30. VECTORES EN CINEMÁTICA (Teoría)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 30: Vectores en Cinemática (Teoría).

Conceptos de posición, desplazamiento, velocidad (media e instantánea) y aceleración (media e instantánea). Incluye repaso de las reglas básicas de derivación.
 
Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En el estudio de la cinemática vamos a encontrar las siguientes magnitudes vectoriales, la posición, el desplazamiento, la velocidad media, la velocidad instantánea, la aceleración media y la aceleración instantánea. Miremos cada magnitud en detalle. Posición generalmente se denota con R y es el vector que une el origen del sistema de referencia con el punto donde se encuentra el móvil en un instante específico. Supongamos que la partícula se mueve en el sistema de referencia bidimensional con los ejes X y Y definidos en unidades de longitud del sistema internacional, es decir en metros. La partícula sigue la trayectoria de color rojo que se muestra. Entonces tenemos el vector R1 en el instante T1 y el vector R2 en el instante T2. Obsérvese que ambos vectores tienen su origen en el punto 0,0 y sus extremos son los puntos P1 y P2 respectivamente. Las coordenadas de P1 son X1, Y1 y para P2 son X2, Y2. Sabiendo que las componentes de un vector se determinan restando del punto final, el punto inicial, tenemos que el vector R1 puede escribirse también como OP1 y es la diferencia entre los puntos P1 y O, es decir que sus componentes son X1, Y1. De igual manera el vector R2, denotado también como OP2, se define como las coordenadas de P2 menos las coordenadas de O, o sea que sus componentes son X2, Y2. Ambos vectores pueden escribirse así, en términos de los vectores unitarios IJ. En general un vector posición en el plano tiene esta forma. Si se logra establecer una ecuación para la posición en X y otra para la posición Y que muestre como depende cada una del tiempo T, entonces puede recopilarse esa información en lo que se conoce como la ecuación de posición del móvil, donde el vector posición R queda en función del tiempo T. Este tipo de expresión es lo que matemáticamente se conoce como una función vectorial. De forma similar se haría si la partícula se mueve en una línea recta o en el espacio, es decir en los sistemas de referencia unidimensional y tridimensional. En esos casos los vectores posición tienen una y tres componentes respectivamente, en unidades de longitud. También podría determinarse la ecuación de posición en cada caso, si todo se expresa en términos del tiempo T como funciones vectoriales. Es usual llamar ST o SDT a la ecuación de posición de una partícula que presenta movimiento unidimensional. Desplazamiento. Geométricamente es el vector que une dos puntos cualesquiera de la trayectoria de un móvil, puede denotarse como el vector D. Decimos que una partícula tiene desplazamiento cuando presenta cambio de posición. Si el movimiento es rectilíneo, el módulo del vector desplazamiento es igual a la distancia recorrida por el móvil. Es el único caso en que coinciden ambos valores, porque en el caso del movimiento curvilíneo esos valores son diferentes. Por ejemplo, si la partícula describe media circunferencia de radio R, el vector desplazamiento tiene orientación oeste y módulo igual al diámetro, o sea dos veces el radio. Mientras que la distancia o espacio recorrido por el móvil corresponde a la mitad de la longitud de la circunferencia, es decir 2πR sobre 2 que equivale a πR. Vemos entonces que en un movimiento curvilíneo la magnitud del desplazamiento es diferente a la distancia recorrida. Si el movimiento de la partícula ocurre en un sistema de referencia como el bidimensional, el vector desplazamiento une dos puntos de la trayectoria del móvil, como P1 y P2, y se denota como ΔR. Se trata entonces de un vector secante porque su línea de acción toca dos puntos de la curva. Recordemos que la