Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O1 và O2 cách nhau 8 cm dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ trục tọa độ vuông góc với xOy thuộc mặt nước với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn O1 còn nguồn O2 nằm trên trục Oy. Hai điểm P và Q nằm trên Ox có OP=3,9cm và OQ=556 cm. Biết phần tử nước tại P và phần tử nước tại Q dao động với biên độ cực đại. Giữa P và Q có 2 cực tiểu. Trên đoạn OP, điểm gần P nhất mà các phần tử nước dao động với biên độ cực tiểu cách P một đoạn gần với giá trị nào nhất ?
0,93 cm.
A
0,96 cm.
B
0,86 cm.
C
0,83 cm.
D
0,83 cm.
D
Trong hệ tọa độ Descartes, nếu p = ("p", "p"..., "p") và q = ("q", "q"..., "q") là hai điểm trong không gian Euclid "n" chiều, thì khoảng cách từ p đến q bằng:

formula_2

Dạng chuẩn Euclid là khoảng cách của một điểm đến điểm gốc trong không gian Euclid:
trong đó phương trình sau cùng là tích vô hướng. Ở đây "q" là tọa độ và "p" là động lượng, "mv." Như vậy với mỗi điểm "p" trên mặt cầu "S", ta chọn được một siêu phẳng vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ tới "p" và chia đôi . Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ. Chúng ta cũng có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai tập hợp A và B là khoảng cách nhỏ nhất (hay cực tiểu) giữa hai điểm bất kỳ P thuộc A và Q thuộc B.

Khoảng cách d, giữa hai điểm được biểu diễn trong hệ tọa độ Đề-các bằng căn bậc hai của tổng các bình phương các thay đổi theo mỗi trục tọa độ. Để chứng minh rằng Q ⇒ P, ta dùng hai quan hệ Q ⇒ R và R ⇒ P.

Tương tự, từ R ⇒ P và P ⇒ Q suy ra R ⇒ Q.

Cuối cùng P ⇒ R, do P ⇒ Q và Q ⇒ R.

Cách chứng minh như trên gọi là chứng minh vòng. - Nguồn sáng thứ cấp có biên độ và pha dao động là biên độ và pha dao động sáng do nguồn sáng thực S gây ra tại vị trí của nguồn sáng thứ cấp đó. Với mỗi điểm "p" trên mặt của "S", ta xác định một lớp các siêu phẳng afin vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ đến "p". Một cách đơn giản hơn trong hàm số P = a - bQ; "a" chính là đoạn chắn trên trục Oy khi đường cầu tiệm cận trục này; "b" là độ dốc của đường cầu, Q là lượng cầu và P là giá. Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng formula_1, dùng định lý Pytago chứng minh được: 

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ nó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là "p", "q", và "t" ta có:,

Với một điểm P bất kỳ nằm bên trong tam giác, khoảng cách từ nó đến các cạnh tam giác là "d", "e", và "f", thì "d+e+f" = chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí P.

Với điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác là "p", "q", và "t", thì

và

Nếu P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là "p", "q", và "t", ta có:

và

hơn nữa nếu D là giao điểm của BC và PA, DA có độ dài "z" và PD có độ dài "y", thì

và cũng bằng formula_13 nếu "t" ≠ "q"; và Khi đó chọn "q" = (2"p"+2)/("p" + 2) thì q cũng là cận trên của "S", và "q" < "p". Hai điểm đối cực "p" và "q" tương ứng với hai siêu phẳng và bằng nhau nhưng có nửa dương ngược nhau. Theo định lý Borsuk–Ulam, tồn tại hai điểm đối cực "p" và "q" trên mặt cầu "S" sao cho . Một trong các trường hợp đơn giản nhất của sóng điện từ là sóng phẳng điều hòa (một nghiệm đặc biệt của hệ phương trình Maxwell) với thành phần điện trường lan truyền trong không gian theo hàm sóng:

với "A" và "A" là các biên độ dao động theo trục "x" và "y"; "Φ" là độ lệch pha giữa dao động theo trục "y" với dao động theo trục "x" (sóng tổng hợp là chồng chập của 2 dao động này và 2 dao động đó không nhất thiết phải đồng pha, chỉ cần có cùng tần số và bước sóng); "k" là số sóng, "ω" là tần số góc ("ω" = "kc" với "c" là tốc độ lan truyền của sóng). Vậy, (p ≡ q) có nghĩa là, p và q luôn có cùng một giá trị chân lý. Khoảng cách Euclid giữa hai điểm p và q là chiều dài đoạn thẳng formula_1. Về mặt toán học, phương trình elip biểu diễn trong hệ tọa độ cực là:
trong đó ("r", "θ") là hai tọa độ cực (từ gốc tọa độ) cho elip, "p" là bán trục chuẩn, và "ε" là độ lệch tâm của elip. Với tính toán cổ điển, hàm N(p,q) = pq là một hàm một chiều tức là việc tính ra N từ p và q có độ phức tạp nhỏ, O(0), còn việc tính ra p và q từ N có độ phức tạp cao. Khi mà điện cực thích hợp thì được áp dụng tới cổng tại M và tại N và tại P và tại Q vì vậy sự điều chỉnh có thể xảy ra tại đây với biên độ "t" và "t". Trong toán học khoảng cách giữa hai điểm P và Q là d(P,Q), trong đó d là hàm số tính khoảng cách. Khi các phân tử nước dao động ở dưới cùng của cột sóng tiếp xúc với đáy biển, ma sát giữa các phân tử nước và các bãi biển làm tốc độ truyền sóng chậm lại, khoảng cách giữa các đỉnh sẽ thu hẹp lại và biên độ sóng tăng lên. "q", với "p" và "q" là các số nguyên tố, tức là tìm ra các giá trị "p" và "q" khi cho số "N". Để định nghĩa khoảng cách Hellinger theo lý thuyết độ đo, giả sử "P" và "Q" là hai độ đo xác suất liên tục tuyệt đối đối với một độ đo xác suất λ. Bình phương của khoảng cách Hellinger giữa "P" và "Q" được định nghĩa như sau

Ở đây, "dP" / "dλ" và "dQ" / "d"λ là đạo hàm Radon–Nikodym của "P" và "Q". Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau

Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes formula_201; hệ tọa độ trụ formula_202 và hệ tọa độ cầu formula_203. Hệ tọa độ cực

Trong toán học, hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng 2 thành phần:

Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm dễ được viết dưới dạng góc và khoảng cách. Trong hệ tọa độ Descartes, nếu p = ("p", "p"..., "p") và q = ("q", "q"..., "q") là hai điểm trong không gian Euclid "n" chiều, thì khoảng cách từ p đến q bằng:

formula_2

Dạng chuẩn Euclid là khoảng cách của một điểm đến điểm gốc trong không gian Euclid:
trong đó phương trình sau cùng là tích vô hướng. Ở đây "q" là tọa độ và "p" là động lượng, "mv." Như vậy với mỗi điểm "p" trên mặt cầu "S", ta chọn được một siêu phẳng vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ tới "p" và chia đôi . Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ. Chúng ta cũng có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai tập hợp A và B là khoảng cách nhỏ nhất (hay cực tiểu) giữa hai điểm bất kỳ P thuộc A và Q thuộc B.

Khoảng cách d, giữa hai điểm được biểu diễn trong hệ tọa độ Đề-các bằng căn bậc hai của tổng các bình phương các thay đổi theo mỗi trục tọa độ. Để chứng minh rằng Q ⇒ P, ta dùng hai quan hệ Q ⇒ R và R ⇒ P.

Tương tự, từ R ⇒ P và P ⇒ Q suy ra R ⇒ Q.

Cuối cùng P ⇒ R, do P ⇒ Q và Q ⇒ R.

