Hội_tụ không_gian tôpô Khái_niệm hội_tụ trong toán_học có_thể được sử_dụng trong các không_gian Euclid chẳng_hạn xem định_nghĩa ε δ của giới_hạn các không_gian metric ví_dụ như formula _ 1 formula _ 2 các không_gian hàm hay các không_gian tô pô Với các không_gian metric ta có sự tương_đương giữa hai phát_biểu sau BULLET 1 Một ánh xạ f là liên_tục theo nghĩa tô pô BULLET 2 Với mọi điểm x trong X và với mọi dãy trong X hội_tụ tới x tạo ảnh của dãy này bởi f hội_tụ tới f x tính_chất này cũng được gọi là liên_tục theo nghĩa dãy Đối_với các không_gian tô pô tổng_quát ta có 1 suy ra 2 nhưng điều ngược_lại không đúng trong một_số trường_hợp chẳng_hạn như với các không_gian đếm được bậc nhất ta có 2 suy ra 1 Do_đó người ta đã xây_dựng khái_niệm hội_tụ của lưới nhằm đạt được một tính_chất tương_đương với tính liên_tục của ánh xạ Bài viết sau khảo_sát lại các khái_niệm về sự hội_tụ tính liên_tục và mối quan_hệ giữa chúng Sự hội_tụ của một hàm_số Giả_sử formula _ 3 là hàm_số thực formula _ 4 là hằng_số Ký_hiệu formula _ 5 có nghĩa là formula _ 6 tiến gần đến formula _ 7 khi formula _ 8 tiến gần về formula _ 4 Có_thể đọc là Giới_hạn của hàm formula _ 3 khi formula _ 8 tiến gần đến formula _ 4 là formula _ 7 Lưu_ý Hàm formula _ 6 có_thể không cần xác_định tại formula _ 4 Định_nghĩa trên được Augustin_Louis_Cauchy sáng_kiến vào năm 1821 Sau đó Karl_Weierstrass đã hình_thức_hoá bằng cách định_nghĩa theo formula _ 16 như sau Hàm_số formula _ 3 hội_tụ về formula _ 7 nếu formula _ 19 formula _ 20 sao cho formula _ 21 Ví_dụ Cho formula _ 22 Thì formula _ 23 không xác_định khi cho formula _ 8 tiến gần về 1 thì formula _ 6 tiến gần về 2 Do_đó formula _ 6 có_thể tiến gần đến giới_hạn của 2 ngay khi formula _ 8 gần đến 1 Mặt_khác formula _ 28 Nó cũng có_thể được tính theo phương_pháp đại_số khi formula _ 29 với mọi số_thực formula _ 30 Vì formula _ 31 liên_tục theo formula _ 8 tại 1 nên có_thể thay formula _ 33 để được formula _ 34 Thêm giới_hạn tại những điểm hữu_hạn hàm có_thể có những giới_hạn vô_hạn Ví_dụ xét BULLET formula _ 36 1 9900 BULLET formula _ 37 1 9990 BULLET formula _ 38 1 99990 Khi formula _ 8 thật_sự lớn giá_trị của formula _ 6 tiến về 2 Trong trường_hợp này giới_hạn của formula _ 6 khi formula _ 8 tiến đến vô_cùng là 2 Ký_hiệu trong toán_học Sự hội_tụ của một dãy Trong không_gian tôpô formula _ 44 dãy formula _ 45 hội_tụ về formula _ 8 nếu với mỗi lân_cận mở formula _ 47 của formula _ 8 thì có một_số nguyên dương formula _ 49 sao cho formula _ 50 Khi đó formula _ 8 là điểm giới_hạn của dãy formula _ 45 và viết formula _ 53 Ví_dụ BULLET Nếu formula _ 54 với formula _ 4 là hằng_số thì formula _ 56 BULLET Nếu formula _ 57 thì formula _ 58 BULLET Nếu formula _ 57 khi formula _ 60 chẵn và formula _ 61 khi formula _ 60 lẻ thì formula _ 58 Tính_chất BULLET Nếu formula _ 64 và formula _ 65 thì formula _ 66 formula _ 67 BULLET Giới_hạn của một dãy là duy_nhất BULLET formula _ 68 BULLET formula _ 69 BULLET formula _ 70 BULLET formula _ 71 với formula _ 72 BULLET formula _ 73 BULLET Nếu formula _ 74 với mọi formula _ 60 lớn hơn formula _ 49 thì formula _ 77 Sự hội_tụ của một lưới Lưới formula _ 78 được gọi là hội_tụ về formula _ 79 formula _ 80 là một không_gian tôpô nếu với mỗi lân_cận formula _ 81 của formula _ 8 tồn_tại một chỉ_số formula _ 83 formula _ 84 là tập được định_hướng sao cho formula _ 85 thì formula _ 86 Điểm formula _ 8 được gọi là điểm giới_hạn của lưới formula _ 88 và thường viết formula _ 89 Tập được định_hướng Tập được định_hướng là một tập có thứ_tự formula _ 90 sao cho Với 2 phần_tử formula _ 91 luôn có phần_tử formula _ 92 lớn hơn hoặc bằng của hai phần_tử formula _ 93 Ký_hiệu formula _ 94 formula _ 95 và formula _ 96 Lưới_Lưới còn được gọi là dãy tổng_quát là một ánh xạ đi từ một tập được định_hướng vào trong một không_gian Nói cách khác một lưới trên không_gian formula _ 44 với tập chỉ_số là tập được định_hướng formula _ 90 là một ánh xạ formula _ 99 Ta viết formula _ 100 và ký_hiệu lưới formula _ 101 Ký_hiệu formula _ 88 cũng thường được sử_dụng Ví_dụ BULLET Tập số_tự_nhiên formula _ 103 với quan_hệ thứ_tự formula _ 104 là một tập định_hướng BULLET Cho formula _ 44 là một không_gian tôpô và formula _ 79 Lấy formula _ 90 là họ các lân_cận mở của formula _ 8 Định_nghĩa trên tập formula _ 90 formula _ 110 Lúc đó formula _ 90 trở_thành tập có định_hướng BULLET Những lưới có tập chỉ_số formula _ 112 với thứ_tự thông_thường là một dãy BULLET Sự hội_tụ của những lưới có tập chỉ_số formula _ 113 với thứ_tự thông_thường là sự hội_tụ của dãy BULLET Lấy formula _ 114 với tôpô formula _ 115 Lưới formula _ 116 hội_tụ về formula _ 117 và formula _ 118 Lưới formula _ 119 hội_tụ về formula _ 120 Các phát_biểu liên_quan đến hội_tụ trong không_gian tôpô BULLET Điểm formula _ 79 được gọi là điểm giới_hạn của tập con formula _ 122 formula _ 123 có một lưới trong formula _ 124 hội_tụ về formula _ 8 BULLET Cho formula _ 126 là hai không_gian tôpô Ánh xạformula _ 127 liên_tục tại formula _ 8 formula _ 123 Nếu một lưới formula _ 60 hội_tụ về formula _ 8 thì lưới formula _ 132 hội_tụ về formula _ 6 BULLET Nếu formula _ 44 là không_gian Hausdorff thì mọi lưới trong formula _ 44 có nhiều nhất một điểm giới_hạn BULLET Không_gian mêtric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội_tụ Đọc thêm BULLET Dãy Cauchy_BULLET Không gian Banach_BULLET Không gian compact BULLET Không_gian mêtric BULLET Lưới toán_học
Hội_tụ ( không_gian tôpô )