ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA GENERAL - Ejercicio 2
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado utilizando la Fórmula Cuadrática o General. Al final, hace la comprobación en calculadora.

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 Vamos a resolver detalladamente esta ecuación, es decir, vamos a encontrar el valor o los valores de X que hacen cierta esta igualdad. Haremos el proceso manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos rompiendo este paréntesis y para ello aplicamos la propiedad distributiva. Entonces tenemos 9X por 4 que nos da 36X y 9X por menos X que nos da menos 9X al cuadrado y todo esto es igual a 31. Allí observamos X al cuadrado, lo cual nos indica que esta será una ecuación cuadrática o de segundo grado. Vamos entonces a organizar esa ecuación. Recordemos que el modelo de una ecuación cuadrática es AX al cuadrado más BX más C igual a 0. Entonces vamos a llevarla a esta forma. Comenzamos pasando este número al lado izquierdo para que nos quede igual a 0. Entonces nos queda 36X menos 9X al cuadrado y todo esto menos 31 igual a 0. 31 está positivo en el lado derecho llega negativo al lado izquierdo. Es lo mismo que restar 31 a ambos lados de esta igualdad. Ahora acomodamos estos términos para que el trinomio nos quede organizado de esta manera, es decir, en forma descendente o decreciente. Comenzamos con el término menos 9X al cuadrado, después el término más 36X y por último el término independiente que es menos 31 y todo esto igual a 0. Allí podemos multiplicar ambos lados de esa igualdad por menos 1 con el objetivo de que el primer término nos quede con signo positivo. Entonces multiplicamos ambos lados de la igualdad por menos 1 y simplemente vamos a tener un cambio de signos. Este término queda positivo, este nos queda negativo, este nos queda positivo y al otro lado 0 por menos 1 sigue siendo 0. Entonces la ecuación original se ha transformado en esto que obtuvimos. Vamos a escribir esa expresión por acá, 9X al cuadrado menos 36X más 31 igual a 0. Una ecuación cuadrática o de segundo grado que ya encaja con este modelo. Vamos a resolver esa ecuación utilizando el método de la fórmula cuadrática o fórmula general. En este caso debemos identificar cuáles son los valores de A, B y C. Entonces tenemos que A es el coeficiente de X al cuadrado, en este caso A vale 9, B es el coeficiente de X, en este caso es menos 36 y C es el término independiente que en este caso es 31 positivo. Entonces escribimos la fórmula cuadrática o fórmula general, X es igual a menos B más o menos la raíz cuadrada de B al cuadrado menos 4AC y todo eso sobre 2A. Vamos a reemplazar entonces cada uno de esos valores. Tenemos el valor de B que es menos 36, es conveniente utilizar paréntesis para reemplazar cada valor, más o menos la raíz cuadrada de B al cuadrado, es decir menos 36 al cuadrado, todo esto menos 4 por el valor de A que es 9 por el valor de C que es 31 y todo eso sobre 2A, 2 por el valor de A que es 9. Ahora resolvemos cada una de esas operaciones, nos queda X igual a menos menos 36 nos da 36 positivo, todo esto más o menos la raíz cuadrada de menos 36 al cuadrado, lo podemos escribir como 36 por 36 y luego tenemos menos 4 por 9 por 31, aquí podemos hacer lo siguiente, 4 por 9 es 36 y esto queda multiplicando por 31 y todo eso sobre 2 por 9 que es 18, aquí hemos hecho lo siguiente, menos 36 al cuadrado es lo mismo que tener 36 al cuadrado porque recordemos que toda cantidad negativa elevada al cuadrado nos da positiva y 36 al cuadrado es lo mismo que 36 por 36. Continuamos con el desarrollo de las operaciones, tendremos X igual a 36 más o menos la raíz cuadrada de lo siguiente, aquí dentro de la raíz tenemos una resta de dos términos y en ellos hay factores, vemos que el número 36 se repite entonces podemos extraerlo como factor común, nos queda 36 que multiplica a 36 menos 31, hemos aplicado aquí la factorización, el caso llamado factor común y todo eso nos queda sobre 18. Continuamos con el desarrollo, tendremos X igual a 36 más o menos la raíz cuadrada de 36 