38. Problema 6 de DINÁMICA
Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España.
Clase No. 38: Problema 6 de Dinámica.
Tema: Las Fuerzas provocan Movimientos.
Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).
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 En este problema nos dan el gráfico y los siguientes datos. Mesa del bloque 1 es 15 kg, masa del bloque 2 son 10 kg y nos dicen que el coeficiente de rozamiento entre el bloque 1 y el plano inclinado es 0. Coeficiente de rozamiento igual a 0, no tenemos fricción. Nos preguntan cuál es la tensión en la cuerda y cuánto vale la aceleración del sistema. Para comenzar vamos a suponer una dirección de movimiento, nos dejamos llevar por el sentido común, es decir este bloque tiene una masa de 15 kg mientras que este tiene una masa de 10 kg. Que nos dice el sentido común? Que lo más seguro es que esto se mueva hacia la derecha, es decir que este bloque por ser de mayor masa que este entonces tienda a descender y este por lo tanto tiende a subir. Entonces suponemos dirección de movimiento hacia esta dirección, es decir la aceleración para el bloque 1 en esta dirección y para el bloque 2 hacia arriba. A continuación vamos a trazar entonces los ejes coordinados para ambos bloques. Vemos que para el bloque 1 se trazó el eje X paralelo al plano inclinado y obviamente el eje Y perpendicular al eje X. Para el caso del bloque 2 trazamos normalmente el plano cartesiano, eje X en posición horizontal y eje Y en posición vertical. A continuación vamos a ubicar en cada uno de los bloques las fuerzas que intervienen. Comenzamos con el peso, allí hemos dibujado el vector peso en cada uno de los bloques, recordemos que el peso siempre sale dirigido hacia abajo, sale del centro de masa de cada uno de los bloques que asumimos coincide con el origen del sistema de coordenadas elegido. El peso de cada uno de los bloques puede calcularse, aquí tenemos el peso del bloque 2 por ejemplo, que sería tomar la masa 2 que son 10 kg y multiplicarla por la gravedad, recordemos que peso es igual a masa por gravedad, tomamos la gravedad como 10 ms², por lo tanto 10 por 10 nos da 100 N, allí tenemos entonces el valor del peso del bloque 2. Para el caso del bloque 1 hacemos lo mismo, multiplicamos su masa que son 15 kg por la gravedad que son 10 ms² y nos da que el peso 1 tiene un valor de 150 N. A continuación vamos a dibujar la fuerza normal, tendremos únicamente fuerza normal aquí en el bloque 1 porque hace contacto con el plano inclinado, recordemos que la fuerza normal lleva una dirección perpendicular a la superficie y siempre saliendo de ella, entonces esta flechita, esta fuercita es la normal del bloque 1. Para el bloque 2 no tenemos fuerza normal puesto que no hace contacto con ninguna superficie. Vamos a dibujar la tensión en la cuerda, estas flechitas de color negro representadas siempre saliendo de los bloques, recordemos que para esta cuerda que es la única que tenemos la tensión es la misma en todos sus puntos, por lo tanto esta tensión la llamamos T y será esta misma de acá, T en ambos sitios por tratarse de la misma cuerda. Como el problema nos dice que no hay rosamiento entre el bloque 1 y el plano inclinado, entonces no dibujamos fuerza de rosamiento o fuerza de fricción. Pasamos entonces a descomponer aquellas fuerzas que estén por fuera de los ejes trazados, por ejemplo para el caso del bloque 2 vemos que el peso y la tensión llevan la dirección del eje Y, son las únicas fuerzas que actúan allí, por lo tanto no tenemos necesidad de descomponer ninguna fuerza, pero para el caso del bloque 1 podemos apreciar que el peso es un vector que no coincide ni con el eje X ni con el eje Y, por lo tanto tenemos que descomponerlo. Veamos, para