{"event_info":{"picture":"https://img.loigiaihay.com/picture/event/2023/0808/1-0_12.png","title":"Chương IV. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - SBT Toán 11 CD","display_type":1,"cat_id":1568,"cat_title":"SBT Toán 11 - Cánh diều","alias":"chuong-iv-duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian-quan-he-song-song-sbt-toan-11-cd","introtext":"","content_box_above":"","type":"event","page_builder":"","item_id":32902,"item_type":2},"list_articles":[{"article_id":148175,"cat_id":1568,"publish_time":1693299600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_1-0_59.png","title":"Giải bài 46 trang 116 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 46 trang 116 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-46-trang-116-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693299801.png\"   /></p>\r\n<p>a) Ta nhận xét rằng \\(B'C\\parallel A'D\\) và \\(C \\in \\left( {ABCD} \\right)\\), nên hình chiếu song song của điểm \\(B'\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) theo phương chiếu \\(A'D\\) là điểm \\(C\\). Đáp án đúng là B.</p>\r\n<p>b) Ta nhận xét rằng \\(A'D'\\parallel BC\\) và \\(D' \\in \\left( {CDD'C'} \\right)\\) nên hình chiếu song song của điểm \\(A'\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {CDD'C'} \\right)\\) theo phương chiếu \\(BC\\) là điểm \\(D'\\).</p>\r\n<p>Tương tự, hình chiếu song song của điểm \\(B\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {CDD'C'} \\right)\\) theo phương chiếu \\(BC\\) là điểm \\(C\\).</p>\r\n<p>Như vậy, hình chiếu song song của đoạn thẳng \\(A'B\\) trên mặt phẳng \\(\\left( {CDD'C'} \\right)\\) theo phương chiếu \\(BC\\) là điểm \\(D'C\\). Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":148159,"cat_id":1568,"publish_time":1693297920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_1-0_57.png","title":"Giải bài 36 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 36 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-36-trang-112-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Số đường chéo trong một hình hộp là:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693298137.png\"   /></p>\r\n<p>Xét hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\), ta thấy trong hình hộp này có 4 cặp đỉnh đối diện: \\(A\\) và \\(C'\\), \\(B\\) và \\(D'\\), \\(C\\) và \\(A'\\), \\(D\\) và \\(B'\\). Do đó, hình hộp có 4 đường chéo.</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":147782,"cat_id":1568,"publish_time":1692762300,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0823/resize_1-0_15.png","title":"Giải bài 28 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 28 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).","alias":"giai-bai-28-trang-108-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Theo hệ quả của định lí về tính chất của hai mặt phẳng song song, nếu đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) thì tồn tại duy nhất một mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) chứa \\(a\\) và song song với \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là B.</p>"},{"article_id":147710,"cat_id":1568,"publish_time":1692695640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_1-0_34.png","title":"Giải bài 19 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 19 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-19-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng: Với đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), và mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) chứa \\(a\\) và cắt \\(\\left( P \\right)\\) theo giao tuyến \\(b\\) thì \\(a\\) song song với \\(b\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là C.<strong><em></em></strong></p>"},{"article_id":147418,"cat_id":1568,"publish_time":1692434100,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_1-0_57.png","title":"Giải bài 10 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 10 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-10-trang-99-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Điều này có nghĩa đáp án C là đáp án đúng.</p>\r\n<p>Đáp án cần chọn là C.</p>"},{"article_id":147402,"cat_id":1568,"publish_time":1692429420,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_-0.png","title":"Giải bài 1 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 1 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-1-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp tứ giác \\(S.ABCD\\) có \\(ABCD\\) là hình bình hành. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692429935.png\"   /></p>\r\n<p>Theo hình vẽ, ta thấy \\(SC\\) nằm trong mặt \\(\\left( {SAC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(M \\in SC\\) nên \\(M\\) nằm trên mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là B.</p>"},{"article_id":148176,"cat_id":1568,"publish_time":1693299600,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_1-0_60.png","title":"Giải bài 47 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 47 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-47-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Trong các hình dưới đây, có bao nhiêu hình có thể là hình biểu diễn cho hình chóp tứ giác?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta nhận thấy rằng hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác, các mặt bên là các tam giác, nên cả 3 hình vẽ trên đây đều có thể là hình biểu diễn của chóp tứ giác.</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":148161,"cat_id":1568,"publish_time":1693297920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_2-0_3.png","title":"Giải bài 37 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 37 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-37-trang-112-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ tam giác \\(ABC.A'B'C'\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(BC\\), \\(B'C'\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693298273.png\"   /></p>\r\n<p>Ta nhận xét rằng \\(A' \\in \\left( {A'MN} \\right)\\) và \\(A' \\in \\left( {ACC'A'} \\right)\\), nên hai mặt phẳng \\(\\left( {A'MN} \\right)\\)  và \\(\\left( {ACC'} \\right)\\) có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.</p>\r\n<p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {A'BN} \\right)\\) và \\(\\left( {AC'M} \\right)\\). Do \\(M\\) và \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(BC\\) và \\(B'C'\\), nên ta có \\(BM = C'N = \\frac{1}{2}BC\\). Hơn nữa, do \\(BC\\parallel B'C'\\) nên tứ giác \\(BMC'N\\) là hình bình hành. Suy ra \\(BN\\parallel C'M\\), mà do \\(C'M \\subset \\left( {AC'M} \\right)\\) nên \\(BN\\parallel \\left( {AC'M} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, vì \\(M\\) và \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(BC\\) và \\(B'C'\\) nên \\(MN\\parallel BB'\\) và \\(MN = BB'\\). Do \\(ABC.A'B'C'\\) là lăng trụ tam giác, nên \\(BB'\\parallel AA'\\) và \\(BB' = AA'\\). Từ đó ta có \\(MN = AA'\\) và \\(MN\\parallel AA'\\). Điều này có nghĩa tứ giác \\(A'NMA\\) là hình bình hành. Suy ra \\(A'N\\parallel AM\\). Do \\(AM \\subset \\left( {AC'M} \\right)\\) nên \\(A'N\\parallel \\left( {AC'M} \\right)\\). Vậy \\(\\left( {A'BN} \\right)\\parallel \\left( {AC'M} \\right)\\).</p>\r\n<p>Xét mặt phẳng \\(\\left( {BCC'B'} \\right)\\), ta thấy rằng \\(BB'\\) và \\(CM\\) cắt nhau, mà do \\(BB' \\subset \\left( {A'B'B} \\right)\\) nên \\(CM\\) và \\(\\left( {A'B'B} \\right)\\) có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra \\(BN\\) và \\(\\left( {ACC'A'} \\right)\\) không song song với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án đúng là B.</p>"},{"article_id":147783,"cat_id":1568,"publish_time":1692762300,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0823/resize_2-0_5.png","title":"Giải bài 29 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 29 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).","alias":"giai-bai-29-trang-108-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đáp án A sai. Ví dụ, chọn 2 đường thẳng \\(a\\) và \\(a'\\)  cắt mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) lần lượt tại \\(A\\) và \\(A'\\); cắt \\(\\left( Q \\right)\\) lần lượt tại \\(B\\) và \\(B'\\). Lấy một điểm \\(C' \\in \\left( Q \\right)\\) sao cho ba điểm \\(A'\\), \\(B'\\), \\(C'\\) không thẳng hàng. Ta kết luận rằng hai đường thẳng \\(AB\\) và \\(A'C'\\) là hai đường thẳng chéo nhau, do đó chúng không song song với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án B đúng, do hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) song song với nhau, nên chúng không có điểm chung. Do đó mọi đường thẳng nằm trong \\(\\left( Q \\right)\\) đều không có điểm chung với \\(\\left( P \\right)\\). Điều này suy ra mọi đường thẳng nằm trong \\(\\left( Q \\right)\\) đều song song với \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án C sai. Với trường hợp mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) trùng với mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\), ta vẫn có mặt phẳng \\(\\left( R \\right)\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án D sai. Với trường hợp \\(a\\) nằm trong \\(\\left( P \\right)\\), ta vẫn có \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án cần chọn là đáp án B.</p>"},{"article_id":147712,"cat_id":1568,"publish_time":1692695820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_1-0_35.png","title":"Giải bài 20 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 20 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-20-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Khẳng định nào sau đây là SAI?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đáp án A đúng vì theo tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng: Với đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), và mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) chứa \\(a\\) và cắt \\(\\left( P \\right)\\) theo giao tuyến \\(b\\) thì \\(a\\) song song với \\(b\\).</p>\r\n<p>Đáp án B đúng, giả sử trên \\(\\left( P \\right)\\) ta lấy đường thẳng \\(b\\) sao cho \\(a\\) song song với \\(b\\), và một đường thẳng \\(c \\subset P\\) bất kì sao cho \\(b\\) cắt \\(c\\), thì khi đó \\(a\\) và \\(c\\) là hai đường thẳng chéo nhau.</p>\r\n<p>Đáp án C đúng, vì theo định nghĩa, đường thẳng song song với mặt phẳng khi chúng không có điểm chung.</p>\r\n<p>Đáp án D sai, giả sử trên \\(\\left( P \\right)\\) ta lấy đường thẳng \\(b\\) sao cho \\(a\\) song song với \\(b\\), và một đường thẳng \\(c \\subset P\\) bất kì sao cho \\(b\\) song song với \\(c\\), thì ta suy ra \\(a\\) cũng song song với \\(c\\).</p>\r\n<p>Đáp án cần chọn là đáp án D.</p>"},{"article_id":147419,"cat_id":1568,"publish_time":1692434100,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_2-0_1.png","title":"Giải bài 11 trang 99, 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 11 trang 99, 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-11-trang-99-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho ba đường thẳng \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Đáp án A sai. Xét trường hợp \\(a\\) song song với \\(c\\), \\(a\\) trùng với \\(b\\). Khi đó ta có \\(a\\) và \\(b\\) cùng song song với \\(c\\), nhưng \\(a\\) không song song với \\(b\\) (do \\(a\\) trùng với \\(b\\)).<strong></strong></p>\r\n<p>Đáp án B sai. Xét hai mặt phẳng song song \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\). Chọn đường thẳng \\(c \\in \\left( Q \\right)\\) bất kỳ. Trên mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) chọn 2 đường thẳng \\(a\\) và \\(b\\) sao cho \\(c\\) không song song với hai đường thẳng trên. Khi đó ta có \\(a\\) và \\(b\\) cùng chéo nhau với \\(c\\), nhưng \\(a\\) và \\(b\\) không thể chéo nhau do chúng cùng nằm trong \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án D sai. Xét hai mặt phẳng song song \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\). Đường thẳng \\(b\\) cắt cả hai mặt phẳng lần lượt tại \\(M\\) và \\(N\\). Chọn đường thẳng \\(a \\subset \\left( P \\right)\\) sao cho \\(M \\in a\\); chọn đường thẳng \\(c \\in \\left( Q \\right)\\) sao cho \\(N \\in c\\). Khi đó hai đường thẳng \\(a\\) và \\(b\\) cắt nhau tại \\(M\\), hai đường thẳng \\(b\\) và \\(c\\) cắt nhau tại \\(N\\), nhưng \\(a\\) và \\(c\\) không cắt nhau.</p>\r\n<p>Đáp án cần chọn là đáp án C.