LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo resover un límite trigonométrico.

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 Vamos a resolver este límite trigonométrico. Para comenzar vamos a evaluar esta función cuando x es igual a cero. Vamos a reemplazar el cero aquí. Entonces tendremos en el numerador tangente de cero y en el denominador seno de 4 por cero es igual a cero. Tenemos que la tangente de cero vale cero y el seno de cero también vale cero. Por lo tanto tenemos una indeterminación. Cero sobre cero es indeterminación y nos dice que tenemos que transformar esta expresión puesto que esto no es una respuesta para un límite. Entonces vamos a hacer lo siguiente. Vamos a cambiar la tangente por seno sobre coseno. Seno de x sobre coseno de x es tangente de x. Y en el denominador tenemos seno de 4x que le colocamos denominador 1. Todo esto cuando x tiende a cero. Bien, vamos a aplicar la ley de la oreja. En la oreja multiplicamos seno de x por 1 que es igual a cero de x. Y abajo multiplicamos coseno de x por el seno de 4x. Y todo esto cuando x tiende a cero. Bien, tenemos que apuntarle a lo siguiente. Existe una propiedad que dice que el límite del seno de kx sobre kx cuando x tiende a cero es igual a 1. Entonces debemos apuntarle a esto procurando que lo que hace el papel del ángulo del seno sea lo mismo que tengamos acá en el denominador. Entonces vamos a lograrlo de la siguiente manera. Vamos a seguirlo por acá. Tenemos límite cuando x tiende a cero. Entonces necesitamos que seno de x tenga una x debajo. Para contrarrestar esta x debemos multiplicar por x. Coseno de x no tiene problema. Este seno de 4x necesita en su denominador un 4x. Y para contrarrestar eso debemos multiplicar por 4x. Ahora vamos a aplicar una propiedad de los límites que nos dice que cuando tenemos el límite de una función, como en este caso que hay un cociente fuera de eso tenemos arriba un producto, abajo también hay un producto de expresiones. Entonces el límite puede repartirse para cada una de esas expresiones. Entonces tendremos lo siguiente. Límite de x cuando x tiende a cero por límite del seno de x sobre x cuando x tiende a cero. Conservando la operación multiplicación que tenemos acá. En la parte de abajo lo mismo. Límite del coseno de x cuando x tiende a cero. Todo esto multiplicado por límite de 4x sobre cuando x tiende a cero. Y todo esto multiplicado por límite de seno de 4x sobre 4x cuando x tiende a cero. Entonces allí tenemos lo siguiente. Aquí límite cuando x tiende a cero de seno de x sobre x es el que mencionábamos hace un momento que es igual a 1. Y lo mismo va a suceder con este. Límite cuando x tiende a cero del seno de 4x sobre 4x también equivale a 1. Adicionalmente podríamos resolver este límite de acá, reemplazando directamente. Coseno de cero eso nos da 1. Y por reemplazo directo sale. Pero ojo con estos dos. Como x tiende a cero, si reemplazamos aquí el cero esto nos da cero. Y acá lo mismo. Como x tiende a cero, 4 por cero nos daría cero. Es decir, cero en el numerador, cero en el denominador, nuevamente indeterminación. Pero entonces hacemos lo siguiente. Vemos que en el numerador nos quedó únicamente límite de x cuando x tiende a cero. Y en el denominador límite de 4x cuando x tiende a cero. Pues bien, así como el límite vimos que se puede repartir para todos los componentes de la función. De igual forma puede devolverse. Entonces es lo que tenemos aquí. Este límite podríamos retirarlo. Que haría límite cuando x tiende a cero de x sobre 4x. Y aquí podemos simplificar x. Entonces nos va a quedar límite de 1 cuarto cuando x tiende a cero. Y tenemos entonces el límite de una función constante. Y dice la propiedad que el límite de una constante es la misma constante. De esta manera entonces hemos llegado a la solución. Nuestra respuesta para el límite propuesto es 1 cuarto.
