{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2024/0409/3-0.png","title":"Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian","display_type":3,"cat_id":1783,"cat_title":"SGK Toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"chuong-5-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":35952,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":175101,"cat_id":1783,"publish_time":1728880080,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1014/resize_bia-pt-mat-cau-0_1.png","title":"Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức","label":"Lý thuyết Phương trình mặt cầu","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-mat-cau-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"1. Phương trình mặt cầu","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":175096,"cat_id":1783,"publish_time":1728873900,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1014/resize_bia-ct-tinh-goc-0.png","title":"Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức","label":"Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian","alias":"ly-thuyet-cong-thuc-tinh-goc-trong-khong-gian-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":175094,"cat_id":1783,"publish_time":1728873060,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1014/resize_bia-pt-duong-thang-0.png","title":"Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Kết nối tri thức","label":"Lý thuyết Phương trình đường thẳng","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-duong-thang-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"1. Phương trình đường thẳng\r\na) Vecto chỉ phương của đường thẳng","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":175017,"cat_id":1783,"publish_time":1728708600,"type_ex":1,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1012/resize_bia-pt-mat-phang-0.png","title":"Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Kết nối tri thức","label":"Lý thuyết Phương trình mặt phẳng","alias":"ly-thuyet-phuong-trinh-mat-phang-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng\r\na) Khái niệm vecto pháp tuyến","display_type":0,"article_type":1},{"article_id":160997,"cat_id":1783,"publish_time":1712648580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_57.png","title":"Giải bài tập 5.31 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.31 trang 61","alias":"giai-bai-tap-531-trang-61-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x - 2y - 3z + 1 = 0\\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là\r\nA. \\(\\left( {1;2;3} \\right)\\).\r\nB. \\(\\left( {1; - 2;3} \\right)\\).\r\nC. \\(\\left( {1;2; - 3} \\right)\\).\r\nD. \\(\\left( {1; - 2; - 3} \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là \\(\\left( {1; - 2; - 3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":160971,"cat_id":1783,"publish_time":1712646540,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_47.png","title":"Giải mục 1 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 1 trang 54,55,56","alias":"giai-muc-1-trang-545556-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":160941,"cat_id":1783,"publish_time":1712644680,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_37.png","title":"Giải mục 1 trang 50,51 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 1 trang 50,51","alias":"giai-muc-1-trang-5051-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":160907,"cat_id":1783,"publish_time":1712632800,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_24.png","title":"Giải mục 1 trang 41,42,43 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 1 trang 41,42,43","alias":"giai-muc-1-trang-414243-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":160883,"cat_id":1783,"publish_time":1712627280,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_8.png","title":"Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 1 trang 29,30,31","alias":"giai-muc-1-trang-293031-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":160999,"cat_id":1783,"publish_time":1712648940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_58.png","title":"Giải bài tập 5.32 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.32 trang 61","alias":"giai-bai-tap-532-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \\(I\\left( {1; - 1;2} \\right)\\) và nhận vectơ \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến là\r\nA. \\(x - y + 2z + 1 = 0\\).\r\nB. \\(x - y + 2z - 6 = 0\\).\r\nC. \\(2x + y - z - 1 = 0\\).\r\nD. \\(2x + y - z + 1 = 0\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \\(I\\left( {1; - 1;2} \\right)\\) và nhận vectơ \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến là: \\(2\\left( {x - 1} \\right) + 1\\left( {y + 1} \\right) - \\left( {z - 2} \\right) = 0\\) \\( \\Leftrightarrow 2x + y - z + 1 = 0\\)</p>\r\n<p>Chọn D</p>"},{"article_id":160976,"cat_id":1783,"publish_time":1712647020,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_50.png","title":"Giải câu hỏi trang 58 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi trang 58","alias":"giai-cau-hoi-trang-58-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B: \\({45^o}N,{30^o}E\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên \\(A\\left( {1;0;0} \\right)\\), do đó \\(\\overrightarrow {OA} \\left( {1;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(B\\left( {\\cos {{45}^o}\\cos {{30}^o},\\cos {{45}^o}\\sin {{30}^o},\\sin {{45}^o}} \\right)\\) nên \\(\\overrightarrow {OB} \\left( {\\frac{{\\sqrt 6 }}{4};\\frac{{\\sqrt 2 }}{4};\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {OA} .\\overrightarrow {OB}  = \\frac{{\\sqrt 6 }}{4}\\)</p>\r\n<p>Vì A, B thuộc mặt đất nên \\(\\left| {\\overrightarrow {OA} } \\right| = \\left| {\\overrightarrow {OB} } \\right| = 1\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\cos \\widehat {AOB} = \\frac{{\\overrightarrow {OA} .\\overrightarrow {OB} }}{{\\left| {\\overrightarrow {OA} } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {OB} } \\right|}} = \\frac{{\\sqrt 6 }}{4} \\Rightarrow \\widehat {AOB} \\approx 52,{2388^o}\\)</p>\r\n<p>Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua A, B bán kính 1 và chu vi là \\(2\\pi  \\approx 6,2832\\) nên cung nhỏ AB của đường tròn có độ dài xấp xỉ bằng \\(\\frac{{52,2388}}{{360}}.6,2832 \\approx 0,9117\\)</p>\r\n<p>Do 1 đơn vị độ dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371km trên thực tế, nên khoảng cách giữa hai vị trí A, B xấp xỉ bằng \\(0,9117.6\\;371 = 5\\;808,4407\\left( {km} \\right)\\)</p>"},{"article_id":160945,"cat_id":1783,"publish_time":1712644920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_38.png","title":"Giải mục 2 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 2 trang 51","alias":"giai-muc-2-trang-51-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":160921,"cat_id":1783,"publish_time":1712635380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_25.png","title":"Giải mục 2 trang 45 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 2 trang 45","alias":"giai-muc-2-trang-45-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":160884,"cat_id":1783,"publish_time":1712628120,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_9.png","title":"Giải mục 2 trang 32,33 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 2 trang 32,33","alias":"giai-muc-2-trang-3233-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Phương trình tổng quát của mặt phẳng","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":161001,"cat_id":1783,"publish_time":1712649060,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_59.png","title":"Giải bài tập 5.33 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.33 trang 61","alias":"giai-bai-tap-533-trang-61-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{{y + 2}}{1} = \\frac{{z - 3}}{{ - 2}}\\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là\r\nA. \\(\\left( {1; - 2;3} \\right)\\).\r\nB. \\(\\left( {2;1; - 2} \\right)\\).\r\nC. \\(\\left( {2;1;2} \\right)\\).\r\nD. \\(\\left( {1;2;3} \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là \\(\\left( {2;1; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn B</p>"},{"article_id":160978,"cat_id":1783,"publish_time":1712647380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_51.png","title":"Giải bài tập 5.25 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.25 trang 59","alias":"giai-bai-tap-525-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \\({\\left( {x - \\frac{1}{2}} \\right)^2} + {\\left( {y + 1} \\right)^2} + {z^2} = 9\\).\r\nXác định tâm và bán kính của (S).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng: \\({\\left( {x - \\frac{1}{2}} \\right)^2} + {\\left[ {y - \\left( { - 1} \\right)} \\right]^2} + {\\left( {z - 0} \\right)^2} = {3^2}\\)</p>\r\n<p>Do đó, mặt cầu (S) có tâm \\(I\\left( {\\frac{1}{2}; - 1;0} \\right)\\) và bán kính \\(R = 3\\). </p>"},{"article_id":160949,"cat_id":1783,"publish_time":1712645220,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_39.png","title":"Giải mục 3 trang 52,53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 3 trang 52,53","alias":"giai-muc-3-trang-5253-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":160925,"cat_id":1783,"publish_time":1712635620,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_26.png","title":"Giải mục 3 trang 46,47,48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 3 trang 46,47,48 ","alias":"giai-muc-3-trang-464748-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":160885,"cat_id":1783,"publish_time":1712628360,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_10.png","title":"Giải mục 3 trang 33,34,35 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 3 trang 33,34,35","alias":"giai-muc-3-trang-333435-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":161002,"cat_id":1783,"publish_time":1712649180,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_60.png","title":"Giải bài tập 5.34 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.34 trang 61","alias":"giai-bai-tap-534-trang-61-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\\\y =  - 2 + t\\\\z = 3 - t\\end{array} \\right.\\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là\r\nA. \\(\\left( {1; - 2;3} \\right)\\).\r\nB. \\(\\left( {2;0;0} \\right)\\).\r\nC. \\(\\left( {2;1; - 1} \\right)\\).