RECTA NORMAL A UNA CURVA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta normal a una curva en un punto específico.

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 Vamos a encontrar la ecuación de la recta normal a la curva y igual a 3x menos 1 sobre x cuadrado más 1 en el punto de abscisa 3. Comenzamos derivando la función utilizando para ello la regla del cociente. Vamos a recordarla. Si tenemos el cociente a sobre b, su derivada será igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo eso sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces, siguiendo esta regla, vamos a derivar la función que nos dan. Tenemos que la función viene denotada como y igual a una expresión en términos de x. Entonces, su derivada se puede denotar como de y de x. Comenzamos entonces con la derivada del numerador, es decir, la derivada de 3x menos 1. Como allí tenemos una resta, derivamos entonces cada término. Derivada de 3x nos da 3 y la derivada de este número nos da 0. Por lo tanto, la derivada del numerador será igual a 3. Eso lo vamos a multiplicar por el denominador sin derivar, o sea, la expresión x al cuadrado más 1 que protegemos con paréntesis. Ahora tenemos menos el numerador sin derivar, es decir, la expresión 3x menos 1, también protegida con paréntesis, y eso se multiplica por la derivada del denominador, es decir, la derivada de x al cuadrado más 1. Como acá tenemos una suma, entonces derivamos cada término. Derivada de x al cuadrado nos da 2x y la derivada de este número nos da 0. Por lo tanto, la derivada del denominador nos da únicamente 2x. Ahora, todo eso nos va a quedar sobre el denominador elevado al cuadrado, es decir, x al cuadrado más 1 que protegemos con paréntesis y que elevamos al cuadrado. Podemos trabajar el numerador de esta expresión para que nos quede un poco más corto. Tendremos entonces de y de x igual a 3 que se distribuye para estos dos términos. 3 por x al cuadrado nos da 3x al cuadrado y eso más 3 por 1 que nos da 3. Acá también vamos a realizar la propiedad distributiva con 2x, pero debemos tener cuidado con este signo negativo que también afecta a estos términos cuando el paréntesis se destruye. Entonces, como decíamos, vamos a multiplicar estos términos por 2x, pero también introducimos el signo negativo. Veamos, 2x por 3x nos da 6x al cuadrado positivo, pero si se afecta por este signo menos nos quedará menos 6x al cuadrado. Ahora, 2x por menos 1 nos da menos 2x, pero si es afectado por este menos nos queda como más 2x. Ahora, en el denominador dejamos la misma expresión. No es necesario desarrollarla, simplemente se deja así indicada. Tenemos que en el numerador hay términos semejantes. Se trata de estos dos que contienen x al cuadrado. Entonces podemos operarlos entre sí. Nos va a quedar la derivada de y de x como 3x al cuadrado menos 6x al cuadrado. Eso nos da menos 3x al cuadrado, después podemos escribir el término más 2x y finalmente el término más 3 para que en el numerador nos quede la expresión ordenada en forma descendente o decreciente. Y todo eso nos queda sobre la misma expresión, x al cuadrado más 1, todo eso elevado al cuadrado. Ahora, esta expresión que acabamos de obtener y que corresponde a la derivada de la función, vamos a evaluarla en la abscisa 3 para encontrar así la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto que nos han especificado. Entonces, pendiente de la recta tangente será igual a la derivada de la función evaluada en la abscisa 3, es decir, en x igual a 3. Lo que vamos a hacer es reemplazar x por el número 3 y vamos a evaluar de esa manera la expresión. En el numerador tendremos menos 3 que multiplica a x que es 3 al cuadrado, esto más 2 por 3 y eso más 3. Para el caso del denominador tenemos 3 elevado al cuadrado, eso más 1 y todo esto elevado al cuadrado. Resolvemos entonces estas operaciones. Veamos, por acá tenemos 3 al cuadrado que es 9, 9 multiplicado por menos 3 nos da menos 27, por acá tenemos más 2 por 3 que nos da más 6 y acá tenemos más 3. Para el caso del denominador tenemos 3 al cuadrado que es 9, eso más 1 y todo esto elevado al cuadrado. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y en el numerador tendremos menos 27 más 6 que nos da menos 21 y menos 21 más 3 que nos da como resultado menos 18. En el denominador tenemos 9 más 1 que nos da 10 y 10 elevado al cuadrado nos da como resultado 100. Esta fracción podemos simplificarla, ambos números tienen mitad, entonces decimos mitad de 18 es 9 y la mitad de 100 es 50. De esta manera tenemos que el valor de la pendiente de la recta tangente es menos 9, 50. Conociendo este valor podemos encontrar la pendiente de la recta normal, recordemos que si esta es la curva y este es el punto P del cual nos están dando información, entonces allí tenemos la recta tangente, aquella que hace contacto con la curva únicamente en ese punto. Y aquí tenemos la recta normal, es decir aquella que forma 90 grados con la recta tangente en el punto de tangencia o punto de contacto. Estas dos rectas son perpendiculares, como son perpendiculares entonces la pendiente de la recta tangente multiplicada por la pendiente de la recta normal tiene que dar como resultado menos 1. Recordemos que es la condición que deben cumplir dos rectas que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a menos 1. Como ya conocemos el valor de la pendiente de la recta tangente que es menos 9, 50, entonces podemos determinar fácilmente el valor de la pendiente de la recta normal. Simplemente tomamos este número, lo invertimos y le cambiamos el signo, es decir que nos va a dar 59. Si multiplicamos este número por este que tenemos acá, efectivamente vamos a obtener menos 1 y de esa manera cumplimos con la condición que deben cumplir dos rectas perpendiculares como en este caso son la tangente y la normal. Ahora tenemos que encontrar las coordenadas del punto P, es decir del punto de tangencia. Ya conocemos el valor en X porque el problema nos da la abscisa que es 3. Nos queda faltando el valor de la ordenada, es decir el valor de Y y ese valor lo vamos a obtener reemplazando en la función original X igual a 3, o sea la abscisa. Tendremos 3 por 3 menos 1 para el numerador y 3 al cuadrado más 1 en el denominador. Vamos a resolver esas operaciones, 3 por 3 nos da 9 y tenemos 9 menos 1 en el numerador y en el denominador tendremos 3 al cuadrado que es 9 más 1. Esto nos va a dar 9 menos 1, 8 en el numerador y 9 más 1, 10 en el denominador. Esta fracción se puede simplificar, decimos mitad de 8 es 4 y mitad de 10 es 5. Cuatro quintos no se puede simplificar más, entonces esa será la ordenada del punto de tangencia. Ya conocemos su valor en X y su valor en Y. Como ya conocemos las coordenadas del punto de tangencia y la pendiente de la recta normal, entonces ya podemos encontrar la ecuación de la recta normal y para ello vamos a utilizar el modelo punto pendiente que nos dice Y menos Y1 igual a M que multiplica a X menos X1. En este caso tenemos X1 y Y1 lo que son las coordenadas del punto de tangencia y para el caso de M usaremos el valor de la pendiente de la recta normal. Replazamos entonces en el modelo, tendremos Y menos Y1 que es 4 quintos, esto igual a la pendiente que es 50 novenos y que multiplica a X menos X1, pero X1 es 3. Vamos a resolver las operaciones que tenemos a ambos lados, esto lo podemos escribir como Y sobre 1 menos 4 quintos y lo que tenemos en el lado derecho lo podemos escribir como 50 novenos que multiplica a X menos 3 todo eso sobre 1. Acá en el lado izquierdo tenemos una resta de fracciones con distinto denominador, vamos entonces a resolverla. Tendremos Y por 5, o sea 5Y menos 1 por 4 que es 4 y en el denominador 1 por 5, es lo que conocemos como la técnica de la carita feliz, la estamos utilizando allí para resolver esa operación. Pasamos al otro lado donde observamos una multiplicación de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí, en el numerador 50 por X menos 3 nos