que multiplica con 36 menos 31, es decir con 5 y todo eso continúa sobre 18. Aquí vamos a aplicar una propiedad de la radicación, recordemos que la raíz enésima de un producto A por B esto es igual a la raíz enésima de A por la raíz enésima de B, es decir cuando la raíz tiene un producto en su interior aquí en el radicando es lícito repartir la raíz, entonces si tenemos la raíz cuadrada de 36 por 5 eso será igual a la raíz cuadrada de 36 por la raíz cuadrada de 5, pero la raíz cuadrada de 36 es exacta, nos da 6 y eso queda multiplicando por la raíz cuadrada de 5, esta raíz es inexacta, por lo tanto la dejamos indicada. Entonces esto nos va a quedar así, 36 más o menos el resultado de esa raíz que nos dio 6 por raíz cuadrada de 5 y todo eso sobre 18. Ahora en el numerador de esta expresión también podemos aplicar la factorización, vamos a extraer factor común, allí observamos los números 36 y 6, aquí está contenido el 6, por lo tanto sale como factor común el 6, si sale el 6 en el primer termino nos queda 6 y en el segundo termino nos queda raíz cuadrada de 5 y todo eso nos queda sobre 18, allí podemos simplificar 6 y 18, podemos dividir ambos números por 6, decimos sexta de 6, 1, sexta de 18 nos da 3, por lo tanto x nos queda igual a 6 más o menos la raíz cuadrada de 5 y todo eso sobre 3. De esta manera obtenemos las dos soluciones para esta ecuación cuadrática o de segundo grado, vamos a escribirlas por acá, una primera solución que la llamamos x1 será 6 menos raíz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3, la segunda solución que la llamamos x2 será entonces 6 más raíz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3. De esta manera hemos resuelto manualmente la ecuación utilizando la fórmula cuadrática o fórmula general, allí hemos encontrado los dos valores de x que satisfacen esa ecuación, vemos que son valores reales, en seguida vamos a realizar la comprobación utilizando esta calculadora científica, comenzamos oprimiendo el botón menú, allí vemos en pantalla unas opciones, nos movemos con los botones del navegador hasta la opción A que es la que corresponde a las ecuaciones, oprimimos entonces el botón igual para ingresar a ese modo, allí tenemos dos opciones, la opción 1 corresponde a sistemas de ecuaciones lineales, la opción 2 corresponde a ecuaciones polinómicas, como en este caso tenemos un polinomio de segundo grado igualado a cero, entonces vamos a escoger la opción 2, oprimimos la tecla del 2 e ingresamos a una opción donde la calculadora nos pregunta el grado del polinomio, como decíamos es de grado 2, entonces oprimimos la tecla del 2 y allí entramos a lo que es el modelo ax cuadrado más bx más c, la calculadora nos pide los valores de esas letras, comenzamos con el valor A que es el que acompaña a x al cuadrado, en este caso recordemos que es 9, oprimimos el botón del 9 luego el igual y de esa manera ingresamos ese valor, allí vemos el 9 acompañando a x al cuadrado, luego vamos a ingresar al coeficiente de x que es menos 36, entonces oprimimos el botón del signo negativo, luego el 36 le damos igual y allí entra ese valor como acompañante de x, luego vamos con el término independiente que en este caso es más 31 o 31 positivo, entonces oprimimos esas teclas para ingresar ese número, le damos igual y allí ya lo tenemos en pantalla, posteriormente le damos otra vez el botón igual y allí nos aparece la primera solución 6 más raíz de 5 todo eso sobre 3, le damos igual nuevamente y vemos la otra solución 6 menos raíz de 5 y todo eso sobre 3. Bien, después de haber comprobado en calculadora que estas son las soluciones para esta ecuación cuadrática o para esa que teníamos originalmente, entonces vamos a escribir la respuesta de ese ejercicio, el conjunto solución para esa ecuación son los siguientes valores de x, comenzamos con el menor de ellos que es 6 menos la raíz cuadrada de 5 todo esto sobre 3 y después el mayor que sería 6 más raíz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3, cerramos la llave, ese es el conjunto solución para esa ecuación que es cuadrática o de segundo grado.
