INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 25
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de Sustitución.

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 ¿Cómo se puede resolver esta integral? Para resolver esta integral no podemos proceder en forma directa. Debemos recurrir a una sustitución o también conocido como el método de cambio de variable. Vamos a cambiar esta expresión por una nueva letra. Por ejemplo, vamos a usar la letra R. R será igual a 2 menos x. Entonces destacamos esto. Vamos a derivar. Derivada de R con respecto a x será igual a menos 1. La derivada de 2 menos x nos da menos 1. Y de aquí vamos a desplejar de x. De x será igual a dr sobre menos 1. Es decir, de x pasa a multiplicar menos 1 viene a dividir. Queda dr sobre menos 1. Pero esto puede escribirse como menos dr. Este r menos sube, el 1 desaparece y nos queda que de x es igual a menos dr. Ya tenemos entonces con que reemplazar esto. Cambiaría por r y de x se cambiaría por menos dr. Pero tenemos un pequeño problema. No tenemos por qué cambiar x. Si nos quedaría la integral con x y r y eso no debe ser así. Se supone que la letra original, la x, debe irse para que le dé paso a la letra nueva, que es la R, para resolver la integral de manera sencilla. Eso es lo que pretende el método de sustitución. Pero tenemos un recurso que es despejar x de aquí. De esta expresión podemos hacer el despeje de la x y es muy sencillo. x se está restando, vas a sumar con R. Nos queda x más R igual a 2. Y de allí entonces tenemos que x es igual a 2 menos R. De esta manera, cambiaríamos esta x en términos de R y nos quedaría toda la integral en términos de la nueva variable. Veamos, nos queda de la siguiente manera. Integral de x que se cambia por 2 menos R. Abrimos un paréntesis y hacemos la sustitución por raíz cuadrada de 2 menos x. Pero 2 menos x equivale a R. Hacemos el cambio por dx que equivale a menos de R. Como vemos, ya tenemos la integral en términos de R y esta será una integral que podemos resolver en forma directa. Entonces esto nos queda así. Veamos, integral de... Este signo negativo podríamos colocarlo acá delante del paréntesis. Nos queda menos paréntesis 2 menos R. Y cambiamos raíz cuadrada de R por R al aún medio. Y todo esto acompañado del diferencial de R. Ahora, este signo negativo vamos a introducirlo a este paréntesis. Vamos a distribuirlo para que nos cambien los signos. Este término quedaría positivo. Entonces comenzamos con él y este quedaría negativo. Simplemente este negativo nos cambia los signos de este binomio. Todo esto multiplicado por R al aún medio con su respectivo diferencial de R. A continuación, vamos a realizar propiedad distributiva. Nos va a quedar entonces la integral de... Este R al aún medio lo vamos a multiplicar por cada uno de estos términos. Entonces veamos, R al aún medio por R nos queda R al aún medio. Recordemos que se deja la misma base y se suman los exponentes. Menos 2 R al aún medio. Y todo esto entre paréntesis multiplicado por el diferencial de R. Aquí ya podemos integrar cada término. La integral de R al aún medio será R al aún medio más 1 sobre el aún medio. El aún medio es lo mismo que decir 3 más 2 es 5 medios. Y todo esto sobre 5 medios. El truquito rápido para integrar esto es sumar estos dos numeritos. El resultado se pone en el numerador y conservamos el mismo denominador. Y este número repite debajo de la línea. Menos 2, este 2 se queda quieto por... Veamos la integral de R al aún medio. Sería R al aún medio más 1 sobre aún medio más 1. Nuevamente funciona el truco. 1 más 2 nos da 3. Conservamos el 2 y abajo nos queda 3 medios. Y aparece por primera vez la constante de integración. Vamos a continuarlo por acá. Subimos el 2, queda 2 por R a las 5 medios. Todo esto sobre 5. Queda organizado el primer término. Menos, aquí sube el 2 a multiplicar con R a las 3 medios pero también con el 2. Entonces nos queda 4. R a las 3 medios. Todo esto sobre 3 más la constante de integración. Finalmente, en el resultado que obtuvimos usando la sustitución, debemos deshacer el cambio. Recordemos que R era igual a 2 menos X. Era esto de aquí. Entonces debemos cambiar donde está la R por esta expresión. Nos queda 2 paréntesis, entra R como 2 menos X. Cierra paréntesis elevado a las 5 medios. Todo esto sobre 5. Menos 4. Abre paréntesis, entra R como 2 menos X. Cierra paréntesis a las 3 medios. Todo esto sobre 3 más la constante de integración. Entonces esta será la respuesta de nuestro ejercicio. De esta manera hemos terminado.
