Một vật dao động điều hòa trên trục Ox quanh vị trí cân bằng O. Khi nói về gia tốc của vật, phát biểu nào sau đây sai?
Gia tốc luôn ngược dấu với li độ của vật.
A
Vectơ gia tốc luôn cùng hướng với vectơ vận tốc.
B
Vectơ gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng.
C
Gia tốc có độ lớn tỉ lệ với độ lớn li độ của vật.
D
Vectơ gia tốc luôn cùng hướng với vectơ vận tốc.
B
Sau đó "O′x′" bắt đầu chuyển động với vận tốc formula_4 so với trục "Ox". Ngược lại, bất kỳ một dao động điều hòa nào cũng có thể biểu diễn bằng 1 vector có mũi chuyển động tròn đều với vận tốc góc "ω=2π/T" trong đó "T" là chu kỳ của dao động điều hòa, độ lớn vector là biên độ dao động, góc tạo với trục tọa độ là pha ban đầu. Động học nghịch ngược lại, đi tìm các giá trị đầu vào khi đã biết các thông số vị trí, hướng, vận tốc, gia tốc của vật. Các phân tử hay nguyên tử của vật rắn có dao động nhiệt quanh vị trí cân bằng và khoảng cách chúng xa vị trí cân bằng. Đây chính là định nghĩa của cân bằng động: khi mọi lực tác dụng lên một vật sẽ cân bằng sao cho vật đó vẫn chuyển động với vận tốc không đổi. Phổ gia tốc nền

Phổ gia tốc nền (SA - Spectral Acceleration) là một đại lượng có đơn vị g (với g là gia tốc trọng trường, tương đương lực g) mô tả gia tốc tối đa của một vật thể trong khi chịu động đất; đặc biệt là chuyển động điều hòa có giảm chấn theo một chiều vật lý. Độ lớn của gia tốc của một vật là độ lớn |A| của vecto gia tốc của nó. Độ lớn biểu kiến của lực quán tính (lực giả) luôn luôn tỉ lệ với khối lượng của bất kì một vật nào mà chúng tác động lên - ví dụ, ghế ngồi của người lái xe đẩy một lực đủ lớn để gia tốc người lái xe với cùng một tốc độ như chiếc xe. Cụ thể là Định luật Newton về chuyển động cho phép xác định ví trí của một vật dựa vào vận tốc, gia tốc, và một số lực tác động được biểu diễn dưới dạng hàm sai phân theo thời gian. Sau khi đạt được năng lượng này bởi gia tốc của nó, vật sẽ duy trì động năng này trừ khi tốc độ của nó thay đổi. Càng gần tiếp cận với tốc độ ánh sáng, thì năng lượng vật đó càng lớn, bởi vì động năng của vật luôn luôn tăng rất nhanh khi vận tốc của nó tăng. Thần tốc khác với tốc độ vật lý ở chỗ thay vì tăng động năng để gia tăng tốc độ thì thần tốc giảm thời gian chủ thể di chuyển từ A tới B. Điều kiện phát động là Godou bị tấn công bởi vật thể có tốc độ cao. Gia tốc trong công thức trên là gia tốc ly tâm, cũng có thể biểu diễn bằng biểu thức:
với w là véc tơ vận tốc góc của chuyển động quay của hệ; r là véc tơ vị trí từ tâm quay đến điểm đang xét gia tốc ly tâm; × là phép nhân véc tơ. Lực tương đối tính không tạo ra gia tốc đều, mà gia tốc của vật giảm khi vận tốc của nó tiệm cận đến tốc độ ánh sáng. Ví dụ: một phương trình sai phân đơn giản

Chú ý trong phương trình ví dụ trên, nếu f(x) biểu diễn cho vận tốc của một vật thì f'(x) chính là gia tốc của vật đó (là đại lượng đặc trưng cho độ biến thiên vận tốc). Nếu mômen lực vuông góc với vận tốc góc, gia tốc góc cũng vuông góc với vận tốc góc, điều này dẫn đến độ lớn của vận tốc góc không đổi (vật quay đều), nhưng phương của vận tốc góc luôn đổi (theo chiều luôn vuông góc với véctơ vận tốc) và vận tốc góc bị xoay tròn. Chuyển động tăng tốc khi vectơ gia tốc cùng chiều với chiều chuyển động; giảm tốc khi vectơ gia tốc ngược chiều với chiều chuyển động; đổi hướng khi véc tơ gia tốc có phương khác với phương chuyển động. Gia tốc góc

