INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 7
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de Sustitución Trigonométrica.

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 Vamos a resolver de manera detallada esta integral indefinida. Comenzamos revisando si se puede resolver en forma directa. Vemos que no es posible. La función que tenemos en el integrando está muy compleja como para pensar en integrarla directamente. También podemos revisar el método de sustitución o cambio de variable. Podríamos intentar tomando x al cuadrado más uno como una nueva letra, pero al derivar eso nos da dos x y vemos que en el numerador no hay una x que nos permita simplificar esa variable. Por lo tanto, descartamos ese método de sustitución o cambio de variable. Revisamos si se puede resolver por partes, pero aquí en el integrando no tenemos la combinación habitual de funciones de ese método. Es decir, que identifiquemos funciones inversas, logarítmicas, algebraicas, trigonométricas o exponenciales. También podemos revisar el método de las fracciones parciales, pero aquí tenemos un exponente fraccionario que no nos favorece el uso de ese método. En cambio, vemos aquí una suma de cuadrados dentro del paréntesis. X al cuadrado más uno al cuadrado. Esa suma de cuadrados nos permite pensar en que una sustitución trigonométrica puede ser el camino más favorable para resolver esta integral. Entonces, usando el método de sustitución trigonométrica, comenzamos por construir un triángulo rectángulo, donde sus catetos serán las raíces cuadradas de estas dos cantidades. La raíz cuadrada de x al cuadrado es x y la raíz cuadrada de uno nos da uno. Podemos colocar entonces esos datos en los catetos de esa manera. También se podría colocar aquí la x y acá el uno. Realmente eso no interesa. Ahora este ángulo agudo vamos a llamarlo theta y también vamos a determinar la hipotenusa utilizando el teorema de Pitágoras. Recordemos que la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, de x al cuadrado más uno al cuadrado que es uno. Y con eso ya podemos empezar a plantear lo que son razones trigonométricas para obtener los componentes de esa integral. Utilizamos entonces SOH CAH TOA. Recordemos que es la manera fácil de recordar las tres razones trigonométricas principales. CENO que es cateto opuesto sobre hipotenusa, COCENO que es cateto adyacente sobre hipotenusa y TANGENTE que es cateto opuesto sobre cateto adyacente. En este caso vamos a buscar una razón trigonométrica que nos relacione estos dos lados, el que es constante con la hipotenusa. En este caso sería el cateto adyacente al ángulo theta con la hipotenusa. Aquí la tenemos, cateto adyacente con hipotenusa, entonces usamos COCENO. Decimos COCENO de theta será igual a la razón entre el cateto adyacente que es uno y la hipotenusa que es la raíz cuadrada de x al cuadrado más uno. De allí podemos hacer el despeje de la raíz, para ello podemos pasar este componente acá a multiplicar y COCENO de theta viene acá a dividir. Hacemos entonces un intercambio entre esas dos cantidades. Nos queda entonces la raíz cuadrada de x al cuadrado más uno, todo esto dentro de la raíz igual a 1 sobre COCENO de theta. Pero sabemos que 1 sobre COCENO de theta equivale a secante de theta. Recordemos que el COCENO y la secante son funciones recíprocas. Entonces nos queda esa raíz cuadrada igualada con secante de theta. Aquí podemos cambiar esa raíz cuadrada por exponente un medio. Entonces vamos a seguir por acá, nos queda que x al cuadrado más uno, todo esto elevado al exponente un medio es igual a secante de theta. Y si revisamos la integral original vemos que la expresión que tenemos en el denominador es x al cuadrado más uno, todo eso elevado al exponente tres medios. Pero acá tenemos un medio. Para conseguir el tres medios entonces