いつの日か，Octave にもっと統計関数を含めることができればと考えています。
もしあなたが，Octaveをこの領域で充実させる手助けをしたいと思うのならば，bug@octave.orgへコンタクトをとってください。
[Function File]
x がベクトルならば，x の平均
mean(x) = ￣x =
1
N
XN
i=1
xi
を計算します。
もしx が行列ならば，各列について平均を計算し，列ベクトルとして返します。
オプション引数opt をつけると，計算すべき平均の種類を選択できます。
以下のオプションを認
識します。
"a" （通常の）算術平均を計算します。
これが初期値です。
"g" 幾何平均を計算します。
"h" 調和平均を計算します。
もしオプション引数dim が与えられるならば，次元dim に沿って計算します。
dim とopt は両方ともオプションです。
もし両方を与えるならば，どちらを最初にしても
よい。
[Function File]
もしx がベクトルならば，以下の要素の中央値を計算します。
x.
median(x) =
?
x(dN=2e); N odd;
(x(N=2) + x(N=2 + 1))=2; N even.
もしx が行列ならば，各列に対する中央値を計算し，行ベクトルとして返します。
[Function File]
[Function File]
[Function File]
もしx がベクトルならば，x の要素の標準偏差を計算します。
std(x) = ?(x) =
sPN
i=1(xi ! ￣x)
N ! 1
もしx が行列ならば，各列について標準偏差を計算し，それらを行ベクトルとして返します。
引数opt は，使用すべき標準化の種類を決定します。
個々に指定できる値は，以下のようなもの
です。
0: N-1 で標準化します。
これは，分散の最良不偏推定量の平方根を提供する（初期
設定）。
1: N で標準化します。
これは，平均まわりの第2 モーメントの平方根を提供します。
第3の引数dim は，標準偏差を計算するために沿う次元を決定します。
[Function File]
もしx ｔｐ y の各行が観測値であり，各列が変数ならば，cov (x, y)の(i, j) 番めのエント
リは，x のi 番めの変数とy のj 番めの変数との間の共分散です。
1 個の引数を付けて呼び
出すと，corrcoef (x, x) を計算します。
[Function File]
もしx ｔｐ y の各行が観測値であり，各列が変数ならば，corrcoef (x, y)の(i, j) 番めの
エントリは，x のi 番めの変数とy のj 番めの変数との間の相関です。
1 個の引数を付けて
呼び出すと，corrcoef (x, x) を計算します。
[Function File]
もしx が長さN のベクトルならば，x の尖度
kurtosis(x) =
1
N?(x)4
XN
i=1
(xi ! ￣x)4 ! 3
を返します。
もしx が行列ならば，first non-singleton dimension にわたって尖度を返します。
オプ
ション引数dim は，その次元にわたって尖度を得るようにします。
[Function File]
多変量サンプルx とy 間について，マハラノビスのD-二乗距離を返します。
これらは，同じ成分
数（列数）でなければならないが，異なる観察値数（行数）であってもよい。
[Function File]
x が長さn のベクトルならば，x の歪度
skewness(x) =
1
N?(x)3
XN
i=1
(xi ! ￣x)3
を返します。
もしx が行列ならば，そのfirst non-singleton dimension に沿って歪度を返します。
も
しオプション引数dim が与えられれば，この次元に沿って計算します。
[Function File]
列ベクトルに存在する互いに異なる値を，昇順で返します。
[Function File]
x がベクトルならば，（真の）分散を返します。
x が行列ならば，各列についての分散を含む行ベク
トルを返します。
引数opt は，使用すべき標準化の種類を決定します。
個々に指定できる値は，以下のようなもの
です。
0: N-1 で標準化します。
これは，分散を提供する（初期設定）。
1: N で標準化します。
これは，平均まわりの第2 モーメントを提供します。
第3 の引数dim は，分散を計算するために沿う次元を決定します。
Chapter 25: 統計191
[Function File]
[Function File]
データベクトルから分割表t を作成します。
ベクトルl は対応する水準です。
現在のところ，1 次または2 次元の表だけをサポートしています。
[Function File]
もしx がベクトルならば，その平均を引き，その標準偏差で除す。
もしx が行列ならば，first non-singleton dimension について計算し，列ベクトルとして返
す。
もしオプション引数dim が与えられるならば，次元dim に沿って計算します。
[Function File]
もしx が行列ならば，x の各列について最小値，第3 分位数，中央値，第3 分位数，最大値，
平均，標準偏差，歪度，尖度を返します。
もしx がベクトルならば，それは列ベクトルとして扱われます。
[Function File]
入力引数によって指定された変数の各々について，スピアマンの順位相関係数rho を計算する
行列について，各行が観測値であり，各列が変数です。
すなわち，ベクトルは常に観測値で
あり，行ベクトルでも列ベクトルでも良いです。
spearman (x)は，spearman (x,x)と等価です。
2 つのデータベクトルx とy について，スピアマンのrho はx とy の順位相関となります。
もしx とy が同じ分布から導かれたものであるならば，rho は平均がゼロで分散が1 / (n -
1)となり，漸近的に正規分布をなします。
[Function File]
Count the upward runs along the first non-singleton dimension of x of length 1, 2,
..., n-1 and greater than or equal to n. If the optional argument dim is given operate
along this dimension
[Function File]
もしx がベクトルならば，ties について補正したx の階数（ランク）の（列）ベクトルを返します。
もしx が行列ならば，first non-singleton dimension に沿って上記の計算を実行します。
もし
オプション引数dim が与えられるならば，次元dim に沿って計算します。
[Function File]
[Function File]
もしx がベクトルならば，その範囲，すなわち入力データの最大値と最小値の差を返します。
もしx が行列ならば，x の各列について計算します。
もしオプション引数dim が与えられるならば，次元dim に沿って計算します。
[Function File]
QQ-plot（分位点プロット）を実行します。
パラメータがparams である分布dist のCDF をF，その逆関数をG とし，長さがn のサン
プルベクトルをx とすると，QQ-plot は，縦座標がs(i) = (x のi 番めの最大要素) 対，横座
標がq(if) = G((i - 0.5)/n) のグラフを描く。
