{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2023/0823/1-0_16.png","title":"Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc - SBT Toán 11 CD","display_type":1,"cat_id":1568,"cat_title":"SBT Toán 11 - Cánh diều","alias":"chuong-viii-quan-he-vuong-goc-trong-khong-gian-phep-chieu-vuong-goc-sbt-toan-11-cd","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":33269,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":149637,"cat_id":1568,"publish_time":1694250960,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_1-0_5.png","title":"Giải bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-57-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp tứ giác đều \\(S.ABCD\\) có \\(AB = a\\), \\(O\\) là hình chiếu ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694250952.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(S.ABCD\\) là hình chóp tứ giác đều, ta suy ra \\(ABCD\\) là hình vuông. Điều này suy ra \\(AC \\bot BD\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, do \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) nên \\(SO \\bot AC\\).</p>\r\n<p>Như vậy, do \\(AC \\bot BD\\), \\(SO \\bot AC\\) nên \\(AC \\bot \\left( {SBD} \\right)\\)</p>\r\n<p>Đáp án đúng là D.</p>\r\n<p>b) Do \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\(SO \\bot AO\\) và \\(SO \\bot OM\\). Do đó, góc \\(\\widehat {AOM}\\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {A,SO,M} \\right]\\).</p>\r\n<p>Do \\(M\\) là trung điểm của \\(CD\\), và tam giác \\(COD\\) vuông cân tại \\(O\\), ta suy ra \\(\\widehat {MOD} = {45^o}\\) và \\(OM \\bot CD\\). Do đó \\(\\widehat {AOM} = \\widehat {AOD} + \\widehat {MOD} = {90^o} + {45^o} = {135^o}\\).</p>\r\n<p>Vậy số đo của góc nhị diện \\(\\left[ {A,SO,M} \\right]\\) là \\({135^o}\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là C.</p>\r\n<p>c) Gọi \\(N\\) là trung điểm của \\(BC\\). Tam giác \\(OBC\\) vuông cân tại \\(O\\), nên ta có \\(ON \\bot BC\\). Hơn nữa, do \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), nên \\(SO \\bot ON\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(ON\\) là đường vuông góc chung của \\(SO\\) và \\(BC\\), do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng \\(SO\\) và \\(BC\\) là đoạn thẳng \\(ON\\).</p>\r\n<p>Dễ dàng chứng minh được \\(ON = \\frac{1}{2}AB = \\frac{a}{2}\\), vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \\(SO\\) và \\(BC\\) bằng \\(\\frac{a}{2}\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là B.</p>\r\n<p>d) Thể tích khối chóp \\(S.ABCD\\) là \\(V = \\frac{1}{3}Sh = \\frac{1}{3}A{B^2}.SO = \\frac{1}{3}{a^2}.a = \\frac{{{a^3}}}{3}\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là C.</p>\r\n<p>e) Do \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\(SO \\bot CM\\), mà theo câu b, ta suy ra \\(CM \\bot OM\\).</p>\r\n<p>Từ đó ta có \\(CM \\bot \\left( {SOM} \\right)\\). Như vậy \\(M\\) là hình chiếu của \\(C\\) trên \\(\\left( {SOM} \\right)\\), từ đó khoảng cách từ \\(C\\) đến \\(\\left( {SOM} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(CM\\). Do \\(CM = \\frac{1}{2}CD = \\frac{a}{2}\\), nên khoảng cách từ \\(C\\) đến \\(\\left( {SOM} \\right)\\) bằng \\(\\frac{a}{2}\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là B.</p>\r\n<p>g) Do \\(O\\) là hình chiếu của \\(S\\) trên \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra góc giữa đường thẳng \\(SM\\) và mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) là góc \\(\\widehat {SMO}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cot \\widehat {SMO} = \\frac{{OM}}{{SO}} = \\frac{{\\frac{a}{2}}}{a} = \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy côtang của góc giữa đường thẳng \\(SM\\) và mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) bằng \\(\\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":149628,"cat_id":1568,"publish_time":1694248500,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_1-0.png","title":"Giải bài 45 trang 109, 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 45 trang 109, 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-45-trang-109-110-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":" Cho hình chữ nhật \\(ABCD\\) có \\(AB = 3a\\), \\(AD = 4a\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Do \\(ABCD\\) là hình chữ nhật, nên ta có \\(AB \\bot BC\\). Như vậy khoảng cách từ điểm \\(A\\) đến đường thẳng \\(BC\\) là đoạn thẳng \\(AB\\). Do \\(AB = 3a\\), nên đáp án cần chọn là đáp án B.</p>\r\n<p>b) Gọi \\(H\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(BD\\). Khi đó khoảng cách từ \\(A\\) đến \\(BD\\) là đoạn thẳng \\(AH\\).</p>\r\n<p align=\"center\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694248947.png\"   /> </p>\r\n<p>Tam giác \\(ABD\\) vuông tại \\(A\\), đường cao \\(AH\\) nên ta có \\(BD = \\sqrt {{{\\left( {3a} \\right)}^2} + {{\\left( {4a} \\right)}^2}}  = 5a\\)</p>\r\n<p>Như vậy \\(AH = \\frac{{AB.AD}}{{BD}} = \\frac{{3a.4a}}{{5a}} = 2,4a\\).</p>\r\n<p>Đáp án cần chọn là đáp án A.</p>\r\n<p>c) Do \\(AB\\parallel CD\\) nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng này chính là khoảng cách từ điểm \\(A\\) đến đường thẳng \\(CD\\). Vì \\(AD \\bot DC\\) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \\(AB\\) và \\(CD\\) chính là đoạn thẳng \\(AD\\). Mà \\(AD = 4a\\), nên đáp án đúng là đáp án C.</p>"},{"article_id":149320,"cat_id":1568,"publish_time":1693994580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_1-0_27.png","title":"Giải bài 33 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 33 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-33-trang-103-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\) cắt nhau ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đáp án A đúng, vì nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án B đúng, vì với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.</p>\r\n<p>Đáp án C sai, vì hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) cắt nhau, nên chúng không thể song song với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án D đúng, vì nếu \\[a \\bot \\left( Q \\right)\\] thì ta suy ra \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( Q \\right)\\). Ta có tính chất nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.</p>\r\n<p>Đáp án cần chọn là C.</p>"},{"article_id":149306,"cat_id":1568,"publish_time":1693991040,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_1-0_25.png","title":"Giải bài 24 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 24 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-24-trang-99-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hai mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right)) song song với nhau. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693991309.png\" /></p>\r\n<p>Gọi \\({d_1}\\) và \\({d_2}\\) lần lượt là hình chiếu của \\(d\\) trên mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\). Khi đó góc giữa đường thẳng \\(d\\) và \\(\\left( P \\right)\\) chính là góc giữa \\(d\\) và \\({d_1}\\), góc giữa đường thẳng \\(d\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) chính là góc giữa \\(d\\) và \\({d_2}\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(A\\) là giao điểm của \\(d\\) và \\({d_1}\\), \\(B\\) là giao điểm của \\(d\\) và \\({d_2}\\). Hiển nhiên \\(A \\in \\left( P \\right)\\) và \\(B \\in \\left( Q \\right)\\).</p>\r\n<p>Trên hình vẽ, góc giữa \\(d\\) và \\({d_1}\\) là góc \\(\\widehat {{A_1}}\\), góc giữa \\(d\\) và \\({d_2}\\) là góc \\(\\widehat {{B_1}}\\). Do \\({d_1}\\parallel {d_2}\\) nên ta có \\(\\widehat {{A_1}} = \\widehat {{B_1}}\\). Suy ra góc giữa \\(d\\) và \\(\\left( Q \\right)\\), cũng là góc giữa \\(d\\) và \\({d_2}\\) chính là góc giữa \\(d\\) và \\(\\left( P \\right)\\) và bằng \\(\\varphi \\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là C.<strong><em></em></strong></p>"},{"article_id":148556,"cat_id":1568,"publish_time":1693403580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_1-0_76.png","title":"Giải bài 6 trang 93 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 6 trang 93 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-6-trang-93-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng c không nằm trên (P). Khi đó, \\(\\left( P \\right) \\bot c\\) nếu: ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.</p>\r\n<p>Đáp án D.</p>"},{"article_id":148551,"cat_id":1568,"publish_time":1693402560,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_1-0_74.png","title":"Giải bài 1 trang 88 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 1 trang 88 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-1-trang-88-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ \\(ABC.A'B'C'\\) có \\(ABC\\) là tam giác đều và \\(ABB'A'\\) là hình chữ nhật","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Do \\(ABC\\) là tam giác đều nên \\(\\widehat {ABC} = {60^0}.\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(BC\\)// \\(B'C'\\) nên \\(\\left( {AB,B'C'} \\right) = \\left( {AB,BC} \\right) = \\widehat {ABC} = {60^0}.\\)</p>\r\n<p>Đáp án C.</p>\r\n<p>b) Do \\(ABB'A'\\) là hình chữ nhật nên \\(\\widehat {ABB'} = {90^0}.\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(BB'\\)// \\(CC'\\) nên \\(\\left( {AB,CC'} \\right) = \\left( {AB,BB'} \\right) = \\widehat {ABB'} = {90^0}.\\)</p>\r\n<p>Đáp án D.</p>\r\n<p>c) Do \\(ABC\\) là tam giác đều nên \\(\\widehat {MAC} = \\frac{1}{2}\\widehat {BAC} = \\frac{1}{2}{.60^0} = {30^0}.\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(AC\\)// \\(A'C'\\) nên \\(\\left( {AM,A'C'} \\right) = \\left( {AM,AC} \\right) = \\widehat {MAC} = {30^0}.\\)</p>\r\n<p>Đáp án A.</p>"},{"article_id":149638,"cat_id":1568,"publish_time":1694250780,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_1-0_6.png","title":"Giải bài 58 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 58 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-58-trang-119-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khẳng định 1 là sai. Xét hình lập phương \\(ABCD.A'B'C'D'\\). Ta có \\(AD\\) và \\(A'B'\\) cùng vuông góc với \\(AA'\\), nhưng \\(AD\\) và \\(A'B'\\) không cùng nằm trong mặt phẳng nào cả.</p>\r\n<p align=\"center\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694251203.png\"   /> </p>\r\n<p>Khẳng định 2 là sai. Xét hình lập phương \\(ABCD.A'B'C'D'\\), ta thấy rằng \\(BB'\\) vuông góc với \\(CD\\), nhưng \\(BB'\\) và \\(CD\\) không cùng nằm trong mặt phẳng nào cả.</p>\r\n<p>Khẳng định 3 là đúng, do theo tính chất, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó sẽ vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.</p>\r\n<p>Khẳng định 4 là sai. Xét hình lập phương \\(ABCD.A'B'C'D'\\), ta thấy rằng hai mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) và \\(\\left( {BCC'B'} \\right)\\) vuông góc với nhau, đường thẳng \\(A'B'\\) song song với \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), nhưng \\(A'B'\\) không song song hay nằm trong mặt phẳng \\(\\left( {BCC'B'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Khẳng định 5 là đúng. Xét ba mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\) và \\(\\left( R \\right)\\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\) và \\(\\left( R \\right)\\), \\(\\left( R \\right)\\) và \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) cùng vuông góc với \\(\\left( R \\right)\\), nên giao tuyến \\(a\\) của \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) cũng vuông góc với \\(\\left( R \\right)\\). Mà \\(b\\) và \\(c\\) cũng nằm trên \\(\\left( R \\right)\\) nên \\(a\\) vuông góc với \\(b\\) và \\(a\\) vuông góc với \\(c\\). Tương tự ta cũng suy ra \\(b\\) vuông góc với \\(c\\), tức là \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) đôi một vuông góc với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":149629,"cat_id":1568,"publish_time":1694248740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_1-0_1.png","title":"Giải bài 46 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 46 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-46-trang-110-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Hình dưới minh hoạ hình ảnh một chiếc gậy dài 3 m đặt dựa vào tường, góc nghiêng giữa chiếc gậy và mặt đất là \\({65^o}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách từ vị trí \\(M\\) đến mặt đất chính là đoạn thẳng \\(MH\\) trên hình vẽ.</p>\r\n<p>Ta có \\(\\frac{{MH}}{{MO}} = \\sin {65^o} \\Rightarrow MH = MO.