SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Problema 2
#julioprofe explica cómo resolver un problema de aplicación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3×3:

La suma de las tres cifras de un número es 15. Si el número se divide por la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades, el cociente es 71 y el residuo es 5, y si al número se le resta 198, las cifras se invierten. Hallar el número.

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 La suma de las tres cifras de un número es 15. Si el número se divide por la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades, el cociente es 71 y el residuo es 5. Y si al número se le resta 198, las cifras se invierten. ¡Allar el número! Bien, tenemos en esta ocasión un problema donde tenemos que encontrar un número de tres cifras. Entonces podemos llamar X lo que es la cifra o el dígito de las centenas, Y la cifra o dígito de las decenas, y Z lo que es la cifra o dígito que corresponde a las unidades. Cuando en el problema nos hablan del número original, o sea el número que buscamos, entonces debemos expresarlo así. 100X más 10Y más Z. X va multiplicado por 100 porque como vemos X corresponde al dígito de las centenas. Y va acompañado del número 10 porque está en la casilla de las decenas y Z tiene coeficiente 1 invisible por corresponder a lo que es la casilla de las unidades. Por allí en el enunciado del problema se habla de que las cifras se invierten, o sea que nos quedarían como ZYX. Eso es lo que corresponde al número invertido. Y se expresa como 100Z porque ahora Z corresponde a las centenas más 10Y, como vemos Y sigue estando en las decenas y esto más X porque ahora X ocupa el lugar de las unidades. Ahora lo que tenemos que hacer es construir tres ecuaciones. Vamos a numerarlas de una vez. Las tres ecuaciones que deben tener estas tres incógnitas para conformar lo que se llama un sistema de 3 por 3. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Esto lo conseguimos traduciendo al lenguaje matemático, o sea al lenguaje simbólico, todas las informaciones que nos da el enunciado del problema. Vamos con la primera donde nos dice que la suma de las tres cifras del número es 15. Como se refiere a las cifras entonces decimos X más Y más Z igual a 15. Y de esta manera hemos conformado la primera ecuación. Luego el problema nos dice que si el número, o sea el original que es 100X más 10Y más Z se divide entre la suma de la cifra de las centenas que es X con la cifra de las unidades que es Z. Entonces tenemos cociente 71 y residuo 5. Allí tenemos los cuatro componentes de una división que son dividendo, divisor, cociente y residuo. Para poder llevar toda esta información a una ecuación que será la segunda debemos aplicar lo que se llama la prueba de la división. Que nos dice lo siguiente, el dividendo tiene que ser igual al cociente multiplicado por el divisor y a todo eso le sumamos el residuo. Entonces vamos a reemplazar cada uno de los cuatro componentes. Tenemos que el dividendo es 100X más 10Y más Z. Esto igual al cociente que es 71 multiplicado por el divisor que es X más Z. Protegemos esa expresión con paréntesis por tratarse de un binomio y a esto le sumamos el residuo que es 5. Ya tenemos entonces una igualdad que debemos acomodar para obtener la segunda ecuación. Debemos procurar que nos quede en este mismo orden un término con X, otro término con Y, el otro con Z y al otro lado del signo igual lo que se llama el término independiente. Entonces al lado izquierdo tenemos la misma expresión 100X más 10Y más Z. Y en el lado derecho vamos a romper el paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Tenemos 71 por X que es 71X, 71 por más Z que será más 71Z y todo eso más 5. Ahora vamos a dejar los términos que contienen las letras en el lado izquierdo. Se queda entonces 100X más 10Y más Z. Estos términos son los que permanecen en su territorio y no presentan modificación y vamos a pasar estos dos. Como acá están positivos entonces llegan al lado izquierdo con signo negativo. Menos 71X menos 71Z y todo esto igual a 5. Ahora vamos a reducir términos semejantes en el lado izquierdo de la igualdad. Tenemos por ejemplo