DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo realizar la división entre dos polinomios algebraicos.

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 Como parte de las operaciones entre expresiones algebraicas, vamos a ver en esta ocasión la división de polinomio entre polinomio. En esta situación tenemos un polinomio de seis términos que será dividido entre un polinomio de tres términos, es decir, un trinomio. Como primer paso vamos a escribir el dividendo en forma descendente o forma decreciente. Iniciamos entonces con el término de mayor grado, que es 6x a la 5. Seguimos ahora con más 23x a la 4, después menos 5x al cubo, luego menos 14x cuadrado, después menos 35x y por último más 20. De esa manera tenemos la primera expresión organizada en forma descendente. Vemos que los exponentes van disminuyendo. Si por alguna razón falta algún término en el dividendo, entonces debemos respetar su lugar dejando espacio en blanco o completando con cero. En este caso vemos que no falta ningún término. Tenemos el polinomio completo. Ahora vamos a escribir en este espacio el divisor también organizado en forma descendente. Tenemos 3x al cubo, después más x cuadrado y finalmente menos 5. En este caso si falta algún término de la secuencia descendente no es necesario dejar espacio en blanco o completar con cero. Eso únicamente lo vamos a hacer en el dividendo. Bien, entonces como primer requisito para realizar la división entre polinomios algebraicos es tener tanto el dividendo como el divisor organizados en forma descendente. Vamos a obtener a continuación el primer término del cociente. Para ello tomamos el primer término del dividendo 6x a la 5 y lo dividimos entre el primer término del divisor. Y aquí tenemos la división entre monomios. Veamos entonces los coeficientes. Nos da 6 dividido entre 3 es 2 y x a la 5 sobre x a la 3. Dejamos la misma base que es x y restamos los exponentes. 5 menos 3 nos da 2. Entonces, repetimos, aquí hacemos una división entre monomios, primer término del dividendo dividido entre primer término del divisor y de esa manera tenemos el primer término del cociente. Ahora vamos a multiplicar el primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor y los resultados los vamos a escribir aquí debajo del dividendo con signos contrarios y debajo de su término semejante. Veamos entonces, 2x cuadrado por 3x al cubo, esta multiplicación nos da 6x a la 5. Entonces, la vamos a escribir debajo de este término pero con signo contrario. Acá la multiplicación nos da un resultado positivo, acá lo traemos con signo negativo y escribimos ese término debajo de su semejante. Vamos ahora con este por este, tenemos 2x al cuadrado por x al cuadrado, eso nos da 2x a la 4 positivo, entonces lo traemos aquí negativo y lo escribimos debajo de su correspondiente término semejante. Ahora vamos con 2x al cuadrado por menos 5, eso nos da menos 10x al cuadrado, entonces lo traemos acá como más 10x al cuadrado con signo contrario y debajo de su término semejante. Ahora en este lado vamos a sumar los términos en forma vertical, la suma de estos dos términos nos da 0, son términos opuestos por lo tanto se pueden eliminar. Tenemos 23x a la 4 con menos 2x a la 4, eso nos da 21x a la 4 término positivo, bajamos menos 5x a la 3, por aquí tenemos menos 14x al cuadrado sumado con 10x al cuadrado, eso nos da menos 4x al cuadrado y estos dos términos simplemente los bajamos. Tenemos entonces nuestro nuevo dividendo por así decirlo, es la expresión actualizada en el lado izquierdo. Vamos ahora con el siguiente término del cociente, tomamos entonces el primer término de la nueva expresión que es 21x a la 4 y lo vamos a dividir entre el primer término del divisor. Siempre será primero de allá con primero de acá para obtener el término que deseamos. Haciendo esta división entre monomios nos da 7x aplicando división de coeficientes y acá cociente de potencias de la misma base. Entonces vamos a escribir aquí el segundo término del cociente que es 7x positivo. Repetimos el procedimiento que hicimos ahora. Vamos a multiplicar 7x por cada uno de los términos del divisor y los resultados los vamos a escribir a este lado con signo contrario y debajo de sus términos semejantes. Veamos, 7x por 3x al cubo nos da 21x a la 4, entonces lo escribimos por aquí como menos 21x a la 4 con signo contrario y debajo de su término semejante. Vamos ahora con 7x por x al cuadrado, eso nos da 7x al cubo, entonces lo escribimos como menos 7x al cubo debajo de su semejante y ahora 7x por menos 5, esto nos da menos 35x, por lo tanto lo traemos como más 35x debajo de su semejante. Ahora en este lado vamos a sumar los términos en forma vertical. Veamos, 21x a la 4 con menos 21x a la 4, la suma nos da 0 por ser términos opuestos, entonces los podemos eliminar. Por aquí menos 5x al cubo con menos 7x al cubo nos da menos 12x al cubo, ese término lo bajamos, menos 4x al cuadrado, por aquí estos dos términos también se eliminan, son términos opuestos cuya suma nos daría 0. Y bajamos el término independiente que es más 20. Tenemos entonces nuestro nuevo dividendo, por así decirlo, la expresión actualizada y es con la que vamos a obtener el tercer término del cociente. Tomamos entonces el primer término de esta nueva expresión, menos 12x al cubo y lo dividimos entre el primer término del divisor. Haciendo esta división entre monomios tenemos menos 12 entre 3 nos da menos 4 y estas dos potencias se pueden eliminar, eso nos daría x a la 0 que es 1, entonces queda únicamente menos 4, es decir, el tercer término del cociente. Nuevamente vamos a multiplicar menos 4 por cada uno de los términos del divisor y los vamos a escribir a este lado con signos contrarios y ubicándolos debajo de los términos semejantes. Veamos, menos 4 por 3x al cubo nos da menos 12x al cubo, entonces acá lo traemos como más 12x al cubo, debajo de su semejante. Menos 4 por x cuadrado nos da menos 4x cuadrado, pasa como más 4x cuadrado y lo escribimos debajo de su correspondiente término semejante. Veamos, por último menos 4x menos 5x nos da más 20, pasa a este lado como menos 20. En este lado sumamos los términos en forma vertical y encontramos que todos se van a eliminar entre sí, tenemos términos opuestos, entonces todo esto nos va a producir residuo 0. Tenemos entonces el caso de una división exacta donde el resultado principal es este que tenemos aquí, el cociente, porque tenemos residuo 0. Entonces de esta manera terminamos este ejercicio donde hemos visto cómo se dividen polinomios entre sí. Esta expresión es el resultado de esta división de polinomios.
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