[{"start": 0.0, "end": 5.46, "text": " \u00bfC\u00f3mo se puede resolver esta integral?"}, {"start": 5.46, "end": 10.5, "text": " Para resolver esta integral no podemos proceder en forma directa."}, {"start": 10.5, "end": 18.46, "text": " Debemos recurrir a una sustituci\u00f3n o tambi\u00e9n conocido como el m\u00e9todo de cambio de variable."}, {"start": 18.46, "end": 22.26, "text": " Vamos a cambiar esta expresi\u00f3n por una nueva letra."}, {"start": 22.26, "end": 28.66, "text": " Por ejemplo, vamos a usar la letra R. R ser\u00e1 igual a 2 menos x."}, {"start": 28.66, "end": 31.06, "text": " Entonces destacamos esto."}, {"start": 31.06, "end": 37.26, "text": " Vamos a derivar. Derivada de R con respecto a x ser\u00e1 igual a menos 1."}, {"start": 37.26, "end": 41.46, "text": " La derivada de 2 menos x nos da menos 1."}, {"start": 41.46, "end": 44.96, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a desplejar de x."}, {"start": 44.96, "end": 49.66, "text": " De x ser\u00e1 igual a dr sobre menos 1."}, {"start": 49.66, "end": 53.760000000000005, "text": " Es decir, de x pasa a multiplicar menos 1 viene a dividir."}, {"start": 53.760000000000005, "end": 55.96, "text": " Queda dr sobre menos 1."}, {"start": 55.96, "end": 59.76, "text": " Pero esto puede escribirse como menos dr."}, {"start": 59.76, "end": 66.56, "text": " Este r menos sube, el 1 desaparece y nos queda que de x es igual a menos dr."}, {"start": 66.56, "end": 69.66, "text": " Ya tenemos entonces con que reemplazar esto."}, {"start": 69.66, "end": 74.26, "text": " Cambiar\u00eda por r y de x se cambiar\u00eda por menos dr."}, {"start": 74.26, "end": 76.06, "text": " Pero tenemos un peque\u00f1o problema."}, {"start": 76.06, "end": 78.46000000000001, "text": " No tenemos por qu\u00e9 cambiar x."}, {"start": 78.46000000000001, "end": 83.36, "text": " Si nos quedar\u00eda la integral con x y r y eso no debe ser as\u00ed."}, {"start": 83.36, "end": 89.36, "text": " Se supone que la letra original, la x, debe irse para que le d\u00e9 paso a la letra nueva,"}, {"start": 89.36, "end": 93.66, "text": " que es la R, para resolver la integral de manera sencilla."}, {"start": 93.66, "end": 96.86, "text": " Eso es lo que pretende el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 96.86, "end": 100.96000000000001, "text": " Pero tenemos un recurso que es despejar x de aqu\u00ed."}, {"start": 100.96000000000001, "end": 105.56, "text": " De esta expresi\u00f3n podemos hacer el despeje de la x y es muy sencillo."}, {"start": 105.56, "end": 107.86, "text": " x se est\u00e1 restando, vas a sumar con R."}, {"start": 107.86, "end": 111.46000000000001, "text": " Nos queda x m\u00e1s R igual a 2."}, {"start": 111.46, "end": 116.25999999999999, "text": " Y de all\u00ed entonces tenemos que x es igual a 2 menos R."}, {"start": 116.25999999999999, "end": 121.66, "text": " De esta manera, cambiar\u00edamos esta x en t\u00e9rminos de R"}, {"start": 121.66, "end": 125.86, "text": " y nos quedar\u00eda toda la integral en t\u00e9rminos de la nueva variable."}, {"start": 125.86, "end": 128.56, "text": " Veamos, nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 128.56, "end": 133.06, "text": " Integral de x que se cambia por 2 menos R."