</p>"},{"article_id":147405,"cat_id":1568,"publish_time":1692430020,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_1-0_52.png","title":"Giải bài 2 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 2 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-2-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình tứ diện \\(ABCD\\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) và \\(\\left( {CDA} \\right)\\) là đường thẳng:","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692431924.png\"   /></p>\r\n<p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) và \\(\\left( {CDA} \\right)\\), ta nhận thấy hai mặt phẳng này có hai điểm chung là \\(A\\) và \\(C\\), do đó giao tuyến của hai mặt phẳng này là \\(AC\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là D.</p>"},{"article_id":148533,"cat_id":1568,"publish_time":1693390020,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_1-0_68.png","title":"Giải bài 54 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 54 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-54-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện \\(ABCD\\). Trên cạnh \\(BC\\) lấy điểm \\(M\\) sao cho \\(MB = 2MC\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390214.png\"   /></p>\r\n<p>Nhận xét rằng \\(MN\\) chính là giao tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta nhận thấy rằng \\(AB\\) là giao tuyến của \\(\\left( {ABD} \\right)\\) và \\(\\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\left( P \\right)\\) song song với \\(\\left( {ABD} \\right)\\), ta suy ra \\(MN\\parallel AB\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABC\\) có \\(MN\\parallel AB\\), nên theo định lí Thales, ta có \\(\\frac{{AN}}{{NC}} = \\frac{{BM}}{{MC}} = 2\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án đúng là C.</p>"},{"article_id":148178,"cat_id":1568,"publish_time":1693299660,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_2-0_5.png","title":"Giải bài 48 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 48 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-48-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Hình biểu diễn của hai đường thẳng cắt nhau có thể là hai đường thẳng song song được không? Vì sao?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693300130.png\"   /></p>\r\n<p>Giả sử hai đường thẳng \\(a\\) và \\(b\\) cắt nhau tại \\(O\\) và hình chiếu song song của \\(a\\), \\(b\\), \\(O\\) theo phương chiếu là đường thẳng bất kỳ \\(c\\) lần lượt là \\(a'\\), \\(b'\\), \\(O'\\).</p>\r\n<p>Ta nhận xét rằng với mỗi điểm \\(M \\in a\\) thì hình chiếu song song \\(M'\\) của \\(M\\) theo phương chiếu \\(c\\) cũng nằm trên \\(a'\\). Do đó, vì \\(O \\in a\\) nên ta có \\(O' \\in a'\\).</p>\r\n<p>Tương tự ta cũng có \\(O' \\in b'\\). Như vậy \\(a'\\) và \\(b'\\) có điểm chung \\(O'\\), nên chúng không song song với nhau.</p>\r\n<p>Vậy<strong> </strong>hình biểu diễn của hai đường thẳng cắt nhau không thể là hai đường thẳng song song.</p>"},{"article_id":148162,"cat_id":1568,"publish_time":1693297920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_3-0_1.png","title":"Giải bài 38 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 38 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-38-trang-112-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\). Khẳng định nào sau đây là SAI?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693298346.png\"   /></p>\r\n<p>Đáp án A đúng vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, mà các mặt bên của lăng trụ cũng là hình bình hành.</p>\r\n<p>Đáp án B đúng vì theo tính chất của hình hộp, hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án C sai, vì \\(DBB'D'\\) là hình bình hành, nên không đủ kết luận để chỉ ra rằng \\(DB' = D'B\\).</p>\r\n<p>Đáp án D đúng, vì các tứ giác \\(DBB'D'\\), \\(ACC'A'\\), \\(ABC'D'\\) là các hình bình hành, nên 4 đường thẳng \\(AC'\\), \\(A'C\\), \\(BD'\\), \\(B'D\\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.</p>\r\n<p>Đáp án cần chọn là đáp án C.</p>"},{"article_id":147784,"cat_id":1568,"publish_time":1692762300,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0823/resize_3-0_6.png","title":"Giải bài 30 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 30 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).","alias":"giai-bai-30-trang-108-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy\\(ABCD\\) là hình bình hành.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0823/1692762666.png\"   /></p>\r\n<p>Xét mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), ta thấy rằng \\(BN\\) cắt \\(AD\\).</p>\r\n<p>Mà \\(BN \\subset \\left( {SBN} \\right)\\), \\(AD \\subset \\left( {DAP} \\right)\\), ta suy ra \\(\\left( {SBN} \\right)\\) và \\(\\left( {DAP} \\right)\\) có điểm chung, tức hai mặt phẳng này không song song với nhau.</p>\r\n<p>Tương tự, do \\(MD\\) cắt \\(BC\\) nên \\(\\left( {SBC} \\right)\\) và \\(\\left( {MPD} \\right)\\) không song song với nhau.</p>\r\n<p>Do \\(M\\) là trung điểm \\(AB\\), \\(P\\) là trung điểm của \\(SA\\), ta suy ra \\(MP\\) là đường trung bình của tam giác \\(SAB\\). Suy ra \\(MP\\parallel SB\\). Do \\(MP \\subset \\left( {DMP} \\right)\\), ta kết luận rằng \\(SB\\parallel \\left( {DMP} \\right)\\). Chứng minh tương tự ta cũng có \\(BN\\parallel \\left( {DMP} \\right)\\). Như vậy \\(\\left( {SBN} \\right)\\parallel \\left( {PMD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(S \\in \\left( {SDN} \\right) \\cap \\left( {MAP} \\right)\\), nên hai mặt phẳng này không song song với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án đúng là C.</p>"},{"article_id":147713,"cat_id":1568,"publish_time":1692695820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_2-0_6.png","title":"Giải bài 21 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 21 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-21-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hai đường thẳng \\(a\\) và \\(b\\) chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \\(a\\) và song song với \\(b\\)?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Với hai đường thẳng chéo nhau, do có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia, nên đáp án đúng là B.</p>"},{"article_id":147420,"cat_id":1568,"publish_time":1692434100,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_3-0_1.png","title":"Giải bài 12 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 12 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-12-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy \\(ABCD\\) là hình bình hành. Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(SA\\), \\(SC\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(M\\) là trung điểm của \\(SA\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(SC\\), nên \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(SAC\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(MN\\parallel AC\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là D.</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692434602.png\"   /></p>"},{"article_id":147406,"cat_id":1568,"publish_time":1692431640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_1-0_53.png","title":"Giải bài 3 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 3 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-3-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Một đồ vật trang trí có bốn mặt phân biệt là các tam giác (xem hình dưới đây). Vẽ hình hiểu diễn của đồ vật đó.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Do đồ vật trang trí có 4 mặt là các tam giác, nên nó có hình dạng một tứ diện.</p>\r\n<p>Hình biểu diễn của nó như sau:</p>\r\n<p align=\"center\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692432132.png\"   /> </p>"},{"article_id":148534,"cat_id":1568,"publish_time":1693390020,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_2-0_18.png","title":"Giải bài 55 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 55 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-55-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện \\(ABCD\\). Trên cạnh \\(CD\\) lấy hai điểm \\(M\\) và \\(N\\) khác nhau","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390332.png\"   /></p>\r\n<p>Giả sử \\(AM\\) cắt \\(BN\\). Như vậy tồn tại mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) chứa hai đường thẳng \\(AM\\) và \\(BN\\).</p>\r\n<p>Do \\(M\\) và \\(N\\) cùng nằm trên \\(\\left( P \\right)\\), ta suy ra đường thẳng \\(MN\\) cũng nằm trên \\(\\left( P \\right)\\). Từ đó \\(C\\) và \\(D\\) cũng thuộc \\(\\left( P \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\) cùng thuộc mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\). Điều này là vô lí, do với mọi tứ diện \\(ABCD\\) thì 4 điểm \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\) luôn không đồng phẳng.</p>\r\n<p>Do đó điều giả sử là sai.</p>\r\n<p>Vậy hai đường thẳng \\(AM\\) và \\(BN\\) không cắt nhau.</p>"},{"article_id":148180,"cat_id":1568,"publish_time":1693299660,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_3-0_3.png","title":"Giải bài 49 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 49 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-49-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau có thể là hai đường thẳng song song được không? Vì sao?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693300200.png\"   /></p>\r\n<p>Giả sử hai đường thẳng \\(a\\) và \\(b\\) chéo nhau và hình chiếu song song của \\(a\\), \\(b\\) theo phương chiếu là đường thẳng bất kỳ \\(l\\) lần lượt là \\(a'\\), \\(b'\\) trên cùng một mặt phẳng. Ta nhận thấy rằng nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng \\(a\\) và \\(a'\\) (kí hiệu là \\(\\left( {a,a'} \\right)\\)) song song với mặt phẳng \\(\\left( {b,b'} \\right)\\) thì do \\(a'\\) và \\(b'\\) cùng nằm trên mặt phẳng chiếu, nên chúng song song với nhau.</p>\r\n<p>Như vậy, hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau có thể là hai đường thẳng song song</p>"},{"article_id":148164,"cat_id":1568,"publish_time":1693297920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_1-0_58.png","title":"Giải bài 39 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 39 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-39-trang-113-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ tam giác \\(ABC.A'B'C'\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(A'B'\\), \\(B'C'\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693298728.png\"   /></p>\r\n<p>Do \\(M\\) là trung điểm của \\(A'B'\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(B'C'\\) nên \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(A'B'C'\\). Suy ra \\(MN\\parallel A'C'\\).</p>\r\n<p>Vì \\(MN \\subset \\left( {BMN} \\right)\\), \\(A'C' \\subset \\left( {ACC'A'} \\right)\\) và \\(d = \\left( {BMN} \\right) \\cap \\left( {ACC'A'} \\right)\\) nên suy ra \\(d\\parallel A'C'\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là D.</p>"},{"article_id":147785,"cat_id":1568,"publish_time":1692762300,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0823/resize_4-0_4.png","title":"Giải bài 31 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 31 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).","alias":"giai-bai-31-trang-108-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hai hình bình hành \\(ABCD\\)  và \\(ABEF\\) nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0823/1692762755.png\"   /></p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình bình hành nên \\(AD\\parallel BC\\). Mà \\(BC \\subset \\left( {BCE} \\right)\\), ta suy ra \\(AD\\parallel \\left( {BCE} \\right)\\). Chứng minh tương tự ta có \\(AF\\parallel \\left( {BCE} \\right)\\). Như vậy \\(\\left( {ADF} \\right)\\parallel \\left( {BCE} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(A \\in AD\\), \\(A \\in \\left( {BEF} \\right)\\) nên suy ra \\(AD\\) và \\(\\left( {BEF} \\right)\\) có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.</p>\r\n<p>Tương tự, ta cũng chứng minh được \\(EC\\) và \\(\\left( {ABD} \\right)\\) không song song với nhau.</p>\r\n<p>Do \\(AB\\parallel CD\\), \\(AB\\parallel EF\\) nên \\(CD\\parallel EF\\), tức là tứ giác \\(CDFE\\) là hình bình hành.</p>\r\n<p>Vì \\(C \\in \\left( {ABC} \\right)\\), \\(C \\in \\left( {DEF} \\right)\\), nên hai mặt phẳng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) và \\(\\left( {DEF} \\right)\\) có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":147714,"cat_id":1568,"publish_time":1692695820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_3-0_4.png","title":"Giải bài 22 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 22 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-22-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện \\(ABCD\\). Gọi \\(G\\) là trọng tâm của tam giác \\(ACD\\), điểm \\(M\\) nằm trên cạnh \\(AB\\) sao cho \\(AM = 2MB\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0822/1692696226.png\"   /></p>\r\n<p>Do \\(AM = 2MB \\Rightarrow \\frac{{AM}}{{AB}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(E\\) là trung điểm của \\(CD\\). Do \\(G\\) là trọng tâm tam giác \\(ACD\\), ta suy ra ba điểm \\(A\\), \\(G\\), \\(E\\) thẳng hàng và \\(\\frac{{AG}}{{AE}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(ABE\\) có \\(\\frac{{AM}}{{AB}} = \\frac{{AG}}{{AE}}\\) nên theo định lí Thales đảo, \\(GM\\parallel BE\\).