解の一意性の応用として，三角関数の加法定理の証明を紹介しよう．
x(t) = \sin(t + \alpha) は，
の解であり，その初期値は，
である
なぜなら x(t) = \sin(t+\alpha) より x'(t)=\cos(t+\alpha) だから t=0 を両者に代入して x(0)=\sin\alpha, \ \ x'(0)=\cos\alpha
．この解は一つしかない．いま式 (3.15) ，
式 (3.16) を満たす解を
Laplace 変換で求めてみよう．
この原像は，
である．よって解の一意性から，
を得る．
例72\quad
例にならって e^t, \cos t の加法定理を導け．
解答例
x(t) = e^t は \frac{dx}{dt} - x = 0…① の解．
よって定常性の原理より x(t+\alpha)=e^{t+\alpha} も①の解であり，この解の①における初期値は x(0) = e^{\alpha}…②
①②の微分方程式を解く．X \sqsubset x とおくと，
sX-e^{\alpha} - X= 0
{s-1}
この原像は，
x = e^{\alpha}e^t…③
解の一意性より、①②の特殊解は③のみであるから，
e^{t+\alpha} = e^te^{\alpha}．
x=\cos t は \frac{d^2x}{dt^2} + x = 0 …④ の解
よって定常性の原理より \cos(t+\alpha) も④の解であり，この解の④における初期値は x(0) = \cos\alpha, x'(0) = -\sin\alpha…⑤
④⑤の微分方程式を解く．X \sqsubset x とおくと，
s^2S-s\cos\alpha+\sin\alpha + \sin\alpha + X = 0
\therefore X = \frac{s}{s^2 + 1}\cos\alpha - \frac{1}{s^2+1}\sin\alpha
この原像は，
x = \cos t\cos\alpha - \sin t\sin\alpha…⑥
解の一意性より，④⑤の特殊解は⑥のみであるから，
\cos(t+\alpha) = \cos t\cos\alpha - \sin t\sin\alpha
\diamondsuit