82. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 3)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 82: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 3).

Se dispara un proyectil con velocidad inicial de 200 m/s y una elevación de 35° desde el borde de un acantilado, a 40 m sobre el nivel del mar. Para el proyectil determine: (a) El tiempo necesario para que llegue al punto más alto; (b) La altura máxima respecto del nivel del mar; (c) El tiempo de vuelo; (d) El alcance máximo horizontal; (e) El módulo de la velocidad cuando hace impacto en el mar. 

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Para este problema hacemos un dibujo de la trayectoria del proyectil enmarcándola en el primer cuadrante del plano cartesiano. Tenemos que el punto de disparo es el borde de un acantilado de 40 metros de altura. En este caso hacemos coincidir el eje X con el nivel del mar. Entonces este valor de aquí, es decir la posición inicial en Y será 40 metros que es la altura del acantilado. El disparo se hace con una velocidad inicial de 200 metros por segundo y con un ángulo por encima del horizontal, es decir un ángulo de elevación o ángulo de disparo de 35 grados. En el problema nos piden encontrar el tiempo necesario para que el proyectil llegue a su punto más alto, es decir lo que llamamos el tiempo de subida. Nos piden encontrar la altura máxima del proyectil con respecto al nivel del mar. Entonces se refiere a toda esta distancia, es decir lo que llamamos Y máximo. Nos piden encontrar también el tiempo de vuelo, es decir el instante de tiempo en el cual el proyectil hace contacto con el mar. Nos piden también el alcance máximo horizontal, es decir el valor de esa coordenada en el eje X que llamamos X máxima. Y también nos piden la velocidad final del proyectil, es decir cuando hace contacto con el agua y se la vamos a llamar V sub F, es decir la velocidad final. Bien, vamos a construir entonces las ecuaciones cinemáticas para este movimiento. Comenzamos por la ecuación de posición en Y, entonces anotamos el modelo y vamos a reemplazar allí la información que conocemos. Tenemos la gravedad que tomamos como 10 metros por segundo cuadrado, tenemos velocidad inicial 200 metros por segundo, el ángulo theta, el ángulo de lanzamiento que es 35 grados y la posición inicial en Y que vale 40 metros. Resolviendo todo esto nos queda Y igual a menos 5t cuadrado más 114.72t más 40. Esa será entonces la primera ecuación. Vamos a escribirla por aquí, tenemos entonces Y igual a menos 5t cuadrado más 114.72t más 40. Si hacemos la derivada de esta ecuación de posición en Y, derivada con respecto al tiempo, vamos a obtener la ecuación de velocidad en Y. Entonces, la velocidad será derivada de menos 5t cuadrado es igual a menos 10t más la derivada de este término que será 114.72t y la derivada de 40 es cero. Entonces nos queda esta como ecuación número 2, que es la ecuación de velocidad en Y. La escribimos por aquí, menos 10t más 114.72. Bien, tenemos entonces las ecuaciones 1 y 2. Ahora vamos a construir la ecuación de posición en X. Escribimos el modelo y vamos a reemplazar la información que conocemos. Velocidad inicial es 200, el valor de theta es 35 grados y el valor de X sub cero vale cero. Si en el tiempo cero, la posición en X del proyectil vale cero. Resolviendo todo esto en la calculadora nos da X igual a 163.83t. Y esta será la ecuación número 3, es decir, la ecuación de posición en X. X igual a 163.83t. Si hacemos la derivada de X con respecto al tiempo, es decir, la derivada de la posición en X con respecto al tiempo, obtendremos la velocidad en X. Esa velocidad en X nos da entonces la derivada de este término que es 163.83. Esto significa que la velocidad en X es constante en todo momento, de una vez podemos escribir sus unidades que son metros por segundo. Claro, en este tipo de problemas donde se desprecia por completo la resistencia