estos dos términos que contienen la X y la operación entre ellos nos da 29X. Terminos que tienen la Y solamente 1 que es más 10Y y términos que contienen la letra Z son estos dos. Entonces al operarlos tenemos como resultado menos 70Z y todo esto igual a 5. De esta manera tenemos lo que es la segunda ecuación y entonces la escribimos en este lugar. Vamos ahora con la tercera información. Nos dice que si al número original que es 100X más 10Y más Z le restamos 198 entonces las cifras del número se invierten. O sea que se obtiene lo que es el número invertido que es 100Z más 10Y más X. De nuevo vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen las letras y vamos a pasar ese término independiente para el lado derecho. Nos queda entonces 100X más 10Y más Z pasamos este término menos 100Z este también llega negativo como menos 10Y este también llega como menos X. Y en el lado derecho pasamos este número como acá está negativo entonces pasa positivo llega como 198. A continuación vamos a reducir términos semejantes acá en el lado izquierdo de la igualdad. Tenemos por ejemplo este término que contiene X y este también. Entonces 100X menos X nos da como resultado 99X. Vamos ahora con los que tienen la letra Y se trata de este término y este pero observamos que son opuestos. Este tiene coeficiente más 10 y este tiene coeficiente menos 10 por lo tanto son términos que podemos eliminar. Recordemos que la suma de ellos nos da 0 y finalmente tenemos estos dos términos que contienen la letra Z. La operación entre ellos nos da menos 99Z y todo esto queda igualado a 198. Aquí podemos dividir toda esta igualdad a ambos lados por 99 para simplificar los términos. Entonces tenemos lo siguiente 99X dividido entre 99 nos queda X menos 99Z dividido entre 99 nos queda menos Z. Y esto igual a 198 que al dividirse entre 99 nos da 2. Y como se observa tenemos una expresión mucho más sencilla. De esta manera tenemos la tercera ecuación para conformar así el sistema de ecuaciones de 3 por 3. Ahora tenemos que elegir un método de solución. Uno que se recomienda bastante es el método de eliminación también conocido como reducción. Entonces elegimos una letra para eliminar. Por ejemplo podríamos pensar en deshacernos de la letra Z para obtener así un sistema de ecuaciones de 2 por 2 que tenga únicamente las letras X y Y. Como se observa en la ecuación 1 y en la ecuación 3 está sencillo eliminar Z porque aquí las tenemos con signos contrarios. Entonces como decíamos vamos a eliminar la variable o la letra Z. Comenzamos entonces con las ecuaciones 1 y 3. Vamos a escribirlas. Entonces tenemos la ecuación 1. X más Y más Z igual a 15. Y debajo de ella escribimos la ecuación 3. Tenemos X menos Z igual a 2. Como esta ecuación no contiene la letra Y entonces este lugar se deja vacío. En seguida vamos a sumar estas dos igualdades en forma vertical. Tenemos X más X, 2X. Tenemos más Y. Es como si aquí tuviéramos 0. Y las dos letras Z se eliminan entre sí. Allí es donde ocurre la eliminación de esa variable. Y al otro lado sumamos 15 más 2 que nos da 17. Esta nueva ecuación la vamos a llamar o etiquetar con el número 4. Entonces dice 2X más Y igual a 17. Como vemos es una ecuación que tiene únicamente las letras X y Y. Ahora debemos escoger otra pareja de ecuaciones para eliminar Z. Ya trabajamos con la pareja 1,3. Ahora escogemos bien sea la pareja 1,2 o la pareja 2,3. Vamos a elegir la pareja 2,3. Entonces escribimos la ecuación 2 que dice 29X más 10Y menos 70Z igual a 5. Y en la ecuación 3 tenemos la letra Z con coeficiente menos 1. Necesitamos que tenga coeficiente más 70 para poder que se elimine con este término. Y eso lo conseguimos multiplicando la ecuación 3 por menos 70. Entonces vamos a multiplicar ambos lados de esta igualdad por este número. Tenemos X por menos 70 es menos 70X. Menos Z por menos 70 nos da más 70Z. Y tenemos 2 por menos 70 que nos da como resultado menos 140. Ahora hacemos la suma de estas dos igualdades en forma vertical. Tenemos 29X sumado con menos 70X. Eso nos da menos 41X. Acá tenemos 10Y sumado con 0 que es más 10Y. Y la suma de estos dos términos nos da 0. Son términos opuestos que se eliminan. Allí conseguimos otra