この項は高等学校数学III 極限の演習問題Aである。
第n項が次の式で表される数列の極限を調べよ。また極限値が存在するならば求めよ。
(1) \frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}.
(2) \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).
(3) (-1)^n\left(1-\frac{2n}{3n-1}\right).
r>1 のとき、次を証明せよ。
a_n=\frac{k^n}{n!} の収束・発散について調べよ。極限値が存在する場合はこれを求めよ。ただし、k は定数とする。
.
よって、\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}\right)=4.
(1)（別解） \frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}=3-\frac{3}{n+1}+1+\frac{1}{n-1}=4-\frac{3}{n+1}+\frac{1}{n-1}.
よって、\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}\right)=4.
+1}.
よって、\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{2}.
{2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^2}.
よって、\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{2}.
\right).
なので、収束しない。（振動する）
(3)（別解） (-1)^n\left(1-\frac{2n}{3n-1}\right)=(-1)^n\left(1-\frac{2}{3}-\frac{2}{3(3n-1)}\right)=\frac{(-1)^n}{3}-\frac{2(-1)^n}{3(3n-1)}.
よって、nが偶数のとき\frac{1}{3}-\frac{2}{3(3n-1)}、nが奇数のとき-\frac{1}{3}+\frac{2}{3(3n-1)}なので、収束しない。（振動する）
\frac{n}{r^n}>0は明らか。
r>1なので、h>0を用いてr=1+hと表せる。
n \geqq 2のとき、r^n=(1+h)^n \geqq 1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2なので、
である。したがって、はさみうちの原理より
\lim_{n \to \infty}\frac{n}{r^n}=0
\frac{k^n}{n!}>0は明らか。
kは定数なので、kなる自然数mが取れる。
n>mのとき、
である。したがって、はさみうちの原理より
\lim_{n \to \infty}\frac{k^n}{n!}=0