定義 (最小分解体)
K/F を体の拡大とする。f(X) \in F[X] が K で分解するとは、K[x] の一次の多項式と定数の積に表すことができることをいう。
K がF 上の f(X) の最小分解体であるとは、f(X) が K では分解するが K/F の任意の中間体 M について M では分解しないことをいう。
体 F と 定数でない多項式 f(X) \in F[X] について、その最小分解体が存在する。
証明
F の 代数閉包 \Omega を取る。f(X) が分解するような \Omega/F の中間体全ての共通部分を K とする。この K が最小分解体である。なお、f(x) = a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n), \ a \in F, \alpha_i \in \Omega と書いたとき、K = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) となる。詳細は読者に委ねる。
上で言及したことを命題として述べておこう。
f(X) \in F[X] が体 K で分解するとし、f(x) = a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n), \ a \in F, \alpha_i \in K であるとする。このとき、F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) は最小分解体である。
g(X), h(X) \in F[X], \ f(X) = g(X)h(X) とし、g(X) の F 上の最小分解体を K とし、h(X) の K 上の最小分解体を L とする。このとき、L は f(X) の F 上の最小分解体である。
証明
命題2より、
g(X) = a(X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_m), \ a \in F, \alpha_i \in K, \ \ h(X) = b(X-\beta_1) \cdots (X-\beta_n), \ b \in F, \beta_j \in L
と表したとき、K = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_m), L = K(\beta_1, \cdots, \beta_n) であるから、L = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_m, \beta_1, \cdots, \beta_n) である。したがって、命題2 を再び使えば主張を得られる。
(i) \phi : F_1 \rightarrow F_2 を体の同型写像とする。f_1(X) \in F_1[X], \ f_2(X) \in F_2[X] が \phi で対応しているとし、f_i の F_i 上の最小分解体を K_i とする (i = 1, 2)。このとき、体の同型写像 \Phi : K_1 \rightarrow K_2 で \phi の拡張になっているものが存在する。
(ii)f(X) \in F[X] の F 上の最小分解体は F 上の同型を除き一意に定まる。
証明
(ii) は (i) より直ちに従う。
以下、i = 1, 2 とする。命題3 より、f_i(X) は F_i[X] における既約多項式であるとしても良い。
\alpha_i \in K_i を f_i(X) の根の一つであるとする。このとき、仮定より \alpha_i の最小多項式は f_i(X) であり、F_i[X]/(f_i(X)) \rightarrow F(\alpha_i), \ \, X \, {\rm mod} \, (f_i(X)) \mapsto \alpha_i は F_i 上の同型である(ガロア理論/代数拡大)。
F_1(\alpha_1) \rightarrow F_1[X]/(f_1(X)) \rightarrow F_2/(f_2(X)) \rightarrow F_2(\alpha_2)
\alpha_1 \mapsto X \, {\rm mod} \, (f_1(X)) \mapsto X \, {\rm mod} \, (f_2(X)) \mapsto \alpha_2
という同型写像を \psi とおく。これは、\phi の拡張になっているため、f_i = (X-\alpha_i)g_i(X), \ g_i(X) \in F_i(\alpha_i)[X] とおくと、g_1, g_2 は \psi で対応している。したがって、f_i(X) の次数に関する帰納法によって、\psi の拡張になっているような同型写像 K_1 \rightarrow K_2 が存在する。