まず次の例から始める．
を Laplace 変換すると，
}
ここに，q(s) は高々 3 次式の多項式である．
であるから，
となる．ここに A, B, C は未知の定数である．A, B, C を適当に選ぶことによって，任意の初期条件を満たす解が得られる．
よってこれが一般解である．この解をみると，
という形をとっている．この特解は，その解法からわかるように，初期値がすべて 0 の解ただしある初期値は 1 である．である．
一般に特解というのは，初期値を指定した特定の解という意味で，初期値が 0 の解という意味ではない．一般には次の定理が成立する．
定理 3.6
非同次線形微分方程式の任意の解は，非同次式の特定の解と同次式の解の和で表される．
証明
非同次式を
と書く．いま，
とすると，
が成立する．これにより，
となり，
すなわち，
を得る．
\diamondsuit
例82\quad
以下は大学入試問題に出た．
f(t) = 1 + 2\cos t + 3\sin t のとき，
となるように A, B, C を定めよ．
\diamondsuit
容易に分かるように，
}
は微分方程式，
の解の基本系である．したがってそれらの 1 次結合 f(t) も f(t-C) も解である．
それは重ね合わせの原理と定常性の原理からの帰結である．
よってまた
も解であり，これが基底の一つ 1 に等しくなるようにせよという問題である．
これは三角関数の加法定理を用いて
と求まるが，実はこれには物理的背景がある．
式 (3.30) は単振動の方程式，
と同じである．f(t) は const. = 1 のときの解である．
また \frac{1}{2}f(t)，\frac{1}{2}f(t-C) は const. = 2 のときの解である．
振動の周期は 2\pi であるから，C = \pi（半周期）ととると \sin, \cos の項は相殺する．
C は \pi の奇数倍でもよい．
この種の現象は実際目で見ることができる．（図：「有限時間整定応答」）
サムネイル|有限時間整定応答
最初 A の位置に静止している振子の支点を t=0 で瞬間的に B に移す．
すると B を中心として左右に振動し始める．
C の直下に錘がきた瞬間（t=\pi の奇数倍）に支点を B から C に移すと，C で静止する．
厳密には，この振子系は線形の微分方程式では表せないが，それでも実際にやってみると，うまく C で静止するから面白い．
このような現象は，線形定常常微分方程式で表される系ではいつでも実現できる．
一般的に考えると，微分方程式で表される系では，初期値が与えられると解の一意性から，特定のパターンを持った運動が持続する．
そのとき，外からの操作によって，異なった初期値をもつ別のパターンの運動を実現させることができる．
ある位置で静止させようと思えば，その位置にきたとき，初期条件が 0 となるようにうまく操作すればよい．
線形定常な系では，そのような操作は常に可能であり，自動制御の分野では，一部実用に供されている．
\diamondsuit