高等学校数学C > 確率分布	
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1から15までの番号札があり、その15枚の札から任意に1枚を選ぶ。
このとき、2の倍数を選ぶという事象をA、3の倍数を選ぶという事象をBとすると、
 P(A) = \frac{7}{15},  P(B)= \frac{5}{15} = \frac{1}{3},  P(A \cap B) = \frac{2}{15}  となる。
このとき、選び出された札が2の倍数であるとわかったとして、それが3の倍数である確率pを考える。
pは、2の倍数である札7枚の中から、6の倍数である札2枚を選ぶ確率であるから
 p = \frac{2}{7} = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}
事象Aが起こったとして、そのときに事象Bの起こる確率を、Aが起こったときのBの条件つき確率といい、 P_A (B) で表す。
 P_A (B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} 
この式の右辺の分母、分子をそれぞれ n(U) で割ると
 P_A (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} 
ある観光バスの乗客のうち、60%が女性で、42%が50歳以上の女性である。女性の中から任意に1人を選び出したとき、その人が50歳以上である確率を求めよ。
「女性である」事象をA、「50歳以上である」事象をBとする。
 P(A) = \frac{60}{100} , P(A \cap B) = \frac{42}{100}
よって、求める確率は
P_A (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} =\cfrac { \cfrac {42} {100} } { \cfrac {60} {100} } = \frac{7}{10} 
 P_A (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} の分母を払うと、次のようになる。
5本のくじの中に3本の当たりくじがある。a、b2人が、引いたくじをもとに戻さないで、a、bの順に1本ずつくじを引くとき、2人とも当たる確率を求めよ。
aが当たるという事象をA、bが当たるという事象をBとすると、求める確率はP(A \cap B)である。
aが当たったとき、残り4本のくじの中に当たりくじが2本あるから
P_A (B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
よって、2人とも当たる確率は
P(A \cap B) = P(A) P_A (B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}
1個のさいころを投げるとき、偶数の目が出る事象をA、3の倍数の目が出る事象をB、4以上の目が出る事象をCとすると、
A={2,4,6} , B={3,6} , C={4,5,6}
このとき P_A (B) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}より、P_A (B) = P(B)が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Bが起こることに影響を与えていない。
また、P_A (C) = \frac{2}{3} , P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}より、P_A (C) \ne P(C)が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Cが起こることに影響を与えている。
2つの事象A , Bについて、事象Aの起こることが事象Bの起こることに影響を与えないとき、AとBは独立であるという。また、AとBが独立でないとき、AとBは従属であるという。
事象AとBが独立であるとき、P_A (B) = P(B)である。乗法定理を用いると、事象の独立について、次のことが成り立つ。
トランプのハートのカードが1組13枚ある。
(1)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻さないで、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。
(2)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻して、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。
Aが絵札を引くという事象をA、Bが絵札を引くという事象をBとする。
(1) AとBがともに絵札を引くという事象は A \cap B で表される。
Aが絵札を引く確率はP(A) = \frac{3}{13}
Aが絵札を引いたあと、12枚のカードの中に絵札が2枚残っているから、Bが絵札を引く確率P_A (B)は、P_A (B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
よって P(A \cap B) = P(A) P_A(B) = \frac{3}{13} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{26}
(2) Aが引いたカードは、もとに戻すから、2つの事象A、Bは互いに独立である。
したがって確率は P(A \cap B) = P(A) P(B) = \frac{3}{13} \times \frac{3}{13} = \frac{9}{169}
1枚の硬貨を2回続けて投げる試行において、表の出る回数をXで表す。Xのとりうる値は、0 , 1 , 2 である。
それぞれが起こる確率は
X=0となる確率は\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
X=1となる確率は{} _2C _1 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
X=2となる確率は\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
この結果を表にすると、次のようになる。
X012計
確率\quad \frac{1}{4} \quad\frac{1}{2}\frac{1}{4}1
一般に、Xが有限個の値 x_1 , x_2 , \cdots , x_n  をとる変数で、X=x_1 , X=x_2 , \cdots , X=x_n  となる確率 p_1 , p_2 , \cdots , p_n  が与えられて、
p_1 + p_2 + \cdots + p_n =1 \qquad  \qquad p_1 \ge 0 , p_2 \ge 0 , \cdots , p_n \ge 0
