INTEGRACIÓN POR PARTES Y SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando los métodos de integración por partes y sustitución trigonométrica.

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 Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de integración por partes, porque no se puede resolver en forma directa ni tampoco por el método de sustitución o cambio de variable. Lo primero que hacemos es clasificar estas dos funciones que participan en el integrando de acuerdo con las categorías de I y la T. Recordemos que esto quiere decir función inversa, función logarítmica, función algebraica, trigonométrica y exponencial. En este caso vemos que esta función X es categoría algebraica y la función seno a la menos uno de X es categoría inversa, es una función trigonométrica inversa. Tenemos estas dos clasificaciones inversa y algebraica y de izquierda a derecha la primera que nos encontramos seleccionada es la I, entonces la función inversa hace el papel de U. Esto nos permite reescribir el ejercicio de la siguiente manera, la integral de seno a la menos uno de X escribimos primero la que va a representar U y luego lo demás, es decir X por DX. Entonces tenemos que esto será U y lo demás, X por DX será DB, los componentes del método de integración por partes. Entonces tenemos que U es igual a seno a la menos uno de X y vamos a derivar esto a ambos lados con respecto a X, en el lado izquierdo nos queda la derivada de U con respecto a X de U de X y en el lado derecho la derivada de seno a la menos uno de X con respecto a X será uno sobre la raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado, es la derivada de esa función trigonométrica inversa. Y de allí vamos a despejar el componente de U, entonces DX que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, puede situarse entonces acá en el numerador, nos queda DX sobre la raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado, entonces allí tenemos ya U y el componente de U. Vamos ahora con DB que equivale a X por DX y esto vamos a integrarlo a ambos lados, entonces la integral de DB es igual a la integral de X con su diferencial de X, la integral de DB nos da V y la integral de X es X al cuadrado sobre 2. Entonces así tenemos los componentes DB y V. Teniendo ya esos cuatro componentes vamos con la fórmula de integración por partes, la fórmula dice la integral de U por DB es igual a U por V menos la integral de V por DU. Recordemos que para aprender esta fórmula con facilidad decimos que esto es igual a una vaca menos la integral vestida de uniforme. Vamos entonces a reemplazar los componentes que encontramos, tenemos por acá la integral de U pero U equivale a seno a la menos 1 de X por DB que nos dio X por DX, esto es igual a la U que es seno a la menos 1 de X por V que nos dio X al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de V que es X al cuadrado sobre 2 y esto multiplicado por DU que nos dio esa expresión de X sobre la raíz cuadrada de 1 menos X al cuadrado. Como se observa esto que tenemos aquí es lo mismo que la integral original, entonces decimos que esto es igual a este componente que podemos reescribir como un medio X al cuadrado por seno a la menos 1 de X y esto menos esta integral donde podemos extraer este número 2 nos queda un medio por la integral de la siguiente expresión, vamos a acomodarla, nos queda en el numerador X al cuadrado en el denominador la raíz cuadrada de 1 menos X al cuadrado y todo esto acompañado del diferencial de X. Ahora nuestro problema es resolver esta integral, vamos a ver a continuación como se hace. Para resolver esta integral indefinida vamos a utilizar el método de sustitución trigonométrica porque no puede resolverse por integración directa, tampoco por sustitución simple ni por el método de integración por partes, además se observa aquí una raíz cuadrada con una diferencia de cuadrados perfectos en su interior, entonces comenzamos por dibujar un triángulo rectángulo, la raíz cuadrada de este término o sea 1 será la hipotenusa y la raíz