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Tenemos el valor de B que es menos 36, es conveniente"}, {"start": 202.36, "end": 207.88, "text": " utilizar par\u00e9ntesis para reemplazar cada valor, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de B"}, {"start": 207.88, "end": 215.16, "text": " al cuadrado, es decir menos 36 al cuadrado, todo esto menos 4 por el valor de A que es"}, {"start": 215.16, "end": 226.0, "text": " 9 por el valor de C que es 31 y todo eso sobre 2A, 2 por el valor de A que es 9. Ahora resolvemos"}, {"start": 226.0, "end": 234.4, "text": " cada una de esas operaciones, nos queda X igual a menos menos 36 nos da 36 positivo,"}, {"start": 234.4, "end": 239.88, "text": " todo esto m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 36 al cuadrado, lo podemos escribir"}, {"start": 239.88, "end": 248.64000000000001, "text": " como 36 por 36 y luego tenemos menos 4 por 9 por 31, aqu\u00ed podemos hacer lo siguiente,"}, {"start": 248.64000000000001, "end": 258.6, "text": " 4 por 9 es 36 y esto queda multiplicando por 31 y todo eso sobre 2 por 9 que es 18, aqu\u00ed"}, {"start": 258.6, "end": 266.68, "text": " hemos hecho lo siguiente, menos 36 al cuadrado es lo mismo que tener 36 al cuadrado porque"}, {"start": 266.68, "end": 273.32000000000005, "text": " recordemos que toda cantidad negativa elevada al cuadrado nos da positiva y 36 al cuadrado"}, {"start": 273.32000000000005, "end": 280.40000000000003, "text": " es lo mismo que 36 por 36. 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Continuamos con el desarrollo, tendremos X igual a 36 m\u00e1s o menos la ra\u00edz"}, {"start": 317.47999999999996, "end": 326.88, "text": " cuadrada de 36 que multiplica con 36 menos 31, es decir con 5 y todo eso contin\u00faa sobre"}, {"start": 326.88, "end": 334.12, "text": " 18. Aqu\u00ed vamos a aplicar una propiedad de la radicaci\u00f3n, recordemos que la ra\u00edz en\u00e9sima"}, {"start": 334.12, "end": 343.28000000000003, "text": " de un producto A por B esto es igual a la ra\u00edz en\u00e9sima de A por la ra\u00edz en\u00e9sima de"}, {"start": 343.28000000000003, "end": 350.5, "text": " B, es decir cuando la ra\u00edz tiene un producto en su interior aqu\u00ed en el radicando es l\u00edcito"}, {"start": 350.5, "end": 358.6, "text": " repartir la ra\u00edz, entonces si tenemos la ra\u00edz cuadrada de 36 por 5 eso ser\u00e1 igual"}, {"start": 358.6, "end": 367.96000000000004, "text": " a la ra\u00edz cuadrada de 36 por la ra\u00edz cuadrada de 5, pero la ra\u00edz cuadrada de 36 es exacta,"}, {"start": 367.96000000000004, "end": 374.24, "text": " nos da 6 y eso queda multiplicando por la ra\u00edz cuadrada de 5, esta ra\u00edz es inexacta,"}, {"start": 374.24, "end": 381.44, "text": " por lo tanto la dejamos indicada. Entonces esto nos va a quedar as\u00ed, 36 m\u00e1s o menos"}, {"start": 381.44, "end": 389.68, "text": " el resultado de esa ra\u00edz que nos dio 6 por ra\u00edz cuadrada de 5 y todo eso sobre 18."}, {"start": 389.68, "end": 395.04, "text": " Ahora en el numerador de esta expresi\u00f3n tambi\u00e9n podemos aplicar la factorizaci\u00f3n, vamos a"}, {"start": 395.04, "end": 402.0, "text": " extraer factor com\u00fan, all\u00ed observamos los n\u00fameros 36 y 6, aqu\u00ed est\u00e1 contenido el 6,"}, {"start": 402.0, "end": 407.64, "text": " por lo tanto sale como factor com\u00fan el 6, si sale el 6 en el primer termino nos queda"}, {"start": 407.64, "end": 416.56, "text": " 6 y en el segundo termino nos queda ra\u00edz cuadrada de 5 y todo eso nos queda sobre 18,"}, {"start": 416.56, "end": 423.12, "text": " all\u00ed podemos simplificar 6 y 18, podemos dividir ambos n\u00fameros por 6, decimos sexta"}, {"start": 423.12, "end": 432.28, "text": " de 6, 1, sexta de 18 nos da 3, por lo tanto x nos queda igual a 6 m\u00e1s o menos la ra\u00edz"}, {"start": 432.28, "end": 439.03999999999996, "text": " cuadrada de 5 y todo eso sobre 3. De esta manera obtenemos las dos soluciones"}, {"start": 439.03999999999996, "end": 445.15999999999997, "text": " para esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado, vamos a escribirlas por ac\u00e1, una primera"}, {"start": 445.15999999999997, "end": 453.71999999999997, "text": " soluci\u00f3n que la llamamos x1 ser\u00e1 6 menos ra\u00edz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3, la"}, {"start": 453.71999999999997, "end": 