REGLA DE L'HOPITAL - Ejercicio 5 - ft. Casio Classwiz
#julioprofe explica cómo resolver un límite aplicando la Regla de L'Hopital. También muestra cómo efectuar la comprobación mediante la función Tabla de la calculadora Casio #Classwiz fx-991LA X.

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 Vamos a resolver detalladamente este límite, es decir, queremos saber qué le pasa a esta función, a qué valor tiende cuando x se aproxima a cero. Vamos a realizar el proceso manualmente, paso a paso, y al final haremos la comprobación utilizando la calculadora Casio ClassWiz. Comenzamos evaluando esta expresión, es decir, la función cuando x toma el valor cero. En el numerador tenemos logaritmo en base 10 de 3 por cero más 1, y en el denominador tenemos 2 a la cero menos 1. Vamos a resolver cada una de esas operaciones. Aquí 3 por cero nos da cero, cero sumado con 1 es 1. Entonces en el numerador tenemos logaritmo en base 10 de 1, y en el denominador tenemos 2 a la cero que equivale a 1 y eso menos 1. Seguimos en el numerador logaritmo en base 10 de 1 nos da cero, y en el denominador tenemos 1 menos 1, cero. Entonces hemos llegado a cero sobre cero que es una forma indeterminada, es como una voz de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresión. Si hacemos los intentos por utilizar estrategias de tipo algebraico para este caso, veremos que no llegamos a ninguna solución, no logramos superar la indeterminación cero sobre cero. Entonces vamos a utilizar en este caso la regla del Hopital, que justamente se aplica en casos como este, cuando los límites dan cero sobre cero o incluso infinito sobre infinito. La regla del Hopital nos indica que debemos derivar el numerador y el denominador de esta expresión por separado, es decir, sin considerar todo esto como un cociente. Entonces acá vamos a escribir el resultado de derivar la expresión del numerador y por acá anotamos el resultado de derivar la expresión del denominador. Para derivar el numerador aplicamos la siguiente propiedad. Si tenemos el logaritmo en base a de manzanita, en este caso la manzanita indica esta expresión 3x más 1, entonces la derivada de todo esto es una fracción. Tiene el siguiente modelo. En el denominador anotamos la manzanita y eso queda multiplicado por logaritmo natural o logaritmo neperiano de a, es decir, de la cantidad que acá hace el papel de la base del logaritmo. Y acá en el numerador anotamos la derivada de la manzanita. Es la regla de la cadena para derivar funciones logaritmicas. Entonces de acuerdo con este modelo aquí escribimos la manzanita que es 3x más 1, todo eso con paréntesis, luego tenemos eso multiplicado por logaritmo natural o logaritmo neperiano de a, en este caso a es 10. Recordemos que aquí la base es invisible, es el número 10, logaritmo natural de 10. Y acá en el numerador tendremos la derivada de la manzanita, es decir, la derivada de esto que tenemos aquí, la derivada de 3x más 1 que nos da como resultado 3. Ahora pasamos al denominador donde observamos una resta. Entonces tenemos que derivar cada uno de esos dos componentes. En el primero tenemos una expresión de tipo exponencial. Vamos a recordar cómo se deriva eso. La derivada de a a la x es la misma expresión a a la x por logaritmo natural o logaritmo neperiano de a. Entonces la derivada de 2 a la x será 2 a la x por logaritmo natural de 2, siguiendo este modelo. Luego tenemos la derivada de 1 que sería 0. Entonces nos queda simplemente esta expresión. Ahora a esto que obtuvimos vamos a colocarle denominador 1 y vamos a efectuar esta división de fracciones, aplicando lo que se conoce comúnmente como ley de la oreja. Entonces tenemos acá en el numerador el producto de 3 por 1 que nos da 3 y en el denominador el producto de todas estas