LÍMITES INFINITOS - Ejercicios 1, 2 y 3
#julioprofe explica cómo resolver tres ejercicios de Límites Infinitos.

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 En esta ocasión vamos a resolver estos tres ejercicios que corresponden a límites infinitos. Ahora que los desarrollemos vamos a ver cómo se llega a expresiones de la forma A sobre 0. A representa un número diferente de 0 y este 0 que está en el denominador hace referencia a una cantidad que se aproxima a 0. En cálculo toda cantidad diferente de 0 que está sobre una que tiende a 0 se dice que da como resultado infinito o tiende a convertirse en infinito. Donde debemos tener mucho cuidado es que la tendencia a 0 puede darse por la izquierda, es decir, por el lado de los números negativos o por la derecha, es decir, por el lado de los números positivos. Y eso incide en el signo que toma infinito. Podemos hablar de más infinito o de menos infinito. Vamos entonces a resolver el primer ejercicio. En esta ocasión nos piden averiguar qué le sucede a esta función cuando x se aproxima o tiende a 3 por la derecha. Entonces vamos a pensar en un número, un valor de x que cumpla con esta condición que se acerque a 3 por el lado derecho. Para ello nos podemos ayudar con una recta numérica. Allí podemos observarla y lo que estamos buscando es un número que esté por aquí, que se acerque a 3 por su derecha. Entonces vamos a pensar en un número muy cercano a 3 por el lado derecho que puede ser por ejemplo 3.0001. Podemos trabajar con esa cantidad, entonces esa es la que vamos a escoger aquí, 3.0001, muy cercano a 3 por el lado derecho. Y esa cantidad que escogimos vamos a reemplazarla en la función. Tenemos entonces en el numerador 3.0001 más 2 y en el denominador tenemos 3.0001 menos 3. Y vamos a resolver cada una de estas operaciones. En la parte de arriba si hacemos esa suma nos da como resultado 5.0001. Y en la parte de abajo resolviendo esta resta nos da como resultado 0.0001. Y estas cantidades podemos aproximarlas de la siguiente manera. El número 5.0001 es un número que está situado por aquí, muy próximo a 5 a su derecha. Entonces podemos decir que es prácticamente 5 positivo. Y el número 0.0001 es una cantidad que está, vamos a prolongar esta recta hacia allá, marcamos el 0 y esta cantidad está situada por acá. Es decir, muy próxima a 0 pero por el lado derecho. Entonces podemos decir que es prácticamente 0 pero de naturaleza positivo. Y de esta manera tenemos ya un cociente, tenemos una cantidad diferente de 0 sobre una que tiende a 0. 5 sobre 0 como veíamos ahora en cálculo es prácticamente infinito y aplicamos la ley de los signos. Más con más en la división nos da resultado positivo. Entonces tenemos en este caso que este límite nos da como resultado más infinito. Es lo que se conoce también un límite lateral porque muestra la tendencia de X hacia el número 3 por el lado derecho. Y como vemos el resultado es más infinito por lo que se clasifica como un límite infinito. Pasamos al segundo ejercicio donde debemos ver qué le sucede a esta función cuando X se aproxima a 7 por la izquierda. Entonces vamos a seleccionar de nuevo un valor de X que cumpla con esta condición. Nos ayudamos entonces con una recta numérica. Allí podemos observarla y vamos a escoger entonces un valor de X que esté próximo a 7 por la izquierda. Es decir que esté como por aquí un número muy cercano a 7 que puede ser entonces 6.9999. El 6 seguido de 4 nueves es una cantidad muy cercana a 7 por la izquierda. O sea que cumple con esa condición. Vamos entonces a escribir ese número por aquí. Y enseguida vamos a evaluar la función en ese valor de X. Vamos a reemplazarlo tanto en el numerador como en el denominador. Arriba tenemos 2 que multiplica a ese número. Y todo eso más 1. Y en el denominador tenemos ese número 6.9999 menos 7. Y resolvemos las operaciones correspondientes. En el numerador nos da como resultado 14.9998. Y acá en el denominador esa resta nos da como