Brahmagupta_Brahmagupta_Sanskrit_ब रह_मग_प_त 598 668 là một nhà toán_học và thiên_văn_học Ấn_Độ Ông là tác_giả của hai tác_phẩm đầu_tiên về toán_học và thiên_văn_học Brāhmasphuṭasiddhānta_BSS học_thuyết được thiết_lập chính_xác của Brahma 628 một luận_thuyết lý_thuyết và Khaṇḍakhādyaka cắn ăn được năm 665 một tác_phẩm mang tính thực_tế hơn Brahmagupta là người đầu_tiên đưa ra các quy_tắc để tính với số không Các văn_bản được sáng_tác bởi Brahmagupta là ở dạng thơ elip trong tiếng Phạn như thông_lệ trong toán_học Ấn_Độ Vì không có chứng_minh nào được đưa ra nên chúng_ta không biết các kết_luận của Brahmagupta bắt_nguồn như_thế_nào Cuộc_đời và sự_nghiệp Brahmagupta sinh năm 598 CE theo tuyên_bố của chính ông Ông sống ở Bhillamala ngày_nay là Bhinmal ở Rajasthan_Ấn_Độ dưới thời trị_vì của nhà cai_trị triều_đại Chavda_Vyagrahamukha_Ông là con trai của Jishnugupta và là người theo đạo Hindu cụ_thể là người Shaivite_Mặc dù hầu_hết các học_giả đều cho rằng Brahmagupta được sinh ra ở Bhillamala nhưng không có bằng_chứng thuyết_phục nào cho điều đó Tuy_nhiên ông sống và làm_việc ở đó trong một thời_gian dài của cuộc_đời Prithudaka_Svamin một nhà bình_luận sau_này đã gọi ông là Bhillamalacharya giáo_viên từ Bhillamala_Bhillamala là thủ_đô của Gurjaradesa vương_quốc lớn thứ hai của Tây_Ấn_Độ bao_gồm miền nam Rajasthan và miền bắc Gujarat ở Ấn_Độ ngày_nay Đây cũng là một trung_tâm học_tập cho toán_học và thiên_văn_học Brahmagupta trở_thành nhà thiên_văn_học của trường Brahmapaksha một trong bốn trường_phái lớn của thiên_văn_học Ấn_Độ trong thời_kỳ này Ông đã nghiên_cứu năm siddhanthas truyền_thống về thiên_văn_học Ấn_Độ cũng như công_việc của các nhà thiên_văn_học khác bao_gồm Aryabhata I_Latadeva_Pradyumna Varahamihira_Simha_Srisena_Vijayanandin và Vishnuchandra Vào năm 628 ở tuổi 30 ông đã sáng_tác Brāhmasphuṭasiddhānt chuyên_luận cải_tiến của Brahma được cho là phiên_bản sửa_đổi của siddhanta nhận được của trường_phái Brahmapaksha_Các học_giả tuyên_bố rằng ông đã kết_hợp rất nhiều tính nguyên_bản vào bản sửa_đổi của mình bổ_sung một lượng đáng_kể các tài_liệu mới Cuốn sách bao_gồm 24 chương với 1008 câu trong ārya Một phần_lớn của nó là nói về thiên_văn_học nhưng nó cũng chứa các chương chính về toán_học bao_gồm đại_số hình_học lượng_giác và thuật_toán được cho là chứa những hiểu_biết mới của chính Brahmagupta Sau đó Brahmagupta chuyển đến Ujjain đây cũng là một trung_tâm thiên_văn lớn ở miền trung Ấn_Độ Ở tuổi 67 ông đã sáng_tác tác_phẩm nổi_tiếng tiếp_theo của mình Khanda khādyaka một cuốn cẩm_nang thực_tế về thiên_văn_học Ấn_Độ trong thể_loại karana cho sinh_viên Brahmagupta chết năm 668 và ông được cho là đã chết ở Ujjain_Tranh cãi Brahmagupta có rất nhiều chỉ_trích về công_việc của các nhà thiên_văn_học đối_thủ và