f(t) を任意の有限な区間で積分可能の関数とするとき，
を f(t) の Laplace 変換ということ，およびその対応関係を記号 \sqsubset で表すことなどは，
前章と同じである．ただ異なるところは，
(1) f(t) は実変数 t の複素数値関数
(2) s = \sigma + i\omega は複素数
の 2 点である．
例89\quad
1 の Laplace 変換，
}
は s が実数の場合と同様である．\mathrm{Re}\ s = \sigma > 0 ならば，
 \to 0
s = \sigma+i\omega において，\mathrm{Re}\ (e^{-sT}) = e^{-\mathrm{Re}\ s\ T} = e^{-\sigma t}
である．ここに絶対値は複素数の絶対値を示す．よって，
}
となる．
\diamondsuit
例90\quad
e^{\alpha t} \quad (\alpha = a + ib) の Laplace 変換
であるから，例 89の s が s-\alpha に変わっただけである．
よって \mathrm{Re}\ (s-\alpha) > 0 のとき Laplace 積分は存在して，
を得る．
\diamondsuit
例91\quad
e^{at}\cos bt の Laplace 変換
}
であるから，例 90の結果を用いると，
{{制御と振動の数学/equation|e^{at}\cos bt \sqsupset \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{s-(a + ib)} + \frac{1}{s-(a-ib)}\right\} = \frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2}
\frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{s-(a + ib)} + \frac{1}{s-(a-ib)}\right\} = \frac{1}{2} \frac{s-(a-ib) + s - (a+ib)}{s^2 -2as + (a^2 + b^2)}
= \frac{1}{2} \frac{2(s-a)}{(s-a)^2 + b^2}
= \frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2}
となる．
\diamondsuit
例92\quad
e^{at}\sin bt の Laplace 変換を例 91にならって求めよ．
解答例
定義 4.1 に従って，
e^{(a+ib)t} = e^{at}\bigg[ \cos bt + i\sin bt\bigg]…①
e^{(a-ib)t} = e^{at}\bigg[ \cos bt - i\sin bt\bigg]…②
\quad (\because \cos(-\theta)=\cos\theta, \quad \sin(-\theta)=-\sin\theta)
\cos bt を導出するのには ①＋② を考えた，ここでは，①－②を考えてみると，
e^{(a+ib)t} - e^{(a-ib)t} = 2i\ e^{at}\sin bt
e^{at}\sin bt = \frac{1}{2i} \left\{ e^{(a+ib)t} - e^{(a-ib)t} \right\}
\sqsupset \frac{1}{2i} \left\{\frac{1}{s-(a+ib)}-\frac{1}{s-(a-ib)}\right\}
{s^2-2as+(a^2+b^2)}
=\frac{1}{2i} \frac{2ib}{(s-a)^2+b^2} = \frac{b}{(s-a)^2+b^2}
\diamondsuit