RACIONALIZACIÓN CON TRES TÉRMINOS EN EL DENOMINADOR
#julioprofe explica cómo racionalizar una fracción cuyo denominador tiene tres términos.

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 En este ejercicio vamos a realizar la racionalización del denominador de esta expresión. Es decir, vamos a hacer el procedimiento para eliminar estas raíces que se encuentran en el denominador. Para comenzar vamos a agrupar dos de los términos que tenemos en el denominador. Podríamos pensar entonces en agrupar estos dos que tenemos acá. Los dos primeros términos, de tal forma que nos quede un binomio. Y entonces vamos a proceder multiplicando por lo que se conoce como el conjugado de esta expresión. El conjugado sería 1 más raíz de 2 más raíz de 3. Si recordemos que cambiamos simplemente este signo, si aquí es menos acá será más y viceversa. En caso de que aquí fuera más, pues acá tendríamos signo menos. Esta expresión debemos repetirla en la parte superior, es decir, en el numerador de la expresión. Entonces allí tenemos lo que es la conjugación y vamos a proceder a multiplicar en forma horizontal. Es decir, cómo se multiplican las fracciones, numeradores entre sí y denominadores entre sí. En la parte superior, 1 por toda esta expresión nos dará esto mismo. Entonces la escribimos acá en el numerador, tal como está, porque fue multiplicada por 1. Y en la parte de abajo, el producto de estas dos cantidades, recordemos que se resuelve aplicando un producto notable, llamado suma por diferencia. Aquí tenemos la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas. Entonces suma por diferencia nos da una diferencia de cuadrados. Si recordemos que es la primera cantidad al cuadrado menos la segunda al cuadrado. Entonces vamos a aplicar eso para hacer este producto. Entonces nos va a quedar la primera expresión que es 1 más raíz de 2 elevado al cuadrado menos la segunda expresión que es raíz de 3 elevada al cuadrado. En la parte superior podríamos quitar el paréntesis. Nos quedaría simplemente 1 más raíz de 2 más raíz de 3. Y acá tenemos por ejemplo un binomio al cuadrado. Vamos a desarrollarlo de una vez. Recordemos que el binomio al cuadrado es igual al primer término al cuadrado. Es decir 1 al cuadrado que sería 1 más dos veces el primero por el segundo. Es decir 2 por 1 por raíz de 2. Eso nos da 2 raíz de 2 más el segundo término al cuadrado. Si nosotros tomamos raíz de 2 y lo elevamos al cuadrado, eso nos da 2. Porque la raíz cuadrada se cancela con el exponente 2. Llegamos a este signo menos y acá este cuadrado destruye la raíz. Por lo tanto libera el número 3. Vamos a resolver esta operación de aquí. Vamos a continuarlo por acá. En la parte superior de la fracción tendremos lo mismo. 1 más raíz de 2 más raíz de 3. Y acá vemos que 1 más 2 nos da 3 y menos 3 nos da 0. Por lo tanto todos estos números se nos eliminan. Nos da 0 y nos queda únicamente 2 raíz de 2. Como nos sigue quedando una raíz en el denominador, debemos continuar con el proceso de racionalización. Pero en este caso, por haber quedado un solo término con raíz en el denominador, entonces simplemente debemos multiplicar por raíz cuadrada de 2. Que es lo que nos hace falta para que al multiplicar por esto, logremos liberarnos de esa raíz. Y esta misma raíz se repite en la parte superior, en el numerador. Este 2 no tiene problema. Este 2 no necesita ser racionalizado. El que requiere de la racionalización es únicamente esta raíz de 2. Bien, entonces continuamos. En la parte superior podríamos escribir el producto en forma indicada. Lo dejaríamos todo este trinomio multiplicado por raíz de 2. Numerador con numerador. Y en la parte de abajo tendríamos 2 raíz de 2 por raíz de 2. Y nos daría 2 por raíz de 2 al cuadrado. En la parte superior podríamos, por ejemplo, hacer propiedad distributiva con raíz de 2. Entonces, vamos a hacer la propiedad distributiva con este raíz de 2. Para que afecte cada uno de estos tres términos. Entonces, veamos. Raíz de 2 por 1 nos queda raíz de 2. Raíz de 2 por raíz de 2 nos queda raíz de 2 al cuadrado. Es decir, 2. Y raíz de 2 por raíz de 3 nos queda raíz cuadrada de 6. Recuérdense que raíz de 2 por raíz de 3 puede colocarse dentro de una misma raíz. Por ser raíces del mismo índice. Y eso nos da raíz cuadrada de 6. Y en la parte de abajo tendremos raíz de 2 al cuadrado que sería 2 por 2. Eso nos da 4. Si queremos, podemos ya organizar la respuesta. En la parte superior, por ejemplo, empezando con el 2 e ir subiendo con las raíces de menor a mayor. Quedaría en este orden. Y en el denominador tendríamos el número 4. Esa sería entonces la respuesta a nuestro ejercicio. Allí quedaría entonces racionalizado la expresión original.
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