dará 50X menos 50 por 3 que nos da 150, aplicamos la propiedad distributiva y en el denominador tendremos 9 por 1 que nos da como resultado 9. Ahora vamos a pasar estos números que están dividiendo a los lados contrarios a multiplicar, 9 quedará entonces multiplicando con 5Y menos 4 y al otro lado tendremos 5 que multiplica a la expresión 50X menos 150. Aplicamos ahora la propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad, tenemos 9 por 5Y nos da 45Y y 9 por menos 4 nos da menos 36, por acá tenemos 5 por 50X que nos da 250X y esto menos 5 por 150 que nos da 750. Para terminar podemos pasar estos términos al lado derecho, nos quedará entonces 0 igual a 250X menos 750 llega menos 45Y y llega más 36. Acá podemos operar estos dos números y vamos a organizar la expresión de la siguiente forma, 250X después menos 45Y y menos 750 más 36 nos da como resultado menos 714. Terminamos cambiando de sentido esta igualdad, es decir colocamos el 0 a este lado y así hemos encontrado la ecuación de la recta normal que nos han solicitado, se trata de una ecuación expresada en la forma ax más by más c igual a 0, es decir la forma implícita o general para una recta, en ese caso la recta normal a esta curva en el punto de abscisa 3.
[{"start": 0.0, "end": 8.6, "text": " Vamos a encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta normal a la curva y igual a 3x menos 1 sobre x cuadrado m\u00e1s 1"}, {"start": 8.6, "end": 11.8, "text": " en el punto de abscisa 3."}, {"start": 11.8, "end": 18.0, "text": " Comenzamos derivando la funci\u00f3n utilizando para ello la regla del cociente."}, {"start": 18.0, "end": 19.6, "text": " Vamos a recordarla."}, {"start": 19.6, "end": 28.0, "text": " Si tenemos el cociente a sobre b, su derivada ser\u00e1 igual a la derivada del numerador"}, {"start": 28.0, "end": 37.6, "text": " por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador"}, {"start": 37.6, "end": 42.2, "text": " y todo eso sobre el denominador elevado al cuadrado."}, {"start": 42.2, "end": 47.8, "text": " Entonces, siguiendo esta regla, vamos a derivar la funci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 47.8, "end": 54.400000000000006, "text": " Tenemos que la funci\u00f3n viene denotada como y igual a una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 54.4, "end": 60.199999999999996, "text": " Entonces, su derivada se puede denotar como de y de x."}, {"start": 60.199999999999996, "end": 67.4, "text": " Comenzamos entonces con la derivada del numerador, es decir, la derivada de 3x menos 1."}, {"start": 67.4, "end": 71.4, "text": " Como all\u00ed tenemos una resta, derivamos entonces cada t\u00e9rmino."}, {"start": 71.4, "end": 77.2, "text": " Derivada de 3x nos da 3 y la derivada de este n\u00famero nos da 0."}, {"start": 77.2, "end": 82.0, "text": " Por lo tanto, la derivada del numerador ser\u00e1 igual a 3."}, {"start": 82.0, "end": 86.2, "text": " Eso lo vamos a multiplicar por el denominador sin derivar,"}, {"start": 86.2, "end": 91.8, "text": " o sea, la expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s 1 que protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 91.8, "end": 99.2, "text": " Ahora tenemos menos el numerador sin derivar, es decir, la expresi\u00f3n 3x menos 1,"}, {"start": 99.2, "end": 106.0, "text": " tambi\u00e9n protegida con par\u00e9ntesis, y eso se multiplica por la derivada del denominador,"}, {"start": 106.0, "end": 109.8, "text": " es decir, la derivada de x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 109.8, "end": 114.0, "text": " Como ac\u00e1 tenemos una suma, entonces derivamos cada t\u00e9rmino."}, {"start": 114.0, "end": 120.8, "text": " Derivada de x al cuadrado nos da 2x y la derivada de este n\u00famero nos da 0."}, {"start": 120.8, "end": 127.4, "text": " Por lo tanto, la derivada del denominador nos da \u00fanicamente 2x."