PROGRESIONES GEOMÉTRICAS - Ejercicio 5
#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Geométricas:

Dividir 195 en tres partes que formen una Progresión Geométrica, de modo que el tercer término exceda al primero en 120.

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 Dividir 195 en tres partes que formen una progresión geométrica, de modo que el tercer término exceda al primero en 120. Para este problema vamos a elegir tres letras, por ejemplo, X, Y y Z, que representen las tres partes que debemos averiguar. Esas tres partes o esas tres cantidades van a formar una progresión geométrica. Eso quiere decir que el cociente entre dos términos consecutivos va a ser el mismo, primer término, segundo término, tercer término. Si dividimos el segundo término entre el primero, Y sobre X, nos debe dar lo mismo que la división entre el tercer término y el segundo, es decir, Z sobre Y. Allí tenemos entonces una primera expresión, vamos a llamarla la número uno. Vamos ahora con el resto de la información del problema. Nos dice que tenemos que dividir 195 en tres partes, es decir, la suma de estas tres cantidades nos debe dar 195. Vamos a anotar eso por acá. X más Y más Z es igual a 195 y eso lo vamos a llamar la expresión número dos. Allí debemos tener cuidado porque aunque el problema dice dividir, no se trata de una división, sino de repartir 195 en estas tres cantidades. La otra información nos dice que el tercer término, es decir, Z, debe exceder al primero en 120, es decir, vamos a comparar Z con X, el tercer término y el primer término. Nos dice que el tercero excede al primero en 120, Z es mayor que X en 120. Entonces para establecer la igualdad a la cantidad menor que en este caso es X, le sumamos 120. De esa manera quedan equilibradas las dos cantidades. Esto lo llamamos la expresión número tres. Como se observa tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas que son X, Y y Z. Entonces esto es lo que se llama un sistema de ecuaciones de tres por tres. Vamos a resolverlo de la siguiente manera. Comenzamos reemplazando esto acá, es decir, la expresión tres se va a sustituir en la expresión dos. Entonces anotamos esa instrucción, tres en dos y nos queda de la siguiente forma, X más Y más Z, es allí cuando se cambia por X más 120, allí ocurre la sustitución y esto nos queda igualado con 195. Allí podemos efectuar la suma de estos dos términos semejantes. Entonces X más X nos da 2X, eso queda más Y más 120 igual a 195. Y de allí vamos a realizar el despeje de la letra Y. Entonces vamos a pasar estos dos términos al otro lado. Nos queda entonces 195 y esa cantidad recibe a menos 2X y a menos 120. Las cantidades que están sumando a este lado pasan al otro lado a restar. Podemos efectuar la operación de estos dos números. Entonces Y será igual a lo siguiente, 195 menos 120 nos da 75 y esto queda menos 2X. Obtenemos así una nueva expresión que vamos a anotar por acá, Y igual a 75 menos 2X y vamos a etiquetar como la expresión número 4. Ahora, en la expresión 1 tenemos lo que en matemáticas se llama una proporción, es decir la igualdad de dos razones. En toda proporción estos elementos se llaman extremos y estos dos se llaman medios y se cumple la propiedad que dice lo siguiente, el producto de extremos es igual al producto de los medios. En otras palabras, Y por Y es decir, Y al cuadrado debe ser igual a X por Z. Allí estamos aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. En esa expresión que hemos obtenido vamos a reemplazar el equivalente de Y que lo tenemos en la expresión 4 y el