GRÁFICA, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
#julioprofe explica cómo determinar el dominio, las asíntotas, los cortes con los ejes, la gráfica y el rango de una función racional.

Video del tema de #Funciones producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 ¿Qué es la función de la función y? Nos piden representar gráficamente la función y igual a f de x igual a x más 3 sobre x menos 2. Esta es una función racional, es decir, se presenta como una fracción o un cociente de expresiones. Primero, debemos determinar lo que es el dominio de esta función, es decir, para qué valores de x esta función va a existir sin ningún problema. Como se trata de una fracción, debemos garantizar que el denominador no vaya a ser cero. Entonces establecemos la restricción y es que x menos 2 debe ser diferente de cero. Resolvemos esto, similar a una ecuación, el 2 se está restando pasa a sumar al lado derecho con el cero y nos queda 2. Por lo tanto encontramos que x tiene que ser diferente de 2 en esa función. Entonces el dominio de la función será los x que pertenece al conjunto de los números reales con excepción del número 2. Es decir, x puede tomar cualquier valor del conjunto de los números reales desde menos infinito hasta más infinito con tal de que no tome el valor 2. Porque este valor pone problema en la función ya que convierte en cero el denominador. Como ya sabemos que x no puede ser 2 en esta función, x debe ser diferente de 2. Vamos a mirar que le sucede a la función, es decir a los valores de y cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha. Porque es muy probable que en este número tengamos lo que se llama una asíntota vertical. Entonces veamos, podemos hacer la siguiente tabulación, valores de x y valores de y o de la función. Vamos a escoger un número que se aproxime a 2 por la izquierda, que esté muy cerca a 2 por el lado izquierdo. Podríamos tomar el número 1.99 al reemplazar 1.99 en la función. Es decir, aquí donde están los valores de x escribimos 1.99 y resolvemos toda esa operación obtenemos el resultado menos 499. Y reemplazando un número que se acerque a 2 por la derecha muy próximo a 2 como por ejemplo 2.01. Si este número lo reemplazamos allí donde está la x y resolvemos la operación obtenemos el resultado 501. Esto que nos permite concluir que si x tiende a 2 por la izquierda que se simboliza de esta manera. Entonces los valores de y o de la función se están yendo hacia menos infinito. Como vemos obtenemos un número negativo muy grande. Luego nos permite concluir que los valores de la función o de la variable y se están yendo hacia menos infinito. Y que si x tiende a 2 por la derecha se representa con ese signo más en la parte superior derecha del 2. Entonces los valores de y o de la función están tendiendo hacia más infinito. Si nos da 501 un valor grande seguramente si tomamos valores mucho más próximos a 2 por la derecha por ejemplo 2.0001 acá nos dará un número más grande todavía. Por eso podemos asegurar que esta es la tendencia de los valores de la variable y o de la función. Esto que acabamos de encontrar nos permite asegurar que esta función tendrá en 2 una asíntota vertical. Esa que hemos dibujado con color verde. Es decir una recta a la cual la curva se aproximará sin haber contacto. Entonces dice aquí que cuando x tiende a 2 por la izquierda los valores de la función tienden hacia menos infinito. Entonces si llegamos al valor 2 por la izquierda los valores de la función tienden a hacer esto. Que van hacia menos infinito y que cuando x se aproxima a 2 por la derecha los valores de la función tienden hacia más infinito. Entonces si llegamos a 2 por este lado por la derecha veremos que la función tiene como esta tendencia. Irse hacia más infinito. Ahí vemos entonces que esa será más o menos la forma de la curva en la proximidad de esta línea de color verde que constituye la asíntota vertical. Otro elemento importante para la gráfica de esta función será la asíntota horizontal. Cuando una función racional tiene en el numerador y en el denominador expresiones del mismo grado como en este caso. Que vemos 2 binomios que son de primer grado. Vemos que la de x en ambos casos tiene exponente 1. Entonces hay un truco o una técnica que nos permite asegurar que la asíntota horizontal se encuentra en el siguiente valor de y. Tomamos el coeficiente principal del numerador. El coeficiente aquí es 1. Y el coeficiente principal del denominador que aquí también es 1. 