resultado menos 0.0001. Y esas dos cantidades podemos aproximarlas de la siguiente manera. El número 14.9998 indiscutiblemente está muy cerca a 15 de naturaleza positiva. Y la cantidad que tenemos en el denominador está localizada en la recta numérica por acá. Está a la izquierda de 0 en la zona negativa pero muy cercano a 0. Entonces podemos escribir 0 acompañado de signo negativo. Queriendo decir que se trata de una cantidad cercana a 0 pero de naturaleza negativa. Y ahora aplicamos lo que vimos al principio. Una cantidad diferente de 0 dividida entre otra cantidad que tiende a 0. O sea 15 sobre 0 se va hacia infinito. Y tenemos también los signos más con menos. Aplicamos ley de los signos y nos da signo menos. De esta manera resolvemos el segundo límite. También es un límite lateral porque X tiende a 7 únicamente por el lado izquierdo. Y también es un límite infinito porque el resultado como podemos ver es menos infinito. Finalmente resolvemos el tercer ejercicio. En este caso ya no tenemos aquí tendencia por la derecha o por la izquierda del número 2. Entonces lo primero que hacemos es evaluar la función en este número. Tendremos 5 menos 2 sobre 2 menos 2. Y resolvemos 5 menos 2 es 3 y 2 menos 2 es 0. Y hemos dicho que toda cantidad diferente de 0 sobre una que tiende a 0 se va hacia infinito. Pero aquí no sabemos si se trata de más infinito o menos infinito. Nos queda esa duda que debemos resolver. Entonces esto no es suficiente. Tenemos que hacer para esta función un análisis lateral. Ver que le sucede cuando X tiende a 2 por la izquierda y que le sucede cuando X tiende a 2 por la derecha. Comenzamos con el límite cuando X tiende a 2 por la izquierda de esta misma función. 5 menos X sobre X menos 2. Y vamos a seleccionar un valor de X que cumpla con esta condición. Podemos escoger el número 1.9999. Es un número que se acerca o que está muy próximo a 2 por el lado izquierdo. Si tenemos dificultad para escoger este número mentalmente nos podemos ayudar de la recta numérica. Esta cantidad que seleccionamos vamos a reemplazarla en la función donde está la X. Entonces vamos a escribir eso. Allí está el numerador y para el caso del denominador tenemos la operación. Vamos a resolver cada una. La operación de arriba nos da como resultado 3.0001. Y la de abajo nos da como resultado menos 0.0001. Y vamos a aproximar cada una de esas cantidades. Para el caso del numerador este número está muy próximo a 3 de naturaleza positiva. Y el que tenemos en el denominador está muy próximo a 0 pero de naturaleza negativa. Entonces decimos 3 sobre 0 se va a infinito y más con menos nos da menos. Conclusión el límite por la izquierda nos da como resultado menos infinito. Voy a escribir eso por acá. Por la izquierda nos dio menos infinito. Bien ahora vamos a examinar el límite por la derecha. Vamos a seleccionar entonces un número, un valor de X que cumpla con esta condición que esté próximo a 2 por la derecha. Podemos seleccionar el número 2.0001. Y ese número que escogimos lo reemplazamos acá en la función. Nos queda 5 menos 2.0001. Todo esto sobre 2.0001 menos 2. Y resolvemos cada operación. En el numerador eso nos da como resultado 2.9999. Y para el caso del denominador nos da como resultado 0.0001. Y vamos a aproximar cada una de esas cantidades. Este número 2.9999 está muy próximo a 3 de naturaleza positiva. Y este que tenemos en el denominador está muy próximo a 0 también de naturaleza positiva. Tenemos 3 sobre 0 que se va a infinito y más con más nos da como resultado más. Entonces el límite por la derecha nos dio más infinito. Como conclusión podemos decir que este límite no existe. Y este es el símbolo. Entonces ese límite no existe porque por izquierda tiende a menos infinito y por derecha tiende a más infinito. Tiene tendencias totalmente diferentes cuando x está en la proximidad del número 2. Esta es entonces la respuesta a este tercer ejercicio.
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