そのサンプルが，位置とスケールの変換を除いてF から由来しているなら，そのペアは近似的
に直線となります。
dist の初期値は標準正規分布です。
オプション引数params は，dist のパラメータのリスト
を含みます。
たとえば，範囲が[2,4] の一様分布とx の分位点プロットについて，以下の式を使用
します。
qqplot (x, "uniform", 2, 4)
もし出力引数が何も与えられなければ，そのデータが直接プロットされます。
[Function File]
p の各成分について，p のプロビット（標準正規分布の分位数）を返します。
[Function File]
PP-plot（確率プロット）を実行します。
パラメータがparams である分布dist のCDF をF とし，長さがn のサンプルベクトルをx
とすると，PP-plot は，縦座標がy(i) = F （x のi 番めに大きな要素）に対して，横座標が
p(i) = (i - 0.5)/n としてグラフを描く。
もしサンプルがF から由来するならば，そのペアは
近似的に直線に従う。
dist の初期値は標準正規分布です。
オプション引数params は，dist のパラメータのリス
トを含みます。
たとえば，範囲が[2,4] の一様分布とx の確率プロットについて，以下の式を使用
します。
ppplot (x, "uniform", 2, 4)
もし出力引数が何も与えられなければ，そのデータが直接プロットされます。
[Function File]
もしx がベクトルならば，x のp 番目のモーメントを計算します。
もしx が行列ならば，各列のp 番目のモーメントを含む行ベクトルを返します。
オプション引数opt をつけると，計算すべきモーメントの種類を指定することができます。
opt
が"c"または"a"を含むならば，中心and/or 絶対モーメントを返します。
たとえば，
moment (x, 3, "ac")
この式は，x の3 番目の中心絶対モーメントを計算します。
もしオプション引数dim が与えられるならば，次元dim に沿って計算します。
[Function File]
[Function File]
ベクトルの引数については，値の平均平方を返します。
引数が行列ならば，各列の平均平方を含む
行ベクトルを返します。
オプション引数dim をつけると，この次元に沿って，値の平均平方を返します。
[Function File]
p の各成分について，p のロジットlog (p / (1-p))を返します。
[Function File]
入力した引数によって指定される変数の各々に対してケンドールのタウ（tau）を計算します。
行列については，各行は観測値であり，各列が変数である；ベクトルは常に観測値であり，列
または行ベクトルのどちらでもよい。
kendall (x)はkendall (x,x)に等しい。
同じ長さの2 つのデータベクトルx とy について，ケンドールのtau は，x とy の全ての順
位差の符号の相関である；すなわち，もしx とy がdistinct entries であるならば，
? =
1
n(n ! 1)
X
i;j
sign(qi ! qj)sign(ri ! rj)
であって，ここでin which the qi およびri は，それぞれx とy の順位です。
もしx とy が独立な分布から引き出されたならば，ケンドールのtau は漸近的に，平均が0 で
分散が(2 * (2n+5)) / (9 * n * (n-1)) の正規分布に従う。
[Function File]
もしx がベクトルならば，四分位範囲（interquartile range），すなわち，入力データの第1
四分位数と第3 四分位数の差を返します。
x が行列ならば，x のfirst non singleton dimension に対して上記の演算を行う。
もしオプ
ション引数dim が与えられれば，その次元に沿って演算を行う。
[Function File]
数値あるいは連続的データから，ある間隔に分けることによって，カテゴリ分けされたデータ
を生成します。
もしbreaks がスカラならば，そのデータは多くの等間隔の幅へと分けられます。
もしbreaks が
分割点のベクトルならば，そのカテゴリはlength (breaks) - 1個のグループを持つ。
返される値は，x と同じサイズで，x の各点が入るグループを伝えるベクトルです。
グルー
プは，1 からグループ数までのラベルを付けされます。
breaks を外れる点は，NaNというラベル
が付けられます。
[Function File]
cor (x, y)の(i, j) 番めのエントリは，x のi 番めの変数とy のj 番めの変数との間の相関で
ある。
行列に対しては，各行は観測値であり，各列は変数です。
ベクトルは，常に観測値であって，
行または列ベクトルのどちらでもよい。
cor (x)は，cor (x, x)と等価です。
[Function File]
x のcomplementary log-log 関数（以下に定義する）を返します。
[Function File]
[Function File]
もしx がベクトルならば，それぞれの要素からその平均を減じる。
x が行列ならば，各列につ
いて前述の動作を行う。
もしオプション引数dim を与えるならば，この次元に沿って前述の操
作を実行します。
[Function File]
一元配置の分散分析（ANOVA）を実行します。
この目的は，k 個の異なるグループからとられ
たデータの集団平均が全て等しいかどうかを検定することです。
データは，対応するグループラベル（たとえば，1 からk までの数字）のベクトルg によって
指定されたグループごとに1 個のベクトルy で与えることになります。
これは，各グループあるい
はグループラベルについて，データの数には何の制限もない一般の形式です。
y が行列であり，g が省略されるならば，y の各列は同じグループとして扱われます。
この形式
は，各グループからのサンプル数が全て等しい釣り合い型ANOVA についてのみ適切です。
平均が等しいという帰無仮説の下では，統計量f は自由度がdf b とdf w であるF 分布に
従う。
その確率（この分布の点f における，1 マイナスCDF）は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，標準的な一元配置の分散分析表を表示します。
[Function File]
データベクトルx1，x2，. . . ，xk（k > 1）における分散の均一性についてBartlett 検定を
実行します。
分散が等しいという帰無仮説の下では，検定統計量chisq は近似的に自由度df のカイ二乗分
布に従う。
そのp-値（この分布の点chisq における，1 マイナスCDF）は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
2つのサンプルx とy を与えるとき，x とy が同じ分布から由来したという帰無仮説の均一性のカイ二乗検定を実行します。
これはc の（厳密には増加する）エントリによって指定した分割に基づく。
大標本について，検定統計量chisq は近似的に自由度df = length (c)のカイ二乗分布に従う。
その確率（この分布の点chisq における，1 マイナスCDF）は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
分割表x に基づいて独立性のカイ二乗検定を実行します。
