INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método de Integración por Partes y también el Método Tabular. 

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 Para resolver este ejercicio, mediante la técnica de integración por partes, comenzamos por clasificar las dos funciones según las categorías de ILATE. Vamos a ver que quiere decir eso. Y quiere decir inversa, es decir, como las funciones trigonométricas inversas, tales como tangente a la menos uno de X o cero a la menos uno de X, entre otras. L quiere decir logarítmica, como logaritmo en base a de X o logaritmo natural de X. A quiere decir algebraica, es decir, todas aquellas funciones que sean de la forma X a la N, donde N puede ser un número entero o fraccionario, T trigonométrica, es decir, funciones como seno de X, coseno de X, etc. Y e exponencial, es decir, funciones de la forma a a la X, e a la X, o también e a la Mx, etc. Entonces, según ILATE, vamos a clasificar como decíamos las dos funciones. Por ejemplo, X corresponde a la categoría algebraica, entonces escribimos la letra a, y e elevado al exponente 3x corresponde a la categoría exponencial, entonces escribimos la letra e. Al escribir la palabra ILATE, entonces destacamos la a y la e. Entonces, la primera de esas dos letras que encontremos, de izquierda a derecha, es decir, al formar la palabra ILATE, esa será la función que hace el papel de la U. Es decir, que en este caso, la función algebraica, es decir, X, hace el papel de U. El resto de la expresión, es decir, e a la 3x por dx, constituye el dv. Vamos a ver como queda. Allí tenemos entonces U y dv, que son los componentes de la fórmula de integración por partes. Entonces, tenemos U es igual a X, este componente tenemos que derivarlo, entonces decimos derivada de U con respecto a X es igual a 1, y de allí vamos a despejar de U, de U nos da igual a dx, este pasa a multiplicar con el 1 y tenemos despejado de U. Ahora tomamos dv, que es igual a e a la 3x con su respectivo diferencial de X, y ahora esto tenemos que integrarlo, entonces escribimos el símbolo de la integral a ambos lados. En el lado izquierdo tenemos la integral de dv, que sería b, y en el lado derecho vamos a aplicar una fórmula que dice lo siguiente, la integral de e a la mx con su respectivo diferencial de X es igual a 1 sobre m por e a la mx más la constante de integración. Esta fórmula nos permite hacer rápidamente esta integral, la demostración de esta fórmula se hace con el método de sustitución, entonces aplicándola nos queda 1 tercio de e a la 3x. Encerramos este componente y allí tenemos los cuatro elementos que constituyen la fórmula de integración por partes que vamos a ver a continuación. Allí tenemos la fórmula que por cierto el enunciado de este ejercicio nos la recuerda, podríamos aprenderla de la siguiente manera, la integral de U por dv es igual a una vaca menos la integral vestida de uniforme, es una manera de memorizar esa fórmula. Entonces vamos a reemplazar cada componente, U es X por dv que es e a la 3x de X es igual a U que equivale a X por b que es 1 tercio de e a la 3x menos la integral de b que nos dio 1 tercio de e a la 3x. Por dU que nos dio dx. Entonces vemos en el lado izquierdo la integral original y aquí la expresión que vamos a desarrollar. Esto nos queda igual a 1 tercio de X por e a la 3x menos, y aquí podemos sacar 1 tercio por la integral de e a la 3x de X. Nos queda 1 tercio de X por e a la 3x menos 1 tercio por, esta integral fue la que hicimos hace un momento y que nos dio 1 tercio de e a la 3x. Y ya podemos anotar la constante de integración. Finalmente esto nos queda 1 tercio de X por e a la 3x menos 1 noveno de e a la 3x y todo esto más la constante de integración. Esta integral la podemos repetir en el lado izquierdo y nos aparece por acá, nos queda entonces la integral de X por e a la 3x de X equivale a esta expresión. Entonces vemos que nos queda frente a frente el ejercicio original y su respuesta. Cuando tenemos una integral por partes donde una de las funciones puede derivarse en forma repetida hasta que nos de 0. Y la otra función puede integrarse fácilmente también de manera repetida entonces podemos utilizar el método tabular o lo que se conoce como integración tabular. Allí definimos dos funciones, una que se va a llamar f de X y la otra se va a llamar g de X. A f de X vamos a determinarle sus derivadas y a la función g de X vamos a determinarle sus integrales. Entonces en este caso tenemos que f de X será la función X y g de X será la función e a la 3x. Entonces esta función vamos a derivarla repetidamente. Derivada de X nos da 1, derivada de 1 es 0, derivada de 0 nos da 0 y así sucesivamente. Y esta vamos a integrarla repetidamente. Recordemos que para hacer esa integral utilizamos este modelo, integral de e a la mx de X que es igual a 1 sobre m por e a la mx más c. Entonces vamos a proceder, integral de e a la 3x sería un tercio de e a la 3x siguiendo la fórmula. Nuevamente integramos eso nos queda un noveno por e a la 3x. Un tercio se queda quieto y la integral de e a la 3x nuevamente es un tercio de e a la 3x. A multiplicar un tercio por un tercio nos queda un noveno. Si volviéramos a integrar esto nos quedaría un 27 a o de e a la 3x y así sucesivamente. Ahora vamos a conectar las dos columnas de esta manera. Y a esto se le coloca signo positivo, negativo, positivo y así sucesivamente en forma intercalada. Entonces el resultado de esta integral se construye de la siguiente manera. Multiplicamos estas dos componentes, es decir, x por un tercio de e a la 3x y eso precedido de signo positivo. Después sigue menos, es decir, éste de aquí, esto por esto, es decir, 1 que multiplica a un noveno de e a la 3x. Después seguiría más, ésto por ésto, es decir, 0 por un 27 a o de e a la 3x y así sucesivamente las siguientes multiplicaciones todas darían 0. Entonces no tenemos necesidad de anotarlas. Finalmente tenemos que ésto se convierte en 0 y organizando la respuesta nos queda x por un tercio de e a la 3x es un tercio de x por e a la 3x. Acá tendríamos menos un noveno de e a la 3x y finalizamos con la constante de integración. Ésta repetiría por acá. Entonces observamos que llegamos a la misma respuesta que obtuvimos cuando hicimos el procedimiento o la técnica de integración por partes. Ése se convierte en otro camino un poco más corto y que funciona perfectamente cuando detectamos que el método de integración por partes debe aplicarse varias veces en forma repetida. Entonces de esta manera terminamos el ejercicio.
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