REGLAS BÁSICAS PARA DERIVAR FUNCIONES
#julioprofe expone las reglas básicas para obtener #derivadas de funciones, con ejemplos de cada una. 

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 En esta ocasión vamos a ver las reglas básicas para derivar funciones, algunos casos particulares de ellas y ejemplos de cada una. Comenzamos con la derivada de un monomio. Si tenemos una función y o f de x igual a c por x a la n, es decir, un solo término un monomio, donde c y n representan números reales, entonces la derivada se denota así, de y de x, la derivada de la función y con respecto a la variable x o también f' de x y se construye de la siguiente manera, c se deja quieto, queda multiplicando, esto está multiplicando y procedemos a derivar x a la n, n baja a multiplicar, nos queda entonces c por n y luego x elevada al exponente n menos 1, el exponente que tenemos acá originalmente se disminuye en una unidad, entonces repetimos, el exponente baja a multiplicar con el coeficiente, nos queda c por n y el exponente se disminuye en una unidad. De esta regla podemos considerar cuatro casos particulares, veamos el primero, si c es decir el coeficiente es cualquier número real y n, o sea el exponente es cero, entonces la función f de x nos queda así, x a la cero nos da como resultado 1, recordemos que eso es una propiedad de la potenciación y c por 1 nos da c, en ese caso la función sería una constante, o sea un número real y ahora veamos cómo nos queda la derivada, si n vale cero, entonces tendremos c por cero por x a la menos 1, pero si en una multiplicación tenemos el cero como factor, entonces todo eso nos da como resultado cero, por lo tanto si la función es una constante, es decir un número real o incluso una letra que ha sido declarada como constante, distinta a la letra que indica la variable independiente en la función, entonces su derivada siempre será cero. Miremos ahora el segundo caso, que es cuando c y n toman el valor 1, en ese caso la función f de x nos queda de la siguiente manera, tendríamos 1 por x a la 1, pero x a la 1 nos da x, otra propiedad de la potenciación y 1 por x es x, en ese caso la función es igual a la misma letra que indica la variable independiente. Ahora miremos cómo nos queda la derivada, si c y n valen 1, tendríamos 1 por 1 por x a la 1 menos 1, aquí tendríamos x a la cero, que como dijimos ahora, x vale a 1, entonces finalmente tendríamos 1 por 1 por 1, que nos da como resultado 1, entonces si la función es igual a la letra que indica la variable independiente, su derivada siempre será 1. Miremos ahora el tercer caso, es cuando c toma cualquier valor real y n toma el valor 1, entonces la función f de x nos queda así, sería c por x a la 1, pero x a la 1 es x, entonces nos queda c por x, vamos a construir su derivada teniendo en cuenta que n es 1, nos quedaría c por 1 por x a la 1 menos 1, aquí tendríamos x a la cero que equivale a 1, por lo tanto al final tendríamos c por 1 por 1 que nos da como resultado c, entonces si la función es una constante acompañando a la variable, es decir c por x, su derivada es la constante, es decir el coeficiente. Finalmente, el cuarto caso se presenta cuando se toma el valor 1 y n es cualquier número real, entonces la función f de x nos queda 1 por x a la n, es decir x a la n, vamos a construir su derivada sabiendo que se vale 1, tendríamos 1 por n por x a la n menos 1, entonces 1 por n es n y eso queda multiplicando con x elevada al exponente n menos 1, entonces en resumen es la derivada de una potencia, en ese caso como dijimos al inicio n baja a multiplicar y acá el exponente que teníamos originalmente se reduce o se disminuye en una unidad. Miremos a continuación algunos ejemplos de esta regla de derivación, si tenemos la función y igual a x al cuadrado, entonces su derivada se denota como de y de x, la derivada de la función y con respecto a la variable x. Siguiendo esta instrucción, entonces el 2 baja a multiplicar con el 1, recordemos que aquí tenemos 1 como coeficiente, nos queda entonces 2 y luego tenemos x elevada al exponente 2 menos 1, como dijimos el exponente original se reduce o se disminuye en una unidad, siguiendo esta regla, entonces nos queda 2 por x a la 2 menos 1 que es 1, pero x a la 1 es x, entonces nos queda 2x, finalmente la derivada de x al cuadrado es 2x. Ahora si la función es por ejemplo y igual a h de t igual a t a la 10, una potencia donde en este caso ahora la variable independiente es t ya no es x, entonces la derivada se denota así, sería de y de t, la derivada de la función y con respecto a la variable t o también se puede expresar como h' de t y siguiendo esta instrucción entonces el 10 baja a multiplicar con 1, otra vez c vale 1, 10 por 1 nos da 10 y esto nos queda multiplicando por t a la 10 menos 1, el exponente original se reduce en una unidad, finalmente esto nos queda 10 por t a la 9, entonces 10t a la 9 es la derivada de t a la 10. Si por ejemplo tenemos la función y igual a 8x a la 5 donde c es 8 y n está representada por 5, entonces la derivada se denota como de y de x, es la derivada de la función y con respecto a la variable x, siguiendo esta instrucción entonces tenemos que 5 baja a multiplicar con 8, nos quedaría 8 por 5 o 5 por 8 que es 40 y eso queda acompañado de x elevada al exponente n menos 1, es decir el exponente original que es 5 se reduce o se disminuye en una unidad y nos da 4, entonces 40x a la 4 es la derivada de 8x a la 5. Ahora miremos este caso, supongamos que la función es p igual a menos tres cuartos de q a la 8, en ese caso vemos que c es menos tres cuartos y n es 8 y ahora la x que aquí era la variable independiente es acá la letra q, entonces la derivada se denota como de p de q, es decir la derivada de la función p con respecto a la variable q, entonces siguiendo esta instrucción tenemos lo siguiente, 8 baja a multiplicar por menos tres cuartos, sería menos tres cuartos por 8 y eso multiplicado por q y su exponente original que es 8 se reduce en una unidad, nos quedaría 8 menos 1. Resolvemos esta operación, menos tres cuartos por 8 sería menos 24 cuartos que simplificando nos da menos 6 y eso queda multiplicando por q elevada al exponente 7, el resultado de esa resta, entonces menos 6q a la 7 es la derivada de menos tres cuartos de q a la 8. Supongamos que ahora la función es r de z igual a pi por z elevada a la raíz cuadrada de 2, vemos que esta expresión sigue esta estructura, c está representada por el número pi, n es la raíz cuadrada de 2, ambos son números reales, más precisamente se trata de números irracionales y x está representada por la letra z que aquí será la variable independiente, entonces la derivada en este caso se denota como de r de z, la derivada de la función r con respecto a la variable z o también r prima de z y siguiendo la instrucción esa que tenemos acá nos queda raíz cuadrada de 2 baja a multiplicar con pi, nos quedaría pi por raíz cuadrada de 2, ese producto lo podemos dejar así indicado, luego viene la variable que es z y queda elevada al exponente original que es la raíz cuadrada de 2 menos 1, también esto podemos dejarlo indicado, si queremos con calculadora se pueden encontrar estos valores para presentar la respuesta utilizando aquí números decimales. Consideremos esta función g de u igual a 2 sobre e por u a la e, e es el número de euler, en este caso 2 sobre e hace el papel de c, e representa la letra n y u es la variable independiente, la que acá tenemos como x, entonces la derivada en este caso se denota como de g de u, es decir la derivada de la función g con respecto a la variable u o también como g prima de u y siguiendo la instrucción lo que nos dice esta regla de derivación tendremos que e baja a multiplicar con 2 sobre e, nos queda 2 sobre e por e y luego eso multiplicado por u, la variable elevada al exponente original que es el número de euler menos 1, finalmente esto lo podemos pulir de la siguiente manera, aquí se puede simplificar o cancelar el número e y nos queda 2, 2 que multiplica a u elevada al exponente e menos 1 que podemos dejar así en forma indicada. Veamos ahora esta función n de t igual a 1 sobre t al cubo, entonces esto vamos a reescribirlo siguiendo esta propiedad, tenemos esta situación vamos a pasar acá, entonces nos queda como t a la menos 3 y ahora esto si encaja con el modelo, vemos que c es el coeficiente es 1 es invisible y el exponente n es menos 3, la variable independiente x ahora es la letra t, entonces la derivada de esa función se denota como dn de t o también como n prima de t y siguiendo la instrucción lo que nos indica esa regla de derivación tenemos que menos 3 baja a multiplicar con 1 eso es menos 3 y eso queda multiplicando con t a la menos 3 el exponente original menos 1, resolvemos esto nos queda menos 3 por t a la menos 3 menos 1 que es menos 4 y esto vamos a reescribirlo siguiendo esta propiedad de la potenciación ya para que no nos quede ningún exponente negativo, entonces nos queda menos 3 por t a la menos 4 que sería 1 sobre t a la 4 repetimos siguiendo esa propiedad de la potenciación, finalmente esto lo volvemos una sola expresión menos 3 por 1 es menos 3 abajo nos quedaría 1 aquí tenemos denominador invisible que es 1, 1 por t a la 4 que es t a la 4 entonces menos 3 sobre t a la 4 es la derivada de 1 sobre t al cubo veamos ahora esta función p de x igual a 4 sobre x a la 5 inicialmente vemos que esto no encaja con el modelo pero podemos reescribir esa expresión inicialmente nos queda 4 por 1 sobre x a la 5 y ahora vamos a transformar esto acá a la forma de potencia con exponente negativo siguiendo esa propiedad entonces nos queda 4 por x a la menos 5 y ahora si esto encaja con la estructura que tenemos acá c está representada por 4 y n está representada por menos 5 entonces la derivada de esa función que se denota como de p de x o también como p prima de x nos va a quedar de la siguiente forma menos 5 baja a multiplicar con 4 eso nos da de una vez menos 20 y queda multiplicando por x a la menos 5 menos 1 siguiendo lo que nos dice la propiedad entonces menos 5 menos 1 es menos 6 allí ya hemos derivado ahora vamos a acomodar para que no nos queden exponentes negativos entonces nos queda menos 20 por x a la menos 6 siguiendo esta propiedad sería 1 sobre x a la 6 entonces ya nos queda menos 20 en el numerador multiplicamos menos 20 por 1 que es menos 20 y en el denominador 1 por x a la 6 que es x a la 6 esa será entonces la derivada de 4 sobre x a la 5 ya cuando se tiene más práctica con estos ejercicios podemos pasar de esta forma a esta presentación es decir omitiendo este paso simplemente lo que hacemos es trasladar la potencia del denominador al numerador pero haciendo el cambio de signo en el exponente y lo mismo acá ya para pasar de esta forma a la respuesta final omitiendo este paso aquí lo que hacemos es trasladar esta potencia acá al denominador queda debajo de esta cantidad y hacemos el cambio de signo en el exponente entonces apliquemos eso en esta función k de l igual a menos 3 sobre l a la 8 reescribimos esta expresión así menos 3 por l a la menos 8 esta potencia la trasladamos al numerador queda multiplicando por menos 3 y hacemos el cambio de signo en el exponente de acuerdo con esta propiedad entonces la derivada de esa función que se denota como de k de l o también como k prima de l nos va a quedar de la siguiente forma menos 8 baja a multiplicar por menos 3 siguiendo esto menos 8 por menos 3 será 24 positivo y queda multiplicando por la variable que es l a la menos 8 menos 1 el exponente original disminuido en una unidad menos 8 menos 1 es menos 9 y finalmente esto lo reescribimos de tal forma que no nos quede exponente negativo entonces como dijimos ahora queda 24 queda esta cantidad sobre esta potencia que llega aquí al denominador con cambio de signo en el exponente veamos ahora esta situación si la función f de x es igual a la raíz cuadrada de x entonces tenemos lo siguiente aquí recordemos que hay índice 2 el índice de la raíz y acá esta x tiene exponente 1 entonces utilizamos la propiedad de la radicación que nos conecta con la potenciación si tenemos la raíz de índice n de la potencia x a la m esto es igual a x a la m sobre n el exponente de la potencia que tenemos por dentro sobre el índice de la raíz entonces reescribimos esto siguiendo esta propiedad nos va a quedar x a la un medio y de esa manera ya tenemos esta expresión acorde con esta estructura se en este caso es uno es invisible tiene el exponente es un medio entonces ya podemos derivar esa función nos queda entonces f prima de x igual a lo siguiente un medio baja a multiplicar por uno nos queda un medio y eso a su vez multiplica por x a la un medio menos uno aquí vamos a colocar el resultado de esta operación un medio menos uno que podemos escribir como un medio menos dos medios cambiamos uno por la fracción dos medios es lo mismo y aquí tenemos dos fracciones homogéneas conservamos el denominador que es 2 y efectuamos la operación de los numeradores 1 menos 2 nos da menos 1 entonces el resultado de la operación un medio menos uno es menos un medio aquí podemos aplicar entonces para los próximos ejercicios el siguiente truco para encontrar rápidamente esta fracción que va aquí el resultado de efectuar el exponente original menos uno entonces hacemos lo siguiente al numerador le restamos el denominador 1 menos 2 nos da menos 1 ese será el numerador de esta fracción y