DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 1
#julioprofe explica cómo derivar una función usando el límite que corresponde a la definición de derivada.

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 Vamos a encontrar la derivada de esta función utilizando la definición para la derivada. Esa definición dice lo siguiente, la derivada de una función f de x, es decir f' de x, se define como el límite de f de x más delta de x menos f de x, todo esto sobre delta de x cuando delta de x tiende a cero. Esta es la definición de la derivada de una función f de x, como decíamos se denota como f' de x. Podemos hacer un cambio que nos puede facilitar el trabajo y es sustituir delta x por h. Colocamos h en lugar de delta de x y entonces vamos a encontrar este componente debido a que este ya lo tenemos, esta es la función que nos da. Entonces ahora vamos a determinar f de x más h para posteriormente ensamblar ese límite y darle solución. En la función original podemos desaparecer la x y luego llenamos ese espacio que quedó en blanco con x más h. Allí lo que estamos haciendo es evaluar la función en x más h, x se cambia por x más h y vamos a desarrollar esta expresión. Nos queda entonces f de x más h igual, tenemos tres y aquí vamos a desarrollar este binomio al cuadrado. Recordemos que es el primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, x por h, más el segundo término al cuadrado, h cuadrado. Aquí podemos hacer distributiva con el menos cinco, entonces tenemos menos cinco por x que es menos cinco x y menos cinco por h que es menos cinco h y todo eso más uno. Ahora distribuimos el tres, entonces nos va a quedar f de x más h es igual a tres x al cuadrado más seis x h más tres h cuadrado menos cinco x menos cinco h más uno. Y de esta manera tenemos el componente f de x más h. Ahora vamos a ensamblar este límite como decíamos que es la definición para la derivada de la función. Entonces tenemos lo siguiente, límite cuando h tiende a cero de f de x más h que es toda esta expresión la sustituimos más seis x h más tres h cuadrado menos cinco x menos cinco h más uno. Y todo esto menos la función original, es decir esta. De una vez podemos aplicarle este signo negativo a esta expresión que cambia todos los signos. Entonces nos quedan los tres x al cuadrado más cinco x menos uno haciendo como la destrucción el paréntesis que protegería inicialmente a la función original. Y en el denominador tenemos la h. A continuación revisamos acá en el numerador que términos podemos de pronto simplificar o cancelar. Vemos tres x al cuadrado y por acá menos tres x al cuadrado por lo tanto esos dos términos se eliminan. También tenemos por ejemplo menos cinco x y más cinco x también son términos opuestos que se cancelan y lo mismo sucederá con más uno y menos uno. Entonces también los cancelamos. Nos queda entonces que f' de x es igual al límite cuando h tiende a cero de seis x h más tres h cuadrado menos cinco h. Todo esto sobre h. Vemos que si reemplazamos h por el valor cero en este límite nos daría cero en el numerador y cero en el denominador. Nos daría una forma indeterminada que es cero sobre cero si evaluamos el límite cuando h es cero. Entonces como eso no podemos dejarlo así, no nos puede dar una forma indeterminada como cero sobre cero. Podemos usar la factorización en el numerador. Vemos que se puede sacar factor común h. Entonces nos queda límite cuando h tiende a cero de h factor común de seis x más tres h menos cinco y todo esto sobre h. Aquí podemos simplificar esta h y nos queda el límite de esta expresión. Por aquí lo tenemos y finalmente lo que hacemos es evaluar ese límite cuando h vale cero. Nos queda entonces f' de x es igual a seis x más tres por cero menos cinco. Vemos que h se ha cambiado por cero. Finalmente esto nos queda seis x menos cinco puesto que este término se convierte en cero. Esta sería la derivada entonces para esta función habiendo utilizado la definición de derivada, es decir la definición por el límite.
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