このページでは体積の公式の解説をします。
''V'' = ''abh''
''V'' = ''a''3
''V'' = ''Sh''
V = \frac{1}{3} Sh
thumb|200px|right|錐体
錐体の頂点から底面S（右図ではA_b）に垂線を下して、頂点からx (0  \leq  x  \leq  h)の距離で底面と平行に錐体を切り取ったことで得られる図形をA_xとする。
この時、錐体の定義から、SとA_xは相似である。
相似な図形の面積比は、相似比の２乗に等しいことから、
S : A_x =  h^2 : x^2
従って、
A_x =  \frac{x^2 S}{h^2} 
錐体の体積は、平面図形A_xに関して、0  \leq  x  \leq  hの区間で変化させ累積したものであるから、A_xを区間[0,h]で積分することにより得られる。
V  = \int_0^h A_x\,dx   = \int_0^h \frac{x^2 S}{h^2}\,dx   =  \frac{S}{h^2} \int_0^h x^2 \,dx   =  \frac{S}{h^2} \left[ \frac{x^3}{3}\right]_0^h   =  \frac{S}{h^2} \left(\frac{h^3}{3}\right)  = \frac{1}{3} Sh
thumb|200px|right|錐台
上底の面積 s（右図ではA_2）、下底の面積 S（右図ではA_1）、高さ h の錐台の体積 V
錐台は、別名「切頭錐体」のとおり、Sを底とする錐体:P_1から、sを底とする相似な錐体:P_2を除いたものとされる。
錐体:P_1の高さを Hとすると、錐体:P_2の高さは H-hとなり、各々の体積は、
V_1 = \frac{1}{3} SH, V_2 = \frac{1}{3} s(H-h) となるので、求める体積V = \frac{1}{3} ( SH - s(H-h) ) = \frac{1}{3} ( H(S - s) +hs) )(※)となる。
相似比と面積比の関係から、
従って、
= \frac{ h\sqrt{S}(\sqrt{S}+\sqrt{s})}{S-s}= \frac{ h(S+\sqrt{sS})}{S-s}
これを、※に代入すると、以下の式を得る。
right|200px|thumb|くさび形
くさび形の上辺から底面に垂線を下して、頂点からx (0  \leq  x  \leq  h)の距離で底面と平行にくさび形を切り取ったことで得られる図形（長方形）をS_xとする。
この長方形の縦横は比例の関係から以下のとおりとなる。
くさび形の体積は、平面図形S_xに関して、0  \leq  x  \leq  hの区間で変化させ累積したものであるから、S_xを区間[0,h]で積分することにより得られる。
V  = \int_0^h S_x\,dx   = \int_0^h \left( \frac{(a-c)bx^2}{h^2}+\frac{bcx}{h}\right)dx   =  \frac{b}{h^2} \int_0^h ((a-c)x^2+chx)dx   =  \frac{b}{h^2} \left[ \frac{(a-c)x^3}{3}+\frac{chx^2}{2} \right]_0^h   =  \frac{b}{h^2} \left(\frac{(a-c)h^3}{3}+\frac{ch^3}{2} \right)  = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)
{12} a^3
 
\\ \\ & = & \sqrt{{3 \over 4}a^2}
\\ \\ & = & {\color{Red}{\sqrt{3} \over 2}a} \end{matrix}
\\ \\ &=& {\color{Blue}{\sqrt{3} \over 3}a} \end{matrix} 
&=& \sqrt{{\color{Green}a}^2 - {1 \over 3}a^2}
\\ \\ &=& \sqrt{{2 \over 3}a^2}
} \end{matrix} 
V &=& {\color{Green}a} \times {\color{Red}{\sqrt{3} \over 2}a}
} \times {1 \over 3}
\\ \\ &=& {\sqrt{2} \over 12} a^3
\end{matrix}
正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。
立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。
よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。
正四面体の1辺の長さを''a''とします。
余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。
立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「1 : \sqrt{2}」から、
{2}a 
余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、
{2}a 
{2}a \right)^3 
{4}a^3 
{24}a^3 
最後に立方体から角錐4つを引きます。
{24}a^3 \right) 
{6}a^3 
{12}a^3 
{12}a^3 
{3}a^3
正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。
それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。
底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、
高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。
対角線の長さは、
対角線は互いの中点で交わるので、
{2}
高さは、母線と対角線の半分から、
{2} \right)^2}
実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。
最後に、錐体の体積の公式から、
{3}a^3
{4}a^3
V = \frac{5(3+\sqrt{5})}{12}a^3
V = \frac{4}{3}\pi r^3
x^2 + y^2 + z^2 = r^2である球を考える。
x = tでこの球を切断すると、半径\sqrt{r^2-t^2}である円;Cを得るが、この円;Cの面積は\pi (r^2-t^2)である。
球の体積は、この円;Cに関して、-r  \leq  t  \leq  rの区間で変化させ累積したものであるから、\pi (r^2-t^2)を区間[-r,r]で積分することにより得られる。
right|250px|thumb|円環体・トーラス
半径rの円;Cを、円の中心からの距離R（但し、r≦Rとする）の直線を軸として回転させた円環体（トーラス、ドーナツ型）
この時、 半径rを「小半径」、半径Rを「大半径」と呼ぶこともある。
円環体の内縁部の円の半径aと外縁部の円の半径bが与えられることもある。この時は、以下の関係を利用し考察。
right|250px|thumb|円環体の切断図形
(解法)
円;Cの中心から距離t（0≦t≦r）の位置で、円環体の回転軸に垂直に切り取ると、半径;R-\sqrt{r^2-t^2}の円を内側の円;C_1とし、半径;R+\sqrt{r^2-t^2}の円;C_2を外側の円とする図形が得られる。
これを、0  \leq  t  \leq  rの区間で変化させ累積すると、円環体の1/2の体積;V_hが得られる。
t = r\sin{\theta}と置く。
 \sqrt{1-\sin ^2 \theta}\cdot (\cos{\theta}) d\theta
 \cos ^2\theta d\theta (\because \sqrt{1-\sin ^2 \theta} = \sqrt{\cos ^2 \theta} = |cos \theta|、0 \leq \theta  \leq  \frac{\pi}{2}であるので、 = cos\theta)
 \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta (\because \cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2})
 =  \frac{r^2 \pi}{4}
が成り立つ」というパップス＝ギュルダンの定理第二定理と一致している。