''解説はこちらのページをご覧ください''
対称式とは、どの変数を入れ替えても、値が変わらない式、交代式とはいずれか2個の変数を入れ替えると、元の式の−1倍となる式をいう。
変数が2個の場合、対称式はf(a,b) = f(b,a)と表され、交代式はf(a,b) = -f(b,a)と表される。
となる。なお、3変数を全て入れ替えた場合f(a,b,c) = f(c,a,b)= f(b,c,a)が成立している。
変数が4個以上にも一般化できるが、初等数学では取り扱わない。また、3変数の場合も参考の位置付けとしてのみ取り扱う。
対称式の性質
2変数の対称式は、2変数の和:a+b、積:abを組み合わせることにより表される。a+b, abを基本対称式という。
3変数の基本対称式は、a+b+c, ab+bc+ca, abcであり、この性質を有する。
T_n = \alpha T_{n-1} - \beta T_{n-2}と表されることとなり、a+b=\alpha , ab=\beta が与えられていれば、隣接三項間漸化式を解く問題に帰結される。
数列未履修であっても出題される形式であるが、一般に次数が小さいものの値を求める問題となるため、次数の低いものから順に求めることが可能である。一般式ではなく、極端に次数が大きい場合は、循環性に着目した問題である場合が多い（交代式の例題①参照）。
x+\frac{1}{x}=k (定数)であるとき、x^n+\frac{1}{x^n}の値を求めよ。
x^n+\frac{1}{x^n} = T_nとおいた漸化式;T_n = k T_{n-1} - T_{n-2}, T_1 = kを解く問題に帰結する。
交代式の性質
2変数の交代式は、2変数の差:a-bを因数に持ち、a-bで割った商は対称式である。
3変数の交代式は、(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持ち、(a-b)(b-c)(c-a)で割った商は対称式である。
変数が同一である、2つの交代式(f(a,b), g(a,b)、f(a,b,c), g(a,b,c)等)の積は対称式となる。
多項式における除法の原理
多項式f(x)を、それより次数の少ない多項式d(x)で割るとき、次式を満たす多項式 q(x), r(x)が一意に存在する。
このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。なお、d(x)を除数、除式または除多項式、f(x)を被除数、被除式または被除多項式ともいう。
除式d(x) がn次式であるとき、r(x)は、高々 (n-1)次式である。
多項式 f(x) を x - c で割った余りは f(c) である。（剰余の定理）
とくに f(c) = 0 のとき、多項式 f(x) は x - c を因数に持つ。（因数定理）
上の式で、r = 0となる場合である。
剰余定理の応用
（解法）f(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + px +qとおき、f(a) = pa +q = s, f(b) = pb +q = tを剰余式の係数p, qについて解く。
x=aを代入すると、f(a) = pa +q, f^\prime(a) = pを得るので、これらを剰余式の係数p, qについて解く。
2次式における解法を拡張する。3元一次方程式の公式等は省略する。
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)Q(x) + px^2 + qx +rとおき、f(a) = pa^2 +qa +r = s, f(b) = pb^2 +qb +r = t, f(c) = pc^2 +qc +r = uを剰余式の係数p, q, uについて解く。
ax^3 + bx^2 +cx +d = 0の実数解が\alpha, \beta, \gamma(\alpha, \beta,  \gamma)であるとき、r(x)=px^2 + qx +rに関してx = \alpha, \beta, \gammaを代入しできた連立方程式;f(\alpha) = p {\alpha}^2 +q \alpha +r, f(\beta) = p {\beta}^2 +q \beta +r, f(\gamma) = p {\gamma}^2 +q \gamma +rを解いて、剰余式の係数p, q, rを求める。
大学入試等に出題される場合、ax^3 + bx^2 +cx +d = 0は基本的に因数分解により解は簡単に求められ（ x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}であることが多い）、また、f(\alpha) , f(\beta), f(\gamma)もf(x) = x^nなどであって簡単に求められるよう設定されている。除多項式が簡単に因数分解できない場合などは、この方法での解答は求められていない。
x=aを代入すると、f(a) = pa^2 +qa +r, f^\prime(a) = 2pa + q, f^{\prime\prime}(a) = 2pを得るので、これらを剰余式の係数p, q, rについて解く。
上記で見られるように、除多項式がn次であれば、剰余式は(高々)n-1次であり、剰余式を求める計算において、各項の係数と定数を合わせた未知数はn個ともなる。n個の未知数を求めるには、n個の方程式（n元1次方程式）を解くことになるが、初等数学（高校までの数学）においては、4元以上の連立方程式を解く問題が出題されることはごく稀なので（未知数を1個ずつ減らすプロセスなので、無理な出題ではないが、労力の割に教育的意義は低い）、除多項式が3次以上のものが出題された場合、解法には上記の剰余定理以外を用いると考えた方がいい。
f(x)にある関数g(x)をかけると、f(x)g(x) = x^k + c  ( cは定数、kは、m > kで、m = kp + q [q < k]とする)と変形できる場合がある。
これを、x^k = f(x)g(x) - c と変形し、x^mに代入。
{x^q}  = (x^k)^p {x^q}= \{ f(x)g(x) - c \}^p {x^q}
したがって、x^mをf(x)で割った剰余は、(- c)^p {x^q}となる。
{2a}
{a}
※上記の3つの公式の根号の中の式は、各方程式の判別式Dとなる。
 ax + by = p\\
 cx + dy = q
\end{cases}
\begin{pmatrix}
a &b\\
c &d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p\\
q
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\frac  1  { ad - bc }
\begin{pmatrix}
d&-b\\