letra griega Δ indica cambio y por eso el desplazamiento de una partícula implica que ella presente un cambio de posición o de lugar. Note que los vectores R1 y ΔR quedan dispuestos de manera consecutiva y el vector R2 se convierte en la suma de ellos por el método del triángulo. Luego la suma de R1 y ΔR da como resultado el vector R2. De esta expresión despejamos ΔR pasando R1 al lado derecho a restar y tenemos que ΔR es igual a R2 menos R1. En otras palabras, el vector desplazamiento se define como la diferencia entre el vector posición final y el vector posición inicial. Como ya teníamos R1 y R2 expresados en términos de sus componentes, se hace la resta entre los valores respectivos de manera muy sencilla. Nos queda entonces que el vector ΔR tiene componentes x2 menos x1 e y2 menos y1 que pueden expresarse como Δx y Δy. Como hemos observado en la anterior situación, el movimiento de la partícula se registra entre los instantes T1 y T2, es decir en el intervalo de tiempo ΔT cuya duración es igual a la diferencia entre T2 y T1. Este concepto nos permite definir la siguiente magnitud vectorial de la cinemática. Velocidad media, se define como el cociente entre el desplazamiento del móvil y el tiempo que emplea en ello. Se trata de una magnitud vectorial por ser el resultado de dividir el vector desplazamiento ΔR entre el escalar ΔT que es el intervalo de tiempo. En unidades del sistema internacional, su módulo se expresa en metros sobre segundo. La dirección y el sentido del vector velocidad media son los mismos del vector desplazamiento ΔR. Si sustituimos el vector ΔR por sus componentes Δx y Δy, tenemos que el escalar ΔT se distribuye dividiendo a cada una de ellas, quedando entonces el vector velocidad media expresado en términos de sus componentes velocidad en x y velocidad en y. Recordemos que en matemáticas una razón es la comparación o el cociente entre dos cantidades, por ejemplo a y b. Pues bien, la velocidad media es justamente la razón entre ΔR que es un cambio de posición y ΔT que es un intervalo de tiempo. Por eso se puede afirmar que la velocidad media es la razón de cambio o tasa de variación media de la posición del móvil con respecto del tiempo. En otras palabras, la velocidad media nos dice que tan rápido la partícula realiza el cambio de posición o de lugar en el lapso de tiempo ΔT. Si ese intervalo de tiempo ΔT se hace muy pequeño, es decir se reduce casi a un instante, entonces es cuando hablamos de la velocidad instantánea, otra magnitud de tipo vectorial en cinemática. Entonces la velocidad instantánea es el vector que resulta de determinar el vector velocidad media cuando ΔT es muy pequeño o se aproxima a cero. La velocidad instantánea podemos denotarla como VT, es decir la velocidad del móvil en el instante T, y lo del lado derecho se puede escribir en un lenguaje simbólico como el límite de la velocidad media cuando ΔT tiende a cero. Sustituyendo el vector velocidad media por su definición, es decir, ΔR sobre ΔT, tenemos una expresión que matemáticamente se conoce como la derivada del vector posición R con respecto del tiempo T, y que se denota como de R de T o R' de T. Por eso en física se dice que en un instante específico la velocidad del móvil es la derivada de su posición. Aquí se observa la estrecha relación que existe entre la física y la matemática, más exactamente con el cálculo. Si la ecuación de posición R de T tiene la forma de una función vectorial con componentes X de T y Y de T para el caso de un movimiento en el plano, entonces al aplicarle la derivada se obtiene la pareja X' de T y Y' de T. A su vez R' de T representa la velocidad en el instante T. X' de T representa la componente X de la velocidad y Y' de T viene siendo la componente Y de la velocidad. De esta manera se obtiene el vector velocidad del móvil en el instante T. Gráficamente este es un vector tangente a la trayectoria en el punto que