LONGITUD DE UNA CURVA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo hallar la longitud de una curva usando una integral definida.

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 Vamos a hallar la longitud de esta curva desde x igual a 1 hasta x igual a 2. Utilizaremos la siguiente fórmula. Longitud de la curva o lo que se llama también longitud de arco es igual a la integral desde a hasta b de la raíz cuadrada de 1 más y' al cuadrado Todo esto dentro de la raíz y con su respectivo diferencial de x. Tenemos en este caso que se necesita la derivada de la función que nos dan. Y también tenemos los límites de integración que son en este caso los números 1 y 2. a es 1 y b es 2. Como decíamos esta función que nos dan tiene que derivarse y para ello vamos a reescribirla. Tenemos entonces que y es igual a 1 octavo de x a la 4 más 1 cuarto de x a la menos 2. Entonces escribimos la función de esta manera para facilitar el proceso de derivación que es lo que sigue. Tenemos entonces que y' o sea la derivada de esta función es igual a la derivada de una suma. Entonces derivamos cada uno de los términos. Comenzamos con el primero. Tenemos que 1 octavo se queda quieto y esto multiplica con la derivada de x a la 4 que será 4x a la 3. Esto más la derivada del siguiente término donde 1 cuarto queda quieto y multiplica con la derivada de x a la menos 2 que será menos 2 por x a la menos 3. Enseguida vamos a organizar esta expresión. Tenemos y' igual a 1 octavo por 4 que nos da 4 octavos y que simplificando es 1 medio. Y esto acompañado de x al cubo. Por acá aplicamos la ley de los signos. Tenemos que más por menos es menos. 1 cuarto por 2 nos daría 2 cuartos o sea también 1 medio y esto acompañado de x a la menos 3. Esto también nos queda como y' igual a 1 medio por x al cubo que se puede escribir como x al cubo sobre 2. Y esto menos 1 medio por x a la menos 3 que será 1 sobre 2x a la 3. Recordemos que cuando la potencia tiene exponente negativo entonces se traslada al denominador y ya nos queda con exponente positivo. Esta es la expresión para y' o sea la derivada de la función que nos dan y es el componente que necesitamos en la fórmula de longitud de arco. Que como decíamos es la integral definida desde a hasta b de la raíz cuadrada de 1 más y' al cuadrado y todo esto con su respectivo diferencial de x. Entonces toda esta expresión la vamos a reemplazar aquí. Bien allí podemos observar ese reemplazo o esa sustitución y vamos a establecer los límites de integración. Decíamos al principio que a es 1 y b es 2 los valores que nos da el enunciado inicial. Nuestro problema enseguida es desarrollar este binomio elevado al cuadrado y para ello utilizamos el producto notable que se llama justamente así. Binomio al cuadrado o también cuadrado de un binomio. Esto es igual al primer termino al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo más el segundo termino elevado al cuadrado. Entonces con esta fórmula vamos a realizar el desarrollo de este binomio al cuadrado. Tenemos entonces el primer termino al cuadrado o sea x al cubo sobre 2 todo esto entre paréntesis al cuadrado menos dos veces el primer termino por el segundo. O sea 2 que multiplica al primer termino x al cubo sobre 2 y que multiplica al segundo termino que es 1 sobre 2x al cubo y todo esto más el segundo termino al cuadrado. O sea 1 sobre 2x al cubo todo esto al cuadrado y toda esa expresión queda dentro de la raíz cuadrada y no podemos olvidar el diferencial de x. Enseguida vamos a desarrollar cada una de estas operaciones. Comenzamos con esta donde el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador. Tenemos en el numerador x al cubo y eso a su vez elevado al cuadrado que nos da x a la 6. Recordemos que allí se multiplican los exponentes y todo esto sobre 2 elevado al cuadrado que es 4. Esto menos veamos la multiplicación de todo esto cuanto nos da. Tenemos que 2 y 2 se pueden simplificar. Tenemos también que x al cubo con x al cubo se pueden