EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo hallar el valor máximo de una función en un intervalo cerrado. 

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1

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 Añar el valor máximo de la función f de x igual a x al cuadrado más 2 sobre x en el intervalo cerrado que va desde 1 medio hasta 2. Bien, para comenzar vamos a reescribir la función de la siguiente manera. Nos queda x al cuadrado más 2x elevado a la menos 1, es decir, esta x la subimos para que nos quede una expresión más sencilla de derivar. Procedemos entonces a realizar la derivación de la función. Entonces nos queda f' de x es igual a derivada de x al cuadrado sería 2x, derivada de este término sería menos 2x elevado a la menos 2. Esta derivada la podríamos reescribir como 2x menos 2 sobre x al cuadrado. Y a continuación vamos a buscar los puntos críticos de la función. Para ello tomamos la primera derivada y la igualamos a cero. Es decir, esta expresión debemos igualarla a cero. Entonces nos queda una ecuación que debemos resolver. Podemos hacer lo siguiente, podríamos pasar a este término que se encuentra negativo al otro lado, positivo, es decir, sumando con el cero y nos queda así. Pasamos x al cuadrado que se encuentra dividiendo a multiplicar a este lado. Entonces 2x por x al cuadrado nos queda 2x al cubo igual a 2. Este 2 que estamos multiplicando lo pasamos a dividir, nos queda x al cubo igual a 2 medios, es decir, que x al cubo es igual a 1. Y para despejar la x, entonces sacamos raíz cúbica en ambos lados de la igualdad. Esto nos da x y aquí la raíz cúbica de 1 será igual a 1. Esto significa que en x igual a 1, es decir, en la abscisa 1, tenemos un punto crítico para esa función. Y podemos ver que este valor pertenece al intervalo cerrado que nos dieron. El intervalo que va desde 1 medio hasta 2. 1 se encuentra dentro de ese intervalo, por lo tanto podemos aceptar ese valor. Y por último evaluamos la función que nos dieron, esta función, en los distintos valores del intervalo dado. Entonces para ello conviene hacer esta tablita que organiza muy bien la información. Entonces tenemos un medio que es el extremo izquierdo del intervalo. Tenemos el 1 que fue el x donde hubo punto crítico según el análisis anterior. Y tenemos el 2 que es el extremo derecho del intervalo dado. Entonces si reemplazamos un medio aquí en la función donde están las x, eso nos da 17 cuartos. 17 cuartos equivale a 4.25. Si reemplazamos el 1 aquí en la función donde está la x, obtenemos 3. Y si reemplazamos el 2 en la función, obtenemos 5. De los tres valores obtenidos, podemos apreciar que el mayor de todos sería 5. Por lo tanto, este se convierte en el valor máximo de la función. Es decir, el f máximo. Es decir, el que nos está preguntando el problema. Entonces la respuesta al problema ¿cuál sería? En el intervalo desde un medio hasta dos intervalos cerrados, esta función presenta su valor máximo en 2 y es igual a 5. Entonces f máximo vale 5.
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