独立という帰無仮説の下では，chisq
は自由度df のカイ二乗分布に近似的に従う。
その確率（この分布の点chisq における，1 マイナスCDF）は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
2 つのサンプルx とy が，相関する母集団からのものであるかどうかを検定します。
オプション引数の文字列alt は，対立仮説を記述します。
これには，"!="または"<>"（ゼロでは
ない），">"（0 より大きい），"<"（0 より小さい）をとることができます。
標準設定は，両側検
定です。
オプション引数の文字列method は，検定が基礎とすべき相関係数を指定します。
もしmethodが"pearson"（標準設定）ならば，（通常の）ピアソンの積率相関係数を使用します。
この場合，そのデータは2 変量正規分布から由来するべきです。
一方で，その他の2 つの方法は，ノンパラメトリック対立仮説を提供します。
もしmethod が"kendall"ならば，ケンドールの順位相関tau が使用されます。
method が"spearman"ならば，スピアマンの順位相関rho が使用される。
最初の文字だけが必要です。
その出力は，以下の要素をもつ構造体です。
pval 検定のp-値です。
stat 検定統計量の値です。
dist 検定統計量の分布です。
params 検定統計量の帰無分布のパラメータです。
alternative対立仮説です。
method 検定に使用した方法です。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
r)
古典的な正規回帰モデルy = X * b + e において，帰無仮説rr * b = r に対するF 検定を
実行します。
帰無仮説の下では，検定統計量f は自由度df num とdf den のF 分布に従う。
その確率（この分布の点f における，1 マイナスCDF）は，pval に返ります。
もし明示的に与えられなければ，r = 0 とします。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
未知の平均と共分散行列である多変量正規分布からのサンプルx について，mean(x) == mと
いう帰無仮説を検定します。
tsq にはHotelling のT^2 が返ります。
帰無仮説の下では，(n ! p)T2=(p(n ! 1)) は自由度がp
とn ! p であるF 分布に従う。
ここでn とp は，それぞれサンプルと変数の数です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
未知の平均と共分散行列である多変量正規分布からのサンプルで，変数（列）の数が同じx に
ついて，mean(x) == m という帰無仮説を検定します。
tsq にはHotelling のT^2 が返ります。
帰無仮説の下では，
(n_x+n_y-p-1) T^2 / (p(n_x+n_y-2))
は自由度がp とnx + ny ! p ! 1 であるF 分布に従う。
ここでnx とny は，それぞれサンプ
ルサイズおよび変数の数です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
alt)
サンプルx が連続分布dist からのものであるという帰無仮説のKolmogorov-Smirnov 検定を
実行します。
すなわち，もしF とG が，それぞれサンプルおよびdist に対応するCDF ならば，
帰無仮説はF == G です。
オプション引数params は，dist のパラメータのリストを含みます。
たとえば，サンプルx が範囲
[2,4] における一様分布からのものであるかどうか検定するには，以下の式を使用します。
kolmogorov_smirnov_test(x, "uniform", 2, 4)
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt が
"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説F != G に対して検定されます。
この場合，
検定統計量ks は両側Kolmogorov-Smirnov 分布に従う。
alt が">" ならば，片側対立仮説F
> G を考慮します。
同様に，"<"について，片側対立仮説F < G を考慮します。
この場合，検定統
計量ks は片側Kolmogorov-Smirnov 分布になります。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
サンプルx とy が同じ（連続）分布からのものであるという帰無仮説の2 サンプルKolmogorov-
Smirnov 検定を実行します。
すなわち，もしF とG は，それぞれサンプルおよびdist に対応す
るCDF ならば，帰無仮説はF == G です。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt が
"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説F != G に対して検定されます。
この場合，
検定統計量ks は両側Kolmogorov-Smirnov 分布に従う。
alt が">" ならば，片側対立仮説F
> G を考慮します。
同様に，"<"について，片側対立仮説F < G を考慮します。
この場合，検定統
計量ks は片側Kolmogorov-Smirnov 分布になります。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
3 番めの戻り値d は，検定統計量であり，2 つの累積分布関数間の最大の垂直距離です。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
Kruskal-Wallis1 要因「分散分析」を実行します。
ある変数は，k > 1 の異なるグループについて観測されたと仮定し，x1，. . . ，xk が対応する
データベクトルとします。
プールしたサンプルにおける順位がグループのメンバによって影響されるないという帰無仮説
の下では，検定統計量k は自由度がdf = k - 1 であるカイ二乗分布に近似的に従う。
その確率（この分布の点k における，1 マイナスCDF）は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
一元配置の多変量分散分析を実行します。
この目的は，k 個の異なるグループからとられたデー
タの集団平均が全て等しいかどうかを検定することです。
全てのデータは，同じ共分散行列
を持つp-次元正規分布から独立に得られたと仮定します。
データ行列はy によって与えられます。
通常，行は観測値であり，列は変数です。
ベクトルg
は，対応するグループラベル（たとえば，1 からk までの数字）を指定します。
LR 検定統計量（Wilks’ Lambda）と近似的なp-値は計算され，表示されます。
[Function File]
行および列の変数における交差分類データの平方分割表x について，McNemar の検定は，ク
ラス分けされた確率の対象性を帰無仮説として検定することができます。
帰無仮説の下では，chisq は近似的に自由度df のカイ二乗分布をします。
その確率（この分布の点k における，1 マイナスCDF）は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
x1 とn1 が1 つのサンプルにおける成功と試行の回数であり，x2 とn2 が2 つめのサンプル
についてのものであるとき，成功確率p1 とp2 が同じという帰無仮説を検定します。
帰無仮説の
もとでは，検定統計量z は近似的に標準正規分布に従う。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt が
"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説p1!=p2 に対して検定されます。
alt が">"
ならば，片側対立仮説p1>p2 を使用します。
同様に，"<"について，片側対立仮説p1 y) == PROB (x < y) == 1/2
の符号検定を実行します。
帰無仮説の下では，検定統計量b は，パラメータがn = sum (x !=
y)およびp = 1/2 の二項分布に，おおざっぱに従う。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt が
"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説PROB(x < y)!= 1/2 に対して検定され
る。
alt が">"ならば，片側対立仮説PROB (x > y) > 1/2（「x はy よりも統計的に大きい」）
を考慮します。
同様に，"<"について，片側対立仮説PROB (x > y) < 1/2（「x はy よりも統
計的に小さい」）を考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
未知の平均と分散を持つ正規分布からのサンプルx について，帰無仮説mean(x) == mのt-検
定を実行します。
帰無仮説の下では，検定統計量t は自由度がdf = length (x) - 1であるス
チューデント分布に従う。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt
が"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説mean (x) != mに対して検定されます。
alt が">"ならば，片側対立仮説mean (x) > mを考慮します。
同様に，"<"について，片側対立
仮説mean (x) < mを考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
未知の平均と分散を持つ正規分布からのサンプルx とy について，平均が等しいという帰無仮
説の2 サンプルt-検定を実行します。
帰無仮説の下では，検定統計量t は自由度がdfであるス
チューデント分布に従う。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt
が"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説mean (x) != mに対して検定されます。
alt が">"ならば，片側対立仮説mean (x) > mを考慮します。
同様に，"<"について，片側対立
仮説mean (x) < mを考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
古典的な正規回帰モデルy = x * b + e において，帰無仮説rr * b = rに対するt 検定を実
行します。
帰無仮説の下では，検定統計量t は自由度がdfであるスチューデント分布に従う。
もしr が省略されるならば，0 を仮定します。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt が
"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説rr * b != rに対して検定されます。
alt が
">"ならば，片側対立仮説rr * b > rを考慮します。
同様に，"<"について，片側対立仮説rr
b < rを考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
2 つのサンプルx とy について，帰無仮説がPROB (x > y) == 1/2 == PROB (x < y)
であるMann-Whitney のU 検定を実行します。
帰無仮説の下では，検定統計量z は近似的に標
準正規分布に従う。
この検定はWilcoxon の順位和検定と等価です。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt が
"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説PROB (x > y) != 1/2 に対して検定さ
れる。
alt が">"ならば，片側対立仮説PROB (x > y) > 1/2 を考慮します。
同様に，"<"につ
いて，片側対立仮説PROB (x > y) < 1/2 を考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
未知の平均と分散を持つ正規分布からの2 つのサンプルx とy について，帰無仮説が等分散で
あるF 検定を行う。
帰無仮説の下では，検定統計量は，自由度がdf num とdf den のF 分布
に従う。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt が
"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説var (x) != var (y)に対して検定され
る。
alt が">"ならば，片側対立仮説var (x) > var (y)を考慮します。
同様に，"<"について，
片側対立仮説var (x) < var (y)を考慮します。
標準設定は両側検定です。
Chapter 25: 統計199
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
未知の平均と未知の分散（等しい必要はない）である正規分布からの2 つのサンプルx とy に
ついて，平均が等しいという帰無仮説のWelch の検定を実行します。
帰無仮説の下では，検定統
計量t は，自由度がdf のt 分布に近似的に従う。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt
が"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説mean (x) != mに対して検定されます。
alt が">"ならば，片側対立仮説mean (x) > mを考慮します。
同様に，"<"について，片側対立
仮説mean (x) < mを考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
2つのサンプルx とy について，帰無仮説がPROB (x > y) == 1/2 であるWilcoxon の符
号和検定を実行します。
帰無仮説の下では，検定統計量z は近似的に標準正規分布に従う。
この
検定はWilcoxon の順位和検定と等価です。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt が
"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説PROB (x > y) != 1/2 に対して検定さ
れる。
alt が">"ならば，片側対立仮説PROB (x > y) > 1/2 を考慮します。
同様に，"<"につ
いて，片側対立仮説PROB (x > y) < 1/2 を考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
未知の平均と既知の分散v をもつ正規分布からのサンプルx について，帰無仮説がmean(x)==mであるZ-検定を実行します。
帰無仮説の下では，検定統計量z は標準正規分布に従う。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt
が"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説mean (x) != mに対して検定されます。
alt が">"ならば，片側対立仮説mean (x) > mを考慮します。
同様に，"<"について，片側対立
仮説mean (x) < mを考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Function File]
未知の平均と既知の分散v x とv y をもつ正規分布からの2 つのサンプルx とy について，
平均が等しいという帰無仮説に対してZ-検定を行う。
帰無仮説の下では，検定統計量z は標準
正規分布に従う。
オプションの引数文字列alt について，興味ある対立仮説を選択することができます。
もしalt
が"!="または"<>"ならば，帰無仮説は，両側対立仮説mean (x) != mに対して検定されます。
alt が">"ならば，片側対立仮説mean (x) > mを考慮します。
同様に，"<"について，片側対立
仮説mean (x) < mを考慮します。
標準設定は両側検定です。
そのp-値は，pval に返ります。
もし出力引数が与えられなければ，p-値を表示します。
[Functio File]
通常のロジスティック回帰を実行します。
k 個の順序付きカテゴリの値をとるy を仮定し，gamma_i (x) は，共変量x を与えたときに
y が最初のi カテゴリのひとつに入る累積確率であるとします。
このとき，
[theta, beta] = logistic_regression (y, x)
この関数は，以下のモデルを当てはめる。
logit (gamma_i (x)) = theta_i - beta' * x, i = 1, ..., k-1
順序カテゴリの数k は，round (y)の異なる値の数をとることになります。
もしk が2 と等しいならば，y は2 値であり，そのモデルは通常のロジスティック回帰です。
行列x は全行階数であると仮定します。
y のみを与えると，theta = logistic_regression (y) は，baseline logit odds のみを
もつモデルを当てはめる。
完全な形式は，以下のようです。
[theta, beta, dev, dl, d2l, gamma]
= logistic_regression (y, x, print, theta, beta)
ここで，全ての出力引数，およびy を除く全ての入力引数はオプションです。
print に1 をセットすると，当てはめたモデルについての要約した情報を表示するようにします。
print に2 をセットすると，各反復における収束についての情報を要望します。
他の値は，何も情報を表示しないようにします。
入力引数theta およびbeta は，theta とbeta の初期推定値を与えます。
戻り値dev は，対数尤度をマイナス2 倍した値を保持します。
戻り値dl とd2l は，theta とbeta についての対数尤度の1 次導関数のベクトルと，2 次導関数の行列です。
p はx を与えるときのy の条件付き分布に対する推定値を保持します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とb であるベータ分布の，x におけるCDF（累積分布
関数）を返します。
すなわち，PROB (beta (a, b) <= x) です。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とb であるベータ分布の，x における分位点（CDF の
逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とb であるベータ分布の，x におけるPDF（確率密度関
数）を返します。
[Function File]
[Function File]
パラメータがa とb であるベータ分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize
(sz)の行列を返します。
a とb はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければな
らない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，a およびb と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがn とp である二項分布の，x におけるCDF（累積分布関
数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがn とp である二項分布の，x における分位点（CDF の逆
関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがn とp である二項分布の，x におけるPDF（確率密度関
数）を返します。
[Function File]
[Function File]
パラメータがn とp である二項分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize
(sz)の行列を返します。
a とb はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければな
らない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，n およびp と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，位置パラメータがlambda と尺度パラメータがsigma であるコーシー分
布のx におけるCDF（累積分布関数）を返します。
初期値は，lambda = 0 およびsigma = 1 で
ある。
[Function File]
x の各要素について，位置パラメータがlambda と尺度パラメータがsigma であるコーシー分
布のx における分位点（CDF の逆関数）を返します。
初期値は，lambda = 0 およびsigma = 1
です。
[Function File]
x の各要素について，位置パラメータがlambda と尺度パラメータがsigma > 0 であるコー
シー分布のx におけるPDF（確率密度関数）を返します。
初期値は，lambda = 0 およびsigma
= 1 です。
[Function File]
[Function File]
位置パラメータがlambda と尺度パラメータがsigma > 0 であるコーシー分布からのランダム
