(sI-A)^{-1}の計算は逆行列を求める普通の計算に従えばよいのであるが、次のように計算することができる．
以下，行列 A の行列式を |A| または \det A などで表すことにする．
式 (5.8) に見られる通り，
(sI-A)^{-1} の各要素は共通の分母として，
を持つので，各要素は \frac{bs+c}{s^2+1} の形をしている．そこで，
とおいて B, C を求めることを考えよう．
まず s^2+1 と sI-A とを両辺にかけると，
となる．この両辺の係数を比較すると，
これより C=A を得る．よって，
を得る．この原像は，
}
となって，式 (5.8) と一致する．
例112\quad
例 105 に対して (sI-A)^{-1} を計算せよ．
解答例
A=\begin{pmatrix}-1&3\\-2&4\end{pmatrix}, \quad sI-A = \begin{pmatrix}s+1&-3\\2&s-4\end{pmatrix}, \quad \det (sI-A) = s^2-3s+2 であるから，
とおいて両辺に左から (s^2-3s+2)(sI-A) をかけると，
B=I より -3I = -A + C \therefore C = A-3I
なお，①の s^0 = 1 の項を等置すると，
C = A-3I より，2I = -A(A-3I)
②は A に関する  Cayley–Hamilton の定理を示している．
\diamondsuit
例113\quad
例 106 に対して (sI-A)^{-1} を計算せよ．
解答例
A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{pmatrix},\quad sI-A = \begin{pmatrix}s-\alpha&-\beta\\\beta&s-\alpha\end{pmatrix}, \quad \det (sI-A) = (s-\alpha)^2+\beta^2 であるから，
とおいて両辺に左から \{(s-\alpha)^2+\beta^2\}(sI-A) をかけると，
B=I より -2\alpha I = -A + C \therefore C = A-2\alpha I
\therefore (sI-A)^{-1} = \frac{Is + (A-2\alpha I)}{(s-\alpha)^2+\beta^2}=\frac{(s-\alpha)I}{(s-\alpha)^2+\beta^2} + \frac{A-\alpha I}{(s-\alpha)^2+\beta^2}
なお①の 1 の係数を比較して，
②は A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{pmatrix} に関する Cayley–Hamilton の定理を示している．
\diamondsuit