{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2023/1223/1-0_3.png","title":"Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục  - SBT Toán 11 CTST","display_type":1,"cat_id":1570,"cat_title":" SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo","alias":"chuong-3-gioi-han-ham-so-lien-tuc-sbt-toan-11-ctst","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":34562,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":156447,"cat_id":1570,"publish_time":1708576200,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0.png","title":"Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 91, 92, 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Câu hỏi trắc nghiệm trang 91, 92, 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-cau-hoi-trac-nghiem-trang-91-92-93-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"\\(\\lim \\frac{{3{n^2} + 2n}}{{2 - {n^2}}}\\) bằng \r\nA. \\(\\frac{3}{2}\\).\r\nB. \\( - 2\\).\r\nC. 3.\r\nD. \\( - 3\\).\r\n","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":156275,"cat_id":1570,"publish_time":1708336740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_71.png","title":"Giải bài 1 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 1 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-1-trang-90-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số: \r\na) \\(f\\left( x \\right) = {x^3} - 3x + 2\\) tại điểm \\(x =  - 2\\);\r\nb) \\(f\\left( x \\right) = \\sqrt {3x + 2} \\) tại điểm \\(x = 0\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Tập xác định của hàm số là \\(D = \\mathbb{R}\\), chứa điểm \\( - 2\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\left( {{x^3} - 3x + 2} \\right) = {\\left( { - 2} \\right)^3} - 3\\left( { - 2} \\right) + 2 =  - 8 + 6 + 2 = 0\\)</p>\r\n<p>\\(f\\left( { - 2} \\right) = {\\left( { - 2} \\right)^3} - 3\\left( { - 2} \\right) + 2 =  - 8 + 6 + 2 = 0\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} f\\left( x \\right) = f\\left( 2 \\right)\\) nên hàm số \\(f\\left( x \\right) = {x^3} - 3x + 2\\) liên tục tại điểm \\(x =  - 2\\).</p>\r\n<p>b) Tập xác định của hàm số là \\(D = \\left[ {\\frac{{ - 2}}{3}; + \\infty } \\right)\\), chứa điểm 0.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} \\sqrt {3x + 2}  = \\sqrt {3.0 + 2}  = \\sqrt 2 \\); \\(f\\left( 0 \\right) = \\sqrt {3.0 + 2}  = \\sqrt 2 \\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} f\\left( x \\right) = f\\left( 0 \\right)\\) nên hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\sqrt {3x + 2} \\) liên tục tại điểm \\(x = 0\\).</p>"},{"article_id":156262,"cat_id":1570,"publish_time":1708335060,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_59.png","title":"Giải bài 1 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 1 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-1-trang-84-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: \r\na) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 1} \\left( {{x^3} - 3x} \\right)\\);\r\nb) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\sqrt {2x + 5} \\);\r\nc) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{4 - x}}{{2x + 1}}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Giả sử \\(\\left( {{x_n}} \\right)\\) là dãy số bất kì thỏa mãn \\({x_n} \\ne  - 1\\) với mọi n và \\({x_n} \\to  - 1\\) khi \\(n \\to  + \\infty \\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\lim f\\left( {{x_n}} \\right) = \\lim \\left( {x_n^3 - 3{x_n}} \\right) = \\lim x_n^3 - 3\\lim {x_n} = {\\left( { - 1} \\right)^3} - 3.\\left( { - 1} \\right) = 2\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 1} \\left( {{x^3} - 3x} \\right) = 2\\);</p>\r\n<p>b) Giả sử \\(\\left( {{x_n}} \\right)\\) là dãy số bất kì thỏa mãn \\({x_n} \\ge \\frac{{ - 5}}{2},{x_n} \\ne 2\\) với mọi n và \\(\\lim {x_n} = 2\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\lim \\sqrt {2{x_n} + 5}  = \\sqrt {2\\lim {x_n} + \\lim 5}  = \\sqrt {2.2 + 5}  = 3\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\sqrt {2x + 5}  = 3\\);</p>\r\n<p>c) Giả sử \\(\\left( {{x_n}} \\right)\\) là dãy số bất kì thỏa mãn \\(\\lim {x_n} =  + \\infty \\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\lim \\frac{{4 - {x_n}}}{{2{x_n} + 1}}\\)\\( = \\lim \\frac{{\\frac{4}{{{x_n}}} - 1}}{{2 + \\frac{1}{{{x_n}}}}}\\)\\( = \\frac{{\\lim \\frac{4}{{{x_n}}} - \\lim 1}}{{\\lim 2 + \\lim \\frac{1}{{{x_n}}}}}\\)\\( = \\frac{{0 - 1}}{{2 + 0}} = \\frac{{ - 1}}{2}\\)</p>\r\n<p>Vậy \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{4 - x}}{{2x + 1}} = \\frac{{ - 1}}{2}\\).</p>"},{"article_id":156245,"cat_id":1570,"publish_time":1708332600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_46.png","title":"Giải bài 1 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 1 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-1-trang-75-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm các giới hạn sau: \r\na) \\(\\lim \\left( {2 + \\frac{5}{n}} \\right)\\);\r\nb) \\(\\lim \\left( {\\frac{3}{n} - \\frac{2}{{{n^2}}}} \\right)\\);\r\nc) \\(\\lim \\left( {3 - \\frac{4}{n}} \\right)\\left( {2 + \\frac{5}{{{n^2}}}} \\right)\\);\r\nd) \\(\\lim \\frac{{3 - \\frac{3}{n}}}{{1 + \\frac{1}{{{n^3}}}}}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\lim \\left( {2 + \\frac{5}{n}} \\right) = \\lim 2 + \\lim \\frac{5}{n} = 2 + 0 = 2\\);</p>\r\n<p>b) \\(\\lim \\left( {\\frac{3}{n} - \\frac{2}{{{n^2}}}} \\right) = \\lim \\frac{3}{n} - \\lim \\frac{2}{{{n^2}}} = 0 - 0 = 0\\);</p>\r\n<p>c) \\(\\lim \\left( {3 - \\frac{4}{n}} \\right)\\left( {2 + \\frac{5}{{{n^2}}}} \\right)\\)\\( = \\lim \\left( {3 - \\frac{4}{n}} \\right)\\lim \\left( {2 + \\frac{5}{{{n^2}}}} \\right)\\)\\( = \\left( {\\lim 3 - \\lim \\frac{4}{n}} \\right)\\left( {\\lim 2 + \\lim \\frac{5}{{{n^2}}}} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\( = 3.2 = 6\\)</p>\r\n<p>d) \\(\\lim \\frac{{3 - \\frac{3}{n}}}{{1 + \\frac{1}{{{n^3}}}}}\\)\\( = \\frac{{\\lim \\left( {3 - \\frac{3}{n}} \\right)}}{{\\lim \\left( {1 + \\frac{1}{{{n^3}}}} \\right)}}\\)\\( = \\frac{{\\lim 3 - \\lim \\frac{3}{n}}}{{\\lim 1 + \\lim \\frac{1}{{{n^3}}}}}\\)\\( = \\frac{3}{1} = 3\\)</p>"},{"article_id":156449,"cat_id":1570,"publish_time":1708577400,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_1.png","title":"Giải bài 1 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 1 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-1-trang-93-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm các giới hạn sau:\r\na) (lim frac{{nleft( {2{n^2} + 3} right)}}{{4{n^3} + 1}});\r\nb) (lim left[ {sqrt n left( {sqrt {n + 5}  - sqrt {n + 1} } right)} right]).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\lim \\frac{{n\\left( {2{n^2} + 3} \\right)}}{{4{n^3} + 1}} = \\lim \\frac{{2 + \\frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \\frac{1}{{{n^3}}}}} = \\frac{{2 + \\lim \\frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \\lim \\frac{1}{{{n^3}}}}} = \\frac{1}{2}\\);</p>\r\n<p>b) \\(\\lim \\left[ {\\sqrt n \\left( {\\sqrt {n + 5}  - \\sqrt {n + 1} } \\right)} \\right] = \\lim \\frac{{\\sqrt n \\left( {\\sqrt {n + 5}  - \\sqrt {n + 1} } \\right)\\left( {\\sqrt {n + 5}  + \\sqrt {n + 1} } \\right)}}{{\\left( {\\sqrt {n + 5}  + \\sqrt {n + 1} } \\right)}}\\)</p>\r\n<p>\\( = \\lim \\frac{{4\\sqrt n }}{{\\sqrt {n + 5}  + \\sqrt {n + 1} }} = \\lim \\frac{4}{{\\sqrt {1 + \\frac{5}{n}}  + \\sqrt {1 + \\frac{1}{n}} }} = \\frac{4}{{\\sqrt {1 + \\lim \\frac{5}{n}}  + \\sqrt {1 + \\lim \\frac{1}{n}} }} = \\frac{4}{{1 + 1}} = 2\\)</p>"},{"article_id":156276,"cat_id":1570,"publish_time":1708336800,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_72.png","title":"Giải bài 2 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 2 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-2-trang-90-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm \\(x = 2\\):\r\na) \\(f\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}6 - 2x\\;\\;\\;khi\\;x \\ge 2\\\\2{x^2} - 6\\;\\;khi\\;x < 2\\end{array} \\right.\\);\r\nb) \\(f\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}\\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\\;\\;\\;khi\\;x \\ne 2\\\\\\;\\;\\;\\;0\\;\\;\\;\\;\\;\\;khi\\;x = 2\\end{array} \\right.\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Tập xác định của hàm số là \\(D = \\mathbb{R}\\), chứa điểm 2.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} \\left( {6 - 2x} \\right) = 6 - 2.2 = 2;\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} \\left( {2{x^2} - 6} \\right) = {2.2^2} - 6 = 2\\), \\(f\\left( 2 \\right) = 6 - 2.2 = 2\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} f\\left( x \\right) = f\\left( x \\right) = 2\\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm \\(x = 2\\).</p>\r\n<p>b) Tập xác định của hàm số là \\(D = \\mathbb{R}\\), chứa điểm 2.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{\\left( {x - 2} \\right)\\left( {x + 2} \\right)}}{{x - 2}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\left( {x + 2} \\right) = 2 + 2 = 4\\);</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} f\\left( x \\right) \\ne f\\left( 2 \\right)\\left( {do\\;4 \\ne 0} \\right)\\) nên hàm số \\(f\\left( x \\right)\\) không liên tục tại điểm \\(x = 2\\).</p>"},{"article_id":156263,"cat_id":1570,"publish_time":1708335120,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_60.png","title":"Giải bài 2 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 2 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-2-trang-84-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm các giới hạn sau:\r\na) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 3} \\left( {8 + 3x - {x^2}} \\right)\\);\r\nb) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\left[ {\\left( {5x - 1} \\right)\\left( {2 - 4x} \\right)} \\right]\\);\r\nc) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{{x^2} - x}}{{{{\\left( {2x + 1} \\right)}^2}}}\\);\r\nd) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 1} \\sqrt {10 - 2{x^2}} \\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 3} \\left( {8 + 3x - {x^2}} \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 3} 8 + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 3} \\left( {3x} \\right) - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 3} {x^2}\\)\\( = 8 + 3.\\left( { - 3} \\right) - {\\left( { - 3} \\right)^2} =  - 10\\);</p>\r\n<p>b) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\left[ {\\left( {5x - 1} \\right)\\left( {2 - 4x} \\right)} \\right]\\)\\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\left( {5x - 1} \\right)\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\left( {2 - 4x} \\right)\\)\\( = \\left( {5.2 - 1} \\right)\\left( {2 - 4.2} \\right)\\)\\( = 9.\\left( { - 6} \\right) =  - 54\\);</p>\r\n<p>c) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{{x^2} - x}}{{{{\\left( {2x + 1} \\right)}^2}}} = \\frac{{\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\left( {{x^2} - x} \\right)}}{{\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} {{\\left( {2x + 1} \\right)}^2}}} = \\frac{{{{\\left( { - 2} \\right)}^2} - \\left( { - 2} \\right)}}{{{{\\left[ {2.\\left( { - 2} \\right) + 1} \\right]}^2}}} = \\frac{6}{9} = \\frac{2}{3}\\);</p>\r\n<p>d) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 1} \\sqrt {10 - 2{x^2}}  = \\sqrt {10 - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 1} \\left( {2{x^2}} \\right)}  = \\sqrt {10 - 2.