ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 10
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica.

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 Vamos a resolver esta ecuación que contiene logaritmos. Debemos encontrar el valor o los valores de la incógnita X que hacen verdadera esta igualdad. Comenzamos reduciendo estos dos logaritmos que se encuentran restando a uno solo. Y para ello vamos a utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos. Si tenemos logaritmo en base a de un cociente m sobre n, esto es igual a logaritmo en base a de m menos logaritmo en base a de n. Es decir que el logaritmo de un cociente o división se convierte en una resta de logaritmos. Pero esta propiedad es reversible, o sea que si tenemos resta de logaritmos, podemos conformar el logaritmo de un cociente. Y es la situación que tenemos en este caso. Tendremos entonces logaritmo en base a de 3 de X más 1 sobre X. Todo esto lo protegemos con paréntesis y hemos utilizado esta propiedad. El lado derecho de la igualdad permanece intacto. Logaritmo en base 3 de X más 9. Ahora vamos a utilizar otra propiedad de los logaritmos que dice así. Si tenemos logaritmo en base a de m igual a logaritmo en base a de n, entonces podemos afirmar que m es igual a n. En otras palabras, si tenemos la igualdad de logaritmos con la misma base, entonces necesariamente los argumentos tienen que ser iguales. Y es lo que está sucediendo aquí. Tenemos logaritmo en base 3 a ambos lados de la igualdad. Entonces, apoyándonos en esta propiedad, tenemos que X más 1 sobre X es igual a X más 9. Como decíamos, se igualan los argumentos. Ahora nos vamos a concentrar en resolver esta ecuación. Podemos pasar X que está dividiendo en el lado izquierdo a multiplicar al lado derecho. Nos queda entonces, X más 1 igual a X que multiplica a la expresión X más 9. Este binomio debe protegerse con paréntesis. Ahora vamos a aplicar la propiedad distributiva acá en el lado derecho. Tendremos X más 1 igual a X por X que nos da como resultado X al cuadrado y X por más 9 que nos da como resultado más 9X. Y la ecuación empieza a tomar forma de ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática. Para resolverla, tenemos que garantizar el cero en uno de los lados de la igualdad. Vamos a dejarlo al lado izquierdo. Entonces, movemos estos términos para el lado derecho. Nos va a quedar cero igual a X al cuadrado más 9X. Estos términos no presentan ningún cambio y acá llegan estos que van a pasar con signo negativo. Enseguida hacemos la reducción de términos semejantes. Estos dos términos que contienen la X se pueden operar entre sí. Nos queda cero igual a X al cuadrado más 8X menos 1. Y esta es la ecuación cuadrática que tiene la forma o el modelo cero igual a aX al cuadrado más bX más c. Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática. Para resolver esta ecuación tenemos dos caminos principales. Uno es el de la factorización y el otro es el de la fórmula cuadrática o fórmula general. Primero intentamos por factorización porque de ser así se resuelve mucho más rápido. Esta expresión corresponde a ese caso que se llama trinomio de la forma X al cuadrado más bX más c. Vamos a ver si se puede factorizar. Abrimos dos paréntesis repartimos aquí la X o sea la raíz cuadrada del primer término. Ahora definimos los signos. Aquí tenemos signo positivo. Más por más nos da más y más por menos nos da menos. Buscamos ahora