証明
コーシーの平均値の定理
に於いてf(x_0)=g(x_0)=0を代入すれば
が成り立ちます。ここで極限\Delta x \to 0をとれば
となって定理が成立する事が分かります。(証明終)
次に極限x \to \pm \inftyをとった時に不定形0/0となる場合について考察します。
\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\lim_{x \to \pm \infty}g(x)=0 \Rightarrow \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}。
証明
まず二つの関数F(x)=f \left(\frac{1}{x} \right) , G(x)=g \left(\frac{1}{x} \right)を考えると
が成り立ちます。ここでF(x)、G(x)を微分すれば
が成立します。これらの等式より
が言えますので上述のロピタルの定理ⅠをF(x)、G(x)に適用する事により
が成り立つ事が分かります。(証明終)
ここでは∞/∞型不定形極限について議論する事にします。
\lim_{x \to x^*}f(x)=\lim_{x \to x^*}g(x)= \pm \infty \Rightarrow \lim_{x \to x^*} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x^*} \frac{f'(x)}{g'(x)}。
証明
\lim_{x \to x^*} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\alphaとおきます。\varepsilon >0を任意にとり、\varepsilon'=\min\left(1,\frac{\varepsilon}{|\alpha|+2}\right)とします。
このとき、ある\delta_1 >0が存在して
が成り立ちます。また、x,x_0を0<|x-x^*|<|x_0-x^*|<\delta_1を満たすように（x^*から見て同じ側に）取ると、コーシーの平均値の定理より
を満たすcが存在します。0<|c-x^*|<\delta_1なので、\left|\frac{f'(c)}{g'(c)}-\alpha \right|<\varepsilon'が成立します。ここで、
より
=1なので、ある\delta_2 >0が存在して
-1\right| < \varepsilon'
が成り立ちます。よって、0 < \left| x - x^* \right| < \min(\delta_1,\delta_2)ならば、
-\alpha\right|\\
-1\right)\right|\\
&<\varepsilon'(\varepsilon'+1+|\alpha|)\\
&\le\frac{\varepsilon}{|\alpha|+2}(1+1+|\alpha|)=\varepsilon
\end{align}
です。すなわち、
が成り立つ事が分かります。(証明終)
上述のⅡとⅢを組み合わせる事により以下の定理が導かれます。
\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=\lim_{x \to \pm \infty} g(x)=\pm \infty \Rightarrow \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}。
証明
上述のロピタルの定理Ⅱの証明と同様にF(x)=f \left(\frac{1}{x} \right), G(x)=g \left(\frac{1}{x} \right) とおけば 
となるので上記定理Ⅲより以下の等式が成り立つ事が分かります。；