f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能で、f(a)=f(b)ならば、f'(c)=0 かつ c∈(a,b) を満たすcが存在する。
証明
f(x)が[a,b]上で定数なら、どのc∈(a,b)についても、f'(c)=0である。
f(x)が[a,b]上で、f(a)より大きい値をとるとき、最大値・最小値の定理より、あるc∈(a,b)に対して、f(c)≧f(x) (∀x∈[a,b]）となる。このとき、f(x)の微分可能性から、
よって、f'(c)=0 となる。
f(x)が[a,b]上で定数でなくかつf(a)より大きい値を取らないなら、f(a)より小さい値をとるので、同様に示せる。(証明終)
f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能ならば、 \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \  (c \in (a,b) )を満たすcが存在する。
証明
F(x)=f(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} xとおく。このとき、F(a)=F(b)=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在し、F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}であるから、定理は成立する。(証明終)
例 f(x)=x2 (x∈[3,5])について、定理が成立していることを確かめよ。
(f(5)-f(3))/(5-3)=8、f'(x)=2xなので、f'(x)=(f(5)-f(3))/(5-3)なら、x=4である。これは確かに区間(3,5)上に存在している。
関数f(x)、g(x)が[a,b]上連続かつ(a,b)上微分可能ならば\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\ (c \in (a,b))を満たす実数cが存在する。
証明
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=kとおく。
f(b)-f(a)-k[g(b)-g(a)]=0 であるから、ここで
\phi(x)=f(x)-f(a)-k[g(x)-g(a)] という関数φ(x)を考えれば
\phi(a)=\phi(b)=0 となる。従ってロルの定理より
\phi'(c)=0 \ (c \in (a,b)) を満たす実数cが存在する。
ここで関数φ(x)を微分すれば\phi'(x)=f'(x)-kg'(x)となるので\phi'(c)=f'(c)-kg'(c)=0よりk=\frac{f'(c)}{g'(c)}
が成り立つ。(証明終)
平均値の定理中の c \in (a,b)は不等式aと同義である。ここでa=x_0 , b=x_0 +\Delta x,c=x_0 +\theta \Delta xとおけば
x_0 より0<\theta<1が得られる。ここで、\theta =\frac{c-x_0}{\Delta x}である。
これらを平均値の定理に代入すれば
が得られる。この式や、分母を払った式
を用いると便利なことがある。
無論このような書き換えはコーシーの平均値の定理でも適用可能であり
なる等式が導かれる。ただし0<\theta<1すなわち \theta \in (0,1)である。
f(x)が[a,b]上でn回微分可能ならば、任意の正の実数pに対して、 \quad f(b)= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b-a)^k +\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!p} (b-c)^{n-p} (b-a)^p \  (c \in (a,b))を満たすcが存在する。
証明
f(b)= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b-a)^k +R(b-a)^p を満たすRを考える。F(x)=f(x)+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x)}{k!} (b-x)^k +R(b-x)^p とおく。このとき、F(a)=F(b)=f(b)であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在する。実際にF'(x)を計算すると、
F'(x)=f'(x)+ \sum_{k=1}^{n-1} \left ( \frac{f^{(k+1)}(x)}{k!} (b-x)^k - \frac{f^{(k)} (x)}{(k-1)!} (b-x)^{k-1} \right ) -pR(b-x)^{p-1} 
なので、F'(c)=0のとき、
 R= \frac{f^{(n)} (c)}{(n-1)!p} (b-c)^{n-p} である。(証明終)
テイラーの定理中の  \frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!p} (b-c)^{n-p} (b-a)^p  のことをシュレミルヒの剰余項といい、特にp=1のときのものをコーシーの剰余項、p=nのときのものをラグランジュの剰余項という。また、テイラーの定理は、近似計算やテイラー級数などに応用される。