del aire, tenemos que la componente en X de la velocidad todo el tiempo es constante. Esa es la velocidad que tenemos justamente en el punto más alto. Aquí la velocidad en X toma este valor 163.83 metros por segundo. Bien, ahora vamos con el análisis del problema. Decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida, es decir, en el punto más alto se cumple que la velocidad en Y vale cero. Si la componente vertical de la velocidad es cero en ese instante. Entonces decimos cuando el tiempo es igual a TS, tiempo de subida, la velocidad en Y vale cero. Y esta información la podemos sustituir en la ecuación número dos. Escribimos la ecuación y vamos a reemplazar allí la información que tenemos. Donde está la velocidad en Y escribimos cero y donde está el tiempo escribimos tiempo de subida. Y aquí vamos a hacer el despeje del tiempo. Pasamos este término al lado izquierdo, llega positivo y despejando TS nos queda 114.72 dividido entre 10. Eso nos da un tiempo de subida de 11.47 segundos. Y esta es la respuesta a la pregunta A de este problema. Tenemos el tiempo que tarda el proyectil en llegar a su punto más alto. Bien, ahora decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida, que nos dio 11.47 segundos, entonces tenemos que la posición en Y del proyectil se llama Y máxima, es decir la altura máxima del proyectil con respecto del nivel del mar. Esta información la vamos a reemplazar en la ecuación número uno. Entonces anotamos la ecuación y vamos a reemplazar en ella la información que tenemos. Donde está Y escribimos Y máxima y donde está el tiempo escribimos 11.47. Bien, después de reemplazar vamos a la calculadora y resolvemos todo esto y nos da un resultado para la altura máxima del proyectil igual a 698.03 metros. Esta será entonces la respuesta a la pregunta B de este problema. Bien, por aquí anotamos el resultado de Y máxima y a continuación vamos a ubicarnos en el instante en que se cumple el tiempo de vuelo. Decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo tenemos que la posición en Y del proyectil vale cero, si el proyectil llega al nivel del mar. Esta información la vamos a sustituir en la ecuación número uno. Anotamos dicha ecuación y allí vamos a reemplazar la información que tenemos. Donde está Y escribimos cero y donde está el tiempo tendremos el tiempo de vuelo. Bien, vemos entonces que se nos forma una ecuación cuadrática, una ecuación de segundo grado. Podríamos reescribirla pasando todos esos términos para el lado izquierdo. Nos queda 5 por tiempo de vuelo al cuadrado menos 114.72 por el tiempo de vuelo menos 40 igual a cero. Tenemos una ecuación de la forma AX al cuadrado más BX más C igual a cero. Una ecuación cuadrática o una ecuación de segundo grado que podemos resolver por fórmula cuadrática. Allí reemplazaríamos los valores de A que vale 5, B que es menos 114.72 y C que es menos 40. El papel de X, o sea de la incógnita lo hace el tiempo de vuelo. Resolviendo todo eso nos dan dos valores para el tiempo de vuelo. Uno de ellos es menos 0.34 y el otro es 23.29. Pero como estamos averiguando un tiempo, este no puede ser negativo. Este valor lo descartamos y nos quedamos con este resultado. Este es el tiempo de vuelo del proyectil en segundos. Ese valor lo podemos anotar por aquí. 23.29 segundos y esta es la respuesta a la pregunta C del problema. Ahora decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos dio 23.29 segundos, tenemos que la posición en X del proyectil es la posición X máxima, es decir el alcance máximo horizontal. Esta información la vamos a sustituir en la ecuación número 3. Estribuimos esa ecuación y vamos a reemplazar la información que conocemos. X se reemplaza por X máxima y el tiempo se reemplaza por lo que nos dio el tiempo de vuelo. Resolviendo esa multiplicación nos da un resultado para X máxima igual a 3815.60 metros. Este es el alcance máximo horizontal del proyectil y