Problema 5 de OPTIMIZACIÓN
#julioprofe explica cómo resolver un problema de optimización, una de las aplicaciones de la derivada:

Un granjero quiere bordear un área de 1.5 km² en un campo rectangular y luego dividirlo a la mitad con una barda paralela a un lado del rectángulo. ¿Cómo puede hacerlo para minimizar el costo de la barda?

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Un granjero quiere bordear un área de 1.5 km² en un campo rectangular y luego dividirlo a la mitad con una barda paralela a un lado del rectángulo. ¿Cómo puede hacerlo para minimizar el costo de la barda? Iniciamos este problema dibujando un rectángulo que representa el terreno que el granjero quiere delimitar. Vemos que está dividido a la mitad tal como el problema lo dice. Entonces vamos a llamar esta distancia x, es decir, el largo del rectángulo y podemos llamar esta otra distancia y, que es el ancho del rectángulo. Nos dice el problema que el área del campo rectangular es de 1.5 km². El área de esa figura que es un rectángulo será la base por la altura, es decir, x por y. Entonces x por y será igual a 1.5 y tenemos una primera expresión que vamos a llamar la expresión número uno. Por otro lado nos dicen que el granjero quiere minimizar el costo de encerrar ese terreno de esa manera, por lo tanto podemos concentrarnos en minimizar lo que es L, es decir, la longitud total de barda utilizada. Al minimizar L se minimiza automáticamente el costo de cercado de ese campo rectangular. Veamos a qué es igual L, la longitud total de barda sería x más x, es decir, 2x, más tres veces el segmento de longitud y, es decir, 3y. Esta sería entonces la función objetivo, la que queremos minimizar, expresión número dos. Pero tenemos un pequeño inconveniente y es que L depende de dos variables diferentes, x y y. Entonces como L debe depender solamente de una variable, podemos hacer uso de esta expresión despejando una de las dos, puede ser por ejemplo el despeje de la y, y es igual a 1.5 sobre x y esta expresión la llamamos la número tres. Esta expresión tres la vamos a sustituir acá en la número dos y nos va a quedar entonces que L es igual a 2x más tres que multiplica a la y que se cambia por 1.5 sobre x, quedando entonces como L igual a 2x más tres por 1.5 nos queda 4.5 sobre x. Y esta es entonces la función objetivo, la que queremos optimizar, en este caso minimizar. Vemos que ya L depende de una sola variable que es la x, el dominio de esta función serán los x mayores que cero porque x es una distancia, por lo tanto únicamente puede tomar valores positivos. Podemos llamarla L de x y también podemos reescribirla como 2x más 4.5 por x a la menos uno para facilitar al proceso de derivación. Derivamos por primera vez, nos queda L' de x será entonces 2 menos 4.5 x a la menos dos y sacamos la segunda derivada para hacer la verificación más adelante, la derivada de esto sería nueve x a la menos tres. Vamos a buscar los puntos críticos de esa función, entonces tomamos la primera derivada L' de x la igualamos a cero, entonces nos queda 2 menos 4.5 x a la menos dos igual a cero, esto sería 2 menos 4.5 sobre x cuadrado igual a cero. Vamos a continuarlo por acá, nos queda entonces dos es igual a 4.5 por x al cuadrado, pasamos x al cuadrado que está dividiendo a multiplicar con el 2, queda 2x cuadrado igual a 4.5, queda x al cuadrado igual a 4.5 divido entre 2, x al cuadrado es igual a 2.25, despejando x nos queda más o menos la raíz cuadrada de 2.25, y la derivada será 2.25, despejando x nos queda más o menos la raíz cuadrada de 2.25 que será más o menos 1.5, pero como hemos dicho que x debe tomar valores positivos entonces descartamos la opción negativa y nos quedamos únicamente con 1.5, entonces esta será la abcisa o el valor en x del punto crítico de la función. Hacemos entonces la verificación de este valor en la segunda derivada para decidir o confirmar si efectivamente se trata de un punto máximo o mínimo, entonces la segunda derivada la podemos escribir así, 9 sobre x a la 3 y vamos entonces a evaluarla en 1.5, entonces simplemente reemplazaríamos 1.5 donde se encuentra la x, bueno sin necesidad de resolver esto simplemente por observación deducimos que esto es una cantidad positiva y si la segunda derivada es positiva en ese valor quiere decir que allí la función es con k base arriba y que por lo tanto nuestro punto crítico corresponde a un mínimo, entonces esto quiere decir que efectivamente x igual a 1.5 produce el valor mínimo de l, es decir minimiza la longitud de barda a utilizar. Nos hace falta calcular la otra dimensión del terreno, es decir la letra y o y, entonces eso lo podemos determinar en la expresión número 3 que decía y es igual a 1.5 sobre x, como ya conocemos el valor de x que logra minimizar l que es 1.5 entonces lo reemplazamos aquí queda 1.5 sobre 1.5 y esto es igual a 1, entonces x igual a 1.5 y y igual a 1 ambas dimensiones en kilómetros van a ser las dimensiones ideales para que el granjero minimice el costo de encerrar el terreno, vamos a ver entonces la respuesta como queda, para que el granjero logre utilizar la menor cantidad de barda y por lo tanto logre reducir al mínimo los costos entonces el debe encerrar el terreno de la siguiente manera, debe utilizar en esta dimensión 1.5 kilómetros, es decir lo que nos dio x y por acá debe utilizar un kilómetro, 1 kilómetro, como vemos el terreno queda dividido a la mitad por este lado que es paralelo a los lados más cortos del rectángulo, entonces ahí vemos que se cumple con el requisito del área, el área de este rectángulo sería 1.5 por 1, o sea que tenemos un área total encerrada de 1.5 kilómetros cuadrados, si toda esta área es 1.5 kilómetros cuadrados y estas son entonces las dimensiones que proporcionan al granjero el costo mínimo de barda.
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