VALOR EXACTO DE LA COSECANTE DE UN ÁNGULO
#julioprofe explica cómo hallar el valor exacto (sin usar calculadora) de la cosecante de un ángulo que corresponde a una expresión trigonométrica.

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 Vamos a resolver este ejercicio sin utilizar calculadora. Debemos encontrar el valor de cosecante de theta, si ese ángulo theta viene dado por esta expresión. Comenzamos resolviendo esto que tenemos aquí, y para ello vamos a utilizar una de las identidades trigonométricas de suma producto, que dice lo siguiente. Seno de alfa más seno de beta es igual a 2 por el seno de la semisuma de los ángulos, y esto multiplicado por el coseno de la semidiferencia de esos mismos ángulos. En este caso, 5 pi doceavos hace el papel de alfa y pi doceavos hace el papel de beta. Entonces vamos a construir esta expresión, reemplazando alfa por este ángulo y beta por este otro. Bien, allí tenemos entonces toda esa expresión. Ahora vamos a resolver esto que tenemos dentro de los paréntesis. Nos queda de la siguiente manera, 2 por el seno de, veamos, 5 pi doceavos más pi doceavos, eso nos da 6 pi doceavos, recordemos que se suman los numeradores y se conserva el denominador. 6 pi doceavos equivale a pi medios, si hacemos la simplificación, y pi medios dividido entre 2 nos da pi cuartos. Ahora, esto multiplicado por el coseno de lo siguiente, 5 pi doceavos menos pi doceavos nos da 4 pi doceavos, que simplificando nos da pi tercios, si hacemos la división por 2 pi tercios sobre 2 nos da como resultado pi sextos. Ahora esto nos queda así, 2 por el seno de pi cuartos, estos son radianes y pi cuartos radianes equivalen a 45 grados, entonces el seno de 45 grados nos da raíz cuadrada de 2 sobre 2, ese es su valor exacto. Y acá tenemos coseno de pi sextos radianes, esto equivale a 30 grados y el coseno de 30 grados es raíz cuadrada de 3 sobre 2. Como todo esto está multiplicando, podemos simplificar este número 2 y resolvemos lo que nos queda, entonces arriba tendremos raíz cuadrada de 2 por raíz cuadrada de 3, eso nos da raíz cuadrada de 6, recordemos que se conserva la raíz cuadrada y se multiplican las cantidades internas y todo esto queda sobre 2. Ahora nos hace falta elevar todo este resultado al cuadrado, aquí lo tenemos, entonces vamos a elevar ambos lados de la igualdad al cuadrado y vamos a resolver esto que tenemos acá. En ese caso el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador, raíz cuadrada de 6 elevado al cuadrado eso nos da 6 y en el denominador 2 al cuadrado nos da 4, 6 cuartos se puede simplificar, sacamos mitad arriba y abajo y eso nos da 3 medios. Entonces podemos reescribir la expresión original como theta igual a secante a la menos 1 de este valor, es decir de 3 medios. Ahora esto también podemos escribirlo como arco secante de 3 medios, es lo mismo, se trata de funciones trigonométricas inversas y esto significa que la secante de theta es igual a 3 medios. Recordemos que la secante de theta multiplicada por el coseno de theta es igual a 1, la secante y el coseno son funciones trigonométricas recíprocas, o sea que su producto es igual a 1 y aquí podemos despejar coseno de theta, es igual a 1 sobre secante de theta, secante está multiplicando pasa al otro lado a dividir y esto es lo mismo que tener secante de theta, todo esto elevado a la menos 1. Aquí es importante diferenciar esta notación de esta, por acá tenemos la función secante de theta y todo ese resultado elevado a la menos 1, mientras que acá este menos 1 nos está denotando la función inversa de la secante, por eso se puede escribir también como arco secante. Bien continuemos acá, tenemos el valor de la secante que es 3 medios, por lo tanto decimos que coseno de theta será igual a 3 medios, lo que nos dio secante de theta y todo esto elevado a la menos 1, recordemos que este menos 1 nos invierte esta fracción, nos queda entonces dos tercios que será el valor de coseno de theta. Escribimos por acá el valor obtenido para coseno de theta y vamos a mirar lo siguiente, tenemos en color rojo la gráfica de la función y igual a coseno de x, la función coseno y en color azul tenemos la gráfica de la función y igual a secante de x, la función secante. Podemos notar que aquellos puntos donde el coseno vale 0, o sea los puntos de corte con el eje x, es por donde pasan las asíntotas verticales de la secante, porque es en esos sitios donde esta función secante no está definida o no existe, recordemos que el coseno y la secante son recíprocas. Ahora cuando consideramos funciones trigonométricas inversas, en el caso del coseno, la zona de trabajo es esta, la que está comprendida entre 0 y pi radianes, para poder abarcar todos los valores comprendidos entre menos 1 y 1, entonces esta será la zona que consideramos para el coseno. De igual forma la zona que le corresponde a la secante va a ser esta parte, esta rama positiva y esta de acá, es decir de nuevo la zona comprendida entre 0 y pi radianes. Por lo tanto como el coseno nos dio una cantidad positiva y la secante también fue positiva, recordemos que la secante de theta nos dio 3 medios, estamos considerando un ángulo theta comprendido entre 0 y pi medios, o sea un ángulo perteneciente al primer cuadrante, repetimos para los ángulos que están aquí, el coseno toma