{{\\left( { - 1} \\right)}^2}}  = 2\\sqrt 2 \\).</p>"},{"article_id":156246,"cat_id":1570,"publish_time":1708333200,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_47.png","title":"Giải bài 2 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 2 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-2-trang-75-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm các giới hạn sau:\r\na) \\(\\lim \\frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\\);\r\nb) \\(\\lim \\frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\\);\r\nc) \\(\\lim \\frac{{\\left( {2n - 1} \\right)\\left( {2n + 3} \\right)}}{{2{n^2} + 4}}\\);\r\nd) \\(\\lim \\frac{{4n + 1}}{{\\sqrt {{n^2} + 3n}  + n}}\\);\r\ne) \\(\\lim \\sqrt n \\left( {\\sqrt {n + 1}  - \\sqrt n } \\right)\\);\r\ng) \\(\\lim \\frac{1}{{\\sqrt {{n^2} + n}  - n}}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\lim \\frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\\)\\( = \\lim \\frac{{2 - \\frac{3}{n}}}{{6 + \\frac{1}{n}}}\\)\\( = \\frac{{\\lim 2 - \\lim \\frac{3}{n}}}{{\\lim 6 + \\lim \\frac{1}{n}}}\\)\\( = \\frac{{2 - 0}}{{6 + 0}} = \\frac{1}{3}\\);</p>\r\n<p>b) \\(\\lim \\frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\\)\\( = \\lim \\frac{{\\frac{3}{n} - \\frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \\frac{1}{n}}}\\)\\( = \\frac{{\\lim \\frac{3}{n} - \\lim \\frac{1}{{{n^2}}}}}{{\\lim 1 + \\lim \\frac{1}{n}}}\\)\\( = \\frac{0}{{1 + 0}} = 0\\);</p>\r\n<p>c) \\(\\lim \\frac{{\\left( {2n - 1} \\right)\\left( {2n + 3} \\right)}}{{2{n^2} + 4}}\\)\\( = \\lim \\frac{{\\left( {2 - \\frac{1}{n}} \\right)\\left( {2 + \\frac{3}{n}} \\right)}}{{2 + \\frac{4}{{{n^2}}}}}\\)\\( = \\frac{{\\lim \\left( {2 - \\frac{1}{n}} \\right)\\lim \\left( {2 + \\frac{3}{n}} \\right)}}{{\\lim \\left( {2 + \\frac{4}{{{n^2}}}} \\right)}}\\)\\( = \\frac{{2.2}}{2} = 2\\);</p>\r\n<p>d) \\(\\lim \\frac{{4n + 1}}{{\\sqrt {{n^2} + 3n}  + n}}\\)\\( = \\lim \\frac{{4 + \\frac{1}{n}}}{{\\sqrt {1 + \\frac{3}{n}}  + 1}}\\)\\( = \\frac{{4 + \\lim \\frac{1}{n}}}{{\\sqrt {1 + \\lim \\frac{3}{n}}  + 1}}\\)\\( = \\frac{4}{{1 + 1}} = 2\\);</p>\r\n<p>e) \\(\\lim \\sqrt n \\left( {\\sqrt {n + 1}  - \\sqrt n } \\right)\\)\\( = \\lim \\frac{{\\sqrt n \\left( {\\sqrt {n + 1}  - \\sqrt n } \\right)\\left( {\\sqrt {n + 1}  + \\sqrt n } \\right)}}{{\\sqrt {n + 1}  + \\sqrt n }}\\)\\( = \\lim \\frac{{\\sqrt n }}{{\\sqrt {n + 1}  + \\sqrt n }}\\)</p>\r\n<p>\\( = \\lim \\frac{1}{{\\sqrt {1 + \\frac{1}{n}}  + \\sqrt 1 }}\\)\\( = \\frac{1}{{\\sqrt {1 + \\lim \\frac{1}{n}}  + 1}} = \\frac{1}{2}\\)</p>\r\n<p>g) \\(\\lim \\frac{1}{{\\sqrt {{n^2} + n}  - n}}\\)\\( = \\lim \\frac{{\\sqrt {{n^2} + n}  + n}}{{\\left( {\\sqrt {{n^2} + n}  - n} \\right)\\left( {\\sqrt {{n^2} + n}  + n} \\right)}}\\)\\( = \\lim \\frac{{\\sqrt {{n^2} + n}  + n}}{n}\\)\\( = \\lim \\frac{{\\sqrt {1 + \\frac{1}{n}}  + 1}}{1}\\)\\( = \\frac{{\\sqrt {1 + \\lim \\frac{1}{n}}  + 1}}{1} = 2\\)</p>"},{"article_id":156451,"cat_id":1570,"publish_time":1708577580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_2.png","title":"Giải bài 2 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 2 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-2-trang-93-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho các dãy số \\(\\left( {{u_n}} \\right)\\) và \\(\\left( {{v_n}} \\right)\\) thỏa mãn \\(\\lim {u_n} = 2,\\lim \\left( {{u_n} - {v_n}} \\right) = 4\\). Tìm \\(\\lim \\frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(\\lim \\left( {{u_n} - {v_n}} \\right) = 4 \\Rightarrow \\lim {u_n} - \\lim {v_n} = 4 \\Rightarrow \\lim {v_n} = \\lim {u_n} - 4 = 2 - 4 =  - 2\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\lim \\frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}} = \\frac{{3\\lim {u_n} - \\lim {v_n}}}{{\\lim {u_n}\\lim {v_n} + 3}} = \\frac{{3.2 - \\left( { - 2} \\right)}}{{2.\\left( { - 2} \\right) + 3}} = \\frac{8}{{ - 1}} =  - 8\\)</p>"},{"article_id":156277,"cat_id":1570,"publish_time":1708336920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_73.png","title":"Giải bài 3 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 3 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-3-trang-90-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Xét tính liên tục của hàm số: \r\na) \\(f\\left( x \\right) = \\left| {x + 1} \\right|\\) tại điểm \\(x =  - 1\\);\r\nb) \\(g\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}\\frac{{\\left| {x - 1} \\right|}}{{x - 1}}\\;\\;\\;khi\\;x \\ne 1\\\\\\;\\;\\;\\;1\\;\\;\\;\\;\\;\\;khi\\;x = 1\\end{array} \\right.\\) tại điểm \\(x = 1\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Tập xác định của hàm số là \\(D = \\mathbb{R}\\), chứa điểm \\( - 1\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} \\left| {x + 1} \\right| = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} \\left( {x + 1} \\right) =  - 1 + 1 = 0;\\) \\(f\\left( { - 1} \\right) = \\left| { - 1 + 1} \\right| = 0\\);</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} \\left| {x + 1} \\right| = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} \\left( { - x - 1} \\right) = 1 - 1 = 0\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} f\\left( x \\right) = f\\left( { - 1} \\right) = 0\\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm \\(x =  - 1\\).</p>\r\n<p>b) Tập xác định của hàm số là \\(D = \\mathbb{R}\\), chứa điểm 1.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} g\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} \\frac{{\\left| {x - 1} \\right|}}{{x - 1}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} \\frac{{x - 1}}{{x - 1}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} 1 = 1;\\) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} g\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} \\frac{{\\left| {x - 1} \\right|}}{{x - 1}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} \\frac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} \\left( { - 1} \\right) =  - 1\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} g\\left( x \\right) \\ne \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} g\\left( x \\right)\\) nên hàm số g(x) không liên tục tại điểm \\(x = 1\\).</p>"},{"article_id":156264,"cat_id":1570,"publish_time":1708335240,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_61.png","title":"Giải bài 3 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 3 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-3-trang-84-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm các giới hạn sau:\r\na) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\\);\r\nb) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{{x^3} - 1}}{{1 - x}}\\);\r\nc) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 3} \\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 3}}\\);\r\nd) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{2 - \\sqrt {x + 6} }}{{x + 2}}\\);\r\ne) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} \\frac{x}{{\\sqrt {x + 1}  - 1}}\\);\r\ng) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 4}}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{\\left( {x - 2} \\right)\\left( {x + 2} \\right)}}{{x + 2}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\left( {x - 2} \\right)\\)\\( =  - 2 - 2 \\) \\( =  - 4\\).</p>\r\n<p>b) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{{x^3} - 1}}{{1 - x}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{ - \\left( {x - 1} \\right)\\left( {{x^2} + x + 1} \\right)}}{{x - 1}} \\) \\( =  - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\left( {{x^2} + x + 1} \\right)\\)\\( =  - \\left( {{1^2} + 1 + 1} \\right) \\) \\( =  - 3\\);</p>\r\n<p>c) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 3} \\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 3}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 3} \\frac{{\\left( {x - 1} \\right)\\left( {x - 3} \\right)}}{{x - 3}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 3} \\left( {x - 1} \\right) \\) \\( = 3 - 1 \\) \\( = 2\\);</p>\r\n<p>d) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{2 - \\sqrt {x + 6} }}{{x + 2}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{\\left( {2 - \\sqrt {x + 6} } \\right)\\left( {2 + \\sqrt {x + 6} } \\right)}}{{\\left( {x + 2} \\right)\\left( {2 + \\sqrt {x + 6} } \\right)}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{4 - x - 6}}{{\\left( {x + 2} \\right)\\left( {2 + \\sqrt {x + 6} } \\right)}}\\)</p>\r\n<p>\\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{ - \\left( {x + 2} \\right)}}{{\\left( {x + 2} \\right)\\left( {2 + \\sqrt {x + 6} } \\right)}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 2} \\frac{{ - 1}}{{2 + \\sqrt {x + 6} }} \\) \\( = \\frac{{ - 1}}{{2 + \\sqrt { - 2 + 6} }} \\) \\( = \\frac{{ - 1}}{4}\\)</p>\r\n<p>e) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} \\frac{x}{{\\sqrt {x + 1}  - 1}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} \\frac{{x\\left( {\\sqrt {x + 1}  + 1} \\right)}}{{\\left( {\\sqrt {x + 1}  - 1} \\right)\\left( {\\sqrt {x + 1}  + 1} \\right)}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} \\frac{{x\\left( {\\sqrt {x + 1}  + 1} \\right)}}{x}\\)</p>\r\n<p>\\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} \\left( {\\sqrt {x + 1}  + 1} \\right) \\) \\( = \\sqrt {0 + 1}  + 1 \\) \\( = 2\\);</p>\r\n<p>g) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 4}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{{{\\left( {x - 2} \\right)}^2}}}{{\\left( {x - 2} \\right)\\left( {x + 2} \\right)}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{x - 2}}{{x + 2}} \\) \\( = \\frac{{2 - 2}}{{2 + 2}} \\) \\( = 0\\).</p>"},{"article_id":156247,"cat_id":1570,"publish_time":1708333320,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_48.png","title":"Giải bài 3 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 3 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-3-trang-75-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm các giới hạn sau:\r\na) \\(\\lim {\\left( {\\frac{{\\sqrt 3 }}{2}} \\right)^n}\\);\r\nb) \\(\\lim \\frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\\);\r\nc) \\(\\lim \\frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\\);\r\nd) \\(\\lim \\frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\lim {\\left( {\\frac{{\\sqrt 3 }}{2}} \\right)^n} = 0\\) do \\(\\frac{{\\sqrt 3 }}{2} &lt; 1\\).</p>\r\n<p>b) \\(\\lim \\frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\\)\\( = \\lim \\frac{{{{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)}^n}}}{{1 - {{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)}^n}}}\\)\\( = \\frac{{\\lim {{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)}^n}}}{{1 - \\lim {{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)}^n}}}\\)\\( = \\frac{0}{{1 - 0}} = 0\\);</p>\r\n<p>c) \\(\\lim \\frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\\)\\( = \\lim \\frac{{1 - {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^n}}}{{1 + {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^n}}}\\)\\( = \\frac{{1 - \\lim {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^n}}}{{1 + \\lim {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^n}}}\\)\\( = \\frac{{1 - 0}}{{1 + 0}} = 1\\);</p>\r\n<p>d) \\(\\lim \\frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\\)\\( = \\lim \\frac{{{{4.4}^n}}}{{{3^n} + {4^n}}}\\)\\( = \\frac{4}{{\\lim {{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)}^n} + 1}}\\)\\( = \\frac{4}{{0 + 1}} = 4\\).