1 回の試行で得られる結果が、α、β の2種類あるとする。
ここで1回の試行で α が得られる確率を θ とする。
n 回試行した時に α が k 回出る確率を f(k) とすると、
f(k) = 
{n\choose k}
\theta^k(1-\theta)^{n-k}
と表すことができる。この分布を二項分布という。ただし、
は n 個から k 個を選ぶ組合せの数（二項係数）である。二項分布という名前は、この二項係数にちなんでいる。
また n, θ (および1-θ)は定数である。このようなパラメータのことを母数という。θを母比率という。n，θが与えられれば，この分布は確定するので、この分布を B(n,θ) と表す。
このf(k)は、二項定理により
を満たすので、確かに確率質量関数となっている。
期待値 E(X)は、
E(X)&= \sum_{k=0}^n k {n\choose k} \theta^k(1-\theta)^{n-k} \\
&= \sum_{k=1}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!} \theta^k(1-\theta)^{n-k} \\
&= \sum_{k=1}^n n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \theta^k(1-\theta)^{n-k} \\
&= n\theta \sum_{k=1}^n {n-1 \choose k-1} \theta^{k-1}(1-\theta)^{n-k} \\
&= n\theta (\theta+(1-\theta))^{n-1} \\
&= n\theta
\end{align}
である。
分散 V(X)は
V(X)&= \sum_{k=0}^n k^2 {n\choose k} \theta^k(1-\theta)^{n-k} -(n\theta)^2 \\
&= \sum_{k=1}^n (k(k-1)+k) {n\choose k} \theta^k(1-\theta)^{n-k} -(n\theta)^2 \\
&= \sum_{k=2}^n k(k-1) {n\choose k} \theta^k(1-\theta)^{n-k} +n\theta -(n\theta)^2 \\
&= \sum_{k=2}^n k(k-1) \frac{n!}{k!(n-k)!} \theta^k(1-\theta)^{n-k} +n\theta -(n\theta)^2 \\
&= \sum_{k=2}^n n(n-1) \frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!} \theta^k(1-\theta)^{n-k} +n\theta -(n\theta)^2 \\
&= n(n-1)\theta^2\sum_{k=2}^n {n-2 \choose k-2} \theta^{k-2}(1-\theta)^{n-k} +n\theta -(n\theta)^2 \\
&= n(n-1)\theta^2(\theta+(1-\theta))^{n-2} +n\theta-(n\theta)^2 \\
&= n\theta(1-\theta)
\end{align}
である。
rを自然数の定数とし、pを0を満たす実数の定数とする。0以上の整数kに対し、
と定める。ただし、{k+r-1 \choose k}は二項係数である。このf(k)が確率質量関数であることは、以下のように確かめられる。
級数
の両辺をr-1階微分すると、
であるから、両辺にx=pを代入して\frac{(1-p)^r}{(r-1)!}をかけると、
を得る。
以上により、このf(k)が確率質量関数であることが確かめられた。この確率質量関数によって定まる確率分布を、負の二項分布という。
期待値 E(X)は、
E(X) &= \sum_{k=0}^\infty k {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k \\
&= \sum_{k=1}^\infty k {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k \\
&= \sum_{k=1}^\infty (k+r-1) {k+r-2 \choose k-1} (1-p)^r p^k \\
&= \sum_{k=0}^\infty (k+r) {k+r-1 \choose k} (1-p)^r p^{k+1} \\
&= p\left( \sum_{k=0}^\infty k {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k + r\sum_{k=0}^\infty{k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k\right) \\
&= p(E(X)+r) \\
\end{align}
であるから、これを整理すると、
を得る。
分散 V(X)は、
V(X) &= \sum_{k=0}^\infty k^2 {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k - \left(\frac{pr}{1-p}\right)^2\\
&= \sum_{k=0}^\infty (k(k-1)+k){k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k - \frac{p^2r^2}{(1-p)^2} \\
