Pregunta 31 TIPO EXAMEN
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio típico de examen (SAT, ACT, GMAT, PAEP, entre otros) para ingresar a estudios superiores.

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 Nos dicen que este polinomio de cinco términos es divisible por este trinomio. Entonces, eso significa que al efectuar la división el residuo será cero. Podemos factorizar el divisor, que es un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Entonces, para factorizar, abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término, que será x, y la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Luego definimos los signos, más por menos nos da menos, menos por menos nos da más. Buscamos ahora dos números, uno negativo y otro positivo, que multiplicados entre sí nos de como resultado menos seis, al sumarlos nos de como resultado menos uno, el coeficiente del segundo término. Esos números son menos tres y más dos. Podemos decir que esta expresión es el polinomio p de x. Entonces, p de x va a ser divisible por cada uno de estos dos binomios. Podemos entonces aplicar a continuación el teorema del factor. Ese teorema dice lo siguiente, si el polinomio p de x es divisible por el binomio x menos a, entonces podemos afirmar que x menos a es factor de p de x, y se cumple que p de a es igual a cero. Ese es un caso especial del teorema del residuo. Como vemos que la división es exacta, el polinomio p de x es divisible entre este binomio, entonces el residuo será cero. Y recordemos que este valor a se obtiene de igualar a cero el divisor. Entonces, de aquí vamos a igualar a cero mentalmente cada una de estas expresiones. Si x menos tres se iguala a cero, obtenemos x igual a tres. Y si x más dos se iguala a cero, obtenemos x igual a menos dos. Entonces, como en este caso p de x es divisible por cada uno de estos binomios, y de acuerdo con el teorema del factor, podemos afirmar que p de tres es igual a cero, y que p de menos dos también es igual a cero. Entonces, vamos con la primera condición, ¿qué será p de tres? Será evaluar este polinomio cuando x toma el valor tres. Eso nos queda así, tres a la cuatro menos a por tres al cubo, luego tenemos menos siete por tres al cuadrado, luego tenemos más b por x, o sea b por tres menos 24, y todo eso está igualado a cero. Resolvemos a continuación lo que tenemos allí, tres a la cuatro nos da ochenta y uno, aquí tres al cubo nos da veintisiete, veintisiete por menos a es menos veintisiete a, tres al cuadrado nos da nueve, nueve por menos siete es menos sesenta y tres, aquí más tres por más b nos da más tres b, esto menos veinticuatro igualado a cero. Organizamos esa expresión comenzando con los términos que tienen las letras, entonces nos queda menos veintisiete a más tres b, y vamos a operar los números, ochenta y uno menos sesenta y tres nos da dieciocho, y dieciocho menos veinticuatro es menos seis, y todo eso está igualado a cero. Podemos organizar esa expresión pasando este número al otro lado, llega a sumar con cero, entonces nos queda igual a seis. Tenemos allí una ecuación con dos incógnitas o variables que son a y b, pero esa ecuación, esa igualdad podemos simplificarla dividiendo a ambos lados por tres, vemos que todos estos números son divisibles por tres, entonces aquí menos veintisiete dividido entre tres nos da menos nueve que acompaña a la letra a, aquí tenemos más tres, si se divide entre tres nos da más uno, es decir, nos queda el término más ve, y esto igual a seis dividido entre tres que es igual a dos. Escribimos esta ecuación por acá y la vamos a llamar la ecuación número uno. Utilizamos ahora la otra condición, p de menos dos será evaluar todo este polinomio cuando x toma el valor menos dos, entonces eso será menos dos a la cuatro, luego menos a por menos dos al cubo, después menos siete por menos dos al cuadrado, luego más b por menos dos, esto menos veinticuatro y tenemos que igualar a cero para cumplir con esa condición. Resolvemos lo que tenemos allí, menos dos a la cuatro es dieciséis positivo, aquí menos dos al cubo, esto nos da menos ocho, y menos ocho por menos a es más ocho a, aquí tenemos menos dos al cuadrado, esto nos da cuatro positivo, cuatro por menos siete es menos veintiocho, aquí menos dos por más b es menos dos b, luego tenemos menos veinticuatro y todo eso igualado a cero. Organizamos la expresión escribiendo primero los términos que tienen las letras, luego operamos los números, dieciséis menos veintiocho nos da menos doce, y menos doce menos veinticuatro es menos treinta y seis, y todo eso está igualado a cero. Ahora escribimos en el lado izquierdo los términos que tienen las incógnitas, y pasamos este número al otro lado a sumar con cero, nos queda igual a treinta y seis. Podemos simplificar esa igualdad