{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2024/0613/1-0.jpg","title":"Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian - Toán 12 Cánh diều","display_type":3,"cat_id":1785,"cat_title":"SGK Toán 12 - Cánh diều","alias":"chuong-5-phuong-trinh-mat-phang-duong-thang-mat-cau-trong-khong-gian-toan-12-canh-dieu","introtext":"","content_box_above":"Giải bài tập Toán lớp 12 Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết đầy đủ các bài trong sgk, giúp học sinh soạn bài tập Toán 12 chương 5","type":"event","page_builder":"","item_id":36889,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":176759,"cat_id":1785,"publish_time":1730790660,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1105/resize_bia-mat-cau-0.png","title":"Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Cánh Diều","label":"Lý thuyết Phương trình mặt cầu","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-mat-cau-toan-12-canh-dieu","introtext":"1. Định nghĩa mặt cầu","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":176330,"cat_id":1785,"publish_time":1730262840,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1030/resize_bai-pt-dt-0.png","title":"Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều","label":"Lý thuyết Phương trình đường thẳng","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-duong-thang-toan-12-canh-dieu","introtext":"1. Phương trình đường thẳng\r\na) Vecto chỉ phương của đường thẳng","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":176310,"cat_id":1785,"publish_time":1730262120,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1030/resize_bia-pt-dt-0.png","title":"Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều","label":"Lý thuyết Phương trình mặt phẳng","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-mat-phang-toan-12-canh-dieu","introtext":"1. Vecto pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng\r\na) Vecto pháp tuyến","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":174412,"cat_id":1785,"publish_time":1728022920,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b1-0_2.png","title":"Giải bài tập 1 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 1 trang 87","alias":"giai-bai-tap-1-trang-87-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Mặt phẳng (P):   có một vectơ pháp tuyến là: \r\nA. \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {3;4;5} \\right)\\).\r\nB. \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {3; - 4;5} \\right)\\).\r\nC. \\(\\overrightarrow {{n_3}}  = \\left( { - 3;4;5} \\right)\\).\r\nD. \\(\\overrightarrow {{n_4}}  = \\left( {3;4; - 5} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng (P): \\(3x - 4y + 5z - 6 = 0\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {3; - 4;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn B</p>"},{"article_id":174401,"cat_id":1785,"publish_time":1728015720,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_m1-0.png","title":"Giải mục 1 trang 81, 82 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 1 trang 81, 82","alias":"giai-muc-1-trang-81-82-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian.\r\n\r\nTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":174114,"cat_id":1785,"publish_time":1727836800,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1002/resize_m1-0.png","title":"Giải mục 1 trang 65, 66, 67, 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 1 trang 65, 66, 67, 68, 69","alias":"giai-muc-1-trang-65-66-67-68-69-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 23). Giá của vectơ (overrightarrow {A'C'} ) và đường thẳng AC có vị trí tương đối như thế nào?","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":166853,"cat_id":1785,"publish_time":1718248320,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_7.jpg","title":"Giải mục 1 trang 50, 51, 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 1 trang 50, 51, 52","alias":"giai-muc-1-trang-505152-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Vecto pháp tuyến. Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":174413,"cat_id":1785,"publish_time":1728023100,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b2-0_2.png","title":"Giải bài tập 2 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 2 trang 87","alias":"giai-bai-tap-2-trang-87-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 2}}{3} = \\frac{{y - 3}}{6} = \\frac{{z - 1}}{9}\\) có một vectơ chỉ phương là:\r\nA. \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {2;3;1} \\right)\\).\r\nB. \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {6;3;9} \\right)\\).\r\nC. \\(\\overrightarrow {{u_3}}  = \\left( {3;9;6} \\right)\\).\r\nD. \\(\\overrightarrow {{u_4}}  = \\left( {1;2;3} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 2}}{3} = \\frac{{y - 3}}{6} = \\frac{{z - 1}}{9}\\) có một vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {{u_4}}  = \\left( {1;2;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn D</p>"},{"article_id":174402,"cat_id":1785,"publish_time":1728016260,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_m2-0.png","title":"Giải mục 2 trang 82, 83 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 2 trang 82, 83","alias":"giai-muc-2-trang-82-83-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c).\r\na) Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I.\r\nb) Nêu mối liên hệ giữa x, y và z để M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R.","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":174273,"cat_id":1785,"publish_time":1727943900,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1003/resize_m2-0.png","title":"Giải mục 2 trang 69, 70, 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 2 trang 69, 70, 71","alias":"giai-muc-2-trang-69-70-71-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho hai đường thẳng phân biệt \\({\\Delta _1},{\\Delta _2}\\) lần lượt đi qua các điểm \\({M_1},{M_2}\\) và tương ứng có vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} \\) . \r\na) Giả sử \\({\\Delta _1}\\) song song với \\({\\Delta _2}\\) (Hình 25). Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không: \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\) và \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\);  \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\) và \\(\\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \\)?","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":166854,"cat_id":1785,"publish_time":1718248740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_3-0.jpg","title":"Trả lời câu hỏi trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi trang 52","alias":"tra-loi-cau-hoi-trang-52-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-1;2) và có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n  = (1;2;3))\r\nGiả sử M(x;y;z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7)\r\n \r\na) Tính tích vô hướng (overrightarrow n .overrightarrow {AM} ) theo x, y, z\r\nb) Tọa độ (x;y;z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\overrightarrow {AM}  = (x - 1;y + 1;z - 2)\\)</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow n .\\overrightarrow {AM}  = (x - 1) + 2(y + 1) + 3(z - 2) = x + 2y + 3z - 5\\)</p>\r\n<p>b) Tọa độ (x;y;z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0</p>"},{"article_id":174414,"cat_id":1785,"publish_time":1728023220,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b3-0_2.png","title":"Giải bài tập 3 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 3 trang 87","alias":"giai-bai-tap-3-trang-87-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"a) Mặt cầu (S):   có bán kính là:\r\nA. 10.\r\nB. 11.\r\nC. 12.\r\nD. 13.\r\nb) Tọa độ tâm của mặt cầu (S): \\({\\left( {x - 5} \\right)^2} + {\\left( {y + 6} \\right)^2} + {\\left( {z - 7} \\right)^2} = 8\\) là:\r\nA. (-5; 6; 7).\r\nB. (5; 6; -7).\r\nC. (5; -6; 7).\r\nD. (-5; 6; 7).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Mặt cầu (S) có bán kính là \\(R = \\sqrt {100}  = 10\\).</p>\r\n<p>Chọn A</p>\r\n<p>b) Ta có: \\({\\left( {x - 5} \\right)^2} + {\\left( {y + 6} \\right)^2} + {\\left( {z - 7} \\right)^2} = 8 \\Leftrightarrow {\\left( {x - 5} \\right)^2} + {\\left[ {y - \\left( { - 6} \\right)} \\right]^2} + {\\left( {z - 7} \\right)^2} = 8\\).</p>\r\n<p>Mặt cầu (S) có tâm có tọa độ (5; -6; 7).</p>\r\n<p>Chọn C</p>"},{"article_id":174403,"cat_id":1785,"publish_time":1728016680,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_m3-0_1.png","title":"Giải mục 3 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 3 trang 85","alias":"giai-muc-3-trang-85-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D (5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":174378,"cat_id":1785,"publish_time":1728012060,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_m3-0.png","title":"Giải mục 3 trang 71, 72, 73, 74, 75 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 3 trang 71, 72, 73, 74, 75","alias":"giai-muc-3-trang-71-72-73-74-75-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho hai mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\) và \\(\\left( {{P_2}} \\right)\\). Lấy hai đường thẳng \\({\\Delta _1},{\\Delta _2}\\) sao cho \\({\\Delta _1} \\bot \\left( {{P_1}} \\right),\\) \\({\\Delta _2} \\bot \\left( {{P_2}} \\right)\\) (Hình 31). ","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":166855,"cat_id":1785,"publish_time":1718250000,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_6.jpg","title":"Giải mục 3 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 3 trang 54,55,56","alias":"giai-muc-3-trang-545556-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":174415,"cat_id":1785,"publish_time":1728023340,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b4-0_2.png","title":"Giải bài tập 4 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 4 trang 87","alias":"giai-bai-tap-4-trang-87-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng \\(x - a - b - c = 0\\) là:\r\nA. \\(\\left| {a + b} \\right|\\).\r\nB. \\(\\left| {b + c} \\right|\\).\r\nC. \\(\\left| {c + a} \\right|\\).\r\nD. \\(\\frac{{\\left| {b + c} \\right|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(d\\left( {M,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {a - a - b - c} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2}} }} = \\left| {b + c} \\right|\\).</p>\r\n<p>Chọn B</p>"},{"article_id":174404,"cat_id":1785,"publish_time":1728016980,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b1-0_1.png","title":"Giải bài tập 1 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 1 trang 85","alias":"giai-bai-tap-1-trang-85-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Tâm của mặt cầu (S): \\({\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\left( {y - 3} \\right)^2} + {\\left( {z + 4} \\right)^2} = 16\\) có tọa độ là:\r\nA. \\(\\left( { - 2; - 3;4} \\right)\\).