ルーカス数列に関する基本的な関係式の証明をここで行う。
（二次の関係式）
\begin{align}
V_n^2-DU_n^2= & 4Q^n, \\
U_n^2-U_{n-1}U_{n+1}= & -Q^{n-1}.
\end{align}
証明
D=(\alpha-\beta)^2 より
(\alpha^n+\beta^n)^2-(\alpha^n-\beta^n)^2=4\alpha^n\beta^n=4Q^n
となり、前の式が導かれる。後の式は
U_n^2-U_{n-1}U_{n+1}=\frac{(\alpha^n-\beta^n)^2-(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})}{(\alpha-\beta)^2}
となるところ、右辺の分子は
=-2\alpha^n\beta^n-(-\alpha^{n-1}\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}\beta^{n-1})
=\alpha^{n-1}\beta^{n-1}(\alpha-\beta)^2=Q^{n-1}(\alpha-\beta)^2
となることから確かめられる。
（添字の加法）
\begin{align}
2U_{m+n} = & U_m V_n+U_n V_m, \\
2Q^n U_{m-n} = & U_m V_n-U_n V_m, \\
U_{m+n} = & U_m U_{n+1}-QU_{m-1} U_n, \\
2V_{m+n} = & V_m V_n + DU_m U_n.
\end{align}
証明
\begin{align}
U_m V_n+U_n V_m= & \frac{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^n-\beta^n)(\alpha^m+\beta^m)}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^m\beta^n-\alpha^n\beta^m)+(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^n\beta^m-\alpha^m\beta^n)}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{2(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n})}{\alpha-\beta} \\
= & 2U_{m+n}
\end{align}
および
\begin{align}
U_m V_n-U_n V_m= & \frac{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)-(\alpha^n-\beta^n)(\alpha^m+\beta^m)}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^m\beta^n-\alpha^n\beta^m)-(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^n\beta^m-\alpha^m\beta^n)}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{2(\alpha^m\beta^n-\alpha^n\beta^m)}{\alpha-\beta}=\frac{2\alpha^n\beta^n(\alpha^{m-n}-\beta^{m-n})}{\alpha-\beta} \\
= & 2Q^n U_{m-n}
\end{align}
により、最初の2つの式は証明される。
3つめの式は
U_m U_{n+1}-QU_{m-1} U_n= \frac{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^{m-1}-\beta^{m-1})(\alpha^n-\beta^n)}{(\alpha-\beta)^2}
となるところ、右辺の分子は
\begin{align}
= & (\alpha^{m+n+1}+\beta^{m+n+1}-\alpha^m\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}\beta^m)-(\alpha^{m+n}\beta+\alpha\beta^{m+n}-\alpha^m\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}\beta^m) \\
= & (\alpha^{m+n+1}+\beta^{m+n+1})-(\alpha^{m+n}\beta+\alpha\beta^{m+n}) \\
= & (\alpha-\beta)(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n})
\end{align}
となることから、結局
\begin{align}
{\alpha-\beta}=U_{m+n}.
\end{align}
となることより確かめられる。
また D=(\alpha-\beta)^2 より
V_m V_n+DU_m U_n=(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n-\beta^n)=2(\alpha^{m+n}+\beta^{m+n})
が成り立つ。
（添字の加法その2）
\begin{align}
U_{m+n}= & U_m V_n-Q^n U_{m-n}, \\
V_{m+n}= & V_m V_n-Q^n V_{m-n}=DU_m U_n+Q^n V_{m-n}.
\end{align}
証明
前の式は
\begin{align}
U_m V_n-Q^n U_{m-n}= & \frac{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)-\alpha^n \beta^n(\alpha^{m-n}-\beta{m-n})}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^n\beta^n(\alpha^{m-n}-\beta^{m-n})-\alpha^n \beta^n (\alpha^{m-n}-\beta{m-n})}{\alpha-\beta} \\
{\alpha-\beta} \\
= & U_{m+n}
\end{align}
により確かめられる。後の式は
V_m V_n-Q^n V_{m-n}=(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)-\alpha^n \beta^n (\alpha^{m-n}+\beta^{m-n})=\alpha^{m+n}+\beta^{m+n}
および
DU_m U_n+Q^n V_{m-n}=(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n-\beta^n)+\alpha^n \beta^n (\alpha^{m-n}+\beta^{m-n})=\alpha^{m+n}+\beta^{m+n}
により確かめられる。
\begin{align}
DU_n= & V_{n+1}-QV_{n-1},\\
V_n= & U_{n+1}-QU_{n-1}.
