DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 16
#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función que contiene el número de Euler.

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 Vamos a derivar esta función que nos dan con el número de Euler. Antes de hacer el proceso de derivación, vamos a transformarla utilizando el álgebra. Vamos a llegar a una expresión un poco más sencilla, de modo que el proceso de derivación se facilite. Comenzamos por transformar estas potencias que tienen exponente negativo. Allí aplicamos la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos A elevada al exponente menos n, eso es igual a 1 sobre A a la n. Entonces, tendremos lo siguiente. E a la x, esto queda igual a menos E a la menos x, que sería 1 sobre E a la x, utilizando esta propiedad. En el denominador tendremos E a la x más 1 sobre E a la x, aplicando nuevamente la propiedad. A continuación, vamos a resolver estas dos operaciones. Y para ello, vamos a escribirle denominador 1 a esas dos potencias E a la x. Vamos a recordar cómo se suman o restan fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador. La manera rápida de hacerlo es la siguiente. Arriba A por D, más o menos según el signo que tengamos, D por C, y en el denominador tenemos D por D. Vamos a aplicar eso para resolver rápidamente esas dos operaciones. Por aquí tenemos E a la x por E a la x, eso nos da E a la 2x. Si tenemos E a la x por E a la x, dejamos la misma base y sumamos los exponentes, por lo tanto nos da E a la 2x. Tenemos entonces por aquí E a la 2x menos 1 por 1 que nos da 1, y abajo tenemos 1 por E a la x que nos da E a la x. Vamos acá al denominador, hacemos el mismo procedimiento. E a la x por E a la x nos da E a la 2x, más 1 por 1 que nos da 1, y abajo tenemos 1 por E a la x que nos da E a la x. Ahora vamos a aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos una fracción A sobre C dividida entre otra fracción B sobre C, es decir, fracciones que tienen el mismo denominador, entonces es permitido simplificar esos denominadores y nos quedaría entonces A sobre B. Eso lo podemos hacer en este caso. Vemos que los denominadores de las dos fracciones son iguales. Por lo tanto podemos simplificar E a la x y tenemos la función como E a la 2x menos 1 en el numerador y E a la 2x más 1 en el denominador. Esta es la función que vamos a derivar. Será un poco más sencillo porque ya no tenemos exponentes negativos en las potencias. Iniciamos entonces el proceso de derivación. Y tenemos que la función es un cociente. Entonces veamos cómo se obtiene E de F'. La regla del cociente dice lo siguiente. Derivada de A sobre B es igual a la derivada del numerador, o sea, A' por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre el denominador al cuadrado. Entonces vamos a aplicar esta regla para derivar esa expresión. Comenzamos con la derivada del numerador. Tenemos E a la 2x menos 1, o sea, una resta. Derivamos entonces cada componente. Para derivar E a la 2x aplicamos la siguiente propiedad. Si tenemos E elevada a la manzanita, la manzanita representa cualquier función de x, entonces su derivada tiene la siguiente forma. Es ella misma, o sea, E a la manzanita multiplicada por la derivada de la manzanita, o sea, la derivada interna. Esto es la regla de la cadena. Entonces tenemos para el caso del numerador derivada de E a la 2x sería ella misma, E a la 2x por la derivada del exponente que sería 2. Estamos aplicando esta regla. Menos la derivada de 1 que sería 0. Entonces aquí tenemos derivado el numerador, o sea, el componente A'. Todo esto lo vamos a multiplicar por el denominador sin derivar. Entonces lo escribimos también con paréntesis, E a la 2x más 1. Ahora menos el numerador sin derivar que sería E a la 2x menos 1, protegido con paréntesis, y eso multiplicado por la derivada del denominador. Tenemos una suma en el denominador. La derivada de este