corresponde al instante T, porque su línea de acción toca solamente ese punto de la curva. Entonces resumiendo, si conocemos la ecuación de posición de una partícula para cualquier tiempo T, la derivamos para obtener la ecuación que nos permite determinar la velocidad del móvil también en cualquier instante T. Aun si la ecuación de posición viene dada de la forma S de T, se sigue aplicando lo mismo. Mediante derivación se obtiene la ecuación para hallar la velocidad en un instante T cualquiera. En realidad la ecuación S de T corresponde a un movimiento unidimensional y prácticamente es lo mismo que decir R de T igual a la componente X de T tomando el eje X como sistema de referencia. No saber derivar en estos momentos no debe ser motivo de preocupación. A continuación haremos un pare y veremos algunas reglas básicas para derivar expresiones. Regla número 1, si tenemos una constante es decir un número real su derivada será 0, por ejemplo la derivada de 7 es 0, la derivada de menos 4 es 0 y la derivada de 15.3 es 0. Regla número 2, si tenemos la variable T su derivada es 1. Regla número 3, si tenemos una constante C que multiplica a la variable T su derivada es la constante C, por ejemplo la derivada de 3T es 3, la derivada de 50T es 50 y la derivada de menos 9T es menos 9. Regla número 4, si tenemos T elevada al exponente N donde N es un número real su derivada es N por T elevada al exponente N menos 1, por ejemplo la derivada de T al cuadrado es 2 por T elevada al exponente 2 menos 1, o sea 2T a la 1 que equivale a 2T. La derivada de T al cubo es 3 por T elevada al exponente 3 menos 1 es decir 3T al cuadrado. Vemos que en este caso el exponente baja a la izquierda a multiplicar a la variable y ese exponente se disminuye en una unidad, así la derivada de T a la 4 es 4T a la 3 o 4T al cubo, la derivada de T a la 5 es 5T a la 4 y la derivada de T a la 18 es 18T a la 17. Regla número 5, si tenemos una constante C que multiplica a la variable T elevada al exponente N donde C y N son números reales su derivada es C por N por T elevada al exponente N menos 1, por ejemplo la derivada de 4T al cuadrado es 4 por 2 por T elevada al exponente 2 menos 1, o sea 8T a la 1 que equivale a 8T. La derivada de 5T al cubo es 5 por 3 por T elevada al exponente 3 menos 1 es decir 15T al cuadrado. Note que el exponente baja a la izquierda a multiplicar el coeficiente de la variable y ese exponente lo disminuimos en una unidad, así la derivada de 6T a la 4 es 24T a la 3 o 24T al cubo y la derivada de 9T a la 5 es 45T a la 4. Finalmente la regla número 6, si vamos a derivar una expresión donde hay suma o resta de varios términos es decir un polinomio entonces derivamos cada uno de los términos, por ejemplo derivemos la expresión 4T al cubo menos 9T al cuadrado menos 14T más 11, entonces procedemos a derivar término por término, la derivada de 4T al cubo es 12T al cuadrado queda listo el primer término, la derivada de menos 9T al cuadrado es menos 18T queda listo el segundo término, la derivada de menos 14T es menos 14 y queda listo el tercer término, finalmente la derivada de 11 es 0 por tratarse de una constante y de esta manera queda listo el cuarto término, este último 0 se puede omitir y entonces la derivada del polinomio es 12T al cuadrado menos 18T menos 14, con estas seis reglas de derivación nos defendemos por ahora. Continuando con las magnitudes vectoriales en cinemática veamos el concepto de aceleración media, supongamos que una partícula tiene una velocidad V1 en el instante T1 y luego en el instante T2 tiene una velocidad V2 diferente a V1 en módulo y orientación, recordemos que en cada punto el vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria del móvil, entonces entre T1 y T2 la partícula modificó su velocidad, ese cambio de velocidad se denota como delta V y es la diferencia entre V2 y V1 es decir la velocidad final menos la velocidad