Problema 7 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS - ft. Casio Classwiz
#julioprofe explica cómo resolver un problema de trigonometría con triángulos rectángulos, utilizando la calculadora Casio #Classwiz fx-991LA X. También muestra cómo encontrar el valor de la incógnita mediante la función SOLVE.

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 Tenemos en este caso dos edificios A y B. Desde la base del edificio A, el ángulo de elevación a la parte más alta del edificio B es 45 grados. Ahora, si hacemos la misma observación desde la parte más alta del edificio A, entonces el ángulo de elevación a este punto, la azotea del edificio B, es 30 grados. Vemos que la altura del edificio A es 30 metros. Nos piden encontrar la separación que existe entre los dos edificios, es decir, X, y la altura del edificio B, que aquí está determinada por la letra Y. Vamos a resolver este problema de trigonometría, más exactamente, de aplicación de los triángulos rectángulos con el apoyo de la calculadora Casio-Claswitz. Comenzamos nombrando los vértices de este triángulo rectángulo. Vamos a llamar este el punto C, este lo llamamos el punto D, aquí tenemos el ángulo recto o de 90 grados, y por acá tenemos el punto E. Entonces, vamos a dibujar este triángulo por acá. Bien, allí está. Tenemos que este ángulo mide 45 grados, acá tenemos ángulo recto o de 90 grados. Estos dos ángulos suman 135 grados, por lo tanto, este de acá será lo que le falta a esa suma para llegar a 180 grados, o también 180 grados menos 135 grados. Eso nos da 45 grados. Y entonces encontramos que si estos dos ángulos son iguales, entonces este triángulo rectángulo será isósceles, por lo tanto, sus catetos son iguales. Podemos colocarle estas marquitas. De esa manera encontramos que X y Y van a medir lo mismo. Otra manera de determinar eso es aplicando SOH CAH TOA. Recordemos que esta es la forma fácil de recordar las tres razones trigonométricas. Vemos aquí CENO, que es cateto opuesto sobre hipotenusa, COCENO, que es cateto adyacente sobre hipotenusa, y TANGENTE, que es cateto opuesto sobre cateto adyacente. Entonces, en ese triángulo rectángulo, contando con este ángulo agudo de 45 grados y teniendo en cuenta que los catetos involucrados son Y y X, entonces podemos aplicar lo que es tangente. Vamos a utilizar esto de acá. Entonces, decimos que tangente de 45 grados será igual a la relación que hay entre el cateto opuesto, que sería Y, el que está al frente del ángulo, sobre el cateto adyacente, que en este caso sería X, el que hace contacto con el ángulo. Ahora, la tangente de 45 grados equivale a 1. Vamos a ver por qué. Tangente de 45 grados sería seno de 45 grados sobre coseno de 45 grados, pero seno de 45 grados equivale a raíz cuadrada de 2 sobre 2, y coseno de 45 grados vale exactamente lo mismo. Por lo tanto, este cosiente de cantidades iguales nos da como resultado 1. Si eso es igual a 1, entonces podemos despejar Y. X que está dividiendo pasa a este lado a multiplicar con 1, y nos queda que X es igual a Y. De esa manera, entonces comprobamos por otro camino que los dos catetos de este triángulo rectángulo son iguales. Ahora, dado que X es igual a Y, o Y es igual a X, podemos cambiar aquí esta letra por X, para trabajar entonces con la misma variable. A continuación, vamos a prolongar esta línea hasta acá, y nombramos este punto con la letra F, y este de acá con la letra G. Aquí también tenemos ángulo recto o de 90 grados. Entonces, vamos a considerar este triángulo por acá. Bien, allí tenemos el triángulo rectángulo con vértices F, G y E. Vemos el ángulo agudo de 30 grados, y este lado FG corresponde a esta longitud CD que se ha determinado como X. Ahora, la longitud del segmento EG será la diferencia que hay entre el segmento ED, que