{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2023/0804/1-0_10.png","title":"Bài 3. Phép đối xứng trục Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","display_type":1,"cat_id":1575,"cat_title":"Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo","alias":"bai-3-phep-doi-xung-truc-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":32785,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":146659,"cat_id":1575,"publish_time":1691740380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_48.png","title":"Giải khởi động trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi khởi động trang 14","alias":"giai-khoi-dong-trang-14-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong các hình sau, hình nào có trục đối xứng?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>+ Trong các hình đã cho, cả ba hình đều có trục đối xứng là đường thẳng màu vàng ở mỗi hình.</p>\r\n<p>+ Ta xét hình chiếc lá:</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691740570.png\"   /></p>\r\n<p><span>Lấy điểm A bất kì trên chiếc lá sao cho A không nằm trên trục đối xứng d của chiếc lá (hình vẽ).</span></p>\r\n<p><span>Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ đối xứng với A qua d hay d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.</span></p>\r\n<p><span>Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên chiếc lá sao cho M không nằm trên d, ta đều xác định được một điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ (1)</span></p>\r\n<p><span>Lấy điểm B bất kì trên chiếc lá sao cho B nằm trên đường thẳng d (hình vẽ).</span></p>\r\n<p><span>Khi đó ta có B đối xứng với chính nó qua d.</span></p>\r\n<p><span>Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên chiếc lá sao cho M nằm trên d thì ta luôn có M đối xứng với chính nó qua d (2)</span></p>\r\n<p><span>Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến một nửa chiếc lá thành nửa còn lại là phép biến hình biến mỗi điểm M không thuộc trục đối xứng d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ và biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó.</span></p>\r\n<p><span>Chứng minh tương tự với hình cây thông và hình con bọ, ta cũng được kết quả như trên.</span></p>\r\n<p><span>Vậy phép biến hình cần tìm là phép biến hình biến mỗi điểm M không thuộc trục đối xứng d của mỗi hình phẳng thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ và biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó.</span></p>"},{"article_id":146660,"cat_id":1575,"publish_time":1691740380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_49.png","title":"Giải mục 1 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 1 trang 15 ","alias":"giai-muc-1-trang-15-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho đường thẳng d. Gọi f là quy tắc xác định như sau:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><span>Theo đề, ta có f(M) = M’.</span></p>\r\n<p><span>Ta thấy f là quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M, ta đều xác định được duy nhất một điểm M’.</span></p>\r\n<p><span>Vậy f là một phép biến hình.