まず、関数（かんすう）とはどういうものなのかというと、2つの変数 x,yがあって、xの値を決めると、それに対応するyの値が1つだけ決まるとき、この関係を yはxの関数である という。
たとえば、一日の気温の変化を1時間ごとに観測した折れ線グラフを考えよう。このとき、xを時刻、yを気温とすれば、xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる。
このように、xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる場合、2数xとyの関係をyはxの関数であるあるいはxの関数yという。
関数とは何かについて、さきほど「xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる」と説明したが、実はこの決まりさえ守れば、yがxを計算して求めることができなくても、yはxの関数である。（たとえば、気温の値yは、時刻xから計算して求めることはできない。）
このように「xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる」とだけ関数の要件を決めておくことにより、xの文字式であらわせないものであっても、必要に応じて関数として利用できるので、活用しやすくなる。
また、この気温の折れ線グラフの例からも分かるように、関数は折れ線であってもいいし、yの値がxの文字式であらわせなくてもいい。ただし、中学校で学ぶ関数のほとんどは、yの値がxの文字式で表され、xの値を文字式に代入することで、対応するyの値を計算して求めることができるような関数を扱う。この文字式を、関数の関係式と呼ぶ。そして中学数学では、関係式の持つ形によって関数を分類し、それぞれの特徴について学習する。
関数のうち、正比例や反比例などの比例関係は、小学校ではxの値の変化に伴うyの値の挙動で捉えたが、中学数学ではそれぞれの持つ関係式の形によって理解する。
なお、中学二年で習う「一次関数」とは、yの値がxの一次式で表せる場合である。
気温の折れ線グラフでは、気温を測定してない時間帯には、当然、関数が存在しない。
たとえば、その日の朝6時から夕方5時まで気温を測定したら、そのあいだの時間だけが、関数の値が存在する時間帯である。
という。
なお、関係式を持つ関数にも、変域が考えられる場合がある。
たとえば、反比例の式の関数
 y=\frac{1}{x} 
では、x＝0 は、変域から除いて考える(どんな数も0では割れない)。
一次式であらわせる式でも、文章題などの応用問題では変域が存在する。
たとえば
 窓があります。窓の高さは90 cmとします。窓を x cmあけたときの、あけられた部分の面積 y （単位はcm2とする）は、いくらでしょうか？
という問題では、
 y = 90x
と式で表せるが、
窓のあけられた長さを0よりも小さくはできないし、窓の可動範囲までしか窓を開けないので、xに上限も存在する。
中学1年で習う『関数』の単元は入門的な内容であるが、それまで小学算数では変数の値の変化のようすとして捉えていた「比例」や「反比例」を関係式を使って捉え、対応表やグラフで表すことを学び、関係式に現れる比例定数の値と変化のようすの関連づけたり、負数の領域も含めた変化のようすやその意味付けを理解するなど、後の学年で学ぶ様々な関数の扱い方の基礎を学ぶ意味で、たいへん重要である。
最終的に、読者が中学高校の数学で習う関数の理論は、yがxの一次式、二次式、あるいはそれより高次の関係式で表されたり、xの値がどの領域にあるかによって複数の関係式を使い分けたり、yの値の変化をxの多項式によらず、新たな関数として定義したりする考え方をあつかう理論である。
である、という。
xの一次関数y は一般に、
という式で表される。
thumb|
という。
とよぶ。
と呼ぶ。関数のグラフを描くとき、
とよぶ。中学数学で切片といえばy切片のことを指すが、将来的にはx切片やz切片も考えられるので注意しよう。
ここで特に、b=0 のとき、この場合の一次関数の関係式は
となり、これは比例の式に他ならない。そこで比例は、一次関数 y = ax+b において、b=0 となった場合である、一次関数の特殊な例だと考えられる。一次関数 y = ax + b のグラフの傾きは、比例 y = ax の傾きと等しく、両者のグラフは平行線を描く。一次関数 y = ax + b のグラフは、比例 y = ax のグラフを y軸正の向きにb だけ平行移動したものとなる。
一方、反比例の場合、一般式は
であり、これはyがxの一次式で表されていないから、一次関数の一種とは考えられない。
thumb|right|300px|1次関数 y=''2x''+''3''のグラフ
一次関数のグラフがどんなものか考えてみよう。
 問題
      y = 2x + 3 のグラフを書きなさい。
グラフを書くために、まずはx の値に応じてy の値がどう変化するのか調べる。対応表を書いて調べると、
これをグラフ用紙の上にとっていくと、全ての点は直線に乗っていることがわかる。xの値をもっと細かく、連続的に変化させると、グラフはひとつながりの線となって、直線を描く。
まず、y 軸とは(0,3)で交わっている。
なお、この例からも分かるように、
 一次関数y=ax+bの定数項 b は、グラフで考えたさいの一次関数の直線とy軸との交点のy座標である。
thumb|300px|
また、グラフの傾きから分かるように、y=ax の傾きと同じである。つまり、一次関数 y=ax+b と y=ax とは平行である。
つまり、
 一次関数 y=ax+b のグラフは、原点を通る直線y=axの傾きと平行で、切片の座標(0,b)を通る直線である。
と言える。
または、
 一次関数 y=ax+b のグラフは、原点を通る直線のグラフ y=axをy軸の正の向きに bだけ移動した直線である。
とも言える。
また、右図のように、傾きの数aだけ、xが1増えたときにyもa増える。
thumb|300px|
