DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo derivar una función usando la definición de derivada. También explica cómo determinar el dominio y el rango de dicha derivada.

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Vamos a obtener la derivada de esta función utilizando la definición de derivada. Vamos a recordarla por acá. Para la función g de t, su derivada g' de t será igual al límite de g de t más delta de t menos g de t, todo esto sobre delta de t cuando delta de t tiende a cero. Esa sería la definición de derivada propia para este ejercicio. g de t, que es uno de los componentes de la expresión, ya lo tenemos, nos faltaría determinar g de t más delta de t. Vamos a escribirlo por acá. g de t más delta de t se obtiene al cambiar en esta expresión t por delta de t. Entonces nos va a quedar en la parte de arriba 4 que multiplica a t más delta de t y en la parte de abajo t más delta de t, todo esto sumado con 1. Como vemos simplemente la letra t se ha cambiado por t más delta de t. Esto lo podríamos trabajar otro poco. Arriba hacemos propiedad distributiva, nos queda 4t más 4 delta de t y en la parte de abajo simplemente quitamos el paréntesis, nos queda t más delta de t más 1. Vamos entonces a reemplazar estas dos expresiones aquí en el límite. Aquí hemos hecho los reemplazos. Vemos que esto se cambió por esto, aquí lo tenemos, esto se cambió por esto, aquí lo tenemos y vamos a concentrarnos en el desarrollo de este límite. Comenzaríamos por realizar la evaluación de ese límite cuando delta de t tiende a 0. Entonces veamos cómo nos quedaría eso. Tenemos g' de t es igual cuando delta de t vale 0. Veamos si aquí delta de t vale 0, 4 por 0 da 0, nos queda 4t y en la parte de abajo si delta de t vale 0 nos queda t más 1. Menos esto, 4t sobre t más 1 y abajo delta de t se convierte en 0. Vemos que en el numerador la diferencia nos da 0 y queda 0 sobre 0 que es una forma indeterminada o una indeterminación. Entonces debemos hacerle algo a esta expresión de aquí para superar este problema de la indeterminación. La estrategia que vamos a utilizar en este caso es resolver estas operaciones. Tenemos una resta de fracciones en el numerador, vamos a resolverla. También hemos quitado el límite para trabajar de una manera más cómoda. Entonces tenemos lo siguiente, en el numerador vamos a resolver multiplicando en cruz. Abajo el producto de los denominadores que sería t más delta de t más 1 multiplicado por t más 1. Aquí tendremos el producto de estos dos, es decir 4t más 4 delta de t multiplicado por t más 1 menos 4t que multiplica a t más delta de t más 1. Y entonces extendemos estas líneas, esta es la línea principal y en el denominador tenemos delta de t. A este delta de t podemos colocarle de una vez el denominador 1. Vamos a aplicar aquí la ley de la oreja, es decir ley de extremos y medios y vamos a escribir aquí lo que nos queda. Así nos queda la fracción. Después de hacer esta propiedad vamos a realizar las operaciones del numerador. Vamos a multiplicar estos dos binomios, veamos 4t por t nos queda 4t cuadrado, 4t por 1 nos queda más 4t, 4 delta de t por t nos queda 4t por delta de t y 4 delta de t por 1 nos queda más 4 delta de t. Aquí hacemos distributiva con el menos 4t, menos 4t por t nos queda menos 4t al cuadrado, menos 4t por delta de t nos queda menos 4t delta de t y menos 4t por 1 nos queda menos 4t. Bien, en el denominador tendríamos exactamente lo mismo que tenemos acá, vamos a usar comillas para ahorrar escritura en este caso. En el numerador vamos a simplificar términos, vemos que 4t cuadrado está positivo y está negativo por lo tanto podemos cancelar esos dos. También podemos