SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Problema 3
#julioprofe explica cómo plantear y resolver un problema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Un comerciante vende quesos de tres tipos: curado, semicurado y tierno. Los precios de cada uno de ellos son: 12 €/kg, 10 €/kg y 9 €/kg, respectivamente. Se sabe que el total de kilos vendidos son 44, que el importe total de la venta son 436 € y que el número de kilos vendidos del queso semicurado es el doble que del curado. Determinar cuántos kilos de cada clase vendió el comerciante.

Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l

REDES SOCIALES

Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet
Twitter → https://twitter.com/julioprofenet
Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet

SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/
 Un comerciante vende quesos de tres tipos, curado, semicurado y tierno. Los precios de cada uno de ellos son 12 euros por kilogramo, 10 euros por kilogramo y 9 euros por kilogramo respectivamente. Se sabe que el total de kilos vendidos son 44, que el importe total de la venta son 436 euros y que el número de kilos vendidos del queso semicurado es el doble que del curado. Determinar cuántos kilos de cada clase vendió el comerciante. Bien para resolver este problema vamos a utilizar tres letras o tres incógnitas que representen la cantidad de kilos de cada tipo de queso que vende el comerciante. Llamamos X a los kilos de queso curado, aquel que se vende a 12 euros el kilogramo. Llamamos Y a los kilos de queso semicurado, aquel que se vende a 10 euros el kilogramo. Y llamamos Z a los kilos de queso tierno, aquel que se vende a 9 euros el kilogramo. La primera información del problema nos dice que el total de kilos vendidos es 44. Entonces allí tendremos la primera ecuación. X más Y más Z será igual a 44. El total de kilos de queso que vendió el comerciante. Entonces aquí tenemos la primera ecuación. La segunda información nos dice que el importe total de la venta es 436 euros. Entonces si el comerciante vende X kilos de queso curado a 12 euros el kilo, por ese concepto tendrá un importe de 12 X euros. Es decir, multiplicamos la cantidad de kilos por su valor unitario. 12 por X es el total de dinero recaudado en euros por la venta de queso curado. A eso le vamos a sumar lo que recauda por la venta de queso semicurado. Son Y kilos a 10 euros el kilo. O sea 10 por Y que será 10 Y. Esto está en euros. Y a eso le sumamos el importe por la venta de queso tierno. Son Z kilos a 9 euros el kilo. Eso nos da 9 Z euros. Y todo eso debe totalizar 436 euros que es el importe total de la venta de queso. De esa manera tenemos ya la segunda ecuación. Vamos ahora con la tercera información que nos da el problema. Nos dice que la cantidad de kilos de queso semicurado es el doble de la cantidad de kilos de queso curado. Entonces Y será igual a 2X. Y es el doble de X. La cantidad de queso semicurado es el doble de la cantidad de queso curado. De esa manera tenemos la tercera ecuación. Tenemos en este caso lo que se llama en matemáticas un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Tres ecuaciones con tres incógnitas. Como en la tercera ecuación observamos Y despejada en términos de X. Entonces podemos sustituir esto que tenemos acá tanto en la ecuación 1 como en la ecuación 2. De esa manera vamos a conseguir que nuestro sistema de 3 por 3 nos quede reducido a uno más sencillo de 2 por 2. Comenzamos sustituyendo la expresión 3 en la expresión 1. Entonces nos queda así. X más Y que se cambia por 2X. Eso más Z igual a 44. Aquí podemos sumar estos dos términos semejantes. X más 2X nos da 3X. Y eso más Z será igual a 44. Entonces esa expresión vamos a anotarla por acá. 3X más Z igual a 44. Y esa expresión la vamos a etiquetar con el número 4. Será la cuarta ecuación que ahora nos queda con las incógnitas X y Z. Ahora vamos a sustituir la expresión 3 en la expresión 2. Tendremos lo siguiente. 