equivalente de Z que lo tenemos en la expresión 3. Nuevamente hacemos una sustitución, 4 y 3 entran aquí en esa expresión. Nos queda entonces Y que se cambia por 75 menos 2X, todo esto va al cuadrado igual a X por Z, menos Z equivale a X más 120. Protegemos esas expresiones con paréntesis. Lo que hacemos ahora es resolver esta ecuación a la que hemos llegado y como se observa ahora tiene una sola incógnita que es X. Comenzamos desarrollando esto que tenemos acá y es un binomio elevado al cuadrado. Recordemos que esto es igual al primer término al cuadrado, es decir, 75 al cuadrado menos dos veces el primer término que es 75 por el segundo que es 2X más el segundo término que es 2X y esto elevado al cuadrado. Allí hemos aplicado el producto notable llamado binomio al cuadrado y aquí vamos a romper este paréntesis aplicando la propiedad distributiva. X por X nos da X al cuadrado más X por 120 que nos da 120X. Enseguida desarrollamos estas operaciones. Comenzamos con 75 al cuadrado que nos da 5625, luego nos queda menos 2 por 75 eso nos da 150 y eso por 2X es 300X. Luego tenemos más 2X todo eso al cuadrado, aquí el exponente 2 afecta estas dos cantidades porque están multiplicando, entonces 2 al cuadrado nos da 4 y queda acompañado de X al cuadrado y todo esto es igual a X al cuadrado más 120X. Como se observa esto empieza a tomar forma de ecuación cuadrática o de segundo grado. Vamos entonces a organizarla igualándola a cero, es decir, vamos a pasar estos dos términos al lado izquierdo. Nos queda 5625 menos 300X, luego tenemos más 4X al cuadrado y pasamos estos dos términos. Llegan a restar al lado izquierdo menos X al cuadrado menos 120X y todo esto igual a cero. Seguimos organizando la ecuación, vamos a operar los términos que contienen X al cuadrado, con términos semejantes, entonces 4X al cuadrado menos X al cuadrado nos da 3X al cuadrado. Ahora vamos con los términos que contienen X, sería este término y este de acá, esa operación nos da menos 420X y luego tenemos el término independiente que es más 5625 y todo eso está igualado a cero. Aquí podemos simplificar esa ecuación dividiéndola por tres, porque estos tres números cumplen con esa condición, lógicamente tres es divisible por sí mismo, aquí 420, hacemos la prueba para saber si un número es divisible por tres, sumamos sus dígitos, 4 más 2 nos da 6, 6 más 0 es 6, 6 es divisible por 3, por lo tanto 420 será divisible por 3 y acá 5 más 6 nos da 11, 11 más 2 es 13, 13 más 5 es 18, entonces como el resultado es divisible por 3, este número también será divisible por 3. Entonces como decíamos vamos a simplificar la ecuación dividiéndola toda por 3, nos queda así, 3X al cuadrado dividido entre 3 nos da X al cuadrado, luego tenemos menos 420 dividido entre 3 nos da 140, queda acompañado de X y luego tenemos más 5625 dividido entre 3, eso nos da 1875 y al otro lado 0 dividido entre 3 que permanece como 0. Llegamos así a una ecuación cuadrática o de segundo grado, cuyo modelo es AX al cuadrado más BX más C igual a 0. Vamos entonces a utilizar la fórmula cuadrática o fórmula general para resolver esa ecuación, entonces vamos a identificar los valores de A, B y C, comenzamos con A que es el coeficiente de X al cuadrado, en este caso A es igual a 1, luego vamos con B que es el coeficiente de X, en este caso es menos 140 y después tenemos C que es el término independiente, en este caso 1875. Vamos entonces a escribir por acá la fórmula cuadrática o fórmula general cambiando esas letras por paréntesis. Bien allí la tenemos, ahora reemplazamos en estos espacios