SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 USANDO CAMBIO DE VARIABLE - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones de 2x2, donde es conveniente usar un cambio de variable.

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 ¿Cómo podemos cambiar la variable de la letra P y la variable de la letra Y? Tenemos en este caso un sistema de ecuaciones de dos por dos, es decir, dos ecuaciones con dos incógnitas que son las letras X y Y, pero como vemos esas letras se encuentran en los denominadores, entonces vamos a utilizar un recurso llamado cambio de variable, vamos a cambiar 1 sobre X por la letra P y 1 sobre Y por la letra Q. Entonces la primera ecuación, esta la llamamos la ecuación 1, vamos a convertirla ahora en la ecuación 3 y nos queda de la siguiente manera, 1 sobre X se cambia por P, tenemos menos 1 sobre Y que se cambia por Q y esto nos queda más 8 65' igual a 0, allí tenemos entonces una nueva ecuación, la ecuación 3 que sustituye a la ecuación 1 haciendo el cambio de variable. Ahora hacemos lo mismo con la segunda ecuación, esa la vamos a convertir en la ecuación 4, pero miremos lo siguiente, tener 5 sobre X es lo mismo que escribir 5 por 1 sobre X, luego más 13 sobre Y que es lo mismo que tener 13 por 1 sobre Y, esto más 2 igual a 0, entonces vamos a cambiar allí 1 sobre X y 1 sobre Y por las nuevas letras, nos queda entonces 5 por 1 sobre X que es P, es decir 5P, después tenemos más 13 que multiplica con 1 sobre Y, pero 1 sobre Y equivale a Q y esto más 2 igualado con 0, entonces allí tenemos la ecuación 4 que ha sustituido a la ecuación 2. Entonces vamos a resolver este nuevo sistema de ecuaciones de 2 por 2, ahora es un sistema de ecuaciones lineales con las 5 unitas P y Q, para ello vamos a multiplicar la ecuación 3 por 65, multiplicamos por 65 a ambos lados de la igualdad por el objetivo de deshacernos de este denominador, entonces comenzamos, en el lado izquierdo 65 afecta a cada uno de estos componentes, 65 por P nos queda 65P, después tenemos menos 65 por Q, es decir 65Q, aquí si multiplicamos 8 65 abos por 65 logramos cancelar el 65 y nos queda más 8 y en el lado derecho 0 por 65 nos queda 0. Si revisamos con atención esta ecuación y la ecuación 4 vemos que Q está acompañada aquí de menos 65 y aquí Q está acompañado de más 13, resulta que 65 es múltiplo de 13, 13 por 5 nos da 65, entonces si multiplicamos esta ecuación por 5 a ambos lados de la igualdad vamos a conseguir que las dos ecuaciones queden listas para efectuar el método de eliminación, entonces veamos si multiplicamos por 5 el lado izquierdo 5 afecta a cada uno de estos términos, 5 por 5P nos da 25P, después tenemos 5 por más 13Q es más 65Q y 5 por más 2 nos da más 10 y en el lado derecho 5 por 0 nos da 0. En seguida efectuamos la suma de estas dos ecuaciones en forma vertical, por aquí tenemos 65P más 25P eso nos da 90P, aquí la suma de estos dos términos nos da 0, son términos opuestos, entonces esos dos términos se cancelan o se eliminan, por acá tenemos más 8 y más 10 nos da más 18 y en el lado derecho 0 más 0 nos da 0, de esta manera llegamos a una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que es P, vamos entonces a resolverla, esto nos queda 90P igual a menos 18, pasamos este número al lado derecho a restar y nos da menos 18 y allí podemos dividir ambos lados por 90 por lo que es lo mismo, pasamos 90 que está multiplicando al otro lado a dividir, nos queda menos 18 sobre 90, allí podemos simplificar esta fracción, podemos sacar por ejemplo mitad, mitad de 18 nos da 9, mitad de 90 es 45 y allí observamos que 9 y 45 son divisibles por 9, decimos 9 de 9 es 1, 9 de 45 nos da 5, entonces el resultado para P, vamos a escribirlo por acá, será menos, no podemos olvidar ese signo negativo, un quinto, que hemos encontrado entonces el valor de la primera incógnita en este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, ahora debemos hallar el valor de Q, escogemos cualquiera de esas dos ecuaciones, vamos a reemplazar por ejemplo en la ecuación número 4, nos queda entonces lo siguiente, 5 por P es decir 5 por menos