Đại_số sơ_cấp Đại_số sơ_cấp bao_gồm những khái_niệm cơ_bản của đại_số một phân nhánh của toán_học Đại_số sơ_cấp thường được dạy ở cấp trung_học_cơ_sở và được xây_dựng dựa trên những hiểu_biết về số học Trong khi số học liên_quan tới những con_số cụ_thể đại_số giới_thiệu những con_số không có giá_trị cố_định được gọi là các biến_số Việc sử_dụng biến_số đòi_hỏi phải sử_dụng ký_hiệu đại_số và hiểu các quy_tắc chung của các phép_tính được sử_dụng trong số học Khác với đại_số trừu_tượng đại_số sơ_cấp không quan_tâm tới cấu_trúc đại_số ngoài số_thực và số_phức Việc sử_dụng các biến_số để biểu_hiện các con_số cho_phép biểu_diễn chính_xác mối quan_hệ chung giữa những con_số do_đó giúp giải_quyết bài_toán rộng hơn Phần_lớn các kết_quả định_lượng trong khoa_học và toán_học thường được biểu_diễn dưới dạng phương_trình đại_số Ký_hiệu đại_số Ký_hiệu đại_số miêu_tả cách đại_số được biểu_hiện Nó tuân theo một_vài quy_tắc và quy_ước nhất_định và có những thuật_ngữ riêng Ví_dụ biểu_thức formula _ 1 có những thành_tố sau br 1 số_mũ 2 hệ_số 3 số_hạng 4 toán_tử 5 hằng_số formula _ 2 các biến_số Một hệ_số là một giá_trị số nhân với biến_số toán_tử được bỏ_qua số_hạng là một hạng thức một nhóm các hệ_số biến_số hằng_số và số_mũ được phân_tách với những số_hạng khác bằng các dấu cộng và trừ Các biến_số và hằng_số thường được biểu_diễn bằng các chữ_cái Theo quy_ước các chữ_cái ở đầu của bảng_chữ_cái ví_dụ formula _ 3 thường dùng để biểu_diễn các hằng_số và các chữ_cái ở cuối bảng_chữ_cái ví_dụ formula _ 2 and formula _ 5 thường được dùng để biểu_diễn các biến_số Chúng thường được viết bằng chữ nghiêng Các phép_tính đại_số hoạt_động giống các phép_tính trong số học ví_dụ như cộng trừ nhân chia và luỹ_thừa và được áp_dụng cho các biến_số và số_hạng đại_số Biểu_tượng thể_hiện phép nhân thường được bỏ_qua và được ngầm hiểu khi không có khoảng trống giữa hai biến_số và số_hạng hoặc khi một_số hạng được sử_dụng Ví_dụ formula _ 6 được viết thành formula _ 7 và formula _ 8 có_thể được viết thành formula _ 9 Thường các số_hạng với số_mũ cao nhất được viết về bên trái ví_dụ formula _ 10 sẽ được viết về bên trái của formula _ 11 Khi một_số hạng là một_số một thường được bỏ_qua ví_dụ formula _ 12 được viết thành formula _ 10 Cũng như_vậy khi số_mũ là một ví_dụ formula _ 14 được viết thành formula _ 15 Khi số_mũ là không kết_quả luôn là 1 ví_dụ formula _ 16 luôn được viết lại thành 1 Tuy_nhiên formula _ 17 là một_số không xác_định không được xuất_hiện trong biểu_thức và cần phải chú_ý khi rút_gọn các biểu_thức trong đó các biến_số xuất xuất_hiện dưới dạng số_mũ Các khái_niệm Biến_số Đại_số sơ_cấp xây_dựng và mở_rộng số học bằng cách giới_thiệu các chữ_cái được gọi là biến_số để thể_hiện những số chung không xác_định Điều này đem lại một_vài lợi_ích BULLET 1 Biến_số đại_diện cho những số chưa biết giá_trị Ví_dụ nếu nhiệt_độ ngày hôm_nay T là 20 độ cao hơn nhiệt_độ ngày hôm_qua Y thì bài_toán có_thể được biểu_diễn dưới dạng toán_học là formula _ 18 BULLET 1 Biến_số cho_phép ta biểu_diễn những bài_toán chung mà không cần phải cụ_thể_hoá giá_trị của những con_số có liên_quan Ví_dụ người ta có_thể nêu cụ_thể 5 phút bằng với formula _ 19 giây Một_cách