INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 2 (Parte 1)
#julioprofe explica cómo resolver una integral usando los Métodos de Sustitución y Sustitución Trigonométrica.

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 Vamos a resolver esta integral comenzando por reescribir e a la 2x. Tendríamos en la parte de arriba lo mismo y en la parte de abajo raíz cuadrada de 1 más entre paréntesis e a la x elevado al cuadrado. Esto es lo mismo que esto. Y allí vamos a hacer entonces una sustitución para comenzar. Vamos a usar por ejemplo, usemos la letra P para e a la x. Para cambiar este e a la x, también el que tenemos en la parte de arriba. Entonces esto lo debemos derivar, decimos derivada de P con respecto a x sería igual a e a la x. Recordemos que la derivada de e a la x es ella misma. Y aquí podríamos despejar por ejemplo de P que sería entonces e a la x dx. Aprovechando que aquí en la parte de arriba tenemos justamente ese producto, e a la x por dx. Si queremos este dx lo podríamos colocar aquí y es exactamente lo mismo. Entonces aprovechando esta situación vamos a dejarlo aquí y vamos a reconstruir la integral. Entonces va a quedar así. Integral de toda la parte de arriba es esto, se convierte en dP. Y la parte de abajo nos va a quedar la raíz cuadrada de 1 más e a la x se cambia por P y nos queda P al cuadrado. Entonces la integral ahora es esta y la vamos a resolver por el método de sustitución trigonométrica. Entonces para comenzar trazamos un triángulo, hacemos un triángulo rectángulo y en él vamos a ubicar la siguiente información. Tenemos que aquí hay una suma de cuadrados, entonces la raíz cuadrada de 1 que es 1 y la raíz cuadrada de P cuadrado que sería P, es decir 1 y P serán los catetos del triángulo. Podemos ubicarlos así o al contrario, no interesa, el hecho es que tienen que ser catetos. Y la hipótenusa del triángulo si la calculamos por el teorema de Pitágoras será la raíz cuadrada de este al cuadrado, es decir 1 más este al cuadrado que sería P al cuadrado. Ahí logramos que nos aparezca esta raíz en el triángulo y este ángulo lo vamos a llamar el ángulo theta. Buscamos entonces una relación trigonométrica que nos relacione este lado con este, es decir el que tiene el valor numérico con el que tiene la raíz. En este caso sería el cateto adyacente con la hipotenusa, teniendo como referencia el ángulo theta luego allí debemos utilizar coseno. Entonces coseno de theta será igual a cateto adyacente que es 1 sobre la hipotenusa que es la raíz cuadrada de 1 más P al cuadrado. Esta raíz pasa a multiplicar acá y el coseno viene a dividir, es decir hacemos un intercambio entre estos dos elementos, nos queda entonces la raíz cuadrada de 1 más P al cuadrado es igual a 1 sobre el coseno de theta y entonces podemos decir que la raíz cuadrada de 1 más P al cuadrado es igual a secante de theta. Entonces ya tenemos el reemplazo para la raíz que nos aparece en la integral, esta raíz más adelante se cambiará por secante de theta. Aquí hemos anotado la expresión que acabamos de obtener para desocupar aquí, vamos entonces a buscar una relación trigonométrica que nos vincule estos dos lados, es decir el que tiene la P con el que tiene el número, es decir el 1, esa relación será la tangente, entonces tangente del ángulo theta será igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente, es decir P sobre 1. Y allí tenemos que P es igual a tangente de theta y de esta igualdad vamos a derivar para poder obtener Dp, entonces derivamos ambos lados con respecto a theta, nos queda Dp de theta es igual a la derivada de tangente de theta que sería secante al cuadrado de theta, despejando Dp nos va a quedar secante al cuadrado de theta por D theta. Y ya tenemos entonces lista la otra expresión que vamos a sustituir aquí en la integral. Entonces reconstruimos esta integral usando estas dos equivalencias y nos queda de la siguiente manera, en el numerador tenemos Dp que es secante al cuadrado de theta por D theta y en el denominador tenemos la raíz, aquí la tenemos y ella equivale a secante de theta, esto simplificando nos queda secante de theta por D theta, entonces vamos a realizar esa integral.
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