もとに戻って，実係数微分方程式，
を考える．a_i \in \mathbf{R} であるが，f(t) は複素数値関数で，
とする．そうすれば解も当然複素数値関数となるので，
とおくことにしよう．これらを式 (4.7) に代入して，両辺の実部と虚部を等置すると
複素数の相等の定義は，a+ib = c+id \iff a=c, b=d である．
，二つの実形式の微分方程式，
を得る．この性質を利用すると，
の特解を簡単に見出すことができる．
ただし，A \in \mathbf{R} とする．それには
{{制御と振動の数学/equation|\sin\omega t = \mathrm{Im}\ \{e^{i\omega t}\}
e^{i\omega t} = \cos\omega t + i\sin\omega t
に注目して，式 (4.8) の代わりに，
を解き，解の虚部を取り出せばよいのである．そこで解を，
}
と仮定して式 (4.9) に代入すると，
}
を得る．これを特性多項式を用いて表すと，
}
となる．いま p(i\omega) \ne 0 と仮定すると，
}
となり，式 (4.9)の解は，
}
と求まる．この虚部を取り出すために，
}
と複素数の極形式で表すと，
}
となり，この式の虚部を取り出し，
と求まる．これが式 (4.8) の解である．この技法を複素振幅の方法と呼んでいる．
例86\quad
の特解を上例にならって求めよ．
解答例
Ae^{at}\cos(bt + c) を実部に持つ複素指数関数は，Ae^{at}e^{i(bt + c)}
(\because Ae^{at}e^{i(bt + c)} = Ae^{at}\left\{\cos(bt + c) + i\sin(bt + c)\right\})
Ae^{at}e^{i(bt + c)} = Ae^{at}e^{ibt}e^{ic} = Ae^{ic}e^{(a+ib)t}
よって、解 z = Be^{ic}e^{\alpha t}, \quad \alpha = a + ib とおく．これを与微分方程式に代入すると，
Be^{ic}p(\alpha)e^{\alpha t} = Ae^{ic}e^{\alpha t}
B = \frac{A}{p(\alpha)} \therefore z = \frac{A}{p(\alpha)}e^{ic}e^{\alpha t}
p(\alpha) = |p(\alpha)|e^{i\theta} と極形式におくと，
z = \frac{A}e^{ic+\alpha t - i\theta} = \frac{A}e^{ic+(a + ib)t - i\theta}
= \frac{A}e^{at}e^{i(bt + c -\theta)}
この実部をとると，
x = \frac{A}e^{at}\cos(bt + c -\theta), \quad \alpha = a + ib
\diamondsuit