GRÁFICA, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN CON RAÍZ CUADRADA
#julioprofe explica cómo obtener la gráfica de una función con raíz cuadrada, así como su dominio y rango. Adicionalmente, determina los cortes o intersecciones de la gráfica con los ejes coordenados.

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 Para esta función que nos dan vamos a determinar su gráfica, su dominio y su rango. Vamos a comenzar por reescribirla de la siguiente manera, menos la raíz cuadrada de x más 2 y todo esto más 4. Entonces vamos a realizar la gráfica de esa función en las siguientes etapas. Primero vamos a considerar la función y igual a la raíz cuadrada de x, porque como se observa es la función que comanda el ejercicio, allí detectamos una raíz cuadrada. Segundo, vamos a realizar la gráfica de la función y igual a la raíz cuadrada de x más 2. Tercero, vamos a efectuar la gráfica de la función y igual a menos la raíz cuadrada de x más 2, es decir el negativo de la función anterior. Y como cuarta y última gráfica vamos a trabajar la función y igual a menos la raíz cuadrada de x más 2 y todo eso más 4. Y vamos a llegar entonces a la función que se nos ha planteado. Comenzamos dibujando un plano cartesiano, donde en el eje x hemos establecido la medida de cada unidad utilizando dos cuadritos, mientras tanto en el eje vertical o en el eje y cada unidad corresponde a un cuadrito. Vamos entonces con la gráfica número 1, la gráfica de y igual a raíz cuadrada de x, esa es una función de uso frecuente que parte del origen cuando x vale 0 lleva 0 y tiene esta forma. Para dibujarla con un poco de precisión podemos considerar los siguientes puntos, para x igual a 1 lleva 1, si la raíz cuadrada de 1 nos da 1 y para x igual a 4 la raíz cuadrada de 4 nos da 2, entonces para x igual a 4 corresponde y igual a 2, entonces la gráfica tendrá esta forma. Bien, allí la tenemos en forma aproximada, entonces repetimos, esa curva corresponde a la gráfica de la función 1, la función y igual a raíz cuadrada de x. Vamos ahora a dibujar la gráfica 2, la que corresponde a y igual a la raíz cuadrada de x más 2, entonces lo que hacemos es tomar la gráfica de la curva 1 y la vamos a correr 2 unidades hacia la izquierda, porque como vemos aquí el número 2 está sumando con la x, entonces el efecto de sumarle una cantidad a la variable x a una función es que se corre a la izquierda esa cantidad, es decir en este caso 2 unidades. Vamos a correr entonces esos 3 puntos principales, este punto se corre a la izquierda 2 lugares, nos quedaría por aquí, este punto se corre a la izquierda 2 lugares, nos queda aquí y este punto se corre a la izquierda 2 unidades, es decir aquí, entonces la nueva gráfica tendrá esta forma. Bien, allí la tenemos, entonces esta curva de color verde corresponde a la función 2, la gráfica de y igual a la raíz cuadrada de x más 2, repetimos, es correr la gráfica 1, 2 unidades hacia la izquierda. Vamos ahora con la gráfica 3, que es el negativo de la función anterior, en otras palabras es reflejar esta curva con respecto del eje x, se va a producir entonces un reflejo de sus puntos principales en relación con el eje horizontal, este punto nos queda allí mismo, no sufre ningún reflejo, este punto si se refleja nos queda aquí, es decir a una unidad de distancia, pero ahora por debajo del eje x, y lo mismo hacemos con este punto, que está a 2 unidades de distancia por encima del eje x, entonces lo vamos a trasladar acá, que nos quede 2 unidades por debajo de dicho eje, entonces ahora la curva tendrá esta forma. Bien, allí tenemos en forma aproximada la gráfica de la curva 3, entonces repetimos, es producirle un reflejo a la curva número 2 con respecto del eje x, y eso sucede porque la función ahora tiene un signo menos que va antes de la expresión, entonces vuelve negativa la función número 2. Ahora vamos con la función 4, es decir la que nos conduce al ejercicio original, aquí vamos a realizar lo siguiente, vemos que es sumarle 4 a la expresión anterior, entonces eso va a ocasionar que la gráfica azul se desplace hacia arriba 4 unidades, entonces vamos a desplazar los puntos principales, este punto sube 4 unidades, 1, 2, 3, 4 nos queda allí, este punto lo subimos 4 unidades, 1, 2, 3, 4 nos queda en este punto, y este también lo subimos 4 unidades, 1, 2, 3 y 4 nos queda exactamente allí, entonces la curva tendrá esta forma. Bien, allí la tenemos, entonces esa gráfica de color rojo corresponde a la expresión número 4, es decir la función como decíamos que se nos dio al