vez el objetivo de eliminar Z. Y por acá hacemos la suma de estos números que nos da como resultado menos 135. Esta es la ecuación que vamos a etiquetar con el número 5. Es decir, menos 41X más 10Y y esto igual a menos 135. De esta manera tenemos lo que se llama un sistema de 2 por 2. Dos ecuaciones lineales con dos sincógnitas. Únicamente X y Y, o sea que hemos logrado eliminar Z. Ahora debemos elegir un método para solucionar este sistema de 2 por 2. Podríamos escoger de nuevo el método de eliminación. Pero vamos a cambiar. Vamos a escoger el método de sustitución. O sea que tenemos que despejar una letra de una de las ecuaciones. Y lo que nos dé lo vamos a sustituir o a reemplazar en la otra ecuación. Por ejemplo, de la ecuación 4 está fácil despejar la letra Y. Entonces eso nos va a permitir encontrar una nueva ecuación que vamos a etiquetar con el número 6. Sería Y igual a 17 menos 2X. Es el despeje de la letra Y de la ecuación número 4. Entonces se obtiene una nueva ecuación que llamamos la número 6. Ahora sustituimos 6 en 5, es decir, Y que equivale a esta expresión. Vamos a reemplazarla aquí. Nos queda entonces, menos 41X más 10 que multiplica a Y, o sea esta expresión. Abrimos un paréntesis y escribimos 17 menos 2X. Y todo esto igual a menos 135. Tenemos así una ecuación de primer grado o ecuación lineal con una incógnita. Observamos solamente la letra X. Entonces vamos a realizar poco a poco el proceso para despejar esa variable. Nos queda entonces, menos 41X. Y aquí vamos a destruir el paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Tenemos 10 por 17 que es más 170. 10 por menos 2X que es menos 20X. Y todo esto igual a menos 135. En el lado izquierdo de la igualdad operamos estos dos términos semejantes. Tenemos que menos 41X y menos 20X nos da menos 61X. Esto más 170 igual a menos 135. Ahora vamos a pasar este número al lado derecho. Nos queda menos 61X igual a menos 135 menos 170. Como está positivo acá, entonces llega negativo al otro lado. Enseguida hacemos esta operación. Tenemos menos 61X igual a menos 305. Y de allí vamos a despejar X. Para ello pasamos este número que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda entonces X igual a menos 305 sobre o dividido entre menos 61. Recordemos que cuando el número pasa a dividir conserva su mismo signo. Y haciendo esta división nos da como resultado 5 positivo. Recordemos que en la división se aplica la ley de los signos. Menos con menos nos da más. De esta manera encontramos el valor de la primera incógnita. O sea X. Vamos a escribir ese resultado por acá. Se trata de la cifra de las centenas del número que buscamos. Ahora vamos al sistema de 2x2 para encontrar el valor de la letra Y. Miramos entonces en cuál de las expresiones resulta más sencillo. Como se observa en la número 6 tenemos despejada la letra Y. Entonces es más conveniente utilizar esa. Y es igual a 17 menos 2 por el valor de X que es 5. Y vamos a resolver estas operaciones. Recordemos que entre resta y multiplicación primero se efectúa la multiplicación. Tenemos 17 menos 2 por 5 que es 10. Y ahora sí realizamos esa resta. 17 menos 10 nos da como resultado 7. Y de esta manera encontramos el valor de la segunda incógnita que es Y. Y vale 7 y es la cifra de las decenas. Ahora vamos al sistema original al de 3x3 para encontrar el valor de Z. Que es la letra que nos falta. Buscamos entonces la ecuación más sencilla. Como se observa la primera resulta ser la más conveniente. Entonces tenemos que X vale 5 más Y que vale 7. Esto más Z que es la letra que buscamos y todo esto igual a 15. Entonces vamos a despejar de allí la variable Z. Hacemos esta suma 5 más 7 nos da 12. Nos queda 12 más Z igual a 15. Y de allí despejamos Z. Entonces 12 lo pasamos al otro lado a restar. Nos queda 15 menos 12 de donde Z vale 3. Y encontramos así el valor de la tercera incógnita. Z es igual a 3 y constituye la cifra de las unidades. Si cambiamos las letras X, Y y Z por los números encontrados. Entonces obtenemos el número que buscamos. X nos dio 5, Y nos dio 7 y Z nos dio 3. Entonces damos la respuesta a este problema de aplicación de los sistemas lineales de 3x3. Entonces el número que buscamos es 573.
