線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。
\begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}x_1 + a_{n,2}x_2 + \cdots + a_{n,n}x_n = b_n \end{cases} 
という、線形方程式は、
\ A =\begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ 
 \vdots & \ddots & \vdots\\
 a_{n,1} & \cdots & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}, \mathbf x = \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} , 
\mathbf b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} を用いて、
\ A \mathbf x = \mathbf b と表すことができる。
クラメルの公式とは、
行列Aのj列目が\mathbf bになっている行列A_j = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n} \\ 
a_{2,1} & \cdots & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \\
\end{pmatrix}を用いて、
この線形方程式の解は、x_j = \fracである。というものである。
証明
この線形方程式は、 \ A \mathbf x = \mathbf b と表すことができる。
A^{-1}を左からかければ、\mathbf x = A^{-1} \mathbf bである。
線形代数学/余因子行列で求めた式A^{-1} = \frac{\tilde A}
を用いれば、\mathbf x = \frac{\tilde A} \mathbf b
\mathbf x = \frac{1} \begin{pmatrix} \tilde a_{1,1} & \tilde a_{2,1} & \tilde a_{3,1} & \cdots & \tilde a_{n,1} \\
\tilde a_{1,2} & \tilde a_{2,2} & \tilde a_{2,3} & \cdots & \tilde a_{n,2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\tilde a_{n,1} & \tilde a_{n,2} & \tilde a_{n,3} & \cdots & \tilde a_{n,n} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}
展開すれば、
\mathbf x = \frac{1} \begin{pmatrix} b_1 \tilde a_{1,1} + b_2 \tilde a_{2,1} + b_3 \tilde a_{3,1} + \cdots + b_n \tilde a_{n,1} \\
b_1 \tilde a_{1,2} + b_2 \tilde a_{2,2} + b_3 \tilde a_{3,2} + \cdots + b_n \tilde a_{n,2} \\
\vdots \\
b_1 \tilde a_{n,1} + b_2 \tilde a_{n,2} + b_3 \tilde a_{n,3} + \cdots + b_n \tilde a_{n,n} \\
\end{pmatrix}
この行列のj行目は、x_j = b_1 \tilde a_{1,j} + b_2 \tilde a_{2,j} + \cdots + b_n \tilde a_{n,j}なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目が\mathbf bになっている行列
A_j = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n} \\ 
a_{2,1} & \cdots & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \\
\end{pmatrix}
をj列目で、余因子展開したものと一致する。
よって、x_j = \fracである。
以下の一次連立方程式を解け。
(1) \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
(2)\begin{cases}  x + y + z = 1\\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}(a,b,c は互いに異なる実数)
(1) ae-bd \neq 0  のとき、クラメルの公式より、x = \frac{ce-bf}{ae-bd},y=\frac{af-cd}{ae-bd}.ae-bd=0  の場合は、bf-ce= 0 のときのみ解が存在し、その解は ax+by=c を満たす (x,y) 全体。
(2) クラメルの公式から、行列式はすべてヴァンデルモンドの行列式となるから、x=\frac{(c-b)(c-d)(b-d)}{(c-b)(c-a)(b-a)} ,y=\frac{(c-d)(c-a)(d-a)}{(c-b)(c-a)(b-a)}, z=\frac{(d-b)(d-a)(b-a)}{(c-b)(c-a)(b-a)}