{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2024/0926/c5-0.png","title":"Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian - SBT Toán 12 Cánh diều","display_type":3,"cat_id":1954,"cat_title":"SBT Toán 12 - Cánh diều","alias":"chuong-5-phuong-trinh-mat-phang-duong-thang-mat-cau-trong-khong-gian-sbt-toan-12-canh-dieu","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":38001,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":174741,"cat_id":1954,"publish_time":1728371086,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_1-0_3.PNG","title":"Giải bài 55 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 55 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-55-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right): - x + 2y - 9z + 7 = 0)?\r\nA. (overrightarrow {{n_1}}  = left( {1;2;9} right)).\tB. (overrightarrow {{n_2}}  = left( {1; - 2;9} right)).\r\nC. (overrightarrow {{n_3}}  = left( {1;2; - 9} right)).\tD. (overrightarrow {{n_4}}  = left( { - 1;2;9} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right): - x + 2y - 9z + 7 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( { - 1;2; - 9} \\right) =  - \\left( {1; - 2;9} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy vectơ \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {1; - 2;9} \\right)\\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn B.</p>"},{"article_id":174719,"cat_id":1954,"publish_time":1728370739,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_1-0_1.PNG","title":"Giải bài 41 trang 65 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 41 trang 65 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-41-trang-65-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?\r\nA. ({left( { - 3x - 1} right)^2} + {left( {y - 3} right)^2} + {left( {z - 4} right)^2} = {12^2}).\tB. ({x^2} + {left( {y + 5} right)^2} + {left( {7z - 9} right)^2} = {11^2}).\r\nC. ({left( {x - 2} right)^2} + {left( {5y - 1} right)^2} + {left( {z - 8} right)^2} = {19^2}).\tD. ({x^2} + {left( {y + 5} right)^2} + {left( {z - 18} right)^2} = {14^2}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình \\({x^2} + {\\left( {y + 5} \\right)^2} + {\\left( {z - 18} \\right)^2} = {14^2}\\) là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174554,"cat_id":1954,"publish_time":1728369458,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_1-0_2.PNG","title":"Giải bài 1 trang 46 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 1 trang 46 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-1-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?\r\nA. (x - {y^2} - 2 = 0).\tB. (x + {z^2} - 3 = 0).\r\nC. (x - z - 4 = 0).\tD. ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 1 = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình \\(x - z - 4 = 0\\) là phương trình tổng quát của mặt phẳng.</p>\r\n<p>Chọn C.</p>"},{"article_id":174553,"cat_id":1954,"publish_time":1728370243,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_1-0_3.PNG","title":"Giải bài 22 trang 56 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 22 trang 56 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-22-trang-56-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (left{ begin{array}{l}x = 7\\y =  - 9 + t\\z = 16end{array} right.)?\r\nA. (overrightarrow {{u_1}}  = left( {7;9; - 16} right)).\tB. (overrightarrow {{u_2}}  = left( {7; - 9;16} right)).\r\nC. (overrightarrow {{u_3}}  = left( {0;1;0} right)).\tD. (overrightarrow {{u_4}}  = left( { - 7;9; - 16} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 7\\\\y =  - 9 + t\\\\z = 16\\end{array} \\right.\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {0;1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn C.</p>"},{"article_id":174742,"cat_id":1954,"publish_time":1728371110,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_2-0_1.PNG","title":"Giải bài 56 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 56 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-56-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( Q right):5x - 6z + 4 = 0)?\r\nA. (overrightarrow {{n_1}}  = left( {5;0; - 6} right)).\tB. (overrightarrow {{n_2}}  = left( {5; - 6;4} right)).\r\nC. (overrightarrow {{n_3}}  = left( {5;0;6} right)).\tD. (overrightarrow {{n_4}}  = left( {5;6;4} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( Q \\right):5x - 6z + 4 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {5;0; - 6} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn A.</p>"},{"article_id":174720,"cat_id":1954,"publish_time":1728370771,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_2-0.PNG","title":"Giải bài 42 trang 65 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 42 trang 65 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-42-trang-65-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?\r\nA. ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 4z + 20 = 0).\tB. ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6{rm{x}} - 2y + 2z + 2 = 0).\r\nC. ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2{rm{x}} - 6y + 54 = 0).\tD. ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z + 40 = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p><strong>A.</strong> \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 4z + 20 = 0\\).</p>\r\n<p>\\(a = 0,b = 1,c = 2,d = 20,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d =  - 15 &lt; 0\\) nên không là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p><strong>B.</strong> \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6{\\rm{x}} - 2y + 2z + 2 = 0\\).</p>\r\n<p>\\(a = 3,b = 1,c =  - 1,d = 2,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 9 &gt; 0\\) nên là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p><strong>C.</strong> \\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2{\\rm{x}} - 6y + 54 = 0\\).</p>\r\n<p>\\(a =  - 1,b = 3,c = 0,d = 54,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d =  - 44 &lt; 0\\) nên không là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p><strong>D.</strong> \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z + 40 = 0\\).</p>\r\n<p>\\(a = 2,b =  - 1,c = 1,d = 40,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d =  - 34 &lt; 0\\) nên không là phương trình mặt cầu.</p>\r\n<p>Chọn B.</p>"},{"article_id":174644,"cat_id":1954,"publish_time":1728370270,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_2-0.PNG","title":"Giải bài 23 trang 56 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 23 trang 56 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-23-trang-56-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Đường thẳng đi qua điểm (Aleft( { - 8; - 3;7} right)) và nhận (overrightarrow u  = left( {3; - 4;2} right)) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:\r\nA. (left{ begin{array}{l}x = 3 - 8t\\y =  - 4 - 3t\\z = 2 + 7tend{array} right.).\tB. (left{ begin{array}{l}x =  - 8 + 3t\\y =  - 3 + 4t\\z = 7 + 2tend{array} right.).\r\nC. (left{ begin{array}{l}x = 3 + 8t\\y =  - 4 + 3t\\z = 2 + 7tend{array} right.).\tD. (left{ begin{array}{l}x =  - 8 + 3t\\y =  - 3 - 4t\\z =","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng đi qua điểm \\(A\\left( { - 8; - 3;7} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( {3; - 4;2} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 8 + 3t\\\\y =  - 3 - 4t\\\\z = 7 + 2t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174555,"cat_id":1954,"publish_time":1728369484,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_2-0_1.PNG","title":"Giải bài 2 trang 46 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 2 trang 46 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-2-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho mặt phẳng (left( P right): - x + 2y + 3 = 0). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right))?\r\nA. (overrightarrow {{n_1}}  = left( { - 1;2;3} right)).\tB. (overrightarrow {{n_2}}  = left( {1;2;3} right)).\r\nC. (overrightarrow {{n_3}}  = left( { - 1;2;0} right)).\tD. (overrightarrow {{n_4}}  = left( { - x;2y;3} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right): - x + 2y + 3 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( { - 1;2;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn C.</p>"},{"article_id":174743,"cat_id":1954,"publish_time":1728371135,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_3-0_1.PNG","title":"Giải bài 57 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 57 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-57-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( R right):z - 2 = 0)?\r\nA. (overrightarrow {{n_1}}  = left( {1; - 2;0} right)).\tB. (overrightarrow {{n_2}}  = left( {1;0; - 2} right)).\r\nC. (overrightarrow {{n_3}}  = left( {0;0;1} right)).\tD. (overrightarrow {{n_4}}  = left( {1;2;0} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( R \\right):z - 2 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn C.</p>"},{"article_id":174721,"cat_id":1954,"publish_time":1728370795,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_3-0.PNG","title":"Giải bài 43 trang 65 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 43 trang 65 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-43-trang-65-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Tâm của mặt cầu (left( S right):{left( {x + 5} right)^2} + {left( {y - 6} right)^2} + {left( {z + 7} right)^2} = 64) có toạ độ là:\r\nA. (left( { - 5;6; - 7} right)).\tB. (left( {5; - 6;7} right)).\r\nC. (left( { - 5; - 6;7} right)).\tD. (left( {5; - 6; - 7} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x + 5} \\right)^2} + {\\left( {y - 6} \\right)^2} + {\\left( {z + 7} \\right)^2} = 64\\) có tâm \\(I\\left( { - 5;6; - 7} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn A.</p>"},{"article_id":174646,"cat_id":1954,"publish_time":1728370289,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_3-0.PNG","title":"Giải bài 24 trang 57 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 24 trang 57 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-24-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Đường thẳng đi qua điểm (Bleft( {5; - 2;9} right)) nhận (overrightarrow u  = left( { - 17;2; - 11} right)) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:\r\nA. (frac{{x + 5}}{{ - 17}} = frac{{y - 2}}{2} = frac{{z + 9}}{{ - 11}}).\tB. (frac{{x - 17}}{5} = frac{{y + 2}}{{ - 2}} = frac{{z - 11}}{9}).\r\nC. (frac{{x - 5}}{{ - 17}} = frac{{y + 2}}{2} = frac{{z - 9}}{{ - 11}}).\tD. (frac{{x + 17}}{5} = frac{{y - 2}}{{ - 2}} = frac{{z + 11}}{9}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng đi qua điểm \\(B\\left( {5; - 2;9} \\right)\\) nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 17;2; - 11} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \\(\\frac{{x - 5}}{{ - 17}} = \\frac{{y + 2}}{2} = \\frac{{z - 9}}{{ - 11}}\\).</p>\r\n<p>Chọn C.</p>"},{"article_id":174556,"cat_id":1954,"publish_time":1728369513,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_3-0.PNG","title":"Giải bài 3 trang 46 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 3 trang 46 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-3-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho mặt phẳng (left( P right):3x - 6y + 12z - 13 = 0). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right))?\r\nA. (overrightarrow {{n_1}}  = left( {3;6;12} right)).\tB. (overrightarrow {{n_2}}  = left( {3x;6y;12z} right)).\r\nC. (overrightarrow {{n_3}}  = left( {3x; - 6y;12z} right)).\tD. (overrightarrow {{n_4}}  = left( { - 1;2; - 4} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right):3x - 6y + 12z - 13 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {3; - 6;12} \\right) =  - 3\\left( { - 1;2; - 4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\overrightarrow {{n_4}}  = \\left( { - 1;2; - 4} \\right)\\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174744,"cat_id":1954,"publish_time":1728371156,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_4-0_1.PNG","title":"Giải bài 58 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 58 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-58-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 9 + 6t\\y =  - 10 - 7t\\z = 11 + 8tend{array} right.)?\r\nA. (overrightarrow {{u_1}}  = left( {9; - 10;11} right)).\tB. (overrightarrow {{u_2}}  = left( {6;7;8} right)).\r\nC. (overrightarrow {{u_3}}  = left( {9;10;11} right)).