vamos a elevar ambos lados de esa igualdad al exponente tres. Vamos a elevar al cubo. Entonces en el lado izquierdo nos queda todo esto entre corchetes elevado al cubo y en el lado derecho lo que es secante de theta también elevada al cubo. Aquí podemos resolver lo del lado izquierdo. Recordemos que se conserva la base y se multiplican los exponentes. Entonces nos va a quedar x al cuadrado más uno, todo eso elevado al resultado de tres por un medio que es tres medios. Allí nos aparece ese componente. Y acá en el lado derecho nos queda secante de theta, todo eso elevado al cubo que se puede escribir como secante al cubo de theta. Allí ya hemos conseguido entonces un reemplazo para este componente en términos de theta. Nos falta el diferencial de x. Para ello vamos a buscar aquí una razón trigonométrica que nos relacione estas dos cantidades x con el lado constante, es decir, los catetos. Vemos entonces que la función adecuada es tangente que relaciona el cateto opuesto con el cateto adyacente. Entonces decimos tangente de theta va a ser igual a la razón entre cateto opuesto, el cateto opuesto al ángulo theta que es x, y el cateto adyacente que en este caso es uno. De allí tenemos que x sobre uno nos da x y esto será igual a tangente de theta escribiendo la igualdad en sentido contrario. Y aquí podemos efectuar la derivación a ambos lados de la igualdad. Vamos a derivar x con respecto a la variable theta. Entonces dx de theta será igual a la derivada de tangente de theta que nos da secante al cuadrado de theta. De allí podemos hacer el despeje de dx y para ello pasamos de theta que está dividiendo acá al otro lado a multiplicar. Nos queda entonces secante al cuadrado de theta, todo esto multiplicado por el diferencial de theta. Por esos dos componentes ya podemos reconstruir la integral en términos de la nueva variable que es theta. Entonces esa integral nos queda así. Integral de... Trazamos la línea de la fracción en el denominador. Todo este componente equivale a secante al cubo de theta. Y acá en el numerador tenemos dx, pero dx nos dio secante al cuadrado de theta y eso por el diferencial de theta. Allí lo que hemos conseguido es una integral trigonométrica. Vamos entonces a resolverla. Nos queda la integral de lo siguiente. Aquí podemos simplificar secante al cuadrado de theta con secante al cubo de theta. Podemos cancelar lo del numerador con secante al cuadrado de theta en el denominador y nos va a quedar una secante de theta allí en ese lugar, es decir, en el denominador. En el numerador nos queda 1. Y acá podemos escribir esto por el diferencial de theta. Recordemos que 1 sobre secante de theta es coseno de theta, por lo que dijimos hace un momento. Recordemos que la secante y el coseno son funciones recíprocas. Entonces cambiamos. 1 sobre secante de theta por coseno de theta y eso queda acompañado del diferencial de theta. Allí hemos llegado a una integral que es directa. Recordemos que la integral de coseno de theta es seno de theta, porque la derivada de seno de theta es coseno de theta y a esto le agregamos la constante de integración. Finalmente debemos expresar esto en términos de x, que es la variable original del ejercicio. Para ello nos apoyamos nuevamente en lo que es soukato a. Entonces allí vamos a utilizar la razón seno, esta de aquí. Entonces seno de theta en este triángulo será la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Vamos a colocar aquí entonces ya el resultado de la integral en términos de x. Tenemos entonces que el cateto opuesto al ángulo theta es x y la hipotenusa es la raíz cuadrada de x al cuadrado más 1. Y todo esto más la constante de integración. Y de esta manera hemos resuelto el ejercicio. Esta expresión es el resultado de esa integral indefinida que resolvimos por el método de sustitución trigonométrica.
