INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 15
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio aplicando el Método de Integración por Partes dos veces.

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 Vamos a resolver este ejercicio utilizando el método de integración por partes, debido a que por integración directa y por el método de sustitución no es posible realizarlo. En este caso la variable es X, A y B son constantes, o sea que representan números reales. Comenzamos clasificando las dos expresiones que tenemos allí en las categorías de I la T. Recordemos que I significa función inversa, L logarítmica, A algebraica, E trigonométrica y N exponencial. Tenemos que E a la AX será categoría exponencial y seno de BX será categoría trigonométrica. Entonces señalamos aquí las dos categorías que encontramos y al pronunciar la palabra I la T, es decir de izquierda a derecha, la primera que nos encontramos de las que señalamos es la trigonométrica, o sea que ella hará el papel de Q en la fórmula de integración por partes. En ese caso es conveniente reescribir el ejercicio de la siguiente manera, integral de seno de BX por E a la AX con el diferencial de X, es decir que primero tengamos el componente que va a ser U, o sea la expresión trigonométrica y todo lo demás incluido de X hará el papel de DB. Deseamos entonces que U es seno de BX y esto tenemos que derivarlo. Entonces realizamos la derivada de U con respecto a X, la derivada del seno de BX es coseno de BX por la derivada interna, es decir por la derivada de BX que será B y de allí vamos a despejar de U, pasamos de X que está dividiendo al otro lado a multiplicar, podemos también reacomodar esta letra B al principio de la expresión, nos queda B por coseno de BX y todo esto por el diferencial de X, esto lo destacamos porque lo vamos a necesitar ahora en la fórmula de integración por partes. Ahora tenemos que DB es igual a E a la AX con su diferencial de X, esto lo destacamos y vamos a integrar ambos miembros de esa igualdad, integral de DB y al otro lado la integral de E a la AX con su diferencial de X. En el lado izquierdo la integral de DB nos da B y en el lado derecho tenemos la integral de E a la AX que podemos efectuar utilizando el siguiente modelo, recordemos que la integral de E a la MX con su de X es igual a 1 sobre m por E a la mX más E, es una integral que se demuestra utilizando el método de sustitución cambiando mX por otra letra, entonces aplicando eso acá tendremos 1 sobre A por E a la AX, en este caso A representa la letra M que tenemos en ese modelo y de esta manera ya tenemos el otro componente que es B. Enseguida escribimos la fórmula que distingue el método de integración por partes, ella dice que la integral de U por DB es igual a U por B menos la integral de B por DU, para aprender esto de manera fácil decimos una vaca menos la integral vestida de uniforme. Empezamos entonces a reemplazar allí cada uno de los cuatro componentes, por acá tenemos la integral de U que es seno de BX por DB que es E a la AX con el diferencial de X y esto es igual a U que es seno de BX por B que nos dio 1 sobre A por E a la AX y esto menos la integral de B que es 1 sobre A por E a la AX y eso multiplicado por DU que nos dio esta expresión de porcoseno de BX y todo eso con el diferencial de X. Como podemos observar esto que tenemos aquí es el mismo ejercicio original y va a ser igual a todo esto, entonces vamos a escribirlo por acá organizando lo que podamos hasta el momento, por ejemplo en el caso del primer término se puede escribir como 1 sobre A por seno de BX por E a la AX, acá en este término podemos extraer B y también 1 sobre A como eso está multiplicando nos queda por fuera de la integral como B sobre A y adentro tendremos la integral de E a la AX por coseno de BX y todo eso con el diferencial de X. Ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta integral que nos queda pendiente, entonces hacemos de cuenta que entramos a un nuevo ejercicio, vamos a escribirla por acá integral de E a la AX por coseno de BX con su diferencial de X, esta integral también vamos a resolverla por el método de integración por partes y como se observa viene la misma estructura que el ejercicio original, tenemos allí una expresión exponencial y una expresión trigonométrica utilizando ilate, vimos que si tenemos trigonométrica y exponencial la primera que encontramos de izquierda a derecha es la trigonométrica y ella hará el papel de U, entonces como decíamos se cambia el orden de las dos expresiones para que primero nos quede la U que será esto que tenemos aquí, la expresión trigonométrica y lo que nos queda enseguida será DB. De nuevo vamos a escribir por acá aparte lo que es U y DB para encontrar de U y B, es decir los cuatro componentes que necesitamos para plantear la fórmula de integración por partes, vemos que U es coseno de BX y esto tenemos que derivarlo con respecto a X, derivada de U respecto a X será derivada del coseno de BX será menos seno de BX por la derivada interna es decir la derivada de BX que nos da B y de allí vamos a despejar de U, pasamos de X que está dividiendo al otro lado a multiplicar y acomodamos esta letra B al principio de la expresión nos queda menos B seno de BX y eso multiplicado por de X, aquí tenemos entonces el componente llamado de U, enseguida tenemos que DB es igual a E a la AX con su diferencial de X, esto tenemos que integrarlo a ambos lados y allí vamos a aplicar la fórmula que vimos anteriormente para integrar este lado, acá tenemos que la integral de DB es B y acá tendremos 1 sobre A por E a la AX, tenemos así el componente DB que necesitamos para plantear la fórmula de integración por partes, escribimos entonces dicha fórmula la integral de U por DB es igual a 1 vaca menos la integral vestida de uniforme y vamos a reemplazar allí cada uno de los componentes, tenemos integral de U que es coseno de BX por DB que es E a la AX por DX y esto es igual a U que vale coseno de BX por B que es 1 sobre A por E a la AX y eso menos la integral de B que es 1 sobre A por E a la AX y eso multiplicado por DU que es esta expresión, como es negativa la protegemos menos B seno de DX y eso con el diferencial de X, como podemos observar esto que tenemos aquí es exactamente lo mismo que habíamos obtenido por acá, entonces vamos a cambiar esto por toda esta expresión, comenzamos entonces por acá donde nos queda 1 sobre A seno de DX por E a la AX menos B sobre A y vamos a abrir una llave para reemplazar aquí toda esta expresión la cual vamos a ir organizando, comenzamos con este término donde podemos escribir primero 1 sobre A luego coseno de BX y después E a la AX y luego tenemos menos por acá tendremos 1 sobre A que multiplica con menos B, esto nos quedaría menos B sobre A dentro de la integral pero al salir con este signo menos nos queda más, más B sobre A por la integral de esto que nos queda dentro que será el componente exponencial y el componente trigonométrico, entonces E a la AX por seno de BX y todo eso con su diferencial de X y cerramos esa llave. Ahora esta expresión nos queda de la siguiente manera 1 sobre A por seno de BX por E a la AX, esto no presenta ninguna variación y aquí vamos a aplicar la propiedad distributiva, tenemos menos B sobre A que multiplica con ese término entonces tendremos aquí el producto de estas dos fracciones y eso nos queda menos B sobre A al cuadrado, recordemos que se multiplican en forma horizontal y esto por coseno de BX por E a la AX, ahora multiplicamos menos B sobre A por más B sobre A eso nos va a quedar menos B al cuadrado sobre A al cuadrado, de nuevo multiplicamos las fracciones