-c&a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p\\
q
\end{pmatrix}
\frac  1  { ad - bc }
\begin{pmatrix}
dp - bq\\
-cp + aq
\end{pmatrix}
であり、この\alpha , \betaは次の関係式を満たす。
であり、この\alpha , \betaは次の関係式を満たす。
であり、この\alpha , \beta, \gammaは次の関係式を満たす。
n次方程式の解の個数は、高々n個である。
nが奇数である時、少なくとも1個の実数解を有する。
D > 0 \Leftrightarrowこの2次方程式は2個の異なる実数解を持つ。
D = 0 \Leftrightarrowこの2次方程式は1個の実数解（重解/重根）を持つ。
D < 0 \Leftrightarrowこの2次方程式は2個の異なる虚数解を持つ（実数解を持たない）。
D < 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は1個の実数解\alphaと2個の異なる虚数解を持つ（有する実数解は1個である）。
かつ、x^2 + px + q = (x - \alpha)^2 \Leftrightarrowこの3次方程式は実数解\alpha（重解/重根）のみを持つ。
かつ、x^2 + px + q = (x - \beta)^2但し、\alpha \neq \beta \Leftrightarrowこの3次方程式は\alphaと\beta（重解/重根）の2個の異なる実数解を持つ。
かつ、x^2 + px + q = (x - \alpha)(x - \beta)但し、\alpha \neq \beta \Leftrightarrowこの3次方程式は\alpha（重解/重根）と\betaの2個の異なる実数解を持つ。
かつ、\alpha^2 + p\alpha + q \neq 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は3個の異なる実数解を持つ。
微分を用いる解法。
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx  + dに対して、f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c。
2次方程式3ax^2 + 2bx + c = 0の判別式D = b^2 - 3ac、この2次方程式に実数解がある場合の解を各々\alpha , \beta（但し、\alpha < \beta）とする。
D < 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は1個の実数解と2個の異なる虚数解を持つ（有する実数解は1個である）。
D = 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は1個の実数解を持つ。
かつf(\frac{b}{3a}) \neq 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は1個の実数解と2個の異なる虚数解を持つ。
かつf(\frac{b}{3a}) = 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は1個の実数解\frac{b}{3a}（重解/重根）のみを持つ。
かつf(\alpha) = 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は実数解\alpha（重解/重根）と\beta < x_1となる別の解x_1の2個の実数解を持つ。
かつf(\beta) = 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は実数解\beta（重解/重根）とx_1 < \alphaとなる別の解x_1の2個の実数解を持つ。
かつf(\alpha) \cdot f(\beta) \neq 0 \Leftrightarrowこの3次方程式は3個の実数解x_1 , x_2 ,x_3を持ち、x_1 < \alpha < x_2 < \beta < x_3となる。
基本形 ;a, b, cは、正の実数である場合。 
等号成立はa = b のときのみ。
等号成立はa = b = c のときのみ。
= \frac{1}{6}( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} )\{ (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2 + (\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c})^2 + (\sqrt[3]{c}-\sqrt[3]{a})^2 \}  \geq  0
拡張
a > 0であり※、ax^2 + bx + c = 0の解を\alpha , \beta（但し、\alpha , \betaは実数であり※2、\alpha < \beta）とする。
※:a < 0ならば、-a = dとし、ax^2 + bx + c \gtrless 0をdx^2 + (-b)x + (-c) \lessgtr 0として評価。
{2a} であるので、
{2a} < x 
{2a} 
ax^2 + bx + c = 0が重解を持つ（b^2 - 4ac = 0）とき。
ax^2 + bx + c \gtrless 0の解はx = -\frac{b}{2a}であって、不等式を成立させるxは存在しない。
ax^2 + bx + c = 0が虚数解を持つ（b^2 - 4ac < 0）とき。
ax^2 + bx + c > 0は、全ての実数xで成立する。
ax^2 + bx + c \leq 0を成立させるxは存在しない。
ax^2 + bx + c < 0は、全ての実数xで成立する。
ax^2 + bx + c \geq 0を成立させるxは存在しない。
a > 0であり※、ax^3 + bx^2 + cx + d  = 0の解が\alpha , \beta , \gamma（但し、\alpha , \beta , \gammaは実数であり、\alpha < \beta < \gamma ）とする。\alpha , \beta , \gammaが、この関係にない場合は後述する。
※:a < 0ならば、-a = eとし、ax^3 + bx^2 + cx + d \gtrless 0をex^3 + (-b)x^2 + (-c)x + (-d) \lessgtr 0として評価。
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + dとすると、f(x) = a(x -\alpha)(x -\beta)(x -\gamma)である。
