test.csv

formula,name,topic,context
\[|f(x)|\leqslant C|g(x)|\],«O» большое,Математический анализ;Анализ алгоритмов,"Если в правой части уравнения находится только асимптотическое обозначение (например \(n=O(n^{2})\)), то знак равенства обозначает принадлежность множеству (\(n\in O(n^{2})\))."
\[\Delta =\sup _{a\leqslant x\leqslant b}|f(x)-g(x)|\],Абсолютное отклонение,Математический анализ;Математическая статистика,"В случаях, когда заведомо известно, что выбранная точка является константой, а распределение элементов данных симметрично относительно неё, — при отсутствии дополнительных данных за точку отсчёта абсолютного отклонения принимается медиана или среднее значение рассматриваемой совокупности данных: \(|D|=|x_{i}-m(X)|\),
где \(|D|\) — абсолютное отклонение, \(x_{i}\) — элемент совокупности данных, \(m(X)\) — одно из средних значений совокупности данных; это может быть среднее арифметическое (\({\overline {x}}\)), но чаще всего в качестве среднего значения берётся медиана."
\[\Psi (\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\mathrm {d} t\],Автокорреляционная функция,Случайные процессы;Регрессионный анализ;Обработка сигналов;Математическая статистика,"Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры. Изучение АКФ играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации."
"\[\forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\]",Аксиома выбора,Теория множеств;Функциональный анализ,"Функция выбора — функция на множестве множеств \(X\) такая, что для каждого множества \(s\) в \(X\), \(f(s)\) является элементом из \(s\). С использованием понятия функции выбора аксиома утверждает: Для любого семейства непустых множеств \(X\) существует функция выбора \(f\), определённая на \(X\). Или наиболее сжато: Каждое множество непустых множеств имеет функцию выбора."
"\[\forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)\]",Аксиома существования операции обратной ∗,Теория групп;Алгебра,"При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами."
"\[L\,y(x)=\sum _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k})\]",Атомарная функция,Функциональный анализ;Теория приближений,"Обстоятельства появления функции \(\operatorname {up} (x)\) связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции."
"\[\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\]",Бета-функция,Специальные функции,"Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, данная функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами: \({\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}\)."
"\[{\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}\]",Биномиальный ряд,Математический анализ,"Если \(\alpha\) является неотрицательным целым числом n, то \((n+2)\)-й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель \((n-n)\), так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона."
\[f\colon E_{2}^{n}\to E_{2}\],Булева функция,Булева алгебра;Математическая логика;Теория дискретных функций,"При работе с такими функциями происходит полное абстрагирование от того содержательного смысла, какой предполагается в алгебре высказываний. Тем не менее между ними и формулами алгебры высказываний можно установить взаимно-однозначное соответствие."
"\[V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\]",Вариация функции,Математический анализ,"Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из \(V\) будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу \(V\)), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке \([a,\;b]\)."
\[\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}\],Вторая производная,Математический анализ,"Для многих краевых задач можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов оператора. Например, если предположить, что \(x\in [0,L]\) и заданы однородные граничные условия Дирихле (то есть \(v(0)=v(L)=0\)), то собственные значения \(\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}\) и соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями) равны \(v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)\). Здесь \(v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty\)."
\[H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\],Гармоническое число,Теория чисел;Специальные функции,"Изучение этих чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана."
\[g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}\],Гауссова функция,Элементарная математика;Математический анализ;Теория вероятностей,"Существуют многомерные обобщения функции. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, функция имеет самостоятельное значение в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов."
"\[b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n+1}=b_{n}\cdot q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2\]",Геометрическая прогрессия,Элементарная математика,"Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим \(b_{n}=-{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}\), где \(n\geqslant 2\).

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим \(b_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}\), где \(j=0\) либо \(j=1\) и \(n\geqslant 2\)."
\[D[X]=\mathbb {E} \left[{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}\right]\],Дисперсия случайной величины,Математическая статистика,"Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на \(k\) стандартных отклонений, составляет менее \(1/k^{2}\). В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три."
\[\left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{matrix}}\right\],Дистрибутивность,Арифметика;Элементарная математика;Алгебра,"Относительно соответствующих аддитивных операций, мультипликативные операции в кольцах и полях, по определению, удовлетворяют данному свойству."
\[x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx\],Дифференциальный бином,Математический анализ,"Интеграл \(\int {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}dx\)
не выражается в элементарных функциях, здесь \(m=0,n=2,p={1 \over 3}\), и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.

В то же время интеграл \(\int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C\),
как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь \(m=0,n=2,p={1 \over 2}\), и \({m+1 \over n}+p=1\), то есть является целым числом."
\[A\vee \neg A\],Закон исключенного третьего,Математическая логика,"С «интуиционистской» (и, в частности, «конструктивистской») точки зрения установление истинности высказывания вида «А или не А» означает: 1) либо установление истинности \(A\); 2) либо установление истинности его отрицания \(\neg A\).