en forma horizontal y eso nos queda acompañando a la integral de E a la AX por el seno de BX y todo eso con su diferencial de X. La integral que tenemos en el lado izquierdo digamos que se viene repitiendo y vamos a escribirla por acá, integral de E a la AX por el seno de BX con su diferencial de X y se observa que esta integral aparece también por acá, entonces podemos trasladar este término al otro lado como acá está negativo va a llegar al lado izquierdo con signo positivo es decir sumando. Nos va a quedar entonces de la siguiente manera, integral de E a la AX por seno de BX con su diferencial de X, esta que no cambia y esta es la que llega con signo más queda de cuadrado sobre A cuadrado por la integral de E a la AX seno de BX con su diferencial de X y eso será igual a estos dos términos que se quedan a este lado es decir 1 sobre A seno de BX E a la AX y eso menos B sobre A cuadrado por coseno de BX y eso por E a la AX. En el lado izquierdo podemos extraer factor común vemos que esta integral se repite en los dos términos entonces se extrae tenemos la integral de E a la AX seno de BX con su diferencial de X que como decíamos es el factor común y eso va a multiplicar a la siguiente expresión como aquí este término abandona por completo nos queda uno y en el otro nos queda el componente de al cuadrado sobre a al cuadrado acá en el lado derecho también podemos extraer factor común el componente exponencial sale a la AX y eso va a multiplicar abrimos corchete a 1 sobre A seno de BX menos B sobre A cuadrado por coseno de BX y cerramos el corchete ahora de esta igualdad podemos despejar todo este componente que es precisamente la integral que pretendemos resolver nos queda integral de E a la AX por el seno de BX con su diferencial de X va a ser igual a todo esto que tenemos acá entonces E a la AX por abrimos corchete 1 sobre A seno de BX esto menos B sobre A cuadrado coseno de BX cerramos el corchete y todo eso nos queda sobre esta expresión que pasa a dividir al otro lado es decir 1 más B al cuadrado sobre A al cuadrado esta expresión que tenemos a este lado ya constituye la respuesta para esa integral entonces acá ya se puede escribir la constante de integración que es C podemos también hacer el trabajo algebraico de esta expresión para llevarla a una forma más sencilla veamos entonces cómo se puede conseguir eso dejamos E a la AX por abrimos el corchete y esta expresión la escribimos como seno de BX y esto sobre A en el otro caso en el otro término nos va a quedar B coseno de BX en el numerador y tendremos A al cuadrado en el denominador y debajo de la línea principal vamos a tener esta suma que vamos a escribir de nuevo y donde a este 1 le vamos a completar con denominador 1 para el caso de estas dos fracciones que son heterogéneas o sea que tienen distinto denominador podemos convertirlas en homogéneas simplemente tomamos esta fracción y la multiplicamos por A tanto en la parte de arriba como en la parte de abajo entonces arriba nos quedaría A multiplicando con el seno de BX y en la parte de abajo si multiplicamos A por esta A nos queda A al cuadrado y de esa manera ya tenemos fracciones con el mismo denominador eso nos permite entonces efectuar esta resta con mayor facilidad escribimos E a la AX abrimos el corchete trazamos la línea de la fracción conservamos el mismo denominador y escribimos la operación que tenemos arriba A seno de BX menos de coseno de BX cerramos el corchete y vamos a resolver la operación que tenemos acá en la parte de abajo allí podemos aplicar lo que se conoce como la carita feliz pegamos en la parte de arriba tendremos 1 por A al cuadrado que es A al cuadrado más 1 por B al cuadrado que es B al cuadrado y en la parte de abajo 1 por A al cuadrado que es A al cuadrado en este caso como tenemos aquí una fracción sobre otra que poseen