b'\n_START_ARTICLE_\nTeoria geometric\xc4\x83 a grupurilor\n_START_PARAGRAPH_\nTeoria geometric\xc4\x83 a grupurilor este un domeniu matematic dedicat studiului grupurilor finit generate prin explorarea leg\xc4\x83turilor dintre propriet\xc4\x83\xc8\x9bile algebrice ale unor astfel de grupuri \xc8\x99i propriet\xc4\x83\xc8\x9bile topologice \xc8\x99i geometrice ale spa\xc8\x9biilor pe care ac\xc8\x9bioneaz\xc4\x83 aceste grupuri (adic\xc4\x83 atunci c\xc3\xa2nd grupurile \xc3\xaen cauz\xc4\x83 sunt realizate ca simetrii geometrice sau transform\xc4\x83ri continue ale unor spa\xc8\x9bii). _NEWLINE_O alt\xc4\x83 idee important\xc4\x83 \xc3\xaen teoria geometric\xc4\x83 a grupurilor este aceea de a considera grupurile finit generate ca obiecte geometrice. Aceasta se face de obicei prin studierea grafurilor Cayley ale grupurilor, care, pe l\xc3\xa2ng\xc4\x83 structura de graf, sunt dotate cu structur\xc4\x83 de spa\xc8\x9biu metric, dat de a\xc8\x99a numita metric\xc4\x83 de cuv\xc3\xa2nt. _NEWLINE_Teoria geometric\xc4\x83 a grupurilor, ca domeniu distinct, este relativ nou\xc4\x83 \xc8\x99i a devenit o ramur\xc4\x83 clar identificabil\xc4\x83 a matematicii la sf\xc3\xa2r\xc8\x99itul anilor 1980 \xc8\x99i \xc3\xaenceputul anilor 1990. Teoria geometric\xc4\x83 a grupurilor interac\xc8\x9bioneaz\xc4\x83 \xc3\xaendeaproape cu topologia \xc3\xaen dimensiuni reduse, geometria hiperbolic\xc4\x83, topologia algebric\xc4\x83, teoria computa\xc8\x9bional\xc4\x83 a grupurilor \xc8\x99i geometria diferen\xc8\x9bial\xc4\x83. Exist\xc4\x83, de asemenea, leg\xc4\x83turi substan\xc8\x9biale cu teoria complexit\xc4\x83\xc8\x9bii, logica matematic\xc4\x83, studiul grupurilor Lie \xc8\x99i subgrupurile lor discrete, sistemele dinamice, teoria probabilit\xc4\x83\xc8\x9bilor, K-teoria \xc8\x99i alte domenii ale matematicii. _NEWLINE_\xc3\x8en introducerea c\xc4\x83r\xc8\x9bii Topics in Geometric Group Theory, Pierre de la Harpe scria: \xe2\x80\x9eUna dintre convingerile mele personale este c\xc4\x83 fascina\xc8\x9bia fa\xc8\x9b\xc4\x83 de simetrii \xc8\x99i grupuri este o modalitate de a face fa\xc8\x9b\xc4\x83 frustr\xc4\x83rilor limitelor vie\xc8\x9bii: ne place s\xc4\x83 recunoa\xc8\x99tem simetriile care ne permit s\xc4\x83 recunoa\xc8\x99tem mai mult dec\xc3\xa2t ceea ce vedem. \xc3\x8en acest sens, studiul teoriei geometrice a grupurilor este o parte a culturii, \xc8\x99i \xc3\xaemi aminte\xc8\x99te de mai multe lucruri pe care Georges de Rham le practica \xc3\xaen mai multe r\xc3\xa2nduri, cum ar fi predarea matematicii, recitarea lui Mallarm\xc3\xa9, sau salutul adresat unui prieten\xe2\x80\x9d.\n_START_SECTION_\nIstorie\n_START_PARAGRAPH_\nTeoria geometric\xc4\x83 a grupurilor a reie\xc8\x99it din teoria combinatoric\xc4\x83 a grupurilor, care studia \xc3\xaen mare m\xc4\x83sur\xc4\x83 propriet\xc4\x83\xc8\x9bile grupurilor discrete prin analiza prezent\xc4\x83rilor de grup care descriu grupurile drept factori ai grupurilor libere; acest domeniu a fost mai \xc3\xaent\xc3\xa2i studiat sistematic de Walther von Dyck, student al lui Felix Klein, la \xc3\xaenceputul anilor 1880,  \xc8\x99i form\xc4\x83 timpurie se g\xc4\x83se\xc8\x99te \xc3\xaen 1856 \xc3\xaen calculul icosian al lui William Rowan Hamilton, care a studiat grupul de simetrie icosaedral\xc4\x83, prin intermediul grafului muchiilor dodecaedrului. \xc3\x8en prezent, teoria combonatoric\xc4\x83 a grupurilor este, ca domeniu, \xc3\xaen mare parte subsumat\xc4\x83 teoriei geometrice a grupurilor. Mai mult, termenul \xe2\x80\x9eteoria geometric\xc4\x83 a grupurilor\xe2\x80\x9d a ajuns adesea s\xc4\x83 studieze grupuri discrete folosind metode probabilistice, de teoria m\xc4\x83surii, aritmetice, analitice \xc8\x99i alte abord\xc4\x83ri care se afl\xc4\x83 \xc3\xaen afara arsenalului tradi\xc8\x9bional de al teoriei combinatorice a grupurilor. _NEWLINE_\xc3\x8en prima jum\xc4\x83tate a secolului al XX-lea, lucr\xc4\x83rile de pionierat ale lui Max Dehn, Jakob Nielsen, Kurt Reidemeister \xc8\x99i Otto Schreier, JHC Whitehead, Egbert van Kampen, printre al\xc8\x9bii, au introdus c\xc3\xa2teva idei topologice \xc8\x99i geometrice \xc3\xaen studiul grupurilor discrete. Al\xc8\x9bi precursori ai teoriei geometrice a grupurilor sunt teoria mic\xc4\x83 a anul\xc4\x83rii \xc8\x99i teoria Bass-Serre. Prima a fost introdus\xc4\x83 de Martin Grindlinger \xc3\xaen anii 1960 \xc8\x99i dezvoltat\xc4\x83 \xc3\xaen continuare de Roger Lyndon \xc8\x99i Paul Schupp.  Ea studiaz\xc4\x83 diagramele van Kampen, care corespund prezent\xc4\x83rilor grupurilor finite, prin condi\xc8\x9biile combinatorice de curbur\xc4\x83 \xc8\x99i deriv\xc4\x83 propriet\xc4\x83\xc8\x9bile algebrice \xc8\x99i algoritmice ale grupurilor din astfel de analize. Teoria Bass-Serre, introdus\xc4\x83 \xc3\xaen cartea lui Serre din 1977, ofer\xc4\x83 informa\xc8\x9bii structurale algebrice despre grupuri prin studierea ac\xc8\x9biunilor de grup pe arbori simpliciali. Printre precursorii externi ai teoriei geometrice a grupurilor se num\xc4\x83r\xc4\x83 studiul laticelor \xc3\xaen grupurile Lie, \xc3\xaen special teorema de rigiditate a lui Mostow, studiul grupurilor kleiniene \xc8\x99i progresele realizate \xc3\xaen topologia de mici dimensiuni \xc8\x99i \xc3\xaen geometria hiperbolic\xc4\x83 \xc3\xaen anii 1970 \xc8\x99i la \xc3\xaenceputul anilor 1980 determinate, \xc3\xaen special, de programul de geometrizare al lui William Thurston. _NEWLINE_Apari\xc8\x9bia teoriei geometrice a grupurilor ca domeniu distinct al matematicii este de obicei identificat\xc4\x83 la sf\xc3\xa2r\xc8\x99itul anilor 1980 \xc8\x99i \xc3\xaenceputul anilor 1990. Ea a fost stimulat\xc4\x83 de monografia lui Mihail Gromov din 1987 \xe2\x80\x9eGrupurile hiperbolice\xe2\x80\x9d care a introdus no\xc8\x9biunea de grup hiperbolic, care surprinde ideea unui grup finit generat ca av\xc3\xa2nd curbur\xc4\x83 negativ\xc4\x83 pe scar\xc4\x83 larg\xc4\x83, \xc8\x99i monografia sa Invarian\xc8\x9bii asimptotici ai grupurilor infinite care rezuma programul lui Gromov de \xc3\xaen\xc8\x9belegere a grupurilor discrete p\xc3\xa2n\xc4\x83 la cvasiisometrie. Lucrarea lui Gromov a avut un efect transformator asupra studierii grupurilor discrete iar fraza \xe2\x80\x9eteoria geometric\xc4\x83 a grupurilor\xe2\x80\x9d a \xc3\xaenceput s\xc4\x83 apar\xc4\x83 imediat dup\xc4\x83 aceea. (a se vedea, de exemplu,).'