DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo derivar implícitamente una expresión para obtener dy/dx.

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 Vamos a resolver este ejercicio donde nos dan una ecuación con dos variables x y y y nos piden encontrar de y de x. Vemos que es una expresión donde la x y la y se encuentran combinadas de tal forma que despejar la y en términos de x no es sencillo. Por lo tanto, para encontrar de y de x debemos utilizar la derivación implícita. Para derivar implícitamente procedemos con las reglas de derivación en ambos lados de la igualdad. Teniendo precaución que cada vez que derivemos algo con la y debemos anexar y', que es el mismo de y de x. Utilizamos y' por comodidad pero al final del ejercicio lo cambiamos por de y de x. Entonces procedamos. A este lado tenemos sumas y restas de términos, por lo tanto derivamos cada uno de los términos. Empezamos con x a la 3. Derivada de x a la 3 sería 3x a la 2. Menos, derivada de ya la 5. Derivamos normalmente, nos queda 5y a la 4 y agregamos y'. La advertencia que dijimos al comienzo. Cada vez que derivamos algo con y debemos agregar y'. Seguimos. Más derivada de 3x al cuadrado sería 6x. Menos derivada de 6y sería 6. Pero como derivamos algo que tenía la y agregamos y'. Pasamos al otro lado de la igualdad y tenemos una constante que es el 1. La derivada de una constante es igual a 0. A continuación vamos a dejar al lado izquierdo de la expresión los términos que contienen y'. Es decir, este término y este. Lo demás lo pasamos al lado derecho. Entonces nos queda menos 5y a la 4 por y'. Menos 6y'. Igual pasamos este término, menos 3x al cuadrado pasa negativo y 6x también pasa negativo. Podríamos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos 1 para deshacernos de esa cantidad de signos negativo. Damos la instrucción de multiplicar todo por menos 1 y entonces nos queda mucho más sencillo con términos positivos. 5y a la 4 por y' más 6y' igual a 3x al cuadrado más 6x. Ahora vamos a extraer aquí factor común que sería y'. Sacamos y' de la expresión factor común de 5y a la 4 más 6. Cerramos el paréntesis igual a esto mismo. Ahora vamos a despejar y'. Vamos a continuarlo por acá. Vamos a hacer el despeje de y'. Para ello tomamos esta expresión que se encuentra multiplicando y la pasamos a dividir debajo de esto. Entonces nos queda 3x al cuadrado más 6x. Todo esto sobre esta expresión que sería 5y a la 4 más 6. Ahí tenemos entonces y' ya despejado pero debemos hacer el cambio que mencionábamos al comienzo. Repetimos, usamos y' por comodidad durante el proceso pero al final debemos cambiar y' por dy dx. Entonces simplemente cambiamos aquí y' por dy dx. Y de esa manera tenemos la respuesta. Esta sería entonces de dy dx lo que nos pedía el ejercicio usando la derivación implícita.
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