{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2024/0827/screenshot-2024-08-27-094231-0.png","title":"Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu","display_type":3,"cat_id":1784,"cat_title":"SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo","alias":"chuong-5-phuong-trinh-mat-phang-duong-thang-mat-cau","introtext":"","content_box_above":"Giải bài tập Toán lớp 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết đầy đủ các bài trong sgk, giúp học sinh soạn bài tập Toán 12 chương 5","type":"event","page_builder":"","item_id":37703,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":176702,"cat_id":1784,"publish_time":1730693340,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1104/resize_bia-mat-cau-0.png","title":"Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo","label":"Lý thuyết Phương trình mặt cầu","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-mat-cau-toan-12-chan-troi-sang-tao","introtext":"1. Phương trình mặt cầu trong không gian\r\nKhái niệm mặt cầu\r\nTrong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I;R) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I là đường kính mặt cầu.","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":176701,"cat_id":1784,"publish_time":1730692680,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1104/resize_bia-pt-dt-0.png","title":"Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo","label":"Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian-toan-12-chan-troi-sang-tao","introtext":"1. Phương trình đường thẳng trong không gian\r\nVecto chỉ phương của đường thẳng\r\n","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":176696,"cat_id":1784,"publish_time":1730691840,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1104/resize_bia-pt-mp-0.png","title":"Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo","label":"Lý thuyết Phương trình mặt phẳng","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-mat-phang-toan-12-chan-troi-sang-tao","introtext":"1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng\r\nVecto pháp tuyến","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":171826,"cat_id":1784,"publish_time":1724815560,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt1-0_3.png","title":"Giải bài tập 1 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 1 trang 66","alias":"giai-bai-tap-1-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho mặt phẳng \r\n\\(\\left( P \\right):x + 2y + 3z - 1 = 0\\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\)?\r\nA. \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {1;3; - 1} \\right)\\)\r\nB. \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {2;3; - 1} \\right)\\)\r\nC. \\(\\overrightarrow {{n_3}}  = \\left( {1;2; - 1} \\right)\\)\r\nD. \\(\\overrightarrow {{n_4}}  = \\left( {1;2;3} \\right)\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left( {1;2;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là D.</p>"},{"article_id":171818,"cat_id":1784,"publish_time":1724812020,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_muc-1-0_3.png","title":"Giải mục 1 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 1 trang 61, 62, 63","alias":"giai-muc-1-trang-61-62-63-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho mặt cầu (Sleft( {I;R} right)) có tâm (Ileft( {a;b;c} right)) và bán kính (R). Xét một điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thay đổi.\r\na) Tính khoảng cách (IM) theo (x), (y), (z) và (a), (b), (c).\r\nb) Nêu điều kiện cần và đủ của (x), (y), (z) để điểm (Mleft( {x;y;z} right)) nằm trên mặt cầu (Sleft( {I;R} right)).","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171719,"cat_id":1784,"publish_time":1724749080,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_muc-1-0.png","title":"Giải mục 1 trang 44, 45, 46, 47 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 1 trang 44, 45, 46, 47","alias":"giai-muc-1-trang-44-45-46-47-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong không gian \\(Oxyz\\), cho điểm \\({M_0}\\) cố định và vectơ \\(\\vec a\\) khác \\(\\vec 0\\). Có bao nhiêu đường thẳng \\(d\\) đi qua \\({M_0}\\) và song song hoặc trùng với giá của \\(\\vec a\\)?","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171690,"cat_id":1784,"publish_time":1724734020,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_giai-muc-1-0.png","title":"Giải mục 1 trang 32, 33 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 1 trang 32, 33","alias":"giai-muc-1-trang-32-33-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"a) Cho vectơ (vec n) khác (vec 0). Qua một điểm ({M_0}) cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng (left( alpha  right)) vuông góc với giá của vectơ (vec n)?","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171827,"cat_id":1784,"publish_time":1724816640,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt2-0_3.png","title":"Giải bài tập 2 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 2 trang 66","alias":"giai-bai-tap-2-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\)?\r\nA. \\(y = 0\\)\r\nB. \\(x = 0\\)\r\nC. \\(y - z = 0\\)\r\nD. \\(z = 0\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0828/anh-bt2.png\"   /></p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) đi qua gốc toạ độ \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\) và có một vectơ pháp tuyến là \\(\\vec i = \\left( {1;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra phương trình mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) là \\(1\\left( {x - 0} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) + 0\\left( {z - 0} \\right) = 0\\), hay \\(x = 0\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là B.</p>"},{"article_id":171820,"cat_id":1784,"publish_time":1724813820,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_muc-2-0_1.png","title":"Giải mục 2 trang 63, 64 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 2 trang 63, 64","alias":"giai-muc-2-trang-63-64-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - {rm{4 000}}z + {rm{4 099 900}} = 0). Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171735,"cat_id":1784,"publish_time":1724750880,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_muc-2-0.png","title":"Giải mục 2 trang 48, 49, 50, 51, 52, 53 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 2 trang 48, 49, 50, 51, 52, 53","alias":"giai-muc-2-trang-48-49-50-51-52-53-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho ba đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 4 + t\\\\y = 1 + 2t\\\\z = 1 + 3t\\end{array} \\right.\\), \\(d':\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2t'\\\\y = 7 + 4t'\\\\z = 2 + 6t'\\end{array} \\right.\\); \\(d'':\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\\\y = 3 + 4t''\\\\z = 4 + 6t''\\end{array} \\right.\\).\r\na) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của \\(d\\), \\(d'\\) và \\(d''\\).\r\nb) Xét điểm \\(M\\left( {4;1;1} \\right)\\) nằm trên \\(d\\). Điểm \\(M\\) có nằm trên \\(d'\\) hoặc \\(d''\\) không?\r\nc) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luậ","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171691,"cat_id":1784,"publish_time":1724740200,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_giai-muc-2-0.png","title":"Giải mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 2 trang 33, 34","alias":"giai-muc-2-trang-33-34-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha  right)) có cặp vectơ chỉ phương (vec a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)), (vec b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)). Xét vectơ (vec n = left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right)).","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171828,"cat_id":1784,"publish_time":1724816940,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt3-0_3.png","title":"Giải bài tập 3 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 3 trang 66","alias":"giai-bai-tap-3-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {1;2; - 3} \\right)\\) và có vectơ pháp tuyến \\(\\vec n = \\left( {1; - 2;3} \\right)\\)?\r\nA. \\(x - 2y + 3z - 12 = 0\\)\r\nB. \\(x - 2y - 3z + 6 = 0\\)\r\nC. \\(x - 2y + 3z + 12 = 0\\)\r\nD. \\(x - 2y - 3z - 6 = 0\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {1;2; - 3} \\right)\\) và có vectơ pháp tuyến \\(\\vec n = \\left( {1; - 2;3} \\right)\\) là \\(1\\left( {x - 1} \\right) - 2\\left( {y - 2} \\right) + 3\\left( {z + 3} \\right) = 0\\), hay \\(x - 2y + 3z + 12 = 0\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là C.</p>"},{"article_id":171821,"cat_id":1784,"publish_time":1724814300,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt1-0_2.png","title":"Giải bài tập 1 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 1 trang 65","alias":"giai-bai-tap-1-trang-65-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Viết phương trình mặt cầu (left( S right)):\r\na) Có tâm (Ileft( {7; - 3;0} right)), bán kính (R = 8).\r\nb) Có tâm (Mleft( {3;1; - 4} right)) và đi qua điểm (Nleft( {1;0;1} right)).\r\nc) Có đường kính (AB) với (Aleft( {4;6;8} right)) và (Bleft( {2;4;4} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) tâm \\(I\\left( {7; - 3;0} \\right)\\), bán kính \\(R = 8\\) có phương trình là</p>\r\n<p>\\({\\left( {x - 7} \\right)^2} + {\\left( {y + 3} \\right)^2} + {z^2} = 64\\)</p>\r\n<p>b) Mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) có tâm \\(M\\) và đi qua \\(N\\), nên \\(MN\\) là một bán kính của \\(\\left( S \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(MN = \\sqrt {{{\\left( {3 - 1} \\right)}^2} + {{\\left( {1 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( { - 4 - 1} \\right)}^2}}  = \\sqrt {30} \\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) là \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z + 4} \\right)^2} = 30\\).</p>\r\n<p>c) Mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) có đường kính \\(AB\\), suy ra \\(\\left( S \\right)\\) có tâm \\(I\\) là trung điểm của \\(AB\\) và bán kính bằng \\(\\frac{{AB}}{2}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(A\\left( {4;6;8} \\right)\\) và \\(B\\left( {2;4;4} \\right)\\), suy ra \\(I\\left( {3;5;6} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(AB = \\sqrt {{{\\left( {4 - 2} \\right)}^2} + {{\\left( {6 - 4} \\right)}^2} + {{\\left( {8 - 4} \\right)}^2}}  = 2\\sqrt 6 \\), suy ra \\(R = \\frac{{AB}}{2} = \\sqrt 6 \\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) là \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {\\left( {y - 5} \\right)^2} + {\\left( {z - 6} \\right)^2} = 6.