Đặc_trưng Euler_Trong toán_học và đặc_biệt hơn trong tôpô đại_số và tổ_hợp đa_diện đặc_trưng Euler hoặc đặc_trưng Euler_Poincaré là một topo bất_biến một_số mà nó mô_tả hình_dạng hoặc cấu_trúc của một không_gian tôpô không phụ_thuộc vào cách nó được uốn cong Nó thường được ký_hiệu là formula _ 1 Đặc_trưng Euler formula _ 1 S của một_mặt phẳng S được chia làm các tam_giác là số đỉnh trừ đi số cạnh cộng với số mặt của tam_giác Định_lý Đặc_trưng Euler theo 2 phép phân_chia tam giac của cùng 1 mặt_phẳng là bằng nhau Các đặc_trưng Euler đã được xác_định cho các khối đa_diện và được sử_dụng để chứng_minh định_lý khác nhau về chúng bao_gồm cả việc phân_loại các khối Platon_Leonhard_Euler tên của ông đặt cho khái_niệm này đã có các công_trình nghiên_cứu đầu_tiên về đặc_trưng này Trong toán_học hiện_đại đặc_trưng Euler xuất_hiện từ phép đồng điều và liên_hệ với nhiều bất_biến khác Khối đa_diện Đặc_trưng Euler formula _ 1 được định_nghĩa cổ_điển cho các khối đa_diện lồi theo công_thức Kết_quả này được gọi là công_thức đa_diện Euler hoặc định_lý đa_diện Euler_Đặc trưng Euler cho hình_cầu tức χ 2 và áp_dụng giống với khối đa_diện hình_cầu Minh_hoạ cho công_thức trên một_số khối đa_diện được đưa ra dưới đây Trong đó V E và F tương_ứng là số đỉnh góc các cạnh và mặt trong đa_diện nhất_định Bất_kỳ bề_mặt đa_diện lồi của Euler có đặc_trưng Bề_mặt của khối đa_diện không lồi có_thể có những đặc_trưng Euler khác nhau Đối_với các khối đa_diện bình_thường Arthur_Cayley thu được một dạng biến_đổi của công_thức Euler bằng cách sử_dụng mật_độ của khối đa_diện D số đỉnh formula _ 7 và mặt formula _ 8 Phiên_bản này giữ cho cả hai khối đa_diện lồi nơi mật_độ là tất_cả 1 và không lồi đa_diện Kepler_Poinsot_Tất cả các Đa_diện xạ ảnh đều có đặc_trưng Euler bằng 1 tương_ứng với mặt_phẳng xạ ảnh thực trong khi khối đa_diện hình_xuyến đều có đặc_trưng Euler bằng 0 tương_ứng với hình_xuyến Đồ_thị phẳng Các đặc_trưng Euler có_thể được xác_định cho đồ_thị phẳng liên_thông bằng cách cùng công_thức formula _ 10 như cho các bề_mặt đa_diện nơi F là số_lượng mặt trong đồ_thị bao_gồm cả các mặt bên ngoài Đặc_trưng Euler của bất_kỳ đồ_thị phẳng liên_thông G là 2 Điều này có_thể dễ_dàng chứng_minh bằng trực_quan về số_lượng k mặt được xác_định bởi G bắt_đầu với một cây như trường_hợp cơ_sở Đối_với cây E V 1 và F 1 Nếu G có thành_phần bù C cùng tranh_luận bằng trực_quan trên F cho thấy rằng formula _ 11 Một trong số_ít các lý_thuyết đồ_thị của Cauchy cũng chứng_minh kết_quả này Chứng_minh công_thức Euler_Có nhiều cách chứng_minh cho công_thức Euler_Trong số đó do Cauchy đưa ra vào năm 1811 như sau Chúng minh áp_dụng cho bất_kỳ đa_diện lồi và nói_chung cho bất_kỳ đa_diện có biên tương_đương hình_học với một_mặt cầu và các mặt đa_diện có tương_đương tô pô với đĩa phẳng Xoá một_mặt của bề_mặt đa_diện Bằng cách kéo các cạnh của mặt mất_tích xa nhau biến_dạng