b'\n_START_ARTICLE_\nLogaritm\n_START_SECTION_\nIdentit\xc4\x83\xc8\x9bi logaritmice\n_START_PARAGRAPH_\nMai multe formule importante, uneori numite\xc2\xa0identit\xc4\x83\xc8\x9bi\xc2\xa0logaritmice\xc2\xa0sau\xc2\xa0legi logaritmice, dau rela\xc8\x9bii \xc3\xaentre logaritmi.\n_START_SECTION_\nIstoria\n_START_PARAGRAPH_\nIstoria logaritmilor \xc3\xaen Europa secolului al XVII-lea este descoperirea unei noi\xc2\xa0func\xc8\x9bii, care extindea domeniul de analiz\xc4\x83 dincolo de domeniul de aplicare a metodelor algebrice. Metoda logaritmilor a fost formulat\xc4\x83 public de c\xc4\x83tre John Napier \xc3\xaen 1614, \xc3\xaentr-o carte intitulat\xc4\x83 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrierea Minunatului Canon al Logaritmilor). \xc3\x8enainte de inventarea lor de c\xc4\x83tre Napier, au existat \xc8\x99i alte tehnici similare, cum ar fi prostafareza sau utilizarea de tabele de progresii, dezvoltat\xc4\x83 pe larg de c\xc4\x83tre Jost B\xc3\xbcrgi \xc3\xaen jurul anului 1600._NEWLINE_Logaritmul zecimal\xc2\xa0al unui num\xc4\x83r este indicele acelei puteri a lui zece care este egal\xc4\x83 cu num\xc4\x83rul.\xc2\xa0A vorbi despre un num\xc4\x83r ca necesit\xc3\xa2nd at\xc3\xa2t de multe cifre este o aluzie aproximativ\xc4\x83 la logaritmul zecimal, \xc8\x99i problema a fost men\xc8\x9bionat\xc4\x83 de c\xc4\x83tre Arhimede ca \xe2\x80\x9eordinul unui num\xc4\x83r\xe2\x80\x9d.\xc2\xa0Primii\xc2\xa0logaritmi adev\xc4\x83r\xc4\x83\xc8\x9bi erau metode euristice de a transforma \xc3\xaenmul\xc8\x9birea \xc3\xaen adunare, facilit\xc3\xa2nd astfel calculul mai rapid. Unele dintre aceste metode foloseau tabele calculate din identit\xc4\x83\xc8\x9bi trigonometrice._NEWLINE_Astfel de metode sunt numite prostafarez\xc4\x83._NEWLINE_Inventarea func\xc8\x9biei\xc2\xa0cunoscute ast\xc4\x83zi sub numele de\xc2\xa0logaritm natural a \xc3\xaenceput ca o \xc3\xaencercare de a efectua o cuadratur\xc4\x83 a unei\xc2\xa0hiperbole\xc2\xa0 dreptunghiulare\xc2\xa0de c\xc4\x83tre\xc2\xa0Gregoire de Saint Vincent, un belgian iezuit ce locuia la Praga. Arhimede scrisese\xc2\xa0Cuadratura parabolei \xc3\xaen secolul al III-lea \xc3\xae.Hr., dar o cuadratur\xc4\x83 a hiperbolei nu putuse fi realizat\xc4\x83 p\xc3\xa2n\xc4\x83 la publicarea de c\xc4\x83tre Saint-Vincent a rezultatelor sale \xc3\xaen 1647. Rela\xc8\x9bia pe care o ofer\xc4\x83 logaritmul \xc3\xaentre o progresie geometric\xc4\x83\xc2\xa0primit\xc4\x83 ca\xc2\xa0argument \xc8\x99i o progresie aritmetic\xc4\x83\xc2\xa0a valorilor lui, l-a determinat pe\xc2\xa0Alphonse Antonio de Sarasa s\xc4\x83 fac\xc4\x83 leg\xc4\x83tura \xc3\xaentre cuadratura lui Saint-Vincent \xc8\x99i tradi\xc8\x9bia logaritmilor din prostaferesis, ceea ce duce la termenul de \xe2\x80\x9elogaritm hiperbolic\xe2\x80\x9d, sinonim pentru logaritmul natural. \xc3\x8en cur\xc3\xa2nd, noua func\xc8\x9bie a fost apreciat\xc4\x83 de c\xc4\x83tre Christiaan Huygens, Patavii, \xc8\x99i James Gregory. Nota\xc8\x9bia Log y a fost adoptat\xc4\x83 de c\xc4\x83tre Leibniz \xc3\xaen 1675, \xc8\x99i \xc3\xaen anul urm\xc4\x83tor el a legat-o de integrala\xc2\xa0\n_START_SECTION_\nTranscenden\xc8\x9ba logaritmului\n_START_PARAGRAPH_\nNumere reale care nu sunt algebrice se numesc transcendente; de exemplu, \xcf\x80 \xc8\x99i e sunt astfel de numere, dar  nu este. Aproape toate numerele reale sunt transcendente. Logaritmul este un exemplu de func\xc8\x9bie\xc2\xa0transcendent\xc4\x83. Teorema Gelfond\xe2\x80\x93Schneider\xc2\xa0afirm\xc4\x83 c\xc4\x83 logaritmii de obicei iau valori transcendente, adic\xc4\x83 \xe2\x80\x9edificile\xe2\x80\x9d.\n_START_SECTION_\nAplica\xc8\x9bii\n_START_PARAGRAPH_\nLogaritmii au multe aplica\xc8\x9bii \xc3\xaen interiorul \xc8\x99i \xc3\xaen afara matematicii. Unele dintre aceste evenimente sunt legate de no\xc8\x9biunea de invarian\xc8\x9b\xc4\x83 de scar\xc4\x83. Logaritmii sunt lega\xc8\x9bi \xc8\x99i de conceptul de autosimilitudine. De exempluu, logaritmii apar \xc3\xaen analiza algoritmilor care rezolv\xc4\x83 o problem\xc4\x83 \xc3\xaemp\xc4\x83r\xc8\x9bind-o \xc3\xaen mai multe probleme similare mai mici \xc8\x99i apoi combin\xc3\xa2nd solu\xc8\x9biile acestora. _NEWLINE_Dimensiunile formelor geometrice autosimilare, adic\xc4\x83 a formelor ale c\xc4\x83ror p\xc4\x83r\xc8\x9bi se aseam\xc4\x83n\xc4\x83 cu imaginea de ansamblu sunt, de asemenea, bazate pe logaritmi._NEWLINE_Sc\xc4\x83rile logaritmice sunt utile pentru cuantificarea schimb\xc4\x83rii relative ale unei valori \xc3\xaen locul diferen\xc8\x9bei absolute. Mai mult dec\xc3\xa2t at\xc3\xa2t, pentru c\xc4\x83 func\xc8\x9bia logaritmic\xc4\x83 log(x) cre\xc8\x99te foarte \xc3\xaencet pentru a\xc2\xa0x\xc2\xa0mari, sc\xc4\x83rile logaritmice sunt folosite pentru a comprima date \xc8\x99tiin\xc8\x9bifice cu game mari de varia\xc8\x9bie. Logaritmii apar \xc8\x99i \xc3\xaen numeroase formule \xc8\x99tiin\xc8\x9bifice, cum ar fi ecua\xc8\x9bia rachetei a lui \xc8\x9aiolkovski, ecua\xc8\x9bia Fenske, sau ecua\xc8\x9bia lui Nernst.