二変数関数f(x,y)について、いったんx以外の変数を動かさず、変数xのみで微分したものを
} 
と書き、これをfの偏導関数という。
つまり定義は
}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x  + h,y) - f(x,y) } h 
である。このように、多変数関数において、考えている変数（例の場合はx）以外をいったん動かさず、一つの変数だけの関数とみて微分することを偏微分（へんびぶん、英：partial differentiation）という。
}は「ラウンドディーエフ・ラウンドディーエックス」などと読む。)
具体例として二変数関数 f(x,y)=x^5y^3 の微分を考える。この関数を変数xについて偏微分すると
}=(x^5)^{\prime}y^3=(5x^4)y^3=5x^4 y^3 となり、つまり、
}=5x^4y^3
}=5x^4y^3 も二変数関数であることに注意しよう。
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同様にy以外の変数を動かさず、二変数関数f(x,y)を変数yのみで微分したものを
} と書く。
つまり
}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x,y + h) - f(x,y) } h 
である。
例のf(x,y)=x^5y^3 の場合、変数yでの偏微分は
}=x^5(y^3)^{\prime}=3x^5y^2 となる。
}=3x^5y^2 は二変数関数である。
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} を偏微分することを考えよう。
^2} と書く。
f(x,y)=x^5y^3 の場合、
}(5x^4 y^3)=5\sdot 4 x^3 y^3=20 x^2 y^3
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 とも書く。
やはり先ほどの例について計算すると、
} (5x^4 y^3) = 5x^4(y^3)^{\prime}=5x^4(3y^2)=15x^4 y^2
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\right) についても先ほどの例で計算すると、
=3y^2(5x^4)=15x^4 y^2
となり、
よって
\right)
となる。このように、応用上重要になるような「まともな」関数の場合、高階の偏微分の順序を交換しても、結果は変わらない。したがって、記号で書くときの変数の順序には無頓着でも構わない。
とすると、f(x,0)=f(0,y)=0なので、\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0である。
一方、(x,y) \ne (0,0)のとき、
なので、
である。
したがって、
である。
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f(x,y)が点(a,b)にてfxy(x,y)とfyx(x,y)がともに連続ならば、
証明の導入
まず、fxy(a,b)とは、定義にしたがうと
} =\lim_{k\rightarrow 0} \frac {f_x(a,b+k) - f_x(a,b) }{k} = \lim_{k\rightarrow 0} \frac {\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k}  
であり、同様に、fyx(a,b)とは、定義にしたがうと
} =\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f_y(a+h,b) - f_y(a,b) }{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac {\lim_{k\rightarrow 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \lim_{k\rightarrow 0} \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h}  
なので、結局は、式 \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b)  } {hk} における  \lim_{k\rightarrow 0}  と \lim_{h\rightarrow 0}  の交換を証明するのが、この定理である。
証明
やや天下り的だが、 F＝f(a+h,b+k)ーf(a,b+k)ーf(a+h,b)+f(a,b) と置く。
である。技巧的だが、上式2段目の2つの式の第2項を参考にそれぞれ、
と定義する。
すると、
というふうに、Fを1変数関数に置き換えられるので、1変数における平均値の定理が適用できるようになる。
さて、1変数における平均値の定理を適用すると、
なお、 0 ＜ θ1  ＜ 1 である。
と書ける。
φ’(x) とは、f(x,b+k)-f(x,b) ＝ φ(x) の定義より意味的に考えて、
φ’(x) ＝fx(x,b+k)ーfx(x,b) である。
なので
今度は、 fx(a＋θ1h,b+k)ーfx(a＋θ1h,b) を y(またはb)の関数と考えると、
いっぽう
と表した場合も、同様の式変形によって、またψ’(y)＝fy(a+h,y)-fy(a,y) をもちいて、
さて、
なので、よって
この式について、  \lim_{k\rightarrow 0}  と \lim_{h\rightarrow 0}  の極限をとれば、hとkのどちらを先に0にしようが、
となる。（証明終わり）
証明の導入の参考として、
証明中の数式の記法の参考として、
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ここでは、多変数関数の積分について解説する。厳密な説明は煩雑な数式を要するので後に回して、まずは証明は抜きに定義と定理の大まかなイメージについて説明し、計算例を見る。
まず、1変数関数の積分について復習する。1変数関数の積分は、大まかに言えば次のような概念だった。直線（''x''軸）の一部である区間''I''と、''I''上で定義された関数''f''を考える。簡単のため''f''は正の値を取るとする。このとき、\{(x,y)|y=f(x)\}は''xy''平面内の曲線を表し、関数''f''のグラフと呼ばれる。このグラフy=f(x)と''x''軸で挟まれた部分\{(x,y)|x \in I,0 \le y \le f(x)\}の面積を求めるのが定積分\int_I f(x) dxである。その厳密な定義は、領域を細長い長方形に分割して足し合わせると、長方形の幅を十分小さくしたときその面積の和は分割のしかたによらないことを示し、その和（リーマン和という）の極限値として定めるのだった。
