b'\n_START_ARTICLE_\nLege de compozi\xc8\x9bie\n_START_SECTION_\nPropriet\xc4\x83\xc8\x9bile unei opera\xc8\x9bii\n_START_PARAGRAPH_\nFie o mul\xc8\x9bime nevid\xc4\x83 M \xc8\x99i o opera\xc8\x9bie * pe M. Spunem c\xc4\x83:_NEWLINE_1\xc2\xb0  Opera\xc8\x9bia * este asociativ\xc4\x83 dac\xc4\x83 ._NEWLINE_2\xc2\xb0  Opera\xc8\x9bia * este comutativ\xc4\x83 dac\xc4\x83 _NEWLINE_3\xc2\xb0  Opera\xc8\x9bia * are elementul neutru e dac\xc4\x83  astfel \xc3\xaenc\xc3\xa2t ._NEWLINE_4\xc2\xb0   Dac\xc4\x83 opera\xc8\x9bia * are elementul neutru , spunem c\xc4\x83 un element  este simetrizabil fa\xc8\x9b\xc4\x83 de opera\xc8\x9bia * dac\xc4\x83  astfel \xc3\xaenc\xc3\xa2t  (x\xe2\x80\xb2 se nume\xc8\x99te simetricul lui x).\n_START_SECTION_\nComentarii \xc8\x99i exemple\n_START_PARAGRAPH_\n1\xc2\xb0  \xc3\x8en nota\xc8\x9bia aditiv\xc4\x83 (+) elementul neutru se noteaz\xc4\x83 cu 0 \xc8\x99i se nume\xc8\x99te element nul, iar simetricul unui element x se noteaz\xc4\x83 cu -x \xc8\x99i se nume\xc8\x99te opusul lui x. De exemplu, adunarea  pe mul\xc8\x9bimea  este asociativ\xc4\x83, comutativ\xc4\x83 \xc8\x99i are elementul neutru 0, iar orice element  este simetrizabil fa\xc8\x9b\xc4\x83 de adunare,av\xc3\xa2nd simetricul -x._NEWLINE_2\xc2\xb0  \xc3\x8en nota\xc8\x9bia multiplicativ\xc4\x83 elementul neutru este notat cu 1 sau cu e \xc8\x99i se nume\xc8\x99te element unitate, iar simetricul unui element x se noteaz\xc4\x83 cu x\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 sau cu  \xc8\x99i se nume\xc8\x99te inversul lui x. Elementul x care are element invers se nume\xc8\x99te element inversabil. De exemplu, \xc3\xaenmul\xc8\x9birea pe mul\xc8\x9bimea  este asociativ\xc4\x83, comutativ\xc4\x83 \xc8\x99i are elementul neutru 1, dar singurele elemente simetrizabile \xc3\xaen  fa\xc8\x9b\xc4\x83 de \xc3\xaenmul\xc8\x9bire sunt 1 cu simetricul 1 \xc8\x99i -1 cu simetricul -1, celelalte elemente nu sunt simetrizabile deoarece simetricele lor nu apar\xc8\x9bin mul\xc8\x9bimii .  \xc3\x8enmul\xc8\x9birea pe \\{0} este asociativ\xc4\x83, comutativ\xc4\x83, are elementul neutru 1 \xc8\x99i toate elementele sunt simetrizabile, deoarece toate elementele sunt inversabile, iar inversele lor apar\xc8\x9bin lui .\n_START_SECTION_\nPropozi\xc8\x9bie\n_START_PARAGRAPH_\nFie o mul\xc8\x9bime nevid\xc4\x83 M \xc8\x99i o opera\xc8\x9bie * pe M. Atunci:_NEWLINE_1\xc2\xb0  Dac\xc4\x83 opera\xc8\x9bia * are elementul neutru , acesta este unic determinat._NEWLINE_2\xc2\xb0  Dac\xc4\x83 opera\xc8\x9bia * este asociativ\xc4\x83 \xc8\x99i are elementul neutru e, iar , este un element simetrizabil, atunci simetricul , al lui x este unic determinat.\n_START_SECTION_\nDemonstra\xc8\x9bie\n_START_PARAGRAPH_\n1\xc2\xb0  Dac\xc4\x83  ar fi un alt element neutru , atunci , deoarece  este element neutru, dar \xc8\x99i , deoarece  este element neutru, prin urmare ._NEWLINE_2\xc2\xb0  Dac\xc4\x83  ar fi un alt simetric al elementului , atunci,  \xc8\x9bin\xc3\xa2nd seama c\xc4\x83  \xc8\x99i  avem:  , deci .'