Tiên_đề tách Trong tô pô và các lĩnh_vực toán_học liên_quan có một_số hạn_chế mà người ta thường mắc phải đối_với các loại không_gian tôpô mà người ta muốn xem_xét Một_số hạn_chế này được đưa ra bởi các tiên_đề tách Chúng đôi_khi được gọi là tiên_đề tách Tychonoff theo tên của Andrey_Tychonoff_Tiên đề tách là tiên_đề chỉ theo nghĩa mà khi xác_định khái_niệm về không_gian tôpô người ta có_thể thêm các điều_kiện này làm tiên_đề phụ để có được khái_niệm hạn_chế hơn về không_gian tôpô là gì Cách tiếp_cận hiện_đại là sửa_chữa một lần và cho tất_cả các tiên_đề của không_gian tôpô và sau đó nói về các loại không_gian tôpô Tuy_nhiên thuật_ngữ tiên_đề tách đã bị mắc_kẹt Tiên_đề tách được ký_hiệu bằng chữ T theo tên tiếng Đức Trennungsaxiom có nghĩa là tiên_đề tách Ý_nghĩa chính_xác của các thuật_ngữ liên_quan đến tiên_đề tách đã thay_đổi theo thời_gian như được giải_thích trong Lịch_sử tiên_đề tách Điều quan_trọng là phải hiểu định_nghĩa của các tác_giả về từng điều_kiện được đề_cập để biết chính_xác ý_nghĩa của chúng đặc_biệt là khi đọc các tài_liệu cũ Định_nghĩa sơ_bộ Trước khi chúng_ta tự định_nghĩa các tiên_đề phân_tách chúng_ta đưa ra ý_nghĩa cụ_thể cho khái_niệm các tập_hợp và điểm phân_tách trong không_gian tôpô Các tập_hợp được phân_tách không giống như các không_gian được phân_tách được định_nghĩa trong phần tiếp_theo Tiên_đề tách nói về việc sử_dụng các phương_tiện tôpô để phân_biệt các tập rời_rạc và các điểm riêng_biệt Nó không đủ để các phần_tử của một không_gian tôpô khác_biệt nghĩa_là không bằng nhau chúng_ta có_thể muốn chúng có_thể phân_biệt được về mặt cấu_trúc liên_kết Tương_tự nó không đủ để các tập con của một không_gian tôpô rời_rạc chúng_tôi có_thể muốn chúng được tách_biệt theo bất_kỳ cách nào Các tiên_đề phân_tách bằng cách này hay cách khác tất_cả đều nói rằng các điểm hoặc tập_hợp có_thể phân_biệt hoặc tách_biệt theo một nghĩa yếu nào đó cũng phải được phân_biệt hoặc tách_biệt theo một nghĩa mạnh hơn Cho X là một không_gian tôpô Khi đó hai điểm x và y trong X có_thể phân_biệt được về mặt cấu_trúc liên_kết nếu chúng không có chính_xác các vùng lân_cận giống nhau hoặc tương_đương với các vùng lân_cận mở giống nhau nghĩa_là ít_nhất một trong số chúng có vùng lân_cận không phải là vùng lân_cận của điểm kia hoặc tương_đương có một tập_hợp mở mà một điểm thuộc về nhưng điểm kia thì không Hai điểm x và y tách_biệt nhau nếu mỗi điểm có lân_cận không phải là lân_cận của điểm kia nghĩa_là không thuộc về phần đóng của điểm kia Nói một_cách tổng_quát hơn hai tập con A và B của X được tách_biệt nếu mỗi tập không tách rời khỏi phần đóng của tập kia Bản_thân các tập đóng không nhất_thiết phải rời_rạc Tất_cả các điều_kiện còn lại để tách các tập_hợp cũng có_thể được áp_dụng cho các điểm hoặc cho một điểm và một tập_hợp bằng cách sử_dụng các tập đơn Các điểm x và y sẽ được coi là phân_tách theo vùng lân_cận bởi vùng lân_cận đóng bởi một hàm liên_tục chính_xác bởi một hàm nếu và chỉ khi các tập đơn_lẻ của chúng x và y được phân_tách theo tiêu_chí tương_ứng Các tập con A và B được ngăn_cách bởi các vùng lân_cận nếu chúng có các vùng lân_cận rời nhau Chúng được ngăn_cách bởi các vùng lân_cận khép_kín nếu chúng có các vùng lân_cận khép_kín rời_rạc Chúng được phân_tách bởi một hàm liên_tục nếu tồn_tại một hàm f liên_tục từ không_gian X đến dòng thực R sao cho ảnh f A bằng 0 và f B bằng 1 Cuối_cùng chúng được phân_tách chính_xác bởi một hàm