es X, y el segmento GD, que equivale a la altura del edificio A, que son 30 metros. En otras palabras, el segmento EG será X menos 30 metros. Lo escribimos por acá, X menos 30, ya sabemos que esto, lo que es X, está expresado en metros. Ahora, allí vamos a aplicar nuevamente SOHCAHTOA. Podemos hacerlo porque se trata de un triángulo rectángulo. Entonces, vamos a involucrar estos dos lados, que son los catetos, que tienen que ver con el ángulo agudo que conocemos. Entonces, vamos a utilizar otra vez la relación tangente. Decimos que tangente de 30 grados será igual a cateto opuesto, que sería el que está al frente, que es X menos 30, sobre el cateto adyacente, que es el que hace contacto con el ángulo agudo, es decir, X. Nos concentramos ahora en resolver esta ecuación, porque la incógnita X es lo que estamos buscando en el problema. Entonces, empezamos por determinar el valor de la tangente de 30 grados, que sería seno de 30 grados sobre coseno de 30 grados. Pero el seno de 30 grados equivale a 1 medio, y el coseno de 30 grados es igual a raíz cuadrada de 3 medios. Ahí tenemos el cosiente o la división de dos fracciones con el mismo denominador. Entonces podemos simplificar esos denominadores y nos va a quedar 1 sobre la raíz cuadrada de 3. Entonces, reemplazamos tangente de 30 grados por lo que obtuvimos 1 sobre raíz cuadrada de 3, y esto será igual a X menos 30, todo eso sobre X. Si miramos esto como una proporción, es decir, la igualdad de dos razones, entonces el producto de extremos será igual al producto de medios. Entonces, 1 por X, que es X, será igual a raíz cuadrada de 3, que multiplica con esto que tenemos acá, lo protegemos con paréntesis X menos 30. Continuamos, allá nos queda X, acá aplicamos la propiedad distributiva, entonces raíz cuadrada de 3 multiplica por cada uno de esos términos. Raíz cuadrada de 3 por X, lo podemos escribir como X, raíz cuadrada de 3, y luego tenemos menos raíz cuadrada de 3 por 30, que lo podemos organizar como 30, raíz cuadrada de 3. Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen la X, y en el lado derecho el número que sería solamente esta cantidad. Entonces, en el lado izquierdo nos queda X, pasa este término que aquí está positivo, al otro lado a restar llega con signo negativo, nos queda menos X, raíz de 3, y esto será igual a menos 30, que multiplica con la raíz cuadrada de 3. Ahora, en el lado izquierdo de la igualdad, vamos a extraer como factor común la X, si sale X nos queda 1 menos raíz cuadrada de 3, y esto será igual a esta cantidad, menos 30, que multiplica con la raíz cuadrada de 3. Ahora, de allí ya podemos despejar X, para ello toda esta cantidad que la acompaña, es decir, 1 menos raíz cuadrada de 3, que está aquí multiplicando, pasa al otro lado a dividir, sería lo mismo que dividir ambos lados de la igualdad por 1 menos la raíz cuadrada de 3, nos queda entonces, menos 30, raíz cuadrada de 3, y todo esto sobre lo que es 1 menos la raíz cuadrada de 3. Ahora lo que hacemos es racionalizar esta expresión numérica, para que no nos quede raíz en el denominador, tenemos que X es igual a menos 30, raíz cuadrada de 3, todo esto sobre 1, menos raíz de 3, y vamos a utilizar la conjugación, vamos a multiplicar por una fracción que contiene abajo y arriba el conjugado de esta expresión, que será 1 más raíz cuadrada de 3, eso lo repetimos acá en el numerador, y vamos a efectuar la multiplicación de esas dos fracciones. Entonces, multiplicando numeradores entre sí, nos queda de la siguiente forma, multiplicaríamos la propiedad distributiva, menos 30, raíz de 3, multiplica con esos dos términos, entonces, menos 30, raíz de 3 por 1, sería menos 30, raíz de 3, y luego tenemos menos 30, raíz de 3, multiplicado por más raíz de 3, menos por más es menos, 30, raíz