この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。
二次関数 y=2x^2 のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。
解答
xの二次関数yのグラフが三点 (2,3), (1,4), (-1,2) を通るとき、yをxの式で表せ。
解答
四次関数 y=x^4+2x^2+1 の最小値、最大値を（あれば）求めよ。また y がそれらの値を取るときの x の値も求めよ。
解答
二次関数f(x)=2x^2-ax+aの定義域 1\leqq x \leqq 5における最大値Mと最小値mを求めよ。
解答
y=2(x-2)^2+3 あるいは y=2x^2-8x+11。
y=2(x+1)^2+4 あるいは y=2x^2+4x+6。
y=2(x+4)^2-2 あるいは y=2x^2+16x+30。
求める式を y=ax^2+bx+c とおく。これらが与えられた点を通るから、
3=4a+2b+c&\cdots(1)\\
4=a+b+c&\cdots(2)\\
2=a-b+c&\cdots(3)
\end{cases}
がなりたつ。
(2) - (3) より 2=2b。 よって、b=1 … (4)。
(1) - (3) より 1=3a+3b。(4) を代入して、a=-\frac{2}{3}。
(1) より c=3-4\times\left(-\frac{2}{3}\right)-2=\frac{11}{3}。
以上より、求める式は y=-\frac{2}{3}x^2+x+\frac{11}{3} 。
x^2=tと置くことで、yはtの二次関数となる。
 y = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2)^2 + 2(x^2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2
t \ge 0であることに注意すると、この関数はt=0のとき最小値1をとる。すなわち、x=0のとき最小値1をとる。
最大値は存在しない。ほぼ明らかだが、ここでは丁寧に示してみよう。ある実数Mがyの最大値であるとする。
は実数である。そして、このxに対して
である。これはMが最大値であることと矛盾する。よって、最大値は存在しない。
であるから、グラフの軸x=\frac{a}{4}の位置により場合分けする。
最大値については、
\frac{a}{4}<3のとき、すなわちa<12のとき、M=f(5)=-4a+50である。
\frac{a}{4} \ge 3のとき、すなわちa \ge 12のとき、M=f(1)=2である。
最小値については、
\frac{a}{4}<1のとき、すなわちa<4のとき、m=f(1)=2である。
1 \le \frac{a}{4} \le 5のとき、すなわち4 \le a \le 20のとき、m=f(a)=-\frac{a^2}{8}+aである。
\frac{a}{4}>5のとき、すなわちa>20のとき、m=f(5)=-4a+50である。