RAÍCES CÚBICAS DE -i
#julioprofe explica cómo hallar las tres raíces cúbicas del número complejo -i.
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 ¿Qué es la raíz cúbica de menos i? Nos dan la raíz cúbica de menos i. Es decir, vamos a encontrar las raíces cúbicas del número complejo 0 menos i. Esto es equivalente a tener 0 menos i elevado al exponente 1 tercio. Entonces vamos a mirar gráficamente la representación de este número complejo. En el plano cartesiano, donde el eje X es el eje real y el eje Y es el eje imaginario, entonces vamos a representar este numerito complejo. 0 en la parte real, es decir aquí, y menos i en la parte imaginaria. Vamos a suponer que aquí está menos i y entonces el vector que simboliza ese número complejo será este que vamos a dibujar. Será una flechita que sale del origen y llega a este punto. Entonces esta será la representación del número complejo z igual a 0 menos i. De allí podemos observar que R, que es el tamaño de este segmento, será igual a 1, es decir, una unidad. Y el valor de theta será el siguiente. Theta se cuenta a partir de este eje X positivo y se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. Será todo este ángulo. Luego theta, podemos ver que son 270 grados, es decir, 3 pi medios radianes. Entonces ya tenemos el valor de theta, 3 pi medios radianes. Vamos a proceder entonces con el cálculo de las raíces cúbicas de este número completo. Hacemos uso de esta fórmula para encontrar las raíces cúbicas del número complejo que tenemos. Entonces veamos, n será igual a 3. Recordemos que el número complejo, el que buscamos, está elevado a la 1 tercio. Luego n vale 3 porque estamos buscando las raíces cúbicas. K, este subíndice K que también aparece por aquí, va a tomar los siguientes valores, 0, 1 y 2. Siempre llega hasta una unidad menos que el valor de n. Empieza en 0 y llega hasta 2. Debe totalizar las 3 raíces cúbicas que buscamos. El valor de r que nos dio 1 y el valor de theta que nos dio 3 pi medios. Entonces vamos a reemplazar todo esto en la fórmula. Allí tenemos los reemplazos. Vemos aquí que r vale 1, n vale 3, theta se reemplazó como 3 pi medios y n vale 3. Vamos a simplificar esto un poquito ya que 1 elevado a la 1 tercio nos da 1. Allí lo tenemos. 1 por todo esto nos da esto mismo. Es decir que en esta expresión es donde vamos a ir sustituyendo los valores de K por 0, 1 y 2. Comenzamos entonces con K igual a 0. Y la primera raíz se denotará como z sub 0. Aquí sustituimos K igual a 0. Y acá en la expresión también si K vale 0, 2 por pi por 0, esto se nos da 0. Luego nos queda 3 pi medios sobre 3. Eso nos da entonces coseno de 3 pi medios sobre 3. A este 3 le podemos colocar el 1 debajo. Hacemos la multiplicación de extremos y medios. Nos queda en la parte de arriba 3 pi, abajo nos queda 6. Y simplificando 3 con 6 nos queda pi medios. Luego estamos hablando del coseno de pi medios. Entonces ese mismo ángulo es el que tendremos aquí. Entonces nos queda más y por el seno de pi medios. El seno de pi medios recordemos que vale 1. Es el seno de 90 grados. Y el coseno de pi medios vale 0. Por lo tanto la primera raíz llamada z sub 0 será 0 más y. Es decir, y. Allí tenemos entonces la primera raíz cubica del número complejo que nos dieron. La siguiente raíz la obtenemos haciendo K igual a 1. Entonces ella se va a llamar z sub 1. Y entonces tendremos coseno de... Si K vale 1, aquí tendremos 2 pi por 1, o sea 2 pi. Entonces hacemos la suma de 3 pi medios más 2 pi. Veamos, 3 pi medios sumamos con 2 pi. A esto le colocamos denominador 1. Podemos resolver multiplicando en cruz 2 por 1, 2. 