Số chiều Hausdorff_Trong toán_học Số chiều Hausdorff còn được biết đến như là Số chiều Hausdorff_Besicovitch là một_số thực không âm mở_rộng có_thể có giá_trị formula _ 1 ứng với một không_gian metric nào đó Số chiều Hausdorff tổng_quát_hoá khái_niệm chiều của một không_gian vectơ thực Đó là số chiều Hausdorff của một không_gian tích trong n chiều bằng n Ví_dụ như số chiều Hausdorff của một điểm là không số chiều Hausdorff của một đường_thẳng là một và số chiều Hausdorff của mặt_phẳng là hai Tuy_nhiên có rất nhiều tập kì_dị có số chiều Hausdorff không phải là số_nguyên Khái_niệm này được đưa ra vào năm 1918 bởi nhà toán_học Felix_Hausdorff_Nhiều sự phát_triển mang tính kĩ_thuật được sử_dụng để tính số chiều Hausdorff cho những tập_hợp có tính kì_dị cao được đạt được bởi Abram_Samoilovitch_Besicovitch_Việc đưa ra số chiều Hausdorff nhằm khắc_phục những khuyết_điểm của số chiều Topo_Chẳng hạn như số chiều Topo không_thể nói lên được bất_cứ điều gì về kích_thước của vật Đường_cong phủ không_gian là một ví_dụ điển_hình cho khuyết_điểm này Những đường như đường Peano hay đường Hilbert có_thể phủ toàn_bộ hình_vuông đơn_vị có số chiều Topo là hai mặc_dù chúng chỉ có số chiều Topo là một Điều đó cho thấy đường Peano hay đường Hilbert hành_xử như có số chiều Topo là hai Độ đo Hausdorff_Định nghĩa Cho formula _ 2 là một tập con không rỗng của formula _ 3 đường_kính của formula _ 2 ký_hiệu formula _ 5 được định_nghĩa là formula _ 6 Cho formula _ 7 nếu formula _ 8 là một họ đếm được hay hữu_hạn những tập_hợp thoả formula _ 9 và formula _ 10 với mỗi formula _ 11 thì formula _ 8 được gọi là một formula _ 13 phủ của F Giả_sử formula _ 14 là một tập con của formula _ 3 và formula _ 16 là một_số không âm Với mỗi formula _ 17 đặt Độ đo Hausdorff s chiều của formula _ 14 ký_hiệu là formula _ 20 được định_nghĩa là formula _ 21 Ở đây ta cho_phép giới_hạn bằng formula _ 1 Định_nghĩa trên xác_định vì khi formula _ 13 giảm thì số bao_phủ của formula _ 14 giảm Do_đó formula _ 25 tăng vì_vậy formula _ 25 hội_tụ khi formula _ 27 Tính_chất BULLET 1 formula _ 28 BULLET 2 formula _ 29 nếu formula _ 30 BULLET 3 formula _ 31 nếu formula _ 32 là một họ đếm được của những tập Borel rời nhau BULLET 4 Nếu F là một tập Borel của formula _ 3 thì formula _ 34 trong đó formula _ 35 là độ đo Lebesgue của F trong formula _ 3 formula _ 37 là thể_tích của quả cầu đơn_vị trong formula _ 3 Định_lý BULLET 1 Nếu formula _ 39 và formula _ 40 thì formula _ 41 với formula _ 42 BULLET 2 Cho formula _ 43 và formula _ 44 thoả với formula _ 46 và formula _ 47 thì với mỗi formula _ 48 formula _ 49 Số Chiều_Hausdorff_Xét tính_chất sau của độ đo Hausdorff_Nếu formula _ 50 và formula _ 8 là một formula _ 13 phủ của F thì formula _ 53 Do_đó formula _ 54 Cho formula _ 27 nếu formula _ 56 thì formula _ 57 với mọi formula _ 50 Điều đó cho thấy có một giá_trị formula _ 59 mà tại đó formula _ 60 nhảy từ formula _ 1 xuống formula _ 62 Giá_trị đó được gọi là số chiều Hausdorff của formula _ 14 Định_nghĩa Cho formula _ 43 Số chiều Hausdorff của F ký_hiệu formula _ 65 được định_nghĩa là Quy_ước formula _ 67 Tính_chất BULLET 1 formula _ 68 BULLET 2 Nếu formula _ 69 thì formula _ 70 BULLET 3 Nếu formula _ 71 là một dãy những tập_hợp thì formula _ 72 Định_lý BULLET 1 Cho formula _ 43 và formula _ 44 thoả formula _ 75 với formula _ 46 và formula _ 47 thì formula _ 78 BULLET 2 Cho formula _ 7 Nếu tồn_tại formula _ 80 sao cho formula _ 81 thì formula _ 82 Ví_dụ BULLET 1 Số chiều Hausdorff của một điểm trong formula _ 83 bằng formula _ 62 BULLET 2 Số chiều Hausdorff của một tập đếm được trong formula _ 83 bằng formula _ 62 BULLET 3 Số chiều Hausdorff của đường_thẳng thực formula _ 83 bằng 1 BULLET 4 Số chiều của formula _ 3 bằng formula _ 89 Số chiều Hausdorff của các Fractal_Định