FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c.

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 Para factorizar esta expresión algebraica de tres términos, es decir, este trinomio, primero revisamos si es posible extraer factor común, es decir, algún número o alguna letra que esté contenido en cada uno de esos tres términos. Vemos que eso no es posible. Entonces, revisando los otros casos de factorización, encontramos que este corresponde al que se llama trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c. Bueno, para ser más precisos sería de la forma ax a la 2n más bx a la n más c, porque vemos que aquí el exponente o grado del primer término, es decir, 2n, es el doble del grado o exponente del segundo término, el que aquí hace el papel de n. También vemos que el coeficiente principal, el que en el modelo hace el papel de a, acá es 10, tiene que ser una cantidad diferente de 1. Entonces, este trinomio corresponde a este modelo y vamos a utilizar este tipo de factorización. Vamos a hacerlo primero de una forma rápida y luego de una manera más detallada. Entonces, la forma rápida es la siguiente. Abrimos dos paréntesis, repartimos el coeficiente principal, es decir, 10 al comienzo de cada paréntesis y también por acá debajo, es decir, en el denominador. Ahora vamos con esto, x a la 4, lo escribimos enseguida del 10, ese x a la 4 viene siendo la raíz cuadrada de este componente x a la 8. Vamos ahora con los signos, por acá tenemos signo positivo invisible, más por menos es menos y menos por menos nos da más. Ahora buscamos dos números, uno negativo y otro positivo que, multiplicados entre sí, nos de 10 por menos 3, es decir, menos 30 y que al sumarlos nos de como resultado menos 13, es decir, el coeficiente del segundo término. Hacemos la búsqueda de esas dos cantidades y encontramos que son menos 15 y más 2. Veamos, menos 15 por más 2 es menos 30 y menos 15 sumado con 2 es menos 13. Ahora vamos a extraer factor común de cada uno de estos dos paréntesis, en el primero podemos extraer el 5, sale el 5 nos queda dentro del paréntesis 2x a la 4 menos 3 y en el segundo paréntesis podemos extraer el 2, es el factor común, si sale el 2 nos queda 5x a la 4 más 1. Cerramos el paréntesis, acá abajo tenemos el 10 y finalmente vemos que 5 por 2 es 10, se puede simplificar con este 10 y de esa manera ya hemos terminado. Tenemos el resultado, estos dos paréntesis conforman la factorización del trinomio 2x a la 4 menos 3 y esto multiplicado por 5x a la 4 más 1. Allí tenemos entonces la factorización de esa expresión. Ahora veamos cuál sería el proceso detallado para llegar acá. Entonces comenzamos multiplicando y dividiendo la expresión original por el coeficiente principal, es decir por 10, entonces 10 multiplica a 10x a la 8 menos 13x a la 4 menos 3 y todo esto lo dividimos por 10. Entonces multiplicamos y dividimos la expresión original por el coeficiente principal. Enseguida vamos a distribuir el 10 de la siguiente manera, 10 por 10x a la 8 nos daría 100x a la 8, después tenemos menos 10 por 13x a la 4, allí no resolvemos la multiplicación, es decir no escribimos 130x a la 4, sino que pasa lo siguiente, 10 entra y se agrupa con x a la 4, se protege esto con paréntesis y acá afuera dejamos el coeficiente que teníamos inicialmente, es decir el 13, esto es lo que se llama dejar el producto o la multiplicación indicada y luego 10 por menos 3 nos da menos 30 y todo esto continúa dividido entre 10. Ahora vamos a expresar este primer término como el cuadrado de lo que nos quedó acá encerrado en paréntesis en el segundo término, es decir 100x a la 8 viene siendo 10x a la 4 y todo esto elevado al cuadrado, luego tenemos menos 13, abrimos paréntesis por 10x a la 4, cerramos luego menos 30 y finalmente todo esto nos queda dividido entre 10. Vamos a ver que esto realmente es cierto, es decir que lo que hicimos acá es completamente elícito, si desarrollamos este producto 10x a la 4, todo esto al cuadrado, entonces aquí el exponente 2 afecta a cada uno de estos dos factores porque aquí existe