前項のベクトル・行列による表示をさらに一歩進めよう．
{{制御と振動の数学/equation|
}
とおき，例 104 の解法をたどってみよう．このとき，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} = \boldsymbol{x}(0), \quad sI-A = \begin{pmatrix}s&1\\-1&s\end{pmatrix}
に留意すれば，次のように簡潔に記述することができる．まず 式 (5.1) は
{{制御と振動の数学/equation|
}
と表すことができる．これをLaplace 変換すれば，
{{制御と振動の数学/equation|
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|
これを解けば，
{{制御と振動の数学/equation|
この原像は，
{{制御と振動の数学/equation|
となる．これは，
{{制御と振動の数学/equation|
(sI-A)^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{s}{s^2+1}&-\frac{1}{s^2+1}\\\frac{1}{s^2+1}&\frac{s}{s^2+1}\end{pmatrix}
\sqsubset
\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}
であるから式 (5.2) と一致する．
例 108 を同様に取り扱ってみよう．
{{制御と振動の数学/equation|
}
とおけば，式 (5.3) は，
{{制御と振動の数学/equation|
}
である．これを Laplace 変換すれば，
{{制御と振動の数学/equation|
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|
これを \mathcal{L}[\boldsymbol{x}] について解けば，
{{制御と振動の数学/equation|
となる．いま、
{{制御と振動の数学/equation|
とおけば，
{{制御と振動の数学/equation|
を得る．\mathit{\Phi}(t) は式 (5.8) で与えられているから，この結果は 式 (5.4) にほかならない式 (5.7a) も参照せよ．．
このようにベクトル・行列表示を用いれば，連立微分方程式は，スカラの 1 階微分方程式と，形式的には全く同様に取り扱うことができる．
例111\quad
例 109 を行列表示で解け．
解答例
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} &= -y + f(t)\\
\frac{dy}{dt} &= x + g(t)
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = \alpha\\
y(0) = \beta
\end{cases}
にて，X \sqsubset x, \quad Y \sqsubset y, \quad F \sqsubset f, \quad G \sqsubset g とおいて各式両辺をラプラス変換すると，
sX - \alpha &= -y + F \\
sY - \beta  &= x + G
\end{cases}
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{x}(0) = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}
とおくと，
\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} = \mathcal{L}[\boldsymbol{x}]
\begin{pmatrix}F\\G\end{pmatrix} = \mathcal{L}[\boldsymbol{f}]
より，
s\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] - \boldsymbol{x}(0) = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] + \mathcal{L}[\boldsymbol{f}]
\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = A とおくと，
いま，
とおけば，この原像は，
\mathcal{L}[kf(t)] = k\mathcal{L}[f(t)] \therefore \boldsymbol{k}  が t に関係ない定ベクトルとすれば \mathcal{L}[\mathit{\Phi}\boldsymbol{k}] = \mathcal{L}[\mathit{\Phi}]\boldsymbol{k}
すなわち (sI-A)^{-1} \sqsubset \mathit{\Phi} であるから，
(sI-A)^{-1}\boldsymbol{k} \sqsubset \mathit{\Phi}\boldsymbol{k}
\diamondsuit