SISTEMA DE ECUACIONES 4×4 POR GAUSS-JORDAN
Julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 4x4 por el método de Gauss-Jordan.

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 Vamos a resolver detalladamente este sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas utilizando el método de Gauss-Georgel. Para comenzar señalamos que las cuatro ecuaciones ya están escritas de la forma AW más BX más CY más DZ igual a E. Tenemos allí las incógnitas que son WXY y Z. En este caso las letras ABCDE representan las constantes en este sistema de ecuaciones. Enseguida vamos a construir la matriz de coeficientes. Para guiarnos vamos a escribir las incógnitas, decíamos que son WXY y Z. Entonces vamos con los coeficientes de la primera ecuación. Aquí tenemos coeficiente 1, para X tenemos coeficiente menos 2, para Y tenemos coeficiente 2 y para Z en la primera ecuación tenemos coeficiente menos 3. Vamos con los de la segunda ecuación, para W tenemos coeficiente 3, para X tenemos coeficiente 4, para Y tenemos coeficiente menos 1 y para Z tenemos coeficiente 1 positivo. Vamos con los de la tercera ecuación, aquí para W tenemos coeficiente 2, para X coeficiente menos 3, para Y tenemos coeficiente 2 y para Z tenemos coeficiente menos 1. Vamos con los de la cuarta ecuación, para W tenemos coeficiente 1, para X también tenemos coeficiente 1 positivo, para Y coeficiente menos 3 y para Z tenemos coeficiente menos 2. Trasamos ahora esta línea y aquí vamos a escribir los términos independientes que corresponden a cada ecuación. En la primera tenemos el número 15, en la segunda tenemos menos 6, en la tercera tenemos 17 y en la cuarta tenemos el número menos 7. De esta manera hemos construido la matriz aumentada para este sistema de ecuaciones lineales de 4x4, cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Aquí tenemos los coeficientes de las letras o incógnitas y a la derecha de la línea vertical tenemos los términos independientes. En la matriz de coeficientes, es decir en esta, distinguimos lo que es la diagonal principal y lo que vamos a buscar son cerros debajo y encima de ella. Entonces vamos a ver a continuación cual es el orden recomendado para buscar los cerros. Vamos a comenzar con esta celda que esta en la fila 4 columna 1, entonces es la celda 4 1, después vamos con esta que esta en la fila 3 columna 1, celda 3 1, después esta que esta en la fila 2 columna 1, celda 2 1, después pasamos a esta, fila 4 columna 2, celda 4 2, después esta que esta en la fila 3 columna 2, celda 3 2 y después esta que se encuentra en la fila 4 columna 3, celda 4 3. Estas son las que van a estar debajo de la diagonal principal, después pasamos aca, esta se encuentra en la fila 1 columna 4, celda 1 4, después esta, fila 2 columna 4, celda 2 4, después esta que esta en la fila 3 columna 4, celda 3 4, después esta, fila 1 columna 3, celda 1 3, después esta, fila 2 columna 3, celda 2 3 y terminaríamos con esta que esta en la fila 1 y la columna 2, o sea la celda 1 2. Comenzamos entonces buscando el cero que va en la celda 4 1, es decir aquí, y para ello se recomienda trabajar con estos dos renglones o filas, fila 4 con fila 1, vamos entonces a inventarnos una operación con estos dos valores, de tal forma que al efectuar la suma entre ellos nos de cero, podemos entonces multiplicar esto por menos 1 y sumárselo a esto que tenemos aca, entonces en la fila 4 o renglón 4 vamos a ejecutar la siguiente operación, menos 1 por el renglón 1 y a eso le sumamos lo que hay en el renglón 4. Tenemos entonces lo siguiente, esto por menos 1 nos da menos 1, más 1 es cero, esto por menos 1 nos da 2, sumado con 1 es 3, esto por menos 1 nos da menos 2, sumado con menos 3 nos da menos 5, esto por menos 1 es 3 positivo, sumado con menos 2 nos da 1 positivo y esto por menos 1 nos da menos 15, sumado con menos 7 es menos 22. Entonces lo que hacemos es anotar estos resultados por aquí, ya tenemos entonces el primer cero, el que corresponde a la celda 4 1, vamos ahora con el que va en la celda 3 1 y vamos a trabajar justamente estos dos renglones, renglón 3 con renglón 1, de nuevo nos inventamos una operación con estos dos valores de tal forma que al hacer la suma aquí nos de cero, podemos entonces hacer lo siguiente, multiplicar esto por menos 2, entonces menos 2 por el renglón 1 y esto se lo vamos a sumar a lo que tenemos en el renglón número 3. Veamos entonces, menos 2 por 1 es menos 2, sumado con 2 nos da cero, menos 2 por menos 2 nos da 4 positivo, sumado con menos 3 es 1 positivo, 2 por menos 2 nos da menos 4, sumado con 2 es menos 2, menos 3 por menos 2 da 6 positivo, sumado con menos 1 nos da 5, 15 por menos 2 nos da menos 30, sumado con 17 nos da menos 13. Entonces ahora anotamos estos valores aquí en el renglón 3, ya hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 3 1, pasamos