ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial usando propiedades de la potenciación y un cambio de variable. 

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 Vamos a solucionar esta ecuación que es de tipo exponencial porque la incógnita que es la letra x se encuentra en los exponentes. Comenzamos por desparatar esta expresión utilizando la siguiente propiedad de la potenciación. Recordemos que si tenemos producto de potencias de la misma base, entonces conservamos la base y sumamos los exponentes. Entonces, si tenemos una expresión como esta, similar a esa que tenemos aquí, podemos convertirla en un producto de potencias de la misma base. Entonces aquí tendremos 2 a la 2x por 2 a la 2, 2 al cuadrado. Como vemos, utilizando esta propiedad, al otro lado escribimos la misma expresión. Bien, ahora aquí vamos a utilizar esta otra propiedad. Si tenemos una potencia a la n elevada a otro exponente, por ejemplo m, dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Entonces, si tenemos multiplicación de exponentes, podemos escribir eso como una potencia de otra potencia. Aquí podemos escribir 2 a la 2x como 2 a la x y todo esto elevado al cuadrado, haciendo uso de esta propiedad. Esto lo multiplicamos por 2 al cuadrado que es 4 igual a lo mismo del lado derecho. En seguida, vamos a utilizar una estrategia que se llama cambio de variable. Vamos a llamar 2 a la x esto que está repetido, 2 a la x, vamos a llamarlo por ejemplo u. Hacemos lo que se llama un cambio de variable o también una sustitución y la ecuación nos queda de la siguiente manera. u al cuadrado por 4 igual a 9 por u menos 2. Como vemos, se cambia 2 a la x por la letra u. Organizamos la ecuación, por aquí nos queda 4 u al cuadrado. Pasamos este término al 9 u al lado izquierdo, llega negativo. Pasamos menos 2 al lado izquierdo, llega como más 2 y esto nos queda igual a 0. Y obtenemos lo que se llama una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Podemos resolver la ecuación cuadrática por la fórmula cuadrática o fórmula del estudiante, aunque también podemos examinar si esta expresión es factorizable. Vamos a mirar, hacemos lo siguiente, 4 por 2 nos da 8. Pensamos saber si hay dos números que multiplicados nos den como resultado 8 y que sumados entre sí nos den como resultado menos 9. Encontramos que si se puede los números son menos 8 y menos 1. Multiplicados dan 8 positivo y sumados entre sí nos dan menos 9. Eso quiere decir que esta expresión es factorizable y podemos utilizar el caso llamado trinomio de la forma a x cuadrado más bx más c. Ese caso dice que debemos multiplicar por 4 la expresión y al mismo tiempo dividir entre 4. Multiplicamos por el coeficiente principal y al mismo tiempo dividimos por él. Esto permanece igual a 0. En el numerador hacemos propiedad distributiva de la siguiente manera, 4 por 4u cuadrado nos da 16u cuadrado, 4 entra y toma la u, se agrupa con la u y el menos 9 se deja a la izquierda, es decir aquí en el segundo término dejamos el producto indicado, no se resuelve, y luego 4 por 2 que nos da 8. Todo esto dividido entre 4 y todo esto igual a 0. En seguida expresamos este primer término como lo que nos quedó en paréntesis, es decir 4u y esto elevado al cuadrado. Lo demás permanece igual. Todo esto dividido entre 4 y esto igual a 0. A continuación factorizamos la parte de arriba utilizando el caso llamado trinomio de la forma x cuadrado más bx más c que consiste en abrir dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada del primer término que sería 4u, es decir lo que tenemos dentro del paréntesis, ese c escribe al comienzo de cada paréntesis, luego cuadramos los signos, más por menos nos da menos, menos por más nos da menos, y aquí es donde vienen los dos números que multiplicados den 8 y que sumados entre sí nos den menos 9. Como vimos ahora esos números son menos 8 y menos 1. Todo esto dividido entre 4 y a su vez igualado a 0. En seguida miramos cada paréntesis por separado para ver dónde hay factor común. Aquí tenemos factor común 4, factor de 1 menos 2, aquí no tenemos factor común, dejamos la expresión igual, todo esto entre 4 y a su vez igual a 0. En esta etapa podemos simplificar estos dos números, nos queda entonces 1 menos 2 por 4 1 menos 1 y todo