を満たすとき、Xを確率変数という。
このときx_k と p_k の対応は下の表のようになる。
Xx_1x_2\cdots x_n計
Pp_1p_2\cdots p_n1
この対応関係をXの確率分布という。X=x_k となる確率を P \left( X = x_k \right) と書く。
確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。
確率分布の表
X x_1x_2\cdots x_n計
Pp_1p_2\cdots p_n1
このとき、
x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n
を確率変数Xの平均または期待値といい、E(X)で表す。
 
確率分布が上の表（確率分布の表）で与えられている確率変数Xの平均
x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n
をmとする。このとき、(x-m)^2 は1つの確率変数となり、その確率分布は下の表のようになる。
\left( X - m \right) ^2\left( x_1 - m \right) ^2\left( x_2 - m \right) ^2\cdots \left( x_n - m \right) ^2計
Pp_1 p_2 \cdotsp_n 1
(x-m)^2がとるn個の値
\left( x_1 - m \right) ^2 , \left( x_2 - m \right) ^2 , \cdots ,\left( x_n - m \right) ^2
のそれぞれは、Xとmとのへだたりの程度を表す。
確率変数\left( X - m \right) ^2の平均
\left( x_1 - m \right) ^2 p_1 + \left( x_2 - m \right) ^2 p_2 + \cdots + \left( x_n - m \right) ^2 p_n
を、確率変数の分散といい、V(X)で表す。
また、\sqrt{V(X)}をXの標準偏差といい、 \sigma (X)で表す。
分散V(X)を表す式は次のように変形できる。
V(X) = \sum_{k=1}^n \left( x_k - m \right) ^2 p_k = \sum_{k=1}^n \left(x_k \right)^2 p_k - 2m \sum_{k=1}^n x_k p_k + m^2 \sum_{k=1}^n p_k 
ここで、\sum_{k=1}^n x_k p_k =m , \sum_{k=1}^n p_k =1  であるから
V(X) = \sum_{k=1}^n \left(x_k \right)^2 p_k - 2m \times m + m^2 \times 1 = \sum_{k=1}^n \left(x_k \right)^2 p_k - m^2 
さらに、\sum_{k=1}^n \left(x_k \right)^2 p_k = E \left(X^2 \right) であるから、次の等式が成り立つ。
1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。
Xの確率分布は、下の表で与えられる。
X 1  2 3 4  5  6 計
P \frac{1}{6}  \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6}  \frac{1}{6}  \frac{1}{6} 1
Xの平均は
また、X^2の平均は
よってXの分散は
Xの標準偏差は
{6}
確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。
X x_1x_2\cdots x_n計
Pp_1p_2\cdots p_n1
a,bが定数のとき、Xの1次式Y=aX+bでYを定めると、Yも確率変数になる。Yのとる値はy_k = a x_k + bであり、Yの確率分布は次の表のようになる。
Y y_1y_2\cdots y_n計
P p_1p_2\cdots p_n1
Xに対して上のようなYを考えることを、確率変数の変換という。
確率変数の変換Y=aX+bによって、その平均、分散、標準偏差がどのように変わるだろうか。
Yの期待値については
E(Y) = \sum_{k=1}^n y_k p_k = \sum_{k=1}^n \left(a x_k + b \right) p_k = \sum_{k=1}^n \left(a x_k p_k + b p_k \right) =  a \sum_{k=1}^n x_k p_k + b \sum_{k=1}^n p_k = aE(X)+b
また、Yの分散については
y_k - E(Y) = a x_k + b - \left\{ a E(X) +b \right\} = a \left\{ x_k - E(X) \right\}
であるから
V(Y) =  \sum_{k=1}^n \left\{ y_k - E(Y) \right\} ^2 p_k = a^2 \sum_{k=1}^n \left\{ x_k - E(x) \right\} ^2 p_k = a^2 V(X)
Yの標準偏差は
\sigma (Y) = \sqrt{V(Y)} = |a| \sqrt{V(X)} = |a| \sigma (X)
1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数Y=2X+3の平均、分散、標準偏差を求めよ。
上の問題より、
{6}
Yの平均は
Yの分散は
Yの標準偏差は
{3}
A,B2人がそれぞれ1個のさいころを投げる。Aは、さいころの目が3の倍数ならば0、3の倍数でなければ1と記録する。Bは、さいころの目が1ならば1、偶数の目ならば2、1以外の奇数の目ならば3と記録する。
A,Bの記録する数をそれぞれX,Yとすると、XとYは確率変数で、X=aかつY=bとなる確率は次のようになる。
X/Y123P
0\frac{1}{18}\frac{1}{6}\frac{1}{9}\frac{1}{3}
1\frac{1}{9}
\frac{1}{3}\frac{2}{9}\frac{2}{3}
P\frac{1}{6}
\frac{1}{2}\frac{1}{3}
このとき、Z=X+Yも確率変数で、Zの確率分布は次のようになる。
Z1234 計
P\frac{1}{18}\frac{5}{18}\frac{4}{9}\frac{2}{9}1
よって、Zの平均は
E(Z) = 1 \times \frac{1}{18} + 2 \times \frac{5}{18} + 3 \times \frac{4}{9} + 4 \times \frac{2}{9} = \frac{17}{6}
一方
E(X) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}
E(Y) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{3} = \frac{13}{6}
