ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA GENERAL - Ejercicio 3 - ft. Casio Classwiz
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado utilizando la Fórmula Cuadrática o General. Al final, hace la comprobación en la calculadora científica estándar Casio #Classwiz fx-991LA X.

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 Tenemos en este caso una ecuación, es decir, una igualdad donde se observa la incógnita X. Vamos a resolverla detalladamente y paso a paso, encontrando el valor o los valores de X que hacen cierta esta igualdad. Y al final haremos su comprobación, utilizando para ello la calculadora científica estándar Casio Class-Wise modelo FX991LAX. Comenzamos desarrollando lo que hay a cada lado de la igualdad. Por acá observamos un binomio elevado al cuadrado y por acá tenemos un producto de binomios. Vamos entonces a recordar el producto notable llamado binomio al cuadrado. En ese caso tenemos la diferencia de dos cantidades y eso elevado al cuadrado. Esto se desarrolla así, es la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda y después tenemos más la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a desarrollar este primer binomio al cuadrado. Tenemos entonces la primera cantidad que es 2X y esto se eleva al cuadrado. Allí tenemos este término, después tenemos menos dos veces la primera cantidad que es 2X por la segunda que es 3. Allí tenemos este componente y después tenemos más la segunda cantidad que es 3 elevada al cuadrado. Pasamos al otro lado de la igualdad, donde se observa como decía un producto de binomios. Vamos entonces a multiplicar los términos todos con todos. Tenemos entonces propiedad distributiva 2X por 4X, eso nos da 8X al cuadrado. Después tenemos 2X por más 3 que sería más 6X. Luego continuamos con menos 1 que multiplica con 4X y también con 3. Propiedad distributiva menos 1 por 4X es menos 4X y después tenemos menos 1 por más 3 que sería menos 3. Continuamos desarrollando lo que tenemos en cada lado por acá. 2X al cuadrado nos dará 2 al cuadrado que es 4 y X al cuadrado. Recorremos que allí el exponente afecta a los dos componentes porque se encuentran multiplicando acá en la base. Luego tenemos menos 2 por 2X por 3, 2 por 2X nos da 4X y 4X por 3 nos da 12X. Es el producto de esas tres cantidades y después tenemos más 3 al cuadrado que sería 9. Pasamos al otro lado de la igualdad. Tenemos el término 8X al cuadrado, ese lo dejamos intacto y por acá tenemos la presencia de términos semejantes, dos términos que contienen la X. Se pueden operar entre sí, 6X menos 4X nos da más 2X y luego tenemos el término menos 3. Como podemos observar esto empieza a tomar forma de ecuación cuadrática o de segundo grado. Vemos acá términos que contienen X al cuadrado, por acá términos que contienen X y por acá términos independientes. Entonces lo mejor que podemos hacer acá es pasar todos los términos al lado izquierdo y dejar 0 en el lado derecho. Entonces estos tres los vamos a dejar en el lado izquierdo, 4X al cuadrado menos 12X y esto más 9 y vamos moviendo estos para el lado izquierdo. Ese término pasa acá con signo negativo, si acá está positivo pasa al lado izquierdo negativo, ese término está acá positivo pasa al otro lado con signo negativo y este que está con signo negativo pasa al otro lado con signo positivo. Recordemos que esto es lo mismo que si se aplica la propiedad uniforme sumando o restando a ambos lados las cantidades que se requieran para desaparecer todo esto y de modo que acá en el lado derecho nos quede 0. Ahora vamos a realizar lo que es la reducción de términos semejantes en el lado izquierdo de la igualdad. Vemos entonces estos dos que contienen X al cuadrado los operamos entre sí 4X cuadrado menos 8X cuadrado nos da menos 4X al cuadrado. Vamos ahora con los que contienen la X que sería este término y este también. Entonces menos 12X menos 12X nos da menos 14X