EC. DIF. POR VARIABLES SEPARABLES - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo hallar la solución particular de una ecuación diferencial de variables separables.

Tema: #EcuacionesDiferenciales → 
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 Para esta ecuación diferencial que nos dan con condición inicial, vamos a determinar su solución particular. Comenzamos cambiando y' por dy dx. Y en el lado derecho vamos a realizar la factorización de esta expresión. Inicialmente revisamos si hay factor común, vemos que no es así, pero podemos realizar lo que se llama agrupación de términos. Agrupamos los dos primeros, nos queda xy más x, encerrados con paréntesis, y hacemos la agrupación de los dos últimos. Aquí nos queda 2y más 2. Se produce el cambio de este signo porque por fuera del paréntesis queda signo negativo. Ahora en el primer paréntesis podemos extraer como factor común la letra x, que se repite en esos dos términos. Sale la x y nos queda dentro del paréntesis y más 1. Vamos al siguiente grupo que formamos, aquí se repite el número 2, podemos extraerlo como factor común y nos queda dentro del paréntesis y más 1. Ahora nos quedan dos términos donde se repite y más 1, esa expresión será ahora el nuevo factor común. Entonces sale y más 1, la expresión que se repite en los dos términos y nos queda dentro del paréntesis x menos 2. Y de esa manera hemos factorizado esta expresión. A continuación podemos pasar de x que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces nos queda en el lado izquierdo de y y en el lado derecho lo que teníamos, y más 1 por x menos 2 y todo esto queda multiplicando con dx. En esta etapa del ejercicio ya podemos efectuar lo que se llama la separación de variables. Podemos trasladar este componente y más 1 al lado izquierdo. Como acá está multiplicando, llega al otro lado a dividir. Nos queda de y sobre y más 1. Cuando llega a este lado desaparecen los paréntesis y a este lado dejamos x menos 2 con su diferencial de x. Entonces como decíamos se tiene allí lo que es una ecuación diferencial que se resuelve por separación de variables. Lo que hacemos a continuación es integrar ambos lados de esta igualdad. En el lado izquierdo nos queda la integral de de y sobre y más 1 y en el lado derecho tendremos la integral de x menos 2 con su correspondiente diferencial de x. Para resolver la integral que tenemos en el lado izquierdo se puede utilizar el siguiente modelo. La integral de du sobre u más 1 constante a que es lo mismo que tener la integral de 1 sobre u más a. Poco esto con el diferencial de u esto será igual al logaritmo natural de lo que tenemos acá en el denominador, es decir u más a. Recordemos que la derivada del logaritmo natural de u más a será colocar una fracción en el denominador, esto que tenemos en el argumento, es decir u más a y en el numerador la derivada de lo que tenemos abajo. La derivada de esto con respecto a u será 1 porque a es una constante y su derivada es 0. Entonces, siguiendo este modelo vemos que la letra y actúa como la variable u y este 1 actúa como a. Entonces la integral nos queda logaritmo natural de y que reemplaza a la u más 1 que reemplaza a la letra a y en el lado derecho hacemos la integral de x menos 2 es una integral directa, integramos x que nos da x al cuadrado sobre 2 menos la integral de 2 que es 2x y aparece la constante de integración, la constante c para todo el ejercicio. Allí ya empieza a conformarse la expresión que corresponde a la solución general de la ecuación diferencial, pero podemos transformar esa expresión de la siguiente manera, podemos colocar base e, o sea número de Euler a ambos lados, en el lado izquierdo nos queda e elevado al logaritmo natural de y más 1 y en el lado derecho nos queda e elevado a la expresión x al cuadrado sobre 2 menos 2x y todo esto más c. En el lado izquierdo podemos aplicar la siguiente propiedad, si tenemos a elevada al logaritmo en base a de cualquier cantidad que vamos a representar con una manzanita, todo esto es igual a manzanita porque aquí se produce la interacción de dos operaciones