</span></p>"},{"article_id":146661,"cat_id":1575,"publish_time":1691740380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_50.png","title":"Giải mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 2 trang 15, 16, 17 ","alias":"giai-muc-2-trang-15-16-17-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). ","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":146662,"cat_id":1575,"publish_time":1691740380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_51.png","title":"Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo","label":"Câu hỏi mục 3 trang 17, 18","alias":"giai-muc-3-trang-17-18-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":" Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM.","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":146665,"cat_id":1575,"publish_time":1691741580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_52.png","title":"Giải bài 1 trang 18 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","label":"Bài 1 trang 18","alias":"giai-bai-1-trang-18-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Vẽ các hình sau đây vào giấy kẻ ô vuông và tìm ảnh của các hình đã cho qua phép đối xứng trục d.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>+ Hình 11a:</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691741818.png\"   /></p>\r\n<p>Ta đặt tam giác cần tìm ảnh qua phép đối xứng trục d là tam giác ABC (hình vẽ).</p>\r\n<p>Vẽ A’, B’, C’ lần lượt đối xứng với A, B, C qua d.</p>\r\n<p>Vậy ảnh của tam giác ABC ở Hình 11a qua phép đối xứng trục d là tam giác A’B’C’.</p>\r\n<p>+ Hình 11b:</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691741834.png\"   /></p>\r\n<p>Ta đặt hình thoi cần tìm ảnh qua phép đối xứng trục d là hình thoi MNPQ (hình vẽ).</p>\r\n<p>Vẽ M’, N’, P’, Q’ lần lượt đối xứng với M, N, P, Q qua d.</p>\r\n<p>Vậy ảnh của hình thoi MNPQ ở Hình 11b qua phép đối xứng trục d là hình thoi M’N’P’Q’.</p>\r\n<p>+ Hình 11c:</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691741850.png\"   /></p>\r\n<p>Ta đặt hình thang cần tìm ảnh qua phép đối xứng trục d là hình thang cân EFGH (hình vẽ).</p>\r\n<p>Vẽ E’, F’, G’, H’ lần lượt đối xứng với E, F, G, H qua d.</p>\r\n<p>Vậy ảnh của hình thang cân EFGH ở Hình 11c qua phép đối xứng trục d là hình thang cân E’F’G’H’.</p>"},{"article_id":146666,"cat_id":1575,"publish_time":1691741580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_53.png","title":"Giải bài 2 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","label":"Bài 2 trang 19","alias":"giai-bai-2-trang-19-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình \\(x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}y{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0\\) và cho điểm \\(M({x_0};{\\rm{ }}{y_0}).\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><em><strong>Trường hợp 1:</strong></em> \\(M{\\rm{ }} \\in {\\rm{ }}d\\)</p>\r\n<p>Khi đó \\(M{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_d}\\left( M \\right).\\)</p>\r\n<p>Vì vậy \\(M' \\equiv M.\\)</p>\r\n<p>Do đó \\(M'({x_0};{\\rm{ }}{y_0}).\\)</p>\r\n<p><em><strong>Trường hợp 2:</strong></em> \\(M \\notin d.\\)</p>\r\n<p>Theo đề, ta có \\(M'{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_d}\\left( M \\right).\\)</p>\r\n<p>Suy ra d là đường trung trực của đoạn MM’, do đó \\(d \\bot MM'.\\)</p>\r\n<p>Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \\({\\vec n_d} = \\left( {1; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì vậy MM’ nhận \\({\\vec n_d} = \\left( {1; - 1} \\right)\\)làm vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Suy ra phương trình MM’: \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{\\rm{x}} = {{\\rm{x}}_0} + {\\rm{t}}}\\\\{{\\rm{y}} = {{\\rm{y}}_0} - {\\rm{t}}}\\end{array}} \\right.\\)</p>\r\n<p>Gọi H là giao điểm của MM’ và d.</p>\r\n<p>Suy ra H là trung điểm MM’ và tọa độ \\(H({x_0}\\; + {\\rm{ }}t;{\\rm{ }}{y_0}\\;-{\\rm{ }}t).\\)</p>\r\n<p>Ta có \\(H \\in d.