12X más 10 por Y es decir 10 por 2X. Allí hacemos la sustitución. Todo eso más 9Z igual a 436. Tendremos 12X más 10 por 2X que nos da 20X. Eso más 9Z igual a 436. Acá podemos sumar esos dos términos semejantes. 12X más 20X nos da 32X. Nos queda más 9Z. Y esto igual a 436. Entonces esa expresión la vamos a escribir por acá. 32X más 9Z igual a 436. Y esa expresión nueva la etiquetamos con el número 5. Es la quinta ecuación que también tiene las incógnitas X y Z. Bien, como decíamos ahora, esto constituye un sistema de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Mucho más fácil de resolver que el sistema original que era de 3 por 3. Aquí también podemos utilizar el método de sustitución. Como vemos en la cuarta ecuación está fácil despejar la incógnita Z. Entonces decimos que de la expresión 4 despejamos Z y nos queda Z igual a 44 menos 3X. Este término que está positivo pasa al otro lado negativo. Y esta expresión que es nueva la vamos a escribir por acá etiquetada con el número 6. Tenemos Z igual a 44 menos 3X. Ahora vamos a reemplazar la expresión 6 en la número 5. Entonces 6 se sustituye en 5 y nos queda de la siguiente manera 32X más 9 por Z. Pero Z se cambia por 44 menos 3X. Cerramos el paréntesis y todo eso se iguala a 436. En resumen, lo que estamos haciendo es resolver este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 utilizando el método de sustitución. Enseguida vamos a romper este paréntesis. Vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces nos queda así 32X más 9 por 44 que nos da 396. 9 por menos 3X que nos da menos 27X. Y esto igual a 436. Enseguida hacemos transposición de términos. Dejamos a este lado aquellos términos que contienen la X y dejamos al otro lado los números o términos independientes. Nos queda entonces 32X menos 27X y al otro lado nos queda 436 menos 396. Este número que está sumando pasa al otro lado a restar. Enseguida resolvemos las operaciones que tenemos a cada lado. Por acá resta de términos semejantes. 32X menos 27X nos da 5X y por acá restamos esos dos números y nos da como resultado 40. De allí podemos hacer el despeje de X. Para ello este número 5 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda X igual a 40 dividido entre 5. Resolviendo esta operación encontramos que el valor de X es 8 y de esa manera hemos encontrado el valor de la primera incógnita. Ya sabemos que X vale 8. Ahora revisamos en las ecuaciones que tenemos que otra incógnita nos queda fácil de encontrar. Si observamos en la ecuación número 3 tenemos que Y es igual a 2X. Por lo tanto aquí podemos decir que Y será igual a 2 por el valor de X que es 8 y eso nos da 2 por 8 es 16. De esa manera conocemos el valor de la otra incógnita, o sea, Y que es 16. Para encontrar el valor de Z que es la incógnita que nos queda faltando buscamos cuál ecuación es más sencilla para ese propósito. Pues bien, la ecuación 6 presenta Z despejada en términos de X. Por lo tanto aquí podemos decir que Z va a ser igual a 44 menos 3 por el valor de X que es 8. Resolvemos esas operaciones Z es igual a 44 menos 3 por 8 que es 24 y efectuando esa resta nos da como resultado 20. Entonces por acá ya podemos escribir el valor de Z. Z equivale a 20. Bien, de esta manera hemos terminado de resolver este problema. A continuación vamos a dar la respuesta. Decimos entonces que el comerciante vendió 8 kilos de queso curado, 16 kilos de queso semi curado y 20 kilos de queso tierno.