1 dividido entre 1 nos da 1. Es decir que esta función tendrá una asíntota horizontal que pasa por 1. Vamos a dibujarla. Allí tenemos la recta y igual a 1. Esa línea de color azul. Una recta horizontal que pasa por el valor 1. Y que constituye la asíntota horizontal de la gráfica de la función. ¿Qué quiere decir eso? Que cuando x tienda por ejemplo hacia menos infinito la gráfica, la curva, tratará de aproximarse a esta línea sin haber contacto. Hay dos posibilidades que se aproxime por aquí o por acá. Pero vemos que en esta zona no hay posibilidad de que haya gráfica. Luego lo más seguro es que venga por acá. Es decir que la gráfica tenga como esta tendencia. Y lo mismo cuando x tienda hacia más infinito entonces la curva tratará de aproximarse a esta línea, a esta recta de color azul sin haber contacto. Entonces no podemos pensar que sea por aquí porque en esta zona no hay gráfica. No hay posibilidad de curva. La curva está en esta zona. Entonces lo más seguro es que la gráfica haga esto. Que tienda por ese lado. Entonces ya más o menos tenemos un bosquejo de lo que es la gráfica de la función. Será entonces una rama que venga por acá y otra que venga de esta manera. Algo que complementa nuestra gráfica es determinar los cortes o las intersecciones con los ejes. Por ejemplo vamos a dar el corte o los cortes con el eje x. Para encontrar esos cortes o puntos de intersección con el eje x hacemos la función igual a cero. O y igual a cero. Veamos si tenemos x más 3 sobre x menos 2 es decir la función igualada a cero. Resolvemos esa ecuación. X menos 2 que se encuentra dividiendo pasaría a multiplicar con el cero. Y nos queda de esta manera cero porque esto por cero nos da cero y de aquí despejamos x y nos da menos 3. Esto quiere decir que esa función cortará el eje x en menos 3. Para determinar el corte o intersección con el eje y con el eje vertical debemos hacer x igual a cero. Entonces en la función donde está la x escribimos cero y resolvemos. Vemos que arriba nos queda 3 abajo nos queda menos 2 y esto es igual a menos 3 medios. Es decir que la gráfica la curva cortará el eje vertical en la ordenada menos 3 medios. Aquí ya podemos apreciar la gráfica de la función con todos sus elementos. Vemos en color rojo lo que corresponde a la curva generada por esta función. Vemos en color verde la asíntota vertical, la recta que pasa por 2 por x igual a 2. Vemos en color azul la asíntota horizontal, es decir la recta que pasa por la ordenada 1. También podemos apreciar los cortes o intersecciones con los ejes. Intersección con el eje x en la abscisa menos 3 e intersección con el eje y en la ordenada menos 3 medios. También podemos ver la tendencia de la gráfica de la curva en la proximidad de las asíntotas. Tal como lo habíamos descrito anteriormente. De este gráfico también podríamos determinar lo que es el rango de la función. Es decir los valores que toma la función o la y al trazar la gráfica. Aquí podemos apreciar que el único valor que no toma la función es el 1. De resto vemos que todos tienen participación. Entonces diríamos que el rango de la función son los valores de y pertenecientes a los reales con excepción del valor 1. Habíamos dicho que el dominio eran todos los reales con excepción del elemento 2. Ahora el rango serán los valores de y pertenecientes a los reales con excepción del 1. Es decir por donde pasa la asíntota horizontal. Si quisiéramos un gráfico con más detalles, con más exactitud, entonces podemos obtener más punticos, más coordenadas que podamos localizar en el plano cartesiano. Y de esa manera mejorar el trazo de la curva o también recurrir a un programa graficador para observar la gráfica. Esto lo veremos a continuación. Haciendo uso de un programa graficador de computador, podemos ver con toda la precisión del caso la gráfica de la función. Si aquí tenemos la función x más 3 sobre x menos 2. Podemos apreciar la curva en color rojo. Podemos ver la asíntota vertical, la recta de color verde que pasa por la abscisa 2. Aquí podemos ver en color azul la recta horizontal que pasa por la ordenada 1, es decir la asíntota horizontal. Aquí también tenemos el corte con el eje x en la abscisa menos 3. Y aquí podemos apreciar el corte con el eje y en la ordenada menos 3 medios o menos 1.5. Entonces esto nos complementa el análisis realizado y podemos ver la representación gráfica de la función.