}, {"start": 127.4, "end": 133.6, "text": " Ahora, todo eso nos va a quedar sobre el denominador elevado al cuadrado,"}, {"start": 133.6, "end": 142.2, "text": " es decir, x al cuadrado m\u00e1s 1 que protegemos con par\u00e9ntesis y que elevamos al cuadrado."}, {"start": 142.2, "end": 148.79999999999998, "text": " Podemos trabajar el numerador de esta expresi\u00f3n para que nos quede un poco m\u00e1s corto."}, {"start": 148.79999999999998, "end": 158.6, "text": " Tendremos entonces de y de x igual a 3 que se distribuye para estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 158.6, "end": 166.79999999999998, "text": " 3 por x al cuadrado nos da 3x al cuadrado y eso m\u00e1s 3 por 1 que nos da 3."}, {"start": 166.79999999999998, "end": 171.2, "text": " Ac\u00e1 tambi\u00e9n vamos a realizar la propiedad distributiva con 2x,"}, {"start": 171.2, "end": 176.79999999999998, "text": " pero debemos tener cuidado con este signo negativo que tambi\u00e9n afecta a estos t\u00e9rminos"}, {"start": 176.79999999999998, "end": 179.79999999999998, "text": " cuando el par\u00e9ntesis se destruye."}, {"start": 179.79999999999998, "end": 184.4, "text": " Entonces, como dec\u00edamos, vamos a multiplicar estos t\u00e9rminos por 2x,"}, {"start": 184.4, "end": 188.2, "text": " pero tambi\u00e9n introducimos el signo negativo."}, {"start": 188.2, "end": 193.79999999999998, "text": " Veamos, 2x por 3x nos da 6x al cuadrado positivo,"}, {"start": 193.79999999999998, "end": 200.79999999999998, "text": " pero si se afecta por este signo menos nos quedar\u00e1 menos 6x al cuadrado."}, {"start": 200.79999999999998, "end": 204.79999999999998, "text": " Ahora, 2x por menos 1 nos da menos 2x,"}, {"start": 204.79999999999998, "end": 210.79999999999998, "text": " pero si es afectado por este menos nos queda como m\u00e1s 2x."}, {"start": 210.79999999999998, "end": 215.39999999999998, "text": " Ahora, en el denominador dejamos la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 215.4, "end": 221.6, "text": " No es necesario desarrollarla, simplemente se deja as\u00ed indicada."}, {"start": 221.6, "end": 225.4, "text": " Tenemos que en el numerador hay t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 225.4, "end": 229.6, "text": " Se trata de estos dos que contienen x al cuadrado."}, {"start": 229.6, "end": 232.8, "text": " Entonces podemos operarlos entre s\u00ed."}, {"start": 232.8, "end": 240.20000000000002, "text": " Nos va a quedar la derivada de y de x como 3x al cuadrado menos 6x al cuadrado."}, {"start": 240.2, "end": 246.79999999999998, "text": " Eso nos da menos 3x al cuadrado, despu\u00e9s podemos escribir el t\u00e9rmino m\u00e1s 2x"}, {"start": 246.79999999999998, "end": 253.6, "text": " y finalmente el t\u00e9rmino m\u00e1s 3 para que en el numerador nos quede la expresi\u00f3n ordenada"}, {"start": 253.6, "end": 256.59999999999997, "text": " en forma descendente o decreciente."}, {"start": 256.59999999999997, "end": 261.2, "text": " Y todo eso nos queda sobre la misma expresi\u00f3n,"}, {"start": 261.2, "end": 266.4, "text": " x al cuadrado m\u00e1s 1, todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 266.4, "end": 273.4, "text": " Ahora, esta expresi\u00f3n que acabamos de obtener y que corresponde a la derivada de la funci\u00f3n,"}, {"start": 273.4, "end": 281.0, "text": " vamos a evaluarla en la abscisa 3 para encontrar as\u00ed la pendiente de la recta tangente"}, {"start": 281.0, "end": 286.0, "text": " a esta curva en el punto que nos han especificado."}, {"start": 286.0, "end": 293.0, "text": " Entonces, pendiente de la recta tangente ser\u00e1 igual a la derivada de la funci\u00f3n"}, {"start": 293.0, "end": 299.8, "text": " evaluada en la abscisa 3, es decir, en x igual a 3."}, {"start": 299.8, "end": 304.4, "text": " Lo que vamos a hacer es reemplazar x por el n\u00famero 3"}, {"start": 304.4, "end": 308.4, "text": " y vamos a evaluar de esa manera la expresi\u00f3n."}, {"start": 308.4, "end": 315.0, "text": " En el numerador tendremos menos 3 que multiplica a x que es 3 al cuadrado,"}, {"start": 315.0, "end": 321.4, "text": " esto m\u00e1s 2 por 3 y eso m\u00e1s 3."