自然数の考え方
空集合Φを0=Φ={}と定義すると、後は帰納法的に、
 要素数(自然数)  集合 集合
 0 Φ{}
 1 {Φ}{0}
{0,1}
}{0,1,2}
 … ……
 n+1 n∪{n}{0,1,2,...,n}
∴後続(successor)は以下のように定義される。
S(x) = x∪{x}
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推移的(transitive)
集合 T が推移的であるとは、T の要素が T の部分集合になることです。
の場合には、 {Φ}∈T かつ {Φ}⊂T である。
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順序数(ordinal number)
集合 T が順序数であるとは、T が推移的であり、∈ について整列順序であること。
}
∵
}⊂T
{Φ}∈Tかつ{Φ}⊂T
⊂T
}⊂T
}⊂T
}
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無限の公理(Infinity)
 ∃x(0∈x∧∀y∈x(S(y)∈x))
また、内包の公理により、全て自然数だけの集合の存在がいえる。 この集合をN ではなく、ω(omega) とする。
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> Dedekind切断とは？
連続である実数をある点sで２つにちぎったとすると、Dedekind切断になります。
その２つにちぎった実数空間は２つの場合があります。
Dedekind切断
 範囲  -∞～s  s～∞ 
-∞～s],(s～∞ s]は有理数,-∞～s]s]を含むので、上界がs、上限もs(sは無理数,(s～∞s]を含まないので下界は無い、しかし、下限はs 
-∞～s),[s～∞s)は無理数,-∞～s)[sを含まないので上界は無い、しかし上限はs[sは有理数,[s～∞[sを含むので、下界がs、下限もs
上界を上限、下界を下限とも言います。しかし、その逆は必ずしも真ではありません。
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> 有界なる単調数列の収束について
>
> 下記のような式はC、Mの意味は何でしょうか？
> 詳しく説明していただげませんか。
二項係数: nC2 = n(n-1)/2
M: 0を含み関数について閉じている集合
n:自然数;Mの部分集合の共通部分
です。
 式１：a>1,k>0ならばlim[n→∞](a^n/n^k)=∞.
 証明
 
 k=1のときは
 a^n=(1+(a-1))^n>nC2(a-1)^2=((a-1)^2)n(n-1)/2より
 a^n/n^k>{((a-1)^2)(n-1)/2}.
 任意のMに対して{2M/(a-1)^2}+1より大なる自然数nをとれば,
 M<(a^n/n^k)となるのでlim[n→∞](a^n/n^k)=∞.
 
 0<k<1のときは
 n^k≦nであるので(a^n/n^k)≧(a^n/n)>{((a-1)^2)(n-1)/2}.
 任意のMに対して{2M/(a-1)^2}+1より大なる自然数nをとれば,
 M<(a^n/n^k)となるのでlim[n→∞](a^n/n^k)=∞.
 
 1<kのときは
 a^(1/k)>1.よって任意の1より大きいMに対して,ある一定以上の自然数nで
 (a^n/n^k)=[{(a^(1/k))^n/n}]^k>M^k>Mだから
 lim[n→∞](a^n/n^k)=∞.
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