熱力学 > 熱力学の第2法則	
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熱の巨視的な性質として、
"温度の低いものから温度の高いものに対して
他の物体に影響を与える事無しに熱を与えさせることはできない。"
ことが知られている。
これを熱力学の第2法則という。
例えば、仮にこのことが可能だったとしたとき
冷たい水と熱い湯を混ぜたとき
冷たい水はより冷たく、湯はより熱くということが
起こり得ることが予想される。実際には
経験的にこれらのことが起こらないことが知られている。
気体の変数の変数p,V,Tは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、状態方程式（理想気体かファンデルワールス気体かは、ここでは問わない）があるならば、変数p,V,Tのうちの、どれか二つが決まれば、気体の状態方程式から残りの変数も決まる。こうして3変数p,V,Tが決まる。
内部エネルギーは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、どちらにしても、変数p,V,Tのうち、どれか二つが決まれば、気体の方程式から残りの方程式も決まる。決まった3変数のp,V,Tによって、内部エネルギーも決まってしまう。このような、状態変数によってのみ決まる物理量を状態量（じょうたいりょう）という。
3変数のp,V,Tが決まれば内部エネルギーも決定されるので、内部エネルイギーは状態量である。
内部エネルギーを決める3変数のうち、真に独立変数なのは、そのうちの2個のみである。変数p,V,Tのどれを2個まで独立変数に選んでもいいが、残りの1個は既に選んだ変数の従属変数になる。
どの変数を独立変数に選ぶと、知りたい答えが求めやすいかは、問題による。
（多変数の関数の微分積分については、大学理科系で教育される。多変数関数の微分を偏微分という。解説は高校レベルを超えるので省略。）
前節で言及された３つの変数（圧力p、体積V、温度T）のほか、エントロピーSや内部エネルギーUなども熱力学系の平衡状態を特徴付ける状態量である。
前節と同様、5つの状態量p,V,T,U,Sのうち任意の2つを独立変数に選ぶ場合にも、残る3つの変数はこれら2つの独立変数で表される従属変数として扱える。
この5つの変数の任意の組み合わせを独立変数にもつ状態量は、一般に熱力学関数と呼ばれる。
内部エネルギーU(S,V)のほか、後の章にて言及されるエントロピーS(U,V)、エンタルピーH(S,p)、ヘルムホルツの自由エネルギーF(V,T)、ギブスの自由エネルギーG(T,p)なども熱力学関数である。
（この節では、高校数学の数学III相当の微分積分を用いる。分からなければ数学IIIを参照のこと。）
圧力をpと書くとする。体積をV、モル数をn、普遍気体定数をn、温度を絶対温度でTとする。
仕事Wの、瞬間的な仕事の大きさは微分を用いてdWと表せる。体積Vの、その瞬間の体積変化は微分を用いてdVと表せる。これらを用いれば、
 dW=pdV 
と微分方程式で表せる。（定圧変化では無いから、この式のpは変数である。）
体積をV1からV2まで変化させた時の仕事は、積分を用いて以下のように書き表せる。
 W=\int_{V_1}^{V_2} p dV 
これに、状態方程式の  pV = nRT  を、組み合わせる。
積分変数のVに合わせて、pを書き換えよう。
p=\frac{nRT}{V}
である。これより、仕事の式は、
 W=\int_{V_1}^{V_2} p dV= \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} dV = nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = nRT\log \frac{V_2}{V_1 }
となる。（なお、logは自然対数である。）
結論をまとめると、
 
である。
内部エネルギーUは、理想気体では温度のみの関数で、等温変化では温度が変化しないから、
である。
したがって、等温変化では
である。
まず、熱と内部エネルギーと仕事の関係式
を、次のように微分方程式に書き換える。内部エネルギーの変化を微小変化としてdUと表したとすると、熱量Qや仕事Wも微小変化になるので、以下の様な式になる。
QやWの微分演算記号dの上に点「'」が付いているのは、厳密に言うと、熱量Qや仕事Wは状態量で無いから、区別するために用いている。
断熱変化では
なので、つまり、
となる。
仕事に関しては
である。
内部エネルギーの微小変化は、定積モル比熱を用いて、
と書ける。
なので、これ等を式 0=dU+d'W に代入し、
と書ける。
両辺をpVで割ると、
であるが、pV=nRTを利用すると、
となる。
この微分方程式を解く。まず移項して、
となる。
積分して、
ここで、Constは積分定数とする。（積分定数を C と書かなかったのは、比熱の記号との混同を避けるため。）
対数の性質より、係数R/Cvを対数log()の中の変数の指数に持ってこれる（数学II相当）ので、計算すると、
}+Const
さらに移項して、変数を左辺にまとめると、
=Const
対数の性質より、対数同士の和は、中の変数の積に変えられるので、
=Const
である。
対数の定義より、自然対数の底をeとすれば
=e^{Const}
である。
e^{Const}を新しく、別の定数として、定数“constant”と置き直せば、
=constant
である。
これで断熱変化の温度と体積の関係式の公式が求まった。
温度と体積の関係式
仕事Wとの関係を見たいので、先ほど求めた上の公式をpとTの式に書き換える事を考える。状態方程式pV=nRTを用いてTを、PとVを用いた式に書き換えると、まず代入しやすいように状態方程式を
と書き換えて、これを公式に代入すれば、
=constant
圧力と体積の関係式
\frac{1}{nR}は定数なので、これを定数部にまとめてしまえば、別の定数をConst2とでも置いて、
=Const_2
と書ける。
ここで、指数部の式は、マイヤーの式Cp=Cv+Rより、定圧モル比熱で書き換えが可能である。
=Const_2
である。
（heat capacity ratio）と言う。比熱比の記号は一般に\gammaで表す。
これを用いると、
である。
また、温度と体積の関係式
=constant
に比熱比を代入すると、
になる。
これらの、圧力と体積の公式、および温度と体積の公式の二式をポアソンの式という。