ello desde la flecha del vector que queremos descomponer que es el peso 1 trazamos perpendiculares a los ejes X y Y para entonces visualizar las componentes. Allí tenemos las componentes, esta que tenemos aquí es la que se va a llamar W1 en X, la componente en X del vector peso 1, este vector de aquí y esta de acá será la componente W1 en el eje Y del peso 1. El ángulo de inclinación del plano que son 30 grados siempre será el que forma el peso con el eje Y, es decir este ángulo de aquí. Vamos entonces a pintarlo con este color para que se distinga que son iguales, ambos valen 30 grados. Ahora vamos a hacer el siguiente razonamiento, como en el caso del bloque 1 no tenemos fricción entonces no vamos a necesitar la fuerza de fricción o fuerza de razonamiento, que recordemos se calcula multiplicando el coeficiente de razonamiento por la fuerza normal. Si fuéramos a calcular la fuerza de razonamiento en el bloque 1, necesitaríamos la normal del bloque 1, esta de aquí y para poder conocer esta normal del bloque 1 tendríamos que conocer también la componente W1 en el eje Y, esta de aquí. Entonces repetimos como este dato vale 0, no tendremos fuerza de razonamiento por lo tanto no nos interesa calcular la fuerza normal en el caso del bloque 1, luego nos podemos ahorrar el calculo de esta componente. Vamos a calcular entonces únicamente la componente W1 en el eje X, para calcular la componente W1 en X hacemos la siguiente operación. Tomamos el vector W1, es decir el peso del bloque 1 y lo multiplicamos por el seno de 30 grados, ¿por qué por el seno de 30 grados? Porque este vector de aquí corresponde a este mismo cateto de este triángulo rectángulo, aquí se forma un triangulito rectángulo donde este es el cateto opuesto, por lo tanto por ser el cateto opuesto se obtiene multiplicando la hipotenusa, es decir el vector peso 1 por el seno de 30 grados, recordemos que el seno de 30 grados equivale a 0.5, lo podemos hacer en la calculadora y el peso 1 tiene un valor de 150 newtons, por lo tanto realizando esta multiplicación nos da 75 newtons y ese es entonces el valor de la componente W1 en X. Aquí hemos anotado ese resultado y procedemos al análisis de cada uno de los bloques para obtener las ecuaciones de este problema. Entonces vamos a comenzar por el bloque 1, entonces analicemos lo siguiente, en la dirección del eje Y el bloque no presenta movimiento por lo tanto hay equilibrio perfecto, luego esta fuerza normal, normal 1, equivaldría a la componente W1 en el eje Y, pero como dijimos hace un momento no necesitamos ninguna de estas dos fuerzas por lo tanto nos ahorramos ese análisis, nos concentramos únicamente en la dirección del movimiento, es decir en la dirección del eje X, entonces decimos como en X hay movimiento la sumatoria de fuerzas en X debe ser igual a masa por aceleración, la segunda ley de newton, entonces tendremos la siguiente ecuación, positiva será la fuerza que colabora con el movimiento que le ayuda, es decir la fuerza W1 en X, esa fuerza es positiva y negativa será la que se opone al movimiento, que será entonces la tensión, W1 en X lleva la dirección de la aceleración mientras que la tensión va en contra de la aceleración, es decir de la dirección de movimiento, y esto es igual a la masa del bloque que estamos analizando, es el bloque 1, es decir masa 1 por la aceleración de este bloque que es A, de allí podemos reemplazar lo que se conoce, por ejemplo la componente W1 en X vale 75 newtons menos la tensión que no la conocemos es igual a la masa del bloque 1 que son 15 kilogramos por la aceleración, el vector aceleración que tampoco lo conocemos, y tenemos entonces la ecuación número 1 de este problema, esta ecuación la vamos a etiquetar como la ecuación