ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。
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右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。
半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。
動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。
負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。
いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。
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半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに
\\
1\, \mathrm{rad} &= \frac {180}{\pi} ^{\circ} \approx 57.3^{\circ}\end{align}
となる。また弧度法の単位（rad）はしばしば省略される。
弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。（このことは数学IIIで学ぶ）
扇形の半径を''r'' 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さ''l'' と面積''S'' は
\\
S&=\frac{1}{2}r^{2}\theta=\frac{1}{2}rl\end{align}
と表せる。
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一般角が \theta の半直線と単位円が交わる円を \mathrm P とする。このときの \mathrm P の座標を(\cos\theta,\sin\theta) とすることで、関数 \sin,\cos を定める。また、\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} とすることで関数 \tan\theta を定める。\tan\theta は一般角が \theta の動径の傾きに等しい。
\sin はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。
\cos コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。
\tan はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。
また、三角関数の累乗は (\sin\theta)^n = \sin^n\theta と表記される。サムネイル|中央|300x300ピクセル
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cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に  - \frac{ \pi }{2} だけ平行移動したものである。
y = \sin\theta や y = \cos\theta の形をした曲線のことを 正弦曲線 （せいげんきょくせん）という。
関数 \sin,\cos の値域はどちらも、[-1,1] である。
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右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、
直線OPと 直線x＝1 との交点を T とすると、
Tの座標は
になる。
このことを利用して、 y＝tan θ のグラフをかくことができる。
y=tan θ のグラフは、下図のようになる。
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y=tan θ のグラフでは、θの値が  \frac{ \pi }{2}  に近づいていくと、
直線  \theta = \frac{ \pi }{2}  に限りなく近づいていく。
このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 （ぜんきんせん）という。
同様に考え、次の直線も y＝tanθ の漸近線である。
は y＝tanθ の漸近線である。
一般に、 
はy=tanθのグラフの漸近線である。高校・大学入試では使われないが、\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}(=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}) として定義される三角関数を使うところもある。これらの関数はそれぞれ、セカント、コセカント、コタンジェントと呼ばれる。
一般角が \theta の動径は一回転しても等しいので、一般角が \theta+2\pi の動径と等しい。これより三角関数の周期性
\begin{align}
\sin(\theta+2\pi n)&=\sin \theta \\
\cos(\theta+2\pi n)&=\cos \theta \\
\tan(\theta+2\pi n)&=\tan \theta
\end{align}
を得る。
点 (\cos\theta,\sin\theta) を \pi 回転した点 (\cos(\theta+\pi),\sin(\theta+\pi)) は原点を中心に点対称移動した点(-\cos\theta,-\sin\theta) であることから
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= - \sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= - \cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= \tan \theta
\end{align}
を得る。
点 (\cos\theta,\sin\theta) を x 軸で線対称移動移動した点が (\cos (-\theta),\sin(-\theta)) = (\cos\theta,-\sin\theta) であることから
\begin{align}\sin(-\theta) &= -\sin\theta \\
\cos(-\theta) &= \cos\theta \\
\tan(- \theta) &= -\tan\theta\end{align}
を得る。
& \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \\
& \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) \\
& \sin(\frac{\pi}{2} -\theta) \\
& \cos(\frac{\pi}{2}- \theta )
\end{align}
を計算せよ。
x' &= -y \\
&= \cos (\theta + \frac{\pi}{2} )\\
&= -\sin\theta \\
y' &= x \\
&= \sin (\theta + \frac{\pi}{2} ) \\
&= \cos\theta
\end{align}
が得られる。
x'' &= y \\
y'' &= x 
\end{align}
\sin (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \cos\theta \\
\cos (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \sin\theta
\end{align}
が得られる。
単位円周上の点 (\cos\theta,\sin\theta) から原点までの距離は 1 なので、 \sin^2\theta+\cos^2\theta = 1 が成り立つ。
また、この式に、 \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} つまり、 \sin\theta = \tan\theta \cos\theta を代入すれば、1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} が成り立つことがわかる。
関数 f(x) に対して、0 でない実数 p が存在して、f(x+p) =f(x) となるとき関数 f(x) は周期関数という。実数 p が上の性質を満たすとき、-p,2p など、実数 p を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数  p の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。
\sin x, \cos x は周期を 2\pi とする周期関数であり、\tan x は周期を \pi とする周期関数である。
演習問題
k を0でない実数とする。関数 \sin kx の周期を言え
解答
\sin k\left(x+\frac{2\pi}{k}\right) = \sin kx なので答えは \frac{2\pi}{k} 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。
