{"event_info":{"picture":"","title":"Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập Toán 10 cánh diều","display_type":1,"cat_id":1163,"cat_title":"Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","alias":"bai-1-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":28390,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":120706,"cat_id":1163,"publish_time":1664547840,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 1 trang 23, 24, 25","alias":"giai-muc-1-trang-23-24-25-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng (frac{1}{2}.)","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":120744,"cat_id":1163,"publish_time":1664609340,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 2 trang 25, 26","alias":"giai-muc-2-trang-25-26-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,{(1 + \\sqrt 2 )^n},{(1 - \\sqrt 2 )^n}\\) lần lượt viết được ở dạng \\({a_n} + {b_n}\\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\\sqrt 2 ,\\) trong đó \\({a_n},{b_n}\\) là các số nguyên dương.","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":120707,"cat_id":1163,"publish_time":1664548020,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 1 trang 29 ","alias":"giai-bai-1-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\\) và \\({T_n} = {2^{n + 1}} - 1\\), với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\({S_1} = 1 + 2 = 3\\); \\({T_1} = {2^{1 + 1}} - 1 = 3\\)</p>\r\n<p>Do đó \\({S_1} = {T_1}\\)</p>\r\n<p>\\({S_2} = 1 + 2 + {2^2} = 7\\); \\({T_2} = {2^{2 + 1}} - 1 = 7\\)</p>\r\n<p>Do đó \\({S_2} = {T_2}\\)</p>\r\n<p>\\({S_3} = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} = 15\\); \\({T_3} = {2^{3 + 1}} - 1 = 15\\)</p>\r\n<p>Do đó \\({S_3} = {T_3}\\)</p>\r\n<p>b) Dự doán: \\({S_n} = {T_n}\\) từ đó có công thức tính \\({S_n} = {2^{n + 1}} - 1\\)</p>\r\n<p>Chứng minh:</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({S_1} = {T_1} = {2^2} - 1\\) đúng</p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({S_{k + 1}} = {2^{(k + 1) + 1}} - 1\\) hay \\({S_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 1\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({S_k} = {2^{k + 1}} - 1\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{k + 1}} = {S_k} + {2^{k + 1}}\\\\ = {2^{k + 1}} - 1 + {2^{k + 1}} = {2.2^{k + 1}} - 1 = {2^{k + 2}} - 1\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":120708,"cat_id":1163,"publish_time":1664548080,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 2 trang 29","alias":"giai-bai-2-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{{{2^2}}} + ... + \\frac{1}{{{2^n}}}\\) và \\({T_n} = 2 - \\frac{1}{{{2^n}}}\\), với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\({S_1} = 1 + \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\); \\({T_1} = 2 - \\frac{1}{{{2^1}}} = \\frac{3}{2}\\)</p>\r\n<p>Do đó \\({S_1} = {T_1}\\)</p>\r\n<p>\\({S_2} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{{{2^2}}} = \\frac{7}{4}\\); \\({T_2} = 2 - \\frac{1}{{{2^2}}} = \\frac{7}{4}\\)</p>\r\n<p>Do đó \\({S_2} = {T_2}\\)</p>\r\n<p>\\({S_3} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{{{2^2}}} + \\frac{1}{{{2^3}}} = \\frac{{15}}{8}\\); \\({T_3} = 2 - \\frac{1}{{{2^3}}} = \\frac{{15}}{8}\\)</p>\r\n<p>Do đó \\({S_3} = {T_3}\\)</p>\r\n<p>b) Dự doán: \\({S_n} = {T_n}\\) từ đó có công thức tính \\({S_n} = 2 - \\frac{1}{{{2^n}}}\\)</p>\r\n<p>Chứng minh:</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({S_1} = 2 - \\frac{1}{{{2^1}}}\\) đúng</p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({S_{k + 1}} = 2 - \\frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({S_k} = 2 - \\frac{1}{{{2^k}}}\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{{{2^2}}} + ... + \\frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = {S_k} + \\frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\\\\ = 2 - \\frac{1}{{{2^k}}} + \\frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \\frac{2}{{{2^{k + 1}}}} + \\frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \\frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":120709,"cat_id":1163,"publish_time":1664548140,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 3 trang 29","alias":"giai-bai-3-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = \\frac{1}{{1.5}} + \\frac{1}{{5.9}} + \\frac{1}{{9.13}} + ... + \\frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\\) với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) \\(n = 1 \\Rightarrow 4n - 3 = 1;4n + 1 = 5 \\Rightarrow {S_1} = \\frac{1}{{1.5}} = \\frac{1}{5}\\);</p>\r\n<p>\\({S_2} = \\frac{1}{{1.5}} + \\frac{1}{{5.9}} = \\frac{2}{9}\\);</p>\r\n<p>\\({S_3} = \\frac{1}{{1.5}} + \\frac{1}{{5.9}} + \\frac{1}{{9.13}} = \\frac{3}{{13}}\\);</p>\r\n<p>b) Ta có:</p>\r\n<p>\\({S_1} = \\frac{1}{5} = \\frac{1}{{4.1 + 1}};\\)\\({S_2} = \\frac{2}{{4.2 + 1}};\\)\\({S_3} = \\frac{3}{{4.3 + 1}};\\)</p>\r\n<p>Dự doán: \\({S_n} = \\frac{n}{{4.n + 1}}\\)</p>\r\n<p>Chứng minh:</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({S_1} = \\frac{1}{{4.1 + 1}}\\) đúng</p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({S_{k + 1}} = \\frac{{k + 1}}{{4.