EC. DIF. POR VARIABLES SEPARABLES - Ejercicio 3
#julioprofe explica cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden y primer grado, por el método de separación de variables.

Tema: #EcuacionesDiferenciales → 
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 Tenemos en esta ocasión una ecuación diferencial de tipo ordinaria. Entonces, ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Porque observamos la segunda derivada de y y de primer grado. Es de primer grado porque la mayor derivada que es y2' se encuentra elevada al exponente 1. Tenemos dos condiciones iniciales. y' de cero es igual a 2 y y de 1 es igual a 3. Y tenemos que encontrar la función original y de x. Una función para la cual se cumpla esta ecuación diferencial. Es decir que su segunda derivada sea igual a –3x al cuadrado más 4x. Comenzamos por escribir y2' como la derivada de y' con respecto a x. Simplemente cambiamos la notación y esto es igual a –3x al cuadrado más 4x. En seguida pasamos de x que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces tenemos que dy' es igual a –3x al cuadrado más 4x y todo eso multiplicado por dx. Ahora hacemos lo que se llama separación de variables. Ahora integramos a ambos lados. Entonces escribimos el símbolo de la integral a ambos lados de la igualdad. En seguida hacemos la integral de cada lado. Vamos a continuar por aquí. Entonces tenemos integral de dy' nos da y'. Recordemos que en ese caso la integración y la derivación son operaciones contrarias que se cancelan mutuamente y nos queda y'. Y acá tenemos la integral de una suma. Entonces integramos cada uno de los términos. La integral del primer término será –3x³ sobre 3. Se queda quieto –3 e integramos x³, cuya integral es x³ sobre 3. Más aquí dejamos quieto el número 4 e integramos x que tiene exponente 1. Eso nos da x³ sobre 2. Y aparece una primera constante que vamos a llamar c1. Vamos a simplificar estos dos términos. Tenemos y' es igual a –x³. Aquí simplificamos el 3. Y aquí simplificamos 4 con 2. Nos queda 2x² más c1. Tenemos una primera expresión donde vamos a utilizar la primera condición inicial que nos dan. La que dice que y' de cero es igual a 2. Cuando tenemos y' de cero significa que en la expresión que corresponde a y', x toma el valor cero. Entonces, y' de cero viene siendo igual a –0³ más 2 por 0² más c1. Como podemos observar, x toma el valor cero. Tenemos que y' de cero equivale a 2. Esa es la información que nos dan. 0³ es 0. 0² nos da 0. Por 2 es igual a 0. Por lo tanto, en el lado izquierdo nos queda 2. Y en el lado derecho únicamente nos queda c1. Entonces decimos que la constante 1 tiene el valor 2. Este resultado lo traemos aquí, donde está c1. Entonces vamos a reemplazar el número 2. Ahora en esta expresión vamos a cambiar y' por dy de x. dy de x es lo mismo que y'. Esto es igual a –x³ más 2x² más 2. Y allí vamos a realizar otra vez la separación de variables. dx que está dividiendo lo pasamos a multiplicar al otro lado. Nos queda dy es igual a –x³ más 2x² más 2. Y todo eso multiplicado por dx. Ahora vamos a integrar a ambos lados. Entonces escribimos el símbolo de la integral a ambos lados de la igualdad. Y entonces vamos a proceder con la solución de cada integral. Vamos a continuarlo por acá. La integral de dy es y. Y al otro lado integramos cada uno de los términos. Tenemos que la integral de –x³ es –x⁴ sobre 4. Más en este término dejamos el 2 quieto e integramos x². Eso nos da x³ sobre 3. Más la integral de 2 que es 2x. Y aparece una constante c², o sea la segunda