mô_tả chung hơn bằng đại_số có_thể miêu_tả số giây formula _ 20 trong đó m là số phút BULLET 1 Biến_số cho_phép miêu_tả những mối quan_hệ toán_học giữa những con_số có_thể dao_động Ví_dụ mối quan_hệ giữa chu_vi c và đường_kính d của một đường_tròn có_thể được biểu_diễn là formula _ 21 BULLET 1 Biến_số cho_phép mô_tả một_vài tính_chất của toán_học Ví_dụ một tính_chất cơ_bản của phép cộng là tính_giao hoán trong đó nêu rõ rằng trật_tự của các số được cộng không quan_trọng Tính_giao hoán có_thể được thể_hiện dưới dạng đại_số là formula _ 22 Đánh_giá biểu_thức Những biểu_thức đại_số có_thể được đánh_giá và rút_gọn dựa trên những tính_chất cơ_bản của các phép_tính số học cộng trừ nhân chia và luỹ_thừa Ví_dụ BULLET Các số_hạng cộng có_thể được rút_gọn bằng cách sử_dụng hệ_số Ví_dụ formula _ 23 có_thể được rút_gọn thành formula _ 24 trong đó 3 là hệ_số BULLET Các số_hạng nhân có_thể được rút_gọn bằng cách sử_dụng số_mũ Ví_dụ formula _ 25 có_thể được biểu_diễn là formula _ 26 BULLET Cũng giống như các số_hạng được cộng với nhau ví_dụ formula _ 27 được viết thành formula _ 28 bởi các số_hạng formula _ 29 được cộng lại với nhau các số_hạng formula _ 30 cũng được cộng lại với nhau BULLET Các số trong ngặc có_thể được nhân với số bên ngoài bằng cách sử_dụng tính phân_phối Ví_dụ formula _ 31 có_thể được viết thành formula _ 32 và có_thể được viết thành formula _ 33 BULLET Các biểu_thức có_thể đưa các nhân tử ra ngoài Ví_dụ formula _ 34 chia cả hai số_hạng với formula _ 35 ta có_thể viết thành formula _ 36 Phương_trình Một phương_trình mô_tả hai biểu_thức là bằng nhau bằng cách sử_dụng biểu_tượng của đẳng_thức formula _ 37 dấu bằng Một trong những phương_trình nổi_tiếng nhất mô_tả định_luật Pytago liên_quan đến chiều dài các cạnh của một tam_giác_vuông Phương_trình này thể_hiện rằng formula _ 39 đại_diện cho bình_phương cạnh_huyền cạnh đối_diện góc_vuông bằng tổng phép cộng bình_phương hai cạnh còn lại được đại_diện bằng các chữ_cái formula _ 40 và formula _ 41 Phương_trình là một sự xác_nhận rằng hai biểu_thức có cùng giá_trị và bằng nhau Một_vài phương_trình đúng với tất_cả các giá_trị của các biến_số liên_quan ví_dụ formula _ 42 những phương_trình như_vậy được gọi là đồng_nhất thức Những phương_trình điều_kiện đúng với một_số giá_trị của các biến_số liên_quan ví_dụ formula _ 43 chỉ đúng khi formula _ 44 hoặc formula _ 45 Những giá_trị của các biến làm cho phương_trình đó đúng chính là nghiệm của phương_trình và có_thể tìm thấy thông_qua giải phương_trình Một dạng phương_trình khác gọi là bất_đẳng_thức Các bất_đẳng_thức được dùng để chỉ ra rằng một vế của phương_trình lớn hoặc nhỏ hơn vế còn lại Các biểu_tượng được sử_dụng cho bất_đẳng_thức là formula _ 46 trong đó formula _ 47 có nghĩa là lớn hơn và formula _ 48 trong đó formula _ 49 có nghĩa là nhỏ hơn Cũng giống như phương_trình đẳng_thức tiêu_chuẩn các số của bất_đẳng_thức có_thể được cộng trừ nhân chia Trường_hợp ngoại_lệ duy_nhất là khi nhân và chia với một_số âm dấu bất_đẳng_thức phải được đổi ngược_lại Tính_chất của đẳng_thức Theo định_nghĩa đẳng_thức tuân_thủ theo một_số quan_hệ tương_đương bao_gồm a phản_xạ ví_dụ formula _ 50 đối_xứng ví_dụ nếu formula _ 51 thì