INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 19
#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el método de sustitución.

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 Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida. Comenzamos por revisar si se puede efectuar en forma directa. Vemos que no es posible porque esta es una expresión bastante compleja. Entonces vamos a utilizar el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a intentar tomando lo que hay dentro del radical. Eso vamos a llamarlo la letra Q. Entonces decimos Q es igual a 3 menos 2 seno al cuadrado de X. Esto será Q. Y vamos a derivarlo. Antes de hacer ese procedimiento, vamos a reescribir Q. Aquí podemos escribir esto como seno de X entre paréntesis y eso elevado al cuadrado. Recordemos que si el 2 está aquí en toda la mitad de la función trigonométrica, la afecta a ella completamente. Entonces se puede ubicar acá por fuera del paréntesis. Ahora sí vamos a derivar esta expresión con respecto a X. Decimos derivada de Q con respecto a esa variable y tendremos lo siguiente. Aquí hay una resta, entonces derivamos cada uno de los términos. La derivada de 3 nos da 0 y pasamos al siguiente término donde vamos a aplicar la regla de la cadena para potencias. El 2 baja a multiplicar con este 2, nos queda 4. Eso queda intacto, seno de X elevado al exponente 2 menos 1, que es 1. Y eso tenemos que multiplicarlo por la derivada interna, la derivada de seno de X, que es coseno de X. Podemos pulir esta expresión. Nos queda derivada de Q con respecto a X igual a menos 4 por seno de X por coseno de X. En principio vemos que esta expresión no se parece a esto que tenemos acá, es decir, lo que no consideramos como Q. Sin embargo esto puede transformarse de la siguiente manera. Demos de Q de X es igual a menos 2 por 2 seno de X por coseno de X. Es decir, este 4 lo reescribimos como 2 por 2 y aquí tenemos esta expresión 2 por seno de X por coseno de X que equivale al seno de 2X. Es la identidad trigonométrica que corresponde al seno del ángulo doble. Entonces, si de allí despejamos de Q, nos queda lo siguiente. Pasa de X a multiplicar con todo esto, es decir, menos 2 por seno de 2X y esto multiplicado por de X. Y de allí podemos despejar de X. Todo esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Vamos a escribir eso por acá. Entonces de X nos va a quedar igual a de Q sobre toda esta expresión. Llega aquí a dividir menos 2 por seno de 2X. Bien, entonces ahora con estos dos componentes vamos a reconstruir la integral original en términos de la nueva letra. Es decir, en términos de Q. Tendremos entonces la integral de lo siguiente. Arriba continúa seno de 2X. Abajo tendremos la raíz cuadrada de toda esta expresión que se cambia por Q y el diferencial de X equivale a esa expresión que obtuvimos, que es de Q sobre menos 2 por seno de 2X. Aquí podemos simplificar toda esta expresión. Vemos que seno de X se encuentra arriba y abajo. Entonces podemos cancelarlo. Y podemos sacar este número. Los dos saldrían acá, pero queda como menos un medio porque se encuentra en la parte de abajo. Y esto nos queda multiplicando con la integral de 1 sobre la raíz cuadrada de Q con su respectivo diferencial de Q. Esta integral que nos quedó ya es directa. Entonces vamos a resolverla paso a paso. Nos queda menos un medio que multiplica a la integral de 1 sobre raíz cuadrada de Q que transformamos en Q a la un medio con su respectivo diferencial de Q. Ahora vamos a subir esta potencia. Esto nos va a quedar menos un medio por la integral de Q a la menos un medio con su correspondiente diferencial de Q. Recordemos que si la potencia sube, nos cambia de signo el exponente. Y aquí ya podemos resolver esta integral. Utilizamos la siguiente propiedad. Si tenemos la integral de Q a la n con su diferencial de Q, esto es igual a Q a la n más 1, todo esto sobre n más 1, más su respectiva constante de integración siempre que n sea diferente de menos 1. Esa es la condición que debemos cumplir. En este caso n es menos un medio. Entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera, menos un medio por la integral de Q a la menos un medio que siguiendo esta propiedad será Q a la menos un medio más 1 que nos va a dar lo siguiente. Aplicamos el siguiente truco, menos uno más dos, eso nos da uno, conservamos el mismo denominador, ese será el resultado de menos un medio más uno y este mismo exponente se describe acá en el denominador y escribimos por primera vez la constante de integración. Ahora, aquí vamos a subir este número dos. Aplicamos lo que se llama la ley de la oreja y dos llega a multiplicar con Q a la un medio. Tendremos entonces menos un medio por dos que multiplica a Q a la un medio, acá en el denominador nos quedaría uno por uno, uno sería el denominador de Q a la un medio, entonces uno en el denominador y anotamos la constante de integración. Ahora podemos simplificar esta expresión. Este número dos puede cancelarse y nos va a quedar la expresión menos Q a la un medio más la constante de integración. Todos unos simplemente se vuelven invisibles. Allí podríamos dejar la expresión, sin embargo queda mejor si Q a la un medio se vuelve a llevar a la forma de raíz, nos quedaría menos la raíz cuadrada de Q y todo esto más la constante de integración. Como allí ya no se puede hacer nada más en términos de simplificar o organizar la expresión, entonces cambiamos Q por la expresión a la que equivale inicialmente y eso será la respuesta del ejercicio. Tendremos menos la raíz cuadrada de Q, pero Q es tres menos dos seno al cuadrado de X. Todo esto queda más la constante de integración y de esa forma terminamos este ejercicio.
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integraci\u00f3n."}, {"start": 448.62, "end": 451.78, "text": " Ahora podemos simplificar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 451.78, "end": 463.17999999999995, "text": " Este n\u00famero dos puede cancelarse y nos va a quedar la expresi\u00f3n menos Q a la un medio"}, {"start": 463.17999999999995, "end": 465.94, "text": " m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 465.94, "end": 469.1, "text": " Todos unos simplemente se vuelven invisibles."}, {"start": 469.1, "end": 475.3, "text": " All\u00ed podr\u00edamos dejar la expresi\u00f3n, sin embargo queda mejor si Q a la un medio se vuelve"}, {"start": 475.3, "end": 482.0, "text": " a llevar a la forma de ra\u00edz, nos quedar\u00eda menos la ra\u00edz cuadrada de Q y todo esto m\u00e1s"}, {"start": 482.0, "end": 484.34, "text": " la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 484.34, "end": 489.58, "text": " Como all\u00ed ya no se puede hacer nada m\u00e1s en t\u00e9rminos de simplificar o organizar la"}, {"start": 489.58, "end": 497.14, "text": " expresi\u00f3n, entonces cambiamos Q por la expresi\u00f3n a la que equivale inicialmente y eso ser\u00e1"}, {"start": 497.14, "end": 499.14, "text": " la respuesta del ejercicio."}, {"start": 499.14, "end": 513.26, "text": " Tendremos menos la ra\u00edz cuadrada de Q, pero Q es tres menos dos seno al cuadrado de X."}, {"start": 513.26, "end": 521.5, "text": " Todo esto queda m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n y de esa forma terminamos este ejercicio."}]