dos números uno positivo y otro negativo que multiplicados nos den menos uno y que sumados nos den 8 positivo. Si hacemos todos los intentos vemos que no es posible encontrar esos números. Por lo tanto se concluye que esta expresión no es factorizable. En vista de eso que acaba de suceder debemos tomar el camino de la fórmula cuadrática o fórmula general. Comenzamos identificando los valores de a, b y c. Tenemos que a es el coeficiente de X al cuadrado. Aquí tenemos coeficiente uno. b es el coeficiente de X que es 8. y c es el término independiente de la expresión que es menos uno. Ahora vamos a escribir aquí la fórmula cuadrática o fórmula general. Aquí podemos observarla y ahora vamos a escribirla de nuevo pero desapareciendo las letras. Es decir que en sus lugares vamos a dejar paréntesis vacíos. Allí la tenemos y vamos a llenar los espacios con los números correspondientes. Aquí vamos a reemplazar el valor de b que es 8. Por aquí otra vez reemplazamos b que vale 8. Aquí tenemos el valor de a que es 1. Aquí va el valor de la letra c que es menos uno. Y acá tenemos el valor de a que es uno. Ahora vamos a resolver cada una de esas operaciones. Tenemos x igual a menos 8. Más o menos la raíz cuadrada de 8 al cuadrado que es 64. Y menos 4 por 1 por menos 1 nos da como resultado más 4. Todo eso sobre 2 por 1 que es 2. Enseguida resolvemos esta suma. Tendremos x igual a menos 8 más o menos la raíz cuadrada de 68. Y todo eso sobre 2. Podemos simplificar la raíz cuadrada de 68. Para ello descomponemos en factores primos este número. Decimos entonces mitad de 68 que es 34. Mitad de 34 que es 17. 17 es número primo. O sea que solamente es divisible por 17. Y aquí obtenemos 1. Por lo tanto 68 es 2 al cuadrado por 17. Y si eso lo tenemos dentro de la raíz cuadrada va a suceder lo siguiente. Raíz cuadrada de 2 al cuadrado por 17. Y allí es posible extraer este número 2. Nos va a quedar 2 raíz cuadrada de 17. Entonces este resultado lo traemos aquí. Nos queda entonces la expresión de esta manera. Ahora podemos repartir este denominador 2 para cada uno de los términos que hay en el numerador. Tendremos x igual a menos 8 sobre 2. Más o menos 2 raíz cuadrada de 17. Y esto sobre 2. Y vemos que es posible simplificar ambas fracciones. Tendremos x igual a menos 8 medios que es menos 4, más o menos raíz cuadrada de 17. Porque aquí es posible simplificar ese número 2. Llegamos entonces a dos posibilidades. Una es x igual a menos 4, menos raíz cuadrada de 17. Y la otra es x igual a menos 4, más la raíz cuadrada de 17. Estas son las soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado que veíamos hace un momento. Sin embargo, tenemos que verificar que estos resultados satisfagan la ecuación original. O sea, la ecuación que contiene logaritmos. Recordemos que en los logaritmos el argumento siempre tiene que ser positivo. Y esta solución se puede ver claramente que será de naturaleza negativa. Por ejemplo, aquí tendríamos problemas con este valor. Por lo tanto, se descarta. Este valor no nos sirve. En cambio, esta que tenemos acá, si la resolvemos en calculadora, tendremos un resultado aproximadamente igual a 0.12. O sea, un valor positivo que encaja perfectamente aquí y también en estos otros dos logaritmos donde tenemos asegurado argumentos positivos. Concluimos entonces que para esta ecuación que contiene logaritmos, esta es la respuesta. Es el valor de X que hace verdadera esa igualdad.
