VECTORES UNITARIOS Y ORTOGONALES EN EL PLANO
#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio en el plano donde hay que utilizar los conceptos de vectores unitarios y ortogonales.

Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX: http://cibermatex.net

Tema: #VectoresEnElPlano → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGfEt9R9ghobRhm_MvyY6W4

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 Nos dan el vector u cuyas componentes son 6,-8 y nos preguntan cuáles son los vectores unitarios que tengan la misma dirección de este vector. Entonces vamos a encontrar el módulo o la norma o la magnitud de este vector será la raíz cuadrada de 6 al cuadrado más menos 8 al cuadrado eso nos da la raíz cuadrada de 36 más 64 eso es igual a la raíz cuadrada de 100 y esto es igual a 10 entonces el módulo o la norma o la magnitud de este vector será igual a 10 entonces vamos a llamar el vector unitario u el que se obtiene de tomar el vector u el que nos dieron y dividirlo entre su módulo es decir sería el vector 6,-8 dividido entre 10 este 10 lo vamos a distribuir lo vamos a repartir a las componentes del vector nos queda 6 décimos,-8 décimos simplificamos ambas componentes y tendremos entonces que 6 décimos queda convertido en 3 quintos y menos 8 décimos queda convertido en menos 4 quintos entonces ese será el vector unitario en la dirección del vector u que lleva la misma dirección y sentido de este vector miremos el otro con este dibujo nos queda más sencillo determinar el otro vector aquí podemos apreciar el vector original u de componentes 6,-8 el vector unitario que acabamos de encontrar sería más o menos este que se forma aquí tiene módulo 1 entonces este vector que vamos a representar con color azul sus componentes son 3 quintos,-4 quintos que es el que acabamos de encontrar entonces ese vector tiene módulo 1 recordemos que todo el vector u tenía módulo 10 entonces el otro vector que también tiene la misma dirección del vector u es decir que va por esta misma línea será el opuesto a este es decir un vector que lleva esta orientación o este sentido será el contrario entonces simplemente es como multiplicar por menos 1 sus componentes entonces este vector de color rojo tendrá como componentes menos 3 quintos,-4 quintos y de esa manera tenemos entonces los dos vectores unitarios es decir de módulo 1 que tienen la misma dirección que el vector u que nos dieron para la siguiente pregunta vamos a llamar v al vector que nos piden ese vector va a tener componentes x,y debe cumplir dos condiciones debe ser ortogonal o perpendicular al vector u que nos dieron y también debe tener la misma magnitud o el mismo módulo que el vector u entonces vamos a dar cumplimiento primero a esta condición si los vectores van a ser perpendiculares o ortogonales entonces el producto punto o producto escalar entre ellos debe ser igual a 0 entonces tendremos que el vector v será x,y le hacemos producto punto con u que es 6,-8 y esto igual a 0 hacemos la multiplicación de las componentes x por 6 nos da 6x y por menos 8 nos queda menos 8y y esto es igual a 0 esta ecuación la podríamos simplificar dividiéndola toda por 2 nos queda entonces 3x,-4y igual a 0 allí tenemos entonces una primera ecuación vamos a llamarla la ecuación número 1 y la otra condición es esta que el módulo o la magnitud de este vector debe ser igual al módulo del vector u recordemos que este nos dio 10 unidades por lo tanto decimos que la magnitud o módulo del vector v debe ser igual a 10 la magnitud de este vector será la raíz cuadrada de x al cuadrado más y al cuadrado todo esto igual a 10 aquí podemos elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad y nos quedará x al cuadrado más y al cuadrado es igual a 100 tenemos entonces la segunda