2点A(a_1, b_1), B(a_2, b_2)において、
  
\displaystyle x^2+y^2+hx+ky+c = 0ただし、h^2+k^2-4c > 0。
AA', BB'は、O:(0,0)で垂直に交わる。点Oを楕円の中心、点A, A', B, B'を楕円の頂点という。中心を通る弦を直径という。
2定点F:(k,0), F':(-k,0) までの距離の和:FP+F'Pが一定値:2aである点Pの軌跡は以下の式となる（なお、0）。
これは、A:(a,0), A':(-a,0), B:(0,\sqrt{a^2-k^2}), B':(0,-\sqrt{a^2-k^2})、AA'を長軸、BB'を短軸とする楕円である。
この時、F:(k,0), F':(-k,0) を楕円の焦点という。
2焦点を通る直径を長軸、2焦点の垂直二等分線である直径を短軸と定義できる。
 = 1上の点(x_1, y_1)における接線:
 = 1
点Pについて、定点FとFを通らない直線L上の点でPと距離をなすQに関して、FP=PQであるときの点Pの軌跡は放物線となる。この時、定点Fを焦点、直線Lを準線という。
特に、a=bである時、この2つの漸近線は直行し、この双曲線を特に直角双曲線という。
(x+y)
\therefore XY = \frac{a^2}{2}、即ち、Y = \frac{a^2}{2X}となり、反比例のグラフとなることがわかる。
 = 1上の点(x_1, y_1)における接線:
 = 1
2定点F_1:(k,0), F_2:(-k,0) までの距離の差:|F_1 P-F_2 P|が一定値:2aである点Pの軌跡は以下の式となる。
\triangle{P F_1 F_2}において、|F_1 P-F_2 P| < F_1 F_2なので、a < k。従って、k^2 - a^2 > 0であり、k^2 - a^2 = b^2と置くことができ、この軌跡は、双曲線であることがわかる。
この時、F_1:(k,0), F_2:(-k,0) を双曲線の焦点といい、焦点を結ぶ直線を主軸（上記の場合、x軸:y=0）という。
双曲線と主軸の交点を求めると、y=0, x=\pm a、交点はV_1:(a,0), V_2:(-a,0) となり、これらを、双曲線の頂点、頂点の中点を双曲線の中心という。
ただしx_0,y_0はそれぞれ直線''AB''の''x''切片・''y''切片。
なお、d\neq{0}である時、ax + by + cz = 1と表せる。
また、d = 0ならば、ax + by + cz = 0であり、原点O(0, 0, 0)を含む平面となる。
※通常は、ax + by + cz = 1.or.0 に代入して、三元一次方程式を解く。その結果をクラメルの公式を用いて表したのが上記。
  
平面\Pi : ax + by + cz + d = 0と直線l: \frac{x-x_0}p=\frac{y-y_0}q=\frac{z-z_0}rとの交点。
これを、平面の式に代入し、tについて解くと、t=  -\frac{ ax_0 + by_0 + cz_0 +d }{ ap + bq + cr } が得られる。これを、直線の式に代入し交点を求める（代入の結果は割愛）。
なお、ap + bq + cr = 0かつ  ax_0 + by_0 + cz_0 +d  \neq{0} ならば、平面\Pi と直線lは交点を有さない。
  
また、ap + bq + cr = 0かつ  ax_0 + by_0 + cz_0 +d  = 0 ならば、直線lは平面\Pi 上にある。
ap + bq + cr は、平面\Pi の法線ベクトル(a, b, c)と直線lの方向ベクトル(p, q, r)との内積であり、この値が0であるということは、これらが直行していることを意味し、直線が平面と交わらないか、平面上にあることとなる。
平面\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0と平面\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0とが交わる時、二面角を\varphi(ただし、0\le \varphi \le \pi/2.)とすると、以下の式が成立する。
平面\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0と平面\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0とが交線として直線l: \frac{x-x_0}p=\frac{y-y_0}q=\frac{z-z_0}rを有するとき、以下の関係が成立。
平面1及び平面2が交線を有する条件: 平面が一致ないし平行ではない。
 (k \neq{0})
二面角を\varphiとして、\cos \varphi \neq{1}。
直線lの方向ベクトル:\vec{m} = (p, q, r)は、法線ベクトル:\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1), \vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)と直行する。
そのような、ベクトル:\vec{m}の一つとして、各々の成分が以下のものが存在する。
直線l上の点(x_0, y_0, z_0)は、以下の等式を満たす。
z_0 = 0と置くなどして方程式を解き、(x_0, y_0, z_0)を一意に決めることができる。
上記2. 3.により直線l: \frac{x-x_0}p=\frac{y-y_0}q=\frac{z-z_0}rの式を得ることができる。