conservamos el mismo denominador siempre nos va a funcionar y de esa manera nos ahorramos esta operación ahora lo que hacemos aquí es reacomodar para que no nos quede el exponente negativo entonces tendremos un medio esta fracción por x a la menos un medio que sería uno sobre x a la un medio aplicando la propiedad que vimos anteriormente de la potenciación para el exponente negativo finalmente esto lo multiplicamos para que nos quede una sola expresión entonces tendremos en el numerador 1 por 1 que es 1 y en el denominador 2 por x a la un medio entonces lo podemos dejar así 2x a la un medio o también podríamos volver a cambiar x a la un medio a la forma original es decir como raíz cuadrada de x nos quedaría entonces de esta manera 1 sobre 2 raíz de x es la derivada de la raíz cuadrada de x veamos ahora esta situación la función g dt igual a la raíz cúbica de t al cuadrado y todo esto sobre 4 entonces vamos a reescribir esa expresión comenzamos colocando un cuarto por la raíz cúbica de t al cuadrado es decir separamos la parte numérica de lo que contiene la variable que es t ahora nos queda un cuarto por aplicamos esta propiedad para transformar esta raíz a la forma de potencia nos va a quedar t a las dos tercios entonces de esta manera ya tenemos la expresión de acuerdo con el modelo c es un cuarto y n es dos tercios ahora sí vamos con la derivación entonces para este caso la función que es g dt tendrá como derivada g prima dt o también de g dt como hemos visto en los ejemplos anteriores entonces dos tercios baja a multiplicar con un cuarto vamos a escribir la operación un cuarto por dos tercios y esto queda multiplicando por t al resultado de efectuar dos tercios menos uno siguiendo la propiedad pero vamos a aplicar el truco que vimos en el ejemplo anterior entonces 2 menos 3 nos da menos 1 allí tenemos el numerador y conservamos el mismo denominador que es 3 menos un tercio es el resultado de efectuar dos tercios menos uno ya tenemos la derivada ahora lo que vamos a hacer es pulir esa expresión simplificar y organizar para que no nos quede el exponente negativo entonces aquí podemos simplificar el 2 y el 4 mitad de 2 es 1 mitad de 4 es 2 no se puede simplificar nada más entonces vamos a tener lo siguiente seguimos por acá tenemos entonces uno por uno uno en el numerador en el denominador 2 por 3 que es 6 y acá t a la menos un tercio sería uno sobre t a la un tercio aplicando la propiedad de la potenciación del exponente negativo y finalmente multiplicamos en forma horizontal esas fracciones nos queda uno en el numerador y en el denominador 6 por t a la un tercio lo podemos dejar de esa manera o si queremos t a la un tercio se puede llevar a la forma de raíz nos quedaría entonces así de esta manera t aquí el exponente 1 que sería invisible y acá el índice 3 que entonces nos da la raíz cúbica de t uno sobre 6 raíz cúbica de t es la derivada de esa función miremos ahora esta situación la función t de w igual a 10 sobre la raíz quinta raíz t índice 5 de w al cuadrado entonces vamos a reescribir eso hasta llevarlo a esta forma comenzamos por transformar lo que tenemos en el denominador siguiendo esta propiedad sería w a las dos quintos y tal como vimos en los ejemplos anteriores aquí trasladamos esta potencia que está en el denominador acá al numerador llega a multiplicar con el 10 pero se presenta cambio en el signo nos queda entonces menos dos quintos como exponente de esta manera ya tenemos la expresión de acuerdo con el modelo c es 10 y n es el exponente menos dos quintos entonces ya podemos derivar esa función tendríamos entonces dt de w la derivada de la función t con respecto a la variable w o también te prima de w y vamos a seguir entonces esta instrucción el exponente que es menos dos quintos baja a multiplicar con 10 entonces 10 por menos dos quintos protegemos esto con paréntesis por ser una cantidad negativa y esto nos queda por w elevada al resultado de efectuar menos dos quintos menos uno de acuerdo con lo que dice acá pero aplicamos el truco menos dos menos cinco es menos siete y conservamos el denominador que es cinco entonces menos siete quintos es el resultado de efectuar menos dos quintos menos uno ahora vamos a resolver esta operación y también a reescribir esto para que no nos quede con exponente negativo aquí 10 por menos dos quintos nos permite simplificar el 10 y el 5 sacamos quinta dividimos por 5 quinta de 10 es 2 y quinta de 5 es 1 no se puede simplificar nada más entonces nos va a quedar de la siguiente manera continuamos por acá tenemos entonces 2 por menos 2 que es menos 4 y esto multiplicado por w a la menos siete quintos que sería 1 sobre w a la siete quintos aplicamos la propiedad de la potenciación para el exponente negativo finalmente esto lo volvemos una sola expresión en el numerador menos 4 por 1 es menos 4 recordemos que aquí hay denominador 1 1 por esto nos da lo mismo es decir w a la siete quintos en el denominador si queremos esto se puede convertir a la forma de raíz siguiendo esta propiedad pero allí lo podemos dejar esta expresión es la derivada de esa función miremos ahora otra regla básica para derivar funciones si tenemos y o f de x conformado por la suma o resta de varios componentes aquí lo vamos a hacer con dos pero podríamos tener muchos más entonces la derivada de esa función consistirá en ir derivando cada uno de esos componentes entonces derivamos el primero es decir a prima de x en este caso la variable independiente es x luego pasamos al segundo es decir de prima de x y si hubiera más términos pues se va derivando cada uno de ellos para aprender fácilmente esta regla podemos escribirla así la derivada de una suma o resta de dos expresiones teniendo en cuenta que a y b son expresiones de la variable x en este caso la variable independiente entonces será a prima más o menos b prima lo que se indica aquí es que la derivada afecta a cada uno de los componentes un ejemplo de aplicación de esta regla de derivación sería este donde tenemos una función h de x que se presenta como un polinomio conformado por cinco términos entonces la derivada de esta función que se denota como h prima de x será derivar cada uno de estos cinco términos aplicando la regla que vimos anteriormente entonces vamos con el primero tres baja a multiplicar con cinco nos queda 15 por x a la 3 menos 1 que sería 2 15 x al cuadrado vamos con el siguiente término 4 baja a multiplicar con menos 6 sería menos 24 y queda acompañado de x a la 4 menos 1 que sería 3 pasamos al siguiente término 2 baja a multiplicar con 13 positivo nos da más 26 y queda acompañado de x a la 2 menos 1 que sería 1 aquí tendríamos exponente 1 pero puede hacerse invisible pasamos al otro término la derivada de menos 8 x sería menos 8 allí aplicamos el caso que vimos anteriormente ese que decía que la derivada de c por x es c o sea el coeficiente que acompaña a la variable derivada de menos 8 x es menos 8 y llegamos a este último término menos 16 que es una constante un número real recordemos que la derivada de toda constante es 0 o sea que aquí no es necesario escribir nada y de esa manera ya tenemos la derivada de esa función vamos ahora con esta otra función pdt que también se presenta con cinco términos antes de empezar la derivación de cada uno de ellos debemos reescribirlos entonces volvemos a colocar por aquí pdt la función sigue todavía intacta no se ha derivado y vamos a acomodar cada uno de los términos comenzamos con este que escribimos como un medio por t a la 6 recordemos que procuramos llevar cada término a la forma c por x a la n la que vimos en la regla anterior pasamos al siguiente donde tenemos más 11 por trasladamos esta potencia al numerador nos queda entonces como t a la menos 3 llegamos acá tenemos la raíz octava de t que sería entonces t a la un octavo aplicamos la propiedad que vimos que conecta la radicación con la potenciación 1 sobre 8 en el exponente luego tenemos por acá 4 acá tendríamos t a la tres medios si aplicamos la misma propiedad anterior pero al trasladar esto al numerador nos llega como t a la menos tres medios y acá debemos tener cuidado porque esto nos puede engañar podríamos pensar que pi debe expresarse a la un medio porque tenemos aquí una raíz cuadrada pero no es así porque la función depende de la variable t esto es un elemento constante que lo podemos dejar expresado porque al final su derivada será cero ahora sí vamos con la derivación de esta función aparece por primera vez p prima de t y vamos entonces con la derivada de cada uno de esos cinco componentes vamos con el primero 6 baja a multiplicar con un medio nos daría seis medios que equivale a 3 si hacemos la simplificación y queda acompañado de t a la 6 menos 1 que es 5 ya hemos derivado el primer término vamos con el segundo menos 3 baja a multiplicar con más 11 menos 3 por más 11 es menos 33 y queda acompañado de t a la menos 3 menos 1 que sería menos 4 vamos con este término aquí un octavo baja a multiplicar con menos 1 nos da menos un octavo y queda acompañado de t a la un octavo menos 1 aplicamos el truco que vimos anteriormente uno menos 8 es menos 7 y conservamos el mismo denominador que es 8 menos 7 octavos es el resultado de un octavo menos 1 vamos ahora con el otro término aquí menos tres medios baja a multiplicar con menos 4 menos por menos nos da más tendríamos tres medios por 4 que sería 12 medios y que al simplificar se convierte en 6 y queda acompañado de t elevada al exponente que resulta de efectuar menos tres medios menos 1 vamos con el truco menos tres menos 2 es menos 5 y conservamos el mismo denominador que es 2 menos cinco medios es el resultado de efectuar menos tres medios menos 1 y llegamos al último término que como decíamos es constante por lo tanto su derivada es cero o sea que aquí no agregamos nada podríamos decir que aquí ya terminamos es decir esta es la derivada de la función que nos dieron sin embargo usualmente se pide organizar esto de tal forma que no quede con exponentes negativos entonces vamos a acomodar tendremos p prima de t igual a 3t a la 5 ese término no presenta ninguna variación vamos ahora con este nos quedaría menos 33 sobre t a la 4 trasladamos esta potencia acá al denominador y recordemos que se presenta cambio de signo en el exponente vamos ahora con el otro término que sería entonces acomodándolo 1 sobre acá tenemos en el denominador 8 y trasladamos esta potencia acá al denominador queda como acompañante del 8 es decir t a las 7 octavos vamos ahora con el último término que es positivo entonces también formamos una fracción en el numerador se queda el 6 y al denominador trasladamos esta potencia que nos llega como t a las 5 medios de esta manera ya tenemos la derivada de la función expresada sin exponentes negativos veamos ahora otra regla básica de derivación de gran importancia y es cuando la función se presenta como un producto de expresiones por ejemplo a de x por b de x en este caso la derivada de una función de ese tipo o sea de y de x o f prima de x se construye de la siguiente manera comenzamos con la derivada del primer componente es decir a prima de x y eso multiplicado por el segundo componente sin derivar que es b de x luego a eso le sumamos el primer componente sin derivar es decir a de x por la derivada del segundo componente es decir b prima de x una forma fácil de aprender esta regla es la siguiente si tenemos el producto a por b entonces su derivada será a prima por b más a por b prima aclaro que aquí en algunos casos también eso se presenta al contrario es decir primero b prima y luego a finalmente no hay problema con eso porque recordemos que la multiplicación es conmutativa como ejemplo de esta regla la famosa regla del producto para la derivación vamos a considerar esta función r de x que como se observa se presenta como un producto de binomios expresiones con dos términos cada una entonces vamos entonces con r prima de x la derivada de esa función donde vemos que el primer componente este que tenemos aquí hace el papel de a y este el segundo hace el papel de b seguimos entonces las instrucciones comenzamos con a prima la derivada del primer componente aquí tenemos una resta de términos entonces derivamos cada uno de ellos aplicamos la regla que vimos anteriormente derivada de este término sería 2 por 4 8 por x a la 2 menos 1 que sería 1 recordemos que ese exponente 1 se hace invisible derivada de menos 5 sería 0 porque es un término constante entonces 8x será la derivada de este primer componente eso lo multiplicamos por el segundo componente que es b sin derivar entonces tal como lo tenemos acá 2x al cubo más 7x protegido con paréntesis entonces aquí ya tenemos a prima esto es a prima y por acá tenemos el componente b seguimos más a es decir el primer componente sin derivar tal como lo tenemos acá que sería 4x al cuadrado menos 5 protegido con paréntesis y eso multiplicado por b prima es decir la derivada del segundo componente entonces vamos con la derivada de cada uno de esos términos porque tenemos una suma derivada del primer término sería 3 por 2 6 que multiplica a x a la 3 menos 1 que sería 2 después tenemos más derivada de 7x recordemos que eso nos da 7 recordemos el caso que vimos por allá al inicio derivada de c por x es c es el coeficiente que acompaña a la variable como esto nos dio un binomio lo debemos proteger con paréntesis entonces por acá este es el componente a el primero sin derivar y