contrarias, la potenciación con la logaritmación y por lo tanto se libera esto que tenemos acá que está representado por la manzanita. Si cambiamos a por el número de Euler, por el número e nos queda e elevado al logaritmo en base e de manzanita y por lo tanto esto es igual a manzanita, pero recordemos que el logaritmo en la base e es el mismo logaritmo natural o logaritmo neperiano, entonces esto nos va a producir como resultado manzanita, es la situación que tenemos acá, e elevado al logaritmo natural de manzanita que está representado por y más 1 será igual a manzanita que es y más 1. Y en el lado derecho aplicamos otra propiedad pero esta vez de la potenciación, recordemos que si se presenta el producto de potencias de la misma base se debe conservar la base y se suman los exponentes, de igual forma si detectamos una expresión como esta donde tenemos suma de exponentes como aquí, entonces podemos llevar eso a esta forma, es decir a un producto de potencias con la misma base, eso vamos a hacerlo en esta expresión, nos queda e elevado a x al cuadrado sobre 2 menos 2x y todo esto multiplicado por e a la c, entonces todo esto hace el papel de n y c hace el papel de m. Podemos que el número de Euler es una constante matemática y si esa cantidad se eleva a otra constante entonces vamos a tener como resultado una nueva cantidad que también es constante, podemos llamar todo esto simplemente como una letra c, entonces esto nos va a quedar y más 1 igual a c, la nueva constante que multiplica con toda esta expresión, el número de Euler elevado a x al cuadrado sobre 2 menos 2x. Allí hemos obtenido la expresión que corresponde a la solución general de la ecuación diferencial que como decíamos es de variables separables, toda esta expresión la vamos a etiquetar con el número 1 y a continuación vamos a utilizar la condición inicial que nos dan para poder encontrar el valor de c y de esa manera conformar la expresión que corresponde a la solución particular. Nos dice que y de cero es igual a 1, ese cero actúa como x, entonces la condición inicial nos dice que si x es igual a cero, aquí lo tenemos, el valor de y es 1, entonces vamos a reemplazar esta información en la expresión número 1, acá donde está la y entra el 1, esto queda más 1 igual a la constante c, la constante que desconocemos por el número de Euler elevado a esa expresión donde x va a tomar el valor cero, entonces hacemos el reemplazo de x por ese número. En el lado izquierdo esto nos da como resultado 2 y en el lado derecho tenemos todo esto que equivale a cero, el número de Euler elevado al exponente cero nos dará como resultado 1 y 1 por c es igual a c, por lo tanto la constante c equivale a 2. Ahora reemplazando este valor acá en la solución general, es decir donde tenemos c va el número 2 y haciendo el despeje de la variable y, tendremos lo siguiente, y es igual a 2 por el número de Euler elevado a la expresión x al cuadrado sobre 2 menos 2x y todo esto menos 1, este número que está sumando pasa al otro lado a restar y de esta forma hemos obtenido la expresión correspondiente a la solución particular de la ecuación diferencial que está sujeta a esta condición inicial. Como se observa aquí tenemos la expresión en su forma explícita, es decir con la letra y en términos de x. Así terminamos este ejercicio.
[{"start": 0.0, "end": 9.68, "text": " Para esta ecuaci\u00f3n diferencial que nos dan con condici\u00f3n inicial, vamos a determinar"}, {"start": 9.68, "end": 12.44, "text": " su soluci\u00f3n particular."}, {"start": 12.44, "end": 18.080000000000002, "text": " Comenzamos cambiando y' por dy dx."}, {"start": 18.080000000000002, "end": 24.16, "text": " Y en el lado derecho vamos a realizar la factorizaci\u00f3n de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 24.16, "end": 30.12, "text": " Inicialmente revisamos si hay factor com\u00fan, vemos que no es as\u00ed, pero podemos realizar"}, {"start": 30.12, "end": 33.480000000000004, "text": " lo que se llama agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 33.480000000000004, "end": 40.519999999999996, "text": " Agrupamos los dos primeros, nos queda xy m\u00e1s x, encerrados con par\u00e9ntesis, y hacemos la"}, {"start": 40.519999999999996, "end": 42.68, "text": " agrupaci\u00f3n de los dos \u00faltimos."