b'\n_START_ARTICLE_\nParadoxul lui Bertrand (teoria probabilit\xc4\x83\xc8\x9bilor)\n_START_SECTION_\nSolu\xc8\x9bia clasic\xc4\x83\n_START_PARAGRAPH_\nSolu\xc8\x9bia clasic\xc4\x83 a paradoxului \xc8\x9bine de modul \xc3\xaen care coarda este aleas\xc4\x83 "aleatoriu". Prin urmare, dac\xc4\x83 \xc8\x99i numai dac\xc4\x83 modul de alegerii al coardei este specificat, problema d\xc4\x83 o solu\xc8\x9bie bine definit\xc4\x83. Aceasta deoarece fiecare metod\xc4\x83 de alegere a coardelor d\xc4\x83 o anume distribu\xc8\x9bie diferit\xc4\x83 a acestora. Cele trei solu\xc8\x9bii diferite oferite de Bertrand corespund metodelor de selec\xc8\x9bie diferite ale coardelor \xc8\x99i, \xc3\xaen absen\xc8\x9ba informa\xc8\x9biilor aferente alegerii, nu exist\xc4\x83 niciun motiv a prefera o metod\xc4\x83 \xc3\xaen defavoarea alteia; \xc3\xaen consecin\xc8\x9b\xc4\x83, problema nu are solu\xc8\x9bie unic\xc4\x83._NEWLINE_Un mod de a crea o solu\xc8\x9bie unic\xc4\x83 problemei (\xc8\x99i de a rezolva paradoxul) este specificarea distribuirii uniforme a capetelor coardelor \xc3\xaentre 0 \xc8\x99i c, unde c este circumferin\xc8\x9ba cercului. Aceast\xc4\x83 distribu\xc8\x9bie este aceea\xc8\x99i cu cea dat\xc4\x83 de prima metod\xc4\x83 a lui Bertrand, probabilitatea fiind de  ._NEWLINE_Acesta \xc8\x99i alte paradoxuri ce \xc8\x9bin de interpretarea clasicist\xc4\x83 a probabilit\xc4\x83\xc8\x9bilor justific\xc4\x83 utilizarea formul\xc4\x83rilor specifice, inclusiv \xc3\xaen cazul probabilit\xc4\x83\xc8\x9bii frecven\xc8\x9biale \xc8\x99i a probabilit\xc4\x83\xc8\x9bii subiective Baynesiene.\n_START_SECTION_\nSolu\xc8\x9bia lui Jaynes a principiului \xe2\x80\x9eignoran\xc8\x9bei maximale\xe2\x80\x9d\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x8entr-o lucrare a fizicianului Edwin Jaynes, intitulat\xc4\x83 "The Well-Posed Problem" \xc8\x99i publicat\xc4\x83 \xc3\xaen 1973,  acesta propune o solu\xc8\x9bie pentru paradox bazat\xc4\x83 pe principiul "ignoran\xc8\x9bei maximale" - cum c\xc4\x83 nu ar trebui s\xc4\x83 folosim nicio informa\xc8\x9bie ce nu este dat\xc4\x83 explicit \xc3\xaen formularea problemei. Jaynes a scos \xc3\xaen eviden\xc8\x9b\xc4\x83 faptul c\xc4\x83 problema lui Bertrand nu specific\xc4\x83 nici pozi\xc8\x9bia, nici m\xc4\x83rimea cercului, \xc8\x99i, prin urmare, fiecare solu\xc8\x9bie trebuie s\xc4\x83 fie indiferent\xc4\x83 fa\xc8\x9b\xc4\x83 de acestea. Cu alte cuvinte, solu\xc8\x9bia trebuie s\xc4\x83 stipuleze at\xc3\xa2t scala c\xc3\xa2t \xc8\x99i invaria\xc8\x9bia transla\xc8\x9biei._NEWLINE__NEWLINE_Pentru a ilustra: s\xc4\x83 presupunem distribuirea aleatorie a coardelor pe un cerc de diametru 2. Dac\xc4\x83 superimpoz\xc4\x83m conturul unui alt cerc mai mic pe cercul mai mare (exp. de diametru 1), atunci distribu\xc8\x9bia coardelor pe acest cerc mai mic trebuie s\xc4\x83 fie similar\xc4\x83 cu cea de pe cercul mare. Dac\xc4\x83 mut\xc4\x83m cercul mai mic \xc3\xaen cadrul cercului mai mare, probabilitatea (problemei de mai sus) trebuie s\xc4\x83 r\xc4\x83m\xc3\xa2n\xc4\x83 constant\xc4\x83. Ori, se poate observa cu