el mismo denominador entonces lo podemos suprimir o cancelar y nos va a quedar que la siguiente manera E a la AX que multiplica A a seno de BX eso menos de coseno de BX cerramos el paréntesis cerramos el corchete y todo eso sobre A al cuadrado más de A al cuadrado y escribimos por acá la constante de integración bien así hemos encontrado entonces la expresión más sencilla es decir en su forma más simple que constituye la antiderivada de esta función es el resultado entonces de esa integral que hemos resuelto como decíamos utilizando el método de integración por partes dos veces.
[{"start": 0.0, "end": 9.9, "text": " Vamos a resolver este ejercicio utilizando el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes, debido"}, {"start": 9.9, "end": 17.34, "text": " a que por integraci\u00f3n directa y por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n no es posible realizarlo."}, {"start": 17.34, "end": 26.3, "text": " En este caso la variable es X, A y B son constantes, o sea que representan n\u00fameros reales."}, {"start": 26.3, "end": 32.24, "text": " Comenzamos clasificando las dos expresiones que tenemos all\u00ed en las categor\u00edas de I"}, {"start": 32.24, "end": 33.980000000000004, "text": " la T."}, {"start": 33.980000000000004, "end": 42.96, "text": " Recordemos que I significa funci\u00f3n inversa, L logar\u00edtmica, A algebraica, E trigonom\u00e9trica"}, {"start": 42.96, "end": 44.96, "text": " y N exponencial."}, {"start": 44.96, "end": 54.96, "text": " Tenemos que E a la AX ser\u00e1 categor\u00eda exponencial y seno de BX ser\u00e1 categor\u00eda 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ilate, vimos que si tenemos trigonom\u00e9trica y exponencial la primera que encontramos"}, {"start": 422.44, "end": 429.44000000000005, "text": " de izquierda a derecha es la trigonom\u00e9trica y ella har\u00e1 el papel de U, entonces como dec\u00edamos"}, {"start": 429.44000000000005, "end": 438.88, "text": " se cambia el orden de las dos expresiones para que primero nos quede la U que ser\u00e1 esto"}, {"start": 438.88, "end": 446.12, "text": " que tenemos aqu\u00ed, la expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica y lo que nos queda enseguida ser\u00e1 DB. 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{"start": 656.2, "end": 663.12, "text": " toda esta expresi\u00f3n la cual vamos a ir organizando, comenzamos con este t\u00e9rmino donde podemos"}, {"start": 663.12, "end": 676.32, "text": " escribir primero 1 sobre A luego coseno de BX y despu\u00e9s E a la AX y luego tenemos menos"}, {"start": 676.32, "end": 682.16, "text": " por ac\u00e1 tendremos 1 sobre A que multiplica con menos B, esto nos quedar\u00eda menos B sobre"}, {"start": 682.16, "end": 688.72, "text": " A dentro de la integral pero al salir con este signo menos nos queda m\u00e1s, m\u00e1s B sobre"}, {"start": 688.72, "end": 696.76, "text": " A por la integral de esto que nos queda dentro que ser\u00e1 el componente exponencial y el componente"}, {"start": 696.76, "end": 709.32, "text": " trigonom\u00e9trico, entonces E a la AX por seno de BX y todo eso con su diferencial de X y"}, {"start": 709.32, "end": 712.96, "text": " cerramos esa llave."}, {"start": 712.96, "end": 723.32, "text": " Ahora esta expresi\u00f3n nos queda de la siguiente manera 1 sobre A por seno de BX por E a la"}, {"start": 723.32, "end": 729.2, "text": " AX, esto no presenta ninguna variaci\u00f3n y aqu\u00ed vamos a aplicar la propiedad distributiva,"}, {"start": 729.2, "end": 734.48, "text": " tenemos menos B sobre A que multiplica con ese t\u00e9rmino entonces tendremos aqu\u00ed el producto"}, {"start": 734.48, "end": 741.46, "text": " de estas dos fracciones y eso nos queda menos B sobre A al cuadrado, recordemos que se multiplican"}, {"start": 741.46, "end": 750.08, "text": " en forma horizontal y esto por coseno de BX por E a la AX, ahora multiplicamos menos B"}, {"start": 750.08, "end": 758.2800000000001, "text": " sobre A por m\u00e1s B sobre A eso nos va a quedar menos B al cuadrado sobre A al cuadrado, de"}, {"start": 758.2800000000001, "end": 764.0, "text": " nuevo multiplicamos las fracciones en forma horizontal y eso nos queda acompa\u00f1ando a"}, {"start": 764.0, "end": 773.96, "text": " la integral de E a la AX por el seno de BX y todo eso con su diferencial de X."