ahora al que va en la celda 2 1 y vamos a trabajar con esos dos renglones, renglón 2 y renglón 1, tenemos aquí que podemos hacer la siguiente operación, multiplicar esto por menos 3 y sumárselo a esto que tenemos acá, entonces en el renglón 2 vamos a escribir la operación, multiplicamos por menos 3 el renglón 1 y eso se lo sumamos a lo que hay en el renglón número 2. Entonces ahora anotamos estos resultados aquí en el renglón 2, bien de esa manera ya tenemos el cero que corresponde a la celda 2 1, ahora vamos a buscar el que corresponde a la celda 4 2, inicialmente se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones, el número 4 y el número 2, o sea buscando una operación con estos dos números, sin embargo aquí tenemos el 1 que es un número que nos facilita efectuar la operación que buscamos, podemos entonces más bien elegir una operación con estos dos valores, o sea con el renglón 3 y con el renglón 4, entonces al renglón 4 vamos a llevar la siguiente operación, multiplicamos esto por menos 3 y lo que nos dé se lo sumamos a esto que tenemos en el renglón 4, la operación será entonces menos 3 por el renglón 3 y a eso le sumamos lo que hay en el renglón número 4. Veamos entonces, menos 3 por cero nos da cero, sumado con cero es cero, menos 3 por 1 da menos 3, sumado con 3 nos da cero, menos 3 por menos 2 da 6 positivo, sumado con menos 5 da 1, menos 3 por 5 da menos 15, sumado con 1 es menos 14, menos 3 por menos 13 da 39 positivo, sumado con menos 22 nos da 17. Entonces lo que hacemos es anotar estos resultados acá en el renglón 4, de esta manera ya hemos conseguido el cero que va en la celda 4-2, vamos ahora a buscar el que corresponde a la celda 3-2. Inicialmente atendemos esta recomendación, trabajar con el renglón 3 y con el renglón 2, efectivamente esa será la elección correcta porque aquí tenemos el 1, entonces podemos multiplicar esto por menos 10 y sumarlo con 10 para así obtener el cero que necesitamos acá, entonces la operación que vamos a llevar al renglón número 3 es la siguiente, multiplicamos el renglón 3 por menos 10, es decir menos 10 por R3 y eso vamos a sumarlo con el renglón número 2. Tenemos entonces, menos 10 por cero es cero, sumado con cero nos da cero, menos 10 por 1 es menos 10, sumado con 10 nos da cero, menos 10 por menos 2 da 20 positivo, 20 sumado con menos 7 nos da 13, menos 10 por 5 es menos 50, menos 50 sumado con 10 da menos 40 y menos 10 por menos 13 da 130 positivo, sumado con menos 51 nos da como resultado 79. Entonces ahora anotamos estos resultados aquí en el renglón número 3, de esta manera ya hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 3-2, vamos ahora con el cero que va en la celda 4-3. En ese caso atendemos esta recomendación, trabajar con los renglones 4 y 3 y debe ser así para no dañar estos ceros que ya obtuvimos y además aquí tenemos el 1 que nos favorece buscar la operación necesaria para que aquí nos de el cero, podemos entonces multiplicar esto por menos 13 y sumarlo con esto que tenemos acá, entonces en el renglón 4 va la siguiente operación, menos 13 por el renglón 4 y eso lo vamos a sumar con lo que hay en el renglón número 3. Veamos entonces, menos 13 por cero da cero, sumado con cero es cero, menos 13 por cero da cero, sumado con cero es cero, menos 13 por 1 da menos 13, sumado con 13 nos da cero, menos 13 por menos 14 da 182, sumado con menos 40 nos da 142, menos 13 por 17 da menos 221, sumado con 79 nos da menos 142. Entonces anotamos estos resultados acá en el renglón 4, de esa manera ya hemos conseguido el cero que va en la celda 4-3 y antes de pasar a la celda 1-4 vamos a transformar este renglón 4, podemos dividir todo ese renglón por 142, entonces escribimos acá la operación, renglón 4 dividido entre 142 para simplificar estos valores, haciendo eso estos ceros permanecen iguales, este número queda convertido en 1 positivo y este queda convertido en menos 1 y eso nos facilita lo que vamos a realizar a continuación. Pasamos entonces a la parte superior, lo que hay por encima de la diagonal principal comenzando con la celda 1-4, esta que tenemos acá, se recomienda entonces trabajar estos dos renglones, renglón 1 y renglón 4, por fortuna aquí tenemos el 1, eso nos va a facilitar la operación que tenemos que hacer entre estos dos valores, podemos entonces multiplicar esto por 3 y sumárselo a esto que tenemos acá, entonces en el renglón 1 va la siguiente operación, tres veces el renglón 4 y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el renglón número 1. Veamos entonces, 3 por 0 nos da 0 sumado con 1 es 1, 3 por 0 nos da 0 sumado con menos 2 es menos 2, 3 por 0 nos da 0 sumado con 2 es 2, 3 por 1 nos da 3 sumado con menos 3 es 0, 3 por menos 1 nos da menos 3 sumado con 15 nos da 12. Entonces estos valores los vamos a escribir aquí en el renglón 1, de esa manera ya hemos