「線型代数学」という教程では、実数体、あるいは複素数体上の行列や線型方程式などの具体的な対象を扱うことが主である。しかし、実は線型代数学という分野はその範囲にとどまるものではなく、一般の体上においてより一般的な議論を行うことが可能である。そしてその一般論は、より抽象的な数学を学ぶ上での基礎の基礎となるものである。
この項目では、そのような一般の体上の線型空間に関する一般論を述べる。
以下、特に断りなければKを体（field）とする。一般の体をよく知らない場合には、Kを\mathbb{R},\mathbb{C}などに読み替えても概ね差し支えない。
一般の体K上の線型空間（linear space）またはベクトル空間とは、次の公理を満たすような集合（set）のことである。
公理
Kを体、Vを集合とする。Vの元どうしの演算「+」と、Vの元に対するKの元によるスカラー倍「・」が定められていて、次の条件のすべてを満たすとき、VはKの上の線型空間であるという。
これを線型空間の公理という。Vの元をベクトルという。公理3の「0」をVの零元という。公理4のyは「-x」と書き、これをxの逆元という。以下、特に断りなければこの本の中ではKは体、VはK線型空間であると約束する。
公理から出発するのは抽象的で少しわかりにくいかもしれないが、公理だけから議論をはじめると、この公理を満たすものすべてについて同時に議論することができ、便利である。しかしもちろんこの公理を満たすような具体的な集合にはどのようなものがあるかを知ることも重要である。いくつか例を挙げる。
例 K^nは通常の演算によってK線型空間である。特に、n次元ユークリッド空間\mathbb{R}^nは\mathbb{R}線型空間である。
例 K係数の多項式の集合K[X]は通常の演算によってK線型空間である。
例 実数上の無限回微分可能な実数値関数全体の集合C^\infty(\mathbb{R})は\mathbb{R}線型空間である。
例 \mathbb{R}は\mathbb{Q}線型空間である。より一般に、体の拡大L/Kがあるとき、LはK線型空間である。
問 上に挙げた例が線型空間の公理を満たすことを確かめよ。
定義 v_1,v_2,\cdots,v_n \in V, a_1,a_2,\cdots,a_n \in Kとするとき。
\sum_{i=1}^{n} a_i v_i = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_nをv_1,v_2,\cdots,v_nの線形結合(linear combination)または一次結合という。
定義 ベクトル\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_nに対して、a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0を満たすa_1,a_2,\cdots,a_n \in Kがa_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0以外、存在しないとき、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_nは線形独立(linearly independent)または一次独立であるという。
ベクトル\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_nが線形独立でないとき、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_nは線形従属(linearly dependent)または一次従属であるという。
thumb|right|\R^3における線形独立なベクトルの例
thumb|right|\R^3における線形従属なベクトルの例
定義 K上のベクトル空間Vの部分集合S = \{ v_1,v_2, \cdots , v_n \}に対し、
\langle S \rangle = \{ \sum_{i=1}^n a_i v_i | a_i \in K \}をSがK上で生成する部分空間といい、Sをこの部分空間の生成系という。
命題 \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in Vが線形独立であることと、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}が線形独立かつ、\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangleであることは同値である。
証明 まずは、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in Vが線形独立ならば、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}が線形独立かつ、\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangleであることを示す。
