Định_lý giá_trị trung_bình Trong giải_tích định_lý giá_trị trung_bình khẳng_định rằng cho một cung phẳng trơn nối hai điểm phân_biệt khi đó tồn_tại một điểm trên cung mà tiếp_tuyến với cung tại điểm này song_song với đường_thẳng nối hai đầu cung Định_lý này được sử_dụng đề chứng_minh các kết_quả toàn_cục về một hàm trên một khoảng xuất_phát từ các giả_thuyết địa_phương về đạo_hàm tại các điểm của khoảng đó Chính_xác hơn nếu một hàm_số formula _ 1 liên_tục trên khoảng đóng formula _ 2 với formula _ 3 thì tồn_tại một điểm formula _ 4 sao cho Một trường_hợp đặc_biệt của định_lý này được mô_tả lần đầu_tiên bởi Parameshvara 1370 1460 Định_lý giá_trị trung_bình ở dạng hiện_đại của nó được phát_biểu sau đó bởi Augustin_Louis_Cauchy 1789 1857 Nó là một trong những kết_quả quan_trọng nhất của phép_tính_vi phân cũng như một trong những định_lý quan_trọng nhất của giải_tích toán_học và được sử_dụng để chứng_minh định_lý cơ_bản của giải_tích Định_lý giá_trị trung_bình có_thể được suy ra từ một trường_hợp đặc_biệt của nó là định_lý Rolle và có_thể được sử_dụng để chứng_minh một kết_quả tổng_quát hơn là định_lý Taylor với phần dư dạng Lagrange_Phát biểu chính_thức Cho formula _ 6 là một hàm_số liên_tục trên khoảng đóng formula _ 2 và khả vi trên khoảng mở formula _ 8 với math a Khi đó tồn_tại formula _ 4 sao cho Định_lý giá_trị trung_bình là một tổng_quát_hoá của định_lý Rolle trong đó giả_sử formula _ 11 khi đó vế phải của hệ_thức bên trên bằng 0 Định_lý giá_trị trung_bình vẫn đúng với một giả_thiết tổng_quát hơn Ta chỉ cần điều_kiện formula _ 12 liên_tục trên formula _ 2 và với mọi formula _ 14 giới_hạn tồn_tại hữu_hạn hoặc bằng formula _ 16 Nếu hữu_hạn giới_hạn trên bằng formula _ 17 Một ví_dụ mà phiên_bản này của định_lý được áp_dụng là hàm_số formula _ 18 với đạo_hàm tiến đến vô_cùng tại gốc toạ_độ Chú_ý rằng định_lý này sai nếu ta áp_dụng cho hàm phức khả vi thay_vì hàm thực Ví_dụ lấy formula _ 19 với mọi số_thực formula _ 20 Khi đó trong khi formula _ 22 Chứng_minh Biểu_thức formula _ 23 cho chúng_ta hệ_số góc của đường_thẳng nối hai điểm formula _ 24 và formula _ 25 trong khi formula _ 17 là hệ_số góc của tiếp_tuyến của đường_cong tại điểm formula _ 27 Do_đó định_lý giá_trị trung_bình phát_biểu rằng cho một cung bất_kì của một đường_cong phẳng trơn ta có_thể tìm được một điểm nằm giữa hai đầu cung sao cho tiếp_tuyến tại điểm đó của cung song_song với dây_cung Cách chứng_minh sau đây mô_tả ý_tưởng này Đặt formula _ 28 với formula _ 29 là một hằng_số mà ta sẽ xác_định sau Vì formula _ 1 liên_tục trên formula _ 2 và khả vi trên formula _ 8 điều tương_tự cũng đúng với formula _ 33 Ta sẽ chọn formula _ 29 sao cho formula _ 33 thoả_mãn các điều_kiện của định_lý Rolle tức_là Theo định_lý Rolle vì formula _ 33 liên_tục và formula _ 38 nên tồn_tại một điểm formula _ 39 thuộc formula _ 8 sao cho formula _ 41 Khi đó từ đẳng_thức formula _ 28 ta có Đây chính là điều phải chứng_minh Một ứng_dụng đơn_giản Giả_sử rằng formula _ 1 là một hàm thực liên_tục xác_định trên một khoảng formula _ 45 bất_kì trên trục số_thực Nếu đạo_hàm của formula _ 1 tại mọi điểm trong của formula _ 45 tồn_tại và bằng 0 khi đó formula _ 1 là hàm hằng Chứng_minh Giả_sử rằng đạo_hàm của formula _ 1 tại mọi điểm trong của formula _ 45 tồn_tại và bằng 