ECUACIONES CON RADICALES - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene una raíz cuadrada.

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 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación que contiene una raíz cuadrada. Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen verdadera esa igualdad. Lo primero que tenemos que hacer es aislar completamente esta raíz. Para ello podemos pasarla al lado derecho, nos llega con signo positivo y este uno lo trasladamos al lado izquierdo. Llegaría entonces con signo negativo. Esto nos queda entonces 2x menos 1 igual a la raíz cuadrada de x más 7. Hemos hecho entonces lo que se conoce como transposición de términos y así tenemos aislado completamente ese radical. Enseguida vamos a elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado con el propósito de destruir o eliminar esa raíz cuadrada. Entonces nos queda 2x menos 1, todo esto al cuadrado en el lado izquierdo y esta raíz, raíz cuadrada de x más 7 también elevada al cuadrado. En el lado izquierdo tenemos un binomio elevado al cuadrado entonces aplicamos este producto notable. Es el primer término al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces tendremos lo siguiente, el primer término que es 2x, todo esto al cuadrado, menos dos veces el primer término por el segundo, o sea 2 por el primer término que es 2x por el segundo que es 1 más el segundo término al cuadrado, o sea 1 elevado al cuadrado. Y en el lado derecho como decíamos este cuadrado destruye la raíz cuadrada y nos deja libre la expresión x más 7. A continuación vamos a resolver estas operaciones, 2x al cuadrado nos da 4x al cuadrado, recordemos que este exponente afecta estas dos cantidades porque se encuentran multiplicando. Luego tenemos menos 2 por 2x por 1 que es 4x, luego más 1 al cuadrado que es 1 y esto queda igualado con x más 7. Como podemos observar esta ecuación ya tiene aspecto de ecuación cuadrática o de segundo grado, sin embargo tenemos que organizarla igualándola a 0. Entonces vamos a dejar todos los términos en el lado izquierdo, estos tres se quedan tal como están y pasamos estos dos a ese lado, llega entonces menos x y menos 7 y todo esto queda igualado a 0. A continuación operamos términos semejantes, tenemos el caso de estos dos que contienen la x y también estos dos que son números o términos independientes, entonces organizamos de una vez la ecuación, tenemos 4x al cuadrado, la operación de estos dos que nos da menos 5x y luego más 1 menos 7 que es menos 6 y todo esto igual a 0. Hemos llegado entonces a una ecuación cuadrática o de segundo grado, recordemos que su modelo es ax cuadrado más bx más c igual a 0 y vamos a resolverla en esta ocasión utilizando la fórmula cuadrática o fórmula general, para ello debemos identificar los valores de a, b y c. Veamos, a es el coeficiente de x al cuadrado, en este caso es 4, b es el coeficiente de x, en este caso es menos 5 y c es el término independiente que en este caso es menos 6. Vamos entonces con la fórmula cuadrática, allí la tenemos y vamos a reemplazar entonces los valores de esas letras utilizando paréntesis, tenemos x igual a menos b, b en este caso es menos 5, repetimos protegido con paréntesis para mayor seguridad dentro de la raíz tenemos b al cuadrado, o sea b que es menos 5 entre paréntesis al cuadrado, menos 4 por el valor de a que es 4, cerramos paréntesis por el valor de c que es menos 6 y también cerramos el paréntesis. Y todo eso nos queda sobre 2 por el valor de a que es 4. Enseguida resolvemos cada una de estas operaciones, tenemos x igual a menos menos 5 que da 5 positivo más o menos la raíz cuadrada de menos 5 al cuadrado que es 25, y acá tenemos menos 4 por 4 es menos 16, por menos 6 nos da más 96 y todo esto dentro de