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{"start": 54.4, "end": 58.4, "text": " podemos conformar el logaritmo de un cociente."}, {"start": 58.4, "end": 62.4, "text": " Y es la situaci\u00f3n que tenemos en este caso."}, {"start": 62.4, "end": 74.2, "text": " Tendremos entonces logaritmo en base a de 3 de X m\u00e1s 1 sobre X."}, {"start": 74.2, "end": 80.4, "text": " Todo esto lo protegemos con par\u00e9ntesis y hemos utilizado esta propiedad."}, {"start": 80.4, "end": 85.60000000000001, "text": " El lado derecho de la igualdad permanece intacto."}, {"start": 85.60000000000001, "end": 91.2, "text": " Logaritmo en base 3 de X m\u00e1s 9."}, {"start": 91.2, "end": 97.2, "text": " Ahora vamos a utilizar otra propiedad de los logaritmos que dice as\u00ed."}, {"start": 97.2, "end": 105.8, "text": " Si tenemos logaritmo en base a de m igual a logaritmo en base a de n,"}, {"start": 105.8, "end": 113.6, "text": " entonces podemos afirmar que m es igual a n."}, {"start": 113.6, "end": 119.4, "text": " En otras palabras, si tenemos la igualdad de logaritmos con la misma base,"}, {"start": 119.4, "end": 124.0, "text": " entonces necesariamente los argumentos tienen que ser iguales."}, {"start": 124.0, "end": 126.60000000000001, "text": " Y es lo que est\u00e1 sucediendo aqu\u00ed."}, {"start": 126.6, "end": 131.2, "text": " Tenemos logaritmo en base 3 a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 131.2, "end": 143.79999999999998, "text": " Entonces, apoy\u00e1ndonos en esta propiedad, tenemos que X m\u00e1s 1 sobre X es igual a X m\u00e1s 9."}, {"start": 143.79999999999998, "end": 148.79999999999998, "text": " Como dec\u00edamos, se igualan los argumentos."}, {"start": 148.79999999999998, "end": 153.4, "text": " Ahora nos vamos a concentrar en resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 153.4, "end": 160.6, "text": " Podemos pasar X que est\u00e1 dividiendo en el lado izquierdo a multiplicar al lado derecho."}, {"start": 160.6, "end": 170.6, "text": " Nos queda entonces, X m\u00e1s 1 igual a X que multiplica a la expresi\u00f3n X m\u00e1s 9."}, {"start": 170.6, "end": 174.8, "text": " Este binomio debe protegerse con par\u00e9ntesis."}, {"start": 174.8, "end": 180.8, "text": " Ahora vamos a aplicar la propiedad distributiva ac\u00e1 en el lado derecho."}, {"start": 180.8, "end": 192.0, "text": " Tendremos X m\u00e1s 1 igual a X por X que nos da como resultado X al cuadrado"}, {"start": 192.0, "end": 199.4, "text": " y X por m\u00e1s 9 que nos da como resultado m\u00e1s 9X."}, {"start": 199.4, "end": 207.4, "text": " Y la ecuaci\u00f3n empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n de segundo grado o ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 207.4, "end": 213.0, "text": " Para resolverla, tenemos que garantizar el cero en uno de los lados de la igualdad."}, {"start": 213.0, "end": 215.6, "text": " Vamos a dejarlo al lado izquierdo."}, {"start": 215.6, "end": 220.0, "text": " Entonces, movemos estos t\u00e9rminos para el lado derecho."}, {"start": 220.0, "end": 227.0, "text": " Nos va a quedar cero igual a X al cuadrado m\u00e1s 9X."}, {"start": 227.0, "end": 236.20000000000002, "text": " Estos t\u00e9rminos no presentan ning\u00fan cambio y ac\u00e1 llegan estos que van a pasar con signo negativo."}, {"start": 236.2, "end": 240.6, "text": " Enseguida hacemos la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 240.6, "end": 245.6, "text": " Estos dos t\u00e9rminos que contienen la X se pueden operar entre s\u00ed."}, {"start": 245.6, "end": 253.2, "text": " Nos queda cero igual a X al cuadrado m\u00e1s 8X menos 1."}, {"start": 253.2, "end": 265.4, "text": " Y esta es la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que tiene la forma o el modelo cero igual a aX al cuadrado m\u00e1s bX m\u00e1s c."}, {"start": 265.4, "end": 270.59999999999997, "text": " Una ecuaci\u00f3n de segundo grado o ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 270.59999999999997, "end": 274.59999999999997, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n tenemos dos caminos principales."