constante de integración. Revisamos si hay algún término que se pueda simplificar y encontramos que no. Entonces en esta expresión vamos a utilizar la segunda condición inicial que nos da el ejercicio. Esa que dice que y de 1 es igual a 3. Y de 1 significa que la variable x toma el valor 1. Entonces aquí en cada uno de los términos donde tenemos la x vamos a reemplazar esa letra por el número 1. Entonces tenemos –1⁴ sobre 4 más 2¹³ sobre 3 más 2x, o sea 2x1 más la constante 2. Y vamos a resolver cada una de esas operaciones. Tenemos que y de 1 equivale a 3. Entonces aquí reemplazamos la información que nos dan. Por acá tenemos –1⁴ es 1. Sobre 4 nos queda –¼ más 1³ que es 1. Por 2 es 2. Nos queda 2⁴ más 2 por 1 que es 2. Y todo esto más c2. Podemos pasar todos los términos numéricos al lado izquierdo para que nos quede en el lado derecho únicamente c2. Entonces tendremos 3 más ¼ pasa –2⁴ pasa –2 y todo esto igualado a c2. Nos concentramos ahora en la solución de estas operaciones. Algo que corresponde a la aritmética. Tenemos que 3 menos 2 es 1 más ¼ menos 2⁴ y todo esto es igual a c2. Vamos a resolver esto sin el uso de la calculadora. Entonces recordemos que aquí tenemos denominador 1 y buscamos el común denominador o mínimo común múltiplo de 4 y 3. Que es igual a 12. Entonces podemos trazar una línea para escribir el común denominador que es 12. Aquí tenemos denominador 1. Entonces decimos 12 dividido entre 1 es igual a 12. 12 por 1 nos da 12. Más 12 dividido entre 4 nos da 3. 3 por 1 es igual a 3 menos 12 dividido entre 3 nos da 4. Y 4 por 2 es 8. Resolvemos en el numerador. Y eso nos da 12 más 3 es 15. 15 menos 8 es igual a 7. Y nos queda 7 12 aos. Una fracción que no se puede simplificar ya está en forma de fracción irreducible. Este resultado entonces lo traemos aquí. Donde tenemos c2. Y de esa manera llegamos a la función y de x que tenemos que encontrar. Vamos a escribirla por acá. Nos queda que la función y de x es igual a menos un cuarto de x a la 4. También se puede escribir de esa manera. Más 2 tercios de x al cubo más 2x más el valor de la constante 2 que es 7 12 aos. Vamos entonces a destacar esa respuesta. Y con eso terminamos este ejercicio. Entonces esta será la función a la que teníamos que llegar. Una manera de verificar si esto es correcto es obtener la segunda derivada de esta función. Y efectivamente veremos que equivale a menos 13x al cuadrado más 4x. Dando cumplimiento a la ecuación diferencial original.
[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Tenemos en esta ocasi\u00f3n una ecuaci\u00f3n diferencial de tipo ordinaria."}, {"start": 6.0, "end": 13.0, "text": " Entonces, ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria de segundo orden."}, {"start": 15.0, "end": 22.0, "text": " Porque observamos la segunda derivada de y y de primer grado."}, {"start": 22.0, "end": 33.0, "text": " Es de primer grado porque la mayor derivada que es y2' se encuentra elevada al exponente 1."}, {"start": 33.0, "end": 35.0, "text": " Tenemos dos condiciones iniciales."}, {"start": 35.0, "end": 41.0, "text": " y' de cero es igual a 2 y y de 1 es igual a 3."}, {"start": 41.0, "end": 47.0, "text": " Y tenemos que encontrar la funci\u00f3n original y de x."}, {"start": 47.0, "end": 53.0, "text": " Una funci\u00f3n para la cual se cumpla esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 53.0, "end": 61.0, "text": " Es decir que su segunda derivada sea igual a \u20133x al cuadrado m\u00e1s 4x."