数列\left\{a_n\right\}に対して、初項から第n項までの総和をnで割ったもの、即ち
をチェザロ平均という。
さて、チェザロ平均について、次の性質が成り立つ。
この結果の数学的利用価値については上記のWikipediaへのリンクを参照してもらうとして、ε-N論法の練習としてこの命題を証明してみよう。
証明 まず、仮定をε-N論法で書き直しておく。
ここで、
を考えると、
三角不等式を用いて変形すると、
となる。
いま、(1)の各εと対応するNに対して、n>Nとして、
ここで、任意の実数より大きな自然数が存在するから（これをアルキメデスの原理と言う/アルキメデスの原理は定理である）、
すなわち
を満たす自然数Mが存在する。
よって、各εに対して、Nより大きくかつM以上のnで、
以上のように、任意の正の実数εに対して、max{N,M}なる自然数が存在して、nがこれより大きいとき、\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k - \alpha\right|がεの定数倍より小さくなるから、