y luego con los términos independientes procedemos con estos dos vamos a colocarles estas marcas sería más 9 y más 3 que nos da como resultado más 12 y todo esto nos queda igualado a 0. Como vemos ahora sí esto es una ecuación cuadrática o de segundo grado tiene la forma aX al cuadrado más bX más c igual a 0 pero podemos mejorarla resulta que estos números son pares es decir se pueden dividir por 2 y también podemos procurar que la ecuación empiece con signo positivo aquí la tenemos con signo negativo al inicio es decir con el coeficiente principal entonces eso lo podemos conseguir dividiendo ambos lados de la igualdad por menos 2 con eso vamos a lograr simplificar estas cantidades vamos a reducirlas a sus mitades y también conseguimos que acá el primer término tenga signo positivo entonces si este término se divide por menos 2 nos queda 2X al cuadrado si este término se divide por menos 2 nos queda más 7X si este término se divide por menos 2 nos da menos 6 y al otro lado de la igualdad si 0 se divide por menos 2 sigue siendo 0. Ahora sí tenemos la ecuación cuadrática o de segundo grado de acuerdo con este modelo ya no es posible simplificar más estas cantidades miramos ahora cuáles pueden ser los caminos para solucionarla uno de ellos es la factorización podemos intentar factorizar este trinomio que sería de la forma aX al cuadrado más bX más c pero no es posible realizarlo por ese camino no se puede factorizar entonces vamos a tomar el camino de la fórmula cuadrática o fórmula general que dice lo siguiente x es igual a menos b más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac y todo esto sobre 2a en ese caso vemos que a es 2 a va a tomar el valor 2 b va a tomar el valor 7 p es el coeficiente de x y se es el término independiente que en este caso toma el valor menos 6 aquí resulta recomendable desaparecer cada una de esas letras y escribir en su lugar paréntesis para luego llenar esos espacios con los valores correspondientes entonces tendremos lo siguiente aquí iría el valor de b luego tenemos por acá b al cuadrado menos 4 por el valor de a por el valor de c y todo esto sobre 2 por el valor de a dejamos el paréntesis para ese valor entonces vamos reemplazando estas cantidades por acá tenemos el valor de b que sería 7 también ocupa este lugar luego tenemos el valor de a que es 2 lo reemplazamos aquí en estos dos espacios y aquí tenemos el valor c que sería menos 6 ahora resolvemos cada una de esas operaciones tenemos entonces x es igual por acá esto nos queda menos 7 ya quitando el paréntesis luego más o menos la raíz cuadrada de por acá 7 al cuadrado que sería 49 por acá tenemos menos 4 por 2 sería menos 8 y menos 8 por menos 6 nos da más 48 y todo esto nos queda sobre 2 por 2 que es 4 ahora resolvemos esta suma que tenemos dentro de la raíz nos queda x es igual a menos 7 más o menos la raíz cuadrada de 49 más 48 esto nos da 97 y todo esto nos queda sobre 4 aquí revisamos si es posible simplificar esa raíz pero 97 es número primo o sea que no se puede descomponer más quiero decir que allí quedarían expresadas las dos soluciones para esta ecuación cuadrática o de segundo grado la primera sería x es igual a menos 7 menos la raíz cuadrada de 97 y todo esto sobre 4 la segunda sería x es igual a menos 7 más la raíz cuadrada de 97 y todo esto sobre 4 ahora vamos a utilizar la calculadora científica estándar casio clasuis modelo fx 991 lax para verificar que esto que hicimos es correcto presionamos el botón menú y nos desplazamos en la pantalla hasta llegar al ícono identificado con la letra a es decir el de las ecuaciones presionamos el botón igual y tenemos allí dos opciones vamos a elegir la segunda porque tenemos acá una ecuación de tipo polinómica presionamos la opción 2 y allí nos preguntan por el grado de dicha ecuación vemos que esto es una ecuación de segundo grado de grado 2 presionamos el 2 y vemos en pantalla esta estructura