サンプルを含むr 行c 列あるいはsize (sz)の行列を返します。
lambda とsigma はスカラでな
ければならず，サイズr × c もスカラとしなければならない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，lambda およびsigma と同様のサイズに
なります。
[Function File]
x の各要素について，自由度がn であるカイ2 乗分布の，x におけるCDF（累積分布関数）を
返します。
[Function File]
x の各要素について，自由度がn であるカイ2 乗分布の，x における分位点（CDF の逆関数）
を返します。
[Function File]
x の各要素について，自由度がn であるカイ2 乗分布の，x におけるPDF（確率密度関数）を
返します。
[Function File]
[Function File]
自由度がn であるカイ2 乗分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize (sz)
の行列を返します。
n はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければならない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，n と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，確率p でv の値を仮定する単変量離散分布の，x におけるCDF（累積
分布関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，確率p でv の値を仮定する単変量離散分布の，x における分位点（CDF
の逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，確率p でv の値を仮定する単変量離散分布の，x におけるPDF（確率
密度関数）を返します。
[Function File]
[Function File]
[Function File]
確率p でv の値を仮定する単変量離散分布からのランダムサンプルを含む行列を生成します。
r とc が与えられると，r 行c 列の行列を作る。
あるいはsz がベクトルならば，サイズがsz の
行列を作成します。
[Function File]
x の各要素について，単変量サンプルdata から得られる経験分布の，x におけるCDF（累積
分布関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，単変量サンプルdata から得られる経験分布の，x における分位点（CDF
の逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，単変量サンプルdata から得られる経験分布の，x におけるPDF（確率
密度関数）を返します。
[Function File]
[Function File]
[Function File]
単変量サンプルdata から得られる経験分布からのランダムサンプルを含む行列を生成します。
r とc が与えられると，r 行c 列の行列を作る。
あるいはsz がベクトルならば，サイズがsz の
行列を作成します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがlambda である指数分布の，x におけるCDF（累積分布
関数）を返します。
すなわち，
その引数は，共通のサイズまたはスカラをとることができます。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがlambda である指数分布の，x における分位点（CDF の
逆関数）を返します。
すなわち，
[Function File]
x の各要素について，パラメータがlambda である指数分布の，x におけるPDF（確率密度関
数）を返します。
すなわち，
[Function File]
[Function File]
パラメータがlambda である指数分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize
(sz)の行列を返します。
a とb はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければな
らない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，lambda と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，自由度がm とn であるF 分布の，x におけるCDF（累積分布関数）を
返します。
すなわち，PROB (F (m, n) <= x) です。
[Function File]
x の各要素について，自由度がm とn であるF 分布の，x における分位点（CDF の逆関数）
を返します。
すなわち，
[Function File]
x の各要素について，自由度がm とn であるF 分布の，x におけるPDF（確率密度関数）を
返します。
[Function File]
[Function File]
自由度がmとn であるF 分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize (sz)の
行列を返します。
mとn はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければならない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，m およびn と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とb であるガンマ分布の，x におけるCDF（累積分布
関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とb であるガンマ分布の，x における分位点（CDF の
逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とb であるガンマ分布の，x におけるPDF（確率密度関
数）を返します。
[Function File]
[Function File]
パラメータがa とb であるガンマ分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize
(sz)の行列を返します。
a とb はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければな
らない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，a およびb と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがp である幾何分布の，x におけるCDF（累積分布関数）を
返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがp である幾何分布の，x における分位点（CDF の逆関数）
を返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがp である幾何分布の，x におけるPDF（確率密度関数）を