0 Đặt formula _ 8 là một khoảng mở bất_kì trong formula _ 45 Theo định_lý giá_trị trung_bình tồn_tại một điểm formula _ 4 sao cho Từ đó suy ra formula _ 55 Do_đó formula _ 1 là hàm hằng trên mọi khoảng con của formula _ 45 và vì_vậy nó là hàm hằng trên formula _ 45 do tính liên_tục Nhận_xét BULLET Tại các đầu của khoảng formula _ 45 chỉ yêu_cầu tính liên_tục chứ không cần tính khả vi Tính liên_tục của formula _ 1 không cần phải chỉ ra nếu_như formula _ 45 là một khoảng mở vì từ sự tồn_tại của đạo_hàm trên khoảng mở formula _ 8 suy ra tính liên_tục của formula _ 1 trên khoảng đóng formula _ 2 Định_lý giá_trị trung_bình Cauchy_Định lý giá_trị trung_bình Cauchy còn được biết dưới tên định_lý giá_trị trung_bình mở_rộng là một tổng_quát_hoá của định_lý giá_trị trung_bình Nó phát_biểu rằng Nếu các hàm_số formula _ 1 và formula _ 33 cùng liên_tục trên khoảng đóng formula _ 2 và khả vi trên khoảng mở formula _ 8 khi đó tồn_tại một điểm formula _ 4 sao cho Nếu formula _ 71 và formula _ 72 điều này tương_đương với Nói theo ngôn_ngữ hình_học điều này có nghĩa là tồn_tại một tiếp_tuyến với đồ_thị của đường_cong sao cho tiếp_tuyến này song_song với đường_thẳng nối hai điểm formula _ 75 Tuy_nhiên định_lý Cauchy không khẳng_định sự tồn_tại của một tiếp_tuyến như_thế trong mọi trường_hợp formula _ 76 và formula _ 77 là các điểm phân_biệt bởi_vì điều này được thoả_mãn chỉ khi tồn_tại một giá_trị formula _ 39 sao cho formula _ 79 nói cách khác một giá_trị mà tại đó đường_cong dừng Một ví_dụ cho trường_hợp này là đường_cong được cho bởi trên khoảng formula _ 2 đi từ điểm 1 0 đến điểm 1 0 không có một tiếp_tuyến nằm ngang Tuy_nhiên nó có một điểm dừng tại formula _ 82 Định_lý giá_trị trung_bình Cauchy có_thể được dùng để chứng_minh quy_tắc l Hôpital_Định lý giá_trị trung_bình là một trường_hợp đặc_biệt của định_lý giá_trị trung_bình Cauchy khi formula _ 33 là hàm_số đồng_nhất formula _ 84 Chứng_minh của định_lý trung_bình Cauchy_Chứng minh của định_lý trung_bình Cauchy được dựa trên ý_tưởng tương_tự với chứng_minh của định_lý giá_trị trung_bình Đặt formula _ 85 với formula _ 29 là một hằng_số ta sẽ xác_định sau Vì formula _ 87 là các hàm_số liên_tục trên formula _ 2 và khả vi trên formula _ 8 điều tương_tự cũng đúng với formula _ 90 Ta sẽ chọn formula _ 29 sao cho formula _ 92 thoả_mãn các điều_kiện của định_lý Rolle tức_là Theo định_lý Rolle tồn_tại một điểm formula _ 4 sao cho formula _ 95 và từ đẳng_thức formula _ 85 ta suy ra Đây chính là điều cần chứng_minh Tổng_quát_hoá cho định_thức Giả_sử rằng formula _ 87 và formula _ 90 là các hàm liên_tục trên formula _ 2 và khả vi trên formula _ 8 Đặt_Khi đó tồn_tại formula _ 4 sao cho formula _ 104 Để_ý rằng và nếu ta lấy formula _ 106 ta thu được định_lý giá_trị trung_bình Cauchy_Nếu ta thay formula _ 106 và formula _ 108 ta thu được định_lý giá_trị trung_bình Chứng_minh của tổng_quát_hoá này khá đơn_giản Ta có formula _ 109 và formula _ 110 là các định_thức có hai hàng bằng nhau do_đó formula _ 111 Từ định_lý Rolle ta suy ra tồn_tại formula _ 4 sao cho formula _ 104 Định_lý giá_trị trung_bình với hàm nhiều biến Định_lý giá_trị trung_bình với hàm một biến được tổng_quát lên với hàm nhiều biến bằng cách sử_dụng tham_số Đặt formula _ 114 là một tập con mở của formula _ 115 và đặt