Khối đa_diện đều Platon_Trong toán_học các khối đa_diện Platon là các đa_diện lồi đều Trên thực_tế chỉ có đúng 5 đa_diện đều Platon đó là tứ_diện đều tetrahedron hình_lập_phương hexahedron bát_diện đều octahedron mười_hai mặt đều dodecahedron và hai_mươi mặt đều icosahedron Lịch_sử vấn_đề Các đa_diện đều Platon được biết đến từ rất sớm trong thời_kì cổ_đại Những đa_diện đều Platon đầu_tiên được tạo ra từ cách đây hơn 4000 năm và chúng được chạm_khắc trên những khối đá Các khối đa_diện đều platon đầu_tiên là các khối tetrahedron khối 4 mặt hexahedron khối 6 mặt octahedron khối 8 mặt dodecahedron khối 12 mặt icosahedron khối 20 mặt Chúng được tìm thấy tại nhiều vùng khác nhau ở Scotland và trở_thành nền_tảng kiến_trúc trong thế_giới cổ_đại Xuất_hiện từ rất sớm nhưng cho tới thời_điểm cách đây hơn 2500 năm thì các quy_luật toán_học xung_quanh vấn_đề các khối đa_diện đều Platon mới lần đầu_tiên được đề_cập tới và nghiên_cứu sâu_rộng Và cho tới khi nhà triết_học nhà thiên_văn_học và cũng là nhà hình_học nổi_tiếng Hy_Lạp Platon khoảng 427 347 TCN tìm ra rằng chỉ có 5 khối đa_diện đều thì chúng được mới biết đến 5 đa_diện đều tetrahedron hexahedron lập_phương octahedron dodecahedron và icosahedron với tên là Các khối Platon_Hơn thế nữa một điều khá thú_vị là theo Plato 5 đa_diện đều này còn là đại_diện cho các yếu_tố cơ_bản trong vũ_trụ Và cơ_sở để chúng_ta có_thể chứng_minh rằng chỉ tồn_tại duy_nhất 5 đa_diện đều Platon đó chính là một định_lý cổ_điển của Leonhard_Euler 1707 1783 một nhà toán_học và cũng là một nhà_vật_lý học người Thuỵ_Sĩ Ông được xem như là một trong những nhà toán_học lừng_lẫy nhất trong thế_kỉ 18 với những đóng_góp quan_trọng trong vật_lý và toán_học Khái_quát chung Giới_thiệu bài_toán Dưới đây là giới_thiệu về các đa_diện đều Platon và dùng đặc_trưng Euler để chứng_minh chỉ có đúng 5 đa_diện đều Các định_nghĩa Khối đa_diện lồi Khối đa_diện H được gọi là khối đa_diện lồi nếu đoạn_thẳng nối hai điểm bất_kì của H luôn thuộc H Khi đó đa_diện xác_định H được gọi là đa_diện lồi Khối đa_diện lồi đều Là khối đa_diện lồi có tính_chất sau đây a Mỗi mặt của nó là một đa_giác đều p cạnh b Mỗi đỉnh của nó là đỉnh_chung của đúng q mặt Khối đa_diện đều như_vậy được gọi là khối đa_diện đều loại p q Phân_chia tam_giác Một phân_chia tam_giác của một không_gian tôpô là một đồng phôi từ không_gian đó vào một không_gian con của không_gian Euclid nhận được từ một_phép dán của những tam_giác Phép dán những tam_giác tuân theo quy_tắc sau BULLET 1 Chỉ được dán tam_giác dọc theo cạnh BULLET 2 Hai tam_giác sẽ có cùng một cạnh hoặc hai tam_giác sẽ có cùng một đỉnh Đặc_trưng Euler formula _ 1 formula _ 2 gọi là đặc_trưng Euler của đa_diện X Trong đó V là số đỉnh của khối đa_diện X E là số cạnh khối đa_diện X F là số mặt của khối đa_diện X Các khối đa_diện Platon_Các khối đa_diện Platon gồm 5 khối đa_diện đều lồi là khối tứ_diện đều khối lập_phương khối tám mặt đều khối mười_hai mặt đều khối hai_mươi mặt đều Trong đó Chứng_minh chỉ có đúng năm khối đa_diện đều lồi Chìa_khoá của chứng_minh này là sử_dụng đặc_trưng Euler Đầu_tiên ta có mối liên_hệ Thật vậy ta có p là số cạnh của mỗi mặt đa_diện F số mặt của khối đa_diện suy ra pF là tổng_số cạnh của tất_cả các mặt của khối