Định_lý mở_rộng Tietze_Cho_X là một không_gian chuẩn_tắc lấy F là một tập đóng trong X Cho formula _ 1 liên_tục khi đó có một ánh xạ liên_tục formula _ 2 sao cho formula _ 3 Vì_vậy trong một không_gian định_chuẩn một hàm thực trên một không_gian con đóng có_thể được mở_rộng thành một hàm thực liên_tục trên toàn_bộ không_gian đó Chứng_minh BULLET Trường_hợp f bị chặn a Trường_hợp tổng_quát có_thể suy ra từ_trường hợp khi mà formula _ 4 và formula _ 5 chúng_ta sẽ thu_hẹp sự chú_ý trong trường_hợp này b Theo Định_lý Urysohn có một hàm liên_tục formula _ 6 sao cho formula _ 7 Lấy formula _ 8 Khi đó formula _ 9 formula _ 10 và formula _ 11 c Chúng_ta có hàm_số formula _ 12 chúng_ta sẽ thu được một hàm_số formula _ 13 sao cho formula _ 14 Lấy formula _ 15 Khi đó formula _ 16 và formula _ 17 và formula _ 18 d Chuỗi formula _ 19 hội_tụ đều về hàm liên_tục g e Vì formula _ 20 chuỗi formula _ 21 hội_tụ đều về f Do_đó formula _ 22 f Chú_ý rằng việc xây_dựng này thì formula _ 23 và formula _ 24 BULLET Trường_hợp f không bị chặn a Giả_sử rằng f hoặc bị chặn dưới hoặc bị chặn trên lấy h là một_phép đồng phôi từ formula _ 25 vào formula _ 26 Khi đó miền xác_định của formula _ 27 là một tập con của formula _ 28 do_đó nó có_thể mở_rộng như hàm liên_tục formula _ 29 phía trước sao cho formula _ 30 và formula _ 31 Nếu miền xác_định của formula _ 32 bao_gồm hoặc 0 hoặc 1 khi đó formula _ 33 là hàm như ta mong_đợi Nếu có trường_hợp xảy ra như sau miền xác_định của formula _ 29 bao_gồm cả 0 và 1 Trong trường_hợp này lấy formula _ 35 Chú_ý rằng C giao F bằng trống Theo bổ_đề Urysohn có một hàm liên_tục formula _ 36 sao cho formula _ 37 formula _ 38 Lấy formula _ 39 Khi đó formula _ 40 và miền xác_định của formula _ 41 là tập con của formula _ 26 khi đó formula _ 43 là hàm như ta mong_đợi b Nếu f bị chặn dưới khi đó tương_tự như trường_hợp trước chúng_ta có_thể sử_dụng phép đồng phôi formula _ 44 và chúng_ta đặt formula _ 45 Trường_hợp f bị chặn trên là tương_tự
Định_lý mở_rộng Tietze