b'\n_START_ARTICLE_\nMul\xc8\x9bimea lui Mandelbrot\n_START_PARAGRAPH_\nMul\xc8\x9bimea lui Mandelbrot este un fractal care a devenit cunoscut \xc3\xaen afara matematicii at\xc3\xa2t pentru estetica sa, c\xc3\xa2t \xc8\x99i pentru structura complicat\xc4\x83, care are la baz\xc4\x83 o defini\xc8\x9bie simpl\xc4\x83. Acest lucru se datoreaz\xc4\x83 \xc3\xaen mare parte eforturilor lui Beno\xc3\xaet Mandelbrot \xc8\x99i ale altora de a populariza acest domeniu al matematicii. Mul\xc8\x9bimea lui Mandelbrot se define\xc8\x99te ca fiind mul\xc8\x9bimea acelor puncte c din planul complex pentru care aplic\xc3\xa2nd \xc3\xaen mod repetat polinomul complex z\xc2\xb2 + c (pornind de la z = 0) rezultatul r\xc4\x83m\xc3\xa2ne \xc3\xaen interiorul unui disc de raz\xc4\x83 finit\xc4\x83.\n_START_SECTION_\nIstoric\n_START_PARAGRAPH_\nMul\xc8\x9bimea lui Mandelbrot \xc3\xae\xc8\x99i are locul \xc3\xaen studiul sistemelor dinamice \xc3\xaen planul complex, un c\xc3\xa2mp investigat pentru prima dat\xc4\x83 de c\xc4\x83tre matematicienii francezi Pierre Fatou \xc8\x99i Gaston Julia la \xc3\xaenceputul secolului 20. Primele imagini au fost desenate \xc3\xaen 1978 de c\xc4\x83tre Brooks \xc8\x99i Matelski ca parte a studiului grupurilor Kleinian._NEWLINE_Mandelbrot a studiat parametrul spa\xc8\x9biu al polinoamelor p\xc4\x83tratice \xc3\xaentr-un articol care a ap\xc4\x83rut \xc3\xaen 1980. Studiul matematic al mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot a \xc3\xaenceput abia cu munca matematicienilor Adrien Douady \xc8\x99i John H. Hubbard, care au stabilit multe propriet\xc4\x83\xc8\x9bi fundamentale ale lui M \xc8\x99i au numit mul\xc8\x9bimea \xc3\xaen onoarea lui Mandelbrot._NEWLINE_Munca lui Douady \xc8\x99i a lui Hubbard a coincis cu un interes crescut fa\xc8\x9b\xc4\x83 de dinamica complex\xc4\x83, iar studiul mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot a fost \xc3\xaen centrul acestui domeniu \xc3\xaenc\xc4\x83 de atunci. Este de prisos s\xc4\x83 alc\xc4\x83tuim o list\xc4\x83 cu matematicienii care au contribuit la o mai bun\xc4\x83 \xc3\xaen\xc8\x9belegere a mul\xc8\x9bimii de atunci, dar o astfel de list\xc4\x83 i-ar include cu siguran\xc8\x9b\xc4\x83 pe Mikhail Lyubich, Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhioo_NEWLINE_o Shishikura \xc8\x99i Jean-Christophe Yoccoz.\n_START_SECTION_\nComponente hiperbolice\n_START_PARAGRAPH_\nTo\xc8\x9bi bulbii \xc3\xaent\xc3\xa2lni\xc8\x9bi \xc3\xaen sec\xc8\x9biunea anterioar\xc4\x83 sunt interiori componentelor mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot \xc3\xaen care graficele f_c\\, au un ciclu de atrac\xc8\x9bie periodic. Astfel de componente se numesc componente hiperbolice._NEWLINE_Este conjecturat c\xc4\x83 acestea sunt singurele regiuni interioare ale lui M. Aceast\xc4\x83 problem\xc4\x83, cunoscut\xc4\x83 ca densitatea de hiperbolicitate, este probabil cea mai important\xc4\x83 problem\xc4\x83 nerezolvat\xc4\x83 din c\xc3\xa2mpul dinamicii complexe. Componente non-hiperbolice ipotetice ale mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot sunt denumite deseori componente "ciudate"._NEWLINE_Pentru polinoamele p\xc4\x83tratice reale, s-a r\xc4\x83spuns la aceast\xc4\x83 \xc3\xaentrebare \xc3\xaen anii 1990, independent, de c\xc4\x83tre Lyubich \xc8\x99i de c\xc4\x83tre Graczyk \xc8\x99i \xc5\x9awi\xc4\x85tek. (Observa\xc8\x9bi c\xc4\x83 acele componente hiperbolice care intersecteaz\xc4\x83 axa real\xc4\x83 corespund exact ferestrelor periodice din diagrama Feigenbaum. Deci acest rezultat afirm\xc4\x83 c\xc4\x83 astfel de fereste exist\xc4\x83 l\xc3\xa2ng\xc4\x83 orice parametru din diagram\xc4\x83.)_NEWLINE_Nu toate componentele hiperbolice pot fi atinse de o secven\xc8\x9b\xc4\x83 de bifurca\xc8\x9bii directe din cardioida principal\xc4\x83 a mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot. Totu\xc8\x99i, o astfel de component\xc4\x83 poate fi atins\xc4\x83 de o secven\xc8\x9b\xc4\x83 de bifurca\xc8\x9bii directe de la cardioida principal\xc4\x83 a unei copii mici a mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot (vezi mai jos).\n_START_SECTION_\nCopii mici ale mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot\n_START_PARAGRAPH_\nMul\xc8\x9bimea lui Mandelbrot este auto-similar\xc4\x83 \xc3\xaen sensul c\xc4\x83 versiuni mici \xc8\x99i distorsionate ale ei pot fi g\xc4\x83site la orice scar\xc4\x83 pe l\xc3\xa2ng\xc4\x83 orice punct al grani\xc8\x9bei mul\xc8\x9bimii. Acest fenomen este explicat de teoria renormaliz\xc4\x83rii a lui Douady \xc8\x99i Hubbard.\n_START_SECTION_\nRela\xc8\x9bia cu mul\xc8\x9bimile Julia\n_START_PARAGRAPH_\nCa o consecin\xc8\x9b\xc4\x83 a defini\xc8\x9biei mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot, exist\xc4\x83 o leg\xc4\x83tur\xc4\x83 str\xc3\xa2ns\xc4\x83 \xc3\xaentre geometria mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot la un moment dat \xc8\x99i structura mul\xc8\x9bimii Julia corespunz\xc4\x83toare._NEWLINE_Acest principiu este exploatat \xc3\xaen aproape toate rezultatele ob\xc8\x9binute asupra mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot. De exemplu, Shishikura dovede\xc8\x99te c\xc4\x83, pentru o mul\xc8\x9bime dens\xc4\x83 de parametri din grani\xc8\x9ba mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot, mul\xc8\x9bimea Julia are dimensiunea Haussdorff doi, \xc8\x99i apoi transfer\xc4\x83 aceast\xc4\x83 informa\xc8\x9bie parametrului plan. \xc3\x8en mod similar, Yoccoz dovede\xc8\x99te \xc3\xaent\xc3\xa2i conectivitatea local\xc4\x83 pentru mul\xc8\x9bimile Julia, iar apoi o stabile\xc8\x99te pentru mul\xc8\x9bimea lui Mandelbrot cu parametrii corespunz\xc4\x83tori. Adrien Douady formuleaz\xc4\x83 acest principiu \xc3\xaen felul urm\xc4\x83tor:_NEWLINE_Ar\xc4\x83 \xc3\xaen planul dinamic \xc8\x99i culege \xc3\xaen spa\xc8\x9biul parametrilor.\n_START_SECTION_\nGeometria mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot\n_START_PARAGRAPH_\nPentru fiecare num\xc4\x83r ra\xc8\x9bional \\frac{p}{q}, unde p \xc8\x99i q sunt coprime, exist\xc4\x83 o component\xc4\x83 hiperbolic\xc4\x83 de perioad\xc4\x83 q care se bifurc\xc4\x83 din cardioida principal\xc4\x83. Partea mul\xc8\x9bimii lui Mandelbrot care se conecteaz\xc4\x83 la cardioida principal\xc4\x83 \xc3\xaen acest punct se nume\xc8\x99te membru-\\frac{p}{q}. Experimente computerizate sugereaz\xc4\x83 c\xc4\x83 diametrul membrului tinde la zero precum \\frac{1}{q^2}. Cea mai bun\xc4\x83 estimare curent\xc4\x83 este faimoasa inegalitate Yoccoz, care afirm\xc4\x83 c\xc4\x83 m\xc4\x83rimea tinde la zero precum \\frac{1}{q}._NEWLINE_O perioad\xc4\x83 membru-q va avea q-1 "antene" deasupra membrului. Putem astfel determina perioada bulbului dat prin num\xc4\x83rarea acestor antene.'