}, {"start": 42.68, "end": 46.519999999999996, "text": " Aqu\u00ed nos queda 2y m\u00e1s 2."}, {"start": 46.519999999999996, "end": 53.2, "text": " Se produce el cambio de este signo porque por fuera del par\u00e9ntesis queda signo negativo."}, {"start": 53.2, "end": 60.6, "text": " Ahora en el primer par\u00e9ntesis podemos extraer como factor com\u00fan la letra x, que se repite"}, {"start": 60.6, "end": 62.84, "text": " en esos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 62.84, "end": 67.92, "text": " Sale la x y nos queda dentro del par\u00e9ntesis y m\u00e1s 1."}, {"start": 67.92, "end": 73.28, "text": " Vamos al siguiente grupo que formamos, aqu\u00ed se repite el n\u00famero 2, podemos extraerlo"}, {"start": 73.28, "end": 78.68, "text": " como factor com\u00fan y nos queda dentro del par\u00e9ntesis y m\u00e1s 1."}, {"start": 78.68, "end": 85.96000000000001, "text": " Ahora nos quedan dos t\u00e9rminos donde se repite y m\u00e1s 1, esa expresi\u00f3n ser\u00e1 ahora el nuevo"}, {"start": 85.96000000000001, "end": 87.4, "text": " factor com\u00fan."}, {"start": 87.4, "end": 94.28, "text": " Entonces sale y m\u00e1s 1, la expresi\u00f3n que se repite en los dos t\u00e9rminos y nos queda"}, {"start": 94.28, "end": 98.72, "text": " dentro del par\u00e9ntesis x menos 2."}, {"start": 98.72, "end": 104.04, "text": " Y de esa manera hemos factorizado esta expresi\u00f3n."}, {"start": 104.04, "end": 110.04, "text": " A continuaci\u00f3n podemos pasar de x que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 110.04, "end": 116.64, "text": " Entonces nos queda en el lado izquierdo de y y en el lado derecho lo que ten\u00edamos, y"}, {"start": 116.64, "end": 126.08000000000001, "text": " m\u00e1s 1 por x menos 2 y todo esto queda multiplicando con dx."}, {"start": 126.08000000000001, "end": 132.96, "text": " En esta etapa del ejercicio ya podemos efectuar lo que se llama la separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 132.96, "end": 137.56, "text": " Podemos trasladar este componente y m\u00e1s 1 al lado izquierdo."}, {"start": 137.56, "end": 142.84, "text": " Como ac\u00e1 est\u00e1 multiplicando, llega al otro lado a dividir."}, {"start": 142.84, "end": 146.12, "text": " Nos queda de y sobre y m\u00e1s 1."}, {"start": 146.12, "end": 156.36, "text": " Cuando llega a este lado desaparecen los par\u00e9ntesis y a este lado dejamos x menos 2 con su diferencial"}, {"start": 156.36, "end": 157.36, "text": " de x."}, {"start": 157.36, "end": 163.36, "text": " Entonces como dec\u00edamos se tiene all\u00ed lo que es una ecuaci\u00f3n diferencial que se resuelve"}, {"start": 163.36, "end": 166.04000000000002, "text": " por separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 166.04000000000002, "end": 171.4, "text": " Lo que hacemos a continuaci\u00f3n es integrar ambos lados de esta igualdad."}, {"start": 171.4, "end": 179.82000000000002, "text": " En el lado izquierdo nos queda la integral de de y sobre y m\u00e1s 1 y en el lado derecho"}, {"start": 179.82, "end": 189.12, "text": " tendremos la integral de x menos 2 con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 189.12, "end": 195.06, "text": " Para resolver la integral que tenemos en el lado izquierdo se puede utilizar el siguiente"}, {"start": 195.06, "end": 196.54, "text": " modelo."}, {"start": 196.54, "end": 205.32, "text": " La integral de du sobre u m\u00e1s 1 constante a que es lo mismo que tener la integral de"}, {"start": 205.32, "end": 209.26, "text": " 1 sobre u m\u00e1s a."}, {"start": 209.26, "end": 215.89999999999998, "text": " Poco esto con el diferencial de u esto ser\u00e1 igual al logaritmo natural de lo que tenemos"}, {"start": 215.89999999999998, "end": 219.88, "text": " ac\u00e1 en el denominador, es decir u m\u00e1s a."