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\({x_0}\\; + {\\rm{ }}t{\\rm{ }}-{\\rm{ }}{y_0}\\; + {\\rm{ }}t{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>\r\n<p>\\(t = \\frac{{{y_0} - {x_0}}}{2}\\)</p>\r\n<p>Do đó tọa độ \\(H\\left( {\\frac{{{x_0} + {y_0}}}{2};\\frac{{{x_0} + {y_0}}}{2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có H là trung điểm MM’.</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{{\\rm{x}}_{{\\rm{M'}}}} = 2{{\\rm{x}}_{\\rm{H}}} - {{\\rm{x}}_{\\rm{M}}} = 2.\\frac{{{{\\rm{x}}_0} + {{\\rm{y}}_0}}}{2} - {{\\rm{x}}_0} = {{\\rm{y}}_0}}\\\\{{{\\rm{y}}_{{\\rm{M'}}}} = 2{{\\rm{y}}_{\\rm{H}}} - {{\\rm{y}}_{\\rm{M}}} = 2.\\frac{{{{\\rm{x}}_0} + {{\\rm{y}}_0}}}{2} - {{\\rm{y}}_0} = {{\\rm{x}}_0}}\\end{array}} \\right.\\)</p>\r\n<p>Do đó tọa độ</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{\\rm{M'}}\\left( {{{\\rm{x}}_0};{{\\rm{y}}_0}} \\right)\\,\\,khi\\,\\,{\\rm{M}} \\in {\\rm{d}}}\\\\{{\\rm{M'}}\\left( {{{\\rm{y}}_0};{{\\rm{x}}_0}} \\right)\\,\\,khi\\,\\,{\\rm{M}} \\notin {\\rm{d}}}\\end{array}} \\right.\\)</p>"},{"article_id":146667,"cat_id":1575,"publish_time":1691741940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_2-0_8.png","title":"Giải bài 3 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","label":"Bài 3 trang 19","alias":"giai-bai-3-trang-19-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; 2), B(4; –3) và M(–8; 5).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691742289.png\"   /></p>\r\n<p>a) </p>\r\n<p>+ Gọi A’ là ảnh của A qua \\({Đ_{Ox}}\\).</p>\r\n<p>Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn AA’ hay A’ đối xứng với A qua Ox</p>\r\n<p>Do đó hai điểm A(3; 2) và A’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.</p>\r\n<p>Vì vậy tọa độ điểm A’(3; –2).</p>\r\n<p>+ Gọi B’ là ảnh của B qua \\({Đ_{Oy}}\\).</p>\r\n<p>Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn BB’ hay B’ đối xứng với B qua Oy</p>\r\n<p>Do đó hai điểm B(4; –3) và B’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.</p>\r\n<p>Vì vậy tọa độ điểm B’(–4; –3).</p>\r\n<p>Vậy ảnh của A qua \\({Đ_{Ox}}\\) là A’(3; –2) và ảnh của B qua \\({Đ_{Oy}}\\) là B’(–4; –3).</p>\r\n<p>b) Ta có M là ảnh của N qua \\({Đ_{Oy}}\\)</p>\r\n<p>Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn MN hay M và N đối xứng với nhau qua Oy</p>\r\n<p>Do đó hai điểm M(–8; 5) và N có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.</p>\r\n<p>Vì vậy tọa độ điểm N(8; 5).</p>\r\n<p>Vậy tọa độ N(8; 5).</p>"},{"article_id":146670,"cat_id":1575,"publish_time":1691741580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_3-0_5.png","title":"Giải bài 4 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","label":"Bài 4 trang 19","alias":"giai-bai-4-trang-19-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \\(\\left( C \\right):{\\rm{ }}{\\left( {x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3} \\right)^2}\\; + {\\rm{ }}{\\left( {y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}4} \\right)^2}\\; = {\\rm{ }}25\\) và đường thẳng \\(\\Delta :{\\rm{ }}2x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}3y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}4{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường tròn (C) có tâm I(3; 4), bán kính R = 5.</p>\r\n<p>a)</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691742463.png\"   /></p>\r\n<p>+ Gọi \\(({C_1})\\) là ảnh của (C) qua \\({Đ_{Ox}}\\), khi đó (C<sub>1</sub>) có tâm I<sub>1 </sub>là ảnh của I(3; 4) \\({Đ_{Ox}}\\) và bán kính \\({R_1}\\; = {\\rm{ }}R{\\rm{ }} = {\\rm{ }}5.