b'\n_START_ARTICLE_\nRezonatorul lui Planck\n_START_PARAGRAPH_\nRezonatorul lui Planck este un model simplu pentru constituen\xc8\x9bii materiei afla\xc8\x9bi \xc3\xaen interac\xc8\x9bie cu radia\xc8\x9bia electromagnetic\xc4\x83. Este o particul\xc4\x83 material\xc4\x83, cu masa m \xc8\x99i sarcina e (nu neap\xc4\x83rat cea a electronului) \xc8\x99i care este mobil\xc4\x83 sub ac\xc8\x9biunea unei for\xc8\x9be elastice (propor\xc8\x9bional\xc4\x83 cu distan\xc8\x9ba x la un centru fix: F = -kx) \xc8\x99i a unui c\xc3\xa2mp electromagnetic. Mi\xc8\x99carea este presupus\xc4\x83 unidimensional\xc4\x83 \xc8\x99i este - \xc3\xaen absen\xc8\x9ba altor interac\xc8\x9bii - oscilatorie (armonic\xc4\x83) \xc3\xaemprejurul centrului fix. Ca urmare a acestei mi\xc8\x99c\xc4\x83ri, rezonatorul emite radia\xc8\x9bie \xc8\x99i deci pierde energie, dar c\xc3\xa2\xc8\x99tig\xc4\x83 \xc3\xaen acela\xc8\x99i timp energie de la c\xc3\xa2mpul electromagnetic \xc3\xaenconjur\xc4\x83tor. Intereseaza at\xc3\xa2t st\xc4\x83rile de echilibru ale oscilatorului, \xc3\xaen care mi\xc8\x99carea sa este periodic\xc4\x83 \xc8\x99i energia radiat\xc4\x83 este egal\xc4\x83 cu cea absorbit\xc4\x83, c\xc3\xa2t \xc8\x99i modul \xc3\xaen care echilibrul este restabilit atunci c\xc3\xa2nd este perturbat._NEWLINE_De\xc8\x99i modelul este foarte simplu, el este suficient pentru studiul \xe2\x80\x9eradia\xc8\x9biei corpului negru\xe2\x80\x9d- radia\xc8\x9bia electromagnetic\xc4\x83 av\xc3\xa2nd acea distribu\xc8\x9bie de intensitate dup\xc4\x83 frecven\xc8\x9be care se stabile\xc8\x99te atunci c\xc3\xa2nd este \xc3\xaen echilibru cu materia la o temperatur\xc4\x83 dat\xc4\x83. Dup\xc4\x83 legile lui Kirchhoff (consecin\xc8\x9be ale principiului al doilea al termodinamicii) aceasta distributie este universal\xc4\x83, adic\xc4\x83 independent\xc4\x83 de material, ceea ce Max Planck a socotit c\xc4\x83 \xc3\xael \xc3\xaendrept\xc4\x83\xc8\x9be\xc8\x99te s\xc4\x83 o studieze \xc8\x99i folosind un material ipotetic format din oscilatori (rezonatori) armonici._NEWLINE_Studiul echilibrului \xc8\x99i al st\xc4\x83rilor apropiate de el se poate conduce numai cu anumite ipoteze suplimentare asupra oscilatorului \xc8\x99i a radia\xc8\x9biei \xc3\xaenconjur\xc4\x83toare; aceste ipoteze sunt \xc8\x99i ele cuprinse \xc3\xaen no\xc8\x9biunea de \xe2\x80\x9erezonator al lui Planck\xe2\x80\x9d \xc8\x99i vor deveni explicite in cursul articolului._NEWLINE_\xc3\x8en afar\xc4\x83 de masa m \xc8\x99i sarcina e, rezonatorul este caracterizat de frecven\xc8\x9ba sa proprie \xe2\x80\x9ecircular\xc4\x83\xe2\x80\x9d, \xcf\x89\xe2\x82\x80, legat\xc4\x83 de constanta k a for\xc8\x9bei elastice prin k = m\xcf\x89\xe2\x82\x80\xc2\xb2. Frecven\xc8\x9ba proprie \xe2\x80\x9enormal\xc4\x83\xe2\x80\x9d (num\xc4\x83rul de oscila\xc8\x9bii pe secund\xc4\x83) este \xce\xbd\xe2\x82\x80 = \xcf\x89\xe2\x82\x80/2\xcf\x80._NEWLINE_Studiul detaliat al rezonatorului duce la dou\xc4\x83 formule ((1) \xc8\x99i (2) de mai jos) care, confruntate cu eviden\xc8\x9ba experimental\xc4\x83, l-au condus pe Max Planck la ideea c\xc4\x83 emisia radia\xc8\x9biei are un caracter discret. Prima dintre ele descrie evolu\xc8\x9bia \xc3\xaen timp a energiei (judicios mediate) U a oscilatorilor cu frecven\xc8\x9ba proprie \xcf\x89\xe2\x82\x80= 2\xcf\x80\xce\xbd\xe2\x82\x80 \xc3\xaen func\xc8\x9bie de intensitatea I(\xce\xbd\xe2\x82\x80,t) a radia\xc8\x9biei incidente (c este aici viteza luminii):_NEWLINE_La echilibru, energia medie este constant\xc4\x83, intensitatea este independent\xc4\x83 de timp \xc8\x99i ob\xc8\x9binem rela\xc8\x9bia \xc3\xaentre energia medie a oscilatorilor \xc8\x99i intensitatea \xe2\x80\x9eradia\xc8\x9biei corpului negru\xe2\x80\x9d:_NEWLINE_Dup\xc4\x83 Planck, o colec\xc8\x9bie de N astfel de rezonatori (cu aceea\xc8\x99i frecven\xc8\x9b\xc4\x83 proprie) poate fi privit\xc4\x83 ca un sistem termodinamic chiar \xc3\xaen absen\xc8\x9ba c\xc3\xa2mpului electromagnetic \xc8\x99i i se poate atribui o temperatur\xc4\x83 \xc8\x99i o entropie S\xe2\x82\x92(U,N, \xce\xbd\xe2\x82\x80)\xc2\xa0; de asemenea radia\xc8\x9bia electromagnetic\xc4\x83 de aceeasi frecven\xc8\x9b\xc4\x83 (\xc3\xaen echilibru cu materia) are o entropie (vezi Entropia radia\xc8\x9biei electromagnetice). \xc3\x8en echilibru unul cu cel\xc4\x83lalt, cele dou\xc4\x83 sisteme au aceea\xc8\x99i temperatur\xc4\x83. Mai mult, dac\xc4\x83 energia medie a oscilatorilor are o abatere \xce\x94U fa\xc8\x9b\xc4\x83 de valoarea ei de echilibru, atunci are loc un proces ireversibil de apropiere de echilibru, \xc3\xaen timpul c\xc4\x83ruia entropia totala S\xe2\x82\x9c a sistemului oscilatori + radia\xc8\x9bie cre\xc8\x99te cu rata:_NEWLINE_unde S\xe2\x82\x92 este entropia (numai a) sistemului de rezonatori. Functia S\xe2\x82\x92(U,N,\xce\xbd\xe2\x82\x80) este aici necunoscut\xc4\x83; pentru ca apropierea de echilibru s\xc4\x83 fie legat\xc4\x83 de o cre\xc8\x99tere a entropiei este \xc3\xaens\xc4\x83 suficient ca d\xc2\xb2S\xe2\x82\x92/dU\xc2\xb2<0. Dup\xc4\x83 Planck, cele dou\xc4\x83 formule (1) \xc8\x99i (2) reprezint\xc4\x83 tot ceea ce poate spune fizica clasic\xc4\x83 despre echilibrul materie - radia\xc8\x9bie._NEWLINE_\xc3\x8en acest articol sunt schi\xc8\x9bate argumentele lui Max Planck pentru formulele (1) \xc8\x99i (2), urm\xc4\x83rind cartea lui  \xc8\x99i articolele premerg\xc4\x83toare \xc8\x99i imediat ulterioare stabilirii formulei sale cunoscute. Aceasta este o completare ceva mai tehnic\xc4\x83 la articolul despre Formula lui Planck, dar accesibil oric\xc4\x83rei