Ejercicio 5 de CIRCUNFERENCIA
#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados. Adicionalmente, explica cómo determinar el centro y el radio de dicha circunferencia.

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 Hayar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M de coordenadas 4,-1, N de coordenadas 2,3 y Q de coordenadas menos 1,-6. Determinar también el centro y el radio de dicha circunferencia. Bien, en este problema tenemos información de tres puntos que pertenecen a la circunferencia. Se trata de tres parejas ordenadas, parejas X,Y que deben satisfacer la ecuación de la circunferencia que buscamos. Vamos a utilizar el siguiente modelo para desarrollar este problema. Se trata de X al cuadrado más Y al cuadrado más CX más DY más E igual a 0. Es el modelo de la ecuación general para una circunferencia. Allí vamos a reemplazar cada una de estas parejas, cada uno de esos valores X y Y y vamos a obtener tres ecuaciones que posteriormente conformarán lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Veamos entonces cómo nos queda. Comenzamos reemplazando las coordenadas del punto M. Tenemos X es 4, entonces 4 al cuadrado más Y que es menos 1, entonces menos 1 al cuadrado más C por X, X vale 4, más D por Y, Y vale menos 1, más E igual a 0. Resolvemos 4 al cuadrado, nos da 16, más menos 1 al cuadrado que es 1 positivo, aquí tenemos C por 4 que es más 4C, D por menos 1 es menos D más E igual a 0. Sumamos estos dos números, esto nos da 17 y vamos a pasar ese número al lado derecho. Nos queda entonces 4C menos D más E igual a menos 17. Y de esta manera obtenemos la primera ecuación. La etiquetamos como ecuación número 1. Enseguida vamos a reemplazar las coordenadas del punto M. Tenemos que X es 2, entonces 2 al cuadrado más Y que vale 3, 3 al cuadrado más C por X, X vale 2, más D por Y, Y vale 3, esto más E igual a 0. Resolvemos 2 al cuadrado es 4, más 3 al cuadrado que es 9, más C por 2 es 2C, D por 3 nos queda más 3D, esto más E igual a 0. Sumamos estos dos números, eso nos da 13 y pasamos ese número al otro lado. Nos queda 2C más 3D más E igual a menos 13. Y con eso tenemos la segunda ecuación. La etiquetamos como el número 2. Por último vamos a reemplazar las coordenadas del punto Q. Tenemos que X es menos 1, entonces menos 1 al cuadrado más Y que vale menos 6, menos 6 al cuadrado más C por X que es menos 1, más D por Y que vale menos 6, eso más E igualado a 0. Resolvemos menos 1 al cuadrado es 1, más menos 6 al cuadrado, 36, C por menos 1 nos da menos C, D por menos 6 es menos 6D, esto más E igual a 0. Sumamos estos números, esto nos da 37, pasa al otro lado negativo y nos queda menos C, menos 6D más E igual a menos 37. Y de esta manera obtenemos la tercera ecuación. Vamos a etiquetarla con el número 3. Hemos llegado a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Son ecuaciones lineales, vemos las incógnitas C, D y E y como tenemos tres ecuaciones, entonces es lo que se llama un sistema de tres por tres. Vamos a resolverlo por el método de eliminación, también conocido como el método de suma y resta. Vamos a tomar por ejemplo las ecuaciones 1 y 2 para eliminar la letra E. Entonces, escribimos la primera ecuación que es 4C menos D más E igual a menos 17 y la ecuación 2 vamos a multiplicarla por menos 1. Entonces, escribimos aquí esa instrucción. Vamos a multiplicar a ambos lados de esa igualdad cada cosa por menos 1. Aquí tenemos entonces menos 2C, por acá tenemos menos 3D, por acá tenemos menos E y esto igual a 13 positivo. Da lo mismo si multiplicamos por menos 1 la primera ecuación y dejamos la segunda sin que presente ningún cambio. En seguida vamos a sumar estas dos igualdades en forma vertical. Tenemos 4C menos 2C que nos da 2C, por acá tenemos menos D con