\end{align}
証明
V_{n+1}-QV_{n-1}=\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta{n-1})
=(\alpha-\beta)(\alpha^n-\beta^n)
および D=(\alpha-\beta)^2 より前の式が確かめられる。また
U_{n+1}-QU_{n-1}=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}-\alpha\beta(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})}{\alpha-\beta}
となるところ、右辺の分子は
(\alpha-\beta)(\alpha^n+\beta^n)
に一致するので、後の式も確かめられる。
（添字2倍公式）
\begin{align}
U_{2n}= & U_n V_n,\\
V_{2n}= & V_n - 2Q^n.
\end{align}
証明
関係式 2, 3 から導かれるが、
\begin{align}
{\alpha-\beta}=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\cdot (\alpha^n+\beta^n)=U_n V_n,\\
V_{2n}= & \alpha^{2n}+\beta^{2n}=(\alpha^n+\beta^n)^2-2(\alpha\beta)^n=V_n - 2Q^n.
\end{align}
により直接確かめることもできる。
（添字3倍公式）
\begin{align}
U_{3n}= & U_n(V_n^2-Q^n)=U_n(DU_n^2+3Q^n),\\
V_{3n}= & V_n(V_n^2-3Q^n).
\end{align}
証明
\begin{align}
{\alpha-\beta}=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\cdot (\alpha^{2n}+\alpha^n\beta^n+\beta^{2n}) \\
= & U_n((\alpha^n+\beta^n)^2-(\alpha\beta)^n)=U_n(V_n^2-Q^n)\\
= & U_n((\alpha^n-\beta^n)^2+3(\alpha\beta)^n)=U_n(DU_n^2+3Q^n),
\end{align}
V_{3n}= \alpha^{3n}+\beta^{3n}=(\alpha^n+\beta^n)^3-3(\alpha\beta)^n(\alpha^n+\beta^n)=V_n(V_n^2-3Q^n).
により確かめられる。
より一般的な、添字の乗法について考えたい。そのために、まず、次の等式が成り立つことを見る。
''m'' が偶数のとき
\begin{align}
(X+Y)^m= & \sum_{r=0}^m \binom{m}{r}X^r Y^{m-r} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(X^r Y^{m-r}+X^{m-r}Y^r) + \binom{m}{m/2}(XY)^\frac{m}{2} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(XY)^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r}) + \binom{m}{m/2}(XY)^\frac{m}{2}, \cdots (\#)
\end{align}
''m'' が奇数のとき
\begin{align}
(X+Y)^m= & \sum_{r=0}^m \binom{m}{r}X^r Y^{m-r} \\
 \binom{m}{r}(X^r Y^{m-r}+X^{m-r}Y^r) \\
 \binom{m}{r}(XY)^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r}). \cdots (\flat)
\end{align}
（奇数乗の展開）
''m'' が奇数のとき
\begin{align}
U_k^m
 \binom{m}{r} (-1)^r Q^{kr} U_{k(m-2r)} \\
= & U_{km}-\binom{m}{1}Q^k U_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} U_{k(m-4)}-\cdots
 \binom{m}{(m-1)/2}Q^{\frac{m-1}{2}k}U_k
\end{align}
および
\begin{align}
V_k^m
 \binom{m}{r} Q^{kr} V_{k(m-2r)} \\
= & U_{km}+\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}+\cdots
+\binom{m}{(m-1)/2}Q^{\frac{m-1}{2}k}V_k.
\end{align}
証明 
U_k^m=(\alpha-\beta)^{m-1}\cdot \frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{(\alpha-\beta)^m}
=\frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{\alpha-\beta},
ここで、等式 (\flat) より
\begin{align}
{\alpha-\beta} \\
 \binom{m}{r} (-1)^r Q^{kr} U_{k(m-2r)}.
\end{align}
が成り立つ。同様に
\begin{align}
V_k^m=& (\alpha^k+\beta^k)^m \\
 \binom{m}{r}(\alpha\beta)^{kr}(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) \\
 \binom{m}{r} Q^{kr} V_{k(m-2r)}.