Gia tốc góc là biến thiên của vận tốc góc của vật chuyển động tròn theo thời gian. Theo Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton và các định luật về chuyển động, một vật thể với khối lượng "m" ở khoảng cách "R" từ tâm của một khối cầu với khối lượng "M" chịu một lực formula_1,

tương đương gia tốc formula_3,

trong đó formula_5 là đơn vị vectơ có hướng từ vật thể "M" tới vật thể "m" (ở đây gia tốc từ "m" về phía "M" có dấu âm). Nếu xét trong hệ quy chiếu gắn với vật chuyển động (trong đó vật là đứng yên) gia tốc hướng tâm cần cân bằng với gia tốc ly tâm gây ra bởi lực quán tính trong hệ quy chiếu này. Như vậy hàm bậc hai tương đương với tam thức bậc hai và ta có:

formula_106 thì formula_107 luôn cùng dấu với formula_108, formula_109

formula_110 thì formula_107 luôn cùng dấu với formula_108, trừ formula_113

formula_114 thì formula_107:


với formula_121là 2 nghiệm của formula_107

Cách xét dấu trên cũng đúng khi sử dụng biệt thức Δ'

Một số công thức sau đây thể hiện sự phụ thuộc giữa 2 đại lượng mà có sự tham gia của phương trình bậc hai, chủ yếu là các công thức Vật lý:

Công thức tính quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều: formula_123

Phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều: formula_124

công thức liên hệ giữa gia tốc, vận tốc, quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều:formula_125

quãng đường đi được của vật rơi tự do-Chuyển động thành phần theo trục Oy của vật rơi tự do trong hệ trục tọa độ: formula_126(khi chỉ ở trên Trái Đất)formula_127

Gia tốc hướng tâm:formula_128

Lực hướng tâm:formula_129

Tầm ném xa: formula_130

Định luật vạn vật hấp dẫn:formula_131

Động năng của vật:formula_132

Thế năng đàn hồi:formula_133

Trong đó formula_134 là vận tốc tại thời điểm formula_135, à các tọa độ của vật, formula_136 là hằng số hấp dẫn, formula_137 là gia tốc trọng trường, formula_138 là vận tốc, formula_139 là thời gian, formula_140 là độ biến dạng của lò xo, formula_108 là gia tốc, formula_142 là tầm ném xa, formula_143 là động năng, formula_144 là lực, formula_145 là bán kính của các thiên thể/vật mà ở đây thường là các hành tinh.formula_146 là tốc độ góc của chuyển động tròn đều. Nếu một vật đang di chuyển theo một đường tròn với tốc độ biến thiên, gia tốc của nó có thể được chia thành hai thành phần: gia tốc hướng tâm (gia tốc làm thay đổi "hướng vận tốc") và gia tốc tiếp tuyến (gia tốc làm thay đổi "độ lớn" vận tốc). Chuyển động tròn của vận tốc được thể hiện trong đường tròn ở hình bên phải, cùng với gia tốc a. Cũng như vận tốc là mức độ thay đổi vị trí, gia tốc chính là mức độ thay đổi của vận tốc. Vấn đề về chuyển động học được phát sinh bằng việc mô tả lại hình dạng của hệ và khai báo các điều kiện ban đầu của bất kỳ giá trị đã biết nào về vị trí, vận tốc và/hoặc gia tốc các điểm trong hệ. Độ lớn của lực là

