の解が二つあると仮定し，それらを \varphi_1(t), \varphi_2(t) とする．
であるから，
とおくと，これは
を満たす．u(t) \equiv 0 を示せばよい．上式の両辺に e^{at} をかけると，
となる．これを t_0 から t まで積分すると，u(t_0) = 0 であるから，
を得る
式 (3.13c)の左辺は \int_{t_0}^t \frac{d}{dt}e^{at}u(t) dt = \bigg[ e^{at}u(t) \bigg]_{t_0}^t =  e^{at}u(t) -  e^{at_0}u(t_0) = e^{at}u(t) \quad (\because u(t_0) = 0)
右辺は，0 を t_0 から t まで積分すると，これは定積分だから \bigg[C\bigg]_{t_0}^t = 0
すなわち e^{at}u(t) \equiv 0
よって u(0) \equiv 0．
普通に \frac{du}{dt} + au = 0 を解くことも可能であるが，現時点ではこの形での解の一意性は証明していないのだから，別に一意性の証明が必要になると解釈する．．