これに対して2変数関数の重積分とは、大まかに言えば次のような概念である。平面（''xy''平面）の一部である領域''D''と、''D''上で定義された関数''f''を考える。簡単のため''f''は正の値を取るとする。このとき、\{(x,y,z)|z=f(x,y)\}は''xyz''空間内の曲面を表し、関数''f''のグラフと呼ばれる。このグラフz=f(x,y)と''xy''平面で挟まれた部分\{(x,y,z)|(x,y) \in D,0 \le z \le f(x,y)\}の体積を求めるのが重積分\int_D f(x,y) dxdyである。その厳密な定義は、立体を細長い直方体に分割して足し合わせると、直方体の底面積を十分小さくしたときその体積の和は分割のしかたによらないことを示し、その和（リーマン和という）の極限値として定めるのである。
リーマン和の極限は分割のしかたによらないことを証明していないことはともかくとして、大まかな概念はつかめたと思う。しかし、この定義だけでは具体的な関数についての計算はできそうにない。具体的な計算には、次の定理が役に立つ。
定理（縦線領域の逐次積分）D=\{(x,y) | a \le x \le b,\ p(x) \le y \le q(x) \}のとき、
証明の代わりに定理のイメージを説明する。a \le c \le bを満たすcについて、領域''D''と直線x=cの共通部分を''I''とする。このとき、立体を平面x=cで切った「断面」\{(x,y,z)|(x,y) \in I,0 \le z \le f(x,y) \}の面積は\int_{p(c)}^{q(c)} f(c,y) dyで与えられる。この面積を''x''軸方向に積分することで立体の体積が得られる。
この定理を使って、球の体積を計算してみよう。\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1 \}は半径1の球面を表す。この球面の「上半分」は\left\{(x,y,z)|z=\sqrt{1-x^2-y^2}\right\}なので、半径1の半球の体積''V''はD=\{(x,y)|x^2+y^2 \le 1\}とすると
で与えられる。逐次積分の公式を使うと、
\begin{align}
^\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-x^2-y^2} dy\right)dx \\
 \right]_0^\sqrt{1-x^2} dx \\
& = \int_{-1}^1\frac{\pi}{2} (1-x^2) dx \\
& = \pi \left[ x-\frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\
& = \frac{2}{3} \pi
\end{align}
である。
上の節でみた球の体積の計算のような場合には、実は直交座標ではなく極座標を用いた方が便利である。このような座標の変換を行う場合には、1変数関数の積分の場合には置換積分の公式があり、たとえばx=x(u)で定まる変数''u''を用いると
と計算できるのだった。2変数の場合には、積分の変数変換の公式は次のようになる。
定理（変数変換公式）
x=x(u,v),y=y(u,v)とするとき、行列
J(u,v)=\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} 
\end{pmatrix}
を考える。このとき、
である。ただし、|J(u,v)|は行列式を表す。
これもまずは証明は抜きにして、極座標の場合の計算をしてみよう。直交座標と極座標の変換はx=r\cos\theta,y=r\sin\thetaであるから、
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
\sin\theta & r\cos\theta 
\end{vmatrix}
=r(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=r
である。これを用いて再び半球の体積を計算すると、
\begin{align}
V & = \int_D \sqrt{1-x^2-y^2} dxdy \\
& = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 r\sqrt{1-r^2} dr\right) d\theta \\
& = \int_0^{2\pi} \left[-\frac{1}{3}(1-r^2)^\frac{3}{2} \right]_0^1 d\theta \\
& = \int_0^{2\pi} \frac{1}{3} d\theta \\
& = \frac{2}{3} \pi
\end{align}
である。先ほどよりも簡単な計算になったことが分かる。
2つの2変数関数の組(u(x,y),v(x,y))と、パラメタ表示された滑らかな曲線C:x=x(t),y=y(t) (0 \le t \le 1)があるとき、次の（1変数関数の）定積分の値を''C''に沿った線積分という。
この積分を、
という記号で表す。
(x(0),y(0))=(x(1),y(1))かつt \mapsto (x(t),y(t))が半開区間[0,1)上で単射なとき、''C''は単純閉曲線であるという。単純閉曲線は平面の一部のある有界領域を囲む境界線となっている。単純閉曲線に沿った線積分とその内部の領域での重積分の間に、次のような関係式が成り立つことが知られている。
定理（グリーンの定理）
''C''は単純閉曲線で、''C''で囲まれる有界の領域を''D''とするとき、''D''で定義される連続微分可能な関数u(x,y),v(x,y)に対して、
である。ただし''C''は''D''の境界線を反時計回りに進むものとする。
グリーンの定理の適用例と適用できない例をあげる。
例（面積）
u(x,y)=-y,v(x,y)=xとすると-\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=2である。
一方、重積分\int_D dxdyは領域''D''の面積を表す。よって、グリーンの定理より
は単純閉曲線''C''で囲まれる有界領域の面積を表す。たとえば、C:x=\cos 2\pi t,y=\sin 2\pi t（単位円周）とすると
は単位円板''D''の面積である。
例（領域''D''内で定義されない点がある）
u(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2},v(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}とすると-\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}=0であるから、任意の領域''D''について\int_D \left(-\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right) dxdy=0である。ところが、C:x=\cos 2\pi t,y=\sin 2\pi t（単位円周）とすると
である。