\\sin {65^o} \\approx 2,7{\\rm{ }}\\left( m \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":149321,"cat_id":1568,"publish_time":1693994640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_2-0_4.png","title":"Giải bài 34 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 34 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-34-trang-103-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\) vuông góc ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Lấy mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) bất kì chứa đường thẳng \\(a\\) và cắt \\(\\left( P \\right)\\) theo giao tuyến là đường thẳng \\(a'\\). Ta dễ dàng suy ra được \\(a\\parallel a'\\). Nếu \\(a \\bot d\\), do \\(a\\parallel a'\\) nên \\(a' \\bot d\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( Q \\right)\\), \\(d = \\left( P \\right) \\cap \\left( Q \\right)\\), \\(a' \\bot d\\) nên ta suy ra \\(a' \\bot \\left( Q \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(a' \\bot \\left( Q \\right)\\), \\(a\\parallel a'\\), ta suy ra \\(a \\bot \\left( Q \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":149308,"cat_id":1568,"publish_time":1693991160,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_2-0_2.png","title":"Giải bài 25 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 25 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-25-trang-99-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hai đường thẳng (a) và (b) song song với nhau, mặt phẳng ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693991431.png\" /></p>\r\n<p>Gọi \\(a'\\) và \\(b'\\) lần lượt là hình chiếu của \\(a\\) và \\(b\\) trên mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Khi đó góc giữa \\(a\\) và \\(\\left( P \\right)\\) chính là góc giữa \\(a\\) và \\(a'\\), góc giữa \\(b\\) và \\(\\left( P \\right)\\) chính là góc giữa \\(b\\) và \\(b'\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(A\\) và \\(B\\) lần lượt là giao điểm của \\(a\\) và \\(b\\) trên mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Hiển nhiên ta có \\(A \\in a'\\) và \\(B \\in b'\\).</p>\r\n<p>Trên hình vẽ, góc giữa \\(a\\) và \\(a'\\) là góc \\(\\widehat {{A_1}}\\), góc giữa \\(b\\) và \\(b'\\) là góc \\(\\widehat {{B_1}}\\). Dễ thấy rằng \\(\\widehat {{A_1}} = \\widehat {{B_1}}\\), nên góc giữa \\(b\\) và \\(\\left( P \\right)\\) cũng chính bằng góc giữa \\(a\\) và \\(\\left( P \\right)\\), và bằng \\(\\varphi \\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là B.<strong><em></em></strong></p>"},{"article_id":148557,"cat_id":1568,"publish_time":1693403580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_1-0_77.png","title":"Giải bài 7 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài  7 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-7-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":" Cho tam giác ABC. Số mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cả AB, AC là:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Có duy nhất một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB.</p>\r\n<p>Có duy nhất một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AC.</p>\r\n<p>Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cả AB, AC khi và chỉ khi 3 điểm A, B, C thẳng hàng (Vô lý vì 3 điểm A, B, C tạo thành tam giác ABC).</p>\r\n<p>Vậy không tồn tại mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cả AB, AC.</p>\r\n<p>Đáp án A.</p>"},{"article_id":148552,"cat_id":1568,"publish_time":1693402920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_1-0_75.png","title":"Giải bài 2 trang 89 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 2 trang 89 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-2-trang-89-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Hình 5 gợi nên hình ảnh một số cặp đường thẳng vuông góc với nhau","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau là: c và e; b và e; a và b.</p>"},{"article_id":149639,"cat_id":1568,"publish_time":1694250960,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_2-0_4.png","title":"Giải bài 59 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 59 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-59-trang-119-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lập phương \\(ABCD.A'B'C'D'\\) có \\(AB = a\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694251259.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, nên ta có \\(BC \\bot \\left( {DCC'D'} \\right)\\), điều này suy ra \\(BC \\bot C'D\\).</p>\r\n<p>Vì \\(DCC'D'\\) là hình vuông, nên ta có \\(C'D \\bot CD'\\).</p>\r\n<p>Vậy ta có \\(BC \\bot C'D\\), \\(C'D \\bot CD'\\) nên ta có \\(C'D \\bot \\left( {BCD'} \\right)\\). Ta có điều phải chứng minh.</p>\r\n<p>Do \\(C'D \\bot \\left( {BCD'} \\right)\\), ta suy ra \\(BD' \\bot C'D\\).</p>\r\n<p>Do \\(C'D \\bot \\left( {BCD'} \\right)\\), mà \\(C'D \\subset \\left( {BC'D} \\right)\\),ta suy ra \\(\\left( {BC'D} \\right) \\bot \\left( {BCD'} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Dễ thấy rằng do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, ta có \\(AD\\parallel A'D'\\), nên góc giữa \\(BD\\) và \\(A'D'\\) cũng bằng góc giữa \\(BD\\) và \\(AD\\), và bằng \\(\\widehat {ADB}\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình vuông, nên \\(\\widehat {ADB} = {45^o}\\).</p>\r\n<p>Vậy góc giữa \\(BD\\) và \\(A'D'\\)  bằng \\({45^o}\\).</p>\r\n<p>c) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, nên ta có \\(BC \\bot \\left( {DCC'D'} \\right)\\). Điều này suy ra \\(C\\) là hình chiếu của \\(B\\) trên \\(\\left( {DCC'D'} \\right)\\). Như vậy, góc giữa đường thẳng \\(BD\\) và mặt phẳng \\(\\left( {DCC'D'} \\right)\\) là góc \\(\\widehat {BDC}\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình vuông, nên \\(\\widehat {BDC} = {45^o}\\).</p>\r\n<p>Vậy góc giữa đường thẳng \\(BD\\) và mặt phẳng \\(\\left( {DCC'D'} \\right)\\)  bằng \\({45^o}\\).</p>\r\n<p>d) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, ta suy ra \\(DD' \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\). Điều này dẫn tới \\(DD' \\bot BD\\) và \\(DD' \\bot CD\\). Vậy \\(\\widehat {BDC}\\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {B,DD',C} \\right]\\). Theo câu c, ta có \\(\\widehat {BDC} = {45^o}\\). Vậy số đo của góc nhị diện \\(\\left[ {B,DD',C} \\right]\\) bằng \\({45^o}\\).</p>\r\n<p>e) Gọi \\(I\\) là giao điểm của \\(D'C\\) và \\(DC'\\). Theo câu a, ta có \\(C'D \\bot \\left( {BCD'} \\right)\\), nên \\(DI \\bot \\left( {BCD'} \\right)\\). Vậy khoảng cách từ \\(D\\) đến \\(\\left( {BCD'} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(DI\\).</p>\r\n<p>Vì \\(DCC'D'\\) là hình vuông cạnh \\(a\\), ta suy ra \\(C'D = \\sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\\sqrt 2 \\). Suy ra \\(DI = C'I = \\frac{{C'D}}{2} = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách từ \\(D\\) đến \\(\\left( {BCD'} \\right)\\) bằng \\(\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>g) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, ta suy ra \\(B'C'\\parallel BC\\).</p>\r\n<p>Mà \\(BC \\subset \\left( {BCD} \\right)\\) nên ta suy ra \\(B'C'\\parallel \\left( {BCD'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(B'C'\\parallel \\left( {BCD'} \\right)\\), nên khoảng cách giữa \\(B'C'\\) và \\(\\left( {BCD'} \\right)\\) cũng bằng khoảng cách từ \\(C'\\) đến \\(\\left( {BCD'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Theo câu a, ta có \\(C'D \\bot \\left( {BCD'} \\right)\\), điều này cũng có nghĩa \\(C'I \\bot \\left( {BCD'} \\right)\\), tức khoảng cách từ \\(C'\\) đến \\(\\left( {BCD'} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(C'I\\). Mà theo câu e, vì \\(C'I = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\), ta kết luận rằng khoảng cách giữa \\(B'C'\\) và \\(\\left( {BCD'} \\right)\\) bằng \\(\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>h) Do \\(CC' \\bot \\left( {BCD} \\right)\\) nên thể tích tứ diện \\(C'BCD\\) là</p>\r\n<p>\\(V = \\frac{1}{3}CC'.{S_{BCD}} = \\frac{1}{3}CC'.\\frac{{BC.CD}}{2} = \\frac{{a.a.a}}{6} = \\frac{{{a^3}}}{6}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(BC'D\\) có \\(BC' = C'D = BD = a\\sqrt 2 \\) (do chúng đều là đường chéo của các mặt của hình lập phương) nên tam giác đó đều.</p>\r\n<p>Diện tích tam giác \\(BC'D\\) bằng \\({S_{BC'D}} = \\frac{{B{D^2}\\sqrt 3 }}{4} = \\frac{{{{\\left( {a\\sqrt 2 } \\right)}^2}\\sqrt 3 }}{4} = \\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vì thể tích tứ diện \\(C'BCD\\) cũng có thể được tính bằng công thức \\(V = \\frac{1}{3}{d_{C,\\left( {BC'D} \\right)}}.{S_{BC'D}}\\), ta suy ra \\({d_{C,\\left( {BC'D} \\right)}} = \\frac{{3.\\frac{{{a^3}}}{6}}}{{\\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{2}}} = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách từ \\(C\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {BC'D} \\right)\\) bằng \\(\\frac{{a\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>"},{"article_id":149630,"cat_id":1568,"publish_time":1694248740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_2-0.png","title":"Giải bài 47 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 47 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-47-trang-110-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABC\\) có \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right)\\), \\(AB \\bot BC\\), \\(SA = AB = 3a\\), \\(BC = 4a\\). Tính khoảng cách:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694249190.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right)\\), ta có \\(SA \\bot BC\\). Mà \\(AB \\bot BC\\) nên \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot BC\\). Do đó, \\(B\\) là hình chiếu của \\(C\\) trên \\(\\left( {SAB} \\right)\\), tức là khoảng cách từ \\(C\\) đến \\(\\left( {SAB} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(BC\\). Do \\(BC = 4a\\), nên khoảng cách từ \\(C\\) đến \\(\\left( {SAB} \\right)\\) là \\(4a\\).</p>\r\n<p>b) Do \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right)\\), ta có \\(SA \\bot AB\\). Mà \\(AB \\bot BC\\) nên \\(AB\\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \\(SA\\) và \\(BC\\). Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng \\(SA\\) và \\(BC\\) là đoạn thẳng \\(AB\\). Do \\(AB = 3a\\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \\(SA\\) và \\(BC\\) là \\(3a\\).</p>\r\n<p>c) Gọi \\(H\\) là hình chiếu của điểm \\(A\\) trên \\(SB\\). Theo câu a, ta có \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot BC\\) nên \\(AH \\bot BC\\). Vì \\(AH \\bot BC\\), \\(AH \\bot SB\\), ta có \\(AH \\bot \\left( {SBC} \\right)\\). Vậy \\(H\\) là hình chiếu của điểm \\(A\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right)\\), điều này có nghĩa khoảng cách từ \\(A\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(AH\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SAB\\) vuông cân tại \\(A\\), \\(SA = AB = 3a\\) nên ta suy ra \\(AH = \\frac{{3a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>d) Gọi \\(M\\) là hình chiếu của điểm \\(B\\) trên \\(AC\\). Do \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right)\\), ta suy ra \\(SA \\bot BM\\). Vì \\(SA \\bot BM\\), \\(AC \\bot BM\\) nên \\(\\left( {SAC} \\right) \\bot BM\\). Vậy \\(M\\) là hình chiếu của điểm \\(B\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\), điều này có nghĩa khoảng cách từ \\(B\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(BM\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(B\\), đường cao \\(BM\\), nên ta có \\(\\frac{1}{{B{M^2}}} = \\frac{1}{{B{A^2}}} + \\frac{1}{{B{C^2}}}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(BM = \\frac{{BA.BC}}{{\\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} }} = \\frac{{3a.4a}}{{\\sqrt {{{\\left( {3a} \\right)}^2} + {{\\left( {4a} \\right)}^2}} }} = \\frac{{12a}}{5}\\).