DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 23
#julioprofe explica cómo obtener la primera #derivada de una función, de dos maneras distintas.

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 Vamos a derivar esta función utilizando dos caminos diferentes. El primero será considerándola tal como está, es decir, aplicando la regla de la cadena para potencias, y la otra alternativa será transformando primero toda esta expresión para luego proceder a derivarla. Entonces comenzamos con la primera opción. Hacemos aquí una expresión elevada a un exponente numérico donde vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias. Vamos a recordar el modelo. Si tenemos manzanita a la n, la manzanita es toda esta expresión, n es el número 2, entonces la derivada de esa expresión será n por manzanita a la n menos 1, y todo esto multiplicado por la derivada de la manzanita. Esto es lo que se llama la regla de la cadena para potencias, y esto es la derivada interna, la derivada de lo que tenemos en la base. Entonces, siguiendo esta instrucción, la derivada de esa función que se denota como g' de x será igual a lo siguiente. Baja el exponente n, es decir, el 2, esto multiplicado por la manzanita sin derivar, o sea esa expresión e a la menos x más e a la x, todo esto elevado al exponente n menos 1, o sea 2 menos 1, y todo esto multiplicado a su vez por la derivada interna o la derivada de la manzanita. Vamos entonces a anotarla por acá como la derivada interna, la derivada de lo que tenemos en la base. Enseguida efectuamos esta operación y derivamos esto que tenemos acá, entonces g' de x será igual a 2 por, esto nos da como resultado 1, y ese exponente puede hacerse invisible, nos queda simplemente e a la menos x más e a la x, y todo esto multiplicado por la derivada de esta expresión, como tenemos una suma derivamos cada uno de sus componentes. Entonces, para derivar e a la menos x aplicamos esta formulita, si tenemos e a la manzanita, en ese caso la manzanita es el exponente menos x, la derivada de eso es ella misma, o sea e a la manzanita por la derivada de la manzanita, esta es la regla de la cadena para la función exponencial que tiene como base el número de Euler. Entonces, leamos, en este caso la derivada de e a la menos x siguiendo esta instrucción será e a la menos x, o sea e a la manzanita por la derivada de la manzanita, la derivada de menos x que es menos 1, más la derivada de e a la x que recordemos es ella misma, y cerramos el paréntesis. Ahora vamos a pulir toda esta expresión, ya hemos terminado el proceso de derivación, ahora lo que sigue es organizarla un poco utilizando el álgebra, todo esto permanece igual e a la menos x más e a la x, y acá tendremos lo siguiente, e a la menos x por menos 1 será menos e a la menos x, y todo esto más e a la x. A su vez podemos reescribir esto de la siguiente manera, e prima de x es igual a 2 por, vamos a cambiar el orden de estos dos términos, nos queda e a la x más e a la menos x, y lo mismo hacemos acá, nos queda primero e a la x y luego el término menos e a la menos x. Aquí observamos una situación que se llama suma por diferencia, vamos a recordar ese producto notable que es bien importante en el álgebra a más b por a menos b y que es igual a la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado, produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos, entonces eso podemos aplicarlo aquí, nos queda entonces g prima de x igual a 2 por, vamos a abrir un corchete, entonces aquí tenemos esto hace el papel de a, luego tenemos a al cuadrado que sería e a la x, todo esto al cuadrado menos esta cantidad que hace el papel de b y que nos queda aquí como b al cuadrado, o sea e a la menos x todo esto al cuadrado y cerramos el corchete. Ahora aquí podemos aplicar propiedad de la potenciación, esa que se llama potencia de una potencia, si tenemos una potencia a a la n, esto elevado al exponente m, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes, es la situación que tenemos aquí, entonces la derivada que prima de x será igual a 2 por, ya podemos cambiar esos corchetes por paréntesis, ya acá tenemos e, conservamos la base y multiplicamos los exponentes, x por 2 nos da 2x, en el otro término tenemos la misma base que es e y multiplicamos los exponentes, menos x por 2 nos da menos 2x. Entonces esta expresión la escribimos por acá y constituye la derivada de la función original, ahora veamos el otro camino que podemos tomar para derivar esta función y obtener esta expresión, consiste en transformar primero todo esto que tenemos aquí, que constituye un binomio elevado al cuadrado, vamos a recordar ese producto notable, si tenemos una suma de dos cantidades a más b, todo