定義 (体)
集合 K と写像 + : K \times K \rightarrow K, \ \cdot : K \times K \rightarrow K について、+(a, b) = a + b, \ \cdot(a, b) = ab と書くことにする。このとき、(K, +, \cdot) が(可換)体であるとは、以下の条件を満たすことを言う。
単位元の存在 : 0 \in K が存在して、任意の a \in K に対して a + 0 = 0 + a = a. この 0 という元を加法の単位元という。
単位元の存在 : 1 \in K が存在して、任意の a \in K に対して a1 = 1a = a. この 1 という元を加法の単位元という。
逆元の存在 : 加法の単位元 1 に対して、任意の 0 \neq a \in K に対して、 a' \in K が存在して aa' = a'a = 1. ただし、0 は加法の単位元である。
基本的には「(K, +, \cdot) は体である」というより、演算を省略して「K は体である」ということが多い。
例
\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} は、自然な加法と乗法について体となる。
\mathbb{Z} は、自然な加法と乗法について体にはならない。乗法の逆元が常に存在するとは限らないからである。
体 K の加法の単位元、乗法の単位元は共にただ一つ存在する。
証明
体は加法に関して群なので一般論より成り立つ。群論参照。
体 K の元 x の加法の逆元はただひとつ存在する。x \neq 0 なら、乗法の逆元はただひとつ存在する。
証明
体 K は加法に関して、またその部分集合 K^\ast:=K\setminus \{0\} は乗法に関してそれぞれ群を成すので、一般論より成り立つ。
群論参照。
このことから、加法の逆元を -x、乗法の逆元 x^{-1} などと書く。
定義
体 K, F の間の準同型 f : K \rightarrow F とは、以下を満たす写像である。
簡単に分かる性質として以下を挙げる。
体の準同型 f : K \rightarrow F は単射である。
証明
x \neq 0のとき、乗法の逆元x^{-1}が存在し、f(x)f(x^{-1})=1なので、f(x) \neq 0である。
よって、x \neq yのとき、x-y \neq 0なので、f(x-y) \neq 0、すなわちf(x) \neq f(y)である。
すなわち、fは単射である。\Box
定義
体の同型写像とは、準同型であり、かつ全単射であることを言う。
体という数学的構造を扱う際、同型な体は同じ構造を持っているとみなすことができる。
体の同型写像の逆写像はまた準同型写像である。
証明
練習問題。
定義
体 K とその部分集合 F について、K の演算 +, \cdot:K \times K \rightarrow K を F \times F 上に制限したときの行き先が必ず F に入り、かつ、その制限写像によって F が体になるとき、F は K の部分体である、K/F は体の拡大である、という。
このとき包含写像が準同型になることに注意。
体の準同型 f : K \rightarrow F があるとき、K, f(K) が同型であることから、命題 4 とあわせて、体の準同型があれば同型を除けばそれは体の拡大である、と思うことができる。
例
\mathbb{C}/\mathbb{R}, \ \mathbb{R}/\mathbb{Q} は体の拡大である。
定義
K/F, \ K'/F を体の拡大とする。f : K \rightarrow K' が体 F 上の(準)同型であるとは、体の(準)同型であり、かつ F 上では恒等写像であることをいう。
定義
K/F を体の拡大とする。K/F の自己同型とは、F 上の同型写像 f : K \rightarrow K のことをいう。自己同型全体の集合 \operatorname{Aut}(K/F) には、写像の合成を積とする群構造が入る。これを自己同型群という。
定義
体の拡大 K/F について、L がその中間体であるとは、K/L, \ L/F が体の拡大になっていることをいう。
体の拡大 K/F および中間体 L_i \ \ \ (i \in I) について、L = \bigcap_{i \in I} L_i は中間体である。
証明
体の演算について閉じていることを機械的に確かめるだけなので、省略。群論参照。
体の拡大 K/F および集合 S \subseteq K について、S を含むような K/F の中間体のうち、包含順序について最小の中間体が存在する。
証明
\{L_i\}_{i} を S を含むような K/F の中間体全体の集合として、命題 5 を適用する。
定義
命題 6 で存在が保証される体を F(S) と書く。特に S = \{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \} が有限集合である場合、F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) とも書く。
体の拡大 K/F および集合 S \subseteq K について、F(S) = \{ \alpha \in K \ : \ f(X_1, \cdots, X_n) \in F(X_1, \cdots, X_n), \ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \in S  が存在して \alpha = f(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\}.
ただし、F(X_1, \cdots, X_n) は F 上の n 変数有理関数体であり、その元は F 係数多項式 f, g (\neq 0) \in F[X] で f / g と表せるもの全体からなる。
証明
命題の主張にある集合 L が体であることを確認する（省略）。そうすると、明らかに S \subseteq L であり、S を含む中間体である。逆に、そのような任意の中間体は L を含む。
体の拡大 K = F(S)/F, \ L/F と体 F 上の準同型 f, f' : K \rightarrow L について、f(\alpha) = f'(\alpha) \ (\forall \alpha \in S) であるならば f = f' である。
証明
命題7 より。詳細は読者に委ねる。