</p>\r\n<p>e) Lấy điểm \\(D \\in \\left( {ABC} \\right)\\) sao cho \\(ABCD\\) là hình bình hành. Do \\(\\widehat {ABC} = {90^o}\\) nên \\(ABCD\\) là hình chữ nhật. Suy ra \\(CD \\bot AD\\). Do \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right)\\), ta có \\(SA \\bot CD\\). Do đó \\(CD \\bot \\left( {SAD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(N\\) là hình chiếu của điểm \\(A\\) trên \\(SD\\). Do \\(CD \\bot \\left( {SAD} \\right)\\) nên \\(CD \\bot AN\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(CD \\bot AN\\), \\(AN \\bot SD\\) nên \\(AN \\bot \\left( {SCD} \\right)\\). Do \\(AB\\parallel CD\\) nên \\(AB\\parallel \\left( {SCD} \\right)\\). Mà \\(SC \\in \\left( {SCD} \\right)\\) nên khoảng cách giữa \\(AB\\) và \\(SC\\) chính là khoảng cách giữa \\(AB\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\), và nó cũng chính bằng khoảng cách từ điểm \\(A\\) đến \\(\\left( {SCD} \\right)\\), và bằng \\(AN\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SAD\\) vuông tại \\(A\\), ta có</p>\r\n<p>\\(AN = \\frac{{SA.AD}}{{SD}} = \\frac{{SA.AD}}{{\\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \\frac{{3a.4a}}{{\\sqrt {{{\\left( {3a} \\right)}^2} + {{\\left( {4a} \\right)}^2}} }} = \\frac{{12a}}{5}\\)</p>"},{"article_id":149322,"cat_id":1568,"publish_time":1693994640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_3-0_4.png","title":"Giải bài 35 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 35 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-35-trang-103-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Giả sử ta có \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( R \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right) \\bot \\left( R \\right)\\). Gọi \\(a\\) là giao tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( R \\right)\\), \\(b\\) là giao tuyến của \\(\\left( Q \\right)\\) và \\(\\left( R \\right)\\). Do \\(a\\) và \\(b\\) cùng nằm trong \\(\\left( R \\right)\\), nên sẽ xảy ra hai trường hợp:</p>\r\n<p>Nếu \\(a\\parallel b\\), ta dễ dàng chứng minh được \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\).</p>\r\n<p>Nếu \\(a\\) cắt \\(b\\), ta dễ dàng chứng minh được \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) cắt nhau theo giao tuyến \\(c\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( R \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right) \\bot \\left( R \\right)\\), ta suy ra \\(c \\bot \\left( R \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là D.</p>"},{"article_id":149309,"cat_id":1568,"publish_time":1693991160,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_3-0_2.png","title":"Giải bài 26 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 26 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-26-trang-99-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp (S.ABC) có (SA bot left( {ABC} right)). Gọi (I) là hình chiếu của (A) trên đường thẳng (BC)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693991489.png\" /></p>\r\n<p>Do \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right)\\), ta suy ra hình chiếu của \\(S\\) trên \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là điểm \\(A\\).</p>\r\n<p>Suy ra góc giữa \\(SI\\) và \\(\\left( {ABC} \\right)\\) chính là góc \\(\\widehat {SIA}\\), tức là \\(\\alpha  = \\widehat {SIA}\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, do \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right)\\), ta suy ra \\(SA \\bot BC\\). Mà theo đề bài, \\(AI \\bot BC\\) nên ta suy ra \\(\\left( {SAI} \\right) \\bot BC\\), từ đó \\(SI \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Như vậy, do \\(SI \\bot BC\\), \\(AI \\bot BC\\), nên \\(\\widehat {SIA}\\) chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {S,BC,A} \\right]\\), tức là \\(\\beta  = \\widehat {SIA}\\).</p>\r\n<p>Vậy ta suy ra \\(\\alpha  = \\beta \\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là D.</p>"},{"article_id":148558,"cat_id":1568,"publish_time":1693403820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_2-0_21.png","title":"Giải bài 8 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 8 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-8-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho điểm I và hai đường thẳng a, b thoả mãn a // b. Số mặt phẳng đi qua I và vuông góc với cả a, b là:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Có duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng a.</p>\r\n<p>Do a // b nên \\(b \\bot \\left( \\alpha  \\right).\\)</p>\r\n<p>Vậy có duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua điểm I và vuông góc với cả a, b.</p>\r\n<p>Đáp án B.</p>"},{"article_id":148553,"cat_id":1568,"publish_time":1693402980,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_2-0_20.png","title":"Giải bài 3 trang 89 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 3 trang 89 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-3-trang-89-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\) có đáy là hình vuông.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693403310.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(A'B'C'D'\\) là hình vuông nên \\(A'D' \\bot A'B',A'C' \\bot B'D'.\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(AB\\)// \\(A'B' \\Rightarrow \\)\\(AB \\bot A'D'.\\)</p>\r\n<p>\\(AC\\)// \\(A'C' \\Rightarrow \\)\\(AC \\bot B'D'.\\)</p>\r\n<p>b) Do \\(ABCD\\) là hình vuông nên \\(\\widehat {CAB} = \\frac{1}{2}\\widehat {DAB} = \\frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}.\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(AB\\)// \\(A'B'\\) nên \\(\\left( {AC,A'B'} \\right) = \\left( {AC,AB} \\right) = \\widehat {CAB} = {45^0}.\\)</p>"},{"article_id":149640,"cat_id":1568,"publish_time":1694250960,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_3-0_2.png","title":"Giải bài 60 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 60 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-60-trang-119-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Một chì neo câu cá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều được làm hoàn toàn bằng chì có khối lượng 137 g. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Thể tích của khối chì neo câu cá đó là: \\(V = \\frac{{137}}{{11,3}} = \\frac{{1370}}{{113}}{\\rm{ }}\\left( {c{m^3}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do chì neo câu cá có dạng hình chóp cụt đều, nên công thức tính thể tích của khối chóp cụt đều: \\(V = \\frac{1}{3}h\\left( {{S_1} + \\sqrt {{S_1}{S_2}}  + {S_2}} \\right)\\), với \\(h\\) là chiều cao và \\({S_1}\\), \\({S_2}\\) lần lượt là diện tích hai đáy của khối chóp cụt đó.</p>\r\n<p>Từ đó, chiều cao của khối chì là \\(h = \\frac{{3.\\frac{{1370}}{{113}}}}{{{1^2} + \\sqrt {{1^2}{{.3}^2}}  + {3^2}}} \\approx 2,8{\\rm{ }}\\left( {cm} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy chiều cao của khối chì neo câu cá xấp xỉ \\(2,8{\\rm{ }}cm\\).</p>"},{"article_id":149634,"cat_id":1568,"publish_time":1694249760,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_3-0_1.png","title":"Giải bài 54 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 54 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-54-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho khối tứ diện đều \\(ABCD\\) cạnh \\(a\\). Tính:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694250053.png\"   /></p>\r\n<p>a) Gọi \\(M\\) và \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(AB\\) và \\(CD\\). Do \\(ABCD\\) là tứ diện đều, ta suy ra các tam giác \\(ABC\\), \\(ABD\\), \\(ACD\\), \\(BCD\\) là các tam giác đều.</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABC\\) đều có \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\), nên ta có \\(CM \\bot AB\\). Chứng minh tương tự ta có \\(DM \\bot AB\\).</p>\r\n<p>Như vậy, do \\(CM \\bot AB\\), \\(DM \\bot AB\\) nên \\(\\left( {CDM} \\right) \\bot AB\\), điều này suy ra \\(MN \\bot AB\\). Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra \\(MN \\bot CD\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(MN\\) là đường vuông góc chưng của hai đường thẳng \\(AB\\) và \\(CD\\), từ đó khoảng cách giữa \\(AB\\) và \\(CD\\) là đoạn thẳng \\(MN\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABC\\) đều cạnh \\(a\\), đường cao \\(CM\\) nên ta có \\(CM = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\). Tương tự, ta cũng có \\(DM = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\)</p>\r\n<p>Vì \\(N\\) là trung điểm của \\(CD\\) nên \\(CN = \\frac{1}{2}CD = \\frac{a}{2}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(CMN\\)vuông tại \\(N\\), nên\\(MN = \\sqrt {C{M^2} - C{N^2}}  = \\sqrt {{{\\left( {\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} - {{\\left( {\\frac{a}{2}} \\right)}^2}}  = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \\(AB\\) và \\(CD\\) bằng \\(\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>b) Gọi \\(E\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(\\left( {BCD} \\right)\\). Ta có \\(AE\\) là đường cao của tứ diện \\(ABCD\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là tứ diện đều, nên \\(E\\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \\(BCD\\). Do \\(BCD\\) là tam giác đều, nên \\(E\\) cũng là trọng tâm của tam giác \\(BCD\\). Mà \\(N\\) là trung điểm của \\(CD\\), nên ta có \\(BE = \\frac{2}{3}BN\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(BCD\\) đều cạnh \\(a\\), đường cao \\(BN\\) nên ta có \\(BN = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(BE = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}.\\frac{2}{3} = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABE\\) vuông tại \\(E\\), nên \\(AE = \\sqrt {A{B^2} - B{E^2}}  = \\sqrt {{a^2} - {{\\left( {\\frac{{a\\sqrt 3 }}{3}} \\right)}^2}}  = \\frac{{a\\sqrt 6 }}{3}\\)</p>\r\n<p>Vậy chiều cao của tứ diện đều là \\(\\frac{{a\\sqrt 6 }}{3}\\).</p>\r\n<p>Do đáy \\(BCD\\) là tam giác đều cạnh \\(a\\), nên diện tích đáy của tứ diện là \\(\\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{4}\\).</p>\r\n<p>Vậy thể tích của khối tứ diện \\(ABCD\\) là \\(V = \\frac{1}{3}Sh = \\frac{1}{3}.\\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{4}.\\frac{{a\\sqrt 6 }}{3} = \\frac{{{a^3}\\sqrt 2 }}{{12}}\\).</p>\r\n<p>c) Do \\(E\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(\\left( {BCD} \\right)\\), nên góc giữa \\(AB\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\) là góc \\(\\widehat {ABE}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABE\\) vuông tại \\(E\\), nên ta có \\(\\cos \\widehat {ABE} = \\frac{{BE}}{{AB}} = \\frac{{\\frac{{a\\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \\frac{{\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>\r\n<p>Vậy côsin góc giữa đường thẳng \\(AB\\) và mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\) là \\(\\frac{{\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>\r\n<p>d) Theo câu a, ta có \\(CM \\bot AB\\) và \\(DM \\bot AB\\), nên \\(\\widehat {CMD}\\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {C,AB,D} \\right]\\).</p>\r\n<p>Áp dụng định lí cos trong tam giác \\(CMD\\), ta có</p>\r\n<p>\\(\\cos \\widehat {CMD} = \\frac{{C{M^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2CM.MD}} = \\frac{{{{\\left( {\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} - {a^2}}}{{2.\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}.\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}}} = \\frac{1}{3}\\).</p>\r\n<p>Vậy côsin của số đo góc nhị diện \\(\\left[ {C,AB,D} \\right]\\) bằng \\(\\frac{1}{3}\\).</p>"},{"article_id":149631,"cat_id":1568,"publish_time":1694248740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_3-0.png","title":"Giải bài 48 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 48 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-48-trang-110-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(ABCD\\) là hình chữ nhật, \\(AB = 2a\\), \\(AD = 3a\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694249264.png\"   /></p>\r\n<p>a) Gọi \\(H\\) là trung điểm của \\(AB\\). Do tam giác \\(SAB\\) vuông cân tại \\(S\\) nên ta có \\(SA \\bot SB\\) và \\(SH \\bot AB\\). Hơn nữa, do \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) và \\(AB\\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó, ta suy ra \\(SH \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\). Từ đó \\(SH \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình chữ nhật, ta suy ra \\(AB \\bot BC\\). Như vậy, do \\(SH \\bot BC\\), \\(AB \\bot BC\\) ta suy ra \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot BC\\). Như vậy \\(B\\) là hình chiếu của \\(C\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {SAB} \\right)\\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \\(BC\\). Mà \\(BC = 3a\\), nên khoảng cách từ điểm \\(C\\) đến \\(\\left( {SAB} \\right)\\) là \\(3a\\).</p>\r\n<p>b) Do \\(ABCD\\) là hình chữ nhật, ta suy ra \\(CD\\parallel AB\\), mà \\(AB \\subset \\left( {SAB} \\right)\\) nên \\(CD\\parallel \\left( {SAB} \\right)\\). Hơn nữa, do \\(SB \\subset \\left( {SBC} \\right)\\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \\(SB\\) và \\(CD\\) cũng chính là khoảng cách giữa \\(CD\\) và \\(\\left( {SBC} \\right)\\), và nó cũng bằng khoảng cách từ điểm \\(C\\) đến \\(\\left( {SBC} \\right)\\). Theo câu a, khoảng cách này chính là đoạn thẳng \\(BC\\), tức là khoảng cách giữa hai đường thẳng \\(SB\\) và \\(CD\\) bằng \\(3a\\).