\\)</p>"},{"article_id":171743,"cat_id":1784,"publish_time":1724752440,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_muc-3-0.png","title":"Giải mục 3 trang 53, 54, 55, 65, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 3 trang 53, 54, 55, 65, 57, 58, 59","alias":"giai-muc-3-trang-53-54-55-65-57-58-59-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho hai đường thẳng \\(d\\) và \\(d'\\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \\(\\vec a = \\left( {2;1;3} \\right)\\) và \\(\\vec a' = \\left( {3;2; - 8} \\right)\\).","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171694,"cat_id":1784,"publish_time":1724741460,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_giai-muc-3-0.png","title":"Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38  SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 3 trang 35, 36, 37, 38","alias":"giai-muc-3-trang-35-36-37-38-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha  right)) đi qua điểm ({M_0}left( {1;2;3} right)) và nhận (vec n = left( {7;5;2} right)) làm vectơ pháp tuyến. Gọi (Mleft( {x;y;z} right)) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng (vec n.overrightarrow {{M_0}M} ) theo (x,y,z).","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171829,"cat_id":1784,"publish_time":1724817060,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt4-0_3.png","title":"Giải bài tập 4 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 4 trang 66","alias":"giai-bai-tap-4-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho mặt phẳng \\(\\left( P \\right):3x + 4y + 2z + 4 = 0\\) và điểm \\(A\\left( {1; - 2;3} \\right)\\). Khoảng cách từ \\(A\\) đến \\(\\left( P \\right)\\) bằng\r\nA. \\(\\frac{5}{{\\sqrt {29} }}\\)\r\nB. \\(\\frac{5}{{29}}\\)\r\nC. \\(\\frac{{\\sqrt 5 }}{3}\\)\r\nD. \\(\\frac{5}{9}\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách từ điểm \\(A\\left( {1; - 2;3} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right):3x + 4y + 2z + 4 = 0\\) là \\(d\\left( {A,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {3.1 + 4.\\left( { - 2} \\right) + 2.3 + 4} \\right|}}{{\\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \\frac{5}{{\\sqrt {29} }}\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":171822,"cat_id":1784,"publish_time":1724814660,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt2-0_2.png","title":"Giải bài tập 2 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 2 trang 65","alias":"giai-bai-tap-2-trang-65-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.\r\na) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0).\r\nb) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0).\r\nc) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + frac{1}{2} = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\\) là phương trình có dạng \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\) với \\(a =  - \\frac{5}{2}\\), \\(b = \\frac{7}{2}\\), \\(c =  - \\frac{1}{2}\\) và \\(d =  - 1\\).</p>\r\n<p>Ta có \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\\left( { - \\frac{5}{2}} \\right)^2} + {\\left( {\\frac{7}{2}} \\right)^2} + {\\left( { - \\frac{1}{2}} \\right)^2} + 1 = \\frac{{79}}{4} &gt; 0.\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\\) là phương trình mặt cầu có tâm \\(I\\left( {\\frac{{ - 5}}{2};\\frac{7}{2};\\frac{{ - 1}}{2}} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\frac{{\\sqrt {79} }}{2}\\).</p>\r\n<p>b) Phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\\) là phương trình có dạng \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\) với \\(a =  - 2\\), \\(b =  - 3\\), \\(c = 1\\) và \\(d = 100\\).</p>\r\n<p>Ta có \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\\left( { - 2} \\right)^2} + {\\left( { - 3} \\right)^2} + {1^2} - 100 =  - 86 &lt; 0.\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\\) không phải là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p>c) Phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \\frac{1}{2} = 0\\) là phương trình có dạng \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\\) với \\(a = b = c = \\frac{1}{2}\\) và \\(d = \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^2} + {\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^2} + {\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^2} - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4} &gt; 0.\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \\frac{1}{2} = 0\\) là phương trình mặt cầu có tâm \\(I\\left( {\\frac{1}{2};\\frac{1}{2};\\frac{1}{2}} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt {\\frac{1}{4}}  = \\frac{1}{2}\\).</p>"},{"article_id":171799,"cat_id":1784,"publish_time":1724807640,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt1-0.png","title":"Giải bài tập 1 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 1 trang 59","alias":"giai-bai-tap-1-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Viết phương trình tham số của đường thẳng \\(a\\) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) Đường thẳng \\(a\\) đi qua điểm \\(M\\left( {0; - 2; - 3} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {1; - 5;0} \\right)\\)\r\nb) Đường thẳng \\(a\\) đi qua hai điểm \\(A\\left( {0;0;2} \\right)\\) và \\(B\\left( {3; - 2;5} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình tham số của đường thẳng \\(a\\) đi qua điểm \\(M\\left( {0; - 2; - 3} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {1; - 5;0} \\right)\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 0 + 1t\\\\y =  - 2 - 5t\\\\z =  - 3 + 0t\\end{array} \\right.\\) hay \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = t\\\\y =  - 2 - 5t\\\\z =  - 3\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\(a\\) đi qua hai điểm \\(A\\left( {0;0;2} \\right)\\) và \\(B\\left( {3; - 2;5} \\right)\\) nên nó nhận \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {3; - 2;3} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Suy ra phương trình tham số của đường thẳng \\(a\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 0 + 3t\\\\y = 0 - 2t\\\\z = 2 + 3t\\end{array} \\right.\\) hay \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3t\\\\y =  - 2t\\\\z = 2 + 3t\\end{array} \\right.\\)</p>"},{"article_id":171696,"cat_id":1784,"publish_time":1724743320,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_giai-muc-4-0.png","title":"Giải mục 4 trang 38, 39, 40 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 4 trang 38, 39, 40","alias":"giai-muc-4-trang-38-39-40-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho hai mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\), \\(\\left( \\beta  \\right)\\) có phương trình là \\(\\left( \\alpha  \\right):x - 2y + 3z + 1 = 0\\) và \\(\\left( \\beta  \\right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\\).\r\na) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên.\r\nb) Cho điểm \\(M\\left( { - 1;0;0} \\right)\\). Hãy cho biết các mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\), \\(\\left( \\beta  \\right)\\) có đi qua \\(M\\) không.\r\nc) Giải thích tại sao \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) song song với \\(\\left( \\beta  \\right)\\).\r\n","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171830,"cat_id":1784,"publish_time":1724817240,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt5-0_3.png","title":"Giải bài tập 5 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 5 trang 66","alias":"giai-bai-tap-5-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho ba mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right):x + y + 2z + 1 = 0\\), \\(\\left( \\beta  \\right):x + y - z + 2 = 0\\) và \\(\\left( \\gamma  \\right):x - y + 5 = 0\\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?\r\nA. \\(\\left( \\alpha  \\right) \\bot \\left( \\beta  \\right)\\)\r\nB. \\(\\left( \\gamma  \\right) \\bot \\left( \\beta  \\right)\\)\r\nC. \\(\\left( \\alpha  \\right)\\parallel \\left( \\beta  \\right)\\)\r\nD. \\(\\left( \\alpha  \\right) \\bot \\left( \\gamma  \\right)\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\), \\(\\left( \\beta  \\right)\\), \\(\\left( \\gamma  \\right)\\) lần lượt là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {1;1;2} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {1;1; - 1} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {{n_3}}  = \\left( {1; - 1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{n_1}} .\\overrightarrow {{n_2}}  = 1.1 + 1.1 + 2.\\left( { - 1} \\right) = 0\\), suy ra \\(\\left( \\alpha  \\right) \\bot \\left( \\beta  \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{n_2}} .\\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + 1.\\left( { - 1} \\right) + \\left( { - 1} \\right).0 = 0\\), suy ra \\(\\left( \\gamma  \\right) \\bot \\left( \\beta  \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\frac{1}{1} \\ne \\frac{2}{{ - 1}}\\), suy ra \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) và \\(\\left( \\beta  \\right)\\) không song song với nhau.</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{n_1}} .\\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + 1.\\left( { - 1} \\right) + 2.0 = 0\\), suy ra \\(\\left( \\alpha  \\right) \\bot \\left( \\gamma  \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án cần chọn là C.</p>"},{"article_id":171823,"cat_id":1784,"publish_time":1724814900,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt3-0_2.png","title":"Giải bài tập 3 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 3 trang 65","alias":"giai-bai-tap-3-trang-65-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho hai điểm (Aleft( {1;0;0} right)) và (Bleft( {5;0;0} right)). Chứng minh rằng nếu điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thoả mãn (overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB}  = 0) thì (M) thuộc một mặt cầu (left( S right)). Tìm tâm và bán kính của (left( S right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(\\overrightarrow {MA}  = \\left( {1 - x;y;z} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {MB}  = \\left( {5 - x;y;z} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\overrightarrow {MA} .\\overrightarrow {MB}  = 0\\) nên</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}\\left( {1 - x} \\right)\\left( {5 - x} \\right) + {y^2} + {z^2} = 0\\\\ \\Rightarrow {x^2} - 6x + 5 + {y^2} + {z^2} = 0\\\\ \\Rightarrow \\left( {{x^2} - 6x + 9} \\right) + {y^2} + {z^2} = 4\\\\ \\Rightarrow {\\left( {x - 3} \\right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy điểm \\(M\\left( {x;y;z} \\right)\\) thuộc mặt cầu \\(S\\) có tâm \\(I\\left( {3;0;0} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt 4  = 2\\).