MULTIPLICADORES DE LAGRANGE - Problema 1
#julioprofe explica un problema de optimización sujeto a una restricción, utilizando el Método de los Multiplicadores de Lagrange.

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 Se requiere cortar y decorar un espejo rectangular de area 40 decímetros cuadrados. Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 16 centavos por decímetro y los de los lados verticales cuestan 25 centavos por decímetro. ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total? Vamos a resolver este problema de optimización con una restricción utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. Para comenzar dibujamos un rectángulo que represente el espejo. Este debe tener un área de 40 decímetros cuadrados y vamos a llamar sus dimensiones X y Y. Las que tenemos que encontrar para minimizar el costo de decorar o adornar ese espejo. Tenemos que los lados horizontales tienen un costo de 16 centavos por decímetro. El material con que se decora esta parte del espejo, los lados horizontales, tiene este costo 16 centavos por decímetro. Y el costo del material con que se hace la decoración de los lados verticales es de 25 centavos por decímetro. Con esta información tenemos que encontrar cuanto vale X y cuanto vale Y para que este espejo resulte ser el más económico. Es conveniente hacer la aclaración de que las letras X y Y son cantidades positivas en el problema. Lógicamente debe ser así porque se trata de las dimensiones de ese rectángulo. También se especifica que X y Y son medidas en decímetros. Nos guiamos por el dato que nos dan del área del espejo que se encuentra en decímetros cuadrados. Entonces establecemos esto al inicio del problema. Enseguida vamos a determinar lo que se llama la función objetivo, es decir, aquello que queremos optimizar en este problema. En este caso tenemos que lograr que el espejo sea el más económico. Por lo tanto la función objetivo será la función de costo. El costo en este problema está determinado por la decoración del espejo. Es la única información que nos dan en términos de costos. Tenemos que los lados horizontales totalizan una distancia de 2X, X más X y eso tiene un costo de 16 centavos por decímetro. Entonces tendríamos 2X decímetros multiplicado por 16 centavos por decímetro. Decímetros con decímetros se cancelan y nos queda esta cantidad en centavos. Esto totaliza el costo de decorar los lados horizontales del espejo. Y a eso le sumamos lo que cuesta decorar los lados verticales que totalizan una distancia de 2Y. Si tenemos Y más Y que es 2Y y eso multiplicado por el costo unitario o por el costo de cada decímetro de este material que es 25 centavos. Resolvemos esto. Tenemos 2X por 16, 32X más 2Y por 25 que es 50Y. Esto es lo que se conoce como la función objetivo. Bueno, vamos a llamar f de X, Y como se acostumbra en el método de los multiplicadores de Lagrange. Entonces tenemos que f de X, Y es igual a 32X más 50Y. Tenemos así la función objetivo. Esta función que dijimos que se llama función objetivo es la que se quiere optimizar. Más exactamente se quiere minimizar. Porque se trata del costo de decorar el espejo. Pero esa optimización está sujeta a una restricción que la vamos a determinar. Se trata del área del espejo. Es una condición que no podemos pasar por alto. Siempre debemos tener en cuenta que tenemos que cumplir con este requisito. Que el área del espejo sea de 40 decímetros cuadrados. Entonces como sus dimensiones son X y Y tenemos que X que es el largo por Y que es el ancho. Esto nos tiene que dar como resultado el área del espejo que es 40 decímetros cuadrados. Pero en el método de los multiplicadores de Lagrange se acostumbra tener la restricción igualada a 0. Entonces este número lo pasamos para el lado izquierdo. Tenemos entonces X, Y menos 40 y esto igualado a 0. Y esta expresión la que nos queda al lado izquierdo del signo igual es lo