定義 (代数的閉体 algebraically closed field)
体 F が代数的閉(algebraically closed)であるとは、任意の定数でない多項式 f(x) \in F[x] に対して \alpha \in F があって f(\alpha) = 0 となることをいう。
例
複素数体 \mathbb{C} は代数的閉体である。これは 代数学の基本定理と呼ばれる事実である。
 を代数的数全体とすると、これは代数的閉体である。
[x] を定数でない多項式として、複素数体 \mathbb{C} が代数的閉体であることから、\alpha \in \mathbb{C} で f(\alpha) = 0 となるものがある。この \alpha が実は代数的数であることを示せば良い。
f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n として、\alpha は \mathbb{Q}(a_0, \cdots, a_n) 上代数的であり、\mathbb{Q}(a_0, \cdots, a_n) は \mathbb{Q} 上代数的である (ガロア理論/代数拡大#系 7より) ので、ガロア理論/代数拡大#定理 5より \alpha は \mathbb{Q} 上代数的である。
代数的閉体 K について、K[x] の多項式は一次の式に分解される。つまり、任意の多項式が a_0(X-a_1) \cdots (X-a_n) という形である。
証明
次数に関する帰納法。
定義 (代数的閉包 algebraic closure)
体 F の代数的閉包(代数閉包) \bar{F} とは、F の拡大体であり、かつ代数的閉であるような体のことをいう。
さて、このページで最も重要な定理は次である。
F を体とする。
(i) F の代数的閉包が存在する。
(ii) K/F, K'/F を代数拡大とし、f : K \rightarrow K' が F 上の体の同型であるとする。また、\bar{K}, \bar{K'} をそれぞれの代数的閉包とする。このとき、同型 \bar{f} : \bar{K} \rightarrow \bar{K'} で f : K \rightarrow K' の拡張になっているものがある。
(iii) F の代数的閉包はみな F 上同型である。
(注) (ii) において、\bar{K}, \bar{K'} はそれぞれ F, F' の代数閉包でもある。
この定理は重要であるが、その証明はガロア理論の本質に関係のあるものではないため、読み飛ばすことを推奨する。