formula _ 116 là một hàm khả vi Cố_định các điểm formula _ 117 sao cho khoảng mở formula _ 118 nằm trong formula _ 114 và đặt formula _ 120 Vì formula _ 33 là hàm một biến khả vi áp_dụng định_lý giá_trị trung_bình ta có với formula _ 123 Lại có formula _ 124 và formula _ 125 tính trực_tiếp formula _ 126 ta có trong đó formula _ 128 là vector gradient và formula _ 129 ký_hiệu tích vô hướng Chú_ý rằng đây chính là phiên_bản tương_tự của định_lý với hàm một biến Theo bất_đẳng_thức Cauchy_Schwarz đẳng_thức trên cho ta Đặc_biệt khi các đạo_hàm riêng của formula _ 1 bị chặn formula _ 1 liên_tục Lipschitz và do_đó hội_tụ đều Chú_ý rằng formula _ 1 không được giả_sử rằng khả vi liên_tục cũng như liên_tục trên bao đóng của formula _ 114 Tuy_nhiên ta đã sử_dụng quy_tắc xích do_đó sự tồn_tại của formula _ 135 là không cần_thiết Ta sẽ chứng_minh rằng formula _ 1 là hàm hàng nếu formula _ 114 liên_thông và mọi đạo_hàm riêng của formula _ 1 đều bằng 0 Lấy formula _ 139 và đặt formula _ 140 Ta sẽ chỉ ra rằng formula _ 141 với mọi formula _ 142 Thật vậy đặt formula _ 143 Khi đó formula _ 144 đóng và khác rỗng Đồng_thời formula _ 144 cũng là tập mở với mọi formula _ 146 ta có với mọi formula _ 148 trong một lân_cận nào đó của formula _ 20 Vì formula _ 114 liên_thông ta suy ra formula _ 151 Chú_ý rằng tất_cả các lập_luận bên trên không phụ_thuộc vào toạ_độ do_đó trên thực_tế chúng_ta đã tổng_quát cho trường_hợp formula _ 114 là tập con của một không_gian Banach_Định lý giá_trị trung_bình với hàm nhận giá_trị vector Không có một sự tương_tự chính_xác của định_lý giá_trị trung_bình cho hàm nhận giá_trị vector Trong bộ sách Foundations of Modern_Analysis của mình Jean_Dieudonné đã bỏ_qua định_lý giá_trị trung_bình và thay_thế nó bởi bất_đẳng_thức trung vì cách chứng_minh không có tính xây_dựng và chúng_ta không_thể tìm được giá_trị trung_bình Serge_Lang trong quyển Analysis I đã sử_dụng định_lý giá_trị trung_bình dạng tích phân nhưng cách này yêu_cầu tính liên_tục của đạo_hàm Nếu sử_dụng tích_phân Henstock_Kurzweil thì ta có_thể có định_lý giá_trị trung_bình dưới dạng tích phân mà không cần giả_thiết thêm đạo_hàm phải liên_tục có_điều này là vì mọi đạo_hàm đều khả tích Henstock_Kurzweil_Bài toán có_thể được phát_biểu như sau Nếu formula _ 153 là một hàm khả vi với formula _ 154 là tập mở và nếu formula _ 155 là một đoạn_thẳng nằm trong formula _ 156 khi đó ta có_thể áp_dụng quá_trình tham_số_hoá bên trên cho một hàm thành_phần formula _ 157 của formula _ 1 với ký_hiệu như trên đặt formula _ 159 Như_vậy ta có_thể tìm các điểm formula _ 160 trên đoạn_thẳng sao cho Tuy_nhiên với trường_hợp tổng_quát không tồn_tại một điểm duy_nhất formula _ 162 trên đoạn_thẳng sao cho đồng_thời với mọi formula _ 164 Để minh_hoạ ta có_thể lấy formula _ 165 được xác_định bởi các hàm thành_phần formula _ 166 Khi đó formula _ 167 Tuy_nhiên formula _ 168 và formula _ 169 không đồng_thời bằng 0 với mọi formula _ 20 Tuy_nhiên một_cách tổng_quát_hoá của định_lý giá_trị trung_bình với hàm nhận giá_trị vector có_thể nhận được như sau Đặt formula _ 1 là một hàm thực khả vi liên_tục được xác_định trên một khoảng mở formula _ 45 và đặt formula _ 173 là các điểm của formula _ 45 Từ định_lý giá_trị trung_bình với hàm một biến ta suy ra tồn_tại một điểm formula _ 175 sao cho Mặt_khác theo định_lý cơ_bản của giải_tích ta có Do_đó giá_trị formula _ 178 tại điểm formula _ 179 được thay_thế bởi giá_trị trung_bình Công_thức này có_thể được tổng_quát cho hàm nhận giá_trị vector Đặt formula _ 154 là tập mở formula _ 153 khả vi liên_tục và formula _ 183 là các vector sao cho toàn_bộ đoạn_thẳng formula _ 184 nằm trong formula _ 156 Khi đó ta có Với tích phân của ma_trận được lấy theo từng thành_phần formula _ 187 ký_hiệu ma_trận Jacobi của formula _ 1 Từ điều này ta còn có_thể suy ra rằng nếu formula _ 189 bị chặn với formula _ 190 bởi một hằng_số formula _ 191 nào đó khi đó Chứng_minh Ký_hiệu formula _ 157 cho các hàm thành_phần của formula _ 1 Xác_định formula _ 195 bởi formula _ 196 Khi đó ta có Khẳng_định được suy ra từ việc formula _ 187 là ma_trận gồm các thành_phần formula _ 199 Chứng_minh Từ ta có Ở đây ta đã sử_dụng bổ_đề sau Bổ_đề Đặt formula _ 201 là hàm liên_tục được xác_định trên đoạn formula _ 202 Khi đó ta có Chứng_minh Đặt formula _ 204 là giá_trị của tích phân Khi đó ta có suy ra formula _ 207 Ở đây ta đã sử_dụng bất_đẳng_thức Cauchy_Schwarz_Từ đây ta có được chứng_minh và cũng được chứng_minh Định_lý giá_trị trung_bình dạng tích_phân Định_lý giá_trị trung_bình dạng tích phân thứ nhất Định_lý giá_trị trung_bình dạng tích phân thứ nhất khẳng_định rằng Đặc_biệt nếu formula _ 213 với mọi formula _ 214 khi đó tồn_tại formula _ 14 sao cho Đẳng_thức này thường được viết dưới dạng Giá_trị formula _ 218 được gọi là giá_trị trung_bình của formula _ 219 trên đoạn formula _ 2 Chứng_minh của định_lý giá_trị trung_bình dạng tích phân thứ nhất Không mất tính tổng_quát giả_sử formula _ 221 với mọi formula _ 222 Từ định_lý cực_trị hàm liên_tục formula _ 114 có các giá_trị cực_tiểu formula _ 224 và giá_trị cực_đại formula _ 191 hữu_hạn trên đoạn formula _ 2 Từ_tính đơn_điệu của tích phân và bất_đẳng_thức formula _ 227 cùng với giả_thiết formula _ 228 không âm ta có với formula _ 230 ký_hiệu tích phân của formula _ 228 trên formula _ 2 Do_đó nếu formula _ 233 ta có đẳng_thức xảy ra với mọi formula _ 14 Vì_vậy ta có_thể giả_sử formula _ 235 Chia cả hai vế cho formula _ 45 và ta nhận được Từ định_lý giá_trị trung_gian ta suy ra hàm liên_tục formula _ 219 đạt được mọi giá_trị trong đoạn formula _ 239 đặc_biệt tồn_tại formula _ 240 sao cho Từ đây ta có_điều cần chứng_minh Định_lý giá_trị trung_bình cho tích_phân thứ hai Có nhiều định_lý khác nhau đôi_chút cùng được gọi là định_lý giá_trị trung_bình thứ hai dạng tích phân Một phiên_bản thông_dụng như sau Ở đây formula _ 246 ký_hiệu cho formula _ 247 từ các điều_kiện đã cho có_thể suy ra giới_hạn này tồn_tại Chú_ý rằng formula _ 244 có chứa điểm formula _ 249 là một điều_kiện quan_trọng Một biến_thể khác của định_lý không có điều_kiện này như sau Định_lý này được chứng_minh bởi Hiroshi_Okamura vào năm 1947 Công_thức xác_suất tương_tự định_lý giá_trị trung_bình Giả_sử formula _ 254 là các biến ngẫu_nhiên với formula _ 255 và formula _ 256 tức_là formula _ 257 nhỏ hơn formula _ 258 theo thứ_tự ngẫu_nhiên thông_thường Khi đó tồn_tại một biến ngẫu_nhiên không âm liên_tục tuyệt_đối formula _ 259 có hàm mật_độ xác_suất BULLET Mean_Value_Theorem_Intuition behind the Mean_Value_Theorem at the Khan_Academy
Định_lý giá_trị trung_bình