los valores, comenzamos con el valor de B que es menos 140, también lo reemplazamos por acá, luego tenemos el valor de A que es 1 y finalmente el valor de C que es 1875. Continuamos resolviendo, X será igual a lo siguiente, aquí menos por menos nos da más, esto nos queda 140 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 140 al cuadrado, eso nos da 19600, nos da positivo, lo que tenemos menos 4 por 1 por 1875, eso nos da 7500 y todo eso nos queda sobre 2 por 1 que es 2. Continuamos resolviendo, X es igual a 140, más o menos la raíz cuadrada de 19600 menos 7500 nos da 12000 cero y todo eso nos queda sobre 2. Ahora la raíz cuadrada de 12100 la podemos resolver de la siguiente forma, tenemos aquí esa operación y el número 12100 lo podemos descomponer en 121 por 100 y a su vez allí podemos repartir la raíz para esas dos cantidades porque están multiplicando raíz cuadrada de 121 por la raíz cuadrada de 100 y tenemos allí dos raíces que son exactas, la raíz cuadrada de 121 nos da 11 y la raíz cuadrada de 100 nos da 10 y finalmente multiplicamos esas dos cantidades, 11 por 10 nos da 110. Entonces X será igual a 140, más o menos el resultado de esa raíz que nos dio 110 y todo eso sobre 2. Allí podemos determinar las dos soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado, vamos con la primera que es cuando consideramos la opción menos nos queda X igual a 140 menos 110, todo esto dividido entre 2, resolvemos en el numerador esa resta nos da 30 y nos queda 30 medios que equivale a 15, 15 es una de las soluciones, la otra se obtiene al considerar la opción más, entonces será X igual a 140 más 110 y todo esto dividido entre 2, efectuando esa suma del numerador nos da 250 y esto al dividirlo entre 2 nos da como resultado 125. Entonces anotamos esos dos valores de X por acá que repetimos son las soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado y para cada uno de ellos vamos a encontrar los respectivos valores de Y y Z utilizando estas dos expresiones, la número 4 y la número 3. Entonces para X igual a 15 vamos a la expresión número 4 y determinamos el valor de Y, nos queda Y igual a 75 menos 2 por X es decir 2 por 15, allí reemplazamos el valor de X, resolvemos esas operaciones nos queda 75 menos 2 por 15 que es 30, recordemos que aquí primero se hace la multiplicación y finalmente 75 menos 30 nos da 45, entonces para X igual a 15 el valor correspondiente de Y será 45. Ahora vamos a la expresión 3 para averiguar el valor de Z, Z es igual a X más 120, Z será entonces igual a X que toma el valor 15 y eso más 120, detectuando esa suma nos da 135, entonces para X igual a 15 el valor correspondiente de Z será 135. Vamos ahora con el otro valor de X que es 125, ingresamos a la expresión 4 para averiguar el valor de Y, tenemos Y es igual a 75 menos 2X, o sea 2 por 125, resolvemos esas operaciones comenzando por la multiplicación nos queda 75 menos 2 por 125 que es 250 y efectuando esa resta nos da menos 175, entonces decimos que el valor correspondiente de Y para X igual a 125 es menos 175. Por último utilizamos la expresión 3 para encontrar el valor de Z, Z es igual a X que en este caso es 125 y eso más 120, entonces efectuando esa suma nos da como resultado 245, anotamos eso por acá, el valor de Z que corresponde a X igual a 125 será 245, de esta manera terminamos el problema y se tienen dos soluciones, entonces la respuesta 1 será la siguiente, las tres cantidades que buscamos son X igual a 15, Y igual a 45, Z igual a 135, la otra respuesta, respuesta 2 será la siguiente, X igual a 125, Y igual a