56. CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL DE CUERPOS (Ejercicio 5)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 56: Caída Libre y Lanzamiento Vertical de Cuerpos (Ejercicio 5).

Determine la altura desde la que se deja caer un cuerpo sabiendo que en el último segundo recorre 20 m. ¿Con qué velocidad golpea en el suelo?

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net
 En este problema vamos a utilizar como sistema de referencia el eje Y en metros. Vemos por aquí el suelo y allí vamos a tomar el origen del eje Y y vamos a dibujar el cuerpo en tres momentos específicos. El primero en el tiempo cero, es decir, cuando se deja caer y allí tenemos velocidad inicial cero. Vamos a llamar esta la posición H, es decir, la altura desde la cual se suelta ese cuerpo en caída libre. Este va a ser el instante T y este será el instante T más un segundo. Es decir, este es el último segundo de movimiento para ese cuerpo. Esta será la posición veinte porque el enunciado nos dice que en el último segundo la distancia que recorre ese cuerpo son veinte metros. Entonces tenemos el instante T mayúscula y el instante T más uno en los cuales recorre veinte metros ese cuerpo en caída libre. Nos preguntar entonces desde qué altura se dejó caer y con qué velocidad hace impacto en el suelo. Es decir, qué velocidad tiene ese cuerpo en este instante. Esa la vamos a llamar la velocidad final. Comenzamos por determinar la ecuación de posición para ese cuerpo. Utilizamos entonces este modelo y allí vamos a reemplazar la información que conocemos. Tomamos la gravedad como diez metros por segundo cuadrado, la velocidad inicial que es igual a cero y la posición inicial que será H. Entonces esta ecuación nos queda como menos cinco T cuadrado más H. Y constituye la primera ecuación para este problema. Es la ecuación de posición. Esa ecuación la escribimos por acá y vamos a decir que cuando T es igual a T mayúscula tenemos que la posición Y es igual a veinte metros. Estamos hablando de este instante donde la posición es veinte. Entonces esta información la reemplazamos en la expresión número uno y nos queda así. Donde está Y escribimos veinte y donde está el tiempo escribimos T mayúscula. Nos queda entonces esta ecuación. De allí podemos despejar por ejemplo H. Para despejar H pasamos este término al lado izquierdo positivo. Nos queda así. Organizamos la ecuación y ésta constituye la ecuación número dos para este problema. Allí la tenemos. Esta ecuación la escribimos por acá y ahora decimos que cuando el tiempo es igual a T mayúscula más uno tenemos que la posición del cuerpo es cero. Estamos hablando de este instante donde el cuerpo llega al suelo. Entonces reemplazamos eso en la expresión uno. Tenemos entonces Y que se cambia por cero igual a menos cinco por este tiempo que se cambia por T mayúscula más uno al cuadrado. Todo eso más H. De allí podríamos despejar H. Pasamos todo este término negativo positivo al lado izquierdo y nos queda así. Organizamos esta ecuación como H igual a cinco por... desarrollamos este binomio al cuadrado. Sería T al cuadrado más dos T más uno. Haciendo el desarrollo del binomio al cuadrado. Y esta ecuación nos queda como cinco T cuadrado más diez T más cinco. Es decir distribuyendo el cinco. Y esta ecuación es la número tres. Para este problema. Anotamos esta ecuación por aquí. Y con las ecuaciones dos y tres tenemos un sistema de ecuaciones de dos por dos. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Como en ambas está despejada la letra H. Entonces podemos igualar las expresiones dos y tres. Nos queda entonces que veinte más cinco T cuadrado es igual a cinco T cuadrado más diez T más cinco. Y allí podemos eliminar a ambos lados de la ecuación este término. Nos queda entonces que veinte menos cinco es igual a diez por T. Pasando este cinco para allá hacemos esta resta nos da quince. Quince es igual a diez T. De donde T es igual a quince dividido entre diez. Y de aquí obtenemos que T es igual a uno punto cinco segundos. De esta manera encontramos la incógnita T. Eso quiere decir que este cuerpo desde aquí hasta aquí ha caído durante un tiempo de uno punto cinco segundos. Conociendo el valor de T podemos encontrar H sustituyéndolo en cualquiera de estas dos ecuaciones. Lógicamente buscamos la más sencilla. Entonces vamos a la ecuación número dos. Donde H será igual a veinte más cinco por el valor de T mayúscula que es uno punto cinco al cuadrado. Resolviendo todo esto nos da como resultado treinta y uno punto veinticinco metros. Y de esta manera respondemos la primera pregunta del problema. Este cuerpo cae desde una altura de treinta y uno punto veinticinco metros. Ese valor H podemos reemplazarlo aquí y aquí. Ya conocemos ese valor de la incógnita H. Esta será nuestra ecuación uno. El tiempo de mayúscula también lo conocemos. Nos dio uno punto cinco segundos. Entonces vamos a escribirlo por aquí. Y aquí también uno punto cinco más uno nos da dos punto cinco. Entonces lo anotamos por aquí que sería el tiempo de caída de este cuerpo hasta que llega al suelo. Esta ecuación de posición podemos derivarla con respecto al tiempo para encontrar la ecuación de velocidad. Queda entonces que la velocidad es igual a la derivada de este término que será menos diez T y la derivada de este término que es cero. Por lo tanto nos queda únicamente menos diez T. Esta ecuación sería la número cuatro. Y con esta vamos a encontrar la velocidad final. Decimos que cuando el tiempo es igual a dos punto cinco segundos. Es decir aquí la velocidad de ese cuerpo se llama velocidad final. Es decir esta. Esta información la reemplazamos en la expresión número cuatro. Nos queda entonces velocidad final igual a menos diez por dos punto cinco que es el tiempo. Resolviendo eso nos da menos veinticinco metros por segundo. Y de esta manera respondemos a la segunda pregunta de este problema. La velocidad con la que el cuerpo golpea en el suelo tiene una magnitud o un módulo de veinticinco metros por segundo. El signo negativo nos indica que es un vector dirigido hacia abajo.
[{"start": 0.0, "end": 25.0, "text": " En este problema vamos a utilizar como sistema de referencia el eje Y en metros."}, {"start": 25.0, "end": 40.0, "text": " Vemos por aqu\u00ed el suelo y all\u00ed vamos a tomar el origen del eje Y y vamos a dibujar el cuerpo en tres momentos espec\u00edficos."}, {"start": 40.0, "end": 48.0, "text": " El primero en el tiempo cero, es decir, cuando se deja caer y all\u00ed tenemos velocidad inicial cero."}, {"start": 48.0, "end": 59.0, "text": " Vamos a llamar esta la posici\u00f3n H, es decir, la altura desde la cual se suelta ese cuerpo en ca\u00edda libre."}, {"start": 59.0, "end": 71.0, "text": " Este va a ser el instante T y este ser\u00e1 el instante T m\u00e1s un segundo."}, {"start": 71.0, "end": 78.0, "text": " Es decir, este es el \u00faltimo segundo de movimiento para ese cuerpo."}, {"start": 78.0, "end": 90.0, "text": " Esta ser\u00e1 la posici\u00f3n veinte porque el enunciado nos dice que en el \u00faltimo segundo la distancia que recorre ese cuerpo son veinte metros."}, {"start": 90.0, "end": 101.0, "text": " Entonces tenemos el instante T may\u00fascula y el instante T m\u00e1s uno en los cuales recorre veinte metros ese cuerpo en ca\u00edda libre."}, {"start": 101.0, "end": 109.0, "text": " Nos preguntar entonces desde qu\u00e9 altura se dej\u00f3 caer y con qu\u00e9 velocidad hace impacto en el suelo."}, {"start": 109.0, "end": 114.0, "text": " Es decir, qu\u00e9 velocidad tiene ese cuerpo en este instante."}, {"start": 114.0, "end": 118.0, "text": " Esa la vamos a llamar la velocidad final."}, {"start": 118.0, "end": 124.0, "text": " Comenzamos por determinar la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n para ese cuerpo."}, {"start": 124.0, "end": 133.0, "text": " Utilizamos entonces este modelo y all\u00ed vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que conocemos."