menos 3D, eso nos da menos 4D, E positivo con E negativo se cancelan, aquí es donde se produce la eliminación y por acá tenemos que la suma de estos números nos da como resultado menos 4. Esta ecuación podemos simplificarla todavía más. Como vemos todos los números son divisibles entre 2. Entonces vamos a dividir entre 2 esa igualdad a ambos lados. Nos queda C menos 2D igual a menos 2 y esta expresión constituye una nueva ecuación. La vamos a llamar la ecuación número 4 y la vamos a escribir por aquí. Nos dio C menos 2D igual a menos 2. Ahora vamos a tomar otro par de ecuaciones. Puede ser la ecuación 1 y la 3 o también puede ser la ecuación 2 con la número 3. Vamos a tomar la 1 con la 3. La ecuación 1 la vamos a escribir tal como está, 4C menos D más E igual a menos 17 y vamos a tomar la ecuación número 3 y también la vamos a multiplicar por menos 1. Escribimos allí la instrucción y entonces esta ecuación 3 nos queda así, C positivo por acá tenemos más 6D por acá tenemos menos E y esto igual a 37 positivo. Y vamos a sumar también en forma vertical. Tenemos 4C más C nos da 5C menos D más 6D nos da más 5D. Por acá tenemos que la letra E se elimina y al otro lado de la igualdad la suma de esos números nos da como resultado 20. Esta ecuación también puede simplificarse dividiendo a ambos lados entre 5. Entonces vamos a realizar esa simplificación. Dividimos todo por 5 y nos queda C más D igual a 4. Esta ecuación que es nueva la etiquetamos con el número 5 y la vamos a escribir por acá. Dice C más D igual a 4. Con las ecuaciones 4 y 5 tenemos ahora un sistema de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos a resolver ese sistema otra vez por el método de eliminación. Vamos a eliminar por ejemplo la letra D. Entonces dejamos la ecuación número 4 como está. C menos 2D igual a menos 2 y tenemos que la ecuación 5 debe multiplicarse por 2 para conseguir que la letra D se elimine. Entonces por acá escribimos esa instrucción. Vamos a multiplicar todo por 2. Tenemos 2C más 2D igual a 8. Multiplicando todo por 2 vamos a hacer la suma en forma vertical. Tenemos entonces C más 2C igual a 3C. Tenemos que estos dos términos se cancelan o se eliminan y por acá la suma de estos números nos da como resultado 6. Y de allí podemos despejar la letra C. Para despejar C pasamos 3 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda 6 dividido entre 3 de donde obtenemos que C es igual a 2. Vamos a escribir por acá ese resultado. Ya tenemos el valor de una de las incógnitas de este sistema de 2 por 2. Sabiendo que C vale 2 podemos reemplazar en cualquiera de estas dos ecuaciones para hallar el valor de la letra D. Lógicamente hacemos ese reemplazo en la ecuación que esté más sencilla. Es decir en la ecuación número 5 donde está la C escribimos 2. Entonces tenemos 2 más D igual a 4. Y de allí despejamos la incógnita D. 2 que está sumando pasa al otro lado a restar y de allí obtenemos que D es igual a 2. Vamos a escribir ese resultado por acá. Y de esta manera ya tenemos resuelto el sistema de ecuaciones de 2 por 2. Conociendo los valores de C y D podemos reemplazar en cualquiera de las tres primeras ecuaciones para hallar el valor de la incógnita que nos queda faltando. Vamos a reemplazar en la primera. Tenemos entonces lo siguiente. Dice 4 por C, o sea 4 por 2. Esto menos D. D nos dio 2. Eso más E igual a menos 17. Entonces resolvemos. 4 por 2 es 8. Por aquí tenemos menos 2 más E igual a menos 17. 8 menos 2 nos da 6. 