であるから
E(X) + E(Y) = \frac{2}{3} + \frac{13}{6} = \frac{17}{6}
したがって、E(Z) = E(X) + E(Y)が成り立っている。
確率変数Xのとる任意の値aと確率変数Yのとる任意の値bについて、X=aかつY=bである確率がP(X=a)P(Y=b)に等しいとき、確率変数XとYは互いに独立であるという。
上の例において確率変数XとYは互いに独立である。この確率変数X,Yについて、U=XYを考えると、Uも確率変数で、Uの確率分布は次のようになる。
U0123 計
P\frac{1}{3}\frac{1}{9}\frac{1}{3}\frac{2}{9}1
よって、Uの平均は
E(U) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{9} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{2}{9} = \frac{13}{9}
一方、E(X) = \frac{2}{3} , E(Y) = \frac{13}{6}であるから
E(X) E(Y) = \frac{2}{3} \times \frac{13}{6} = \frac{13}{9}
したがって、E(U) = E(X) E(Y)が成り立っている。
2つの確率変数X,Yの和の分散についても、次のことが成り立つ。
大小2個のさいころを同時に投げるとき、それぞれのさいころの出る目をX,Yとする。出る目の和X+Yの平均、出る目の積XYの平均、出る目の和X+Yの分散を求めよ。
XとYは互いに独立である。今までの例より
E(X) = \frac{7}{2} , E(Y) = \frac{7}{2} , V(X) = \frac{35}{12} , V(Y) = \frac{35}{12}
したがって
E(X+Y) = E(X) + E(Y) = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7
E(XY) = E(X) E(Y) = \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{4}
V(X+Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}
1個のさいころを3回投げるとき、1の目の出る回数をXとすると
P(X=r)=_3C_r \left(\frac{1}{6} \right)^r \left(\frac{5}{6} \right)^{3-r}
である。確率変数Xの確率分布は次のようになる。
X0123 計
P_3C_0 \left(\frac{1}{6} \right)^0 \left(\frac{5}{6} \right)^3_3C_1 \left(\frac{1}{6} \right)^1 \left(\frac{5}{6} \right)^2_3C_2 \left(\frac{1}{6} \right)^2 \left(\frac{5}{6} \right)^1_3C_3 \left(\frac{1}{6} \right)^3 \left(\frac{5}{6} \right)^01
一般に、1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、この試行をn回行う反復試行において、Aの起こる回数をXとすると、確率変数Xの確率分布は次のようになる。ただし、q=1-pである。
X01\cdots r\cdotsn計
P_nC_0\ q^n  _nC_1\ p\ q^{n-1} \cdots_nC_r\ p^r q^{n-r}\cdots _nC_n\ p^n1
この表の確率は、二項定理の展開式
(q+p)^n=_nC_0\ q^n + _nC_1\ p\ q^{n-1} + \cdots + _nC_r\ p^r q^{n-r} + \cdots + _nC_n\ p^n
の右辺の各項を順に並べたものである。この確率分布を二項分布といい、B(n\ ,\ p)で表す。ただし、0とする。
上の例は、B \left(3\ ,\ \frac{1}{6} \right)である。
1枚の硬貨を6回投げるとき、表が出る回数をXとすると、Xは二項分布B \left(6\ ,\ \frac{1}{2} \right)に従う。
二項分布B(3\ ,\ p)に従う確率変数Xの平均・分散・標準偏差を求めよう。ただし、q=1-pとする。
Xの平均は
\begin{align}
 E(X) & = 0 \times _3C_0\ q^3 + 1 \times _3C_1\ p\ q^2 + 2 \times _3C_2\ p^2\ q + 3 \times _3C_3\ p^3\\
      & = 3p^3 + 6p^2 q + 3pq^2 = 3p(p^2 + 2pq + q^2)\\
      & = 3p(p+q)^2 = 3p \times 1 = 3p\\
\end{align}
また、X^2の平均は
\begin{align}
 E \left(X^2 \right) & = 0^2 \times _3C_0\ q^3 + 1^2 \times _3C_1\ p\ q^2 + 2^2 \times _3C_\ p^2\ q + 3^2 \times _3C_3\ p^3\\
                      & = 9p^3 + 12p^2 q + 3pq^2 = 3p(3p^2 + 4pq + q^2)\\
                      & = 3p(p+q)(3p+q) = 3p \times 1 \times (3p+q) = 3p(3p+q)\\
\end{align}
よって、Xの分散は
\begin{align}
 V(X) & = E \left(X^2 \right) - \left\{ E(X) \right\} ^2 \quad \\
      & = 3p(3p+q) - (3p)^2\\
      & = 3pq\\
\end{align}
Xの標準偏差は
\sigma (X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{3pq}
一般に、二項分布に従う確率変数について、次のことが成り立つ。
白玉7個と黒玉3個が入っている袋から、もとに戻しながら、玉を100回取り出す。白玉の出る回数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。
Xは二項分布B \left(100\ ,\ \frac{7}{10} \right)に従う。
Xの平均は
 E(X) = np = 100 \times \frac{7}{10} = 70
Xの分散は
 V(X) = npq = 100 \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{10} = 21
Xの標準偏差は
 \sigma (X) = \sqrt{npq} = \sqrt{21}