número 1, pasamos entonces al análisis del bloque 2, el bloque 2 presenta únicamente fuerzas en la dirección del eje Y, vemos que en la dirección del eje X no tiene fuerzas involucradas por lo tanto podemos despreocuparnos de lo que sucede en la dirección X, nos concentramos en lo que sucede en la dirección del eje Y, en esa dirección tenemos movimiento, movimiento hacia arriba, entonces la sumatoria de fuerzas en el eje Y será igual a masa por aceleración, recordemos siempre que haya movimiento igualamos la sumatoria de fuerzas a masa por aceleración, positiva será en este caso la fuerza que le ayuda al movimiento, es decir la tensión, vemos que la tensión lleva la misma dirección de la aceleración por lo tanto la tensión es positiva y negativa será la fuerza que se opone, si la que hace como resistencia, es decir entonces el peso del bloque 2 y eso será igual a la masa del bloque que estamos analizando que es el bloque 2, entonces masa 2 por la aceleración del bloque 2 que es A, vamos a reemplazar entonces lo que conocemos aquí, tenemos T desconocida menos el peso del bloque 2 que son 100 newtons y esto es igual a la masa del bloque 2 que son 10 kilogramos por la aceleración que también es desconocida, esta ecuación entonces la vamos a etiquetar con el número 2 y será la segunda ecuación de nuestro problema, por aquí hemos anotado la ecuación número 2 y tenemos lo que en matemática se conoce como sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, dos ecuaciones con dos incómitas, allí tenemos el sistema listo para resolverlo por el método de eliminación también conocido como método de reducción o como método de suma y resta, lo que hacemos es sumar ambos lados de las igualdades en forma vertical, por ejemplo si miramos los lados izquierdos vemos que menos T con T se nos cancelan eso da 0 y nos queda únicamente 75 menos 100 que sería menos 25, si sumamos al lado derecho nos queda 25A y de allí vamos a despejar la aceleración, tomamos este 25 que estamos multiplicando y lo pasamos a dividir al otro lado, entonces nos queda menos 25 sobre 25 esa división nos da menos 1, menos 1 es igual a la aceleración, vamos a organizar este dato y eso nos da menos 1 metros sobre segundo cuadrado es decir escribimos las unidades correspondientes a la aceleración, aquí debemos tener cuidado con lo siguiente, de menos quiere decir que la dirección elegida para la aceleración hay que corregirla, simplemente hacemos la observación de que el sistema se mueve en la otra dirección no en la que sospechábamos al comienzo sino hacia la izquierda con un valor con una magnitud de la aceleración de 1 metros sobre segundo cuadrado, esto no quiere decir que tengamos que repetir todo el procedimiento simplemente hacemos la observación podemos escribirlo diciendo que la dirección es contraria a la que supusimos inicialmente, pasamos entonces a encontrar la otra incógnita del problema que es la tensión podemos reemplazar este valor menos 1 en cualquiera de las dos ecuaciones en la que resulte más sencillo más conveniente por ejemplo hagámoslo en la ecuación número 2 decimos entonces t menos 100 es igual a 10 por el valor de a que fue menos 1 entonces tenemos t menos 100 es igual a menos 10 y de allí despejamos t simplemente el 100 que se encuentra restando pasaría a sumar al lado derecho nos queda menos 10 más 100 y tenemos una tensión igual a 90 escribimos las unidades correspondientes a la tensión por tratarse de una fuerza recordemos que va en newtons y esta es entonces la tensión en la cuerda entonces para terminar la aceleración del sistema tiene un valor de un metro sobre segundo cuadrado hacia la izquierda es decir bloque 2 descendiendo y la tensión en la cuerda tiene un valor de 90 newtons.