Cách chứng minh như trên gọi là chứng minh vòng. - Nguồn sáng thứ cấp có biên độ và pha dao động là biên độ và pha dao động sáng do nguồn sáng thực S gây ra tại vị trí của nguồn sáng thứ cấp đó. Với mỗi điểm "p" trên mặt của "S", ta xác định một lớp các siêu phẳng afin vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ đến "p". Một cách đơn giản hơn trong hàm số P = a - bQ; "a" chính là đoạn chắn trên trục Oy khi đường cầu tiệm cận trục này; "b" là độ dốc của đường cầu, Q là lượng cầu và P là giá. Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng formula_1, dùng định lý Pytago chứng minh được: 

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ nó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là "p", "q", và "t" ta có:,

Với một điểm P bất kỳ nằm bên trong tam giác, khoảng cách từ nó đến các cạnh tam giác là "d", "e", và "f", thì "d+e+f" = chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí P.

Với điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác là "p", "q", và "t", thì

và

Nếu P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là "p", "q", và "t", ta có:

và

hơn nữa nếu D là giao điểm của BC và PA, DA có độ dài "z" và PD có độ dài "y", thì

và cũng bằng formula_13 nếu "t" ≠ "q"; và Khi đó chọn "q" = (2"p"+2)/("p" + 2) thì q cũng là cận trên của "S", và "q" < "p". Hai điểm đối cực "p" và "q" tương ứng với hai siêu phẳng và bằng nhau nhưng có nửa dương ngược nhau. Theo định lý Borsuk–Ulam, tồn tại hai điểm đối cực "p" và "q" trên mặt cầu "S" sao cho . Một trong các trường hợp đơn giản nhất của sóng điện từ là sóng phẳng điều hòa (một nghiệm đặc biệt của hệ phương trình Maxwell) với thành phần điện trường lan truyền trong không gian theo hàm sóng:

với "A" và "A" là các biên độ dao động theo trục "x" và "y"; "Φ" là độ lệch pha giữa dao động theo trục "y" với dao động theo trục "x" (sóng tổng hợp là chồng chập của 2 dao động này và 2 dao động đó không nhất thiết phải đồng pha, chỉ cần có cùng tần số và bước sóng); "k" là số sóng, "ω" là tần số góc ("ω" = "kc" với "c" là tốc độ lan truyền của sóng). Vậy, (p ≡ q) có nghĩa là, p và q luôn có cùng một giá trị chân lý. Khoảng cách Euclid giữa hai điểm p và q là chiều dài đoạn thẳng formula_1. Về mặt toán học, phương trình elip biểu diễn trong hệ tọa độ cực là:
trong đó ("r", "θ") là hai tọa độ cực (từ gốc tọa độ) cho elip, "p" là bán trục chuẩn, và "ε" là độ lệch tâm của elip. Với tính toán cổ điển, hàm N(p,q) = pq là một hàm một chiều tức là việc tính ra N từ p và q có độ phức tạp nhỏ, O(0), còn việc tính ra p và q từ N có độ phức tạp cao. Khi mà điện cực thích hợp thì được áp dụng tới cổng tại M và tại N và tại P và tại Q vì vậy sự điều chỉnh có thể xảy ra tại đây với biên độ "t" và "t". Trong toán học khoảng cách giữa hai điểm P và Q là d(P,Q), trong đó d là hàm số tính khoảng cách. Khi các phân tử nước dao động ở dưới cùng của cột sóng tiếp xúc với đáy biển, ma sát giữa các phân tử nước và các bãi biển làm tốc độ truyền sóng chậm lại, khoảng cách giữa các đỉnh sẽ thu hẹp lại và biên độ sóng tăng lên. "q", với "p" và "q" là các số nguyên tố, tức là tìm ra các giá trị "p" và "q" khi cho số "N". Để định nghĩa khoảng cách Hellinger theo lý thuyết độ đo, giả sử "P" và "Q" là hai độ đo xác suất liên tục tuyệt đối đối với một độ đo xác suất λ. Bình phương của khoảng cách Hellinger giữa "P" và "Q" được định nghĩa như sau