}, {"start": 321.4, "end": 327.79999999999995, "text": " Para el caso del denominador tenemos 3 elevado al cuadrado,"}, {"start": 327.79999999999995, "end": 334.4, "text": " eso m\u00e1s 1 y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 334.4, "end": 338.0, "text": " Resolvemos entonces estas operaciones."}, {"start": 338.0, "end": 341.79999999999995, "text": " Veamos, por ac\u00e1 tenemos 3 al cuadrado que es 9,"}, {"start": 341.79999999999995, "end": 346.4, "text": " 9 multiplicado por menos 3 nos da menos 27,"}, {"start": 346.4, "end": 350.4, "text": " por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 2 por 3 que nos da m\u00e1s 6"}, {"start": 350.4, "end": 353.59999999999997, "text": " y ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 3."}, {"start": 353.59999999999997, "end": 359.0, "text": " Para el caso del denominador tenemos 3 al cuadrado que es 9,"}, {"start": 359.0, "end": 364.4, "text": " eso m\u00e1s 1 y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 364.4, "end": 370.0, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1"}, {"start": 370.0, "end": 376.0, "text": " y en el numerador tendremos menos 27 m\u00e1s 6 que nos da menos 21"}, {"start": 376.0, "end": 381.6, "text": " y menos 21 m\u00e1s 3 que nos da como resultado menos 18."}, {"start": 381.6, "end": 385.6, "text": " En el denominador tenemos 9 m\u00e1s 1 que nos da 10"}, {"start": 385.6, "end": 390.8, "text": " y 10 elevado al cuadrado nos da como resultado 100."}, {"start": 390.8, "end": 395.8, "text": " Esta fracci\u00f3n podemos simplificarla, ambos n\u00fameros tienen mitad,"}, {"start": 395.8, "end": 403.4, "text": " entonces decimos mitad de 18 es 9 y la mitad de 100 es 50."}, {"start": 403.4, "end": 408.59999999999997, "text": " De esta manera tenemos que el valor de la pendiente de la recta tangente"}, {"start": 408.59999999999997, "end": 411.79999999999995, "text": " es menos 9, 50."}, {"start": 411.79999999999995, "end": 417.4, "text": " Conociendo este valor podemos encontrar la pendiente de la recta normal,"}, {"start": 417.4, "end": 422.2, "text": " recordemos que si esta es la curva y este es el punto P"}, {"start": 422.2, "end": 425.79999999999995, "text": " del cual nos est\u00e1n dando informaci\u00f3n,"}, {"start": 425.79999999999995, "end": 429.2, "text": " entonces all\u00ed tenemos la recta tangente,"}, {"start": 429.2, "end": 435.0, "text": " aquella que hace contacto con la curva \u00fanicamente en ese punto."}, {"start": 435.0, "end": 438.59999999999997, "text": " Y aqu\u00ed tenemos la recta normal,"}, {"start": 438.59999999999997, "end": 443.8, "text": " es decir aquella que forma 90 grados con la recta tangente"}, {"start": 443.8, "end": 448.2, "text": " en el punto de tangencia o punto de contacto."}, {"start": 448.2, "end": 451.4, "text": " Estas dos rectas son perpendiculares,"}, {"start": 451.4, "end": 456.4, "text": " como son perpendiculares entonces la pendiente de la recta tangente"}, {"start": 456.4, "end": 460.0, "text": " multiplicada por la pendiente de la recta normal"}, {"start": 460.0, "end": 463.59999999999997, "text": " tiene que dar como resultado menos 1."}, {"start": 463.59999999999997, "end": 469.59999999999997, "text": " Recordemos que es la condici\u00f3n que deben cumplir dos rectas que sean perpendiculares,"}, {"start": 469.59999999999997, "end": 474.4, "text": " el producto de sus pendientes debe ser igual a menos 1."}, {"start": 474.4, "end": 478.4, "text": " Como ya conocemos el valor de la pendiente de la recta tangente"}, {"start": 478.4, "end": 480.79999999999995, "text": " que es menos 9, 50,"}, {"start": 480.79999999999995, "end": 484.0, "text": " entonces podemos determinar f\u00e1cilmente"}, {"start": 484.0, "end": 487.2, "text": " el valor de la pendiente de la recta normal."