menos 175 y Z igual a 245. En algunos casos se cumplen las tres condiciones del problema, analicemos la primera solución, allí tenemos las tres cantidades, las tres partes que forman el número 195, si hacemos la suma de ellas esto nos da 60 y 60 más 135 nos da efectivamente 195, también estas tres cantidades forman una progresión geométrica, si dividimos 45 entre 15 nos da 3 y si dividimos 135 entre 45 nos da 3, o sea que es una progresión geométrica con razón igual a 3 y también vemos que el tercer término excede al primero en 120 que es lo que nos plantea la tercera condición del problema. En la segunda situación también tenemos que la suma de estas tres cantidades nos da 195, al sumar estas dos nos da menos 50 y menos 50 más 245, efectivamente nos da 195, probamos la condición para que sea progresión geométrica, al dividir esta cantidad entre esta nos da menos 7 quintos, o sea menos 1.4 y al dividir esta entre esta también nos da menos 7 quintos o menos 1.4, cumple el requisito de una progresión geométrica y por último el tercer término o la tercera cantidad excede a la primera en 120 que es lo que nos indica la tercera condición.
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semejantes."}, {"start": 179.52, "end": 190.52, "text": " Entonces X m\u00e1s X nos da 2X, eso queda m\u00e1s Y m\u00e1s 120 igual a 195."}, {"start": 190.52, "end": 194.64000000000001, "text": " Y de all\u00ed vamos a realizar el despeje de la letra Y."}, {"start": 194.64000000000001, "end": 197.92000000000002, "text": " Entonces vamos a pasar estos dos t\u00e9rminos al otro lado."}, {"start": 197.92000000000002, "end": 206.72, "text": " Nos queda entonces 195 y esa cantidad recibe a menos 2X y a menos 120."}, {"start": 206.72, "end": 212.32, "text": " Las cantidades que est\u00e1n sumando a este lado pasan al otro lado a restar."}, {"start": 212.32, "end": 215.68, "text": " Podemos efectuar la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros."}, {"start": 215.68, "end": 224.64, "text": " Entonces Y ser\u00e1 igual a lo siguiente, 195 menos 120 nos da 75 y esto queda menos 2X."}, {"start": 224.64, "end": 232.64, "text": " Obtenemos as\u00ed una nueva expresi\u00f3n que vamos a anotar por ac\u00e1, Y igual a 75 menos 2X y"}, {"start": 232.64, "end": 238.32, "text": " vamos a etiquetar como la expresi\u00f3n n\u00famero 4."}, {"start": 238.32, "end": 244.88, "text": " Ahora, en la expresi\u00f3n 1 tenemos lo que en matem\u00e1ticas se llama una proporci\u00f3n, es decir"}, {"start": 244.88, "end": 247.6, "text": " la igualdad de dos razones."}, {"start": 247.6, "end": 253.54, "text": " En toda proporci\u00f3n estos elementos se llaman extremos y estos dos se llaman medios y se"}, {"start": 253.54, "end": 259.76, "text": " cumple la propiedad que dice lo siguiente, el producto de extremos es igual al producto"}, {"start": 259.76, "end": 261.2, "text": " de los medios."}, {"start": 261.2, "end": 268.56, "text": " En otras palabras, Y por Y es decir, Y al cuadrado debe ser igual a X por Z."}, {"start": 268.56, "end": 274.08, "text": " All\u00ed estamos aplicando la propiedad fundamental de las proporciones."}, {"start": 274.08, "end": 279.48, "text": " En esa expresi\u00f3n que hemos obtenido vamos a reemplazar el equivalente de Y que lo tenemos"}, {"start": 279.48, "end": 285.36, "text": " en la expresi\u00f3n 4 y el equivalente de Z que lo tenemos en la expresi\u00f3n 3."}, {"start": 285.36, "end": 291.72, "text": " Nuevamente hacemos una sustituci\u00f3n, 4 y 3 entran aqu\u00ed en esa expresi\u00f3n."