que se conoce como G de X, Y. Entonces vamos a destacarla. G de X, Y es igual a X, Y menos 40. Tenemos ya los componentes F y G. Para proceder a utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange. Que se utiliza para situaciones como esta donde tenemos que optimizar una función sujeta a una restricción. El método de los multiplicadores de Lagrange dice que el gradiente de F tiene que ser igual a lambda por el gradiente de G. Vector gradiente de la función objetivo tiene que ser igual a lambda a veces. Este lambda es el multiplicador de Lagrange. Entonces lambda a veces el gradiente de G que es la restricción. Recordemos que el vector gradiente está conformado por las derivadas parciales. Como en este caso tenemos funciones de dos variables. Entonces el gradiente de F es el vector conformado por Fx y Fy. Las derivadas parciales de la función con respecto a X y con respecto a Y. Y esto es igual a lambda por el vector gradiente de G que sería Gx y Gy. Estas son sus componentes. En seguida vamos a distribuir este escalar lambda. Lambda es un número real que puede entrar al vector. Entonces nos queda lambda por G de X y lambda por Gy. O sea por las derivadas parciales de la función G. Y allí utilizamos lo que se llama la igualdad de vectores. Igualamos componentes X entre sí. Tenemos Fx igual a lambda por Gx y también igualamos las componentes en Y. Y de aquí vamos a despejar lambda en cada uno de estos casos. Por allá tenemos que lambda es igual a Fx sobre Gx y por aquí tenemos que lambda es igual a Fy sobre Gy. Con esto que tenemos vamos a igualar estas dos expresiones debido a que lambda se encuentra despejada en las dos situaciones. Nos queda entonces Fx sobre Gx igual a Fy sobre Gy. De esa manera nos deshacemos del multiplicador de Lagrange. Este nos sirve para conectar estas dos expresiones en una igualdad. Y eso lo vamos a completar con las derivadas parciales con respecto a X y Y de estas dos funciones. Entonces veamos la derivada parcial de F con respecto a X será 32. Nos concentramos aquí porque este término es constante entonces la derivada de 32X es simplemente 32. Y la derivada de F con respecto a Y entonces nos concentramos aquí. Porque ahora este término es constante su derivada es 0. La derivada de 50Y es 50. Pasamos a la función G donde tenemos que la derivada parcial con respecto a X será únicamente Y. Si derivamos con respecto a X, Y es constante. Entonces en este producto, Y es constante y X es variable. Por lo tanto la derivada de XY es la constante Y. Y la derivada de menos 40 es 0. Ahora derivamos con respecto a Y donde ahora la X es la letra que se comporta como constante. Entonces la derivada de XY será la constante X. De nuevo la derivada de menos 40 es 0. Vamos entonces a completar con cada uno de estos componentes esta igualdad. Tenemos F de X que es 32 sobre GX que es Y. Esto es igual a FY que vale 50 sobre GY que es X. Aquí podemos pasar X que está dividiendo a multiplicar al lado izquierdo. Nos queda 32X y también hacemos lo mismo con Y que está dividiendo a este lado. Entonces pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda igual a 50Y. Esa expresión la podemos simplificar dividiéndola entre dos. Dividimos por dos ambos lados de la igualdad y nos queda 16X igual a 25Y. Esta expresión, esta igualdad la vamos a llamar la número 1. Esa expresión número 1 que es 16X igual a 25Y junto con la restricción que la vamos a llamar R. Recordemos que al comienzo la restricción decía X por Y igual a 40 que es el área del espejo. Entonces allí tenemos un sistema de ecuaciones de dos por dos. Vamos entonces a resolverlo. De la expresión 1 podemos despejar por ejemplo X. Nos queda que X es igual a 25Y sobre 16. Y esta se convierte en una nueva expresión que podemos llamar la número 2. A continuación podemos hacer una sustitución. Sustituimos 2 en R. Vamos a escribir eso por acá. Sustituimos la expresión 2 en la expresión que llamamos R. Nos queda X que es 25Y sobre 16 por Y y esto igual a 40. Multiplicamos numeradores. Tenemos 25Y cuadrado sobre 16 igual a 40. Y de allí vamos a despejar Y al cuadrado. 