6 más E igual a menos 17. Y de allí vamos a despejar E. Entonces nos queda menos 17 y 6 que está positivo llega al otro lado negativo. Resolvemos esta operación y obtenemos el resultado para la incógnita E que es igual a menos 23. Así tenemos ya resuelto el sistema de ecuaciones de 3 por 3. Ya se conocen los valores de las tres incógnitas. Lo que hacemos ahora es retomar el modelo de la ecuación de la circunferencia. Ese que dice x al cuadrado más y al cuadrado más Cx más Dy más E igual a 0. Y allí vamos a reemplazar estos valores que encontramos. C vale 2. D también vale 2. E nos dio menos 23. La ecuación nos queda entonces como x al cuadrado más y al cuadrado más 2x más 2y menos 23 igual a 0. Y así respondemos a la primera pregunta del ejercicio. Hemos encontrado la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos que nos dieron inicialmente. Esta ecuación está escrita en la forma general. Nos piden también determinar el centro y el radio de esta circunferencia. Entonces tenemos que conducir la ecuación de la forma general a la forma estándar que dice x menos h al cuadrado más y menos k al cuadrado igual a r al cuadrado. Donde tenemos que el centro de la circunferencia es la pareja h, k y el radio es r. Entonces como decíamos debemos llevar esta ecuación a esta forma. Y eso lo hacemos de la siguiente manera. Escribimos los términos así. x al cuadrado, después más 2x. Vamos a dejar un espacio. Luego escribimos más y cuadrado más 2y. Dejamos otro espacio y pasamos este número al otro lado. Llega positivo. Enseguida vamos a encontrar las cantidades que van en estos espacios para completar lo que se llama un trinomio cuadrado perfecto tanto para la variable x como para la variable y. Y eso se hace de la siguiente manera. Tomamos el coeficiente del término que acompaña a la x y le vamos a extraer la mitad. Tenemos que la mitad de 2 es 1 y este número se eleva al cuadrado. Tenemos que 1 al cuadrado nos da 1 y ese número lo insertamos aquí. Vamos a escribir aquí. 1 se eleva al cuadrado y el resultado que es 1 positivo se inserta en ese espacio que habíamos dejado en blanco. Si sumamos 1 al lado izquierdo de la igualdad tenemos que sumar también 1 al lado derecho para conservar el equilibrio de la expresión. Hacemos lo mismo para encontrar esta cantidad. Tomamos el coeficiente de la letra y que es 2 y a ese número le extraemos la mitad. La mitad de 2 es 1. 1 se eleva al cuadrado y nos da como resultado 1 positivo. Entonces aquí también escribimos que esta cantidad se elevo al cuadrado y nos dio ese resultado. Si acá sumamos 1 entonces al otro lado también debemos sumar 1 para que se conserve la igualdad. De esta manera tenemos ya garantizado aquí un trinomio cuadrado perfecto y también por acá otro trinomio cuadrado perfecto. Entonces procedemos a factorizar cada una de esas expresiones. Para el caso de la primera la factorización será la raíz cuadrada del primer término, la raíz cuadrada del tercer término que es 1 y entre ellos 2 el signo del segundo término que es más. Y esto que es un binomio debe quedar elevado al cuadrado. Recordemos que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre nos da como resultado un binomio elevado al cuadrado. Y vamos a factorizar el otro trinomio cuadrado perfecto. Nos va a quedar de manera muy similar. Raíz cuadrada del primer término es y, la raíz cuadrada del tercer término es 1. Aquí escribimos el signo del segundo término que es más y esto va al cuadrado. Por acá hacemos la suma y nos da 25. De esta manera hemos llegado al modelo estándar para la ecuación de la circunferencia. Vamos a determinar entonces los valores de h, k y r. Tenemos que para x lo que está después de ella que sería menos h debe ser igual a esto que está aquí después de la x que es más 1. Entonces tenemos que menos h es igual a más 1. Aquí entonces multiplicamos ambos lados por menos 1 para deshacernos de este signo negativo y eso nos da que h es igual a menos 1. De igual forma tenemos que lo que está después de la letra y, o sea menos k será igual a esto que está aquí después de la