Định_lý Tychonoff_Trong tô pô định_lý Tychonoff định_lý Tikhonov được phát_biểu là tích của một họ các không_gian tôpô compact là một không_gian compact Định_lý này được đặt tên sau khi Andrey_Nikolayevich_Tychonoff chứng_minh được nó năm 1930 cho những khoảng đóng đơn_vị và năm 1935 chứng_minh đầy_đủ hơn cho các hợp đặc_biệt Chứng_minh được công_bố sớm nhất chứa trong kết_quả bài báo của Eduard_Čech_Phát biểu Tích của một họ bất_kỳ các không_gian compact thì compact trong tô pô tích đó Chứng_minh định_lý Cho formula _ 1 compact formula _ 2 Chúng_ta sẽ chứng_minh formula _ 3 compact thông_qua đặc_trưng tập đóng trong Định_lý về đặc_trưng qua tập đóng của tập compact Cho formula _ 4 là một họ bất_kỳ các tập con đóng của formula _ 5 có tính_giao hữu_hạn Ta chứng_minh formula _ 4 có phần giao khác rỗng tức_là formula _ 7 formula _ 8 Xét họ formula _ 9 với formula _ 10 là tập con đóng của formula _ 1 có phần giao_hữu hạn Vì formula _ 1 compact nên có phần giao khác rỗng Suy ra có formula _ 13 Từ đó cho thấy formula _ 4 có phần giao khác rỗng nhưng điều đó là không đúng như hình_vẽ sau Khi đó ý_tưởng của Tikhonov là mở_rộng họ formula _ 4 formula _ 16 formula _ 17 là cực_đại dưới tính_giao hữu_hạn Bổ_đề Zorn_Sẽ lặp lại lý_luận trên với formula _ 17 thay_vì formula _ 4 Xét họ formula _ 20 là họ các tập con đóng của formula _ 1 có tính_giao hữu_hạn formula _ 1 compact nên tồn_tại formula _ 23 Cho formula _ 23 và formula _ 25 Chứng_minh formula _ 26 tức_là chứng_minh formula _ 27 Lấy một lân_cận bất_kỳ của formula _ 28 có dạng formula _ 29 vớiformula _ 30 mở trong formula _ 1 Do formula _ 32 nên formula _ 33 là điểm dính của formula _ 34 suy ra formula _ 30 chứa điểm của formula _ 34 Nên_Suy ra formula _ 41 vẫn có tính_giao hữu_hạn Do formula _ 42 là cực_đại dưới tính_giao hữu_hạn nên formula _ 43 Suy ra Suy ra formula _ 48 Vậy formula _ 26 hay formula _ 50 formula _ 51
Định_lý Tychonoff