この項では関数解析学について解説する。
関数解析学では、ある性質を持つ関数の集合の性質を調べるということがしばしば行われる。その対象となる関数の集合は、しばしば線型空間としての構造と位相空間としての構造をともに持つ。そこで、まずは一般のこのような空間 -線型位相空間- について解説する。
''K''を複素数体\mathbb{C}または実数体\mathbb{R}とする。''K'' 上の線型空間が位相空間でもあり、和とスカラー倍が連続写像のとき、線型位相空間という。
''K'' 線型空間 ''V'' があり、写像||\cdot||:V \to \mathbb{R}が次を満たすとき、この写像をノルムという。
任意のu,v\in Vとa\in Kに対して
ノルムをもつ線型空間をノルム空間という。
(V,\|\cdot\|)と書く。
命題ノルム空間は距離空間である。
ノルム空間はこの距離から定まる位相によって線型位相空間となる。ノルム空間のうち完備な空間を特にBanach空間という。
''K'' 線型空間 ''V'' があり、写像(\cdot,\cdot):V \times V \to Kが次を満たすとき、この写像を内積という。
任意のu,v,u_1,u_2\in Vとa\in Kに対して
内積を持つ線型空間を内積空間という。
(V,(\cdot,\cdot))と書く。
注意(u,av)=\overline{(av,u)}=\bar{a}\overline{(v,u)}=\bar{a}(u,v)が成り立つ。
内積については、次に挙げるCauchy-Schwarzの不等式が重要である。
定理(Cauchy-Schwarz)
Cauchy-Schwarzの不等式から、次の事実が導かれる。
命題内積空間はノルム空間である。
はCauchy-Schwarzの不等式により定まるので、これによって2つのベクトルの「なす角」の概念を定義することができる。
また、初等幾何における中線定理の類似も成り立つ。初等的な幾何ベクトルにおいて\overrightarrow{OA}=\vec{u}+\vec{v},\overrightarrow{OB}=\vec{u}-\vec{v}とし、△OABに中線定理を適用すると|\vec{u}+\vec{v}|^2+|\vec{u}-\vec{v}|^2=2(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2)となるが、これと全く同じ形の式が一般の内積空間でも成り立つ。
定理（中線定理）