\tD. (overrightarrow {{u_4}}  = left( {6; - 7;8} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 9 + 6t\\\\y =  - 10 - 7t\\\\z = 11 + 8t\\end{array} \\right.\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {6; - 7;8} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174722,"cat_id":1954,"publish_time":1728370824,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_4-0.PNG","title":"Giải bài 44 trang 65 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 44 trang 65 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-44-trang-65-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Tâm của mặt cầu (left( S right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - {rm{x}} - 10z - 6 = 0) có toạ độ là:\r\nA. (left( { - frac{1}{2};0; - 5} right)).\tB. (left( {frac{1}{2};0;3} right)).\r\nC. (left( {frac{1}{2};0;5} right)).\tD. (left( { - frac{1}{2};0; - 3} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu \\(\\left( S \\right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - {\\rm{x}} - 10z - 6 = 0\\) có tâm \\(I\\left( {\\frac{1}{2};0;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn C.</p>"},{"article_id":174647,"cat_id":1954,"publish_time":1728370315,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_4-0.PNG","title":"Giải bài 25 trang 57 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 25 trang 57 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-25-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Đường thẳng (Delta ) có phương trình chính tắc là: (frac{{x + 1}}{{ - 7}} = frac{{y + 3}}{{ - 8}} = frac{{z - 2}}{1}). Phương trình tham số của (Delta ) là:\r\nA. (left{ begin{array}{l}x = 1 - 7t\\y = 3 - 8t\\z =  - 2 + tend{array} right.).\tB. (left{ begin{array}{l}x =  - 1 + 7t\\y =  - 3 + 8t\\z = 2 + tend{array} right.).\r\nC. (left{ begin{array}{l}x =  - 1 - 7t\\y = 3 - 8t\\z = 2 + tend{array} right.).\tD. (left{ begin{array}{l}x =  - 1 - 7t\\y =  - 3 - 8t\\z = ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) có phương trình chính tắc là: \\(\\frac{{x + 1}}{{ - 7}} = \\frac{{y + 3}}{{ - 8}} = \\frac{{z - 2}}{1}\\) đi qua điểm \\(M\\left( { - 1; - 3;2} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 7; - 8;1} \\right)\\). Phương trình tham số của \\(\\Delta \\) là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 - 7t\\\\y =  - 3 - 8t\\\\z = 2 + t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174557,"cat_id":1954,"publish_time":1728369537,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_4-0.PNG","title":"Giải bài 4 trang 46 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 4 trang 46 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-4-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho mặt phẳng (left( P right):3x + 4y - z + 5 = 0). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right))?\r\nA. (overrightarrow {{n_1}}  = left( {3;4;1} right)).\tB. (overrightarrow {{n_2}}  = left( {3;4; - 1} right)).\r\nC. (overrightarrow {{n_3}}  = left( {3;4;5} right)).\tD. (overrightarrow {{n_4}}  = left( {3;4; - 5} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right):3x + 4y - z + 5 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {3;4; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn B.</p>"},{"article_id":174745,"cat_id":1954,"publish_time":1728371178,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_5-0_1.PNG","title":"Giải bài 59 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 59 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-59-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 8 - t\\y = 7\\z =  - 6 + 9tend{array} right.)?\r\nA. (overrightarrow {{u_1}}  = left( { - 1;0;9} right)).\tB. (overrightarrow {{u_2}}  = left( {8;7;6} right)).\r\nC. (overrightarrow {{u_3}}  = left( {1;0;9} right)).\tD. (overrightarrow {{u_4}}  = left( {8;7; - 6} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(d:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 8 - t\\\\y = 7\\\\z =  - 6 + 9t\\end{array} \\right.\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 1;0;9} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn A.</p>"},{"article_id":174723,"cat_id":1954,"publish_time":1728370849,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_5-0.PNG","title":"Giải bài 45 trang 65 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 45 trang 65 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-45-trang-65-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Bán kính của mặt cầu (left( S right):{left( {x + 9} right)^2} + {left( {y - 16} right)^2} + {left( {z + 25} right)^2} = 16) bằng:\r\nA. 4.\tB. 256.\tC. 8.\tD. 16.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x + 9} \\right)^2} + {\\left( {y - 16} \\right)^2} + {\\left( {z + 25} \\right)^2} = 16\\) có bán kính \\(R = \\sqrt {16}  = 4\\).</p>\r\n<p>Chọn A.</p>"},{"article_id":174649,"cat_id":1954,"publish_time":1728370343,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_5-0.PNG","title":"Giải bài 26 trang 57 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 26 trang 57 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-26-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Đường thẳng (Delta ) có phương trình tham số là: (left{ begin{array}{l}x =  - 2 - 21t\\y = 3 + 5t\\z =  - 6 - 19tend{array} right.).\r\nPhương trình chính tắc của (Delta ) là:\r\nA. (frac{{x + 21}}{{ - 2}} = frac{{y - 5}}{3} = frac{{z + 19}}{{ - 6}}).\tB. (frac{{x + 2}}{{ - 21}} = frac{{y - 3}}{5} = frac{{z + 6}}{{ - 19}}).\r\nC. (frac{{x + 2}}{{21}} = frac{{y - 3}}{5} = frac{{z + 6}}{{19}}).\tD. (frac{{x - 2}}{{ - 21}} = frac{{y + 3}}{5} = frac{{z - 6}}{{ - 19}}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) có phương trình trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 2 - 21t\\\\y = 3 + 5t\\\\z =  - 6 - 19t\\end{array} \\right.\\)đi qua điểm \\(M\\left( { - 2;3; - 6} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 21;5; - 19} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình chính tắc của \\(\\Delta \\) là: \\(\\frac{{x + 2}}{{ - 21}} = \\frac{{y - 3}}{5} = \\frac{{z + 6}}{{ - 19}}\\).</p>\r\n<p>Chọn B.</p>"},{"article_id":174558,"cat_id":1954,"publish_time":1728369565,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_5-0.PNG","title":"Giải bài 5 trang 46 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 5 trang 46 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-5-trang-46-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Mặt phẳng đi qua điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) và vuông góc với (Ox) có phương trình là:\r\nA. (x - {x_0} = 0).\tB. (y - {y_0} = 0).\r\nC. (z - {z_0} = 0).\tD. (x + y + z - {x_0} - {y_0} - {z_0} = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) và vuông góc với \\(Ox\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) và vuông góc với \\(Ox\\) là: \\(x - {x_0} = 0\\).</p>\r\n<p>Chọn A.</p>"},{"article_id":174746,"cat_id":1954,"publish_time":1728371198,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_6-0_1.PNG","title":"Giải bài 60 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 60 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-60-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:frac{{x - 2}}{{15}} = frac{{y + 9}}{{ - 10}} = frac{{z - 7}}{5})?\r\nA. (overrightarrow {{u_1}}  = left( {2; - 9;7} right)).\tB. (overrightarrow {{u_2}}  = left( { - 2;9; - 7} right)).\r\nC. (overrightarrow {{u_3}}  = left( {15;10;5} right)).\tD. (overrightarrow {{u_4}}  = left( {3; - 2;1} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(d:\\frac{{x - 2}}{{15}} = \\frac{{y + 9}}{{ - 10}} = \\frac{{z - 7}}{5}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {15; - 10;5} \\right) = 5\\left( {3; - 2;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy vectơ \\(\\overrightarrow {{u_4}}  = \\left( {3; - 2;1} \\right)\\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(d\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174732,"cat_id":1954,"publish_time":1728370878,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_6-0.PNG","title":"Giải bài 46 trang 65 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 46 trang 65 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-46-trang-65-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Bán kính của mặt cầu (left( S right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 10{rm{x}} - 4y - 2z + 5 = 0) bằng:\r\nA. 25.\tB. 10.\tC. 5.\tD. 225.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu \\(\\left( S \\right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 10{\\rm{x}} - 4y - 2z + 5 = 0\\) có bán kính \\(R = \\sqrt {{5^2} + {2^2} + {1^2} - 5}  = 5\\).</p>\r\n<p>Chọn C.</p>"},{"article_id":174651,"cat_id":1954,"publish_time":1728370379,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_6-0.PNG","title":"Giải bài 27 trang 57 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 27 trang 57 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-27-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Đường thẳng đi qua điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) và vuông góc với mặt phẳng (left( {Oxy} right)) có phương trình tham số là:\r\nA. (left{ begin{array}{l}x = {x_0}\\y = {y_0}\\z = tend{array} right.).\tB. (left{ begin{array}{l}x = t\\y = {y_0}\\z = {z_0}end{array} right.).\tC. (left{ begin{array}{l}x = {x_0}\\y = t\\z = {z_0}end{array} right.).\tD. (left{ begin{array}{l}x = {x_0} + t\\y = {y_0} + t\\z = {z_0} + tend{array} right.).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy đường thẳng đi qua điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) và vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow n  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng đi qua điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) và vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = {x_0}\\\\y = {y_0}\\\\z = {z_0} + t\\end{array} \\right.\\).</p>"},{"article_id":174559,"cat_id":1954,"publish_time":1728369594,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_6-0.PNG","title":"Giải bài 6 trang 47 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 6 trang 47 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-6-trang-47-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Khoảng cách từ điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) đến mặt phẳng (left( {Oxy} right)) bằng:\r\nA. (left| {{x_0}} right|).\tB. (left| {{y_0}} right|).\tC. (left| {{z_0}} right|).\tD. (left| {{x_0} + {y_0} + {z_0}} right|).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) có phương trình là: \\(z = 0\\).</p>\r\n<p>Khoảng cách từ điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {Oxy} \\right)\\) bằng: \\(d\\left( {M;\\left( {Oxy} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {C{{\\rm{z}}_0}} \\right|}}{{\\sqrt {{C^2}} }} = \\left| {{z_0}} \\right|\\).</p>\r\n<p>Chọn C.</p>"},{"article_id":174747,"cat_id":1954,"publish_time":1728371223,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_7-0_1.PNG","title":"Giải bài 61 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 61 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-61-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Mặt cầu (left( S right):{left( {x - 23} right)^2} + {left( {y - 8} right)^2} + {left( {z - 44} right)^2} = 81) có bán kính bằng:\r\nA. 23.\tB. 9.\tC. 8.\tD. 44.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x - 23} \\right)^2} + {\\left( {y - 8} \\right)^2} + {\\left( {z - 44} \\right)^2} = 81\\) có bán kính \\(R = \\sqrt {81}  = 9\\).</p>\r\n<p>Chọn B.</p>"},{"article_id":174733,"cat_id":1954,"publish_time":1728370900,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_7-0.PNG","title":"Giải bài 47 trang 66 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 47 trang 66 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-47-trang-66-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Phương trình của mặt cầu tâm (Ileft( { - 11; - 13;15} right)) bán kính 9 là:\r\nA. ({left( {x + 11} right)^2} + {left( {y + 13} right)^2} + {left( {z - 15} right)^2} = 9).\r\nB. ({left( {x + 11} right)^2} + {left( {y + 13} right)^2} + {left( {z - 15} right)^2} = 81).\r\nC. ({left( {x - 11} right)^2} + {left( {y - 13} right)^2} + {left( {z + 15} right)^2} = 9).\r\nD. ({left( {x - 11} right)^2} + {left( {y - 13} right)^2} + {left( {z + 15} right)^2} = 81).