位相空間の定義を述べる。
定義 1.1
集合 X 及び \mathcal{O} \subseteqq \mathcal{P}(X) について、以下の3つの条件を満たすとき、(X, \mathcal{O}) を位相空間と言う。
このときの X, \mathcal{O} をそれぞれ台集合、位相ということがあり、位相が文脈から明らかなときは単に X は位相空間である、とも言われる。
\mathcal{O} の元を開集合という。また、位相を開集合系ということもある。
定義 1.2
ド・モルガンの法則より、以下が成り立つ。
命題 1.3
(X, \mathcal{O}) を位相空間とし、その閉集合系を \mathcal{F} とする。このとき、閉集合系は以下の3つの条件を満たす。
証明
1 について
2 について
3 について
\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda} を \mathcal{F} の集合族とする。先ほどと同様に、各 F_{\lambda}^c は開集合。