eso al cuadrado, esto es igual a la primera cantidad al cuadrado más dos veces la primera por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado, entonces siguiendo esta instrucción, este producto notable, vamos a desarrollar la función original, nos queda g de x igual a la primera cantidad e a la menos x al cuadrado, luego tenemos más dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea 2 por e a la menos x por e a la x y esto más la segunda cantidad que es e a la x, esto elevado al cuadrado. Desarrollamos ahora lo que tenemos en cada término, la función g de x queda igual a lo siguiente, aquí tenemos potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes, menos x por 2 es menos 2x, luego tenemos más 2 por aquí, tenemos el producto de dos potencias con la misma base, vamos a recordar esa propiedad de la potenciación, si tenemos a a la m por a a la m, entonces se conserva la base y se suman los exponentes, entonces aquí tendremos la misma base que es el número e y hacemos la suma de los exponentes y acá tenemos otra vez potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes, x por 2 nos da 2x. En el segundo término tendremos que esto equivale a e elevado al exponente cero, menos x más x nos da cero y e a la cero equivale a 1, por lo tanto allí tendremos 2 por 1 que es simplemente 2, por lo tanto la función nos queda así, queda x igual a e a la menos 2x más 2 y todo esto más e a la 2x. Ahora sí podemos derivar esta expresión, aparece entonces por primera vez e' de x, como se observa aquí tenemos una suma de términos, entonces derivamos cada uno de ellos, para derivar este aplicamos la regla de e a la manzanita, la que vimos ahora, la derivada de esto será e a la manzanita, e a la menos 2x por la derivada de la manzanita, la derivada del exponente, o sea la derivada de menos 2x que es menos 2. Pasamos al siguiente término donde tenemos una constante y la derivada de una constante, la derivada de 2 nos da cero. Pasamos al otro término donde vuelve a aplicarse la derivada de e a la manzanita, es ella misma, e a la manzanita por la derivada de la manzanita, la derivada del exponente que será 2. Organizando todo esto que obtuvimos nos queda e' de x igual, aquí e a la menos 2x por menos 2 será menos 2e a la menos 2x, y acá el último término nos queda 2 por e a la 2x. Allí podemos cambiar el orden de los términos, entonces g' de x es igual a 2e a la 2x y después este, menos 2e a la menos 2x. Y a su vez allí podemos extraer como factor común el número 2, si sale el 2 nos queda factor de e a la 2x menos e a la menos 2x. Y como se observa es la misma expresión que tenemos aquí. Entonces hemos visto dos caminos distintos para obtener la expresión que constituye la derivada de esta función. Ahora lo que podemos hacer para terminar es llevar esto a su forma más simple sin que quede con exponentes negativos. Tendremos entonces g' de x igual a 2 por, abrimos paréntesis, e a la 2x menos esta expresión donde vamos a aplicar la propiedad de la potenciación para el exponente negativo. Si tenemos a a la menos n esto es igual a 1 sobre a a la n, por lo tanto e a la menos 2x nos va a quedar 1 sobre e a la 2x y cerramos el paréntesis. Ahora esta expresión e a la 2x tiene denominador 1 y podemos resolver esta resta de fracciones con distinto denominador aplicando la técnica o el truco de la carita feliz. Vamos a recordarlo. Si tenemos a sobre b más o menos c sobre d esto es igual a lo siguiente, a por d más o menos b por c y acá tenemos b por d. Es la forma rápida de efectuar una suma o resta de dos fracciones heterogéneas o fracciones con distinto denominador, a por d, b por c y en el denominador b por d, o sea lo que se conoce como la carita feliz. Entonces g' de x nos queda 2 por, abrimos el paréntesis, trazamos la línea de la fracción y efectuamos esto por esto, o sea a por d, e a la 2x por e a la 2x es un producto de potencias con la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes, 2x más 2x nos da 4x. Luego tenemos menos, 1 por 1, allí estamos efectuando el producto b por c, eso nos da 1 y abajo 1 por e a la 2x que nos da e a la 2x, allí hemos efectuado b por d. Finalmente y para que nos quede mejor presentada la expresión de la derivada, resolvemos esta operación, ese 2 tiene denominador 1 y entonces tenemos allí una multiplicación de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí, entonces nos queda g' de x igual a lo siguiente, trazamos la línea de la fracción y en el numerador tendremos 2 por esta expresión e a la 4x menos 1, mientras que en el denominador tendremos 1 por e a la 2x que es e a la 2x. Y así terminamos este ejercicio, esta expresión constituye la primera derivada de esta función que nos dieron.