ecuación la llamamos número 2 resolvemos el sistema de ecuaciones podríamos despejar una variable de la ecuación 1 por ejemplo vamos a despejar y nos queda 3x es igual a 4y despejando y nos queda 3x cuartos y esto que lo vamos a llamar la ecuación número 3 lo podemos sustituir en la ecuación número 2 allí estamos utilizando el método de sustitución entonces si la expresión 3 entra en la número 2 nos queda así x al cuadrado más abrimos un paréntesis para sustituir y que entra como 3x cuartos todo esto al cuadrado igual a 100 nos queda entonces x al cuadrado más aquí elevamos al cuadrado todos estos componentes y nos queda entonces 9x al cuadrado sobre 16 y esto es igual a 100 aquí podemos colocar denominador 1 multiplicamos 1 por 16 nos queda 16 x cuadrado por 16 nos queda 16x cuadrado más 1 por 9x cuadrado que nos queda 9x al cuadrado todo esto igual a 100 sumamos los numeradores nos da 25x al cuadrado entre 16 igual a 100 despejamos poco a poco x al cuadrado entonces 16 se está dividiendo pasa a multiplicar nos queda 100 por 16 y aquí ya veo 25 multiplicando lo pasamos a dividir aquí podríamos simplificar el 100 con el 25 podríamos sacar 25 aba de esto nos da 1 25 aba de 100 es 4 nos queda que x al cuadrado es igual a 4 por 16 eso es 64 de donde x será igual a más o menos la raíz cuadrada de 64 por lo tanto x vale más o menos 8 tenemos entonces 2 valores para x entonces para cada uno de esos valores vamos a encontrar los respectivos valores de y para x igual a menos 8 tenemos entonces que y es igual a 3 por menos 8 dividido entre 4 esto nos queda menos 24 entre 4 que es igual a menos 6 por lo tanto tenemos un primer vector vamos a llamarlo v1 de componentes menos 8 coma menos 6 ese será entonces el primer vector que cumple con las condiciones ahora para x igual a 8 tenemos que y es igual a 3 por 8 entre 4 esto es igual a 24 entre 4 que es igual a 6 positivo por lo tanto hay un segundo vector vamos a llamarlo v2 de componentes 8 coma 6 que también cumple con las condiciones vamos a mirarlos gráficamente allí tenemos entonces el vector u que nos dieron y los dos vectores que acabamos de encontrar el vector v1 de componentes menos 8 coma menos 6 y el vector v2 de componentes 8 coma 6 vemos que los dos vectores son ortogonales o perpendiculares al vector u y también tienen su mismo módulo o su misma magnitud esto tiene 10 unidades estos dos también son de 10 unidades entonces aquí terminamos esta parte del ejercicio Los vectores unitarios y ortogonales al vector u serán los vectores unitarios en la dirección de v1 y de v2 más o menos algo como esto este vector tiene módulo 1 entonces el vector unitario en la dirección de v1 y el que va en la dirección de v2 que será este de acá también de módulo 1 vamos entonces a calcularlos el vector unitario en la dirección de v1 vamos a llamarlo así será entonces el vector v1 dividido entre su módulo el módulo de v1 el vector v1 recordemos que nos dio componentes menos 8 coma menos 6 y su módulo son 10 unidades repartimos ese 10 tanto para el 8 como para el menos 6 nos queda menos 8 décimos coma menos 6 décimos y esto finalmente nos da el vector menos 4 quintos coma menos 3 quintos realizando la simplificación de esas dos fracciones ahora el vector unitario en la dirección de v2 será entonces el vector v2 dividido entre su módulo módulo de v2 el vector v2 nos dio componentes 8 coma 6 y el módulo de v2 es igual a 10 unidades repartimos ese 10 nos queda 8 décimos coma 6 décimos y simplificando nos queda el vector de componentes 4 quintos coma 3 quintos entonces estos dos vectores este que tenemos aquí y este que tenemos aquí serán los vectores que son unitarios y ortogonales al vector u que nos dieron
