前項で述べたように，真の分数式は，
}
のような項の和であらわされた．ところで，
}
と変形できるから、真分数は、
}
ような項の 1 次結合で表されることが分かる．これらの原像を求めることができれば，我々の問題は解けたことになるのである．
ところで 第一移動定理
を想い起こせば，
}
の原像が計算できればよい．第 1 のものの原像，および第 2, 第 3 のものの n=1, 2 に対する原像はすでに分かっているから，
の原像が求まればよいことになる．もっともこれらの原像は形式的には，
および，
と知られているのであるが，この右辺の合成積を計算するのがやっかいである．その簡単な計算法が見つかればよい．
まず合成積の微分の公式，
を思い出そう．そうすれば
とおくとき，
合成積の微分の公式にて，
, \quad g = \frac{1}{\beta}\sin\beta tとおくと，\frac{dg}{dt}=\cos\beta t，また g(0)=\frac{1}{\beta}\sin\beta t\bigg|_{t=0} = 0．
となるから，
を得る．この結果は f_n(0)=0 は明らか
\int_0^{t=0} f(t, \tau)d\tau = 0．
であるから，対応 s \sqsubset \frac{d}{dt} からも直ちに出る．n = 2 の場合にすでに用いた技法である．
さて，後で必要になるもう一つの公式を導いておこう．上述の記号を用いると，
であるが，これをもう一度微分する．
{{制御と振動の数学/equation|\frac{d^2f_n}{dt^2}=f_{n-1}*(-\beta\sin\beta t) + f_{n-1} = -\beta^2f_n + f_{n-1}
よって次の結果を得る．
公式 1
{{制御と振動の数学/equation|\frac{d^2f_1}{dt^2} + \beta^2f_1 = 0
漸化式の終端では，\frac{d^2f_1}{dt^2} + \beta^2f_1 = \frac{d^2}{dt}\frac{1}{\beta}\sin\beta t + \beta^2\cdot\frac{1}{\beta}\sin\beta t = -\beta^2\cdot\frac{1}{\beta}\sin\beta t + \beta^2\cdot\frac{1}{\beta}\sin\beta t = 0．
\diamondsuit
さて，合成積の微分の公式は，通常の積の微分の構造：
}
を持っていない．同様な構造を持つものは，単に t を掛けるという演算である．
補題 2.3
証明
\diamondsuit
合成積に対しては t を掛けるという演算が微分の構造を持っているので，次のような計算ができる．
とおくと，
を得る
数学的帰納法にて証明しておく．
今，t(*f)^k = k(*f)^{k-1}*(tf) のとき，…③
②③④より k \geqq 3 について③が成立する．
また、特に (*f)^1=f,\ \  (*f)^0 = 1 と定義すれば k \geqq 1 について③が成立する．合成積 * は二項間の演算として定義しているのだから，①は必要な記述と考える．
．とくに，
のときは，
となる．
なぜ合成積に対しては t を掛けることが微分することを意味するのかは，Laplace 変換の像関数の世界で考えてみれば納得できるが，それは後ほど説明することにして，本題に入ろう．
公式 2
}
証明
(1) \frac{df_n}{dt} = \frac{t}{2(n-1)}f_{n-1} を示せばよいなぜならば式(2.32c)より．．
であったから，
となる．これに式 (2.34) を考慮すれば，
{{制御と振動の数学/equation|=\frac{t}{2(n-1)}f_{n-1}
式(2.34) より，
両辺を 2(n-1) で割ると，例19(ii)より，
を得る．
(2) 上の結果 (1) を二度用いると、
}
となるが，これと式(2.33) の結果，
を等置すれば，求める結果を得る．
例54\quad
から，f_3(t) と f_4(t) を計算すると，
となる．
\diamondsuit