</p>"},{"article_id":156453,"cat_id":1570,"publish_time":1708577640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_3.png","title":"Giải bài 3 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 3 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-3-trang-93-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm \\(\\lim \\frac{{{6^n} + {4^n}}}{{\\left( {{2^n} + 1} \\right)\\left( {{3^n} + 1} \\right)}}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(\\lim \\frac{{{6^n} + {4^n}}}{{\\left( {{2^n} + 1} \\right)\\left( {{3^n} + 1} \\right)}} = \\lim \\frac{{1 + {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^n}}}{{\\left( {1 + \\frac{1}{{{3^n}}}} \\right)\\left( {1 + \\frac{1}{{{2^n}}}} \\right)}}\\)\\( = \\frac{{1 + \\lim {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^n}}}{{\\left( {1 + \\lim \\frac{1}{{{3^n}}}} \\right)\\left( {1 + \\lim \\frac{1}{{{2^n}}}} \\right)}} = \\frac{1}{{1.1}} = 1\\)</p>"},{"article_id":156278,"cat_id":1570,"publish_time":1708336980,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_74.png","title":"Giải bài 4 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 4 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-4-trang-90-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}\\frac{{\\sqrt {x + 2}  - 2}}{{x - 2}}\\;khi\\;x \\ne 2\\\\\\;\\;\\;\\;a\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;khi\\;x = 2\\end{array} \\right.\\). Tìm giá trị của tham số a để hàm số \\(y = f\\left( x \\right)\\) liên tục tại \\(x = 2\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{\\sqrt {x + 2}  - 2}}{{x - 2}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{\\left( {\\sqrt {x + 2}  - 2} \\right)\\left( {\\sqrt {x + 2}  + 2} \\right)}}{{\\left( {x - 2} \\right)\\left( {\\sqrt {x + 2}  + 2} \\right)}}\\)</p>\r\n<p>\\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{x - 2}}{{\\left( {x - 2} \\right)\\left( {\\sqrt {x + 2}  + 2} \\right)}}\\)\\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{1}{{\\sqrt {x + 2}  + 2}} = \\frac{1}{{\\sqrt {2 + 2}  + 2}} = \\frac{1}{4}\\)</p>\r\n<p>Để hàm số \\(y = f\\left( x \\right)\\) liên tục tại \\(x = 2\\) thì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} f\\left( x \\right) = f\\left( 2 \\right) \\Rightarrow a = \\frac{1}{4}\\)</p>"},{"article_id":156265,"cat_id":1570,"publish_time":1708335360,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_62.png","title":"Giải bài 4 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 4 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-4-trang-84-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hai hàm số f(x) và g(x) có (mathop {lim }limits_{x to 4} fleft( x right) = 2) và (mathop {lim }limits_{x to 4} gleft( x right) =  - 3).  Tìm các giới hạn:\r\na) (mathop {lim }limits_{x to 4} left[ {gleft( x right) - 3fleft( x right)} right]);\r\nb) (mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{2fleft( x right).gleft( x right)}}{{{{left[ {fleft( x right) + gleft( x right)} right]}^2}}}).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 4} \\left[ {g\\left( x \\right) - 3f\\left( x \\right)} \\right] \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 4} g\\left( x \\right) - 3\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 4} f\\left( x \\right) \\) \\( =  - 3 - 3.2 \\) \\( =  - 9\\);</p>\r\n<p>b) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 4} \\frac{{2f\\left( x \\right).g\\left( x \\right)}}{{{{\\left[ {f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)} \\right]}^2}}} \\) \\( = \\frac{{2\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 4} f\\left( x \\right).\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 4} g\\left( x \\right)}}{{{{\\left[ {\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 4} f\\left( x \\right) + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 4} g\\left( x \\right)} \\right]}^2}}} \\) \\( = \\frac{{2.2.\\left( { - 3} \\right)}}{{{{\\left( {2 - 3} \\right)}^2}}} \\) \\( =  - 12\\).</p>"},{"article_id":156249,"cat_id":1570,"publish_time":1708333440,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_49.png","title":"Giải bài 4 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 4 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-4-trang-76-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hai dãy số \\(\\left( {{u_n}} \\right)\\) và \\(\\left( {{v_n}} \\right)\\) có \\(\\lim {u_n} = 3,\\lim {v_n} = 4\\). Tìm các giới hạn sau:\r\na) \\(\\lim \\left( {3{u_n} - 4} \\right)\\);\r\nb) \\(\\lim \\left( {{u_n} + 2{v_n}} \\right)\\);\r\nc) \\(\\lim {\\left( {{u_n} - {v_n}} \\right)^2}\\);\r\nd) \\(\\lim \\frac{{ - 2{u_n}}}{{{v_n} - 2{u_n}}}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\lim \\left( {3{u_n} - 4} \\right) = 3\\lim {u_n} - 4 = 3.3 - 4 = 5\\);</p>\r\n<p>b) \\(\\lim \\left( {{u_n} + 2{v_n}} \\right) = \\lim {u_n} + 2\\lim {v_n} = 3 + 2.4 = 11\\);</p>\r\n<p>c) \\(\\lim {\\left( {{u_n} - {v_n}} \\right)^2} = {\\left( {\\lim {u_n} - \\lim {v_n}} \\right)^2} = {\\left( {4 - 3} \\right)^2} = 1\\);</p>\r\n<p>d) \\(\\lim \\frac{{ - 2{u_n}}}{{{v_n} - 2{u_n}}} = \\frac{{ - 2\\lim {u_n}}}{{\\lim {v_n} - \\lim 2{u_n}}} = \\frac{{ - 2.3}}{{4 - 2.3}} = 3\\).</p>"},{"article_id":156454,"cat_id":1570,"publish_time":1708577700,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_4.png","title":"Giải bài 4 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 4 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-4-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho \\(a > b > 0\\) và \\(\\lim \\frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = 1\\). Tìm giá trị của a.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì \\(a &gt; b &gt; 0 \\Rightarrow 0 &lt; \\frac{b}{a} &lt; 1 \\Rightarrow \\lim {\\left( {\\frac{b}{a}} \\right)^n} = 0\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\lim \\frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = \\lim \\frac{{1 + \\frac{1}{a}{{\\left( {\\frac{b}{a}} \\right)}^n}}}{{\\frac{2}{a} + {{\\left( {\\frac{b}{a}} \\right)}^{n + 1}}}} = \\frac{{1 + \\lim \\left[ {\\frac{1}{a}{{\\left( {\\frac{b}{a}} \\right)}^n}} \\right]}}{{\\frac{2}{a} + \\lim {{\\left( {\\frac{b}{a}} \\right)}^{n + 1}}}} = \\frac{a}{2}\\)</p>\r\n<p>Mà \\(\\lim \\frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = 1\\) nên \\(\\frac{a}{2} = 1 \\Rightarrow a = 2\\)</p>"},{"article_id":156279,"cat_id":1570,"publish_time":1708337100,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_75.png","title":"Giải bài 5 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 5 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-5-trang-90-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Xét tính liên tục của các hàm số sau:\r\na) \\(f\\left( x \\right) = {x^3} - {x^2} + 2\\);\r\nb) \\(f\\left( x \\right) = \\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}\\);\r\nc) \\(f\\left( x \\right) = \\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}\\)\r\nd) \\(f\\left( x \\right) = \\sqrt {{x^2} - 2x} \\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = {x^3} - {x^2} + 2\\) là hàm đa thức nên hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = {x^3} - {x^2} + 2\\) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\).</p>\r\n<p>b) Hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = \\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}\\) xác định khi \\({x^2} - 4x \\ne 0 \\Leftrightarrow x\\left( {x - 4} \\right) \\ne 0 \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x \\ne 0\\\\x \\ne 4\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Tập xác định của hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = \\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}\\) là \\(D \\) \\( = \\left( { - \\infty ;0} \\right) \\cup \\left( {0;4} \\right) \\cup \\left( {4; + \\infty } \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó, hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = \\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}\\) liên tục trên các khoảng \\(\\left( { - \\infty ;0} \\right)\\), \\(\\left( {0;4} \\right)\\)và \\(\\left( {4; + \\infty } \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Vì \\({x^2} - x + 1 \\) \\( = {x^2} - 2.x.\\frac{1}{2} + {\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^2} + \\frac{3}{4} \\) \\( = {\\left( {x - \\frac{1}{2}} \\right)^2} + \\frac{3}{4} \\ge \\frac{3}{4}\\forall x \\in \\mathbb{R}\\)</p>\r\n<p>Do đó, hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = \\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}\\) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\).</p>\r\n<p>d) Hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = \\sqrt {{x^2} - 2x} \\) xác định khi \\({x^2} - 2x \\ge 0 \\Leftrightarrow x\\left( {x - 2} \\right) \\ge 0 \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x - 2 \\ge 0\\\\x \\le 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x \\ge 2\\\\x \\le 0\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Tập xác định của hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = \\sqrt {{x^2} - 2x} \\) là \\(D \\) \\( = \\left( { - \\infty ;0} \\right] \\cup \\left[ {2; + \\infty } \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó, hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = \\sqrt {{x^2} - 2x} \\) liên tục trên các khoảng \\(\\left( { - \\infty ;0} \\right]\\) và \\(\\left[ {2; + \\infty } \\right)\\).</p>"},{"article_id":156266,"cat_id":1570,"publish_time":1708335480,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_63.png","title":"Giải bài 5 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 5 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-5-trang-84-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hai hàm số f(x) và g(x) có \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } f\\left( x \\right) = 3\\) và \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left[ {f\\left( x \\right) + 2g\\left( x \\right)} \\right] = 7\\).  