\n_START_SECTION_\nScar\xc4\x83 logaritmic\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nCantit\xc4\x83\xc8\x9bile \xc8\x99tiin\xc8\x9bifice sunt adesea exprimate \xc3\xaen logaritmi ai altor cantit\xc4\x83\xc8\x9bi, folosind o scar\xc4\x83 logaritmic\xc4\x83. De exemplu, decibelul este o unitate de m\xc4\x83sur\xc4\x83 asociate cu o\xc2\xa0scar\xc4\x83 logaritmic\xc4\x83\xc2\xa0a valorilor unui raport. Ea se bazeaz\xc4\x83 pe logaritmul zecimal al\xc2\xa0raportului: de\xc2\xa010 ori logaritmul zecimal al unui raport de\xc2\xa0puteri\xc2\xa0sau de 20 de ori logaritmul zecimal al raportului unor\xc2\xa0tensiuni. Acesta este utilizat pentru a cuantifica pierderea nivelului de tensiune la transmiterea semnalelor electrice, pentru a descrie nivelurile de putere a sunetului \xc3\xaen acustic\xc4\x83, \xc8\x99i absorban\xc8\x9ba\xc2\xa0luminii \xc3\xaen domeniul spectrometriei \xc8\x99i opticii. Raportul semnal-zgomot\xc2\xa0care descrie cantitatea de\xc2\xa0zgomot\xc2\xa0nedorit\xc2\xa0\xc3\xaen raport cu un\xc2\xa0semnal\xc2\xa0se m\xc4\x83soar\xc4\x83 tot\xc2\xa0\xc3\xaen decibeli. Similar, raportul semnal-zgomot de peak\xc2\xa0este de obicei folosit pentru a evalua calitatea de sunet \xc8\x99i metodele de\xc2\xa0compresie a imaginilor\xc2\xa0folosind logaritmul._NEWLINE_Puterea unui cutremur este m\xc4\x83surat\xc4\x83 prin calculul logaritmului zecimal al energiei emise de cutremur. Acest lucru este folosit la scara magnitudinii de moment sau, \xc3\xaen trecut, la\xc2\xa0scara Richter. De exemplu, un cutremur de 5 grade elibereaz\xc4\x83 de 32 de ori (101,5), iar unul de 6 grade elibereaz\xc4\x83 de 1000 de ori (10\xc2\xb3) energia unuia de 4.0. O alt\xc4\x83 scar\xc4\x83 logaritmic\xc4\x83 este magnitudinea aparent\xc4\x83. Acesta m\xc4\x83soar\xc4\x83 logaritmic luminozitatea stelelor.\xc2\xa0Un alt exemplu este pH-ul\xc2\xa0din chimie; pH-ul este logaritmul zecimal cu semn schimbat al\xc2\xa0activit\xc4\x83\xc8\x9bii ionilor de hidroniu\xc2\xa0ioni (forma pe care o iau ionii de hidrogen\xc2\xa0H+_NEWLINE_\xc2\xa0\xc3\xaen ap\xc4\x83).\xc2\xa0Activitatea ionilor de hidroniu \xc3\xaen apa neutr\xc4\x83 este de 10\xe2\x81\xbb\xe2\x81\xb7 mol\xc2\xb7L\xe2\x81\xbb\xc2\xb9, prin urmare, un pH de 7. O\xc8\x9betul are de obicei un pH de aproximativ 3. Diferen\xc8\x9ba de 4 corespunde la un raport al activit\xc4\x83\xc8\x9bii de 10\xe2\x81\xb4, adic\xc4\x83 activitatea ionilor de hidroniu din o\xc8\x9bet este de aproximativ 10\xe2\x81\xbb\xc2\xb3 mol\xc2\xb7L\xe2\x81\xbb\xc2\xb9._NEWLINE_Graficele\xc2\xa0semilogaritmice\xc2\xa0(log-liniare) utilizeaz\xc4\x83 conceptul de scar\xc4\x83 logaritmic\xc4\x83 doar pentru vizualizare: una din axe, de obicei, cea vertical\xc4\x83, este scalat\xc4\x83 logaritmic. De exemplu, graficul din dreapta comprim\xc4\x83 cre\xc8\x99terea abrupt\xc4\x83 