平面上の 1 点 a と閉曲線 C が与えられているとき，
C が a を何回まわるか，その回転数を数えることによって，安定判別をする方法がある．
結果を述べる前に若干の準備をしておこう．
回転数
C は a を通らない閉曲線とする．
動点 s が C 上を動くとき，半直線 \vec{as} が a の周りを正の向き（反時計まわり）に回る回数を，
C の a のまわりの回転数といい，
で表す．
例100\quad
C を単純閉曲線
自分自身と交わらない閉曲線のことである．
とすると，
{{制御と振動の数学/equation|r(C, a) = 
\begin{cases}
1 & (a \ \text{が} \ \ C \ \text{の 内 部 に あ る と き}\ ) \\
0 & (a \ \text{が} \ \ C \ \text{の 外 部 に あ る と き}\ )
}
\diamondsuit
であるから，
が成立する．ここに，複素数 s - a を極表示したものを s - a = re^{i\theta} とし，
とおいている．
定理 4.3  偏角変化量の原理\quad
p(s) を n 次の多項式，C を s 平面上の単純閉曲線とし，
p(s) の根は C 上にはないものとする．このとき，
\Gamma を \omega = p(s) による C の像，すなわち \Gamma := p(C) とすると，
{{制御と振動の数学/equation|r(\Gamma, 0; p)
p(C) の原点 0 周りの回転数である．
が成立する．
証明
とする．\alpha_i は重複していてもよい．複素数の偏角を \mathrm{arg} で表すと，
{{制御と振動の数学/equation|\mathrm{arg}\ p(s) = \mathrm{arg}\ a_0 + \sum_{i=1}^n \mathrm{arg}\ (s-\alpha_i)
\alpha, \beta を複素数とするとき，\mathrm{arg}\ (\alpha\beta) = \mathrm{arg}\ \alpha + \mathrm{arg}\ \beta
よって，
となる
の両辺を \int d\theta とすると，
\int_{p(C)} d\ \mathrm{arg}\ \{p(s)-0\} = \sum_{i=1}^n \int_{C} d\ \mathrm{arg}\ (s-\alpha_i)
すなわち
r(\Gamma, 0; p) = \sum_{i=1}^n r(C, \alpha_i)
．
上述のように，r(C, \alpha_i) は \alpha_i は C の内部にあるときだけ 1 で，
その他のときは 0 であるから求める結果を得る．
\diamondsuit
定理 4.4\quad
において，s が虚軸上を下から上まで動くとき，
\omega = p(s) の軌跡が \omega 平面の原点を通らずに，原点を \frac{n}{2} 回まわれば，
p(s) の根はすべて s 平面の左半平面に存在する．逆も成立する．
証明
左半平面を囲む半径 \infty の半円を考え，これを C とする．
C 内に n 個の根が存在することをいえばよい．
いまこの半円 C を虚軸上の部分 C_1 と円弧部分 C_2 に分け，
とする．このとき，
である．
仮定は r(\Gamma_1, 0) = \frac{n}{2} である．
さて，s \in C_2 のとき，
}
と表すと，半径 \infty（十分大）であるから \varepsilon(s) \fallingdotseq 0 である．この偏角は，
}
となるが，s が C_2 を動くとき，\mathrm{arg}\ \{ 1 + \varepsilon(s)\} の変化量は 0 である．
C_2 は s 平面上の原点を正の方向に半周するから，n\ \mathrm{arg}\ s の変化量は \frac{n}{2} である．
よって，
}
それゆえ，
{{制御と振動の数学/equation|r(\Gamma, 0) = \frac{n}{2} + \frac{n}{2} = n
仮定より r(\Gamma_1, 0) = \frac{n}{2}．
を得る．このことは p(s)=0 の根がすべて s 平面の左半平面に位置していることを示す．逆は明らかであろう．
\diamondsuit
例101\quad
の場合を考えてみよう．s = i\omega \quad (\omega \in \mathbf{R}) とおき実部と虚部とに分けると，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
x &= -a_1\omega^2 + a_3 \\
y &= -\omega^3 + a_2\omega
となる．a_1 = 0 なら，s 平面の虚軸の像 \Gamma_1 = p(i\omega), \quad -\infty < \omega < \infty は y 軸に平行な直線であるから，
r(\Gamma_1, 0) = \pm \frac{1}{2} となって
\omega: -\infty \to \infty にて a_3 < 0 なら回転数は -\frac{1}{2}，a_3 > 0 なら +\frac{1}{2}，いずれにしても n = 3 であるのだから原点の周りの回転数は \frac{3}{2} にならなければ安定でないが，そうではない．
不安定である．そこで a_1 \ne 0 とする．
式 (4.14) から \omega を消去すると，
ここに，
となる．y^2 > 0 であるから，
となる．
いずれの場合も \omega が -\infty から +\infty へ動くとき
式 (4.14) 
から分かるように，y は +\infty から -\infty へ動く．つまり \Gamma_1 上を上から下へ動く．
したがって，a_1 < 0 ならa_3, H_2 がどんな値をとっても，r(\Gamma_1, 0) は \frac{3}{2} にならない
原点を時計回りに周る軌跡であるため，r(\Gamma_1, 0) は負の値となる．
．
a_1 > 0 のとき，原点を囲むような形となるときだけ，
}
が成立する．このとき，
である．すなわち，
のとき安定となる．これは 
Hurwitz の方法で求めたものと一致する．
\diamondsuit
この技法は Hurwitz の方法に比べて，極めて迂遠のようであるが，自動制御理論では，フィードバック系の安定判別に用いられ，極めて有用である．
例102\quad
の場合の安定判別を，上例にならって行い，Hurwitz の方法による結果と比較せよ．
解答例
p(i\omega) = i\omega + a_1, \quad (\omega \in \mathbf{R}) を実部 x と虚部 y とにわける．
x &= a_1 \\
y &= \omega
\end{cases}
x は定数だから軌跡 \Gamma_1 は y に平行．
a_1 < 0 ならば，r(\Gamma_1, 0) は時計回りに回転し，その値は -\frac{1}{2} で不安定．
a_1 > 0 ならば，r(\Gamma_1, 0) は反時計回りに回転し，その値は +\frac{1}{2} で n = 1 より安定．
これは Hurwitz の定理による結果に符合する．
\diamondsuit
例103\quad
の場合の安定判別を，上例にならって行い，Hurwitz の方法による結果と比較せよ．
解答例
p(i\omega) = -\omega^2 + a_1, \quad (\omega \in \mathbf{R}) を実部 x と虚部 y とにわける．
x &= a_2 - \omega^2 \\
y &= a_1\omega
\end{cases}…①
①から \omega を消去すると，y^2 = -a_1^2x + a_1^2a_2…②
②のグラフの形は y = x^2 を 90°反時計回りに回転させたもので、頂点の座標は (a_2, 0)．
②が原点 (0, 0) を「取り込む」必要があるから，a_2 > 0
①の軌跡が y の -\infty から +\infty まで動けば，原点の周りを反時計回りに 1 回転して n = 2 より安定，すなわち a_1 > 0
条件 a_1 > 0, a_2 > 0 は Hurwitz の定理とも一致する．
\diamondsuit