u\xc8\x99urin\xc8\x9b\xc4\x83 c\xc4\x83 ar exista o schimbare a probabilit\xc4\x83\xc8\x9bii obiective pentru metoda 3: distribu\xc8\x9bia coardelor \xc3\xaen cadrul cercului cu contur ro\xc8\x99u este evident diferit\xc4\x83 dec\xc3\xa2t cea existent\xc4\x83 \xc3\xaen cercul mai mare (vezi figura de jos):_NEWLINE_Acela\xc8\x99i lucru se \xc3\xaent\xc3\xa2mpl\xc4\x83 pentru metoda 1, de\xc8\x99i este mai greu de observat \xc3\xaentr-o reprezentare grafic\xc4\x83. Metoda 2 este singur\xc4\x83 ce este invariant\xc4\x83 at\xc3\xa2t scalar c\xc3\xa2t \xc8\x99i transla\xc8\x9bional; metoda 3 este invariant\xc4\x83 doar scalar, iar metoda 1 nu este invariant\xc4\x83 nici scalar, nici transla\xc8\x9bional._NEWLINE_Cu toate acestea, Jaynes nu a folosit aceste observa\xc8\x9bii pentru a accepta sau respinge metodele propuse de solu\xc8\x9bionare, l\xc4\x83s\xc3\xa2nd deschis\xc4\x83 posibilitatea existen\xc8\x9bei unei alte solu\xc8\x9bii a paradoxului ce \xc8\x9bine cont de criteriul men\xc8\x9bionat de el. Jaynes a folosit ecua\xc8\x9bii integrale \xc3\xaen descrierea invarian\xc8\x9belor, pentru a determina direct probabilitatea distribu\xc8\x9biei. Astfel, ecua\xc8\x9biile integrale dau o solu\xc8\x9bie unic\xc4\x83 iar aceasta este con\xc8\x9binut\xc4\x83 de metoda 2 (metoda razei de cerc descris\xc4\x83 mai sus)._NEWLINE_\xc3\x8entr-un articol din 2015, Alon Drory sus\xc8\x9bine c\xc4\x83 principiul lui Jaynes se poate aplica \xc8\x99i celorlalte dou\xc4\x83 solu\xc8\x9bii. Drory sus\xc8\x9bine c\xc4\x83 implementarea matematic\xc4\x83 a propriet\xc4\x83\xc8\x9bilor invaria\xc8\x9biilor nu este unic\xc4\x83, ci depinde de procedura de selec\xc8\x9bie aleatorie folosit\xc4\x83. El arat\xc4\x83 c\xc4\x83 fiecare din cele trei solu\xc8\x9bii oferite de Bertrand poate fi ob\xc8\x9binut\xc4\x83 folosind invaria\xc8\x9biile rota\xc8\x9bional\xc4\x83, de scal\xc4\x83 \xc8\x99i transla\xc8\x9bional\xc4\x83, concluzion\xc3\xa2nd c\xc4\x83 principiul lui Jaynes este la fel de interpretabil c\xc4\x83 principiul indiferen\xc8\x9bei \xc3\xaen sine.\n_START_SECTION_\nExperimente fizice\n_START_PARAGRAPH_\nA doua metod\xc4\x83 este singur\xc4\x83 ce \xc3\xaendepline\xc8\x99te cerin\xc8\x9bele de invarian\xc8\x9b\xc4\x83 prezente \xc3\xaen anumite sisteme fizice - cum ar fi \xc3\xaen mecanica statistic\xc4\x83 \xc8\x99i fizica gazelor -, precum \xc8\x99i \xc3\xaen experimentul propus de Jaynes al arunc\xc4\x83rii paielor, de la o anumit\xc4\x83 distan\xc8\x9b\xc4\x83, pe un cerc. Cu toate acestea, se pot proiecta \xc8\x99i alte experimente practice prin care se pot ob\xc8\x9bine r\xc4\x83spunsuri aferente celorlalte (dou\xc4\x83) metode. Spre exemplu, pentru a ajunge la solu\xc8\x9bia primei metode (i.e. a punctelor aleatoare) se poate folosi un mecanism de \xc3\xaenv\xc3\xa2rtire a cercului, urm\xc3\xa2nd ca dou\xc4\x83 \xc3\xaenv\xc3\xa2rtiri independente s\xc4\x83 defineasc\xc4\x83 punctele unei coarde de pe circumferin\xc8\x9ba cercului. Pentru a ajunge la solu\xc8\x9bia celei de-a treia metode, cercul poate fi uns cu melas\xc4\x83, urm\xc3\xa2nd ca locul de aterizare a unei mu\xc8\x99te s\xc4\x83 reprezinte punctul de mijloc al unei coarde. Astfel de experimente au fost derulate de mai mul\xc8\x9bi cercet\xc4\x83tori, iar rezultatele au fost verificate empiric.