}, {"start": 487.2, "end": 490.6, "text": " Simplemente tomamos este n\u00famero,"}, {"start": 490.6, "end": 493.6, "text": " lo invertimos y le cambiamos el signo,"}, {"start": 493.6, "end": 497.4, "text": " es decir que nos va a dar 59."}, {"start": 497.4, "end": 501.4, "text": " Si multiplicamos este n\u00famero por este que tenemos ac\u00e1,"}, {"start": 501.4, "end": 504.6, "text": " efectivamente vamos a obtener menos 1"}, {"start": 504.6, "end": 507.8, "text": " y de esa manera cumplimos con la condici\u00f3n"}, {"start": 507.8, "end": 511.6, "text": " que deben cumplir dos rectas perpendiculares"}, {"start": 511.6, "end": 516.8000000000001, "text": " como en este caso son la tangente y la normal."}, {"start": 516.8000000000001, "end": 520.4, "text": " Ahora tenemos que encontrar las coordenadas del punto P,"}, {"start": 520.4, "end": 523.0, "text": " es decir del punto de tangencia."}, {"start": 523.0, "end": 529.4, "text": " Ya conocemos el valor en X porque el problema nos da la abscisa que es 3."}, {"start": 529.4, "end": 532.4, "text": " Nos queda faltando el valor de la ordenada,"}, {"start": 532.4, "end": 534.6, "text": " es decir el valor de Y"}, {"start": 534.6, "end": 539.6, "text": " y ese valor lo vamos a obtener reemplazando en la funci\u00f3n original"}, {"start": 539.6, "end": 543.0, "text": " X igual a 3, o sea la abscisa."}, {"start": 543.0, "end": 548.6, "text": " Tendremos 3 por 3 menos 1 para el numerador"}, {"start": 548.6, "end": 554.4, "text": " y 3 al cuadrado m\u00e1s 1 en el denominador."}, {"start": 554.4, "end": 556.8000000000001, "text": " Vamos a resolver esas operaciones,"}, {"start": 556.8000000000001, "end": 559.0, "text": " 3 por 3 nos da 9"}, {"start": 559.0, "end": 562.2, "text": " y tenemos 9 menos 1 en el numerador"}, {"start": 562.2, "end": 567.2, "text": " y en el denominador tendremos 3 al cuadrado que es 9 m\u00e1s 1."}, {"start": 567.2, "end": 571.0, "text": " Esto nos va a dar 9 menos 1, 8 en el numerador"}, {"start": 571.0, "end": 574.4000000000001, "text": " y 9 m\u00e1s 1, 10 en el denominador."}, {"start": 574.4000000000001, "end": 576.8000000000001, "text": " Esta fracci\u00f3n se puede simplificar,"}, {"start": 576.8000000000001, "end": 582.6, "text": " decimos mitad de 8 es 4 y mitad de 10 es 5."}, {"start": 582.6, "end": 585.4000000000001, "text": " Cuatro quintos no se puede simplificar m\u00e1s,"}, {"start": 585.4000000000001, "end": 590.2, "text": " entonces esa ser\u00e1 la ordenada del punto de tangencia."}, {"start": 590.2, "end": 594.8000000000001, "text": " Ya conocemos su valor en X y su valor en Y."}, {"start": 594.8, "end": 598.5999999999999, "text": " Como ya conocemos las coordenadas del punto de tangencia"}, {"start": 598.5999999999999, "end": 601.0, "text": " y la pendiente de la recta normal,"}, {"start": 601.0, "end": 605.8, "text": " entonces ya podemos encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta normal"}, {"start": 605.8, "end": 611.0, "text": " y para ello vamos a utilizar el modelo punto pendiente"}, {"start": 611.0, "end": 614.1999999999999, "text": " que nos dice Y menos Y1"}, {"start": 614.1999999999999, "end": 619.5999999999999, "text": " igual a M que multiplica a X menos X1."}, {"start": 619.6, "end": 625.0, "text": " En este caso tenemos X1 y Y1"}, {"start": 625.0, "end": 629.2, "text": " lo que son las coordenadas del punto de tangencia"}, {"start": 629.2, "end": 633.4, "text": " y para el caso de M usaremos el valor de la pendiente"}, {"start": 633.4, "end": 635.6, "text": " de la recta normal."}, {"start": 635.6, "end": 637.6, "text": " Replazamos entonces en el modelo,"}, {"start": 637.6, "end": 643.0, "text": " tendremos Y menos Y1 que es 4 quintos,"}, {"start": 643.0, "end": 648.4, "text": " esto igual a la pendiente que es 50 novenos"}, {"start": 648.4, "end": 656.1999999999999, "text": " y que multiplica a X menos X1, pero X1 es 3."