</p>\r\n<p>Mà \\(BE \\subset \\left( {BCD} \\right)\\), ta suy ra \\(GM\\parallel \\left( {BCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là C.</p>"},{"article_id":147421,"cat_id":1568,"publish_time":1692434580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_4-0_1.png","title":"Giải bài 13 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 13 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-13-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện \\(ABCD\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(AB\\), \\(AD\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(AD\\), nên \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(ABD\\). Suy ra \\(MN\\parallel BD\\).</p>\r\n<p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {CMN} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\). Ta có \\(C \\in \\left( {CMN} \\right) \\cap \\left( {BCD} \\right)\\) nên tồn tại giao tuyến giữa hai mặt phẳng \\(\\left( {CMN} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\). Hơn nữa, do \\(C \\notin BD\\) nên \\(BD\\) không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692434798.png\"   /></p>\r\n<p>Ta thấy rằng, \\(MN\\parallel BD\\), \\(MN \\subset \\left( {CMN} \\right)\\), \\(BD \\subset \\left( {BCD} \\right)\\), nên suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {CMN} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\) song song hoặc trùng với \\(BD\\).</p>\r\n<p>Nhưng do \\(BD\\) không là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {CMN} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\), nên giao tuyến của chúng song song với đường thẳng \\(BD\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng là A.</p>"},{"article_id":147407,"cat_id":1568,"publish_time":1692432120,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_1-0_54.png","title":"Giải bài 4 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 4 trang 94 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-4-trang-94-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":" Cho tứ diện \\(ABCD\\). Gọi \\(M,{\\rm{ }}N\\) lần lượt là trung điểm của \\(AB,{\\rm{ }}CD\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692432403.png\"   /></p>\r\n<p>Do \\(N\\) là trung điểm của \\(BC\\), nên 4 điểm \\(B\\), \\(N\\), \\(C\\), \\(D\\) cùng nằm trong mặt phẳng.</p>\r\n<p>Giả sử 4 điểm \\(M\\), \\(N\\), \\(C\\), \\(D\\) cùng nằm trong một mặt phẳng.</p>\r\n<p>Điều này có nghĩa là \\(M \\in \\left( {NCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do bốn điểm \\(B\\), \\(N\\), \\(C\\), \\(D\\) cùng nằm trong mặt phẳng, ta suy ra \\(M \\in \\left( {BCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Điểm \\(M\\) và điểm \\(B\\) cùng nằm trong mặt phẳng \\(\\left( {BCD} \\right)\\), nên \\(BM \\subset \\left( {BCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, do \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\), nên \\(A \\in BM\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(A \\in \\left( {BCD} \\right)\\). Điều này là vô lí do \\(ABCD\\) là tứ diện nên bốn điểm \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\) không cùng nằm trong một mặt phẳng.</p>"},{"article_id":148536,"cat_id":1568,"publish_time":1693390200,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_3-0_14.png","title":"Giải bài 56 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 56 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-56-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), ba điểm \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\) không thẳng hàng và không nằm trên \\(\\left( P \\right)\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390398.png\"   /></p>\r\n<p>Do ba điểm \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\) không thẳng hàng, nên tồn tại một mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) đi qua 3 điểm này.</p>\r\n<p>Vì \\(M \\in AB\\), mà \\(AB \\subset \\left( Q \\right)\\) nên \\(M \\in \\left( Q \\right)\\). Mặt khác, do \\(M \\in \\left( P \\right)\\) nên hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\) có điểm chung. Từ đó ta suy ra tồn tại giao tuyến của  \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\), và \\(M\\) nằm trên giao tuyến này.</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra \\(N\\) và \\(P\\) cũng nằm trên giao tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\). Do đó, ba điểm \\(M\\), \\(N\\), \\(P\\) thẳng hàng.</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":148181,"cat_id":1568,"publish_time":1693299900,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_4-0_2.png","title":"Giải bài 50 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 50 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-50-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ có đáy là tam giác đều.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Theo tính chất của hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta nhận thấy rằng tam giác bất kỳ có thể xem là hình biểu diễn của tam giác đều. Do đó, hình biểu diễn của hình lăng trụ có đáy là tam giác đều có thể biểu diễn như hình sau.</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693300275.png\"   /></p>"},{"article_id":148165,"cat_id":1568,"publish_time":1693298460,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_2-0_4.png","title":"Giải bài 40 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 40 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-40-trang-113-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693298812.png\"   /></p>\r\n<p>Do hình hộp là hình lăng trụ, các mặt bên là hình bình hành nên ta có \\(ADD'A'\\) và \\(DCC'D'\\) là các hình bình hành.</p>\r\n<p>Ta có \\(A' \\in \\left( {ADD'A'} \\right) \\cap \\left( {BA'C'} \\right)\\) nên hai mặt phẳng \\(\\left( {ADD'A'} \\right)\\) và \\(\\left( {BA'C'} \\right)\\) có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự, hai mặt phẳng \\(\\left( {BA'C'} \\right)\\) và \\(\\left( {DCD'} \\right)\\) không song song với nhau, và hai mặt phẳng \\(\\left( {BA'C'} \\right)\\) và \\(\\left( {ACD} \\right)\\) cũng không song song với nhau.</p>\r\n<p>Nhận xét rằng tứ giác \\(ACC'A'\\) có \\(AA' = CC'\\) và \\(AA'\\parallel CC'\\) nên nó là hình bình hành. Suy ra \\(A'C'\\parallel AC\\). Do \\(AC \\subset \\left( {AD'C} \\right)\\) nên \\(A'C'\\parallel \\left( {AD'C} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(BC'\\parallel \\left( {AD'C} \\right)\\). Như vậy \\(\\left( {BA'C'} \\right)\\parallel \\left( {AD'C} \\right)\\).</p>\r\n<p>Đáp án đúng D.</p>"},{"article_id":147786,"cat_id":1568,"publish_time":1692762360,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0823/resize_5-0_4.png","title":"Giải bài 32 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 32 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).","alias":"giai-bai-32-trang-108-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho \\(a\\), \\(b\\) là hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng song song \\(\\left( P \\right)\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0823/1692762840.png\"   /></p>\r\n<p>Áp dụng định lí Thales, ta có \\(\\frac{{AB}}{{A'B'}} = \\frac{{BC}}{{B'C'}} = \\frac{{CA}}{{C'A'}}\\). Như vậy, đáp án A đúng. Tương tự đáp án B cũng đúng.</p>\r\n<p>Do \\(\\frac{{AB}}{{A'B'}} = \\frac{{BC}}{{B'C'}} \\Rightarrow \\frac{{AB}}{{BC}} = \\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\\), suy ra đáp án C đúng.</p>\r\n<p>Đáp án D sai vì \\(\\frac{{AB}}{{BC}} \\ne \\frac{{AC}}{{A'C'}}\\).</p>\r\n<p>Vậy đáp án cần chọn là đáp án D.</p>"},{"article_id":147716,"cat_id":1568,"publish_time":1692695820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_4-0_4.png","title":"Giải bài 23 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 23 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-23-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện\\(ABCD\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\), \\(P\\), \\(Q\\) lần lượt là trung điểm của \\(AB\\), \\(AD\\), \\(BC\\), \\(CD\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0822/1692696287.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(\\left\\{ I \\right\\} = MC \\cap AP\\), \\(\\left\\{ J \\right\\} = NC \\cap AQ\\).</p>\r\n<p>Do \\(MC \\subset \\left( {CMN} \\right)\\), \\(AP \\subset \\left( {APQ} \\right)\\) nên suy ra \\(I \\in \\left( {APQ} \\right) \\cap \\left( {CMN} \\right)\\).</p>\r\n<p>Tương tự ta cũng có \\(J \\in \\left( {APQ} \\right) \\cap \\left( {CMN} \\right)\\). Như vậy \\(IJ\\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {APQ} \\right)\\) và \\(\\left( {CMN} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(AD\\), suy ra \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(ABD\\). Từ đó ta có \\(MN\\parallel BD\\).</p>\r\n<p>Do \\(MN \\subset \\left( {CMN} \\right)\\), ta suy ra \\(BD\\parallel \\left( {CMN} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự, ta cũng có \\(BD\\parallel \\left( {APQ} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(BD\\parallel \\left( {CMN} \\right)\\), \\(BD\\parallel \\left( {APQ} \\right)\\), \\(IJ\\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {APQ} \\right)\\) và \\(\\left( {CMN} \\right)\\). Vậy \\(BD\\parallel IJ\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":147423,"cat_id":1568,"publish_time":1692434580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_5-0.png","title":"Giải bài 14 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 14 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-14-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy\\(ABCD\\) là hình bình hành. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692434913.png\"   /></p>\r\n<p>Ta có \\(N\\) là trung điểm của \\(SB\\), \\(P\\) là trung điểm của \\(SC\\), suy ra \\(NP\\) là đường trung bình của tam giác \\(SBC\\). Từ đó ta có \\(NP\\parallel BC\\). Chứng minh tương tự ta cũng có \\(MQ\\parallel AD\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình bình hành, nên \\(AD\\parallel BC\\).</p>\r\n<p>Hai đường thẳng \\(NP\\) và \\(AD\\) phân biệt, cùng song song với \\(BC\\) nên chúng song song với nhau.</p>\r\n<p>Mặt khác \\(NP\\) và \\(MQ\\) phân biệt, cùng song song với \\(AD\\) nên chúng song song với nhau.</p>\r\n<p>Như vậy đường thẳng \\(NP\\) song song với các đường thẳng \\(BC\\), \\(AD\\), \\(MQ\\).</p>\r\n<p>Đáp án cần chọn là đáp án B.</p>"},{"article_id":147408,"cat_id":1568,"publish_time":1692432120,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_1-0_55.png","title":"Giải bài 5 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 5 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-5-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right),{\\rm{ }}\\left( Q \\right)\\) cắt nhau theo giao tuyến \\(d\\) và hai đường thẳng \\(a,{\\rm{ }}b\\) lần lượt nằm trong \\(\\left( P \\right),{\\rm{ }}\\left( Q \\right)\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692432701.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(I\\) là giao điểm của hai đường thẳng \\(a\\) và \\(b\\). Suy ra \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}I \\in a\\\\I \\in b\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Vì \\(a \\subset \\left( P \\right)\\) và \\(b \\subset \\left( Q \\right)\\), ta suy ra \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}I \\in \\left( P \\right)\\\\I \\in \\left( Q \\right)\\end{array} \\right.\\), tức là \\(I\\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\). Mà \\(\\left( P \\right) \\cap \\left( Q \\right) = d\\), suy ra \\(I \\in d\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":148538,"cat_id":1568,"publish_time":1693390200,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_4-0_11.png","title":"Giải bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-57-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\). Gọi \\(M\\) là trung điểm của cạnh \\(SD\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390489.png\"   /></p>\r\n<p>a) Trên mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), gọi \\(O\\) là giao điểm của \\(AC\\) và \\(BD\\).</p>\r\n<p>Do \\(AC \\subset \\left( {SAC} \\right)\\), \\(BD \\subset \\left( {SBD} \\right)\\) nên \\(O\\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\) và \\(\\left( {SBD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, ta có \\(S \\in \\left( {SAC} \\right) \\cap \\left( {SBD} \\right)\\). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\) và \\(\\left( {SBD} \\right)\\) là đường thẳng \\(SO\\).</p>\r\n<p>b) Nhận xét rằng \\(BM \\subset \\left( {SBD} \\right)\\). Trên \\(\\left( {SBD} \\right)\\), gọi \\(E\\) là giao điểm của \\(BM\\) và \\(SO\\).</p>\r\n<p>Do \\(SO \\subset \\left( {SAC} \\right)\\), nên \\(\\left\\{ E \\right\\} = BM \\cap \\left( {SAC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(E\\) là giao điểm của \\(BM\\) và \\(\\left( {SAC} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Nhận xét rằng \\(CE \\subset \\left( {SAC} \\right)\\). Trên \\(\\left( {SAC} \\right)\\), gọi \\(F\\) là giao điểm của \\(CE\\) và \\(SA\\).</p>\r\n<p>Do \\(E \\in BM\\), mà \\(BM \\subset \\left( {MBC} \\right)\\) nên \\(E \\in \\left( {MBC} \\right)\\). Suy ra \\(CE \\subset \\left( {MBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {MBC} \\right)\\) và \\(\\left( {SAB} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}F \\in CE \\subset \\left( {MBC} \\right)\\\\F \\in SA \\subset \\left( {SAB} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow F \\in \\left( {MBC} \\right) \\cap \\left( {SAB} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, vì \\(B \\in \\left( {MBC} \\right) \\cap \\left( {SAB} \\right)\\), nên giao tuyến của \\(\\left( {MBC} \\right)\\) và \\(\\left( {SAB} \\right)\\) là đường thẳng \\(BF\\).</p>\r\n<p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {MBC} \\right)\\) và \\(\\left( {SAD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}F \\in CE \\subset \\left( {MBC} \\right)\\\\F \\in SA \\subset \\left( {SAD} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow F \\in \\left( {MBC} \\right) \\cap \\left( {SAD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, ta lại có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}M \\in \\left( {MBC} \\right)\\\\M \\in SD \\subset \\left( {SAD} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow M \\in \\left( {MBC} \\right) \\cap \\left( {SAD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy, giao tuyến của \\(\\left( {MBC} \\right)\\) và \\(\\left( {SAD} \\right)\\) là đường thẳng \\(MF\\).</p>"},{"article_id":148182,"cat_id":1568,"publish_time":1693299900,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_5-0_2.png","title":"Giải bài 51 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 51 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-51-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện (ABCD) có (M), (N) lần lượt là trung điểm của các cạnh (AB), (CD).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693300338.png\" /></p>\r\n<p>Gọi \\(f\\) là phép chiếu song song có phương chiếu là đường thẳng \\(MN\\), mặt phẳng chiếu là mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) bất kì cắt \\(MN\\).</p>\r\n<p>Nhận xét rằng hình chiếu của song song của đoạn thẳng \\(MN\\) theo phép chiếu \\(f\\) là một điểm. Gọi điểm đó là \\(I\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(A'\\), \\(B'\\), \\(C'\\), \\(D'\\) lần lượt là hình chiếu của \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\) theo phép chiếu \\(f\\).</p>\r\n<p>Do phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số giữa các đoạn thẳng cùng nằm trên 1 đường thẳng, nên do \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\) nên \\(I\\) là trung điểm của \\(A'B'\\). Tương tự, \\(I\\) là trung điểm của \\(C'D'\\). Suy ra \\(A'C'B'D'\\) là hình bình hành.</p>\r\n<p>Vậy hình chiếu của tứ diện \\(ABCD\\) là hình bình hành \\(A'C'B'D'\\) và hai đường chéo \\(A'B'\\), \\(C'D'\\) của nó.</p>"},{"article_id":148168,"cat_id":1568,"publish_time":1693298460,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_3-0_2.png","title":"Giải bài 41 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 41 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-41-trang-113-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ tam giác (ABC.A'B'C'). Gọi (M) là trung điểm của (A'C').","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693298891.png\" /></p>\r\n<p>a) Gọi \\(N\\) là trung điểm cạnh \\(BC'\\). Do \\(M\\) là trung điểm cạnh \\(A'C'\\) nên \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(A'BC'\\). Suy ra \\(A'B\\parallel MN\\).</p>\r\n<p>Do \\(MN \\subset \\left( {B'MC} \\right)\\), nên \\(A'B\\parallel \\left( {B'MC} \\right)\\). Bài toán được chứng minh.</p>\r\n<p>b) Ta có \\(AC\\parallel A'C'\\), \\(A'C' \\subset \\left( {A'BC'} \\right)\\), \\(AC \\subset \\left( {ABC} \\right)\\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này (nếu có) là một đường thẳng song song hoặc trùng với \\(AC\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, do \\(B \\in \\left( {ABC} \\right) \\cap \\left( {A'BC'} \\right)\\), nên ta kết luận rằng \\(\\left( {ABC} \\right)\\) và \\(\\left( {A'BC'} \\right)\\) có giao tuyến là đường thẳng \\(d\\) đi qua \\(B\\) và song song với \\(AC\\) (trên hình vẽ).</p>"},{"article_id":147787,"cat_id":1568,"publish_time":1692762360,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0823/resize_6-0_4.png","title":"Giải bài 33 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 33 trang 108 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho đường thẳng \\(a\\) song song với mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\).","alias":"giai-bai-33-trang-108-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Trong mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) cho tam giác \\(ABC\\). Qua \\(A,{\\rm{ }}B,{\\rm{ }}C\\) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0823/1692762920.png\"   /></p>\r\n<p>Tứ giác \\(ABB'A'\\) có \\(AA' = BB'\\) và \\(AA'\\parallel BB'\\) nên nó là hình bình hành.</p>\r\n<p>Suy ra \\(AB\\parallel A'B'\\). Do \\(AB \\subset \\left( {ABC} \\right)\\) nên ta kết luận \\(A'B'\\parallel \\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(B'C'\\parallel \\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\left( {A'B'C'} \\right)\\parallel \\left( {ABC} \\right)\\). Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":147717,"cat_id":1568,"publish_time":1692695820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_5-0_4.png","title":"Giải bài 24 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 24 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-24-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy\\(ABCD\\) là hình bình hành. Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(CD\\), \\(SB\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Vẽ \\(NP\\parallel AB\\) với \\(P \\in SA\\). Do \\(AB\\parallel CD\\) nên ta suy ra \\(NP\\parallel CD\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(N \\in \\left( {SAB} \\right) \\cap \\left( {CDN} \\right)\\), nên tồn tại giao tuyến (là đường thẳng đi qua \\(N\\)) của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAB} \\right)\\) và \\(\\left( {CDN} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, ta có \\(AB\\parallel CD\\), \\(AB \\subset \\left( {SAB} \\right)\\), \\(CD \\subset \\left( {CDN} \\right)\\), ta suy ra giao tuyến của \\(\\left( {SAB} \\right)\\) và \\(\\left( {CDN} \\right)\\) song song với \\(CD\\), tức là giao tuyến đó là đường thẳng \\(NP\\).</p>\r\n<p align=\"center\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0822/1692696360.png\"   /></p>\r\n<p>b) Do \\(N\\) là trung điểm của \\(SB\\), \\(NP\\parallel AB\\) nên \\(NP\\) là đường trung bình của tam giác \\(SAB\\). Suy ra \\(NP = \\frac{1}{2}AB\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, do \\(M\\) là trung điểm của \\(CD\\) nên \\(CM = \\frac{1}{2}CD\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(NP = CM\\). Mặt khác, ta có \\(NP\\parallel CM\\) nên tứ giác \\(CMPN\\) là hình bình hành.</p>\r\n<p>Từ đó \\(CN\\parallel MP\\). Do \\(MP \\subset \\left( {SAM} \\right)\\) nên \\(CN\\parallel \\left( {SAM} \\right)\\).</p>\r\n<p>Bài toán dược chứng minh.</p>"},{"article_id":147424,"cat_id":1568,"publish_time":1692434580,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_1-0_58.png","title":"Giải bài 15 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 15 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-15-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Quan sát hình căn phòng, hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng (a) và (b), (a) và (c), (b) và (c).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Nhìn hình vẽ, ta thấy \\(a\\) và \\(c\\) không cùng thuộc một mặt phẳng nào, nên 2 đường thẳng này chéo nhau.</p>\r\n<p>Ta có \\(b\\) và \\(c\\) cùng thuộc mặt phẳng “sàn nhà”. Nhìn theo hình, ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm ở góc phòng. Như vậy \\(b\\) và \\(c\\) cắt nhau.</p>\r\n<p>Ta có \\(a\\) và \\(b\\) cùng thuộc mặt phẳng “tường nhà”. Nhìn theo hình, ta thấy hai đường thẳng không có điểm chung. Do đó \\(a\\) và \\(b\\) song song với nhau.</p>"},{"article_id":147411,"cat_id":1568,"publish_time":1692433080,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_1-0_56.png","title":"Giải bài 6 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 6 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-6-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện \\(ABCD\\). Trên các cạnh \\(AC,{\\rm{ }}CD\\) lần lượt lấy các điểm \\(E,{\\rm{ }}F\\) sao cho \\(CE = 3EA,{\\rm{ }}DF = 2FC\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a)</p>\r\n<p><em>Giao tuyến của </em>\\(\\left( {BEF} \\right)\\) <em>và </em>\\(\\left( {ABC} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Ta có \\(B \\in \\left( {BEF} \\right) \\cap \\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}E \\in \\left( {BEF} \\right)\\\\E \\in AC \\subset \\left( {ABC} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow E \\in \\left( {BEF} \\right) \\cap \\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy giao tuyển của \\(\\left( {BEF} \\right)\\) và \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là đường thẳng \\(BE\\).</p>\r\n<p align=\"center\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692433259.png\"   /></p>\r\n<p><em>Giao tuyến của </em>\\(\\left( {BEF} \\right)\\) <em>và </em>\\(\\left( {ACD} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}F \\in \\left( {BEF} \\right)\\\\F \\in CD \\subset \\left( {ACD} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow F \\in \\left( {BEF} \\right) \\cap \\left( {ACD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}E \\in \\left( {BEF} \\right)\\\\E \\in AC \\subset \\left( {ACD} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow E \\in \\left( {BEF} \\right) \\cap \\left( {ACD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy giao tuyển của \\(\\left( {BEF} \\right)\\) và \\(\\left( {ACD} \\right)\\) là đường thẳng \\(EF\\).</p>\r\n<p><em>Giao tuyến của </em>\\(\\left( {BEF} \\right)\\) <em>và </em>\\(\\left( {BCD} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Ta có \\(B \\in \\left( {BEF} \\right) \\cap \\left( {BCD} \\right)\\)</p>\r\n<p>Mặt khác, \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}F \\in \\left( {BEF} \\right)\\\\F \\in CD \\subset \\left( {BCD} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow F \\in \\left( {BEF} \\right) \\cap \\left( {BCD} \\right)\\)</p>\r\n<p>Như vậy giao tuyển của \\(\\left( {BEF} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\) là đường thẳng \\(BF\\).</p>\r\n<p>b) Trên mặt phẳng \\(\\left( {ACD} \\right)\\), lấy \\(K\\) là giao điểm của \\(AD\\) và \\(EF\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left\\{ K \\right\\} = AD \\cap EF\\),  mà \\(EF \\subset \\left( {BEF} \\right)\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left\\{ K \\right\\} = AD \\cap \\left( {BEF} \\right)\\), tức \\(K\\) là giao điểm của \\(AD\\) và \\(\\left( {BEF} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Ta có \\(B \\in \\left( {BEF} \\right) \\cap \\left( {ABD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Theo câu b, ta có \\(K \\in AD \\cap \\left( {BEF} \\right) \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}K \\in AD\\\\K \\in \\left( {BEF} \\right)\\end{array} \\right.\\)</p>\r\n<p>Mà \\(AD \\in \\left( {ABD} \\right)\\) nên ta suy ra \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}K \\in \\left( {ABD} \\right)\\\\K \\in \\left( {BEF} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow K \\in \\left( {ABD} \\right) \\cap \\left( {BEF} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {BEF} \\right)\\) và \\(\\left( {ABD} \\right)\\) là đường thẳng \\(BK\\).