\n_START_SECTION_\nDezvolt\xc4\x83ri recente\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x8entr-un articol din 2007 a lui Nicholas Shackel intitulat "Bertrand\'s Paradox and the Principle of Indifference", acesta afirm\xc4\x83 c\xc4\x83 paradoxul r\xc4\x83m\xc3\xa2ne nerezolvat dup\xc4\x83 mai bine de 100 de ani, constutuind o puternic\xc4\x83 dovad\xc4\x83 \xc3\xaempotriva principiului indiferen\xc8\x9bei. De asemenea, \xc3\xaen 2013, \xc3\xaentr-un articol intitulat "Bertrand\'s paradox revisited: Why Bertrand\'s solutions are all inapplicable", Darrel P. Rowbottom arat\xc4\x83 c\xc4\x83 toate solu\xc8\x9biile propuse de Bertrand sunt inaplicabile fa\xc8\x9b\xc4\x83 de problema formulat\xc4\x83, \xc3\xaenc\xc3\xa2t paradoxul trebuie s\xc4\x83 fie mai greu de rezolvat dec\xc3\xa2t s-a anticipat ini\xc8\x9bial._NEWLINE_Shackel subliniaz\xc4\x83 faptul c\xc4\x83 dou\xc4\x83 abord\xc4\x83ri diferite au fost, \xc3\xaen general, adoptate p\xc3\xa2n\xc4\x83 \xc3\xaen prezent \xc3\xaen \xc3\xaencercarea de a rezolva paradoxul lui Bertrand: cele care consider\xc4\x83 problema a \xc3\xaencapsula mai multe probleme neechivalente, \xc8\x99i cele care consider\xc4\x83 problema bine definit\xc4\x83. Shackel \xc3\xael citeaz\xc4\x83 pe Louis Marinoff  ca reprezentat tipic pentru prima categorie, \xc8\x99i pe Edwin Jaynes ca reprezentant tipic pentru cea de-a doua._NEWLINE_Cu toate acestea, \xc3\xaentr-un articol recent, "Solving the hard problem of Bertrand\'s paradox", apar\xc8\x9bin\xc3\xa2nd lui Diederik Aerts \xc8\x99i lui Massimiliano Sassoli de Bianchi, se consider\xc4\x83 c\xc4\x83 o strategie mixt\xc4\x83 este necesar\xc4\x83 pentru abordarea paradoxului. Conform acestor doi, problema trebuie mai \xc3\xaent\xc3\xa2i concretizat\xc4\x83 prin specificarea naturii entit\xc4\x83\xc8\x9bii ce se face subiect alegerii aleatorii, \xc8\x99i, doar odat\xc4\x83 ce aceast\xc4\x83 cerin\xc8\x9b\xc4\x83 este \xc3\xaendeplinit\xc4\x83, problema poate fi considerat\xc4\x83 bine definit\xc4\x83, \xc3\xaen sensul lui Jaynes, \xc3\xaenc\xc3\xa2t principiul ignoran\xc8\x9bei maximale poate fi folosit pentru a o rezolva. \xc3\x8en acest scop, de vreme ce problema nu specific\xc4\x83 modul de alegerea al coardelor, principiul ignoran\xc8\x9bei maximale trebuie aplicat nu la nivelul diferitelor alegeri posibile ale coardelor, ci, la un nivel mai profund - la nivelul diferitelor moduri de alegerea a coardelor. Aceasta necesit\xc4\x83 calcularea unei meta-medii asupra tuturor modurilor posibile de selectare a coardelor, pe care autorii au numit-o medie universal\xc4\x83. Pentru aceasta, ei folosesc o metod\xc4\x83 de discretizare inspirat\xc4\x83 de defini\xc8\x9bia legii probabilit\xc4\x83\xc8\x9bii \xc3\xaen procesele Wiener. Rezultatul ob\xc8\x9binut este \xc3\xaen acord cu cel ob\xc8\x9binut de Jaynes, de\xc8\x99i metoda de punere a problemei este diferit\xc4\x83.'