すでに導いた公式
}
において，n を自然数から正の実数に拡張することを考えよう．そのため，階乗 (n-1)! の拡張であるガンマ関数を導入する．
公式4
とおけば
が成立する．\Gamma(\lambda) をガンマ関数という．
証明
定義式に対して部分積分を実行する．
また，
\diamondsuit
この結果から，
であることが分かる．事実，
このガンマ関数を用いれば，冒頭の公式は
}
と書ける．この形式は n を正の実数 \lambda に変えてもそのまま成立する．
公式5
特に，\lambda = \frac{1}{2} のときは \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} で，
となる．
証明
において，\tau := st とおくと，
{\Gamma(\lambda)}\bigg] = \frac{1}{s^{\lambda}\Gamma(\lambda)}\int_0^{\infty}\tau^{\lambda-1}e^{-\tau}d\tau
\tau = st より d\tau = s\ dt，よって，t = \frac{\tau}{s}, dt = \frac{d\tau}{s}.
したがって
e^{-\tau}\frac{d\tau}{s}
\tau^{\lambda-1}e^{-\tau}d\tau
{\Gamma(\lambda)}\bigg] = \frac{1}{s^{\lambda}\Gamma(\lambda)}\int_0^{\infty} \tau^{\lambda-1}e^{-\tau}d\tau
また \lambda = \frac{1}{2} のときは，
dt = 2d\tau であるから
dt
，
{{制御と振動の数学/equation|\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = 2\int_0^{\infty} e^{-\tau^2}d\tau = \sqrt{\pi}
 を 0 から \infty で積分したときその値は \frac{1}{2} であることを前提とする．すなわち，
\int_0^{\infty}f(x)dx = \frac{1}{2}
 を代入すると
 e^{-x^2}dx = \frac{1}{2}
{2}
\diamondsuit
いささか循環論法めくが，この公式を利用して，
を導こう．
とおいて Laplace 変換すると，
この原像は，
 \quad (t > 0)
公式5 の \lambda=\frac{1}{2} の場合より，
t = \alpha とおけば，求める公式が得られる．この誘導はインチキであるが
\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx の値は上記の注で述べたとおり別の方法で取得しなければならない．
，辻褄があっているという気休めにはなるであろう．
\diamondsuit