Поскольку, вообще говоря, не существует общего метода, позволяющего для любого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, данный закон не должен применяться в рамках интуиционистского и конструктивного направлений в математике как аксиома."
"\[V_{2}=V_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2}\]",Закон квадрата — куба,Биомеханика,Этот закон находит своё применение в технике и биомеханике и базируется на математическом пересчёте размеров. Его первым продемонстрировал Галилео Галилей в 1638 году в Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze («Беседы и математические доказательства двух новых наук»).
\[((P\to Q)\to P)\to P\],Закон Пирса,Математическая логика,"Данный закон является тавтологией классической логики, однако при этом как правило не выполняется в неклассических логиках, в частности в интуиционистской логике. При этом его добавление к любой аксиоматике интуиционистской логики, превращает её в классическую."
\[{\begin{matrix}\neg {(a\wedge b)}=\neg {a}\vee \neg {b}\\\neg {(a\vee b)}=\neg {a}\wedge \neg {b}\end{matrix}}\],Законы де Моргана,Математическая логика,"Если существует суждение, выраженное операцией логического умножения двух или более элементов, то есть операцией «и»: \({(A\wedge B)}\), то для того, чтобы найти обратное \({\neg (A\wedge B)}\) от всего суждения, необходимо найти обратное от каждого элемента и объединить их операцией логического сложения, то есть операцией «или»: \((\neg {A}\vee \neg {B})\). Закон работает аналогично в обратном направлении: \(\neg (A\vee B)=(\neg {A}\wedge \neg {B})\)."
\[f(u*v)=f(u)\circ f(v)\],Изоморфизм групп,Теория групп;Алгебра,"Это записывается следующим образом: \((G,*)\cong (H,\circ )\). Часто используется более короткая и простая запись. Если групповые операции не приводят к двусмысленности, их опускают: \(G\cong H\) (Иногда даже пишут просто G = H. Не приведёт ли такая запись к путанице и двусмысленности, зависит от контекста. Например, употребление знака равно не очень подходит в случае, когда две группы являются подгруппами одной и той же группы)."
"\[\mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right\]",Индикаторная функция,Теория множеств;Математический анализ;Теория вероятностей;Дискретная математика,"Альтернативными обозначениями индикатора множества \(A\) являются: \(\chi _{A}\) или \(\mathbf {I} _{A}\), а иногда даже \(A(x)\) а также скобка Айверсона \([x\in A]\). (Греческая буква \(\chi\) происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)"
"\[\mathrm {cov} (X,Y)=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]\]",Ковариация,Теория вероятностей;Математическая статистика,"По абсолютному значению данной меры нельзя судить о том, насколько сильно величины взаимосвязаны, так как масштаб ковариации зависит от их дисперсий. Её значение можно нормировать, поделив на произведение среднеквадратических отклонений (квадратных корней из дисперсий) случайных величин."
\[f(z)=u(z)+iv(z)\],Комплексная функция,Математический анализ,"Если подобная функция дифференцируема в некоторой области, она автоматически становится аналитической, что означает её разложимость в степенной ряд (ряд Тейлора) вблизи любой точки этой области. При этом данный ряд будет сходиться к функции в пределах определённого радиуса сходимости. Такое поведение сильно отличается от поведения функций действительного переменного, где наличие одной или нескольких производных вовсе не гарантирует бесконечную дифференцируемость функции."
\[A_{S}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}\],Коэффициент асимметрии,Теория вероятностей,"Неформально говоря, данный коэффициент положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент равен нулю."
"\[\sum _{x\in F_{2}^{n}}(-1)^{f(x)+<u,x>}\]",Коэффициент Уолша,Дискретная математика,"Коэффициенты могут быть вычислены за \(O(n2^{n})\) действий. Для этого нужно в начале проинициализировать массив \(a\): \(a[x]=(-1)^{f(x)}\). После чего для каждой координаты \(i\) и для каждой пары точек \(x\) и \(y\), отличающихся по \(i\)-й координате, нужно заменить значения \(a[x]\) и \(a[y]\) на \(a[x]+a[y]\) и \(a[x]-a[y]\) (считаем, что у \(x\) \(i\)-й бит сброшен, а у \(y\) установлен). Окончательное состояние массива \(a\) и будет коэффициентами Уолша."
\[\chi ^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{2}}{P_{i}(\theta )}}\],Критерий согласия Пирсона,Теория вероятностей;Математическая статистика,"Критерий может использоваться при проверке простых гипотез вида \(H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )\), где \(\theta\) — известный вектор параметров теоретического закона, и при проверке сложных гипотез вида \(H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}\), когда оценка \({\hat {\theta }}\) скалярного или векторного параметра распределения \(F(x,\theta )\) вычисляется по той же самой выборке."