tất_cả các phần còn lại thành một đồ_thị phẳng của các điểm và các đường_cong được minh_hoạ bằng hình đầu_tiên của ba đồ_thị cho các trường_hợp đặc_biệt của khối lập_phương Giả_sử rằng bề_mặt đa_diện đồng phôi với mặt_cầu ngay từ đầu Sau khi biến_dạng này những mặt chính_tắc nói_chung là không chính_tắc nữa Số đỉnh và cạnh vẫn như cũ nhưng số_lượng các mặt đã được giảm 1 Do_đó chứng_minh công_thức Euler cho đa_diện giảm để chứng_minh formula _ 12 cho này bị biến_dạng đối_tượng phẳng Nếu có một_mặt với hơn ba bên vẽ một đường_chéo có nghĩa là một đường_cong qua_mặt kết_nối hai đỉnh mà chưa được kết_nối Này cho biết thêm một cạnh và một_mặt và không thay_đổi số đỉnh do_đó nó không thay_đổi số_lượng formula _ 13 Giả_định rằng tất_cả các mặt đĩa cần_thiết ở đây để hiển_thị thông_qua định_lý đường_cong Jordan rằng hoạt_động này làm tăng số_lượng mặt lên một Tiếp_tục bổ_sung các cạnh theo cách này cho đến khi tất_cả các mặt có hình_tam_giác Áp_dụng nhiều lần một trong hai biến_đổi sau đây duy_trì bất_biến mà ranh_giới bên ngoài luôn_luôn là một chu_kỳ đơn_giản BULLET 1 Xoá một hình_tam_giác với một cạnh tiếp_giáp với bên ngoài được minh_hoạ bằng đồ_thị thứ hai Điều này làm giảm số cạnh và mặt của mỗi khối và không làm thay_đổi số đỉnh vì_vậy nó bảo_toàn formula _ 13 BULLET 2 Xoá một hình_tam_giác với hai cạnh chia bởi các bên ngoài của mạng được minh_hoạ bằng đồ_thị thứ ba Mỗi tam_giác bị xoá tức_là bỏ đi một đỉnh hai cạnh và một_mặt vì_vậy nó bảo_toàn formula _ 13 Những biến_đổi cuối_cùng giảm đồ_thị hai chiều để một hình_tam_giác đơn Nếu không có sự đơn_giản chu_kỳ bất_biến loại_bỏ một hình_tam_giác có_thể ngắt kết_nối hình_tam_giác còn lại vô_hiệu các phần còn lại của các đối_số một để loại_bỏ hợp_lệ là một ví_dụ cơ_bản của một bắn phá Tại thời_điểm này hình_tam_giác đơn_độc có V 3 E 3 và F 1 do_đó formula _ 16 Kể từ khi một trong hai bước chuyển_đổi trên bảo_quản số_lượng này chúng_tôi đã cho thấy formula _ 12 cho biến_dạng đối_tượng phẳng như_vậy thể_hiện formula _ 18 cho đa_diện Điều này chứng_minh định_lý Để chứng_minh thêm xem Twenty_Proofs of Euler s Formula của David_Eppstein_Nhiều bằng_chứng trong đó có sai_sót và hạn_chế của họ được sử_dụng như ví_dụ trong Proofs and Refutations của Imre_Lakatos_Định nghĩa tô pô học Các bề_mặt đa_diện được thảo_luận ở trên trong ngôn_ngữ hiện_đại hai chiều hữu_hạn CW phức Chỉ khi những mặt tam_giác được sử_dụng chúng là đơn hình phức hữu_hạn hai chiều phức Nói_chung đối_với bất_kỳ CW phức hữu_hạn đặc_trưng Euler có_thể được định_nghĩa là tổng luân_phiên với k là số ô của n chiều trong formula _ 20 Tương_tự đối_với một đơn hình phức đặc_trưng Euler bằng tổng luân_phiên với k là số n đơn trong phức Hơn_nữa nói_chung với bất_kỳ không_gian topo chúng_ta có_thể xác_định số Betti thứ n b như cấp_bậc của các nhóm đồng điều đơn_lẻ thứ n Các đặc_trưng Euler có_thể được