INTEGRALES DOBLES - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una integral doble en coordenadas cartesianas o rectangulares.

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 Tenemos en este caso una integral doble ya propuesta. Vamos a resolverla recordando que estos valores corresponden a la variable x y estas dos expresiones corresponden a la variable y. Comenzamos entonces resolviendo la integral más interna. Vamos entonces a protegerla con llaves. Tenemos abajo esto es y igual a raíz cuadrada de x. Arriba tenemos y igual a uno más x. La función que es 2xy con el diferencial de y. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x. Con esto le damos prioridad a esta integral que la vamos a resolver con respecto a la variable y. Recordemos que en ese caso la x se comporta como una constante. Entonces al integrar esto 2x se queda quieto y procedemos a integrar la y. La integral de y es y al cuadrado sobre 2. Y todo esto lo vamos a evaluar entre y igual a raíz de x y y igual a uno más x. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x. Antes de evaluar los límites de integración conviene simplificar este número 2. Entonces tendremos una expresión más sencilla. Simplemente x y al cuadrado que será evaluada entre estos valores de y. Cerramos y escribimos el diferencial de x. Tenemos entonces que entra primero el límite superior donde está la letra y. Nos queda x por uno más x al cuadrado menos ahora entra el límite inferior donde está la letra y. Queda entonces x por raíz cuadrada de x. Esto al cuadrado. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x. Aplicamos el algebra para desarrollar esa expresión. Tenemos entonces x por aplicamos aquí el producto notable llamado binomio al cuadrado. Nos queda el primer termino al cuadrado que es uno más dos veces el primer termino por el segundo. Eso nos da 2x más el segundo termino al cuadrado. Entonces x cuadrado. Cerramos el paréntesis menos x por raíz cuadrada de x elevado al cuadrado nos da x. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x. Aplicamos ahora la propiedad distributiva en este caso y tendremos lo siguiente x por uno nos da x más x por 2x es 2x al cuadrado y x por más x cuadrado nos queda más x al cubo. Menos x por x que nos da x al cuadrado toda esta expresión la podemos encerrar en paréntesis y escribimos el diferencial de x. Aquí podemos reducir términos semejantes son estos dos y entonces tendremos lo siguiente x más la operación de estos dos que nos da x cuadrado y esto más x al cubo. Protejemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Ya en este punto tenemos una integral únicamente en la variable x. Vamos entonces a resolverla es una integral directa entonces procedemos a integrar cada uno de los términos integral de x nos da x al cuadrado sobre 2 más integral de x al cuadrado que nos da x a la 3 sobre 3 más la integral de x al cubo que es x a la 4 sobre 4. Y vamos a evaluar en los límites de integración que son 0 y 1 valores de la variable x. Aplicando el teorema fundamental del cálculo, reemplazamos primero el límite superior entonces tenemos 1 al cuadrado nos da 1 que da 1 medio más 1 al cubo nos da 1 que da 1 tercio más 1 a la 4 que también es 1 queda con denominador 4 1 cuarto. Todo esto entonces corresponde al reemplazo del 1 el límite superior y esto menos el reemplazo del límite inferior que es 0 pero si 0 entra donde están las x todo eso nos da 0. Nos limitamos a resolver esta operación que nos da como resultado 1312 aos una operación sencilla de números fraccionarios y de esta manera hemos encontrado la respuesta a esta integral doble.
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