Đường_trắc_địa Trong hình_học Riemann đường_trắc_địa hay cung trắc_địa là một đường_cong có độ cong trắc_địa bằng không tại mọi điểm và cũng là đường có độ dài cực_trị trong các đường nối hai điểm trên một đa tạp Riemann_Đường trắc_địa trên mặt_cầu là các đoạn của vòng_tròn lớn trên mặt_trụ tròn_xoay là các đoạn của đường_xoắn_ốc trên mặt_phẳng là các đoạn đường_thẳng Đường_trắc_địa a phin Xét một đa tạp trơn M với một liên_kết a phin Một đường_trắc_địa a phin đối_với liên_kết được định_nghĩa là một đường_cong γ t sao cho formula _ 1 Sử_dụng một hệ toạ_độ địa_phương ta có_thể viết phương_trình trắc_địa với formula _ 3 và formula _ 4 là các kí_hiệu Christoffel của liên_kết Đường_trắc_địa giống như là quĩ_đạo của một hạt chuyển_động tự_do trên đa tạp Trong trường_hợp liên_kết Levi_Civita ta thu được đường_trắc_địa theo nghĩa Riemann_Đường dòng trắc_địa Xét đa tạp M được trang_bị một liên_kết a phin Đường dòng trắc_địa geodesic flow của đa tạp M là một R tác_động địa_phương trên phân thớ tiếp_xúc TM sao cho với t R V TM và formula _ 6 là đường_trắc_địa cục_bộ với điều_kiện ban_đầu formula _ 7 Nói_riêng formula _ 8 V exp tV là ánh xạ mũ của véc tơ tV Hình_chiếu của một đường dòng trắc_địa lên M là một đường_trắc_địa trên M Trên một đa tạp Riemann đường dòng trắc_địa được đồng_nhất với đường dòng Hamilton trên phân thớ đối tiếp_xúc Đường dòng trắc_địa bảo_toàn metric tức_là Hệ_quả là nếu V là véc tơ đơn_vị formula _ 6 có tốc_độ không đổi bằng 1 do_đó đường dòng trắc_địa luôn nằm trong phân thớ tiếp_xúc đơn_vị Đường dòng trắc_địa cũng là đường dòng của một trường véc tơ trên đa tạp TM Trường véc tơ ấy được gọi là tia trắc_địa geodesic spray Ta cũng có một chùm trắc_địa trên phân thớ tiếp_xúc đơn_vị S TM Thư_mục BULLET Đoàn Quỳnh 2000 Hình_học vi_phân Nhà_xuất_bản giáo_dục BULLET Jost_Jürgen 2002 Riemannian_Geometry and Geometric_Analysis_Berlin_New York_Springer_Verlag_ISBN 978 3 540 42627 1 BULLET Lee_John 1997 Introduction to Riemannian_Manifolds_ISBN 978 3 319 91755 9
Đường_trắc_địa