2.1
A, B を集合とする．
集合論的直積 A\times B=\{(a, b)|a\in A, b\in B\} の（任意に定められた）部分集合 \rho を
A の元と B の元の間の関係という．
(a, b)\in \rho のとき a と b は関係 \rho にある，
または関係 \rho をみたすといい，
このとき \rho(a, b) あるいは a\rho b と書く．特に A=B のとき \rho は
A の内部関係，または単に A 上の関係 という．
A の元と B の元との間に他の関係 \sigma があり，A\times B の部分集合として
\sigma \subset \rho であるとき，\sigma は \rho より弱い関係，
\rho は \sigma より強い関係という．これは a\sigma b ならば a\rho b
でることと同等である．また \Sigma が A の元と B の元の間の関係の族であるとき，
A\times B の中でのその集合論的共通部分を \bigwedge\Sigma であらわす．
\sigma=\bigwedge\Sigma であるとき a\sigma b であることとすべての \rho\in\Sigma について
a\rho b であることとは同等である．
a\in A, b\in B を先に決めて、それに対して \Sigma に属する一つ一つの関係 \rho \in \Sigma を順次あてはめていく。
大抵の場合は、特定の関係 \rho にて (a, b) \notin \rho，すなわち関係 \rho はなりたたない、ということになるが、
(a, b) の組によっては、すべての関係 \rho \in \Sigma について (a, b) \in \rho，いいかえると a\rho b となる組 (a, b) が存在するかもしれない．そういう (a, b) が存在するのなら、(a, b) は \Sigma の交 \bigwedge\Sigma に含まれている。
この \sigma を \Sigma の交という．
2.2
A は集合，\rho はその上の関係とする．\rho が A の中で条件
反射律
対称律
推移律
を同時にみたすとき，\rho は A の上で同値条件をみたす，または同値関係であるといい，
\rho が同値関係であるとき a \rho b である a と b は \rho について互いに同値である という．
2.3
\rho が A の上の同値関係のとき，各 a\in A に対して
U_{\rho}(a)=\{x\in A|x\rho a\}
とおく．\rho の反射律から各 a\in A について a\in U_{\rho}(a) で特に U_{\rho}(a)\ne\phi．
また c\in U_{\rho}(a)\cap U_{\rho}(b) のとき，
そのような c が仮に存在した場合の論議が続き，結論は U_{\rho}(a)\subset U_{\rho}(b), U_{\rho}(b)\subset U_{\rho}(a) を経て U_{\rho}(a)=U_{\rho}(b)．
対称律から a\in U_{\rho}(c) で
c \in U_{\rho}(a) \cap U_{\rho}(b) より c \in U_{\rho}(a)．\therefore c \in \{ x \in A | x \rho a \}．
これに対称律を適用して c \in \{ x \in A | a \rho x \}．
\therefore a \rho c．
\therefore a \in \{ x \in A | x \rho c \}．
\therefore a \in U_{\rho}(c)．
，
よって x\in U_{\rho}(a) なら推移律から x\in U_{\rho}(c) で，さらに x\in U_{\rho}(b)
\forall x \in Aについてx \in U_{\rho}(a) のとき
\forall x (\in A) x \rho a，…① 
c \in U_{\rho}(a) より a \rho c，…②
①②より推移律から \forall x(\in A) x \rho c ．…③
c \in U_{\rho}(a) \cap U_{\rho}(b) より c \in U_{\rho}(b)．\therefore c \rho b．…④
③④より推移律から \forall x(\in A) x \rho b．\therefore x \in A について x \in U_{\rho}(b)
すなわち U_{\rho}(a)\subset U{\rho}(b)．
同様にして U_{\rho}(b)\subset U{\rho}(a)
c\in U_{\rho}(a)\cap U_{\rho}(b) より 
c\in U_{\rho}(b)．これと対称律より \therefore b \rho c…①，
また c\in U_{\rho}(a)．\therefore c \rho a…②，
今 \forall x \in A で x \in U_{\rho}(b) のとき…③、
③より \forall x(\in A) x \rho b…④
④①より推移律から \forall x (\in A) x \rho c．
これと②より推移律から \forall x (\in A) x \rho a．
すなわち \forall x (\in A) \in U_{\rho}(a)．…⑤ 
③⑤はすなわち \forall x (\in A) \in U_{\rho}(b) ならば  \forall x (\in A) \in U_{\rho}(a)．\therefore U_{\rho}(b) \subset U_{\rho}(a)．
で，従って U_{\rho}(a)=U{\rho}(b) となる．よって
\mathfrak{U}=\{X| ある a\in A について X=U_{\rho}(a)\}
とおけば \mathfrak{U} は \mathfrak{P}(A) の部分集合
各々の X に重なりがある可能性を含んでベキ集合として把握する． 
で三つの条件
1^\circ\quad\   どの X \in \mathfrak{U} も空ではない 
2^\circ\quad\   X, Y \in \mathfrak{U} ならば X \cap Y = \phi であるかまたは X = Y である
3^\circ\quad\   \bigcup\mathfrak{U} = A
X を表す．\bigcap\mathfrak{U} についても同様
をみたす．\mathfrak{P}(A) の部分集合 \mathfrak{U} がこの三条件をみたすとき \mathfrak{U} は A の類別といい，
各 X \in \mathfrak{U}  はこの類別の同値類という．また \rho から上のように定められた \mathfrak{U} を
\rho から 導かれた類別という．
逆に \mathfrak{U} が A の任意の類別のとき，a, b が同一の X \in \mathfrak{U} に属するとき
a\rho b とすれば，\rho は A 上の同値関係となり，もとの \mathfrak{U} はこれから導かれた類別となる.
