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★公転周期Ｔと軌道長半径α
変形して
g= \frac{G M m}{R^2m}  
g= \frac{G M }{R^2} 
●証明
運動方程式（質量×加速度＝力）を使って導きます。
m \vec a = \vec F 
人工衛星は地球の周りを回っているので、円運動の加速度（加速度＝速度×速度÷半径）になります。
a=\frac{v^2}{r}
力については、万有引力の公式（力＝万有引力定数×大きい方の質量×小さい方の質量÷［距離×距離］）を使います。
以上を１つにまとめます。
m \frac{v^2}{r} = G \frac{M m} {r^2}
ここから先はvを求めるために変形します。
v^2 \frac{m}{r} = G \frac{M m}{r^2}
移項します。移項すると割り算になりますが、掛け算に直すために逆数にしてみましょう。
v^2  = G \frac{M m r}{r^2 m}
約分して
v^2  = G \frac{M} {r}
平方根を付けて、
 
になります。
★証明１
無限等比級数を使います。こちらの方が初学者に分かりやすいかもしれません。
W = -G \frac {Mm} r
U = -G \frac {Mm} r
★証明２
一般的な証明をします。面積に関する数学単元（積分）を使うので、難しい証明方法になります。
W=\int_{\infty}^{r} G\frac{Mm}{r^2}dr
W=GMm\int_{\infty}^{r} \frac{1}{r^2}dr
W=GMm\int_{\infty}^{r} {r^-2}dr
W=GMm\int_ {\infty}^{r} [\frac{1}{-2+1}r^{-2+1}]
W=GMm\int_ {\infty}^{r} [\frac{1}{-1}r^{-1}]
W=GMm\int_ {\infty}^{r} [-\frac{1}{r}]
W=GMm\left ( -\frac{1}{r}-0 \right )
W = -G \frac {Mm} r
U = -G \frac {Mm} r