Heaviside の着想は大変優れたものであり，
多くの正しい結果を導いた．
しかしながら数学的に首肯しかねるところが多い．
}
とか
と置くことには問題はない．しかし，
などは p が数であるならば差し支えないが，そうでない場合は極めて問題である．
このような疑問もあって，彼の仕事は生前は必ずしも正しく評価されなかったという．
しかしその成果の豊かさには目をみはるものがある．
そのことが，幾人かの数学者の注意を引き、1920 年前後には，T. Bromwitch，K. W. Wagner，J. R. Carson などにより，正当化が試みられ，
多くの応用を生み，これらは，G. Doetsch による Laplace 変換による厖大な著作
[https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-6984-3 Handbuch der Laplace-Transformation] 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)
としてまとめられている．
さてその合理化の方法であるが，
すなわち，微分すれば p 倍となり，積分すれば \frac{1}{p} となる関数は手近なところに見出される．それは指数関数
}
である．ここに p は実数または複素数である．この事実に留意して x(t) に対する微分や積分を e^{pt} に肩代わりさせることを試みよう．
それは部分積分
部分積分を復習しておく．関数 f(x), g(x) の積 f(x)g(x) の x による微分は
\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
ゆえに f(x)g'(x) = \{ f(x)g(x) \}' - f'(x)g(x)
両辺を x で積分すると \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx
を通じて可能となる．すなわち
とすると，部分積分は
に変える技法であるから，まず
(a)
}
とおくと，
となる．ここで，
となるならば
|x(t)| は実数) ならば，p > \alpha のとき可能．このような x(t) を指数位の関数という．
，
となる．そこで今，
のような対応（積分変換）を考えると，式 (1.18) は
{{制御と振動の数学/equation|x'(t) \mapsto p \tilde{X}(p) - px(0)
さらに精緻にみていく．x(t) \mapsto \tilde{X}(p) = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt．したがって
x'(t) \mapsto p \int_0^\infty x'(t)e^{-pt}dt．
ここで式 (1.18) よりただちに
\int_0^\infty x'(t)e^{-pt}dt = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - x(0)
ゆえに x'(t) \mapsto p \left[ p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - x(0) \right]
p を各項に分配して x'(t) \mapsto p \cdot p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - px(0)
ここで \tilde{X}(p) = p \ \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt だから
x'(t) \mapsto p \tilde{X}(x) - px(0)．
式 (1.12) と比較せよ．
となる．
(b)
次に，
{{制御と振動の数学/equation|F(t)=\int_0^t x(\tau)d\tau, \quad g(t) = e^{-pt}
部分積分 \int F(t)g(t)dt = F(t)G(t) - \int f(t)G(t)dt を適用する．
とおいて部分積分を考えると，
{{制御と振動の数学/equation|\int_0^T F(t)e^{-pt}dt = -\frac{F(T)}{p}e^{-pT} + \frac{1}{p}\int_0^T x(t)e^{-pt}dt
F(0)=\int_0^{t=0} x(\tau)d\tau = 0
となる．ここでも，
となるならば，
となる．対応式 (1.19) を考えれば，
を得る
x(t) \mapsto \tilde{X}(p) = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt．したがって
\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto p\int_0^\infty \left \{ \int_0^t x(\tau)d\tau \right \} e^{-pt}dt．
\int_0^\infty \left \{ \int_0^t x(\tau)d\tau \right \} e^{-pt}dt = \frac{1}{p}\int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt であるから，
\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto p \cdot \frac{1}{p} \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt = \frac{1}{p} \cdot p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt
ここで \tilde{X}(p) = p \ \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt だから
\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto \frac{1}{p} \tilde{X}(p)．
．
式 (1.20) と (1.21) は我々が求めていた関係である
さらに 式(1.13) については，
e^{at} \mapsto p \int_0^\infty e^{at}e^{-pt}dt = p\int_0^\infty e^{(a - p)t}dt = \frac{p}{a - p} \left[ e^{(a - p)t} \right]_0^\infty = \frac{p}{p - a}．（ただし p > a）
また式 (1.14a) については，
p\int_0^{\infty} t^n e^{-pt}dt = \frac{n}{p}\cdot p\int_0^{\infty} t^{n - 1}e^{-pt}dt および p\int_0^{\infty} t^0 e^{-pt}dt = 1 より
t^n \mapsto \frac{n!}{p^n}． 
式(1.16)，(1.17)については，
I_1 = p\int_0^{\infty}\sin\omega t\ e^{-pt}dt,\quad I_2 = p\int_0^{\infty}\cos\omega t\ e^{-pt}dt と置くとき，
I_1 = \omega\int_0^{\infty}\cos\omega t\ e^{-pt}dt…①，
I_2 = 1 - \omega\int_0^{\infty}\sin\omega t\ e^{-pt}dt…②
①②より I_1 = \frac{\omega}{p}\left(1 - \frac{\omega}{p}I_1\right)．
すなわち \sin\omega t \mapsto I_1 = \frac{\omega p}{p^2 + \omega^2}
また \cos\omega t \mapsto I_2 = 1 - \frac{\omega}{p}I_1 = \frac{p^2}{p^2 + \omega^2}
．
つまり，変換式 (1.19) によって t の関数を p の関数に変換すれば，
t の領域での微分や積分が，p の領域では p を乗除することに対応することが証明されたのである．
ここでは p は数であるから，p に関する演算に係わるわだかまりは氷解するのである．
このようにして，少なくとも，1930 年頃までには，
なる関係式が見出だされ，演算子法の合理化が完成したのである．しかし現在では，
が用いられている．この方が部分分数分解などを行う際の計算が楽になるのである．
この式は，これより以前に Laplace (1749-1827) によって用いられていたので，
式 (1.22) を Laplace 変換（Laplace 積分），
式 (1.23) を Laplace の逆変換（Bromwich 積分, または Laplace 積分の反転公式）と呼んでいる．
この対応を，
あるいは，
などと記す．この対応（変換）により，微分・積分が，s の乗・除という代数演算に変換され，それに伴い微分方程式が代数方程式となる．そして，
この原理によって，微分方程式を解くことができるのである．このような方法で，ある種の積分方程式や差分方程式を解くこともできる．
このような考え方は，特に新奇なものではない．これと類似の演算技法はすでに経験済みである．
対数をとることによって，掛け算を足し算に変えたあの技法を思い出せばよいのである．