de 3 por raíz de 3, nos daría 30, raíz de 3 al cuadrado, pero raíz de 3 al cuadrado, eso aquí se elimina, nos queda 3, y 30 por 3 equivale a 90, entonces, 90 es el resultado de esta multiplicación. Y ahora, en el denominador, tenemos el producto de dos cantidades que obedecen a este producto notable, lo que es suma por diferencia, o diferencia por suma, recordemos que allí el orden de los factores no altera el producto, entonces, para este caso, esto nos da como resultado, la primera cantidad al cuadrado, menos la segunda cantidad al cuadrado, recordemos que es el producto notable llamado suma por diferencia, que genera una diferencia de cuadrados perfectos, y que es justamente lo que busca la conjugación, entonces sería la primera cantidad al cuadrado, es decir, 1 al cuadrado, que va a ser igual a 1, menos la raíz cuadrada de 3, y todo esto elevado al cuadrado. Continuamos resolviendo, por acá tendremos x igual, en el numerador tenemos la misma expresión, es decir, menos 30, raíz de 3, y esto menos 90, y en el denominador dijimos que 1 al cuadrado será 1, y raíz cuadrada de 3 al cuadrado, esto nos da 3, entonces, 1 menos 3 será menos 2. Aquí podemos repartir el denominador para cada uno de los términos que hay en el numerador, entonces nos queda x igual a menos 30, raíz de 3, todo esto sobre menos 2, menos 90 sobre menos 2, y podemos simplificar cada uno de esos dos componentes, veamos, y será igual, por acá menos con menos nos da más, 30 la podemos simplificar con 2, podemos sacar mitad a estos dos números, mitad de 2 es 1, mitad de 30 es 15, entonces nos va a quedar 15, que multiplica con raíz cuadrada de 3, término positivo, por acá menos con menos nos da más, y 90 dividido entre 2 es 45. De esta manera ya tenemos el valor de x que satisface la ecuación, y que es lo que nos preguntan en el problema, entonces la respuesta puede escribirse como 45 más 15 raíz cuadrada de 3, esto estaría todo en metros, simplemente aquí cambiamos la posición de los sumandos, también podríamos extraer como factor común el 15, 15 factor común de 3 más raíz cuadrada de 3, todo esto en metros, o también podríamos utilizar la calculadora Casio Classwiz para hallar el valor decimal de esa expresión numérica, entonces presionamos el botón menú, y allí en la opción 1, la del modo calcular, vamos a ingresar esta expresión, entonces escribimos 15, abrimos paréntesis, luego 3 más botón de raíz cuadrada, ingresamos el 3, corremos el cursor a la derecha y cerramos el paréntesis, ya tenemos esta expresión en pantalla, presionamos el botón igual y obtenemos esto, 45 más 15 raíz cuadrada de 3, para ver el valor decimal presionamos la tecla SD, y entonces tenemos en pantalla un valor de x que es aproximadamente igual a 70,98, esto estaría en metros y sería la respuesta para este problema. Ahora vamos a mirar cómo con la calculadora Casio Classwiz podemos verificar la solución de esta ecuación, vamos a ingresar esto a la pantalla y mediante la función Solve, vamos a resolver esa ecuación, entonces nos encontramos en el modo 1, es decir en la opción calcular, borramos lo que teníamos en pantalla y vamos a ingresar esa ecuación, antes verificamos que la calculadora se encuentre en el modo DEG, es decir que la unidad angular sean grados, recordemos que eso se determina con la letra D que aparece en la parte superior de la pantalla, entonces habiendo verificado eso, vamos a ingresar esta ecuación, comenzamos escribiendo tangente de 30, cerramos el paréntesis, luego vamos con el símbolo igual, para ello presionamos el botón alfa y luego el botón calc, de esa manera activamos el signo igual que está en color rojo, vamos ahora con esta fracción, entonces botón de fracción, en el numerador escribimos x menos 30, botón de la x, luego menos 30, pasamos