b'\n_START_ARTICLE_\nLema lui Zorn\n_START_PARAGRAPH_\nLema lui Zorn, numit\xc4\x83 \xc8\x99i lema Kuratowski-Zorn, este o lem\xc4\x83 \xc3\xaen cadrul teoriei mul\xc8\x9bimilor.\n_START_SECTION_\nEnun\xc8\x9b\n_START_PARAGRAPH_\nDac\xc4\x83 M este o mul\xc8\x9bime nevid\xc4\x83 pe care exist\xc4\x83 o rela\xc8\x9bie de ordine (par\xc8\x9bial\xc4\x83) cu proprietatea c\xc4\x83 pentru orice submul\xc8\x9bime T total ordonat\xc4\x83 de ordinea de pe M exist\xc4\x83 \xc3\xaen M un element care o majoreaz\xc4\x83, atunci M admite un element maximal._NEWLINE_Lema lui Zorn rezult\xc4\x83 din axioma alegerii \xc8\x99i este echivalent\xc4\x83 cu aceasta (dac\xc4\x83 \xc3\xaen teoria mul\xc8\x9bimilor nu se consider\xc4\x83 axioma alegerii \xc3\xaen schimb se consider\xc4\x83 ca axiom\xc4\x83 enun\xc8\x9bul lemei lui Zorn, atunci se poate demonstra ca teorem\xc4\x83 enun\xc8\x9bul axiomei alegerii). O alt\xc4\x83 proprietate important\xc4\x83 echivalent\xc4\x83 cu axioma alegerii \xc8\x99i cu lema lui Zorn este teorema lui Zermelo de bun\xc4\x83 ordonare: pe orice mul\xc8\x9bime se poate defini o rela\xc8\x9bie de bun\xc4\x83 ordonare.\n_START_SECTION_\nExemple\n_START_PARAGRAPH_\nIdeea de demonstra\xc8\x9bie a faptului c\xc4\x83 orice spa\xc8\x9biu vectorial X are cel pu\xc8\x9bin o baz\xc4\x83 algebric\xc4\x83 este urm\xc4\x83toarea: Se consider\xc4\x83 mul\xc8\x9bimea \\mathcal{F} a mul\xc8\x9bimilor A de vectori liniar independen\xc8\x9bi din X. Pe aceast\xc4\x83 mul\xc8\x9bime se consider\xc4\x83 ordinea dat\xc4\x83 de rela\xc8\x9bia de incluziune \xc3\xaentre mul\xc8\x9bimi. Pentru orice submul\xc8\x9bime \\mathcal{T}\\subseteq\\mathcal{F} de mul\xc8\x9bimi incluse una \xc3\xaen alta (\\forall A,B\\in\\mathcal{T}, A\\subseteq B sau B\\subseteq A), reuniunea lor \\bigcup\\mathcal{T} este o mul\xc8\x9bime de vectori liniar independen\xc8\x9bi \xc8\x99i deci un majorant pentru \\mathcal{T}. Ca urmare, se poate aplica lema lui Zorn \xc8\x99i rezult\xc4\x83 c\xc4\x83 exist\xc4\x83 o mul\xc8\x9bime maximal\xc4\x83 \xc3\xaen \\mathcal{F}. Aceast\xc4\x83 mul\xc8\x9bime maximal\xc4\x83 este o baz\xc4\x83 a lui X._NEWLINE_\xc3\x8en alte cazuri, construc\xc8\x9bia mul\xc8\x9bimii par\xc8\x9bial ordonate este mai complicat\xc4\x83. Pentru a demonstra c\xc4\x83 orice dou\xc4\x83 cardinale sunt comparabile, se ia mul\xc8\x9bimea bijec\xc8\x9biilor definite pe o submul\xc8\x9bime a uneia dintre mul\xc8\x9bimi cu valori \xc3\xaentr-o submul\xc8\x9bime a celeilalte. O func\xc8\x9bie este considerat\xc4\x83 \xe2\x80\x9emai mic\xc4\x83\xe2\x80\x9d dec\xc3\xa2t alta dac\xc4\x83 este o restric\xc8\x9bie a ei (domeniul primeia este inclus \xc3\xaen domeniul celeilalte \xc8\x99i cele dou\xc4\x83 func\xc8\x9bii coincid pe domeniul mai mic).'