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三角形の三辺の長さ''a,b,c''がa^2 + b^2 = c^2を満たすとき、この三角形は長さ''c''の辺を斜辺とする直角三角形となる。
(参考) 三平方の定理
\bigtriangleup{ABC} において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接円の半径を R とすると、
(参考）正弦定理
thumb|310px|
一辺とその両端の角の大きさがわかっている時の、他の辺及び当該三角形の既知の辺に対する高さ（三角測量の原理）。
{\sin (\alpha + \gamma)}
{\sin (\alpha + \gamma)}
\bigtriangleup{ABC} において、BC = a, CA = b, AB = c, \alpha = \angle{CAB}, \beta = \angle{ABC}, \gamma = \angle{BCA} とすると
（参考）余弦定理
thumb|200px|中線定理
中線定理
三角形の辺 BC, CA, AB の長さを a, b, c とする。辺 BC 上の中点 D を取り、AD を m とすると、以下の式が成り立つ。
thumb|200px|スチュワートの定理
スチュワートの定理
三角形の辺 BC, CA, AB の長さを a, b, c とする。辺 AB 上に点 M を取り、CM を d とする。AM, BM の長さを x, y とすると、以下の式が成り立つ。
M が辺の中点（x=y）のとき、この式は中線定理の式に一致する。
\bigtriangleup{ABC} において、\alpha = \angle{CAB}, \beta = \angle{ABC}, \gamma = \angle{BCA} とすると
thumb|250px|メネラウスの定理。A→F→B→D→C→E→Aの順で循環する。
任意の直線lと\bigtriangleup{ABC}において、直線lとBC, CA, ABの交点をそれぞれD, E, Fとする。この時、次の等式が成立する。
\bigtriangleup{ABC}において、任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD, E, Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。
三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを中線という。各々の頂点から下ろした線分は一点で交わり、その点を重心（通常、Gで表記される）という。
重心は中線を角側から見て、2:1 に内分する。
三角形の3つの辺の垂直二等分線は1点で交わり、その点を外心（通常、Oで表記される）という。
外心は、三角形の外接円の中心である。= 外心から各角との距離は等しい。
三角形の3角のそれぞれに対して角の二等分線を取ったとき、それぞれの直線は1点で交わり、その点を内心（通常、Iで表記される）という。
内心は、三角形の内接円の中心である。= 内心から各辺との距離は等しい。= 内心から内接円と辺の接点とを結ぶ線分は内接円の半径であり、辺に対して垂直。
三角形の各頂点から対辺またはその延長に降ろした垂線は、1点で交わり、その点を垂心（通常、Hで表記される）という。
三角形の2つの外角のそれぞれの二等分線と、残りの1つの内角の二等分線とは、一点で交わり、その点を傍心という。
傍心は各々の頂点に対する辺の反対側に存在するため、3個存在する。
傍心から、それに相対する辺までの距離を半径とする円は、相対する辺以外の各辺を延長した直線と接し、この円を傍接円という（下図参照）。
オイラー線
三角形の外心・重心・垂心は同一の直線上にある。この直線をオイラー線という。
であって、HGOは一直線上（赤線）にある。
thumb|200px|垂心の性質
垂心の性質
\bigtriangleup{ABC}の垂心Hは、\bigtriangleup{PQR}の外心となる。
三角形の内接円と傍接円
傍心は三角形の二等分線上にあるので、三角形の相対する角と内心の同一直線上にある。
三角形の内心は、3つの傍心で作る三角形の垂心に一致する。
円周上の点A,Bの各々から円の中心点Oに線分を引いた時、\angle\mathrm{AOB}を中心角という。
円周上の点A,Bの各々から、円周上の点Cに線分を引いた時、\angle\mathrm{ACB}を円周角という。
円周上にとる点の位置に関わりなく、円周角の大きさ\angle\mathrm{ACB}は対応する円弧※を含む扇形の中心角の大きさ\alphaのみに依存し、以下のように表わされる。
※:対応する円弧:\alpha < \piならば、円周上の点Cは、線分ABから見て中心と同じ側にあり、\alpha > \piならば、逆側にある。
円周角\angle\mathrm{AC_3B}と\angle\mathrm{AC_4B}は等しい。この時の中心角の大きさを\psiとすると、\psi=\frac{\alpha}{2}。
円周角\angle\mathrm{AC_1B}と\angle\mathrm{AC_2B}は等しい。この時の中心角の大きさを\varphiとすると、\varphi=\frac{\pi-\alpha}{2}。
したがって、円に内接する四角形の相対する角の和は、\pi（=180°）となる。
円周上の点A,Bを結ぶ線分ABが円の中心Oをとおる時（すなわち、線分ABが直径である時）、点A,Bと円周上の点Cとの間になす角\angle\mathrm{ACB}は直角である。
逆である「点A,Bと円周上の点Cとの間になす角\angle\mathrm{ACB}が直角であるならば、線分ABは円の中心Oをとおる」もまた真である。
三角形のある一点において外接円の接線を引いた時、接線と弦の作る角（右図において角\alpha）は、三角形の弦に対する角（右図において角\beta）に等しい。
\because 角\alphaをなす弦のXではない点をA、角\betaのある点をBとする。
(参考)  方べきの定理
''解説はこちらのページをご覧ください''
※上記「正弦定理の応用」で、底辺と両端の角から高さが求められることを利用。
 
right|200px|thumb|直交対角線四角形
right|200px|thumb|凧形
 }
''解説はこちらのページをご覧ください''
right|200px|thumb|円錐
right|200px|thumb|3直角四面体
