91. MOVIMIENTO DE PROYECTILES (Ejercicio 12)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 91: Movimiento de Proyectiles (Ejercicio 12).

Desde la azotea de un edificio se dispara una flecha con una velocidad inicial de 50 m/s y un ángulo de depresión de 37°. La flecha se clava en el suelo 3 segundos después. Determine: (a) La altura del edificio; (b) El máximo alcance horizontal de la flecha; (c) La velocidad de la flecha cuando clava en el suelo (magnitud y dirección). Use: sen37°=3/5 y cos37°=4/5. 

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema vamos a considerar la flecha como un objeto puntual, es decir, esta bolita que tenemos aquí y en este instante representa la flecha. Nos dice el problema que ella es disparada desde la azotea de un edificio con una velocidad inicial de 50 metros por segundo y un ángulo de depresión de 37 grados, esto quiere decir un ángulo que se mide por debajo de la horizontal, por esa razón theta es negativo. Este punto que es como decíamos la azotea del edificio, aquí tenemos el suelo, entonces corresponde a la coordenada H en el eje Y que tenemos establecido en metros, entonces esta H será la primera pregunta del problema, es decir, cuál es la altura del edificio. Nos preguntan también cuál será el alcance máximo horizontal de la flecha, es decir, lo que se conoce como X máximo, la distancia que hay desde la base del edificio hasta el punto donde la flecha se clava en el suelo. Y la pregunta C nos dice que cuál es la velocidad final de la flecha, es decir, la velocidad con la que se clava en el suelo, entendiendo que esa velocidad tiene magnitud y tiene dirección por tratarse de un vector. Nos dice también el problema que el tiempo de vuelo de la flecha es 3 segundos, entonces aquí se cumple el tiempo de vuelo y tenemos en el momento de la salida o del disparo tiempo igual a cero. Vamos entonces a construir las ecuaciones cinemáticas para este movimiento. Comenzamos con la ecuación de posición en Y, entonces copiamos el modelo y vamos a reemplazar allí la información que conocemos. La gravedad la tomamos como 10, recordemos que es 10 metros por segundo cuadrado, la velocidad inicial vale 50 metros por segundo y el ángulo theta es menos 37 grados, esto por T más Y sub cero, es decir H, la posición que tiene la flecha en el tiempo cero en el eje Y, entonces Y sub cero vale H. Veamos, aquí cero de menos 37 grados, vamos a resolverlo de la siguiente manera, la función cero es impar, esto quiere decir que cero de menos 37 grados equivale a menos el cero de 37 grados y nos dice el problema que este valor se puede tomar como tres quintos, entonces cero de menos 37 grados equivale a menos tres quintos. Simplificando esta ecuación nos queda así, Y es igual a menos 5T cuadrado, 50 por menos tres quintos nos da menos 30 por T más H que no lo conocemos. Esta será entonces la ecuación número uno que nos da la posición en Y. Derivando esta ecuación con respecto al tiempo obtenemos la velocidad en Y, entonces tenemos que esa velocidad es igual a lo siguiente, derivada de este término nos da menos 10T, derivada de este término nos da menos 30 y derivada de este término sería cero. Por lo tanto tenemos la ecuación número dos que nos da la componente vertical de la velocidad en cualquier instante, entonces estas ecuaciones unidas vamos a escribirlas por acá, allí ya están y vamos a construir la ecuación de posición en X, entonces escribimos el modelo y reemplazamos lo que conocemos. V sub cero, es decir la velocidad inicial es 50 metros por segundo, el ángulo es menos 37 grados por T más X sub cero, en el tiempo cero la posición en X en la flecha vale cero, entonces ahora veamos a cuanto equivale coseno de menos 37 grados. La función coseno es par, es decir que coseno de menos 37 grados es igual a calcular coseno de 37 grados, es decir es indiferente que el ángulo esté negativo o que esté positivo porque la función coseno como decíamos es una función par. Coseno de 37 grados se puede tomar como 4 quintos, entonces nos va a quedar X igual a 50 por 4 quintos que nos da 40 por T y esta será la ecuación número tres. Esa