simplificar y nos queda únicamente un medio. Y por acá tenemos que el cuadrado afecta tanto al numerador como al denominador. En el numerador 1 al cuadrado nos da 1. Y en el denominador todo esto elevado al cuadrado nos queda 4x a la 6 y todo esto a su vez queda dentro de la raíz cuadrada y escribimos el correspondiente diferencial de x. Como paso siguiente podemos operar estos dos números 1 menos 1 medio nos da como resultado un medio positivo y esto más x a la 6 sobre 4 más 1 sobre 4x a la 6. Todo esto dentro de la raíz cuadrada y con su diferencial de x. En seguida vamos a resolver esta suma de fracciones heterogeneas. Fracciones con distinto denominador. Tenemos que el común denominador o mínimo común múltiplo de los denominadores es 4 para 2 y 4 será 4. Y también escogemos x a la 6. Entonces necesitamos que todas las fracciones tengan 4x a la 6 en el denominador. Vamos para la primera donde tenemos un medio entonces hay que multiplicar por lo que le haga falta a 2 para que nos de 4x a la 6. Eso es 2x a la 6. Si multiplicamos abajo tenemos que multiplicar también en la parte de arriba por lo mismo. Vamos a la siguiente donde tenemos x a la 6 sobre 4 entonces que le falta a 4 para que nos de 4x a la 6 pues nos hace falta x a la 6. Entonces multiplicamos abajo y arriba por x a la 6. Y como se observa la ultima fracción ya tiene 4x a la 6 en el denominador. Entonces no debe presentar ninguna modificación. Esto lo escribimos dentro de la raíz cuadrada y también escribimos el diferencial de x. En seguida resolvemos cada una de estas operaciones. Por acá tenemos 2x a la 6 sobre esta multiplicación que nos da 4x a la 6. Más x a la 6 por x a la 6 nos da x a la 12. Recordemos que allí se suman los exponentes y abajo tenemos 4x a la 6 y esto más la tercera fracción que es 1 sobre 4x a la 6. Todo esto dentro de la raíz cuadrada y con su correspondiente diferencial de x. Observamos que ahora todas las fracciones tienen el mismo denominador. Ahora son fracciones homogéneas. Entonces vamos a conservar ese denominador 4x a la 6 y escribimos la suma de los numeradores. 2x a la 6 más x a la 12 más 1. Todo esto dentro de la raíz cuadrada con su respectivo diferencial de x. En seguida vamos a escribir la expresión que tenemos en el numerador. Esta que tenemos por acá, o sea ese trinomio organizado en forma descendente. Comenzamos con x a la 12, después más 2x a la 6 y por último el término independiente que es más 1. Todo esto sobre 4x a la 6 y esto dentro de la raíz cuadrada con su correspondiente diferencial de x. Esa organización en forma descendente para esta expresión obedece a que se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a ver por qué es así y posteriormente vemos cómo se hace su factorización. Tenemos que para el trinomio cuadrado perfecto lo primero es tenerlo organizado justamente en forma descendente aunque también se puede organizarlo en forma ascendente. Esta vez hemos escogido la forma descendente. Tenemos que el primer término y el tercero tienen que ser positivos y a su vez tienen que ser cuadrados perfectos. Es decir términos que tengan raíz cuadrada exacta. En este caso la raíz cuadrada del primer término es x a la 6 y la raíz cuadrada del tercer término es 1. Entonces vemos que son raíces cuadradas exactas. Enseguida tenemos que realizar el doble producto de las raíces obtenidas. Entonces 2 veces x a la 6 por 1. Si resolvemos eso nos da como resultado 2x a la 6 que es justamente lo que tenemos en el segundo término del trinomio. Con todo esto podemos afirmar que efectivamente eso es un trinomio cuadrado perfecto y que se puede factorizar construyendo un binomio elevado al cuadrado. Aquí tenemos dos términos que son la raíz cuadrada del primer término x a la 6 y la raíz cuadrada del tercer término que es 1 y entre ellos 2 anotamos el signo del segundo término, o sea signo más. Entonces este resultado lo vamos a escribir por acá. Bien allí podemos observar ese reemplazo y enseguida vamos a simplificar toda