区間[a,b]上の連続関数f(x)の定積分\int_a^b f(x)\,dxについてはこれまでに述べた通りです。この節では、区間が有限でない場合について述べます。
無限区間の積分とは、積分区間の片方の端（あるいは両端）がないものをいいます。このような積分は、たとえばa以上のすべての実数という区間について積分するならば\int_{a}^{\infty} f(x)\,dxのように、\inftyを使って表します。このような積分は、単純に原始関数を見つけて\inftyを代入する、などといって計算することはできませんが、極限を用いて積分を書き直せばうまくいきそうです。
このように書きなおせば、原始関数を見つけて定積分を計算し、積分が収束するかを確かめればよいことがわかります。
そこで、一般の無限区間の広義積分については、以下のように定義します。
 \int_a^b f(x)\,dx
これらの極限が存在するとき積分は収束するといい、存在しないときは発散するといいます。
(c) 同様にして\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dxを以下のように定義することができます。
ただし、定義できるのはどちらの積分も収束するときです。
例を見てみましょう。\int_{0}^\infty x\exp(-x^{2})\,dxは収束するでしょうか。
u=-x^2, dx=-\frac{du}{2x}と置換を行うと、合成関数の微分法より原始関数を見つけることができ、
\left[-\frac{\exp(-x^{2})}{2} \right]_0^b=\lim_{b\rightarrow\infty} \left\{\frac{1}{2}-\frac{\exp(-b^{2})}{2}\right\} =\frac{1}{2}
よってこの積分は1/2に収束します。
具体的に原始関数を見つけられない場合でも、広義積分が収束するかどうか判定できれば便利です。そのような判定のために、次の定理が役に立ちます。
定理 連続関数f(x)に対して、a \le xにおいて|f(x)| \le g(x)をみたし、\int_a^\infty g(x) dxが収束するような連続関数g(x)が存在するならば、\int_a^\infty f(x) dxは収束する。
このg(x)をf(x)の優関数といいます。
（証明）
とおく。仮定より、a \le t \le sなる''t'',''s''に対して
である。よって、n \ge aなる自然数''n''に対してc_n=\int_a^n f(x)dx, d_n=G-\int_a^n g(x) dxとすると、非負の値をとる数列d_nは\lim_{n \to \infty} d_n=0を満たし、n \ge mなる自然数''m''に対して
が成り立つ。よって数列c_nはコーシー列なので、\lim_{n \to \infty} c_nは収束する。\lim_{n \to \infty} c_n=Fとする。
a \le t \le nなる実数''t''と自然数''n''を考えると、
なので、n \to \inftyの極限をとると
である。さらにt \to \inftyの極限をとると
なので、はさみうちの原理より
である。すなわち、
である。//