この章では、2年生で学んだ三角形と四角形の性質をもとにして、円周角と中心角の性質を扱います。
frame|right|円周角と中心角
中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を 弧AB （こAB）といい、\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}と書く。\angle AOB を弧ABに対する 中心角（ちゅうしんかく） という。また、弧ABを中心角 \angle AOB に対する弧（こ）という。
円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、\angle APB を弧ABに対する 円周角（えんしゅうかく） という。また、弧ABを円周角 \angle APB に対する弧という。
右の図のように、弧ABに対する円周角は \angle APB\  ,\  \angle AP'B\  ,\  \angle AP''B のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角 \angle AOB は1つに決まる
中心角と円周角には次の性質がある。
この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを \angle APB として、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB を示せばよい。
frame|right|中心Oが \angle APB の辺上にある場合
Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。\angle AOB は \triangle AOP の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので
\angle AOB = \angle APO + \angle PAO \cdots \cdots (1)
\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから
\angle APO = \angle PAO \cdots \cdots (2)
(1)、(2)より
\angle AOB = 2 \angle APO
したがって
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
よって、中心Oが 直線PB上にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。
frame|right|中心Oが \angle APB の内部にある場合
直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、\angle AOC は \triangle AOP の外角であるから
\angle AOC = \angle APO + \angle PAO
\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから
\angle APO = \angle PAO 
したがって
\angle AOC = 2 \angle APO \cdots \cdots (1)
\angle BOC は \triangle BOP の外角であるから
\angle BOC = \angle BPO + \angle PBO
\triangle BOP の辺OP , OBは等しいから
\angle BPO = \angle PBO 
したがって
\angle BOC = 2 \angle BPO \cdots \cdots (2)
(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると
\angle AOC + \angle BOC = 2 (\angle APO + \angle BPO)
したがって
\angle AOB = 2 \angle APB
すなわち
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
よって、中心Oが \angle APB の内部にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。
frame|right|中心Oが \angle APB の外部にある場合
直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、\angle AOC は \triangle AOP の外角であるから
\angle AOC = \angle APO + \angle PAO
\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから
\angle APO = \angle PAO 
したがって
\angle AOC = 2 \angle APO \cdots \cdots (1)
\angle BOC は \triangle BOP の外角であるから
\angle BOC = \angle BPO + \angle PBO
\triangle BOP の辺OP , OBは等しいから
\angle BPO = \angle PBO 
したがって
\angle BOC = 2 \angle BPO \cdots \cdots (2)
(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと
\angle AOC - \angle BOC = 2 (\angle APO - \angle BPO)
したがって
\angle AOB = 2 \angle APB
すなわち
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
よって、中心Oが \angle APB の外部にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。
以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。
半円の弧に対する中心角は 180{}^\circ であるから、円周角は 90{}^\circ である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。
frame|right|円周角と弧
右の図の円Oで、円周角 \angle APB\  ,\  \angle CQD が等しい場合、円周角の定理により
\angle AOB = 2 \angle APB \cdots \cdots (1)
\angle COD = 2 \angle CQD  \cdots \cdots (2)
となる。
\angle APB = \angle CQD であるから、(1)、(2)より
\angle AOB = \angle COD
 
となる。
1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、
が成り立つ。
また、右の図の円Oで、\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}\  ,\  \begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm CD\end{array}が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので
\angle AOB = \angle COD
となる。
よって、円周角の定理により
\angle APB = \angle CQD
が成り立つ。
円Oの周上の点をA,B,Cとし、\angle ACB = \angle a とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、\angle APB と \angle a との大きさを比べる。
frame|right|点Pが円Oの周上にある場合
円周角の定理により
\angle APB = \angle a
frame|right|点Pが円Oの内部にある場合
APの延長と円周の交点をQとする。\angle APB は \triangle PBQ における \angle P の外角であるから
\angle APB = \angle PQB + \angle PBQ
となる。
円周角の定理により、\angle AQB = \angle ACB = \angle a であるから、
\angle APB = \angle a + \angle PBQ
よって
\angle APB > \angle a
frame|right|点Pが円Oの外部にある場合
APと円周の交点をQとする。\angle AQB は \triangle QBP における \angle Q の外角であるから
\angle AQB = \angle QPB + \angle PBQ
となる。
円周角の定理により、\angle AQB = \angle ACB = \angle a であるから、
\angle a = \angle APB + \angle PBQ
式を変形すると
\angle APB = \angle a - \angle PBQ
よって
\angle APB < \angle a
上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき
\angle APB = \angle a
ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。
まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。
直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に接する（せっする）といい、この直線を円の 接線（せっせん） といい、出あう1点を 接点（せってん） という。
frame|right|円外の点からの接線
円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。
AP,AP'は円Oの接線であるから、
\angle APO = 90{}^\circ
\angle AP'O = 90{}^\circ
であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。
このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。
frame|right|円外の点からの接線のひき方
点AとOを結ぶ。
線分AOの垂直二等分線をひき、AOとの交点をO'とする。
点O'を中心として半径OO'の円を書き、円Oとの交点をP,P'とする。
直線AP,AP'をひく。
frame|right|接線の長さの証明
\triangle APO と \triangle AP'O において
AP,AP'は接線だから
\angle APO = \angle AP'O = 90{}^\circ \cdots \cdots (1)
共通な辺だから
AO = AO = \cdots \cdots (2)
円Oの半径だから
OP = OP' \cdots \cdots (3)
(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから
\triangle APO \equiv \triangle AP'O
したがって、AP = AP'
線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた接線の長さという。
上で調べたことから、次のようにまとめられる。