"\[h(p,x)={\frac {\partial e(p,x)}{\partial p}}\]",Лемма Шепарда,Микроэкономика;Теория потребления;Математическая экономика,Данное соотношение используется в микроэкономической теории потребителя и определяет связь функции расходов и хиксианского спроса.
\[\forall a\in A\;(a\geqslant M\Rightarrow a=M)\],Максимальный элемент частично упорядоченного множества,Математический анализ,"Записывается как \(M=\max A\). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой \({R}\) с естественным порядком) понятие совпадает с понятием наибольшего элемента, но в общем случае эти понятия различаются"
\[|f(x+v)-f(x+w))|_{X}=MD_{x}f(v-w)+o(|v|-|w|)\],Метрический дифференциал,Математический анализ;Топология,"Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно, поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, требуемой для дифференциала. Даже в случае банахова пространства \(X=L^{1}([0,1])\) заключение самой теоремы неверно — например, отображение \( f\colon [0,1]\to X\), определённое как индикатор \(f(x)=\chi _{[0,x]}\), не имеет производную ни в одной точке, несмотря на то, что отображение липшицево и даже сохраняет расстояния."
\[\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\],Мечта второкурсника,Математический анализ,"Исходное доказательство, данное Бернулли и представленное в современном виде, отличается от приведённого выше в части расчёта интеграла \(\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx\), но в остальном идентично за исключением технических деталей. Вместо интегрирования путем подстановки, используя Гамма-функцию (которая на момент доказательства ещё не была известна), Бернулли использовал интегрирование по частям."
\[S(t)=\prod \limits _{j=1}^{t}\left({\frac {n-j}{n-j+1}}\right)^{\sigma (j)}\],Множительные оценки Каплана—Мейера,Математика в медицине;Эконометрика,"Для цензурированных, но несгруппированных наблюдений времён жизни функцию выживания можно оценить непосредственно (без таблицы времени жизни). Допустим, существует база данных, в которой каждое наблюдение содержит точно один временной интервал. Перемножая вероятности выживания в каждом интервале, получим следующую формулу для функции выживания."
\[R_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z-z_{k}}}\],Наипростейшая дробь,Алгебра,"Другими словами, данная рациональная функция есть логарифмическая производная некоторого комплексного многочлена \(Q_{n}(z)=C\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k})\),
таким образом, \(R_{n}(z)={\frac {Q_{n}'(z)}{Q_{n}(z)}}\)."
"\[\Pr(|X-m|>k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2},&{\text{if }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}};\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}},&{\text{if }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}\]",Неравенство Гаусса,Теория вероятностей,"Даёт верхнюю границу вероятности того, что одномодальная случайная величина выходит за пределы интервала с центром в её моде."
\[\mathrm {D} _{\theta }{\big (}{\widehat {\theta }}(x){\big )}\geqslant {\frac {(\tau '(\theta ))^{2}}{nI(\theta )}}\],Неравенство Крамера — Рао,Теория информации;Математическая статистика;Теория оценивания,"Часто используется следующий частный случай: если выполнены условия регулярности, а \({\widehat {\theta }}(x)\) — несмещённая оценка параметра \(\theta\), то:\(\mathrm {D} _{\theta }\,{\widehat {\theta }}(x)\geqslant {\frac {1}{I_{n}(\theta )}}\).
Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда \({\hat {\theta }}(x)-\theta =a(\theta )U(\theta ,x)\)."
\[\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}\],Неравенство Харди,Математический анализ,Из данного неравенства можно вывести как следствие неравенство Карлемана. У интегрального неравенства имеются многочисленные обобщения.
\[ab\leqslant \int \limits _{0}^{a}f(x)dx+\int \limits _{0}^{b}f^{-1}(x)dx\],Неравенство Юнга,Математический анализ,"Естественное следствие — \(ab\leqslant af(a)+bf^{-1}(b)\) (в тех же условиях). Неравенство Фенхеля может быть рассмотрено как обобщение этого следствия — результат распространяется на пару выпукло-сопряжённых функций \(f\) и \(f^{*}\) в соответствующих векторных пространствах \(a\in X\) и \(b\in X^{*}\) (двойственном пространстве): \(\left\langle a,b\right\rangle \leqslant f(a)+f^{*}(b)\)."
"\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0,\qquad (1)\]",Обыкновенное дифференциальное уравнение,Математический анализ,"Независимая переменная \(x\) часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой \(t\). Переменная \(y\) — некоторая величина (или совокупность величин, если \(y\) является вектор-функцией), изменяющаяся со временем. Например, \(y\) может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени."
\[c_{0}\cdot f(x)^{n}+c_{1}\cdot f(x)^{n-1}\cdot g(x)+c_{2}\cdot f(x)^{n-2}\cdot g(x)^{2}+\ldots +c_{n-1}\cdot f(x)\cdot g(x)^{n-1}+c_{n}\cdot g(x)^{n}=0\],Однородное уравнение,Математический анализ;Алгебра,Такое уравнение после исключения отдельно рассматриваемого случая \(g(x)=0\) и деления уравнения на \(g(x)^{n}\) сводится с помощью замены \({\frac {f(x)}{g(x)}}=t\)  к алгебраическому уравнению \(n\)-ой степени \(c_{0}t^{n}+c_{1}t^{n-1}+c_{2}t^{n-2}+\ldots +c_{n-1}t+c_{n}=0\).
