量子場の理論は主に素粒子を扱うための理論である。一般に物理的なものは常に
量子的な状態として記述されねばならず、粒子といえども例外ではないといえる。
一般に粒子は真空と呼ばれる何もない状態の中に1つの粒子が現われた状態として
記述されるのである。このように粒子の存在を量子力学的に記述する方法として
場の理論という方法が知られているのである。例えば、電磁気力をつたえる光子は
A_\muという4元ベクトルで書かれるのだが、光子自体も粒子であるので
この記述法は粒子の存在を記述する手法を示唆していると考えられる。
つまり、場という量は何らかの仕方で粒子の記述をしていると考えられ、
逆に粒子を記述する手法として場の量を用いることが考えられるのである。
この項では、場の量を用いた粒子の記述法についてまとめる。
量子力学の基本法則ではハミルトニアンの中で運動量pで、
\frac{\partial}{\partial \vec x}で置き換えることが主張された。
このことは相対論的な式でも正しいことが予想される。
このとき、質量mを持つ粒子で運動量pの粒子を考えると、
その粒子の満たす式の1つとして、
p^2 - m^2 = 0
があげられる。ここで、時空は4次元とし、計量はミンコフスキー計量を用いる。
このとき、上の置き換えを用いると、
波動関数を求める式として、
(-\partial^2 - m^2) \phi = 0
が得られる。この式をクラインゴルドン方程式と呼ぶ。この式を解くと、
\phi = e^{i p x}, e^{-i p \vec x} 
が得られる。ここで、pとxはどちらも4元ベクトルであり、
2つの積は4次元ミンコフスキー計量を用いた内積である。この量を波動関数として
用いることは可能であるが、ここでは異なった仕方で量子化を行なう。
粒子が何もない状態を真空と呼ぶ。
次に粒子を1つだけ作る演算子a^\daggerを取る。
このようなものを取ったとき、これを真空に作用させることで粒子がただ1つ存在する状態を作ることが出来る。
このような手段をくり返すことで粒子が存在する仕方が全てつくせることが予想されるが、
実際このような仕方は非常に便利であるので、ここではこの方法を導入する。
\phiは、ここまででは波動関数と考えて来た。ここからは、この量を場の演算子と見なす。
つまり、この量が真空や粒子がいくつかある状態によって張られるベクトルにかかる行列だと思うのである。
このときこの量は上で得た
(-\partial^2 - m^2) \phi = 0
の方程式を満たすとする。更に、この演算子が
\langle 0|a_i \phi|0\rangle = \psi_i
を満たすことを要求する。ここで、a_iは
量子数iで代表される状態の降下演算子であり、
\psi_iは、量子数iで代表される状態の波動関数である。
このように、ある状態を生み出す昇降演算子とその状態に対応する波動関数との間に
対応をつけることでこれまでの結果をそれほど変化無く用いることが出来るのである。
上の条件を満たす演算子は、\phiを実数と仮定するとき、
\phi = \sum_i \{a_i^\dagger \psi_i + a_i \psi_i^*\}
となる。ただし、昇降演算子には[a_i, a_j^\dagger] = \delta_{ij}
の交換関係があるものとする。ただし、\delta_{ij}はijが
連続量ではデルタ関数となり、ijが離散的な量ではクロネッカーのデルタ
となるものとする。
上で用いた方法をまとめるため、この系に対するラグランジアンを導入する。
ただし、古典力学の場合と異なり、ここで扱う\phiは、空間の1点ごとに
一般には異なった値を持つためラグランジアン自体も空間の各点で異なった値を持つ。
このようなラグランジアンを通常のラグランジアンと区別する意味で
ラグランジアン密度と呼ぶことがあり、一般に\mathcal Lで書くことが多い。
また、ラグランジアン密度を用いることから運動方程式を導出する手法も変化する。
古典力学では\int dt L(q,\dot q)を変分することで、
\frac{dL}{dq} - \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d \dot q}) = 0 
を導いた。今回はラグランジアン密度を用いて
\int d^4 x \mathcal L(\phi, \partial^\mu \phi)
を用いるため、同じ様な計算を用いると得られる運動方程式は
\frac{d \mathcal L}{d\phi} - \frac{d}{dx^\mu}(\frac{d \mathcal L}{d(\partial \phi / \partial x^\mu)}) = 0 
となる。この方程式を用いてクラインゴルドン方程式を得るようなラグランジアン密度として、
\mathcal L = \frac 1 2 \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - \frac 1 2 m^2 \phi^2
が得られる。実際上の計算を適用すると、確かに