al denominador y vamos a ingresar la x, ya tenemos en pantalla la ecuación, vamos ahora a resolverla, activando la función solve, para ello se oprime el botón shift y luego el botón calc, vemos que la función solve está allí encima en color amarillo, nos aparece un valor en pantalla, un valor de x que habíamos utilizado anteriormente, presionamos el botón igual y ya nos aparece en pantalla el resultado 70,98, es decir lo que nos dio por acá, cuando encontramos el valor decimal de esa expresión numérica a la que habíamos llegado, así comprobamos que esto que hicimos manualmente paso a paso es correcto. Ahora las calculadoras Casio class WIS en el almacén Tempore.
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Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo"}, {"start": 447.92, "end": 453.12, "text": " de la igualdad los t\u00e9rminos que contienen la X, y en el lado derecho el n\u00famero que"}, {"start": 453.12, "end": 458.36, "text": " ser\u00eda solamente esta cantidad. Entonces, en el lado izquierdo nos queda X, pasa este"}, {"start": 458.36, "end": 463.84000000000003, "text": " t\u00e9rmino que aqu\u00ed est\u00e1 positivo, al otro lado a restar llega con signo negativo, nos"}, {"start": 463.84, "end": 472.28, "text": " queda menos X, ra\u00edz de 3, y esto ser\u00e1 igual a menos 30, que multiplica con la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 472.28, "end": 479.4, "text": " de 3. Ahora, en el lado izquierdo de la igualdad, vamos a extraer como factor com\u00fan la X, si"}, {"start": 479.4, "end": 486.96, "text": " sale X nos queda 1 menos ra\u00edz cuadrada de 3, y esto ser\u00e1 igual a esta cantidad, menos"}, {"start": 486.96, "end": 494.79999999999995, "text": " 30, que multiplica con la ra\u00edz cuadrada de 3. Ahora, de all\u00ed ya podemos despejar X,"}, {"start": 494.79999999999995, "end": 500.44, "text": " para ello toda esta cantidad que la acompa\u00f1a, es decir, 1 menos ra\u00edz cuadrada de 3, que"}, {"start": 500.44, "end": 506.2, "text": " est\u00e1 aqu\u00ed multiplicando, pasa al otro lado a dividir, ser\u00eda lo mismo que dividir ambos"}, {"start": 506.2, "end": 512.6999999999999, "text": " lados de la igualdad por 1 menos la ra\u00edz cuadrada de 3, nos queda entonces, menos 30,"}, {"start": 512.7, "end": 521.44, "text": " ra\u00edz cuadrada de 3, y todo esto sobre lo que es 1 menos la ra\u00edz cuadrada de 3. Ahora"}, {"start": 521.44, "end": 527.44, "text": " lo que hacemos es racionalizar esta expresi\u00f3n num\u00e9rica, para que no nos quede ra\u00edz en"}, {"start": 527.44, "end": 536.0400000000001, "text": " el denominador, tenemos que X es igual a menos 30, ra\u00edz cuadrada de 3, todo esto sobre 1,"}, {"start": 536.04, "end": 543.5999999999999, "text": " menos ra\u00edz de 3, y vamos a utilizar la conjugaci\u00f3n, vamos a multiplicar por una fracci\u00f3n que"}, {"start": 543.5999999999999, "end": 551.06, "text": " contiene abajo y arriba el conjugado de esta expresi\u00f3n, que ser\u00e1 1 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 551.06, "end": 557.36, "text": " de 3, eso lo repetimos ac\u00e1 en el numerador, y vamos a efectuar la multiplicaci\u00f3n de esas"}, {"start": 557.36, "end": 565.12, "text": " dos fracciones. Entonces, multiplicando numeradores entre s\u00ed, nos queda de la siguiente forma,"}, {"start": 565.12, "end": 570.16, "text": " multiplicar\u00edamos la propiedad distributiva, menos 30, ra\u00edz de 3, multiplica con esos"}, {"start": 570.16, "end": 577.24, "text": " dos t\u00e9rminos, entonces, menos 30, ra\u00edz de 3 por 1, ser\u00eda menos 30, ra\u00edz de 3, y luego"}, {"start": 577.24, "end": 584.36, "text": " tenemos menos 30, ra\u00edz de 3, multiplicado por m\u00e1s ra\u00edz de 3, menos por m\u00e1s es