</p>"},{"article_id":148543,"cat_id":1568,"publish_time":1693390500,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_1-0_72.png","title":"Giải bài 58 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 58 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-58-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện \\(ABCD\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(AB\\), \\(AD\\); \\(P\\), \\(Q\\) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390771.png\"   /></p>\r\n<p>Xét \\(\\left( {ADC} \\right)\\), do \\(P\\) không là trung điểm của \\(CD\\), nên đường thẳng \\(NP\\) cắt đường thẳng \\(AC\\). Gọi \\(I\\) là giao điểm của \\(NP\\) và \\(AC\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(I \\in \\left( {MNPQ} \\right)\\) (do \\(I\\) nằm trên \\(NP\\)) và \\(I \\in \\left( {ABC} \\right)\\) (do \\(I\\) nằm trên \\(AC\\)). Như vậy \\(I\\) nằm trên giao tuyến của \\(\\left( {MNPQ} \\right)\\) và \\(\\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta nhận thấy rằng \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}M \\in \\left( {MNPQ} \\right)\\\\M \\in AB \\subset \\left( {ABC} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow M \\in \\left( {MNPQ} \\right) \\cap \\left( {ABC} \\right)\\), và</p>\r\n<p>\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}Q \\in \\left( {MNPQ} \\right)\\\\Q \\in BC \\subset \\left( {ABC} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow Q \\in \\left( {MNPQ} \\right) \\cap \\left( {ABC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do đó giao tuyến của \\(\\left( {MNPQ} \\right)\\) và \\(\\left( {ABC} \\right)\\) là đường thẳng \\(MQ\\).</p>\r\n<p>Mà \\(I\\) nằm trên giao tuyến của \\(\\left( {MNPQ} \\right)\\) và \\(\\left( {ABC} \\right)\\), nên \\(I \\in MQ\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(MQ\\), \\(NP\\) và \\(AC\\) cùng đi qua điểm \\(I\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":148530,"cat_id":1568,"publish_time":1693389840,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_1-0_66.png","title":"Giải bài 52 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 52 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-52-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho bốn điểm (A), (B), (C), (D) không cùng thuộc một mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây là SAI?","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693389999.png\" /></p>\r\n<p>Đáp án A hiển nhiên đúng. Nếu có 2 điểm trùng nhau thì sẽ tồn tại một mặt phẳng chứa cả 4 điểm, do đó nó không phải là tứ diện.</p>\r\n<p>Đáp án B đúng, do nếu tồn tại 3 điểm thẳng hàng thì sẽ tồn tại một mặt phẳng chứa đường thẳng đi qua 3 điểm thẳng hàng và điểm còn lại.</p>\r\n<p>Đáp án C sai, do \\(AC\\) và \\(BD\\) không cùng nằm trong một mặt phẳng, nên chúng không thể song song với nhau.</p>\r\n<p>Đáp án D đúng, do \\(AC\\) và \\(BD\\) là 2 đường thẳng chéo nhau.</p>\r\n<p>Vậy đáp án cần chọn là C.<strong><em>      </em></strong></p>"},{"article_id":148170,"cat_id":1568,"publish_time":1693298460,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_4-0_1.png","title":"Giải bài 42 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 42 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-42-trang-113-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\), \\(P\\), \\(Q\\), \\(R\\), \\(S\\) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693299013.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(R\\) là trung điểm \\(A'D'\\), \\(S\\) là trung điểm \\(AA'\\) nên \\(RS\\) là đường trung bình của tam giác \\(A'AD'\\). Suy ra \\(RS\\parallel AD'\\). Tương tự ta cũng có \\(NP\\parallel BC'\\).</p>\r\n<p>Tứ giác \\(ABC'D'\\) có \\(AB = C'D'\\) và \\(AB\\parallel C'D'\\) nên là hình bình hành. Suy ra \\(AD'\\parallel BC'\\) và \\(AD' = BC'\\). Từ đó suy ra \\(RS\\parallel NP\\), và 4 điểm \\(R\\), \\(S\\), \\(N\\), \\(P\\) đồng phẳng.</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta có \\(PQ\\parallel MS\\) và \\(QR\\parallel MN\\).</p>\r\n<p>Như vậy, 6 điểm \\(M\\), \\(N\\), \\(P\\), \\(Q\\), \\(R\\), \\(S\\) đồng phẳng. Bài toán được chứng minh.</p>\r\n<p>b) Ta có \\(RS\\parallel NP\\).</p>\r\n<p>Vì \\(RS\\) là đường trung bình của tam giác \\(A'AD'\\) nên \\(RS = \\frac{1}{2}AD'\\). Tương tự ta cũng có \\(NP = \\frac{1}{2}BC'\\). Do \\(AD' = BC'\\) nên \\(RS = NP\\). Vậy tứ giác \\(RSNP\\) là hình bình hành. Suy ra \\(NR\\) và \\(PS\\) cắt nhau tại trung điểm \\(O\\) của mỗi đường.</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(MNQR\\) là hình bình hành, từ đó ta có \\(NR\\) và \\(MQ\\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do \\(O\\) là trung điểm của \\(NR\\), nên \\(O\\) cũng là trung điểm của \\(MQ\\).</p>\r\n<p>Vậy ba đoạn thẳng \\(MQ\\), \\(NR\\) và \\(PS\\) cắt nhau trung điểm \\(O\\) của mỗi đường.</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":147788,"cat_id":1568,"publish_time":1692762900,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0823/resize_1-0_16.png","title":"Giải bài 34 trang 109 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 34 trang 109 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho đường thẳng (a) song song với mặt phẳng (left( P right)).","alias":"giai-bai-34-trang-109-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy(ABCD) là hình thang với đáy lớn (AD)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0823/1692763075.png\" /></p>\r\n<p>Ta có \\(\\frac{{AN}}{{AC}} = \\frac{{DP}}{{DC}}\\left( { = \\frac{1}{3}} \\right)\\) nên theo định lí Thales, ta có \\(NP\\parallel AD\\).</p>\r\n<p>Do \\(ABCD\\) là hình thang với đáy lớn \\(AD\\), ta có \\(AD\\parallel BC\\). Như vậy \\(NP\\parallel BC\\).</p>\r\n<p>Mà \\(BC \\subset \\left( {SBC} \\right)\\), ta kết luận rằng \\(NP\\parallel \\left( {SBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(E\\) là trung điểm của \\(AD\\).</p>\r\n<p>Do \\(M\\) là trọng tâm của tam giác \\(SAD\\) nên \\(M \\in SE\\) và \\(\\frac{{SM}}{{SE}} = \\frac{2}{3}\\). Từ đó\\(\\frac{{EM}}{{ES}} = \\frac{1}{3}\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(I\\) là giao điểm của \\(NP\\) và \\(EC\\).</p>\r\n<p>Xét tam giác \\(CDE\\), ta có \\(IP\\parallel DE \\Rightarrow \\frac{{EI}}{{EC}} = \\frac{{DP}}{{DC}} = \\frac{1}{3}\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(\\frac{{EI}}{{EC}} = \\frac{{EM}}{{ES}}\\left( { = \\frac{1}{3}} \\right)\\), từ đó ta có \\(MI\\parallel SC\\). Do \\(SC \\subset \\left( {SBC} \\right)\\) nên \\(MI\\parallel \\left( {SBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta có \\(NP\\parallel \\left( {SBC} \\right)\\), \\(MI\\parallel \\left( {SBC} \\right)\\). Mà \\(NP \\cap MI = \\left\\{ I \\right\\}\\), nên ta suy ra \\(\\left( {MNP} \\right)\\parallel \\left( {SBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":147718,"cat_id":1568,"publish_time":1692695820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_6-0_3.png","title":"Giải bài 25 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 25 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-25-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy(ABCD) là hình bình hành. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0822/1692696434.png\" /></p>\r\n<p>a) Gọi \\(I\\) là trung điểm của \\(MN\\).</p>\r\n<p>Tứ giác \\(AMCN\\) có \\(AM = CN\\left( { = \\frac{1}{2}AB} \\right)\\) và \\(AM = CN\\) nên nó là hình bình hành.</p>\r\n<p>Mà \\(I\\) là trung điểm của \\(MN\\) nên \\(I\\) là trung điểm của \\(AC\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, ta có \\(P\\) là trung điểm của \\(SA\\) nên \\(PI\\) là đường trung bình của tam giác \\(SAC\\). Suy ra \\(PI\\parallel SC\\).</p>\r\n<p>Do \\(PI \\subset \\left( {MNP} \\right)\\), ta kết luận \\(SC\\parallel \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Gọi \\(Q\\) là trung điểm của \\(SD\\). Do \\(N\\) là trung điểm của \\(CD\\), nên \\(NQ\\) là đường trung bình của tam giác \\(SCD\\), từ đó \\(NQ\\parallel SC\\).</p>\r\n<p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {MNP} \\right)\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\), do \\(N \\in \\left( {MNP} \\right) \\cap \\left( {SCD} \\right)\\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng đi qua \\(N\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, do \\(PI\\parallel SC\\), \\(PI \\subset \\left( {MNP} \\right)\\), \\(SC \\subset \\left( {SCD} \\right)\\), ta suy ra giao tuyến của \\(\\left( {MNP} \\right)\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\) là đường thẳng đi qua \\(N\\) và song song với \\(SC\\). Đó chính là đường thẳng \\(NQ\\).</p>"},{"article_id":147426,"cat_id":1568,"publish_time":1692434640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_2-0_2.png","title":"Giải bài 16 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 16 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-16-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện \\(ABCD\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \\(AB\\), \\(AD\\) và \\(P\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692435162.png\"   /></p>\r\n<p>Ta có \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(AD\\), nên \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(ABD\\). Suy ra \\(MN\\parallel BD\\).</p>\r\n<p>Xét ba mặt phẳng \\(\\left( {MNP} \\right)\\), \\(\\left( {ABD} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\), ta có \\(MN\\) là giao tuyến của \\(\\left( {ABD} \\right)\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\); \\(PQ\\) là giao tuyến của \\(\\left( {BCD} \\right)\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\), \\(BD\\) là giao tuyến của \\(\\left( {ABD} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mà \\(MN\\parallel BD\\), nên theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta suy ra \\(PQ\\parallel BD\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":147413,"cat_id":1568,"publish_time":1692433080,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_2-0.png","title":"Giải bài 7 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 7 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-7-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy là hình bình hành. Gọi \\(M,{\\rm{ }}N,{\\rm{ }}P\\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \\(SA,{\\rm{ }}BC,{\\rm{ }}CD\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692433349.png\"   /></p>\r\n<p>a) Xét mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), gọi \\(E\\) là giao điểm của \\(AB\\) và \\(NP\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left\\{ E \\right\\} = AB \\cap NP\\), mà \\(NP \\subset \\left( {MNP} \\right)\\) nên \\(\\left\\{ E \\right\\} = \\left( {SAB} \\right) \\cap NP\\).</p>\r\n<p>b)</p>\r\n<p><em>Giao tuyến của </em>\\(\\left( {MNP} \\right)\\)<em> và </em>\\(\\left( {SAB} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}M \\in SA \\subset \\left( {SAB} \\right)\\\\M \\in \\left( {MNP} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow M \\in \\left( {SAB} \\right) \\cap \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, theo câu a, ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}E \\in AB \\subset \\left( {SAB} \\right)\\\\E \\in NP \\subset \\left( {MNP} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow E \\in \\left( {SAB} \\right) \\cap \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>Từ đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAB} \\right)\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\) là đường thẳng \\(ME\\).</p>\r\n<p><em>Giao tuyến của </em>\\(\\left( {MNP} \\right)\\)<em> và </em>\\(\\left( {SAD} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Trên mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), gọi \\(F\\) là giao điểm của \\(AD\\) và \\(NP\\).</p>\r\n<p>Vì \\(F\\) là giao điểm của \\(AD\\) và \\(NP\\), ta suy ra \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}F \\in AD\\\\F \\in NP\\end{array} \\right.\\).</p>\r\n<p>Do \\(AD \\subset \\left( {SAD} \\right)\\), \\(NP \\subset \\left( {MNP} \\right)\\) nên ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}F \\in \\left( {SAD} \\right)\\\\F \\in \\left( {MNP} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow F \\in \\left( {SAD} \\right) \\cap \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, ta cũng có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}M \\in SA \\subset \\left( {SAD} \\right)\\\\M \\in \\left( {MNP} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow M \\in \\left( {SAD} \\right) \\cap \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAD} \\right)\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\) là đường thẳng \\(MF\\).