前章までで取り扱った単独高階の微分方程式，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
 + \cdots + a_{n-1}\frac{dx}{dt} + a_nx = f(t) \\
x(0) = \xi_1, \quad x'(0) = \xi_2, \cdots, x^{(n-1)}(0) = \xi_n
\end{cases}
は，次のような変数を選べば，連立微分方程式とみなすことができる．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|
}
とおけば，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
\frac{dx_1}{dt} = x_2 \\
\frac{dx_2}{dt} = x_3 \\
\frac{dx_3}{dt} = x_4 \\
\vdots \\
{dt} = x_n \\
\frac{dx_n}{dt} = -a_nx_1 - a_{n-1}x_2 - a_{n-2}x_3 - \cdots - a_2x_{n-1} - a_1x_n + f(t)
}
となり，また初期条件は，
{{制御と振動の数学/equation|
となる．
そこで，この節では，もう少し一般化した定数係数の連立 1 階線形微分方程式，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
\frac{x_1}{dt} = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + \cdots + a_{1(n-1)}x_{n-1} + a_{1n}x_n + f_1(t) \\
\frac{x_2}{dt} = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + \cdots + a_{2(n-1)}x_{n-1} + a_{2n}x_n + f_2(t) \\
\frac{x_3}{dt} = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + \cdots + a_{3(n-1)}x_{n-1} + a_{3n}x_n + f_3(t) \\
\vdots \\
\frac{x_n}{dt} = a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + a_{n3}x_3 + \cdots + a_{n(n-1)}x_{n-1} + a_{nn}x_n + f_n(t)
および初期条件
{{制御と振動の数学/equation|
を取り扱うことにする．ここで，
{{制御と振動の数学/equation|
A := \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots &        & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\
}
および，
{{制御と振動の数学/equation|
\boldsymbol{x} := \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix}
f_1 \\
f_2 \\
f_3 \\
\vdots \\
f_n
\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix}
\xi_1 \\
\xi_2 \\
\xi_3 \\
\vdots \\
\xi_n
}
とおけば，式 (5.10) と初期条件は，
{{制御と振動の数学/equation|
と簡潔に表示できる．ここに，
{{制御と振動の数学/equation|
{dt} = \begin{pmatrix}
\frac{dx_1}{dt} \\
\frac{dx_2}{dt} \\
\frac{dx_3}{dt} \\
\vdots \\
}
である．
ここで少し記号の約束をしておこう．
関数を成分とする行列，
{{制御と振動の数学/equation|
B(t) := \begin{pmatrix}
b_{11}(t) & b_{12}(t) & b_{13}(t) & \cdots & b_{1n}(t) \\
b_{21}(t) & b_{22}(t) & b_{23}(t) & \cdots & b_{2n}(t) \\
b_{31}(t) & b_{32}(t) & b_{33}(t) & \cdots & b_{3n}(t) \\
\vdots    & \vdots     & \vdots    &        & \vdots \\
b_{m1}(t) & b_{m2}(t) & b_{m3}(t) & \cdots & b_{mn}(t)
}
に対して，この行列の微分あるいは積分を，その成分の微分あるいは積分を成分とする行列と定義する．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|
\frac{dB(t)}{dt} := \begin{pmatrix}
\frac{db_{11}(t)}{dt} & \frac{db_{12}(t)}{dt} & \frac{db_{13}(t)}{dt} & \cdots & \frac{db_{1n}(t)}{dt} \\
\frac{db_{21}(t)}{dt} & \frac{db_{22}(t)}{dt} & \frac{db_{23}(t)}{dt} & \cdots & \frac{db_{2n}(t)}{dt} \\
\frac{db_{31}(t)}{dt} & \frac{db_{32}(t)}{dt} & \frac{db_{33}(t)}{dt} & \cdots & \frac{db_{3n}(t)}{dt} \\
\vdots    & \vdots     & \vdots    &        & \vdots \\
\frac{db_{m1}(t)}{dt} & \frac{db_{m2}(t)}{dt} & \frac{db_{m3}(t)}{dt} & \cdots & \frac{db_{mn}(t)}{dt} 
}
あるいは，
{{制御と振動の数学/equation|
\int_a^bB(t)dt := \begin{pmatrix}
\int_a^bb_{11}(t)dt & \int_a^bb_{12}(t)dt & \int_a^bb_{13}(t)dt & \cdots & \int_a^bb_{1n}(t)dt \\
\int_a^bb_{21}(t)dt & \int_a^bb_{22}(t)dt & \int_a^bb_{23}(t)dt & \cdots & \int_a^bb_{2n}(t)dt \\
\int_a^bb_{31}(t)dt & \int_a^bb_{32}(t)dt & \int_a^bb_{33}(t)dt & \cdots & \int_a^bb_{3n}(t)dt \\
\vdots    & \vdots     & \vdots    &        & \vdots \\
\int_a^bb_{m1}(t)dt & \int_a^bb_{m2}(t)dt & \int_a^bb_{m3}(t)dt & \cdots & \int_a^bb_{mn}(t)dt
}
と約束する．この約束に従えば，
{{制御と振動の数学/equation|
\mathcal{L}[B(t)] := \begin{pmatrix}
\mathcal{L}[b_{11}(t)] & \mathcal{L}[b_{12}(t)] & \mathcal{L}[b_{13}(t)] & \cdots & \mathcal{L}[b_{1n}(t)] \\
\mathcal{L}[b_{21}(t)] & \mathcal{L}[b_{22}(t)] & \mathcal{L}[b_{23}(t)] & \cdots & \mathcal{L}[b_{2n}(t)] \\
\mathcal{L}[b_{31}(t)] & \mathcal{L}[b_{32}(t)] & \mathcal{L}[b_{33}(t)] & \cdots & \mathcal{L}[b_{3n}(t)] \\
\vdots    & \vdots     & \vdots    &        & \vdots \\
