81. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 2)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 81: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 2).

Un proyectil, que es disparado por un cañón, logra una altura máxima de 500 m y un alcance máximo horizontal de 4 km. Determinar: (a) La velocidad inicial del proyectil; (b) El ángulo de disparo; (c) El tiempo de vuelo.

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema utilizamos como sistema o marco de referencia el primer cuadrante del plano cartesiano. Observamos los ejes X y Y en metros. Tenemos un proyectil que es disparado con cierta velocidad inicial y cierto ángulo de tiro. El proyectil alcanza una altura máxima de 500 metros y tiene un alcance máximo horizontal de 4 kilómetros, es decir, 4000 metros. Nos piden encontrar el valor de la velocidad inicial, el ángulo de disparo o ángulo de tiro y el valor del tiempo de vuelo. Para iniciar vamos a construir las ecuaciones cinemáticas para este movimiento. Iniciamos con la ecuación de posición en Y que tiene este modelo y entonces vamos a reemplazar allí lo que conocemos. Llevamos tiempo cero en el momento del disparo, entonces tenemos la siguiente información. Y es igual a menos un medio por la gravedad que tomamos como 10 metros por segundo cuadrado por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial que no la conocemos, por el seno del ángulo theta que es el ángulo de tiro, tampoco lo conocemos, por el tiempo más la posición inicial en Y que sería cero. Esta ecuación nos queda Y igual a menos 5t cuadrado más de sub cero por seno de theta por t. Y esa es la primera ecuación para este movimiento, es la ecuación de posición en Y, vamos a escribirla por acá y a continuación vamos a hallar la de velocidad. La ecuación de velocidad en Y podemos obtenerla fácilmente derivando la ecuación de posición, entonces la derivada de Y con respecto al tiempo nos dará la ecuación de velocidad en Y. Entonces tenemos velocidad en Y es igual a la derivada de menos 5t al cuadrado es igual a menos 10t más la derivada de este término será igual a b sub cero por el seno de theta. Recordemos que la derivada de t es 1, entonces queda este componente que se asume como constante. Entonces tenemos la ecuación número 2 que es la de velocidad en Y y esta será entonces la ecuación número 2. A continuación construimos la ecuación de posición en X, recordemos que este es el modelo. En esta ecuación lo único que sabemos es el valor de X sub cero, en el tiempo cero la posición inicial en X vale cero. Por lo tanto la ecuación de posición en X nos queda simplemente b sub cero por coseno de theta por t. Recordemos que esto no se conoce, entonces nos queda expresada de esa manera. Esa será la ecuación número 3, vamos a escribirla por acá, b sub cero por coseno de theta por t. Y de una vez podemos derivarla para determinar la expresión para la velocidad en X. Esa expresión nos dará igual a b sub cero por coseno de theta. Nuevamente la derivada de t es 1, nos queda el componente que acompaña a la letra T que es constante. Entonces nos queda como expresión número 4 la velocidad en X para el proyectil en cualquier instante del movimiento. Recordemos que esa componente permanece constante durante todo el movimiento. Es la velocidad que tiene exactamente en el punto más alto. Ahora procedemos con el análisis del problema. Vamos a ubicarnos acá en el punto más alto, es decir cuando el tiempo es igual al tiempo de subida. Recordemos que en ese instante la velocidad en Y vale cero. La componente vertical de la velocidad es cero en ese momento. Como acabamos de decir esta velocidad es solamente en X que tiene este valor. Entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida la velocidad en Y es igual a cero. Y entonces podemos utilizar la ecuación número 2 porque es la que tiene justamente esta información. Velocidad en Y y tiempo. Y entonces colocamos por aquí la expresión 2. Nos queda velocidad en Y es igual a menos 10t más de sub cero por el seno de theta. Emplazamos lo que se conoce la velocidad en Y es cero igual a menos 10 por el tiempo de subida más de sub cero por el seno de theta. Vamos a pasar ese término para acá, nos llega positivo. Queda 10t es igual a de sub cero por seno de theta. Y despejamos t es. Nos queda esa expresión dividida entre 10. Entonces esta será la expresión para el tiempo de subida. Vamos a escribirla por acá porque este dato lo necesitamos ahora más adelante. Entonces dejamos por aquí esa expresión. Nuevamente nos situamos aquí y decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida que es igual a de sub cero cero de theta sobre 10. Tenemos que la posición Y del proyectil es 500 metros. Se trata de la altura máxima que alcanza el proyectil por encima del suelo. Entonces con esta información