関数 f(x) が f(-x)=f(x) を満たすとき、関数 f(x) は偶関数という。偶関数は y 軸に関して対称なグラフになる。
また、関数 f(x) が f(-x)=-f(x) を満たすとき、関数 f(x) は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。
関数 \cos\theta,x^{2n} (n は整数)は偶関数となる。
関数 \sin x , x^{2n+1} (n は整数)は奇関数となる。
演習問題
\tan\theta は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。
解答
なので、 \tan\theta は奇関数である。一般に、関数 f(x)  に対し、f(x)  が偶関数か奇関数か調べるには f(-x) が f(x) または -f(x) のどちらに等しいか調べればよい。また、どちらとも等しくない場合、関数 f(x)  は偶関数でも奇関数でもない。
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関数  y=\sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right) のグラフは、 y=\sin \theta のグラフを θ軸方向に  \frac{\pi}{3}  だけ平行移動させたものになり、周期は  2 \pi  である。（平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は  2 \pi  のままである。）
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関数 y＝2sin θ のグラフの形は y＝sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y＝sin θ と同じく 2π である。
ー1 ≦  sin θ ≦  1なので、
値域はー2 ≦  2sin θ ≦  2である。
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関数 y＝sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に  \frac{1}{2} 倍に縮小したものになっている。 
したがって、周期も  \frac{1}{2} 倍になっており、y=sinθ の周期は  2 \pi  だから、y=sin2θ の周期は  \pi  である。
三角関数の加法定理
\sin (\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
\end{align}
が成り立つ。
証明 
任意の実数 \alpha,\beta に対し、単位円周上の点 \mathrm{A}(\cos\alpha,\sin\alpha),\mathrm{B}(\cos\beta,\sin\beta) をとる。このとき、 線分 \mathrm{AB} の長さの2乗 \mathrm{AB}^2 は余弦定理を使うことにより 
\mathrm{AB}^2 = 2-2\cos(\alpha-\beta)
である。次に三平方の定理を使って
\mathrm{AB}^2 = (\cos\alpha -\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)
これを整理して 
\cos(\alpha - \beta)= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta 
を得る。
\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha-(-\beta)) = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) = 
\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta 
である。
以上をまとめて
\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta 
を得る。
ここで、
\sin(\alpha \pm \beta) = -\cos(\alpha +\frac{\pi}{2}  \pm \beta) =
-\{\cos(\alpha + \frac{\pi}{2})\cos(\beta) \mp \sin(\alpha+\frac{\pi}{2})\sin\beta \} = 
\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta「咲いた(sin)コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)」「コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)咲いた(sin)」という覚えかたがある
さらに、\tan x についても
\begin{align}
\tan (\alpha\pm\beta) &= \frac {\sin (\alpha\pm\beta) } {\cos (\alpha\pm\beta) } \\
&= \frac { \sin \alpha \cos \beta \pm  \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } \\
&= \cfrac { \cfrac { \sin \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } \pm  \cfrac { \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } { \cfrac { \cos \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } \mp \cfrac { \sin \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } \\
&= \frac { \tan \alpha \pm  \tan \beta } { 1 \mp \tan \alpha \tan \beta }
\end{align}
が成り立つ。
加法定理を用いて以下が証明できる。
\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha
\cos 2\alpha = \cos(\alpha+\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha
\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}
次に、 \cos の倍角の公式を変形すると
\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}
\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}
である。
演習問題
解答
\sin 15^\circ = \sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}
\cos 15^\circ = \cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}
\tan ^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}
今までの定理をまとめると、次のようになる。
覚え方 
加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。
\cos の倍角の公式 \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta は \pm 1 \mp 2\mathrm{aaa}^2\theta という形を覚えて \sin は符号が -、1 の符号はその逆と覚えます。
2乗の三角関数 \sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2},\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2} は、\frac{1\pm \cos 2\theta}{2} という形を覚えて、 \sin は符号が- と考えます。
三角関数の和
a \sin \theta + b \cos \theta 
において、a,b\neq 0 のとき
\right) は単位円周上の点なので、
\begin{cases}
\\
\end{cases}
となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。
 \cos \theta \right) \\
                                 & = \sqrt{a^2+b^2} \left( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \right)\\
                                 & = \sqrt{a^2+b^2} \sin \left( \theta + \alpha \right)\\
\end{align}
演習問題
r,\alpha は r>0,-\pi\le \alpha< \pi を満たすとする。