esta raíz. Tenemos entonces que si la raíz afecta a una fracción entonces debe aplicarse al numerador y también al denominador. Para el caso del numerador la raíz cuadrada de todo esto que está al cuadrado nos da como resultado x a la 6 más 1. Prácticamente este exponente 2 se elimina con la raíz cuadrada. Y para el caso del denominador tenemos que la raíz cuadrada de 4x a la 6 será la raíz de 4 que es 2 y la raíz de x a la 6 que nos da x a la 3 y todo esto acompañado del diferencial de x. Bien ahora nuestro problema es resolver esta integral definida. Para ello vamos a repartir este denominador a cada uno de los términos que hay en el numerador. Entonces tendremos lo siguiente la integral definida desde 1 hasta 2 de x a la 6 sobre 2x a la 3 más 1 sobre 2x a la 3. Y todo esto protegido con paréntesis y acompañado del diferencial de x. A continuación vamos a organizar la expresión para proceder a integrar. Para el caso del primer término se puede escribir como un medio de x a la 3. Hacemos la simplificación de ese cosiente de potencias de la misma base. Se restan entonces los exponentes. Y esto más un medio que queda acompañado de x a la menos 3. Subimos la potencia y nos queda con exponente negativo. Y aquí ya podemos integrar cada uno de esos dos términos. Para el caso del primero dejamos un medio totalmente quieto y procedemos a integrar x a la 3. Eso nos da como resultado x a la 4 sobre 4. Recordemos que se le suma 1 a este exponente. Entonces por eso nos da x a la 4 sobre 4. Más en el segundo término dejamos también el número un medio totalmente quieto y procedemos a integrar x a la menos 3. También se le suma 1 al exponente. Entonces nos da x a la menos 2 sobre menos 2. Y todo esto estará evaluado en los límites de integración que son 1 y 2. Antes de evaluar estos límites de integración tal como lo enuncia el teorema fundamental del cálculo es conveniente acomodar esta expresión. Entonces vamos a realizar primero eso. Tenemos que por acá se multiplican numeradores entre sí. Nos queda x a la 4. Denominadores entre sí nos da 8. Y por acá aplicamos ley de los signos. Por acá tenemos más, por acá tenemos menos. Más por menos nos da menos. Y organizando esta expresión nos quedará en el denominador 4. X a la menos 2 lo podemos ubicar en el denominador como x a la 2 y en el numerador nos queda solamente el 1. Y todo esto será evaluado en los límites de integración que son 1 y 2. Ahora sí hacemos la evaluación de los límites de integración. Comenzamos con el superior. 2 entra donde tenemos la x. Entonces tenemos 2 a la 4 sobre 8 menos 1 sobre 4 por 2 al cuadrado. Todo esto lo protegemos con corchetes. Y esto menos el reemplazo del límite inferior. Ahora 1 entra donde está la x. Tenemos 1 a la 4 sobre 8 menos 1 sobre 4 por 1 al cuadrado. Y también protegemos esa expresión con corchete. Resolvemos cada una de esas operaciones. Por acá tenemos 2 a la 4 que es 16. Nos queda 16 octavos. Menos 1 sobre 2 al cuadrado que es 4. Y 4 por 4 nos da 16. Protegemos con corchete. Esto menos 1 a la 4 que es 1 sobre 8. Menos 1 sobre 1 al cuadrado que es 1. Y 1 por 4 nos da 4. Esto nos queda de la siguiente manera. L es igual a 16 octavos que es 2. Menos 1 16. Y por acá ya podemos destruir el corchete. Ahora el signo menos nos queda menos 1 octavo más 1 cuarto. Ahora nuestro problema es resolver esta operación con fracciones de distinto denominador. Fracciones heterogeneous. Buscamos primero el mínimo común múltiplo de los denominadores. El mcm de todos ellos que es 16. Entonces necesitamos que todas las fracciones tengan en su denominador el número 16. Por acá escribimos denominador 1. Y entonces mediante amplificación vamos a conseguir este propósito. Para el caso de la primera multiplicamos por 16 abajo y arriba. La segunda fracción ya tiene denominador 16. Entonces se deja tal como está. La siguiente que es 1 octavo se multiplica por 2 abajo y arriba. Y la última fracción que es 1 cuarto se tiene que multiplicar por 4 abajo y también arriba. Vamos a resolver ahora las multiplicaciones que tenemos. 