返します。
[Function File]
[Function File]
パラメータがp である幾何分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列の行列を返します。
a とb
はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければならない。
r とc が与えられると，r 行c 列の行列を作る。
あるいはsz がベクトルならば，サイズがsz の
行列を作成します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがm，t，n である超幾何分布の，x におけるCDF（累積分
布関数）を計算します。
これは，m 個のマーク付きアイテムを含む，総数t 個の母集団から，置
き換えなくn 個のサンプルを無作為に抽出するとき，x 個以上のマーク付きアイテムが得られ
ない確率です。
パラメータm，t，n は正の整数であり，m とn は，t より大きくてはいけない。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがm，t，n である超幾何分布の，x における分位点（CDF
の逆関数）を計算します。
これは，m 個のマーク付きアイテムを含む，総数t 個の母集団から，
置き換えなくn 個のサンプルを無作為に抽出するとき，x 個以上のマーク付きアイテムが得ら
れない確率です。
パラメータm，t，n は正の整数であり，m とn は，t より大きくてはいけない。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがm，t，n である超幾何分布の，x におけるPDF（確率密
度関数）を計算します。
これは，m 個のマーク付きアイテムを含む，総数t 個の母集団から，置
き換えなくn 個のサンプルを無作為に抽出するとき，x 個以上のマーク付きアイテムが得られ
ない確率です。
引数は同じサイズを持っているか，スカラでなければなりません。
[Function File]
[Function File]
[Function File]
パラメータがm，t，n である超幾何分布から，サイズn size のランダムサンプルを含む列ベ
クトルを生成します。
r とc が与えられると，r 行c 列の行列を作る。
あるいはsz がベクトルならば，サイズがsz の
行列を作成します。
パラメータm，t，n は正の整数であり，m とn は，t より大きくてはいけない。
[Function File]
Kolmogorov-Smirnov 分布の，x におけるCDF（累積分布関数）を計算します。
この分布は，
x > 0 について以下のようなものです。
Q(x) =
1X
k=!1
(!1)k exp(!2k2x2)
オプション引数tol は，この級数が評価されるべきまでの精度を指定します。
初期値はtol = eps
です。
[Function File]
x の各要素について，ラプラス分布の，x におけるCDF（累積密度関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，ラプラス分布の，x における分位点（CDF の逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，ラプラス分布の，x におけるPDF（確率密度関数）を返します。
[Function File]
[Function File]
ラプラス分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列の行列を返します。
あるいはsz がベクトルな
らば，サイズがsz の行列を作る。
[Function File]
x の各要素について，ロジスティック分布の，x におけるCDF（累積密度関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，ロジスティック分布の，x における分位点（CDF の逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，ロジスティック分布の，x におけるPDF（確率密度関数）を返します。
[Function File]
[Function File]
ロジスティック分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列の行列を返します。
あるいはsz がベク
トルならば，サイズがsz の行列を作る。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とv である対数正規分布の，x におけるCDF（累積分
布関数）を返します。
確率変数がこの分布に従うとき，その対数は平均がlog (a)で分散がv の正
規分布に従う。
初期値はa = 1 およびv = 1 です。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とv である対数正規分布の，x における分位点（CDF の
逆関数）を返します。
確率変数がこの分布に従うとき，その対数は平均がlog (a)で分散がv の正
規分布に従う。
初期値はa = 1 およびv = 1 です。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがa とv である対数正規分布の，x におけるPDF（確率密
度関数）を返します。
確率変数がこの分布に従うとき，その対数は平均がlog (a)で分散がv の正
規分布に従う。
初期値はa = 1 およびv = 1 です。
[Function File]
[Function File]
パラメータがa とn である対数正規分布分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列の行列を
返します。
a とv はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければならない。
ある
いはsz がベクトルならば，サイズがsz の行列を作る。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，a およびv と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，平均がm で分散がv である正規分布の，x におけるCDF（累積分布関
数）を返します。
初期値はm = 1 およびv = 1 です。
[Function File]
x の各要素について，平均がm で分散がv である正規分布の，x における分位点（CDF の逆
関数）を返します。
初期値はm = 1 およびv = 1 です。
[Function File]
x の各要素について，平均がm で分散がv である正規分布の，x におけるPDF（確率密度関
数）を返します。
初期値はm = 1 およびv = 1 です。
[Function File]
[Function File]
パラメータがm とv である正規分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize
(sz)の行列を返します。
m とv はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければ
ならない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，m およびv と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがn とp であるパスカル分布（負の二項分布）の，x におけ
るCDF（累積分布関数）を返します。
1 回の試行で成功する確率がp のベルヌーイ試行において，n 回目の成功までに失敗する回数
は，この分布に従う。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがn とp であるパスカル分布（負の二項分布）の，x におけ
る分位点（CDF の逆関数）を返します。
1 回の試行で成功する確率がp のベルヌーイ試行において，n 回目の成功までに失敗する回数
は，この分布に従う。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがn とp であるパスカル分布（負の二項分布）の，x におけ
るPDF（確率密度関数）を返します。
1 回の試行で成功する確率がp のベルヌーイ試行において，n 回目の成功までに失敗する回数
は，この分布に従う。
[Function File]
[Function File]
パラメータがn とp であるパスカル分布（負の二項分布）からのランダムサンプルを含むr 行
c 列の行列を返します。
n とp はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければな
らない。
r とc が与えられると，r 行c 列の行列を作る。
あるいはsz がベクトルならば，サイズがsz の
行列を作成します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがlambda であるポアソン分布の，x におけるCDF（累積
分布関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがlambda であるポアソン分布の，x における分位点（CDF
の逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，パラメータがlambda であるポアソン分布の，x におけるPDF（確率密
度関数）を返します。
[Function File]
パラメータがlambda であるポアソン分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列の行列を返
す。
このパラメータはスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければならない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，lambda と同様のサイズになります。
[Function File]
x の各要素について，標準正規分布の，x におけるCDF（累積密度関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，標準正規分布の，x における分位点（CDF の逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，標準正規分布の，x におけるPDF（確率密度関数）を返します。
[Function File]
[Function File]
標準正規分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize (sz)の行列を返します。
[Function File]
x の各要素について，自由度がn であるt 分布の，x におけるCDF（累積分布関数）を返します。
すなわち，PROB (t (n) <= x) です。
[Function File]
x の各要素について，自由度がn であるt（スチューデント）分布の，x における分位点（CDF
の逆関数）を返します。
[Function File]
x の各要素について，自由度がn であるt（スチューデント）分布の，x におけるPDF（確率
密度関数）を返します。
[Function File]
[Function File]
自由度がn であるt（スチューデント）分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列の行列を
返します。
n はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければならない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，n と同様のサイズになります。
[Function File]
範囲が[a, b]] である一様分布の，x におけるCDF（累積密度関数）を返します。
すなわち，PROB
(uniform (a, b) <= x) です。
初期値は，a = 0 およびb = 1 です。
[Function File]
範囲が[a, b]] である一様分布の，x における分位点（CDF の逆関数）を返します。
初期値は，a = 0 およびb = 1 です。
[Function File]
範囲が[a, b]] である一様分布の，x におけるPDF（確率密度関数）を返します。
初期値は，a = 0 およびb = 1 です。
[Function File]
[Function File]
範囲が[a, b]] である一様分布からのランダムサンプルを含むr 行c 列あるいはsize (sz)の
行列を返します。
a とb はスカラでなければならず，サイズr × c もスカラとしなければならない。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，a およびb と同様のサイズになります。
[Function File]
形状パラメータがalpha で尺度パラメータがsigma であるワイブル分布の，x におけるCDF
（累積分布関数）を返します。
この分布は，x >= 0 に対して，
1 - exp(-(x/sigma)^alpha)
です。
[Function File]
形状パラメータがalpha で尺度パラメータがsigma であるワイブル分布の，x における分位点
（CDF の逆関数）を返します。
[Function File]
形状パラメータがalpha で尺度パラメータがsigma であるワイブル分布の，x におけるPDF
（確率密度関数）を返します。
この分布は，x >= 0 に対して，
1 - exp(-(x/sigma)^alpha)
です。
[Function File]
[Function File]
形状パラメータがalpha で尺度パラメータがsigma であるワイブル分布からのランダムサンプ
ルを含むr 行c 列の行列を返します。
あるいはsz がベクトルならば，サイズがsz の行列を作る。
もしr とc を省略すると，返される行列のサイズは，alpha およびsigma と同様のサイズに
なります。
[Function File]
範囲[0, t] におけるd 次元のWiener Process のシミュレート実現値を返します。
d を省略すると，
d = 1 を使用します。
返される行列の1 列めには時間を含み，残りの列にはWiener process を
含みます。
オプション引数n は，長さ1 のインターバルにわたる過程をシミュレートするために使用する
summand の数を与えます。
n を省略すると，n = 1000 が使用されます。