Không_gian tôpô tích Trong tô pô và các ngành toán_học liên_quan không_gian tích là tích Descartes của một họ không_gian tô pô được trang_bị một tôpô gọi là tô pô tích Tô pô này_khác với các loại khác điển_hình là tô pô hộp Tô pô hộp của một không_gian tích trở_thành tô pô tích khi nó xác_định trên không_gian hữu_hạn Tuy_vậy tô pô tích cho_phép không_gian tích thực_hiện được phép tích đối_với các nhân tử của nó Định_nghĩa Không_gian X thoả_mãn là tích Descartes của không_gian tô pô formula _ 2 đánh_số bởi formula _ 3 và phép chiếu formula _ 4 formula _ 5 formula _ 2 tô pô tích trên formula _ 5 được định_nghĩa là tô pô yếu nhất hay tô pô có ít tập mở nhất đối_với mọi phép chiếu liên_tục formula _ 4 Tô pô tích còn được gọi là tô pô Tychonoff_BULLET_Trường hợp formula _ 5 và formula _ 10 là không_gian tô pô thì tô pô tích trên formula _ 11 là tô pô sinh bởi cơ_sở formula _ 12 với formula _ 13 là một cơ_sở của tô pô formula _ 5 và formula _ 15 là một cơ_sở cho tô pô Y Cho formula _ 16 được định_nghĩa bởi formula _ 17 và cho formula _ 18 được định_nghĩa bởi formula _ 19 thì họ formula _ 20 với formula _ 21 mở trong formula _ 5 và formula _ 23 mở trong formula _ 10 là một cơ_sở con của tô pô formula _ 11 BULLET Trường_hợp tích vô_hạn formula _ 26 là một họ được đánh chỉ_số các không_gian tô pô formula _ 27 Định_nghĩa tô pô tích trên formula _ 5 là tô pô sinh bởi formula _ 29 formula _ 30 có một cơ_sở là formula _ 31 Tô pô tích trên formula _ 32 có cơ_sở là những tập có dạng formula _ 33 với formula _ 34 mở trong formula _ 2 cho mỗi formula _ 36 và formula _ 37 trừ ra hữu_hạn giá_trị formula _ 36 BULLET Tô pô hộp là tô pô trên formula _ 32 có cơ_sở là những tập có dạng formula _ 33 với formula _ 34 mở trong formula _ 2 cho mỗi formula _ 36 Ví_dụ BULLET 1 Tích_Tôpô formula _ 44 là hình_trụ đặc có bán_kính đáy 1 chiều cao 1 như hình_vẽ BULLET 2 Tôpô trên formula _ 45 như là tích các không_gian tô pô Euclid của formula _ 46 là tô pô Euclid_BULLET 3 Hình_xuyến là một_mặt đóng trong formula _ 47 nhưng cũng có_thể định_nghĩa nó là như tích tô pô formula _ 48 trong đó formula _ 49 là đường_tròn hoặc cung kín trong formula _ 45 Theo cách này có_thể coi hình_xuyến là không_gian tô pô con của formula _ 51 Tô pô của formula _ 49 là không_gian tô pô con_giống như tập con của formula _ 45 BULLET 4 Trong formula _ 54 cho dãy khoảng mở formula _ 55 trong formula _ 46 tập formula _ 57 là một tập mở cơ_sở cho tô pô hộp chú_ý tập này không mở trong tô pô tích BULLET 5 Tập formula _ 58 là một tập mở cơ_sở của tô pô tích formula _ 59 Tính_Chất Không_gian tích formula _ 5 cùng với phép chiếu chuẩn_tắc đặc_trưng bởi tính_chất phổ_quát sau BULLET Tô pô tích là tô pô thô nhất trên formula _ 5 sao cho tất_cả các ánh xạ chiếu formula _ 62 liên_tục Hay nói cách khác tô pô tích là tô pô sinh bởi những ánh xạ chiếu BULLET Nếu formula _ 10 là một không_gian tô pô và đối_với mỗi formula _ 64 formula _ 65 là một ánh xạ liên_tục thì tồn_tại một ánh xạ liên_tục formula _ 66 sao cho mỗi formula _ 64 tuân theo biểu_đồ giao_hoán Nó thể_hiện không_gian tích là tích phạm_trù của các không_gian tô pô Từ_tính chất phổ_quát trên ánh xạ formula _ 68 là liên_tục nếu và chỉ nếu formula _ 69 liên_tục cho mọi formula _ 64 Trong nhiều trường_hợp có_thể dễ_dàng kiểm_tra rằng hàm formula _ 71 là liên_tục Tuy_nhiên chứng_minh formula _ 72 liên_tục thì khó hơn và cần đến giả_thiết formula _ 4 liên_tục Để thoả_mãn tính liên_tục phép chiếu chuẩn_tắc formula _ 74 cần thêm tính_chất là những ánh xạ mở Điều này có nghĩa là bất_kỳ tập con mở nào của không_gian tích vẫn là mở khi thực_hiện chiếu chúng vào formula _ 75 Điều ngược_lại không đúng nếu formula _ 76 là không_gian con của không_gian tích mà phép chiếu vào mọi formula _ 75 là mở thì formula _ 76 không cần_thiết là không_gian mở trong formula _ 5 Các phép chiếu chuẩn_tắc nói_chung không phải là ánh xạ đóng ví_dụ formula _ 80 mà phép chiếu lên hai trục toạ_độ là formula _ 81 Tô pô tích còn gọi là tô pô hội_tụ theo từng điểm bởi_vì một dãy số hoặc lưới trong X hội_tụ nếu và chỉ nếu mọi phép chiếu của nó vào không_gian formula _ 75 hội_tụ Đặc_biệt nếu xét không_gian formula _ 83 của mọi hàm giá_trị thực trên formula _ 5 sự hội_tụ trong tô pô tích là giống với sự hội_tụ theo điểm của hàm_số BULLET Ánh xạ vào không_gian tích là liên_tục khi và chỉ khi tất_cả các ánh xạ thành_phần là liên_tục BULLET Tích các tập con đóng bất_kỳ formula _ 75 là tập đóng trong formula _ 5 Một định_lý quan_trọng về tô pô tích là định_lý Tychonoff tích của một họ không_gian compact bất_kỳ là compact Định_lý này có_thể chứng_minh dễ_dàng cho trường_hợp hữu_hạn trong khi trường_hợp tổng_quát tương_đương với tiên_đề chọn Liên_quan đến khái_niệm tôpô khác BULLET Tiên_đề tách BULLET Tích của những không_gian formula _ 87 thì formula _ 87 BULLET Tích của những không_gian formula _ 89 thì formula _ 89 BULLET Tích của những không_gian Hausdorff thì Hausdorff_BULLET_Tích của những không_gian chính_tắc thì chính_tắc BULLET Tích của những không_gian chuẩn_tắc thì không chắc là chuẩn_tắc BULLET Compắc_BULLET_Tích của những không_gian compact thì compact Định_lý Tychonoff_BULLET_Sự liên_thông BULLET Tích của những không_gian liên_thông Liên_thông đường thì liên_thông Liên_thông đường
Không_gian tôpô tích