  By using meromorphic "characters" and "logarithms" built up from Euler's
Gamma function, and by using convergent factorial series, we will give, in a
first pat, a "normal form" to the solutions of a singular regular system. It
will enable us to define a connexion matrix for a regular singular system.
Following one of Birkhoff's idea, we will then study its link with the problem
of rational classification of system. In a second part, we will be interested
in the confluence of fuchsian difference systems to differential systems. We
will show more particularly how we can get, under some natural hypotheses, the
local monodromies of a limit differential system from the connection matrices
of the deformation that we consider. The use of factorial series (which can
diverge as power series) distinguish regular singular difference systems from
their differential and q-difference analogues and make their study more
difficult.
  En choisissant des "caracteres" et des "logarithmes", meromorphes sur le plan
complexe, construits a l'aide de la fonction Gamma d'Euler, et en utilisant des
series de factorielles convergentes, nous sommes en mesure, dans une premiere
partie, de donner une "forme normale" pour les solutions d'un systeme aux
differences singulier regulier. Nous pouvons alors definir une matrice de
connexion d'un tel systeme.
  Nous etudions ensuite, suivant une idee de G.D. Birkhoff, le lien de
celles-ci avec le probleme de la classification rationnelle des systemes. Dans
une deuxieme partie, nous nous interessons la confluence des systemes aux
differences fuchsiens vers les systemes differentiels. Nous montrons en
particulier comment, sous certaines hypotheses naturelles, on peut reconstituer
les monodromies locales d'un systeme differentiel limite a partir des matrices
meromorphes de connexion des deformations considerees. Le point central, qui
distingue en profondeur les systemes aux differences singuliers reguliers de
leurs homonymes differentiels ou aux q-differences et qui rend leur etude plus
complexe, est la necessaire utilisation de series de factorielles (qui peuvent
diverger en tant que series de puissances).

Classical Analysis and ODEs