さて，これまでの議論は前座であり，ここからが本論となる．
前章で述べた Laplace 変換による解法を顧みて，果たして正しい解が得られているのか否かを吟味しよう．
取り扱う対象は定数係数の線形微分方程式，
および, 
であり，いずれも初期値，
を満たす解を求めることが問題であるとする．解法の手順は次の通りであった．
式(3.1) を初期値，式(3.3)の下に Laplace 変換すれば，
である．これを \mathcal{L}[x] について解けば，
ここに，
{{制御と振動の数学/equation|
\left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      b_2 \\
      b_3 \\
      \vdots \\
      b_n
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      1 \\
      a_1 &      1 & \\
      a_2 &    a_1 & 1 & \\
      \vdots &     &   & \ddots & \\
      a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots &a_1 & 1
    \end{array}
  \right)
\left (
   \begin{array}{c}
      \xi_1 \\
      \xi_2 \\
      \xi_3 \\
      \vdots \\
      \xi_n
    \end{array}
  \right)
となる．同様に式(3.2)，(3.3)を Laplace 変換し \mathcal{L}[x] を求めると，
となる．そこで，
とすると，式(3.1)，(3.3)の解は，
式(3.2)，(3.3)の解は，
となる，ということであった．ここに * は合成積を表す．
これだけの議論で果たして式(3.7)，(3.8)が
(3.1)，(3.3)；
(3.2)，(3.3)の解であると結論することができるであろうか．
それを吟味することが，この章の目的である．
吟味の詳細に入る前に，これまでで得られた結果をまとめておこう．
定理3.1\quad
式(3.1)，(3.3) あるいは
式(3.3)，(3.3)
の解の Laplace 変換 \mathcal{L}[x] に対して次の事実が成り立つ．
(Ⅰ) 分母は初期値に無関係に，微分方程式の形だけで決まる．
(Ⅱ) 分子は初期値によって決まる．しかも \mathcal{L}[x] の分子多項式
は初期値 (\xi_1, \xi_2, \xi_3, \cdots \xi_n) と 1:1 に対応する．
以上より，異なる初期値には異なる \mathcal{L}[x] が対応する．
\diamondsuit
さらに吟味を続ける．上の解法の手順を要約すると，
となる．この推論は正しいのであろうか．このようにまとめられると，誰しも不安を感ぜざるを得ないであろう．この不安を取り除く方法は，
のが一番の良策である．さらに，
ことが確かめられたらさらによい．その上，
を知っておくことも必要である．
この章では，線形定常常微分方程式論からの若干の話題を準備しながら，これらの問題の解決を与えることにしよう．
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