dividiendo ambos lados por dos, porque todos estos números son divisibles por dos. Ocho dividido entre dos nos queda cuatro que acompaña a la letra a, aquí tenemos menos, dos dividido entre dos nos da uno que acompaña a la letra b, nos queda simplemente b, y al otro lado treinta y seis dividido entre dos es dieciocho. Escribimos esta ecuación por acá y la llamamos la ecuación número dos. Hemos llegado a lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de dos por dos, dos ecuaciones con dos incógnitas. Recordemos que para resolver esto hay diferentes métodos de solución, está el método de sustitución, el de igualación, el de eliminación, o también el método de Kramer, que es la solución por determinantes. En este caso, como tenemos estos dos términos opuestos, podemos aprovechar el método de eliminación. Enseguida hacemos la suma de los términos en forma vertical, menos nueve a más cuatro a nos da menos cinco a, más b sumado con menos b nos da cero, es allí cuando esos dos términos se eliminan, y al otro lado tenemos dos más dieciocho que es veinte, de aquí ya podemos despejar la incógnita a, menos cinco que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, es como si dividimos ambos lados de esa igualdad por menos cinco, y resolviendo esta división obtenemos como resultado menos cuatro. De esta manera ya conocemos el valor de a, a vale menos cuatro, nos queda faltando el valor de b, y para ello podemos reemplazar este valor de a en cualquiera de esas dos ecuaciones. Vamos a reemplazar por ejemplo en la ecuación número uno, que dice menos nueve por a, o sea menos nueve por menos cuatro, luego más b, y todo eso igual a dos. Resolvemos ahora esta multiplicación, menos nueve por menos cuatro es treinta y seis positivo, esto más b igual a dos, y de allí podemos despejar b, pasamos treinta y seis al otro lado a restar, nos queda dos menos treinta y seis, y efectuando esa operación nos da que b es igual a menos treinta y cuatro. Con los valores de a y b conocidos ya podemos dar respuesta a la pregunta del problema, el valor de b sobre a, entonces b es menos treinta y cuatro, y a vale menos cuatro, entonces vamos a simplificar esa fracción, primero aplicamos la ley de los signos, menos con menos nos da más, entonces tendremos un resultado positivo, y ahora los números, treinta y cuatro cuartos se puede dividir por dos en el numerador y en el denominador, mitad de treinta y cuatro es diecisiete, y la mitad de cuatro es dos, diecisiete medios es una fracción irreducible, no se puede simplificar más, es el valor de b sobre a, seleccionamos entonces la opción c..
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divisible entre este binomio, entonces el residuo ser\u00e1 cero."}, {"start": 106.0, "end": 111.0, "text": " Y recordemos que este valor a se obtiene de igualar a cero el divisor."}, {"start": 111.0, "end": 117.0, "text": " Entonces, de aqu\u00ed vamos a igualar a cero mentalmente cada una de estas expresiones."}, {"start": 117.0, "end": 122.0, "text": " Si x menos tres se iguala a cero, obtenemos x igual a tres."}, {"start": 122.0, "end": 128.0, "text": " Y si x m\u00e1s dos se iguala a cero, obtenemos x igual a menos dos."}, {"start": 128.0, "end": 133.0, "text": " Entonces, como en este caso p de x es divisible por cada uno de estos binomios,"}, {"start": 133.0, "end": 141.0, "text": " y de acuerdo con el teorema del factor, podemos afirmar que p de tres es igual a cero,"}, {"start": 141.0, "end": 148.0, "text": " y que p de menos dos tambi\u00e9n es igual a cero."}, {"start": 148.0, "end": 152.0, "text": " Entonces, vamos con la primera condici\u00f3n, \u00bfqu\u00e9 ser\u00e1 p 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249.0, "end": 253.0, "text": " vemos que todos estos n\u00fameros son divisibles por tres,"}, {"start": 253.0, "end": 259.0, "text": " entonces aqu\u00ed menos veintisiete dividido entre tres nos da menos nueve que acompa\u00f1a a la letra a,"}, {"start": 259.0, "end": 263.0, "text": " aqu\u00ed tenemos m\u00e1s tres, si se divide entre tres nos da m\u00e1s uno,"}, {"start": 263.0, "end": 271.0, "text": " es decir, nos queda el t\u00e9rmino m\u00e1s ve, y esto igual a seis dividido entre tres que es igual a dos."}, {"start": 271.0, "end": 278.0, "text": " Escribimos esta ecuaci\u00f3n por ac\u00e1 y la vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno."}, {"start": 278.0, "end": 286.0, "text": " Utilizamos ahora la otra condici\u00f3n, p de menos dos ser\u00e1 evaluar todo este polinomio cuando x toma el valor menos dos,"}, {"start": 286.0, "end": 295.0, "text": " entonces eso ser\u00e1 menos dos a la cuatro, luego menos a por menos dos al cubo,"}, {"start": 295.0, "end": 303.0, "text": " despu\u00e9s menos siete por menos dos al cuadrado, luego m\u00e1s b por menos dos,"}, {"start": 303.0, "end": 310.0, "text": " esto menos veinticuatro y tenemos que igualar a cero para cumplir con esa condici\u00f3n."