b'\n_START_ARTICLE_\nGrup factor\n_START_PARAGRAPH_\nUn grup factor este un grup matematic ob\xc8\x9binut prin agregarea elementelor similare dintr-un grup mai mare folosind o rela\xc8\x9bie de echivalen\xc8\x9b\xc4\x83 care p\xc4\x83streaz\xc4\x83 structura grupului. De exemplu, grupul ciclic al adun\xc4\x83rii modulo n poate fi ob\xc8\x9binut din grupul numerelor \xc3\xaentregi prin identificarea elementelor care difer\xc4\x83 printr-un multiplu de n \xc8\x99i definind o structur\xc4\x83 de grup care opereaz\xc4\x83 pe fiecare clas\xc4\x83 (cunoscut\xc4\x83 drept clas\xc4\x83 de congruen\xc8\x9b\xc4\x83) ca o singur\xc4\x83 entitate. Face parte din domeniul matematic cunoscut sub numele de teoria grupurilor. _NEWLINE_\xc3\x8entr-un factor al unui grup, clasa de echivalen\xc8\x9b\xc4\x83 a elementului identitate este \xc3\xaentotdeauna un subgrup normal al grupului originar, iar celelalte clase de echivalen\xc8\x9b\xc4\x83 sunt tocmai comul\xc8\x9bimile acelui subgrup normal. Factorul rezultat este scris\xc4\x83 G / N , unde G este grupul originar \xc8\x99i N este subgrupul normal. (Aceasta se pronun\xc8\x9b\xc4\x83 \xe2\x80\x9eG mod N\xe2\x80\x9d, unde \xe2\x80\x9emod\xe2\x80\x9d este prescurtarea pentru modulo). _NEWLINE_Importan\xc8\x9ba grupurilor factor este derivat\xc4\x83 \xc3\xaen cea mai mare parte din rela\xc8\x9bia lor cu omomorfismele. Prima teorem\xc4\x83 de izomorfism afirm\xc4\x83 c\xc4\x83 imaginea oric\xc4\x83rui grup G \xc3\xaen raport cu un omomorfism este \xc3\xaentotdeauna izomorf\xc4\x83 cu un factor al lui G. Anume, imaginea lui G \xc3\xaen raport cu omomorfismul \xcf\x86: G \xe2\x86\x92 H  este izomorf\xc4\x83 cu G / ker(\xcf\x86)  unde cu ker (\xcf\x86) se noteaz\xc4\x83 kernelul lui \xcf\x86. _NEWLINE_No\xc8\x9biunea dual\xc4\x83 a unui grup factor este un subgrup, acestea fiind cele dou\xc4\x83 modalit\xc4\x83\xc8\x9bi principale de a forma un grup mai mic dintr-unul mai mare. Orice subgrup normal are un grup factor corespunz\xc4\x83tor, format din grupul mai mare prin eliminarea distinc\xc8\x9biei dintre elementele din subgrup. \xc3\x8en teoria categoriilor, grupurile factor sunt exemple de obiecte factor, care sunt duale cu subobiectele. Alte exemple de obiecte factor apar la studiul inelelor factor, spa\xc8\x9biilor factor din algebra liniar\xc4\x83 \xc8\x99i din topologie, \xc8\x99i mul\xc8\x9bimilor factor.\n_START_SECTION_\nDefini\xc8\x9bie \xc8\x99i ilustrare\n_START_PARAGRAPH_\nSe d\xc4\x83 un grup G \xc8\x99i un subgrup H \xc8\x99i un element a din G. Se poate considera comul\xc8\x9bimea la st\xc3\xa2nga corespunz\xc4\x83toare: aH   : = { ah: h din H }. Comul\xc8\x9bimile sunt o clas\xc4\x83 natural\xc4\x83 de submul\xc8\x9bimi ale unui grup; de exemplu, consider\xc3\xa2nd grupul abelian G al numerelor \xc3\xaentregi, cu opera\xc8\x9bia definit\xc4\x83 