{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2024/0926/bia-c5-0.png","title":"Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","display_type":3,"cat_id":1959,"cat_title":"SBT Toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"chuong-5-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian-sbt-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":37982,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":174487,"cat_id":1959,"publish_time":1728287410,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_9-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.28 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.28 trang 35 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-528-trang-35-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua (Aleft( {1;0; - 3} right)) và nhận vectơ (overrightarrow n  = left( {2;1;1} right)) làm vectơ pháp tuyến là\r\nA. (2x + y + z - 1 = 0).\t\t\t\tB. (2x + y + z + 1 = 0)\r\nC. (x - 3z + 1 = 0).\t\t\t\tD. (x + 3z + 1 = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt phẳng (P) đi qua \\(A\\left( {1;0; - 2} \\right)\\) và nhận vectơ \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2;1;1} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến là \\(2\\left( {x - 1} \\right) + 1\\left( {y - 0} \\right) + 1\\left( {z + 3} \\right) = 0 \\Leftrightarrow \\)\\(2x + y + z + 1 = 0\\).</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án B.</p>"},{"article_id":174480,"cat_id":1959,"publish_time":1728287209,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_1-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.21 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.21 trang 34 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-521-trang-34-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (Aleft( {2;1;1} right)) và (Bleft( {2;1;3} right)).\r\na) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.\r\nb) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ (Oleft( {0;0;0} right)) và mặt cầu (S) đi qua A.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Gọi (C) là mặt cầu đường kính AB, khi đó (C) có tâm \\(I\\left( {2;1;2} \\right)\\) là trung điểm của cạnh AB.</p>\r\n<p>Bán kính của (C) là \\(IA = 1\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt cầu đường kính AB là</p>\r\n<p align=\"center\">(C): \\({\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 2} \\right)^2} = 1\\).</p>\r\n<p>b) Bán kính của (S) là \\(OA = \\sqrt 6 \\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt cầu đường (S) là (S): \\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 6\\).</p>"},{"article_id":174388,"cat_id":1959,"publish_time":1728036439,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_15-0.PNG","title":"Giải bài 5.15 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.15 trang 31 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-515-trang-31-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:\r\n\\(\\Delta :\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \\frac{z}{2}\\) và \\(\\Delta ':\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + 2t\\\\y =  - 1 + t\\\\z = 3 + t\\end{array} \\right.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1; - 1;2} \\right)\\), vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta '\\) là \\(\\overrightarrow {u'}  = \\left( {2;1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\Delta ,\\Delta '} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u  \\cdot \\overrightarrow {u'} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow {u'} } \\right|}} = \\frac{{2 - 1 + 2}}{{\\sqrt 6  \\cdot \\sqrt 6 }} = \\frac{1}{2}\\). Suy ra \\(\\left( {\\Delta ,\\Delta '} \\right) = {60^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174375,"cat_id":1959,"publish_time":1728036281,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_8-0.PNG","title":"Giải bài 5.8 trang 28 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.8 trang 28 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-58-trang-28-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho ba điểm (Aleft( {0;0;2} right)), (Bleft( {1;2;1} right)), (Cleft( {2;3;4} right)).\r\na) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng AB.\r\nb) Viết phương trình tham số của đường thẳng d, đi qua điểm C và song song với AB.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {1;2; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {AB} \\).</p>\r\n<p>Phương trình tham số của đường thẳng AB là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = {\\rm{     }}t\\\\y = {\\rm{   }}2t\\\\z = 2 - t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là \\(\\frac{x}{1} = \\frac{y}{2} = \\frac{{z - 2}}{{ - 1}}\\).</p>\r\n<p>b) Do đường thẳng d song song với AB nên d có cùng vectơ chỉ phương với đường thẳng</p>\r\n<p>AB là \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {1;2; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình tham số của đường thẳng AB là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 + t\\\\y = 3 + 2t\\\\z = 4 - t\\end{array} \\right.\\).</p>"},{"article_id":174368,"cat_id":1959,"publish_time":1728036142,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_1-0.PNG","title":"Giải bài 5.1 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.1 trang 24 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-51-trang-24-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \\(A\\left( {1;0; - 3} \\right)\\), \\(B\\left( {2;1;0} \\right)\\), \\(C\\left( {3;2;1} \\right)\\). Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {1;1;3} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {AC}  = \\left( {2;2;4} \\right)\\) suy ra \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( { - 2;2;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right]\\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) do đó \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 1;0} \\right)\\) là</p>\r\n<p>vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là \\(1\\left( {x - 1} \\right) - 1\\left( {y - 0} \\right) + 0\\left( {z + 3} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x - y - 1 = 0\\).</p>"},{"article_id":174488,"cat_id":1959,"publish_time":1728287438,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_10-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.29 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.29 trang 35 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-529-trang-35-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình (left{ begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 2t\\z =  - 2 + tend{array} right.) là\r\nA. (overrightarrow {{u_1}}  = left( {1;3; - 2} right)).\t\t\t\tB. (overrightarrow {{u_2}}  = left( {2; - 2;0} right))\r\nC. (overrightarrow {{u_3}}  = left( {2;2;1} right)).\t\t\t\tD. (overrightarrow {{u_4}}  = left( {4; - 2;1} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Từ phương trình tham số suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2; - 2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án D.</p>"},{"article_id":174481,"cat_id":1959,"publish_time":1728287282,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_2-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.22 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.22 trang 34 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-522-trang-34-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Đề bài\r\nTrong không gian Oxyz, cho điểm \\(I\\left( {2; - 1;2} \\right)\\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + 2y + 2z - 10 = 0\\).\r\nViết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Do mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là \\(R = d\\left( {I,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2 - 2 + 4 - 10} \\right|}}{{\\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \\frac{6}{3} = 2\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt cầu (S) là \\({\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\left( {y + 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 2} \\right)^2} = 4\\).</p>"},{"article_id":174390,"cat_id":1959,"publish_time":1728036462,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_16-0.PNG","title":"Giải bài 5.16 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.16 trang 32 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-516-trang-32-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng:\r\n\\(\\Delta :\\frac{{x + 3}}{{ - 2}} = \\frac{{y + 1}}{1} = \\frac{{z - 1}}{2}\\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + 2y - 2z + 3 = 0\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2;1;2} \\right)\\), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)</p>\r\n<p>là \\(\\overrightarrow {u'}  = \\left( {1;2; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u  \\cdot \\overrightarrow {u'} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow {u'} } \\right|}} = \\frac{{\\left| { - 2 + 2 - 4} \\right|}}{{\\sqrt 9  \\cdot \\sqrt 9 }} = \\frac{4}{9}\\). Suy ra \\(\\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) \\approx {26,4^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174376,"cat_id":1959,"publish_time":1728036299,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_9-0.PNG","title":"Giải bài 5.9 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.9 trang 29 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-59-trang-29-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \\(\\left( P \\right):2x - 3y - z + 2 = 0\\) và điểm \\(A\\left( {1; - 1; - 2} \\right)\\).