[{"start": 0.0, "end": 9.42, "text": " Un comerciante vende quesos de tres tipos, curado, semicurado y tierno. Los precios de"}, {"start": 9.42, "end": 17.46, "text": " cada uno de ellos son 12 euros por kilogramo, 10 euros por kilogramo y 9 euros por kilogramo"}, {"start": 17.46, "end": 25.36, "text": " respectivamente. Se sabe que el total de kilos vendidos son 44, que el importe total de la"}, {"start": 25.36, "end": 34.68, "text": " venta son 436 euros y que el n\u00famero de kilos vendidos del queso semicurado es el doble"}, {"start": 34.68, "end": 41.92, "text": " que del curado. Determinar cu\u00e1ntos kilos de cada clase vendi\u00f3 el comerciante. Bien"}, {"start": 41.92, "end": 47.04, "text": " para resolver este problema vamos a utilizar tres letras o tres inc\u00f3gnitas que representen"}, {"start": 47.04, "end": 53.96, "text": " la cantidad de kilos de cada tipo de queso que vende el comerciante. Llamamos X a los"}, {"start": 53.96, "end": 61.92, "text": " kilos de queso curado, aquel que se vende a 12 euros el kilogramo. Llamamos Y a los"}, {"start": 61.92, "end": 70.72, "text": " kilos de queso semicurado, aquel que se vende a 10 euros el kilogramo. Y llamamos Z a los"}, {"start": 70.72, "end": 77.88, "text": " kilos de queso tierno, aquel que se vende a 9 euros el kilogramo. La primera informaci\u00f3n"}, {"start": 77.88, "end": 85.0, "text": " del problema nos dice que el total de kilos vendidos es 44. Entonces all\u00ed tendremos la"}, {"start": 85.0, "end": 97.47999999999999, "text": " primera ecuaci\u00f3n. X m\u00e1s Y m\u00e1s Z ser\u00e1 igual a 44. El total de kilos de queso que vendi\u00f3"}, {"start": 97.47999999999999, "end": 104.91999999999999, "text": " el comerciante. Entonces aqu\u00ed tenemos la primera ecuaci\u00f3n. La segunda informaci\u00f3n"}, {"start": 104.92, "end": 113.16, "text": " nos dice que el importe total de la venta es 436 euros. Entonces si el comerciante vende"}, {"start": 113.16, "end": 122.12, "text": " X kilos de queso curado a 12 euros el kilo, por ese concepto tendr\u00e1 un importe de 12"}, {"start": 122.12, "end": 130.08, "text": " X euros. Es decir, multiplicamos la cantidad de kilos por su valor unitario. 12 por X es"}, {"start": 130.08, "end": 136.78, "text": " el total de dinero recaudado en euros por la venta de queso curado. A eso le vamos a"}, {"start": 136.78, "end": 145.56, "text": " sumar lo que recauda por la venta de queso semicurado. Son Y kilos a 10 euros el kilo."}, {"start": 145.56, "end": 155.04000000000002, "text": " O sea 10 por Y que ser\u00e1 10 Y. Esto est\u00e1 en euros. Y a eso le sumamos el importe por"}, {"start": 155.04, "end": 165.23999999999998, "text": " la venta de queso tierno. Son Z kilos a 9 euros el kilo. Eso nos da 9 Z euros. Y todo"}, {"start": 165.23999999999998, "end": 175.95999999999998, "text": " eso debe totalizar 436 euros que es el importe total de la venta de queso. De esa manera"}, {"start": 175.95999999999998, "end": 182.32, "text": " tenemos ya la segunda ecuaci\u00f3n. Vamos ahora con la tercera informaci\u00f3n que nos da el"}, {"start": 182.32, "end": 189.72, "text": " problema. Nos dice que la cantidad de kilos de queso semicurado es el doble de la cantidad"}, {"start": 189.72, "end": 199.64, "text": " de kilos de queso curado. Entonces Y ser\u00e1 igual a 2X. Y es el doble de X. La cantidad"}, {"start": 199.64, "end": 207.35999999999999, "text": " de queso semicurado es el doble de la cantidad de queso curado. De esa manera tenemos la"}, {"start": 207.36, "end": 213.8, "text": " tercera ecuaci\u00f3n. Tenemos en este caso lo que se llama en matem\u00e1ticas un sistema de"}, {"start": 