\[O_{\varepsilon }(x_{0})=\{x:|x-x_{0}|<\varepsilon \}\],Окрестность точки на числовой прямой,Математический анализ;Топология,Данной характеристикой точки \(x_{0}\) таким образом является открытый шар с центром в \(x_{0}\) и радиусом \(\varepsilon\).
\[\omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{z})\],Омега-функция Райта,Математический анализ;Специальные функции,"Одним из основных применений этой функции является решение уравнения z = ln(z), поскольку единственным решением является z = е−ω(π i). y = ω(z) — единственное решение при \(z\neq x\pm i\pi\), х ≤ −1 уравнения y + ln(y) = z. За исключением этих двух лучей, данная функция является непрерывной, даже аналитической."
"\[\det A=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1\alpha _{1}}a_{2\alpha _{2}}\dots a_{n\alpha _{n}}\]",Определитель матрицы,Алгебра,"При изучении данной теории полезно иметь в виду, что в ее основе лежит техника манипулирования со строками и столбцами матриц, разработанная К. Ф. Гауссом (преобразования Гаусса). Суть этих преобразований сводится к линейным операциям над строками (столбцами) и их перестановке."
"\[T(n)=a\,T\left({\frac {n}{b}}\right)+f(n),\quad {\text{где}}~a\geqslant 1,\ b>1\]",Основная теорема о рекуррентных соотношениях,Математический анализ;Теория сложности вычислений;Анализ алгоритмов,"Теорема была введена и доказана Джоном Бентли, Доротеном Хакеном и Джеймсом Хакеном в 1980 году. Теорема была популяризована в книге Алгоритмы: построение и анализ (Томас Кормен, Чарльз Лейзерстон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн), в которой она была приведена. Не все рекурсивные соотношения могут быть решены с помощью основной теоремы. Существует несколько её обобщений, в том числе метод Акры — Бацци."
"\[{\hat {\theta }}_{\mathrm {M\Pi } }={\hat {\theta }}_{\mathrm {M\Pi } }(X_{1},\ldots ,X_{n})=\mathop {\rm {argmax}} \limits _{\theta \in \Theta }L(X_{1},\ldots ,X_{n}\mid \theta )\]",Оценка максимального правдоподобия,Математическая статистика;Эконометрика;Факторный анализ;Теория оценивания,"Для фиксированного набора данных и базовой вероятностной модели, используя данный метод, мы получим значения параметров модели, которые делают данные «более близкими» к реальным. Данная оценка даёт уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения. Этот метод применяется для широкого круга статистических моделей."
"\[f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M\]",Периодическая функция,Математический анализ;Элементарная математика,"Сумма двух функций с соизмеримыми периодами \(T_{1}\) и \(T_{2}\) не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному \(T_{1}\) и \(T_{2}\) (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции \(f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)\) основной период равен \(2\pi\), у функции \(g(x)=\sin(3x)\) период равен \(2\pi /3\), а у их суммы \(f(x)+g(x)=\sin(2x)\) основной период, очевидно, \(\pi\)."
\[Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)\],Плоскость,Геометрия;Стереометрия,"При систематическом изложении геометрии данное понятие обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с ним принято рассматривать принадлежащие ему точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически."
\[\lim _{|D|\to 0}|E\cap D|/|D|\],Плотность множества,Топология,"Аналогично вводится данное понятие в \(n\)-мерном пространстве. При этом длины отрезков заменяются объемами соответствующих \(n\)-мерных параллелепипедов с гранями, параллельными координатным плоскостям, а предел рассматривается при стремлении к нулю диаметра параллелепипеда."
"\[P=a\oplus \bigoplus _{\begin{array}{c}1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n\\k\in {\overline {1,n}}\end{array}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\wedge x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge x_{i_{k}},\quad a,a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\in \{0,1\}\]",Полином Жегалкина,Булева алгебра;Математическая логика;Теория дискретных функций,"Представляет собой сумму по модулю два попарно различных произведений неинвертированных переменных, где ни в одном произведении ни одна переменная не встречается больше одного раза, а также (если необходимо) константы 1."
"\[{\frac {C_{1},C_{2}}{C'_{1}\lor C'_{2}}}\]",Правило резолюций,Математическая логика,"Предложения \(C_{1}\) и \(C_{2}\) называются резольвируемыми (или родительскими), предложение \(C'_{1}\lor C'_{2}\) — резольвентой, а формулы  \(P\) и \(\lnot P\) — контрарными литералами. В общем в правиле резолюции берутся два выражения и вырабатывается новое выражение, содержащее все литералы двух первоначальных выражений, за исключением двух взаимно обратных литералов."
