MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: Concepto - Ejemplos 1 y 2
#julioprofe explica el concepto de Mínimo Común Múltiplo (MCM) de varios números naturales y expone dos ejemplos de cómo determinarlo.

Contenido:

00:00 - 00:40 Concepto de MCM
00:40 - 03:28 Ejemplo 1 (forma larga)
03:28 - 06:21 Ejemplo 1 (forma corta)
06:21 - 09:18 Ejemplo 2 (forma larga)
09:18 - 12:11 Ejemplo 2 (forma corta)

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 Vamos a ver el concepto y algunos ejemplos de lo que es el mínimo común múltiplo, conocido también como MCM por sus iniciales. El mínimo común múltiplo de un conjunto de números naturales es el número más pequeño que nos contiene exactamente, o sea que es múltiplo de todos ellos. Este es el concepto o la definición de lo que es el mínimo común múltiplo. Vamos a ver a continuación ejemplos de cómo se determina. Vamos a encontrar el mínimo común múltiplo de 4 y 6 comenzando por la forma larga, que es la manera como lo hacen los niños de aproximadamente 10 u 11 años que todavía no han visto lo que es la descomposición de un número en factores primos. Veamos entonces cómo se hace por este camino. Determinamos el conjunto de múltiplos de 4, que sería 4 por 1, 4, 4 por 2, 8, 4 por 3, 12, 4 por 4, 16, 4 por 5, 20, 4 por 6, 24, 4 por 7, 28, 4 por 8, 32, 4 por 9, 36, 4 por 10, 40. Y bueno, este conjunto sigue, es un conjunto infinito. Ahora determinamos el conjunto de múltiplos de 6, que son 6 por 1, 6, 6 por 2, 12, 6 por 3, 18, 6 por 4, 24, 6 por 5, 30, 6 por 6, 36, 6 por 7, 42, 6 por 8, 48, 6 por 9, 54, 6 por 10, 60. Y de igual manera, ese conjunto nunca termina. Ya tenemos entonces el conjunto de múltiplos de 4 y de 6. Ahora vamos a señalar los números comunes, o sea, los que se repiten en los dos conjuntos. Tenemos el caso del número 12, también observamos el 24 y observamos el número 36. Esos son los múltiplos comunes. Y de ellos vamos a señalar o determinar lo que es el mínimo, o sea, el más pequeño. Se trata entonces del número 12. Entonces 12 es el número más pequeño que contiene exactamente a 4 y a 6. O sea que es múltiplo al mismo tiempo de ellos dos. Entonces 12 constituye el mínimo común múltiplo, o MCM, de 4 y 6. Repito, esta es la forma como calculan el mínimo común múltiplo los niños que todavía no han visto lo que es la descomposición de números utilizando factores primos. Ahora vamos a ver cómo encontrar el mínimo común múltiplo de 4 y 6 de la forma corta. Que es cuando el estudiante ya conoce cómo descomponer un número en factores primos. Entonces escribimos el 4 y el 6, los dos números naturales que tenemos allí. Y a la derecha del último número trazamos una línea vertical y entonces vamos a utilizar aquí números primos para realizar la descomposición simultánea de esos dos números. Recordemos que los números primos son aquellos que solamente se pueden dividir por sí mismos y por uno. Entonces comienza ese conjunto en el 2, después tenemos el 3, luego el 5, luego el 7, después el 11, etc. Este conjunto es infinito. Entonces comenzamos examinando el 2. Nos preguntamos si el 2 es divisor de alguno de estos números. Efectivamente, divide a los dos por tratarse de números pares. Entonces utilizamos el 2. Decimos mitad de 4 es 2, mitad de 6 es 3. Nos preguntamos si el 2 sirve nuevamente. Al 3 no le sirve, pero a este 2 sí le sirve. Entonces lo utilizamos. Decimos mitad de 2 es 1, mitad de 3 no tiene. 3 no es divisible exactamente por 2, por lo tanto se deja como está. Por aquí ya terminamos. Podemos encerrar este número en un círculo para saber que aquí no hacemos nada más. Ya terminamos porque llegamos a 1. Y nos queda el número 3. Estábamos aquí en el número 2. Vemos que el 2 ya no le sirve al 3. Entonces pasamos a examinar el siguiente número primo, que es el 3. 