đa_diện Mà một cạnh của đa_diện kề với hai mặt của khối đa_diện Suy ra Mặt_khác ta lại có q là số mặt gặp nhau ở một đỉnh V là tổng_số đỉnh của khối đa_diện Suy ra qV là tổng_số đỉnh của tất_cả các mặt của khối đa_diện Mặt_khác q là số cạnh gặp nhau ở một đỉnh Mà mỗi cạnh liên_kết với hai đỉnh của đa_diện Suy ra Vậy Thế 1 vào ta được Ta lại có p 3 q 3 Bởi_vì mỗi đa_diện có ít_nhất 3 cạnh khối đa_diện có ít_nhất 3 mặt gặp nhau ở một đỉnh Mặt_khác nếu p q cùng lớn hơn 3 thì sẽ dẫn đến p 4 q 4 Do_đó Từ suy ra đều vô lý_Do_đó p q không_thể đồng_thời lớn hơn 3 được Suy ra p 3 và q 3 hoặc p 3 và q 3 Không mất tính tổng_quát giả_sử p 3 Thế vào 2 ta được Hiển_nhiên ta biết rằng q là số_nguyên Vậy q chỉ có_thể là 3 4 5 Từ đó suy ra E 6 12 30 Một_cách tương_tự cho trường_hợp q 3 Ta cũng có p 3 4 5 Vậy ta nhận được năm cặp số 3 3 3 4 3 5 4 3 5 3 Từ năm cặp số giá_trị của p q này cho ta năm đa_giác đều cần chứng_minh Ứng_dụng Ứng_dụng trong quân xúc_xắc Các khối đa_diện đều thường được dùng là quân xúc_xắc dùng trong các trò_chơi may_rủi Con xúc_xắc sáu mặt khối lập_phương thường được dùng hơn cả tuy_nhiên cũng có_thể dùng các khối 4 8 12 20 mặt như trong hình dưới đây Các khối đa_diện còn được ứng_dụng trong trò_chơi rubik Tứ_diện đều Khối lập_phương Tám mặt đều Mười_hai mặt đều Trong tự_nhiên Các khối tứ_diện lập_phương khối tám mặt có trong tự_nhiên dưới dạng các cấu_trúc tinh_thể Không phải tất_cả các tinh_thể có hình_dạng là các khối đa_diện nêu trên khối đa_diện đều 4 6 8 12 20 Không có tinh_thể có dạng là khối mười_hai mặt đều và khối hai_mươi mặt đều Trong tự_nhiên khối mười_hai mặt đều không tồn_tại trong các dạng tinh_thể nhưng dạng pyritohedron khối mười_hai mặt không đều có dạng như khối mười_hai mặt đều nhưng các mặt bên không đều méo_mó xảy ra trong pyrit tinh_thể Trong những năm đầu thế_kỷ 20 Ernst_Haeckel mô_tả Haeckel 1904 một_số loài Radiolaria động_vật_nguyên_sinh một_số có bộ xương được hình_thành như khối đa_diện đều Ví_dụ bao_gồm Circoporus octahedrus Circogonia icosahedra Lithocubus geometricus và Circorrhegma dodecahedra Nhiều virus chẳng_hạn như herpes vi_rút có hình_dạng của một icosahedron đều khối 20 mặt đều Ứng_dụng trong kỹ_thuật xây_dựng Các đa_diện Platon được chia làm 2 nhóm Các đa_diện các mặt bên là các tam_giác được gọi là hệ thanh Các đa_diện mà các đỉnh có ba cạnh đồng_qui gọi là hệ vỏ Các đa_diện này có nhiều ứng_dụng trong xây dưng và kiến_trúc Chúng làm thành những kết_cấu và cấu_trúc bền_vững chịu lưc cao giảm được trọng lương của các công_trình xây_dựng lớn cao_tầng Liên_kết ngoài BULLET Book_XIII of Euclid s Elements_BULLET_Interactive 3D Polyhedra in Java_BULLET_Interactive 3D Octahedron_BULLET_Interactive_Folding Unfolding_Platonic_Solids in Java_BULLET_Paper models of the Platonic solids created using nets generated by Stella software BULLET Platonic_Solids_Free paper models nets BULLET Platonic_Solids for Meditation platonic solids used for meditation and healing BULLET Teaching_Math with Art student created models BULLET Teaching_Math with Art teacher instructions for making models BULLET Frames of Platonic_Solids images of algebraic surfaces BULLET Platonic_Solids with some formula derivations
Khối đa_diện đều Platon