"\[\forall {\text{  }}\varepsilon >0{\text{,  }}\exists {\text{  }}N(\varepsilon ){\text{,   }}\forall {\text{  }}n>N(\varepsilon ){\text{  }}{\text{  }}|x_{n}-a|<\varepsilon \]",Предел последовательности,Математический анализ;Топология,"В топологических пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счётности, данное понятие непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Для произвольных топологических пространств такой последовательности может не существовать."
\[x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}x^{0}\],Приведенный многочлен,Математический анализ;Алгебра,"В множестве комплексных чисел существует элемент 1 (единица), нейтральный относительно умножения, и при их сложении, вычитании, умножении и делении на ненулевое число получается всегда комплексное число, то есть это множество является полем, а значит, на этом поле любой многочлен можно свести к такому многочлену, корни которого остались бы те же, делением на старший коэффициент."
"\[(A\circ B)_{i,j}=(A\odot B)_{i,j}=(A)_{i,j}\cdot (B)_{i,j}\]",Произведение Адамара,Алгебра,"Используется в алгоритмах сжатия с потерями, например, JPEG. В программных пакетах MATLAB и GNU Octave операция используется как стандартная операция умножения массивов и обозначается символом «.*»."
\[f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}\],Производная функции,Математический анализ;Дифференциальное исчисление,"В классическом дифференциальном исчислении данное понятие чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически оно вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках)."
"\[\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\bigl (}|x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr )}\]",Равномерная непрерывность,Функциональный анализ;Математический анализ,"Данное понятие наглядно означает, что малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Свойство равномерности ставит дополнительное условие: величина, ограничивающая отклонение значения аргумента, должна зависеть только от величины отклонения функции, но не от значения аргумента, то есть должна быть пригодна на всей области определения функции."
\[\exists C>0\;\forall \alpha \in A\;\forall x\in X\;|f_{\alpha }(x)|\leqslant C\],Равномерная ограниченность,Математический анализ,"Понятие равномерная ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений \(f_{\alpha }:X\to Y\), где \(Y\) — полунормированное пространство с полунормой \(\Vert *\Vert\), называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная \(C>0\), что для всех \(\alpha \in A\) и всех \(x\in X\) выполняется неравенство \(\Vert f_{\alpha }(x)\Vert \leqslant C\)."
\[x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .\\],Разложение Энгеля,Математический анализ,"Любое положительное рациональное число имеет единственное конечное такое разложение. В алгоритме, если ui является рациональным числом x/y, то ui+1 = (−y mod x)/y. Таким образом, каждый шаг уменьшает числитель в остаточной дроби ui и процесс построения данного разложения должен прекратиться за конечное число шагов."
"\[r_{i}=\sum _{k=1}^{n}u(x_{i}-x_{k}),i=1,n\]",Ранг,Математическая статистика,Порядковый номер элемента \(x_{i}\) в вариационном ряду является знаковой статистикой от разностей выборочных значений.
"\[F(A,B)=\inf _{\alpha ,\beta }\,\,\max _{t\in [0,1]}\,\,{\Bigg \{}d{\Big (}A(\alpha (t)),\,B(\beta (t)){\Big )}{\Bigg \}}\]",Расстояние Фреше,Метрическая геометрия;Топология,"Неформально, мы можем считать параметр \(t\) «временем». Тогда  \(A(\alpha (t))\) является положением собаки, а \(B(\beta (t))\) — положением владельца собаки по времени \(t\) (или наоборот). Длина поводка между ними в момент времени \(t\) равна расстоянию между \(A(\alpha (t))\) и \(B(\beta (t))\). Взятие инфимума по всем возможным репараметризациям отрезка \([0,1]\) соответствует выбору прогулки вдоль кривых, при которой максимальная длина поводка минимизируется. Ограничение, что \(\alpha\) и \(\beta\) не убывают, означает, что ни собака, ни её владелец не могут повернуть назад."
\[\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u)\],Рациональная функция,Элементарная математика;Алгебра;Математичесикй анализ,"Множество таких функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю."
\[F(x)=\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {f(sx)}{s^{n}}}\],Ряд Мёбиуса,Теория чисел,"Данное обращение является прямым следствием свойств свёртки Дирихле, в связи с тем, что функция является обращением Дирихле единичной функции, то есть \(1*\mu =\epsilon\), где \(*\) — свёртка Дирихле, а \(\epsilon\) — единица кольца Дирихле."
\[\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G\],Ряд подгрупп,Теория групп;Алгебра,"Ряд с дополнительным свойством \(G_{i}\neq G_{i+1}\) для всех \(i\) называется рядом без повторов. Длина ряда — это число собственных включений \(G_{i}\varsubsetneq G_{i+1}\). Если ряд не имеет повторов, то его длина равна \(n\). Для субнормального ряда, его длина — это число нетривиальных факторгрупп ряда."
\[f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)\],Ряд Тейлора,Математический анализ;Дифференциальное исчисление,"Применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения и отсечения всех членов выше первого порядка."