\r\na) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).\r\nb) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Do d vuông góc với (P) nên vectơ pháp tuyến của (P) là một vectơ chỉ phương của d.</p>\r\n<p>Suy ra vectơ chỉ phương của d là \\({u_d} = {n_P} = \\left( {2; - 3; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Phương trình tham số của đường thẳng d là</p>\r\n<p> \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\\\y =  - 1 - 3t\\\\z =  - 2 - t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>b) Giả sử \\(M\\) là giao điểm của d và (P).</p>\r\n<p>Do \\(M\\) thuộc đường thẳng d nên \\(M\\) có tọa độ \\(M\\left( {2 + t;3 + 2t;4 - t} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mà \\(M \\in \\left( P \\right)\\) suy ra \\(2\\left( {1 + 2t} \\right) - 3\\left( { - 1 - 3t} \\right) - \\left( { - 2 - t} \\right) + 2 = 0 \\Leftrightarrow t = \\frac{{ - 9}}{{14}}\\).</p>\r\n<p>Do đó \\(M\\left( {\\frac{{ - 2}}{7};\\frac{{13}}{{14}};\\frac{{ - 19}}{{14}}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là \\(\\left( {\\frac{{ - 2}}{7};\\frac{{13}}{{14}};\\frac{{ - 19}}{{14}}} \\right)\\).</p>"},{"article_id":174369,"cat_id":1959,"publish_time":1728036160,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_2-0.PNG","title":"Giải bài 5.2 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.2 trang 24 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-52-trang-24-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \\(A\\left( {2;0;0} \\right)\\), \\(B\\left( {0; - 3;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;0;1} \\right)\\). Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là \\(\\frac{x}{2} + \\frac{y}{{ - 3}} + \\frac{z}{1} = 1\\).</p>"},{"article_id":174489,"cat_id":1959,"publish_time":1728287467,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_11-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.30 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.30 trang 35 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-530-trang-35-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (left( P right):2x + 3y - z - 1 = 0) và điểm (Aleft( {1;2; - 1} right)). Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là \r\nA. (frac{{x + 1}}{2} = frac{{y + 2}}{3} = frac{{z - 1}}{{ - 1}}).\t\t\t\tB. (frac{{x - 1}}{2} = frac{{y - 2}}{3} = frac{{z + 1}}{{ - 1}}).\r\nC. (frac{{x - 1}}{1} = frac{{y - 2}}{2} = frac{{z + 1}}{{ - 1}}).\t\t\t\tD. (frac{{x + 1}}{1} = frac{{y + 2}}{2} = frac{{z - 1}}{{ - 1}}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ pháp tuyến của d là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2;3; - 1} \\right)\\). Do d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Suy ra phương trình chính tắc của d là \\(\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{{y - 2}}{3} = \\frac{{z + 1}}{{ - 1}}\\).</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án B.</p>"},{"article_id":174482,"cat_id":1959,"publish_time":1728287296,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_3-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.23 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.23 trang 34 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-523-trang-34-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x - 1} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z + 2} \\right)^2} = 9\\) và điểm \\(A\\left( {2;2; - 1} \\right)\\).\r\na) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).\r\nb) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Từ phương trình mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x - 1} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z + 2} \\right)^2} = 9\\) ta có tâm của (S) là \\(I\\left( {1;0; - 2} \\right)\\), bán kính là \\(R = 3\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(IA = \\sqrt {1 + 4 + 1}  = \\sqrt 6  &lt; 3 = R\\) suy ra \\(IA &lt; R\\).</p>\r\n<p>Vậy điểm A nằm trong mặt cầu (S).</p>"},{"article_id":174391,"cat_id":1959,"publish_time":1728036490,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_17-0.PNG","title":"Giải bài 5.17 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.17 trang 32 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-517-trang-32-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: \r\n(left( P right):2x - y + 2z - 1 = 0) và (left( Q right):x + y - z = 0)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2; - 1;2} \\right)\\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \\(\\overrightarrow {n'}  = \\left( {1;1; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow n  \\cdot \\overrightarrow {n'} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow n } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow {n'} } \\right|}} = \\frac{{\\left| {2 - 1 - 2} \\right|}}{{\\sqrt 9  \\cdot \\sqrt 3 }} = \\frac{1}{{3\\sqrt 3 }}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) \\approx {78,9^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174377,"cat_id":1959,"publish_time":1728036315,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_10-0.PNG","title":"Giải bài 5.10 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.10 trang 29 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-510-trang-29-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 + 3t\\\\y =  - 1 - t\\\\z =  - 3 + 2t\\end{array} \\right.\\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x - y - z = 0\\) \r\na) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).\r\nb) Viết phương trình đường thẳng \\(d'\\) nằm trên mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) sao cho \\(d'\\) cắt và vuông góc với \\(d\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Do I thuộc đường thẳng d nên I có tọa độ \\(I\\left( {2 + 3t; - 1 - t; - 3 + 2t} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(I \\in \\left( P \\right)\\) suy ra  \\(\\left( {2 + 3t} \\right) - \\left( { - 1 - t} \\right) - \\left( { - 3 + 2t} \\right) = 0 \\Leftrightarrow t =  - 3\\). Do đó \\(I\\left( { - 7;2; - 9} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Do \\(d'\\) nằm trên mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(d'\\) cắt \\(d\\) nên giao điểm của \\(d\\) và \\(d'\\) là giao điểm của \\(d\\) và \\(\\left( P \\right)\\). Suy ra \\(d \\cap d' = I\\). Mặt khác \\(d'\\) vuông góc với \\(d\\) nên tích có hướng của vectơ chỉ phương của \\(d\\) với vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\)là một vectơ chỉ phương của \\(d'\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\left( {1; - 1; - 1} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {{u_d}}  = \\left( {3; - 1;2} \\right)\\) suy ra vectơ chỉ phương của \\(d'\\) là \\(\\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \\left( { - 1; - 5;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình tham số của \\(d'\\) là \\(d':\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 7 - 1t\\\\y = 2 - 5t\\\\z =  - 9 + 2t\\end{array} \\right.\\).</p>"},{"article_id":174370,"cat_id":1959,"publish_time":1728036180,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_3-0.PNG","title":"Giải bài 5.3 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.3 trang 24 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-53-trang-24-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right):x - 2y - 2z + 9 = 0\\) và điểm \\(A\\left( {2; - 1;3} \\right)\\).\r\na) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\beta  \\right)\\) đi qua A và song song với \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là \\(d\\left( {A,\\alpha } \\right) = \\frac{{\\left| {2 - 2 \\cdot \\left( { - 1} \\right) - 2 \\cdot 3 + 9} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \\frac{7}{3}\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\left( \\beta  \\right)\\) song song với \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) nên \\(\\left( \\beta  \\right)\\) có cùng vectơ pháp tuyến với \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra vectơ pháp tuyến của \\(\\left( \\beta  \\right)\\) là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 2; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng của \\(\\left( \\beta  \\right)\\) là \\(1\\left( {x - 2} \\right) - 2\\left( {y + 1} \\right) - 2\\left( {z - 3} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0\\).</p>"},{"article_id":174490,"cat_id":1959,"publish_time":1728287500,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_12-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.31 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.31 trang 36 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-531-trang-36-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, côsin của góc giữa hai đường thẳng (Delta :left{ begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 + t\\z =  - 2 + tend{array} right.) và (Delta ':frac{{x + 2}}{1} = frac{{y + 3}}{2} = frac{{z - 1}}{{ - 5}}) bằng\r\nA. (frac{{sqrt 5 }}{{30}}).