ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una Ecuación Diferencial Exacta con condición inicial.

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 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación diferencial con condición inicial. Comenzamos por extraer de estos paréntesis los diferenciales. Vamos acá nos queda x, abrimos paréntesis y extraemos como factor común el diferencial de x, lo ponemos a este lado. Acá nos queda entonces 3x menos 3y a la 4. Vamos al otro lado de la igualdad, dejamos y al cuadrado, abrimos paréntesis y acá vamos a extraer como factor común el diferencial de y. Nos queda dentro del paréntesis 6x al cuadrado y menos 1, lo que nos queda después de que abandona el paréntesis el diferencial de y. Por ejemplo aquí ya podemos observar que no es posible independizar las variables x y y. Lo mismo sucede acá, por lo tanto ya podemos descartar que sea una ecuación diferencial por separación de variables. Ahora lo que vamos a hacer es distribuir esta x y este y al cuadrado. Vamos a introducirlos a los paréntesis. Entonces acá nos queda x por 3x es 3x al cuadrado, luego tenemos menos x por 3y a la 4, nos queda 3x y a la 4 y todo esto con el diferencial de x. Acá tendremos y al cuadrado por esto, nos queda 6x al cuadrado y al cubo, menos y al cuadrado por 1 que nos da y al cuadrado y todo esto con el diferencial de y. Si allí hacemos el intento de expresar de y de x como una función o en términos de y sobre x vemos que eso no es posible, por lo tanto descartamos que sea una ecuación diferencial homogénea. Lo que vamos a hacer es apuntarle al modelo de la ecuación diferencial exacta que dice m de x más n de y igual a 0. Entonces vamos a organizar esa ecuación de acuerdo con este modelo para revisar si cumple el requisito de la ecuación diferencial exacta. Nos queda entonces 3x al cuadrado menos 3x y a la 4 con su diferencial de x y pasamos todo este componente al lado izquierdo, llega con signo negativo, llega a restar, entonces allí tenemos esto del paréntesis acompañado con el diferencial de y y todo eso nos queda igualado a 0. Ahora vamos a transformar ese signo menos en signo más para que la ecuación encaje perfectamente con este modelo y eso lo vamos a lograr extrayendo de este paréntesis un signo menos como factor común. Veamos entonces cómo nos queda, acá 3x al cuadrado menos 3x y a la 4 con el diferencial de x y acá si sale el menos este menos se convierte en más. Al extraer el menos los signos de estos términos nos cambian, este nos queda positivo, lo escribimos primero y este que estaba positivo ahora queda negativo, lo escribimos por acá, cerramos el paréntesis, anotamos el diferencial de y y todo esto está igualado a 0. Ahora si la ecuación está escrita de acuerdo con este modelo, vamos a identificar lo que es m sería todo esto, o sea el acompañante del diferencial de x y todo esto es n, o sea el acompañante del diferencial de y. Ahora vamos a obtener la derivada parcial de m con respecto a y y la derivada parcial de n con respecto a x, si esto nos da lo mismo entonces se estaría cumpliendo el requisito de una ecuación diferencial exacta. Vamos a ver, aquí tenemos m y vamos a derivar esto parcialmente con respecto a y, o sea que la x se comporta como constante, como tenemos dos términos restando derivamos cada uno de ellos, en el primero no aparece la variable y, todo esto es constante por lo tanto su derivada será 0. Vamos al siguiente término que arranca con signo menos y aquí aseguramos lo que es constante, o sea 3x y nos ocupamos de la derivada de ya la 4, que será 4y al cubo, organizando eso nos queda menos 12x y al cubo, la derivada parcial de m con respecto a y. Ahora vamos con n que vamos a derivar parcialmente con respecto a x, en este caso la variable y actúa como constante, de