x+\frac{1}{x}=1 であるときの、x^n+\frac{1}{x^n}の性質。
の値を求めよ※2。
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 = \left(x^8+\frac{1}{x^9}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^8+\frac{1}{x^8}\right) = -2 -(-1) = -1
となり、 1 \to -1 \to -2 \to -1 \to 1 \to 2 \to 1 \to -1 \to -2 \to -1 \dotsと6を循環節として循環していることがわかる（予想される（厳密な解答は後述））。
x^n+\frac{1}{x^n} = a_nとして、6を循環節とする循環は以下により証明される。
\right) =  a_{n-1} - a_{n-2}
nを6の剰余で場合分けする（n = 6k + m）と以下のとおりとなる。
 = 1となる※3。
条件式;x+\frac{1}{x}=1は、x^2-x+1=0と変形できる。(x+1)をかけるとx^3 +1 = 0という式が得られる (ただし、(x+1)は、便宜的に導入した式なのでx\neq -1となる)※1。
x^3 = (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta =-1となる。
 \cos 3\theta = -1\\
 \sin 3\theta = 0
\end{cases} (-\pi \le \theta \le \pi)を解いて、\theta = \frac{\pi}{3} , -\frac{\pi}{3}を得る。
x = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} , \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})となる。
x^n+\frac{1}{x^n} = (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^n + (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))^n, (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))^n + (\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3})^n : 同値となる。
\cos \frac{n\pi}{3}は、nを6で割った余りが\{0,1,2,3,4,5\}であるとき、\{1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}となるため、x^n+\frac{1}{x^n}は、nを6で割った余りが\{0,1,2,3,4,5\}であるとき、\{2,1,-1,-2,-1,1\}となる※3。
惑わせるため、以下のような条件式で提示されることもある。
入試問題などでこのような大きな数を計算させることはないので、「多分、剰余を使った問題に帰結させるんだな」と予想を立てて解く。
と、しかつめらしく解説したが、よく考えれば、x+\frac{1}{x}=1 より、x^3+1=0、すなわちx^3=-1、負号を消すため2乗してx^6=1が得られるので、指数を6で割った余りで判定すれば足りる問題であった。
条件式が、x+\frac{1}{x}=-1、即ち、x^3=1 (ただし、x\neq 1とする)である類似問題も作れる。とは言え、これもx^3=1となるので、指数を3で割った余りで判定すれば足りる問題。