以上の議論によって，n の定常線形微分方程式，
には，n 個の 1 次独立な解が存在することが分かった．またその 1 組を具体的に求める方法も全章で学んだ．それをいま，
としよう．重ね合わせの原理により，その 1 次結合
もまた式 (3.27) の解であることを知っている．
ここでは 式 (3.28) が
式 (3.27) の一般解であること，
すなわち任意の初期値，
を与えたとき，
}
}
が任意の t_0 と \left\{ \xi_1, \xi_2, \xi_3, \cdots, \xi_{n-1}, \xi_n \right\} に対して常に解けることを示そう．それは次の定理によって保証される．
定理 3.5
p(D)x = 0 の 1 次独立な n 個の解を，
}
とすると，次の行列式，
{{制御と振動の数学/equation|\begin{vmatrix}
\varphi_1(t), & \varphi_2(t), & \varphi_3(t), & \cdots, & \varphi_n(t) \\ 
\varphi_1'(t), & \varphi_2'(t), & \varphi_3'(t), & \cdots, & \varphi_n'(t) \\ 
\varphi_1''(t), & \varphi_2''(t), & \varphi_3''(t), & \cdots, & \varphi_n''(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\varphi_1^{n-2}(t), & \varphi_2^{n-2}(t), & \varphi_3^{n-2}(t), & \cdots, & \varphi_n^{n-2}(t) \\
\varphi_1^{n-1}(t), & \varphi_2^{n-1}(t), & \varphi_3^{n-1}(t), & \cdots, & \varphi_n^{n-1}(t)
}
は決して 0 になることはない．この行列式を Wronsky の行列式といい，
などで表す．
証明
いまある t_0 に対して Wronsky の行列式が 0 となったとする．このとき 1 次方程式，
{{制御と振動の数学/equation|W(t_0) \left(
    \begin{array}{c}
      x_1 \\
      x_2 \\
      \vdots \\
      x_n
    \end{array}
には，すべては 0 でない解が存在する．それを，
}
としよう．この値を用いて
を作れば，これは p(D)x = 0 の解であって，しかも，
を満たす．よって解の一意性から，x(t) \equiv 0 でなければならない．
このとき \left\{ \varphi_1, \varphi_2, \cdots \varphi_n\right\} の 1 次独立性から，
でなければならない．これは矛盾である．
\diamondsuit
例81\quad
\varphi_1, \varphi_2 が 1 次独立で，W[\varphi_1, \varphi_2] \equiv 0 となる例を作れ．
解答例
\diamondsuit
n 階の線形定常常微分方程式の任意の解は，n 個の独立な解を見出せばその 1 次結合で表されることが分かった．
この n 個の独立な解のことを，解の基本系または基本解系という．この事実は次の定理にまとめられる．
定理 3.6定常という仮定は実は不要である．
n 階の線形定常常微分方程式の解の全体は，n 次元ベクトル空間を作る．その基底は解の基本形である．
\diamondsuit