Căn bậc n Trong toán_học căn bậc của một_số là một_số mà luỹ_thừa bậc của sẽ bằng trong đó là bậc của căn Căn bậc của hai được gọi là căn bậc hai căn bậc của ba được gọi là căn bậc ba Các bậc cao hơn được gọi theo đúng tên số thứ_tự căn bậc bốn căn bậc mười_hai v v Phép_tính căn bậc của một_số được gọi là khai_căn hay căn_thức Ví_dụ BULLET 2 là căn bậc hai của 4 bởi formula _ 2 BULLET 2 cũng là căn bậc hai của 4 bởi formula _ 3 Một_số thực hoặc số_phức có căn của bậc Trong khi căn của 0 không có sự khác_biệt tất_cả đều bằng 0 căn bậc của bất_cứ số_thực hay số_phức nào khác đều khác_biệt nhau Nếu là số_chẵn và số dưới căn là số_thực và số_dương một căn của nó là số_dương và một căn là số_âm các số còn lại là số_phức nhưng không phải số_thực nếu là số_chẵn và số dưới căn là số_thực và âm không có căn nào của nó là số_thực Nếu là số_lẻ và số dưới căn là số_thực một căn của nó sẽ là số_thực và cùng dấu với số dưới căn trong khi các căn khác không phải số_thực Trong vi tích phân căn được biểu_diễn dưới dạng luỹ_thừa trong đó số_mũ là một phân_số Định_nghĩa và ký_hiệu Căn bậc n của một_số với là số_nguyên_dương là một_số với số_mũ bằng Tất_cả các số_thực_dương có một căn dương duy_nhất được viết là formula _ 7 Với bằng 2 ta gọi đó là căn bậc hai và không cần phải viết Căn có_thể biểu_diễn dưới dạng luỹ_thừa là Với là giá_trị chẵn các số_dương có cả căn âm trong khi các số_âm không có căn thực nào Với là giá_trị lẻ tất_cả các số_âm có một căn âm thực Ví_dụ 2 có căn bậc 5 formula _ 8 nhưng 2 không có căn bậc sáu thực Tất_cả các số khác không dù là số_thực hay số_phức có căn_số phức khác nhau bao_gồm căn dương và căn âm Căn bậc của 0 bằng 0 Với phần_lớn các số căn bậc là một_số vô_tỉ ví_dụ Tất_cả các căn bậc của số_nguyên hoặc của bất_cứ một_số đại_số nào đều thuộc đại_số Các mã ký_tự cho các biểu_tượng căn là Căn bậc hai Căn bậc hai của một_số là một_số mà khi bình_phương sẽ bằng Tất_cả các số_thực_dương có hai căn bậc hai một_số_dương và một_số âm Ví_dụ căn bậc hai của 25 là 5 và 5 Căn bậc hai dương được gọi là căn bậc hai chính hoặc căn bậc hai số học hoặc căn bậc hai dương principal square root được biểu_diễn bằng một ký_hiệu căn formula _ 11 Do bình_phương của tất_cả các số_thực là một_số thực dương nên các số_âm không có căn bậc hai thực_sự Tuy_nhiên mọi số_âm có hai căn bậc hai ảo Ví_dụ căn bậc hai của 25 là và với đại_diện cho căn bậc hai của 1 Căn bậc ba Căn bậc ba của một_số là một_số mà khi luỹ_thừa bậc ba sẽ bằng Mọi số_thực có duy_nhất một căn bậc ba thực được viết là formula _ 13 Ví_dụ Mọi số_thực có thêm hai căn bậc ba phức Tính_chất Mọi số_thực_dương a b 0 có một căn bậc dương quy_luật các phép_tính như sau Sử_dụng dạng mũ formula _ 17 cũng giúp khử số_mũ và số căn Vấn_đề cũng có_thể xảy ra khi tính căn bậc của số_âm và số_phức Ví_dụ trong khi Dạng giản_lược của biểu_thức căn Một biểu_thức căn được coi là giản_lược nếu BULLET 1 Không có nhân tử nào của số dưới căn được viết thành số_mũ lớn hơn hoặc bằng số n BULLET 2 Không có phân_số dưới dấu căn BULLET 3 Không có căn_số ở mẫu_số Ví_dụ để biểu_diễn biểu_thức căn formula _ 21 dưới dạng giản_lược chúng_ta có_thể tiến_hành như sau Đầu_tiên tìm một_số chính phương dưới dấu căn và bỏ ra ngoài Tiếp_theo có một phân_số dưới dấu căn chúng_ta có_thể thay_đổi như sau Cuối_cùng chúng_ta bỏ căn_số khỏi mẫu_số như sau Khi ta có mẫu_số với các số_vô_tỉ ta có_thể tìm một nhân tử để nhân cả tử_số lẫn mẫu_số nhằm giản_lược biểu_thức Ví_dụ sử_dụng phân_tích nhân tử tổng của hai số có luỹ_thừa bậc ba Chuỗi vô_hạn Căn_thức hay căn có_thể biểu_diễn dưới dạng chuỗi vô_hạn với formula _ 27 Biểu_thức này được rút ra từ chuỗi nhị_thức
Căn bậc n