解析学において、収束や連続という概念が重要であるが、これらの概念はかなり実数の公理系に依存している。しかし、これらの概念は非常に有用なので、実数とは違う集合に対しても同様にこの概念を考えたい、ということで位相空間の理論が始まった。
位相空間は「開集合」というもので定義される。実数において連続という概念は ε-δ 論法で定義されるが、実はこの開集合という概念で連続を定義できる。まず、開集合の定義と ε-δ 論法での連続の定義を確認する。
定義 （開集合の定義）
集合 U \subseteqq \mathbb{R} が開集合であるとは、\forall u \in U \ \exists \varepsilon > 0 (|x-u| < \varepsilon \Rightarrow x \in U) が成り立つことをいう。
定義 （連続の定義）
\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 (0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon) が成り立つことをいう。
\mathbb{R} の全ての点で連続のとき、\mathbb{R} で連続、または単に連続であるという。
このとき、次の命題が成り立つ。
命題
証明
x_0 \in f^{-1}(U) として、y_0 = f(x_0) とおく。y_0 \in U なので、開集合の定義より、\exists \varepsilon > 0 \ \forall y \ ( \ |y-y_0| < \varepsilon \Rightarrow y \in U \ ) \ \ \ \cdots (1)が成り立つ。
ところで、x_0 の取り方は任意だったので、つまり f^{-1}(U) は開集合である。
a, \varepsilon > 0 を任意に取る。U = \{\, y \in \mathbb{R} \ | \ |y-f(a)| < \varepsilon \,\} は開集合なので、仮定より f^{-1}(U) も開集合である。