Biến_đổi Fourier lượng_tử Biến_đổi Fourier lượng_tử là một_phép biến_đổi tuyến_tính trên các qubit đơn_vị cơ_bản của thông_tin lượng_tử phép biến_đổi này tương_tự như biến_đổi Fourier rời_rạc Biến_đổi Fourier lượng_tử là một trong những thuật_toán lượng_tử quan_trọng nhất nó thường là một phần của các thuật_toán lượng_tử khác đặc_biệt là thuật_toán Shor để phân_tích thừa_số nguyên_tố và tính_toán các logarit rời_rạc Biến_đổi Fourier lượng_tử dựa trên thuật_toán biến_đổi Fourier nhanh của James_Cooley và John_Tukey_Nó có_thể được thực_hiện hiệu_quả trên máy_tính lượng_tử bởi nó có_thể triệt_tiêu các thành_phần bằng cách nhân với các ma_trận unita áp_dụng toán_tử formula _ 1 Biến_đổi Fourier lượng_tử có_thể được cài_đặt và thực_hiện trên một_mạch lượng_tử Định_nghĩa Biến_đổi Fourier rời_rạc cổ_điển được định_nghĩa như sau Dãy của N số_phức formula _ 2 được biến_đổi thành chuỗi của N số_phức formula _ 3 bởi công_thức sau đây với e là cơ_số của lôgarit tự_nhiên formula _ 5 là đơn_vị ảo formula _ 6 và formula _ 7 là số pi Đặt formula _ 8 ta được formula _ 9 Như_vậy ta có_thể xây_dựng phép biến_đổi Fourier thành ma_trận unita formula _ 10 như sau Tương_tự với cổ_điển ta dùng các vector biểu_diễn trạng_thái lượng_tử rồi áp_dụng toán_tử formula _ 1 hay nói cách khác là áp_dụng ma_trận trên Khi áp_dụng cho một xâu n qubit ta được formula _ 13 Tính_chất Tính đối_xứng Xét với biến_đổi Fourier cổ_điển Đặt 2 vector formula _ 14 và formula _ 15 Chúng_ta có_thể viết lại công_thức formula _ 16 như sau formula _ 17 Với formula _ 18 là ma_trận biến_đổi tuyến_tính của ma_trận có các phần_tử là formula _ 19 Từ công_thức formula _ 20 ta suy ra formula _ 21 Hay nói cách khác formula _ 18 là ma_trận đối_xứng Tương_tự ở biến_đổi Fourier lượng_tử ta xét trạng_thái formula _ 23 Sử_dụng toán_tử formula _ 1 tác_động và trạng_thái formula _ 23 biến_đổi sang trạng_thái formula _ 26 formula _ 27 Từ đó ta thấy các phần_tử ma_trận của toán_tử formula _ 1 là formula _ 29 Như_vậy formula _ 1 cũng đối_xứng Unita_Để chứng_minh tính unita của biến_đổi Fourier lượng_tử ta cần biết đến hai công_thức sau Đầu_tiên ta cần biết đến tổng hình_học formula _ 31 Tiếp_theo là formula _ 32 Chứng_minh công_thức này như sau Do formula _ 37 và formula _ 38 với formula _ 35 Áp_dụng 2 công_thức formula _ 40 và formula _ 41 ta có formula _ 42 Như_vậy ta đã chứng_minh biến_đổi Fourier lượng_tử có tính Unita_Ví dụ Xét một_vài trường_hợp đơn_giản Với trường_hợp chỉ có 1 qubit ta có formula _ 44 và formula _ 45 trạng_thái lượng_tử cơ_bản Biến_đổi Fourier lượng_tử trong trường_hợp này như sau formula _ 46 formula _ 47 Trong trường_hợp này ta dễ thấy ma_trận biến_đổi của phép biến_đổi Fourier lượng_tử là Ma_trận trên tương_tự như ma_trận của