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es la manera f\u00e1cil de recordar las tres razones trigonom\u00e9tricas principales."}, {"start": 156.72, "end": 163.04, "text": " CENO que es cateto opuesto sobre hipotenusa, COCENO que es cateto adyacente sobre hipotenusa"}, {"start": 163.04, "end": 167.07999999999998, "text": " y TANGENTE que es cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 167.07999999999998, "end": 172.96, "text": " En este caso vamos a buscar una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica que nos relacione estos dos lados, el que"}, {"start": 172.96, "end": 175.64, "text": " es constante con la hipotenusa."}, {"start": 175.64, "end": 181.0, "text": " En este caso ser\u00eda el cateto adyacente al \u00e1ngulo theta con la hipotenusa."}, {"start": 181.0, "end": 186.07999999999998, "text": " Aqu\u00ed la tenemos, cateto adyacente con hipotenusa, entonces usamos COCENO."}, {"start": 186.08, "end": 194.0, "text": " Decimos COCENO de theta ser\u00e1 igual a la raz\u00f3n entre el cateto adyacente que es uno y la"}, {"start": 194.0, "end": 200.44, "text": " hipotenusa que es la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s uno."}, {"start": 200.44, "end": 205.84, "text": " De all\u00ed podemos hacer el despeje de la ra\u00edz, para ello podemos pasar este componente ac\u00e1"}, {"start": 205.84, "end": 210.24, "text": " a multiplicar y COCENO de theta viene ac\u00e1 a dividir."}, {"start": 210.24, "end": 214.36, "text": " Hacemos entonces un intercambio entre esas dos cantidades."}, {"start": 214.36, "end": 220.04000000000002, "text": " Nos queda entonces la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s uno, todo esto dentro de la"}, {"start": 220.04000000000002, "end": 226.16000000000003, "text": " ra\u00edz igual a 1 sobre COCENO de theta."}, {"start": 226.16000000000003, "end": 231.8, "text": " Pero sabemos que 1 sobre COCENO de theta equivale a secante de theta."}, {"start": 231.8, "end": 236.88000000000002, "text": " Recordemos que el COCENO y la secante son funciones rec\u00edprocas."}, 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todo eso elevado al cubo que se"}, {"start": 316.08, "end": 320.88, "text": " puede escribir como secante al cubo de theta."}, {"start": 320.88, "end": 326.52, "text": " All\u00ed ya hemos conseguido entonces un reemplazo para este componente en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 326.52, "end": 328.96, "text": " Nos falta el diferencial de x."}, {"start": 328.96, "end": 334.47999999999996, "text": " Para ello vamos a buscar aqu\u00ed una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica que nos relacione estas dos"}, {"start": 334.47999999999996, "end": 339.52, "text": " cantidades x con el lado constante, es decir, los catetos."}, {"start": 339.52, "end": 345.47999999999996, "text": " Vemos entonces que la funci\u00f3n adecuada es tangente que relaciona el cateto opuesto con"}, {"start": 345.47999999999996, "end": 347.56, "text": " el cateto adyacente."}, {"start": 347.56, "end": 353.88, "text": " Entonces decimos tangente de theta va a ser igual a la raz\u00f3n entre cateto opuesto, el"}, {"start": 353.88, "end": 361.88, "text": " cateto opuesto al \u00e1ngulo theta que es x, y el cateto adyacente que en este caso es uno."}, {"start": 361.88, "end": 369.65999999999997, "text": " De all\u00ed tenemos que x sobre uno nos da x y esto ser\u00e1 igual a tangente de theta escribiendo"}, {"start": 369.65999999999997, "end": 372.48, "text": " la igualdad en sentido contrario."}, {"start": 372.48, "end": 377.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos efectuar la derivaci\u00f3n a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 377.0, "end": 381.96, "text": " Vamos a derivar x con respecto a la variable theta."}, {"start": 381.96, "end": 387.84, "text": " Entonces dx de theta ser\u00e1 igual a la derivada de tangente de theta que nos da secante al"}, {"start": 387.84, "end": 390.35999999999996, "text": " cuadrado de theta."}, {"start": 390.35999999999996, "end": 397.08, "text": " De all\u00ed podemos hacer el despeje de dx y para ello pasamos de theta que est\u00e1 dividiendo"}, {"start": 397.08, "end": 399.64, "text": " ac\u00e1 al otro lado a multiplicar."