an                & (r=1)\\
  \cfrac{a(1-r^n)}{1-r}& (r\not=1)\end{cases}
(等比数列の和)
線形性
初項a_1の値と、第k項a_kと第k+1項a_{k+1}の関係によって数列を定義することができる。このような定義のしかたを数列の帰納的定義といい、a_kとa_{k+1}のような関係式を漸化式という。
※以下、初項a_1は所与
の性質を用い、a_nの一般項を求める。
\displaystyle b_{n+1}=rb_n  となり、これは等比数列なので、一般項は、b_n=b_1r^{n-1} となる。
一般項は、\displaystyle a_n =\left( a_1-\frac{k}{1-r}\right)r^{n-1}+\frac{k}{1-r} となる。
※以下、初項a_1及び第2項a_2は所与
\displaystyle a_n - \beta a_{n-1} =\alpha^{n-2} (a_2- \beta a_1) - ④となる。
※から、\alpha, \betaは、二次方程式\displaystyle x^2 + s x + t=0（特性方程式）の解であることがわかるが、高校の過程では「変形できる」でよい。
特性方程式の解が、以下に示す重解の場合を除き、有理数である時のみならず、無理数であっても（下記「フィボナッチ数列参照」）、虚数解であっても成立する。
上記②において、\alpha = \betaであるとき
変形の結果、以下の式が得られる。
= \frac{a_2- \alpha a_1}{\alpha^2}
\displaystyle a_n - 2 a_{n-1} + a_{n-2}=k(定数)は以下のように変形して解くことができる。
以下の関係で定義される数列をフィボナッチ数列という。
上記三項間漸化式にあてはめ、F_n - F_{n-1} - F_{n-2} = 0 を解く。
{2}であるから、
{2}
{2} = \alphaであるから、
{2} \right)^n \right\}
順々に出現する自然数nについて（離散的）、命題が成立することの証明法。
n=1のときに、命題が成り立つことを証明。
n=kのときに、その命題が成り立つことを仮定して，演算を行なってn=k+1のときその命題が成り立つことを証明する。
1.及び2.により、与えられた命題はすべての自然数nについて成り立つことが証明された。
\displaystyle a_{n+1}=ra_n+k , a_1=a , (r\not=1) のとき、一般項は、\displaystyle a_n =\left( a -\frac{k}{1-r}\right)r^{n-1}+\frac{k}{1-r} （命題※）となることの証明。
n=1のとき、a_1=a 。一般項の式:\left( a-\frac{k}{1-r}\right)r^{1-1}+\frac{k}{1-r} = a-\frac{k}{1-r} + \frac{k}{1-r} = a、となり命題※は成立。
n=mのとき、命題※が成立していると仮定。
となり、n=m+1のときも命題※は成立している。
1.及び2.により、命題※はすべての自然数nについて成り立つ。
（はさみうちの原理）
\lim_{n\to\infty}ka_n=k\alpha ただし k は定数。
\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm \beta（複号同順）。
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta} （ただし、\beta\not=0）。
\displaystyle |r|<1 ならば \lim_{n\to\infty}r^n=0。
r=1 ならば \lim_{n\to\infty}r^n=1。
\displaystyle r > 1 ならば \lim_{n\to\infty}r^n=\infty。
r ≤ -1 ならば \lim_{n\to\infty}r^n は存在しない。
0 < n r^n = \frac{n}{(1+h)^n} < \frac{n}{ \frac{n(n-1)}{2}h^2 } = \frac{2}{(n-1)h^2} 。
|r|<1 のとき \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{1-r}。
|r| ≥ 1 のとき \lim_{n\to\infty}S_n は発散する。