conseguido el 0 que va en la celda 1-4, vamos ahora con el que corresponde a la celda 2-4 y para ello se recomienda trabajar con los renglones 2 y 4, veamos con esta celda y con esta que tenemos acá, de nuevo el 1 nos favorece la operación, podemos multiplicar esto por menos 10 y sumarlo con esto que tenemos acá, entonces en el renglón 2 va la siguiente operación, esto por menos 10, o sea menos 10 por el renglón 4 y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el renglón número 2. Vemos entonces, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con 0 es 0, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con 10 es 10, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con menos 7 es menos 7, menos 10 por uno nos da menos 10 sumado con 10 nos da 0, menos 10 por minus 1 da 10 positivo, sumado con menos 50 y 1 nos da menosilo 40 y 1. Entonces ahora estos valores pasan a ocupar el espacio del renglón 2. De esa manera ya tenemos el 0 que corresponde a la celda 2-4 y vamos a buscar el que corresponde a la celda 3-4. Seguimos entonces la recomendación que nos dan estos dos números, trabajar con el renglón 3 y con el renglón 4. Y aquí tenemos el 1 que nos facilita la operación. Entonces vamos a inventarnos una operación con estos dos valores. Esto podemos multiplicarlo por 40 y sumarlo con este valor que tenemos acá para obtener el 0 que necesitamos aquí. De esa manera en el renglón 3 va la siguiente operación. 40 por el renglón 4, 40 veces esa fila por renglón y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el renglón número 3. Decimos entonces 40 por 0 es 0 más 0 nos da 0. 40 por 0 nos da 0 más 0 es 0. 40 por 0 nos da 0 sumado con 13 es 13. 40 por 1 da 40 sumado con menos 40 nos da 0. 40 por menos 1 da menos 40 sumado con 79 nos da 39 positivo. Entonces ahora anotamos estos valores acá en el renglón 3. De esa manera ya conseguimos el 0 que corresponde a la celda 3, 4. Y antes de pasar al 0 que va en la celda 1, 3 revisamos el renglón 3 y vemos que se puede simplificar dividiendo todo por 13. Entonces vamos a efectuar esa operación. Renglón 3 dividido por 13 para reducir estos números. Específicamente la reducción ocurre aquí. 13 dividido entre 13 nos da 1. Entonces cambiamos esto aquí. Y 39 dividido entre 13 nos da como resultado 3. Estos ceros no presentan ningún cambio. Vamos ahora sí con el 0 que corresponde a la celda 1, 3. Y la recomendación es trabajar con estas dos filas o renglones. Renglón 1 y renglón 3. Por suerte aquí tenemos el 1 que nos facilita la operación. Podemos entonces multiplicar esto por menos 2 y sumarlo con este valor para obtener el 0 que buscamos allí. Entonces en el renglón 1 va la siguiente operación. Esto por menos 2, o sea menos 2 veces el renglón 3. Y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el renglón número 1. Veamos entonces. Menos 2 por 0 nos da 0 sumado con 1 es 1. Menos 2 por 0 da 0 sumado con menos 2 es menos 2. Menos 2 por 1 nos da menos 2 sumado con 2 es 0. Menos 2 por 0 nos da 0 sumado con 0 es 0. Menos 2 por 3 da menos 6 sumado con 12 nos da 6 positivo. Ahora estos valores van a ocupar el renglón número 1. Así hemos conseguido el 0 que corresponde a la celda 1, 3. Y vamos a buscar el que va en la celda 2, 3. Para ello se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones. Fila 2 y fila 3. Aquí tenemos el 1 que de nuevo nos favorece la operación. Podemos multiplicar esto por 7 y sumarlo con este número. Entonces en el renglón 2 la operación será lo siguiente. Siete veces el renglón 3 y eso sumado con lo que tenemos en el renglón número 2. Veamos entonces. Siete por cero nos da cero sumado con cero es cero. Siete por cero nos da cero sumado con diez es diez. Siete por uno nos da siete sumado con menos siete nos da cero. Siete por cero es cero más cero sigue siendo cero. Siete por tres veintiuno sumado con menos cuarenta uno nos da menos veinte. Ahora estos valores los vamos a escribir aquí en el renglón 2. De esa manera ya hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 2-3. Y antes de pasar a la última a la celda 1-2 vamos a simplificar el renglón número 2. Vemos que estos números permiten que este renglón sea dividido por diez. Entonces escribimos aquí la operación. Renglón 2 dividido por diez para que tengamos números más pequeños. Aca diez dividido entre diez nos da uno y menos veinte dividido entre diez nos da como resultado menos dos. Ahora si vamos a buscar el último cero el que corresponde a la celda 1-2. Y para ello vamos a seguir esta recomendación. Trabajamos con los renglones 1 y 2 o sea con estas dos cantidades. Aquí tenemos el uno que nos facilita la operación y vamos entonces a llevar al renglón 1 la siguiente operación. Multiplicamos esto por dos, dos veces el renglón 2 y eso vamos a sumarlo con lo que hay en el renglón número 1. Decimos entonces dos por cero