PROGRESIONES ARITMÉTICAS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Aritméticas:

El segundo término de una Progresión Aritmética es 20 y el quinto término es 56. ¿Cuál es el décimo término? ¿Cuál es el valor de la suma de los primeros 10 términos?

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 El segundo término de una progresión aritmética es 20 y el quinto término es 56. ¿Cuál es el décimo término? ¿Cuál es el valor de la suma de los primeros diez términos? Bien, en este problema tenemos la siguiente información. Se trata de una progresión aritmética donde conocemos el segundo término, su valor es 20. Conocemos también el quinto término, A sub 5, que es 56. Nos preguntan cuál es el valor del décimo término, o sea, A sub 10, y cuál es la suma de los primeros diez términos de esa progresión, o sea, lo que se representa como S sub 10. Para resolver esta situación vamos a utilizar la fórmula del término enésimo de una progresión aritmética. A sub n es igual a A sub 1, o sea, el primer término, más n menos 1 por D. En este caso D es la diferencia común en esa progresión o sucesión aritmética. Conocemos entonces el valor del segundo término, que es 20. Entonces en esta expresión vamos a reemplazar n por el número 2. Tendremos que esto es igual a A sub 1 más 2 menos 1 por D. Sustituimos A sub 2 por el valor que conocemos que es 20. Tendremos 20 igual a A sub 1 más 2 menos 1 que nos da 1, y 1 multiplicado por D es igual a D. Entonces tenemos una primera ecuación con las incógnitas A sub 1 y D, y la vamos a llamar entonces la ecuación número 1. Enseguida utilizamos otra vez esta expresión, pero cambiando n por el número 5. Tendremos A sub 5 igual a A sub 1 más n que vale 5 menos 1 y eso multiplicado por D. Conocemos el quinto término que es 56, y esto nos queda igual a A sub 1 más 5 menos 1 que es 4 y que multiplica a la diferencia común que es D. Esta será entonces la ecuación número 2. Tenemos allí lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos a utilizar el método de igualación. Para ello tenemos que despejar la misma letra o la misma incógnita en ambas ecuaciones. Vamos a despejar entonces A sub 1. Decimos que de la ecuación 1 el despeje de A sub 1 será igual a lo siguiente. Pasamos D que está sumando al otro lado a restar. Tendremos entonces 20 menos D igual a A sub 1. Esta expresión que es nueva la vamos a etiquetar con el número 3. Y enseguida de la ecuación 2 vamos también a despejar A sub 1. Tendremos lo siguiente. Pasamos el término 4D que está sumando al otro lado a restar y tendremos 56 menos 4D. De esa manera tenemos otra expresión nueva que vamos a etiquetar con el número 4. Allí es el momento de realizar la igualación. Decimos entonces que la expresión 3 se iguala con la número 4. Entonces 20 menos D va a ser igual a la expresión 56 menos 4D. Una ecuación de primer grado con una incógnita que es la letra D. Para resolverla vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos términos que contienen la letra D. Entonces se queda menos D y pasamos este término que está restando al otro lado a sumar. Llega como más 4D. Al lado derecho dejamos el número 56 y pasamos este número 20 como acá está positivo. Llega al lado derecho con signo negativo. Resolvemos aquí términos semejantes. Menos D más 4D nos da como resultado 3D y acá resolvemos la resta. 56 menos 20 nos da como resultado 36. Allí despejamos D y nos queda 36 dividido entre 3. Este número que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y efectuando esa operación obtenemos como resultado 12. Es allí entonces cuando ya conocemos el valor de la diferencia común en esa progresión aritmética. Con ese dato que encontramos podemos averiguar en cualquiera de estas dos ecuaciones el valor del primer término, o sea A sub 1. Escogemos la más sencilla. Entonces vamos a la expresión número 3. En ella vamos a encontrar el valor de A sub 1. Será 20 menos el valor que encontramos para D, o sea 12. Tenemos entonces que A sub 1 es igual a 8. Y así encontramos el primer término de la progresión aritmética. Con esta información ya podemos averiguar el décimo término. Simplemente vamos a esta expresión y donde está la N escribimos el número 10. Y también vamos reemplazando los demás componentes. El primer término nos dio 8. Aquí tendremos más N que vale 10 menos 1. Y esto multiplicado por D, la diferencia común que nos dio 12. Resolvemos ahora estas operaciones. Comenzamos por lo que hay dentro del paréntesis. Tendremos A sub 10 igual a 8 más 10 menos 1, 9 que multiplica con 12. Enseguida resolvemos primero la multiplicación antes que la suma. Tendremos 8 más 9 por 12 que nos da 108. Y de allí podemos averiguar el valor de A sub 10. 8 más 108 nos da como resultado 116. Entonces así podemos decir que ya se conoce el décimo término. A sub 10 vale 116 en esa progresión aritmética. Ahora para encontrar la suma de los primeros 10 términos en esa progresión aritmética utilizamos la siguiente fórmula. S sub N será igual a N que multiplica A sub 1 más A sub N y todo esto dividido entre 2. Esta expresión nos permite hallar la suma de los N primeros términos de una progresión aritmética cuando se conoce el primer término y el último de ellos. En este caso como queremos averiguar S sub 10 necesitamos el décimo término y ya lo encontramos. Es 116. En ese caso lo que hacemos es cambiar N por el número 10. Tendremos S sub 10 igual a 10 que multiplica a A sub 1 más A sub 10 y todo esto dividido entre 2. Conocemos A sub 1 que es 8. Entonces tendremos S sub 10 igual a 10 que multiplica con 8 más A sub 10 que nos dio 116 y todo esto estará dividido entre 2. Aquí podemos simplificar estos dos números. Tenemos mitad de 2 que es 1 y la mitad de 10 que es 5. Entonces tendremos que S sub 10 va a ser igual a 5 que multiplica al resultado de esta suma. 8 más 116 nos da 124 y efectuando esa multiplicación tenemos como resultado 620. De esa manera ya conocemos el otro dato que nos preguntaban en este problema. La suma de los primeros 10 términos de esa progresión aritmética es 620 y de esa manera hemos terminado este ejercicio. Aquí tenemos las dos respuestas.
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