Ở đây, "dP" / "dλ" và "dQ" / "d"λ là đạo hàm Radon–Nikodym của "P" và "Q". Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau

Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes formula_201; hệ tọa độ trụ formula_202 và hệ tọa độ cầu formula_203. Hệ tọa độ cực

Trong toán học, hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng 2 thành phần:

Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm dễ được viết dưới dạng góc và khoảng cách. Trong hệ tọa độ Descartes, nếu p = ("p", "p"..., "p") và q = ("q", "q"..., "q") là hai điểm trong không gian Euclid "n" chiều, thì khoảng cách từ p đến q bằng:

formula_2

Dạng chuẩn Euclid là khoảng cách của một điểm đến điểm gốc trong không gian Euclid:
trong đó phương trình sau cùng là tích vô hướng. Ở đây "q" là tọa độ và "p" là động lượng, "mv." Như vậy với mỗi điểm "p" trên mặt cầu "S", ta chọn được một siêu phẳng vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ tới "p" và chia đôi . Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ. Chúng ta cũng có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai tập hợp A và B là khoảng cách nhỏ nhất (hay cực tiểu) giữa hai điểm bất kỳ P thuộc A và Q thuộc B.

Khoảng cách d, giữa hai điểm được biểu diễn trong hệ tọa độ Đề-các bằng căn bậc hai của tổng các bình phương các thay đổi theo mỗi trục tọa độ. Để chứng minh rằng Q ⇒ P, ta dùng hai quan hệ Q ⇒ R và R ⇒ P.

Tương tự, từ R ⇒ P và P ⇒ Q suy ra R ⇒ Q.

Cuối cùng P ⇒ R, do P ⇒ Q và Q ⇒ R.

Cách chứng minh như trên gọi là chứng minh vòng. - Nguồn sáng thứ cấp có biên độ và pha dao động là biên độ và pha dao động sáng do nguồn sáng thực S gây ra tại vị trí của nguồn sáng thứ cấp đó. Với mỗi điểm "p" trên mặt của "S", ta xác định một lớp các siêu phẳng afin vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ đến "p". Một cách đơn giản hơn trong hàm số P = a - bQ; "a" chính là đoạn chắn trên trục Oy khi đường cầu tiệm cận trục này; "b" là độ dốc của đường cầu, Q là lượng cầu và P là giá. Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng formula_1, dùng định lý Pytago chứng minh được: 

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ nó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là "p", "q", và "t" ta có:,

Với một điểm P bất kỳ nằm bên trong tam giác, khoảng cách từ nó đến các cạnh tam giác là "d", "e", và "f", thì "d+e+f" = chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí P.

Với điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác là "p", "q", và "t", thì

và

Nếu P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là "p", "q", và "t", ta có:

và

hơn nữa nếu D là giao điểm của BC và PA, DA có độ dài "z" và PD có độ dài "y", thì

và cũng bằng formula_13 nếu "t" ≠ "q"; và Khi đó chọn "q" = (2"p"+2)/("p" + 2) thì q cũng là cận trên của "S", và "q" < "p". Hai điểm đối cực "p" và "q" tương ứng với hai siêu phẳng và bằng nhau nhưng có nửa dương ngược nhau. Theo định lý Borsuk–Ulam, tồn tại hai điểm đối cực "p" và "q" trên mặt cầu "S" sao cho . Một trong các trường hợp đơn giản nhất của sóng điện từ là sóng phẳng điều hòa (một nghiệm đặc biệt của hệ phương trình Maxwell) với thành phần điện trường lan truyền trong không gian theo hàm sóng:

