任意(∀)の正の数εに対し、ある(∃)数δが存在し
ならば
となるとき、''L''は、''x''を''c''に近付けた時の ''f(x)''の極限といいます。
言い換えれば、正の数εが与えらると、適当なδを選ぶ事によって
ならば
となることが証明できます。
さらに言えば、このような証明が全ての(∀)ε > 0に対して可能です。
この形式的な定義は、極限を求めるには少し不便です。極限''L''を見つけるための方法論は与えず、ある数値が極限であるかどうかを判定するのにだけ使えます。直感的な極限の定義や、似たような問題からの類推、或いは、ロピタルの定理などの定理を用いて極限を予想し、形式的な定義を用いて、その値が極限であるか否かを示すことができます。
∀：全称記号。任意、全て
∃：存在記号。存在、ある
''x''を ''c''=9に近付けた時の、''f(x)'' = ''x'' + 5 の極限を探す事を考えます。極限''L'' は 9+5=14 であることが分かっていて、これは次のように証明できます。
δ = ε と選べば（この選び方がこのページの主題です。）
ならば
\left| (x + 5) - 14 \right| & = & \left| x - 9 \right| \\
\ & < & \delta \\
\ & = & \epsilon \end{matrix}
ということが証明できるわけです。
実は、証明の式を逆に辿る事によって、δを選びました。
この場合、
から
となります。
したがってδ = εと選べば、証明自体もこのように簡単にできます。この例はとても簡単な例なので、一般にはそう上手くはは行きません。
''x''を 2に近付けたとき、''f(x)'' = ''x''² - 9 の極限が''L'' = −5であることを証明します。
ならば
を示すことが必要です。
ここでも、逆に辿ってδを探します。まず最初に、''x''を使わずに δと εの関係を表すことを考えます。
また三角不等式を用いて
となることを考えれば
となるので
を満たすように δを選べばいいと分かります。この最後の方程式は、論理的に出てきたわけではなく、それぞれの不等式を見比べて単にこのように選べば、証明が上手くいくというだろうという直感的なテクニックです。この方程式の解としてδを選んでおき、証明の最後の段階で、この逆に辿って得られた方程式を使用します。
この例では、''x''をδに、不等号 < を、等号 = に置き換えました。蛇足ですが |x-2| = δではなく|x-2| < δなので、こういう δの選び方が可能になります。上の方程式を元に、証明を辿ると、このようなδの選び方でいいということがよくわかるでしょう。
δの二次方程式だと思って、δが正の数であることに注意して解くと
{2 \cdot 1} = -2 + \sqrt{4 - \epsilon}
となります。
この値を用いて、極限であることの証明を行います。
ならば
\left| f(x) - L \right| & = & \left| x^2 - 4 \right| \\
\ & = & \left| x - 2 \right| \cdot \left| x + 2 \right| \\
\ & \le & (\delta) \cdot (\delta + 4) \\
\ & < & (\sqrt{4 - \epsilon} - 2) \cdot (\sqrt{4 - \epsilon} + 2) \\
\ & = & (\sqrt{4 - \epsilon})^2 - (2)^2 \\
\ & = & \epsilon \end{matrix}
''x''を 0に近付けたとき ''f(x)'' = \frac{\sin(x)}{x} の極限が ''L'' = 1 になることを示してください。
''x''を0に近付けたとき、''f(x)'' = 1/''x'' が 極限を持たないことを示してください。