persoane cu educa\xc8\x9bie tehnico-matematic\xc4\x83. De\xc8\x99i aceste dezvolt\xc4\x83ri au jucat un rol mare \xc3\xaen apari\xc8\x9bia mecanicii cuantice, ele nu se g\xc4\x83sesc \xc3\xaen manuale \xc8\x99i, datorit\xc4\x83 interesului lor istoric, este probabil c\xc4\x83 Wikipedia este un loc bun pentru a le face accesibile. Articolul prezent nu red\xc4\x83 toate detaliile dezvolt\xc4\x83rilor lui Planck, pentru care trebuie folosit\xc4\x83 literatura citat\xc4\x83, \xc8\x99i folose\xc8\x99te un limbaj \xe2\x80\x9epost-Planck\xe2\x80\x9d: o serie de metode sunt cuprinse implicit \xc3\xaen articolele sale, dar sau sunt cunoscute acum sub numele altor persoane, chiar din genera\xc8\x9bii mai t\xc3\xa2rzii (ecua\xc8\x9bia Abraham-Lorentz, func\xc8\x9bia lui Dirac) sau au intrat \xe2\x80\x9e\xc3\xaen mod\xc4\x83\xe2\x80\x9d mai t\xc3\xa2rziu (func\xc8\x9biile complexe \xc3\xaen tratamentul oscila\xc8\x9biilor).\n_START_SECTION_\nEcua\xc8\x9bia Abraham-Lorentz\n_START_PARAGRAPH_\nRezonatorul este presupus c\xc4\x83 are o mi\xc8\x99care exclusiv liniar\xc4\x83; ea este descris\xc4\x83 de o singur\xc4\x83 func\xc8\x9bie x(t), deplasarea sa de-a lungul \xe2\x80\x9eaxei\xe2\x80\x9d sale. Emi\xc8\x9b\xc3\xa2nd radia\xc8\x9bie, oscilatorul pierde energie, analog cu frecarea. Totu\xc8\x99i, este o diferen\xc8\x9b\xc4\x83: for\xc8\x9ba de frecare \xe2\x80\x9eobi\xc8\x99nuit\xc4\x83\xe2\x80\x9d este sau static\xc4\x83 sau depinde cel mult de vitez\xc4\x83 (de exemplu formula lui Stokes pentru mi\xc8\x99carea unei sfere mici \xc3\xaentr-un lichid v\xc3\xaescos), dar o particula \xc3\xaenc\xc4\x83rcat\xc4\x83 emite radia\xc8\x9bie numai c\xc3\xa2nd este accelerat\xc4\x83. O formul\xc4\x83 scris\xc4\x83 \xc3\xaen 1897 de c\xc4\x83tre J.Larmor (Calculele lui Max Planck conduc la acelea\xc8\x99i concluzii, dar sunt mai lungi) arat\xc4\x83 aceasta explicit: puterea radiat\xc4\x83 de o sarcin\xc4\x83 cu accelera\xc8\x9bia a este_NEWLINE_Drept consecin\xc8\x9b\xc4\x83, dac\xc4\x83 mi\xc8\x99carea este oscilatorie cu frecven\xc8\x9ba \xce\xbd \xc8\x99i amplitudinea A:_NEWLINE_puterea medie radiat\xc4\x83 este dat\xc4\x83 de formula lui Hertz (1886):_NEWLINE_unde U este energia oscilatorului\xc2\xa0:_NEWLINE_Efectul radia\xc8\x9biei asupra mi\xc8\x99c\xc4\x83rii oscilatorului poate fi reprodus de o for\xc8\x9b\xc4\x83 suplimentar\xc4\x83 Frad\xc2\xa0:_NEWLINE_unde F reprezint\xc4\x83 celelalte for\xc8\x9be (electrice, armonice, etc.) Varia\xc8\x9bia energiei cinetice W = m(dx/dt)\xc2\xb2/2 \xc3\xaentr-un timp t este\xc2\xa0:_NEWLINE_Estim\xc4\x83m acum aceea\xc8\x99i m\xc4\x83rime cu ajutorul formulei lui Larmor:_NEWLINE_Dac\xc4\x83 mi\xc8\x99carea este periodic\xc4\x83 cu perioada T, primul termen se anuleaz\xc4\x83 la t=nT \xc8\x99i deducem, compar\xc3\xa2nd cele dou\xc4\x83 ecua\xc8\x9bii de mai sus:_NEWLINE_\xc3\x8entr-o prim\xc4\x83 aproxima\xc8\x9bie se poate satisface aceast\xc4\x83 egalitate anul\xc3\xa2nd paranteza pentru orice t. Se ob\xc8\x9bine astfel ecua\xc8\x9bia Abraham-Lorentz  de mi\xc8\x99care:_NEWLINE_unde E(t) este un c\xc3\xa2mp exterior, presupus cunoscut.\n_START_SECTION_\nCoeficientul efectiv de frecare\n_START_PARAGRAPH_\nEcua\xc8\x9bia (A-L) este de ordinul trei \xc8\x99i se vede repede c\xc4\x83 nu poate reda realitatea corect: ecua\xc8\x9bia omogen\xc4\x83 (E=0) are trei exponen\xc8\x9bi caracteristici\xc2\xa0: doi complec\xc8\x99i (conjuga\xc8\x9bi), care corespund unor mi\xc8\x99c\xc4\x83ri exponen\xc8\x9bial atenuate \xc8\x99i unul real negativ, care corespunde unei mi\xc8\x99c\xc4\x83ri nem\xc4\x83rginite \xc3\xaen timp, f\xc4\x83r\xc4\x83 interpretare fizic\xc4\x83.Ace\xc8\x99tia sunt(:_NEWLINE_p\xc3\xa2n\xc4\x83 la ordinul \xce\xb5\xc2\xb2. Numai acele solu\xc8\x9bii ale ecua\xc8\x9biei (A-L) pot fi folosite care nu con\xc8\x9bin nici o contribu\xc8\x9bie de la solu\xc8\x9bia exponen\xc8\x9bial cresc\xc4\x83toare. Mul\xc8\x9bimea acestor solu\xc8\x9bii poate fi prezentat\xc4\x83 ca mul\xc8\x9bimea solutiilor unei ecua\xc8\x9bii diferen\xc8\x9biale de ordinul doi, cu termenul liber modificat corespunz\xc4\x83tor. Aceasta este (in esen\xc8\x9b\xc4\x83) procedura lui Max Planck . Pentru aceasta scriem solu\xc8\x9bia general\xc4\x83 m\xc4\x83rginit\xc4\x83 a ecua\xc8\x9biei (A-L)\xc2\xa0:_NEWLINE_cu f(t) o solu\xc8\x9bie particular\xc4\x83 a ecua\xc8\x9biei (A-L), \xc8\x99i x\xc2\xb1(t) solu\xc8\x9biile ecua\xc8\x9biei omogene corespunz\xc4\x83toare celor dou\xc4\x83 r\xc4\x83d\xc4\x83cini complex conjugate \xce\xbb\xc2\xb1. Deriv\xc3\xa2nd ambii membri ai acestei ecua\xc8\x9bii de dou\xc4\x83 ori, exprim\xc3\xa2nd pe C\xc2\xb1 \xc3\xaen func\xc8\x9bie de x(t),dx/dt \xc8\x99i folosind expresiile lor \xc3\xaen formula pentru d\xc2\xb2x/dt\xc2\xb2 ob\xc8\x9binem ecua\xc8\x9bia c\xc4\x83utat\xc4\x83:_NEWLINE_Coeficien\xc8\x9bii ecua\xc8\x9biei sunt corec\xc8\x9bi p\xc3\xa2n\xc4\x83 la ordinul \xce\xb5\xc2\xb2. Pentru a stabili ordinele de m\xc4\x83rime, presupunem c\xc4\x83 E(t) are o dependen\xc8\x9b\xc4\x83 oscilatorie (armonic\xc4\x83) de timp, cu frecven\xc8\x9ba \xcf\x89: E(t) = E\xe2\x82\x80exp(i\xcf\x89t). Poate fi g\xc4\x83sit\xc4\x83 atunci o solu\xc8\x9bie particular\xc4\x83 f(t) cu aceea\xc8\x99i frecven\xc8\x9b\xc4\x83 (calcule analoage se g\xc4\x83sesc mai jos) \xc8\x99i putem estima:_NEWLINE_Dac\xc4\x83 e si m sunt valorile pentru electroni (e=4.8\xc3\x9710\xe2\x81\xbb\xc2\xb9\xe2\x81\xb0 fr, m= 9\xc3\x9710\xe2\x81\xbb\xc2\xb2\xe2\x81\xb8 g) termenul \xce\xb5/m este ca.6\xc3\x9710\xe2\x81\xbb\xc2\xb2\xe2\x81\xb4s; ultimii doi termeni