f(t) の不定積分は，次のように合成積
と書けることに注意しよう．すなわち，積分するということは，合成積の意味で 1 を掛けることを意味する．
Laplace 変換の基本性質の(1)
と(3)を用いると，
よって
を得る．すなわち t 領域での積分は s 領域Laplace 変換した領域をこのように略称する．では s で割ることに対応する．
さて，
}
以下同様にして，帰納的に，
を得る．この左辺の Laplace 変換は，基本性質のLaplace 変換の基本性質の(1)と(3)を用いれば，
}
であるから，
を得る．
例20\quad
式(2.8) を Laplace 変換の定義式から直接導け．
解答例\quad
すなわち
これと，基本性質(1)すなわち
}
および基本性質(2)とを再帰的に適用して式(2.8)を得られる．実際、
}
}
}
}
すなわち
これに基本性質(2)を適用すれば，
この導出方法は基本性質(1)(2)を使ってしまっているし，あと，こういうのは数学的帰納法で記述するべきであるが，基本性質(1)(2)は容易な積分なこともありこれで勘弁してほしい．
\diamondsuit
これらの結果を用いて、次の Cauchey の公式と呼ばれるものを示そう．
証明\quad
合成積の記号を用いて表せば一目瞭然である．すなわち，
となるが，この式の正しいことは式(2.7)から明らかである．
\diamondsuit
なお Cauchy の公式を Laplace 変換すれば，その像は，左辺右辺ともに，
になることを注意しておこう．
f(t) の導関数を f'(t) とする．微分積分法の基本公式，
の両辺を Laplace 変換すると
{{制御と振動の数学/equation|\frac{1}{s}\mathcal{L}[f'] = \mathcal{L}[f] - \frac{f(0)}{s}
\int_0^t f'(\tau)d\tau = 1*f' \sqsupset \frac{1}{s}\mathcal{L}[f']
となる．s を払えば，
となる．f(0) = 0 ならば，
となり，t 領域での微分は，s 領域で s を掛けることに対応し，微分と積分が逆演算であることが鮮明となる．
式(2.10) を 2 度繰り返すと
よって
以下同様にして，
\mathcal{L}[f^{(3)}] = s^3\mathcal{L}[f] - s^2f(0)-sf^{(1)}(0) - f^{(2)}(0)
\mathcal{L}[f^{(4)}] = s^4\mathcal{L}[f] - s^3f(0)-s^2f^{(1)}(0) - sf^{(2)}(0) - f^{(3)}(0)
\mathcal{L}[f^{(5)}] = s^5\mathcal{L}[f] - s^4f(0)-s^3f^{(1)}(0) - s^2f^{(2)}(0) - sf^{(3)}(0) - f^{(4)}(0)
帰納的に
を得る．初期値がすべて 0 の場合，この公式は，
とみなしてよいことを示している．なお f^{(n)} は f の第 n 階導関数である．
式(2.11) は Taylor の公式を示す．事実，\mathcal{L}[f] について解くと，
となるが，式(2.8)および Cauchey の公式 (2.9) を用いて，この原像を求めれば，
{(n-1)!}f^{(n)}(\tau)d\tau
{(n-1)!}f^{(n)}(\tau)d\tau
Taylor 展開の剰余項の積分表示について復習する．定積分の定義より
\int_{x_0}^x f'(\tau)d\tau = f(x) - f(x_0)
よって
f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(\tau)d\tau
これ以降、x, x_0 は定数とする．最後の積分の項を部分積分する。1 を \tau で積分すると -(x-\tau) になるとする．実際 -(x-\tau) を \tau で微分すると 1．
f(x) = f(x_0) + \left[ f'(\tau)(x-\tau)\right]_{\tau=x}^{\tau=x_0} + \int_{x_0}^x f''(x-\tau)d\tau
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \int_{x_0}^x f''(x-\tau)d\tau
さらに積分の項を部分積分する。(x-\tau) を \tau で積分すると -\frac{(x-\tau)^2}{2!} になるとする．実際 -\frac{(x-\tau)^2}{2!} を \tau で微分すると (x-\tau)．
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \left[ f''(\tau)\frac{(x-\tau)^2}{2!}\right]_{\tau=x}^{\tau=x_0} + \int_{x_0}^x f^{(3)}(\tau)\frac{(x-\tau)^2}{2!}d\tau
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!} + \int_{x_0}^x f^{(3)}(\tau)\frac{(x-\tau)^2}{2!}d\tau
さらに積分の項を部分積分する。\frac{(x-\tau)^2}{2!} を \tau で積分すると -\frac{(x-\tau)^3}{3!} になるとする．
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!} + f^{(3)}(x_0)\frac{(x-x_0)^3}{3!} + \int_{x_0}^x f^{(4)}(\tau)\frac{(x-\tau)^3}{3!}d\tau
(x-x_0) の指数が n - 1 になるまでこの過程を繰り返すと次の最終形になる．
{(n-1)!}d\tau
厳密には数学的帰納法で記述するべきであるが，これで勘弁してほしい…．
例21\quad
}
を解け．
解答例
式(2.11a) に f(0) = a_0, f'(0) = a_1, \cdots f^{(n-1)}(0) = a_{n-1} を代入すればよい．
\diamondsuit