Phương_hướng Trong hình_học phương_hướng hay đơn_giản là hướng của một vật_thể như một đường_thẳng mặt_phẳng hoặc một vật_thể rắn khác là một trong những khái_niệm được dùng để miêu_tả không_gian mà vật đó chiếm_giữ Hãy thử tưởng_tượng khi di_chuyển 1 vật từ vị_trí tham_chiếu đến vị_trí cụ_thể cũng giống như chuyển_động_quay Tuy_nhiên chỉ chuyển_động_quay có_thể không tiếp_cận với vị_trí hiện_tại Có_lẽ sẽ cần thêm một_phép tịnh_tiến được gọi là vị_trí hay toạ_độ Vị_trí và phương_hướng có_thể miêu_tả hoàn_toàn việc vật được đặt như_thế_nào trong không_gian Những chuyển_động_quay và sự tịnh_tiến có trong tưởng_tượng có_thể thay_đổi nhưng phương_hướng của vật_thể không thay_đổi theo dù tịnh_tiến thay_đổi và địa_điểm của vật_thể cũng không thay_đổi khi vật quay Về cơ_bản phương_hướng được đặt ra dựa trên khung tham_chiếu thường được sử_dụng bở hế_thống toạ_độ Cartesian_Biểu diễn trong toán_học Trong không_gian 2 chiều Trong không_gian hai chiều thì phương_hướng của bất_kỳ vật_thể đường_thẳng vector hoặc một_mặt phẳng được đo bởi một giá_trị duy_nhất góc được tạo bởi sau khi vật quay Chỉ có một bậc tự_do và một điểm cố_định duy_nhất về vị_trí vật sẽ quay Trong không_gian 3 chiều Vị_trí và phương_hướng trong không_gian của một vật_thể rắn được xác_định như một vị_trí và phương_hướng của một khung tham_chiếu chính trong một khung tham_chiếu khác cố_định với vật_thể tịnh_tiến và quay với nó khung tham_chiếu cố_định của vật hoặc hệ toạ_độ của vật Ít_nhất 3 giá_trị độc_lập là cần_thiết để miêu_tả phưoớng của khung hình cố_định 3 giá_trị khác cần_thiết để miêu_tả vị_trí của vật Mặc_dù một vật_thể rắn có_thể di_chuyển tự_do được gọi là 6 bậc của tự_do Mọi điểm trong vật thay_đổi vị_trí khi chuyển quay diễn ra ngoại_trừ các điểm nằm trên trục_quay Nếu vật_thể rắn có một chuyển_động_quay đối_xứng thì không phải mọi phương_hướng đểu có_thể phân_biệt được ngoại_trừ khi quan_sát các phướng hướng xuất_phát từ một phương_hướng đã được xác_định Ví_dụ phướng hướng của một đường_thẳng đoạn thằng hoặc vector có được xác_định với chỉ hai giá_trị như hướng của 2 hàm Cosin một ví_dụ khác là vị_trí của một điểm trên mặt_đất thường được miêu_tả bằng cách sử_dụng phương_hướng của đường_thẳng giao nhau với tâm của mặt_đất được đo bởi hai góc của kinh_tuyến và vĩ_tuyến Đồng_thời phương_hướng của một_mặt phẳng cũng có_thể được miêu_tả bởi 2 giá_trị bằng cách xác_định phướng của một đường_thẳng với mặt_phẳng Vật_thể rắn trong không_gian 3 chiều Góc_Euler_Leonhard_Euler là người cố_gắng biểu_diễn phương_hướng đầu_tiên Ông đã tưởng_tượng ra 3 khung tham_chiếu có_thể quay lần_lượt vòng_quanh nhau và nhận ra rằng bằng cách sử_dụng một khung tham_chiếu cố_định và biểu_diễn ba vòng quay ông có_thể dùng bất_kỳ khung tham_chiếu trong không_gian sử_dụng 2 vòng quay trên một trục dọc cố_định và những vòng quay khác trên 2 trục khác Giá_trị của 3 vòng quay được gọi là Góc_Euler_Góc_Tait Bryan_Có ba góc được gọi là các momen đảo lại dọc xuống nghiêng yaw pitch and roll Góc đinh hướng và góc Cardan_Theo toán_học mà nói thì chúng tạo thành một dãy gồm 6 điều có_thể xảy trong dãy 12 điều có_thể của Định_lý góc Euler_Theo thứ_tự từ những điều mà miêu_tả tốt nhất phương của một phương_tiện như máy_bay Trong ngành hàng_không vũ trị thì chúng thường được gọi là một góc Euler_Vector phương_hướng Euler cũng nhận ra rằng thành_phần của hai chuyển_động_quay tương_đương với một chuyển quay duy_nhất theo các trục cố_định theo định_lý về chuyển_động_quay của Euler_Vậy nên thành_phần của 3 góc phải bằng với 1 chuyển_động_quay duy_nhất theo trục được dùng tính_toán đến khi ma_trận ra_đời Dựa trên những điều này ông đưa ra một vector để miêu ra mọi chuyển_động_quay với một vector trên trục_quay và bằng với giá_trị của góc Vậy nên mọi phương_hướng có_thể biểu_diễn bằng vector quay được gọi là Vector_Euler có_thể dẫn đến một điểm nào đó từ khung tham_chiếu Khi sử đụng để biểu_diễn một phương_hướng vector quay được sử_dụng nhiều nhất được gọi là vector phương_hướng Ma_trận phương_hướng Với sự ra_đời của ma_trận Định_lý Euler đã được viết lại Chuyển_động_quay được miêu_tả bởi ma_trận trực_giao cũng được gọi là ma_trận quay hoặc ma_trận định_hướng cosin Khi biểu_diễn một ma_trận quay thường được gọi là ma_trận phương_hướng Chứng_minh trên đã nhắc đến vector Euler là eigenvecror của một ma_trận xoay Kết_quả của 2 ma_trận ma_trận xoay mà thành_phần của chuyển_động xoay Vậy nên phương_hướng có_thể hiểu rằng chuyern động quay từ khung đầu_tiên đê đạt được cái khung mà chúng_ta muốn miêu_tả Không_gian cấu_hình của một vật không đối_xứng trong một không_gian n chiều là SO n x Rn_Phương hướng có_thể hiểu được là bằng cách gắn một nền_tảng của các vector tiếp_tuyến vào vật Phương_hướng được xác_định các hướng đường của các điểm của vector Phương_hướng quaternion Một_cách khác để miêu_tả chuyển_động_quay là sử_dụng chuyển_động quaternion thường được gọi là versors Chúng tương_đương với ma_trận quay và ma_trận vectors Đối_với vector quay chúng có_thể dễ_dàng được chuyển_đổi thành ma_trận và ngược_lại Khi dùng để biểu_diễn phương_hướng chuyển_động_quay quaternion thường được gọi là phương_hướng quaternions Mặt_phẳng trong không_gian 3 chiều Chỉ_số Miller_Hình dáng của mặt_phẳng lattice là phương_hướng của đường_thẳng với mặt_phẳng và được miêu_tả bởi chỉ_số Miller trên mặt_phẳng Trong 3 không_gian một nhóm mặt_phẳng một dãy mặt_phẳng liên_tiếp có_thể được ký hiểu bằng chỉ_số Miller hkl vậy nhóm mặt_phẳng có một hình_dáng giống với tất_cả thành_phần của mặt_phẳng
Phương_hướng