esto igual a 0. Y allí aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo. Recordemos que este nos dice que si el producto de dos expresiones es igual a 0, entonces cada una de ellas debe igualarse a 0. Nos queda entonces 1 menos 2 igual a 0 o 4 1 menos 1 igual a 0. Y resolvemos en cada caso para despejar U. Por aquí tenemos que U es igual a 0 más 2, 2 está restando, en el lado izquierdo pasa a sumar al lado derecho con 0 y eso nos da U igual a 2. Por este lado primero despejamos 4 U, pasamos el 1 que está restando a sumar al lado derecho, 1 más 0 nos da 1 y después despejamos U, pasando el 4 que está multiplicando a dividir al otro lado. Nos queda U igual a 1 cuarto. Tenemos entonces los valores de U, pero debemos recordar que U equivale a 2 a la X. No podemos olvidar el cambio de variable que habíamos mencionado hace un momento. Entonces este es el instante en que debemos deshacer ese cambio de variable. Cambiamos U por 2 a la X, entonces nos queda 2 a la X igual a 2. Y por aquí también hacemos el cambio, nos queda 2 a la X igual a 1 cuarto. Por este lado tenemos que 2 a la X es igual a 2 elevado al exponente 1. Recordemos que cualquier número o cualquier cantidad que no tenga exponente tiene un 1, que aquí es invisible pero que aquí lo hacemos aparecer. Esto con el fin de aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos igualdad de potencias con la misma base, entonces podemos proceder a igualar sus exponentes. Nos queda entonces que X es igual a 1 y es una de las soluciones de la ecuación original. Algo similar vamos a realizar por este lado. Tenemos 2 a la X igual a 1 cuarto, pero 4 lo vamos a expresar como 2 al cuadrado. Y aquí vamos a subir esta potencia, vamos a pasarla del denominador al numerador. Recordemos que allí lo que ocurre es un cambio de signo en el exponente. Nos queda entonces 2 a la menos 2. Y hacemos la misma propiedad que mencionábamos acá. Tenemos igualdad de potencias con la misma base, entonces procedemos a igualar los exponentes. Nos queda que X es igual a menos 2. Tenemos entonces la otra solución de la ecuación. Entonces la respuesta final para este ejercicio es la siguiente. Conjunto solución, es decir, los valores que puede tomar X en la ecuación exponencial original son menos 2 y 1, escribiéndolos de menor a mayor. De esta manera terminamos este ejercicio.
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utilizar esta otra propiedad."}, {"start": 66.0, "end": 78.0, "text": " Si tenemos una potencia a la n elevada a otro exponente, por ejemplo m, dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 78.0, "end": 86.0, "text": " Entonces, si tenemos multiplicaci\u00f3n de exponentes, podemos escribir eso como una potencia de otra potencia."}, {"start": 86.0, "end": 98.0, "text": " Aqu\u00ed podemos escribir 2 a la 2x como 2 a la x y todo esto elevado al cuadrado, haciendo uso de esta propiedad."}, {"start": 98.0, "end": 107.0, "text": " Esto lo multiplicamos por 2 al cuadrado que es 4 igual a lo mismo del lado derecho."}, {"start": 107.0, "end": 120.0, "text": " En seguida, vamos a utilizar una estrategia que se llama cambio de variable."}, {"start": 120.0, "end": 134.0, "text": " Vamos a llamar 2 a la x esto que est\u00e1 repetido, 2 a la x, vamos a llamarlo por ejemplo u."}, {"start": 134.0, "end": 142.0, "text": " Hacemos lo que se llama un cambio de variable o tambi\u00e9n una sustituci\u00f3n y la ecuaci\u00f3n nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 142.0, "end": 150.0, "text": " u al cuadrado por 4 igual a 9 por u menos 2."}, {"start": 150.0, "end": 155.0, "text": " Como vemos, se cambia 2 a la x por la letra u."}, {"start": 155.0, "end": 159.0, "text": " Organizamos la ecuaci\u00f3n, por aqu\u00ed nos queda 4 u al cuadrado."}, {"start": 159.0, "end": 165.0, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino al 9 u al lado izquierdo, llega negativo."}, {"start": 165.0, "end": 173.0, "text": " Pasamos menos 2 al lado izquierdo, llega como m\u00e1s 2 y esto nos queda igual a 0."}, {"start": 173.0, "end": 183.0, "text": " Y obtenemos lo que se llama una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 183.0, "end": 194.0, "text": " Podemos resolver la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica por la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula del estudiante,"}, {"start": 194.0, "end": 200.0, "text": " aunque tambi\u00e9n podemos examinar si esta expresi\u00f3n es factorizable."