}, {"start": 291.72, "end": 301.08000000000004, "text": " Nos queda entonces Y que se cambia por 75 menos 2X, todo esto va al cuadrado igual a"}, {"start": 301.08000000000004, "end": 308.0, "text": " X por Z, menos Z equivale a X m\u00e1s 120."}, {"start": 308.0, "end": 311.6, "text": " Protegemos esas expresiones con par\u00e9ntesis."}, {"start": 311.6, "end": 317.24, "text": " Lo que hacemos ahora es resolver esta ecuaci\u00f3n a la que hemos llegado y como se observa ahora"}, {"start": 317.24, "end": 321.04, "text": " tiene una sola inc\u00f3gnita que es X."}, {"start": 321.04, "end": 325.92, "text": " Comenzamos desarrollando esto que tenemos ac\u00e1 y es un binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 325.92, "end": 331.96000000000004, "text": " Recordemos que esto es igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado, es decir, 75 al cuadrado menos"}, {"start": 331.96000000000004, "end": 339.98, "text": " dos veces el primer t\u00e9rmino que es 75 por el segundo que es 2X m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 339.98, "end": 343.92, "text": " que es 2X y esto elevado al cuadrado."}, {"start": 343.92, "end": 349.56, "text": " All\u00ed hemos aplicado el producto notable llamado binomio al cuadrado y aqu\u00ed vamos a romper"}, {"start": 349.56, "end": 353.16, "text": " este par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 353.16, "end": 361.88, "text": " X por X nos da X al cuadrado m\u00e1s X por 120 que nos da 120X."}, {"start": 361.88, "end": 364.8, "text": " Enseguida desarrollamos estas operaciones."}, {"start": 364.8, "end": 373.56, "text": " Comenzamos con 75 al cuadrado que nos da 5625, luego nos queda menos 2 por 75 eso nos da"}, {"start": 373.56, "end": 378.92, "text": " 150 y eso por 2X es 300X."}, {"start": 378.92, "end": 385.2, "text": " Luego tenemos m\u00e1s 2X todo eso al cuadrado, aqu\u00ed el exponente 2 afecta estas dos cantidades"}, {"start": 385.2, "end": 391.24, "text": " porque est\u00e1n multiplicando, entonces 2 al cuadrado nos da 4 y queda acompa\u00f1ado de X"}, {"start": 391.24, "end": 399.40000000000003, "text": " al cuadrado y todo esto es igual a X al cuadrado m\u00e1s 120X."}, {"start": 399.40000000000003, "end": 404.88, "text": " Como se observa esto empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado."}, {"start": 404.88, "end": 409.88, "text": " Vamos entonces a organizarla igual\u00e1ndola a cero, es decir, vamos a pasar estos dos"}, {"start": 409.88, "end": 412.36, "text": " t\u00e9rminos al lado izquierdo."}, {"start": 412.36, "end": 424.24, "text": " Nos queda 5625 menos 300X, luego tenemos m\u00e1s 4X al cuadrado y pasamos estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 424.24, "end": 431.72, "text": " Llegan a restar al lado izquierdo menos X al cuadrado menos 120X y todo esto igual a"}, {"start": 431.72, "end": 433.36, "text": " cero."}, {"start": 433.36, "end": 438.48, "text": " Seguimos organizando la ecuaci\u00f3n, vamos a operar los t\u00e9rminos que contienen X al cuadrado,"}, {"start": 438.48, "end": 445.76, "text": " con t\u00e9rminos semejantes, entonces 4X al cuadrado menos X al cuadrado nos da 3X al cuadrado."}, {"start": 445.76, "end": 450.92, "text": " Ahora vamos con los t\u00e9rminos que contienen X, ser\u00eda este t\u00e9rmino y este de ac\u00e1, esa"}, {"start": 450.92, "end": 461.24, "text": " operaci\u00f3n nos da menos 420X y luego tenemos el t\u00e9rmino independiente que es m\u00e1s 5625"}, {"start": 461.24, "end": 465.0, "text": " y todo eso est\u00e1 igualado a cero."