定義(ガロア群)
体の拡大 K/F に対して、体 F 上の自己同型群を \mathcal{G}(K/F) = \operatorname{Gal}(K/F) と書いて、K/F の ガロア群 という。
定義
体の拡大 K/F と G(K/F) の部分群 H に対して、その不変体を \mathcal{F}(H) = \{ \alpha \in K : \forall \sigma \in H ( \sigma(\alpha) = \alpha ) \} とする。不変体は K/F の中間体であることに注意。
体の代数拡大 K/F に対して以下は同値。
(i) K/F は分離かつ正規拡大である
(ii) \mathcal{F}(\mathcal{G}(K/F)) = F
(iii)  \mathcal{G}(K/F) のある部分群 H で F = \mathcal{F}(H) となるものが存在する
さらに、有限次拡大であれば以下も同値である: 
(iv) |G(K/F)| = [K:F]
証明
(i) ⇒ (ii):
F \subseteq \mathcal{F}(\mathcal{G}(K/F)) は自明。逆の包含を示す。\alpha \in K - F を取り、最小多項式を f(X) \in F[X] とする。f(X) の次数を d (>1) とする。 F(\alpha) \rightarrow  F(\alpha_2), \alpha \mapsto \alpha_2 を、ガロア理論/代数的閉体#定理2 によって、ある代数閉包 \overline{K} の自己同型 \sigma: \overline{K} \rightarrow \overline{K}  に延長する。このとき、[[ガロア理論/正規拡大#命題1(ii) によって、\sigma|K \in \mathcal{G}(K/F) である。\sigma(\alpha) \neq \alpha だから、\alpha \not\in \mathcal{F}(\mathcal{G}(K/F)) である。
(ii) ⇒ (iii):
自明。
(iii) ⇒ (i):
\alpha \in K の最小多項式を f(X) \in F[X] とする。\sigma \in H に対し f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = 0 だから、\sigma(\alpha) の取りうる値は有限個である。N = \{ \sigma \in H : \sigma(\alpha) = \alpha \} は H の正規部分群であり、h = \sigma N \in H/N に対して h(\alpha) = \sigma(\alpha) は、\sigma の取り方によらない。また、この対応は単射だから H/N は有限群であり、行き先は f(X) の根全体の集合である。…(＊)
g(X) = \prod_{h \in H/N} (X-h(\alpha)) は、各 \sigma \in H によって係数が不変である。実際、\sigma は h(\alpha) たちの置換を引き起こすからである。すなわち、係数は \mathcal{F}(H) = F に属するから、g(X) \in F[X] であり、(＊)によりこれは f(X) の次数以下である。したがって、f(X) = g(X) である。このことから、f(X) は分離的であり、かつ K[X] で一次の積に分解されることがわかった。つまり、分離かつ正規拡大である。
最後に、K/F が有限次拡大であるとしよう。ガロア理論/分離拡大#命題_1 と ガロア理論/正規拡大#命題1 をあわせると、分離かつ正規拡大であることと、|\mathcal{G}(K/F)| = [K:F] が同値であることがただちにしたがう。実際、分離性は、
|{\rm Hom}_F(K, \bar{F})| \leq [K : F] の等号が成立することで、正規性は  \mathcal{G}(K/F) \subseteq {\rm Hom}_F(K, \bar{F}) の等号が成立することを指しているからである。
上の命題の条件を満たす体の拡大を、Galois 拡大という。
例
\mathbb{C}/\mathbb{R} は Galois 拡大である。
\mathbb{Q(2^{1/3})}/\mathbb{Q} は Galois 拡大ではない。なぜなら、2^{1/3} の残り二つの共役元を含まず、正規拡大でないからである。\mathcal{G}(\mathbb{Q(2^{1/3})}/\mathbb{Q}) = 1 である。