2 por 16 nos da 32. Abajo 1 por 16 es 16. Menos 1 16 ao. Menos 1 por 2 es 2. 8 por 2 es 16. Más 1 por 4 que nos da 4. Y 4 por 4 es 16. Como ya tenemos fracciones homogéneas, fracciones con igual denominador, entonces conservamos ese denominador y efectuamos la operación que hay en los numeradores. Entonces vamos a resolverla. Tenemos entonces que L es igual a 32 más 4 que nos da 36. Menos 1 menos 2 nos da menos 3. Entonces 36 menos 3 es 33. Y todo esto sobre 16. Esta fracción no se puede simplificar. Es una fracción irreducible y constituye la longitud de la curva o longitud de arco. A esto se le escribe la letra U dando a entender que se trata de unidades lineales porque hemos contabilizado o medido la longitud de una línea. La longitud de la curva. Esta es entonces la respuesta a este ejercicio donde hemos visto la aplicación de la integral definida a lo que se llama el cálculo de la longitud de arco o longitud de una curva.
[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a hallar la longitud de esta curva desde x igual a 1 hasta x igual a 2."}, {"start": 8.0, "end": 11.0, "text": " Utilizaremos la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 11.0, "end": 29.0, "text": " Longitud de la curva o lo que se llama tambi\u00e9n longitud de arco es igual a la integral desde a hasta b de la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s y' al cuadrado"}, {"start": 29.0, "end": 38.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz y con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 38.0, "end": 45.0, "text": " Tenemos en este caso que se necesita la derivada de la funci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 45.0, "end": 52.0, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son en este caso los n\u00fameros 1 y 2."}, {"start": 52.0, "end": 57.0, "text": " a es 1 y b es 2."}, {"start": 57.0, "end": 66.0, "text": " Como dec\u00edamos esta funci\u00f3n que nos dan tiene que derivarse y para ello vamos a reescribirla."}, {"start": 66.0, "end": 79.0, "text": " Tenemos entonces que y es igual a 1 octavo de x a la 4 m\u00e1s 1 cuarto de x a la menos 2."}, {"start": 79.0, "end": 89.0, "text": " Entonces escribimos la funci\u00f3n de esta manera para facilitar el proceso de derivaci\u00f3n que es lo que sigue."}, {"start": 89.0, "end": 99.0, "text": " Tenemos entonces que y' o sea la derivada de esta funci\u00f3n es igual a la derivada de una suma."}, {"start": 99.0, "end": 102.0, "text": " Entonces derivamos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 102.0, "end": 116.0, "text": " Comenzamos con el primero. Tenemos que 1 octavo se queda quieto y esto multiplica con la derivada de x a la 4 que ser\u00e1 4x a la 3."}, {"start": 116.0, "end": 129.0, "text": " Esto m\u00e1s la derivada del siguiente t\u00e9rmino donde 1 cuarto queda quieto y multiplica con la derivada de x a la menos 2"}, {"start": 129.0, "end": 136.0, "text": " que ser\u00e1 menos 2 por x a la menos 3."}, {"start": 136.0, "end": 140.0, "text": " Enseguida vamos a organizar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 140.0, "end": 152.0, "text": " Tenemos y' igual a 1 octavo por 4 que nos da 4 octavos y que simplificando es 1 medio."}, {"start": 152.0, "end": 155.0, "text": " Y esto acompa\u00f1ado de x al cubo."}, {"start": 155.0, "end": 162.0, "text": " Por ac\u00e1 aplicamos la ley de los signos. Tenemos que m\u00e1s por menos es menos."}, {"start": 162.0, "end": 176.0, "text": " 1 cuarto por 2 nos dar\u00eda 2 cuartos o sea tambi\u00e9n 1 medio y esto acompa\u00f1ado de x a la menos 3."}, {"start": 176.0, "end": 187.0, "text": " Esto tambi\u00e9n nos queda como y' igual a 1 medio por x al cubo que se puede escribir como x al cubo sobre 2."}, {"start": 187.0, "end": 196.0, "text": " Y esto menos 1 medio por x a la menos 3 que ser\u00e1 1 sobre 2x a la 3."