3 efectivamente es divisor de 3. Entonces decimos tercera de 3 nos da 1. Y encerramos ese número para indicar que allí terminamos. Estos números que nos quedan aquí se multiplican entre sí. 2 por 2 por 3. Y eso nos da como resultado 12. Y ese es el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Vemos que se obtiene el mismo resultado de las dos maneras. De la forma larga y de la forma corta. Lógicamente esta manera es mucho más efectiva, más rápida. Pero se advierte que debe utilizarse cuando se conoce esto. Que es la descomposición simultánea de números utilizando factores primos. En el segundo ejemplo vamos a determinar el mínimo común múltiplo de 9, 10 y 15. Entonces vamos a realizarlo de las dos formas. Comenzamos con la forma larga. Y para ello debemos determinar el conjunto de múltiplos de cada uno de estos números. Comenzamos con los múltiplos de 9. Entonces 9 por 1, 9. 9 por 2, 18. 9 por 3, 27. 9 por 4, 36. 9 por 5, 45. 9 por 6, 54. 9 por 7, 63. 9 por 8, 72. 9 por 9, 81. Y 9 por 10, 90. Y este conjunto continúa. Entonces escribimos puntos suspensivos. Vamos ahora con los múltiplos de 10. Tenemos 10 por 1, 10. 10 por 2, 20. 10 por 3, 30. 10 por 4, 40. 10 por 5, 50. 10 por 6, 60. 10 por 7, 70. 10 por 8, 80. 10 por 9, 90. 10 por 10, 100. Y este conjunto continúa. Ahora vamos con los múltiplos de 15. Tenemos 15 por 1, 15. 15 por 2, 30. 15 por 3, 45. 15 por 4, 60. 15 por 5, 75. 15 por 6, 90. 15 por 7, 105. 15 por 8, 120. Y bueno, este conjunto continúa. Buscamos ahora los números que estén repetidos en los tres conjuntos. Realmente, el único que observamos es el número 90. Y ese constituye el más pequeño. Con seguridad, por acá más adelante, vamos a encontrar números que también estén presentes en los tres conjuntos. Pero buscamos el mínimo, o sea, el número más pequeño que se encuentre repetido en los tres conjuntos. Entonces, 90 constituye el mínimo como un múltiplo de estos tres números naturales. Allí lo tenemos utilizando la forma larga. Repito, para niños que todavía no han visto la descomposición en factores primos de un número. Vamos ahora a encontrar el mínimo como un múltiplo utilizando la forma corta. O sea, descomponiendo simultáneamente esos tres números en factores primos. Los escribimos espaciados entre sí. Y a la derecha del último número, trazamos una línea vertical. Y comenzamos examinando aquí los números primos. Vamos a escribirlos nuevamente. Entonces, los primos comienzan en el 2, después el 3, después el 5, después el 7, luego el 11, etc. Entonces, iniciamos con 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos números. Efectivamente, sirve para el 10 por ser número par. Entonces utilizamos el 2. A 9 no le sirve, a 15 tampoco. Entonces, se describen otra vez esos mismos números. Y decimos mitad de 10 es 5. Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir. Vemos que no, porque tenemos aquí números impares. Entonces pasamos a examinar el 3. Nos preguntamos si 3 le sirve alguno de estos números. Vemos que sí, 3 es divisor de 9 y también es divisor de 15. Entonces usamos el 3. Tercera de 9 nos da 3. Tercera de 15 nos da 5. Y al 5 no le sirve el 3. Por lo tanto, se describe nuevamente. Nos queda ahora examinar de nuevo el número 3. A ver si le sirve alguno de estos. Vemos que sí, entonces se utiliza otra vez. Tercera de 3 nos da 1. Para 5 no le sirve y aquí tampoco sirve. Entonces aquí podemos encerrar el 1. Para que sepamos que aquí ya terminamos. Y nos concentramos en los números que quedan. El 3 ya nos sirve para el 5. Entonces pasamos al siguiente número primo que es 5. 5 es divisor de 5 cada una vez. Y aquí terminamos. Entonces para determinar ya el mínimo común múltiplo. Multiplicando estos números que nos quedan aquí. Tenemos entonces 2 por 3 por 3 por 5. Veamos 2 por 3 es 6. 6 por 3 es 18. Y 18 por 5 nos da 90. Que es el número que habíamos encontrado con la forma larga. Entonces 90 es el mínimo común múltiplo de estos 3 números naturales. Con esto terminamos la explicación.
