DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 20
#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función que contiene arcoseno.

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 En esta ocasión vamos a obtener la derivada de esta función y vamos a comenzar por reescribir esto que tenemos dentro del paréntesis. Entonces la función queda igual a menos 1 octavo que multiplica a arco seno de 4x a la menos 2. Recordemos que esta potencia si sube cambia de signo su exponente. En este caso vamos a necesitar el modelo para derivar esto que tenemos acá arco seno de una expresión. Vamos a recordar ese modelo por acá. Si tenemos arco seno de manzanita, en este caso la manzanita es 4x a la menos 2. Entonces la derivada de eso será igual a lo siguiente. Vamos a construir una fracción. Acá en el numerador tendremos la derivada de la manzanita y acá en el denominador tendremos la raíz cuadrada de 1 menos la manzanita elevada al cuadrado. Entonces de acuerdo con este modelo vamos a iniciar el proceso de derivación para esa función. Tendremos entonces que la derivada de f de x puede denotarse como f' de x. Y en este caso el número menos 1 octavo como está multiplicando a toda esta expresión que depende de x entonces lo podemos dejar quieto. Menos 1 octavo por la derivada de esto que tenemos acá y que lo vamos a efectuar siguiendo el modelo que hemos citado. Entonces trazamos una línea. En el numerador tendremos la derivada de la manzanita es decir la derivada de 4x a la menos 2. Vamos a indicar eso de esta manera. En el denominador tenemos la raíz cuadrada de 1 menos la manzanita que es 4x a la menos 2 y todo esto elevado al cuadrado. A continuación vamos a efectuar esta derivada y vamos a desarrollar esta potencia. Tendremos entonces menos 1 octavo que multiplica a la derivada de 4x a la menos 2 que nos da menos 2 por 4 menos 8 por x elevada a la menos 2 menos 1 que es menos 3. Allí hemos derivado el numerador. Y en el denominador vamos a tener lo siguiente la raíz cuadrada de 1 menos esta potencia donde aplicamos la siguiente propiedad. Recordemos que si tenemos un producto a por b elevado al exponente n esto es igual a a la n por b a la n. En otras palabras el exponente afecta los dos componentes de la multiplicación. Lo mismo va a suceder aquí. Tendremos 4 al cuadrado que es 16 y x a la menos 2 elevado otra vez a la menos 2. Allí aplicamos esta propiedad. Potencia de una potencia. Quejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Entonces si tenemos x a la menos 2 y todo esto elevado al cuadrado quejamos la misma base y multiplicamos los exponentes menos 2 por 2 nos da menos 4. Eso es lo que escribimos por acá. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá. Tendremos lo siguiente. Por acá este número es negativo y está multiplicando con una fracción que también es negativa porque eso es lo que observamos en el numerador. Entonces menos por menos nos va a producir signo más. Este número 8 se puede simplificar con el 8 que tenemos en la parte de arriba. Es como si dijéramos octava de 8 1 y octava de 8 también 1. Tendremos entonces en el numerador 1 por x a la menos 3 es decir, x a la menos 3 y en el denominador tendríamos 1 por esa raíz es decir, esa misma expresión. La raíz cuadrada de 1 menos 16 x a la menos 4. Vamos a continuar el desarrollo por aquí. Trazamos la línea de la fracción y en el numerador x a la menos 3 equivale a 1 sobre x a la 3 o 1 sobre x al cubo. Y en el denominador vamos a realizar algo similar. Tenemos 1 menos 16 y esto va a multiplicar a x a la menos 4 que será 1 sobre x a la 4. Recordemos la propiedad de la potenciación que justifica eso que hemos hecho. Si tenemos a a la menos n, eso equivale a 1 sobre a a la n. A su vez, esto nos queda de la siguiente