定数係数の線形微分方程式を，
とおく．ここに p(s) は特性多項式である．もし，これが，
}
と因数分解できるならば，式 (3.25) の解は，
および，
のような n 個の関数の 1 次結合で与えられることは，前節で示した．ここに，
}
}
}
である．これらが 1 次独立であることを示すのが，本項の目的である．つまり t に関する恒等式，
から，すべての i, l, j, m に対して，
を示すことである．この証明には補題 3.4 と，前章に示した事実，
}
および
を用いる．
定理 3.4
n 個の関数
}
は 1 次独立である．
証明
の場合を証明すれば十分であろう．一般の場合は添え字 i, j などが二重についてわずらわしいだけである．
に，
を作用させると，i=l の場合以外はすべて消えて，
となる．補題 3.4 により
であるから，
を得る．次に，
を作用させると A_l = 0 となり，以下同様にして，
を得る．このとき式 (3.26) は，
となっている．これに，
}
を作用させると，
となる．以下同様にして，
を得る．
\diamondsuit