tenemos la respuesta a la pregunta D del problema. Por aquí anotamos el resultado de X máximo y ahora vamos a ver un detalle del proyectil justo antes de hacer impacto con el agua para observar las componentes de la velocidad final. Bien, aquí tenemos el proyectil justo antes de hacer impacto con el agua, es decir en el instante T igual a tiempo de vuelo. Este de aquí que nos había dado 23.29 segundos. Allí tenemos el vector velocidad final, este mismo y podemos apreciar sus dos componentes. Una componente horizontal que vamos a llamar Vfx y una componente vertical que vamos a llamar Vf en Y. La componente en X vale esta velocidad en X que permanece constante durante todo el movimiento. Entonces podemos anotar su valor 163.83 metros por segundo. Hemos dicho que para este tipo de movimiento la componente en X de la velocidad todo el tiempo tiene el mismo valor. Vamos a determinar entonces el valor de esta componente de la velocidad final en Y. Para ello decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos dio 23.29 segundos, entonces la velocidad en Y se llama Vf en Y, es decir esta componente de la velocidad. Esa información la vamos a reemplazar en la ecuación número 2. La anotamos por aquí y reemplazamos en ella la información que tenemos. Entonces donde está la velocidad en Y sustituimos Vf en Y y donde está el tiempo reemplazamos 23.29, todo esto más 114.72. Resolviendo todo eso nos da como resultado menos 118.18 en metros por segundo. Esta será entonces la componente vertical de la velocidad final. Vemos que tiene signo negativo porque está dirigida hacia abajo. Anotamos por aquí el módulo de esta componente de la velocidad, únicamente el número y al signo negativo como decíamos está implícito en la dirección hacia abajo. Y por último vamos a encontrar entonces el módulo o la norma o la magnitud de la velocidad final. Entonces para ello hacemos lo siguiente, raíz cuadrada de la suma de sus componentes da una de ellas elevada al cuadrado. La suma de los cuadrados de sus componentes. Entonces reemplazamos los valores. Velocidad final en X es la misma velocidad en X que es 163.83 ya está en metros por segundo todo eso al cuadrado más el módulo de la velocidad final en Y que es 118.18 todo esto al cuadrado. Resolviendo todo esto en calculadora nos da una velocidad final igual a 202.01 en metros por segundo. Esta es la respuesta a la pregunta E de este problema y de esta manera terminamos. Hemos encontrado el módulo de la velocidad cuando el proyectil hace impacto con el mar.
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Ese valor lo podemos anotar por aqu\u00ed. 23.29 segundos y esta es"}, {"start": 667.6, "end": 674.6, "text": " la respuesta a la pregunta C del problema. Ahora decimos que cuando el tiempo es igual"}, {"start": 674.6, "end": 684.24, "text": " al tiempo de vuelo que nos dio 23.29 segundos, tenemos que la posici\u00f3n en X del proyectil"}, {"start": 684.24, "end": 693.36, "text": " es la posici\u00f3n X m\u00e1xima, es decir el alcance m\u00e1ximo horizontal. Esta informaci\u00f3n la vamos"}, {"start": 693.36, "end": 702.6, "text": " a sustituir en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3. Estribuimos esa ecuaci\u00f3n y vamos a reemplazar la informaci\u00f3n"}, {"start": 702.6, "end": 711.36, "text": " que conocemos. X se reemplaza por X m\u00e1xima y el tiempo se reemplaza por lo que nos dio"}, {"start": 711.36, "end": 718.96, "text": " el tiempo de vuelo. Resolviendo esa multiplicaci\u00f3n nos da un resultado para X m\u00e1xima igual a"}, {"start": 718.96, "end": 731.88, "text": " 3815.60 metros. Este es el alcance m\u00e1ximo horizontal del proyectil y tenemos la respuesta"}, {"start": 731.88, "end": 740.12, "text": " a la pregunta D del problema. Por aqu\u00ed anotamos el resultado de X m\u00e1ximo y ahora vamos a"}, {"start": 740.12, "end": 747.52, "text": " ver un detalle del proyectil justo antes