GRÁFICA, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN A TROZOS
#julioprofe explica cómo construir la gráfica y cómo determinar el dominio y el rango de una función a trozos o definida por partes.

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 En este ejercicio vamos a construir la gráfica de esta función y vamos a determinar también su dominio y su rango. Esta se llama una función a trozos o también una función definida por partes. Tiene tres componentes, vamos a numerarlos y vamos a identificar cada uno de ellos. El primer componente es una función cuadrática pero tiene una restricción. Entonces en realidad es una parte de esa parábola o de esa función cuadrática la que será parte de la función f de x. El segundo componente es una función lineal pero también está restringida a este conjunto. Y la tercera es una función constante también restringida a los valores de x mayores que uno. En seguida vamos a obtener puntos para cada componente de la función. De modo que con esos puntos podamos construir la gráfica en el plano cartesiano. Vamos con el primer componente, entonces hacemos una tabla de valores para esa función. Valores de x y valores de y que están determinados por esta función, x al cuadrado más 2x. Al momento de escoger los valores de x debemos tener en cuenta esta condición, no podemos pasarla por alto. Entonces vamos a seleccionar valores de x menores o iguales que menos 1. Iniciamos justamente en menos 1 y empezamos a movernos en el eje de x hacia la izquierda de menos 1. Por ejemplo, menos 2 puede ser menos 3 y también menos 4. Recordemos que como es una función cuadrática será una curva, entonces entre más puntos tengamos será mejor. Evaluamos cada uno de estos números aquí en la función para obtener los valores de y. Comencemos con menos 1, si x vale menos 1 aquí tenemos menos 1 al cuadrado que nos da 1. Y aquí 2 por menos 1 nos da menos 2, 1 menos 2 nos da menos 1. Vamos con menos 2, menos 2 al cuadrado nos da 4 y 2 por menos 2 nos da menos 4. 4 menos 4 nos dará 0. Vamos con menos 3, menos 3 al cuadrado nos da 9 positivo y 2 por menos 3 nos da menos 6. 9 menos 6 nos da 3. Y con menos 4 tenemos, menos 4 al cuadrado es 16 y 2 por menos 4 nos da menos 8. 16 menos 8 nos da 8. Para el caso del punto donde inicia esa parte de la parábola que es cuando x toma el valor menos 1, tenemos que ese punto va cerrado en la gráfica. Esto porque aquí tenemos x menor o igual que menos 1. Entonces cuando x vale menos 1 el punto va incluido en la gráfica, hace parte de ella. Por lo tanto se representa como punto cerrado. Vamos ahora con el segundo componente. Vamos a hacerlo por aquí. Se trata de la función y igual a x. Entonces hacemos la tabla de valores. Por acá tenemos y que equivale a x. Esta es una función lineal llamada función idéntica. Se llama así porque los valores de y son idénticos a los de x. Entonces los valores que vamos a escoger que solamente son necesarios 2 porque se trata de una recta, pueden ser entonces justamente donde empieza y donde termina. Entonces escogemos menos 1 y 1. Como y es igual a x, entonces para x igual a menos 1, y vale menos 1. Y para x igual a 1, entonces y vale 1. Con esos dos puntos será suficiente para representar esta parte de la función lineal. Para el caso de menos 1 vemos que aquí no se incluye. Entonces este punto se representa como punto abierto. Y para el caso del 1 vemos que si se incluye, entonces tendremos punto cerrado. Vamos ahora con la tercera función, el tercer componente que es la función constante. En este caso hacemos la tabla de valores. Entonces tenemos x y aquí y que todo el tiempo vale menos 1. Por eso se llama función constante porque y todo el tiempo permanece fijo en ese valor. Dice que x puede tomar valores mayores que 1. A pesar de que el 1 no hace