</p>"},{"article_id":171800,"cat_id":1784,"publish_time":1724808300,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt2-0.png","title":"Giải bài tập 2 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 2 trang 59","alias":"giai-bai-tap-2-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \\(b\\) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) Đường thẳng \\(b\\) đi qua điểm \\(M\\left( {1; - 2; - 3} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {5; - 3;2} \\right)\\).\r\nb) Đường thẳng \\(b\\) đi qua hai điểm \\(A\\left( {4;7;1} \\right)\\) và \\(B\\left( {6;1;5} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình chính tắc của đường thẳng \\(b\\) đi qua điểm \\(M\\left( {1; - 2; - 3} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {5; - 3;2} \\right)\\) là \\(\\frac{{x - 1}}{5} = \\frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \\frac{{z + 3}}{2}\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\(b\\) đi qua hai điểm \\(A\\left( {4;7;1} \\right)\\) và \\(B\\left( {6;1;5} \\right)\\) nên sẽ nhận \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {2; - 6; - 4} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương. Ta cũng có vectơ \\(\\vec b = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AB}  = \\left( {1; - 3; - 2} \\right)\\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(b\\).</p>\r\n<p>Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng \\(b\\) là \\(\\frac{{x - 4}}{1} = \\frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \\frac{{z - 1}}{{ - 2}}\\).</p>"},{"article_id":171697,"cat_id":1784,"publish_time":1724744460,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_giai-muc-5-0.png","title":"Giải mục 5 trang 41, 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 5 trang 41, 42","alias":"giai-muc-5-trang-41-42-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong không gian \\(Oxyz\\), cho mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) có phương trình \\(Ax + By + Cz + D = 0\\) và điểm \\({M_0}\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\). Gọi \\({M_1}\\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \\right)\\) là hình chiếu vuông góc của \\({M_0}\\) trên \\(\\left( \\alpha  \\right)\\)(hình dưới đây).","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":171831,"cat_id":1784,"publish_time":1724817540,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt6-0_1.png","title":"Giải bài tập 6 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 6 trang 66","alias":"giai-bai-tap-6-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{{z + 3}}{1}\\). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của \\(d\\)?\r\nA. \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {2;1; - 3} \\right)\\)\r\nB. \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( { - 2; - 1;3} \\right)\\)\r\nC. \\(\\overrightarrow {{u_3}}  = \\left( { - 1;2;1} \\right)\\)\r\nD. \\(\\overrightarrow {{u_4}}  = \\left( { - 1;2; - 1} \\right)\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có phương trình của đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{{z + 3}}{1}\\), nên đường thẳng \\(d\\)  có một vectơ chỉ phương là \\(\\vec a = \\left( { - 1;2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là C.</p>"},{"article_id":171824,"cat_id":1784,"publish_time":1724815080,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt4-0_2.png","title":"Giải bài tập 4 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 4 trang 65","alias":"giai-bai-tap-4-trang-65-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiẻm đại dương có dạng hình cầu trong không gian (Oxyz). Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là (Ileft( {360;200;400} right)) và bán kính (r = 2{rm{ m}}). Viết phương trình mặt cầu.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt cầu tâm \\(I\\left( {360;200;400} \\right)\\), bán kính \\(R = 2\\) là</p>\r\n<p>\\({\\left( {x - 360} \\right)^2} + {\\left( {y - 200} \\right)^2} + {\\left( {z - 400} \\right)^2} = 4\\)</p>"},{"article_id":171801,"cat_id":1784,"publish_time":1724808540,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt3-0.png","title":"Giải bài tập 3 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 3 trang 59","alias":"giai-bai-tap-3-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho đường thẳng \\(d\\) có phương trình chính tắc \\(\\frac{{x - 3}}{1} = \\frac{{y + 3}}{3} = \\frac{{z - 2}}{7}\\).\r\na) Tìm một vectơ chỉ phương của \\(d\\) và một điểm trên \\(d\\).\r\nb) Viết phương trình tham số của \\(d\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\(d\\) có phương trình chính tắc \\(\\frac{{x - 3}}{1} = \\frac{{y + 3}}{3} = \\frac{{z - 2}}{7}\\), nên nó đi qua điểm \\(M\\left( {3; - 3;2} \\right)\\) và nhận \\(\\vec a = \\left( {1;3;7} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>b) Từ câu a, ta suy ra phương trình tham số của đường thẳng \\(d\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + t\\\\y =  - 3 + 3t\\\\z = 2 + 7t\\end{array} \\right.\\).</p>"},{"article_id":171698,"cat_id":1784,"publish_time":1724745480,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt1-0.png","title":"Giải bài tập 1 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 1 trang 42","alias":"giai-bai-tap-1-trang-42-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Viết phương trình của mặt phẳng:\r\na) Đi qua điểm (Aleft( {2;0;0} right)) và nhận (vec n = left( {2;1; - 1} right)) làm vectơ pháp tuyến.\r\nb) Đi qua điểm (Bleft( {1;2;3} right)) và song song với giá của mỗi vectơ (vec u = left( {1;2;3} right)) và (vec v = left( { - 2;0;1} right)).\r\nc) Đi qua ba điểm (Aleft( {1;0;0} right)), (Bleft( {0;2;0} right)) và (Cleft( {0;0;4} right)).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \\(A\\left( {2;0;0} \\right)\\) và nhận \\(\\vec n = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến là \\(2\\left( {x - 2} \\right) + 1\\left( {y - 0} \\right) - 1\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 2x + y - z - 4 = 0.\\)</p>\r\n<p>b) Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) đi qua điểm \\(B\\left( {1;2;3} \\right)\\) và song song với giá của mỗi vectơ \\(\\vec u = \\left( {1;2;3} \\right)\\) và \\(\\vec v = \\left( { - 2;0;1} \\right)\\). Do \\(\\left( P \\right)\\) song song với giá của \\(\\vec u\\) và \\(\\vec v\\) nên \\(\\vec u\\) và \\(\\vec v\\) là một cặp vectơ chỉ phương của \\(\\left( P \\right)\\). Do đó, một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p>\\(\\vec n = \\left[ {\\vec u,\\vec v} \\right] = \\left( {2.1 - 3.0;3.\\left( { - 2} \\right) - 1.1;1.0 - 2.\\left( { - 2} \\right)} \\right) = \\left( {2; - 7;4} \\right).\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) đi qua \\(B\\left( {1;2;3} \\right)\\) và có một vectơ pháp tuyến là \\(\\vec n = \\left( {2; - 7;4} \\right)\\) là \\(2\\left( {x - 1} \\right) - 7\\left( {y - 2} \\right) + 4\\left( {z - 3} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 2x - 7y + 4z = 0.\\)</p>"},{"article_id":171832,"cat_id":1784,"publish_time":1724817780,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt7-0_1.png","title":"Giải bài tập 7 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 7 trang 66","alias":"giai-bai-tap-7-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\\\y = 3t\\\\z =  - 2 + t\\end{array} \\right.\\)?\r\nA. \\(\\frac{{x + 1}}{2} = \\frac{y}{3} = \\frac{{z - 2}}{1}\\)\r\nB. \\(\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{y}{3} = \\frac{{z + 2}}{1}\\)\r\nC. \\(\\frac{{x + 1}}{2} = \\frac{y}{3} = \\frac{{z - 2}}{{ - 2}}\\)\r\nD. \\(\\frac{{x - 1}}{1} = \\frac{y}{3} = \\frac{{z + 2}}{{ - 2}}\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Dựa vào phương trình tham số, đường thẳng \\(d\\) đi qua điểm \\(M\\left( {1;0; - 2} \\right)\\) và có một vectơ chỉ phương là \\(\\vec a = \\left( {2;3;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng \\(d\\) là \\(\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{y}{3} = \\frac{{z + 2}}{1}\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là B.</p>"},{"article_id":171825,"cat_id":1784,"publish_time":1724815260,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt5-0_2.png","title":"Giải bài tập 5 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 5 trang 65","alias":"giai-bai-tap-5-trang-65-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hoá lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là (left( S right):{left( {x - 6} right)^2} + {left( {y - 6} right)^2} + {left( {z - 6} right)^2} = 25). Phương trình mặt phẳng chứa nắp là (left( P right):z = 10).\r\na) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa.\r\nb) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng của nắp.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình bề mặt bồn chứa là \\(\\left( S \\right):{\\left( {x - 6} \\right)^2} + {\\left( {y - 6} \\right)^2} + {\\left( {z - 6} \\right)^2} = 25\\), nên bồn chứa là một hình cầu có tâm \\(I\\left( {6;6;6} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt {25}  = 5\\).</p>\r\n<p>b) Khoảng cách từ tâm bồn chứa \\(I\\left( {6;6;6} \\right)\\) đến mặt phẳng chứa nắp \\(\\left( P \\right):z - 10 = 0\\) là \\(d = \\frac{{\\left| {0.6 + 0.6 + 1.6 - 10} \\right|}}{{\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 4\\).</p>"},{"article_id":171803,"cat_id":1784,"publish_time":1724808780,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt4-0.png","title":"Giải bài tập 4 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 4 trang 59","alias":"giai-bai-tap-4-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian (Oxyz), một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là (Mleft( {3;3;1,5} right)), (Nleft( {3;4;1,5} right)). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng (MN)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường ngắm bắn \\(d\\) của xạ thủ đi qua hai điểm \\(M\\left( {3;3;1,5} \\right)\\) và \\(N\\left( {3;4;1,5} \\right)\\) nên nó nhận \\(\\overrightarrow {MN}  = \\left( {0;1;0} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Suy ra phương trình tham số của đường ngắm bắn \\(d\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + 0t\\\\y = 3 + 1t\\\\z = 1,5 + 0t\\end{array} \\right.\\) hay \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3\\\\y = 3 + t\\\\z = 1,5\\end{array} \\right.\\)</p>"},{"article_id":171699,"cat_id":1784,"publish_time":1724745960,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt2-0.png","title":"Giải bài tập 2 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 2 trang 42","alias":"giai-bai-tap-2-trang-42-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ \\(\\left( {Oxy} \\right)\\), \\(\\left( {Oyz} \\right)\\), \\(\\left( {Oxz} \\right)\\).\r\nb) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \\(A\\left( { - 1;9;8} \\right)\\) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ trên.