{"article_info":{"article_id":120706,"cat_id":1163,"cat_title":"Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","publish_time":1664547840,"cat_id2":1163,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","label":"Câu hỏi mục 1 trang 23, 24, 25","alias":"giai-muc-1-trang-23-24-25-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng (frac{1}{2}.)","content":"<p><strong class=\"sub_question_head\" id=\"sub_question_head_1\">Câu hỏi khởi động</strong></p><p>Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng \\(\\frac{1}{2}.\\)</p>\r\n<p>Chia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng \\(\\frac{1}{4}.\\)</p>\r\n<p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2022/0930/icture3_3.png\" /></p>\r\n<p>Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở hình 1.</p>\r\n<p>Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? Vì sao?</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>Nhận xét:</p>\r\n<p>Chia hình vuông cạnh a thành 4 hình vuông, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (như cách lấy ở trên) thì cạnh của hình vuông đó bằng \\(\\frac{a}{2}\\).</p>\r\n<p>=&gt; Sau mỗi lần lấy, độ lớn của cạnh hình vuông giảm đi 2 lần</p>\r\n<p>=&gt; Sau n lần, cạnh hình vuông nhỏ thứ n giảm đi \\({2^n}\\) so với hình ban đầu.</p>\r\n<p>=&gt; Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n là \\(\\frac{1}{{{2^n}}}\\)</p>\r\n<p> </p><hr/><p><strong class=\"sub_question_head\" id=\"sub_question_head_2\">Hoạt động</strong></p><p>Xét mệnh đề chứa biến P(n): “\\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\\)” với n là số nguyên dương.</p>\r\n<p>a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.</p>\r\n<p>b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết \\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\\) bằng bao nhiêu.</p>\r\n<p>c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \\({k^2} + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\\).</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>a) Mệnh đề P(1) là: “\\(1 = {1^2}\\)”, rõ ràng mệnh đề này đúng.</p>\r\n<p>b) Mệnh đề P(k) là: “\\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\\)”</p>\r\n<p>Mệnh đề P(k) đúng thì \\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\\) bằng \\({k^2}\\)</p>\r\n<p>c) Mệnh đề P(k+1) là: “\\(1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\\)”</p>\r\n<p>Mệnh đề P(k) đúng nên ta có \\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\\)</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l} \\Rightarrow 1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1]\\\\ = {k^2} + [2(k + 1) - 1] = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.</p><hr/><p><strong class=\"sub_question_head\" id=\"sub_question_head_3\">Luyện tập – vận dụng 1</strong></p><p>Chứng minh:</p>\r\n<p>a) \\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt n  + \\sqrt {n + 1} }} = \\sqrt {n + 1}  - 1\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)</p>\r\n<p>b) \\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}} = \\frac{{2({n^2} + n + 1)}}{{3n(n + 1)}}\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2\\)</p><p><strong>Phương pháp giải:</strong></p><p>Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \\(n \\ge p\\) thì:</p>\r\n<p>Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \\(n = p\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} = \\sqrt 2  - 1\\), đúng</p>\r\n<p>vì \\(\\left( {\\sqrt 2  + \\sqrt 1 } \\right)\\left( {\\sqrt 2  - \\sqrt 1 } \\right) = 2 - 1 = 1 \\Rightarrow \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 1 }} = \\sqrt 2  - \\sqrt 1  = \\sqrt 2  - 1\\)</p>\r\n<p> </p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }} = \\sqrt {k + 2}  - 1\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt k  + \\sqrt {k + 1} }} = \\sqrt {k + 1}  - 1\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }}\\\\ = \\sqrt {k + 1}  - 1 + \\frac{1}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }}\\\\ = \\frac{{{{\\left( {\\sqrt {k + 1} } \\right)}^2} + \\sqrt {k + 1} .\\sqrt {k + 2}  + 1}}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }} - 1\\\\ = \\frac{{k + 2 + \\sqrt {k + 1} .