双曲線関数とは、次のような形の関数のことです。
「sinh」は「ハイパーボリックサイン（hyperbolic sine）」、「cosh」は「ハイパーボリックコサイン（hyperbolic cosine）」の略です。
双曲線関数には、次のような性質があります。いずれの性質も、e^xの性質に従って計算すれば簡単に証明できます。
どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。
単位円の上の点の座標は、三角関数を使って( x, y ) = ( cos t, sin t )と表すことができました。1番の性質から、双曲線関数を使うと双曲線の上の点の座標を( x, y ) = ( cosh t, sinh t )と表すことができることがわかります。
置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、
はx = sin tという置換によって
という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として
という積分を計算してみましょう。まず、x = sinh tと置換すると
となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは
です。