数論 > 初等整数論 > はじめに
数論が取り扱う対象の中で基本的なものは0, 1, 2, 3, ...といった自然数であり、数学が取り扱う対象の中でももっとも身近で基本的である。そして数論が自然数に関して取り扱う概念も約数、素数、平方数など非常に分かりやすいものが多い。にもかかわらずこれらの概念は非常に多様で複雑な世界を織り成す。
提示するのは非常に簡単であるにもかかわらず、ゴールドバッハの予想など未だ解決されていない問題、フェルマーの予想（ワイルズの定理）など極めて難しい手法による解決しか知られていない問題は数知れない。そして、ある問題が解決した場合でも、その過程で新たな概念が見出され、新たな問題が浮上し、あるいは代数学、解析学、幾何学、組合せ論などの他分野の手法を盛んに用いなければならず、それが他分野も巻き込んだ数学全体に大きな刺激を与えることも珍しくない。素数定理の証明は複素関数論と複雑に関連しているし、フェルマーの予想は代数的整数論の研究を促してきた。
さらに、最近になって情報通信の発展とともに暗号や誤り訂正符号の研究が進展するに当たって、RSA暗号のように、素数や楕円曲線の算術などの数論的な技法を用いた暗号や符号がいくつか構成され、数論的な技法が盛んに使用されるようになっている。
この項目では、数論の中でも初等的な領域に属する、素数や合同式に関する基本的な理論を解説したい。