Lãi kép Lãi kép phát_sinh khi phần lãi vừa đạt được được thêm vào vốn ban_đầu do_đó từ thời_điểm đó trở đi lãi phát_sinh được tính dựa trên tổng của vốn ban_đầu và số tiền lãi vừa kiếm được Sự bổ_sung tiền lãi vào vốn ban_đầu được gọi là tính lãi kép hay nhập vốn Một tài_khoản ngân_hàng ví_dụ có_thể có lãi kép hàng năm trong trường_hợp này một tài_khoản với 1000 đô_la tiền vốn gốc ban_đầu và lãi_suất 20 mỗi năm sẽ có số_dư 1200 đô_la vào cuối năm đầu_tiên 1440 đô_la vào cuối năm thứ hai và cứ như_vậy Để xác_định một lãi_suất đầy_đủ và cho_phép so_sánh nó với các lãi_suất khác lãi_suất và tần_suất tính lãi kép phải được cung_cấp Vì hầu_hết mọi người thích nghĩ về lãi_suất này như là một tỷ_lệ_phần_trăm hàng năm nhiều chính_phủ yêu_cầu các tổ_chức tài_chính cung_cấp mức lãi_suất kép hàng năm tương_đương trên tiền gửi hoặc tiền ứng trước Ví_dụ lãi_suất hàng năm cho một khoản vay với lãi vay 1 mỗi tháng là khoảng 12 68 một năm 1 01 1 Lãi_suất hàng năm tương_đương này có_thể được gọi là tỷ_lệ_phần_trăm hàng năm APR lãi_suất tương_đương hàng năm AER lãi_suất hiệu_quả lãi_suất hàng năm hiệu_quả và các thuật_ngữ khác Khi một khoản phí đã được tính trước để có được một khoản vay APR thường tính rằng chi_phí cũng như lãi kép trong việc chuyển_đổi sang lãi_suất tương_đương Những yêu_cầu chính_phủ này hỗ_trợ người tiêu_dùng để so_sánh chi_phí thực_tế của khoản vay dễ_dàng hơn Đối_với bất_kỳ lãi_suất nhất_định và tần_suất kép nào đều có một lãi_suất tương_đương cho một tần_suất kép khác_nào đó tồn_tại Lãi kép có_thể được đối_chiếu với lãi đơn trong đó tiền lãi không được nhập tiền gốc không có lãi kép Lãi kép là tiêu_chuẩn trong tài_chính và kinh_tế và lãi đơn được sử_dụng thường_xuyên mặc_dù các sản_phẩm tài_chính nhất_định có_thể chứa các thành_phần của lãi đơn Thuật_ngữ Tác_động của việc tính lãi kép phụ_thuộc vào tần_suất mà tiền lãi được tính lãi kép và lãi_suất định_kỳ được áp_dụng Vì_vậy để xác_định chính_xác số tiền phải trả theo hợp_đồng pháp_lý với tiền lãi tần_suất tính lãi kép hàng năm nửa năm hàng quý hàng tháng hàng ngày vv và lãi_suất phải được xác_định Các quy_ước khác nhau có_thể được sử_dụng giữa các nước nhưng trong tài_chính và kinh_tế_học các tập_quán sau đây là phổ_biến Lãi_suất định_kỳ tiền lãi mà được tính phí và được hợp gốc sau đó cho từng giai_đoạn chia cho số tiền gốc Lãi_suất định_kỳ được sử_dụng chủ_yếu cho các tính_toán và hiếm khi được sử_dụng để so_sánh Lãi_suất danh_nghĩa hàng năm hoặc lãi_suất danh_nghĩa được định_nghĩa là lãi_suất định_kỳ nhân với số thời_kỳ tính lãi kép mỗi năm Ví_dụ một lãi_suất hàng tháng là 1 tương_đương với lãi_suất danh_nghĩa hàng năm là 12 Lãi_suất hàng năm hiệu_quả điều này phản_ánh lãi_suất này hiệu_quả như nếu việc tính lãi kép hàng năm được áp_dụng nói cách khác nó là tổng_số tiền lãi cộng dồn mà có_thể được trả đến cuối của một năm chia cho số tiền gốc Các nhà_kinh_tế thường thích sử_dụng lãi_suất hàng năm hiệu_quả để cho_phép so_sánh Trong tài_chính và thương_mại lãi_suất hàng năm danh_nghĩa tuy_nhiên có_thể là một trích_dẫn thay_thế Khi trích_dẫn cùng với tần_suất tính lãi kép một khoản vay với lãi_suất hàng năm danh_nghĩa đã cho được xác_định đầy_đủ ảnh_hưởng của tiền lãi_suất đối_với một kịch_bản cho vay cụ_thể có_thể được xác_định chính_xác nhưng lãi_suất danh_nghĩa không_thể được so_sánh trực_tiếp với các khoản vay có tần_suất tính lãi kép khác nhau Các khoản vay và tài_trợ có_thể có các tính phí không lãi khác và các thuật_ngữ trên không cố_gắng để nắm_bắt những sự khác_biệt này Các thuật_ngữ khác như tỷ_lệ_phần_trăm hàng năm và lợi_suất phần_trăm hàng năm có_thể có các định_nghĩa hợp_pháp cụ_thể và có_thể hoặc không_thể được so_sánh tuỳ_thuộc vào thẩm_quyền Việc sử_dụng các thuật_ngữ trên và các thuật_ngữ tương_tự khác có_thể là không phù_hợp và thay_đổi theo tuỳ chỉnh địa_phương hoặc nhu_cầu tiếp_thị cho đơn_giản hoặc vì các lý_do khác Các ngoại_lệ BULLET Tín_phiếu T của Mỹ và Canada nợ Chính_phủ ngắn_hạn có một quy_ước khác Tiền lãi của chúng được tính là 100 P Pbnm ở đây P là giá thanh_toán Thay_vì bình_thường_hoá nó cho một năm tiền lãi được tính tỷ_lệ theo số ngày t 365 t 100 Xem quy_ước tính ngày BULLET Lãi vay trên trái_phiếu doanh_nghiệp và trái_phiếu chính_phủ thường phải trả hai lần mỗi năm Số tiền lãi thanh_toán mỗi sáu tháng là lãi_suất công_bố chia cho hai nhân với số tiền gốc Lãi_suất gộp hàng năm là cao hơn mức công_bố BULLET Các cho vay thế_chấp Canada nói_chung là tính lãi kép nửa năm với các khoản thanh_toán hàng tháng hoặc thường_xuyên hơn BULLET Các cho vay thế_chấp Mỹ sử_dụng một cho vay trả_góp tiền lãi không tính kép Với các khoản vay này một lịch_trình trả_góp được sử_dụng để xác_định cách áp_dụng các thanh_toán đối_với số tiền gốc và lãi vay Tiền lãi tạo ra trên các khoản vay này không được thêm vào số tiền gốc nhưng thay vào đó được trả hết hàng tháng như các thanh_toán được áp_dụng BULLET Nó là đôi_khi đơn_giản toán_học ví_dụ trong định giá_trị các phái_sinh để sử_dụng lãi kép liên_tục đó là giới_hạn khi số thời_kỳ tính lãi kép tiến tới không Việc tính lãi kép liên_tục trong định_giá các công_cụ này là một hệ_quả tự_nhiên của tính_toán Itō trong đó các phái_sinh có giá_trị ở tần_suất ngày_càng tăng cho đến khi giới_hạn được tiếp_cận và phái_sinh có giá_trị trong thời_gian liên_tục Tính_toán Tính giản_lược Công_thức được thể_hiện chi_tiết hơn tại giá_trị thời_gian của tiền Trong các công_thức dưới đây i là lãi_suất hiệu_quả cho mỗi thời_kỳ FV và PV đại_diện cho các giá_trị tương_lai và hiện_tại của một khoản tiền n đại_diện cho số giai_đoạn Đây là những công_thức cơ_bản nhất Công_thức trên tính_toán giá_trị tương_lai FV của giá_trị hiện_tại của một đầu_tư PV tích_luỹ với lãi_suất cố_định i cho n giai_đoạn Công_thức trên tính_toán giá_trị hiện_tại PV sẽ cần là bao_nhiêu để tạo ra một giá_trị nhất_định trong tương_lai FV nếu lãi_suất i dồn tích cho n giai_đoạn Công_thức trên tính_toán lãi_suất kép đạt được nếu đầu_tư ban_đầu PV cho ra giá_trị của FV sau n giai_đoạn dồn tích Công_thức trên tính_toán số_lượng thời_kỳ cần_thiết để có được FV từ PV đã cho và lãi_suất i Hàm lô ga rít có_thể ở bất_kỳ cơ_số nào ví_dụ lô ga rít tự_nhiên ln miễn_là các cơ_số phù_hợp được sử_dụng trong suốt tất_cả các tính_toán Lãi kép Công_thức tính lãi kép hàng năm là Ở đây BULLET A giá_trị tương_lai BULLET P số tiền gốc đầu_tư ban_đầu BULLET r lãi_suất danh_nghĩa hàng năm BULLET n số lần tiền lãi được nhập gốc mỗi năm BULLET t số năm tiền được mượn Ví_dụ sử_dụng Số tiền 1500 00 đô_la được gửi tại một nhà_băng chi_trả lãi_suất hàng năm 4 3 được nhập gốc hàng quý Tính số_dư sau 6 năm A Sử_dụng công_thức bên trên với P 1500 r 0 043 4 3 n 4 và t 6 Như_vậy số_dư sau 6 năm xấp_xỉ 1 938 84 đô_la Lãi kép có_thể được tính bằng cách trừ số tiền gốc khỏi số_dư này Tính lãi kép định_kỳ Hàm số_lượng cho lãi kép là một hàm mũ theo thời_gian formula _ 7 BULLET formula _ 8 Tổng thời_gian theo năm BULLET formula _ 9 Số thời_kỳ tính lãi kép mỗi năm lưu_ý rằng tổng_số thời_kỳ tính lãi kép là formula _ 10 BULLET formula _ 11 Lãi_suất hàng năm danh_nghĩa biểu_diễn dưới dạng thập_phân chẳng_hạn 6 0 06 BULLET formula _ 12 có nghĩa là nt được làm_tròn xuống giá_trị nguyên gần nhất Khi n tăng lên tỉ_lệ này tiến tới giới_hạn trên của e Tỉ_lệ này được gọi là lãi kép liên_tục xem bên dưới Vì số tiền gốc A 0 chỉ đơn_giản là một hệ_số nó thường được bỏ đi cho đơn_giản và hàm tích_luỹ kết_quả được sử_dụng trong lý_thuyết tiền lãi thay_thế Các hàm tích_luỹ cho lãi đơn và lãi kép được liệt_kê dưới đây Lưu_ý A t là hàm số_lượng và a t là hàm tích_luỹ Tính lãi kép liên_tục Tính lãi kép liên_tục có_thể được coi như việc_làm cho kỳ tính lãi kép cực nhỏ do_đó đạt được bằng cách lấy giới_hạn của n tới vô_cực Người ta phải tham_khảo ý_kiến các định_nghĩa của hàm_số mũ cho chứng_minh_toán_học của giới_hạn này or Ảnh_hưởng của tiền lãi Trong toán_học các hàm tích_luỹ thường được biểu_diễn trong các thuật_ngữ của số e cơ_số của lô ga rít tự_nhiên Điều này tạo điều_kiện cho việc sử_dụng các phương_pháp tính_toán trong thao_tác của công_thức lãi vay Đối_với một hàm tích_luỹ khả vi liên_tục bất_kỳ a t ảnh_hưởng của tiền lãi hoặc tổng_quát hơn là Hoàn vốn kép lô ga rít hay hoàn vốn kép liên_tục là một hàm theo thời_gian được định_nghĩa như sau formula _ 17 nó là tỷ_lệ thay_đổi theo thời_gian của lô ga rít tự_nhiên của hàm tích_luỹ Đảo lại formula _ 18 vì formula _ 19 Khi công_thức bên trên được viết trong dạng phương_trình_vi_phân ảnh_hưởng của tiền lãi đơn_giản là hệ_số của số_lượng thay_đổi formula _ 20 Đối_với lãi kép với lãi_suất hàng năm không đổi r ảnh_hưởng của tiền lãi là một hằng_số và hàm tích_luỹ của lãi kép về khía_cạnh ảnh_hưởng của tiền lãi là luỹ_thừa đơn_giản của số e formula _ 21 or formula _ 22 Ảnh_hưởng của tiền lãi là ít hơn so với lãi_suất thực hàng năm nhưng nhiều hơn tỷ_lệ chiết_khấu hiệu_quả hàng năm Nó là đối_ứng của thời_gian e folding Xem thêm ký_hiệu của lãi_suất Một_cách mô_hình_hoá ảnh_hưởng của lạm_phát là với công_thức của Stoodley formula _ 23 ở đây p r và s được ước_tính Cơ_sở tính lãi kép Để chuyển_đổi một lãi_suất từ một cơ_sở lãi kép này sang một cơ_sở lãi kép khác công_thức sau đây được áp_dụng ở đây r là lãi_suất quy_định với tần_suất tính lãi kép n và r là lãi_suất quy_định với tần_suất tính lãi kép n Khi tiền lãi được tính lãi kép liên_tục ở đây R là lãi_suất trên một cơ_sở tính lãi kép liên_tục và r là lãi_suất quy_định với tần_suất tính lãi kép n Trả tiền vay thế_chấp hàng tháng Tiền lãi cho vay thế_chấp thường được tính lãi kép hàng tháng Công_thức cho các trả tiền hàng tháng được tìm thấy từ đối_số sau đây Ký_hiệu BULLET I Lãi_suất trên giấy_tờ biểu_diễn dạng thập phân như 12 là 0 12 BULLET i Lãi_suất hàng tháng I 12 như_vậy APR 1 i 12 1 BULLET T Kỳ_hạn vay theo số năm BULLET Y I T BULLET X ½ I T ½ Y BULLET n 12 T kỳ_hạn theo tháng BULLET L Số tiền gốc của khoản vay BULLET P tiền trả hàng tháng Công_thức chính_xác cho P Một công_thức chính_xác cho trả tiền hàng tháng là hoặc tương_đương Điều này có_thể được bắt_nguồn bằng cách xem_xét bao_nhiêu tiền đã được trả để lại được thanh_toán sau mỗi tháng Sau tháng đầu_tiên formula _ 28 is left i e số tiền ban_đầu đã gia_tăng việc bớt trả tiền Nếu toàn_bộ khoản vay được tái trả tiền sau 1 tháng thì formula _ 29 nên formula _ 30 Sau tháng thứ hai formula _ 31 is left that is formula _ 32 Nếu toàn_bộ khoản vay được repaid sau 2 tháng formula _ 33 this gives phương_trình formula _ 34 Phương_trình này generalises cho một kỳ_hạn n tháng formula _ 35 Đây là tổng dãy số luỹ_thừa cụ_thể trong toán_học là một chuỗi hình_học geometric series hoặc một cấp_số nhân arithmetic sequence có tổng which can be rearranged to give Công_thức này cho việc trả tiền hàng tháng trong vay thế_chấp tại Hoa_Kỳ là chính_xác và là cái mà các ngân_hàng sử_dụng Công_thức gần đúng cho P Một công_thức mà là chính_xác để trong một_vài phần_trăm có_thể được tìm thấy bằng cách lưu_ý rằng đối_với các lãi_suất giấy_tờ Hoa_Kỳ điển_hình formula _ 38 và kỳ_hạn T 10 30 năm lãi_suất giấy_tờ hàng tháng là nhỏ so với 1 formula _ 39 để formula _ 40 tạo ra đơn_giản_hoá đối_với formula _ 41 điều này cho thấy định_nghĩa các biến phụ_trợ formula _ 42 formula _ 43 formula _ 44 là trả tiền hàng tháng được yêu_cầu đối_với trả hết khoản vay_lãi vay bằng không trong formula _ 45 trả_góp Trong các điều_kiện của các biến này xấp_xỉ này có_thể được viết formula _ 46 Hàm formula _ 47 thậm_chí còn formula _ 48 ngụ_ý rằng nó có_thể được mở_rộng ngay cả trong các luỹ_thừa của formula _ 49 Nó ngay_lập_tức sau đó formula _ 50 có_thể được mở_rộng ngay cả trong các luỹ_thừa của formula _ 49 cộng kỳ_hạn đơn formula _ 52 Nó sẽ chứng_minh thuận_tiện sau đó để xác_định formula _ 53 so that formula _ 54 which can be expanded formula _ 55 khi ellipses cho thấy các điều mà là số_mũ cao hơn thậm_chí các luỹ_thừa của formula _ 56 Biểu_thức formula _ 57 là hợp_lệ để tốt hơn 1 được cung_cấp formula _ 58 Ví_dụ Cho một khoản vay thế_chấp với kỳ_hạn 30 năm và với lãi_suất giấy_tờ 4 5 chúng_ta tìm được formula _ 59 formula _ 60 formula _ 61 cho thấy rằng xấp_xỉ formula _ 62 là chính_xác hơn một phần_trăm đối_với các điều_kiện thế_chấp điển_hình của Mỹ vào tháng 1 năm 2009 Công_thức trở_nên kém chính_xác hơn đối_với các lãi_suất cao hơn và kỳ_hạn dài hơn Cho một kỳ_hạn vay 30 năm trên một khoản vay 120 000 đô_la và lãi_suất giấy_tờ 4 5 chúng_ta tìm được formula _ 63 formula _ 64 so that formula _ 65 Số tiền thanh_toán chính_xác là formula _ 66 nên xấp_xỉ này là giản_ước quá mức khoảng 6 Lịch_sử Tính lãi kép đã từng bị coi là loại cho vay nặng_lãi tồi_tệ nhất và đã bị kết_án nặng_nề bởi luật_pháp La_Mã cũng như thông luật của nhiều nước khác Trong một đoạn văn Thánh_Kinh chỉ ra việc tính tiền lãi theo cách sau đây Qur an đề_cập một_cách rõ_ràng đến lãi kép như một tội lớn Cho vay nặng_lãi lãi_suất áp_bức được biết đến trong tiếng Ả_Rập là riba được coi là sai Cuốn sách của Richard_Witt_Những câu hỏi số học xuất_bản năm 1613 là một bước_ngoặt trong lịch_sử của lãi kép Nó đã được hoàn_toàn dành cho đối_tượng trước_đây gọi là anatocism trong khi các nhà_văn trước đó đã thường chỉ dành cho lãi kép chỉ trong một chương ngắn trong các sách_giáo_khoa toán_học Cuốn sách Witt đưa các bảng dựa trên 10 lãi_suất tối_đa cho các khoản vay được phép và các lãi_suất khác cho các mục_đích khác nhau chẳng_hạn như xác_định giá_trị hợp_đồng thuê tài_sản Witt là một học_giả toán_học London và cuốn sách của ông là đáng chú_ý cho rõ_ràng của nó thể_hiện chiều sâu của cái nhìn sâu_sắc và chính_xác của tính_toán với 124 ví_dụ đã làm_việc Xem thêm BULLET Tiền lãi thẻ_tín_dụng BULLET Tăng_trưởng hàm mũ BULLET Phương_trình Phi sơ BULLET Tỷ_suất hoàn vốn đầu_tư BULLET Đường_cong lợi_suất
Lãi kép