正方行列Aに対して、 行列のi行目とj列目を取り除いて得られる行列をA_{ij}と表す。このとき、
\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} | A_{ij} |
をAの(i,j)余因子という。
例
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 8 \\
1 & 9 & 3 \\
7 & 5 & 2
\end{pmatrix}
の(2,2)余因子は、(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = -46である。
次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。
|A| = a_{j1} \tilde a_{j1} + a_{j2} \tilde a_{j2} + \cdots + a_{jn} \tilde a_{jn} (1 \le j \le n)
|A| = a_{1i} \tilde a_{1i} + a_{2i} \tilde a_{2i} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{ni} (1\le i \le n)
ただし、Aはn次正方行列である。
これを、余因子展開という。
証明
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
とする、このとき、
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
である、ここで、行列Aのj列目\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix}は、
a_{1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{nj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} と表すことができ、
(1)式は、
\left| \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix}, \cdots, a_{1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{nj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}, \cdots, \begin{pmatrix}a_{n1} \\ a_{n2} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{pmatrix} \right|
と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、
a_{1j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 1 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} +
a_{2j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 1 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} + \cdots +
a_{nj} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 1 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} \cdots (2)
である。
ここで、\begin{vmatrix} 
a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in}  \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} 
\end{vmatrix}について考える。
この行列のi行目と、i-1行目を入れ替る。i-1行目と、i-2行目を入れ替える。・・・2行目と、1行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。
 (-1)^{i-1} \begin{vmatrix} 
a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in}  \\
a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i-1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i-1,n}  \\
a_{i+1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i+1,n}  \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} 
\end{vmatrix}
行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は-1倍されるのだった。この操作では、i-1回の入れ替えを行うので、この式は、(-1)^{i-1}倍されている。
次に、同じように、j列目と、j-1列目を入れ替える。j-1列目と、j-2列目を入れ替える。・・・2列目と、1列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。
 (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} 
1 & a_{i1} & \cdots & a_{i,j-1}& a_{i,j+1}& \cdots & a_{in}  \\
0 & a_{11} & \cdots & a_{1,j-1}&a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{12} & \cdots & a_{2,j-1}&a_{2,j+1}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n}  \\
0 & a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}  \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots& a_{nn} 
\end{vmatrix}
(-1)^{i+j-2}=(-1)^{i+j}であることについての説明は不要であろう。
これを、行列式の定義に従って展開する。
一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。
なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、|A_{i,j}|と一致する。
よって、この行列式は、(-1)^{i+j} |A_{ij}| = \tilde a_{ij}である。
これを、(2)式に代入すれば、|A| = a_{j1} \tilde a_{j1} + a_{j2} \tilde a_{j2} + \cdots + a_{jn} \tilde a_{jn}となり、証明された。
これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。
\tilde A = (\tilde a_{j,i})をAの余因子行列という。
余因子行列には、以下の性質がある。
証明
\tilde A A = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \cdots & \tilde a_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde a_{1n} & \cdots & \tilde a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}なので、
行列\tilde A Aの(i,j)成分は、
a_{1i} \tilde a_{1j} + a_{2i} \tilde a_{2j} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{nj} \cdots (1)である。
(i)i=jのとき
(1)式は、行列Aのi列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式はi=jのとき、|A|である。
(ii)i\neq jのとき
行列Aのi列目が行列Aのj列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。
\begin{vmatrix} 
a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1j} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2,i-1} & a_{2j} & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{nj} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。
まとめると、a_{1i} \tilde a_{1j} + a_{2i} \tilde a_{2j} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{nj} =
\begin{cases} 
|A| (i=j) \\
0 (i \neq j) \\
\end{cases}
である。
よって\tilde A A = |A|Eである。同様の議論を行えば、A \tilde A = |A|Eも導くことができる。
|A| \neq 0のときA^{-1}が存在するので、\tilde A A = |A|EにA^{-1}を右からかけ|A|で割れば、
A^{-1} = \frac{\tilde A}である事がわかる。