213.8, "end": 221.88000000000002, "text": " ecuaciones lineales de 3 por 3. Tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas. Como en la tercera ecuaci\u00f3n"}, {"start": 221.88000000000002, "end": 228.20000000000002, "text": " observamos Y despejada en t\u00e9rminos de X. Entonces podemos sustituir esto que tenemos"}, {"start": 228.20000000000002, "end": 235.02, "text": " ac\u00e1 tanto en la ecuaci\u00f3n 1 como en la ecuaci\u00f3n 2. De esa manera vamos a conseguir que nuestro"}, {"start": 235.02, "end": 243.72, "text": " sistema de 3 por 3 nos quede reducido a uno m\u00e1s sencillo de 2 por 2. Comenzamos sustituyendo"}, {"start": 243.72, "end": 252.16000000000003, "text": " la expresi\u00f3n 3 en la expresi\u00f3n 1. Entonces nos queda as\u00ed. X m\u00e1s Y que se cambia por"}, {"start": 252.16, "end": 265.44, "text": " 2X. Eso m\u00e1s Z igual a 44. Aqu\u00ed podemos sumar estos dos t\u00e9rminos semejantes. X m\u00e1s 2X"}, {"start": 265.44, "end": 276.84, "text": " nos da 3X. Y eso m\u00e1s Z ser\u00e1 igual a 44. Entonces esa expresi\u00f3n vamos a anotarla por ac\u00e1."}, {"start": 276.84, "end": 288.28, "text": " 3X m\u00e1s Z igual a 44. Y esa expresi\u00f3n la vamos a etiquetar con el n\u00famero 4. Ser\u00e1"}, {"start": 288.28, "end": 297.0, "text": " la cuarta ecuaci\u00f3n que ahora nos queda con las inc\u00f3gnitas X y Z. Ahora vamos a sustituir"}, {"start": 297.0, "end": 312.12, "text": " la expresi\u00f3n 3 en la expresi\u00f3n 2. Tendremos lo siguiente. 12X m\u00e1s 10 por Y es decir 10"}, {"start": 312.12, "end": 328.0, "text": " por 2X. All\u00ed hacemos la sustituci\u00f3n. Todo eso m\u00e1s 9Z igual a 436. Tendremos 12X m\u00e1s"}, {"start": 328.0, "end": 339.36, "text": " 10 por 2X que nos da 20X. Eso m\u00e1s 9Z igual a 436. Ac\u00e1 podemos sumar esos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 339.36, "end": 351.72, "text": " semejantes. 12X m\u00e1s 20X nos da 32X. Nos queda m\u00e1s 9Z. Y esto igual a 436. Entonces"}, {"start": 351.72, "end": 364.92, "text": " esa expresi\u00f3n la vamos a escribir por ac\u00e1. 32X m\u00e1s 9Z igual a 436. Y esa expresi\u00f3n"}, {"start": 364.92, "end": 371.44, "text": " nueva la etiquetamos con el n\u00famero 5. Es la quinta ecuaci\u00f3n que tambi\u00e9n tiene las"}, {"start": 371.44, "end": 380.88, "text": " inc\u00f3gnitas X y Z. Bien, como dec\u00edamos ahora, esto constituye un sistema de 2 por 2. Dos"}, {"start": 380.88, "end": 387.16, "text": " ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas. Mucho m\u00e1s f\u00e1cil de resolver que el sistema original"}, {"start": 387.16, "end": 393.48, "text": " que era de 3 por 3. Aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Como vemos"}, {"start": 393.48, "end": 400.28000000000003, "text": " en la cuarta ecuaci\u00f3n est\u00e1 f\u00e1cil despejar la inc\u00f3gnita Z. Entonces decimos que de la"}, {"start": 400.28000000000003, "end": 414.70000000000005, "text": " expresi\u00f3n 4 despejamos Z y nos queda Z igual a 44 menos 3X. Este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo"}, {"start": 414.70000000000005, "end": 422.16, "text": " pasa al otro lado negativo. Y esta expresi\u00f3n que es nueva la vamos a escribir por ac\u00e1"}, {"start": 422.16, "end": 435.04, "text": " etiquetada con el n\u00famero 6. Tenemos Z igual a 44 menos 3X. Ahora vamos a reemplazar la"}, {"start": 435.04, "end": 444.04, "text": " expresi\u00f3n 6 en la n\u00famero 5. Entonces 6 se sustituye en 5 y nos queda de la siguiente"}, {"start": 444.04, "end": 459.28000000000003, "text": " manera 32X m\u00e1s 9 por Z. Pero Z se cambia por 44 menos 3X. Cerramos el par\u00e9ntesis