この時、各要素の正負とそれをかけ合わせた式全体の正負は、以下のとおりとなる。
※「方程式の解の存在条件 3次方程式」も参照。
3次方程式 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a > 0とする。a < 0の場合、大小・増減を入れ替え考察)に関して、実数解を各々x_0,x_1,x_2（x_0 \leq x_1 \leq x_2）とする。条件によっては、x_1,x_2は存在しない場合もある。
さらに、微分の知識を用いて、f(x) = ax^3 + bx^2 + cx  + dに対して、f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c、ここで、2次方程式3ax^2 + 2bx + c = 0の判別式D = b^2 - 3ac、この2次方程式に実数解がある場合の解を各々\alpha , \beta（但し、\alpha < \beta）とする。
なお以下において、条件に、f(x)=0, f(\alpha) = 0, f(\beta) = 0など、等号成立の場合、存在条件が付加されうるが、場合分けが煩雑になるため割愛する。上記3次方程式の解の存在条件と組み合わせて考察する。
ここでは行列はすべて2次正方行列とする。Oをすべての元が0である行列  O =
\begin{pmatrix}
 0 & 0\\
 0 & 0\\
\end{pmatrix}
 （零行列）とし、Eを任意の2次正方行列Aに対してAE = EA  = Aとなる行列  E =
\begin{pmatrix}
 1 & 0\\
 0 & 1\\
\end{pmatrix}
 （2次単位行列）とする。任意の2次正方行列A =
\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}
 に対し、次が成り立つ。
\begin{pmatrix}
 d & -b\\
 -c & a\\
\end{pmatrix}
(ただし、ad - bc  \neq 0) で与えられる。
平面座標上の点(x,y)を、以下の式によって点(X,Y)に移す操作を一次変換という。
 ax + by = X\\
 cx + dy = Y
\end{cases}
これを行列を用いて表現する。
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X\\
Y
\end{pmatrix}
以下に、代表的な変換行列を示す。
 \cos\theta & -\sin\theta\\
 \sin\theta & \cos\theta\\
\end{pmatrix}
 -1 & 0\\
 0 & -1\\
\end{pmatrix}
 \cos 2 \theta & \sin 2 \theta\\
 \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta\\
\end{pmatrix}
 1 & 0\\
 0 & -1\\
\end{pmatrix}
 -1 & 0\\
 0 & 1\\
\end{pmatrix}
 0 & 1\\
 1 & 0\\
\end{pmatrix}
 0 & -1\\
 -1 & 0\\
\end{pmatrix}
-\theta回転させることにより、対象軸をx軸に一致させる（操作1）。
x軸に関する対称移動を行う（操作2）。
\theta回転させることにより、対象軸を元にもどす（操作3）。
ことによって実現できる。
x_1\\
y_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos (- \theta) & -\sin (- \theta)\\
 \sin (- \theta) & \cos (- \theta)\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos \theta & \sin \theta\\
 -\sin \theta & \cos \theta\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
x_2\\
y_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 1 & 0\\
 0 & -1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 1 & 0\\
 0 & -1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos \theta & \sin \theta\\
 -\sin \theta & \cos \theta\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos \theta & \sin \theta\\
 \sin \theta & -\cos \theta\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
x_3\\
y_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos\theta & -\sin\theta\\
 \sin\theta & \cos\theta\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_2 \\
y_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos\theta & -\sin\theta\\
 \sin\theta & \cos\theta\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos \theta & \sin \theta\\
 \sin \theta & -\cos \theta\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos^2\theta - \sin^2\theta & 2\sin\theta \cos\theta\\
 2\sin\theta \cos\theta & -(\cos^2\theta - \sin^2\theta)\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos 2\theta & \sin 2\theta\\
 \sin 2\theta & -\cos 2\theta\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}