</p>\r\n<p><em>Giao tuyến của </em>\\(\\left( {MNP} \\right)\\)<em> và </em>\\(\\left( {SBC} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Ta có \\(ME\\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAB} \\right)\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\)\\( \\Rightarrow ME \\subset \\left( {SAB} \\right)\\).</p>\r\n<p>Trên mặt phẳng \\(\\left( {SAB} \\right)\\), gọi \\(\\left\\{ K \\right\\} = ME \\cap SB\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}K \\in ME \\subset \\left( {MNP} \\right)\\\\K \\in SB \\subset \\left( {SBC} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow K \\in \\left( {MNP} \\right) \\cap \\left( {SBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}N \\in \\left( {MNP} \\right)\\\\N \\in BC \\subset \\left( {SBC} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow N \\in \\left( {MNP} \\right) \\cap \\left( {SBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SBC} \\right)\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\) là đường thẳng \\(NK\\).</p>\r\n<p><em>Giao tuyến của </em>\\(\\left( {MNP} \\right)\\)<em> và </em>\\(\\left( {SCD} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Ta có \\(MF\\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SAD} \\right)\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\)\\( \\Rightarrow MF \\subset \\left( {SAD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Trên mặt phẳng \\(\\left( {SAD} \\right)\\), gọi \\(\\left\\{ L \\right\\} = MF \\cap SD\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}L \\in MF \\subset \\left( {MNP} \\right)\\\\L \\in SD \\subset \\left( {SCD} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow L \\in \\left( {MNP} \\right) \\cap \\left( {SCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}P \\in \\left( {MNP} \\right)\\\\P \\in CD \\subset \\left( {SCD} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow P \\in \\left( {MNP} \\right) \\cap \\left( {SCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {SCD} \\right)\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\) là đường thẳng \\(LP\\).</p>"},{"article_id":148545,"cat_id":1568,"publish_time":1693390500,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_2-0_19.png","title":"Giải bài 59 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 59 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-59-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho tứ diện \\(ABCD\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(AB\\), \\(AD\\); \\(P\\), \\(Q\\) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Ta có \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(AD\\) nên \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(ABD\\). Suy ra \\(MN\\parallel BD\\).</p>\r\n<p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {MNPQ} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\), ta có \\(MN\\parallel BD\\), \\(MN \\subset \\left( {MNPQ} \\right)\\), \\(BD \\subset \\left( {BCD} \\right)\\) nên giao tuyến của \\(\\left( {MNPQ} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\) nếu tồn tại sẽ song song hoặc trùng với \\(BD\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, ta thấy \\(P\\) và \\(Q\\) là hai điểm chung của \\(\\left( {MNPQ} \\right)\\) và \\(\\left( {BCD} \\right)\\), nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng \\(PQ\\). Hơn nữa, do \\(P\\) khác \\(C\\) và \\(P\\) khác \\(D\\) nên ta suy ra \\(PQ\\parallel BD\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390838.png\"   /></p>"},{"article_id":148531,"cat_id":1568,"publish_time":1693389840,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_2-0_17.png","title":"Giải bài 53 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 53 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-53-trang-117-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình bình hành. Trên cạnh (SA) lấy điểm (M) ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390058.png\" /></p>\r\n<p>Ta thấy rằng \\(M \\in \\left( {CDM} \\right) \\cap \\left( {SAB} \\right)\\) và \\(N\\) là giao điểm của \\(\\left( {CDM} \\right)\\) và \\(SB\\). Do \\(SB \\subset \\left( {SAB} \\right)\\) nên \\(N\\) là điểm chung của hai mặt phẳng \\(\\left( {CDM} \\right)\\) và \\(\\left( {SAB} \\right)\\). Từ đó ta suy ra \\(MN\\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {CDM} \\right)\\) và \\(\\left( {SAB} \\right)\\).</p>\r\n<p>Nhận xét rằng \\(AB\\parallel CD\\), \\(AB \\subset \\left( {SAB} \\right)\\), \\(CD \\subset \\left( {CDM} \\right)\\), \\(MN\\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \\(\\left( {CDM} \\right)\\) và \\(\\left( {SAB} \\right)\\), ta suy ra \\(MN\\parallel AB\\).</p>\r\n<p>Theo định lí Thales, ta có \\(\\frac{{SM}}{{SA}} = \\frac{{SN}}{{SB}}\\). Do \\(MA = 2MS \\Rightarrow \\frac{{SM}}{{SA}} = \\frac{1}{3}\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\frac{{SN}}{{SB}} = \\frac{1}{3}\\). Đáp án đúng là B.</p>"},{"article_id":148171,"cat_id":1568,"publish_time":1693298460,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_5-0_1.png","title":"Giải bài 43 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 43 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-43-trang-113-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ tam giác \\(ABC.A'B'C'\\). Gọi \\(G\\), \\(I\\), \\(K\\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \\(ABC\\), \\(A'B'C'\\), \\(A'B'B\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693299099.png\"   /></p>\r\n<p>a) Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \\(B'C'\\), \\(BB'\\).</p>\r\n<p>Do \\(I\\) là trọng tâm tam giác \\(A'B'C'\\) nên \\(I \\in A'M\\) và \\(\\frac{{A'I}}{{A'M}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Tương tự, ta cũng có \\(K \\in A'N\\) và \\(\\frac{{A'K}}{{A'N}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Do \\(\\frac{{A'I}}{{A'M}} = \\frac{{A'K}}{{A'N}}\\) nên \\(IK\\parallel MN\\). Vì \\(MN \\in \\left( {BCC'B'} \\right)\\) nên  \\(IK\\parallel \\left( {BCC'B'} \\right)\\).</p>\r\n<p>b) Gọi \\(P\\) là trung điểm cạnh \\(BC\\).</p>\r\n<p>Do \\(G\\) là trọng tâm tam giác \\(ABC\\) nên \\(G \\in AP\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, do \\(K\\) là trọng tâm tam giác \\(\\left( {A'B'B} \\right)\\) nên \\(B'K\\) đi qua trung điểm của \\(A'B\\). Vì \\(ABB'A'\\) là hình bình hành, nên ta suy ra \\(AB'\\) cũng đi qua trung điểm của \\(A'B\\). Do vậy, ba điểm \\(A\\), \\(K\\), \\(B'\\) thẳng hàng. Từ đó, mặt phẳng \\(\\left( {AGK} \\right)\\) chính là mặt phẳng \\(\\left( {AB'P} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(I \\in A'M\\), nên mặt phẳng \\(\\left( {A'IC} \\right)\\) cũng là mặt phẳng \\(\\left( {A'MC} \\right)\\). Như vậy, để chứng minh \\(\\left( {AGK} \\right)\\) song song với \\(\\left( {A'IC} \\right)\\), ta cần chứng minh \\(\\left( {AB'P} \\right)\\) song song với \\(\\left( {A'MC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Tứ giác \\(MB'PC\\) có \\(MB' = PC\\left( { = \\frac{1}{2}BC} \\right)\\) và \\(MB'\\parallel PC\\) nên nó là hình bình hành.</p>\r\n<p>Suy ra \\(B'P\\parallel MC\\). Do \\(MC \\subset \\left( {A'MC} \\right)\\) nên \\(B'P\\parallel \\left( {A'MC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự, ta cũng có \\(AP\\parallel \\left( {A'MC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\left( {AB'P} \\right)\\parallel \\left( {A'MC} \\right)\\), và bài toán được chứng minh.</p>\r\n<p>c) Xét ba mặt phẳng song song \\(\\left( {A'B'C'} \\right)\\), \\(\\left( \\alpha  \\right)\\), \\(\\left( {ABC} \\right)\\), ta có đường thẳng \\(B'A\\) cắt ba mặt phẳng lần lượt tại \\(B'\\), \\(K\\), \\(A\\). Hơn nữa, đường thẳng \\(A'C\\) cũng cắt ba mặt phẳng trên lần lượt tại \\(A'\\), \\(L\\), \\(C\\). Do đó, theo định lí Thales trong không gian, ta có: \\(\\frac{{B'K}}{{A'L}} = \\frac{{KA}}{{LC}} = \\frac{{AB'}}{{CA'}} \\Rightarrow \\frac{{LA'}}{{LC}} = \\frac{{B'K}}{{KA}}\\).</p>\r\n<p>Gọi \\(O\\) là trung điểm của \\(A'B\\). Vì \\(K\\) là trọng tâm tam giác \\(\\left( {A'B'B} \\right)\\) nên ta có \\(\\frac{{B'K}}{{B'O}} = \\frac{2}{3}\\). Mà \\(\\frac{{B'O}}{{AB'}} = \\frac{1}{2}\\) nên \\(\\frac{{B'K}}{{AB'}} = \\frac{1}{3} \\Rightarrow \\frac{{B'K}}{{KA}} = \\frac{1}{2}\\). Từ đó \\(\\frac{{LA'}}{{LC}} = \\frac{1}{2}\\).</p>"},{"article_id":147790,"cat_id":1568,"publish_time":1692762900,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0823/resize_2-0_6.png","title":"Giải bài 35 trang 109 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 35 trang 109 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho đường thẳng (a) song song với mặt phẳng (left( P right)).","alias":"giai-bai-35-trang-109-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hai hình bình hành \\(ABCD\\)  và \\(ABEF\\) không cùng nằm trong một mặt phẳng","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0823/1692763190.png\"   /></p>\r\n<p>a) Ta có \\(MM'\\parallel AB\\), \\(NN'\\parallel AB \\Rightarrow MM'\\parallel NN'\\). Suy ra 4 điểm \\(M\\), \\(M'\\), \\(N\\), \\(N'\\) đồng phẳng. Chứng minh tương tự ta cũng có 4 điểm \\(C\\), \\(D\\), \\(E\\), \\(F\\) đồng phẳng.</p>\r\n<p>Mặt khác, ta có \\(MM'\\parallel AB\\), \\(AB\\parallel CD\\) nên \\(MM'\\parallel CD\\).</p>\r\n<p>Do \\(CD \\subset \\left( {CDFE} \\right)\\) nên ta kết luận rằng \\(MM'\\parallel \\left( {CDFE} \\right)\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, do \\(MM'\\parallel AB\\), nên theo định lí Thales ta có \\(\\frac{{AM}}{{AC}} = \\frac{{AM'}}{{AD}}\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(\\frac{{BN}}{{BF}} = \\frac{{AN'}}{{AF}}\\).</p>\r\n<p>Theo đề bài, vì \\(\\frac{{AM}}{{AC}} = \\frac{{BN}}{{BF}}\\), ta suy ra \\(\\frac{{AM'}}{{AD}} = \\frac{{AN'}}{{AF}}\\), tức là \\(M'N'\\parallel FD\\).</p>\r\n<p>Do \\(FD \\subset \\left( {CDFE} \\right)\\) nên ta kết luận rằng \\(M'N'\\parallel \\left( {CDFE} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(MM'\\parallel \\left( {CDFE} \\right)\\), \\(M'N'\\parallel \\left( {CDFE} \\right)\\), \\(MM' \\cap M'N' = \\left\\{ {M'} \\right\\}\\), nên ta có \\(\\left( {MNN'M'} \\right)\\parallel \\left( {CDFE} \\right)\\), tức là \\(\\left( {MNN'} \\right)\\parallel \\left( {CDE} \\right)\\). Bài toán được chứng minh.</p>\r\n<p>b) Ta có \\(AD\\parallel BE\\), \\(BC \\subset \\left( {BCE} \\right)\\) nên \\(AD\\parallel \\left( {BCE} \\right)\\). Tương tự ta cũng có \\(DF\\parallel \\left( {BCE} \\right)\\). Vậy \\(\\left( {ADF} \\right)\\parallel \\left( {BCE} \\right)\\)</p>\r\n<p>Theo đề bài, vì \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( {AFD} \\right)\\) và \\(M \\in \\left( P \\right)\\), nên ba mặt phẳng \\(\\left( {ADF} \\right)\\), \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {BCE} \\right)\\) đôi một phân biệt, và chúng cũng đôi một song song.</p>\r\n<p>Đường thẳng \\(AC\\) cắt ba mặt phẳng \\(\\left( {ADF} \\right)\\), \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( {BCE} \\right)\\) lần lượt tại \\(A\\), \\(M\\), \\(C\\). Đường thẳng \\(FE\\) cắt ba mặt phẳng \\(\\left( {ADF} \\right)\\), \\(\\left( P \\right)\\), \\(\\left( {BCE} \\right)\\) lần lượt tại \\(F\\), \\(I\\), \\(E\\). Áp dụng định lí Thales, ta suy ra \\(\\frac{{AM}}{{FI}} = \\frac{{MC}}{{IE}} = \\frac{{CA}}{{EF}} \\Rightarrow \\frac{{AM}}{{FI}} = \\frac{{CA}}{{EF}} \\Rightarrow \\frac{{AM}}{{AC}} = \\frac{{FI}}{{FE}}\\).</p>\r\n<p>Mà \\(\\frac{{AM}}{{AC}} = \\frac{1}{3}\\), ta kết luận \\(\\frac{{FI}}{{FE}} = \\frac{1}{3}\\).</p>"},{"article_id":147720,"cat_id":1568,"publish_time":1692695820,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_7-0.png","title":"Giải bài 26 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 26 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-26-trang-104-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy\\(ABCD\\) là hình bình hành. ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0822/1692696543.png\"   /></p>\r\n<p>Trên mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), vẽ đường thẳng \\(d\\) đi qua \\(A\\) và song song với \\(BD\\).</p>\r\n<p>Xét mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), ta có \\(A \\in AM \\subset \\left( P \\right)\\) và \\(A \\in \\left( {ABCD} \\right)\\) nên giao tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) là đường thẳng đi qua \\(A\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, ta có \\(BD\\parallel \\left( P \\right)\\), \\(BD \\subset \\left( {ABCD} \\right)\\) nên giao tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) là một đường thẳng song song với \\(BD\\).