cuadrada de este término que es X será uno de los catetos, vamos a escoger este y el otro cateto se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras, será entonces la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado o sea 1 al cuadrado que es 1 menos este cateto al cuadrado, allí nos aparece entonces esta expresión que tenemos en el integrando, vamos a seleccionar este ángulo agudo como el ángulo theta y vamos a obtener de allí las razones trigonométricas. Usamos entonces Zocato A para recordar las definiciones de seno, coseno y tangente, vamos a buscar una razón trigonométrica que relacione X con 1, es decir el cateto opuesto al ángulo theta con la hipotenusa, usamos entonces seno, aquí lo tenemos cateto opuesto sobre hipotenusa, pues decimos seno de theta es igual al cateto opuesto a dicho ángulo que es X sobre la hipotenusa que es 1 y allí obtenemos que X es igual a seno de theta y también si elevamos al cuadrado ambos lados de esta igualdad vamos a tener que X al cuadrado es igual a seno al cuadrado de theta, ya tenemos entonces una equivalencia para este componente X al cuadrado. Ahora vamos a derivar esta igualdad a ambos lados con respecto a theta, entonces la derivada de X con respecto a theta queda indicada como de X de theta y en el otro lado la derivada de seno de theta con respecto a theta será coseno de theta y de allí despejamos de X, nos queda entonces que de X es igual a coseno de theta por de theta, este componente que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y así tenemos la equivalencia para el diferencial de X. Ahora necesitamos relacionar este componente con la hipotenusa que es 1, este es el cateto adyacente al ángulo theta, entonces cateto adyacente con hipotenusa, aquí lo tenemos, nos sugiere utilizar coseno, entonces decimos coseno de theta es igual a el cateto adyacente que es la raíz cuadrada de 1 menos X al cuadrado y todo esto nos queda sobre la hipotenusa que es 1, de allí despejamos entonces esa raíz, nos queda la raíz cuadrada de 1 menos X al cuadrado igual a coseno de theta y así tenemos el reemplazo o la equivalencia para ese componente. Entonces utilizando estos elementos vamos a reconstruir la integral para que nos quede en términos de theta, entonces veamos, en el numerador tenemos X al cuadrado que es seno al cuadrado de theta, en el denominador tenemos esa raíz cuadrada que equivale a coseno de theta y tenemos el diferencial de X que equivale a coseno de theta por d theta, entonces allí ya tenemos la nueva integral toda en términos de la variable theta. Antes de continuar vamos a anotar estas dos equivalencias, la de seno de theta y coseno de theta por acá, continuemos con el desarrollo de la integral, aquí podemos cancelar coseno de theta y nos queda la integral de seno al cuadrado de theta con su diferencial de theta y aquí tenemos que utilizar una de las fórmulas de la trigonometría, una de las identidades que nos permite reducir potencias, para el caso de seno al cuadrado de theta eso equivale a 1 menos coseno de 2 theta, coseno del ángulo doble y todo esto sobre 2 y todo esto acompañado del diferencial de theta. A continuación podemos extraer este número de la integral, sale como un medio y queda multiplicando con la integral de lo que hay en el numerador, 1 menos el coseno de 2 theta y todo esto con su diferencial de theta. Como se observa, allí ya tenemos dos términos que podemos integrar directamente, entonces esto es igual a un medio por, abrimos un corchete, tenemos la integral de 1, la integral con respecto a la variable theta, eso nos da theta, menos la integral del coseno de 2 theta que vamos a resolver de acuerdo con la siguiente fórmula, la integral del coseno de k por theta, k es cualquier constante, esto con el diferencial de theta es igual a 1 sobre k por seno de k por theta, más la constante de integración c, esta es una fórmula de uso frecuente que se demuestra por el método de sustitución, entonces la integral del coseno de 2 theta donde k vale 2 siguiendo esa instrucción será un medio por el seno de 2 theta, este paréntesis lo podemos omitir, no hay ningún problema con eso, cerramos el corchete y anotamos la constante de integración para todo el ejercicio. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y nos queda un medio por, abrimos el corchete, theta menos un medio por seno de 2 theta que equivale a 2 por el seno de theta por el coseno de theta, es otra de las identidades trigonométricas de gran importancia, la del seno del ángulo doble y esto queda más la constante de integración. Allí podemos simplificar estos dos números y nos queda lo siguiente, un medio por, abrimos el corchete, tenemos theta menos seno de theta por coseno de theta, cerramos el corchete y anotamos la constante de integración. Allí ya podemos cambiar estos componentes que tienen la variable theta por sus equivalentes en la variable X que es la variable original del ejercicio. Veamos entonces cómo nos queda, un medio por, abrimos el corchete, aquí tenemos theta que podemos despejar bien sea de esta expresión o también de esta, está más sencillo acá, si despejamos theta de esta igualdad nos queda que theta es igual a seno a la menos uno de X o también podemos utilizar la notación arco seno de X, vamos a escribirlo así, theta es seno a la menos uno de X, luego tenemos menos seno de theta que equivale a X por coseno de theta que equivale a la raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado, entonces así hemos retornado a la variable original que es X. Para terminar podemos distribuir este número a los términos que hay dentro del corchete, entonces nos queda un medio por seno a la menos uno de X, esto menos un medio por X por la raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado, todo esto más la constante de integración. Y así hemos resuelto esa integral indefinida por el método de sustitución trigonométrica. Entonces habiendo resuelto esta integral vamos a escribir la solución para el ejercicio propuesto, nos queda un medio de X al cuadrado, seno a la menos uno de X, menos un medio por, abrimos un corchete para insertar aquí el resultado que obtuvimos para esa integral que fue un medio por seno a la menos uno de X, menos un medio de X por la raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado, cerramos el corchete y anotamos la constante de integración para todo el ejercicio. Para terminar destruimos este corchete distribuyendo menos un medio, entonces nos queda un medio por X al cuadrado, seno a la menos uno de X, acá menos un medio por un medio, seno a la menos uno de X nos da menos un cuarto, seno a la menos uno de X, acá menos un medio por menos un medio nos da más un cuarto, por esto X raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado y todo esto más la constante de integración. Y de esta manera hemos terminado este ejercicio.
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282.64, "end": 289.12, "text": " Como se observa esto que tenemos aqu\u00ed es lo mismo que la integral original, entonces"}, {"start": 289.12, "end": 296.64, "text": " decimos que esto es igual a este componente que podemos reescribir como un medio X al"}, {"start": 296.64, "end": 307.44, "text": " cuadrado por seno a la menos 1 de X y esto menos esta integral donde podemos extraer"}, {"start": 307.44, "end": 317.76, "text": " este n\u00famero 2 nos queda un medio por la integral de la siguiente expresi\u00f3n, vamos a acomodarla,"}, {"start": 317.76, "end": 331.32, "text": " nos queda en el numerador X al cuadrado en el denominador la ra\u00edz cuadrada de 1 menos X al cuadrado y todo esto acompa\u00f1ado"}, {"start": 331.32, "end": 333.96, "text": " del diferencial de X."}, {"start": 333.96, "end": 341.36, "text": " Ahora nuestro problema es resolver esta integral, vamos a ver a continuaci\u00f3n como se hace."