comienzo, esa curva es siempre decreciente, parte desde este punto y se mueve siempre descendiendo a medida que x va aumentando, entonces podemos decir que es una función decreciente o descendente en todo su dominio, parte en este punto cuyas coordenadas son menos 2,4, menos 2 es la abscisa y 4 es la ordenada. Bien, ya teniendo un bosquejo de la gráfica de la función que como vimos se hizo transformando sucesivamente la función primitiva que era esta, la función y igual a raíz cuadrada de x, entonces podemos determinar el dominio y el rango para la función que nos han dado. Comencemos con el dominio, es decir debemos establecer cuales son los valores que puede tomar la variable x, como vemos esta curva inicia en este punto y se mueve en esta dirección, entonces va a tomar valores de x correspondientes al intervalo que va desde menos 2 hasta más infinito, entonces lo podemos escribir así, los x mayores o iguales que menos 2 o también en notación de intervalo, los x que van desde menos 2 cerrado porque se incluye ese valor hasta más infinito, ese será entonces el dominio para esa función. Vamos ahora con el rango, el rango son los valores que toma la variable dependiente y, como vemos en esa gráfica, la curva inicia en este punto y empieza a descender en esta dirección, o sea que toma valores a partir de 4 hacia abajo, entonces el rango de la función serán los valores de y mayores o iguales que 4 o también en notación de intervalo nos queda así, los y que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito desde por acá abajo hasta 4, entonces hasta 4 incluyéndolo, por eso se cierra con corchete. Otra manera de determinar el dominio es a partir de la expresión original o bueno también esta en realidad es lo mismo, solamente que aquí se han cambiado el orden de esos dos términos, lo que hacemos en la expresión original es fijarnos en esta expresión, la que está dentro de la raíz cuadrada, en ese caso tenemos que garantizar que esto no sea negativo, entonces la condición que establecemos es que x más 2 sea mayor o igual que 0, se forma así una desigualdad lineal que al resolverla nos da x mayor o igual que menos 2, es como restar 2 a ambos lados de la desigualdad y llegamos a esta expresión, lo que tenemos acá como dominio y que pudimos deducir a partir de la gráfica. Otro adicional que podemos determinar para esta curva de color rojo, es decir para la gráfica que corresponde a esta función son los puntos de corte o de intersección con los ejes, aquí vemos el punto de corte con el eje y y por acá más adelante ocurriría el punto de corte o de intersección con el eje x, para hallar el punto de corte con el eje y lo que hacemos es volver x igual a 0, aquí si x vale 0 entonces aquí nos queda la raíz cuadrada de 2 y y sería igual a 4 menos raíz cuadrada de 2, entonces el corte de la curva con el eje y ocurre en la ordenada y igual a 4 menos raíz cuadrada de 2 que eso es aproximadamente 2.6, si hacemos esta operación en calculadora nos da aproximadamente 2.6 y más o menos es el valor que se observa aquí en la gráfica. Ahora para hallar el punto de corte de la función con el eje x lo que tenemos que hacer es volver y igual a 0, entonces nos quedaría 0 igual a 4 menos la raíz cuadrada de x más 2, una ecuación que debemos resolver, veamos cómo se hace. Para resolver esta ecuación primero aislamos la raíz, eso quiere decir que podemos pasarla a este lado, si acá está negativa entonces llega al lado izquierdo con signo positivo, llega a sumar con 0, entonces nos queda la raíz cuadrada de x más 2 y todo esto igual a 4. Ahora debemos destruir o eliminar esa raíz cuadrada y para ello vamos a elevar ambos lados de la igualdad al cuadrado, entonces elevamos el lado izquierdo y también elevamos el lado derecho, todo eso al cuadrado, acá en el lado izquierdo el exponente 2 nos elimina o nos destruye la raíz cuadrada y nos libera x más 2, en el lado derecho resolvemos 4 al cuadrado que nos da 16 y de allí despejamos x, para despejar x 2 que está sumando pasa al otro lado a restar, nos queda 16 menos 2, es como restar 2 a ambos lados de la igualdad y efectuando esa operación nos da x igual a 14, esa será entonces la solución para esa ecuación. Bien, entonces el corte de esa curva con el eje x ocurre en la abscisa x igual a 14, de esta manera terminamos el ejercicio, tenemos entonces la gráfica de esta función, una curva que es siempre decreciente o descendente en su dominio, también hemos establecido el rango y los puntos de corte o intersección de esa función con los ejes coordenados.