\mathcal{L}[b_{m1}(t)] & \mathcal{L}[b_{m2}(t)] & \mathcal{L}[b_{m3}(t)] & \cdots & \mathcal{L}[b_{mn}(t)]
}
{{制御と振動の数学/equation|
\mathcal{L}^{-1}[B(t)] := \begin{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}[b_{11}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{12}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{13}(t)] & \cdots & \mathcal{L}^{-1}[b_{1n}(t)] \\
\mathcal{L}^{-1}[b_{21}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{22}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{23}(t)] & \cdots & \mathcal{L}^{-1}[b_{2n}(t)] \\
\mathcal{L}^{-1}[b_{31}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{32}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{33}(t)] & \cdots & \mathcal{L}^{-1}[b_{3n}(t)] \\
\vdots    & \vdots     & \vdots    &        & \vdots \\
\mathcal{L}^{-1}[b_{m1}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{m2}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{m3}(t)] & \cdots & \mathcal{L}^{-1}[b_{mn}(t)]
}
は必然である
\int_0^{\infty}b_{11}e^{-st}dt & \cdots & \int_0^{\infty}b_{1n}e^{-st}dt \\
\vdots                         &        & \vdots                         \\
\int_0^{\infty}b_{m1}e^{-st}dt & \cdots & \int_0^{\infty}b_{mn}e^{-st}dt
\end{pmatrix}
\int_0^{\infty}\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}e^{-st}dt
また，b_{11} \sqsubset B_{11}, \cdots, b_{mn} \sqsubset B_{mn} とおけば，
b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn}
\end{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}B_{11} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
\mathcal{L}^{-1}B_{m1} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn}
\end{pmatrix}
両辺に左から \mathcal{L}^{-1} を働かせて，
\mathcal{L}^{-1}B_{11} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
\mathcal{L}^{-1}B_{m1} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{mn}
\end{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}B_{11} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
\mathcal{L}^{-1}B_{m1} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{mn}
\end{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn}
\end{pmatrix}
．
また A(t) を関数を成分とする行列とし，積 A(t)\ B(t) が定義できるものとすれば，
などは明らかであろう．
例114\quad
式 (5.11a), 式 (5.11b) を示せ．
解答例
(1) 式 (5.11a)の証明．
行列 M の第 i 行第 j 列成分を m_{ij}，
これと並行に成分の表示方法として，行列 M の各成分を (M)_{ij} と表示するものとすると，
よって，
{dt}
以上により式 (5.11a)の証明が完了する．
(2)式 (5.11b)の証明．
\frac{d}{dt}b_{11} & \cdots & \frac{d}{dt}b_{1n} \\
\vdots             &        & \vdots \\
\frac{d}{dt}b_{m1} & \cdots & \frac{d}{dt}b_{mn}
\end{pmatrix}dt
\int_a^b \frac{d}{dt}b_{11}dt & \cdots & \int_a^b \frac{d}{dt}b_{1n}dt \\
\vdots                        &        & \vdots \\
\int_a^b \frac{d}{dt}b_{m1}dt & \cdots & \int_a^b \frac{d}{dt}b_{mn}dt
\end{pmatrix}
ここで \int_a^b \frac{df}{dt}dt = f(b) - f(a) より，
b_{11}(b) - b_{11}(a) & \cdots & b_{1n}(b) - b_{1n}(a) \\
\vdots                &       & \vdots \\
b_{m1}(b) - b_{m1}(a) & \cdots & b_{mn}(b) - b_{mn}(a)
\end{pmatrix}
b_{11}(b) & \cdots & b_{1n}(b)\\
\vdots    &       & \vdots \\
b_{m1}(b) & \cdots & b_{mn}(b)
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
b_{11}(a) & \cdots & b_{1n}(a)\\
\vdots    &       & \vdots \\
b_{m1}(a) & \cdots & b_{mn}(a)
\end{pmatrix}
\diamondsuit
したがって，
などの計算が許される．ただし 式 (5.13) の A は定数行列とする．
たとえば式 (5.12) 
の証明は次のとおりである。
と略記すると，
{{制御と振動の数学/equation|\mathcal{L}[\boldsymbol{x}'] = \mathcal{L}[(x_i)'] = (\mathcal{L}[x_i'])
ただ定義に従って変形していくだけでよい
式 (5.13) の証明は次のとおり．
まず，A\boldsymbol{x} は n 行 1 列のベクトルになることに注意して，
上述のとおり，行列 M の各成分を m_{ij} = (M)_{ij} と，また，ベクトル \boldsymbol{f} の第 i 成分を f_i = (\boldsymbol{f})_i と表記するものとすると，
．
さて以上の準備の下に，
}
は次のように解くことができる．
この式を Laplace 変換すると，
すなわち，
となる．ここに I は n 次の単位行列である．
(sI - A)^{-1} を (sI - A) の逆行列とすれば，
となる．いま，
とおけば，
となる．以上は例題を通して考察したことの繰り返しに過ぎない．
これからわかるように，連立微分方程式を解くことの中心は式 (5.14) を計算することである．