}, {"start": 399.64, "end": 405.03999999999996, "text": " Nos queda entonces secante al cuadrado de theta, todo esto multiplicado por el diferencial"}, {"start": 405.03999999999996, "end": 406.32, "text": " de theta."}, {"start": 406.32, "end": 412.92, "text": " Por esos dos componentes ya podemos reconstruir la integral en t\u00e9rminos de la nueva variable"}, {"start": 412.92, "end": 414.44, "text": " que es theta."}, {"start": 414.44, "end": 417.44, "text": " Entonces esa integral nos queda as\u00ed."}, {"start": 417.44, "end": 418.92, "text": " Integral de..."}, {"start": 418.92, "end": 422.04, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n en el denominador."}, {"start": 422.04, "end": 427.15999999999997, "text": " Todo este componente equivale a secante al cubo de theta."}, {"start": 427.15999999999997, "end": 434.4, "text": " Y ac\u00e1 en el numerador tenemos dx, pero dx nos dio secante al cuadrado de theta y eso"}, {"start": 434.4, "end": 437.91999999999996, "text": " por el diferencial de theta."}, {"start": 437.91999999999996, "end": 441.67999999999995, "text": " All\u00ed lo que hemos conseguido es una integral trigonom\u00e9trica."}, {"start": 441.67999999999995, "end": 444.15999999999997, "text": " Vamos entonces a resolverla."}, {"start": 444.15999999999997, "end": 446.96, "text": " Nos queda la integral de lo siguiente."}, {"start": 446.96, "end": 452.15999999999997, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar secante al cuadrado de theta con secante al cubo de theta."}, {"start": 452.15999999999997, "end": 457.96, "text": " Podemos cancelar lo del numerador con secante al cuadrado de theta en el denominador y nos"}, {"start": 457.96, "end": 464.35999999999996, "text": " va a quedar una secante de theta all\u00ed en ese lugar, es decir, en el denominador."}, {"start": 464.36, "end": 466.2, "text": " En el numerador nos queda 1."}, {"start": 466.2, "end": 470.64, "text": " Y ac\u00e1 podemos escribir esto por el diferencial de theta."}, {"start": 470.64, "end": 476.76, "text": " Recordemos que 1 sobre secante de theta es coseno de theta, por lo que dijimos hace un"}, {"start": 476.76, "end": 478.04, "text": " momento."}, {"start": 478.04, "end": 481.96000000000004, "text": " Recordemos que la secante y el coseno son funciones rec\u00edprocas."}, {"start": 481.96000000000004, "end": 482.96000000000004, "text": " Entonces cambiamos."}, {"start": 482.96000000000004, "end": 488.72, "text": " 1 sobre secante de theta por coseno de theta y eso queda acompa\u00f1ado del diferencial de"}, {"start": 488.72, "end": 489.72, "text": " theta."}, {"start": 489.72, "end": 493.96000000000004, "text": " All\u00ed hemos llegado a una integral que es directa."}, {"start": 493.96, "end": 499.59999999999997, "text": " Recordemos que la integral de coseno de theta es seno de theta, porque la derivada de seno"}, {"start": 499.59999999999997, "end": 506.52, "text": " de theta es coseno de theta y a esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 506.52, "end": 513.48, "text": " Finalmente debemos expresar esto en t\u00e9rminos de x, que es la variable original del ejercicio."}, {"start": 513.48, "end": 519.0799999999999, "text": " Para ello nos apoyamos nuevamente en lo que es soukato a."}, {"start": 519.08, "end": 525.08, "text": " Entonces all\u00ed vamos a utilizar la raz\u00f3n seno, esta de aqu\u00ed."}, {"start": 525.08, "end": 531.9200000000001, "text": " Entonces seno de theta en este tri\u00e1ngulo ser\u00e1 la raz\u00f3n entre el cateto opuesto y la hipotenusa."}, {"start": 531.9200000000001, "end": 537.64, "text": " Vamos a colocar aqu\u00ed entonces ya el resultado de la integral en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 537.64, "end": 543.4000000000001, "text": " Tenemos entonces que el cateto opuesto al \u00e1ngulo theta es x y la hipotenusa es la ra\u00edz"}, {"start": 543.4000000000001, "end": 547.36, "text": " cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 547.36, "end": 553.32, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 553.32, "end": 557.4, "text": " Y de esta manera hemos resuelto el ejercicio."}, {"start": 557.4, "end": 564.5600000000001, "text": " Esta expresi\u00f3n es el resultado de esa integral indefinida que resolvimos por el m\u00e9todo de"}, {"start": 564.56, "end": 591.56, "text": " sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}]