Định_lý Nash_Định lý điểm bất_động là một định_lý nổi_tiếng và quan_trọng trong lĩnh_vực topo một chuyên_ngành của toán_học Định_lý này mang tên nhà toán_học Kakutani có tên gọi là định_lý điểm bất_động Kakutani_Nó được ứng_dụng rộng_rãi trong nhiều lĩnh_vực toán_học khác nhau Đặc_biệt trong lý_thuyết_trò_chơi có một định_lý nổi_tiếng là định_lý cân_bằng Nash đặt theo John_Forbes_Nash do ông là người đã đề_xướng ra Ứng_dụng của định_lý điểm bất_động Kakutani để chứng_minh định_lý cân_bằng Nash về sự tồn_tại một cân_bằng cho trò_chơi gồm n người và nó được áp_dụng rất thành_công trong lý_thuyết_trò_chơi Các thành_phần dẫn đến định_lý Nash_Trong trò_chơi gồm formula _ 1 người chơi mỗi người chơi có sự lựa_chọn các chiến_lược để thực_hiện mà không biết chiến_lược của người khác Liên_quan đến mỗi người chơi là một sự chi_trả của người chơi cho tất_cả các kết_quả có_thể xảy ra kết_hợp với sự lựa_chọn chiến_lược của các người chơi Mỗi người chơi có_thể lựa chon một chiến_lược hỗn_hợp và kết_hợp các lựa_chọn các chiến_lược hỗn_hợp của những người chơi khác xác_định kết_quả trung_bình hoặc giá_trị kỳ_vọng cho mỗi người chơi Mỗi người chơi có một tập các chiến_lược hỗn_hợp tối_ưu khi biết sự lựa_chọn chiến_lược hỗn_hợp của các người chơi khác Mỗi chiến_lược hỗn_hợp tối_ưu đưa đến kết_quả trong giá_trị kỳ_vọng lớn nhất có_thể cho người chơi khi biết chiến_lược hỗn_hợp của các người chơi khác Một cân_bằng Nash là một sự lựa_chọn của chiến_lược hỗn_hợp mà kết_quả cho mỗi người chơi là các giá_trị kỳ_vọng lớn nhất có_thể liên_quan đến chiến_lược hỗn_hợp của các người chơi khác Điểm bất_động Định_nghĩa Cho hàm tập_hợp formula _ 2 một điểm bất_động của formula _ 3 là một điểm formula _ 4 trong formula _ 5 sao cho formula _ 6 Định_lý điểm bất_động Kakutani_Cho formula _ 5 là một đa_diện trong không_gian formula _ 8 và formula _ 2 là hàm tập_hợp thoả_mãn formula _ 10 lồi trong formula _ 5 với mọi formula _ 12 Nếu đồ_thị của formula _ 3 đóng trong formula _ 14 thì tồn_tại formula _ 15 sao cho formula _ 6 Định_lý Nash_Tồn tại một cân_bằng Nash cho mọi trò_chơi gồm formula _ 1 người chơi Ví_dụ Chúng_ta xét ví_dụ minh_hoạ về sự hợp_tác của hai người chơi Prisoner s dilemma Giả_sử George và Newman bị cảnh_sát bắt vì bị tình_nghi là tội_phạm Cảnh_sát không có đủ chứng_cứ để kết_án họ và nhốt họ ở hai phòng giam riêng_biệt George và Newman sẽ được giảm án nếu chịu khai_báo về người kia Họ có_thể chọn im_lặng hoặc khai_báo Nếu cả hai đều im_lặng thì cảnh_sát phạt mỗi người 6 tháng tù Nếu cả hai cùng khai_báo thì mỗi người sẽ bị phạt 24 tháng tù bởi_vì họ chịu hợp_tác Nếu một người khai_báo còn người kia im_lặng thì người im_lặng sẽ nhận đủ 72 tháng tù_và người khai_báo chỉ nhận 3 tháng tù Bằng lý_luận tương_tự như những phần trước ta có tìm được trò_chơi này chỉ có một cân_bằng Nash duy_nhất khi cả hai người chơi cùng khai_báo Tuy_nhiên đây không phải là kết_quả tốt nhất cho hai người lựa_chọn vì nếu cả khai cùng khai_báo thì bản_án tù_giam cả hai nhận được là 24 tháng Nếu George và Newman cùng im_lặng thì họ chỉ nhận 6 tháng tù_giam Như_vậy đây là kết_quả tốt hơn lựa chon trong trường_hợp cân_bằng Nash_Vì vậy để kết_quả tốt nhất thì hai người chơi phải có sự hợp_tác với nhau
Định_lý Nash