461.15999999999997, "text": " segunda soluci\u00f3n que la llamamos x2 ser\u00e1 entonces 6 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 5 y todo"}, {"start": 461.16, "end": 466.40000000000003, "text": " esto sobre 3. De esta manera hemos resuelto manualmente"}, {"start": 466.40000000000003, "end": 471.8, "text": " la ecuaci\u00f3n utilizando la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general, all\u00ed hemos encontrado"}, {"start": 471.8, "end": 478.40000000000003, "text": " los dos valores de x que satisfacen esa ecuaci\u00f3n, vemos que son valores reales, en seguida"}, {"start": 478.40000000000003, "end": 484.20000000000005, "text": " vamos a realizar la comprobaci\u00f3n utilizando esta calculadora cient\u00edfica, comenzamos oprimiendo"}, {"start": 484.20000000000005, "end": 489.42, "text": " el bot\u00f3n men\u00fa, all\u00ed vemos en pantalla unas opciones, nos movemos con los botones del"}, {"start": 489.42, "end": 495.40000000000003, "text": " navegador hasta la opci\u00f3n A que es la que corresponde a las ecuaciones, oprimimos entonces"}, {"start": 495.40000000000003, "end": 501.66, "text": " el bot\u00f3n igual para ingresar a ese modo, all\u00ed tenemos dos opciones, la opci\u00f3n 1 corresponde"}, {"start": 501.66, "end": 507.28000000000003, "text": " a sistemas de ecuaciones lineales, la opci\u00f3n 2 corresponde a ecuaciones polin\u00f3micas, como"}, {"start": 507.28000000000003, "end": 512.36, "text": " en este caso tenemos un polinomio de segundo grado igualado a cero, entonces vamos a escoger"}, {"start": 512.36, "end": 518.84, "text": " la opci\u00f3n 2, oprimimos la tecla del 2 e ingresamos a una opci\u00f3n donde la calculadora"}, {"start": 518.84, "end": 525.12, "text": " nos pregunta el grado del polinomio, como dec\u00edamos es de grado 2, entonces oprimimos"}, {"start": 525.12, "end": 532.2800000000001, "text": " la tecla del 2 y all\u00ed entramos a lo que es el modelo ax cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c, la calculadora"}, {"start": 532.2800000000001, "end": 537.96, "text": " nos pide los valores de esas letras, comenzamos con el valor A que es el que acompa\u00f1a a x"}, {"start": 537.96, "end": 544.12, "text": " al cuadrado, en este caso recordemos que es 9, oprimimos el bot\u00f3n del 9 luego el igual"}, {"start": 544.12, "end": 550.28, "text": " y de esa manera ingresamos ese valor, all\u00ed vemos el 9 acompa\u00f1ando a x al cuadrado, luego"}, {"start": 550.28, "end": 555.76, "text": " vamos a ingresar al coeficiente de x que es menos 36, entonces oprimimos el bot\u00f3n"}, {"start": 555.76, "end": 561.88, "text": " del signo negativo, luego el 36 le damos igual y all\u00ed entra ese valor como acompa\u00f1ante"}, {"start": 561.88, "end": 568.76, "text": " de x, luego vamos con el t\u00e9rmino independiente que en este caso es m\u00e1s 31 o 31 positivo,"}, {"start": 568.76, "end": 574.3199999999999, "text": " entonces oprimimos esas teclas para ingresar ese n\u00famero, le damos igual y all\u00ed ya lo"}, {"start": 574.3199999999999, "end": 581.06, "text": " tenemos en pantalla, posteriormente le damos otra vez el bot\u00f3n igual y all\u00ed nos aparece"}, {"start": 581.06, "end": 588.4, "text": " la primera soluci\u00f3n 6 m\u00e1s ra\u00edz de 5 todo eso sobre 3, le damos igual nuevamente y vemos"}, {"start": 588.4, "end": 593.76, "text": " la otra soluci\u00f3n 6 menos ra\u00edz de 5 y todo eso sobre 3."}, {"start": 593.76, "end": 598.72, "text": " Bien, despu\u00e9s de haber comprobado en calculadora que estas son las soluciones para esta ecuaci\u00f3n"}, {"start": 598.72, "end": 605.28, "text": " cuadr\u00e1tica o para esa que ten\u00edamos originalmente, entonces vamos a escribir la respuesta de"}, {"start": 605.28, "end": 611.72, "text": " ese ejercicio, el conjunto soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n son los siguientes valores de x,"}, {"start": 611.72, "end": 618.24, "text": " comenzamos con el menor de ellos que es 6 menos la ra\u00edz cuadrada de 5 todo esto sobre"}, {"start": 618.24, "end": 628.64, "text": " 3 y despu\u00e9s el mayor que ser\u00eda 6 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3, cerramos"}, {"start": 628.64, "end": 634.76, "text": " la llave, ese es el conjunto soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n que es cuadr\u00e1tica o de segundo"}, {"start": 634.76, "end": 660.04, "text": " grado."}]