以下、OA=a, OB=b, OC=cとする。
{2}
thumb|200px|青で示された部分が球冠の一例である。
関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。
thumb|球台
関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。
right|250px|thumb|円環体・トーラス
''解説はこちらのページをご覧ください''
right|200px|thumb|円錐
right|200px|thumb|錐台
right|200px|thumb|くさび形
thumb|200px|青で示された部分が球冠の一例である。
関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。
thumb|球台
関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。
right|250px|thumb|円環体・トーラス
150px|thumb|ベクトル\overrightarrow{AB}
平面上または空間で大きさと向きをもつ量をベクトルという広義には、多次元の要素を持つ存在（entity）を指し、本文のものは幾何ベクトル・空間ベクトルというが、初等数学においてはこの理解で足りる。。
ベクトルが点Aから点Bに向かう有向線分で表されるとき，このベクトルを\overrightarrow{AB}と書き，Aを始点，Aを終点という。
ベクトルであることを示すのに、\vec{a}, \vec{x}などと表記することもある。
ベクトルの大きさは、|\vec{a}|と表記する。
\vec{a}と大きさが同じで向きが逆のベクトルを逆ベクトルといい、-\vec{a}と表記する。
始点終点による表記\overrightarrow{AB}を\vec{a}とすると、-\vec{a} = \overrightarrow{BA}となる。
大きさ0のベクトルを零ベクトル（ゼロベクトル）といい、\vec{0}と表記する。
である。
加法
thumb|200px|三角形における理解
\bigtriangleup{ABC}において、\overrightarrow{AB}の終点Bを始点として\overrightarrow{BC}を引くと、\overrightarrow{AC}となる。
として、ベクトルの加法を定義する。
thumb|200px|ベクトルの加法
これは、ベクトル\vec{u}の終点をベクトル\vec{v}の始点とし、\vec{u}の始点から\vec{v}の終点までの有向線分を\vec{u} + \vec{v}と理解する方法であるが、各ベクトルの始点を一致させた平行四辺形の対角線をベクトルの和と理解する方法もある。
\vec{a}と逆ベクトル:-\vec{a}の和は\vec{0}、すなわち、\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}である。
減法
thumb|200px|ベクトルの減法
上記\bigtriangleup{ABC}において、\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}が成立していた。
(①の右辺)= \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AB} となり、①は成立し移項が可能であることが分かった。
実数倍（スカラー倍）
thumb|right|200px|実数倍（スカラー倍）の例
実数mについて、ベクトルm\vec{a}を以下のとおり定義する。
m > 0の時、m\vec{a}は、\vec{a}と方向が同じで、大きさがm|\vec{a}|であるベクトル。
m < 0の時、m\vec{a}は、\vec{a}と方向が逆で、大きさがm|\vec{a}|であるベクトル。
m = 0の時、m\vec{a}は、\vec{0}。
p\vec{a} + q\vec{b} =\vec{0}ならば、p = q = 0 が成立する。
m\vec{a} + n\vec{b} = p\vec{a} + q\vec{b}ならば、m = pかつn = q  である。
逆に、\vec{a},\vec{b}について、pq \neq 0であるとき、p\vec{a} + q\vec{b} =\vec{0}ならば、\vec{a},\vec{b}は一次独立である。
p\vec{a} + q\vec{b}  + r\vec{c} =\vec{0}ならば、p = q = r = 0 が成立する。
逆に、\vec{a},\vec{b},\vec{c}について、pqr \neq 0であるとき、p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{b} =\vec{0}ならば、\vec{a},\vec{b},\vec{c}は一次独立であり、同一平面上にない。
ベクトル\vec{a}について、平面空間であれば2個の単位ベクトル\vec{x}=(1,0), \vec{y}=(0,1)、三次元空間であれば3個の単位ベクトル\vec{x}=(1,0,0), \vec{y}=(0,1,0), \vec{z}=(0,0,1)を用いて以下のとおり表現できる。これを、ベクトルの成分表示といい、各々の要素を、x成分、y成分、z成分という。
成分表示でのベクトル演算
以下に挙げる公式で平面ベクトルで成り立つものは、三次元空間ベクトルでも成り立つ（平面ベクトルは、三次元空間ベクトルの z 成分を0 としたもの）。
{m+n}
{2}
{3}
{m-n}
 は重みである。
なお、a = |\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c=|\vec{c}|とし、三角形の面積をS \left( 4S = \sqrt{ (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) } \right)とする※。
重心
{3}
 = 3
内心
{a+b+c}
 = a+b+c
傍心
{-a+b+c}
 = -a+b+c
{a-b+c}
 = a-b+c
{a+b-c}
 = a+b-c
外心
{16S^2}
 = 16S^2
垂心
{16S^2}
 = 16S^2
{|\vec{x}|^2}\vec{x}\right|^2 = |\vec{x}|^2|\vec{y}|^2 
等号成立は、実数 ''k'' があって \vec{y} = k\vec{x} とできるときのみ。