}, {"start": 133.06, "end": 140.76, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis y hacemos la sustituci\u00f3n por ra\u00edz cuadrada de 2 menos x."}, {"start": 140.76, "end": 143.45999999999998, "text": " Pero 2 menos x equivale a R."}, {"start": 143.45999999999998, "end": 150.06, "text": " Hacemos el cambio por dx que equivale a menos de R."}, {"start": 150.06, "end": 154.56, "text": " Como vemos, ya tenemos la integral en t\u00e9rminos de R"}, {"start": 154.56, "end": 159.66, "text": " y esta ser\u00e1 una integral que podemos resolver en forma directa."}, {"start": 159.66, "end": 163.66, "text": " Entonces esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 163.66, "end": 166.26, "text": " Veamos, integral de..."}, {"start": 166.26, "end": 171.76, "text": " Este signo negativo podr\u00edamos colocarlo ac\u00e1 delante del par\u00e9ntesis."}, {"start": 171.76, "end": 175.66, "text": " Nos queda menos par\u00e9ntesis 2 menos R."}, {"start": 175.66, "end": 180.45999999999998, "text": " Y cambiamos ra\u00edz cuadrada de R por R al a\u00fan medio."}, {"start": 180.45999999999998, "end": 183.45999999999998, "text": " Y todo esto acompa\u00f1ado del diferencial de R."}, {"start": 183.45999999999998, "end": 187.66, "text": " Ahora, este signo negativo vamos a introducirlo a este par\u00e9ntesis."}, {"start": 187.66, "end": 191.66, "text": " Vamos a distribuirlo para que nos cambien los signos."}, {"start": 191.66, "end": 193.76, "text": " Este t\u00e9rmino quedar\u00eda positivo."}, {"start": 193.76, "end": 197.76, "text": " Entonces comenzamos con \u00e9l y este quedar\u00eda negativo."}, {"start": 197.76, "end": 202.76, "text": " Simplemente este negativo nos cambia los signos de este binomio."}, {"start": 202.76, "end": 209.45999999999998, "text": " Todo esto multiplicado por R al a\u00fan medio con su respectivo diferencial de R."}, {"start": 209.45999999999998, "end": 215.26, "text": " A continuaci\u00f3n, vamos a realizar propiedad distributiva."}, {"start": 215.26, "end": 217.76, "text": " Nos va a quedar entonces la integral de..."}, {"start": 217.76, "end": 221.95999999999998, "text": " Este R al a\u00fan medio lo vamos a multiplicar por cada uno de estos t\u00e9rminos."}, {"start": 221.96, "end": 227.26000000000002, "text": " Entonces veamos, R al a\u00fan medio por R nos queda R al a\u00fan medio."}, {"start": 227.26000000000002, "end": 232.96, "text": " Recordemos que se deja la misma base y se suman los exponentes."}, {"start": 232.96, "end": 237.06, "text": " Menos 2 R al a\u00fan medio."}, {"start": 237.06, "end": 242.96, "text": " Y todo esto entre par\u00e9ntesis multiplicado por el diferencial de R."}, {"start": 242.96, "end": 245.26000000000002, "text": " Aqu\u00ed ya podemos integrar cada t\u00e9rmino."}, {"start": 245.26, "end": 253.26, "text": " La integral de R al a\u00fan medio ser\u00e1 R al a\u00fan medio m\u00e1s 1 sobre el a\u00fan medio."}, {"start": 253.26, "end": 259.46, "text": " El a\u00fan medio es lo mismo que decir 3 m\u00e1s 2 es 5 medios."}, {"start": 259.46, "end": 262.46, "text": " Y todo esto sobre 5 medios."