letra y, o sea más 1. Nos queda que menos k es igual a más 1. De la misma forma multiplicamos por menos 1 ambos lados y obtenemos que k es igual a menos 1. Y por otro lado tenemos que r al cuadrado debe ser igual a esta cantidad. Entonces r al cuadrado es igual a 25. Aquí extraemos la raíz cuadrada a ambos lados y obtenemos que r es igual a más o menos 5. Pero como el radio de la circunferencia es una longitud entonces nos quedamos con la opción positiva. Descartamos la negativa y en definitiva el valor de r es 5. Con esto podemos ya dar la respuesta final. Tenemos que el centro de la circunferencia que es la pareja h,k es menos 1, menos 1 y el radio de la circunferencia tiene un valor de 5 unidades. Podemos comprobar lo que acabamos de hacer analíticamente en el plano cartesiano. Vamos a localizar los puntos que nos dan inicialmente. Tenemos el punto 4,-1 que es el punto m. Aquí lo tenemos localizado. Vamos a colocarle la letra m. Tenemos el punto n de coordenadas 2,3. Entonces 2,3 será por aquí. Y tenemos el punto q de coordenadas menos 1, menos 6. Vamos a localizarlo. Por aquí está el punto q. Y el centro nos dio en el punto menos 1, menos 1. Es decir aquí. Allí marcamos la letra c correspondiente al centro de la circunferencia. Ahora tomamos un compás y vamos a establecer una abertura de 5 unidades. Allí podemos observarla. Tenemos 5 unidades que será el radio. Entonces vamos a hacer centro en el punto c y conservando esa abertura vamos a trazar la circunferencia. Lo que debemos probar es que ella pase por los tres puntos que nos han dado. Los puntos m, n y q. Vemos que el punto n, el punto q y el punto m pertenecen a esa circunferencia que tiene centro en el punto menos 1, menos 1 y cuyo radio es 5 unidades.
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Da lo mismo si multiplicamos por menos 1 la primera ecuaci\u00f3n"}, {"start": 380.8, "end": 396.8, "text": " y dejamos la segunda sin que presente ning\u00fan cambio. En seguida vamos a sumar estas dos igualdades en forma vertical. Tenemos 4C menos 2C que nos da 2C,"}, {"start": 396.8, "end": 410.8, "text": " por ac\u00e1 tenemos menos D con menos 3D, eso nos da menos 4D, E positivo con E negativo se cancelan, aqu\u00ed es donde se produce la eliminaci\u00f3n"}, {"start": 410.8, "end": 421.8, "text": " y por ac\u00e1 tenemos que la suma de estos n\u00fameros nos da como resultado menos 4. Esta ecuaci\u00f3n podemos simplificarla todav\u00eda m\u00e1s."}, {"start": 421.8, "end": 438.8, "text": " Como vemos todos los n\u00fameros son divisibles entre 2. Entonces vamos a dividir entre 2 esa igualdad a ambos lados. Nos queda C menos 2D"}, {"start": 438.8, "end": 455.8, "text": " igual a menos 2 y esta expresi\u00f3n constituye una nueva ecuaci\u00f3n. La vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4 y la vamos a escribir por aqu\u00ed. Nos dio"}, {"start": 455.8, "end": 473.8, "text": " C menos 2D igual a menos 2. Ahora vamos a tomar otro par de ecuaciones. Puede ser la ecuaci\u00f3n 1 y la 3 o tambi\u00e9n puede ser la ecuaci\u00f3n 2 con la n\u00famero 3."}, {"start": 473.8, "end": 490.8, "text": " Vamos a tomar la 1 con la 3. La ecuaci\u00f3n 1 la vamos a escribir tal como est\u00e1, 4C menos D m\u00e1s E igual a menos 17 y vamos a tomar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3"}, {"start": 490.8, "end": 506.8, "text": " y tambi\u00e9n la vamos a multiplicar por menos 1. Escribimos all\u00ed la instrucci\u00f3n y entonces esta ecuaci\u00f3n 3 nos queda as\u00ed, C positivo por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 6D"}, {"start": 506.8, "end": 525.8, "text": " por ac\u00e1 tenemos menos E y esto igual a 37 positivo. Y vamos a sumar tambi\u00e9n en forma vertical. Tenemos 4C m\u00e1s C nos da 5C"}, {"start": 525.8, "end": 544.8, "text": " menos D m\u00e1s 6D nos da m\u00e1s 5D. Por ac\u00e1 tenemos que la letra E se elimina y al otro lado de la igualdad la suma de esos n\u00fameros nos da como resultado 20."