前節で述べた複素振幅の方法に関連して，安定論の立場から若干の補足をしておこう．
は安定な微分方程式としておく．つまり f(t)=0 とおいた同次式の解は，十分時間が経過した後では消えるものとする．なお式 (4.15) の係数は実数であるとする．さて，
のとき，式 (4.15) の任意の解は，
となる．ここに，p(s) は特性多項式で，
(i) x_0(t) は同次式の解
(ii) p(i\omega) = |p(i\omega)|e^{i\theta}
である．系が安定であるから，
となる．よって，十分時間が経過した後では，どんな初期条件から出発した解も，定常解 x_s(t):
に近づく．この結果をLaplace 変換による解法から導いてみよう．
式 (4.15) の解は
と書けるのであった．ここに x_0(t) は同次式の解で，
である．t\to\infty のとき，式 (4.17) で x_0(t) は消えるから，第 2 項だけが問題になる．
を式 (4.17) の右辺第 2 項に代入すると，
{2i}\int_0^t g(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau
\int_0^t g(\tau)A\sin\omega(t-\tau)d\tau = \frac{A}{2i}\int_0^t g(\tau) \left\{ e^{i\omega(t-\tau)}-e^{-\omega(t-\tau)}\right\}d\tau
= \frac{A}{2i} \left\{ e^{i\omega t}\int_0^t g(\tau) e^{-\omega\tau} - e^{-i\omega t}\int_0^t g(\tau) e^{\omega\tau}\right\}
となる．ところで，式 (4.18) から，
となるので
Laplace 変換の定義から \int_0^{\infty} g(\tau)e^{-s\tau}d\tau = \frac{1}{p(s)}，これに s = \mp i\omega を代入する．
，式 (4.19) は，
に漸近する
式 (4.19) を t\to\infty とし，式 (4.20) をあてはめる．
．事実，t\to\infty のとき，
{2ip(i\omega)}\right| = \frac{A}{2}\left|\int_0^tg(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau - \frac{1}{p(i\omega)}\right| \to 0
|e^{i\omega t}| = 1, |i| = 1
となるからである．このことは，言い換えれば式 (4.20) の無限積分の存在は，g(t) が安定な同次方程式 p(D)x = 0 の解であることから保証される．すなわち，このとき既述のように，
なる評価ができるから，g(t) の Laplace 変換は \mathrm{Re}\ s = 0 において存在する．
最後に，この問題の工学的応用に触れておこう．ここで議論したことは，
式 (4.15) が安定な微分方程式ならば，
これに正弦波が入力として加えられたとき，それに対する応答は，しばらく待てば同じ周波数の正弦波になるということである．
それでは，任意の波形を持った信号が入力として加えられたとき，しばらく待つと同じ波形の応答が得られるであろうか．この問題を考えてみる．
記録器に対してはこのことが要求される．
さて任意の信号 f(t) は，ある範囲 0 \leqq t \leqq T で，いくつかの正弦波で近似できる
Fourier 級数展開．すなわち，
}
この信号に対する式 (4.15) の定常応答は，重ね合わせの原理と上の議論から，
となる．これが f(t) とほぼ同じ波形となるためには，
(i) |p(in\omega|, n=0, 1, \cdots, N がほぼ一定（\fallingdotseq B）
(ii) \theta_n がほぼ n に比例する．（n\omega_0)）
という条件があればよいことが分かる．このとき，
}
となり，所期の目的を達成する．
\omega を変数と考え，p(i\omega) を系 (4.15) の周波数特性と呼ぶことにすれば，上の条件は“考えている周波数範囲では，周波数特性があまり変わらない”ということである（p(i\omega) の偏角は \omega に比例して変わってもよい）。この条件は周波数の小さい範囲で現実できる．言い換えれば，入力信号の変動が余り激しくなければ，出力応答はそれに追従するということで，あたりまえの結果である．交流を直流の計器で計る場合を想像してみればよい．