}, {"start": 274.59999999999997, "end": 281.59999999999997, "text": " Uno es el de la factorizaci\u00f3n y el otro es el de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 281.59999999999997, "end": 287.79999999999995, "text": " Primero intentamos por factorizaci\u00f3n porque de ser as\u00ed se resuelve mucho m\u00e1s r\u00e1pido."}, {"start": 287.8, "end": 295.8, "text": " Esta expresi\u00f3n corresponde a ese caso que se llama trinomio de la forma X al cuadrado m\u00e1s bX m\u00e1s c."}, {"start": 295.8, "end": 298.40000000000003, "text": " Vamos a ver si se puede factorizar."}, {"start": 298.40000000000003, "end": 305.6, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis repartimos aqu\u00ed la X o sea la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino."}, {"start": 305.6, "end": 307.8, "text": " Ahora definimos los signos."}, {"start": 307.8, "end": 310.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos signo positivo."}, {"start": 310.0, "end": 314.6, "text": " M\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s y m\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 314.6, "end": 324.8, "text": " Buscamos ahora dos n\u00fameros uno positivo y otro negativo que multiplicados nos den menos uno y que sumados nos den 8 positivo."}, {"start": 324.8, "end": 330.8, "text": " Si hacemos todos los intentos vemos que no es posible encontrar esos n\u00fameros."}, {"start": 330.8, "end": 336.8, "text": " Por lo tanto se concluye que esta expresi\u00f3n no es factorizable."}, {"start": 336.8, "end": 345.2, "text": " En vista de eso que acaba de suceder debemos tomar el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 345.2, "end": 351.2, "text": " Comenzamos identificando los valores de a, b y c."}, {"start": 351.2, "end": 355.40000000000003, "text": " Tenemos que a es el coeficiente de X al cuadrado."}, {"start": 355.40000000000003, "end": 357.8, "text": " Aqu\u00ed tenemos coeficiente uno."}, {"start": 357.8, "end": 361.6, "text": " b es el coeficiente de X que es 8."}, {"start": 361.6, "end": 367.40000000000003, "text": " y c es el t\u00e9rmino independiente de la expresi\u00f3n que es menos uno."}, {"start": 367.40000000000003, "end": 373.40000000000003, "text": " Ahora vamos a escribir aqu\u00ed la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 373.40000000000003, "end": 380.6, "text": " Aqu\u00ed podemos observarla y ahora vamos a escribirla de nuevo pero desapareciendo las letras."}, {"start": 380.6, "end": 386.0, "text": " Es decir que en sus lugares vamos a dejar par\u00e9ntesis vac\u00edos."}, {"start": 386.0, "end": 392.0, "text": " All\u00ed la tenemos y vamos a llenar los espacios con los n\u00fameros correspondientes."}, {"start": 392.0, "end": 396.4, "text": " Aqu\u00ed vamos a reemplazar el valor de b que es 8."}, {"start": 396.4, "end": 400.8, "text": " Por aqu\u00ed otra vez reemplazamos b que vale 8."}, {"start": 400.8, "end": 405.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el valor de a que es 1."}, {"start": 405.0, "end": 410.0, "text": " Aqu\u00ed va el valor de la letra c que es menos uno."}, {"start": 410.0, "end": 415.2, "text": " Y ac\u00e1 tenemos el valor de a que es uno."}, {"start": 415.2, "end": 419.2, "text": " Ahora vamos a resolver cada una de esas operaciones."}, {"start": 419.2, "end": 423.8, "text": " Tenemos x igual a menos 8."}, {"start": 423.8, "end": 431.59999999999997, "text": " M\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 8 al cuadrado que es 64."}, {"start": 431.59999999999997, "end": 438.2, "text": " Y menos 4 por 1 por menos 1 nos da como resultado m\u00e1s 4."}, {"start": 438.2, "end": 443.0, "text": " Todo eso sobre 2 por 1 que es 2."}, {"start": 443.0, "end": 445.4, "text": " Enseguida resolvemos esta suma."}, {"start": 445.4, "end": 455.4, "text": " Tendremos x igual a menos 8 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 68."}, {"start": 455.4, "end": 460.0, "text": " Y todo eso sobre 2."}, {"start": 460.0, "end": 463.8, "text": " Podemos simplificar la ra\u00edz cuadrada de 68."