Chai_Klein_Trong toán_học chai Klein hay bình Klein là một ví_dụ cho mặt không định_hướng nói cách khác đó là một_bề mặt một đa tạp hai chiều mà trong đó khái_niệm về trong và ngoài không_thể được xác_định một_cách nhất_quán Một_số khái_niệm hình_học không định_hướng liên_quan khác có_thể kể tới như mặt Mobius hay mặt phản_xạ thực Đối_với dải Mobius đây là một_bề mặt có biên còn chai Klein thì không có biên Chai_Klein đã được mô_tả lần đầu_vào năm 1882 bởi nhà toán_học người Đức Felix_Klein ban_đầu được đặt tên là Kleinsche_Fläche bề_mặt Klein nhưng tên gọi đó không chính_xác lắm so với những giải_thích của Kleinsche_Fläche_Chai_Klein do_đó cuối_cùng thuật_ngữ chai Klein đã được sử_dụng trong tiếng Đức Cấu_tạo Chai_Klein được cấu_thành từ một hình_vuông nếu dán cạnh có màu tương_ứng với nhau theo hình minh_hoạ bên dưới Nói rõ hơn chai Klein là không_gian thương được mô_tả như hình_vuông 0 1 0 1 với các cạnh bên xác_định bởi quan_hệ với và với Hình_vuông này là một đa_giác cơ_sở của chai Klein_Lưu ý rằng chúng_ta nói đến việc dán ở đây là theo nghĩa trừu_tượng để dễ hiểu trong một không_gian 3 chiều và kết_quả là ta có_thể hình_dung được 1 chai Klein tự giao Tất_nhiên chai Klein không giao nhau Tuy_nhiên có một_cách để hình_dung chai Klein trong không_gian bốn chiều Dán các cạnh có mũi_tên màu đỏ trên hình_vuông vào với nhau để tạo thành một hình_trụ Tiếp_theo dán hai cạnh còn lại mỗi cái lại tạo thành một hình_trụ Chú_ý ta sẽ tạo ra một hình_tròn tự giao nhau Đây là một_phép nhúng của chai Klein trong không_gian ba chiều Bằng việc thêm chiều thứ 4 vào không_gian 3 chiều sự tự giao có_thể được loại_bỏ Nhẹ_nhàng đẩy một phần của ống có chứa phần giao dọc theo chiều thứ tư ra khỏi không_gian 3 chiều ban_đầu Một trường_hợp tương_tự có lợi khi xem_xét một đường_cong tự giao trên mặt_phẳng phần giao có_thể được loại_bỏ bằng cách nâng một phần ra khỏi mặt_phẳng Phép nhúng này rất hữu_ích cho việc hình_dung các tính_chất của chai Klein_Ví dụ chai Klein không biên bề_mặt có chỗ dừng lại đột_ngột và không định_hướng được phản_xạ từ một phía của mặt nhúng Mô_hình vật_lý thông_thường của một chai Klein là một cấu_trúc đồng_dạng Bảo_tàng Khoa_học ở London có trưng_bày một bộ sưu_tập thổi thủ_công bằng thuỷ_tinh chai Klein trưng_bày nhiều biến_thể về chủ_đề topo này Các chai làm bởi Alan_Bennett từ năm 1995 thực_hiện cho các bảo_tàng Tính_chất Cũng như dải Mobius chai Klein là một đa tạp khả vi trong không_gian hai chiều không có định_hướng Nhưng chai Klein là một đa tạp đóng một đa tạp compact không có biên Trong khi dải Mobius có_thể tồn_tại phép nhúng được trong không_gian Euclid ba chiều trong R chai Klein không_thể Nhưng chai Klein có_thể được nhúng vào trong R Có_thể xem chai Klein như một bó sợi trên vòng_tròn S với sợi S chọn một hình_vuông modul các cạnh tương_đương từ trên xuống là E là tổng các không_gian không_gian cơ_sở B được cho trong khoảng đơn_vị y có modul 1 0 Phép chiếu được cho bởi π x y y Chai_Klein được xây_dựng mang ý_nghĩa toán_học vì nó không_thể được tạo ra mà không cho bề_mặt nó tự giao bằng cách nối các cạnh của hai dải Mobius với nhau như được mô_tả trong bài thơ năm câu sau đây của nhà toán_học Leo_Moser_Cấu tạo ban_đầu của chai Klein có được từ việc xác_định những cạnh đối_diện của hình_vuông điều này chứng_tỏ chai Klein là một phức CW với 0 ngăn P 2 ngăn đơn C C và 1 ngăn đôi D Do_đó đặc_trưng Euler của nó là 1 2 1 0 Biên đồng_cấu được cho bởi D 2 C và C C 0 tạo ra nhóm thấu xạ của chai Klein_K là H K Z Z H K Z Z Z 2Z và H K Z 0 for n 1 Có một ánh xạ phủ 2 1 từ hình_xuyến đến chai Klein vì hai bản_sao đều thuộc miền cơ_bản của chai Klein một cái được đặt kế phản_ảnh của cái kia tạo ra một miền cơ_bản của hình_xuyến Phủ hầu_khắp của cả hai hình_xuyến và chai Klein là mặt_phẳng R Miền cơ_bản của chai Klein có_thể được xác_định là nhóm các biến_đổi sàn phủ hầu_khắp và được biểu_diễn là a b ab b a Sáu màu_sắc đủ để tô màu bất_kỳ bản_đồ trên bề_mặt của một chai Klein đây là ngoại_lệ duy_nhất để phỏng_đoán Heawood một dạng tổng_quát của định_lý bốn màu nhưng sẽ yêu_cầu đến bảy màu Một chai Klein là đồng phôi với tổng_kết nối hai mặt phản_xạ Nó cũng là đồng phôi với một quả cầu cộng với hai mặt mũ chéo Khi thực_hiện phép nhúng trong không_gian Euclide chai Klein là một_chiều Tuy_nhiên còn có ba không gian topo khác và trong một_số ví_dụ không định_hướng thì chai Klein có_thể được nhúng sao cho nằm trong không_gian hai chiều mặc_dù bản_chất không_gian của nó vẫn không định_hướng Chai_Klein xẻ đôi Xẻ một chai Klein làm đôi dọc theo mặt_phẳng đối_xứng của nó kết_quả ta được hai ảnh đối_xứng gương phản_chiếu qua gương của dải Mobius tức_là một dải được xoắn nửa vòng bên trái và một dải được xoắn nửa vòng bên phải một trong hai hình nêu trên là hình bên phía tay_phải Lưu_ý rằng phần giao của ảnh không thực_sự tồn_tại tại đó Các đường_cong đơn đóng Các đường_cong đơn đóng có_thể xuất_hiện trên bề_mặt của chai Klein được chỉ ra khi sử_dụng phép thấu xạ đầu_tiên các nhóm của chai Klein với hệ_số nguyên Nhóm này đẳng_cấu với Z Z Đảo_ngược định_hướng các lớp thấu xạ chỉ có chứa các đường_cong đơn kín như sau 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 Sự định_hướng của một đường_cong đơn đóng và đảo_ngược nếu nó nằm trong một trong hai mặt mũ chéo tạo nên chai Klein nên nó là lớp thấu xạ 1 0 hoặc 1 1 nếu nó cắt chai Klein thành hai dải Mobius thì nó là lớp thấu xạ 2 0 nếu nó cắt chai Klein thành một hình vành_khuyên annulus nó sẽ trở_thành lớp thấu xạ 0 1 và nếu nó là một đĩa có biên thì nó là lớp thấu xạ 0 0 Tham_số_hoá Phép nhúng số 8 của chai Klein bánh Klein có một_phép tham_số_hoá đặc_biệt đơn_giản Đó là hình_xuyến số 8 vòng xoắn Mobius 180 độ được chèn vào formula _ 1 Với 0 θ 2π và 0 v 2π Trong phép nhúng này vòng_tròn tự giao là một vòng_tròn hình_học trong mặt_phẳng Oxy_Bán kính r của đường_tròn là một hằng_số_dương Tham_số θ xác_định góc trong mặt_phẳng xy và v xác_định vị_trí trên mặt_cắt hình số 8 Với các tham_số trên mặt_cắt ngang là đường_cong Lissajous với tỉ_lệ 2 1 Trong không_gian 4 chiều mặt_phẳng này có_thể được biến thành không giao nhau bằng cách thêm vào biến v tăng dần trên trục thứ 4 trục w tại giao_điểm Thí_dụ formula _ 2 Tham_số_hoá của phép nhúng 3 chiều của chai Klein phức_tạp hơn nhiều Dưới đây là phần tham_số_hoá của Robert_Israel formula _ 3 Với 0 u π và 0 v 2π Dạng tổng_quát Dạng tổng_quát các nhánh phức_tạp hơn của chai Klein được đề_cập đến trong bài viết về đa_giác cơ_bản Một_số ý_kiến khác cho rằng cấu_trúc đa tạp 3 chiều mà ta đã biết là một chai Klein rắn đồng phôi với topology tích Descartes_Cartesian product formula _ 4 của dải Mobius nhân với một khoảng Chai_Klein rắn là một phiên_bản không định_hướng được của khối xuyến tương_đương với formula _ 5 Mặt_phẳng Klein_Mặt phẳng Klein giống như mặt Riemann là mặt có tập ánh xạ thoả hàm chuyển_đổi transition function được sử_dụng bằng số_phức liên_hợp Một vật thoả điều_kiện đã nêu trên gọi là cấu_trúc phi giải_thích dianalytic structure trong không_gian Xem thêm BULLET Topology_Ghi chú BULLET A classical on the theory of Klein surfaces is of Alling_Greenleaf_Liên kết ngoài BULLET Imaging_Maths_The_Klein Bottle_BULLET_The biggest Klein bottle in all the world BULLET Klein_Bottle animation produced for a topology seminar at the Leibniz_University_Hannover_BULLET Klein_Bottle animation from 2010 including a car ride through the bottle and the original description by Felix_Klein produced at the Free_University_Berlin_BULLET Torus_Games_Free downloadable games for Windows and Mac_OS_X that highlight the topologies of the Torus and Klein_Bottle
Chai_Klein