b'\n_START_ARTICLE_\nGeometrie simplectic\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nGeometria simplectic\xc4\x83 este o ramur\xc4\x83 a geometriei diferen\xc8\x9biale \xc8\x99i a topologiei diferen\xc8\x9biale care studiaz\xc4\x83 mul\xc8\x9bimile simplectice, adic\xc4\x83, mul\xc8\x9bimile diferen\xc8\x9biabile \xc3\xaenzestrate cu o form\xc4\x83 diferen\xc8\x9biabil\xc4\x83 \xc3\xaenchis\xc4\x83 nedegenerat\xc4\x83 de gradul 2. Geometria simplectic\xc4\x83 \xc3\xae\xc8\x99i are originile \xc3\xaen Hamiltonianul din mecanica clasic\xc4\x83, \xc3\xaen care spa\xc8\x9biul fazelor unor sisteme clasice are structura unor mul\xc8\x9bimi simplectice.\n_START_SECTION_\nEtimologia cuv\xc3\xa2ntului \xe2\x80\x93 simplectic\n_START_PARAGRAPH_\nAdjectivul simplectic a fost introdus de matematicianul Hermann Weyl (9 noiembrie 1885 \xe2\x80\x93 8 decembrie 1955) pentru a desemna grupul simplectic , adic\xc4\x83, grupul automorfismelor reale liniare  care combin\xc4\x83 \xc3\xaenmul\xc8\x9birea cu i prin el \xc3\xaensu\xc8\x99i. Acest grup a fost numit grup liniar complex, put\xc3\xa2nd produce confuzie de nume cu grupul de automorfisme liniare complexe._NEWLINE_Hermann Weyl \xc3\xae\xc8\x99i justific\xc4\x83 alegerea astfel:_NEWLINE_Mai exact, adjectivul simplectic se bazeaz\xc4\x83 pe cuv\xc3\xa2ntul greceasc \xcf\x83\xcf\x85\xc2\xb5\xcf\x80\xce\xbb\xce\xb5\xce\xba\xcf\x84\xce\xb9\xce\xbao\xcf\x82, traducerea cuv\xc3\xa2ntului latin complexus. Cuv\xc3\xa2ntul latin a dat denumirea de complexitate, de unde deriv\xc4\x83 \xc8\x99i num\xc4\x83r complex, cuv\xc3\xa2ntul latin traduc\xc3\xa2nd ideea de \xc3\xaentre\xc8\x9besere sau \xc3\xaentrep\xc4\x83trundere._NEWLINE_Prin extensie, adjectivul simplectic este untilizat \xc3\xaen sintagmele forme simplectice, mul\xc8\x9bimi simplectice, etc.\n_START_SECTION_\nMecanica clasic\xc4\x83 \xc8\x99i formalismul hamiltonian\n_START_PARAGRAPH_\nCadrul geometriei simplectice a dat o nou\xc4\x83 viziune asupra mecanicii clasice. Ea permite un studiu de comportare global al unui sistem mecanic, de tratare a simetriilor \xc8\x99i a consecin\xc8\x9belor lor, precum \xc8\x99i studii calitative, de exemplu, existen\xc8\x9ba traiectoriilor periodice sau caracterul stabil sau haotic al unei evolu\xc8\x9bii._NEWLINE_\xc3\x8en mecanica clasic\xc4\x83, pozi\xc8\x9bia unui ansamblu de puncte materiale, sau mai general, a unui obiect \xc3\xaen mi\xc8\x99care, este dat de un num\xc4\x83r oarecare de coordonate curbilinii , n fiind num\xc4\x83rul gradelor de libertate. Ansamblul tuturor valorilor , pe care coordonatele sistemului le pot lua, precum \xc8\x99i toate pozi\xc8\x9biile posibile, se nume\xc8\x99te spa\xc8\x9biul configura\xc8\x9biilor._NEWLINE_Dar Legile lui Newton