特殊相対論 > 運動方程式 
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SO(3,1)のうちで、最初の3はSO(3)の3と同一である。
そのため、ある3次元のベクトルを取ったとき
それと適当な量を組み合わせて4次元のベクトルを
作ることが出来る。
ds^2がスカラーであることから
x^\mu = 
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z 
\end{pmatrix}
のように、tと、x,y,zを組み合わせられるように思える。
さらに、
固有時間
ds^2 = dt ^2 \sqrt{1-(v/c)^2}
を導入すると、この量はスカラーになる。
このとき、
運動方程式は、
ある力f^{\mu}を想定すると、
(note: 
多くの場合電磁気力を想定している。)
{d { s} } = f^\mu
と書かれる。
これは、運動方程式が
ローレンツ変換に対してよい性質を
もっていなくてはいけないという
要請から来ている。
ニュートンの方程式
{d t } = \vec f 
も、両辺が3次元のベクトルであることから
SO(3)の変換について良い性質をもっており、
上の式はそれの拡張と考えることが出来る。