thumb|400px|数の体系
1から、1ずつ足しあげていった数（一般に初等数学では0を含まない）。物を数え上げる数。
1より大きい自然数で、正の約数（因数）が1と自分自身のみであるもの。
素数ではない自然数。
自然数、0および自然数に-1をかけた数。
整数であるa, b（ただし、b \neq 0）について、\frac{a}{b}で表す数。b=1の時、整数となるので、整数は有理数の部分集合である。
{2}, \cdots ,-\frac{1}{3}, \cdots ,0, \cdots ,\frac{5}{7}, \cdots ,1, \cdots ,\frac{7}{5}, \cdots ,e, \cdots ,\pi, \cdots ,\pi + e, \cdots \}
有理数ではない実数をいう。
→無理数はさらに代数的数と超越数に分けられる。
実数であるp, qについて、i^2 = -1という性質を持つ虚数単位iを用いて、p+qiという形で表される数。pを実部、qを虚部といい、虚部q=0の時、実数となるので、実数は複素数の部分集合である。また、虚部q \neq 0の時、p+qiをを虚数（imaginary）といい、特にp=0の時のqiを純虚数という。
→虚数単位を含む複素数も代数的数と超越数に分けることができる。
方程式:x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_k  x^k + \cdots + a_0 = 0（n は正の整数、各 a_k は有理数）の解となる数を代数的数と言い、そうでない数を超越数という。
有理数:\because\frac{a}{b}は、bx - a = 0の解。
\sqrt{2}は、x^2 - 2 = 0の解のひとつ。
\sqrt{3}-\sqrt{2}は、x^4 - 10 x^2 +1 = 0の解のひとつ。
は、x^6 - 4 x^3 +2 = 0の解のひとつ。
有理数であるa, bについて、a+biという形で複素数が表されているとき、a+biは、方程式x^2 - 2ax +a^2 + b^2 = 0の解のひとつである。
超越数の例 - 多くは証明されているが、未証明のものも多い。
などaを有理数、bを無理数とした時の、a^b。
\ln 3などxを代数的数とした時の、\ln x。また、\log_2 3など。
xを代数的数とした時の、sin{x},\cos{x}（弧度法）。
なお、度数法の場合、xをx= 1^\circなど、度数付きの有理数とした時、sin{x},\cos{x}は代数的数となる。
0と1を含む1ずつ足しあげていったn個の数\{ 0, 1, 2, \cdots n-2, n-1 \}で表記し、最大の数n-1に1が足されると、次の桁の1として表記する記数法をn進法といい、この時のnを基数という。数字の列abcがn進法による表記（n進数）であることを表すのに、(abc)_nと表記することもある。
一般に使用されるのは10進法であり、「ダース」などの単位に12進法、時計などに60進法の名残が見られるが一般知識として知っておけばよく、計算などを熟知しておく必要はない。ただし、2進法、8進法、16進法はコンピュータの計算等で利用されているので後述する。
n進法で、(a_3 a_2 a_1 a_0)_nと記された数の大きさは、a_3 n^3 + a_2 n^2 + a_1 n + a_0である。
Aをnで割った商をQ_1、余りをR_1とする。さらに、Q_1をnで割った商をQ_2、余りR_2と順々に除算を繰り返し、n \geq Q_kとなった段階でこの操作を止めて、Q_k R_k \cdots R_2 R_1と並べた数の列が、Aのn進法の表記となる。
例1:430 (10進法表記)を、8進法で表示する。
430 \div 8 :Q_1 = 53,R_1 = 6 : Q_1 > 8であるから、Q_1をさらに8で割る。
例2:430 (10進法表記)を、12進法（10をa、11をbで表す）で表示する。
430 \div 12 :Q_1 = 35,R_1 = 10→(a)_{12} : Q_1 > 12であるから、Q_1をさらに12で割る。
n進法において、0 < p < 1の量を表すのに、1より小さい数であることを意味する点「小数点」をおいて、基数であるnで割った数に応じて、小数点の右に並べる記数法。
n進法で、(0.a_1 a_2 a_3)_nと記された数の大きさは、\frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}である。
有限小数と無限小数
有限桁の数字で表せる小数を有限小数と呼び、有限桁で表せない小数を無限小数と呼ぶ。