inicial, este trata de una resta de vectores razón por la cual delta V es otro vector, mientras tanto delta T es la diferencia entre T2 y T1 y constituye el intervalo de tiempo en el cual ocurre esa variación en la velocidad del móvil, pues bien la aceleración media se define como el cociente entre delta V y delta T, se trata de una magnitud vectorial por ser la división entre el vector delta V y el escalar delta T, la aceleración media constituye la razón de cambio o tasa de variación media de la velocidad del móvil con respecto del tiempo, en otras palabras nos informa que tan rápido la partícula cambia o modifica su velocidad en el lapso de tiempo delta T, en unidades del sistema internacional el módulo de la aceleración media se expresa en metros sobre segundo cuadrado, su dirección y sentido son los mismos del vector delta V, si el intervalo de tiempo delta T se hace muy pequeño, es decir se convierte casi en un instante, entonces hablamos de la aceleración instantánea, otra magnitud de tipo vectorial en cinemática, entonces la aceleración instantánea es el vector que resulta de determinar el vector aceleración media cuando delta T es muy pequeño o se aproxima a cero, la aceleración instantánea podemos denotarla como ADT, es decir la aceleración del móvil en el instante T y el lado derecho de la igualdad puede escribirse como el límite de la aceleración media cuando delta T tiende a cero, sustituyendo el vector aceleración media por su definición, es decir delta V sobre delta T, tenemos la expresión conocida matemáticamente como la derivada del vector velocidad V con respecto del tiempo T y que se denota como de V de T o V' de T, por eso en física se dice que en un instante específico la aceleración del móvil es la derivada de su velocidad, nuevamente se observa la relación que existe entre la física y el cálculo, si la ecuación de velocidad V de T tiene la forma de una función vectorial con componentes Vx de T y Vy de T para el caso de un movimiento en el plano, entonces la derivada se le aplica a cada componente, quedando la pareja Vx' de T y Vy' de T, a su vez V' de T representa la aceleración en el instante T, Vx' de T representa la componente x de la aceleración y Vy' de T viene siendo la componente y de la aceleración, de esta manera se obtiene el vector aceleración del móvil en el instante T, entonces resumiendo si conocemos la ecuación de velocidad de una partícula para cualquier tiempo T la derivamos para obtener la ecuación que nos permite determinar la aceleración del móvil también en cualquier instante T, finalmente destacamos lo siguiente, si conocemos la posición de un móvil en función del tiempo, bien sea como expresión vectorial o unidimensional, hacemos la derivada con respecto de T para encontrar la velocidad en función del tiempo, es cuando decimos que la velocidad es la primera derivada de la posición, si a su vez derivamos la velocidad con respecto de T, hallamos la aceleración del móvil en términos de T, decimos entonces que la aceleración es la primera derivada de la velocidad, obsérvese que para obtener la aceleración es necesario derivar dos veces la posición, por esa razón se dice también que la aceleración es la segunda derivada de la posición y se denota como R2' de T o S2' de T.
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La direcci\u00f3n y el sentido del vector velocidad"}, {"start": 486.94, "end": 492.4, "text": " media son los mismos del vector desplazamiento \u0394R."