es decir a x al cuadrado más bx más c nos preguntan por el valor de a recordemos que es 2 presionamos el 2 y luego el botón igual luego nos preguntan por el valor b que sería 7 positivo presionamos el 7 y luego el botón igual vamos ahora con el valor c que sería el término independiente en este caso es menos 6 entonces signo negativo luego el 6 y presionamos igual de esa manera ya tenemos los valores de a b y c ingresados a la calculadora presionamos el botón igual y nos aparece en pantalla una primera solución es esta que tenemos por acá menos 7 más raíz cuadrada de 97 y todo esto sobre 4 si presionamos la tecla sd podemos ver el valor decimal que corresponde a esta expresión numérica vamos a aproximar esto a dos decimales sería entonces aproximado a 0,71 si lo podemos dejar de esa manera aproximando a dos decimales si presionamos el botón igual otra vez nos aparece en la pantalla la segunda solución que es esta que tenemos por acá menos 7 menos raíz cuadrada de 97 y todo eso sobre 4 de igual forma si presionamos la tecla sd podemos ver el valor decimal vamos a aproximarlo entonces a menos 4,21 es decir a dos cifras decimales hasta allí podemos confiar en que lo que hicimos manualmente y paso a paso es correcto vemos que efectivamente estas son las dos soluciones son de tipo real para lo que es la ecuación cuadrática o de segundo grado estos son sus valores decimales como decíamos pero otra forma de hacer la prueba con esta calculadora es la siguiente vamos a redescribir la ecuación original de la siguiente forma tendremos 2x menos 3 al cuadrado y esto menos 2x menos 1 y esto por 4x más 3 es decir lo que hacemos es pasar toda esta expresión al lado izquierdo para que todo eso nos quede igualado a 0 recordemos que es lo mismo que si restamos a ambos lados de la igualdad esta expresión aplicando la propiedad uniforme para que acá nos quede el 0 entonces vamos a ingresar a la calculadora toda esta expresión y vamos a ejecutar lo que es la función sol es decir la que nos permite solucionar ecuaciones entonces vamos a borrar lo que tenemos en pantalla presionamos el botón menú vamos ahora a desplazarnos en la pantalla hasta lo que es el módulo 1 o sea el icono de calcular presionamos el 1 y allí vamos entonces a escribir esta expresión entonces abrimos paréntesis tenemos 2x menos 3 cerramos el paréntesis elevamos al cuadrado luego tenemos esto menos abrimos paréntesis luego 2x menos 1 cerramos paréntesis abrimos el otro paréntesis y escribimos 4x más 3 y cerramos el paréntesis y todo esto está igualado a 0 entonces el signo igual está encima del botón calc aparece en color rojo entonces presionamos el botón alfa luego el botón calc y nos aparece ya en pantalla el signo igual y luego escribimos el 0 lo que hemos hecho hasta allí es ingresar toda esta expresión es decir toda la ecuación vamos entonces a utilizar la función sol presionamos el botón shift y luego el botón calc ahí activamos la función sol vemos que en pantalla nos aparece un valor de x que ya habíamos utilizado previamente seguramente el menos 4,21 pero supongamos que teníamos otro valor allí vamos entonces a probar cuál podría ser una de las soluciones para esta ecuación vamos a ingresar lo que se llama un valor semilla o sea un valor que sospechemos que pueda ser solución como vemos una de las soluciones está cercana a 0 es 0,71 entonces podemos ingresar el 0 presionamos igual la calculadora incorpora ese valor y presionando igual vemos que nos aparece 0,71 bueno 22,144 504 corresponde a esta solución es decir para esta expresión una solución cercana a 0 es esta que tenemos por acá vamos ahora a presionar el botón igual y vamos a ingresar otro valor semilla otro valor que sospechemos que puede ser solución de esta ecuación puede ser cercano a la otra solución es decir cercano a menos 4,21 supongamos que decimos bueno vamos a utilizar por ejemplo menos 3 presionamos igual la calculadora incorpora ese valor y al presionar igual nos aparece en pantalla esta otra solución es decir menos 4,21 bueno acá sigue el resto de valores que nos aparecían correspondientes a esta expresión numérica entonces es otra manera de probar que estas son las soluciones para esta ecuación. Encuentran las calculadoras Casio class-wyss en la papelería molano londoño e hijos en la ciudad de Manizales.
