DESARROLLO DE BINOMIOS CON EXPONENTES 5 Y 6
#julioprofe explica cómo desarrollar o expandir binomios elevados a los exponentes 6 y 5, usando el Triángulo de Pascal y el Binomio de Newton.

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 Vamos a mirar el desarrollo de este binomio elevado al exponente 6 de dos maneras. Primero utilizando el triángulo de Pascal, es un primer camino. Y el otro es utilizando el binomio de Newton. Entonces dos maneras de realizar el desarrollo de ese binomio que se encuentra elevado al exponente 6. Miremos la primera opción construyendo el triángulo de Pascal. Comenzamos con 1, luego colocamos 1, 2, 1. Y a continuación vamos sumando los numeritos y en los extremos vamos colocando siempre 1. Veamos, 1 más 2, 3, 2 más 1, 3 y 1 en los extremos. 1 más 3, 4, 3 más 3, 6, 3 más 1, 4 y 1 en los extremos. 1 más 4, 5, 4 más 6, son 10, 6 más 4, 10, 4 más 1, 5 y 1 en los extremos. 1 más 5 son 6, 5 más 10 son 15, 10 más 10, 20, 10 más 5, 15, 5 más 1, 6 y 1 en los extremos. Llegamos hasta el nivel 6 porque ese es el exponente que tenemos en el binomio. Entonces estos números que tenemos aquí van a ser los coeficientes de los términos que constituyen el desarrollo de este binomio elevado al exponente 6. Entonces veamos, comenzaríamos con 1, 1 a la 6. Siempre comenzamos con este primer término elevado a este exponente. Seguimos, más 6 a a la 5 b. Es decir, a comienza a disminuir su exponente y aparece por primera vez la letra b, es decir, el segundo término. Más, seguimos con el 15, a disminuye al exponente 4 y b aumenta al exponente 2. Vemos que mientras a disminuye b aumenta en su exponente. Aquí no teníamos la b, aquí apareció b a la 1 y aquí tenemos b a la 2. Seguimos con 20, a disminuye al exponente 3 y b aumenta al exponente 3. Más, vamos a continuarlo por acá. Seguimos con el 15, a elevado al exponente 2. Estabamos en 3, disminuimos a 2 y b incrementa a 4. Estabamos en 3, sube a 4. Más, 6, tenemos a elevado al exponente 1, o sea, simplemente a b a la 5 y terminamos con 1, b elevado a la 6. Estos unos de los extremos los podríamos borrar o también omitir. Y allí tenemos entonces el desarrollo de ese binomio elevado al exponente 6 mediante el triángulo de Pascal. Repetimos, estos numeritos que tenemos aquí constituyen los coeficientes de los términos que conforman el desarrollo de ese binomio a la 6. El otro camino para desarrollar o expandir un binomio a la 6 es el binomio de Newton, que es una fórmula que en términos generales dice lo siguiente. Si tenemos a más b a la n, eso es igual a la sumatoria desde k igual a 0 hasta n del combinatorio nk por a elevado al exponente n menos k por b elevado al exponente k. El combinatorio nk, esto que va aquí al comienzo de cada término, es una fórmula que lleva factoriales. Sería n factorial, aquí tendremos k factorial que multiplica a n menos k factorial. Pero si no hemos visto hasta este momento factoriales ni sumatorias, no nos vamos a complicar con esta fórmula que es un tanto compleja. Vamos a mirar cómo se puede desarrollar este binomio a la 6 apoyándonos en el binomio de Newton, pero por un camino más simplificado. La forma simplificada es la siguiente, comenzamos con el primer término elevado al exponente que tenemos aquí, es decir 6. Ya tenemos listo el primer término. Vamos con el segundo término, usamos como coeficiente este numerito, es decir el 6, a lo disminuimos en una unidad, su exponente queda a a la 5 y aparece la b por primera vez. Para el siguiente coeficiente hacemos la siguiente operación, multiplicamos 6 por 5, eso nos da 30, y lo dividimos entre el exponente que tenemos aquí que es 1, 1 incrementado en una unidad, es decir 2. 30 dividido entre 2 nos da 15, 15 a a la 4, b a la 2, vemos que la a va disminuyendo su exponente mientras que la b lo va aumentando. Más, nuevamente 15 por 4 son 60, dividido entre este exponente incrementado en una unidad, es decir 3, 60 dividido 3 nos da 20, entonces 20 a a la 3, b a la 3, más, sigamos por acá. El siguiente coeficiente será 20 por 3, 60 dividido entre 3 más 1 que es 4, 60 dividido 4 nos da 15, 15 a a la 2, b a la 4, sigue disminuyendo la a y b sigue aumentando. El siguiente coeficiente tenemos 15 por 2, 30 dividido entre 4 más 1 que es 5, 30 dividido entre 5 nos da 6, a b a la 5, más, siguiente coeficiente 6 por 1 es 6, dividido entre 5 más 1 que es 6, eso nos da 1 y aparece b a la 6, recordemos que la a ya no aparece en ese término pero aparece en b a la 6. Este 1 lo podemos retirar, se vuelve invisible y tenemos el mismo desarrollo que obtuvimos con el triángulo de Pascal. Como vemos por un camino un poco más rápido o más simple que es el binomio de Newton, allí podemos contabilizar los 7 términos que decía hace un momento para este desarrollo. Miremos como sería el desarrollo de este binomio elevado al exponente 5 utilizando el último método, es decir el binomio de Newton. Entonces veamos, comenzamos con x a la 5, primer término elevado al exponente del binomio tenemos x a la 5, aquí el siguiente término será negativo, si aquí tenemos signo menos los términos nos van a quedar con signos intercalados, iniciamos siempre con signo positivo por lo tanto el siguiente término será negativo. Bajamos este exponente aquí sería el siguiente coeficiente, x disminuye en una unidad su exponente y aparece la letra y por primera vez, es decir y elevada al exponente 1. Signo más para el siguiente término tenemos la operación 5 por 4, 20 dividido entre 1 más 1 que es 2, 20 entre 2 nos da 10, nos queda x a la 3, y a la 2, si x disminuye y aumenta. Siguiente término sería negativo por lo de los signos intercalados y el coeficiente será 10 por 3, 30 dividido entre 2 más 1 que es 3, 30 dividido 3 nos da 10, x disminuye al exponente 2, y aumenta al exponente 3. Siguiente término será positivo y el coeficiente será 10 por 2, 20 dividido entre 3 más 1 que es 4, 20 dividido entre 4 nos da 5, x quedaría al exponente 1 y y quedaría con exponente 4. Finalmente nos queda signo negativo para el otro término y el coeficiente será 5 por 1, 5 dividido entre 4 más 1 que es 5, 5 dividido entre 5 nos da 1, ya no aparece la x y y queda con exponente 5. Este 1 lo podemos quitar y se vuelve invisible. Y allí tenemos entonces el desarrollo de ese binomio a la 5 por el binomio de Newton, por el método simplificado del binomio de Newton. Si se quiere puede hacerse también por triángulo de Pascal y se pueden observar que los números que se obtienen son estos que tenemos aquí, 1, 5, 10, 10, 5 y 1.
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