LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 9
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando factorización.

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 Vamos a resolver detalladamente este límite algebraico. Veremos que le sucede a esta función, es decir, a qué valor tiende cuando x se aproxima a 6. Comenzamos evaluando esta expresión justamente en ese valor. Tenemos en el numerador 6 al cuadrado más 2 por 6 menos 48 y en el denominador 3 por 6 al cuadrado menos 20 por 6 más 12. Entonces, resolvemos esas operaciones. 6 al cuadrado nos da 36 más 2 por 6 es más 12 y esto menos 48. Y en el denominador tenemos 6 al cuadrado que es 36, 36 por 3 nos da 108, luego tenemos menos 20 por 6 que es 120 y esto más 12. Ahora, en el numerador tenemos 36 más 12 que es 48 y 48 menos 48 nos da 0. En el denominador tenemos 108 menos 120, esto nos da menos 12 y menos 12 más 12 es 0. Tenemos en este caso lo que se llama una indeterminación, es decir, algo que debemos solucionar porque el límite no puede ser igual a esto. Entonces, esto es como una voz de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo a esta expresión. En este caso, la estrategia que vamos a utilizar para solucionar ese problema de la indeterminación es factorizar completamente el numerador y el denominador de esa expresión. Vamos entonces con el numerador, la expresión es x al cuadrado más 2x menos 48. Tenemos allí un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, entonces se factoriza de la siguiente manera, abrimos dos paréntesis que estén multiplicando entre sí, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería x, la repartimos aquí en cada paréntesis, luego definimos los signos, acá tenemos signo más invisible, entonces más por más nos da más, el signo del primer paréntesis y más por menos nos da menos, que es el signo del segundo paréntesis. Enseguida debemos buscar dos números, uno positivo y otro negativo que multiplicados entre sí nos den menos 48 y que al sumarlos nos de como resultado más 2, esos números son 8 positivo y 6 negativo. Entonces con el objetivo de reconstruir el límite vamos a escribir acá en el numerador la expresión obtenida, que será x más 8 por x menos 6. Ahora vamos a factorizar el denominador de esa expresión, tenemos ahora otro caso de factorización llamado trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c, entonces vamos a realizar ese proceso de factorización paso a paso. Lo primero que debemos hacer es multiplicar y dividir esta expresión por el coeficiente principal, es decir por 3, entonces nos queda 3 por esa expresión y todo eso nos queda sobre 3, entonces repetimos, se multiplica y se divide la expresión original, o sea el trinomio, por el coeficiente principal. A continuación vamos a aplicar en el numerador la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo término no se realiza la multiplicación sino que se deja expresada o indicada, veamos 3 por 3x al cuadrado nos da 9x al cuadrado, allí se hace la multiplicación normalmente, luego tenemos menos 3 por 20x, entonces eso se escribe así, el 3 se agrupa con la x en un paréntesis y el 20 queda por fuera, esto es lo que se llama dejar la multiplicación expresada o indicada, y luego 3 por más 12 nos da más 36, entonces en el primero y en el tercer término se multiplica normalmente mientras que en el segundo término la operación se deja expresada y todo eso nos queda dividido entre 3. Ahora vamos a expresar el primer término como el cuadrado de lo que nos quedó en el segundo término encerrado con paréntesis, es decir que 9x al cuadrado lo podemos expresar como 3x al cuadrado, esto que está en el paréntesis elevado al cuadrado, podemos verificar si eso es cierto, aquí el cuadrado afecta al 3 y afecta a la x, luego se obtiene 9x al cuadrado, lo demás vuelve y se escribe como está y todo eso nos queda sobre 3. Ahora en esta etapa del ejercicio podemos utilizar un recurso que se llama cambio de variable, vamos a cambiar 3x que es la expresión que se repite acá en el numerador por una nueva letra, por ejemplo vamos a utilizar la letra w, de esa manera en el numerador tendremos lo siguiente, w al cuadrado menos 20 por w más 36 y todo eso