例108\quad
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} &= -y + f(t)\\
\frac{dy}{dt} &= x + g(t)
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = 0\\
y(0) = 0
を解け．
これを Laplace 変換すると，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
s\mathcal{L}[x] &= -\mathcal{L}[y] &+ \mathcal{L}[f]\\
s\mathcal{L}[y] &= \mathcal{L}[x]  &+ \mathcal{L}[g]                      
}
これを \mathcal{L}[x], \mathcal{L}[y] について解くと，例104 で
\alpha と \beta が \mathcal{L}[f] と \mathcal{L}[g] に代わっただけであるから，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
\mathcal{L}[x] &= \frac{s}{s^2 + 1}\mathcal{L}[f] &- \frac{1}{s^2 + 1}\mathcal{L}[g]\\
\mathcal{L}[y] &= \frac{1}{s^2 + 1}\mathcal{L}[f] &+ \frac{s}{s^2 + 1}\mathcal{L}[g]
}
となり，この原像
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
x(t) &= \int_0^t \cos(t-\tau)f(\tau)d\tau &- \int_0^t \sin(t-\tau)g(\tau)d\tau\\
y(t) &= \int_0^t \sin(t-\tau)f(\tau)d\tau &+ \int_0^t \cos(t-\tau)g(\tau)d\tau
を得る．
\diamondsuit
例109\quad
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} &= -y + f(t)\\
\frac{dy}{dt} &= x + g(t)
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = \alpha\\
y(0) = \beta
を解け．
これは例 104 の解と例 108 の解との和である．
\diamondsuit
例110\quad
式 (5.5) を直接 Laplace 変換して解き上の事実を確かめよ．
解答例
X \sqsubset x,\quad Y \sqsubset y,\quad F \sqsubset f,\quad G \sqsubset g と置くと，
\begin{cases}
sX - \alpha &= -Y + F \\
sY - \beta  &= X + G
\end{cases}
したがって，
s &  1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
F + \alpha \\
G + \beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}
\frac{1}{s^2+1}
\begin{pmatrix}
s & -1 \\
1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
F + \alpha \\
G + \beta
\end{pmatrix}
\frac{1}{s^2+1}
\begin{pmatrix}
s & -1 \\
1 & s
\end{pmatrix}
\left\{
\begin{pmatrix}
F \\
G
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
\right\}
\frac{1}{s^2+1}
\begin{pmatrix}
s & -1 \\
1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
F \\
G
\end{pmatrix}
+
\frac{1}{s^2+1}
\begin{pmatrix}
s & -1 \\
1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
あとは，例 104 や例 108 と解法は同じで、解 x, y の s 領域 X, Y は例 104 ・例 108 の和であり、よってLaplace 変換の線形性より、これらの原像 x, y も結局この二つの問題の解の和となる．
\diamondsuit