es cero más uno nos da uno. Dos por uno es dos sumado con menos dos da cero. Dos por cero es cero sumado con cero sigue siendo cero. Dos por cero nos da cero sumado con cero es cero. Dos por menos dos da menos cuatro sumado con seis nos da dos positivo. Entonces estos valores vamos a escribirlos aquí en el renglón 1. De esta manera ya hemos conseguido el último cero el que corresponde a la celda 1-2. Como se observa ya tenemos los ceros que buscábamos y también tenemos unos en la diagonal principal. O sea que aquí hemos conseguido lo que se llama la matriz y 4. La matriz identidad de orden 4 por 4 la que tiene unos en la diagonal principal y el resto de sus celtas o de sus elementos son ceros. Con eso damos por terminado el método de Gauss-Jordan cuando aquí conseguimos la matriz identidad y estos serán los valores de las incógnitas. Habíamos dicho que ellas eran W, X, Y y Z. Por lo tanto damos la respuesta a este ejercicio de la siguiente manera. Tenemos que la incógnita W vale dos. La incógnita X vale menos dos. La incógnita Y vale tres. Y la incógnita Z vale menos uno. Y así damos por terminado este sistema de ecuaciones lineales de 4 por 4. Se trata de un sistema consistente, determinado porque como vemos tiene solución única.
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menos 1 y sum\u00e1rselo"}, {"start": 292.26, "end": 299.52, "text": " a esto que tenemos aca, entonces en la fila 4 o rengl\u00f3n 4 vamos a ejecutar la siguiente"}, {"start": 299.52, "end": 307.52, "text": " operaci\u00f3n, menos 1 por el rengl\u00f3n 1 y a eso le sumamos lo que hay en el rengl\u00f3n 4."}, {"start": 307.52, "end": 313.41999999999996, "text": " Tenemos entonces lo siguiente, esto por menos 1 nos da menos 1, m\u00e1s 1 es cero, esto por"}, {"start": 313.41999999999996, "end": 321.32, "text": " menos 1 nos da 2, sumado con 1 es 3, esto por menos 1 nos da menos 2, sumado con menos"}, {"start": 321.32, "end": 330.15999999999997, "text": " 3 nos da menos 5, esto por menos 1 es 3 positivo, sumado con menos 2 nos da 1 positivo y esto"}, {"start": 330.15999999999997, "end": 336.88, "text": " por menos 1 nos da menos 15, sumado con menos 7 es menos 22."}, {"start": 336.88, "end": 343.68, "text": " Entonces lo que hacemos es anotar estos resultados por aqu\u00ed, ya tenemos entonces el primer cero,"}, {"start": 343.68, "end": 350.71999999999997, "text": " el que corresponde a la celda 4 1, vamos ahora con el que va en la celda 3 1 y vamos a trabajar"}, {"start": 350.72, "end": 356.68, "text": " justamente estos dos renglones, rengl\u00f3n 3 con rengl\u00f3n 1, de nuevo nos inventamos una"}, {"start": 356.68, "end": 362.6, "text": " operaci\u00f3n con estos dos valores de tal forma que al hacer la suma aqu\u00ed nos de cero, podemos"}, {"start": 362.6, "end": 368.8, "text": " entonces hacer lo siguiente, multiplicar esto por menos 2, entonces menos 2 por el rengl\u00f3n"}, {"start": 368.8, "end": 376.40000000000003, "text": " 1 y esto se lo vamos a sumar a lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 376.4, "end": 383.03999999999996, "text": " Veamos entonces, menos 2 por 1 es menos 2, sumado con 2 nos da cero, menos 2 por menos"}, {"start": 383.03999999999996, "end": 391.44, "text": " 2 nos da 4 positivo, sumado con menos 3 es 1 positivo, 2 por menos 2 nos da menos 4,"}, {"start": 391.44, "end": 399.2, "text": " sumado con 2 es menos 2, menos 3 por menos 2 da 6 positivo, sumado con menos 1 nos da"}, {"start": 399.2, "end": 408.32, "text": " 5, 15 por menos 2 nos da menos 30, sumado con 17 nos da menos 13."}, {"start": 408.32, "end": 414.71999999999997, "text": " Entonces ahora anotamos estos valores aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 3, ya hemos conseguido el cero"}, {"start": 414.71999999999997, "end": 421.84, "text": " que corresponde a la celda 3 1, pasamos ahora al que va en la celda 2 1 y vamos a trabajar"}, {"start": 421.84, "end": 428.52, "text": " con esos dos renglones, rengl\u00f3n 2 y rengl\u00f3n 1, tenemos aqu\u00ed que podemos hacer la siguiente"}, {"start": 428.52, "end": 434.24, "text": " operaci\u00f3n, multiplicar esto por menos 3 y sum\u00e1rselo a esto que tenemos ac\u00e1, entonces"}, {"start": 434.24, "end": 442.68, "text": " en el rengl\u00f3n 2 vamos a escribir la operaci\u00f3n, multiplicamos por menos 3 el rengl\u00f3n 1 y"}, {"start": 442.68, "end": 448.64, "text": " eso se lo sumamos a lo que hay en el rengl\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 448.64, "end": 478.15999999999997, "text": " Entonces"}, {"start": 478.16, "end": 485.0, "text": " ahora anotamos estos resultados aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 2, bien de esa manera ya tenemos"}, {"start": 485.0, "end": 491.24, "text": " el cero que corresponde a la celda 2 1, ahora vamos a buscar el que corresponde a la