Chuỗi hình_học Trong toán_học một chuỗi hình_học hay chuỗi cấp_số nhân là một chuỗi có tỉ_lệ giữa các số_hạng kế_tiếp nhau là một hằng_số Ví_dụ chuỗi là một chuỗi hình_học bởi_vì mỗi số_hạng đều bằng 1 2 số_hạng kế trước nó Chuỗi hình_học là một trong những chuỗi vô_hạn đơn_giản nhất có tổng hữu_hạn mặc_dù không phải chuỗi nào trong số này đều có tổng hữu_hạn Trong lịch_sử chuỗi hình_học đóng vai_trò rất quan_trọng đối_với sự phát_triển của vi tích phân và nó vẫn tiếp_tục là chủ_đề trung_tâm trong việc nghiên_cứu tính_chất hội_tụ của chuỗi Chuỗi hình_học có nhiều ứng_dụng quan_trọng trong toán_học và cả các lĩnh_vực khác như vật_lý khoa_học_kỹ_thuật sinh_học kinh_tế_học khoa_học máy_tính lý_thuyết hàng đợi và tài_chính Công_bội Các số_hạng của chuỗi hình_học thường hình_thành nên một cấp_số nhân điều này có nghĩa là tỉ_số giữa một_số hạng bất_kỳ với một_số hạng đứng kế trước nó là không đổi gọi là công_bội Bảng dưới đây cho thấy một_số công_bội trong một_số chuỗi hình_học Tính_chất của các số_hạng tuỳ_thuộc vào công_bội của chuỗi tạm ký_hiệu là r Tính tổng Tổng của một chuỗi hình_học là hữu_hạn nếu chuỗi này tiến về 0 với những số gần bằng 0 thì nó trở_thành các số vô_cùng bé cho_nên có_thể bỏ_qua và vẫn có_thể tính được tổng mặc_dù chuỗi này tiến đến vô_cùng Máy_tính cũng có_thể tính được tổng này bằng cách sử_dụng chuỗi tự đồng_dạng Ví_dụ Xét tổng của chuỗi hình_học sau Chuỗi này có công_bội là 2 3 Nếu ta nhân cả hai vế phương_trình trên với 2 3 ta có Trừ 1 và cộng 1 vào vế phải Đối_với các chuỗi tự đồng_dạng khác cũng có_thể giải bằng cách này Công_thức Cho formula _ 7 thì tổng của n phần_tử đầu_tiên của chuỗi Với a là phần_tử đầu_tiên của chuỗi r là công_bội Ta có_thể biến_đổi công_thức như sau Đặt_Nhân 2 vế với r Suy ra Khi n tiến đến vô_cùng công_bội r phải nhỏ hơn 1 thì chuỗi mới có_thể hội_tụ tổng của chuỗi khi đó là Nếu dễ_dàng ta có Vế trái là một chuỗi hình_học với công_bội r ta biến_đổi công_thức Đặt_Nhân 2 vế với r Suy ra Tính_chất hội_tụ Vì 1 r r r 1 r 1 r và đối_với r 1 Ứng_dụng Số_thập_phân vô_hạn tuần_hoàn Một_số thập_phân vô_hạn tuần_hoàn có_thể được xem như là một chuỗi hình_học với công_bội bằng 1 10 Ví_dụ Sử_dụng công_thức tính tổng một chuỗi hình_học có_thể biến_đổi một_số thập_phân vô_hạn tuần_hoàn thành một phân_số Công_thức này không_những có_thể áp_dụng cho những số_thập phân với 1 chữ_số tuần_hoàn mà nó có_thể áp_dụng cho cả 1 cụm nhiều số tuần_hoàn Từ đó có_thể rút ra được cách biến_đổi đơn_giản hơn Tính diện_tích của parabol bằng phương_pháp Archimedes_Archimedes đã sử_dụng công_thức tính tổng của một chuỗi hình_học để tính diện_tích được bao bởi một parabol và một đường_thẳng cát_tuyến Phương_pháp của ông là chia phần diện_tích này thành vô_số các hình_tam_giác Archimedes đã tính ra rằng tổng phần diện_tích trong parabol bằng 4 3 diện_tích của tam_giác màu xanh dương Archimedes xác_định rằng diện_tích mỗi tam_giác màu xanh lá cây bằng 1 8 diện_tích hình_tam_giác màu xanh dương diện_tích tam_giác màu vàng bằng 1 8 diện_tích tam_giác màu xanh lá cây và v v Giả_sử tam_giác màu xanh dương có diện_tích 1 thì tổng diện_tích là tổng của một chuỗi vô_hạn Số_hạng đầu_tiên là diện_tích tam_giác màu xanh dương số_hạng tiếp_theo là diện_tích 2 tam_giác màu xanh lục số_hạng kế_tiếp là diện_tích 4 tam_giác màu vàng và cứ thế cho đến vô_cùng Rút_gọn các phân_số ta có Đây là một chuỗi hình_học với công_bội bằng 1 4 Tổng là Phép_tính trên gọi là phương_pháp vét cạn là một dạng sơ_khai của tích phân Trong vi tích_phân hiện_đại phần diện_tích này có_thể tính bằng tích_phân xác_định Hình_học phân dạng Trong ngành hình_học phân dạng chuỗi hình_học thường dùng để tính chu_vi diện_tích hay thể_tích của một hình tự