REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES EXPONENCIALES
#julioprofe expone las reglas para derivar funciones exponenciales y un ejemplo de cada una.

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 En esta ocasión vamos a ver las reglas para derivar funciones exponenciales y también veremos ejemplos de cada una. Comenzamos con la función f de x igual a a a la x. En ese caso su derivada f' de x es ella misma a a la x por el logaritmo natural de a. Otra forma de aprender esta regla un poco más sencilla es así. Derivada de a a la x, como decíamos, es la misma expresión a a la x y eso multiplicado por el logaritmo natural de a. Por ejemplo, si tenemos la función f de x igual a 3 elevado a la exponente x, o sea una función exponencial su derivada f' de x, será la misma expresión 3 a la x por el logaritmo natural de 3. Como vemos, en este caso 3 hace el papel de la letra a. Entonces, siguiendo la instrucción, construimos la expresión de la derivada. Ahora veamos un caso más complejo. Si tenemos la función f de x igual a a elevada a la expresión u de x, ya no tenemos en el exponente una simple x, sino una expresión en términos de x, entonces la derivada f' de x será la misma expresión a a la u de x por el logaritmo natural de a y esto multiplicado por u' de x, o sea por la derivada de la expresión que tenemos en el exponente. Esto es lo que se llama la regla de la cadena aplicada a la derivación de una función exponencial. Podemos aprender esta fórmula de una manera más sencilla así. Si tenemos a a la manzanita, en este caso la manzanita es u de x, entonces su derivada será la misma expresión a a la manzanita por logaritmo natural de a y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea la derivada de lo que tenemos en el exponente. Miremos este ejemplo que se ajusta perfectamente a esta situación, tenemos la función f de x igual a 5 elevado al exponente 3x al cuadrado más 1, como vemos 5 hace el papel de a y 3x al cuadrado más 1 hace el papel de la manzanita, entonces veamos como nos queda la derivada de esa función. Seguimos entonces la instrucción, comenzamos con la misma expresión, 5 elevado al exponente 3x al cuadrado más 1, esto multiplicado por el logaritmo natural de a, o sea logaritmo natural de 5 y esto multiplicado por la derivada de lo que tenemos en el exponente, la derivada de 3x al cuadrado más 1 será 6x. De esa manera hemos obtenido la derivada de esta función. Ahora miremos el caso de la función exponencial que tiene como base el número de Euler, o sea la función e a la x, recordemos que el número de Euler es un número irracional que equivale a 2.71828 y esto continúa, es una serie que nunca termina de tal forma que hace que este sea un decimal infinito no periódico, por esa razón el número de Euler se clasifica como un número irracional. Para esta función tenemos que su derivada es ella misma, la derivada de e a la x es exactamente la misma expresión e a la x, veamos un ejemplo donde aparezca la expresión e a la x, vamos a tomar la función f de x igual a x al cuadrado por e a la x, tenemos allí lo que es un producto, entonces para derivar esta función aplicamos la regla del producto, comenzamos con la derivada del primer componente que será 2x, derivada de x al cuadrado es 2x, esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es e a la x, más el primer componente sin derivar que es x al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, como vemos acá la derivada de e a la x es ella misma, e a la x, por ejemplo en este caso podríamos aplicar la factorización para dar la respuesta de una manera un poco más simple, entonces vemos que aquí hay dos términos y en ellos tenemos repetida la x y también tenemos repetida e a la x, entonces extraemos factor común x por e a la x, y esa expresión será factor de 2 que es lo que nos queda en el primer término, más x que es lo que nos queda en el segundo término después de que este componente abandona dicho término, esta es entonces la derivada de esta función. Finalmente veamos el caso de la función exponencial con base e y con exponente u de x, o sea cuando tenemos acá una expresión más compleja que una simple x, en ese caso la derivada será la misma expresión e a la u de x y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea por u' de x. Podemos aprendernos esta regla de una manera más sencilla así, si tenemos e a la manzanita, entonces su derivada será la misma expresión e a la manzanita y eso multiplicado por la derivada de la manzanita, como se observa esta manzanita está representando la expresión u de x. Vamos a ilustrar esta propiedad con este ejemplo, vamos a encontrar la derivada de la función f de x igual a e elevado al exponente sen x. Entonces siguiendo la instrucción que tenemos debemos escribir primero la misma expresión e a la sen x y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea la derivada de la manzanita, la derivada de sen x es cos x y de esta manera hemos obtenido la derivada de esta función. Para terminar veamos el resumen de las cuatro reglas que vimos para derivar funciones exponenciales. Para la función a a la x su derivada es a a la x por logaritmo natural de a. Para la función a elevada al exponente u de x, pues recordemos que esto se puede cambiar por la manzanita su derivada es a a la u de x, o sea la misma expresión por logaritmo natural de a y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea por u' de x. Para la función e a la x su derivada es la misma expresión e a la x y para la función e a la u de x su derivada es ella misma e a la u de x por la derivada del exponente. Y en esta manera terminamos este video donde hemos visto las reglas para derivar funciones exponenciales.
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