de la 1 milion la 1 trilion \xc3\xaen acela\xc8\x99i spa\xc8\x9biu (pe axa vertical\xc4\x83), ca \xc8\x99i majorarea de la 1 la 1 milion. \xc3\x8en astfel de grafice, func\xc8\x9bii exponen\xc8\x9biale\xc2\xa0apar ca linii drepte cu panta egal\xc4\x83 cu logaritmul lui\xc2\xa0b. Graficele\xc2\xa0log-log\xc2\xa0scaleaz\xc4\x83 logaritmic ambele axe, ceea ce face ca func\xc8\x9biile s\xc4\x83 fie reprezentate ca linii drepte cu panta egal\xc4\x83 cu exponentul k. Aceasta are aplica\xc8\x9bii \xc3\xaen vizualizarea \xc8\x99i analiza legilor de putere.\n_START_SECTION_\nPsihologie\n_START_PARAGRAPH_\nLogaritmii apar \xc8\x99i \xc3\xaen unele legi care descriu percep\xc8\x9bia uman\xc4\x83:legea lui Hick\xc2\xa0propune o rela\xc8\x9bie logaritmic\xc4\x83 \xc3\xaentre timpul c\xc3\xa2t dureaz\xc4\x83 ca o persoan\xc4\x83 s\xc4\x83 aleag\xc4\x83 o alternativ\xc4\x83 \xc8\x99i num\xc4\x83rul de op\xc8\x9biuni pe care le au. Legea lui Fitts prezice c\xc4\x83 timpul necesar pentru a trece rapid la o zon\xc4\x83-\xc8\x9bint\xc4\x83 este o func\xc8\x9bie logaritmic\xc4\x83 de distan\xc8\x9ba \xc8\x99i dimensiunea \xc8\x9bintei. \xc3\x8en psihofizic\xc4\x83, legea Weber\xe2\x80\x93Fechner\xc2\xa0propune o rela\xc8\x9bie logaritmic\xc4\x83 \xc3\xaentre stimul \xc8\x99i senza\xc8\x9bie, cum ar fi greutatea real\xc4\x83 vs. cea perceput\xc4\x83 de o persoan\xc4\x83 care o transport\xc4\x83. (Aceast\xc4\x83 \xe2\x80\x9elege\xe2\x80\x9d, cu toate acestea, este mai pu\xc8\x9bin precis\xc4\x83 dec\xc3\xa2t unele modele mai recente, cum ar fi legea puterii a lui Stevens.)_NEWLINE_Studiile psihologice au constatat c\xc4\x83 persoanele cu pu\xc8\x9bin\xc4\x83 educa\xc8\x9bie \xc3\xaen matematic\xc4\x83 tind s\xc4\x83 estimeze cantit\xc4\x83\xc8\x9bile logaritmic, adic\xc4\x83 ele pun un num\xc4\x83r pe o linie \xc3\xaen func\xc8\x9bie de logaritmul lui, astfel c\xc4\x83 10 este pozi\xc8\x9bionat la fel de aproape de 100 ca \xc8\x99i 100 de 1000. Cre\xc8\x99terea educa\xc8\x9biei schimb\xc4\x83 aceast\xc4\x83 estimare cu una liniar\xc4\x83 (pozi\xc8\x9bionarea lui 1000 de 10x mai departe), \xc3\xaen anumite circumstan\xc8\x9be, \xc3\xaen timp ce logaritmii sunt utiliza\xc8\x9bi atunci atunci c\xc3\xa2nd numerele de reprezentat sunt dificil de marcat liniar.