với "A" và "A" là các biên độ dao động theo trục "x" và "y"; "Φ" là độ lệch pha giữa dao động theo trục "y" với dao động theo trục "x" (sóng tổng hợp là chồng chập của 2 dao động này và 2 dao động đó không nhất thiết phải đồng pha, chỉ cần có cùng tần số và bước sóng); "k" là số sóng, "ω" là tần số góc ("ω" = "kc" với "c" là tốc độ lan truyền của sóng). Vậy, (p ≡ q) có nghĩa là, p và q luôn có cùng một giá trị chân lý. Khoảng cách Euclid giữa hai điểm p và q là chiều dài đoạn thẳng formula_1. Về mặt toán học, phương trình elip biểu diễn trong hệ tọa độ cực là:
trong đó ("r", "θ") là hai tọa độ cực (từ gốc tọa độ) cho elip, "p" là bán trục chuẩn, và "ε" là độ lệch tâm của elip. Với tính toán cổ điển, hàm N(p,q) = pq là một hàm một chiều tức là việc tính ra N từ p và q có độ phức tạp nhỏ, O(0), còn việc tính ra p và q từ N có độ phức tạp cao. Khi mà điện cực thích hợp thì được áp dụng tới cổng tại M và tại N và tại P và tại Q vì vậy sự điều chỉnh có thể xảy ra tại đây với biên độ "t" và "t". Trong toán học khoảng cách giữa hai điểm P và Q là d(P,Q), trong đó d là hàm số tính khoảng cách. Khi các phân tử nước dao động ở dưới cùng của cột sóng tiếp xúc với đáy biển, ma sát giữa các phân tử nước và các bãi biển làm tốc độ truyền sóng chậm lại, khoảng cách giữa các đỉnh sẽ thu hẹp lại và biên độ sóng tăng lên. "q", với "p" và "q" là các số nguyên tố, tức là tìm ra các giá trị "p" và "q" khi cho số "N". Để định nghĩa khoảng cách Hellinger theo lý thuyết độ đo, giả sử "P" và "Q" là hai độ đo xác suất liên tục tuyệt đối đối với một độ đo xác suất λ. Bình phương của khoảng cách Hellinger giữa "P" và "Q" được định nghĩa như sau

Ở đây, "dP" / "dλ" và "dQ" / "d"λ là đạo hàm Radon–Nikodym của "P" và "Q". Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau

Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes formula_201; hệ tọa độ trụ formula_202 và hệ tọa độ cầu formula_203. Hệ tọa độ cực

Trong toán học, hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng 2 thành phần:

Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm dễ được viết dưới dạng góc và khoảng cách. Trong hệ tọa độ Descartes, nếu p = ("p", "p"..., "p") và q = ("q", "q"..., "q") là hai điểm trong không gian Euclid "n" chiều, thì khoảng cách từ p đến q bằng:

formula_2

Dạng chuẩn Euclid là khoảng cách của một điểm đến điểm gốc trong không gian Euclid:
trong đó phương trình sau cùng là tích vô hướng. Ở đây "q" là tọa độ và "p" là động lượng, "mv." Như vậy với mỗi điểm "p" trên mặt cầu "S", ta chọn được một siêu phẳng vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ tới "p" và chia đôi . Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ. Chúng ta cũng có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai tập hợp A và B là khoảng cách nhỏ nhất (hay cực tiểu) giữa hai điểm bất kỳ P thuộc A và Q thuộc B.

Khoảng cách d, giữa hai điểm được biểu diễn trong hệ tọa độ Đề-các bằng căn bậc hai của tổng các bình phương các thay đổi theo mỗi trục tọa độ. Để chứng minh rằng Q ⇒ P, ta dùng hai quan hệ Q ⇒ R và R ⇒ P.

Tương tự, từ R ⇒ P và P ⇒ Q suy ra R ⇒ Q.

Cuối cùng P ⇒ R, do P ⇒ Q và Q ⇒ R.

Cách chứng minh như trên gọi là chứng minh vòng. - Nguồn sáng thứ cấp có biên độ và pha dao động là biên độ và pha dao động sáng do nguồn sáng thực S gây ra tại vị trí của nguồn sáng thứ cấp đó. Với mỗi điểm "p" trên mặt của "S", ta xác định một lớp các siêu phẳng afin vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ đến "p". Một cách đơn giản hơn trong hàm số P = a - bQ; "a" chính là đoạn chắn trên trục Oy khi đường cầu tiệm cận trục này; "b" là độ dốc của đường cầu, Q là lượng cầu và P là giá. Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng formula_1, dùng định lý Pytago chứng minh được: 

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ nó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là "p", "q", và "t" ta có:,

Với một điểm P bất kỳ nằm bên trong tam giác, khoảng cách từ nó đến các cạnh tam giác là "d", "e", và "f", thì "d+e+f" = chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí P.