formula _ 52 và bắc_cầu ví_dụ nếu formula _ 51 và formula _ 54 thì formula _ 55 trong đó BULLET Nếu formula _ 51 và formula _ 57 thì formula _ 58 và formula _ 59 BULLET Nếu formula _ 51 thì formula _ 61 BULLET Nêu hai ký_hiệu là bằng nhau thì một bên có_thể thay_thế cho bên còn lại Tính_chất của bất_đẳng_thức Mối quan_hệ nhỏ hơn formula _ 49 và lớn hơn formula _ 47 có tính_chất bắc_cầu BULLET Nếu formula _ 64 và formula _ 65 thì formula _ 66 BULLET Nếu formula _ 64 và formula _ 68 thì formula _ 69 BULLET Nếu formula _ 64 và formula _ 71 thì formula _ 72 BULLET Nếu formula _ 64 và formula _ 74 thì formula _ 75 Chú_ý rằng bằng cách nghịch_đảo phương_trình chúng_ta có_thể đảo dấu formula _ 49 và formula _ 47 ví_dụ BULLET formula _ 64 tương_đương với formula _ 79 Giải các phương_trình đại_số Phần dưới đây sẽ trình_bày các ví_dụ về vài phương_trình đại_số thường gặp Phương_trình tuyến_tính với một biến_số Phương_trình tuyến_tính được gọi như_vậy bởi khi chúng được vẽ đồ_thị chúng sẽ thể_hiện một đường_thẳng tuyến_tính có nghĩa là đường_thẳng Phương_trình đơn_giản nhất là phương_trình có một biến_số Chúng chỉ có các hằng_số và một biến_số duy_nhất mà không có số_mũ Ví_dụ xem_xét Bài_toán Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi con trai tôi và cộng thêm 4 kết_quả sẽ là 12 Vậy con trai tôi bao_nhiêu tuổi Phương_trình tương_đương formula _ 80 trong đó formula _ 11 là số tuổi của con trai tôi Để giải dạng phương_trình này ta sử_dụng kỹ_thuật cộng trừ nhân chia cả hai vế của phương_trình với cùng một_số nhằm tách ly biến_số sang một bên của phương_trình Một_khi biến_số đã được tách_biệt vế còn lại của phương_trình chính là giá_trị của biến_số Nghiệm của phương_trình này là như sau Dạng_thức chung của phương_trình tuyến_tính với một biến_số có_thể được viết là formula _ 82 Cũng theo quy_trình như_vậy trừ cho cả hai vế cho formula _ 41 và chia cho formula _ 40 đáp_số của phương_trình là formula _ 85 Phương_trình tuyến_tính với hai biến_số Một phương_trình tuyến_tính với hai biến_số có nhiều vô_số nghiệm Ví_dụ Bài_toán Tôi nhiều hơn con tôi 22 tuổi Vậy chúng_tôi bao_nhiêu tuổi Phương_trình tương_đương formula _ 86 trong đó formula _ 87 là tuổi của tôi và formula _ 11 là tuổi của con trai tôi Một_mình phương_trình này không đủ để giải bài_toán Nếu ta biết tuổi của người con trai thì phương_trình sẽ không phải là phương_trình có hai biến chưa biết giá_trị nữa và bài_toán trở_thành phương_trình tuyến_tính với một biến_số Để giải phương_trình tuyến_tính hai biến_số đòi_hỏi phải có hai phương_trình liên_quan đến nhau Ví_dụ nếu bài_toán cũng cho biết rằng Giờ ta có hai phương_trình tuyến_tính mỗi phương_trình có hai biến chưa biết nó cho_phép ta tạo ra một phương_trình tuyến_tính với một biến bằng cách trừ một phương_trình cho phương_trình còn lại gọi là phương_pháp khử Nói cách khác con trai tôi 12 tuổi và tôi lớn hơn con trai tôi 22 tuổi Vậy tuổi của tôi là 34 Trong 10 năm con trai tôi sẽ là 22 tuổi và tuổi tôi sẽ gấp đôi tuổi con trai là 44 tuổi Phương_trình bậc hai Phương_trình bậc hai là phương_trình có một_số hạng với số_mũ là 2 ví_dụ formula _ 29 và không có số_hạng nào với số_mũ cao hơn Nhìn_chung phương_trình bậc