(-\partial^2 - m^2) \phi = 0
が得られるのである。次に上のラグランジアンにより複雑な項を加えることを考える。
例えば、
\mathcal L = \frac 1 2 \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - \frac 1 2 m^2 \phi^2 
- \frac 1 6 \lambda \phi^3
を考える。このときも同様の計算を用いると
(\partial^2 - m^2) \phi - \frac 1 2 \lambda \phi^2 = 0
が得られる。しかし、この式は\phiに関する非線形方程式であり、
簡単に解くことはできない。このため、ラグランジアンに含まれる
-\frac 1 6 \lambda \phi^3の項を摂動として扱うことが重要となる。
しかし、逆にこのことを用いると粒子間の相互作用を扱うことが出来ることが分かる。
例えば、2つの粒子\phi_1,\phi_2を取り、ラグランジアンの中に
\phi_1 \phi_2に比例する項をまじえたとする。
このとき2つの粒子をオペレーターとして見たとき、
それぞれの場は対応する粒子を消滅させるか生成する働きを持っている。
例えば、上の項を2つの粒子のクラインゴルドン方程式の解に対応する状態の
直積によって書かれた状態に対する摂動として用いたとき、
|1_i\rangleを粒子1がiの状態にある状態とし、
|2_j\rangleを粒子2がjの状態にある状態とすると、
\langle 2_j|\phi_1 \phi_2|1_i\rangleは一般には0でないことが分かる。
つまり、上のような項を含むラグランジアンが用いられる系では
粒子1は一定の確率で粒子2に変化することがわかる。
このようにして、場の考え方を用いると粒子の生成消滅の描像が簡潔に
記述できることが分かる。
ここで摂動計算を行なうときに頻繁に用いられる量を導入する。
摂動計算に現われる量はラグランジアンの中に含まれる項である。
実際に\phi^3に比例する項は3つの\phi演算子の積として
摂動項に現われる。一般に、スカラー場の場の理論を組み立てるとき
ラグランジアンの中に常に現われる量として、
\phi^*(-\partial^2 - m^2)\phi
がある。この項を摂動として扱うと、
\langle i|\phi(x) \phi(x)|j\rangle
の量が現われるがこの量は通常発散することが知られている。
このため、この量を変化させて
\langle 0|\phi(x) \phi(x')|0\rangle
という量について考える。この量は一般にはx=x'で発散しない。
この量をプロパゲーターと呼ぶ。実際に\phiの昇降演算子を用いて計算することで
この量を得ることができる。
更にこの量をフーリエ変換して運動量表示にすることができるが、このときこの量は
\frac 1 {p^2 - m^2}で与えられる。
摂動を統一的に扱うため相互作用表示と呼ばれる表示を導入する。
摂動を受けるハミルトニアンを\mathcal Hとし、
摂動のハミルトニアンを\mathcal Vとする。
更に、全ハミルトニアンを\mathcal H'とする。
このとき、演算子Oに対してO(t)を
O(t) = e^{i \mathcal H t} O e^{-i \mathcal H t}
で定義し、何らかの状態|\gamma\rangleに対して
|\gamma(t)\rangle = \sum a_m(t)|m(t)\rangle
で状態を展開する。ただし、|m\rangleはハミルトニアン\mathcal Hの固有状態とする。
組み合わせが時間的に変化するとすることが有効になる。詳しくは量子力学II参照。
|\gamma(t) \rangle = \mathcal H'|\gamma(t)\rangle
で与えられるが、この式は
\sum_m \dot a_m(t)|m(t)\rangle + a_m \mathcal H|m(t)\rangle
= (\mathcal H + \mathcal V)|\gamma(t) \rangle
\sum_m \dot a_m(t)|m(t)\rangle
= \mathcal V \sum_m a_m(t)|m(t)\rangle
で与えられる。更に、m(t)\rangleとは別の
\mathcal Hの固有状態|n(t)\rangleとの内積を取ると、
\dot a_n(t) = \sum_m \mathcal V_{nm}(t) a_m(t)
となる。
ここで、aに関する表式はaをベクトルと見た場合
 a(t) = \mathcal V(t) a(t)
と書くことが出来、この解は
a = e^{\int_{t_0}^t dt \mathcal V(t)} a_0
で書くことが出来る。
しかし、ここでは\mathcal Vは通常\phiなどの演算子で書かれる量だが、
\phiについては摂動を受ける前のハミルトニアンに関するハイゼンベルグ表示を用いたいので、
