VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN USANDO ARANDELAS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo hallar el volumen un sólido de revolución usando el Método de las Arandelas.

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 En esta ocasión vamos a ver el volumen del sólido que resulta de girar alrededor del eje y la región limitada por las funciones f de x igual a 2x y g de x igual a x al cuadrado. Tenemos por aquí lo que es una función lineal, o sea que su gráfica es una línea recta y tenemos por acá una función cuadrática cuya gráfica será una parábola. Vamos a encontrar como primera medida los puntos de corte de esas dos funciones. Para ello vamos a igualar ambas funciones, tomamos f de x y la igualamos con g de x. f de x es 2x y g de x es igual a x al cuadrado. Tenemos una ecuación de segundo grado, vamos a resolverla. Vamos a igualar a cero, podemos pasar este término para el otro lado, nos queda aquí cero y acá tendremos x al cuadrado menos 2x. Y esa ecuación cuadrática o de segundo grado podemos resolverla por factorización. Aquí podemos extraer factor común x, x será factor de x menos 2 y allí aplicamos el teorema del factor nulo que se puede representar con sus iniciales. Eso nos dice que ambos factores se deben igualar a cero. Tenemos x igual a cero o el otro factor x menos 2 igual a cero. Por aquí ya tenemos una solución de la ecuación, x vale cero y por acá despejamos x. 2 que está restando pasa al otro lado a sumar con cero y nos da x igual a 2. Entonces las soluciones de esa ecuación cuadrática son x igual a cero y x igual a 2. Sabiendo que las funciones presentan corte o intersección en estos valores de x, podemos hacer una tabla de valores para cada una de ellas. Vamos con la función cuadrática, es decir y igual a x al cuadrado. Vamos entonces aquí a tomar valores guiados por estos números. Podemos comenzar en cero, tomar el 1 y también el 2 porque esta es una curva, es una parábola por lo tanto necesitamos varios puntos. Si x vale cero tenemos que y vale cero, si x vale 1 y vale 1 y si x vale 2 tenemos y igual a 4. Vamos a tabular acá lo que es la función f de x, o sea la recta. Tenemos que y es igual a 2x. Y para una recta es suficiente con tener dos puntos, podemos usar justamente cero y dos. Si x vale cero tenemos que y vale cero y si x vale 2 tenemos que y vale 4. Efectivamente se observa los puntos de corte de las dos funciones, comparten dos parejas ordenadas que son los puntos de contacto. Enseguida vamos al plano cartesiano y vamos a localizar los puntos de la función cuadrática. Tenemos el punto cero cero, o sea el origen, el punto uno uno, o sea por aquí y el punto dos coma cuatro que es por acá. Vamos entonces a dibujar la parábola. Bien allí podemos observarla, se trata de la mitad derecha de la parábola que corresponde a esta función cuadrática. Y enseguida vamos a localizar los puntos correspondientes a la recta, ella pasa por cero coma cero y por dos coma cuatro. Vamos entonces a dibujarla. Allí podemos observarla. Entonces la línea de color rojo es y igual a x al cuadrado, la función cuadrática. Y la línea de color azul es y igual a 2x, o sea la función lineal. Y también podemos observar la región que queda encerrada por esas dos funciones. Se trata de esta que estamos repintando con color verde. Esa región plana es la que va a presentar rotación o giro alrededor del eje y. Entonces vamos a realizar el reflejo de esta figura acá en el segundo cuadrante. Allí podemos observarla. La región plana que quedó encerrada en el primer cuadrante al presentar la rotación o el giro con respecto al eje y, nos produce este reflejo en el segundo cuadrante. La parte que está pintada con color verde indica la zona maciza del sólido de revolución. Y la parte que nos queda en color blanco es la parte hueca. Vamos a ver un dibujo de cómo quedaría el sólido de revolución. Nos queda algo como así. Tenemos aquí el eje de giro, que es el eje y. Y este es el sólido de revolución que se genera cuando esta región plana gira en torno a ese eje. Tenemos que el sólido va desde y igual a cero hasta el valor y igual a cuatro. Y vamos a suponer que está conformado por una serie de arandelas que va una encima de la otra de tal forma