todo este es el componente de prima la derivada del segundo lo que hacemos enseguida es aplicar el álgebra vamos a efectuar estos productos y luego hacemos la reducción de términos semejantes entonces r prima de x nos va a quedar así tenemos por acá 8x que multiplica a este binomio aplicamos entonces la propiedad distributiva tenemos 8x por 2x al cubo eso nos da 16x a la 4 después tenemos 8x por más 7x que sería más 56x al cuadrado vamos ahora con la multiplicación de estos dos binomios donde también vamos a aplicar la propiedad distributiva inicialmente con ese término entonces tenemos 4x al cuadrado por 6x al cuadrado eso nos da más 24x a la 4 término positivo luego 4x al cuadrado por más 7 sería más 28x al cuadrado vamos ahora con la distributiva del menos 5 menos 5 va a multiplicar a cada uno de esos términos entonces menos 5 por 6x al cuadrado sería menos 30x al cuadrado y menos 5 por más 7 es menos 35 vamos ahora con la reducción de términos semejantes entonces r prima de x nos va a quedar así de una vez podemos ir acomodando el polinomio resultante en forma descendente es decir empezando con el término de mayor grado que en este caso son aquellos que contienen x a la 4 la suma de esos dos términos semejantes nos da 40x a la 4 vamos ahora con los que tienen x al cuadrado entonces observamos este término también este y este de por acá entonces la operación de ellos tres sería por acá más 28 menos 30 es menos 2 y 56 menos 2 es más 54 acompañado de x al cuadrado ahí está el resultado de operar esos tres términos semejantes y terminamos con el término independiente que es menos 35 allí tenemos ya la derivada de esta función que como vimos se obtuvo aplicando la regla del producto sin embargo este ejercicio lo podemos verificar por otro camino y es primero desarrollar este producto y luego hacer la derivada de toda esa expresión que se obtiene vamos a ver entonces cómo nos queda aplicamos entonces la multiplicación de estos dos binomios con la propiedad distributiva entonces tenemos 4x al cuadrado por 2x al cubo eso sería 8x a la 5 luego tenemos 4x al cuadrado por más 7x sería más 28x al cubo luego tenemos la distributiva con menos 5 que multiplica a cada uno de esos dos términos entonces menos 5 por 2x al cubo sería menos 10x al cubo y luego menos 5 por más 7x sería menos 35x continuamos con la reducción de términos semejantes vemos que aquí hay dos que contienen x al cubo entonces se pueden operar entre sí vamos a continuar por acá seguimos trabajando con rx todavía no hemos derivado entonces comenzamos con el término 8x a la 5 luego tenemos 28x al cubo menos 10x al cubo sería más 18x al cubo y después tenemos el término menos 35x ahora sí podemos proceder con la derivación aparece por primera vez r' de x pero ya lo que vamos a derivar es esto es decir aplicando la regla de la suma y la resta vamos con la derivada de cada uno de los términos comenzamos con este 5 por 8 es 40 que queda acompañado de x a la 5 menos 1 que es 4 luego tenemos por acá 3 por más 18 que sería más 54 acompañado de x a la 3 menos 1 que es 2 y finalmente la derivada de menos 35x que sería menos 35 como se observa hemos obtenido exactamente la misma expresión que nos dio por acá entonces para esta función hemos llegado al mismo resultado por los dos caminos aplicando la regla del producto y también desarrollando previamente la expresión para aplicar la regla de la suma y la resta miremos ahora esta situación particular de la regla del producto supongamos que una función y se presenta como c por u de x es decir un componente constante y otro que contiene la variable independiente x entonces si aplicamos la regla del producto este primer componente es a y el segundo componente es b vamos entonces con la derivada de esta función que se denota como de y de x repetimos x es la variable independiente y y es la variable dependiente en esa función comenzamos entonces con la derivada del primer componente es decir a prima sería la derivada de la constante c que como vimos anteriormente es cero y eso va multiplicado por el segundo componente sin derivar que es u de x luego tenemos más el primer componente sin derivar que sería c por la derivada del segundo componente la derivada de u de x se expresaría como u prima de x entonces repetimos aquí está el componente a prima por acá tenemos el componente de este es el componente a y este es el componente de prima finalmente vemos que cero por u de x nos va a dar como resultado cero entonces todo este término se elimina y llegamos a que la derivada de la función y con respecto a la variable x será esto es decir c por u prima de x lo que quiere decir esto es que siempre que tengamos una constante multiplicando a la expresión que contiene la variable x o la variable independiente en la función al hacer la derivada esa constante se deja quieta multiplicando vemos que se queda allí como al margen y queda multiplicando a la derivada de lo que sigue es decir la derivada de la expresión que contiene la x entonces es una regla que nos va a servir bastante para futuros ejercicios donde la constante que está multiplicando con la función se queda quieta y acompaña multiplicando a la derivada de esa función veamos ahora cómo es la regla para derivar una función que se presenta como un cociente o una división de expresiones por ejemplo a de x sobre b de x entonces en ese caso la derivada de y de x o también f prima de x se construye de la siguiente manera comenzamos con la derivada del numerador es decir a prima de x eso multiplicado por el denominador sin derivar es decir b de x luego menos el numerador sin derivar es decir a de x por la derivada del denominador que sería de prima de x y todo eso sobre el denominador sin derivar elevado al cuadrado entonces b de x y todo esto al cuadrado una manera fácil de recordar esto que se conoce como la regla del cociente para la derivación es así la derivada de a sobre b será a prima por b luego menos a por b prima y todo esto sobre b al cuadrado en ocasiones esto aquí también se presenta como b prima por a de nuevo no hay problema porque la multiplicación es conmutativa como ejemplo de esta regla vamos a utilizar esta función que efectivamente se presenta como un cociente o división de expresiones la que tenemos en el numerador hace el papel de a y la que está aquí en el denominador hace el papel de b entonces vamos a construir la derivada siguiendo las instrucciones que tenemos tenemos g prima de t será igual a derivada del numerador vamos con a prima tenemos entonces allí una resta entonces derivamos cada uno de los componentes derivada de t a la 4 será 4 t al cubo es decir baja el 4 al exponente que tenemos se le resta 1 y nos da 3 y luego tenemos la derivada de menos 3 que sería 0 porque esto es un componente constante ya tenemos entonces la derivada del numerador o sea lo que es a prima vamos ahora con b es decir el denominador sin derivar en este caso lo protegemos con paréntesis 2 t a la 5 más 1 luego vamos con menos a que sería el numerador sin derivar es un binomio lo debemos proteger con paréntesis t a la 4 menos 3 y eso multiplicado por b prima que sería la derivada de lo que tenemos en el denominador acá se observa una suma entonces derivamos cada uno de esos dos términos derivada del primero sería 5 por 2 10 que multiplica con t a la 5 menos 1 que es 4 nos queda 10 t a la 4 y la derivada de este término como es constante sería 0 entonces aquí tenemos ya b prima que es la derivada del denominador ahora todo eso queda sobre el denominador sin derivar es decir 2 t a la 5 más 1 y todo esto elevado al cuadrado entonces repetimos aquí están los componentes de la regla del cociente esto es a prima por acá tenemos b luego acá tenemos a el numerador sin derivar esto es b prima la derivada del denominador y esto que tenemos acá es b al cuadrado ahora lo que hacemos es aplicar el álgebra acá en el numerador es decir efectuar los productos reducir términos semejantes y llevarlo a la forma más sencilla posible la parte del denominador por lo general se deja así indicada no es necesario desarrollar ese binomio al cuadrado entonces g prima de t la derivada de esa función nos va a quedar de la siguiente forma acá aplicamos la propiedad distributiva para desarrollar este producto entonces tenemos 4 t al cubo por 2 t a la 5 sería 8 t a la 8 luego tenemos 4 t al cubo por más 1 que sería más 4 t al cubo luego tenemos por acá este término que se distribuye para cada uno de estos dos pero debemos tener cuidado con ese signo negativo que nos va a afectar lo que queda acá entonces tenemos 10 t a la 4 por t a la 4 sería 10 t a la 8 pero con este signo negativo nos queda menos 10 t a la 8 luego tenemos 10 t a la 4 por menos 3 sería menos 30 t a la 4 pero con este menos nos queda más 30 t a la 4 y en el denominador permanece la misma expresión es decir 2 t a la 5 más 1 y todo esto elevado al cuadrado finalmente en el numerador reducimos términos semejantes entonces la derivada g prima de t nos queda de la siguiente manera observamos esos dos términos que contienen t a la 8 entonces los operamos entre sí 8 menos 10 es menos 2 t a la 8 seguimos con el término más 30 t a la 4 y finalmente tenemos el término más 4 t al cubo de esa manera ya nos queda en el numerador la expresión ordenada en forma descendente y en el denominador escribimos lo mismo 2 t a la 5 más 1 y eso elevado al cuadrado de esa manera ya tenemos la derivada de esta función y hemos utilizado la regla del cociente para terminar veamos lo que se llama la regla de la cadena si tenemos una función y expresada así es decir como una expresión h que a su vez depende de otra expresión u de x entonces la derivada de esa función que sería denotada como de y de x se construye de la siguiente manera sería la derivada de la función externa es decir de h sería h prima de u de x por lo pronto esto que está por dentro permanece intacto y a su vez queda multiplicado por u prima de x es decir por la derivada interna es lo que se conoce también como la derivada de la función compuesta yo sé que aquí esto como está presentado parece muy complejo y muy abstracto pero con esto que les voy a mostrar que es la regla de la cadena para potencias sé que se va a entender mejor sería esta situación la expresión u de x elevada toda a un exponente n entonces veamos la derivada sigue la regla que hemos visto en este vídeo primero tenemos aquí una potencia entonces el exponente n baja a multiplicar aquí tenemos un uno invisible n por uno sería n que a su vez multiplica a u de x es decir lo que está por dentro permanece intacto y acá n se reduce o se disminuye en una unidad tal como veríamos aplicando con la derivada de una potencia pero ahora esto se multiplica por la derivada interna es decir por lo que se conoce como u prima de x ahora para entender de manera más fácil la regla de la cadena para potencias vamos a mirarlo así con la manzanita si tenemos manzanita a la n entonces su derivada será igual a n por manzanita elevada al exponente n menos 1 y eso multiplicado por la derivada de la manzanita entonces en pocas palabras n baja a multiplicar la manzanita queda intacta elevada al exponente n menos 1 tal como veníamos derivando las potencias y ahora lo que se incluye o lo que se agrega multiplicando es la derivada interna es decir la derivada de la manzanita en otras palabras lo que nos dice la regla de la cadena que no solamente se aplica para potencias sino también para funciones exponenciales logarítmicas o trigonométricas entre otras es que primero se deriva lo externo y después lo interno es lo que está sucediendo acá con el caso específico o particular de la regla de la cadena para potencias como ejemplo de esta regla miremos esta situación la función 2x a la 6 menos 8 y todo esto elevado a la 5 entonces se observa una gran potencia toda la base que es la manzanita es esto 2x a la 6 menos 8 y n que es el exponente es el 5 entonces siguiendo esta instrucción es decir la regla de la cadena para potencias nos queda así derivada de la función y con respecto a la variable x será baja el exponente n baja el 5 que multiplica a esta expresión que permanece intacta o sea la manzanita 2x a la 6 menos 8 todo esto elevado al exponente n menos 1 o sea 5 menos 1 que es 4 y esto multiplicado por la derivada interna es decir por la derivada de la manzanita podemos expresar lo así 2x a la 6 menos 8 y le ponemos aquí la comita para indicar que esto todavía debe derivarse aquí tendríamos la derivada de una resta entonces derivamos cada uno de esos términos derivada el primero sería 6 por 2 12 por x a la 5 y la derivada del segundo término sería 0 por tratarse de un término constante entonces la derivada de todo esto como dijimos es 12 x a la 5 y lo que hacemos ya para finalizar es multiplicar esto por esta cantidad entonces de x la derivada de la función inicial será 5 por 12 x a la 5 es 60 x a la 5 y eso queda multiplicando por esta expresión 12 x a la 6 menos 8 y todo esto elevado a la 4 bien así terminamos las reglas básicas para derivar funciones en los siguientes vídeos encontrarán otras reglas como por ejemplo para derivar funciones trigonométricas exponenciales logarítmicas entre otras y después otros vídeos con ejercicios donde se combinan todas estas reglas de derivación también en mi página julio profe punto net pueden encontrar este resumen de las fórmulas o reglas principales para derivar funciones acá en la descripción del vídeo les dejo el enlace correspondiente gracias por su amable atención y hasta la próxima