</p>\r\n<p>c) Theo câu a, ta có \\(SA \\bot SB\\). Hơn nữa, ta cũng có \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot BC\\) nên \\(SB \\bot BC\\). Như vậy, \\(SB\\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \\(SA\\) và \\(BC\\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa \\(SA\\) và \\(BC\\) là đoạn thẳng \\(SB\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SAB\\) vuông cân tại \\(S\\) nên ta có \\(A{B^2} = 2S{B^2} \\Rightarrow SB = \\frac{{AB}}{{\\sqrt 2 }}\\)</p>\r\n<p>Mà \\(AB = 2a\\) nên \\(SB = \\frac{{2a}}{{\\sqrt 2 }} = a\\sqrt 2 \\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách giữa \\(SA\\) và \\(BC\\) là \\(a\\sqrt 2 \\).</p>\r\n<p>d) Theo câu a, ta có \\(SH \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\). Điều này có nghĩa khoảng cách từ \\(S\\) đến \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(SH\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SAB\\) vuông cân tại \\(S\\) có đường trung tuyến \\(SH\\) nên ta có \\(SH = \\frac{{AB}}{2} = \\frac{{2a}}{2} = a\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách từ \\(S\\) đến \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) là \\(a\\).</p>"},{"article_id":149325,"cat_id":1568,"publish_time":1693994640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_4-0_4.png","title":"Giải bài 36 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 36 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-36-trang-103-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":" Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có hai mặt phẳng \\(\\left( {SAB} \\right)\\) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693994916.png\"   /></p>\r\n<p>Vì \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), \\(\\left( {SAC} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), \\(SA = \\left( {SAB} \\right) \\cap \\left( {SAC} \\right)\\), nên \\(SA \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\)</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":149311,"cat_id":1568,"publish_time":1693991160,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_4-0_2.png","title":"Giải bài 27 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 27 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-27-trang-99-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp (S.ABC) có (SA bot left( {ABC} right)), (AB bot BC)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693991550.png\" /></p>\r\n<p>a) Do \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right)\\) nên ta suy ra \\(SA \\bot AB\\), \\(SA \\bot AC\\) và \\(SA \\bot BC\\). Suy ra \\(\\widehat {BAC}\\) chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {B,SA,C} \\right]\\), tức là \\(\\alpha  = \\widehat {BAC}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(B\\), nên \\(AC = \\sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \\sqrt {{{\\left( {3a} \\right)}^2} + {{\\left( {4a} \\right)}^2}}  = 5a\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\cos \\alpha  = \\cos \\widehat {BAC} = \\frac{{AB}}{{AC}} = \\frac{{3a}}{{5a}} = \\frac{3}{5}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(B\\), ta cũng suy ra \\(BC \\bot AB\\). Do \\(SA \\bot BC\\) nên ta suy ra \\(BC \\bot \\left( {SAB} \\right)\\). Điều này dẫn tới \\(BC \\bot SB\\).</p>\r\n<p>Vì \\(BC \\bot SB\\), \\(BC \\bot AB\\) nên góc \\(\\widehat {SBA}\\) chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {A,SC,B} \\right]\\), tức là \\(\\beta  = \\widehat {SBA}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SBA\\) vuông tại \\(A\\), nên \\(SB = \\sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \\sqrt {{{\\left( {3a} \\right)}^2} + {{\\left( {3a} \\right)}^2}}  = 3\\sqrt 2 a\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\cos \\beta  = \\cos \\widehat {SBA} = \\frac{{AB}}{{SB}} = \\frac{{3a}}{{3\\sqrt 2 a}} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>b) Gọi \\(H\\) và \\(K\\) lần lượt là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(SB\\) và \\(SC\\).</p>\r\n<p>Theo câu a, ta có \\(BC \\bot \\left( {SAB} \\right)\\) nên \\(BC \\bot AH\\). Mà ta có \\(AH \\bot SB\\) nên suy ra \\(AH \\bot \\left( {BSC} \\right)\\), điều này dẫn tới \\(AH \\bot SC\\).</p>\r\n<p>Do \\(AH \\bot SC\\), \\(AK \\bot SC\\) nên \\(SC \\bot \\left( {AHK} \\right)\\), suy ra \\(HK \\bot SC\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(AK \\bot SC\\), \\(HK \\bot SC\\) nên \\(\\widehat {AKH}\\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {A,SC,H} \\right]\\). Do \\(H \\in \\left( {SCB} \\right)\\) nên góc nhị diện \\(\\left[ {A,SC,H} \\right]\\) cũng chính là góc nhị diện \\(\\left[ {A,SC,B} \\right]\\). Do đó, \\(\\widehat {AKH}\\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {A,SC,B} \\right]\\), tức là \\(\\gamma  = \\widehat {AKH}\\).</p>\r\n<p>Vì \\(AH \\bot \\left( {BSC} \\right)\\) nên \\(AH \\bot HK\\), do đó \\(\\cos \\widehat {AKH} = \\frac{{HK}}{{AK}}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(AH = \\frac{{SA.AB}}{{SB}} = \\frac{{3a.3a}}{{3\\sqrt 2 a}} = \\frac{{3a\\sqrt 2 }}{2}\\) (do \\(\\Delta SAB\\) vuông tại \\(A\\))</p>\r\n<p>Và \\(AK = \\frac{{SA.AC}}{{SC}} = \\frac{{3a.5a}}{{\\sqrt {{{\\left( {3a} \\right)}^2} + {{\\left( {5a} \\right)}^2}} }} = \\frac{{15{a^2}}}{{a\\sqrt {34} }} = \\frac{{15\\sqrt {34} a}}{{34}}\\) (do \\(\\Delta SAC\\) vuông tại \\(A\\))</p>\r\n<p>Suy ra \\(HK = \\sqrt {A{K^2} - A{H^2}}  = \\sqrt {{{\\left( {\\frac{{15a\\sqrt {34} }}{{34}}} \\right)}^2} - {{\\left( {\\frac{{3a\\sqrt 2 }}{2}} \\right)}^2}}  = \\frac{{6a\\sqrt {17} }}{{17}}\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\cos \\gamma  = \\cos \\widehat {AKH} = \\frac{{HK}}{{AK}} = \\frac{{\\frac{{6a\\sqrt {17} }}{{17}}}}{{\\frac{{15a\\sqrt {34} }}{{34}}}} = \\frac{{2\\sqrt 2 }}{5}\\).</p>"},{"article_id":148559,"cat_id":1568,"publish_time":1693403820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_3-0_17.png","title":"Giải bài 9 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 9 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-9-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Hình 13 gợi nên hình ảnh các đường thẳng a, b và mặt phẳng (P) trong không gian","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Từ hình vẽ t<strong>a dễ thấy \\(a{\\rm{ // }}b,{\\rm{ }}b \\bot \\left( P \\right).\\)</strong></p>\r\n<p><span>Đáp án D.</span></p>\r\n<p><strong><br /></strong></p>"},{"article_id":148554,"cat_id":1568,"publish_time":1693402980,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_3-0_16.png","title":"Giải bài 4 trang 89 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 4 trang 89 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-4-trang-89-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ  có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng \\(M'N \\bot P'Q.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693403379.png\"   /></p>\r\n<p>Do \\(PQQ'P'\\) là hình thoi nên \\(P'Q \\bot PQ'.\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(M'Q'\\)// \\(NP\\) và \\(M'Q' = NP\\) nên \\(M'Q'PN\\) là hình bình hành \\( \\Rightarrow M'N\\)// \\(PQ'.\\)</p>\r\n<p>Từ đó suy ra \\(M'N \\bot P'Q.\\)</p>"},{"article_id":149641,"cat_id":1568,"publish_time":1694250960,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_4-0_3.png","title":"Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-61-trang-119-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ban đầu, thể tích nước có ở trong khay a là \\(8.20.10 = 1600{\\rm{ }}\\left( {c{m^3}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Sau khi đổ nước sang khay thứ hai, ta thấy rằng lượng nước trong khay a giảm đi \\(\\frac{1}{4}\\) so với ban đầu, cho nên ta suy ra lượng nước có ở trong khay b bằng \\(\\frac{1}{4}\\) lượng nước ban đầu có ở trong khay a.</p>\r\n<p>Thể tích nước trong khay b là \\(1600.\\frac{1}{4} = 400{\\rm{ }}\\left( {c{m^3}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Giả sử khay b có hình dạng chóp cụt tứ giác đều \\(ABCD.A'B'C'D'\\) như hình vẽ dưới đây (với \\(A'B'C'D'\\) là đáy bé).</p>\r\n<p align=\"center\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694251405.png\"   /> </p>\r\n<p>Xét hình thang cân \\(ACC'A'\\), gọi \\(H\\) và \\(K\\) lần lượt là hình chiếu của \\(A'\\) và \\(C'\\) trên \\(AC\\). Trên \\(C'K\\), lấy điểm \\(P\\) sao cho \\(\\frac{{C'P}}{{C'K}} = \\frac{2}{3}\\). Đường thẳng qua \\(P\\) và song song với \\(AC\\) cắt \\(AA'\\), \\(A'H\\), \\(C'C\\) lần lượt tại \\(M\\), \\(N\\) và \\(Q\\).</p>\r\n<p align=\"center\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694251416.png\"   /> </p>\r\n<p>Do chiều cao mực nước trong khay b bằng \\(\\frac{2}{3}\\) chiều cao khay, nên ta có thể coi \\(C'P\\) chính là chiều cao nước trong khay.</p>\r\n<p>Gọi chiều cao của khay b là \\(h{\\rm{ }}\\left( {cm} \\right)\\). Theo hình vẽ, ta thấy rằng \\(A'H = C'K = h\\). Suy ra \\(C'P = \\frac{2}{3}h\\), có nghĩa chiều cao nước trong khay b là \\(\\frac{2}{3}h\\).</p>\r\n<p>Do \\(AC = 2n\\), \\(A'C' = n\\) và \\(AH = CK\\), nên ta suy ra \\(AH = CK = \\frac{n}{2}\\) và \\(HK = NP = n\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(A'AH\\) có \\(MN\\parallel AH\\), nên theo định lí Thales, ta có:</p>\r\n<p>\\(\\frac{{MN}}{{AH}} = \\frac{{A'N}}{{AH}} = \\frac{2}{3} \\Rightarrow MN = \\frac{2}{3}AH = \\frac{n}{3}\\)</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(PQ = \\frac{n}{3}\\). Do đó \\(MQ = n + \\frac{n}{3} + \\frac{n}{3} = \\frac{{5n}}{3}\\).</p>\r\n<p>Vậy nước trong khay b có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, với hai đáy là các hình vuông có đường chéo lần lượt là \\(n\\) và \\(\\frac{{5n}}{3}\\). Do đó, thể tích nước trong khay b là:</p>\r\n<p>\\(V = \\frac{1}{3}\\left( {\\frac{2}{3}h} \\right)\\left( {\\frac{{{n^2}}}{2} + \\sqrt {\\frac{{{n^2}}}{2}.\\frac{{{{\\left( {\\frac{{5n}}{3}} \\right)}^2}}}{2}}  + \\frac{{{{\\left( {\\frac{{5n}}{3}} \\right)}^2}}}{2}} \\right) = \\frac{{49}}{{81}}{n^2}h\\).</p>\r\n<p>Mà thể tích nước trong khay là \\(400{\\rm{ }}c{m^3}\\), nên ta có \\(\\frac{{49}}{{81}}{n^2}h = 400 \\Rightarrow {n^2}h = \\frac{{32400}}{{49}}\\).</p>\r\n<p>Vậy thể tích khay b là:</p>\r\n<p>\\(V = \\frac{1}{3}h\\left( {\\frac{{{n^2}}}{2} + \\sqrt {\\frac{{{n^2}}}{2}.\\frac{{{{\\left( {2n} \\right)}^2}}}{2}}  + \\frac{{{{\\left( {2n} \\right)}^2}}}{2}} \\right) = \\frac{7}{6}{n^2}h = \\frac{7}{6}.\\frac{{32400}}{{49}} = \\frac{{5400}}{7}{\\rm{ }}\\left( {c{m^3}} \\right)\\).</p>"},{"article_id":149635,"cat_id":1568,"publish_time":1694249760,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_4-0_2.png","title":"Giải bài 55 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 55 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-55-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lập phương \\(ABCD.A'B'C'D'\\) cạnh \\(a\\). Tính:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694250115.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, nên ta có \\(AA' \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), \\(AA' \\bot \\left( {A'B'C'D'} \\right)\\) và \\(\\left( {ABCD} \\right)\\parallel \\left( {A'B'C'D'} \\right)\\). Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) và \\(\\left( {A'B'C'D'} \\right)\\) cũng bằng khoảng cách từ điểm \\(A\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {A'B'C'D'} \\right)\\), và bằng \\(AA'\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương cạnh \\(a\\), nên ta có \\(AA' = a\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) và \\(\\left( {A'B'C'D'} \\right)\\) bằng \\(a\\).</p>\r\n<p>b) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, nên ta có \\(AD \\bot CD\\), \\(CD \\bot \\left( {DAA'D'} \\right)\\) và \\(ADD'A'\\) là hình vuông.</p>\r\n<p>Ta nhận xét rằng \\(A'D\\parallel B'C\\), và \\(CD \\bot A'D\\) (do \\(CD \\bot \\left( {DAA'D'} \\right)\\)), cùng với \\(AD \\bot CD\\), ta suy ra \\(\\widehat {ADA'}\\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {A,CD,B'} \\right]\\).</p>\r\n<p>Vì \\(ADD'A'\\) là hình vuông nên \\(\\widehat {ADA'} = {45^o}\\).</p>\r\n<p>Vậy số đo của góc nhị diện \\(\\left[ {A,CD,B'} \\right]\\) bằng \\({45^o}\\).