\r\nB. \\(\\left( {2;3; - 4} \\right)\\).\r\nC. \\(\\left( {2; - 3; - 4} \\right)\\).\r\nD. \\(\\left( {2; - 3;4} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\({\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\left( {y - 3} \\right)^2} + {\\left( {z + 4} \\right)^2} = 16 \\Leftrightarrow {\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\left( {y - 3} \\right)^2} + {\\left( {z - \\left( { - 4} \\right)} \\right)^2} = 16\\).</p>\r\n<p>Do đó, tâm của mặt cầu (S) có tọa độ \\(\\left( {2;3; - 4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn B</p>"},{"article_id":174379,"cat_id":1785,"publish_time":1728012840,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b1-0.png","title":"Giải bài tập 1 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 1 trang 78","alias":"giai-bai-tap-1-trang-78-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2;8; - 7} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2;8; - 7} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 - 2t\\\\y = 2 + 8t\\\\z = 5 - 7t\\end{array} \\right.\\) .</p>\r\n<p>Chọn D</p>"},{"article_id":166857,"cat_id":1785,"publish_time":1718251200,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_3-0_1.jpg","title":"Giải mục 4 trang 57,58,59 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 4 trang 57,58,59","alias":"giai-muc-4-trang-575859-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":174416,"cat_id":1785,"publish_time":1728023460,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b5-0_2.png","title":"Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 5 trang 87","alias":"giai-bai-tap-5-trang-87-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2).\r\na) Tìm tọa độ của các vectơ \\(\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} \\) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.\r\nb) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC.\r\nc) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).\r\nd) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.\r\ne) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 1; - 1;2} \\right),\\overrightarrow {AC}  = \\left( {2; - 1; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Một vectơ vuông góc với cả hai vectơ \\(\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} \\) là: \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right]\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;2\\\\{ - 1}&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;{ - 1}\\\\{ - 1}&amp;2\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;{ - 1}\\\\2&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {3;3;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 1; - 1;2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương nên:</p>\r\n<p>+ Phương trình tham số của đường thẳng AB: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - t\\\\y = 1 - t\\\\z = 3 + 2t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số).</p>\r\n<p>+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AB: \\(\\frac{x}{{ - 1}} = \\frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \\frac{{z - 3}}{2}\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng AC đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \\(\\overrightarrow {AC}  = \\left( {2; - 1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương nên:</p>\r\n<p>+ Phương trình tham số của đường thẳng AC: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2t\\\\y = 1 - t\\\\z = 3 - t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số).</p>\r\n<p>+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AC: .</p>\r\n<p>c) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 1; 3) và nhận \\(\\frac{1}{3}\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( {1;1;1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) là:</p>\r\n<p>\\(x + y - 1 + z - 3 = 0 \\Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\\)</p>\r\n<p>d) Thay tọa độ điểm D(1; 1; -2) vào mặt phẳng (ABC) ta có: \\(1 + 1 + \\left( { - 2} \\right) - 4 =  - 4 \\ne 0\\) nên điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.</p>\r\n<p>e) Ta có: \\(d\\left( {D,\\left( {ABC} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1 + 1 - 2 - 4} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \\frac{{4\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>"},{"article_id":174405,"cat_id":1785,"publish_time":1728017100,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b2-0_1.png","title":"Giải bài tập 2 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 2 trang 85","alias":"giai-bai-tap-2-trang-85-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Bán kính của mặt cầu (S): \\({\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = 9\\) có tọa độ là\r\nA. 3.\r\nB. 9.\r\nC. 81.\r\nD. \\(\\sqrt 3 \\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu (S) có bán kính là: \\(R = \\sqrt 9  = 3\\).</p>\r\n<p>Chọn A</p>"},{"article_id":174382,"cat_id":1785,"publish_time":1728013020,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b2-0.png","title":"Giải bài tập 2 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 2 trang 78","alias":"giai-bai-tap-2-trang-78-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Đường thẳng đi qua điểm \\(B\\left( { - 1;3;6} \\right)\\) nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2; - 3;8} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì đường thẳng đi qua điểm \\(B\\left( { - 1;3;6} \\right)\\) nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2; - 3;8} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \\(\\frac{{x - \\left( { - 1} \\right)}}{2} = \\frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \\frac{{z - 6}}{8} \\Leftrightarrow \\frac{{x + 1}}{2} = \\frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \\frac{{z - 6}}{8}\\).</p>\r\n<p>Chọn B</p>"},{"article_id":166860,"cat_id":1785,"publish_time":1718251920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_5.jpg","title":"Trả lời câu hỏi trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Câu hỏi trang 59","alias":"tra-loi-cau-hoi-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với \\(\\overrightarrow n  = (A;B;C)\\) là vecto pháp tuyến. Cho điểm \\({M_0}(2;3;4)\\). Gọi \\(H({x_H};{y_H};{z_H})\\) là hình chiếu vuông góc của điểm \\({M_0}\\) trên mặt phẳng (P) (Hình 16)\r\na) Tính tọa độ của \\(\\overrightarrow {H{M_0}} \\) theo \\({x_H},{y_H},{z_H}\\)\r\nb) Nêu nhận xét về phương của hai vecto \\(\\overrightarrow n  = (A;B;C)\\), \\(\\overrightarrow {H{M_0}} \\). Từ đó, hãy suy ra rằng \\(\\left| {\\overrightarrow n .\\overrighta","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\overrightarrow {H{M_0}}  = (2 - {x_H};3 - {y_H};4 - {z_H})\\)</p>\r\n<p>b) Vì H là hình chiếu vuông góc của \\({M_0}\\) trên mặt phẳng (P) nên 2 vecto \\(\\overrightarrow n \\) và \\(\\overrightarrow {H{M_0}} \\) cùng phương</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left| {\\overrightarrow n .\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right| = \\left| {\\overrightarrow n } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right|.\\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow n ;\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right)} \\right| = \\left| {\\overrightarrow n } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right|\\)</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\overrightarrow n .\\overrightarrow {H{M_0}}  = A(2 - {x_H}) + B(3 - {y_H}) + C(4 - {z_H}) = A.2 + B.3 + C.4 + ( - A{x_H} - B{y_H} - C{z_H}) = A.2 + B.3 + C.4 + D\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow \\left| {\\overrightarrow n .\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right| = \\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \\right|\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left| {\\overrightarrow n .\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right| = \\left| {\\overrightarrow n } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right| = \\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \\right|\\)</p>\r\n<p>c) \\(\\left| {\\overrightarrow n } \\right| = \\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \\)</p>\r\n<p>\\(\\left| {\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right| = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow n .\\overrightarrow {H{M_0}} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow n } \\right|}} = \\frac{{\\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \\right|}}{{\\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\\)</p>\r\n<p>Vậy công thức tính khoảng cách từ điểm \\({M_0}(2;3;4)\\) đến mặt phẳng (P) là \\(d({M_0};(P)) = \\frac{{\\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \\right|}}{{\\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\\)</p>"},{"article_id":174417,"cat_id":1785,"publish_time":1728023580,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b6-0_2.png","title":"Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 6 trang 87","alias":"giai-bai-tap-6-trang-87-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2; - 4;1} \\right)\\);\r\nb) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {1; - 3; - 2} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( { - 3;4;1} \\right)\\);\r\nc) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng \\(\\left( Q \\right):2x + y - z - 3 = 0\\);\r\nd) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình mặt phẳng (P): \\(2\\left( {x + 3} \\right) - 4\\left( {y - 1} \\right) + 1.\\left( {z - 4} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0\\).</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&amp;{ - 2}\\\\4&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&amp;1\\\\1&amp;{ - 3}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ - 3}\\\\{ - 3}&amp;4\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {5;5; - 5} \\right)\\).</p>\r\n<p>(P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và nhận \\(\\frac{1}{5}\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {1;1; - 1} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P): \\(x - 2 + y + 1 - \\left( {z - 5} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x + y - z + 4 = 0\\)</p>\r\n<p>c) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì (P) song song với (Q) nên mặt phẳng (P) nhận \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là: \\(2\\left( {x - 4} \\right) + y - \\left( {z + 7} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 2x + y - z - 15 = 0\\).