}, {"start": 544.8, "end": 558.8, "text": " Esta ecuaci\u00f3n tambi\u00e9n puede simplificarse dividiendo a ambos lados entre 5. Entonces vamos a realizar esa simplificaci\u00f3n. Dividimos todo por 5 y nos queda"}, {"start": 558.8, "end": 581.8, "text": " C m\u00e1s D igual a 4. Esta ecuaci\u00f3n que es nueva la etiquetamos con el n\u00famero 5 y la vamos a escribir por ac\u00e1. Dice C m\u00e1s D igual a 4."}, {"start": 581.8, "end": 594.8, "text": " Con las ecuaciones 4 y 5 tenemos ahora un sistema de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas. Vamos a resolver ese sistema otra vez por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n."}, {"start": 594.8, "end": 614.8, "text": " Vamos a eliminar por ejemplo la letra D. Entonces dejamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4 como est\u00e1. C menos 2D igual a menos 2 y tenemos que la ecuaci\u00f3n 5 debe multiplicarse por 2"}, {"start": 614.8, "end": 630.8, "text": " para conseguir que la letra D se elimine. Entonces por ac\u00e1 escribimos esa instrucci\u00f3n. Vamos a multiplicar todo por 2. Tenemos 2C m\u00e1s 2D"}, {"start": 630.8, "end": 648.8, "text": " igual a 8. Multiplicando todo por 2 vamos a hacer la suma en forma vertical. Tenemos entonces C m\u00e1s 2C igual a 3C. Tenemos que estos dos t\u00e9rminos se cancelan"}, {"start": 648.8, "end": 664.8, "text": " o se eliminan y por ac\u00e1 la suma de estos n\u00fameros nos da como resultado 6. Y de all\u00ed podemos despejar la letra C. Para despejar C pasamos 3 que est\u00e1 multiplicando"}, {"start": 664.8, "end": 682.8, "text": " al otro lado a dividir. Nos queda 6 dividido entre 3 de donde obtenemos que C es igual a 2. Vamos a escribir por ac\u00e1 ese resultado. Ya tenemos el valor de una de las inc\u00f3gnitas"}, {"start": 682.8, "end": 698.8, "text": " de este sistema de 2 por 2. Sabiendo que C vale 2 podemos reemplazar en cualquiera de estas dos ecuaciones para hallar el valor de la letra D. L\u00f3gicamente hacemos ese reemplazo"}, {"start": 698.8, "end": 714.8, "text": " en la ecuaci\u00f3n que est\u00e9 m\u00e1s sencilla. Es decir en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 5 donde est\u00e1 la C escribimos 2. Entonces tenemos 2 m\u00e1s D igual a 4. Y de all\u00ed despejamos"}, {"start": 714.8, "end": 730.8, "text": " la inc\u00f3gnita D. 2 que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y de all\u00ed obtenemos que D es igual a 2. Vamos a escribir ese resultado por ac\u00e1. Y de esta manera ya tenemos"}, {"start": 730.8, "end": 748.8, "text": " resuelto el sistema de ecuaciones de 2 por 2. Conociendo los valores de C y D podemos reemplazar en cualquiera de las tres primeras ecuaciones para hallar el valor de la inc\u00f3gnita"}, {"start": 748.8, "end": 767.8, "text": " que nos queda faltando. Vamos a reemplazar en la primera. Tenemos entonces lo siguiente. Dice 4 por C, o sea 4 por 2. Esto menos D. D nos dio 2. Eso m\u00e1s E igual a"}, {"start": 767.8, "end": 787.8, "text": " menos 17. Entonces resolvemos. 4 por 2 es 8. Por aqu\u00ed tenemos menos 2 m\u00e1s E igual a menos 17. 8 menos 2 nos da 6. 