特殊相対論 > 時間の遅れ
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ある点(0,0)から速度vで動きだした粒子は
静止している観測者から見て
(ct,vt)となる時刻において、 
自分自身から見た座標系では、
\gamma
\begin{pmatrix} 
1 & -\beta \\
-\beta & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct\\
vt
\end{pmatrix}
= \gamma t
\begin{pmatrix} 
c -\beta v \\
-c \beta  + v
\end{pmatrix}
= \gamma t
\begin{pmatrix} 
c -\beta v \\
0
\end{pmatrix}
となる。最後の計算で
\beta = v / c
を用いた。
ここで、粒子と一緒に動いている観測者から見て
粒子の位置座標が0であることは、
粒子と一緒に動く観測者に取って
粒子は動いていないように見えることに対応している。
粒子と共に運動する観測者に取っての時間経過は
\gamma t (c - \beta v ) = \gamma t(c - v^2 /c)   
 = \gamma c t(1 - v^2 /c^2)   
= ct \sqrt{1-\beta^2}
< ct
となる。よって、
粒子と一緒に動く観測者に取って出発してから経過した時間が、
静止している観測者に取っての
時間よりもゆっくりと経過していることを示している。
これは直観的には、粒子がある速度で動いている分だけ、時間の方向に
運動していく速度が遅くなったものとみなすことが出来る。