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Es decir una recta a la cual la curva se aproximar\u00e1 sin haber contacto."}, {"start": 236.0, "end": 242.0, "text": " Entonces dice aqu\u00ed que cuando x tiende a 2 por la izquierda los valores de la funci\u00f3n tienden hacia menos infinito."}, {"start": 242.0, "end": 248.0, "text": " Entonces si llegamos al valor 2 por la izquierda los valores de la funci\u00f3n tienden a hacer esto."}, {"start": 248.0, "end": 255.0, "text": " Que van hacia menos infinito y que cuando x se aproxima a 2 por la derecha los valores de la funci\u00f3n tienden hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 255.0, "end": 260.0, "text": " Entonces si llegamos a 2 por este lado por la derecha veremos que la funci\u00f3n tiene como esta tendencia."}, {"start": 260.0, "end": 272.0, "text": " Irse hacia m\u00e1s infinito. Ah\u00ed vemos entonces que esa ser\u00e1 m\u00e1s o menos la forma de la curva en la proximidad de esta l\u00ednea de color verde que constituye la as\u00edntota vertical."}, {"start": 272.0, "end": 279.0, "text": " Otro elemento importante para la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n ser\u00e1 la as\u00edntota horizontal."}, {"start": 279.0, "end": 287.0, "text": " Cuando una funci\u00f3n racional tiene en el numerador y en el denominador expresiones del mismo grado como en este caso."}, {"start": 287.0, "end": 293.0, "text": " Que vemos 2 binomios que son de primer grado. Vemos que la de x en ambos casos tiene exponente 1."}, {"start": 293.0, "end": 303.0, "text": " Entonces hay un truco o una t\u00e9cnica que nos permite asegurar que la as\u00edntota horizontal se encuentra en el siguiente valor de y."}, {"start": 303.0, "end": 308.0, "text": " Tomamos el coeficiente principal del numerador. 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Pero vemos que en esta zona no hay posibilidad de que haya gr\u00e1fica."}, {"start": 352.0, "end": 358.0, "text": " Luego lo m\u00e1s seguro es que venga por ac\u00e1. Es decir que la gr\u00e1fica tenga como esta tendencia."}, {"start": 358.0, "end": 367.0, "text": " Y lo mismo cuando x tienda hacia m\u00e1s infinito entonces la curva tratar\u00e1 de aproximarse a esta l\u00ednea, a esta recta de color azul sin haber contacto."}, {"start": 367.0, "end": 373.0, "text": " Entonces no podemos pensar que sea por aqu\u00ed porque en esta zona no hay gr\u00e1fica. No hay posibilidad de curva."}, {"start": 373.0, "end": 380.0, "text": " La curva est\u00e1 en esta zona. Entonces lo m\u00e1s seguro es que la gr\u00e1fica haga esto. Que tienda por ese lado."}, {"start": 380.0, "end": 384.0, "text": " Entonces ya m\u00e1s o menos tenemos un bosquejo de lo que es la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}, {"start": 384.0, "end": 390.0, "text": " Ser\u00e1 entonces una rama que venga por ac\u00e1 y otra que venga de esta manera."}, {"start": 390.0, "end": 397.0, "text": " Algo que complementa nuestra gr\u00e1fica es determinar los cortes o las intersecciones con los ejes."}, {"start": 397.0, "end": 408.0, "text": " Por ejemplo vamos a dar el corte o los cortes con el eje x. Para encontrar esos cortes o puntos de intersecci\u00f3n con el eje x hacemos la funci\u00f3n igual a cero."}, {"start": 408.0, "end": 416.0, "text": " O y igual a cero. Veamos si tenemos x m\u00e1s 3 sobre x menos 2 es decir la funci\u00f3n igualada a cero."}, {"start": 416.0, "end": 422.0, "text": " Resolvemos esa ecuaci\u00f3n. X menos 2 que se encuentra dividiendo pasar\u00eda a multiplicar con el cero."}, {"start": 422.0, "end": 429.0, "text": " Y nos queda de esta manera cero porque esto por cero nos da cero y de aqu\u00ed despejamos x y nos da menos 3."}, {"start": 429.0, "end": 434.0, "text": " Esto quiere decir que esa funci\u00f3n cortar\u00e1 el eje x en menos 3."}, {"start": 434.0, "end": 442.0, "text": " Para determinar el corte o intersecci\u00f3n con el eje y con el eje vertical debemos hacer x igual a cero."}, {"start": 442.0, "end": 447.0, "text": " Entonces en la funci\u00f3n donde est\u00e1 la x escribimos cero y resolvemos."