6 m\u00e1s E igual a menos 17. Y de all\u00ed vamos a"}, {"start": 787.8, "end": 804.8, "text": " despejar E. Entonces nos queda menos 17 y 6 que est\u00e1 positivo llega al otro lado negativo. Resolvemos esta operaci\u00f3n y obtenemos el resultado para la inc\u00f3gnita E que es igual a"}, {"start": 804.8, "end": 824.8, "text": " menos 23. As\u00ed tenemos ya resuelto el sistema de ecuaciones de 3 por 3. Ya se conocen los valores de las tres inc\u00f3gnitas. Lo que hacemos ahora es retomar el modelo de la"}, {"start": 824.8, "end": 840.8, "text": " ecuaci\u00f3n de la circunferencia. Ese que dice x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado m\u00e1s Cx m\u00e1s Dy m\u00e1s E igual a 0. Y all\u00ed vamos a reemplazar estos valores que"}, {"start": 840.8, "end": 867.8, "text": " encontramos. C vale 2. D tambi\u00e9n vale 2. E nos dio menos 23. La ecuaci\u00f3n nos queda entonces como x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado m\u00e1s 2x m\u00e1s 2y menos 23"}, {"start": 867.8, "end": 882.8, "text": " igual a 0. Y as\u00ed respondemos a la primera pregunta del ejercicio. Hemos encontrado la ecuaci\u00f3n de la circunferencia que pasa por los tres puntos que nos dieron"}, {"start": 882.8, "end": 896.8, "text": " inicialmente. Esta ecuaci\u00f3n est\u00e1 escrita en la forma general. Nos piden tambi\u00e9n determinar el centro y el radio de esta circunferencia. Entonces tenemos que"}, {"start": 896.8, "end": 914.8, "text": " conducir la ecuaci\u00f3n de la forma general a la forma est\u00e1ndar que dice x menos h al cuadrado m\u00e1s y menos k al cuadrado igual a r al cuadrado. Donde tenemos que"}, {"start": 914.8, "end": 934.8, "text": " el centro de la circunferencia es la pareja h, k y el radio es r. Entonces como dec\u00edamos debemos llevar esta ecuaci\u00f3n a esta forma. Y eso lo hacemos de la siguiente"}, {"start": 934.8, "end": 952.8, "text": " manera. Escribimos los t\u00e9rminos as\u00ed. x al cuadrado, despu\u00e9s m\u00e1s 2x. Vamos a dejar un espacio. Luego escribimos m\u00e1s y cuadrado m\u00e1s 2y. Dejamos otro espacio y"}, {"start": 952.8, "end": 966.8, "text": " pasamos este n\u00famero al otro lado. Llega positivo. Enseguida vamos a encontrar las cantidades que van en estos espacios para completar lo que se llama un"}, {"start": 966.8, "end": 977.8, "text": " trinomio cuadrado perfecto tanto para la variable x como para la variable y. Y eso se hace de la siguiente manera. Tomamos el coeficiente del t\u00e9rmino que"}, {"start": 977.8, "end": 992.8, "text": " acompa\u00f1a a la x y le vamos a extraer la mitad. Tenemos que la mitad de 2 es 1 y este n\u00famero se eleva al cuadrado. Tenemos que 1 al cuadrado nos da 1 y"}, {"start": 992.8, "end": 1007.8, "text": " ese n\u00famero lo insertamos aqu\u00ed. Vamos a escribir aqu\u00ed. 1 se eleva al cuadrado y el resultado que es 1 positivo se inserta en ese espacio que hab\u00edamos dejado"}, {"start": 1007.8, "end": 1019.8, "text": " en blanco. Si sumamos 1 al lado izquierdo de la igualdad tenemos que sumar tambi\u00e9n 1 al lado derecho para conservar el equilibrio de la expresi\u00f3n."}, {"start": 1019.8, "end": 1033.8, "text": " Hacemos lo mismo para encontrar esta cantidad. Tomamos el coeficiente de la letra y que es 2 y a ese n\u00famero le extraemos la mitad. La mitad de 2 es 1."}, {"start": 1033.8, "end": 1045.8, "text": " 1 se eleva al cuadrado y nos da como resultado 1 positivo. Entonces aqu\u00ed tambi\u00e9n escribimos que esta cantidad se elevo al cuadrado y nos dio ese"}, {"start": 1045.8, "end": 1063.8, "text": " resultado. Si ac\u00e1 sumamos 1 entonces al otro lado tambi\u00e9n debemos sumar 1 para que se conserve la igualdad. De esta manera tenemos ya garantizado aqu\u00ed un trinomio cuadrado"}, {"start": 1063.8, "end": 1078.8, "text": " perfecto y tambi\u00e9n por ac\u00e1 otro trinomio cuadrado perfecto. Entonces procedemos a factorizar cada una de esas expresiones. Para el caso de la primera la factorizaci\u00f3n"}, {"start": 1078.8, "end": 1090.8, "text": " ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino que es 1 y entre ellos 2 el signo del segundo t\u00e9rmino que es m\u00e1s."