Tìm \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{2f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)}}{{2f\\left( x \\right) - g\\left( x \\right)}}\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(g\\left( x \\right) = \\frac{1}{2}\\left\\{ {\\left[ {f\\left( x \\right) + 2g\\left( x \\right)} \\right] - f\\left( x \\right)} \\right\\}\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } g\\left( x \\right) = \\frac{1}{2}\\left\\{ {\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left[ {f\\left( x \\right) + 2g\\left( x \\right)} \\right] - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } f\\left( x \\right)} \\right\\} = \\frac{1}{2}\\left( {7 - 3} \\right) = 2\\)</p>\r\n<p>Suy ra: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{2f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)}}{{2f\\left( x \\right) - g\\left( x \\right)}} = \\frac{{2\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } f\\left( x \\right) + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } g\\left( x \\right)}}{{2\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } f\\left( x \\right) - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } g\\left( x \\right)}} = \\frac{{2.3 + 2}}{{2.3 - 2}} = 2\\)</p>"},{"article_id":156250,"cat_id":1570,"publish_time":1708333560,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_50.png","title":"Giải bài 5 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 5 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-5-trang-76-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho dãy số \\(\\left( {{u_n}} \\right)\\) thỏa mãn \\(n{u_n} = 3\\). Tìm giới hạn \\(\\lim \\frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(\\lim \\frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}} = \\lim \\frac{{2 + \\frac{3}{n}}}{{n{u_n}}} = \\frac{{\\lim 2 + \\lim \\frac{3}{n}}}{{\\lim \\left( {n{u_n}} \\right)}} = \\frac{{2 + 0}}{3} = \\frac{2}{3}\\)</p>"},{"article_id":156455,"cat_id":1570,"publish_time":1708577760,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_5.png","title":"Giải bài 5 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 5 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-5-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho dãy số \\(\\left( {{u_n}} \\right)\\) thỏa mãn \\(\\lim n{u_n} = \\frac{1}{2}\\). Tìm \\(\\lim \\left( {3n - 4} \\right){u_n}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(\\lim {u_n} = \\lim \\left( {\\frac{1}{n}n{u_n}} \\right) = \\lim \\frac{1}{n}.\\lim n{u_n} = 0.\\frac{1}{2} = 0\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\lim \\left( {3n - 4} \\right){u_n} = 3\\lim n{u_n} - 4\\lim {u_n} = 3.\\frac{1}{2} - 4.0 = \\frac{3}{2}\\)<strong></strong></p>"},{"article_id":156280,"cat_id":1570,"publish_time":1708337160,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_76.png","title":"Giải bài 6 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 6 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-6-trang-90-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Xét tính liên tục của các hàm số sau:\r\na) \\(f\\left( x \\right) = \\frac{{\\tan x}}{{\\sqrt {1 - {x^2}} }}\\);\r\nb) \\(f\\left( x \\right) = \\frac{1}{{\\sin x}}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Điều kiện: \\(1 - {x^2} &gt; 0 \\Leftrightarrow  - 1 &lt; x &lt; 1\\). Hàm số \\(y = \\sqrt {1 - {x^2}} \\) xác định và liên tục trên \\(\\left( { - 1;1} \\right)\\). Do \\(\\left( { - 1;1} \\right) \\subset \\left( {\\frac{{ - \\pi }}{2};\\frac{\\pi }{2}} \\right)\\) nên hàm số \\(y = \\tan x\\) xác định và liên tục trên \\(\\left( { - 1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\frac{{\\tan x}}{{\\sqrt {1 - {x^2}} }}\\) liên tục trên \\(\\left( { - 1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\frac{1}{{\\sin x}}\\) xác định khi \\(\\sin x \\ne 0 \\Leftrightarrow x \\ne k\\pi \\left( {k \\in \\mathbb{Z}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó, hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\frac{1}{{\\sin x}}\\) liên tục trên các khoảng \\(\\left( {k\\pi ;\\left( {k + 1} \\right)\\pi } \\right)\\) với k là số nguyên.</p>"},{"article_id":156267,"cat_id":1570,"publish_time":1708335600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_64.png","title":"Giải bài 6 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 6 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-6-trang-84-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}3x + 4,x \\le  - 1\\\\3 - 2{x^2},x >  - 1\\end{array} \\right.\\)\r\nTìm các giới hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} f\\left( x \\right),\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} f\\left( x \\right)\\) và \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 1} f\\left( x \\right)\\)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} \\left( {3 - 2{x^2}} \\right) = 3 - 2.{\\left( { - 1} \\right)^2} = 1\\)</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} \\left( {3x + 4} \\right) = 3\\left( { - 1} \\right) + 4 = 1\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} f\\left( x \\right) = 1\\) nên \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 1} f\\left( x \\right) = 1\\)<strong></strong></p>"},{"article_id":156251,"cat_id":1570,"publish_time":1708333680,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_51.png","title":"Giải bài 6 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 6 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-6-trang-76-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm các giới hạn sau:\r\na) \\(\\lim \\left( {1 + 3n - {n^2}} \\right)\\);\r\nb) \\(\\lim \\frac{{{n^3} + 3n}}{{2n - 1}}\\);\r\nc) \\(\\lim \\left( {\\sqrt {{n^2} - n}  + n} \\right)\\);\r\nd) \\(\\lim \\left( {{3^{n + 1}} - {5^n}} \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\lim \\left( {1 + 3n - {n^2}} \\right) = \\lim \\left[ {{n^2}\\left( {\\frac{1}{{{n^2}}} + \\frac{3}{n} - 1} \\right)} \\right]\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\lim {n^2} =  + \\infty ,\\lim \\left( {\\frac{1}{{{n^2}}} + \\frac{3}{n} - 1} \\right) =  - 1 &lt; 0\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\lim \\left( {1 + 3n - {n^2}} \\right) = \\lim {n^2}\\left( {\\frac{1}{{{n^2}}} + \\frac{3}{n} - 1} \\right) =  - \\infty \\)</p>\r\n<p>b) \\(\\lim \\frac{{{n^3} + 3n}}{{2n - 1}} = \\lim \\left[ {{n^2}.\\frac{{1 + \\frac{3}{{{n^2}}}}}{{2 - \\frac{1}{n}}}} \\right]\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\lim {n^2} =  + \\infty ,\\lim \\left( {\\frac{{1 + \\frac{3}{{{n^2}}}}}{{2 - \\frac{1}{n}}}} \\right) = \\frac{1}{2} &gt; 0\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\lim \\frac{{{n^3} + 3n}}{{2n - 1}} = \\lim {n^2}\\frac{{1 + \\frac{3}{{{n^2}}}}}{{2 - \\frac{1}{n}}} =  + \\infty \\)</p>\r\n<p>c) \\(\\lim \\left( {\\sqrt {{n^2} - n}  + n} \\right) = \\lim \\left[ {n\\left( {\\sqrt {1 - \\frac{1}{n}}  + 1} \\right)} \\right]\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\lim n =  + \\infty ,\\lim \\left( {\\sqrt {1 - \\frac{1}{n}}  + 1} \\right) = 2 &gt; 0\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\lim \\left( {\\sqrt {{n^2} - n}  + n} \\right) = \\lim \\left[ {n\\left( {\\sqrt {1 - \\frac{1}{n}}  + 1} \\right)} \\right] =  + \\infty \\)</p>\r\n<p>d) \\(\\lim \\left( {{3^{n + 1}} - {5^n}} \\right) = \\lim \\left\\{ {{5^n}\\left[ {3.{{\\left( {\\frac{3}{5}} \\right)}^n} - 1} \\right]} \\right\\}\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\lim {5^n} =  + \\infty ,\\lim \\left[ {3.{{\\left( {\\frac{3}{5}} \\right)}^n} - 1} \\right] = 3.0 - 1 =  - 1 &lt; 0\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\lim \\left( {{3^{n + 1}} - {5^n}} \\right) = \\lim \\left\\{ {{5^n}\\left[ {3.{{\\left( {\\frac{3}{5}} \\right)}^n} - 1} \\right]} \\right\\} =  - \\infty \\)<strong></strong></p>"},{"article_id":156457,"cat_id":1570,"publish_time":1708577880,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_6.png","title":"Giải bài 6 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 6 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-6-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:\r\nBước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích \\(\\frac{1}{4}\\)).\r\nBước 2: Làm tương tự bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích \\(\\frac{1}{{{4^2}}}\\))\r\nCứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi \\({3^{n - 1}}\\) tam giác, mỗi tam giác có diện tích \\(\\frac{1","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi là:</p>\r\n<p>\\(S = \\frac{1}{4} + 3.{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^2} + {3^2}.{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^3} + ... + {3^n}{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^{n + 1}} + ... = \\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}.\\frac{3}{4} + \\frac{1}{4}.{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)^2} + ... + \\frac{1}{4}.{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)^n} + ...\\)</p>\r\n<p>Tổng trên là tổng của các số hạng lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \\({u_1} = \\frac{1}{4}\\), công bội \\(q = \\frac{3}{4}\\). Do đó, \\(S = \\frac{1}{4}.\\frac{1}{{1 - \\frac{3}{4}}} = 1\\).</p>"},{"article_id":156281,"cat_id":1570,"publish_time":1708337280,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_77.png","title":"Giải bài 7 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 7 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-7-trang-90-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hai hàm số \\(f\\left( x \\right) = x - 1\\) và \\(g\\left( x \\right) = {x^2} - 3x + 2\\). Xét tính liên tục của các hàm số:\r\na) \\(y = f\\left( x \\right).g\\left( x \\right)\\);\r\nb) \\(y = \\frac{{f\\left( x \\right)}}{{g\\left( x \\right)}}\\);\r\nc) \\(y = \\frac{1}{{\\sqrt {f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)} }}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì các hàm số \\(f\\left( x \\right) \\) \\( = x - 1\\) và \\(g\\left( x \\right) \\) \\( = {x^2} - 3x + 2\\) là các hàm đa thức nên f(x) và g(x) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\).</p>\r\n<p>a) Vì f(x) và g(x) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\) nên hàm số \\(y \\) \\( = f\\left( x \\right).g\\left( x \\right)\\) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\).</p>\r\n<p>b) Hàm số \\(y \\) \\( = \\frac{{f\\left( x \\right)}}{{g\\left( x \\right)}}\\) xác định khi \\({x^2} - 3x + 2 \\ne 0 \\Leftrightarrow \\left( {x - 1} \\right)\\left( {x - 2} \\right) \\ne 0 \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x \\ne 1\\\\x \\ne 2\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Do đó, hàm số \\(y \\) \\( = \\frac{{f\\left( x \\right)}}{{g\\left( x \\right)}}\\) có tập xác định là \\(D \\) \\( = \\left( { - \\infty ;1} \\right) \\cup \\left( {1;2} \\right) \\cup \\left( {2; + \\infty } \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy hàm số \\(y \\) \\( = \\frac{{f\\left( x \\right)}}{{g\\left( x \\right)}}\\) liên tục trên các khoảng \\(\\left( { - \\infty ;1} \\right)\\), \\(\\left( {1;2} \\right)\\) và \\(\\left( {2; + \\infty } \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Hàm số \\(y \\) \\( = \\frac{1}{{\\sqrt {f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)} }}\\) xác định khi \\(f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right) &gt; 0\\)</p>\r\n<p>Suy ra: \\({x^2} - 3x + 2 + x - 1 &gt; 0 \\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 &gt; 0 \\Leftrightarrow {\\left( {x - 1} \\right)^2} &gt; 0 \\Leftrightarrow x - 1 \\ne 0 \\Leftrightarrow x \\ne 1\\)</p>\r\n<p>Do đó, hàm số \\(y \\) \\( = \\frac{1}{{\\sqrt {f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)} }}\\) có tập xác định là \\(D \\) \\( = \\left( { - \\infty ;1} \\right) \\cup \\left( {1; + \\infty } \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy hàm số \\(y \\) \\( = \\frac{1}{{\\sqrt {f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)} }}\\) liên tục trên các khoảng \\(\\left( { - \\infty ;1} \\right)\\) và \\(\\left( {1; + \\infty } \\right)\\).</p>"},{"article_id":156268,"cat_id":1570,"publish_time":1708335660,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_65.png","title":"Giải bài 7 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 7 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-7-trang-84-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}2x + 1,x \\le 1\\\\\\sqrt {{x^2} + a} ,x > 1\\end{array} \\right.