hai có_thể biểu_diễn dưới dạng formula _ 90 trong đó formula _ 40 khác không nếu a bằng không thì đây là phương_trình tuyến_tính chứ không còn là bậc hai Bởi_vậy phương_trình bậc hai phải chứa số_hạng formula _ 92 số_hạng được biết đến là số_hạng bậc hai Do formula _ 93 chúng_ta có_thể chia cho formula _ 40 và sắp_đặt lại phương_trình thành dạng tiêu_chuẩn Trong đó formula _ 96 và formula _ 97 Giải phương_trình này bằng một quá_trình gọi là phần bù bình_phương sẽ dẫn đến công_thức bậc hai Trong đó dấu biểu_thị rằng cả là nghiệm của phương_trình bậc hai Phương_trình bậc hai có_thể giải bằng cách sử_dụng phân_tích nhân tử Một ví_dụ của phân_tích nhân tử Cũng tương_đương với Phương_trình này tuân_thủ theo đúng tính_chất tích của không với cả formula _ 102 hoặc formula _ 103 là nghiệm của phương_trình bởi rõ_ràng một trong hai nhân tử phải bằng_không Tất_cả các phương_trình bậc hai đều có hai nghiệm trong hệ_số phức nhưng không cần có nghiệm nào trong hệ_số thực Ví_dụ không có nghiệm_số thực nào bởi không có số nào bình_phương lại bằng 1 Phương_trình số_mũ và phương_trình lôgarit Phương_trình số_mũ là phương_trình có dạng formula _ 105 với formula _ 106 nghiệm của phương_trình là khi formula _ 108 Các kỹ_thuật trong đại_số sơ_cấp được sử_dụng để viết lại phương_trình đã cho ở trên trước khi đi đến đáp_số Ví_dụ nếu thì trừ 1 cho cả hai vế của phương_trình rồi chia cả hai vế cho 3 chúng_ta có Do_đó Hoặc Phương_trình lôgarit là phương_trình dạng formula _ 113 với formula _ 106 trong đó nghiệm là Ví_dụ nếu thì ta cộng 2 cho cả hai vế của phương_trình sau đó là chia cho 4 chúng_ta có Do_đó Từ đó ta rút ra được Phương_trình căn_thức Phương_trình căn_thức là phương_trình có một dấu căn formula _ 120 bao_gồm cả căn bậc ba formula _ 121 và căn bậc n formula _ 122 Cần nhớ rằng căn bậc n có_thể viết lại theo dạng số_mũ bởi_thế formula _ 122 tương_đương với formula _ 124 Kết_hợp với số_mũ bình_thường thì formula _ 125 căn bậc hai của x lập_phương có_thể viết lại thành formula _ 126 Vậy nên dạng_thức chung của phương_trình căn_thức là formula _ 127 tương_đương với formula _ 128 trong đó formula _ 129 và formula _ 130 là số_nguyên và có nghiệm là Ví_dụ nếu thì Hệ phương_trình tuyến_tính Có những phương_pháp khác nhau để giải một hệ các phương_trình tuyến_tính với hai biến_số Phương_pháp cộng đại_số Một ví_dụ về giải phương_trình tuyến_tính với phương_pháp cộng đại_số Nhân các số_hạng của phương_trình thứ hai cho 2 Cộng hai phương_trình lại ta có Rồi rút_gọn Khi ta đã biết formula _ 102 thì ta có_thể tìm ra formula _ 139 bằng cách thay 2 cho x vào một trong hai phương_trình đầu Nghiệm của hai phương_trình sẽ là Chú_ý rằng đây không phải là phương_pháp duy_nhất để giải hệ phương_trình này formula _ 87 có_thể được giải trước formula _ 11 Phương_pháp thay_thế Một_cách khác để giải cùng một hệ phương_trình tuyến_tính là phương_pháp thay_thế Ta có_thể tìm formula _ 87 bằng cách sử_dụng một trong hai phương_trình Sử_dụng phương_trình thứ hai Trừ formula _ 146 cho hai vế của phương_trình và nhân hai vế với 1 Thay giá_trị formula _ 87 vào phương_trình đầu_tiên của hệ phương_trình gốc Cộng 2 vào hai vế của phương_trình Rút_gọn thành Sử_dụng