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Y nos queda el n\u00famero 3."}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " Est\u00e1bamos aqu\u00ed en el n\u00famero 2. Vemos que el 2 ya no le sirve al 3."}, {"start": 327.0, "end": 332.0, "text": " Entonces pasamos a examinar el siguiente n\u00famero primo, que es el 3."}, {"start": 332.0, "end": 338.0, "text": " 3 efectivamente es divisor de 3. Entonces decimos tercera de 3 nos da 1."}, {"start": 338.0, "end": 343.0, "text": " Y encerramos ese n\u00famero para indicar que all\u00ed terminamos."}, {"start": 343.0, "end": 347.0, "text": " Estos n\u00fameros que nos quedan aqu\u00ed se multiplican entre s\u00ed."}, {"start": 347.0, "end": 353.0, "text": " 2 por 2 por 3. Y eso nos da como resultado 12."}, {"start": 353.0, "end": 358.0, "text": " Y ese es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 4 y 6."}, {"start": 358.0, "end": 365.0, "text": " Vemos que se obtiene el mismo resultado de las dos maneras. De la forma larga y de la forma corta."}, {"start": 365.0, "end": 370.0, "text": " L\u00f3gicamente esta manera es mucho m\u00e1s efectiva, m\u00e1s r\u00e1pida."}, {"start": 370.0, "end": 374.0, "text": " Pero se advierte que debe utilizarse cuando se conoce esto."}, {"start": 374.0, "end": 381.0, "text": " Que es la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea de n\u00fameros utilizando factores primos."}, {"start": 381.0, "end": 390.0, "text": " En el segundo ejemplo vamos a determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 9, 10 y 15."}, {"start": 390.0, "end": 399.0, "text": " Entonces vamos a realizarlo de las dos formas. Comenzamos con la forma larga."}, {"start": 399.0, "end": 406.0, "text": " Y para ello debemos determinar el conjunto de m\u00faltiplos de cada uno de estos n\u00fameros."}, {"start": 406.0, "end": 411.0, "text": " Comenzamos con los m\u00faltiplos de 9."}, {"start": 411.0, "end": 421.0, "text": " Entonces 9 por 1, 9. 9 por 2, 18. 9 por 3, 27. 9 por 4, 36."}, {"start": 421.0, "end": 427.0, "text": " 9 por 5, 45. 9 por 6, 54."}, {"start": 427.0, "end": 433.0, "text": " 9 por 7, 63. 9 por 8, 72."}, {"start": 433.0, "end": 439.0, "text": " 9 por 9, 81. Y 9 por 10, 90."}, {"start": 439.0, "end": 445.0, "text": " Y este conjunto contin\u00faa. Entonces escribimos puntos suspensivos."}, {"start": 445.0, "end": 450.0, "text": " Vamos ahora con los m\u00faltiplos de 10."}, {"start": 450.0, "end": 454.0, "text": " Tenemos 10 por 1, 10. 10 por 2, 20."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " 10 por 3, 30. 10 por 4, 40."}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " 10 por 5, 50. 10 por 6, 60."}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " 10 por 7, 70. 10 por 8, 80."}, {"start": 466.0, "end": 470.0, "text": " 10 por 9, 90. 10 por 10, 100."}, {"start": 470.0, "end": 473.0, "text": " Y este conjunto contin\u00faa."}, {"start": 473.0, "end": 477.0, "text": " Ahora vamos con los m\u00faltiplos de 15."}, {"start": 477.0, "end": 484.0, "text": " Tenemos 15 por 1, 15. 15 por 2, 30."}, {"start": 484.0, "end": 490.0, "text": " 15 por 3, 45. 15 por 4, 60."}, {"start": 490.0, "end": 496.0, "text": " 15 por 5, 75. 15 por 6, 90."}, {"start": 496.0, "end": 503.0, "text": " 15 por 7, 105. 15 por 8, 120."}, {"start": 503.0, "end": 506.0, "text": " Y bueno, este conjunto contin\u00faa."}, {"start": 506.0, "end": 512.0, "text": " Buscamos ahora los n\u00fameros que est\u00e9n repetidos en los tres conjuntos."}, {"start": 512.0, "end": 518.0, "text": " Realmente, el \u00fanico que observamos es el n\u00famero 90."}, {"start": 518.0, "end": 521.0, "text": " Y ese constituye el m\u00e1s peque\u00f1o."}, {"start": 521.0, "end": 528.0, "text": " Con seguridad, por ac\u00e1 m\u00e1s adelante, vamos a encontrar n\u00fameros que tambi\u00e9n est\u00e9n presentes en los tres conjuntos."}, {"start": 528.0, "end": 537.0, "text": " Pero buscamos el m\u00ednimo, o sea, el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que se encuentre repetido en los tres conjuntos."}, {"start": 537.0, "end": 545.0, "text": " Entonces, 90 constituye el m\u00ednimo como un m\u00faltiplo de estos tres n\u00fameros naturales."}, {"start": 545.0, "end": 549.0, "text": " All\u00ed lo tenemos utilizando la forma larga."