[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite trigonom\u00e9trico."}, {"start": 3.0, "end": 9.0, "text": " Para comenzar vamos a evaluar esta funci\u00f3n cuando x es igual a cero."}, {"start": 9.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a reemplazar el cero aqu\u00ed."}, {"start": 12.0, "end": 21.0, "text": " Entonces tendremos en el numerador tangente de cero y en el denominador seno de 4 por cero es igual a cero."}, {"start": 21.0, "end": 27.0, "text": " Tenemos que la tangente de cero vale cero y el seno de cero tambi\u00e9n vale cero."}, {"start": 27.0, "end": 31.0, "text": " Por lo tanto tenemos una indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 31.0, "end": 40.0, "text": " Cero sobre cero es indeterminaci\u00f3n y nos dice que tenemos que transformar esta expresi\u00f3n"}, {"start": 40.0, "end": 44.0, "text": " puesto que esto no es una respuesta para un l\u00edmite."}, {"start": 44.0, "end": 47.0, "text": " Entonces vamos a hacer lo siguiente."}, {"start": 47.0, "end": 57.0, "text": " Vamos a cambiar la tangente por seno sobre coseno."}, {"start": 57.0, "end": 60.0, "text": " Seno de x sobre coseno de x es tangente de x."}, {"start": 60.0, "end": 66.0, "text": " Y en el denominador tenemos seno de 4x que le colocamos denominador 1."}, {"start": 66.0, "end": 69.0, "text": " Todo esto cuando x tiende a cero."}, {"start": 69.0, "end": 72.0, "text": " Bien, vamos a aplicar la ley de la oreja."}, {"start": 72.0, "end": 77.0, "text": " En la oreja multiplicamos seno de x por 1 que es igual a cero de x."}, {"start": 77.0, "end": 84.0, "text": " Y abajo multiplicamos coseno de x por el seno de 4x."}, {"start": 84.0, "end": 87.0, "text": " Y todo esto cuando x tiende a cero."}, {"start": 87.0, "end": 90.0, "text": " Bien, tenemos que apuntarle a lo siguiente."}, {"start": 90.0, "end": 99.0, "text": " Existe una propiedad que dice que el l\u00edmite del seno de kx sobre kx"}, {"start": 99.0, "end": 103.0, "text": " cuando x tiende a cero es igual a 1."}, {"start": 103.0, "end": 110.0, "text": " Entonces debemos apuntarle a esto procurando que lo que hace el papel del \u00e1ngulo del seno"}, {"start": 110.0, "end": 113.0, "text": " sea lo mismo que tengamos ac\u00e1 en el denominador."}, {"start": 113.0, "end": 118.0, "text": " Entonces vamos a lograrlo de la siguiente manera."}, {"start": 118.0, "end": 122.0, "text": " Vamos a seguirlo por ac\u00e1."}, {"start": 122.0, "end": 126.0, "text": " Tenemos l\u00edmite cuando x tiende a cero."}, {"start": 126.0, "end": 131.0, "text": " Entonces necesitamos que seno de x tenga una x debajo."}, {"start": 131.0, "end": 136.0, "text": " Para contrarrestar esta x debemos multiplicar por x."}, {"start": 136.0, "end": 139.0, "text": " Coseno de x no tiene problema."}, {"start": 139.0, "end": 146.0, "text": " Este seno de 4x necesita en su denominador un 4x."}, {"start": 146.0, "end": 151.0, "text": " Y para contrarrestar eso debemos multiplicar por 4x."}, {"start": 151.0, "end": 157.0, "text": " Ahora vamos a aplicar una propiedad de los l\u00edmites que nos dice que"}, {"start": 157.0, "end": 163.0, "text": " cuando tenemos el l\u00edmite de una funci\u00f3n, como en este caso que hay un cociente fuera de eso"}, {"start": 163.0, "end": 168.0, "text": " tenemos arriba un producto, abajo tambi\u00e9n hay un producto de expresiones."}, {"start": 168.0, "end": 172.0, "text": " Entonces el l\u00edmite puede repartirse para cada una de esas expresiones."