INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 28
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando dos veces el método de sustitución o cambio de variable.

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 Para resolver esta integral indefinida vamos a utilizar el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a cambiar lo que es e a la x por otra letra. Vamos a utilizar por ejemplo la letra griega theta, entonces theta será igual a e a la x. Ese componente tenemos que derivarlo con respecto a x. Entonces decimos derivada de theta con respecto a la variable x, es decir la derivada de e a la x nos da esa misma expresión e a la x. Y de aquí vamos a despejar de x. Para despejar de x hacemos lo siguiente, de x está aquí dividiendo, pasaría a este lado a multiplicar y e a la x vendría acá a dividir. En otras palabras hacemos un intercambio con estos dos componentes, por lo tanto de x nos queda igual a d theta sobre e a la x. Pero por acá dijimos que e a la x equivale a theta, entonces esto nos queda así, de x igual a d theta sobre theta. Cambiamos e a la x por la variable theta. Entonces con estos dos componentes que hemos encerrado vamos a reconstruir esa integral. Nos queda entonces así, e a la x que se cambia por theta, eso multiplicado por tangente de e a la x, o sea tangente de theta, en el denominador tenemos coseno al cuadrado de e a la x, e a la x se cambia por theta, y acá tenemos el diferencial de x que nos dio d theta sobre theta. Entonces allí tenemos una nueva integral en términos de la variable theta. Esa expresión podemos simplificarla, esta letra theta la podemos cancelar o eliminar, es completamente lícito hacer eso. Entonces nos queda la integral de lo siguiente, tenemos tangente de theta y esto que tenemos en el denominador podemos escribirlo acá a un lado, es decir multiplicando por 1 sobre coseno al cuadrado de theta, y todo eso acompañado del diferencial de theta. A su vez podemos cambiar este componente utilizando una identidad trigonométrica, recordemos que 1 sobre coseno equivale a secante, y si aquí tenemos 1 sobre coseno al cuadrado de theta, esto se convertirá en secante al cuadrado de theta. Entonces la integral nos queda así, integral de tangente de theta por secante al cuadrado de theta, y todo eso acompañado del diferencial de theta. Si realizamos con atención esta expresión vemos que la derivada de tangente de theta nos da secante al cuadrado de theta. Entonces vamos a utilizar otra sustitución o cambio de variable. Vamos a utilizar por ejemplo la letra k para representar a lo que es tangente de theta. Entonces ese componente tenemos que derivarlo con respecto de la variable theta. Vamos a realizar esa derivada por acá, derivada de k con respecto a theta, es decir la derivada de tangente de theta nos da secante al cuadrado de theta, tal como decíamos ahora. Y de allí vamos a despejar de k, esta vez despejamos de k, es decir pasamos de theta al otro lado a multiplicar, nos queda secante al cuadrado de theta por de theta, porque es justamente este componente el que acompaña a tangente de theta. Entonces con estos dos elementos que hemos encerrado vamos a reconstruir la integral en términos de la variable k. Nos queda entonces así tangente de theta que es igual a k y todo esto como decíamos equivale al diferencial de k. Como se observa ya hemos llegado a una integral directa, una integral que depende solamente de la variable k y donde tenemos una expresión fácilmente integrable. La integral de k que recordemos tiene exponente 1 será k a la 1 más 1, o sea 2 sobre 1 más 1 que también es 2, k al cuadrado sobre 2 y todo esto más la constante de integración. Ahora lo que tenemos que hacer con esta expresión es deshacer los cambios de variable o sustituciones que se realizaron en el camino, entonces veamos cómo nos queda. Inicialmente cambiamos k por su equivalente que es tangente de theta, como k está al cuadrado entonces acá tendremos tangente de theta, todo esto al cuadrado y todo esto sobre 2 más la constante de integración. Enseguida cambiamos theta por e a la x, entonces nos queda tangente de e a la x encerrado con paréntesis y todo esto encerrado con corchetes porque va elevado al cuadrado y a su vez todo eso dividido entre 2 más la constante de integración. Ya para terminar podemos organizar esa expresión de la siguiente manera, vamos a seguir por acá nos queda un medio, es decir corremos este denominador 2 a la izquierda, nos queda como la fracción un medio y eso multiplica con tangente al cuadrado, podemos ubicar el exponente 2 allí de e a la x y todo eso más la constante de integración y de esta manera terminamos el ejercicio, esta expresión es la respuesta para esa integral indefinida.
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