}, {"start": 465.0, "end": 470.8, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar esa ecuaci\u00f3n dividi\u00e9ndola por tres, porque estos tres n\u00fameros cumplen"}, {"start": 470.8, "end": 478.16, "text": " con esa condici\u00f3n, l\u00f3gicamente tres es divisible por s\u00ed mismo, aqu\u00ed 420, hacemos la prueba"}, {"start": 478.16, "end": 483.32, "text": " para saber si un n\u00famero es divisible por tres, sumamos sus d\u00edgitos, 4 m\u00e1s 2 nos da"}, {"start": 483.32, "end": 490.76, "text": " 6, 6 m\u00e1s 0 es 6, 6 es divisible por 3, por lo tanto 420 ser\u00e1 divisible por 3 y ac\u00e1"}, {"start": 490.76, "end": 498.08, "text": " 5 m\u00e1s 6 nos da 11, 11 m\u00e1s 2 es 13, 13 m\u00e1s 5 es 18, entonces como el resultado es divisible"}, {"start": 498.08, "end": 502.88, "text": " por 3, este n\u00famero tambi\u00e9n ser\u00e1 divisible por 3."}, {"start": 502.88, "end": 508.64, "text": " Entonces como dec\u00edamos vamos a simplificar la ecuaci\u00f3n dividi\u00e9ndola toda por 3, nos"}, {"start": 508.64, "end": 515.36, "text": " queda as\u00ed, 3X al cuadrado dividido entre 3 nos da X al cuadrado, luego tenemos menos"}, {"start": 515.36, "end": 526.6800000000001, "text": " 420 dividido entre 3 nos da 140, queda acompa\u00f1ado de X y luego tenemos m\u00e1s 5625 dividido entre"}, {"start": 526.6800000000001, "end": 536.32, "text": " 3, eso nos da 1875 y al otro lado 0 dividido entre 3 que permanece como 0."}, {"start": 536.32, "end": 542.84, "text": " Llegamos as\u00ed a una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado, cuyo modelo es AX al cuadrado"}, {"start": 542.84, "end": 550.6, "text": " m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0. Vamos entonces a utilizar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula"}, {"start": 550.6, "end": 557.4, "text": " general para resolver esa ecuaci\u00f3n, entonces vamos a identificar los valores de A, B y"}, {"start": 557.4, "end": 563.12, "text": " C, comenzamos con A que es el coeficiente de X al cuadrado, en este caso A es igual"}, {"start": 563.12, "end": 571.6800000000001, "text": " a 1, luego vamos con B que es el coeficiente de X, en este caso es menos 140 y despu\u00e9s"}, {"start": 571.68, "end": 580.1999999999999, "text": " tenemos C que es el t\u00e9rmino independiente, en este caso 1875. Vamos entonces a escribir"}, {"start": 580.1999999999999, "end": 587.4, "text": " por ac\u00e1 la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general cambiando esas letras por par\u00e9ntesis."}, {"start": 587.4, "end": 592.8, "text": " Bien all\u00ed la tenemos, ahora reemplazamos en estos espacios los valores, comenzamos"}, {"start": 592.8, "end": 601.0799999999999, "text": " con el valor de B que es menos 140, tambi\u00e9n lo reemplazamos por ac\u00e1, luego tenemos el"}, {"start": 601.08, "end": 612.64, "text": " valor de A que es 1 y finalmente el valor de C que es 1875. Continuamos resolviendo,"}, {"start": 612.64, "end": 619.44, "text": " X ser\u00e1 igual a lo siguiente, aqu\u00ed menos por menos nos da m\u00e1s, esto nos queda 140"}, {"start": 619.44, "end": 628.72, "text": " positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 140 al cuadrado, eso nos da 19600,"}, {"start": 628.72, "end": 638.24, "text": " nos da positivo, lo que tenemos menos 4 por 1 por 1875, eso nos da 7500 y todo eso nos"}, {"start": 638.24, "end": 648.24, "text": " queda sobre 2 por 1 que es 2. Continuamos resolviendo, X es igual a 140, m\u00e1s o menos"}, {"start": 648.24, "end": 658.44, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 19600 menos 7500 nos da 12000 cero y todo eso nos queda sobre 2."