52. CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL DE CUERPOS (Ejercicio 1)
Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España.
Clase No. 52: Caída Libre y Lanzamiento Vertical de Cuerpos (Ejercicio 1).

Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. Determinar:
a) Las ecuaciones del movimiento.
b) La altura máxima que alcanza.
c) La velocidad de la pelota cuando se encuentra a 9 m de altura.

Tema: Estudio de diversos movimientos.
Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net).

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 En este problema vamos a utilizar como sistema de referencia el eje Y en metros y vamos a establecer como posición 0 o como origen el punto más bajo del movimiento es decir el instante o el punto donde la pelota es lanzada hacia arriba si es decir aquí donde la velocidad inicial es igual a 18 metros por segundo se toma positiva por lo que el lanzamiento es hacia arriba este es el instante t igual a 0 para esta situación de lanzamiento vertical tenemos como ecuación de posición este modelo y vamos a sustituir los valores que conocemos vamos a trabajar la gravedad como 10 10 metros por segundo cuadrado la velocidad inicial es 18 positivo porque dijimos que el lanzamiento ocurre hacia arriba y la posición inicial sería cero vemos que en el tiempo cero la posición de la pelota es cero entonces esta ecuación nos queda como y igual a menos 5t cuadrado más 18t y esta será la ecuación número 1 la ecuación de posición en términos del tiempo para esa pelota si hacemos la derivada de esa expresión la derivada de la posición con respecto al tiempo obtenemos la ecuación de velocidad y es decir la velocidad vertical de la pelota en cualquier instante t entonces eso nos queda igual a lo siguiente como tenemos dos términos sumando entonces derivamos cada uno de ellos la derivada del primer término nos da menos 10t y la derivada del segundo término nos da más 18 y de esta manera tenemos la ecuación número 2 que es la ecuación de velocidad de esa pelota con estas dos ecuaciones respondemos la pregunta a es decir estas son las ecuaciones para este movimiento anotamos las dos ecuaciones por acá y vamos a mirarlo de la pregunta b nos piden determinar cuál es la altura máxima que alcanza la pelota vamos a suponer que eso ocurre por aquí que es el instante donde la velocidad de la pelota es igual a cero y este momento lo vamos a llamar t ese el instante t ese es decir el tiempo de subida desde aquí hasta acá se cumple el tiempo de subida de la pelota y allí la posición se va a llamar y griega máxima es decir la altura máxima que alcanza la pelota entonces decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de subida la velocidad y griega es igual a cero es el punto más alto entonces esta información la podemos sustituir en la expresión número 2 entonces vamos a reemplazar en la expresión 2 nos queda velocidad y griega 0 igual a menos 10t que se sustituye por t ese más 18 y de aquí vamos a despejar el tiempo de subida pasamos este término que está negativo al lado izquierdo y nos llega positivo nos queda 10t ese igual a 18 de allí despejamos t ese y nos queda 18 dividido entre 10 y nos da un tiempo de subida de 1.8 segundos entonces ya tenemos el dato del tiempo de subida y el tiempo que tarda el cuerpo o la pelota en llegar a su punto más alto es 1.8 segundos ese valor lo anotamos por aquí y a continuación decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de subida es decir 1.8 segundos entonces la posición y griega de la pelota es igual a la posición y griega máxima es decir la altura máxima que alcanza la pelota esta información la sustituimos en la expresión número 1 donde está y griega escribimos y griega máxima y donde tenemos el tiempo vamos a escribir 1.8 entonces nos queda de esta manera y resolviendo toda esta operación en la calculadora tenemos y griega máxima igual a 16.2 metros de esta manera respondemos la pregunta de de este problema si la altura máxima que alcanza la pelota desde su punto de lanzamiento es 16.2 metros entonces ya podemos escribir aquí 16.2 que es el valor de la altura máxima que alcanza la pelota bien y en la pregunta se nos dice que cuál es la velocidad de la pelota cuando se encuentra a 9 metros de altura es decir como por aquí queremos saber cuál es la velocidad de la pelota entonces vamos a suponer que eso ocurre en el instante t igual a t mayúscula cuando t es igual a t mayúscula la posición y griega de la pelota es 9 metros entonces esta información vamos a reemplazarla en la ecuación número 1 entonces donde está y griega escribimos 9 y donde está el tiempo vamos a escribir t mayúscula nos queda entonces una ecuación cuadrática vamos a organizarla pasando estos términos para el lado izquierdo nos queda 5t cuadrado menos 18t más 9 y todo esto igual a 0 resolviendo esta ecuación cuadrática bien sea por factorización o por fórmula cuadrática tenemos los siguientes resultados t igual a 0.6 segundos y t igual a 3 segundos que quiere decir esto que hay un primer instante que es cuando seguramente va subiendo la pelota que es a los 0.6 segundos de haber sido lanzada y otro instante que es a los 3 segundos es decir cuando ya viene de regreso recordemos que el tiempo de subida era 1.8 segundos entonces 0.6 segundos cuando va subiendo y 3 segundos cuando ya viene cayendo para estos valores de tiempo vamos a encontrar su velocidad respectiva entonces comenzamos sustituyendo este valor de tiempo acá en la expresión 2 y vamos a llamar ese primer valor velocidad en y griega 1 que será igual a menos 10 por 0.6 más 18 resolviendo todo eso nos da 12 y escribimos las unidades correspondientes a la velocidad metros por segundo que quiere decir esto que aquí en ese instante cuando la pelota va subiendo tenemos esa velocidad y griega 1 que tiene un módulo una magnitud de 12 metros por segundo es positiva porque va en la etapa de subida y este es el instante 0.6 segundos ahora reemplazamos t igual a 3 segundos nuevamente en la expresión número 2 y vamos a obtener la velocidad y griega 2 que es igual a menos 10 por 3 más 18 resolviendo todo eso nos da menos 12 metros por segundo entonces es en este momento cuando la pelota ya viene cayendo que tenemos la velocidad y griega 2 que vale 12 metros por segundo su módulo pero su signo es negativo por lo que es un vector dirigido hacia abajo entonces como respuesta de la pregunta se decimos que el módulo de la velocidad de la pelota cuando se encuentra a 9 metros de altura es 12 metros por segundo que ocurre primero subiendo y luego bajando es 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