Còn phương của lực luôn ngược chiếu với gia tốc nghĩa là luôn theo phương ly tâm. Chuyển động tăng tốc khi vectơ gia tốc cùng chiều với chiều chuyển động; giảm tốc khi vectơ gia tốc ngược chiều với chiều chuyển động; đổi hướng khi véc tơ gia tốc có phương khác với phương chuyển động. Lực này tác dụng vuông góc với vectơ vận tốc của vật và do vậy không làm thay đổi độ lớn vận tốc của nó, nhưng chỉ làm thay đổi hướng của vectơ vận tốc. Sau đó "O′x′" bắt đầu chuyển động với vận tốc formula_4 so với trục "Ox". Độ dài của vectơ vận tốc cho biết tốc độ nhanh chậm của chuyển động, và chiều của vectơ biểu thị chiều của chuyển động. Dễ dàng thiết lập lên mối liên hệ giữa vectơ-bốn vận tốc u và vận tốc-ba không gian formula_241 và nó được biểu diễn thông qua thành phần của vectơ-bốn vận tốc

từ đây vận tốc-ba được biểu diễn bằng

Lưu ý rằng trong hệ tọa độ mà hạt đứng yên, formula_242 vectơ-bốn vận tốc có thành phần formula_243. Trong vật lý, vận tốc được biểu diễn bởi vectơ (có thể hiểu là "đoạn thẳng có hướng"). Vận tốc phương vị

Vận tốc phương vị (hay vận tốc hoành) là hình chiếu của vận tốc của một điểm (trên hình là điểm A) lên đường thẳng vuông góc với vectơ bán kính formula_1. Một vật chuyển động gia tốc trên quỹ đạo tròn, 
nó chịu một lực có độ lớn bằng:

với formula_20 là khối lượng của vật, formula_17 là vận tốc và formula_39 là độ lớn khoảng cách đến tâm của quỹ đạo tròn và formula_40 là vectơ đơn vị chỉ theo hướng từ tâm ra ngoài. Động học nghịch ngược lại, đi tìm các giá trị đầu vào khi đã biết các thông số vị trí, hướng, vận tốc, gia tốc của vật. Về mặt toán học, tốc độ thay đổi của vectơ vị trí của một chất điểm, liên quan đến thời gian là vận tốc của chất điểm đó. Vận tốc-4

Trong vật lý, đặc biệt là trong thuyết tương đối hẹp và thuyết tương đối rộng, vận tốc-4 của một vật thể chuyển động là một vectơ-4 
(vectơ trong không thời gian 4 chiều) được định nghĩa là đạo hàm của véctơ vị trí-4 của vật thể theo thời gian riêng gắn với vật thể. Vế phải của phương trình tích phân bậc nhất định luật 2 Newton có thể được đơn giản khi sử dụng biểu thức sau:

Biểu thức trên có thể tích phân dễ dàng để chuyển thành động năng:

với động năng của vật được định nghĩa như sau:

Và kết quả là định lý công-động năng cho vật rắn chuyển động:

Tốc độ công thực hiện bởi một lực (đo bằng joule/giây, hay là watt) là tích vô hướng của một lực (một vectơ) với lại tốc độ thay đổi vectơ độ dời, hay là vectơ vận tốc của điểm đặt lực. Xung lượng đo sự thay đổi động lượng của vật, một đại lượng vectơ có hướng, trong khi công chỉ phụ thuộc độ lớn của vận tốc. Nếu một vật đang di chuyển theo một đường tròn với tốc độ biến thiên, gia tốc của nó có thể được chia thành hai thành phần: gia tốc hướng tâm (gia tốc làm thay đổi "hướng vận tốc") và gia tốc tiếp tuyến (gia tốc làm thay đổi "độ lớn" vận tốc). Gia tốc luôn hướng vào tâm quỹ đạo và vuông góc với vận tốc. Chuyển động tròn của vận tốc được thể hiện trong đường tròn ở hình bên phải, cùng với gia tốc a. Cũng như vận tốc là mức độ thay đổi vị trí, gia tốc chính là mức độ thay đổi của vận tốc. Vector vận tốc được định nghĩa là tốc độ của vật cùng với hướng chuyển động. Nếu mômen lực vuông góc với vận tốc góc, gia tốc góc cũng vuông góc với vận tốc góc, điều này dẫn đến độ lớn của vận tốc góc không đổi (vật quay đều), nhưng phương của vận tốc góc luôn đổi (theo chiều luôn vuông góc với véctơ vận tốc) và vận tốc góc bị xoay tròn. Tần số góc (hay tốc độ góc) là độ lớn của vận tốc góc vectơ. Tốc độ được đo bằng cùng đơn vị đo với vận tốc, nhưng không chứa thông tin về hướng chuyển động. Đối với một trường hấp dẫn phát sinh bên ngoài đã cho, gia tốc thủy triều tại một điểm đối với một vật thể thu được cách trừ vectơ gia tốc hấp dẫn tại tâm vật thể (do trường phát sinh ngoài đã cho) khỏi gia tốc hấp dẫn (do cùng trường này sinh ra) tại điểm đã cho. Bởi vì vận tốc góc không đổi, vectơ vận tốc cũng quét ra một vòng tròn tương tự. Gia tốc trong công thức trên là gia tốc ly tâm, cũng có thể biểu diễn bằng biểu thức:
với w là véc tơ vận tốc góc của chuyển động quay của hệ; r là véc tơ vị trí từ tâm quay đến điểm đang xét gia tốc ly tâm; × là phép nhân véc tơ. Nếu là khối lượng của một vật và là vận tốc (cũng là một vectơ), thì động lượng là 