</p>\r\n<p>c) Do \\(D\\) là hình chiếu của \\(D'\\) trên \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), nên \\(\\widehat {DBD'}\\) là góc tạo bởi đường thẳng \\(BD'\\) và mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình vuông cạnh \\(a\\), nên ta có \\(BD = a\\sqrt 2 \\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\tan \\widehat {DBD'} = \\frac{{DD'}}{{BD}} = \\frac{a}{{a\\sqrt 2 }} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\) (tam giác \\(DBD'\\) vuông tại \\(D\\))</p>\r\n<p>Vậy tang của góc tạo bởi đường thẳng \\(BD'\\) và mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) bằng \\(\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>d) Gọi \\(I\\) là giao điểm của \\(DC'\\) và \\(D'C\\). Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, nên \\(DCC'D'\\) là hình vuông, suy ra \\(IC \\bot DC'\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, cũng do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình lập phương, ta suy ra \\(BC \\bot \\left( {DCC'D'} \\right)\\), điều này dẫn tới \\(IC \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Như vậy, ta có \\(IC\\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \\(BC\\) và \\(DC'\\), tức khoảng cách giữa \\(BC\\) và \\(DC'\\) là đoạn thẳng \\(IC\\).</p>\r\n<p>Do \\(DCC'D'\\) là hình vuông cạnh \\(a\\), nên \\(D'C = a\\sqrt 2  \\Rightarrow IC = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách giữa \\(BC\\) và \\(DC'\\) là \\(\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>e*) Do \\(AD'\\parallel BC'\\) nên góc giữa \\(BC'\\) và \\(CD'\\) băng góc giữa \\(AD'\\) và \\(CD'\\), tức là góc \\(\\widehat {AD'C}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(AD'C\\) có \\(AD' = D'C = AC\\) (do đều là mỗi đường chéo của các mặt trong hình lập phương) nên tam giác \\(AD'C\\) đều. Suy ra \\(\\widehat {AD'C} = {60^o}\\).</p>\r\n<p>Vậy góc giữa \\(BC'\\) và \\(CD'\\) bằng \\({60^o}\\).</p>"},{"article_id":149632,"cat_id":1568,"publish_time":1694248740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_4-0.png","title":"Giải bài 49 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 49 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-49-trang-110-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(ABCD\\) là hình vuông cạnh \\(a\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694249334.png\"   /></p>\r\n<p>a) Ta có \\(ABCD\\) là hình vuông, nên \\(AO \\bot BD\\). Hơn nữa, do \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) nên \\(SO \\bot AO\\). Như vậy, do \\(AO \\bot BD\\), \\(SO \\bot AO\\) nên \\(AO \\bot \\left( {SBD} \\right)\\). Điều này có nghĩa \\(O\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(\\left( {SBD} \\right)\\). Vậy khoảng cách từ \\(A\\) đến \\(\\left( {SBD} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(AO\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(ABCD\\) là hình vuông cạnh \\(a\\), nên \\(AC = a\\sqrt 2  \\Rightarrow AO = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách từ \\(A\\) đến \\(\\left( {SBD} \\right)\\) là \\(\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>b) Gọi \\(M\\) là hình chiếu của \\(O\\) trên \\(CD\\). Do \\(O\\) là tâm của hình vuông \\(ABCD\\) cạnh \\(a\\), nên ta suy ra \\(OM \\bot CD\\) và \\(OM = \\frac{a}{2}\\).</p>\r\n<p>Do \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\(SO \\bot OM\\).</p>\r\n<p>Như vậy, do \\(OM \\bot CD\\), \\(SO \\bot OM\\), nên \\(OM\\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \\(SO\\) và \\(CD\\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng \\(SO\\) và \\(CD\\) là đoạn thẳng \\(OM\\).</p>\r\n<p>Do \\(OM = \\frac{a}{2}\\), ta kết luận rằng khoảng cách giữa 2 đường thẳng \\(SO\\) và \\(CD\\) là \\(\\frac{a}{2}\\).</p>\r\n<p>c) Gọi \\(H\\) là hình chiếu của \\(O\\) trên \\(SM\\). Vì \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) nên \\(SO \\bot CD\\), mà \\(OM \\bot CD\\) nên \\(\\left( {SOM} \\right) \\bot CD\\), điều này suy ra \\(OH \\bot CD\\). Mà lại có \\(OH \\bot SM\\) nên \\(OH \\bot \\left( {SCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(H\\) là hình chiếu của \\(O\\) trên \\(\\left( {SCD} \\right)\\), tức là khoảng cách từ \\(O\\) đến \\(\\left( {SCD} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(OH\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SAO\\) vuông tại \\(O\\) nên \\(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\\left( {2a} \\right)^2} - {\\left( {\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}} \\right)^2} = \\frac{{7{a^2}}}{2}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SOM\\) vuông tại \\(O\\) có đường cao \\(OH\\), nên ta có:</p>\r\n<p>\\(\\frac{1}{{O{H^2}}} = \\frac{1}{{S{O^2}}} + \\frac{1}{{O{M^2}}} = \\frac{2}{{7{a^2}}} + \\frac{4}{{{a^2}}} = \\frac{{30}}{{7{a^2}}} \\Rightarrow OH = \\sqrt {\\frac{{7{a^2}}}{{30}}}  = \\frac{{a\\sqrt {210} }}{{30}}\\).</p>\r\n<p>d) Gọi \\(G\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(\\left( {SCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(AB\\parallel CD\\) nên \\(AB\\parallel \\left( {SCD} \\right)\\), mà \\(SD \\subset \\left( {SCD} \\right)\\), nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng \\(AB\\) và \\(SD\\) cũng bằng khoảng cách giữa \\(AB\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\), và bằng khoảng cách từ \\(A\\) đến \\(\\left( {SCD} \\right)\\). Do \\(G\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(\\left( {SCD} \\right)\\), nên khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \\(AG\\).</p>\r\n<p>Do \\(OH \\bot \\left( {SCD} \\right)\\), \\(AG \\bot \\left( {SCD} \\right)\\) nên \\(OH\\parallel AG\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ACG\\) có \\(OH\\parallel AG\\), nên theo định lí Thales ta có \\(\\frac{{OH}}{{AG}} = \\frac{{CO}}{{CA}} = \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(AG = 2OH\\). Mà \\(OH = \\frac{{a\\sqrt {210} }}{{30}}\\) nên \\(AG = \\frac{{a\\sqrt {210} }}{{15}}\\).</p>"},{"article_id":149328,"cat_id":1568,"publish_time":1693994880,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_1-0_29.png","title":"Giải bài 37 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 37 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-37-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Hình dưới đây gợi nên hình ảnh một số cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra 2 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\), \\(\\left( R \\right)\\) là ba mặt phẳng song song với nhau.</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( S \\right)\\) là mặt đứng, nên nó vuông góc với cả 3 mặt phẳng trên.</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( S \\right)\\), \\(\\left( Q \\right) \\bot \\left( S \\right)\\), \\(\\left( R \\right) \\bot \\left( S \\right)\\). Các bạn có thể kể ra được 2 trong 3 cặp mặt phẳng vuông góc này.</p>"},{"article_id":149314,"cat_id":1568,"publish_time":1693991580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_1-0_26.png","title":"Giải bài 28 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 28 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-28-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(ABCD\\) là hình vuông, \\(AC\\) cắt \\(BD\\) tại \\(O\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693991794.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta có \\(SO \\bot OB\\). Vì \\(ABCD\\) là hình vuông nên \\(BO \\bot AC\\). Như vậy \\(BO \\bot \\left( {SAC} \\right)\\), tức là hình chiếu của điểm \\(B\\) trên \\(\\left( {SAC} \\right)\\). Do đó góc giữa \\(SB\\) và \\(\\left( {SAC} \\right)\\) là góc \\(\\widehat {BSO}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(ABCD\\) là hình vuông cạnh \\(a\\), nên \\(BD = a\\sqrt 2 \\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SBD\\) có \\(SB = SD = a\\) và \\(S{B^2} + S{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = B{D^2}\\), nên tam giác này là tam giác vuông cân tại \\(S\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, do \\(SO \\bot BD\\), ta suy ra \\(\\widehat {BSO} = \\widehat {SBO} = {45^o}\\).</p>\r\n<p>Như vậy, góc giữa \\(SB\\) và \\(\\left( {SAC} \\right)\\) bằng \\({45^o}\\).</p>\r\n<p>b) Gọi \\(N\\) là trung điểm của \\(CD\\). Do tam giác \\(SCD\\) đều (\\(SC = SD = CD = a\\)), ta suy ra \\(SN \\bot CD\\) và \\(SN = \\sqrt {S{C^2} - C{N^2}}  = \\sqrt {{a^2} - {{\\left( {\\frac{a}{2}} \\right)}^2}}  = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Do \\(O\\) là tâm của hình vuông \\(ABCD\\), ta suy ra \\(ON \\bot CD\\). Như vậy, góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {S,CD,O} \\right]\\) là góc \\(\\widehat {SNO}\\). Hơn nữa do \\(O \\in \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra góc nhị diện \\(\\left[ {S,CD,O} \\right]\\) cũng chính là góc nhị diện \\(\\left[ {S,CD,A} \\right]\\), tức là \\(\\alpha  = \\widehat {SNO}\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\cos \\alpha  = \\cos \\widehat {SNO} = \\frac{{ON}}{{SN}} = \\frac{{\\frac{a}{2}}}{{\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}}} = \\frac{{\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>\r\n<p>c) Ta thấy rằng \\(AB\\parallel CD\\), \\(AB \\subset \\left( {SAB} \\right)\\), \\(CD \\subset \\left( {SCD} \\right)\\), \\(S \\in \\left( {SAB} \\right) \\cap \\left( {SCD} \\right)\\), nên giao tuyến \\(d\\) của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAB} \\right)\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\) đi qua \\(S\\) và song song với \\(AB\\) và \\(CD\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\). Tam giác \\(SAB\\) đều (\\(SA = AB = SB = a\\)) nên \\(SM \\bot AB\\). Mặt khác, do \\(d\\parallel AB\\) nên \\(SM \\bot d\\). Chứng minh tương tự ta cũng có \\(SN \\bot d\\). Suy ra góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {M,d,N} \\right]\\) là góc \\(\\widehat {MSN}\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, do \\(AM\\parallel d\\) và \\(DN\\parallel d\\), ta suy ra góc nhị diện \\(\\left[ {M,d,N} \\right]\\) cũng chính là \\(\\left[ {A,d,D} \\right]\\), tức là \\(\\beta  = \\widehat {MSN}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(SM = SN = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\), \\(MN = a\\). Theo định lí cos trong tam giác, ta có:</p>\r\n<p>\\(\\cos \\beta  = \\cos \\widehat {MSN} = \\frac{{S{M^2} + S{N^2} - M{N^2}}}{{2SM.SN}} = \\frac{{{{\\left( {\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} - {a^2}}}{{2.\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}.\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}}} = \\frac{1}{3}\\).</p>\r\n<p>d) Gọi \\(E\\) là hình chiếu của \\(B\\) trên \\(SC\\). Theo câu a, ta có \\(BD \\bot \\left( {SAC} \\right)\\) nên suy ra \\(BD \\bot SC\\). Mà \\(BE \\bot SC\\) nên suy ra \\(SC \\bot \\left( {BDE} \\right)\\), điều này dẫn tới \\(SC \\bot DE\\).</p>\r\n<p>Như vậy, vì \\(BE \\bot SC\\), \\(SC \\bot DE\\) nên góc phẳng nhị diện của góc nhị diện  \\(\\left[ {B,SC,D} \\right]\\) là góc \\(\\widehat {BED}\\), tức là \\(\\gamma  = \\widehat {BED}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SBC\\) đều (\\(SB = SC = BC = a\\))  và có \\(BE \\bot SC\\), nên ta dễ dàng tính được \\(BE = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\). Tương tự, ta cũng có \\(DE = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Theo định lí cos trong tam giác, ta có:</p>\r\n<p>\\(\\cos \\gamma  = \\cos \\widehat {BED} = \\frac{{B{E^2} + D{E^2} - B{D^2}}}{{2BE.DE}} = \\frac{{{{\\left( {\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} - {{\\left( {a\\sqrt 2 } \\right)}^2}}}{{2.\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}.\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}}} = \\frac{{ - 1}}{3}\\).</p>"},{"article_id":148560,"cat_id":1568,"publish_time":1693403820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_4-0_14.png","title":"Giải bài 10 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 10 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-10-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp S.ABC có \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right),{\\rm{ }}AB \\bot BC.\\) Xét những phát biểu sau:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693404356.png\"   /></p>\r\n<p><span>Do <span class=\"MTConvertedEquation\">\\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right) \\Rightarrow \\)</span></span> <span>AB, AC lần lượt là hình chiếu của SB, SC trên (ABC).</span></p>\r\n<p><span>Suy ra (1) và (3) đúng.</span></p>\r\n<p><span>Ta lại có: <span class=\"MTConvertedEquation\">\\(SA \\bot BC\\left( {SA \\bot \\left( {ABC} \\right)} \\right),{\\rm{ }}AB \\bot BC,{\\rm{ }}SA \\cap AB = A \\Rightarrow BC \\bot \\left( {SAB} \\right).