[{"start": 0.0, "end": 20.78, "text": " Nos dan el vector u cuyas componentes son 6,-8 y nos preguntan cu\u00e1les son los vectores"}, {"start": 20.78, "end": 25.84, "text": " unitarios que tengan la misma direcci\u00f3n de este vector."}, {"start": 25.84, "end": 32.12, "text": " Entonces vamos a encontrar el m\u00f3dulo o la norma o la magnitud de este vector"}, {"start": 32.12, "end": 37.84, "text": " ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de 6 al cuadrado m\u00e1s menos 8 al cuadrado"}, {"start": 37.84, "end": 43.120000000000005, "text": " eso nos da la ra\u00edz cuadrada de 36 m\u00e1s 64"}, {"start": 43.120000000000005, "end": 47.72, "text": " eso es igual a la ra\u00edz cuadrada de 100 y esto es igual a 10"}, {"start": 47.72, "end": 53.72, "text": " entonces el m\u00f3dulo o la norma o la magnitud de este vector ser\u00e1 igual a 10"}, {"start": 53.72, "end": 61.16, "text": " entonces vamos a llamar el vector unitario u el que se obtiene de tomar el vector u"}, {"start": 61.16, "end": 71.0, "text": " el que nos dieron y dividirlo entre su m\u00f3dulo es decir ser\u00eda el vector 6,-8 dividido entre 10"}, {"start": 71.0, "end": 76.52, "text": " este 10 lo vamos a distribuir lo vamos a repartir a las componentes del vector"}, {"start": 76.52, "end": 80.16, "text": " nos queda 6 d\u00e9cimos,-8 d\u00e9cimos"}, {"start": 80.16, "end": 87.28, "text": " simplificamos ambas componentes y tendremos entonces que 6 d\u00e9cimos queda convertido en 3 quintos"}, {"start": 87.28, "end": 91.72, "text": " y menos 8 d\u00e9cimos queda convertido en menos 4 quintos"}, {"start": 91.72, "end": 96.52, "text": " entonces ese ser\u00e1 el vector unitario en la direcci\u00f3n del vector u"}, {"start": 96.52, "end": 100.75999999999999, "text": " que lleva la misma direcci\u00f3n y sentido de este vector"}, {"start": 100.75999999999999, "end": 102.19999999999999, "text": " miremos el otro"}, {"start": 102.19999999999999, "end": 106.24, "text": " con este dibujo nos queda m\u00e1s sencillo determinar el otro vector"}, {"start": 106.24, "end": 111.56, "text": " aqu\u00ed podemos apreciar el vector original u de componentes 6,-8"}, {"start": 111.56, "end": 117.44, "text": " el vector unitario que acabamos de encontrar ser\u00eda m\u00e1s o menos este que se forma aqu\u00ed"}, {"start": 117.44, "end": 122.28, "text": " tiene m\u00f3dulo 1 entonces este vector que vamos a representar con color azul"}, {"start": 122.28, "end": 129.35999999999999, "text": " sus componentes son 3 quintos,-4 quintos que es el que acabamos de encontrar"}, {"start": 129.35999999999999, "end": 135.64, "text": " entonces ese vector tiene m\u00f3dulo 1 recordemos que todo el vector u ten\u00eda m\u00f3dulo 10"}, {"start": 135.64, "end": 140.0, "text": " entonces el otro vector que tambi\u00e9n tiene la misma direcci\u00f3n del vector u"}, {"start": 140.0, "end": 144.39999999999998, "text": " es decir que va por esta misma l\u00ednea ser\u00e1 el opuesto a este"}, {"start": 144.39999999999998, "end": 149.16, "text": " es decir un vector que lleva esta orientaci\u00f3n o este sentido"}, {"start": 149.16, "end": 154.04, "text": " ser\u00e1 el contrario entonces simplemente es como multiplicar por menos 1 sus componentes"}, {"start": 154.04, "end": 161.88, "text": " entonces este vector de color rojo tendr\u00e1 como componentes menos 3 quintos,-4 quintos"}, {"start": 161.88, "end": 166.96, "text": " y de esa manera tenemos entonces los dos vectores unitarios es decir de m\u00f3dulo 1"}, {"start": 166.96, "end": 170.35999999999999, "text": " que tienen la misma direcci\u00f3n que el vector u que nos dieron"}, {"start": 170.35999999999999, "end": 178.35999999999999, "text": " para la siguiente pregunta vamos a llamar v al vector que nos piden"}, {"start": 178.35999999999999, "end": 182.51999999999998, "text": " ese