Brahmasphutasiddhanta của ông thể_hiện một trong những quan_điểm sớm nhất trong số các nhà toán_học Ấn_Độ Sự phân_chia chủ_yếu là về ứng_dụng toán_học vào thế_giới vật_lý chứ không phải là về chính toán_học Trong trường_hợp của Brahmagupta những bất_đồng chủ_yếu xuất_phát từ việc lựa_chọn các thông_số và lý_thuyết thiên_văn Các phê_bình về các lý_thuyết đối_thủ xuất_hiện trong suốt mười chương đầu_tiên và chương thứ mười một hoàn_toàn dành cho việc phê_phán các lý_thuyết này mặc_dù không có lời phê_bình nào xuất_hiện trong các chương thứ mười_hai và mười_tám Tiếp_nhận Nhà_sử_học khoa_học George_Sarton gọi ông là một trong những nhà_khoa_học vĩ_đại nhất của chủng_tộc và là người vĩ_đại nhất trong thời_đại của ông Những tiến_bộ toán_học của Brahmagupta đã được Bhāskara II một hậu_duệ ở Ujjain người đã mô_tả Brahmagupta là ganaka chakra chudamani viên ngọc của giới các nhà toán_học Prithudaka_Svamin đã viết bình_luận về cả hai tác_phẩm của mình biến những câu_thơ khó thành ngôn_ngữ đơn_giản hơn và thêm hình minh_hoạ Lalla và Bhattotpala trong thế_kỷ 8 và 9 đã viết bình_luận về Khanda khadyaka Bình_luận thêm tiếp_tục được viết về ông vào thế_kỷ thứ 12 Vài thập_kỷ sau cái chết của Brahmagupta_Sindh đến dưới Ả_Rập_Caliphate vào năm 712 sau Công_nguyên Các cuộc thám_hiểm đã được gửi đến Gurjaradesa_Al_Baylaman ở Jurz theo các nhà_sử_học Ả_Rập_Vương quốc Bhillamala dường_như đã bị tiêu_diệt nhưng Ujjain đã đẩy_lùi các cuộc tấn_công Toà_án Caliph_Al_Mansur 754 cường775 đã nhận được một đại_sứ_quán từ Sindh bao_gồm một nhà chiêm_tinh tên là Kanaka người đã mang có_thể ghi_nhớ các văn_bản thiên_văn bao_gồm cả những văn_bản của Brahmagupta_Các văn_bản của Brahmagupta đã được dịch sang tiếng Ả_Rập bởi Muhammad al Fazari một nhà thiên_văn_học tại toà_án của Al_Mansur dưới tên Sindhind và Arakhand_Một kết_quả ngay_lập_tức là sự lây_lan của hệ_thống số_thập phân được sử_dụng trong các văn_bản Các nhà toán_học Al_Khwarizmi 800 850 CE đã viết một văn_bản gọi là al Jam wal tafriq bi hisal al Hind cộng và trừ ở Ấn_Độ Arithmetic được dịch sang tiếng Latin trong thế_kỷ 13 như Algorithmi de numero indorum Thông_qua các văn_bản này hệ_thống số_thập phân và thuật_toán số học của Brahmagupta đã lan rộng khắp thế_giới Al_Khwarizmi cũng đã viết phiên_bản Sindhind của riêng mình dựa trên phiên_bản của Al_Fazari và kết_hợp các yếu_tố Ptolemaic_Các tài_liệu thiên_văn_học Ấn_Độ lưu_hành rộng_rãi trong nhiều thế_kỷ thậm_chí truyền vào các văn_bản Latin thời trung_cổ Toán_học Đại_số Brahmagupta đã đưa ra lời_giải của phương_trình tuyến_tính tổng_quát trong chương mười_tám của Brahmasphutasiddhānta_BULLET_Sự khác_biệt giữa các rupas khi đảo_ngược và chia cho sự khác_biệt của hệ_số của ẩn_số là ẩn_số trong phương_trình Các rupa được trừ ở bên cạnh