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình của mặt cầu tâm \\(I\\left( { - 11; - 13;15} \\right)\\) bán kính 9 là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({\\left( {x + 11} \\right)^2} + {\\left( {y + 13} \\right)^2} + {\\left( {z - 15} \\right)^2} = {9^2}\\) hay \\({\\left( {x + 11} \\right)^2} + {\\left( {y + 13} \\right)^2} + {\\left( {z - 15} \\right)^2} = 81\\).</p>\r\n<p>Chọn B.</p>"},{"article_id":174652,"cat_id":1954,"publish_time":1728370409,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_7-0.PNG","title":"Giải bài 28 trang 57 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 28 trang 57 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-28-trang-57-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho đường thẳng (Delta ) có phương trình tham số (left{ begin{array}{l}x = at\\y = bt\\z = ctend{array} right.) với ({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0). \r\nCôsin của góc giữa đường thẳng (Delta ) và trục (Oz) bằng:\r\nA. (frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).\tB. (frac{{left| a right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).\tC. (frac{{left| b right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).\tD. (frac{{left| c right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {a;b;c} \\right)\\).</p>\r\n<p>Trục \\(Oz\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow k  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Côsin của góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và trục \\(Oz\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\cos \\left( {\\Delta ,Oz} \\right) = \\frac{{\\left| {a.0 + b.0 + c} \\right|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\frac{{\\left| c \\right|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174560,"cat_id":1954,"publish_time":1728369620,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_7-0.PNG","title":"Giải bài 7 trang 47 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 7 trang 47 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-7-trang-47-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Khoảng cách từ điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) đến mặt phẳng (left( P right):ay + bz + c = 0) bằng:\r\nA. (frac{{left| {a{x_0} + b{y_0} + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}).\tB. (frac{{left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).\r\nC. (frac{{left| {a{y_0} + b{z_0} + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).\tD. (frac{{left| {a{y_0} + b{z_0} + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách từ điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right):ay + bz + c = 0\\) bằng:</p>\r\n<p>\\(d\\left( {M;\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {a{y_0} + b{z_0} + c} \\right|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174748,"cat_id":1954,"publish_time":1728371255,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_8-0_1.PNG","title":"Giải bài 62 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 62 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-62-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Toạ độ tâm của mặt cầu (left( S right):{left( {x + 19} right)^2} + {left( {y - 20} right)^2} + {left( {z + 21} right)^2} = 22) là:\r\nA. (left( { - 19;20; - 21} right)).\tB. (left( {19;20; - 21} right)).\r\nC. (left( { - 19;20;21} right)).\tD. (left( {19;20;21} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x + 19} \\right)^2} + {\\left( {y - 20} \\right)^2} + {\\left( {z + 21} \\right)^2} = 22\\) có tâm \\(I\\left( { - 19;20; - 21} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chọn A.</p>"},{"article_id":174734,"cat_id":1954,"publish_time":1728370921,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_8-0.PNG","title":"Giải bài 48 trang 66 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 48 trang 66 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-48-trang-66-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho hai điểm (Ileft( { - 2;4;5} right)) và (Mleft( {1;2;7} right)). Mặt cầu tâm (I) đi qua điểm (M) có phương trình là:\r\nA. ({left( {x - 2} right)^2} + {left( {y + 4} right)^2} + {left( {z + 5} right)^2} = sqrt {17} ).\r\nB. ({left( {x + 2} right)^2} + {left( {y - 4} right)^2} + {left( {z - 5} right)^2} = sqrt {17} ).\r\nC. ({left( {x - 2} right)^2} + {left( {y + 4} right)^2} + {left( {z + 5} right)^2} = sqrt {17} ).\r\nD. ({left( {x + 2} right)^2} + {left( {","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Bán kính của mặt cầu đó bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(R = IM = \\sqrt {{{\\left( {1 - \\left( { - 2} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( {2 - 4} \\right)}^2} + {{\\left( {7 - 5} \\right)}^2}}  = \\sqrt {17} \\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu đó là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({\\left( {x + 2} \\right)^2} + {\\left( {y - 4} \\right)^2} + {\\left( {z - 5} \\right)^2} = {\\left( {\\sqrt {17} } \\right)^2}\\) hay \\({\\left( {x + 2} \\right)^2} + {\\left( {y - 4} \\right)^2} + {\\left( {z - 5} \\right)^2} = 17\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174654,"cat_id":1954,"publish_time":1728370438,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_8-0.PNG","title":"Giải bài 29 trang 58 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 29 trang 58 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-29-trang-58-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho đường thẳng (Delta ) có phương trình tham số (left{ begin{array}{l}x = at\\y = bt\\z = ctend{array} right.) với ({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0). \r\nSin của góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (left( {Oyz} right)) bằng:\r\nA. (frac{{left| {a + b + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).\tB. (frac{{left| a right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).\tC. (frac{{left| b right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).\tD. (frac{{left| c right|}}{{sqrt {{a","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {a;b;c} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Sin của góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( {Oyz} \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow n } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {a.1 + b.0 + c.0} \\right|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \\frac{{\\left| a \\right|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\\).</p>\r\n<p>Chọn B.</p>"},{"article_id":174561,"cat_id":1954,"publish_time":1728369648,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_8-0.PNG","title":"Giải bài 8 trang 47 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 8 trang 47 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-8-trang-47-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).\r\nCho mặt phẳng (left( P right): - 3x + y - 2z + 5 = 0).\r\na) Nếu (overrightarrow n ) là một vectơ pháp tuyến của (left( P right)) thì (koverrightarrow n ) là một vectơ pháp tuyến của (left( P right)) với (k ne 0). \r\nb) Nếu (overrightarrow n ) và (overrightarrow {n'} ) đều là vectơ pháp tuyến của (left( P right)) thì (overrightarrow n ) và (overrightarrow {n'} ) không cùng phương. \r\nc) Vectơ (","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Theo tính chất: “Nếu \\(\\overrightarrow n \\) là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì \\(k\\overrightarrow n \\left( {k \\ne 0} \\right)\\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó”. Vậy a) đúng.</p>\r\n<p>Nếu \\(\\overrightarrow n \\) và \\(\\overrightarrow {n'} \\) đều là vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) thì \\(\\overrightarrow {n'}  = k\\overrightarrow n \\left( {k \\ne 0} \\right)\\). Do đó \\(\\overrightarrow n \\) và \\(\\overrightarrow {n'} \\) cùng phương. Vậy b) sai.</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right): - 3x + y - 2z + 5 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( { - 3;1; - 2} \\right)\\). Vậy c) sai.</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow n  = \\left( { - 3;1; - 2} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) thì \\(k\\overrightarrow n  = \\left( { - 3k;k; - 2k} \\right)\\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Vậy d) đúng.</p>\r\n<p>a) Đ.</p>\r\n<p>b) S.</p>\r\n<p>c) S.</p>\r\n<p>d) Đ.</p>"},{"article_id":174749,"cat_id":1954,"publish_time":1728371284,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_9-0_1.PNG","title":"Giải bài 63 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 63 trang 68 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-63-trang-68-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho (a + b + c ne 0).\r\nKhoảng cách từ gốc toạ độ (O) đến mặt phẳng (x + a + b + c = 0) bằng:\r\nA. (left| {a + b + c} right|).\tB. (frac{{left| {a + b + c} right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}).\r\nC. (frac{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{{left| {a + b + c} right|}}).\tD. (frac{{left| {a + b + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách gốc toạ độ \\(O\\) đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + a + b + c = 0\\) bằng:</p>\r\n<p>\\(d\\left( {O;\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {0 + a + b + c} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2}} }} = \\left| {a + b + c} \\right|\\).</p>\r\n<p>Chọn A.</p>"},{"article_id":174735,"cat_id":1954,"publish_time":1728370937,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_9-0.PNG","title":"Giải bài 49 trang 66 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 49 trang 66 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-49-trang-66-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho hai điểm \\(A\\left( { - 12;3;7} \\right)\\) và \\(B\\left( { - 10; - 1;5} \\right)\\). Mặt cầu đường kính \\(AB\\) có phương trình là:\r\nA. \\({\\left( {x + 11} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 6} \\right)^2} = 6\\).\r\nB. \\({\\left( {x + 11} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 6} \\right)^2} = \\sqrt {24} \\).\r\nC. \\({\\left( {x + 11} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 6} \\right)^2} = 36\\).\r\nD. \\({\\left( {x - 11} \\right)^2} + {\\left( {y + 1} \\right)^2}","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu đường kính \\(AB\\) có tâm \\(I\\left( { - 11;1;6} \\right)\\) là trung điểm của \\(AB\\).</p>\r\n<p>Bán kính của mặt cầu đó bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(R = IA = \\sqrt {{{\\left( { - 12 - \\left( { - 11} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( {3 - 1} \\right)}^2} + {{\\left( {7 - 6} \\right)}^2}}  = \\sqrt 6 \\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu đó là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({\\left( {x + 11} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 6} \\right)^2} = {\\left( {\\sqrt 6 } \\right)^2}\\) hay \\({\\left( {x + 11} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 6} \\right)^2} = 6\\).</p>\r\n<p>Chọn A.</p>"},{"article_id":174655,"cat_id":1954,"publish_time":1728370462,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_9-0.PNG","title":"Giải bài 30 trang 58 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 30 trang 58 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-30-trang-58-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho (a,b) và (c) khác 0, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (left( P right):ax + by + c = 0) và (left( Q right):by + cz + d = 0) bằng:\r\nA. (frac{{{b^2}}}{{sqrt {left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} right)left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} right)} }}).\tB. (frac{{left| b right|}}{{sqrt {left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{b^2} + {c^2}} right)} }}).\r\nC. (frac{{left| b right|}}{{sqrt {left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} right)left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} right)} }}).\tD. (frac{","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {a;b;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {0;b;c} \\right)\\).</p>\r\n<p>Côsin của góc giữa hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( Q \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {a.0 + b.b + 0.c} \\right|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {0^2}} .\\sqrt {{0^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \\frac{{{b^2}}}{{\\sqrt {\\left( {{a^2} + {b^2}} \\right)\\left( {{b^2} + {c^2}} \\right)} }}\\).