</p>\r\n<p>Do đường thẳng \\(d\\) đi qua \\(A\\) và song song với \\(BD\\) nên \\(d\\) chính là giao tuyến của \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( {ABCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì hình bình hành \\(ABCD\\) cố định, nên đường thẳng \\(d\\) cố định.</p>\r\n<p>Vậy mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) luôn đi qua đường thẳng \\(d\\) cố định.</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":147427,"cat_id":1568,"publish_time":1692434640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_3-0_3.png","title":"Giải bài 17 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 17 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-17-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp tứ giác \\(S.ABCD\\). Gọi \\(G\\), \\(K\\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \\(SAB\\) và \\(SAD\\)","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692435303.png\"   /></p>\r\n<p>Gọi \\(P\\), \\(Q\\) lần lượt là trung điểm của \\(AB\\), \\(AD\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(G\\) là trọng tâm của tam giác \\(SAB\\), nên suy ra \\(G \\in SP\\) và \\(\\frac{{SG}}{{SP}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(K \\in SQ\\) và \\(\\frac{{SK}}{{SQ}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SPQ\\) có \\(\\frac{{SG}}{{SP}} = \\frac{{SK}}{{SQ}}\\) nên theo định lí Thales ta có \\(GK\\parallel PQ\\).</p>\r\n<p>Xét tam giác \\(ABD\\), ta có \\(P\\) là trung điểm của \\(AB\\), \\(Q\\) là trung điểm của \\(AD\\), nên \\(PQ\\) là đường trung bình của tam giác \\(ABD\\). Suy ra \\(PQ\\parallel BD\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(MN\\parallel BD\\).</p>\r\n<p>Từ đó suy ra \\(GK\\parallel MN\\). Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":147414,"cat_id":1568,"publish_time":1692433080,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_3-0.png","title":"Giải bài 8 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 8 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-8-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy là hình bình hành. Gọi \\(M,{\\rm{ }}N,{\\rm{ }}P\\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \\(SA,{\\rm{ }}SB,{\\rm{ }}SC\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Trên mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), gọi \\(\\left\\{ O \\right\\} = AC \\cap BD\\).</p>\r\n<p>Trên mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\), gọi \\(\\left\\{ I \\right\\} = MP \\cap SO\\).</p>\r\n<p>Do \\(SO \\subset \\left( {SBD} \\right)\\), ta suy ra \\(\\left\\{ I \\right\\} = MP \\cap \\left( {SBD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(I\\) là giao điểm của \\(MP\\) và \\(\\left( {SBD} \\right)\\).</p>\r\n<p align=\"center\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692433471.png\"   /> </p>\r\n<p>b) Trên mặt phẳng \\(\\left( {SBD} \\right)\\), gọi \\(\\left\\{ Q \\right\\} = NI \\cap SD\\).</p>\r\n<p>Do \\(NI \\subset \\left( {MNP} \\right)\\), ta suy ra \\(\\left\\{ Q \\right\\} = \\left( {MNP} \\right) \\cap SD\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(Q\\) là giao điểm của \\(SD\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\).</p>"},{"article_id":148546,"cat_id":1568,"publish_time":1693390560,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_3-0_15.png","title":"Giải bài 60 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 60 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-60-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình lăng trụ tam giác \\(ABC.A'B'C'\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\) lần lượt là trung điểm của \\(BC\\), \\(B'C'\\). ","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390905.png\"   /></p>\r\n<p>Do \\(M\\) là trung điểm của \\(BC\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(B'C'\\) nên ta suy ra \\(MN = BB'\\) và \\(MN\\parallel BB'\\). Suy ra \\(MN\\parallel AA'\\) và \\(MN = AA'\\). Như vậy tứ giác \\(AMNA'\\) là hình bình hành, từ đó \\(AM\\parallel A'N\\).</p>\r\n<p>Mà \\(A'N \\subset \\left( {A'NC} \\right)\\), ta suy ra \\(AM\\parallel \\left( {A'NC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":148172,"cat_id":1568,"publish_time":1693298460,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_6-0_1.png","title":"Giải bài 44 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 4 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-44-trang-113-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Trước hết, ta sẽ chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Xét hình bình hành \\(MNPQ\\) như hình dưới đây. Ta cần chứng minh rằng \\(M{P^2} + N{Q^2} = M{N^2} + N{P^2} + P{Q^2} + Q{M^2}\\)</p>\r\n<p align=\"center\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693299208.png\"   /></p>\r\n<p>Áp dụng định lí cosin trong tam giác \\(MPQ\\) và \\(NPQ\\), ta có:</p>\r\n<p>\\(M{P^2} = Q{M^2} + Q{P^2} - 2QM.QP.\\cos MQP\\)</p>\r\n<p>\\(Q{N^2} = P{Q^2} + P{N^2} - 2PN.PQ.\\cos QPN\\).</p>\r\n<p>Do \\(QM = PN\\) và \\(\\cos MQP =  - \\cos QPN\\) (do \\(\\widehat {MQP}\\) và \\(\\widehat {QPN}\\) bù nhau), nên ta có</p>\r\n<p>\\(M{P^2} + N{Q^2} = M{Q^2} + 2P{Q^2} + P{N^2} - 2QM.QP\\cos MQP + 2QM.QP\\cos MQP\\)</p>\r\n<p>\\( \\Rightarrow M{P^2} + N{Q^2} = 2\\left( {M{N^2} + N{P^2}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Ta có điều phải chứng minh.</p>\r\n<p>Quay trở lại bài toán, ta xét hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\).</p>\r\n<p align=\"center\"> <img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693299221.png\"   /></p>\r\n<p>Áp dụng kết quả vừa chứng minh được ở trên với hai hình bình hành \\(ACC'A'\\), \\(DBB'D'\\) và \\(A'B'C'D'\\) ta có:</p>\r\n<p>\\(AC{'^2} + A'{C^2} = 2\\left( {AA{'^2} + A'C{'^2}} \\right)\\) ; \\(B'{D^2} + BD{'^2} = 2\\left( {BB{'^2} + B'D{'^2}} \\right)\\);</p>\r\n<p>\\(A'C{'^2} + B'D{'^2} = 2\\left( {A'B{'^2} + A'D{'^2}} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy</p>\r\n<p>\\(AC{'^2} + A'{C^2} + BD{'^2} + B'{D^2} = 2\\left( {AA{'^2} + A'C{'^2} + BB{'^2} + B'D{'^2}} \\right)\\)</p>\r\n<p>\\( = 4AA{'^2} + 2\\left( {A'C{'^2} + B'D{'^2}} \\right) = 4AA{'^2} + 4A'B{'^2} + 4A'D{'^2}\\).</p>\r\n<p>Do \\(4AA{'^2} = AA{'^2} + BB{'^2} + CC{'^2} + DD{'^2}\\), \\(4A'B{'^2} = A'B{'^2} + A{B^2} + C'D{'^2} + C{D^2}\\), \\(4A'D{'^2} = A'D{'^2} + A{D^2} + B'C{'^2} + B{C^2}\\), ta kết luận rằng trong một hình hộp, tổng bình phương tất cả các đường chéo bằng tổng tất cả các cạnh của hình hộp đó.</p>\r\n<p>Bài toán được chứng minh.</p>"},{"article_id":147722,"cat_id":1568,"publish_time":1692696540,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0822/resize_1-0_36.png","title":"Giải bài 27 trang 105 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 27 trang 105 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-27-trang-105-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Trong các không gian hẹp, người ta thường thiết kế tủ đựng quần áo có cánh cửa trượt","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Do cánh cửa là hình chữ nhật có thể kéo trượt bình thường, nên đường ray dưới và đường ray trên của cánh cửa song song với nhau. Ta có thể coi đường ray dưới là đường thẳng thuộc mặt đáy của tủ, suy ra đường ray trên của cánh cửa song song với mặt đáy của tủ.</p>\r\n<p>Vậy phát biểu của bạn Minh là đúng.</p>"},{"article_id":147428,"cat_id":1568,"publish_time":1692434640,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_4-0_2.png","title":"Giải bài 18 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 18 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-18-trang-100-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) có đáy \\(ABCD\\) là hình bình hành.","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>a) Gọi \\(M\\), \\(N\\), \\(P\\), \\(Q\\) lần lượt là trung điểm của \\(AB\\), \\(BC\\), \\(CD\\), \\(DA\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(M\\) là trung điểm của \\(AB\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(BC\\), nên \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(ABC\\). Suy ra \\(MN\\parallel AC\\) và \\(MN = \\frac{1}{2}AC\\).</p>\r\n<p>Tương tự ta có \\(PQ\\parallel AC\\) và \\(PQ = \\frac{1}{2}AC\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(MN\\parallel PQ\\) và \\(MN = PQ\\). Vậy tứ giác \\(MNPQ\\) là hình bình hành.</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692435407.png\"   /></p>\r\n<p>Ta có \\(I\\) là trọng tâm của tam giác \\(SAB\\), nên suy ra \\(I \\in SM\\) và \\(\\frac{{SI}}{{SM}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(J \\in SN\\) và \\(\\frac{{SJ}}{{SN}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SMN\\) có \\(\\frac{{SI}}{{SM}} = \\frac{{SJ}}{{SN}} = \\frac{2}{3}\\), theo hệ quả của định lí Thales ta suy ra \\(IJ\\parallel MN\\) và \\(\\frac{{IJ}}{{MN}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự ta cũng có \\(LK\\parallel PQ\\) và \\(\\frac{{LK}}{{PQ}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Từ đó ta suy ra \\(IJ\\parallel LK\\) và \\(IJ = LK\\). Vậy bốn điểm \\(I\\), \\(J\\), \\(K\\), \\(L\\) đồng phẳng và tứ giác \\(IJLK\\) là hình bình hành.</p>\r\n<p>b) Ta có \\(L\\) là trọng tâm của tam giác \\(SAD\\), nên suy ra \\(L \\in SQ\\) và \\(\\frac{{SL}}{{SQ}} = \\frac{2}{3}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\frac{{SL}}{{SQ}} = \\frac{{SJ}}{{SN}}\\), tức là \\(JL\\parallel NQ\\).</p>\r\n<p>Mặt khác \\(N\\) là trung điểm của \\(BC\\),\\(Q\\) là trung điểm của \\(DA\\) nên suy ra \\(NQ\\parallel CD\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(JL\\parallel CD\\).</p>\r\n<p>c) Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {IJKL} \\right)\\)và \\(\\left( {SCD} \\right)\\), ta có \\(JL\\parallel CD\\), \\(JL \\in \\left( {IJKL} \\right)\\), \\(CD \\in \\left( {SCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa \\(K \\in \\left( {IJKL} \\right) \\cap \\left( {SCD} \\right)\\) và \\(K \\notin JL\\), \\(K \\notin CD\\)</p>\r\n<p>Xét hai mặt phẳng \\(\\left( {IJKL} \\right)\\)và \\(\\left( {SCD} \\right)\\), ta có \\(K \\in \\left( {IJKL} \\right) \\cap \\left( {SCD} \\right)\\), tức là \\(K\\) nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Hơn nữa, \\(K \\notin JL\\), \\(K \\notin CD\\), nên \\(JL\\) và \\(CD\\) không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.</p>\r\n<p>Mặt khác, ta có \\(JL\\parallel CD\\), \\(JL \\in \\left( {IJKL} \\right)\\), \\(CD \\in \\left( {SCD} \\right)\\) nên giao tuyến của \\(\\left( {IJKL} \\right)\\)và \\(\\left( {SCD} \\right)\\) là một đường thẳng đi qua \\(K\\) và song song với \\(CD\\). Trên hình vẽ, giao tuyến của chúng là đường thẳng \\(EF\\) đi qua \\(K\\) và song song với \\(CD\\).</p>"},{"article_id":147415,"cat_id":1568,"publish_time":1692433080,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0819/resize_4-0.png","title":"Giải bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-9-trang-95-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp tứ giác \\(S.ABCD\\) có đáy không là hình thang. Gọi \\(O\\) là giao điểm của \\(AC\\) và \\(BD\\). Trên \\(SO\\) lấy điểm \\(I\\) sao cho \\(SI = 2IO\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0819/1692433595.png\"   /></p>\r\n<p>a)</p>\r\n<p><em>Giao điểm </em>\\(M\\)<em> của </em>\\(SA\\)<em> và </em>\\(\\left( {IBC} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Ta nhận xét rằng \\(I \\in SO \\subset \\left( {SAC} \\right) \\Rightarrow CI \\subset \\left( {SAC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Trên mặt phẳng \\(\\left( {SAC} \\right)\\), gọi \\(\\left\\{ M \\right\\} = CI \\cap SA\\).</p>\r\n<p>Do \\(IC \\subset \\left( {IBC} \\right)\\), nên \\(\\left\\{ M \\right\\} = \\left( {IBC} \\right) \\cap SA\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(M\\) là giao điểm của \\(\\left( {IBC} \\right)\\) và \\(SA\\).</p>\r\n<p><em>Giao điểm </em>\\(N\\)<em> của </em>\\(SD\\)<em> và </em>\\(\\left( {IBC} \\right)\\)<em>:</em></p>\r\n<p>Ta nhận xét rằng \\(I \\in SO \\subset \\left( {SBD} \\right) \\Rightarrow BI \\subset \\left( {SBD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Trên mặt phẳng \\(\\left( {SBD} \\right)\\), gọi \\(\\left\\{ N \\right\\} = BI \\cap SD\\).</p>\r\n<p>Do \\(IB \\subset \\left( {IBC} \\right)\\), nên \\(\\left\\{ N \\right\\} = \\left( {IBC} \\right) \\cap SD\\).</p>\r\n<p>Vậy \\(N\\) là giao điểm của \\(\\left( {IBC} \\right)\\) và \\(SD\\).</p>\r\n<p>b) Trên mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), gọi \\(K\\) là giao điểm của \\(AD\\) và \\(BC\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}M \\in SA \\subset \\left( {SAD} \\right)\\\\M \\in \\left( {IBC} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow M \\in \\left( {SAD} \\right) \\cap \\left( {IBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}N \\in SD \\subset \\left( {SAD} \\right)\\\\N \\in \\left( {IBC} \\right)\\end{array} \\right. \\Rightarrow N \\in \\left( {SAD} \\right) \\cap \\left( {IBC} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vậy giao tuyến của \\(\\left( {SAD} \\right)\\) và \\(\\left( {IBC} \\right)\\) là đường thẳng \\(MN\\).