\\)</p>\r\n<p>Ta có \\({I_1}\\; = {\\rm{ }}{Đ_{Ox}}\\left( I \\right).\\)</p>\r\n<p>Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn \\(\\;I{I_1}\\)</p>\r\n<p>Do đó hai điểm I(3; 4) và I<sub>1</sub> có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.</p>\r\n<p>Vì vậy tọa độ \\({I_1}\\left( {3;{\\rm{ }}-4} \\right).\\)</p>\r\n<p>Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đ<sub>Ox</sub> là đường tròn (C<sub>1</sub>) có phương trình là:</p>\r\n<p>\\({\\left( {x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3} \\right)^2}\\; + {\\rm{ }}{\\left( {y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}4} \\right)^2}\\; = {\\rm{ }}25.\\)</p>\r\n<p>+ Trục \\(Ox:{\\rm{ }}y{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>\r\n<p>Với y = 0, ta có \\(2x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}3.0{\\rm{ }} + {\\rm{ }}4{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0 \\Leftrightarrow x{\\rm{ }} = {\\rm{ }}-2.\\)</p>\r\n<p>Suy ra giao điểm của ∆ và trục Ox là điểm \\(P\\left( {-2;{\\rm{ }}0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Khi đó \\(P{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_{Ox}}\\left( P \\right).\\)</p>\r\n<p>Chọn \\(M\\left( {1;{\\rm{ }}-2} \\right) \\in \\Delta \\)</p>\r\n<p>Gọi M<sub>1</sub> và ∆<sub>1</sub> theo thứ tự là ảnh của M và \\(\\Delta \\) qua \\({Đ_{Ox}}\\)</p>\r\n<p>Ta thấy Ox là đường trung trực của đoạn MM<sub>1</sub>.</p>\r\n<p>Do đó hai điểm M(1; –2) và M<sub>1</sub> có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.</p>\r\n<p>Vì vậy tọa độ \\({M_1}\\left( {1;{\\rm{ }}2} \\right).\\)</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{M_1}P}  = \\left( { - 3; - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\;\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{M_1}P}  = \\left( { - 3; - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\({\\Delta _1}\\;\\) có vectơ pháp tuyến \\({\\vec n_{{\\Delta _1}}} = \\left( {2; - 3} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vậy đường thẳng \\({\\Delta _1}\\;\\) đi qua P(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến \\({\\vec n_{{\\Delta _1}}} = \\left( {2; - 3} \\right)\\) nên có phương trình là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(2\\left( {x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}2} \\right){\\rm{ }}-{\\rm{ }}3\\left( {y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}0} \\right){\\rm{ }} = {\\rm{ }}0 \\Leftrightarrow 2x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}4{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>\r\n<p>b)</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691742508.png\"   /></p>\r\n<p>+ Gọi \\(({C_2})\\) là ảnh của (C) qua \\({Đ_{Oy}}\\), khi đó \\(({C_2})\\) có tâm \\({I_{2\\;}}\\)  là ảnh của \\(I\\left( {3;{\\rm{ }}4} \\right)\\)qua \\({Đ_{Oy}}\\)  và bán kính \\({R_2}\\; = {\\rm{ }}R{\\rm{ }} = {\\rm{ }}5.\\)</p>\r\n<p>Ta có \\({I_2}\\; = {\\rm{ }}{Đ_{Oy}}\\left( I \\right).\\)</p>\r\n<p>Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn \\(I{I_2}.\\)</p>\r\n<p>Do đó hai điểm I(3; 4) và \\({I_{2\\;}}\\) có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.</p>\r\n<p>Vì vậy tọa độ \\({I_2}\\left( {-3;{\\rm{ }}4} \\right).\\)</p>\r\n<p>Vậy ảnh của đường tròn (C) qua \\({Đ_{Oy}}\\)  là đường tròn \\(({C_2})\\) có phương trình là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({\\left( {x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}3} \\right)^2}\\; + {\\rm{ }}{\\left( {y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}4} \\right)^2}\\; = {\\rm{ }}25.