Bổ_đề Urysohn_Trong không_gian tô pô bổ_đề Urysohn phát_biểu rằng trong một không_gian topo chuẩn_tắc hai tập con đóng rời nhau có_thể tách nhau bằng một hàm_số thực Bổ_đề Urysohn thường được sử_dụng để xây_dựng các hàm liên_tục với các tính_chất khác nhau trên các không_gian chuẩn_tắc Nó được áp_dụng rộng_rãi vì tất_cả các không_gian metric và không_gian Hausdorff compact đều chuẩn_tắc Bổ_đề thường được sử_dụng trong chứng_minh cho định_lý mở_rộng Tietze_Bổ đề được đặt tên theo nhà toán_học Pavel_Samuilovich_Urysohn_Định lý mở_rộng Tietze_Cho_X là một không_gian chuẩn_tắc lấy F là một tập đóng trong X Cho formula _ 1 liên_tục khi đó có một ánh xạ liên_tục formula _ 2 sao cho formula _ 3 Vì_vậy trong một không_gian định_chuẩn một hàm thực trên một không_gian con đóng có_thể được mở_rộng thành một hàm thực liên_tục trên toàn_bộ không_gian đó Nếu X là chuẩn_tắc F là tập đóng U mở và formula _ 4 khi đó tồn_tại một ánh xạ liên_tục formula _ 5 sao cho formula _ 6 trên F và formula _ 7 trên X U Tương_tự lấy A B là hai tập con đóng rời nhau của X khi đó có một ánh xạ liên_tục f từ X vào 0 1 sao cho formula _ 6 trên A và formula _ 7 trên B Chứng_minh Vì X là chuẩn_tắc nếu F đóng chem U chem mở và formula _ 4 khi đó có một tập mở chem V chem sao cho formula _ 11 BULLET Chúng_ta xây_dựng một họ các tập mở theo cách dưới đây formula _ 12 formula _ 13 formula _ 14 formula _ 15 Quy_nạp chúng_ta có họ các tập mở sau formula _ 16 Lấy formula _ 17 Chúng_ta có họ các tập mở formula _ 18 có tính_chất formula _ 19 chúng_ta chứng_minh rằng f liên_tục Chỉ cần chứng_minh rằng các tập có dạng formula _ 20 là tập mở BULLET Nếu formula _ 21 khi đó formula _ 22 sao cho formula _ 23 Do_đó formula _ 24 khi đó formula _ 25 nếu và chỉ nếu có formula _ 26 sao cho formula _ 27 và formula _ 28 Do_đó formula _ 29 Bây_giờ chúng_ta chứng_minh rằng formula _ 30 từ đó suy ra formula _ 31 là mở Thực vậy nếu formula _ 26 và formula _ 27 thì có một formula _ 34 sao cho formula _ 35 Khi đó formula _ 36 nên formula _ 37 Ví_dụ Dễ_dàng hơn để chứng_minh bổ_đề Urysohn trong không_gian mê tríc với hàm sau formula _ 38 Ý_nghĩa Trong một không_gian chuẩn_tắc thì hai tập con đóng rời nhau có_thể được tách bởi một ánh xạ liên_tục Ứng_dụng Bổ_đề Urysohn dẫn đến việc xây_dựng một_số tính_chất tôpô khác như là tính_chất tychonoff và không_gian Hausdoff đầy_đủ ví_dụ một hệ_quả của bổ_đề là không_gian T1 chuẩn_tắc là Hausdoff_Tham khảo BULLET Huỳnh_Quang Vũ 2012 Lecture notes on Topology_Ho_Chi_Minh city University of Science
Bổ_đề Urysohn