定義(単拡大)
体の拡大 K/F が単拡大(単純拡大)であるとは、K = F(\alpha) となる \alpha が存在することを言う。
体の有限次拡大 K/F に対して以下は同値。
(i) 中間体が有限個である
(ii) 単拡大である
証明
(i) ⇒ (ii):
F が有限体の場合は ガロア理論/有限体 を参照のこと。
K = F(\alpha, \beta), F が無限体、のときを示せば十分。\theta(a) = \alpha + \beta a とおいて、K = F(\theta(x)) となる x \in F を探す。\{\theta(a) : a \in F-\{0\}\} は無限集合であるが、\{F(\theta(a)) : a \in F-\{0\}\} は仮定より有限集合。したがって F(\theta(a)) = F(\theta(b)) となる相異なる a, b \in F-\{0\} が取れる。
\frac{\theta(a) - \theta(b)}{a - b} = \beta, \frac{\theta(a)b - \theta(b)a}{b - a} = \alpha であるので、F(\theta(a)) = F(\theta(a), \theta(b)) \subseteq F(\alpha, \beta) = K となり K = F(\theta(a)).
(ii) ⇒ (i):
K = F(\alpha) として、f(X) \in F[X] を \alpha の F 上の最小多項式とする。K/F の中間体 M について、g(X) \in M[X] を \alpha の M 上の最小多項式とする。g(X) の係数 a_1, \cdots, a_n について、M = F(a_1, \cdots, a_n) となることを示そう。
M' = F(a_1, \cdots, a_n) として、h(X) を \alpha の M' 上の最小多項式とする。明らかに g(X) \in M'[X] なので、g(X) は h(X) で割り切れる。また、h(X) \in M'[X] \subseteq M[X] より、h(X) は g(X) で割り切れる。つまり、g(X) = h(X) であり、[K:M] = [K:M'] なので M = M'.
したがって、K/F の中間体は g(X) で決まることがわかったのだが、g(X) は K[X] 内で f(X) を割り切るので、中間体が有限個であることが示された。
有限次分離拡大は単拡大である。
証明
K/F を有限次分離拡大とする。M \neq F, K を中間体として、H = \operatorname{Aut}(K/M) を M 上の K の自己同型のなす群として、N = K^H = \{ x \in K : \forall \sigma \in H (\sigma(x) = x) \} とおく。このとき明らかに M \subseteq N である。
K/M は有限次分離拡大であり、拡大次数についての帰納法によって K = M(\alpha) とすれば、\alpha' を \alpha の共役元として、K = M(\alpha) \rightarrow M(\alpha') = K, \alpha \mapsto \alpha' という自己同型がある(ガロア理論/分離拡大参照)ので、H \neq {1_K} である。したがって、K \neq N である。
さて、H \neq \{1\} は有限群 G = \operatorname{Aut}(K/F) の部分群であり、そのような全ての H に対して K^H を考える。すると、K/F の真の中間体は、ある部分群 H について K^H/F の部分体であり、そのようなものは帰納法の仮定により有限個である。したがって、部分群 H は高々有限個しかないから、K/F の中間体は有限個である。
よって原始元定理によって示された。