ecuación la escribimos por aquí y si hacemos la derivada de X con respecto al tiempo vamos a obtener la velocidad en X, entonces veamos, velocidad en X será igual a la derivada de 40T que es igual a 40, esto nos queda en metros por segundo, esto quiere decir que en todo momento la componente horizontal de la velocidad vale 40 metros por segundo, recordemos que en un movimiento de proyectiles la componente en X permanece constante, entonces ya con esta información vamos a comenzar el análisis de este problema. Decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, es decir en este instante donde el tiempo es tres segundos tenemos que la posición Y de la flecha vale cero, recordemos que aquí estamos al nivel del suelo donde Y vale cero, entonces reemplazamos esta información en la ecuación número uno, vamos a escribirla y sustituimos estos datos, donde está Y escribimos cero, donde está el tiempo escribimos tres y ejecutamos esas operaciones para encontrar H, veamos cero es igual a tres al cuadrado nueve por menos cinco da menos cuarenta y cinco, menos treinta por tres da menos noventa, todo esto más H queda cero es igual a menos ciento treinta y cinco más H de donde el despeje de H nos da ciento treinta y cinco metros, esta será la respuesta a la pregunta A del problema, tenemos ya la altura del edificio, nos acaba de dar ciento treinta y cinco metros, ahora decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es igual a tres segundos, es decir aquí tenemos que la posición X de la flecha se llama X máxima, es decir el alcance máximo horizontal, esta información la vamos a sustituir en la ecuación número tres, la escribimos y reemplazamos, X se sustituye por X máxima igual a cuarenta por T que vale tres segundos y resolviendo nos da un alcance máximo horizontal de ciento veinte metros y esta será la respuesta a la pregunta B del problema, ya conocemos entonces el alcance máximo horizontal de la flecha, son ciento veinte metros, ahora tenemos que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que son tres segundos, es decir en este instante la velocidad de la flecha es la velocidad final, miremos un detalle de lo que sucede en ese momento, tenemos el vector velocidad final cuyas componentes rectangulares serán esta que llamamos velocidad final en Y y esta que llamamos velocidad final en X, aquí tenemos la flecha considerada como un objeto puntual cuando llega justamente a clavarse en el suelo, entonces allí tenemos las dos componentes, esta ya la conocemos porque es la velocidad en X en todo instante, recordemos que esa velocidad permanece constante durante todo el movimiento y ya la tenemos calculada, vale cuarenta metros por segundo, esta es la que tenemos que encontrar, entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo igual a tres segundos la componente vertical de la velocidad se llama BF en Y y esta información la vamos a sustituir en la ecuación número dos, la escribimos nos queda menos diez de menos treinta, esta se cambia por velocidad final en Y, la componente vertical igual a menos diez por el tiempo que es tres segundos menos treinta, resolvemos eso, menos diez por tres da menos treinta y menos treinta menos treinta nos da menos sesenta en metros por segundo, da con signo negativo porque como vemos es un vector dirigido hacia abajo, el vector velocidad en X está dirigido hacia la derecha por eso es que aquí nos da un valor positivo, conocidas las dos componentes de la velocidad final procedemos a encontrar su magnitud, entonces eso es igual a la raíz cuadrada de la componente en X al cuadrado más la componente en Y al cuadrado, entonces reemplazamos los valores, la componente en X dijimos que es la misma BX que vale cuarenta al cuadrado más la componente en Y que nos dio menos sesenta, esto al cuadrado, resolviendo toda esa operación en calculadora obtenemos una velocidad final igual a setenta y dos punto once metros por segundo, esta es la magnitud de la velocidad final de la flecha, la magnitud de este vector que tenemos aquí señalado que es este mismo, ahora vamos a encontrar la dirección es decir el ángulo de este vector