vector va a tener componentes x,y"}, {"start": 182.51999999999998, "end": 188.2, "text": " debe cumplir dos condiciones debe ser ortogonal o perpendicular al vector u que nos dieron"}, {"start": 188.2, "end": 194.44, "text": " y tambi\u00e9n debe tener la misma magnitud o el mismo m\u00f3dulo que el vector u"}, {"start": 194.44, "end": 198.0, "text": " entonces vamos a dar cumplimiento primero a esta condici\u00f3n"}, {"start": 198.0, "end": 201.51999999999998, "text": " si los vectores van a ser perpendiculares o ortogonales"}, {"start": 201.51999999999998, "end": 207.64, "text": " entonces el producto punto o producto escalar entre ellos debe ser igual a 0"}, {"start": 207.64, "end": 217.0, "text": " entonces tendremos que el vector v ser\u00e1 x,y le hacemos producto punto con u que es 6,-8"}, {"start": 217.0, "end": 223.52, "text": " y esto igual a 0 hacemos la multiplicaci\u00f3n de las componentes x por 6 nos da 6x"}, {"start": 223.52, "end": 229.92, "text": " y por menos 8 nos queda menos 8y y esto es igual a 0"}, {"start": 229.92, "end": 233.64, "text": " esta ecuaci\u00f3n la podr\u00edamos simplificar dividi\u00e9ndola toda por 2"}, {"start": 233.64, "end": 238.44, "text": " nos queda entonces 3x,-4y igual a 0"}, {"start": 238.44, "end": 243.88, "text": " all\u00ed tenemos entonces una primera ecuaci\u00f3n vamos a llamarla la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1"}, {"start": 243.88, "end": 251.79999999999998, "text": " y la otra condici\u00f3n es esta que el m\u00f3dulo o la magnitud de este vector debe ser igual al m\u00f3dulo del vector u"}, {"start": 251.79999999999998, "end": 260.4, "text": " recordemos que este nos dio 10 unidades por lo tanto decimos que la magnitud o m\u00f3dulo del vector v debe ser igual a 10"}, {"start": 260.4, "end": 267.32, "text": " la magnitud de este vector ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado todo esto igual a 10"}, {"start": 267.32, "end": 275.56, "text": " aqu\u00ed podemos elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad y nos quedar\u00e1 x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado es igual a 100"}, {"start": 275.56, "end": 280.6, "text": " tenemos entonces la segunda ecuaci\u00f3n la llamamos n\u00famero 2"}, {"start": 280.6, "end": 287.48, "text": " resolvemos el sistema de ecuaciones podr\u00edamos despejar una variable de la ecuaci\u00f3n 1"}, {"start": 287.48, "end": 293.71999999999997, "text": " por ejemplo vamos a despejar y nos queda 3x es igual a 4y"}, {"start": 293.72, "end": 301.64000000000004, "text": " despejando y nos queda 3x cuartos y esto que lo vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3"}, {"start": 301.64000000000004, "end": 304.6, "text": " lo podemos sustituir en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2"}, {"start": 304.6, "end": 312.68, "text": " all\u00ed estamos utilizando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n entonces si la expresi\u00f3n 3 entra en la n\u00famero 2 nos queda as\u00ed"}, {"start": 312.68, "end": 322.6, "text": " x al cuadrado m\u00e1s abrimos un par\u00e9ntesis para sustituir y que entra como 3x cuartos todo esto al cuadrado igual a 100"}, {"start": 322.6, "end": 332.76000000000005, "text": " nos queda entonces x al cuadrado m\u00e1s aqu\u00ed elevamos al cuadrado todos estos componentes y nos queda entonces 9x al cuadrado sobre 16"}, {"start": 332.76000000000005, "end": 342.6, "text": " y esto es igual a 100 aqu\u00ed podemos colocar denominador 1 multiplicamos 1 por 16 nos queda 16 x cuadrado por 16 nos queda 16x cuadrado"}, {"start": 342.6, "end": 348.04, "text": " m\u00e1s 1 por 9x cuadrado que nos queda 9x al cuadrado todo esto igual a 100"}, {"start": 348.04, "end": 359.24, "text": " sumamos los