דוד אשרי נולד בפירנצה למשפחה טוסקנית עתיקת יומין, וגדל בבית שומר מסורת. אביו, אנצו יוסף בונבנטורה, היה פרופסור לפסיכולוגיה באוניברסיטת פירנצה. אשרי למד מגיל שש עד עשר בבית ספר יהודי בשם "תלמוד תורה" ואחרי כן למד שנתיים בגימנסיה "מיכלאנג'לו". לאחר פרסום חוקי הגזע ב-1938, כשנאסר על היהודים ללמוד בבתי ספר כלליים, למד אשרי במשך שנה בבית ספר התיכון של הקהילה היהודית. גם אביו פוטר מעבודתו ומכיוון שהיה ציוני החליט לעלות לארץ להכיר אותה וגם לטפל במשרה באוניברסיטה העברית. לאחר חצי שנה, בספטמבר 1939, עלה לארץ ישראל גם דוד עם אמו מתילדה (לבית פסיליי) ושני אחיו, עמנואל ודניאל, עם סרטיפיקטים מטעם האוניברסיטה העברית. אשרי למד בבית הספר התיכון הדתי "במעלה" ואחר כך בסמינר למורים "מזרחי". הוא נמשך בעיקר למתמטיקה והתכוון ללמוד מתמטיקה באוניברסיטה, אבל בגלל מלחמת העצמאות התחיל ללמוד בגיל 27, גיל מבוגר מדי לדעתו למתמטיקה. לפני הקמת המדינה היה מגויס בפרוזדור ירושלים ובהגנה על העיר ומיד עם הקמת המדינה עבר לגדוד "מוריה", הגדוד העשירי של הפלמ"ח, שבו שירת במלחמת העצמאות, בתפקיד מ"כ סיירים. אביו נהרג בשיירה להר הצופים. האוניברסיטה העברית הציעה לקרובי הקרבנות פנסיה או עבודה באוניברסיטה. אמו של אשרי בחרה בעבודה באוניברסיטה ולימדה בחוג ללימודים רומניים את השפות איטלקית, צרפתית וספרדית. אשרי היה ממקימי קיבוץ יראון בגליל העליון, ממנו גורש ב-1952 בעקבות הפילוג במפ"ם בשל השתייכותו האידאולוגית לקבוצת משה סנה. הוא שב לירושלים והחל לעבוד בספריה הלאומית וללמוד. בשנת 1953 נשא לאשה את מאיה אשרי לבית מלניק (1932–2013) ונולדו להם שתי בנות.
איזה מקצועות לימדה אמו של דוד אשרי באוניברסיטה?
לימדה בחוג ללימודים רומניים את השפות איטלקית, צרפתית וספרדית