</p>\r\n<p>d) Đường thẳng \\(\\Delta \\) có một vectơ chỉ phương là: \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2;1;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì (P) vuông góc với đường thẳng \\(\\Delta \\) nên mặt phẳng (P) nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2;1;5} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:</p>\r\n<p>\\(2\\left( {x + 4} \\right) + y - 9 + 5\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 2x + y + 5z - 11 = 0\\).</p>"},{"article_id":174406,"cat_id":1785,"publish_time":1728017220,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b3-0_1.png","title":"Giải bài tập 3 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 3 trang 86","alias":"giai-bai-tap-3-trang-86-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Mặt cầu (S) tâm I(-5; -2; 3) bán kính 4 có phương trình là:\r\nA. \\({\\left( {x - 5} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z + 3} \\right)^2} = 4\\).\r\nB. \\({\\left( {x - 5} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {\\left( {z + 3} \\right)^2} = 16\\).\r\nC. \\({\\left( {x + 5} \\right)^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = 4\\).\r\nD. \\({\\left( {x + 5} \\right)^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = 16\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu (S) tâm I(-5; -2; 3) bán kính 4 có phương trình là:</p>\r\n<p>\\({\\left[ {x - \\left( { - 5} \\right)} \\right]^2} + {\\left[ {y - \\left( { - 2} \\right)} \\right]^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = {4^2} \\Leftrightarrow \\)\\({\\left( {x + 5} \\right)^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = 16\\).</p>\r\n<p>Chọn D</p>"},{"article_id":174383,"cat_id":1785,"publish_time":1728013200,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b3-0.png","title":"Giải bài tập 3 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 3 trang 78","alias":"giai-bai-tap-3-trang-78-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x - 2 = 0\\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?\r\nA. \\(\\left( {{P_1}} \\right):x + 2 = 0\\).\r\nB. \\(\\left( {{P_2}} \\right):x + y - 2 = 0\\).\r\nC. \\(\\left( {{P_3}} \\right):z - 2 = 0\\).\r\nD. \\(\\left( {{P_4}} \\right):x + z - 2 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {1;0;0} \\right)\\); mặt phẳng \\(\\left( {{P_3}} \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\cos \\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_3}} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow {{n_1}} ,\\overrightarrow {{n_2}} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow {{n_1}} } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {{n_2}} } \\right|}} = \\frac{{\\left| {1.0 + 0.0 + 0.1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 0\\) nên \\(\\left( {\\overrightarrow {{n_1}} ,\\overrightarrow {{n_2}} } \\right) = {90^o}\\).<br /> Vậy mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( {{P_3}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn C<strong></strong></p>"},{"article_id":166862,"cat_id":1785,"publish_time":1718260380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_3-0_2.jpg","title":"Giải bài tập 1 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 1 trang 63","alias":"giai-bai-tap-1-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?\r\nA. ( - {x^2} + 2y + 3z + 4 = 0)\r\nB. (2x - {y^2} + z + 5 = 0)\r\nC. (x + y - {z^2} + 6 = 0)\r\nD. (3x - 4y - 5z + 1 = 0)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(3x - 4y - 5z + 1 = 0\\) có dạng: \\(Ax + By + Cz + D = 0\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(3x - 4y - 5z + 1 = 0\\) là một phương trình tổng quát của mặt phẳng <strong></strong></p>\r\n<p><strong>Chọn D</strong></p>"},{"article_id":174420,"cat_id":1785,"publish_time":1728023700,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b7-0_2.png","title":"Giải bài tập 7 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 7 trang 88","alias":"giai-bai-tap-7-trang-88-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) (S) có tâm I(4; -2; 1) và bán kính \\(R = 9\\);\r\nb) (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; -1);\r\nc) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; 0) và B(-1; 0; 4).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) (S) có tâm I(4; -2; 1), bán kính \\(R = 9\\) có phương trình là \\({\\left( {x - 4} \\right)^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^2} = 81\\)</p>\r\n<p>b) (S) có tâm I và bán kính \\(IM = \\sqrt {{{\\left( {2 - 3} \\right)}^2} + {{\\left( {4 - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1 - 0} \\right)}^2}}  = \\sqrt 6 \\) nên phương trình mặt cầu (S) là: \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {\\left( {y - 2} \\right)^2} + {z^2} = 6\\).</p>\r\n<p>c) Gọi I là trung điểm của AB nên \\(I\\left( {0;1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì mặt cầu (S) có đường kính là AB nên (S) có tâm \\(I\\left( {0;1;2} \\right)\\), bán kính \\(R = IA = \\sqrt {{{\\left( {1 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( {2 - 1} \\right)}^2} + {{\\left( {0 - 2} \\right)}^2}}  = \\sqrt 6 \\)</p>\r\n<p>Do đó, phương trình mặt cầu (S) là: \\({x^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 2} \\right)^2} = 6\\).</p>"},{"article_id":174407,"cat_id":1785,"publish_time":1728017340,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b4-0_1.png","title":"Giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 4 trang 86","alias":"giai-bai-tap-4-trang-86-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho mặt cầu có phương trình \\({\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 7} \\right)^2} = 100\\).\r\na) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.\r\nb) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p class=\"MTDisplayEquation\">a) Ta có: \\({\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {\\left( {z - 7} \\right)^2} = 100\\)</p>\r\n<p class=\"MTDisplayEquation\">\\( \\Leftrightarrow {\\left( {x - 1} \\right)^2} + {\\left( {y - \\left( { - 2} \\right)} \\right)^2} + {\\left( {z - 7} \\right)^2} = {10^2}\\)</p>\r\n<p class=\"MTDisplayEquation\">Do đó, mặt cầu đã cho có tâm I(1; -2; 7) và bán kính \\(R = 10\\).</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(IA = \\sqrt {{{\\left( {1 - 1} \\right)}^2} + {{\\left( {1 - \\left( { - 2} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( {1 - 7} \\right)}^2}}  = \\sqrt {45}  &lt; R\\) nên điểm A nằm trong mặt cầu đã cho.</p>\r\n<p>\\(IB = \\sqrt {{{\\left( {9 - 1} \\right)}^2} + {{\\left( {4 - \\left( { - 2} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( {7 - 7} \\right)}^2}}  = 10 = R\\) nên điểm B nằm trên mặt cầu đã cho.</p>\r\n<p>\\(IC = \\sqrt {{{\\left( {9 - 1} \\right)}^2} + {{\\left( {9 - \\left( { - 2} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( {10 - 7} \\right)}^2}}  = \\sqrt {194}  &gt; R\\) nên điểm C nằm ngoài mặt cầu đã cho.</p>"},{"article_id":174385,"cat_id":1785,"publish_time":1728013320,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b4-0.png","title":"Giải bài tập 4 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 4 trang 78","alias":"giai-bai-tap-4-trang-78-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho đường thẳng \\(\\Delta \\) có phương trình tham số \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - t\\\\y = 3 + 2t\\\\z =  - 1 + 3t\\end{array} \\right.\\)(t là tham số).\r\na) Chỉ ra tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\).\r\nb) Điểm nào trong các điểm \\(C\\left( {6; - 7; - 16} \\right),D\\left( { - 3;11; - 11} \\right)\\) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\)?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Với \\(t = 0\\) ta có: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - 0 = 1\\\\y = 3 + 2.0 = 3\\\\z =  - 1 + 3.0 =  - 1\\end{array} \\right.\\) nên điểm \\(A\\left( {1;3; - 1} \\right)\\) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\).</p>\r\n<p>Với \\(t = 1\\) ta có: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - 1 = 0\\\\y = 3 + 2.1 = 5\\\\z =  - 1 + 3.1 = 2\\end{array} \\right.\\) nên điểm \\(B\\left( {0;5;2} \\right)\\) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\).</p>\r\n<p>b) Thay \\(x = 6;y =  - 7;z =  - 16\\) vào phương trình đường thẳng \\(\\Delta \\) ta có:</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}6 = 1 - t\\\\ - 7 = 3 + 2t\\\\ - 16 =  - 1 + 3t\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}t =  - 5\\\\t =  - 5\\\\t =  - 5\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow t =  - 5\\)</p>\r\n<p>Do đó, điểm \\(C\\left( {6; - 7; - 16} \\right)\\) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\).</p>\r\n<p>Thay \\(x =  - 3;y = 11;z =  - 11\\) vào phương trình đường thẳng \\(\\Delta \\) ta có:</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ \\begin{array}{l} - 3 = 1 - t\\\\11 = 3 + 2t\\\\ - 11 =  - 1 + 3t\\end{array} \\right.\\left( * \\right) \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}t = 4\\\\t = 4\\\\t = \\frac{{ - 10}}{3}\\end{array} \\right.\\)  (vô lí)</p>\r\n<p>Do đó, điểm \\(D\\left( { - 3;11; - 11} \\right)\\) không thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\).</p>"},{"article_id":166863,"cat_id":1785,"publish_time":1718260500,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_9.jpg","title":"Giải bài tập 2 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 2 trang 63","alias":"giai-bai-tap-2-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Mặt phẳng \\(x + 2y - 3z + 4 = 0\\) có một vecto pháp tuyến là:\r\nA. \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = (2; - 3;4)\\)\r\nB. \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = (1;2;3)\\)\r\nC. \\(\\overrightarrow {{n_3}}  = (1;2; - 3)\\)\r\nD. \\(\\overrightarrow {{n_4}}  = (1;2;4)\\)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(x + 2y - 3z + 4 = 0\\) có một vecto pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_3}}  = (1;2; - 3)\\)</p>\r\n<p><strong>Chọn C</strong></p>"},{"article_id":174421,"cat_id":1785,"publish_time":1728023820,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b8-0_1.png","title":"Giải bài tập 8 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 8 trang 88","alias":"giai-bai-tap-8-trang-88-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \\({\\Delta _1},{\\Delta _2}\\) trong mỗi trường hợp sau: \r\na) \\({\\Delta _1}:\\frac{{x + 1}}{3} = \\frac{{y + 5}}{4} = \\frac{{z - 5}}{{ - 1}}\\) và \\({\\Delta _2}:\\frac{{x + 13}}{5} = \\frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \\frac{{z + 17}}{7}\\);\r\nb) \\({\\Delta _1}:\\frac{{x - 2}}{2} = \\frac{{y + 1}}{3} = \\frac{{z - 4}}{{ - 7}}\\) và \\({\\Delta _2}:\\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \\frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \\frac{{z - 45}}{{21}}\\);\r\nc) \\({\\Delta _1}:\\frac{{x + 3}}{1} = \\frac{{y - 5}}{1","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {3;4; - 1} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( { - 1; - 5;5} \\right)\\).