n次元ベクトル(vector)とは、n個の複素数の組
a=(a_1, a_2,,, a_n)
の事である。n次元ベクトル(∀n ∈ N)を総じてベクトルという。
a_1,a_2,,,a_nは、ベクトルaの要素(element)と呼ばれていて、要素がすべて実数のベクトルを特に実ベクトルと言う。対して、要素がすべて複素数のベクトルを特に複素ベクトルと言う。ベクトルには大きさも定義されていて、それは||a||で表され、
と、定義される。これをaのノルムと言う。
例
演習
二次元、三次元実ベクトルは、二次元空間(R^2)三次元空間(R^3)
内の、大きさと方向を持った量を表し、通常矢印で表される。このベクトルを特に空間ベクトルと言う。
空間ベクトルの中でも特に、点の座標を表すものを位置ベクトルという。
空間ベクトル、位置ベクトルにおけるノルムは、それぞれ長さ、距離と呼ばれ|a|と表記される。
一般にベクトルには和、差、内積、外積が定義されている。
それぞれは、成分の個数が同じ時だけ次のように定義される。
とすると、
とすると、
とすると、
位置ベクトルにおいては、その交角をθとすると特に、
と表される。
演習