utilizamos la ecuación número 1. Porque es justamente la que tiene información de Y y tiempo. Entonces vamos a escribirla por acá y vamos a reemplazar en ella la información que conocemos. Tenemos Y igual a 500 metros. Y igual a menos 5 por aquí donde está el tiempo debemos escribir esa expresión. Sin olvidar que esto está elevado al cuadrado. Más de sub cero por seno de theta por el tiempo que es de sub cero seno de theta sobre 10. Vamos a resolver eso. Nos queda 500 es igual a menos 5 por aquí el cuadrado afecta cada uno de esos componentes. Entonces nos queda velocidad inicial al cuadrado por seno al cuadrado de theta. Y todo esto sobre 10 al cuadrado que es 100. Aquí multiplicamos en forma horizontal. Hacemos de cuenta que aquí tenemos denominador 1. Por lo tanto nos queda b sub cero cuadrado por seno al cuadrado de theta y todo esto sobre 10. Podemos simplificar este 5 con este 100. Entonces esto nos va a quedar igual a menos b sub cero cuadrado seno al cuadrado de theta. Todo esto sobre 20. Aquí esta fracción podemos amplificarla multiplicándola por 2 arriba y abajo para que nos quede con denominador 20. Entonces en la parte de arriba nos queda 2 b sub cero cuadrado seno al cuadrado de theta. Y abajo 2 por 10 nos da 20. De esa manera podemos sumar fácilmente esas dos fracciones. Como son fracciones homogéneas entonces dejamos el mismo denominador que sería 20. Y sumamos los numeradores. Aquí observamos términos semejantes. Al hacer esa suma nos da b sub cero cuadrado por seno al cuadrado de theta. Y de allí vamos a despejar la expresión b sub cero por seno de theta. Entonces pasamos el 20 a multiplicar al otro lado. Queda 20 multiplicando por 500. Y nos queda b sub cero cuadrado por seno al cuadrado de theta al otro lado. Esto nos da 10.000. Igual a b sub cero cuadrado por seno al cuadrado de theta. Y aquí podemos sacar raíz cuadrada a ambos lados. Si vamos a colocar el símbolo que indica que se saca esa raíz cuadrada. En el lado izquierdo la raíz cuadrada de 10.000 nos da 100. Y en el lado derecho nos da b sub cero por seno de theta. Pero, observemos lo siguiente. Aquí en el tiempo de subida tenemos en el numerador, úsame la expresión b sub cero seno de theta. Que aquí tenemos que vale 100. Por lo tanto, podemos decir que el tiempo de subida será igual a esta expresión que vale 100. Dividido entre 10. Y esto nos da 10 en segundos porque es un tiempo. Tenemos entonces que el tiempo de subida para ese proyectil es de 10 segundos. Podemos borrar por aquí y anotar el resultado numérico que son 10 segundos. Y de una vez podemos determinar el tiempo de vuelo. Recordemos que en este tipo de movimiento el tiempo de vuelo es el doble del tiempo de subida. Por lo tanto, tenemos un tiempo de vuelo de 20 segundos. Y de esta manera respondemos la pregunta C. Ahora vamos a situarnos en este instante. Decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que nos dio 20 segundos. Tenemos que la posición en x del proyectil tiene un valor de 4000 metros. Se trata del alcance máximo horizontal. En ese caso vamos a utilizar la ecuación número 3 porque justamente tiene información de x y tiempo. La escribimos por acá y vamos a reemplazar allí lo que conocemos. Lo reemplazamos por 4000, igual a dsul0 por coseno de theta por el tiempo y lo reemplazamos por 20. De allí despejamos dsul0 coseno theta. El 20 que estaba multiplicando en el lado derecho pasa al lado izquierdo a dividir. Y nos da que dsul0 por coseno de theta es igual a 200. Esta expresión la vamos a escribir por acá y vamos a anotar también la que nos dio hace un momento que decía velocidad inicial por seno de theta igual a 100. Podemos hacer el cosiente de estas dos igualdades. Hacemos dsul0 seno de theta entre dsul0 coseno de theta y en el lado derecho nos quedaría 100 entre 200. Aquí podemos cancelar la velocidad inicial y nos queda seno de theta sobre coseno de theta que equivale a tangente de theta. En este lado simplificando 100 con 200 nos queda 1 medio. Y si despejamos el ángulo theta haciendo tangente a la menos 1 de 1 medio obtenemos un valor aproximado de 26.6 grados. De esta manera respondemos la pregunta B del problema. Tenemos el ángulo de disparo. Anotamos el valor de theta por aquí y vamos a utilizar cualquiera de estas dos expresiones para encontrar la velocidad inicial. Usemos por ejemplo la primera donde sustituimos el valor del ángulo theta. Hacemos dsul0 por seno de 26.6 grados igual a 100 y despejamos dsul0 y nos queda 100 dividido entre seno del ángulo de disparo. Haciendo esa división en calculadora obtenemos un valor aproximado de 223.33 y escribimos las unidades correspondientes a la velocidad, es decir metros por segundo. De esta manera respondemos la pregunta A del problema, es decir la velocidad con que sale el proyectil y así terminamos. ¡Suscríbete al canal!