định_nghĩa là tổng luân_phiên Số này được định_nghĩa tốt nếu các con_số Betti là tất_cả hữu_hạn và nếu chúng không vượt quá một chỉ_số nhất_định index n Với đơn hình phức đây không phải là định_nghĩa giống như ở đoạn trên nhưng là một tính_toán tương_đồng cho thấy rằng hai định_nghĩa sẽ cho cùng giá_trị formula _ 1 Tính_chất Đặc_trưng Euler của bất_kỳ đa tạp đóng chiều lẻ là 0 Trường_hợp cho các ví_dụ định_hướng là hệ_quả của Tính đối_ngẫu Poincaré tính_chất này được áp_dụng nói_chung cho bất_kỳ Không_gian Compắc được phân tầng tất_cả các lớp có số chiều lẻ Hơn_nữa đặc_trưng Euler thường được dùng tốt đối_với nhiều phép_tính cơ_bản trên không_gian topo như sau Bất_biến đồng luân Bởi_vì tính tương_đồng là một bất_biến topo trong thực_tế một bất_biến đồng luân hai không_gian tôpô đó là tương_đương đồng luân có các nhóm tương_đồng đẳng_cấu nên đó là đặc_trưng Euler_Ví dụ bất_kỳ đa_diện lồi đồng phôi với quả cầu trong không_gian ba chiều do_đó bề_mặt của nó là đồng phôi do_đó tương_đương đồng luân để các quả cầu hai chiều có Đặc_trưng Euler là 2 Điều này giải_thích lý_do tại_sao các khối đa_diện lồi có đặc_trưng Euler là 2 Nguyên_tắc hợp và loại_trừ Nếu M và N là 2 không_gian topo bất_kì Ta có đặc_trưng Euler của hội rời là tổng của các đặc_trưng Euler của chúng do_đó tính tương_đồng là cộng dưới 2 hội rời Nói một_cách tổng_quát hơn nếu M và N là không_gian con của X thì ta có hội và giao của chúng Trong một_vài trường_hợp Đặc_trưng Euler tuân theo một nguyên_tắc hợp và loại_trừ Điều này đúng trong các trường_hợp dưới đây BULLET Nếu M và N là một cặp loại_trừ Đặc_biệt nếu phần trong của M và N ở trong hội vẫn phủ các hội BULLET Nếu X là một không_gian compắc địa_phương và nó dùng đặc_trưng Euler với giá compact không có giả_thuyết nào trên M hoặc N là cần_thiết BULLET Nếu X là một không_gian phân tầng tất_cả các tầng của X đều là không_gian Nguyên_tắc hợp và loại_trừ dùng nếu M và N là hội của các phân tầng Điều này áp dung trong trường_hợp cụ_thể nếu M và N là 1 dạng đại_số phức Nói_chung nguyên_tắc hợp và loại_trừ là sai Một phản ví_dụ được đưa ra bằng cách cho X là đường_thẳng thực M a tập con bao_gồm 1 điểm và N là phần bù của M Tính_chất tích Như_vậy đặc_trưng Euler của bất_kỳ không_gian tích M N là Những tính_chất cộng và nhân được cảm sinh bởi lực_lượng của các tập_hợp Bằng cách này đặc_trưng Euler co thể được xem như 1 sự khái_quát_hoá của lực_lượng tham_khảo Không_gian phủ Tương_tự cho một không_gian phủ có k phủ i e thớ của phủ có lực_lượng bằng k formula _ 27 ta có Tổng_quát hơn cho một không_gian phủ bị rẽ nhánh đặc_trưng Euler của phủ có_thể được tính_toán như trên với một hệ_số hiệu_chính cho những điểm rẽ nhánh nó sinh ra công_thức Riemann_Hurwitz_Tính chất thành thớ Tính_chất tích có_thể được áp_dụng rộng hơn cho các thành thớ với điều_kiện nhất_định Nếu formula _ 29 là một thành thớ với thớ F với