cổng Hadamard_Vì thế mạch lượng_tử được sử_dụng trong việc biến_đổi Fourier lượng_tử cho 1 qubit chỉ dùng 1 cổng Hadamard_Xét trong trường_hợp 2 qubit ta có formula _ 49 và formula _ 50 trạng_thái lượng_tử cơ_bản Ta quy_định formula _ 51 formula _ 52 formula _ 53 formula _ 54 Ta có formula _ 55 formula _ 57 formula _ 59 formula _ 61 Ma_trận của phép biến_đổi Với trường_hợp này mạch lượng_tử của biến_đổi Fourier lượng_tử ngoài các cổng Hadamard còn cần sử_dụng thêm một cổng điều_khiển xoay pha formula _ 64 Mạch lượng_tử của trường_hợp 1 2 và 3 qubit đầu vào được mô_hình trình_diễn trên wolfram Sơ_đồ mạch lượng_tử Như đã nói ở trên biến_đổi Fourier lượng_tử là một thuật_toán lượng_tử nên có_thể được cài_đặt và thực_hiện nhờ một_mạch lượng_tử Với một hệ cơ_sở trực chuẩn là các vector Ta có_thể biểu_diễn một_số x dưới dạng sau formula _ 66 với formula _ 67 Theo công_thức formula _ 68 thì ta thực_hiện biến_đổi Fourier lượng_tử như sau Như_vậy biến_đổi Fourier rời_rạc trên trạng_thái lượng_tử của n qubit để biểu_diễn số formula _ 70 có_thể thực_hiện dễ_dàng nhờ mạch lượng_tử bên Trên thực_tế mỗi qubit đơn có_thể được thực_hiện hiệu_quả dựa vào cổng Hadamard và cổng điều_khiển xoay pha Tổng số_lượng cổng sử_dụng là formula _ 71 cổng Độ phức_tạp Như các ví_dụ trên và mạch lượng_tử tổng_quát ta dễ thấy để triệt_tiêu các thành_phần các phép biến_đổi Fourier rời_rạc được thực_hiện qua formula _ 72 cổng Hadamard và các cổng điều_khiển xoay pha formula _ 73 với formula _ 74 là số_lượng qubit cần biến_đổi formula _ 75 Trong khi đó phép biến_đổi Fourier rời_rạc cổ_điển cần dùng formula _ 76 với formula _ 74 là số_lượng bit cần biến_đổi Đây là độ phức_tạp thuật_toán trong thời_gian đa_thức Tuy_nhiên biến_đổi Fourier lượng_tử áp_dụng trên một trạng_thái lượng_tử còn biến_đổi Fourier rời_rạc cổ_điển lại áp_dụng trên một vector nên không phải tất_cả công_việc sử_dụng biến_đổi Fourier rời_rạc cổ_điển có_thể tận_dụng mức_độ tăng độ phức_tạp cấp_số nhân này Ngày_nay trường_hợp tốt nhất của thuật_toán biến_đổi Fourier lượng_tử chỉ sử_dụng formula _ 78 cổng lượng_tử đã đạt được hiệu_quả tốt Ứng_dụng Biến_đổi Fourier lượng_tử là một thuật_toán lượng_tử quan_trọng nó thường là một phần của các thuật_toán lượng_tử khác đặc_biệt là thuật_toán Shor để phân_tích thừa_số nguyên_tố và tính_toán các logarit rời_rạc thuật_toán dự_đoán pha lượng_tử để ước_tính giá_trị riêng của các toán_tử unita và các thuật_toán về vấn_đề phân nhóm ẩn Tham_khảo BULLET K R Parthasarathy_Lectures on Quantum_Computation and Quantum_Error_Correcting_Codes Indian_Statistical_Institute_Delhi Center_June 2001 BULLET John_Preskill_Lecture_Notes for Physics 229 Quantum_Information and Computation_CIT_September 1998
Biến_đổi Fourier lượng_tử