(1)
  x^2 &=& 36-11 &=& 25 \\
   x &=& \pm 5
\end{matrix}
(2)
  x^2 - 10 &=& 0 \\
   x^2 &=& 10 \\
     x &=& \pm \sqrt{10}
\end{matrix}
(3)
  x(x-2) &=& 0 \\
     x &=& 0, 2
\end{matrix}
(4)x+3 = Aとしている。
  (x+3)^2 &=& 0 \\
   A^2 &=& 0 \\
     A &=& 0 \\
     x+3 &=& 0 \\
     x &=& -3
\end{matrix}
(5)x-4 = Bとしている。
  (x-4)^2 &=& 8 \\
   B^2 &=& 8 \\
     B &=& \pm 2\sqrt{2} \\
     x-4 &=& \pm 2\sqrt{2} \\
     x &=& 4 \pm 2\sqrt{2}
\end{matrix}
(1)
  x^2+5x+6 &=& 0 \\
   (x+2)(x+3) &=& 0 \\
   x &=& -2,-3
\end{matrix}
(2)
  x^2+14x+49 &=& 0 \\
   (x+7)^2 &=& 0 \\
   x &=& -7
\end{matrix}
(3)
  x^2-9 &=& -6x+18 \\
   x^2+6x-27 &=& 0 \\
   (x+9)(x-3) &=& 0 \\
   x &=& -9,3
\end{matrix}
(3)別解
  x^2-9 &=& -6x+18 \\
   (x+3)(x-3) &=& -6(x-3) \\
   (x+3+6)(x-3) &=& 0 \\
   (x+9)(x-3) &=& 0 \\
   x &=& -9,3
\end{matrix}
(4)
  12x^2-7x+1 &=& 0 \\
   (3x-1)(4x-1) &=& 0 \\
   x &=& \frac{1}{3}, \frac{1}{4}
\end{matrix}
(5)乗法公式a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2にa = x,b = \sqrt{2}を代入した形になっている。
  x^2-2 \sqrt{2}x +2 &=& 0 \\
   x^2 - 2 \times x \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 &=& 0 \\
   (x- \sqrt{2})^2 &=& 0 \\
   x &=& \sqrt{2}
\end{matrix}
(1)
  x^2-2x-4 &=& 0 \\
   x^2-2x-4+5 &=& 5 \\
   x^2-2x+1 &=& 5 \\
   (x-1)^2 &=& 5 \\
   x-1 &=& \pm \sqrt{5} \\
   x &=& 1 \pm \sqrt{5}
\end{matrix}
(2)
  x^2+4x-6 &=& 0 \\
   x^2+4x-6+10 &=& 10 \\
   x^2+4x+4 &=& 10 \\
   (x+2)^2 &=& 10 \\
   x+2 &=& \pm \sqrt{10} \\
   x &=& -2 \pm \sqrt{10}
\end{matrix}
(3)
  x^2-x-5 &=& 0 \\
   x^2- 2 \times \frac{1}{2} \times x + \frac{1}{4} -5 &=& \frac{1}{4} \\
   (x- \frac{1}{2})^2 &=& \frac{1}{4} +5 \\
   (x- \frac{1}{2})^2 &=& \frac{21}{4} \\
{2} \\
{2}
\end{matrix}
{2a}を利用する。
(1)a=1,b=-2,c=-4を代入すると、
{2 \times 1} \\
{2} \\
{2} \\
   &=& 1 \pm \sqrt{5}
\end{matrix}
(2)a=1,b=4,c=-6を代入すると、
{2 \times 1} \\
{2} \\
{2} \\
   &=& -2 \pm \sqrt{10}
\end{matrix}
(3)a=1,b=-1,c=-5を代入すると、
{2\times 1} \\
{2} \\
\end{matrix}
(2)もとの正方形の1辺の長さをx(cm)とする。
(x-3)(x+1)=60 となるから、これを解くとx=9 となる。(答え)9cm
※高校1年の範囲なので読み飛ばしてよい。
2次方程式が解を持つ条件は解の公式の根号がb^2-4ac \ge 0であればよい。正の場合は解は異なる2数、0ならば重解の1数である。負の場合は根号の中がマイナスとなってしまうため解が存在しない(高校2年になるとこのような数も学習する)。
解の判定に使用される式D = b^2-4acのことを判別式と呼ぶ。
(1)x^2-2x+a = 0が解を持つようなaの範囲は2^2 -4 \times 1 \times a \ge 0である。-4a \ge -4となり不等式の両辺に負の数をかけると不等号が入れ替わることに注意すると、a \le 1となる。
(2)x^2+bx+10 = 0が解を持つようなbの範囲はb^2 - 4 \times 1 \times 10 \ge 0である。つまりb^2 - 40 \ge 0である。b^2 - 40 = 0の解がb = \pm 2 \sqrt{10}であることを頭の片隅に入れておくとb^2 - 40 \ge 0の解はb \ge 2 \sqrt{10}, b \le -2 \sqrt{10}となる。
(2)x^2+cx-10 = 0が解を持つようなbの範囲はc^2 - 4 \times 1 \times (-10) \ge 0である。つまりc^2 \ge -40となるが、2乗した数は負になり得ないので必然的にc^2 \ge 0である。c^2 \ge 0ということはcに何を入れてもよいということが分かる。