\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta を r \sin \left( \theta + \alpha \right) の形に変形せよ。
2\cos\theta-2\sin\theta を r\cos(\theta+\alpha) の形に変形せよ。
解答
\begin{align}
{2} \cos \theta \right) \\
                                       & = 2 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)\\
                                       & = 2 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)\\
\end{align}
三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ
積→和の公式
\sin \alpha \cos \beta &= \frac 1 2 \{\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta)\}\\
\cos \alpha \sin \beta &= \frac 1 2 \{\sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) \}\\
\cos \alpha \cos \beta &= \frac 1 2 \{\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) \}\\
\sin \alpha \sin \beta &= -\frac 1 2 \{\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) \}
\end{align}
和→積の公式
\sin A + \sin B &= 2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\sin A - \sin B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\cos A + \cos B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\cos A - \cos B &= -2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)
\end{align}
となる。
導出
加法定理
 
から、 (1) + (2) より
(1) - (2) より
(3) + (4) より
(3) - (4) より
が得られる。
A = \alpha + \beta,\, B = \alpha-\beta とおくと、 \alpha = \frac{A+B}{2},\, \beta = \frac{A-B}{2} である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ
\sin A + \sin B &= 2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\sin A - \sin B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\cos A + \cos B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\cos A - \cos B &= -2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)
\end{align}
が得られる。
覚え方
積→和の公式は、上2つは \alpha と \beta を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。\sin\sin の公式は \cos\cos の公式の符号を2つ - にしたものになっている。
和→積の公式は、\rm{aaa}-\rm{aaa} の式は \rm{aaa}+\rm{aaa} の公式の \cos と \sin を逆にした形になっている。
\sin(\theta+2\pi n)&=\sin \theta \\
\cos(\theta+2\pi n)&=\cos \theta \\
\tan(\theta+2\pi n)&=\tan \theta
\end{align}
\sin(-\theta)&=-\sin \theta \\
\cos(-\theta)&=\cos \theta \\
\tan(-\theta)&=-\tan \theta
\end{align}
\sin(\theta+\pi)&=-\sin \theta \\
\cos(\theta+\pi)&=-\cos \theta \\
\tan(\theta+\pi)&=\tan \theta
\end{align}
\sin(\pi-\theta)&=\sin \theta \\
\cos(\pi-\theta)&=-\cos \theta \\
\tan(\pi-\theta)&=-\tan \theta
\end{align}
\sin \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=\cos \theta \\
\cos \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=-\sin \theta \\
\tan \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=-\frac{1}{\tan \theta}
\end{align}
\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\cos \theta \\
\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\sin \theta \\
\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\frac{1}{\tan \theta}
\end{align}
の値を求めよ。
\begin{align}
 \sin \frac{10}{3} \pi & = \sin \left(\frac{4}{3}\pi + 2 \pi \right) =  \sin \frac{4}{3} \pi \\
                       & = \sin \left(\frac{\pi}{3} + \pi \right) = - \sin \frac{\pi}{3} \\
{2}
\end{align}
\begin{align}
 \cos \left(- \frac{11}{4} \pi \right) & = \cos \frac{11}{4} \pi = \cos \left(\frac{3}{4}\pi + 2 \pi \right)\\
                                       & = \cos \frac{3}{4} \pi = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)\\
\end{align}
\begin{align}
 \tan \frac{31}{6} \pi & = \tan \left(\frac{7}{6}\pi + 2 \pi \times 2 \right) =  \tan \frac{7}{6} \pi \\
                       & = \tan \left(\frac{\pi}{6} + \pi \right) = \tan \frac{\pi}{6} \\
\end{align}
{{コラム|楽器の音と三角関数|音も波の一種なので、三角関数で表現できる。
オシロスコープで おんさ の音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。
しかし、実際の楽器の音は、正弦波とは違う。オシロスコープでギターやバイオリンなどの楽器の音を測定すると、正弦波でない波形が繰り返されている。
これら実際の楽器の音の波形は、周期の異なる複数個の正弦波を重ね合わせた波形になっている。
大学などで習うフーリエ解析で、このような正弦波でない波形の解析について詳しく習う。三角関数以外の周期的な関数を、三角関数を介して表現する手法が知られている。
{{コラム|数学者レオンハルト・オイラー|
thumb| レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler 1707年4月15日 - 1783年9月18日)
ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい)
複素数に拡張した指数関数、三角関数では e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta
という関係式が成り立つ。ただし、e はネイピア数で e \approx 2.7 である。ここで、 \theta に \pi を代入すると
e^{i\pi}+1=0となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。
(1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ
1)150
2)720
(2)\sin \pi/2の値を求めよ