\r\nD. \\(\\left( {2;1;1} \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là \\(\\left( {2;1; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn C</p>"},{"article_id":160980,"cat_id":1783,"publish_time":1712647500,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_52.png","title":"Giải bài tập 5.26 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.26 trang 59","alias":"giai-bai-tap-526-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm \\(I\\left( { - 2;0;5} \\right)\\) và bán kính \\(R = 2\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu (S) tâm \\(I\\left( { - 2;0;5} \\right)\\), bán kính \\(R = 2\\) có phương trình là:</p>\r\n<p>\\({\\left( {x + 2} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z - 5} \\right)^2} = 4\\)</p>"},{"article_id":160951,"cat_id":1783,"publish_time":1712645460,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_40.png","title":"Giải bài tập 5.20 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.20 trang 53","alias":"giai-bai-tap-520-trang-53-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng \\({\\Delta _1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\\\y = 1 - t\\\\z = 2 + 3t\\end{array} \\right.\\) và \\({\\Delta _2}:\\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \\frac{{x + 1}}{1} = \\frac{{z - 2}}{2}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {2; - 1;3} \\right)\\), đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( { - 1;1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó: \\(\\cos \\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.\\left( { - 1} \\right) - 1.1 + 3.2} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {3^2}} .\\sqrt {{{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \\frac{{\\sqrt {21} }}{{14}}\\)</p>\r\n<p>Suy ra: \\(\\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) \\approx 70,{9^o}\\)<strong></strong></p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":160926,"cat_id":1783,"publish_time":1712636520,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_27.png","title":"Giải bài tập 5.11 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.11 trang 48","alias":"giai-bai-tap-511-trang-48-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\(A\\left( {1;{\\rm{ }}1;{\\rm{ }}2} \\right)\\) và song song với đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 3}}{2} = \\frac{{y - 1}}{1} = \\frac{{z + 5}}{3}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì \\(\\Delta \\) song song với đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 3}}{2} = \\frac{{y - 1}}{1} = \\frac{{z + 5}}{3}\\) nên \\(\\Delta \\) có một có vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow u \\left( {2;1;3} \\right)\\). Lại có, đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\(A\\left( {1;1;2} \\right)\\) nên phương trình tham số của \\(\\Delta \\) là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\\\y = 1 + t\\\\z = 2 + 3t\\end{array} \\right.\\) .</p>\r\n<p>Phương trình chính tắc của đường thẳng \\(\\Delta \\) là: \\(\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{{y - 1}}{1} = \\frac{{z - 2}}{3}\\).<strong></strong></p>"},{"article_id":160887,"cat_id":1783,"publish_time":1712628960,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_11.png","title":"Giải mục 4 trang 35,36 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 4 trang 35,36","alias":"giai-muc-4-trang-3536-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":161004,"cat_id":1783,"publish_time":1712649240,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_61.png","title":"Giải bài tập 5.35 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.35 trang 61","alias":"giai-bai-tap-535-trang-61-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua \\(I\\left( {2; - 1;1} \\right)\\) và nhận vectơ \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1;2; - 3} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương là\r\nA. \\(\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \\frac{{z + 3}}{1}\\).\r\nB. \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{{z - 1}}{{ - 3}}\\).\r\nC. \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y + 1}}{2} = \\frac{{z - 1}}{{ - 3}}\\).\r\nD. \\(\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{{y - 2}}{1} = \\frac{{z + 3}}{1}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình đường thẳng d đi qua \\(I\\left( {2; - 1;1} \\right)\\) và nhận vectơ \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1;2; - 3} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương là: \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y + 1}}{2} = \\frac{{z - 1}}{{ - 3}}\\).</p>\r\n<p>Chọn C</p>"},{"article_id":160982,"cat_id":1783,"publish_time":1712647620,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_53.png","title":"Giải bài tập 5.27 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.27 trang 59","alias":"giai-bai-tap-527-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm \\(I\\left( {0;3; - 1} \\right)\\) và có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right):3x + 2y - z = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(d\\left( {I;\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {3.0 + 2.3 - 1.\\left( { - 1} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{7}{{\\sqrt {14} }}\\)  nên bán kính của mặt cầu (S) là \\(R = \\frac{7}{{\\sqrt {14} }}\\).</p>\r\n<p>Do đó, phương trình của mặt cầu (S) có tâm \\(I\\left( {0;3; - 1} \\right)\\) và có bán kính \\(R = \\frac{7}{{\\sqrt {14} }}\\) là: \\({x^2} + {\\left( {y - 3} \\right)^2} + {\\left( {z + 1} \\right)^2} = \\frac{7}{2}\\)</p>"},{"article_id":160953,"cat_id":1783,"publish_time":1712645640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_42.png","title":"Giải bài tập 5.21 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.21 trang 53","alias":"giai-bai-tap-521-trang-53-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + 2y - z - 1 = 0\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Trục Oz có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {0;0;1} \\right)\\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;2; - 1} \\right)\\). Ta có: \\(\\sin \\left( {Oz,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {0.1 + 0.2 + 1.\\left( { - 1} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{1}{{\\sqrt 6 }}\\)</p>\r\n<p>Do đó, góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P) khoảng \\(24,{1^o}\\).</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":160927,"cat_id":1783,"publish_time":1712637120,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_29.png","title":"Giải bài tập 5.12 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.12 trang 48","alias":"giai-bai-tap-512-trang-48-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\(A\\left( {2; - 1;4} \\right)\\) và vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + 3y - z - 1 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì đường thẳng \\(\\Delta \\) vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + 3y - z - 1 = 0\\) nên đường thẳng \\(\\Delta \\) nhận \\(\\overrightarrow u \\left( {1;3; - 1} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương. Mà đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\(A\\left( {2; - 1;4} \\right)\\) nên:</p>\r\n<p>Phương trình tham số của \\(\\Delta \\) là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 + t\\\\y =  - 1 + 3t\\\\z = 4 - t\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Phương trình chính tắc của đường thẳng \\(\\Delta \\) là: \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y + 1}}{3} = \\frac{{z - 4}}{{ - 1}}\\).</p>"},{"article_id":160888,"cat_id":1783,"publish_time":1712629320,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_12.png","title":"Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 5 trang 37,38","alias":"giai-muc-5-trang-3738-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":161005,"cat_id":1783,"publish_time":1712649360,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_62.png","title":"Giải bài tập 5.36 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.36 trang 61","alias":"giai-bai-tap-536-trang-61-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \\(A\\left( { - 1;0; - 1} \\right),B\\left( {2;1;1} \\right)\\). Phương trình đường thẳng AB là\r\nA. \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 3t\\\\y = t\\\\z = 1 + 2t\\end{array} \\right.\\).\r\nB. \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + t\\\\y = t\\\\z =  - 1 + 2t\\end{array} \\right.\\).\r\nC. \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 + t\\\\y = 1 + t\\\\z = 1 + 2t\\end{array} \\right.\\).\r\nD. \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\\\y = t\\\\z =  - 1 + 2t\\end{array} \\right.\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng AB đi qua điểm \\(A\\left( { - 1;0; - 1} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {3;1;2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của đường thẳng AB là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\\\y = t\\\\z =  - 1 + 2t\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Chọn D</p>"},{"article_id":160984,"cat_id":1783,"publish_time":1712647680,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_54.png","title":"Giải bài tập 5.28 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.28 trang 59","alias":"giai-bai-tap-528-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0\\).\r\nXác định tâm, tính bán kính của (S).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0\\)</p>\r\n<p class=\"MTDisplayEquation\">\\( \\Leftrightarrow \\left( {{x^2} + 2x + 1} \\right) + \\left( {{y^2} - 2y + 1} \\right) + \\left( {{z^2} + 8z + 16} \\right) = 36\\)\\( \\Leftrightarrow {\\left( {x + 1} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z + 4} \\right)^2} = {6^2}\\)</p>\r\n<p>Do đó, mặt cầu (S) có tâm \\(I\\left( { - 1;1; - 4} \\right)\\) và bán kính \\(R = 6\\).</p>"},{"article_id":160956,"cat_id":1783,"publish_time":1712645820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_44.png","title":"Giải bài tập 5.22 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.22 trang 53","alias":"giai-bai-tap-522-trang-53-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Tính góc giữa đường thẳng \\(\\Delta :\\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \\frac{{y - 3}}{2} = \\frac{{z + 2}}{3}\\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + y + z + 3 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 1;2;3} \\right)\\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;1;1} \\right)\\). Ta có: \\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\left( { - 1} \\right).1 + 2.1 + 3.1} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {2^2} + {3^2}} .\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \\frac{4}{{\\sqrt {42} }}\\)</p>\r\n<p>Do đó, góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và mặt phẳng (P) khoảng \\(38,{1^o}\\).</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":160928,"cat_id":1783,"publish_time":1712637240,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_30.png","title":"Giải bài tập 5.13 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.13 trang 48","alias":"giai-bai-tap-513-trang-48-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua hai điểm \\(A\\left( {2;3; - 1} \\right)\\) và \\(B\\left( {1; - 2;4} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng AB đi qua điểm \\(A\\left( {2;3; - 1} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {AB} \\left( { - 1; - 5;5} \\right)\\). Do đó:</p>\r\n<p>Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 - t\\\\y = 3 - 5t\\\\z =  - 1 + 5t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \\(\\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \\frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \\frac{{z + 1}}{5}\\).<strong></strong></p>"},{"article_id":160889,"cat_id":1783,"publish_time":1712629800,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_13.png","title":"Giải mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Câu hỏi mục 6 trang 38,39","alias":"giai-muc-6-trang-3839-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":161006,"cat_id":1783,"publish_time":1712649660,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_63.png","title":"Giải bài tập 5.37 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.37 trang 61","alias":"giai-bai-tap-537-trang-61-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua \\(I\\left( {2;1; - 3} \\right)\\) và vuông góc với mặt phẳng (P): \\(x - 2y + z - 3 = 0\\) là\r\nA. \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \\frac{{z + 3}}{1}\\).\r\nB. \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{{z - 3}}{1}\\).\r\nC. \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \\frac{{z - 3}}{1}\\).\r\nD. \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{{z + 3}}{1}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \\(\\overrightarrow {{n_P}} \\left( {1; - 2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận \\(\\overrightarrow {{n_P}} \\left( {1; - 2;1} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương. Mà đường thẳng d đi qua \\(I\\left( {2;1; - 3} \\right)\\) nên phương trình d là: \\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \\frac{{z + 3}}{1}\\)</p>\r\n<p>Chọn A</p>"},{"article_id":160986,"cat_id":1783,"publish_time":1712647740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_55.png","title":"Giải bài tập 5.29 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.29 trang 59","alias":"giai-bai-tap-529-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.\r\na) \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5z + 30 = 0\\);\r\nb) \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z = 0\\);\r\nc) \\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 2x + 6y - 9z - 10 = 0\\);\r\nd) \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình đã cho tương ứng với \\(a = 1,b = 0,c = \\frac{5}{2},d = 30\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {1^2} + {0^2} + {\\left( {\\frac{5}{2}} \\right)^2} - 30 = \\frac{{ - 91}}{4} &lt; 0\\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.</p>\r\n<p>b) Phương trình đã cho tương ứng với \\(a = 2,b =  - 1,c = 1,d = 0\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {\\left( { - 1} \\right)^2} + {1^2} - {0^2} = 6 &gt; 0\\). Do đó, phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm \\(\\left( {2; - 1;1} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt 6 \\).</p>\r\n<p>c) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p>d) Phương trình đã cho tương ứng với \\(a = 0,b = 0,c = 0,d = 5\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {0^2} + {0^2} + {0^2} - {5^2} =  - 25 &lt; 0\\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.</p>"},{"article_id":160958,"cat_id":1783,"publish_time":1712645940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_45.png","title":"Giải bài tập 5.23 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.23 trang 53","alias":"giai-bai-tap-523-trang-53-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S. ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).\r\n \r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0409/3_24.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó ta tính được \\(OA = OB = OC = OD = 115\\sqrt 2 \\)</p>\r\n<p>Vì \\(SA = SB = SC = SD\\) nên tam giác SAC và SBD là các tam giác cân tại S. Do đó, SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của các tam giác SAC và SBD. Do đó, \\(SO \\bot AC,SO \\bot BD\\) nên \\(SO \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Tam giác SOA vuông tại O nên \\(SO = \\sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \\sqrt {{{219}^2} - {{\\left( {115\\sqrt 2 } \\right)}^2}}  = 7\\sqrt {439} \\)</p>\r\n<p>Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ trùng với O như hình vẽ.</p>\r\n<p>Khi đó, \\(S\\left( {0;0;7\\sqrt {439} } \\right),A\\left( {115\\sqrt 2 ;0;0} \\right);B\\left( {0;115\\sqrt 2 ;0} \\right),C\\left( { - 115\\sqrt 2 ;0;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra: \\(\\overrightarrow {SA} \\left( {115\\sqrt 2 ;0; - 7\\sqrt {439} } \\right),\\overrightarrow {AB} \\left( { - 115\\sqrt 2 ;115\\sqrt 2 ;0} \\right) \\Rightarrow \\overrightarrow m  = \\frac{1}{{115\\sqrt 2 }}\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 1;1;0} \\right)\\),</p>\r\n<p>\\(,\\overrightarrow {SB} \\left( {0;115\\sqrt 2 ; - 7\\sqrt {439} } \\right)\\), \\(\\overrightarrow {BC} \\left( { - 115\\sqrt 2 ; - 115\\sqrt 2 ;0} \\right) \\Rightarrow \\overrightarrow v  = \\frac{1}{{ - 115\\sqrt 2 }}\\overrightarrow {BC}  = \\left( {1;1;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {SA} ,\\overrightarrow m } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{ - 7\\sqrt {439} }\\\\1&amp;0\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\\sqrt {439} }&amp;{115\\sqrt 2 }\\\\0&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{115\\sqrt 2 }&amp;0\\\\{ - 1}&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right)\\)\\( = \\left( {7\\sqrt {439} ;7\\sqrt {439} ;115\\sqrt 2 } \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (SAB) nhận \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left[ {\\overrightarrow {SA} ,\\overrightarrow m } \\right] = \\left( {7\\sqrt {439} ;7\\sqrt {439} ;115\\sqrt 2 } \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {SB} ,\\overrightarrow v } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{115\\sqrt 2 }&amp;{ - 7\\sqrt {439} }\\\\1&amp;0\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\\sqrt {439} }&amp;0\\\\0&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{115\\sqrt 2 }\\\\1&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right)\\)\\( = \\left( {7\\sqrt {439} ; - 7\\sqrt {439} ; - 115\\sqrt 2 } \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (SBC) nhận \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left[ {\\overrightarrow {SB} ,\\overrightarrow v } \\right] = \\left( {7\\sqrt {439} ; - 7\\sqrt {439} ; - 115\\sqrt 2 } \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left( {\\left( {SAB} \\right),\\left( {SBC} \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {{n_1}} ,\\overrightarrow {{n_2}} } \\right)} \\right|\\)</p>\r\n<p>\\( = \\frac{{\\left| {{{\\left( {7\\sqrt {439} } \\right)}^2} - {{\\left( {7\\sqrt {439} } \\right)}^2} - {{\\left( {115\\sqrt 2 } \\right)}^2}} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {7\\sqrt {439} } \\right)}^2} + {{\\left( {7\\sqrt {439} } \\right)}^2} + {{\\left( {115\\sqrt 2 } \\right)}^2}} .\\sqrt {{{\\left( {7\\sqrt {439} } \\right)}^2} + {{\\left( { - 7\\sqrt {439} } \\right)}^2} + {{\\left( { - 115\\sqrt 2 } \\right)}^2}} }}\\)</p>\r\n<p>\\( = \\frac{{{{\\left( {115\\sqrt 2 } \\right)}^2}}}{{69\\;472}} = \\frac{{13225}}{{34736}} \\Rightarrow \\left( {\\left( {SAB} \\right),\\left( {SBC} \\right)} \\right) \\approx 67,{6^o}\\)</p>\r\n<p>Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng \\(67,{6^o}\\).</p>"},{"article_id":160929,"cat_id":1783,"publish_time":1712637360,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_31.png","title":"Giải bài tập 5.14 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.14 trang 48","alias":"giai-bai-tap-514-trang-48-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \\({\\Delta _1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\\\y = 3 - t\\\\z = 2 + 3t\\end{array} \\right.\\) và \\({\\Delta _2}:\\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \\frac{{y + 2}}{1} = \\frac{{z - 2}}{2}\\).\r\na) Chứng minh rằng \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) cắt nhau.\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {2; - 1;3} \\right)\\) và đi qua điểm \\({A_1}\\left( {1;3;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\left( { - 1;1;2} \\right)\\) và đi qua điểm \\({A_2}\\left( {8; - 2;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\frac{1}{8} \\ne \\frac{3}{{ - 2}}\\) nên hai vectơ \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\) và \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\) không cùng phương.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;3\\\\1&amp;2\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;2\\\\2&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;{ - 1}\\\\{ - 1}&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 5; - 7;1} \\right) \\ne \\overrightarrow 0 \\), \\(\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\left( {7; - 5;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = 7.\\left( { - 5} \\right) + \\left( { - 5} \\right).\\left( { - 7} \\right) + 0.1 = 0\\), \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( { - 5; - 7;1} \\right) \\ne \\overrightarrow 0 \\) nên \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) cắt nhau.</p>\r\n<p>b) Vì mặt phẳng (P) chứa \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\), \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) cắt nhau nên mặt phẳng (P) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( { - 5; - 7;1} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm \\({A_1}\\left( {1;3;2} \\right)\\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: \\( - 5\\left( {x - 1} \\right) - 7\\left( {y - 3} \\right) + 1\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - 5x - 7y + z + 24 = 0\\).</p>"},{"article_id":160890,"cat_id":1783,"publish_time":1712630160,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_14.png","title":"Giải bài tập 5.1 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.1 trang 39","alias":"giai-bai-tap-51-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {1;2; - 1} \\right)\\) và vuông góc với trục Ox.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {1;2; - 1} \\right)\\) và vuông góc với trục Ox.</p>\r\n<p>Vì (P) vuông góc với trục Ox nên (P) nhận \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;0;0} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Mà (P) đi qua điểm \\(M\\left( {1;2; - 1} \\right)\\) nên phương trình (P) là:</p>\r\n<p>\\(1\\left( {x - 1} \\right) + 0.\\left( {y - 2} \\right) + 0.\\left( {z + 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x - 1 = 0\\)</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161007,"cat_id":1783,"publish_time":1712649780,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_64.png","title":"Giải bài tập 5.38 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.38 trang 62","alias":"giai-bai-tap-538-trang-62-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \\({\\left( {x + 1} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = 4\\). Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là\r\nA. \\(I\\left( {1;0;3} \\right),R = 4\\).\r\nB. \\(I\\left( {1;0;3} \\right),R = 2\\).\r\nC. \\(I\\left( { - 1;0;3} \\right),R = 2\\).\r\nD. \\(I\\left( { - 1;0;3} \\right),R = 4\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) được: \\({\\left[ {x - \\left( { - 1} \\right)} \\right]^2} + {\\left( {y - 0} \\right)^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = {2^2}\\)</p>\r\n<p>Mặt cầu (S) có tâm \\(I\\left( { - 1;0;3} \\right),\\) bán kính \\(R = 2\\).</p>\r\n<p>Chọn C</p>"},{"article_id":160987,"cat_id":1783,"publish_time":1712647800,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_56.png","title":"Giải bài tập 5.30 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.30 trang 59","alias":"giai-bai-tap-530-trang-59-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí \\(A\\left( {2;0;0} \\right).\\) Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1. Hỏi vị trí \\(M\\left( {2;1;1} \\right)\\) có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(MA = \\sqrt {{{\\left( {2 - 2} \\right)}^2} + {{\\left( {1 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( {1 - 0} \\right)}^2}}  = \\sqrt 2  &gt; 1 = R\\) nên vị trí M không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên.</p>"},{"article_id":160963,"cat_id":1783,"publish_time":1712646120,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_46.png","title":"Giải bài tập 5.24 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.24 trang 53","alias":"giai-bai-tap-524-trang-53-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40cm, 44cm, 48cm.\r\na) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)\r\nb) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?\r\n \r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0409/3_26.png\"   /></p>\r\n<p>a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.</p>\r\n<p>Khi đó, \\(A\\left( {0;1;0,4} \\right),B\\left( {1;1;0,44} \\right),C\\left( {1;0;0,48} \\right),D\\left( {0;0;z} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra: \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {1;0;0,04} \\right),\\overrightarrow {DC} \\left( {1;0,0,48 - z} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì ABCD là hình bình hành nên \\(\\overrightarrow {AB}  = \\overrightarrow {DC}  \\Rightarrow 0,48 - z = 0,04 \\Rightarrow z = 0,44\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(D\\left( {0;0;0,44} \\right)\\). Vậy khoảng cách từ D đến đáy bể bằng 44cm.</p>\r\n<p>b) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Kẻ AA’ vuông góc với Oz tại A’.</p>\r\n<p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0409/3_27.png\"   /></p>\r\n<p>Mặt phẳng (Oxz) nhận \\(\\overrightarrow j \\left( {0;1;0} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \\(y = 0\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(AA' = d\\left( {A,\\left( {Oxz} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| 1 \\right|}}{{\\sqrt 1 }} = 1\\), \\(AD = \\sqrt {{1^2} + 0,{{04}^2}}  = \\frac{{\\sqrt {626} }}{{25}}\\)</p>\r\n<p>Tam giác ADA’ vuông tại A’ nên \\(\\cos \\left( {AA',DA} \\right) = \\frac{{AA'}}{{AD}} = \\frac{1}{{\\frac{{\\sqrt {626} }}{{25}}}} \\Rightarrow \\left( {AA',AD} \\right) \\approx 2,{3^o}\\)</p>\r\n<p>Vậy đáy bể nghiêng mới mặt nằm ngang một góc khoảng \\(2,{3^o}\\).</p>"},{"article_id":160930,"cat_id":1783,"publish_time":1712637540,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_32.png","title":"Giải bài tập 5.15 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.15 trang 48","alias":"giai-bai-tap-515-trang-48-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \\({\\Delta _1}:\\frac{{x - 1}}{3} = \\frac{{y - 3}}{1} = \\frac{{z - 2}}{2}\\) và \\({\\Delta _2}:\\frac{{x - 1}}{3} = \\frac{{y + 1}}{1} = \\frac{z}{2}\\).\r\na) Chứng minh rằng \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) song song nhau.\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {3;1;2} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( {1;3;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\left( {3;1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\overrightarrow {{u_2}} \\) nên hai vectơ \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\) và \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\) cùng phương.</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\frac{{1 - 1}}{3} \\ne \\frac{{3 + 1}}{1}\\) nên điểm A không thuộc đường thẳng \\({\\Delta _2}\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) song song nhau.</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) đi qua điểm \\(B\\left( {1; - 1;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {0; - 4; - 2} \\right)\\) không cùng phương với \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {3;1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {AB} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;2\\\\{ - 4}&amp;{ - 2}\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;3\\\\{ - 2}&amp;0\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;1\\\\0&amp;{ - 4}\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {6;6; - 12} \\right)\\)</p>\r\n<p>Do đó, mặt phẳng (P) chứa \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) nhận \\(\\frac{1}{6}\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {AB} } \\right] = \\left( {1;1; - 2} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm \\(A\\left( {1;3;2} \\right)\\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: \\(x - 1 + y - 3 - 2\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x + y - 2z = 0\\).</p>"},{"article_id":160891,"cat_id":1783,"publish_time":1712630400,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_15.png","title":"Giải bài tập 5.2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.2 trang 39","alias":"giai-bai-tap-52-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với \\(A\\left( {1; - 1;3} \\right),B\\left( {0;2;4} \\right),\\)\\(D\\left( {2; - 1;1} \\right),A'\\left( {0;1;2} \\right)\\).\r\na) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’.\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0409/3_9.png\"   /></p>\r\n<p>a) \\(\\overrightarrow {AB} \\left( { - 1;3;1} \\right),\\overrightarrow {AA'} \\left( { - 1;2; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên</p>\r\n<p>+) \\(\\overrightarrow {AB}  = \\overrightarrow {A'B'}  \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{B'}} - {x_{A'}} =  - 1\\\\{y_{B'}} - {y_{A'}} = 3\\\\{z_{B'}} - {z_{A'}} = 1\\end{array} \\right. \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{B'}} =  - 1 + {x_{A'}} =  - 1 + 0 =  - 1\\\\{y_{B'}} = 3 + {y_{A'}} = 3 + 1 = 4\\\\{z_{B'}} = 1 + {z_{A'}} = 1 + 2 = 3\\end{array} \\right. \\Rightarrow B'\\left( { - 1;4;3} \\right)\\)</p>\r\n<p>+) \\(\\overrightarrow {AA'}  = \\overrightarrow {DD'}  \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{D'}} - {x_D} =  - 1\\\\{y_{D'}} - {y_D} = 2\\\\{z_{D'}} - {z_D} =  - 1\\end{array} \\right. \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{D'}} =  - 1 + {x_D} = 1\\\\{y_{D'}} = 2 + {y_D} = 1\\\\{z_{D'}} =  - 1 + {z_D} = 0\\end{array} \\right. \\Rightarrow D'\\left( {1;1;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>+) \\(\\overrightarrow {AB}  = \\overrightarrow {DC}  \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l} - 1 = {x_C} - {x_D}\\\\3 = {y_C} - {y_D}\\\\1 = {z_C} - {z_D}\\end{array} \\right. \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_C} =  - 1 + {x_D} =  - 1 + 2 = 1\\\\{y_C} = 3 + {y_D} = 3 - 1 = 2\\\\{z_C} = 1 + {z_D} = 1 + 1 = 2\\end{array} \\right. \\Rightarrow C\\left( {1;2;2} \\right)\\)</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(\\overrightarrow {CD'} \\left( {0; - 1; - 2} \\right),\\overrightarrow {CB'} \\left( { - 2;2;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {CD'} ,\\overrightarrow {CB'} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;{ - 2}\\\\2&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&amp;0\\\\1&amp;{ - 2}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{ - 1}\\\\{ - 2}&amp;2\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {3;4; - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (CB’D’) đi qua điểm \\(C\\left( {1;2;2} \\right)\\) và nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {CD'} ,\\overrightarrow {CB'} } \\right] = \\left( {3;4; - 2} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (CB’D’) là:</p>\r\n<p>\\(3\\left( {x - 1} \\right) + 4\\left( {y - 2} \\right) - 2\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0\\)</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161008,"cat_id":1783,"publish_time":1712649840,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_65.png","title":"Giải bài tập 5.39 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.39 trang 62","alias":"giai-bai-tap-539-trang-62-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là\r\nA. \\(I\\left( {1; - 2; - 1} \\right),R = 3\\).\r\nB. \\(I\\left( {1;2;1} \\right),R = 9\\).\r\nC. \\(I\\left( {1;2;1} \\right),R = 3\\).\r\nD. \\(I\\left( {1; - 2; - 1} \\right),R = 9\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt cầu (S) có \\(a = 1;b =  - 2,c =  - 1,d =  - 3\\)</p>\r\n<p>Do đó, mặt cầu (S) có bán kính \\(R = \\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + 3}  = 3\\) và tâm \\(I\\left( {1; - 2; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Chọn A</p>"},{"article_id":160931,"cat_id":1783,"publish_time":1712637720,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_33.png","title":"Giải bài tập 5.16 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.16 trang 48","alias":"giai-bai-tap-516-trang-48-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \\({\\Delta _1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + t\\\\y = 1\\\\z = 3 + 2t\\end{array} \\right.\\) và \\({\\Delta _2}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + 2s\\\\y = 2 + s\\\\z = 1 + 3s\\end{array} \\right.\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {1;0;2} \\right)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( { - 1;1;3} \\right)\\).<strong></strong></p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\left( {2;1;3} \\right)\\) và đi qua điểm \\(B\\left( { - 1;2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\frac{1}{2} \\ne \\frac{0}{1}\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\) không cùng phương với \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;2\\\\1&amp;3\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;1\\\\3&amp;2\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;0\\\\2&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 2;1;1} \\right) \\ne \\overrightarrow 0 \\), \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {0;1; - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\overrightarrow {AB} .\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = 0.\\left( { - 2} \\right) + 1.1 + \\left( { - 2} \\right).1 =  - 1 \\ne 0\\) nên \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) chéo nhau.<strong></strong></p>"},{"article_id":160892,"cat_id":1783,"publish_time":1712630640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_16.png","title":"Giải bài tập 5.3 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.3 trang 39","alias":"giai-bai-tap-53-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \\(M\\left( {1; - 1;5} \\right)\\) và vuông góc với hai mặt phẳng \\(\\left( Q \\right):3x + 2y - z = 0\\), \\(\\left( R \\right):x + y - z = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(\\overrightarrow {{n_Q}}  = \\left( {3;2; - 1} \\right),\\overrightarrow {{n_R}}  = \\left( {1;1; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_Q}} ,\\overrightarrow {{n_R}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;{ - 1}\\\\1&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;3\\\\{ - 1}&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;2\\\\1&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 1;2;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) nên (P) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_Q}} ,\\overrightarrow {{n_R}} } \\right] = \\left( { - 1;2;1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {1; - 1;5} \\right)\\) nên phương trình (P) là: \\( - 1\\left( {x - 1} \\right) + 2\\left( {y + 1} \\right) + 1\\left( {z - 5} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - x + 2y + z - 2 = 0\\)</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161009,"cat_id":1783,"publish_time":1712649900,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_66.png","title":"Giải bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.40 trang 62","alias":"giai-bai-tap-540-trang-62-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \\(A\\left( {1;0; - 1} \\right),B\\left( {0;1;2} \\right),C\\left( { - 1; - 2;3} \\right)\\).\r\na) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).\r\nb) Viết phương trình đường thẳng AC.\r\nc) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.\r\nd) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 1;1;3} \\right),\\overrightarrow {AC} \\left( { - 2; - 2;4} \\right) \\Rightarrow \\frac{{ - 1}}{2}\\overrightarrow {AC}  = \\left( {1;1; - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>a) Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\frac{{ - 1}}{2}\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;3\\\\1&amp;{ - 2}\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;{ - 1}\\\\{ - 2}&amp;1\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;1\\\\1&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 5;1; - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \\(A\\left( {1;0; - 1} \\right)\\) và nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\frac{{ - 1}}{2}\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( { - 5;1; - 2} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:</p>\r\n<p>\\( - 5\\left( {x - 1} \\right) + y - 2\\left( {z + 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - 5x + y - 2z + 3 = 0\\)</p>\r\n<p>b) Đường thẳng AC đi qua điểm \\(A\\left( {1;0; - 1} \\right)\\) và nhận \\(\\frac{{ - 1}}{2}\\overrightarrow {AC}  = \\left( {1;1; - 2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là \\(\\frac{{x - 1}}{1} = \\frac{y}{1} = \\frac{{z + 1}}{{ - 2}}\\) phương trình tham số đường thẳng AC là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + t\\\\y = t\\\\z =  - 1 - 2t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>c) Gọi I là trung điểm của AC nên \\(I\\left( {0; - 1;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt cầu đường kính AC có bán kính \\(R = \\frac{{AC}}{2} = \\frac{1}{2}\\sqrt {{{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {4^2}}  = \\sqrt 6 \\) và tâm \\(I\\left( {0; - 1;1} \\right)\\) nên phương trình mặt cầu là: \\({x^2} + {\\left( {y + 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^2} = 6\\)</p>\r\n<p>d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là \\(A\\left( {1;0; - 1} \\right)\\) và bán kính \\(AB = \\sqrt {{{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {1^2} + {3^2}}  = \\sqrt {11} \\) nên phương trình mặt cầu là: \\({\\left( {x - 1} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z + 1} \\right)^2} = 11\\)</p>"},{"article_id":160932,"cat_id":1783,"publish_time":1712637840,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_34.png","title":"Giải bài tập 5.17 trang 49 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.17 trang 49","alias":"giai-bai-tap-517-trang-48-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ({Delta _1}:frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{{ - 1}} = frac{{z + 1}}{3}) và ({Delta _2}:frac{{x - 3}}{{ - 1}} = frac{{y + 1}}{1} = frac{z}{1}). \r\na) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?\r\nb) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {2; - 1;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\left( { - 1;1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {{u_1}} .\\overrightarrow {{u_2}}  = 2.\\left( { - 1} \\right) - 1.1 + 3.1 = 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}}  \\bot \\overrightarrow {{u_2}} \\). Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) đi qua điểm \\(A\\left( {1;0; - 1} \\right)\\), đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) đi qua điểm \\(B\\left( {3; - 1;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\frac{2}{{ - 1}} \\ne \\frac{{ - 1}}{1}\\) nên \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\) không cùng phương với \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;3\\\\1&amp;1\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}3&amp;2\\\\1&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;{ - 1}\\\\{ - 1}&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 4; - 5;1} \\right) \\ne \\overrightarrow 0 \\), \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {2; - 1;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\overrightarrow {AB} .\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( { - 4} \\right).2 + \\left( { - 5} \\right).\\left( { - 1} \\right) + 1.1 =  - 2 \\ne 0\\) nên \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) chéo nhau.</p>\r\n<p>Do đó, nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.<strong></strong></p>"},{"article_id":160893,"cat_id":1783,"publish_time":1712630760,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_17.png","title":"Giải bài tập 5.4 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.4 trang 39","alias":"giai-bai-tap-54-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {2;3; - 1} \\right)\\) song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( Q \\right):x + 2y - 3z + 1 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {2;3; - 1} \\right)\\) song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {{n_Q}} \\left( {1;2; - 3} \\right)\\), trục Ox có một vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {{n_1}} \\left( {1;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_Q}} ,\\overrightarrow {{n_1}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;{ - 3}\\\\0&amp;0\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&amp;1\\\\0&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;2\\\\1&amp;0\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {0; - 3; - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì (P) song song với trục Ox và vuông góc với (Q) nên (P) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_Q}} ,\\overrightarrow {{n_1}} } \\right] = \\left( {0; - 3; - 2} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {2;3; - 1} \\right)\\) nên phương trình (P) là:</p>\r\n<p>\\(0\\left( {x - 2} \\right) - 3\\left( {y - 3} \\right) - 2\\left( {z + 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 3y + 2z - 7 = 0\\)</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161012,"cat_id":1783,"publish_time":1712650020,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_67.png","title":"Giải bài tập 5.41 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.41 trang 62","alias":"giai-bai-tap-541-trang-62-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + t\\\\y =  - 2 + t\\\\z = 4 - 2t\\end{array} \\right.\\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Nhận thấy điểm O không thuộc đường thẳng d.</p>\r\n<p>Đường thẳng d đi qua điểm \\(A\\left( {1; - 2;4} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1;1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {OA}  = \\left( {1; - 2;4} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {OA} ;\\overrightarrow u } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&amp;4\\\\1&amp;2\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}4&amp;1\\\\2&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ - 2}\\\\1&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 8;2;3} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (P) đi qua điểm \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\) và nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {OA} ;\\overrightarrow u } \\right] = \\left( { - 8;2;3} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là: \\( - 8x + 2y + 3z = 0\\)</p>"},{"article_id":160933,"cat_id":1783,"publish_time":1712637960,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_35.png","title":"Giải bài tập 5.18 trang 49 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.18 trang 49","alias":"giai-bai-tap-518-trang-49-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm \\(A\\left( {1;3;4} \\right)\\) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \\(\\overrightarrow v  = \\left( {2;1;6} \\right)\\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?\r\na) Mục tiêu đặt tại điểm \\(M\\left( {7;\\frac{7}{2};21} \\right)\\).\r\nb) Mục tiêu đặt tại điểm \\(N\\left( { - 3;1; - 8} \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có: \\(\\overrightarrow {AM} \\left( {6;\\frac{1}{2};17} \\right)\\). Vì \\(\\frac{6}{2} \\ne \\frac{1}{{\\frac{1}{2}}}\\) nên hai vectơ \\(\\overrightarrow {AM} \\) và \\(\\overrightarrow v \\)  không cùng phương. Do đó, viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm M.</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(\\overrightarrow {AN}  = \\left( { - 4; - 2; - 12} \\right)\\). Vì \\(\\overrightarrow {AN}  =  - 3\\overrightarrow v \\) nên hai vectơ \\(\\overrightarrow {AN} \\) và \\(\\overrightarrow v \\) cùng phương và \\(AN = 3v\\). Do đó, viên đạn trên không bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm N trong 3 giây.</p>"},{"article_id":160894,"cat_id":1783,"publish_time":1712630880,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_18.png","title":"Giải bài tập 5.5 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.5 trang 39","alias":"giai-bai-tap-55-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right):2x + 2y - z + 1 = 0\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) là: \\(d\\left( {O;\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2.0 + 2.0 - 0 + 1} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{1}{3}\\)</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161013,"cat_id":1783,"publish_time":1712650080,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_68.png","title":"Giải bài tập 5.42 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.42 trang 62","alias":"giai-bai-tap-542-trang-62-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \\(x - 2y + 2z - 1 = 0\\) và hai điểm \\(A\\left( {1; - 1;2} \\right),B\\left( { - 1;1;0} \\right)\\).\r\na) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).\r\nb) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).\r\nc) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là: \\(d\\left( {A,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1.1 - 2.\\left( { - 1} \\right) + 2.2 - 1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {2^2}} }} = \\frac{6}{3} = 2\\)</p>\r\n<p>b) Mặt phẳng (P) có \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\left( {1; - 2;2} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận vectơ \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\left( {1; - 2;2} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà (Q) đi qua điểm A nên phương trình mặt phẳng (Q) là: \\(x - 1 - 2\\left( {y + 1} \\right) + 2\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x - 2y + 2z - 7 = 0\\)</p>\r\n<p>c) Ta có: \\(\\overrightarrow {AB} \\left( { - 2;2; - 2} \\right) \\Rightarrow \\frac{{ - 1}}{2}\\overrightarrow {AB}  = \\left( {1; - 1;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_P}} ;\\frac{{ - 1}}{2}\\overrightarrow {AB} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&amp;2\\\\{ - 1}&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;1\\\\1&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ - 2}\\\\1&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {0;1;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (R) đi qua điểm A và nhận vectơ \\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_P}} ;\\frac{{ - 1}}{2}\\overrightarrow {AB} } \\right] = \\left( {0;1;1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (R) là: \\(y + 1 + z - 2 = 0 \\Leftrightarrow y + z - 1 = 0\\)</p>"},{"article_id":160935,"cat_id":1783,"publish_time":1712638080,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_36.png","title":"Giải bài tập 5.19 trang 49 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.19 trang 49","alias":"giai-bai-tap-519-trang-49-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3m về hướng S60oE (hướng tạo với hướng nam góc \\({60^o}\\) và tạo với hướng đông góc \\({30^o}\\)) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(A\\left( {0;0;6} \\right),A'\\left( {\\frac{3}{2};\\frac{{3\\sqrt 3 }}{2};0} \\right)\\) nên \\(\\overrightarrow {AA'} \\left( {\\frac{3}{2};\\frac{{3\\sqrt 3 }}{2}; - 6} \\right) \\Rightarrow \\frac{1}{3}\\overrightarrow {AA'}  = \\left( {\\frac{1}{2};\\frac{{\\sqrt 3 }}{2}; - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Đường thẳng AA’ đi qua điểm \\(A\\left( {0;0;6} \\right)\\) và nhận \\(\\frac{1}{3}\\overrightarrow {AA'}  = \\left( {\\frac{1}{2};\\frac{{\\sqrt 3 }}{2}; - 2} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AA’ là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = \\frac{1}{2}t\\\\y = \\frac{{\\sqrt 3 }}{2}t\\\\z = 6 - 2t\\end{array} \\right.\\) và phương trình chính tắc là \\(\\frac{x}{{\\frac{1}{2}}} = \\frac{y}{{\\frac{{\\sqrt 3 }}{2}}} = \\frac{{z - 6}}{{ - 2}} \\Rightarrow \\frac{{2x}}{1} = \\frac{{2\\sqrt 3 y}}{3} = \\frac{{z - 6}}{{ - 2}}\\).</p>"},{"article_id":160895,"cat_id":1783,"publish_time":1712630940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_19.png","title":"Giải bài tập 5.6 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.6 trang 39","alias":"giai-bai-tap-56-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + y + z + 2 = 0,\\left( Q \\right):x + y + z + 6 = 0\\). Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\left( {1;1;1} \\right)\\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \\(\\overrightarrow {{n_Q}}  = \\left( {1;1;1} \\right)\\). Vì \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\overrightarrow {{n_Q}} \\) và \\(2 \\ne 6\\) nên (P) và (Q) song song với nhau.</p>\r\n<p>b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: \\(d\\left( {A,\\left( Q \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {0 + 0 - 2 + 6} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \\frac{{4\\sqrt 3 }}{3}\\)</p>\r\n<p>Vì (P) và (Q) song song với nhau nên \\(d\\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = d\\left( {A,\\left( Q \\right)} \\right) = \\frac{{4\\sqrt 3 }}{3}\\).<strong></strong></p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161014,"cat_id":1783,"publish_time":1712650200,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_69.png","title":"Giải bài tập 5.43 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.43 trang 62","alias":"giai-bai-tap-543-trang-62-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho điểm \\(A\\left( {1;0;2} \\right)\\) và hai đường thẳng d: \\(\\frac{x}{1} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{z}{2}\\), \\(d':\\frac{{x + 1}}{2} = \\frac{{y + 2}}{2} = \\frac{{z - 3}}{{ - 1}}\\).\r\na) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.\r\nb) Viết phương trình đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua A và song song với đường thẳng d.\r\nc) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.\r\nd) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng d nhận \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {1;2;2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \\(C\\left( {0;1;0} \\right).\\)</p>\r\n<p>Đường thẳng d’ nhận \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\left( {2;2; - 1} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \\(B\\left( { - 1; - {\\rm{2}};3} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {CB} \\left( { - 1; - 3;3} \\right),\\) \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ;\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;2\\\\2&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;1\\\\{ - 1}&amp;2\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;2\\\\2&amp;2\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 6;5; - 2} \\right) \\ne \\overrightarrow 0 \\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ;\\overrightarrow {{u_2}} } \\right].\\overrightarrow {CB}  = \\left( { - 6} \\right).\\left( { - 1} \\right) + 5.\\left( { - 3} \\right) + \\left( { - 2} \\right).3 = 6 - 15 - 6 =  - 15 \\ne 0\\) nên d, d’ chéo nhau.</p>\r\n<p>b) Đường đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua A và nhận \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {1;2;2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng \\(\\Delta \\) là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + t\\\\y = 2t\\\\z = 2 + 2t\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>c) Vì \\(\\frac{1}{1} \\ne \\frac{{0 - 1}}{2}\\) nên điểm \\(A\\left( {1;0;2} \\right)\\) không thuộc đường thẳng d. \\(C\\left( {0;1;0} \\right).\\)\\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {1;2;2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {AC} \\left( { - 1;1; - 2} \\right)\\), \\(\\left[ {\\overrightarrow {AC} ;\\overrightarrow {{u_1}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ - 2}\\\\2&amp;2\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&amp;{ - 1}\\\\2&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;1\\\\1&amp;2\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {6;0; - 3} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (P) đi qua \\(A\\left( {1;0;2} \\right)\\) và nhận \\(\\frac{1}{3}\\left[ {\\overrightarrow {AC} ;\\overrightarrow {{u_1}} } \\right] = \\left( {2;0; - 1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là: \\(2\\left( {x - 1} \\right) - \\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 2x - z = 0\\)</p>\r\n<p>d) Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \\(y = 0\\)</p>\r\n<p>Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = t\\\\y = 1 + 2t\\\\z = 2t\\end{array} \\right.\\). Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là \\(\\left( {t;1 + 2t;2t} \\right)\\).</p>\r\n<p>Thay \\(x = t,y = 1 + 2t,z = 2t\\) vào phương trình mặt phẳng (Oxz) ta có: \\(1 + 2t = 0 \\Leftrightarrow t = \\frac{{ - 1}}{2}\\)</p>\r\n<p>Do đó, giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là: \\(\\left( {\\frac{{ - 1}}{2};0; - 1} \\right)\\).</p>"},{"article_id":160896,"cat_id":1783,"publish_time":1712631060,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_20.png","title":"Giải bài tập 5.7 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.7 trang 39","alias":"giai-bai-tap-57-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + 3y - z = 0,\\left( Q \\right):x - y - 2z + 1 = 0\\). \r\na) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.\r\nb) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\left( {1;3; - 1} \\right)\\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \\(\\overrightarrow {{n_Q}}  = \\left( {1; - 1; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {{n_P}} .\\overrightarrow {{n_Q}}  = 1.1 + \\left( { - 1} \\right).3 + \\left( { - 1} \\right).\\left( { - 2} \\right) = 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{n_P}}  \\bot \\overrightarrow {{n_Q}} \\). Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.</p>\r\n<p>b) Điểm M thuộc trục Ox nên \\(M\\left( {x;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên \\(d\\left( {M,\\left( P \\right)} \\right) = d\\left( {M,\\left( Q \\right)} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow \\frac{{\\left| x \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{{\\left| {x + 1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }}\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow \\frac{{\\left| x \\right|}}{{\\sqrt {11} }} = \\frac{{\\left| {x + 1} \\right|}}{{\\sqrt 6 }} \\Rightarrow 6{x^2} = 11{\\left( {x + 1} \\right)^2} \\Rightarrow 5{x^2} + 22x + 11 = 0 \\Rightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x = \\frac{{ - 11 - \\sqrt {66} }}{5}\\\\x = \\frac{{ - 11 + \\sqrt {66} }}{5}\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(M\\left( {\\frac{{ - 11 + \\sqrt {66} }}{5};0;0} \\right);M\\left( {\\frac{{ - 11 - \\sqrt {66} }}{5};0;0} \\right)\\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161015,"cat_id":1783,"publish_time":1712650260,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_70.png","title":"Giải bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.44 trang 62","alias":"giai-bai-tap-544-trang-62-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \\(x - 2y - 2z - 3 = 0\\) và đường thẳng d: \\(\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{{y + 1}}{1} = \\frac{z}{{ - 1}}\\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng d nhận \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \\(A\\left( {1; - 1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng (P) nhận \\(\\overrightarrow n \\left( {1; - 2; - 2} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow n } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ - 1}\\\\{ - 2}&amp;{ - 2}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;2\\\\{ - 2}&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;1\\\\1&amp;{ - 2}\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( { - 4;3; - 5} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow n } \\right] = \\left( { - 4;3; - 5} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm \\(A\\left( {1; - 1;0} \\right)\\) thuộc mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: \\( - 4\\left( {x - 1} \\right) + 3\\left( {y + 1} \\right) - 5z = 0 \\Leftrightarrow  - 4x + 3y - 5z + 7 = 0\\)</p>"},{"article_id":160897,"cat_id":1783,"publish_time":1712631180,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_21.png","title":"Giải bài tập 5.8 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.8 trang 39","alias":"giai-bai-tap-58-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đặt tên bốn mái của ngôi nhà và chọn hệ trục tọa độ như hình sau:</p>\r\n<p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0409/3_11.png\"   /></p>\r\n<p>Giả sử hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên bằng nhau có độ dài là b.</p>\r\n<p>Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD nên \\(OC = OD = OB = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\)</p>\r\n<p>Tam giác SOC vuông tại O nên \\(SO = \\sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \\sqrt {{b^2} - \\frac{{{a^2}}}{2}}  = \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \\)</p>\r\n<p>Khi đó, \\(O\\left( {0;0;0} \\right),C\\left( {\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2};0;0} \\right),D\\left( {0;\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2};0} \\right),B\\left( {0;\\frac{{ - a\\sqrt 2 }}{2};0} \\right),S\\left( {0;0;\\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \\right)\\) </p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {SC} \\left( {\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2};0; - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \\right),\\overrightarrow {DC} \\left( {\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2};\\frac{{ - a\\sqrt 2 }}{2};0} \\right),\\overrightarrow {BC} \\left( {\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2};\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2};0} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {SC} ,\\frac{{\\sqrt 2 }}{a}\\overrightarrow {DC} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{ - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\\\{ - 1}&amp;0\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&amp;{\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}}\\\\0&amp;1\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}}&amp;0\\\\1&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|} \\right)\\) \\( = \\left( { - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\\frac{{ - a\\sqrt 2 }}{2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {SC} ,\\frac{{\\sqrt 2 }}{a}\\overrightarrow {BC} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{ - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\\\1&amp;0\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&amp;{\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}}\\\\0&amp;1\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}}&amp;0\\\\1&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {\\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (SCD) nhận \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left[ {\\overrightarrow {SC} ,\\frac{{\\sqrt 2 }}{a}\\overrightarrow {DC} } \\right] = \\left( { - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\\frac{{ - a\\sqrt 2 }}{2}} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Mặt phẳng (SCB) nhận \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left[ {\\overrightarrow {SC} ,\\frac{{\\sqrt 2 }}{a}\\overrightarrow {BC} } \\right] = \\left( {\\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {{n_1}} .\\overrightarrow {{n_2}}  =  - \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}}  + \\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\\sqrt {\\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}}  + \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}.\\frac{{a\\sqrt 2 }}{2} = \\frac{{{a^2}}}{2} \\ne 0\\)</p>\r\n<p>Do đó, hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.</p>\r\n<p>Vậy không thể thực hiện được ý tưởng trên.</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161016,"cat_id":1783,"publish_time":1712650380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_71.png","title":"Giải bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.45 trang 63","alias":"giai-bai-tap-545-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \\(\\frac{{x + 1}}{1} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{z}{{ - 1}}\\) và \\(d':\\frac{{x - 1}}{1} = \\frac{{y - 2}}{1} = \\frac{{z + 1}}{2}\\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng d nhận \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {1;2; - 1} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \\(A\\left( { - 1;1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng d’ nhận \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\left( {1;1;2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;{ - 1}\\\\1&amp;2\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;1\\\\2&amp;1\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;2\\\\1&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {5; - 3; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {5; - 3; - 1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Mà điểm \\(A\\left( { - 1;1;0} \\right)\\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:</p>\r\n<p>\\(5\\left( {x + 1} \\right) - 3\\left( {y - 1} \\right) - z = 0 \\Leftrightarrow 5x - 3y - z + 8 = 0\\)</p>"},{"article_id":160898,"cat_id":1783,"publish_time":1712631360,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_1-0_6.png","title":"Giải bài tập 5.9 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.9 trang 39","alias":"giai-bai-tap-59-trang-39-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng \\(z - 1 = 0\\), mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng \\(x + y + 50z - 100 = 0\\). Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng (Oxy) nhận \\(\\overrightarrow k  = \\left( {0;0;1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến. Điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng (Oxy) nên phương trình mặt phẳng (Oxy) là: \\(1.\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow z = 0\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(z - 1 = 0\\) có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {0;0;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\overrightarrow k  = \\overrightarrow {{n_1}} \\) và \\(0 \\ne  - 1\\) nên mặt phẳng (Oxy) song song với mặt phẳng \\(z - 1 = 0\\).</p>\r\n<p>Do đó, mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà và trần nhà tầng 1 song song với nhau.</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161017,"cat_id":1783,"publish_time":1712650620,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_72.png","title":"Giải bài tập 5.46 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.46 trang 63","alias":"giai-bai-tap-546-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): \\(x - y - z - 1 = 0\\), (Q): \\(2x + y - z - 2 = 0\\) và điểm \\(A\\left( { - 1;2;0} \\right)\\). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng (P) nhận \\(\\overrightarrow {{n_1}} \\left( {1; - 1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Mặt phẳng (Q) nhận \\(\\overrightarrow n \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_1}} ,\\overrightarrow {{n_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;{ - 1}\\\\1&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&amp;1\\\\{ - 1}&amp;2\\end{array}} \\right|,\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ - 1}\\\\2&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {2; - 1;3} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì mặt phẳng (R) đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên mặt phẳng (R) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_1}} ,\\overrightarrow {{n_2}} } \\right] = \\left( {2; - 1;3} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Mà mặt phẳng (R) đi qua điểm \\(A\\left( { - 1;2;0} \\right)\\) nên phương trình mặt phẳng (R) là:</p>\r\n<p>\\(2\\left( {x + 1} \\right) - \\left( {y - 2} \\right) + 3z = 0 \\Leftrightarrow 2x - y + 3z + 4 = 0\\)</p>"},{"article_id":160900,"cat_id":1783,"publish_time":1712631480,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_22.png","title":"Giải bài tập 5.10 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.10 trang 40","alias":"giai-bai-tap-510-trang-40-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực \\(\\overrightarrow F \\) thì moment lực \\(\\overrightarrow M \\) được tính bởi công thức \\(\\overrightarrow M  = \\left[ {\\overrightarrow {OP} ,\\overrightarrow F } \\right]\\) (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực \\(\\overrightarrow F \\) có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực \\(\\overrightarrow F \\) có phương ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang và vectơ lực \\(\\overrightarrow F \\) có giá song song với AB nên giá của các vectơ \\(\\overrightarrow {OP} ,\\overrightarrow F \\) có phương nằm ngang.</p>\r\n<p>Vì moment lực \\(\\overrightarrow M \\) được tính bởi công thức \\(\\overrightarrow M  = \\left[ {\\overrightarrow {OP} ,\\overrightarrow F } \\right]\\) nên moment lực \\(\\overrightarrow M \\) vuông góc với hai vectơ \\(\\overrightarrow {OP} ,\\overrightarrow F \\).</p>\r\n<p>Do đó, giá của vectơ moment lực \\(\\overrightarrow F \\) có phương thẳng đứng.</p>\r\n<div id=\"eJOY__extension_root\" class=\"eJOY__extension_root_class\" style=\"all: unset;\"> </div>"},{"article_id":161018,"cat_id":1783,"publish_time":1712650680,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_73.png","title":"Giải bài tập 5.47 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.47 trang 63","alias":"giai-bai-tap-547-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \\(\\frac{{x + 2}}{1} = \\frac{{y + 3}}{2} = \\frac{{z - 3}}{{ - 2}}\\) và \\(d':\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - t\\\\y =  - 2 + t\\\\z = 2t\\end{array} \\right.\\).\r\na) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.\r\nb) Tính góc giữa d và d’.\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng d nhận \\(\\overrightarrow {{u_1}} \\left( {1;2; - 2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \\(A\\left( { - 2; - 3;3} \\right).\\)</p>\r\n<p>Đường thẳng d’ nhận \\(\\overrightarrow {{u_2}} \\left( { - 1;1;2} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \\(B\\left( {1; - 2;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {3;1; - 3} \\right),\\) \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&amp;{ - 2}\\\\1&amp;2\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&amp;1\\\\2&amp;{ - 1}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;2\\\\{ - 1}&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {6;0;3} \\right) \\ne \\overrightarrow 0 \\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right].\\overrightarrow {AB}  = 6.3 + 0.1 + 3.\\left( { - 3} \\right) = 18 + 0 - 9 = 9 \\ne 0\\) nên d, d’ chéo nhau.</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(\\cos \\left( {d,d'} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {1.\\left( { - 1} \\right) + 2.1 - 2.2} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} .\\sqrt {{{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \\frac{3}{{3\\sqrt 6 }} = \\frac{{\\sqrt 6 }}{6}\\)</p>\r\n<p>Do đó, góc giữa d và d’ xấp xỉ \\(65,{9^o}\\).</p>"},{"article_id":161019,"cat_id":1783,"publish_time":1712650740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_74.png","title":"Giải bài tập 5.48 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.48 trang 63","alias":"giai-bai-tap-548-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: \\(\\frac{{x + 3}}{2} = \\frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \\frac{{z + 1}}{1}\\) và mặt phẳng (P): \\(x + y - 2z + 3 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng d nhận \\(\\overrightarrow u \\left( {2; - 2;1} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Mặt phẳng (P) nhận \\(\\overrightarrow n \\left( {1;1; - 2} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\sin \\left( {d,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2.1 - 2.1 + 1.\\left( { - 2} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {1^2}} .\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }} = \\frac{2}{{3\\sqrt 6 }} \\Rightarrow \\left( {d,\\left( P \\right)} \\right) \\approx 15,{8^o}\\)</p>"},{"article_id":161020,"cat_id":1783,"publish_time":1712650860,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_75.png","title":"Giải bài tập 5.49 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.49 trang 63","alias":"giai-bai-tap-549-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): \\(x + y + z - 1 = 0\\) và mặt phẳng Oxy.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng (P) nhận \\(\\overrightarrow {{n_1}} \\left( {1;1;1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Mặt phẳng (Oxy) nhận \\(\\overrightarrow k \\left( {0;0;1} \\right)\\) làm một vectơ pháp tuyến.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1.0 + 1.0 + 1.1} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\frac{1}{{\\sqrt 3 }} \\Rightarrow \\left( {\\left( P \\right),\\left( {Oxy} \\right)} \\right) \\approx 54,{7^o}\\)</p>"},{"article_id":161021,"cat_id":1783,"publish_time":1712650920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_1-0_7.png","title":"Giải bài tập 5.51 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.51 trang 63","alias":"giai-bai-tap-551-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Bản thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm \\(A\\left( {1;2; - 1} \\right)\\) và \\(B\\left( {5;6; - 2} \\right)\\). Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là: \\(\\overrightarrow k \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng AB nhận \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {4;4; - 1} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\sin \\left( {AB,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {0.4 + 0.4 - 1.1} \\right|}}{{\\sqrt {{4^2} + {4^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\frac{1}{{\\sqrt {33} }} \\Rightarrow \\left( {AB,\\left( {Oxy} \\right)} \\right) \\approx {10^0}\\)</p>\r\n<p>Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn xấp xỉ \\({10^0}\\).</p>"},{"article_id":161022,"cat_id":1783,"publish_time":1712651100,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0409/resize_3-0_77.png","title":"Giải bài tập 5.52 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.52 trang 63","alias":"giai-bai-tap-552-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Bề mặt Trái Đất (S) có tâm \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\) và bán kính \\(R = 1\\).</p>\r\n<p>Vì A nằm trên bề mặt Trái Đất nên \\(AO = R = 1\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(B{O^2} = {\\left( {1 - 0} \\right)^2} + {\\left( {1 - 0} \\right)^2} + {\\left( { - 1 - 0} \\right)^2} = 3\\)</p>\r\n<p>Vì tam giác BAO vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có:</p>\r\n<p>\\(A{B^2} = B{O^2} - A{O^2} = 3 - {1^2} = 2 \\Rightarrow AB = \\sqrt 2 \\)</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách AB là \\(\\sqrt 2 \\).</p>"},{"article_id":161248,"cat_id":1783,"publish_time":1712743020,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0410/resize_3-0_67.png","title":"Giải bài tập 5.50 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức","label":"Bài 5.50 trang 63","alias":"giai-bai-tap-550-trang-63-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4m; 4,4m; 4,8m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Gọi 3 điểm cách nhau 2m trên mặt nước là A, B, C. Vị trí thả quả rọi xuống đáy bể lần lượt là A’, B’, C’ sao cho \\(AA' = 4m,BB' = 4,4m,CC' = 4,8m\\). Chọn gốc tọa độ O tại trung điểm AB.<strong></strong></p>\r\n<p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0410/3_81.png\"   /></p>\r\n<p>Khi đó, A(0;1;0) B(0;-1;0) C(\\(\\sqrt 3 \\);0;0); A’(0;1;4); B’(0;-1;4,4); C’ (\\(\\sqrt 3 \\);0; 4,8)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {A'B'}  = \\left( {0; - 2;0,4} \\right);\\overrightarrow {B'C'}  = \\left( {\\sqrt 3 ;1;0,4} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng (A’B’C’) nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {A'B'} ;\\overrightarrow {B'C'} } \\right]\\) làm một vectơ pháp tuyến</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {A'B'} ;\\overrightarrow {B'C'} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&amp;{0,4}\\\\1&amp;{0,4}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{0,4}&amp;0\\\\{0,4}&amp;{\\sqrt 3 }\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&amp;{ - 2}\\\\{\\sqrt 3 }&amp;1\\end{array}} \\right|} \\right) = \\left( {\\frac{{ - 6}}{5};\\frac{{2\\sqrt 3 }}{5};2\\sqrt 3 } \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng đáy bể là mp(A’ B’ C’) nên có vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow n  = \\left( { - \\frac{6}{5};\\frac{{2\\sqrt 3 }}{5};2\\sqrt 3 } \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt phẳng ngang (mặt nước) là mp (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow k {\\rm{  = }}\\left( {0;0;1} \\right).\\)</p>\r\n<p>Nên góc giữa mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng ngang là:</p>\r\n<p>\\(\\cos \\left( {\\left( {A'B'C'} \\right),\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\frac{{ - 6}}{5}.0 + \\frac{{2\\sqrt 3 }}{5}.0 + 2\\sqrt 3 .1} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {\\frac{{ - 6}}{5}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{{2\\sqrt 3 }}{5}} \\right)}^2} + {{\\left( {2\\sqrt 3 } \\right)}^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\frac{{5\\sqrt {29} }}{{29}}\\)</p>\r\n<p> \\( \\Rightarrow \\left( {\\left( {A'B'C'} \\right),\\left( {Oxy} \\right)} \\right) \\approx 21,{8^0}\\)</p>\r\n<p>Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang 1 góc khoảng 21,8 độ.</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"35953","item_id":35953,"title":"Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 14. Phương trình mặt phẳng","is_link":0},{"id":"35956","item_id":35956,"title":"Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian","is_link":0},{"id":"35957","item_id":35957,"title":"Bài 16. Công thức tính góc trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 16. Công thức tính góc trong không gian","is_link":0},{"id":"35961","item_id":35961,"title":"Bài 17. Phương trình mặt cầu - Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 17. Phương trình mặt cầu","is_link":0},{"id":"35962","item_id":35962,"title":"Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài tập cuối chương 5","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}