de hacer impacto con el agua para observar"}, {"start": 747.52, "end": 753.88, "text": " las componentes de la velocidad final. Bien, aqu\u00ed tenemos el proyectil justo antes de"}, {"start": 753.88, "end": 760.84, "text": " hacer impacto con el agua, es decir en el instante T igual a tiempo de vuelo. Este de"}, {"start": 760.84, "end": 768.84, "text": " aqu\u00ed que nos hab\u00eda dado 23.29 segundos. All\u00ed tenemos el vector velocidad final, este mismo"}, {"start": 768.84, "end": 776.44, "text": " y podemos apreciar sus dos componentes. Una componente horizontal que vamos a llamar Vfx"}, {"start": 776.44, "end": 785.2, "text": " y una componente vertical que vamos a llamar Vf en Y. La componente en X vale esta velocidad"}, {"start": 785.2, "end": 792.48, "text": " en X que permanece constante durante todo el movimiento. Entonces podemos anotar su valor"}, {"start": 792.48, "end": 803.72, "text": " 163.83 metros por segundo. Hemos dicho que para este tipo de movimiento la componente"}, {"start": 803.72, "end": 809.72, "text": " en X de la velocidad todo el tiempo tiene el mismo valor. Vamos a determinar entonces"}, {"start": 809.72, "end": 819.5600000000001, "text": " el valor de esta componente de la velocidad final en Y. Para ello decimos que cuando el"}, {"start": 819.56, "end": 829.0799999999999, "text": " tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos dio 23.29 segundos, entonces la velocidad"}, {"start": 829.0799999999999, "end": 837.9599999999999, "text": " en Y se llama Vf en Y, es decir esta componente de la velocidad. Esa informaci\u00f3n la vamos"}, {"start": 837.9599999999999, "end": 846.3199999999999, "text": " a reemplazar en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2. La anotamos por aqu\u00ed y reemplazamos en ella"}, {"start": 846.32, "end": 853.44, "text": " la informaci\u00f3n que tenemos. Entonces donde est\u00e1 la velocidad en Y sustituimos Vf en"}, {"start": 853.44, "end": 866.36, "text": " Y y donde est\u00e1 el tiempo reemplazamos 23.29, todo esto m\u00e1s 114.72. Resolviendo todo eso"}, {"start": 866.36, "end": 879.08, "text": " nos da como resultado menos 118.18 en metros por segundo. Esta ser\u00e1 entonces la componente"}, {"start": 879.08, "end": 885.96, "text": " vertical de la velocidad final. Vemos que tiene signo negativo porque est\u00e1 dirigida"}, {"start": 885.96, "end": 894.04, "text": " hacia abajo. Anotamos por aqu\u00ed el m\u00f3dulo de esta componente de la velocidad, \u00fanicamente"}, {"start": 894.04, "end": 902.0799999999999, "text": " el n\u00famero y al signo negativo como dec\u00edamos est\u00e1 impl\u00edcito en la direcci\u00f3n hacia abajo."}, {"start": 902.0799999999999, "end": 909.0, "text": " Y por \u00faltimo vamos a encontrar entonces el m\u00f3dulo o la norma o la magnitud de la velocidad"}, {"start": 909.0, "end": 921.16, "text": " final. Entonces para ello hacemos lo siguiente, ra\u00edz cuadrada de la suma de sus componentes"}, {"start": 921.16, "end": 927.64, "text": " da una de ellas elevada al cuadrado. La suma de los cuadrados de sus componentes. Entonces"}, {"start": 927.64, "end": 937.1999999999999, "text": " reemplazamos los valores. Velocidad final en X es la misma velocidad en X que es 163.83"}, {"start": 937.1999999999999, "end": 942.4, "text": " ya est\u00e1 en metros por segundo todo eso al cuadrado m\u00e1s el m\u00f3dulo de la velocidad final"}, {"start": 942.4, "end": 954.24, "text": " en Y que es 118.18 todo esto al cuadrado. Resolviendo todo esto en calculadora nos da"}, {"start": 954.24, "end": 965.84, "text": " una velocidad final igual a 202.01 en metros por segundo. Esta es la respuesta a la pregunta"}, {"start": 965.84, "end": 974.76, "text": " E de este problema y de esta manera terminamos. Hemos encontrado el m\u00f3dulo de la velocidad"}, {"start": 974.76, "end": 1003.68, "text": " cuando el proyectil hace impacto con el mar."}]