đồng_dạng Ví_dụ phần diện_tích bên trong bông tuyết Koch là một tổ_hợp gồm vô_số tam_giác_đều xem hình Mỗi tam_giác xanh lục có cạnh bằng 1 3 cạnh của tam_giác xanh dương do_đó diện_tích của nó bằng 1 9 diện_tích tam_giác xanh dương Tương_tự như_thế mỗi tam_giác màu vàng có diện_tích bằng 1 9 diện_tích tam_giác lục và cứ thế Cho diện_tích tam_giác xanh dương bằng 1 đơn_vị diện_tích thì tổng diện_tích của hình bông tuyết sẽ là Phần_tử đầu_tiên của chuỗi này chính là diện_tích tam_giác xanh dương phần_tử thứ 2 là tổng diện_tích của 3 tam_giác xanh lục phần_tử thứ 3 là tổng diện_tích của 12 tam_giác màu vàng và cứ thế Với số đầu_tiên là 1 không thuộc vào chuỗi hình_học phần còn lại trong chuỗi số trên là một chuỗi hình_học có công_bội r 4 9 phần_tử đầu_tiên của chuỗi hình_học này là a 3 1 9 1 3 vậy tổng của cả chuỗi trên sẽ là Do_đó diện_tích của cả bông tuyết Koch bằng 8 5 lần diện_tích tam_giác cơ_bản xanh dương Những nghịch_lý Zeno_Sự hội_tụ trong chuỗi hình_học cho thấy rằng tổng của một chuỗi có số phần_tử là vô_hạn vẫn có_thể hữu_hạn điều này cho_phép giải_quyết được nhiều nghịch_lý Zeno_Ví dụ như trong nghịch_lý chia đôi quãng đường của Zeno ông cho rằng một người H không_thể đi đến một điểm B cách đó 1 quãng s vì trước khi đi đến B thì H phải đi qua điểm s 2 mà trước khi qua điểm s 2 thì H phải qua được điểm s 4 trước khi qua s 4 thì phải qua s 8 trước khi qua s 8 thì phải qua s 16 và cứ thế đến vô_cùng formula _ 32 Biểu_diễn dạng chuỗi toán_học Do_đó muốn đến được điểm B thì H phải qua vô_số bước Zeno cho rằng điều này không_thể hoàn_thành được và cũng không_thể bắt_đầu được do_đó ông cho rằng mọi chuyển_động phải là ảo_tưởng Sai_lầm của Zeno là ông đã giả_định rằng tổng của vô_hạn các phần_tử hữu_hạn thời_gian thực_hiện 1 bước không_thể là một_số hữu_hạn tổng thời_gian đi đến B Điều này không đúng với sự_thật vì bằng_chứng là chuỗi hình_học trên có_thể hội_tụ với công_bội formula _ 34 Euclid_Trong sách Cơ_sở của Euclid quyển IX mệnh_đề 35 có đưa ra công thức tính tổng của chuỗi hình_học công_thức này tương_đương với công_thức hiện_đại Kinh_tế_học Trong kinh_tế_học chuỗi hình_học dùng để tính giá_trị hiện_tại của chuỗi tiền_tệ tổng của số tiền được trả theo định_kỳ Tham_khảo BULLET James_Stewart 2002 Calculus 5th ed Brooks_Cole_ISBN 978 0 534 39339 7 BULLET Larson_Hostetler and Edwards 2005 Calculus with Analytic_Geometry 8th ed Houghton_Mifflin_Company_ISBN 978 0 618 50298 1 BULLET Roger_B_Nelsen 1997 Proofs without Words_Exercises in Visual_Thinking_The_Mathematical Association of America_ISBN 978 0 88385 700 7 Lịch_sử và triết_học BULLET C H Edwards_Jr 1994 The_Historical_Development of the Calculus 3rd ed Springer_ISBN 978 0 387 94313 8 BULLET Eli_Maor 1991 To_Infinity and Beyond_A_Cultural_History of the Infinite_Princeton_University_Press ISBN 978 0 691 02511 7 BULLET Morr_Lazerowitz 2000 The_Structure of Metaphysics_International_Library of Philosophy_Routledge_ISBN 978 0 415 22526 7 Kinh_tế BULLET Carl_P_Simon and Lawrence_Blume 1994 Mathematics for Economists_W_W_Norton Company_ISBN 978 0 393 95733 4 BULLET Mike_Rosser 2003 Basic_Mathematics for Economists 2nd ed Routledge_ISBN 978 0 415 26784 7 Sinh_học BULLET Edward_Batschelet 1992 Introduction to Mathematics for Life_Scientists 3rd ed Springer_ISBN 978 0 387 09648 3 BULLET Richard_F_Burton 1998 Biology by Numbers_An_Encouragement to Quantitative_Thinking_Cambridge_University Press_ISBN 978 0 521 57698 7 Khoa_học máy_tính BULLET John_Rast_Hubbard 2000 Schaum s Outline of Theory and Problems of Data_Structures_With_Java McGraw_Hill_ISBN 978 0 07 137870 3 Liên_kết ngoài BULLET Geometric_Series by Michael_Schreiber_Wolfram_Demonstrations Project 2007
Chuỗi hình_học