LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 19
#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico utilizando conjugación y factorización como estrategia de solución.

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 ¿Qué es el valor de x? Para resolver este límite algebraico, lo primero que hacemos es evaluar esta expresión cuando x toma el valor 3. Veamos, en el numerador nos queda 2 por 3 más 3, todo esto dentro de la raíz cuadrada, eso menos el valor de x que es 3, y en el denominador tenemos x que se cambia por 3 menos 3. Vamos a resolver entonces esas operaciones, aquí tenemos 2 por 3 es 6, 6 más 3 nos da 9, la raíz cuadrada de 9 es 3, y 3 menos 3 es 0 en el numerador, y en el denominador 3 menos 3 también nos da 0, entonces llegamos a una forma indeterminada, 0 sobre 0, que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresión para poder dar la respuesta correcta a ese límite, no podemos dejarla aquí como 0 sobre 0. La estrategia que vamos a utilizar es multiplicar en el numerador y en el denominador por el conjugado de la expresión que tenemos en el numerador, entonces esto nos queda así, límite cuando x tiende a 3, d, en el numerador tenemos la raíz cuadrada de 2x más 3, todo esto menos x, entonces vamos a proteger esto con paréntesis y vamos a multiplicar por el conjugado de esa expresión que será la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo esto más x, recordemos que el conjugado de a menos b es a más b y viceversa, y en el denominador tendremos la expresión x menos 3 que protegemos con paréntesis y acá multiplicamos por esto mismo, entonces por la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo esto más x. Ahora en el numerador lo que hacemos es aplicar un producto notable, el producto notable llamado suma por diferencia, vamos a recortarlo por acá, si tenemos la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas o la diferencia por la suma, recordemos que la multiplicación es conmutativa, esto nos produce una diferencia de cuadrados perfectos, es decir el primer término elevado al cuadrado menos el segundo término también elevado al cuadrado, entonces es la situación que tenemos acá, eso nos va a dar el primer componente que es la raíz cuadrada de 2x más 3, todo esto elevado al cuadrado menos el segundo componente que es x también elevada al cuadrado y en el denominador nos queda esto mismo, x menos 3 que multiplica con esto la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo esto más x. Vamos a resolver ahora lo que nos quedó en el numerador, tendremos límite cuando x tiende a 3 de lo siguiente, aquí el exponente 2 destruye o elimina la raíz cuadrada y entonces nos queda libre 2x más 3, acá tendremos menos x al cuadrado y en el denominador la misma expresión x menos 3 que multiplica con la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo esto más x, extendemos esta línea. Miremos por acá aparte que le podemos hacer al numerador, esa expresión puede organizarse como menos x al cuadrado más 2x más 3, simplemente cambiamos de posición los términos organizando ese trinomio en forma descendente, es decir comenzamos con el término de mayor exponente, allí podemos extraer como factor común el signo negativo, eso implica que los signos de estos términos nos van a cambiar, nos queda entonces dentro del paréntesis x al cuadrado menos 2x menos 3 y esta expresión puede factorizarse, esto corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, vamos a realizar la factorización, abrimos 2 paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería x, la escribimos al comienzo de cada paréntesis, ahora definimos los signos, el signo de este paréntesis será este que tenemos acá, es decir más multiplicado por menos, más por menos nos da menos y menos por menos nos da más que es el signo del segundo paréntesis. Ahora debemos buscar dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados entre sí nos den menos 3 y que al sumarlos nos de menos 2, esos números son menos 3 y más 1, entonces esta expresión va a reemplazar a esta, hacemos entonces esa sustitución y nos queda límite cuando x tiende a 3 de lo siguiente, en el numerador esto que obtuvimos, menos x menos 3 por x más 1 y en el denominador tendremos la misma expresión, x menos 3 por la raíz cuadrada de 2x más 3 y esto más x. Como podemos observar en esta fracción algebraica hay un factor repetido en el numerador y en el denominador, una expresión que está multiplicando en los dos componentes, se trata de x menos 3 por lo tanto podemos cancelar o eliminar ese factor, nos queda entonces límite cuando x tiende a 3 de lo siguiente, en el numerador menos que acompaña a x más 1 y en el denominador nos queda esta expresión a la que ya podemos quitarle el paréntesis, la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo eso más x. Ahora lo que hacemos es evaluar otra vez esta expresión cuando x toma el valor 3, eso lo hacemos con total tranquilidad porque ya logramos cancelar o eliminar el factor problema, el causante del 0 sobre 0 que nos daba al principio, entonces vamos a reemplazar 3 en esta expresión, en el numerador nos queda menos paréntesis 3 más 1 y en el denominador la raíz cuadrada de 2 por 3 más 3 y todo esto más el valor de x que se cambia por 3. Resolvemos las operaciones que hay allí, entonces en el numerador tendremos menos 4 resolviendo lo que hay dentro del paréntesis y en el denominador tendremos 2 por 3 es 6, 6 más 3 es 9, la raíz cuadrada de 9 nos da 3 y 3 más 3 es 6, menos 4 sextos es una fracción que se puede simplificar, vamos a colocar el signo menos en la mitad y podemos sacar mitad en el numerador y en el denominador, decimos mitad de 4 es 2 y mitad de 6 es 3, llegamos a menos dos tercios, una fracción irreducible o sea que no se puede simplificar más, esta será entonces la respuesta, es el resultado para ese límite algebraico.
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