ここでは、メネラウスの定理、チェバの定理、三角形の五心及び四角形が円に内接する条件や方べきの定理などについて扱う。
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任意の直線 l と三角形 \mathrm{ABC} において、直線 l と直線\mathrm{BC},\mathrm{CA}, \mathrm{AB} の交点をそれぞれ\mathrm D, \mathrm E,\mathrm F とする。このとき
 = 1
が成り立つ。
証明
点 \mathrm C から直線 l に平行な直線をかき、直線 \mathrm{AB} との交点を \mathrm G とする。
平行線による比の移動より、
\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{BF}:\mathrm{GF}
\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=\mathrm{GF}:\mathrm{FA}
したがって、
 = 1A:B=X:Y \iff \frac{A}B = \frac X Y を使って変形した
メネラウスの定理の逆
 = 1 が成り立つとき、3点 \mathrm D, \mathrm E,\mathrm F は一直線上にある。
証明
 である。これは、2点 \mathrm D, \mathrm D' が線分 \mathrm{BC} を同じ比で内分する点であることを示すので、 点 \mathrm D と点 \mathrm D' は一致する。したがって、3点 \mathrm D, \mathrm E,\mathrm F は一直線上にある。
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三角形 \mathrm{ABC} に対し、任意の一点 \mathrm O と \mathrm A,\mathrm B, \mathrm C を結んだ直線がそれぞれ \mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB} と交わる点を \mathrm D, \mathrm E, \mathrm F とする。
 = 1 が成り立つ。
証明
点 \mathrm C を通り直線 \mathrm{AB} に平行な直線をかき、\mathrm{AD} , 
\mathrm{BE} との交点をそれぞれ \mathrm G, \mathrm H とする。
\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=\mathrm{GC}:\mathrm{HC}
\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{CG}
\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=\mathrm{CH}:\mathrm{AB}
したがって、
 =1
 =1
チェバの定理の逆
 = 1 ならば、直線 \mathrm{AF},\mathrm{BD},\mathrm{CE} は一点で交わる。
証明
 が得られる。これは、2点 \mathrm F, \mathrm F' が線分 \mathrm{AB} を同じ比で内分する点であることを示すので、 点 \mathrm F と点 \mathrm F' は一致する。よって、直線 \mathrm{AF},\mathrm{BD},\mathrm{CE} は一点で交わる。
三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを 中線 という。三角形の3つの中線の交わる点を重心という。
証明
チェバの定理の逆より、三角形の3本の中線は一点で交わる。
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\triangle \mathrm{ABC} について、その重心を \mathrm G 、 \mathrm{BC},\mathrm{CA} の中点をそれぞれ \mathrm D, \mathrm E とおく。このとき、三角形 \mathrm{ACD} 及び、直線 \mathrm{BGE} に対してメネラウスの定理を用いることにより、
 = \frac{1}{2} である。これより、重心は中線を2:1に内分することが分かる。
{{コラム|（※ 高校数学の範囲外）「重心」の力学的なバランス|
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※ 2019年現在では高校の理科で 重心 の力学的な習うが、過去のカリキュラムでは中学の数学で後述の話題を扱ってた時代がある。
厚めの画用紙などで三角形をつくり、その三角形を水平にして、右図のように三角形の重心の部分で、棒で支えると、
水平方向の重さのバランスがとれるので、三角形を水平に保つことができる。
そもそも、このように重さのバランスを取れる場所であるので「重心」という名前がついている。重心の英語の center of gravity という英単語も、「重力の中心」という意味である。
理科の「物理」科目で習う「重心」とは、この例のように、重さのバランスを取れる部分という意味である。
なお、このような力学的な「重心」については、三角形だけでなく四角形や五角形などでも、同様に水平方向の重さのつりあいをとれる点として、力学的に「重心」を定義できる。
また、平面図形だけでなく立体図形でも同様、力学的に「重心」を定義できる。
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証明
△ABCを取り、辺AB,AC のそれぞれに対して垂直二等分線を取り、2直線の交点をOとする。このとき、点OがAB,ACのそれぞれに対する垂直2等分線上にあることから
であるので、
が成り立つ。
よって点Oは辺BCの垂直二等分線上にある。
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上の証明から、OA = OB = OC であるので、この点は三角形の3つの頂点から等距離にあることが分かるので、この点Oを中心として円を書くと、三角形ABCの頂点3つを通る円を書くことができる。
このように、三角形の3つの頂点を通る円（右図では赤線の部分）のことを外接円(がいせつえん、 英：circumscribed circle)という。