\\)</p>\r\n<p>+ Trục \\(Oy:{\\rm{ }}x{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>\r\n<p>Với x = 0, ta có \\(2.0{\\rm{ }} + {\\rm{ }}3y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}4{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0{\\rm{ }} \\Leftrightarrow y =  - \\frac{4}{3}\\)</p>\r\n<p>Suy ra giao điểm của \\(\\Delta \\) và trục Oy là điểm  \\(Q\\left( {0; - \\frac{4}{3}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Khi đó \\(Q{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_{Oy}}\\left( Q \\right).\\)</p>\r\n<p>Chọn \\(M\\left( {1;{\\rm{ }}-2} \\right) \\in \\Delta \\)</p>\r\n<p>Gọi \\({M_2}\\;\\) và \\({\\Delta _2}\\;\\)  theo thứ tự là ảnh của M và \\(\\Delta \\) qua \\({Đ_{Oy}}\\)</p>\r\n<p>Ta thấy Oy là đường trung trực của đoạn \\(M{M_2}.\\)</p>\r\n<p>Do đó hai điểm M(1; –2) và M<sub>2</sub> có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.</p>\r\n<p>Vì vậy tọa độ \\({M_2}\\left( {-1;{\\rm{ }}-2} \\right).\\)</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {{M_2}Q}  = \\left( {1;\\frac{2}{3}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Đường thẳng ∆<sub>2</sub> có vectơ chỉ phương \\({\\vec u_2} = 3\\overrightarrow {{M_2}Q}  = \\left( {3;2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra ∆<sub>2</sub> có vectơ pháp tuyến \\({\\vec n_{{\\Delta _2}}} = \\left( {2; - 3} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vậy đường thẳng \\({\\Delta _2}\\)  đi qua \\({M_2}\\left( {-1;{\\rm{ }}-2} \\right)\\) và có vectơ pháp tuyến \\({\\vec n_{{\\Delta _2}}} = \\left( {2; - 3} \\right)\\) nên có phương trình là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(2\\left( {x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}1} \\right){\\rm{ }}-{\\rm{ }}3\\left( {y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}2} \\right){\\rm{ }} = {\\rm{ }}0 \\Leftrightarrow 2x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}4{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>\r\n<p>c)</p>\r\n<p> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691742541.png\"   /></p>\r\n<p>+ Gọi \\({\\rm{ }}({C_3})\\) là ảnh của (C) qua \\({Đ_d}\\), khi đó \\(({C_2})\\) có tâm \\({I_3}\\) <sub> </sub>là ảnh của I(3; 4) qua Đ<sub>d </sub>và bán kính \\({R_3}\\; = {\\rm{ }}R{\\rm{ }} = {\\rm{ }}5.\\)</p>\r\n<p>Ta có \\({I_3}\\; = {\\rm{ }}{Đ_d}\\left( I \\right).\\)</p>\r\n<p>Suy ra d là đường trung trực của đoạn II<sub>3</sub> nên II<sub>3</sub> ⊥ d tại trung điểm của II<sub>3</sub>.</p>\r\n<p>Mà đường thẳng \\(d:{\\rm{ }}x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0\\) có vectơ pháp tuyến \\({\\vec n_d} = \\left( {1; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra đường thẳng II<sub>3</sub> có vectơ chỉ phương \\({\\vec n_d} = \\left( {1; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Do đó đường thẳng II<sub>3</sub> có vectơ pháp tuyến \\(\\vec u = \\left( {1;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì vậy đường thẳng II<sub>3</sub> đi qua điểm I(3; 4) và nhận \\(\\vec u = \\left( {1;1} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:</p>\r\n<p>\\(1\\left( {x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3} \\right){\\rm{ }} + {\\rm{ }}1\\left( {y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}4} \\right){\\rm{ }} = {\\rm{ }}0 \\Leftrightarrow x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}7{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>\r\n<p>Gọi H là giao điểm của \\(I{I_3}\\) và đường thẳng d.