まず，複素係数の線形定常常微分方程式
を考える．ここに a_i \in \mathbf{C} とする．これを初期条件，
}
の下に Laplace 変換すると，実係数の場合と同様にして，
}
を得る．ここに p(s) は式 (4.11) に付随する特性多項式，q(s) は \xi_i で決まる高々 n-1 次の多項式である．
一般に，複素係数の多項式は，代数学の基本定理により，複素係数の範囲で 1 次の積に因数分解できるから，それを，
}
とすると，これに対応して，
}
と部分分数に展開できる．それゆえ，この原像は，
または
と求まる．ここに f_i(t) は t の多項式で次数は高々 l_i - 1，係数は複素数である．
複素数値関数の微分に述べたように，
であるから
となり，式 (4.12) が式 (4.11) の解であることが分かる．解の一意性の証明も全く同じであるから，繰り返さない．また非同次方程式，
の解法も，全く同様である．なお，式 (4.11) の解の基本系は，
}
となる．実際，これらが 1 次独立となることは，前章の証明よりも，はるかに容易に示し得る．
事実，補題 4.1 の系によれば，
は一次独立であるから，あとは，
}
の 1 次独立性だけを示せばよい．これは，
}
の 1 次独立性と同じであるから，明らかである．
微分方程式式 (4.11) の係数が実数の場合を，この章の立場から述べておく．
特性方程式 p(s) が 1 次の因数に分解できることは同様であるが，その内容は，
}
のような形をしている．ここに c_i \in \mathbf{R}, \alpha_j, \overline{\alpha_j} \in \mathbf{C} で \overline{\alpha_j} は \alpha_j の共役複素数である．
このとき解の基本系は，次の 3 種類の型のものから成り立っている．
}
}
}
Ⅰ型は実関数である．しかし，Ⅱ，Ⅲ型は複素数値関数である．これらを，
ここに \alpha = a + ib, \ \overline{\alpha} = a - ib を用いて実関数の基本形に直すと，Ⅱ，Ⅲの変わりに，
となる．Ⅰ，Ⅱ'，Ⅲ'が実形式で表した解の基本形である．前章で求めたものと形は異なるが，この方が導出が簡単である．
例94\quad
｛Ⅰ，Ⅱ'，Ⅲ'｝が解の基本系となること，すなわち 1 次独立であることを示せ．
解答例
\diamondsuit
非同次方程式の一般解は，同次方程式の一般解に特解を付加すればよいことは，前章と同様である．
ここに述べたように，一般に，理論的な話をするときには，複素数値関数で取り扱う方が見通しがよい．
しかし実際に初期値問題を解くときには，前章の手法の方が優れている．
ただ，一般解を求めるのは，本章の方法によるのが賢明である．