[{"start": 0.0, "end": 9.88, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a ver las reglas b\u00e1sicas para derivar funciones, algunos casos particulares"}, {"start": 9.88, "end": 13.08, "text": " de ellas y ejemplos de cada una."}, {"start": 13.08, "end": 20.28, "text": " Comenzamos con la derivada de un monomio. Si tenemos una funci\u00f3n y o f de x igual a"}, {"start": 20.28, "end": 27.64, "text": " c por x a la n, es decir, un solo t\u00e9rmino un monomio, donde c y n representan n\u00fameros"}, {"start": 27.64, "end": 34.32, "text": " reales, entonces la derivada se denota as\u00ed, de y de x, la derivada de la funci\u00f3n y con"}, {"start": 34.32, "end": 42.32, "text": " respecto a la variable x o tambi\u00e9n f' de x y se construye de la siguiente manera,"}, {"start": 42.32, "end": 47.88, "text": " c se deja quieto, queda multiplicando, esto est\u00e1 multiplicando y procedemos a derivar"}, {"start": 47.88, "end": 55.400000000000006, "text": " x a la n, n baja a multiplicar, nos queda entonces c por n y luego x elevada al exponente"}, {"start": 55.4, "end": 64.08, "text": " n menos 1, el exponente que tenemos ac\u00e1 originalmente se disminuye en una unidad, entonces repetimos,"}, {"start": 64.08, "end": 71.32, "text": " el exponente baja a multiplicar con el coeficiente, nos queda c por n y el exponente se disminuye"}, {"start": 71.32, "end": 73.6, "text": " en una unidad."}, {"start": 73.6, "end": 80.28, "text": " De esta regla podemos considerar cuatro casos particulares, veamos el primero, si c es decir"}, {"start": 80.28, "end": 87.48, "text": " el coeficiente es cualquier n\u00famero real y n, o sea el exponente es cero, entonces la"}, {"start": 87.48, "end": 94.28, "text": " funci\u00f3n f de x nos queda as\u00ed, x a la cero nos da como resultado 1, recordemos que eso"}, {"start": 94.28, "end": 100.46000000000001, "text": " es una propiedad de la potenciaci\u00f3n y c por 1 nos da c, en ese caso la funci\u00f3n ser\u00eda"}, {"start": 100.46000000000001, "end": 107.24000000000001, "text": " una constante, o sea un n\u00famero real y ahora veamos c\u00f3mo nos queda la derivada, si n vale"}, {"start": 107.24, "end": 113.64, "text": " cero, entonces tendremos c por cero por x a la menos 1, pero si en una multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 113.64, "end": 120.44, "text": " tenemos el cero como factor, entonces todo eso nos da como resultado cero, por lo tanto"}, {"start": 120.44, "end": 126.5, "text": " si la funci\u00f3n es una constante, es decir un n\u00famero real o incluso una letra que ha sido"}, {"start": 126.5, "end": 133.4, "text": " declarada como constante, distinta a la letra que indica la variable independiente en la"}, {"start": 133.4, "end": 137.8, "text": " funci\u00f3n, entonces su derivada siempre ser\u00e1 cero."}, {"start": 137.8, "end": 144.96, "text": " Miremos ahora el segundo caso, que es cuando c y n toman el valor 1, en ese caso la funci\u00f3n"}, {"start": 144.96, "end": 153.14000000000001, "text": " f de x nos queda de la siguiente manera, tendr\u00edamos 1 por x a la 1, pero x a la 1 nos da x, otra"}, {"start": 153.14000000000001, "end": 160.44, "text": " propiedad de la potenciaci\u00f3n y 1 por x es x, en ese caso la funci\u00f3n es igual a la misma"}, {"start": 160.44, "end": 164.2, "text": " letra que indica la variable independiente."}, {"start": 164.2, "end": 171.04, "text": " Ahora miremos c\u00f3mo nos queda la derivada, si c y n valen 1, tendr\u00edamos 1 por 1 por"}, {"start": 171.04, "end": 178.07999999999998, "text": " x a la 1 menos 1, aqu\u00ed tendr\u00edamos x a la cero, que como dijimos ahora, x vale a 1,"}, {"start": 178.07999999999998, "end": 183.94, "text": " entonces finalmente tendr\u00edamos 1 por 1 por 1, que nos da como resultado 1, entonces si"}, {"start": 183.94, "end": 190.6, "text": " la funci\u00f3n es igual a la letra que indica la variable independiente, su derivada siempre"}, {"start": 190.6, "end": 192.84, "text": " ser\u00e1 1."}, {"start": 192.84, "end": 199.6, "text": " Miremos ahora el tercer caso, es cuando c toma cualquier valor real y n toma el valor"}, {"start": 199.6, "end": 208.96, "text": " 1, entonces la funci\u00f3n f de x nos queda as\u00ed, ser\u00eda c por x a la 1, pero x a la 1 es x,"}, {"start": 208.96, "end": 215.72, "text": " entonces nos queda c por x, vamos a construir su derivada teniendo en cuenta que n es 1,"}, {"start": 215.72, "end": 222.24, "text": " nos quedar\u00eda c por 1 por x a la 1 menos 1, aqu\u00ed tendr\u00edamos x a la cero que equivale"}, {"start": 222.24, "end": 229.32, "text": " a 1, por lo tanto al final tendr\u00edamos c por 1 por 1 que nos da como resultado c, entonces"}, {"start": 229.32, "end": 236.14000000000001, "text": " si la funci\u00f3n es una constante acompa\u00f1ando a la variable, es decir c por x, su derivada"}, {"start": 236.14, "end": 239.64, "text": " es la constante, es decir el coeficiente."}, {"start": 239.64, "end": 246.72, "text": " Finalmente, el cuarto caso se presenta cuando se toma el valor 1 y n es cualquier n\u00famero"}, {"start": 246.72, "end": 255.16, "text": " real, entonces la funci\u00f3n f de x nos queda 1 por x a la n, es decir x a la n, vamos a"}, {"start": 255.16, "end": 261.47999999999996, "text": " construir su derivada sabiendo que se vale 1, tendr\u00edamos 1 por n por x a la n menos"}, {"start": 261.48, "end": 270.08000000000004, "text": " 1, entonces 1 por n es n y eso queda multiplicando con x elevada al exponente n menos 1, entonces"}, {"start": 270.08000000000004, "end": 276.74, "text": " en resumen es la derivada de una potencia, en ese caso como dijimos al inicio n baja"}, {"start": 276.74, "end": 283.62, "text": " a multiplicar y ac\u00e1 el exponente que ten\u00edamos originalmente se reduce o se disminuye en"}, {"start": 283.62, "end": 285.48, "text": " una unidad."}, {"start": 285.48, "end": 290.56, "text": " Miremos a continuaci\u00f3n algunos ejemplos de esta regla de derivaci\u00f3n, si tenemos la"}, {"start": 290.56, "end": 298.4, "text": " funci\u00f3n y igual a x al cuadrado, entonces su derivada se denota como de y de x, la derivada"}, {"start": 298.4, "end": 301.84, "text": " de la funci\u00f3n y con respecto a la variable x."}, {"start": 301.84, "end": 307.12, "text": " Siguiendo esta instrucci\u00f3n, entonces el 2 baja a multiplicar con el 1, recordemos que"}, {"start": 307.12, "end": 313.52, "text": " aqu\u00ed tenemos 1 como coeficiente, nos queda entonces 2 y luego tenemos x elevada al exponente"}, {"start": 313.52, "end": 321.79999999999995, "text": " 2 menos 1, como dijimos el exponente original se reduce o se disminuye en una unidad, siguiendo"}, {"start": 321.79999999999995, "end": 330.44, "text": " esta regla, entonces nos queda 2 por x a la 2 menos 1 que es 1, pero x a la 1 es x, entonces"}, {"start": 330.44, "end": 337.24, "text": " nos queda 2x, finalmente la derivada de x al cuadrado es 2x."}, {"start": 337.24, "end": 347.12, "text": " Ahora si la funci\u00f3n es por ejemplo y igual a h de t igual a t a la 10, una potencia donde"}, {"start": 347.12, "end": 353.52, "text": " en este caso ahora la variable independiente es t ya no es x, entonces la derivada se denota"}, {"start": 353.52, "end": 359.72, "text": " as\u00ed, ser\u00eda de y de t, la derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable t o"}, {"start": 359.72, "end": 368.36, "text": " tambi\u00e9n se puede expresar como h' de t y siguiendo esta instrucci\u00f3n entonces el 10 baja a multiplicar"}, {"start": 368.36, "end": 375.56, "text": " con 1, otra vez c vale 1, 10 por 1 nos da 10 y esto nos queda multiplicando por t a"}, {"start": 375.56, "end": 383.32000000000005, "text": " la 10 menos 1, el exponente original se reduce en una unidad, finalmente esto nos queda 10"}, {"start": 383.32, "end": 390.52, "text": " por t a la 9, entonces 10t a la 9 es la derivada de t a la 10."}, {"start": 390.52, "end": 399.84, "text": " Si por ejemplo tenemos la funci\u00f3n y igual a 8x a la 5 donde c es 8 y n est\u00e1 representada"}, {"start": 399.84, "end": 407.06, "text": " por 5, entonces la derivada se denota como de y de x, es la derivada de la funci\u00f3n y"}, {"start": 407.06, "end": 413.12, "text": " con respecto a la variable x, siguiendo esta instrucci\u00f3n entonces tenemos que 5 baja a"}, {"start": 413.12, "end": 419.88, "text": " multiplicar con 8, nos quedar\u00eda 8 por 5 o 5 por 8 que es 40 y eso queda acompa\u00f1ado"}, {"start": 419.88, "end": 427.52, "text": " de x elevada al exponente n menos 1, es decir el exponente original que es 5 se reduce o"}, {"start": 427.52, "end": 437.96, "text": " se disminuye en una unidad y nos da 4, entonces 40x a la 4 es la derivada de 8x a la 5."}, {"start": 437.96, "end": 444.64, "text": " Ahora miremos este caso, supongamos que la funci\u00f3n es p igual a menos tres cuartos de"}, {"start": 444.64, "end": 453.24, "text": " q a la 8, en ese caso vemos que c es menos tres cuartos y n es 8 y ahora la x que aqu\u00ed"}, {"start": 453.24, "end": 459.84, "text": " era la variable independiente es ac\u00e1 la letra q, entonces la derivada se denota como de"}, {"start": 459.84, "end": 467.03999999999996, "text": " p de q, es decir la derivada de la funci\u00f3n p con respecto a la variable q, entonces siguiendo"}, {"start": 467.04, "end": 472.70000000000005, "text": " esta instrucci\u00f3n tenemos lo siguiente, 8 baja a multiplicar por menos tres cuartos,"}, {"start": 472.70000000000005, "end": 481.16, "text": " ser\u00eda menos tres cuartos por 8 y eso multiplicado por q y su exponente original que es 8 se"}, {"start": 481.16, "end": 485.6, "text": " reduce en una unidad, nos quedar\u00eda 8 menos 1."}, {"start": 485.6, "end": 492.28000000000003, "text": " Resolvemos esta operaci\u00f3n, menos tres cuartos por 8 ser\u00eda menos 24 cuartos que simplificando"}, {"start": 492.28, "end": 499.28, "text": " nos da menos 6 y eso queda multiplicando por q elevada al exponente 7, el resultado de"}, {"start": 499.28, "end": 507.71999999999997, "text": " esa resta, entonces menos 6q a la 7 es la derivada de menos tres cuartos de q a la 8."}, {"start": 507.71999999999997, "end": 516.8399999999999, "text": " Supongamos que ahora la funci\u00f3n es r de z igual a pi por z elevada a la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 516.84, "end": 523.32, "text": " de 2, vemos que esta expresi\u00f3n sigue esta estructura, c est\u00e1 representada por el n\u00famero"}, {"start": 523.32, "end": 530.24, "text": " pi, n es la ra\u00edz cuadrada de 2, ambos son n\u00fameros reales, m\u00e1s precisamente se trata"}, {"start": 530.24, "end": 536.48, "text": " de n\u00fameros irracionales y x est\u00e1 representada por la letra z que aqu\u00ed ser\u00e1 la variable"}, {"start": 536.48, "end": 543.44, "text": " independiente, entonces la derivada en este caso se denota como de r de z, la derivada"}, {"start": 543.44, "end": 551.48, "text": " de la funci\u00f3n r con respecto a la variable z o tambi\u00e9n r prima de z y siguiendo la instrucci\u00f3n"}, {"start": 551.48, "end": 557.9200000000001, "text": " esa que tenemos ac\u00e1 nos queda ra\u00edz cuadrada de 2 baja a multiplicar con pi, nos quedar\u00eda"}, {"start": 557.9200000000001, "end": 564.12, "text": " pi por ra\u00edz cuadrada de 2, ese producto lo podemos dejar as\u00ed indicado, luego viene la"}, {"start": 564.12, "end": 572.2, "text": " variable que es z y queda elevada al exponente original que es la ra\u00edz cuadrada de 2 menos"}, {"start": 572.2, "end": 578.2800000000001, "text": " 1, tambi\u00e9n esto podemos dejarlo indicado, si queremos con calculadora se pueden encontrar"}, {"start": 578.2800000000001, "end": 585.0400000000001, "text": " estos valores para presentar la respuesta utilizando aqu\u00ed n\u00fameros decimales."