}, {"start": 656.1999999999999, "end": 660.0, "text": " Vamos a resolver las operaciones que tenemos a ambos lados,"}, {"start": 660.0, "end": 666.4, "text": " esto lo podemos escribir como Y sobre 1 menos 4 quintos"}, {"start": 666.4, "end": 668.8, "text": " y lo que tenemos en el lado derecho"}, {"start": 668.8, "end": 672.0, "text": " lo podemos escribir como 50 novenos"}, {"start": 672.0, "end": 678.1999999999999, "text": " que multiplica a X menos 3 todo eso sobre 1."}, {"start": 678.2, "end": 682.2, "text": " Ac\u00e1 en el lado izquierdo tenemos una resta de fracciones"}, {"start": 682.2, "end": 686.4000000000001, "text": " con distinto denominador, vamos entonces a resolverla."}, {"start": 686.4000000000001, "end": 694.2, "text": " Tendremos Y por 5, o sea 5Y menos 1 por 4 que es 4"}, {"start": 694.2, "end": 697.4000000000001, "text": " y en el denominador 1 por 5,"}, {"start": 697.4000000000001, "end": 701.6, "text": " es lo que conocemos como la t\u00e9cnica de la carita feliz,"}, {"start": 701.6, "end": 706.6, "text": " la estamos utilizando all\u00ed para resolver esa operaci\u00f3n."}, {"start": 706.6, "end": 711.2, "text": " Pasamos al otro lado donde observamos una multiplicaci\u00f3n de fracciones,"}, {"start": 711.2, "end": 714.2, "text": " recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed"}, {"start": 714.2, "end": 716.6, "text": " y denominadores entre s\u00ed,"}, {"start": 716.6, "end": 724.8000000000001, "text": " en el numerador 50 por X menos 3 nos dar\u00e1 50X menos 50 por 3"}, {"start": 724.8000000000001, "end": 730.4, "text": " que nos da 150, aplicamos la propiedad distributiva"}, {"start": 730.4, "end": 737.0, "text": " y en el denominador tendremos 9 por 1 que nos da como resultado 9."}, {"start": 737.0, "end": 740.6, "text": " Ahora vamos a pasar estos n\u00fameros que est\u00e1n dividiendo"}, {"start": 740.6, "end": 743.8, "text": " a los lados contrarios a multiplicar,"}, {"start": 743.8, "end": 750.1999999999999, "text": " 9 quedar\u00e1 entonces multiplicando con 5Y menos 4"}, {"start": 750.1999999999999, "end": 756.1999999999999, "text": " y al otro lado tendremos 5 que multiplica a la expresi\u00f3n"}, {"start": 756.2, "end": 761.0, "text": " 50X menos 150."}, {"start": 761.0, "end": 767.6, "text": " Aplicamos ahora la propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad,"}, {"start": 767.6, "end": 776.4000000000001, "text": " tenemos 9 por 5Y nos da 45Y y 9 por menos 4 nos da menos 36,"}, {"start": 776.4000000000001, "end": 781.8000000000001, "text": " por ac\u00e1 tenemos 5 por 50X que nos da 250X"}, {"start": 781.8, "end": 788.1999999999999, "text": " y esto menos 5 por 150 que nos da 750."}, {"start": 788.1999999999999, "end": 792.0, "text": " Para terminar podemos pasar estos t\u00e9rminos al lado derecho,"}, {"start": 792.0, "end": 802.0, "text": " nos quedar\u00e1 entonces 0 igual a 250X menos 750"}, {"start": 802.0, "end": 809.8, "text": " llega menos 45Y y llega m\u00e1s 36."}, {"start": 809.8, "end": 814.8, "text": " Ac\u00e1 podemos operar estos dos n\u00fameros y vamos a organizar"}, {"start": 814.8, "end": 817.1999999999999, "text": " la expresi\u00f3n de la siguiente forma,"}, {"start": 817.1999999999999, "end": 828.4, "text": " 250X despu\u00e9s menos 45Y y menos 750 m\u00e1s 36 nos da como resultado"}, {"start": 828.4, "end": 832.0999999999999, "text": " menos 714."}, {"start": 832.0999999999999, "end": 835.6999999999999, "text": " Terminamos cambiando de sentido esta igualdad,"}, {"start": 835.7, "end": 841.6, "text": " es decir colocamos el 0 a este lado y as\u00ed hemos encontrado"}, {"start": 841.6, "end": 847.4000000000001, "text": " la ecuaci\u00f3n de la recta normal que nos han solicitado,"}, {"start": 847.4000000000001, "end": 852.6, "text": " se trata de una ecuaci\u00f3n expresada en la forma"}, {"start": 852.6, "end": 856.1, "text": " ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a 0,"}, {"start": 856.1, "end": 860.9000000000001, "text": " es decir la forma impl\u00edcita o general para una recta,"}, {"start": 860.9, "end": 868.3, "text": " en ese caso la recta normal a esta curva en el punto de abscisa 3."}]