を公式
を用いて Laplace 変換する．
とおくと，f(0) = 0, f'(0) = \beta であるから，式(2.18) は
}
を得る．
また，
を Laplace 変換すると，
}
となる．
例35\quad
Laplace 変換の定義式から，直接三角関数の Laplace 変換を導け．
解答例
\mathcal{L}[\sin\omega t] = \int_0^{\infty} \sin\omega t\ e^{-st}dt
= \frac{1}{s} \left[ \sin\omega t\ e^{-st} \right]_{\infty}^0 + \frac{\omega}{s} \int_0^{\infty} \cos\omega t\ e^{-st}dt
=\frac{1}{s} \left( 0 - 0 \right) + \frac{\omega}{s} \int_0^{\infty} \cos\omega t\ e^{-st}dt
=\frac{\omega}{s} \left \{ \frac{1}{s} \left[ \cos\omega t\ e^{-st} \right]_{\infty}^0 - \frac{\omega}{s}\int_0^{\infty} \sin\omega t\ e^{-st}dt \right \}
=\frac{\omega}{s^2}(1-0) - \frac{\omega^2}{s^2}\mathcal{L}[\sin\omega t]
\therefore (1 + \frac{\omega^2}{s^2})\mathcal{L}[\sin\omega t] = \frac{\omega}{s^2}
\therefore \mathcal{L}[\sin\omega t] = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}
また \frac{\omega}{s}\mathcal{L}[\cos\omega t] = \mathcal{L}[\sin\omega t] より
\mathcal{L}[\cos\omega t] = \frac{s}{\omega}\cdot\frac{\omega}{s^2 + \omega^2} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}
\diamondsuit
例36\quad
\frac{d^2}{dt^2}\cos\beta t = -\beta^2\cos\beta t を Laplace 変換することにより上の結果を導け．
解答例
f(t) = \cos\beta t, \quad f \sqsupset F とすると，
s^2F - s\cdot 1 - 0 = -\beta^2 F
\therefore \mathcal{L}[\cos\beta t] = F = \frac{s}{s^2 + \beta^2}
\diamondsuit
以上をまとめて
}
を得る．
次に式 (2.19) から得られる興味ある結果を示そう．
右辺を \frac{1}{s} で展開する．
この原像を求めると，
となる．これは \sin\beta t の Taylor 展開である．
例37\quad
上の例にならって \cos\beta t を Taylor 展開せよ．
解答例
\frac{s}{s^2 + \beta^2} = \frac{s}{s^2(1 + \frac{\beta^2}{s^2})} = \frac{1}{s} - \frac{\beta^2}{s^3} + \frac{\beta^4}{s^5} - \frac{\beta^6}{s^7} + \cdots
初項：\frac{1}{s}，公比：-\frac{\beta^2}{s^2} の無限等比級数．
よってその原像は，
\cos\beta t = 1 - \frac{\beta^2t^2}{2!} + \frac{\beta^4t^4}{4!} - \frac{\beta^6t^6}{6!} + \cdots
\diamondsuit
例38\quad
を解け．
解
与式を  Laplace 変換 すると，
よって，
}
この原像は，
\diamondsuit
例39\quad
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} &= \beta y \\
\frac{dy}{dt} &= -\beta x
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0)&=0 \\
y(0)&=1
\end{cases}
を解け．
解
与式を Laplace 変換すると，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
s\mathcal{L}[x] &= \beta\mathcal{L}[y] \\
s\mathcal{L}[y] - 1 &= -\beta\mathcal{L}[x]
\end{cases}
これを \mathcal{L}[x] と \mathcal{L}[y] について解くと，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
\mathcal{L}[x] &= \frac{\beta}{s^2 + \beta^2} \\
\mathcal{L}[y] &= \frac{s}{s^2 + \beta^2}
\end{cases}
X \sqsubset x, Y \sqsubset y とすると X, Y の連立方程式
\begin{cases}
sX - \beta Y &= 0 \\
\beta X + sY &= 1
\end{cases}
\begin{pmatrix}
s & -\beta \\
\beta & s
\end{pmatrix}
\left(
    \begin{array}{c}
      X\\
      Y
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      0 \\
      1  
    \end{array}
  \right)
を得る．したがって，
\left(