nuevo derivamos cada término, en el primero no aparece la x, todo esto es constante por lo tanto su derivada es 0. Vamos al siguiente término que inicia con signo menos y aquí aseguramos lo que es constante, o sea 6y al cubo y esto multiplicado por la derivada de x al cuadrado que es 2x, organizando esto nos queda menos 12x y al cubo, como se puede observar nos dio el mismo resultado, entonces si estas dos derivadas parciales son iguales estamos ante una ecuación diferencial exacta, entonces ya podemos tomar con tranquilidad este camino. Entonces anotamos por acá lo que es m y lo que es n y comenzamos utilizando esta definición de f de x debe ser igual a m, recordemos que f es la expresión que buscamos como solución general de la ecuación diferencial exacta, entonces df de x nos va a quedar igualado con lo que es m y m nos dio 3x al cuadrado menos 3x y a la 4, entonces aquí vamos a despejar df, pasamos dx que esta dividiendo al otro lado a multiplicar, nos queda 3x cuadrado menos 3x y a la 4, todo esto por dx y vamos a integrar ambos lados, integral de df igual a la integral de todo esto, en el lado izquierdo la integral de df nos da f y acá vamos a integrar con respecto a x, o sea que la letra y actúa como constante, integral de este termino nos da 3x al cubo sobre 3 y en el otro termino vamos a asegurar lo que es constante, aseguramos 3 y a la 4 y esto multiplicado por la integral de x que será x al cuadrado sobre 2 y a esto le agregamos una constante de integración que en este caso vamos a representar como una función y de y, una función que depende de la letra que aquí actúa como constante, organizando un poco esta expresión nos queda así, aquí podemos simplificar el número 3 nos queda x al cubo menos acomodamos esto como 3 medios x al cuadrado y a la 4 y esto más la expresión fi de y, ahora lo que hacemos es derivar esto parcialmente con respecto a y, entonces derivada parcial de f con respecto a y será igual a lo siguiente, aquí consideramos x como una constante, derivada de este termino nos dará 0, pasamos al siguiente donde vamos a asegurar lo que es constante, aseguramos 3 medios de x al cuadrado y nos ocupamos de derivar ya la 4, esa derivada nos da 4y al cubo y todo esto más la derivada de esta expresión que dejamos indicada como fi prima de y, allí podemos organizar este termino nos queda entonces derivada parcial de f con respecto a y igual a menos 3 medios por 4 nos dará 12 medios que equivale a 6 acompañado de x al cuadrado y de y al cubo y todo esto más fi prima de y, pero por definición tenemos que la derivada parcial de f con respecto a y debe ser igual al componente n, entonces veamos derivada parcial de f con respecto a y nos dio menos 6x al cuadrado y al cubo más la expresión fi prima de y y esto lo igualamos con n, acá lo tenemos es y al cuadrado menos 6x al cuadrado y al cubo, aquí podemos cancelar ambos lados este termino que se repite y nos queda entonces que fi prima de y es igual a y al cuadrado, si hacemos la integral a ambos lados con respecto a y tendremos en el lado izquierdo la integral de esto nos da fi de y y en el lado derecho la integral de y al cuadrado nos quedaría y al cubo sobre 3 y aparece la constante que llamamos c1, hace un momento habíamos obtenido esta expresión para f entonces llega el momento de cambiar fi de y por su expresión equivalente que es y al cubo sobre 3 más la constante c1, pero recordemos que en toda ecuación diferencial exacta lo que buscamos es una expresión f de x y igual a una constante c como solución general, en ese caso esto es lo mismo que f entonces vamos a escribir todo lo que nos dio f, x al cubo menos 3 medios de x al cuadrado y a la 4 luego tenemos más y al cubo sobre 3 más la constante c1 y todo esto igualado a la constante c, ahora podemos trasladar