cantidades o esas expresiones. Entonces tenemos 3x más 1 protegido con paréntesis, eso multiplicado por logaritmo natural de 10, luego tenemos eso multiplicado por 2 a la x y finalmente por logaritmo natural de 2. Ahora volvemos a evaluar esta expresión cuando x toma el valor 0. En el numerador continúa el 3. Aquí tenemos 3 por x, es decir 3 por 0 más 1, luego tenemos esto multiplicado por logaritmo natural de 10, después por 2 a la x. Entonces nos queda 2 a la 0 y eso multiplicado por logaritmo natural de 2. Ahora resolvemos esto que tenemos en el denominador. 3 por 0 nos da 0, 0 más 1 nos da como resultado 1 y 2 a la 0 también da como resultado 1. Entonces en el numerador nos quedó 3 y en el denominador tenemos 1 por logaritmo natural de 10 por 1 por logaritmo natural de 2, es decir logaritmo natural de 10 y eso multiplicado por logaritmo natural de 2. Ahora vamos a utilizar la calculadora Casio ClassWiz para encontrar el valor decimal de esta expresión numérica que obtuvimos. Entonces comenzamos presionando el botón menú y se observan en pantalla los iconos o accesos directos a las distintas funciones de la calculadora. Vamos a elegir el número 1, el del modo Calcular. Presionamos igual y vamos a escribir en pantalla esto que obtuvimos. Entonces presionamos el botón de fracción, en el numerador escribimos el 3, pasamos al denominador y vamos a escribir logaritmo natural de 10. Botón de logaritmo natural, escribimos el 10, cerramos el paréntesis y eso vamos a multiplicarlo por el logaritmo natural de 2. Entonces botón de logaritmo natural, escribimos el 2 y cerramos el paréntesis. Presionamos igual y obtenemos el siguiente resultado 1,879663486. Podríamos aproximarlo incluso a 1,88. Recordemos que en esta calculadora la marca decimal es la coma. Entonces aproximando a dos cifras decimales podemos decir que esto es 1,88. Y de esta manera terminamos el ejercicio. Este es el resultado en su forma indicada para este límite y este es el resultado en su forma decimal. Antes de hacer la comprobación de este ejercicio utilizando la función Tabla de la calculadora Casio Class-Wise, vamos a determinar el dominio de esta función para saber qué valores de x debemos ingresar a esa función Tabla. Vemos que acá en el numerador hay un logaritmo en base 10 de 3x más 1. Para que esto exista se requiere que el argumento sea positivo, es decir que 3x más 1 sea mayor que 0. Entonces creamos una desigualdad lineal que vamos a resolver rápidamente. Vamos a restar 1 a ambos lados de la desigualdad, nos queda 3x y acá menos 1. El sentido de la desigualdad se conserva. Ahora vamos a dividir ambos lados de la desigualdad por 3. Entonces acá nos queda x y acá nos queda menos 1 tercio. Y como hemos dividido por una cantidad positiva a ambos lados de la desigualdad, entonces su sentido sigue conservándose. Tenemos ya un conjunto, los x mayores que menos un tercio, es decir desde menos un tercio hasta más infinito. Pero también debemos prestar atención al denominador, esto no puede ser 0. Y como hemos visto esto vale 0 cuando 2 a la x toma el valor 1 y eso sucede cuando x toma el valor 0. Por lo tanto 0 que está en este conjunto debemos excluirlo de los valores que puede tomar x. Entonces tendremos que el dominio para esa función son los valores reales de x pertenecientes al intervalo que va desde menos un tercio hasta 0 abierto en ambos extremos porque ni menos un tercio ni 0 se deben tomar y esto unión con el intervalo que va desde 0 abierto hasta más infinito. Este será entonces el dominio para esa función. Ahora sí vamos a realizar la comprobación de este ejercicio utilizando la calculadora Casio ClassWiz. Veamos cómo se hace. Comenzamos por limpiar la pantalla presionando el botón AC, ahora oprimimos el botón menú y