VALOR EXACTO DE Cos[arcSen(8/17)-arcCos(12/13)]
#julioprofe explica cómo determinar el valor exacto de la expresión trigonométrica Cos[arcSen(8/17)-arcCos(12/13)] sin usar calculadora.

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 Vamos a determinar el valor exacto de esta expresión sin utilizar la calculadora. Para comenzar, vamos a recordar que arco seno de una cantidad k, o sea, de un número real k, es lo mismo que tener seno a la menos 1 de dicha cantidad k. Se puede escribir de cualquiera de las dos formas lo que es la función inversa del seno. Y si esto equivale, por ejemplo, a w, quiere decir que seno de w es igual a k. Tenemos entonces que w es el ángulo, aquí lo podemos observar, y k es el número real que se obtiene al determinarle el seno de ese ángulo. Seno de w es igual a k. Entonces, esta expresión que tenemos aquí, arco seno, de un número real que es 817 aos, va a representar un ángulo. Lo vamos a llamar alfa. Y de manera similar sucede con arco coseno, por ejemplo, de una cantidad t, que sería también coseno a la menos 1 de t. Y supongamos que esto nos da z, entonces quiere decir que el coseno de z es igual a t. Entonces z es el ángulo y t es el número real que se obtiene cuando encontramos el coseno de dicho ángulo. Entonces, esto que tenemos aquí, arco coseno de 1213 aos, representa otro ángulo que lo vamos a llamar beta. Entonces, esta expresión nos va a quedar como coseno de alfa menos beta. Y esto es igual a coseno de alfa por coseno de beta, más seno de alfa por seno de beta. Esta es una identidad trigonométrica que se aplica para el coseno de la resta de dos ángulos. Nuestro problema es encontrar el valor de cada una de estas cuatro expresiones a partir de esta información que conocemos. Entonces, si sabemos que arco seno de 817 aos es alfa, o sea el ángulo alfa, esto quiere decir que el seno de alfa es igual a 817 aos. Y con esta información vamos a construir un triángulo rectángulo de modo que podamos localizar esta información en esa figura. Aquí observamos el triángulo rectángulo y vamos a llamar este ángulo agudo alfa. Y vamos a utilizar la definición de lo que es el seno. Seno de un ángulo es la relación que hay entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Entonces, 8 es el cateto opuesto al ángulo alfa, o sea, este que tenemos aquí. Escribimos el 8 y la hipotenusa del triángulo mide 17 unidades. Vamos a encontrar el cateto que nos hace falta. Vamos a llamarlo X y para eso vamos a utilizar el teorema de Pitágoras. Recordemos que X al cuadrado más 8 al cuadrado es igual a 17 al cuadrado, lo que nos dice el teorema de Pitágoras. La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Entonces, vemos X al cuadrado más 64 es igual a 17 al cuadrado que es 289. Despejamos X al cuadrado, nos queda 289 menos 64. X al cuadrado es igual a 225, efectuando esa resta. Aquí extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad para encontrar X. La raíz cuadrada de 225 es 15. Entonces, ya conocemos el valor de este cateto que sería 15. Entonces, ya conocemos el valor de seno de alfa. Aquí lo tenemos, 8 17 aos. Vamos a escribirlo por aquí, 8 17 aos. Y de este triángulo podemos encontrar el valor de coseno de alfa. Entonces, utilizamos la definición del coseno. Coseno de alfa es la relación que hay entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Entonces, será 15 17 aos. Lo vamos a escribir por aquí. Ahora, vamos a utilizar esta información. Si tenemos que arco coseno de 12 13 aos es igual a beta, el ángulo beta, entonces tenemos que el coseno de beta es igual a 12 13 aos. Entonces, vamos a dibujar un triángulo rectángulo para localizar esta información. Aquí lo podemos observar. Y vamos a llamar este ángulo agudo con la letra beta, la que tenemos por acá. Vamos entonces a utilizar la definición del coseno. Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa. Entonces, este es el cateto adyacente al ángulo beta que vale 12. Y la hipotenusa del triángulo tiene un valor de 13 unidades. Vamos a encontrar el cateto que nos hace falta. Vamos a llamarlo, por ejemplo, C. Y planteamos nuevamente el teorema de Pitágoras. Decimos C al cuadrado más 12 al cuadrado. O sea, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. Allí está planteado lo que nos dice el teorema de Pitágoras. Entonces, nos resolvemos C al cuadrado más 12 al cuadrado, que es 144. Es igual a 13 al cuadrado, que es 169. Despejamos C al cuadrado, pasamos este número a restar. Nos queda 169 menos 144. Realizamos esa resta. Eso nos da 25. Ahora extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Y tenemos que C es igual a 5. Entonces, hemos encontrado este cateto que nos faltaba. Su valor es 5. Conocemos entonces el valor de coseno de beta. Aquí lo tenemos. Es 12 treceavos. Y del triángulo que acabamos de resolver, encontramos el valor de seno de beta. Entonces, seno del ángulo beta es la relación que hay entre el cateto opuesto y la hipotenusa. O sea, 5 treceavos. Escribimos entonces aquí ese valor. Lo que hacemos ahora es resolver estas operaciones. Tenemos 15 diecisieteavos que multiplica con 12 treceavos. Y a eso le vamos a sumar 8 diecisieteavos que multiplica con 5 treceavos. Entonces vamos a resolver esas operaciones. En esta multiplicación de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Entonces aquí tendremos 15 por 12 que nos da 180. Y en el denominador tenemos 17 por 13 que nos da 221. Más pasamos a esta operación, hacemos exactamente lo mismo, multiplicación de numeradores, 8 por 5, 40. Y multiplicación de denominadores, 17 por 13 que nos da 221. Llegamos a una suma de fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador. Entonces conservamos el denominador y sumamos los numeradores. 180 más 40 nos da como resultado 220. Y este es el resultado de toda esa expresión. Entonces el valor exacto es 220 sobre 221. El valor exacto, como decíamos, de esa expresión sin utilizar la calculadora.
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localizar esta informaci\u00f3n."}, {"start": 362.6, "end": 365.6, "text": " Aqu\u00ed lo podemos observar."}, {"start": 365.6, "end": 371.6, "text": " Y vamos a llamar este \u00e1ngulo agudo con la letra beta, la que tenemos por ac\u00e1."}, {"start": 371.6, "end": 374.6, "text": " Vamos entonces a utilizar la definici\u00f3n del coseno."}, {"start": 374.6, "end": 378.6, "text": " Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 378.6, "end": 383.6, "text": " Entonces, este es el cateto adyacente al \u00e1ngulo beta que vale 12."}, {"start": 383.6, "end": 388.6, "text": " Y la hipotenusa del tri\u00e1ngulo tiene un valor de 13 unidades."}, {"start": 388.6, "end": 392.6, "text": " Vamos a encontrar el cateto que nos hace falta."}, {"start": 392.6, "end": 394.6, "text": " Vamos a llamarlo, por ejemplo, C."}, {"start": 394.6, "end": 398.6, "text": " Y planteamos nuevamente el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 398.6, "end": 403.6, "text": " Decimos C al cuadrado m\u00e1s 12 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denominador y sumamos los numeradores. 180 m\u00e1s 40 nos da como resultado 220."}, {"start": 573.6, "end": 578.6, "text": " Y este es el resultado de toda esa expresi\u00f3n."}, {"start": 578.6, "end": 586.6, "text": " Entonces el valor exacto es 220 sobre 221."}, {"start": 586.6, "end": 594.6, "text": " El valor exacto, como dec\u00edamos, de esa expresi\u00f3n sin utilizar la calculadora."}]