複素数の概念は既知のものとした。ただし、複素数のことを知らない読者は、複素数に関する記述を読み飛ばしたとしても差し支えない。
単一の数で表現される量をスカラーとよぶ。それに対して、n個の数 a_1, a_2, \cdots, a_n を縦に並べて、括弧でかこんだものをn次列ベクトルとよび、次のように書く。
\begin{pmatrix}
 a_1\\
 a_2\\
 \vdots\\
 a_n\\
\end{pmatrix}
また、これを、横に並べたものをn次行ベクトルとよび、次のように書く。
a_1, a_2, \cdots, a_n をベクトル\mathbf aの成分(element)と呼び、特に\mathbf a_kをaの第k成分と呼ぶ。
なお、ここで並べた「数」は、体の元のことを指すが、体のことを知らなければ、実数や、複素数のことであると思って差し支えない。
成分がすべて実数のベクトルを実ベクトルと言う。対して、成分がすべて複素数のベクトルを複素ベクトルと言う。
Kを成分とするn次列ベクトル全体の集合を\mathbf K^nで表す。
\mathbf K = \Rのとき\R^nは実数を成分とするn次列ベクトル全体の集合であり、\mathbf K = \Complexのとき\Complex^nは複素数を成分とするn次列ベクトル全体の集合である。
2つのn次列ベクトル\mathbf a, \mathbf bが「等しい」とは、2つのベクトルの各成分が全て等しいことをいう。すなわち、
なお、2つのn次行ベクトルについても同様に定義される。
2つのn次列ベクトル
\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
 a_1\\
 a_2\\
 \vdots\\
 a_n\\
\end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
 b_1\\
 b_2\\
 \vdots\\
 b_n\\
\end{pmatrix}
について、ベクトルの和 \mathbf a + \mathbf bを次のように定義する。
\begin{pmatrix}
 a_1+b_1\\
 a_2+b_2\\
 \vdots\\
 a_n+b_n\\
\end{pmatrix}
またn次列ベクトル
\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
 a_1\\
 a_2\\
 \vdots\\
 a_n\\
\end{pmatrix}
と定数\lambdaについて、ベクトルの定数倍 \lambda \mathbf aを次のように定義する。
\begin{pmatrix}
 \lambda a_1\\
 \lambda a_2\\
 \vdots\\
 \lambda a_n\\
\end{pmatrix}
ベクトルの成分がすべて0であるベクトル \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}
を零ベクトルという。
ベクトルのすべての成分にマイナス1をかけたベクトル - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_n \\ \end{pmatrix}
を \mathbf aの逆ベクトルという。
ベクトルの大きさをノルムといい、次のように定義する。
座標に対する長さをn次行ベクトルで一般化したものがノルムであるとも解釈でき、実際に3次行ベクトルのノルムはそのベクトルを空間に描いた際の長さとなる。
ベクトルの演算では以下の性質が成り立つ。
ただし、 \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}をベクトル、\lambda, \muをスカラーとする。
スカラーλ, μ, ν, ...とベクトルa, b, c, ...があるとする。
つまりあるベクトルがその他のベクトルの組み合わせで表せるならば、それは一次従属であるという。逆にこの式においてスカラー量が全て0でないと成り立たないならば一次独立であるという。
以後、特に空間ベクトルについて議論する。
まずは、二次元空間上の直線を、助変数を用いて現すことを考える。
\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix},
\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
 a\\
 b\\
\end{pmatrix},
\mathbf{x}_0=
\begin{pmatrix}
 x_0\\
 y_0\\
\end{pmatrix}
とすると、一般の直線は下の式で表される。
成分を用いて書けば、
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 a\\
 b\\
\end{pmatrix}t
+
\begin{pmatrix}
 x_0\\
 y_0\\
\end{pmatrix}
である。
成分を用いた式を見れば、この表示によって直線が表されることの妥当性が理解しやすいだろう。
上に挙げた式を直線の助変数表示またはベクトル表示という。また、aをこの直線の方向ベクトルという。
方向ベクトルはこの直線と平行なベクトルである。
もちろん助変数表示の仕方は一つではないが、方向ベクトルはノルム1のものを選ぶと便利な事も多い。
例題
を助変数表示にせよ。
\begin{pmatrix}
 2\\
 -3\\
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
 1\\
 1\\
\end{pmatrix}
演習
ベクトル表示は座標表示に、座標表示はベクトル表示にせよ
1.6x-3y=9.5
2.x=a
3.\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1\\
 -1\\
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
 2\\
 1\\
\end{pmatrix}
4.\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 -1\\
 -2\\
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
 1\\
 0\\
\end{pmatrix}
平面内の直線は
という式で表された。しかし、空間において
という式の表す図形は平面である。直線は2つの平行でない平面の共通部分として表される。式で書けば、
となる。この式が表す直線をベクトル表示することを考えよう。連立方程式を解く要領で
(但し,\alpha_1,\alpha_2,x_1,x_2は定数)
と書けることはすぐわかる。この式は、形式的にはxをtと置き換えることで、下のように書ける。
これが空間内の直線の助変数表示である。
例題
\left\{ \begin{matrix} x+2y+3z=4 \\ 5x+6y+7z=8 \end{matrix}\right.