(k + 1) + 1}}\\) hay \\({S_{k + 1}} = \\frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({S_k} = \\frac{k}{{4.k + 1}}\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \\frac{1}{{1.5}} + \\frac{1}{{5.9}} + \\frac{1}{{9.13}} + ... + \\frac{1}{{(4k - 3)(4k + 1)}} + \\frac{1}{{[4(k + 1) - 3][4(k + 1) + 1]}}\\\\ = {S_k} + \\frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \\frac{k}{{4k + 1}} + \\frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\\\ = \\frac{{k(4k + 5)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} + \\frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\\\ = \\frac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \\frac{{(4k + 1)(k + 1)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \\frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>"},{"article_id":120710,"cat_id":1163,"publish_time":1664548200,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 4 trang 29","alias":"giai-bai-4-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho q là số thực khác 1. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\(1 = \\frac{{1 - {q^1}}}{{1 - q}}\\) hiển nhiên đúng với \\(q \\ne 1\\)</p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\(1 + q + {q^2} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \\frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\(1 + q + {q^2} + ... + {q^{k - 1}} = \\frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \\frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + {q^k}\\\\ = \\frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + \\frac{{{q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \\frac{{1 - {q^k} + {q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \\frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p> </p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":120711,"cat_id":1163,"publish_time":1664548260,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 5 trang 29 ","alias":"giai-bai-5-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\), ta có:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a)</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({13^1} - 1 = 12\\) chia hết cho 6.</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({13^{k + 1}} - 1\\) chia hết cho 6.</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({13^k} - 1\\) chia hết cho 6.</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\({13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = 13.\\left( {{{13}^k} - 1} \\right) + 12\\) chia hết cho 6</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p>b)</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({4^1} + 15.1 - 1 = 18\\) chia hết cho 9.</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1\\) chia hết cho 9.</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({4^k} + 15k - 1\\) chia hết cho 9.</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\\left( {{4^k} + 15k - 1} \\right) - 45k + 18\\) chia hết cho 9</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p> </p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":120712,"cat_id":1163,"publish_time":1664548320,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 6 trang 29 ","alias":"giai-bai-6-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh \\({n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2.\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Bước 1: Khi \\(n = 2\\) ta có \\({2^2} &gt; {(2 + 1)^{2 - 1}}\\) hay \\(4 &gt; 3\\)hiển nhiên đúng</p>\r\n<p>Như vậy bất đẳng thức đúng với \\(n = 2\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà bất đẳng thức đúng, ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({(k + 1)^{k + 1}} &gt; {(k + 1 + 1)^{k + 1 - 1}}\\) hay \\({(k + 1)^{k + 1}} &gt; {(k + 2)^k}\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({k^k} &gt; {(k + 1)^{k - 1}}\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\({k^k}{(k + 1)^{k + 1}} &gt; {(k + 1)^{k - 1}}{(k + 1)^{k + 1}} = {(k + 1)^{k - 1 + k + 1}} = {(k + 1)^{2k}}\\)</p>\r\n<p>Mà \\({(k + 1)^{2k}} = {\\left[ {{{(k + 1)}^2}} \\right]^k} = {\\left( {{k^2} + 2k + 1} \\right)^k} &gt; {\\left( {{k^2} + 2k} \\right)^k}\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow {k^k}{(k + 1)^{k + 1}} &gt; {\\left( {{k^2} + 2k} \\right)^k} = {\\left[ {k.