\n_START_SECTION_\nTeoria probabilit\xc4\x83\xc8\x9bilor \xc8\x99i statistic\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nLogaritmii apar \xc3\xaen teoria probabilit\xc4\x83\xc8\x9bilor: legea numerelor mari dicteaz\xc4\x83 c\xc4\x83, pentru o aruncare a monedei, c\xc3\xa2nd num\xc4\x83rul de arunc\xc4\x83ri tinde la infinit, propor\xc8\x9bia observat\xc4\x83 a apari\xc8\x9biei unei fe\xc8\x9be\xc2\xa0tinde la jum\xc4\x83tate. Fluctua\xc8\x9biile acestei propor\xc8\x9bii \xc3\xaen jurul jum\xc4\x83t\xc4\x83\xc8\x9bii sunt descrise de legea logaritmului iterat._NEWLINE_Logaritmii apar \xc8\x99i \xc3\xaen distribu\xc8\x9biile log-normale. C\xc3\xa2nd logaritmul unei variabile aleatoare are o distribu\xc8\x9bie normal\xc4\x83, se spune c\xc4\x83 variabila are distribu\xc8\x9bie log-normal\xc4\x83.\xc2\xa0Distribu\xc8\x9bii log-normale se \xc3\xaent\xc3\xa2lnesc \xc3\xaen multe domenii, ori de c\xc3\xa2te ori o variabil\xc4\x83 se formeaz\xc4\x83 ca produs de multe variabile aleatoare independente pozitive, de exemplu \xc3\xaen studiul turbulen\xc8\x9belor._NEWLINE_Logaritmii sunt folosi\xc8\x9bi pentru estimarea verosimilit\xc4\x83\xc8\x9bii maxime\xc2\xa0a modelelor statistice\xc2\xa0parametrice. Pentru un astfel de model, func\xc8\x9bia de verosimilitate depinde de cel pu\xc8\x9bin un parametru care trebuie s\xc4\x83 fie estimat. Un maxim al func\xc8\x9biei de verosimilitate are loc la acela\xc8\x99i parametru-valoare ca \xc8\x99i maximul logaritmului verosimilit\xc4\x83\xc8\x9bii, deoarece logaritmul este o func\xc8\x9bie cresc\xc4\x83toare. Aceast\xc4\x83 log-verosimilitate este mai u\xc8\x99or de maximizat, \xc3\xaen special pentru verosimilit\xc4\x83\xc8\x9bile multiplicate pentru variabile aleatoare\xc2\xa0independente._NEWLINE_Legea lui Benford descrie apari\xc8\x9bia unor cifre \xc3\xaen multe seturi de date, cum ar fi \xc3\xaen\xc4\x83l\xc8\x9bimea cl\xc4\x83dirilor. \xc3\x8en conformitate cu legea lui Benford, probabilitatea ca prima cifr\xc4\x83 zecimal\xc4\x83 a unui element din e\xc8\x99antionul de date s\xc4\x83 fie\xc2\xa0d (de la 1 la 9) este egal\xc4\x83 cu log\xe2\x82\x81\xe2\x82\x80(d + 1) \xe2\x88\x92 log\xe2\x82\x81\xe2\x82\x80(d), indiferent de unitatea de m\xc4\x83sur\xc4\x83. Astfel, aproximativ 30% din date este de a\xc8\x99teptat s\xc4\x83 aib\xc4\x83 1 ca prima cifr\xc4\x83, 18% \xc3\xaencepe cu 2, etc. Auditorii au examinat abaterile de la legea lui Benford pentru a detecta frauda de contabilitate.\n_START_SECTION_\nComplexitatea computa\xc8\x9bional\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nAnaliza algoritmilor este o ramur\xc4\x83 a informaticii care studiaz\xc4\x83 performan\xc8\x9ba\xc2\xa0algoritmilor (programe de calculator care rezolv\xc4\x83 o anumit\xc4\x83 problem\xc4\x83). Logaritmii sunt valoro\xc8\x99i pentru c\xc4\x83 descriu algoritmi care \xc3\xaempart o problem\xc4\x83 \xc3\xaen altele mai mici, dup\xc4\x83 care al\xc4\x83tur\xc4\x83 solu\xc8\x9biile