esta constante c1 al lado derecho, llegaría entonces a restar eso nos queda de la siguiente manera, nos queda igual a c menos c1 pero esta diferencia de constantes nos da una nueva constante que podemos llamar k, de este modo hemos conformado la solución general de la ecuación diferencial lo que nos queda por averiguar es el valor de k y para ello utilizamos la condición inicial en este caso 1 es valor de x entonces quiere decir que esa curva en r2 o en el plano cartesiano debe pasar por el punto 1,-1, 1 es valor de x y menos 1 es valor de y entonces vamos a reemplazar en esos espacios los valores de x y, x toma el valor 1 entonces lo reemplazamos aquí y también por acá y y toma el valor menos 1 lo reemplazamos aquí y también en ese paréntesis, vamos a resolver esas operaciones 1 al cubo nos da 1 menos aquí tenemos menos 1 a la 4 esto nos da 1 positivo 1 al cuadrado nos da 1, 1 por 1 por 3 medios es 3 medios y acá tenemos menos 1 al cubo es menos 1, menos 1 sobre 3 nos queda menos 1 tercio con ese signo más sigue siendo menos 1 tercio y todo esto igual a la constante k ahora para resolver estas operaciones con fracciones de distinto denominador buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores el mcm de 1, 2 y 3 es 6 entonces vamos a transformar las fracciones en fracciones con denominador 6 aquí tenemos denominador 1 multiplicamos arriba y abajo por 6 nos queda 6 sextos luego tenemos esa fracción donde multiplicamos arriba y abajo por 3 arriba nos queda 9 abajo nos queda 6 y vamos a la última donde multiplicamos arriba y abajo por 2 nos quedaría 2 sextos como se observa ya tenemos fracciones homogéneas o sea fracciones con igual denominador en ese caso dejamos ese denominador y operamos los numeradores 6 menos 9 nos da menos 3 menos 3 menos 2 es menos 5 entonces el valor de k es menos 5 sextos hemos encontrado el valor de la constante de esta manera conformamos la solución particular de nuestra ecuación diferencial con condición inicial pero para lograr una mejor presentación de esta expresión podemos deshacernos de los denominadores de nuevo buscamos el mínimo común múltiplo de todos ellos que será 6 entonces vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por 6 en el lado izquierdo multiplicamos cada uno de esos términos por esa cantidad aquí 6 por x al cubo nos queda 6x cubo menos 6 por todo esto nos daría 6 por 3 medios es 18 medios que equivale a 9 acompañado de x al cuadrado y a la 4 aquí si multiplicamos por 6 nos queda 6 tercios que equivale a 2 acompañado de y al cubo y si acá multiplicamos por 6 este número se nos va y nos queda menos 5 ahora si tenemos la solución particular de nuestra ecuación diferencial exacta con condición inicial como se observa ya no tenemos números fraccionarios sino únicamente números enteros
[{"start": 0.0, "end": 9.64, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n diferencial con condici\u00f3n inicial."}, {"start": 9.64, "end": 14.58, "text": " Comenzamos por extraer de estos par\u00e9ntesis los diferenciales."}, {"start": 14.58, "end": 21.2, "text": " Vamos ac\u00e1 nos queda x, abrimos par\u00e9ntesis y extraemos como factor com\u00fan el diferencial"}, {"start": 21.2, "end": 23.42, "text": " de x, lo ponemos a este lado."}, {"start": 23.42, "end": 29.38, "text": " Ac\u00e1 nos queda entonces 3x menos 3y a la 4."}, {"start": 29.38, "end": 35.04, "text": " Vamos al otro lado de la igualdad, dejamos y al cuadrado, abrimos par\u00e9ntesis y ac\u00e1"}, {"start": 35.04, "end": 39.36, "text": " vamos a extraer como factor com\u00fan el diferencial de y."