\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Các mặt phẳng toạ độ \\(\\left( {Oxy} \\right)\\), \\(\\left( {Oyz} \\right)\\), \\(\\left( {Oxz} \\right)\\) đều đi qua điểm \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p align=\"center\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0827/bt2.png\"   /> </p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\vec k = \\left( {0;0;1} \\right)\\) nên phương trình mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) là \\(0\\left( {x - 0} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) + 1\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow z = 0\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\vec i = \\left( {1;0;0} \\right)\\) nên phương trình mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) là \\(1\\left( {x - 0} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) + 0\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x = 0\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {Oxz} \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\vec j = \\left( {0;1;0} \\right)\\) nên phương trình mặt phẳng \\(\\left( {Oxz} \\right)\\) là \\(0\\left( {x - 0} \\right) + 1\\left( {y - 0} \\right) + 0\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow y = 0\\)</p>\r\n<p>b) Gọi \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\), \\(\\left( R \\right)\\) đi qua \\(A\\left( { - 1;9;8} \\right)\\) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ \\(\\left( {Oxy} \\right)\\), \\(\\left( {Oyz} \\right)\\), \\(\\left( {Oxz} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) song song với \\(\\left( {Oxy} \\right)\\), nên \\(\\left( P \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\vec k = \\left( {0;0;1} \\right)\\). Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là \\(0\\left( {x + 1} \\right) + 0\\left( {y - 9} \\right) + 1\\left( {z - 8} \\right) = 0 \\Leftrightarrow z - 8 = 0\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) song song với \\(\\left( {Oyz} \\right)\\), nên \\(\\left( Q \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\vec i = \\left( {1;0;0} \\right)\\). Phương trình mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) là \\(1\\left( {x + 1} \\right) + 0\\left( {y - 9} \\right) + 0\\left( {z - 8} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x + 1 = 0\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) song song với \\(\\left( {Oxy} \\right)\\), nên \\(\\left( R \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\vec j = \\left( {0;1;0} \\right)\\). Phương trình mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) là \\(0\\left( {x + 1} \\right) + 1\\left( {y - 9} \\right) + 0\\left( {z - 8} \\right) = 0 \\Leftrightarrow y - 9 = 0\\)</p>"},{"article_id":171833,"cat_id":1784,"publish_time":1724817960,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt8-0_1.png","title":"Giải bài tập 8 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 8 trang 66","alias":"giai-bai-tap-8-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\\\y =  - t\\\\z =  - 2 - t\\end{array} \\right.\\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với \\(d\\)?\r\nA. \\({d_1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3t'\\\\y = 1 + t'\\\\z = 5t'\\end{array} \\right.\\)\r\nB. \\({d_2}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2\\\\y = 2 + t'\\\\z = 1 + t'\\end{array} \\right.\\) \r\nC. \\({d_3}:\\frac{{x - 2}}{3} = \\frac{y}{2} = \\frac{{z - 1}}{{ - 5}}\\)\r\nD. \\({d_4}:\\frac{{x + 2}}{2} = \\frac{y}{{ - 1}} = \\frac{{z + 1}}{2}\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \\(d\\), \\({d_1}\\), \\({d_2}\\), \\({d_3}\\), \\({d_4}\\) lần lượt là \\(\\vec a = \\left( {2; - 1; - 1} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {{a_1}}  = \\left( {3;1;5} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {{a_2}}  = \\left( {0;1;1} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {{a_3}}  = \\left( {3;2; - 5} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {{a_4}}  = \\left( {2; - 1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\vec a.\\overrightarrow {{a_1}}  = 2.3 + \\left( { - 1} \\right).1 + \\left( { - 1} \\right).5 = 0\\), suy ra \\(d \\bot {d_1}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\vec a.\\overrightarrow {{a_2}}  = 2.0 + \\left( { - 1} \\right).1 + \\left( { - 1} \\right).1 =  - 2 \\ne 0\\), suy ra \\(d\\) không vuông góc với \\({d_2}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\vec a.\\overrightarrow {{a_3}}  = 2.3 + \\left( { - 1} \\right).2 + \\left( { - 1} \\right).\\left( { - 5} \\right) = 9 \\ne 0\\), suy ra \\(d\\) không vuông góc với \\({d_3}\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\vec a.\\overrightarrow {{a_4}}  = 2.2 + \\left( { - 1} \\right).\\left( { - 1} \\right) + \\left( { - 1} \\right).2 = 3 \\ne 0\\), suy ra \\(d\\) không vuông góc với \\({d_4}\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":171805,"cat_id":1784,"publish_time":1724810280,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt5-0.png","title":"Giải bài tập 5 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 5 trang 60","alias":"giai-bai-tap-5-trang-60-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:\r\na) \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + t\\\\y =  - 1 + 2t\\\\z =  - 2 + t\\end{array} \\right.\\) và \\(d':\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\\\y = 3 + 4t'\\\\z = 2t'\\end{array} \\right.\\)\r\nb) \\(d:\\frac{{x - 1}}{1} = \\frac{{y - 2}}{2} = \\frac{{z - 3}}{2}\\) và \\(d':\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y - 1}}{5} = \\frac{{z - 1}}{1}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\(d\\) có vectơ chỉ phương là \\(\\vec a = \\left( {1;2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(d'\\) có vectơ chỉ phương là \\(\\vec a' = \\left( {2;4;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\frac{1}{2} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\) nên \\(\\vec a\\) và \\(\\vec a'\\) cùng phương, suy ra \\(d\\) và \\(d'\\) hoặc song song hoặc trùng nhau.</p>\r\n<p>Lấy điểm \\(M\\left( {1; - 1; - 2} \\right)\\) thuộc \\(d\\).</p>\r\n<p>Thay hoành độ điểm \\(M\\) vào phương trình \\(x = 2 + 2t'\\) ta có \\(1 = 2 + 2t' \\Rightarrow t' =  - \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Thay \\(y =  - 1\\) và \\(t' =  - \\frac{1}{2}\\) vào phương trình \\(y = 3 + 4t'\\), ta thấy phương trình không thoả mãn, do \\(3 + 4.\\frac{{ - 1}}{2} = 1 \\ne  - 1\\).</p>\r\n<p>Vậy điểm \\(M\\) không thuộc \\(d'\\). Suy ra \\(d\\parallel d'\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\(d\\) có vectơ chỉ phương là \\(\\vec a = \\left( {1;2;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(d'\\) có vectơ chỉ phương là \\(\\vec a' = \\left( {1;5;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\frac{1}{1} \\ne \\frac{2}{5}\\), nên \\(\\vec a\\) và \\(\\vec a'\\) không cùng phương. Suy ra \\(d\\) và \\(d'\\) hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.</p>\r\n<p>Lấy điểm \\(M\\left( {1;2;3} \\right)\\) thuộc \\(d\\) và \\(M'\\left( {2;1;1} \\right)\\) thuộc \\(d'\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left[ {\\vec a,\\vec a'} \\right] = \\left( { - 8;1;3} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {MM'}  = \\left( {1; - 1; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left[ {\\vec a,\\vec a'} \\right].\\overrightarrow {MM'}  = \\left( { - 8} \\right).1 + 1.\\left( { - 1} \\right) + 3.\\left( { - 2} \\right) =  - 15 \\ne 0.\\)</p>\r\n<p>Vậy hai đường thẳng \\(d\\) và \\(d'\\) chéo nhau.</p>"},{"article_id":171700,"cat_id":1784,"publish_time":1724746440,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt3-0.png","title":"Giải bài tập 3 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 3 trang 42","alias":"giai-bai-tap-3-trang-42-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho tứ diện (ABCD) có các đỉnh (Aleft( {4;0;2} right)), (Bleft( {0;5;1} right)), (Cleft( {4; - 1;3} right)), (Dleft( {3; - 1;5} right)).\r\na) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (left( {ABC} right)) và (left( {ABD} right)).\r\nb) Hãy viết phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua cạnh (BC) và song song với cạnh (AD).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) đi qua ba điểm \\(A\\left( {4;0;2} \\right)\\), \\(B\\left( {0;5;1} \\right)\\), \\(C\\left( {4; - 1;3} \\right)\\) nên sẽ nhận \\(\\overrightarrow {AB} \\left( { - 4;5; - 1} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AC} \\left( {0; - 1;1} \\right)\\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {{n_{\\left( {ABC} \\right)}}}  = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( {5.1 - \\left( { - 1} \\right).\\left( { - 1} \\right);\\left( { - 1} \\right).0 - \\left( { - 4} \\right).1;\\left( { - 4} \\right).\\left( { - 1} \\right) - 5.0} \\right) = \\left( {4;4;4} \\right).\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(4\\left( {x - 4} \\right) + 4\\left( {y - 0} \\right) + 4\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {ABD} \\right)\\) đi qua ba điểm \\(A\\left( {4;0;2} \\right)\\), \\(B\\left( {0;5;1} \\right)\\), \\(D\\left( {3; - 1;5} \\right)\\) nên sẽ nhận \\(\\overrightarrow {AB} \\left( { - 4;5; - 1} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AD} \\left( { - 1; - 1;3} \\right)\\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( {ABD} \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {{n_{\\left( {ABD} \\right)}}}  = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AD} } \\right] = \\left( {5.3 - \\left( { - 1} \\right).\\left( { - 1} \\right);\\left( { - 1} \\right).\\left( { - 1} \\right) - \\left( { - 4} \\right).3;\\left( { - 4} \\right).\\left( { - 1} \\right) - 5.\\left( { - 1} \\right)} \\right) = \\left( {14;13;9} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABD} \\right)\\) là:</p>\r\n<p>\\(14\\left( {x - 4} \\right) + 13\\left( {y - 0} \\right) + 9\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 14x + 13y + 9z - 74 = 0.\\)</p>\r\n<p>b) Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) đi qua cạnh \\(BC\\) và song song với cạnh \\(AD\\), và do \\(ABCD\\) là tứ diện nên \\(\\overrightarrow {BC} \\left( {4; - 6;2} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AD} \\left( { - 1; - 1;3} \\right)\\) là một cặp vectơ chỉ phương của \\(\\left( P \\right)\\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {{n_{\\left( P \\right)}}}  = \\left[ {\\overrightarrow {BC} ,\\overrightarrow {AD} } \\right] = \\left( {\\left( { - 6} \\right).3 - 2.\\left( { - 1} \\right);2.\\left( { - 1} \\right) - 4.3;4.\\left( { - 1} \\right) - \\left( { - 6} \\right).