"\[{\overline {f({\overline {x}}_{1},\ldots ,{\overline {x}}_{n})}}=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\]",Самодвойственная функция,Булева алгебра;Математическая логика;Теория дискретных функций,"Другими словами такая функция на противоположных друг другу наборах значений аргументов принимает противоположные значения. Примеры: \(x\), \({\overline {x}}\), \(x\oplus y\oplus z\), функция голосования, отрицание функции голосования. Таких функций с двумя существенными переменными нет."
\[\lambda (N)=0\quad \Rightarrow \quad \lambda (f(N))=0\],Свойство Лузина,Математический анализ;Теория меры,"Каждая абсолютно непрерывная функция обладает этим свойством. Канторова лестница не обладает данным свойством: мера Лебега Канторова множества равна нулю, однако его образ является всем интервалом [0,1]."
"\[0<\mu [B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot \mu [B(x,r)]<\infty \]",Свойство удвоения,Топология;Метрическая геометрия;Геометрическая теория меры,"Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если \(X\) — метрическое пространство со свойством удвоения и \(A\subset X\) и \(V\) — банахово пространство, то любое \(L\)-Липшицево отображение \(A\to V\) продолжается до \(C\cdot L\)-Липшицева отображения \(X\to V\), где константа \(C\) зависит только от параметра в свойстве удвоения."
"\[\operatorname {sgn} x={\begin{cases}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}\]",Сигнум,Элементарная математика,"Функция не является элементарной. Часто используется представление \(\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|\). При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа. Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа."
\[\lim _{n\to \infty }P{\big (}|{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon {\big )}=0\],Слабый закон больших чисел,Теория вероятностей,"Интерпретируя данный результат, получаем, что закон утверждает, что для любых ненулевых указанных границ, независимо от того, насколько они малы, при достаточно большой выборке вероятность того, что среднее значение выборки будет близко к математическому ожиданию, очень высока в пределах этих границ."
"\[(*)\qquad M(x_{1},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (x_{k})\right)=\varphi ^{-1}\left({\frac {\varphi (x_{1})+\ldots +\varphi (x_{n})}{n}}\right)\]",Среднее Колмогорова,Математический анализ;Теория вероятностей,"Данную величину используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех таких величин можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех таких величин можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое."
\[\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}\],Среднеквадратическое отклонение,Теория вероятностей,В литературе обычно обозначают греческой буквой \(\sigma\) (сигма). В статистике принято два обозначения: \(\sigma\) — для генеральной совокупности и \(sd\) (с англ. standard deviation — стандартное отклонение) — для выборки.
\[P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}\],Схема Бернулли,Теория вероятностей,"Для применения должны быть выполнены следующие условия: 1) каждое испытание имеет ровно два исхода, условно называемых успехом и неудачей; 2) независимость испытаний: результат очередного эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов; 3) вероятность успеха должна быть постоянной (фиксированной) для всех испытаний."
"\[f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right)\]",Теорема Колмогорова — Арнольда,Математический анализ,"Данная теорема тесно связана с 13-й проблемой Гильберта. В его парижской лекции на Международном конгрессе математиков в 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики. В 13-й из этих проблем задача состояла в решении общих уравнений высших степеней."
\[\lim _{x\to a}\varphi (x)=\lim _{x\to a}\psi (x)=A\Rightarrow \lim _{x\to a}f(x)=A\],Теорема о двух милиционерах,Математический анализ,"Из неравенства \(\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)\) получаем неравенство \(\varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A\). Условие \(\lim \limits _{x\to a}\varphi (x)=A=\lim \limits _{x\to a}\psi (x)\) позволяет сказать, что для любого \(\varepsilon >0\) существует окрестность \(U_{a}\), в которой верны неравенства \(\left|\varphi (x)-A\right|<\varepsilon\) и \(\left|\psi (x)-A\right|<\varepsilon\). Из изложенных выше неравенств следует, что \(\left|f(x)-A\right|<\varepsilon\) при \(x\in U_{a}\), что удовлетворяет определению предела, то есть \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\)."
"\[x(p,R)=-{\frac {\partial \nu (p,R)}{\partial p}}/{\frac {\partial \nu (p,R)}{\partial R}}\]",Тождество Руа,Микроэкономика;Теория потребления;Математическая экономика,"Тождество показывает разнонаправленность изменения цены и полезности набора благ, например, при росте цены товара растут расходы потребителя и падает уровень полезности товарного набора, который может купить потребитель."
\[f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)\],Тригонометрический ряд Фурье,Интегральное исчисление;Математический анализ;Гармонический анализ,"Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве \(L^{2}[0,2\pi ]\). Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида \(\cos(kx),\sin(kx),k\in \mathbb {Z}\), то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду)."
\[{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }\],Уравнение Больцмана,Статистическая физика;Физика твёрдого тела;Теоретическая физика,Микроскопический вывод уравнения из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических и квантовых систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к данному уравнению.