3 pi por 1 queda 3 pi más 2 por 2 pi que es 4 pi. Eso nos queda 7 pi medios. La parte de arriba nos da 7 pi medios. Ahora eso tenemos que dividirlo entre 3. Entonces tendremos 7 pi medios dividido entre 3. Le colocamos el 1 debajo del 3. Multiplicamos extremos y medios. Nos queda en la parte de arriba 7 pi y abajo 6. O sea que todo este ángulo para K igual a 1 nos da 7 pi sextos. Vamos a escribirlo entonces. Nos queda aquí el coseno de 7 pi sextos más y seno de 7 pi sextos. La ventana es que este ángulo es este mismo de acá. Resolvemos el coseno de 7 pi sextos equivale a menos raíz de 3 medios. Y el seno de 7 pi sextos equivale a menos 1 medio. Luego la raíz que se llama z1 será igual a menos raíz de 3 medios. Más y por menos 1 medio, es decir, menos 1 medio de y. Organizando. Ahí tenemos entonces la segunda raíz cúbica. La tercera raíz cúbica se obtiene cuando cavale 2. Entonces se va a llamar z2 y tendremos lo siguiente. Veamos, si cavale 2 tenemos 2 pi por 2, o sea 4 pi. Debemos sumar 3 pi medios más 4 pi. Colocamos el denominador 1. Podemos multiplicar 2 por 1, 2. 3 pi por 1 nos da 3 pi más 2 por 4 pi, eso es 8 pi. Y eso nos da 11 pi medios. Ahora, 11 pi medios que nos da esta parte de aquí tenemos que dividirla entre 3. Nos queda entonces 11 pi medios entre 3. A esto le ponemos denominador 1. Multiplicamos extremos y medios nos queda en la parte de arriba 11 pi. Y en la parte de abajo nos queda 6. Luego tendremos 11 pi sextos que es el ángulo que debemos escribir aquí. 11 pi sextos más y seno de 11 y sextos. El coseno de 11 pi sextos equivale a raíz de 3 medios. Y el seno de 11 pi sextos equivale a menos 1 medio. Entonces la tercera raíz z2 será igual a raíz cuadrada de 3 medios más y por menos 1 medio. Es decir, menos 1 medio de y. En síntesis las raíces cúbicas de menos y son la primera que se llama z sub seno igual a y. La segunda z sub 1 que nos dio menos raíz de 3 medios menos 1 medio de y. Y la tercera que se llama z sub 2 igual a raíz cuadrada de 3 medios menos 1 medio de y. Si esto lo elevamos al cubo nos da menos y. Si esto lo elevamos al cubo nos da menos y. Y si esto lo elevamos al cubo también nos da menos y. Allí tenemos entonces las tres raíces cúbicas de menos y.
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aqu\u00ed."}, {"start": 227.0, "end": 233.0, "text": " Entonces nos queda m\u00e1s y por el seno de pi medios."}, {"start": 233.0, "end": 236.0, "text": " El seno de pi medios recordemos que vale 1."}, {"start": 236.0, "end": 238.0, "text": " Es el seno de 90 grados."}, {"start": 238.0, "end": 240.0, "text": " Y el coseno de pi medios vale 0."}, {"start": 240.0, "end": 248.0, "text": " Por lo tanto la primera ra\u00edz llamada z sub 0 ser\u00e1 0 m\u00e1s y."}, {"start": 248.0, "end": 250.0, "text": " Es decir, y."}, {"start": 250.0, "end": 254.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la primera ra\u00edz cubica del n\u00famero complejo que nos dieron."}, {"start": 254.0, "end": 259.0, "text": " La siguiente ra\u00edz la obtenemos haciendo K igual a 1."}, {"start": 259.0, "end": 263.0, "text": " Entonces ella se va a llamar z sub 1."}, {"start": 263.0, "end": 266.0, "text": " Y entonces tendremos coseno de..."}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " Si K vale 1, aqu\u00ed tendremos 2 pi por 1, o sea 2 pi."}, {"start": 271.0, "end": 274.0, "text": " Entonces hacemos la suma de 3 pi medios m\u00e1s 2 pi."}, {"start": 274.0, "end": 278.0, "text": " Veamos, 3 pi medios sumamos con 2 pi."}, {"start": 278.0, "end": 280.0, "text": " A esto le colocamos denominador 1."}, {"start": 280.0, "end": 284.0, "text": " Podemos resolver multiplicando en cruz 2 por 1, 2."}, {"start": 284.0, "end": 290.0, "text": " 3 pi por 1 queda 3 pi m\u00e1s 2 por 2 pi que es 4 pi."}, {"start": 290.0, "end": 293.0, "text": " Eso nos queda 7 pi medios."}, {"start": 293.0, "end": 295.0, "text": " La parte de arriba nos da 7 pi medios."}, {"start": 295.0, "end": 298.0, "text": " Ahora eso tenemos que dividirlo entre 3."}, {"start": 298.0, "end": 302.0, "text": " Entonces tendremos 7 pi medios dividido entre 3."}, {"start": 302.0, "end": 305.0, "text": " Le colocamos el 1 debajo del 3."