parte de ese conjunto, lo podemos tomar para saber en qué punto inicia. Y tomamos otro número más adelante del 1. Puede ser el 2, puede ser el 3. Vamos a tomar el 3 para que no quede tan cercano al 1. Para el caso de x igual a 1 lleva-le menos 1 y para el caso de 3 lleva-le también menos 1 por ser función constante. Como el valor 1 no se toma aquí, no es incluido, entonces el punto que corresponde a ese valor de x se representa con bolita sin llenar. Es un punto abierto. Ahora dibujamos un plano cartesiano y vamos a representar en él los puntos que obtuvimos. Comenzamos con el primer componente. Vamos con el punto (-1,-1), que queda localizado por aquí. Y como dijimos ese punto va cerrado. Vamos con el punto (-2,0), que sería aquí. El punto (-3,3), que lo tenemos aquí. Y el punto (-4,8), que lo tenemos por aquí. Entonces estos puntos nos van a formar la porción de parábola que corresponde al primer componente. Allí podemos observar la curva y aquí podemos dibujarle flecha porque ella continúa hacia la izquierda. Para valores de x menores o iguales que menos 1. La parábola se extiende hacia la izquierda. En seguida vamos con los puntos del componente 2, de la función lineal. El punto (-1,-1), que es exactamente aquí, lo vamos a representar con bolita abierta. O sea, sin incluirla para esa porción de recta. Y marcamos el punto (-1,1), que lo tenemos por aquí, con bolita cerrada. Allí tenemos el segmento de recta que une esos dos puntos. Tenemos entonces graficado el componente 2. Vamos ahora con los puntos del componente 3, de la función constante. Marcamos el punto (-1,-1), que es abierto y que nos queda aquí. Y el punto (-3,-1), que será por aquí. Unimos esos dos puntos con un tramo de recta horizontal y así tenemos graficado el componente 3. Es decir, la porción de función constante. Habiendo construido la gráfica de esta función a trozos en el plano cartesiano, entonces ya podemos determinar su dominio y su rango. Para el dominio vamos a imaginar que una lámpara colocada aquí en la parte superior ilumina hacia abajo, en dirección vertical hacia abajo. Y entonces vamos a determinar la sombra que esta gráfica nos proyecta en el eje X. Esta parte de la parabola, esta curva de aquí, nos proyectaría sombra en el eje X, desde (-2,-∞). Vamos entonces a repintar esa zona, representando la sombra. La flecha de la curva que indica que se extiende en esa dirección, entonces hace que la sombra también se propague hacia la izquierda, desde (-2,-∞). Esta parte de aquí no nos proyectaría sombra en el eje X, estando la lámpara colocada en la parte superior. Esta parte de la recta si nos proyecta sombra en el eje X, sería esta porción de aquí, es decir, entre 0 y 1. Por aquí no tenemos más gráfica, entonces esta parte del eje X quedaría alumbrada por la luz. Ahora imaginamos que la lámpara se coloca en la parte de abajo, iluminando en dirección vertical hacia arriba. Esto con el fin de buscar nuevos aportes de sombra en el eje X. Entonces es allí cuando esta parte de la gráfica nos oscurece la porción comprendida entre 0 y (-2). Esto nos hace sombra en el eje X al recibir la luz de abajo hacia arriba. Y lo mismo sucede con este tramo recto. Al recibir la luz de abajo hacia arriba nos proyecta sombra en el eje X, que iría desde 1 hasta más infinito. Al final, la zona del eje X que queda a oscuras por efecto de la sombra será el dominio de la función. Como observamos, todo el eje X quedó a oscuras, entonces decimos que el dominio de esta función son los X que pertenecen al conjunto de los números reales. Esto también se podría verificar haciendo la unión de estos tres conjuntos. Si en una recta representamos estos tres intervalos, vemos que toda la recta queda cubierta por esos tres conjuntos. Eso quiere decir que todos los números reales están