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Pasamos al otro t\u00e9rmino donde vuelve"}, {"start": 549.48, "end": 557.16, "text": " a aplicarse la derivada de e a la manzanita, es ella misma, e a la manzanita por la derivada"}, {"start": 557.16, "end": 564.64, "text": " de la manzanita, la derivada del exponente que ser\u00e1 2. Organizando todo esto que obtuvimos"}, {"start": 564.64, "end": 574.8, "text": " nos queda e' de x igual, aqu\u00ed e a la menos 2x por menos 2 ser\u00e1 menos 2e a la menos 2x,"}, {"start": 574.8, "end": 583.36, "text": " y ac\u00e1 el \u00faltimo t\u00e9rmino nos queda 2 por e a la 2x. All\u00ed podemos cambiar el orden"}, {"start": 583.36, "end": 593.48, "text": " de los t\u00e9rminos, entonces g' de x es igual a 2e a la 2x y despu\u00e9s este, menos 2e a la"}, {"start": 593.48, "end": 601.4, "text": " menos 2x. Y a su vez all\u00ed podemos extraer como factor com\u00fan el n\u00famero 2, si sale el"}, {"start": 601.4, "end": 611.6800000000001, "text": " 2 nos queda factor de e a la 2x menos e a la menos 2x. Y como se observa es la misma"}, {"start": 611.6800000000001, "end": 617.9200000000001, "text": " expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed. Entonces hemos visto dos caminos distintos para obtener la"}, {"start": 617.92, "end": 623.36, "text": " expresi\u00f3n que constituye la derivada de esta funci\u00f3n. Ahora lo que podemos hacer para"}, {"start": 623.36, "end": 630.36, "text": " terminar es llevar esto a su forma m\u00e1s simple sin que quede con exponentes negativos. Tendremos"}, {"start": 630.36, "end": 640.56, "text": " entonces g' de x igual a 2 por, abrimos par\u00e9ntesis, e a la 2x menos esta expresi\u00f3n donde vamos"}, {"start": 640.56, "end": 646.4399999999999, "text": " a aplicar la propiedad de la potenciaci\u00f3n para el exponente negativo. Si tenemos a a"}, {"start": 646.44, "end": 654.6400000000001, "text": " la menos n esto es igual a 1 sobre a a la n, por lo tanto e a la menos 2x nos va a quedar"}, {"start": 654.6400000000001, "end": 665.24, "text": " 1 sobre e a la 2x y cerramos el par\u00e9ntesis. Ahora esta expresi\u00f3n e a la 2x tiene denominador"}, {"start": 665.24, "end": 672.6, "text": " 1 y podemos resolver esta resta de fracciones con distinto denominador aplicando la t\u00e9cnica"}, {"start": 672.6, "end": 679.72, "text": " o el truco de la carita feliz. Vamos a recordarlo. Si tenemos a sobre b m\u00e1s o menos c sobre"}, {"start": 679.72, "end": 689.88, "text": " d esto es igual a lo siguiente, a por d m\u00e1s o menos b por c y ac\u00e1 tenemos b por d. Es"}, {"start": 689.88, "end": 695.9200000000001, "text": " la forma r\u00e1pida de efectuar una suma o resta de dos fracciones heterog\u00e9neas o fracciones"}, {"start": 695.92, "end": 703.36, "text": " con distinto denominador, a por d, b por c y en el denominador b por d, o sea lo que"}, {"start": 703.36, "end": 711.4799999999999, "text": " se conoce como la carita feliz. Entonces g' de x nos queda 2 por, abrimos el par\u00e9ntesis,"}, {"start": 711.4799999999999, "end": 718.5999999999999, "text": " trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n y efectuamos esto por esto, o sea a por d, e a la 2x por"}, {"start": 718.5999999999999, "end": 725.1999999999999, "text": " e a la 2x es un producto de potencias con la misma base, se conserva la base y se suman"}, {"start": 725.2, "end": 733.48, "text": " los exponentes, 2x m\u00e1s 2x nos da 4x. Luego tenemos menos, 1 por 1, all\u00ed estamos efectuando"}, {"start": 733.48, "end": 741.48, "text": " el producto b por c, eso nos da 1 y abajo 1 por e a la 2x que nos da e a la 2x, all\u00ed"}, {"start": 741.48, "end": 747.2, "text": " hemos efectuado b por d. Finalmente y para que nos quede mejor presentada la expresi\u00f3n"}, {"start": 747.2, "end": 754.96, "text": " de la derivada, resolvemos esta operaci\u00f3n, ese 2 tiene denominador 1 y entonces tenemos"}, {"start": 754.96, "end": 760.96, "text": " all\u00ed una multiplicaci\u00f3n de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed y"}, {"start": 760.96, "end": 769.44, "text": " denominadores entre s\u00ed, entonces nos queda g' de x igual a lo siguiente, trazamos la"}, {"start": 769.44, "end": 779.52, "text": " l\u00ednea de la fracci\u00f3n y en el numerador tendremos 2 por esta expresi\u00f3n e a la 4x menos 1, mientras"}, {"start": 779.52, "end": 787.84, "text": " que en el denominador tendremos 1 por e a la 2x que es e a la 2x. Y as\u00ed terminamos este"}, {"start": 787.84, "end": 810.32, "text": " ejercicio, esta expresi\u00f3n constituye la primera derivada de esta funci\u00f3n que nos dieron."}]