nghĩa Một Fractal fractal là một vật_thể hình_học thường có hình_dạng gấp_khúc trên mọi tỷ_lệ phóng_đại và có_thể được tách ra thành từng phần mỗi phần trông giống như hình tổng_thể nhưng ở tỷ_lệ phóng_đại nhỏ hơn Như_vậy fractal có vô_hạn các chi_tiết các chi_tiết này có_thể có cấu_trúc tự đồng_dạng ở các tỷ_lệ phóng_đại khác nhau Nhiều trường_hợp có_thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán_học theo phép hồi_quy Hình_học Fractal là ngành toán_học chuyên nghiên_cứu các tính_chất của fractal những tính_chất không dễ gì giải_thích được bằng hình_học thông_thường Ý_niệm cơ_bản của môn này là xây_dựng phép đo_đạc mới về kích_thước của vật_thể do các phép đo thông_thường của hình_học Euclid và giải_tích thất_bại khi mô_tả các fractal Tập tự đồng_dạng Đặc_điểm chung của nhiều fractal là tính tự đồng_dạng biểu_hiện ở chỗ chúng có_thể phân_tích thành_bộ_phận nhỏ tuỳ_ý mà mỗi bộ_phận ấy lặp lại y_hệt cấu_trúc toàn_thể Tính tự đồng_dạng ấy thể_hiện rõ ở tập Cantor hay đường Peano tam_giác Spierpinki_Cho formula _ 90 là một tập con đóng của formula _ 3 Một ánh xạ formula _ 92 được gọi là co nếu tồn_tại formula _ 93 sao cho formula _ 94 Trường_hợp có dấu bằng nghĩa_là formula _ 95 thì S được gọi là một_phép tự đồng_dạng Cho formula _ 96 là các ánh xạ co Tập con formula _ 97 được gọi là bất_biến đối_với họ các ánh xạ co formula _ 98 nếu formula _ 99 Đặt formula _ 100 là tập_hợp tất_cả các tập con compact khác trống của formula _ 90 Một formula _ 13 phủ của formula _ 103 là tập_hợp những điểm cách formula _ 104 quá_lắm là formula _ 13 formula _ 106 Lúc đó formula _ 100 trở_thành không_gian metric với khoảng các formula _ 108 cho bởi formula _ 109 Số chiều Hausdorff của tập tự đồng_dạng Cho formula _ 125 formula _ 126 là các phép đồng_dạng với tỷ_số tương_ứng formula _ 127 Một tập bất_biến với họ các phép đồng_dạng trên được gọi là tập tự đồng_dạng self similar set Nếu tồn_tại một tập mở bị chặn không trống formula _ 128 sao cho formula _ 129 với các formula _ 130 rời nhau đôi một thì ta nói họ formula _ 98 thoả điều_kiện tập mở thì formula _ 138 với s cho bởi formula _ 139 Hơn thế nữa với formula _ 140 có được thì formula _ 141 Ví_dụ BULLET Tập Cantor_Tập_Cantor được xây_dựng từ đoạn_thẳng formula _ 142 và hai phép đồng_dạng formula _ 143 tỉ_số đồng_dạng formula _ 144 Điều_kiện tập mở được thoả_mãn với formula _ 145 là khoảng formula _ 146 Vậy số chiều Hausdorff formula _ 16 là nghiệm của phương_trình formula _ 148 tức formula _ 149 BULLET Đệm_Sierpinski_Đệm_Sierpinski được xây_dựng bằng cách xuất_phát từ một tam_giác_đều chia nó ra bốn tam_giác_đều nhỏ bởi các đường nối trung_điểm của các cạnh bỏ tam_giác ở giữa rồi lặp lại cách làm đó cho mỗi tam_giác còn lại cứ thế tiếp_tục mãi Cụ_thể đệm Sierpinski được tạo bởi ba phép đồng_dạng có tỉ_số formula _ 150 Đó là formula _ 151 formula _ 152 formula _ 153 Điều_kiện tập mở được thoả_mãn với formula _ 128 là phần trong của tập formula _ 155 trong đó formula _ 155 là hình_tam_giác ban_đầu nên số chiều Hausdorff formula _ 140 là nghiệm duy_nhất của phương_trình formula _ 158 Do_đó formula _ 159 BULLET Tập Mandelbrot có số chiều Hausdorff bằng 2 BULLET Đường Dragon có số chiều Hausdorff gần bằng 1 5236 BULLET Tập Julia có số chiều Hausdorff bằng 2 Tham_khảo BULLET List of fractals by Hausdorff dimension http en wikipedia org wiki List _ of _ fractals _ by _ Hausdorff _ dimension BULLET Kenneth_Falconer_Fractal_Geometry Mathematical_Foundations and Application_BULLET_Hoàng_Tuỵ Hàm thực và giải_tích hàm Nhà_xuất_bản đại_học quốc_gia Hà_Nội BULLET Geroki_Edgar_Measure_Topology and Fractal_Geometry_Second_Edition Springer_BULLET_Space filling curve http en wikipedia org wiki Space filling _ curve BULLET http www chem unl edu rajca highspin html
Số chiều Hausdorff