これは，光学や電磁気学に現れる式である．例によって，
とおいて Laplace 変換すると，
いま x := \sqrt{s} y, (s > 0) とおけば，
 は後に説明される．
となる．この原像を求めれば，
 \quad (t > 0)
公式5の\lambda=\frac{1}{2} の場合より，
を得る．t = a とおけばよい．
注
であるから
まず x^4+1 を因数分解する．
次に，
とおいて，
-\sqrt{2} を +\sqrt{2} に換えて
よって
両辺の x^n の係数を比較し等置すると，
, \quad D = \frac{1}{2}
{x^2 - \sqrt{2}x + 1}
{x^2 - \sqrt{2}x + 1} \right)
\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)|+C を視野にいれてさらに変形する．
{x^2 - \sqrt{2}x + 1} \right)
{x^2 - \sqrt{2}x + 1} \right) \right\}
{x^2 - \sqrt{2}x + 1}\right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1} \right)
後半部分を平方完全形とし \int\frac{dx}{x^2 + \alpha^2} = \frac{1}{\alpha}\tan^{-1} \frac{x}{\alpha}+C が適用できるようにする。
\right)^2} \right\}
\right)^2} \right\}dx 
先に I_2 = \int_0^{\infty}\frac{dx}{(x + \alpha)^2 + \beta^2} を求めておく．
x + \alpha = u と置いて，x から u に積分変数を変換すると、dx = du，x : 0 \to \infty のとき u : \alpha \to \infty．
よって，
^{\infty} \right) 
{2}\right) \right\}
{4} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right)
，
を得る．この定積分は関数論の留数計算で求めるのが簡単である．
例65\quad
を示せ．
解答例
\int_0^{\infty} \cos ax^2 dx の場合と同じ方針で解く．
とおいて両辺を Laplace 変換すると，
x = \sqrt{s}y, \quad s > 0 とおいて積分変数を x から y に変換すると dx = \sqrt{s}\ dy，また，
 \int_0^{\infty} \frac{y^2dy}{y^4 + 1}
分母 y^4+1 は
と因数分解できるから，
とおいて，
y^n の係数を等置して，
これを解いて，
, \quad B = D = 0
 \left\{ \frac{y}{y^2-\sqrt{2}y+1} - \frac{y}{y^2 + \sqrt{2}y + 1} \right\} 
 \left\{ \frac{2y}{y^2-\sqrt{2}y+1} - \frac{2y}{y^2 + \sqrt{2}y + 1} \right\} 
{y^2+\sqrt{2}y+1}\right\}
\right)^2} \right\}
\right)^2} \right\}dy
^{\infty} \right)
{2}\right) \right\}
{4} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
 \quad (t > 0)
\diamondsuit