}, {"start": 658.44, "end": 665.2, "text": " Ahora la ra\u00edz cuadrada de 12100 la podemos resolver de la siguiente forma, tenemos aqu\u00ed"}, {"start": 665.2, "end": 676.2, "text": " esa operaci\u00f3n y el n\u00famero 12100 lo podemos descomponer en 121 por 100 y a su vez all\u00ed"}, {"start": 676.2, "end": 683.2800000000001, "text": " podemos repartir la ra\u00edz para esas dos cantidades porque est\u00e1n multiplicando ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 683.28, "end": 691.68, "text": " de 121 por la ra\u00edz cuadrada de 100 y tenemos all\u00ed dos ra\u00edces que son exactas, la ra\u00edz"}, {"start": 691.68, "end": 699.68, "text": " cuadrada de 121 nos da 11 y la ra\u00edz cuadrada de 100 nos da 10 y finalmente multiplicamos"}, {"start": 699.68, "end": 710.4, "text": " esas dos cantidades, 11 por 10 nos da 110. Entonces X ser\u00e1 igual a 140, m\u00e1s o menos"}, {"start": 710.4, "end": 718.72, "text": " el resultado de esa ra\u00edz que nos dio 110 y todo eso sobre 2. All\u00ed podemos determinar"}, {"start": 718.72, "end": 724.36, "text": " las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado, vamos con la primera que"}, {"start": 724.36, "end": 735.16, "text": " es cuando consideramos la opci\u00f3n menos nos queda X igual a 140 menos 110, todo esto dividido"}, {"start": 735.16, "end": 741.88, "text": " entre 2, resolvemos en el numerador esa resta nos da 30 y nos queda 30 medios que equivale"}, {"start": 741.88, "end": 750.76, "text": " a 15, 15 es una de las soluciones, la otra se obtiene al considerar la opci\u00f3n m\u00e1s,"}, {"start": 750.76, "end": 760.8, "text": " entonces ser\u00e1 X igual a 140 m\u00e1s 110 y todo esto dividido entre 2, efectuando esa suma"}, {"start": 760.8, "end": 770.5999999999999, "text": " del numerador nos da 250 y esto al dividirlo entre 2 nos da como resultado 125. Entonces"}, {"start": 770.5999999999999, "end": 776.1999999999999, "text": " anotamos esos dos valores de X por ac\u00e1 que repetimos son las soluciones de la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 776.1999999999999, "end": 782.4399999999999, "text": " cuadr\u00e1tica o de segundo grado y para cada uno de ellos vamos a encontrar los respectivos"}, {"start": 782.4399999999999, "end": 790.4399999999999, "text": " valores de Y y Z utilizando estas dos expresiones, la n\u00famero 4 y la n\u00famero 3. Entonces para"}, {"start": 790.44, "end": 796.7600000000001, "text": " X igual a 15 vamos a la expresi\u00f3n n\u00famero 4 y determinamos el valor de Y, nos queda"}, {"start": 796.7600000000001, "end": 807.2800000000001, "text": " Y igual a 75 menos 2 por X es decir 2 por 15, all\u00ed reemplazamos el valor de X, resolvemos"}, {"start": 807.2800000000001, "end": 813.5400000000001, "text": " esas operaciones nos queda 75 menos 2 por 15 que es 30, recordemos que aqu\u00ed primero"}, {"start": 813.54, "end": 820.8, "text": " se hace la multiplicaci\u00f3n y finalmente 75 menos 30 nos da 45, entonces para X igual"}, {"start": 820.8, "end": 829.4, "text": " a 15 el valor correspondiente de Y ser\u00e1 45. Ahora vamos a la expresi\u00f3n 3 para averiguar"}, {"start": 829.4, "end": 837.52, "text": " el valor de Z, Z es igual a X m\u00e1s 120, Z ser\u00e1 entonces igual a X que toma el valor"}, {"start": 837.52, "end": 847.68, "text": " 15 y eso m\u00e1s 120, detectuando esa suma nos da 135, entonces para X igual a 15 el valor"}, {"start": 847.68, "end": 856.72, "text": " correspondiente de Z ser\u00e1 