<strong></strong></p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {5; - 2;7} \\right)\\) và đi qua điểm \\(B\\left( { - 13;5; - 17} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\frac{3}{5} \\ne \\frac{4}{{ - 2}}\\), suy ra \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} \\) không cùng phương.</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 12;10; - 22} \\right)\\), \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}4&amp;{ - 1}\\\\{ - 2}&amp;7\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;3\\\\7&amp;5\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;4\\\\5&amp;{ - 2}\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {26; - 26; - 26} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right].\\overrightarrow {AB}  = 26.\\left( { - 12} \\right) - 26.10 - 26.\\left( { - 22} \\right) = 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} ,\\overrightarrow {AB} \\)  đồng phẳng. Vậy \\({\\Delta _1}\\) cắt \\({\\Delta _2}\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {2;3; - 7} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( {2; - 1;4} \\right)\\).<strong></strong></p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( { - 6; - 9;21} \\right)\\) đi qua điểm \\(B\\left( { - 10; - 19;45} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\( - 3\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( { - 6; - 9;21} \\right) = \\overrightarrow {{u_2}} \\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} \\) cùng phương.</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 12; - 18;41} \\right)\\), \\(\\frac{{ - 12}}{2} = \\frac{{ - 18}}{3} \\ne \\frac{{41}}{{ - 7}}\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {AB} \\) không cùng phương. Vậy \\({\\Delta _1}\\) //\\({\\Delta _2}\\).</p>\r\n<p>c) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {1;1;3} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( { - 3;5;2} \\right)\\).<strong></strong></p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {5; - 2;7} \\right)\\) và đi qua điểm \\(B\\left( { - 13;9; - 13} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\frac{1}{5} \\ne \\frac{1}{{ - 2}}\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} \\) không cùng phương.</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 10;4; - 15} \\right)\\), \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;3\\\\{ - 2}&amp;7\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;1\\\\7&amp;5\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1\\\\5&amp;{ - 2}\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {13;8; - 7} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right].\\overrightarrow {AB}  = 13.\\left( { - 10} \\right) + 8.4 - 7.\\left( { - 15} \\right) = 7 \\ne 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} ,\\overrightarrow {AB} \\) không đồng phẳng. Vậy \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) chéo nhau.</p>"},{"article_id":174408,"cat_id":1785,"publish_time":1728017460,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b5-0_1.png","title":"Giải bài tập 5 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 5 trang 86","alias":"giai-bai-tap-5-trang-86-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\\). Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2.x.2 - 2.y.1 - 2.z.5 + 2 = 0\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow {\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 5} \\right)^2} = 28\\).</p>\r\n<p>Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính \\(R = \\sqrt {28}  = 2\\sqrt 7 \\).</p>"},{"article_id":174387,"cat_id":1785,"publish_time":1728013440,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b5-0.png","title":"Giải bài tập 5 trang 78, 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 5 trang 78, 79","alias":"giai-bai-tap-5-trang-78-79-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \\(\\Delta \\) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) \\(\\Delta \\) đi qua điểm \\(A\\left( { - 1;3;2} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2;3;4} \\right)\\).\r\nb) \\(\\Delta \\) đi qua hai điểm \\(M\\left( {2; - 1;3} \\right)\\) và \\(N\\left( {3;0;4} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Vì đường \\(\\Delta \\) đi qua điểm \\(A\\left( { - 1;3;2} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2;3;4} \\right)\\) nên:</p>\r\n<p>+ Phương trình tham số: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\\\y = 3 + 3t\\\\z = 2 + 4t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số).</p>\r\n<p>+ Phương trình chính tắc: \\(\\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \\frac{{y - 3}}{3} = \\frac{{z - 2}}{4}\\).</p>\r\n<p>b) Vì \\(\\Delta \\) đi qua hai điểm \\(M\\left( {2; - 1;3} \\right)\\) và \\(N\\left( {3;0;4} \\right)\\) nên phương trình chính tắc của \\(\\Delta \\) là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{{x - 2}}{{3 - 2}} = \\frac{{y + 1}}{{0 + 1}} = \\frac{{z - 3}}{{4 - 3}} \\Leftrightarrow \\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y + 1}}{1} = \\frac{{z - 3}}{1}\\).</p>\r\n<p>Phương trình tham số của \\(\\Delta \\): \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 + t\\\\y =  - 1 + t\\\\z = 3 + t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số).</p>"},{"article_id":166864,"cat_id":1785,"publish_time":1718260740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_11.jpg","title":"Giải bài tập 3 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 3 trang 63","alias":"giai-bai-tap-3-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3;-4;5) và nhận \\(\\overrightarrow n \\) làm vecto pháp tuyến","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt phẳng (P) là: \\(2(x - 3) + 7(y + 4) - (z - 5) = 0 \\Leftrightarrow 2x + 7y - z + 27 = 0\\)</p>"},{"article_id":174423,"cat_id":1785,"publish_time":1728023940,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b9-0_1.png","title":"Giải bài tập 9 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 9 trang 88","alias":"giai-bai-tap-9-trang-88-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa hai đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\), biết: \\({\\Delta _1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\\\y = 2 - \\sqrt 2 {t_1}\\\\z = 3 + {t_1}\\end{array} \\right.\\) và \\({\\Delta _2}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 3 + {t_2}\\\\y = 1 + {t_2}\\\\z = 5 - \\sqrt 2 {t_2}\\end{array} \\right.\\) (  là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {1; - \\sqrt 2 ;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {1;1; - \\sqrt 2 } \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\cos \\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = \\frac{{\\left| {1.1 - \\sqrt 2 .1 - \\sqrt 2 .1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - \\sqrt 2 } \\right)}^2} + {1^2}} .\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\\left( { - \\sqrt 2 } \\right)}^2}} }} = \\frac{{2\\sqrt 2  - 1}}{4}\\) nên \\(\\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) \\approx {63^o}\\).</p>"},{"article_id":174410,"cat_id":1785,"publish_time":1728017580,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b6-0_1.png","title":"Giải bài tập 6 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 6 trang 86","alias":"giai-bai-tap-6-trang-86-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) (S) có tâm I(3; -7; 1) và bán kính \\(R = 2\\);\r\nb) (S) có tâm I(-1; 4; -5) và đi qua điểm M(3; 1; 2);\r\nc) (S) có đường kính là đoạn thẳng CD với C(1; -3; -1) và D(-3; 1; 2).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) (S) có tâm I(3; -7; 1), bán kính \\(R = 2\\) có phương trình là \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {\\left( {y + 7} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^2} = 4\\).</p>\r\n<p>b) (S) có tâm I và bán kính \\(IM = \\sqrt {{{\\left( {3 + 1} \\right)}^2} + {{\\left( {1 - 4} \\right)}^2} + {{\\left( {2 + 5} \\right)}^2}}  = \\sqrt {74} \\) nên phương trình mặt cầu (S) là: \\({\\left( {x + 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 4} \\right)^2} + {\\left( {z + 5} \\right)^2} = 74\\).</p>\r\n<p>c) Gọi I là trung điểm của CD nên \\(I\\left( { - 1; - 1;\\frac{1}{2}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì mặt cầu (S) có đường kính là CD nên (S) có tâm \\(I\\left( { - 1; - 1;\\frac{1}{2}} \\right)\\), bán kính \\(R = IC = \\sqrt {{{\\left( {1 + 1} \\right)}^2} + {{\\left( { - 3 + 1} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1 - \\frac{1}{2}} \\right)}^2}}  = \\frac{{\\sqrt {41} }}{2}\\).</p>\r\n<p>Do đó, phương trình mặt cầu (S) là: \\({\\left( {x + 1} \\right)^2} + {\\left( {y + 1} \\right)^2} + {\\left( {z - \\frac{1}{2}} \\right)^2} = \\frac{{41}}{4}\\).</p>"},{"article_id":174389,"cat_id":1785,"publish_time":1728013620,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b6-0.png","title":"Giải bài tập 6 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 6 trang 79","alias":"giai-bai-tap-6-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \\({\\Delta _1},{\\Delta _2}\\) trong mỗi trường hợp sau: \r\na) \\({\\Delta _1}:\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{{y - 2}}{1} = \\frac{{z - 3}}{{ - 1}}\\) và \\({\\Delta _2}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 11 - 6t\\\\y =  - 6 - 3t\\\\z = 10 + 3t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số);\r\nb) \\({\\Delta _1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 3t\\\\y = 2 + 4t\\\\z = 3 + 5t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số) và \\({\\Delta _2}:\\frac{{x + 3}}{1} = \\frac{{y + 6}}{2} = \\frac{{z - 15}}{{ - 3}}\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( {1;2;3} \\right)\\).<strong></strong></p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( { - 6; - 3;3} \\right)\\) và đi qua điểm \\(B\\left( { - 11; - 6;10} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\( - 3\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( { - 6; - 3;3} \\right) = \\overrightarrow {{u_2}} \\), suy ra \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} \\) cùng phương.</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 12; - 8;7} \\right)\\) và \\(\\frac{2}{{ - 12}} \\ne \\frac{1}{{ - 8}}\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \\) không cùng phương.</p>\r\n<p>Vậy \\({\\Delta _1}//{\\Delta _2}\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {3;4;5} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( {1;2;3} \\right)\\).