din ecua\xc8\x9bia de mai sus sunt neglijabili c\xc3\xa2t\xc4\x83 vreme \xcf\x89\xce\xb5/m<<1. Aceast\xc4\x83 frecven\xc8\x9b\xc4\x83 corespunde unei perioade de ca 4\xc3\x9710\xe2\x81\xbb\xc2\xb2\xc2\xb3 s, adic\xc4\x83 unei lungimi de und\xc4\x83 \xce\xbb \xe2\x89\x88 10\xe2\x81\xbb\xc2\xb9\xc2\xb3 cm. Aceasta este \xc3\xaen domeniul razelor gamma \xc8\x99i deci departe de regiunea vizibil\xc4\x83 pe care o studiem. De aceea, ignor\xc4\x83m ultimii doi termeni ai ecua\xc8\x9biei si descriem \xe2\x80\x9eefectiv\xe2\x80\x9d mi\xc8\x99carea rezonatorului lui Planck prin:_NEWLINE_In ecua\xc8\x9bie a ap\xc4\x83rut o for\xc8\x9b\xc4\x83 de frecare propor\xc8\x9bional\xc4\x83 cu viteza:_NEWLINE_aceast\xc4\x83 for\xc8\x9b\xc4\x83 reprezint\xc4\x83 efectul radia\xc8\x9biei. Rata medie (dU/dt)\xce\xb3 de varia\xc8\x9bie a energiei U a oscilatorului pe unitatea de timp gra\xc8\x9bie acestui factor este:_NEWLINE_adic\xc4\x83 exact formula lui Hertz (H).\n_START_SECTION_\nEstim\xc4\x83ri numerice\n_START_PARAGRAPH_\nRezonatorul lui Planck este slab amortizat: pentru \xcf\x89\xe2\x82\x80 = 3\xc3\x9710\xc2\xb9\xe2\x81\xb5(1/s) (corespunz\xc4\x83tor lungimii de und\xc4\x83 a luminii ro\xc8\x99ii), \xce\xb3 este 5.4\xc3\x9710\xe2\x81\xb7(1/s), ceea ce \xc3\xaenseamn\xc4\x83 c\xc4\x83 \xc3\xaei trebuie un timp de ca 2\xc3\x9710\xe2\x81\xbb\xe2\x81\xb6 secunde pentru a-\xc8\x99i reduce amplitudinea cu un factor 1/e\xe2\x82\x80=0.367. Deoarece perioada de oscila\xc8\x9bie proprie este 2\xc3\x9710\xe2\x81\xbb\xc2\xb9\xe2\x81\xb5 inseamna c\xc4\x83 num\xc4\x83rul de oscila\xc8\x9bii necesare pentru a pierde aceast\xc4\x83 energie este de ca. 10\xe2\x81\xb9! Pentru ca energia pierdut\xc4\x83 \xc3\xaentr-un num\xc4\x83r mic de oscila\xc8\x9bii s\xc4\x83 fie comparabil\xc4\x83 cu energia lui, trebuie ca 1/\xce\xb3 = const\xc3\x97T, ceea ce implic\xc4\x83 \xcf\x89\xe2\x82\x80 = 10\xc2\xb2\xe2\x81\xb4 1/s sau, ca mai sus \xce\xbb = 10\xe2\x81\xbb\xc2\xb9\xc2\xb3 cm (domeniul razelor gamma). O consecin\xc8\x9b\xc4\x83 a amortiz\xc4\x83rii sc\xc4\x83zute este c\xc4\x83 efectul condi\xc8\x9biilor ini\xc8\x9biale dureaz\xc4\x83 mult (pe scara de timp a perioadelor de oscila\xc8\x9bie).\n_START_SECTION_\nDescrierea radia\xc8\x9biei\n_START_PARAGRAPH_\nProblema pe care o avem acum este urm\xc4\x83toarea: ne imagin\xc4\x83m o colec\xc8\x9bie de N (mare) oscilatori, care emit \xc8\x99i absorb radia\xc8\x9bie \xc8\x99i sunt plasa\xc8\x9bi \xc3\xaentr-o incint\xc4\x83 complet reflect\xc4\x83toare, astfel \xc3\xaenc\xc3\xa2t s\xc4\x83 nu se piard\xc4\x83 energie; exist\xc4\x83 posibilitatea unor st\xc4\x83ri sta\xc8\x9bionare, \xc3\xaen care energia emis\xc4\x83 pe unitatea de timp s\xc4\x83 fie egal\xc4\x83 cu cea absorbit\xc4\x83? Astfel pus\xc4\x83, problema este prea complicat\xc4\x83. Planck  r\xc4\x83spunde afirmativ, sub presupunerea c\xc4\x83, \xc3\xaen apropierea st\xc4\x83rii de echilibru, radia\xc8\x9bia este suficient de \xe2\x80\x9eincoerent\xc4\x83\xe2\x80\x9d. Descriem acum \xc3\xaen detaliu aceast\xc4\x83 ipotez\xc4\x83 suplimentar\xc4\x83 (a \xe2\x80\x9eluminii naturale\xe2\x80\x9d)\n_START_SECTION_\nC\xc3\xa2mpul electric\n_START_PARAGRAPH_\nOscilatorul (rezonatorul) este presupus de dimensiuni mici fa\xc8\x9b\xc4\x83 de lungimile de und\xc4\x83 relevante ale radia\xc8\x9biei. Are sens s\xc4\x83 vorbim atunci despre varia\xc8\x9bia \xc3\xaen timp a c\xc3\xa2mpului electric la \xe2\x80\x9epozi\xc8\x9bia\xe2\x80\x9d oscilatorului. Pentru \xc3\xaenceput c\xc3\xa2mpul electric este presupus polarizat paralel cu axa oscilatorului; varia\xc8\x9bia sa \xc3\xaen timp poate fi reprezentat\xc4\x83 printr-o integral\xc4\x83 Fourier, pe care o scriem, dup\xc4\x83 cum e convenabil:_NEWLINE_Este comod de a folosi forma complex\xc4\x83 a integralei Fourier:_NEWLINE_unde,_NEWLINE_\xc3\x8en apropiere de echilibru, ne a\xc8\x99tept\xc4\x83m ca E(t) s\xc4\x83 aib\xc4\x83 oscila\xc8\x9bii neregulate, dar astfel inc\xc3\xa2t, pe de o parte valoarea medie EM \xc3\xaentr-un interval de timp suficient de lung s\xc4\x83 fie zero, dar pe de alt\xc4\x83 parte ca media lui E\xc2\xb2(t) - care este o m\xc4\x83sur\xc4\x83 a densit\xc4\x83\xc8\x9bii de energie la pozi\xc8\x9bia oscilatorului - s\xc4\x83 fie constant\xc4\x83 \xc3\xaen timp (daca este luat\xc4\x83 pe un intervale de timp (t, t+\xce\x94t) suficient de lungi). \xc3\x8en particular, pentru un interval (-T,T) mare, media lui E\xc2\xb2(t) este finit\xc4\x83: dac\xc4\x83 ET(\xcf\x89) sunt componentele Fourier ale lui E(t) restr\xc3\xaens la (-T,T), rezult\xc4\x83 din Teorema lui Parseval referitoare la transformatele Fourier c\xc4\x83\xc2\xa0:_NEWLINE_C\xc3\xa2nd T\xe2\x86\x92\xe2\x88\x9e, media lui E\xc2\xb2(t) r\xc4\x83m\xc3\xa2ne finit\xc4\x83 numai dac\xc4\x83 integrala asupra lui e divergent\xc4\x83. De aceea, vom face presupunerea c\xc4\x83 m\xc4\x83rimile:_NEWLINE_sunt bine definite. Rescriem atunci pe E(t) ca:_NEWLINE_\xc8\x99i avem \xc3\xaen vedere situa\xc8\x9bia T foarte mare (T\xe2\x86\x92\xe2\x88\x9e).Remarc\xc4\x83m de asemenea c\xc4\x83 EM=0 (anularea mediei lui E(t)) implic\xc4\x83 E(\xcf\x89=0)=0\n_START_SECTION_\nIncoeren\xc8\x9ba radia\xc8\x9biei\n_START_PARAGRAPH_\nFolosind reprezentarea Fourier a lui E(t) un calcul simplu arat\xc4\x83 c\xc4\x83 varia\xc8\x9bia \xc3\xaen timp a lui E\xc2\xb2(t) e dat\xc4\x83 de:_NEWLINE_unde C(u) este \xe2\x80\x9eautocorela\xc8\x9bia semnalului E(\xcf\x89)\xe2\x80\x9d (\xc3\xaen limbajul comunica\xc8\x9biilor). Atunci c\xc3\xa2nd echilibrul cu materia este stabilit, de\xc8\x99i E\xc2\xb2(t) are oscila\xc8\x9bii rapide, ne a\xc8\x99tept\xc4\x83m ca media lui pe intervale de timp \xce\x94t suficient de lungi ca s\xc4\x83 con\xc8\x9bin\xc4\x83 un num\xc4\x83r mare de oscila\xc8\x9bii (de exemplu intervalul de timp al unei m\xc4\x83sur\xc4\x83tori) s\xc4\x83 fie de fapt \xc3\xaen foarte bun\xc4\x83 aproxima\xc8\x9bie independent\xc4\x83 de lungimea lor \xc8\x99i egal\xc4\x83 cu media pe \xc3\xaentreg intervalul (-T,T)(cf.