}, {"start": 63.0, "end": 73.0, "text": " Comenzamos por escribir y2' como la derivada de y' con respecto a x."}, {"start": 73.0, "end": 82.0, "text": " Simplemente cambiamos la notaci\u00f3n y esto es igual a \u20133x al cuadrado m\u00e1s 4x."}, {"start": 82.0, "end": 88.0, "text": " En seguida pasamos de x que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 88.0, "end": 101.0, "text": " Entonces tenemos que dy' es igual a \u20133x al cuadrado m\u00e1s 4x y todo eso multiplicado por dx."}, {"start": 101.0, "end": 104.0, "text": " Ahora hacemos lo que se llama separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 104.0, "end": 107.0, "text": " Ahora integramos a ambos lados."}, {"start": 107.0, "end": 115.0, "text": " Entonces escribimos el s\u00edmbolo de la integral a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 120.0, "end": 125.0, "text": " En seguida hacemos la integral de cada lado."}, {"start": 125.0, "end": 128.0, "text": " Vamos a continuar por aqu\u00ed."}, {"start": 128.0, "end": 135.0, "text": " Entonces tenemos integral de dy' nos da y'."}, {"start": 135.0, "end": 145.0, "text": " Recordemos que en ese caso la integraci\u00f3n y la derivaci\u00f3n son operaciones contrarias que se cancelan mutuamente y nos queda y'."}, {"start": 145.0, "end": 148.0, "text": " Y ac\u00e1 tenemos la integral de una suma."}, {"start": 148.0, "end": 151.0, "text": " Entonces integramos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 151.0, "end": 159.0, "text": " La integral del primer t\u00e9rmino ser\u00e1 \u20133x\u00b3 sobre 3."}, {"start": 159.0, "end": 166.0, "text": " Se queda quieto \u20133 e integramos x\u00b3, cuya integral es x\u00b3 sobre 3."}, {"start": 166.0, "end": 174.0, "text": " M\u00e1s aqu\u00ed dejamos quieto el n\u00famero 4 e integramos x que tiene exponente 1."}, {"start": 174.0, "end": 178.0, "text": " Eso nos da x\u00b3 sobre 2."}, {"start": 178.0, "end": 184.0, "text": " Y aparece una primera constante que vamos a llamar c1."}, {"start": 184.0, "end": 186.0, "text": " Vamos a simplificar estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 186.0, "end": 192.0, "text": " Tenemos y' es igual a \u2013x\u00b3."}, {"start": 192.0, "end": 194.0, "text": " Aqu\u00ed simplificamos el 3."}, {"start": 194.0, "end": 197.0, "text": " Y aqu\u00ed simplificamos 4 con 2."}, {"start": 197.0, "end": 202.0, "text": " Nos queda 2x\u00b2 m\u00e1s c1."}, {"start": 202.0, "end": 214.0, "text": " Tenemos una primera expresi\u00f3n donde vamos a utilizar la primera condici\u00f3n inicial que nos dan."}, {"start": 214.0, "end": 220.0, "text": " La que dice que y' de cero es igual a 2."}, {"start": 220.0, "end": 230.0, "text": " Cuando tenemos y' de cero significa que en la expresi\u00f3n que corresponde a y', x toma el valor cero."}, {"start": 230.0, "end": 249.0, "text": " Entonces, y' de cero viene siendo igual a \u20130\u00b3 m\u00e1s 2 por 0\u00b2 m\u00e1s c1."}, {"start": 249.0, "end": 254.0, "text": " Como podemos observar, x toma el valor cero."}, {"start": 254.0, "end": 258.0, "text": " Tenemos que y' de cero equivale a 2."}, {"start": 258.0, "end": 260.0, "text": " Esa es la informaci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 260.0, "end": 263.0, "text": " 0\u00b3 es 0."}, {"start": 263.0, "end": 265.0, "text": " 0\u00b2 nos da 0."}, {"start": 265.0, "end": 267.0, "text": " Por 2 es igual a 0."}, {"start": 267.0, "end": 271.0, "text": " Por lo tanto, en el lado izquierdo nos queda 2."}, {"start": 271.0, "end": 275.0, "text": " Y en el lado derecho \u00fanicamente nos queda c1."