\\)\r\nTìm giá trị của tham số a sao cho tồn tại giới hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} f\\left( x \\right)\\)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} \\sqrt {{x^2} + a}  = \\sqrt {{1^2} + a}  = \\sqrt {1 + a} \\)</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} \\left( {2x + 1} \\right) = 2.1 + 1 = 3\\)</p>\r\n<p>Để tồn tại giới hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} f\\left( x \\right)\\) thì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {1^ - }} f\\left( x \\right) \\) \\( \\Rightarrow \\sqrt {1 + a}  = 3 \\Leftrightarrow a + 1 = 9 \\Leftrightarrow a = 8\\)</p>"},{"article_id":156252,"cat_id":1570,"publish_time":1708333740,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_52.png","title":"Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 7 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-7-trang-76-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tùy theo giá trị của \\(a > 0\\), tìm giới hạn \\(\\lim \\frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Nếu \\(0 &lt; a &lt; 1\\) thì \\(\\lim {a^n} = 0\\) nên \\(\\lim \\frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \\frac{{\\lim {a^n}}}{{\\lim {a^n} + 1}} = \\frac{0}{{0 + 1}} = 0\\).</p>\r\n<p>Nếu \\(a = 1\\) thì \\(\\lim \\frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \\lim \\frac{{{1^n}}}{{{1^n} + 1}} = \\lim \\frac{1}{{1 + 1}} = \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Nếu \\(a &gt; 1\\) thì \\(\\lim \\frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \\lim \\frac{1}{{1 + {{\\left( {\\frac{1}{a}} \\right)}^n}}}\\).</p>\r\n<p>Vì \\(a &gt; 1\\) nên \\(0 &lt; \\frac{1}{a} &lt; 1\\), suy ra \\(\\lim {\\left( {\\frac{1}{a}} \\right)^n} = 0\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\lim \\frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \\lim \\frac{1}{{1 + {{\\left( {\\frac{1}{a}} \\right)}^n}}} = \\frac{1}{{1 + \\lim {{\\left( {\\frac{1}{a}} \\right)}^n}}} = \\frac{1}{{1 + 0}} = 1\\)</p>"},{"article_id":156467,"cat_id":1570,"publish_time":1708583160,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_7.png","title":"Giải bài 7 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 7 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-7-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm \\({A_1}\\) của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm \\({A_2}\\) của \\({A_1}B\\). Tiếp nữa, nó phải đi đến trung điểm \\({A_3}\\) của \\({A_2}B\\). Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể đến được mục tiêu ở B”.\r\n \r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Thời gian để mũi tên bay từ A đến \\({A_1}\\) là \\(\\frac{1}{2}\\) giây, từ \\({A_1}\\) đến \\({A_2}\\) là \\(\\frac{1}{4} = \\frac{1}{{{2^2}}}\\) giây, từ \\({A_2}\\) đến \\({A_3}\\) là \\(\\frac{1}{8} = \\frac{1}{{{2^3}}}\\) giây\\(,...\\)</p>\r\n<p>Tổng thời gian bay của mũi tên là: \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{{{2^2}}} + \\frac{1}{{{2^3}}} + ... + \\frac{1}{{{2^n}}} + ...\\left( * \\right)\\)</p>\r\n<p>Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là \\(\\frac{1}{2}\\) và công bội bằng \\(\\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Do đó, tổng này bằng: \\(\\frac{1}{2}.\\frac{1}{{1 - \\frac{1}{2}}} = 1\\) (giây)</p>\r\n<p>Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.</p>\r\n<p>Lập luận của nhà thông thái là không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.</p>"},{"article_id":156282,"cat_id":1570,"publish_time":1708337400,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_78.png","title":"Giải bài 8 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 8 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-8-trang-91-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hai hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}2 - x\\;\\;\\;khi\\;x < 1\\\\{x^2} + x\\;khi\\;x \\ge 1\\end{array} \\right.\\) và \\(g\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}2x - {x^2}\\;khi\\;x < 1\\\\ - {x^2} + a\\;khi\\;x \\ge 1\\end{array} \\right.\\).\r\nTìm giá trị của tham số a sao cho \\(h\\left( x \\right) = f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)\\) liên tục tại \\(x = 1\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(h\\left( x \\right) \\) \\( = f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right) \\) \\( = \\left\\{ \\begin{array}{l} - {x^2} + x + 2\\;\\;khi\\;x &lt; 1\\\\\\;\\;\\;\\;\\;\\;x + a\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\;\\,khi\\;x \\ge 1\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} h\\left( x \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} \\left( {x + a} \\right) \\) \\( = 1 + a\\); \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} h\\left( x \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} \\left( { - {x^2} + x + 2} \\right) \\) \\( =  - {1^2} + 1 + 2 \\) \\( = 2\\).</p>\r\n<p>\\(h\\left( 1 \\right) \\) \\( = 1 + a\\)</p>\r\n<p>Để \\(h\\left( x \\right) \\) \\( = f\\left( x \\right) + g\\left( x \\right)\\) liên tục tại \\(x \\) \\( = 1\\) thì</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ + }} h\\left( x \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {1^ - }} h\\left( x \\right) \\) \\( = h\\left( 1 \\right) \\Rightarrow 1 + a \\) \\( = 2 \\Leftrightarrow a \\) \\( = 1\\)</p>"},{"article_id":156269,"cat_id":1570,"publish_time":1708335780,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_66.png","title":"Giải bài 8 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 8 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-8-trang-85-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.\r\na) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} \\frac{{{x^2}}}{{\\left| x \\right|}}\\);\r\nb) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{{x^2} - 2x}}{{\\left| {x - 2} \\right|}}\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ + }} \\frac{{{x^2}}}{{\\left| x \\right|}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ + }} \\frac{{{x^2}}}{x} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ + }} x = 0\\); \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ - }} \\frac{{{x^2}}}{{\\left| x \\right|}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ - }} \\frac{{{x^2}}}{{ - x}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ - }} \\left( { - x} \\right) = 0\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ + }} \\frac{{{x^2}}}{{\\left| x \\right|}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ - }} \\frac{{{x^2}}}{{\\left| x \\right|}} = 0\\) nên \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 0} \\frac{{{x^2}}}{{\\left| x \\right|}} = 0\\);</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} \\frac{{{x^2} - 2x}}{{\\left| {x - 2} \\right|}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} \\frac{{x\\left( {x - 2} \\right)}}{{2 - x}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} \\left( { - x} \\right) =  - 2\\);</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} \\frac{{{x^2} - 2x}}{{\\left| {x - 2} \\right|}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} \\frac{{x\\left( {x - 2} \\right)}}{{x - 2}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} x = 2\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} \\frac{{{x^2} - 2x}}{{\\left| {x - 2} \\right|}} \\ne \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} \\frac{{{x^2} - 2x}}{{\\left| {x - 2} \\right|}}\\) nên không tồn tại giới hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{{x^2} - 2x}}{{\\left| {x - 2} \\right|}}\\).</p>"},{"article_id":156253,"cat_id":1570,"publish_time":1708333800,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_53.png","title":"Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-8-trang-76-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:\r\na) \\(1 - \\frac{1}{5} + \\frac{1}{{{5^2}}} - \\frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\\left( { - \\frac{1}{5}} \\right)^n} + ...\\)\r\nb) \\(2 + \\frac{{{2^2}}}{3} + \\frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \\frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\\)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Tổng trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \\({u_1} = 1\\) và công bội \\(q = \\frac{{ - 1}}{5}\\) nên \\(1 - \\frac{1}{5} + \\frac{1}{{{5^2}}} - \\frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\\left( { - \\frac{1}{5}} \\right)^n} + ... = \\frac{1}{{1 - \\left( { - \\frac{1}{5}} \\right)}} = \\frac{5}{6}\\)</p>\r\n<p>b) \\(2 + \\frac{{{2^2}}}{3} + \\frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \\frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\\)\\( = 2\\left[ {1 + \\frac{2}{3} + {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^2} + ... + {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^{n - 1}} + {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^n} + ...} \\right]\\)</p>\r\n<p>Tổng \\(1 + \\frac{2}{3} + {\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)^2} + ... + {\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)^{n - 1}} + {\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)^n} + ...\\) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \\({u_1} = 1\\) và công bội \\(q = \\frac{2}{3}\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(2\\left[ {1 + \\frac{2}{3} + {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^2} + ... + {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^{n - 1}} + {{\\left( {\\frac{2}{3}} \\right)}^n} + ...} \\right] = 2.\\frac{1}{{1 - \\frac{2}{3}}} = 6\\)</p>"},{"article_id":156468,"cat_id":1570,"publish_time":1708583340,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_8.png","title":"Giải bài 8 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 8 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-8-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}\\frac{{{x^2} - 9}}{{\\left| {x + 3} \\right|}}\\;khi\\;x \\ne  - 3\\\\\\;\\;\\;\\;a\\;\\;\\;\\;\\,khi\\;x =  - 3\\end{array} \\right.\\)\r\na) Tìm \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} f\\left( x \\right) - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} f\\left( x \\right)\\).\r\nb) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại \\(x =  - 3\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} \\frac{{{x^2} - 9}}{{\\left| {x + 3} \\right|}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} \\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} \\frac{{\\left( {x - 3} \\right)\\left( {x + 3} \\right)}}{{x + 3}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} \\left( {x - 3} \\right) =  - 6\\)</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} \\frac{{{x^2} - 9}}{{\\left| {x + 3} \\right|}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} \\frac{{{x^2} - 9}}{{ - x - 3}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} \\frac{{\\left( {x - 3} \\right)\\left( {x + 3} \\right)}}{{ - \\left( {x + 3} \\right)}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} \\left( {3 - x} \\right) = 6\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} f\\left( x \\right) - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} f\\left( x \\right) =  - 6 - 6 =  - 12\\)</p>\r\n<p>b) Theo a ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} f\\left( x \\right) =  - 6,\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} f\\left( x \\right) = 6 \\Rightarrow \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ + }} f\\left( x \\right) \\ne \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {3^ - }} f\\left( x \\right)\\). Do đó, không tồn tại giới hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - 3} f\\left( x \\right)\\). Vậy không có giá trị nào của a để hàm số f(x) liên tục.