}, {"start": 200.0, "end": 205.0, "text": " Vamos a mirar, hacemos lo siguiente, 4 por 2 nos da 8."}, {"start": 205.0, "end": 211.0, "text": " Pensamos saber si hay dos n\u00fameros que multiplicados nos den como resultado 8"}, {"start": 211.0, "end": 216.0, "text": " y que sumados entre s\u00ed nos den como resultado menos 9."}, {"start": 216.0, "end": 222.0, "text": " Encontramos que si se puede los n\u00fameros son menos 8 y menos 1."}, {"start": 222.0, "end": 227.0, "text": " Multiplicados dan 8 positivo y sumados entre s\u00ed nos dan menos 9."}, {"start": 227.0, "end": 236.0, "text": " Eso quiere decir que esta expresi\u00f3n es factorizable y podemos utilizar el caso llamado trinomio de la forma"}, {"start": 236.0, "end": 240.0, "text": " a x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 240.0, "end": 254.0, "text": " Ese caso dice que debemos multiplicar por 4 la expresi\u00f3n y al mismo tiempo dividir entre 4."}, {"start": 254.0, "end": 259.0, "text": " Multiplicamos por el coeficiente principal y al mismo tiempo dividimos por \u00e9l."}, {"start": 259.0, "end": 262.0, "text": " Esto permanece igual a 0."}, {"start": 262.0, "end": 266.0, "text": " En el numerador hacemos propiedad distributiva de la siguiente manera,"}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " 4 por 4u cuadrado nos da 16u cuadrado,"}, {"start": 271.0, "end": 281.0, "text": " 4 entra y toma la u, se agrupa con la u y el menos 9 se deja a la izquierda,"}, {"start": 281.0, "end": 287.0, "text": " es decir aqu\u00ed en el segundo t\u00e9rmino dejamos el producto indicado, no se resuelve,"}, {"start": 287.0, "end": 291.0, "text": " y luego 4 por 2 que nos da 8."}, {"start": 291.0, "end": 297.0, "text": " Todo esto dividido entre 4 y todo esto igual a 0."}, {"start": 297.0, "end": 302.0, "text": " En seguida expresamos este primer t\u00e9rmino como lo que nos qued\u00f3 en par\u00e9ntesis,"}, {"start": 302.0, "end": 307.0, "text": " es decir 4u y esto elevado al cuadrado."}, {"start": 307.0, "end": 311.0, "text": " Lo dem\u00e1s permanece igual."}, {"start": 311.0, "end": 318.0, "text": " Todo esto dividido entre 4 y esto igual a 0."}, {"start": 318.0, "end": 324.0, "text": " A continuaci\u00f3n factorizamos la parte de arriba utilizando el caso llamado"}, {"start": 324.0, "end": 331.0, "text": " trinomio de la forma x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c que consiste en abrir dos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 331.0, "end": 335.0, "text": " sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda 4u,"}, {"start": 335.0, "end": 338.0, "text": " es decir lo que tenemos dentro del par\u00e9ntesis,"}, {"start": 338.0, "end": 342.0, "text": " ese c escribe al comienzo de cada par\u00e9ntesis,"}, {"start": 342.0, "end": 344.0, "text": " luego cuadramos los signos,"}, {"start": 344.0, "end": 349.0, "text": " m\u00e1s por menos nos da menos, menos por m\u00e1s nos da menos,"}, {"start": 349.0, "end": 353.0, "text": " y aqu\u00ed es donde vienen los dos n\u00fameros que multiplicados den 8"}, {"start": 353.0, "end": 356.0, "text": " y que sumados entre s\u00ed nos den menos 9."}, {"start": 356.0, "end": 361.0, "text": " Como vimos ahora esos n\u00fameros son menos 8 y menos 1."}, {"start": 361.0, "end": 367.0, "text": " Todo esto dividido entre 4 y a su vez igualado a 0."}, {"start": 367.0, "end": 373.0, "text": " En seguida miramos cada par\u00e9ntesis por separado para ver d\u00f3nde hay factor com\u00fan."}, {"start": 373.0, "end": 379.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos factor com\u00fan 4, factor de 1 menos 2,"}, {"start": 379.0, "end": 385.0, "text": " aqu\u00ed no tenemos factor com\u00fan, dejamos la expresi\u00f3n igual,"}, {"start": 385.0, "end": 392.0, "text": " todo esto entre 4 y a su vez igual a 0."}, {"start": 392.0, "end": 397.0, "text": " En esta etapa podemos simplificar estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 397.0, "end": 410.0, "text": " nos queda entonces 1 menos 2 por 4 1 menos 1 y todo esto igual a 0."