}, {"start": 492.4, "end": 501.76, "text": " Si sustituimos el vector \u0394R por sus componentes \u0394x y \u0394y, tenemos que el escalar \u0394T se"}, {"start": 501.76, "end": 508.86, "text": " distribuye dividiendo a cada una de ellas, quedando entonces el vector velocidad media"}, {"start": 508.86, "end": 517.08, "text": " expresado en t\u00e9rminos de sus componentes velocidad en x y velocidad en y. Recordemos"}, {"start": 517.08, "end": 524.48, "text": " que en matem\u00e1ticas una raz\u00f3n es la comparaci\u00f3n o el cociente entre dos cantidades, por ejemplo"}, {"start": 524.48, "end": 533.88, "text": " a y b. Pues bien, la velocidad media es justamente la raz\u00f3n entre \u0394R que es un cambio de posici\u00f3n"}, {"start": 533.88, "end": 541.48, "text": " y \u0394T que es un intervalo de tiempo. Por eso se puede afirmar que la velocidad media es"}, {"start": 541.48, "end": 547.5, "text": " la raz\u00f3n de cambio o tasa de variaci\u00f3n media de la posici\u00f3n del m\u00f3vil con respecto del"}, {"start": 547.5, "end": 554.26, "text": " tiempo. En otras palabras, la velocidad media nos dice que tan r\u00e1pido la part\u00edcula realiza"}, {"start": 554.26, "end": 559.58, "text": " el cambio de posici\u00f3n o de lugar en el lapso de tiempo \u0394T."}, {"start": 559.58, "end": 567.6, "text": " Si ese intervalo de tiempo \u0394T se hace muy peque\u00f1o, es decir se reduce casi a un instante,"}, {"start": 567.6, "end": 573.9200000000001, "text": " entonces es cuando hablamos de la velocidad instant\u00e1nea, otra magnitud de tipo vectorial"}, {"start": 573.9200000000001, "end": 582.4000000000001, "text": " en cinem\u00e1tica. Entonces la velocidad instant\u00e1nea es el vector que resulta de determinar el"}, {"start": 582.4, "end": 590.88, "text": " vector velocidad media cuando \u0394T es muy peque\u00f1o o se aproxima a cero. La velocidad instant\u00e1nea"}, {"start": 590.88, "end": 597.92, "text": " podemos denotarla como VT, es decir la velocidad del m\u00f3vil en el instante T, y lo del lado"}, {"start": 597.92, "end": 605.36, "text": " derecho se puede escribir en un lenguaje simb\u00f3lico como el l\u00edmite de la velocidad media cuando"}, {"start": 605.36, "end": 614.0, "text": " \u0394T tiende a cero. Sustituyendo el vector velocidad media por su definici\u00f3n, es decir, \u0394R sobre"}, {"start": 614.0, "end": 623.0, "text": " \u0394T, tenemos una expresi\u00f3n que matem\u00e1ticamente se conoce como la derivada del vector posici\u00f3n"}, {"start": 623.0, "end": 632.44, "text": " R con respecto del tiempo T, y que se denota como de R de T o R' de T. Por eso en f\u00edsica"}, {"start": 632.44, "end": 638.98, "text": " se dice que en un instante espec\u00edfico la velocidad del m\u00f3vil es la derivada de su"}, {"start": 638.98, "end": 645.24, "text": " posici\u00f3n. Aqu\u00ed se observa la estrecha relaci\u00f3n que existe entre la f\u00edsica y la matem\u00e1tica,"}, {"start": 645.24, "end": 651.96, "text": " m\u00e1s exactamente con el c\u00e1lculo. Si la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n R de T tiene la forma de una"}, {"start": 651.96, "end": 658.96, "text": " funci\u00f3n vectorial con componentes X de T y Y de T para el caso de un movimiento en"}, {"start": 658.96, "end": 667.88, "text": " el plano, entonces al aplicarle la derivada se obtiene la pareja X' de T y Y' de T."}, {"start": 667.88, "end": 676.4000000000001, "text": " A su vez R' de T representa la velocidad en el instante T. X' de T representa la componente"}, {"start": 676.4000000000001, "end": 684.48, "text": " X de la velocidad y Y' de T viene siendo la componente Y de la velocidad. De esta manera"}, {"start": 684.48, "end": 690.9200000000001, "text": " se obtiene el vector velocidad del m\u00f3vil en el instante T. Gr\u00e1ficamente este es un"}, {"start": 690.9200000000001, "end": 697.66, "text": " vector tangente a la trayectoria en el punto que corresponde al instante T, porque su l\u00ednea"}, {"start": 697.66, "end": 704.8000000000001, "text": " de acci\u00f3n toca solamente ese punto de la curva. Entonces resumiendo, si conocemos la"}, {"start": 704.8000000000001, "end": 711.16, "text": " ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n de una part\u00edcula para cualquier tiempo T, la derivamos para obtener"}, {"start": 711.16, "end": 