manera. En el numerador 1 sobre x al cubo y en el denominador tenemos la raíz cuadrada de 1 que podemos escribir sobre 1 y esto menos 16 sobre x a la 4. Aquí multiplicamos en forma horizontal. Recordemos que aquí hay un 1 invisible que al multiplicar con x a la 4 nos produce x a la 4 en el denominador. Ahora vamos a resolver esta operación que tenemos dentro de la raíz. Tenemos en el numerador la misma expresión 1 sobre x al cubo y en el denominador tendremos la raíz cuadrada de lo siguiente. Trazamos esta línea. Decimos 1 por x a la 4 es x a la 4 menos 1 por 16 que nos da 16 y en el denominador 1 por x a la 4 que nos da x a la 4. Recordemos que es el truco o la técnica de la carita feliz para efectuar la resta de dos fracciones con distinto denominador. Vamos a continuar transformando esta expresión por acá. Trazamos la línea principal de la fracción. Acá en el numerador tenemos 1 sobre x al cubo y en el denominador vamos a aplicar la siguiente propiedad de la radicación. Si tenemos la raíz enésima de a sobre b, o sea la raíz de un cociente, entonces la raíz se reparte para el numerador y para el denominador. Entonces vamos a realizar eso allá debajo de la línea. Tendremos la raíz cuadrada de x a la 4 menos 16 y todo eso sobre la raíz cuadrada de x a la 4. A su vez esta expresión nos queda de la siguiente manera. Trazamos la línea principal de la fracción. Acá tenemos 1 sobre x al cubo que no presenta ningún cambio y por acá escribimos también la raíz cuadrada sin modificarla. Y vamos a simplificar esa raíz que tenemos por acá. Aplicamos entonces la siguiente propiedad. Si tenemos la raíz enésima de a a la m, eso será igual a a elevada al exponente m sobre n. Es decir, se divide este exponente interno entre el índice de la raíz. Tendremos entonces para este caso que la raíz cuadrada de x a la 4, recordemos que aquí tenemos índice 2, entonces será x elevada al exponente 4 medios, es decir, x elevada al exponente 2, o sea, x al cuadrado. Tenemos aquí la situación correspondiente a una división de fracciones. Entonces vamos a utilizar lo que se conoce como la ley de la oreja. En la parte de arriba vamos a multiplicar estos dos componentes. Eso nos da x al cuadrado y acá en la parte de abajo realizamos la multiplicación de los componentes internos, es decir, x al cubo que multiplica a la raíz cuadrada de x a la 4 menos 16. Aquí podemos simplificar x al cuadrado con x al cubo. Imaginemos que dividimos arriba y abajo entre x al cuadrado. Tendríamos acá arriba 1 y por acá x al cubo sobre x al cuadrado nos da como resultado x. Por lo tanto, el resultado que vamos a obtener para la derivada será 1 en el numerador y en el denominador x que multiplica a la raíz cuadrada de x a la 4 menos 16. Como aquí no podemos simplificar nada más, entonces damos por terminado el ejercicio. Tenemos la respuesta. Esta expresión es la derivada de esta función.
[{"start": 0.0, "end": 5.2, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n"}, {"start": 5.2, "end": 11.0, "text": " y vamos a comenzar por reescribir esto que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 11.0, "end": 15.8, "text": " Entonces la funci\u00f3n queda igual a menos 1 octavo"}, {"start": 15.8, "end": 23.0, "text": " que multiplica a arco seno de 4x a la menos 2."}, {"start": 23.0, "end": 29.8, "text": " Recordemos que esta potencia si sube cambia de signo su exponente."}, {"start": 29.8, "end": 35.8, "text": " En este caso vamos a necesitar el modelo para derivar esto que tenemos ac\u00e1"}, {"start": 35.8, "end": 38.6, "text": " arco seno de una expresi\u00f3n."}, {"start": 38.6, "end": 41.6, "text": " Vamos a recordar ese modelo por ac\u00e1."}, {"start": 41.6, "end": 49.8, "text": " Si tenemos arco seno de manzanita, en este caso la manzanita es 4x a la menos 2."