Không_gian Baire Không gian Baire là một lớp không_gian quan_trọng thuộc lĩnh_vực Topo một chuyên_ngành của Toán_học Không_gian Baire mang tên của nhà toán_học người Pháp René_Louis_Baire với định_lý Phạm_trù Baire_Baire category theorem công_bố trong luận_văn Tiến_sĩ của ông năm 1899 Định_nghĩa không_gian Baire_Một tập con của một không_gian topo X τ được gọi là có phần trong rỗng nếu và chỉ nếu nó không chứa bất_kì một tập mở khác trống của X τ Không_gian topo X τ được gọi là một không_gian Baire nếu_như cho bất_kì một họ A đếm được các tập đóng có phần trong rỗng thì A có phần trong rỗng Ví_dụ Q với topo tương_đối topo sinh bởi topo Euclidean trên R không phải là không_gian Baire_Một phát_biểu khác của định_nghĩa không_gian Baire_Đây là một phát_biểu tương_đương sử_dụng họ đếm được các tập mở và trù_mật trong X phát_biểu như sau Không_gian X τ là không_gian Baire nếu và chỉ nếu với bất_kì một họ đếm được U các tập mở trù_mật trong X thì U cũng trù_mật trong X Các phạm_trù Baire_Thuật ngữ phạm_trù thứ nhất và phạm_trù thứ hai được sử_dụng đầu_tiên bởi René_Louis_Baire_Phạm trù thứ nhất Tập A X τ được gọi là thuộc phạm_trù thứ nhất nếu nó là hội của một họ đếm được các tập_hợp không đâu trù_mật nowhere dense nghĩa_là bao đóng có phần trong rỗng Phạm_trù thứ hai Tập A X τ được gọi là thuộc phạm_trù thứ hai nếu nó không thuộc phạm_trù thứ nhất Tính_chất Nếu h X X là một đồng phôi giữa E X và h E thì khi đó E và h E cùng một phạm_trù Một không_gian topo X τ là không_gian Baire khi và chỉ khi mọi tập mở khác trống của X τ đều là phạm_trù thứ hai Định_lý phạm_trù Baire_Nếu_S là một không_gian mêtric đầy_đủ hoặc là không_gian compact địa_phương Hausdroff thì S là không_gian Baire_Chứng minh Cho V V V là các tập mở và trù_mật trong S cho B là tập mở khác rỗng bất_kì trong S Cần chứng_minh V B Bước 1 Dựa vào tính trù_mật của V trong S nên V B Bước 2 Tìm tập mở B trong S sao cho Cl_B_V_B Với S là không_gian metric đầy_đủ thì cần tìm B thoả d x y 1 x y Cl_B_Với_S là không_gian compact địa_phương Hausdroff dùng mệnh_đề sau để tìm B là tập compact và khác rỗng Cho X τ là một không_gian Compact địa_phương Hausdroff_K là tập compact trong X τ và U là một tập mở của X τ thoả K U Khi đó tồn_tại tập mở V trong X τ với bao đóng Cl_V là tập compact và thoả K V Cl_V_U_Bước 3 Xây_dựng các tập mở B với n 2 giống với tính_chất của tập B Tìm tập mở B thoả_mãn Cl_B_V_B với d x y 1 2 x y Cl_B khi S là không_gian metric đầy_đủ hay Cl_B là Compact khi S là không_gian compact địa_phương Hausdroff_Dựa vào tính_chất trù_mật của V nên V B Cách tìm B tương_tự cách tìm với B Với cách xây_dựng các B tương_tự được một dãy tập mở B B B B trong S với B Cl_B_Cl_B thoả Cl_B_V_B n 1 sao cho d x y 1 n với S là không_gian metric đầy_đủ hoặc thoả Cl_B compact và không rỗng khi S là không_gian compact địa_phương Hausdroff_Bước 4 Hoàn_thành chứng_minh chia thành hai trường_hợp Với S là không_gian compact địa_phương Hausdroff sử_dụng lý_luận căn_bản về các phép_toán trên tập_hợp chứng_minh V B Với S là quảng đường chỉ cần chứng_minh cho Cl_B bằng cách xây_dựng một dãy Cauchy x với mỗi n x Cl_B do tính đầy_đủ của S nên dãy x hội_tụ về x trong S do x Cl_B n k suy ra x Cl_B_Một vài ứng_dụng BULLET Một hệ_quả của định_lý phạm_trù Baire đã được sử_dụng trong chứng_minh Nguyên_lý ánh xạ mở một định_lý quan_trọng trong Giải_tích hàm BULLET Định_lý phạm_trù Baire cho thấy rằng tất_cả các đa tạp Hausdroff hữu_hạn chiều là không_gian Baire_BULLET_Cho một dãy các tập đóng không rỗng lồng nhau K K trong không_gian metric đầy_đủ X d Nếu_như diam K 0 thì K BULLET Cho X là một không_gian tôpô Y d là không_gian metric Cho f là dãy các hàm liên_tục từ X vào Y thoả_mãn f x f x với mọi x thuộc X với f là ánh xạ từ X vào Y Khi đó nếu X là không_gian Baire thì tập_hợp tất_cả các điểm mà f liên_tục trù_mật trong X Tham_khảo BULLET Dương_Minh_Đức 2000 Giải_tích hàm Nhà_xuất_bản Đại_học quốc_gia Thành_phố Hồ_Chí_Minh BULLET James_Munkres 2000 Topology_A first course 2nd edition Prentice_Hall_New_Jersey BULLET Colin_Adams_Robert_Fransoza 2009 Introduction to Topology_Pure and Applied_Pearson
Không_gian Baire