bên dưới mà từ đó hình_vuông và cái chưa biết sẽ bị trừ đi đó là một nghiệm cho phương_trình tương_đương với trong đó rupes đề_cập đến các hằng_số và Ông tiếp_tục đưa ra hai giải_pháp tương_đương cho phương_trình bậc hai tổng_quát BULLET 18 44 Giảm dần ở giữa số căn bậc hai của rupa nhân với bốn lần bình_phương và tăng theo bình_phương giữa số_chia phần còn lại cho hai lần hình_vuông Kết_quả là số ở giữa BULLET 18 45 Dù căn bậc hai của rupa nhân với bình_phương và tăng thêm bình_phương bằng một_nửa chưa biết giảm đi một_nửa số chưa biết và chia phần còn lại cho bình_phương của nó Kết_quả là không rõ tương_ứng là các nghiệm cho phương_trình tương_đương với formula _ 1 và formula _ 2 Ông tiếp_tục giải các hệ phương_trình không xác_định đồng_thời cho biết biến_số mong_muốn trước_tiên phải được cách_ly và sau đó phương_trình phải được chia cho hệ_số của biến mong_muốn Cụ_thể ông khuyến_nghị sử_dụng máy nghiền để giải phương_trình với nhiều ẩn_số BULLET 18 51 Trừ các màu khác với màu đầu_tiên Phần còn lại chia cho hệ_số màu đầu_tiên là số_đo đầu_tiên Điều_khoản hai lần hai được xem_xét khi giảm xuống ước_số tương_tự và cứ thế lặp_đi_lặp_lại Nếu có nhiều màu thì máy nghiền sẽ được sử_dụng Giống như đại_số của Diophantus đại_số của Brahmagupta được kết_nghĩa Phép cộng được biểu_thị bằng cách đặt các số cạnh nhau trừ bằng cách đặt một dấu_chấm trên phần_phụ và chia bằng cách đặt ước_số dưới mức cổ_tức tương_tự như ký_hiệu của chúng_tôi nhưng không có vạch Phép nhân tiến_hoá và số_lượng chưa biết được thể_hiện bằng chữ_viết tắt của các thuật_ngữ thích_hợp Phạm_vi ảnh_hưởng của Hy_Lạp đối_với sự kết_hợp này nếu có không được biết và có_thể là cả sự kết_hợp của Hy_Lạp và Ấn_Độ có_thể được bắt_nguồn từ một nguồn Babylon phổ_biến Số học Bốn phép_toán cơ_bản cộng trừ nhân và chia đã được nhiều nền văn_hoá biết đến trước Brahmagupta_Hệ_thống hiện_tại này dựa trên hệ_thống số Ả_Rập của Ấn_Độ_giáo và lần đầu_tiên xuất_hiện ở Brahmasphutasiddhanta_Brahmagupta mô_tả phép nhân như_vậy Phép nhân được lặp lại giống như một chuỗi cho gia_súc thường là có các phần tích phân trong số nhân và được nhân lên nhiều lần và các sản_phẩm được thêm vào với nhau Đó là sự nhân lên Hoặc bội_số được lặp lại nhiều lần vì có các bộ_phận cấu_thành trong hệ_số nhân Số học Ấn_Độ được biết đến ở châu_Âu thời trung_cổ là Modus_Indorum có nghĩa là phương_pháp của người Ấn_Độ Ở Brahmasphutasiddhanta phép nhân được đặt tên là Gomutrika Vào đầu chương mười_hai Brahmasphutasiddhānta của ông mang tên Tính_toán Brahmagupta chi_tiết các thao_tác trên phân_số Người đọc dự_kiến sẽ biết các phép_toán số học cơ_bản cho đến khi lấy căn bậc hai mặc_dù anh ta giải_thích cách tìm khối lập_phương và khối lập_phương của một_số nguyên và sau đó đưa ra các quy_tắc tạo