}, {"start": 172.0, "end": 175.0, "text": " Entonces tendremos lo siguiente."}, {"start": 175.0, "end": 189.0, "text": " L\u00edmite de x cuando x tiende a cero por l\u00edmite del seno de x sobre x cuando x tiende a cero."}, {"start": 189.0, "end": 193.0, "text": " Conservando la operaci\u00f3n multiplicaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 193.0, "end": 195.0, "text": " En la parte de abajo lo mismo."}, {"start": 195.0, "end": 201.0, "text": " L\u00edmite del coseno de x cuando x tiende a cero."}, {"start": 201.0, "end": 211.0, "text": " Todo esto multiplicado por l\u00edmite de 4x sobre cuando x tiende a cero."}, {"start": 211.0, "end": 224.0, "text": " Y todo esto multiplicado por l\u00edmite de seno de 4x sobre 4x cuando x tiende a cero."}, {"start": 224.0, "end": 227.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos lo siguiente."}, {"start": 227.0, "end": 235.0, "text": " Aqu\u00ed l\u00edmite cuando x tiende a cero de seno de x sobre x es el que mencion\u00e1bamos hace un momento que es igual a 1."}, {"start": 235.0, "end": 237.0, "text": " Y lo mismo va a suceder con este."}, {"start": 237.0, "end": 245.0, "text": " L\u00edmite cuando x tiende a cero del seno de 4x sobre 4x tambi\u00e9n equivale a 1."}, {"start": 245.0, "end": 250.0, "text": " Adicionalmente podr\u00edamos resolver este l\u00edmite de ac\u00e1, reemplazando directamente."}, {"start": 250.0, "end": 253.0, "text": " Coseno de cero eso nos da 1."}, {"start": 253.0, "end": 256.0, "text": " Y por reemplazo directo sale."}, {"start": 256.0, "end": 258.0, "text": " Pero ojo con estos dos."}, {"start": 258.0, "end": 262.0, "text": " Como x tiende a cero, si reemplazamos aqu\u00ed el cero esto nos da cero."}, {"start": 262.0, "end": 264.0, "text": " Y ac\u00e1 lo mismo."}, {"start": 264.0, "end": 267.0, "text": " Como x tiende a cero, 4 por cero nos dar\u00eda cero."}, {"start": 267.0, "end": 272.0, "text": " Es decir, cero en el numerador, cero en el denominador, nuevamente indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " Pero entonces hacemos lo siguiente."}, {"start": 276.0, "end": 282.0, "text": " Vemos que en el numerador nos qued\u00f3 \u00fanicamente l\u00edmite de x cuando x tiende a cero."}, {"start": 282.0, "end": 288.0, "text": " Y en el denominador l\u00edmite de 4x cuando x tiende a cero."}, {"start": 288.0, "end": 295.0, "text": " Pues bien, as\u00ed como el l\u00edmite vimos que se puede repartir para todos los componentes de la funci\u00f3n."}, {"start": 295.0, "end": 298.0, "text": " De igual forma puede devolverse."}, {"start": 298.0, "end": 300.0, "text": " Entonces es lo que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 300.0, "end": 303.0, "text": " Este l\u00edmite podr\u00edamos retirarlo."}, {"start": 303.0, "end": 309.0, "text": " Que har\u00eda l\u00edmite cuando x tiende a cero de x sobre 4x."}, {"start": 309.0, "end": 311.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos simplificar x."}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " Entonces nos va a quedar l\u00edmite de 1 cuarto cuando x tiende a cero."}, {"start": 316.0, "end": 320.0, "text": " Y tenemos entonces el l\u00edmite de una funci\u00f3n constante."}, {"start": 320.0, "end": 325.0, "text": " Y dice la propiedad que el l\u00edmite de una constante es la misma constante."}, {"start": 325.0, "end": 329.0, "text": " De esta manera entonces hemos llegado a la soluci\u00f3n."}, {"start": 329.0, "end": 342.0, "text": " Nuestra respuesta para el l\u00edmite propuesto es 1 cuarto."}]