の解が一意であることを示すには，前と同様にして，
の解が x(t) \equiv 0 に限ることを示せばよい．そのために，
とおいて，u(t) \equiv 0 を示そう．
式 (3.17) に示したように，初期値は 0 であるからx(t_0) = 0，
が成り立つ．これを用いて u(t) を計算する．
K := \mathrm{max } \{ |a|, |b| \} とおくと，
と変形できるから，
を得る．
式 (3.18) 
の両辺に e^{-(1+K)t} をかけ移項すると，
となる．これを t_0 から t まで積分すると
F(t) = e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u(\tau)d\tau で，\frac{dF}{dt} を a から b まで積分すると，
I(a, b) = \int_a^b \frac{dF}{dt}dt = F(b) - F(a)
ここで，F(t_0) = e^{-(1+K)t_0}\int_{t_0}^{t = t_0} u(\tau)d\tau = 0 より，
I(t_0, t) = F(t) - F(t_0) = F(t) = e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u(\tau)d\tau．
，
すなわち，
を得る．これと 式 (3.18)  より，
よって，
となり，証明が完了する．t の場合も同様である．
例73\quad
u(t) := \left\{ x(t) \right\}^2 + \left\{ x'(t) \right\}^2 とおいてももちろん証明はできる．試みよ．
解答例
\diamondsuit
例74\quad
例と同様にして，n 階の微分方程式
の場合の解の一意性を証明せよ．
解答例
与方程式の解が一意であることを示すために，
の解が x(t) \equiv 0 に限ることを示す．
①について，u(t) = |x| + |x'| + |x''| + \cdots + |x^{(n-1)}| とおく．
x(t_0) = x'(t_0) = x''(t_0) = \cdots = 0 であるから，
同様に，
また，
今，K = \mathrm{max }(a_1, a_2, a_3, \cdots , a_{n-1}, a_n) とすると，②③より
すなわち，
u \leqq (K+1)\int_{t_0}^t u\ dt…④
両辺に e^{-(1+K)t} > 0 を掛けて，
ue^{-(1+K)t} \leqq e^{-(1+K)t}(1+K)\int_{t_0}^t u\ dt
\therefore ue^{-(1+K)t} - (1+K)e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u\ dt \leqq 0
\therefore \frac{d}{dt} \left\{ e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u\ dt\right\} \leqq 0
両辺を t_0 から t まで積分すると，
e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u\ dt \leqq 0
\therefore \int_{t_0}^t u\ dt \leqq 0…⑤
u は明らかに，
u = |x| + |x'| + |x''| + \cdots + |x^{(n-1)}| \geqq 0…⑥
④⑤⑥より
0 \leqq u \leqq \int_{t_0}^t u\ dt \leqq 0
\therefore u = 0．
\therefore x = 0．
\diamondsuit