thuận_lợi cho việc tính_toán bình_phương và căn bậc hai Sau đó ông đưa ra các quy_tắc để xử_lý năm loại kết_hợp phân_số và Chuỗi_Brahmagupta sau đó tiếp_tục đưa ra tổng bình_phương và lập_phương của số_nguyên đầu_tiên 12 20 Tổng bình_phương là tổng nhân với hai lần số bước s tăng thêm một và chia cho ba Tổng các lập_phương là bình_phương của tổng Các cọc này với các quả bóng giống_hệt nhau cũng có_thể được tính_toán Ở đây Brahmagupta đã tìm thấy kết_quả dưới dạng tổng của số_nguyên đầu_tiên thay_vì tính theo như thực_tiễn hiện_đại Ông đưa ra tổng bình_phương của số_tự_nhiên đầu_tiên là và tổng các lập_phương của n số_tự_nhiên đầu_tiên là Số không Brahmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta là cuốn sách đầu_tiên cung_cấp các quy_tắc cho các thao_tác số học áp_dụng cho số 0 và số_âm Brahmasphutasiddhānta là văn_bản được biết đến sớm nhất để coi số 0 là một_số theo đúng nghĩa của nó chứ không_chỉ đơn_giản là một chữ_số giữ chỗ để biểu_thị một_số khác như được thực_hiện bởi người Babylon hoặc như một biểu_tượng cho việc thiếu số_lượng như đã được Ptolemy và người La_Mã thực_hiện Trong chương mười_tám của tác_phẩm Brahmasphutasiddhānta của mình Brahmagupta mô_tả các phép_toán trên các số_âm Đầu_tiên ông mô_tả phép cộng và phép trừ BULLET 18 30 Tổng của hai số_dương là dương của hai số_âm là âm của một_số_dương và một_số âm tổng là sự khác_biệt của chúng nếu chúng bằng nhau thì tổng bằng không Tổng của một_số âm và số 0 là âm tổng của số_dương và số 0 là dương tổng của hai số 0 là 0 BULLET 18 32 Một_số âm trừ đi 0 là số_âm_dương trừ 0 là số_dương 0 trừ 0 bằng không Khi một_số_dương được trừ đi từ số_âm hoặc số_âm từ số_dương thì nó sẽ được thêm vào Ông tiếp_tục mô_tả phép nhân BULLET 18 33 Tích của một_số âm và một_số_dương là số_âm tích của hai số_âm là số_dương và tích của hai số_dương là số_dương tích của 0 và số_âm bằng 0 tích của số 0 và số_dương hoặc tích của hai số 0 là 0 Nhưng mô_tả của ông về phép chia cho số 0 khác với cách hiểu hiện_đại của chúng_ta BULLET 18 34 Một_số_dương chia cho một_số_dương hoặc một_số âm chia cho một_số âm là số_dương số 0 chia cho số 0 là số 0 một_số_dương chia cho một_số âm là số_âm một_số âm chia cho một_số_dương cũng là số_âm BULLET 18 35 Số_âm hoặc số_dương chia cho số 0 có 0 là số_chia của nó hoặc số 0 chia cho số_âm hoặc số_dương có số_âm hoặc số_dương như số_chia của nó Bình_phương của số_âm hoặc số_dương là số_dương bình_phương của số 0 bằng 0 Mà trong đó cạnh hình_vuông so với hình_vuông là căn bậc hai của nó Ở đây Brahmagupta cho rằng 0 và như đối_với câu hỏi của nếu 0 ông không nói gì Các quy_tắc của ông về số học về số_âm và số 0 khá gần với cách hiểu hiện_đại ngoại_trừ việc chia cho 0 toán_học hiện_đại không được xác_định Phân_tích diophantine Bộ ba số