上に述べた例を，ベクトルや行列を用いて表示してみよう．
{{制御と振動の数学/equation|
\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{dx}{dt} \\
\frac{dy}{dt}
と約束すると，例 104 の式 (5.1) は，
{{制御と振動の数学/equation|
\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 &  0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
x(0) \\
y(0)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
}
と表すことができる．これを Laplace 変換したものが，
{{制御と振動の数学/equation|
s
\begin{pmatrix}
\mathcal{L}[x] \\
\mathcal{L}[y]
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 &  0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathcal{L}[x] \\
\mathcal{L}[y]
}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{pmatrix}
s  & 1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathcal{L}[x] \\
\mathcal{L}[y]
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
X \sqsubset x, \quad Y \sqsubset y とおくと，
\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix}
これを解けば，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{pmatrix}
\mathcal{L}[x] \\
\mathcal{L}[y]
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s  & 1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{s}{s^2 + 1} & -\frac{1}{s^2 + 1} \\
\frac{1}{s^2 + 1} & \frac{s}{s^2 + 1}
\end{pmatrix}
}
この原像を求めると，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos t & -\sin t \\
\sin t & \cos t
\end{pmatrix}
}
を得る．
さらに，
{{制御と振動の数学/equation|
と定義すると，例 108 の解、式 (5.4) は，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{pmatrix}x(t) \\ y(t)\end{pmatrix} = \int_0^t \begin{pmatrix}\cos(t-\tau) & -\sin(t-\tau) \\ \sin(t-\tau) & \cos(t-\tau)\end{pmatrix}
と表すことができる．
定義 (5.7) に従えば，\mathcal{L}, \mathcal{L}^{-1}ここではじめて \mathcal{L}^{-1} が登場した．に対しては，
{{制御と振動の数学/equation|
\mathcal{L}\left[ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix}\mathcal{L}[x(t)] \\ \mathcal{L}[y(t)]\end{pmatrix}
{{制御と振動の数学/equation|
\mathcal{L}^{-1}\left[ \begin{pmatrix} X(s) \\ Y(s) \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix}\mathcal{L}^{-1}[X(s)] \\ \mathcal{L}^{-1}[Y(s)]\end{pmatrix}
X \sqsubset x, \quad Y \sqsubset y とおくと，
形式的に両辺に左から \mathcal{L}^{-1} を働かせて，