cancelar 4t que se encuentra positivo y negativo y tenemos también la operación de estos dos términos que son opuestos, 4t por delta de t aquí está positivo y aquí está negativo por lo tanto digamos que el único sobreviviente del numerador es 4 delta de t. Y en el denominador entonces escribimos la expresión, en este caso si la escribimos para poder apreciar la simplificación que ocurre, en este caso delta de t se puede eliminar porque está multiplicando arriba y abajo. Nos queda entonces 4 en el numerador y estos dos factores en el denominador, entonces a esa expresión es a la que vamos a tomarle el límite para encontrar la derivada. Entonces nos queda que la derivada de prima de t será igual al límite cuando delta de t tiende a cero de la expresión que nos quedó, que fue 4 en el numerador y estos dos factores en el denominador, t más delta de t más 1 multiplicado por t más 1. Ahora lo que hacemos es evaluar esto cuando delta de t tiende a cero, entonces si eliminamos este delta de t, si ese se vuelve cero, aquí abajo nos queda t más 1 multiplicado otra vez por t más 1, es decir que nos va a quedar 4 sobre t más 1 elevado al cuadrado y esa será entonces la expresión para g prima de t, es decir para la derivada de la función. De esta manera encontramos la primera respuesta a la pregunta. Para encontrar el dominio de la derivada, es decir de esta expresión, hacemos el siguiente análisis, sabemos que en una fracción el denominador no puede ser cero, entonces la prohibición que debemos establecer es que t más 1 sea diferente de cero, esta expresión no puede ser cero, de allí despejamos t como si fuera una ecuación que da t diferente de menos 1, por lo tanto decimos que el dominio para g prima, para esa derivada, va a ser el conjunto de los números reales con excepción del elemento menos 1, t igual a menos 1 es el único valor que no puede reemplazarse en esa derivada, ya que ella tendría problemas porque tendría cero en el denominador. Y para el rango, para el rango de la derivada, el rango de g prima, hacemos el siguiente análisis. En el denominador tenemos una expresión elevada al cuadrado, sabemos que eso siempre será positivo, y en el numerador también tenemos el 4 que siempre es positivo, luego todo esto será siempre positivo, nunca será cero porque el numerador está siempre fijo en 4, por lo tanto el rango será los valores que van desde cero hasta más infinito, cero abierto, obviamente más infinito también abierto, este conjunto será entonces el rango de esa función. Y con esto respondemos la segunda pregunta referente al dominio y rango de la derivada de la función k nos dieron.
[{"start": 0.0, "end": 15.92, "text": " Vamos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n utilizando la definici\u00f3n de derivada."}, {"start": 15.92, "end": 17.96, "text": " Vamos a recordarla por ac\u00e1."}, {"start": 17.96, "end": 25.64, "text": " Para la funci\u00f3n g de t, su derivada g' de t ser\u00e1 igual al l\u00edmite de g de t m\u00e1s delta"}, {"start": 25.64, "end": 34.28, "text": " de t menos g de t, todo esto sobre delta de t cuando delta de t tiende a cero."}, {"start": 34.28, "end": 38.92, "text": " Esa ser\u00eda la definici\u00f3n de derivada propia para este ejercicio."}, {"start": 38.92, "end": 44.480000000000004, "text": " g de t, que es uno de los componentes de la expresi\u00f3n, ya lo tenemos, nos faltar\u00eda determinar"}, {"start": 44.480000000000004, "end": 46.68, "text": " g de t m\u00e1s delta de t."