{"article_info":{"article_id":120744,"cat_id":1163,"cat_title":"Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","publish_time":1664609340,"cat_id2":1163,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 2 trang 25, 26","alias":"giai-muc-2-trang-25-26-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,{(1 + \\sqrt 2 )^n},{(1 - \\sqrt 2 )^n}\\) lần lượt viết được ở dạng \\({a_n} + {b_n}\\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\\sqrt 2 ,\\) trong đó \\({a_n},{b_n}\\) là các số nguyên dương.","content":"<p><strong class=\"sub_question_head\" id=\"sub_question_head_1\">Luyện tập – vận dụng 2</strong></p><p>Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,{(1 + \\sqrt 2 )^n},{(1 - \\sqrt 2 )^n}\\) lần lượt viết được ở dạng \\({a_n} + {b_n}\\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\\sqrt 2 ,\\) trong đó \\({a_n},{b_n}\\) là các số nguyên dương.</p><p><strong>Phương pháp giải:</strong></p><p>Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \\(n \\ge p\\) thì:</p>\r\n<p>Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \\(n = p\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^1} = 1 + \\sqrt 2 ;{\\left( {1 - \\sqrt 2 } \\right)^1} = 1 - \\sqrt 2 \\) có dạng \\({a_1} + {b_1}\\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\\sqrt 2 \\) với \\({a_1} = 1;{b_1} = 1\\) là các số nguyên dương</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^{k + 1}};{\\left( {1 - \\sqrt 2 } \\right)^{k + 1}}\\) có dạng \\({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\\sqrt 2 \\) với \\({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\\) là các số nguyên dương.</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^k} = {a_k} + {b_k}\\sqrt 2 ;{\\left( {1 - \\sqrt 2 } \\right)^k} = {a_k} - {b_k}\\sqrt 2 \\) với \\({a_k};{b_k}\\) là các số nguyên dương.</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^{k + 1}} = {\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^k}\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)\\\\ = \\left( {{a_k} + {b_k}\\sqrt 2 } \\right)\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right) = {a_k} + {b_k}\\sqrt 2  + {a_k}\\sqrt 2  + {b_k}{\\left( {\\sqrt 2 } \\right)^2}\\\\ = \\left( {{a_k} + 2{b_k}} \\right) + \\left( {{a_k} + {b_k}} \\right)\\sqrt 2 \\\\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\\sqrt 2 \\end{array}\\)</p>\r\n<p>Trong đó \\({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \\in \\mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \\in \\mathbb{N}*\\)</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p><hr/><p><strong class=\"sub_question_head\" id=\"sub_question_head_2\">Luyện tập – vận dụng 3</strong></p><p>Chứng minh \\({16^n} - 15n - 1\\) chia hết cho 225 với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p><p><strong>Phương pháp giải:</strong></p><p>Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \\(n \\ge p\\) thì:</p>\r\n<p>Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \\(n = p\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({16^1} - 15.1 - 1 = 0\\) chia hết cho 225.</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1\\) chia hết cho 225.</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({16^k} - 15k - 1\\) chia hết cho 225.</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\\\ = 16\\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \\right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\\\ = 16\\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \\right) + 225k\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Chia hết cho 225</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>","common_article":"","display_type":2,"vungoi_exam_id":"","article_type":1,"cmt_count":0,"zip_status":1,"last_modified_time":1664609670,"last_zip_time":1664609670,"zip_link":"https://offline.loigiaihay.com/articles/1163/120744/120744_1664609670.zip","picture":"","youtube_id":"","video_start_time":"0","quizlet_id":"0","ref_article_id":0,"readmore_display_type":0,"wiki":0,"sub_articles":[{"id":"519485","group_title":"","sub_article_link":"0","order_in_article":"1","title":"Luyện tập – vận dụng 2","content":"<p>Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,{(1 + \\sqrt 2 )^n},{(1 - \\sqrt 2 )^n}\\) lần lượt viết được ở dạng \\({a_n} + {b_n}\\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\\sqrt 2 ,\\) trong đó \\({a_n},{b_n}\\) là các số nguyên dương.</p><p><strong>Phương pháp giải:</strong></p><p>Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \\(n \\ge p\\) thì:</p>\r\n<p>Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \\(n = p\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^1} = 1 + \\sqrt 2 ;{\\left( {1 - \\sqrt 2 } \\right)^1} = 1 - \\sqrt 2 \\) có dạng \\({a_1} + {b_1}\\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\\sqrt 2 \\) với \\({a_1} = 1;{b_1} = 1\\) là các số nguyên dương</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^{k + 1}};{\\left( {1 - \\sqrt 2 } \\right)^{k + 1}}\\) có dạng \\({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\\sqrt 2 \\) với \\({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\\) là các số nguyên dương.</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^k} = {a_k} + {b_k}\\sqrt 2 ;{\\left( {1 - \\sqrt 2 } \\right)^k} = {a_k} - {b_k}\\sqrt 2 \\) với \\({a_k};{b_k}\\) là các số nguyên dương.