16 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con 40. Y 25 que queda multiplicando con Y cuadrado pasa a dividir. Allí podemos simplificar. Es el caso de 40 y 25 que tienen quinta. Quinta de 40 es 8. Quinta de 25 nos da 5. Entonces esto nos queda Y al cuadrado igual a 8 por 16 que sería 128 sobre 5. Y de allí vamos a despejar Y. Y nos queda igual a más o menos la raíz cuadrada de 128 quintos. Pero habíamos dicho al comienzo del problema que tanto X como Y son cantidades positivas. Por ser las dimensiones del rectángulo. Entonces descartamos la opción negativa. Nos quedamos únicamente con la cantidad positiva. Resolviendo esto en la calculadora nos da un valor aproximado para Y de 5.06 decímetros. Y vamos a encontrar el valor de X reemplazando aquí en la expresión número 2. Entonces sustituimos ese valor en la expresión 2 y nos queda X igual a 25 por Y que nos dio 5.06 decímetros. Todo esto dividido entre 16. Y resolviendo esto en la calculadora obtenemos como resultado 7.91 en decímetros. Recordemos que X y Y son dimensiones del rectángulo en decímetros. Esos dos valores conforman el punto crítico de la función objetivo. Tenemos la pareja 7.91,5.06. Entonces este es el punto candidato a minimizar la función objetivo. O sea F de X, Y sujeta a la restricción G de X, Y. Entonces vamos a realizar la prueba final para ver si efectivamente esta pareja, este punto crítico es el que logra minimizar la función de costo. Para ello se recomienda construir una tabla con una columna para X, otra columna para Y y otra que corresponde a la función objetivo, la función de costo de decorar o adornar el contorno del espejo. Comenzamos escribiendo la pareja que encontramos para el punto crítico. Cuando X toma el valor 7.91 y Y toma el valor 5.06. Reemplazando estos valores aquí en la función de costo, o sea la función objetivo, tenemos como resultado 506.12 centavos. Eso es lo que cuesta hacer la decoración del espejo con estas dimensiones. Ponemos a prueba otras parejas X, Y que satisfagan la restricción. Recordemos que tenemos esta condición por cumplir X por Y igual a 40. Recordemos que es el área del espejo. Las otras parejas que vamos a escoger y con las cuales vamos a comparar el resultado producido por el punto crítico deben satisfacer la restricción. Podemos escoger por ejemplo X igual a 10 y Y igual a 4. Por 4 da 40. Reemplazando esta pareja de valores aquí en la función objetivo encontramos como resultado 520 centavos. Podemos elegir otra pareja X, Y que puede ser X igual a 20 y Y igual a 2. Reemplazando estos dos valores aquí en la función objetivo tenemos como resultado un costo de 740 centavos. Entonces revisamos los valores obtenidos en la columna de costo, o sea en la función objetivo y tenemos que este es el menor de todos. Entonces se confirma que el costo mínimo se obtiene para estos valores que encontramos con el método de los multiplicadores de la granch. Entonces procedemos a dar la respuesta de este problema. El espejo que resulta más económico tiene dimensiones X igual a 7.91 decímetros. Recordemos que son los lados horizontales y Y igual a 5.06 decímetros correspondientes a los lados verticales del espejo.
