線形代数では、行列と呼ばれるものを扱う．
数字を長方形の形に並べて括弧で括ったものを行列という．
横に並んだ数の並びを行と呼び，上から第 1 行，第 2 行，\cdots，
縦に並んだ数の並びを列と呼び，左から第 1 列，第 2 列，\cdots と数える．
m × n の長方形に並んだものを，m 行 n 列の行列，
または (m, n) 型行列という．
n 元列ベクトルは (n, 1) 型行列，
n 元行ベクトルは (1, n) 型行列とみなすことができる．
例えば (3, 4) 型行列があって、その第 2 行、第 3 列に書かれている数が 4 であるとき、
これを (2, 3) 成分が 4 であると表現する．
縦と横に並んだ数の個数が等しいとき，つまり正方形の形に並ぶとき，正方行列という．
(n, n) 型の正方行列を n 次正方行列 という．
正方行列において，(1, 1), (2, 2), (3, 3), \cdots の成分を対角成分という．
対角成分以外の成分が 0 である行列を 対角行列 という．
成分が 0 のところは書かないで済ます場合もある．
ベクトルを一つの文字で置いたように，行列も一つの文字で置いて表す．
A, B など大文字で置かれるのが通例である．
同じ型の行列に対して，和，差を計算することができる．
たとえば，
A = 
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 & 3 \\
      2  & -1
    \end{array}
  \right)
,
B=
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
 のとき，
A + B = 
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 & 3 \\
      2  & -1
    \end{array}
  \right)
+
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 + 1   & 3 + (-2) \\
      2 + (-3) & -1 + 5
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      -3  & 1 \\
      -1  & 4
    \end{array}
  \right)
A - B = 
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 & 3 \\
      2  & -1
    \end{array}
  \right)
-
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 - 1   & 3 - (-2) \\
      2 - (-3) & -1 - 5
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      -5  & 5 \\
      5  & -6
    \end{array}
  \right)
というように，成分ごとに和，差を取る．また行列の実数倍は，
3A = 3
\left(
    \begin{array}{c}
      -4  & 3 \\
      2   & -1
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      3\cdot(-4) & 3\cdot3 \\
      3\cdot2    & 3\cdot(-1)
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      -12 & 9 \\
      6   & -3
    \end{array}
  \right)
というように，各成分を定数倍して求める．
行列の和，差，実数倍はベクトルと同じようにして計算するわけである．
すべての成分が 0 の行列を零行列 といい O で表す．
この行列の演算（和，差，実数倍）について，行列を文字で表すと次のような計算法則が成り立つ．
定理6
行列の計算法則
A, B, C を同じ型の行列，k, l を実数とすると次が成り立つ．
(1) (A + B) + C = A + (B + C)
(2) A + B = B + A
(3) k(A + B) = kA + kB
(4) (k + l)A = kA + lA
(5) (kl)A = k(lA)
これらが成り立つことは，ベクトルの計算法則から容易に想像がつくだろう．
ベクトルであっても行列であっても，和は成分どうしの和，実数倍は成分ごとの実数倍だからである．
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計算問題をしてみよう．
演習4.\quad
A=
\left(
    \begin{array}{c}
      -4  & 3 \\
      2   & -1
    \end{array}
  \right), B=
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
 のとき，2A-B-(3A-2B) を求めよ．
解答例
与式に直接代入してもかまわないが，せっかく計算法則があるのだから，同類項をまとめてから代入する．
2A-B-(3A-2B) = 2A - B - 3A + 2B = -A + B
=-
\left(
    \begin{array}{c}
      -4  & 3 \\
      2   & -1
    \end{array}
  \right)
+
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      -(-4) + 1  & 3 - 2 \\
      -2-3   & -(-1)+5
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
      5  & 1 \\
      -5 & 6
    \end{array}
  \right)
\blacksquare