a>0、n \in \mathbb{N}のとき、aをn回かけた数をa^nであらわす。すなわち、
 = a^nである。
また、a^{-n} = \frac{1}{a^n} 、a^0=1とする。
このとき、a^nは、a>1のとき単調増加、0のとき単調減少、a=1のとき定数である。
 = \sqrt[p]{a^q}として定義する。
 \right ) ^{p_1 p_2} = a^{p_2 q_1} - a^{p_1 q_2}    であることから、a^q (q \in \mathbb{Q})は、a>1のとき単調増加、0のとき単調減少、a=1のとき定数であることがわかる。
\alpha>0を無理数とし、\alphaに収束する有理数の単調増加列をr_nとする。アルキメデスの原理より、\alphaより大きい自然数''N''が存在する。
a>1とすると、そのような''N''と十分大きい''n''に対し1なので、有界で単調な数列a^{r_n}は収束する。
この収束値は、r_nによらないことを示す。
r_n , s_n を、無理数\alphaに収束する有理数の単調増加列とし（したがって、r_n , s_n < \alpha)、a^{r_n} \to \betaとする。任意の\epsilonに対して、0< \beta - a^{r_N}< \epsilon を満たす自然数''N''が存在し、s_nが\alphaに収束することから、''n''を十分大きくとれば、r_N < s_nを満たす。そのようなnに対し、0< \beta - a^{s_n} < \epsilon なので、a^{s_n} \to \betaである。
この収束値の値をa^{\alpha}の値として定義する。
と定める。
定義から、指数関数a^x (x \in \mathbb{R} )はa>1のとき単調増加、0のとき単調減少、a=1のとき定数である。
 s,t \in \mathbb{R} , a,b>0 のとき、次の性質が成立している。この性質のことを、指数法則と呼ぶ。
また、指数関数は実数上で連続であり、次の等式が成り立つ。
指数関数y=a^xの逆関数をy= \log_{a} xと書き、これをaを底とする対数関数と呼ぶ。特に、ネイピア数eを底とする対数関数を自然対数と呼び、底を省略してy= \log xと書く。
定義と指数関数の性質から、直ちに次の公式が得られる。00のとき、
対数関数は連続である。