</p>\r\n<p>Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{\\rm{x}} - {\\rm{y}} - 3 = 0}\\\\{{\\rm{x}} + {\\rm{y}} - 7 = 0}\\end{array}} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{\\rm{x}} = 5}\\\\{{\\rm{y}} = 2}\\end{array}} \\right.\\)</p>\r\n<p>Do đó tọa độ \\(H\\left( {5;{\\rm{ }}2} \\right).\\)</p>\r\n<p>Ta có H là trung điểm \\(I{I_3}.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{{\\rm{x}}_{{{\\rm{I}}_3}}} = 2{{\\rm{x}}_{\\rm{H}}} - {{\\rm{x}}_{\\rm{I}}} = 2.5 - 3 = 7}\\\\{{{\\rm{y}}_{{{\\rm{I}}_3}}} = 2{{\\rm{y}}_{\\rm{H}}} - {{\\rm{y}}_{\\rm{I}}} = 2.2 - 4 = 0}\\end{array}} \\right.\\)</p>\r\n<p>Do đó tọa độ \\({I_3}\\left( {7;{\\rm{ }}0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Vậy ảnh của đường tròn (C) qua \\({Đ_d}\\) là đường tròn \\(({C_3})\\) có phương trình là:</p>\r\n<p>\\({\\left( {x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}7} \\right)^2}\\; + {\\rm{ }}{y^2}\\; = {\\rm{ }}25.\\)</p>\r\n<p>+ Gọi R là giao điểm của \\(\\Delta \\)  và d.</p>\r\n<p>Suy ra tọa độ R thỏa mãn hệ phương trình:</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{2{\\rm{x}} + 3{\\rm{y}} + 4 = 0}\\\\{{\\rm{x}} - {\\rm{y}} - 3 = 0}\\end{array}} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{\\rm{x}} = 1}\\\\{{\\rm{y}} =  - 2}\\end{array}} \\right.\\)</p>\r\n<p>Do đó tọa độ R(1; –2).</p>\r\n<p>Khi đó \\(R{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_d}\\left( R \\right).\\)</p>\r\n<p>Chọn \\(N\\left( {-2;{\\rm{ }}0} \\right) \\in \\Delta :{\\rm{ }}2x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}3y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}4{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>\r\n<p>Gọi N’ và \\({\\Delta _3}\\) theo thứ tự là ảnh của N và \\(\\Delta \\) qua \\({Đ_d}\\).</p>\r\n<p>Ta thấy d là đường trung trực của đoạn NN’.</p>\r\n<p>Mà đường thẳng \\(d:{\\rm{ }}x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0\\)  có vectơ pháp tuyến \\({\\vec n_d} = \\left( {1; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra đường thẳng NN’ có vectơ chỉ phương \\({\\vec n_d} = \\left( {1; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Do đó đường thẳng NN’ có vectơ pháp tuyến \\(\\vec u = \\left( {1;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì vậy đường thẳng NN’ đi qua N(–2; 0) và nhận \\(\\vec u = \\left( {1;1} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:</p>\r\n<p>\\(1\\left( {x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}2} \\right){\\rm{ }} + {\\rm{ }}1\\left( {y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}0} \\right){\\rm{ }} = {\\rm{ }}0 \\Leftrightarrow x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}2{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>\r\n<p>Gọi K là giao điểm của NN’ và đường thẳng d.</p>\r\n<p>Suy ra tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{\\rm{x}} + {\\rm{y}} + 2 = 0}\\\\{{\\rm{x}} - {\\rm{y}} - 3 = 0}\\end{array}} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{\\rm{x}} = \\frac{1}{2}}\\\\{{\\rm{y}} =  - \\frac{5}{2}}\\end{array}} \\right.\\)</p>\r\n<p>Do đó tọa độ \\(K\\left( {\\frac{1}{2}; - \\frac{5}{2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có K là trung điểm NN’.</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{{\\rm{x}}_{{\\rm{N'}}}} = 2{{\\rm{x}}_{\\rm{K}}} - {{\\rm{x}}_{\\rm{N}}} = 2.\\frac{1}{2} + 2 = 3}\\\\{{{\\rm{y}}_{{\\rm{N'}}}} = 2{{\\rm{y}}_{\\rm{K}}} - {{\\rm{y}}_{\\rm{N}}} = 2.\\left( { - \\frac{5}{2}} \\right) - 0 =  - 5}\\end{array}} \\right.