\mathcal V(t) = e^{i \mathcal H t} \mathcal V e^{-i \mathcal H t}
を導入する。これは、時間発展の方程式について元のハミルトニアンの状態に
ついて内積を取るとき、|m(t)\rangle,|n(t)\rangleではなく
|m\rangle,|n\rangleについて内積を取ることに対応する。
このとき時間発展の方程式は
 a(t) = \mathcal V(t) a(t)
と書かれ、この解は
a(t) = e^{\int_{t_0}^t dt \mathcal V(t)} a_0
= T e^{\int_{t_0}^t dt \mathcal V(t)} a_0
で書かれる。ここで最後の表式Tは時間順序積演算子と呼ばれ、
\mathcal V(t)に関して、時間が前の演算子ほど右側に来るように配置することを示している。
一般にこのような計算で\mathcal V(t)に含まれる\phi(t)などの量は、
時刻が等しいときには可換ではないが、時刻が等しくないときには常に可換であるので、
このような並べ換えは常に可能である。この並べ換えは例えば経路積分による導出を
扱うときに重要になる。
上の表示は各々の状態の時間変化については ハイゼンベルグ表示を取っており、 
それに従って演算子が時間発展していく中で、時として摂動の効果で
状態の方も時間変化を受けることに対応する。これは、粒子がお互いと相互作用して
摂動を受けることとうまく対応している。例えば、光子と電子が相互作用して
お互いの運動エネルギーが変化する情况は、このような摂動の式で記述できる。
例として\mathcal V(t)を
\mathcal V(t) = \int d^3 x \lambda \phi^3(t)
|i(t)\rangle = T e^{-i\int dt \mathcal V(t)}|i\rangle
を摂動の次数ごとに展開すると、
|i(t)\rangle= (1 - i \lambda\int d^4 x \phi^3(x)
+ \frac 1 2 (-i) \lambda \int d^4 x \int d^4 x_2 \phi(x)^3 \phi(x_2) ^3
...) |i\rangle
となる。
|i(t)\rangleは
|i(t)\rangle = (1 -i \lambda\int d^4 x \phi^3(x))|i\rangle
で与えられるが、特に元の状態からの変化に注目すると時刻tでの状態として
(-i \lambda\int d^4 x \phi^3(x)) |i\rangle
が得られる。ただしここでは
\int d^4 x = \int d^3 x \int_{t_0}^t 
で与えられているものとする。ここでt_0は粒子が他の粒子と相互作用する
距離に近づいた時刻のことをいい、tは、測定を行なう時刻である。
実際的な素粒子の実験では常にt_0 = -\infty,t = \inftyとして扱う。
ここで測定を始めたときに1つの\phi_1粒子だった状態が
\phi_2,\phi_3の2つの粒子に崩壊する過程を
計算する。実際の計算では運動量の位相空間の大きさも計算に入れる必要が
あるのだが、ここでは行列要素の計算だけにとどめる。
ただし、与えられたラグランジアンの摂動項は
\lambda \phi_1 \phi_2 \phi_3で与えられるものとする。
ここで最初の状態は運動量k_1^\muを持ち、最後の状態はk_2^\mu,k_3^\mu
を持つものとする。このとき求める行列要素は
\langle 0|a_{k_2} a_{k_3} \int d^4 x (-i \lambda \phi_1 \phi_2 \phi_3) a^\dagger_{k_1}|0\rangle
ここで、異なった粒子に関する昇降演算子が互いに交換することを用いると
\phi_1 a^\dagger_{k_1}, a_{k_2} \phi_2
の真空期待値が得られるが、\phiの展開式をあらわに用いると
\langle 0|\phi_1 a^\dagger_{k_1}|0\rangle = e^{-i k_1 x}
\langle 0|a_{k_2} \phi_2|0\rangle = e^{i k_2 x}
が得られる。これらを上の式に代入すると、
\langle 0|a_{k_2} a_{k_3} \int d^4 x (-i \lambda \phi_1 \phi_2 \phi_3) a^\dagger_{k_1}|0\rangle
= -i \lambda \int d^4 x e^{i (k_2 + k_3 - k_1) x}
= -i \lambda \delta(k_2 + k_3 - k_1)
が得られる。ここで、デルタ関数は運動量の保存則を表わしており
このような計算では常に現われるものであるので、次からの計算では
落とすことができる。そのため、このときの計算値は、単に-i \lambda
と書かれる。ここではk_2,k_3を定めていないが、
粒子の質量中心系では粒子1は静止しており
\vec k_2 = -\vec k_3, k_2^0 + k^0_3 = m_1
が成り立つ。