関数において、xの値(定義域)が変化したとき、yの値(値域)も変化しますが、このときyの変化量をxの変化量で割ったものを変化の割合といいます。一次関数y=ax+bにおいて、変化の割合はa(直線の傾き)となります。
たとえば、一次関数y=3x+1において、xの値が-2から5まで変化したとき、yの値はx=-2のとき-5で、x=5のとき、y=16なので、yの値は-5から16となる。よってxの変化量は7で、yの変化量は21なので、変化の割合は\frac{21}{7}=3となります。これは、この一次関数の傾きと等しいですね。
{{コラム|※ 範囲外: なぜ「関数」という概念が必要か？|
なぜ、「比例」という概念をそのまま使わずに、わざわざ「一次関数」という概念を用いるのだろう？
まず、上述したように、気温のグラフなど比例であらわせないグラフも関数であるので、「関数」という考えかたは必要である。
thumb|200px|二次関数のグラフ
それとは別に、読者は「一次関数」という名前から予想すると思うが、じつは数学には「二次関数」や「三次関数」という関数もある。（※ 「二次関数」以降の計算式を習う学年は高校なので（2017年現在では）、中学生はまだ覚えなくていい。）
なお、二次関数の一般式は
である。
二次関数の式やグラフからも分かるように、二次関数はもはや比例式ではない。
高校では、数学や理科などで、二次関数のように、比例的でない関数がたくさん登場する。
二次関数の計算は、高校生ですら、なかなか難しい。中学生は、まず一次関数の性質と計算法を勉強する必要がある。
右の二次関数のグラフを見れば分かるように、曲がっている図形をあらわす場合、二次関数を使うことになる場合もある。
2つの文字x , yを含む2元1次方程式 x+2y=2 を考える。
この方程式の表は次のようになる。
x+2y=2 を成り立たせるx , yの値の組は無数にある。この x , y の値の組を座標とする点を座標平面上にとると、その点が形作る図形は、直線になっており、ちょうど一次関数のグラフと同じ形になっている。
また、x+2y=2 をyについて解くと y = - \frac{1}{2} x + 1 となり、一次関数の関係式と同じ形になっていることからも、方程式の解が形作る図形は、一次関数のグラフの形と同じ直線であることが分かる。
よって、方程式 x+2y-2=0 の解が成す図形は、傾きが- \frac{1}{2}、切片が1の直線になる。この直線は 方程式 x+2y=2 の解 を図示したものである。
このように、2元1次方程式は、一次関数と同様の計算手法で扱うことができる。また、2元1次方程式のグラフは、方程式を変形して一次関数の関係式と見なすことで、解を表す直線の傾きと切片を容易に求めることができる。
300px|right
方程式 y=k の解は、右図のようになる。
なぜなら、この方程式 y=3 を満たすxとyの解の組み合わせは、
と無数にあり、それらの点のある位置は、右図のように、x軸に平行で、y軸正の向きに原点から3だけx軸を移動させた直線の上にあるからである。
一般に、方程式 y=k の解は、点 (0\ ,\ k) を通り、x軸に平行な直線で図示される。
この方程式 y=k は、2元1次方程式 ax+by=c において、 a=0 となった場合の特殊な例と考えてよい。
一方、y=k には、xが含まれていないが、x の値を何に決めようとお構いなく、そのとき yの値が ただひとつ k に決まるため、このyは、xの関数と考えてよい。
一次式 ax+b で x の係数 a が 0 になることは、xの一次式では認められないため、これは一次関数の一種とは認められないが、中3数学で学ぶ「いろいろな関数」では「継ぎはぎ関数」とよばれる関数の構成要素として現れるため、この x軸と平行に伸びるグラフの形と、yの値が全く変化しない様子は「定数関数」の名とともに、記憶にとどめておこう。
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方程式 x=2 の解は、右図の図形を描く。
なぜなら、この方程式をみたすxとyの組み合わせ (x,y) は、
のようになるからである。
一般に、方程式 x=h の解は、座標平面上で点 (h\ ,\ 0) を通り、y軸に平行な直線で図示される。
x=h は、2元1次方程式 ax+by+c=0 で b=0 となった場合の特殊な例と考えてよい。
一方、座標平面上の図形を見てもわかる通り、ひとつのx の値に対して、あらゆる yの値が対応しているため、このようなグラフを持つような関数は考えられない。
例題
傾きが-3、切片4の直線の式を求めなさい。
これは、一次関数の関係式 y=ax+b に、xの係数 a=-3,
定数項 b=4 を代入して、
を得ます。
例題
傾きが2で、(3,7)を通る一次関数の式を求めなさい。
一次関数の関係式を使う
これは、一次関数の関係式 y=ax+b に、xの係数 a=2 を用いて
この式に x=3 を代入したとき、y=7 となるように
定数項bの値を定めて、b=1
これより、求める直線の式は,
比例の関係式を使う
(3,7)を代入したとき、(0,0)になるように x-3,y-7  を作っておく。
これが、比例定数2の比例になるように式を組んで。
例題
2点 (-3,8),(1,-4) を通る直線の式を求めなさい。
連立方程式を使う
点の座標を(x,y)に代入して連立方程式を作ると、
これを解いて、
よって、求める直線の式は、
傾きと通過する1点から求める
xが+4 増加する間の yの増加量は-12 であることから、変化の割合は-3
この式に x=1 を代入したとき、y=-4 となるように
定数項bの値を定めて、b=-1
これより、求める直線の式は,
二元一次方程式を連立して作る、二元一次連立方程式の解の意味を考えよう。
次の方程式を例に考えよう。
right|300px|
まず式(1)をyについて解くと y = -\frac{3}{4}x +3 に変形できる。
   式(2)をyについて解くと y = 3x-2 に変形できる。
それぞれ、一次関数の関係式と考えて直線のグラフを描き、右のグラフを得る。
一次関数をどうしの線どうしの交点は、それに対応する連立方程式の解になる。