を助変数表示にせよ。
これを解いて、
\left\{ \begin{matrix}y=-2t-1\\z=t+2\end{matrix}\right.
よって、
\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
 z\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1\\
 -2\\
 1\\
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
 0\\
 -1\\
 2\\
\end{pmatrix}
演習
1.
を助変数表示にせよ
前述のとおり、空間内の平面はax+by+cz=dであらわせる。今度は2つの助変数s,tを導入することで、同様にして
\mathbf{a}t+
\mathbf{b}s+
\mathbf{c}
と表せる。これを平面の助変数表示という。
例題
2x+y+3z=5を助変数表示にせよ。
\begin{pmatrix}
 3\\
 0\\
 -2\\
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
 0\\
 3\\
 -1\\
\end{pmatrix}s+
\begin{pmatrix}
 1\\
 0\\
 1\\
\end{pmatrix}
演習
1.2x-y+3z=1を助変数表示にせよ
2.
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
 z\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1\\
 2\\
 -3\\
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
 5\\
 4\\
 2.3\\
\end{pmatrix}s+
\begin{pmatrix}
 -2\\
 -1\\
 -3\\
\end{pmatrix}
を、直交座標表示で表せ。
1. 平面上の直線のベクトル表示
2. 空間内の直線のベクトル表示
3. 空間内の平面のベクトル表示
演習
1.
の形で表される。これを証明せよ。
2.
と表される。これを証明せよ。
平面上の直線
を考える。この直線の方向ベクトルは
 b\\
 -a\\
\end{pmatrix}
である。ここで、
\begin{pmatrix}
 a\\
 b\\
\end{pmatrix}
というベクトルを考えると、
なので、aとこの直線は直交する。このaをこの直線の''法線ベクトル''（normal vector）という。
例5.1
l:x=at+x1
という直線を考える。平面内の1点Pから直線lへ垂線を下ろし、足をP'とする。この垂線の長さを求めよう。
pをPの位置ベクトル、x0をP'の位置ベクトルとすると、垂線の長さは
で与えられる。
まずはx0を他のベクトルを用いて表そう。P'はl上の点なので、x=x0をlの式に代入すると
となる。このベクトルがaと直交するので
これを代入して
をえる。
あとは自分自身との内積を計算するだけである。落ち着いて計算すれば
と計算される。空間内の直線についても、同じ事である。
演習
1.
空間内の平面の場合についても同様に考えられる。
\begin{pmatrix}
 a\\
 b\\
 c\\
\end{pmatrix}\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
 z\\
\end{pmatrix}とすれば、
であるから、aはF0故にFと垂直である。この時aをF0の法線ベクトルと言う。
さて、F上に無い点Pから、Fに垂線を下ろす。垂線の足をP'とする。
とするとき、||x0-x'0||を求めよ。
2.