(2.1)):_NEWLINE_independent de t (\xc3\xaen (-T,T-\xce\x94t), pentru orice \xce\x94t suficient de mare. Estim\xc3\xa2nd direct (integr\xc3\xa2nd dup\xc4\x83 t) media lui E\xc2\xb2(t) pe intervalul \xce\x94t \xc8\x99i compar\xc3\xa2nd cu o func\xc8\x9bie constant\xc4\x83 pe (-T,T) \xc8\x99i egal\xc4\x83 cu media lui E\xc2\xb2(t), putem scrie:_NEWLINE_Din prima egalitate vedem c\xc4\x83 principial corela\xc8\x9bii pe intervale de frecven\xc8\x9be mai mari dec\xc3\xa2t 1/\xce\x94t nu putem detecta prin m\xc4\x83sur\xc4\x83tori de intensitate (E\xc2\xb2(t)), deoarece C(u) se \xc3\xaenmul\xc8\x9be\xc8\x99te cu un factor care e apreciabil numai \xc3\xaen intervalul |u\xce\x94t|<1. C\xc3\xa2nd |u\xce\x94t|<<1, independen\xc8\x9ba de t \xc8\x99i \xce\x94t a mediei (a doua egalitate) arat\xc4\x83 c\xc4\x83:_NEWLINE_unde \xce\xb4(u) este func\xc8\x9bia lui Dirac. Este natural s\xc4\x83 presupunem c\xc4\x83 (IC1) are loc pentru orice u (nu numai \xc3\xaen |u\xce\x94t|\xe2\x89\xa41): acesta este un prim mod (\xc3\xaen medie, adic\xc4\x83 integrat dup\xc4\x83 frecven\xc8\x9be) de a formula ipoteza \xe2\x80\x9eluminii naturale\xe2\x80\x9d. Folosind forma (1) a lui E(t) aceast\xc4\x83 ipotez\xc4\x83 e u\xc8\x99or de interpretat:_NEWLINE_pentru u\xe2\x89\xa00, integrala se anuleaz\xc4\x83 din cauza totalei neregularit\xc4\x83\xc8\x9bi a fazelor \xcf\x86(\xcf\x89); c\xc3\xa2nd u=0, rezultatul devine infinit c\xc3\xa2nd T\xe2\x86\x92\xe2\x88\x9e. Ipoteza de neregularitate prive\xc8\x99te fazele, dar nu \xc8\x99i modulele H(\xcf\x89). Ipoteza \xe2\x80\x9eluminii naturale\xe2\x80\x9d a lui Planck cere ca o egalitate ca (IC1) s\xc4\x83 fie satisf\xc4\x83cut\xc4\x83 nu numai \xc3\xaen medie, ci de fiecare frecven\xc8\x9b\xc4\x83 \xc3\xaen parte. Invers\xc3\xa2nd integralele \xc3\xaen expresia de mai sus (2.3) pentru E\xc2\xb2(t), putem scrie:_NEWLINE_Max Planck argumenteaz\xc4\x83 c\xc4\x83 func\xc8\x9bia I(\xcf\x89,t) poate fi determinat\xc4\x83 cu ajutorul unui oscilator \xe2\x80\x9eanalizator\xe2\x80\x9d a c\xc4\x83rui energie, gra\xc8\x9bie unui coeficient de amortizare judicios ales, poate urm\xc4\x83ri varia\xc8\x9biile ei \xc3\xaen timp. Analizatorul este o idealizare teoretic\xc4\x83 a unui instrument de m\xc4\x83surare a intensit\xc4\x83\xc8\x9bii luminii dup\xc4\x83 ce a trecut printr-o prism\xc4\x83 sau o re\xc8\x9bea de difrac\xc8\x9bie \xc8\x99i a fost astfel separat\xc4\x83 dup\xc4\x83 frecven\xc8\x9be. La fel ca mai sus, o generalizare natural\xc4\x83 a independen\xc8\x9bei practice de timp a intensit\xc4\x83\xc8\x9bii mediate \xc4\xa8(\xcf\x89) arat\xc4\x83 c\xc4\x83:_NEWLINE_unde \xc4\xa8(\xcf\x89 ,u) este transformarta Fourier a lui \xc4\xa8(\xcf\x89,t). Dac\xc4\x83 E\xc2\xb2(t) poate fi socotit egal cu media lui pe intervalul (-T,T) deducem c\xc4\x83_NEWLINE_De aici deducem:_NEWLINE_\xc8\x99i deci_NEWLINE_Interpretarea este similar\xc4\x83:\xc3\xaenmul\xc8\x9bind \xc4\xa8(\xcf\x89,u) cu o func\xc8\x9bie neted\xc4\x83 oarecare de u, dependen\xc8\x9ba total neregulat\xc4\x83 a fazelor de frecven\xc8\x9b\xc4\x83 face ca integrala s\xc4\x83 se anuleze, dac\xc4\x83 intervalul de integrare nu con\xc8\x9bine u=0. La u=0, c\xc3\xa2nd T->\xe2\x88\x9e,|E(\xcf\x89)|\xc2\xb2 ->\xe2\x88\x9e astfel inc\xc3\xa2t efectul este acela al unei func\xc8\x9bii \xce\xb4. Pe de alt\xc4\x83 parte, |\xc4\x92(\xcf\x89)|\xc2\xb2 variaz\xc4\x83 lent cu \xcf\x89; aceasta permite ca \xc3\xaen multe calcule referitoare la oscilatorul cu frecven\xc8\x9ba proprie \xcf\x89\xe2\x82\x80 s\xc4\x83 putem \xc3\xaenlocui cu bun\xc4\x83 aproxima\xc8\x9bie I(\xcf\x89,t) cu I(\xcf\x89\xe2\x82\x80,t). \xc3\x8en ecua\xc8\x9bia (IC2) prezen\xc8\x9ba lui E*(\xcf\x89) (care nu con\xc8\x9bine variabila de integrare u) face ca produsul E*E s\xc4\x83 creasc\xc4\x83 propor\xc8\x9bional cu T, c\xc3\xa2nd T->\xe2\x88\x9e. Dac\xc4\x83 lipse\xc8\x99te, varia\xc8\x9bia rapid\xc4\x83 a fazei lui E(\xcf\x89) face ca integrala lui E(\xcf\x89) cu orice func\xc8\x9bie f(\xcf\x89),lent variabil\xc4\x83 de \xcf\x89, pentru orice interval \xce\x94\xcf\x89:_NEWLINE_Subliniem: rela\xc8\x9biile (IC1)-(IC3) nu sunt \xc3\xaen nici un fel \xe2\x80\x9ededuse\xe2\x80\x9d, ci sunt numai o expresie posibil\xc4\x83 a ideii noastre de incoeren\xc8\x9b\xc4\x83.\n_START_SECTION_\nPolarizarea radia\xc8\x9biei\n_START_PARAGRAPH_\nOscilatorii liniari pe care \xc3\xaei consider\xc4\x83m nu \xc3\xae\xc8\x99i modific\xc4\x83 pozi\xc8\x9bia \xc8\x99i orientarea \xc3\xaen spa\xc8\x9biu. Deoarece \xc3\xaens\xc4\x83 nu exist\xc4\x83 nici o direc\xc8\x9bie preferen\xc8\x9bial\xc4\x83 in formularea problemei, e natural s\xc4\x83 presupunem c\xc4\x83 axele lor sunt orientate izotrop, astfel inc\xc3\xa2t, la stabilirea echilibrului, radia\xc8\x9bia este izotrop\xc4\x83 \xc8\x99i complet nepolarizat\xc4\x83. Aceasta inseamna ca valoarea medie a lui E\xc2\xb2(t) este independent\xc4\x83 de direc\xc8\x9bie.