b'\n_START_ARTICLE_\nIstoria geometriei\n_START_PARAGRAPH_\nIstoria geometriei urm\xc4\x83re\xc8\x99te evolu\xc8\x9bia acestei \xc8\x99tiin\xc8\x9be care studiaz\xc4\x83 rela\xc8\x9biile spa\xc8\x9biale din cele mai vechi timpuri, c\xc3\xa2nd oamenii au \xc3\xaenceput s\xc4\x83 m\xc4\x83soare distan\xc8\x9bele, ariile \xc8\x99i volumele, ca apoi s\xc4\x83 se ajung\xc4\x83 la geometria clasic\xc4\x83, \xc3\xaen care accentul era pus pe construc\xc8\x9biile cu rigla \xc8\x99i compasul._NEWLINE_Un moment crucial l-a constituit introducerea rigorii matematice prin axiomatizarea introdus\xc4\x83 de Euclid, care a influen\xc8\x9bat evolu\xc8\x9bia a secole \xc3\xaentregi de \xc8\x99tiin\xc8\x9b\xc4\x83._NEWLINE_\xc3\x8en epoca modern\xc4\x83, geometria beneficiaz\xc4\x83 de aportul algebrei abstracte \xc8\x99i a calculului diferen\xc8\x9bial \xc8\x99i integral \xc8\x99i a evoluat \xc3\xaen diverse ramuri ale acesteia, cu grad \xc3\xaenalt de abstractizare, mult diferen\xc8\x9biate de formele din trecut.\n_START_SECTION_\nAntichitate\n_START_PARAGRAPH_\nDebutul geometriei poate fi remarcat la acele civiliza\xc8\x9bii din Valea Indusului \xc8\x99i la babilonieni acum cinci milenii._NEWLINE_Pe atunci totul se limita la c\xc3\xa2teva cuno\xc8\x99tin\xc8\x9be empirice privind lungimi, unghiuri, arii, volume necesare \xc3\xaen construc\xc8\x9bii, astronomie, naviga\xc8\x9bie \xc8\x99i alte me\xc8\x99te\xc8\x99uguri._NEWLINE_Egiptenii \xc8\x99i babilonienii cuno\xc8\x99teau teorema lui Pitagora cu 1.500 de ani \xc3\xaenaintea marelui geometru grec._NEWLINE_Egiptenii \xc8\x99tiau s\xc4\x83 calculeze volumul trunchiului de piramid\xc4\x83, iar babilonienii posedau deja tabele trigonometrice.\n_START_SECTION_\nSuprafa\xc8\x9ba triunghiului\n_START_PARAGRAPH_\nScribul a folosit un procedeu grafic de rezolvare a problemei, fiind dat un triunghi oarecare. El construie\xc8\x99te, pornind de la baza care \xc3\xaei este dat\xc4\x83, un dreptunghi care are dou\xc4\x83 laturi egale cu \xc3\xaen\xc4\x83l\xc8\x9bimea triunghiului. Jum\xc4\x83tate din suprafa\xc8\x9ba acestui dreptunghi este solu\xc8\x9bia c\xc4\x83utat\xc4\x83. (Papirusul Rhind, probl.51). Scribii \xc8\x99tiau s\xc4\x83 calculeze suprafa\xc8\x9ba unui trapez (Papirusul Rhind, probl.52), ceea ce implic\xc4\x83 c\xc4\x83 ei \xc8\x99tiau s\xc4\x83 calculeze \xc8\x99i suprafa\xc8\x9ba triunghiurilor.\n_START_SECTION_\nTeorema lui Pitagora\n_START_PARAGRAPH_\nBabilonienii aveau t\xc4\x83bli\xc8\x9be pur aritmetice referitoare la numerele pitagoreice. Pe celebra t\xc4\x83bli\xc8\x9b\xc4\x83 de lut ars Plimpton 322 se afl\xc4\x83 scrise cu litere cuneiforme un tabel de numere care s-au dovedit a fi o list\xc4\x83 de triplete de numere pitagoreice. Un alt text presupune cunoscut\xc4\x83 rela\xc8\x9bia pitagoreic\xc4\x83 \xc3\xaentre latura \xc8\x99i diagonala unui