の交角を求めよ。
ベクトルには方向が伴っているので、純粋なかけ算をすることは難しい。そこでまず2次元もしくは3次元ベクトルで考え、ベクトル間の角度θを用いて|\mathbf{a}|\cos{\theta}とすると\mathbf{a}の\mathbf{b}方向成分がスカラーで出てくる。
ここで内積を以下のように定義する。
また、それぞれ直角な単位ベクトルで各ベクトルを分解して考えると、一般に
定義(7.1)
A=\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix},
\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
 a\\
 c\\
\end{pmatrix},
\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
 b\\
 d\\
\end{pmatrix}
の時、
|A|=
\begin{vmatrix}
 a & b\\
 c & d
\end{vmatrix}=\det A=\det(\mathbf{a},\mathbf{b})
=ad-bcをAの行列式（determinant）という。
次の性質は簡単に証明できる。
a,bが線形独立⇔det(a,b)≠0
det(a,b)=-det(b,a)
det(a+b,c)=det(a,c)+det(b,c)
det(ca,b)=det(a,cb)=cdet(a,b)
|AB|=|A||B|
ここで、a,bが線形独立とは、a,bが平行でないことを表す。
関係ないと思うかもしれないが、外積の定義に必要な情報である。
aとbの張る平行四辺形の面積を求める。二ベクトルの交角をθとする。
bを底辺においたとき、高さは||a||sinθなので、求める面積Sは
S=||a||||b||sinθ
⇔S2=||a||2||b||2
-||a||2||b||2cos2θ
=||a||2||b||2-(a,b)2
よって、
S=\sqrt ==}
演習
1.
 a & b\\
 c & d\\
\end{vmatrix}≠0の時、
 ax+by=c\\
 dx+ey=f\\
\end{cases}
 e & b\\
 f & d\\
\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
,
y={\begin{vmatrix}
 a & e\\
 c & f\\
\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
である事を示せ
2.
多面体Pの二頂点を結ぶ線分上の全ての点がやはりPに含まれる時、Pは凸多面体と呼ばれる。
Pのk個の頂点Pi(i=1,2,...,k;k(∈N)>3)の位置ベクトルをviとすると、P内の任意の点の位置ベクトルvが、下の式で表せることを証明せよ。
3.
 1 & 1 & 1\\
 x & x_1 & x_2\\
 y & y_1 & y_2\\
\end{vmatrix}=0と表せる。
これを示せ。
4.
 :空間において、(a,x)=0への折り返しの変換に対応する行列を求めよ
5.
 :\begin{vmatrix}
 (\mathbf{a},\mathbf{a}) & (\mathbf{a},\mathbf{b}) & (\mathbf{a},\mathbf{c})\\
 (\mathbf{b},\mathbf{a}) & (\mathbf{b},\mathbf{b}) & (\mathbf{b},\mathbf{c})\\
 (\mathbf{c},\mathbf{a}) & (\mathbf{c},\mathbf{b}) & (\mathbf{c},\mathbf{c})\\
\end{vmatrix}=\det (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})
を示せ。
6.
 :||x||=||y||=||z||=1の時、det(a,b,c)の最大最小を求めよ。
7.
を、R3について証明せよ。
このページで述べるベクトルの代数学的説明はここまでである。このまま、代数学の学習を続けたい読者は次に、行列を読まれる事を勧める。今までの内容と、密接に関係している。もし、ベクトルの解析的扱いについて学習したい場合は、このページの次の章に進まれるとよい。参考文献:東京大学出版会『基礎数学1線型代数入門』齊藤正彦著
この節は現在執筆中です。概要は物理数学I_ベクトル解析を参照してください。
線型代数学でいう「空間」や「次元」は、物理的な意味の「空間」や「次元」のうち、一部の性質だけを取り出して定義した抽象的な概念である。したがって、大枠では類似しているが、物理的なイメージばかりを気にしすぎると細部の印象が異なることがある。たとえば、物理においてしばしば「空間3次元、時間1次元、合わせて4次元の線型空間である時空」を考えるが、数学的な意味での4次元線型空間は空間と時間という意味合いを持ってはおらず、単に一次独立なベクトルが4本取れるというだけの意味である。4次元線型空間の中でさらに特殊な性質を仮定したものを「ミンコフスキー空間」といい、これはただの4次元線型空間よりもより4次元時空の性質を反映したモデルだが、それでも数学的なモデルに過ぎないことに変わりはない。
一般に数学的な概念は、その定義を作る際には物理などのイメージを元に概念を作ることが多いが、ひとたび定義されたあとはそのイメージから離れて定義のみを基に議論を進めることができる。これが数学を発展させる原動力であり、また数学が汎用的に役に立つ理由である。しかし、数学の持つこのような特性は、初学者にとってはわかりにくく感じられるだろう。以上で述べたことは線型代数学に限った話ではないが、抽象的な数学理論に初めて本格的に触れるのが線型代数学という学生も多いだろうから、ここで述べておく。