実ベクトル \mathbf a= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}, \mathbf b= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{pmatrix}に対し、内積( \mathbf a, \mathbf b) =  \sum_{i=1}^n a_i b_iと定義する。
(記号が変わっただけで、高校で習った内積 \mathbf a \cdot \mathbf bと同じである。)
内積については、以下の性質が成り立つ。
ただし、 \mathbf a, \mathbf b, \mathbf cを実ベクトル、cを実数とする。
証明
\| \mathbf a\| = \sqrt{( \mathbf a, \mathbf a)}を \mathbf a のノルムという。
ノルムについては以下の性質が成り立つ。
\| \mathbf a + \mathbf b \| \le \| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|(三角不等式)ただし \mathbf a, \mathbf bを実ベクトル、cを実数とする。
証明