prin adunarea obi\xc8\x99nuit\xc4\x83 \xc8\x99i subgrupul H al numerelor \xc3\xaentregi pare. Atunci exist\xc4\x83 exact dou\xc4\x83 comul\xc8\x9bimi: 0 + H, care sunt numerele \xc3\xaentregi \xc8\x99i 1 + H, care sunt numerele \xc3\xaentregi impare (aici folosim nota\xc8\x9bia adi\xc8\x9bional\xc4\x83 pentru opera\xc8\x9bia binar\xc4\x83 \xc3\xaen loc de nota\xc8\x9bia multiplicativ\xc4\x83). _NEWLINE_Pentru un subgrup general H, este de dorit s\xc4\x83 se defineasc\xc4\x83 o opera\xc8\x9bie de grup compatibil\xc4\x83 pe mul\xc8\x9bimea tuturor comul\xc8\x9bimilor posibile, { aH\xc2\xa0: a din G }. Acest lucru este posibil exact c\xc3\xa2nd H este un subgrup normal, a\xc8\x99a cum vom vedea mai jos. Un subgrup N al unui grup G este normal dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 egalitatea de comul\xc8\x9bimi aN = Na este valabil\xc4\x83 pentru orice a din G. Un subgrup normal al lui G se noteaz\xc4\x83 cu N \xe2\x97\x81 G\n_START_SECTION_\nNumerele pare \xc8\x99i impare\n_START_PARAGRAPH_\nFie grupul numerelor \xc3\xaentregi Z (\xc3\xaen raport cu adunarea) \xc8\x99i subgrupul 2 Z format din toate numerele \xc3\xaentregi. Acesta este un subgrup normal, deoarece Z este abelian. Exist\xc4\x83 doar dou\xc4\x83 comul\xc8\x9bimi: mul\xc8\x9bimea numerelor \xc3\xaentregi pare \xc8\x99i mul\xc8\x9bimea numerelor \xc3\xaentregi impare \xc8\x99i, prin urmare, grupul factor Z / 2 Z este grupul ciclic cu dou\xc4\x83 elemente. Acest grup de coeficien\xc8\x9bi este izomorf cu mul\xc8\x9bimea {0,1} \xc8\x99i adunarea modulo 2; informal, uneori se spune c\xc4\x83 Z / 2 Z este egal cu mul\xc8\x9bimea {0,1} cu adunarea modulo 2.\n_START_SECTION_\nRestul \xc3\xaemp\xc4\x83r\xc8\x9birii \xc3\xaentregi\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x8enc\xc4\x83 o dat\xc4\x83, se ia \xc3\xaen considerare grupul numerelor \xc3\xaentregi Z sub adunare. Fie n un num\xc4\x83r \xc3\xaentreg pozitiv. Vom considera subgrupul n Z din Z compus din multiplii de n. \xc3\x8enc\xc4\x83 o dat\xc4\x83, n Z este normal \xc3\xaen Z, deoarece Z este abelian. Comul\xc8\x9bimile sunt colec\xc8\x9bia { n Z, 1+ n Z, ..., ( n \xe2\x88\x92 2) + n Z, ( n \xe2\x88\x92 1) + n Z }. Un num\xc4\x83r \xc3\xaentreg k apar\xc8\x9bine comul\xc8\x9bimii r + n Z, unde r este restul \xc3\xaemp\xc4\x83r\xc8\x9birii lui k la n. Factorul Z / n Z poate fi considerat ca fiind grupul de \xe2\x80\x9eresturi\xe2\x80\x9d modulo n . Acesta este un grup ciclic de ordin n.