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nos quede en este mismo orden un t\u00e9rmino con X, otro t\u00e9rmino con Y, el otro con Z y al otro lado del signo igual lo que se llama el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 309.0, "end": 319.0, "text": " Entonces al lado izquierdo tenemos la misma expresi\u00f3n 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z."}, {"start": 319.0, "end": 327.0, "text": " Y en el lado derecho vamos a romper el par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 327.0, "end": 339.0, "text": " Tenemos 71 por X que es 71X, 71 por m\u00e1s Z que ser\u00e1 m\u00e1s 71Z y todo eso m\u00e1s 5."}, {"start": 339.0, "end": 345.0, "text": " Ahora vamos a dejar los t\u00e9rminos que contienen las letras en el lado izquierdo."}, {"start": 345.0, "end": 353.0, "text": " Se queda entonces 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z."}, {"start": 353.0, "end": 360.0, "text": " Estos t\u00e9rminos son los que permanecen en su territorio y no presentan modificaci\u00f3n y vamos a pasar estos dos."}, {"start": 360.0, "end": 367.0, "text": " Como ac\u00e1 est\u00e1n positivos entonces llegan al lado izquierdo con signo negativo."}, {"start": 367.0, "end": 375.0, "text": " Menos 71X menos 71Z y todo esto igual a 5."}, {"start": 375.0, "end": 380.0, "text": " Ahora vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 380.0, "end": 390.0, "text": " Tenemos por ejemplo estos dos t\u00e9rminos que contienen la X y la operaci\u00f3n entre ellos nos da 29X."}, {"start": 390.0, "end": 401.0, "text": " Terminos que tienen la Y solamente 1 que es m\u00e1s 10Y y t\u00e9rminos que contienen la letra Z son estos dos."}, {"start": 401.0, "end": 411.0, "text": " Entonces al operarlos tenemos como resultado menos 70Z y todo esto igual a 5."}, {"start": 411.0, "end": 420.0, "text": " De esta manera tenemos lo que es la segunda ecuaci\u00f3n y entonces la escribimos en este lugar."}, {"start": 420.0, "end": 423.0, "text": " Vamos ahora con la tercera informaci\u00f3n."}, {"start": 423.0, 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t\u00e9rminos."}, {"start": 564.0, "end": 577.0, "text": " Entonces tenemos lo siguiente 99X dividido entre 99 nos queda X menos 99Z dividido entre 99 nos queda menos Z."}, {"start": 577.0, "end": 585.0, "text": " Y esto igual a 198 que al dividirse entre 99 nos da 2."}, {"start": 585.0, "end": 591.0, "text": " Y como se observa tenemos una expresi\u00f3n mucho m\u00e1s sencilla."}, {"start": 591.0, "end": 601.0, "text": " De esta manera tenemos la tercera ecuaci\u00f3n para conformar as\u00ed el sistema de ecuaciones de 3 por 3."}, {"start": 601.0, "end": 605.0, "text": " Ahora tenemos que elegir un m\u00e9todo de soluci\u00f3n."}, {"start": 605.0, "end": 612.0, "text": " Uno que se recomienda bastante es el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n tambi\u00e9n conocido como reducci\u00f3n."}, {"start": 612.0, "end": 616.0, "text": " Entonces elegimos una letra para eliminar."}, {"start": 616.0, "end": 629.0, "text": " Por ejemplo podr\u00edamos pensar en deshacernos de la letra Z para obtener as\u00ed un sistema de ecuaciones de 2 por 2 que tenga \u00fanicamente las letras X y Y."}, {"start": 629.0, "end": 639.0, "text": " Como se observa en la ecuaci\u00f3n 1 y en la ecuaci\u00f3n 3 est\u00e1 sencillo eliminar Z porque aqu\u00ed las tenemos con signos contrarios."}, {"start": 639.0, "end": 649.0, "text": " Entonces como dec\u00edamos vamos a eliminar la variable o la letra Z."}, {"start": 649.0, "end": 654.0, "text": " Comenzamos entonces con las ecuaciones 1 y 3."}, {"start": 654.0, "end": 657.0, "text": " Vamos a escribirlas."}, {"start": 657.0, "end": 660.0, "text": " Entonces tenemos la ecuaci\u00f3n 1."