}, {"start": 46.68, "end": 48.24, "text": " Vamos a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 48.24, "end": 54.88, "text": " g de t m\u00e1s delta de t se 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171.76000000000002, "text": " Abajo el producto de los denominadores que ser\u00eda t m\u00e1s delta de t m\u00e1s 1 multiplicado"}, {"start": 171.76000000000002, "end": 173.36, "text": " por t m\u00e1s 1."}, {"start": 173.36, "end": 180.16000000000003, "text": " Aqu\u00ed tendremos el producto de estos dos, es decir 4t m\u00e1s 4 delta de t multiplicado"}, {"start": 180.16000000000003, "end": 186.64000000000001, "text": " por t m\u00e1s 1 menos 4t que multiplica a t m\u00e1s delta de t m\u00e1s 1."}, {"start": 186.64, "end": 191.83999999999997, "text": " Y entonces extendemos estas l\u00edneas, esta es la l\u00ednea principal y en el denominador"}, {"start": 191.83999999999997, "end": 193.27999999999997, "text": " tenemos delta de t."}, {"start": 193.27999999999997, "end": 197.2, "text": " A este delta de t podemos colocarle de una vez el denominador 1."}, {"start": 197.2, "end": 204.16, "text": " Vamos a aplicar aqu\u00ed la ley de la oreja, es decir ley de extremos y medios y vamos"}, {"start": 204.16, "end": 205.88, "text": " a escribir aqu\u00ed lo que nos queda."}, {"start": 205.88, "end": 207.51999999999998, "text": " As\u00ed nos queda la fracci\u00f3n."}, {"start": 207.51999999999998, "end": 213.16, "text": " Despu\u00e9s de hacer esta propiedad vamos a realizar las operaciones del numerador."}, {"start": 213.16, "end": 220.52, "text": " Vamos a multiplicar estos dos binomios, veamos 4t por t nos queda 4t cuadrado, 4t por 1 nos"}, {"start": 220.52, "end": 229.44, "text": " queda m\u00e1s 4t, 4 delta de t por t nos queda 4t por delta de t y 4 delta de t por 1 nos"}, {"start": 229.44, "end": 232.0, "text": " queda m\u00e1s 4 delta de t."}, {"start": 232.0, "end": 239.32, "text": " Aqu\u00ed hacemos distributiva con el menos 4t, menos 4t por t nos queda menos 4t al cuadrado,"}, {"start": 239.32, "end": 247.16, "text": " menos 4t por delta de t nos queda menos 4t delta de t y menos 4t por 1 nos queda menos"}, {"start": 247.16, "end": 248.16, "text": " 4t."}, {"start": 248.16, "end": 254.23999999999998, "text": " Bien, en el denominador tendr\u00edamos exactamente lo mismo que tenemos ac\u00e1, vamos a usar comillas"}, {"start": 254.23999999999998, "end": 256.88, "text": " para ahorrar escritura en este caso."}, {"start": 256.88, "end": 262.44, "text": " En el numerador vamos a simplificar t\u00e9rminos, vemos que 4t cuadrado est\u00e1 positivo y est\u00e1"}, {"start": 262.44, "end": 266.68, "text": " negativo por lo tanto podemos cancelar esos dos."}, {"start": 266.68, "end": 273.48, "text": " Tambi\u00e9n podemos cancelar 4t que se encuentra positivo y negativo y tenemos tambi\u00e9n la"}, {"start": 273.48, "end": 280.40000000000003, "text": " operaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos que son opuestos, 4t por delta de t aqu\u00ed est\u00e1 positivo y aqu\u00ed"}, {"start": 280.40000000000003, "end": 287.64, "text": " est\u00e1 negativo por lo tanto digamos que el \u00fanico sobreviviente del numerador es 4 delta"}, {"start": 287.64, "end": 288.64, "text": " de t."}, {"start": 288.64, "end": 294.52, "text": " Y en el denominador entonces escribimos la expresi\u00f3n, en este caso si la escribimos"}, {"start": 294.52, "end": 301.44, "text": " para poder apreciar la simplificaci\u00f3n que ocurre, en este caso delta de t se puede eliminar"}, {"start": 301.44, "end": 304.47999999999996, "text": " porque est\u00e1 multiplicando arriba y abajo."}, {"start": 304.47999999999996, "end": 309.76, "text": " Nos queda entonces 4 en el numerador y estos dos factores en el denominador, entonces a"}, {"start": 309.76, "end": 315.84, "text": " esa expresi\u00f3n es a la que vamos a tomarle el l\u00edmite para encontrar la derivada."