{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2024/0830/bia-c2-0_1.png","title":"Chương 2. Vecto và hệ trục tọa độ trong không gian - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","display_type":3,"cat_id":1959,"cat_title":"SBT Toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"chuong-2-gia-tri-lon-nhat-va-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so-sbt-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":37764,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":172865,"cat_id":1959,"publish_time":1726124820,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_1-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.33 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.33 trang 55 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-233-trang-55-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho tứ diện (ABCD). Trong các vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh phân biệt của tứ diện, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng (left( {ABC} right))?\r\nA. 3.\t\t\t\tB. 4.\t\t\t\tC. 5.\t\t\t\tD. 6.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><strong>Đáp án: </strong>D.</p>\r\n<p>Ta có các vectơ thỏa mãn yêu cầu là \\(\\overrightarrow {AB} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {BA} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {AC} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {CA} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {BC} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {CB} \\). Vậy có 6 vectơ.</p>"},{"article_id":172842,"cat_id":1959,"publish_time":1726124640,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_13-0.PNG","title":"Giải bài 2.25 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.25 trang 54 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-225-trang-54-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho ba vectơ (overrightarrow a  = left( {3;0;4} right),{rm{ }}overrightarrow {rm{b}} {rm{ = }}left( {2;7;7} right)) và (overrightarrow c  = left( {2;7;2} right)).\r\na) Tìm tọa độ của các vectơ (overrightarrow a  - overrightarrow b  + overrightarrow c ) và (2overrightarrow a  + 3overrightarrow b  - 4overrightarrow c ).\r\nb) Tính các tích vô hướng (left( { - overrightarrow a } right) cdot overrightarrow b ) và (left( {3overrightarrow a }","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow a  - \\overrightarrow b  + \\overrightarrow c  = \\left( {3 - 2 + 2;0 - 7 + 7;4 - 7 + 2} \\right) = \\left( {3;0; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(2\\overrightarrow a  + 3\\overrightarrow b  - 4\\overrightarrow c  = \\left( {6 + 6 - 8;0 + 21 - 28;8 + 21 - 8} \\right) = \\left( {4; - 7;21} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Ta có:</p>\r\n<p>\\(\\left( { - \\overrightarrow a } \\right) \\cdot \\overrightarrow b  =  - \\left( {\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b } \\right) =  - \\left( {6 + 0 + 28} \\right) =  - 34\\); \\(\\left( {3\\overrightarrow a } \\right) \\cdot \\overrightarrow c  = 3\\left( {\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow c } \\right) = 3\\left( {6 + 0 + 8} \\right) = 42\\).</p>\r\n<p>c) Từ ý b ta có \\(\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  = 34\\) và \\(\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow c  = 14\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\cos \\left( {\\overrightarrow a ,\\overrightarrow b } \\right) = \\frac{{\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b }}{{\\left| {\\overrightarrow a } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow b } \\right|}} = \\frac{{34}}{{\\sqrt {{3^2} + {4^2}}  \\cdot \\sqrt {{2^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \\frac{{34}}{{5 \\cdot \\sqrt {102} }} = \\frac{{\\sqrt {102} }}{{15}}\\);</p>\r\n<p>\\(\\cos \\left( {\\overrightarrow a ,\\overrightarrow c } \\right) = \\frac{{\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow c }}{{\\left| {\\overrightarrow a } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow c } \\right|}} = \\frac{{14}}{{\\sqrt {{3^2} + {4^2}}  \\cdot \\sqrt {{2^2} + {7^2} + {2^2}} }} = \\frac{{14}}{{5\\sqrt {57} }}\\).</p>"},{"article_id":172833,"cat_id":1959,"publish_time":1726124468,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_1-0.PNG","title":"Giải bài 2.16 trang 48 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.16 trang 48 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-216-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình hộp chữ nhật \\(ABCD.A'B'C'D'\\). Có thể lập hệ tọa độ \\(Oxyz\\) thỏa mãn một trong các điều kiện sau hay không? Giải thích vì sao.\r\na) Gốc \\(O\\) trùng với đỉnh \\(A\\), mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) trùng với mặt phẳng \\(\\left( {A'B'C'D'} \\right)\\).\r\nb) Mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) trùng với mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) và mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) trùng với mặt phẳng \\(\\left( {ABC'D'} \\right)\\).\r\nc) Mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) trùng với mặt phẳng \\(\\left( ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có gốc \\(O\\) trùng với đỉnh \\(A\\), mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) trùng với mặt phẳng \\(\\left( {A'B'C'D'} \\right)\\)</p>\r\n<p> suy ra \\(A \\in \\left( {A'B'C'D'} \\right)\\), điều này là vô lý. Vậy không thể lập hệ tọa độ thỏa mãn yêu cầu.</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\left( {Oxy} \\right) \\bot \\left( {Oyz} \\right)\\) mà \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) không vuông góc với \\(\\left( {ABC'D'} \\right)\\), do đó không thể lập hệ tọa độ thỏa mãn yêu cầu.</p>\r\n<p>c) Ta có thể chọn hệ trục \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) với gốc \\(O\\) trùng với \\(C\\), tia \\(Ox\\) trùng với \\(CB\\), tia \\(Oy\\) trùng với \\(CD\\) và tia \\(Oz\\) trùng với \\(CC'\\).</p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":172763,"cat_id":1959,"publish_time":1725958782,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_1-0.PNG","title":"Giải bài 2.1 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.1 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-21-trang-43-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập \\(\\left\\{ S,A,B,C,D \\right\\}\\):\r\na) Các vectơ nào có điểm đầu là S?\r\nb) Những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (SAB)? \r\nc) Vectơ nào là vectơ đối của vectơ \\(\\overrightarrow {BC} \\)?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Các vectơ có điểm đầu là <em>S </em>là \\(\\overrightarrow {SA} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {SB} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {SC} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {SD} \\).</p>\r\n<p>b) Những vectơ có giá nằm trong mặt phẳng (<em>SAB</em>) là \\(\\overrightarrow {SA} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {SB} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {AB} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {AS} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {BS} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {BA} \\).</p>\r\n<p>c) Vectơ đối của vectơ \\(\\overrightarrow {BC} \\) là \\(\\overrightarrow {CB} \\).</p>"},{"article_id":172866,"cat_id":1959,"publish_time":1726124880,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_2-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.34 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.34 trang 55 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-234-trang-55-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian, cho vectơ (overrightarrow a  ne overrightarrow 0 ). Khẳng định nào sau đây là đúng?\r\nA. Vectơ (overrightarrow a ) có đúng một vectơ đối.\r\nB. Vectơ (overrightarrow a ) có hai vectơ đối là (overrightarrow 0 ) và chính nó.\r\nC. Vectơ (overrightarrow a ) có hai vectơ đối là (overrightarrow a ) và ( - overrightarrow a ).\r\nD. Các vectơ đối của (overrightarrow a ) đều bằng nhau.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\( - \\overrightarrow a \\) là một vectơ đối của \\(\\overrightarrow a \\).</p>\r\n<p>Suy ra tất cả các vectơ đối của \\(\\overrightarrow a \\) là các vectơ bằng \\( - \\overrightarrow a \\), do đó chúng bằng nhau.</p>"},{"article_id":172843,"cat_id":1959,"publish_time":1726124640,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_14-0.PNG","title":"Giải bài 2.26 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.26 trang 54 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-226-trang-54-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho hai vectơ (overrightarrow a  = left( {m;3;6} right),{rm{ }}overrightarrow {rm{b}} {rm{ = }}left( {1;2;3} right)).\r\nXác định giá trị của (m) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) (overrightarrow a  - 2overrightarrow b  = left( {3; - 1;0} right)).\r\nb) (overrightarrow a  cdot overrightarrow b  = 10).\r\nc) (left| {overrightarrow a } right| = 9).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow a  - 2\\overrightarrow b  = \\left( {m - 2; - 1;0} \\right)\\). Để \\(\\overrightarrow a  - 2\\overrightarrow b  = \\left( {3; - 1;0} \\right)\\) thì \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}m - 2 = 3\\\\ - 1 =  - 1\\\\0 = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow m = 5\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  = m + 6 + 18 = m + 24\\). Để \\(\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  = 10\\) thì \\(m + 24 = 10 \\Leftrightarrow m =  - 14\\)</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\left| {\\overrightarrow a } \\right| = \\sqrt {{m^2} + {3^3} + {6^2}}  = \\sqrt {{m^2} + 45} \\).</p>\r\n<p>Để \\(\\left| {\\overrightarrow a } \\right| = 9\\) thì \\(\\sqrt {{m^2} + 45}  = 9 \\Leftrightarrow {m^2} + 45 = 81 \\Leftrightarrow m =  \\pm 6\\).</p>"},{"article_id":172834,"cat_id":1959,"publish_time":1726124489,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_2-0.PNG","title":"Giải bài 2.17 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.17 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-217-trang-49-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian \\(Oxyz\\), xác định tọa độ của điểm \\(A\\) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) \\(A\\) nằm trên tia \\(Oy\\) và \\(OA = 3\\);\r\nb) \\(A\\) nằm trên tia đối của tia \\(Oz\\) và \\(OA = 5\\);\r\nc) \\(A\\) nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\), khoảng cách từ \\(A\\) đến \\(Ox\\) và \\(Oy\\) lần lượt là \\(5\\) và \\(8\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Do \\(A\\) thuộc tia \\(Oy\\) nên \\(A\\left( {0;a;0} \\right)\\) với \\(a \\ge 0\\). Ta có \\(OA = 3 \\Leftrightarrow a = 3\\). Vậy \\(A\\left( {0;3;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Do \\(A\\) nằm trên tia đối của tia \\(Oz\\) nên \\(A\\left( {0;0;a} \\right)\\) với \\(a \\le 0\\). Ta có \\(OA = 5 \\Leftrightarrow a =  - 5\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(A\\left( {0;0; - 5} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(A\\) nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) do đó \\(A\\left( {x;y;0} \\right)\\) với \\(x;y \\ge 0\\). Mặt khác \\(d\\left( {A,Ox} \\right) = 5 \\Leftrightarrow y = 5\\); \\(d\\left( {A,Oy} \\right) = 8 \\Leftrightarrow x = 8\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(A\\left( {8;5;0} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172764,"cat_id":1959,"publish_time":1725958885,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_2-0.PNG","title":"Giải bài 2.2 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.2 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-22-trang-44-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh \r\nphân biệt của hình hộp:\r\na) Vectơ nào cùng phương với vectơ \\(\\overrightarrow {AC} \\)?\r\nb) Vectơ nào bằng vectơ \\(\\overrightarrow {AD'} \\)? \r\nc) Những vectơ nào là vectơ đối của vectơ \\(\\overrightarrow {AA'} \\)?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta sẽ tìm các vectơ có giá song song với giá của \\(\\overrightarrow {AC} \\).</p>\r\n<p>Tứ giác \\(ACC'A'\\) là hình bình hành suy ra \\(AC\\parallel A'C'\\) do đó các vectơ cùng phương với vectơ \\(\\overrightarrow {AC} \\)<em> </em>là \\(\\overrightarrow {A'C'} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {C'A'} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {AC} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {CA} \\).</p>\r\n<p>b) Tứ giác \\(ABC'D'\\) là hình bình hành nên vectơ \\(\\overrightarrow {BC'} \\) bằng \\(\\overrightarrow {AD'} \\).</p>\r\n<p>c) Các vectơ đối của vectơ \\(\\overrightarrow {AA'} \\) là \\(\\overrightarrow {A'A} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {B'B} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {C'C} ,{\\rm{ }}\\overrightarrow {D'D} \\).</p>"},{"article_id":172867,"cat_id":1959,"publish_time":1726124880,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_3-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.35 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.35 trang 56 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-235-trang-56-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình hộp (ABCD.A'B'C'D'). Khẳng định nào sau đây là đúng?\r\nA. (overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AC}  = overrightarrow {AD} ).\t\t\t\t\r\nB. (overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AD}  = overrightarrow {AC'} ).\t\t\t\t\r\nC. (overrightarrow {AA'}  + overrightarrow {AC}  = overrightarrow {AC'} ).\t\t\t\t\r\nD. (overrightarrow {AA'}  + overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AD}  = overrightarrow {AC} ).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><strong>Đáp án: </strong>C.</p>\r\n<p>+ Xét đáp án A:</p>\r\n<p>Ta có \\(ABCD\\) là hình bình hành do đó \\(\\overrightarrow {AC}  = \\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AD}  \\Rightarrow \\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AC}  = 2\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AD}  \\ne \\overrightarrow {AD} \\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AC} \\)\\( \\ne \\overrightarrow {AD} \\) do đó đáp án A sai.</p>\r\n<p> </p>\r\n<p>+ Xét đáp án B:</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AD}  = \\overrightarrow {AC}  \\ne \\overrightarrow {AC'} \\) suy ra \\(\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AD}  \\ne \\overrightarrow {AC'} \\) do đó đáp án B sai.</p>\r\n<p>+ Xét đáp án C:</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {AA'}  + \\overrightarrow {AC}  = \\overrightarrow {AC'}  \\Leftrightarrow \\overrightarrow {AA'}  + \\overrightarrow {AC}  - \\overrightarrow {AC'}  = 0 \\Leftrightarrow \\overrightarrow {AA'}  + \\overrightarrow {C'C}  = 0\\) mà \\(\\overrightarrow {AA'}  =  - \\overrightarrow {C'C} \\) do đó</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {AA'}  + \\overrightarrow {C'C}  = 0\\) đúng. Suy ra đáp án C đúng.</p>\r\n<p>Vậy ta chọn C.</p>"},{"article_id":172844,"cat_id":1959,"publish_time":1726124700,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_15-0.PNG","title":"Giải bài 2.27 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.27 trang 54 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-227-trang-54-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho tứ diện (ABCD) với (Aleft( {1;3; - 3} right)), (Bleft( {2;0;5} right)), (Cleft( {6;9; - 5} right)) và \r\n(Dleft( { - 1; - 4;3} right)).\r\na) Tìm tọa độ trọng tâm (I) của tam giác (ABC).\r\nb) Tìm tọa độ của điểm (G) thuộc đoạn thẳng (DI) sao cho(DG = 3IG).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(I\\left( {\\frac{{1 + 2 + 6}}{3};\\frac{{3 + 9}}{3};\\frac{{ - 3 + 5 - 5}}{3}} \\right) \\Leftrightarrow I\\left( {3;4; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Giả sử \\(G\\left( {a;b;c} \\right)\\). Vì \\(G\\) thuộc đoạn \\(DI\\) và \\(DG = 3IG\\) nên \\(\\overrightarrow {DG}  = 3\\overrightarrow {GI} \\)</p>\r\n<p>(do \\(G\\) nằm giữa \\(D,I\\)).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {DG}  = \\left( {a + 1;b + 4;c - 3} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {GI}  = \\left( {3 - a;4 - b; - 1 - c} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\overrightarrow {DG}  = 3\\overrightarrow {GI}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a + 1 = 9 - 3a\\\\b + 4 = 12 - 3b\\\\c - 3 =  - 3 - 3c\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a = 2\\\\b = 2\\\\c = 0\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(G\\left( {2;2;0} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172835,"cat_id":1959,"publish_time":1726124517,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_3-0.PNG","title":"Giải bài 2.18 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.18 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-218-trang-49-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), xác định tọa độ của vectơ (overrightarrow {AB} ) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) (overrightarrow {AB}  = overrightarrow 0 );\r\nb) (overrightarrow {AB}  =  - 2overrightarrow k )\r\nc) (overrightarrow {AB}  = 3overrightarrow i  - 5overrightarrow j  + overrightarrow k );","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\overrightarrow 0  = \\left( {0;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Ta có\\(\\overrightarrow {AB}  =  - 2\\overrightarrow k  = 0\\overrightarrow i  + 0\\overrightarrow j  - 2\\overrightarrow k  = \\left( {0;0; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = 3\\overrightarrow i  - 5\\overrightarrow j  + \\overrightarrow k  = \\left( {3; - 5;1} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172766,"cat_id":1959,"publish_time":1725958938,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_4-0.PNG","title":"Giải bài 2.3 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.3 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-23-trang-44-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có (AB = AD = 1) và (AA' = 2). Tính độ dài của các vectơ sau:\r\na) (overrightarrow {BD} )?;\t\t\t\t\tb) (overrightarrow {CD'} )? ;\t\t\t\t\tc) (overrightarrow {AC'} )?.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0910/3.png\" /></p>\r\n<p>a)  Xét tam giác vuông cân <em>ABD </em>ta có \\(BD = \\left| {\\overrightarrow {BD} } \\right| = \\sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \\sqrt {1 + 1}  = \\sqrt 2 \\).</p>\r\n<p>b) Xét tam giác vuông cân <em>CDD’ </em>ta có \\(BD' = \\overrightarrow {\\left| {BD'} \\right|}  = \\sqrt {D{C^2} + D{{D'}^2}}  = \\sqrt {1 + 4}  = \\sqrt 5 \\).</p>\r\n<p>c) Ta có tứ giác <em>ABCD </em>là hình vuông có cạnh bằng 1, suy ra \\(AC = \\left| {\\overrightarrow {AC} } \\right| = \\sqrt {1 + 1}  = \\sqrt 2 \\).</p>\r\n<p>Xét tam giác vuông <em>ACC’ </em> có \\(AC' = \\left| {\\overrightarrow {AC'} } \\right| = \\sqrt {A{C^2} + C{{C'}^2}}  = \\sqrt {2 + 4}  = \\sqrt 6 \\).</p>"},{"article_id":172868,"cat_id":1959,"publish_time":1726124940,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_4-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.36 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.36 trang 56 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-236-trang-56-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài mỗi cạnh bằng 2. Tích vô hướng (overrightarrow {AB}  cdot overrightarrow {B'D'} ) bằng\r\nA. 4.\t\t\t\t\t\t\t\tB. (2sqrt 2 ).\t\t\t\t\r\nC. ( - 2sqrt 2 ).\t\t\t\t\t\t\tD. ( - 4).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><strong>Đáp án: </strong>D.</p>\r\n<p>Lập hệ trục tọa độ \\(Oxyz\\) với gốc tọa độ là \\(A\\), \\(B\\) thuộc tia \\(Ox\\), \\(C'\\) thuộc tia \\(Oy\\) và \\(A'\\) thuộc tia \\(Oz\\), khi đó ta có \\(A\\left( {0;0;0} \\right)\\) và \\(B\\left( {2,0,0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {B'D'}  = \\overrightarrow {BD} \\) suy ra \\(\\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow {B'D'}  = \\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow {BD} \\). Tọa độ của \\(D\\) là \\(\\left( {0;2;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {2;0;0} \\right)\\), \\(\\overrightarrow {BD}  = \\left( { - 2;2;0} \\right)\\) do đó \\(\\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow {B'D'}  = \\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow {BD}  =  - 4\\).</p>\r\n<p>Vậy ta chọn đáp án D.</p>"},{"article_id":172845,"cat_id":1959,"publish_time":1726124700,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_16-0.PNG","title":"Giải bài 2.28 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.28 trang 54 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-228-trang-54-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho tứ diện (ABCD). Trọng tâm (G) của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức \r\n(overrightarrow {GA}  + overrightarrow {GB}  + overrightarrow {GC}  + overrightarrow {GD}  = overrightarrow 0 ). Chứng minh rằng tọa độ của điểm (G) được cho bởi công thức:\r\n({x_G} = frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};{z_G} = frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}.)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(\\begin{array}{l}\\overrightarrow {GA}  + \\overrightarrow {GB}  + \\overrightarrow {GC}  + \\overrightarrow {GD}  = \\left( \\begin{array}{l}{x_A} - {x_G} + {x_B} - {x_G} + {x_C} - {x_G} + {x_D} - {x_G};{y_A} - {y_G} + {y_B} - {y_G} + {y_C} - {y_G} + {y_D} - {y_G};\\\\{z_A} - {z_G} + {z_B} - {z_G} + {z_C} - {z_G} + {z_D} - {z_G}\\end{array} \\right)\\\\ = \\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} - 4{x_G};{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D} - 4{y_G};{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D} - 4{z_G}} \\right)\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {GA}  + \\overrightarrow {GB}  + \\overrightarrow {GC}  + \\overrightarrow {GD}  = \\overrightarrow 0  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} - 4{x_G} = 0\\\\{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D} - 4{y_G} = 0\\\\{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D} - 4{z_G} = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_G} = \\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\\\\{y_G} = \\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\\\\{z_G} = \\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Suy ra tọa độ \\(G\\) được xác định theo công thức \\({x_G} = \\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = \\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\\)</p>\r\n<p>\\({z_G} = \\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\\)(điều phải chứng minh).</p>"},{"article_id":172836,"cat_id":1959,"publish_time":1726124520,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_4-0.PNG","title":"Giải bài 2.19 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.19 trang 49 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-219-trang-49-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho ba điểm (Aleft( {4;5; - 1} right)), (Bleft( {2;5; - 1} right)), (Cleft( {0;0;3} right)).\r\na) Tìm tọa độ của vectơ (overrightarrow {AB} ),  từ đó suy ra đường thẳng AB song song với trục Ox.\r\nb) Biểu thị vectơ (overrightarrow {OC} ) qua các vectơ đơn vị (overrightarrow i ,overrightarrow j ,overrightarrow k ), từ đó suy ra điểm C thuộc tia (Oz).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {2 - 4;5 - 5; - 1 + 1} \\right) = \\left( { - 2;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\overrightarrow {AB}  =  - 2\\overrightarrow i \\) do đó hai vectơ \\(\\overrightarrow {AB} \\) và \\(\\overrightarrow i \\) cùng phương vì vậy giá của chúng song song hay đường thẳng \\(AB\\) song song với trục \\(Ox\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\overrightarrow {OC}  = \\left( {0;0;3} \\right) = 3\\overrightarrow k \\) suy ra hai vectơ \\(\\overrightarrow {OC} \\) và \\(\\overrightarrow k \\) cùng hướng. Vì vậy C thuộc tia \\(Oz\\).</p>"},{"article_id":172767,"cat_id":1959,"publish_time":1725958956,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_5-0.PNG","title":"Giải bài 2.4 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.4 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-24-trang-44-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian, cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:\r\na) \\(\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {BC}  + \\overrightarrow {CD}  = \\overrightarrow {AE}  - \\overrightarrow {DE} \\);\r\nb) \\(\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {DE}  = \\overrightarrow {AE}  - \\overrightarrow {BD} \\);\r\nc) \\(\\overrightarrow {BC}  + \\overrightarrow {DE}  = \\overrightarrow {BE}  - \\overrightarrow {CD} \\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {BC}  + \\overrightarrow {CD}  = \\overrightarrow {AC}  + \\overrightarrow {CD}  = \\overrightarrow {AD}  = \\overrightarrow {AE}  + \\overrightarrow {ED}  = \\overrightarrow {AE}  - \\overrightarrow {DE} \\) (đ.p.c.m).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {DE}  = \\overrightarrow {AE}  + \\overrightarrow {ED}  + \\overrightarrow {DB}  + \\overrightarrow {DE}  = \\overrightarrow {AE}  + \\left( {\\overrightarrow {ED}  + \\overrightarrow {DE} } \\right) + \\overrightarrow {DB}  = \\overrightarrow {AE}  + \\overrightarrow {DB}  = \\overrightarrow {AE}  - \\overrightarrow {BD} \\) (đ.p.c.m).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {BC}  + \\overrightarrow {DE}  = BE + EC + DC + CE = BE + \\left( {EC + CE} \\right) + DC = BE + DC = BE - CD\\) (đ.p.c.m).</p>"},{"article_id":172869,"cat_id":1959,"publish_time":1726125000,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_5-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.37 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.37 trang 56 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-237-trang-56-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho ba điểm (Aleft( {1;3;5} right)), (Bleft( {0;6; - 2} right)), (Cleft( {5;3;6} right)). Tọa độ trọng tâm của tam giác (ABC) là\r\nA. (left( {2;3;4} right)).\t\t\t\t\t\t\tB. (left( {2;4;3} right)).\t\t\r\nC. (left( {3;4;2} right)).\t\t\t\t\t\t\tD. (left( {3;2;4} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><strong>Đáp án: </strong>B.</p>\r\n<p>Tọa độ trọng tâm của tam giác \\(ABC\\) là \\(\\left( {\\frac{{1 + 0 + 5}}{3};\\frac{{3 + 6 + 3}}{3};\\frac{{5 - 2 + 6}}{3}} \\right) = \\left( {2;4;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy chọn đáp án B.</p>"},{"article_id":172846,"cat_id":1959,"publish_time":1726124760,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_17-0.PNG","title":"Giải bài 2.29 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.29 trang 54 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-229-trang-54-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho tam giác (ABC) với (Aleft( {3;5;2} right)), (Bleft( {0;6;2} right)) và (Cleft( {2;3;6} right)). Hãy giải tam giác (ABC). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 3;1;0} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {AC}  = \\left( { - 1; - 2;4} \\right)\\) suy ra \\(AB = \\sqrt {9 + 1}  = \\sqrt {10} \\) và \\(AC = \\sqrt {1 + 4 + 16}  = \\sqrt {21} \\).</p>\r\n<p>\\(\\cos \\widehat {BAC} = \\cos \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right) = \\frac{{\\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow {AC} }}{{AB \\cdot AC}} = \\frac{{3 - 2}}{{\\sqrt {10}  \\cdot \\sqrt {21} }} = \\frac{1}{{\\sqrt {210} }}\\). Suy ra \\(\\widehat {BAC} \\approx {86,04^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {BC}  = \\left( {2; - 3;4} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {BA}  = \\left( {3; - 1;0} \\right)\\) suy ra \\(BC = \\sqrt {4 + 9 + 16}  = \\sqrt {29} \\) và \\(AB = \\sqrt {10} \\).</p>\r\n<p>\\(\\cos \\widehat {ABC} = \\cos \\left( {\\overrightarrow {BA} ,\\overrightarrow {BC} } \\right) = \\frac{{\\overrightarrow {BA}  \\cdot \\overrightarrow {BC} }}{{AB \\cdot BC}} = \\frac{{6 + 3}}{{\\sqrt {10}  \\cdot \\sqrt {29} }} = \\frac{9}{{\\sqrt {290} }}\\). Suy ra \\(\\widehat {ABC} \\approx {58,096^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>Do đó \\(\\widehat {BCA} \\approx {39,92^ \\circ }\\). Vậy tam giác \\(ABC\\) có các cạnh là \\(AB = \\sqrt {10} \\), \\(BC = \\sqrt {29} \\), \\(AC = \\sqrt {21} \\);</p>\r\n<p> các góc là \\(\\widehat {BAC} \\approx {86,04^ \\circ }\\), \\(\\widehat {ABC} \\approx {54,04^ \\circ }\\), \\(\\widehat {BCA} \\approx {35,864^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":172837,"cat_id":1959,"publish_time":1726124520,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_5-0.PNG","title":"Giải bài 2.20 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.20 trang 49 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-220-trang-49-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho hình lăng trụ tam giác (OAB.O'A'B') có (Aleft( {1;1;7} right)), (Bleft( {2;4;7} right)) và điểm (O') thuộc tia (Ox) sao cho (OO' = 3).\r\na) Tìm tọa độ của vectơ (overrightarrow {OO'} ).\r\nb) Tìm tọa độ các điểm (O',A') và (B').","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Vì điểm \\(O'\\) thuộc tia \\(Ox\\) nên tung độ và cao độ của \\(O'\\) đều là 0, mà \\(OO' = 3\\) do đó \\(O'\\left( {3;0;0} \\right)\\). Suy ra \\(\\overrightarrow {OO'}  = \\left( {3;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(O'\\left( {3;0;0} \\right)\\). Giả sử \\(A'\\left( {a;b;c} \\right)\\) khi đó \\(\\overrightarrow {O'A'}  = \\left( {a - 3;b;c} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì tứ giác \\(OAA'O'\\) là hình bình hành nên \\(\\overrightarrow {OA}  = \\overrightarrow {O'A'} \\) suy ra \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}1 = a - 3\\\\1 = b\\\\7 = c\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow a = 4,b = 1,c = 7\\).</p>\r\n<p>Do đó \\(A'\\left( {4;1;7} \\right)\\). Tương tự giả sử \\(B'\\left( {c;d;e} \\right)\\) khi đó \\(\\overrightarrow {O'B'}  = \\left( {c - 3;d;e} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\overrightarrow {OB}  = \\overrightarrow {O'B'} \\) suy ra \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}2 = c - 3\\\\4 = d\\\\7 = e\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow c = 5,d = 4,e = 7\\). Do đó \\(B'\\left( {5;4;7} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(O'\\left( {3;0;0} \\right)\\), \\(A'\\left( {4;1;7} \\right)\\) và \\(B'\\left( {5;4;7} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172768,"cat_id":1959,"publish_time":1725959002,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_6-0.PNG","title":"Giải bài 2.5 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.5 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-25-trang-44-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho (AE = frac{1}{3}AB) và (CF = frac{1}{3}CD). Chứng minh rằng:\r\na) (overrightarrow {EF}  = overrightarrow {AD}  - frac{1}{3}overrightarrow {AB}  - frac{2}{3}overrightarrow {CD} );\r\nb) (overrightarrow {EF}  = overrightarrow {BC}  + frac{2}{3}overrightarrow {AB}  + frac{1}{3}overrightarrow {CD} );\r\nc) (overrightarrow {EF}  = frac{1}{3}overrightarrow {AD}  + frac{2}{3}overrightarrow {BC}  + frac{1}{3}ov","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}\\overrightarrow {EF}  = \\overrightarrow {EA}  + \\overrightarrow {AF}  =  - \\overrightarrow {AE}  + \\left( {\\overrightarrow {AD}  + \\overrightarrow {DF} } \\right) =  - \\overrightarrow {AE}  + \\overrightarrow {AD}  + \\left( {\\overrightarrow {DC}  + \\overrightarrow {CF} } \\right)\\\\ = \\overrightarrow {AD}  - \\frac{1}{3}\\overrightarrow {AB}  - \\overrightarrow {CD}  + \\overrightarrow {CF}  = \\overrightarrow {AD}  - \\frac{1}{3}\\overrightarrow {AB}  - \\overrightarrow {CD}  + \\frac{1}{3}\\overrightarrow {CD}  = \\overrightarrow {AD}  - \\frac{1}{3}\\overrightarrow {AB}  - \\frac{2}{3}\\overrightarrow {CD} .\\end{array}\\)</p>\r\n<p>b) Ta có</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}\\overrightarrow {EF}  = \\overrightarrow {EA}  + \\overrightarrow {AF}  = \\frac{{ - 1}}{3}\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AC}  + \\overrightarrow {CF}  = \\frac{{ - 1}}{3}\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{3}\\overrightarrow {CD} \\\\ = \\frac{{ - 1}}{3}\\overrightarrow {AB}  + \\frac{1}{3}\\overrightarrow {CD}  + \\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {BC}  = \\frac{2}{3}\\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {BC}  + \\frac{1}{3}\\overrightarrow {CD} \\\\ = \\overrightarrow {BC}  + \\frac{2}{3}\\overrightarrow {AB}  + \\frac{1}{3}\\overrightarrow {CD} .\\end{array}\\)</p>\r\n<p>c) Từ ý a và ý b suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}3\\overrightarrow {EF}  = \\left( {\\overrightarrow {AD}  - \\frac{1}{3}\\overrightarrow {AB}  - \\frac{2}{3}\\overrightarrow {CD} } \\right) + 2\\left( {\\overrightarrow {BC}  + \\frac{2}{3}\\overrightarrow {AB}  + \\frac{1}{3}\\overrightarrow {CD} } \\right)\\\\ = \\overrightarrow {AD}  - \\frac{1}{3}\\overrightarrow {AB}  - \\frac{2}{3}\\overrightarrow {CD}  + 2\\overrightarrow {BC}  + \\frac{4}{3}\\overrightarrow {AB}  + \\frac{2}{3}\\overrightarrow {CD} \\\\ = \\overrightarrow {AD}  + \\overrightarrow {AB}  + 2\\overrightarrow {BC} \\end{array}\\)</p>\r\n<p>Do đó \\(\\overrightarrow {EF}  = \\frac{1}{3}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{3}\\overrightarrow {AB}  + \\frac{2}{3}\\overrightarrow {BC} \\) (đ.p.c.m).</p>"},{"article_id":172870,"cat_id":1959,"publish_time":1726125060,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_6-0.PNG","title":"Giải bài 2.38 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.38 trang 56 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-238-trang-56-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho điểm (Aleft( {3;0; - 6} right)). Gọi (B) là điểm nằm giữa (O) và (A) sao cho (OB = frac{1}{3}OA). Tọa độ của điểm (B) là\r\nA. (left( {1;0; - 2} right)).\t\t\t\t\t\t\tB. (left( {9;0; - 18} right)).\t\t\r\nC. (left( {1;0;2} right)).\t\t\t\t\t\t\tD. (left( {9;0;18} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><strong>Đáp án: </strong>A.</p>\r\n<p>Giả thiết suy ra \\(\\overrightarrow {OB}  = \\frac{1}{3}\\overrightarrow {OA} \\). Ta có \\(\\overrightarrow {OB}  = \\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {OA}  = \\left( {3;0; - 6} \\right)\\) do đó \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}{x_B} = \\frac{1}{3} \\cdot 3 = 1\\\\{y_B} = 0\\\\{z_B} = \\frac{1}{3} \\cdot \\left( { - 6} \\right) =  - 2\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(B\\left( {1;0; - 2} \\right)\\). Vậy chọn đáp án A.</p>"},{"article_id":172847,"cat_id":1959,"publish_time":1726124760,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_19-0.PNG","title":"Giải bài 2.30 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.30 trang 54 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-230-trang-54-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ (Oxyz) gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.\r\na) Tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương.\r\nb) Tìm tọa độ trọng tâm (G) của tam giác (B'CD').\r\nc) Chứng minh rằng ba điểm (O,G,A) thẳng hàng.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có gốc tọa độ là \\(C'\\) nên \\(C'\\left( {0;0;0} \\right)\\); \\(B'\\) thuộc tia \\(Ox\\) và \\(OB' = 1\\) nên \\(B'\\left( {1;0;0} \\right)\\); \\(D'\\) thuộc tia \\(Oy\\) và \\(OD' = 1\\) nên \\(D'\\left( {0;1;0} \\right)\\); \\(C\\) thuộc tia \\(Oz\\) và \\(OC = 1\\) nên \\(C\\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\overrightarrow {C'C}  = \\overrightarrow {D'D}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}0 = {x_D}\\\\0 = {y_D} - 1\\\\1 = {z_D}\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow D\\left( {0;1;1} \\right)\\); \\(\\overrightarrow {B'B}  = \\overrightarrow {C'C}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_B} - 1 = 0\\\\{y_B} = 0\\\\{z_B} = 1\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow B\\left( {1;0;1} \\right)\\);</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {B'A'}  = \\overrightarrow {C'D'}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{A'}} - 1 = 0\\\\{y_{A'}} = 1\\\\{z_{A'}} = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow A'\\left( {1;1;0} \\right)\\); \\(\\overrightarrow {A'A}  = \\overrightarrow {C'C}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_A} - 1 = 0\\\\{y_A} - 1 = 0\\\\{z_A} = 1\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow A\\left( {1;1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(A\\left( {1;1;1} \\right)\\), \\(B\\left( {1;0;1} \\right)\\), \\(C\\left( {0;0;1} \\right)\\), \\(D\\left( {0;1;1} \\right)\\), \\(A'\\left( {1;1;0} \\right)\\), \\(B'\\left( {1;0;0} \\right)\\), \\(C'\\left( {0;0;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>và \\(D'\\left( {0;1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(B'\\left( {1;0;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;0;1} \\right)\\) và \\(D'\\left( {0;1;0} \\right)\\) suy ra \\(G\\left( {\\frac{1}{3};\\frac{1}{3};\\frac{1}{3}} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {OG}  = \\left( {\\frac{1}{3};\\frac{1}{3};\\frac{1}{3}} \\right)\\); \\(\\overrightarrow {OA}  = \\left( {1;1;1} \\right)\\). Suy ra \\(\\overrightarrow {OA}  = 3\\overrightarrow {OG} \\). Vậy ba điểm \\(O,G,A\\) thẳng hàng.</p>"},{"article_id":172838,"cat_id":1959,"publish_time":1726124520,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_7-0.PNG","title":"Giải bài 2.21 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.21 trang 49 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-221-trang-49-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình chóp tứ giác đều (S.ABCD) có chiều cao bằng 5 và độ dài cạnh đáy bằng 4. Hãy xác định tọa độ các điểm (S,A,B,C,D) đối với hệ tọa độ (Oxyz) có gốc (O) trùng với tâm của hình vuông (ABCD), tia (Ox) chứa (B), tia (Oy) chứa (C) và tia (Oz) chứa (S).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(S\\) thuộc tia \\(Oz\\) và \\(OS = 5\\) nên \\(S\\left( {0;0;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình vuông cạnh \\(4\\) nên \\(OA = OB = OC = OD = 2\\sqrt 2 \\).</p>\r\n<p>Ta có \\(B\\) thuộc tia \\(Ox\\) và \\(OB = 2\\sqrt 2 \\) suy ra \\(B\\left( {2\\sqrt 2 ;0;0} \\right)\\); \\(D\\) thuộc tia đối của tia \\(Ox\\) và \\(OD = 2\\sqrt 2 \\) suy ra \\(D\\left( { - 2\\sqrt 2 ;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Tương tự có \\(C\\) thuộc tia \\(Oy\\) và \\(OC = 2\\sqrt 2 \\) suy ra \\(C\\left( {0;2\\sqrt 2 ;0} \\right)\\); \\(A\\) thuộc tia đối của tia \\(Oy\\) và \\(OA = 2\\sqrt 2 \\) suy ra \\(A\\left( {0; - 2\\sqrt 2 ;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(S\\left( {0;0;5} \\right)\\), \\(A\\left( {0; - 2\\sqrt 2 ;0} \\right)\\), \\(B\\left( {2\\sqrt 2 ;0;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;2\\sqrt 2 ;0} \\right)\\) và \\(D\\left( { - 2\\sqrt 2 ;0;0} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172771,"cat_id":1959,"publish_time":1725959043,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_7-0.PNG","title":"Giải bài 2.6 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.6 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-26-trang-44-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho tứ diện ABCD. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng:\r\n a) (overrightarrow {EF}  = frac{2}{3}overrightarrow {MN} ); \t\t\t\t\t\tb) (overrightarrow {EF}  = frac{1}{3}overrightarrow {CD} ).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Xét tam giác <em>ABC </em>có \\(EA = \\frac{2}{3}AM\\) (do <em>E</em> là trọng tâm và <em>AM </em> là trung tuyến của tam giác). Suy ra \\(\\overrightarrow {EA}  = \\frac{2}{3}\\overrightarrow {MA} \\). Tương tự xét tam giác <em>ABD </em> có \\(\\overrightarrow {AF}  = \\frac{2}{3}\\overrightarrow {AN} \\) (do <em>F</em> là trọng tâm và <em>AN </em> là trung tuyến của tam giác).</p>\r\n<p>Do đó ta có \\(\\overrightarrow {EF}  = \\overrightarrow {EA}  + \\overrightarrow {AF}  = \\frac{2}{3}\\overrightarrow {MA}  + \\frac{2}{3}\\overrightarrow {AN}  = \\frac{2}{3}\\overrightarrow {MN} .\\)</p>\r\n<p>b) Xét tam giác <em>BCD </em>có <em>MN </em>là đường trung bình suy ra \\(\\overrightarrow {MN}  = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {CD} \\).</p>\r\n<p>Kết hợp với ý a ta có \\(\\overrightarrow {EF}  = \\frac{2}{3}\\overrightarrow {MN}  = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{2}\\overrightarrow {CD}  = \\frac{1}{3}\\overrightarrow {CD} .\\)</p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":172871,"cat_id":1959,"publish_time":1726125060,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_7-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.39 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.39 trang 56 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-239-trang-56-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho điểm (overrightarrow a  = left( {1;2;4} right)) và (overrightarrow b  = left( {2;1;5} right)). Tích vô hướng (left( {overrightarrow a  + overrightarrow b } right) cdot overrightarrow a ) bằng\r\nA. 54.\t\t\t\t\t\t\tB. -3\t\r\nC. -6.\t\t\t\t\t\t\tD. 45.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(\\left( {\\overrightarrow a  + \\overrightarrow b } \\right) \\cdot \\overrightarrow a  = {\\overrightarrow a ^2} + \\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  = {1^2} + {2^2} + {4^2} + 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 1 + 4 \\cdot 5 = 45\\).</p>\r\n<p>Vậy chọn đáp án D.</p>"},{"article_id":172848,"cat_id":1959,"publish_time":1726124760,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_21-0.PNG","title":"Giải bài 2.31 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.31 trang 55 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-231-trang-55-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trên sân thể dục thầy giáo dựng hai chiếc cột vuông góc với mặt sân, chiều cao của một cột lần lượt là 3 m và 2 m.\r\nXét hệ tọa độ (Oxyz) sao cho mặt phẳng (left( {Oxy} right)) trùng với mặt sân, trục (Oz) hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị trong hệ trục tọa độ được lấy theo mét.\r\na) Biết rằng chân của hai cột có tọa độ lần lượt là (left( {8;5;0} right)) và (left( {3;2;0} right)), hãy tìm tọa độ điểm đầu của mỗi cột.\r\nb) Thầy giáo dự định căng một sợi dây nối hai đầu của hai cột. H","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Xét đầu chiếc cột có chiều cao 3 m, ta thấy điểm này nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) về hướng theo tia \\(Oz\\) (hướng lên trên) do đó điểm sẽ có cùng hoành độ và tung độ với điểm ở vị trí chân cột, còn cao độ sẽ lớn hơn 3. Suy ra đầu chiếc cột có chiều cao 3 m có tọa độ là \\(\\left( {8;5;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Tương tự xét đầu chiếc cột có chiều cao 2 m, điểm này có tọa độ là \\(\\left( {3;2;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Độ dài tối thiểu của sợi dây có thể có chính là khoảng cách giữa hai đầu chiếc cột.</p>\r\n<p>Suy ra độ dài tối thiểu của sợi dây là \\(\\sqrt {{{\\left( {8 - 3} \\right)}^2} + {{\\left( {5 - 2} \\right)}^2} + {{\\left( {3 - 2} \\right)}^2}}  = \\sqrt {35}  \\approx 5,92\\) (m).</p>"},{"article_id":172839,"cat_id":1959,"publish_time":1726124580,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_8-0.PNG","title":"Giải bài 2.22 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.22 trang 49 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-222-trang-49-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho hình hộp chữ nhật (ABCD.A'B'C'D') có đỉnh (A) trùng với gốc (O) và các đỉnh (D,B,A') có tọa độ lần lượt là (left( {3;0;0} right)), (left( {0; - 1;0} right)), (left( {0;0; - 2} right)). Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Theo đề bài, ta có \\(D\\) thuộc tia \\(Ox\\), \\(B\\) thuộc tia \\(Oy\\) và \\(A'\\) thuộc tia \\(Oz\\).</p>\r\n<p>Ta có :</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {AD}  = \\overrightarrow {BC}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}3 = {x_C}\\\\0 = {y_C} + 1\\\\0 = {z_C}\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_C} = 3\\\\{y_C} =  - 1\\\\{z_C} = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow C\\left( {3; - 1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {AA'}  = \\overrightarrow {DD'}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}0 = {x_{D'}} - 3\\\\0 = {y_{D'}}\\\\ - 2 = {z_{D'}}\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{D'}} = 3\\\\{y_{D'}} = 0\\\\{z_{D'}} =  - 2\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow D'\\left( {3;0; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {A'B'}  = \\overrightarrow {AB}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{B'}} = 0\\\\{y_{B'}} =  - 1\\\\{z_{B'}} + 2 = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{B'}} = 0\\\\{y_{B'}} =  - 1\\\\{z_{B'}} =  - 2\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow B'\\left( {0; - 1; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {CC'}  = \\overrightarrow {AA'}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{C'}} - 3 = 0\\\\{y_{C'}} + 1 = 0\\\\{z_{C'}} =  - 2\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_{C'}} = 3\\\\{y_{C'}} =  - 1\\\\{z_{C'}} =  - 2\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow C'\\left( {3; - 1; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(C\\left( {3; - 1;0} \\right)\\), \\(B'\\left( {0; - 1; - 2} \\right)\\), \\(C'\\left( {3; - 1; - 2} \\right)\\) và \\(D'\\left( {3;0; - 2} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172772,"cat_id":1959,"publish_time":1725959079,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_8-0.PNG","title":"Giải bài 2.7 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.7 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-27-trang-44-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vectơ đó.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Gọi vectơ biểu diễn độ di chuyển của thang máy từ tầng 10 lên tầng 26 là \\(\\overrightarrow a \\), vectơ biểu diễn độ di chuyển của thang máy từ tầng 26 xuống tầng 18 là \\(\\overrightarrow b \\).  Khi đó hai vectơ này cùng phương và ngược hướng. Độ dài của mỗi vectơ bằng tổng độ cao của các tầng mà thang máy đi qua.</p>\r\n<p>Độ dài \\(\\overrightarrow a \\) là độ cao của số tầng là \\(26 - 10 = 16\\) (tầng).</p>\r\n<p>Độ dài của \\(\\overrightarrow b \\) là độ cao của số tầng là \\(26 - 18 = 8\\) (tầng).</p>\r\n<p>Do đó \\(\\left| {\\overrightarrow a } \\right| = 2\\left| {\\overrightarrow b } \\right|\\). Từ đó suy ra \\(\\overrightarrow a  =  - 2\\overrightarrow b \\).</p>"},{"article_id":172872,"cat_id":1959,"publish_time":1726125120,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_8-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.40 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.40 trang 56 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-240-trang-56-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho điểm (Mleft( {2;1;0} right)). Khẳng định nào sau đây là sai?\r\nA. Điểm (M) nằm trên mặt phẳng (left( {Oxy} right)).\t\t\t\t\t\t\t\r\nB. Khoảng cách từ điểm (M) đến trục (Ox) bằng 1.\r\nC. Điểm (M) nằm trên trục (Oz).\t\t\t\t\t\t\t\r\nD. Khoảng cách từ (M) đến (Oy) bằng 2.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><strong>Đáp án: </strong>C.</p>\r\n<p>Ta thấy điểm \\(M\\) chỉ có cao độ bằng 0 do đó \\(M\\) thuộc mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) và không nằm trên trục nào trong ba trục \\(Ox,Oy,Oz\\), do đó ta có thể kết luận được ngay là đáp án C là sai. Vậy ta chọn C.</p>"},{"article_id":172849,"cat_id":1959,"publish_time":1726124760,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_24-0.PNG","title":"Giải bài 2.32 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.32 trang 55 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-232-trang-55-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường. Đầu A của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ 2 là 3 m và cách mặt đất là 1,2 m. Đầu B của sợi dây nằm trên bức tường thứ 2, cách bức tường thứ nhất là 1 m và cách mặt đất là 2 m.\r\na) Hãy lập một hệ trục tọa độ phù hợp và tìm tọa độ của hai đầu (A,B) trong hệ tọa độ đó.\r\nb) Tính độ dài của sợi dây được căng.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó \\(O\\) là góc tường, giao của hai mặt bên là tia \\(Oz\\), giao của mặt bên và đáy lần lượt là hai tia \\(Ox,{\\rm{ }}Oy\\). Khi đó \\(A\\left( {3;0;1,2} \\right)\\) và \\(B\\left( {0;1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0911/23.png\" /></p>\r\n<p>b)  Độ dài của sợi dây được căng là \\(AB = \\sqrt {9 + 1 + {{0,8}^2}}  = \\frac{{\\sqrt {266} }}{5} \\approx 3,26\\) m.</p>"},{"article_id":172840,"cat_id":1959,"publish_time":1726124580,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_10-0.PNG","title":"Giải bài 2.23 trang 50 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.23 trang 50 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-223-trang-50-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Ở mỗi góc sân bóng đá thường được cắm một cột cờ vuông góc với mặt sân như hình bên.\r\na) Có thể thiết lập một hệ trục tọa độ (Oxyz) với gốc (O) là chân cột cờ, hai trục (Ox,Oy) lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia (Oz) trùng với cột cờ hay không? Giải thích vì sao.\r\nb) Giả sử cột cờ có chiều cao 1,5 m. Hãy xác định tọa độ của điểm đầu cột cờ đối với hệ tọa độ ở câu a (đơn vị đo trong không gian lấy theo mét).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có thể thiết lập hệ trục tọa độ như vậy.</p>\r\n<p>Vì cột cờ vuông góc với mặt sân nên cột cờ cũng vuông góc với hai vạch kẻ sơn, hơn nữa hai vạch kẻ sơn cũng vuông góc với nhau.</p>\r\n<p>b) Vì điểm đầu cột cờ thuộc tia \\(Oz\\) và cột cờ có chiều cao 1,5 m nên tọa độ của điểm đầu cột cờ là \\(\\left( {0;0;1,5} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172774,"cat_id":1959,"publish_time":1725959101,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_10-0.PNG","title":"Giải bài 2.8 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.8 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-28-trang-45-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ (overrightarrow u )) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ (overrightarrow x ,{rm{ }}overrightarrow y ,{rm{ }}overrightarrow z )). Hãy giải thích vì sao (overrightarrow x  = overrightarrow y  = overrightarrow z  =  - frac{1}{3}overrightarrow u )","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Các vectơ \\(\\overrightarrow x ,{\\rm{ }}\\overrightarrow y ,{\\rm{ }}\\overrightarrow z \\) đôi một cùng phương vì đều có giá vuông góc với mặt đất, cùng hướng vì chúng ngược hướng với trọng lực và chúng có độ lớn bằng nhau vì trọng lực phân tán đều qua ba chân bàn.</p>\r\n<p>Do đó \\(\\overrightarrow x  = \\overrightarrow y  = \\overrightarrow z \\) và \\(\\left| {\\overrightarrow x } \\right| = \\left| {\\overrightarrow y } \\right| = \\left| {\\overrightarrow z } \\right| = \\frac{1}{3}\\left| {\\overrightarrow u } \\right|\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\overrightarrow x  = \\overrightarrow y  = \\overrightarrow z  =  - \\frac{1}{3}\\overrightarrow u \\).</p>"},{"article_id":172873,"cat_id":1959,"publish_time":1726125120,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_9-0.PNG","title":"Giải bài 2.41 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.41 trang 57 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-241-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm (Aleft( { - 1;9;m} right)) và (Bleft( {2;m;5} right)). Biết rằng (AB = 7), tập các giá trị của (m) là\r\nA. (left{ {3; - 11} right})\t\t\t\t\t\t\tB. (left{ { - 3;11} right}).\r\nC. (left{ {3;11} right}).\t\t\t\t\t\t\tD. (left{ { - 3; - 11} right}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(AB = \\sqrt {{3^2} + {{\\left( {m - 9} \\right)}^2} + {{\\left( {5 - m} \\right)}^2}}  = \\sqrt {2{m^2} - 28m + 115} \\).</p>\r\n<p>Mà \\(AB = 7\\) suy ra \\(\\sqrt {2{m^2} - 28m + 115}  = 7 \\Leftrightarrow 2{m^2} - 28m + 115 = 49 \\Leftrightarrow m = 3\\) hoặc \\(m = 11\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(m = \\left\\{ {3;11} \\right\\}\\), ta chọn đáp án C.</p>"},{"article_id":172841,"cat_id":1959,"publish_time":1726124580,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_12-0.PNG","title":"Giải bài 2.24 trang 50 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.24 trang 50 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-224-trang-50-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian xét hệ tọa độ (Oxyz) có gốc (O) trùng với vị trí của một giàn khoan trên mặt biển, mặt phẳng (left( {Oxy} right)) trùng với mặt biển với trục (Ox) hướng về phía tây, trục (Oy) hướng về phía nam và trục (Oz) hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo được lấy theo kilômét. Tại giàn khoan người ta đặt một chiếc radar để theo dõi hành trình của một chiếc tàu ngầm hoạt động trong khu vực gần giàn khoan.\r\na) Hãy giải thích vì sao tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng (left( {x;y","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Tàu ngầm luôn nằm dưới mặt nước biển hoặc nằm ngang mực nước biển, vì vậy cao độ của tàu ngầm không lớn hơn 0.</p>\r\n<p>Do đó tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng \\(\\left( {x;y;z} \\right)\\)với \\(z \\le 0\\).</p>\r\n<p>b) Tọa độ của tàu ngầm là \\(\\left( {x;y;0} \\right)\\) khi tàu nổi trên mặt nước.</p>"},{"article_id":172775,"cat_id":1959,"publish_time":1725959144,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_11-0.PNG","title":"Giải bài 2.9 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.9 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-29-trang-45-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\). Đặt \\(\\overrightarrow {AA'}  = \\overrightarrow x \\), \\(\\overrightarrow {AB}  = \\overrightarrow y \\), \\(\\overrightarrow {AC}  = \\overrightarrow z \\). Hãy biểu diễn các vectơ sau qua ba vectơ \\(\\overrightarrow x ,{\\rm{ }}\\overrightarrow y ,{\\rm{ }}\\overrightarrow z \\):\r\na) \\(\\overrightarrow {AD} \\);\r\nb) \\(\\overrightarrow {AC'} \\);\r\nc) \\(\\overrightarrow {BD'} \\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có đáy \\(ABCD\\) là hình bình hành do đó \\(\\overrightarrow {AD}  = \\overrightarrow {BC} \\).</p>\r\n<p>Mặt khác \\(\\overrightarrow {BC}  = \\overrightarrow {BA}  + \\overrightarrow {AC}  =  - \\overrightarrow {AB}  + \\overrightarrow {AC}  =  - \\overrightarrow y  + \\overrightarrow z \\). Vậy \\(\\overrightarrow {AD}  =  - \\overrightarrow y  + \\overrightarrow z \\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(ACC'A'\\) là hình bình hành suy ra \\(\\overrightarrow {CC'}  = \\overrightarrow {AA'} \\).</p>\r\n<p>Do đó \\(\\overrightarrow {AC'}  = \\overrightarrow {AC}  + \\overrightarrow {CC'}  = \\overrightarrow {AC}  + \\overrightarrow {AA'}  = \\overrightarrow z  + \\overrightarrow x \\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {DD'}  = \\overrightarrow {AA'} \\). Khi đó</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\overrightarrow {BD'}  = \\overrightarrow {BA}  + \\overrightarrow {AD}  + \\overrightarrow {DD'}  =  - \\overrightarrow {AB}  - \\overrightarrow y  + \\overrightarrow z  + \\overrightarrow {AA'}  =  - \\overrightarrow y  - \\overrightarrow y  + \\overrightarrow z  + \\overrightarrow x  = \\overrightarrow x  - 2\\overrightarrow y  + \\overrightarrow z \\).</p>"},{"article_id":172874,"cat_id":1959,"publish_time":1726125180,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_10-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.42 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.42 trang 57 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-242-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình tứ diện (ABCD), chứng minh rằng:\r\n(overrightarrow {AB}  = frac{1}{2}overrightarrow {AC}  + frac{1}{2}overrightarrow {AD}  + frac{1}{2}overrightarrow {CD}  + overrightarrow {DB} ).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(\\begin{array}{l}\\overrightarrow {AB}  = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AB}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AB}  = \\frac{1}{2}\\left( {\\overrightarrow {AC}  + \\overrightarrow {CB}  + \\overrightarrow {AD}  + \\overrightarrow {DB} } \\right) = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\left( {\\overrightarrow {CB}  + \\overrightarrow {DB} } \\right)\\\\ = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\left( {\\overrightarrow {CD}  + \\overrightarrow {DB}  + \\overrightarrow {DB} } \\right) = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {CD}  + \\frac{1}{2} \\cdot 2\\overrightarrow {DB} \\\\ = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {CD}  + \\overrightarrow {DB} .\\end{array}\\)</p>"},{"article_id":172777,"cat_id":1959,"publish_time":1725959189,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_12-0.PNG","title":"Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-210-trang-45-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD và (A'B'C'D'). Chứng minh rằng:\r\na) (overrightarrow {BB'}  + overrightarrow {DD'}  = overrightarrow {AB'}  + overrightarrow {AD'}  - overrightarrow {AB}  - overrightarrow {AD} );\r\nb) (overrightarrow {BB'}  + overrightarrow {DD'}  = overrightarrow {CC'} ).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có:</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {BB'}  + \\overrightarrow {DD'}  = \\left( {\\overrightarrow {BA}  + \\overrightarrow {AB'} } \\right) + \\left( {\\overrightarrow {DA}  + \\overrightarrow {AD'} } \\right) = \\overrightarrow {AB'}  + \\overrightarrow {AD'}  + \\overrightarrow {BA}  + \\overrightarrow {DA}  = \\overrightarrow {AB'}  + \\overrightarrow {AD'}  - \\overrightarrow {AB}  - \\overrightarrow {AD} \\).</p>\r\n<p>b) Đề và đáp án trong sách bài tập sai, nếu đổi đề thành \\(\\overrightarrow {BB'}  + \\overrightarrow {DD'}  = \\overrightarrow {AA'}  + \\overrightarrow {CC'} \\) thì mới chứng minh được.</p>"},{"article_id":172875,"cat_id":1959,"publish_time":1726125180,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_11-0.PNG","title":"Giải bài 2.43 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.43 trang 57 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-243-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) tạo với nhau một góc bằng ({60^ circ }). Biết (left| {overrightarrow a } right| = 2) và (left| {overrightarrow b } right| = 3), tính (;left| {overrightarrow a  + overrightarrow b } right|) và (;left| {overrightarrow a  - overrightarrow b } right|).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  = \\left| {\\overrightarrow a } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow b } \\right| \\cdot \\cos {60^ \\circ } = 2 \\cdot 3 \\cdot \\frac{1}{2} = 3\\). Ta bình phương \\(\\;\\left| {\\overrightarrow a  + \\overrightarrow b } \\right|\\) và \\(\\;\\left| {\\overrightarrow a  - \\overrightarrow b } \\right|\\) để tìm giá trị của chúng như sau:</p>\r\n<p>\\(\\;{\\left| {\\overrightarrow a  + \\overrightarrow b } \\right|^2} = {\\overrightarrow a ^2} + 2\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  + {\\overrightarrow b ^2} = 4 + 6 + 9 = 19\\) suy ra \\(\\left| {\\overrightarrow a  + \\overrightarrow b } \\right| = \\sqrt {19} \\).</p>\r\n<p>\\(\\;{\\left| {\\overrightarrow a  - \\overrightarrow b } \\right|^2} = {\\overrightarrow a ^2} - 2\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  + {\\overrightarrow b ^2} = 4 - 6 + 9 = 7\\) suy ra \\(\\left| {\\overrightarrow a  - \\overrightarrow b } \\right| = \\sqrt 7 \\).</p>"},{"article_id":172778,"cat_id":1959,"publish_time":1725959213,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_13-0.PNG","title":"Giải bài 2.11 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.11 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-211-trang-45-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D'). Biết rằng (AA' = 2) và tứ giác (ABCD) là hình thoi có (AB = 1) và (widehat {ABC} = {60^ circ }), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp \r\nvectơ đó:\r\na) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'D'} );\r\nb) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BD} );\r\nc) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'C'} );","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {A'D'}  = \\overrightarrow {AD} \\) suy ra \\(\\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {A'D'} } \\right) = \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AD} } \\right) = \\widehat {BAC}\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, xét hình thoi \\(ABCD\\) có \\(\\widehat {BAC} = \\frac{{{{360}^ \\circ } - 2 \\cdot \\widehat {ABC}}}{2} = \\frac{{{{360}^ \\circ } - 2 \\cdot 60}}{2} = {120^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>Do đó \\(\\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {A'D'} } \\right) = {120^ \\circ }\\). Khi đó ta có \\(\\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow {A'D'}  = AB \\cdot AD \\cdot \\cos {120^ \\circ } = 1 \\cdot 1 \\cdot \\left( { - \\frac{1}{2}} \\right) =  - \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>b) Vì \\(AA' \\bot \\left( {ABCD} \\right)\\) nên \\(AA' \\bot BD\\), do đó \\(\\overrightarrow {AA'}  \\bot \\overrightarrow {BD} \\) hay \\(\\left( {\\overrightarrow {AA'} ,\\overrightarrow {BD} } \\right) = {90^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>Khi đó ta có \\(\\overrightarrow {AA'}  \\cdot \\overrightarrow {BD}  = 0\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {A'C'}  = \\overrightarrow {AC} \\) suy ra \\(\\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {A'C'} } \\right) = \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right) = \\widehat {BAC}\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, xét hình tam giác \\(ABC\\) có \\(AB = BC = 1\\) nên tam giác \\(ABC\\) cân tại <em>B</em>,</p>\r\n<p>mà \\(\\widehat {ABC} = {60^ \\circ }\\) suy ra tam giác \\(ABC\\) là tam giác đều, vì vậy \\(\\widehat {BAC} = {60^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>Do đó \\(\\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {A'C'} } \\right) = {60^ \\circ }\\). Khi đó ta có \\(\\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow {A'C'}  = AB \\cdot A'C' \\cdot \\cos {60^ \\circ } = 1 \\cdot 1 \\cdot \\left( {\\frac{1}{2}} \\right) = \\frac{1}{2}\\).</p>"},{"article_id":172876,"cat_id":1959,"publish_time":1726125240,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_12-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.44 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.44 trang 57 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-244-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho ba vectơ (overrightarrow a  = left( { - 4;6;7} right)), (overrightarrow b  = left( {1;0; - 3} right)) và (overrightarrow c  = left( {8;7;2} right)). Tính tọa độ của các vectơ sau:\r\na) (overrightarrow m  = 2overrightarrow a  - 3overrightarrow b  + overrightarrow c );\r\nb) (overrightarrow n  = overrightarrow a  + 3overrightarrow b  + 2overrightarrow c ).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có  \\(\\overrightarrow m  = 2\\overrightarrow a  - 3\\overrightarrow b  + \\overrightarrow c  = \\left( { - 8 - 3 + 8;12 + 7;14 + 9 + 2} \\right)\\) suy ra \\(\\overrightarrow m  = \\left( { - 3;19;25} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Ta có  \\(\\overrightarrow n  = \\overrightarrow a  + 3\\overrightarrow b  + 2\\overrightarrow c  = \\left( { - 4 + 3 + 16;6 + 14;7 - 9 + 4} \\right)\\) suy ra \\(\\overrightarrow n  = \\left( {15;20;2} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172779,"cat_id":1959,"publish_time":1725959257,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_14-0.PNG","title":"Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-212-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) thỏa mãn (left| {overrightarrow a } right| = 1), (left| {overrightarrow b } right| = 2) và (left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^ circ }).\r\nTính các tích vô hướng sau:\r\na) ({left( {overrightarrow a  + overrightarrow b } right)^2});\r\nb) (left( {overrightarrow a  + overrightarrow b } right) cdot left( {overrightarrow a  - overrightarrow b } right));\r\nc) (left( {2","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(\\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  = \\left| {\\overrightarrow a } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow b } \\right| \\cdot \\cos {45^ \\circ } = 1 \\cdot 2 \\cdot \\frac{{\\sqrt 2 }}{2} = \\sqrt 2 \\); \\({\\left( {\\overrightarrow a } \\right)^2} = {\\left| {\\overrightarrow a } \\right|^2} = 1\\) và \\({\\left( {\\overrightarrow b } \\right)^2} = {\\left| {\\overrightarrow b } \\right|^2} = 4\\).</p>\r\n<p>a) Ta có \\({\\left( {\\overrightarrow a  + \\overrightarrow b } \\right)^2} = {\\left( {\\overrightarrow a } \\right)^2} + 2 \\cdot \\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  + {\\left( {\\overrightarrow b } \\right)^2} = 1 + 2 \\cdot \\sqrt 2  + 4 = 5 + 2\\sqrt 2 \\).</p>\r\n<p>b) \\(\\left( {\\overrightarrow a  + \\overrightarrow b } \\right) \\cdot \\left( {\\overrightarrow a  - \\overrightarrow b } \\right) = {\\overrightarrow a ^2} - {\\overrightarrow b ^2} = 1 - 4 =  - 3\\).</p>\r\n<p>c) Ta có:</p>\r\n<p>\\(\\left( {2\\overrightarrow a  - \\overrightarrow b } \\right) \\cdot \\left( {\\overrightarrow a  + 3\\overrightarrow b } \\right) = 2{\\overrightarrow a ^2} + 6 \\cdot \\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  - \\overrightarrow b  \\cdot \\overrightarrow a  - 3 \\cdot {\\overrightarrow b ^2} = 2 \\cdot 1 + 5 \\cdot \\overrightarrow a  \\cdot \\overrightarrow b  - 3 \\cdot 4 = 2 + 5 \\cdot \\sqrt 2  - 12 =  - 10 + 5\\sqrt 2 \\).</p>"},{"article_id":172877,"cat_id":1959,"publish_time":1726125300,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_13-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.45 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.45 trang 57 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-245-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình tứ diện (ABCD) có ba cạnh (AB,AC,AD) đôi một vuông góc và (AB = 3,AC = 4,)\r\n(AD = 6). Xét hệ tọa độ (Oxyz) có gốc (O) trùng với đỉnh (A) và các tia (Ox,Oy,Oz) lần lượt trùng với các tia (AB,AC,AD). Gọi (E,F) lần lượt là trọng tâm của các tam giác (ABD) và (ACD).\r\na) Tìm tọa độ của các đỉnh (B,C,D).\r\nb) Tìm tọa độ của các điểm (E,F).\r\nc) Chứng minh rằng (AD) vuông góc với (EF).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Từ cách lập hệ trục tọa độ của đề bài ta có \\(B\\left( {3;0;0} \\right)\\), \\(C\\left( {0;4;0} \\right)\\) và \\(D\\left( {0;0;6} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(A\\left( {0;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Xét tam giác \\(ABD\\), tọa độ trọng tâm \\(E\\) là \\(E\\left( {\\frac{3}{3};0;\\frac{6}{3}} \\right) \\Leftrightarrow E\\left( {1;0;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Xét tam giác \\(ABD\\), tọa độ trọng tâm \\(F\\) là \\(F\\left( {0;\\frac{4}{3};\\frac{6}{3}} \\right) \\Leftrightarrow F\\left( {0;\\frac{4}{3};2} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {AD}  = \\left( {0;0;6} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {EF}  = \\left( { - 1;\\frac{4}{3};0} \\right)\\) suy ra \\(\\overrightarrow {AD}  \\cdot \\overrightarrow {EF}  = 0\\). Do đó \\(AD\\) vuông góc với \\(EF\\).</p>"},{"article_id":172781,"cat_id":1959,"publish_time":1725959290,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_15-0.PNG","title":"Giải bài 2.13 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.13 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-213-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng (overrightarrow {GA}  + overrightarrow {GB}  + overrightarrow {GC}  + overrightarrow {GD}  = overrightarrow 0 )","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Xét tam giác <em>ABC </em>có <em>M </em>là trung điểm cạnh <em>AB</em>, <em>N </em>là trung điểm cạnh <em>BC, </em>suy ra <em>MN</em> là đường trung bình của tam giác <em>ABC</em> .<em> </em>Vì vậy \\(MN\\parallel AC\\) và \\(MN = \\frac{1}{2}AC\\).<em></em></p>\r\n<p>Tương tự ta cũng có <em>PQ </em>là đường trung bình của tam giác <em>ACD </em>do đó \\(PQ\\parallel AC\\) và \\(PQ = \\frac{1}{2}AC\\). Suy ra \\(MN\\parallel PQ\\) và \\(MN = PQ\\), do đó tứ giác <em>MNPQ </em>là hình bình hành.</p>\r\n<p>Khi đó ta có <em>G </em>là trung điểm của mỗi đường chéo <em>MP </em>và <em>NQ. </em></p>\r\n<p>Suy ra \\(\\overrightarrow {GM}  =  - \\overrightarrow {GP} \\) hay \\(\\overrightarrow {GM}  + \\overrightarrow {GP}  = \\overrightarrow 0 \\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\overrightarrow {GA}  + \\overrightarrow {GB}  + \\overrightarrow {GC}  + \\overrightarrow {GD}  = 2\\overrightarrow {GM}  + 2\\overrightarrow {GP}  = 2\\left( {\\overrightarrow {GM}  + \\overrightarrow {GP} } \\right) = \\overrightarrow 0 .\\)</p>"},{"article_id":172878,"cat_id":1959,"publish_time":1726125360,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_14-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.46 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.46 trang 57 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-246-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm (Aleft( {3; - 1;m} right)) và (Bleft( {m;4;m} right)).\r\na) Tính côsin của góc (widehat {AOB}) theo (m).\r\nb) Xác định tất cả các giá trị của (m) để (widehat {AOB}) là góc nhọn.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {OA}  = \\left( {3; - 1;m} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow {OB}  = \\left( {m;4;m} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác \\(\\widehat {AOB} = \\left( {\\overrightarrow {OA} ,\\overrightarrow {OB} } \\right)\\), suy ra \\(\\cos in\\widehat {AOB} = \\cos in\\left( {\\overrightarrow {OA} ,\\overrightarrow {OB} } \\right)\\)\\( = \\frac{{\\overrightarrow {OA}  \\cdot \\overrightarrow {OB} }}{{\\left| {\\overrightarrow {OA} } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow {OB} } \\right|}}\\)</p>\r\n<p>\\( = \\frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\\sqrt {10 + {m^2}} \\sqrt {2{m^2} + 16} }}\\).</p>\r\n<p>b) Để \\(\\widehat {AOB}\\) là góc nhọn thì \\(\\cos in\\widehat {AOB} &gt; 0\\), suy ra \\(\\frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\\sqrt {10 + {m^2}} \\sqrt {2{m^2} + 16} }} &gt; 0\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow {m^2} + 3m - 4 &gt; 0 \\Leftrightarrow m &lt;  - 4\\) hoặc \\(m &gt; 1\\).</p>"},{"article_id":172782,"cat_id":1959,"publish_time":1725959326,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_16-0.PNG","title":"Giải bài 2.14 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.14 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-214-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:\r\na) (overrightarrow {AC}  cdot overrightarrow {B'D'} );\r\nb) (overrightarrow {BD}  cdot overrightarrow {B'C'} );\r\nc) (overrightarrow {A'B'}  cdot overrightarrow {AC'} ).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {B'D'}  = \\overrightarrow {BD} \\). Mặt khác \\(BD \\bot AC\\)(do <em>ABCD </em> là hình vuông) hay \\(\\overrightarrow {BD}  \\bot \\overrightarrow {AC} \\),</p>\r\n<p>suy ra \\(\\overrightarrow {AC}  \\cdot \\overrightarrow {B'D'}  = \\overrightarrow {AC}  \\cdot \\overrightarrow {BD}  = 0\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\overrightarrow {B'C'}  = \\overrightarrow {BC} \\). Suy ra :</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {BD}  \\cdot \\overrightarrow {B'C'}  = \\overrightarrow {BD}  \\cdot \\overrightarrow {BC}  = BD \\cdot BC \\cdot \\cos \\left( {\\overrightarrow {BD} ,\\overrightarrow {BC} } \\right) = a\\sqrt 2  \\cdot a \\cdot \\cos \\widehat {DBC} = {a^2}\\sqrt 2  \\cdot \\cos {45^ \\circ } = {a^2}\\sqrt 2  \\cdot \\frac{{\\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(\\overrightarrow {A'B'}  = \\overrightarrow {AB} \\). Suy ra \\(\\overrightarrow {A'B'}  \\cdot \\overrightarrow {AC'}  = \\overrightarrow {AB}  \\cdot \\overrightarrow {AC'}  = AB \\cdot AC' \\cdot \\cos \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC'} } \\right){\\rm{       }}\\left( 1 \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta sẽ tính cạnh \\(AC'\\) và xác định góc \\(\\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC'} } \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(CB \\bot AB\\) suy ra \\(C'B \\bot AB\\), do đó tam giác \\(ABC'\\) vuông tại \\(B\\).</p>\r\n<p>Xét tam giác \\(ABC'\\) có \\(AC' = \\sqrt {A{B^2} + B{{C'}^2}}  = \\sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\\sqrt 3 \\).</p>\r\n<p>Lại có \\(\\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC'} } \\right) = \\widehat {BAC'}\\) suy ra \\(\\cos \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC'} } \\right) = \\cos \\widehat {BAC'} = \\frac{{AB}}{{AC'}} = \\frac{a}{{a\\sqrt 3 }} = \\frac{1}{{\\sqrt 3 }}\\).</p>\r\n<p>Thay \\(AC' = a\\sqrt 3 \\) và \\(\\cos \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC'} } \\right) = \\frac{1}{{\\sqrt 3 }}\\) vào \\(\\left( 1 \\right)\\) ta được:</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {A'B'}  \\cdot \\overrightarrow {AC'}  = AB \\cdot AC' \\cdot \\cos \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC'} } \\right) = a \\cdot a\\sqrt 3  \\cdot \\frac{1}{{\\sqrt 3 }} = {a^2}\\).</p>"},{"article_id":172879,"cat_id":1959,"publish_time":1726125360,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_16-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.47 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.47 trang 57 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-247-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Trên phần mềm GeoGebra 3D với các trục tọa độ được dựng sẵn, bạn Minh vẽ hai hình hộp chữ nhật với một số cạnh đặt dọc theo các trục tọa độ. Ba đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ nhất lần lượt là (Oleft( {0;0;0} right)), (Aleft( {2;0;0} right)), (Bleft( {0;3;0} right)). Biết hình hộp thứ hai ở vị trí cao hơn hình hộp thứ nhất là 5 đơn vị, xác định tọa độ của các đỉnh (O',A',B') thuộc mặt dưới của hình hộp thứ hai.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì hình hộp thứ hai nằm ngay phía trên hình hộp thứ nhất và cách hình hộp thứ nhất 5 đơn vị nên \\(\\overrightarrow {OO'} ,\\overrightarrow {AA'} ,\\overrightarrow {BB'} \\) cùng hướng với \\(\\overrightarrow k \\) và có độ dài là 5.</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\overrightarrow {OO'}  = \\overrightarrow {AA'}  = \\overrightarrow {BB'}  = \\left( {0;0;5} \\right)\\) do đó \\(O'\\left( {0;0;5} \\right)\\), \\(A'\\left( {2;0;5} \\right)\\) và \\(B'\\left( {0;3;5} \\right)\\).</p>"},{"article_id":172783,"cat_id":1959,"publish_time":1725959344,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0910/resize_18-0.PNG","title":"Giải bài 2.15 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Giải bài 2.15 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-215-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Cho hình chóp S.ABC có \\(SA = SB = SC\\) và \\(\\widehat {ASB} = \\widehat {BSC} = \\widehat {CSA}\\).\r\nChứng minh rằng \\(\\overrightarrow {SA}  \\cdot \\overrightarrow {BC}  = \\overrightarrow {SB}  \\cdot \\overrightarrow {AC}  = \\overrightarrow {SC}  \\cdot \\overrightarrow {AB} \\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0910/17.png\"   /></p>\r\n<p>Theo đề bài ta có ba tam giác \\(SAB,{\\rm{ }}SAC,{\\rm{ }}SAB\\) đôi một bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh. Do đó \\(AB = BC = AC\\) (cạnh tương ứng), suy ra tam giác \\(ABC\\)là tam giác đều.</p>\r\n<p>Giả sử \\(H\\) là hình chiếu của \\(S\\) trên \\(\\left( {ABC} \\right)\\), kẻ \\(HM \\bot BC\\) với \\(M \\in BC\\) ta có \\(SM \\bot BC\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, tam giác \\(SBC\\) cân tại \\(S\\)(giả thiết \\(SB = SC\\)) suy ra \\(M\\) là trung điểm cạnh \\(BC\\).</p>\r\n<p>Từ đó suy ra \\(HM\\) là một phần đường trung tuyến của tam giác \\(ABC\\).</p>\r\n<p>Tương tự, kẻ \\(HN \\bot AB\\) ta thu được \\(HN\\) là một phần đường trung tuyến của tam giác</p>\r\n<p>\\(ABC\\). Do đó ta có \\(H\\) là trọng tâm tam giác \\(ABC\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(AM\\) là hình chiếu của \\(SA\\) trên \\(\\left( {ABC} \\right)\\) và \\(AM \\bot BC\\) suy ra \\(SA \\bot BC\\) do đó \\(\\overrightarrow {SA}  \\cdot \\overrightarrow {BC}  = 0\\)</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta thu được \\(SB \\bot AC\\) và \\(SC \\bot AB\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\overrightarrow {SA}  \\cdot \\overrightarrow {BC}  = \\overrightarrow {SB}  \\cdot \\overrightarrow {AC}  = \\overrightarrow {SC}  \\cdot \\overrightarrow {AB}  = 0\\).</p>"},{"article_id":172880,"cat_id":1959,"publish_time":1726125360,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0911/resize_19-0_1.PNG","title":"Giải bài 2.48 trang 58 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức","label":"Bài 2.48 trang 58 SBT toán 12 - Kết nối tri thức","alias":"giai-bai-248-trang-58-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc","introtext":"Một chiếc gậy có chiều dài 2,5 m được đặt trong góc phòng như hình sau đây. Một đầu của chiếc gậy nằm trên sàn nhà, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 0,8 m. Đầu còn lại của chiếc gậy nằm trên mép tường.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta lập hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:</p>\r\n<p> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0911/18_1.png\" /></p>\r\n<p>Suy ra đầu gậy trên sàn nhà có tọa độ là \\(\\left( {1;0,8;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Ta thấy đầu gậy trên mép tường là một điểm thuộc tia \\(Oz\\) nên ta có thể sử điểm đó có tọa là \\(\\left( {0;0;a} \\right)\\) với \\(a &gt; 0\\) đồng thời cũng có \\(a\\) chính là khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà.</p>\r\n<p>Mặt khác chiếc gậy có chiều dài 2,5 m, do đó ta có</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\sqrt {1 + {{0,8}^2} + {a^2}}  = 2,5 \\Leftrightarrow \\sqrt {{a^2} + 1,64}  = 2,5 \\Leftrightarrow a = \\frac{{\\sqrt {461} }}{{10}} \\approx 2,15\\).</p>\r\n<p>Vậy khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà \\(2,15\\) m.</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"37772","item_id":37772,"title":"Bài 6. Vecto trong không gian - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 6. Vecto trong không gian","is_link":0},{"id":"37773","item_id":37773,"title":"Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian","is_link":0},{"id":"37774","item_id":37774,"title":"Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto","is_link":0},{"id":"37775","item_id":37775,"title":"Bài tập cuối chương 2 - SBT Toán 12 Kết nối tri thức","short_title":"Bài tập cuối chương 2","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}