\\)</span></span></p>\r\n<p><span>Suy ra SB là hình chiếu của SC trên (SAB) <span class=\"MTConvertedEquation\">\\( \\Rightarrow \\)</span>(2) đúng.</span></p>\r\n<p><span>Vậy có 3 phát biểu đúng.</span></p>\r\n<p><span>Đáp án D.</span></p>"},{"article_id":148555,"cat_id":1568,"publish_time":1693402920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_4-0_13.png","title":"Giải bài 5 trang 89 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 5 trang 89 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-5-trang-89-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"*: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693403445.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi P là trung điểm của AC.</p>\r\n<p>Ta có: MP, PN lần lượt là đường trung bình của \\(\\Delta ABC,\\Delta ACD.\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow MP//BC,{\\rm{ }}PN//AD\\) và \\(MP = \\frac{1}{2}BC = a,{\\rm{ }}PN = \\frac{1}{2}AD = a.\\)</p>\r\n<p>Do đó \\(\\left( {AD,BC} \\right) = \\left( {PN,MP} \\right).\\)</p>\r\n<p>Xét \\(\\Delta MNP:\\)</p>\r\n<p>\\(cos\\widehat {MPN} = \\frac{{M{P^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2MP.PN}} = \\frac{{{a^2} + {a^2} - {{\\left( {a\\sqrt 3 } \\right)}^2}}}{{2a.a}} =  - \\frac{1}{2} \\Rightarrow \\widehat {MPN} = {120^0}.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {AD,BC} \\right) = \\left( {PN,MP} \\right) = {180^0} - \\widehat {MPN} = {180^0} - {120^0} = {60^0}.\\)</p>\r\n<p>Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và BC là 60<sup>0</sup>.</p>"},{"article_id":149636,"cat_id":1568,"publish_time":1694249760,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_5-0_1.png","title":"Giải bài 56 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 56 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-56-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều như hình bên với chiều cao là 4 cm ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Nhận xét rằng đáy của viên gạch cần làm là lục giác đều. Ta chia lục giác đều nàyp bởi 6 tam giác đều cạnh 21,5 cm như hình vẽ. Do đó, diện tích đáy của viên gạch là \\(S = 6.\\frac{{21,{5^2}\\sqrt 3 }}{4}\\).</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694250206.png\"   /></p>\r\n<p>Vậy thể tích bê tông cần dùng để làm một viên gạch là</p>\r\n<p>\\(V = Sh = 6.\\frac{{21,{5^2}\\sqrt 3 }}{4}.4 \\approx 4803,8{\\rm{ }}\\left( {c{m^3}} \\right)\\)</p>"},{"article_id":149633,"cat_id":1568,"publish_time":1694248740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0909/resize_5-0.png","title":"Giải bài 50 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 50 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-50-trang-110-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\) có \\(ABCD\\) là hình thoi cạnh \\(a\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0909/1694249406.png\"   /></p>\r\n<p>a) Gọi \\(H\\) là trung điểm của cạnh \\(BC\\). Tam giác \\(ABC\\) đều (\\(AB = BC = AC = a\\)) nên ta suy ra \\(AH \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Do \\(BB' \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\(BB' \\bot AH\\).</p>\r\n<p>Như vậy, do \\(AH \\bot BC\\), \\(BB' \\bot AH\\) nên \\(AH \\bot \\left( {BCC'B'} \\right)\\), điều này có nghĩa \\(H\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {BCC'B'} \\right)\\). Vậy khoảng cách từ \\(A\\) đến \\(\\left( {BCC'B'} \\right)\\) là đoạn thẳng \\(AH\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABC\\) đều cạnh \\(a\\), đường cao \\(AH\\) nên \\(AH = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách từ \\(A\\) đến \\(\\left( {BCC'B'} \\right)\\) là \\(\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\).</p>\r\n<p>b) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình hộp, nên \\(\\left( {ABB'A'} \\right)\\parallel \\left( {DCC'D'} \\right)\\). Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng này cũng bằng khoảng cách từ \\(A\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {DCC'D'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(I\\) là trung điểm của cạnh \\(DC\\). Tam giác \\(ADC\\) có \\(AB = DC = AC = a\\) nên nó là tam giác đều. Suy ra \\(AI \\bot DC\\) và \\(AI = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Do \\(DD' \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\(DD' \\bot AI\\). Như vậy, do \\(AI \\bot DC\\), \\(DD' \\bot AI\\) nên \\(AI \\bot \\left( {DCC'D'} \\right)\\). Điều này có nghĩa \\(I\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {DCC'D'} \\right)\\). Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng \\(\\left( {ABB'A'} \\right)\\) và \\(\\left( {DCC'D'} \\right)\\), bằng khoảng cách từ \\(A\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {DCC'D'} \\right)\\), là đoạn thẳng \\(AI\\), và bằng \\(\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\).</p>\r\n<p>c) Gọi \\(O\\) là giao điểm của \\(AC\\) và \\(BD\\). Do \\(ABCD\\) là hình thoi nên \\(AC \\bot BD\\) và \\(AO = \\frac{{AC}}{2} = \\frac{a}{2}\\)</p>\r\n<p>Do \\(AA' \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), nên \\(AA' \\bot BD\\). Như vậy, do \\(AC \\bot BD\\), \\(AA' \\bot BD\\) nên \\(\\left( {AA'C} \\right) \\bot BD\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(E\\) là hình chiếu của \\(O\\) trên \\(A'C\\). Vì \\(OE \\subset \\left( {AA'C} \\right)\\), \\(\\left( {AA'C} \\right) \\bot BD\\) nên \\(OE \\bot BD\\). Như vậy  \\(OE\\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \\(BD\\) và \\(A'C\\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa \\(BD\\) và \\(A'C\\) là đoạn thẳng \\(OE\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(CEO\\) và \\(CAA'\\) có chung góc \\(C\\) và có góc vuông \\(\\widehat {CEO} = \\widehat {CAA'}\\) nên chúng đồng dạng với nhau. Suy ra \\(\\frac{{OE}}{{AA'}} = \\frac{{CO}}{{CA'}} \\Rightarrow OE = \\frac{{AA'.CO}}{{CA'}}\\)</p>\r\n<p>Tam giác \\(AA'C\\) vuông tại \\(A\\), nên \\(A'C = \\sqrt {A'{A^2} + A{C^2}}  = \\sqrt {{{\\left( {2a} \\right)}^2} + {a^2}}  = a\\sqrt 5 \\).</p>\r\n<p>Do đó \\(OE = \\frac{{AA'.OC}}{{A'C}} = \\frac{{2a.\\frac{a}{2}}}{{a\\sqrt 5 }} = \\frac{{a\\sqrt 5 }}{5}\\).</p>"},{"article_id":149331,"cat_id":1568,"publish_time":1693994940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_2-0_5.png","title":"Giải bài 38 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 38 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-38-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Chứng minh các định lí sau:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a)</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\" align=\"center\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693995294.png\"   /> </p>\r\n<p>Giả sử có ba mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\), \\(\\left( R \\right)\\) thoả mãn \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\) và \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( R \\right)\\). Ta cần chứng minh \\(\\left( Q \\right) \\bot \\left( R \\right)\\). Thật vậy, gọi \\(a\\) là giao tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( R \\right)\\). Lấy đường thẳng \\(d\\) nằm trong \\(\\left( R \\right)\\) sao cho \\(a \\bot d\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( R \\right)\\), \\(a = \\left( P \\right) \\cap \\left( R \\right)\\), \\(a \\bot d\\), ta suy ra \\(d \\bot \\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Mà \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\), ta có \\(d \\bot \\left( Q \\right)\\). Do \\(d \\subset \\left( R \\right)\\) nên ta suy ra \\(\\left( Q \\right) \\bot \\left( R \\right)\\). Bài toán được chứng minh.</p>\r\n<p>b) Xét đường thẳng \\(d\\) không vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Chỉ ra rằng tồn tại duy nhất mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) vuông góc với \\(\\left( P \\right)\\) và chứa \\(d\\).</p>\r\n<p>Xét trường hợp \\(d\\) cắt \\(\\left( P \\right)\\) tại \\(A\\). (Các trường hợp \\(d \\subset \\left( P \\right)\\) và \\(d\\parallel \\left( P \\right)\\) chứng minh tương tự).</p>\r\n<p align=\"center\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693995309.png\"   /></p>\r\n<p>Lấy \\(M \\in d\\) sao cho \\(M \\ne A\\). Vẽ đường thẳng \\(a\\) đi qua \\(M\\) sao cho \\(a \\bot \\left( P \\right)\\). Ta nhận xét rằng \\(a\\) và \\(d\\) cắt nhau, nên mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) chứa hai đường thẳng \\(a\\) và \\(d\\).</p>\r\n<p>Vì \\(a \\bot \\left( P \\right)\\), \\(a \\subset \\left( Q \\right)\\) nên ta suy ra \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( Q \\right)\\).</p>\r\n<p>Giả sử tồn tại mặt phẳng \\(\\left( {Q'} \\right)\\) sao cho \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( {Q'} \\right)\\) và \\(d \\subset \\left( {Q'} \\right)\\). Ta thấy rằng \\(d\\) là giao tuyến của \\(\\left( {Q'} \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\). Do \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( Q \\right)\\) và \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( {Q'} \\right)\\), ta suy ra \\(d \\bot \\left( P \\right)\\). Điều này là vô lí, vì \\(d\\) không vuông góc với \\(\\left( P \\right)\\). Như vậy, \\(\\left( Q \\right)\\) là duy nhất.</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":149315,"cat_id":1568,"publish_time":1693991580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_2-0_3.png","title":"Giải bài 29 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 29 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-29-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(SA \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693991848.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(E\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(CD\\). Do \\(SA \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) nên ta suy ra \\(SA \\bot CD\\). Do \\(AE \\bot CD\\) nên ta suy ra \\(\\left( {SAE} \\right) \\bot CD\\), điều này dẫn tới \\(SE \\bot CD\\).</p>\r\n<p>Như vậy do \\(SE \\bot CD\\), \\(AE \\bot CD\\) nên góc \\(\\widehat {SEA}\\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {S,CD,A} \\right]\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ACD\\) đều (\\(AC = CD = AD = a\\)) nên ta suy ra \\(AE = \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Xét tam giác \\(SAE\\) vuông tại \\(A\\), ta có \\(\\tan \\widehat {SEA} = \\frac{{SA}}{{AE}} = \\frac{{\\frac{a}{2}}}{{\\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}}} = \\frac{{\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\widehat {SEA} = {30^o}\\).</p>"},{"article_id":148561,"cat_id":1568,"publish_time":1693403820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_5-0_11.png","title":"Giải bài 11 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 11 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-11-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \\(AA' \\bot \\left( {ABC} \\right).\\) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693404444.png\"   /></p>\r\n<p>Vì \\(AA' \\bot \\left( {ABC} \\right)\\) nên \\(AA' \\bot BC.\\)</p>\r\n<p>Mà \\(BC \\bot AH,{\\rm{ }}AA' \\cap AH = A \\Rightarrow BC \\bot \\left( {A'AH} \\right) \\Rightarrow BC \\bot A'H.\\)</p>"},{"article_id":149334,"cat_id":1568,"publish_time":1693994940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_3-0_5.png","title":"Giải bài 39 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 39 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-39-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ \\(ABC.A'B'C'\\) có \\(AA' \\bot \\left( {ABC} \\right)\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693995390.png\"   /></p>\r\n<p>Vì tam giác \\(ABC\\) cân tại \\(A\\), \\(M\\) là trung điểm của \\(BC\\) nên \\(AM \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Do \\(AA' \\bot \\left( {ABC} \\right)\\), ta suy ra \\(BB' \\bot \\left( {ABC} \\right)\\). Điều này dẫn tới \\(BB' \\bot AM\\).</p>\r\n<p>Như vậy, do \\(AM \\bot BC\\), \\(BB' \\bot AM\\), ta suy ra \\(AM \\bot \\left( {BCC'B'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mà \\(AM \\subset \\left( {MAA'} \\right)\\), nên \\(\\left( {MAA'} \\right) \\bot \\left( {BCC'B'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":149316,"cat_id":1568,"publish_time":1693991640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_3-0_3.png","title":"Giải bài 30 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 30 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-30-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(AC\\) cắt \\(BD\\) tại \\(O\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693991912.