</p>"},{"article_id":156283,"cat_id":1570,"publish_time":1708337460,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_79.png","title":"Giải bài 9 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 9 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-9-trang-91-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hàm số \\(y = f\\left( x \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}{x^2} + ax + b\\;khi\\;\\left| x \\right| < 2\\\\x\\left( {2 - x} \\right)\\;\\;\\;\\;\\,khi\\;\\left| x \\right| \\ge 2\\end{array} \\right.\\). Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số \\(y = f\\left( x \\right)\\) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} f\\left( x \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} \\left[ {x\\left( {2 - x} \\right)} \\right] \\) \\( = 2\\left( {2 - 2} \\right) \\) \\( = 0 \\) \\( = f\\left( 2 \\right)\\);</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} f\\left( x \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} \\left( {{x^2} + ax + b} \\right) \\) \\( = {2^2} + 2a + b \\) \\( = 2a + b + 4\\)</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to - {2^ - }} f\\left( x \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to - {2^ - }} \\left[ {x\\left( {2 - x} \\right)} \\right] \\) \\( = \\left( { - 2} \\right)\\left( {2 + 2} \\right) \\) \\( = - 8 \\) \\( = f\\left( { - 2} \\right)\\)</p>\r\n<p>Hàm số \\(y \\) \\( = f\\left( x \\right)\\) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\) khi hàm số \\(y \\) \\( = f\\left( x \\right)\\) liên tục tại \\(x \\) \\( = 2\\) và \\(x \\) \\( = - 2\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} f\\left( x \\right) = f\\left( 2 \\right)\\\\\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to - {2^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to - {2^ + }} f\\left( x \\right) = f\\left( { - 2} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}4 + 2a + b = 0\\\\4 - 2a + b = - 8\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>\\( \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}2a + b = - 4\\\\ - 2a + b = - 12\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a = 2\\\\b = - 8\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ + }} \\left[ {x\\left( {2 - x} \\right)} \\right] = 2\\left( {2 - 2} \\right) = 0 = f\\left( 2 \\right)\\);</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {2^ - }} \\left( {{x^2} + ax + b} \\right) = {2^2} + 2a + b = 2a + b + 4\\)</p>"},{"article_id":156271,"cat_id":1570,"publish_time":1708335900,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_67.png","title":"Giải bài 9 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 9 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-9-trang-85-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm các giới hạn sau:\r\na) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{x}{{x + 4}}\\);\r\nb) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{{2{x^2} + 1}}{{{{\\left( {2x + 1} \\right)}^2}}}\\);\r\nc) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{{3x + 1}}{{\\sqrt {{x^2} - 2x} }}\\);\r\nd) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left( {x - \\sqrt {{x^2} + 2x} } \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{x}{{x + 4}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{1}{{1 + \\frac{4}{x}}} \\) \\( = \\frac{1}{{1 + 4\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{1}{x}}} \\) \\( = \\frac{1}{{1 + 4.0}} \\) \\( = 1\\);</p>\r\n<p>b) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{{2{x^2} + 1}}{{{{\\left( {2x + 1} \\right)}^2}}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{{2 + \\frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\\left( {2 + \\frac{1}{x}} \\right)}^2}}} \\) \\( = \\frac{{2 + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\\left( {2 + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{1}{x}} \\right)}^2}}} \\) \\( = \\frac{{2 + 0}}{{{{\\left( {2 + 0} \\right)}^2}}} \\) \\( = \\frac{1}{2}\\);</p>\r\n<p>c) Với \\(x &lt; 0\\) thì \\(\\sqrt {{x^2}}  \\) \\( = \\left| x \\right| \\) \\( =  - x\\).</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{{3x + 1}}{{\\sqrt {{x^2} - 2x} }} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{{x\\left( {3 + \\frac{1}{x}} \\right)}}{{ - x\\sqrt {1 - \\frac{2}{x}} }} \\) \\( = \\frac{{3 + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{1}{x}}}{{ - \\sqrt {1 - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{2}{x}} }} \\) \\( = \\frac{{3 + 0}}{{ - \\sqrt {1 - 0} }} \\) \\( =  - 3\\);</p>\r\n<p>d) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left( {x - \\sqrt {{x^2} + 2x} } \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{\\left( {x - \\sqrt {{x^2} + 2x} } \\right)\\left( {x + \\sqrt {{x^2} + 2x} } \\right)}}{{x + \\sqrt {{x^2} + 2x} }} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{ - 2x}}{{x + \\sqrt {{x^2} + 2x} }}\\)</p>\r\n<p>\\( \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{ - 2}}{{1 + \\sqrt {1 + \\frac{2}{x}} }} \\) \\( = \\frac{{ - 2}}{{1 + \\sqrt {1 + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{2}{x}} }} \\) \\( = \\frac{{ - 2}}{{1 + \\sqrt {1 + 0} }} \\) \\( =  - 1\\).<strong></strong></p>"},{"article_id":156254,"cat_id":1570,"publish_time":1708333860,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_54.png","title":"Giải bài 9 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 9 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-9-trang-76-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:\r\na) \\(0,\\left( 7 \\right) = 0,777...\\);\r\nb) \\(1,\\left( {45} \\right) = 1,454545...\\)\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(0,\\left( 7 \\right) = 0,777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... = 0,7 + 0,7.\\frac{1}{{10}} + 0,7.\\frac{1}{{{{10}^2}}} + ...\\)</p>\r\n<p>Số 0,777… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,7 và công bội bằng \\(\\frac{1}{{10}}\\). Do đó, \\(0,\\left( 7 \\right) = \\frac{{0,7}}{{1 - \\frac{1}{{10}}}} = \\frac{7}{9}\\)</p>\r\n<p>b) \\(1,\\left( {45} \\right) = 1,454545... = 1 + 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + ...\\)</p>\r\n<p>\\( = 1 + 0,45 + 0,45.\\frac{1}{{100}} + 0,45.\\frac{1}{{{{100}^2}}} + ...\\)</p>\r\n<p>\\(0,45 + 0,45.\\frac{1}{{100}} + 0,45.\\frac{1}{{{{100}^2}}} + ...\\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,45 và công bội bằng \\(\\frac{1}{{100}}\\). Do đó, \\(1,\\left( {45} \\right) = 1 + \\frac{{0,45}}{{1 - \\frac{1}{{100}}}} = 1 + \\frac{5}{{11}} = \\frac{{16}}{{11}}\\)</p>"},{"article_id":156469,"cat_id":1570,"publish_time":1708583580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_9.png","title":"Giải bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-9-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\\).\r\na) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.\r\nb) Tìm các giới hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } f\\left( x \\right);\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } f\\left( x \\right);\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ + }} f\\left( x \\right);\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 3} f\\left( x \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Hàm số f(x) xác định khi \\(x - 3 \\ne 0 \\Leftrightarrow x \\ne 3\\). Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là \\(D = \\left( { - \\infty ;3} \\right) \\cup \\left( {3; + \\infty } \\right)\\). Suy ra, hàm số f(x) liên tục trên \\(\\left( { - \\infty ;3} \\right)\\) và \\(\\left( {3; + \\infty } \\right)\\).</p>\r\n<p>b) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{2 + \\frac{1}{x}}}{{1 - \\frac{3}{x}}} = 2;\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{{2 + \\frac{1}{x}}}{{1 - \\frac{3}{x}}} = 2\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ + }} \\left( {2x + 1} \\right) = 2.3 + 1 = 7 &gt; 0,\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ + }} \\frac{1}{{x - 3}} =  + \\infty \\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ + }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ + }} \\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ + }} \\left[ {\\left( {2x + 1} \\right).\\frac{1}{{x - 3}}} \\right] =  + \\infty \\)</p>\r\n<p>Lại có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ - }} \\left( {2x + 1} \\right) = 2.3 + 1 = 7 &gt; 0,\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ - }} \\frac{1}{{x - 3}} =  - \\infty \\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ - }} f\\left( x \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ - }} \\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {3^ - }} \\left[ {\\left( {2x + 1} \\right).\\frac{1}{{x - 3}}} \\right] =  - \\infty \\)</p>"},{"article_id":156284,"cat_id":1570,"publish_time":1708337760,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_80.png","title":"Giải bài 10 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 10 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-10-trang-91-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Chứng minh rằng phương trình:\r\na) \\({x^3} + 2x - 1 = 0\\) có nghiệm thuộc khoảng \\(\\left( { - 1;1} \\right)\\);\r\nb) \\(\\sqrt {{x^2} + x}  + {x^2} = 1\\) có nghiệm thuộc khoảng \\(\\left( {0;1} \\right)\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Xét hàm số \\(f\\left( x \\right) = {x^3} + 2x - 1\\), f(x) liên tục trên \\(\\left[ { - 1;1} \\right]\\) và có \\(f\\left( { - 1} \\right) =  - 4,f\\left( 1 \\right) = 2\\). Do \\(f\\left( { - 1} \\right).f\\left( 1 \\right) &lt; 0\\) nên phương trình \\({x^3} + 2x - 1 = 0\\) có nghiệm thuộc khoảng \\(\\left( { - 1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Xét hàm số \\(f\\left( x \\right) = \\sqrt {{x^2} + x}  + {x^2} - 1\\), f(x) liên tục trên \\(\\left[ {0;1} \\right]\\) và có \\(f\\left( 0 \\right) =  - 1,f\\left( 1 \\right) = \\sqrt 2 \\). Do \\(f\\left( 0 \\right).f\\left( 1 \\right) &lt; 0\\) nên phương trình \\(f\\left( x \\right) = 0\\) hay phương trình \\(\\sqrt {{x^2} + x}  + {x^2} = 1\\) có nghiệm thuộc khoảng \\(\\left( {0;1} \\right)\\).</p>"},{"article_id":156272,"cat_id":1570,"publish_time":1708335960,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_68.png","title":"Giải bài 10 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 10 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-10-trang-85-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tính các giới hạn sau:\r\na) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \\right)\\);\r\nb) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}}\\);\r\nc) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\sqrt {{x^2} - 2x + 3} \\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left[ {{x^3}\\left( {1 + \\frac{2}{x} - \\frac{1}{{{x^3}}}} \\right)} \\right]\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } {x^3} \\) \\( =  - \\infty ;\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left( {1 + \\frac{2}{x} - \\frac{1}{{{x^3}}}} \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } 1 + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{2}{x} - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{1}{{{x^3}}} \\) \\( = 1 &gt; 0\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \\right) \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left[ {{x^3}\\left( {1 + \\frac{2}{x} - \\frac{1}{{{x^3}}}} \\right)} \\right] \\) \\( =  - \\infty \\)</p>\r\n<p>b) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left[ {x.