
Der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt ist der Wirkungsquerschnitt, der die Winkelverteilung von Photonen angibt, die an ruhenden, punktförmigen, geladenen Teilchen gestreut werden (Compton-Streuung).
Er wurde 1929 von Oskar Klein und Yoshio Nishina für das Elektron berechnet und war eines der ersten Ergebnisse der Quantenelektrodynamik.
Er stimmt mit den experimentellen Ergebnissen überein.
In diesem Artikel wird die Rechnung für das Elektron nachvollzogen; für andere punktförmige Teilchen sind die Elementarladung formula_1 und die Elektronenmasse formula_2 durch entsprechende Parameter abzuändern.
Die nun folgenden Formeln sind nicht im SI-System, sondern in einem für die Teilchenphysik angepassten natürlichen Einheitensystem angeschrieben, in dem gilt:
Definition.
Bei der Photon-Teilchen-Streuung legen in einer halbklassischen Rechnung Energie- und Impulserhaltung fest, wie die Energie formula_4 des gestreuten Photons vom Streuwinkel formula_5 und der ursprünglichen Photonenenergie formula_6 abhängt (siehe Compton-Effekt):
Aus den Erhaltungssätzen folgt aber "nicht", wie häufig dieser oder jener Streuwinkel auftritt.
Diese Häufigkeit wird durch den differentiellen Wirkungsquerschnitt formula_8 angegeben.
Er lautet im Laborsystem für unpolarisierte Photonen:
mit
Eine Integration über den differentiellen Wirkungsquerschnitt liefert den totalen Wirkungsquerschnitt:
mit der Abkürzung formula_14.
Grenzfälle.
Niederenergetischer Grenzfall.
Für Photonenergien, die klein gegen die Ruheenergie des Elektrons sind, gilt aufgrund der Masselosigkeit des Photons formula_15 und somit
dann geht der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt gegen den Thomson-Wirkungsquerschnitt, den Joseph Thomson für die Streuung einer elektromagnetischen Welle an einer Punktladung berechnet hatte:
mit dem Polarisationsfaktor formula_18.
Für kleine Energien ist Rückwärtsstreuung des Photons also genauso wahrscheinlich wie Vorwärtsstreuung (vgl. Abbildung); erst bei höheren Energien wird Vorwärtsstreuung wahrscheinlicher (s. u.).
Für niederenergetische Photonen ist der totale Wirkungsquerschnitt nach einer Integration über den Raumwinkel formula_19 bis auf einen Faktor 8/3 die Fläche einer Kreisscheibe, deren Radius der klassische Elektronenradius formula_20 ist:
mit der Elektronenmasse formula_22.
Hochenergetischer Grenzfall.
Der totale Wirkungsquerschnitt im hochenergetischen Grenzfall formula_23 ergibt sich aus einer Entwicklung im Parameter formula_24 zu
Er fällt demnach bei hohen Photonenenergien mit der Energie ab.
Herleitung.
Der fundamentale Prozess, der zum Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt führt, ist die Compton-Streuung formula_26.
Bezeichnet formula_27 den Impuls des einlaufenden Elektrons und formula_28 den des ein(aus)laufenden Photons (der Impuls des auslaufenden Elektrons formula_29 ist durch den Energie-Impuls-Erhaltungssatz bestimmt und keine unabhängige Größe), so lautet das Spin-gemittelte quadrierte Matrixelement der Streumatrix:
Für die Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnitts aus dem lorentzinvarianten Matrixelement muss ein Bezugssystem gewählt werden, im Fall des Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitts das Ruhesystem des Elektrons.
Weiterhin können die Koordinaten so gewählt werden, dass das einfallende Photon in formula_31-Richtung propagiert.
Dann gilt mit formula_32 und formula_33 sowie formula_34 für das Matrixelement
Den Quotienten der Energien von gestreutem und einfallenden Photon erhält man über den Energie-Impuls-Erhaltungssatz mittels
wie bereits obig postuliert, zu
Der differentielle Wirkungsquerschnitt ergibt sich nun quantenfeldtheoretisch nach
mit den Energien formula_39 der Streupartner, der Geschwindigkeitsdifferenz formula_40 sowie dem Phasenraum-Integral
wobei formula_42 für die Viererimpulse der eingehenden (ausgehenden) Teilchen stehen und die Delta-Distribution die Energie-Impuls-Erhaltung sichert.
Im Fall der Compton-Streuung ergibt sich das Phasenraumintegral schließlich zu
sowie aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit trivialerweise formula_44.
Alles zusammengefügt und mithilfe des Energie-Impuls-Erhaltungssatzes teilweise vereinfacht, ergibt dies schließlich den Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt