Lớp liên_hợp Trong toán_học đặc_biệt là lý_thuyết nhóm các phần_tử của một nhóm có_thể được phân hoạch thành các lớp liên_hợp các phần_tử của cùng một lớp liên_hợp có nhiều tính_chất chung và việc nghiên_cứu các lớp liên_hợp của các nhóm không giao_hoán cho ta biết nhiều đặc_điểm quan_trọng về cấu_trúc của nhóm Trong mọi nhóm giao_hoán mọi lớp liên_hợp đều là các tập chỉ chứa một phần_tử Các hàm_số nhận cùng một giá_trị với các phần_tử thuộc cùng một lớp liên_hợp được gọi là các hàm lớp Định_nghĩa Giả_sử formula _ 1 là một nhóm Hai phần_tử formula _ 2 và formula _ 3 của formula _ 1 được gọi là liên_hợp với nhau nếu tồn_tại một phần_tử formula _ 5 sao cho formula _ 6 Có_thể dễ_dàng chứng_minh được rằng quan_hệ liên_hợp là một quan_hệ tương_đương và do_đó nó phân hoạch formula _ 1 thành các lớp tương_đương Điều này có nghĩa là mọi phần_tử của một nhóm thuộc vào duy_nhất một lớp liên_hợp và hai lớp liên_hợp formula _ 8 và formula _ 9 trùng nhau khi và chỉ khi formula _ 10 liên_hợp nếu không hai lớp liên_hợp này rời nhau Lớp tương_đương chứa phần_tử formula _ 11 là và nó được gọi là lớp liên_hợp của formula _ 2 Số liên_hợp của formula _ 1 là số các lớp liên_hợp phân_biệt Mọi phần_tử thuộc cùng một lớp liên_hợp thì có cùng cấp Các ví_dụ Nhóm đối_xứng formula _ 15 gồm 6 hoán_vị của 3 phần_tử có 3 lớp liên_hợp BULLET cố_định các phần_tử formula _ 16 BULLET hoán_vị hai phần_tử formula _ 17 BULLET hoán_vị vòng_quanh của ba phần_tử formula _ 18 Nhóm đối_xứng formula _ 19 chứa 24 hoán_vị của 4 phần_tử có 5 lớp liên_hợp được liệt_kê sau đây theo cấu_trúc xích và cấp BULLET 1 cố_định các phần_tử 1 phần_tử 1 2 3 4 BULLET 2 hoán_vị hai phần_tử 6 phần_tử 1 2 4 3 1 4 3 2 1 3 2 4 4 2 3 1 3 2 1 4 2 1 3 4 BULLET 3 hoán_vị vòng_quanh của ba phần_tử 8 phần_tử 1 3 4 2 1 4 2 3 3 2 4 1 4 2 1 3 4 1 3 2 2 4 3 1 3 1 2 4 2 3 1 4 BULLET 4 hoán_vị vòng_quanh của cả bốn phần_tử 6 phần_tử 2 3 4 1 2 4 1 3 3 1 4 2 3 4 2 1 4 1 2 3 4 3 1 2 BULLET 2 2 hoán_vị hai cặp hai phần_tử 3 phần_tử 2 1 4 3 4 3 2 1 3 4 1 2 Tổng_quát số các lớp liên_hợp của nhóm đối_xứng formula _ 20 bằng số các phân hoạch nguyên của formula _ 21 Điều này xảy ra vì mỗi lớp liên_hợp tương_ứng với đúng một phân hoạch của formula _ 22 thành các xích rời_rạc chính_xác đến một hoán_vị của các phần_tử của formula _ 22 Các tính_chất BULLET Lớp tương_đương của phần_tử đơn_vị chỉ gồm chính nó formula _ 24 BULLET Nếu formula _ 1 giao_hoán khi đó formula _ 26 với mọi formula _ 27 Do_đó formula _ 28 với mọi formula _ 11 Vì_vậy khái_niệm này không có_ích khi nghiên_cứu nhóm giao_hoán BULLET Nếu hai phần_tử formula _ 2 và formula _ 3 của formula _ 1 thuộc cùng một lớp liên_hợp hay chúng liên_hợp với nhau khi đó chúng có cùng cấp Tổng_quát hơn mọi khẳng_định về formula _ 2 đều có_thể chuyển sang một khẳng_định về formula _ 34 vì ánh xạ formula _ 35 là một tự đẳng_cấu của formula _ 1 BULLET Một phần_tử formula _ 11 nằm trong tâm formula _ 38 của formula _ 1 khi và chỉ khi lớp liên_hợp của nó chỉ có một phần_tử là chính nó Tổng_quát hơn nếu ký_hiệu formula _ 40 là nhóm tâm hoá của formula _ 2 trong formula _ 1 nói cách khác là nhóm con chứa tất_cả các phần_tử formula _ 43 sao cho formula _ 44 khi đó chỉ_số formula _ 45 bằng với số phần_tử nằm trong lớp liên_hợp của formula _ 2 BULLET Nếu formula _ 2 và formula _ 3 liên_hợp với nhau thì các