afirm\xc4\x83 c\xc4\x83 un sistem mecanic evolueaz\xc4\x83 \xc3\xaentr-o manier\xc4\x83 determinist\xc4\x83 \xc8\x99i \xc3\xaei putem determina pozi\xc8\x9biile ulterioare dac\xc4\x83 se cunoa\xc8\x99te pozi\xc8\x9bia \xc8\x99i viteza ini\xc8\x9bal\xc4\x83 a lui \xc3\xaentr-un punct oarecare._NEWLINE_Pentru a considera \xc8\x99i viteza este necesar s\xc4\x83 ad\xc4\x83ug\xc4\x83m la cele n coordonate alte noi variabile , care reprezint\xc4\x83 impulsurile pe direc\xc8\x9biile coordonatelor. Ansamblul valorilor  pe care le pot lua diferi\xc8\x9bi parametrii se nume\xc8\x99te spa\xc8\x9biul fazelor._NEWLINE_Ca un exemplu al mi\xc8\x99c\xc4\x83rilor \xc3\xaen spa\xc8\x9biul fazelor este vizualizat\xc4\x83 mi\xc8\x99care unui pendul simplu \xc3\xaen acest spa\xc8\x9biu._NEWLINE_\xc3\x8en cele expuse mai sus s-a presupus c\xc4\x83 sistemele evolueaz\xc4\x83 dupa legile lui Newton pentru for\xc8\x9be care deriv\xc4\x83 dintr-un poten\xc8\x9bial, ceea ce \xc3\xaenseamn\xc4\x83 c\xc4\x83 nu avem frecare. Privind figura de mai sus, se poate pune \xc3\xaentrebarea: care geometrie este cea mai potrivit\xc4\x83 pentru studiului traiectoriilor din spa\xc8\x9biul fazelor?  Din cele urmez\xc4\x83 vom vedea c\xc4\x83 geometria simplectic\xc4\x83 este cea mai potrivit\xc4\x83.\n_START_SECTION_\nTeorema lui Poincar\xc3\xa9\n_START_PARAGRAPH_\nTeorema lui Poincar\xc3\xa9 este un rafinament al teoremei lui Liouville. Pentru a o enun\xc8\x9ba trebuie s\xc4\x83 introducem c\xc3\xa2teva nota\xc8\x9bii. Pentru toate valorile  cuprinse \xc3\xaentre 1 \xc8\x99i , not\xc4\x83m  proiec\xc8\x9bia spa\xc8\x9biului fazelor pe un plan_NEWLINE_. Este deci func\xc8\x9bia care asociaz\xc4\x83 pe  la ._NEWLINE_Teorema lui Poincar\xc3\xa9 afirm\xc4\x83 c\xc4\x83: pentru toate suprafe\xc8\x9bele  din spa\xc8\x9biul fazelor, suma proiec\xc8\x9biilor ariilor  se conserv\xc4\x83 atunci c\xc3\xa2nd sistemul evolueaz\xc4\x83._NEWLINE_O structur\xc4\x83 simplectic\xc4\x83 peste un ansamblu este un mecanism de atribuire a unui num\xc4\x83r tuturor suprefe\xc8\x9belor din spa\xc8\x9biu care verific\xc4\x83 anumite condi\xc8\x9bii. Asocierea fiec\xc4\x83rei suprafe\xc8\x9be  din spa\xc8\x9biul fazelor la suma proiectiilor ariilor  este un exemplu de structur\xc4\x83 simplectic\xc4\x83, pe care o vom numi structur\xc4\x83 simplectic\xc4\x83 canonic\xc4\x83 din spa\xc8\x9biul fazelor.\n_START_SECTION_\nSimetria \xc3\xaen mecanic\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nAl doilea argument care confirm\xc4\x83 ideea c\xc4\x83 geometria simplectic\xc4\x83 este geometria natural\xc4\x83 a spa\xc8\x9biului  fazelor este u\xc8\x99urin\xc8\x9ba cu care permite integrarea \xc3\xaen teorie a problemelor de simetrie \xc8\x99i a consecin\xc8\x9belor lor.