数列\{a_n\}が、実数''α''に収束する、正の無限大に発散する、負の無限大に発散する、ということをそれぞれ \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha ,  \lim_{n \to \infty}a_n = \infty ,  \lim_{n \to \infty}a_n = -  \infty と書き、それぞれの定義を次のようにする。
例 数列a_n=n^p (p \in \mathbb{Z})について、
\lim_{n \to \infty} a_n =
\begin{cases} 
\infty,  & p \ge 1 \\
1, & p=0 \\
0, & p \le -1 
\end{cases}
[1]p \ge 1のとき
任意のK>0に対して、アルキメデスの原理より、\sqrt[p]{K} < N を満たす''N''が存在する。n>Nならば、p \ge 1よりn^p>K。よって、a_nは正の無限大に発散する。
[2]p=0のとき
任意のε>0に対して、|a_n-1|=0<\epsilon。よってa_nは1に収束する。
[3]p<0のとき
任意のε>0に対し、アルキメデスの原理から、 \sqrt[p]{\epsilon} を満たす自然数''N''が存在する。n>Nならば、p<0に注意すると、0<|n^p|<\epsilon。よって、a_nは0に収束する。
\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha , \lim_{n \to \infty} b_n = \beta のとき、次の等式が成立する。
証明は関数の極限の証明と同じであるので省略する。
証明
任意のε>0に対して、ある''N''が存在してn>Nならば|a_n - \alpha | < \frac{\epsilon}{2} , |a_n - \beta | < \frac{\epsilon}{2} なので、  | \alpha - \beta | \le | \alpha - a_n | + |a_n - \beta| \le \epsilon εは任意より、α=β
証明
任意の ε>0に対して、ある''N''が存在してn>Nならば\alpha - \epsilon < a_n < \alpha + \epsilon , \beta - \epsilon < b_n < \beta + \epsilon なので、 \alpha - \epsilon < a_n \le b_n < \beta + \epsilon \  \therefore \alpha - \beta < 2 \epsilon εは任意の正の数なので、α≤β
証明は関数の極限と同じなので省略する。
有界な単調数列は収束する。
証明
\{a_n\}が有界な単調増加列とし、\sup a_n = \alpha とおく。上限の定義より、任意のεに対し、\alpha - \epsilon < a_Nを満たす自然数''N''が存在し、n>Nのとき、単調増加性より、\alpha - \epsilon < a_N < a_n \le \alpha 。つまり、数列a_nは収束する。
証明
a_1 \le a_nより、二つの数列は有界かつ単調で、収束する。それぞれの極限値をα , βとおくと、条件よりβ-α=0 ∴ α = β
証明
数列\{a_n\}を有界とする。m_1 < a_n < M_1,I_1=[m_1,M_1]とおく。[m_1, \frac{m_1+M_1}{2}],[\frac{m_1+M_1}{2},M_1]のうち、有限個の{an}の項しか含んでいない方でない方をI_2=[m_2,M_2]とおく。
このようにして数列m_n,M_nを作ると、この二つの数列は、前性質の条件を満たしているので、ともに収束する。
また、すべての自然数kに対して、m_kを満たす自然数n_kが存在し、はさみうちの原理から部分列\{a_{n_k}\}は収束する。
\forall \epsilon >0 \  \exists N \in \mathbb{N} \  \  n>N \land m>N \Rightarrow |a_n-a_m|< \epsilon （これを満たす数列をコーシー列という）なら、数列\{a_n\}は収束する。
証明
ε1を固定して、ε =ε1のときの''N''を''N''1とおくと、n>N1のとき、a_{N_1}- \epsilon _1 より、数列は有界で、前性質より収束する部分列\{a_{n_k}\}を持つ。この収束値をαとおくと、ある自然数''N''が存在して、n_k,n>N \Rightarrow |a_{n_k} - \alpha |< \frac{\epsilon}{2} \land |a_n - a_{n_k} |< \frac{\epsilon}{2} が成り立つので、三角不等式より、|a_n - \alpha | <|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}- \alpha | < \epsilon