}, {"start": 410.0, "end": 417.0, "text": " Y all\u00ed aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo."}, {"start": 417.0, "end": 423.0, "text": " Recordemos que este nos dice que si el producto de dos expresiones es igual a 0,"}, {"start": 423.0, "end": 428.0, "text": " entonces cada una de ellas debe igualarse a 0."}, {"start": 428.0, "end": 437.0, "text": " Nos queda entonces 1 menos 2 igual a 0 o 4 1 menos 1 igual a 0."}, {"start": 437.0, "end": 440.0, "text": " Y resolvemos en cada caso para despejar U."}, {"start": 440.0, "end": 447.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos que U es igual a 0 m\u00e1s 2, 2 est\u00e1 restando,"}, {"start": 447.0, "end": 451.0, "text": " en el lado izquierdo pasa a sumar al lado derecho con 0"}, {"start": 451.0, "end": 454.0, "text": " y eso nos da U igual a 2."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " Por este lado primero despejamos 4 U,"}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " pasamos el 1 que est\u00e1 restando a sumar al lado derecho,"}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " 1 m\u00e1s 0 nos da 1 y despu\u00e9s despejamos U,"}, {"start": 466.0, "end": 471.0, "text": " pasando el 4 que est\u00e1 multiplicando a dividir al otro lado."}, {"start": 471.0, "end": 474.0, "text": " Nos queda U igual a 1 cuarto."}, {"start": 474.0, "end": 477.0, "text": " Tenemos entonces los valores de U,"}, {"start": 477.0, "end": 486.0, "text": " pero debemos recordar que U equivale a 2 a la X."}, {"start": 486.0, "end": 493.0, "text": " No podemos olvidar el cambio de variable que hab\u00edamos mencionado hace un momento."}, {"start": 493.0, "end": 499.0, "text": " Entonces este es el instante en que debemos deshacer ese cambio de variable."}, {"start": 499.0, "end": 506.0, "text": " Cambiamos U por 2 a la X, entonces nos queda 2 a la X igual a 2."}, {"start": 506.0, "end": 517.0, "text": " Y por aqu\u00ed tambi\u00e9n hacemos el cambio, nos queda 2 a la X igual a 1 cuarto."}, {"start": 517.0, "end": 526.0, "text": " Por este lado tenemos que 2 a la X es igual a 2 elevado al exponente 1."}, {"start": 526.0, "end": 533.0, "text": " Recordemos que cualquier n\u00famero o cualquier cantidad que no tenga exponente tiene un 1,"}, {"start": 533.0, "end": 537.0, "text": " que aqu\u00ed es invisible pero que aqu\u00ed lo hacemos aparecer."}, {"start": 537.0, "end": 540.0, "text": " Esto con el fin de aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 540.0, "end": 544.0, "text": " Si tenemos igualdad de potencias con la misma base,"}, {"start": 544.0, "end": 548.0, "text": " entonces podemos proceder a igualar sus exponentes."}, {"start": 548.0, "end": 557.0, "text": " Nos queda entonces que X es igual a 1 y es una de las soluciones de la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 557.0, "end": 560.0, "text": " Algo similar vamos a realizar por este lado."}, {"start": 560.0, "end": 569.0, "text": " Tenemos 2 a la X igual a 1 cuarto, pero 4 lo vamos a expresar como 2 al cuadrado."}, {"start": 569.0, "end": 576.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a subir esta potencia, vamos a pasarla del denominador al numerador."}, {"start": 576.0, "end": 581.0, "text": " Recordemos que all\u00ed lo que ocurre es un cambio de signo en el exponente."}, {"start": 581.0, "end": 584.0, "text": " Nos queda entonces 2 a la menos 2."}, {"start": 584.0, "end": 588.0, "text": " Y hacemos la misma propiedad que mencion\u00e1bamos ac\u00e1."}, {"start": 588.0, "end": 595.0, "text": " Tenemos igualdad de potencias con la misma base, entonces procedemos a igualar los exponentes."}, {"start": 595.0, "end": 599.0, "text": " Nos queda que X es igual a menos 2."}, {"start": 599.0, "end": 603.0, "text": " Tenemos entonces la otra soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 603.0, "end": 607.0, "text": " Entonces la respuesta final para este ejercicio es la siguiente."}, {"start": 607.0, "end": 615.0, "text": " Conjunto soluci\u00f3n, es decir, los valores que puede tomar X en la ecuaci\u00f3n exponencial original"}, {"start": 615.0, "end": 623.0, "text": " son menos 2 y 1, escribi\u00e9ndolos de menor a mayor."}, {"start": 623.0, "end": 646.0, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]