DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 9
#julioprofe explica cómo obtener las primeras derivadas parciales de una función de tres variables.

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 Para esta función vamos a determinar sus derivadas parciales con respecto a las variables que involucra. Es decir, vamos a encontrar la derivada parcial con respecto a x, la derivada parcial con respecto a y y la derivada parcial con respecto a la variable z. Comenzamos con la derivada parcial de la función con respecto a x, que también puede escribirse de esta manera. Es la primera derivada parcial con respecto a x. En ese caso, las otras dos variables, y y z, se comportan como constantes. Entonces, lo que podemos hacer en este caso es asegurar de toda esta expresión aquello que permanece constante. Como tenemos pura multiplicación, entonces, escribemos primero aquellos elementos que van a permanecer fijos, o sea que son constantes. Se trata del 5 y se trata de toda esta expresión, seno de 3 y a la 4, z al cuadrado. Todo esto, entonces, permanece fijo por ser constante y multiplicamos por la derivada de lo que contiene la variable, o sea, la x. La derivada de x a la 6 es 6x a la 5 y posteriormente multiplicamos lo que se pueda. En este caso se puede multiplicar 5 por 6x a la 5, eso nos da 30x a la 5 acompañado de seno de 3 y a la 4 por z al cuadrado. Vamos entonces a escribir la primera derivada parcial con respecto a x. 30x a la 5, seno de 3 y a la 4, z al cuadrado. En seguida vamos a determinar la primera derivada parcial de la función con respecto a la variable y, que también puede escribirse de esta manera. En ese caso las otras dos variables, o sea x y z permanecen constantes, tienen ese comportamiento fijo. En toda esa expresión vamos a comenzar por asegurar lo que permanece constante. Se trata de todo este componente 5x a la 6 que lo escribimos de una vez por permanecer constante. Y nos vamos a ocupar de la derivada de esta expresión que es la que contiene la variable y. Esto hace parte de la función seno, entonces derivamos el seno. Recordemos que para derivar seno de una expresión, por ejemplo seno de la manzanita, tendremos que eso es igual a coseno de la manzanita por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. O sea lo que llamamos la derivada del ángulo. En este caso la derivada del seno de todo esto será coseno de 3 y a la 4, z al cuadrado. Todo esto representa la manzanita y esto ahora multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de todo esto. Pero sería una derivada parcial con respecto a la variable y. No podemos olvidar eso. Siempre tener en cuenta cual es la variable con respecto de la cual se está haciendo la derivación. Entonces para derivar este componente aseguramos el componente constante, o sea 3 z al cuadrado se deja quieto y se procede a derivar la variable, o sea y a la 4 que sería 4 y a la 3. Allí tenemos entonces ya derivada la expresión. Vamos a entrar a polirla para que nos quede más corta. Entonces podemos multiplicar esto por esto que nos quedó al final. Tenemos 5 por 3, 15. 15 por 4, 60. Acomodamos las letras. Podemos organizarlas en orden alfabético. X a la 6, y a la 3, z al cuadrado y todo eso multiplicado por el coseno de 3 y a la 4, z al cuadrado. Vamos a escribir ese resultado por aquí. Primera derivada parcial de la función con respecto a y. 60x a la 6, y al cubo, z al cuadrado por coseno de 3 y a la 4, z al cuadrado. Por último vamos a determinar la derivada parcial de la función con respecto a z que también puede escribirse de esta manera. Ahora las letras x y y, o sea las otras dos variables son las que se van a comportar como constantes. Entonces comenzamos por asegurar en esta expresión aquello que permanece fijo, o sea la parte constante. Se trata de 5x a la 6. Por eso lo escribimos primero y nos vamos a ocupar de la derivada de todo este componente que es el que contiene la variable z. Tenemos nuevamente la derivada del seno, que será coseno de todo esto, de 3 y a la 4, z al cuadrado. Y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de todo esto. Allí aseguramos también el componente constante que sería 3y a la 4 y posteriormente multiplicamos por aquello que es variable. O sea la derivada de z al cuadrado que es 2z. Esta es la derivada, pero vamos a entrar a polirla para que nos quede más corta. Tenemos entonces 5x3 que es 15, 15x2 nos da 30, 15x6 y4z y todo es acompañado de coseno de 3y4z al cuadrado. Y ese resultado lo escribimos por aquí. Bien, con esto terminamos el ejercicio. Hemos encontrado entonces las primeras derivadas parciales de esta función de tres variables.
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