\lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha ただし、k は定数。
\lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha\pm\beta（複号同順）。
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta} ただし、\displaystyle \beta \ne 0。
=e
\lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{a}=1（a は正定数）。
c ( - \infty \leqq c \leqq \infty)を含むある区間Iがあり、関数f, gはその内部で微分可能である。
\lim_{x \to c}f(x) = \lim_{x \to c}g(x) かつその値が0または\pm\inftyである。
極限 \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} が存在する。
Iにおけるcの除外近傍において \lim_{x \to c}g'(x) \neq 0が成り立つ。
ロピタルの定理自体は簡易な形状をしており、また、多くの学習参考書などでも取り上げられるなど、比較的有名なものである。しかしながら、本定理の成立は、上記の条件が成立していることが必要であるので、証明問題等において「ロピタルの定理より」とするには、条件成立が提示されているか条件成立を別に証明することを要する。大学入試等初等教育の場で、これが示されることは基本的に皆無であるので（『学習指導要領』範囲外）、そのような問題においては、利用しないことが無難であり、あくまでも検算用と考えた方がいい（ウィキペディア『ロピタルの定理』中の記事「日本の高校数学・大学入試での扱い」参照）。
大学入試等において、この形式の問題は、関数f(x), g(x)が共通因数を持っており、それを約分することにより極限値を得るという解法を期待するものが多い。
導関数の定義
関数 f(x) に対して、\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}= f^\prime(x) =\frac{d}{dx}f(x)（変数xで微分する）。
\frac{dy}{dx}; yをx で微分する。
関数 y = f(x) を微分して得た導関数 y=f^\prime(x) をさらに微分して得た関数 y=g(x) を、 y = f(x) の第2次導関数という。
関数 y = f(x) を微分した結果をさらに微分する操作をn回行って得た関数を、 y = f(x) の第n次導関数という。
変数 x の微分可能な関数 f, g に対して
（逆関数の微分公式 →証明）
 とも表せる。
曲線 y = f(x) 上の点( a , f(a))において、 y =  f(x) に接する直線の傾きは、 f^\prime(a) である。
曲線 y = f(x) 上の点( a , f(a))において接線と直行する直線（法線）の傾き-\frac{1}{f^\prime(a)}である（∵直交する2直線の傾きの積は-1）。
曲線 y = f(x) 上のある点P_n( x_n , f(x_n))における接線とx軸の交点（x切片、 y = 0）の値x_{n+1}は、 f(x) = 0 の解であるx^*に、x_nよりも近似することが期待されるという性質を用い、この操作を反復することで方程式を数値計算によって解く方法。
曲線 y = f(x) 上に適当に点P_0( x_0 , f(x_0))をおき、 n = 0 とする。
点P_nにおける接線; y = f^\prime(x_n)(x - x_n) + f(x_n) を求める。
f^\prime(x_n)(x - x_n) + f(x_n) = 0として、直線とのx切片x_{n+1}を求める。
|x_{n+1} - x_n| \leq \epsilon （所定の極めて小さい数値）となった時、x_{n+1}を f(x) = 0 の近似解とする。
|x_{n+1} - x_n| > \epsilon である時、x_{n+1}をx_nとして、上記2の操作に戻る。
f^\prime(x) \geq 0 である時、この式を満たすxにおいて、 f(x) は増加する。
f^\prime(x) \leq 0 である時、この式を満たすxにおいて、 f(x) は減少する。
方程式 f^\prime(x) = 0が実数解x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_n \} を持つ時（ただし、各々の解に重複はないものとする）、x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_n \} において、正負が変わるため、その点で関数 f(x) の増減が入れ替わる。この点を変曲点といい、増加から減少に転じる点を極大、減少から増加に転じる点を極小という。
最高次の項の係数をaとするn次の高次多項式関数 f(x) 、その導関数を f^\prime(x) 、かつ方程式 f^\prime(x) = 0が各々重複のないn-1個の実数解x = \{ x_1, x_2, \dots ,x_{n-1} \} とした時、以下の性質を持つ。
なお、以下において、説明簡素化等のため、特に言及のない場合、条件等を以下のとおりとする。
方程式 f^\prime(x) = 0の実数解x = \{ x_1, x_2, \dots k, \dots ,x_{n-1} \} に対する、関数 y=f(x) の値y = \{ f(x_1), f(x_2), \dots ,f(x_k), \dots ,f(x_{n-1}) \} として、yの中で最大・最小のものを各々f(x_{Max}), f(x_{min})とする。
s,tは、 s < x_1, x_{n-1} < tを満たす実数である。
nが奇数である時、関数 f(x) は x = x_1まで単調に増加し、以後、 x = x_{n-1}まで増減し、 x = x_{n-1}を超えると再び単調に増加する。
区間[s,t]において、 f(x) の最大値は、f(x_{Max})またはf(t)のいずれか大きい方であり、最小値はf(s)またはf(x_{min})のいずれか小さい方である。
nが偶数である時、関数 f(x) は x = x_1まで単調に減少し、以後、 x = x_{n-1}まで増減し、 x = x_{n-1}を超えると単調に増加する（グラフは「上に開く」）。
区間[s,t]において、 f(x) の最大値は、f(s),f(x_{Max})またはf(t)の最も大きいものであり、最小値はf(x_{min})である。
nが奇数である時、関数 f(x) は x = x_1まで単調に減少し、以後、 x = x_{n-1}まで増減し、 x = x_{n-1}を超えると再び単調に減少する。
区間[s,t]において、 f(x) の最大値は、f(s)またはf(x_{Max})のいずれか大きい方であり、最小値はf(x_{min})またはf(t)のいずれか小さい方である。