que generan esta figura tridimensional. Vamos a considerar una de ellas. Por ejemplo, la que está como a esta altura. Sería una especie de disco muy delgado y con un hueco en el centro que corresponde al que deja la línea recta. Vemos que esa línea azul forma en el interior del sólido una especie de hueco en forma de cono. Entonces esta arandela es la que vamos a estudiar y será el diferencial de volumen. Todo el sólido tiene un volumen b que es el que vamos a encontrar. Pero vamos a analizar esta figura representativa que será el diferencial de volumen y que se conoce con el nombre de arandela. Podemos representar la arandela como esta franja horizontal, es decir, lo que se llama una sección transversal al eje de giro. Entonces en ese caso vamos a repintar la parte maciza que sería esta y esta parte que nos queda en color blanco corresponde a la parte hueca. Vamos entonces a identificar las dimensiones de esa arandela. Tenemos la altura de la arandela, vamos a llamarla h, que corresponde al espesor de la misma y se trata de una distancia muy pequeña que se cuenta en la dirección del eje y. Entonces es lo que se conoce como de y, el diferencial de y. Tenemos también lo que es el radio interno de la arandela que lo vamos a marcar aquí con r y tenemos también el radio externo que lo vamos a marcar por acá con la letra r. Entonces veamos a cuanto equivalen esos dos valores. El radio interno, o sea r, es una distancia que se cuenta en la dirección del eje x horizontalmente a partir del eje y y está controlada por la recta. Todo el tiempo el radio interno de la arandela está gobernado o está controlado por la función lineal. Entonces será la distancia x que sale de la ecuación de la recta, entonces hacemos el despeje de x de esta igualdad. Tenemos que x es igual a y sobre 2 o y medios. Para el caso de r, o sea el radio externo de la arandela, el que hemos señalado por acá, vemos que todo el tiempo está controlado por la curva, por la parábola. Será la distancia x que se desprende de la ecuación de la parábola, de la función cuadrática. Si despejamos x de esta igualdad tenemos que es igual a la raíz cuadrada de y. Entonces allí tenemos los radios de la arandela, el interior, el exterior y su espesor que es de y. La arandela resulta ser una figura geométrica como esta. Se trata de un cilindro hueco que tiene radio externo r, radio interno r y altura o espesor h. Vamos a ver cómo se obtiene la fórmula para encontrar el volumen de esta figura geométrica. Tenemos el volumen del cilindro más grande, o sea el que tiene radio r, que sería pi r al cuadrado por h y esto menos el cilindro que se forma al interior. O sea, restamos esta parte que hace el hueco en la figura, que sería pi r al cuadrado por h. En esa expresión podemos extraer factor común el número pi y h. Nos queda entonces pi factor de r al cuadrado menos r al cuadrado y eso por h. Con esta expresión vamos a determinar el volumen de la arandela. Tenemos entonces la letra B, o sea lo que es el volumen de la arandela, en nuestro caso es dv, el diferencial de volumen de todo el sólido cuyo volumen tenemos que encontrar. Y eso será igual al número pi por, abrimos un corchete, reemplazamos el valor de r, el radio externo de la arandela, que es la raíz cuadrada de y, esto al cuadrado, menos r, el radio interno de la arandela cuyo valor es y medios, también al cuadrado y todo esto multiplicado por h, que es la altura o espesor de la arandela y que es dv. En este caso debemos tener presente que el espesor de la sección transversal, en este caso de la arandela, es lo que nos indica en términos de que letra deben quedar los radios. Como en este caso tenemos diferencial de y, entonces los radios deben quedar expresados en términos de esa letra. Esta expresión la podemos escribir de la siguiente manera, diferencial de volumen igual a pi por raíz cuadrada de y al cuadrado nos queda y, y aquí el exponente afecta al numerador y al denominador, nos queda y al cuadrado sobre 4, cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de y. De esta manera tenemos la expresión para el volumen de la arandela, pero necesitamos el volumen de todo el sólido que como decíamos está conformado por una serie de arandelas una encima de la otra, desde