuación cubica o de tercer grado son una solución real que es x igual a tres y dos soluciones complejas que se obtienen al resolver esta ecuación cuadrática, pero lo que buscamos para x es un resultado real porque tenemos allí la suma de dos raíces cúbicas con operaciones de números reales en sus interiores, entonces todo esto equivale a tres, por lo tanto en este caso seleccionamos la opción c. Y hasta la próxima.
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330.08000000000004, "end": 342.32, "text": " estas dos expresiones, nueve m\u00e1s cuatro ra\u00edz de cinco por nueve menos cuatro ra\u00edz de cinco"}, {"start": 342.32, "end": 350.71999999999997, "text": " y todo esto dentro de la ra\u00edz c\u00fabica y todo eso queda multiplicando por esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 350.71999999999997, "end": 359.28, "text": " es la misma que tenemos al principio, la que equivale a x, todo esto es x, entonces aqu\u00ed"}, {"start": 359.28, "end": 365.03999999999996, "text": " escribimos esa variable, vamos a resolver enseguida lo que tenemos dentro de la ra\u00edz"}, {"start": 365.04, "end": 373.04, "text": " c\u00fabica, eso corresponde a otro producto notable llamado suma por diferencia, que es igual a"}, {"start": 373.04, "end": 381.0, "text": " la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado, entonces vamos a desarrollar"}, {"start": 381.0, "end": 387.56, "text": " ese producto por ac\u00e1, nueve m\u00e1s cuatro ra\u00edz de cinco, todo eso multiplicado por nueve"}, {"start": 387.56, "end": 396.72, "text": " menos cuatro ra\u00edz de cinco, entonces ser\u00e1 igual a nueve al cuadrado menos cuatro ra\u00edz"}, {"start": 396.72, "end": 404.76, "text": " de cinco y todo eso elevado al cuadrado, nueve al cuadrado nos da ochenta y uno menos aqu\u00ed"}, {"start": 404.76, "end": 412.08, "text": " como hay multiplicaci\u00f3n el exponente se reparte o afecta a los dos factores, entonces cuatro"}, {"start": 412.08, "end": 420.03999999999996, "text": " al cuadrado es diecis\u00e9is por la ra\u00edz cuadrada de cinco elevada al cuadrado que nos da cinco,"}, {"start": 420.03999999999996, "end": 427.15999999999997, "text": " pero diecis\u00e9is por cinco nos da ochenta y ochenta y uno menos ochenta nos da uno, en"}, {"start": 427.15999999999997, "end": 432.91999999999996, "text": " resumen todo esto que hay dentro de la ra\u00edz equivale a uno y la ra\u00edz c\u00fabica de uno nos"}, {"start": 432.92, "end": 442.24, "text": " da uno, por lo tanto eso nos queda x al cubo igual a dieciocho m\u00e1s tres por uno por x,"}, {"start": 442.24, "end": 449.04, "text": " que es simplemente tres x, llegamos as\u00ed a una ecuaci\u00f3n de tercer grado que vamos a"}, {"start": 449.04, "end": 455.40000000000003, "text": " igualar a cero, entonces dejamos x al cubo en el lado izquierdo y pasamos estos t\u00e9rminos"}, {"start": 455.4, "end": 463.71999999999997, "text": " para ese mismo lado, llega a menos tres x menos dieciocho y todo esto queda igualado a cero."}, {"start": 463.71999999999997, "end": 469.47999999999996, "text": " Si hacemos el intento de resolver esta ecuaci\u00f3n de tercer grado mediante los casos principales"}, {"start": 469.47999999999996, "end": 476.08, "text": " de factorizaci\u00f3n veremos que no es posible, entonces vamos a hacerlo mediante la divisi\u00f3n"}, {"start": 476.08, "end": 483.0, "text": " sint\u00e9tica, comenzamos obteniendo los divisores de dieciocho, del t\u00e9rmino independiente, no"}, {"start": 483.0, "end": 488.64, "text": " importa que aqu\u00ed diga menos dieciocho, aqu\u00ed lo podemos considerar como dieciocho positivo,"}, {"start": 488.64, "end": 495.76, "text": " entonces ser\u00e1n m\u00e1s o menos uno, m\u00e1s o menos dos, m\u00e1s o menos tres, de all\u00ed sigue m\u00e1s"}, {"start": 495.76, "end": 501.24, "text": " o menos seis, aqu\u00ed podemos encontrar ya el producto de n\u00fameros que nos da dieciocho,"}, {"start": 501.24, "end": 507.52, "text": " o sea que aqu\u00ed sigue el n\u00famero que multiplicado con dos nos da dieciocho o sea nueve y sigue"}, {"start": 507.52, "end": 514.36, "text": " el n\u00famero que multiplicado con uno es dieciocho, que ser\u00e1 dieciocho, all\u00ed tenemos entonces"}, {"start": 514.36, "end": 517.16, "text": " los divisores enteros de dieciocho."