物理数学I 解析学 > 【コーヒーブレーク】2のi乗の求め方
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i乗?虚数乗なんて求められるのか?と思う方もいらっしゃるかもしれませんが、求められます。この本では2のi乗の求め方について解説します。
[https://www.google.co.jp/search?q=2%E3%81%AEi%E4%B9%97&oq=2%E3%81%AEi&aqs=chrome.0.69i59l2j69i57j69i60l3.2407j0j1&sourceid=chrome&ie=UTF-8 2のi乗をGoogleで検索してみましょう]。0.769238901 + 0.638961276iと表示されましたね。このような値はどのようにして求めるのでしょうか?
2^4など、指数部分が整数であれば2^4=2\times2\times2\times2のように、2を指数部分回掛けることで簡単に求めることができます。しかし、指数部分が虚数ではこのような定義は使えません。
そこで登場するのがオイラーの公式と呼ばれるものです。このオイラーの公式を次に示します:
e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}
次のセクションで、このオイラーの公式を使って2のi乗を求める方法について述べます。
では、オイラーの公式を使って2のi乗を求めてみましょう。オイラーの公式e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}を見ると、左辺の指数関数の底がeとなっています。まず2^iの底をeに変換することを考えます。
次のように、2^xがe^xのk倍で表されると考えましょう:
kについて式を整理すると
両辺の自然対数をとって
右辺を変形して
kについて式を整理して
このようにしてkが求められました。元の式にkを代入すると
以上のように、2^xの底をeに変換できました。求めたいのは2^iの値ですから、この式にx=iを代入します:
ここでオイラーの公式を使います。オイラーの公式e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}でx = \log_e2とすると:
となり、2のi乗の値が求められました!
右辺はコンピュータの電卓ソフトウェアを使うか、関数電卓等で計算してみましょう。0.769238901... + 0.638961276i...となるはずです。
この求め方は2のi乗だけでなく、任意の正の数aについて、aのi乗を求めることにも応用できます。