．
2.4
2.2 の中で考察された \rho についての三つの条件，
反射律，
対称律，
推移律
はすべて次の形をしているのに気がづく．
”すべての元 a, b, c, d, \cdots, x, y について（これらの変数のいくつかは同一のものであってもよい），
もし a \rho b，c \rho d，\cdots（これらを仮設式という）であるならば
x \rho y (これを終結式という）である．”
関係に関する条件がこの形をしているとき，この条件は 含意型であるという．
[注] 特別な場合として反射律のように仮設式の集合が空であってもかまわない．
この場合終結式が無条件に成立つことを意味する．
補題
\alpha が集合 A の上の関係に関する含意型の条件，\Sigma は A の上の関係のある族とする．
もしすべての \rho \in \Sigma が \alpha をみたすなら \sigma \in \bigwedge \Sigma も \alpha をみたす．
証明
A の元a, b, c, d, \cdots に対して \sigma が \alpha の各仮設式 a \sigma b 等を成立させたとする．
このときすべての \rho \in \Sigma について a\rho b 等が成立ち，
よってすべての \rho\in\Sigma に対して終結式 x\rho y が成立つ．
従って x\sigma y で \sigma は \alpha をみたす．（証明終）
系
\Sigma が集合 A 上の同値関係の集合ならば \bigwedge\Sigma も同値関係である．
2.5
\rho と \sigma が共に集合 A 上の同値関係で，
\rho が \sigma より強ければ
a, x\in A について x\sigma a ならば x \rho a  となり，よって U_\sigma (a) \subset U_\rho (a)．
従って \sigma による同値類はすべて \rho による一つの同値類の部分集合となる．
例えば \sigma は '='，\rho は合同（剰余系）の'\equiv'．
一般に A の二つの類別 \mathfrak{U}, \mathfrak{B} があり，\mathfrak{U} の各同値類が \mathfrak{B}
の一つの同値類に含まれるとき，\mathfrak{U} は \mathfrak{B} より 細かい，
\mathfrak{B} は \mathfrak{U} より 粗いという．
同値関係は強いほど対応する類別は粗くなり，
特に 2.4 の系に現れる \bigwedge \Sigma を \sigma とすれば，
U_{\sigma}(a)=\bigcap\{ U_\rho(a)|\rho \in \Sigma \} が成り立つ．
2.6
同一関係 = はすべての同値関係の中で最も弱いものであり，
またすべての元 a, b に対して a\upsilon b とした全称関係 \upsilon 
はどのような関係よりも強い同値関係である．さらに一般に
定理
\tau を集合 A の上の任意に与えられた関係とするとき，
\tau より強い同値関係の中で最も弱いもの \sigma が
存在する．
証明 
\Sigma を \tau より強い同値関係全体の集合とすれば、
全称関係は \Sigma に入るから \Sigma は空ではない．
\sigma = \wedge \Sigma とすればよい。（証明終）
また同じことであるが，a\sigma b の条件として a=b であるかまたは
集合 X, Y に対して X \triangle Y = (X \cup Y) - (X \cap Y) を
X と Y の対称差 という。
，
X \triangle Y がある無限濃度 \mathfrak{m} より小さいという関係
 は同値関係で，特に後者は \mathfrak{m}
が大きいほど強くなる．
数学
圏論