前章と同様に，次の基本的性質が成立する．
f(t), g(t) を複素数値関数，\alpha, \beta を複素数とする．
複素数値関数の Lapalce 変換の基本的性質
Ⅰ
}
Ⅱ f(t) \sqsupset F(s), g(t) \sqsupset G(s) とすれば，
Ⅲ
証明
第 1 段：
f(t), g(t) が実数値関数のとき，
s=\sigma+i\omega とすると，積分の定義から，
{{制御と振動の数学/equation|=\int_0^{\infty} (f*g)e^{-\sigma t}\cos\omega t\ dt - i\int_0^{\infty}(f*g)e^{-\sigma t}\sin\omega t\ dt
(f*g)e^{-st} = (f*g)e^{-(\sigma + i\omega)t}
= (f*g)e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}
= (f*g)e^{-\sigma t} \left\{ \cos\omega t - i\sin\omega t \right\}
である．第 1 項を I_1，第 2 項を -iI_2 とおき，積分順序を交換すると，前章と同様にして
\int_0^{\infty}dt\left\{\int_0^t d\tau\ f(t-\tau)g(\tau)\right\}e^{-st} = \int_0^{\infty} d\tau \left\{ \int_{\tau}^{\infty} dt\ f(t-\tau)e^{-st}\right\}g(\tau)
，
を得る．よって I_1-iI_2 は再び積分の定義により，
となる．よって 前章と同じ関係式，
ここで積分変数を \xi := t-\tau と変更すれば，積分の基本的性質Ⅲにより
\xi = t-\tau により積分変数を t から \xi に変更すると，
t = \xi+\tau, t: \tau \to \infty より \xi : 0 \to \infty, d\xi = dt
\int_0^{\infty} \left\{ \int_{\tau}^{\infty} f(t-\tau)e^{-st}dt \right\}g(\tau)d\tau = \int_0^{\infty} \left\{ \int_0^{\infty} f(\xi)e^{-s(\xi+\tau)}d\xi \right\} g(\tau)d\tau
=\int_0^{\infty} \left\{ \int_0^{\infty} f(\xi)e^{-s\xi}d\xi \right\} e^{-s\tau}g(\tau)d\tau
=\int_0^{\infty} f(\xi)e^{-s\xi}d\xi \cdot \int_0^{\infty}e^{-s\tau}g(\tau)d\tau
，
を得る．これで f(t), g(t) が実数値関数のときで、s が複素数のとき証明ができた．次に，
第 2 段：f=f_1 + if_2, g=g_1 + ig_2 のときを証明する．
であるから，第 1 段の結果と Laplace 変換の基本性質Ⅱを用いればよい
\int \{(f_1*g_1 - f_2*g_2) + i(f_1*g_2 + f_2*g_2)\}e^{-st} = \int f_1e^{-st}dt \int g_1e^{-st}dt - \int f_2e^{-st}dt \int g_2e^{-st}dt + i\left\{\int f_1e^{-st}dt \int g_2e^{-st}dt + \int f_2e^{-st}dt \int g_2e^{-st}dt \right\}
 = \int \left( f_1 + if_2\right)e^{-st}dt \cdot \int\left(g_1 + ig_2\right)e^{-st}dt
．
\diamondsuit
このように，基本的性質が示されたので前章と同様に，微分方程式を解くのに必要な公式のすべてを導くことができる．
例えば，
積分
微分
など．これらはもちろん Laplace 変換の定義から直接導くこともできる．また，
移動定理
などの証明も，前章と全く同様である．