participando para esa función, para los valores de la variable X. Se confirma entonces que el dominio son todos los reales. Ahora vamos a determinar el rango de la función. Para ello vamos a imaginar que la lámpara ahora nos alumbra en dirección horizontal, de izquierda a derecha. Vamos a imaginar que está a este lado y vamos a mirar la sombra que la gráfica proyectaría en el eje Y. La zona que quede a oscuras en el eje Y será el rango de la función, porque quiere decir que son los valores del eje Y que están participando en la misma. Entonces veamos, si la luz llega de izquierda a derecha, toda esta parte de la curva nos proyecta sombra desde menos uno hacia más infinito. Vamos entonces a repintar toda esta zona, representando la sombra que proyecta la gráfica en el eje Y. Como tiene flecha hacia arriba, entonces la sombra también se extenderá hacia arriba. Ahora trasladamos la lámpara a este lado, alumbrando de derecha a izquierda, para ver que nuevos aportes de sombra tenemos en el eje Y. Vemos que esta parte de la recta oscurecería una zona que ya está a oscuras, o sea que no hay aporte nuevo de sombras. Y esta parte de la recta proyectaría un punto, por tratarse de una recta horizontal, el punto correspondiente a Y igual a menos uno. Pero ya estaba oscurecido por la sombra que proyectaba esta curva desde el lado izquierdo. En definitiva, la zona que queda oscura en el eje Y es la que va desde menos uno hacia más infinito, y eso representa el rango de la función. Podemos escribirlo como los valores de Y mayores o iguales que menos uno, o también los Y que pertenecen al intervalo que va desde menos uno cerrado hasta más infinito abierto. Se puede dar de las dos formas. Bien, con esto terminamos este ejercicio. Hemos tomado una función a trozos que nos dieron, hemos construido su gráfica y a partir de ella se ha determinado su dominio y su rango.
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1."}, {"start": 262.0, "end": 268.0, "text": " Con esos dos puntos ser\u00e1 suficiente para representar esta parte de la funci\u00f3n lineal."}, {"start": 268.0, "end": 272.0, "text": " Para el caso de menos 1 vemos que aqu\u00ed no se incluye."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " Entonces este punto se representa como punto abierto."}, {"start": 276.0, "end": 284.0, "text": " Y para el caso del 1 vemos que si se incluye, entonces tendremos punto cerrado."}, {"start": 284.0, "end": 293.0, "text": " Vamos ahora con la tercera funci\u00f3n, el tercer componente que es la funci\u00f3n constante."}, {"start": 293.0, "end": 298.0, "text": " En este caso hacemos la tabla de valores."}, {"start": 298.0, "end": 304.0, "text": " Entonces tenemos x y aqu\u00ed y que todo el tiempo vale menos 1."}, {"start": 304.0, "end": 311.0, "text": " Por eso se llama funci\u00f3n constante porque y todo el tiempo permanece fijo en ese valor."}, {"start": 311.0, "end": 314.0, "text": " Dice que x puede tomar valores mayores que 1."}, {"start": 314.0, "end": 322.0, "text": " A pesar de que el 1 no hace parte de ese conjunto, lo podemos tomar para saber en qu\u00e9 punto inicia."}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " Y tomamos otro n\u00famero m\u00e1s adelante del 1."}, {"start": 326.0, "end": 328.0, "text": " Puede ser el 2, puede ser el 3."}, {"start": 328.0, "end": 333.0, "text": " Vamos a tomar el 3 para que no quede tan cercano al 1."}, {"start": 333.0, "end": 344.0, "text": " Para el caso de x igual a 1 lleva-le menos 1 y para el caso de 3 lleva-le tambi\u00e9n menos 1 por ser funci\u00f3n constante."}, {"start": 344.0, "end": 356.0, "text": " Como el valor 1 no se toma aqu\u00ed, no es incluido, entonces el punto que corresponde a ese valor de x se representa con bolita sin llenar."}, {"start": 356.0, "end": 359.0, "text": " Es un punto abierto."