y igual a cero hasta y igual a cuatro. Entonces es aquí cuando tenemos que integrar ambos lados de esta expresión, aparece entonces una de las aplicaciones de la integral definida en el calculo de volúmenes más exactamente en los sólidos de revolución. Aquí tenemos los límites de integración y igual a cero y y igual a cuatro, valores de la variable y que es entre los que se genera dicho sólido de revolución. A la izquierda tenemos que la integral de dv será b, o sea el volumen de todo el sólido y acá a la derecha podemos extraer la constante pi y nos queda la integral entre cero y cuatro de esta expresión que la podemos acomodar como y menos un cuarto de y al cuadrado y todo esto con su respectivo diferencial de y. Vamos ahora a resolver lo que es esta integral, nos queda d igual al número pi por, vamos a abrir una llave, tenemos la integral de y que sería y al cuadrado sobre dos menos la integral de este término donde dejamos el número un cuarto, lo dejamos quieto e integramos y al cuadrado. La integral de y a la dos será y a la tres sobre tres y vamos a evaluar entre los respectivos límites de integración que son cero y cuatro. Antes de aplicar el teorema fundamental del calculo, es decir el reemplazo de los límites de integración, vamos a multiplicar esto aquí, nos va a quedar multiplicación de numeradores y multiplicación de denominadores, tendremos entonces lo que es y al cubo sobre doce. Y ahora si reemplazamos los límites de integración, tenemos volumen igual al número pi por entra el número cuatro, tenemos cuatro al cuadrado sobre dos menos cuatro al cubo sobre doce, allí se evaluó el límite superior, protegemos todo esto. Y luego evaluamos el límite inferior, si cero entra donde tenemos la letra y, todo eso nos dará cero, entonces nos concentramos en esto. Tenemos el número pi por cuatro al cuadrado que es dieciséis, dieciséis sobre dos nos da ocho, menos cuatro al cubo es sesenta y cuatro y sesenta y cuatro doceavos es una fracción que se puede simplificar, podemos dividir entre cuatro ambos números y nos queda como dieciséis tercios, una fracción irreducible. Por último, resolvemos esta resta de fraccionarios, aquí le escribimos denominador uno al ocho y tendremos lo siguiente, pi que multiplica a lo siguiente, uno por tres nos da tres, ocho por tres es veinticuatro, menos uno por dieciséis. Resolvemos esa resta, tendremos volumen igual a pi por ocho tercios y de esta manera llegamos al resultado final de este ejercicio, se puede escribir como ocho tercios de pi unidades cúbicas, porque estamos encontrando el volumen del sólido de revolución. Bien, de esta manera finalizamos el ejercicio.
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Y este es el s\u00f3lido de revoluci\u00f3n que se genera cuando esta regi\u00f3n plana gira en torno a ese eje."}, {"start": 360.0, "end": 369.0, "text": " Tenemos que el s\u00f3lido va desde y igual a cero hasta el valor y igual a cuatro."}, {"start": 369.0, "end": 383.0, "text": " Y vamos a suponer que est\u00e1 conformado por una serie de arandelas que va una encima de la otra de tal forma que generan esta figura tridimensional."}, {"start": 383.0, "end": 390.0, "text": " Vamos a considerar una de ellas. Por ejemplo, la que est\u00e1 como a esta altura."}, {"start": 390.0, "end": 404.0, "text": " Ser\u00eda una especie de disco muy delgado y con un hueco en el centro que corresponde al que deja la l\u00ednea recta."}, {"start": 404.0, "end": 413.0, "text": " Vemos que esa l\u00ednea azul forma en el interior del s\u00f3lido una especie de hueco en forma de cono."}, {"start": 413.0, "end": 420.0, "text": " Entonces esta arandela es la que vamos a estudiar y ser\u00e1 el diferencial de volumen."}, {"start": 420.0, "end": 425.0, "text": " Todo el s\u00f3lido tiene un volumen b que es el que vamos a encontrar."}, {"start": 425.0, "end": 435.0, "text": " Pero vamos a analizar esta figura representativa que ser\u00e1 el diferencial de volumen y que se conoce con el nombre de arandela."}, {"start": 435.0, "end": 446.0, "text": " Podemos representar la arandela como esta franja horizontal, es decir, lo que se llama una secci\u00f3n transversal al eje de giro."