không_gian cơ_sở B liên_thông đường và thành thớ là định_hướng trong một trường K ta có các đặc_trưng Euler với các hệ_số trong trường K đáp_ứng các tính_chất tích Điều này bao_gồm những không_gian tích và những không_gian phủ như các trường_hợp đặc_biệt và có_thể được chứng_minh bằng dãy phổ Serre trên sự tương_hợp của một thành thớ Đối_với các phân thớ nó co thể được hiểu dưới dạng của một ánh xạ truyền formula _ 31 chú_ý rằng đây là 1 ánh xạ được nâng lên và đi ngược_lại với chiều ban_đầu thành_phần của nó với các phép chiếu formula _ 32 là phép nhân bởi các lớp Euler của thớ Quan_hệ với các bất_biến Đặc_trưng Euler của một_mặt định_hướng đóng có_thể được tính theo giống g số hình mặt xuyến trong 1 tổng liên_thông phân_tích của một_bề mặt_bằng trực_quan Đặc_trưng Euler của một_mặt không được định_hướng đóng có_thể được tính theo giống không định_hướng k số mặt_phẳng xạ ảnh thực trong 1 tổng liên_thông phân_tích của một_bề mặt Với các đa tạp trơn kín Đặc_trưng Euler trùng với số Euler nghĩa_là lớp Euler của họ tiếp_tuyến được đánh_giá trên các lớp cơ_bản của một đa tạp Lớp_Euler lần_lượt liên_quan đến tất_cả các lớp đặc_trưng khác của họ vector Với các đa tạp Riemann_Đặc trưng Euler cũng có_thể được tìm bởi bằng cách lấy tích_phân đường_cong xem Định_lý Gauss_Bonnet trong trường_hợp 2 chiều và Định_lý tổng_quát Gauss_Bonnet trường_hợp tổng_quát Một dạng rời rac tương_tự của Định_lý Gauss_Bonnet là định_lý Descartes tổng góc khuyết của một đa_diện được đo trong vòng_tròn đầy_đủ là đặc_trưng Euler của khối đa_diện Định_lý Hadwiger phát_biểu rằng đặc_trưng Euler là hàm_số duy_nhất xê_xích một_phép nhân vô hướng có các tính_chất sau bất_biến dưới phép tịnh_tiến cộng tính hữu_hạn không nhất_thiết không âm xác_định trên tập_hợp các hội hữu_hạn của các tập_hợp compact lồi trong R và thuần_nhất tại bậc 0 Ví_dụ Đặc_trưng Euler có_thể được tính dễ_dàng cho các bề_mặt tổng_quát bằng cách tìm một đa_giác polygonization của bề_mặt nghĩa_là một mô_tả như một CW phức và sử_dụng các định_nghĩa trên Bất_kỳ không_gian co tức_là nó tương_đương đồng luân với 1 điểm có tương_đồng tầm_thường nghĩa_là số Betti thứ 0 là 1 và những số khác là 0 Tóm_lại Đặc_trưng Euler của nó là 1 Trường_hợp này bao_gồm không_gian Euclid formula _ 36 của bất_kỳ chiều nào cũng như quả cầu đơn_vị đặc trong bất_kì không_gian Euclide 1 chiều khoảng 2 chiều đĩa 3 chiều quả cầu Quả cầu n chiều có số Betti là một trong chiều 0 và n và tất_cả các số Betti khác là 0 Suy ra Đặc_trưng Euler của nó là formula _ 37 tức_là hoặc 0 hoặc 2 Không_gian xạ ảnh thực n chiều là thương của n quả cầu bởi ánh xạ ngược Suy ra rằng đặc_trưng Euler của nó chính_xác một_nửa đã tương_ứng của các quả cầu Hoặc là 0 hoặc 1 Hình_xuyến n chiều là tích 2 không_gian của n vòng_tròn đặc_trưng Euler của nó là 2 bởi tính_chất tích Ví_dụ quả bóng Có bao_nhiêu ngũ_giác và hình lục_giác tạo nên