celda"}, {"start": 491.24, "end": 497.68, "text": " 4 2, inicialmente se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones, el n\u00famero 4"}, {"start": 497.68, "end": 503.20000000000005, "text": " y el n\u00famero 2, o sea buscando una operaci\u00f3n con estos dos n\u00fameros, sin embargo aqu\u00ed"}, {"start": 503.2, "end": 509.12, "text": " tenemos el 1 que es un n\u00famero que nos facilita efectuar la operaci\u00f3n que buscamos, podemos"}, {"start": 509.12, "end": 514.76, "text": " entonces m\u00e1s bien elegir una operaci\u00f3n con estos dos valores, o sea con el rengl\u00f3n 3"}, {"start": 514.76, "end": 521.52, "text": " y con el rengl\u00f3n 4, entonces al rengl\u00f3n 4 vamos a llevar la siguiente operaci\u00f3n,"}, {"start": 521.52, "end": 526.4, "text": " multiplicamos esto por menos 3 y lo que nos d\u00e9 se lo sumamos a esto que tenemos en el"}, {"start": 526.4, "end": 534.0799999999999, "text": " rengl\u00f3n 4, la operaci\u00f3n ser\u00e1 entonces menos 3 por el rengl\u00f3n 3 y a eso le sumamos lo"}, {"start": 534.0799999999999, "end": 537.84, "text": " que hay en el rengl\u00f3n n\u00famero 4."}, {"start": 537.84, "end": 544.52, "text": " Veamos entonces, menos 3 por cero nos da cero, sumado con cero es cero, menos 3 por 1 da"}, {"start": 544.52, "end": 551.52, "text": " menos 3, sumado con 3 nos da cero, menos 3 por menos 2 da 6 positivo, sumado con menos"}, {"start": 551.52, "end": 561.68, "text": " 5 da 1, menos 3 por 5 da menos 15, sumado con 1 es menos 14, menos 3 por menos 13 da"}, {"start": 561.68, "end": 567.92, "text": " 39 positivo, sumado con menos 22 nos da 17."}, {"start": 567.92, "end": 574.64, "text": " Entonces lo que hacemos es anotar estos resultados ac\u00e1 en el rengl\u00f3n 4, de esta manera ya hemos"}, {"start": 574.64, "end": 580.76, "text": " conseguido el cero que va en la celda 4-2, vamos ahora a buscar el que corresponde a"}, {"start": 580.76, "end": 583.16, "text": " la celda 3-2."}, {"start": 583.16, "end": 588.6, "text": " Inicialmente atendemos esta recomendaci\u00f3n, trabajar con el rengl\u00f3n 3 y con el rengl\u00f3n"}, {"start": 588.6, "end": 594.48, "text": " 2, efectivamente esa ser\u00e1 la elecci\u00f3n correcta porque aqu\u00ed tenemos el 1, entonces podemos"}, {"start": 594.48, "end": 600.4399999999999, "text": " multiplicar esto por menos 10 y sumarlo con 10 para as\u00ed obtener el cero que necesitamos"}, {"start": 600.4399999999999, "end": 607.0, "text": " ac\u00e1, entonces la operaci\u00f3n que vamos a llevar al rengl\u00f3n n\u00famero 3 es la siguiente, multiplicamos"}, {"start": 607.0, "end": 616.04, "text": " el rengl\u00f3n 3 por menos 10, es decir menos 10 por R3 y eso vamos a sumarlo con el rengl\u00f3n"}, {"start": 616.04, "end": 619.2, "text": " n\u00famero 2."}, {"start": 619.2, "end": 625.68, "text": " Tenemos entonces, menos 10 por cero es cero, sumado con cero nos da cero, menos 10 por"}, {"start": 625.68, "end": 633.6, "text": " 1 es menos 10, sumado con 10 nos da cero, menos 10 por menos 2 da 20 positivo, 20 sumado"}, {"start": 633.6, "end": 644.16, "text": " con menos 7 nos da 13, menos 10 por 5 es menos 50, menos 50 sumado con 10 da menos 40 y menos"}, {"start": 644.16, "end": 654.2, "text": " 10 por menos 13 da 130 positivo, sumado con menos 51 nos da como resultado 79."}, {"start": 654.2, "end": 661.0, "text": " Entonces ahora anotamos estos resultados aqu\u00ed en el rengl\u00f3n n\u00famero 3, de esta manera ya"}, {"start": 661.0, "end": 666.56, "text": " hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 3-2, vamos ahora con el cero que"}, {"start": 666.56, "end": 669.76, "text": " va en la celda 4-3."}, {"start": 669.76, "end": 676.04, "text": " En ese caso atendemos esta recomendaci\u00f3n, trabajar con los renglones 4 y 3 y debe ser"}, {"start": 676.04, "end": 682.4, "text": " as\u00ed para no da\u00f1ar estos ceros que ya obtuvimos y adem\u00e1s aqu\u00ed tenemos el 1 que nos favorece"}, {"start": 682.4, "end": 687.84, "text": " buscar la operaci\u00f3n necesaria para que aqu\u00ed nos de el cero, podemos entonces multiplicar"}, {"start": 687.84, "end": 694.2800000000001, "text": " esto por menos 13 y sumarlo con esto que tenemos ac\u00e1, entonces en el rengl\u00f3n 4 va la siguiente"}, {"start": 694.2800000000001, "end": 704.12, "text": " operaci\u00f3n, menos 13 por el rengl\u00f3n 4 y eso lo vamos a sumar con lo que hay en el rengl\u00f3n"}, {"start": 704.12, "end": 706.64, "text": " n\u00famero 3."}, {"start": 706.64, "end": 712.5600000000001, "text": " Veamos entonces, menos 13 por cero da cero, sumado con cero es cero, menos 13 por cero"}, {"start": 712.56, "end": 720.0799999999999, "text": " da cero, sumado con cero es cero, menos 13 por 1 da menos 13, sumado con 13 nos da cero,"}, {"start": 720.0799999999999, "end": 731.7199999999999, "text": " menos 13 por menos 14 da 182, sumado con menos 40 nos da 142, menos 13 por 17 da menos 221,"}, {"start": 731.7199999999999, "end": 737.88, "text": " sumado con 79 nos da menos 142."