\n_START_SECTION_\nO alt\xc4\x83 formulare a ipotezei \xe2\x80\x9eluminii naturale\xe2\x80\x9d\n_START_PARAGRAPH_\nDefini\xc8\x9bia luminii naturale dat\xc4\x83 p\xc3\xa2n\xc4\x83 aici  folose\xc8\x99te varia\xc8\x9bia cu timpul a c\xc3\xa2mpului electric \xc3\xaentr-un singur punct. \xc3\x8en cartea sa (1906) Max Planck d\xc4\x83 o defini\xc8\x9bie diferit\xc4\x83, a c\xc4\x83rei echivalen\xc8\x9b\xc4\x83 cu cea de mai sus e plauzibil\xc4\x83. Cuv\xc3\xa2ntul incoerent este definit acum \xc3\xaen felul urm\xc4\x83tor: consider\xc4\x83m o mul\xc8\x9bime de oscilatori cu aceia\xc8\x99i parametri caracteristici, dar plasa\xc8\x9bi \xc3\xaen diferite puncte \xc3\xaen spa\xc8\x9biu. Fiec\xc4\x83rui punct \xc8\x99i fiec\xc4\x83rei frecven\xc8\x9be \xcf\x89 li se asociaz\xc4\x83 variabilele aleatoare F(\xcf\x89), G(\xcf\x89) (sau m\xc4\x83rimea complex\xc4\x83 E(\xcf\x89) din rela\xc8\x9bia (E). \xc3\x8en analogie cu (IC2), (IC3), acestea sunt constr\xc3\xa2nse prin:_NEWLINE_unde simbolul <> \xc3\xaenseamn\xc4\x83 media asupra oscilatorilor iar \xce\xb4(x) este func\xc8\x9bia lui Dirac. Aceast\xc4\x83 formulare este mai u\xc8\x99or de folosit \xc3\xaen calcule, dar apari\xc8\x9bia func\xc8\x9biei \xce\xb4(x) poate apare nejustificat\xc4\x83.\n_START_SECTION_\nDensitatea de energie\n_START_PARAGRAPH_\nLa echilibru, c\xc3\xa2mpul electromagnetic este izotrop (vezi Legile lui Kirchhoff (radia\xc8\x9bie)); valorile medii ale p\xc4\x83tratului c\xc3\xa2mpului electric \xc3\xaen direc\xc8\x9biile axelor x,y,z sunt deci acelea\xc8\x99i. Mai mult, \xc3\xaen vid, ele sunt acelea\xc8\x99i cu valorile medii ale p\xc4\x83tratelor c\xc3\xa2mpului magnetic; energia medie pe unitatea de volum este _NEWLINE_Intensitatea radia\xc8\x9biei (cantitatea de energie care traverseaz\xc3\xa2 normal unitatea de suprafa\xc8\x9b\xc4\x83 \xc3\xaen unitatea de unghi solid \xc3\xaen unitatea de timp) este dat\xc4\x83 de_NEWLINE_Aici T este temperatura absolut\xc4\x83 - singurul parametru de care densitatea de energie poate depinde - dup\xc4\x83 legile lui Kirchhoff. \xc3\x8en ultima egalitate I(\xce\xbd,T) este \xe2\x80\x9edensitatea\xe2\x80\x9d intensit\xc4\x83\xc8\x9bii fa\xc8\x9b\xc4\x83 de frecven\xc8\x9b\xc4\x83: este cantitatea care e folosit\xc4\x83 \xc3\xaen discu\xc8\x9bia radia\xc8\x9biei corpului negru.Folosind \xcf\x89 = 2\xcf\x80\xce\xbd, deducem:_NEWLINE_Deoarece radia\xc8\x9bia este complet nepolarizat\xc4\x83, intensitatea I poate fi scrisa ca suma intensit\xc4\x83\xc8\x9bilor a dou\xc4\x83 unde electromagnetice - fiecare egal\xc4\x83 cu I/2 - incoerente una cu alta, cu aceea\xc8\x99i direc\xc8\x9bie de propagare \xc8\x99i polarizate de-a lungul a dou\xc4\x83 direc\xc8\x9bii arbitrare reciproc ortogonale din planul perpendicular pe direc\xc8\x9bia de propagare._NEWLINE_Densitatea de energie \xc8\x99i intensitatea radia\xc8\x9biei de echilibru sunt cantit\xc4\x83\xc8\x9bi m\xc4\x83surabile experimental \xc8\x99i sunt bine reproduse de legea lui Stefan (vezi Legile de deplasare ale lui Wien).Putem estima cu ajutorul ei m\xc4\x83rimile \xc3\xaen joc: la 1000 K u = 0.00754 erg/cm\xc2\xb3 \xc8\x99i de aici E = 0.018 u.CGS (este c\xc3\xa2mpul dintr-un condensator plan uniform inc\xc4\x83rcat cu 0.0014 fr/cm\xc2\xb2. (1C =3*10\xe2\x81\xb9 fr)\n_START_SECTION_\nEnergia medie absorbit\xc4\x83 de oscilator\n_START_PARAGRAPH_\nEnergia oscilatorului este dat\xc4\x83 de (1.1)_NEWLINE_o parte este pierdut\xc4\x83 prin radia\xc8\x9bie; ea mai are o varia\xc8\x9bie cu timpul datorit\xc4\x83 ac\xc8\x9biunii campului electric: din ecuatia (P) a rezonatorului, prin \xc3\xaenmul\xc8\x9bire cu dx/dt ob\xc8\x9binem_NEWLINE_Primul termen este o varia\xc8\x9bie foarte lent\xc4\x83 \xc3\xaen medie datorit\xc4\x83 radia\xc8\x9biei \xc8\x99i a fost discutat. Al doilea termen reprezint\xc4\x83 energia preluat\xc4\x83 de la c\xc3\xa2mpul prescris E(t). Ar\xc4\x83t\xc4\x83m c\xc4\x83, \xc3\xaen afar\xc4\x83 de anumi\xc8\x9bi termeni care r\xc4\x83m\xc3\xa2n m\xc4\x83rgini\xc8\x9bi, el cre\xc8\x99te liniar cu timpul. Solu\xc8\x9bia general\xc4\x83 a ecua\xc8\x9biei (P) este o superpozi\xc8\x9bie a solu\xc8\x9biilor ecua\xc8\x9biei omogene cu o solu\xc8\x9bie particular\xc4\x83 a ecua\xc8\x9biei. Solu\xc8\x9biile ecua\xc8\x9biei omogene (libere) pot fi alese convenabil drept:_NEWLINE_Aceast\xc4\x83 alegere verific\xc4\x83 condi\xc8\x9biile ini\xc8\x9biale: xc(0)=dx\xe2\x82\x9b/dt(0)=1, x\xe2\x82\x9b(0)=0, xc(0)dx\xe2\x82\x9b/dt(0)-x\xe2\x82\x9b(0)dxc/dt(0)=1.Este comod s\xc4\x83 alegem o solu\xc8\x9bie x\xe1\xb5\xa2(t) a ecua\xc8\x9biei inomogene care s\xc4\x83 asculte de x\xe1\xb5\xa2(0) = dx\xe1\xb5\xa2/dt(0) = 0. Aceasta permite s\xc4\x83 separ\xc4\x83m u\xc8\x99or efectul condi\xc8\x9biilor ini\xc8\x9biale. O astfel de solu\xc8\x9bie se construie\xc8\x99te prin metoda varia\xc8\x9biei constantelor . Pentru referin\xc8\x9b\xc4\x83, o scriem aici:_NEWLINE_Energia UA(t) absorbit\xc4\x83 \xc3\xaen intervalul de timp (0,t) de un oscilator a c\xc4\x83rui mi\xc8\x99care este descris\xc4\x83 de x(t), este, dup\xc4\x83 ecua\xc8\x9bia (U) de mai sus:_NEWLINE_unde semnul de complex conjugare este introdus pentru convenien\xc8\x9b\xc4\x83 (x\xe1\xb5\xa2(t) este real!). Primii doi termeni con\xc8\x9bin \xc3\xaen mod liniar condi\xc8\x9biile ini\xc8\x9biale x(0), dx/dt(0).Este natural s\xc4\x83 presupunem c\xc4\x83 acestea sunt, \xc3\xaen apropiere de echilibru, haotic distribuite \xc8\x99i deci efectul lor mediu este 0. Calculul ultimului termen folose\xc8\x99te expresia pentru x\xe1\xb5\xa2(t) dat\xc4\x83 mai sus \xc8\x99i este mai lung; trebuie s\xc4\x83 folosim expresia (E) a c\xc3\xa2mpului electric \xc8\x99i condi\xc8\x9bia de incoeren\xc8\x9b\xc4\x83 (IC2). Deoarece \xce\xb3 este foarte mic fa\xc8\x9b\xc4\x83 de \xcf\x89\xe2\x82\x80, integrandul