la raíz cuadrada. En el denominador tendremos 2 por 4 que es 8. Después resolvemos lo que hay dentro de la raíz, entonces x es igual a 5 más o menos la raíz cuadrada de 25 más 96 que nos da 121, todo esto dentro de la raíz cuadrada y a su vez todo eso dividido entre 8. La raíz cuadrada de 121 es 11, entonces esto nos va a quedar x igual a 5 más o menos 11 y todo esto sobre 8. Y allí vamos a obtener dos soluciones, la primera cuando consideremos el signo negativo nos queda 5 menos 11 sobre 8 y la segunda cuando consideramos el signo positivo, 5 más 11 y todo esto sobre 8. Resolvemos ahora cada situación, por acá tenemos x igual a 5 menos 11 que es menos 6 sobre 8 y podemos simplificar esa fracción que nos queda negativa, mitad de 6 es 3 y mitad de 8 es 4. Una primera solución es x igual a menos tres cuartos, por acá tenemos x igual a 5 más 11 que es 16 sobre 8 y efectuando esa división nos da como resultado 2. Aquí hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado, sin embargo no podemos asegurar que sean las soluciones de la ecuación original, la que contiene la raíz cuadrada, lo que tenemos que hacer entonces es probar cada una de ellas para ver si cumple en la expresión original. Veamos entonces la prueba con x igual a menos tres cuartos, debemos sustituir ese valor en la ecuación original, 2 por menos tres cuartos menos la raíz cuadrada de menos tres cuartos más 7 y todo esto supuestamente igual a 1. Resolvemos por acá, 2 por menos tres cuartos nos da menos seis cuartos menos la raíz cuadrada de esta operación que podemos resolver utilizando el truco o la técnica de la carita feliz, trazamos aquí la línea de la fracción y en la parte superior tenemos menos tres por uno que es menos tres más cuatro por siete que es 28 y abajo cuatro por uno que nos da cuatro y todo esto supuestamente igual a 1, esto se llama la carita feliz porque esto es lo que hemos hecho para conformar esa operación, esta figurita por eso se llama la carita feliz para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador. Resolviendo cada una de estas situaciones tenemos menos seis cuartos que nos da menos tres medios simplificando dividiendo arriba y abajo por dos, luego tenemos menos dentro de la raíz menos tres más 28 es 25 y esto sobre cuatro supuestamente igual a 1. Luego resolvemos esta raíz, tendremos entonces menos tres medios menos la raíz cuadrada afecta al numerador y al denominador, la raíz cuadrada de 25 es 5 y la raíz cuadrada de 4 es 2 y todo esto supuestamente igual a 1. Efectuamos ahora esta operación que es una resta de fracciones homogéneas o fracciones con el mismo denominador, allí no aplicamos la carita feliz sino que simplemente se conserva el denominador y efectuamos la operación de los numeradores y todo esto supuestamente es igual a 1, menos tres menos cinco nos da menos ocho sobre dos supuestamente igual a 1 y menos ocho medios nos da menos cuatro que es diferente de uno. Por lo tanto el valor x igual a menos tres cuartos no está cumpliendo en la ecuación original y por esa razón lo descartamos. Ahora debemos hacer la prueba con el otro valor, es decir con x igual a 2 y vamos a reemplazarlo en la ecuación original, tenemos dos por dos menos la raíz cuadrada de dos más siete y todo esto supuestamente igual a 1. Dos por dos es cuatro menos la raíz cuadrada de dos más siete que es nueve, todo esto supuestamente igual a 1, tenemos cuatro menos la raíz cuadrada de nueve que es tres, esto supuestamente igual a 1 y cuatro menos tres nos da uno que efectivamente es igual a uno y eso nos confirma que x igual a dos sí satisface la ecuación original. Terminamos entonces dando la respuesta para este ejercicio, esa ecuación que contiene una raíz cuadrada y cuya solución, la única solución es x igual a dos.