}, {"start": 275.0, "end": 280.0, "text": " Entonces decimos que la constante 1 tiene el valor 2."}, {"start": 280.0, "end": 286.0, "text": " Este resultado lo traemos aqu\u00ed, donde est\u00e1 c1."}, {"start": 286.0, "end": 293.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar el n\u00famero 2."}, {"start": 293.0, "end": 301.0, "text": " Ahora en esta expresi\u00f3n vamos a cambiar y' por dy de x."}, {"start": 301.0, "end": 304.0, "text": " dy de x es lo mismo que y'."}, {"start": 304.0, "end": 315.0, "text": " Esto es igual a \u2013x\u00b3 m\u00e1s 2x\u00b2 m\u00e1s 2."}, {"start": 315.0, "end": 320.0, "text": " Y all\u00ed vamos a realizar otra vez la separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 320.0, "end": 325.0, "text": " dx que est\u00e1 dividiendo lo pasamos a multiplicar al otro lado."}, {"start": 325.0, "end": 333.0, "text": " Nos queda dy es igual a \u2013x\u00b3 m\u00e1s 2x\u00b2 m\u00e1s 2."}, {"start": 333.0, "end": 337.0, "text": " Y todo eso multiplicado por dx."}, {"start": 337.0, "end": 341.0, "text": " Ahora vamos a integrar a ambos lados."}, {"start": 341.0, "end": 353.0, "text": " Entonces escribimos el s\u00edmbolo de la integral a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 353.0, "end": 360.0, "text": " Y entonces vamos a proceder con la soluci\u00f3n de cada integral."}, {"start": 360.0, "end": 363.0, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 363.0, "end": 366.0, "text": " La integral de dy es y."}, {"start": 366.0, "end": 370.0, "text": " Y al otro lado integramos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 370.0, "end": 377.0, "text": " Tenemos que la integral de \u2013x\u00b3 es \u2013x\u2074 sobre 4."}, {"start": 377.0, "end": 385.0, "text": " M\u00e1s en este t\u00e9rmino dejamos el 2 quieto e integramos x\u00b2."}, {"start": 385.0, "end": 389.0, "text": " Eso nos da x\u00b3 sobre 3."}, {"start": 389.0, "end": 393.0, "text": " M\u00e1s la integral de 2 que es 2x."}, {"start": 393.0, "end": 401.0, "text": " Y aparece una constante c\u00b2, o sea la segunda constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 401.0, "end": 407.0, "text": " Revisamos si hay alg\u00fan t\u00e9rmino que se pueda simplificar y encontramos que no."}, {"start": 407.0, "end": 417.0, "text": " Entonces en esta expresi\u00f3n vamos a utilizar la segunda condici\u00f3n inicial que nos da el ejercicio."}, {"start": 417.0, "end": 422.0, "text": " Esa que dice que y de 1 es igual a 3."}, {"start": 422.0, "end": 430.0, "text": " Y de 1 significa que la variable x toma el valor 1."}, {"start": 430.0, "end": 439.0, "text": " Entonces aqu\u00ed en cada uno de los t\u00e9rminos donde tenemos la x vamos a reemplazar esa letra por el n\u00famero 1."}, {"start": 439.0, "end": 461.0, "text": " Entonces tenemos \u20131\u2074 sobre 4 m\u00e1s 2\u00b9\u00b3 sobre 3 m\u00e1s 2x, o sea 2x1 m\u00e1s la constante 2."}, {"start": 461.0, "end": 465.0, "text": " Y vamos a resolver cada una de esas operaciones."}, {"start": 465.0, "end": 469.0, "text": " Tenemos que y de 1 equivale a 3."}, {"start": 469.0, "end": 474.0, "text": " Entonces aqu\u00ed reemplazamos la informaci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 474.0, "end": 479.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos \u20131\u2074 es 1."}, {"start": 479.0, "end": 485.0, "text": " Sobre 4 nos queda \u2013\u00bc m\u00e1s 1\u00b3 que es 1."}, {"start": 485.0, "end": 487.0, "text": " Por 2 es 2."}, {"start": 487.0, "end": 491.0, "text": " Nos queda 2\u2074 m\u00e1s 2 por 1 que es 2."