}, {"start": 660.0, "end": 666.0, "text": " X m\u00e1s Y m\u00e1s Z igual a 15."}, {"start": 666.0, "end": 670.0, "text": " Y debajo de ella escribimos la ecuaci\u00f3n 3."}, {"start": 670.0, "end": 675.0, "text": " Tenemos X menos Z igual a 2."}, {"start": 675.0, "end": 682.0, "text": " Como esta ecuaci\u00f3n no contiene la letra Y entonces este lugar se deja vac\u00edo."}, {"start": 682.0, "end": 687.0, "text": " En seguida vamos a sumar estas dos igualdades en forma vertical."}, {"start": 687.0, "end": 691.0, "text": " Tenemos X m\u00e1s X, 2X."}, {"start": 691.0, "end": 693.0, "text": " Tenemos m\u00e1s Y."}, {"start": 693.0, "end": 695.0, "text": " Es como si aqu\u00ed tuvi\u00e9ramos 0."}, {"start": 695.0, "end": 699.0, "text": " Y las dos letras Z se eliminan entre s\u00ed."}, {"start": 699.0, "end": 704.0, "text": " All\u00ed es donde ocurre la eliminaci\u00f3n de esa variable."}, {"start": 704.0, "end": 709.0, "text": " Y al otro lado sumamos 15 m\u00e1s 2 que nos da 17."}, {"start": 709.0, "end": 716.0, "text": " Esta nueva ecuaci\u00f3n la vamos a llamar o etiquetar con el n\u00famero 4."}, {"start": 716.0, "end": 723.0, "text": " Entonces dice 2X m\u00e1s Y igual a 17."}, {"start": 723.0, "end": 730.0, "text": " Como vemos es una ecuaci\u00f3n que tiene \u00fanicamente las letras X y Y."}, {"start": 730.0, "end": 736.0, "text": " Ahora debemos escoger otra pareja de ecuaciones para eliminar Z."}, {"start": 736.0, "end": 739.0, "text": " Ya trabajamos con la pareja 1,3."}, {"start": 739.0, "end": 744.0, "text": " Ahora escogemos bien sea la pareja 1,2 o la pareja 2,3."}, {"start": 744.0, "end": 748.0, "text": " Vamos a elegir la pareja 2,3."}, {"start": 748.0, "end": 762.0, "text": " Entonces escribimos la ecuaci\u00f3n 2 que dice 29X m\u00e1s 10Y menos 70Z igual a 5."}, {"start": 762.0, "end": 767.0, "text": " Y en la ecuaci\u00f3n 3 tenemos la letra Z con coeficiente menos 1."}, {"start": 767.0, "end": 774.0, "text": " Necesitamos que tenga coeficiente m\u00e1s 70 para poder que se elimine con este t\u00e9rmino."}, {"start": 774.0, "end": 780.0, "text": " Y eso lo conseguimos multiplicando la ecuaci\u00f3n 3 por menos 70."}, {"start": 780.0, "end": 786.0, "text": " Entonces vamos a multiplicar ambos lados de esta igualdad por este n\u00famero."}, {"start": 786.0, "end": 792.0, "text": " Tenemos X por menos 70 es menos 70X."}, {"start": 792.0, "end": 798.0, "text": " Menos Z por menos 70 nos da m\u00e1s 70Z."}, {"start": 798.0, "end": 806.0, "text": " Y tenemos 2 por menos 70 que nos da como resultado menos 140."}, {"start": 806.0, "end": 811.0, "text": " Ahora hacemos la suma de estas dos igualdades en forma vertical."}, {"start": 811.0, "end": 815.0, "text": " Tenemos 29X sumado con menos 70X."}, {"start": 815.0, "end": 818.0, "text": " Eso nos da menos 41X."}, {"start": 818.0, "end": 823.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos 10Y sumado con 0 que es m\u00e1s 10Y."}, {"start": 823.0, "end": 826.0, "text": " Y la suma de estos dos t\u00e9rminos nos da 0."}, {"start": 826.0, "end": 829.0, "text": " Son t\u00e9rminos opuestos que se eliminan."}, {"start": 829.0, "end": 833.0, "text": " All\u00ed conseguimos otra vez el objetivo de eliminar Z."}, {"start": 833.0, "end": 841.0, "text": " Y por ac\u00e1 hacemos la suma de estos n\u00fameros que nos da como resultado menos 135."}, {"start": 841.0, "end": 848.0, "text": " Esta es la ecuaci\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 5."}, {"start": 848.0, "end": 862.0, "text": " Es decir, menos 41X m\u00e1s 10Y y esto igual a menos 135."}, {"start": 862.0, "end": 868.0, "text": " De esta manera tenemos lo que se llama un sistema de 2 por 2."}, {"start": 868.0, "end": 871.0, "text": " Dos ecuaciones lineales con dos sinc\u00f3gnitas."}, {"start": 871.0, "end": 877.0, "text": " \u00danicamente X y Y, o sea que hemos logrado eliminar Z."}, {"start": 877.0, "end": 883.0, "text": " Ahora debemos elegir un m\u00e9todo para solucionar este sistema de 2 por 2."}, {"start": 883.0, "end": 887.0, "text": " Podr\u00edamos escoger de nuevo el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n."}, {"start": 887.0, "end": 891.0, "text": " Pero vamos a cambiar. Vamos a escoger el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 891.0, "end": 895.0, "text": " O sea que tenemos que despejar una letra de una de las ecuaciones."}, {"start": 895.0, "end": 900.0, "text": " Y lo que nos d\u00e9 lo vamos a sustituir o a reemplazar en la otra ecuaci\u00f3n."}, {"start": 900.0, "end": 904.0, "text": " Por ejemplo, de la ecuaci\u00f3n 4 est\u00e1 f\u00e1cil despejar la letra Y."}, {"start": 904.0, "end": 911.0, "text": " Entonces eso nos va a permitir encontrar una nueva ecuaci\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 6."}, {"start": 911.0, "end": 917.0, "text": " Ser\u00eda Y igual a 17 menos 2X."}, {"start": 917.0, "end": 922.0, "text": " Es el despeje de la letra Y de la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4."}, {"start": 922.0, "end": 929.0, "text": " Entonces se obtiene una nueva ecuaci\u00f3n que llamamos la n\u00famero 6."}, {"start": 929.0, "end": 935.0, "text": " Ahora sustituimos 6 en 5, es decir, Y que equivale a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 935.0, "end": 938.0, "text": " Vamos a reemplazarla aqu\u00ed. Nos queda entonces,"}, {"start": 938.0, "end": 946.0, "text": " menos 41X m\u00e1s 10 que multiplica a Y, o sea esta expresi\u00f3n."}, {"start": 946.0, "end": 952.0, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis y escribimos 17 menos 2X."}, {"start": 952.0, "end": 957.0, "text": " Y todo esto igual a menos 135."}, {"start": 957.0, "end": 964.0, "text": " Tenemos as\u00ed una ecuaci\u00f3n de primer grado o ecuaci\u00f3n lineal con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 964.0, "end": 967.0, "text": " Observamos solamente la letra X."}, {"start": 967.0, "end": 974.0, "text": " Entonces vamos a realizar poco a poco el proceso para despejar esa variable."}, {"start": 974.0, "end": 978.0, "text": " Nos queda entonces, menos 41X."}, {"start": 978.0, "end": 985.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a destruir el par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 985.0, "end": 991.0, "text": " Tenemos 10 por 17 que es m\u00e1s 170."}, {"start": 991.0, "end": 995.0, "text": " 10 por menos 2X que es menos 20X."}, {"start": 995.0, "end": 1000.0, "text": " Y todo esto igual a menos 135."}, {"start": 1000.0, "end": 1006.0, "text": " En el lado izquierdo de la igualdad operamos estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 1006.0, "end": 1013.0, "text": " Tenemos que menos 41X y menos 20X nos da menos 61X."}, {"start": 1013.0, "end": 1020.0, "text": " Esto m\u00e1s 170 igual a menos 135."}, {"start": 1020.0, "end": 1023.0, "text": " Ahora vamos a pasar este n\u00famero al lado derecho."}, {"start": 1023.0, "end": 1033.0, "text": " Nos queda menos 61X igual a menos 135 menos 170."}, {"start": 1033.0, "end": 1039.0, "text": " Como est\u00e1 positivo ac\u00e1, entonces llega negativo al otro lado."}, {"start": 1039.0, "end": 1042.0, "text": " Enseguida hacemos esta operaci\u00f3n."}, {"start": 1042.0, "end": 1050.0, "text": " Tenemos menos 61X igual a menos 305."}, {"start": 1050.0, "end": 1053.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar X."}, {"start": 1053.0, "end": 1058.0, "text": " Para ello pasamos este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 1058.0, "end": 1066.0, "text": " Nos queda entonces X igual a menos 305 sobre o dividido entre menos 61."}, {"start": 1066.0, "end": 1070.0, "text": " Recordemos que cuando el n\u00famero pasa a dividir conserva su mismo signo."