componente será E a la 2x por la derivada del exponente que es 2, la misma que utilizamos por acá, más la derivada de 1 que sería 0. Entonces esto es la derivada del denominador. Todo eso nos queda sobre el denominador al cuadrado. Entonces sería E a la 2x más 1 entre paréntesis y al cuadrado. Allí tenemos ya la derivada siguiendo la regla del cociente. Ahora viene la fase de pulir esta expresión para que nos quede de una manera más sencilla. En el numerador hacemos aquí la propiedad distributiva. Escribimos el componente E a la 2x por 2 multiplicado por E a la 2x nos queda 2 por E a la 4x. Escribimos el 2 primero y E a la 2x por E a la 2x cumple la propiedad del producto de potencias de la misma base. Dejamos esa base y sumamos los exponentes. Esto más este componente que multiplica con 1. Entonces lo organizamos como 2E a la 2x. Vamos ahora con esta multiplicación donde también tendremos propiedad distributiva. En este caso es en esta dirección de derecha a izquierda. Pero debemos tener cuidado con ese signo negativo que también entra y afecta los componentes de este binomio. Veamos, este componente multiplicado por este nos quedaría menos 2E a la 4x. La misma situación que pasó con estos dos. Tenemos entonces ya esta multiplicación. Ahora menos con menos nos da más y este componente multiplicado por 1 nos queda 2E a la 2x. Todo esto sobre el mismo denominador al cuadrado. Cabe anotar que este denominador se deja indicado. No se desarrolla. Finalmente miramos que términos se pueden operar en el numerador. Tenemos el caso de estos dos que son semejantes pero son opuestos. Uno positivo y el otro negativo. Entonces se eliminan entre sí. Nos quedan estos dos que se pueden sumar. Eso nos da como resultado 4E a la 2x. Y en el denominador escribimos la misma expresión que como decíamos queda indicada. De esta manera hemos terminado el ejercicio. Hemos llegado a la derivada de la función que nos daban inicialmente con el número de Euler.
[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Vamos a derivar esta funci\u00f3n que nos dan con el n\u00famero de Euler."}, {"start": 6.0, "end": 13.0, "text": " Antes de hacer el proceso de derivaci\u00f3n, vamos a transformarla utilizando el \u00e1lgebra."}, {"start": 13.0, "end": 22.0, "text": " Vamos a llegar a una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s sencilla, de modo que el proceso de derivaci\u00f3n se facilite."}, {"start": 22.0, "end": 29.0, "text": " Comenzamos por transformar estas potencias que tienen exponente negativo."}, {"start": 29.0, "end": 33.0, "text": " All\u00ed aplicamos la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 33.0, "end": 41.0, "text": " Si tenemos A elevada al exponente menos n, eso es igual a 1 sobre A a la n."}, {"start": 41.0, "end": 43.0, "text": " Entonces, tendremos lo siguiente."}, {"start": 43.0, "end": 54.0, "text": " E a la x, esto queda igual a menos E a la menos x, que ser\u00eda 1 sobre E a la x, utilizando esta propiedad."}, {"start": 54.0, "end": 66.0, "text": " En el denominador tendremos E a la x m\u00e1s 1 sobre E a la x, aplicando nuevamente la propiedad."}, {"start": 66.0, "end": 70.0, "text": " A continuaci\u00f3n, vamos a resolver estas dos operaciones."}, {"start": 70.0, "end": 79.0, "text": " Y para ello, vamos a escribirle denominador 1 a esas dos potencias E a la x."}, {"start": 79.0, "end": 86.0, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se suman o restan fracciones heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador."}, {"start": 86.0, "end": 90.0, "text": " La manera r\u00e1pida de hacerlo es la siguiente."}, {"start": 90.0, "end": 104.0, "text": " Arriba A por D, m\u00e1s o menos seg\u00fan el signo que tengamos, D por C, y en el denominador tenemos D por D."}, {"start": 104.0, "end": 110.0, "text": " Vamos a aplicar eso para resolver r\u00e1pidamente esas dos operaciones."}, {"start": 110.0, "end": 118.