}, {"start": 196.0, "end": 207.0, "text": " Recordemos que cuando la potencia tiene exponente negativo entonces se traslada al denominador y ya nos queda con exponente positivo."}, {"start": 207.0, "end": 221.0, "text": " Esta es la expresi\u00f3n para y' o sea la derivada de la funci\u00f3n que nos dan y es el componente que necesitamos en la f\u00f3rmula de longitud de arco."}, {"start": 221.0, "end": 240.0, "text": " Que como dec\u00edamos es la integral definida desde a hasta b de la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s y' al cuadrado y todo esto con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 240.0, "end": 246.0, "text": " Entonces toda esta expresi\u00f3n la vamos a reemplazar aqu\u00ed."}, {"start": 246.0, "end": 255.0, "text": " Bien all\u00ed podemos observar ese reemplazo o esa sustituci\u00f3n y vamos a establecer los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 255.0, "end": 265.0, "text": " Dec\u00edamos al principio que a es 1 y b es 2 los valores que nos da el enunciado inicial."}, {"start": 265.0, "end": 277.0, "text": " Nuestro problema enseguida es desarrollar este binomio elevado al cuadrado y para ello utilizamos el producto notable que se llama justamente as\u00ed."}, {"start": 277.0, "end": 282.0, "text": " Binomio al cuadrado o tambi\u00e9n cuadrado de un binomio."}, {"start": 282.0, "end": 293.0, "text": " Esto es igual al primer termino al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo m\u00e1s el segundo termino elevado al cuadrado."}, {"start": 293.0, "end": 300.0, "text": " Entonces con esta f\u00f3rmula vamos a realizar el desarrollo de este binomio al cuadrado."}, {"start": 300.0, "end": 316.0, "text": " Tenemos entonces el primer termino al cuadrado o sea x al cubo sobre 2 todo esto entre par\u00e9ntesis al cuadrado menos dos veces el primer termino por el segundo."}, {"start": 316.0, "end": 336.0, "text": " O sea 2 que multiplica al primer termino x al cubo sobre 2 y que multiplica al segundo termino que es 1 sobre 2x al cubo y todo esto m\u00e1s el segundo termino al cuadrado."}, {"start": 336.0, "end": 356.0, "text": " O sea 1 sobre 2x al cubo todo esto al cuadrado y toda esa expresi\u00f3n queda dentro de la ra\u00edz cuadrada y no podemos olvidar el diferencial de x."}, {"start": 356.0, "end": 360.0, "text": " Enseguida vamos a desarrollar cada una de estas operaciones."}, {"start": 360.0, "end": 367.0, "text": " Comenzamos con esta donde el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador."}, {"start": 367.0, "end": 374.0, "text": " Tenemos en el numerador x al cubo y eso a su vez elevado al cuadrado que nos da x a la 6."}, {"start": 374.0, "end": 383.0, "text": " Recordemos que all\u00ed se multiplican los exponentes y todo esto sobre 2 elevado al cuadrado que es 4."}, {"start": 383.0, "end": 391.0, "text": " Esto menos veamos la multiplicaci\u00f3n de todo esto cuanto nos da. Tenemos que 2 y 2 se pueden simplificar."}, {"start": 391.0, "end": 403.0, "text": " Tenemos tambi\u00e9n que x al cubo con x al cubo se pueden simplificar y nos queda \u00fanicamente un medio."}, {"start": 403.0, "end": 415.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos que el cuadrado afecta tanto al numerador como al denominador. En el numerador 1 al cuadrado nos da 1."}, {"start": 415.0, "end": 433.0, "text": " Y en el denominador todo esto elevado al cuadrado nos queda 4x a la 6 y todo esto a su vez queda dentro de la ra\u00edz cuadrada y escribimos el correspondiente diferencial de x."}, {"start": 433.0, "end": 453.0, "text": " Como paso siguiente podemos operar estos dos n\u00fameros 1 menos 1 medio nos da como resultado un medio positivo y esto m\u00e1s x a la 6 sobre 4 m\u00e1s 1 sobre 4x a la 6."}, {"start": 453.0, "end": 467.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada y con su diferencial de x. En seguida vamos a resolver esta suma de fracciones heterogeneas."}, {"start": 467.0, "end": 480.0, "text": " Fracciones con distinto denominador. Tenemos que el com\u00fan denominador o m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores es 4 para 2 y 4 ser\u00e1 4."