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(P\\) là hình chiếu của \\(A\\) trên \\(SO\\). Trên \\(\\left( {SAC} \\right)\\), gọi \\(M\\) là giao điểm của \\(SC\\) và \\(AP\\). Trên \\(\\left( {SBD} \\right)\\), kẻ \\(NP \\bot SO\\) với \\(N \\in SB\\).</p>\r\n<p>Dễ thấy rằng 4 điểm \\(A\\), \\(P\\), \\(M\\), \\(N\\) đồng phẳng.</p>\r\n<p>Vì \\(AP \\bot SO\\), \\(NP \\bot SO\\) nên góc \\(\\widehat {APN}\\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \\(\\left[ {A,SO,B} \\right]\\), tức là \\(\\alpha  = \\widehat {APN}\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự, ta có \\(\\beta  = \\widehat {NPM}\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\alpha  + \\beta  = \\widehat {APN} + \\widehat {NPM} = \\widehat {APM}\\). Mặt khác, do \\(A\\), \\(P\\), \\(M\\) thẳng hàng, nên ta có \\(\\widehat {APM} = {180^o}\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\alpha  + \\beta  = {180^o}\\).</p>"},{"article_id":148562,"cat_id":1568,"publish_time":1693403820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_6-0_8.png","title":"Giải bài 12 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 12 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-12-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp S.ABC có \\(\\widehat {ASB} = \\widehat {BSC} = \\widehat {CSA} = {90^0}.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693404513.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi AN, CM là hai đường cao của tam giác ABC.</p>\r\n<p>Gọi H là giao điểm của AN và CM.</p>\r\n<p>Theo giả thiết, \\(SA \\bot SB,{\\rm{ }}SA \\bot SC\\) mà \\(SB \\cap SC = S\\) nên \\(SA \\bot \\left( {SBC} \\right)\\) mà \\(BC \\subset \\left( {SBC} \\right) \\Rightarrow SA \\bot BC.\\)</p>\r\n<p>Ngoài ra, \\(AH \\bot BC\\) và SA, AH cắt nhau trong mặt phẳng (SAH) nên \\(BC \\bot \\left( {SAH} \\right) \\Rightarrow BC \\bot SH.\\)</p>\r\n<p>Tương tự, ta có: \\(AB \\bot SH.\\)</p>\r\n<p>Bên cạnh đó, AB, BC cắt nhau trong mặt phẳng (ABC) nên \\(SH \\bot \\left( {ABC} \\right).\\)</p>"},{"article_id":149336,"cat_id":1568,"publish_time":1693994940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_4-0_5.png","title":"Giải bài 40 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 40 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-40-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(SA \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) và \\(ABCD\\) là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693995482.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(SA \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\(SA \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình chữ nhật, ta suy ra \\(AB \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(SA \\bot BC\\), \\(AB \\bot BC\\). Điều này dẫn tới \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Do \\(BC \\subset \\left( {SBC} \\right)\\), nên ta suy ra \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot \\left( {SBC} \\right)\\). Ta có điều phải chứng minh.</p>\r\n<p>b) Do \\(SA \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\(SA \\bot DC\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình chữ nhật, ta suy ra \\(AD \\bot DC\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(SA \\bot DC\\), \\(AD \\bot DC\\). Điều này dẫn tới \\(\\left( {SAD} \\right) \\bot DC\\).</p>\r\n<p>Do \\(DC \\subset \\left( {SDC} \\right)\\), nên ta suy ra \\(\\left( {SAD} \\right) \\bot \\left( {SDC} \\right)\\). Ta có điều phải chứng minh.</p>"},{"article_id":149317,"cat_id":1568,"publish_time":1693991640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_4-0_3.png","title":"Giải bài 31 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 31 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-31-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\). Gọi \\({\\alpha _1}\\), \\({\\alpha _2}\\), \\({\\alpha _3}\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693991985.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(H\\) là hình chiếu của \\(S\\) trên \\(\\left( {ABCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Dễ thấy rằng \\({\\alpha _1}\\), \\({\\alpha _2}\\), \\({\\alpha _3}\\), \\({\\alpha _4}\\) là những góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng, nên chúng không lớn hơn \\({90^o}\\).</p>\r\n<p>Vì \\(H\\) là hình chiếu của \\(S\\) trên \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\({\\alpha _1} = \\widehat {SAH}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SAH\\) vuông tại \\(H\\), ta có \\(\\sin {\\alpha _1} = \\sin \\widehat {SAH} = \\frac{{SH}}{{SA}}\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự, ta cũng có:</p>\r\n<p>+ \\({\\alpha _2} = \\widehat {SBH}\\), \\(\\sin {\\alpha _2} = \\sin \\widehat {SBH} = \\frac{{SH}}{{SB}}\\),</p>\r\n<p>+ \\({\\alpha _3} = \\widehat {SCH}\\), \\(\\sin {\\alpha _3} = \\sin \\widehat {SCH} = \\frac{{SH}}{{SC}}\\),</p>\r\n<p>+ \\({\\alpha _4} = \\widehat {SDH}\\), \\(\\sin {\\alpha _4} = \\sin \\widehat {SDH} = \\frac{{SH}}{{SD}}\\),</p>\r\n<p>Vậy,  \\(SA = SB = SC = SD \\Leftrightarrow \\frac{{SH}}{{SA}} = \\frac{{SH}}{{SB}} = \\frac{{SH}}{{SC}} = \\frac{{SH}}{{SD}}\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow \\sin {\\alpha _1} = \\sin {\\alpha _2} = \\sin {\\alpha _3} = \\sin {\\alpha _4} \\Leftrightarrow {\\alpha _1} = {\\alpha _2} = {\\alpha _3} = {\\alpha _4}\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":148563,"cat_id":1568,"publish_time":1693403820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_7-0_6.png","title":"Giải bài 13 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 13 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-13-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành và SA=SC, SB = SD.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693404585.png\"   /></p>\r\n<p>Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.</p>\r\n<p>Xét tam giác SAC cân tại S có SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao\\( \\Rightarrow SO \\bot AC.\\)</p>\r\n<p>Xét tam giác SBD cân tại S có SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao, \\( \\Rightarrow SO \\bot BD.\\)</p>\r\n<p>Mà AC, BD cắt nhau trong mặt phẳng (ABCD). Do đó \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right).\\)</p>"},{"article_id":149338,"cat_id":1568,"publish_time":1693994940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_5-0_2.png","title":"Giải bài 41 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 41 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-41-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(ABCD\\) là hình thoi","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693995553.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(O\\) là giao điểm của \\(AC\\) và \\(BD\\). Ta dễ dàng chứng minh được \\(SO\\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\) và \\(\\left( {SBD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\left( {SAC} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), \\(\\left( {SBD} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), \\(SO = \\left( {SAC} \\right) \\cap \\left( {SBD} \\right)\\), ta suy ra \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\). Điều này dẫn tới \\(SO \\bot AO\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình thoi, nên ta có \\(AC \\bot BD\\), hay \\(AO \\bot BD\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(SO \\bot AO\\), \\(AO \\bot BD\\) nên \\(AO \\bot \\left( {SBD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mà \\(AO \\subset \\left( {SAC} \\right)\\) nên ta suy ra \\(\\left( {SAC} \\right) \\bot \\left( {SBD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":149318,"cat_id":1568,"publish_time":1693991640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_5-0_1.png","title":"Giải bài 32 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 32 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-32-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Một máy nước nóng sử dụng năng lượng mặt trời như ở hình dưới đây có các ống hấp nhiệt chân không dài 1,8 m được đặt trên sân thượng của một toà nhà. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693992073.png\"   /></p>\r\n<p>Vẽ hình tam giác \\(OHA\\) biểu diễn với \\(OA\\) là ống hấp nhiệt chân không, \\(OH\\) là bóng của ống hấp nhiệt chân không trên mặt sân thượng. Do tia nắng chiếu vuông góc xuống mặt sân thượng, nên \\(OH\\) là hình chiếu của \\(OA\\) trên mặt sân. Khi đó, góc tạo bởi các ống hấp nhiệt chân không và mặt sân thượng là góc \\(\\widehat {AOH}\\).</p>\r\n<p>Theo đề bài, ta có \\(OA = 1,8{\\rm{ }}\\left( m \\right)\\), \\(OH = 1,2{\\rm{ }}\\left( m \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\widehat {AOH} = \\frac{{OH}}{{OA}} = \\frac{{1,2}}{{1,8}} = \\frac{2}{3} \\Rightarrow \\widehat {AOH} \\approx {48^o}\\).</p>\r\n<p>Vậy góc tạo bởi các ống hấp nhiệt chân không và sân thượng xấp xỉ 48 độ.</p>"},{"article_id":148564,"cat_id":1568,"publish_time":1693404600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_1-0_78.png","title":"Giải bài 14 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 14 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-14-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693404933.png\"   /></p>\r\n<p>a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \\(AA'{\\rm{ // }}BB'.\\) Mà \\(AA' \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) nên \\(BB' \\bot \\left( {ABCD} \\right).\\) Mặt khác \\(\\left( {ABCD} \\right){\\rm{ // }}\\left( {A'B'C'D'} \\right) \\Rightarrow BB' \\bot \\left( {A'B'C'D'} \\right).\\)</p>\r\n<p>b) Vì ABCD là hình thoi nên \\(AC \\bot BD.\\) Do \\(AA' \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) nên AC là hình chiếu của \\(A'C\\) trên mặt phẳng (ABCD). Theo định lí ba đường vuông góc suy ra \\(BD \\bot A'C.\\)</p>"},{"article_id":149339,"cat_id":1568,"publish_time":1693994940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_6-0_1.png","title":"Giải bài 42 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 42 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-42-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABC\\) có \\(\\widehat {ASB} = \\widehat {ASC} = {90^o}\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693995611.png\"   /></p>\r\n<p>Do \\(H\\) là trực tâm của tam giác \\(ABC\\) nên ta có \\(AH \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\widehat {ASB} = \\widehat {ASC} = {90^o}\\) nên ta suy ra \\(SA \\bot SB\\) và \\(SA \\bot SC\\). Suy ra \\(SA \\bot \\left( {BSC} \\right)\\), từ đó \\(SA \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Như vậy, vì \\(AH \\bot BC\\), \\(SA \\bot BC\\) nên \\(\\left( {SAH} \\right) \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Mà \\(BC \\subset \\left( {ABC} \\right)\\), nên \\(\\left( {SAH} \\right) \\bot \\left( {ABC} \\right)\\). Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":148565,"cat_id":1568,"publish_time":1693404600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_2-0_22.png","title":"Giải bài 15 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 15 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-15-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp O.ABC và điểm H không thuộc các đường thẳng AB, BC, CA ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405003.png\"   /></p>\r\n<p>Vì H không thuộc các đường thẳng AB, BC, CA nên HA, HB, HC đôi một cắt nhau.</p>\r\n<p>Theo giả thiết, \\(OH \\bot HA,{\\rm{ }}OH \\bot HB\\) mà HA, HB cắt nhau nên \\(OH \\bot \\left( {HAB} \\right).\\) Tương tự, \\(OH \\bot \\left( {HBC} \\right).\\)Vì (HAB) và (HBC) cùng đi qua H và vuông góc với OH nên hai mặt phẳng đó trùng nhau.</p>\r\n<p>Suy ra H thuộc mặt phẳng (ABC).</p>"},{"article_id":149340,"cat_id":1568,"publish_time":1693994940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_7-0_1.png","title":"Giải bài 43 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 43 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-43-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(ABCD\\) là hình vuông, tam giác \\(SAB\\) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693995665.png\"   /></p>\r\n<p>a) Gọi \\(H\\) là hình chiếu của \\(S\\) trên \\(AB\\). Ta có \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), \\(SH \\bot AB\\), \\(AB = \\left( {SAB} \\right) \\cap \\left( {ABCD} \\right)\\) nên suy ra \\(SH \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\). Điều này dẫn tới \\(SH \\bot AD\\). Do \\(ABCD\\) là hình vuông nên \\(AB \\bot AD\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(SH \\bot AD\\), \\(AB \\bot AD\\) nên suy ra \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot AD\\).