以上の準備の下に，Laplace 変換による解法の正しさを証明することができる．
この章の初めに述べたことを，特性方程式を用いて簡単に復習しておこう．
特性方程式を，
とするとき，同次方程式
および非同次方程式
を初期条件
の下に解くという問題であった．
[定理 3.2]
ここに，q(t) は高々 n-1 次の任意の多項式である．
\diamondsuit
これを示すことが目標である．一般に，
}
と因数分解できるから
これは部分分数定理の注にて証明した．
，補題3.2 を念頭におけば，定理 3.2 は，
の場合に証明すれば十分である
p(D) = p_1(D)p_2(D) にて p_2(D)x = 0 ならば p(D)x = 0．よって p_2(D)x = 0 となる p_2(D) があればよい． この節の証明方針を以下に整理すると，定理3.2(i) の \frac{q(s)}{p(s)} の分母 p(s) を因数分解したときに因数として (s-\alpha)^l を持ち，したがって \frac{q(s)}{p(s)} の部分分数展開を第二分解定理まで実施した結果，項 \frac{a_l}{(s-\alpha)^l} を持つのであれば，この原像の t の次数が微分方程式の解 x を構成する項の中で最高次数となり 式(2.17b)よりその次数は l-1 ．これに作用素 p_2(D) = (D-\alpha)^l を働かせた結果が 0 になれば，証明全体の中のこの項 (D-\alpha)^l に関与する部分を完了させられる． 部分分数展開の結果，項として \frac{q_1(s)}{(s-\alpha)^2 + \beta^2} を持つものについては後述される．
．
は例67で示した
{(l-1)!} = 0\quad(\because 補題 3.3(ii) およびその系)
．よって，定理は，
の場合だけ示せばよい．ところで補題 3.3 に留意すれば，
の場合だけを論ずればよいことが分かる
p(D-\alpha) = (D-\alpha)^2 + \beta^2 のとき，p(D-\alpha)e^{\alpha t}x = e^{\alpha t}p(D)x
．したがって，
を確めればよいことが分かる．ところが，これらは前章ですでに示されている．
すなわち 式 (2.33) によれば，
より直ちに，
が出る．
(D^2+\beta^2)^l\varphi_l = (D^2+\beta^2)^{l-1}\varphi_{l-1} = (D^2+\beta^2)^{l-2}\varphi_{l-2} = \cdots = (D^2+\beta^2)^2\varphi_2 = (D^2+\beta^2)\varphi_1
=(D^2+\beta^2)\frac{1}{\beta}\sin\beta t = -\beta\sin\beta t + \beta\sin\beta t = 0
また，
に注意すれば，
も明らかである．以上で定理の (i) の部分が示された．
(ii) の部分は次のようにして示される
ここでの証明法は二階線形微分方程式の解法と同じ．
．いま証明したことから，
は p(D)x = 0 の解である
\frac{q(s)}{p(s)} \sqsubset x_0(t) ならば p(D)x_0 = 0 で，q(s)=1 の場合．
．しかも初期値は，
を満たす
p(s) = s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \cdots + a_{n-2}s^2 + a_{n-1}s + a_n
で，
G(s) = \frac{1}{p(s)} \sqsubset g(t) と G をおくと，
s^nG + a_1s^{n-1}G + a_2s^{(n-2)}G + \cdots + a_{n-2}s^2G + a_{n-1}sG + a_nG = 1…①
一方，式 (2.1) ，したがって式 (2.11) より、
 sG = \mathcal{L}[g'] + g(0)
 s^2G = \mathcal{L}[g'']  + g(0)s + g'(0)
 s^3G = \mathcal{L}[g''']  + g(0)s^2 + g'(0)s + g''(0)
 \vdots
 s^{n-1}G = \mathcal{L}[g^{(n-1)}] + g(0)s^{n-2} + g'(0)s^{n-3} + \cdots + g^{(n-2)}
 s^{n}G = \mathcal{L}[g^{(n)}] + g(0)s^{n-1} + g'(0)s^{n-2} + \cdots + g^{(n-1)}
これらを①に代入して，
\mathcal{L}\bigg[g^{(n)} + a_1g^{(n-1)} + a_2g^{(n-2)} + \cdots + a_{n-2}g'' + a_{n-1}g' + a_ng\bigg]
 + g(0)s^{(n-1)} + \left\{ g(0) + g'(0) \right\}s^{(n-2)} + \cdots + \left\{ g(0) + g'(0) + g''(0) + \cdots + g^{(n-2)} \right\}s + g^{(n-1)}(0) = 1
p(D)g = 0 より \mathcal{L}\bigg[\ \bigg] 内は 0 となり，①より s の係数を比較して，
g(0) = g'(0) = g''(0) = \cdots = g^{(n-2)}(0) = 0, \quad g^{(n-1)}(0) = 1
．この初期条件に留意しつつ g*f に合成積の微分の公式を次々に適用すると，
および，
となり，上から順に a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots a_2, a_1, 1 を掛けて加えると，
{{制御と振動の数学/equation|p(D)(g*f) = \{p(D)g\}*f + f = f
\because p(D)g = 0
を得る．
この証明からも分かる通り，f(t) の Laplace 変換が存在しなくても g*f は，
の解となる．たとえば，
において，e^{t^2} の Laplace 変換は存在しないが，
が解であることは明らかである
この章の証明に Laplace 変換 が使われていない，というのは，Laplace 変換によって求めた原像 x_0, g * f が微分方程式 p(D)x = f の解であることを証明するのに Lapalce 変換を使っていない，ということである．ただ，非同次微分方程式の定常解 g*f の f については，f は与えられた関数であり，「f に対応する Laplace 変換がなくとも g*f は解となる」という部分には Laplace 変換が使われていないことはいえる．初期値の与え方についても最終項を除いて D^i(g*f) = (D^ig)*f となるように初期値 g^{(i)}(0) = 0，最終項は g^{(n-1)}(0) = 1 と後から与えてよい．
．