}, {"start": 480.0, "end": 491.0, "text": " Y tambi\u00e9n escogemos x a la 6. Entonces necesitamos que todas las fracciones tengan 4x a la 6 en el denominador."}, {"start": 491.0, "end": 503.0, "text": " Vamos para la primera donde tenemos un medio entonces hay que multiplicar por lo que le haga falta a 2 para que nos de 4x a la 6."}, {"start": 503.0, "end": 513.0, "text": " Eso es 2x a la 6. Si multiplicamos abajo tenemos que multiplicar tambi\u00e9n en la parte de arriba por lo mismo."}, {"start": 513.0, "end": 527.0, "text": " Vamos a la siguiente donde tenemos x a la 6 sobre 4 entonces que le falta a 4 para que nos de 4x a la 6 pues nos hace falta x a la 6."}, {"start": 527.0, "end": 540.0, "text": " Entonces multiplicamos abajo y arriba por x a la 6. Y como se observa la ultima fracci\u00f3n ya tiene 4x a la 6 en el denominador."}, {"start": 540.0, "end": 554.0, "text": " Entonces no debe presentar ninguna modificaci\u00f3n. Esto lo escribimos dentro de la ra\u00edz cuadrada y tambi\u00e9n escribimos el diferencial de x."}, {"start": 554.0, "end": 569.0, "text": " En seguida resolvemos cada una de estas operaciones. Por ac\u00e1 tenemos 2x a la 6 sobre esta multiplicaci\u00f3n que nos da 4x a la 6."}, {"start": 569.0, "end": 586.0, "text": " M\u00e1s x a la 6 por x a la 6 nos da x a la 12. Recordemos que all\u00ed se suman los exponentes y abajo tenemos 4x a la 6 y esto m\u00e1s la tercera fracci\u00f3n que es 1 sobre 4x a la 6."}, {"start": 586.0, "end": 595.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada y con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 595.0, "end": 604.0, "text": " Observamos que ahora todas las fracciones tienen el mismo denominador. Ahora son fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 604.0, "end": 628.0, "text": " Entonces vamos a conservar ese denominador 4x a la 6 y escribimos la suma de los numeradores. 2x a la 6 m\u00e1s x a la 12 m\u00e1s 1. Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 628.0, "end": 636.0, "text": " En seguida vamos a escribir la expresi\u00f3n que tenemos en el numerador."}, {"start": 636.0, "end": 655.0, "text": " Esta que tenemos por ac\u00e1, o sea ese trinomio organizado en forma descendente. Comenzamos con x a la 12, despu\u00e9s m\u00e1s 2x a la 6 y por \u00faltimo el t\u00e9rmino independiente que es m\u00e1s 1."}, {"start": 655.0, "end": 669.0, "text": " Todo esto sobre 4x a la 6 y esto dentro de la ra\u00edz cuadrada con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 669.0, "end": 687.0, "text": " Esa organizaci\u00f3n en forma descendente para esta expresi\u00f3n obedece a que se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a ver por qu\u00e9 es as\u00ed y posteriormente vemos c\u00f3mo se hace su factorizaci\u00f3n."}, {"start": 687.0, "end": 700.0, "text": " Tenemos que para el trinomio cuadrado perfecto lo primero es tenerlo organizado justamente en forma descendente aunque tambi\u00e9n se puede organizarlo en forma ascendente."}, {"start": 700.0, "end": 712.0, "text": " Esta vez hemos escogido la forma descendente. Tenemos que el primer t\u00e9rmino y el tercero tienen que ser positivos y a su vez tienen que ser cuadrados perfectos."}, {"start": 712.0, "end": 725.0, "text": " Es decir t\u00e9rminos que tengan ra\u00edz cuadrada exacta. En este caso la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino es x a la 6 y la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino es 1."}, {"start": 725.0, "end": 735.0, "text": " Entonces vemos que son ra\u00edces cuadradas exactas. Enseguida tenemos que realizar el doble producto de las ra\u00edces obtenidas."}, {"start": 735.0, "end": 752.0, "text": " Entonces 2 veces x a la 6 por 1. Si resolvemos eso nos da como resultado 2x a la 6 que es justamente lo que tenemos en el segundo t\u00e9rmino del trinomio."