定義13.\quad
二つの集合 M, N が与えられているとする．任意の a \in M に対して，
ある f(a) \in N が対応するとき f を M から N への写像といい，
f : M \to N と表す．
定義14.\quad
A \subset M に対し，
を A の（f による）像といい，特に f(M) = N のときに f を全射という．
定義15.\quad
全射であるとは
定義14は定義15といってもよい．また f が１対１，すなわち
定義16.\quad
の成り立つときに f は単射という．
さらに
定義17.\quad
f が全射でありかつ単射のときに全単射という．
定義18.\quad
A \subset N に対して
のとき，f^{-1}(A) は A の（f による）逆像という
逆像 f^{-1} は写像ではない．さらにこの定義を「f^{-1}(A) は，\forall x (x \in f^{-1}(A) \to f(x) \in A) かつ \forall x(x \not\in f^{-1}(a) \to f(x) \not\in A) を満たす」と解釈する．
． 
定義19.\quad
特に f が M から N への全単射であれば b \in N に対して b = f(a) となる
a \in M が一意的に定まるから f^{-1}(b) = a によって逆写像 f^{-1} を定義する．
このとき f^{-1} も全単射であり，集合 A \subset N による逆像は，A の逆写像 f^{-1}(A) に一致する．
演習2.\quad
M = [-1, 1], \quad N = \mathbf{R}, \quad f(a) = a^2 とするとき f\left( \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \right), \quad  f^{-1} \left( \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \right) を求めよ．
(解答例)
 \right]．
定理5.\quad
f : M \to N について次の命題が成り立つ．
A \subset M であれば A \subset f^{-1}(f(A))
証明\quad
y \in f(A) とすると f が単射でない場合 f(x_1) = y である x_1 \in A が存在することは必要であるが，同時に 
f(x_2) = y, \quad x_2 \not\in A となる x_2 \in M が存在する可能性がある．よって A \subset f^{-1}(f(A)) \subset M． 
（証明終）
定理6.\quad
f : M \to N について次の命題が成り立つ．
A, B \subset M であれば f(A \cup B) = f(A) \cup f(B) かつ f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)．
証明\quad
定義より任意の y \in f(A \cup B) に対して，ある x \in A \cup B で y = f(x) となるものが存在する．
このとき x \in A または x \in B であるから y = f(x) \in f(A) または y \in f(B)．
すなわち，y \in f(A \cup B) ならば y \in f(A) または y \in f(B)．よって f(A \cup B) \subset f(A) \cup f(B)．…①
逆は，明らかに f(A) \subset f(A \cup B), f(B) \subset f(A \cup B) だから f(A) \cup f(B) \subset f(A \cup B)
A \subset C かつ B \subset C ならば A \cup B \subset C．
．…②
①②より f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)
さらに A \cap B \subset A, A \cap B \subset B であるから f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)
A \cap B \subset A かつ A \cap B \subset B，従って f(A \cap B) \subset f(A) かつ f(A \cap B) \subset f(B)．
これに 「C \subset A かつ C \subset B ならば C \subset A \cap B」を適用すれば，
f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) が誘導される．
一方「f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B)」とはいえない．例えば f が単射でなく、x_1 \in A で y = f(x_1) かつ同じ y で x_2 \in B, x_2 \not\in A, y = f(x_2)
の場合、y = f(x_1), x_1 \in A より y \in f(A)．それと同時に y = f(x_2) \in B より y \in f(B) でもある．すなわち、
y \in f(A) \cap f(B). つまり f が単射でないので、  x_2 \not\in A であっても y = f(x_2), x_2 \in B  である限り y \in f(A) \cap f(B)． 
 \right] のとき、f(A) \cap f(B) = \left[ 0, \frac{1}{2} \right], A \cap B = \emptyset, f(A) \cap f(B) \not\subset f(A \cap B)． 
．
（証明終）
定理7.\quad
f : M \to N について次の命題が成り立つ．
A, B \subset N であれば f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)．
証明\quad
定義より任意の x \in f^{-1}(A \cup B) について f(x) \in A \cup B すなわち f(x) \in A または f(x) \in B となる．
したがって x \in f^{-1}(A) または x \in f^{-1}(B) であり，ゆえに  f^{-1}(A \cup B) \subset f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)．
逆はあきらかに f^{-1}(A) \subset f^{-1}(A \cup B), f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cup B) であるから f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cup B)
A \subset C, B \subset C \therefore A \cup B \subset C
．
（証明終）
定理8.\quad
f : M \to N について次の命題が成り立つ．
A, B \subset N であれば f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)．
証明\quad
x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) のとき
さて，いきなり冒頭からこう書き下してしまってよいのだろうか？そもそも定理6 の後半部分は等号ではなかったというのに、f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \ne \emptyset である保証はあるのだろうか？これは「逆像 f^{-1} は実は写像ではない」という点に注意して以下のように説明できる．
定義18 の註の定義を仮定すると，f^{-1}(A) および f^{-1}(B) は以下の4式をすべて満たす，すなわち
\forall x (x \in f^{-1}(A) \to f(x) \in A)…①，
\forall x(x \not\in f^{-1}(A) \to f(x) \not\in A)…②，
\forall x (x \in f^{-1}(B) \to f(x) \in B)…③，
\forall x(x \not\in f^{-1}(B) \to f(x) \not\in B)…④．
特に②④より，
\forall x (x \in f^{-1}(A) \lor f(x) \not\in A)…②’，
\forall x (x \in f^{-1}(B) \lor f(x) \not\in B)…④’．
今，f(x) \in A \cap B であるとき f(x) \in A，したがって ②’が真となるためには x \in f^{-1}(A) が成立する必要がある．また同様に f(x) \in B より ④’が真となるためには x \in f^{-1}(B) が成立する必要がある．
以上より f(x) \in A \cap B ならば x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)．→すごくおかしい…検討が必要、ここでストップ
x \in f^{-1}(A) かつ x \in f^{-1}(B)．
ゆえに f(x) \in A かつ f(x) \in B．
ゆえに f(x) \in A \cap B．
ゆえに x \in f^{-1}(A \cap B)．
すなわち x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) ならば x \in f^{-1}(A \cap B) だから f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cap B)．
逆については，A \cap B \subset A かつ A \cap B \subset B，よって f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1}(A), f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1}(B) より f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)
C \subset A, C \subset B \therefore C \subset A \cap B．
．
（証明終）
定理9.\quad
f : M \to N について次の命題が成り立つ．
A \subset N であれば f^{-1}(A^C) = (f^{-1}(A))^C．
証明\quad
（証明終）