}, {"start": 549.0, "end": 558.0, "text": " Repito, para ni\u00f1os que todav\u00eda no han visto la descomposici\u00f3n en factores primos de un n\u00famero."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " Vamos ahora a encontrar el m\u00ednimo como un m\u00faltiplo utilizando la forma corta."}, {"start": 566.0, "end": 575.0, "text": " O sea, descomponiendo simult\u00e1neamente esos tres n\u00fameros en factores primos."}, {"start": 575.0, "end": 579.0, "text": " Los escribimos espaciados entre s\u00ed."}, {"start": 579.0, "end": 585.0, "text": " Y a la derecha del \u00faltimo n\u00famero, trazamos una l\u00ednea vertical."}, {"start": 585.0, "end": 590.0, "text": " Y comenzamos examinando aqu\u00ed los n\u00fameros primos."}, {"start": 590.0, "end": 593.0, "text": " Vamos a escribirlos nuevamente."}, {"start": 593.0, "end": 603.0, "text": " Entonces, los primos comienzan en el 2, despu\u00e9s el 3, despu\u00e9s el 5, despu\u00e9s el 7, luego el 11, etc."}, {"start": 603.0, "end": 605.0, "text": " Entonces, iniciamos con 2."}, {"start": 605.0, "end": 609.0, "text": " Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos n\u00fameros."}, {"start": 609.0, "end": 613.0, "text": " Efectivamente, sirve para el 10 por ser n\u00famero par."}, {"start": 613.0, "end": 615.0, "text": " Entonces utilizamos el 2."}, {"start": 615.0, "end": 618.0, "text": " A 9 no le sirve, a 15 tampoco."}, {"start": 618.0, "end": 622.0, "text": " Entonces, se describen otra vez esos mismos n\u00fameros."}, {"start": 622.0, "end": 627.0, "text": " Y decimos mitad de 10 es 5."}, {"start": 627.0, "end": 629.0, "text": " Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir."}, {"start": 629.0, "end": 633.0, "text": " Vemos que no, porque tenemos aqu\u00ed n\u00fameros impares."}, {"start": 633.0, "end": 635.0, "text": " Entonces pasamos a examinar el 3."}, {"start": 635.0, "end": 638.0, "text": " Nos preguntamos si 3 le sirve alguno de estos n\u00fameros."}, {"start": 638.0, "end": 643.0, "text": " Vemos que s\u00ed, 3 es divisor de 9 y tambi\u00e9n es divisor de 15."}, {"start": 643.0, "end": 645.0, "text": " Entonces usamos el 3."}, {"start": 645.0, "end": 647.0, "text": " Tercera de 9 nos da 3."}, {"start": 647.0, "end": 650.0, "text": " Tercera de 15 nos da 5."}, {"start": 650.0, "end": 652.0, "text": " Y al 5 no le sirve el 3."}, {"start": 652.0, "end": 655.0, "text": " Por lo tanto, se describe nuevamente."}, {"start": 655.0, "end": 660.0, "text": " Nos queda ahora examinar de nuevo el n\u00famero 3."}, {"start": 660.0, "end": 662.0, "text": " A ver si le sirve alguno de estos."}, {"start": 662.0, "end": 666.0, "text": " Vemos que s\u00ed, entonces se utiliza otra vez."}, {"start": 666.0, "end": 669.0, "text": " Tercera de 3 nos da 1."}, {"start": 669.0, "end": 674.0, "text": " Para 5 no le sirve y aqu\u00ed tampoco sirve."}, {"start": 674.0, "end": 676.0, "text": " Entonces aqu\u00ed podemos encerrar el 1."}, {"start": 676.0, "end": 679.0, "text": " Para que sepamos que aqu\u00ed ya terminamos."}, {"start": 679.0, "end": 683.0, "text": " Y nos concentramos en los n\u00fameros que quedan."}, {"start": 683.0, "end": 685.0, "text": " El 3 ya nos sirve para el 5."}, {"start": 685.0, "end": 689.0, "text": " Entonces pasamos al siguiente n\u00famero primo que es 5."}, {"start": 689.0, "end": 693.0, "text": " 5 es divisor de 5 cada una vez."}, {"start": 693.0, "end": 695.0, "text": " Y aqu\u00ed terminamos."}, {"start": 695.0, "end": 700.0, "text": " Entonces para determinar ya el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo."}, {"start": 700.0, "end": 704.0, "text": " Multiplicando estos n\u00fameros que nos quedan aqu\u00ed."}, {"start": 704.0, "end": 711.0, "text": " Tenemos entonces 2 por 3 por 3 por 5."}, {"start": 711.0, "end": 713.0, "text": " Veamos 2 por 3 es 6."}, {"start": 713.0, "end": 715.0, "text": " 6 por 3 es 18."}, {"start": 715.0, "end": 719.0, "text": " Y 18 por 5 nos da 90."}, {"start": 719.0, "end": 724.0, "text": " Que es el n\u00famero que hab\u00edamos encontrado con la forma larga."}, {"start": 724.0, "end": 729.0, "text": " Entonces 90 es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de estos 3 n\u00fameros naturales."}, {"start": 729.0, "end": 734.0, "text": " Con esto terminamos la explicaci\u00f3n."}]