INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral impropia, se llama así porque tenemos en el límite superior más infinito. Comenzamos por cambiar este límite superior por una letra, en este caso vamos a usar b, el límite inferior sigue siendo 2 y la función que se va a integrar sigue siendo 4 sobre x al cuadrado con su diferencial de x y acá por fuera de la integral escribimos el límite de esta letra cuando tiende a más infinito, o sea lo que tenemos inicialmente en el límite superior. Enseguida vamos a obtener la antiderivada para esta función, vamos a realizar este procedimiento por acá, la integral de 4 sobre x al cuadrado con su diferencial de x, se puede reescribir como la integral de 4x a la menos 2 con ese mismo diferencial, subimos la potencia y nos cambia de signo el exponente, tenemos allí una integral directa donde dejamos el número 4 quieto y nos ocupamos de integrar x a la menos 2, allí le sumamos 1 a este número, menos 2 más 1 nos da menos 1 y ese mismo número se describe en el denominador. Ahora acomodamos esa expresión de la siguiente manera, trazamos la línea de la fracción, arriba podemos dejar el 4, bajamos x a la menos 1 que llega como x al denominador y este signo menos lo podemos trasladar bien sea a la parte de arriba o en la mitad de la fracción, vamos a dejarlo en este caso en la parte superior, este 1 simplemente desaparece. Continuamos el desarrollo del ejercicio por acá y esto nos queda límite cuando tiende a más infinito y vamos entonces con el resultado de la integral que nos dio menos 4 sobre x, la integral indefinida nos dio esta expresión pero acá tenemos una integral definida por lo tanto trazamos esta línea, anotamos los límites de integración que son 2 y b y cerramos el corchete. Ahora aquí vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, vamos a evaluar estos límites de integración en la antiderivada que obtuvimos, vamos a seguir por acá, nos queda entonces límite cuando b tiende a más infinito, vamos a abrir corchete y reemplazamos el límite superior aquí donde está la x, nos queda menos 4 sobre b y a eso vamos a restarle el reemplazo o la evaluación del límite inferior también donde tenemos la x, esto nos queda menos 4 sobre 2, cerramos el paréntesis que protege esa cantidad negativa y cerramos el corchete. Ahora tenemos que resolver este límite donde b tiende a infinito, entonces podemos reemplazar aquí en la expresión de por esta cantidad, recordemos que infinito hace referencia a un número muy grande, un número gigantesco que entra a ocupar el lugar de la variable, aquí nos queda menos por menos que es más y cuatro medios se convierte en dos, allí tenemos que menos cuatro dividido entre un número enorme, o sea dividido entre infinito es algo que se convierte en cero, obtiene a cero y cero más dos nos da como resultado dos, que será entonces la respuesta para esa integral impropia, como nos dio un número real concluimos que esta integral convergen. Veamos cómo se interpreta eso gráficamente, allí tenemos un bosquejo de la gráfica de la función que tenemos en el integrando, es decir la función 4 sobre x al cuadrado, se observa que el eje y es asíntota vertical y el eje x es asíntota horizontal, suponiendo que aquí tenemos la abscisa 2, entonces esa integral definida corresponde al área bajo esta curva entre 2 y más infinito, es decir esta región que aparece pintada con color verde, entonces el área de esta región geométricamente tiene un valor de dos unidades cuadradas, con eso terminamos este ejercicio.
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