con respecto por ejemplo a la horizontal, vamos a llamar ese ángulo alfa que sería equivalente a este mismo ángulo que tenemos acá, aquí tenemos alfa que estamos señalando acá que es igual a este por ser ángulo opuesto por el vértice, aquí podemos suponer que trazamos una línea recta que lleva la dirección del vector y tenemos ángulos opuestos por el vértice, vamos a encontrar entonces el valor de alfa, en este triángulo rectángulo que observamos aquí planteamos la relación trigonométrica tangente, tangente de alfa es igual a cateto opuesto que sería este es decir el mismo velocidad final en y sobre cateto adyacente, cateto opuesto sobre cateto adyacente nos da tangente de alfa, pasamos los valores la velocidad final en y vale menos sesenta metros por segundo y la velocidad final en x que es la misma velocidad en x todo el tiempo vale cuarenta, haciendo esta división nos da como resultado menos uno punto cinco, despejamos alfa haciendo tangente a la menos uno de menos uno punto cinco en la calculadora y eso nos da como resultado alfa igual a menos cincuenta y seis punto tres grados nos da negativo por ser un ángulo que se mide en esta dirección es decir por debajo de la horizontal o también en sentido de las manecillas del reloj, entonces como respuesta de la pregunta c tenemos que la flecha se clava en el suelo con una velocidad de setenta y dos punto once metros por segundo y queda formando un ángulo de cincuenta y seis punto tres grados por el suelo después de que ella queda clavada en el suelo este ángulo agudo que se forma con el suelo vale cincuenta y seis punto tres grados.
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que tenemos ac\u00e1, aqu\u00ed tenemos alfa que estamos se\u00f1alando"}, {"start": 792.0, "end": 798.48, "text": " ac\u00e1 que es igual a este por ser \u00e1ngulo opuesto por el v\u00e9rtice, aqu\u00ed podemos suponer que"}, {"start": 798.48, "end": 804.76, "text": " trazamos una l\u00ednea recta que lleva la direcci\u00f3n del vector y tenemos \u00e1ngulos opuestos por"}, {"start": 804.76, "end": 811.72, "text": " el v\u00e9rtice, vamos a encontrar entonces el valor de alfa, en este tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo"}, {"start": 811.72, "end": 819.24, "text": " que observamos aqu\u00ed planteamos la relaci\u00f3n trigonom\u00e9trica tangente, tangente de alfa"}, {"start": 819.24, "end": 829.6, "text": " es igual a cateto opuesto que ser\u00eda este es decir el mismo velocidad final en y sobre"}, {"start": 829.6, "end": 836.8, "text": " cateto adyacente, cateto opuesto sobre cateto adyacente nos da tangente de alfa, pasamos"}, {"start": 836.8, "end": 844.4, "text": " los valores la velocidad final en y vale menos sesenta metros por segundo y la velocidad"}, {"start": 844.4, "end": 850.68, "text": " final en x que es la misma velocidad en x todo el tiempo vale cuarenta, haciendo esta"}, {"start": 850.68, "end": 859.4, "text": " divisi\u00f3n nos da como resultado menos uno punto cinco, despejamos alfa haciendo tangente"}, {"start": 859.4, "end": 868.64, "text": " a la menos uno de menos uno punto cinco en la calculadora y eso nos da como resultado"}, {"start": 868.64, "end": 878.16, "text": " alfa igual a menos cincuenta y seis punto tres grados nos da negativo por ser un \u00e1ngulo"}, {"start": 878.16, "end": 886.78, "text": " que se mide en esta direcci\u00f3n es decir por debajo de la horizontal o tambi\u00e9n en sentido"}, {"start": 886.78, "end": 894.56, "text": " de las manecillas del reloj, entonces como respuesta de la pregunta c tenemos que la"}, {"start": 894.56, "end": 903.0799999999999, "text": " flecha se clava en el suelo con una velocidad de setenta y dos punto once metros por segundo"}, {"start": 903.0799999999999, "end": 910.0799999999999, "text": " y queda formando un \u00e1ngulo de cincuenta y seis punto tres grados por el suelo despu\u00e9s"}, {"start": 910.0799999999999, "end": 916.5999999999999, "text": " de que ella queda clavada en el suelo este \u00e1ngulo agudo que se forma con el suelo vale"}, {"start": 916.6, "end": 943.6, "text": " cincuenta y seis punto tres grados."}]