nos queda sobre 3. Lo que hemos conseguido en el numerador es un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, es decir el mismo caso que usamos para factorizar esto que tenemos acá, vamos entonces a realizar esa factorización, abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería w, luego definimos los signos, aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos y menos por más nos da menos, buscamos ahora dos números negativos que multiplicados entre sí nos den más 36 y que al sumarlos nos den menos 20, esos números son menos 18 y menos 2 y todo eso nos queda sobre 3. Cuando ya hemos conseguido factorizar el numerador de esta expresión entonces deshacemos el cambio de variable, es decir donde tenemos la letra w vamos a escribir ahora 3x, de esa manera retornamos a la variable original, nos queda 3x menos 18 y acá 3x menos 2 y todo esto continúa sobre 3. Ahora en el numerador revisamos cada una de estas dos expresiones para ver en cuál de ellas podemos extraer factor común, por ejemplo en la primera se puede extraer como factor común el número 3, si extraemos el 3 nos queda x menos 6, en la segunda expresión hacemos la revisión y vemos que no es posible extraer factor común, entonces se escribe tal como está, y todo eso continúa sobre 3. Lo que hacemos ahora es simplificar esta expresión, este número 3 lo podemos cancelar o eliminar y nos queda entonces x menos 6 por 3x menos 2 que es la factorización completa de esta expresión que tenemos en el denominador. Completamos entonces la reconstrucción del límite escribiendo esto que obtuvimos acá en este lugar, x menos 6 por 3x menos 2. Como se puede observar para resolver límites algebraicos es necesario conocer muy bien los casos de factorización, porque cualquiera de ellos puede aparecer al momento de resolver este tipo de ejercicios. Te recomiendo repasar este tema en mi sitio oficial julio profe.net en la sección de álgebra donde se encuentran todos los videos de los distintos casos o también puedes descargar en la sección de documentos el resumen de los principales casos de factorización. Continuamos entonces el desarrollo de este ejercicio donde vemos que en esta expresión se repite el factor x menos 6, que está arriba y abajo multiplicando y ese será el factor problema para este límite. Como x tiende a 6 aquí tenemos 6 menos 6 que es 0 y lo mismo sucede aquí, o sea que este es el causante del 0 sobre 0, o sea de la indeterminación que nos estaba dando al comienzo. Entonces cancelamos este factor repetido arriba y abajo y nos queda lo siguiente, límite cuando x tiende a 6 de x más 8 en el numerador y 3x menos 2 en el denominador. Lo que hacemos ahora es evaluar esta expresión otra vez cuando x toma el valor 6, entonces arriba tenemos 6 más 8 y en la parte de abajo tenemos 3 por 6 menos 2. Resolvemos ahora esas operaciones 6 más 8 nos da 14 y en el denominador tenemos 3 por 6 es 18 y eso menos 2 nos da 16. Para terminar podemos simplificar esta fracción, entonces podemos sacar mitad a estos dos números, la mitad de 14 nos da 7 y la mitad de 16 es 8, una fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar más. Esta será entonces la respuesta para este límite alhegebraico.
[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite algebraico."}, {"start": 10.0, "end": 18.0, "text": " Veremos que le sucede a esta funci\u00f3n, es decir, a qu\u00e9 valor tiende cuando x se aproxima a 6."}, {"start": 18.0, "end": 23.0, "text": " Comenzamos evaluando esta expresi\u00f3n justamente en ese valor."}, {"start": 23.0, "end": 34.0, "text": " Tenemos en el numerador 6 al cuadrado m\u00e1s 2 por 6 menos 48"}, {"start": 34.0, "end": 45.0, "text": " y en el denominador 3 por 6 al cuadrado menos 20 por 6 m\u00e1s 12."}, {"start": 45.0, "end": 48.0, "text": " Entonces, resolvemos esas operaciones."}, {"start": 48.0, "end": 58.0, "text": " 6 al cuadrado nos da 36 m\u00e1s 2 por 6 es m\u00e1s 12 y esto menos 48."}, {"start": 58.0, "end": 66.0, "text": " Y en el denominador tenemos 6 al cuadrado que es 36, 36 por 3 nos da 108,"}, {"start": 66.0, "end": 74.0, "text": " luego tenemos menos 20 por 6 que es 120 y esto m\u00e1s 12."