Ejercicio 3 de CIRCUNFERENCIA
#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,3) y B(4,6) y cuyo centro está sobre el Eje X.

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 Allá es la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A de coordenadas 1,3 y B de coordenadas 4,6 y cuyo centro está sobre el eje X. Bien, comenzamos anotando los puntos A y B cuyas coordenadas nos dan y vamos a llamar el centro de la circunferencia la pareja H,K. Usualmente se utilizan estas dos letras para denotar el centro de una circunferencia, pero en esta ocasión nos dicen que el centro está localizado sobre el eje X. Por lo tanto el valor de K será igual a cero. Si recordemos que cualquier punto que se localice sobre el eje X tendrá como coordenada cero. Entonces a continuación vamos a realizar el siguiente planteamiento. La distancia del centro a cualquiera de esos dos puntos será el radio de la circunferencia. Por lo tanto la distancia desde el punto C hasta el punto A, es decir, uno de los radios será igual a la distancia desde C hasta B. Este será el punto de partida para comenzar a dar solución a este ejercicio. Para determinar estas distancias vamos a utilizar una fórmula que nos permite encontrar la longitud del segmento comprendido entre dos puntos del plano cartesiano. La distancia entre un punto P1 y P2 del plano cartesiano, cuyas coordenadas son estas, viene dada por la siguiente expresión. Será la raíz cuadrada de X2 menos X1 al cuadrado más Y2 menos Y1 al cuadrado. Entonces vamos a utilizar esta fórmula para plantear las expresiones para estas dos longitudes de los segmentos. Entonces vamos a comenzar con CA. Podemos llamar, por ejemplo, a estos dos puntos las coordenadas X2, Y2 y X1, Y1, para hacer el planteamiento de CA. Entonces, usando esta fórmula nos queda de la siguiente manera. Será la raíz cuadrada de X2 menos X1, es decir, H menos uno al cuadrado más Y2 menos Y1, es decir, cero menos tres al cuadrado. Allí tenemos entonces la expresión para CA. Y ahora vamos a hacer lo mismo para CB. En este caso consideramos ahora estos dos puntos, este lo podemos dejar nombrado como X2, Y2 y ahora nombramos el punto B como X1, Y1. Entonces vamos a utilizar nuevamente esta fórmula. Veamos, X2 menos X1 sería H menos cuatro al cuadrado más Y2 menos Y1, es decir, cero menos seis al cuadrado. Y aquí cerramos la raíz. Los concentramos ahora en darle solución a esta ecuación. Para iniciar podríamos pensar en elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado. Con eso logramos suprimir las raíces cuadradas. Entonces nos quedaría simplemente lo que está dentro de ellas. H menos uno al cuadrado más aquí cero menos tres da menos tres al cuadrado, es nueve, igual a lo que tenemos dentro de la otra raíz. Es H menos cuatro al cuadrado más cero menos seis da menos seis al cuadrado, es treinta y seis. Continuamos ahora desarrollando estos binomios al cuadrado. Vamos a recordar la fórmula para resolver un binomio al cuadrado. Si tenemos A menos B al cuadrado es igual a A al cuadrado menos dos AB más B al cuadrado. Entonces con base en esto vamos a desarrollar estos dos binomios al cuadrado. Por aquí tenemos entonces H al cuadrado, es decir el primero al cuadrado, menos dos veces el primero por el segundo, es decir dos por H por uno, que nos da dos H. Más el segundo término al cuadrado, uno al cuadrado nos da uno y esto más nueve. Igual a que hacemos lo mismo, el primer término al cuadrado es H al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo nos da ocho H, más el segundo al cuadrado sería dieciséis y esto más treinta y seis. En esta igualdad podemos suprimir H al cuadrado porque es un término que se encuentra a ambos lados de la igualdad con el mismo signo, entonces podemos eliminar H al cuadrado. Por acá nos queda entonces menos dos H más diez y por acá nos queda menos ocho H más cincuenta y dos. Entonces vemos esa ecuación pasando al lado izquierdo los términos que tienen la letra H, o sea la incógnita y en el lado derecho los números, entonces nos queda menos dos H más ocho H igual a cincuenta y dos menos diez. Entonces vemos que esto nos da seis H y por acá nos da cuarenta y dos y a continuación vamos a despejar H. Para ello el seis que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda cuarenta y dos dividido entre seis y obtenemos que el valor de H es siete. De esta manera ya podemos afirmar que el centro de la circunferencia tiene como coordenadas siete coma cero. Tenemos entonces que la circunferencia pasa por los puntos A y B que nos dan y tiene centro en siete coma cero. A continuación vamos a determinar entonces el valor del radio que sería R. R podemos encontrarlo como la distancia del centro al punto A o del centro al punto B. Escogemos cualquiera de las dos posibilidades. Vamos a hacerlo con la distancia de C al punto A. Entonces aplicamos la fórmula de distancia entre los puntos, la que veíamos al comienzo. Entonces tenemos siete menos uno al cuadrado más cero menos tres al cuadrado y resolvemos esas operaciones. Tenemos siete menos uno es seis, seis al cuadrado es treinta y seis, cero menos tres da menos tres y menos tres al cuadrado nos da nueve. Y todo eso nos da un radio igual a la raíz cuadrada de cuarenta y cinco. Aunque esta raíz cuadrada de cuarenta y cinco puede simplificarse, vamos a dejarla así expresada. Conociendo entonces el centro de la circunferencia y el valor de su radio podemos utilizar el modelo que dice X menos H al cuadrado más Y menos K al cuadrado igual a R al cuadrado para encontrar la ecuación de la circunferencia. El centro es la pareja HK. Entonces vamos a sustituir en el modelo los datos que tenemos. Veamos, X menos H que vale siete al cuadrado más Y menos K, K vale cero al cuadrado igual al radio que es raíz de cuarenta y cinco al cuadrado. Esto nos queda X menos siete al cuadrado más Y menos cero nos queda simplemente Y al cuadrado y por acá nos queda cuarenta y cinco. El cuadrado destruye la raíz cuadrada. Y de esta manera tenemos la ecuación de la circunferencia expresada en la forma estándar. Esta sería entonces una forma de presentar la respuesta a este ejercicio. También podemos llevar la ecuación a la forma general. Para ello tenemos que desarrollar este binomio al cuadrado. Entonces veamos, sería X al cuadrado menos dos por X por siete que nos da catorce X más siete al cuadrado que es cuarenta y nueve. Esto más Y al cuadrado igual a cuarenta y cinco. Pero podemos pasar cuarenta y cinco al lado izquierdo a restar para que nos quede igual a cero. Y finalmente organizamos la expresión. Hacemos X al cuadrado más Y al cuadrado, luego el término que lleva la X es decir menos catorce X, luego iría el término que contiene la Y pero en este caso no tenemos. Si no hay término con la Y elevada al exponente uno y finalmente nos quedan los términos independientes cuya operación nos da más cuatro. Y todo esto quedaría igual a cero. Esta sería entonces la otra forma de presentar la ecuación de la circunferencia. Aquí se encuentra en lo que se llama la forma general. De esta manera terminamos el ejercicio.
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