    \begin{array}{c}
      X\\
      Y
    \end{array}
  \right)
\begin{pmatrix}
s & -\beta \\
\beta & s
\end{pmatrix}^{-1}
\left(
    \begin{array}{c}
      0\\
      1
    \end{array}
  \right)
\frac{1}{s^2 + \beta^2}
\begin{pmatrix}
s & \beta \\
-\beta & s
\end{pmatrix}
\left(
    \begin{array}{c}
      0\\
      1
    \end{array}
  \right)
\frac{1}{s^2 + \beta^2}
\left(
    \begin{array}{c}
      \beta\\
      s
    \end{array}
  \right)
．
となるから，この原像は
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
x(t) &= \sin\beta t \\
y(t) &= \cos\beta t
\end{cases}
である．
\diamondsuit
応用例
バネの振動
の周期を求めてみよう．今，
と変形しておいて Laplace 変換する．
これを \mathcal{L}[x] について解くと，
}
この原像を求めると，
ただし x(0)=x_0, \ \ x'(0)=v_0 とおいた．次に \sin と \cos を合成して
ここに，
}
と変形すると，周期 T は，
であることが分かる．さて、バネに錘 m をつけたときの伸びを \delta とすると，
力の釣り合いの式から，
}
を得るから，この伸び \delta を用いると，
となる．\delta を静たわみと呼ぶことがある．
このバネ振子と振り子とを比べてみると面白い．
この振り子の運動方程式，
は，\theta が小さいときは \sin\theta \fallingdotseq \theta であるから
}
となる．よってこの振り子の周期は，
である．さきの静たわみ \delta は，この振り子の長さ l に相当する．
例40\quad
次の微分方程式を解け．
解答例
X \sqsubset x,\ \ F \sqsubset f(t) とおき，与方程式の Laplace 変換をとると，
s^2X - sx_0 - v_0 + \beta^2X = F
\therefore X = \frac{x_0s + v_0}{s^2 + \beta^2} + \frac{1}{\beta}\frac{\beta F}{s^2 + \beta^2}
この原像は，
x(t) = x_0\cos\beta t + \frac{v_0}{\beta}\sin\beta t + \frac{1}{\beta}\int_0^t f(\tau)\sin\beta(t-\tau) d\tau
\diamondsuit
例41\quad
次の微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} &= \beta y \\
\frac{dy}{dt} &= -\beta x
\end{cases}, \quad
\begin{cases}
x(0) &= x_0 \\
y(0) &= y_0
\end{cases}
解答例
X \sqsubset x(t),\ \ Y \sqsubset y(t) とおき，与方程式の Laplace 変換をとると，
\begin{cases}
sX-x_0 &= \beta Y \\
sY-y_0 &= -\beta X
\end{cases}
\begin{pmatrix}
s & -\beta \\
\beta & s
\end{pmatrix}
\left(
    \begin{array}{c}
      X\\
      Y
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      x_0 \\
      y_0  
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      X\\
      Y
    \end{array}
  \right)
\begin{pmatrix}
s & -\beta \\
\beta & s
\end{pmatrix}^{-1}
\left(
    \begin{array}{c}
      x_0 \\
      y_0  
    \end{array}
  \right)
\frac{1}{s^2 + \beta^2}
\begin{pmatrix}
s & \beta \\
-\beta & s
\end{pmatrix}
\left(
    \begin{array}{c}
      x_0 \\
      y_0  
    \end{array}
  \right)
\frac{1}{s^2 + \beta^2}
\left(
    \begin{array}{c}
      sx_0 + \beta y_0\\
      -\beta x_0 + sy_0  
    \end{array}
  \right)
この原像は，
\begin{cases}
x(t) &= x_0\cos\beta t + y_0\sin\beta t \\
y(t) &= y_0\cos\beta t - x_0\sin\beta t
\end{cases}
\diamondsuit
第一移動定理
を式(2.19) に用いると，
}
を得る．
例42\quad
を解け．
解
x(t) \sqsupset X(s) とおくと，
これを X(s) について解く．
この原像を求めると，
{{制御と振動の数学/equation|x(t) = e^{-t}(2\cos2t-\sin2t)
\frac{2s}{s^2 + 2s + 5} = \frac{2(s+1) - 2}{(s + 1)^2 + 2^2} = \frac{2(s+1)}{(s+1)^2 + 2^2} - \frac{2}{(s+1)^2 + 2^2}