a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} = 0とする。このとき、a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} + 0 \cdot \mathbf v_n = 0である。\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in Vが線形独立なので、a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1} = 0である。よって、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}は線形独立である。
次に、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}が線形独立かつ、\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangleならば、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_nは線形独立であることを示す。
{a_n} \mathbf v_{n-1}となるが、\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangleなので、矛盾。よってa_n = 0であるから、a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} = 0となるが、\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}は線形独立なので、a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1} = 0となる。よって\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_nは線形独立。//
少し具体的な線型空間について考察してみる。\mathbb{R}^3において、次の3本のベクトルの組は特別な意味を持っている。
特別とはどういうことかといえば、\mathbb{R}^3の任意のベクトルxは、みなこのベクトルのスカラー倍によって
と表すことができ、またこの表し方は一意的ということである。
一般の線型空間においてもこのようなベクトルの組があれば便利である。そのようなものがあるとき、このベクトルの組に特別な名前をつけよう。
定義 x_1,x_2,\dots,x_nをVの元の組とする。Vの任意の元xに対し、x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_nとなるKの元の組a_1,a_2,\cdots,a_nが一意に存在するとき、x_1,x_2,\dots,x_nはVの基底（basis）であるという。
注意すべきなのは、基底は一つの線型空間に対し一組とは限らないということである。たとえば、先ほどのe_1,e_2,e_3も\mathbb{R}^3の基底であるが、一方
も\mathbb{R}^3の基底である。
命題 v_1,v_2,\cdots,v_nがVの基底であることと、V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangleかつv_1,v_2,\cdots,v_nが線形独立であることは同値である。
証明 まずは、v_1,v_2,\cdots,v_nがVの基底であるなら、V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangleかつv_1,v_2,\cdots,v_nが線形独立であることを証明する。
\langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle \subset Vは明らかである。w \in Vを任意にとると、v_1,v_2,\cdots,v_nがVの基底であることから、a_1, \cdots, a_n \in Kをつかってw=a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_nと表すことができるので、w \in \langle v_1,v_2, \cdots,v_n \rangleである。よって、V \subset \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangleであるから、V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangleである。
a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = 0とする。このとき、両辺を2倍すると2 a_1 \mathbf v_1 + 2 a_2 \mathbf v_2 + \cdots + 2 a_n \mathbf v_n = 0となるが、a_1=a_2=\cdots=a_n=0が成り立たないと仮定するとa_1 \ne 2a_1,a_2 \ne 2a_2,\cdots,a_n \ne 2a_nのうちのいずれかは成り立つ。これはv_1, v_2, \cdots, v_nがVの基底であることに反するので、a_1 = a_2= \cdots = a_n = 0である。よって、v_1,v_2,\cdots,v_nは線形独立である。