}, {"start": 219.88, "end": 226.23999999999998, "text": " Recordemos que la derivada del logaritmo natural de u m\u00e1s a ser\u00e1 colocar una fracci\u00f3n en"}, {"start": 226.23999999999998, "end": 232.78, "text": " el denominador, esto que tenemos en el argumento, es decir u m\u00e1s a y en el numerador la derivada"}, {"start": 232.78, "end": 234.44, "text": " de lo que tenemos abajo."}, {"start": 234.44, "end": 240.88, "text": " La derivada de esto con respecto a u ser\u00e1 1 porque a es una constante y su derivada"}, {"start": 240.88, "end": 241.88, "text": " es 0."}, {"start": 241.88, "end": 248.88, "text": " Entonces, siguiendo este modelo vemos que la letra y act\u00faa como la variable u y este"}, {"start": 248.88, "end": 251.0, "text": " 1 act\u00faa como a."}, {"start": 251.0, "end": 262.15999999999997, "text": " Entonces la integral nos queda logaritmo natural de y que reemplaza a la u m\u00e1s 1 que reemplaza"}, {"start": 262.16, "end": 270.64000000000004, "text": " a la letra a y en el lado derecho hacemos la integral de x menos 2 es una integral directa,"}, {"start": 270.64000000000004, "end": 279.20000000000005, "text": " integramos x que nos da x al cuadrado sobre 2 menos la integral de 2 que es 2x y aparece"}, {"start": 279.20000000000005, "end": 285.28000000000003, "text": " la constante de integraci\u00f3n, la constante c para todo el ejercicio."}, {"start": 285.28000000000003, "end": 291.1, "text": " All\u00ed ya empieza a conformarse la expresi\u00f3n que corresponde a la soluci\u00f3n general de"}, {"start": 291.1, "end": 297.96000000000004, "text": " la ecuaci\u00f3n diferencial, pero podemos transformar esa expresi\u00f3n de la siguiente manera, podemos"}, {"start": 297.96000000000004, "end": 306.38, "text": " colocar base e, o sea n\u00famero de Euler a ambos lados, en el lado izquierdo nos queda e elevado"}, {"start": 306.38, "end": 314.18, "text": " al logaritmo natural de y m\u00e1s 1 y en el lado derecho nos queda e elevado a la expresi\u00f3n"}, {"start": 314.18, "end": 322.04, "text": " x al cuadrado sobre 2 menos 2x y todo esto m\u00e1s c."}, {"start": 322.04, "end": 329.02, "text": " En el lado izquierdo podemos aplicar la siguiente propiedad, si tenemos a elevada al logaritmo"}, {"start": 329.02, "end": 335.24, "text": " en base a de cualquier cantidad que vamos a representar con una manzanita, todo esto"}, {"start": 335.24, "end": 341.8, "text": " es igual a manzanita porque aqu\u00ed se produce la interacci\u00f3n de dos operaciones contrarias,"}, {"start": 341.8, "end": 347.58, "text": " la potenciaci\u00f3n con la logaritmaci\u00f3n y por lo tanto se libera esto que tenemos ac\u00e1 que"}, {"start": 347.58, "end": 350.54, "text": " est\u00e1 representado por la manzanita."}, {"start": 350.54, "end": 357.36, "text": " Si cambiamos a por el n\u00famero de Euler, por el n\u00famero e nos queda e elevado al logaritmo"}, {"start": 357.36, "end": 366.0, "text": " en base e de manzanita y por lo tanto esto es igual a manzanita, pero recordemos que"}, {"start": 366.0, "end": 375.14, "text": " el logaritmo en la base e es el mismo logaritmo natural o logaritmo neperiano, entonces esto"}, {"start": 375.14, "end": 381.62, "text": " nos va a producir como resultado manzanita, es la situaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1, e elevado"}, {"start": 381.62, "end": 388.58, "text": " al logaritmo natural de manzanita que est\u00e1 representado por y m\u00e1s 1 ser\u00e1 igual a manzanita"}, {"start": 388.58, "end": 391.0, "text": " que es y m\u00e1s 1."}, {"start": 391.0, "end": 397.3, "text": " Y en el lado derecho aplicamos otra propiedad pero esta vez de la potenciaci\u00f3n, recordemos"}, {"start": 397.3, "end": 405.02, "text": " que si se presenta el producto de potencias de la misma base se debe conservar la base"}, {"start": 405.02, "end": 411.62, "text": " y se suman los exponentes, de igual forma si detectamos una expresi\u00f3n como esta donde"}, {"start": 411.62, "end": 418.4, "text": " tenemos suma de exponentes como aqu\u00ed, entonces podemos llevar eso a esta forma, es decir"}, {"start": 418.4, "end": 425.32, "text": " a un producto de potencias con la misma base, eso vamos a hacerlo en esta expresi\u00f3n, nos"}, {"start": 425.32, "end": 436.46, "text": " queda e elevado a x al cuadrado sobre 2 menos 2x y todo esto multiplicado por e a la c,"}, {"start": 436.46, "end": 442.67999999999995, "text": " entonces todo esto hace el papel de n y c hace el papel de m."