\\sqrt {k + 2} }}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }} - 1\\\\ = \\frac{{\\sqrt {k + 2} \\left( {\\sqrt {k + 2}  + \\sqrt {k + 1} } \\right)}}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }} - 1\\\\ = \\sqrt {k + 2}  - 1\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\). Tức là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt n  + \\sqrt {n + 1} }} = \\sqrt {n + 1}  - 1\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)</p>\r\n<p>b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 2\\) ta có \\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} = \\frac{{2({2^2} + 2 + 1)}}{{3.2(2 + 1)}}\\), đúng</p>\r\n<p>vì \\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} = \\frac{7}{9};\\frac{{2({2^2} + 2 + 1)}}{{3.2(2 + 1)}} = \\frac{{2.7}}{{3.2.3}} = \\frac{7}{9}\\)</p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 2\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương lớn hơn 2 tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}} = \\frac{{2({{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1)}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}} = \\frac{{2({{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1)}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}}\\\\ = \\frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}}\\\\ = \\frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\\frac{{[(k + 1) - 1][{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{[(k + 1) + 1][{{(k + 1)}^2} - (k + 1) + 1]}}\\\\ = \\frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\\frac{{k[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{(k + 2)({k^2} + 2k + 1 - k - 1 + 1)}}\\\\ = \\frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\\frac{{k[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{(k + 2)({k^2} + k + 1)}}\\\\ = \\frac{{2[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2\\). Tức là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}} = \\frac{{2({n^2} + n + 1)}}{{3n(n + 1)}}\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2\\)</p>","common_article":"","display_type":2,"vungoi_exam_id":"","article_type":1,"cmt_count":0,"zip_status":1,"last_modified_time":1664609666,"last_zip_time":1664609666,"zip_link":"https://offline.loigiaihay.com/articles/1163/120706/120706_1664609666.zip","picture":"","youtube_id":"","video_start_time":"0","quizlet_id":"0","ref_article_id":0,"readmore_display_type":0,"wiki":0,"sub_articles":[{"id":"519482","group_title":"","sub_article_link":"0","order_in_article":"1","title":"Câu hỏi khởi động","content":"<p>Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng \\(\\frac{1}{2}.\\)</p>\r\n<p>Chia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng \\(\\frac{1}{4}.\\)</p>\r\n<p><img src=\"https://img.loigiaihay.com/picture/2022/0930/icture3_3.png\" /></p>\r\n<p>Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở hình 1.</p>\r\n<p>Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? Vì sao?</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>Nhận xét:</p>\r\n<p>Chia hình vuông cạnh a thành 4 hình vuông, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (như cách lấy ở trên) thì cạnh của hình vuông đó bằng \\(\\frac{a}{2}\\).</p>\r\n<p>=&gt; Sau mỗi lần lấy, độ lớn của cạnh hình vuông giảm đi 2 lần</p>\r\n<p>=&gt; Sau n lần, cạnh hình vuông nhỏ thứ n giảm đi \\({2^n}\\) so với hình ban đầu.</p>\r\n<p>=&gt; Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n là \\(\\frac{1}{{{2^n}}}\\)</p>\r\n<p> </p>","youtube_id":"","video_start_time":"0"},{"id":"519483","group_title":"","sub_article_link":"0","order_in_article":"2","title":"Hoạt động","content":"<p>Xét mệnh đề chứa biến P(n): “\\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\\)” với n là số nguyên dương.</p>\r\n<p>a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.</p>\r\n<p>b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết \\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\\) bằng bao nhiêu.</p>\r\n<p>c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \\({k^2} + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\\).</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>a) Mệnh đề P(1) là: “\\(1 = {1^2}\\)”, rõ ràng mệnh đề này đúng.</p>\r\n<p>b) Mệnh đề P(k) là: “\\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\\)”</p>\r\n<p>Mệnh đề P(k) đúng thì \\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\\) bằng \\({k^2}\\)</p>\r\n<p>c) Mệnh đề P(k+1) là: “\\(1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\\)”</p>\r\n<p>Mệnh đề P(k) đúng nên ta có \\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\\)</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l} \\Rightarrow 1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1]\\\\ = {k^2} + [2(k + 1) - 1] = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.</p>","youtube_id":"","video_start_time":"0"},{"id":"519484","group_title":"","sub_article_link":"0","order_in_article":"3","title":"Luyện tập – vận dụng 1 ","content":"<p>Chứng minh:</p>\r\n<p>a) \\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt n  + \\sqrt {n + 1} }} = \\sqrt {n + 1}  - 1\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)</p>\r\n<p>b) \\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}} = \\frac{{2({n^2} + n + 1)}}{{3n(n + 1)}}\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2\\)</p><p><strong>Phương pháp giải:</strong></p><p>Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \\(n \\ge p\\) thì:</p>\r\n<p>Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \\(n = p\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.