</p>\r\n<p>Do \\(AD \\subset \\left( {SAD} \\right)\\) nên ta suy ra \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot \\left( {SAD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có điều phải chứng minh.</p>\r\n<p>b) Theo câu a, ta có \\(SH \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\). Điều này dẫn tới \\(SH \\bot BC\\). Do \\(ABCD\\) là hình vuông nên \\(AB \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(SH \\bot BC\\), \\(AB \\bot BC\\) nên suy ra \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Do \\(BC \\subset \\left( {SBC} \\right)\\) nên ta suy ra \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot \\left( {SBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có điều phải chứng minh.</p>\r\n<p>c) Theo câu a, ta có \\(\\left( {SAB} \\right) \\bot AD\\) nên \\(AD \\bot SB\\). Do tam giác \\(SAB\\) vuông tại \\(S\\), ta suy ra \\(SA \\bot SB\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(AD \\bot SB\\), \\(SA \\bot SB\\) nên \\(\\left( {SAD} \\right) \\bot SB\\).</p>\r\n<p>Do \\(SB \\subset \\left( {SBC} \\right)\\) nên ta suy ra \\(\\left( {SAD} \\right) \\bot \\left( {SBC} \\right)\\)</p>"},{"article_id":148566,"cat_id":1568,"publish_time":1693404600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_3-0_18.png","title":"Giải bài 16 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 16 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-16-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp S.ABC thoả mãn SA = SB = SC. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405079.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(O'\\) là hình chiếu của S trên (ABC). Khi đó, \\(SO' \\bot \\left( {ABC} \\right).\\)</p>\r\n<p>Mà \\(O'A,{\\rm{ }}O'B,{\\rm{ }}O'C\\) đều nằm trên (ABC) nên \\(SO' \\bot O'A,{\\rm{ }}SO' \\bot O'B,{\\rm{ }}SO' \\bot O'C.\\)</p>\r\n<p>Xét ba tam giác \\(SO'A,{\\rm{ }}SO'B,{\\rm{ }}SO'C\\) vuông tại \\(O'\\) có SA = SB = SC và \\(SO'\\) chung nên ba tam giác đó bằng nhau. Do đó, \\(O'A = O'B = O'C.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(O'\\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC hay \\(O'\\) trùng O.</p>\r\n<p>Vậy \\(SO \\bot \\left( {ABC} \\right).\\)</p>"},{"article_id":149343,"cat_id":1568,"publish_time":1693994940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0906/resize_8-0_1.png","title":"Giải bài 44 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 44 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-44-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có \\(ABCD\\) là hình chữ nhật, \\(\\left( {SAC} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0906/1693995720.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(H\\) là giao điểm của \\(BM\\) và \\(AC\\). Dễ dàng chứng minh được \\(SH\\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\) và \\(\\left( {SBM} \\right)\\). Hơn nữa, do \\(\\left( {SAC} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) và \\(\\left( {SBM} \\right) \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), ta suy ra \\(SH \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\), tức \\(H\\) là hình chiếu của \\(S\\) trên \\(\\left( {ABCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó góc giữa đường thẳng \\(SA\\) và mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) chính là góc \\(\\widehat {SAH}\\), tức là \\(\\varphi  = \\widehat {SAH}\\). Suy ra \\(\\cos \\varphi  = \\cos \\widehat {SAH} = \\frac{{AH}}{{SA}}\\).</p>\r\n<p>Vì \\(ABCD\\) là hình chữ nhật, nên \\(AC = \\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \\sqrt {{{\\left( {3a} \\right)}^2} + {{\\left( {4a} \\right)}^2}}  = 5a\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(AM = \\frac{1}{2}AD = \\frac{1}{2}.4a = 2a\\).</p>\r\n<p>Do \\(AM\\parallel BC\\), ta suy ra \\(\\frac{{AH}}{{HC}} = \\frac{{AM}}{{BC}} = \\frac{{2a}}{{4a}} = \\frac{1}{2}\\). Như vậy \\(\\frac{{AH}}{{AC}} = \\frac{1}{3}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(AH = \\frac{{AC}}{3} = \\frac{{5a}}{3}\\).</p>\r\n<p>Do đó \\(\\cos \\varphi  = \\frac{{AH}}{{SA}} = \\frac{{\\frac{{5a}}{3}}}{{5a}} = \\frac{1}{3}\\).<strong></strong></p>"},{"article_id":148567,"cat_id":1568,"publish_time":1693404600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_4-0_15.png","title":"Giải bài 17 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 17 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-17-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405144.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.</p>\r\n<p>Giả sử ba điểm M, N, P đều không thuộc mặt phẳng (ABC).</p>\r\n<p> Áp dụng kết quả Bài 16 cho ba hình chóp M.ABC, N.ABC, P.ABC ta có \\(MO \\bot \\left( {ABC} \\right),{\\rm{ }}NO \\bot \\left( {ABC} \\right),{\\rm{ }}PO \\bot \\left( {ABC} \\right).\\)Do đó ba đường thẳng MO, NO, PO trùng nhau hay M, N, P thẳng hàng.</p>\r\n<p>Giả sử trong ba điểm M, N, P có một điểm nằm trên (ABC). Khi đó, theo giả thiết ta có điểm đó trùng O. Như vậy, cùng với kết quả trên ta có ba điểm M, N, P thẳng hàng.</p>"},{"article_id":148568,"cat_id":1568,"publish_time":1693404600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_5-0_12.png","title":"Giải bài 18 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 18 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-18-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh \\(AB \\bot CD.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405245.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi I là trung điểm của CD.</p>\r\n<p>Vì ABCD là hình tứ diện đều nên hai tam giác ACD và BCD là các tam giác đều.</p>\r\n<p>Suy ra \\(AI \\bot CD,{\\rm{ }}BI \\bot CD.\\)</p>\r\n<p>Mà AI, BI cắt nhau trong mặt phẳng (ABI) nên \\(CD \\bot \\left( {ABI} \\right).\\)</p>\r\n<p>Mà \\(AB \\subset \\left( {ABI} \\right) \\Rightarrow AB \\bot CD.\\)</p>"},{"article_id":148569,"cat_id":1568,"publish_time":1693404600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_6-0_9.png","title":"Giải bài 19 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 19 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-19-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình tứ diện ABCD có \\(AB \\bot \\left( {BCD} \\right),\\)các tam giác BCD và ACD","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405350.png\"   /></p>\r\n<p>a) Vì \\(AB \\bot \\left( {BCD} \\right),{\\rm{ }}CH \\subset \\left( {BCD} \\right) \\Rightarrow AB \\bot CH.\\) Do H là trực tâm của tam giác (BCD) nên \\(CH \\bot BD.\\)</p>\r\n<p> Mà AB, BD cắt nhau trong mặt phẳng (ABD) nên \\(CH \\bot \\left( {ABD} \\right).\\)</p>\r\n<p>Từ \\(CH \\bot \\left( {ABD} \\right),{\\rm{ }}AD \\subset \\left( {ABD} \\right) \\Rightarrow AD \\bot CH.\\)</p>\r\n<p>b*) Vì H là trực tâm của tam giác BCD nên \\(BH \\bot CD.\\)</p>\r\n<p>Lại có, \\(AB \\bot \\left( {BCD} \\right),{\\rm{ }}CD \\subset \\left( {BCD} \\right) \\Rightarrow AB \\bot CD.\\)</p>\r\n<p>Mà AB, BD cắt nhau trong mặt phẳng (ABI) nên \\(CD \\bot \\left( {ABI} \\right).\\)</p>\r\n<p>Từ \\(CD \\bot \\left( {ABI} \\right),{\\rm{ }}HK \\subset \\left( {ABI} \\right) \\Rightarrow CD \\bot HK.\\)</p>\r\n<p>Vì K là trực tâm của tam giác ACD nên \\(CK \\bot AD.\\) Mà CK, CH cắt nhau trong mặt phẳng (CHK) nên \\(AD \\bot \\left( {CHK} \\right).\\)</p>\r\n<p>Lại có, \\(AD \\bot \\left( {CHK} \\right),{\\rm{ }}HK \\subset \\left( {CHK} \\right) \\Rightarrow AD \\bot HK.\\)</p>\r\n<p>Bên cạnh đó, AD, CD cắt nhau trong mặt phẳng (ACD) nên \\(HK \\bot \\left( {ACD} \\right).\\)</p>"},{"article_id":148570,"cat_id":1568,"publish_time":1693404600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_7-0_7.png","title":"Giải bài 20 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 20 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-20-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp S.ABC có \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right).\\) Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác SAB, SBC, SCA","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405428.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi H, K, I lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.</p>\r\n<p>Theo giả thiết ta có: \\(\\frac{{SM}}{{SH}} = \\frac{{SN}}{{SK}} = \\frac{{SP}}{{SI}} = \\frac{2}{3}.\\)</p>\r\n<p>Theo định lý Ta-lét: Trong tam giác SHK có \\(MN{\\rm{ // }}HK,\\) trong tam giác SHI có \\(MP{\\rm{ // }}HI.\\) Mà \\(HK \\subset \\left( {ABC} \\right),{\\rm{ }}HI \\subset \\left( {ABC} \\right)\\) nên \\(MN{\\rm{ // }}\\left( {ABC} \\right),{\\rm{ }}MP{\\rm{ // }}\\left( {ABC} \\right).\\)Mà, MN, MP cắt nhau trong mặt phẳng (MNP) nên \\(\\left( {MNP} \\right){\\rm{ // }}\\left( {ABC} \\right).\\)</p>\r\n<p>Ta lại có, \\(SA \\bot \\left( {ABC} \\right).\\) Vậy \\(SA \\bot \\left( {MNP} \\right).\\)</p>"},{"article_id":148571,"cat_id":1568,"publish_time":1693404660,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_8-0_4.png","title":"Giải bài 21 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 21 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-21-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp S.ABCD thoả mãn SA=SB=SC=SD","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405495.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD). Chứng minh tương tự Bài 16, ta có</p>\r\n<p>OA=OB=OC=OD.</p>\r\n<p>Suy ra O là tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh tứ giác ABCD.</p>"},{"article_id":148572,"cat_id":1568,"publish_time":1693404660,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_9-0_4.png","title":"Giải bài 22 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 22 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-22-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B sao cho B thuộc (P) và 4 không thuộc (P).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405564.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi H là hình chiếu của A trên (P).</p>\r\n<p>Khi đó H cố định và HC là hình chiếu của AC trên (P).</p>\r\n<p>Vì \\(BC \\bot AC\\) nên theo định lí ba đường vuông góc ta có \\(BC \\bot HC.\\)</p>\r\n<p>Do đó C chuyển động trên đường tròn đường kính HB cố định nằm trong (P).</p>"},{"article_id":148573,"cat_id":1568,"publish_time":1693404660,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_10-0_1.png","title":"Giải bài 23 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 23 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-23-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho đoạn thẳng AB và mặt phẳng (P) sao cho \\(\\left( P \\right) \\bot AB\\) và (P) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693405628.png\"   /></p>\r\n<p>Vì \\(AC \\bot CB\\) nên A, B, C không thẳng hàng.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left( P \\right) \\bot AB,{\\rm{ }}HC \\subset \\left( P \\right)\\) nên \\(AB \\bot HC.\\)</p>\r\n<p>Xét \\(\\Delta ABC\\) vuông tại C, đường cao CH. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \\(H{C^2} = HA.HB = 4.9 = 36 \\Rightarrow HC = 6\\left( {{\\rm{cm}}} \\right).\\)</p>\r\n<p>Vậy C thuộc đường tròn tâm H bán kính 6 cm trong (P).</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"33270","item_id":33270,"title":"Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc","is_link":0},{"id":"33272","item_id":33272,"title":"Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng","is_link":0},{"id":"33273","item_id":33273,"title":"Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện","is_link":0},{"id":"33274","item_id":33274,"title":"Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc","is_link":0},{"id":"33275","item_id":33275,"title":"Bài 5. Khoảng cách - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 5. Khoảng cách ","is_link":0},{"id":"33276","item_id":33276,"title":"Bài 6. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 6. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối","is_link":0},{"id":"33277","item_id":33277,"title":"Bài tập cuối chương VIII - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài tập cuối chương VIII ","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}