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522.76, "end": 529.08, "text": " se opone al movimiento, que ser\u00e1 entonces la tensi\u00f3n, W1 en X lleva la direcci\u00f3n de"}, {"start": 529.08, "end": 534.56, "text": " la aceleraci\u00f3n mientras que la tensi\u00f3n va en contra de la aceleraci\u00f3n, es decir de"}, {"start": 534.56, "end": 539.76, "text": " la direcci\u00f3n de movimiento, y esto es igual a la masa del bloque que estamos analizando,"}, {"start": 539.76, "end": 547.76, "text": " es el bloque 1, es decir masa 1 por la aceleraci\u00f3n de este bloque que es A, de all\u00ed podemos"}, {"start": 547.76, "end": 554.76, "text": " reemplazar lo que se conoce, por ejemplo la componente W1 en X vale 75 newtons menos"}, {"start": 554.76, "end": 560.84, "text": " la tensi\u00f3n que no la conocemos es igual a la masa del bloque 1 que son 15 kilogramos"}, {"start": 560.84, "end": 567.92, "text": " por la aceleraci\u00f3n, el vector aceleraci\u00f3n que tampoco lo conocemos, y tenemos entonces"}, {"start": 567.92, "end": 574.84, "text": " la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1 de este problema, esta ecuaci\u00f3n la vamos a etiquetar como la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 574.84, "end": 582.6800000000001, "text": " n\u00famero 1, pasamos entonces al an\u00e1lisis del bloque 2, el bloque 2 presenta \u00fanicamente"}, {"start": 582.6800000000001, "end": 588.88, "text": " fuerzas en la direcci\u00f3n del eje Y, vemos que en la direcci\u00f3n del eje X no tiene fuerzas"}, {"start": 588.88, "end": 596.12, "text": " involucradas por lo tanto podemos despreocuparnos de lo que sucede en la direcci\u00f3n X, nos concentramos"}, {"start": 596.12, "end": 601.9200000000001, "text": " en lo que sucede en la direcci\u00f3n del eje Y, en esa direcci\u00f3n tenemos movimiento, movimiento"}, {"start": 601.92, "end": 607.92, "text": " hacia arriba, entonces la sumatoria de fuerzas en el eje Y ser\u00e1 igual a masa por aceleraci\u00f3n,"}, {"start": 607.92, "end": 615.1999999999999, "text": " recordemos siempre que haya movimiento igualamos la sumatoria de fuerzas a masa por aceleraci\u00f3n,"}, {"start": 615.1999999999999, "end": 620.1999999999999, "text": " positiva ser\u00e1 en este caso la fuerza que le ayuda al movimiento, es decir la tensi\u00f3n,"}, {"start": 620.1999999999999, "end": 623.88, "text": " vemos que la tensi\u00f3n lleva la misma direcci\u00f3n de la aceleraci\u00f3n por lo tanto la tensi\u00f3n"}, {"start": 623.88, "end": 629.1999999999999, "text": " es positiva y negativa ser\u00e1 la fuerza que se opone, si la que hace como resistencia,"}, {"start": 629.2, "end": 634.08, "text": " es decir entonces el peso del bloque 2 y eso ser\u00e1 igual a la masa del bloque que estamos"}, {"start": 634.08, "end": 639.96, "text": " analizando que es el bloque 2, entonces masa 2 por la aceleraci\u00f3n del bloque 2 que es"}, {"start": 639.96, "end": 648.0400000000001, "text": " A, vamos a reemplazar entonces lo que conocemos aqu\u00ed, tenemos T desconocida menos el peso"}, {"start": 648.0400000000001, "end": 654.6, "text": " del bloque 2 que son 100 newtons y esto es igual a la masa del bloque 2 que son 10 kilogramos"}, {"start": 654.6, "end": 660.6800000000001, "text": " por la aceleraci\u00f3n que tambi\u00e9n es desconocida, esta ecuaci\u00f3n entonces la vamos a etiquetar"}, {"start": 660.6800000000001, "end": 666.28, "text": " con el n\u00famero 2 y ser\u00e1 la segunda ecuaci\u00f3n de nuestro problema, por aqu\u00ed hemos anotado"}, {"start": 666.28, "end": 672.0400000000001, "text": " la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2 y tenemos lo que en matem\u00e1tica se conoce como sistema de ecuaciones"}, {"start": 