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492.96, "text": " sea negativo, entonces la condici\u00f3n que establecemos es que x m\u00e1s 2 sea mayor o igual que 0, se"}, {"start": 492.96, "end": 500.21999999999997, "text": " forma as\u00ed una desigualdad lineal que al resolverla nos da x mayor o igual que menos 2, es como"}, {"start": 500.21999999999997, "end": 505.59999999999997, "text": " restar 2 a ambos lados de la desigualdad y llegamos a esta expresi\u00f3n, lo que tenemos"}, {"start": 505.59999999999997, "end": 510.96, "text": " ac\u00e1 como dominio y que pudimos deducir a partir de la gr\u00e1fica."}, {"start": 510.96, "end": 515.72, "text": " Otro adicional que podemos determinar para esta curva de color rojo, es decir para la"}, {"start": 515.72, "end": 521.0, "text": " gr\u00e1fica que corresponde a esta funci\u00f3n son los puntos de corte o de intersecci\u00f3n con"}, {"start": 521.0, "end": 526.12, "text": " los ejes, aqu\u00ed vemos el punto de corte con el eje y y por ac\u00e1 m\u00e1s adelante ocurrir\u00eda"}, {"start": 526.12, "end": 531.16, "text": " el punto de corte o de intersecci\u00f3n con el eje x, para hallar el punto de corte con el"}, {"start": 531.16, "end": 538.12, "text": " eje y lo que hacemos es volver x igual a 0, aqu\u00ed si x vale 0 entonces aqu\u00ed nos queda"}, {"start": 538.12, "end": 544.96, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 2 y y ser\u00eda igual a 4 menos ra\u00edz cuadrada de 2, entonces el corte"}, {"start": 544.96, "end": 553.76, "text": " de la curva con el eje y ocurre en la ordenada y igual a 4 menos ra\u00edz cuadrada de 2 que"}, {"start": 553.76, "end": 561.44, "text": " eso es aproximadamente 2.6, si hacemos esta operaci\u00f3n en calculadora nos da aproximadamente"}, {"start": 561.44, "end": 567.24, "text": " 2.6 y m\u00e1s o menos es el valor que se observa aqu\u00ed en la gr\u00e1fica."}, {"start": 567.24, "end": 573.04, "text": " Ahora para hallar el punto de corte de la funci\u00f3n con el eje x lo que tenemos que hacer"}, {"start": 573.04, "end": 579.96, "text": " es volver y igual a 0, entonces nos quedar\u00eda 0 igual a 4 menos la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s"}, {"start": 579.96, "end": 585.84, "text": " 2, una ecuaci\u00f3n que debemos resolver, veamos c\u00f3mo se hace."}, {"start": 585.84, "end": 591.28, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n primero aislamos la ra\u00edz, eso quiere decir que podemos pasarla"}, {"start": 591.28, "end": 597.28, "text": " a este lado, si ac\u00e1 est\u00e1 negativa entonces llega al lado izquierdo con signo positivo,"}, {"start": 597.28, "end": 604.0, "text": " llega a sumar con 0, entonces nos queda la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 2 y todo esto igual"}, {"start": 604.0, "end": 605.0, "text": " a 4."}, {"start": 605.0, "end": 610.9599999999999, "text": " Ahora debemos destruir o eliminar esa ra\u00edz cuadrada y para ello vamos a elevar ambos"}, {"start": 610.9599999999999, "end": 617.3199999999999, "text": " lados de la igualdad al cuadrado, entonces elevamos el lado izquierdo y tambi\u00e9n elevamos"}, {"start": 617.32, "end": 624.0400000000001, "text": " el lado derecho, todo eso al cuadrado, ac\u00e1 en el lado izquierdo el exponente 2 nos elimina"}, {"start": 624.0400000000001, "end": 631.12, "text": " o nos destruye la ra\u00edz cuadrada y nos libera x m\u00e1s 2, en el lado derecho resolvemos 4"}, {"start": 631.12, "end": 638.44, "text": " al cuadrado que nos da 16 y de all\u00ed despejamos x, para despejar x 2 que est\u00e1 sumando pasa"}, {"start": 638.44, "end": 645.1800000000001, "text": " al otro lado a restar, nos queda 16 menos 2, es como restar 2 a ambos lados de la igualdad"}, {"start": 645.18, "end": 653.3199999999999, "text": " y efectuando esa operaci\u00f3n nos da x igual a 14, esa ser\u00e1 entonces la soluci\u00f3n para"}, {"start": 653.3199999999999, "end": 654.3199999999999, "text": " esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 654.3199999999999, "end": 662.5999999999999, "text": " Bien, entonces el corte de esa curva con el eje x ocurre en la abscisa x igual a 14,"}, {"start": 662.5999999999999, "end": 668.3599999999999, "text": " de esta manera terminamos el ejercicio, tenemos entonces la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n, una"}, {"start": 668.3599999999999, "end": 674.4799999999999, "text": " curva que es siempre decreciente o descendente en su dominio, tambi\u00e9n hemos establecido"}, {"start": 674.48, "end": 680.28, "text": " el rango y los puntos de corte o intersecci\u00f3n de esa funci\u00f3n con los ejes coordenados."}]