menos,"}, {"start": 584.36, "end": 590.36, "text": " 30, ra\u00edz de 3 por ra\u00edz de 3, nos dar\u00eda 30, ra\u00edz de 3 al cuadrado, pero ra\u00edz de"}, {"start": 590.36, "end": 598.28, "text": " 3 al cuadrado, eso aqu\u00ed se elimina, nos queda 3, y 30 por 3 equivale a 90, entonces, 90"}, {"start": 598.28, "end": 604.64, "text": " es el resultado de esta multiplicaci\u00f3n. Y ahora, en el denominador, tenemos el producto"}, {"start": 604.64, "end": 613.0, "text": " de dos cantidades que obedecen a este producto notable, lo que es suma por diferencia, o"}, {"start": 613.0, "end": 618.96, "text": " diferencia por suma, recordemos que all\u00ed el orden de los factores no altera el producto,"}, {"start": 618.96, "end": 624.48, "text": " entonces, para este caso, esto nos da como resultado, la primera cantidad al cuadrado,"}, {"start": 624.48, "end": 629.76, "text": " menos la segunda cantidad al cuadrado, recordemos que es el producto notable llamado suma por"}, {"start": 629.76, "end": 637.08, "text": " diferencia, que genera una diferencia de cuadrados perfectos, y que es justamente lo que busca"}, {"start": 637.08, "end": 642.88, "text": " la conjugaci\u00f3n, entonces ser\u00eda la primera cantidad al cuadrado, es decir, 1 al cuadrado,"}, {"start": 642.88, "end": 650.0, "text": " que va a ser igual a 1, menos la ra\u00edz cuadrada de 3, y todo esto elevado al cuadrado. Continuamos"}, {"start": 650.0, "end": 656.52, "text": " resolviendo, por ac\u00e1 tendremos x igual, en el numerador tenemos la misma expresi\u00f3n,"}, {"start": 656.52, "end": 663.88, "text": " es decir, menos 30, ra\u00edz de 3, y esto menos 90, y en el denominador dijimos que 1 al cuadrado"}, {"start": 663.88, "end": 671.24, "text": " ser\u00e1 1, y ra\u00edz cuadrada de 3 al cuadrado, esto nos da 3, entonces, 1 menos 3 ser\u00e1"}, {"start": 671.24, "end": 678.12, "text": " menos 2. Aqu\u00ed podemos repartir el denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que hay en"}, {"start": 678.12, "end": 685.72, "text": " el numerador, entonces nos queda x igual a menos 30, ra\u00edz de 3, todo esto sobre menos"}, {"start": 685.72, "end": 695.8, "text": " 2, menos 90 sobre menos 2, y podemos simplificar cada uno de esos dos componentes, veamos,"}, {"start": 695.8, "end": 701.92, "text": " y ser\u00e1 igual, por ac\u00e1 menos con menos nos da m\u00e1s, 30 la podemos simplificar con 2,"}, {"start": 701.92, "end": 708.1999999999999, "text": " podemos sacar mitad a estos dos n\u00fameros, mitad de 2 es 1, mitad de 30 es 15, entonces"}, {"start": 708.1999999999999, "end": 715.1999999999999, "text": " nos va a quedar 15, que multiplica con ra\u00edz cuadrada de 3, t\u00e9rmino positivo, por ac\u00e1"}, {"start": 715.1999999999999, "end": 723.68, "text": " menos con menos nos da m\u00e1s, y 90 dividido entre 2 es 45. De esta manera ya tenemos el"}, {"start": 723.68, "end": 730.0799999999999, "text": " valor de x que satisface la ecuaci\u00f3n, y que es lo que nos preguntan en el problema, entonces"}, {"start": 730.0799999999999, "end": 738.4399999999999, "text": " la respuesta puede escribirse como 45 m\u00e1s 15 ra\u00edz cuadrada de 3, esto estar\u00eda todo"}, {"start": 738.4399999999999, "end": 743.88, "text": " en metros, simplemente aqu\u00ed cambiamos la posici\u00f3n de los sumandos, tambi\u00e9n podr\u00edamos"}, {"start": 743.88, "end": 751.3599999999999, "text": " extraer como factor com\u00fan el 15, 15 factor com\u00fan de 3 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 3, todo"}, {"start": 751.36, "end": 757.76, "text": " esto en metros, o tambi\u00e9n podr\u00edamos utilizar la calculadora Casio Classwiz para hallar"}, {"start": 757.76, "end": 763.92, "text": " el valor decimal de esa expresi\u00f3n num\u00e9rica, entonces