(k + 2)} \\right]^k} = {k^k}.{(k + 2)^k}\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow {(k + 1)^{k + 1}} &gt; {(k + 2)^k}\\)</p>\r\n<p>Vậy bất đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":120713,"cat_id":1163,"publish_time":1664548380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 7 trang 29 ","alias":"giai-bai-7-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh \\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({a^1} - {b^1} = a - b\\) hiển nhiên đúng</p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^{k + 1 - 1}} + {a^{k + 1 - 2}}b + ... + a{b^{k + 1 - 2}} + {b^{k + 1 - 1}})\\) hay \\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = a.{a^k} - b.{b^k} = a\\left( {{a^k} - {b^k}} \\right) + a{b^k} - b.{b^k} = a\\left( {{a^k} - {b^k}} \\right) + \\left( {a - b} \\right).{b^k}\\\\ = a.(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}) + \\left( {a - b} \\right).{b^k}\\\\ = (a - b)\\left[ {a({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}) + {b^k}} \\right]\\\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>"},{"article_id":120714,"cat_id":1163,"publish_time":1664548380,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 8 trang 29 ","alias":"giai-bai-8-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Cách chọn tam giác đều màu trắng ở <em>Hình thứ hai</em></p>\r\n<p>Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh =&gt; được 3 trung điểm</p>\r\n<p>Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.</p>\r\n<p>b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở <em>Hình thứ ba</em></p>\r\n<p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2022/0930/icture4_6.png\" /></p>\r\n<p>Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ hai, ta thực hiện các bước:</p>\r\n<p>Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh =&gt; được 3 trung điểm</p>\r\n<p>Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.</p>\r\n<p>c) Quy luật chọn các tam giác đều màu trắng từ <em>Hình thứ tư </em>và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.</p>\r\n<p>Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ ba, ta thực hiện các bước:</p>\r\n<p>Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh =&gt; được 3 trung điểm</p>\r\n<p>Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.</p>\r\n<p>Quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở hình thứ n đó:</p>\r\n<p>Từ mỗi tam giác xanh của Hình thứ (n-1), ta thực hiện các bước:</p>\r\n<p>Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh =&gt; được 3 trung điểm</p>\r\n<p>Bước 2: Tô màu trắng cho tam giác có 3 đỉnh là 3 trung điểm ấy.</p>\r\n<p>d) <em>Hình thứ nhất </em>có 1 tam giác đều màu xanh<em></em></p>\r\n<p><em>Hình thứ hai </em>có 3 tam giác đều màu xanh<em></em></p>\r\n<p><em>Hình thứ ba </em>có 9 tam giác đều màu xanh<em></em></p>\r\n<p> </p>\r\n<p>e) Vì <em>Hình thứ nhất </em>có \\(1 = {3^0}\\) tam giác đều màu xanh<em></em></p>\r\n<p><em>Hình thứ hai </em>có \\(3 = {3^1}\\) tam giác đều màu xanh<em></em></p>\r\n<p><em>Hình thứ ba </em>có \\(9 = {3^2}\\) tam giác đều màu xanh<em></em></p>\r\n<p>Dự đoán <em>Hình thứ n </em>có \\({3^{n - 1}}\\) tam giác đều màu xanh<em></em></p>\r\n<p>Chứng minh:</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có <em>Hình thứ nhất </em>có \\({3^{1 - 1}}\\) tam giác đều màu xanh, đúng.</p>\r\n<p>Như vậy mệnh đề đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p><em>Hình thứ k+1 </em>có \\({3^{k + 1 - 1}}\\) tam giác đều màu xanh</p>\r\n<p>Hay<em> “Hình thứ k+1 </em>có \\({3^k}\\) tam giác đều màu xanh<em>”</em></p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p><em>Hình thứ k </em>có \\({3^{k - 1}}\\) tam giác đều màu xanh</p>\r\n<p>Nhận xét: Theo quy luật thì mỗi hình màu xanh sẽ được chia thành 4 tam giác đều ở hình sau, trong đó tô 1 tam giác đều màu trắng và 3 tam giác đều màu xanh. Nói cách khác, mỗi tam giác đều màu xanh sẽ chia thành 3 tam giác đều (nhỏ hơn) màu xanh ở hình tiếp theo.