Định_lý Heine_Borel_Trong topo_học của không_gian metric định_lý Heine_Borel được đặt theo tên của Eduard_Heine và Émile_Borel phát_biểu rằng Đối_với một tập con A trong không_gian Euclide formula _ 1 thì 2 mệnh_đề sau đây là tương_đương nhau BULLET A là tập đóng và bị chặn BULLET Mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu_hạn điều đó có nghĩa A là compact Trong thực_tế định_lý Heine_Borel được phát_biểu cho bất_kỳ một không_gian metric nào như sau Chứng_minh Giả_sử formula _ 2 compact Vì formula _ 1 là không_gian Hausdorff nên formula _ 2 đóng Lấy một họ các phủ mở của formula _ 2 Vì formula _ 2 compact nên có phủ con hữu_hạn Do_đó có formula _ 9 sao cho formula _ 10 Nên với hai điểm bất_kỳ formula _ 11 và formula _ 12 của formula _ 2 ta có formula _ 14 Vậy formula _ 2 bị chặn Ngược_lại nếu formula _ 2 đóng và bị chặn giả_sử formula _ 17 với mọi formula _ 18 Cố_định một điểm formula _ 19 của formula _ 2 đặt formula _ 21 Khi đó với mọi formula _ 22 thì Đặt formula _ 24 thì formula _ 2 là tập con của formula _ 26 là tập compact Vì formula _ 2 đóng nên formula _ 2 cũng compact
Định_lý Heine–Borel