いままでの議論から分かるように，線形定常な連立微分方程式の解法においては，(sI-A)^{-1} の原像を求めることがすべてである．
そのとき中心的な役割を果たすのが  Cayley-Hamilton の定理である．よく知られているように，sI - A の行列式を A の固有多項式あるいは特性多項式という．
A が n 次の行列ならば，それも s の n 次の多項式となる．いまそれを，
とおくことにしよう．このとき，
が成立する．これが Cayley-Hamilton の定理である．
例115\quad
式 (5.20) を用いずに，A と B_i が交換可能であることを示せ．
解答例
A の逆行列が存在するならば，
より，
式 (5.16) ，
を代入して両辺に p(s) を掛ければ，
を代入して、両辺にあらわれる同じ s のべき乗の係数を等置すると，
s^n     : &  B_0                &= B_0 \\
s^{n-1} : & -B_0A + B_1         &= -AB_0 + B_1 \\
s^{n-2} : & -B_1A + B_2         &= -AB_1 + B_2 \\
s^{n-3} : & -B_2A + B_3         &= -AB_2 + B_3 \\
          & \quad\quad\vdots \\
s^2     : & -B_{n-3}A + B_{n-2} &= -AB_{n-3} + B_{n-2} \\
s       : & -B_{n-2}A + B_{n-1} &= -AB_{n-2} + B_{n-1} \\
1       : & -B_{n-1}A             &= -AB_{n-1}
\end{cases}
すなわち，A と B_i は可換である．
\diamondsuit