are maxime foarte pronun\xc8\x9bate la \xcf\x89\xe2\x82\x80 \xc8\x99i -\xcf\x89\xe2\x82\x80 \xc8\x99i numai valorile num\xc4\x83r\xc4\x83torului \xc3\xaemprejurul acestor puncte contribuie la integrale. Este avantajoas\xc4\x83 o integrare prin p\xc4\x83r\xc8\x9bi: E(t)dx\xe1\xb5\xa2(t)=d(x\xe1\xb5\xa2(t)E(t))-x\xe1\xb5\xa2(t)dE(t); un calcul condus cu acurate\xc8\x9be \xc8\x99i folosind integralele date \xc3\xaen Apendice arat\xc4\x83 c\xc4\x83 contribu\xc8\x9biile termenilor con\xc8\x9bin\xc3\xa2nd pe sin \xcf\x89\xe2\x82\x80t \xc8\x99i cos \xcf\x89\xe2\x82\x80t se anuleaz\xc4\x83  Ultimul termen duce la o integral\xc4\x83 independent\xc4\x83 de timp care (vezi Apendicele) se dovede\xc8\x99te a fi:\n_START_SECTION_\nOscila\xc8\x9biile energiei absorbite\n_START_PARAGRAPH_\nUrm\xc4\x83rind cartea lui Max Planck, descriem acum mi\xc8\x99carea oscilatorului \xc3\xaen mod mai detaliat pentru intervale de timp mici; ar\xc4\x83t\xc4\x83m c\xc4\x83 energia absorbit\xc4\x83 oscileaz\xc4\x83 considerabil \xc3\xaemprejurul valorii ei medii, care cre\xc8\x99te liniar cu timpul. Aceasta este o digresiune de la obiectul principal al articolului, dar pune \xc3\xaen eviden\xc8\x9b\xc4\x83 o coresponden\xc8\x9b\xc4\x83 clasic\xc4\x83 a fenomenului de emisie indus\xc4\x83, introdus de Einstein \xc3\xaen 1917, dup\xc4\x83 care, sub ac\xc8\x9biunea unui c\xc3\xa2mp electromagnetic, un electron poate at\xc3\xa2t s\xc4\x83 absoarb\xc4\x83 energie \xe2\x80\x9es\xc4\x83rind\xe2\x80\x9d pe un nivel mai \xc3\xaenalt, c\xc3\xa2t \xc8\x99i s\xc4\x83 cedeze c\xc3\xa2mpului energie, \xe2\x80\x9ec\xc4\x83z\xc3\xa2nd\xe2\x80\x9d pe un nivel mai jos._NEWLINE_Dup\xc4\x83 ecua\xc8\x9bia (UA), \xc3\xaentr-un timp 1/\xce\xb3 oscilatorul trebuie s\xc4\x83 absoarb\xc4\x83 o cantitate de energie \xc3\xaen medie egal\xc4\x83 cu U/e\xe2\x82\x80, deci de ordinul de m\xc4\x83rime al energiei la t=0 pentru a compensa energia pierdut\xc4\x83 prin radia\xc8\x9bie, atunci c\xc3\xa2nd echilibrul este atins.Aceasta arat\xc4\x83 c\xc4\x83 procesul de absorb\xc8\x9bie este \xc3\xaen medie extrem de \xc3\xaencet, pentru c\xc4\x83 \xc3\xaentr-un timp 1/\xce\xb3 au loc \xcf\x89\xe2\x82\x80/2\xcf\x80\xce\xb3 oscila\xc8\x9bii (ca.10\xe2\x81\xb8 pentru lumina ro\xc8\x99ie); pentru timpuri mai mici dec\xc3\xa2t 1/\xce\xb3, energia absorbit\xc4\x83 medie este mic\xc4\x83 fa\xc8\x9b\xc4\x83 de energia medie a oscilatorului la t=0. Pe de alt\xc4\x83 parte, dac\xc4\x83 urm\xc4\x83rim contribu\xc8\x9bia solu\xc8\x9biilor x\xe2\x82\x9b(t), xc(t) la energia absorbit\xc4\x83, putem vedea c\xc4\x83 aceasta este oscilant\xc4\x83 \xc8\x99i propor\xc8\x9bional\xc4\x83 cu condi\xc8\x9biile ini\xc8\x9biale: numai lu\xc3\xa2nd o medie asupra acestora, ea se anuleaz\xc4\x83. M\xc4\x83rimea oscila\xc8\x9biilor poate fi apreciat\xc4\x83 calcul\xc3\xa2nd media lui UA\xc2\xb2(t) asupra tuturor condi\xc8\x9biilor ini\xc8\x9biale care duc la o energie ini\xc8\x9bial\xc4\x83 dat\xc4\x83 U. Calculul se face folosind expresiile pentru solu\xc8\x9bia x(t) din paragraful precedent; condi\xc8\x9biile ini\xc8\x9biale apar acum explicit. Presupunem c\xc4\x83, \xc3\xaen medie, <x(0) dx/dt(0)> = 0; atunci:_NEWLINE_Folosind expresia pentru E(t), condi\xc8\x9bia de incoeren\xc8\x9b\xc4\x83 (IC2) \xc8\x99i aproxima\xc8\x9bia \xce\xb3<<\xcf\x89\xe2\x82\x80, primul termen (\xe2\x89\xa1I\xe2\x82\x81) din suma de mai sus este:_NEWLINE_. Al doilea termen se dovede\xc8\x99te a fi I\xe2\x82\x81/\xcf\x89\xe2\x82\x80\xc2\xb2, astfel \xc3\xaenc\xc3\xa2t, pentru timpuri mai mici dec\xc3\xa2t 1/\xce\xb3, pentru care UA e mai mic dec\xc3\xa2t energia ini\xc8\x9bial\xc4\x83 U,_NEWLINE_\xc3\x8en consecin\xc8\x9b\xc4\x83, pentru intervale de timp mici, oscila\xc8\x9biile energiei absorbite sunt mai mari dec\xc3\xa2t cre\xc8\x99terea energiei medii. De aceea, \xc3\xaentr-un limbaj \xe2\x80\x9esemicuantic\xe2\x80\x9d, probabilitatea ca enrgia s\xc4\x83 creasca \xc3\xaen timpul absorb\xc8\x9biei este aproximativ aceea\xc8\x99i cu aceea ca energia s\xc4\x83 scad\xc4\x83; acest fapt este exprimat \xc3\xaen formularea lui Einstein a echilibrului \xc3\xaentre materie \xc8\x99i radia\xc8\x9bie: probabilit\xc4\x83\xc8\x9bile pe unitatea de timp de absorb\xc8\x9bie a unei cuante este aceea\xc8\x99i cu cea a emisiei (coeficientul de emisie indus\xc4\x83) \xc8\x99i propor\xc8\x9bional\xc4\x83 cu densitatea de energie in c\xc3\xa2mp (la frecven\xc8\x9ba corespunz\xc4\x83toare tranzi\xc8\x9biei).\n_START_SECTION_\nEchilibrul oscilatorului\n_START_PARAGRAPH_\nPuterea emis\xc4\x83 de oscilator este data de ecua\xc8\x9bia (H),\xc2\xa71. Folosind ecua\xc8\x9bia (I) din \xc2\xa73.5 pentru a exprima c\xc3\xa2mpul electric \xc3\xaen func\xc8\x9bie de intensitatea I(\xce\xbd,T) a radia\xc8\x9biei de echilibru, precum \xc8\x99i rela\xc8\x9bia (UA) din \xc2\xa74 putem scrie balan\xc8\x9ba energetic\xc4\x83 a oscilatorului ca:_NEWLINE_La echilibru, energia medie a oscilatorului (media este luat\xc4\x83 asupra condi\xc8\x9biilor ini\xc8\x9biale posibile) este constant\xc4\x83 \xc8\x99i ob\xc8\x9binem rela\xc8\x9bia fundamental\xc4\x83:_NEWLINE_Folosirea lui I/2 se poate \xc3\xaen\xc8\x9belege astfel: radia\xc8\x9bia incident\xc4\x83 asupra oscilatorului dintr-o direc\xc8\x9bie oarecare n=(sin \xce\xb8 cos\xcf\x86, sin \xce\xb8 sin \xcf\x86, cos\xce\xb8) poate fi descompus\xc4\x83 (vezi \xc2\xa73.4)in dou\xc4\x83 unde de egal\xc4\x83 intensitate \xc8\x99i polarizate, una \xc3\xaen planul determinat de direc\xc8\x9bia de inciden\xc8\x9b\xc4\x83 \xc8\x99i axa (Oz) a oscilatorului \xc8\x99i una perpendicular pe acesta. Numai prima, care are intensitatea I/2, poate modifica energia oscilatorului. Pentru un dipol oscilant, orientat de-a lungul axei Oz a unui sistem de referin\xc8\x9b\xc4\x83, intensitatea radia\xc8\x9biei emise \xc3\xaen direc\xc8\x9bia n este propor\xc8\x9bional\xc4\x83 cu (sin \xce\xb8)\xc2\xb2 . Folosind identitatea:_NEWLINE_rescriem ecua\xc8\x9bia sub o form\xc4\x83 intuitiv\xc4\x83 :_NEWLINE_Dupa aceasta ecua\xc8\x9bie, din fiecare direc\xc8\x9bie cade pe oscilator pe unitatea de timp cantitatea de energie I/2 dtd\xce\xa9(\xcf\x80e\xc2\xb2/mc) \xc8\x99i \xc3\xael p\xc4\x83r\xc4\x83se\xc8\x99te o cantitate de energie \xcf\x80e\xc2\xb2/mc (I/2 cos\xc2\xb2\xce\xb8) neabsorbit\xc4\x83 \xc8\x99i (\xcf\x80e\xc2\xb2/mc) (\xce\xbd\xc2\xb2/c\xc2\xb2)2Usin\xc2\xb2\xce\xb8 reemis\xc4\x83. Cantitatea (\xcf\x80e\xc2\xb2/mc\xce\x94\xce\xbd) are dimensiunile unei suprafe\xc8\x9be \xc8\x99i reprezint\xc4\x83 \xe2\x80\x9esec\xc8\x9biunea eficace\xe2\x80\x9d a oscilatorului pentru o raz\xc4\x83 cu l\xc4\x83rgimea spectral\xc4\x83 \xce\x94\xce\xbd nu \xc8\x99i care poart\xc4\x83 energia dE pe unitatea de suprafa\xc8\x9b\xc4\x83 \xc3\xaen unitatea de timp: I/2 = dE/(dtdSd\xce\xbd)).\n_START_SECTION_\nCre\xc8\x99terea entropiei la restabilirea echilibrului\n_START_PARAGRAPH_\nFie U\xe2\x82\x80 energia medie (fa\xc8\x9b\xc4\x83 de condi\xc8\x9biile ini\xc8\x9biale posibile) a oscilatorului la echilibru, corespunz\xc4\x83toare intensit\xc4\x83\xc8\x9bii I\xe2\x82\x80; Ne imagin\xc4\x83m acum o situa\xc8\x9bie apropiat\xc4\x83 de echilibru, dar diferit\xc4\x83 de acesta: oscilatorul are energia U\xe2\x82\x80+\xce\x94U \xc8\x99i este iradiat cu intensitatea I\xe2\x82\x80: energia lui va scade p\xc3\xa2n\xc4\x83 la echilibru emi\xc8\x9b\xc3\xa2nd radia\xc8\x9bie, conform ecua\xc8\x9biei de mai sus. Este un proces ireversibil \xc8\x99i ne a\xc8\x99tept\xc4\x83m ca entropia total\xc4\x83 a sistemului oscilator + radia\xc8\x9bie s\xc4\x83 creasc\xc4\x83. \xc3\x8en articolul Entropia radia\xc8\x9biei electromagnetice ar\xc4\x83t\xc4\x83m c\xc4\x83 unui fascicol de raze (incoerente) cu intensitatea I \xc8\x99i frecven\xc8\x9ba \xce\xbd i se poate asocia un curent de entropie L(I) prin rela\xc8\x9bia_NEWLINE_, unde T este temperatura corpului negru care emite radia\xc8\x9bia cu intensitatea I. Entropia S\xe2\x82\x92(U) a oscilatorului - ca e\xc8\x99antion al unui colectiv de N oscilatori independen\xc8\x9bi - o privim ca necunoscut\xc4\x83 (\xc8\x99i pentru c\xc4\x83 nu preciz\xc4\x83m nici un mecanism care ar putea-o modifica \xc3\xaen absen\xc8\x9ba c\xc3\xa2mpului electromagnetic). Evalu\xc4\x83m acum varia\xc8\x9bia entropiei totale \xc3\xaentr-un interval de timp dt \xc3\xaen care oscilatorul absoarbe radia\xc8\x9bie cu intensitatea I\xe2\x82\x80(\xcf\x89\xe2\x82\x80),reemite radia\xc8\x9bie si entropia sa scade ca urmare a faptului c\xc4\x83 energia lui U scade. Absorb\xc8\x9bia radia\xc8\x9biei cu polarizarea corect\xc4\x83 cu frecven\xc8\x9ba \xc3\xaentr-un interval dv \xc3\xaemprejurul lui \xce\xbd\xe2\x82\x80 \xc3\xaen intervalul de timp dt este \xc3\xaenso\xc8\x9bit\xc4\x83 de o sc\xc4\x83dere a entropiei c\xc3\xa2mpului egal\xc4\x83 cu:_NEWLINE_cu L definit mai sus. Am folosit aici aceea\xc8\x99i suprafa\xc8\x9b\xc4\x83 de interac\xc8\x9bie a oscilatorului cu radia\xc8\x9bia \xcf\x83 = \xcf\x80e\xc2\xb2/mc\xce\x94\xce\xbd) ca la sf\xc3\xa2r\xc8\x99itul paragrafului precedent. O parte din radia\xc8\x9bia incident\xc4\x83 nu este absorbit\xc4\x83 iar oscilatorul emite la r\xc3\xa2ndul s\xc4\x83u radia\xc8\x9bie, corespunz\xc4\x83tor energiei sale \xe2\x80\x9edeplasate\xe2\x80\x9d U: entropia c\xc3\xa2mpului cre\xc8\x99te cu:_NEWLINE_Deci, \xc3\xaentr-un interval de timp dt, \xc8\x9bin\xc3\xa2nd seama c\xc4\x83 energia oscilatorului a variat, entropia total\xc4\x83 S\xe2\x82\x9c se schimb\xc4\x83 cu:_NEWLINE_Derivata dS\xe2\x82\x92/dU (U=U\xe2\x82\x80+\xce\x94U) poate fi scris\xc4\x83, pentru \xce\x94U suficient de mic:_NEWLINE_iar\xc2\xa0:_NEWLINE_unde am folosit faptul ca U\xe2\x82\x80 este energia de echilibru, \xc8\x99i am presupus c\xc4\x83 radia\xc8\x9bia externa I(\xce\xbd) este nepertubat\xc4\x83. Pentru integrandul din dS\xe2\x82\x91 scriem o dezvoltare \xc3\xaen serie analog\xc4\x83, \xc3\xaemprejurul lui U\xe2\x82\x80:_NEWLINE_Evalu\xc4\x83m \xc3\xaen dS\xe2\x82\x91 integrala dup\xc4\x83 d\xce\xa9 \xc8\x99i, folosind (7.2),(7.6) ob\xc8\x9binem pentru varia\xc8\x9bia total\xc4\x83 de entropie \xc3\xaen timpul dt:_NEWLINE_unde am folosit\xc2\xa0:_NEWLINE_Aceast\xc4\x83 varia\xc8\x9bie poate fi numai pozitiv\xc4\x83; cum \xce\x94U are un semn arbitrar, deducem c\xc4\x83 S(U) nu este independent de L(I), ci:_NEWLINE_unde U\xe2\x82\x80 \xc8\x99i I sunt legate de rela\xc8\x9bia de echilibru. Deoarece dS/dU = 1/T, aceast\xc4\x83 rela\xc8\x9bie expim\xc4\x83 egalitatea temperaturilor sistemului de oscilatori \xc8\x99i a radia\xc8\x9biei. Din ea se deduce prin integrare c\xc4\x83_NEWLINE_Deriv\xc3\xa2nd de dou\xc4\x83 ori:_NEWLINE_Cu aceasta, ob\xc8\x9binem a doua rela\xc8\x9bie \xe2\x80\x9efundamental\xc4\x83\xe2\x80\x9d a lui Planck:_NEWLINE_sau, \xc8\x9bin\xc3\xa2nd seama de expresia lui \xce\x94U:_NEWLINE_Din (7.12) sau (7.13) (cantit\xc4\x83\xc8\x9bile dU,\xce\x94U au semne contrare, vezi (7.6)) c\xc4\x83 entropia \xe2\x80\x9emisterioas\xc4\x83\xe2\x80\x9d a oscilatorului trebuie s\xc4\x83 satisfac\xc4\x83:_NEWLINE_dac\xc4\x83 cerem ca entropia s\xc4\x83 creasc\xc4\x83 atunci c\xc3\xa2nd echilibrul se restabile\xc8\x99te. Max Planck a sperat c\xc4\x83 cerin\xc8\x9ba de maximum al entropiei la echilibrul \xc3\xaentre materie \xc8\x99i radia\xc8\x9bie \xc3\xaei va permite s\xc4\x83 specifice \xc3\xaen mai mult detaliu func\xc8\x9bia S\xe2\x82\x92(U) - \xc8\x99i prin ea, func\xc8\x9bia L(I) \xc8\x99i astfel distribu\xc8\x9bia dup\xc4\x83 frecven\xc8\x9b\xc4\x83 a energiei \xc3\xaen radia\xc8\x9bia corpului negru. Expresia corect\xc4\x83 a lui S\xe2\x82\x92(U) a putut fi ob\xc8\x9binut\xc4\x83 numai prin compara\xc8\x9bie direct\xc4\x83 cu experien\xc8\x9ba (vezi Formula lui Planck).