DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 37
#julioprofe explica cómo evaluar derivadas a partir de condiciones dadas, usando la regla de la cadena.

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 Veamos el siguiente problema. Si nos dan que f de 2 vale 4, f' de 4 vale 6 y f' de 2 vale menos 2, ¿hay? En la pregunta A, la derivada de la función compuesta f compuesta f evaluada en 2 y en la pregunta B, la derivada con respecto a x de la función f de x elevada al cubo cuando x vale 2. Para la parte A, mantenemos las instrucciones que nos da el problema y vamos a comenzar de la siguiente manera. Sabemos que f compuesta f de x es igual a tener f de f de x, la función compuesta. Entonces vamos a derivar a ambos lados estas funciones. Si derivamos al lado izquierdo, entonces nos aparece f compuesta f' de x, la comita que nos indica la derivada. Y en el lado derecho, como tenemos una función compuesta, vamos a utilizar la regla de la cadera. Primero derivamos la función externa, entonces tendremos f' de f de x, recordemos que esta parte de adentro queda intacta y eso lo multiplicamos por la derivada de lo que está acá adentro, es decir lo que se conoce como la derivada interna, es decir por f' de x. Entonces primero la derivada externa y eso multiplicado por la derivada interna. A continuación vamos a sustituir x por 2, entonces si x vale 2, tendremos lo siguiente, f compuesta f' de 2 será igual a f' de f de 2 por f' de 2, es decir hemos cambiado la x por el número 2. Y vamos a utilizar en este lado las instrucciones que nos da el problema. Entonces veamos, tenemos que f de 2 vale 4, entonces lo reemplazamos acá y f' de 2, acá lo tenemos, vale menos 2, entonces también lo reemplazamos aquí. Ahora miremos f' de 4, aquí lo tenemos, vale 6, lo reemplazamos y 6 va a multiplicar con menos 2, 6 por menos 2 nos da menos 12 y de esa manera entonces hemos encontrado f compuesta f derivada evaluada en 2, es decir la respuesta a la pregunta A. Para la parte B nuevamente mantenemos las instrucciones originales que nos da el problema. Y vamos a calcular entonces la derivada con respecto a x de la función f de x elevada al cubo. En este caso vamos a aplicar la regla de la cadena para potencias. Si tenemos una función elevada a un exponente numérico hacemos lo siguiente, el exponente va a multiplicar, entonces queda 3 por la función original elevada a la 2 porque a este 3 le restamos 1, cuando a este 3 va a multiplicar entonces a este 3 se le resta 1 y nos da 2 y eso multiplicado por la derivada interna. Si la derivada de esta expresión que se había quedado intacta la anotamos aquí adelante multiplicando. Y a continuación nos dicen que encontremos el valor de esta derivada pero cuando x vale 2. Entonces vamos a reemplazar, tenemos entonces lo siguiente, 3 por abre corchete sería f de 2, cierra corchete elevado al cuadrado por f prima de 2, allí hemos sustituido la x por el número 2 y vamos a utilizar las instrucciones que nos da el problema. Veamos f de 2 vale 4, entonces lo reemplazamos aquí, al cuadrado por f prima de 2 pero f prima de 2 vale menos 2. Resolvemos eso, nos queda 3 por 4 al cuadrado eso es 16 y eso multiplicado por menos 2, tenemos entonces 3 por 16, 48, 48 por menos 2 nos da menos 96 y de esa manera hemos respondido la pregunta P del ejercicio.
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