}, {"start": 133.0, "end": 146.0, "text": " Tomamos la gravedad como diez metros por segundo cuadrado, la velocidad inicial que es igual a cero y la posici\u00f3n inicial que ser\u00e1 H."}, {"start": 146.0, "end": 155.0, "text": " Entonces esta ecuaci\u00f3n nos queda como menos cinco T cuadrado m\u00e1s H."}, {"start": 155.0, "end": 161.0, "text": " Y constituye la primera ecuaci\u00f3n para este problema."}, {"start": 161.0, "end": 164.0, "text": " Es la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n."}, {"start": 164.0, "end": 179.0, "text": " Esa ecuaci\u00f3n la escribimos por ac\u00e1 y vamos a decir que cuando T es igual a T may\u00fascula tenemos que la posici\u00f3n Y es igual a veinte metros."}, {"start": 179.0, "end": 184.0, "text": " Estamos hablando de este instante donde la posici\u00f3n es veinte."}, {"start": 184.0, "end": 201.0, "text": " Entonces esta informaci\u00f3n la reemplazamos en la expresi\u00f3n n\u00famero uno y nos queda as\u00ed. Donde est\u00e1 Y escribimos veinte y donde est\u00e1 el tiempo escribimos T may\u00fascula."}, {"start": 201.0, "end": 205.0, "text": " Nos queda entonces esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 205.0, "end": 214.0, "text": " De all\u00ed podemos despejar por ejemplo H. Para despejar H pasamos este t\u00e9rmino al lado izquierdo positivo."}, {"start": 214.0, "end": 226.0, "text": " Nos queda as\u00ed. Organizamos la ecuaci\u00f3n y \u00e9sta constituye la ecuaci\u00f3n n\u00famero dos para este problema."}, {"start": 226.0, "end": 228.0, "text": " All\u00ed la tenemos."}, {"start": 228.0, "end": 244.0, "text": " Esta ecuaci\u00f3n la escribimos por ac\u00e1 y ahora decimos que cuando el tiempo es igual a T may\u00fascula m\u00e1s uno tenemos que la posici\u00f3n del cuerpo es cero."}, {"start": 244.0, "end": 249.0, "text": " Estamos hablando de este instante donde el cuerpo llega al suelo."}, {"start": 249.0, "end": 254.0, "text": " Entonces reemplazamos eso en la expresi\u00f3n uno."}, {"start": 254.0, "end": 267.0, "text": " Tenemos entonces Y que se cambia por cero igual a menos cinco por este tiempo que se cambia por T may\u00fascula m\u00e1s uno al cuadrado."}, {"start": 267.0, "end": 271.0, "text": " Todo eso m\u00e1s H. De all\u00ed podr\u00edamos despejar H."}, {"start": 271.0, "end": 279.0, "text": " Pasamos todo este t\u00e9rmino negativo positivo al lado izquierdo y nos queda as\u00ed."}, {"start": 279.0, "end": 286.0, "text": " Organizamos esta ecuaci\u00f3n como H igual a cinco por... desarrollamos este binomio al cuadrado."}, {"start": 286.0, "end": 292.0, "text": " Ser\u00eda T al cuadrado m\u00e1s dos T m\u00e1s uno."}, {"start": 292.0, "end": 295.0, "text": " Haciendo el desarrollo del binomio al cuadrado."}, {"start": 295.0, "end": 302.0, "text": " Y esta ecuaci\u00f3n nos queda como cinco T cuadrado m\u00e1s diez T m\u00e1s cinco."}, {"start": 302.0, "end": 305.0, "text": " Es decir distribuyendo el cinco."}, {"start": 305.0, "end": 309.0, "text": " Y esta ecuaci\u00f3n es la n\u00famero tres."}, {"start": 309.0, "end": 312.0, "text": " Para este problema."}, {"start": 312.0, "end": 315.0, "text": " Anotamos esta ecuaci\u00f3n por aqu\u00ed."}, {"start": 315.0, "end": 321.0, "text": " Y con las ecuaciones dos y tres tenemos un sistema de ecuaciones de dos por dos."}, {"start": 321.0, "end": 324.0, "text": " Dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 324.0, "end": 328.0, "text": " Como en ambas est\u00e1 despejada la letra H."}, {"start": 328.0, "end": 333.0, "text": " Entonces podemos igualar las expresiones dos y tres."}, {"start": 333.0, "end": 346.0, "text": " Nos queda entonces que veinte m\u00e1s cinco T cuadrado es igual a cinco T cuadrado m\u00e1s diez T m\u00e1s cinco."}, {"start": 346.0, "end": 353.0, "text": " Y all\u00ed podemos eliminar a ambos lados de la ecuaci\u00f3n este t\u00e9rmino."}, {"start": 353.0, "end": 366.0, "text": " Nos queda entonces que veinte menos cinco es igual a diez por T. Pasando este cinco para all\u00e1 hacemos esta resta nos da quince."