DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 18
#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función utilizando la regla de la cadena.

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 Para esta función f de x vamos a determinar la expresión que corresponde a su primera derivada, o sea lo que se denota como f' de x. Lo primero que debemos hacer allí es identificar qué es lo que controla a la función, es decir, si se trata de la función tangente, o del exponente 3, o de esto que tenemos en el paréntesis, que es una función exponencial con base 2. Entonces lo recomendable para identificar correctamente el camino a seguir en el proceso de derivación es reescribir la función. Para eso vamos a abrir corchete, escribimos dentro de él lo que es tangente de 2 elevado al exponente 5x a la 4, cerramos el corchete y escribimos por fuera de él el exponente 3. Entonces allí observamos que lo que controla o gobierna inicialmente la función es este exponente, o sea que tenemos allí una potencia. Comenzamos así el proceso de derivación. Entonces tendremos f' de x por primera vez. Y como decíamos aquí lo más importante es una potencia. Entonces debemos utilizar lo que se llama la regla de la cadena para potencias. Vamos a recordarla por acá. Si tenemos manzanita elevada al exponente n, su derivada será n por manzanita elevada al exponente n-1, y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea lo que se conoce como la derivada interna. En este caso la manzanita es todo esto que tenemos dentro del corchete y n está representada por el número 3. Entonces siguiendo esta instrucción que se llama la regla de la cadena para potencias vamos a iniciar el proceso de derivación. Comenzamos con n que es 3, esto multiplica a la manzanita que es tangente de 2 elevado al exponente 5x a la 4, y todo eso elevado al exponente n-1, o sea 3-1 que es 2. Y esto multiplicado por la derivada interna o la derivada de la manzanita. En este caso se trata la derivada de todo eso y vamos a dejarlo expresado o indicado. Entonces el corchete y la comita por fuera, la que nos está diciendo que queda pendiente derivar este componente. Como paso siguiente tendremos f' de x igual a 3 por esta expresión que ya no va a presentar ninguna modificación. Entonces la podemos escribir así, tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4. Tal como se observa en la función inicial cuando el 3 o el exponente está aquí como arriba y a la derecha de la función trigonométrica, en este caso tangente, quiere decir que está afectando a dicha función. Entonces podemos devolvernos, es lo que está sucediendo aquí. Este 2 puede ocupar perfectamente este lugar y representa exactamente lo mismo. Pasamos ahora a derivar esta expresión, aquí tenemos que lo que gobierna es la función tangente. Vamos a recordar acá cómo se deriva tangente de la manzanita. En este caso la manzanita es esto que tenemos dentro del paréntesis. Derivada de la tangente de la manzanita será secante al cuadrado de la manzanita por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada interna o en este caso la derivada del ángulo. Entonces para esta expresión su derivada será secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4 y todo esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea la derivada de esa pequeña función exponencial y vamos a dejarla expresada o indicada para realizarla en el siguiente paso. F' nos queda ahora de la siguiente forma, 3 que multiplica a este componente tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4, eso por secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4 y vamos a ver cómo se deriva esa función exponencial. El modelo dice así, si tenemos a elevada a la manzanita, esa es una función exponencial, a está representada por 2 y la manzanita es 5x a la 4, entonces su derivada se construye así, es a la manzanita por logaritmo natural de a por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada de lo que tenemos en el exponente. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar esto que nos falta aquí, tendremos a la manzanita, o sea 2 elevado al exponente 5x a la 4 por logaritmo natural de a, o sea logaritmo natural de 2 por la derivada de la manzanita, en este caso sería la derivada de 5x a la 4. Esta última derivada, la que nos falta por desarrollar ya corresponde a una derivada de las más sencillas, tenemos que la derivada de 5x a la 4 será 4 por 5 que es 20 por x al cubo, baja el exponente a multiplicar con el coeficiente 4 por 5 y acá a este exponente le restamos una unidad, por esa razón nos queda 20x al cubo, y lo que hacemos enseguida ya es dar la respuesta en su forma más sencilla, veamos entonces cómo nos queda, cómo la podemos organizar para que nos quede en una forma más compacta. Podríamos efectuar la multiplicación de 3 con este componente 20x al cubo, eso nos queda 60x al cubo, podríamos continuar con este componente que es 2 elevado al exponente 5x a la 4, luego seguimos con el logaritmo natural de 2 y por último anotamos los componentes trigonométricos que son tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4 por secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4, entonces allí tenemos que toda esa expresión es la respuesta al ejercicio inicial, esto es la derivada de esa función f de x.
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