}, {"start": 305.0, "end": 307.0, "text": " Multiplicamos extremos y medios."}, {"start": 307.0, "end": 310.0, "text": " Nos queda en la parte de arriba 7 pi y abajo 6."}, {"start": 310.0, "end": 315.0, "text": " O sea que todo este \u00e1ngulo para K igual a 1 nos da 7 pi sextos."}, {"start": 315.0, "end": 317.0, "text": " Vamos a escribirlo entonces."}, {"start": 317.0, "end": 324.0, "text": " Nos queda aqu\u00ed el coseno de 7 pi sextos m\u00e1s y seno de 7 pi sextos."}, {"start": 324.0, "end": 328.0, "text": " La ventana es que este \u00e1ngulo es este mismo de ac\u00e1."}, {"start": 328.0, "end": 334.0, "text": " Resolvemos el coseno de 7 pi sextos equivale a menos ra\u00edz de 3 medios."}, {"start": 334.0, "end": 340.0, "text": " Y el seno de 7 pi sextos equivale a menos 1 medio."}, {"start": 340.0, "end": 346.0, "text": " Luego la ra\u00edz que se llama z1 ser\u00e1 igual a menos ra\u00edz de 3 medios."}, {"start": 346.0, "end": 351.0, "text": " M\u00e1s y por menos 1 medio, es decir, menos 1 medio de y."}, {"start": 351.0, "end": 352.0, "text": " Organizando."}, {"start": 352.0, "end": 355.0, "text": " Ah\u00ed tenemos entonces la segunda ra\u00edz c\u00fabica."}, {"start": 355.0, "end": 359.0, "text": " La tercera ra\u00edz c\u00fabica se obtiene cuando cavale 2."}, {"start": 359.0, "end": 365.0, "text": " Entonces se va a llamar z2 y tendremos lo siguiente."}, {"start": 365.0, "end": 369.0, "text": " Veamos, si cavale 2 tenemos 2 pi por 2, o sea 4 pi."}, {"start": 369.0, "end": 373.0, "text": " Debemos sumar 3 pi medios m\u00e1s 4 pi."}, {"start": 373.0, "end": 375.0, "text": " Colocamos el denominador 1."}, {"start": 375.0, "end": 378.0, "text": " Podemos multiplicar 2 por 1, 2."}, {"start": 378.0, "end": 384.0, "text": " 3 pi por 1 nos da 3 pi m\u00e1s 2 por 4 pi, eso es 8 pi."}, {"start": 384.0, "end": 387.0, "text": " Y eso nos da 11 pi medios."}, {"start": 387.0, "end": 393.0, "text": " Ahora, 11 pi medios que nos da esta parte de aqu\u00ed tenemos que dividirla entre 3."}, {"start": 393.0, "end": 397.0, "text": " Nos queda entonces 11 pi medios entre 3."}, {"start": 397.0, "end": 399.0, "text": " A esto le ponemos denominador 1."}, {"start": 399.0, "end": 403.0, "text": " Multiplicamos extremos y medios nos queda en la parte de arriba 11 pi."}, {"start": 403.0, "end": 405.0, "text": " Y en la parte de abajo nos queda 6."}, {"start": 405.0, "end": 411.0, "text": " Luego tendremos 11 pi sextos que es el \u00e1ngulo que debemos escribir aqu\u00ed."}, {"start": 411.0, "end": 417.0, "text": " 11 pi sextos m\u00e1s y seno de 11 y sextos."}, {"start": 417.0, "end": 423.0, "text": " El coseno de 11 pi sextos equivale a ra\u00edz de 3 medios."}, {"start": 423.0, "end": 427.0, "text": " Y el seno de 11 pi sextos equivale a menos 1 medio."}, {"start": 427.0, "end": 436.0, "text": " Entonces la tercera ra\u00edz z2 ser\u00e1 igual a ra\u00edz cuadrada de 3 medios m\u00e1s y por menos 1 medio."}, {"start": 436.0, "end": 440.0, "text": " Es decir, menos 1 medio de y."}, {"start": 440.0, "end": 447.0, "text": " En s\u00edntesis las ra\u00edces c\u00fabicas de menos y son la primera que se llama z sub seno igual a y."}, {"start": 447.0, "end": 456.0, "text": " La segunda z sub 1 que nos dio menos ra\u00edz de 3 medios menos 1 medio de y."}, {"start": 456.0, "end": 465.0, "text": " Y la tercera que se llama z sub 2 igual a ra\u00edz cuadrada de 3 medios menos 1 medio de y."}, {"start": 465.0, "end": 468.0, "text": " Si esto lo elevamos al cubo nos da menos y."}, {"start": 468.0, "end": 471.0, "text": " Si esto lo elevamos al cubo nos da menos y."}, {"start": 471.0, "end": 474.0, "text": " Y si esto lo elevamos al cubo tambi\u00e9n nos da menos y."}, {"start": 474.0, "end": 487.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces las tres ra\u00edces c\u00fabicas de menos y."}]