一般論に入る前に，まず一つの例を与える．
の解を，特に初期値を指定しないで求めてみよう．
Laplace 変換すると，
\mathcal{L}[x] について整理すると，
}
となる．この式の右辺は s の 2 次式である．x(0), x'(0), x''(0) をとくに指定しないので，一般には高々 2 次式の多項式となる．
これを q(s) とおこう．すると，
}
とまとまる．これを部分分数に展開すると，
}
ここで初期値を指定していないので A, B, C は未定の定数である．この原像は，
となる．すでに述べたことであるが，3 階の微分方程式は一般に 3 個の未定定数を含む．
このような解を一般解と呼んでいる．“一般”という意味は A, B, C を適当に選ぶことによって，どのように初期値を与えてもそれを満たす解が
式 (3.21) から作れるという意味である．
そのことを確かめよう．初期値を，
と与えると，
{{制御と振動の数学/equation|\begin{cases}
Ae^{t_0} + B\cos t_0 + C\sin t_0 = \alpha \\
Ae^{t_0} - B\sin t_0 + C\cos t_0 = \beta \\
Ae^{t_0} - B\cos t_0 - C\sin t_0 = \gamma
とならなければならないが，この係数の作る行列式は
{{制御と振動の数学/equation|J = \begin{vmatrix}
e^{t_0} & \cos t_0  &  \sin t_0 \\
e^{t_0} & -\sin t_0 &  \cos t_0 \\
e^{t_0} & -\cos t_0 & -\sin t_0
}
3 行目に 1 行目を加えて，
{{制御と振動の数学/equation|J = \begin{vmatrix}
e^{t_0}  & \cos t_0  & \sin t_0 \\
e^{t_0}  & -\sin t_0 & \cos t_0 \\
2e^{t_0} & 0         & 0
}
となり，これは t_0 がどんな値であっても，決して 0 とはならない．
よって式 (3.22) を満たす A, B, C が一意に確定する．このことは，
が式 (3.20) の解であって，
しかも 1 次独立であることに起因する．このことの詳細は次節に示すこととし，ここでは 式 (3.23) が 1 次独立であることを示しておこう．
から A=B=C=0 を導けばよい．それにはまず 式 (3.24) に D^2 + 1 を作用させるとよい．このとき \cos t と \sin t の項は消えて，
となる．次に，
において t = 0 とおくと B=0 を得，ついで C=0 を得る．
このように，3 階の線形微分方程式は常に 3 個の 1 次独立な解をもち，その 1 次結合が一般解となるのである．
一般の場合の証明も，この例とほぼ同様にして示される．
例77\quad
次の微分方程式の一般解を求めよ．
解答例
\diamondsuit
例78\quad
次の微分方程式の一般解を求めよ．
解答例
\diamondsuit
例79\quad
次の微分方程式の一般解を求めよ．
解答例
\diamondsuit
例80\quad
一般解は Laplace 変換によらずとも，特性多項式を見れば直ちに分かる．どうしてか．
解答例
\diamondsuit