</p>\r\n<p>Chọn D.</p>"},{"article_id":174562,"cat_id":1954,"publish_time":1728369677,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_9-0.PNG","title":"Giải bài 9 trang 47 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 9 trang 47 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-9-trang-47-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).\r\nCho điểm (Ileft( { - 3;0;1} right)) và mặt phẳng (left( P right):x - 3y - 4z + 1 = 0). \r\na) Điểm (Ileft( { - 3;0;1} right)) không thuộc mặt phẳng (left( P right)). \r\nb) Vectơ (overrightarrow n  = left( {1; - 3;4} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right)). \r\nc) Nếu mặt phẳng (left( Q right)) song song với mặt phẳng (left( P right)) thì vectơ (overrightarrow n  = left( {1; -","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có: \\( - 3 - 3.0 - 4.1 + 1 =  - 6 \\ne 0\\) nên \\(I\\left( { - 3;0;1} \\right)\\) không thuộc mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Vậy a) đúng.</p>\r\n<p>Vectơ \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 3;4} \\right)\\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Vậy b) sai.</p>\r\n<p>Vì \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\) mà \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 3;4} \\right)\\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), tức là giá của \\(\\overrightarrow n \\) không vuông góc với \\(\\left( P \\right)\\) nên giá của \\(\\overrightarrow n \\) cũng không vuông góc với \\(\\left( Q \\right)\\). Do đó \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 3;4} \\right)\\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\). Vậy c) sai.</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {n'}  = \\left( {1; - 3; - 4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( R \\right)\\) nên \\(\\overrightarrow {n'}  = \\left( {1; - 3; - 4} \\right)\\) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) là:</p>\r\n<p>\\(1\\left( {x + 3} \\right) - 3\\left( {y - 0} \\right) - 4\\left( {z - 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x - 3y - 4{\\rm{z}} + 7 = 0\\). Vậy d) sai.</p>\r\n<p>a) Đ.</p>\r\n<p>b) S.</p>\r\n<p>c) S.</p>\r\n<p>d) S.</p>"},{"article_id":174750,"cat_id":1954,"publish_time":1728371312,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_10-0_1.PNG","title":"Giải bài 64 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 64 trang 69 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-64-trang-69-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).\r\nCho điểm (Ileft( {1;2;3} right)) và đường thẳng (Delta :frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z + 1}}{{ - 1}}). Gọi (left( P right)) là mặt phẳng đi qua (I) và vuông góc với đường thẳng (Delta ).\r\na) Nếu (overrightarrow u ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (Delta ) thì (overrightarrow u ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right)). \r\nb) Vectơ có toạ độ (left( {2;1; - 1} right)) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì \\(\\Delta  \\bot \\left( P \\right)\\) nên nếu \\(\\overrightarrow u \\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta \\) thì \\(\\overrightarrow u \\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Vậy a) đúng.</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta :\\frac{{x - 1}}{2} = \\frac{y}{1} = \\frac{{z + 1}}{{ - 1}}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\). Vậy b) đúng.</p>\r\n<p>Khi đó, vectơ \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Vậy c) sai.</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) đi qua điểm \\(I\\left( {1;2;3} \\right)\\) và nhận vectơ \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2;1; - 1} \\right)\\) là vectơ pháp tuyến là: \\(2\\left( {x - 1} \\right) + 1\\left( {y - 2} \\right) - 1\\left( {z - 3} \\right) = 0\\) hay \\(2{\\rm{x}} + y - z - 1 = 0\\). Vậy d) sai.</p>\r\n<p>a) Đ.</p>\r\n<p>b) Đ.</p>\r\n<p>c) S.</p>\r\n<p>d) S.</p>"},{"article_id":174736,"cat_id":1954,"publish_time":1728370968,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_10-0.PNG","title":"Giải bài 50 trang 66 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 50 trang 66 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-50-trang-66-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).\r\nCho hai điểm (Mleft( {0; - 1;1} right)) và (Nleft( {4;1;5} right)). \r\na) Mặt cầu đường kính (MN) có tâm là trung điểm của đoạn thẳng (MN). \r\nb) Nếu (I) là trung điểm của (MN) thì (Ileft( {2;0;6} right)). \r\nc) Bán kính của mặt cầu đường kính (MN) bằng 3. \r\nd) Phương trình mặt cầu đường kính (MN) là: ({left( {x - 2} right)^2} + {rm{ }}{y^2} + {left( {z - 3} right)^2} = 9).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt cầu đường kính \\(MN\\) có tâm là trung điểm của đoạn thẳng \\(MN\\). Vậy a) đúng.</p>\r\n<p>Nếu \\(I\\) là trung điểm của \\(MN\\) thì \\(I\\left( {\\frac{{0 + 4}}{2};\\frac{{ - 1 + 1}}{2};\\frac{{1 + 5}}{2}} \\right)\\) hay \\(I\\left( {2;0;3} \\right)\\). Vậy b) sai.</p>\r\n<p>Bán kính của mặt cầu đó bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(R = IM = \\sqrt {{{\\left( {0 - 2} \\right)}^2} + {{\\left( {\\left( { - 1} \\right) - 0} \\right)}^2} + {{\\left( {1 - 3} \\right)}^2}}  = 3\\).</p>\r\n<p>Vậy c) đúng.</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu đó là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\rm{ }}{y^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = {3^2}\\) hay \\({\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\rm{ }}{y^2} + {\\left( {z - 3} \\right)^2} = 9\\).</p>\r\n<p>Vậy d) đúng.</p>\r\n<p>a) Đ.</p>\r\n<p>b) S.</p>\r\n<p>c) Đ.</p>\r\n<p>d) Đ.</p>"},{"article_id":174657,"cat_id":1954,"publish_time":1728370497,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_10-0.PNG","title":"Giải bài 31 trang 58 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 31 trang 58 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-31-trang-58-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).\r\nCho đường thẳng (Delta :frac{{x + 2024}}{2} = frac{{y + 2025}}{3} = frac{{z + 2026}}{6}) và mặt phẳng (left( P right):x - 2y - 2{rm{z}} + 1 = 0). Gọi (alpha ) là góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (left( P right)).\r\na) Vectơ (overrightarrow u  = left( {2024;2025;2026} right)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (Delta ). \r\nb) Vectơ có toạ độ (left( {1;2;2} right)) là một vectơ pháp tu","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2;3;6} \\right)\\). Vậy a) sai.</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 2; - 2} \\right)\\). Vậy b) sai.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow n } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow u .\\overrightarrow n } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow u } \\right|.\\left| {\\overrightarrow n } \\right|}}\\). Vậy c) đúng.</p>\r\n<p>\\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow n } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.1 + 3.\\left( { - 2} \\right) + 6.\\left( { - 2} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} .\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} }} = \\frac{{16}}{{21}}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\alpha  \\approx {50^ \\circ }\\). Vậy d) đúng.</p>\r\n<p>a) S.</p>\r\n<p>b) S.</p>\r\n<p>c) Đ.</p>\r\n<p>d) Đ.</p>"},{"article_id":174563,"cat_id":1954,"publish_time":1728369699,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_10-0.PNG","title":"Giải bài 10 trang 47 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 10 trang 47 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-10-trang-47-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng (left( P right)) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) (left( P right)) đi qua điểm (Ileft( {2;1; - 4} right)) và có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n  = left( {3; - 4;5} right));\r\nb) (left( P right)) đi qua điểm (Ileft( {5; - 2;1} right)) và có cặp vectơ chỉ phương là (overrightarrow a  = left( {3; - 1;4} right),overrightarrow b  = left( {0;2; - 1} right)); \r\nc) (left( P right)) đi qua ba điểm (Aleft( {0;3;7} right),Bleft( {2; - 5;","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(3\\left( {x - 2} \\right) - 4\\left( {y - 1} \\right) + 5\\left( {z + 4} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 3{\\rm{x}} - 4y + 5z + 18 = 0\\).</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow a ,\\overrightarrow b } \\right] = \\left( { - 7;3;6} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\( - 7\\left( {x - 5} \\right) + 3\\left( {y + 2} \\right) + 6\\left( {z - 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - 7x + 3y + 6z + 35 = 0\\).</p>\r\n<p>c) Ta có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {2; - 8; - 3} \\right),\\overrightarrow {AC}  = \\left( {1; - 7; - 8} \\right)\\).</p>\r\n<p>Khi đó, \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( {43;13; - 6} \\right)\\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(43\\left( {x - 0} \\right) + 13\\left( {y - 3} \\right) - 6\\left( {z - 7} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 43x + 13y - 6z + 3 = 0\\).</p>"},{"article_id":174751,"cat_id":1954,"publish_time":1728371345,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_11-0_1.PNG","title":"Giải bài 65 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 65 trang 69 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-65-trang-69-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).\r\nCho hai mặt phẳng (left( {{P_1}} right):x + 4y - 2z + 2 = 0,left( {{P_2}} right): - 2x + y + z + 3 = 0). \r\na) Vectơ (overrightarrow {{n_1}}  = left( {1;4; - 2} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( {{P_1}} right)). \r\nb) Vectơ (overrightarrow {{n_2}}  = left( {2;1;1} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( {{P_2}} right)).\r\nc) (overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}}  ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right):x + 4y - 2z + 2 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {1;4; - 2} \\right)\\). Vậy a) đúng.</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {{P_2}} \\right): - 2x + y + z + 3 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( { - 2;1;1} \\right) \\ne \\left( {2;1;1} \\right)\\). Vậy b) sai.</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {{n_1}} .\\overrightarrow {{n_2}}  = 1.\\left( { - 2} \\right) + 4.1 + \\left( { - 2} \\right).1 = 0\\). Vậy c) đúng.</p>\r\n<p>Vì \\(\\overrightarrow {{n_1}} .\\overrightarrow {{n_2}}  = 0\\) nên \\(\\overrightarrow {{n_1}}  \\bot \\overrightarrow {{n_2}} \\). Do đó hai mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\) và \\(\\left( {{P_2}} \\right)\\) vuông góc với nhau. Vậy d) đúng.</p>\r\n<p>a) Đ.</p>\r\n<p>b) S.</p>\r\n<p>c) Đ.</p>\r\n<p>d) Đ.</p>"},{"article_id":174737,"cat_id":1954,"publish_time":1728370986,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_11-0.PNG","title":"Giải bài 51 trang 66 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 51 trang 66 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-51-trang-66-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) có phương trình: \\({x^2} + {\\left( {y + 4} \\right)^2} + {\\left( {z + 5} \\right)^2} = 49\\). \r\na) Xác định toạ độ tâm \\({\\rm{I}}\\) và tính bán kính \\({\\rm{R}}\\) của mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\).\r\nb) Điểm \\(A\\left( {0;3; - 5} \\right)\\) có thuộc mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) hay không? \r\nc) Điểm \\(B\\left( {1; - 4; - 1} \\right)\\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\)?\r\nd) Điểm \\(C\\left( {7;3; - 5} \\right)\\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \\(\\left( S \\rig","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Mặt cầu \\({x^2} + {\\left( {y + 4} \\right)^2} + {\\left( {z + 5} \\right)^2} = 49\\) có tâm \\(I\\left( {0; - 4; - 5} \\right)\\) và bán kính \\(R = \\sqrt {49}  = 7\\).</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(IA = \\sqrt {{{\\left( {0 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( {3 - \\left( { - 4} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( { - 5 - \\left( { - 5} \\right)} \\right)}^2}}  = 7 = R\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(A\\) thuộc mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Ta có: \\(IB = \\sqrt {{{\\left( {1 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( { - 4 - \\left( { - 4} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1 - \\left( { - 5} \\right)} \\right)}^2}}  = \\sqrt {17}  &lt; R\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(B\\) nằm trong mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\).