}, {"start": 585.0400000000001, "end": 594.88, "text": " Consideremos esta funci\u00f3n g de u igual a 2 sobre e por u a la e, e es el n\u00famero de"}, {"start": 594.88, "end": 602.8, "text": " euler, en este caso 2 sobre e hace el papel de c, e representa la letra n y u es la variable"}, {"start": 602.8, "end": 609.36, "text": " independiente, la que ac\u00e1 tenemos como x, entonces la derivada en este caso se denota"}, {"start": 609.36, "end": 615.2, "text": " como de g de u, es decir la derivada de la funci\u00f3n g con respecto a la variable u o"}, {"start": 615.2, "end": 622.96, "text": " tambi\u00e9n como g prima de u y siguiendo la instrucci\u00f3n lo que nos dice esta regla de derivaci\u00f3n"}, {"start": 622.96, "end": 630.4000000000001, "text": " tendremos que e baja a multiplicar con 2 sobre e, nos queda 2 sobre e por e y luego eso multiplicado"}, {"start": 630.4000000000001, "end": 638.08, "text": " por u, la variable elevada al exponente original que es el n\u00famero de euler menos 1, finalmente"}, {"start": 638.08, "end": 644.12, "text": " esto lo podemos pulir de la siguiente manera, aqu\u00ed se puede simplificar o cancelar el n\u00famero"}, {"start": 644.12, "end": 651.6800000000001, "text": " e y nos queda 2, 2 que multiplica a u elevada al exponente e menos 1 que podemos dejar"}, {"start": 651.68, "end": 662.8, "text": " as\u00ed en forma indicada. Veamos ahora esta funci\u00f3n n de t igual a 1 sobre t al cubo,"}, {"start": 662.8, "end": 668.8399999999999, "text": " entonces esto vamos a reescribirlo siguiendo esta propiedad, tenemos esta situaci\u00f3n vamos"}, {"start": 668.8399999999999, "end": 675.76, "text": " a pasar ac\u00e1, entonces nos queda como t a la menos 3 y ahora esto si encaja con el modelo,"}, {"start": 675.76, "end": 684.12, "text": " vemos que c es el coeficiente es 1 es invisible y el exponente n es menos 3, la variable independiente"}, {"start": 684.12, "end": 693.08, "text": " x ahora es la letra t, entonces la derivada de esa funci\u00f3n se denota como dn de t o tambi\u00e9n"}, {"start": 693.08, "end": 701.36, "text": " como n prima de t y siguiendo la instrucci\u00f3n lo que nos indica esa regla de derivaci\u00f3n"}, {"start": 701.36, "end": 707.4, "text": " tenemos que menos 3 baja a multiplicar con 1 eso es menos 3 y eso queda multiplicando"}, {"start": 707.4, "end": 716.42, "text": " con t a la menos 3 el exponente original menos 1, resolvemos esto nos queda menos 3 por t"}, {"start": 716.42, "end": 723.6800000000001, "text": " a la menos 3 menos 1 que es menos 4 y esto vamos a reescribirlo siguiendo esta propiedad"}, {"start": 723.6800000000001, "end": 729.84, "text": " de la potenciaci\u00f3n ya para que no nos quede ning\u00fan exponente negativo, entonces nos queda"}, {"start": 729.84, "end": 738.64, "text": " menos 3 por t a la menos 4 que ser\u00eda 1 sobre t a la 4 repetimos siguiendo esa propiedad"}, {"start": 738.64, "end": 745.44, "text": " de la potenciaci\u00f3n, finalmente esto lo volvemos una sola expresi\u00f3n menos 3 por 1 es menos"}, {"start": 745.44, "end": 751.84, "text": " 3 abajo nos quedar\u00eda 1 aqu\u00ed tenemos denominador invisible que es 1, 1 por t a la 4 que es"}, {"start": 751.84, "end": 761.6, "text": " t a la 4 entonces menos 3 sobre t a la 4 es la derivada de 1 sobre t al cubo veamos ahora"}, {"start": 761.6, "end": 772.24, "text": " esta funci\u00f3n p de x igual a 4 sobre x a la 5 inicialmente vemos que esto no encaja con"}, {"start": 772.24, "end": 780.84, "text": " el modelo pero podemos reescribir esa expresi\u00f3n inicialmente nos queda 4 por 1 sobre x a la"}, {"start": 780.84, "end": 788.72, "text": " 5 y ahora vamos a transformar esto ac\u00e1 a la forma de potencia con exponente negativo"}, {"start": 788.72, "end": 796.72, "text": " siguiendo esa propiedad entonces nos queda 4 por x a la menos 5 y ahora si esto encaja"}, {"start": 796.72, "end": 803.76, "text": " con la estructura que tenemos ac\u00e1 c est\u00e1 representada por 4 y n est\u00e1 representada por"}, {"start": 803.76, "end": 811.56, "text": " menos 5 entonces la derivada de esa funci\u00f3n que se denota como de p de x o tambi\u00e9n como"}, {"start": 811.56, "end": 820.3199999999999, "text": " p prima de x nos va a quedar de la siguiente forma menos 5 baja a multiplicar con 4 eso"}, {"start": 820.3199999999999, "end": 827.64, "text": " nos da de una vez menos 20 y queda multiplicando por x a la menos 5 menos 1 siguiendo lo que"}, {"start": 827.64, "end": 834.36, "text": " nos dice la propiedad entonces menos 5 menos 1 es menos 6 all\u00ed ya hemos derivado ahora"}, {"start": 834.36, "end": 843.08, "text": " vamos a acomodar para que no nos queden exponentes negativos entonces nos queda menos 20 por"}, {"start": 843.08, "end": 851.68, "text": " x a la menos 6 siguiendo esta propiedad ser\u00eda 1 sobre x a la 6 entonces ya nos queda menos"}, {"start": 851.68, "end": 857.64, "text": " 20 en el numerador multiplicamos menos 20 por 1 que es menos 20 y en el denominador"}, {"start": 857.64, "end": 866.9399999999999, "text": " 1 por x a la 6 que es x a la 6 esa ser\u00e1 entonces la derivada de 4 sobre x a la 5 ya cuando"}, {"start": 866.9399999999999, "end": 873.7199999999999, "text": " se tiene m\u00e1s pr\u00e1ctica con estos ejercicios podemos pasar de esta forma a esta presentaci\u00f3n"}, {"start": 873.7199999999999, "end": 879.54, "text": " es decir omitiendo este paso simplemente lo que hacemos es trasladar la potencia del"}, {"start": 879.54, "end": 885.76, "text": " denominador al numerador pero haciendo el cambio de signo en el exponente y lo mismo"}, {"start": 885.76, "end": 892.64, "text": " ac\u00e1 ya para pasar de esta forma a la respuesta final omitiendo este paso aqu\u00ed lo que hacemos"}, {"start": 892.64, "end": 899.3199999999999, "text": " es trasladar esta potencia ac\u00e1 al denominador queda debajo de esta cantidad y hacemos el"}, {"start": 899.3199999999999, "end": 908.54, "text": " cambio de signo en el exponente entonces apliquemos eso en esta funci\u00f3n k de l igual a menos"}, {"start": 908.54, "end": 919.3199999999999, "text": " 3 sobre l a la 8 reescribimos esta expresi\u00f3n as\u00ed menos 3 por l a la menos 8 esta potencia"}, {"start": 919.3199999999999, "end": 925.04, "text": " la trasladamos al numerador queda multiplicando por menos 3 y hacemos el cambio de signo en"}, {"start": 925.04, "end": 931.0, "text": " el exponente de acuerdo con esta propiedad entonces la derivada de esa funci\u00f3n que se"}, {"start": 931.0, "end": 939.66, "text": " denota como de k de l o tambi\u00e9n como k prima de l nos va a quedar de la siguiente forma"}, {"start": 939.66, "end": 947.68, "text": " menos 8 baja a multiplicar por menos 3 siguiendo esto menos 8 por menos 3 ser\u00e1 24 positivo"}, {"start": 947.68, "end": 954.12, "text": " y queda multiplicando por la variable que es l a la menos 8 menos 1 el exponente original"}, {"start": 954.12, "end": 961.68, "text": " disminuido en una unidad menos 8 menos 1 es menos 9 y finalmente esto lo reescribimos"}, {"start": 961.68, "end": 967.9, "text": " de tal forma que no nos quede exponente negativo entonces como dijimos ahora queda 24 queda"}, {"start": 967.9, "end": 974.5600000000001, "text": " esta cantidad sobre esta potencia que llega aqu\u00ed al denominador con cambio de signo en"}, {"start": 974.5600000000001, "end": 982.32, "text": " el exponente veamos ahora esta situaci\u00f3n si la funci\u00f3n f de x es igual a la ra\u00edz"}, {"start": 982.32, "end": 990.44, "text": " cuadrada de x entonces tenemos lo siguiente aqu\u00ed recordemos que hay \u00edndice 2 el \u00edndice"}, {"start": 990.44, "end": 999.12, "text": " de la ra\u00edz y ac\u00e1 esta x tiene exponente 1 entonces utilizamos la propiedad de la radicaci\u00f3n"}, {"start": 999.12, "end": 1006.36, "text": " que nos conecta con la potenciaci\u00f3n si tenemos la ra\u00edz de \u00edndice n de la potencia x a la"}, {"start": 1006.36, "end": 1015.6, "text": " m esto es igual a x a la m sobre n el exponente de la potencia que tenemos por dentro sobre"}, {"start": 1015.6, "end": 1022.76, "text": " el \u00edndice de la ra\u00edz entonces reescribimos esto siguiendo esta propiedad nos va a quedar"}, {"start": 1022.76, "end": 1031.64, "text": " x a la un medio y de esa manera ya tenemos esta expresi\u00f3n acorde con esta estructura"}, {"start": 1031.64, "end": 1038.4, "text": " se en este caso es uno es invisible tiene el exponente es un medio entonces ya podemos"}, {"start": 1038.4, "end": 1046.4, "text": " derivar esa funci\u00f3n nos queda entonces f prima de x igual a lo siguiente un medio baja"}, {"start": 1046.4, "end": 1053.14, "text": " a multiplicar por uno nos queda un medio y eso a su vez multiplica por x a la un medio"}, {"start": 1053.14, "end": 1060.16, "text": " menos uno aqu\u00ed vamos a colocar el resultado de esta operaci\u00f3n un medio menos uno que"}, {"start": 1060.16, "end": 1067.6000000000001, "text": " podemos escribir como un medio menos dos medios cambiamos uno por la fracci\u00f3n dos medios"}, {"start": 1067.6000000000001, "end": 1073.4, "text": " es lo mismo y aqu\u00ed tenemos dos fracciones homog\u00e9neas conservamos el denominador que"}, {"start": 1073.4, "end": 1081.1200000000001, "text": " es 2 y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores 1 menos 2 nos da menos 1 entonces el resultado"}, {"start": 1081.1200000000001, "end": 1088.28, "text": " de la operaci\u00f3n un medio menos uno es menos un medio aqu\u00ed podemos aplicar entonces para"}, {"start": 1088.28, "end": 1093.96, "text": " los pr\u00f3ximos ejercicios el siguiente truco para encontrar r\u00e1pidamente esta fracci\u00f3n"}, {"start": 1093.96, "end": 1101.04, "text": " que va aqu\u00ed el resultado de efectuar el exponente original menos uno entonces hacemos lo siguiente"}, {"start": 1101.04, "end": 1107.3999999999999, "text": " al numerador le restamos el denominador 1 menos 2 nos da menos 1 ese ser\u00e1 el numerador"}, {"start": 1107.3999999999999, "end": 1114.48, "text": " de esta fracci\u00f3n y conservamos el mismo denominador siempre nos va a funcionar y de esa manera"}, {"start": 1114.48, "end": 1120.84, "text": " nos ahorramos esta operaci\u00f3n ahora lo que hacemos aqu\u00ed es reacomodar para que no nos"}, {"start": 1120.84, "end": 1127.56, "text": " quede el exponente negativo entonces tendremos un medio esta fracci\u00f3n por x a la menos un"}, {"start": 1127.56, "end": 1135.06, "text": " medio que ser\u00eda uno sobre x a la un medio aplicando la propiedad que vimos anteriormente"}, {"start": 1135.06, "end": 1140.66, "text": " de la potenciaci\u00f3n para el exponente negativo finalmente esto lo multiplicamos para que"}, {"start": 1140.66, "end": 1149.52, "text": " nos quede una sola expresi\u00f3n entonces tendremos en el numerador 1 por 1 que es 1 y en el denominador"}, {"start": 1149.52, "end": 1156.6000000000001, "text": " 2 por x a la un medio entonces lo podemos dejar as\u00ed 2x a la un medio o tambi\u00e9n podr\u00edamos"}, {"start": 1156.6000000000001, "end": 1164.28, "text": " volver a cambiar x a la un medio a la forma original es decir como ra\u00edz cuadrada de x"}, {"start": 1164.28, "end": 1172.02, "text": " nos quedar\u00eda entonces de esta manera 1 sobre 2 ra\u00edz de x es la derivada de la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 1172.02, "end": 1183.78, "text": " de x veamos ahora esta situaci\u00f3n la funci\u00f3n g dt igual a la ra\u00edz c\u00fabica de t al cuadrado"}, {"start": 1183.78, "end": 1193.0, "text": " y todo esto sobre 4 entonces vamos a reescribir esa expresi\u00f3n comenzamos colocando un cuarto"}, {"start": 1193.0, "end": 1201.24, "text": " por la ra\u00edz c\u00fabica de t al cuadrado es decir separamos la parte num\u00e9rica de lo que contiene"}, {"start": 1201.24, "end": 1209.18, "text": " la variable que es t ahora nos queda un cuarto por aplicamos esta propiedad para transformar"}, {"start": 1209.18, "end": 1216.04, "text": " esta ra\u00edz a la forma de potencia nos va a quedar t a las dos tercios entonces de esta"}, {"start": 1216.04, "end": 1224.84, "text": " manera ya tenemos la expresi\u00f3n de acuerdo con el modelo c es un cuarto y n es dos tercios"}, {"start": 1224.84, "end": 1231.36, "text": " ahora s\u00ed vamos con la derivaci\u00f3n entonces para este caso la funci\u00f3n que es g dt tendr\u00e1"}, {"start": 1231.36, "end": 1238.6399999999999, "text": " como derivada g prima dt o tambi\u00e9n de g dt como hemos visto en los ejemplos anteriores"}, {"start": 1238.6399999999999, "end": 1244.1599999999999, "text": " entonces dos tercios baja a multiplicar con un cuarto vamos a escribir la operaci\u00f3n un"}, {"start": 1244.16, "end": 1251.4, "text": " cuarto por dos tercios y esto queda multiplicando por t al resultado de efectuar dos tercios"}, {"start": 1251.4, "end": 1256.96, "text": " menos uno siguiendo la propiedad pero vamos a aplicar el truco que vimos en el ejemplo"}, {"start": 1256.96, "end": 1264.44, "text": " anterior entonces 2 menos 3 nos da menos 1 all\u00ed tenemos el numerador y conservamos"}, {"start": 1264.44, "end": 1271.6000000000001, "text": " el mismo denominador que es 3 menos un tercio es el resultado de efectuar dos tercios menos"}, {"start": 1271.6, "end": 1277.98, "text": " uno ya tenemos la derivada ahora lo que vamos a hacer es pulir esa expresi\u00f3n simplificar"}, {"start": 1277.98, "end": 1284.32, "text": " y organizar para que no nos quede el exponente negativo entonces aqu\u00ed podemos simplificar"}, {"start": 1284.32, "end": 1292.36, "text": " el 2 y el 4 mitad de 2 es 1 mitad de 4 es 2 no se puede simplificar nada m\u00e1s entonces"}, {"start": 1292.36, "end": 1300.1399999999999, "text": " vamos a tener lo siguiente seguimos por ac\u00e1 tenemos entonces uno por uno uno en el numerador"}, {"start": 1300.14, "end": 1307.88, "text": " en el denominador 2 por 3 que es 6 y ac\u00e1 t a la menos un tercio ser\u00eda uno sobre t"}, {"start": 1307.88, "end": 1314.2, "text": " a la un tercio aplicando la propiedad de la potenciaci\u00f3n del exponente negativo y finalmente"}, {"start": 1314.2, "end": 1320.1200000000001, "text": " multiplicamos en forma horizontal esas fracciones nos queda uno en el numerador y en el denominador"}, {"start": 1320.1200000000001, "end": 1327.5200000000002, "text": " 6 por t a la un tercio lo podemos dejar de esa manera o si queremos t a la un tercio"}, {"start": 1327.52, "end": 1335.4, "text": " se puede llevar a la forma de ra\u00edz nos quedar\u00eda entonces as\u00ed de esta manera t aqu\u00ed el exponente"}, {"start": 1335.4, "end": 1342.2, "text": " 1 que ser\u00eda invisible y ac\u00e1 el \u00edndice 3 que entonces nos da la ra\u00edz c\u00fabica de t"}, {"start": 1342.2, "end": 1350.06, "text": " uno sobre 6 ra\u00edz c\u00fabica de t es la derivada de esa funci\u00f3n miremos