giá_trị này vào một trong hai phương_trình ta có_thể đạt được nghiệm tương_tự với phương_pháp trước Chú_ý rằng đây không phải là phương_pháp duy_nhất để giải hệ phương_trình này formula _ 87 có_thể được giải trước formula _ 11 Các dạng hệ phương_trình tuyến_tính khác Hệ phương_trình vô_nghiệm Trong ví_dụ trên ta có_thể tìm ra đáp_số Tuy_nhiên có những hệ phương_trình không có đáp_số Một ví_dụ Phương_trình thứ hai trong hệ phương_trình không có đáp_số Vì_thế hệ phương_trình này không giải được Tuy_nhiên không phải hệ phương_trình không đáp_số nào cũng dễ nhận ra Ví_dụ như hệ phương_trình dưới đây Khi ta thử giải hệ phương_trình này dùng phương_pháp thay_thế như nêu ở trên phương_trình thứ hai sau khi cộng vào cả hai vế và nhân với 1 ta có Và thế giá_trị vào phương_trình đầu_tiên Kết_quả là không còn lại biến_số nào và đẳng_thức không đúng Điều này có nghĩa là phương_trình đầu_tiên không_thể đưa ra một đáp_số với giá_trị tìm được trong phương_trình thứ hai Hệ phương_trình vô_số nghiệm Có những phương_trình có vô_số đáp_án khác với hệ phương_trình chỉ có hai nghiệm cặp giá_trị formula _ 11 và formula _ 87 Ví_dụ Tách formula _ 87 trong phương_trình thứ hai Và thế giá_trị này vào phương_trình thứ nhất của hệ phương_trình Đẳng_thức thì đúng nhưng lại không đưa ra giá_trị của formula _ 11 Thực_ra ta có_thể dễ_dàng nhận ra rằng bằng cách điền vào giá_trị formula _ 11 với bất_cứ formula _ 11 nào ta cũng đều có đáp_số miễn là formula _ 169 Vì_thế phương_trình này có vô_số nghiệm Mối quan_hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương_trình Cho bất_cứ một hệ phương_trình nào luôn có mối quan_hệ giữa tính bội và tính giải được của hệ phương_trình Nếu một phương_trình là bội của phương_trình còn lại thì hệ phương_trình tuyến_tính là bất_định có nghĩa là hệ phương_trình có vô_số nghiệm Ví_dụ có vô_số nghiệm ví_dụ như 1 1 0 2 1 8 0 2 4 2 3000 75 3002 75 và nhiều cặp nghiệm khác Nhưng khi tính bội chỉ là thuộc một phần riêng ví_dụ vế bên trái của phương_trình là bội còn vế bên phải thì không hoặc không nhân với cùng một_số thì hệ phương_trình đó không giải được Ví_dụ Phương_trình thứ hai đem tới kết_quả formula _ 172 đối_nghịch với phương_trình thứ nhất Khi giải một hệ phương_trình tuyến_tính ta nên kiểm_tra xem một phương_trình có phải là bội của phương_trình còn lại không Nếu nó là bội của phương_trình còn lại hệ phương_trình đó không xác_định được một_cách cụ_thể Nếu nó chỉ bội một phần hệ phương_trình không có lời_giải Tuy_nhiên như đã chỉ ra trong các phần ở trên điều này không có nghĩa là các phương_trình phải là bội của nhau để có lời_giải nói cách khác tính bội trong một hệ phương_trình tuyến_tính không phải là điều_kiện cần_thiết để có_thể giải được phương_trình Đọc thêm BULLET Leonhard_Euler_Elements of Algebra 1770 English translation Tarquin_Press 2007 ISBN 978 1 899618 79 8 online digitized editions 2006 or on Google Books_Elements of algebra Leonhard_Euler_John_Hewlett Francis_Horner_Jean_Bernoulli Joseph_Louis_Lagrange 1822 BULLET Charles_Smith_A_Treatise on Algebra in Cornell_University_Library_Historical Math_Monographs_BULLET_Redden John_Elementary_Algebra_Flat World_Knowledge 2011
Đại_số sơ_cấp