\t\t\tB. (frac{{ - sqrt 5 }}{{30}}).\t\t\tC. (frac{{3sqrt 5 }}{{10}}).\t\t\tD. (frac{{ - 3sqrt 5 }}{{10}}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ chỉ phương của \\(\\Delta \\) và \\(\\Delta '\\) lần lượt là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2;1;1} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {u'}  = \\left( {1;2; - 5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\Delta ,\\Delta '} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u  \\cdot \\overrightarrow {u'} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow {u'} } \\right|}} = \\frac{{\\left| {2 + 2 - 5} \\right|}}{{\\sqrt {4 + 1 + 1}  \\cdot \\sqrt {1 + 4 + 25} }} = \\frac{1}{{6\\sqrt 5 }} = \\frac{{\\sqrt 5 }}{{30}}\\).</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án A.</p>"},{"article_id":174483,"cat_id":1959,"publish_time":1728287315,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_4-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.24 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.24 trang 34 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-524-trang-34-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.\r\na) \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\\).\r\nb) \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\\).\r\nc) \\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\).</p>\r\n<p>Xét phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\\), ta có \\(a =  - 1,b = 0,c = 2,d = 2\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 4 - 2 = 3 &gt; 0\\), do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p>Mặt cầu có tâm \\(\\left( { - 1;0;2} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt 3 \\).</p>\r\n<p>b) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\).</p>\r\n<p>Xét phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\\), ta có \\(a = 1,b =  - 1,c =  - 1,d = 7\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 1 + 1 - 7 =  - 4 &lt; 0\\), do đó phương trình đã cho không là phương trình mặt</p>\r\n<p>cầu.</p>\r\n<p>c) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\).</p>\r\n<p>Xét phương trình \\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0 \\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + \\frac{2}{3} = 0\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(a =  - 2,b = 1,c =  - 1,d = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 1 + 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{{16}}{3} &gt; 0\\), do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p>Mặt cầu có tâm \\(\\left( { - 2;1; - 1} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\frac{4}{{\\sqrt 3 }}\\).</p>"},{"article_id":174392,"cat_id":1959,"publish_time":1728036511,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_18-0.PNG","title":"Giải bài 5.18 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.18 trang 32 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-518-trang-32-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \\(\\Delta :\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1\\\\y = 2 + \\sqrt 3 t\\\\z =  - 3 + t\\end{array} \\right.\\) \r\na) Tính góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và mặt phẳng (Oxy).\r\nb) Tính góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và trục Oy.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {0;\\sqrt 3 ;1} \\right)\\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là \\(\\overrightarrow k  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u  \\cdot \\overrightarrow k } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow k } \\right|}} = \\frac{{\\left| 1 \\right|}}{{\\sqrt {3 + 1}  \\cdot \\sqrt 1 }} = \\frac{1}{2}\\). Suy ra \\(\\left( {\\Delta ,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = {30^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>b) Vectơ chỉ phương của Oy là \\(\\overrightarrow j  = \\left( {0;1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\sin \\left( {\\Delta ,Oy} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u  \\cdot \\overrightarrow j } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow j } \\right|}} = \\frac{{\\left| {\\sqrt 3 } \\right|}}{{\\sqrt {3 + 1}  \\cdot \\sqrt 1 }} = \\frac{{\\sqrt 3 }}{2}\\). Suy ra \\(\\left( {\\Delta ,Oy} \\right) = {30^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174380,"cat_id":1959,"publish_time":1728036332,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_11-0.PNG","title":"Giải bài 5.11 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.11 trang 29 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-511-trang-29-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\\\y =  - 2 + t\\\\z = 4 - 3t\\end{array} \\right.\\) và \\(d':\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - 2s\\\\y = 2 - s\\\\z = 5 + 3s\\end{array} \\right.\\)\r\na) Chứng minh rằng \\(d\\parallel d'\\).\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) chứa \\(d\\) và \\(d'\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Vectơ chỉ phương của \\(d\\), \\(d'\\) lần lượt là \\(\\overrightarrow {{u_d}}  = \\left( {2;1; - 3} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \\left( { - 2; - 1;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{u_d}}  =  - \\overrightarrow {{u_{d'}}} \\) hay  \\(\\) cùng phương do đó \\(d\\) và \\(d'\\) song song hoặc trùng nhau.</p>\r\n<p>Lấy \\(A\\left( {1; - 2;4} \\right) \\in d\\) ta sẽ kiểm tra \\(A\\) có thuộc \\(d'\\) hay không.</p>\r\n<p>Thay tọa độ A vào phương trình của \\(d'\\) ta có</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}1 = 1 - 2s\\\\ - 2 = 2 - s\\\\4 = 5 + 3s\\end{array} \\right. \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}s = 0\\\\s = 4\\\\s = \\frac{{ - 1}}{3}\\end{array} \\right.\\)(Vô lý). Do đó \\(d'\\) không đi qua A.</p>\r\n<p>Vậy \\(d\\parallel d'\\).</p>\r\n<p>b) Lấy \\(B\\left( {1;2;5} \\right) \\in d'\\), do \\(d\\parallel d'\\) nên mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\)chứa hai đường thẳng này nhận tích có hướng của \\(\\overrightarrow {AB} \\) và một trong hai vectơ chỉ phương của một trong hai đường thẳng đang xét là một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Xét \\(\\overrightarrow {{u_d}}  = \\left( {2;1; - 3} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {0;4;1} \\right)\\) ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_d}} ;\\overrightarrow {AB} } \\right] = \\left( {13; - 2;8} \\right) = \\overrightarrow {{n_P}} \\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng của \\(\\left( P \\right)\\) là \\(13\\left( {x - 1} \\right) - 2\\left( {y + 2} \\right) + 8\\left( {z - 4} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 13x - 2y + 8z - 49 = 0\\).</p>"},{"article_id":174371,"cat_id":1959,"publish_time":1728036195,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_4-0.PNG","title":"Giải bài 5.4 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.4 trang 24 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-54-trang-24-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \\(A\\left( {2; - 1;0} \\right)\\), \\(B\\left( {3;1;2} \\right)\\) và mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right):x + 2y + 3z - 1 = 0\\).\r\na) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\beta  \\right)\\) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) chứa A, B và song song với trục \\(Ox\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {1;2;2} \\right)\\), vectơ pháp tuyến của \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;2;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\left( \\beta  \\right)\\) chứa A, B và \\(\\left( \\beta  \\right) \\bot \\left( \\alpha  \\right)\\) nên \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow n } \\right]\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( \\beta  \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow n } \\right] = \\left( {2; - 1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng của \\(\\left( \\beta  \\right)\\) là \\(2\\left( {x - 2} \\right) - 1\\left( {y + 1} \\right) + 0\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0\\).</p>\r\n<p>b) Do \\(\\left( \\beta  \\right)\\) chứa A, B và \\(\\left( \\beta  \\right)\\parallel  Ox\\) nên \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow i } \\right]\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( \\beta  \\right)\\) (do \\(\\overrightarrow i  = \\left( {1;0;0} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của \\(Ox\\)).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow i } \\right] = \\left( {0;2; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng của \\(\\left( \\beta  \\right)\\) là \\(0\\left( {x - 3} \\right) + 2\\left( {y - 1} \\right) - 2\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow y - z + 1 = 0\\).</p>"},{"article_id":174491,"cat_id":1959,"publish_time":1728287531,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_13-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.32 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.32 trang 36 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-532-trang-36-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, góc giữa đường thẳng (Delta :frac{{x + 3}}{1} = frac{{y + 1}}{{sqrt 2 }} = frac{{z + 2}}{1}) và mặt phẳng (Oxz) bằng\r\nA. ({45^ circ }).