<strong></strong></p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {1;2; - 3} \\right)\\) và đi qua điểm \\(B\\left( { - 3; - 6;15} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\frac{3}{1} \\ne \\frac{4}{2}\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} \\) không cùng phương.</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 4; - 8;12} \\right)\\), \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}4&amp;5\\\\2&amp;{ - 3}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}5&amp;3\\\\{ - 3}&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;4\\\\1&amp;2\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 22;14;2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right].\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 22} \\right).\\left( { - 4} \\right) + 14.\\left( { - 8} \\right) + 2.12 = 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} ,\\overrightarrow {AB} \\) đồng phẳng. Vậy \\({\\Delta _1}\\) cắt \\({\\Delta _2}\\).</p>\r\n<p>c) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {4;3;1} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( { - 1;1;0} \\right)\\).<strong></strong></p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {1;2;2} \\right)\\) và đi qua điểm \\(B\\left( {1;3;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\frac{4}{1} \\ne \\frac{3}{2}\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} \\) không cùng phương.</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {2;2;1} \\right)\\), \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;1\\\\2&amp;2\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;4\\\\2&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}4&amp;3\\\\1&amp;2\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {4; - 7;5} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right].\\overrightarrow {AB}  = 4.2 - 7.2 + 5.1 =  - 1 \\ne 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} ,\\overrightarrow {AB} \\) không đồng phẳng. Vậy \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) chéo nhau.</p>"},{"article_id":166865,"cat_id":1785,"publish_time":1718260920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_12.jpg","title":"Giải bài tập 4 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 4 trang 63","alias":"giai-bai-tap-4-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(-1;2;3) và nhận hai vecto \\(\\overrightarrow u  = (1;2;3),\\overrightarrow v  = (4;5;6)\\) làm cặp vecto chỉ phương","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \\(\\overrightarrow n  = \\left[ {\\overrightarrow u ;\\overrightarrow v } \\right] = ( - 3;6; - 3) =  - 3(1; - 2;1) \\Rightarrow \\overrightarrow n  = (1; - 2;1)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (P) là: \\((x + 1) - 2(y - 2) + (z - 3) = 0 \\Leftrightarrow x - 2y + z + 2 = 0\\)</p>"},{"article_id":174424,"cat_id":1785,"publish_time":1728024060,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b10-0_1.png","title":"Giải bài tập 10 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 10 trang 88","alias":"giai-bai-tap-10-trang-88-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \\(\\Delta :\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\\\y = 4 - 3t\\\\z =  - 1 + 4t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số) và \\(\\left( P \\right):x + y + z + 3 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2; - 3;4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\sin \\left( {\\left( P \\right),\\Delta } \\right) = \\frac{{\\left| {2.1 - 3.1 + 4.1} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 3} \\right)}^2} + {4^2}} .\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \\frac{3}{{\\sqrt {87} }}\\) nên \\(\\left( {\\left( P \\right),\\Delta } \\right) \\approx {19^o}\\).</p>"},{"article_id":174411,"cat_id":1785,"publish_time":1728017700,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b7-0_1.png","title":"Giải bài tập 7 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 7 trang 86","alias":"giai-bai-tap-7-trang-86-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Gọi M(x; y; z).</p>\r\n<p>Ta có: \\(MA = \\sqrt {{{\\left( {3 - x} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1 - y} \\right)}^2} + {{\\left( {6 - z} \\right)}^2}}  = 6\\);</p>\r\n<p>\\(MB = \\sqrt {{{\\left( {1 - x} \\right)}^2} + {{\\left( {4 - y} \\right)}^2} + {{\\left( {8 - z} \\right)}^2}}  = 7\\);</p>\r\n<p>\\(MC = \\sqrt {{{\\left( {7 - x} \\right)}^2} + {{\\left( {9 - y} \\right)}^2} + {{\\left( {6 - z} \\right)}^2}}  = 12\\);</p>\r\n<p>\\(MD = \\sqrt {{{\\left( {7 - x} \\right)}^2} + {{\\left( { - 15 - y} \\right)}^2} + {{\\left( {18 - z} \\right)}^2}}  = 24\\).<br /> Ta có hệ phương trình: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}{\\left( {3 - x} \\right)^2} + {\\left( { - 1 - y} \\right)^2} + {\\left( {6 - z} \\right)^2} = 36\\left( 1 \\right)\\\\{\\left( {1 - x} \\right)^2} + {\\left( {4 - y} \\right)^2} + {\\left( {8 - z} \\right)^2} = 49\\left( 2 \\right)\\\\{\\left( {7 - x} \\right)^2} + {\\left( {9 - y} \\right)^2} + {\\left( {6 - z} \\right)^2} = 144\\left( 3 \\right)\\\\{\\left( {7 - x} \\right)^2} + {\\left( { - 15 - y} \\right)^2} + {\\left( {18 - z} \\right)^2} = 576\\left( 4 \\right)\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Trừ vế với vế của (3) và (1) ta có: \\({\\left( {7 - x} \\right)^2} - {\\left( {3 - x} \\right)^2} + {\\left( {9 - y} \\right)^2} - {\\left( { - 1 - y} \\right)^2} = 144 - 36\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow  - 8x - 20y =  - 12 \\Leftrightarrow x = \\frac{{3 - 5y}}{2}\\left( 5 \\right)\\).</p>\r\n<p>Trừ vế với vế của (4) và (3) ta có: \\({\\left( { - 15 - y} \\right)^2} - {\\left( {9 - y} \\right)^2} + {\\left( {18 - z} \\right)^2} - {\\left( {6 - z} \\right)^2} = 576 - 144\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow 48y - 24z = 0 \\Leftrightarrow z = 2y\\left( 6 \\right)\\).</p>\r\n<p>Thay (5) và (6) vào (2) ta có: \\({\\left( {1 - \\frac{{3 - 5y}}{2}} \\right)^2} + {\\left( {4 - y} \\right)^2} + {\\left( {8 - 2y} \\right)^2} = 49\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow 45{y^2} - 170y + 125 = 0 \\Leftrightarrow y = 1\\) hoặc \\(y = \\frac{{25}}{9}\\).</p>\r\n<p>+ Với \\(y = 1\\) ta có: \\(x =  - 1;z = 2\\). Khi đó, M(-1; 1; 2). Thay tọa độ của M vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.</p>\r\n<p>+ Với \\(y = \\frac{{25}}{9}\\) ta có: \\(x =  - \\frac{{49}}{9};z = \\frac{{50}}{9}\\). Khi đó, \\(M\\left( {\\frac{{ - 49}}{9};\\frac{{25}}{9};\\frac{{50}}{9}} \\right)\\). Thay tọa độ của M vào các phương trình (1) ta thấy không thỏa mãn.</p>\r\n<p>Vậy điểm M(-1; 1; 2) thỏa mãn yêu cầu đề bài.</p>"},{"article_id":174393,"cat_id":1785,"publish_time":1728013740,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b7-0.png","title":"Giải bài tập 7 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 7 trang 79","alias":"giai-bai-tap-7-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa hai đường thẳng \\({\\Delta _1},{\\Delta _2}\\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): \r\na) \\({\\Delta _1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + {t_1}\\\\y = 4 + \\sqrt 3 {t_1}\\\\z = 0\\end{array} \\right.\\) và \\({\\Delta _2}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + \\sqrt 3 {t_2}\\\\y = 4 + {t_2}\\\\z = 5\\end{array} \\right.\\) (\\({t_1},{t_2}\\) là tham số);\r\nb) \\({\\Delta _1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\\\y = 3 + t\\\\z = 4 - t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số) và \\({\\Del","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {1;\\sqrt 3 ;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {\\sqrt 3 ;1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\cos \\left( {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow {{u_1}} .\\overrightarrow {{u_2}} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow {{u_1}} } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {{u_2}} } \\right|}} = \\frac{{\\left| {1.\\sqrt 3  + \\sqrt 3 .1 + 0.0} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{\\left( {\\sqrt 3 } \\right)}^2} + {0^2}} .\\sqrt {{{\\left( {\\sqrt 3 } \\right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \\frac{{\\sqrt 3 }}{2}\\) nên \\(\\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = {30^o}\\)</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {3;1; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\cos \\left( {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow {{u_1}} .\\overrightarrow {{u_2}} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow {{u_1}} } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {{u_2}} } \\right|}} = \\frac{{\\left| {2.3 + 1.1 + \\left( { - 1} \\right).\\left( { - 2} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} .\\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }} = \\frac{{3\\sqrt {21} }}{{14}}\\) nên \\(\\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) \\approx {11^o}\\)</p>\r\n<p>c) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {1;1; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( { - 1;3;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\cos \\left( {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow {{u_1}} .\\overrightarrow {{u_2}} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow {{u_1}} } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {{u_2}} } \\right|}} = \\frac{{\\left| {1.\\left( { - 1} \\right) + 3.1 + 1.\\left( { - 1} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} .\\sqrt {{{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \\frac{{\\sqrt {33} }}{{33}}\\) nên \\(\\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) \\approx {80^o}\\).<strong></strong></p>"},{"article_id":166866,"cat_id":1785,"publish_time":1718261100,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_13.jpg","title":"Giải bài tập 5 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 5 trang 63","alias":"giai-bai-tap-5-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua:\r\na) Điểm I(3;-4;1) và vuông góc với trục Ox\r\nb) Điểm K(-2;4;-1) và song song với mặt phẳng (Ozx)\r\nc) Điểm K(-2;4;-1) và song song với mặt phẳng (Q): 3x + 7y + 10z + 1 = 0\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\((P) \\bot Ox \\Rightarrow {\\overrightarrow n _{(P)}} = (1;0;0)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (P) là: \\(x - 3 = 0\\)</p>\r\n<p>b) \\((P)//(Oxz) \\Rightarrow (P) \\bot Oy \\Rightarrow {\\overrightarrow n _{(P)}} = (0;1;0)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (P) là: \\(y - 4 = 0\\)</p>\r\n<p>c) \\((P)//(Q) \\Rightarrow {\\overrightarrow n _{(P)}} = {\\overrightarrow n _{(Q)}} = (3;7;10)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (P) là: \\(3(x + 2) + 7(y - 4) + 10(z + 1) = 0 \\Leftrightarrow 3x + 7y + 10z - 12 = 0\\)</p>"},{"article_id":174426,"cat_id":1785,"publish_time":1728024180,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b11-0_1.png","title":"Giải bài tập 11 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 11 trang 88","alias":"giai-bai-tap-11-trang-88-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa hai mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right):2x + 2y - z - 1 = 0\\) và \\(\\left( {{P_2}} \\right):x - 2y - 2z + 3 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {2;2; - 1} \\right)\\); mặt phẳng \\(\\left( {{P_2}} \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {1; - 2; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\cos \\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2.1 + 2\\left( { - 2} \\right) - 1.