716.56, "text": " la ecuaci\u00f3n que nos permite determinar la velocidad del m\u00f3vil tambi\u00e9n en cualquier"}, {"start": 716.56, "end": 723.24, "text": " instante T. Aun si la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n viene dada de la forma S de T, se sigue aplicando"}, {"start": 723.24, "end": 728.7199999999999, "text": " lo mismo. Mediante derivaci\u00f3n se obtiene la ecuaci\u00f3n para hallar la velocidad en un"}, {"start": 728.7199999999999, "end": 738.12, "text": " instante T cualquiera. En realidad la ecuaci\u00f3n S de T corresponde a un movimiento unidimensional"}, {"start": 738.12, "end": 746.2, "text": " y pr\u00e1cticamente es lo mismo que decir R de T igual a la componente X de T tomando el"}, {"start": 746.2, "end": 754.24, "text": " eje X como sistema de referencia. No saber derivar en estos momentos no debe ser motivo"}, {"start": 754.24, "end": 761.72, "text": " de preocupaci\u00f3n. A continuaci\u00f3n haremos un pare y veremos algunas reglas b\u00e1sicas para"}, {"start": 761.72, "end": 769.44, "text": " derivar expresiones. Regla n\u00famero 1, si tenemos una constante es decir un n\u00famero real su"}, {"start": 769.44, "end": 779.2, "text": " derivada ser\u00e1 0, por ejemplo la derivada de 7 es 0, la derivada de menos 4 es 0 y la"}, {"start": 779.2, "end": 789.8000000000001, "text": " derivada de 15.3 es 0. Regla n\u00famero 2, si tenemos la variable T su derivada es 1. Regla"}, {"start": 789.8, "end": 796.8, "text": " n\u00famero 3, si tenemos una constante C que multiplica a la variable T su derivada es"}, {"start": 796.8, "end": 807.64, "text": " la constante C, por ejemplo la derivada de 3T es 3, la derivada de 50T es 50 y la derivada"}, {"start": 807.64, "end": 816.9599999999999, "text": " de menos 9T es menos 9. Regla n\u00famero 4, si tenemos T elevada al exponente N donde N es"}, {"start": 816.96, "end": 826.1600000000001, "text": " un n\u00famero real su derivada es N por T elevada al exponente N menos 1, por ejemplo la derivada"}, {"start": 826.1600000000001, "end": 835.36, "text": " de T al cuadrado es 2 por T elevada al exponente 2 menos 1, o sea 2T a la 1 que equivale a"}, {"start": 835.36, "end": 846.44, "text": " 2T. La derivada de T al cubo es 3 por T elevada al exponente 3 menos 1 es decir 3T al cuadrado."}, {"start": 846.44, "end": 852.4000000000001, "text": " Vemos que en este caso el exponente baja a la izquierda a multiplicar a la variable y"}, {"start": 852.4000000000001, "end": 862.12, "text": " ese exponente se disminuye en una unidad, as\u00ed la derivada de T a la 4 es 4T a la 3"}, {"start": 862.12, "end": 873.6400000000001, "text": " o 4T al cubo, la derivada de T a la 5 es 5T a la 4 y la derivada de T a la 18 es 18T"}, {"start": 873.64, "end": 882.8, "text": " a la 17. Regla n\u00famero 5, si tenemos una constante C que multiplica a la variable T elevada al"}, {"start": 882.8, "end": 893.08, "text": " exponente N donde C y N son n\u00fameros reales su derivada es C por N por T elevada al exponente"}, {"start": 893.08, "end": 903.72, "text": " N menos 1, por ejemplo la derivada de 4T al cuadrado es 4 por 2 por T elevada al exponente"}, {"start": 903.72, "end": 914.88, "text": " 2 menos 1, o sea 8T a la 1 que equivale a 8T. La derivada de 5T al cubo es 5 por 3 por"}, {"start": 914.88, "end": 923.72, "text": " T elevada al exponente 3 menos 1 es decir 15T al cuadrado. Note que el exponente baja"}, {"start": 923.72, "end": 930.52, "text": " a la izquierda a multiplicar el coeficiente de la variable y ese exponente lo disminuimos"}, {"start": 930.52, "end": 942.72, "text": " en una unidad, as\u00ed la derivada de 6T a la 4 es 24T a la 3 o 24T al cubo y la derivada"}, {"start": 942.72, "end": 953.48, "text": " de 9T a la 5 es 45T a la 4. Finalmente la regla n\u00famero 6, si vamos a derivar una expresi\u00f3n"}, {"start": 953.48, "end": 960.9200000000001, "text": " donde hay suma