''p'', ''q'' が相異なる奇素数のとき
\left\lfloor\frac{2aq}{p}\right\rfloor}
が成り立つ。つまり
\left(\frac{q}{p}\right) は \left\lfloor\frac{2aq}{p}\right\rfloor (a=0, 1, \ldots, (p-1)/2) が奇数となるものの個数と一致する。
証明 
''aq'' を ''p'' で割った余りが \frac{p}{2} より大きい \iff \left\lfloor\frac{2aq}{p}\right\rfloor が奇数が成り立つことを示せばよい。
実際
となるように整数 ''b'' , ''r'' を定めると
より r<\frac{p}{2} のとき 0\leq 2r より \left\lfloor\frac{2aq}{p}\right\rfloor=2b となり、
一方 r>\frac{p}{2} のとき
\left\lfloor\frac{2aq}{p}\right\rfloor=2b+1 となる。
まず、次の補題を証明する。
補題 
証明 
''q'' は奇数だから
が成り立つ。ところでこの左辺は
が成り立つ正の整数 ''x'' の個数であるのに対し、右辺は
が成り立つ整数 ''x'' の個数である。これは
より、\left\lfloor\frac{(p-2a)q}{p}\right\rfloor に一致する。
ガウスの補題の変形において、和をa<\frac{p}{4}, a>\frac{p}{4} に分割し、後者に対して先程の補題を用いると
\left\lfloor\frac{2aq}{p}\right\rfloor+\sum_{\frac{p}{4}
となる。
かつ p-2a は奇数であるから、上記の和は
\left\lfloor\frac{bq}{p}\right\rfloor
\left\lfloor\frac{bq}{p}\right\rfloor
に一致する。ここから
\left\lfloor\frac{bq}{p}\right\rfloor}
が成り立つ。同様に、
\left\lfloor\frac{bp}{q}\right\rfloor}
が成り立つ。
ここで、
\left\lfloor\frac{bq}{p}\right\rfloor
は
となる整数の組 (''x'' , ''y'' ) の個数に一致する。
同様に
\left\lfloor\frac{bp}{q}\right\rfloor
は
となる整数の組 (''x'' , ''y'' ) の個数に一致する。
ここで
および
より、 S(q, p) は
となる整数の組 (''x'' , ''y'' ) の個数に一致する。ところで ''p'', ''q'' は相異なる素数なので x のとき \frac{xq}{p} は整数ではありえない。よって (\#) の範囲にある整数の組と (\flat) の範囲にある整数の組を合わせると、重複することなく 0\leq x<\frac{p}{2}, 0\leq x<\frac{q}{2} の範囲にある整数の組全体と一致する。したがって
が成り立つ。これにより
が証明された。