}, {"start": 366.0, "end": 369.0, "text": " Quince es igual a diez T."}, {"start": 369.0, "end": 376.0, "text": " De donde T es igual a quince dividido entre diez."}, {"start": 376.0, "end": 383.0, "text": " Y de aqu\u00ed obtenemos que T es igual a uno punto cinco segundos."}, {"start": 383.0, "end": 388.0, "text": " De esta manera encontramos la inc\u00f3gnita T."}, {"start": 388.0, "end": 397.0, "text": " Eso quiere decir que este cuerpo desde aqu\u00ed hasta aqu\u00ed ha ca\u00eddo durante un tiempo de uno punto cinco segundos."}, {"start": 397.0, "end": 405.0, "text": " Conociendo el valor de T podemos encontrar H sustituy\u00e9ndolo en cualquiera de estas dos ecuaciones."}, {"start": 405.0, "end": 408.0, "text": " L\u00f3gicamente buscamos la m\u00e1s sencilla."}, {"start": 408.0, "end": 412.0, "text": " Entonces vamos a la ecuaci\u00f3n n\u00famero dos."}, {"start": 412.0, "end": 423.0, "text": " Donde H ser\u00e1 igual a veinte m\u00e1s cinco por el valor de T may\u00fascula que es uno punto cinco al cuadrado."}, {"start": 423.0, "end": 432.0, "text": " Resolviendo todo esto nos da como resultado treinta y uno punto veinticinco metros."}, {"start": 432.0, "end": 439.0, "text": " Y de esta manera respondemos la primera pregunta del problema."}, {"start": 439.0, "end": 447.0, "text": " Este cuerpo cae desde una altura de treinta y uno punto veinticinco metros."}, {"start": 447.0, "end": 453.0, "text": " Ese valor H podemos reemplazarlo aqu\u00ed y aqu\u00ed."}, {"start": 453.0, "end": 458.0, "text": " Ya conocemos ese valor de la inc\u00f3gnita H."}, {"start": 458.0, "end": 461.0, "text": " Esta ser\u00e1 nuestra ecuaci\u00f3n uno."}, {"start": 461.0, "end": 466.0, "text": " El tiempo de may\u00fascula tambi\u00e9n lo conocemos. Nos dio uno punto cinco segundos."}, {"start": 466.0, "end": 469.0, "text": " Entonces vamos a escribirlo por aqu\u00ed."}, {"start": 469.0, "end": 474.0, "text": " Y aqu\u00ed tambi\u00e9n uno punto cinco m\u00e1s uno nos da dos punto cinco."}, {"start": 474.0, "end": 482.0, "text": " Entonces lo anotamos por aqu\u00ed que ser\u00eda el tiempo de ca\u00edda de este cuerpo hasta que llega al suelo."}, {"start": 482.0, "end": 490.0, "text": " Esta ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n podemos derivarla con respecto al tiempo para encontrar la ecuaci\u00f3n de velocidad."}, {"start": 490.0, "end": 501.0, "text": " Queda entonces que la velocidad es igual a la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00e1 menos diez T y la derivada de este t\u00e9rmino que es cero."}, {"start": 501.0, "end": 507.0, "text": " Por lo tanto nos queda \u00fanicamente menos diez T."}, {"start": 507.0, "end": 510.0, "text": " Esta ecuaci\u00f3n ser\u00eda la n\u00famero cuatro."}, {"start": 510.0, "end": 514.0, "text": " Y con esta vamos a encontrar la velocidad final."}, {"start": 514.0, "end": 522.0, "text": " Decimos que cuando el tiempo es igual a dos punto cinco segundos."}, {"start": 522.0, "end": 528.0, "text": " Es decir aqu\u00ed la velocidad de ese cuerpo se llama velocidad final."}, {"start": 528.0, "end": 530.0, "text": " Es decir esta."}, {"start": 530.0, "end": 535.0, "text": " Esta informaci\u00f3n la reemplazamos en la expresi\u00f3n n\u00famero cuatro."}, {"start": 535.0, "end": 546.0, "text": " Nos queda entonces velocidad final igual a menos diez por dos punto cinco que es el tiempo."}, {"start": 546.0, "end": 552.0, "text": " Resolviendo eso nos da menos veinticinco metros por segundo."}, {"start": 552.0, "end": 558.0, "text": " Y de esta manera respondemos a la segunda pregunta de este problema."}, {"start": 558.0, "end": 570.0, "text": " La velocidad con la que el cuerpo golpea en el suelo tiene una magnitud o un m\u00f3dulo de veinticinco metros por segundo."}, {"start": 570.0, "end": 599.0, "text": " El signo negativo nos indica que es un vector dirigido hacia abajo."}]