ここでは体論について解説する。
環論で述べたように、体とは任意の元が単元である可換環のことである。念のためここにも公理的に書けば、下のとおりである。
公理集合''K''が体であるとは、加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つことである。
環論において任意の環は \mathbb{Z} -代数であることをみた。特に体 K も環であるので、自然な環準同型 f:\mathbb{Z} \to K がある。このとき、\mathbb{Z} は PID であることから、ある非負整数 n を用いて \ker f= n\mathbb{Z} と書ける。この n を体 K の標数という。
K の標数が n のとき、\forall x \in K \ f(n) \cdot x =0 である。すなわち、K の任意の元は n 回足すと（n 倍すると）0_K になる。標数とは、そのような数と理解することができる。 \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} の元はどんな正整数をかけても0 にはならない。すなわち標数は0である。
命題体の標数は 0 か素数である。
ととなり、公理 10. と矛盾する。したがって体の標数は 0 か素数である。
もっとも、これでは体の標数の必要条件を調べただけである。標数0の体が存在することは確かめたが、各素数に対してその素数を標数とする体は存在するだろうか？結論を先に言えば、存在する。
命題素数''p''に対して\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}は（標数''p''の）体である。
であることがわかる。すなわち、\bar{a}^{-1}=\bar{m}が存在する。
群においては部分群、環においては部分環という概念があったように、体にも部分体という概念がある。
定義体 K,L が K \subset L となっており、両者の演算と単位元が一致するとき、K は L の部分体、Lは K の拡大体であるという。またこのとき、「L/K は体の拡大である」という。
拡大の記号は商の記号と若干紛らわしいが、混同するおそれはほとんどない体のイデアルは自明なものしかないので、イデアルによる剰余環を考える意味はほとんどないからである。。
命題体の拡大 L/K があるとき、L は K 上の線型空間である。
この線型空間が有限次元のとき、L/K は有限次拡大であるという。このときこの線型空間の次元を [L:K] と書き、この拡大の拡大次数と呼ぶ。
補題L を体とする。ある添字集合 \Lambda があって，任意の \lambda \in \Lambda に L の部分体 K_\lambda が対応しているとする。これらの共通部分 K := \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_\lambda は  L  の部分体である。
L を体 K の拡大体として，\alpha_1, ... , \alpha_n \in L とする．このとき K と \alpha_1, ... , \alpha_n を含むような L の部分体のうち最小のものが存在する．実際 K と \alpha_1, ... , \alpha_n を含むような L のすべての部分体を考え，それらの共通部分をとればよい．この体を K(\alpha_1, ... , \alpha_n) と表して，K に \alpha_1, ... , \alpha_n を添加した体，または K 上 \alpha_1, ... , \alpha_n で生成される体という．特に n=1 のとき，K(\alpha_1) を K の単純拡大（体）という．
命題体 K の元を係数とする多項式 f(x) が K[x] //ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0で既約であれば，剰余環環論#剰余環 K[x]/(f(x)) は体である。
\phi: K \to K[x]/(f(x)) ; a \mapsto \overline{a}  は単射であり，体 Kの構造を保つ。 \phi によって、
 a  と  \overline{a} を同一視することにより、 K/(f(x)) は Kの拡大体である。
K を体として、K 係数の多項式を任意に取ったとき、その根が K にあるとは限らない。しかし、K を拡大した体には根があるかもしれない。そのような類のことについて少し考えてみよう。
定義L/K を体の拡大とする。
L の元 a に対して、ある 0 でない K 係数の多項式 f があって  f(a)=0  を満たすとき、a は K 上代数的であるという。そうでないとき a は K 上超越的であるという。
L の任意の元が K 上代数的であるとき、L は K 上代数的であるといい、L/K は代数拡大であるという。そうでないとき、L は K 上超越的であるといい、L/K は超越拡大であるという。
簡単にわかる例として、\mathbb{C}/\mathbb{R} は代数拡大である。実際、任意の元z=a+bi \in \mathbb{C}を考えると、\mathbb{R}係数の多項式f(x)=x^2-2ax+a^2+b^2に対してf(z)=0が成り立つからである。一方、\mathbb{C}/\mathbb{Q} は超越拡大であることが知られている。
命題有限次拡大は代数拡大である。
例 有理数体 \mathbb{Q} の元 D を平方数でない，すなわち \beta^2 = D となる有理数 \beta が存在しないと，仮定する。
この仮定は x^2 -D  が \mathbb{Q} 上で既約であることと同値である。このとき，
は D > 0 であれば \mathbb{R} の部分体であり、D < 0 であれば \mathbb{C} の部分体であり、\mathbb{Q} の拡大体である。
{a^2 - b^2D} \in \mathbb{Q}[\sqrt{D}]
定義体 L_1 から体 L_2 への写像 \phi : L_1 \to L_2 が次の条件を満たすとき，
体 L_1 から 体 L_2 の中への同型 (into-isomorphism) という。
命題体 L_1 から体 L_2 への写像 \phi : L_1 \to L_2 が，上記の1.を満たすならば，\phi は零写像すなわち，
L_1 のすべての元 a に対して \phi(a)=0 であるか，または，中への同型写像である。    
命題体 L_1 から体 L_2 への中への同型写像 \phi : L_1 \to L_2は単射である。
定義体 L_1 から体 L_2 への中への同型写像 \phi : L_1 \to L_2 が全射でもあるとき，\phi は、L_1 から L_2 への上への同型 (onto-isomorphisim) または 全射同型 (surjective isomorphisim) または単に同型といい、L_1 と 
L_2 とは体として同型であるという。
定義体 L_1 と体 L_2 が共通の部分体 K を持ち、中への同型写像 \phi: L_1 \to L_2  がさらに条件
を満足するとき、\phi を  K 上の中への同型写像  (into-isomorphism over K) という。
定義K 上の中への同型写像 \phi:L_1 \to L_2 において，特に  L_1=L_2  であり、 \phi が  K  上の全射同型写像であるとき、 \phi  を  L  の  K 上の自己同型  (automorphismu over K )という。 
 L  の  K  上の自己同型の全体を  \operatorname{Aut}_K(L) と記す。
  
命題\operatorname{Aut}_K(L) は写像の合成によって群をなす。
命題  体 K の元を係数とする既約な n 次多項式 f(x) の根 \alpha, \beta に対して
は K 上の同型写像である。
1.  \phi(u + v) = \phi( u ) + \phi(v)  は直ちに成り立つ。