INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral impropia, llamada así porque tenemos menos infinito en el límite inferior. Comenzamos justamente por cambiar este límite de integración por una letra. Vamos a utilizar la letra a, en el límite superior continúa el número 4. La función que vamos a integrar sigue siendo 2 por e a la x con su diferencial de x y a todo esto vamos a tomarle el límite de esta letra a cuando tiende a menos infinito, o sea lo que tenemos originalmente en el límite inferior. Enseguida vamos a integrar esta función, podemos hacerlo directamente, vamos a continuar por acá, escribimos el límite cuando a tiende a menos infinito, vamos a abrir un corchete para proteger lo que sigue, la integral de esto será 2 que se queda quieto por ser el número que está multiplicando y la integral de e a la x es ella misma. Y como tenemos una integral definida, trazamos esta línea, anotamos los límites de integración y allí vamos a cerrar el corchete que nos protege esa expresión. A continuación aplicamos el teorema fundamental del cálculo, vamos a evaluar estos valores acá en la antiderivada, seguimos por acá, escribimos el límite cuando a tiende a menos infinito, abrimos de nuevo el corchete y reemplazamos primero el límite superior que entra donde tenemos la x, nos queda 2 por e a la 4 y a eso le restamos el reemplazo o la evaluación del límite inferior que también entra donde tenemos la x, nos queda 2 por e a la a y cerramos el corchete. Ahora vamos a resolver este límite, para ello vamos a sustituir a por menos infinito, entonces continuamos por acá, esto nos queda igual 2 por e a la 4 y eso nos queda menos 2 por e a la menos infinito. Como vemos el primer componente es una constante, todo esto representa un número real, vamos a ver que pasa con e a la menos infinito, vamos a verlo por acá, e a la menos infinito será 1 sobre e a la infinito, pero recordemos que el número de Euler equivale a 2.71828, puntos suspensivos porque sigue indefinidamente, es un número irracional y cuando este número se eleva a infinito nos da infinito y 1 dividido entre infinito entre una cantidad gigantesca es algo que tiende a cero, por lo tanto e a la menos infinito se convierte en cero y entonces anula este término, por lo tanto eso nos queda 2 por e a la 4 que será entonces el resultado de la integral impropia. Como en este caso el resultado es un número real concluimos que esa integral impropia converge, vamos a ver que es lo que sucede con este ejercicio gráficamente. Allí tenemos un bosquejo de la gráfica que corresponde a la función que hay en el integrando, la función 2 por e a la x, vemos que es una curva creciente que corta el eje y en la ordenada 2 porque cuando x toma el valor cero esto nos da e a la cero que es 1 y 1 por 2 es 2. También se observa que el eje x es asíntota horizontal, suponiendo que aquí tenemos la abscisa 4, entonces esa integral representa el área que hay bajo esta curva comprendida entre menos infinito y 4, es decir el área de esta región que aparece rayada con color verde. Entonces el área de esa región plana será 2 por e a la 4 unidades cuadradas y esto si lo realizamos en calculadora científica nos da aproximadamente 109.2 unidades cuadradas. Con esto terminamos este ejercicio.
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