p\xc4\x83trat. Exist\xc4\x83 numeroase probleme geometrico-algebrice care utilizeaz\xc4\x83 curent rela\xc8\x9bia lui Pitagora. Multe texte arat\xc4\x83 c\xc4\x83 babilonienii cuno\xc8\x99teau proprietatea p\xc4\x83tratului ipotenuzei de a fi egal cu suma p\xc4\x83tratelor celorlalte dou\xc4\x83 laturi\n_START_SECTION_\nCercul\n_START_PARAGRAPH_\nDe\xc8\x99i de obicei operau cu valoarea \xcf\x80 = 3., ei cuno\xc8\x99teau \xc8\x99i o valoare aproximativ\xc4\x83 a lui \xcf\x80 =3x 1/8 (adic\xc4\x83 3,125 ). Aceast\xc4\x83 aproxima\xc8\x9bie mult mai bun\xc4\x83 este utilizat\xc4\x83 \xc3\xaentr-o t\xc4\x83bli\xc8\x9b\xc4\x83 care provine din s\xc4\x83p\xc4\x83turile misiunii franceze de la Susa (1933) (cf E.M. Bruins- Quelques textes mathematiques de la mission de la Suse, \xc3\xaen ,,Proc. Ac. Amsterdam\xe2\x80\x9d, 1950). Babilonienii \xc8\x99tiau s\xc4\x83 \xc3\xaenscrie \xc3\xaentr-un cerc un hexagon cu latura egal cu raza.\n_START_SECTION_\nSimilitudinea\n_START_PARAGRAPH_\nT\xc4\x83bli\xc8\x9ba AO6484 cuprinde \xc8\x99i dou\xc4\x83 probleme referitoare la rela\xc8\x9biile de similitudine \xc3\xaen triunghiurile dreptunghice.\n_START_SECTION_\nGeometria indian\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nScrierea Shatapatha Brahmana (secolul al IX-lea \xc3\xae.Hr.) con\xc8\x9bine nu numai ritualuri religioase, ci \xc8\x99i referitoare la construc\xc8\x9bii geometrice._NEWLINE_La fel \xc8\x99i \xc3\xaen textele Sulbasutra, cele mai vechi av\xc3\xa2nd aproape 3 milenii, g\xc4\x83sim re\xc8\x9bete geometrice privin construc\xc8\x9bia templelor \xc8\x99i altarelor._NEWLINE_De\xc8\x99i aveau forme diferite, toate aceste locuri de devo\xc8\x9biune \xc8\x99i de ardere a ofrandelor trebuia s\xc4\x83 ocupe aceea\xc8\x99i suprafa\xc8\x9b\xc4\x83._NEWLINE_Dup\xc4\x83 unii autori, scrierile \xc5\x9aulba S\xc5\xabtras ar con\xc8\x9bine cea mai veche form\xc4\x83 scris\xc4\x83 a teoremei lui Pitagora._NEWLINE_Aici g\xc4\x83sim \xc8\x99i c\xc3\xa2teva triplete de numere pitagoreice \xc8\x99i de asemenea \xc3\xaencerc\xc4\x83ri de a efectua cuadratura cercului._NEWLINE_Matematicianul Baudhayana, care a tr\xc4\x83it cam acum 800 \xc3\xae.Hr. a calculat \xcf\x80 cu c\xc3\xa2teva zecimale \xc8\x99i a efectuat investiga\xc8\x9bii \xc3\xaen aceea\xc8\x99i teorem\xc4\x83 a lui Pitagora de mai t\xc3\xa2rziu._NEWLINE_O alt\xc4\x83 scriere important\xc4\x83 este manuscrisul Bakhshali, care este datat \xc3\xaentr-o perioad\xc4\x83 cuprins\xc4\x83 \xc3\xaentre secolul al II-lea \xc3\xae.Hr. \xc8\x99i secolul al III-lea d.Hr._NEWLINE_\xc3\x8en aceast\xc4\x83 scriere apare pentru prima dat\xc4\x83 cifra zero \xc8\x99i scrierea zecimal\xc4\x83._NEWLINE_Tot aici se g\xc4\x83sesc numeroase probleme geometrice printre care \xc8\x99i calculul volumelor unor corpuri de form\xc4\x83 neregulat\xc4\x83._NEWLINE_Marele matematician