三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。
AB とし、辺AC上に点Dを、 AD=AB となるようにとれば
ところで、\angle ADB は \triangle DBC の \angle BDC の外角だから
また、点Dは辺AC上にあるから
(1),(2),(3)より、\angle B > \angle C
\angle B > \angle C であって、AB ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。
(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、\angle B = \angle C
(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、\angle B < \angle C
どちらの場合も、仮定 \angle B > \angle C に反する。
よって、ABでなければならない。(証明終)
よって、逆も成立する。なお、このような証明法を 転換法 という。
三角形の3辺について、次のようなことが言える。
\triangle ABC において、AB+AC>BC を証明する。
辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、AD=AC となるようにとる。
\triangle ACD は二等辺三角形であるから
\triangle BCD において、点Aは辺BD上にあるから
よって、三角形の辺と角の大小関係より
\triangle ABC の3辺の長さを、BC=a\ ,\ CA=b\ ,\ AB=c とすると、上の定理より次のことがわかる。
であるから、b \geqq c のとき、c+a>b より
b のとき、a+b>c より
が成り立つ。
2つの定理より、三角形の3辺が a\ ,\ b\ ,\ c であるとき、
が成り立つことがわかる。(||は絶対値を表す記号。例えば|-2|=2)
逆に、正の数 a\ ,\ b\ ,\ c が不等式 |b-c| を満たすとき、3辺の長さが a\ ,\ b\ ,\ c である三角形が存在する。
特に、最大のものがcならば、a+b のみを満たせばよい。