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Entonces tendr\u00edamos 2X dec\u00edmetros multiplicado por 16 centavos por dec\u00edmetro."}, {"start": 198.0, "end": 204.0, "text": " Dec\u00edmetros con dec\u00edmetros se cancelan y nos queda esta cantidad en centavos."}, {"start": 204.0, "end": 210.0, "text": " Esto totaliza el costo de decorar los lados horizontales del espejo."}, {"start": 210.0, "end": 220.0, "text": " Y a eso le sumamos lo que cuesta decorar los lados verticales que totalizan una distancia de 2Y."}, {"start": 220.0, "end": 234.0, "text": " Si tenemos Y m\u00e1s Y que es 2Y y eso multiplicado por el costo unitario o por el costo de cada dec\u00edmetro de este material que es 25 centavos."}, {"start": 234.0, "end": 250.0, "text": " Resolvemos esto. Tenemos 2X por 16, 32X m\u00e1s 2Y por 25 que es 50Y. Esto es lo que se conoce como la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 250.0, "end": 266.0, "text": " Bueno, vamos a llamar f de X, Y como se acostumbra en el m\u00e9todo de los multiplicadores de Lagrange. Entonces tenemos que f de X, Y es igual a 32X m\u00e1s 50Y."}, {"start": 266.0, "end": 272.0, "text": " Tenemos as\u00ed la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 272.0, "end": 282.0, "text": " Esta funci\u00f3n que dijimos que se llama funci\u00f3n objetivo es la que se quiere optimizar. M\u00e1s exactamente se quiere minimizar."}, {"start": 282.0, "end": 296.0, "text": " Porque se trata del costo de decorar el espejo. Pero esa optimizaci\u00f3n est\u00e1 sujeta a una restricci\u00f3n que la vamos a determinar."}, {"start": 296.0, "end": 309.0, "text": " Se trata del \u00e1rea del espejo. Es una condici\u00f3n que no podemos pasar por alto. Siempre debemos tener en cuenta que tenemos que cumplir con este requisito."}, {"start": 309.0, "end": 322.0, "text": " Que el \u00e1rea del espejo sea de 40 dec\u00edmetros cuadrados. Entonces como sus dimensiones son X y Y tenemos que X que es el largo por Y que es el ancho."}, {"start": 322.0, "end": 335.0, "text": " Esto nos tiene que dar como resultado el \u00e1rea del espejo que es 40 dec\u00edmetros cuadrados. Pero en el m\u00e9todo de los multiplicadores de Lagrange se acostumbra tener la restricci\u00f3n igualada a 0."}, {"start": 335.0, "end": 355.0, "text": " Entonces este n\u00famero lo pasamos para el lado izquierdo. Tenemos entonces X, Y menos 40 y esto igualado a 0. Y esta expresi\u00f3n la que nos queda al lado izquierdo del signo igual es lo que se conoce como G de X, Y."}, {"start": 355.0, "end": 375.0, "text": " Entonces vamos a destacarla. G de X, Y es igual a X, Y menos 40. Tenemos ya los componentes F y G. Para proceder a utilizar el m\u00e9todo de los multiplicadores de Lagrange."}, {"start": 375.0, "end": 385.0, "text": " Que se utiliza para situaciones como esta donde tenemos que optimizar una funci\u00f3n sujeta a una restricci\u00f3n."}, {"start": 385.0, "end": 406.0, "text": " El m\u00e9todo de los multiplicadores de Lagrange dice que el gradiente de F tiene que ser igual a lambda por el gradiente de G. Vector gradiente de la funci\u00f3n objetivo tiene que ser igual a lambda a veces."}, {"start": 406.0, "end": 421.0, "text": " Este lambda es el multiplicador de Lagrange. Entonces lambda a veces el gradiente de G que es la restricci\u00f3n. Recordemos que el vector gradiente est\u00e1 conformado por las derivadas parciales."}, {"start": 421.0, "end": 436.0, "text": " Como en este caso tenemos funciones de dos variables. Entonces el gradiente de F es el vector conformado por Fx y Fy. Las derivadas parciales de la funci\u00f3n con respecto a X y con respecto a Y."}, {"start": 436.0, "end": 453.0, "text": " Y esto es igual a lambda por el vector gradiente de G que ser\u00eda Gx y Gy. Estas son sus componentes. En seguida vamos a distribuir este escalar lambda."}, {"start": 453.0, "end": 471.0, "text": " Lambda es un n\u00famero real que puede entrar al vector. Entonces nos queda lambda por G de X y lambda por Gy. O sea por las derivadas parciales de la funci\u00f3n G."}, {"start": 471.0, "end": 486.0, "text": " Y all\u00ed utilizamos lo que se llama la igualdad de vectores. Igualamos componentes X entre s\u00ed. Tenemos Fx igual a lambda por Gx y tambi\u00e9n igualamos las componentes en Y."}, {"start": 486.0, "end": 511.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar lambda en cada uno de estos casos. Por all\u00e1 tenemos que lambda es igual a Fx sobre Gx y por aqu\u00ed tenemos que lambda es igual a Fy sobre Gy."