前節の思いつきが成功したのは，割り算が常に割り切れたからである．
割り切れたのは f(t) が t の多項式であったからで，
f(t) を何回か微分すれば必ず 0 となることが保証されているからにほかならない．
そこで，何回微分しても決して 0 にならない指数関数を f(t) に選んでみよう．
例5\quad
}
例によって p = \frac{d}{dt} とおくと
}
}
となる．この割り算を実行しよう．
\begin{array}{lcl}
       &    &  e^{at}         & -ae^{at}       &   a^2e^{at} &  -a^3e^{at} & \cdots     \\
\hline
1 + p  & )  &  e^{at}         &                &             &             &            \\
       &    &  e^{at}         & ae^{at}        &             &             &            \\
\hline
       &    &                 & -ae^{at}       &             &             &            \\
       &    &                 & -ae^{at}       &  -a^2e^{at} &             &            \\
\hline
       &    &                 &               &  +a^2e^{at}  &             &            \\
       &    &                 &               &  +a^2e^{at}  & a^3e~{at}   &            \\
\hline
       &    &                 &               &              & -a^3e^{at}  &            \\
       &    &                 &               &              & -a^3e^{at}  & -a^4e^{at} \\
\hline
       &    &                 &               &              &             & a^4e^{at}  \\ 
\end{array}
e^{at} / (1 + p) = e^{at} \cdots\cdots -ae^{at}
-ae^{at} / (1 + p) = -ae^{at} \cdots\cdots a^2 e^{at}
a^2 e^{at} / (1 + p) = a^2 e^{at} \cdots\cdots -a^3 e^{at}
-a^3 e^{at} / (1 + p) = -a^3 e^{at} \cdots\cdots a^4 e^{at}
これはいつまでたっても割り切れない．しかしここで諦めては長蛇を逸する．
そこで n 回，上の演算を実行すると，
}
}
を得る．したがって，
ならば，無限回の施行の後，
となって割り切れる．このとき商は，
}
となる．
験算
}
よって，この x(t) は，初期条件 x(0) = \frac{1}{1 + a} をみたす解であることが分かった．
上で行った験算は，|a|<1  でなくても，x(t) が正しい解を与えることを示している．そこで，
の場合にも，正しいを解が得られるように工夫してみよう．p で割るということは，積分するということであった．
{a} となる．\frac{1}{a} のベキ級数は |a| > 1 で収束する．
そこで割り算を少し変形して、次のように p から先に割っていこう．
\begin{array}{lcl}
       &    & \frac{1}{a}e^{at} & -\frac{1}{a^2}e^{at} &   \frac{1}{a^3}e^{at} &                       & \cdots     \\
\hline
p + 1  & )  &  e^{at}           &                      &                       &                       &            \\
       &    &  e^{at}           &  \frac{1}{a}e^{at}   &                       &                       &            \\
\hline
       &    &                   & -\frac{1}{a}e^{at}   &                       &                       &            \\
       &    &                   & -\frac{1}{a}e^{at}   &  -\frac{1}{a^2}e^{at} &                       &            \\
\hline
       &    &                   &                      &  +\frac{1}{a^2}e^{at} &                       &            \\
       &    &                   &                      &  +\frac{1}{a^2}e^{at} & \frac{1}{a^3}e~{at}   &            \\
\hline
       &    &                   &                      &                       & -\frac{1}{a^3}e^{at}  &            \\
\end{array}
e^{at} \div (p + 1) = \frac{1}{a}e^{at} \cdots\cdots -\frac{1}{a}e^{at}
-\frac{1}{a}e^{at} \div (p + 1) = -\frac{1}{a^2}e^{at} \cdots\cdots \frac{1}{a^2}e^{at}
\frac{1}{a^2}e^{at} \div (p + 1) = \frac{1}{a^3}e^{at} .....
この演算を無限回続けると，|a| > 1 であるから，商は収束して，
}
となる．
|a| = 1 の場合の考察は後まわしにして，これら 2 種の計算法の検討をしておこう．
1^\circ |a|<1 の場合
}
2^\circ |a|>1 の場合
}
このように p の関数を p あるいは \frac{1}{p} で展開し，p は微分，\frac{1}{p} は積分と考えて形式的に計算すると，正しい答に導かれる．例えば例1は
となって同じ答を得る．
例6\quad
\frac{1}{p} で展開するとどうなるか．
解答例\quad
と項が無限に生成されてしまい，うまくいかない．
上に示した幾つかの例において，微分方程式の解は得られるには得られたが，まだ多くの問題点を残している．
手法のいかがわしさは暫くおくとしても，一つの方程式に対して一つの解しか得られず、任意の初期値を満たす解が得られないのは大きな欠陥である．
このことは，次のような方程式
を取り扱うとき，深刻な問題となる．というのは，単に p = \frac{d}{dt} と置いたのでは，
となって，得られた解 x(t) \equiv 0 は正しい解には違いないが，視察でも求まるつまらない解だからである．
さて \frac{1}{p} を積分と考えることによって、色々な初期値が得られる可能性のあることを前に示唆しておいた．
そこで，ひとまず (1.5) を 0 から t で積分してみよう．
を得る．そこで，積分は微分 p の逆演算であるという考えを一方深めて，改めて，
}
あるいは，もっと正確に，
と定義しなおすことにしよう．そうすれば式 (1.6) は，
となる．初期値 x(0) が入ってきたところが，単に \frac{d}{dt}=p とおいた場合と根本的に異なっている．
この式を x について解き，
これを \frac{1}{p} で展開すると，
{{制御と振動の数学/equation|x = \left(1 + \frac{a}{p} + \frac{a^2}{p^2} + \frac{a^3}{p^3} + \cdots\right) x(0)
因数分解 x^n - a^n = (x - a)(x^{n - 1} + ax^{n - 2} + a^2x^{n - 3} + \cdots + a^{n - 3}x^2 + a^{n - 2}x + a^{n - 1}) より 
\frac{x^n - a^n}{x - a} = x^{n - 1} + ax^{n - 2} + a^2x^{n - 3} + \cdots + a^{n - 3}x^2 + a^{n - 2}x + a^{n - 1}
今 x = 1，a は公比で |a| < 1 とすれば，右辺、初項 1 公比 a 等比級数の和は収束して
その和は \frac{1}{1 - a}．ここでは形 \frac{a}{p} が「収束する条件を満たす」として上記の導出を逆方向に適用する．
を得る．
さてここで定義 (1.7) に戻り，
}
以下同様にして，
が得られることに注意すると，式 (1.8) は
となる．上の式の（）内は e^{at} の Taylor 展開である．よって，
を得る．これが式 (1.5) の正しい解であることは明らかである．
どうやら我々は満足するべき解法にかなり近づいたようである．次節でもう少し掘り下げて考えてみよう．