REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES LOGARÍTMICAS
#julioprofe expone las reglas para derivar funciones logaritmicas y un ejemplo de cada una.

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 En esta ocasión vamos a ver las reglas para derivar funciones logarítmicas y también veremos ejemplos de cada una. Comencemos con la función f de x igual a logaritmo en base a de x. Para esta función su derivada que es f' de x se construye de la siguiente manera. Se trata de una fracción. En el numerador escribimos el 1 y acá en el denominador escribimos x por logaritmo natural de a. Esta es la derivada de esta función logarítmica. Para aprender esta regla de una manera más sencilla podemos escribirla así. Derivada de logaritmo en base a de x será igual a 1 sobre x por logaritmo natural de a. Miremos este ejemplo para ilustrar la propiedad. Tenemos la función y igual a logaritmo en base 3 de x. Como se observa 3 hace el papel de la letra a. Entonces la derivada de esta función y con respecto a la variable x será igual a 1 sobre x por logaritmo natural de 3 siguiendo esta instrucción. Miremos ahora el caso de la función f de x igual a logaritmo en base 10 de x. Recordemos que cuando el logaritmo no tiene aquí ningún número se trata de la base 10. Entonces siguiendo la instrucción tenemos que f' o sea la derivada de esa función será 1 sobre x por logaritmo natural de 10. Repetimos en este caso a vale 10. Ahora miremos el caso de la función f de x igual a logaritmo en base a de una expresión u de x. Aquí ya no tenemos una simple x sino una expresión un poco más compleja que se encuentra en términos de la variable x. Entonces para ese caso la derivada se construye así. De nuevo tenemos una fracción en el numerador escribimos el 1 en el denominador escribimos la expresión u de x por logaritmo natural de a y esto lo multiplicamos por u' de x. O sea por la derivada interna o sea la derivada del argumento del logaritmo. Esto es lo que se llama la regla de la cadena aplicada a la derivación de una función logarítmica. Como aquí tenemos denominador 1 que es invisible podemos multiplicar en forma horizontal ambas fracciones y este componente se sitúa acá en el numerador u' de x por 1 será u' de x. Entonces podemos escribir ese componente o sea la derivada interna acá en el numerador. Nos queda una expresión más compacta. Podemos aprendernos esta fórmula de una manera más sencilla así. Si tenemos logaritmo en base a de la manzanita entonces su derivada será igual a manzanita prima en el numerador sobre la manzanita multiplicada por logaritmo natural de a. Simplemente la manzanita está sustituyendo a la expresión u de x. Veamos el ejemplo para ilustrar esta propiedad. Esta expresión hace el papel de la manzanita y 5 hace el papel de a. Entonces siguiendo la instrucción tenemos que la derivada de y con respecto a x será igual a x a la 4 menos 7 por logaritmo natural de 5. Allí tenemos el denominador vemos la manzanita por el logaritmo natural de a y acá en el numerador vamos a escribir la derivada de la manzanita o sea la derivada de x a la 4 menos 7 que nos da 4 x a la 3. De esta manera tenemos la derivada para esta función. Ahora veamos la regla para derivar la función f de x igual a logaritmo natural o logaritmo neperiano de x. Recordemos que este es el logaritmo que tiene la base e el número de Euler que equivale a 2.71828 y puntos suspensivos porque se trata de un número decimal infinito no periódico. Recordemos que el número de Euler es clasificado como número irracional. Bien para esta función su derivada f' de x es simplemente 1 sobre x. Eso es todo lo que tenemos que hacer cuando tengamos que derivar logaritmo natural de x. Otra forma de aprender esta regla es así derivada de logaritmo natural de x será igual a 1 sobre x. Veamos el ejemplo de una función h de x igual a x al cubo por logaritmo natural de x para mostrar la aplicación de esta regla. Tenemos que derivar esta función utilizando la regla del producto porque aquí tenemos la multiplicación de dos expresiones que contienen la variable x. Entonces la derivada de esa función h' de x se construye de la siguiente manera. Derivada del primer componente, o sea derivada de x al cubo es 3x al cuadrado. Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es logaritmo natural de x más el primer componente sin derivar x al cubo por la derivada del segundo componente. La derivada del logaritmo natural de x como hemos visto es 1 sobre x. En esta expresión el primer término se deja tal como está pero el segundo puede ser simplificado. Veamos cómo nos da eso. x al cubo por 1 sobre x. Aquí tenemos denominador 1 multiplicamos numeradores entre sí nos da x al cubo y multiplicamos denominadores entre sí y nos da x. Y acá aplicamos la propiedad de la potenciación que nos dice que si tenemos cociente de potencias de la misma base dejamos esa base y restamos los exponentes. Aquí tenemos exponente 1, 3 menos 1 nos da 2. Por lo tanto aquí podemos escribir x al cuadrado y de esa manera hemos obtenido la derivada de esa función h de x. Para terminar veamos el caso de la función f de x igual al logaritmo natural de u de x. Ya no tenemos aquí en el argumento una simple x sino una expresión un poco más compleja en términos de esa variable. Para ese caso la derivada f' de x se construye así. Trazamos la línea de una fracción en el numerador escribimos el 1 en el denominador escribimos u de x o sea la misma expresión que tenemos en el argumento y esto lo multiplicamos por u' de x o sea por la derivada interna. La derivada de lo que escribimos en el denominador. Esta es la regla de la cadena aplicada a la derivación de ese tipo de función logaritmica. Como vimos anteriormente este componente puede ser multiplicado por 1 y puede situarse acá encima de la línea. Entonces vamos a retirarlo de aquí y lo vamos a escribir como numerador de la fracción. Nos queda entonces u' de x sobre u de x. Para aprender esta regla de una manera más sencilla podemos verla así. Si tenemos logaritmo natural de manzanita la derivada de esa expresión será igual a manzanita prima sobre la manzanita. Simplemente la manzanita sustituye a u de x y seguimos esta misma instrucción. Miremos este ejemplo para ilustrar la propiedad. Tenemos la función y igual a logaritmo natural de coseno de x. En ese caso coseno de x actúa como la manzanita. Entonces la derivada de esa función y con respecto a la variable x será igual a coseno de x en el denominador. O sea la manzanita que situamos acá debajo de la línea y acá en el numerador debemos escribir la derivada de la manzanita. O sea la derivada de lo que se escribió en el denominador. La derivada de coseno de x es menos seno de x y aquí podemos aplicar una identidad trigonométrica. Recordemos que seno de x sobre coseno de x es tangente de x. Pero no podemos olvidar el signo negativo. Entonces la derivada de esta función será igual a menos tangente de x. Como conclusión vamos a ver el resumen de las cuatro reglas para derivar funciones logaritmicas. Como pudimos observar en los cuatro casos siempre la derivada es una expresión fraccionaria. Vamos con el primero. La derivada de logaritmo en base a de x es 1 sobre x por logaritmo natural de a. La derivada de logaritmo en base a de u de x es u' de x. O sea la derivada del argumento sobre u de x. O sea el argumento multiplicado por logaritmo natural de a. Recordemos que esta es la regla de la cadena para derivar una función logaritmica con base a. Para el caso de logaritmo natural de x su derivada es 1 sobre x. Y para logaritmo natural de u de x tenemos en el numerador u' de x y en el denominador el argumento que es u de x. O sea la expresión que tenemos aquí sin derivar. Bien con esto terminamos entonces este video de las cuatro reglas para derivar funciones logaritmicas.
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