\n_START_SECTION_\nComentarii\n_START_PARAGRAPH_\nScopul articolului este s\xc4\x83 prezinte \xc3\xaen oarecare detaliu considera\xc8\x9biile fizice care au preg\xc4\x83tit \xe2\x80\x9edescoperirea\xe2\x80\x9d cuantelor energetice. Este remarcabil rolul pe care l-a jucat aici termodinamica prin conceptul de entropie. Privind lucrurile de aproape, \xc8\x99i realiz\xc3\xa2nd neclaritatea care domnea atunci (ale c\xc4\x83rei urme exist\xc4\x83 \xc8\x99i \xc3\xaen prezent) \xc3\xaen interpretarea statistic\xc4\x83 a termodinamicii, se poate aprecia at\xc3\xa2t modul \xe2\x80\x9eaventuros\xe2\x80\x9d \xc3\xaen care fizica \xc3\xaenainteaz\xc4\x83, c\xc3\xa2t \xc8\x99i drumul lung de calcule \xc8\x99i aproxima\xc8\x9bii care duce de la ecua\xc8\x9biile lui Maxwell la formule care s\xc4\x83 poat\xc4\x83 fi comparate cu experien\xc8\x9ba. Este credin\xc8\x9ba remarcabil\xc4\x83 a lui Planck c\xc4\x83 \xe2\x80\x9esimplitatea naturii\xe2\x80\x9d se ascunde \xc3\xaen func\xc8\x9bia care descrie entropia oscilatorilor (entropia calculat\xc4\x83 din formula lui Wien l-a \xc3\xaent\xc4\x83rit in aceasta), cuplat\xc4\x83 probabil cu ne\xc3\xaencrederea \xc3\xaen dezvolt\xc4\x83rile contemporane ale mecanicii statistice (care ofereau o expresie pentru entropia unui sistem de oscilatori clasici \xc3\xaen \xe2\x80\x9eslab\xc4\x83\xe2\x80\x9d interac\xc8\x9bie unul cu cel\xc4\x83lalt, f\xc4\x83r\xc4\x83 un mecanism detaliat de interac\xc8\x9bie), ceea ce a dus la interpretarea lui nemaiint\xc3\xa2lnit\xc4\x83 a curbelor experimentale ale radia\xc8\x9biei corpului negru. \xc3\x8en orice caz, reticen\xc8\x9ba contemporanilor (\xc8\x99i a lui proprie) \xc3\xaen acceptarea ad litteram a acestei interpret\xc4\x83ri este de in\xc8\x9beles!_NEWLINE_Este o dovad\xc4\x83 a consisten\xc8\x9bei acestei credin\xc8\x9be c\xc4\x83 entropia total\xc4\x83 a oscilatorilor \xc8\x99i radia\xc8\x9biei cre\xc8\x99te la restabilirea echilibrului \xc3\xaentre ele, numai daca condi\xc8\x9bia relativ simpl\xc4\x83 (7.14) este respectat\xc4\x83. Aceast\xc4\x83 condi\xc8\x9bie este cunoscut\xc4\x83 \xc3\xaen termodinamic\xc4\x83 pentru sisteme simple: entropia este o func\xc8\x9bie concav\xc4\x83 de energie , dar pentru sistemul izolat de oscilatori, nu este u\xc8\x99or de interpretat. Cele dou\xc4\x83 ecua\xc8\x9bii (1a) \xc8\x99i (7.14) din ultimul paragraf sunt acele consecin\xc8\x9be ale fizicii clasice \xc3\xaen care trebuie avut \xc3\xaencredere pentru a face \xe2\x80\x9esaltul\xe2\x80\x9d c\xc4\x83tre mecanica cuantic\xc4\x83!_NEWLINE_Faptul c\xc4\x83 sistemul de oscilatori \xc8\x99i radia\xc8\x9bie \xc3\xaenchis \xc3\xaentr-o cavitate reflect\xc4\x83toare evolueaz\xc4\x83 ireversibil c\xc4\x83tre o stare de echilibru nu este evident, deoarece at\xc3\xa2t ecua\xc8\x9biile lui Maxwell pentru c\xc3\xa2mpul electromagnetic, c\xc3\xa2t \xc8\x99i cele ale mecanicii clasice admit, pentru fiecare solu\xc8\x9bie posibila \xc8\x99i una a c\xc4\x83rei evolu\xc8\x9bie \xc3\xaen timp este exact opus\xc4\x83. Din cauza aceasta, apare \xc3\xaentrebarea cum de putem demonstra c\xc4\x83 entropia cre\xc8\x99te c\xc3\xa2nd se restabile\xc8\x99te echilibrul \xc3\xaentre radia\xc8\x9bie \xc8\x99i materie, atunci c\xc3\xa2nd ecua\xc8\x9biile de evolu\xc8\x9bie microscopic\xc4\x83 nu disting \xc3\xaentre cele dou\xc4\x83 sensuri de curgere a timpului. Problema era \xc3\xaen perioada 1896-1900 foarte discutat\xc4\x83, deoarece cre\xc8\x99terea natural\xc4\x83 de entropie a unui gaz de puncte materiale \xc3\xaen procesul de apropiere de echilibru este \xc3\xaen contradic\xc8\x9bie cu reversibilitatea \xc3\xaen timp a mecanicii clasice. Aceste dificult\xc4\x83\xc8\x9bi cu privire la ireversibilitatea procesului de radia\xc8\x9bie au f\xc4\x83cut obiectul unor memorii ale lui L.Boltzmann critice cu privire la formul\xc4\x83rile lui Planck. Evident, posibilitatea \xe2\x80\x9edemonstra\xc8\x9biei\xe2\x80\x9d c\xc4\x83, la apropierea de echilibru, entropia cre\xc8\x99te, este datorit\xc4\x83 ipotezei suplimentare a luminii naturale, care are analogii cu ipotezele de uniformitate folosite de Boltzmann pentru demonstra\xc8\x9bia lui celebr\xc4\x83 (teorema H) c\xc4\x83 entropia este o func\xc8\x9bie cresc\xc4\x83toare de timp. Problema interac\xc8\x9biei oscilatorului armonic inc\xc4\x83rcat cu c\xc3\xa2mpul electromagnetic este tratat\xc4\x83 \xc3\xaen manuale, \xc3\xaens\xc4\x83 \xc3\xaen alte contexte. Implicit ea apare \xc3\xaen discu\xc8\x9bia difuziei undelor electromagnetice la trecerea prin medii materiale . Un tratament cuprinz\xc4\x83tor, cu un interes \xc3\xaens\xc4\x83 diferit de acela al lucr\xc4\x83rilor lui Planck, se gaseste in ultimul capitol al manualului \xe2\x80\x9estandard\xe2\x80\x9d al lui J.D.Jackson.\n_START_SECTION_\nApendice\n_START_PARAGRAPH_\nUrm\xc4\x83toarele integrale sunt utile:_NEWLINE_Dac\xc4\x83 F(\xcf\x89) este peste tot diferen\xc8\x9biabil\xc4\x83, F(-\xcf\x89)=F*(\xcf\x89) \xc8\x99i astfel ca integrala s\xc4\x83 fie convergent\xc4\x83:'