nos movemos hacia abajo hasta llegar al ícono identificado con el número 9, es el que corresponde a la función tabla. Presionamos el botón igual para ingresar allí y nos aparece en pantalla f de x igual. Vamos entonces a ingresar esta expresión, la de la función cuyo comportamiento vamos a examinar. Entonces presionamos el botón de fracción y en el numerador vamos con la función de logaritmo en base 10 que se encuentra en color amarillo encima de la tecla del signo negativo. Entonces presionamos el botón shift, luego el botón del signo negativo y nos aparece ya el logaritmo en base 10 en pantalla. Allí vamos a escribir entonces dentro del paréntesis 3x más 1 y cerramos el paréntesis. Pasamos al denominador y vamos a escribir 2 a la x, presionamos la tecla del 2, luego el botón de x al a cuadrito y allí vamos a escribir x. Corremos el cursor a la derecha para que baje y luego escribimos menos 1. Ya tenemos entonces en pantalla la función que acá será f de x. Presionamos el botón igual, la calculadora nos pide una segunda función llamada g de x, pero en este caso no la tenemos, simplemente vamos a analizar el comportamiento de f de x. Presionamos el botón igual y nos pregunta por el valor inicial de x. Es aquí cuando utilizamos esto que determinamos del dominio. Entonces vemos que los valores de x empiezan en menos 1 tercio y van hacia la derecha, es decir en menos 0,333 o menos 0,3 periódico hacia la derecha. Podríamos entonces colocar como valor inicial el menos 0,3. Ahora presionamos igual, vamos al valor final. Como nos interesa lo que pasa en la cercanía de 0, podemos ir hasta 0,3 positivo y presionamos igual para elegir el paso, es decir los incrementos en los valores de x desde el valor inicial hasta llegar al valor final. Podemos escoger el valor 0,1 para tener un poco de precisión. Presionamos igual y ahora tenemos en pantalla la tabla. Allí vemos entonces si nos desplazamos hacia abajo que al llegar al valor x igual a 0 nos marca error. Claro, lo que habíamos dicho, por eso el 0 se excluye del dominio de la función, porque cuando x toma el valor 0 esta función no existe y fue lo que encontramos al principio del ejercicio cuando obteníamos la indeterminación 0 sobre 0. Ahora lo que podemos mirar también es que cuando x vale menos 0,1 el valor de la función o el valor de y es 2,31 y que cuando x toma el valor 0,1 el valor de y es 1,58 aproximadamente. Entonces lo que vamos a hacer es editar la tabla, una función característica de la calculadora Casio ClassWiz. Entonces nos ubicamos en el valor menos 0,1 valor de x y allí vamos a elegir un valor de x muy próximo a 0 pero por la izquierda, es decir por la zona negativa. Podemos escoger menos 0,0001, presionamos igual y allí vemos que la tabla automáticamente se actualiza, el valor que aparece al frente es 1,88 más o menos lo que nos dio acá, es decir el resultado decimal del límite. Quiere decir que cuando en esta función x se aproxima a 0 por la izquierda los valores de la función se están acercando a 1,88. Ahora nos ubicamos en el valor de x 0,1 y allí vamos a editar la tabla, escribimos 0,0001, presionamos igual y de nuevo la tabla se actualiza. Vemos que el valor que aparece al frente es 1,87931, bueno etcétera, un valor muy cercano a 1,88. Con eso confirmamos que cuando x se aproxima a 0 por la derecha, es decir con valores positivos cercanos a 0, los valores de esta función se están acercando a 1,88. Así confirmamos que ese límite existe, que cuando x se aproxima a 0 por los dos lados, la función se está acercando a 1,88 o este valor que fue el que expresamos en forma de cantidades numéricas. Así terminamos el ejercicio y comprobamos que la solución que hicimos es correcta. Ahora las calculadoras Casio-Clasuiz en la papelería Cuyacán.
