a + b = c なる整数 c が存在する。
任意の整数 a, b について a + x = b なる整数 x が存在する。
定義 : 
公理の2番目から、a + x = 0 なる x が存在する。これを、-a とかく。
ab = c なる整数 c が存在する。
a > b \vee a = b \vee b > a. ただし、a > b と b > a を同時に満たすことはあり得ない。また、a > a を満たす整数は存在しない。
定義
a > 0 を満たす整数を自然数と呼ぶ。
自然数の部分集合には最小のものが存在する。
上に有界な自然数の部分集合には必ず最大の数が存在し、それは無限集合ではない。
自然数内で無限降下列は作れない。
P(1) \wedge ( P(n) \Rightarrow P(n+1) )  ならば、全ての自然数に対して P が成り立つ。ここで P は自然数に関する命題である。
P(a_0) かつ、「全ての a_0 < n < m なる n で P(n) ならば P(m)」 が成り立つならば、全ての a_0 \leqq a なる a について P(a). ここで P は自然数に関する命題である。
任意の自然数 a, b に対して an > b を満たす自然数 n が必ず存在する。
負の数に負の数をかけると正の数になる、などの算術に関する法則はこれらの公理から演繹ができる。ここではそれを解説しない。興味のある読者に任せることとする。