o resta de varios t\u00e9rminos es decir un polinomio entonces derivamos cada"}, {"start": 960.9200000000001, "end": 969.6, "text": " uno de los t\u00e9rminos, por ejemplo derivemos la expresi\u00f3n 4T al cubo menos 9T al cuadrado"}, {"start": 969.6, "end": 978.6, "text": " menos 14T m\u00e1s 11, entonces procedemos a derivar t\u00e9rmino por t\u00e9rmino, la derivada de 4T al"}, {"start": 978.6, "end": 987.5600000000001, "text": " cubo es 12T al cuadrado queda listo el primer t\u00e9rmino, la derivada de menos 9T al cuadrado"}, {"start": 987.5600000000001, "end": 996.44, "text": " es menos 18T queda listo el segundo t\u00e9rmino, la derivada de menos 14T es menos 14 y queda"}, {"start": 996.44, "end": 1005.5200000000001, "text": " listo el tercer t\u00e9rmino, finalmente la derivada de 11 es 0 por tratarse de una constante y"}, {"start": 1005.5200000000001, "end": 1013.6800000000001, "text": " de esta manera queda listo el cuarto t\u00e9rmino, este \u00faltimo 0 se puede omitir y entonces"}, {"start": 1013.6800000000001, "end": 1023.24, "text": " la derivada del polinomio es 12T al cuadrado menos 18T menos 14, con estas seis reglas"}, {"start": 1023.24, "end": 1027.08, "text": " de derivaci\u00f3n nos defendemos por ahora."}, {"start": 1027.08, "end": 1033.48, "text": " Continuando con las magnitudes vectoriales en cinem\u00e1tica veamos el concepto de aceleraci\u00f3n"}, {"start": 1033.48, "end": 1042.2, "text": " media, supongamos que una part\u00edcula tiene una velocidad V1 en el instante T1 y luego"}, {"start": 1042.2, "end": 1051.36, "text": " en el instante T2 tiene una velocidad V2 diferente a V1 en m\u00f3dulo y orientaci\u00f3n, recordemos"}, {"start": 1051.36, "end": 1060.04, "text": " que en cada punto el vector velocidad instant\u00e1nea es tangente a la trayectoria del m\u00f3vil, entonces"}, {"start": 1060.04, "end": 1068.7199999999998, "text": " entre T1 y T2 la part\u00edcula modific\u00f3 su velocidad, ese cambio de velocidad se denota como delta"}, {"start": 1068.7199999999998, "end": 1078.0, "text": " V y es la diferencia entre V2 y V1 es decir la velocidad final menos la velocidad inicial,"}, {"start": 1078.0, "end": 1085.1, "text": " este trata de una resta de vectores raz\u00f3n por la cual delta V es otro vector, mientras"}, {"start": 1085.1, "end": 1093.4, "text": " tanto delta T es la diferencia entre T2 y T1 y constituye el intervalo de tiempo en"}, {"start": 1093.4, "end": 1100.4, "text": " el cual ocurre esa variaci\u00f3n en la velocidad del m\u00f3vil, pues bien la aceleraci\u00f3n media"}, {"start": 1100.4, "end": 1108.3200000000002, "text": " se define como el cociente entre delta V y delta T, se trata de una magnitud vectorial"}, {"start": 1108.3200000000002, "end": 1116.1200000000001, "text": " por ser la divisi\u00f3n entre el vector delta V y el escalar delta T, la aceleraci\u00f3n media"}, {"start": 1116.1200000000001, "end": 1123.0800000000002, "text": " constituye la raz\u00f3n de cambio o tasa de variaci\u00f3n media de la velocidad del m\u00f3vil con respecto"}, {"start": 1123.0800000000002, "end": 1130.0800000000002, "text": " del tiempo, en otras palabras nos informa que tan r\u00e1pido la part\u00edcula cambia o modifica"}, {"start": 1130.08, "end": 1137.28, "text": " su velocidad en el lapso de tiempo delta T, en unidades del sistema internacional el"}, {"start": 1137.28, "end": 1143.96, "text": " m\u00f3dulo de la aceleraci\u00f3n media se expresa en metros sobre segundo cuadrado, su direcci\u00f3n"}, {"start": 1143.96, "end": 1152.36, "text": " y sentido son los mismos del vector delta V, si el intervalo de tiempo delta T se hace"}, {"start": 1152.36, "end": 1160.04, "text": " muy peque\u00f1o, es decir se convierte casi en un instante, entonces hablamos de la aceleraci\u00f3n"}, {"start": 1160.04, "end": 1169.12, "text": " instant\u00e1nea, otra magnitud de tipo vectorial en cinem\u00e1tica, entonces la aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea"}, {"start": 1169.12, "end": 1176.36, "text": " es el vector que resulta de determinar el vector aceleraci\u00f3n media cuando delta T es"}, {"start": 1176.36, "end": 1185.1999999999998, "text": " muy peque\u00f1o o se aproxima a cero, la aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea podemos denotarla como ADT, es"}, {"start": 1185.1999999999998, "end": 1193.36, "text": " decir la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil en el instante T y el lado derecho de la igualdad puede escribirse"}, {"start": 1193.36, "end": 1201.0, "text": " como el l\u00edmite de la aceleraci\u00f3n media cuando delta T tiende a cero, sustituyendo el vector"}, {"start": 1201.0, "end": 1209.64, "text": " aceleraci\u00f3n media por su definici\u00f3n, es decir delta V sobre delta T, tenemos la expresi\u00f3n"}, {"start": 1209.64, "end": 1217.56, "text": " conocida matem\u00e1ticamente como la derivada del vector velocidad V con respecto del tiempo"}, {"start": 1217.56, "end": 1227.6, "text": " T y que se denota como de V de T o V' de T, por eso en f\u00edsica se dice que en un instante"}, {"start": 1227.6, "end": 1234.8, "text": " espec\u00edfico la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil es la derivada de su velocidad, nuevamente se"}, {"start": 1234.8, "end": 1242.56, "text": " observa la relaci\u00f3n que existe entre la f\u00edsica y el c\u00e1lculo, si la ecuaci\u00f3n de velocidad"}, {"start": 1242.56, "end": 1250.9599999999998, "text": " V de T tiene la forma de una funci\u00f3n vectorial con componentes Vx de T y Vy de T para el"}, {"start": 1250.96, "end": 1258.28, "text": " caso de un movimiento en el plano, entonces la derivada se le aplica a cada componente,"}, {"start": 1258.28, "end": 1269.04, "text": " quedando la pareja Vx' de T y Vy' de T, a su vez V' de T representa la aceleraci\u00f3n"}, {"start": 1269.04, "end": 1279.16, "text": " en el instante T, Vx' de T representa la componente x de la aceleraci\u00f3n y Vy' de T viene siendo"}, {"start": 1279.16, "end": 1286.2, "text": " la componente y de la aceleraci\u00f3n, de esta manera se obtiene el vector aceleraci\u00f3n del"}, {"start": 1286.2, "end": 1293.3400000000001, "text": " m\u00f3vil en el instante T, entonces resumiendo si conocemos la ecuaci\u00f3n de velocidad de"}, {"start": 1293.3400000000001, "end": 1299.66, "text": " una part\u00edcula para cualquier tiempo T la derivamos para obtener la ecuaci\u00f3n que nos"}, {"start": 1299.66, "end": 1307.0400000000002, "text": " permite determinar la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil tambi\u00e9n en cualquier instante T, finalmente"}, {"start": 1307.04, "end": 1313.68, "text": " destacamos lo siguiente, si conocemos la posici\u00f3n de un m\u00f3vil en funci\u00f3n del tiempo, bien"}, {"start": 1313.68, "end": 1321.76, "text": " sea como expresi\u00f3n vectorial o unidimensional, hacemos la derivada con respecto de T para"}, {"start": 1321.76, "end": 1328.6399999999999, "text": " encontrar la velocidad en funci\u00f3n del tiempo, es cuando decimos que la velocidad es la primera"}, {"start": 1328.6399999999999, "end": 1335.32, "text": " derivada de la posici\u00f3n, si a su vez derivamos la velocidad con respecto de T, hallamos"}, {"start": 1335.32, "end": 1341.76, "text": " la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil en t\u00e9rminos de T, decimos entonces que la aceleraci\u00f3n es"}, {"start": 1341.76, "end": 1348.12, "text": " la primera derivada de la velocidad, obs\u00e9rvese que para obtener la aceleraci\u00f3n es necesario"}, {"start": 1348.12, "end": 1355.22, "text": " derivar dos veces la posici\u00f3n, por esa raz\u00f3n se dice tambi\u00e9n que la aceleraci\u00f3n es la"}, {"start": 1355.22, "end": 1366.08, "text": " segunda derivada de la posici\u00f3n y se denota como R2' de T o S2' de T."}]