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"end": 416.20000000000005, "text": " 2a en ese caso vemos que a es 2 a va a tomar el valor 2 b va a tomar el valor 7 p es el"}, {"start": 416.2, "end": 424.47999999999996, "text": " coeficiente de x y se es el t\u00e9rmino independiente que en este caso toma el valor menos 6 aqu\u00ed"}, {"start": 424.47999999999996, "end": 431.2, "text": " resulta recomendable desaparecer cada una de esas letras y escribir en su lugar par\u00e9ntesis"}, {"start": 431.2, "end": 436.96, "text": " para luego llenar esos espacios con los valores correspondientes entonces tendremos lo siguiente"}, {"start": 436.96, "end": 443.08, "text": " aqu\u00ed ir\u00eda el valor de b luego tenemos por ac\u00e1 b al cuadrado menos 4 por el valor de"}, {"start": 443.08, "end": 450.08, "text": " a por el valor de c y todo esto sobre 2 por el valor de a dejamos el par\u00e9ntesis para"}, {"start": 450.08, "end": 455.15999999999997, "text": " ese valor entonces vamos reemplazando estas cantidades por ac\u00e1 tenemos el valor de b"}, {"start": 455.15999999999997, "end": 462.52, "text": " que ser\u00eda 7 tambi\u00e9n ocupa este lugar luego tenemos el valor de a que es 2 lo reemplazamos"}, {"start": 462.52, "end": 470.03999999999996, "text": " aqu\u00ed en estos dos espacios y aqu\u00ed tenemos el valor c que ser\u00eda menos 6 ahora resolvemos"}, {"start": 470.04, "end": 476.48, "text": " cada una de esas operaciones tenemos entonces x es igual por ac\u00e1 esto nos queda menos 7"}, {"start": 476.48, "end": 481.92, "text": " ya quitando el par\u00e9ntesis luego m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de por ac\u00e1 7 al cuadrado"}, {"start": 481.92, "end": 489.32000000000005, "text": " que ser\u00eda 49 por ac\u00e1 tenemos menos 4 por 2 ser\u00eda menos 8 y menos 8 por menos 6 nos"}, {"start": 489.32000000000005, "end": 498.32000000000005, "text": " da m\u00e1s 48 y todo esto nos queda sobre 2 por 2 que es 4 ahora resolvemos esta suma que tenemos"}, {"start": 498.32, "end": 505.59999999999997, "text": " dentro de la ra\u00edz nos queda x es igual a menos 7 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 505.59999999999997, "end": 514.64, "text": " 49 m\u00e1s 48 esto nos da 97 y todo esto nos queda sobre 4 aqu\u00ed revisamos si es posible"}, {"start": 514.64, "end": 521.52, "text": " simplificar esa ra\u00edz pero 97 es n\u00famero primo o sea que no se puede descomponer m\u00e1s quiero"}, {"start": 521.52, "end": 527.42, "text": " decir que all\u00ed quedar\u00edan expresadas las dos soluciones para esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 527.42, "end": 533.5999999999999, "text": " o de segundo grado la primera ser\u00eda x es igual a menos 7 menos la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 533.5999999999999, "end": 542.9599999999999, "text": " 97 y todo esto sobre 4 la segunda ser\u00eda x es igual a menos 7 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 542.9599999999999, "end": 551.0, "text": " de 97 y todo esto sobre 4 ahora vamos a utilizar la calculadora cient\u00edfica est\u00e1ndar casio"}, {"start": 551.0, "end": 559.56, "text": " clasuis modelo fx 991 lax para verificar que esto que hicimos es correcto presionamos"}, {"start": 559.56, "end": 565.44, "text": " el bot\u00f3n men\u00fa y nos desplazamos en la pantalla hasta llegar al \u00edcono identificado con la"}, {"start": 565.44, "end": 572.0, "text": " letra a es decir el de las ecuaciones