APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL TRAZADO DE CURVAS - Ejercicio 1 (Parte 1)
#julioprofe explica cómo, usando la derivada, se obtiene información de una función para bosquejar su gráfica.

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 Vamos a realizar el bosquejo de la gráfica de la función y igual a f de x igual a x por logaritmo natural de x Vamos a utilizar las derivadas Los pasos a seguir son los siguientes Primero vamos a determinar el dominio de la función Veamos cual sería el dominio Esta x puede tomar cualquier valor, pero esta x por pertenecer a un logaritmo natural únicamente puede tomar valores positivos Por lo tanto el dominio de la función van a ser los x mayores que 0, o sea los positivos También se puede expresar como los x que pertenecen al intervalo que va desde 0 abierto hasta más infinito Ese sería el dominio de la función, en esa zona vamos a trabajar con los valores de x Segundo paso, vamos a determinar los puntos de corte con los ejes x y y Es decir, el y-intercepto y los x-interceptos El y-intercepto de una función se encuentra haciendo x igual a 0 Pero en este caso 0 no puede reemplazarse aquí donde está el logaritmo, por no estar permitido Luego en ese caso tenemos que decir que el y-intercepto no hay, no tenemos corte con el eje y Veamos los x-interceptos Los x-interceptos de una función se obtienen haciendo la función igual a 0 En ese caso nuestra función es x, logaritmo natural de x, entonces la igualamos a 0 Como que hay dos factores multiplicando entre sí, igualados a 0, entonces cada uno de ellos tenemos que igualarlos a 0 Ahí aplicamos el teorema del factor nulo, x vale 0 o logaritmo natural de x vale 0 Pero habíamos dicho que 0 no es admitido en el dominio de la función, por lo tanto este valor lo tenemos que descartar Veamos por acá, logaritmo natural de x sería lo mismo que decir logaritmo en base e de x, igual a 0 Recordemos que e es el número de Euler Para despejar x tenemos que elevar E a la 0 usando la definición de logaritmo Y recordemos que cualquier cantidad distinta de 0, cuando se eleva a la 0 nos da 1 De esta manera hemos encontrado que el x-intercepto de esta función va a estar en x igual a 1 Paso 3, vamos a encontrar la primera y segunda derivada de nuestra función Veamos, nuestra función dice que es x por logaritmo natural de x Para encontrar la primera derivada de la función vamos a utilizar la regla del producto Entonces la derivada del primero, la derivada de x es 1, por el segundo sin derivar que es logaritmo natural de x Más la derivada del segundo componente que sería 1 sobre x, por el primero sin derivar que es x Simplificando esto nos queda que la primera derivada es igual a logaritmo natural de x Y aquí x se nos cancela con x, entonces nos queda más 1 Allí tenemos la primera derivada de la función Vamos a obtener la segunda derivada, entonces la llamamos ep2' de x Derivamos esta expresión de acá, la derivada de logaritmo natural de x sería 1 sobre x Y la derivada de 1 sería 0, recordemos que la derivada de cualquier constante es 0 O sea que allí queda la segunda derivada El caso 4 va a ser determinar donde hay puntos críticos en nuestra función Para determinar donde hay puntos críticos debemos igualar a 0 la primera derivada, esa es la condición La primera derivada nos dio logaritmo natural de x más 1, entonces la igualamos a 0 Y si resolvemos esta ecuación, logaritmo natural de x va a ser igual a menos 1 Porque este 1 que está sumando pasa a restar al otro lado Lo mismo que hicimos ahora, es el logaritmo natural en la base e de x igual a menos 1 Para despejar x debemos elevar e a la menos 1 E a la menos 1 es lo mismo que tener 1 sobre e, y 1 sobre e en la calculadora nos da aproximadamente 0.37 Por lo tanto x igual a 0.37 va a ser la abscisa del punto crítico de nuestra función Pasemos al quinto paso, que es determinar donde la función crece y donde decrece Para ello tenemos que analizar el signo de la primera derivada La primera derivada nos dio logaritmo natural de x más 1 Trazamos una línea que nos represente el dominio de la función Recordemos que el dominio de la función va desde 0 sin incluirlo hasta más infinito Esto representa los valores de x Sobre esa línea debemos ubicar el número 0.37 que fue donde nos dio el punto crítico Este valor va a corresponder al punto crítico de la función Trazamos una línea fronteriza entre los dos intervalos que se nos formaron De cada intervalo debemos escoger un número, cualquiera que caiga dentro del intervalo Por ejemplo, del primer intervalo un número que esté comprendido entre 0 y 0.37 podría ser 0.2 Y un número que esté comprendido entre 0.37 y más infinito puede ser por ejemplo 0.5 Cada uno de esos valores debe evaluarse en la primera derivada Entonces evaluamos f' en 0.2 y f' en 0.5 Al reemplazar 0.2 aquí y haciendo con calculadora Eso nos produce un resultado que es igual a menos 0.61 Y al evaluar 0.5 en esta expresión, o sea en la primera derivada, en calculadora nos da 0.31 Aquí lo que interesa es el signo de la derivada En el primer intervalo la derivada nos dio negativa y en el segundo intervalo la derivada nos dio positiva ¿Eso qué significa? Que en el primer intervalo la función va a ser decreciente Mientras que en el segundo intervalo la función va a ser creciente Si la función decrece y después crece, quiere decir que nuestro punto crítico va a ser un punto mínimo Va a ser clasificado como un mínimo Pasemos al sexto paso que sería determinar donde hay puntos de inflexión en la función Para ello debemos igualar a cero la segunda derivada La segunda derivada nos dio 1 sobre x, entonces la igualamos a cero Para resolver esta ecuación podríamos pasar x que está dividiendo a multiplicar al otro lado Si x pasa a multiplicar con cero nos da cero Y llegamos a una contradicción, 1 igual a cero es una falsedad Por lo tanto, esto quiere decir que no hay puntos de inflexión Si la función no tiene puntos de inflexión ¡Suscríbete!
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