古い中国の数学の本や江戸時代の数学の本にものっている問題です。もともとはウサギとキジの数をきく問題でしたが、江戸時代の数学の本でおめでたい生き物とされたツルとカメにかわったといわれています。それでは、問題を見ていきましょう。
ツルとカメがあわせて10匹います。そして、足が32本ありました。ツルとカメはそれぞれ、何匹ずついるでしょうか。
この問題では、まずカメしかいないとします。カメが10匹なら、足が40本ですね。では、ここでカメを1匹のぞいて、ツルを1羽いれてみましょう。すると、足の数は40-4+2=38本となります。さらに、ここからもう一匹、カメとツルを変えてみましょう。すると、38-4+2=36本ですね。もうお気づきでしょうか。すべてカメだとした時、一匹ずつカメとツルをかえていくと、足が2本ずつへっていくのです。問題を見ると、32本ですから、全てカメのときよりも8本へっています。ですから、4匹のカメをツルにかえたことがわかります。ですから、ツルは4羽、カメは6匹が答えとなります。
つるかめ算の問題は、ツルとカメの数をきくだけとはかぎりません。次の問題も見ていきましょう。
160円のサンドイッチと190円のハンバーガーをあわせて20個買ったところ、3650円になりました。サンドイッチとハンバーガーはそれぞれ何個買いましたか。
太郎さんは2つのアルバイトをしています。一つは時給850円で、もう一つは時給970円です。太郎さんは今月は120時間アルバイトをして、110400円の給料をもらいました。時給850円のアルバイトをした時間と時給970円のアルバイトをした時間をそれぞれこたえなさい。
花子さんは正解すると5点もらえ、まちがうと3点引かれるクイズを20問行いました。結果は、68点でした。花子さんは何問正解したでしょうか。
どれもつるかめ算の考え方を使います。まず、1から。全部190円のハンバーガーを買ったとすれば3800円となります。ハンバーガー1個をサンドイッチ1個におきかえると3800-190+160=3770円となります。ですから、ハンバーガーをサンドイッチにかえると、30円ずつへっていきます。ここで大切な点は、ハンバーガー1個をサンドイッチ1個におきかえたとき、へっていく値段はハンバーガーとサンドイッチの値段の差と等しいということです。全部ハンバーガーのときと問題になっている3650円の差は150円です。そのため、サンドイッチの個数□×30=150で、□=5となります。答えは、サンドイッチ5個とハンバーガー15個となります。
2.について。これまでと同じように、全部時給970円のアルバイトをしていれば、970×120=116400です。そして、970円のアルバイトと850円のアルバイトの差は970-850=120です。もらった給料は110400円でしたから、116400-110400=6000円へっています。ここで、850円のアルバイトの時間を□とすると、□×120=6000で、□=50となります。よって、こたえは時給850円のアルバイトが50時間、970円のアルバイトが70時間となります。なお、この計算では、ケタが多く、計算ミスしやすいです。この問題では一の位がすべて0ですから、途中式では0を消してもかまいませんし、その方が計算ミスが減ります。ただし、最後の計算は□=5となりますが、0をもどして50とすることを忘れないようにしましょう。
3について。ここでも全問正解したと考えると100点になります。この問題では1問まちがうと、もらえるはずの5点だけでなく、さらに3点引かれることに注意しましょう。たとえば、19問正解した場合、100-5-3=92点になります。ですから、1問まちがうたびに100点から8点ずつ引かれると考えましょう。花子さんの点数は68点でしたから、32点へっています。ということは、1問で8点引かれる→4問で32点引かれるといえます。ただし、これは間違えた問題の数ですが、答えなければならないのは正解した問題数です。したがって、答えは「花子さんは16問正解した」です。
最後につるかめ算の公式を紹介しますが、これまでに見た考え方も忘れないようにしましょう。
2について。1とちがって、はじめにどれだけの草が生えているのかわかりませんね。ここで重要なことは仕事算の考え方です。ここでは、牛1頭が一日で食べる草の量を1とします。そうすると、15頭の牛が30日で食べた草の量は15×30＝450とすることができます。また、20頭の牛が20日で食べた草の量は20×20＝400です。ここで重要なことは「もし、20頭の牛が草を食べつくした後で、牛がいなくなったらどうなるか」ということです。牛がいなくなるのですから、草はそのまま生えてきます。では、どれだけ増えるのでしょうか。このときに15頭の牛が30日で食べた草の量である450がカギとなります。そうです。450-400＝50から、10日で50の草が生えることがわかります。このことから、1日に5の草が生えることもわかります。
15頭の牛が30日で食べた草の量450のうち、30日は草が生えたわけです。ですから、新しく生えた草の量は150、もともと生えていた草の量は300となります。
では、いよいよ問題を解いていきましょう。2の1はニュートン算の公式から「もともと生えていた草の量300÷(牛が1日に食べる草の量 － 1日に生えてくる草の量)」で求めることができます。式は、300÷(55－5)＝300÷50＝6で、答えは6日です。
2の2について。この場合、牛の頭数はわかりませんから、□としましょう。先ほどのことから、最初に生えていた草は300、50日で生える草は5×50＝250です。そのため、牛が食べる草の量は550となります。以上のことから、□×50＝550となりますから、□＝11となり、答えは11頭です。