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"text": " Velocidad en Y y tiempo."}, {"start": 323.0, "end": 328.0, "text": " Y entonces colocamos por aqu\u00ed la expresi\u00f3n 2."}, {"start": 328.0, "end": 337.0, "text": " Nos queda velocidad en Y es igual a menos 10t m\u00e1s de sub cero por el seno de theta."}, {"start": 337.0, "end": 349.0, "text": " Emplazamos lo que se conoce la velocidad en Y es cero igual a menos 10 por el tiempo de subida m\u00e1s de sub cero por el seno de theta."}, {"start": 349.0, "end": 355.0, "text": " Vamos a pasar ese t\u00e9rmino para ac\u00e1, nos llega positivo."}, {"start": 355.0, "end": 358.0, "text": " Queda 10t es igual a de sub cero por seno de theta."}, {"start": 358.0, "end": 362.0, "text": " Y despejamos t es."}, {"start": 362.0, "end": 367.0, "text": " Nos queda esa expresi\u00f3n dividida entre 10."}, {"start": 367.0, "end": 371.0, "text": " Entonces esta ser\u00e1 la expresi\u00f3n para el tiempo de subida."}, {"start": 371.0, "end": 376.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1 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igual a 500 metros."}, {"start": 429.0, "end": 438.0, "text": " Y igual a menos 5 por aqu\u00ed donde est\u00e1 el tiempo debemos escribir esa expresi\u00f3n."}, {"start": 438.0, "end": 442.0, "text": " Sin olvidar que esto est\u00e1 elevado al cuadrado."}, {"start": 442.0, "end": 453.0, "text": " M\u00e1s de sub cero por seno de theta por el tiempo que es de sub cero seno de theta sobre 10."}, {"start": 453.0, "end": 455.0, "text": " Vamos a resolver eso."}, {"start": 455.0, "end": 461.0, "text": " Nos queda 500 es igual a menos 5 por aqu\u00ed el cuadrado afecta cada uno de esos componentes."}, {"start": 461.0, "end": 467.0, "text": " Entonces nos queda velocidad inicial al cuadrado por seno al cuadrado de theta."}, {"start": 467.0, "end": 471.0, "text": " Y todo esto sobre 10 al cuadrado que es 100."}, {"start": 471.0, "end": 474.0, "text": " Aqu\u00ed multiplicamos en forma horizontal."}, {"start": 474.0, "end": 477.0, "text": " Hacemos de cuenta que aqu\u00ed tenemos denominador 1."}, {"start": 477.0, "end": 485.0, "text": " Por lo tanto nos queda b sub cero cuadrado por seno al cuadrado de theta y todo esto sobre 10."}, {"start": 485.0, "end": 489.0, "text": " Podemos simplificar este 5 con este 100."}, {"start": 489.0, "end": 497.0, "text": " Entonces esto nos va a quedar igual a menos b sub cero cuadrado seno al cuadrado de theta."}, {"start": 497.0, "end": 500.0, "text": " Todo esto sobre 20."}, {"start": 500.0, "end": 509.0, "text": " Aqu\u00ed esta fracci\u00f3n podemos amplificarla multiplic\u00e1ndola por 2 arriba y abajo para que nos quede con denominador 20."}, {"start": 509.0, "end": 514.0, "text": " Entonces en la parte de arriba nos queda 2 b sub cero cuadrado seno al cuadrado de theta."}, {"start": 514.0, "end": 517.0, "text": " Y abajo 2 por 10 nos da 20."}, {"start": 517.0, "end": 521.0, "text": " De esa manera podemos sumar f\u00e1cilmente esas dos fracciones."}, {"start": 521.0, "end": 529.0, "text": " Como son fracciones homog\u00e9neas 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cuadrada a ambos lados."}, {"start": 572.0, "end": 577.0, "text": " Si vamos a colocar el s\u00edmbolo que indica que se saca esa ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 577.0, "end": 582.0, "text": " En el lado izquierdo la ra\u00edz cuadrada de 10.000 nos da 100."}, {"start": 582.0, "end": 588.0, "text": " Y en el lado derecho nos da b sub cero por seno de theta."