presionamos el bot\u00f3n igual y tenemos all\u00ed dos opciones"}, {"start": 572.0, "end": 577.92, "text": " vamos a elegir la segunda porque tenemos ac\u00e1 una ecuaci\u00f3n de tipo polin\u00f3mica presionamos"}, {"start": 577.92, "end": 583.24, "text": " la opci\u00f3n 2 y all\u00ed nos preguntan por el grado de dicha ecuaci\u00f3n vemos que esto es"}, {"start": 583.24, "end": 589.5999999999999, "text": " una ecuaci\u00f3n de segundo grado de grado 2 presionamos el 2 y vemos en pantalla esta"}, {"start": 589.5999999999999, "end": 596.28, "text": " estructura es decir a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c nos preguntan por el valor de a recordemos"}, {"start": 596.28, "end": 602.16, "text": " que es 2 presionamos el 2 y luego el bot\u00f3n igual luego nos preguntan por el valor b que"}, {"start": 602.16, "end": 608.36, "text": " ser\u00eda 7 positivo presionamos el 7 y luego el bot\u00f3n igual vamos ahora con el valor"}, {"start": 608.36, "end": 615.04, "text": " c que ser\u00eda el t\u00e9rmino independiente en este caso es menos 6 entonces signo negativo"}, {"start": 615.04, "end": 621.88, "text": " luego el 6 y presionamos igual de esa manera ya tenemos los valores de a b y c ingresados"}, {"start": 621.88, "end": 628.36, "text": " a la calculadora presionamos el bot\u00f3n igual y nos aparece en pantalla una primera soluci\u00f3n"}, {"start": 628.36, "end": 635.72, "text": " es esta que tenemos por ac\u00e1 menos 7 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 97 y todo esto sobre 4 si presionamos"}, {"start": 635.72, "end": 643.02, "text": " la tecla sd podemos ver el valor decimal que corresponde a esta expresi\u00f3n num\u00e9rica vamos"}, {"start": 643.02, "end": 651.16, "text": " a aproximar esto a dos decimales ser\u00eda entonces aproximado a 0,71 si lo podemos dejar de"}, {"start": 651.16, "end": 657.82, "text": " esa manera aproximando a dos decimales si presionamos el bot\u00f3n igual otra vez nos aparece"}, {"start": 657.82, "end": 663.1600000000001, "text": " en la pantalla la segunda soluci\u00f3n que es esta que tenemos por ac\u00e1 menos 7 menos ra\u00edz"}, {"start": 663.1600000000001, "end": 670.5200000000001, "text": " cuadrada de 97 y todo eso sobre 4 de igual forma si presionamos la tecla sd podemos ver"}, {"start": 670.5200000000001, "end": 679.96, "text": " el valor decimal vamos a aproximarlo entonces a menos 4,21 es decir a dos cifras decimales"}, {"start": 679.96, "end": 686.08, "text": " hasta all\u00ed podemos confiar en que lo que hicimos manualmente y paso a paso es correcto"}, {"start": 686.08, "end": 691.8000000000001, "text": " vemos que efectivamente estas son las dos soluciones son de tipo real para lo que es"}, {"start": 691.8000000000001, "end": 697.84, "text": " la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado estos son sus valores decimales como dec\u00edamos"}, {"start": 697.84, "end": 704.2, "text": " pero otra forma de hacer la prueba con esta calculadora es la siguiente vamos a redescribir"}, {"start": 704.2, "end": 712.6400000000001, "text": " la ecuaci\u00f3n original de la siguiente forma tendremos 2x menos 3 al cuadrado y esto menos"}, {"start": 712.64, "end": 722.68, "text": " 2x menos 1 y esto por 4x m\u00e1s 3 es decir lo que hacemos es pasar toda esta expresi\u00f3n"}, {"start": 722.68, "end": 728.36, "text": " al lado izquierdo para que todo eso nos quede igualado a 0 recordemos que es lo mismo que"}, {"start": 728.36, "end": 734.36, "text": " si restamos a ambos lados de la igualdad esta expresi\u00f3n aplicando la propiedad uniforme"}, {"start": 734.36, "end": 739.84, "text": " para que ac\u00e1 nos quede el 0 entonces vamos a ingresar a la calculadora toda esta expresi\u00f3n"}, {"start": 739.84, "end": 746.44, "text": " y vamos a ejecutar lo que es la funci\u00f3n sol es decir la que nos permite solucionar ecuaciones"}, {"start": 746.44, "end": 