}, {"start": 49.8, "end": 54.6, "text": " Entonces la derivada de eso ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 54.6, "end": 57.0, "text": " Vamos a construir una fracci\u00f3n."}, {"start": 57.0, "end": 62.8, "text": " Ac\u00e1 en el numerador tendremos la derivada de la manzanita"}, {"start": 62.8, "end": 69.4, "text": " y ac\u00e1 en el denominador tendremos la ra\u00edz cuadrada de 1"}, {"start": 69.4, "end": 75.4, "text": " menos la manzanita elevada al cuadrado."}, {"start": 75.4, "end": 81.0, "text": " Entonces de acuerdo con este modelo vamos a iniciar el proceso de derivaci\u00f3n"}, {"start": 81.0, "end": 83.2, "text": " para esa funci\u00f3n."}, {"start": 83.2, "end": 91.2, "text": " Tendremos entonces que la derivada de f de x puede denotarse como f' de x."}, {"start": 91.2, "end": 94.2, "text": " Y en este caso el n\u00famero menos 1 octavo"}, {"start": 94.2, "end": 99.2, "text": " como est\u00e1 multiplicando a toda esta expresi\u00f3n que depende de x"}, {"start": 99.2, "end": 102.4, "text": " entonces lo podemos dejar quieto."}, {"start": 102.4, "end": 106.4, "text": " Menos 1 octavo por la derivada de esto que tenemos ac\u00e1"}, {"start": 106.4, "end": 111.4, "text": " y que lo vamos a efectuar siguiendo el modelo que hemos citado."}, {"start": 111.4, "end": 114.80000000000001, "text": " Entonces trazamos una l\u00ednea."}, {"start": 114.80000000000001, "end": 119.0, "text": " En el numerador tendremos la derivada de la manzanita"}, {"start": 119.0, "end": 123.4, "text": " es decir la derivada de 4x a la menos 2."}, {"start": 123.4, "end": 127.0, "text": " Vamos a indicar eso de esta manera."}, {"start": 127.0, "end": 135.6, "text": " En el denominador tenemos la ra\u00edz cuadrada de 1"}, {"start": 135.6, "end": 142.6, "text": " menos la manzanita que es 4x a la menos 2"}, {"start": 142.6, "end": 146.6, "text": " y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 146.6, "end": 150.6, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a efectuar esta derivada"}, {"start": 150.6, "end": 153.6, "text": " y vamos a desarrollar esta potencia."}, {"start": 153.6, "end": 157.6, "text": " Tendremos entonces menos 1 octavo"}, {"start": 157.6, "end": 163.6, "text": " que multiplica a la derivada de 4x a la menos 2"}, {"start": 163.6, "end": 172.6, "text": " que nos da menos 2 por 4 menos 8 por x elevada a la menos 2 menos 1 que es menos 3."}, {"start": 172.6, "end": 175.6, "text": " All\u00ed hemos derivado el numerador."}, {"start": 175.6, "end": 179.6, "text": " Y en el denominador vamos a tener lo siguiente"}, {"start": 179.6, "end": 187.6, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 1 menos esta potencia donde aplicamos la siguiente propiedad."}, {"start": 187.6, "end": 192.6, "text": " Recordemos que si tenemos un producto a por b elevado al exponente n"}, {"start": 192.6, "end": 196.6, "text": " esto es igual a a la n por b a la n."}, {"start": 196.6, "end": 202.6, "text": " En otras palabras el exponente afecta los dos componentes de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 202.6, "end": 204.6, "text": " Lo mismo va a suceder aqu\u00ed."}, {"start": 204.6, "end": 208.6, "text": " Tendremos 4 al cuadrado que es 16"}, {"start": 208.6, "end": 213.6, "text": " y x a la menos 2 elevado otra vez a la menos 2."}, {"start": 213.6, "end": 216.6, "text": " All\u00ed aplicamos esta propiedad."}, {"start": 216.6, "end": 219.6, "text": " Potencia de una potencia."}, {"start": 219.6, "end": 224.6, "text": " Quejamos la misma base y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 224.6, "end": 230.6, "text": " Entonces si tenemos x a la menos 2 y todo esto elevado al cuadrado"}, {"start": 230.6, "end": 235.6, "text": " quejamos la misma base y multiplicamos los exponentes"}, {"start": 235.6, "end": 238.6, "text": " menos 2 por 2 nos da menos 4."