}, {"start": 588.0, "end": 590.0, "text": " Pero, observemos lo siguiente."}, {"start": 590.0, "end": 594.0, "text": " Aqu\u00ed en el tiempo de subida tenemos en el numerador,"}, {"start": 594.0, "end": 597.0, "text": " \u00fasame la expresi\u00f3n b sub cero seno de theta."}, {"start": 597.0, "end": 599.0, "text": " Que aqu\u00ed tenemos que vale 100."}, {"start": 599.0, "end": 610.0, "text": " Por lo tanto, podemos decir que el tiempo de subida ser\u00e1 igual a esta expresi\u00f3n que vale 100."}, {"start": 610.0, "end": 613.0, "text": " Dividido entre 10."}, {"start": 613.0, "end": 618.0, "text": " Y esto nos da 10 en segundos 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tiene un valor de 4000 metros."}, {"start": 672.0, "end": 675.0, "text": " Se trata del alcance m\u00e1ximo horizontal."}, {"start": 675.0, "end": 684.0, "text": " En ese caso vamos a utilizar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3 porque justamente tiene informaci\u00f3n de x y tiempo."}, {"start": 684.0, "end": 689.0, "text": " La escribimos por ac\u00e1 y vamos a reemplazar all\u00ed lo que conocemos."}, {"start": 689.0, "end": 700.0, "text": " Lo reemplazamos por 4000, igual a dsul0 por coseno de theta por el tiempo y lo reemplazamos por 20."}, {"start": 700.0, "end": 704.0, "text": " De all\u00ed despejamos dsul0 coseno theta."}, {"start": 704.0, "end": 711.0, "text": " El 20 que estaba multiplicando en el lado derecho pasa al lado izquierdo a dividir."}, {"start": 711.0, "end": 717.0, "text": " Y nos da que dsul0 por coseno de theta es igual a 200."}, {"start": 717.0, "end": 733.0, "text": " Esta expresi\u00f3n la vamos a escribir por ac\u00e1 y vamos a anotar tambi\u00e9n la que nos dio hace un momento que dec\u00eda velocidad inicial por seno de theta igual a 100."}, {"start": 733.0, "end": 737.0, "text": " Podemos hacer el cosiente de estas dos igualdades."}, {"start": 737.0, "end": 750.0, "text": " Hacemos dsul0 seno de theta entre dsul0 coseno de theta y en el lado derecho nos quedar\u00eda 100 entre 200."}, {"start": 750.0, "end": 762.0, "text": " Aqu\u00ed podemos cancelar la velocidad inicial y nos queda seno de theta sobre coseno de theta que equivale a tangente de theta."}, {"start": 762.0, "end": 767.0, "text": " En este lado simplificando 100 con 200 nos queda 1 medio."}, {"start": 767.0, "end": 779.0, "text": " Y si despejamos el \u00e1ngulo theta haciendo tangente a la menos 1 de 1 medio obtenemos un valor aproximado de 26.6 grados."}, {"start": 779.0, "end": 783.0, "text": " De esta manera respondemos la pregunta B del problema."}, {"start": 783.0, "end": 786.0, "text": " Tenemos el \u00e1ngulo de disparo."}, {"start": 786.0, "end": 796.0, "text": " Anotamos el valor de theta por aqu\u00ed y vamos a utilizar cualquiera de estas dos expresiones para encontrar la velocidad inicial."}, {"start": 796.0, "end": 803.0, "text": " Usemos por ejemplo la primera donde sustituimos el valor del \u00e1ngulo theta."}, {"start": 803.0, "end": 820.0, "text": " Hacemos dsul0 por seno de 26.6 grados igual a 100 y despejamos dsul0 y nos queda 100 dividido entre seno del \u00e1ngulo de disparo."}, {"start": 820.0, "end": 838.0, "text": " Haciendo esa divisi\u00f3n en calculadora obtenemos un valor aproximado de 223.33 y escribimos las unidades correspondientes a la velocidad, es decir metros por segundo."}, {"start": 838.0, "end": 850.0, "text": " De esta manera respondemos la pregunta A del problema, es decir la velocidad con que sale el proyectil y as\u00ed terminamos."}, {"start": 868.0, "end": 873.0, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]