751.4, "text": " entonces vamos a borrar lo que tenemos en pantalla presionamos el bot\u00f3n men\u00fa vamos"}, {"start": 751.4, "end": 758.12, "text": " ahora a desplazarnos en la pantalla hasta lo que es el m\u00f3dulo 1 o sea el icono de calcular"}, {"start": 758.12, "end": 763.5, "text": " presionamos el 1 y all\u00ed vamos entonces a escribir esta expresi\u00f3n entonces abrimos"}, {"start": 763.5, "end": 771.76, "text": " par\u00e9ntesis tenemos 2x menos 3 cerramos el par\u00e9ntesis elevamos al cuadrado luego tenemos"}, {"start": 771.76, "end": 780.52, "text": " esto menos abrimos par\u00e9ntesis luego 2x menos 1 cerramos par\u00e9ntesis abrimos el otro par\u00e9ntesis"}, {"start": 780.52, "end": 789.12, "text": " y escribimos 4x m\u00e1s 3 y cerramos el par\u00e9ntesis y todo esto est\u00e1 igualado a 0 entonces el"}, {"start": 789.12, "end": 795.18, "text": " signo igual est\u00e1 encima del bot\u00f3n calc aparece en color rojo entonces presionamos el bot\u00f3n"}, {"start": 795.18, "end": 801.16, "text": " alfa luego el bot\u00f3n calc y nos aparece ya en pantalla el signo igual y luego escribimos"}, {"start": 801.16, "end": 808.4, "text": " el 0 lo que hemos hecho hasta all\u00ed es ingresar toda esta expresi\u00f3n es decir toda la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 808.4, "end": 813.6800000000001, "text": " vamos entonces a utilizar la funci\u00f3n sol presionamos el bot\u00f3n shift y luego el bot\u00f3n"}, {"start": 813.6800000000001, "end": 818.9, "text": " calc ah\u00ed activamos la funci\u00f3n sol vemos que en pantalla nos aparece un valor de x"}, {"start": 818.9, "end": 825.28, "text": " que ya hab\u00edamos utilizado previamente seguramente el menos 4,21 pero supongamos que ten\u00edamos"}, {"start": 825.28, "end": 831.8, "text": " otro valor all\u00ed vamos entonces a probar cu\u00e1l podr\u00eda ser una de las soluciones para esta"}, {"start": 831.8, "end": 836.92, "text": " ecuaci\u00f3n vamos a ingresar lo que se llama un valor semilla o sea un valor que sospechemos"}, {"start": 836.92, "end": 843.56, "text": " que pueda ser soluci\u00f3n como vemos una de las soluciones est\u00e1 cercana a 0 es 0,71 entonces"}, {"start": 843.56, "end": 849.0, "text": " podemos ingresar el 0 presionamos igual la calculadora incorpora ese valor y presionando"}, {"start": 849.0, "end": 858.4399999999999, "text": " igual vemos que nos aparece 0,71 bueno 22,144 504 corresponde a esta soluci\u00f3n es decir"}, {"start": 858.4399999999999, "end": 865.18, "text": " para esta expresi\u00f3n una soluci\u00f3n cercana a 0 es esta que tenemos por ac\u00e1 vamos ahora"}, {"start": 865.18, "end": 870.7199999999999, "text": " a presionar el bot\u00f3n igual y vamos a ingresar otro valor semilla otro valor que sospechemos"}, {"start": 870.72, "end": 876.64, "text": " que puede ser soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n puede ser cercano a la otra soluci\u00f3n es decir"}, {"start": 876.64, "end": 882.76, "text": " cercano a menos 4,21 supongamos que decimos bueno vamos a utilizar por ejemplo menos 3"}, {"start": 882.76, "end": 887.5600000000001, "text": " presionamos igual la calculadora incorpora ese valor y al presionar igual nos aparece"}, {"start": 887.5600000000001, "end": 893.6, "text": " en pantalla esta otra soluci\u00f3n es decir menos 4,21 bueno ac\u00e1 sigue el resto de valores"}, {"start": 893.6, "end": 899.5400000000001, "text": " que nos aparec\u00edan correspondientes a esta expresi\u00f3n num\u00e9rica entonces es otra manera"}, {"start": 899.54, "end": 908.1999999999999, "text": " de probar que estas son las soluciones para esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 908.1999999999999, "end": 912.88, "text": " Encuentran las calculadoras Casio class-wyss en la papeler\u00eda molano londo\u00f1o e hijos en"}, {"start": 912.88, "end": 931.2, "text": " la ciudad de Manizales."}]