定義(共役体)
体の拡大 K/F, K'/F についてこれらが互いに共役、あるいは K が K' の F 上の共役体であるとは、K, K' をどちらも含む拡大体 L が存在し、かつ F 上同型であることをいう。
体の代数拡大 K/F について、以下は同値。
(i) K/F の F 上の共役体は K のみである
(ii) K の代数閉包 \Omega および F 上の同型写像 \sigma : \Omega \rightarrow \Omega について \sigma(K) = K
(iii) \alpha \in K の最小多項式 f(X) は、\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in K で f(X) = (X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_n) と書ける
証明
(i) ⇒ (ii):
\sigma(K)/F は K/F と共役であるので、\sigma(K) = K.
(ii) ⇒ (iii):
\Omega を K の代数閉包として、\alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in \Omega があって f(X) = (X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_n) と書ける。\sigma : K(\alpha) \rightarrow K(\alpha_i) を \alpha \mapsto \alpha_1 で定めることができ、これをガロア理論/代数的閉体#定理2-(ii)を使って \sigma : \Omega \rightarrow \Omega に拡張する。このとき、\alpha_i = \sigma(\alpha) \in \sigma(K) = K となって示された。
(iii) ⇒ (i):
K' を K の F 上の共役体として、L を K, K' を含む拡大体、\phi : K \rightarrow K' を F 上の同型写像とする。\alpha_1 \in K に対して \alpha_1' = \phi(\alpha_1) として、f(X) = (X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_n) \ \ \ (\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in K) を \alpha の F 上の最小多項式とする。このとき、\phi(f(X)) = (X-\alpha_1') \cdots (X-\alpha_n') \ \ \ (\alpha_i' = \phi(\alpha_i)) であり、X = \alpha_1 とすれば、L 内で 0 = (\alpha_1 - \alpha_1')(\alpha_1 - \alpha_2') \cdots (\alpha_1 - \alpha_n') を得る。よって、\alpha_1 = \alpha_i' \in \phi(K) となり、K \subseteq \phi(K) = K' となる。ここから K' = \phi^{-1}(K) \subseteq \phi^{-1}(K') = K となり、よって K = K' である。
定義(正規拡大)
上の命題の(i), (ii) 及び (iii) を満たす体の代数拡大を正規拡大という。
正規拡大 K/F と \alpha, \beta \in K について、以下は同値。
(i) \alpha, \beta の最小多項式が一致する
(ii) F 上の K の自己同型で、\alpha を \beta に移すものがある
証明
(i) ⇒ (ii):
命題1 の (ii) ⇒ (iii) の証明で構成されたように、代数閉包 \Omega について \sigma : \Omega \rightarrow \Omega, \alpha \rightarrow \beta があり、正規拡大という仮定から \sigma|K : K \rightarrow K は同型写像である。
(ii) ⇒ (i):
f(\beta) = f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = 0.
体の拡大 K/F について、以下は同値。
(i) K/F は有限次正規拡大である
(ii) K は、ある f(X) \in F[X] の最小分解体である
証明