</p><p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p><p>a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 1\\) ta có \\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} = \\sqrt 2  - 1\\), đúng</p>\r\n<p>vì \\(\\left( {\\sqrt 2  + \\sqrt 1 } \\right)\\left( {\\sqrt 2  - \\sqrt 1 } \\right) = 2 - 1 = 1 \\Rightarrow \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 1 }} = \\sqrt 2  - \\sqrt 1  = \\sqrt 2  - 1\\)</p>\r\n<p> </p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 1\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }} = \\sqrt {k + 2}  - 1\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt k  + \\sqrt {k + 1} }} = \\sqrt {k + 1}  - 1\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }}\\\\ = \\sqrt {k + 1}  - 1 + \\frac{1}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }}\\\\ = \\frac{{{{\\left( {\\sqrt {k + 1} } \\right)}^2} + \\sqrt {k + 1} .\\sqrt {k + 2}  + 1}}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }} - 1\\\\ = \\frac{{k + 2 + \\sqrt {k + 1} .\\sqrt {k + 2} }}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }} - 1\\\\ = \\frac{{\\sqrt {k + 2} \\left( {\\sqrt {k + 2}  + \\sqrt {k + 1} } \\right)}}{{\\sqrt {k + 1}  + \\sqrt {k + 2} }} - 1\\\\ = \\sqrt {k + 2}  - 1\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\). Tức là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{1}{{\\sqrt 1  + \\sqrt 2 }} + \\frac{1}{{\\sqrt 2  + \\sqrt 3 }} + ... + \\frac{1}{{\\sqrt n  + \\sqrt {n + 1} }} = \\sqrt {n + 1}  - 1\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)</p>\r\n<p>b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.</p>\r\n<p>Bước 1: Khi \\(n = 2\\) ta có \\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} = \\frac{{2({2^2} + 2 + 1)}}{{3.2(2 + 1)}}\\), đúng</p>\r\n<p>vì \\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} = \\frac{7}{9};\\frac{{2({2^2} + 2 + 1)}}{{3.2(2 + 1)}} = \\frac{{2.7}}{{3.2.3}} = \\frac{7}{9}\\)</p>\r\n<p>Như vậy đẳng thức đúng với \\(n = 2\\)</p>\r\n<p>Bước 2: Với k là một số nguyên dương lớn hơn 2 tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}} = \\frac{{2({{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1)}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\\)</p>\r\n<p>Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:</p>\r\n<p>\\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}} = \\frac{{2({{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1)}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\\)</p>\r\n<p>Suy ra</p>\r\n<p>\\(\\begin{array}{l}\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}}\\\\ = \\frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}}\\\\ = \\frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\\frac{{[(k + 1) - 1][{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{[(k + 1) + 1][{{(k + 1)}^2} - (k + 1) + 1]}}\\\\ = \\frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\\frac{{k[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{(k + 2)({k^2} + 2k + 1 - k - 1 + 1)}}\\\\ = \\frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\\frac{{k[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{(k + 2)({k^2} + k + 1)}}\\\\ = \\frac{{2[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\\end{array}\\)</p>\r\n<p>Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2\\). Tức là:</p>\r\n<p>\\(\\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}} = \\frac{{2({n^2} + n + 1)}}{{3n(n + 1)}}\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2\\)</p>","youtube_id":"","video_start_time":"0"}],"comment_url":"https://loigiaihay.com/comment/giai-muc-1-trang-23-24-25-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu-c1163a120706.html","origin_url":"https://loigiaihay.com/giai-muc-1-trang-23-24-25-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu-c1163a120706.html","relate_link":[]},"callouts":[],"relate_articles":[],"others_in_cat":[{"article_id":120744,"cat_id":1163,"publish_time":1664609340,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều","alias":"giai-muc-2-trang-25-26-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,{(1 + \\sqrt 2 )^n},{(1 - \\sqrt 2 )^n}\\) lần lượt viết được ở dạng \\({a_n} + {b_n}\\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\\sqrt 2 ,\\) trong đó \\({a_n},{b_n}\\) là các số nguyên dương.","display_type":2,"article_type":1},{"article_id":120707,"cat_id":1163,"publish_time":1664548020,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-1-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\\) và \\({T_n} = {2^{n + 1}} - 