\\frac{{1 + \\frac{2}{x}}}{{3 + \\frac{1}{{{x^2}}}}}} \\right]\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } x \\) \\( =  + \\infty ,\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{1 + \\frac{2}{x}}}{{3 + \\frac{1}{{{x^2}}}}} \\) \\( = \\frac{{1 + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{2}{x}}}{{3 + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{1}{{{x^2}}}}} \\) \\( = \\frac{1}{3} &gt; 0\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}} \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left[ {x.\\frac{{1 + \\frac{2}{x}}}{{3 + \\frac{1}{{{x^2}}}}}} \\right] \\) \\( =  + \\infty \\)</p>\r\n<p>c) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\sqrt {{x^2} - 2x + 3} \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left[ {\\left| x \\right|\\sqrt {1 - \\frac{2}{x} + \\frac{3}{{{x^2}}}} } \\right] \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left[ { - x\\sqrt {1 - \\frac{2}{x} + \\frac{3}{{{x^2}}}} } \\right]\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left( { - x} \\right) \\) \\( =  + \\infty ;\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\sqrt {1 - \\frac{2}{x} + \\frac{3}{{{x^2}}}}  \\) \\( = \\sqrt {1 - \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{2}{x} + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\frac{3}{{{x^2}}}}  \\) \\( = 1 &gt; 0\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\sqrt {{x^2} - 2x + 3}  \\) \\( = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left[ { - x\\sqrt {1 - \\frac{2}{x} + \\frac{3}{{{x^2}}}} } \\right] \\) \\( =  + \\infty \\)</p>"},{"article_id":156256,"cat_id":1570,"publish_time":1708333980,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_55.png","title":"Giải bài 10 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 10 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-10-trang-76-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với \\(100{m^3}\\) ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Lượng nước ban đầu: \\({u_1} = 100\\left( {{m^3}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Lượng nước sau khi xử lí và tái sử dụng lần 1 là: \\(100.80\\%  = 100.0,8\\left( {{m^3}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Lượng nước sau khi xử lí và tái sử dụng lần 2 là: \\(100.0,8.80\\%  = 100.0,{8^2}\\left( {{m^3}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Lượng nước sau khi xử lí và tái sử dụng lần 3 là: \\(100.0,{8^2}.80\\%  = 100.0,{8^3}\\left( {{m^3}} \\right)\\)</p>\r\n<p>…</p>\r\n<p>Tổng lượng nước sau khi xử lí và tái sử dụng mãi mãi là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \\({u_1} = 100\\) và công bội \\(q = 0,8\\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(100 + 100.0,8 + 100.0,{8^2} + 100.0,{8^3} + ... = \\frac{{100}}{{1 - 0,8}} = 500\\left( {{m^3}} \\right)\\)</p>"},{"article_id":156470,"cat_id":1570,"publish_time":1708583640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_10.png","title":"Giải bài 10 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 10 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-10-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho điểm M thay đổi trên parabol \\(y = {x^2}\\); H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H. Tìm \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left( {OM - MH} \\right)\\)\t ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\(M\\left( {x;{x^2}} \\right)\\), \\(OM = \\sqrt {{x^2} + {x^4}} \\), \\(MH = {x^2}\\).</p>\r\n<p>Nên\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left( {OM - MH} \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left( {\\sqrt {{x^2} + {x^4}}  - {x^2}} \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{{{x^2}}}{{\\sqrt {{x^2} + {x^4}}  + {x^2}}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\frac{1}{{\\sqrt {\\frac{1}{{{x^2}}} + 1}  + 1}} = \\frac{1}{2}\\).</p>"},{"article_id":156285,"cat_id":1570,"publish_time":1708337820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_81.png","title":"Giải bài 11 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 11 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-11-trang-91-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \\(\\left( C \\right):{x^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} = 1\\). Với mỗi số thực m, gọi Q(m) là số giao điểm của đường thẳng \\(d:y = m\\) với đường tròn (C). Viết công thức xác định hàm số \\(y = Q\\left( m \\right)\\). Hàm số này không liên tục tại các điểm nào?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(Q\\left( m \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}0\\;khi\\;m &lt; 0\\;hay\\;m &gt; 2\\\\1\\;khi\\;m = 0\\;hay\\;m = 2\\\\2\\;khi\\;0 &lt; m &lt; 2\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{m \\to {0^ + }} Q\\left( m \\right) \\ne \\mathop {\\lim }\\limits_{m \\to {0^ - }} Q\\left( m \\right)\\) nên hàm số trên không liên tục tại điểm \\(m = 0\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{m \\to {2^ + }} Q\\left( m \\right) \\ne \\mathop {\\lim }\\limits_{m \\to {2^ - }} Q\\left( m \\right)\\) nên hàm số trên không liên tục tại điểm \\(m = 2\\).</p>\r\n<p>Vậy hàm số Q(m) không liên tục tại các điểm \\(m = 0\\), \\(m = 2\\).</p>"},{"article_id":156273,"cat_id":1570,"publish_time":1708336080,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_69.png","title":"Giải bài 11 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 11 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-11-trang-85-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:\r\na) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{ax + b}}{{x - 2}} = 5\\);\r\nb) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{a\\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = 3\\).\r\n","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Do \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\left( {x - 2} \\right) = 0\\) nên để tồn tại giới hạn hữu hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{ax + b}}{{x - 2}} = 5\\) thì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\left( {ax + b} \\right) = 0\\) hay \\(2a + b = 0 \\Rightarrow b =  - 2a\\)</p>\r\n<p>Khi đó, \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{ax + b}}{{x - 2}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{ax - 2a}}{{x - 2}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{a\\left( {x - 2} \\right)}}{{x - 2}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} a = a\\)</p>\r\n<p>Mà \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 2} \\frac{{ax + b}}{{x - 2}} = 5 \\Rightarrow a = 5\\). Suy ra: \\(b = 2.\\left( { - 5} \\right) =  - 10\\).</p>\r\n<p>b) Do \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\left( {x - 1} \\right) = 0\\) nên để tồn tại giới hạn hữu hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{a\\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = 3\\) thì \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\left( {a\\sqrt x  + b} \\right) = 0\\) hay \\(a + b = 0 \\Rightarrow b =  - a\\)</p>\r\n<p>Khi đó, \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{a\\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{a\\sqrt x  - a}}{{x - 1}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{a\\left( {\\sqrt x  - 1} \\right)}}{{\\left( {\\sqrt x  - 1} \\right)\\left( {\\sqrt x  + 1} \\right)}} = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{a}{{\\sqrt x  + 1}} = \\frac{a}{2}\\)</p>\r\n<p>Mà \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{a\\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = 3 \\Rightarrow \\frac{a}{2} = 3 \\Rightarrow a = 6\\). Suy ra: \\(b =  - 6\\)</p>"},{"article_id":156257,"cat_id":1570,"publish_time":1708334040,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_56.png","title":"Giải bài 11 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 11 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-11-trang-76-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tam giác \\(O{A_1}{A_2}\\) vuông cân tại \\({A_2}\\) có cạnh huyền \\(O{A_1}\\) bằng a. Bên ngoài tam giác \\(O{A_1}{A_2}\\), vẽ tam giác \\(O{A_2}{A_3}\\) vuông cân tại \\({A_3}\\). Tiếp theo, bên ngoài tam giác \\(O{A_2}{A_3}\\), vẽ tam giác \\(O{A_3}{A_4}\\) vuông cân tại \\({A_4}\\). Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc \\({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có các góc \\(\\widehat {{A_1}O{A_2}},\\widehat {{A_2}O{A_3}},\\widehat {{A_3}O{A_4}},...\\) đều bằng \\({45^0}\\).</p>\r\n<p>Lại có: \\({A_1}{A_2} = O{A_2} = O{A_1}.\\cos {45^0} = a\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\);</p>\r\n<p>\\({A_2}{A_3} = O{A_3} = O{A_2}.\\cos {45^0} = a\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}.\\frac{{\\sqrt 2 }}{2} = a{\\left( {\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}} \\right)^2}\\);</p>\r\n<p>\\({A_3}{A_4} = O{A_4} = O{A_3}.\\cos {45^0} = a{\\left( {\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}} \\right)^2}.\\frac{{\\sqrt 2 }}{2} = a{\\left( {\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}} \\right)^3}\\);…</p>\r\n<p>Vậy độ dài các đoạn thẳng \\({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},{A_3}{A_4}...\\) tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng \\(a\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\) và công bội bằng \\(\\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\). Do đó, độ dài đường gấp khúc \\({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...\\) là: \\(l = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}.\\frac{1}{{1 - \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}}} = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{{2 - \\sqrt 2 }} = \\frac{{a\\sqrt 2 }}{2}\\left( {2 + \\sqrt 2 } \\right) = a\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)\\)</p>"},{"article_id":156471,"cat_id":1570,"publish_time":1708583760,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_11.png","title":"Giải bài 11 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 11 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-11-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Chứng minh rằng phương trình \\({x^5} + 3{x^2} - 1 = 0\\) trong mỗi khoảng \\(\\left( { - 2; - 1} \\right);\\left( { - 1;0} \\right)\\) và \\(\\left( {0;1} \\right)\\) đều có ít nhất một nghiệm.