}, {"start": 447.0, "end": 452.0, "text": " Vemos que arriba nos queda 3 abajo nos queda menos 2 y esto es igual a menos 3 medios."}, {"start": 452.0, "end": 461.0, "text": " Es decir que la gr\u00e1fica la curva cortar\u00e1 el eje vertical en la ordenada menos 3 medios."}, {"start": 461.0, "end": 466.0, "text": " Aqu\u00ed ya podemos apreciar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n con todos sus elementos."}, {"start": 466.0, "end": 472.0, "text": " Vemos en color rojo lo que corresponde a la curva generada por esta funci\u00f3n."}, {"start": 472.0, "end": 478.0, "text": " Vemos en color verde la as\u00edntota vertical, la recta que pasa por 2 por x igual a 2."}, {"start": 478.0, "end": 484.0, "text": " Vemos en color azul la as\u00edntota horizontal, es decir la recta que pasa por la ordenada 1."}, {"start": 484.0, "end": 488.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos apreciar los cortes o intersecciones con los ejes."}, {"start": 488.0, "end": 496.0, "text": " Intersecci\u00f3n con el eje x en la abscisa menos 3 e intersecci\u00f3n con el eje y en la ordenada menos 3 medios."}, {"start": 496.0, "end": 501.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos ver la tendencia de la gr\u00e1fica de la curva en la proximidad de las as\u00edntotas."}, {"start": 501.0, "end": 504.0, "text": " Tal como lo hab\u00edamos descrito anteriormente."}, {"start": 504.0, "end": 509.0, "text": " De este gr\u00e1fico tambi\u00e9n podr\u00edamos determinar lo que es el rango de la funci\u00f3n."}, {"start": 509.0, "end": 514.0, "text": " Es decir los valores que toma la funci\u00f3n o la y al trazar la gr\u00e1fica."}, {"start": 514.0, "end": 519.0, "text": " Aqu\u00ed podemos apreciar que el \u00fanico valor que no toma la funci\u00f3n es el 1."}, {"start": 519.0, "end": 521.0, "text": " De resto vemos que todos tienen participaci\u00f3n."}, {"start": 521.0, "end": 529.0, "text": " Entonces dir\u00edamos que el rango de la funci\u00f3n son los valores de y pertenecientes a los reales con excepci\u00f3n del valor 1."}, {"start": 529.0, "end": 535.0, "text": " Hab\u00edamos dicho que el dominio eran todos los reales con excepci\u00f3n del elemento 2."}, {"start": 535.0, "end": 541.0, "text": " Ahora el rango ser\u00e1n los valores de y pertenecientes a los reales con excepci\u00f3n del 1."}, {"start": 541.0, "end": 544.0, "text": " Es decir por donde pasa la as\u00edntota horizontal."}, {"start": 544.0, "end": 548.0, "text": " Si quisi\u00e9ramos un gr\u00e1fico con m\u00e1s detalles, con m\u00e1s exactitud,"}, {"start": 548.0, "end": 554.0, "text": " entonces podemos obtener m\u00e1s punticos, m\u00e1s coordenadas que podamos localizar en el plano cartesiano."}, {"start": 554.0, "end": 562.0, "text": " Y de esa manera mejorar el trazo de la curva o tambi\u00e9n recurrir a un programa graficador para observar la gr\u00e1fica."}, {"start": 562.0, "end": 564.0, "text": " Esto lo veremos a continuaci\u00f3n."}, {"start": 564.0, "end": 567.0, "text": " Haciendo uso de un programa graficador de computador,"}, {"start": 567.0, "end": 572.0, "text": " podemos ver con toda la precisi\u00f3n del caso la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}, {"start": 572.0, "end": 578.0, "text": " Si aqu\u00ed tenemos la funci\u00f3n x m\u00e1s 3 sobre x menos 2."}, {"start": 578.0, "end": 581.0, "text": " Podemos apreciar la curva en color rojo."}, {"start": 581.0, "end": 588.0, "text": " Podemos ver la as\u00edntota vertical, la recta de color verde que pasa por la abscisa 2."}, {"start": 588.0, "end": 596.0, "text": " Aqu\u00ed podemos ver en color azul la recta horizontal que pasa por la ordenada 1, es decir la as\u00edntota horizontal."}, {"start": 596.0, "end": 600.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n tenemos el corte con el eje x en la abscisa menos 3."}, {"start": 600.0, "end": 608.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos apreciar el corte con el eje y en la ordenada menos 3 medios o menos 1.5."}, {"start": 608.0, "end": 615.0, "text": " Entonces esto nos complementa el an\u00e1lisis realizado y podemos ver la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}]