}, {"start": 1090.8, "end": 1102.8, "text": " Y esto que es un binomio debe quedar elevado al cuadrado. Recordemos que la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto siempre nos da como resultado un binomio"}, {"start": 1102.8, "end": 1115.8, "text": " elevado al cuadrado. Y vamos a factorizar el otro trinomio cuadrado perfecto. Nos va a quedar de manera muy similar. Ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino es y, la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino"}, {"start": 1115.8, "end": 1133.8, "text": " es 1. Aqu\u00ed escribimos el signo del segundo t\u00e9rmino que es m\u00e1s y esto va al cuadrado. Por ac\u00e1 hacemos la suma y nos da 25. De esta manera hemos llegado al modelo est\u00e1ndar"}, {"start": 1133.8, "end": 1149.8, "text": " para la ecuaci\u00f3n de la circunferencia. Vamos a determinar entonces los valores de h, k y r. Tenemos que para x lo que est\u00e1 despu\u00e9s de ella que ser\u00eda menos h debe ser igual a esto que est\u00e1 aqu\u00ed"}, {"start": 1149.8, "end": 1163.8, "text": " despu\u00e9s de la x que es m\u00e1s 1. Entonces tenemos que menos h es igual a m\u00e1s 1. Aqu\u00ed entonces multiplicamos ambos lados por menos 1 para deshacernos de este signo negativo"}, {"start": 1163.8, "end": 1181.8, "text": " y eso nos da que h es igual a menos 1. De igual forma tenemos que lo que est\u00e1 despu\u00e9s de la letra y, o sea menos k ser\u00e1 igual a esto que est\u00e1 aqu\u00ed despu\u00e9s de la letra y, o sea m\u00e1s 1."}, {"start": 1181.8, "end": 1204.8, "text": " Nos queda que menos k es igual a m\u00e1s 1. De la misma forma multiplicamos por menos 1 ambos lados y obtenemos que k es igual a menos 1. Y por otro lado tenemos que r al cuadrado debe ser igual a esta cantidad."}, {"start": 1204.8, "end": 1223.8, "text": " Entonces r al cuadrado es igual a 25. Aqu\u00ed extraemos la ra\u00edz cuadrada a ambos lados y obtenemos que r es igual a m\u00e1s o menos 5. Pero como el radio de la circunferencia es una longitud"}, {"start": 1223.8, "end": 1239.8, "text": " entonces nos quedamos con la opci\u00f3n positiva. Descartamos la negativa y en definitiva el valor de r es 5. Con esto podemos ya dar la respuesta final."}, {"start": 1239.8, "end": 1258.8, "text": " Tenemos que el centro de la circunferencia que es la pareja h,k es menos 1, menos 1 y el radio de la circunferencia tiene un valor de 5 unidades."}, {"start": 1258.8, "end": 1275.8, "text": " Podemos comprobar lo que acabamos de hacer anal\u00edticamente en el plano cartesiano. Vamos a localizar los puntos que nos dan inicialmente. Tenemos el punto 4,-1 que es el punto m."}, {"start": 1275.8, "end": 1289.8, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos localizado. Vamos a colocarle la letra m. Tenemos el punto n de coordenadas 2,3. Entonces 2,3 ser\u00e1 por aqu\u00ed."}, {"start": 1289.8, "end": 1309.8, "text": " Y tenemos el punto q de coordenadas menos 1, menos 6. Vamos a localizarlo. Por aqu\u00ed est\u00e1 el punto q. Y el centro nos dio en el punto menos 1, menos 1."}, {"start": 1309.8, "end": 1325.8, "text": " Es decir aqu\u00ed. All\u00ed marcamos la letra c correspondiente al centro de la circunferencia. Ahora tomamos un comp\u00e1s y vamos a establecer una abertura de 5 unidades."}, {"start": 1325.8, "end": 1341.8, "text": " All\u00ed podemos observarla. Tenemos 5 unidades que ser\u00e1 el radio. Entonces vamos a hacer centro en el punto c y conservando esa abertura vamos a trazar la circunferencia."}, {"start": 1341.8, "end": 1367.8, "text": " Lo que debemos probar es que ella pase por los tres puntos que nos han dado. Los puntos m, n y q. Vemos que el punto n, el punto q y el punto m pertenecen a esa circunferencia que tiene centro en el punto menos 1, menos 1 y cuyo radio es 5 unidades."}]