40. PRODUCTO PUNTO, INTERNO O ESCALAR (Ejercicio 1)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 40: Producto Punto, interno o Escalar (Ejercicio 1).

Determinar el ángulo que forman los vectores a = 3i + 5j y b = 4i + j

Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 Miren un primer ejemplo con dos vectores en el plano. Dice determinar el ángulo que forman los vectores A de componentes 3i más 5j y el vector B de componentes 4i más j. Comenzamos por escribir los dos vectores de la siguiente manera. El vector A tiene componentes 3,5 y el vector B tiene componentes 4,1. Es decir, deshacemos la notación ij para mayor comodidad y vamos a proceder con el cálculo del producto punto o producto interno o producto escalar entre ellos. Entonces hacemos lo siguiente, multiplicamos 3 por 4 más 5 por 1. Hacemos el producto de las componentes respectivas y luego la suma entre ellos. 3 por 4 nos da 12 más 5 por 1, 5 y esto nos da 17. Entonces el producto punto entre los dos vectores es el número o el escalar 17. Ahora vamos a determinar para cada vector su norma, módulo o magnitud. Comenzamos con el vector A, entonces tendremos que eso es igual a la raíz cuadrada de 3 al cuadrado más 5 al cuadrado. Efectuando toda esta operación nos queda raíz cuadrada de 9 más 25 y eso es igual a la raíz cuadrada de 34. Ahora procedemos con el vector B, su magnitud módulo o norma será igual a la raíz cuadrada de 4 al cuadrado más 1 al cuadrado. Y esto es igual a la raíz cuadrada de 16 más 1 que a su vez es igual a la raíz cuadrada de 17. A continuación vamos a utilizar la expresión que nos permite determinar el ángulo theta entre los vectores A y B. Será entonces A producto punto con B en el numerador y abajo tendremos la magnitud de A multiplicada por la magnitud módulo o norma de B. Entonces vamos a reemplazar los valores. A producto punto con B nos dio 17, magnitud del vector A es raíz de 34 y todo eso multiplicado por raíz cuadrada de 17 que es la magnitud del vector B. Esta expresión la podemos transformar de la siguiente manera. Nos queda en el numerador 17 y en el denominador raíz cuadrada de 34 lo podemos descomponer como raíz cuadrada de 2 por raíz cuadrada de 17 y eso multiplica por otra raíz cuadrada de 17. Entonces tenemos lo siguiente. Abajo tendremos raíz cuadrada de 2 por el producto de estas dos raíces nos da raíz cuadrada de 17 al cuadrado que se convierte en 17 y vemos la posibilidad de simplificar este 17. Es como si sacáramos 17 aba y nos queda entonces 1 dividido entre raíz cuadrada de 2. Esta expresión podemos racionalizarla multiplicando por raíz cuadrada de 2 abajo y arriba y nos va a dar como resultado lo siguiente. En la parte de arriba 1 por raíz cuadrada de 2 nos da raíz cuadrada de 2 y en la parte de abajo raíz cuadrada de 2 por raíz cuadrada de 2 nos da raíz cuadrada de 2 al cuadrado que es igual a 2. Entonces tenemos que el coseno del ángulo theta equivale a raíz cuadrada de 2 dividido entre 2. Si de aquí despejamos el ángulo theta aplicando la función trigonométrica inversa coseno a la menos 1 de raíz cuadrada de 2 entre 2 obtenemos el ángulo theta de 45 grados y de esta manera respondemos a la pregunta. El ángulo que forman los vectores a y b es 45 grados. Lo que acabamos de hacer analíticamente podemos comprobarlo de manera gráfica. Vamos al plano cartesiano dibujamos los dos vectores a y b recordemos que las componentes del vector a son 3,5 allí podemos ver que tiene origen en el punto 0,0 y extremo en el punto de coordenadas 3,5 y para el caso del vector b sus componentes son 4,1 también tiene origen en el punto 0,0 y extremo en el punto de coordenadas 4,1 y entonces necesitamos probar que este ángulo es de 45 grados que fue el que obtuvimos utilizando el producto punto y la expresión que vimos hace un momento. Para ello podemos tomar una escuadra que tiene aquí en esta punta ángulo de 45 grados y podemos llevarla hasta ese punto hasta allí para ver que efectivamente el ángulo que forman los dos vectores es de 45 grados. Entonces se comprueba gráficamente que este ángulo el ángulo de menor giro que forman los dos vectores a y b es de 45 grados. ¡Suscríbete!
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