}, {"start": 446.0, "end": 460.0, "text": " Entonces en ese caso vamos a repintar la parte maciza que ser\u00eda esta y esta parte que nos queda en color blanco corresponde a la parte hueca."}, {"start": 460.0, "end": 466.0, "text": " Vamos entonces a identificar las dimensiones de esa arandela."}, {"start": 466.0, "end": 481.0, "text": " Tenemos la altura de la arandela, vamos a llamarla h, que corresponde al espesor de la misma y se trata de una distancia muy peque\u00f1a que se cuenta en la direcci\u00f3n del eje y."}, {"start": 481.0, "end": 486.0, "text": " Entonces es lo que se conoce como de y, el diferencial de y."}, {"start": 486.0, "end": 501.0, "text": " Tenemos tambi\u00e9n lo que es el radio interno de la arandela que lo vamos a marcar aqu\u00ed con r y tenemos tambi\u00e9n el radio externo que lo vamos a marcar por ac\u00e1 con la letra r."}, {"start": 501.0, "end": 506.0, "text": " Entonces veamos a cuanto equivalen esos dos valores."}, {"start": 506.0, "end": 519.0, "text": " El radio interno, o sea r, es una distancia que se cuenta en la direcci\u00f3n del eje x horizontalmente a partir del eje y y est\u00e1 controlada por la recta."}, {"start": 519.0, "end": 528.0, "text": " Todo el tiempo el radio interno de la arandela est\u00e1 gobernado o est\u00e1 controlado por la funci\u00f3n lineal."}, {"start": 528.0, "end": 538.0, "text": " Entonces ser\u00e1 la distancia x que sale de la ecuaci\u00f3n de la recta, entonces hacemos el despeje de x de esta igualdad."}, {"start": 538.0, "end": 544.0, "text": " Tenemos que x es igual a y sobre 2 o y medios."}, {"start": 544.0, "end": 557.0, "text": " Para el caso de r, o sea el radio externo de la arandela, el que hemos se\u00f1alado por ac\u00e1, vemos que todo el tiempo est\u00e1 controlado por la curva, por la par\u00e1bola."}, {"start": 557.0, "end": 566.0, "text": " Ser\u00e1 la distancia x que se desprende de la ecuaci\u00f3n de la par\u00e1bola, de la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 566.0, "end": 573.0, "text": " Si despejamos x de esta igualdad tenemos que es igual a la ra\u00edz cuadrada de y."}, {"start": 573.0, "end": 583.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos los radios de la arandela, el interior, el exterior y su espesor que es de y."}, {"start": 583.0, "end": 588.0, "text": " La arandela resulta ser una figura geom\u00e9trica como esta."}, {"start": 588.0, "end": 599.0, "text": " Se trata de un cilindro hueco que tiene radio externo r, radio interno r y altura o espesor h."}, {"start": 599.0, "end": 606.0, "text": " Vamos a ver c\u00f3mo se obtiene la f\u00f3rmula para encontrar el volumen de esta figura geom\u00e9trica."}, {"start": 606.0, "end": 621.0, "text": " Tenemos el volumen del cilindro m\u00e1s grande, o sea el que tiene radio r, que ser\u00eda pi r al cuadrado por h y esto menos el cilindro que se forma al interior."}, {"start": 621.0, "end": 631.0, "text": " O sea, restamos esta parte que hace el hueco en la figura, que ser\u00eda pi r al cuadrado por h."}, {"start": 631.0, "end": 637.0, "text": " En esa expresi\u00f3n podemos extraer factor com\u00fan el n\u00famero pi y h."}, {"start": 637.0, "end": 646.0, "text": " Nos queda entonces pi factor de r al cuadrado menos r al cuadrado y eso por h."}, {"start": 646.0, "end": 652.0, "text": " Con esta expresi\u00f3n vamos a determinar el volumen de la arandela."}, {"start": 652.0, "end": 668.0, "text": " Tenemos entonces la letra B, o sea lo que es el volumen de la arandela, en nuestro caso es dv, el diferencial de volumen de todo el s\u00f3lido cuyo volumen tenemos que encontrar."}, {"start": 668.0, "end": 684.0, "text": " Y eso ser\u00e1 igual al n\u00famero pi por, abrimos un corchete, reemplazamos el valor de r, el radio externo de la arandela, que es la ra\u00edz cuadrada de y, esto al cuadrado, menos r,"}, {"start": 684.0, "end": 699.0, "text": " el radio interno de la arandela cuyo valor es y medios, tambi\u00e9n al cuadrado y todo esto multiplicado por h, que es la altura o espesor de la arandela y que es dv."}, {"start": 699.0, "end": 712.0, "text": " En este caso debemos tener presente que el espesor de la secci\u00f3n transversal, en este caso de la arandela, es lo que nos indica en t\u00e9rminos de que letra deben quedar los radios."