ある整数が、どんな倍数なのかを判定する方法を紹介します。もちろん、全ての倍数を判定するものではありませんが、ここで挙げているものだけでも覚えておくと大変便利です。
倍数判定法に関しては7の倍数以外は全て覚えるといいでしょう。
2,3,5,7… のように、1とその数自身でしか、わりきれない数を 素数 といいます(1は素数には、ふくめません)。整数を、素数のかけ算のかたちに分解することを 素因数分解 といいます。たとえば12は 2×2×3 と素因数分解することができます。45の素因数分解は 3×3×5 です。
素因数分解を利用すると、ある数の約数の個数を調べることができます。
素因数分解を利用して、約数の個数を数えてみましょう。
以下の数の約数の数をこたえなさい。
(1)について。まず、1とその数自身は必ず約数になります。ですから、1と50が出てきます。50を素因数分解すると、2×5×5となります。この結果から、2と5も約数です。そして、10と25もこの計算からわかります。ですから、答えは6個です。
(2)について。これも同じように考えます。素因数分解すると、11×13ですから、答えは4個です。
(3)について。ケタが多いですが、先ほどの整数の判別法を使えば3でわれそうです。その商、671も、判別法を使えば11でわれます。そして、その商61は素数です。そのため、3×11×61に因数分解できます。あとは、3×11、3×61、11×61がありますので、約数は8個です。
(4)について。素因数分解してみましょう。2×2×2×3×3×3×5です。これを先ほどの3問のように計算すると、時間もかかりますし、まちがえやすいです。
ここで、今までの問題で約数を書きだすとき、どうやっていたのかをもう一度振り返ってみましょう。素因数分解2×2×2×3×3×3×5に注目します。この素因数分解で重要なことは、1080は、2と3と5という素数でできています。そして、2は3個、3も3個、5が1個あります。つまり、2と3と5をそれぞれ何回か使えば約数ができるのです。
あとで紹介する場合の数の考え方から、4通り×4通り×2通り=32で、答えは32個となります。
(5)について。これも(4)と同じように計算しましょう。すると、2×2×2×2×3×3×5×7となります。(4)のようにしてもいいのですが、もっと簡単にする方法があります。(4)をよく見てみましょう。どれも「0回使う(＝使わない)」というのがありますね。ですから、回数はある素数の個数＋1になるのです。この問題の場合、2は4個、3は2個、5と7は1個です。先ほどのことから、それぞれの個数に1を足してかけ算すると、5×3×2×2=60で、60個です。
1から10までの数をかけ算をしたとき、その積は一の位から0がいくつ続くでしょうか。
これをすべてかけ算する必要はありません。なぜなら、一の位が0になるには10をかけるしかないからです。そして、10の倍数の個数は0の数と同じです。たとえば100は 10×10 で10の倍数は2つ、100000は 10×10×10×10×10 で10の倍数は5個ですね。1から10までの数に10は一つしかありません。また、2×5もあります。ですから、このときには10の倍数は2個あります。したがって、1から10までの積には一の位から2個の0が並びます。なお、実際に求めてみると3628800となり、2個で正しいことがわかります（このような問題は計算が非現実的なことが多いです。）。
もう一問考えてみましょう。今度は1から300までの数をかけ算したときにその積は一の位から0がいくつ続くかを考えます。今度は10の倍数の数をすぐに数えることはできません。10,20,30…のほかに2×15、4×25などもあるからです。ここでポイントが2つあります。まず、10は2×5に素因数分解できる点です。このことから2×5の組がいくつ作れるかを考えます。そしてもう一つは2の個数と5の個数です。2×5の組を考えるのですが、明らかに5の個数が少ないはずです(例えば1から10までには2は8個ありますが、5は2個しかありません)。2×5の組の数は5の個数と同じなのです。
では5の倍数はいくつあるのでしょうか。それを確かめるためにまず300を5でわります。すると60となります。これは5の倍数が60個あることと同じです。次に25の倍数(つまり5が2個あるもの)の個数を考えます。これも同じように計算すると300÷25=12個です。最後に125の倍数(5が3つあるもの)の個数を計算すると、300÷125=2…50となりますが、あまりは考えませんので2個となります。以上の計算で出てきた個数をすべてたし算します。60+12+2=74となり、答えは「74個」となります。
例題2\frac{5}{8}にかけても、1\frac{3}{4}にかけても、整数になる最小の分数を求めなさい。
考え方最小の分数を\frac {\bigcirc}{\Box}とすると、\frac{21}{8}\times \frac {\bigcirc}{\Box} と\frac{7}{4}\times \frac {\bigcirc}{\Box} が整数になればよいわけだから、\bigcircは8と4の最小公倍数である8となる。また、\Boxは21と7の最大公約数である7となる。よって、答えは\frac{8}{7} (＝1\frac{1}{7}）となります。