IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
#julioprofe explica cómo determinar los valores de a y b para que se cumpla la igualdad 2a+3bi-b+ai=2-i

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 En este ejercicio debemos encontrar cuanto vale A y cuanto vale B para que se cumpla la igualdad de estos números completos. Bien, comenzamos por organizar el lado izquierdo, vamos a escribir 2A menos B más AY más 3DI y todo esto igual a 2 menos I. Agrupamos los términos que no contienen la I y los términos que sí contienen la I para que se vaya distinguiendo la parte real de la parte imaginaria. A continuación vamos a agrupar términos como decíamos para conformar la parte real y agrupamos los términos que conforman la parte imaginaria. Esto igual a 2 menos I. Este primer componente lo dejamos como está y aquí vamos a sacar factor común la I. Vamos a escribirla aquí a la derecha del paréntesis, nos queda entonces A más 3B dentro del paréntesis después de sacar factor común la I. Y todo esto lo igualamos con 2 menos I que lo podemos escribir como 1I y enseguida vamos a realizar la igualación de las partes reales entre sí y también las partes imaginarias entre sí. Tendremos entonces que 2A menos B es igual a 2 haciendo la igualación de las partes reales. Tenemos entonces una primera ecuación con las incógnitas que son A y B. Esta la vamos a llamar la ecuación número 1 y vamos a hacer lo mismo con las partes imaginarias. Tenemos A más 3B con su respectiva I y eso lo vamos a igualar a menos 1I. Podemos suprimir la unidad imaginaria es decir la I obteniendo la segunda ecuación A más 3B es igual a menos 1. Esa será entonces la ecuación número 2 para este ejercicio. Tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas es decir lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Lo escribimos por aquí y vamos a dar solución a este sistema utilizando el método de sustitución que consiste en despejar una letra de una de las ecuaciones para reemplazar ese despeje en la otra ecuación. Entonces por ejemplo podemos despejar de la ecuación número 2 lo que es la letra A. Si vemos que está fácil hacer el despeje de esa letra entonces A es igual a menos 1 menos 3B. Simplemente este término que está sumando pasa al otro lado a restar y esta nueva ecuación la llamamos la número 3. Ahora vamos a sustituir 3 en 1 es allí donde viene la sustitución. Entonces sustituimos 3 en 1 nos va a quedar entonces de la siguiente manera. 2 abrimos un paréntesis para reemplazar la expresión que equivale a la letra A. Así que nos dio menos 1 menos 3B y escribimos lo demás. Menos B igual a 2. Vamos entonces a solucionar esa ecuación. Por aquí hacemos propiedad distributiva. Queremos 2 por menos 1 que es menos 2. 2 por menos 3B nos da menos 6B. Escribimos lo demás. Y vamos a dejar en el lado izquierdo los términos que contienen la letra B. En el lado derecho pasamos todos los números. Este que está negativo pasa positivo a la derecha. Resolvemos aquí nos da menos 7B. Sumamos en el lado derecho nos da 4. Despejamos B nos queda 4 dividido entre menos 7. Recordemos que el número que está multiplicando pasa a dividir al otro lado con su signo. No debemos hacer cambio de signo en este caso. Si el número está multiplicando siendo negativo y pasa a dividir al otro lado, entonces conserva su signo. Aquí acomodamos el signo negativo. Este no debe quedar en el denominador. Debería entonces que la letra B equivale a menos 4 septimus. Y de esta manera hemos encontrado una de las incógnitas. Como ya conocemos B, entonces podemos encontrar el valor de A. Para ello podríamos reemplazar este resultado en cualquiera de estas expresiones. Pero debemos escoger la más sencilla. De todas, la expresión número 3 es la más conveniente porque ya tenemos la letra A despejada. Vamos a realizar el reemplazo de lo que nos dio B. B nos dio menos 4 septimus. Entonces allí lo sustituimos y vamos a resolver esas operaciones. Aquí seguimos por acá, nos queda menos 1. Y aquí multiplicamos menos 3 por menos 4 septimus. Menos por menos nos da más. Multiplicamos numeradores 3 por 4 es 12. Y multiplicamos los denominadores. Recordemos que aquí tenemos un 1 invisible. Ese 1 multiplica con 7 y nos queda 7 en el denominador. Podríamos cambiar este 1 por 7 septimus. Para facilitar la suma de fracciones. Debido a que se convierten en fracciones homogéneas. Fracciones de igual denominador. Conservamos ese denominador y hacemos la operación de los numeradores que es menos 7 más 12. Resolvemos y nos da que A es igual a 5 septimus. Y de esta manera encontramos la otra letra que nos pedía el problema. Hemos encontrado los valores de A y B que hacen cierta la igualdad inicial. Es decir, la igualdad de dos números complejos.
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