\t\t\tB. ({30^ circ }).\t\t\tC. ({60^ circ }).\t\t\tD. ({90^ circ }).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ chỉ phương của \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1;\\sqrt 2 ;1} \\right)\\) và vectơ pháp tuyến của (Oxz) là \\(\\overrightarrow j  = \\left( {0;1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( {Oxz} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u  \\cdot \\overrightarrow j } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow j } \\right|}} = \\frac{{\\left| {\\sqrt 2 } \\right|}}{{\\sqrt {1 + 2 + 1}  \\cdot \\sqrt 1 }} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\). Suy ra \\(\\left( {\\Delta ,\\left( {Oxz} \\right)} \\right) = {45^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án A.</p>"},{"article_id":174484,"cat_id":1959,"publish_time":1728287335,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_5-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.25 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.25 trang 34 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-525-trang-34-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \\(A\\left( {1;2;1} \\right)\\) và \\(B\\left( { - 1; - 2;3} \\right)\\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc thuộc trục Ox và (S) đi qua hai điểm A và B.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Do I thuộc trục Ox nên I có tọa độ \\(\\left( {a;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>(S) đi qua hai điểm A và B suy ra I nằm trên đường trung trực của cạnh AB.</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 2; - 4;2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.</p>\r\n<p>Khi đó d đi qua trung điểm \\(M\\left( {0;0;2} \\right)\\) của cạnh AB và nhận \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;0;1} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương</p>\r\n<p>(do \\(\\overrightarrow n  \\bot \\overrightarrow {AB} \\)).</p>\r\n<p>Phương trình tham số của d là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = t\\\\y = 0\\\\z = 2 + t\\end{array} \\right.\\). Do \\(I \\in d\\) nên thay \\(I\\left( {a;0;0} \\right)\\) vào d ta được:</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}a = t\\\\0 = 0\\\\0 = 2 + t\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a = t\\\\t =  - 2\\end{array} \\right. \\Rightarrow a =  - 2 \\Rightarrow I\\left( { - 2;0;0} \\right)\\). Bán kính mặt cầu (S) là \\(R = IA = \\sqrt {9 + 4 + 1}  = \\sqrt {14} \\).</p>\r\n<p>Suy ra (S): \\({\\left( {x + 2} \\right)^2} + {y^2} + {z^2} = 14\\).</p>"},{"article_id":174394,"cat_id":1959,"publish_time":1728036530,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_19-0.PNG","title":"Giải bài 5.19 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.19 trang 32 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-519-trang-32-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc trục Oy. Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm \\(A\\left( {0;2;0} \\right)\\) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \\(\\overrightarrow v  = \\left( {1;4;1} \\right)\\). Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động trên đường thẳng nào và góc cất cánh của máy bay bằng bao nhiêu?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng d đi qua A, nhận \\(\\overrightarrow v \\) là vectơ chỉ phương. Suy ra d: \\(\\frac{x}{1} = \\frac{{y - 2}}{4} = \\frac{z}{1}\\).</p>\r\n<p>Góc cất cánh của máy bay là góc tạo bởi d và Oy.</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {d,Oy} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow v  \\cdot \\overrightarrow j } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow v } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow j } \\right|}} = \\frac{4}{{\\sqrt {18} }} \\Rightarrow \\left( {d,Oy} \\right) \\approx {19,5^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174381,"cat_id":1959,"publish_time":1728036347,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_12-0.PNG","title":"Giải bài 5.12 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.12 trang 29 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-512-trang-29-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - 1t\\\\y = 2 + t\\\\z =  - 3 + 2t\\end{array} \\right.\\) và \\(d':\\frac{{x + 2}}{3} = \\frac{{y + 1}}{2} = \\frac{z}{{ - 1}}\\).\r\nXét vị trí tương đối giữa \\(d\\) và \\(d'\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ chỉ phương của \\(d\\), \\(d'\\) lần lượt là \\(\\overrightarrow {{u_d}}  = \\left( { - 1;1;2} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \\left( {3;2; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(A\\left( {1;2; - 3} \\right) \\in d\\) và \\(B\\left( { - 2; - 1;0} \\right) \\in d'\\).</p>\r\n<p>Xét \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_d}} ,\\overrightarrow {{u_{d'}}} } \\right] = \\left( { - 5;5; - 5} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 3; - 3;3} \\right)\\) suy ra \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_d}} ,\\overrightarrow {{u_{d'}}} } \\right] \\cdot \\overrightarrow {AB}  =  - 15 \\ne 0\\).</p>\r\n<p>Vì vậy \\(d\\), \\(d'\\) chéo nhau.</p>"},{"article_id":174372,"cat_id":1959,"publish_time":1728036211,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_5-0.PNG","title":"Giải bài 5.5 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.5 trang 24 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-55-trang-24-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho điểm \\(H\\left( {3;2;4} \\right)\\).\r\na) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) chứa điểm H và trục Oy.\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta lấy \\(O\\left( {0;0;0} \\right) \\in Oy\\) suy ra \\(O \\in \\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {OH}  = \\left( {3;2;4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\left( P \\right)\\) chứa O, H và Oy suy ra \\(\\left( P \\right)\\) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {OH} ,\\overrightarrow j } \\right]\\) làm vectơ pháp tuyến, vì \\(\\overrightarrow j  = \\left( {0;1;0} \\right)\\) là vectơ chỉ phương của Oy. Ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow {OH} ,\\overrightarrow j } \\right] = \\left( { - 4;0;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng của \\(\\left( P \\right)\\) là \\( - 4\\left( {x - 0} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) + 3\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - 4x + 3z = 0\\).</p>\r\n<p>b) Giả sử \\(D,E\\) lần lượt là hình chiếu của \\(A,B\\) trên cạnh \\(BC\\) và \\(AC\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}AD \\bot BC\\\\BE \\bot AC\\\\AD \\cap BE = H\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Do \\(Ox \\bot \\left( {yOz} \\right)\\) nên \\(AO \\bot \\left( {OBC} \\right)\\). Khi đó có \\(OD\\) là hình chiếu của \\(AD\\) trên \\(\\left( {OBC} \\right)\\),</p>\r\n<p>mà \\(AD \\bot BC\\) suy ra \\(OD \\bot BC\\)(định lý ba đường vuông góc).</p>\r\n<p>Vì vậy \\(BC \\bot \\left( {OAD} \\right)\\). Mặt khác \\(OH \\subset \\left( {OAD} \\right)\\) nên \\(BC \\bot OH{\\rm{    }}\\left( 1 \\right)\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta có \\(OE\\) là hình chiếu của \\(BE\\) trên \\(\\left( {OAC} \\right)\\) suy ra \\(AC \\bot OH{\\rm{    }}\\left( 2 \\right)\\).</p>\r\n<p>Từ \\(\\left( 1 \\right)\\) và \\(\\left( 2 \\right)\\) suy ra \\(OH \\bot \\left( {ABC} \\right)\\) hay H là hình chiếu của O trên (ABC).</p>\r\n<p>\\(\\left( Q \\right)\\) có vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {OH}  = \\left( {3;2;4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) là \\(3\\left( {x - 3} \\right) + 2\\left( {y - 2} \\right) + 4\\left( {z - 4} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 29 = 0\\).</p>"},{"article_id":174493,"cat_id":1959,"publish_time":1728287553,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_14-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.33 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.33 trang 36 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-533-trang-36-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm (Ileft( {1;2; - 1} right)) và (S) đi qua (Aleft( { - 1;1;0} right)) là\r\nA. ({left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = sqrt 6 ).\t\t\t\r\nB. ({left( {x + 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {left( {z - 1} right)^2} = 6).\t\t\t\r\nC. ({left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 6).\t\t\t\r\nD. ({left( {x + 1} right)^2} + {left( {y - 1} righ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Bán kính mặt cầu (S) là \\(IA = \\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \\sqrt 6 \\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt cầu (S) là \\({\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z + 1} \\right)^2} = 6\\).</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án C.