indian Aryabhata, pe l\xc3\xa2ng\xc4\x83 multe alte contribu\xc8\x9bii \xc3\xaen domeniile astronomiei \xc8\x99i matematicii, a \xc3\xaentocmit ceea ce ast\xc4\x83zi s-ar numi tabel de valori pentru func\xc8\x9bia sinus._NEWLINE_Mai mult, a studiat am\xc4\x83nun\xc8\x9bit num\xc4\x83rul \xcf\x80 \xc8\x99i l-a calculat cu patru zecimale, o precizie destul de ridicat\xc4\x83 pentru acea vreme._NEWLINE_Aryabhata este unul dintre primii matematicieni care a intuit faptul c\xc4\x83 \xcf\x80 este ira\xc8\x9bional._NEWLINE_Un alt mare matematician a fost Brahmagupta (598\xe2\x80\x93668)._NEWLINE_Cel mai celebru rezultat al s\xc4\x83u din geometrie este formula care \xc3\xaei poart\xc4\x83 numele \xc8\x99i care stabile\xc8\x99te leg\xc4\x83tura dintre laturile \xc8\x99i diagonalele unui patrulater inscriptibil:_NEWLINE__NEWLINE_unde s este semiperimetrul acestuia:\xc2\xa0_NEWLINE_C\xc3\xa2nd una din laturi are lungime zero, ob\xc8\x9binem formula lui Heron._NEWLINE_De asemenea, \xc3\xaen scrierile sale apare urm\xc4\x83torul rezultat:_NEWLINE_Dac\xc4\x83 avem un triunghi cu laturile , iar aria acestuia este un num\xc4\x83r ra\xc8\x9bional, atunci laturile triunghiului pot fi scrise sub forma:_NEWLINE_unde u, v,  \xc8\x99i w sunt numere ra\xc8\x9bionale.\n_START_SECTION_\nGeometria modern\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x8en Rena\xc8\x99tere, \xc3\xaen locul Elementelor lui Euclid, au fost publicate lucr\xc4\x83ri mai accesibile pentru \xc3\xaenv\xc4\x83\xc8\x9b\xc4\x83m\xc3\xa2nt, datorate diver\xc8\x99ilor pedagogi._NEWLINE_Ren\xc3\xa9 Descartes (1596 - 1650) \xc3\xaempreun\xc4\x83 cu Pierre Fermat (1601 - 1665) sunt considera\xc8\x9bi creatorii geometriei analitice._NEWLINE_Calculul diferen\xc8\x9bial \xc8\x99i integral dezvoltat de Isaac Newton (1642-1727) \xc8\x99i Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) \xc3\xae\xc8\x99i g\xc4\x83se\xc8\x99te aplica\xc8\x9bie \xc3\xaen domeniul geometriei analitice la studiul curbelor, suprafe\xc8\x9belor \xc8\x99i al corpurilor cu forme complexe, rezolv\xc3\xa2nd probleme de tipul determin\xc4\x83rii tangentei la o curb\xc4\x83, ariei suprafe\xc8\x9belor m\xc4\x83rginite de anumite curbe sau volumul corpurilor generate prin rota\xc8\x9bia unor astfel de linii._NEWLINE_\xc3\x8en secolul al XVIII-lea, Johann Heinrich Lambert (1728  - 1777) a ar\xc4\x83tat c\xc4\x83 o geometrie \xc3\xaen care axioma paralelelor nu este valabil\xc4\x83 s-ar putea realiza pe o sfer\xc4\x83 imaginar\xc4\x83, iar Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) a enun\xc8\x9bat teoeremele fundamentale de geometrie absolut\xc4\x83, privind suma unghiurilor unui triunghi._NEWLINE_Creat\xc4\x83 de Hermann Grassmann (1809 - 1877) \xc3\xaen 1844, algebra exterioar\xc4\x83 (numit\xc4\x83 ulterior \xc8\x99i algebra Grassmann) devine util\xc4\x83 \xc3\xaen matematica fizic\xc4\x83, dar \xc8\x99i \xc3\xaen geometria diferen\xc8\x9bial\xc4\x83._NEWLINE_Mai t\xc3\xa2rziu, David Hestenes (n. 1933) continu\xc3\xa2nd lucr\xc4\x83rile lui Grassmnann, pune bazele algebrei geometrice.