b"\n_START_ARTICLE_\nFunc\xc8\x9bie monoton\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nDat\xc4\x83 fiind o mul\xc8\x9bime ordonat\xc4\x83 A, o func\xc8\x9bie monoton\xc4\x83 cu domeniul A este o func\xc8\x9bie care p\xc4\x83streaz\xc4\x83 sau inverseaz\xc4\x83 ordinea elementelor din mul\xc8\x9bimea A.\n_START_SECTION_\nDefini\xc8\x9bii\n_START_PARAGRAPH_\nO func\xc8\x9bie f\xc2\xa0: A\xc2\xa0\xe2\x86\x92 B se nume\xc8\x99te func\xc8\x9bie cresc\xc4\x83toare pe o submul\xc8\x9bime M a lui A dac\xc4\x83 pentru oricare dou\xc4\x83 elemente x\xe2\x82\x81,x\xe2\x82\x82\xe2\x88\x88M cu proprietatea c\xc4\x83 x\xe2\x82\x81\xe2\x89\xa4x\xe2\x82\x82 are loc f(x\xe2\x82\x81)\xe2\x89\xa4f(x\xe2\x82\x82)._NEWLINE_O func\xc8\x9bie f\xc2\xa0: A\xc2\xa0\xe2\x86\x92 B se nume\xc8\x99te func\xc8\x9bie descresc\xc4\x83toare pe o submul\xc8\x9bime M a lui A dac\xc4\x83 pentru oricare dou\xc4\x83 elemente x\xe2\x82\x81,x\xe2\x82\x82\xe2\x88\x88M cu proprietatea c\xc4\x83 x\xe2\x82\x81\xe2\x89\xa4x\xe2\x82\x82 are loc f(x\xe2\x82\x81)\xe2\x89\xa5f(x\xe2\x82\x82)._NEWLINE_O func\xc8\x9bie se nume\xc8\x99te func\xc8\x9bie cresc\xc4\x83toare dac\xc4\x83 este cresc\xc4\x83toare pe tot domeniul. O func\xc8\x9bie se nume\xc8\x99te func\xc8\x9bie descresc\xc4\x83toare dac\xc4\x83 este descresc\xc4\x83toare pe tot domeniul._NEWLINE_O func\xc8\x9bie se nume\xc8\x99te func\xc8\x9bie monoton\xc4\x83 dac\xc4\x83 este cresc\xc4\x83toare sau descresc\xc4\x83toare._NEWLINE_De exemplu, func\xc8\x9bia modul a numerelor reale, definit\xc4\x83 prin rela\xc8\x9bia_NEWLINE_este o func\xc8\x9bie descresc\xc4\x83toare pe intervalul (-\xe2\x88\x9e,0), dar cresc\xc4\x83toare pe intervalul (0,+\xe2\x88\x9e). \xc3\x8entr-adev\xc4\x83r, dac\xc4\x83 x\xe2\x82\x81,x\xe2\x82\x82<0 sunt dou\xc4\x83 numere negative astfel \xc3\xaenc\xc3\xa2t x\xe2\x82\x81\xe2\x89\xa4x\xe2\x82\x82, atunci_NEWLINE_,_NEWLINE_deci func\xc8\x9bia este descresc\xc4\x83toare mul\xc8\x9bimea numerelor reale negative. \xc3\x8en mod analog, pentru dou\xc4\x83 numere reale pozitive x\xe2\x82\x81,x\xe2\x82\x82>0 cu x\xe2\x82\x81\xe2\x89\xa4x\xe2\x82\x82, atunci_NEWLINE_,_NEWLINE_deci func\xc8\x9bia este cresc\xc4\x83toare mul\xc8\x9bimea numerelor reale pozitive. Fiind descresc\xc4\x83toare pe o parte a domeniului \xc8\x99i cresc\xc4\x83toare pe cealalt\xc4\x83, func\xc8\x9bia modul nu este monoton\xc4\x83. Aceste observa\xc8\x9bii pot fi vizualizate prin reprezentarea grafic\xc4\x83 a func\xc8\x9biei._NEWLINE_\xc3\x8enlocuind \xc3\xaen defini\xc8\x9biile de mai sus semnul de ordine \xe2\x89\xa4 (respectiv \xe2\x89\xa5) cu semnul de ordine strict\xc4\x83 < (respectiv >), se ob\xc8\x9bin no\xc8\x9biunile de func\xc8\x9bie strict cresc\xc4\x83toare, respectiv func\xc8\x9bie strict descresc\xc4\x83toare. O func\xc8\x9bie strict cresc\xc4\x83toare sau strict descresc\xc4\x83toare este \xc3\xaentotdeauna func\xc8\x9bie injectiv\xc4\x83, deoarece pentru oricare dou\xc4\x83 elemente distincte x \xc8\x99i y din domeniu (dac\xc4\x83 sunt distincte atunci x<y sau x>y) avem c\xc4\x83 f(x)>f(y) sau f(x)<f(y), deci imaginile celor dou\xc4\x83 puncte nu pot s\xc4\x83 coincid\xc4\x83.