x_1(t), x_2(t) を微分可能な二つの関数とし，c_1, c_2 を定数とすると，
となることはよく知られている
f, g を t の関数，k を定数として，\frac{d}{dt}(f + g) = \frac{df}{dt} + \frac{dg}{dt} および \frac{d}{dt}(kf) = k\frac{df}{dt}
．さらに D^m の定義から，
が従い
第2次導関数についていえば，
\frac{d^2}{dt^2}(kf) = \frac{d}{dt}\frac{d}{dt}(kf) = \frac{d}{dt}\left(k\frac{df}{dt}\right) = k\frac{d}{dt}\frac{df}{dt} = k\frac{d^2f}{dt^2}
また \frac{d^2}{dt^2}(f+g) = \frac{d}{dt}\frac{d}{dt}(f + g) = \frac{d}{dt}\left(\frac{df}{dt} + \frac{dg}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\frac{df}{dt} + \frac{d}{dt}\frac{dg}{dt} = \frac{d^2f}{dt^2} + \frac{d^2g}{dt^2}
，このことから
が導かれることは明らか
\frac{d}{dt}\left(f + g\right) = \frac{df}{dt} + \frac{dg}{dt}, \quad \frac{d^2}{dt^2}\left(f + g\right) = \frac{d^2f}{dt^2} + \frac{d^2g}{dt^2}, \quad \frac{d^3}{dt^3}\left(f + g\right) = \frac{d^3f}{dt^3} + \frac{d^3g}{dt^3}, \cdots  等から，
\frac{d}{dt}(kf) = k\frac{df}{dt}, \quad \frac{d^2}{dt^2}(kf) = k\frac{d^2f}{dt^2}, \quad \frac{d^3}{dt^3}(kf) = k\frac{d^3f}{dt^3}, \cdots 等から，
であろう．もちろん x_i(t) は 2 個に限る必要はない．
この事実を微分作用素 p(D) は線形性をもつとか，加法的であるという．この意味で，式(3.1) または式(3.2) の微分方程式を“線形”微分方程式と呼ぶのである．線形方程式の特徴は次の重ね合わせの原理が成立することである．
[重ね合わせの原理Ⅰ，同次式の場合]
が式(3.1) の解ならば，
も式(3.1) の解である．ここに c_i は定数とする．
証明
p(D) の線形性から
となるからである
x_i(t) が式(3.1) の解ならば，
\sum_{i = 1}^k c_ix_i(t) が式(3.1)の解かどうかは，
式(3.1)に実際に代入してみるとよく，すなわち，p(D)\left\{ \sum_{i = 1}^k c_ix_i(t) \right\} の値が
①のもとで 0 であれば \sum_{i = 1}^k c_ix_i(t) も 式(3.1) の解であり，実際にそうであった．
．
\diamondsuit
例66\quad
\cos\beta t, \sin\beta t はいずれも，
の解である．したがって A, B を定数とするとき，A\cos\beta t + B\sin\beta t も上式の解となる．
\diamondsuit
この結果は非同次式に対しては，次のように拡張される．
[重ね合わせの原理Ⅱ，同次式の場合]
x_i(t) (i = 1, 2, \cdots, k) を
の解とすると，
は，
の解となる．
\diamondsuit
証明は，同次の場合と同じであるから省略する．
証明：p(D)x_i(t) = f_i(t)…①
例67\quad
x_1(t) = -e^{-t} + 1は x' + x = 1 の解，
x_2(t) = e^{-t} + t -1 は x' + x = t の解である．このとき，
は，
の解となる．
\diamondsuit