}, {"start": 74.0, "end": 83.0, "text": " Ahora, en el numerador tenemos 36 m\u00e1s 12 que es 48 y 48 menos 48 nos da 0."}, {"start": 83.0, "end": 93.0, "text": " En el denominador tenemos 108 menos 120, esto nos da menos 12 y menos 12 m\u00e1s 12 es 0."}, {"start": 93.0, "end": 102.0, "text": " Tenemos en este caso lo que se llama una indeterminaci\u00f3n, es decir, algo que debemos solucionar"}, {"start": 102.0, "end": 106.0, "text": " porque el l\u00edmite no puede ser igual a esto."}, {"start": 106.0, "end": 114.0, "text": " Entonces, esto es como una voz de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 114.0, "end": 121.0, "text": " En este caso, la estrategia que vamos a utilizar para solucionar ese problema de la indeterminaci\u00f3n"}, {"start": 121.0, "end": 127.0, "text": " es factorizar completamente el numerador y el denominador de esa expresi\u00f3n."}, {"start": 127.0, "end": 137.0, "text": " Vamos entonces con el numerador, la expresi\u00f3n es 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expresi\u00f3n y todo eso nos queda sobre 3,"}, {"start": 240.0, "end": 249.0, "text": " entonces repetimos, se multiplica y se divide la expresi\u00f3n original, o sea el trinomio, por el coeficiente principal."}, {"start": 249.0, "end": 257.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a aplicar en el numerador la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 257.0, "end": 263.0, "text": " no se realiza la multiplicaci\u00f3n sino que se deja expresada o indicada,"}, {"start": 263.0, "end": 271.0, "text": " veamos 3 por 3x al cuadrado nos da 9x al cuadrado, all\u00ed se hace la multiplicaci\u00f3n normalmente,"}, {"start": 271.0, "end": 280.0, "text": " luego tenemos menos 3 por 20x, entonces eso se escribe as\u00ed, el 3 se agrupa con la x en un par\u00e9ntesis"}, {"start": 280.0, "end": 287.0, "text": " y el 20 queda por fuera, esto es lo que se llama dejar la multiplicaci\u00f3n expresada o indicada,"}, {"start": 287.0, "end": 295.0, "text": " y luego 3 por m\u00e1s 12 nos da m\u00e1s 36, entonces en el primero y en el tercer t\u00e9rmino se multiplica normalmente"}, {"start": 295.0, "end": 304.0, "text": " mientras que en el segundo t\u00e9rmino la operaci\u00f3n se deja expresada y todo eso nos queda dividido entre 3."}, {"start": 304.0, "end": 313.0, "text": " Ahora vamos a expresar el primer t\u00e9rmino como el cuadrado de lo que nos qued\u00f3 en el segundo t\u00e9rmino encerrado con par\u00e9ntesis,"}, {"start": 313.0, "end": 322.0, "text": " es decir que 9x al cuadrado lo podemos expresar como 3x al cuadrado, esto que est\u00e1 en el par\u00e9ntesis elevado al cuadrado,"}, {"start": 322.0, "end": 331.0, "text": " podemos verificar si eso es cierto, aqu\u00ed el cuadrado afecta al 3 y afecta a la x, luego se obtiene 9x al cuadrado,"}, {"start": 331.0, "end": 338.0, "text": " lo dem\u00e1s vuelve y se escribe como est\u00e1 y todo eso nos queda sobre 3."}, {"start": 338.0, "end": 345.0, "text": " Ahora en esta etapa del ejercicio podemos utilizar un recurso que se llama cambio de variable,"}, {"start": 345.0, "end": 353.0, "text": " vamos a cambiar 3x que es la expresi\u00f3n que se repite ac\u00e1 en el numerador por una nueva letra,"}, {"start": 353.0, "end": 361.0, "text": " por ejemplo vamos a utilizar la letra w, de esa manera en el numerador tendremos lo siguiente,"}, {"start": 361.0, "end": 373.0, "text": " w al cuadrado menos 20 por w m\u00e1s 36 y todo eso nos queda sobre 3."}, {"start": 373.0, "end": 380.0, "text": " Lo que hemos conseguido en el numerador es un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c,"}, {"start": 380.0, "end": 389.0, "text": " es decir el mismo caso que usamos para factorizar esto que tenemos ac\u00e1, vamos entonces a realizar esa factorizaci\u00f3n,"}, {"start": 389.0, "end": 398.0, "text": " abrimos dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda w, luego definimos los signos,"}, {"start": 398.0, "end": 405.0, "text": " aqu\u00ed tenemos signo positivo, m\u00e1s por menos nos da menos y menos por m\u00e1s nos da menos,"}, {"start": 405.0, "end": 414.0, "text": " buscamos ahora dos n\u00fameros negativos que multiplicados entre s\u00ed nos den m\u00e1s 36 y que al sumarlos nos den menos 20,"}, {"start": 414.0, "end": 423.0, "text": " esos n\u00fameros son menos 18 y menos 2 y todo eso nos queda sobre 3."