nが偶数である時、関数 f(x) は x = x_1まで単調に増加し、以後、 x = x_{n-1}まで増減し、 x = x_{n-1}を超えると単調に減少する（グラフは「下に開く」）。
区間[s,t]において、 f(x) の最大値は、f(x_{Max})であり、最小値はf(s),f(x_{min})またはf(t)の最も小さいものである。
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx  + d(a > 0)に対して、f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c。
ここで、f^\prime (x) = 0が実数解を持たない場合及び重解を持つ場合（判別式D = b^2 - 3ac \leq 0 ）、 f(x) は、単調に増加する。
f^\prime (x) = 0が異なる2つの実数解を持つ場合（判別式D = b^2 - 3ac > 0 ）、f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0の解を各々\alpha , \beta（但し、\alpha < \beta）とすると、 f(x) の変曲点は x= \alpha , \betaとなり、 f(\alpha) まで増加したのち減少に転じ f(\beta) まで、減少した後、再び増加に転じる。この時、 f(\alpha) を極大値、 f(\beta) を極小値という。
s < \alpha < \beta である区間[s,t]において、 f(x) の最大値は、f(\alpha)またはf(t)のいずれか大きい方であり、最小値はf(s)またはf(\beta)のいずれか小さい方である。
方程式 f^\prime(x) = 0の実数解x = \{ x_1, x_2, \dots x_k, x_{k+1}, x_{k+2} \dots ,x_n \} において、隣接する2個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転せず、従って、元の関数 f(x) の増減の傾向も変わらない。隣接する3個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転し、従って、元の関数 f(x) の増減が逆転する。一般化すると、方程式 f^\prime(x) = 0の実数解x = \{ x_1, x_2, \dots x_k, x_{k+1}, x_{k+2} \dots ,x_n \} において、隣接する偶数個の解が一致する場合、元の関数 f(x) の増減の傾向は変わらない。隣接する奇数個の解が一致する場合、元の関数 f(x) の増減はその点で逆転する。
x, yが関数の関係にある時、y = f(x)の形の表示を陽関数（表示）、f(x, y) = 0の形の表示を陰関数（表示）という。なお、f(x, y, z) = 0のように変数の数が3個以上のものがあるが、初等数学の範囲を超えるので、本公式集では言及しない。
陰関数f(x, y) = 0において、yをx で微分する、すなわち、\frac{dy}{dx}を求める手順は以下のとおり。
f(x, y) = 0の各項を、①変数がxのみである関数の項、②変数がyのみである関数の項、③xの関数とyの関数の積である項に分ける。
①変数がxのみである関数の項g(x)については、そのままxで微分してg(x)^\primeを求める。
②変数がyのみである関数の項h(y)については、\frac{d}{dy}(h(y)) = \frac{d}{dy}(h(y))\frac{dy}{dx}として、\frac{dy}{dx}を求める。
③xの関数とyの関数の積である項については、g(x) h(y)を微分してg^\prime(x) h(y) + g(x) h^\prime(y)とし、\frac{dy}{dx}を上記3の方法で求める。
上記2~4で求めたものにつき、\frac{dy}{dx}でまとめる。
両辺の対数を取ってから微分する方法。
式の乗（除）算を加（減）算に、累乗を乗算に還元して微分計算することができる。
両辺の対数を取る。
この時、両辺が正でなければならないので、正と限らないときはないときは絶対値を取る。
両辺をxで微分する。
この時、\log yの微分が\frac{y'}{y}になること（微分公式3-2）を利用する。
y'について解いてxの式で表す。
指数の底にも肩にも変数xが含まれているy=(f(x))^{g(x)}のような関数。
y = x^x について、両辺対数を取る。なおx > 0であるので右辺左辺ともに正であり、絶対値を顧慮する必要はない。
両辺をxで微分する。
y ( = x^x)を両辺にかける。
y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)のように微分したい関数が，たくさんの関数の積になっているとき。
例題1: y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)  ただし、微分区間では、f(x) , g(x) , h(x) ともに正とする。
y=f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)について、両辺対数を取る。
両辺をxで微分する。
y ( = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x))を両辺にかける。
例題2: y=\frac{f(x)}{g(x)} ただし、微分区間では、f(x) , g(x)ともに正とする。
y=\frac{f(x)}{g(x)}について、両辺対数を取る。
両辺をxで微分する。
y \left( = \frac{f(x)}{g(x)} \right)を両辺にかける。
ただし、t = a, b のとき、それぞれ x = x(a) , x(b) = \alpha , \beta。
ただし、[h(x)]_a^b = h(b) - h(a) と略記。
2I = \int_a^b ( f(x) + f(a+b-x))\,dxとすると、積分計算が容易になる場合がある。
f(x)とf(a-x)の形で、補角の公式（\sin(\pi-x) = \sin x等）や余角の公式（\sin\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos x等）を利用できる場合がある。
{a+1} + C   (aは実数かつa \neq -1)
 \right| + C
 \right) + C
} + C
} + C
 + C
} + C
閉区間[ a,b ]において、曲線 y =  f(x) 及び曲線 y =  g(x) によって囲まれる領域の面積。
Lukion_taulukot_(1993)-page038-image02|right|200px
区間[  {\alpha}, {\beta} ]で、曲線Aと曲線Bにより囲まれる領域の面積。
{a+1} + C (aは実数かつa \neq -1)