そして、外接円の中心（右図の点Oの部分）のことを、その三角形の 外心（がいしん）という。
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△ABCを取り、角A,Bについて角の2等分線を取り2直線の交点をIと呼ぶ。
さらに、点Iから辺BC,CA,ABに下ろした垂線とそれぞれの辺の交点をそれぞれ D,E,F と呼ぶとする。このとき、角Aの二等分線の性質から
IE=IF
が成り立ち、同様に角Bの2等分線の性質から
IF=ID
が成り立つので、
よって
ID=IE
である。
したがって、点Iは角Cの二等分線上にある。
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ID＝IE＝IF  なので、図のように三角形の三辺に接する円を書くことができ。この円を △ABCの内接円 （ないせつえん、英：inscribed circle）といい、その中心Iを内心（ないしん）という。
なお、三角形の内接円の半径を''r''とすると、面積''S''と三辺の長さ''a'',''b'',''c''との間に
の関係式が成り立つ（△ABI、△BCI、△CAIの3つの三角形の面積を考えてみよ）。面積''S''はヘロンの公式を用いれば、三角形の三辺の長さから内接円の半径が計算できる。
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外心の性質を利用して、次の定理が証明できる。
証明
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点Aを通り辺BCに平行な直線、点Bを通り辺CAに平行な直線、点Cを通り辺ABに平行な直線をかき、これらの直線の交点を図のようにP,Q,Rとする。
すると、四角形RBCA は平行四辺形なので、 RA ＝ BC である。
同様に、四角形ABCQ も平行四辺形なので BC＝AQ である。  
よって RA＝BC かつ BC＝AQ なので、 RA ＝ AQ である。
次に、点Aから対辺BCまたはその延長上に垂線ADを引く。
すると、 RQ // BC の仮定により、平行な2直線の同位角が等しい事を利用して、
が導かれる。したがって、この線分ADは、△RQPの辺RQの垂直二等分線である。
同様に考えると、頂点Bから辺ACまたはその延長上に降ろした垂線BEは辺RPの垂直二等分線であり、頂点Cから辺ABまたはその延長上に降ろした垂線CFは辺PQの垂直二等分線であることがわかる。
この3本の垂直二等分線は、△RQPの外心で交わる。すなわち△ABCの各頂点から対辺に引いた3本の垂線 AD,BE,CF は一点で交わる。
証明
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外角Bと外角Cの二等分線の交点をPとする。
図のように、Pから△ABCの3辺またはその延長線上に垂線PD,PE,PFをおろす。
すると、
なので、
である。
よって、直線APは∠Aの二等分線である。
この点 P を 傍心（ぼうしん）という。
三角形には3つの傍心が存在する。
三角形の角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
\angle A の2等分線と辺BCとの交点がDだから
Cを通りADに平行な直線とBAの延長との交点をEとする。
ADとECは平行であるから
上の3つの式から
よって
また、ADとECは平行であるから
(1)と(2)より
三角形の外角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
Cを通りADに平行な直線とABの延長との交点をEとすると、上の定理と同様に
三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。
（AB \angle Cの証明）
AB とし、辺AC上に点Dを、 AD=AB となるようにとれば
ところで、\angle ADB は \triangle DBC の \angle BDC の外角だから
また、点Dは辺AC上にあるから
(1),(2),(3)より、\angle B > \angle C
（\angle B > \angle C\ \Rightarrow\ ABの証明）
\angle B > \angle C であって、AB ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。
(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、\angle B = \angle C
(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、\angle B < \angle C
どちらの場合も、仮定 \angle B > \angle C に反する。
よって、ABでなければならない。
三角形の3辺について、次のようなことが言える。
\triangle ABC において、AB+AC>BC を証明する。
辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、AD=AC となるようにとる。
\triangle ACD は二等辺三角形であるから
\triangle BCD において、点Aは辺BD上にあるから
よって、三角形の辺と角の大小の定理より
\triangle ABC の3辺の長さを、BC=a\ ,\ CA=b\ ,\ AB=c とすると、上の定理より次のことがわかる。
であるから、b \ge c のとき、c+a>b より
b のとき、a+b>c より
が成り立つ。
2つの定理より、三角形の3辺が a\ ,\ b\ ,\ c であるとき、
が成り立つことがわかる。
逆に、正の数 a\ ,\ b\ ,\ c が不等式 |b-c| を満たすとき、3辺の長さが a\ ,\ b\ ,\ c である三角形が存在する。
円周上に3点A,B,Cがある。直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとり、\angle APB と \angle ACB の大きさを比べる。
点Pについては、
のいずれかである。
(2)の場合、三角形の外角と内角の間の大小関係より
\angle APB > \angle ACB  
(3)の場合も、三角形の外角と内角の間の大小関係より