Pythagore_Trong chương mười_hai Brahmasphutasiddhanta của mình Brahmagupta cung_cấp một công_thức hữu_ích để tạo ra_bộ ba số Pythagore_BULLET 12 39 Chiều cao của một ngọn núi nhân với một_số nhân cho trước là khoảng_cách đến một thành_phố nó không bị xoá Khi nó được chia cho số nhân tăng thêm hai đó là bước_nhảy_vọt của một trong hai người thực_hiện cùng một hành_trình Hay nói cách khác nếu thì một du_khách nhảy theo chiều dọc lên trên một khoảng_cách từ đỉnh núi cao và sau đó đi theo một đường_thẳng đến một thành_phố theo chiều ngang khoảng_cách từ chân núi đi cùng một khoảng_cách với một người đi xuống theo chiều dọc xuống núi và sau đó đi dọc theo chiều ngang đến thành_phố Nói theo hình_học điều này nói rằng nếu một tam_giác_vuông có đáy có chiều dài và độ cao của chiều dài thì độ dài của cạnh_huyền của nó được cho bởi Và quả_thật vậy tiểu_học thao_tác đại_số cho thấy bất_cứ khi nào có giá_trị đã nêu Ngoài_ra nếu và là hợp_lý thì và Do_đó một bộ ba Pythagore có_thể thu được từ và bằng cách nhân từng số đó với bội_số_chung nhỏ nhất của mẫu_số của chúng Phương_trình Pell_Brahmagupta tiếp_tục đưa ra một mối quan_hệ lặp lại để tạo ra các nghiệm cho một_số trường_hợp phương_trình Diophantine bậc hai như được gọi là phương_trình Pell bằng thuật_toán Euclide_Thuật toán Euclide được ông gọi là máy nghiền vì nó chia số_thành các phần nhỏ hơn Bản_chất của hình_vuông 18 64 Đặt xuống hai lần căn bậc hai của một hình_vuông đã cho bằng một_số nhân và tăng hoặc giảm bởi một_số tuỳ_ý Sản_phẩm của cặp đầu_tiên được nhân với cấp_số nhân với sản_phẩm của cặp cuối_cùng là phép_tính cuối_cùng 18 65 Tổng của các sản_phẩm thunderbolt là lần đầu_tiên Phụ_gia bằng với sản_phẩm của các chất phụ_gia Hai căn bậc hai chia cho phụ_gia hoặc phép trừ là các rupa phụ_gia Chìa_khoá cho giải_pháp của ông là đồng_nhất thức formula _ 3 đó là một khái_quát của một đồng_nhất thức được Diophantus tìm ra formula _ 4 Sử_dụng đồng_nhất thức này và thực_tế là nếu và là các nghiệm cho các phương_trình và tương_ứng sau đó là một nghiệm của ông đã có_thể tìm các nghiệm tổng_quát cho phương_trình của Pell thông_qua một loạt các phương_trình có dạng Brahmagupta không_thể áp_dụng đồng_đều giải_pháp của mình cho tất_cả các giá_trị có_thể có của thay vào đó ông chỉ có_thể chỉ ra rằng nếu có một giải_pháp số_nguyên cho 1 2 hoặc 4 thì có nghiệm Giải_pháp của phương_trình Pell nói_chung sẽ phải đợi Bhaskara II tìm ra vào_khoảng năm 1150 Hình_học Công_thức Brahmagupta_Kết quả nổi_tiếng nhất của Brahmagupta trong hình_học là công_thức của ông cho tứ_giác nội_tiếp Với chiều dài các cạnh của bất_kỳ tứ_giác nội_tiếp nào Brahmagupta đã đưa ra một công_thức gần đúng và chính_xác cho diện_tích của hình 12 21 Diện_tích gần đúng là tích của một_nửa tổng của các cạnh và cạnh