\n_START_SECTION_\nFunc\xc8\x9bii derivabile monotone\n_START_PARAGRAPH_\nO func\xc8\x9bie derivabila  este cresc\xc4\x83toare pe un interval dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 derivata sa f' este pozitiv\xc4\x83 pe acel interval. \xc3\x8en acela\xc8\x99i timp, func\xc8\x9bia este descresc\xc4\x83toare dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 derivata sa este negativ\xc4\x83 pe acel interval._NEWLINE_Presupun\xc3\xa2nd c\xc4\x83 derivata este pozitiv\xc4\x83 pe un interval , demonstra\xc8\x9bia acestei afirma\xc8\x9bii se realizeaz\xc4\x83 aplic\xc3\xa2nd defini\xc8\x9bia derivatei func\xc8\x9biei f \xc3\xaentr-un punct oarecare ,_NEWLINE_Derivata este pozitiv\xc4\x83 \xc3\xaen punctul x\xe2\x82\x80 dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 exist\xc4\x83 un interval  astfel \xc3\xaenc\xc3\xa2t pentru orice  are loc_NEWLINE_._NEWLINE_Pentru , aceasta are loc dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 . Analog, dac\xc4\x83  atunci afirma\xc8\x9bia are loc dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 . Cum  a fost ales la \xc3\xaent\xc3\xa2mplare, afirma\xc8\x9bia este demonstrat\xc4\x83 pentru orice element al intervalului I._NEWLINE_Se consider\xc4\x83 ca exemplu func\xc8\x9bia modul a numerelor reale. Pe intervalul  \xc8\x99i atunci derivata func\xc8\x9biei modul pe \xc3\xaentreg intervalul este -1. Derivata av\xc3\xa2nd valoare negativ\xc4\x83, func\xc8\x9bia este strict descresc\xc4\x83toare pe acest interval. Pe de alt\xc4\x83 parte, \xc3\xaen intervalul  \xc8\x99i atunci derivata func\xc8\x9biei modul pe tot intervalul este 1. Datorit\xc4\x83 faptului c\xc4\x83 derivata are valoare pozitiv\xc4\x83 pe tot intervalul, func\xc8\x9bia modul este strict cresc\xc4\x83toare pe . Deoarece func\xc8\x9bia este descresc\xc4\x83toare pe o parte a domeniului \xc8\x99i cresc\xc4\x83toare pe cealalt\xc4\x83, func\xc8\x9bia nu este monoton\xc4\x83.\n_START_SECTION_\nPuncte de extrem local\n_START_PARAGRAPH_\nPentru o func\xc8\x9bie , punctul  se nume\xc8\x99te punct de maxim local dac\xc4\x83 exist\xc4\x83 un interval  astfel \xc3\xaenc\xc3\xa2t, pentru orice , . De asemenea, punctul  se nume\xc8\x99te punct de minim local dac\xc4\x83 exist\xc4\x83 un interval  astfel \xc3\xaenc\xc3\xa2t, pentru orice , . Dac\xc4\x83 un punct este fie punct de maxim local, fie punct de minim local, atunci el se nume\xc8\x99te punct de extrem local._NEWLINE_Se poate demonstra c\xc4\x83, dac\xc4\x83 x\xe2\x82\x80 este punct de extrem local pentru func\xc8\x9bia  \xc8\x99i f este derivabil\xc4\x83 \xc3\xaen x\xe2\x82\x80, atunci f'(x\xe2\x82\x80)=0. Aceasta se poate observa din calculul derivatei func\xc8\x9biei f(x) \xc3\xaen punctul x\xe2\x82\x80. Prin defini\xc8\x9bie,_NEWLINE_Pentru