}, {"start": 737.88, "end": 745.16, "text": " Entonces anotamos estos resultados ac\u00e1 en el rengl\u00f3n 4, de esa manera ya hemos conseguido"}, {"start": 745.16, "end": 752.56, "text": " el cero que va en la celda 4-3 y antes de pasar a la celda 1-4 vamos a transformar este"}, {"start": 752.56, "end": 761.88, "text": " rengl\u00f3n 4, podemos dividir todo ese rengl\u00f3n por 142, entonces escribimos ac\u00e1 la operaci\u00f3n,"}, {"start": 761.88, "end": 770.28, "text": " rengl\u00f3n 4 dividido entre 142 para simplificar estos valores, haciendo eso estos ceros permanecen"}, {"start": 770.28, "end": 779.2, "text": " iguales, este n\u00famero queda convertido en 1 positivo y este queda convertido en menos"}, {"start": 779.2, "end": 784.96, "text": " 1 y eso nos facilita lo que vamos a realizar a continuaci\u00f3n."}, {"start": 784.96, "end": 790.88, "text": " Pasamos entonces a la parte superior, lo que hay por encima de la diagonal principal comenzando"}, {"start": 790.88, "end": 798.4, "text": " con la celda 1-4, esta que tenemos ac\u00e1, se recomienda entonces trabajar estos dos renglones,"}, {"start": 798.4, "end": 805.16, "text": " rengl\u00f3n 1 y rengl\u00f3n 4, por fortuna aqu\u00ed tenemos el 1, eso nos va a facilitar la operaci\u00f3n"}, {"start": 805.16, "end": 811.28, "text": " que tenemos que hacer entre estos dos valores, podemos entonces multiplicar esto por 3 y sum\u00e1rselo"}, {"start": 811.28, "end": 817.76, "text": " a esto que tenemos ac\u00e1, entonces en el rengl\u00f3n 1 va la siguiente operaci\u00f3n, tres veces el"}, {"start": 817.76, "end": 828.12, "text": " rengl\u00f3n 4 y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 828.12, "end": 835.12, "text": " Veamos entonces, 3 por 0 nos da 0 sumado con 1 es 1, 3 por 0 nos da 0 sumado con menos"}, {"start": 835.12, "end": 843.84, "text": " 2 es menos 2, 3 por 0 nos da 0 sumado con 2 es 2, 3 por 1 nos da 3 sumado con menos"}, {"start": 843.84, "end": 852.64, "text": " 3 es 0, 3 por menos 1 nos da menos 3 sumado con 15 nos da 12."}, {"start": 852.64, "end": 859.1800000000001, "text": " Entonces estos valores los vamos a escribir aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 1, de esa manera ya hemos"}, {"start": 859.1800000000001, "end": 866.82, "text": " conseguido el 0 que va en la celda 1-4, vamos ahora con el que corresponde a la celda 2-4"}, {"start": 866.82, "end": 873.08, "text": " y para ello se recomienda trabajar con los renglones 2 y 4, veamos con esta celda y con"}, {"start": 873.08, "end": 878.4000000000001, "text": " esta que tenemos ac\u00e1, de nuevo el 1 nos favorece la operaci\u00f3n, podemos multiplicar esto por"}, {"start": 878.4000000000001, "end": 883.94, "text": " menos 10 y sumarlo con esto que tenemos ac\u00e1, entonces en el rengl\u00f3n 2 va la siguiente"}, {"start": 883.94, "end": 892.5200000000001, "text": " operaci\u00f3n, esto por menos 10, o sea menos 10 por el rengl\u00f3n 4 y eso vamos a sumarlo"}, {"start": 892.5200000000001, "end": 897.08, "text": " con lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 897.08, "end": 904.2800000000001, "text": " Vemos entonces, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con 0 es 0, menos 10 por 0 nos da 0 sumado"}, {"start": 904.2800000000001, "end": 913.38, "text": " con 10 es 10, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con menos 7 es menos 7, menos 10 por uno"}, {"start": 913.38, "end": 920.6600000000001, "text": " nos da menos 10 sumado con 10 nos da 0, menos 10 por minus 1 da 10 positivo, sumado con"}, {"start": 920.6600000000001, "end": 925.72, "text": " menos 50 y 1 nos da menosilo 40 y 1."}, {"start": 925.72, "end": 931.24, "text": " Entonces ahora estos valores pasan a ocupar el espacio del rengl\u00f3n 2."}, {"start": 931.24, "end": 938.22, "text": " De esa manera ya tenemos el 0 que corresponde a la celda 2-4 y vamos a buscar el que corresponde"}, {"start": 938.22, "end": 940.14, "text": " a la celda 3-4."}, {"start": 940.14, "end": 944.98, "text": " Seguimos entonces la recomendaci\u00f3n que nos dan estos dos n\u00fameros, trabajar con el rengl\u00f3n"}, {"start": 944.98, "end": 947.08, "text": " 3 y con el rengl\u00f3n 4."}, {"start": 947.08, "end": 950.36, "text": " Y aqu\u00ed tenemos el 1 que nos facilita la operaci\u00f3n."}, {"start": 950.36, "end": 953.64, "text": " Entonces vamos a inventarnos una operaci\u00f3n con estos dos valores."}, {"start": 953.64, "end": 959.4399999999999, "text": " Esto podemos multiplicarlo por 40 y sumarlo con este valor que tenemos ac\u00e1 para obtener"}, {"start": 959.4399999999999, "end": 961.6, "text": " el 0 que necesitamos aqu\u00ed."