valores entre 0 y 1 y la secante toma valores mayores que 1, valores positivos, entonces hacemos la precisión del ángulo theta, se encuentra entre 0 y pi medios radianes, repetimos pertenece al primer cuadrante. Habiendo hecho esa precisión ya podemos averiguar el valor de seno de theta, para ello vamos a utilizar la identidad fundamental de la trigonometría, esa que nos dice seno al cuadrado de theta más coseno al cuadrado de theta igual a 1, aquí ya conocemos el valor del coseno, entonces vamos a sustituirlo, nos queda entonces 2 tercios, todo esto al cuadrado igual a 1, continuamos resolviendo, nos queda seno al cuadrado de theta más, aquí el cuadrado afecta al numerador y al denominador, nos queda 4 novenos y esto igual a 1, despejamos entonces seno al cuadrado de theta, nos queda 1 menos 4 novenos, continuando con el desarrollo de esto tenemos seno al cuadrado de theta igual a lo siguiente, este 1 podemos cambiarlo por la fracción 9 novenos, para que tengamos resta de fracciones homogéneas, efectuamos la operación de los numeradores, 9 menos 4 nos da 5 y conservamos el mismo denominador, y allí podemos hacer el despeje de seno de theta, será igual a más o menos la raíz cuadrada de 5 novenos, pero con este análisis que hicimos del ángulo theta ya podemos elegir el signo, como se trata de un ángulo del primer cuadrante comprendido entre 0 y pi medios radianes, en esa zona el seno es positivo, entonces ya sabemos con certeza cuál es el signo que debemos escoger, nos queda entonces seno de theta igual a la raíz cuadrada de 5 sobre la raíz cuadrada de 9 que nos da 3, recordemos que aquí la raíz se reparte para el numerador y para el denominador, así ya tenemos entonces el valor de seno de theta, nos dio raíz cuadrada de 5 sobre 3, ahora así como el coseno y la secante son funciones recíprocas, lo mismo sucede con la cosecante y el seno, también son recíprocas, luego su producto nos da 1 y de allí podemos despejar cosecante de theta, seno de theta que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda 1 sobre seno de theta que es lo mismo que tener seno de theta y todo esto elevado al exponente menos 1, entonces como ya tenemos el valor de seno de theta podemos hallar cosecante de theta, aquí sustituimos lo que nos dio que fue raíz cuadrada de 5 sobre 3, todo esto elevado a la menos 1 y así como hicimos ahora este exponente menos 1 nos invierte la fracción, nos queda 3 sobre raíz cuadrada de 5, aquí podemos decir que ya encontramos lo que nos pide el ejercicio, el valor exacto de cosecante de theta, sin embargo queda mejor si racionalizamos el denominador de esa fracción y para ello debemos multiplicar arriba y abajo por la raíz cuadrada de 5, entonces nos queda así, cosecante de theta igual, multiplicamos numeradores entre sí, nos queda entonces 3 por raíz de 5, lo dejamos indicado y abajo raíz de 5 por raíz de 5, nos daría raíz de 5 al cuadrado que nos da como resultado 5 y así hemos llegado al final del ejercicio, esta es la respuesta, el valor exacto de cosecante de theta sin utilizar calculadora a partir de esta información que nos dieron para el ángulo theta.
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ser esta parte, esta rama"}, {"start": 390.24, "end": 399.96, "text": " positiva y esta de ac\u00e1, es decir de nuevo la zona comprendida entre 0 y pi radianes."}, {"start": 399.96, "end": 406.68, "text": " Por lo tanto como el coseno nos dio una cantidad positiva y la secante tambi\u00e9n fue positiva,"}, {"start": 406.68, "end": 411.4, "text": " recordemos que la secante de theta nos dio 3 medios, estamos considerando un \u00e1ngulo"}, {"start": 411.4, "end": 418.91999999999996, "text": " theta comprendido entre 0 y pi medios, o sea un \u00e1ngulo perteneciente al primer cuadrante,"}, {"start": 418.91999999999996, "end": 425.76, "text": " repetimos para los \u00e1ngulos que est\u00e1n aqu\u00ed, el coseno toma valores entre 0 y 1 y la secante"}, {"start": 425.76, "end": 432.52, "text": " toma valores mayores que 1, valores positivos, entonces hacemos la precisi\u00f3n del \u00e1ngulo"}, {"start": 432.52, "end": 440.32, "text": " theta, se encuentra entre 0 y pi medios radianes, 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543.1600000000001, "text": " radianes, en esa zona el seno es positivo, entonces ya sabemos con certeza cu\u00e1l es el"}, {"start": 543.16, "end": 549.48, "text": " signo que debemos escoger, nos queda entonces seno de theta igual a la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 549.48, "end": 555.8, "text": " 5 sobre la ra\u00edz cuadrada de 9 que nos da 3, recordemos que aqu\u00ed la ra\u00edz se reparte para"}, {"start": 555.8, "end": 562.6, "text": " el numerador y para el denominador, as\u00ed ya tenemos entonces el valor de seno de theta,"}, {"start": 562.6, "end": 569.76, "text": " nos dio ra\u00edz cuadrada de 5 sobre 3, ahora as\u00ed como el coseno y la secante son funciones"}, {"start": 569.76, "end": 578.76, "text": " rec\u00edprocas, lo mismo sucede con la cosecante y el seno, tambi\u00e9n son rec\u00edprocas, luego"}, {"start": 578.76, "end": 585.72, "text": " su producto nos da 1 y de all\u00ed podemos despejar cosecante de theta, seno de theta que est\u00e1"}, {"start": 585.72, 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