luỹ_thừa của chúng formula _ 49 và formula _ 50 cũng liên_hợp với nhau Phương_trình lớp liên_hợp Nếu formula _ 1 là một nhóm hữu_hạn khi đó với mọi phần_tử formula _ 2 các phần_tử nằm trong lớp liên_hợp của formula _ 2 có một tương_ứng một một với các lớp kề của nhóm tâm hoá formula _ 40 Điều này có_thể thấy được từ việc quan_sát thấy rằng hai phần_tử bất_kì formula _ 55 thuộc cùng một lớp kề tức_là formula _ 56 với formula _ 57 thuộc nhóm tâm hoá formula _ 40 cho chúng_ta cùng một phần_tử khi tác_động liên_hợp lên formula _ 2 Vì_vậy số các phần_tử nằm trong lớp liên_hợp của formula _ 2 bằng với chỉ_số formula _ 45 của nhóm con chuẩn_hoá formula _ 40 trong formula _ 1 Từ đó suy ra kích_thước của mỗi lớp liên_hợp là một ước của cấp của nhóm Hơn_nữa nếu ta chọn một phần_tử đại_diện formula _ 65 từ mỗi lớp liên_hợp ta suy ra từ việc các lớp liên_hợp phân hoạch nhóm formula _ 1 rằng với formula _ 68 là nhóm tâm hoá của phần_tử formula _ 65 Quan_sát thấy rằng mỗi phần_tử của formula _ 38 tạo thành một lớp liên_hợp chỉ chứa chính nó ta suy ra phương_trình lớp như sau trong đó tổng được lấy theo các phần_tử đại_diện của các lớp liên_hợp có nhiều hơn một phần_tử Ví_dụ Xét một formula _ 72 nhóm hữu_hạn formula _ 1 Ta sẽ chứng_minh rằng mọi formula _ 72 nhóm hữu_hạn luôn có tâm không tầm_thường Vì cấp của mọi lớp liên_hợp của formula _ 1 phải chia hết cấp của formula _ 1 Ta suy ra rằng mọi lớp liên_hợp formula _ 77 có cấp formula _ 78 với formula _ 79 Từ phương_trình lớp ta suy ra Từ đây ta suy ra formula _ 72 là ước của formula _ 82 hay formula _ 83 Liên_hợp của nhóm con và tập con Tổng_quát hơn cho một tập con formula _ 84 bất_kì của formula _ 1 formula _ 84 không nhất_thiết phải là một nhóm con ta định_nghĩa một tập con formula _ 87 của formula _ 1 liên_hợp với formula _ 84 nếu tồn_tại formula _ 5 sao cho formula _ 91 Đặt formula _ 92 là hợp của tất_cả các tập con formula _ 87 của formula _ 1 sao cho formula _ 87 liên_hợp với formula _ 84 Một định_lý thường được sử_dụng khẳng_định rằng cho trước một tập con formula _ 84 bất_kì của formula _ 1 chỉ_số của formula _ 99 nhóm chuẩn_hoá của formula _ 84 trong formula _ 1 bằng với cấp của formula _ 92 Điều này được suy ra từ việc nếu formula _ 104 thì formula _ 105 khi và chỉ khi formula _ 106 nói cách khác khi và chỉ khi formula _ 43 và formula _ 108 cùng nằm trong một lớp kề của formula _ 99 Chú_ý rằng công_thức này tổng_quát_hoá một công_thức ở trên về số phần_tử trong một lớp liên_hợp Các kết_quả ở trên đặc_biệt có_ích khi xét các nhóm con của formula _ 1 Các nhóm con có_thể được chia thành các lớp liên_hợp với hai nhóm con thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi chúng liên_hợp với nhau Các nhóm con liên_hợp thì đẳng_cấu nhưng điều ngược_lại không đúng Xét dưới góc_độ tác_động nhóm Nếu ta đặt với hai phần_tử formula _ 112 bất_kì của formula _ 1 ta có một tác_động nhóm của formula _ 1 lên chính nó Các quỹ_đạo của tác_động này là các lớp liên_hợp và ổn_định_hoá của một phần_tử là nhóm tâm hoá của phần_tử đó Tương_tự ta có_thể xác_định một tác_động nhóm từ formula _ 1 lên tập tất_cả các tập con của formula _ 1 như sau Biểu_diễn hình_học Các lớp liên_hợp trong nhóm cơ_bản của một không_gian topo liên_thông đường có_thể được xem như các lớp tương_đương của các vòng tự_do dưới đồng luân tự_do
Lớp liên_hợp