分数\frac{a}{b}（ただし、ab \neq 0, a \neq kb(kは整数)）において、n進法で表示する時、bの素因数が、基数nの素因数である時、\frac{a}{b}は有限小数となる。これは逆も成立するので必要十分条件である。
例）10進法で表示する時、有限小数となるのは、分母が、2^k5^l (k \geq 0, l \geq 0)の時である。
無限小数には、ある数字列が無限に繰り返される循環小数と、そうではない非循環小数に分類される。無限連続は、表示最終桁に続け\ldotsや\cdots等を付して表示される。循環小数で繰り返される部分を循環節といい、記法の一つとして、循環節の始点と終点（1個の数字の場合、その数字のみ）をドットで示す方法がある。
循環小数は、循環節の桁数m分、10^mを掛けて左にシフトし、それから元の数を引くことにより、分数として表記される。
(0.a_1 a_2 a_3)_nと記された数の大きさは、\frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}であるので、これを計算する。
例3.(0.121)_3 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{1}{27} = \frac{1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 1}{27} = \frac{16}{27}  = 0.\dot{5}9\dot{2}、  3進法は、分母が、2^k5^lではないので、循環小数となる。
(0.\dot{a_1} a_2 \dot{a_3})_nについて、循環節の桁数m分、左にシフトし（基数nの時、n^mを掛ける）、それから元の数を引いて計算する。
例4. (0.\dot{1} 0 \dot{1})_2 を10進法の小数で表す。
(0.\dot{1} 0 \dot{1})_2 = k-① とおいて、3桁ずらすために両辺に(1000)_2をかけ、(1000)_2 k = (101.\dot{1} 0 \dot{1})_2-②を得る。
(0.a_1 a_2 a_3)_n = \frac{a}{n} + \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3}に関し、n倍し小数点を超過部分を小数点の右におき、それを除いた数を再びn倍し小数点超過部分をその数の右におくという手順を繰り返す。
自然数を構成する素数を素因数といい、素数の積の形で表すことを素因数分解という。
8の素因数は、8=2^3なので2のみの1個、10の素因数は、10=2 \cdot 5なので2と5の2個、12の素因数は、12=2^2 \cdot 3なので2と3の2個。
{1-a_k} 
複数の数について、共通する約数を公約数という。複数ある公約数のうち最も大きいものを最大公約数という。これら複数の数について、素因数を有さない状態を（最大公約数が1である状態）、互いに素という。
\left\lfloor \frac{Q}{N} \right\rfloorただし、\lfloor x\rfloorはx以下最大の整数を表す。
整数解をもつ整数係数の代数方程式を不定方程式（変数の次数によりn次不定方程式）といい、その整数の求めることを不定方程式を解くという。未知数よりも条件式が少ないなどの場合、整数解が無限に存在して定まらないことがあるので，不定ということばが用いられている。初等数学においては、基本的に1次不定方程式をさす。
以下、a,b,cを整数とする。
ax+by = 1が整数解(x,y)を持つ。\iffa,bは互いに素。
以下、必要十分条件であることを証明する。
対偶である命題「a,bが1ではない公約数cを有する。\impliesax+by = 1の解(x,y)は整数とならない。」は真であるので、元の命題も真である。
\because a,bが1ではない公約数cを有するならば、a=a'c,b=b'cとおけば、ax+by = 1は、a'cx+b'cy = c(a'x+b'y) = 1となり、a'x+b'y = \frac{1}{c}となる。
方程式a'x+b'y = \frac{1}{c}において、a',b'はともに整数であるので、x,yはともに整数となることはない。
aに1からb-1までかけた積（a, 2a, \cdots ka \cdots a(b-2), a(b-1)）をbで割った余りは全て異なっている（※）。aとある整数の積をbで割った余りが1となる、ある整数をmとすると、am+1はbの倍数であるのでam+1=bnという等式が成立する。これを変形すると-am+bn=1となり、方程式ax+by = 1について、x=-m, y=nという整数解を得られる。
※の証明 - 背理法を用いる。