}, {"start": 752.0, "end": 766.0, "text": " Con todo esto podemos afirmar que efectivamente eso es un trinomio cuadrado perfecto y que se puede factorizar construyendo un binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 766.0, "end": 784.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos dos t\u00e9rminos que son la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino x a la 6 y la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino que es 1 y entre ellos 2 anotamos el signo del segundo t\u00e9rmino, o sea signo m\u00e1s."}, {"start": 784.0, "end": 798.0, "text": " Entonces este resultado lo vamos a escribir por ac\u00e1. Bien all\u00ed podemos observar ese reemplazo y enseguida vamos a simplificar toda esta ra\u00edz."}, {"start": 798.0, "end": 810.0, "text": " Tenemos entonces que si la ra\u00edz afecta a una fracci\u00f3n entonces debe aplicarse al numerador y tambi\u00e9n al denominador."}, {"start": 810.0, "end": 819.0, "text": " Para el caso del numerador la ra\u00edz cuadrada de todo esto que est\u00e1 al cuadrado nos da como resultado x a la 6 m\u00e1s 1."}, {"start": 819.0, "end": 825.0, "text": " Pr\u00e1cticamente este exponente 2 se elimina con la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 825.0, "end": 843.0, "text": " Y para el caso del denominador tenemos que la ra\u00edz cuadrada de 4x a la 6 ser\u00e1 la ra\u00edz de 4 que es 2 y la ra\u00edz de x a la 6 que nos da x a la 3 y todo esto acompa\u00f1ado del diferencial de x."}, {"start": 843.0, "end": 859.0, "text": " Bien ahora nuestro problema es resolver esta integral definida. Para ello vamos a repartir este denominador a cada uno de los t\u00e9rminos que hay en el numerador."}, {"start": 859.0, "end": 877.0, "text": " Entonces tendremos lo siguiente la integral definida desde 1 hasta 2 de x a la 6 sobre 2x a la 3 m\u00e1s 1 sobre 2x a la 3."}, {"start": 877.0, "end": 885.0, "text": " Y todo esto protegido con par\u00e9ntesis y acompa\u00f1ado del diferencial de x."}, {"start": 885.0, "end": 892.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a organizar la expresi\u00f3n para proceder a integrar."}, {"start": 892.0, "end": 898.0, "text": " Para el caso del primer t\u00e9rmino se puede escribir como un medio de x a la 3."}, {"start": 898.0, "end": 906.0, "text": " Hacemos la simplificaci\u00f3n de ese cosiente de potencias de la misma base. Se restan entonces los exponentes."}, {"start": 906.0, "end": 916.0, "text": " Y esto m\u00e1s un medio que queda acompa\u00f1ado de x a la menos 3. Subimos la potencia y nos queda con exponente negativo."}, {"start": 916.0, "end": 922.0, "text": " Y aqu\u00ed ya podemos integrar cada uno de esos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 922.0, "end": 936.0, "text": " Para el caso del primero dejamos un medio totalmente quieto y procedemos a integrar x a la 3. Eso nos da como resultado x a la 4 sobre 4."}, {"start": 936.0, "end": 943.0, "text": " Recordemos que se le suma 1 a este exponente. Entonces por eso nos da x a la 4 sobre 4."}, {"start": 943.0, "end": 953.0, "text": " M\u00e1s en el segundo t\u00e9rmino dejamos tambi\u00e9n el n\u00famero un medio totalmente quieto y procedemos a integrar x a la menos 3."}, {"start": 953.0, "end": 961.0, "text": " Tambi\u00e9n se le suma 1 al exponente. Entonces nos da x a la menos 2 sobre menos 2."}, {"start": 961.0, "end": 971.0, "text": " Y todo esto estar\u00e1 evaluado en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 1 y 2."}, {"start": 971.0, "end": 984.0, "text": " Antes de evaluar estos l\u00edmites de integraci\u00f3n tal como lo enuncia el teorema fundamental del c\u00e1lculo es conveniente acomodar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 984.0, "end": 993.0, "text": " Entonces vamos a realizar primero eso. Tenemos que por ac\u00e1 se multiplican numeradores entre s\u00ed. Nos queda x a la 4."}, {"start": 993.0, "end": 1002.0, "text": " Denominadores entre s\u00ed nos da 8. Y por ac\u00e1 aplicamos ley de los signos. Por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s, por ac\u00e1 tenemos menos."