FUNCIONES LINEALES - Problema 1
#julioprofe explica cómo resolver un problema de aplicación de la función lineal:

El número de calorías que se queman en una hora de ejercicio en una máquina caminadora es una función de la velocidad que se emplea. Una persona que se ejercita a una velocidad de 2.5 mph quemará 210 calorías; a 6 mph, esta persona quemará 370 calorías. Sea C las calorías quemadas en una hora y V la velocidad de la caminadora. (a) Determine una función lineal C(V) que se ajuste a los datos. (b) ¿Cuántas calorías se queman si la persona se ejercita a una velocidad de 5 mph?

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 El número de calorías que se queman en una hora de ejercicio en una máquina caminadora es una función de la velocidad que se emplea. Una persona que se ejercita a una velocidad de 2.5 millas por hora quemará 210 calorías. A 6 millas por hora, esta persona quemará 370 calorías. Se hacen las calorías quemadas en una hora y de la velocidad de la caminadora. A, determine una función lineal CDB que se ajuste a los datos. B, ¿cuántas calorías se queman si la persona se ejercita a una velocidad de 5 millas por hora? Vamos a localizar la información que nos da el problema en un planito cartesiano. Como nos dicen que las calorías quemadas van a ser función de la velocidad, las calorías van en el eje vertical y la velocidad B va en el eje horizontal. La velocidad se va a trabajar en millas por hora. Los datos que notamos son los siguientes. Dicen que a una velocidad de 2.5 millas por hora la persona quema 210 calorías. Es decir que aquí tenemos un primer punto de nuestra gráfica. Y dice también que a una velocidad de 6 millas por hora la persona quema 370 calorías. Es decir que aquí vamos a encontrar otro punto de la gráfica. Si unimos esos dos puntos con una línea recta tendremos una idea de cómo es la gráfica de la función. Es una función lineal. Vamos a llamar los puntos así A y B. La coordenada del punto A es igual a 6,370. Primero el X luego el Y. Y la coordenada del punto B es 2.5,210. Vamos a encontrar la pendiente de esta línea recta. Para ello nombramos los puntitos como X1, Y1 y X2, Y2. Recordemos que la pendiente dice que es igual a Y2 menos Y1, es decir la diferencia de coordenadas sobre X2 menos X1, es decir la diferencia de abscisas. Y2 vale 210 menos Y1 que vale 370. Abajo tendremos X2 que vale 2.5 menos X1 que vale 6. Resolviendo en el numerador, eso nos da menos 160. Abajo nos da menos 3.5 y haciendo esta división eso nos da positivo 45.7. Es decir que la pendiente de la recta M va a ser igual a 45.7 lo cual tiene concordancia con la forma de la gráfica. Si la pendiente es positiva la recta es ascendente, es decir que vamos bien. A continuación vamos a encontrar la ecuación de la recta. Vamos a utilizar este punto que ya está nombrado como X1, Y1 y el valor de la pendiente. Vamos a hacerlo por acá entonces. Tenemos entonces el punto que llamamos A que era 6,370 que habíamos dicho que es X1, Y1. Y la pendiente que nos dio 45.7. Vamos a utilizar entonces el modelo punto pendiente. El que dice Y menos Y1 igual a M por X menos X1. Reemplazamos, Y1 vale 370, la pendiente vale 45.7 por X menos X1 que vale 6. Tenemos Y menos 370 igual a M. Aquí vamos a hacer propiedad distributiva. Nos queda entonces 45.7X menos 45.7 por 6. Eso nos da 274.2. Vamos a despejar la Y. Quedaría 45.7X menos 274.2 y el 370 que está restando pasa a sumar. Esto nos queda entonces Y es igual a 45.7X y esta operación nos da más 95.8. Ya hemos encontrado entonces la ecuación de la recta en términos de Y y X. Pero recordemos que en el plano cartesiano el eje Y estaba representado por la letra C, las calorías, y el eje X estaba representado por la letra B que es la velocidad. Por lo tanto debemos hacer un cambio en las letras. Aquí la Y se vuelve calorías y la X se vuelve velocidad. Y de esta manera hemos encontrado entonces la respuesta a la pregunta A que nos decía que encontramos una función lineal CDB. Es decir, donde C sea función de B, de la velocidad. Allí tenemos entonces la respuesta a la primera pregunta. La pregunta B nos decía que si la persona se ejercita a una velocidad de 5 millas por hora, ¿cuántas calorías va a quemar? Entonces lo que vamos a hacer es reemplazar la velocidad por 5 millas por hora para encontrar las calorías que se queman. Eso lo vamos a hacer utilizando la función que acabamos de encontrar. Entonces nos quedaría C igual a 45.7 por el valor de la velocidad que es igual a 5 y eso más 95.8. Resolviendo todo eso en la calculadora, esto por esto más esto nos da 324.3 calorías. Que sería entonces el gasto energético de esa persona cuando camina, cuando hace ejercicio a una velocidad de 5 millas por hora.
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