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos E a la x por E a la x, eso nos da E a la 2x."}, {"start": 118.0, "end": 129.0, "text": " Si tenemos E a la x por E a la x, dejamos la misma base y sumamos los exponentes, por lo tanto nos da E a la 2x."}, {"start": 129.0, "end": 142.0, "text": " Tenemos entonces por aqu\u00ed E a la 2x menos 1 por 1 que nos da 1, y abajo tenemos 1 por E a la x que nos da E a la x."}, {"start": 142.0, "end": 147.0, "text": " Vamos ac\u00e1 al denominador, hacemos el mismo procedimiento."}, {"start": 147.0, "end": 163.0, "text": " E a la x por E a la x nos da E a la 2x, m\u00e1s 1 por 1 que nos da 1, y abajo tenemos 1 por E a la x que nos da E a la x."}, {"start": 163.0, "end": 167.0, "text": " Ahora vamos a aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 167.0, "end": 177.0, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n A sobre C dividida entre otra fracci\u00f3n B sobre C, es decir, fracciones que tienen el mismo denominador,"}, {"start": 177.0, "end": 185.0, "text": " entonces es permitido simplificar esos denominadores y nos quedar\u00eda entonces A sobre B."}, {"start": 185.0, "end": 188.0, "text": " Eso lo podemos hacer en este caso."}, {"start": 188.0, "end": 193.0, "text": " Vemos que los denominadores de las dos fracciones son iguales."}, {"start": 193.0, "end": 212.0, "text": " Por lo tanto podemos simplificar E a la x y tenemos la funci\u00f3n como E a la 2x menos 1 en el numerador y E a la 2x m\u00e1s 1 en el denominador."}, {"start": 212.0, "end": 215.0, "text": " Esta es la funci\u00f3n que vamos a derivar."}, {"start": 215.0, "end": 223.0, "text": " Ser\u00e1 un poco m\u00e1s sencillo porque ya no tenemos exponentes negativos en las potencias."}, {"start": 223.0, "end": 229.0, "text": " Iniciamos entonces el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 229.0, "end": 237.0, "text": " Y tenemos que la funci\u00f3n es un cociente."}, {"start": 237.0, "end": 240.0, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo se obtiene E de F'."}, {"start": 240.0, "end": 245.0, "text": " La regla del cociente dice lo siguiente."}, {"start": 245.0, "end": 254.0, "text": " Derivada de A sobre B es igual a la derivada del numerador, o sea, A' por el denominador sin derivar,"}, {"start": 254.0, "end": 264.0, "text": " menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre el denominador al cuadrado."}, {"start": 264.0, "end": 269.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esta regla para derivar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 269.0, "end": 272.0, "text": " Comenzamos con la derivada del numerador."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " Tenemos E a la 2x menos 1, o sea, una resta."}, {"start": 276.0, "end": 279.0, "text": " Derivamos entonces cada componente."}, {"start": 279.0, "end": 284.0, "text": " Para derivar E a la 2x aplicamos la siguiente propiedad."}, {"start": 284.0, "end": 291.0, "text": " Si tenemos E elevada a la manzanita, la manzanita representa cualquier funci\u00f3n de x,"}, {"start": 291.0, "end": 299.0, "text": " entonces su derivada tiene la siguiente forma."}, {"start": 299.0, "end": 307.0, "text": " Es ella misma, o sea, E a la manzanita multiplicada por la derivada de la manzanita, o sea, la derivada interna."}, {"start": 307.0, "end": 310.0, "text": " Esto es la regla de la cadena."}, {"start": 310.0, "end": 317.0, "text": " Entonces tenemos para el caso del numerador derivada de E a la 2x ser\u00eda ella misma,"}, {"start": 317.0, "end": 322.0, "text": " E a la 2x por la derivada del exponente que ser\u00eda 2."}, {"start": 322.0, "end": 325.0, "text": " Estamos aplicando esta regla."}, {"start": 325.0, "end": 329.0, "text": " Menos la derivada de 1 que ser\u00eda 0."}, {"start": 329.0, "end": 336.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos derivado el numerador, o sea, el componente A'."