}, {"start": 1070.0, "end": 1075.0, "text": " Y haciendo esta divisi\u00f3n nos da como resultado 5 positivo."}, {"start": 1075.0, "end": 1079.0, "text": " Recordemos que en la divisi\u00f3n se aplica la ley de los signos."}, {"start": 1079.0, "end": 1081.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 1081.0, "end": 1085.0, "text": " De esta manera encontramos el valor de la primera inc\u00f3gnita."}, {"start": 1085.0, "end": 1090.0, "text": " O sea X. Vamos a escribir ese resultado por ac\u00e1."}, {"start": 1090.0, "end": 1096.0, "text": " Se trata de la cifra de las centenas del n\u00famero que buscamos."}, {"start": 1096.0, "end": 1101.0, "text": " Ahora vamos al sistema de 2x2 para encontrar el valor de la letra Y."}, {"start": 1101.0, "end": 1105.0, "text": " Miramos entonces en cu\u00e1l de las expresiones resulta m\u00e1s sencillo."}, {"start": 1105.0, "end": 1111.0, "text": " Como se observa en la n\u00famero 6 tenemos despejada la letra Y."}, {"start": 1111.0, "end": 1114.0, "text": " Entonces es m\u00e1s conveniente utilizar esa."}, {"start": 1114.0, "end": 1122.0, "text": " Y es igual a 17 menos 2 por el valor de X que es 5."}, {"start": 1122.0, "end": 1125.0, "text": " Y vamos a resolver estas operaciones."}, {"start": 1125.0, "end": 1131.0, "text": " Recordemos que entre resta y multiplicaci\u00f3n primero se efect\u00faa la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 1131.0, "end": 1135.0, "text": " Tenemos 17 menos 2 por 5 que es 10."}, {"start": 1135.0, "end": 1138.0, "text": " Y ahora s\u00ed realizamos esa resta."}, {"start": 1138.0, "end": 1142.0, "text": " 17 menos 10 nos da como resultado 7."}, {"start": 1142.0, "end": 1148.0, "text": " Y de esta manera encontramos el valor de la segunda inc\u00f3gnita que es Y."}, {"start": 1148.0, "end": 1154.0, "text": " Y vale 7 y es la cifra de las decenas."}, {"start": 1154.0, "end": 1160.0, "text": " Ahora vamos al sistema original al de 3x3 para encontrar el valor de Z."}, {"start": 1160.0, "end": 1163.0, "text": " Que es la letra que nos falta."}, {"start": 1163.0, "end": 1166.0, "text": " Buscamos entonces la ecuaci\u00f3n m\u00e1s sencilla."}, {"start": 1166.0, "end": 1171.0, "text": " Como se observa la primera resulta ser la m\u00e1s conveniente."}, {"start": 1171.0, "end": 1178.0, "text": " Entonces tenemos que X vale 5 m\u00e1s Y que vale 7."}, {"start": 1178.0, "end": 1185.0, "text": " Esto m\u00e1s Z que es la letra que buscamos y todo esto igual a 15."}, {"start": 1185.0, "end": 1189.0, "text": " Entonces vamos a despejar de all\u00ed la variable Z."}, {"start": 1189.0, "end": 1192.0, "text": " Hacemos esta suma 5 m\u00e1s 7 nos da 12."}, {"start": 1192.0, "end": 1196.0, "text": " Nos queda 12 m\u00e1s Z igual a 15."}, {"start": 1196.0, "end": 1199.0, "text": " Y de all\u00ed despejamos Z."}, {"start": 1199.0, "end": 1203.0, "text": " Entonces 12 lo pasamos al otro lado a restar."}, {"start": 1203.0, "end": 1209.0, "text": " Nos queda 15 menos 12 de donde Z vale 3."}, {"start": 1209.0, "end": 1215.0, "text": " Y encontramos as\u00ed el valor de la tercera inc\u00f3gnita."}, {"start": 1215.0, "end": 1221.0, "text": " Z es igual a 3 y constituye la cifra de las unidades."}, {"start": 1221.0, "end": 1228.0, "text": " Si cambiamos las letras X, Y y Z por los n\u00fameros encontrados."}, {"start": 1228.0, "end": 1233.0, "text": " Entonces obtenemos el n\u00famero que buscamos."}, {"start": 1233.0, "end": 1240.0, "text": " X nos dio 5, Y nos dio 7 y Z nos dio 3."}, {"start": 1240.0, "end": 1249.0, "text": " Entonces damos la respuesta a este problema de aplicaci\u00f3n de los sistemas lineales de 3x3."}, {"start": 1249.0, "end": 1258.0, "text": " Entonces el n\u00famero que buscamos es 573."}]