672.0400000000001, "end": 677.36, "text": " lineales de 2 por 2, dos ecuaciones con dos inc\u00f3mitas, all\u00ed tenemos el sistema listo"}, {"start": 677.36, "end": 682.36, "text": " para resolverlo por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n tambi\u00e9n conocido como m\u00e9todo de reducci\u00f3n"}, {"start": 682.36, "end": 689.88, "text": " o como m\u00e9todo de suma y resta, lo que hacemos es sumar ambos lados de las igualdades en"}, {"start": 689.88, "end": 696.4, "text": " forma vertical, por ejemplo si miramos los lados izquierdos vemos que menos T con T se"}, {"start": 696.4, "end": 703.92, "text": " nos cancelan eso da 0 y nos queda \u00fanicamente 75 menos 100 que ser\u00eda menos 25, si sumamos"}, {"start": 703.92, "end": 711.08, "text": " al lado derecho nos queda 25A y de all\u00ed vamos a despejar la aceleraci\u00f3n, tomamos este"}, {"start": 711.08, "end": 716.4000000000001, "text": " 25 que estamos multiplicando y lo pasamos a dividir al otro lado, entonces nos queda"}, {"start": 716.4000000000001, "end": 724.32, "text": " menos 25 sobre 25 esa divisi\u00f3n nos da menos 1, menos 1 es igual a la aceleraci\u00f3n, vamos"}, {"start": 724.32, "end": 731.24, "text": " a organizar este dato y eso nos da menos 1 metros sobre segundo cuadrado es decir escribimos"}, {"start": 731.24, "end": 736.6, "text": " las unidades correspondientes a la aceleraci\u00f3n, aqu\u00ed debemos tener cuidado con lo siguiente,"}, {"start": 736.6, "end": 743.32, "text": " de menos quiere decir que la direcci\u00f3n elegida para la aceleraci\u00f3n hay que corregirla, simplemente"}, {"start": 743.32, "end": 748.48, "text": " hacemos la observaci\u00f3n de que el sistema se mueve en la otra direcci\u00f3n no en la que"}, {"start": 748.48, "end": 755.52, "text": " sospech\u00e1bamos al comienzo sino hacia la izquierda con un valor con una magnitud de la aceleraci\u00f3n"}, {"start": 755.52, "end": 760.16, "text": " de 1 metros sobre segundo cuadrado, esto no quiere decir que tengamos que repetir todo"}, {"start": 760.16, "end": 766.52, "text": " el procedimiento simplemente hacemos la observaci\u00f3n podemos escribirlo diciendo que la direcci\u00f3n"}, {"start": 766.52, "end": 773.68, "text": " es contraria a la que supusimos inicialmente, pasamos entonces a encontrar la otra inc\u00f3gnita"}, {"start": 773.68, "end": 778.96, "text": " del problema que es la tensi\u00f3n podemos reemplazar este valor menos 1 en cualquiera de las dos"}, {"start": 778.96, "end": 783.76, "text": " ecuaciones en la que resulte m\u00e1s sencillo m\u00e1s conveniente por ejemplo hag\u00e1moslo en"}, {"start": 783.76, "end": 791.92, "text": " la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2 decimos entonces t menos 100 es igual a 10 por el valor de a"}, {"start": 791.92, "end": 797.88, "text": " que fue menos 1 entonces tenemos t menos 100 es igual a menos 10 y de all\u00ed despejamos"}, {"start": 797.88, "end": 805.36, "text": " t simplemente el 100 que se encuentra restando pasar\u00eda a sumar al lado derecho nos queda"}, {"start": 805.36, "end": 812.04, "text": " menos 10 m\u00e1s 100 y tenemos una tensi\u00f3n igual a 90 escribimos las unidades correspondientes"}, {"start": 812.04, "end": 818.3199999999999, "text": " a la tensi\u00f3n por tratarse de una fuerza recordemos que va en newtons y esta es entonces la tensi\u00f3n"}, {"start": 818.32, "end": 823.36, "text": " en la cuerda entonces para terminar la aceleraci\u00f3n del sistema tiene un valor de un metro sobre"}, {"start": 823.36, "end": 829.4000000000001, "text": " segundo cuadrado hacia la izquierda es decir bloque 2 descendiendo y la tensi\u00f3n en la"}, {"start": 829.4, "end": 849.4, "text": " cuerda tiene un valor de 90 newtons."}]