さて一般に，\mathcal{L}[f(t)] が存在するための十分条件は，導入章にも言及しておいたように，
f(t) が次の関係を満たすことである．すなわち t が十分大きいところで，
となることである．このとき f(t) を指数 \alpha 位の関数ということは前にも述べた．
\alpha を特に意識する必要のないときは，\alpha を省略して呼ぶことにする．
例93\quad
f(t) が指数位の関数であるとき，\mathrm{Re}\ f(t) も \mathrm{Im}\ f(t) も指数位の関数であることを示せ．
解答例
f(t) = g(t) + i\ h(t), \quad g(t) と h(t) は実数を定義域とした実数値関数とすると，
\sqrt{ \{ g(t) \}^2 + \{ h(t) \}^2 } \leqq M
\right\}^2 } \leqq M
\right\} の両方が有限の値に収束しなければならない．
すなわち，g(t) = \mathrm{Re}\ f(t) と h(t) = \mathrm{Im}\ f(t) の両方が指数位である必要がある．
\diamondsuit
f(t) が指数位 \alpha の関数であるとき，\mathrm{Re}\ s > \alpha に対して，
が存在することは明らかである．事実，
}
で，\sigma > \alpha のとき，
であるから，複素数値関数の基本的性質Ⅴから \mathcal{L}[f] の存在が保証されるのである．
例94\quad
t^ne^{\alpha t} \quad (\alpha \in \mathbf{C}) は任意の n に対して指数位の関数である．
事実，
であるから，\beta > \mathrm{Re}\ \alpha, \quad t > 0 のとき\beta \in \mathbf{R}，
}
{{制御と振動の数学/equation|\frac{n!}{(\beta-\mathrm{Re}\ \alpha)^n}e^{\beta t} > t^ne^{(\mathrm{Re}\ \alpha)\cdot t} = |t^ne^{\alpha t}|e^{\alpha t} = e^{(\mathrm{Re}\ \alpha) t}e^{i(\mathrm{Im}\ \alpha) t}，|e^{i(\mathrm{Im})\ \alpha t}| = 1 より e^{(\mathrm{Re}\ \alpha) t} = |e^{\alpha t}|
したがって t^ne^{\alpha t} の Laplace 変換が存在する．
{(n-1)!}e^{\alpha t}e^{-st}dt
式 (2.8b) と同じ考え方である．
であるから，\mathrm{Re}\ s > \mathrm{Re}\ \alpha ならば，T \to \infty のとき，
これを逐次繰り返すことによって，
を得る．
\diamondsuit
補題 4.2\quad
f(t) が指数位の関数ならば \int_0^t f(\tau)d\tau もそうである．
証明
複素数値積分の基本的性質Ⅳと式 (4.10) により，t > 0 のとき，
}
ここに，M_1 := \frac{M}{\alpha} である．
\diamondsuit