INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral definida, que es de tipo impropia. Podríamos preguntarnos por qué, siendo que aquí no tenemos menos infinito, ni acá tenemos más infinito. Pues bien, esto sucede porque para esta función, la función 1 sobre x menos 2, tenemos que su dominio son los x que pertenecen al conjunto de los números reales, con excepción del elemento 2. Vemos que aquí, si x toma el valor 2, nos da 0 en el denominador. Por lo tanto, ese valor debe excluirse en el conjunto que representa el dominio para esa función. Tenemos entonces que en esta integral, el límite inferior es justamente 2, o sea el valor prohibido. Entonces ese valor debe cambiarse por una letra. Y por eso tenemos una integral impropia. Vamos a utilizar la letra a. Aquí continúa 5 en el límite superior. La función sigue siendo 1 sobre x menos 2, con su diferencial de x. Y acá, a todo eso vamos a tomarle el límite cuando a tiende a 2. Pero debemos especificar si tiende a 2 por la izquierda, o si tiende a 2 por la derecha. Como en este caso, vamos desde 2 hasta 5, si nos ubicamos en el eje x, entonces aquí tenemos 2 y acá tenemos 5. Vamos a movernos en esta zona. Por lo tanto, los valores de x que empezamos a tomar son los que están situados a la derecha del número 2. Entonces por eso aquí debemos señalar que a tiende a 2 por la derecha. Enseguida debemos buscar la antiderivada para esta función. Y para ello podemos utilizar la siguiente fórmula de las integrales. Si tenemos 1 sobre x más una cantidad p, una constante, todo esto con su diferencial de x. Esto será igual al logaritmo natural de valor absoluto de x más p. Es una integral que se demuestra por el método de sustitución cambiando x más p por otra letra o variable. En este caso, p está representado por menos 2. Entonces vamos a continuarlo por acá. Escribimos límite cuando a tiende a 2 por la derecha. Vamos a abrir un corchete que nos proteja la expresión y la integral de 1 sobre x menos 2 será el logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2. Siguiendo esta regla o esa fórmula. Y como tenemos una integral definida, trazamos esta línea y anotamos los límites de integración que son a y 5. Y a continuación cerramos el corchete. Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Vamos a evaluar los límites de integración en la antiderivada que encontramos. Seguimos por acá. Escribimos el límite. Cuando a tiende a 2 por la derecha, abrimos el corchete y reemplazamos el 5. Entra aquí. Nos queda el logaritmo natural de 5 menos 2 que será 3. Valor absoluto de 3 es simplemente 3. Y a eso le restamos el reemplazo de a aquí en la expresión. Nos queda logaritmo natural de valor absoluto de a menos 2 y cerramos el corchete. Ahora vamos a resolver este límite. Vamos a continuar por acá. Y tendremos logaritmo natural de 3. Eso se conserva. Es una constante. Y veamos qué sucede con esto que tenemos acá cuando a tiende a 2 por la derecha. Allí podemos escoger un valor de a que cumpla con esa condición. Que sea ligeramente mayor que 2. Podemos tomar el número 2.0001. Si ese valor lo traemos acá y le restamos 2, nos da como resultado 0.0001. Es decir, un número muy cercano a 0 de naturaleza positiva. Lo podemos representar de esta manera. Y si a eso le tomamos valor absoluto, nos dará esa misma cantidad. Un número cercano a 0 con signo positivo. Si tomamos el logaritmo natural de una cantidad positiva muy cercana a 0, vamos a obtener como resultado un número negativo muy grande. Es decir, que todo esto tiende hacia menos infinito. Y resolviendo esto tendremos logaritmo natural de 3 menos por menos es más infinito. Y en este caso, infinito absorbe esta cantidad que es pequeña. A este número grande le sumamos esto que es pequeño y seguimos obteniendo infinito. Entonces, ese será el resultado para esta integral impropia. Más infinito. Y por eso concluimos que se trata de una integral que diverge. Veamos ahora qué es lo que sucede con esta integral gráficamente. Allí tenemos un bosquejo de la gráfica de la función que tenemos en el integrando. La función 1 sobre x menos 2. Vemos que tiene una asíntota vertical que pasa justamente por el valor 2. El valor que dijimos que no puede tomar x en la función porque nos da 0 en el denominador. El valor que se excluye del dominio. También tenemos que aquí corta el eje y en la ordenada menos un medio. O sea, cuando x toma el valor 0. Y también vemos que el eje x es una asíntota horizontal. Suponiendo que aquí tenemos la abscisa 5. Entonces esa integral representa el área que existe bajo esta curva entre 2 y 5. Es decir, esta región plana que aparece pintada con color verde. Entonces, el área de esta región va a crecer de forma indefinida. A medida que la curva va subiendo y se aproxima a la asíntota vertical, entonces así mismo el área empieza a crecer de forma incontrolada, haciéndose cada vez más grande. Por eso decimos que el área bajo esa curva tiene un valor que es infinito. O sea, no podemos determinarla exactamente. Con eso terminamos este ejercicio.
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