}, {"start": 336.0, "end": 343.0, "text": " Todo esto lo vamos a multiplicar por el denominador sin derivar."}, {"start": 343.0, "end": 350.0, "text": " Entonces lo escribimos tambi\u00e9n con par\u00e9ntesis, E a la 2x m\u00e1s 1."}, {"start": 350.0, "end": 360.0, "text": " Ahora menos el numerador sin derivar que ser\u00eda E a la 2x menos 1, protegido con par\u00e9ntesis,"}, {"start": 360.0, "end": 364.0, "text": " y eso multiplicado por la derivada del denominador."}, {"start": 364.0, "end": 366.0, "text": " Tenemos una suma en el denominador."}, {"start": 366.0, "end": 374.0, "text": " La derivada de este componente ser\u00e1 E a la 2x por la derivada del exponente que es 2,"}, {"start": 374.0, "end": 380.0, "text": " la misma que utilizamos por ac\u00e1, m\u00e1s la derivada de 1 que ser\u00eda 0."}, {"start": 380.0, "end": 386.0, "text": " Entonces esto es la derivada del denominador."}, {"start": 386.0, "end": 391.0, "text": " Todo eso nos queda sobre el denominador al cuadrado."}, {"start": 391.0, "end": 399.0, "text": " Entonces ser\u00eda E a la 2x m\u00e1s 1 entre par\u00e9ntesis y al cuadrado."}, {"start": 399.0, "end": 404.0, "text": " All\u00ed tenemos ya la derivada siguiendo la regla del cociente."}, {"start": 404.0, "end": 412.0, "text": " Ahora viene la fase de pulir esta expresi\u00f3n para que nos quede de una manera m\u00e1s sencilla."}, {"start": 412.0, "end": 417.0, "text": " En el numerador hacemos aqu\u00ed la propiedad distributiva."}, {"start": 417.0, "end": 428.0, "text": " Escribimos el componente E a la 2x por 2 multiplicado por E a la 2x nos queda 2 por E a la 4x."}, {"start": 428.0, "end": 437.0, "text": " Escribimos el 2 primero y E a la 2x por E a la 2x cumple la propiedad del producto de potencias de la misma base."}, {"start": 437.0, "end": 441.0, "text": " Dejamos esa base y sumamos los exponentes."}, {"start": 441.0, "end": 451.0, "text": " Esto m\u00e1s este componente que multiplica con 1. Entonces lo organizamos como 2E a la 2x."}, {"start": 451.0, "end": 457.0, "text": " Vamos ahora con esta multiplicaci\u00f3n donde tambi\u00e9n tendremos propiedad distributiva."}, {"start": 457.0, "end": 462.0, "text": " En este caso es en esta direcci\u00f3n de derecha a izquierda."}, {"start": 462.0, "end": 470.0, "text": " Pero debemos tener cuidado con ese signo negativo que tambi\u00e9n entra y afecta los componentes de este binomio."}, {"start": 470.0, "end": 478.0, "text": " Veamos, este componente multiplicado por este nos quedar\u00eda menos 2E a la 4x."}, {"start": 478.0, "end": 484.0, "text": " La misma situaci\u00f3n que pas\u00f3 con estos dos. Tenemos entonces ya esta multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 484.0, "end": 494.0, "text": " Ahora menos con menos nos da m\u00e1s y este componente multiplicado por 1 nos queda 2E a la 2x."}, {"start": 494.0, "end": 499.0, "text": " Todo esto sobre el mismo denominador al cuadrado."}, {"start": 499.0, "end": 506.0, "text": " Cabe anotar que este denominador se deja indicado. No se desarrolla."}, {"start": 506.0, "end": 512.0, "text": " Finalmente miramos que t\u00e9rminos se pueden operar en el numerador."}, {"start": 512.0, "end": 518.0, "text": " Tenemos el caso de estos dos que son semejantes pero son opuestos."}, {"start": 518.0, "end": 523.0, "text": " Uno positivo y el otro negativo. Entonces se eliminan entre s\u00ed."}, {"start": 523.0, "end": 532.0, "text": " Nos quedan estos dos que se pueden sumar. Eso nos da como resultado 4E a la 2x."}, {"start": 532.0, "end": 540.0, "text": " Y en el denominador escribimos la misma expresi\u00f3n que como dec\u00edamos queda indicada."}, {"start": 540.0, "end": 544.0, "text": " De esta manera hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 544.0, "end": 554.0, "text": " Hemos llegado a la derivada de la funci\u00f3n que nos daban inicialmente con el n\u00famero de Euler."}]