DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 27
#julioprofe explica cómo obtener la primera derivada de una función.

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

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 Para derivar esta función primero debemos reescribirla. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Abrimos un corchete, dentro de él escribimos x más, abrimos un paréntesis, x más x a la un medio. Es decir, cambiamos esta raíz cuadrada de x por x elevado al exponente un medio. Ahora la siguiente raíz, que es la que afecta a este binomio, entonces también se cambia por exponente un medio. Y la última raíz, la grande, la que afecta a toda la expresión, también se cambia por exponente un medio. Ahora sí vamos a derivar nuestra función. Comenzamos la derivada, denotándola como de y de x, y vamos a aplicar la regla de la cadena para potencias. Baja este exponente un medio a multiplicar delante del corchete. Entonces tenemos x más, abre paréntesis, x más x a la un medio, cierra paréntesis, este elevado a la un medio, cerramos el corchete, y todo esto elevado a la menos un medio, que es el resultado de efectuar un medio menos uno. Y esto multiplicado por la derivada interna, es decir, la derivada de todo esto. Vamos a indicarla y en el próximo paso la desarrollamos. Entonces la vamos a anunciar usando esta comida. Sí, esta noticia es que hay una derivada pendiente que debemos realizar en el siguiente paso. Esto por razones de seguridad para que no se nos escape ninguna derivada interna. Veamos. Nos queda que la derivada de esto, que vamos a hacerla aquí, es la derivada de una suma. Entonces la derivada del primer término, la derivada de x es uno, más la derivada del segundo componente. Nuevamente aplicamos la regla de la cadena para potencias. Este un medio va a multiplicar delante del paréntesis, nos queda lo que está dentro del paréntesis intacto, todo esto elevado a la menos un medio, y esto multiplicado por la derivada interna. Vamos a seguirla por acá. Todo eso multiplicado por x más x a la un medio, y todo esto le ponemos una comita para anunciar que es lo que nos queda pendiente, esa derivada. Vamos a realizarla en el siguiente paso. Nos queda que la derivada de esto, como es una suma, será la derivada de x que es uno, más la derivada de x a la un medio, que sería un medio de x a la menos un medio. Cerramos el paréntesis y cerramos el corchet. De esta manera ya hemos hecho todas las derivadas. No nos queda pendiente ninguna derivada interna. Ahora lo que hacemos es el proceso de organizar un poco la expresión para que no nos quede con exponentes negativos. Veamos. Nos quedaría así como aparece en la parte superior. Veamos un medio que da igual. Todo esto, como tiene exponente menos un medio, pasa al denominador. Vemos que esto y esto es lo mismo, pero con exponente un medio positivo. Arriba queda numerador uno. Aquí, en esta parte, este uno más este medio quedan igual. Esta es la que sufre el cambio, porque está elevada al exponente menos un medio. Nos queda uno sobre lo mismo a la un medio, multiplicado, es decir, este por esto, que vemos que el uno queda igual, la suma también queda igual, y se cambia x a la menos un medio por uno sobre x a la un medio. Ahora vamos a convertir todo lo que tenga exponente un medio en esta expresión en raíz cuadrada. Veamos. Bien, allí hemos hecho el cambio. Ahora vamos a hacer los productos que tenemos, por ejemplo este de acá, este de acá y este de acá, simplemente para ver un poco más comprimida la expresión, aunque no es mucho lo que podemos desarrollar, ya que se trata de una expresión bastante compleja. Bien, como vemos, ahí hemos desarrollado este producto, este y este, nos queda esta expresión. Allí podríamos dejar la respuesta de nuestro ejercicio. Esta sería la derivada que nos pedían.
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