<一般相対性理論
集合\mathrm{M}が滑らかなn次元多様体であるとは、次のような性質をもつ部分集合の族\{O_\alpha\}を持つことである。
任意の\alphaから、\mathbb{R}^nの開部分集合U_\alphaへの全単射\psi_\alpha:O_\alpha\longrightarrow U_\alphaが存在する。
O_\alpha\cap O_\betaが空でないとき、写像\psi_\alpha\circ\psi_\beta^{-1}:\psi_\beta[O_\alpha\cap O_\beta]\longrightarrow\psi_\alpha[O_\alpha\cap O_\beta]は滑らか。
2つ目の公理の全単射を局所座標といい、局所座標の族を局所座標系という。局所座標系は''M''に（局所座標が連続写像になるような）位相を誘導する。
ユークリッド空間\mathbb{R}^nは恒等写像を局所座標として自明にn次元多様体となる。
2次元球面 S^2 = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 1 \}は多様体である。
ただしこの場合、S^2は\mathbb{R}^3の開部分集合ではないので、包含写像は局所座標ではない。S^2の一部（たとえば、半円をひとつ）を除いた領域から\mathbb{R}^2への写像を定めることができ、除く部分が重ならないようにすればこの定義域の全体はS^2となるので、局所座標系を構成できる。したがってS^2は2次元多様体となる。