特性多項式の係数から，直ちに微分方程式 (4.13) の解の安定性を判別する方法がいくつかある．
次のものは有名である．
定理 4.2Hurwitz の定理
実係数の代数方程式，
のすべての根が，s 平面の左半平面に位置するための必要十分条件は，
{{制御と振動の数学/equation|H_n = 
\begin{vmatrix}
a_1  & a_0 &           \\
a_3  & a_2 & a_1 & a_0 \\
a_5  & a_4 & a_3 & a_2 \\
a_7  & a_6 & a_5 & a_4 & \cdot & \cdot & \\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& \cdot & \cdot & \\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& \cdot & \cdot & \\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& \cdot & a_{n-2} & \\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& \cdot & a_{n} 
}
の首座の小行列式がすべて正となることである．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|a_0 > 0, \quad H_1 = a_1 > 0, \quad H_2 =
\begin{vmatrix}
a_1 & a_0 \\
a_3 & a_2
\end{vmatrix} > 0, 
\quad
H_3 =
\begin{vmatrix}
a_1 & a_0 & 0   \\
a_3 & a_2 & a_1 \\
a_5 & a_4 & a_3
\end{vmatrix} > 0, 
が成立することである．
\diamondsuit
この定理は，1895 年にある技術者の依頼によって，Hurwitz が解いたものであるが，
それ以前に Routh によって解かれていたので，
Routh-Hurwitz の定理とも呼ばれる．証明は付録に譲る．
例96\quad
p_1(s) = s + a_1, \quad (a_0 = 1 > 0) のとき，
\diamondsuit
例97\quad
p_2(s) = s^2 + a_1s + a_2 のとき，
{{制御と振動の数学/equation|H_2 = 
\begin{vmatrix}
a_1 &   1 \\
  0 & a_2
\end{vmatrix}
であるから，H_1 = a_1 > 0, H_2 = a_1a_2 > 0，それゆえ，
を得る．これは，2 根の和が負，積が正ということで，解と係数の関係から得られるものと一致する．
\diamondsuit
例98\quad
p_3(s) = s^3 + a_1s^2 + a_2s + a_3 のとき，
{{制御と振動の数学/equation|H_3 = 
\begin{vmatrix}
a_1 &   1 & \\
a_3 & a_2 & a_1 \\
  0 &   0 & a_3
\end{vmatrix}
であるから，
したがって
を得る．これから当然 a_2 > 0．
\diamondsuit
例99\quad
a_0 > 0, \quad H_i > 0 \quad (i = 1, 2, \cdots, n) より，
a_i > 0 \quad (i = 1, 2, \cdots, n) を導け．
\diamondsuit
よく他書に Hurwitz の条件として，
(1) a_0 > 0, a_1 > 0, \cdots, a_n > 0
(2) H_1 > 0, \cdots, H_n > 0
の両方満足するべきことが述べられているが，(1) の a_0 > 0 以外は不要である．
もし (1) が満たされれば，(2) の条件のうち幾つかは不要となる
高木貞治：代数学講義（共立出版）第10章．
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