二次形式とはすべての項の次数が2である多項式のことであり、一般に次のように表すことができる。
\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j
これは、対称行列 A=(a_{ij}) 列ベクトルx=(x_i) を用いて、
{}^t x A x = (x_1 , x_2 , \cdots , x_n) 
\begin{pmatrix} 
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\left( \begin{array}{cc} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)
と表すことができる。
例えば、x^2 + 4z^2 + 3xy - yzは二次形式であるが、3x^3 + xy^2 + 4yz + 8は二次形式ではない。
4x^2 + 6y^2 + 8z^2のように、変数の混じった項がない二次形式を標準形といい、次のように表せる。
\sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2  
2つの変数x,yの一般の二次形式を用いてa x^2 + b y^2 + c x y = dと表された二次曲線を、変数変換によってa'x'^2 + b' y'^2 = d のような標準形の二次形式を用いた形に変換することを、主軸変換という。