数学＞数理論理学
論理とは、簡単に言えばある問題の答えを出すための思考方法の一つである。ただ、其の様な意味だとこの書で扱うには少し広義すぎるので、以降では論理とはすなわち「真と偽が判定可能な命題の真偽を判定する事」を指すものとして捉えて欲しい。数理論理学では、大抵このような論理しか扱わないのである。コレ以外の論理、つまり答えが「真偽判定不能」となるような命題を考える事はここではしない。
例としては以下のようなものとなる
これは有名な三段論法の一種である。結論は最後の行である。三段論法によって命題Pと命題Qが真ならば、Aも真であることが保証される。
数理論理学とは、数学で使う「論理」をより数学的にしたもので、自然言語の代わりに記号による表記を行い、機械的な式変形を容易にした形式である。記号による表記に特化している、という特徴から「記号論理学」とも呼ばれるが、これは数理論理学と同義なので混乱しないようにしてほしい。以降、この書では「数理論理学」という語で統一することとする。
まず、数理論理学をこれから学習するならば、「論理とは言葉で考えるもの」という様なこれまでの常識は捨ててほしい。数理論理学においては、論理とは「真(True)」か「偽(False)」の二つの値しかもたない集合への「写像」として捉えられる。必ず「真」か「偽」のどちらかになり、「真偽不明」などといった値は持たないので、数理論理学では曖昧な議論は不可能である。この点は注意して欲しい。実際は通常の論理よりも、扱える守備範囲自体は狭いのである。ただし、扱える守備範囲においては強力な威力を発揮する理論でもある。
数理論理学は「論理」を一つの写像として数学的に考える事で、論理自体に一種の「演算規則のようなもの」が見出せる。例えば、「AかつB」という文は、数理論理学では記号「A∧B」で表し、一種の演算として扱う。まさしく数学で言う「A×B」のような扱いにするのだ。この演算の規則を見出すことで命題を色々な形に変形し、簡単に出来るのがこの学問の強みだろう。
上記のアルキメデスの例を数理論理学的に表現してみると、以下のようになる。
記号「∧」は「かつ」、記号「⇒」は「ならば」と読む。これを日本語として読むと
となるので、自明であることはすぐにわかるだろう（もっとも三段論法の理解が必要ではあるが）。このように、論理を記号として表現するのが数理論理学である。なぜそんなことをするのかというと、式変形を容易におこなえるという強力な利点があるからである。
命題論理では、命題を「真と偽の値域を持つ変数」とみなし、其の様な値において成り立つ単純な演算とその規則についてを考える。
述語論理では、命題の内容について考える。記号論理学を数学の道具として使うためには、こちらの方が大事であろう。