}, {"start": 773.96, "end": 780.08, "text": " La integral que tenemos en el lado izquierdo digamos que se viene repitiendo y vamos a"}, {"start": 780.08, "end": 789.36, "text": " escribirla por ac\u00e1, integral de E a la AX por el seno de BX con su diferencial de X"}, {"start": 789.36, "end": 795.28, "text": " y se observa que esta integral aparece tambi\u00e9n por ac\u00e1, entonces podemos trasladar este"}, {"start": 795.28, "end": 802.96, "text": " t\u00e9rmino al otro lado como ac\u00e1 est\u00e1 negativo va a llegar al lado izquierdo con signo positivo"}, {"start": 802.96, "end": 808.84, "text": " es decir sumando. Nos va a quedar entonces de la siguiente manera,"}, {"start": 808.84, "end": 818.8000000000001, "text": " integral de E a la AX por seno de BX con su diferencial de X, esta que no cambia y esta"}, {"start": 818.8, "end": 828.4, "text": " es la que llega con signo m\u00e1s queda de cuadrado sobre A cuadrado por la integral de E a la"}, {"start": 828.4, "end": 838.88, "text": " AX seno de BX con su diferencial de X y eso ser\u00e1 igual a estos dos t\u00e9rminos que se quedan"}, {"start": 838.88, "end": 853.08, "text": " a este lado es decir 1 sobre A seno de BX E a la AX y eso menos B sobre A cuadrado por"}, {"start": 853.08, "end": 864.16, "text": " coseno de BX y eso por E a la AX. En el lado izquierdo podemos extraer factor"}, {"start": 864.16, "end": 871.64, "text": " com\u00fan vemos que esta integral se repite en los dos t\u00e9rminos entonces se extrae tenemos"}, {"start": 871.64, "end": 881.1999999999999, "text": " la integral de E a la AX seno de BX con su diferencial de X que como dec\u00edamos es el factor"}, {"start": 881.1999999999999, "end": 888.04, "text": " com\u00fan y eso va a multiplicar a la siguiente expresi\u00f3n como aqu\u00ed este t\u00e9rmino abandona"}, {"start": 888.04, "end": 896.5999999999999, "text": " por completo nos queda uno y en el otro nos queda el componente de al cuadrado sobre a"}, {"start": 896.5999999999999, "end": 903.5999999999999, "text": " al cuadrado ac\u00e1 en el lado derecho tambi\u00e9n podemos extraer factor com\u00fan el componente"}, {"start": 903.5999999999999, "end": 917.88, "text": " exponencial sale a la AX y eso va a multiplicar abrimos corchete a 1 sobre A seno de BX menos"}, {"start": 917.88, "end": 931.0, "text": " B sobre A cuadrado por coseno de BX y cerramos el corchete ahora de esta igualdad podemos"}, {"start": 931.0, "end": 938.88, "text": " despejar todo este componente que es precisamente la integral que pretendemos resolver nos queda"}, {"start": 938.88, "end": 947.4, "text": " integral de E a la AX por el seno de BX con su diferencial de X va a ser igual a todo"}, {"start": 947.4, "end": 960.72, "text": " esto que tenemos ac\u00e1 entonces E a la AX por abrimos corchete 1 sobre A seno de BX esto"}, {"start": 960.72, "end": 974.0799999999999, "text": " menos B sobre A cuadrado coseno de BX cerramos el corchete y todo eso nos queda sobre esta"}, {"start": 974.08, "end": 985.2, "text": " expresi\u00f3n que pasa a dividir al otro lado es decir 1 m\u00e1s B al cuadrado sobre A al cuadrado"}, {"start": 985.2, "end": 991.96, "text": " esta expresi\u00f3n que tenemos a este lado ya constituye la respuesta para esa integral"}, {"start": 991.96, "end": 999.6, "text": " entonces