INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 18
#julioprofe explica cómo resolver una integral definida, usando el Método de Sustitución.

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Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Vamos a resolver esta integral definida utilizando el método de sustitución, también conocido como método de cambio de variable. Vamos a tomar por ejemplo como letra P lo que tenemos dentro de la raíz en el denominador. Nos queda entonces P igual a X al cuadrado menos 15. Esto vamos a derivarlo, derivada de P con respecto a X es igual a 2X y de allí vamos a despejar de X que nos queda igual a DP sobre 2X. También vamos a actualizar los límites de integración que originalmente son valores de X, vamos a llevarlos a valores de P. Entonces eso lo hacemos por acá, tenemos que si X es igual a 8, es decir el límite superior, entonces P es igual a, veamos 8 al cuadrado es 64, 64 menos 15 nos da 49. Y si X es igual a 4, es decir el límite inferior, entonces P es igual a, veamos 4 al cuadrado 16, 16 menos 15 nos da 1. Con esta información vamos a reconstruir la integral, nos queda ahí entonces de la siguiente manera. Veamos, para X igual a 4 corresponde P igual a 1, para X igual a 8 corresponde P igual a 49. Ahora vamos a lo integrando, esa X del numerador la dejamos igual, en el denominador tendríamos la raíz cuadrada DP porque P equivale a X al cuadrado menos 15. Y todo esto multiplicado por DX que nos dio DP sobre 2X. De esa manera logramos que la X se nos cancele y nos quede una integral únicamente en términos DP. Podemos hacer lo siguiente, sacar este 2 quedaría como un medio de la integral desde 1 hasta 49. Ya sabemos que estos son valores de la nueva letra, de la nueva variable que es P. Y esto nos queda 1 sobre la raíz cuadrada DP con su respectivo diferencial DP. Continuamos, nos queda un medio por la integral entre 1 y 49. Esto sería P a la un medio, si lo subimos nos queda como P a la menos un medio con su respectivo diferencial DP. Y allí ya podemos integrar. Entonces nos queda un medio por la integral de P a la menos un medio será P a la menos un medio más 1 que nos da un medio y todo esto sobre un medio. Y como tenemos una integral definida debemos evaluar entre 1 y 49 que son los límites de integración. Aquí podríamos subir este 2, nos queda un medio por 2P a la un medio. Esto quedaría con denominador 1 pero no es necesario escribirlo. Evaluado entre 1 y 49. Allí podemos simplificar el 2, se nos cancela este 2 con este 2. Y nos quedaría P a la un medio que podemos reescribirlo como la raíz cuadrada DP. Y esta queda evaluada entre 1 y 49. Finalmente esto nos queda la raíz cuadrada de 49 menos la raíz cuadrada de 1. Recordemos que entra primero el límite superior, después el límite inferior y entre esos valores se hace la diferencia. Allí estamos dando cumplimiento al teorema fundamental del cálculo. Raíz cuadrada de 49 nos da 7, raíz cuadrada de 1 nos da 1 y 7 menos 1 nos da 6. Entonces 6 es el resultado de esta integral definida.
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