}, {"start": 238.6, "end": 241.6, "text": " Eso es lo que escribimos por ac\u00e1."}, {"start": 241.6, "end": 248.6, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 248.6, "end": 250.6, "text": " Tendremos lo siguiente."}, {"start": 250.6, "end": 256.6, "text": " Por ac\u00e1 este n\u00famero es negativo y est\u00e1 multiplicando con una fracci\u00f3n que tambi\u00e9n es negativa"}, {"start": 256.6, "end": 259.6, "text": " porque eso es lo que observamos en el numerador."}, {"start": 259.6, "end": 264.6, "text": " Entonces menos por menos nos va a producir signo m\u00e1s."}, {"start": 264.6, "end": 269.6, "text": " Este n\u00famero 8 se puede simplificar con el 8 que tenemos en la parte de arriba."}, {"start": 269.6, "end": 275.6, "text": " Es como si dij\u00e9ramos octava de 8 1 y octava de 8 tambi\u00e9n 1."}, {"start": 275.6, "end": 280.6, "text": " Tendremos entonces en el numerador 1 por x a la menos 3"}, {"start": 280.6, "end": 284.6, "text": " es decir, x a la menos 3"}, {"start": 284.6, "end": 288.6, "text": " y en el denominador tendr\u00edamos 1 por esa ra\u00edz"}, {"start": 288.6, "end": 291.6, "text": " es decir, esa misma expresi\u00f3n."}, {"start": 291.6, "end": 301.6, "text": " La ra\u00edz cuadrada de 1 menos 16 x a la menos 4."}, {"start": 301.6, "end": 303.6, "text": " Vamos a continuar el desarrollo por aqu\u00ed."}, {"start": 303.6, "end": 306.6, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n"}, {"start": 306.6, "end": 316.6, "text": " y en el numerador x a la menos 3 equivale a 1 sobre x a la 3 o 1 sobre x al cubo."}, {"start": 316.6, "end": 320.6, "text": " Y en el denominador vamos a realizar algo similar."}, {"start": 320.6, "end": 324.6, "text": " Tenemos 1 menos 16"}, {"start": 324.6, "end": 331.6, "text": " y esto va a multiplicar a x a la menos 4 que ser\u00e1 1 sobre x a la 4."}, {"start": 331.6, "end": 336.6, "text": " Recordemos la propiedad de la potenciaci\u00f3n que justifica eso que hemos hecho."}, {"start": 336.6, "end": 343.6, "text": " Si tenemos a a la menos n, eso equivale a 1 sobre a a la n."}, {"start": 343.6, "end": 348.6, "text": " A su vez, esto nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 348.6, "end": 352.6, "text": " En el numerador 1 sobre x al cubo"}, {"start": 352.6, "end": 357.6, "text": " y en el denominador tenemos la ra\u00edz cuadrada de 1"}, {"start": 357.6, "end": 364.6, "text": " que podemos escribir sobre 1 y esto menos 16 sobre x a la 4."}, {"start": 364.6, "end": 367.6, "text": " Aqu\u00ed multiplicamos en forma horizontal."}, {"start": 367.6, "end": 369.6, "text": " Recordemos que aqu\u00ed hay un 1 invisible"}, {"start": 369.6, "end": 375.6, "text": " que al multiplicar con x a la 4 nos produce x a la 4 en el denominador."}, {"start": 375.6, "end": 381.6, "text": " Ahora vamos a resolver esta operaci\u00f3n que tenemos dentro de la ra\u00edz."}, {"start": 381.6, "end": 384.6, "text": " Tenemos en el numerador la misma expresi\u00f3n"}, {"start": 384.6, "end": 392.6, "text": " 1 sobre x al cubo y en el denominador tendremos la ra\u00edz cuadrada de lo siguiente."}, {"start": 392.6, "end": 398.6, "text": " Trazamos esta l\u00ednea. Decimos 1 por x a la 4 es x a la 4"}, {"start": 398.6, "end": 402.6, "text": " menos 1 por 16 que nos da 16"}, {"start": 402.6, "end": 408.6, "text": " y en el denominador 1 por x a la 4 que nos da x a la 4."}, {"start": 408.6, "end": 412.6, "text": " Recordemos que es el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz"}, {"start": 412.6, "end": 418.6, "text": " para efectuar la resta de dos fracciones con distinto denominador."