1\\), với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120708,"cat_id":1163,"publish_time":1664548080,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-2-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{{{2^2}}} + ... + \\frac{1}{{{2^n}}}\\) và \\({T_n} = 2 - \\frac{1}{{{2^n}}}\\), với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120709,"cat_id":1163,"publish_time":1664548140,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-3-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho \\({S_n} = \\frac{1}{{1.5}} + \\frac{1}{{5.9}} + \\frac{1}{{9.13}} + ... + \\frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\\) với \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120710,"cat_id":1163,"publish_time":1664548200,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-4-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho q là số thực khác 1. ","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120711,"cat_id":1163,"publish_time":1664548260,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-5-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\), ta có:","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120712,"cat_id":1163,"publish_time":1664548320,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-6-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh \\({n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*,n \\ge 2.\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120713,"cat_id":1163,"publish_time":1664548380,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-7-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Chứng minh \\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\\) với mọi \\(n \\in \\mathbb{N}*\\)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120714,"cat_id":1163,"publish_time":1664548380,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-8-trang-29-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất)","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120715,"cat_id":1163,"publish_time":1664548500,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 9 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-9-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Quan sát Hình 6","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120716,"cat_id":1163,"publish_time":1664548560,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-10-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/ năm. Hết năm đầu, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa","display_type":1,"article_type":1},{"article_id":120717,"cat_id":1163,"publish_time":1664548620,"is_link":0,"thumbnail":"","title":"Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều","alias":"giai-bai-11-trang-30-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. ","display_type":1,"article_type":1}],"event_info":{"title":"Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập Toán 10 cánh diều","cat_id":1163,"alias":"bai-1-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","introtext":"","type":"event","item_id":28390,"item_type":2},"banner":[],"top_banner":"","content_expanded":[],"child_events":[{"id":"28390","title":"Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập Toán 10 cánh diều","short_title":"Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học","alias":"bai-1-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-chuyen-de-hoc-tap-toan-10-canh-dieu","picture":"","is_link":"0","links":"","is_hot":"0","is_all":"0","category_id":"1163","ordering":"28390","parent_id":"28389"}],"parent_events":[{"id":"28389","title":"Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton","short_title":"Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton","alias":"chuyen-de-2-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-nhi-thuc-newton","picture":"","is_link":"0","links":"","is_hot":"0","is_all":"0","category_id":"1163","ordering":"28389"}],"cfg_info":{"last_cfg_time":"1521866679","ad.popup_frequency":"0","ad.adsense.detail_bottom.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/9927553003","ad.adsense.popup.unit_id":"ca-app-pub-8529835372050931/2161779402","current.force.update.version":"181","support.email":"loigiaihay.com@gmail.com","support.fanpage":"https://www.facebook.com/Loigiaihay/","popup_rating_after":"86400","admob.app_id":"ca-app-pub-8529835372050931~4358271409","admob.unit.article_detail_bottom":"ca-app-pub-8529835372050931/1883637630","admob.unit.article_detail_top":"ca-app-pub-8529835372050931/8604898230","admob.unit.event_article_top":"ca-app-pub-8529835372050931/7406887709","admob.unit.interestial":"ca-app-pub-8529835372050931/2741937409","ios_appstore_link":"https://itunes.apple.com/us/app/loigiaihay/id1209891610?mt=8","android_appstore_link":"https://play.google.com/store/apps/details?id=com.tp.loigiaihay","min_version":"2.1.3","latest_version":"1.3.9","force_update":false},"popup_ads":[]}