\\left( { - 1} \\right)} \\right) = \\left( { - 16; - 14; - 10} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\( - 16\\left( {x - 0} \\right) - 14\\left( {y - 5} \\right) - 10\\left( {z - 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 8x + 7y + 5z - 40 = 0.\\)</p>"},{"article_id":171834,"cat_id":1784,"publish_time":1724818200,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt9-0_1.png","title":"Giải bài tập 9 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 9 trang 66","alias":"giai-bai-tap-9-trang-66-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho hai mặt phẳng (left( P right):2x - y - z - 3 = 0) và (left( Q right):x - z - 2 = 0). Góc giữa hai mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right)) bằng\r\nA. ({30^o})\r\nB. ({45^o})\r\nC. ({60^o})\r\nD. ({90^o})","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) lần lượt là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {2; - 1; - 1} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {1;0; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {{n_1}} ,\\overrightarrow {{n_2}} } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.1 + \\left( { - 1} \\right).0 + \\left( { - 1} \\right).\\left( { - 1} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} .\\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{{\\sqrt 3 }}{2}.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = {30^o}\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":171806,"cat_id":1784,"publish_time":1724810520,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt6-0.png","title":"Giải bài tập 6 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 6 trang 60","alias":"giai-bai-tap-6-trang-60-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Viết phương trình tham số của đường thẳng \\(d\\) đi qua điểm \\(A\\left( {1;0;1} \\right)\\) và song song với đường thẳng \\(d':\\frac{{x + 1}}{3} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{{z - 1}}{4}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Một vectơ chỉ phương của \\(d'\\) là \\(\\vec a = \\left( {3;2;4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(d\\parallel d'\\) nên đường thẳng \\(d\\) cũng nhận vectơ \\(\\vec a = \\left( {3;2;4} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Vậy phương trình tham số của đường thẳng \\(d\\) đi qua điểm \\(A\\left( {1;0;1} \\right)\\) và có một vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {3;2;4} \\right)\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 3t\\\\y = 0 + 2t\\\\z = 1 + 4t\\end{array} \\right.\\)</p>"},{"article_id":171701,"cat_id":1784,"publish_time":1724746920,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt4-0.png","title":"Giải bài tập 4 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 4 trang 42","alias":"giai-bai-tap-4-trang-42-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) đi qua điểm \\(C\\left( {1; - 5;0} \\right)\\) và song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right):3x - 5y + 4z - 2024 = 0.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left( {3; - 5;4} \\right).\\)</p>\r\n<p>Do \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left( {3; - 5;4} \\right).\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) đi qua điểm \\(C\\left( {1; - 5;0} \\right)\\) và có một vectơ pháp tuyến \\(\\vec n = \\left( {3; - 5;4} \\right)\\) là \\(3\\left( {x - 1} \\right) - 5\\left( {y + 5} \\right) + 4\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 3x - 5y + 4z - 28 = 0.\\)</p>"},{"article_id":171836,"cat_id":1784,"publish_time":1724818320,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt10-0_1.png","title":"Giải bài tập 10 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 10 trang 67","alias":"giai-bai-tap-10-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x + 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^2} = 9\\). Toạ độ tâm \\(I\\) và bán kính \\(R\\) của \\(\\left( S \\right)\\) là\r\nA. \\(I\\left( { - 1;2;1} \\right)\\) và \\(R = 3\\)\r\nB. \\(I\\left( {1; - 2; - 1} \\right)\\) và \\(R = 3\\)\r\nC. \\(I\\left( { - 1;2;1} \\right)\\) và \\(R = 9\\)\r\nD. \\(I\\left( {1; - 2; - 1} \\right)\\) và \\(R = 9\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có phương trình mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x + 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^2} = 9\\), suy ra \\(\\left( S \\right)\\) có tâm \\(I\\left( { - 1;2;1} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt 9  = 3\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":171807,"cat_id":1784,"publish_time":1724810700,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt7-0.png","title":"Giải bài tập 7 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 7 trang 60","alias":"giai-bai-tap-7-trang-60-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian \\(Oxyz\\), cho biết phương trình trục \\(a\\) của mũi khoan và một đường rãnh \\(b\\) trên vật cần khoan (hình dưới đây) lần lượt là \\(a:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1\\\\y = 2\\\\z = 3t\\end{array} \\right.\\) và \\(b:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\\\y = 2 + 2t'\\\\z = 6\\end{array} \\right.\\).\r\na) Chứng minh \\(a\\), \\(b\\) vuông góc và cắt nhau.\r\nb) Tìm toạ độ giao điểm của \\(a\\) và \\(b\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Trục \\(a\\) của mũi khoan đi qua điểm \\(A\\left( {1;2;0} \\right)\\) và có một vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {0;0;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường rãnh \\(b\\) trên vật cần khoan đi qua điểm \\(B\\left( {1;2;6} \\right)\\) và có một vectơ chỉ phương \\(\\vec b = \\left( {4;2;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\vec a.\\vec b = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0\\), suy ra \\(a\\) và \\(b\\) vuông góc với nhau.</p>\r\n<p>Mặt khác, ta lại có \\(\\left[ {\\vec a,\\vec b} \\right] = \\left( { - 6;12;0} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {0;0;6} \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left[ {\\vec a,\\vec b} \\right].\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 6} \\right).0 + 12.0 + 0.6 = 0\\), tức là \\(a\\) và \\(b\\) cắt nhau.</p>\r\n<p>b) Xét hệ phương trình \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}1 = 1 + 4t'\\\\2 = 2 + 2t'\\\\3t = 6\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Ở hai phương trình đầu, ta có \\(t' = 0\\). Ở phương trình cuối cùng, ta có \\(t = 2\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(t' = 0\\) và \\(t = 2\\) là nghiệm duy nhất của hệ. Suy ra toạ độ giao điểm là \\(\\left( {1;2;6} \\right)\\).</p>"},{"article_id":171702,"cat_id":1784,"publish_time":1724747220,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt5-0.png","title":"Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 5 trang 42","alias":"giai-bai-tap-5-trang-42-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) đi qua hai điểm \\(A\\left( {1;0;1} \\right)\\), \\(B\\left( {5;2;3} \\right)\\) và vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( \\beta  \\right):2x - y + z - 7 = 0.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) đi qua \\(A\\left( {1;0;1} \\right)\\), \\(B\\left( {5;2;3} \\right)\\) nên có một vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {4;2;2} \\right).\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( \\beta  \\right)\\), nên vectơ pháp tuyến \\(\\vec n\\left( {2; - 1;1} \\right)\\) của mặt phẳng \\(\\left( \\beta  \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right).\\)</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) có một cặp vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {4;2;2} \\right)\\) và \\(\\vec n\\left( {2; - 1;1} \\right)\\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {{n_{\\left( \\alpha  \\right)}}}  = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\vec n} \\right] = \\left( {2.1 - 2.\\left( { - 1} \\right);2.2 - 4.1;4.\\left( { - 1} \\right) - 2.2} \\right) = \\left( {4;0; - 8} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(4\\left( {x - 1} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) - 8\\left( {z - 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x - 2z + 1 = 0.\\)</p>"},{"article_id":171837,"cat_id":1784,"publish_time":1724818740,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt11-0_2.png","title":"Giải bài tập 11 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 11 trang 67","alias":"giai-bai-tap-11-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Mặt cầu tâm \\(I\\left( { - 3;0;4} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( { - 3;0;0} \\right)\\) có phương trình là\r\nA. \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z + 4} \\right)^2} = 4\\)\r\nB. \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z + 4} \\right)^2} = 16\\)\r\nC. \\({\\left( {x + 3} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z - 4} \\right)^2} = 16\\)\r\nD. \\({\\left( {x + 3} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z - 4} \\right)^2} = 4\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) có tâm \\(I\\left( { - 3;0;4} \\right)\\) và đi qua \\(A\\left( { - 3;0;0} \\right)\\) nên \\(IA\\) là một bán kính của \\(\\left( S \\right)\\). Ta có \\(IA = \\sqrt {{{\\left( { - 3 + 3} \\right)}^2} + {{\\left( {0 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( {4 - 0} \\right)}^2}}  = 4\\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) là \\({\\left( {x + 3} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z - 4} \\right)^2} = 16\\).</p>\r\n<p>Suy ra đáp án đúng là C.<strong></strong></p>"},{"article_id":171808,"cat_id":1784,"publish_time":1724811000,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt8-0.png","title":"Giải bài tập 8 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 8 trang 60","alias":"giai-bai-tap-8-trang-60-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Tính góc giữa hai đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 3}}{2} = \\frac{{y + 5}}{4} = \\frac{{z - 7}}{2}\\) và \\(d':\\frac{{x - 1}}{3} = \\frac{{y + 7}}{3} = \\frac{{z - 12}}{6}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(d\\) có vectơ chỉ phương là \\(\\vec a = \\left( {2;4;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(d'\\) có vectơ chỉ phương là \\(\\vec a' = \\left( {3;3;6} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {d,d'} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\vec a,\\vec a'} \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.3 + 4.3 + 2.6} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\\sqrt {{3^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \\frac{5}{6}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {d,d'} \\right) \\approx {33^o}33'\\).