}, {"start": 961.6, "end": 966.68, "text": " De esa manera en el rengl\u00f3n 3 va la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 966.68, "end": 973.16, "text": " 40 por el rengl\u00f3n 4, 40 veces esa fila por rengl\u00f3n y eso vamos a sumarlo con lo que"}, {"start": 973.16, "end": 977.8, "text": " tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 977.8, "end": 982.8, "text": " Decimos entonces 40 por 0 es 0 m\u00e1s 0 nos da 0."}, {"start": 982.8, "end": 986.5999999999999, "text": " 40 por 0 nos da 0 m\u00e1s 0 es 0."}, {"start": 986.5999999999999, "end": 991.3199999999999, "text": " 40 por 0 nos da 0 sumado con 13 es 13."}, {"start": 991.3199999999999, "end": 996.3599999999999, "text": " 40 por 1 da 40 sumado con menos 40 nos da 0."}, {"start": 996.3599999999999, "end": 1003.7199999999999, "text": " 40 por menos 1 da menos 40 sumado con 79 nos da 39 positivo."}, {"start": 1003.7199999999999, "end": 1008.9599999999999, "text": " Entonces ahora anotamos estos valores ac\u00e1 en el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 1008.96, "end": 1014.2, "text": " De esa manera ya conseguimos el 0 que corresponde a la celda 3, 4."}, {"start": 1014.2, "end": 1020.2800000000001, "text": " Y antes de pasar al 0 que va en la celda 1, 3 revisamos el rengl\u00f3n 3 y vemos que se"}, {"start": 1020.2800000000001, "end": 1024.24, "text": " puede simplificar dividiendo todo por 13."}, {"start": 1024.24, "end": 1026.72, "text": " Entonces vamos a efectuar esa operaci\u00f3n."}, {"start": 1026.72, "end": 1031.56, "text": " Rengl\u00f3n 3 dividido por 13 para reducir estos n\u00fameros."}, {"start": 1031.56, "end": 1033.88, "text": " Espec\u00edficamente la reducci\u00f3n ocurre aqu\u00ed."}, {"start": 1033.88, "end": 1037.76, "text": " 13 dividido entre 13 nos da 1."}, {"start": 1037.76, "end": 1039.6, "text": " Entonces cambiamos esto aqu\u00ed."}, {"start": 1039.6, "end": 1045.4, "text": " Y 39 dividido entre 13 nos da como resultado 3."}, {"start": 1045.4, "end": 1048.4, "text": " Estos ceros no presentan ning\u00fan cambio."}, {"start": 1048.4, "end": 1052.64, "text": " Vamos ahora s\u00ed con el 0 que corresponde a la celda 1, 3."}, {"start": 1052.64, "end": 1056.64, "text": " Y la recomendaci\u00f3n es trabajar con estas dos filas o renglones."}, {"start": 1056.64, "end": 1058.76, "text": " Rengl\u00f3n 1 y rengl\u00f3n 3."}, {"start": 1058.76, "end": 1062.36, "text": " Por suerte aqu\u00ed tenemos el 1 que nos facilita la operaci\u00f3n."}, {"start": 1062.36, "end": 1067.36, "text": " Podemos entonces multiplicar esto por menos 2 y sumarlo con este valor para obtener el"}, {"start": 1067.36, "end": 1068.9599999999998, "text": " 0 que buscamos all\u00ed."}, {"start": 1068.9599999999998, "end": 1073.7199999999998, "text": " Entonces en el rengl\u00f3n 1 va la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 1073.7199999999998, "end": 1078.8, "text": " Esto por menos 2, o sea menos 2 veces el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 1078.8, "end": 1084.04, "text": " Y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 1084.04, "end": 1085.04, "text": " Veamos entonces."}, {"start": 1085.04, "end": 1089.36, "text": " Menos 2 por 0 nos da 0 sumado con 1 es 1."}, {"start": 1089.36, "end": 1094.1599999999999, "text": " Menos 2 por 0 da 0 sumado con menos 2 es menos 2."}, {"start": 1094.16, "end": 1098.8400000000001, "text": " Menos 2 por 1 nos da menos 2 sumado con 2 es 0."}, {"start": 1098.8400000000001, "end": 1102.92, "text": " Menos 2 por 0 nos da 0 sumado con 0 es 0."}, {"start": 1102.92, "end": 1108.8400000000001, "text": " Menos 2 por 3 da menos 6 sumado con 12 nos da 6 positivo."}, {"start": 1108.8400000000001, "end": 1114.0, "text": " Ahora estos valores van a ocupar el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 1114.0, "end": 1118.5600000000002, "text": " As\u00ed hemos conseguido el 0 que corresponde a la celda 1, 3."}, {"start": 1118.5600000000002, "end": 1122.3600000000001, "text": " Y vamos a buscar el que va en la celda 2, 3."}, {"start": 1122.36, "end": 1126.24, "text": " Para ello se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones."}, {"start": 1126.24, "end": 1127.8799999999999, "text": " Fila 2 y fila 3."}, {"start": 1127.8799999999999, "end": 1131.1599999999999, "text": " Aqu\u00ed tenemos el 1 que de nuevo nos favorece la operaci\u00f3n."}, {"start": 1131.1599999999999, "end": 1134.8, "text": " Podemos multiplicar esto por 7 y sumarlo con este n\u00famero."}, {"start": 1134.8, "end": 1138.3999999999999, "text": " Entonces en el rengl\u00f3n 2 la operaci\u00f3n ser\u00e1 lo siguiente."}, {"start": 1138.3999999999999, "end": 1147.9199999999998, "text": " Siete veces el rengl\u00f3n 3 y eso sumado con lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 1147.9199999999998, "end": 1148.9199999999998, "text": " Veamos entonces."