さて Cayley-Hamilton の定理を用いると，A の関数は高々 n-1 次の A の多項式で表されることがわかる．
それで (sI-A)^{-1} を A の多項式で表してみよう．
式 (5.21) をスカラで表した式，
と，s と \alpha を入れ替えた式，
が成り立つであることは明らかであろうその理由は直後に記述されている，念のため．．前の式において \alpha を A とおくと，p(A)=0 であるから，式 (5.21) が得られ，後の式で \alpha を A とおくと，
となる．もちろん p(A)=0 である．よって次の結果を得る．
定理 5.2\quad
A の固有方程式を
とすれば，
が成立する．ここに，
である．ただし，p_0(s) = 1, p_n(s) = p(s) とする
式 (5.22d) の両辺を -p(s) で割ると，
{p(s)}A^2 + \frac{p_{n-2}(s)}{p(s)}A + \frac{p_{n-1}(s)}{p(s)}I\right\}．
式 (5.21) ⇒
式 (5.22b) ⇒
式 (5.22c) ⇒
式 (5.22d) ⇒
式 (5.22e) 
の展開である．
．
\diamondsuit
系
(sI-A)^{-1} の原像 \mathit{\Phi}(t) は，
ここに，
で与えられる
A は s を含まない定数，よって式 (5.22e) の原像を求めればこの式となる．
．
\diamondsuit
(sI-A)^{-1} を求めるには，A の固有方程式が分かっているときには，この定理によるのが一番簡単なようである．
しかし，その原像を求めるときには必ずしも一番簡単とはいえない．
例116\quad
{{制御と振動の数学/equation|
{{制御と振動の数学/equation|
を式の変形によって証明せよ．
解答例
\diamondsuit