}, {"start": 511.0, "end": 523.0, "text": " Con esto que tenemos vamos a igualar estas dos expresiones debido a que lambda se encuentra despejada en las dos situaciones."}, {"start": 523.0, "end": 544.0, "text": " Nos queda entonces Fx sobre Gx igual a Fy sobre Gy. De esa manera nos deshacemos del multiplicador de Lagrange. Este nos sirve para conectar estas dos expresiones en una igualdad."}, {"start": 544.0, "end": 554.0, "text": " Y eso lo vamos a completar con las derivadas parciales con respecto a X y Y de estas dos funciones."}, {"start": 554.0, "end": 576.0, "text": " Entonces veamos la derivada parcial de F con respecto a X ser\u00e1 32. Nos concentramos aqu\u00ed porque este t\u00e9rmino es constante entonces la derivada de 32X es simplemente 32. Y la derivada de F con respecto a Y entonces nos concentramos aqu\u00ed."}, {"start": 576.0, "end": 585.0, "text": " Porque ahora este t\u00e9rmino es constante su derivada es 0. La derivada de 50Y es 50."}, {"start": 585.0, "end": 608.0, "text": " Pasamos a la funci\u00f3n G donde tenemos que la derivada parcial con respecto a X ser\u00e1 \u00fanicamente Y. Si derivamos con respecto a X, Y es constante. Entonces en este producto, Y es constante y X es variable. Por lo tanto la derivada de XY es la constante Y."}, {"start": 608.0, "end": 627.0, "text": " Y la derivada de menos 40 es 0. Ahora derivamos con respecto a Y donde ahora la X es la letra que se comporta como constante. Entonces la derivada de XY ser\u00e1 la constante X. De nuevo la derivada de menos 40 es 0."}, {"start": 627.0, "end": 652.0, "text": " Vamos entonces a completar con cada uno de estos componentes esta igualdad. Tenemos F de X que es 32 sobre GX que es Y. Esto es igual a FY que vale 50 sobre GY que es X."}, {"start": 652.0, "end": 670.0, "text": " Aqu\u00ed podemos pasar X que est\u00e1 dividiendo a multiplicar al lado izquierdo. Nos queda 32X y tambi\u00e9n hacemos lo mismo con Y que est\u00e1 dividiendo a este lado. Entonces pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda igual a 50Y."}, {"start": 670.0, "end": 683.0, "text": " Esa expresi\u00f3n la podemos simplificar dividi\u00e9ndola entre dos. Dividimos por dos ambos lados de la igualdad y nos queda 16X igual a 25Y."}, {"start": 683.0, "end": 707.0, "text": " Esta expresi\u00f3n, esta igualdad la vamos a llamar la n\u00famero 1. Esa expresi\u00f3n n\u00famero 1 que es 16X igual a 25Y junto con la restricci\u00f3n que la vamos a llamar R."}, {"start": 707.0, "end": 722.0, "text": " Recordemos que al comienzo la restricci\u00f3n dec\u00eda X por Y igual a 40 que es el \u00e1rea del espejo. Entonces all\u00ed tenemos un sistema de ecuaciones de dos por dos."}, {"start": 722.0, "end": 747.0, "text": " Vamos entonces a resolverlo. De la expresi\u00f3n 1 podemos despejar por ejemplo X. Nos queda que X es igual a 25Y sobre 16. Y esta se convierte en una nueva expresi\u00f3n que podemos llamar la n\u00famero 2."}, {"start": 747.0, "end": 763.0, "text": " A continuaci\u00f3n podemos hacer una sustituci\u00f3n. Sustituimos 2 en R. Vamos a escribir eso por ac\u00e1. Sustituimos la expresi\u00f3n 2 en la expresi\u00f3n que llamamos R."}, {"start": 763.0, "end": 784.0, "text": " Nos queda X que es 25Y sobre 16 por Y y esto igual a 40. Multiplicamos numeradores. Tenemos 25Y cuadrado sobre 16 igual a 40."}, {"start": 784.0, "end": 798.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar Y al cuadrado. 16 que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con 40. Y 25 que queda multiplicando con Y cuadrado pasa a dividir."}, {"start": 798.0, "end": 824.0, "text": " All\u00ed podemos simplificar. Es el caso de 40 y 25 que tienen quinta. Quinta de 40 es 8. Quinta de 25 nos da 5. Entonces esto nos queda Y al cuadrado igual a 8 por 16 que ser\u00eda 128 sobre 5."