Toán_tử Hamilton_Như ta đã biết thì năng_lượng toàn_phần của hệ bằng tổng thế_năng và động_năng của hệ trong đó formula _ 6 Kết_hợp 2 toán_tử trên ta có toán_tử Hamilton được sử_dụng trong phương_trình Schrödinger_Phương trình Schrödinger và toán_tử Hamilton_Xem bài viết chính phương_trình Schrödinger_Cho hàm sóng formula _ 9 Ta có phương_trình Schrödinger phụ_thuộc vào thời_gian của hàm sóng đó là Trong đó formula _ 11 là toán_tử Hamilton_Giả sử formula _ 9 có_thể viết dưới dạng tích hàm theo thời_gian với hàm toạ_độ formula _ 9 formula _ 14 formula _ 15 Đạo_hàm theo t Ta có Và đạo_hàm bậc 2 theo r Ta có formula _ 20 formula _ 21 formula _ 22 Thay vào phương_trình Schrödinger_Ta có formula _ 23 formula _ 14 formula _ 18 formula _ 19 formula _ 11 formula _ 14 formula _ 15 Chia 2 vế cho formula _ 14 Ta được phương trinh vi phân formula _ 23 formula _ 18 formula _ 19 formula _ 11 formula _ 15 Giải phương_trình_vi phân này ta được formula _ 15 formula _ 37 Vậy hàm sóng được viết dưới dạng formula _ 9 formula _ 14 formula _ 37 Thay vào phương_trình Schrödinger ban_đầu ta được phương_trình Schrödinger không phụ_thuộc vào thời_gian formula _ 41 formula _ 14 formula _ 43 formula _ 14 Khi giải phương_trình này ta tìm được hàm riêng và giá_trị riêng của toán_tử Hamilton_Khi tìm được giá_trị riêng ta có_thể xác_định các mức năng_lượng và xem nó co bị gián_đoạn hay không Khi tìm được hàm riêng ta có_thể tính xác_suất những nơi tìm thấy hạt Xem thêm phương_trình Schrödinger_Cơ học lượng_tử
Toán_tử Hamilton