</p>"},{"article_id":174485,"cat_id":1959,"publish_time":1728287350,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_6-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.26 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.26 trang 34 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-526-trang-34-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\\). \r\nTừ vị trí \\(A\\left( {\\frac{1}{2};\\frac{1}{2};\\frac{1}{{\\sqrt 2 }}} \\right)\\), người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng \\(\\overrightarrow v  = \\left( {2;2; - 3} \\right)\\). Tính độ dài đường hầm cần đào.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường hầm nằm trên đường thẳng d đi qua A và nhận \\(\\overrightarrow v  = \\left( {2;2; - 3} \\right)\\) là vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Suy ra phương trình tham số của d là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = \\frac{1}{2} + 2t\\\\y = \\frac{1}{2} + 2t\\\\z = \\frac{1}{{\\sqrt 2 }} - 3t\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Gọi B là điểm cuối của đường hầm cần đào. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S). Do B thuộc d nên \\(B\\left( {\\frac{1}{2} + 2t;\\frac{1}{2} + 2t;\\frac{1}{{\\sqrt 2 }} - 3t} \\right)\\) với \\(t \\ne 0\\) để B không trùng với A.</p>\r\n<p>Vì B thuộc (S) nên ta có \\({\\left( {\\frac{1}{2} + 2t} \\right)^2} + {\\left( {\\frac{1}{2} + 2t} \\right)^2} + {\\left( {\\frac{1}{{\\sqrt 2 }} - 3t} \\right)^2} = 1\\).</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow 17{t^2} + \\left( {2 - 3\\sqrt 2 } \\right)t = 0 \\Rightarrow t = \\frac{{3\\sqrt 2  - 2}}{{17}}\\) (do trường hợp \\(t = 0\\) không thỏa mãn).</p>\r\n<p>Suy ra \\(AB = \\sqrt {{{\\left( {2t} \\right)}^2} + {{\\left( {2t} \\right)}^2} + {{\\left( { - 3t} \\right)}^2}}  = \\left| t \\right|\\sqrt {17}  = \\frac{{3\\sqrt 2  - 2}}{{\\sqrt {17} }}\\).</p>\r\n<p>Vậy độ dài đường hầm cần đào là \\(\\frac{{3\\sqrt 2  - 2}}{{\\sqrt {17} }}\\).</p>"},{"article_id":174395,"cat_id":1959,"publish_time":1728036550,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_20-0.PNG","title":"Giải bài 5.20 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.20 trang 32 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-520-trang-32-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng:\r\n\\({\\Delta _1}:\\frac{{x - 1}}{1} = \\frac{{y + 1}}{2} = \\frac{z}{1}\\) và \\({\\Delta _2}:\\frac{{x + 1}}{3} = \\frac{{y - 2}}{1} = \\frac{{z + 1}}{4}\\).\r\na) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?\r\nb) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) đi qua điểm \\(A\\left( {1; - 1;0} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {1;2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) đi qua điểm \\(B\\left( { - 1;2; - 1} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {3;1;4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {7; - 1;5} \\right)\\) suy ra \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] \\cdot \\overrightarrow {AB}  =  - 19 \\ne 0\\).</p>\r\n<p>Do đó \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) chéo nhau. Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {2;2;1} \\right)\\), \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {3;1;4} \\right)\\)Ta có \\(\\cos \\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow {{u_1}}  \\cdot \\overrightarrow {{u_2}} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow {{u_1}} } \\right|\\left| {\\overrightarrow {{u_2}} } \\right|}} = \\frac{{\\left| {3 + 2 + 4} \\right|}}{{\\sqrt 6  \\cdot \\sqrt {26} }} = \\frac{9}{{\\sqrt {156} }} \\Rightarrow \\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) \\approx {43,9^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>Vậy hai con đường tạo với nhau một góc khoảng \\({43,9^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174384,"cat_id":1959,"publish_time":1728036403,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_13-0.PNG","title":"Giải bài 5.13 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.13 trang 29 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-513-trang-29-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, một xe tải có chiều cao bằng 1, di chuyển trên mặt phẳng (Oxy) và cần chui qua gầm của một cây cầu. Cây cầu đó thuộc đường thẳng (Delta :left{ begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 2t\\z = 2end{array} right.).\r\nHỏi chiều cao của gầm cầu có đủ để xe tải chui qua hay không?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ chỉ phương của \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow {{u_\\Delta }}  = \\left( {1;2;0} \\right)\\), vectơ pháp tuyến của (Oxy) là \\(\\overrightarrow k  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{u_\\Delta }}  \\cdot \\overrightarrow k  = 0\\) suy ra \\(\\overrightarrow {{u_\\Delta }}  \\bot \\overrightarrow k \\) hay \\(\\Delta \\parallel \\left( {Oxy} \\right)\\). Lấy \\(A\\left( {1; - 1;2} \\right) \\in \\Delta \\); \\(\\left( {Oxy} \\right):z = 0\\)</p>\r\n<p>Khoảng cách từ đường thẳng \\(\\Delta \\) đến mặt phẳng (Oxy) là \\(d\\left( {\\Delta ,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = d\\left( {A,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| 2 \\right|}}{{\\sqrt 1 }} = 2\\).</p>\r\n<p>Suy ra chiều cao của gầm cầu bằng 2 &gt; 1, đủ để xe tải chui qua.</p>"},{"article_id":174373,"cat_id":1959,"publish_time":1728036227,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_6-0.PNG","title":"Giải bài 5.6 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.6 trang 25 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-56-trang-25-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, một máy phát sóng đặt tại vị trí \\(A\\left( {1;2;1} \\right)\\) và có bán kính phủ sóng là 2. Hỏi vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) có bán kính bằng bao nhiêu?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vùng phủ sóng của máy được biểu diễn bằng mặt cầu \\(\\left( C \\right)\\) tâm \\(A\\left( {1;2;1} \\right)\\), bán kính 2.</p>\r\n<p>Ta có phương trình của mặt cầu là \\(\\left( C \\right):{\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^1} = 4\\).</p>\r\n<p>Vùng phủ sóng trên (Oxy) là giao của mặt cầu \\(\\left( C \\right)\\) và mặt phẳng (Oxy).</p>\r\n<p>Mặt khác \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) có phương trình \\(z = 0\\), suy ra vùng phủ sóng thỏa mãn phương trình:</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}{\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^1} = 4\\\\z = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow {\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} = 3\\).</p>\r\n<p>Suy ra vùng phủ sóng trên (Oxy) là hình tròn có bán kính bằng \\(\\sqrt 3 \\).</p>"},{"article_id":174494,"cat_id":1959,"publish_time":1728287583,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_15-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.34 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.34 trang 36 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-534-trang-36-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0) là phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R lần lượt là\r\nA. (Ileft( { - 1;2;0} right);R = 2).\t\t\tB. (Ileft( {1; - 2;0} right);R = 2).\t\t\t\r\nC. (Ileft( { - 1;2;0} right);R = 4).\t\t\tD. (Ileft( {1; - 2;0} right);R = 4).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Từ phương trình mặt cầu ta có tâm mặt cầu là \\(I\\left( {1; - 2;0} \\right)\\), bán kính là \\(R = \\sqrt {1 + 4 - 1}  = 2\\)</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án B.</p>"},{"article_id":174486,"cat_id":1959,"publish_time":1728287360,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_8-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.27 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.27 trang 35 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-527-trang-35-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt đất phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là hình chiếu vuông góc của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm của quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất như hình vẽ.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Do tâm quả bóng thuộc tia Oz và cách mặt đất 10 m nên quả cầu có tâm \\(I\\left( {0;0;10} \\right)\\).</p>\r\n<p>Bán kính quả bóng bằng 2, do đó ta có phương trình của mặt cầu bề mặt quả bóng là</p>\r\n<p align=\"center\">\\({x^2} + {y^2} + {\\left( {z - 10} \\right)^2} = 4\\).</p>"},{"article_id":174386,"cat_id":1959,"publish_time":1728036418,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_14-0.PNG","title":"Giải bài 5.14 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.14 trang 29 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-514-trang-29-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, một người ở trong một căn phòng, mắt người đặt tại vị trí \\(A\\left( {1;2;3} \\right)\\), nhìn ra ngoài khu vườn qua một khung cửa sổ có dạng hình tròn tâm \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\), bán kính 2 và thuộc mặt phẳng (Oyz). Hỏi qua khung cửa sổ, người đó có nhìn thấy bông hoa ở vị trí \\(M\\left( { - 2;1;1} \\right)\\) hay không?