}, {"start": 1002.0, "end": 1011.0, "text": " M\u00e1s por menos nos da menos. Y organizando esta expresi\u00f3n nos quedar\u00e1 en el denominador 4."}, {"start": 1011.0, "end": 1030.0, "text": " X a la menos 2 lo podemos ubicar en el denominador como x a la 2 y en el numerador nos queda solamente el 1. Y todo esto ser\u00e1 evaluado en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 1 y 2."}, {"start": 1030.0, "end": 1041.0, "text": " Ahora s\u00ed hacemos la evaluaci\u00f3n de los l\u00edmites de integraci\u00f3n. Comenzamos con el superior. 2 entra donde tenemos la x."}, {"start": 1041.0, "end": 1053.0, "text": " Entonces tenemos 2 a la 4 sobre 8 menos 1 sobre 4 por 2 al cuadrado. Todo esto lo protegemos con corchetes."}, {"start": 1053.0, "end": 1073.0, "text": " Y esto menos el reemplazo del l\u00edmite inferior. Ahora 1 entra donde est\u00e1 la x. Tenemos 1 a la 4 sobre 8 menos 1 sobre 4 por 1 al cuadrado."}, {"start": 1073.0, "end": 1087.0, "text": " Y tambi\u00e9n protegemos esa expresi\u00f3n con corchete. Resolvemos cada una de esas operaciones. Por ac\u00e1 tenemos 2 a la 4 que es 16. Nos queda 16 octavos."}, {"start": 1087.0, "end": 1109.0, "text": " Menos 1 sobre 2 al cuadrado que es 4. Y 4 por 4 nos da 16. Protegemos con corchete. Esto menos 1 a la 4 que es 1 sobre 8. Menos 1 sobre 1 al cuadrado que es 1."}, {"start": 1109.0, "end": 1128.0, "text": " Y 1 por 4 nos da 4. Esto nos queda de la siguiente manera. L es igual a 16 octavos que es 2. Menos 1 16. Y por ac\u00e1 ya podemos destruir el corchete."}, {"start": 1128.0, "end": 1145.0, "text": " Ahora el signo menos nos queda menos 1 octavo m\u00e1s 1 cuarto. Ahora nuestro problema es resolver esta operaci\u00f3n con fracciones de distinto denominador."}, {"start": 1145.0, "end": 1156.0, "text": " Fracciones heterogeneous. Buscamos primero el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. El mcm de todos ellos que es 16."}, {"start": 1156.0, "end": 1165.0, "text": " Entonces necesitamos que todas las fracciones tengan en su denominador el n\u00famero 16. Por ac\u00e1 escribimos denominador 1."}, {"start": 1165.0, "end": 1177.0, "text": " Y entonces mediante amplificaci\u00f3n vamos a conseguir este prop\u00f3sito. Para el caso de la primera multiplicamos por 16 abajo y arriba."}, {"start": 1177.0, "end": 1190.0, "text": " La segunda fracci\u00f3n ya tiene denominador 16. Entonces se deja tal como est\u00e1. La siguiente que es 1 octavo se multiplica por 2 abajo y arriba."}, {"start": 1190.0, "end": 1203.0, "text": " Y la \u00faltima fracci\u00f3n que es 1 cuarto se tiene que multiplicar por 4 abajo y tambi\u00e9n arriba. Vamos a resolver ahora las multiplicaciones que tenemos."}, {"start": 1203.0, "end": 1225.0, "text": " 2 por 16 nos da 32. Abajo 1 por 16 es 16. Menos 1 16 ao. Menos 1 por 2 es 2. 8 por 2 es 16. M\u00e1s 1 por 4 que nos da 4. Y 4 por 4 es 16."}, {"start": 1225.0, "end": 1241.0, "text": " Como ya tenemos fracciones homog\u00e9neas, fracciones con igual denominador, entonces conservamos ese denominador y efectuamos la operaci\u00f3n que hay en los numeradores."}, {"start": 1241.0, "end": 1260.0, "text": " Entonces vamos a resolverla. Tenemos entonces que L es igual a 32 m\u00e1s 4 que nos da 36. Menos 1 menos 2 nos da menos 3. Entonces 36 menos 3 es 33."}, {"start": 1260.0, "end": 1273.0, "text": " Y todo esto sobre 16. Esta fracci\u00f3n no se puede simplificar. Es una fracci\u00f3n irreducible y constituye la longitud de la curva o longitud de arco."}, {"start": 1273.0, "end": 1289.0, "text": " A esto se le escribe la letra U dando a entender que se trata de unidades lineales porque hemos contabilizado o medido la longitud de una l\u00ednea. La longitud de la curva."}, {"start": 1289.0, "end": 1306.0, "text": " Esta es entonces la respuesta a este ejercicio donde hemos visto la aplicaci\u00f3n de la integral definida a lo que se llama el c\u00e1lculo de la longitud de arco o longitud de una curva."}]