42. ACELERACIÓN EN MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS (Teoría)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 42: Aceleración en movimientos curvilíneos (Teoría).
Tema: El Movimiento y su Descripción.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este vídeo teórico vamos a ver la aceleración en los movimientos curvilíneos. Recordemos que si tenemos la ecuación de posición en forma vectorial para el movimiento de una partícula por derivación podemos obtener la ecuación de velocidad, es decir, la función vectorial de velocidad. Y si a su vez derivamos la velocidad, entonces obtenemos la ecuación de aceleración. Si recordemos que esta es la velocidad instantánea y esta es la aceleración instantánea. También recordemos que la aceleración constituye la segunda derivada de la posición. La podemos escribir de esta manera. Entonces vamos a mirar en el caso de un movimiento en el plano estos vectores, posición, velocidad y aceleración y vamos a prestarle especial atención a la aceleración. Supongamos que esta es la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Tenemos como marco de referencia el plano cartesiano generado por los ejes X, Y. Y vamos a considerar el instante T para la partícula, un instante cualquiera para ese movimiento. Allí tenemos el vector RDT que registra la posición de la partícula en ese instante T. Tenemos una recta tangente a la trayectoria en ese instante T. Y a partir de este punto sobre la línea tangente dibujamos el vector velocidad instantánea, es decir, el vector VDT. De este mismo punto sale otro vector que representa la aceleración de ese movimiento curvilíneo en ese instante T. Entonces este es el vector aceleración instantánea para la partícula en ese momento. Ahora, por este punto trazamos esta otra recta que será perpendicular a la tangente, forma aquí 90 grados. Esa línea recta se llama una normal, vamos a representarla con la letra N. Y esta que habíamos trazado inicialmente era la tangente, la representamos con la letra T. Tienen la particularidad de que forman 90 grados. Entonces hacemos de cuenta que estas dos rectas forman como unos nuevos ejes para la aceleración. Entonces la aceleración del movimiento curvilíneo puede ser descompuesta en dos vectores. Uno que irá en esta dirección, en dirección de la normal y otro que irá en dirección de la tangente. Vamos a mirarlos. Allí los tenemos. Este vector que resulta de trazar está perpendicular desde el extremo del vector aceleración hasta la recta normal se llamará el vector AN. Es decir, la componente normal de la aceleración. Y este vector que se forma aquí, resultado de trazar este otro segmento desde el extremo del vector aceleración perpendicular a la recta tangente, aquí forma 90 grados. Entonces este se llamará la componente AT. Vamos a señalarla por acá. Entonces tenemos componente normal de la aceleración y esta que se llama componente tangencial de la aceleración. Vemos que coincide con la recta tangente. Ahora vamos a llamar theta a todo este ángulo. Es decir, el que forma el vector velocidad instantánea con el vector aceleración instantánea. Si tomamos esta componente normal de la aceleración y la trasladamos aquí, se nos forma un triángulo rectángulo donde los catetos serán la componente tangencial de la aceleración y la componente normal. Y donde la hipotenusa será el módulo, magnitud o norma del vector aceleración instantánea. Vamos a mirar entonces con más detalle este triángulo teniendo en cuenta el ángulo theta que habíamos señalado. Allí tenemos el triángulo rectángulo. Observamos la componente tangencial de la aceleración, la componente normal que son los catetos del triángulo y la hipotenusa que es la magnitud, módulo o norma del vector aceleración instantánea. Aquí tenemos la partícula en el instante T. Observamos el ángulo theta que como dijimos es el que forma el vector aceleración instantánea con el vector velocidad instantánea que viene por aquí. Sería paralelo a la componente A-T. Entonces vamos a determinar en ese triángulo la relación coseno del ángulo theta. Recordemos que es igual a el cateto adyacente que sería A-T sobre la hipotenusa que es la magnitud del vector aceleración instantánea. Y de allí podemos despejar la componente A-T, la componente tangencial de la aceleración. Nos quedaría la magnitud de la aceleración multiplicada por el coseno del ángulo theta. En esta expresión podemos hacer lo siguiente. Podríamos multiplicar por la magnitud de la velocidad instantánea a lo que ya tenemos, pero al multiplicar por esta cantidad entonces debemos también dividir por ella misma para que no se altere la expresión original. Y lo que tenemos en el numerador es la definición geométrica del producto punto, producto interno o producto escalar de dos vectores. En este caso se trata de la definición geométrica del producto punto entre los vectores velocidad y aceleración instantáneas. Recordemos que theta es el ángulo que forman justamente esos dos vectores. Por lo tanto podemos escribir la parte de arriba como el producto punto de la velocidad y la aceleración, obviamente en ese instante T. Y en la parte de abajo esto lo podemos escribir así, simplemente como la magnitud de la velocidad de esta misma que tenemos arriba, es decir lo que se conocería como rapidez instantánea. Entonces esta expresión es la que nos permite determinar la componente tangencial de la aceleración que es este vector que observamos en la figura. Por otro lado en este triángulo podríamos aplicar el teorema de Pitágoras por tratarse de un triángulo rectángulo. Entonces podemos decir que este cateto al cuadrado, es decir la componente normal de la aceleración al cuadrado, más este cateto a T al cuadrado, la componente tangencial de la aceleración es igual a la hipotenusa al cuadrado, es decir la magnitud de la aceleración todo esto al cuadrado. Y de allí podemos despejar esta componente, la componente normal de la aceleración, puesto que esto ya se conoce y esta la determinamos con esta expresión. Entonces hacemos el despeje, esto pasa a restar y después sacamos raíz cuadrada, por lo tanto nos va a quedar así, la magnitud de la aceleración al cuadrado, es decir esta, le quitamos la T, ya sabemos que esta es aceleración instantánea menos esta componente, que es la componente tangencial elevada al cuadrado y todo esto dentro de la raíz cuadrada. Haciendo entonces esta operación, esta formulita, determinamos la otra componente de la aceleración, es decir la componente normal. Y de esta manera tenemos como calcular las dos componentes de la aceleración en un movimiento curvilíneo, las componentes normal y tangencial. Música
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