 \sqsubset e^{-t}\cdot \mathcal{L}^{-1} \left[ 2\cdot\frac{s}{s^2 + 2^2} - \frac{2}{s^2 + 2^2} \right]
=e^{-t} \left( 2\cos2t - \sin 2t \right)
\diamondsuit
例43\quad
を解け．
解
とおくと，
となる．これを X について解くと，
}
ところで
であるから
{2}(t-\tau) \right\} f(\tau)d\tau
{2}\right)^2} \right]\right) * f(t)
{2}t \right) * f(t)
\diamondsuit
例44\quad
解答例
とおくと，
とおいて，
すなわち
{s^2 + s + 1}
{2})^2}
この原像は，
{2}t\right)
\diamondsuit
別解例
例43 で求めた解に f(t) = 7e^{2t} を代入する．
{2}(t-\tau) \right\} f(\tau)d\tau
に f(t) = 7e^{2t} を代入すると，
{2}(t-\tau)\cdot 7e^{2\tau}d\tau
{2}(t-\tau)d\tauさらに加法定理を使いたくなるが，ここは我慢のしどころである…．
{2}(t-\tau)d\tau とおいて部分積分を実行すると，
{2}(t-\tau)d\tau
{2}(t-\tau)d\tau
{2}(t-\tau)d\tau とおいて部分積分を実行すると，
{2}(t-\tau)d\tau
{2}(t-\tau)d\tau
I_1
前に戻って，
 I_1 \right)
{2}t - \frac{25}{3}I_1
すなわち，
{2}t
{2}t
{2}t
{2}t \right\}
{2}t\right)
\diamondsuit
例45\quad
解答例
とおくと
過渡解 u(t) については，
{2})^2}
この原像は，
{2}t
定常解 v(t) については 例43 より
{2}t \right) * f(t)
{2}(t-\tau) \right\} f(\tau)d\tau
よって解 x(t) は，
{2}(t-\tau) \right\} f(\tau)d\tau
\diamondsuit
}
の原像を求めよう．
(i)
であったから，
{{制御と振動の数学/equation|= \frac{1}{2\beta^2}\int_0^t \{ \cos\beta(t-2\tau)-\cos\beta t \}d\tau
加法定理より
② - ① より \cos(A - B) - \cos(A + B) = 2\sin A\sin B
すなわち\sin A\sin B = \frac{1}{2} \left\{ \cos(A - B) - \cos(A + B) \right\} （積和の公式）
これを適用する． 
(ii)
とおくと，今求めた x = \frac{1}{2\beta^2} \left( \frac{1}{\beta}\sin\beta t - t\cos\beta t \right) より x(0) = 0 である．
にて x(0) = 0 より
}
となるから、上の結果を用いて
を得る
または，\frac{s}{(s^2 + \beta^2)^2} = \frac{s}{s^2 + \beta^2}\cdot\frac{1}{\beta}\frac{\beta}{s^2 + \beta^2} \sqsubset \frac{1}{\beta}\cos\beta t * \sin\beta t とし，これを求める．
加法定理より
① - ② より \sin(A + B) - \sin(A - B) = 2\cos A\sin B
すなわち\cos A\sin B = \frac{1}{2} \left\{ \sin(A + B) - \sin(A - B) \right\} （積和の公式）
これを適用すると，
．以上をまとめると
この応用として，外力を伴う単振動を取り扱おう．
t = 0 では静止していたものとする．
水平面上，質量 m のおもりと自由長 L，バネ定数 k のバネを結合した系を X 軸上に置き、このときのおもりの位置を x = 0，
バネのおもりとは反対側の一端（静止した状態では X = -L) の位置に新しい座標系 Y を置いて Y の大きさおよび正の向きは X と同一とし，このバネの一端の座標軸 Y = 0 に対する向きを含めた変位を y とする．今 x および y が任意の値をとるとき，バネの自由長からの伸びは符号を含めて x - y．おもりに対する運動方程式を立てると，
すなわち，
いま，y を強制的に変位させ，それが y = A\sin\omega t ならば，
これは kA = F とおけば，おもり m に遠隔力としての外力 F\sin\omega t を与えたことと同じである．
いま，
とおくと，上式は，
となる．これを解けばよい．
(i) \quad \omega \ne \beta の場合
式(2.22) を Laplace 変換すると，
}
}
この原像は
おもりの位置 x に，微分方程式の形に由来する力学系の固有振動の項 \sin\beta t の他，
外力による振動の項 \sin\omega t が現れていることに注目する．この二つの振動数が近づくほど
\frac{K\omega}{\omega^2 - \beta^2} の分母の影響により，|x| が大きくなることがわかる．
力学系の固有振動数 \beta と外力の振動数 \omega が同一となると、ついにはこの力学系にて問題を引き起こすのである．
(ii)\quad \omega = \beta の場合
同じく，式(2.22) を Laplace 変換すると，
}
この原像は，
第二項に注目する．この項には t があるため，
となり，建造物の場合などでは破壊が起こる．いわゆる共振現象と呼ばれているものがこれである．
例46\quad
を解け．
解答例
とおくと
この原像は，
\diamondsuit
式(2.21) に 第一移動定理 を用いると，
 
を得る．
例47\quad
を解け．
解答例
とおくと
この原像は，
{2} \left( \frac{1}{1}\sin t - t\cos t \right)
\diamondsuit