đối_diện của một tam_giác và một tứ_giác Diện_tích chính_xác là căn bậc hai từ tích của một_nửa tổng của các cạnh bị giảm đi bởi mỗi cạnh của tứ_giác Vì_vậy với các độ dài và của một tứ_giác tuần_hoàn diện_tích gần đúng là trong khi cho diện_tích chính_xác là Mặc_dù Brahmagupta không tuyên_bố rõ_ràng rằng các tứ_giác này là nội_tiếp nhưng rõ_ràng từ quy_tắc của ông cho thấy rằng đây là trường_hợp ông nói đến Công_thức Heron là trường_hợp đặc_biệt của công_thức này và nó có_thể được suy ra bằng cách đặt một trong các cạnh bằng 0 Tam_giác Brahmagupta dành một phần đáng_kể tác_phẩm của mình cho hình_học Một định_lý cho độ dài của hai đoạn của đáy của tam_giác được chia ra theo đường_cao của nó 12 22 Cơ_sở giảm và tăng bởi sự khác_biệt giữa các bình_phương của các bên chia cho đáy khi chia cho hai chúng là các phân_đoạn thực_sự Đường vuông_góc độ cao là căn bậc hai từ hình_vuông của một cạnh bị giảm bởi bình_phương của đoạn Do_đó độ dài của hai đoạn là Ông tiếp_tục đưa ra một định_lý về tam_giác hữu_tỷ Một tam_giác có các cạnh hữu_tỷ và diện_tích hữu_tỉ có dạng formula _ 5 với và là các số_hữu_tỷ nào đó Định_lý Brahmagupta_Brahmagupta tiếp_tục 12 23 Căn bậc hai của tổng hai tích của các cạnh và cạnh đối_diện của một tứ_giác không bằng nhau là đường_chéo Hình_vuông của đường_chéo bị giảm đi bởi hình_vuông bằng một_nửa tổng của đáy và đỉnh căn bậc hai là vuông_góc độ cao Vì_vậy trong một tứ_giác nội_tiếp không bằng nhau nghĩa_là hình_thang cân chiều dài của mỗi đường_chéo là Ông tiếp_tục đưa ra các công_thức cho chiều dài và diện_tích của các hình hình_học chẳng_hạn như chu_vi của một hình_thang cân_bằng và một tứ_giác scalene và độ dài của các đường_chéo trong một hình tứ_giác tuần_hoàn Điều này dẫn đến định_lý nổi_tiếng của Brahmagupta 12 30 31 Tưởng_tượng hai hình_tam_giác trong một tứ_giác tuần_hoàn với các cạnh không bằng nhau hai đường_chéo là hai cơ_sở Hai phân_đoạn của chúng là riêng_biệt các phân_đoạn trên và dưới được hình_thành tại giao_điểm của các đường_chéo Hai đoạn dưới của hai đường_chéo là hai cạnh trong một hình_tam_giác đáy của tứ_giác là đáy của tam_giác Nó vuông_góc của nó là phần dưới của vuông_góc trung_tâm phần trên của vuông_góc trung_tâm là một_nửa tổng của các cạnh vuông_góc giảm dần bởi phần dưới của vuông_góc trung_tâm Số pi Trong câu 40 ông đưa ra các giá_trị của 12 40 Đường_kính và bình_phương của bán_kính mỗi nhân với 3 lần_lượt là chu_vi thực_tế và diện_tích của một hình_tròn Giá_trị chính_xác là căn bậc hai từ bình_phương của hai số đó nhân với mười Như_vậy Brahmagupta sử_dụng 3 như một giá_trị thực_tế của và formula _ 6 như một giá_trị chính_xác của Lỗi trong giá_trị chính_xác này nhỏ hơn 1 Liên_kết ngoài BULLET Brahmagupta_BULLET_Brahmagupta s Brahma sphuta siddhanta PDF
Brahmagupta