中高一貫校の学習 >中等教育前期の数学・代数編(上)> 一次不等式と連立不等式
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同じ大きさの量を「=」で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号と、その性質についてまとめる。
ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことをA > Bと表し、AがBより小さいこと（AがB未満）をA < Bと表す。ここで、「<」と「>」のことを不等号と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、「\leqq , \geqq」という不等号もあり、「A \leqq B , A \leqq B」は、それぞれ「AがB以下」「AがB以上」という意味で、「AB」に、A=B、つまり、AとBが等しい値である場合をふくんだものである。なお、国際的には「\le , \ge」を使うことがある。
x>7という不等式があるとき、xは7より大きい数である。また、x \geqq 7の時には、xは7以上の数である。
不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。
x > yが成り立つときには、x+3>y+3、4x > 4yも成り立つ。また、 -x < -yが成り立つ。
不等式の性質を使って
 a {\color{red}+3}
の両辺から3を引くと
 a+3-3
よって
 a
となる。
このように、不等式でも移項することができる。
次の不等式を解きなさい。
3x-1  & \leqq 9x-7\\
3x-9x & \leqq -7+1\\
-6x   & \leqq -6\\
x     & \geqq 1
\end{align}
3(x-2) & > 2(5x-3)\\
3x-6   & > 10x-6\\
3x-10x & > -6+6\\
-7x    & > 0\\
x      & < 0
\end{align}
x+1  & < \frac {x-1} {3}\\
3x+3 & < x-1\\
3x-x & < -1-3\\
2x   & < -4\\
x    & < -2
\end{align}
xは3より大きい.png|図1
xは3より小さい.png|図2
xは3以上.png|図3
xは3以下.png|図4
x>3,x<3,x \geqq 3,x\leqq3は、数直線上では図1,2,3,4のようにあらわすことがある。
いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、これらの不等式を同時に満たすxの値の範囲を求めることを、連立不等式を解くという。
次の連立不等式を解きなさい。
(i)
(ii)
     x \geqq 1-x\\
     2(x+1)>x-2
\end{cases}
(i)
x+2<2x+4から-x<2
10-x \geqq 3x-6から-4x \geqq -16
(1),(2)を同時に満たすxの値の範囲は
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右の図のように、2つの範囲が重なるところを探すと
(ii)
x \geqq 1-xから2x \geqq 1
2(x+1)>x-2から2x+2>x-2
(1),(2)を同時に満たすxの値の範囲は
Aの形の連立不等式は、
の形に直して解く。
とはしない。