ahora esta situaci\u00f3n"}, {"start": 1350.06, "end": 1362.52, "text": " la funci\u00f3n t de w igual a 10 sobre la ra\u00edz quinta ra\u00edz t \u00edndice 5 de w al cuadrado"}, {"start": 1362.52, "end": 1369.72, "text": " entonces vamos a reescribir eso hasta llevarlo a esta forma comenzamos por transformar lo"}, {"start": 1369.72, "end": 1376.8, "text": " que tenemos en el denominador siguiendo esta propiedad ser\u00eda w a las dos quintos y tal"}, {"start": 1376.8, "end": 1382.44, "text": " como vimos en los ejemplos anteriores aqu\u00ed trasladamos esta potencia que est\u00e1 en el"}, {"start": 1382.44, "end": 1389.72, "text": " denominador ac\u00e1 al numerador llega a multiplicar con el 10 pero se presenta cambio en el signo"}, {"start": 1389.72, "end": 1397.24, "text": " nos queda entonces menos dos quintos como exponente de esta manera ya tenemos la expresi\u00f3n"}, {"start": 1397.24, "end": 1404.84, "text": " de acuerdo con el modelo c es 10 y n es el exponente menos dos quintos entonces ya podemos"}, {"start": 1404.84, "end": 1412.4199999999998, "text": " derivar esa funci\u00f3n tendr\u00edamos entonces dt de w la derivada de la funci\u00f3n t con respecto"}, {"start": 1412.4199999999998, "end": 1421.4199999999998, "text": " a la variable w o tambi\u00e9n te prima de w y vamos a seguir entonces esta instrucci\u00f3n"}, {"start": 1421.4199999999998, "end": 1427.62, "text": " el exponente que es menos dos quintos baja a multiplicar con 10 entonces 10 por menos"}, {"start": 1427.62, "end": 1433.6399999999999, "text": " dos quintos protegemos esto con par\u00e9ntesis por ser una cantidad negativa y esto nos queda"}, {"start": 1433.64, "end": 1439.8000000000002, "text": " por w elevada al resultado de efectuar menos dos quintos menos uno de acuerdo con lo que"}, {"start": 1439.8000000000002, "end": 1447.72, "text": " dice ac\u00e1 pero aplicamos el truco menos dos menos cinco es menos siete y conservamos el"}, {"start": 1447.72, "end": 1454.44, "text": " denominador que es cinco entonces menos siete quintos es el resultado de efectuar menos"}, {"start": 1454.44, "end": 1461.68, "text": " dos quintos menos uno ahora vamos a resolver esta operaci\u00f3n y tambi\u00e9n a reescribir esto"}, {"start": 1461.68, "end": 1467.2, "text": " para que no nos quede con exponente negativo aqu\u00ed 10 por menos dos quintos nos permite"}, {"start": 1467.2, "end": 1475.16, "text": " simplificar el 10 y el 5 sacamos quinta dividimos por 5 quinta de 10 es 2 y quinta de 5 es"}, {"start": 1475.16, "end": 1482.5800000000002, "text": " 1 no se puede simplificar nada m\u00e1s entonces nos va a quedar de la siguiente manera continuamos"}, {"start": 1482.5800000000002, "end": 1489.72, "text": " por ac\u00e1 tenemos entonces 2 por menos 2 que es menos 4 y esto multiplicado por w a la"}, {"start": 1489.72, "end": 1497.6000000000001, "text": " menos siete quintos que ser\u00eda 1 sobre w a la siete quintos aplicamos la propiedad de"}, {"start": 1497.6000000000001, "end": 1503.14, "text": " la potenciaci\u00f3n para el exponente negativo finalmente esto lo volvemos una sola expresi\u00f3n"}, {"start": 1503.14, "end": 1510.2, "text": " en el numerador menos 4 por 1 es menos 4 recordemos que aqu\u00ed hay denominador 1 1 por esto nos"}, {"start": 1510.2, "end": 1516.64, "text": " da lo mismo es decir w a la siete quintos en el denominador si queremos esto se puede"}, {"start": 1516.64, "end": 1522.64, "text": " convertir a la forma de ra\u00edz siguiendo esta propiedad pero all\u00ed lo podemos dejar esta"}, {"start": 1522.64, "end": 1529.72, "text": " expresi\u00f3n es la derivada de esa funci\u00f3n miremos ahora otra regla b\u00e1sica para derivar"}, {"start": 1529.72, "end": 1539.3600000000001, "text": " funciones si tenemos y o f de x conformado por la suma o resta de varios componentes"}, {"start": 1539.3600000000001, "end": 1545.8400000000001, "text": " aqu\u00ed lo vamos a hacer con dos pero podr\u00edamos tener muchos m\u00e1s entonces la derivada de"}, {"start": 1545.84, "end": 1554.6399999999999, "text": " esa funci\u00f3n consistir\u00e1 en ir derivando cada uno de esos componentes entonces derivamos"}, {"start": 1554.6399999999999, "end": 1562.22, "text": " el primero es decir a prima de x en este caso la variable independiente es x luego pasamos"}, {"start": 1562.22, "end": 1569.1399999999999, "text": " al segundo es decir de prima de x y si hubiera m\u00e1s t\u00e9rminos pues se va derivando cada uno"}, {"start": 1569.1399999999999, "end": 1575.52, "text": " de ellos para aprender f\u00e1cilmente esta regla podemos escribirla as\u00ed la derivada de una"}, {"start": 1575.52, "end": 1582.84, "text": " suma o resta de dos expresiones teniendo en cuenta que a y b son expresiones de la variable"}, {"start": 1582.84, "end": 1591.2, "text": " x en este caso la variable independiente entonces ser\u00e1 a prima m\u00e1s o menos b prima lo que se"}, {"start": 1591.2, "end": 1598.32, "text": " indica aqu\u00ed es que la derivada afecta a cada uno de los componentes un ejemplo de aplicaci\u00f3n"}, {"start": 1598.32, "end": 1604.52, "text": " de esta regla de derivaci\u00f3n ser\u00eda este donde tenemos una funci\u00f3n h de x que se presenta"}, {"start": 1604.52, "end": 1611.68, "text": " como un polinomio conformado por cinco t\u00e9rminos entonces la derivada de esta funci\u00f3n que"}, {"start": 1611.68, "end": 1618.4, "text": " se denota como h prima de x ser\u00e1 derivar cada uno de estos cinco t\u00e9rminos aplicando"}, {"start": 1618.4, "end": 1624.28, "text": " la regla que vimos anteriormente entonces vamos con el primero tres baja a multiplicar"}, {"start": 1624.28, "end": 1632.56, "text": " con cinco nos queda 15 por x a la 3 menos 1 que ser\u00eda 2 15 x al cuadrado vamos con"}, {"start": 1632.56, "end": 1640.6, "text": " el siguiente t\u00e9rmino 4 baja a multiplicar con menos 6 ser\u00eda menos 24 y queda acompa\u00f1ado"}, {"start": 1640.6, "end": 1647.9199999999998, "text": " de x a la 4 menos 1 que ser\u00eda 3 pasamos al siguiente t\u00e9rmino 2 baja a multiplicar con"}, {"start": 1647.9199999999998, "end": 1656.36, "text": " 13 positivo nos da m\u00e1s 26 y queda acompa\u00f1ado de x a la 2 menos 1 que ser\u00eda 1 aqu\u00ed tendr\u00edamos"}, {"start": 1656.36, "end": 1664.04, "text": " exponente 1 pero puede hacerse invisible pasamos al otro t\u00e9rmino la derivada de menos 8 x"}, {"start": 1664.04, "end": 1669.9199999999998, "text": " ser\u00eda menos 8 all\u00ed aplicamos el caso que vimos anteriormente ese que dec\u00eda que la"}, {"start": 1669.9199999999998, "end": 1677.52, "text": " derivada de c por x es c o sea el coeficiente que acompa\u00f1a a la variable derivada de menos"}, {"start": 1677.52, "end": 1685.8, "text": " 8 x es menos 8 y llegamos a este \u00faltimo t\u00e9rmino menos 16 que es una constante un n\u00famero real"}, {"start": 1685.8, "end": 1691.72, "text": " recordemos que la derivada de toda constante es 0 o sea que aqu\u00ed no es necesario escribir"}, {"start": 1691.72, "end": 1699.12, "text": " nada y de esa manera ya tenemos la derivada de esa funci\u00f3n vamos ahora con esta otra"}, {"start": 1699.12, "end": 1705.8799999999999, "text": " funci\u00f3n pdt que tambi\u00e9n se presenta con cinco t\u00e9rminos antes de empezar la derivaci\u00f3n"}, {"start": 1705.8799999999999, "end": 1713.52, "text": " de cada uno de ellos debemos reescribirlos entonces volvemos a colocar por aqu\u00ed pdt"}, {"start": 1713.52, "end": 1719.52, "text": " la funci\u00f3n sigue todav\u00eda intacta no se ha derivado y vamos a acomodar cada uno de"}, {"start": 1719.52, "end": 1726.72, "text": " los t\u00e9rminos comenzamos con este que escribimos como un medio por t a la 6 recordemos que"}, {"start": 1726.72, "end": 1733.84, "text": " procuramos llevar cada t\u00e9rmino a la forma c por x a la n la que vimos en la regla anterior"}, {"start": 1733.84, "end": 1741.04, "text": " pasamos al siguiente donde tenemos m\u00e1s 11 por trasladamos esta potencia al numerador"}, {"start": 1741.04, "end": 1748.12, "text": " nos queda entonces como t a la menos 3 llegamos ac\u00e1 tenemos la ra\u00edz octava de t que ser\u00eda"}, {"start": 1748.12, "end": 1755.28, "text": " entonces t a la un octavo aplicamos la propiedad que vimos que conecta la radicaci\u00f3n con la"}, {"start": 1755.28, "end": 1763.76, "text": " potenciaci\u00f3n 1 sobre 8 en el exponente luego tenemos por ac\u00e1 4 ac\u00e1 tendr\u00edamos t a la"}, {"start": 1763.76, "end": 1770.48, "text": " tres medios si aplicamos la misma propiedad anterior pero al trasladar esto al numerador"}, {"start": 1770.48, "end": 1777.32, "text": " nos llega como t a la menos tres medios y ac\u00e1 debemos tener cuidado porque esto nos"}, {"start": 1777.32, "end": 1784.04, "text": " puede enga\u00f1ar podr\u00edamos pensar que pi debe expresarse a la un medio porque tenemos aqu\u00ed"}, {"start": 1784.04, "end": 1791.2, "text": " una ra\u00edz cuadrada pero no es as\u00ed porque la funci\u00f3n depende de la variable t esto"}, {"start": 1791.2, "end": 1797.88, "text": " es un elemento constante que lo podemos dejar expresado porque al final su derivada ser\u00e1"}, {"start": 1797.88, "end": 1804.92, "text": " cero ahora s\u00ed vamos con la derivaci\u00f3n de esta funci\u00f3n aparece por primera vez p prima"}, {"start": 1804.92, "end": 1812.64, "text": " de t y vamos entonces con la derivada de cada uno de esos cinco componentes vamos con el"}, {"start": 1812.64, "end": 1819.2800000000002, "text": " primero 6 baja a multiplicar con un medio nos dar\u00eda seis medios que equivale a 3 si"}, {"start": 1819.2800000000002, "end": 1826.8200000000002, "text": " hacemos la simplificaci\u00f3n y queda acompa\u00f1ado de t a la 6 menos 1 que es 5 ya hemos derivado"}, {"start": 1826.82, "end": 1833.24, "text": " el primer t\u00e9rmino vamos con el segundo menos 3 baja a multiplicar con m\u00e1s 11 menos 3"}, {"start": 1833.24, "end": 1841.2, "text": " por m\u00e1s 11 es menos 33 y queda acompa\u00f1ado de t a la menos 3 menos 1 que ser\u00eda menos"}, {"start": 1841.2, "end": 1849.04, "text": " 4 vamos con este t\u00e9rmino aqu\u00ed un octavo baja a multiplicar con menos 1 nos da menos"}, {"start": 1849.04, "end": 1857.24, "text": " un octavo y queda acompa\u00f1ado de t a la un octavo menos 1 aplicamos el truco que vimos anteriormente"}, {"start": 1857.24, "end": 1864.44, "text": " uno menos 8 es menos 7 y conservamos el mismo denominador que es 8 menos 7 octavos es el"}, {"start": 1864.44, "end": 1871.52, "text": " resultado de un octavo menos 1 vamos ahora con el otro t\u00e9rmino aqu\u00ed menos tres medios"}, {"start": 1871.52, "end": 1878.52, "text": " baja a multiplicar con menos 4 menos por menos nos da m\u00e1s tendr\u00edamos tres medios por 4"}, {"start": 1878.52, "end": 1885.56, "text": " que ser\u00eda 12 medios y que al simplificar se convierte en 6 y queda acompa\u00f1ado de t"}, {"start": 1885.56, "end": 1891.82, "text": " elevada al exponente que resulta de efectuar menos tres medios menos 1 vamos con el truco"}, {"start": 1891.82, "end": 1899.16, "text": " menos tres menos 2 es menos 5 y conservamos el mismo denominador que es 2 menos cinco"}, {"start": 1899.16, "end": 1905.66, "text": " medios es el resultado de efectuar menos tres medios menos 1 y llegamos al \u00faltimo t\u00e9rmino"}, {"start": 1905.66, "end": 1912.6200000000001, "text": " que como dec\u00edamos es constante por lo tanto su derivada es cero o sea que aqu\u00ed no agregamos"}, {"start": 1912.6200000000001, "end": 1919.0, "text": " nada podr\u00edamos decir que aqu\u00ed ya terminamos es decir esta es la derivada de la funci\u00f3n"}, {"start": 1919.0, "end": 1925.5, "text": " que nos dieron sin embargo usualmente se pide organizar esto de tal forma que no quede con"}, {"start": 1925.5, "end": 1934.98, "text": " exponentes negativos entonces vamos a acomodar tendremos p prima de t igual a 3t a la 5 ese"}, {"start": 1934.98, "end": 1942.08, "text": " t\u00e9rmino no presenta ninguna variaci\u00f3n vamos ahora con este nos quedar\u00eda menos 33 sobre"}, {"start": 1942.08, "end": 1949.1200000000001, "text": " t a la 4 trasladamos esta potencia ac\u00e1 al denominador y recordemos que se presenta cambio"}, {"start": 1949.1200000000001, "end": 1955.46, "text": " de signo en el exponente vamos ahora con el otro t\u00e9rmino que ser\u00eda entonces acomod\u00e1ndolo"}, {"start": 1955.46, "end": 1962.78, "text": " 1 sobre ac\u00e1 tenemos en el denominador 8 y trasladamos esta potencia ac\u00e1 al denominador"}, {"start": 1962.78, "end": 1970.34, "text": " queda como acompa\u00f1ante del 8 es decir t a las 7 octavos vamos ahora con el \u00faltimo t\u00e9rmino"}, {"start": 1970.34, "end": 1975.42, "text": " que es positivo entonces tambi\u00e9n formamos una fracci\u00f3n en el numerador se queda el"}, {"start": 1975.42, "end": 1983.3799999999999, "text": " 6 y al denominador trasladamos esta potencia que nos llega como t a las 5 medios de esta"}, {"start": 1983.3799999999999, "end": 1990.74, "text": " manera ya tenemos la derivada de la funci\u00f3n expresada sin exponentes negativos veamos"}, {"start": 1990.74, "end": 1997.28, "text": " ahora otra regla b\u00e1sica de derivaci\u00f3n de gran importancia y es cuando la funci\u00f3n se"}, {"start": 1997.28, "end": 2005.94, "text": " presenta como un producto de expresiones por ejemplo a de x por