TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo derivar una función aplicando la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo. 

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 ¿Qué es la derivada de la función? Utilice el teorema fundamental del calculo para encontrar la derivada de la función que se nos presenta en esta ocasión. Para comenzar podemos decir que una parte del teorema fundamental del calculo dice lo siguiente. La función F evaluada en U por dV de X menos la función F evaluada en V por dV de X. Es otra manera de formular la primera parte del teorema fundamental del calculo. A la función que nos dieron vamos a aplicarle el operador que nos indica derivación en ambos lados. En el lado izquierdo podemos escribir esto como g' de X. Si la derivada con respecto a X de la función g de X puede denotarse como g' de X. En el lado derecho tenemos esta situación, el teorema fundamental del calculo. Veamos cuáles son los componentes. Por ejemplo la función U de X sería X al cuadrado más 1, la función V de X sería 2X y la función F de T sería esta que tenemos aquí, T más 1 sobre T menos 1. Vamos a proceder con esta formulita que ya tenemos lista para desarrollar esta derivada. Comenzamos con F de U, es decir, esta función debe evaluarse en X al cuadrado más 1. Esta expresión ocupa el lugar de la letra T. Entonces nos queda X al cuadrado más 1, más 1, todo esto sobre X al cuadrado más 1 menos 1. Vamos a protegerlo con un paréntesis. Y esto multiplicado por dv de X, es decir, por la derivada de esta expresión con respecto a X. La derivada de X al cuadrado más 1 es 2X. Ahora todo esto menos F de V, es decir, esta función evaluada en 2X. Entonces 2X lo reemplazamos donde se encuentra la letra T. Nos queda 2X más 1 sobre 2X menos 1. Cerramos el paréntesis y esto multiplicado por dv de X, es decir, por la derivada de esta expresión con respecto a X. La derivada de 2X es igual a 2. A continuación vamos a resolver las operaciones que tenemos allí y a pulir nuestra derivada. Entonces, por ejemplo, acá en el numerador tendremos X al cuadrado más 2. En el denominador más 1 con menos 1 se nos cancela y nos queda X al cuadrado. Y todo esto multiplicado por 2X. Y por acá podríamos escribir este 2 delante del paréntesis. Tenemos entonces 2X más 1 sobre 2X menos 1. Finalmente podríamos cancelar aquí esta X con una X de acá. Nos queda una X en el denominador. Recordemos que eso se puede hacer porque aquí hay multiplicación. Y nos queda entonces que eje prima TX, la derivada de la función que nos solicitan, es igual a lo siguiente. Colocamos este 2 también delante del paréntesis que multiplica a X al cuadrado más 2. Todo esto sobre X menos 2 que multiplica a 2X más 1 sobre 2X menos 1. Allí podríamos dejar entonces la respuesta del ejercicio. Si queremos podríamos resolver hacer el álgebra y conseguir una expresión un poco más compacta. Pero allí está bien dejar la derivada de la función.
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