multiplicación, nos queda 10 al cuadrado por x a la 4 y todo esto al cuadrado, desarrollando 10 al cuadrado nos da 100 y acá se deja la misma base y se multiplican los exponentes, aplicamos esa propiedad de la potenciación 4 por 12 es 8, como vemos esto entonces equivale a 100x a la 8. Ahora vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable, que consiste en reemplazar 10x a la 4, eso que se repite por una nueva letra, por ejemplo supongamos que esto es igual a la letra q, entonces se reescribe la expresión, nos quedaría entonces q al cuadrado, allí hacemos el reemplazo, luego menos 13 por q y después menos 30 y todo esto nos queda dividido entre 10. Ahora esto que nos ha quedado en el numerador corresponde al caso de factorización llamado trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, entonces procedemos de acuerdo con lo que nos indica ese caso de factorización, abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada al primer término que sería en este caso q, definimos los signos, más por menos nos da menos, luego menos por menos es más y buscamos dos números que multiplicados entre sí nos de como resultado menos 30 y que al sumarlos nos de como resultado menos 13, acá tenemos un indicador y es que uno de ellos es negativo y el otro positivo, haciendo la búsqueda encontramos que los números son menos 15 y más 2, menos 15 por más 2 es menos 30 y menos 15 sumado con 2 es menos 13 y no podemos olvidar que todo esto se encuentra dividido entre 10. Una vez que se ha factorizado el numerador de la expresión entonces deshacemos el cambio de variable, ahora en lugar de la letra q vamos a escribir 10x a la 4, entonces nos va a quedar en el primer paréntesis 10x a la 4 menos 15 y en el siguiente paréntesis nos queda 10x a la 4 más 2, deshacemos entonces el cambio de variable y todo esto está dividido entre 10. Ahora llega el momento de examinar cada uno de estos dos paréntesis para ver dónde es posible extraer factor común, revisamos el primero vemos que allí los números 10 y 15 tienen como máximo común divisor el 5, entonces 5 será el factor común, nos queda entonces 2x a la 4 menos 3, si extraemos el 5, pasamos al otro paréntesis donde revisando el 10 y el 2 encontramos que su máximo común divisor es el 2, entonces si sale el 2 nos queda 5x a la 4 más 1 y todo esto nos queda dividido entre 10. Ahora llega el momento de simplificar, por acá tenemos el 5 y el 10 ambos números tienen quinta se pueden dividir por 5, quinta de 5 es 1, quinta de 10 es 2 y por acá tenemos 2 y 2 números a los cuales se les puede sacar mitad, se dividen por 2, mitad de 2 es 1 y también mitad de 2 es 1. ¿Y qué nos ha quedado? Estos dos paréntesis que fueron los que anotamos por acá al principio y que conforman la factorización de ese trinomio. Ahora para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba de este ejercicio, eso nos dará la certeza de que el proceso que se hizo es correcto. Lo que vamos a hacer es multiplicar estos dos binomios, los dos paréntesis que hemos obtenido 2x a la 4 menos 3 y eso multiplicado por 5x a la 4 más 1, entonces procedemos con la multiplicación de esos dos binomios aplicando la propiedad distributiva. Vamos primero con este, entonces 2x a la 4 por 5x a la 4 nos da como resultado 10x a la 8, recordemos que aquí al multiplicar lo que es la parte literal entonces se conserva la base y se suman los exponentes, luego 2x a la 4 por más 1 será más 2x a la 4. Ahora seguimos con la multiplicación de menos 3 por cada uno de estos dos términos, entonces menos 3 por 5x a la 4 será menos 15x a la 4 y menos 3 por más 1 es menos 3. Finalmente aquí revisamos si hay términos semejantes, efectivamente encontramos estos dos, ambos tienen x a la 4, entonces vamos a realizar esa reducción de términos semejantes, nos queda 10x a la 8, ese término se deja tal como está, por acá tenemos más 2x a la 4 y menos 15x a la 4 que es menos 13x a la 4 y finalmente tenemos menos 3 y así hemos llegado a la expresión original, la que hemos factorizado.
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