</p>\r\n<p>d) Ta có: \\(IC = \\sqrt {{{\\left( {7 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( {3 - \\left( { - 4} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( { - 5 - \\left( { - 5} \\right)} \\right)}^2}}  = \\sqrt {65}  &gt; R\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(C\\) nằm ngoài mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\).</p>\r\n<p>e) Ta có \\(\\overrightarrow {IC}  = \\left( {7;7;0} \\right) = 7\\left( {1;1;0} \\right)\\). Do đó \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1;1;0} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(IC\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng đi qua điểm \\(I\\left( {0; - 4; - 5} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( {1;1;0} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = t\\\\y =  - 4 + t\\\\z =  - 5\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>g) Điểm \\(M\\) là giao điểm của đường thẳng \\(IC\\) và mặt cầu nên điểm \\(M\\) nằm trên đường thẳng \\(IC\\). Vậy điểm \\(M\\) có toạ độ là: \\(M\\left( {t; - 4 + t; - 5} \\right)\\)</p>\r\n<p>Điểm \\(M\\) nằm trên mặt cầu nên ta có: \\({t^2} + {\\left( { - 4 + t + 4} \\right)^2} + {\\left( { - 5 + 5} \\right)^2} = 49\\) hay \\({t^2} = \\frac{{49}}{2}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(t = \\frac{{7\\sqrt 2 }}{2}\\) hoặc \\(t =  - \\frac{{7\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \\(IC\\) và mặt cầu là: \\(M\\left( {\\frac{{7\\sqrt 2 }}{2}; - 4 + \\frac{{7\\sqrt 2 }}{2}; - 5} \\right)\\) và \\(N\\left( { - \\frac{{7\\sqrt 2 }}{2}; - 4 - \\frac{{7\\sqrt 2 }}{2}; - 5} \\right)\\).</p>"},{"article_id":174658,"cat_id":1954,"publish_time":1728370537,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_11-0.PNG","title":"Giải bài 32 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 32 trang 59 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-32-trang-59-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).\r\nCho hai mặt phẳng (left( {{P_1}} right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,left( {{P_2}} right):2x + 2y + z + 8 = 0). Gọi (alpha ) là góc giữa hai mặt phẳng (left( {{P_1}} right)) và (left( {{P_2}} right)). \r\na) Vectơ (overrightarrow n  = left( {2; - 3; - 6} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( {{P_1}} right)). \r\nb) Vectơ có toạ độ (left( {2; - 2;1} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right):2x - 3y - 6z + 7 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2; - 3; - 6} \\right)\\). Vậy a) đúng.</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {{P_2}} \\right):2x + 2y + z + 8 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {n'}  = \\left( {2;2;1} \\right)\\). Vậy b) sai.</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\cos \\alpha  = \\cos \\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\overrightarrow {{n_1}} .\\overrightarrow {{n_2}} } \\right|}}{{\\left| {\\overrightarrow {{n_1}} } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {{n_2}} } \\right|}}\\). Vậy c) đúng.</p>\r\n<p>\\(\\cos \\alpha  = \\cos \\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2.2 + \\left( { - 3} \\right).2 + \\left( { - 6} \\right).1} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 3} \\right)}^2} + {{\\left( { - 6} \\right)}^2}} .\\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \\frac{8}{{21}}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\alpha  \\approx {68^ \\circ }\\). Vậy d) sai.</p>\r\n<p>a) Đ.</p>\r\n<p>b) S.</p>\r\n<p>c) Đ.</p>\r\n<p>d) S.</p>"},{"article_id":174564,"cat_id":1954,"publish_time":1728369720,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_11-0.PNG","title":"Giải bài 11 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 11 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-11-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (Aleft( {5;0;0} right),Bleft( {0;7;0} right),Cleft( {0;0;9} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \\(A\\left( {5;0;0} \\right),B\\left( {0;7;0} \\right),C\\left( {0;0;9} \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\frac{x}{5} + \\frac{y}{7} + \\frac{z}{9} = 1 \\Leftrightarrow 63{\\rm{x}} + 45y + 35{\\rm{z}} = 315 \\Leftrightarrow 63{\\rm{x}} + 45y + 35{\\rm{z}} - 315 = 0\\).</p>"},{"article_id":174752,"cat_id":1954,"publish_time":1728371373,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_12-0_1.PNG","title":"Giải bài 66 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 66 trang 69 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-66-trang-69-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).\r\nCho hai điểm (Aleft( {0;2;0} right)) và (Bleft( {2; - 4;0} right)). \r\na) Trung điểm (I) của đoạn thẳng (AB) có toạ độ là (left( {1; - 1;0} right)). \r\nb) (AB = 40).\r\nc) Mặt cầu (left( S right)) tâm (A) và đi qua (B) có bán kính (R = sqrt {10} ).\r\nd) Phương trình mặt cầu (left( S right)) tâm (A) và đi qua (B) là: ({left( {x - 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {z^2} = 10).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>\\(I\\) là trung điểm của \\(AB\\) nên ta có: \\(I\\left( {\\frac{{0 + 2}}{2};\\frac{{2 + \\left( { - 4} \\right)}}{2};\\frac{{0 + 0}}{2}} \\right)\\) hay \\(I\\left( {1; - 1;0} \\right)\\). Vậy a) đúng.</p>\r\n<p>\\(AB = \\sqrt {{{\\left( {2 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( { - 4 - 2} \\right)}^2} + {{\\left( {0 - 0} \\right)}^2}}  = 2\\sqrt {10} \\). Vậy b) sai.</p>\r\n<p>Mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) tâm \\(A\\) và đi qua \\(B\\) có bán kính \\(R = AB = 2\\sqrt {10} \\). Vậy c) sai.</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu đó là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({x^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {z^2} = {\\left( {2\\sqrt {10} } \\right)^2}\\) hay \\({x^2} + {\\left( {y + 2} \\right)^2} + {z^2} = 40\\).</p>\r\n<p>Vậy d) sai.</p>\r\n<p>a) Đ.</p>\r\n<p>b) S.</p>\r\n<p>c) S.</p>\r\n<p>d) S.</p>"},{"article_id":174738,"cat_id":1954,"publish_time":1728371002,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_12-0.PNG","title":"Giải bài 52 trang 67 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 52 trang 67 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-52-trang-67-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) trong mỗi trường hợp sau: \r\na) \\(\\left( S \\right)\\) có tâm \\(I\\left( {3; - 4;5} \\right)\\) bán kính 9. \r\nb) \\(\\left( S \\right)\\) có tâm \\(K\\left( { - 4;6;7} \\right)\\) và đi qua điểm \\(H\\left( { - 5;4;5} \\right)\\). \r\nc) \\(\\left( S \\right)\\) có đường kính \\(AB\\) với \\(A\\left( {1;3; - 1} \\right)\\) và \\(B\\left( { - 1; - 1; - 5} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình của mặt cầu tâm \\(I\\left( {3; - 4;5} \\right)\\) bán kính 9 là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {\\left( {y + 4} \\right)^2} + {\\left( {z - 5} \\right)^2} = {9^2}\\) hay \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {\\left( {y + 4} \\right)^2} + {\\left( {z - 5} \\right)^2} = 81\\).</p>\r\n<p>b) Bán kính của mặt cầu đó bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(R = KH = \\sqrt {{{\\left( { - 5 - \\left( { - 4} \\right)} \\right)}^2} + {{\\left( {4 - 6} \\right)}^2} + {{\\left( {5 - 7} \\right)}^2}}  = 3\\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu đó là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({\\left( {x + 4} \\right)^2} + {\\left( {y - 6} \\right)^2} + {\\left( {z - 7} \\right)^2} = {3^2}\\) hay \\({\\left( {x + 4} \\right)^2} + {\\left( {y - 6} \\right)^2} + {\\left( {z - 7} \\right)^2} = 9\\).</p>\r\n<p>c) Mặt cầu đường kính \\(AB\\) có tâm \\(I\\left( {0;1; - 3} \\right)\\) là trung điểm của \\(AB\\).</p>\r\n<p>Bán kính của mặt cầu đó bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(R = IA = \\sqrt {{{\\left( {1 - 0} \\right)}^2} + {{\\left( {3 - 1} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1 - \\left( { - 3} \\right)} \\right)}^2}}  = 3\\).</p>\r\n<p>Vậy phương trình mặt cầu đó là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({x^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z + 3} \\right)^2} = {3^2}\\) hay \\({x^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z + 3} \\right)^2} = 9\\).</p>"},{"article_id":174659,"cat_id":1954,"publish_time":1728370554,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_12-0.PNG","title":"Giải bài 33 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 33 trang 59 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-33-trang-59-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho đường thẳng \\(\\Delta \\) có phương trình tham số: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 - 3t\\\\y = 4 + t\\\\z = 5 - 2t\\end{array} \\right.\\) (\\(t\\) là tham số). \r\na) Tìm toạ độ của điểm \\(M\\) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\), biết \\(M\\) có hoành độ bằng 5.\r\nb) Chứng minh rằng điểm \\(N\\left( {8;2;9} \\right)\\) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\). \r\nc) Chứng minh rằng điểm \\(P\\left( { - 1;5;4} \\right)\\) không thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\). Lập phương trình tham số của đường thẳng \\(\\Delta '\\), biết \\(\\Delta '\\) đi","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Vì \\(M\\) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\) nên \\(M\\left( {2 - 3t;4 + t;5 - 2t} \\right)\\left( {t \\in R} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(2--3t = 5\\), suy ra \\(t =  - 1\\). Do đó \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}{y_M} = 4 + t = 4 + \\left( { - 1} \\right) = 3\\\\{z_M} = 5 - 2t = 5 - 2.\\left( { - 1} \\right) = 7\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(M\\left( {5;3;7} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Xét hệ: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}8 = 2 - 3t\\\\2 = 4 + t\\\\9 = 5 - 2t\\end{array} \\right.\\). Suy ra \\(t =  - 2\\). Do đó tồn tại số thực \\(t\\) thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm \\(N\\left( {8;2;9} \\right)\\) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\).</p>\r\n<p>c) Xét hệ: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l} - 1 = 2 - 3t\\\\5 = 4 + t\\\\4 = 5 - 2t\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}t = 1\\\\t = 1\\\\t = \\frac{1}{2}\\end{array} \\right.\\). Do đó không tồn tại số thực \\(t\\) thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm \\(P\\left( { - 1;5;4} \\right)\\) không thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 3;1; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta '\\) song song với \\(\\Delta \\) nên có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 3;1; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình đường thẳng \\(\\Delta '\\) là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 - 3t'\\\\y = 5 + t'\\\\z = 4 - 2t'\\end{array} \\right.\\) (\\(t'\\) là tham số).</p>\r\n<p>d) Điểm \\(I\\) nằm trên đường thẳng \\(\\Delta \\) nên \\(I\\left( {2 - 3t;4 + t;5 - 2t} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(I \\in \\left( P \\right)\\) nên ta có: \\(\\left( {2 - 3t} \\right) - \\left( {4 + t} \\right) + \\left( {5 - 2t} \\right) + 9 = 0\\). Suy ra \\(t = 2\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(I\\left( { - 4;6;1} \\right)\\).</p>"},{"article_id":174565,"cat_id":1954,"publish_time":1728369739,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_12-0.PNG","title":"Giải bài 12 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 12 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-12-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho ba điểm (Aleft( {3; - 4;2} right),Bleft( {1;2;3} right),Cleft( {0;1;5} right)). Lập phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (A) và vuông góc với đường thẳng (BC).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {BC}  = \\left( { - 1; - 1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\( - 1\\left( {x - 3} \\right) - 1\\left( {y + 4} \\right) + 2\\left( {z - 2} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - x - y + 2z - 5 = 0\\).