\\left( { - 2} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} \\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }} = 0\\) nên \\(\\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = {90^o}\\).</p>"},{"article_id":174396,"cat_id":1785,"publish_time":1728014100,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b8-0.png","title":"Giải bài tập 8 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 8 trang 79","alias":"giai-bai-tap-8-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):\r\na) \\(\\Delta :\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + \\sqrt 3 t\\\\y = 2\\\\z = 3 + t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số) và \\(\\left( P \\right):\\sqrt 3 x + z - 2 = 0\\);\r\nb) \\(\\Delta :\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + t\\\\y = 2 - t\\\\z = 3 + t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số) và \\(\\left( P \\right):x + y + z - 4 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\(\\Delta \\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {\\sqrt 3 ;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {\\sqrt 3 ;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\sin \\left( {\\left( P \\right),\\Delta } \\right) = \\frac{{\\left| {\\sqrt 3 .\\sqrt 3  + 0.0 + 1.1} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {\\sqrt 3 } \\right)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\\sqrt {{{\\left( {\\sqrt 3 } \\right)}^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\frac{4}{4} = 1\\) nên \\(\\left( {\\left( P \\right),\\Delta } \\right) = {90^o}\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\(\\Delta \\) có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1; - 1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\sin \\left( {\\left( P \\right),\\Delta } \\right) = \\frac{{\\left| {1.1 + \\left( { - 1} \\right).1 + 1.1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {1^2}} .\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \\frac{1}{3}\\) nên \\(\\left( {\\left( P \\right),\\Delta } \\right) \\approx {19^o}\\).</p>"},{"article_id":166867,"cat_id":1785,"publish_time":1718261280,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_14.jpg","title":"Giải bài tập 6 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 6 trang 63","alias":"giai-bai-tap-6-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(0;4;0), C(2;2;0)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>(P) có cặp vecto chỉ phương là \\(\\overrightarrow {AB}  = ( - 1;3; - 1),\\overrightarrow {BC}  = (2; - 2;0)\\)</p>\r\n<p>Vecto pháp tuyến của (P) là \\(\\overrightarrow n  = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ;\\overrightarrow {BC} } \\right] = \\left( { - 2; - 2; - 4} \\right) =  - 2(1;1;2)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (P) là: \\(x + (y - 4) + 2z = 0 \\Leftrightarrow x + y + 2z - 4 = 0\\)</p>"},{"article_id":174427,"cat_id":1785,"publish_time":1728024300,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b12-0.png","title":"Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 12 trang 88, 89","alias":"giai-bai-tap-12-trang-88-89-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0.\r\na) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').\r\nb) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.\r\nc) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD).\r\nd) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Gọi \\(C\\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \\right)\\). Ta có: \\(\\overrightarrow {OB}  = \\left( {a;0;0} \\right),\\overrightarrow {DC}  = \\left( {{x_C};{y_C} - a;{z_C}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì OBCD.O<em>'</em>B<em>'</em>C<em>'</em>D là hình lập phương nên OBCD là hình vuông.</p>\r\n<p>Do đó: \\(\\overrightarrow {DC}  = \\overrightarrow {OB}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_C} = a\\\\{y_C} - a = 0\\\\{z_C} = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_C} = a\\\\{y_C} = a\\\\{z_C} = 0\\end{array} \\right.\\). Suy ra, C(a; a; 0).</p>\r\n<p>Gọi \\(D'\\left( {{x_{D'}};{y_{D'}};{z_{D'}}} \\right)\\). Ta có: \\(\\overrightarrow {OO'}  = \\left( {0;0;a} \\right),\\overrightarrow {DD'}  = \\left( {{x_{D'}};{y_{D'}} - a;{z_{D'}}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì OBCD.O<em>'</em>B<em>'</em>C<em>'</em>D là hình lập phương nên ODD’O’ là hình vuông.</p>\r\n<p>Do đó: \\(\\overrightarrow {DD'}  = \\overrightarrow {OO'}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\\\{y_{D'}} - a = 0\\\\{z_{D'}} = a\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\\\{y_{D'}} = a\\\\{z_{D'}} = a\\end{array} \\right.\\). Suy ra, D’(0; a; a).</p>\r\n<p>Gọi \\(B'\\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \\right)\\). Ta có: \\(\\overrightarrow {OO'}  = \\left( {0;0;a} \\right),\\overrightarrow {BB'}  = \\left( {{x_{B'}} - a;{y_{B'}};{z_{B'}}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì OBCD.O<em>'</em>B<em>'</em>C<em>'</em>D là hình lập phương nên OBB’O’ là hình vuông.</p>\r\n<p>Do đó: \\(\\overrightarrow {BB'}  = \\overrightarrow {OO'}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{B'}} - a = 0\\\\{y_{B'}} = 0\\\\{z_{B'}} = a\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{B'}} = a\\\\{y_{B'}} = 0\\\\{z_{B'}} = a\\end{array} \\right.\\). Suy ra, B’(a; 0; a).</p>\r\n<p>a) Ta có: \\(\\overrightarrow {OB'}  = \\left( {a;0;a} \\right),\\overrightarrow {OD'}  = \\left( {0;a;a} \\right)\\)\\(\\left[ {\\overrightarrow {OB'} ,\\overrightarrow {OD'} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;a\\\\a&amp;a\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}a&amp;a\\\\a&amp;0\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}a&amp;0\\\\0&amp;a\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (OB’D’) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {OB'} ,\\overrightarrow {OD'} } \\right] = \\left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\overrightarrow {O'C}  = \\left( {a;a; - a} \\right),\\left[ {\\overrightarrow {OB'} ,\\overrightarrow {OD'} } \\right] =  - a.\\overrightarrow {O'C} \\) nên hai vectơ \\(\\overrightarrow {O'C} ,\\left[ {\\overrightarrow {OB'} ,\\overrightarrow {OD'} } \\right]\\) cùng phương. Do đó, \\(\\overrightarrow {O'C} \\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB’D’). Vậy O<em>'</em>C vuông góc với mặt phẳng (OB<em>'</em>D<em>'</em>).</p>\r\n<p>b) Mặt phẳng (OB’D’) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {OB'} ,\\overrightarrow {OD'} } \\right] = \\left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm O(0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (OB’D’) là:</p>\r\n<p>\\( - {a^2}\\left( {x - 0} \\right) - {a^2}\\left( {y - 0} \\right) + {a^2}\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x + y - z = 0\\) (Do \\(a &gt; 0\\))</p>\r\n<p>Đường thẳng O’C đi qua điểm O<em>'</em>(0; 0; a) và nhận \\(\\frac{1}{a}\\overrightarrow {O'C}  = \\left( {1;1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng O’C là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = t\\\\y = t\\\\z = a - t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số).</p>\r\n<p>Gọi G là giao điểm của đường thẳng O’C và mặt phẳng (OB’D’).</p>\r\n<p>Vì G thuôc O’C nên G(t; t; a-t). Vì G thuộc mặt phẳng (OB’D’) nên:</p>\r\n<p>\\(t + t - \\left( {a - t} \\right) = 0 \\Leftrightarrow t = \\frac{a}{3}\\). Do đó, \\(G\\left( {\\frac{a}{3};\\frac{a}{3};\\frac{{2a}}{3}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Gọi G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’ nên \\(G'\\left( {\\frac{a}{3};\\frac{a}{3};\\frac{{2a}}{3}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Khi đó, G trùng với G’. Vậy giao điểm của đường chéo O<em>'</em>C và mặt phẳng (OB<em>'</em>D<em>'</em>) là trọng tâm của tam giác OB<em>'</em>D<em>'</em>.</p>\r\n<p>c) Gọi \\(C'\\left( {{x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}} \\right)\\). Ta có: \\(\\overrightarrow {OO'}  = \\left( {0;0;a} \\right),\\overrightarrow {CC'}  = \\left( {{x_{C'}} - a;{y_{C'}} - a;{z_{C'}}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì OBCD.O<em>'</em>B<em>'</em>C<em>'</em>D là hình lập phương nên \\(\\overrightarrow {CC'}  = \\overrightarrow {OO'}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{C'}} - a = 0\\\\{y_{C'}} - a = 0\\\\{z_{C'}} = a\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{C'}} = a\\\\{y_{C'}} = a\\\\{z_{C'}} = a\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Suy ra, C’(a; a; a).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {C'B}  = \\left( {0; - a; - a} \\right),\\overrightarrow {C'D}  = \\left( { - a;0 - a} \\right)\\), \\(\\left[ {\\overrightarrow {C'B} ,\\overrightarrow {C'D} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&amp;{ - a}\\\\0&amp;{ - a}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&amp;0\\\\{ - a}&amp;{ - a}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{ - a}\\\\{ - a}&amp;0\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (C<em>'</em>BD) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {C'B} ,\\overrightarrow {C'D} } \\right] = \\left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm D(0; a; 0) nên có phương trình: \\({a^2}.x + {a^2}\\left( {y - a} \\right) - {a^2}z = 0 \\Leftrightarrow x + y - z - a = 0\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(d\\left( {B',\\left( {C'BD} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {a + 0 - a - a} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{a}{{\\sqrt 3 }}\\).</p>\r\n<p>d) Ta có: \\(\\overrightarrow {O'C}  = \\left( {a;a; - a} \\right),\\overrightarrow {O'D}  = \\left( {0;a; - a} \\right)\\), \\(\\left[ {\\overrightarrow {O'C} ,\\overrightarrow {O'D} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}a&amp;{ - a}\\\\a&amp;{ - a}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&amp;a\\\\{ - a}&amp;0\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}a&amp;a\\\\0&amp;a\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {0;{a^2};{a^2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (CO’D) nhận \\(\\frac{1}{{{a^2}}}\\left[ {\\overrightarrow {O'C} ,\\overrightarrow {O'D} } \\right] = \\left( {0;1;1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến, mặt phẳng (C<em>'</em>BD) nhận \\(\\frac{1}{{{a^2}}}\\left[ {\\overrightarrow {C'B} ,\\overrightarrow {C'D} } \\right] = \\left( {1;1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\cos \\left( {\\left( {CO'D} \\right),\\left( {C'BD} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1.0 + 1.1 - 1.1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} .