83. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 4)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 83: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 4).

Desde lo alto de una torre se lanza una pelota con velocidad inicial de 50 m/s y un ángulo de elevación de 53°. Si la pelota golpea el suelo en un punto que dista 300 m de la base de la torre, determine: (a) La altura máxima alcanzada por la pelota por encima del suelo; (b) La altura de la torre. Use: sen53°=4/5 y cos53°=3/5 

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Bien, en este problema nos dan la siguiente situación. Tenemos una pelota que es lanzada desde lo alto de una torre. Si vamos a suponer que aquí está la torre, ese es el nivel del suelo. La pelota es lanzada con una velocidad inicial de 50 metros por segundo y un ángulo de elevación o ángulo de disparo de 53 grados, es decir, por encima de la horizontal. Nos dice el problema que la pelota golpea en el suelo en un punto situado a 300 metros de la base de la torre. Como vemos, la trayectoria de la pelota, es decir, una trayectoria parabólica, ha sido enmarcada en el primer cuadrante del plano cartesiano. Tenemos como sistema de referencia los ejes X e Y en metros. Vamos a llamar H esta coordenada en el eje Y correspondiente a la altura de la torre, que es una de las preguntas que nos hacen, y este valor que vamos a llamar Y máxima, es decir, la altura máxima que alcanza la pelota por encima del suelo. Estas dos son las incógnitas del problema. Vamos a comenzar construyendo las ecuaciones cinemáticas para este movimiento. Comenzamos por la ecuación de posición en Y, entonces escribimos el modelo y vamos a reemplazar allí lo que conocemos. Tenemos la gravedad como 10 metros por segundo cuadrado, tenemos la velocidad inicial, es decir, en el tiempo cero, el momento del disparo, esa velocidad vale 50 metros por segundo, tenemos como ángulo theta, ángulo de disparo, 53 grados, por el tiempo más la posición inicial en Y. En el tiempo cero, la posición de la pelota en Y se llama H, que es la altura de la torre. Aquí vamos a simplificar, nos queda Y igual a menos 5t cuadrado más, nos dice el problema que el seno de 53 grados podemos tomarlo como 4 quintos, entonces 50 por 4 quintos nos da 40, queda 40 acompañado de t y esto más H. Esta será entonces nuestra ecuación número 1, que es la ecuación de posición en Y. Haciendo la derivada de esta ecuación con respecto del tiempo vamos a obtener la velocidad en Y, entonces veamos, derivamos cada término, derivada de este primer término nos da menos 10t, derivada del segundo término nos da más 40 y la derivada de este término será cero, porque H es una constante, entonces tenemos la ecuación número 2, que es la ecuación de velocidad en Y. Esas dos ecuaciones las escribimos por acá y a continuación vamos a determinar la ecuación para la posición en X. Recordemos que el modelo dice así, X es igual a velocidad inicial por coseno de theta por el tiempo más X sub cero, es decir la posición inicial en X. Replazamos los datos que conocemos, la velocidad inicial es 50 metros por segundo, tenemos el ángulo theta que es 53 grados por el tiempo más la posición inicial en X. En el tiempo cero para esta pelota la posición en X vale cero. Tenemos que el coseno de 53 grados podemos tomarlo como tres quintos y entonces al multiplicar 50 por tres quintos eso nos da 30, nos queda X igual a 30t que es la ecuación número 3 y es la que nos da la posición en X. Vamos a escribirla por aquí, X es igual a 30t. A continuación iniciamos el análisis del problema, es decir empezamos a mirar los puntos claves que son aquí arriba que es cuando el tiempo se llama tiempo de subida TS y aquí que es cuando el tiempo se llama tiempo de vuelo, es decir cuando termina el movimiento. Vamos a iniciar por acá porque conocemos el alcance máximo horizontal de la pelota, entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo tenemos que la posición X de la pelota vale 300 metros. Esta información podemos reemplazarla en la ecuación número 3, entonces anotamos dicha ecuación y reemplazamos donde está X el 300 y donde está el tiempo entra tiempo de vuelo. De allí despejamos tiempo de vuelo, nos queda 300 dividido entre 30 y esto es igual a 10 segundos. Quiere decir esto que esa pelota tarda 10 segundos desde que es disparada hasta que hace impacto en el suelo. Anotamos por aquí ese resultado 10 segundos y a continuación decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos dio 10 segundos la posición en Y de la pelota vale cero, es decir estamos aquí vemos que Y para este instante vale cero, es cuando la pelota llega al suelo. Esta información la podemos reemplazar en la ecuación número 1, vamos a escribirla y reemplazamos en ella la información que tenemos Y se sustituye por cero y donde tenemos el tiempo entra el 10 que es el tiempo de vuelo. Vamos a resolver eso nos queda cero es igual a 10 al cuadrado 100, 100 por menos 5 da menos 500 más 40 por 10 que es 400 más H queda cero es igual a menos 100 más H y de aquí tenemos que H equivale a 100 metros. Hemos encontrado la respuesta a la pregunta B es decir la altura de la torre podemos cambiar aquí H por el resultado que acabamos de obtener que es 100 metros. Continuando con el análisis podemos decir que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida es decir en este instante allí la velocidad en Y de la pelota vale cero, si recordemos que en el punto más alto de un movimiento de proyectiles o movimiento parabólico la componente en Y de la velocidad siempre es nula vale cero. Esta información podemos sustituirla en la ecuación número 2 entonces la escribimos y vamos a reemplazar allí lo que conocemos velocidad en Y vale cero es igual a menos 10 por el tiempo que es tiempo de subida más 40 pasamos a este término al lado izquierdo llega a positivo y de allí despejamos el tiempo de subida nos queda 40 dividido entre 10 esto nos da entonces un tiempo de subida de 4 segundos entonces tenemos que la pelota tarda 4 segundos desde el momento en que es lanzada hasta que llega al punto más alto de su trayectoria. Finalmente decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida que nos dio 4 segundos entonces tenemos que la posición en Y de la pelota es Y máxima es decir la altura máxima que alcanza con relación al suelo esta información la sustituimos en la ecuación 1 vamos a escribirla tenemos Y igual a menos 5t cuadrado más 40t más h pero h ya la encontramos y vale 100 metros entonces tenemos y que se cambia por y máxima igual a menos 5 por el tiempo que es 4 entonces sustituimos el 4 donde está la letra t y vamos a resolver todo esto nos queda así y el tiempo cuadrado 16 por menos 5 nos da menos 80 más 40 por 4 que es 160 más 100 resolviendo todo esto nos da Y máxima igual a 180 metros y esta será la altura máxima que alcanza la pelota con relación al suelo es la respuesta a la pregunta A podríamos cambiar aquí el Y de la máxima por el resultado obtenido que fue 180 metros de esta manera terminamos el problema.
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