</p>"},{"article_id":174753,"cat_id":1954,"publish_time":1728371391,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_13-0_1.PNG","title":"Giải bài 67 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 67 trang 69 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-67-trang-69-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho bốn điểm \\(A\\left( {0;1;1} \\right),B\\left( { - 1;0;3} \\right),C\\left( {0;0;2} \\right)\\) và \\(D\\left( {1;1; - 2} \\right)\\). \r\na) Tìm toạ độ của các vectơ \\(\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} ,\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right]\\). \r\nb) Lập phương trình tham số của các đường thẳng \\(AB\\) và \\(AC\\). \r\nc) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\). \r\nd) Chứng minh rằng bốn điểm \\(A,B,C,D\\) không đồng phẳng.\r\ne) Tính khoảng cách từ điểm \\(D\\","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 1 - 0;0 - 1;3 - 1} \\right) = \\left( { - 1; - 1;2} \\right),\\overrightarrow {AC}  = \\left( {0 - 0;0 - 1;2 - 1} \\right) = \\left( {0; - 1;1} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( { - 1.1 - 2.\\left( { - 1} \\right);2.0 - \\left( { - 1} \\right).1;\\left( { - 1} \\right).\\left( { - 1} \\right) - 0.\\left( { - 1} \\right)} \\right) = \\left( {1;1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\(AB\\) đi qua điểm \\(A\\left( {0;1;1} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 1; - 1;2} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - t\\\\y = 1 - t\\\\z = 1 + 2t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(AC\\) đi qua điểm \\(A\\left( {0;1;1} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow {AC}  = \\left( {0; - 1;1} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 0\\\\y = 1 - t\\\\z = 1 + t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>c) Phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) đi qua điểm \\(A\\left( {0;1;1} \\right)\\) và nhận \\(\\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = \\left( {1;1;1} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(1\\left( {x - 0} \\right) + 1\\left( {y - 1} \\right) + 1\\left( {z - 1} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0\\).</p>\r\n<p>d) Ta có: \\(1 + 1 + \\left( { - 2} \\right) - 2 =  - 2 \\ne 0\\) nên điểm \\(D\\) không nằm trên mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy bốn điểm \\(A,B,C,D\\) không đồng phẳng.</p>\r\n<p>e) Khoảng cách từ điểm \\(D\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(d\\left( {D;\\left( {ABC} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1 + 1 + \\left( { - 2} \\right) - 2} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \\frac{{2\\sqrt 3 }}{3}\\).</p>"},{"article_id":174739,"cat_id":1954,"publish_time":1728371021,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_13-0.PNG","title":"Giải bài 53 trang 67 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 53 trang 67 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-53-trang-67-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\) có tâm \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\) và bán kính 2. \r\na) Lập phương trình mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\). \r\nb) Lấy các điểm \\(A\\left( {1;0; - 1} \\right)\\) và \\(B\\left( {1;1;0} \\right)\\). Lập phương trình đường thẳng \\(AB\\). Tìm toạ độ các điểm \\(C\\) và \\(D\\) là giao điểm của đường thẳng \\(AB\\) và mặt cầu \\(\\left( S \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình của mặt cầu tâm \\(O\\left( {0;0;0} \\right)\\) và bán kính 2 là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({x^2} + {y^2} + {z^2} = {2^2}\\) hay \\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {0;1;1} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(AB\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng đi qua điểm \\(A\\left( {1;0; - 1} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {0;1;1} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1\\\\y = t\\\\z =  - 1 + t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Điểm \\(C\\) là giao điểm của đường thẳng \\(AB\\) và mặt cầu nên điểm \\(C\\) nằm trên đường thẳng \\(AB\\). Vậy điểm \\(C\\) có toạ độ là: \\(C\\left( {1;t; - 1 + t} \\right)\\)</p>\r\n<p>Điểm \\(C\\) nằm trên mặt cầu nên ta có: \\({1^2} + {t^2} + {\\left( { - 1 + t} \\right)^2} = 4\\) hay \\(2{t^2} - 2t - 2 = 0\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(t = \\frac{{1 + \\sqrt 5 }}{2}\\) hoặc \\(t = \\frac{{1 - \\sqrt 5 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \\(AB\\) và mặt cầu là: \\(C\\left( {1;\\frac{{1 + \\sqrt 5 }}{2};\\frac{{ - 1 + \\sqrt 5 }}{2}} \\right)\\) và \\(D\\left( {1;\\frac{{1 - \\sqrt 5 }}{2};\\frac{{ - 1 - \\sqrt 5 }}{2}} \\right)\\).</p>"},{"article_id":174660,"cat_id":1954,"publish_time":1728370568,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_13-0.PNG","title":"Giải bài 34 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 34 trang 59 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-34-trang-59-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \\(\\Delta \\) trong mỗi trường hợp sau: \r\na) \\(\\Delta \\) đi qua điểm \\(A\\left( {2; - 5;7} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2;3;4} \\right)\\);\r\nb) \\(\\Delta \\) đi qua hai điểm \\(M\\left( { - 1;0;4} \\right)\\) và \\(N\\left( {2;5;3} \\right)\\). \r\nc) \\(\\Delta \\) đi qua điểm \\(B\\left( {3;2; - 1} \\right)\\) và vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( P \\right):2x - 5y + 6z - 7 = 0\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng đi qua điểm \\(A\\left( {2; - 5;7} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2;3;4} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2 - 2t\\\\y =  - 5 + 3t\\\\z = 7 + 4t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng đi qua điểm \\(A\\left( {2; - 5;7} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2;3;4} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \\(\\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \\frac{{y + 5}}{3} = \\frac{{z - 7}}{4}\\).</p>\r\n<p>b) Ta có \\(\\overrightarrow {MN}  = \\left( {3;5; - 1} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta \\).</p>\r\n<p>Đường thẳng đi qua điểm \\(M\\left( { - 1;0;4} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow {MN}  = \\left( {3;5; - 1} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\\\y = 5t\\\\z = 4 - t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng đi qua điểm \\(M\\left( { - 1;0;4} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow {MN}  = \\left( {3;5; - 1} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \\(\\frac{{x + 1}}{3} = \\frac{y}{5} = \\frac{{z - 4}}{{ - 1}}\\).</p>\r\n<p>c) Mặt phẳng \\(\\left( P \\right):2x - 5y + 6z - 7 = 0\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2; - 5;6} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(\\Delta \\) vuông góc với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) nên \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2; - 5;6} \\right)\\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta \\).</p>\r\n<p>Đường thẳng đi qua điểm \\(B\\left( {3;2; - 1} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2; - 5;6} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + 2t\\\\y = 2 - 5t\\\\z =  - 1 + 6t\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng đi qua điểm \\(B\\left( {3;2; - 1} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2; - 5;6} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \\(\\frac{{x - 3}}{2} = \\frac{{y - 2}}{{ - 5}} = \\frac{{z + 1}}{6}\\).</p>"},{"article_id":174566,"cat_id":1954,"publish_time":1728369755,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_13-0.PNG","title":"Giải bài 13 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 13 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-13-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (Kleft( {4; - 3;7} right)) và song song với mặt phẳng (left( Q right):3x - 2y + 4z + 7 = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {3; - 2;4} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\) nên \\(\\overrightarrow n  = \\left( {3; - 2;4} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(3\\left( {x - 4} \\right) - 2\\left( {y + 3} \\right) + 4\\left( {z - 7} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 46 = 0\\).</p>"},{"article_id":174754,"cat_id":1954,"publish_time":1728371405,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_14-0.PNG","title":"Giải bài 68 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 68 trang 70 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-68-trang-70-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) trong mỗi trường hợp sau: \r\na) \\(\\left( P \\right)\\) đi qua điểm \\(M\\left( {6; - 7;10} \\right)\\) và có một vectơ pháp tuyến là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 2;1} \\right)\\); \r\nb) \\(\\left( P \\right)\\) đi qua điểm \\(N\\left( { - 3;8; - 4} \\right)\\) và có một cặp vectơ chỉ phương là \r\n\\(\\overrightarrow u  = \\left( {3; - 2; - 1} \\right),\\overrightarrow v  = \\left( {1;4; - 5} \\right)\\);\r\nc) \\(\\left( P \\right)\\) đi qua điểm \\(I\\left( {1;","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(1\\left( {x - 6} \\right) - 2\\left( {y + 7} \\right) + 1\\left( {z - 10} \\right) = 0 \\Leftrightarrow {\\rm{x}} - 2y + z - 30 = 0\\).</p>\r\n<p>b) Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow v } \\right] = \\left( {14;14;14} \\right) = 14\\left( {1;1;1} \\right)\\). Do đó \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1;1;1} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(1\\left( {x + 3} \\right) + 1\\left( {y - 8} \\right) + 1\\left( {z + 4} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\\).</p>\r\n<p>c) Mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {5;6; - 7} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\) nên \\(\\overrightarrow n  = \\left( {5;6; - 7} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(5\\left( {x - 1} \\right) + 6\\left( {y + 4} \\right) - 7\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 5x + 6y - 7z + 19 = 0\\).</p>\r\n<p>d) Đường thẳng \\(\\Delta \\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 1;3;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\left( P \\right) \\bot \\Delta \\) nên \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 1;3;2} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\( - 1\\left( {x - 0} \\right) + 3\\left( {y + 3} \\right) + 2\\left( {z - 4} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - x + 3y + 2z + 1 = 0\\).</p>"},{"article_id":174740,"cat_id":1954,"publish_time":1728371041,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1008/resize_15-0.PNG","title":"Giải bài 54 trang 67 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 54 trang 67 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-54-trang-67-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục toạ độ (Oxyz) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở một vị trí phù hợp thì tâm bão có toạ độ (left( {300;200;1} right)) (Hình 6). \r\na) Lập phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật từ cấp 12 trở lên khoảng 100 km tính từ tâm bão. \r\nb) Tại một vị trí có toạ độ (left( {350;245;1} right)) thì có bị ảnh hưởng bởi cơn bão được mô tả ở câu a hay không? ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Phương trình của mặt cầu tâm \\(I\\left( {300;200;1} \\right)\\) bán kính 100 là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\({\\left( {x - 300} \\right)^2} + {\\left( {y - 200} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^2} = {100^2}\\) hay \\({\\left( {x - 300} \\right)^2} + {\\left( {y - 200} \\right)^2} + {\\left( {z - 1} \\right)^2} = 10000\\).</p>\r\n<p>b) Khoảng cách từ vị trí có toạ độ \\(\\left( {350;245;1} \\right)\\) đến tâm bão là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(d = \\sqrt {{{\\left( {350 - 300} \\right)}^2} + {{\\left( {245 - 200} \\right)}^2} + {{\\left( {1 - 1} \\right)}^2}}  = 5\\sqrt {181}  &lt; 100\\)</p>\r\n<p>Vậy tại vị trí có toạ độ \\(\\left( {350;245;1} \\right)\\) bị ảnh hưởng bởi cơn bão.