\n_START_SECTION_\nTeorema lui Noether\n_START_PARAGRAPH_\nPrezen\xc8\x9ba simetriei \xc3\xaentr-un sistem mecanic este consecin\xc8\x9ba unei cantit\xc4\x83\xc8\x9bi care se conserv\xc4\x83. Dac\xc4\x83 un sistem este invariant la o transla\xc8\x9bie, \xc3\xaenseamn\xc4\x83 c\xc4\x83, pe direc\xc8\x9bia respectiv\xc4\x83 impulsul se conserv\xc4\x83. Dac\xc4\x83 un sistem este invariant la o rota\xc8\x9bie \xc3\xaen jurul unei axe, atunci, momentul cinetic se conserv\xc4\x83._NEWLINE_\xc3\x8en cadrul mecanicii clasice Newtoniene, este imposibil de a enun\xc8\x9ba o teorem\xc4\x83 general\xc4\x83 care s\xc4\x83 \xc3\xaenglobeze exemplele de mai sus, \xc3\xaen afar\xc4\x83 de cazurile \xc3\xaen care sistemele posed\xc4\x83 simetrii foarte complicate._NEWLINE_Teorema lui Noether afirm\xc4\x83 c\xc4\x83: odat\xc4\x83 ce avem un grup de transform\xc4\x83ri a parametrilor care p\xc4\x83streaz\xc4\x83 un sistem mecanic, exist\xc4\x83 o cantitate care se conserv\xc4\x83 \xc3\xaen timpul evolu\xc8\x9biei acestui sistem. De fapt, enun\xc8\x9bul complet al teoremei d\xc4\x83 o formul\xc4\x83 pentru cantit\xc4\x83\xc8\x9bile care se conserv\xc4\x83, \xc3\xaen func\xc8\x9bie de transform\xc4\x83ri \xc8\x99i sistemul considerat.\n_START_SECTION_\nSisteme aproape integrabile\n_START_PARAGRAPH_\nDesigur, multe sisteme mecanice nu sunt integrabile, dar multe sunt aproape integrabile, deci, putem \xc3\xaencerca s\xc4\x83 \xc3\xaen\xc8\x9belegem modul \xc3\xaen care se dep\xc4\x83rteaz\xc4\x83 aceste sisteme de cele integrabile, acesta fiind obiectul teoriei perturba\xc8\x9biilor, care face referire la geometria simplectic\xc4\x83 \xc3\xaen spa\xc8\x9biul fazelor. De asemenea sunt necesare cuno\xc8\x99tin\xc8\x9be elementare de geometrie diferen\xc8\x9bial\xc4\x83 pentru abordarea aspectelor tehnice din geometria simplectic\xc4\x83. _NEWLINE_Geometria simplectic\xc4\x83 are un num\xc4\x83r de similarit\xc4\x83\xc8\x9bi dar \xc8\x99i diferen\xc8\x9be cu geometria Riemannian\xc4\x83, care studiaz\xc4\x83 mul\xc8\x9bimile diferen\xc8\x9biabile \xc3\xaenzestrate cu tensori simetrici de ordinul 2 nedegenera\xc8\x9bi, numi\xc8\x9bi tensori metrici. Spre deosebire de cazul Riemannian, mul\xc8\x9bimile simplectice nu au invarian\xc8\x9bi locali precum curbura. Acest lucru este o consecin\xc8\x9b\xc4\x83 a teoremei lui Darboux care stipuleaz\xc4\x83 c\xc4\x83: o vecin\xc4\x83tate a oric\xc4\x83rui punct dintr-o mul\xc8\x9bime simplectic\xc4\x83 2n-dimensional\xc4\x83 este izomorfic\xc4\x83 pe o structur\xc4\x83 simplectic\xc4\x83 obi\xc8\x99nuit\xc4\x83 dintr-o mul\xc8\x9bime deschis\xc4\x83 din R\xc2\xb2\xe2\x81\xbf. O alt\xc4\x83 diferen\xc8\x9b\xc4\x83 fa\xc8\x9b\xc4\x83 de geometria Riemannian\xc4\x83 este aceea c\xc4\x83 nu orice