次に、V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangleかつv_1,v_2,\cdots,v_nが線形独立ならばv_1,v_2,\cdots,v_nがVの基底であることを証明する。
命題 x_1,x_2,\dots,x_nとy_1,y_2,\dots,y_{n'}をVの基底とすると、n=n'
つまり、（もし基底が存在すれば）基底の元の数は一定である。言い換えると、基底の元の数は各線形空間に固有の数値である。そこで、この数に名前をつけることにする。
定義 x_1,x_2,\dots,x_nというVの基底が存在するとき、nをVの次元（dimension）といい\dim Vであらわす。このときVはn次元K線型空間であるという。
自然数n=\dim Vが存在するとき、Vは有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは、Vは無限次元であるといい。\dim V = \inftyと書く。なお、線型空間\{ \mathbf 0 \}の次元は、\dim \{ \mathbf 0 \} = 0であるとする。
実は、無限次元線型空間には無限個の元からなる基底が存在することが知られている。例えば、上で例としてあげた線型空間は最初のK^n以外は無限次元の線型空間であるが、K[X]には1,X,X_2,X_3,\cdotsという基底がある。C^\infty(\mathbb{R})の基底や\mathbb{R}の\mathbb{Q}上の基底はここまで簡単に書き表すことはできないが、存在することは知られている。
線型空間の部分集合がまた線型空間になっていることがある。そのとき、この部分集合を線型部分空間（あるいは単に部分空間）という。正確に書けば以下のとおりである。
定義 W \subset Vが次の性質を満たすとき、WはVの線型部分空間（linear subspace）であるという。
公理3は一見すると公理2から導かれるように見えるが、そうではない。なぜならば、空集合は公理1,2を満たすが、公理3を満たさない。公理3は空集合は部分空間と呼ばないようにするための公理である。
命題 Vを線型空間、WをVの線型部分空間とするとき、\dim V \ge \dim W
近代的な数学は、ある性質を満たす集合と、その集合たちの間の写像（mapping）とを調べることを基礎として発展してきた。ここでも、線型空間から線型空間への写像について調べてみる。先ほどと同様にして、どのような写像を調べる対象とするか、公理的に与える。
線形写像（linear mapping）を以下のように定義する。
定義 V,Wを体KにおけるK線型空間とする。写像f:V \to Wが次の性質を満たすとき、fはK線型写像であるという。
少し例を見てみよう。
例 Aをm×n行列とする。f_A:K^n \to K^m ;x \mapsto Axは線型写像である。
例 f_0:K[X] \to K ; P(X) \mapsto P(0)は線型写像である。
例 d:C^\infty(\mathbb{R}) \to C^\infty(\mathbb{R}) ; f \mapsto f'（微分）は線型写像である。
問 これらが線形写像であることを確かめよ。
thumb|線形写像''L''の核と像|346x346px
VからWへの線型写像があるとき、その写像に付随して自然にVの部分空間とWの部分空間が定まる。それがここで挙げるkerとimである。
定義 f:V \to Wを線型写像とする。
\ker f = \{ x \in V | f(x)=0 \}をfの核(kernel)という。これはVの部分空間である。
\operatorname{im} f=\{f(x) \in W | x \in V \}をfの像(image)という。これはWの部分空間である。\dim (\operatorname{im} f)をfの階数(rank)といい、\operatorname{rank} fであらわす。
すぐにわかることとして、まずfが全射(surjection)であるということは、fの像がWと一致することと同値である。また、線型写像が単射(injection)であることは、核が0のほかに元を持たないことと同値である。
命題 線型写像f:V \to Wが単射\Leftrightarrow \ker f = \{0\}
\ker fに0でない元yがあると仮定すると、f(0)=0かつf(y)=0であり、fは単射でない。
有限次元線型空間の間の線型写像は、基底をとることにより、有限サイズの行列によって表示することができる。つまり、有限次元線型空間の間の線型写像について調べることは、先ほど例として最初にあげたベクトルの行列倍という線型写像を調べることに帰着できる。
まず、線型写像は基底の行き先を決めることによって決まることを示しておく。
命題V,WをK線型空間とし、x_1,x_1,\dots,x_nをVの基底、y_1,y_2,\dots,y_nをWの元とする。このとき、線型写像f:V \to Wであって、f(x_i)=y_i \ (1 \le \forall i \le n)を満たすものが唯ひとつ存在する。
この命題によって、次のような行列と線型写像とが1対1に対応することがわかる。
定義V,WをK線型空間とし、x_1,x_2,\dots,x_nをVの基底、y_1,y_1,\dots,y_mをWの基底とする。線型写像f:V \to Wが