</p>"},{"article_id":171703,"cat_id":1784,"publish_time":1724747460,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt6-0.png","title":"Giải bài tập 6 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 6 trang 42","alias":"giai-bai-tap-6-trang-42-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) đi qua điểm \\(A\\left( {1;2; - 1} \\right)\\) và vuông góc với hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right):4x - 2y + 6z - 11 = 0\\), \\(\\left( Q \\right):2x + 2y + 2z - 7 = 0.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) nên vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( P \\right)}}}  = \\left( {4; - 2;6} \\right)\\) của \\(\\left( P \\right)\\) là vectơ chỉ phương của \\(\\left( R \\right).\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) nên vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( Q \\right)}}}  = \\left( {2;2;2} \\right)\\) của \\(\\left( Q \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của \\(\\left( R \\right).\\)</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\left( R \\right)\\) có một cặp vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( P \\right)}}}  = \\left( {4; - 2;6} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( Q \\right)}}}  = \\left( {2;2;2} \\right)\\), suy ra một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( R \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {{n_{\\left( R \\right)}}}  = \\left[ {\\overrightarrow {{n_{\\left( P \\right)}}} ,\\overrightarrow {{n_{\\left( Q \\right)}}} } \\right] = \\left( {\\left( { - 2} \\right).2 - 6.2;6.2 - 4.2;4.2 - \\left( { - 2} \\right).2} \\right) = \\left( { - 16;4;12} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\( - 16\\left( {x - 1} \\right) + 4\\left( {y - 2} \\right) + 12\\left( {z + 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - 4x + y + 3z + 5 = 0.\\)<strong></strong></p>"},{"article_id":171839,"cat_id":1784,"publish_time":1724818920,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt12-0_1.png","title":"Giải bài tập 12 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 12 trang 67","alias":"giai-bai-tap-12-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho bốn điểm \\(A\\left( {1;0;0} \\right)\\), \\(B\\left( {0;1;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;0;1} \\right)\\), \\(D\\left( { - 2;1; - 1} \\right)\\).\r\na) Chứng minh \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\) là bốn đỉnh của một hình chóp.\r\nb) Tìm góc giữa hai đường thẳng \\(AB\\) và \\(CD\\).\r\nc) Tính độ dài đường cao của hình chóp \\(A.BCD\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0828/anh-bt12_1.png\"   /></p>\r\n<p>a) Mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\) đi qua \\(B\\left( {0;1;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;0;1} \\right)\\), \\(D\\left( { - 2;1; - 1} \\right)\\) nên nó có một cặp vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {BC}  = \\left( {0; - 1;1} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {BD}  = \\left( { - 2;0; - 1} \\right)\\). Vậy một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {BCD} \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left[ {\\overrightarrow {BC} ,\\overrightarrow {BD} } \\right] = \\left( {1; - 2; - 2} \\right)\\). Suy ra phương trình mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\) là \\(1\\left( {x - 0} \\right) - 2\\left( {y - 0} \\right) - 2\\left( {z - 1} \\right) = 0\\), hay \\(x - 2y - 2z + 2 = 0\\).</p>\r\n<p>Thay toạ độ điểm \\(A\\) vào phương trình mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\), ta thấy không thoả mãn, do \\(1 - 2.0 - 2.0 + 2 = 3 \\ne 0\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(A\\) không thuộc \\(\\left( {BCD} \\right)\\), suy ra \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\) không đồng phẳng. Điều này cũng có nghĩa 4 điểm trên là 4 đỉnh của một hình chóp.</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 1;1;0} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {CD}  = \\left( { - 2;1; - 2} \\right)\\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \\(AB\\) và \\(CD\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {AB,CD} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {CD} } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {\\left( { - 1} \\right).\\left( { - 2} \\right) + 1.1 + 0.\\left( { - 2} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\\sqrt {{{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {AB,CD} \\right) = {45^o}\\).</p>\r\n<p>c) Ta có độ dài đường cao của hình chóp \\(A.BCD\\) chính là khoảng cách từ điểm \\(A\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\). Khoảng cách đó bằng:</p>\r\n<p>\\(d\\left( {A,\\left( {BCD} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1 - 2.0 - 2.0 + 2} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }} = 1\\)</p>"},{"article_id":171809,"cat_id":1784,"publish_time":1724811180,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt9-0.png","title":"Giải bài tập 9 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 9 trang 60","alias":"giai-bai-tap-9-trang-60-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Tính góc giữa đường thẳng \\(d:\\frac{{x + 2}}{2} = \\frac{{y + 2}}{2} = \\frac{{z - 1}}{1}\\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right):3y - 3z + 1 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(d\\) là \\(\\vec a = \\left( {2;2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left( {0;3; - 3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\sin \\left( {d,\\left( P \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\vec a,\\vec n} \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.0 + 2.3 + 1.\\left( { - 3} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\\left( { - 3} \\right)}^2}} }} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{6}.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {d,\\left( P \\right)} \\right) \\approx {13^o}38'\\).</p>"},{"article_id":171704,"cat_id":1784,"publish_time":1724747760,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt7-0.png","title":"Giải bài tập 7 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 7 trang 43","alias":"giai-bai-tap-7-trang-43-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm \\(M\\left( {1; - 2;13} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right):2x - 2y - z + 3 = 0.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p>\\(d\\left( {O,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2.0 - 2.0 - 0 + 3} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = 1.\\)</p>\r\n<p>Khoảng cách từ điểm \\(M\\left( {1; - 2;13} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p>\\(d\\left( {M,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2.1 - 2.\\left( { - 2} \\right) - 13 + 3} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{4}{3}.\\)</p>"},{"article_id":171842,"cat_id":1784,"publish_time":1724819160,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt13-0.png","title":"Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 13 trang 67","alias":"giai-bai-tap-13-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho bốn điểm \\(A\\left( { - 2;6;3} \\right)\\), \\(B\\left( {1;0;6} \\right)\\), \\(C\\left( {0;2; - 1} \\right)\\), \\(D\\left( {1;4;0} \\right)\\).\r\na) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\). Suy ra \\(ABCD\\) là một tứ diện.\r\nb) Tính chiều cao \\(AH\\) của tứ diện \\(ABCD\\).\r\nc) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) chứa \\(AB\\) và song song với \\(CD\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0828/anh-bt13.png\"   /></p>\r\n<p>a) Mặt phẳng  \\(\\left( {BCD} \\right)\\) đi qua ba điểm \\(B\\left( {1;0;6} \\right)\\), \\(C\\left( {0;2; - 1} \\right)\\), \\(D\\left( {1;4;0} \\right)\\) nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {BC}  = \\left( { - 1;2; - 7} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {BD}  = \\left( {0;4; - 6} \\right)\\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {BCD} \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left[ {\\overrightarrow {BC} ,\\overrightarrow {BD} } \\right] = \\left( {16; - 6; - 4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\) là \\(16\\left( {x - 0} \\right) - 6\\left( {y - 2} \\right) - 4\\left( {z + 1} \\right) = 0\\), hay \\(8x - 3y - 2z + 4 = 0\\).</p>\r\n<p>Thay toạ độ điểm \\(A\\left( { - 2;6;3} \\right)\\) vào phương trình mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\), ta thấy không thoả mãn, do \\(8.\\left( { - 2} \\right) - 3.6 - 2.3 + 4 =  - 36 \\ne 0\\). Vậy điểm \\(A\\) không nằm trên \\(\\left( {BCD} \\right)\\), điều đó đồng nghĩa \\(ABCD\\) là một tứ diện.</p>\r\n<p>b) Chiều cao \\(AH\\) của tứ diện \\(ABCD\\) chính là khoảng cách từ điểm \\(A\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\), khoảng cách đó bằng \\(d\\left( {A,\\left( {BCD} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {8.\\left( { - 2} \\right) - 3.6 - 2.3 + 4} \\right|}}{{\\sqrt {{8^2} + {{\\left( { - 3} \\right)}^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }} = \\frac{{36}}{{\\sqrt {77} }}\\)</p>\r\n<p>c) Mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) chứa \\(AB\\) và song song với \\(CD\\) nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {3; - 6;3} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {CD}  = \\left( {1;2;1} \\right)\\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {CD} } \\right] = \\left( { - 12;0;12} \\right)\\). Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là \\( - 12\\left( {x - 1} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) + 12\\left( {z - 6} \\right) = 0\\), hay \\( - x + z - 5 = 0\\).</p>"},{"article_id":171810,"cat_id":1784,"publish_time":1724811360,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt10-0.png","title":"Giải bài tập 10 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 10 trang 60","alias":"giai-bai-tap-10-trang-60-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Tính góc giữa hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right):4y + 4z + 1 = 0\\) và \\(\\left( {P'} \\right):7x + 7z + 2 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left( {0;4;4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {P'} \\right)\\) là \\(\\vec n' = \\left( {7;0;7} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( {P'} \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\vec n,\\vec n'} \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {0.7 + 4.0 + 4.7} \\right|}}{{\\sqrt {{0^2} + {4^2} + {4^2}} .\\sqrt {{7^2} + {0^2} + {7^2}} }} = \\frac{1}{2}.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {\\left( P \\right),\\left( {P'} \\right)} \\right) = {60^o}\\).