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (Oyz), tọa độ điểm N có dạng \\(N\\left( {0;b;c} \\right)\\). Ta có \\(\\overrightarrow {AN}  = \\left( { - 1;b - 2;c - 3} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AM}  = \\left( { - 3; - 1; - 2} \\right)\\) là hai vectơ cùng phương nên</p>\r\n<p>\\(\\frac{{b - 2}}{{ - 1}} = \\frac{{c - 3}}{{ - 2}} = \\frac{{ - 3}}{{ - 1}} \\Leftrightarrow b =  - 1,c =  - 3 \\Rightarrow N\\left( {0; - 1; - 3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(ON = \\sqrt {0 + 1 + 9}  = \\sqrt {10}  &gt; 2\\) nên mắt người đặt ở vị trí A không thể nhìn thấy bông hoa đặt ở vị trí M qua một đường tròn tâm O có bán kính bằng 2 nằm trên mặt phẳng (Oyz).</p>"},{"article_id":174374,"cat_id":1959,"publish_time":1728036242,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_7-0.PNG","title":"Giải bài 5.7 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.7 trang 25 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-57-trang-25-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right):x + 2y + 2z - 1 = 0\\) và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng \\(\\left( \\beta  \\right):x + 2y + 2z - 3 = 0\\). Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không? ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) và \\(\\left( \\beta  \\right)\\) có các vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_\\alpha }}  = \\overrightarrow {{n_\\beta }}  = \\left( {1;2;2} \\right)\\) và \\( - 1 \\ne  - 3\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( \\alpha  \\right)\\parallel \\left( \\beta  \\right)\\) và chiều cao căn phòng là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) và \\(\\left( \\beta  \\right)\\).</p>\r\n<p>Lấy \\(A\\left( {1;0;0} \\right) \\in \\left( \\alpha  \\right)\\). Chiều cao căn phòng là \\(d\\left( {\\alpha ,\\beta } \\right) = d\\left( {A,\\beta } \\right) = \\frac{{\\left| {1 + 2 \\cdot 0 + 2 \\cdot 0 - 3} \\right|}}{{\\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\frac{2}{3} &lt; 1\\) nên chiều cao của căn phòng không đủ để kê tủ có chiều cao bằng 1.</p>"},{"article_id":174495,"cat_id":1959,"publish_time":1728287611,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_16-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.35 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.35 trang 36 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-535-trang-36-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng \r\n(Delta :left{ begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + 2t\\z = 3 - tend{array} right.) và đi qua điểm (Aleft( {2; - 1;1} right)) là\r\nA. (overrightarrow {{n_1}}  = left( {3; - 1;1} right)).\t\t\tB. (overrightarrow {{n_2}}  = left( {3;1; - 1} right)).\t\t\t\r\nC. (overrightarrow {{n_3}}  = left( {1; - 1;3} right)).\t\t\tD. (overrightarrow {{n_4}}  = left( { - 1;3;1} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1;2; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\(B\\left( {1; - 2;3} \\right)\\). Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 1; - 1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng \\(\\Delta \\) và đi qua A là tích có hướng \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {AB} } \\right]\\). Ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {AB} } \\right] = \\left( {3; - 1;1} \\right)\\). Vậy ta chọn đáp án A.</p>"},{"article_id":174496,"cat_id":1959,"publish_time":1728287643,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_17-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.36 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.36 trang 37 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-536-trang-37-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm (Aleft( { - 2;1;0} right)) đến mặt phẳng (left( P right):2x - 2y + z - 3 = 0) bằng \r\nA. 2.\t\t\tB. 6.\t\t\tC. 3.\t\t\tD. 9.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là \\(d\\left( {A,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2 \\cdot \\left( { - 2} \\right) - 2 \\cdot 1 - 3} \\right|}}{{\\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \\frac{9}{3} = 3\\).</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án C.</p>"},{"article_id":174497,"cat_id":1959,"publish_time":1728287686,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_18-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.37 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.37 trang 37 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-537-trang-37-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:\r\n(Delta :left{ begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + 2tend{array} right.) và (Delta ':frac{{x - 2}}{2} = frac{{y - 1}}{1} = frac{{z + 3}}{{ - 3}}).\r\nVị trí tương đối của hai đường thẳng này là\r\nA. chéo nhau.\t\tB. cắt nhau.\t\tC. song song.\t\tD. trùng nhau.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \\(\\Delta ,\\Delta '\\) lần lượt là \\(\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {u'} \\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 1;1;2} \\right),\\overrightarrow {u'}  = \\left( {2;1; - 3} \\right)\\). Hai vectơ này không cùng phương.</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta ,\\Delta '\\) đi qua \\(A\\left( {1;2; - 1} \\right)\\) và \\(\\Delta ,\\Delta '\\) đi qua \\(B\\left( {2;1; - 3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {1; - 1; - 2} \\right)\\); \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {u'} } \\right] = \\left( { - 5;1; - 3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Xét \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {u'} } \\right]\\overrightarrow { \\cdot AB}  = 0\\) suy ra hai đường thẳng \\(\\Delta ,\\Delta '\\) cắt nhau.</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án B.</p>"},{"article_id":174498,"cat_id":1959,"publish_time":1728287704,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_19-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.38 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.38 trang 37 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-538-trang-37-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \\(A\\left( {2;3; - 1} \\right),B\\left( { - 1;2;0} \\right)\\) và \\(C\\left( {3;1;2} \\right)\\).\r\na) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).\r\nb) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 3; - 1;1} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {AC}  = \\left( {1; - 2;3} \\right)\\). Suy ra \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( { - 1;10;7} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng (ABC) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right]\\) làm vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (ABC) là</p>\r\n<p align=\"center\">\\( - \\left( {x + 1} \\right) + 10\\left( {y - 2} \\right) + 7z = 0 \\Leftrightarrow  - x + 10y + 7z - 21 = 0\\).</p>\r\n<p>b) Vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB là \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 3; - 1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình tham số của đường thẳng AB là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 - 3t\\\\y = 3 - t\\\\z =  - 1 + t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Phương trình chính tắc của AB là \\(\\frac{{x + 1}}{{ - 3}} = \\frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \\frac{z}{1}\\).</p>"},{"article_id":174499,"cat_id":1959,"publish_time":1728287715,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_20-0_1.PNG","title":"Giải bài 5.39 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.39 trang 37 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-539-trang-37-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:\r\n\\(\\Delta :\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 + 3t\\\\y = 1 + 2t\\\\z =  - 1 + t\\end{array} \\right.\\) và \\(\\Delta ':\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + s\\\\y = 2 - s\\\\z = 3 + 2s\\end{array} \\right.\\)\r\na) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \\(\\Delta \\) và \\(\\Delta '\\).\r\nb) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng \\(\\Delta \\) và \\(\\Delta '\\).\r\nc) Viết phương trình đường thẳng d đi qua \\(A\\left( { - 3;2;2} \\right)\\) và song song với đường thẳng \\(\\Delta \\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \\(\\Delta \\) và \\(\\Delta '\\) lần lượt là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {3;2;1} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {u'}  = \\left( {1; - 1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta thấy hai vectơ chỉ phương này không cùng phương.</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua điểm \\(M\\left( {2;1; - 1} \\right)\\), \\(\\Delta '\\) đi qua điểm \\(N\\left( { - 1;2;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {MN}  = \\left( { - 3;1;4} \\right)\\); \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {u'} } \\right] = \\left( {5; - 5; - 5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Xét \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {u'} } \\right] \\cdot \\overrightarrow {MN}  =  - 40 \\ne 0\\). Suy ra hai đường thẳng \\(\\Delta \\) và \\(\\Delta '\\)chéo nhau.</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\cos \\left( {\\Delta ,\\Delta '} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u  \\cdot \\overrightarrow {u'} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow {u'} } \\right|}} = \\frac{{\\left| {3 - 2 + 2} \\right|}}{{\\sqrt {9 + 4 + 1}  \\cdot \\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \\frac{3}{{2\\sqrt {21} }} = \\frac{{\\sqrt {21} }}{{14}}\\).