}, {"start": 517.16, "end": 522.88, "text": " Anotamos ahora los coeficientes del polinomio que por cierto ya est\u00e1 organizado en forma"}, {"start": 522.88, "end": 530.8, "text": " descendente, comenzamos con uno que es el coeficiente de x al cubo, seguir\u00eda cero porque el t\u00e9rmino"}, {"start": 530.8, "end": 537.56, "text": " x al cuadrado no est\u00e1 presente, sigue menos tres que es el coeficiente de x al a uno"}, {"start": 537.56, "end": 544.24, "text": " y despu\u00e9s el t\u00e9rmino independiente que es menos dieciocho, podemos guiarnos entonces"}, {"start": 544.24, "end": 550.76, "text": " colocando encima de cada n\u00famero a que letra o a que grado corresponde cada uno, y ac\u00e1"}, {"start": 550.76, "end": 557.4, "text": " tenemos el t\u00e9rmino independiente, enseguida hacemos la prueba de cada uno de estos n\u00fameros"}, {"start": 557.4, "end": 564.28, "text": " mediante la divisi\u00f3n sint\u00e9tica, comenzamos con x igual a uno, bajamos este primer n\u00famero,"}, {"start": 564.28, "end": 570.52, "text": " decimos uno por uno es igual a uno, sumamos cero m\u00e1s uno nos da uno, luego uno por uno"}, {"start": 570.52, "end": 576.5799999999999, "text": " nos da uno, sumamos menos tres m\u00e1s uno es menos dos, menos dos multiplicado por uno"}, {"start": 576.5799999999999, "end": 582.28, "text": " es menos dos, sumamos en forma vertical, menos dieciocho y menos dos nos da menos veinte y"}, {"start": 582.28, "end": 589.24, "text": " no nos sirve este valor porque hemos obtenido residuo diferente de cero, ensayamos ahora"}, {"start": 589.24, "end": 596.9599999999999, "text": " x igual a menos uno, de nuevo este n\u00famero lo bajamos, uno por menos uno es menos uno,"}, {"start": 596.9599999999999, "end": 602.9599999999999, "text": " sumamos cero con menos uno nos da menos uno, menos uno multiplicado por menos uno es uno"}, {"start": 602.9599999999999, "end": 610.12, "text": " positivo, sumamos menos tres m\u00e1s uno es menos dos, menos dos por menos uno es dos positivo"}, {"start": 610.12, "end": 617.68, "text": " y al sumar nos da menos diecis\u00e9is, tampoco sirve este valor porque tenemos residuo diferente"}, {"start": 617.68, "end": 624.4, "text": " de cero, probamos ahora el valor x igual a dos, bajamos este n\u00famero ac\u00e1, decimos uno"}, {"start": 624.4, "end": 633.0, "text": " por dos es dos, sumamos nos da dos, dos por dos es cuatro, sumamos nos da uno, uno por"}, {"start": 633.0, "end": 640.14, "text": " dos es dos y al sumar nos da menos diecis\u00e9is, descartamos el dos porque ac\u00e1 nos dio residuo"}, {"start": 640.14, "end": 647.88, "text": " diferente de cero, ensayamos ahora x igual a menos dos, bajamos el uno, uno por menos"}, {"start": 647.88, "end": 655.44, "text": " dos es menos dos, sumamos nos da menos dos, menos dos por menos dos es cuatro positivo,"}, {"start": 655.44, "end": 662.72, "text": " sumamos eso nos da uno, uno por menos dos es menos dos, sumamos nos da menos veinte,"}, {"start": 662.72, "end": 667.8000000000001, "text": " tampoco sirve menos dos porque no tenemos residuo cero."