ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。
右|200x200ピクセル
座標平面上の2点 \mathrm{A} \left(x _1\ ,\ y _1 \right)\ ,\ \mathrm{B} \left(x _2\ ,\ y _2 \right) 間の距離 \mathrm{A} \mathrm{B} を求めてみよう。直線 \mathrm{A} \mathrm{B} が座標軸に平行でないときつまり、直線 \mathrm{A} \mathrm{B} が x 軸、 y 軸 のどちらとも平行でないとき、点 \mathrm{C} \left(x _2\ ,\ y _1 \right) をとると
\mathrm{A} \mathrm{C} = |x _2 - x _1|\ ,\ \mathrm{B} \mathrm{C} = |y _2 - y _1|
\triangle \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{C} は直角三角形であるから、三平方の定理より
\mathrm{A} \mathrm{B} = \sqrt{\mathrm{A} \mathrm{C} ^2+ \mathrm{B} \mathrm{C} ^2} = \sqrt
点(1,4)を通り、直線y=-2x+3に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。
直線y=-2x+3の傾きは-2である。
平行な直線の方程式は
垂直な直線の傾きをmとすると
よって、垂直な直線の方程式は
点 \mathrm{P} と直線 l に対し、直線 l 上の点と点 \mathrm{P} の距離の最小値を点と直線の距離という。これは点 \mathrm{P} から直線 l に下ろした垂線 \mathrm{PH} の長さに等しい。
直線 ax+by+c=0 と点 (x_0,y_0) の距離は
と表される。
証明
サムネイル点 \mathrm{P}(x_0,y_0) と直線 l:ax+by+c=0 \quad a,b\neq 0 とする。
点 \mathrm{P} から直線 l に垂線を下ろし、垂線の足を点 R とする。
また、点 \mathrm{P} から y 軸に平行な直線を引き、直線 l との交点を点 \mathrm S とする。
次に、図のように、直線 l 上の点 \mathrm T に対して、直線 \mathrm{TV} が x 軸と平行となり、\mathrm{TV} = |b| となるように点 \mathrm V をとり、直線 \mathrm{VU} が  y 軸に平行になる点 \mathrm U を直線 l 上に取る。
直線 l の傾きは -\frac{a}{b} となるので \mathrm{VU} = |a| である。
ここで、\bigtriangleup \mathrm{PRS},\bigtriangleup \mathrm{TVU} は直角三角形であり、\angle \mathrm{PSR} = \angle \mathrm{TUV}直線 \mathrm{PS} と直線 \mathrm{VU} は平行なので なので、\bigtriangleup \mathrm{PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm{TVU}\sim は相似を意味する である。したがって
また点 \mathrm S の座標を(x_0,m) とすると、\mathrm{PS} = |y_0-m|  で、点 \mathrm{P} と直線 l の距離  \mathrm{PR} は、
 
ところで、点 \mathrm S は直線 l 上の点なので、
である。これを代入すれば
を得る。
ベクトルを使った証明
すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。
点 \mathrm{Q}(x_1,y_1) は直線 l 上の点なので ax_1+by_1=-c である。 である。
演習問題
直線 x-2y-3=0 と点 (1,2) の距離を求めよ
解答
\frac{6}{\sqrt 5}
中心 \mathrm{C}(a,b) 半径 r の円は、\mathrm{CP} =r となる点 \mathrm{P} の集合である。つまり、 r = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} となる点 (x,y) の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
を得る。これが円の方程式である。
特に原点が中心で半径 r の円の方程式は 
x^2+y^2 = r^2
 で与えられる。
演習問題
y^2+2\,y+x^2-6\,x+5=0
 の中心と半径を求めよ
解答
(x-2)^2+(y-4)^2 = 9
y^2+2\,y+x^2-6\,x+5=0 \iff (x-3)^2  + (y +1)^2 = 5
 なので中心 
(3,-1)
 半径 
\sqrt 5
 
方程式 x^2+y^2+lx+my+n = 0 はいつも円であるとは限らない。
方程式を変形して (x-a)^2+(y-b)^2 = k となるとき
円x^2+y^2=r^2上のある点(x_1,y_1)で接する接線の方程式は
で表される。
同様に、円(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上のある点(x_2,y_2)で接する接線の方程式は
で表される。
円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。
一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。
 とすると、
他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。
演習問題
直線 
3x + 4y =1
 と円 
(x-3)^2 + (y+2)^2 = 14
 の交点の座標を求めよ
解答
直線の方程式を x について解き、それを円の方程式に代入すればよい。
答えは (2,-1),\left(-\frac{14}{5},\frac{7}{5}\right)
ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡という。
2点\mathrm{A}(1\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm{B}(3\ ,\ 2)から等距離にある点\mathrm{P}の軌跡を求めよ。
条件\mathrm{A} \mathrm{P} = \mathrm{B} \mathrm{P}より、\mathrm{A} \mathrm{P} ^2 = \mathrm{B} \mathrm{P} ^2
\mathrm{P}の座標を(x\ ,\ y)とすると
\mathrm{A} \mathrm{P} ^2 =(x-1)^2+y^2
\mathrm{B} \mathrm{P} ^2 =(x-3)^2+(y-2)^2
だから
(x-1)^2+y^2=(x-3)^2+(y-2)^2
整理して、
y=-x+3
したがって、求める軌跡は、直線y=-x+3である。
2点\mathrm{A}(0\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm{B}(3\ ,\ 0)からの距離の比が2:1である点\mathrm{P}の軌跡を求めよ。
\mathrm{P}の座標を(x\ ,\ y)とする。
\mathrm{P}を満たす条件は
\mathrm{A} \mathrm{P} : \mathrm{B} \mathrm{P} =2:1
すなわち
\mathrm{A} \mathrm{P} =2 \mathrm{B} \mathrm{P}
これを座標で表すと
\sqrt{x^2+y^2} =2 \sqrt{(x-3)^2+y^2}
両辺を2乗して、整理すると
x^2+y^2-8x+12=0
すなわち
(x-4)^2+y^2=2^2
したがって、求める軌跡は、中心が(4\ ,\ 0)、半径が2の円である。
m\ ,\ nを異なる正の数とするとき、2点\mathrm{A}\ ,\ \mathrm{B}からの距離の比がm:nである点の軌跡は、線分\mathrm{A} \mathrm{B}をm:nに内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。
m=nのときは、線分\mathrm{A} \mathrm{B}の垂直二等分線である。
thumb|デカルト
このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。
なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。
中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。