}, {"start": 418.6, "end": 422.6, "text": " Vamos a continuar transformando esta expresi\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 422.6, "end": 426.6, "text": " Trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 426.6, "end": 432.6, "text": " Ac\u00e1 en el numerador tenemos 1 sobre x al cubo"}, {"start": 432.6, "end": 438.6, "text": " y en el denominador vamos a aplicar la siguiente propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 438.6, "end": 444.6, "text": " Si tenemos la ra\u00edz en\u00e9sima de a sobre b, o sea la ra\u00edz de un cociente,"}, {"start": 444.6, "end": 451.6, "text": " entonces la ra\u00edz se reparte para el numerador y para el denominador."}, {"start": 451.6, "end": 456.6, "text": " Entonces vamos a realizar eso all\u00e1 debajo de la l\u00ednea."}, {"start": 456.6, "end": 463.6, "text": " Tendremos la ra\u00edz cuadrada de x a la 4 menos 16"}, {"start": 463.6, "end": 471.6, "text": " y todo eso sobre la ra\u00edz cuadrada de x a la 4."}, {"start": 471.6, "end": 476.6, "text": " A su vez esta expresi\u00f3n nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 476.6, "end": 479.6, "text": " Trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 479.6, "end": 484.6, "text": " Ac\u00e1 tenemos 1 sobre x al cubo que no presenta ning\u00fan cambio"}, {"start": 484.6, "end": 490.6, "text": " y por ac\u00e1 escribimos tambi\u00e9n la ra\u00edz cuadrada sin modificarla."}, {"start": 490.6, "end": 496.6, "text": " Y vamos a simplificar esa ra\u00edz que tenemos por ac\u00e1."}, {"start": 496.6, "end": 499.6, "text": " Aplicamos entonces la siguiente propiedad."}, {"start": 499.6, "end": 508.6, "text": " Si tenemos la ra\u00edz en\u00e9sima de a a la m, eso ser\u00e1 igual a a elevada al exponente m sobre n."}, {"start": 508.6, "end": 514.6, "text": " Es decir, se divide este exponente interno entre el \u00edndice de la ra\u00edz."}, {"start": 514.6, "end": 521.6, "text": " Tendremos entonces para este caso que la ra\u00edz cuadrada de x a la 4,"}, {"start": 521.6, "end": 528.6, "text": " recordemos que aqu\u00ed tenemos \u00edndice 2, entonces ser\u00e1 x elevada al exponente 4 medios,"}, {"start": 528.6, "end": 536.6, "text": " es decir, x elevada al exponente 2, o sea, x al cuadrado."}, {"start": 536.6, "end": 542.6, "text": " Tenemos aqu\u00ed la situaci\u00f3n correspondiente a una divisi\u00f3n de fracciones."}, {"start": 542.6, "end": 548.6, "text": " Entonces vamos a utilizar lo que se conoce como la ley de la oreja."}, {"start": 548.6, "end": 552.6, "text": " En la parte de arriba vamos a multiplicar estos dos componentes."}, {"start": 552.6, "end": 561.6, "text": " Eso nos da x al cuadrado y ac\u00e1 en la parte de abajo realizamos la multiplicaci\u00f3n de los componentes internos,"}, {"start": 561.6, "end": 570.6, "text": " es decir, x al cubo que multiplica a la ra\u00edz cuadrada de x a la 4 menos 16."}, {"start": 570.6, "end": 575.6, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar x al cuadrado con x al cubo."}, {"start": 575.6, "end": 580.6, "text": " Imaginemos que dividimos arriba y abajo entre x al cuadrado."}, {"start": 580.6, "end": 588.6, "text": " Tendr\u00edamos ac\u00e1 arriba 1 y por ac\u00e1 x al cubo sobre x al cuadrado nos da como resultado x."}, {"start": 588.6, "end": 596.6, "text": " Por lo tanto, el resultado que vamos a obtener para la derivada ser\u00e1 1 en el numerador"}, {"start": 596.6, "end": 606.6, "text": " y en el denominador x que multiplica a la ra\u00edz cuadrada de x a la 4 menos 16."}, {"start": 606.6, "end": 614.6, "text": " Como aqu\u00ed no podemos simplificar nada m\u00e1s, entonces damos por terminado el ejercicio."}, {"start": 614.6, "end": 626.6, "text": " Tenemos la respuesta. Esta expresi\u00f3n es la derivada de esta funci\u00f3n."}]