}, {"start": 442.68, "end": 448.58, "text": " Podemos que el n\u00famero de Euler es una constante matem\u00e1tica y si esa cantidad se eleva a"}, {"start": 448.58, "end": 454.92, "text": " otra constante entonces vamos a tener como resultado una nueva cantidad que tambi\u00e9n"}, {"start": 454.92, "end": 462.7, "text": " es constante, podemos llamar todo esto simplemente como una letra c, entonces esto nos va a quedar"}, {"start": 462.7, "end": 471.76, "text": " y m\u00e1s 1 igual a c, la nueva constante que multiplica con toda esta expresi\u00f3n, el n\u00famero"}, {"start": 471.76, "end": 479.42, "text": " de Euler elevado a x al cuadrado sobre 2 menos 2x."}, {"start": 479.42, "end": 486.06, "text": " All\u00ed hemos obtenido la expresi\u00f3n que corresponde a la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n diferencial"}, {"start": 486.06, "end": 493.21999999999997, "text": " que como dec\u00edamos es de variables separables, toda esta expresi\u00f3n la vamos a etiquetar con"}, {"start": 493.21999999999997, "end": 499.84, "text": " el n\u00famero 1 y a continuaci\u00f3n vamos a utilizar la condici\u00f3n inicial que nos dan para poder"}, {"start": 499.84, "end": 506.7, "text": " encontrar el valor de c y de esa manera conformar la expresi\u00f3n que corresponde a la soluci\u00f3n"}, {"start": 506.7, "end": 508.2, "text": " particular."}, {"start": 508.2, "end": 516.64, "text": " Nos dice que y de cero es igual a 1, ese cero act\u00faa como x, entonces la condici\u00f3n inicial"}, {"start": 516.64, "end": 524.16, "text": " nos dice que si x es igual a cero, aqu\u00ed lo tenemos, el valor de y es 1, entonces vamos"}, {"start": 524.16, "end": 533.6999999999999, "text": " a reemplazar esta informaci\u00f3n en la expresi\u00f3n n\u00famero 1, ac\u00e1 donde est\u00e1 la y entra el 1,"}, {"start": 533.6999999999999, "end": 541.02, "text": " esto queda m\u00e1s 1 igual a la constante c, la constante que desconocemos por el n\u00famero"}, {"start": 541.02, "end": 550.0799999999999, "text": " de Euler elevado a esa expresi\u00f3n donde x va a tomar el valor cero, entonces hacemos"}, {"start": 550.0799999999999, "end": 553.4, "text": " el reemplazo de x por ese n\u00famero."}, {"start": 553.4, "end": 560.02, "text": " En el lado izquierdo esto nos da como resultado 2 y en el lado derecho tenemos todo esto que"}, {"start": 560.02, "end": 566.0, "text": " equivale a cero, el n\u00famero de Euler elevado al exponente cero nos dar\u00e1 como resultado"}, {"start": 566.0, "end": 573.84, "text": " 1 y 1 por c es igual a c, por lo tanto la constante c equivale a 2."}, {"start": 573.84, "end": 580.96, "text": " Ahora reemplazando este valor ac\u00e1 en la soluci\u00f3n general, es decir donde tenemos c va el n\u00famero"}, {"start": 580.96, "end": 589.26, "text": " 2 y haciendo el despeje de la variable y, tendremos lo siguiente, y es igual a 2 por"}, {"start": 589.26, "end": 597.22, "text": " el n\u00famero de Euler elevado a la expresi\u00f3n x al cuadrado sobre 2 menos 2x y todo esto"}, {"start": 597.22, "end": 604.12, "text": " menos 1, este n\u00famero que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y de esta forma hemos"}, {"start": 604.12, "end": 610.5400000000001, "text": " obtenido la expresi\u00f3n correspondiente a la soluci\u00f3n particular de la ecuaci\u00f3n diferencial"}, {"start": 610.54, "end": 613.92, "text": " que est\u00e1 sujeta a esta condici\u00f3n inicial."}, {"start": 613.92, "end": 620.88, "text": " Como se observa aqu\u00ed tenemos la expresi\u00f3n en su forma expl\u00edcita, es decir con la letra"}, {"start": 620.88, "end": 623.48, "text": " y en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 623.48, "end": 640.76, "text": " As\u00ed terminamos este ejercicio."}]