subproblemelor._NEWLINE_De exemplu, pentru a g\xc4\x83si un num\xc4\x83r \xc3\xaentr-o list\xc4\x83 sortat\xc4\x83, algoritmul de c\xc4\x83utare binar\xc4\x83\xc2\xa0verific\xc4\x83 elementul median \xc8\x99i continu\xc4\x83 cu jum\xc4\x83tatea dinainte sau de dup\xc4\x83 elementul din mijloc \xc3\xaen cazul \xc3\xaen care num\xc4\x83rul nu este \xc3\xaenc\xc4\x83 g\xc4\x83sit. Acest algoritm necesit\xc4\x83, \xc3\xaen medie, log\xe2\x82\x82(N) compara\xc8\x9bii, unde N este lungimea listei. Similar, algoritmul\xc2\xa0merge-sort\xc2\xa0sorteaz\xc4\x83 o list\xc4\x83 nesortat\xc4\x83 prin \xc3\xaemp\xc4\x83r\xc8\x9birea listei \xc3\xaen jum\xc4\x83t\xc4\x83\xc8\x9bi \xc8\x99i sortarea acestora mai \xc3\xaent\xc3\xa2i, \xc3\xaenainte de a comasa rezultatele. Algoritmii merge-sort necesit\xc4\x83 de obicei un timp aproximativ propor\xc8\x9bional\xc2\xa0cu\xc2\xa0N \xc2\xb7 log(N) .\xc2\xa0Baza logaritmului nu este specificat\xc4\x83 aici, pentru c\xc4\x83 schimbarea bazei ar modifica rezultatul s-numai printr-un factor constant, evolu\xc8\x9bia dependen\xc8\x9bei fiind cea de interes. Un factor constant este de obicei luat\xc4\x83 \xc3\xaen considerare \xc3\xaen analiza algoritmilor \xc3\xaen modelul cost uniform standard.\xc2\xa0_NEWLINE_Se spune despre o func\xc8\x9bie f(x) c\xc4\x83\xc2\xa0cre\xc8\x99te logaritmic dac\xc4\x83 f(x) este (exact sau aproximativ) propor\xc8\x9bional cu logaritmul lui x. (Descrierile biologice ale organismelor \xc3\xaen cre\xc8\x99tere utilizeaz\xc4\x83 \xc3\xaens\xc4\x83 acest termen pentru o func\xc8\x9bie exponen\xc8\x9bial\xc4\x83.) De exemplu, orice num\xc4\x83r natural N poate fi reprezentat\xc4\x83 \xc3\xaen form\xc4\x83 binar\xc4\x83, pe cel pu\xc8\x9bin\xc2\xa0log\xe2\x82\x82(N) + 1  bi\xc8\x9bi. Cu alte cuvinte, cantitatea de memorie necesar\xc4\x83 pentru a stoca num\xc4\x83rul\xc2\xa0N cre\xc8\x99te logaritmic cu N.\n_START_SECTION_\nFractalii\n_START_PARAGRAPH_\nLogaritmii apar \xc3\xaen defini\xc8\x9biile dimensiunilor\xc2\xa0fractalilor. Fractalii sunt obiecte geometrice autosimilare: p\xc4\x83r\xc8\x9bile de mici dimensiuni reproduc, cel pu\xc8\x9bin aproximativ, \xc3\xaentreaga structur\xc4\x83 global\xc4\x83. Triunghiul Sierpinski (foto) poate fi acoperit cu trei copii ale sale, fiecare av\xc3\xa2nd laturile jum\xc4\x83tate lungimea ini\xc8\x9bial\xc4\x83. Acest lucru face ca dimensiunea Hausdorff a acestei structuri s\xc4\x83 fie . O alt\xc4\x83\xc2\xa0no\xc8\x9biune pe baz\xc4\x83 de logaritmi este ob\xc8\x9binut\xc4\x83 prin num\xc4\x83rarea num\xc4\x83rul de cutii necesare pentru a acoperi fractalul \xc3\xaen cauz\xc4\x83.'