</p>\r\n<p>Mà có \\({3^{k - 1}}\\) tam giác đều màu xanh</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow \\) Số tam giác đều màu xanh trong <em>Hình thứ k+1 </em>là: \\({3.3^{k - 1}} = {3^{1 + k - 1}} = {3^k}\\)</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":120715,"cat_id":1163,"publish_time":1664548500,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 9 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 9 trang 30 ","alias":"giai-bai-9-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Quan sát Hình 6","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Đầu tiên xếp 1 chấm đỏ.</p>\r\n<p>Xếp 3 chấm màu vàng vào phía bên phải và bên dưới chấm đỏ để tạo thành 1 hình vuông.</p>\r\n<p>Xếp 5 chấm màu đỏ vào phía bên phải và bên dưới các chấm trước đó để tạo thành 1 hình vuông.</p>\r\n<p>Xếp 7 chấm màu vàng vào phía bên phải và bên dưới các chấm trước đó để tạo thành 1 hình vuông.</p>\r\n<p>…</p>\r\n<p>Cứ như vậy, các chấm đỏ và vàng được xếp xen kẽ nhau tạo thành 1 hình vuông.</p>\r\n<p>Trong đó số chấm thêm vào để tạo thành hình vuông là các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.</p>\r\n<p>b) Nhận xét: Hình vuông thứ n mỗi cạnh có n chấm. Hình vuông này được tạo bởi n hàng, trong mỗi hàng có n chấm</p>\r\n<p>=&gt; Số chấm được xếp trong hình vuông (kể cả trên cạnh) là \\(n.n = {n^2}\\) (chấm)</p>\r\n<p>Mặt khác: Theo cách xếp thì số chấm để tạo thành hình vuông thứ n là: \\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\\)</p>\r\n<p>Ta chứng minh \\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\\) bằng phương pháp quy nạp.</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\(1 = {1^2}\\) hiển nhiên đúng</p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\(1 + 3 + 5 + ... + \\left[ {2(k + 1) - 1} \\right] = {(k + 1)^2}\\) hay \\(1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = {(k + 1)^2}\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = {k^2} + (2k + 1) = {(k + 1)^2}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":120716,"cat_id":1163,"publish_time":1664548560,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 10 trang 30 ","alias":"giai-bai-10-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/ năm. Hết năm đầu, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta chứng minh “Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là \\({T_n} = \\frac{{A(100 + r)}}{r}\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^n} - 1} \\right]\\) (đồng)” bằng phương pháp quy nạp.</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có</p>\r\n<p>Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau 1 năm là: \\(A + r\\% .A = A.\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right) = \\frac{{A(100 + r)}}{{100}}\\)(đồng)</p>\r\n<p>Và \\({T_1} = \\frac{{A(100 + r)}}{r}\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^1} - 1} \\right] = \\frac{{A(100 + r)}}{r}.\\frac{r}{{100}} = \\frac{{A(100 + r)}}{{100}}\\)(đồng)</p>\r\n<p>Như vậy mệnh đề đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>“Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau \\(k + 1\\) năm là: \\({T_{k + 1}} = \\frac{{A(100 + r)}}{r}\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^{k + 1}} - 1} \\right]\\) (đồng)”</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau \\(k\\) năm là: \\({T_k} = \\frac{{A(100 + r)}}{r}\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^k} - 1} \\right]\\) (đồng)</p>\r\n<p>Cô không rút ra mà gửi thêm A đồng nữa</p>\r\n<p>=&gt; Số tiền gốc sau \\(k + 1\\) năm là: \\({T_k} + A\\)(đồng)</p>\r\n<p>=&gt; Số tiền lãi sau \\(k + 1\\) năm là: \\(\\left( {{T_k} + A} \\right).r\\% \\)(đồng)</p>\r\n<p>Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau \\(k + 1\\) năm là:</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{T_k} + A + \\left( {{T_k} + A} \\right).r\\%  = \\left( {{T_k} + A} \\right).(1 + r\\% ) = \\left( {{T_k} + A} \\right)\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)\\\\ = \\left\\{ {\\frac{{A(100 + r)}}{r}\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^k} - 1} \\right] + A} \\right\\}.\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)\\\\ = \\frac{{A(100 + r)}}{r}\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^k} - 1} \\right].\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right) + A.\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)\\\\ = \\frac{{A(100 + r)}}{r}.\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^{k + 1}} - \\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)} \\right] + A.\\left( {\\frac{{100 + r}}{{100}}} \\right)\\\\ = \\frac{{A(100 + r)}}{r}.