Compact hoá Trong toán_học và lý_thuyết topo compact hoá phiên_âm compắc hoá tiếng Anh compactification là một quá_trình biến một không_gian topo thông_thường thành một không_gian compact Không_gian compact hay tập compact có những tính_chất hữu_ích như BULLET Tập compact thì đóng và bị chặn trong không_gian mêtric BULLET Với mọi dãy có dãy con hội_tụ trong một tập compact của không_gian mêtric BULLET Các hàm liên_tục trên không_gian compact thì tồn_tại giá_trị lớn nhất và nhỏ nhất Một phương_pháp thông_dụng để compact hoá một không_gian topo là compact hoá một điểm one point compactification với định_lý Alexandroff và tính_chất compact địa_phương Định_nghĩa Một compact hoá của formula _ 1 là một không_gian compact formula _ 2 sao cho formula _ 1 đồng phôi với một không_gian con trù_mật của formula _ 2 Ví_dụ BULLET Tập compact hoá của tập formula _ 5 là formula _ 6 BULLET Tập compact hoá của tập formula _ 7 là formula _ 8 Compact hoá một điểm Trong một_vài trường_hợp nhất_định ta có_thể compact hoá một không_gian không compact bằng việc thêm vào đó một điểm Khi đó ta gọi đó là compact hoá một điểm Ví_dụ BULLET Một tập compact hoá một điểm của tập formula _ 9 là formula _ 10 BULLET Một tập compact hoá một điểm của tập formula _ 5 là formula _ 12 Compact hoá một điểm Alexandroff_Cho formula _ 1 là một không_gian mà formula _ 14 Gọi formula _ 15 xác_định một topo trên formula _ 15 như sau Một tập mở trong formula _ 15 BULLET là một tập con mở của formula _ 1 BULLET là formula _ 19 với formula _ 20 là một tập con đóng compact của formula _ 1 Với topo này formula _ 15 là compact và chứa formula _ 1 như một không_gian con Nếu formula _ 1 không compact thì formula _ 1 trù_mật trong formula _ 15 và formula _ 15 được gọi là compact hoá Alexandroff của formula _ 1 Ví_dụ BULLET Compact hoá Alexandroff của formula _ 29 là formula _ 30 BULLET Compact hoá Alexandroff của formula _ 31 là formula _ 32 đường_tròn tiếp_xúc với nhau tại một điểm Tính_chất liên_quan BULLET formula _ 33 là không_gian formula _ 34 nếu formula _ 1 là formula _ 34 BULLET formula _ 33 là không_gian Hausdorff nếu formula _ 1 là Hausdorff và compact địa_phương BULLET Nếu formula _ 1 đồng phôi với formula _ 2 thì không_gian Hausdorff compact hoá Alexandroff của formula _ 1 sẽ đồng phôi với không_gian Hausdorff compact hoá Alexandroff của formula _ 2 formula _ 43 Compact hoá Stone_Cech_Như đã nói với topo thông_thường compact hoá Alexandroff của formula _ 44 là formula _ 10 Tuy_nhiên với một hàm formula _ 46 cho bởi formula _ 47 Topologist s sine curve là một hàm bị chặn và liên_tục trên formula _ 44 nhưng hoàn_toàn không_thể được mở_rộng liên_tục vào formula _ 10 Như_vậy với trường_hợp này compact hoá Alexandroff chưa bảo_đảm tính liên_tục của một hàm trên không_gian compact hoá Khi đó phương_pháp compact hoá Stone_Čech sau đây sẽ giải_quyết được vấn_đề nêu trên Compact hoá Stone_Čech lần đầu xuất_hiện trong một bài báo của Tychonoff năm 1930 và sau đó được nói đến rõ_ràng bởi Marshall_Stone năm 1937 và Eduard_Čech năm 1937 Định_nghĩa Cho formula _ 1 là một không_gian topo ký_hiệu formula _ 51 là tập các hàm liên_tục bị chặn từ formula _ 1 vào formula _ 53 Xét hàm sau formula _ 54 Nếu formula _ 1 là chính_tắc đầy_đủ thì formula _ 56 là một đồng phôi nghĩa_là formula _ 57 là một_phép nhúng Trong trường_hợp này vì formula _ 58 compact nên không_gian con formula _ 59 là compact Khi đó formula _ 59 được gọi là compact hoá Stone_Cech của formula _ 1 Hơn_nữa nó là một không_gian Hausdorff_Tính chất liên_quan BULLET Cho formula _ 2 là một không_gian compact Hausdorff thì với mỗi hàm formula _ 63 liên_tục thì tồn_tại duy_nhất một hàm mở_rộng liên_tục formula _ 64 của formula _ 46 mà formula _ 66 BULLET formula _ 59 liên_thông khi và chỉ khi formula _ 1 là liên_thông BULLET formula _ 1 mở trong formula _ 59 khi và chỉ khi formula _ 1 là một không_gian compact địa_phương
Compact hoá