}, {"start": 39.36, "end": 47.120000000000005, "text": " Nos queda dentro del par\u00e9ntesis 6x al cuadrado y menos 1, lo que nos queda despu\u00e9s de que"}, {"start": 47.120000000000005, "end": 51.04, 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Ahora vamos a obtener la derivada parcial de m con respecto a y y la derivada parcial"}, {"start": 236.07999999999998, "end": 244.6, "text": " de n con respecto a x, si esto nos da lo mismo entonces se estar\u00eda cumpliendo el requisito"}, {"start": 244.6, "end": 247.79999999999998, "text": " de una ecuaci\u00f3n diferencial exacta."}, {"start": 247.79999999999998, "end": 253.28, "text": " Vamos a ver, aqu\u00ed tenemos m y vamos a derivar esto parcialmente con respecto a y, o sea"}, {"start": 253.28, "end": 259.4, "text": " que la x se comporta como constante, como tenemos dos t\u00e9rminos restando derivamos cada"}, {"start": 259.4, "end": 264.96, "text": " uno de ellos, en el primero no aparece la variable y, todo esto es constante por lo"}, {"start": 264.96, "end": 267.52, "text": " tanto su derivada ser\u00e1 0."}, {"start": 267.52, "end": 273.36, "text": " Vamos al siguiente t\u00e9rmino que arranca con signo menos y aqu\u00ed aseguramos lo que es constante,"}, {"start": 273.36, "end": 281.16, "text": " o sea 3x y nos ocupamos de la derivada de ya la 4, que ser\u00e1 4y al cubo, organizando"}, {"start": 281.16, "end": 288.96000000000004, "text": " eso nos queda menos 12x y al cubo, la derivada parcial de m con respecto a y."}, {"start": 288.96000000000004, "end": 294.68, "text": " Ahora vamos con n que vamos a derivar parcialmente con respecto a x, en este caso la variable"}, {"start": 294.68, "end": 300.88, "text": " y act\u00faa como constante, de nuevo derivamos cada t\u00e9rmino, en el primero no aparece la"}, {"start": 300.88, "end": 305.56, "text": " x, todo esto es constante por lo tanto su derivada es 0."}, {"start": 305.56, "end": 311.08, "text": " Vamos al siguiente t\u00e9rmino que inicia con signo menos y aqu\u00ed aseguramos lo que es constante,"}, {"start": 311.08, "end": 320.08, "text": " o sea 6y al cubo y esto multiplicado por la derivada de x al cuadrado que es 2x, organizando"}, {"start": 320.08, "end": 328.64, "text": " esto nos 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pasamos dx que esta dividiendo al otro lado a multiplicar, nos queda 3x cuadrado"}, {"start": 384.24, "end": 393.92, "text": " menos 3x y a la 4, todo esto por dx y vamos a integrar ambos lados, integral de df igual"}, {"start": 393.92, "end": 402.84000000000003, "text": " a la integral de todo esto, en el lado izquierdo la integral de df nos da f y ac\u00e1 vamos a"}, {"start": 402.84000000000003, "end": 409.08, "text": " integrar con respecto a x, o sea que la letra y act\u00faa como constante, integral de este"}, {"start": 409.08, "end": 418.44, "text": " termino nos da 3x al cubo sobre 3 y en el otro termino vamos a asegurar lo que es constante,"}, {"start": 418.44, "end": 425.21999999999997, "text": " aseguramos 3 y a la 4 y esto multiplicado por la integral de x que ser\u00e1 x al cuadrado"}, {"start": 425.21999999999997, "end": 432.53999999999996, "text": " sobre 2 y a esto le agregamos una constante de integraci\u00f3n que en este caso vamos a representar"}, {"start": 432.53999999999996, "end": 437.41999999999996, "text": " como una funci\u00f3n y de y, una funci\u00f3n que depende de la letra que aqu\u00ed act\u00faa como"}, {"start": 437.42, "end": 444.56, "text": " constante, organizando un poco esta expresi\u00f3n nos queda as\u00ed, aqu\u00ed podemos simplificar"}, {"start": 444.56, "end": 453.64, "text": " el n\u00famero 3 nos queda x al cubo menos acomodamos esto como 3 medios x al cuadrado y a la 4"}, {"start": 453.64, "end": 460.70000000000005, "text": " y esto m\u00e1s la expresi\u00f3n fi de y, ahora lo que hacemos es derivar esto parcialmente con"}, {"start": 460.7, "end": 468.03999999999996, "text": " respecto a y, entonces derivada parcial de f con respecto a y ser\u00e1 