</p>"},{"article_id":171705,"cat_id":1784,"publish_time":1724748000,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt8-0.png","title":"Giải bài tập 8 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 8 trang 43","alias":"giai-bai-tap-8-trang-43-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \\(\\left( P \\right):x - 2 = 0\\) và \\(\\left( Q \\right):x - 8 = 0.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Chọn điểm \\(M\\left( {2;0;0} \\right)\\) thuộc mặt phẳng \\(\\left( P \\right).\\)</p>\r\n<p>Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) bằng khoảng cách từ \\(M\\left( {2;0;0} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) và bằng:</p>\r\n<p>\\(d\\left( {M,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2 - 8} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2}} }} = 6.\\)</p>"},{"article_id":171844,"cat_id":1784,"publish_time":1724819400,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt14-0.png","title":"Giải bài tập 14 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 14 trang 67","alias":"giai-bai-tap-14-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm \\(M\\left( {3;4;24} \\right)\\) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình \\(z - 4 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in là \\(d = \\frac{{\\left| {0.3 + 0.4 + 1.24 - 4} \\right|}}{{\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 20\\) (cm).</p>"},{"article_id":171811,"cat_id":1784,"publish_time":1724811480,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt11-0.png","title":"Giải bài tập 11 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 11 trang 60","alias":"giai-bai-tap-11-trang-60-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \\(Oxyz\\). Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right):2x + 2z + 1 = 0\\) và \\(\\left( {P'} \\right):x + z + 7 = 0\\).\r\na) Tính góc giữa \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {P'} \\right)\\).\r\nb) Tính góc hợp bởi \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {P'} \\right)\\) với mặt đất \\(\\left( Q \\right)\\) có phương trình \\(z = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left( {2;0;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {P'} \\right)\\) là \\(\\vec n' = \\left( {1;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( {P'} \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\vec n,\\vec n'} \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.1 + 0.0 + 2.1} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 1.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {\\left( P \\right),\\left( {P'} \\right)} \\right) = {0^o}\\).</p>\r\n<p><em><u>Cách khác:</u></em> Do \\(\\frac{2}{1} = \\frac{2}{1}\\) nên \\(\\vec n\\) và \\(\\vec n'\\) là hai vectơ cùng phương. Suy ra \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( {P'} \\right)\\). Từ đó \\(\\left( {\\left( P \\right),\\left( {P'} \\right)} \\right) = {0^o}\\).</p>\r\n<p>b) Một vectơ pháp tuyến của mặt đất \\(\\left( Q \\right)\\) là \\(\\vec m = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\vec n,\\vec m} \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.0 + 0.0 + 2.1} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = {45^o}\\). Chứng minh tương tự, ta có \\(\\left( {\\left( {P'} \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = {45^o}.\\)</p>"},{"article_id":171707,"cat_id":1784,"publish_time":1724748240,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt9-0.png","title":"Giải bài tập 9 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 9 trang 43","alias":"giai-bai-tap-9-trang-43-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy \\(ABCD\\) là hình chữ nhật với \\(AB = 2a\\), \\(AD = 5a\\), \\(SA = 3a\\). Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ \\(Oxyz\\) như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm \\(A\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right).\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Theo hình vẽ, toạ độ điểm \\(A\\) là \\(A\\left( {0;0;0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Điểm \\(B\\) nằm trên trục \\(Ox\\), \\({x_B} &gt; 0\\) và \\(AB = 2a\\) nên toạ độ điểm \\(B\\) là \\(B\\left( {2a;0;0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Điểm \\(S\\) nằm trên trục \\(Oz\\), \\({z_S} &gt; 0\\) và \\(SA = 3a\\) nên toạ độ điểm \\(S\\) là \\(S\\left( {0;0;3a} \\right).\\)</p>\r\n<p>Điểm \\(D\\) nằm trên trục \\(Oy\\), \\({y_D} &gt; 0\\) và \\(AD = 5a\\) nên toạ độ điểm \\(D\\) là \\(D\\left( {0;5a;0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Điểm \\(C\\) nằm trên mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\), \\(CB \\bot Ox\\), \\(CD \\bot Oy\\) nên toạ độ điểm \\(C\\) là \\(C\\left( {2a;5a;0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right)\\) đi qua \\(S\\), \\(B\\), \\(C\\). Ta có \\(\\overrightarrow {SB}  = \\left( {2a;0; - 3a} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {BC}  = \\left( {0;5a;0} \\right)\\). Suy ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right)\\) là \\(\\vec u = \\frac{1}{a}\\overrightarrow {SB}  = \\left( {2;0; - 3} \\right)\\) và \\(\\vec v = \\frac{1}{a}\\overrightarrow {BC}  = \\left( {0;5;0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Từ đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(\\vec n = \\left[ {\\vec u,\\vec v} \\right] = \\left( {0.0 - \\left( { - 3} \\right).5;\\left( { - 3} \\right).0 - 2.0;2.5 - 0.0} \\right) = \\left( {15;0;10} \\right).\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(15\\left( {x - 0} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) + 10\\left( {z - 3a} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.\\)</p>\r\n<p>Khoảng cách từ \\(A\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right)\\) là:</p>\r\n<p>\\(d\\left( {A,\\left( {SBC} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {3.0 + 2.0 - 6a} \\right|}}{{\\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \\frac{{6a\\sqrt {13} }}{{13}}.\\)</p>"},{"article_id":171847,"cat_id":1784,"publish_time":1724819640,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt15-0.png","title":"Giải bài tập 15 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 15 trang 67","alias":"giai-bai-tap-15-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x - y - 6 = 0\\) và \\(\\left( Q \\right)\\). Biết rằng điểm \\(H\\left( {2; - 1; - 2} \\right)\\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\) xuống mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\). Tính góc giữa mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Do \\(H\\left( {2; - 1; - 2} \\right)\\) là hình chiếu của \\(O\\) xuống mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) nên \\(OH \\bot \\left( Q \\right)\\), suy ra \\(\\overrightarrow {OH}  = \\left( {2; - 1; - 2} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( Q \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\vec n = \\left( {1; - 1;0} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {OH} ,\\vec n} \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.1 + \\left( { - 1} \\right).\\left( { - 1} \\right) + \\left( { - 2} \\right).0} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} .\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {0^2}} }} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}.\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = {45^o}\\).</p>"},{"article_id":171813,"cat_id":1784,"publish_time":1724811780,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt12-0.png","title":"Giải bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 12 trang 60","alias":"giai-bai-tap-12-trang-60-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong không gian \\(Oxyz\\), cho hình lăng trụ đứng \\(OBC.O'B'C'\\) có đáy là tam giác \\(OBC\\) vuông tại \\(O\\). Cho biết \\(B\\left( {3;0;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;1;0} \\right)\\), \\(O'\\left( {0;0;2} \\right)\\). Tính góc giữa:\r\na) hai đường thẳng \\(BO'\\) và \\(B'C\\).\r\nb) hai mặt phẳng \\(\\left( {O'BC} \\right)\\) và \\(\\left( {OBC} \\right)\\).\r\nc) đường thẳng \\(B'C\\) và mặt phẳng \\(\\left( {O'BC} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0828/anh-bt12.png\"   /></p>\r\n<p>a) Ta có toạ độ các điểm \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\), \\(B\\left( {3;0;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;1;0} \\right)\\), \\(O'\\left( {0;0;2} \\right)\\). Suy ra \\(B'\\left( {3;0;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {BO'}  = \\left( { - 3;0;2} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(BO'\\) và \\(\\overrightarrow {B'C}  = \\left( { - 3;1; - 2} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(B'C\\). Suy ra:</p>\r\n<p>\\(\\cos \\left( {BO',B'C} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {BO} ',\\overrightarrow {B'C} } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {\\left( { - 3} \\right).\\left( { - 3} \\right) + 0.1 + 2.\\left( { - 2} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( { - 3} \\right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\\sqrt {{{\\left( { - 3} \\right)}^2} + {1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }} = \\frac{5}{{\\sqrt {182} }}\\)</p>\r\n<p>Từ đó \\(\\left( {BO',B'C} \\right) \\approx {68^o}15'\\).</p>\r\n<p>b) Mặt phẳng \\(\\left( {O'BC} \\right)\\) có cặp vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {BC}  = \\left( { - 3;1;0} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {BO'}  = \\left( { - 3;0;2} \\right)\\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {O'BC} \\right)\\) là \\(\\vec n = \\left[ {\\overrightarrow {BC} ,\\overrightarrow {BO'} } \\right] = \\left( {2;6;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {OBC} \\right)\\) có \\(OO' \\bot \\left( {OBC} \\right)\\) nên \\(\\overrightarrow {OO'}  = \\left( {0;0;2} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {OBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\cos \\left( {\\left( {O'BC} \\right),\\left( {OBC} \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {OO'} ,\\vec n} \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.0 + 6.0 + 3.2} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \\frac{3}{7}\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {\\left( {O'BC} \\right),\\left( {OBC} \\right)} \\right) \\approx {64^o}37'\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {B'C}  = \\left( { - 3;1; - 2} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(B'C\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\vec n = \\left( {2;6;3} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( {O'BC} \\right)\\). Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\sin \\left( {B'C,\\left( {O'BC} \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {B'C} ,\\vec n} \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {\\left( { - 3} \\right).2 + 1.6 + \\left( { - 2} \\right).3} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( { - 3} \\right)}^2} + {1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} .