}, {"start": 315.84, "end": 322.4, "text": " Entonces nos queda que la derivada de prima de t ser\u00e1 igual al l\u00edmite cuando delta de"}, {"start": 322.4, "end": 330.32, "text": " t tiende a cero de la expresi\u00f3n que nos qued\u00f3, que fue 4 en el numerador y estos dos factores"}, {"start": 330.32, "end": 336.28, "text": " en el denominador, t m\u00e1s delta de t m\u00e1s 1 multiplicado por t m\u00e1s 1."}, {"start": 336.28, "end": 341.91999999999996, "text": " Ahora lo que hacemos es evaluar esto cuando delta de t tiende a cero, entonces si eliminamos"}, {"start": 341.91999999999996, "end": 347.28, "text": " este delta de t, si ese se vuelve cero, aqu\u00ed abajo nos queda t m\u00e1s 1 multiplicado otra"}, {"start": 347.28, "end": 354.4, "text": " vez por t m\u00e1s 1, es decir que nos va a quedar 4 sobre t m\u00e1s 1 elevado al cuadrado y esa"}, {"start": 354.4, "end": 361.71999999999997, "text": " ser\u00e1 entonces la expresi\u00f3n para g prima de t, es decir para la derivada de la funci\u00f3n."}, {"start": 361.71999999999997, "end": 366.23999999999995, "text": " De esta manera encontramos la primera respuesta a la pregunta."}, {"start": 366.23999999999995, "end": 372.79999999999995, "text": " Para encontrar el dominio de la derivada, es decir de esta expresi\u00f3n, hacemos el siguiente"}, {"start": 372.8, "end": 377.92, "text": " an\u00e1lisis, sabemos que en una fracci\u00f3n el denominador no puede ser cero, entonces la"}, {"start": 377.92, "end": 384.56, "text": " prohibici\u00f3n que debemos establecer es que t m\u00e1s 1 sea diferente de cero, esta expresi\u00f3n"}, {"start": 384.56, "end": 389.68, "text": " no puede ser cero, de all\u00ed despejamos t como si fuera una ecuaci\u00f3n que da t diferente"}, {"start": 389.68, "end": 397.28000000000003, "text": " de menos 1, por lo tanto decimos que el dominio para g prima, para esa derivada, va a ser"}, {"start": 397.28, "end": 403.59999999999997, "text": " el conjunto de los n\u00fameros reales con excepci\u00f3n del elemento menos 1, t igual a menos 1 es"}, {"start": 403.59999999999997, "end": 409.47999999999996, "text": " el \u00fanico valor que no puede reemplazarse en esa derivada, ya que ella tendr\u00eda problemas"}, {"start": 409.47999999999996, "end": 411.84, "text": " porque tendr\u00eda cero en el denominador."}, {"start": 411.84, "end": 417.47999999999996, "text": " Y para el rango, para el rango de la derivada, el rango de g prima, hacemos el siguiente"}, {"start": 417.47999999999996, "end": 418.47999999999996, "text": " an\u00e1lisis."}, {"start": 418.47999999999996, "end": 423.2, "text": " En el denominador tenemos una expresi\u00f3n elevada al cuadrado, sabemos que eso siempre ser\u00e1"}, {"start": 423.2, "end": 429.03999999999996, "text": " positivo, y en el numerador tambi\u00e9n tenemos el 4 que siempre es positivo, luego todo esto"}, {"start": 429.03999999999996, "end": 436.28, "text": " ser\u00e1 siempre positivo, nunca ser\u00e1 cero porque el numerador est\u00e1 siempre fijo en 4, por"}, {"start": 436.28, "end": 443.24, "text": " lo tanto el rango ser\u00e1 los valores que van desde cero hasta m\u00e1s infinito, cero abierto,"}, {"start": 443.24, "end": 448.48, "text": " obviamente m\u00e1s infinito tambi\u00e9n abierto, este conjunto ser\u00e1 entonces el rango de esa"}, {"start": 448.48, "end": 449.48, "text": " funci\u00f3n."}, {"start": 449.48, "end": 455.16, "text": " Y con esto respondemos la segunda pregunta referente al dominio y rango de la derivada"}, {"start": 455.16, "end": 480.36, "text": " de la funci\u00f3n k nos dieron."}]