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Tenemos ya un conjunto, los x mayores que"}, {"start": 484.92, "end": 490.64000000000004, "text": " menos un tercio, es decir desde menos un tercio hasta m\u00e1s infinito. Pero tambi\u00e9n debemos"}, {"start": 490.64000000000004, "end": 496.96000000000004, "text": " prestar atenci\u00f3n al denominador, esto no puede ser 0. Y como hemos visto esto vale"}, {"start": 496.96000000000004, "end": 504.72, "text": " 0 cuando 2 a la x toma el valor 1 y eso sucede cuando x toma el valor 0. Por lo tanto 0 que"}, {"start": 504.72, "end": 511.48, "text": " est\u00e1 en este conjunto debemos excluirlo de los valores que puede tomar x. Entonces tendremos"}, {"start": 511.48, "end": 517.34, "text": " que el dominio para esa funci\u00f3n son los valores reales de x pertenecientes al intervalo que"}, {"start": 517.34, "end": 525.4, "text": " va desde menos un tercio hasta 0 abierto en ambos extremos porque ni menos un tercio ni"}, {"start": 525.4, "end": 533.8000000000001, "text": " 0 se deben tomar y esto uni\u00f3n con el intervalo que va desde 0 abierto hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 533.8000000000001, "end": 540.36, "text": " Este ser\u00e1 entonces el dominio para esa funci\u00f3n. Ahora s\u00ed vamos a realizar la comprobaci\u00f3n"}, {"start": 540.36, "end": 546.54, "text": " de este ejercicio utilizando la calculadora Casio ClassWiz. Veamos c\u00f3mo se hace. Comenzamos"}, {"start": 546.54, "end": 551.88, "text": " por limpiar la pantalla presionando el bot\u00f3n AC, ahora oprimimos el bot\u00f3n men\u00fa y nos"}, {"start": 551.88, "end": 558.92, "text": " movemos hacia abajo hasta llegar al \u00edcono identificado con el n\u00famero 9, es el que corresponde"}, {"start": 558.92, "end": 563.76, "text": " a la funci\u00f3n tabla. Presionamos el bot\u00f3n igual para ingresar all\u00ed y nos aparece en"}, {"start": 563.76, "end": 571.24, "text": " pantalla f de x igual. Vamos entonces a ingresar esta expresi\u00f3n, la de la funci\u00f3n cuyo comportamiento"}, {"start": 571.24, "end": 576.3199999999999, "text": " vamos a examinar. Entonces presionamos el bot\u00f3n de fracci\u00f3n y en el numerador vamos"}, {"start": 576.3199999999999, "end": 582.24, "text": " con la funci\u00f3n de logaritmo en base 10 que se encuentra en color amarillo encima de la"}, {"start": 582.24, "end": 587.48, "text": " tecla del signo negativo. Entonces presionamos el bot\u00f3n shift, luego el bot\u00f3n del signo"}, {"start": 587.48, "end": 593.08, "text": " negativo y nos aparece ya el logaritmo en base 10 en pantalla. All\u00ed vamos a escribir"}, {"start": 593.08, "end": 601.0, "text": " entonces dentro del par\u00e9ntesis 3x m\u00e1s 1 y cerramos el par\u00e9ntesis. Pasamos al denominador"}, {"start": 601.0, "end": 607.5600000000001, "text": " y vamos a escribir 2 a la x, presionamos la tecla del 2, luego el bot\u00f3n de x al a cuadrito"}, {"start": 607.5600000000001, "end": 613.84, "text": " y all\u00ed vamos a escribir x. Corremos el cursor a la derecha para que baje y luego escribimos"}, {"start": 613.84, "end": 621.24, "text": " menos 1. Ya tenemos entonces en pantalla la funci\u00f3n que ac\u00e1 ser\u00e1 f de x. Presionamos"}, {"start": 621.24, "end": 626.9, "text": " el bot\u00f3n igual, la calculadora nos pide una segunda funci\u00f3n llamada g de x, pero en este"}, {"start": 626.9, "end": 633.4, "text": " caso no la tenemos, simplemente vamos a analizar el comportamiento de f de x. Presionamos el"}, {"start": 633.4, "end": 640.1, "text": " bot\u00f3n igual y nos pregunta por el valor inicial de x. Es aqu\u00ed cuando utilizamos esto que"}, {"start": 640.1, "end": 646.6800000000001, "text": " determinamos del dominio. Entonces vemos que los valores de x empiezan en menos 1 tercio"}, {"start": 646.68, "end": 654.0, "text": " y van hacia la derecha, es decir en menos 0,333 o menos 0,3 peri\u00f3dico hacia la derecha."