Trong hệ đơn vị SI, nó được đo bằng kilogam mét trên giây ( kg. Trái Đất quay quanh trục từ tây sang đông, với vận tốc khoảng 28 km/min tại xích đạo, nhưng Mặt Trăng cũng chuyển động trên quỹ đạo theo cùng hướng tự quay của Trái Đất với vận tốc 61 km/min, do vậy vùng bóng tối (umbra) gần như luôn luôn di chuyển theo hướng tây-đông trên bề mặt với vận tốc quỹ đạo của Mặt Trăng trừ đi vận tốc tiếp tuyến của vận tốc tự quay của Trái Đất bằng 33 km/min. Do dó, lực lò xo còn gọi là lực hồi phục, giúp vật trở lại vị trí cân bằng, luôn hướng về vị trí cân bằng. Do dó, lực lò xo còn gọi là lực hồi phục, giúp vật trở lại vị trí cân bằng, luôn hướng về vị trí cân bằng. Các phân tử hay nguyên tử của vật rắn có dao động nhiệt quanh vị trí cân bằng và khoảng cách chúng xa vị trí cân bằng. Lực làm cho lò xo giãn ra

Lực làm cho Lò xo trở về vị trí cân bằng

Ở trạng thái cân bằng

Lực làm cho lò xo giãn ra

Lực làm cho Lò xo trở về vị trí cân bằng

Ở trạng thái cân bằng

Mọi Dao động đều có thể biểu diễn bằng một phương trình Sóng dao động vi phân bậc hai có nghiệm là hàm số Sóng Sin như sau Trong phân tử, các điện tử luôn ở trạng thái chuyển động liên tục và các hạt nhân nguyên tử luôn dao động quanh vị trí cân bằng. Đây chính là định nghĩa của cân bằng động: khi mọi lực tác dụng lên một vật sẽ cân bằng sao cho vật đó vẫn chuyển động với vận tốc không đổi. Một dao động được nghiên cứu nhiều trong cơ học là dao động tuần hoàn, tức là dao động lặp đi lặp lại như cũ quanh vị trí cân bằng sau những khoảng thời gian bằng nhau. Khi được thả ra, lực phục hồi kết hợp với trọng lượng của con lắc khiến cho nó dao động xung quanh vị trí cân bằng. Mỗi phát bắn, nòng thụt về sau, tốc độ được hãm bằng hãm lùi thủy lực, nòng trở về vị trí cũ sau khi lùi bằng đẩy về. Động học nghịch ngược lại, đi tìm các giá trị đầu vào khi đã biết các thông số vị trí, hướng, vận tốc, gia tốc của vật. Vấn đề về chuyển động học được phát sinh bằng việc mô tả lại hình dạng của hệ và khai báo các điều kiện ban đầu của bất kỳ giá trị đã biết nào về vị trí, vận tốc và/hoặc gia tốc các điểm trong hệ. Trong khi sóng có thể di chuyển và truyền năng lượng trên quãng đường dài, thì các phần tử môi trường chỉ "dao động" quanh vị trí cân bằng của nó. Trong cơ học, dao động là chuyển động có giới hạn trong không gian, lặp đi lặp lại nhiều lần quanh vị trí cân bằng. Chú ý rằng "x" thay thế cho hạt trong dao động điều hòa tại vị trí cân bằng, và không nên nhầm lẫn với kí hiệu x của trường. Ngược lại, với chất nghịch từ thì luôn có vị trí cân bằng bền. Điều này cho phép có được thế đứng cân bằng, bất kể vị trí của bàn chân thế nào. Chuyển động tăng tốc khi vectơ gia tốc cùng chiều với chiều chuyển động; giảm tốc khi vectơ gia tốc ngược chiều với chiều chuyển động; đổi hướng khi véc tơ gia tốc có phương khác với phương chuyển động. Gia tốc trong công thức trên là gia tốc ly tâm, cũng có thể biểu diễn bằng biểu thức:
với w là véc tơ vận tốc góc của chuyển động quay của hệ; r là véc tơ vị trí từ tâm quay đến điểm đang xét gia tốc ly tâm; × là phép nhân véc tơ. Ví dụ một lò xo khi bị kéo (hay nén) một khoảng "y" khỏi vị trí cân bằng sẽ sinh ra lực đàn hồi khiến lò xo quay trở về vị trí cân bằng:
với "k" là hệ số đàn hồi của lò xo. Sau đó "O′x′" bắt đầu chuyển động với vận tốc formula_4 so với trục "Ox". Nếu xét trong hệ quy chiếu gắn với vật chuyển động (trong đó vật là đứng yên) gia tốc hướng tâm cần cân bằng với gia tốc ly tâm gây ra bởi lực quán tính trong hệ quy chiếu này. Trầm tích này có thể ở nhiều vị trí khác nhau trong dòng chảy, phụ thuộc vào sự cân bằng giữa vận tốc hướng lên trên hạt (lực kéo và lực nâng) và [vận tốc lắng đọng vận tốc thiết bị đầu cuối] của hạt. Khi đưa con lắc dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng theo chiều ngang, nó sẽ chịu một lực phục hồi do tác dụng của hấp dẫn đưa nó trở lại vị trí cân bằng. Với lực đẩy Ác si mét này, bọt nước sẽ luôn có xu hướng tìm đến vị trí cân bằng ở trên cùng ống nước cong. Cân bằng động của lắp ráp đã được thực hiện bằng cách thêm các dấu vết nhỏ của epoxy tại các vị trí được chỉ định bởi đơn vị thử nghiệm cân bằng. Độ lớn của gia tốc của một vật là độ lớn |A| của vecto gia tốc của nó. Độ lớn biểu kiến của lực quán tính (lực giả) luôn luôn tỉ lệ với khối lượng của bất kì một vật nào mà chúng tác động lên - ví dụ, ghế ngồi của người lái xe đẩy một lực đủ lớn để gia tốc người lái xe với cùng một tốc độ như chiếc xe. Ngược lại, bất kỳ một dao động điều hòa nào cũng có thể biểu diễn bằng 1 vector có mũi chuyển động tròn đều với vận tốc góc "ω=2π/T" trong đó "T" là chu kỳ của dao động điều hòa, độ lớn vector là biên độ dao động, góc tạo với trục tọa độ là pha ban đầu. Như vậy, mọi ngoại lực tác dụng lên vật sẽ sản sinh ra một gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực. Tốc độ của một vật là độ lớn |V| của vận tốc. Tốc độ

Trong vật lý học, tốc độ là độ nhanh chậm của chuyển động, là độ lớn vô hướng của vận tốc. Điều này đã được phát biểu bằng định luật Wiedemann–Franz, nói rằng tỉ số độ dẫn nhiệt trên độ dẫn điện tỷ lệ thuận với nhiệt độ của vật liệu. Một vật chuyển động gia tốc trên quỹ đạo tròn, 
nó chịu một lực có độ lớn bằng:

với formula_20 là khối lượng của vật, formula_17 là vận tốc và formula_39 là độ lớn khoảng cách đến tâm của quỹ đạo tròn và formula_40 là vectơ đơn vị chỉ theo hướng từ tâm ra ngoài. Tốc độ siêu thanh