\angle APB < \angle ACB  
この結果、次のことがいえる。
このことから、次のようなことがいえる。
上の議論から三角形に外接する円はどのような三角形を取ったとしても常に存在
することが分かった。しかし、四角形に関してはそれに対して外接するような
円は常に存在するわけではない。
一般に円に内接するような四角形に関しては以下の性質が成り立つ。
内接する四角形の頂点を反時計回りにA,B,C,Dとする。
このとき、角A,角Cはそれぞれ点B,Dを対応する端点とする円弧に対する円周角となっている。ただし、角Aと角Cは互いに逆の円弧を対応する弧としているため、2つの弧を合わせるとそれらの弧はちょうど円周をおおうことになる。
このため、これらの2つの弧に対応する中心角の和は360^\circに対応し、同じ弧に対応する円周角の和は
180^\circに対応するのである。
また、円に内接する四角形に関して以下の性質も成り立つ。
円に内接する四角形ABCDにおいて、上の定理より
\angle A + \angle C = 180^\circ 
また、頂点Cにおける外角を \angle DCE とすると、\angle DCE + \angle C = 180^\circ であるから
\angle A = \angle DCE 
円に内接する四角形の性質の逆について考えてみよう。
(1)の証明
四角形ABCDで、
とする。
\triangle ABCの外接円Oを書き、円Oに内接する四角形ABCD'を作ると
(I),(II)より
\angle D = \angle D'
したがって、円周角の定理の逆から、点Dはこの円Oの周上にある。
よって、四角形ABCDは円に内接する。
(2)の証明
四角形ABCDで、頂点Cにおける外角を \angle DCE として、
\angle A = \angle DCE 
とする。
\angle DCE + \angle C = 180^\circ
であるから
\angle A + \angle C = 180^\circ 
四角形が円に内接する条件(1)より、向かい合う内角の和が180^\circであるから、四角形ABCDは円に内接する。
円Oの外の点Aからその円に2本の接線を引ける。その接点をP,Qとするとき、線分AP,AQの長さを、円Oの外の点Aから円Oに引いた接線の長さという。
2つの接線の長さについて、次のことがいえる。
直角三角形APO,AQOにおいて
(I),(II)より
\triangle APO \equiv \triangle AQO
よって、対応する辺APとAQは等しい。
円周上の点Aを通る接線ATがあって、円周上に2点B,Cをとるとき、\angle TAB  と円周角 \angle ACB  の大きさには、次のような関係がある。
\angle TAB  が鋭角の場合について考える。
直径ADを引くと、\angle TAD = 90^\circ であるから、
また、ADは直径であるから
\angle BAD と \angle BCD は弧BDに対する円周角であるから
(I),(II),(III)より
\angle TAB = \angle ACB
\angle TAB  が直角、鈍角の場合についても同様に証明できる。
中心Oとする円について次の定理が成り立つ。
まず、点Eが円の外部にある場合を考える。このとき、直線AB上で点Eに近い点を点B,
直線CD上で点Eに近い点を点Cとおいたとき、三角形ECBと三角形EADが相似であることを
示す。
まず、四角形ABCDは円に内接していることから、
\angle DAE, \angle BCE
について、
\angle DAE= \angle BCE
が成立する。これは円に内接する四角形の相対する角の和が180^\circになることに
よっている。同様にして
\angle ADE= \angle CBE
が成立し、2角が等しいことから三角形ECBと三角形EADは相似となる。
このことから、
EC : EA = EB : ED
となるが、このことは
EA \times EB = EC \times ED
に等しい。
次に、点Eが円の内部にある場合を考える。
このとき三角形EADと三角形EBCが互いに相似であることを示す。
最初に
\angle AED,\angle CEB
についてこれらが互いの対頂角であることから
\angle AED= \angle CEB
が成り立つ。次に、
\angle EAD,\angle ECB
についてこれらが円周BDの円周角であることから
\angle EAD=\angle ECB
が成り立つ。よって、2角が等しいことから三角形EADと三角形EBCは
互いに相似である。このことから
EC : EA = EB : ED
となるが、このことは
EA \times EB = EC \times ED
に等しい。
よって、どちらの場合にも方べきの定理が示された。
また、中心Oとする円の弦と接線について次の定理が成り立つ。
\triangle PAT と \triangle PTB において
接弦定理より
だから、\triangle PAT と \triangle PTB は相似
よって、
PA:PT=PT:PB
したがって、
PA \times PB = PT^2
2つの円を取ったときこれらはいくつかの仕方で関係する。2つの円の関係は2つの円の中心間の距離と、2円の半径によって定まる。
2円の距離をそれぞれr _1,r _2(r _1>r _2),中心間の距離をlとすると、2円の位置関係として
l < r _1 - r _2 のとき、円2は円1に含まれている。
r _1 - r _2 = lのとき、2つの円は内接している。
r _1 - r _2 < l < r _1 + r _2のとき、円2と円1は互いに交わっている。
r _1 + r _2 = lのとき、2つの円は外接している。
r _1 + r _2 < lのとき、2円は離れている。
がある。
2つの円がただ1つの共有点をもつとき、この2つの円は接するといい、この共有点を接点（せってん、英：point of contact）という。
1つの直線が、2つの円に接しているとき、この直線を、2つの円の共通接線という。
l < r _1 - r _2 のとき、共通接線はない。
r _1 - r _2 = lのとき、共通接線は1本。
r _1 - r _2 < l < r _1 + r _2のとき、共通接線は2本。
r _1 + r _2 = lのとき、共通接線は3本。
r _1 + r _2 < lのとき、共通接線は4本。