中等課程では，\vec{a} と \vec{b} の内積 \vec{a} \cdot \vec{b} を，
矢印ベクトル \vec{a} と \vec{b} のなす角を \theta として，
と定義した．
これは平面ベクトルの場合でも，空間ベクトルの場合でもそうだった．
また，この式が成分計算では成分ごとの積の和に等しいこと（例えば，
\vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      a_2
    \end{array}
  \right)
,
\vec{b} = \left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      b_2
    \end{array}
  \right)
 であれば， \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2）を、余弦定理などにより示した
平面上の三角形 \bigtriangleup OAB, A \ne B において，\vec{OA} と \vec{OB} の成す角を \theta と置くとき，
\vec{OA} と \vec{OB} の内積を \vec{OA}\cdot\vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta …① と定義する．
このとき余弦定理により |\vec{AB}|^2 = |\vec{OA}|^2 +  |\vec{OB}|^2 - 2|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta…②
また，\vec{OA} の成分表示を \vec{OA} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y\end{pmatrix}，同様に \vec{OB} = \begin{pmatrix}b_x \\ b_y\end{pmatrix}
とすれば，①②をもとに内積 \vec{OA}\cdot\vec{OB} = a_xb_x + a_yb_y であることを以下に示す．すなわち 
①②より 
|\vec{AB}|^2 = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OA}\cdot\vec{OB}
\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \frac{1}{2}\left( |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - |\vec{AB}|^2 \right)…③
ここで③の右辺の |\vec{OA}|^2, |\vec{OB}|^2, |\vec{AB}|^2 を成分表示に展開すると、
|\vec{OA}|^2 = a_x^2 + a_y^2,\ \  |\vec{OB}|^2 = b_x^2 + b_y^2,\ \  |\vec{AB}|^2 = (a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2
すなわち、
\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \frac{1}{2}\left\{ a_x^2 + a_y^2 +  b_x^2 + b_y^2 -  (a_x - b_x)^2 - (a_y - b_y)^2 \right\}
= \frac{1}{2}\left\{ a_x^2 + a_y^2 +  b_x^2 + b_y^2 - ( a_x^2 + b_x^2 - 2a_xb_x + a_y^2 + b_y^2 - 2a_yb_y ) \right\}
 + \cancel{a_y^2} +  \cancel{b_x^2} + \cancel{b_y^2} - (\cancel{a_x^2} + \cancel{b_x^2} - 2a_xb_x + \cancel{a_y^2} + \cancel{b_y^2} - 2a_yb_y ) \right\}
= a_xb_x + a_yb_y
．
線形代数では，成分計算の定義の方が先になる．成分で定義しておけば，次元が 4 次以上のときベクトルのなす角のことを想像しなくても済む．
定義2
内積と大きさ
n 次元実数ベクトル \mathbf{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      \vdots \\
      a_n
    \end{array}
  \right)
，
\mathbf{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      \vdots \\
      b_n
    \end{array}
  \right)
に関して、内積、大きさを次のように定める．
内積 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} は，\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      \vdots \\
      a_n
    \end{array}
  \right)
\cdot
 \left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      \vdots \\
      b_n
    \end{array}
  \right)
= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \cdots + a_nb_n．…①
\mathbf{a} の大きさ |\mathbf{a}| は，
|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2}．…②
すると，|\mathbf{a}|^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} が成り立つ．…③
また，\mathbf{a} \ne 0, \mathbf{b} \ne 0 である \mathbf{a}, \mathbf{b} について，\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0
のとき，「\mathbf{a} と \mathbf{b} は直交する」といい，「\mathbf{a} \bot \mathbf{b}」と書く．
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n = 2, 3 のとき，\vec{a} の大きさ |\vec{a}| は，矢印ベクトルで言えば始点から終点までの長さを表していた．
n が 4 以上の場合もこれに倣って，同じような成分計算で表された |\mathbf{a}| を大きさというわけである．
こうして定義した内積に関して，次のような計算法則が成り立つ．これも平面ベクトル・空間ベクトルでの経験から納得してもらえるだろう．
定理2
内積の計算法則
n 次元ベクトル \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} と実数 k に関して次が成り立つ． 
(1) (k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})
(2) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}
(3) (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}
証明
(1) の証明．(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n (ka_i)b_i,\quad k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = k \sum_{i=1}^n a_ib_i,\quad \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b}) = \sum_{i=1}^n a_i(kb_i)．そして  \sum_{i=1}^n (ka_i)b_i =  k \sum_{i=1}^n a_ib_i =  \sum_{i=1}^n a_i(kb_i) より (k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})．
(2)の証明．\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \sum_{i=1}^n a_i(b_i + c_i) = \sum_{i=1}^n (a_ib_i + a_ic_i) = \sum_{i=1}^n a_ib_i + \sum_{i=1}^n a_ic_i = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}．
(3)の証明．(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)c_i = \sum_{i=1}^n (a_ic_i + b_ic_i) = \sum_{i=1}^n a_ic_i + \sum_{i=1}^n b_ic_i = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}．
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0 でないベクトル \mathbf{a} をその大きさで割ったベクトル \frac{1}\mathbf{a} は，大きさが 1 になる．
(\because  定義2③)= \frac{1}\mathbf{a} \right) \cdot \left( \frac{1}\mathbf{a} \right) = \frac{1} \left(\mathbf{a} \cdot \left( \frac{1}\mathbf{a} \right) \right) (\because 定理2(1)第1項と第2項 )
= \frac{1} \left( \frac{1} \left( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \right) \right)(\because 定理2(1)第2項と第3項)
= \frac{1}\mathbf{a} \right| = 1
\pm \frac{1}\mathbf{a} のことを単位化したベクトル，あるいは正規化したベクトルという．
平面ベクトルと空間ベクトルでの内積の定義は \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta であった．
ここで，定義よりも突っ込んだ内積の図形的な意味を確認しておく．
\vec{a}=\mathrm{OA}, \vec{v}=\mathrm{OB} として図を描く．
\mathrm{A} から 直線 \mathrm{B} に下ろした垂線の足を \mathrm{H} とする．
\mathrm{OB} を左回りに回転して \mathrm{OA} に重なる角を \theta とする．
「\vec{a} と \vec{b} とのなす角を \theta とする」をより正確に記述した．
\mathrm{OB} に数直線「目盛りがついたものさし」のイメージである．を重ね合わせ，
\mathrm{O} に数値 0 を割り当て目盛りを振ると，\mathrm{H} の目盛りは三角関数の定義から、
\mathrm{OA}\cos\theta となる．
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内積の式は，
と見なすことができる．
特に \vec{b} が単位ベクトル \vec{e} のときを考える．\vec{b} をあらためて \vec{e} とおく．
\mathrm{OB} = |\vec{b}| = |\vec{e}| = 1 だから \vec{a}\cdot\vec{e} は \mathrm{H} の目盛りを表すことになる．
\vec{a} と単位ベクトル \vec{e} との内積は \vec{a} の \vec{e} 方向の成分を表している．
定理3
\vec{a}\cdot\vec{b} の意味
 = \vec{e}, \quad \vec{e} は単位ベクトルとする．直線 \mathrm{OB} に重ねた数直線に \mathrm{A} から下ろした垂線の足を \mathrm{H} とすると、 
証明
すでに記述した．
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