\n_START_SECTION_\nR\xc4\x83d\xc4\x83cinile \xc3\xaentregi complexe ale lui 1\n_START_PARAGRAPH_\nR\xc4\x83d\xc4\x83cinile de ordin 12 al unit\xc4\x83\xc8\x9bii, care sunt puncte pe cercul unitate complex, formeaz\xc4\x83 un grup abelian multiplicativ G, prezentat \xc3\xaen imaginea din dreapta, ca bile colorate, cu num\xc4\x83rul din fiecare punct reprezent\xc3\xa2nd argumentul s\xc4\x83u complex. Consider\xc3\xa2nd subgrupul N format din r\xc4\x83d\xc4\x83cinile de ordin patru ale unit\xc4\x83\xc8\x9bii, prezentate ca bile ro\xc8\x99ii, acest subgrup \xc3\xaemparte grupul \xc3\xaen trei comul\xc8\x9bimi, prezentate cu ro\xc8\x99u, verde \xc8\x99i albastru. Se poate verifica dac\xc4\x83 comul\xc8\x9bimile formeaz\xc4\x83 un grup de trei elemente (produsul unui element ro\xc8\x99u cu un element albastru este albastru, inversul unui element albastru este verde etc.). Astfel, grupul factor G / N este grupul celor trei culori, care se dovede\xc8\x99te a fi grupul ciclic cu trei elemente.\n_START_SECTION_\nSume de numere \xc3\xaentregi \xc8\x99i reale\n_START_PARAGRAPH_\nSe consider\xc4\x83 grupul numerelor reale R \xc3\xaen raport cu adunarea \xc8\x99i subgrupul Z al numerelor \xc3\xaentregi. Comul\xc8\x9bimile lui Z \xc3\xaen R sunt toate mul\xc8\x9bimile de forma a + Z, cu 0 \xe2\x89\xa4 a < 1 un num\xc4\x83r real. Ad\xc4\x83ugarea unor astfel de comul\xc8\x9bimi se face adun\xc3\xa2nd numerele reale corespunz\xc4\x83toare \xc8\x99i sc\xc4\x83z\xc3\xa2nd 1 dac\xc4\x83 rezultatul este mai mare sau egal cu 1. Grupul de coeficien\xc8\x9bi R / Z este izomorf cu grupul cerc S\xc2\xb9, grupul numerelor complexe de valoare absolut\xc4\x83 1 \xc3\xaen raport cu \xc3\xaenmul\xc8\x9birea sau, respectiv, grupul rota\xc8\x9biilor 2D \xc3\xaen raport cu originea, adic\xc4\x83 grupul ortogonal special SO (2). Un izomorfism este dat de f(a+Z) = exp(2\xcf\x80ia)  (vezi identitatea lui Euler).\n_START_SECTION_\nMatrice de numere reale\n_START_PARAGRAPH_\nDac\xc4\x83 G este grupul matricelor reale inversabile 3 \xc3\x97 3, iar N este subgrupul matricelor reale  3 \xc3\x97 3 cu determinant 1, atunci N este normal \xc3\xaen G (deoarece este nucleul oomomorfismului determinantului). Comul\xc8\x9bimile lui N sunt mul\xc8\x9bimile de matrice cu un determinant dat \xc8\x99i, prin urmare, G / N este izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale nenule. Grupul N este cunoscut drept grupul special liniar SL(3).\n_START_SECTION_\nAritmetic\xc4\x83 modular\xc4\x83 \xc3\xaentreag\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nSe consider\xc4\x83 grupul abelian Z\xe2\x82\x84 = Z/4Z  (adic\xc4\x83 mul\xc8\x9bimea { 0, 1, 2, 3 }  \xc3\xaempreun\xc4\x83 cu adunarea modulo 4) \xc8\x99i subgrupul s\xc4\x83u { 0, 2 } . Grupul factor Z\xe2\x82\x84/{ 0, 2 }  este { { 0, 2 }, { 1, 3 } } . Acesta este un grup cu elementul identic { 0, 2 }  \xc8\x99i opera\xc8\x9biia de grup, cum ar fi { 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }  . At\xc3\xa2t subgrupul { 0, 2 }  c\xc3\xa2t \xc8\x99i grupul factor { { 0, 2 }, { 1, 3 } }  sunt izomorfe cu Z 2.