\n_START_SECTION_\nGeometria proiectiv\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nGeometria proiectiv\xc4\x83 a ap\xc4\x83rut prin lucr\xc4\x83rile lui Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867), Jakob Steiner (1796 - 1863), August Ferdinand M\xc3\xb6bius (1790 - 1868), Michel Chasles (1793 - 1880).\n_START_SECTION_\nGeometria algebric\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nGeometria algebric\xc4\x83 porne\xc8\x99te \xc3\xaenc\xc4\x83 din antichitate de la rezolvarea pe cale geometric\xc4\x83 anumitor ecua\xc8\x9bii (cum ar fi duplicarea cubului sau studiul conicelor de c\xc4\x83tre Arhimede \xc8\x99i Apollonius), ca apoi la persanul Omar Khayy\xc3\xa1m s\xc4\x83 g\xc4\x83sim rezolvarea ecua\xc8\x9biilor cubice prin intersec\xc8\x9bia parabolei cu cercul, iar \xc3\xaen perioada renascentist\xc4\x83 acest domeniu de interferen\xc8\x9b\xc4\x83 s\xc4\x83 beneficieze de aportul unor matematicieni ca Girolamo Cardano (1501 - 1576) \xc8\x99i Niccol\xc3\xb2 Tartaglia (1499/1500 - 1557), ca ulterior Blaise Pascal (1623 - 162) s\xc4\x83 se opun\xc4\x83 utiliz\xc4\x83rii metodelor algebrice sau analitice \xc3\xaen geometrie._NEWLINE_Un sus\xc8\x9bin\xc4\x83tor ale metodelor geometriei sintetice este \xc8\x99i G\xc3\xa9rard Desargues (1591 - 1661), fondatorul geometriei proiective, domeniu dezvoltat ulterior de Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867)._NEWLINE_Beneficiind de rezultatele evolu\xc8\x9biei calculului diferen\xc8\x9bial \xc8\x99i integral \xc8\x99i ale geometriei analitice, geometria algebric\xc4\x83 cunoa\xc8\x99te un av\xc3\xa2nt deosebit la sf\xc3\xa2r\xc8\x99itul secolului al XIX-lea, prin contribu\xc8\x9biile lui Julius Pl\xc3\xbccker (1801 - 1868), Edmond Laguerre (1834 - 1886) \xc8\x99i George Salmon (1819 - 1904)._NEWLINE_Prin lucr\xc4\x83rile lui Arthur Cayley (1821 - 1895) \xc8\x99i Hermann Grassmann (1809 - 1877), se trece la spa\xc8\x9biul euclidian n-dimensional.\n_START_SECTION_\nSecolul XX\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x8en secolul XX au ob\xc8\x9binut rezultate remarcabile:_NEWLINE_Luigi Bianchi, Corrado Segre, \xc3\x89lie Cartan, Veniamin Kagan, Tullio Levi-Civita, Francesco Severi, Serghei Finikov, Jan Schooten, Wilhelm Blaschke, Hermann Weyl, Enrico Bompiani, Eduard \xc4\x8cech, Paul Finsler, Pavel Aleksandrov, Erich K\xc3\xa4hler, Lev Pontriaghin, Viktor Vagner, Aleksandr Aleksandrov, Alexei Pogorelov, Shiing-Shen Chern, Luther P. Eisenhart, Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, W\xc5\x82adys\xc5\x82aw \xc5\x9alebodzi\xc5\x84ski, Andr\xc3\xa9 Weil, Oswald Veblen.'