以前に解説した算術の基本定理の証明は間接的なものであった（ただし、代数体の整数論にも拡張しうる点で重要である）。実は算術の基本定理は直接証明することもできる。本記事ではそれについて解説する。
素因数分解は順序を考慮しなければただ一通りに表せる。
証明
素因数分解が存在することは定理 1.10で既に触れた。したがって、今すべきことは2通り以上に素因数分解される数が存在しないことを証明することとなる。
仮にそのような数が存在したとして、その最小のものを N とし、その異なる素因数分解を以下のように表す。
すなわち p_1 は前者の素因数分解に現れる素数の中で最小のものであり q_1 は後者の素因数分解に現れる素数の中で最小のものである。
このとき p_1=q_i とすると
（ここで \hat{q_i} は q_1, q_2, \ldots, q_m のうち q_i のみ現れないことを指す）となり、 N/p_1 も2通り以上に素因数分解される数となり N がそのような最小の数と仮定したことに反する。よって
p_1\neq q_i である。特に p_1\neq q_1 である。
素数自身は1通りの素因数分解しか持っていないから N は合成数でなければならず n, m\geq 2 である。よって p_1^2\leq p_1p_2\leq N, q_1^2\leq q_1q_2\leq N つまり p_1, q_1\leq \sqrt{N} である。 p_1\neq q_1 だから p_1q_1 である。
M=N-p_1q_1 とおくと 0 より M は1通りの素因数分解しか持たない。
ところで
より M は p_1, q_1 の両方で割り切れるから  M の素因数分解には p_1, q_1 が共に現れなければならない。つまり M は p_1q_1 の倍数である。よって N=M+p_1q_1 も p_1q_1 の倍数でなければならない。したがって N/q_1=q_2q_3\cdots q_m は p_1 の倍数でなければならないが、N/q_1 は N より1通りの素因数分解しか持たない。しかし、そうなると p_1 は q_2, q_3, \ldots, q_n のいずれかと一致しなければならず、前に述べた p_1\neq q_1 に反する。
よって矛盾が生じるのが避けられないことから2通り以上に素因数分解される数は存在しないことが導かれた。