"\[\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(x-s)\varphi (s)\,ds+f(x)\]",Уравнение Винера — Хопфа,Математическая физика;Кибернетика,"Для решения вводятся т. н. односторонние функции \(\varphi _{+}(x)\) и \(f_{+}(x)\), равные \(\varphi (x)\) и \(f(x)\) при x>0 и равные 0 при x<0 и функция \(\varphi _{-}(x)\), равная 0 при x>0. При помощи односторонних функций уравнение записывается в виде: \(\varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(x-s)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi _{-}(x)\). Таким образом, при помощи односторонних функций область определения уравнения продолжается на отрицательную полуось."
\[\cos \omega _{\circ }=-\tan \phi \times \tan \delta \],Уравнение восхода,Астрономия,"Земля вращается с угловой скоростью в 15 градусов в час (относительно Солнца), поэтому результатом выражения \(\omega _{\circ }\times {\frac {\mathrm {hour} }{{15}^{\circ }}}\) является временной интервал между истинным полуднем и восходом (или закатом) Солнца. Допускается, что северная широта сопровождается положительным знаком, а южная отрицательным (\(\phi\)). Широта экватора равна нулю. Солнечное склонение \(\delta\) равно нулю в дни равноденствий, когда Солнце находится точно над экватором, положительно во время зимы в северном полушарии и отрицательно во время лета."
\[{\ce {pH}}=\mathrm {p} K_{\mathrm {a} }+\lg \left(\mathrm {\frac {[A^{-}]}{[HA]}} \right)\],Уравнение Гендерсона — Хассельбаха,Математика в медицине,"При гомеостазе рН биологического раствора поддерживается на постоянном уровне за счет регулирования положения равновесий: \(\mathrm {HCO_{3}^{-}} +\mathrm {H^{+}} \rightleftharpoons \mathrm {H_{2}CO_{3}} \rightleftharpoons CO_{2}+H_{2}O\), где \(\mathrm {HCO_{3}^{-}} \) – бикарбонат-ион, \(\mathrm {H_{2}CO_{3}} \) – угольная кислота. Однако растворимость угольной кислоты в воде может быть превышена. Когда это происходит, выделяется газообразный диоксид углерода, и вместо него можно использовать следующее уравнение: \(\mathrm {[H^{+}][HCO_{3}^{-}]} =\mathrm {K^{m}[CO_{2}(g)]} \), где \(\mathrm {CO_{2}(g)} \) – углекислый газ, выделяющийся в виде газа."
"\[{\frac {dx}{dt}}=f(t,\;x),\ x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\ n\geqslant 1,\quad (*)\]",Уравнение Каратеодори,Функциональный анализ,"Решением данного уравнения с начальным условием \(x(t_{0})=x_{0}\) называется измеримая вектор-функция \(x(t)\), удовлетворяющая интегральному уравнению \(x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,\;x(\tau ))\,d\tau .\quad (**)\). Интеграл в (**) понимается в смысле интеграла Лебега для каждой компоненты вектор-функции \(f\). Корректность определения основана на том, что композиция измеримой функции \(x(t)\) и удовлетворяющей условию Каратеодори функции \(f(t,\;x)\) является суммируемой функцией от переменной \(t\)."
\[{\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0\],Уравнение Кортевега — де Фриза,Теория волн,"Уравнение Кортевега — де Фриза имеет важное значение для теории интегрируемых систем как один из простейших примеров точно решаемого нелинейного дифференциального уравнения. Интегрируемость обеспечивается наличием у уравнения бесконечного количества интегралов движения, имеющих вид \(I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^{2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\\), где \(P_{n}\) — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, заданные рекурсивно следующим образом: \({\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}\)."
\[M\cdot V=P\cdot Q\],Уравнение обмена,Финансовая математика;Макроэкономика,"На основе данной формулы Ирвинг Фишер доказал, что скорость обращения денег в экономике определяют институты, от которых зависит то, как люди осуществляют сделки (транзакции). Если при оплате покупок люди пользуются расчётными счетами и кредитными картами, а значит, реже используют деньги при осуществлении транзакций, определяемых номинальным ВВП (\(M\downarrow\) относительно \(P\cdot Q\)), то скорость обращения будет увеличиваться. И наоборот, если покупки легче оплачивать наличными или чеками, то больший объём денег будет обслуживать тот же уровень номинального ВВП, и скорость обращения будет уменьшаться."
"\[i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}(p,q)\Psi \]",Уравнение Шредингера,Квантовая механика,"Сформулировано в 1925 году, опубликовано в 1926 году. Данное уравнение не выводится, а постулируется методом аналогии с классической оптикой, на основе обобщения экспериментальных данных. Уравнение предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.)."
"\[\int \limits _{V}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,dm=\int \limits _{V}\mathbf {g} \,dm-\oint \limits _{S}p\,d\mathbf {S} \]",Уравнение Эйлера,Гидродинамика,"Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение принимает вид \(v{\frac {dv}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {dp}{dx}}\). В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по \(x\) при постоянной плотности жидкости \(\rho\) получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости: \({\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}\)."
\[{\begin{aligned}\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}\],Уравнение электромагнитной волны,Электродинамика;Математическая физика,"Вывод Максвеллом данного уравнения был заменён в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим объединение исправленной версии закона циркуляции Ампера с законом индукции Фарадея. Чтобы получить данное уравнение в вакууме с использованием современного метода, мы начинаем с уравнений Максвелла в форме Хевисайда."