</p>"},{"article_id":174661,"cat_id":1954,"publish_time":1728370590,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_14-0.PNG","title":"Giải bài 35 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 35 trang 59 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-35-trang-59-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ({Delta _1},{Delta _2}) trong mỗi trường hợp sau:\r\na) ({Delta _1}:frac{{x + 7}}{5} = frac{{y - 1}}{{ - 7}} = frac{{z + 2}}{{ - 2}}) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x =  - 5 - 3t\\y =  - 10 - 4t\\z = 3 + 7tend{array} right.) (với (t) là tham số);\r\nb) ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 - t\\z = 3tend{array} right.) (với (t) là tham số) và ({Delta _2}:frac{{x + 2}}{4} = frac{{y - 1}}{5} = frac{{z","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) đi qua điểm \\({M_1}\\left( { - 7;1; - 2} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {5; - 7; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) đi qua điểm \\({M_2}\\left( { - 5; - 10;3} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( { - 3; - 4;7} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( { - 57; - 29; - 41} \\right),\\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \\left( {2; - 11;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right].\\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 57.2 - 29.\\left( { - 11} \\right) - 41.5 = 0\\). Vậy \\({\\Delta _1}\\) cắt \\({\\Delta _2}\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) đi qua điểm \\({M_1}\\left( { - 2;1;0} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {5; - 1;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) đi qua điểm \\({M_2}\\left( { - 2;1;1} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {4;5; - 6} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( { - 9;42;29} \\right),\\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right].\\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 9.0 + 42.0 + 29.1 = 29 \\ne 0\\). Vậy \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) chéo nhau.</p>\r\n<p>c) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) đi qua điểm \\({M_1}\\left( {0; - 5;1} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {3;2; - 3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) đi qua điểm \\({M_2}\\left( {1;3;1} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( { - 6; - 4;6} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{u_2}} } \\right] = \\left( {0;0;0} \\right) = \\overrightarrow 0 ,\\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \\left( {1;8;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\left[ {\\overrightarrow {{u_1}} ,\\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \\right] = \\left( {24; - 3;22} \\right) \\ne \\overrightarrow 0 \\). Vậy \\({\\Delta _1}\\parallel {\\Delta _2}\\).</p>"},{"article_id":174567,"cat_id":1954,"publish_time":1728369780,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_14-0.PNG","title":"Giải bài 14 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 14 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-14-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Lập phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (Ileft( {1; - 2;4} right)) và vuông góc với hai mặt phẳng (left( Q right):x - y - 2 = 0,left( R right):y + z + 3 = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {1; - 1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {0;1;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(\\left( P \\right)\\) vuông góc với hai mặt phẳng \\(\\left( Q \\right),\\left( R \\right)\\) nên vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) vuông góc với cả \\(\\overrightarrow {{n_1}} \\) và \\(\\overrightarrow {{n_2}} \\).</p>\r\n<p>Do đó, \\(\\left[ {\\overrightarrow {{n_1}} ,\\overrightarrow {{n_2}} } \\right] = \\left( { - 1; - 1;1} \\right)\\) là một vectơ pháp tuyến của \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là:</p>\r\n<p align=\"center\">\\( - 1\\left( {x - 1} \\right) - 1\\left( {y + 2} \\right) + 1\\left( {z - 4} \\right) = 0 \\Leftrightarrow  - x - y + z - 5 = 0\\).</p>"},{"article_id":174662,"cat_id":1954,"publish_time":1728370612,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_15-0.PNG","title":"Giải bài 36 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 36 trang 60 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-36-trang-60-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa hai đường thẳng ({Delta _1},{Delta _2}) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ nếu cần):\r\na) ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = 3 + 2{t_1}\\y =  - 2 + {t_1}\\z = 0end{array} right.) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x = 7 + {t_2}\\y =  - 3 - {t_2}\\z = 2{t_2}end{array} right.) (({t_1},{t_2}) là tham số);\r\nb) ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 5 - 2t\\z = 7 - 2tend{array} right.) (với (t) là tham số) và ({","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {2;1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {1; - 1;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Côsin của góc giữa hai đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\cos \\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = \\frac{{\\left| {2.1 + 1.\\left( { - 1} \\right) + 0.2} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} .\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {2^2}} }} = \\frac{{\\sqrt {30} }}{{30}}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) \\approx {79^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( {1; - 2; - 2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {2;2; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Côsin của góc giữa hai đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\cos \\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = \\frac{{\\left| {1.2 + \\left( { - 2} \\right).2 + \\left( { - 2} \\right).\\left( { - 1} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {{\\left( { - 2} \\right)}^2}} .\\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = 0\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = {90^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>c) Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( { - 1;2; - 3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {2; - 1; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Côsin của góc giữa hai đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) và \\({\\Delta _2}\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\cos \\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = \\frac{{\\left| { - 1.2 + 2.\\left( { - 1} \\right) - 3.\\left( { - 1} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {2^2} + {{\\left( { - 3} \\right)}^2}} .\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{{\\sqrt {21} }}{{42}}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) \\approx {84^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174568,"cat_id":1954,"publish_time":1728369804,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_15-0.PNG","title":"Giải bài 15 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 15 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-15-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)). Tính khoảng cách từ (M) đến các mặt phẳng (x - a = 0,y - b = 0,)(z - c = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Khoảng cách từ điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x - a = 0\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(d\\left( {M;\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {{x_0} - a} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2}} }} = \\left| {{x_0} - a} \\right|\\).</p>\r\n<p>Khoảng cách từ điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( Q \\right):y - b = 0\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(d\\left( {M;\\left( Q \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {{y_0} - b} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2}} }} = \\left| {{y_0} - b} \\right|\\).</p>\r\n<p>Khoảng cách từ điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) đến mặt phẳng \\(\\left( R \\right):z - c = 0\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(d\\left( {M;\\left( R \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {{z_0} - c} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2}} }} = \\left| {{z_0} - c} \\right|\\).</p>"},{"article_id":174663,"cat_id":1954,"publish_time":1728370637,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_16-0.PNG","title":"Giải bài 37 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 37 trang 60 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-37-trang-60-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (left( P right)) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):\r\na) (Delta :left{ begin{array}{l}x = 18 - sqrt 3 t\\y = 11\\z = 5 + tend{array} right.) (với (t) là tham số) và (left( P right):x - sqrt 3 y - z - 3 = 0);\r\nb) (Delta :frac{{x - 8}}{2} = frac{{y - 7}}{{ - 3}} = frac{{z - 6}}{3}) và (left( P right):3x - 4y + 5z - 6 = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đường thẳng \\(\\Delta \\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - \\sqrt 3 ;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - \\sqrt 3 ; - 1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Sin của góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow n } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| { - \\sqrt 3 .1 + 0.\\left( { - \\sqrt 3 } \\right) + 1.\\left( { - 1} \\right)} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( { - \\sqrt 3 } \\right)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - \\sqrt 3 } \\right)}^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2}} }} = \\frac{{\\sqrt {15}  + \\sqrt 5 }}{{10}}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) \\approx {38^ \\circ }\\).</p>\r\n<p>b) Đường thẳng \\(\\Delta \\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {2; - 3;3} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {3; - 4;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Sin của góc giữa đường thẳng \\(\\Delta \\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\sin \\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {\\overrightarrow u ,\\overrightarrow n } \\right)} \\right| = \\frac{{\\left| {2.3 - 3.\\left( { - 4} \\right) + 3.5} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{\\left( { - 3} \\right)}^2} + {3^2}} .\\sqrt {{3^2} + {{\\left( { - 4} \\right)}^2} + {5^2}} }} = \\frac{{3\\sqrt {11} }}{{10}}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {\\Delta ,\\left( P \\right)} \\right) \\approx {84^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174569,"cat_id":1954,"publish_time":1728369824,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_16-0.PNG","title":"Giải bài 16 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 16 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-16-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho hai mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right):x + 2y - 3z + 5 = 0\\) và \\(\\left( {{P_2}} \\right): - 4x - 8y + 12z + 3 = 0\\). \r\na) Chứng minh rằng \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\parallel \\left( {{P_2}} \\right)\\). \r\nb) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Ta có \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {1;2; - 3} \\right),\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( { - 4; - 8;12} \\right)\\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\) và \\(\\left( {{P_2}} \\right)\\). Vì \\(\\overrightarrow {{n_2}}  =  - 4\\overrightarrow {{n_1}} \\)  và \\(3 \\ne  - 4.5\\) nên \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\parallel \\left( {{P_2}} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Chọn điểm \\(M\\left( { - 5;0;0} \\right) \\in \\left( {{P_1}} \\right)\\). Khi đó ta có:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(d\\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = d\\left( {M,\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| { - 4.\\left( { - 5} \\right) - 8.0 + 12.0 + 3} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( { - 4} \\right)}^2} + {{\\left( { - 8} \\right)}^2} + {{12}^2}} }} = \\frac{{23\\sqrt {14} }}{{56}}\\).</p>"},{"article_id":174664,"cat_id":1954,"publish_time":1728370656,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_17-0.PNG","title":"Giải bài 38 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 38 trang 60 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-38-trang-60-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa hai mặt phẳng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): \r\n(left( {{P_1}} right):5x + 12y - 13z + 14 = 0) và (left( {{P_2}} right):3x + 4y + 5z - 6 = 0).