igual a lo siguiente,"}, {"start": 468.03999999999996, "end": 474.68, "text": " aqu\u00ed consideramos x como una constante, derivada de este termino nos dar\u00e1 0, pasamos al siguiente"}, {"start": 474.68, "end": 481.84, "text": " donde vamos a asegurar lo que es constante, aseguramos 3 medios de x al cuadrado y nos"}, {"start": 481.84, "end": 489.08, "text": " ocupamos de derivar ya la 4, esa derivada nos da 4y al cubo y todo esto m\u00e1s la derivada"}, {"start": 489.08, "end": 496.68, "text": " de esta expresi\u00f3n que dejamos indicada como fi prima de y, all\u00ed podemos organizar este"}, {"start": 496.68, "end": 504.24, "text": " termino nos queda entonces derivada parcial de f con respecto a y igual a menos 3 medios"}, {"start": 504.24, "end": 512.5799999999999, "text": " por 4 nos dar\u00e1 12 medios que equivale a 6 acompa\u00f1ado de x al cuadrado y de y al cubo"}, {"start": 512.58, "end": 521.5, "text": " y todo esto m\u00e1s fi prima de y, pero por definici\u00f3n tenemos que la derivada parcial de f con"}, {"start": 521.5, "end": 529.08, "text": " respecto a y debe ser igual al componente n, entonces veamos derivada parcial de f con"}, {"start": 529.08, "end": 539.32, "text": " respecto a y nos dio menos 6x al cuadrado y al cubo m\u00e1s la expresi\u00f3n fi prima de y"}, {"start": 539.32, "end": 548.1400000000001, "text": " y esto lo igualamos con n, ac\u00e1 lo tenemos es y al cuadrado menos 6x al cuadrado y al"}, {"start": 548.1400000000001, "end": 555.72, "text": " cubo, aqu\u00ed podemos cancelar ambos lados este termino que se repite y nos queda entonces"}, {"start": 555.72, "end": 565.44, "text": " que fi prima de y es igual a y al cuadrado, si hacemos la integral a ambos lados con respecto"}, {"start": 565.44, "end": 572.2800000000001, "text": " a y tendremos en el lado izquierdo la integral de esto nos da fi de y y en el lado derecho"}, {"start": 572.2800000000001, "end": 579.1, "text": " la integral de y al cuadrado nos quedar\u00eda y al cubo sobre 3 y aparece la constante que"}, {"start": 579.1, "end": 586.48, "text": " llamamos c1, hace un momento hab\u00edamos obtenido esta expresi\u00f3n para f entonces llega el momento"}, {"start": 586.48, "end": 595.6800000000001, "text": " de cambiar fi de y por su expresi\u00f3n equivalente que es y al cubo sobre 3 m\u00e1s la constante"}, {"start": 595.6800000000001, "end": 602.84, "text": " c1, pero recordemos que en toda ecuaci\u00f3n diferencial exacta lo que buscamos es una expresi\u00f3n f"}, {"start": 602.84, "end": 610.36, "text": " de x y igual a una constante c como soluci\u00f3n general, en ese caso esto es lo mismo que"}, {"start": 610.36, "end": 618.88, "text": " f entonces vamos a escribir todo lo que nos dio f, x al cubo menos 3 medios de x al cuadrado"}, {"start": 618.88, "end": 628.9, "text": " y a la 4 luego tenemos m\u00e1s y al cubo sobre 3 m\u00e1s la constante c1 y todo esto igualado"}, {"start": 628.9, "end": 635.72, "text": " a la constante c, ahora podemos trasladar esta constante c1 al lado derecho, llegar\u00eda"}, {"start": 635.72, "end": 644.44, "text": " entonces a restar eso nos queda de la siguiente manera, nos queda igual a c menos c1 pero"}, {"start": 644.44, "end": 651.32, "text": " esta diferencia de constantes nos da una nueva constante que podemos llamar k, de este modo"}, {"start": 651.32, "end": 656.36, "text": " hemos conformado la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n diferencial lo que nos queda por"}, {"start": 656.36, "end": 664.2, "text": " averiguar es el valor de k y para ello utilizamos la condici\u00f3n inicial en este caso 1 es valor"}, {"start": 664.2, "end": 670.5600000000001, "text": " de x entonces quiere decir que esa curva en r2 o en el plano cartesiano debe pasar por"}, {"start": 