ac\u00e1 ya se puede escribir la constante de integraci\u00f3n que es C podemos tambi\u00e9n"}, {"start": 999.6, "end": 1006.5600000000001, "text": " hacer el trabajo algebraico de esta expresi\u00f3n para llevarla a una forma m\u00e1s sencilla veamos"}, {"start": 1006.5600000000001, "end": 1015.76, "text": " entonces c\u00f3mo se puede conseguir eso dejamos E a la AX por abrimos el corchete y esta expresi\u00f3n"}, {"start": 1015.76, "end": 1024.1200000000001, "text": " la escribimos como seno de BX y esto sobre A en el otro caso en el otro t\u00e9rmino nos"}, {"start": 1024.12, "end": 1034.3999999999999, "text": " va a quedar B coseno de BX en el numerador y tendremos A al cuadrado en el denominador"}, {"start": 1034.3999999999999, "end": 1045.0, "text": " y debajo de la l\u00ednea principal vamos a tener esta suma que vamos a escribir de nuevo y"}, {"start": 1045.0, "end": 1052.9199999999998, "text": " donde a este 1 le vamos a completar con denominador 1 para el caso de estas dos fracciones que"}, {"start": 1052.92, "end": 1059.44, "text": " son heterog\u00e9neas o sea que tienen distinto denominador podemos convertirlas en homog\u00e9neas"}, {"start": 1059.44, "end": 1065.6000000000001, "text": " simplemente tomamos esta fracci\u00f3n y la multiplicamos por A tanto en la parte de arriba como en"}, {"start": 1065.6000000000001, "end": 1072.72, "text": " la parte de abajo entonces arriba nos quedar\u00eda A multiplicando con el seno de BX y en la"}, {"start": 1072.72, "end": 1079.4, "text": " parte de abajo si multiplicamos A por esta A nos queda A al cuadrado y de esa manera"}, {"start": 1079.4, "end": 1087.1000000000001, "text": " ya tenemos fracciones con el mismo denominador eso nos permite entonces efectuar esta resta"}, {"start": 1087.1000000000001, "end": 1095.1200000000001, "text": " con mayor facilidad escribimos E a la AX abrimos el corchete trazamos la l\u00ednea de"}, {"start": 1095.1200000000001, "end": 1102.24, "text": " la fracci\u00f3n conservamos el mismo denominador y escribimos la operaci\u00f3n que tenemos arriba"}, {"start": 1102.24, "end": 1115.24, "text": " A seno de BX menos de coseno de BX cerramos el corchete y vamos a resolver la operaci\u00f3n"}, {"start": 1115.24, "end": 1124.72, "text": " que tenemos ac\u00e1 en la parte de abajo all\u00ed podemos aplicar lo que se conoce como la carita"}, {"start": 1124.72, "end": 1132.6000000000001, "text": " feliz pegamos en la parte de arriba tendremos 1 por A al cuadrado que es A al cuadrado"}, {"start": 1132.6000000000001, "end": 1139.04, "text": " m\u00e1s 1 por B al cuadrado que es B al cuadrado y en la parte de abajo 1 por A al cuadrado"}, {"start": 1139.04, "end": 1146.56, "text": " que es A al cuadrado en este caso como tenemos aqu\u00ed una fracci\u00f3n sobre otra que poseen"}, {"start": 1146.56, "end": 1154.68, "text": " el mismo denominador entonces lo podemos suprimir o cancelar y nos va a quedar que la siguiente"}, {"start": 1154.68, "end": 1171.96, "text": " manera E a la AX que multiplica A a seno de BX eso menos de coseno de BX cerramos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 1171.96, "end": 1181.48, "text": " cerramos el corchete y todo eso sobre A al cuadrado m\u00e1s de A al cuadrado y escribimos"}, {"start": 1181.48, "end": 1188.32, "text": " por ac\u00e1 la constante de integraci\u00f3n bien as\u00ed hemos encontrado entonces la expresi\u00f3n"}, {"start": 1188.32, "end": 1196.88, "text": " m\u00e1s sencilla es decir en su forma m\u00e1s simple que constituye la antiderivada de esta funci\u00f3n"}, {"start": 1196.88, "end": 1203.44, "text": " es el resultado entonces de esa integral que hemos resuelto como dec\u00edamos utilizando el"}, {"start": 1203.44, "end": 1220.68, "text": " m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes dos veces."}]