</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^{k + 1}} = {\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)^k}\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right)\\\\ = \\left( {{a_k} + {b_k}\\sqrt 2 } \\right)\\left( {1 + \\sqrt 2 } \\right) = {a_k} + {b_k}\\sqrt 2  + {a_k}\\sqrt 2  + {b_k}{\\left( {\\sqrt 2 } \\right)^2}\\\\ = \\left( {{a_k} + 2{b_k}} \\right) + \\left( {{a_k} + {b_k}} \\right)\\sqrt 2 \\\\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\\sqrt 2 \\end{array}\\)</p>\r\n<p>Trong đó \\({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \\in \\mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \\in \\mathbb{N}*\\)</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>","youtube_id":"","video_start_time":"0"},{"id":"519486","group_title":"","sub_article_link":"0","order_in_article":"2","title":"Luyện tập – vận dụng 3","content":"<p>Chứng minh \\({16^n} - 15n - 1\\) chia hết cho 225 với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p><p><strong>Phương pháp giải:</strong></p><p>Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \\(n \\ge p\\) thì:</p>\r\n<p>Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \\(n = p\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\({16^1} - 15.1 - 1 = 0\\) chia hết cho 225.</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\({16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1\\) chia hết cho 225.</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\({16^k} - 15k - 1\\) chia hết cho 225.</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\\\ = 16\\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \\right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\\\ = 16\\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \\right) + 225k\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Chia hết cho 225</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\).</p>","youtube_id":"","video_start_time":"0"}],"comment_url":"https://loigiaihay.com/comment/giai-muc-2-trang-25-26-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu-c1163a120744.html","origin_url":"https://loigiaihay.com/giai-muc-2-trang-25-26-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu-c1163a120744.html","relate_link":[]},"callouts":[],"relate_articles":[],"others_in_cat":[{"article_id":120707,"cat_id":1163,"publish_time":1664548020,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-1-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\\) và \\({T_n} = {2^{n + 1}} - 1\\), với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120708,"cat_id":1163,"publish_time":1664548080,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-2-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{{{2^2}}} + ... + \\frac{1}{{{2^n}}}\\) và \\({T_n} = 2 - \\frac{1}{{{2^n}}}\\), với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120709,"cat_id":1163,"publish_time":1664548140,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-3-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = \\frac{1}{{1.5}} + \\frac{1}{{5.9}} + \\frac{1}{{9.13}} + ... + \\frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\\) với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120710,"cat_id":1163,"publish_time":1664548200,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-4-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho q là số thực khác 1. ","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120711,"cat_id":1163,"publish_time":1664548260,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-5-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\), ta có:","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120712,"cat_id":1163,"publish_time":1664548320,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-6-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh \\({n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2.\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120713,"cat_id":1163,"publish_time":1664548380,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-7-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh \\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120714,"cat_id":1163,"publish_time":1664548380,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-8-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120715,"cat_id":1163,"publish_time":1664548500,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 9 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-9-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Quan sát Hình 6","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120716,"cat_id":1163,"publish_time":1664548560,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-10-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/ năm. Hết năm đầu, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120717,"cat_id":1163,"publish_time":1664548620,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-11-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. ","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120706,"cat_id":1163,"publish_time":1664547840,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","alias":"giai-muc-1-trang-23-24-25-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng (frac{1}{2}.)","display_type":2,"article_type":1}],"event_info":{"title":"Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập Toán 10 cánh diều","cat_id":1163,"alias":"bai-1-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"","type":"event","item_id":28390,"item_type":2},"banner":[],"top_banner":"","content_expanded":[],"child_events":[{"id":"28390","title":"Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập Toán 10 cánh diều","short_title":"Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học","alias":"bai-1-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","picture":"","is_link":"0","links":"","is_hot":"0","is_all":"0","category_id":"1163","ordering":"28390","parent_id":"28389"}],"parent_events":[{"id":"28389","title":"Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton","short_title":"Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton","alias":"chuyen-de-2-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-nhi-thuc-newton","picture":"","is_link":"0","links":"","is_hot":"0","is_all":"0","category_id":"1163","ordering":"28389"}],"cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}