Định_lý Sylow_Trong toán_học đặc_biệt là trong lĩnh_vực lý_thuyết nhóm hữu_hạn định_lý Sylow là một nhóm các định_lý được đặt tên theo nhà toán_học Na_Uy Ludwig_Sylow vào năm 1872 Các định_lý này đưa ra thông_tin chi_tiết về số nhóm con có cấp cố_định được chứa trong một nhóm hữu_hạn cho trước Các định_lý Sylow hình_thành một phần cơ_bản của lý_thuyết nhóm hữu_hạn và có ứng_dụng rất quan_trọng trong việc phân_loại nhóm đơn hữu_hạn Với một_số nguyên_tố p một p nhóm con Sylow của một nhóm G là một p nhóm con cực_đại của G nói cách khác một nhóm con của G là một p nhóm tức_là cấp của mọi phần_tử trong nhóm con này đều là một luỹ_thừa của p và nó không phải là nhóm con thực_sự của bất_kì p nhóm con nào khác của G Tập_hợp tất_cả các p nhóm con Sylow với một_số nguyên_tố p cho trước đôi_khi được ký_hiệu là formula _ 1 Các định_lý Sylow khẳng_định một phần ngược_lại với định_lý Lagrange_Định lý Lagrange phát_biểu rằng nếu H là một nhóm con của nhóm hữu_hạn G thì cấp của H là một ước của cấp của G Với một ước nguyên_tố bất_kì p của cấp của nhóm hữu_hạn G tồn_tại một p nhóm con Sylow của G Cấp của p nhóm con Sylow của một nhóm hữu_hạn G bằng formula _ 2 với n là cấp của p trong cấp của G và mỗi nhóm con bới cấp formula _ 2 đều là một p nhóm con Sylow của G Các định_lý Sylow_Các định_lý sau đây được đưa ra và chứng_minh đầu_tiên bới Ludwig_Sylow vào năm 1872 và được công_bố trên tạp_chí Mathematische_Annalen_Định lý 1 Với mọi ước nguyên_tố p với cấp n của cấp của một nhóm hữu_hạn G tồn_tại một p nhóm con Sylow của G với cấp formula _ 2 Hệ_quả sau của định_lý 1 được chứng_minh đầu_tiên bởi Cauchy còn được biết dưới tên định_lý Cauchy_Hệ quả Cho một nhóm hữu_hạn G và một_số nguyên_tố p chia hết cấp của G khi đó tồn_tại một phần_tử và một nhóm con cyclic có cấp p trong G Định_lý 2 Cho một nhóm hữu_hạn G và một_số nguyên_tố p mọi p nhóm con Sylow của G đều liên_hợp với nhau nói cách khác nếu H và K là các p nhóm con Sylow của G thì tồn_tại một phần_tử g của G sao cho formula _ 5 Định_lý 3 Cho p là một ước nguyên_tố với cấp n của cấp của nhóm hữu_hạn G khi đó cấp của G có_thể được viết dưới dạng formula _ 6 với formula _ 7 và p nguyên_tố cùng nhau với m Đặt formula _ 8 là số các p nhóm con Sylow của G Khi đó ta có BULLET formula _ 8 chia hết m là chỉ_số của p nhóm con Sylow của G BULLET formula _ 10 BULLET formula _ 11 với P là một p nhóm con Sylow bất_kì của G và formula _ 12 là nhóm con chuẩn_hoá của P trong G Các hệ_quả Các định_lý Sylow chỉ ra rằng với mỗi số_nguyên_tố p mọi p nhóm con Sylow có cùng cấp là formula _ 2 Ngược_lại nếu một nhóm con có cấp formula _ 2 thì nó là p nhóm con Sylow và do_đó đẳng_cấu với mọi p nhóm con Sylow khác Theo điều_kiện cực_đại nếu H là một p nhóm con bất_kì của G thì H là một nhóm con của một p nhóm con Sylow nào đó Một hệ_quả rất quan_trọng của định_lý 3 là điều_kiện formula _ 10 tương_đương với việc các p nhóm con Sylow đều là nhóm con chuẩn_tắc tồn_tại nhóm có nhóm con chuẩn_tắc nhưng không có nhóm con Sylow ví_dụ như nhóm đối_xứng formula _ 16 Các định_lý Sylow cho nhóm vô_hạn Có một sự tương_tự của các định_lý Sylow cho các nhóm vô_hạn Ta xác_định một p