liên_tục nếu tồn_tại một hàm liên_tục f từ X đến R sao cho tiền nghiệm f 0 bằng A và f 1 bằng B Các điều_kiện này được đưa ra theo thứ_tự tăng_cường mạnh dần Bất_kỳ hai điểm nào có_thể phân_biệt được về mặt cấu_trúc đều phải khác_biệt và hai điểm tách_biệt bất_kỳ phải có_thể phân_biệt được về mặt cấu_trúc liên_kết Bất_kỳ hai tập_hợp được tách_biệt nào phải được tách rời nhau hai tập_hợp bất_kỳ được phân_tách bởi các vùng lân_cận phải được tách_biệt v v Để biết thêm về các điều_kiện này bao_gồm cả việc sử_dụng chúng bên ngoài tiên_đề phân_tách hãy xem các bài viết Tập_hợp được phân_tách và Khả_năng phân_biệt tôpô Định_nghĩa chính Các định_nghĩa này về cơ_bản đều sử_dụng các định_nghĩa sơ_bộ ở trên Nhiều tên trong số này có ý_nghĩa thay_thế trong một_số tài_liệu toán_học như được giải_thích trên Lịch_sử của các tiên_đề tách ví_dụ nghĩa của bình_thường và T đôi_khi được hoán_đổi cho nhau tương_tự như thông_thường và T v v Nhiều khái_niệm cũng có một_số tên gọi tuy_nhiên cái được liệt_kê đầu_tiên luôn ít có khả_năng mơ_hồ nhất Hầu_hết các tiên_đề này đều có các định_nghĩa thay_thế với cùng ý_nghĩa các định_nghĩa được đưa ra ở đây rơi vào một mẫu nhất_quán liên_quan đến các khái_niệm khác nhau về sự tách_biệt được xác_định trong phần trước Các định_nghĩa khả_thi khác có_thể được tìm thấy trong các bài viết riêng_lẻ BULLET Không_gian T Một không_gian tôpô được gọi là không_gian T nếu với hai điểm formula _ 1 formula _ 2 có tập mở chứa x mà không chứa y hoặc có tập mở chứa y mà không chứa x BULLET Không_gian T Một không_gian tôpô được gọi là không_gian T nếu với mọi điểm formula _ 2 có một tập mở chứa x mà không chứa y và một tập mở chứa y mà không chứa x BULLET Không_gian T Một không_gian tôpô được gọi là không_gian T hay Hausdorff nếu với mọi formula _ 2 có 2 tập mở rời nhau formula _ 5 và formula _ 6 sao cho formula _ 7 và formula _ 8 BULLET Không_gian T Một không_gian T được gọi là không_gian T hay chính_tắc nếu với mọi formula _ 9 có 2 tập mở formula _ 10 sao cho formula _ 7 và formula _ 12 BULLET Không_gian T Một không_gian T được gọi là không_gian T hay chuẩn_tắc nếu với hai tập đóng rời nhau formula _ 13 và formula _ 14 có 2 tập mở rời nhau formula _ 5 và formula _ 6 sao cho formula _ 17 và formula _ 18 Ví_dụ BULLET Không_gian tô pô điểm đặc_biệt là không_gian T BULLET Không_gian tô pô phần bù hữu_hạn là không_gian T BULLET formula _ 19 dưới tô pô Euclide tạo thành không_gian T Mệnh_đề BULLET Một không_gian là T khi và chỉ khi tập chỉ có một điểm là tập đóng Hệ_quả BULLET Ta rút ra được hệ_quả sau T formula _ 20 T formula _ 20 T formula _ 20 T formula _ 20 T Một_số phản ví_dụ cho chiều ngược_lại BULLET Không_gian không T Không_gian có nhiều hơn một phần_tử với tôpô hiển_nhiên thì không T BULLET T nhưng không T một tập có ít_nhất 2 phần_tử với tôpô điểm đặc_biệt là không_gian T nhưng không T Định_lý BULLET Không_gian metric bất_kì thì chuẩn_tắc BULLET Một không_gian T là chính_tắc khi và chỉ khi với một điểm x và một tập mở U chứa x được cho trước thì có một tập mở V sao cho formula _ 24 BULLET Một không_gian T là chuẩn_tắc khi và chỉ khi với một tap đóng C và một tập mở U chứa C được cho trước thì có một tập mở V sao cho formula _ 25 Liên_kết ngoài BULLET 1 Bài giảng tô pô http www math hcmus edu vn hqvu teaching n pdf chương 6 BULLET 2 separation axioms Tham_khảo BULLET 1 Tôpô đại_cương Đậu_Thế_Cấp_Nhà xuất_bản Giáo_dục
Tiên_đề tách