内積があるのなら外積があってもいいのでは，と思っている人もいることだろう．
単に「外積」と呼ばれることもある，3次元実数ベクトルについての外積，すなわち「ベクトル積」を紹介する．
定義3
外積
R^3のベクトル \vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a \\
      b \\
      c
    \end{array}
  \right)
，
\vec{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      x \\
      y \\
      z
    \end{array}
  \right)
に関して、\vec{a} \times \vec{b} を次で定める．
\vec{a} \times \vec{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      bz-cy \\
      cx-az \\
      ay-bx
    \end{array}
  \right)
border|
ベクトル積は 3 次元ベクトルの場合のみについて定義される演算である。
定義のとおりだが、実際の計算は図に示したように第 1 成分を下に付け加え，
×の形に積を取り，使っていない成分に押し込むという感じで技化しておくとよい．
ベクトル積に関して次の計算法則が成り立つ．
交換法則が成り立たないことに注意する．
\vec{a} \times \vec{b} で \vec{a} と \vec{b} を入れ替えると，符号が逆になる．
定理4
ベクトル積の計算法則
(1)  \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})
(2) k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b})
(3) \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}
(4) (\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}
証明
(1)
\vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a \\
      b \\
      c
    \end{array}
  \right)
，
\vec{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      x \\
      y \\
      z
    \end{array}
  \right)
 にて \vec{b} \times \vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      yc-zb \\
      za-xc \\
      xb-ya
    \end{array}
  \right)
 \left(
    \begin{array}{c}
      -(bz-cy) \\
      -(cx-az) \\
      -(ay-bx)
    \end{array}
  \right)
= -
 \left(
    \begin{array}{c}
      bz-cy \\
      cx-az \\
      ay-bx
    \end{array}
  \right)
= -\vec{a} \times \vec{b}．
(2)
k(\vec{a} \times \vec{b}) =
  \left(
    \begin{array}{c}
      k(bz-cy) \\
      k(cx-az) \\
      k(ay-bx)
    \end{array}
  \right)
 \left(
    \begin{array}{c}
      kbz-kcy \\
      kcx-kaz \\
      kay-kbx
    \end{array}
  \right)
 \left(
    \begin{array}{c}
      (kb)z-(kc)y \\
      (kc)x-(ka)z \\
      (ka)y-(kb)x
    \end{array}
  \right)
(k\vec{a}) \times \vec{b}．
同様に
k(\vec{a} \times \vec{b}) =
 \left(
    \begin{array}{c}
      kbz-kcy \\
      kcx-kaz \\
      kay-kbx
    \end{array}
  \right)
 \left(
    \begin{array}{c}
      b(kz)-c(ky) \\
      c(kx)-a(kz) \\
      a(ky)-b(kx)
    \end{array}
  \right)
= \vec{a} \times (k\vec{b})．
(3)
\vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      a_2 \\
      a_3
    \end{array}
  \right)
，
\vec{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      b_2 \\
      b_3
    \end{array}
  \right)
，
\vec{c} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      c_1 \\
      c_2 \\
      c_3
    \end{array}
  \right)
 にて
\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) =
\left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      a_2 \\
      a_3
    \end{array}
  \right)
\times
\left(
    \begin{array}{c}
      b_1 + c_1 \\
      b_2 + c_2 \\
      b_3 + c_3
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 + c_2) \\
      a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 + c_3) \\
      a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 + c_1)
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2b_3 + a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 \\
      a_3b_1 + a_3c_1 - a_1b_3 - a_1c_3 \\
      a_1b_2 + a_1c_2 - a_2b_1 - a_2c_1
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2b_3 - a_3b_2 + a_2c_3  - a_3c_2 \\
      a_3b_1 - a_1b_3 + a_3c_1  - a_1c_3 \\
      a_1b_2 - a_2b_1 + a_1c_2  - a_2c_1
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2b_3 - a_3b_2 \\
      a_3b_1 - a_1b_3 \\
      a_1b_2 - a_2b_1
    \end{array}
  \right)
+
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2c_3  - a_3c_2 \\
      a_3c_1  - a_1c_3 \\
      a_1c_2  - a_2c_1
    \end{array}
  \right)
= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}．
 
(4)
(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}
= - \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b})
= - (\vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b})
= - ( -\vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c} )
= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}
\blacksquare
2次元ベクトル，3次元ベクトルの内積は，図形的な解釈が可能であった．
ベクトル積が図形的には何を表しているかを紹介する．
定理5
ベクトル積の意味
(1)
\vec{a} \times \vec{b} は，\vec{a}，\vec{b} の両方と直交する．
(2)
\vec{a} と \vec{b} が張る平行四辺形の面積 S は，S = |\vec{a} \times \vec{b}|
(3)
\vec{a}，\vec{b}，\vec{c} が張る平行六面体の体積 V は，V = |(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}|
証明
\vec{a} = \vec{OA} = 
\left(
    \begin{array}{c}
      a \\
      b \\
      c
    \end{array}
  \right)
，
\vec{b} = \vec{OB} =
\left(
    \begin{array}{c}
      x \\
      y \\
      z
    \end{array}
  \right)
とする．
(1)
\vec{a} と \vec{a} \times \vec{b} の内積をとる．
\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 
\left(
    \begin{array}{c}
      a \\
      b \\
      c
    \end{array}
  \right)\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
      bz - cy \\
      cx - az \\
      ay - bx
    \end{array}