aに1からb-1までかけた積（a, 2a, \cdots ka \cdots a(b-2), a(b-1)）をbで割った余りに重複するものrが存在すると仮定する。
重複する積をja,ka (1 \le jとすると、ja=mb+r,ka=nb+rとなり、差をとると(k-j)a=(n-m)bが成立する。
(k-j)a=(n-m)bは、a,bが互いに素、1 \le k-j < b)という条件を満たすことはないため、仮定と矛盾する。
したがって、aに1からb-1までかけた積をbで割った余りは全て異なる。
ax+by = cが整数解(x,y)を持つ。\iffcは\gcd(a,b)の整数倍数。
以下、必要十分条件であることを証明する。
a,bは、\gcd(a,b)の倍数であるので、x,yが共に整数ならばax+byも\gcd(a,b)の倍数となる。
a=p\gcd(a,b), b=q\gcd(a,b)とおくことができ、このとき、p,qは互いに素である。
p,qは互いに素であれば、pm+qn = 1となる整数の組(m,n)が存在する。
pm+qn = 1に\gcd(a,b)をかけて、（左辺）=p\gcd(a,b)m+q\gcd(a,b)n =am+bn、（右辺）=\gcd(a,b) =cであって、ax+by = cは、整数解(m,n)を持つ。
n が 2 以上の整数として、aを n で割った剰余が b を n で割った剰余と等しいときに、「二つの整数a, bが法 n に関して合同である」といい、以下の記号で示す。
逆の命題※「ac \equiv bc  (mod. n)  ならば、a \equiv b  (mod. n) 」は、常に成立するものではない。
(a-b) c \equiv 0  (mod. n) は、以下の3式のいずれかが成り立つ時に成立しており、一意に命題※は真とはならない。
以下においてa, b, c, dは実数。
{|z|^2}
{2}、虚数解のいずれかを\omegaとおくと、以下の関係が成立している。
{2} （複号同順）、従って、\omega^2は、\omegaでない方の虚数解で、1の立方根は（ 1, \omega, \omega^2(= \overline{\omega}) ) となる。
ある条件を満たすものの集まりを集合、集合をつくっている各々を、その集合の要素または元という。
あるaが集合Aの要素である時、a \in Aと表す。
あるbが集合Aの要素でない時、b \notin Aと表す。
集合を表現するには、集合を構成する要素を列挙する方法（外延的表記・名簿式表記）と、要素の性質を記述する方法（内包的表記）がある。
要素の性質を記述する方法（内包的表記）- 表記法が一意に決められているものではない。
集合A, Bに関して、x \in Aである全ての要素x（これを、しばしば\forall xと表す）について、x \in Bが成立する時、AはBに含まれる（BはAを含む）といい、A \subset Bと表記する。集合A, Bがこの関係にある時、AはBの部分集合であるという。
集合A, Bに関して、x \in Aである全ての要素xについてx \in Bが成立し、y \in Bである全ての要素yについてy \in Aが成立する時、AとBは等しい、または相等であるといい、A = Bと表記する。
集合A, Bに関して、x \in Aである全ての要素xについてx \in Bが成立しているが、y \in Bである要素yの一部（これを、しばしば\exists yと表す）についてy \notin Aである時、AはBの真部分集合であるといい、A \subsetneq（または\subsetneqq） Bと表記する。
集合を考察するにあたって、各々の集合が真部分集合となり大枠の集合を全体集合という。全体集合は、しばしば、Uと表記される。
例.「偶数」を取り扱う時、「偶数」の前提である「整数」が全体集合となる。
ある全体集合Uにあって、その部分集合Aに関して、Uの要素であって、Aの要素でないものの全体の集まりをAの補集合といい、\overline{A}（または、A^cなど）で表す。
例.「整数」において、「奇数」は「偶数」の補集合である。
集合A, Bに関して、x \in Aかつx \in Bをみたすxの集合を交わり（共通部分）といい、A \cap Bと表記する。
集合A, Bに関して、x \in Aまたはx \in Bをみたすxの集合を結び（和集合）といい、A \cup Bと表記する。
要素が1つもない集合を空集合といい、\emptysetまたは\varnothingで表す（\phi[ファイ]ではない）。
集合A, Bに関して、共通部分となる要素が存在しない時、A \cap Bの集合は、\emptysetとなる（右図参照）。
=A
正しいか正しくないかを明確に判定できる文章や数式を命題という。
