予告しておいたように，像関数を s で微分することは，原像に -t をかけることに対応する．
公式 3
証明
を s で項別微分すると，
となる．
\diamondsuit
よって補題2.3は
}
の原像であることが分かる
より
．
一般に，加法と乗法の定義された代数系があって，演算 T が，
なる形式を有するとき，T は微分演算と考えてよいのである．
例55\quad
この公式 3を用いて公式 2を導け．
解答例
(1)
 = -2(n-1)\frac{s}{(s^2+\beta^2)^n}
を念頭において，
 \sqsubset f_{n-1}
公式 3を適用し，左辺を s で微分した場合，
両辺を -2(n-1) で割ると，(\becauseLaplace 変換の線形性による．）
(2)
 = \frac{d}{ds}\left(-\frac{2(n-1)s}{(s^2+\beta^2)^n}\right)
\right)
この原像は，
これが求める結果である．
\diamondsuit