"\[n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{cases}}\]",Факториал,Теория чисел;Комбинаторика,"Является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция \(n^{n}\) растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например \(e^{e^{n}}\)."
"\[P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}}\]",Формула Байеса,Теория вероятностей;Байесовская статистика,"Данная формула позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. При этом необходимо понимать, для применения теоремы причинно-следственная связь между \(A\) и \(B\) не является обязательной."
\[w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x)\],Функция Вейерштрасса,Математический анализ,"Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом \(\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\), поэтому функция \(w\) определена и непрерывна при всех вещественных \(x\). Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при \(ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1\)."
\[S(t)=\mathbb {P} (T>t)\],Функция выживания,Математика в медицине;Эконометрика,"Обычно предполагается, что \(S(0)=1\), хотя это значение может быть и меньше, чем 1, если есть возможность немедленной смерти или неудачи. Если \(u\geq t\), то функция выживания должна иметь вид \(S(u)\leq S(t)\). Это свойство вытекает из того, что условие \(T>u\) подразумевает, что \(T>t\). По сути, здесь подразумевается, что выживание для более позднего периода возможно только после выживания в ходе более раннего периода. Обычно предполагается, что функция выживания стремится к нулю при бесконечном возрастании переменной времени: \(S(t)\rightarrow 0\) при \(t\to \infty\)."
"\[D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\not \in \mathbb {Q} \end{cases}}\]",Функция Дирихле,Математический анализ;Специальные функции,"Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного). Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет. Не является интегрируемой в смысле Римана. Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега."
"\[L(x,\;\lambda )=f(x)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\varphi _{i}(x)\]",Функция Лагранжа,Математический анализ;Дифференциальное исчислени;Алгоритмы оптимизации;Математические методы в экономике,"Метод применяется при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике). Основной метод решения задачи об оптимизации качества кодирования аудио и видео информации при заданном среднем битрейте. Метод применяется в статистической физике при выводе распределения Распределение Гиббса."
\[f\colon {\mathcal {S}}\to E\],Функция множеств,Функциональный анализ,"В функциональном анализе обычно изучаются такие функции, принимающие значения на числовой оси \(R}\), либо в произвольном метрическом пространстве. Мера (как функция, ставящая в соответствие множеству вещественную величину) является такой функцией."
"\[\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\]",Функция ошибок Гаусса,Теория вероятностей;Математическая статистика;Математическая физика,"Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением \(\sigma\), то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на \(a\), равна \(\operatorname {erf} \,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\). Встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»)."
"\[\lambda (t)\,\mathrm {d} t=\lim \limits _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbb {P} (t<T\leq t+\Delta t\mid T>t)}{\Delta t}}\]",Функция риска (интенсивности отказов),Математическая статистика;Теория надежности,"Определяется как вероятность того, что элемент, оставшийся в совокупности к началу соответствующего интервала, покинет совокупность («умрёт») в течение этого интервала. Числитель данного выражения — условная вероятность того, что событие произойдёт в интервале \((t;t+\Delta t)\), если оно не произошло ранее, а знаменатель — ширина интервала."
\[w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right)\],Функция Фаддеевой,Математическая физика;Специальные функции,"Данная функция связана с функцией Доусона, профилем Фойгта, интегралом Френеля и появляется в различных физических задачах при описании электромагнитных взаимодействий в средах."
\[\lfloor x\rfloor =\max \left\{q\in \mathbb {Z} \mid q\leqslant x\right\}\],Целая часть числа,Теория чисел;Элементарная математика,"Впервые квадратные скобки (\([x]\)) для обозначения использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности. Это обозначение считалось стандартным, пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил округление числа \(x\) до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» \(x\) и обозначать \(\lfloor x\rfloor \) и \(\lceil x\rceil\) соответственно."
"\[PoS={\frac {N}{S}},\ PoS\geqslant 0\]",Цена стабильности,Теория игр,"Первыми изучили А. Шульцан и Н. Мозес, а сам термин появился в работах Е. Аншелевича. Они показали, что равновесие Нэша всегда существует в чистых стратегиях. Для неориентированных графов Аншелевич и другие представили определили жёсткую границу в 4/3 для случая одного источника и двух игроков."
"\[{\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}\to N(0,1)\]",Центральная предельная теорема,Теория вероятностей,"Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим."
\[\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}\],Ядро линейного отображения,Функциональный анализ;Линейная алгебра,"Понятие также имеет смысл для гомоморфизмов модулей, которые являются обобщениями векторных пространств, где скаляры — элементы кольца, а не поля. Область определения — это модуль с ядром, образующий подмодуль. Здесь концепции ранга и размерности ядра не имеют значения."
"\[z={\frac {{\overline {X}}-\,m}{\mathrm {SE} }}\]",Z-статистика,Математическая статистика,Обычно применяется для проверки равенства средних значений при известной дисперсии генеральной совокупности или при оценке выборочного среднего стандартизованных значений.