線型代数学 > 逆行列の一般型 
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逆行列は、
A^{-1} = \frac 1 {\det A} C
で書かれる。
ここでCは、Aの余因子行列である。
導出
第''l''行について考える。(l = 1 , ... , n)
このとき、l行l列について
ACを考えると、
\sum  _{m=1} ^ n a _{lm} c _{ml}
=\sum  _{m=1} ^ n a _{lm} (-1)^{m+ l} b _{lm}
,
(b _{lm}は、行列Aの行l、列mに関する小行列式。)
=\det A
(式の展開の逆)
また、l行で、i列(i = 1, ... , n : l 以外) について
ACを考えると、
\sum  _{m=1} ^ n a _{lm} c _{mi}
\sum  _{m=1} ^ n a _{lm} (-1)^{m+ i} b _{im}
これは、行列Aで、i行目をl行目で置き換えた行列の行列式に等しい。
行列式で行列のうちのある行か、ある列が他の行か他の列と一致する場合、
その2つの行または列からの寄与は必ず打ち消しあう。
(導出?)
よってi列からの寄与は0に等しい。
よって求める行列
ACは、
\det (A ) E
となり、
\frac 1 {\det A} C
は、(CはAの余因子行列)
Aの逆行列に等しいことが分る。
実際にはこの計算は多くの計算量を必要とするので
実用的な計算には用いられない。
実用的な計算にはガウスの消去法が
用いられることが多い。