を満たすとき、行列A=(a_{ij})をfの行列表示という。
V_1,V_2\in Vを部分空間とする。このとき、V_1 + V_2 = \{ x_1 + x_2 | x_1 \in V_1 , x_2 \in V_2 \}をV_1とV_2の和空間という。V_1 \cap V_2 = \{ x | x\in V_1, x\in V_2 \}をV_1とV_2の共通部分という。
線型写像の集合もまた線型空間となる。ここではそのような線型空間を扱うことにする。
定義 K上のベクトル空間VからKへの線型写像の全体V^* = \{ f:V \to K |fは線形写像\}は次の加法とスカラー倍により線型空間となる。
\begin{align}
    & (f + g)(x) = f(x) + g(x) \\
    & (af)(x) = a\cdot f(x)
  \end{align}\quad (f,g \in V^*, x \in V, a \in K)
V^*をVの双対空間(dual space)という。
双対空間はもとの空間に付随して自然に定まる線型空間である。ゆえに、下で見るようにVの性質をかなり受け継いでいる。
Vの基底をひとつ定めると、その基底に付随してV^*にも自然に基底が定まる。
命題 x_1,\dots,x_nをVの基底とすると、i=1,\dots,nに対して
を満たすようなf_i \in V^*が一意的に存在し、f_1,\dots,f_nはV^*の基底となる。
このようにして定まるV^*の基底をx_1,\dots,x_nの双対基底（dual basis）と呼ぶ。
VからWへの線型写像があるとき、この写像に付随してW^*からV^*への線型写像が定まる。（向きが逆になっていることに注意）
命題 f:V \to Wを線型写像とする。写像f^* : W^* \to V^* ; g \mapsto g \circ fは線型写像である。
このようにして定まる写像をfの双対写像(dual mapping)と呼ぶ。
線型空間をその部分空間で「割る」ことによって新たな線型空間を作ることができる。これを商空間という。具体的には、次のような同値関係を考え、これで元の線型空間を割った商集合に対して線型空間としての構造を入れることにする。同値関係とそれで割った商集合については集合論に記載があるのでここでは繰り返さない。
 定義  VをK線型空間、Wをその部分空間とする。このとき、V上の同値関係「～」を次で定め、この関係によって割った商集合V/{\sim}をV/Wと書く。
問 この関係「～」が同値関係であることを確かめよ。
関係「～」が同値関係であることが確かめられれば、晴れてV/Wは集合として正当化されたことになる。この商集合への標準的な全射によるx \in Vの像をx+W \in V/Wと書くことにする。標準的な全射が全射であることから、V/Wの任意の元はあるVの元xを用いてx+Wとあらわせることを注意しておく。
次にこの集合に線型空間の構造を与えたい。そのためには、この集合の元同士の「足し算」と、Kの元をかける「スカラー倍」の定義を与えればよい。もっとも安直に考えるならば、
としたいところである。実際このようにするのであるが、ここでひとつ注意しなければならないのは、この演算が「定義になっている」かどうかである（きちんと定義になっていることをしばしば「well-definedである」という。定着した日本語訳は残念ながら存在しない）。どういうことかというと、次のことを確かめなければならない。
今までわれわれが知っていた演算については、これは当たり前の事実である。しかし、われわれは今新しい演算を定義しようとしているのであるから、この新しい演算が「まともな」定義であることを確かめなければならない。このことに注意する必要がある。これは特に今の場合に限らず商集合になんらかの構造を入れようとするときには必ず気をつけなければならないことである。
well-definedであることを確かめなければならないということはなかなか理解しがたいかもしれないが、実際にwell-definedであることを確かめるのは容易であるので読者に任せる。
問 上で定義した演算がwell-definedであることを確かめよ。
問 この演算によってV/WがK線型空間になっていることを確かめよ。
問 標準的な全射V \to V/Wは線型写像であることを示せ。
双対空間においては、元の空間の基底に対応した基底を自然に取ることができた。商空間においても、ある意味で同様のことができる。
命題 Vを有限次元線型空間、Wをその部分空間とし、x_1,...,x_mはVの基底であり、しかもそのうち最初のn個x_1,...,x_nはWの基底であるとする。このとき、x_{n+1}+W,...,x_m +WはV/Wの基底。
系 \dim V/W = \dim V - \dim W
線型写像f:V \to Wがあるとき、そのkernelはVの部分空間だったので、割った商空間V/\ker fを考えることができる。ここではこの商空間と元の線型写像とについて調べる。
補題 V,Wを線型空間、f:V \to Wを線型写像とする。このとき、\bar{f}(x+\ker f)=f(x)として写像\bar{f}:V/\ker f \to im fを定めるとこれはwell-defined。
定理（準同型定理）
上で定めた\bar{f}:V/\ker f \to im fは同型。
系 （次元定理）
V,Wが有限次元線型空間のとき、