}, {"start": 359.0, "end": 366.0, "text": " Ahora dibujamos un plano cartesiano y vamos a representar en \u00e9l los puntos que obtuvimos."}, {"start": 366.0, "end": 369.0, "text": " Comenzamos con el primer componente."}, {"start": 369.0, "end": 374.0, "text": " Vamos con el punto (-1,-1), que queda localizado por aqu\u00ed."}, {"start": 374.0, "end": 377.0, "text": " Y como dijimos ese punto va cerrado."}, {"start": 377.0, "end": 381.0, "text": " Vamos con el punto (-2,0), que ser\u00eda aqu\u00ed."}, {"start": 381.0, "end": 386.0, "text": " El punto (-3,3), que lo tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 386.0, "end": 392.0, "text": " Y el punto (-4,8), que lo tenemos por aqu\u00ed."}, {"start": 392.0, "end": 401.0, "text": " Entonces estos puntos nos van a formar la porci\u00f3n de par\u00e1bola que corresponde al primer componente."}, {"start": 401.0, "end": 409.0, "text": " All\u00ed podemos observar la curva y aqu\u00ed podemos dibujarle flecha porque ella contin\u00faa hacia la izquierda."}, {"start": 409.0, "end": 413.0, "text": " Para valores de x menores o iguales que menos 1."}, {"start": 413.0, "end": 418.0, "text": " La par\u00e1bola se extiende hacia la izquierda."}, {"start": 418.0, "end": 424.0, "text": " En seguida vamos con los puntos del componente 2, de la funci\u00f3n lineal."}, {"start": 424.0, "end": 432.0, "text": " El punto (-1,-1), que es exactamente aqu\u00ed, lo vamos a representar con bolita abierta."}, {"start": 432.0, "end": 437.0, "text": " O sea, sin incluirla para esa porci\u00f3n de recta."}, {"start": 437.0, "end": 445.0, "text": " Y marcamos el punto (-1,1), que lo tenemos por aqu\u00ed, con bolita cerrada."}, {"start": 445.0, "end": 450.0, "text": " All\u00ed tenemos el segmento de recta que une esos dos puntos."}, {"start": 450.0, "end": 454.0, "text": " Tenemos entonces graficado el componente 2."}, {"start": 454.0, "end": 459.0, "text": " Vamos ahora con los puntos del componente 3, de la funci\u00f3n constante."}, {"start": 459.0, "end": 467.0, "text": " Marcamos el punto (-1,-1), que es abierto y que nos queda aqu\u00ed."}, {"start": 467.0, "end": 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aqu\u00ed, nos proyectar\u00eda sombra en el eje X,"}, {"start": 523.0, "end": 527.0, "text": " desde (-2,-\u221e)."}, {"start": 527.0, "end": 535.0, "text": " Vamos entonces a repintar esa zona, representando la sombra."}, {"start": 535.0, "end": 541.0, "text": " La flecha de la curva que indica que se extiende en esa direcci\u00f3n,"}, {"start": 541.0, "end": 550.0, "text": " entonces hace que la sombra tambi\u00e9n se propague hacia la izquierda, desde (-2,-\u221e)."}, {"start": 550.0, "end": 558.0, "text": " Esta parte de aqu\u00ed no nos proyectar\u00eda sombra en el eje X, estando la l\u00e1mpara colocada en la parte superior."}, {"start": 558.0, "end": 570.0, "text": " Esta parte de la recta si nos proyecta sombra en el eje X, ser\u00eda esta porci\u00f3n de aqu\u00ed, es decir, entre 0 y 1."}, {"start": 570.0, "end": 578.0, "text": " Por aqu\u00ed no tenemos m\u00e1s gr\u00e1fica, entonces esta parte del eje X quedar\u00eda alumbrada por la luz."}, {"start": 578.0, "end": 586.0, "text": " Ahora imaginamos que la l\u00e1mpara se coloca en la parte de abajo, iluminando en direcci\u00f3n vertical hacia arriba."}, {"start": 586.0, "end": 591.0, "text": " Esto con el fin de buscar nuevos aportes de sombra en el eje X."}, {"start": 591.0, "end": 600.0, "text": " Entonces es all\u00ed cuando esta parte de la gr\u00e1fica nos oscurece la porci\u00f3n comprendida entre 0 y (-2)."}, {"start": 600.0, "end": 606.0, "text": " Esto nos hace sombra en el eje X al recibir la luz de abajo hacia arriba."}, {"start": 606.0, "end": 609.0, "text": " Y lo mismo sucede con este tramo recto."