}, {"start": 341.36, "end": 348.0, "text": " Para resolver esta integral indefinida vamos a utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica"}, {"start": 348.0, "end": 354.72, "text": " porque no puede resolverse por integraci\u00f3n directa, tampoco por sustituci\u00f3n simple ni"}, {"start": 354.72, "end": 361.52000000000004, "text": " por el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes, adem\u00e1s se observa aqu\u00ed una ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 361.52000000000004, "end": 368.58000000000004, "text": " con una diferencia de cuadrados perfectos en su interior, entonces comenzamos por dibujar"}, {"start": 368.58, "end": 376.47999999999996, "text": " un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, la ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino o sea 1 ser\u00e1 la hipotenusa"}, {"start": 376.47999999999996, "end": 382.59999999999997, "text": " y la ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino que es X ser\u00e1 uno de los catetos, vamos a escoger"}, {"start": 382.59999999999997, "end": 389.71999999999997, "text": " este y el otro cateto se obtiene utilizando el teorema de Pit\u00e1goras, ser\u00e1 entonces la"}, {"start": 389.72, "end": 398.64000000000004, "text": " ra\u00edz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado o sea 1 al cuadrado que es 1 menos este cateto"}, {"start": 398.64000000000004, "end": 404.8, "text": " al cuadrado, all\u00ed nos aparece entonces esta expresi\u00f3n que tenemos en el integrando, vamos"}, {"start": 404.8, "end": 412.84000000000003, "text": " a seleccionar este \u00e1ngulo agudo como el \u00e1ngulo theta y vamos a obtener de all\u00ed las razones"}, {"start": 412.84000000000003, "end": 415.14000000000004, "text": " trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 415.14, "end": 421.41999999999996, "text": " Usamos entonces Zocato A para recordar las definiciones de seno, coseno y tangente, vamos"}, {"start": 421.41999999999996, "end": 428.56, "text": " a buscar una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica que relacione X con 1, es decir el cateto opuesto al \u00e1ngulo"}, {"start": 428.56, "end": 436.97999999999996, "text": " theta con la hipotenusa, usamos entonces seno, aqu\u00ed lo tenemos cateto opuesto sobre hipotenusa,"}, {"start": 436.98, "end": 446.68, "text": " pues decimos seno de theta es igual al cateto opuesto a dicho \u00e1ngulo que es X sobre la"}, {"start": 446.68, "end": 456.32, "text": " hipotenusa que es 1 y all\u00ed obtenemos que X es igual a seno de theta y tambi\u00e9n si elevamos"}, {"start": 456.32, "end": 465.6, "text": " al cuadrado ambos lados de esta igualdad vamos a tener que X al cuadrado es igual a seno"}, {"start": 465.6, "end": 472.32000000000005, "text": " al cuadrado de theta, ya tenemos entonces una equivalencia para este componente X al"}, {"start": 472.32000000000005, "end": 473.76000000000005, "text": " cuadrado."}, {"start": 473.76000000000005, "end": 480.52000000000004, "text": " Ahora vamos a derivar esta igualdad a ambos lados con respecto a theta, entonces la derivada"}, {"start": 480.52000000000004, "end": 488.20000000000005, "text": " de X con respecto a theta queda indicada como de X de theta y en el otro lado la derivada"}, {"start": 488.2, "end": 496.0, "text": " de seno de theta con respecto a theta ser\u00e1 coseno de theta y de all\u00ed despejamos de X,"}, {"start": 496.0, "end": 504.2, "text": " nos queda entonces que de X es igual a coseno de theta por de theta, este componente que"}, {"start": 504.2, "end": 511.8, "text": " est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y as\u00ed tenemos la equivalencia para el diferencial"}, {"start": 511.8, "end": 519.48, "text": " de X. Ahora necesitamos relacionar este componente con la hipotenusa que es 1, este es el cateto"}, {"start": 519.48, "end": 525.92, "text": " adyacente al \u00e1ngulo theta, entonces cateto adyacente con hipotenusa, aqu\u00ed lo tenemos,"}, {"start": 525.92, "end": 535.96, "text": " nos sugiere utilizar coseno, entonces decimos coseno de theta es igual a el cateto adyacente"}, {"start": 535.96, "end": 546.8000000000001, "text": " que es la ra\u00edz cuadrada de 1 menos X al cuadrado y todo esto nos queda sobre la hipotenusa que"}, {"start": 546.8000000000001, "end": 554.64, "text": " es 1, de all\u00ed despejamos entonces esa ra\u00edz, nos queda la ra\u00edz cuadrada de 1 menos X al"}, {"start": 554.64, "end": 565.1600000000001, "text": " cuadrado igual a coseno de theta y as\u00ed tenemos el reemplazo o la equivalencia para ese componente."