実変数 t の複素数値関数 f(t) が与えられているとき，
となる関数 F(t) を f(t) の原始関数という．
例87\quad
}
は e^{\alpha t} の原始関数．
\diamondsuit
A in \mathbf{C} を任意の定数とするとき，F(t) + A も f(t) の原始関数となる．これを，
と表す．時には A を省略することがある．
さてこのように定義すると g(t), h(t) を実関数とし，
なるとき，
すなわち，
が成立する．
事実，f(t) の原始関数の一つを，
とすると，微分の定義式 (4.3) から，
}
であるが，これが，
に等しいのであるから，相等の定義複素数の相等の定義から，
となる．これは G, H が実関数 g, h の原始関数であることを意味するから，
と書ける．ここに a, b は任意の実定数である．ここで A = a + ib とおくと，
}
すなわち，
を得る．
例88\quad
の実部と虚部を等置することにより，
を得る
\int e^{\alpha t}dt = \int e^{(a + ib)t}dt
=\int e^{at}(\cos bt + i\sin bt)dt
また，
\frac{1}{\alpha}e^{\alpha t} = \frac{1}{a+ib}e^{at}(\cos bt + i\sin bt)
{(a+ib)(a-ib)}(a-ib)(\cos bt + i\sin bt)
{a^2 + b^2}\left\{ (a\cos bt + b\sin bt) + i(a\sin bt - b\cos bt)\right\}
．
\diamondsuit
複素数値関数 f(t) = g(t) + ih(t) の定積分を，
と定義する．このとき微分積分学の基本公式が成立する．
微分積分学の基本公式
証明
実関数に対する基本公式，
は既知であるから，第 2 式に i を掛けて加えればよい．
また定積分に関して次の性質が成立する．
複素数値関数の積分の基本的性質
[Ⅰ] f_1(t), f_2(t) を複素数値関数，c_1, c_2 \in \mathbf{C} とすれば
[Ⅱ] f(t), g(t) を複素数値関数とするとき，
[Ⅲ] f(t) を複素数値関数，\varphi(\tau) は実数値関数とする．このとき，
ここに，a = \varphi(\tau_a), b - \varphi(\tau_b)．
[Ⅳ]
ここに f(t) は複素数値関数
[Ⅴ] f(t) を任意の有限区間で積分可能な複素数値関数とする．
以下に Ⅳ の証明だけ与えておく．
ほかは，実関数に関する同様な公式を既知とすれば，複素数値関数の積分の定義から簡単に得られる．
公式Ⅳの証明
\int_a^b f(t)dt は複素数であるから，その偏角を \theta とおいて，極形式で表すと，
}
よって，
公式Ⅰを用いて
定積分の定義により，
となる．左辺は実数であるから，右辺の第 2 項は 0 である．また，
{{制御と振動の数学/equation|\mathrm{Re}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\} \leqq \left|e^{-i\theta}f(t)\right|=|f(t)|
|e^{-i\theta}| = |\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)|=1
であるから，実関数に関する公式Ⅳを用いると，
を得る
．
\diamondsuit