h cu modul suficient de mic, din faptul c\xc4\x83 x\xe2\x82\x80 este punct de maxim local pentru func\xc8\x9bia f rezult\xc4\x83 c\xc4\x83 , ceea ce \xc3\xaenseamn\xc4\x83 c\xc4\x83 num\xc4\x83r\xc4\x83torul frac\xc8\x9biei este negativ sau cel mult 0. Dac\xc4\x83 h tinde la dreapta la zero, adic\xc4\x83 prin valori pozitive, atunci frac\xc8\x9bia are numai valori negative sau cel mult nule, caz \xc3\xaen care derivata are valoare negativ\xc4\x83 sau cel mult nul\xc4\x83. Pe de alt\xc4\x83 parte, dac\xc4\x83 h tinde la st\xc3\xa2nga la zero, adic\xc4\x83 prin valori negative, atunci frac\xc8\x9bia are valori pozitive \xc8\x99i, prin urmare, derivata este pozitiv\xc4\x83 sau cel pu\xc8\x9bin nul\xc4\x83. Ambele propozi\xc8\x9bii sunt \xc3\xaendeplinite simultan dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 ._NEWLINE_\xc3\x8en particular, dac\xc4\x83 func\xc8\x9bia  este derivabil\xc4\x83, atunci  este punct de extrem local dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 f'(x\xe2\x82\x80)=0. Acest rezultat este cunoscut \xc3\xaen analiza matematic\xc4\x83 sub numele de Teorema lui Fermat._NEWLINE_Se consider\xc4\x83 de exemplu func\xc8\x9bia de gradul al doilea , unde a, b \xc8\x99i c sunt constante reale (a\xe2\x89\xa00). Derivata acestei func\xc8\x9bii este . F\xc4\x83c\xc3\xa2nd f'(x)=0 ob\xc8\x9binem o ecua\xc8\x9bie de gradul \xc3\xaent\xc3\xa2i \xc3\xaen x care are ca solu\xc8\x9bie unic\xc4\x83 . Din aceasta rezult\xc4\x83 c\xc4\x83  este singurul punct de extrem local al func\xc8\x9biei de gradul al doilea. Se observ\xc4\x83 totodat\xc4\x83 c\xc4\x83 dac\xc4\x83 a<0 atunci derivata ia valori pozitive \xc3\xaenainte de  \xc8\x99i negative pentru valori mai mari dec\xc3\xa2t . Aceasta \xc3\xaenseamn\xc4\x83 c\xc4\x83, dac\xc4\x83 a<0, func\xc8\x9bia de gradul al doilea este strict cresc\xc4\x83toare pe intervalul  \xc8\x99i strict descresc\xc4\x83toare pe , caz \xc3\xaen care  este punct de maxim local. Printr-un ra\xc8\x9bionament analog deducem c\xc4\x83 pentru a>0 func\xc8\x9bia este strict descresc\xc4\x83toare pe intervalul  \xc8\x99i strict cresc\xc4\x83toare pe , caz \xc3\xaen care  este punct de minim local.\n_START_SECTION_\nMonotonia \xc3\xaen analiza func\xc8\x9bional\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x8en analiza func\xc8\x9bional\xc4\x83 pe un spa\xc8\x9biu vectorial topologic X, un operator T\xc2\xa0: X\xc2\xa0\xe2\x86\x92 X* se nume\xc8\x99te operator monoton dac\xc4\x83_NEWLINE_Teorema lui Kachurovskii spune c\xc4\x83 o func\xc8\x9bie convex\xc4\x83 pe un spa\xc8\x9biu Banach are ca derivat\xc4\x83 un operator monoton._NEWLINE_O submul\xc8\x9bime G a produsului cartezian X\xc2\xa0\xc3\x97\xc2\xa0X* se nume\xc8\x99te mul\xc8\x9bime monoton\xc4\x83 dac\xc4\x83 pentru orice pereche (u\xe2\x82\x81,v\xe2\x82\x81), (u\xe2\x82\x82,v\xe2\x82\x82) de elemente din G avem c\xc4\x83_NEWLINE_Graficul GT al unui operator monoton T este o mul\xc8\x9bime monoton\xc4\x83."