un quinto, allá hacemos el reemplazo de ese valor obtenido, después tenemos más 13Q más 2 igual a 0 y allí vamos a resolver esa ecuación lineal de primer grado donde la incógnita es Q, 5 por menos un quinto eso nos da menos 1, luego más 13Q más 2 igual a 0, allí podemos operar estos dos números, nos queda entonces 13Q y menos 1 más 2 nos da más 1 igual a 0 y allí despejamos el término que contiene la incógnita, es decir 13Q, pasamos este número al otro lado a restar y nos da menos 1, ahora dividimos ambos lados de esta igualdad por 13 o lo que es lo mismo, 13 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y de esa manera obtenemos el valor de Q, Q nos da entonces menos 1, 13A, allí hemos encontrado entonces el valor de la otra incógnita en ese sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, pero no podemos olvidar que nuestras incógnitas originales son X y Y, P y Q fueron dos letras que nos inventamos para efectuar el cambio de variable y realizar el desarrollo del ejercicio con mayor facilidad, entonces ahora conociendo los valores de P y Q debemos ir a encontrar los valores originales que son X y Y, tenemos entonces que 1 sobre X es igual a P, pero P nos dio menos un quinto, aquí podemos invertir ambos lados de esa igualdad, es como elevar ambos lados de la igualdad al exponente menos 1, entonces si invertimos el lado izquierdo nos da X y si invertimos el lado derecho nos da menos 5, allí aparece entonces el valor de X, algo similar hacemos con la otra equivalencia, 1 sobre Y equivale a Q, pero Q nos dio menos 1 sobre 13, menos 1, 13A, entonces de nuevo invertimos ambos lados de la igualdad, acá al invertir la primera fracción nos da Y y si invertimos la segunda nos da menos 13, de esta manera terminamos el ejercicio, esta pareja X y constituye la respuesta, entonces son los valores para X y Y que hacen cierto este sistema de ecuaciones de 2 por 2, el que nos daban originalmente.
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all\u00ed podemos dividir ambos lados por 90"}, {"start": 284.15999999999997, "end": 289.4, "text": " por lo que es lo mismo, pasamos 90 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a"}, {"start": 289.4, "end": 297.0, "text": " dividir, nos queda menos 18 sobre 90, all\u00ed podemos simplificar esta fracci\u00f3n,"}, {"start": 297.0, "end": 304.52, "text": " podemos sacar por ejemplo mitad, mitad de 18 nos da 9, mitad de 90 es 45 y all\u00ed"}, {"start": 304.52, "end": 313.2, "text": " observamos que 9 y 45 son divisibles por 9, decimos 9 de 9 es 1, 9 de 45 nos da"}, {"start": 313.2, "end": 320.91999999999996, "text": " 5, entonces el resultado para P, vamos a escribirlo por ac\u00e1, ser\u00e1 menos, no podemos"}, {"start": 320.91999999999996, "end": 326.88, "text": " olvidar ese signo negativo, un quinto, que hemos encontrado entonces el valor de la"}, {"start": 326.88, "end": 332.79999999999995, "text": " primera inc\u00f3gnita en este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, ahora"}, {"start": 332.8, "end": 338.16, "text": " debemos hallar el valor de Q, escogemos cualquiera de esas dos ecuaciones, vamos a"}, {"start": 338.16, "end": 343.76, "text": " reemplazar por ejemplo en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4, nos queda entonces lo siguiente,"}, {"start": 343.76, "end": 351.0, "text": " 5 por P es decir 5 por menos un quinto, all\u00e1 hacemos el reemplazo de ese valor"}, {"start": 351.0, "end": 360.12, "text": " obtenido, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s 13Q m\u00e1s 2 igual a 0 y all\u00ed vamos a resolver esa"}, {"start": 360.12, "end": 366.68, "text": " ecuaci\u00f3n lineal de primer grado donde la inc\u00f3gnita es Q, 5 por menos un quinto"}, {"start": 366.68, "end": 376.2, "text": " eso nos da menos 1, luego m\u00e1s 13Q m\u00e1s 2 igual a 0, all\u00ed podemos operar estos dos"}, {"start": 376.2, "end": 384.72, "text": " n\u00fameros, nos queda entonces 13Q y menos 1 m\u00e1s 2 nos da m\u00e1s 1 igual a 0 y all\u00ed"}, {"start": 384.72, "end": 390.24, "text": " 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