\\)</p>\r\n<p>Do đó tọa độ N’(3; –5).</p>\r\n<p>Với R(1; –2), ta có \\(\\overrightarrow {N'R}  = \\left( { - 2;3} \\right)\\)</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _3}\\)  có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {N'R}  = \\left( { - 2;3} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\({\\Delta _3}\\) có vectơ pháp tuyến \\({\\vec n_{{\\Delta _3}}} = \\left( {3;2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vậy đường thẳng \\({\\Delta _3}\\) đi qua N’(3; –5) và nhận \\({\\vec n_{{\\Delta _3}}} = \\left( {3;2} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(3\\left( {x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3} \\right){\\rm{ }} + {\\rm{ }}2\\left( {y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}5} \\right){\\rm{ }} = {\\rm{ }}0 \\Leftrightarrow 3x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}2y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}1{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)</p>"},{"article_id":146671,"cat_id":1575,"publish_time":1691741940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_4-0_7.png","title":"Giải bài 5 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","label":"Bài 5 trang 19","alias":"giai-bai-5-trang-19-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho tam giác ABC với B và C cố định. Vẽ hai đường tròn có tâm lần lượt là B, C và đi qua A","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691742678.png\"   /></p>\r\n<p><span>Gọi đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua <span class=\"MTConvertedEquation\">\\({Đ_{BC}}.\\)</span></span></p>\r\n<p><span>Ta có đường tròn tâm B và đường tròn tâm C cắt nhau tại hai điểm A và D.</span></p>\r\n<p><span>Suy ra BC là đường trung trực của đoạn AD.</span></p>\r\n<p><span>Do đó D là ảnh của A qua <span class=\"MTConvertedEquation\">\\({Đ_{BC}}.\\)</span></span></p>\r\n<p><span>Vậy khi điểm A di động trên đường tròn cố định (O) thì điểm D di động trên đường tròn cố định (O’), với (O’) là ảnh của (O) qua <span class=\"MTConvertedEquation\">\\({Đ_{BC}}.\\)</span></span></p>"},{"article_id":146672,"cat_id":1575,"publish_time":1691741940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_5-0_4.png","title":"Giải bài 6 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","label":"Bài 6 trang 19","alias":"giai-bai-6-trang-19-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":" Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691742882.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi d là đường trung trực của đoạn MN.</p>\r\n<p>Suy ra điểm N là ảnh của điểm M qua \\({Đ_d}\\)</p>\r\n<p>Lấy điểm A’ là ảnh của điểm A qua \\({Đ_d}\\)</p>\r\n<p>Suy ra đoạn A’N là ảnh của đoạn AM qua \\({Đ_d}\\)</p>\r\n<p>Do đó \\(A'N{\\rm{ }} = {\\rm{ }}AM.\\)</p>\r\n<p>Lấy điểm B’ là ảnh của điểm B qua</p>\r\n<p>Suy ra b là đường trung trực của đoạn BB’.</p>\r\n<p>Mà \\(N \\in b\\)  (giả thiết).</p>\r\n<p>Do đó \\(NB'{\\rm{ }} = {\\rm{ }}NB.\\)</p>\r\n<p>Ta có \\(AM{\\rm{ }} + {\\rm{ }}NB{\\rm{ }} = {\\rm{ }}A'N{\\rm{ }} + {\\rm{ }}NB'.\\)</p>\r\n<p>Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆A’NB’, ta được: \\(A'N{\\rm{ }} + {\\rm{ }}NB'{\\rm{ }} \\ge {\\rm{ }}A'B'.\\)</p>\r\n<p>Do đó tổng khoảng cách \\(AM{\\rm{ }} + {\\rm{ }}NB\\) ngắn nhất khi và chỉ khi \\(A'N{\\rm{ }} + {\\rm{ }}NB'{\\rm{ }} = {\\rm{ }}A'B'.\\)</p>\r\n<p>Tức là, ba điểm A’, N, B’ thẳng hàng.