}, {"start": 654.0, "end": 661.18, "text": " Podr\u00edamos entonces colocar como valor inicial el menos 0,3. Ahora presionamos igual, vamos"}, {"start": 661.18, "end": 667.9599999999999, "text": " al valor final. Como nos interesa lo que pasa en la cercan\u00eda de 0, podemos ir hasta 0,3"}, {"start": 667.9599999999999, "end": 673.4799999999999, "text": " positivo y presionamos igual para elegir el paso, es decir los incrementos en los valores"}, {"start": 673.48, "end": 681.28, "text": " de x desde el valor inicial hasta llegar al valor final. Podemos escoger el valor 0,1"}, {"start": 681.28, "end": 688.04, "text": " para tener un poco de precisi\u00f3n. Presionamos igual y ahora tenemos en pantalla la tabla."}, {"start": 688.04, "end": 694.16, "text": " All\u00ed vemos entonces si nos desplazamos hacia abajo que al llegar al valor x igual a 0 nos"}, {"start": 694.16, "end": 699.96, "text": " marca error. Claro, lo que hab\u00edamos dicho, por eso el 0 se excluye del dominio de la"}, {"start": 699.96, "end": 705.8000000000001, "text": " funci\u00f3n, porque cuando x toma el valor 0 esta funci\u00f3n no existe y fue lo que encontramos"}, {"start": 705.8000000000001, "end": 712.0, "text": " al principio del ejercicio cuando obten\u00edamos la indeterminaci\u00f3n 0 sobre 0. Ahora lo que"}, {"start": 712.0, "end": 718.1600000000001, "text": " podemos mirar tambi\u00e9n es que cuando x vale menos 0,1 el valor de la funci\u00f3n o el valor"}, {"start": 718.1600000000001, "end": 728.64, "text": " de y es 2,31 y que cuando x toma el valor 0,1 el valor de y es 1,58 aproximadamente."}, {"start": 728.64, "end": 733.56, "text": " Entonces lo que vamos a hacer es editar la tabla, una funci\u00f3n caracter\u00edstica de la"}, {"start": 733.56, "end": 740.92, "text": " calculadora Casio ClassWiz. Entonces nos ubicamos en el valor menos 0,1 valor de x y all\u00ed vamos"}, {"start": 740.92, "end": 747.92, "text": " a elegir un valor de x muy pr\u00f3ximo a 0 pero por la izquierda, es decir por la zona negativa."}, {"start": 747.92, "end": 755.6, "text": " Podemos escoger menos 0,0001, presionamos igual y all\u00ed vemos que la tabla autom\u00e1ticamente"}, {"start": 755.6, "end": 762.32, "text": " se actualiza, el valor que aparece al frente es 1,88 m\u00e1s o menos lo que nos dio ac\u00e1,"}, {"start": 762.32, "end": 767.48, "text": " es decir el resultado decimal del l\u00edmite. Quiere decir que cuando en esta funci\u00f3n x"}, {"start": 767.48, "end": 774.5600000000001, "text": " se aproxima a 0 por la izquierda los valores de la funci\u00f3n se est\u00e1n acercando a 1,88."}, {"start": 774.5600000000001, "end": 780.4, "text": " Ahora nos ubicamos en el valor de x 0,1 y all\u00ed vamos a editar la tabla, escribimos"}, {"start": 780.4, "end": 787.88, "text": " 0,0001, presionamos igual y de nuevo la tabla se actualiza. Vemos que el valor que aparece"}, {"start": 787.88, "end": 797.52, "text": " al frente es 1,87931, bueno etc\u00e9tera, un valor muy cercano a 1,88. Con eso confirmamos que"}, {"start": 797.52, "end": 803.52, "text": " cuando x se aproxima a 0 por la derecha, es decir con valores positivos cercanos a 0,"}, {"start": 803.52, "end": 812.64, "text": " los valores de esta funci\u00f3n se est\u00e1n acercando a 1,88. As\u00ed confirmamos que ese l\u00edmite existe,"}, {"start": 812.64, "end": 819.76, "text": " que cuando x se aproxima a 0 por los dos lados, la funci\u00f3n se est\u00e1 acercando a 1,88 o este"}, {"start": 819.76, "end": 826.04, "text": " valor que fue el que expresamos en forma de cantidades num\u00e9ricas. As\u00ed terminamos el"}, {"start": 826.04, "end": 835.28, "text": " ejercicio y comprobamos que la soluci\u00f3n que hicimos es correcta."}, {"start": 835.28, "end": 860.48, "text": " Ahora las calculadoras Casio-Clasuiz en la papeler\u00eda Cuyac\u00e1n."}]