nhóm con Sylow của một nhóm hữu_hạn là một p nhóm con cực_đại và chứa mọi p nhóm con khác của nhóm ban_đầu trong nó Nhóm con này tồn_tại theo bổ_đề Zorn_Định lý Nếu K là một p nhóm con Sylow của nhóm vô_hạn G và formula _ 17 hữu_hạn khi đó mọi p nhóm con Sylow đều liên_hợp với K và formula _ 10 trong đó formula _ 19 ký_hiệu lớp liên_hợp của K Các ví_dụ Một minh_hoạ đơn_giản cho các nhóm con Sylow và các định_lý Sylow là nhóm dihedral formula _ 20 của đa_giác đều formula _ 21 cạnh Với formula _ 21 lẻ 2 là luỹ_thừa cao nhất của 2 chia hết cấp của nhóm và vì_vậy các nhóm con cấp 2 là nhóm con Sylow_Chúng là các nhóm con sinh bởi một_phép đối_xứng trục có tất_cả formula _ 21 nhóm như_thế và chúng liên_hợp với nhau bởi các phép quay Ngược_lại nếu formula _ 21 chẵn thì 4 chia hết cấp của nhóm và các nhóm con trên không còn là nhóm con Sylow_Trên thực_tế chúng chia thành hai lớp liên_hợp tuỳ theo trục đối_xứng đi qua hai đỉnh hoặc hai cạnh Chúng được liên_hệ với nhau bởi một_phép tự đẳng_cấu ngoài có_thể được biểu_diễn bởi một_phép quay góc formula _ 25 Ứng_dụng Nhóm cyclic Tồn_tại những số_tự_nhiên n sao cho mọi nhóm con với cấp n đều cyclic Ta có_thể chứng_minh được rằng formula _ 26 là một_số như_thế bằng cách sử_dụng các định_lý Sylow_Giả sử G là một nhóm cấp formula _ 27 và formula _ 28 lần_lượt là số các 3 nhóm con Sylow và 5 nhóm con Sylow_Ta có formula _ 29 và formula _ 30 suy ra formula _ 31 phải bằng 1 và do_đó 3 nhóm con Sylow duy_nhất này là nhóm con chuẩn_tắc Tương_tự ta cũng có duy_nhất một 5 nhóm con Sylow chuẩn_tắc Vì 3 và 5 là hai số_nguyên_tố cùng nhau giao của hai nhóm con Sylow này là tầm_thường Vì_vậy G phải là tích trực_tiếp của hai nhóm con Sylow cũng là hai nhóm con cyclic Từ đó suy ra G phải là nhóm cyclic Do_đó tồn_tại duy_nhất một nhóm cấp 15 là nhóm cyclic formula _ 32 chính_xác tới đẳng_cấu Các nhóm với cấp nhỏ không phải là nhóm đơn Trong mục này ta sẽ khảo_sát tính tồn_tại của các nhóm đơn với cấp nhỏ Nếu formula _ 33 là nhóm đơn và formula _ 34 thì formula _ 31 phải là ước của 10 và formula _ 36 Từ đó suy ra formula _ 37 vì formula _ 38 và nếu formula _ 39 thì formula _ 33 có nhóm con chuẩn_tắc cấp 3 là 3 nhóm con Sylow duy_nhất của nó vì_vậy formula _ 33 không_thể là nhóm đơn Do_đó formula _ 33 có 10 nhóm con cấp 3 phân_biệt các nhóm con này đôi một có chung một phần_tử duy_nhất là formula _ 43 phần_tử đơn_vị và mỗi nhóm con chứa hai phần_tử cấp 3 Suy ra formula _ 33 có ít_nhất 20 phần_tử cấp 3 Tương_tự ta có formula _ 45 và formula _ 33 chứa ít_nhất formula _ 47 phần_tử cấp 5 Như_vậy thì tổng_số phần_tử cấp 3 và cấp 5 ít_nhất là formula _ 48 điều này không_thể xảy ra Vì_vậy không tồn_tại nhóm đơn cấp 30 Tiếp_theo ta xét nhóm formula _ 33 với cấp formula _ 50 Ta có formula _ 51 và formula _ 52 Do_đó formula _ 53 và vì_vậy formula _ 33 không_thể là nhóm đơn Mặt_khác xét nhóm formula _ 33 với formula _ 56 khi đó ta tìm được formula _ 37 và formula _ 45 Trên thực_tế nhóm đơn nhỏ nhất mà không phải là nhóm cyclic là formula _ 59 nhóm thay phiên trên 5 phần_tử Cấp của formula _ 59 bằng formula _ 61 và nó chứa 24 phép thế cấp 5 và 20 phép thế cấp 3
Định_lý Sylow