}, {"start": 1148.92, "end": 1152.64, "text": " Siete por cero nos da cero sumado con cero es cero."}, {"start": 1152.64, "end": 1156.8000000000002, "text": " Siete por cero nos da cero sumado con diez es diez."}, {"start": 1156.8000000000002, "end": 1161.2, "text": " Siete por uno nos da siete sumado con menos siete nos da cero."}, {"start": 1161.2, "end": 1165.3200000000002, "text": " Siete por cero es cero m\u00e1s cero sigue siendo cero."}, {"start": 1165.3200000000002, "end": 1172.1200000000001, "text": " Siete por tres veintiuno sumado con menos cuarenta uno nos da menos veinte."}, {"start": 1172.1200000000001, "end": 1178.04, "text": " Ahora estos valores los vamos a escribir aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 2."}, {"start": 1178.04, "end": 1183.36, "text": " De esa manera ya hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 2-3."}, {"start": 1183.36, "end": 1190.1599999999999, "text": " Y antes de pasar a la \u00faltima a la celda 1-2 vamos a simplificar el rengl\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 1190.1599999999999, "end": 1196.72, "text": " Vemos que estos n\u00fameros permiten que este rengl\u00f3n sea dividido por diez."}, {"start": 1196.72, "end": 1199.1599999999999, "text": " Entonces escribimos aqu\u00ed la operaci\u00f3n."}, {"start": 1199.1599999999999, "end": 1204.36, "text": " Rengl\u00f3n 2 dividido por diez para que tengamos n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os."}, {"start": 1204.36, "end": 1216.56, "text": " Aca diez dividido entre diez nos da uno y menos veinte dividido entre diez nos da como resultado menos dos."}, {"start": 1216.56, "end": 1221.6799999999998, "text": " Ahora si vamos a buscar el \u00faltimo cero el que corresponde a la celda 1-2."}, {"start": 1221.6799999999998, "end": 1224.6, "text": " Y para ello vamos a seguir esta recomendaci\u00f3n."}, {"start": 1224.6, "end": 1229.84, "text": " Trabajamos con los renglones 1 y 2 o sea con estas dos cantidades."}, {"start": 1229.84, "end": 1238.76, "text": " Aqu\u00ed tenemos el uno que nos facilita la operaci\u00f3n y vamos entonces a llevar al rengl\u00f3n 1 la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 1238.76, "end": 1249.8, "text": " Multiplicamos esto por dos, dos veces el rengl\u00f3n 2 y eso vamos a sumarlo con lo que hay en el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 1249.8, "end": 1254.9599999999998, "text": " Decimos entonces dos por cero es cero m\u00e1s uno nos da uno."}, {"start": 1254.9599999999998, "end": 1259.24, "text": " Dos por uno es dos sumado con menos dos da cero."}, {"start": 1259.24, "end": 1263.4, "text": " Dos por cero es cero sumado con cero sigue siendo cero."}, {"start": 1263.4, "end": 1267.28, "text": " Dos por cero nos da cero sumado con cero es cero."}, {"start": 1267.28, "end": 1273.4, "text": " Dos por menos dos da menos cuatro sumado con seis nos da dos positivo."}, {"start": 1273.4, "end": 1279.04, "text": " Entonces estos valores vamos a escribirlos aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 1."}, {"start": 1279.04, "end": 1285.92, "text": " De esta manera ya hemos conseguido el \u00faltimo cero el que corresponde a la celda 1-2."}, {"start": 1285.92, "end": 1292.8400000000001, "text": " Como se observa ya tenemos los ceros que busc\u00e1bamos y tambi\u00e9n tenemos unos en la diagonal principal."}, {"start": 1292.8400000000001, "end": 1298.52, "text": " O sea que aqu\u00ed hemos conseguido lo que se llama la matriz y 4."}, {"start": 1298.52, "end": 1310.2, "text": " La matriz identidad de orden 4 por 4 la que tiene unos en la diagonal principal y el resto de sus celtas o de sus elementos son ceros."}, {"start": 1310.2, "end": 1320.8400000000001, "text": " Con eso damos por terminado el m\u00e9todo de Gauss-Jordan cuando aqu\u00ed conseguimos la matriz identidad y estos ser\u00e1n los valores de las inc\u00f3gnitas."}, {"start": 1320.8400000000001, "end": 1328.1200000000001, "text": " Hab\u00edamos dicho que ellas eran W, X, Y y Z."}, {"start": 1328.1200000000001, "end": 1334.8400000000001, "text": " Por lo tanto damos la respuesta a este ejercicio de la siguiente manera."}, {"start": 1334.84, "end": 1341.1999999999998, "text": " Tenemos que la inc\u00f3gnita W vale dos."}, {"start": 1341.1999999999998, "end": 1346.76, "text": " La inc\u00f3gnita X vale menos dos."}, {"start": 1346.76, "end": 1351.6, "text": " La inc\u00f3gnita Y vale tres."}, {"start": 1351.6, "end": 1355.6, "text": " Y la inc\u00f3gnita Z vale menos uno."}, {"start": 1355.6, "end": 1363.08, "text": " Y as\u00ed damos por terminado este sistema de ecuaciones lineales de 4 por 4."}, {"start": 1363.08, "end": 1371.08, "text": " Se trata de un sistema consistente, determinado porque como vemos tiene soluci\u00f3n \u00fanica."}]