</p>\r\n<p>c) Do d song song với \\(\\Delta \\) nên nó có cùng vectơ chỉ phương với \\(\\Delta \\).</p>\r\n<p>Suy ra một vectơ chỉ phương của d là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {3;2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình đường thẳng d là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 3 + 3t\\\\y = 2 + 2t\\\\z = 2 + t\\end{array} \\right.\\).</p>"},{"article_id":174500,"cat_id":1959,"publish_time":1728287737,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_21-0.PNG","title":"Giải bài 5.40 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.40 trang 37 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-540-trang-37-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho điểm \\(I\\left( {3; - 2; - 1} \\right)\\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x - 2y - 2z + 3 = 0\\).\r\na) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P).\r\nb) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P).\r\nc) Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và d vuông góc với (P).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là \\(d\\left( {I,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {3 + 2 \\cdot 2 + 2 \\cdot 1 + 3} \\right|}}{{\\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \\frac{{12}}{3} = 4\\).</p>\r\n<p>b) Do mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là \\(R = d\\left( {I,\\left( P \\right)} \\right) = 4\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt cầu (S) là \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {\\left( {z + 1} \\right)^2} = 16\\).</p>\r\n<p>c) Do d vuông góc với (P) nên vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) là</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 2; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình đường thẳng d là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + t\\\\y =  - 2 - 2t\\\\z =  - 1 - 2t\\end{array} \\right.\\).</p>"},{"article_id":174501,"cat_id":1959,"publish_time":1728287766,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_22-0.PNG","title":"Giải bài 5.41 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.41 trang 37 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-541-trang-37-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (Delta :left{ begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z =  - 1 - 2tend{array} right.) và mặt phẳng (left( P right):2x + y + z + 5 = 0).\r\na) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (P).\r\nb) Viết phương trình đường thẳng (Delta ') nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt (Delta ) và vuông góc với (Delta ).\r\nc) Tính góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (P).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có I thuộc \\(\\Delta \\) nên I\\(\\left( {1 + t;2t; - 1 - 2t} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác I thuộc (P) suy ra \\(2\\left( {1 + t} \\right) + 2t - 1 - 2t + 5 = 0 \\Leftrightarrow 2t + 6 = 0 \\Leftrightarrow t =  - 3\\).</p>\r\n<p>Do đó, I\\(\\left( { - 2; - 6;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Vectơ pháp tuyến của (P) là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2;1;1} \\right)\\). Vectơ chỉ phương của \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1;2; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta '\\) nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với \\(\\Delta \\) nên \\(\\Delta '\\) có một vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {u'}  = \\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow n } \\right] = \\left( {4; - 5; - 3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác có đường thẳng \\(\\Delta '\\) nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt \\(\\Delta \\) nên I thuộc \\(\\Delta '\\).</p>\r\n<p>Phương trình đường thẳng \\(\\Delta '\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\\\y =  - 6 - 5t\\\\z = 5 - 3t\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u  \\cdot \\overrightarrow n } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow n } \\right|}} = \\frac{{\\left| {2 + 2 - 1} \\right|}}{{\\sqrt 9  \\cdot \\sqrt 6 }} = \\frac{2}{{3\\sqrt 6 }}\\) suy ra \\(\\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) \\approx {15,8^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174502,"cat_id":1959,"publish_time":1728287784,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_23-0.PNG","title":"Giải bài 5.42 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.42 trang 38 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-542-trang-38-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \\(\\Delta :\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + 2t\\\\y =  - 2 + t\\\\z = 1 + 3t\\end{array} \\right.\\) và \\(\\Delta ':\\frac{{x + 2}}{3} = \\frac{{y - 3}}{2} = \\frac{{z - 1}}{{ - 2}}\\).\r\na) Chứng minh rằng hai đường thẳng \\(\\Delta \\) và \\(\\Delta '\\) chéo nhau.\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \\(\\Delta \\) và song song với đường thẳng \\(\\Delta '\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Vectơ chỉ phương của \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2;1;3} \\right)\\), vectơ chỉ phương của \\(\\Delta '\\) là \\(\\overrightarrow {u'}  = \\left( {3;2; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\(A\\left( {3; - 2;1} \\right)\\), đường thẳng \\(\\Delta '\\) đi qua \\(B\\left( { - 2;3;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {u'} } \\right] = \\left( { - 8;14;1} \\right)\\); \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 5;5;0} \\right)\\). Suy ra \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {u'} } \\right] \\cdot \\overrightarrow {AB}  = 110 \\ne 0\\).</p>\r\n<p>Do đó \\(\\Delta \\) và \\(\\Delta '\\) chéo nhau.</p>\r\n<p>b) Do (P) chứa \\(\\Delta \\) và song song với đường thẳng \\(\\Delta '\\) nên (P) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow {u'} } \\right] = \\left( { - 8;14;1} \\right)\\) và (P) chứa điểm \\(A\\left( {3; - 2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng của (P) là \\( - 8\\left( {x - 3} \\right) + 14\\left( {y + 2} \\right) + 1\\left( {z - 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - 8x + 14y + z + 51 = 0\\).</p>"},{"article_id":174503,"cat_id":1959,"publish_time":1728287805,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_24-0.PNG","title":"Giải bài 5.43 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.43 trang 38 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-543-trang-38-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  (left( S right):{left( {x - 2} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z - 3} right)^2} = 9) và điểm (Aleft( {2; - 1;1} right)).\r\na) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).\r\nb) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).\r\nc) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Mặt cầu (S) có tâm \\(I\\left( {2; - 1;3} \\right)\\), bán kính \\(R = 3\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(IA = \\sqrt {{2^2}}  = 2 &lt; 3 = R\\). Suy ra điểm A nằm trong mặt cầu (S).</p>\r\n<p>c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P) thì \\(IH \\le IA\\) nên IH lớn nhất khi H trùng với A.</p>\r\n<p>Để khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất thì IH lớn nhất.</p>\r\n<p>Khi đó A là hình chiếu của I trên (P).</p>\r\n<p>Suy ra mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {IA}  = \\left( {0;0; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (P) là \\( - 2\\left( {z - 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow z - 1 = 0\\).</p>"},{"article_id":174504,"cat_id":1959,"publish_time":1728287824,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_25-0.PNG","title":"Giải bài 5.44 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.44 trang 38 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-544-trang-38-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.\r\na) \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 8z + 5 = 0\\).\r\nb) \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6z + 17 = 0\\).\r\nc) \\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 5 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình \\({x^2} + {y^2} + {c^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\).</p>\r\n<p>(S) có tâm \\(\\left( {a;b;c} \\right)\\) và bán kính \\(\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \\) với \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d &gt; 0\\).</p>\r\n<p>Xét phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 8z + 5 = 0\\) ta có \\(a =  - 3,b = 0,c = 4,d = 5\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 9 + 16 - 5 = 20 &gt; 0\\).</p>\r\n<p>Do đó phương trình trên xác định một mặt cầu có tâm \\(I\\left( { - 3;0;4} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt {20}  = 2\\sqrt 5 \\).</p>\r\n<p>b) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình \\({x^2} + {y^2} + {c^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\).