\\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\\).</p>"},{"article_id":174397,"cat_id":1785,"publish_time":1728014700,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b9-0.png","title":"Giải bài tập 9 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 9 trang 79","alias":"giai-bai-tap-9-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa hai mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right):x + y + 2z - 1 = 0\\) và \\(\\left( {{P_2}} \\right):2x - y + z - 2 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {1;1;2} \\right)\\); mặt phẳng \\(\\left( {{P_2}} \\right)\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {2; - 1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\cos \\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1.2 + 1\\left( { - 1} \\right) + 2.1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {1^2}} }} = \\frac{1}{2}\\) nên \\(\\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = {60^o}\\).</p>"},{"article_id":166868,"cat_id":1785,"publish_time":1718261340,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_15.jpg","title":"Giải bài tập 7 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 7 trang 63","alias":"giai-bai-tap-7-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng (P), biết (P) đi qua ba điểm A(5;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là: \\(\\frac{x}{5} + \\frac{y}{3} + \\frac{z}{6} = 1\\)</p>"},{"article_id":174428,"cat_id":1785,"publish_time":1728024480,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_13-0.png","title":"Giải bài tập 13 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 13 trang 89","alias":"giai-bai-tap-13-trang-89-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hướng đông (Ð), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Góc \\(\\theta \\) là góc giữa đường thẳng GH và mặt phẳng (Oxy).</p>\r\n<p>Tại thời điểm \\(t = 0\\) thì \\(\\overrightarrow {{r_0}}  = \\left( {1;0,5;0} \\right)\\). Trực thăng cất cánh từ điểm G nên G(1; 0,5; 0).</p>\r\n<p>Tại thời điểm \\(t = 1\\), trực thăng bay đến vị trí K thuộc đường thẳng GH với K(2; 2,5; 2).</p>\r\n<p>Đường thẳng GH nhận \\(\\overrightarrow {GK}  = \\left( {1;2;2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương và mặt phẳng (Oxy) nhận \\(\\overrightarrow k  = \\left( {0;0;1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\sin \\left( {GH,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1.0 + 2.0 + 2.1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\frac{2}{3}\\) nên \\(\\left( {GH,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) \\approx {42^o}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\theta  \\approx {42^o}\\).</p>\r\n<p>b) Gọi K’ là hình chiếu của K lên mặt phẳng (Oxy). Suy ra, K’(2; 2,5; 0).</p>\r\n<p>Vì F là hình chiếu của H lên mặt phẳng (Oxy) nên \\(K' \\in GF\\).</p>\r\n<p>Suy ra, đường thẳng GF có một vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {GK'}  = \\left( {1;2;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình tham số của đường thẳng GF: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + t'\\\\y = 0,5 + 2t'\\\\z = 0\\end{array} \\right.\\) (\\(t'\\) là tham số).</p>\r\n<p>c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2km, tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu di chuyển vào đám mây có cao độ \\(z = 2\\) nên \\(2t = 2 \\Rightarrow t = 1\\). Vậy tọa độ điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây là (2; 2,5; 2).</p>\r\n<p>d) Ta có: \\(H\\left( {1 + t;0,5 + 2t;2t} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {HM}  = \\left( {4 - t;4 - 2t;3 - 2t} \\right)\\).</p>\r\n<p>HM vuông góc với đường bay GH khi \\(\\overrightarrow {HM}  \\bot \\overrightarrow {GK}  \\Leftrightarrow \\overrightarrow {HM} .\\overrightarrow {GK}  = 0\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow \\left( {4 - t} \\right).1 + \\left( {4 - 2t} \\right).2 + \\left( {3 - 2t} \\right).2 = 0 \\Leftrightarrow t = 2\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(t = 2\\) thì HM vuông góc với đường bay GH.</p>\r\n<p>Khi đó, khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi là:</p>\r\n<p>\\(HM = \\sqrt {{{\\left( {4 - 2} \\right)}^2} + {{\\left( {4 - 2.2} \\right)}^2} + {{\\left( {3 - 2.2} \\right)}^2}}  = \\sqrt 5 \\left( {km} \\right)\\)</p>"},{"article_id":174398,"cat_id":1785,"publish_time":1728014820,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b10-0.png","title":"Giải bài tập 10 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 10 trang 80","alias":"giai-bai-tap-10-trang-80-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S. ABCD có các đỉnh lần lượt là (Sleft( {0;0;frac{{asqrt 3 }}{2}} right),Aleft( {frac{a}{2};0;0} right),Bleft( { - frac{a}{2};0;0} right),Cleft( { - frac{a}{2};a;0} right),Dleft( {frac{a}{2};a;0} right)) với (a > 0) (Hình 36).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có: \\(\\overrightarrow {SA}  = \\left( {\\frac{a}{2};0;\\frac{{ - a\\sqrt 3 }}{2}} \\right),\\overrightarrow {CD}  = \\left( {a;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\cos \\left( {SA,CD} \\right) = \\frac{{\\left| {\\frac{a}{2}.a + 0.0 - \\frac{{a\\sqrt 3 }}{2}.0} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {\\frac{a}{2}} \\right)}^2} + {0^2} + {{\\left( {\\frac{{ - a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2}} .\\sqrt {{a^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \\frac{1}{2}\\) nên \\(\\left( {SA,CD} \\right) = {60^o}\\).</p>\r\n<p>b) Mặt phẳng (SAC) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {SA} ,\\overrightarrow {AC} } \\right]\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {SA}  = \\left( {\\frac{a}{2};0;\\frac{{ - a\\sqrt 3 }}{2}} \\right),\\overrightarrow {AC}  = \\left( { - a;a;0} \\right),\\overrightarrow {SD}  = \\left( {\\frac{a}{2};a;\\frac{{ - a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {SA} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{\\frac{{ - a\\sqrt 3 }}{2}}\\\\a&amp;0\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{\\frac{{ - a\\sqrt 3 }}{2}}&amp;{\\frac{a}{2}}\\\\0&amp;{ - a}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{\\frac{a}{2}}&amp;0\\\\{ - a}&amp;a\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {\\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{2};\\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{2};\\frac{{{a^2}}}{2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\sin \\left( {\\left( {SAC} \\right),SD} \\right) = \\frac{{\\left| {\\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{2}.\\frac{a}{2} + \\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{2}.a + \\frac{{{a^2}}}{2}.\\frac{{ - a\\sqrt 3 }}{2}} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {\\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{{{a^2}\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{{{a^2}}}{2}} \\right)}^2}} \\sqrt {{{\\left( {\\frac{a}{2}} \\right)}^2} + {a^2} + {{\\left( {\\frac{{ - a\\sqrt 3 }}{2}} \\right)}^2}} }} = \\frac{{\\sqrt {42} }}{{14}}\\).</p>\r\n<p>Suy ra, \\(\\left( {\\left( {SAC} \\right),SD} \\right) \\approx {28^o}\\).</p>"},{"article_id":166869,"cat_id":1785,"publish_time":1718261400,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_16.jpg","title":"Giải bài tập 8 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 8 trang 64","alias":"giai-bai-tap-8-trang-64-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Cho hai mặt phẳng \\(({P_1}):4x - y - z + 1 = 0\\), \\(({P_2}):8x - 2y - 2x + 1 = 0\\)\r\na) Chứng minh rằng \\(({P_1})//({P_2})\\)\r\nb) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \\(({P_1}),({P_2})\\)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có: \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = (4; - 1; - 1);\\overrightarrow {{n_2}}  = (8; - 2; - 2) = 2\\overrightarrow {{n_1}} \\) suy ra \\(\\overrightarrow {{n_1}} \\) và \\(\\overrightarrow {{n_2}} \\) cùng phương</p>\r\n<p>Do đó: \\(({P_1})//({P_2})\\)</p>\r\n<p>b) Chọn điểm \\(A(0;1;0) \\in ({P_1})\\), khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \\(({P_1}),({P_2})\\) là khoảng cách từ A  đến \\(({P_2})\\)</p>\r\n<p>\\(d(A;({P_2})) = \\frac{{\\left| { - 2.1 + 1} \\right|}}{{\\sqrt {{8^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{{12}}\\)</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \\(({P_1}),({P_2})\\) là \\(\\frac{{\\sqrt 2 }}{{12}}\\)</p>"},{"article_id":174429,"cat_id":1785,"publish_time":1728024660,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b14-0.png","title":"Giải bài tập 14 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 14 trang 89","alias":"giai-bai-tap-14-trang-89-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {91;75;0} \\right)\\) hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng d đi qua điểm A(-688;-185;8), có một vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {91;75;0} \\right)\\) có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 688 + 91t\\\\y =  - 185 + 75t\\\\z = 8\\end{array} \\right.\\) (t là tham số).</p>\r\n<p>Gọi B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.</p>\r\n<p>Vì B thuộc d nên B(-688+91t; -185+75t;8).</p>\r\n<p>Để B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa thì \\(OB = 417\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\sqrt {{{\\left( { - 688 + 91t} \\right)}^2} + {{\\left( { - 185 + 75t} \\right)}^2} + {8^2}}  = 417\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow 13\\;906{t^2} - 152\\;966t + 333\\;744 = 0\\)\\( \\Leftrightarrow t = 3\\) hoặc \\(t = 8\\)</p>\r\n<p>Với \\(t = 3\\) ta có B(-415; 40; 8) và \\(AB = \\sqrt {{{\\left( { - 415 + 688} \\right)}^2} + {{\\left( {40 + 185} \\right)}^2}}  = \\sqrt {125\\;154} \\)</p>\r\n<p>Với \\(t = 8\\) ta có B(40; 415; 8) và \\(AB = \\sqrt {{{\\left( {40 + 688} \\right)}^2} + {{\\left( {415 + 185} \\right)}^2}}  = \\sqrt {889\\;984} \\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\sqrt {125\\;154}  &lt; \\sqrt {889\\;984} \\) nên tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là (-415; 40; 8).</p>\r\n<p>b) Gọi H là vị trí mà máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Vì H thuộc d nên H(-688+91t’; -185+75t’;8).</p>\r\n<p>Để OH là ngắn nhất khi và chỉ khi \\(OH \\bot d \\Leftrightarrow \\overrightarrow {OH}  \\bot \\overrightarrow u  \\Leftrightarrow \\overrightarrow {OH} .