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Xét hàm số \\(f\\left( x \\right) = {x^5} + 3{x^2} - 1\\), hàm số f(x) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\) nên hàm số f(x) liên tục trên \\(\\left( { - 2; - 1} \\right);\\left( { - 1;0} \\right)\\) và \\(\\left( {0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(f\\left( { - 2} \\right) =  - 21,f\\left( { - 1} \\right) = 1,f\\left( 0 \\right) =  - 1;f\\left( 1 \\right) = 3\\)</p>\r\n<p>Vì \\(f\\left( { - 2} \\right).f\\left( { - 1} \\right) =  - 21 &lt; 0\\) nên phương trình \\(f\\left( x \\right) = 0\\) có nghiệm thuộc \\(\\left( { - 2; - 1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(f\\left( { - 1} \\right).f\\left( 0 \\right) =  - 1 &lt; 0\\) nên phương trình \\(f\\left( x \\right) = 0\\) có nghiệm thuộc \\(\\left( { - 1;0} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vì \\(f\\left( 0 \\right).f\\left( 1 \\right) =  - 3 &lt; 0\\) nên phương trình \\(f\\left( x \\right) = 0\\) có nghiệm thuộc \\(\\left( {0;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>Vậy trong mỗi khoảng \\(\\left( { - 2; - 1} \\right);\\left( { - 1;0} \\right)\\) và \\(\\left( {0;1} \\right)\\), phương trình \\({x^5} + 3{x^2} - 1 = 0\\) đều có ít nhất một nghiệm.</p>"},{"article_id":156287,"cat_id":1570,"publish_time":1708337940,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_82.png","title":"Giải bài 12 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 12 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-12-trang-91-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho nửa đường tròn đường kính \\(AB = 2\\). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc \\(\\alpha \\left( {0 < \\alpha  < \\frac{\\pi }{2}} \\right)\\). Kí hiệu diện tích tam giác ABC là \\(S\\left( \\alpha  \\right)\\) (phụ thuộc vào \\(\\alpha \\)). Xét tính liên tục của hàm số \\(S\\left( \\alpha  \\right)\\) trên khoảng \\(\\left( {0;\\frac{\\pi }{2}} \\right)\\) và tính các giới hạn \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {0^ + }} S\\left( \\alpha  \\right)\\);  ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(S\\left( \\alpha  \\right) = \\frac{1}{2}AC.BC = \\frac{1}{2}.2\\cos \\alpha .2\\sin \\alpha  = \\sin 2\\alpha ,\\alpha  \\in \\left( {0;\\frac{\\pi }{2}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do hàm số \\(y = \\sin 2\\alpha \\) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\) nên hàm số \\(y = S\\left( \\alpha  \\right)\\) liên tục trên khoảng \\(\\left( {0;\\frac{\\pi }{2}} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {0^ + }} S\\left( \\alpha  \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {0^ + }} \\sin 2\\alpha  = \\sin 0 = 0\\); \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {{\\frac{\\pi }{2}}^ - }} S\\left( \\alpha  \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {{\\frac{\\pi }{2}}^ - }} \\sin 2\\alpha  = \\sin \\left( {2.\\frac{\\pi }{2}} \\right) = 0\\)</p>"},{"article_id":156274,"cat_id":1570,"publish_time":1708336140,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_70.png","title":"Giải bài 12 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 12 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-12-trang-85-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \\(M\\left( {t,{t^2}} \\right),t > 0\\), nằm trên đường parabol \\(y = {x^2}\\). Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi M dần đến điểm O?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Trung điểm của đoạn thẳng OM là \\(I\\left( {\\frac{t}{2};\\frac{{{t^2}}}{2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Đường trung trực của OM nhận vectơ \\(\\overrightarrow {OM}  = \\left( {t,{t^2}} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình d: \\(t\\left( {x - \\frac{t}{2}} \\right) + {t^2}\\left( {y - \\frac{{{t^2}}}{2}} \\right) = 0\\).</p>\r\n<p>Thay \\(x = 0\\) vào phương trình của d, ta nhận được \\(y = \\frac{1}{2}\\left( {1 + {t^2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Suy ra \\(N\\left( {0;\\frac{1}{2}\\left( {1 + {t^2}} \\right)} \\right)\\).</p>\r\n<p>Điểm M dần đến điểm O khi t dần đến \\({0^ + }\\). Ta có: \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{t \\to {0^ + }} \\frac{1}{2}\\left( {1 + {t^2}} \\right) = \\frac{1}{2}\\left( {1 + {0^2}} \\right) = \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Suy ra điểm M dần đến điểm O khi điểm N dần đến điểm \\(A\\left( {0;\\frac{1}{2}} \\right)\\).</p>"},{"article_id":156258,"cat_id":1570,"publish_time":1708334160,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_57.png","title":"Giải bài 12 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 12 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-12-trang-77-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Cho tam giác OMN vuông cân tại O, \\(OM = ON = 1\\). Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông \\(O{A_1}{B_1}{C_1}\\) sao cho các đỉnh \\({A_1},{B_1},{C_1}\\) lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác \\({A_1}M{B_1}\\), vẽ hình vuông \\({A_1}{A_2}{B_2}{C_2}\\) sao cho các đỉnh \\({A_2},{B_2},{C_2}\\) lần lượt nằm trên các cạnh \\({A_1}M,M{B_1},{A_1}{B_1}\\). Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là:</p>\r\n<p>\\({a_1} = \\frac{1}{2},{a_2} = \\frac{1}{2}{a_1} = \\frac{1}{2}.\\frac{1}{2} = {\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^2},{a_3} = \\frac{1}{2}{a_2} = \\frac{1}{2}{\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^2} = {\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^3},...\\)</p>\r\n<p>Diện tích của các hình vuông lần lượt là:</p>\r\n<p>\\({S_1} = a_1^2 = {\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^2} = \\frac{1}{4},\\)</p>\r\n<p>\\({S_2} = a_2^2 = {\\left( {{{\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)}^2}} \\right)^2} = {\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^2},\\)</p>\r\n<p>\\({S_3} = a_3^2 = {\\left( {{{\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)}^3}} \\right)^2} = {\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^3},...\\)</p>\r\n<p>Các diện tích \\({S_1},{S_2},{S_3},...\\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là \\({S_1} = \\frac{1}{4}\\) và công bội bằng \\(\\frac{1}{4}\\).</p>\r\n<p>Do đó, tổng diện tích các hình vuông là: \\(S = \\frac{1}{4}.\\frac{1}{{1 - \\frac{1}{4}}} = \\frac{1}{3}\\)</p>"},{"article_id":156472,"cat_id":1570,"publish_time":1708583820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0222/resize_1-0_12.png","title":"Giải bài 12 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 12 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-12-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính \\(AB = 10m\\), một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc \\(\\alpha \\left( {0 < \\alpha  < \\frac{\\pi }{2}} \\right)\\), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi \\(S\\left( \\alpha  \\right)\\) là quãng đường người đó đã di chuyển.\r\na) Viết công thức tính \\(S\\left( \\alpha  \\right)\\) theo \\(\\alpha \\left( {0 < \\alpha  < \\frac{\\pi }{2}} \\right)\\).\r\nb) Xét tính liên tục của hàm số \\(y = S\\left( \\alpha  \\right)\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0222/1_13.png\"   /></p>\r\n<p>a) Kí hiệu O là tâm hình tròn.</p>\r\n<p>Do tam giác ABC vuông tại C nên \\(AC = AB\\cos \\alpha  = 10\\cos \\alpha \\left( m \\right)\\)</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\widehat {BOC} = 2\\widehat {BAC} = 2\\alpha \\) nên độ dài cung BC là: \\(l = OB.\\widehat {BOC} = 5.2\\alpha  = 10\\alpha \\left( m \\right)\\)</p>\r\n<p>Quãng đường di chuyển của người đó là:</p>\r\n<p>\\(S\\left( \\alpha  \\right) = AC + l = 10\\cos \\alpha  + 10\\alpha  = 10\\left( {\\cos \\alpha  + \\alpha } \\right)\\)(m) \\(\\left( {0 &lt; \\alpha  &lt; \\frac{\\pi }{2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>b) Do các hàm số \\(y = \\alpha ,y = \\cos \\alpha \\) liên tục trên \\(\\mathbb{R}\\) nên hàm số \\(y = S\\left( \\alpha  \\right)\\) liên tục trên \\(\\left( {0;\\frac{\\pi }{2}} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {0^ + }} S\\left( \\alpha  \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {0^ + }} 10\\left( {\\alpha  + \\cos \\alpha } \\right) = 10\\left( {\\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {0^ + }} \\alpha  + \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {0^ + }} \\cos \\alpha } \\right) = 10\\left( {0 + 1} \\right) = 10\\)</p>\r\n<p>\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {{\\left( {\\frac{\\pi }{2}} \\right)}^ + }} S\\left( \\alpha  \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {{\\left( {\\frac{\\pi }{2}} \\right)}^ + }} 10\\left( {\\alpha  + \\cos \\alpha } \\right) = 10\\left( {\\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {{\\left( {\\frac{\\pi }{2}} \\right)}^ + }} \\alpha  + \\mathop {\\lim }\\limits_{\\alpha  \\to {{\\left( {\\frac{\\pi }{2}} \\right)}^ + }} \\cos \\alpha } \\right) = 10\\left( {\\frac{\\pi }{2} + 0} \\right) = 5\\pi \\)</p>"},{"article_id":156259,"cat_id":1570,"publish_time":1708334280,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/0219/resize_1-0_58.png","title":"Giải bài 13 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","label":"Bài 13 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1","alias":"giai-bai-13-trang-77-sach-bai-tap-toan-11-chan-troi-sang-tao-tap-1","introtext":"Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng \\(d:x + y = 2\\) cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng \\({d_n}:y = \\frac{{2n + 1}}{n}x\\) tại điểm \\({P_n}\\left( {n \\in \\mathbb{N}*} \\right)\\). Kí hiệu \\({S_n}\\) là diện tích của tam giác \\(OA{P_n}\\). Tính \\(\\lim {S_n}\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2024/0219/1_21.png\"   /></p>\r\n<p>Ta có: \\(A\\left( {0;2} \\right);OA = 2;\\widehat {OA{P_n}} = {45^0}\\)</p>\r\n<p>Vì P là giao điểm của \\({d_n}\\) và d nên tọa độ của P là nghiệm của hệ phương trình:</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x + y = 2\\\\y = \\frac{{2n + 1}}{n}x\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x + \\frac{{2n + 1}}{n}x = 2\\\\y = \\frac{{2n + 1}}{n}x\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x.\\frac{{3n + 1}}{n} = 2\\\\y = \\frac{{2n + 1}}{n}x\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x = \\frac{{2n}}{{3n + 1}}\\\\y = \\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Do đó, \\({P_n}\\left( {\\frac{{2n}}{{3n + 1}};\\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \\right)\\)</p>\r\n<p>Gọi H là hình chiếu vuông góc của \\({P_n}\\) trên trục Ox.</p>\r\n<p>Khi đó: \\({P_n}H = \\left| {\\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \\right| = \\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\\left( {do\\;n \\in \\mathbb{N}*} \\right)\\)</p>\r\n<p>Diện tích tam giác \\(OA{P_n}\\) là: \\({S_n} = \\frac{1}{2}.OA.{P_n}H = \\frac{1}{2}.2.\\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = \\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\\)</p>\r\n<p>\\(\\lim {S_n} = \\lim \\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = \\lim \\frac{{4 + \\frac{2}{n}}}{{3 + \\frac{1}{n}}} = \\frac{4}{3}\\)</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"34579","item_id":34579,"title":"Bài 1. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 CTST","short_title":"Bài 1. Giới hạn của dãy số","is_link":0},{"id":"34580","item_id":34580,"title":"Bài 2. Giới hạn của hàm số - SBT Toán 11 CTST","short_title":"Bài 2. Giới hạn của hàm số","is_link":0},{"id":"34581","item_id":34581,"title":"Bài 3. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 CTST","short_title":"Bài 3. Hàm số liên tục","is_link":0},{"id":"34582","item_id":34582,"title":"Bài tập cuối chương 3 - SBT Toán 11 CTST","short_title":"Bài tập cuối chương 3","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}