ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 5 (Parte 1)
#julioprofe explica cómo hallar el área de la región encerrada por dos funciones, utilizando la integral definida.

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 Vamos a hallar el área de la región encerrada por estas dos curvas que nos dan, que corresponden a funciones cuadráticas, es decir, parábolas. Para comenzar vamos a buscar los puntos de corte o puntos de intersección de ambas curvas. Para ello vamos a igualar las dos expresiones. Entonces, x al cuadrado menos 2x lo igualamos con 12 menos x al cuadrado. Aprovechando que en ambas expresiones se encuentra despejada la variable dependiente y. Entonces vamos a resolver esta ecuación que tiene forma de ecuación cuadrática. Vamos entonces a pasar esos términos para el lado izquierdo para que nos quede igualada a cero. Aquí pasamos los términos, organizamos la ecuación x al cuadrado más x al cuadrado, se pueden sumar, nos quedan 12x al cuadrado, luego menos 2x, luego menos 12, igual a cero. Y vemos que adquiere forma de ecuación cuadrática. Podríamos simplificar esta ecuación dividiendo todo por 2. Vemos que todos los números que aparecen son números pares, por lo tanto se pueden dividir por 2. Entonces si la ecuación se divide por 2 a ambos lados nos queda x al cuadrado menos x menos 6 y esto igual a cero. La ecuación cuadrática ha quedado más simple. Podemos resolverla por factorización. Factorizamos esta expresión utilizando el caso llamado trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Recordemos que se abren dos paréntesis, esto está igualada a cero. Multiplicando entre sí, sacamos la raíz cuadrada de x al cuadrado que es x y la anotamos al comienzo de cada paréntesis. Cuadramos los signos, veamos, aquí hay signo positivo, entonces positivo por negativo nos da negativo, da el signo del primer paréntesis y negativo por negativo da positivo que es el signo del segundo paréntesis. Buscamos dos números que multiplicados entre sí nos den menos 6 y que sumados nos den menos 1, esos números son menos 3 y 2. Hemos logrado entonces factorizar la expresión. A continuación aplicamos el teorema del factor nulo, recordemos que si el producto de dos cantidades es igual a cero, entonces cada una de ellas debe igualarse a cero. Entonces x menos 3 lo igualamos a cero o x más 2 se iguala a cero y en cada caso vamos a despejar la x. Entonces nos queda por acá x igual a 3 y por acá x igual a menos 2. Esto quiere decir que las dos funciones, que las dos parábolas van a presentar sus puntos de contacto o puntos de corte en las abscisas 3 y menos 2. A continuación hacemos una tabulación de ambas funciones tomando como valores en x los que están comprendidos entre menos 2 y 3, es decir los valores que acabamos de obtener como puntos de corte o puntos de intersección. Vemos que hemos tomado los números enteros comprendidos entre menos 2 y 3 en ambos casos. Vamos a reemplazar estos valores en una calculadora y obtener los correspondientes valores de la variable y en cada función. Allí tenemos entonces los respectivos valores de las variables y en cada función para los valores de x elegidos. Ahora vamos a realizar la gráfica de ambas funciones con estos puntos en un mismo plano cartesiano. Allí tenemos entonces la gráfica en el plano cartesiano de las dos funciones. Vemos en color azul la función y igual a 12 menos x al cuadrado y en color rojo la función y igual a x al cuadrado menos 2x. Se aprecia que la región encerrada por las dos funciones es esta que vamos a señalar con este color verde. Toda esta región es a la que tenemos que encontrar su área. También apreciamos los puntos de intersección que corresponden a las abscisas. Las abscisas menos 2, esta de aquí y 3 que fueron los valores que obtuvimos al comienzo del ejercicio. Entonces vamos a proceder a construir una integral que nos permite encontrar el área de esta región encerrada. El área que vamos a llamar a se obtiene con la siguiente integral definida. Sería la integral comprendida entre menos 2 y 3 que son los límites de integración de la función superior. En la función superior anotamos primero la curva superior es decir 12 menos x al cuadrado entre paréntesis menos la curva inferior. La curva inferior es x al cuadrado menos 2x que también debe ir entre paréntesis porque va precedida de un signo negativo. Todo esto lo protegemos con corchete y anotamos el correspondiente diferencial de x. Vamos entonces a dar solución a esta integral.
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