numeradores nos da 25x al cuadrado entre 16 igual a 100 despejamos poco a poco x al cuadrado entonces 16 se est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar"}, {"start": 359.24, "end": 369.64000000000004, "text": " nos queda 100 por 16 y aqu\u00ed ya veo 25 multiplicando lo pasamos a dividir aqu\u00ed podr\u00edamos simplificar el 100 con el 25 podr\u00edamos sacar 25 aba"}, {"start": 369.64, "end": 384.44, "text": " de esto nos da 1 25 aba de 100 es 4 nos queda que x al cuadrado es igual a 4 por 16 eso es 64 de donde x ser\u00e1 igual a m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 64"}, {"start": 384.44, "end": 396.84, "text": " por lo tanto x vale m\u00e1s o menos 8 tenemos entonces 2 valores para x entonces para cada uno de esos valores vamos a encontrar los respectivos valores de y"}, {"start": 396.84, "end": 409.64, "text": " para x igual a menos 8 tenemos entonces que y es igual a 3 por menos 8 dividido entre 4 esto nos queda menos 24 entre 4 que es igual a menos 6"}, {"start": 409.64, "end": 422.03999999999996, "text": " por lo tanto tenemos un primer vector vamos a llamarlo v1 de componentes menos 8 coma menos 6 ese ser\u00e1 entonces el primer vector que cumple con las condiciones"}, {"start": 422.04, "end": 436.84000000000003, "text": " ahora para x igual a 8 tenemos que y es igual a 3 por 8 entre 4 esto es igual a 24 entre 4 que es igual a 6 positivo por lo tanto hay un segundo vector"}, {"start": 436.84000000000003, "end": 448.44, "text": " vamos a llamarlo v2 de componentes 8 coma 6 que tambi\u00e9n cumple con las condiciones vamos a mirarlos gr\u00e1ficamente all\u00ed tenemos entonces el vector u que nos dieron"}, {"start": 448.44, "end": 460.44, "text": " y los dos vectores que acabamos de encontrar el vector v1 de componentes menos 8 coma menos 6 y el vector v2 de componentes 8 coma 6 vemos que los dos vectores son"}, {"start": 460.44, "end": 474.44, "text": " ortogonales o perpendiculares al vector u y tambi\u00e9n tienen su mismo m\u00f3dulo o su misma magnitud esto tiene 10 unidades estos dos tambi\u00e9n son de 10 unidades entonces aqu\u00ed terminamos esta parte del ejercicio"}, {"start": 474.44, "end": 500.44, "text": " Los vectores unitarios y ortogonales al vector u ser\u00e1n los vectores unitarios en la direcci\u00f3n de v1 y de v2 m\u00e1s o menos algo como esto este vector tiene m\u00f3dulo 1 entonces el vector unitario en la direcci\u00f3n de v1 y el que va en la direcci\u00f3n de v2 que ser\u00e1 este de ac\u00e1 tambi\u00e9n de m\u00f3dulo 1"}, {"start": 500.44, "end": 522.44, "text": " vamos entonces a calcularlos el vector unitario en la direcci\u00f3n de v1 vamos a llamarlo as\u00ed ser\u00e1 entonces el vector v1 dividido entre su m\u00f3dulo el m\u00f3dulo de v1 el vector v1 recordemos que nos dio componentes menos 8 coma menos 6 y su m\u00f3dulo son 10 unidades"}, {"start": 522.44, "end": 542.44, "text": " repartimos ese 10 tanto para el 8 como para el menos 6 nos queda menos 8 d\u00e9cimos coma menos 6 d\u00e9cimos y esto finalmente nos da el vector menos 4 quintos coma menos 3 quintos realizando la simplificaci\u00f3n de esas dos fracciones"}, {"start": 542.44, "end": 566.44, "text": " ahora el vector unitario en la direcci\u00f3n de v2 ser\u00e1 entonces el vector v2 dividido entre su m\u00f3dulo m\u00f3dulo de v2 el vector v2 nos dio componentes 8 coma 6 y el m\u00f3dulo de v2 es igual a 10 unidades repartimos ese 10 nos queda 8 d\u00e9cimos coma 6 d\u00e9cimos"}, {"start": 566.44, "end": 586.44, "text": " y simplificando nos queda el vector de componentes 4 quintos coma 3 quintos entonces estos dos vectores este que tenemos aqu\u00ed y este que tenemos aqu\u00ed ser\u00e1n los vectores que son unitarios y ortogonales al vector u que nos dieron"}]