presionamos el bot\u00f3n men\u00fa, y all\u00ed"}, {"start": 763.92, "end": 771.12, "text": " en la opci\u00f3n 1, la del modo calcular, vamos a ingresar esta expresi\u00f3n, entonces escribimos"}, {"start": 771.12, "end": 778.54, "text": " 15, abrimos par\u00e9ntesis, luego 3 m\u00e1s bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada, ingresamos el 3, corremos"}, {"start": 778.54, "end": 785.3199999999999, "text": " el cursor a la derecha y cerramos el par\u00e9ntesis, ya tenemos esta expresi\u00f3n en pantalla, presionamos"}, {"start": 785.3199999999999, "end": 792.52, "text": " el bot\u00f3n igual y obtenemos esto, 45 m\u00e1s 15 ra\u00edz cuadrada de 3, para ver el valor decimal"}, {"start": 792.52, "end": 799.4399999999999, "text": " presionamos la tecla SD, y entonces tenemos en pantalla un valor de x que es aproximadamente"}, {"start": 799.44, "end": 809.36, "text": " igual a 70,98, esto estar\u00eda en metros y ser\u00eda la respuesta para este problema."}, {"start": 809.36, "end": 814.08, "text": " Ahora vamos a mirar c\u00f3mo con la calculadora Casio Classwiz podemos verificar la soluci\u00f3n"}, {"start": 814.08, "end": 820.46, "text": " de esta ecuaci\u00f3n, vamos a ingresar esto a la pantalla y mediante la funci\u00f3n Solve,"}, {"start": 820.46, "end": 826.2800000000001, "text": " vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n, entonces nos encontramos en el modo 1, es decir en la opci\u00f3n"}, {"start": 826.28, "end": 833.22, "text": " calcular, borramos lo que ten\u00edamos en pantalla y vamos a ingresar esa ecuaci\u00f3n, antes verificamos"}, {"start": 833.22, "end": 839.6, "text": " que la calculadora se encuentre en el modo DEG, es decir que la unidad angular sean grados,"}, {"start": 839.6, "end": 846.16, "text": " recordemos que eso se determina con la letra D que aparece en la parte superior de la pantalla,"}, {"start": 846.16, "end": 851.4, "text": " entonces habiendo verificado eso, vamos a ingresar esta ecuaci\u00f3n, comenzamos escribiendo"}, {"start": 851.4, "end": 858.4399999999999, "text": " tangente de 30, cerramos el par\u00e9ntesis, luego vamos con el s\u00edmbolo igual, para ello presionamos"}, {"start": 858.4399999999999, "end": 864.42, "text": " el bot\u00f3n alfa y luego el bot\u00f3n calc, de esa manera activamos el signo igual que est\u00e1"}, {"start": 864.42, "end": 870.5, "text": " en color rojo, vamos ahora con esta fracci\u00f3n, entonces bot\u00f3n de fracci\u00f3n, en el numerador"}, {"start": 870.5, "end": 878.0799999999999, "text": " escribimos x menos 30, bot\u00f3n de la x, luego menos 30, pasamos al denominador y vamos a"}, {"start": 878.08, "end": 885.44, "text": " ingresar la x, ya tenemos en pantalla la ecuaci\u00f3n, vamos ahora a resolverla, activando la funci\u00f3n"}, {"start": 885.44, "end": 890.9200000000001, "text": " solve, para ello se oprime el bot\u00f3n shift y luego el bot\u00f3n calc, vemos que la funci\u00f3n"}, {"start": 890.9200000000001, "end": 896.6800000000001, "text": " solve est\u00e1 all\u00ed encima en color amarillo, nos aparece un valor en pantalla, un valor"}, {"start": 896.6800000000001, "end": 902.7, "text": " de x que hab\u00edamos utilizado anteriormente, presionamos el bot\u00f3n igual y ya nos aparece"}, {"start": 902.7, "end": 909.76, "text": " en pantalla el resultado 70,98, es decir lo que nos dio por ac\u00e1, cuando encontramos el"}, {"start": 909.76, "end": 915.96, "text": " valor decimal de esa expresi\u00f3n num\u00e9rica a la que hab\u00edamos llegado, as\u00ed comprobamos"}, {"start": 915.96, "end": 924.72, "text": " que esto que hicimos manualmente paso a paso es correcto."}, {"start": 924.72, "end": 949.72, "text": " Ahora las calculadoras Casio class WIS en el almac\u00e9n Tempore."}]