  \right)
= a(bz - cy) + b(cx - az) + c(ay - bx)
= abz -acy + bcx -abz +acy - bcx
 - \cancel{\color{green}bcx}
= 0．
同様に
\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 
\left(
    \begin{array}{c}
      x \\
      y \\
      z
    \end{array}
  \right)\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
      bz - cy \\
      cx - az \\
      ay - bx
    \end{array}
  \right)
= x(bz - cy) + y(cx - az) + z(ay - bx) = bxz - cxy + cxy - ayz + ayz - bxz
= \cancel{\color{red}bxz} - \cancel{\color{blue}cxy} + \cancel{\color{blue}cxy} - \cancel{\color{green}ayz} + \cancel{\color{green}ayz} - \cancel{\color{red}bxz}
= 0．
よって，\vec{a} \times \vec{b} は \vec{a}，\vec{b} の両方と直交する．
(2)
\vec{a}，\vec{b} のなす角を \theta とすると，内積の性質より，
|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \vec{a}\cdot\vec{b} = ax + by + cz
\mathrm{OA} を底辺としたときの \mathrm{B} の高さを h とすると，
S = \mathrm{OA} \times h = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta(\because h =  |\vec{b}|\sin\theta)
と表されるので，
S^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1 - \cos^2 \theta)
= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta
|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta = (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = (ax + by + cz)^2，また |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) だから，
S^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - (ax + by + cz)^2
= a^2x^2 + a^2y^2 + a^2z^2 + b^2x^2 + b^2y^2 + b^2z^2 + c^2x^2 + c^2y^2 + c^2z^2 - ( a^2x^2 + abxy + acxz + abxy + b^2y^2 + bcyz + acxz + bcyz + c^2z^2)
)
= {\color{red}a^2y^2} + {\color{blue}a^2z^2} + {\color{red}b^2x^2} + {\color{green}b^2z^2} + {\color{blue}c^2x^2} + {\color{green}c^2y^2} - ({\color{red}abxy} + {\color{blue}acxz} + {\color{red}abxy} + {\color{green}bcyz} + {\color{blue}acxz} + {\color{green}bcyz})
= (b^2z^2 -2bcyz + c^2y^2) + (c^2x^2 - 2acxz + a^2z^2) + (a^2y^2 -2abxy + b^2x^2)
=(bz-cy)^2 + (cx - az)^2 + (ay - bx)^2
=|\vec{a} \times \vec{b}|^2
なぜならば |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (\vec{a} \times \vec{b})\cdot(\vec{a} \times \vec{b}) =
\left(
    \begin{array}{c}
      bz-cy \\
      cx-az \\
      ay-bx
    \end{array}
  \right)\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
      bz - cy \\
      cx - az \\
      ay - bx
    \end{array}
  \right) = (bz-cy)^2 + (cx - az)^2 + (ay - bx)^2
よって，S = |\vec{a} \times \vec{b}|
(3)
\vec{c} = \mathrm{OC} とする．
\vec{a}，\vec{b} が張る平面を平行四辺形の底面としてみたときの
\mathrm{C} の高さを l，
\vec{a} \times \vec{b} と \vec{c} のなす角を \varphi
とすると，
\vec{a} \times \vec{b} は \vec{a}，\vec{b} が張る平行四辺形に垂直なので，
l = |\mathrm{OC} \cos \varphi | = |\vec{c}| \cdot |\cos \varphi| だから，
V = Sl = |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot |\cos \varphi|
= \left | |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos \varphi \right |
= \left |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \right | ．
\blacksquare
演習1.\quad
\vec{a} = 
\left(
    \begin{array}{c}
      1 \\
      -3 \\
      2
    \end{array}
  \right)
，
\vec{b} = 
\left(
    \begin{array}{c}
      2 \\
      -2 \\
      3
    \end{array}
  \right)
， 
\vec{c} = 
\left(
    \begin{array}{c}
      -1 \\
      -1 \\
      0
    \end{array}
  \right)
のとき，
(1)
\vec{a} \times \vec{b}, (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} を求めよ．
(2)
\vec{a}, \vec{b} の両方と直交する単位ベクトルを求めよ．
(3)
 = \vec{c} とするとき，三角錐 \mathrm{O-ABC} の体積を求めよ．
解答例
(1)
\vec{a} \times \vec{b} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       1 \\
      -3 \\
       2
    \end{array}
  \right)
\times
\left(
    \begin{array}{c}
       2 \\
      -2 \\
       3
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
       (-3) \cdot 3 - 2 \cdot (-2) \\
       2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\
       1 \cdot(-2) - (-3) \cdot 2
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
       -5 \\
       1 \\
       4
    \end{array}
  \right)
．
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} =
\left(
    \begin{array}{c}
       -5 \\
       1 \\
       4
    \end{array}
  \right)
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       -1 \\
       -1 \\
       0
    \end{array}
  \right)
= -5\cdot(-1) + 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 0
= 4
.
(2)
\vec{a} \times \vec{b} は \vec{a} と \vec{b} に垂直なので，\vec{d} = \vec{a} \times \vec{b} を単位化する.
\left(
    \begin{array}{c}
       -5 \\
       1 \\
       4
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
       -5 \\
       1 \\
       4
    \end{array}
  \right)
．(解となるベクトルは二つ）
(3)
\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} が張る平行六面体の体積 V は，
V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = |4| = 4
\vec{a}, \vec{b} が張る平行四辺形の面積を S，\vec{a}, \vec{b} が張る平行四辺形を底面として見たときの平行六面体の高さを h とすると V = Sh であり，
（三角錐 \mathrm{O-ABC} の体積） = \frac{1}{3} \left ( \frac{1}{2} S \right) h = \frac{1}{6}V = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}． 
\blacksquare