\\overrightarrow u  = 0\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow \\left( { - 688 + 91t'} \\right).91 + \\left( { - 185 + 75t'} \\right).75 + 8.0 = 0 \\Leftrightarrow 13\\;906t' - 76\\;483 = 0 \\Leftrightarrow t' = \\frac{{11}}{2}\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(H\\left( {\\frac{{ - 375}}{2};\\frac{{455}}{2};8} \\right)\\).</p>\r\n<p>Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:</p>\r\n<p>\\(OH = \\sqrt {{{\\left( {\\frac{{ - 375}}{2}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{{455}}{2}} \\right)}^2} + {8^2}}  = \\frac{{\\sqrt {347\\;906} }}{2}\\left( {km} \\right)\\)</p>\r\n<p>c) Theo a ta có: tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là: (40; 415; 8).</p>"},{"article_id":174399,"cat_id":1785,"publish_time":1728015000,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1004/resize_b11-0.png","title":"Giải bài tập 11 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 11 trang 80","alias":"giai-bai-tap-11-trang-80-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \\(A\\left( {3,5; - 2;0,4} \\right)\\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \\[B\\left( {3,5;5,5;0} \\right)\\] trên đường băng EG (Hình 37).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng AB đi qua điểm \\(A\\left( {3,5; - 2;0,4} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {0;7,5; - 0,4} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là:</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3,5\\\\y =  - 2 + 7,5t\\\\z = 0,4 - 0,4t\\end{array} \\right.\\) (t là tham số).</p>\r\n<p>b) Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow k  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\sin \\left( {AB,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {0.0 + 7,5.0 + \\left( { - 0,4} \\right).1} \\right|}}{{\\sqrt {{0^2} + {{\\left( { - 7,5} \\right)}^2} + {{\\left( { - 0,4} \\right)}^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\frac{{4\\sqrt {5641} }}{{5641}}\\) nên \\(\\left( {AB,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) \\approx {3^o}\\). Do đó, góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.</p>\r\n<p>c) Mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là mặt phẳng (MNP).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {MN}  = \\left( { - 5; - 5;0} \\right),\\overrightarrow {MP}  = \\left( { - 5;0;0,5} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {MN} ,\\overrightarrow {MP} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&amp;0\\\\0&amp;{0,5}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{ - 5}\\\\{0,5}&amp;{ - 5}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&amp;{ - 5}\\\\{ - 5}&amp;0\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 2,5;2,5; - 25} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (MNP) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {MN} ,\\overrightarrow {MP} } \\right] = \\left( { - 2,5;2,5; - 25} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Do đó, phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là:</p>\r\n<p>\\( - 2,5\\left( {x - 5} \\right) + 2,5\\left( {y - 0} \\right) - 25\\left( {z - 0} \\right) \\Leftrightarrow x - y + 10z - 5 = 0\\)</p>\r\n<p>Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì C thuộc AB nên \\(C\\left( {3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t} \\right)\\). Mà C thuộc mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) nên:</p>\r\n<p>\\(3,5 - \\left( { - 2 + 7,5t} \\right) + 10\\left( {0,4 - 0,4t} \\right) - 5 = 0\\), suy ra \\(t = \\frac{9}{{23}}\\). Do đó, \\(C\\left( {\\frac{7}{2};\\frac{{43}}{{46}};\\frac{{28}}{{115}}} \\right)\\).</p>\r\n<p>d) Vì D thuộc AB nên \\(D\\left( {3,5; - 2 + 7,5t';0,4 - 0,4t'} \\right)\\)</p>\r\n<p>D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120m và bằng 0,12km.</p>\r\n<p>Ta có: \\(d\\left( {D,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {0,4 - 0,4t'} \\right|}}{{\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\left| {0,4 - 0,4t'} \\right|\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\left| {0,4 - 0,4t'} \\right| = 0,12 \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}0,4 - 0,4t' = 0,12\\\\0,4 - 0,4t' =  - 0,12\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}t' = 0,7\\\\t' = 1,3\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Với \\(t' = 0,7\\) ta có \\(D\\left( {3,5;3,25;0,12} \\right)\\).</p>\r\n<p>Với \\(t' = 1,3\\) ta có \\(D\\left( {3,5;7,75; - 0,12} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên \\(D\\left( {3,5;3,25;0,12} \\right)\\).</p>\r\n<p>e) Ta có: \\(DE = \\sqrt {{{\\left( {3,5 - 3,5} \\right)}^2} + {{\\left( {4,5 - 3,25} \\right)}^2} + {{\\left( {0 - 0,12} \\right)}^2}}  \\approx 1,256\\left( {km} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là \\(900m = 0,9km &lt; 1,256km\\) nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.</p>"},{"article_id":166870,"cat_id":1785,"publish_time":1718261520,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_17.jpg","title":"Giải bài tập 9 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 9 trang 64","alias":"giai-bai-tap-9-trang-64-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"a) Cho hai mặt phẳng \\(({P_1}):x + 2y + 3z + 4 = 0,({P_2}):x + y - z + 5 = 0\\). Chứng minh rằng \\(({P_1}) \\bot ({P_2})\\)\r\nb) Cho mặt phẳng \\((P):x - 2y - 2z + 1 = 0\\) và điểm M(1;1;-6). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có: \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = (1;2;3);\\overrightarrow {{n_2}}  = (1;1; - 1)\\)</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {{n_1}} .\\overrightarrow {{n_2}}  = 1.1 + 2.1 + 3.( - 1) = 0 \\Leftrightarrow \\overrightarrow {{n_1}}  \\bot \\overrightarrow {{n_2}} \\)</p>\r\n<p>Do đó: \\(({P_1}) \\bot ({P_2})\\)</p>\r\n<p>b) \\(d(M;(P)) = \\frac{{\\left| {1.1 - 2.1 - 2.( - 6) + 1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 4\\)</p>"},{"article_id":166871,"cat_id":1785,"publish_time":1718261700,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_18.jpg","title":"Giải bài tập 10 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 10 trang 64","alias":"giai-bai-tap-10-trang-64-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0;0;0), B(2;0;0), D(0;3;0), S(0;0;4) (hình 19)\r\n \r\na) Tìm tọa độ điểm C\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng (SBD)\r\nc) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) C(2;3;0)</p>\r\n<p>b) \\(\\overrightarrow {SB}  = (2;0; - 4);\\overrightarrow {SD}  = (0;3; - 4)\\)</p>\r\n<p>Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (SBD) là: \\(\\overrightarrow n  = \\left[ {\\overrightarrow {SB} ;\\overrightarrow {SD} } \\right] = (12;8;6) = 2(6;4;3)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (SBD) là: \\(6x + 4y + 3z - 12 = 0\\)</p>\r\n<p>c) \\(d(C;(SBD)) = \\frac{{\\left| {6.2 + 3.( - 4) - 12} \\right|}}{{\\sqrt {{6^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \\frac{{12\\sqrt {61} }}{{61}}\\)</p>"},{"article_id":166872,"cat_id":1785,"publish_time":1718261760,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_19.jpg","title":"Giải bài tập 11 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 11 trang 64","alias":"giai-bai-tap-11-trang-64-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50;0;0), D(0;20;0), B(4k;3k;2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình z = 3\r\n \r\na) Tìm tọa độ điểm B\r\nb) Lập phương trình mặt phẳng (AOBC)\r\nc) Lập phương trình mặt phẳng (DOBE)\r\nd) Chỉ ra một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (AOBC) và (DOBE)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(B \\in (CBEF):2k = 3 \\Leftrightarrow k = \\frac{3}{2}\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(B(6;\\frac{9}{2};3)\\)</p>\r\n<p>b) \\(\\overrightarrow {OA}  = (50;0;0);\\overrightarrow {OB}  = (6;\\frac{9}{2};3)\\)</p>\r\n<p>Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) là: \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left[ {\\overrightarrow {OA} ;\\overrightarrow {OB} } \\right] = (0; - 150;225) = 75(0; - 2;3)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (AOB) là: -2y + 3z = 0</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng (AOBC) là -2y + 3z = 0</p>\r\n<p>c) \\(\\overrightarrow {OD}  = (0;20;0)\\)</p>\r\n<p>Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) là: \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left[ {\\overrightarrow {OD} ;\\overrightarrow {OB} } \\right] = (60;0; - 120) = 60(1;0; - 2)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (DOB) là: x - 2z = 0</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt phẳng (DOBE) là -2y + 3z = 0</p>\r\n<p>d) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) và (DOBE) lần lượt là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = (0; - 2;3)\\)và \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = (1;0; - 2)\\)</p>"},{"article_id":166873,"cat_id":1785,"publish_time":1718261940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0613/resize_1-0_20.jpg","title":"Giải bài tập 12 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều","label":"Bài 12 trang 64","alias":"giai-bai-tap-12-trang-64-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu","introtext":"Hình 21 minh hoạt một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt các điểm A(2;1;3), B(4;3;3), C(6;3;2,5), D(4;0;2,8)\r\n \r\na) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)\r\nb) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng không?\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có: \\(\\overrightarrow {AB}  = (2;2;0);\\overrightarrow {AC}  = (4;2; - 0,5)\\)</p>\r\n<p>Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ;\\overrightarrow {AC} } \\right] = ( - 1;1; - 4)\\)</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng (ABC) là: -x + y  - 4z = 0 (*)</p>\r\n<p>b) Thay tọa độ điểm D(4;0;2,8) vào phương trình (*): -4 – 4.2,8 = -15,2 \\( \\ne \\) 0 \\( \\Rightarrow D \\notin (ABC)\\)</p>\r\n<p>Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"36890","item_id":36890,"title":"Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cánh diều","short_title":"Bài 1. Phương trình mặt phẳng","is_link":0},{"id":"38113","item_id":38113,"title":"Bài 2. Phương trình đường thẳng - Toán 12 Cánh diều","short_title":"Bài 2. Phương trình đường thẳng","is_link":0},{"id":"38114","item_id":38114,"title":"Bài 3. Phương trình mặt cầu - Toán 12 Cánh diều","short_title":"Bài 3. Phương trình mặt cầu","is_link":0},{"id":"38129","item_id":38129,"title":"Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Cánh diều","short_title":"Bài tập cuối chương 5","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}