y"}, {"start": 459.28000000000003, "end": 467.76, "text": " todo eso se iguala a 436. En resumen, lo que estamos haciendo es resolver este sistema"}, {"start": 467.76, "end": 474.76, "text": " de ecuaciones lineales de 2 por 2 utilizando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Enseguida vamos"}, {"start": 474.76, "end": 481.84, "text": " a romper este par\u00e9ntesis. Vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces nos queda"}, {"start": 481.84, "end": 495.36, "text": " as\u00ed 32X m\u00e1s 9 por 44 que nos da 396. 9 por menos 3X que nos da menos 27X. Y esto igual"}, {"start": 495.36, "end": 503.92, "text": " a 436. Enseguida hacemos transposici\u00f3n de t\u00e9rminos. Dejamos a este lado aquellos t\u00e9rminos"}, {"start": 503.92, "end": 509.88, "text": " que contienen la X y dejamos al otro lado los n\u00fameros o t\u00e9rminos independientes. Nos"}, {"start": 509.88, "end": 522.72, "text": " queda entonces 32X menos 27X y al otro lado nos queda 436 menos 396. Este n\u00famero que"}, {"start": 522.72, "end": 529.28, "text": " est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar. Enseguida resolvemos las operaciones que tenemos"}, {"start": 529.28, "end": 539.12, "text": " a cada lado. Por ac\u00e1 resta de t\u00e9rminos semejantes. 32X menos 27X nos da 5X y por ac\u00e1 restamos"}, {"start": 539.12, "end": 546.72, "text": " esos dos n\u00fameros y nos da como resultado 40. De all\u00ed podemos hacer el despeje de X."}, {"start": 546.72, "end": 554.6, "text": " Para ello este n\u00famero 5 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda X igual"}, {"start": 554.6, "end": 564.36, "text": " a 40 dividido entre 5. Resolviendo esta operaci\u00f3n encontramos que el valor de X es 8 y de esa"}, {"start": 564.36, "end": 573.64, "text": " manera hemos encontrado el valor de la primera inc\u00f3gnita. Ya sabemos que X vale 8. Ahora"}, {"start": 573.64, "end": 580.24, "text": " revisamos en las ecuaciones que tenemos que otra inc\u00f3gnita nos queda f\u00e1cil de encontrar."}, {"start": 580.24, "end": 587.04, "text": " Si observamos en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3 tenemos que Y es igual a 2X. Por lo tanto aqu\u00ed podemos"}, {"start": 587.04, "end": 597.1999999999999, "text": " decir que Y ser\u00e1 igual a 2 por el valor de X que es 8 y eso nos da 2 por 8 es 16. De"}, {"start": 597.2, "end": 606.1600000000001, "text": " esa manera conocemos el valor de la otra inc\u00f3gnita, o sea, Y que es 16. Para encontrar el valor"}, {"start": 606.1600000000001, "end": 613.44, "text": " de Z que es la inc\u00f3gnita que nos queda faltando buscamos cu\u00e1l ecuaci\u00f3n es m\u00e1s sencilla para"}, {"start": 613.44, "end": 621.44, "text": " ese prop\u00f3sito. Pues bien, la ecuaci\u00f3n 6 presenta Z despejada en t\u00e9rminos de X. Por lo tanto"}, {"start": 621.44, "end": 634.6, "text": " aqu\u00ed podemos decir que Z va a ser igual a 44 menos 3 por el valor de X que es 8. Resolvemos"}, {"start": 634.6, "end": 645.0400000000001, "text": " esas operaciones Z es igual a 44 menos 3 por 8 que es 24 y efectuando esa resta nos da como"}, {"start": 645.04, "end": 655.76, "text": " resultado 20. Entonces por ac\u00e1 ya podemos escribir el valor de Z. Z equivale a 20. Bien,"}, {"start": 655.76, "end": 661.0, "text": " de esta manera hemos terminado de resolver este problema. A continuaci\u00f3n vamos a dar"}, {"start": 661.0, "end": 668.5999999999999, "text": " la respuesta. Decimos entonces que el comerciante vendi\u00f3 8 kilos de queso curado, 16 kilos de"}, {"start": 668.6, "end": 675.6, "text": " queso semi curado y 20 kilos de queso tierno."}]