}, {"start": 712.0, "end": 722.0, "text": " Como en este caso tenemos diferencial de y, entonces los radios deben quedar expresados en t\u00e9rminos de esa letra."}, {"start": 722.0, "end": 747.0, "text": " Esta expresi\u00f3n la podemos escribir de la siguiente manera, diferencial de volumen igual a pi por ra\u00edz cuadrada de y al cuadrado nos queda y, y aqu\u00ed el exponente afecta al numerador y al denominador, nos queda y al cuadrado sobre 4, cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de y."}, {"start": 747.0, "end": 768.0, "text": " De esta manera tenemos la expresi\u00f3n para el volumen de la arandela, pero necesitamos el volumen de todo el s\u00f3lido que como dec\u00edamos est\u00e1 conformado por una serie de arandelas una encima de la otra, desde y igual a cero hasta y igual a cuatro."}, {"start": 768.0, "end": 786.0, "text": " Entonces es aqu\u00ed cuando tenemos que integrar ambos lados de esta expresi\u00f3n, aparece entonces una de las aplicaciones de la integral definida en el calculo de vol\u00famenes m\u00e1s exactamente en los s\u00f3lidos de revoluci\u00f3n."}, {"start": 786.0, "end": 799.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos los l\u00edmites de integraci\u00f3n y igual a cero y y igual a cuatro, valores de la variable y que es entre los que se genera dicho s\u00f3lido de revoluci\u00f3n."}, {"start": 799.0, "end": 828.0, "text": " A la izquierda tenemos que la integral de dv ser\u00e1 b, o sea el volumen de todo el s\u00f3lido y ac\u00e1 a la derecha podemos extraer la constante pi y nos queda la integral entre cero y cuatro de esta expresi\u00f3n que la podemos acomodar como y menos un cuarto de y al cuadrado y todo esto con su respectivo diferencial de y."}, {"start": 828.0, "end": 851.0, "text": " Vamos ahora a resolver lo que es esta integral, nos queda d igual al n\u00famero pi por, vamos a abrir una llave, tenemos la integral de y que ser\u00eda y al cuadrado sobre dos menos la integral de este t\u00e9rmino donde dejamos el n\u00famero un cuarto, lo dejamos quieto e integramos y al cuadrado."}, {"start": 851.0, "end": 866.0, "text": " La integral de y a la dos ser\u00e1 y a la tres sobre tres y vamos a evaluar entre los respectivos l\u00edmites de integraci\u00f3n que son cero y cuatro."}, {"start": 866.0, "end": 888.0, "text": " Antes de aplicar el teorema fundamental del calculo, es decir el reemplazo de los l\u00edmites de integraci\u00f3n, vamos a multiplicar esto aqu\u00ed, nos va a quedar multiplicaci\u00f3n de numeradores y multiplicaci\u00f3n de denominadores, tendremos entonces lo que es y al cubo sobre doce."}, {"start": 888.0, "end": 912.0, "text": " Y ahora si reemplazamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n, tenemos volumen igual al n\u00famero pi por entra el n\u00famero cuatro, tenemos cuatro al cuadrado sobre dos menos cuatro al cubo sobre doce, all\u00ed se evalu\u00f3 el l\u00edmite superior, protegemos todo esto."}, {"start": 912.0, "end": 924.0, "text": " Y luego evaluamos el l\u00edmite inferior, si cero entra donde tenemos la letra y, todo eso nos dar\u00e1 cero, entonces nos concentramos en esto."}, {"start": 924.0, "end": 952.0, "text": " Tenemos el n\u00famero pi por cuatro al cuadrado que es diecis\u00e9is, diecis\u00e9is sobre dos nos da ocho, menos cuatro al cubo es sesenta y cuatro y sesenta y cuatro doceavos es una fracci\u00f3n que se puede simplificar, podemos dividir entre cuatro ambos n\u00fameros y nos queda como diecis\u00e9is tercios, una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 952.0, "end": 976.0, "text": " Por \u00faltimo, resolvemos esta resta de fraccionarios, aqu\u00ed le escribimos denominador uno al ocho y tendremos lo siguiente, pi que multiplica a lo siguiente, uno por tres nos da tres, ocho por tres es veinticuatro, menos uno por diecis\u00e9is."}, {"start": 976.0, "end": 1003.0, "text": " Resolvemos esa resta, tendremos volumen igual a pi por ocho tercios y de esta manera llegamos al resultado final de este ejercicio, se puede escribir como ocho tercios de pi unidades c\u00fabicas, porque estamos encontrando el volumen del s\u00f3lido de revoluci\u00f3n."}, {"start": 1003.0, "end": 1007.0, "text": " Bien, de esta manera finalizamos el ejercicio."}]