Tốc độ siêu thanh là tốc độ chuyển động của vật thể lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường. Cũng có thể liên hệ với tốc độ thẳng thay cho tốc độ góc:

Như vậy, độ lớn của lực ly tâm tỷ lệ thuận với khối lượng của vật chuyển động, với bình phương của tốc độ thẳng, và tỷ lệ nghịch với bán kính của đường cong. "Nếu có lực tác dụng vào vật thì tốc độ chuyển động của vật sẽ tỉ lệ thuận với lực tác dụng." Nếu một vật đang di chuyển theo một đường tròn với tốc độ biến thiên, gia tốc của nó có thể được chia thành hai thành phần: gia tốc hướng tâm (gia tốc làm thay đổi "hướng vận tốc") và gia tốc tiếp tuyến (gia tốc làm thay đổi "độ lớn" vận tốc). Với tốc độ quay nhanh, hiếm khi có vật thể quá lớn, Varuna được cho là hình cầu thuôn dài (tỷ lệ trục 2: 3), với mật độ trung bình khoảng 1 g / cm3 (gần bằng mật độ của nước). Thần tốc khác với tốc độ vật lý ở chỗ thay vì tăng động năng để gia tăng tốc độ thì thần tốc giảm thời gian chủ thể di chuyển từ A tới B. Điều kiện phát động là Godou bị tấn công bởi vật thể có tốc độ cao. Do đó, gia tốc là tốc độ thay đổi độ lớn của vector vận tốc cộng với tốc độ thay đổi hướng của vector vận tốc đó. Những vật chuyển động với tốc độ lớn hơn tốc độ vũ trụ cấp 1 nhưng nhỏ hơn tốc độ vũ trụ cấp 2 cũng vẫn sẽ chuyển động quanh hành tinh nhưng với quỹ đạo hình elip. Ví dụ, một vật khối lượng 80 kg di chuyển với tốc độ 18 mét trên giây (65 km/h) thì động năng của nó là

Bởi vì động năng tỉ lệ theo bình phương tốc độ, nên một vật tăng gấp đôi tốc độ thì nó sẽ có động năng gấp bốn lần ban đầu. Hướng và độ lớn của gia tốc Euler được cho bởi:
với:
Sử dụng gia tốc trên, lực Euler là:
với: Gradien nhiệt độ

Gradien nhiệt độ là đại lượng vật lý mô tả hướng có tốc độ thay đổi nhiệt độ nhanh nhất, ở xung quanh một vị trí, và độ lớn của mức độ thay đổi nhiệt độ nhanh nhất này. Sau đó "O′x′" bắt đầu chuyển động với vận tốc formula_4 so với trục "Ox". Gió Mặt Trời có tốc độ lớn hơn tốc độ âm thanh trong khi plasma xung quanh Sao Mộc có tốc độ nhỏ hơn tốc độ âm thanh. Như vậy gia tốc này hướng vào tâm cong của quỹ đạo (ngược hướng của gia tốc ly tâm) và có độ lớn bằng độ lớn của gia tốc ly tâm:

trong đó:

Nếu xét trường hợp đơn giản là chuyển động tròn đều (tốc độ không đổi) trên quỹ đạo là đường tròn thì cả "v" và "R" là không đổi và gia tốc hướng tâm là không đổi. Sau khi đạt được năng lượng này bởi gia tốc của nó, vật sẽ duy trì động năng này trừ khi tốc độ của nó thay đổi. Hố đen cuối sau va chạm có tốc độ tự quay bằng tốc độ quay lớn nhất của nó. Li độ

Li độ hay độ dời là khoảng cách ngắn nhất từ vị trí ban đầu đến vị trị hiện tại của vật chuyển động, thường được biểu diễn tọa độ của vật trong hệ quy chiếu khảo sát chuyển động.