</p>\r\n<p>Vậy N là giao điểm của A’B’ và bờ b, M là điểm nằm bên bờ a thỏa mãn M = Đ<sub>d</sub>(N), với d là đường trung trực của đoạn MN, \\(A'{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_d}\\left( A \\right),{\\rm{ }}B'{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_b}\\left( B \\right).\\)</p>"},{"article_id":146673,"cat_id":1575,"publish_time":1691741940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_6-0_1.png","title":"Giải bài 7 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","label":"Bài 7 trang 19","alias":"giai-bai-7-trang-19-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Vận dụng phép đối xứng trục để vẽ nhanh bình hoa theo hướng dẫn trong Hình 14.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0811/1691743002.png\"   /></p>\r\n<p>Lấy điểm A nằm trên hình bình hoa vừa vẽ nhưng không nằm trên đường thẳng d.</p>\r\n<p>Ta đặt \\(A'{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_d}\\left( A \\right).\\)</p>\r\n<p>Khi đó A’ nằm trên hình bình hoa vừa vẽ.</p>\r\n<p>Lấy điểm B nằm trên hình bình hoa vừa vẽ và nằm trên đường thẳng d.</p>\r\n<p>Ta thấy \\(B{\\rm{ }} = {\\rm{ }}{Đ_d}\\left( B \\right).\\)</p>\r\n<p>Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình bình hoa vừa vẽ, ta đều xác định được ảnh của các điểm đó qua Đ<sub>d</sub> trên hình bình hoa vừa vẽ.</p>\r\n<p>Do đó \\({Đ_d}\\)  biến hình bình hoa vừa vẽ thành chính nó.</p>\r\n<p>Vậy đường thẳng d là trục đối xứng của hình bình hoa vừa vẽ.</p>"}],"most_views":[{"article_id":146670,"cat_id":1575,"publish_time":1691741580,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_3-0_5.png","title":"Giải bài 4 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","alias":"giai-bai-4-trang-19-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \\(\\left( C \\right):{\\rm{ }}{\\left( {x{\\rm{ }}-{\\rm{ }}3} \\right)^2}\\; + {\\rm{ }}{\\left( {y{\\rm{ }}-{\\rm{ }}4} \\right)^2}\\; = {\\rm{ }}25\\) và đường thẳng \\(\\Delta :{\\rm{ }}2x{\\rm{ }} + {\\rm{ }}3y{\\rm{ }} + {\\rm{ }}4{\\rm{ }} = {\\rm{ }}0.\\)","display_type":1},{"article_id":146660,"cat_id":1575,"publish_time":1691740380,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_49.png","title":"Giải mục 1 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo","alias":"giai-muc-1-trang-15-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Cho đường thẳng d. Gọi f là quy tắc xác định như sau:","display_type":1},{"article_id":146672,"cat_id":1575,"publish_time":1691741940,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_5-0_4.png","title":"Giải bài 6 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","alias":"giai-bai-6-trang-19-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":" Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). ","display_type":1},{"article_id":146665,"cat_id":1575,"publish_time":1691741580,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_52.png","title":"Giải bài 1 trang 18 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo","alias":"giai-bai-1-trang-18-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Vẽ các hình sau đây vào giấy kẻ ô vuông và tìm ảnh của các hình đã cho qua phép đối xứng trục d.","display_type":1},{"article_id":146661,"cat_id":1575,"publish_time":1691740380,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0811/resize_1-0_50.png","title":"Giải mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo","alias":"giai-muc-2-trang-15-16-17-chuyen-de-hoc-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao","introtext":"Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). ","display_type":2}],"list_sub_event":[],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}