\\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \\frac{{3\\sqrt {14} }}{{49}}\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {B'C,\\left( {O'BC} \\right)} \\right) \\approx {76^o}45'\\).</p>"},{"article_id":171708,"cat_id":1784,"publish_time":1724748660,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0827/resize_bt10-0.png","title":"Giải bài tập 10 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 10 trang 43","alias":"giai-bai-tap-10-trang-43-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ \\(Oxyz\\). Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\), \\(\\left( R \\right)\\) của một toà nhà, biết:\r\n\\(\\left( P \\right):3x + y - z + 2 = 0\\)\r\n\\(\\left( Q \\right):6x + 2y - 2z + 11 = 0\\)\r\n\\(\\left( R \\right):x - 3y + 1 = 0\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( Q \\right)\\), \\(\\left( R \\right)\\) lần lượt là \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( P \\right)}}}  = \\left( {3;1; - 1} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( Q \\right)}}}  = \\left( {6;2; - 2} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( R \\right)}}}  = \\left( {1; - 3;0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Ta thấy rằng \\(\\frac{3}{6} = \\frac{1}{2} = \\frac{{ - 1}}{{ - 2}}\\) nên \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( P \\right)}}} \\) và \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( Q \\right)}}} \\) là 2 vectơ cùng phương. Từ đó suy ra \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right).\\)</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( P \\right)}}} .\\overrightarrow {{n_{\\left( R \\right)}}}  = 3.1 + 1.\\left( { - 3} \\right) + \\left( { - 1} \\right).0 = 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( P \\right)}}} \\) và \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( R \\right)}}} \\) có giá vuông góc với nhau. Suy ra \\(\\left( P \\right) \\bot \\left( R \\right).\\)</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( Q \\right)}}} .\\overrightarrow {{n_{\\left( R \\right)}}}  = 6.1 + 2.\\left( { - 3} \\right) + \\left( { - 2} \\right).0 = 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( Q \\right)}}} \\) và \\(\\overrightarrow {{n_{\\left( R \\right)}}} \\) có giá vuông góc với nhau. Suy ra \\(\\left( Q \\right) \\bot \\left( R \\right).\\)</p>"},{"article_id":171850,"cat_id":1784,"publish_time":1724819820,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt16-0.png","title":"Giải bài tập 16 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 16 trang 67","alias":"giai-bai-tap-16-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Đề bài:\r\nPhần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như hình dưới đây.\r\na) Tìm toạ độ các điểm \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\).\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) và mặt phẳng \\(\\left( {ACD} \\right)\\).\r\nc) Viết phương trình tham số của đường thẳng \\(AC\\).\r\nd) Cho biết đầu mũi tiện đang đặt tại điểm \\(M\\left( {0;60;40} \\right)\\). Tính khoảng cách từ điểm \\(M\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Dựa vào hình vẽ, ta có \\(A\\left( {70;0;0} \\right)\\), \\(B\\left( {70;0; - 60} \\right)\\), \\(C\\left( {70;80;0} \\right)\\) và \\(D\\left( {50;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) có cặp vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {0;0; - 60} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AC}  = \\left( {0;80;0} \\right)\\) nên một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( {4800;0;0} \\right)\\). Ta suy ra \\(\\vec i = \\left( {1;0;0} \\right) = \\frac{1}{{4800}}\\overrightarrow {{n_1}} \\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là \\(1\\left( {x - 70} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) + 0\\left( {z - 0} \\right) = 0\\), hay \\(x - 70 = 0\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {ACD} \\right)\\) có cặp vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {AC}  = \\left( {0;80;0} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AD}  = \\left( { - 20;0;0} \\right)\\) nên một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {ACD} \\right)\\) là \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left[ {\\overrightarrow {AC} ,\\overrightarrow {AD} } \\right] = \\left( {0;0;1600} \\right)\\). Ta suy ra \\(\\vec k = \\left( {0;0;1} \\right) = \\frac{1}{{1600}}\\overrightarrow {{n_2}} \\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( {ACD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ACD} \\right)\\) là \\(0\\left( {x - 70} \\right) + 0\\left( {y - 0} \\right) + 1\\left( {z - 0} \\right) = 0\\), hay \\(z = 0\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {AC}  = \\left( {0;80;0} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(AC\\). Ta suy ra vectơ \\(\\vec j = \\left( {0;1;0} \\right) = \\frac{1}{{80}}\\overrightarrow {AC} \\) cũng là một vectơ chỉ phương của \\(AC\\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình tham số của \\(AC\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 70 + 0t\\\\y = 0 + t\\\\z = 0 + 0t\\end{array} \\right.\\) hay \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 70\\\\y = t\\\\z = 0\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>d) Khoảng cách từ điểm \\(M\\) đến \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là</p>\r\n<p>\\(d\\left( {M,\\left( {ABC} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1.0 + 0.60 + 0.40 - 70} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 70.\\)</p>"},{"article_id":171854,"cat_id":1784,"publish_time":1724820060,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt17-0.png","title":"Giải bài tập 17 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 17 trang 67","alias":"giai-bai-tap-17-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho hình hộp chữ nhật (OABC.O'A'B'C'), với (O) là gốc toạ độ, (Aleft( {2;0;0} right)), (Cleft( {0;6;0} right)), (O'left( {0;0;4} right)). Viết phương trình:\r\na) Mặt phẳng (left( {O'AC} right))\r\nb) Đường thẳng (CO')\r\nc) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0828/anh-bt17.png\" /></p>\r\n<p>a) Ta thấy rằng các điểm \\(A\\left( {2;0;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;6;0} \\right)\\), \\(O'\\left( {0;0;4} \\right)\\) lần lượt thuộc các trục toạ độ \\(Ox\\), \\(Oy\\), \\(Oz\\), nên phương trình mặt phẳng \\(\\left( {O'AC} \\right)\\) là \\(\\frac{x}{2} + \\frac{y}{6} + \\frac{z}{4} = 1\\), hay \\(6x + 2y + 3z - 12 = 0\\).</p>\r\n<p>b) Ta có vectơ \\(\\overrightarrow {CO'}  = \\left( {0; - 6;4} \\right)\\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(CO'\\), nên phương trình đường thẳng \\(CO'\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 0 + 0t\\\\y = 6 - 6t\\\\z = 0 + 4t\\end{array} \\right.\\) hay \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 0\\\\y = 6 - 6t\\\\z = 4t\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>c) Gọi \\(I\\) là giao điểm của \\(OB'\\) và \\(O'B\\). Ta thấy rằng \\(I\\) là trung điểm của \\(OB'\\) và \\(O'B\\).</p>\r\n<p>Tứ giác \\(O'A'BC\\) là hình chữ nhật (tứ giác đó là hình bình hành, và hai đường chéo của tứ giác đó cũng là hai đường chéo của hình hộp chữ nhật), nên suy ra \\(I\\) cũng là trung điểm của \\(A'C\\). Chứng minh tương tự, ta có \\(I\\) là trung điểm của \\(AC'\\).</p>\r\n<p>Vậy ta có điểm \\(I\\) cách đều 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật, nên \\(I\\) chính là tâm mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) đi qua 8 đỉnh đó.</p>\r\n<p>Ta có\\(A\\left( {2;0;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;6;0} \\right)\\) nên \\(B\\left( {2;6;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(I\\) là trung điểm của \\(O'B\\) nên \\(I\\left( {1;3;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Bán kính của mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) là \\(R = OI = \\sqrt {{1^2} + {3^2} + {2^2}}  = \\sqrt {14} \\)</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp là</p>\r\n<p>\\({\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 3} \\right)^2} + {\\left( {z - 2} \\right)^2} = 14\\).</p>"},{"article_id":171857,"cat_id":1784,"publish_time":1724820300,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0828/resize_bt18-0.png","title":"Giải bài tập 18 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo","label":"Bài 18 trang 67","alias":"giai-bai-tap-18-trang-67-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho ba điểm \\(A\\left( {1;0;0} \\right)\\), \\(B\\left( {0;2;0} \\right)\\) và \\(C\\left( {0;0;3} \\right)\\). Chứng minh rằng nếu điểm \\(M\\left( {x,y,z} \\right)\\) thoả mãn \\(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\\) thì \\(M\\) thuộc một mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\). Tìm tâm và bán kính của \\(\\left( S \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có</p>\r\n<p>\\(M{A^2} = {\\left( {x - 1} \\right)^2} + {y^2} + {z^2}\\), \\(M{B^2} = {x^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {z^2}\\), \\(M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2}\\)</p>\r\n<p>Do \\(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\\), nên</p>\r\n<p>\\({\\left( {x - 1} \\right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2}\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow  - 2x + 1 = {x^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2}\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow {x^2} + 2x - 1 + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = 0\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow {\\left( {x + 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = 2\\).</p>\r\n<p>Vậy điểm \\(M\\) thuộc mặt cầu có tâm \\(I\\left( { - 1;2;3} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt 2 .\\)</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"37704","item_id":37704,"title":"Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Chân trời sáng tạo","short_title":"Bài 1. Phương trình mặt phẳng","is_link":0},{"id":"37705","item_id":37705,"title":"Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian - Toán 12 Chân trời sáng tạo","short_title":"Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian","is_link":0},{"id":"37706","item_id":37706,"title":"Bài 3. Phương trình mặt cầu - Toán 12 Chân trời sáng tạo","short_title":"Bài 3. Phương trình mặt cầu","is_link":0},{"id":"37707","item_id":37707,"title":"Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Chân trời sáng tạo","short_title":"Bài tập cuối chương 5","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}