mul\xc8\x9bime diferen\xc8\x9biabil\xc4\x83 necesit\xc4\x83 o form\xc4\x83 simplectic\xc4\x83, av\xc3\xa2nd cu siguran\xc8\x9b\xc4\x83 restric\xc8\x9bii topologice. De exemplu, fiecare mul\xc8\x9bime simplectic\xc4\x83 este par\xc4\x83 \xc8\x99i orientabil\xc4\x83._NEWLINE_De asemenea, fiecare mul\xc8\x9bime K\xc3\xa4hler este o mul\xc8\x9bime simplectic\xc4\x83. \xc3\x8en cursul anilor `70, exper\xc8\x9bii \xc3\xaen geometria simplectic\xc4\x83 nu erau siguri dac\xc4\x83 exist\xc4\x83 \xc8\x99i alte mul\xc8\x9bimi simplectice compacte, \xc3\xaen afar\xc4\x83 de  cele K\xc3\xa4hler. De atunci au fost construite multe exemple, primul dat de William Thurston, iar \xc3\xaen particular Robert Gompf a ar\xc4\x83tat c\xc4\x83, fiecare grup finit apare ca un grup fundamental al unor mul\xc8\x9bimi simplectice de ordinul 4, \xc3\xaen contrast vizibil cu cazul Kahler._NEWLINE_Multe mul\xc8\x9bimi simplectice nu sunt mul\xc8\x9bimi K\xc3\xa4hler, deci nu au structur\xc4\x83 complex\xc4\x83 integrabil\xc4\x83 compatibil\xc4\x83 cu forma simplectic\xc4\x83. Totu\xc8\x99i, Mikhail Gromov a f\xc4\x83cut observa\xc8\x9bia important\xc4\x83 c\xc4\x83, mul\xc8\x9bimile simplectice care posed\xc4\x83 numeroase structuri cvasi-complexe verific\xc4\x83 toate axiomele unei mul\xc8\x9bimi complexe cu excep\xc8\x9bia faptului c\xc4\x83 func\xc8\x9biile de tranzi\xc8\x9bie nu sunt olomorfe. Gramov folose\xc8\x99te existen\xc8\x9ba structurior aproape complexe pe mul\xc8\x9bimi simplectice pentru a dezvolta o teorie a curbelor pseudo-olomirfice, care a permis un avans considerabil \xc3\xaen topologia simplectic\xc4\x83, incluz\xc3\xa2nd o clas\xc4\x83 de invarina\xc8\x9bi simplectici cunoscu\xc8\x9bi ca invarian\xc8\x9bi Gromov-Witten. De asemenea, ace\xc8\x99ti invarian\xc8\x9bi joac\xc4\x83 un rol cheie \xc3\xaen teoria corzilor.\n_START_SECTION_\nSimplectomorfisme\n_START_PARAGRAPH_\nStudiul geometriei simplectice s-a n\xc4\x83scut din constatarea c\xc4\x83 evolu\xc8\x9bia unui sistem mecanic p\xc4\x83streaz\xc4\x83 structura simplectic\xc4\x83 canonic\xc4\x83 din spa\xc8\x9biul fazelor. Mai general, putem s\xc4\x83 c\xc4\x83ut\xc4\x83m acele ansamble de transform\xc4\x83ri care p\xc4\x83streaz\xc4\x83 o structur\xc4\x83 simplectic\xc4\x83 dat\xc4\x83. Astfel de transform\xc4\x83ri sunt numite simplectomorfisme, totdeauna foarte numeroase, form\xc3\xa2nd un ansamblu de dimensiune infinit\xc4\x83 numit grupul simplectomorfismelor. Pentru a \xc3\xaen\xc8\x9belege forma acestui ansamblu, \xc3\xael compar\xc4\x83m cu ansamble mai mici, pe care le putem \xc3\xaen\xc8\x9belege mai bine. Primele rezultate semnificative \xc3\xaen acest domeniu se datoreaz\xc4\x83 lui Gramov, \xc3\xaencep\xc3\xa2nd cu a sa teorem\xc4\x83 de necompactare.'