</p>\r\n<p>(S) có tâm \\(\\left( {a;b;c} \\right)\\) và bán kính \\(\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \\) với \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d &gt; 0\\).</p>\r\n<p>Xét phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6z + 17 = 0\\) ta có \\(a = 2,b = 0,c =  - 3,d = 17\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 9 - 17 =  - 4 &lt; 0\\).</p>\r\n<p>Do đó phương trình trên không phải là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p>c) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình \\({x^2} + {y^2} + {c^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\).</p>\r\n<p>(S) có tâm \\(\\left( {a;b;c} \\right)\\) và bán kính \\(\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \\) với \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d &gt; 0\\).</p>\r\n<p>Xét phương trình \\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 5 = 0 \\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \\frac{5}{2} = 0\\) ta có \\(a = 0,b = 0,c = 0,d =  - \\frac{5}{2}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \\frac{5}{2} &gt; 0\\).</p>\r\n<p>Do đó phương trình trên xác định một mặt cầu có tâm \\(I\\left( {0;0;0} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt {\\frac{5}{2}} \\).</p>"},{"article_id":174505,"cat_id":1959,"publish_time":1728287838,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_26-0.PNG","title":"Giải bài 5.45 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.45 trang 38 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-545-trang-38-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right):2x + 2y - z + 8 = 0\\) và \\(\\left( Q \\right):2x + 2y - z + 2 = 0\\).\r\na) Chứng minh rằng \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\).\r\nb) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\left( {2;2; - 1} \\right)\\), một vectơ pháp tuyến của (Q) là \\(\\overrightarrow {{n_Q}}  = \\left( {2;2; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\overrightarrow {{n_Q}} \\). Mà \\(8 \\ne 2\\) do đó \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Ta có điểm \\(A\\left( {0;0;8} \\right)\\) thuộc mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) là \\(d\\left( {A,\\left( Q \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| { - 8 + 2} \\right|}}{{\\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 2\\).</p>"},{"article_id":174506,"cat_id":1959,"publish_time":1728287854,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_27-0.PNG","title":"Giải bài 5.46 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.46 trang 38 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-546-trang-38-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho điểm \\(P\\left( {2;3;5} \\right)\\). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P trên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Do A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P trên các trục Ox, Oy, Oz nên \\(A\\left( {2;0;0} \\right)\\), \\(B\\left( {0;3;0} \\right)\\) và \\(C\\left( {0;0;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn của là \\(\\frac{x}{2} + \\frac{y}{3} + \\frac{z}{5} = 1\\).</p>"},{"article_id":174507,"cat_id":1959,"publish_time":1728287884,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_28-0.PNG","title":"Giải bài 5.47 trang 39 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.47 trang 39 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-547-trang-39-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (Aleft( {2; - 1; - 3} right)); (Bleft( {3;0; - 1} right)) và mặt phẳng (left( P right):x - 3y - z - 5 = 0). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {1;1;2} \\right)\\). Vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right):x - 3y - z - 5 = 0\\) là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 3; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P) một vectơ pháp tuyến của (Q) là \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow n } \\right] = \\left( {5;3; - 4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (Q) là \\(5\\left( {x - 3} \\right) + 3y - 4\\left( {z + 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 5x + 3y - 4z - 19 = 0\\).</p>"},{"article_id":174509,"cat_id":1959,"publish_time":1728287906,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_29-0.PNG","title":"Giải bài 5.48 trang 39 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.48 trang 39 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-548-trang-39-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, mặt sàn nằm ngang của một ngôi nhà thuộc mặt phẳng (Oxy), một mái của ngôi nhà thuộc mặt phẳng (left( alpha  right):x + y + z - 1 = 0). Hỏi mái nhà có độ dốc bằng bao nhiêu độ?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Độ dốc của mái nhà là góc tạo bởi mặt sàn và mái nhà.</p>\r\n<p>(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow k  = \\left( {0;0;1} \\right)\\), \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) có vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\left( \\alpha  \\right),\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow n  \\cdot \\overrightarrow k } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow n } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow k } \\right|}} = \\frac{1}{{\\sqrt 3 }}\\). Suy ra \\(\\left( {\\left( \\alpha  \\right),\\left( {Oxy} \\right)} \\right) \\approx {54,7^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174510,"cat_id":1959,"publish_time":1728287935,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_30-0.PNG","title":"Giải bài 5.49 trang 39 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.49 trang 39 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-549-trang-39-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, trong khoảng thời gian từ 0 đến 1, một vật thẻ chuyển động sao cho tại mỗi thời điểm \\(t \\in \\left[ {0;1} \\right]\\), vật thể đó ở vị trí \\(M\\left( {\\frac{1}{{\\sqrt 2 }}\\sin t;\\sqrt {\\sqrt 2 \\sin \\cos t} ;\\frac{1}{{\\sqrt 2 }}\\sin t - \\cos t} \\right)\\). Hỏi trong quá trình chuyển động nói trên, vật thể có luôn thuộc mặt cầu \\(\\left( S \\right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 1 = 0\\) hay không?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Xét \\(M\\left( {\\frac{1}{{\\sqrt 2 }}\\sin t;\\sqrt {\\sqrt 2 \\sin \\cos t} ;\\frac{1}{{\\sqrt 2 }}\\sin t - \\cos t} \\right)\\) ta có</p>\r\n<p>\\({\\left( {{x_M}} \\right)^2} + {\\left( {{y_M}} \\right)^2} + {\\left( {{z_M}} \\right)^2} = {\\left( {\\frac{1}{{\\sqrt 2 }}\\sin t} \\right)^2} + {\\left( {\\sqrt {\\sqrt 2 \\sin \\cos t} } \\right)^2} + {\\left( {\\frac{1}{{\\sqrt 2 }}\\sin t - \\cos t} \\right)^2}\\)</p>\r\n<p>\\( = \\frac{{{{\\sin }^2}t}}{2} + \\sqrt 2 \\sin \\cos t + \\frac{{{{\\sin }^2}t}}{2} - \\sqrt 2 \\sin t\\cos t + {\\cos ^2}t = 1.\\) Suy ra \\(M \\in \\left( S \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy trong quá trình chuyển động nói trên, vật thể luôn thuộc mặt cầu \\(\\left( S \\right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 1 = 0\\).</p>"},{"article_id":174511,"cat_id":1959,"publish_time":1728287957,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_31-0.PNG","title":"Giải bài 5.50 trang 39 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.50 trang 39 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-550-trang-39-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tại một phạm vi hẹp, (Oxy) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm \\(A\\left( {1;1;2} \\right)\\) và \\(B\\left( {1;2;1} \\right)\\). Hỏi đường ống nước trên nghiêng bao nhiêu độ (so với mặt phẳng nằm ngang)?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {0;1; - 1} \\right)\\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là \\(\\overrightarrow k  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Góc nghiêng của đường ống nước là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\sin \\left( {AB,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow k } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow {AB} } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow k } \\right|}} = \\frac{1}{{\\sqrt 2 }} \\Rightarrow \\left( {AB,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = {45^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>Vậy đường ống nước trên nghiêng \\({45^ \\circ }\\) so với mặt nằm ngang.</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"37983","item_id":37983,"title":"Bài 14. Phương trình mặt phẳng - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 14. Phương trình mặt phẳng","is_link":0},{"id":"37984","item_id":37984,"title":"Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian","is_link":0},{"id":"37985","item_id":37985,"title":"Bài 16. Công thức tích góc trong không gian - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 16. Công thức tích góc trong không gian","is_link":0},{"id":"37986","item_id":37986,"title":"Bài 17. Phương trình mặt cầu - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 17. Phương trình mặt cầu","is_link":0},{"id":"37988","item_id":37988,"title":"Bài tập cuối chương 5 - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài tập cuối chương 5","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}