}, {"start": 423.0, "end": 431.0, "text": " Cuando ya hemos conseguido factorizar el numerador de esta expresi\u00f3n entonces deshacemos el cambio de variable,"}, {"start": 431.0, "end": 440.0, "text": " es decir donde tenemos la letra w vamos a escribir ahora 3x, de esa manera retornamos a la variable original,"}, {"start": 440.0, "end": 449.0, "text": " nos queda 3x menos 18 y ac\u00e1 3x menos 2 y todo esto contin\u00faa sobre 3."}, {"start": 449.0, "end": 458.0, "text": " Ahora en el numerador revisamos cada una de estas dos expresiones para ver en cu\u00e1l de ellas podemos extraer factor com\u00fan,"}, {"start": 458.0, "end": 468.0, "text": " por ejemplo en la primera se puede extraer como factor com\u00fan el n\u00famero 3, si extraemos el 3 nos queda x menos 6,"}, {"start": 468.0, "end": 477.0, "text": " en la segunda expresi\u00f3n hacemos la revisi\u00f3n y vemos que no es posible extraer factor com\u00fan, entonces se escribe tal como est\u00e1,"}, {"start": 477.0, "end": 480.0, "text": " y todo eso contin\u00faa sobre 3."}, {"start": 480.0, "end": 491.0, "text": " Lo que hacemos ahora es simplificar esta expresi\u00f3n, este n\u00famero 3 lo podemos cancelar o eliminar y nos queda entonces"}, {"start": 491.0, "end": 504.0, "text": " x menos 6 por 3x menos 2 que es la factorizaci\u00f3n completa de esta expresi\u00f3n que tenemos en el denominador."}, {"start": 504.0, "end": 512.0, "text": " Completamos entonces la reconstrucci\u00f3n del l\u00edmite escribiendo esto que obtuvimos ac\u00e1 en este lugar,"}, {"start": 512.0, "end": 517.0, "text": " x menos 6 por 3x menos 2."}, {"start": 517.0, "end": 525.0, "text": " Como se puede observar para resolver l\u00edmites algebraicos es necesario conocer muy bien los casos de factorizaci\u00f3n,"}, {"start": 525.0, "end": 532.0, "text": " porque cualquiera de ellos puede aparecer al momento de resolver este tipo de ejercicios."}, {"start": 532.0, "end": 541.0, "text": " Te recomiendo repasar este tema en mi sitio oficial julio profe.net en la secci\u00f3n de \u00e1lgebra donde se encuentran todos los videos"}, {"start": 541.0, "end": 550.0, "text": " de los distintos casos o tambi\u00e9n puedes descargar en la secci\u00f3n de documentos el resumen de los principales casos de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 550.0, "end": 559.0, "text": " Continuamos entonces el desarrollo de este ejercicio donde vemos que en esta expresi\u00f3n se repite el factor x menos 6,"}, {"start": 559.0, "end": 565.0, "text": " que est\u00e1 arriba y abajo multiplicando y ese ser\u00e1 el factor problema para este l\u00edmite."}, {"start": 565.0, "end": 575.0, "text": " Como x tiende a 6 aqu\u00ed tenemos 6 menos 6 que es 0 y lo mismo sucede aqu\u00ed, o sea que este es el causante del 0 sobre 0,"}, {"start": 575.0, "end": 579.0, "text": " o sea de la indeterminaci\u00f3n que nos estaba dando al comienzo."}, {"start": 579.0, "end": 587.0, "text": " Entonces cancelamos este factor repetido arriba y abajo y nos queda lo siguiente,"}, {"start": 587.0, "end": 597.0, "text": " l\u00edmite cuando x tiende a 6 de x m\u00e1s 8 en el numerador y 3x menos 2 en el denominador."}, {"start": 597.0, "end": 604.0, "text": " Lo que hacemos ahora es evaluar esta expresi\u00f3n otra vez cuando x toma el valor 6,"}, {"start": 604.0, "end": 614.0, "text": " entonces arriba tenemos 6 m\u00e1s 8 y en la parte de abajo tenemos 3 por 6 menos 2."}, {"start": 614.0, "end": 626.0, "text": " Resolvemos ahora esas operaciones 6 m\u00e1s 8 nos da 14 y en el denominador tenemos 3 por 6 es 18 y eso menos 2 nos da 16."}, {"start": 626.0, "end": 635.0, "text": " Para terminar podemos simplificar esta fracci\u00f3n, entonces podemos sacar mitad a estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 635.0, "end": 645.0, "text": " la mitad de 14 nos da 7 y la mitad de 16 es 8, una fracci\u00f3n irreducible, o sea que no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 645.0, "end": 666.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta para este l\u00edmite alhegebraico."}]