}, {"start": 609.0, "end": 620.0, "text": " Al recibir la luz de abajo hacia arriba nos proyecta sombra en el eje X, que ir\u00eda desde 1 hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 620.0, "end": 629.0, "text": " Al final, la zona del eje X que queda a oscuras por efecto de la sombra ser\u00e1 el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 629.0, "end": 637.0, "text": " Como observamos, todo el eje X qued\u00f3 a oscuras, entonces decimos que el dominio de esta funci\u00f3n son los X que pertenecen"}, {"start": 637.0, "end": 642.0, "text": " al conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 642.0, "end": 648.0, "text": " Esto tambi\u00e9n se podr\u00eda verificar haciendo la uni\u00f3n de estos tres conjuntos."}, {"start": 648.0, "end": 657.0, "text": " Si en una recta representamos estos tres intervalos, vemos que toda la recta queda cubierta por esos tres conjuntos."}, {"start": 657.0, "end": 666.0, "text": " Eso quiere decir que todos los n\u00fameros reales est\u00e1n participando para esa funci\u00f3n, para los valores de la variable X."}, {"start": 666.0, "end": 670.0, "text": " Se confirma entonces que el dominio son todos los reales."}, {"start": 670.0, "end": 676.0, "text": " Ahora vamos a determinar el rango de la funci\u00f3n."}, {"start": 676.0, "end": 686.0, "text": " Para ello vamos a imaginar que la l\u00e1mpara ahora nos alumbra en direcci\u00f3n horizontal, de izquierda a derecha."}, {"start": 686.0, "end": 694.0, "text": " Vamos a imaginar que est\u00e1 a este lado y vamos a mirar la sombra que la gr\u00e1fica proyectar\u00eda en el eje Y."}, {"start": 694.0, "end": 702.0, "text": " La zona que quede a oscuras en el eje Y ser\u00e1 el rango de la funci\u00f3n, porque quiere decir que son los valores del eje Y"}, {"start": 702.0, "end": 705.0, "text": " que est\u00e1n participando en la misma."}, {"start": 705.0, "end": 716.0, "text": " Entonces veamos, si la luz llega de izquierda a derecha, toda esta parte de la curva nos proyecta sombra desde menos uno hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 716.0, "end": 726.0, "text": " Vamos entonces a repintar toda esta zona, representando la sombra que proyecta la gr\u00e1fica en el eje Y."}, {"start": 726.0, "end": 734.0, "text": " Como tiene flecha hacia arriba, entonces la sombra tambi\u00e9n se extender\u00e1 hacia arriba."}, {"start": 734.0, "end": 745.0, "text": " Ahora trasladamos la l\u00e1mpara a este lado, alumbrando de derecha a izquierda, para ver que nuevos aportes de sombra tenemos en el eje Y."}, {"start": 745.0, "end": 755.0, "text": " Vemos que esta parte de la recta oscurecer\u00eda una zona que ya est\u00e1 a oscuras, o sea que no hay aporte nuevo de sombras."}, {"start": 755.0, "end": 765.0, "text": " Y esta parte de la recta proyectar\u00eda un punto, por tratarse de una recta horizontal, el punto correspondiente a Y igual a menos uno."}, {"start": 765.0, "end": 773.0, "text": " Pero ya estaba oscurecido por la sombra que proyectaba esta curva desde el lado izquierdo."}, {"start": 773.0, "end": 783.0, "text": " En definitiva, la zona que queda oscura en el eje Y es la que va desde menos uno hacia m\u00e1s infinito, y eso representa el rango de la funci\u00f3n."}, {"start": 783.0, "end": 797.0, "text": " Podemos escribirlo como los valores de Y mayores o iguales que menos uno, o tambi\u00e9n los Y que pertenecen al intervalo que va desde menos uno cerrado hasta m\u00e1s infinito abierto."}, {"start": 797.0, "end": 801.0, "text": " Se puede dar de las dos formas."}, {"start": 801.0, "end": 817.0, "text": " Bien, con esto terminamos este ejercicio. Hemos tomado una funci\u00f3n a trozos que nos dieron, hemos construido su gr\u00e1fica y a partir de ella se ha determinado su dominio y su rango."}]