}, {"start": 262.46, "end": 266.96, "text": " El truquito r\u00e1pido para integrar esto es sumar estos dos numeritos."}, {"start": 266.96, "end": 271.76, "text": " El resultado se pone en el numerador y conservamos el mismo denominador."}, {"start": 271.76, "end": 275.15999999999997, "text": " Y este n\u00famero repite debajo de la l\u00ednea."}, {"start": 275.16, "end": 279.46000000000004, "text": " Menos 2, este 2 se queda quieto por..."}, {"start": 279.46000000000004, "end": 282.26000000000005, "text": " Veamos la integral de R al a\u00fan medio."}, {"start": 282.26000000000005, "end": 286.46000000000004, "text": " Ser\u00eda R al a\u00fan medio m\u00e1s 1 sobre a\u00fan medio m\u00e1s 1."}, {"start": 286.46000000000004, "end": 288.66, "text": " Nuevamente funciona el truco."}, {"start": 288.66, "end": 290.86, "text": " 1 m\u00e1s 2 nos da 3."}, {"start": 290.86, "end": 294.26000000000005, "text": " Conservamos el 2 y abajo nos queda 3 medios."}, {"start": 294.26000000000005, "end": 298.26000000000005, "text": " Y aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 298.26000000000005, "end": 300.96000000000004, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 300.96, "end": 307.06, "text": " Subimos el 2, queda 2 por R a las 5 medios."}, {"start": 307.06, "end": 309.06, "text": " Todo esto sobre 5."}, {"start": 309.06, "end": 311.96, "text": " Queda organizado el primer t\u00e9rmino."}, {"start": 311.96, "end": 316.85999999999996, "text": " Menos, aqu\u00ed sube el 2 a multiplicar con R a las 3 medios pero tambi\u00e9n con el 2."}, {"start": 316.85999999999996, "end": 318.65999999999997, "text": " Entonces nos queda 4."}, {"start": 318.65999999999997, "end": 321.46, "text": " R a las 3 medios."}, {"start": 321.46, "end": 326.46, "text": " Todo esto sobre 3 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 326.46, "end": 331.46, "text": " Finalmente, en el resultado que obtuvimos usando la sustituci\u00f3n,"}, {"start": 331.46, "end": 333.26, "text": " debemos deshacer el cambio."}, {"start": 333.26, "end": 338.46, "text": " Recordemos que R era igual a 2 menos X."}, {"start": 338.46, "end": 340.26, "text": " Era esto de aqu\u00ed."}, {"start": 340.26, "end": 345.65999999999997, "text": " Entonces debemos cambiar donde est\u00e1 la R por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 345.65999999999997, "end": 350.46, "text": " Nos queda 2 par\u00e9ntesis, entra R como 2 menos X."}, {"start": 350.46, "end": 354.46, "text": " Cierra par\u00e9ntesis elevado a las 5 medios."}, {"start": 354.46, "end": 356.46, "text": " Todo esto sobre 5."}, {"start": 356.46, "end": 358.15999999999997, "text": " Menos 4."}, {"start": 358.15999999999997, "end": 362.85999999999996, "text": " Abre par\u00e9ntesis, entra R como 2 menos X."}, {"start": 362.85999999999996, "end": 366.76, "text": " Cierra par\u00e9ntesis a las 3 medios."}, {"start": 366.76, "end": 371.96, "text": " Todo esto sobre 3 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 371.96, "end": 377.06, "text": " Entonces esta ser\u00e1 la respuesta de nuestro ejercicio."}, {"start": 377.06, "end": 385.06, "text": " De esta manera hemos terminado."}]