このあたりで趣向を変え、定積分の計算へLaplace 変換を応用してみよう．
少し面倒な定積分も，比較的簡単に処理できることがある．
例56\quad
次の公式は有名である．
}
これを少し一般化した次の公式を示す．
{{制御と振動の数学/equation|\int_0^{\infty}\frac{\sin ax}{x}dx = \begin{cases}
\frac{\pi}{2} & (a > 0) \\
0 & (a = 0) \\
-\frac{\pi}{2} & (a < 0)
}
この積分を求めるには，次のようにする．まず
とおいて Laplace 変換 する．：
ここで \mathcal{L} と \int とは交換できるものとした．これは Laplace 変換の定義を書き下してみれば分かる通り，
2 重積分の積分順序の交換が許されると仮定することを意味する
両辺のラプラス変換をとる．
\int dt と \int dx の積分順序を交換する．
\int dt を先に計算する．すなわち \sin xt をラプラス変換することになる．
．
厳密には証明を要するところであるが，おおらかに進むことにしよう．そうすれば，上式は
{{制御と振動の数学/equation|=\int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2 + s^2}
とする．x = s\tan\theta とおいて積分変数を x から \theta に変更すると，
積分範囲は x: 0 \to \infty のとき，\tan\theta = \frac{x}{s} だから s > 0 を仮定すれば，
\theta : 0 \to \frac{\pi}{2}．
よって，
 \frac{s\ d\theta}{s^2 ( 1 + \tan^2\theta)\cdot\cos^2\theta}
 \frac{s\ d\theta}{s^2 \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} \cdot \cos^2\theta}
 d\theta
 = \frac{\pi}{2s}
と簡単な積分に変換される．
{{制御と振動の数学/equation|= \left[ \frac{1}{s} \tan^{-1} \frac{x}{s} \right]_0^{\infty} = \frac{\pi}{2s} \quad (s > 0)
を
とおいて求めた結果が，
であり，①を逆三角関数で表現すれば，
すなわち
すなわち，
となる．ここで，原像を求めれば，
を得る．式 (2.35) に戻ってみれば分かるように，f(t) は奇関数である
から，
{{制御と振動の数学/equation|\int_0^{\infty}\frac{\sin tx}{x}dx = \begin{cases}
\frac{\pi}{2} & (a > 0) \\
0 & (a = 0) \\
-\frac{\pi}{2} & (a < 0)
}
となり，t = a とおけば，求める結果を得る．
\diamondsuit
例57\quad
を示せ．
解答例
とおく．両辺をラプラス変換すると，
ここで 例56 の結果より
であることがすでに分かっているから，
したがって
を得る．t > 0 のとき
よって
\diamondsuit
例58\quad
を示せ．
解答例
にて y = \tan x と置いて積分変数を x から y に変更する．
積分範囲は x: 0 \to \frac{\pi}{2} のとき y:0 \to \infty．
したがって，
例57 より
にて a = 1 を代入．
\diamondsuit
例59\quad
を示せ．
解答例
とおく．両辺をラプラス変換すると，
例56 より
を適用し，
よって，
\diamondsuit
例60\quad
を示せ．
解答例
とおく．両辺をラプラス変換して，
例56 より
を適用し，
よって，
\diamondsuit