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {5;12; - 13} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {{P_2}} \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {3;4;5} \\right)\\).</p>\r\n<p>Côsin của góc giữa hai mặt phẳng \\(\\left( {{P_1}} \\right)\\) và \\(\\left( {{P_2}} \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\cos \\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {5.3 + 12.4 - 13.5} \\right|}}{{\\sqrt {{5^2} + {{12}^2} + {{\\left( { - 13} \\right)}^2}} .\\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} }} = \\frac{1}{{65}}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {\\left( {{P_1}} \\right),\\left( {{P_2}} \\right)} \\right) \\approx {89^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174570,"cat_id":1954,"publish_time":1728369842,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_17-0.PNG","title":"Giải bài 17 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 17 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-17-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp (S.ABC) thoả mãn (widehat {ASB} = widehat {BSC} = widehat {CSA} = {90^ circ }). Gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (S) trên mặt phẳng (left( {ABC} right)). Chứng minh rằng\r\n(frac{1}{{S{H^2}}} = frac{1}{{S{A^2}}} + frac{1}{{S{B^2}}} + frac{1}{{S{C^2}}}).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đặt \\(SA = a,SB = b,SC = c\\left( {a,b,c &gt; 0} \\right)\\). Vì các đường thẳng \\(SA,SB,SC\\) đôi một vuông góc nên có thể gắn hệ trục toạ độ \\(Oxyz\\) thoả mãn \\(S\\left( {0;0;0} \\right),A\\left( {a;0;0} \\right),B\\left( {0;b;0} \\right),C\\left( {0;0;c} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là: \\(\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} + \\frac{z}{c} = 1\\) hay \\(\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} + \\frac{z}{c} - 1 = 0\\).</p>\r\n<p>Khi đó: \\(SH = d\\left( {S,\\left( {ABC} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\frac{0}{a} + \\frac{0}{b} + \\frac{0}{c} - 1} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {\\frac{1}{a}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{1}{b}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{1}{c}} \\right)}^2}} }} = \\frac{1}{{\\sqrt {\\frac{1}{{{a^2}}} + \\frac{1}{{{b^2}}} + \\frac{1}{{{c^2}}}} }}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\frac{1}{{S{H^2}}} = \\frac{1}{{{a^2}}} + \\frac{1}{{{b^2}}} + \\frac{1}{{{c^2}}} = \\frac{1}{{S{A^2}}} + \\frac{1}{{S{B^2}}} + \\frac{1}{{S{C^2}}}\\).</p>"},{"article_id":174665,"cat_id":1954,"publish_time":1728370684,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_18-0.PNG","title":"Giải bài 39 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 39 trang 60 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-39-trang-60-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Tính góc giữa mặt phẳng (left( P right):x - y = 0) và mặt phẳng (left( {Oyz} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {1; - 1;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt phẳng \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {1;0;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>Côsin của góc giữa hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {Oyz} \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\cos \\left( {\\left( P \\right),\\left( {Oyz} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {1.1 - 1.0 + 0.0} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {0^2}} .\\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\left( {\\left( P \\right),\\left( {Oyz} \\right)} \\right) = {45^ \\circ }\\).</p>"},{"article_id":174571,"cat_id":1954,"publish_time":1728369859,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_18-0.PNG","title":"Giải bài 18 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 18 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-18-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho bốn điểm (Aleft( {1;0;0} right),Bleft( {0;2;0} right),Cleft( {0;0;3} right)) và (Dleft( {1;2;3} right)). Chứng minh rằng (A,B,C,D) không đồng phẳng.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là: \\(\\frac{x}{1} + \\frac{y}{2} + \\frac{z}{3} = 1\\) hay \\(6{\\rm{x}} + 3y + 2{\\rm{z}} - 6 = 0\\).</p>\r\n<p>Ta có: \\(6.1 + 3.2 + 2.3 - 6 = 12 \\ne 0\\) nên điểm \\(D\\) không nằm trên mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy bốn điểm \\(A,B,C,D\\) không đồng phẳng.</p>"},{"article_id":174666,"cat_id":1954,"publish_time":1728370708,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1007/resize_19-0.PNG","title":"Giải bài 40 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 40 trang 60 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-40-trang-60-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho hai đường thẳng ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = 11 - 3{t_1}\\y =  - 5 + 4{t_1}\\z = m{t_1}end{array} right.) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x =  - 4 + 5{t_2}\\y = 2 + 3{t_2}\\z = 2{t_2}end{array} right.), với (m) là tham số thực; ({t_1},{t_2}) là tham số của phương trình đường thẳng. Tìm (m) để hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đường thẳng \\({\\Delta _1}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_1}}  = \\left( { - 3;4;m} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đường thẳng \\({\\Delta _2}\\) có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_2}}  = \\left( {5;3;2} \\right)\\).</p>\r\n<p>Khi đó: \\({\\Delta _1} \\bot {\\Delta _2} \\Leftrightarrow  - 3.5 + 4.3 + m.2 = 0 \\Leftrightarrow m = \\frac{3}{2}\\).</p>"},{"article_id":174572,"cat_id":1954,"publish_time":1728369881,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_19-0.PNG","title":"Giải bài 19 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 19 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-19-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp chữ nhật (ABCD.A'B'C'D') có (AB = 2a,AD = 3a,AA' = 4aleft( {a > 0} right)). Gọi (M,N,P) lần lượt là các điểm thuộc các tia (AB,AD,AA') sao cho (AM = a,AN = 2a,AP = 3a). Tính khoảng cách từ điểm (C') đến mặt phẳng (left( {MNP} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Vì \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình hộp chữ nhật nên các đường thẳng \\(AB,AD,AA'\\) đôi một vuông góc. Do đó ta có thể gắn hệ trục toạ độ \\(Oxyz\\) thoả mãn \\(A\\left( {0;0;0} \\right),B\\left( {2a;0;0} \\right),D\\left( {0;3{\\rm{a}};0} \\right),\\)\\(A'\\left( {0;0;4{\\rm{a}}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Khi đó \\(M\\left( {a;0;0} \\right),N\\left( {0;2{\\rm{a}};0} \\right),P\\left( {0;0;3{\\rm{a}}} \\right),C'\\left( {2{\\rm{a}};3{\\rm{a}};4{\\rm{a}}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt phẳng \\(\\left( {MNP} \\right)\\) là: \\(\\frac{x}{a} + \\frac{y}{{2a}} + \\frac{z}{{3a}} = 1\\) hay \\(\\frac{x}{a} + \\frac{y}{{2a}} + \\frac{z}{{3a}} - 1 = 0\\).</p>\r\n<p>Khi đó khoảng cách từ điểm \\(C'\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {MNP} \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(d\\left( {C',\\left( {MNP} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\frac{{2{\\rm{a}}}}{a} + \\frac{{3{\\rm{a}}}}{{2a}} + \\frac{{4{\\rm{a}}}}{{3a}} - 1} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {\\frac{1}{a}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{1}{{2a}}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{1}{{3a}}} \\right)}^2}} }} = \\frac{{\\frac{{23}}{6}}}{{\\sqrt {\\frac{{49}}{{36{a^2}}}} }} = \\frac{{23a}}{7}\\).</p>"},{"article_id":174573,"cat_id":1954,"publish_time":1728369911,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_21-0.PNG","title":"Giải bài 20 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 20 trang 48 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-20-trang-48-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz), cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình chữ nhật và các điểm (Aleft( {0;0;0} right),Bleft( {a;0;0} right),Dleft( {0;b;0} right),Sleft( {0;0;c} right)) với (a,b,c) là các số dương (Hình 3). \r\na) Tìm toạ độ của điểm (C), trung điểm (M) của (BC), trọng tâm (G) của tam giác (SCD).\r\nb) Lập phương trình mặt phẳng (left( {SBD} right)). \r\nc) Tính khoảng cách từ điểm (G) đến mặt phẳng (left( {SBD} right)).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Giả sử \\(C\\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {a;0;0} \\right),\\overrightarrow {DC}  = \\left( {{x_C};{y_C} - b;{z_C}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Tứ giác \\(ABCD\\) là hình chữ nhật khi và chỉ khi \\(\\overrightarrow {AB}  = \\overrightarrow {DC} \\).</p>\r\n<p>\\(\\overrightarrow {AB}  = \\overrightarrow {DC}  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a = {x_C}\\\\0 = {y_C} - b\\\\0 = {z_C}\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{x_C} = a\\\\{y_C} = b\\\\{z_C} = 0\\end{array} \\right.\\). Vậy \\(C\\left( {a;b;0} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(M\\) là trung điểm của \\(BC\\) nên ta có: \\(M\\left( {\\frac{{a + a}}{2};\\frac{{0 + b}}{2};\\frac{{0 + 0}}{2}} \\right)\\) hay \\(M\\left( {a;\\frac{b}{2};0} \\right)\\).</p>\r\n<p>\\(G\\) là trọng tâm của tam giác \\(SCD\\) nên ta có: \\(G\\left( {\\frac{{0 + a + 0}}{3};\\frac{{0 + b + b}}{3};\\frac{{c + 0 + 0}}{3}} \\right)\\) hay \\(G\\left( {\\frac{a}{3};\\frac{{2b}}{3};\\frac{c}{3}} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Phương trình mặt phẳng \\(\\left( {SBD} \\right)\\) là: \\(\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} + \\frac{z}{c} = 1\\) hay \\(\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} + \\frac{z}{c} - 1 = 0\\).</p>\r\n<p>c) Khoảng cách từ điểm \\(G\\) đến mặt phẳng \\(\\left( {SBD} \\right)\\) bằng:</p>\r\n<p align=\"center\">\\(\\begin{array}{l}d\\left( {G,\\left( {SBD} \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {\\frac{{\\frac{a}{3}}}{a} + \\frac{{\\frac{{2b}}{3}}}{b} + \\frac{{\\frac{c}{3}}}{c} - 1} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {\\frac{1}{a}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{1}{b}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{1}{c}} \\right)}^2}} }} = \\frac{1}{{3\\sqrt {\\frac{1}{{{a^2}}} + \\frac{1}{{{b^2}}} + \\frac{1}{{{c^2}}}} }}\\\\ = \\frac{1}{{3\\sqrt {\\frac{{{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} }} = \\frac{{abc}}{{3\\sqrt {{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2}} }}\\end{array}\\)</p>"},{"article_id":174574,"cat_id":1954,"publish_time":1728369931,"type_ex":2,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2024/1006/resize_22-0.PNG","title":"Giải bài 21 trang 49 sách bài tập toán 12 - Cánh diều","label":"Bài 21 trang 49 SBT toán 12 - Cánh diều","alias":"giai-bai-21-trang-49-sach-bai-tap-toan-12-canh-dieu","introtext":"Khi gắn hệ trục toạ độ (Oxyz) (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục (Oz). Biết rằng các vị trí (Aleft( {3;4;33} right),Dleft( {9;8;35} right)) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Mặt dưới của mái nhà là mặt phẳng đi qua điểm \\(A\\left( {3;4;33} \\right)\\) và vuông góc với trục \\(Oz\\). Khi đó mặt dưới của mái nhà có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = \\left( {0;0;1} \\right)\\).</p>\r\n<p>Phương trình mặt dưới của mái nhà là: \\(\\left( P \\right):0\\left( {x - 3} \\right) + 0\\left( {y - 4} \\right) + 1\\left( {z - 33} \\right) = 0\\) hay \\(\\left( P \\right):z - 33 = 0\\).</p>\r\n<p>Khi đó độ dày của mái nhà đó là: \\(d = d\\left( {D,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {35 - 33} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2}} }} = 2\\left( {dm} \\right)\\).</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"38002","item_id":38002,"title":"Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SBT Toán 12 Cánh diều","short_title":"Bài 1. Phương trình mặt phẳng","is_link":0},{"id":"38003","item_id":38003,"title":"Bài 2. Phương trình đường thẳng - SBT Toán 12 Cánh diều","short_title":"Bài 2. Phương trình đường thẳng","is_link":0},{"id":"38004","item_id":38004,"title":"Bài 3. Phương trình mặt cầu - SBT Toán 12 Cánh diều","short_title":"Bài 3. Phương trình mặt cầu","is_link":0},{"id":"38005","item_id":38005,"title":"Bài tập cuối chương 5 - SBT Toán 12 Cánh diều","short_title":"Bài tập cuối chương 5","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}