\end{align}
が成り立つ。
（偶数乗の展開）
''m'' が偶数で ''k'' が正の整数のとき
\begin{align}
U_k^m
 \\
= & V_{km}-\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}-\cdots
+(-1)^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{m/2-1}Q^{\left(\frac{m}{2}-1\right)k} V_{2k}
,
\end{align}
および
\begin{align}
V_k^m
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}Q^{kr} V_{k(m-2r)} + \binom{m}{m/2}Q^\frac{mk}{2} \\
= & V_{km}+\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}+\cdots
+\binom{m}{m/2-1}Q^{\left(\frac{m}{2}-1\right)k} V_{2k}
.
\end{align}
成り立つ。
証明 
等式 (\#) より
\begin{align}
U_k^m= & (\alpha^k-\beta^k)^m \\
 \\
\binom{m}{m/2}Q^\frac{mk}{2}
\end{align}
および
\begin{align}
V_k^m= & (\alpha^k+\beta^k)^m \\
 \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}Q^{kr} V_{k(m-2r)} + \binom{m}{m/2}Q^\frac{mk}{2}
\end{align}
が確かめられる。
（添字多倍公式）
''k'' が偶数のとき
U_{km}=U_m\sum_{r=0}^{\frac{k}{2}-1}Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}=U_m(V_{m(k-1)}+Q^m V_{m(k-3)}+\cdots ),
''k'' が奇数のとき
Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}\right)
および
(-1)^r Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}\right)
が成り立つ。
証明
''k'' が偶数のとき
\begin{align}
U_{km}
{\alpha-\beta} \\
{\alpha^m-\beta^m}\cdot U_m \\
= & U_m\sum_{r=0}^{k-1}\alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\
= & U_m\sum_{r=0}^{\frac{k}{2}-1}Q^{mr} V_{m(k-1-2r)},
\end{align}
また ''k'' が奇数のとき
\begin{align}
U_{km}
{\alpha-\beta} \\
{\alpha^m-\beta^m}\cdot U_m \\
= & U_m\sum_{r=0}^{k-1}\alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\
Q^{mr} V_{m(k-1-2r)})
\end{align}
および
\begin{align}
{V_m}
{\alpha^m+\beta^m} \\
= & \sum_{r=0}^{k-1}(-1)^r \alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\
(-1)^r Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}
\end{align}
である。
（''P'' , ''D'' を使った展開）
証明 
{2}
を ''n'' 乗して
{2}\right)^n
つまり
\begin{align}
2^{n-1}(V_n+U_n\sqrt{D})= & (P+\sqrt{D})^n \\
= & P^n+\binom{n}{1}P^{n-1}\sqrt{D}+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\cdots \\
= & \left(P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots \right)
+\left(\binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots \right)\sqrt{D}
\end{align}
と展開できる。同様に
\begin{align}
2^{n-1}(V_n-U_n\sqrt{D})= & (P-\sqrt{D})^n \\
= & P^n-\binom{n}{1}P^{n-1}\sqrt{D}+\binom{n}{2}P^{n-2}D-\cdots \\
= & \left(P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots \right)
-\left(\binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots \right)\sqrt{D}
\end{align}
と展開できる。これらの和および差を1/2倍して求める式が得られる。
（P^m の展開）
''m'' が偶数のとき
''m'' が奇数のとき
 \binom{m}{r}Q^r V_{m-2r}=V_m+mQV_{m-2}+\binom{m}{2}Q^2 V_{m-4}+\cdots .
証明
等式 (\#)(\flat) より ''m'' が偶数のとき
\begin{align}
P^m= & (\alpha+\beta)^m \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^r(\alpha^{m-2r}+\beta^{m-2r}) + \binom{m}{m/2}(\alpha\beta)^\frac{m}{2} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}Q^rV_{m-2r} + \binom{m}{m/2}Q^\frac{m}{2},
\end{align}
''m'' が奇数のとき
\begin{align}
P^m= & (\alpha+\beta)^m \\
 \binom{m}{r}(\alpha\beta)^r(\alpha^{m-2r}+\beta^{m-2r}) \\
 \binom{m}{r}Q^rV_{m-2r}
\end{align}
となる。