}, {"start": 565.16, "end": 571.4399999999999, "text": " Entonces utilizando estos elementos vamos a reconstruir la integral para que nos quede"}, {"start": 571.4399999999999, "end": 579.36, "text": " en t\u00e9rminos de theta, entonces veamos, en el numerador tenemos X al cuadrado que es"}, {"start": 579.36, "end": 586.92, "text": " seno al cuadrado de theta, en el denominador tenemos esa ra\u00edz cuadrada que equivale a"}, {"start": 586.92, "end": 597.12, "text": " coseno de theta y tenemos el diferencial de X que equivale a coseno de theta por d theta,"}, {"start": 597.12, "end": 603.8, "text": " entonces all\u00ed ya tenemos la nueva integral toda en t\u00e9rminos de la variable theta."}, {"start": 603.8, "end": 609.3199999999999, "text": " Antes de continuar vamos a anotar estas dos equivalencias, la de seno de theta y coseno"}, {"start": 609.3199999999999, "end": 615.88, "text": " de theta por ac\u00e1, continuemos con el desarrollo de la integral, aqu\u00ed podemos cancelar coseno"}, {"start": 615.88, "end": 629.36, "text": " de theta y nos queda la integral de seno al cuadrado de theta con su diferencial de theta"}, {"start": 629.36, "end": 635.52, "text": " y aqu\u00ed tenemos que utilizar una de las f\u00f3rmulas de la trigonometr\u00eda, una de las identidades"}, {"start": 635.52, "end": 642.64, "text": " que nos permite reducir potencias, para el caso de seno al cuadrado de theta eso equivale"}, {"start": 642.64, "end": 654.4399999999999, "text": " a 1 menos coseno de 2 theta, coseno del \u00e1ngulo doble y todo esto sobre 2 y todo esto acompa\u00f1ado"}, {"start": 654.4399999999999, "end": 656.92, "text": " del diferencial de theta."}, {"start": 656.92, "end": 664.4, "text": " A continuaci\u00f3n podemos extraer este n\u00famero de la integral, sale como un medio y queda"}, {"start": 664.4, "end": 674.84, "text": " multiplicando con la integral de lo que hay en el numerador, 1 menos el coseno de 2 theta"}, {"start": 674.84, "end": 678.88, "text": " y todo esto con su diferencial de theta."}, {"start": 678.88, "end": 684.8199999999999, "text": " Como se observa, all\u00ed ya tenemos dos t\u00e9rminos que podemos integrar directamente, entonces"}, {"start": 684.8199999999999, "end": 692.9, "text": " esto es igual a un medio por, abrimos un corchete, tenemos la integral de 1, la integral con"}, {"start": 692.9, "end": 700.88, "text": " respecto a la variable theta, eso nos da theta, menos la integral del coseno de 2 theta que"}, {"start": 700.88, "end": 708.04, "text": " vamos a resolver de acuerdo con la siguiente f\u00f3rmula, la integral del coseno de k por"}, {"start": 708.04, "end": 715.24, "text": " theta, k es cualquier constante, esto con el diferencial de theta es igual a 1 sobre"}, {"start": 715.24, "end": 726.6, "text": " k por seno de k por theta, m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n c, esta es una f\u00f3rmula de"}, {"start": 726.6, "end": 733.32, "text": " uso frecuente que se demuestra por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, entonces la integral del"}, {"start": 733.32, "end": 742.32, "text": " coseno de 2 theta donde k vale 2 siguiendo esa instrucci\u00f3n ser\u00e1 un medio por el seno"}, {"start": 742.32, "end": 749.44, "text": " de 2 theta, este par\u00e9ntesis lo podemos omitir, no hay ning\u00fan problema con eso, cerramos"}, {"start": 749.44, "end": 756.84, "text": " el corchete y anotamos la constante de integraci\u00f3n para todo el ejercicio."