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es menos 5 y c es el t\u00e9rmino independiente que en este caso es menos 6."}, {"start": 257.4, "end": 263.0, "text": " Vamos entonces con la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica, all\u00ed la tenemos y vamos a reemplazar entonces"}, {"start": 263.0, "end": 271.24, "text": " los valores de esas letras utilizando par\u00e9ntesis, tenemos x igual a menos b, b en este caso"}, {"start": 271.24, "end": 278.72, "text": " es menos 5, repetimos protegido con par\u00e9ntesis para mayor seguridad dentro de la ra\u00edz tenemos"}, {"start": 278.72, "end": 286.72, "text": " b al cuadrado, o sea b que es menos 5 entre par\u00e9ntesis al cuadrado, menos 4 por el valor"}, {"start": 286.72, "end": 294.44, "text": " de a que es 4, cerramos par\u00e9ntesis por el valor de c que es menos 6 y tambi\u00e9n cerramos"}, {"start": 294.44, "end": 296.16, "text": " el par\u00e9ntesis."}, {"start": 296.16, "end": 303.64000000000004, "text": " Y todo eso nos queda sobre 2 por el valor de a que es 4."}, {"start": 303.64000000000004, "end": 312.5, "text": " Enseguida resolvemos cada una de estas operaciones, tenemos x igual a menos menos 5 que da 5 positivo"}, {"start": 312.5, "end": 319.54, "text": " m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 5 al cuadrado que es 25, y ac\u00e1 tenemos menos"}, {"start": 319.54, "end": 331.20000000000005, "text": " 4 por 4 es menos 16, por menos 6 nos da m\u00e1s 96 y todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 331.20000000000005, "end": 340.6, "text": " En el denominador tendremos 2 por 4 que es 8."}, {"start": 340.6, "end": 347.68, "text": " Despu\u00e9s resolvemos lo que hay dentro de la ra\u00edz, entonces x es igual a 5 m\u00e1s o menos"}, {"start": 347.68, "end": 356.8, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 25 m\u00e1s 96 que nos da 121, todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 356.8, "end": 360.56, "text": " y a su vez todo eso dividido entre 8."}, {"start": 360.56, "end": 369.28000000000003, "text": " La ra\u00edz cuadrada de 121 es 11, entonces esto nos va a quedar x igual a 5 m\u00e1s o menos"}, {"start": 369.28000000000003, "end": 374.0, "text": " 11 y todo esto sobre 8."}, {"start": 374.0, "end": 380.96, "text": " Y all\u00ed vamos a obtener dos soluciones, la primera cuando consideremos el signo negativo"}, {"start": 380.96, "end": 390.52, "text": " nos queda 5 menos 11 sobre 8 y la segunda cuando consideramos el signo positivo, 5 m\u00e1s"}, {"start": 390.52, "end": 395.48, "text": " 11 y todo esto sobre 8."}, {"start": 395.48, "end": 401.68, "text": " Resolvemos ahora cada situaci\u00f3n, por ac\u00e1 tenemos x igual a 5 menos 11 que es menos"}, {"start": 401.68, "end": 410.40000000000003, "text": " 6 sobre 8 y podemos simplificar esa fracci\u00f3n que nos queda negativa, mitad de 6 es 3 y"}, {"start": 410.40000000000003, "end": 413.24, "text": " mitad de 8 es 4."}, {"start": 413.24, "end": 420.16, "text": " Una primera soluci\u00f3n es x igual a menos tres cuartos, por ac\u00e1 tenemos x igual a 5"}, {"start": 420.16, "end": 430.08, "text": " m\u00e1s 11 que es 16 sobre 8 y efectuando esa divisi\u00f3n nos da como resultado 2."}, {"start": 430.08, "end": 436.0, "text": " Aqu\u00ed hemos obtenido las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado,"}, {"start": 436.0, "end": 441.84, "text": " sin embargo no podemos asegurar que sean las soluciones de la ecuaci\u00f3n original, la"}, {"start": 441.84, "end": 448.28, "text": " que contiene la ra\u00edz cuadrada, lo que tenemos que hacer entonces es probar cada una de ellas"}, {"start": 448.28, "end": 452.88, "text": " para ver si cumple en la expresi\u00f3n original."}, {"start": 452.88, "end": 459.47999999999996, "text": " Veamos entonces la prueba con x igual a menos tres cuartos, debemos sustituir ese valor"}, {"start": 459.48, "end": 466.56, "text": " en la ecuaci\u00f3n original, 2 por menos tres cuartos menos la ra\u00edz cuadrada de menos tres"}, {"start": 466.56, "end": 475.56, "text": " cuartos m\u00e1s 7 y todo esto supuestamente igual a 1."