&= \sum_{k=2}^\infty k(k-1) {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k + \sum_{k=0}^\infty k {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k - \frac{p^2r^2}{(1-p)^2} \\
&= \sum_{k=2}^\infty (k+r-1)(k+r-2) {k+r-3 \choose k-2}(1-p)^r p^k + \frac{pr}{1-p} - \frac{p^2r^2}{(1-p)^2} \\
&= \sum_{k=0}^\infty (k+r+1)(k+r) {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^{k+2} + \frac{pr}{1-p} - \frac{p^2r^2}{(1-p)^2} \\
&= p^2\left( \sum_{k=0}^\infty k^2 {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k + (2r+1) \sum_{k=0}^\infty k {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k+r(r+1) \sum_{k=0}^\infty {k+r-1 \choose k}(1-p)^r p^k\right) + \frac{pr}{1-p} - \frac{p^2r^2}{(1-p)^2} \\
&=p^2\left(V(X)+\frac{p^2r^2}{(1-p)^2}+\frac{(2r+1)pr}{1-p}+r(r+1)\right) + \frac{pr}{1-p} - \frac{p^2r^2}{(1-p)^2} \\
&=p^2 V(X)-\frac{(1-p^2)p^2r^2}{(1-p)^2}+\frac{pr(2p^2r+p^2+1)}{1-p}+p^2r(r+1) \\
&=p^2 V(X)-\frac{(1+p)p^2r^2}{1-p}+\frac{pr(2p^2r+p^2+1)}{1-p}+\frac{(1-p)p^2r(r+1)}{1-p} \\
&=p^2 V(X)+\frac{pr(1+p)}{1-p} \\
\end{align}
であるから、これを整理すると、
を得る。
\lambdaを正の定数とする。0以上の整数kに対し、
{k!}
と定める。このとき、
{k!}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} =1
を満たすので、このf(k)は確率質量関数である。この確率質量関数によって定まる確率分布を、ポアソン分布という。
期待値 E(X)は、
{k!} \\
{(k-1)!} \\
&= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} \\
&= \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\
&= \lambda
\end{align}
である。
分散 V(X)は、
{k!} - \lambda^2 \\
{k!} - \lambda^2 \\
{k!} +\lambda -\lambda^2 \\
{(k-2)!} +\lambda -\lambda^2 \\
&= \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} +\lambda -\lambda^2 \\
&= \lambda^2 e^{-\lambda} e^\lambda +\lambda-\lambda^2 \\
&= \lambda
\end{align}
である。
N,K,nは自然数の定数で、n \le K \le N-nを満たすとする。0 \le k \le nを満たす自然数の定数kに対し、
と定める。ただし、{N \choose n}などは二項係数である。このf(k)が確率質量関数であることは、以下のように確かめられる。
xについての恒等式
の両辺を展開したときのx^nの項の係数を考えると、右辺の係数は二項定理により{N \choose n}である。一方左辺の係数は、
である。よって、
=1
である。
以上により、このf(k)が確率質量関数であることが確かめられた。この確率質量関数によって定まる確率分布を、超幾何分布という。
期待値 E(X)は、
 \\
 \\
 \\
 \\
 \\
 \\
&= \frac{nK}{N}
\end{align}
である。ただし、6行目ではn'=n-1,\ K'=K-1,\ N'=N-1とした。
分散 V(X)は
 - \left(\frac{nK}{N}\right)^2 \\
 + \frac{nK}{N} - \frac{n^2K^2}{N^2} \\
 + \frac{nK(N-nK)}{N^2} \\
 + \frac{nK(N-nK)}{N^2} \\
 + \frac{nK(N-nK)}{N^2} \\
 + \frac{nK(N-nK)}{N^2} \\
 + \frac{nK(N-nK)}{N^2} \\
&= \frac{n(n-1)K(K-1)}{N(N-1)} + \frac{nK(N-nK)}{N^2} \\
&= \frac{nK}{N^2(N-1)} (N(n-1)(K-1)+(N-nK)(N-1)) \\
&= \frac{nK}{N^2(N-1)} (N^2-(n+K)N+nK)\\
&= \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)}
\end{align}
である。ただし、7行目ではn''=n-2,\ K''=K-2,\ N''=N-2とした。