}, {"start": 824.0, "end": 842.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar Y. Y nos queda igual a m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 128 quintos. Pero hab\u00edamos dicho al comienzo del problema que tanto X como Y son cantidades positivas."}, {"start": 842.0, "end": 855.0, "text": " Por ser las dimensiones del rect\u00e1ngulo. Entonces descartamos la opci\u00f3n negativa. Nos quedamos \u00fanicamente con la cantidad positiva."}, {"start": 855.0, "end": 876.0, "text": " Resolviendo esto en la calculadora nos da un valor aproximado para Y de 5.06 dec\u00edmetros. Y vamos a encontrar el valor de X reemplazando aqu\u00ed en la expresi\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 876.0, "end": 896.0, "text": " Entonces sustituimos ese valor en la expresi\u00f3n 2 y nos queda X igual a 25 por Y que nos dio 5.06 dec\u00edmetros. Todo esto dividido entre 16."}, {"start": 896.0, "end": 913.0, "text": " Y resolviendo esto en la calculadora obtenemos como resultado 7.91 en dec\u00edmetros. Recordemos que X y Y son dimensiones del rect\u00e1ngulo en dec\u00edmetros."}, {"start": 913.0, "end": 934.0, "text": " Esos dos valores conforman el punto cr\u00edtico de la funci\u00f3n objetivo. Tenemos la pareja 7.91,5.06. Entonces este es el punto candidato a minimizar la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 934.0, "end": 954.0, "text": " O sea F de X, Y sujeta a la restricci\u00f3n G de X, Y. Entonces vamos a realizar la prueba final para ver si efectivamente esta pareja, este punto cr\u00edtico es el que logra minimizar la funci\u00f3n de costo."}, {"start": 954.0, "end": 973.0, "text": " Para ello se recomienda construir una tabla con una columna para X, otra columna para Y y otra que corresponde a la funci\u00f3n objetivo, la funci\u00f3n de costo de decorar o adornar el contorno del espejo."}, {"start": 973.0, "end": 987.0, "text": " Comenzamos escribiendo la pareja que encontramos para el punto cr\u00edtico. Cuando X toma el valor 7.91 y Y toma el valor 5.06."}, {"start": 987.0, "end": 1007.0, "text": " Reemplazando estos valores aqu\u00ed en la funci\u00f3n de costo, o sea la funci\u00f3n objetivo, tenemos como resultado 506.12 centavos. Eso es lo que cuesta hacer la decoraci\u00f3n del espejo con estas dimensiones."}, {"start": 1007.0, "end": 1023.0, "text": " Ponemos a prueba otras parejas X, Y que satisfagan la restricci\u00f3n. Recordemos que tenemos esta condici\u00f3n por cumplir X por Y igual a 40. Recordemos que es el \u00e1rea del espejo."}, {"start": 1023.0, "end": 1042.0, "text": " Las otras parejas que vamos a escoger y con las cuales vamos a comparar el resultado producido por el punto cr\u00edtico deben satisfacer la restricci\u00f3n. Podemos escoger por ejemplo X igual a 10 y Y igual a 4."}, {"start": 1042.0, "end": 1054.0, "text": " Por 4 da 40. Reemplazando esta pareja de valores aqu\u00ed en la funci\u00f3n objetivo encontramos como resultado 520 centavos."}, {"start": 1054.0, "end": 1073.0, "text": " Podemos elegir otra pareja X, Y que puede ser X igual a 20 y Y igual a 2. Reemplazando estos dos valores aqu\u00ed en la funci\u00f3n objetivo tenemos como resultado un costo de 740 centavos."}, {"start": 1073.0, "end": 1095.0, "text": " Entonces revisamos los valores obtenidos en la columna de costo, o sea en la funci\u00f3n objetivo y tenemos que este es el menor de todos. Entonces se confirma que el costo m\u00ednimo se obtiene para estos valores que encontramos con el m\u00e9todo de los multiplicadores de la granch."}, {"start": 1095.0, "end": 1109.0, "text": " Entonces procedemos a dar la respuesta de este problema. El espejo que resulta m\u00e1s econ\u00f3mico tiene dimensiones X igual a 7.91 dec\u00edmetros."}, {"start": 1109.0, "end": 1125.0, "text": " Recordemos que son los lados horizontales y Y igual a 5.06 dec\u00edmetros correspondientes a los lados verticales del espejo."}]