}, {"start": 756.84, "end": 764.46, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1 y nos queda un medio por, abrimos"}, {"start": 764.46, "end": 774.08, "text": " el corchete, theta menos un medio por seno de 2 theta que equivale a 2 por el seno de"}, {"start": 774.08, "end": 782.1600000000001, "text": " theta por el coseno de theta, es otra de las identidades trigonom\u00e9tricas de gran importancia,"}, {"start": 782.1600000000001, "end": 788.64, "text": " la del seno del \u00e1ngulo doble y esto queda m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 788.64, "end": 798.04, "text": " All\u00ed podemos simplificar estos dos n\u00fameros y nos queda lo siguiente, un medio por, abrimos"}, {"start": 798.04, "end": 808.96, "text": " el corchete, tenemos theta menos seno de theta por coseno de theta, cerramos el corchete"}, {"start": 808.96, "end": 812.92, "text": " y anotamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 812.92, "end": 819.28, "text": " All\u00ed ya podemos cambiar estos componentes que tienen la variable theta por sus equivalentes"}, {"start": 819.28, "end": 824.7199999999999, "text": " en la variable X que es la variable original del ejercicio."}, {"start": 824.7199999999999, "end": 832.28, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda, un medio por, abrimos el corchete, aqu\u00ed tenemos theta que"}, {"start": 832.28, "end": 839.0799999999999, "text": " podemos despejar bien sea de esta expresi\u00f3n o tambi\u00e9n de esta, est\u00e1 m\u00e1s sencillo ac\u00e1,"}, {"start": 839.08, "end": 847.76, "text": " si despejamos theta de esta igualdad nos queda que theta es igual a seno a la menos uno de"}, {"start": 847.76, "end": 858.0400000000001, "text": " X o tambi\u00e9n podemos utilizar la notaci\u00f3n arco seno de X, vamos a escribirlo as\u00ed,"}, {"start": 858.04, "end": 868.64, "text": " theta es seno a la menos uno de X, luego tenemos menos seno de theta que equivale a X por coseno"}, {"start": 868.64, "end": 878.4, "text": " de theta que equivale a la ra\u00edz cuadrada de uno menos X al cuadrado, entonces as\u00ed hemos"}, {"start": 878.4, "end": 884.24, "text": " retornado a la variable original que es X."}, {"start": 884.24, "end": 890.76, "text": " Para terminar podemos distribuir este n\u00famero a los t\u00e9rminos que hay dentro del corchete,"}, {"start": 890.76, "end": 900.52, "text": " entonces nos queda un medio por seno a la menos uno de X, esto menos un medio por X"}, {"start": 900.52, "end": 910.6, "text": " por la ra\u00edz cuadrada de uno menos X al cuadrado, todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 910.6, "end": 918.6, "text": " Y as\u00ed hemos resuelto esa integral indefinida por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 918.6, "end": 925.4, "text": " Entonces habiendo resuelto esta integral vamos a escribir la soluci\u00f3n para el ejercicio"}, {"start": 925.4, "end": 938.24, "text": " propuesto, nos queda un medio de X al cuadrado, seno a la menos uno de X, menos un medio por,"}, {"start": 938.24, "end": 945.88, "text": " abrimos un corchete para insertar aqu\u00ed el resultado que obtuvimos para esa integral"}, {"start": 945.88, "end": 958.12, "text": " que fue un medio por seno a la menos uno de X, menos un medio de X por la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 958.12, "end": 969.28, "text": " de uno menos X al cuadrado, cerramos el corchete y anotamos la constante de integraci\u00f3n para"}, {"start": 969.28, "end": 971.44, "text": " todo el ejercicio."}, {"start": 971.44, "end": 979.02, "text": " Para terminar destruimos este corchete distribuyendo menos un medio, entonces nos queda un medio"}, {"start": 979.02, "end": 985.64, "text": " por X al cuadrado, seno a la menos uno de X, ac\u00e1 menos un medio por un medio, seno a"}, {"start": 985.64, "end": 993.1999999999999, "text": " la menos uno de X nos da menos un cuarto, seno a la menos uno de X, ac\u00e1 menos un medio"}, {"start": 993.1999999999999, "end": 1003.48, "text": " por menos un medio nos da m\u00e1s un cuarto, por esto X ra\u00edz cuadrada de uno menos X al cuadrado"}, {"start": 1003.48, "end": 1008.88, "text": " y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1008.88, "end": 1015.76, "text": " Y de esta manera hemos terminado este ejercicio."}]