\n_START_SECTION_\n\xc3\x8enmul\xc8\x9birea \xc3\xaentregilor\n_START_PARAGRAPH_\nSe consider\xc4\x83 grupul multiplicativ . Mul\xc8\x9bimea N a reziduurilor de gradul n este un subgrup multiplicativ izomorf cu . Atunci, N este normal \xc3\xaen G \xc8\x99i grupul factor G / N are comul\xc8\x9bimile N, (1+ n)N (1+ n)\xc2\xb2N, ..., (1+ n)\xe2\x81\xbf \xe2\x81\xbb \xc2\xb9N. Criptosistemul Paillier se bazeaz\xc4\x83 pe ipoteza c\xc4\x83 este dificil s\xc4\x83 se determine comul\xc8\x9bimea unui element aleator din G f\xc4\x83r\xc4\x83 a se cunoa\xc8\x99te factorizarea lui n.\n_START_SECTION_\nPropriet\xc4\x83\xc8\x9bi\n_START_PARAGRAPH_\nGrupul factor G/G  este izomorf cu grupul trivial (grupul cu un singur element), iar G/{e} este izomorf cu G._NEWLINE_Ordinul lui G/N , prin defini\xc8\x9bie num\xc4\x83rul de elemente, este egal cu |G\xc2\xa0: N| , indicele lui N \xc3\xaen G. Dac\xc4\x83 G este finit, indicele este de asemenea egal cu ordinul lui G \xc3\xaemp\xc4\x83r\xc8\x9bit la ordinul lui N. G/N poate fi finit, de\xc8\x99i at\xc3\xa2t G c\xc3\xa2t \xc8\x99i N pot fi infinite (de exemplu, Z/2Z ). _NEWLINE_Exist\xc4\x83 un omomorfism de grup surjectiv \xe2\x80\x9enatural\xe2\x80\x9d \xcf\x80\xc2\xa0: G \xe2\x86\x92 G/N , care transform\xc4\x83 fiecare element g din G \xc3\xaen comul\xc8\x9bimea lui N c\xc4\x83reia \xc3\xaei apar\xc8\x9bine g, adic\xc4\x83: \xcf\x80(g) = gN . Aplica\xc8\x9bia \xcf\x80 este uneori numit\xc4\x83 proiec\xc8\x9bia canonic\xc4\x83 a lui G pe G/N  Nucleul ei este N. _NEWLINE_Exist\xc4\x83 o coresponden\xc8\x9b\xc4\x83 bijectiv\xc4\x83 \xc3\xaentre subgrupurile lui G care con\xc8\x9bin N \xc8\x99i subgrupurile G/N  ; dac\xc4\x83 H este un subgrup al lui G care con\xc8\x9bine N, atunci subgrupul corespunz\xc4\x83tor al lui G/N  este \xcf\x80(H). Aceast\xc4\x83 coresponden\xc8\x9b\xc4\x83 este valabil\xc4\x83 \xc8\x99i pentru subgrupurile normale ale lui G \xc8\x99i G/N  \xc8\x99i este formalizat\xc4\x83 \xc3\xaen teorema de coresponden\xc8\x9b\xc4\x83 din teoria grupurilor. _NEWLINE_C\xc3\xa2teva propriet\xc4\x83\xc8\x9bi importante ale grupurilor factor sunt consemnate \xc3\xaen teorema fundamental\xc4\x83 a omomorfismelor \xc8\x99i \xc3\xaen teoremele de izomorfism. _NEWLINE_Dac\xc4\x83 G este abelian, nilpotent, rezolvabil, ciclic sau finit generat, atunci la fel este \xc8\x99i G/N  _NEWLINE_Dac\xc4\x83 H este un subgrup al unui grup finit G, iar ordinul H este o jum\xc4\x83tate din ordinul lui G, atunci H este garantat a fi un subgrup normal, deci G/H exist\xc4\x83 \xc8\x99i este izomorf cu C2. Acest rezultat poate fi formulat \xc8\x99i ca \xe2\x80\x9eorice subgrup de index 2 este normal\xe2\x80\x9d, iar \xc3\xaen aceast\xc4\x83 form\xc4\x83 se aplic\xc4\x83 \xc8\x99i grupurilor infinite. Mai mult, dac\xc4\x83 p este cel mai mic num\xc4\x83r prim la care se \xc3\xaemparte ordinul unui grup finit, G, atunci dac\xc4\x83 G/H  are ordinul p, H trebuie s\xc4\x83 fie un subgrup normal al lui G.'