命題が正しい場合、その命題は真であり、正しくない場合、その命題は偽である、という。
命題を成立させない具体的な例を反例といい、反例が1個でも存在する命題は偽である。
厳密な定義は初等数学としては難しいので、以下に記述する付加要素のない命題と理解することで足りる単純には「1つの主語に対して 1つの平常文である（否定や疑問ではない）述語が帰属する」ことがらと理解して良い。「彼は（主語）、日本人です（述語）」は命題の典型であるし、「x=1」という命題では、「x」が主語であり、「=1（1に等しい）」が述語となる。
命題単純命題には限らない。複合命題をさらに複合させる場合もある。AやBに操作を加えた記述。上記の集合論と関係が深い。また、これらの操作を意味する記号（\lnot,\land,\lor,\Rightarrowなど）で表した式を論理式という。
論理式の演算は、\lnot Aを\overline{A}、\land,を\cap、\lorを\cupとした集合の演算に相等しい。
命題A「ではない」ことをいい、\lnot Aまたは\overline{A}で表す。補集合を参照。
「否定」によって、命題の真偽は逆転する。すなわち、命題Aが真であれば、\lnot Aは偽となり、偽であれば真となる。
例)命題A「彼は日本人である」が真であれば、否定命題\lnot A「彼は日本人ではない」は偽となる。
連言・論理積論理学等における用語。
命題A「かつ」Bであることをいい、A \land Bで表す。共通部分を参照。
命題A「かつ」命題Bがともに真であるときのみ、連言命題A \land Bは真となり、その他は偽となる。
例)「命題A:xが2の倍数」が真であり、かつ「命題B:xが3の倍数」が真である時のみ、「命題A \land B:xは6の倍数」は真となる。
命題A「または」Bであることをいい、A \lor Bで表す。和集合を参照。
命題A「または」命題Bのいずれかが真であるとき、連言命題A \land Bは真となり、その他（命題A・命題Bのいずれも偽であるとき）は偽となる。
例)「命題A:x=1」が真である、または「命題B:x=2」が真である時、「命題A \land B:(x-1)(x-2)=0」は真となる。
「もし」命題A「ならば」Bである関係をいい、A \Rightarrow Bで表す。初等数学で命題という場合、ほとんどはこの形態（条件命題）のものを指す。
初等数学ではA \Rightarrow Bの命題Aを「仮定（前件）」、命題Bを「結論（後件）」などという。
「AならばBである」関係は、即ち、「（AであってかつBでない）ことはない」と言い換えることができる。
となる。
ある集合Xに属する要素xが、すべて命題Aを満たすことを、全称命題といい、\forall x \in X , Aなどと表記する。
ある集合Xに属する要素xのうち、命題Aを満たすものがあることを、存在命題（特称命題、単称命題）といい、\exists x \in X , Aなどと表記する。
A \Rightarrow Bが真である時、「Bである」ことを「Aである」ことの必要条件、「Aである」ことを「Bである」ことの十分条件という。
A \Rightarrow Bが真であり、かつ、B \Rightarrow Aが真である時、命題A、Bは互いに必要条件・十分条件の関係となり、これを必要十分条件または必同値の関係にあるという。
という。逆と裏は、対偶の関係にある。
となる。
例に示されるように、ある命題が真の時であっても、逆と裏が真であるとは限らない（所与の命題に真偽を一致させない）。
上記の例において、逆の命題は必要条件に、裏の命題は十分条件に、x=-1を欠いている。
一方、ある命題が真の時、対偶は常に真である（所与の命題に真偽を一致させる）。
以上の性質は、論理式の演算で証明される。
命題p \Rightarrow qにおいて、既知の定理，すなわち正しいことがすでに証明されている命題Aを基礎にして，仮定qの真偽を論理的に導くことを証明という。
証明の方法には、直接証明法と間接証明法がある。
命題pを証明するのに代えて、pではないと矛盾することを導き、pが真であることを証明する方法。
命題p \Rightarrow qが真であることを証明するのに代えて、対偶命題\lnot q \Rightarrow \lnot pが真であることを証明する方法。
命題pが重複のないn個の命題p_1, p_2, \cdots p_nで構成されており、命題qが重複のないn個の命題q_1, q_2, \cdots q_nによって構成される時、条件命題p_1 \Rightarrow q_1, p_2 \Rightarrow q, \cdots p_n \Rightarrow q_nが全て真であるならば、p \Rightarrow qが真であると言え、逆の命題q \Rightarrow pも真となる。