}, {"start": 475.56, "end": 483.68, "text": " Resolvemos por ac\u00e1, 2 por menos tres cuartos nos da menos seis cuartos menos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 483.68, "end": 493.16, "text": " de esta operaci\u00f3n que podemos resolver utilizando el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz,"}, {"start": 493.16, "end": 498.26, "text": " trazamos aqu\u00ed la l\u00ednea de la fracci\u00f3n y en la parte superior tenemos menos tres por"}, {"start": 498.26, "end": 506.12, "text": " uno que es menos tres m\u00e1s cuatro por siete que es 28 y abajo cuatro por uno que nos da"}, {"start": 506.12, "end": 513.4, "text": " cuatro y todo esto supuestamente igual a 1, esto se llama la carita feliz porque esto"}, {"start": 513.4, "end": 520.28, "text": " es lo que hemos hecho para conformar esa operaci\u00f3n, esta figurita por eso se llama la carita feliz"}, {"start": 520.28, "end": 525.28, "text": " para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador."}, {"start": 525.28, "end": 530.48, "text": " Resolviendo cada una de estas situaciones tenemos menos seis cuartos que nos da menos"}, {"start": 530.48, "end": 537.64, "text": " tres medios simplificando dividiendo arriba y abajo por dos, luego tenemos menos dentro"}, {"start": 537.64, "end": 548.36, "text": " de la ra\u00edz menos tres m\u00e1s 28 es 25 y esto sobre cuatro supuestamente igual a 1."}, {"start": 548.36, "end": 555.64, "text": " Luego resolvemos esta ra\u00edz, tendremos entonces menos tres medios menos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 555.64, "end": 562.52, "text": " afecta al numerador y al denominador, la ra\u00edz cuadrada de 25 es 5 y la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 562.52, "end": 568.88, "text": " 4 es 2 y todo esto supuestamente igual a 1."}, {"start": 568.88, "end": 574.76, "text": " Efectuamos ahora esta operaci\u00f3n que es una resta de fracciones homog\u00e9neas o fracciones"}, {"start": 574.76, "end": 581.3199999999999, "text": " con el mismo denominador, all\u00ed no aplicamos la carita feliz sino que simplemente se conserva"}, {"start": 581.3199999999999, "end": 587.92, "text": " el denominador y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores y todo esto supuestamente"}, {"start": 587.92, "end": 595.1999999999999, "text": " es igual a 1, menos tres menos cinco nos da menos ocho sobre dos supuestamente igual"}, {"start": 595.1999999999999, "end": 602.52, "text": " a 1 y menos ocho medios nos da menos cuatro que es diferente de uno."}, {"start": 602.52, "end": 609.16, "text": " Por lo tanto el valor x igual a menos tres cuartos no est\u00e1 cumpliendo en la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 609.16, "end": 614.24, "text": " original y por esa raz\u00f3n lo descartamos."}, {"start": 614.24, "end": 620.2, "text": " Ahora debemos hacer la prueba con el otro valor, es decir con x igual a 2 y vamos a"}, {"start": 620.2, "end": 628.52, "text": " reemplazarlo en la ecuaci\u00f3n original, tenemos dos por dos menos la ra\u00edz cuadrada de dos"}, {"start": 628.52, "end": 635.34, "text": " m\u00e1s siete y todo esto supuestamente igual a 1."}, {"start": 635.34, "end": 642.82, "text": " Dos por dos es cuatro menos la ra\u00edz cuadrada de dos m\u00e1s siete que es nueve, todo esto"}, {"start": 642.82, "end": 650.84, "text": " supuestamente igual a 1, tenemos cuatro menos la ra\u00edz cuadrada de nueve que es tres, esto"}, {"start": 650.84, "end": 658.8000000000001, "text": " supuestamente igual a 1 y cuatro menos tres nos da uno que efectivamente es igual a uno"}, {"start": 658.8000000000001, "end": 665.24, "text": " y eso nos confirma que x igual a dos s\u00ed satisface la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 665.24, "end": 671.6800000000001, "text": " Terminamos entonces dando la respuesta para este ejercicio, esa ecuaci\u00f3n que contiene"}, {"start": 671.68, "end": 678.68, "text": " una ra\u00edz cuadrada y cuya soluci\u00f3n, la \u00fanica soluci\u00f3n es x igual a dos."}]