}, {"start": 667.8000000000001, "end": 675.1600000000001, "text": " Ensayamos ahora x igual a tres, bajamos entonces el uno, decimos uno por tres es tres, sumamos"}, {"start": 675.1600000000001, "end": 683.6, "text": " nos da tres, tres por tres nos da nueve, sumamos nos da seis positivo, seis por tres es dieciocho"}, {"start": 683.6, "end": 690.0400000000001, "text": " y al sumar nos da cero, este valor entonces si sirve, aceptamos x igual a tres porque"}, {"start": 690.0400000000001, "end": 695.2, "text": " ya tenemos residuo cero. Estos n\u00fameros que nos han quedado ac\u00e1 son"}, {"start": 695.2, "end": 701.52, "text": " los coeficientes del cociente cuando se efect\u00faa la divisi\u00f3n sint\u00e9tica, con estos n\u00fameros"}, {"start": 701.52, "end": 709.4, "text": " conformamos la expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s tres x m\u00e1s seis, el uno lo tenemos aqu\u00ed,"}, {"start": 709.4, "end": 715.36, "text": " luego el tres y luego el seis, recordemos que esta expresi\u00f3n es de un grado menos que"}, {"start": 715.36, "end": 721.88, "text": " la original que era de grado tres, pero como todo esto est\u00e1 igualado a cero, ac\u00e1 tambi\u00e9n"}, {"start": 721.88, "end": 727.16, "text": " igualamos el cociente a cero y resulta una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 727.16, "end": 735.64, "text": " Recordemos que la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica corresponde al modelo ax al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual"}, {"start": 735.64, "end": 744.8, "text": " a cero, donde observamos que a es el coeficiente de x al cuadrado, o sea uno, b es el coeficiente"}, {"start": 744.8, "end": 751.36, "text": " de x, es decir tres y c es el t\u00e9rmino independiente que es seis."}, {"start": 751.36, "end": 756.88, "text": " Podemos revisar r\u00e1pidamente la naturaleza de las soluciones de esa ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 756.88, "end": 762.84, "text": " hallando lo que en la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica se conoce como el discriminante, que es lo"}, {"start": 762.84, "end": 769.6, "text": " que tenemos aqu\u00ed dentro de la ra\u00edz cuadrada, recordemos que esta es la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica"}, {"start": 769.6, "end": 777.2, "text": " y esto que esta ac\u00e1 dentro de la ra\u00edz se llama discriminante, entonces vamos a encontrar"}, {"start": 777.2, "end": 778.48, "text": " su valor."}, {"start": 778.48, "end": 786.44, "text": " Replazamos entonces los n\u00fameros, tenemos b que vale tres al cuadrado menos cuatro por"}, {"start": 786.44, "end": 794.72, "text": " a que es uno por c que vale seis, entonces tenemos d igual a tres al cuadrado que es"}, {"start": 794.72, "end": 802.4000000000001, "text": " nueve menos cuatro por uno por seis, eso har\u00eda menos veinticuatro y al efectuar esa diferencia"}, {"start": 802.4000000000001, "end": 808.0, "text": " nos da como resultado menos quince, tenemos entonces discriminante negativo, o sea que"}, {"start": 808.0, "end": 814.1400000000001, "text": " aqu\u00ed tendr\u00edamos la ra\u00edz cuadrada de una cantidad negativa, eso nos da imaginario,"}, {"start": 814.14, "end": 820.88, "text": " por lo tanto las soluciones de esa ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica corresponden a n\u00fameros complejos."}, {"start": 820.88, "end": 826.68, "text": " Entonces en resumen las soluciones de esta ecuaci\u00f3n cubica o de tercer grado son una"}, {"start": 826.68, "end": 833.1999999999999, "text": " soluci\u00f3n real que es x igual a tres y dos soluciones complejas que se obtienen al resolver"}, {"start": 833.1999999999999, "end": 840.04, "text": " esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, pero lo que buscamos para x es un resultado real porque tenemos"}, {"start": 840.04, "end": 847.5999999999999, "text": " all\u00ed la suma de dos ra\u00edces c\u00fabicas con operaciones de n\u00fameros reales en sus interiores, entonces"}, {"start": 847.6, "end": 870.48, "text": " todo esto equivale a tres, por lo tanto en este caso seleccionamos la opci\u00f3n c."}, {"start": 870.48, "end": 878.16, "text": " Y hasta la pr\u00f3xima."}]