}, {"start": 491.0, "end": 495.0, "text": " Y todo esto m\u00e1s c2."}, {"start": 495.0, "end": 503.0, "text": " Podemos pasar todos los t\u00e9rminos num\u00e9ricos al lado izquierdo para que nos quede en el lado derecho \u00fanicamente c2."}, {"start": 503.0, "end": 518.0, "text": " Entonces tendremos 3 m\u00e1s \u00bc pasa \u20132\u2074 pasa \u20132 y todo esto igualado a c2."}, {"start": 518.0, "end": 523.0, "text": " Nos concentramos ahora en la soluci\u00f3n de estas operaciones."}, {"start": 523.0, "end": 526.0, "text": " Algo que corresponde a la aritm\u00e9tica."}, {"start": 526.0, "end": 538.0, "text": " Tenemos que 3 menos 2 es 1 m\u00e1s \u00bc menos 2\u2074 y todo esto es igual a c2."}, {"start": 538.0, "end": 542.0, "text": " Vamos a resolver esto sin el uso de la calculadora."}, {"start": 542.0, "end": 555.0, "text": " Entonces recordemos que aqu\u00ed tenemos denominador 1 y buscamos el com\u00fan denominador o m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 4 y 3."}, {"start": 555.0, "end": 558.0, "text": " Que es igual a 12."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " Entonces podemos trazar una l\u00ednea para escribir el com\u00fan denominador que es 12."}, {"start": 566.0, "end": 569.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos denominador 1."}, {"start": 569.0, "end": 574.0, "text": " Entonces decimos 12 dividido entre 1 es igual a 12."}, {"start": 574.0, "end": 577.0, "text": " 12 por 1 nos da 12."}, {"start": 577.0, "end": 581.0, "text": " M\u00e1s 12 dividido entre 4 nos da 3."}, {"start": 581.0, "end": 589.0, "text": " 3 por 1 es igual a 3 menos 12 dividido entre 3 nos da 4."}, {"start": 589.0, "end": 592.0, "text": " Y 4 por 2 es 8."}, {"start": 592.0, "end": 596.0, "text": " Resolvemos en el numerador."}, {"start": 596.0, "end": 599.0, "text": " Y eso nos da 12 m\u00e1s 3 es 15."}, {"start": 599.0, "end": 602.0, "text": " 15 menos 8 es igual a 7."}, {"start": 602.0, "end": 605.0, "text": " Y nos queda 7 12 aos."}, {"start": 605.0, "end": 614.0, "text": " Una fracci\u00f3n que no se puede simplificar ya est\u00e1 en forma de fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 614.0, "end": 618.0, "text": " Este resultado entonces lo traemos aqu\u00ed."}, {"start": 618.0, "end": 620.0, "text": " Donde tenemos c2."}, {"start": 620.0, "end": 627.0, "text": " Y de esa manera llegamos a la funci\u00f3n y de x que tenemos que encontrar."}, {"start": 627.0, "end": 629.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 629.0, "end": 636.0, "text": " Nos queda que la funci\u00f3n y de x es igual a menos un cuarto de x a la 4."}, {"start": 636.0, "end": 639.0, "text": " Tambi\u00e9n se puede escribir de esa manera."}, {"start": 639.0, "end": 654.0, "text": " M\u00e1s 2 tercios de x al cubo m\u00e1s 2x m\u00e1s el valor de la constante 2 que es 7 12 aos."}, {"start": 654.0, "end": 660.0, "text": " Vamos entonces a destacar esa respuesta."}, {"start": 660.0, "end": 665.0, "text": " Y con eso terminamos este ejercicio."}, {"start": 665.0, "end": 674.0, "text": " Entonces esta ser\u00e1 la funci\u00f3n a la que ten\u00edamos que llegar."}, {"start": 674.0, "end": 681.0, "text": " Una manera de verificar si esto es correcto es obtener la segunda derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 681.0, "end": 688.0, "text": " Y efectivamente veremos que equivale a menos 13x al cuadrado m\u00e1s 4x."}, {"start": 688.0, "end": 695.0, "text": " Dando cumplimiento a la ecuaci\u00f3n diferencial original."}]