}, {"start": 310.0, "end": 316.0, "text": " Resolvemos lo que tenemos all\u00ed, menos dos a la cuatro es diecis\u00e9is positivo,"}, {"start": 316.0, "end": 323.0, "text": " aqu\u00ed menos dos al cubo, esto nos da menos ocho, y menos ocho por menos a es m\u00e1s ocho a,"}, {"start": 323.0, "end": 331.0, "text": " aqu\u00ed tenemos menos dos al cuadrado, esto nos da cuatro positivo, cuatro por menos siete es menos veintiocho,"}, {"start": 331.0, "end": 339.0, "text": " aqu\u00ed menos dos por m\u00e1s b es menos dos b, luego tenemos menos veinticuatro y todo eso igualado a cero."}, {"start": 339.0, "end": 345.0, "text": " Organizamos la expresi\u00f3n escribiendo primero los t\u00e9rminos que tienen las letras,"}, {"start": 345.0, "end": 354.0, "text": " luego operamos 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entre dos es dieciocho."}, {"start": 393.0, "end": 400.0, "text": " Escribimos esta ecuaci\u00f3n por ac\u00e1 y la llamamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero dos."}, {"start": 400.0, "end": 406.0, "text": " Hemos llegado a lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de dos por dos,"}, {"start": 406.0, "end": 409.0, "text": " dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 409.0, "end": 413.0, "text": " Recordemos que para resolver esto hay diferentes m\u00e9todos de soluci\u00f3n,"}, {"start": 413.0, "end": 420.0, "text": " est\u00e1 el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, el de igualaci\u00f3n, el de eliminaci\u00f3n, o tambi\u00e9n el m\u00e9todo de Kramer,"}, {"start": 420.0, "end": 422.0, "text": " que es la soluci\u00f3n por determinantes."}, {"start": 422.0, "end": 430.0, "text": " En este caso, como tenemos estos dos t\u00e9rminos opuestos, podemos aprovechar el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n."}, {"start": 430.0, "end": 434.0, "text": " Enseguida hacemos la suma de los t\u00e9rminos en forma vertical,"}, {"start": 434.0, "end": 441.0, "text": " menos nueve a m\u00e1s cuatro a nos da menos cinco a, m\u00e1s b sumado con menos b nos da cero,"}, {"start": 441.0, "end": 448.0, "text": " es all\u00ed cuando esos dos t\u00e9rminos se eliminan, y al otro lado tenemos dos m\u00e1s dieciocho que es veinte,"}, {"start": 448.0, "end": 457.0, "text": " de aqu\u00ed ya podemos despejar la inc\u00f3gnita a, menos cinco que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir,"}, {"start": 457.0, "end": 462.0, "text": " es como si dividimos ambos lados de esa igualdad por menos cinco,"}, {"start": 462.0, "end": 467.0, "text": " y resolviendo esta divisi\u00f3n obtenemos como resultado menos cuatro."}, {"start": 467.0, "end": 475.0, "text": " De esta manera ya conocemos el valor de a, a vale menos cuatro, nos queda faltando el valor de b,"}, {"start": 475.0, "end": 481.0, "text": " y para ello podemos reemplazar este valor de a en cualquiera de esas dos ecuaciones."}, {"start": 481.0, "end": 490.0, "text": " Vamos a reemplazar por ejemplo en la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno, que dice menos nueve por a, o sea menos nueve por menos cuatro,"}, {"start": 490.0, "end": 495.0, "text": " luego m\u00e1s b, y todo eso igual a dos."}, {"start": 495.0, "end": 501.0, "text": " Resolvemos ahora esta multiplicaci\u00f3n, menos nueve por menos cuatro es treinta y seis positivo,"}, {"start": 501.0, "end": 508.0, "text": " esto m\u00e1s b igual a dos, y de all\u00ed podemos despejar b, pasamos treinta y seis al otro lado a restar,"}, {"start": 508.0, "end": 517.0, "text": " nos queda dos menos treinta y seis, y efectuando esa operaci\u00f3n nos da que b es igual a menos treinta y cuatro."}, {"start": 517.0, "end": 526.0, "text": " Con los valores de a y b conocidos ya podemos dar respuesta a la pregunta del problema, el valor de b sobre a,"}, {"start": 526.0, "end": 534.0, "text": " entonces b es menos treinta y cuatro, y a vale menos cuatro, entonces vamos a simplificar esa fracci\u00f3n,"}, {"start": 534.0, "end": 541.0, "text": " primero aplicamos la ley de los signos, menos con menos nos da m\u00e1s, entonces tendremos un resultado positivo,"}, {"start": 541.0, "end": 548.0, "text": " y ahora los n\u00fameros, treinta y cuatro cuartos se puede dividir por dos en el numerador y en el denominador,"}, {"start": 548.0, "end": 557.0, "text": " mitad de treinta y cuatro es diecisiete, y la mitad de cuatro es dos, diecisiete medios es una fracci\u00f3n irreducible,"}, {"start": 557.0, "end": 579.0, "text": " no se puede simplificar m\u00e1s, es el valor de b sobre a, seleccionamos entonces la opci\u00f3n c."}, {"start": 587.0, "end": 588.0, "text": "."}]