}, {"start": 463.8, "end": 468.4, "text": " Para ello descomponemos en factores primos este n\u00famero."}, {"start": 468.4, "end": 473.2, "text": " Decimos entonces mitad de 68 que es 34."}, {"start": 473.2, "end": 476.2, "text": " Mitad de 34 que es 17."}, {"start": 476.2, "end": 478.4, "text": " 17 es n\u00famero primo."}, {"start": 478.4, "end": 481.4, "text": " O sea que solamente es divisible por 17."}, {"start": 481.4, "end": 483.2, "text": " Y aqu\u00ed obtenemos 1."}, {"start": 483.2, "end": 489.2, "text": " Por lo tanto 68 es 2 al cuadrado por 17."}, {"start": 489.2, "end": 495.2, "text": " Y si eso lo tenemos dentro de la ra\u00edz cuadrada va a suceder lo siguiente."}, {"start": 495.2, "end": 500.8, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado por 17."}, {"start": 500.8, "end": 504.2, "text": " Y all\u00ed es posible extraer este n\u00famero 2."}, {"start": 504.2, "end": 508.8, "text": " Nos va a quedar 2 ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 508.8, "end": 513.6, "text": " Entonces este resultado lo traemos aqu\u00ed."}, {"start": 513.6, "end": 518.4, "text": " Nos queda entonces la expresi\u00f3n de esta manera."}, {"start": 518.4, "end": 522.2, "text": " Ahora podemos repartir este denominador 2"}, {"start": 522.2, "end": 526.6, "text": " para cada uno de los t\u00e9rminos que hay en el numerador."}, {"start": 526.6, "end": 531.0, "text": " Tendremos x igual a menos 8 sobre 2."}, {"start": 531.0, "end": 536.6, "text": " M\u00e1s o menos 2 ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 536.6, "end": 539.2, "text": " Y esto sobre 2."}, {"start": 539.2, "end": 543.8000000000001, "text": " Y vemos que es posible simplificar ambas fracciones."}, {"start": 543.8, "end": 554.0, "text": " Tendremos x igual a menos 8 medios que es menos 4, m\u00e1s o menos ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 554.0, "end": 559.5999999999999, "text": " Porque aqu\u00ed es posible simplificar ese n\u00famero 2."}, {"start": 559.5999999999999, "end": 562.5999999999999, "text": " Llegamos entonces a dos posibilidades."}, {"start": 562.5999999999999, "end": 571.0, "text": " Una es x igual a menos 4, menos ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 571.0, "end": 579.6, "text": " Y la otra es x igual a menos 4, m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 579.6, "end": 588.2, "text": " Estas son las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado que ve\u00edamos hace un momento."}, {"start": 588.2, "end": 595.6, "text": " Sin embargo, tenemos que verificar que estos resultados satisfagan la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 595.6, "end": 599.0, "text": " O sea, la ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos."}, {"start": 599.0, "end": 604.2, "text": " Recordemos que en los logaritmos el argumento siempre tiene que ser positivo."}, {"start": 604.2, "end": 610.2, "text": " Y esta soluci\u00f3n se puede ver claramente que ser\u00e1 de naturaleza negativa."}, {"start": 610.2, "end": 614.2, "text": " Por ejemplo, aqu\u00ed tendr\u00edamos problemas con este valor."}, {"start": 614.2, "end": 616.4, "text": " Por lo tanto, se descarta."}, {"start": 616.4, "end": 618.6, "text": " Este valor no nos sirve."}, {"start": 618.6, "end": 623.2, "text": " En cambio, esta que tenemos ac\u00e1, si la resolvemos en calculadora,"}, {"start": 623.2, "end": 628.6, "text": " tendremos un resultado aproximadamente igual a 0.12."}, {"start": 628.6, "end": 633.2, "text": " O sea, un valor positivo que encaja perfectamente aqu\u00ed"}, {"start": 633.2, "end": 640.8000000000001, "text": " y tambi\u00e9n en estos otros dos logaritmos donde tenemos asegurado argumentos positivos."}, {"start": 640.8000000000001, "end": 645.6, "text": " Concluimos entonces que para esta ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos,"}, {"start": 645.6, "end": 648.0, "text": " esta es la respuesta."}, {"start": 648.0, "end": 659.2, "text": " Es el valor de X que hace verdadera esa igualdad."}]