Với điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác là "p", "q", và "t", thì

và

Nếu P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là "p", "q", và "t", ta có:

và

hơn nữa nếu D là giao điểm của BC và PA, DA có độ dài "z" và PD có độ dài "y", thì

và cũng bằng formula_13 nếu "t" ≠ "q"; và Khi đó chọn "q" = (2"p"+2)/("p" + 2) thì q cũng là cận trên của "S", và "q" < "p". Hai điểm đối cực "p" và "q" tương ứng với hai siêu phẳng và bằng nhau nhưng có nửa dương ngược nhau. Theo định lý Borsuk–Ulam, tồn tại hai điểm đối cực "p" và "q" trên mặt cầu "S" sao cho . Một trong các trường hợp đơn giản nhất của sóng điện từ là sóng phẳng điều hòa (một nghiệm đặc biệt của hệ phương trình Maxwell) với thành phần điện trường lan truyền trong không gian theo hàm sóng:

với "A" và "A" là các biên độ dao động theo trục "x" và "y"; "Φ" là độ lệch pha giữa dao động theo trục "y" với dao động theo trục "x" (sóng tổng hợp là chồng chập của 2 dao động này và 2 dao động đó không nhất thiết phải đồng pha, chỉ cần có cùng tần số và bước sóng); "k" là số sóng, "ω" là tần số góc ("ω" = "kc" với "c" là tốc độ lan truyền của sóng). Vậy, (p ≡ q) có nghĩa là, p và q luôn có cùng một giá trị chân lý. Khoảng cách Euclid giữa hai điểm p và q là chiều dài đoạn thẳng formula_1. Về mặt toán học, phương trình elip biểu diễn trong hệ tọa độ cực là:
trong đó ("r", "θ") là hai tọa độ cực (từ gốc tọa độ) cho elip, "p" là bán trục chuẩn, và "ε" là độ lệch tâm của elip. Với tính toán cổ điển, hàm N(p,q) = pq là một hàm một chiều tức là việc tính ra N từ p và q có độ phức tạp nhỏ, O(0), còn việc tính ra p và q từ N có độ phức tạp cao. Khi mà điện cực thích hợp thì được áp dụng tới cổng tại M và tại N và tại P và tại Q vì vậy sự điều chỉnh có thể xảy ra tại đây với biên độ "t" và "t". Trong toán học khoảng cách giữa hai điểm P và Q là d(P,Q), trong đó d là hàm số tính khoảng cách. Khi các phân tử nước dao động ở dưới cùng của cột sóng tiếp xúc với đáy biển, ma sát giữa các phân tử nước và các bãi biển làm tốc độ truyền sóng chậm lại, khoảng cách giữa các đỉnh sẽ thu hẹp lại và biên độ sóng tăng lên. "q", với "p" và "q" là các số nguyên tố, tức là tìm ra các giá trị "p" và "q" khi cho số "N". Để định nghĩa khoảng cách Hellinger theo lý thuyết độ đo, giả sử "P" và "Q" là hai độ đo xác suất liên tục tuyệt đối đối với một độ đo xác suất λ. Bình phương của khoảng cách Hellinger giữa "P" và "Q" được định nghĩa như sau

Ở đây, "dP" / "dλ" và "dQ" / "d"λ là đạo hàm Radon–Nikodym của "P" và "Q". Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau

Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes formula_201; hệ tọa độ trụ formula_202 và hệ tọa độ cầu formula_203. Hệ tọa độ cực

Trong toán học, hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng 2 thành phần:

Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm dễ được viết dưới dạng góc và khoảng cách.