\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^{k + 1}} - \\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)} \\right] + A.\\left( {\\frac{{100 + r}}{r}} \\right).\\frac{r}{{100}}\\\\ = \\frac{{A(100 + r)}}{r}.\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^{k + 1}} - \\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right) + \\frac{r}{{100}}} \\right]\\\\ = \\frac{{A(100 + r)}}{r}.\\left[ {{{\\left( {1 + \\frac{r}{{100}}} \\right)}^{k + 1}} - 1} \\right]\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p> </p>"},{"article_id":120717,"cat_id":1163,"publish_time":1664548620,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","label":"Bài 11 trang 30 ","alias":"giai-bai-11-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta chứng minh: “Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau p (kì hạn) gửi là \\({T_p} = A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^p}\\) (đồng).”</p>\r\n<p>Như vậy, do mỗi năm có m kì hạn nên sau n năm tương ứng là m.n kì hạn, từ đó ta suy ra số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là \\({S_n} = {T_{m.n}} = A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^{m.n}}\\) (đồng), là điều phải chứng minh.</p>\r\n<p>+ Chứng minh: “Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau p (kì hạn) gửi là \\({T_p} = A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^p}\\) (đồng).”</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(p = 1\\) ta có</p>\r\n<p>Lãi suất của m kì hạn (hay 1 năm) là r% =&gt; Lãi suất của mỗi kì hạn là \\(\\frac{{r\\% }}{m} = \\frac{r}{{100m}}\\)</p>\r\n<p>Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau 1 (kì hạn) gửi là: \\(A + A.\\frac{r}{{100m}} = A{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^1} = {T_1}\\) (đồng)</p>\r\n<p>Như vậy mệnh đề đúng với \\(p = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>“Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau \\(k + 1\\) (kì hạn) gửi là \\({T_{k + 1}} = A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^{k + 1}}\\) (đồng).”</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>“Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau k (kì hạn) gửi là \\({T_k} = A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^k}\\) (đồng).”</p>\r\n<p>=&gt; Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau \\(k + 1\\) (kì hạn) gửi là:</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^k} + A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^k}.\\frac{r}{{100m}}\\\\ = A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^k}\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)\\\\ = A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^{k + 1}} = {T_{k + 1}}\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(p \\in \\mathbb{N}*\\).</p>\r\n<p>Như vậy sau n năm (tương ứng là m.n kì hạn) thì số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là \\({S_n} = A.{\\left( {1 + \\frac{r}{{100m}}} \\right)^{m.n}}\\)(đồng).</p>"}],"most_views":[{"article_id":120744,"cat_id":1163,"publish_time":1664609340,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","alias":"giai-muc-2-trang-25-26-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,{(1 + \\sqrt 2 )^n},{(1 - \\sqrt 2 )^n}\\) lần lượt viết được ở dạng \\({a_n} + {b_n}\\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\\sqrt 2 ,\\) trong đó \\({a_n},{b_n}\\) là các số nguyên dương.","display_type":2},{"article_id":120714,"cat_id":1163,"publish_time":1664548380,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-8-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất)","display_type":1},{"article_id":120709,"cat_id":1163,"publish_time":1664548140,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-3-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = \\frac{1}{{1.5}} + \\frac{1}{{5.9}} + \\frac{1}{{9.13}} + ... + \\frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\\) với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1},{"article_id":120716,"cat_id":1163,"publish_time":1664548560,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-10-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/ năm. Hết năm đầu, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa","display_type":1},{"article_id":120711,"cat_id":1163,"publish_time":1664548260,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-5-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\), ta có:","display_type":1}],"list_sub_event":[],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}