một quả bóng_đá Giả_sử sử_dụng hình lục_giác formula _ 38 và ngũ_giác formula _ 39 Suy ra ta có formula _ 40 mặt mỗi hình ngũ_giác hình lục_giác có 5 đỉnh 6 đỉnh và mỗi đỉnh có 3 mặt chung suy ra ta có formula _ 41 đỉnh Tương_tự mỗi ngũ_giác lục_giác có 5 cạnh 6 cạnh và mỗi cạnh có 2 mặt chung suy ra ta có formula _ 42 cạnh Vì_thế Đặc_trưng Euler là formula _ 43 Bởi_vì quả cầu có đặc_trưng Euler 2 nen ta có formula _ 44 Kết_quả là luôn_luôn cần 12 ngũ_giác trên một quả bóng_đá số_lượng hình lục_giác về nguyên_tắc không bị giới_hạn nhưng đối_với một quả bóng_đá thực_sự rõ_ràng là một lựa_chọn một_số để làm cho bóng càng tròn càng tốt Kết_quả này cũng được áp_dụng cho fullerenes Khái_quát_hoá Với mỗi tổ_hợp ô phức nó định_nghĩa đặc_trưng Euler là số ô 0 trừ đi số ô 1 cộng với số_lượng ô 2 nếu tổng xen_kẽ này là hữu_hạn Cụ_thể là các đặc_trưng Euler của một tập_hợp hữu_hạn chỉ đơn_giản là số_lượng của nó và các đặc_trưng Euler của một đồ_thị là số_lượng các đỉnh trừ đi số của các cạnh Tổng_quát hơn nó có_thể định_nghĩa đặc_trưng Euler của bất_kỳ chuỗi phức là tổng luân_phiên các bậc của các nhóm tương_đồng của các chuỗi phức 1 phiên_bản được sử_dụng trong hình hoc đại_số là như sau với bất_kì bó formula _ 45 trên lược_đồ chiếu xuống X định_nghĩa đặc_trưng Euler của nó với formula _ 47 là chiều thứ i của nhóm đối đồng điều bó sheaf cohomology của formula _ 45 Một khái_quát khác về khái_niệm Đặc_trưng Euler trên đa tạp xuất_phát từ quỹ_đạo đa tạp Trong khi mỗi ống có một_số đặc_trưng Euler nguyên một quỹ_đạo đa tạp có_thể có một đặc_trưng Euler phân_đoạn Ví_dụ giọt nước_mắt quỹ_đạo đa tạp có đặc_trưng Euler 1 1 p với p là một_số nguyên_tố tương_ứng với các góc hình_nón 2 π p Khái_niệm Đặc_trưng Euler của một tập_hợp sắp thứ_tự một phần poset hữu_hạn bị chặn là một sự tổng_quát quan_trọng trong tổ_hợp Một poset được bao_bọc nếu nó có các phần_tử nhỏ nhất và lớn nhất gọi chúng là 0 và 1 Đặc_trưng Euler của một poset như_thế được định_nghĩa là số_nguyên μ 0 1 trong đó μ là hàm Mobius về tỷ_lệ đại_số đó là poset Điều này có_thể được tiếp_tục tổng_quát bằng cách định_nghĩa một Q giá_trị đặc_trưng Euler cho các loại hữu_hạn nhất_định một khái_niệm tương_thích với của đồ_thị của các đặc_trưng Euler quỹ_đạo đa tạp và posets đề_cập ở trên Trong hoàn_cảnh này các đặc_trưng Euler của một nhóm hữu_hạn hoặc nửa nhóm G là 1 G và các đặc_trưng Euler của một phỏng nhóm groupoid hữu_hạn là tổng của 1 G nơi mà chúng_tôi đã chọn một nhóm đại_diện G cho mỗi thành_phần liên_thông của phỏng nhóm Xem thêm BULLET Lớp_Euler_BULLET_Danh sách các khối đa_diện đều BULLET Danh_sách các chủ_đề mang tên Leonhard_Euler_BULLET_Tính toán Euler_Đọc thêm BULLET Richeson_David_S 2008 Euler s Gem_The_Polyhedron_Formula and the Birth of Topology_Princeton_University_Press BULLET H Graham_Flegg_From_Geometry to Topology_Dover 2001 p 40
Đặc_trưng Euler