b de x en este caso la"}, {"start": 2005.94, "end": 2014.26, "text": " derivada de una funci\u00f3n de ese tipo o sea de y de x o f prima de x se construye de la"}, {"start": 2014.26, "end": 2021.26, "text": " siguiente manera comenzamos con la derivada del primer componente es decir a prima de x"}, {"start": 2021.26, "end": 2027.42, "text": " y eso multiplicado por el segundo componente sin derivar que es b de x luego a eso le"}, {"start": 2027.42, "end": 2036.36, "text": " sumamos el primer componente sin derivar es decir a de x por la derivada del segundo componente"}, {"start": 2036.36, "end": 2045.1399999999999, "text": " es decir b prima de x una forma f\u00e1cil de aprender esta regla es la siguiente si tenemos"}, {"start": 2045.1399999999999, "end": 2056.8599999999997, "text": " el producto a por b entonces su derivada ser\u00e1 a prima por b m\u00e1s a por b prima aclaro que"}, {"start": 2056.8599999999997, "end": 2063.58, "text": " aqu\u00ed en algunos casos tambi\u00e9n eso se presenta al contrario es decir primero b prima y luego"}, {"start": 2063.58, "end": 2070.38, "text": " a finalmente no hay problema con eso porque recordemos que la multiplicaci\u00f3n es conmutativa"}, {"start": 2070.38, "end": 2077.2599999999998, "text": " como ejemplo de esta regla la famosa regla del producto para la derivaci\u00f3n vamos a considerar"}, {"start": 2077.2599999999998, "end": 2084.48, "text": " esta funci\u00f3n r de x que como se observa se presenta como un producto de binomios expresiones"}, {"start": 2084.48, "end": 2091.8199999999997, "text": " con dos t\u00e9rminos cada una entonces vamos entonces con r prima de x la derivada de esa"}, {"start": 2091.82, "end": 2099.34, "text": " funci\u00f3n donde vemos que el primer componente este que tenemos aqu\u00ed hace el papel de a"}, {"start": 2099.34, "end": 2106.06, "text": " y este el segundo hace el papel de b seguimos entonces las instrucciones comenzamos con"}, {"start": 2106.06, "end": 2111.6200000000003, "text": " a prima la derivada del primer componente aqu\u00ed tenemos una resta de t\u00e9rminos entonces"}, {"start": 2111.6200000000003, "end": 2118.3, "text": " derivamos cada uno de ellos aplicamos la regla que vimos anteriormente derivada de este t\u00e9rmino"}, {"start": 2118.3, "end": 2125.7000000000003, "text": " ser\u00eda 2 por 4 8 por x a la 2 menos 1 que ser\u00eda 1 recordemos que ese exponente 1 se"}, {"start": 2125.7000000000003, "end": 2133.1800000000003, "text": " hace invisible derivada de menos 5 ser\u00eda 0 porque es un t\u00e9rmino constante entonces 8x"}, {"start": 2133.1800000000003, "end": 2138.98, "text": " ser\u00e1 la derivada de este primer componente eso lo multiplicamos por el segundo componente"}, {"start": 2138.98, "end": 2149.42, "text": " que es b sin derivar entonces tal como lo tenemos ac\u00e1 2x al cubo m\u00e1s 7x protegido con par\u00e9ntesis"}, {"start": 2149.42, "end": 2157.82, "text": " entonces aqu\u00ed ya tenemos a prima esto es a prima y por ac\u00e1 tenemos el componente b"}, {"start": 2157.82, "end": 2165.66, "text": " seguimos m\u00e1s a es decir el primer componente sin derivar tal como lo tenemos ac\u00e1 que ser\u00eda"}, {"start": 2165.66, "end": 2174.1, "text": " 4x al cuadrado menos 5 protegido con par\u00e9ntesis y eso multiplicado por b prima es decir la"}, {"start": 2174.1, "end": 2179.8999999999996, "text": " derivada del segundo componente entonces vamos con la derivada de cada uno de esos t\u00e9rminos"}, {"start": 2179.8999999999996, "end": 2186.66, "text": " porque tenemos una suma derivada del primer t\u00e9rmino ser\u00eda 3 por 2 6 que multiplica a"}, {"start": 2186.66, "end": 2194.7, "text": " x a la 3 menos 1 que ser\u00eda 2 despu\u00e9s tenemos m\u00e1s derivada de 7x recordemos que eso nos"}, {"start": 2194.7, "end": 2201.8199999999997, "text": " da 7 recordemos el caso que vimos por all\u00e1 al inicio derivada de c por x es c es el coeficiente"}, {"start": 2201.8199999999997, "end": 2208.58, "text": " que acompa\u00f1a a la variable como esto nos dio un binomio lo debemos proteger con par\u00e9ntesis"}, {"start": 2208.58, "end": 2216.14, "text": " entonces por ac\u00e1 este es el componente a el primero sin derivar y todo este es el componente"}, {"start": 2216.14, "end": 2223.24, "text": " de prima la derivada del segundo lo que hacemos enseguida es aplicar el \u00e1lgebra vamos a efectuar"}, {"start": 2223.24, "end": 2230.14, "text": " estos productos y luego hacemos la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes entonces r prima de"}, {"start": 2230.14, "end": 2238.14, "text": " x nos va a quedar as\u00ed tenemos por ac\u00e1 8x que multiplica a este binomio aplicamos entonces"}, {"start": 2238.14, "end": 2247.14, "text": " la propiedad distributiva tenemos 8x por 2x al cubo eso nos da 16x a la 4 despu\u00e9s tenemos"}, {"start": 2247.14, "end": 2255.7799999999997, "text": " 8x por m\u00e1s 7x que ser\u00eda m\u00e1s 56x al cuadrado vamos ahora con la multiplicaci\u00f3n de estos"}, {"start": 2255.7799999999997, "end": 2261.46, "text": " dos binomios donde tambi\u00e9n vamos a aplicar la propiedad distributiva inicialmente con"}, {"start": 2261.46, "end": 2270.14, "text": " ese t\u00e9rmino entonces tenemos 4x al cuadrado por 6x al cuadrado eso nos da m\u00e1s 24x a la"}, {"start": 2270.14, "end": 2279.54, "text": " 4 t\u00e9rmino positivo luego 4x al cuadrado por m\u00e1s 7 ser\u00eda m\u00e1s 28x al cuadrado vamos ahora"}, {"start": 2279.54, "end": 2286.9, "text": " con la distributiva del menos 5 menos 5 va a multiplicar a cada uno de esos t\u00e9rminos"}, {"start": 2286.9, "end": 2295.8199999999997, "text": " entonces menos 5 por 6x al cuadrado ser\u00eda menos 30x al cuadrado y menos 5 por m\u00e1s 7"}, {"start": 2295.82, "end": 2303.38, "text": " es menos 35 vamos ahora con la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes entonces r prima de"}, {"start": 2303.38, "end": 2310.98, "text": " x nos va a quedar as\u00ed de una vez podemos ir acomodando el polinomio resultante en forma"}, {"start": 2310.98, "end": 2317.6600000000003, "text": " descendente es decir empezando con el t\u00e9rmino de mayor grado que en este caso son aquellos"}, {"start": 2317.66, "end": 2327.06, "text": " que contienen x a la 4 la suma de esos dos t\u00e9rminos semejantes nos da 40x a la 4 vamos"}, {"start": 2327.06, "end": 2335.02, "text": " ahora con los que tienen x al cuadrado entonces observamos este t\u00e9rmino tambi\u00e9n este y este"}, {"start": 2335.02, "end": 2340.66, "text": " de por ac\u00e1 entonces la operaci\u00f3n de ellos tres ser\u00eda por ac\u00e1 m\u00e1s 28 menos 30 es menos"}, {"start": 2340.66, "end": 2349.94, "text": " 2 y 56 menos 2 es m\u00e1s 54 acompa\u00f1ado de x al cuadrado ah\u00ed est\u00e1 el resultado de operar"}, {"start": 2349.94, "end": 2355.66, "text": " esos tres t\u00e9rminos semejantes y terminamos con el t\u00e9rmino independiente que es menos"}, {"start": 2355.66, "end": 2363.8999999999996, "text": " 35 all\u00ed tenemos ya la derivada de esta funci\u00f3n que como vimos se obtuvo aplicando la regla"}, {"start": 2363.8999999999996, "end": 2370.18, "text": " del producto sin embargo este ejercicio lo podemos verificar por otro camino y es primero"}, {"start": 2370.18, "end": 2376.54, "text": " desarrollar este producto y luego hacer la derivada de toda esa expresi\u00f3n que se obtiene"}, {"start": 2376.54, "end": 2382.22, "text": " vamos a ver entonces c\u00f3mo nos queda aplicamos entonces la multiplicaci\u00f3n de estos dos binomios"}, {"start": 2382.22, "end": 2390.4199999999996, "text": " con la propiedad distributiva entonces tenemos 4x al cuadrado por 2x al cubo eso ser\u00eda 8x"}, {"start": 2390.4199999999996, "end": 2400.02, "text": " a la 5 luego tenemos 4x al cuadrado por m\u00e1s 7x ser\u00eda m\u00e1s 28x al cubo luego tenemos la"}, {"start": 2400.02, "end": 2406.02, "text": " distributiva con menos 5 que multiplica a cada uno de esos dos t\u00e9rminos entonces menos"}, {"start": 2406.02, "end": 2417.9, "text": " 5 por 2x al cubo ser\u00eda menos 10x al cubo y luego menos 5 por m\u00e1s 7x ser\u00eda menos 35x"}, {"start": 2417.9, "end": 2423.58, "text": " continuamos con la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes vemos que aqu\u00ed hay dos que contienen"}, {"start": 2423.58, "end": 2431.06, "text": " x al cubo entonces se pueden operar entre s\u00ed vamos a continuar por ac\u00e1 seguimos trabajando"}, {"start": 2431.06, "end": 2439.2599999999998, "text": " con rx todav\u00eda no hemos derivado entonces comenzamos con el t\u00e9rmino 8x a la 5 luego"}, {"start": 2439.2599999999998, "end": 2448.2599999999998, "text": " tenemos 28x al cubo menos 10x al cubo ser\u00eda m\u00e1s 18x al cubo y despu\u00e9s tenemos el t\u00e9rmino"}, {"start": 2448.26, "end": 2459.6200000000003, "text": " menos 35x ahora s\u00ed podemos proceder con la derivaci\u00f3n aparece por primera vez r' de"}, {"start": 2459.6200000000003, "end": 2466.42, "text": " x pero ya lo que vamos a derivar es esto es decir aplicando la regla de la suma y la resta"}, {"start": 2466.42, "end": 2474.5800000000004, "text": " vamos con la derivada de cada uno de los t\u00e9rminos comenzamos con este 5 por 8 es 40 que queda"}, {"start": 2474.58, "end": 2482.22, "text": " acompa\u00f1ado de x a la 5 menos 1 que es 4 luego tenemos por ac\u00e1 3 por m\u00e1s 18 que ser\u00eda"}, {"start": 2482.22, "end": 2492.54, "text": " m\u00e1s 54 acompa\u00f1ado de x a la 3 menos 1 que es 2 y finalmente la derivada de menos 35x"}, {"start": 2492.54, "end": 2499.5, "text": " que ser\u00eda menos 35 como se observa hemos obtenido exactamente la misma expresi\u00f3n que"}, {"start": 2499.5, "end": 2505.66, "text": " nos dio por ac\u00e1 entonces para esta funci\u00f3n hemos llegado al mismo resultado por los dos"}, {"start": 2505.66, "end": 2511.94, "text": " caminos aplicando la regla del producto y tambi\u00e9n desarrollando previamente la expresi\u00f3n"}, {"start": 2511.94, "end": 2518.62, "text": " para aplicar la regla de la suma y la resta miremos ahora esta situaci\u00f3n particular de"}, {"start": 2518.62, "end": 2526.18, "text": " la regla del producto supongamos que una funci\u00f3n y se presenta como c por u de x es decir un"}, {"start": 2526.18, "end": 2532.94, "text": " componente constante y otro que contiene la variable independiente x entonces si aplicamos"}, {"start": 2532.94, "end": 2540.58, "text": " la regla del producto este primer componente es a y el segundo componente es b vamos entonces"}, {"start": 2540.58, "end": 2547.8199999999997, "text": " con la derivada de esta funci\u00f3n que se denota como de y de x repetimos x es la variable"}, {"start": 2547.8199999999997, "end": 2554.66, "text": " independiente y y es la variable dependiente en esa funci\u00f3n comenzamos entonces con la"}, {"start": 2554.66, "end": 2560.42, "text": " derivada del primer componente es decir a prima ser\u00eda la derivada de la constante c"}, {"start": 2560.42, "end": 2565.7, "text": " que como vimos anteriormente es cero y eso va multiplicado por el segundo componente"}, {"start": 2565.7, "end": 2573.22, "text": " sin derivar que es u de x luego tenemos m\u00e1s el primer componente sin derivar que ser\u00eda"}, {"start": 2573.22, "end": 2581.5, "text": " c por la derivada del segundo componente la derivada de u de x se expresar\u00eda como u prima"}, {"start": 2581.5, "end": 2590.18, "text": " de x entonces repetimos aqu\u00ed est\u00e1 el componente a prima por ac\u00e1 tenemos el componente de este"}, {"start": 2590.18, "end": 2598.1, "text": " es el componente a y este es el componente de prima finalmente vemos que cero por u de"}, {"start": 2598.1, "end": 2605.02, "text": " x nos va a dar como resultado cero entonces todo este t\u00e9rmino se elimina y llegamos a"}, {"start": 2605.02, "end": 2613.06, "text": " que la derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable x ser\u00e1 esto es decir c por"}, {"start": 2613.06, "end": 2621.98, "text": " u prima de x lo que quiere decir esto es que siempre que tengamos una constante multiplicando"}, {"start": 2621.98, "end": 2628.5, "text": " a la expresi\u00f3n que contiene la variable x o la variable independiente en la funci\u00f3n"}, {"start": 2628.5, "end": 2635.54, "text": " al hacer la derivada esa constante se deja quieta multiplicando vemos que se queda all\u00ed"}, {"start": 2635.54, "end": 2641.26, "text": " como al margen y queda multiplicando a la derivada de lo que sigue es decir la derivada"}, {"start": 2641.26, "end": 2646.98, "text": " de la expresi\u00f3n que contiene la x entonces es una regla que nos va a servir bastante"}, {"start": 2646.98, "end": 2652.04, "text": " para futuros ejercicios donde la constante que est\u00e1 multiplicando con la funci\u00f3n se"}, {"start": 2652.04, "end": 2658.94, "text": " queda quieta y acompa\u00f1a multiplicando a la derivada de esa funci\u00f3n veamos ahora c\u00f3mo"}, {"start": 2658.94, "end": 2666.14, "text": " es la regla para derivar una funci\u00f3n que se presenta como un cociente o una divisi\u00f3n"}, {"start": 2666.14, "end": 2675.3, "text": " de expresiones por ejemplo a de x sobre b de x entonces en ese caso la derivada de y de"}, {"start": 2675.3, "end": 2684.2200000000003, "text": " x o tambi\u00e9n f prima de x se construye de la siguiente manera comenzamos con la derivada"}, {"start": 