</p>\r\n<p>Do \\(AD \\in \\left( {SAD} \\right)\\), \\(BC \\in \\left( {IBC} \\right)\\), \\(\\left\\{ K \\right\\} = AD \\cap BC\\), ta suy ra \\(K\\) nằm trên giao tuyến của \\(\\left( {SAD} \\right)\\) và \\(\\left( {IBC} \\right)\\), tức là \\(K \\in MN\\).</p>\r\n<p>Vậy ba đường thẳng \\(AD\\), \\(BC\\), \\(MN\\) cắt nhau tại \\(K\\).</p>"},{"article_id":148547,"cat_id":1568,"publish_time":1693390560,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_4-0_12.png","title":"Giải bài 61 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 61 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-61-trang-118-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình chóp \\(S.ABCD\\) đáy là hình bình hành. Gọi \\(M\\), \\(N\\), \\(P\\) lần lượt là trung điểm của \\(SB\\), \\(BC\\), \\(CD\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693390978.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(M\\) là trung điểm của \\(SB\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(BC\\) nên \\(MN\\) là đường trung bình của tam giác \\(SBC\\). Suy ra \\(MN\\parallel SC\\).</p>\r\n<p>Vì \\(MN \\subset \\left( {MNP} \\right)\\) nên \\(SC\\parallel \\left( {MNP} \\right)\\). Ta có điều phải chứng minh.</p>\r\n<p>b) Gọi \\(Q\\) là trung điểm của \\(SD\\). Ta sẽ chứng minh \\(PQ\\) chính là giao tuyến của \\(\\left( {MNP} \\right)\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\), và \\(Q\\) cũng chính là giao điểm của \\(SD\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>Thật vậy, xét hai mặt phẳng \\(\\left( {MNP} \\right)\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\), ta có \\(P \\in CD \\subset \\left( {SCD} \\right)\\) và \\(P \\in \\left( {MNP} \\right)\\), nên giao tuyến của \\(\\left( {MNP} \\right)\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\) là một đường thẳng đi qua \\(P\\).</p>\r\n<p>Hơn nữa, do \\(MN\\parallel SC\\), \\(SC \\subset \\left( {SCD} \\right)\\), \\(MN \\subset \\left( {MNP} \\right)\\), ta suy ra giao tuyến của \\(\\left( {MNP} \\right)\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\) là một đường thẳng đi qua \\(P\\) và song song với \\(SC\\).</p>\r\n<p>Vì \\(P\\) là trung điểm của \\(CD\\), \\(Q\\) là trung điểm của \\(SD\\) nên \\(PQ\\) là đường trung bình của tam giác \\(SDC\\). Suy ra \\(PQ\\parallel SC\\) và \\(PQ\\parallel MN\\). Do \\(PQ\\parallel MN\\) nên \\(Q \\in \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy, \\(PQ\\) chính là giao tuyến của \\(\\left( {MNP} \\right)\\) và \\(\\left( {SCD} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(Q \\in \\left( {MNP} \\right)\\) và \\(Q \\in SD\\), ta suy ra \\(Q\\) là giao điểm của \\(SD\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Gọi \\(I\\) là giao điểm của \\(NP\\) và \\(AC\\). Trên cạnh \\(SA\\) lấy \\(E\\) sao cho \\(IE\\parallel SC\\).</p>\r\n<p>Dễ thấy rằng do \\(I \\in NP\\), \\(NP \\subset \\left( {MNP} \\right)\\) nên \\(I \\in \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(IE\\parallel SC\\), \\(MN\\parallel SC\\) , ta suy ra \\(IE\\parallel MN\\). Vì \\(I \\in \\left( {MNP} \\right)\\), ta suy ra \\(E \\in \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(E\\) là điểm chung của \\(SA\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\), ta kết luận \\(E\\) chính là giao điểm của \\(SA\\) và \\(\\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>d) Gọi \\(O\\) là giao điểm của \\(AC\\) và \\(BD\\).</p>\r\n<p>Ta có \\(P\\) là trung điểm của \\(CD\\), \\(N\\) là trung điểm của \\(BC\\) nên \\(NP\\) là đường trung bình của tam giác \\(BCD\\). Suy ra \\(NP\\parallel BD\\), hay \\(NI\\parallel BO\\). Do \\(N\\) là trung điểm của \\(BC\\), ta kết luận rằng \\(I\\) là trung điểm của \\(OC\\), hay \\(\\frac{{CI}}{{CO}} = \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Mặt khác, do \\(ABCD\\) là hình bình hành, \\(O\\) là giao điểm của \\(AC\\) và \\(BD\\), ta suy ra \\(O\\) là trung điểm của \\(AC\\), hay \\(\\frac{{CO}}{{CA}} = \\frac{1}{2}\\).</p>\r\n<p>Suy ra \\(\\frac{{CI}}{{CA}} = \\frac{{CI}}{{CO}}.\\frac{{CO}}{{CA}} = \\frac{1}{2}.\\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}\\).</p>\r\n<p>Tam giác \\(SAC\\) có \\(IE\\parallel SC\\), theo định lí Thales ta có \\(\\frac{{CI}}{{IA}} = \\frac{{SE}}{{EA}} \\Rightarrow \\frac{{CI}}{{CA}} = \\frac{{SE}}{{SA}}\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\frac{{SE}}{{SA}} = \\frac{1}{4}\\).</p>"},{"article_id":148174,"cat_id":1568,"publish_time":1693297920,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0829/resize_7-0_1.png","title":"Giải bài 45 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 45 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-45-trang-113-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Phần trong của một bể đựng nước được xây có dạng hình hộp như hình dưới đây. Để xác định tỉ số của độ cao mực nước trong bể với chiều cao của lòng bể","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p>Giả sử phần trong bể nước và thước được biểu diễn bởi hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\) và đường thẳng \\(MO\\). Mặt nước được biểu diễn bởi mặt phẳng \\(\\left( {IJKL} \\right)\\). Khi đó, ba mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), \\(\\left( {IJKL} \\right)\\), \\(\\left( {A'B'C'D'} \\right)\\) là ba mặt phẳng song song. Nhận xét rằng hai đường thẳng \\(AA'\\) và \\(MO\\) cùng cắt 3 mặt phẳng \\(\\left( {ABCD} \\right)\\), \\(\\left( {IJKL} \\right)\\), \\(\\left( {A'B'C'D'} \\right)\\) nên theo định lí Thales trong không gian, ta có: \\(\\frac{{A'I}}{{MN}} = \\frac{{IA}}{{NO}} = \\frac{{AA'}}{{OM}} \\Rightarrow \\frac{{IA}}{{AA'}} = \\frac{{NO}}{{OM}}\\).</p>\r\n<p>Như vậy, bạn Minh làm như vậy là đúng.</p>\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0829/1693299322.png\"   /></p>"},{"article_id":148548,"cat_id":1568,"publish_time":1693390200,"type_ex":0,"is_hot":0,"is_link":0,"thumbnail":"https://img.loigiaihay.com/picture/article/2023/0830/resize_5-0_10.png","title":"Giải bài 62 trang 118, 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","label":"Bài 62 trang 118, 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều","alias":"giai-bai-62-trang-118-119-sach-bai-tap-toan-11-canh-dieu","introtext":"Cho hình hộp \\(ABCD.A'B'C'D'\\). Gọi \\(M\\), \\(N\\), \\(P\\) lần lượt là trung điểm của \\(AD\\), \\(B'C'\\), \\(DD'\\).","display_type":1,"article_type":1,"content":"<style>\r\n.method-close-icon{position: relative;float: right;top: 6px;transform: rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);}\r\n.method-open-icon{position: relative;float: right;top: 6px;}\r\n</style>\r\n<p><strong style=\"font-size: 16px;\">Lời giải chi tiết</strong></p><p style=\"text-align: center;\"><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2023/0830/1693391066.png\"   /></p>\r\n<p>a) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình hộp, nên ta có \\(ABCD\\) và \\(BCC'B'\\) là các hình bình hành. Vì \\(ABCD\\) là hình bình hành, ta có \\(AD\\parallel CB\\) và \\(AD = CB\\). Mà \\(BCC'B'\\) cũng là hình bình hành, nên ta có \\(B'C'\\parallel BC\\) và \\(B'C' = BC\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta suy ra \\(AD\\parallel B'C'\\) và \\(AD = B'C'\\). Điều này có nghĩa \\(ADC'B'\\) là hình bình hành. Ta có điều phải chứng minh.</p>\r\n<p>b) Do \\(ABCD.A'B'C'D'\\) là hình hộp, ta có \\(BB' = DD'\\) và \\(BB'\\parallel DD'\\). Suy ra \\(DBB'D'\\) là hình bình hành, suy ra \\(BD\\parallel B'D'\\). Mà \\(B'D' \\subset \\left( {AB'D'} \\right)\\), ta suy ra \\(BD\\parallel \\left( {AB'D'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Xét tứ giác \\(AMNB'\\), ta có \\(AM\\parallel NB'\\) (do \\(AD\\parallel B'C'\\)) và \\(AM = NB'\\) (do cùng bằng một nửa \\(AD\\)) nên nó là hình bình hành. Suy ra \\(MN\\parallel AB'\\). Do \\(AB' \\subset \\left( {AB'D'} \\right)\\), ta suy ra \\(MN\\parallel \\left( {AB'D'} \\right)\\).</p>\r\n<p>c) Theo câu b, ta đã chứng minh được \\(MN\\parallel \\left( {AB'D'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Do \\(M\\) là trung điểm của \\(AD\\), \\(P\\) là trung điểm của \\(DD'\\), nên \\(MP\\) là đường trung bình của tam giác \\(AD'D\\). Suy ra \\(MP\\parallel AD'\\). Do \\(AD' \\subset \\left( {AB'D'} \\right)\\) nên \\(MP\\parallel \\left( {AB'D'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Như vậy \\(\\left( {MNP} \\right)\\) có hai đường thẳng \\(MN\\) và \\(MP\\) cùng song song với \\(\\left( {AB'D'} \\right)\\), và hai đường thẳng này cắt nhau tại \\(M\\), nên ta kết luận \\(\\left( {MNP} \\right)\\parallel \\left( {AB'D'} \\right)\\).</p>\r\n<p>Vì \\(BD\\parallel \\left( {AB'D'} \\right)\\), \\(\\left( {MNP} \\right)\\parallel \\left( {AB'D'} \\right)\\) nên ta suy ra \\(BD\\parallel \\left( {MNP} \\right)\\).</p>\r\n<p>d*) Gọi \\(E\\), \\(F\\), \\(K\\) lần lượt là trung điểm của \\(C'D'\\), \\(B'B\\), \\(AB\\).</p>\r\n<p>Do \\(P\\) là trung điểm của \\(DD'\\), \\(E\\) là trung điểm của \\(C'D'\\) nên \\(PE\\) là đường trung bình của tam giác \\(C'D'D\\), suy ra \\(PE\\parallel C'D\\).</p>\r\n<p>Tứ giác \\(DMNC'\\) có \\(DM\\parallel NC'\\) (do \\(AD\\parallel B'C'\\)) và \\(DM = NC'\\) (do cùng bằng một nửa \\(AD\\)) nên nó là hình bình hành. Suy ra \\(MN\\parallel DC'\\).</p>\r\n<p>Như vậy ta suy ra \\(PE\\parallel MN\\), điều đó có nghĩa \\(E \\in \\left( {MNP} \\right)\\). Chứng minh tương tự ta cũng có \\(F \\in \\left( {MNP} \\right)\\) và \\(K \\in \\left( {MNP} \\right)\\). Như vậy sáu điểm \\(E\\), \\(F\\), \\(K\\), \\(M\\), \\(N\\), \\(P\\) đồng phẳng.</p>\r\n<p>Xét mặt phẳng \\(\\left( {MNP} \\right)\\) (cũng là mặt phẳng \\(\\left( {MPENFK} \\right)\\)) và \\(\\left( {ADD'A'} \\right)\\), ta thấy rằng \\(M\\) và \\(P\\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng trên, như vậy giao tuyến của \\(\\left( {MPENFK} \\right)\\) và \\(\\left( {ADD'A'} \\right)\\) chính là đường thẳng \\(MP\\).</p>\r\n<p>Chứng minh tương tự, giao tuyến của mặt phẳng \\(\\left( {MPENFK} \\right)\\) với các mặt phẳng \\(\\left( {DCC'D'} \\right)\\), \\(\\left( {A'B'C'D'} \\right)\\), \\(\\left( {BCC'B'} \\right)\\), \\(\\left( {ABB'A'} \\right)\\), \\(\\left( {ABCD} \\right)\\) lần lượt là các đường \\(PE\\), \\(EN\\), \\(NF\\), \\(FK\\), \\(KM\\).</p>\r\n<p>e*) Gọi \\(R\\), \\(O\\) lần lượt là giao điểm của \\(AC\\) với \\(MK\\) và \\(BD\\).</p>\r\n<p>Xét ba mặt phẳng song song \\(\\left( {AB'D'} \\right)\\), \\(\\left( {MPENFK} \\right)\\), \\(\\left( {C'BD} \\right)\\), ta thấy đường thẳng \\(AC\\) lần lượt cắt ba mặt phẳng trên tại \\(A\\), \\(R\\), \\(O\\). Hơn nữa, theo đề bài, đường thẳng \\(d\\) cũng cắt ba mặt phẳng song song trên lần lượt tại \\(I\\), \\(J\\) và \\(H\\). Theo định lí Thales trong không gian, ta có \\(\\frac{{AR}}{{IJ}} = \\frac{{RO}}{{JH}} = \\frac{{AO}}{{IH}} \\Rightarrow \\frac{{IJ}}{{JH}} = \\frac{{AR}}{{RO}}\\).</p>\r\n<p>Do \\(M\\) là trung điểm của \\(AD\\), \\(K\\) là trung điểm của \\(AB\\) nên \\(MK\\) là đường trung bình của tam giác \\(ABD\\). Hơn nữa, do \\(R\\) là giao điểm của \\(AC\\) và \\(MK\\), nên \\(R\\) là trung điểm của \\(AO\\), do đó \\(\\frac{{AR}}{{RO}} = 1\\). Như vậy \\(\\frac{{IJ}}{{JH}} = 1\\).</p>"}],"most_views":[],"list_sub_event":[{"id":"32903","item_id":32903,"title":"Bài 1. Đường thẳng và mặt phằng trong không gian - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 1. Đường thẳng và mặt phằng trong không gian","is_link":0},{"id":"32904","item_id":32904,"title":"Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian","is_link":0},{"id":"32905","item_id":32905,"title":"Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song ","is_link":0},{"id":"32906","item_id":32906,"title":"Bài 4. Hai mặt phẳng song song - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 4. Hai mặt phẳng song song","is_link":0},{"id":"32907","item_id":32907,"title":"Bài 5. Hình lăng trụ và hình hộp - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 5. Hình lăng trụ và hình hộp","is_link":0},{"id":"32908","item_id":32908,"title":"Bài 6. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài 6. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian","is_link":0},{"id":"32909","item_id":32909,"title":"Bài tập cuối chương IV - SBT Toán 11 CD","short_title":"Bài tập cuối chương IV","is_link":0}],"top_banner":"","cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}