第１問
次の不定積分を計算せよ。
 
(1) \int\left({\frac{1}{3}x^3-3x^2+1}\right)dx 
dx 
dx 
}dx
}dx
dx
}dx
(8) \int{x\cdot2^x}dx
第２問
次の定積分を計算せよ。
(1) \int_{4}^{9}{(x^2-13x+36)}dx
dx
}dx
dx
 
第３問  
水でいっぱいの半径rの球状の容器の最下端に小さな孔を開ける。水が流れ始めた時刻を0とし、時刻0から時刻tまでにこの孔を通って流出した水の量をf(t)、時刻tにおける孔から水面までの高さをyとすれば、yとf(t)の関係は正の定数aを用いて\cfrac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=a\sqrt{y}と書けるという。
(1) 水面の降下する速さが最小となるのは、yがどのような値をとる時か。
(2) 水が流れ始めてからyが(1)で求めた値となるまでに要する時間を求めよ。  
第４問 
ある惑星から鉛直に初速v_0で打ち上げられた宇宙船がある。惑星の半径をR、惑星表面での重力加速度をgとする。また、宇宙船には惑星の中心からの距離の平方に反比例する引力(比例定数G)が働いている。  
(1) 惑星の中心からの距離がrの場所に宇宙船があるとき、宇宙船の速度vは以下の式を満たすことを証明せよ。 
v^2 = \frac{2gR^2}{r}+{v_0}^2-2gR 
(2) (1)の関係式を用いて、宇宙船が再び惑星に戻ってこないようにするための初速v_0の条件を述べよ。
第１問
 
積分定数を''C''とする。
(1) \int\left({\frac{1}{3}x^3-3x^2+1}\right)dx=\frac{1}{12}x^4-x^3+x+C 
dx=\int{\frac{1}{546}\left(-\frac{13}{x+2}+\frac{6}{x-5}+\frac{7}{x+8}\right)}dx=\frac{1}{546}\left(-13\log|x+2|+6\log|x-5|+7\log|x+8|\right)+C 
dx=\int{\frac{1}{2}\left(\sin{5x}-\sin{x}\right)}dx=\frac{1}{10}\left(5\cos{x}-\cos{5x}\right)+C
\right|+C
dx=\frac{1}{2}(x\log x-x)+C
(6) t=1+x^2と置換するとdt=2xdxなので、
=\frac{1}{2}\log\left|t\right|+C=\frac{1}{2}\log(1+x^2)+C
dxなので、
dt=2\log|t|+C=2\log(x+\sqrt{1+x^2})+C
-\frac{2^x}{(\log{2})^2}+C=\frac{2^x(x\log{2}-1)}{(\log{2})^2}+C
第２問
(1) \int_{4}^{9}{(x^2-13x+36)}dx=\frac{(9-4)^3}{6}=\frac{125}{6}
(2) t=\sqrt{4-3x^2}と置換するとdt=\frac{-3x}{t}dxなので、
dx=\int_{1}^{2}{\frac{1}{9}(-t^4+4t^2)}dt=\frac{1}{135}[-3t^5+20t^3]_1^2=\frac{47}{135}
と置換すると4t(t^2-1)dt=dxなので、
}dx=\int_\sqrt{2}^\sqrt{3} 4(t^4-t^2) dt=\frac{4}{15}[3t^5-5t^3]_\sqrt{2}^\sqrt{3}=\frac{8(6\sqrt{3}-\sqrt{2})}{15}
dx=\int_0^{2\pi}\frac{3}{2}(1+\cos{4x})dx=\frac{3}{8}[4x+\sin{4x}]_0^{2\pi}=3\pi
第３問  
(1) 水面の高さがyのとき、水面は面積\pi(2ry-y^2)の円なので、\frac{df}{dy}=\pi(y^2-2ry)である。
よって、合成関数の微分公式\frac{df}{dt}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dt}より
{\pi(y^2-2ry)}
である。yは時間とともに減少することに注意すると、水面が降下する速さは
{\pi(2ry-y^2)}
である。これが最小になるようなyを求めればよい。yで微分すると
なので、vが最小になるのはy=\frac{2r}{3}のときである。
(2) 逆関数の微分公式より
=\frac{\pi(y\sqrt{y}-2r\sqrt{y})}{a}
なので、求める時刻は
=\frac{16r^2\sqrt{2r}\pi(9-2\sqrt{3})}{135a}
である。
第４問
(1) GR^{-2}=mgより、G=mgR^2である。よって、惑星表面から、中心からの距離が''r''の場所まで移動する際、宇宙船が惑星の引力から受ける仕事は
である。よって力学的エネルギー保存則より
なので、整理して
を得る。
(2) 任意の''r''に対してv^2>0であればよい。v^2は''r''について単調減少なので、
であればよい。すなわち、
であればよい。