2684.2200000000003, "end": 2692.26, "text": " del numerador es decir a prima de x eso multiplicado por el denominador sin derivar es decir b"}, {"start": 2692.26, "end": 2701.54, "text": " de x luego menos el numerador sin derivar es decir a de x por la derivada del denominador"}, {"start": 2701.54, "end": 2711.3, "text": " que ser\u00eda de prima de x y todo eso sobre el denominador sin derivar elevado al cuadrado"}, {"start": 2711.3, "end": 2719.18, "text": " entonces b de x y todo esto al cuadrado una manera f\u00e1cil de recordar esto que se conoce"}, {"start": 2719.18, "end": 2728.08, "text": " como la regla del cociente para la derivaci\u00f3n es as\u00ed la derivada de a sobre b ser\u00e1 a prima"}, {"start": 2728.08, "end": 2738.54, "text": " por b luego menos a por b prima y todo esto sobre b al cuadrado en ocasiones esto aqu\u00ed"}, {"start": 2738.54, "end": 2744.2799999999997, "text": " tambi\u00e9n se presenta como b prima por a de nuevo no hay problema porque la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 2744.2799999999997, "end": 2751.34, "text": " es conmutativa como ejemplo de esta regla vamos a utilizar esta funci\u00f3n que efectivamente"}, {"start": 2751.34, "end": 2758.02, "text": " se presenta como un cociente o divisi\u00f3n de expresiones la que tenemos en el numerador"}, {"start": 2758.02, "end": 2764.54, "text": " hace el papel de a y la que est\u00e1 aqu\u00ed en el denominador hace el papel de b entonces"}, {"start": 2764.54, "end": 2770.82, "text": " vamos a construir la derivada siguiendo las instrucciones que tenemos tenemos g prima"}, {"start": 2770.82, "end": 2777.3, "text": " de t ser\u00e1 igual a derivada del numerador vamos con a prima tenemos entonces all\u00ed una"}, {"start": 2777.3, "end": 2785.7400000000002, "text": " resta entonces derivamos cada uno de los componentes derivada de t a la 4 ser\u00e1 4 t al cubo es"}, {"start": 2785.7400000000002, "end": 2792.2200000000003, "text": " decir baja el 4 al exponente que tenemos se le resta 1 y nos da 3 y luego tenemos la derivada"}, {"start": 2792.2200000000003, "end": 2798.2200000000003, "text": " de menos 3 que ser\u00eda 0 porque esto es un componente constante ya tenemos entonces la"}, {"start": 2798.2200000000003, "end": 2805.38, "text": " derivada del numerador o sea lo que es a prima vamos ahora con b es decir el denominador"}, {"start": 2805.38, "end": 2812.54, "text": " sin derivar en este caso lo protegemos con par\u00e9ntesis 2 t a la 5 m\u00e1s 1 luego vamos"}, {"start": 2812.54, "end": 2820.98, "text": " con menos a que ser\u00eda el numerador sin derivar es un binomio lo debemos proteger con par\u00e9ntesis"}, {"start": 2820.98, "end": 2827.62, "text": " t a la 4 menos 3 y eso multiplicado por b prima que ser\u00eda la derivada de lo que tenemos"}, {"start": 2827.62, "end": 2834.1800000000003, "text": " en el denominador ac\u00e1 se observa una suma entonces derivamos cada uno de esos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 2834.18, "end": 2842.98, "text": " derivada del primero ser\u00eda 5 por 2 10 que multiplica con t a la 5 menos 1 que es 4"}, {"start": 2842.98, "end": 2850.08, "text": " nos queda 10 t a la 4 y la derivada de este t\u00e9rmino como es constante ser\u00eda 0 entonces"}, {"start": 2850.08, "end": 2856.7999999999997, "text": " aqu\u00ed tenemos ya b prima que es la derivada del denominador ahora todo eso queda sobre"}, {"start": 2856.8, "end": 2866.78, "text": " el denominador sin derivar es decir 2 t a la 5 m\u00e1s 1 y todo esto elevado al cuadrado"}, {"start": 2866.78, "end": 2873.5, "text": " entonces repetimos aqu\u00ed est\u00e1n los componentes de la regla del cociente esto es a prima por"}, {"start": 2873.5, "end": 2882.26, "text": " ac\u00e1 tenemos b luego ac\u00e1 tenemos a el numerador sin derivar esto es b prima la derivada del"}, {"start": 2882.26, "end": 2889.86, "text": " denominador y esto que tenemos ac\u00e1 es b al cuadrado ahora lo que hacemos es aplicar el"}, {"start": 2889.86, "end": 2896.6000000000004, "text": " \u00e1lgebra ac\u00e1 en el numerador es decir efectuar los productos reducir t\u00e9rminos semejantes"}, {"start": 2896.6000000000004, "end": 2902.26, "text": " y llevarlo a la forma m\u00e1s sencilla posible la parte del denominador por lo general se"}, {"start": 2902.26, "end": 2909.94, "text": " deja as\u00ed indicada no es necesario desarrollar ese binomio al cuadrado entonces g prima de"}, {"start": 2909.94, "end": 2917.5, "text": " t la derivada de esa funci\u00f3n nos va a quedar de la siguiente forma ac\u00e1 aplicamos la propiedad"}, {"start": 2917.5, "end": 2923.78, "text": " distributiva para desarrollar este producto entonces tenemos 4 t al cubo por 2 t a la"}, {"start": 2923.78, "end": 2934.46, "text": " 5 ser\u00eda 8 t a la 8 luego tenemos 4 t al cubo por m\u00e1s 1 que ser\u00eda m\u00e1s 4 t al cubo luego"}, {"start": 2934.46, "end": 2941.7, "text": " tenemos por ac\u00e1 este t\u00e9rmino que se distribuye para cada uno de estos dos pero debemos tener"}, {"start": 2941.7, "end": 2947.14, "text": " cuidado con ese signo negativo que nos va a afectar lo que queda ac\u00e1 entonces tenemos"}, {"start": 2947.14, "end": 2954.58, "text": " 10 t a la 4 por t a la 4 ser\u00eda 10 t a la 8 pero con este signo negativo nos queda menos"}, {"start": 2954.58, "end": 2963.36, "text": " 10 t a la 8 luego tenemos 10 t a la 4 por menos 3 ser\u00eda menos 30 t a la 4 pero con"}, {"start": 2963.36, "end": 2972.3, "text": " este menos nos queda m\u00e1s 30 t a la 4 y en el denominador permanece la misma expresi\u00f3n"}, {"start": 2972.3, "end": 2981.58, "text": " es decir 2 t a la 5 m\u00e1s 1 y todo esto elevado al cuadrado finalmente en el numerador reducimos"}, {"start": 2981.58, "end": 2988.86, "text": " t\u00e9rminos semejantes entonces la derivada g prima de t nos queda de la siguiente manera"}, {"start": 2988.86, "end": 2995.26, "text": " observamos esos dos t\u00e9rminos que contienen t a la 8 entonces los operamos entre s\u00ed 8"}, {"start": 2995.26, "end": 3005.1800000000003, "text": " menos 10 es menos 2 t a la 8 seguimos con el t\u00e9rmino m\u00e1s 30 t a la 4 y finalmente"}, {"start": 3005.1800000000003, "end": 3013.48, "text": " tenemos el t\u00e9rmino m\u00e1s 4 t al cubo de esa manera ya nos queda en el numerador la expresi\u00f3n"}, {"start": 3013.48, "end": 3023.42, "text": " ordenada en forma descendente y en el denominador escribimos lo mismo 2 t a la 5 m\u00e1s 1 y eso"}, {"start": 3023.42, "end": 3031.22, "text": " elevado al cuadrado de esa manera ya tenemos la derivada de esta funci\u00f3n y hemos utilizado"}, {"start": 3031.22, "end": 3038.62, "text": " la regla del cociente para terminar veamos lo que se llama la regla de la cadena si tenemos"}, {"start": 3038.62, "end": 3047.74, "text": " una funci\u00f3n y expresada as\u00ed es decir como una expresi\u00f3n h que a su vez depende de otra"}, {"start": 3047.74, "end": 3055.18, "text": " expresi\u00f3n u de x entonces la derivada de esa funci\u00f3n que ser\u00eda denotada como de"}, {"start": 3055.18, "end": 3061.9, "text": " y de x se construye de la siguiente manera ser\u00eda la derivada de la funci\u00f3n externa"}, {"start": 3061.9, "end": 3069.34, "text": " es decir de h ser\u00eda h prima de u de x por lo pronto esto que est\u00e1 por dentro permanece"}, {"start": 3069.34, "end": 3077.1600000000003, "text": " intacto y a su vez queda multiplicado por u prima de x es decir por la derivada interna"}, {"start": 3077.1600000000003, "end": 3082.9, "text": " es lo que se conoce tambi\u00e9n como la derivada de la funci\u00f3n compuesta yo s\u00e9 que aqu\u00ed"}, {"start": 3082.9, "end": 3089.1800000000003, "text": " esto como est\u00e1 presentado parece muy complejo y muy abstracto pero con esto que les voy"}, {"start": 3089.18, "end": 3095.62, "text": " a mostrar que es la regla de la cadena para potencias s\u00e9 que se va a entender mejor ser\u00eda"}, {"start": 3095.62, "end": 3104.5, "text": " esta situaci\u00f3n la expresi\u00f3n u de x elevada toda a un exponente n entonces veamos la derivada"}, {"start": 3104.5, "end": 3111.18, "text": " sigue la regla que hemos visto en este v\u00eddeo primero tenemos aqu\u00ed una potencia entonces"}, {"start": 3111.18, "end": 3118.66, "text": " el exponente n baja a multiplicar aqu\u00ed tenemos un uno invisible n por uno ser\u00eda n que a"}, {"start": 3118.66, "end": 3126.14, "text": " su vez multiplica a u de x es decir lo que est\u00e1 por dentro permanece intacto y ac\u00e1"}, {"start": 3126.14, "end": 3132.5, "text": " n se reduce o se disminuye en una unidad tal como ver\u00edamos aplicando con la derivada de"}, {"start": 3132.5, "end": 3138.22, "text": " una potencia pero ahora esto se multiplica por la derivada interna es decir por lo que"}, {"start": 3138.22, "end": 3145.8199999999997, "text": " se conoce como u prima de x ahora para entender de manera m\u00e1s f\u00e1cil la regla de la cadena"}, {"start": 3145.82, "end": 3153.42, "text": " para potencias vamos a mirarlo as\u00ed con la manzanita si tenemos manzanita a la n entonces"}, {"start": 3153.42, "end": 3162.2200000000003, "text": " su derivada ser\u00e1 igual a n por manzanita elevada al exponente n menos 1 y eso multiplicado"}, {"start": 3162.2200000000003, "end": 3171.02, "text": " por la derivada de la manzanita entonces en pocas palabras n baja a multiplicar la manzanita"}, {"start": 3171.02, "end": 3177.54, "text": " queda intacta elevada al exponente n menos 1 tal como ven\u00edamos derivando las potencias"}, {"start": 3177.54, "end": 3182.94, "text": " y ahora lo que se incluye o lo que se agrega multiplicando es la derivada interna es decir"}, {"start": 3182.94, "end": 3188.94, "text": " la derivada de la manzanita en otras palabras lo que nos dice la regla de la cadena que"}, {"start": 3188.94, "end": 3194.62, "text": " no solamente se aplica para potencias sino tambi\u00e9n para funciones exponenciales logar\u00edtmicas"}, {"start": 3194.62, "end": 3201.66, "text": " o trigonom\u00e9tricas entre otras es que primero se deriva lo externo y despu\u00e9s lo interno"}, {"start": 3201.66, "end": 3207.58, "text": " es lo que est\u00e1 sucediendo ac\u00e1 con el caso espec\u00edfico o particular de la regla de la"}, {"start": 3207.58, "end": 3214.46, "text": " cadena para potencias como ejemplo de esta regla miremos esta situaci\u00f3n la funci\u00f3n"}, {"start": 3214.46, "end": 3224.5, "text": " 2x a la 6 menos 8 y todo esto elevado a la 5 entonces se observa una gran potencia toda"}, {"start": 3224.5, "end": 3232.58, "text": " la base que es la manzanita es esto 2x a la 6 menos 8 y n que es el exponente es el 5"}, {"start": 3232.58, "end": 3239.02, "text": " entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n es decir la regla de la cadena para potencias nos queda"}, {"start": 3239.02, "end": 3246.1, "text": " as\u00ed derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable x ser\u00e1 baja el exponente n"}, {"start": 3246.1, "end": 3254.46, "text": " baja el 5 que multiplica a esta expresi\u00f3n que permanece intacta o sea la manzanita 2x"}, {"start": 3254.46, "end": 3262.5, "text": " a la 6 menos 8 todo esto elevado al exponente n menos 1 o sea 5 menos 1 que es 4 y esto"}, {"start": 3262.5, "end": 3268.98, "text": " multiplicado por la derivada interna es decir por la derivada de la manzanita podemos expresar"}, {"start": 3268.98, "end": 3276.7, "text": " lo as\u00ed 2x a la 6 menos 8 y le ponemos aqu\u00ed la comita para indicar que esto todav\u00eda debe"}, {"start": 3276.7, "end": 3283.86, "text": " derivarse aqu\u00ed tendr\u00edamos la derivada de una resta entonces derivamos cada uno de esos"}, {"start": 3283.86, "end": 3291.14, "text": " t\u00e9rminos derivada el primero ser\u00eda 6 por 2 12 por x a la 5 y la derivada del segundo"}, {"start": 3291.14, "end": 3297.82, "text": " t\u00e9rmino ser\u00eda 0 por tratarse de un t\u00e9rmino constante entonces la derivada de todo esto"}, {"start": 3297.82, "end": 3306.06, "text": " como dijimos es 12 x a la 5 y lo que hacemos ya para finalizar es multiplicar esto por"}, {"start": 3306.06, "end": 3314.26, "text": " esta cantidad entonces de x la derivada de la funci\u00f3n inicial ser\u00e1 5 por 12 x a la"}, {"start": 3314.26, "end": 3324.02, "text": " 5 es 60 x a la 5 y eso queda multiplicando por esta expresi\u00f3n 12 x a la 6 menos 8 y"}, {"start": 3324.02, "end": 3331.62, "text": " todo esto elevado a la 4 bien as\u00ed terminamos las reglas b\u00e1sicas para derivar funciones"}, {"start": 3331.62, "end": 3337.58, "text": " en los siguientes v\u00eddeos encontrar\u00e1n otras reglas como por ejemplo para derivar funciones"}, {"start": 3337.58, "end": 3345.34, "text": " trigonom\u00e9tricas exponenciales logar\u00edtmicas entre otras y despu\u00e9s otros v\u00eddeos con ejercicios"}, {"start": 3345.34, "end": 3352.84, "text": " donde se combinan todas estas reglas de derivaci\u00f3n tambi\u00e9n en mi p\u00e1gina julio profe punto net"}, {"start": 3352.84, "end": 3359.6800000000003, "text": " pueden encontrar este resumen de las f\u00f3rmulas o reglas principales para derivar funciones"}, {"start": 3359.6800000000003, "end": 3365.9, "text": " ac\u00e1 en la descripci\u00f3n del v\u00eddeo les dejo el enlace correspondiente gracias por su amable"}, {"start": 3365.9, "end": 3391.5, "text": " atenci\u00f3n y hasta la pr\u00f3xima"}]