DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 4
#julioprofe explica cómo demostrar una Identidad Trigonométrica.

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 Vamos a demostrar la validez de esta identidad trigonométrica. Para ello trabajaremos el lado izquierdo por ser el que tiene más operaciones. Entonces vamos a proceder con ese lado. Tenemos lado izquierdo y vamos a realizar todas las operaciones para llegar a lo que tenemos en el lado derecho que está mucho más simple. Comenzamos en el lado izquierdo resolviendo la resta de fracciones de distinto denominador. Vamos a recordar cómo se hace eso. Si tenemos una fracción A sobre B menos otra fracción C sobre D, fracciones heterogéneas, es decir, con distinto denominador, entonces podemos hacer esta técnica rápida. Abajo B por D, arriba A por D, menos B por C. Es lo que se conoce con el nombre de la carita feliz. Abajo estos dos, arriba estos dos y también estos de acá. Entonces se le llama la técnica de la carita feliz. Vamos entonces a aplicarla para esa situación. Trazamos la línea. Abajo tenemos cos x que multiplica a 1 más sen x. Esta expresión se debe proteger con paréntesis. Arriba tenemos 1 por 1 más sen x que nos da 1 más sen x. Menos el signo que tenemos entre las dos fracciones y ahora esta diagonal. Tenemos cos x por cos x que nos da como resultado cos x. En seguida vamos a utilizar lo que se llama la identidad fundamental de la trigonometría. Sen x más cos x es igual a 1. De aquí podemos despejar cos x. Tenemos que es igual a 1 menos esta cantidad que es sen x. Esto que está sumando pasa al otro lado a restar. Vamos a cambiar cos x que tenemos en el numerador por esta expresión. Como decíamos, partiendo de la identidad fundamental de la trigonometría. Nos queda así. 1 más sen x menos, abrimos paréntesis, para escribir la expresión que va a sustituir a cos x que es 1 menos sen x. Todo esto sobre la misma expresión que la vamos a dejar indicada. Cos x que multiplica a 1 más sen x. Vamos a seguir el ejercicio por acá. En el numerador vamos a destruir este paréntesis. Va a entrar el signo negativo. Entonces nos queda 1 más sen x, aquí menos 1 y acá más sen al cuadrado de x. Todo esto sobre la misma expresión. Cos x que multiplica a 1 más sen x. En el numerador vemos que 1 y menos 1 se pueden eliminar. Entonces nos queda sen x más sen al cuadrado de x. Y en el denominador continúa la misma expresión. Vamos a continuar el ejercicio por acá. Y en el numerador vemos que podemos extraer factor común lo que es sen x. Tenemos sen x factor de 1 más sen x. Y el denominador continúa exactamente igual. O sea cos x que multiplica a 1 más sen x. Finalmente vemos que es posible eliminar 1 más sen x. Es un factor que está repetido en la parte de arriba y también en la parte de abajo. Entonces es perfectamente lícito hacer esa simplificación. Nos queda sen x sobre cos x. Y esto a su vez es igual a tangente de x. Y de esta manera llegamos a lo que tenemos en el lado derecho de la expresión. Comprobamos de esta manera que esta igualdad corresponde a una identidad trigonométrica.
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