線形定常常微分方程式
の解の t \to \infty における振舞を調べるのが目的である．ここでは係数は実数としておく．
式 (4.13) には x = 0 という解がある．
これを零解という．零解は時間の経過には無関係に一定値を取り続ける．そのような解を式 (4.13) の平衡点と呼ぶことがある．a_n \ne 0 ならば式 (4.13) の平衡点は零解だけである
p(D)x = 0…①で 
p(D)x = \{ q(D) + a_n \}x とおく．
今，x \equiv C が①の解であるとき，
\{ q(D) + a_n \} C = 0
q(D)x = 0 より a_nC = 0
a_n \ne 0 より C = 0．
．
さて，零解以外の任意の解 x(t) が，零解に近づくかどうか，その条件はなにかというのが我々の問題である．
安定の定義
(i) 式 (4.13) の解 x(t) が
となるとき，x(t) は安定な解であるという．すべての解が安定な解となるとき，
式 (4.13) の零解は安定である，
あるいは微分方程式 (4.13) は安定であるという．
(ii)
となる解を不安定な解という．このような解が少なくとも一つ存在すれば，
式 (4.13) は不安定であるという．
(iii)
(i) でも (ii) でもないとき，すなわち t\to\infty で発散する解は存在しない．しかしすべての解が 0 に漸近するわけではないとき，
式 (4.13) は安定限界であるという．
\diamondsuit
例95\quad
(i) e^{-t}, t^3e^{-2t}\cos t \quad （安定な解）
(ii) t, e^{2t}, t\sin t \quad （不安定な解）
(iii) 1, \sin t \quad （安定限界となる解）
\diamondsuit
さて式 (4.13) の特性方程式を p(s) とし，
\alpha をその根とすると，
なる根がある．
であるから，
となる．上から e^{\alpha t} は安定，不安定，安定限界であることが分かる．一般の解は，
}
のような解の 1 次結合から成り立っている．したがって，この解の安定，不安定を調べればよい．
}
であるから a > 0 なら，この解は t \to \infty とともに発散する．また a < 0 なら，
なる負の実数 c が存在し，この c に対して，
{{制御と振動の数学/equation|e^{(c-a)t} \geqq \frac{ \{ |c-a| |t| \}^k}{k!} \quad (t>0).
であるから，
であるから，この解は発散する．よって不安定である．
\diamondsuit
この定理から，安定・不安定の判別は，p(s) の根の，複素平面 (s 平面）上における配置によって決まることが分かる．
安定\quad 根がすべて左半面にあるとき
不安定\quad 少なくとも 1 根が右半面に存在するか，あるいは右半面には存在しないが，虚軸上に重根があるとき
安定限界\quad 虚軸上の根は単根で、他はすべて左半面にあるとき
とまとめることができる．