135. Vamos ahora con el otro valor de X que es 125, ingresamos"}, {"start": 856.72, "end": 867.16, "text": " a la expresi\u00f3n 4 para averiguar el valor de Y, tenemos Y es igual a 75 menos 2X, o"}, {"start": 867.16, "end": 875.3199999999999, "text": " sea 2 por 125, resolvemos esas operaciones comenzando por la multiplicaci\u00f3n nos queda"}, {"start": 875.3199999999999, "end": 886.0, "text": " 75 menos 2 por 125 que es 250 y efectuando esa resta nos da menos 175, entonces decimos"}, {"start": 886.0, "end": 893.64, "text": " que el valor correspondiente de Y para X igual a 125 es menos 175."}, {"start": 893.64, "end": 903.48, "text": " Por \u00faltimo utilizamos la expresi\u00f3n 3 para encontrar el valor de Z, Z es igual a X que"}, {"start": 903.48, "end": 912.4399999999999, "text": " en este caso es 125 y eso m\u00e1s 120, entonces efectuando esa suma nos da como resultado"}, {"start": 912.4399999999999, "end": 923.36, "text": " 245, anotamos eso por ac\u00e1, el valor de Z que corresponde a X igual a 125 ser\u00e1 245,"}, {"start": 923.36, "end": 929.4, "text": " de esta manera terminamos el problema y se tienen dos soluciones, entonces la respuesta"}, {"start": 929.4, "end": 938.6800000000001, "text": " 1 ser\u00e1 la siguiente, las tres cantidades que buscamos son X igual a 15, Y igual a 45,"}, {"start": 938.6800000000001, "end": 952.5600000000001, "text": " Z igual a 135, la otra respuesta, respuesta 2 ser\u00e1 la siguiente, X igual a 125, Y igual"}, {"start": 952.56, "end": 959.8, "text": " a menos 175 y Z igual a 245."}, {"start": 959.8, "end": 965.68, "text": " En algunos casos se cumplen las tres condiciones del problema, analicemos la primera soluci\u00f3n,"}, {"start": 965.68, "end": 972.3199999999999, "text": " all\u00ed tenemos las tres cantidades, las tres partes que forman el n\u00famero 195, si hacemos"}, {"start": 972.3199999999999, "end": 980.5999999999999, "text": " la suma de ellas esto nos da 60 y 60 m\u00e1s 135 nos da efectivamente 195, tambi\u00e9n estas"}, {"start": 980.6, "end": 988.5600000000001, "text": " tres cantidades forman una progresi\u00f3n geom\u00e9trica, si dividimos 45 entre 15 nos da 3 y si dividimos"}, {"start": 988.5600000000001, "end": 997.08, "text": " 135 entre 45 nos da 3, o sea que es una progresi\u00f3n geom\u00e9trica con raz\u00f3n igual a 3 y tambi\u00e9n"}, {"start": 997.08, "end": 1004.24, "text": " vemos que el tercer t\u00e9rmino excede al primero en 120 que es lo que nos plantea la tercera"}, {"start": 1004.24, "end": 1006.6800000000001, "text": " condici\u00f3n del problema."}, {"start": 1006.68, "end": 1011.16, "text": " En la segunda situaci\u00f3n tambi\u00e9n tenemos que la suma de estas tres cantidades nos da"}, {"start": 1011.16, "end": 1021.16, "text": " 195, al sumar estas dos nos da menos 50 y menos 50 m\u00e1s 245, efectivamente nos da 195,"}, {"start": 1021.16, "end": 1026.2, "text": " probamos la condici\u00f3n para que sea progresi\u00f3n geom\u00e9trica, al dividir esta cantidad entre"}, {"start": 1026.2, "end": 1033.3, "text": " esta nos da menos 7 quintos, o sea menos 1.4 y al dividir esta entre esta tambi\u00e9n nos"}, {"start": 1033.3, "end": 1040.1599999999999, "text": " da menos 7 quintos o menos 1.4, cumple el requisito de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica y"}, {"start": 1040.1599999999999, "end": 1046.72, "text": " por \u00faltimo el tercer t\u00e9rmino o la tercera cantidad excede a la primera en 120 que es"}, {"start": 1046.72, "end": 1073.8, "text": " lo que nos indica la tercera condici\u00f3n."}]