670.5600000000001, "end": 679.5600000000001, "text": " el punto 1,-1, 1 es valor de x y menos 1 es valor de y entonces vamos a reemplazar en"}, {"start": 679.5600000000001, "end": 687.44, "text": " esos espacios los valores de x y, x toma el valor 1 entonces lo reemplazamos aqu\u00ed y tambi\u00e9n"}, {"start": 687.44, "end": 695.0, "text": " por ac\u00e1 y y toma el valor menos 1 lo reemplazamos aqu\u00ed y tambi\u00e9n en ese par\u00e9ntesis, vamos"}, {"start": 695.0, "end": 701.5200000000001, "text": " a resolver esas operaciones 1 al cubo nos da 1 menos aqu\u00ed tenemos menos 1 a la 4 esto"}, {"start": 701.5200000000001, "end": 709.08, "text": " nos da 1 positivo 1 al cuadrado nos da 1, 1 por 1 por 3 medios es 3 medios y ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 709.08, "end": 715.5600000000001, "text": " menos 1 al cubo es menos 1, menos 1 sobre 3 nos queda menos 1 tercio con ese signo m\u00e1s"}, {"start": 715.56, "end": 722.1999999999999, "text": " sigue siendo menos 1 tercio y todo esto igual a la constante k ahora para resolver estas"}, {"start": 722.1999999999999, "end": 728.04, "text": " operaciones con fracciones de distinto denominador buscamos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los"}, {"start": 728.04, "end": 736.56, "text": " denominadores el mcm de 1, 2 y 3 es 6 entonces vamos a transformar las fracciones en fracciones"}, {"start": 736.56, "end": 742.68, "text": " con denominador 6 aqu\u00ed tenemos denominador 1 multiplicamos arriba y abajo por 6 nos queda"}, {"start": 742.68, "end": 749.0, "text": " 6 sextos luego tenemos esa fracci\u00f3n donde multiplicamos arriba y abajo por 3 arriba"}, {"start": 749.0, "end": 754.8, "text": " nos queda 9 abajo nos queda 6 y vamos a la \u00faltima donde multiplicamos arriba y abajo"}, {"start": 754.8, "end": 761.88, "text": " por 2 nos quedar\u00eda 2 sextos como se observa ya tenemos fracciones homog\u00e9neas o sea fracciones"}, {"start": 761.88, "end": 768.88, "text": " con igual denominador en ese caso dejamos ese denominador y operamos los numeradores"}, {"start": 768.88, "end": 777.4, "text": " 6 menos 9 nos da menos 3 menos 3 menos 2 es menos 5 entonces el valor de k es menos 5"}, {"start": 777.4, "end": 784.92, "text": " sextos hemos encontrado el valor de la constante de esta manera conformamos la soluci\u00f3n particular"}, {"start": 784.92, "end": 790.6, "text": " de nuestra ecuaci\u00f3n diferencial con condici\u00f3n inicial pero para lograr una mejor presentaci\u00f3n"}, {"start": 790.6, "end": 796.32, "text": " de esta expresi\u00f3n podemos deshacernos de los denominadores de nuevo buscamos el m\u00ednimo"}, {"start": 796.32, "end": 802.0, "text": " com\u00fan m\u00faltiplo de todos ellos que ser\u00e1 6 entonces vamos a multiplicar ambos lados"}, {"start": 802.0, "end": 807.9200000000001, "text": " de la igualdad por 6 en el lado izquierdo multiplicamos cada uno de esos t\u00e9rminos por"}, {"start": 807.9200000000001, "end": 815.36, "text": " esa cantidad aqu\u00ed 6 por x al cubo nos queda 6x cubo menos 6 por todo esto nos dar\u00eda 6"}, {"start": 815.36, "end": 822.6, "text": " por 3 medios es 18 medios que equivale a 9 acompa\u00f1ado de x al cuadrado y a la 4 aqu\u00ed"}, {"start": 822.6, "end": 829.28, "text": " si multiplicamos por 6 nos queda 6 tercios que equivale a 2 acompa\u00f1ado de y al cubo"}, {"start": 829.28, "end": 836.36, "text": " y si ac\u00e1 multiplicamos por 6 este n\u00famero se nos va y nos queda menos 5 ahora si tenemos"}, {"start": 836.36, "end": 841.86, "text": " la soluci\u00f3n particular de nuestra ecuaci\u00f3n diferencial exacta con condici\u00f3n inicial"}, {"start": 841.86, "end": 853.36, "text": " como se observa ya no tenemos n\u00fameros fraccionarios sino \u00fanicamente n\u00fameros enteros"}]