b'\n_START_ARTICLE_\nFunksjon (matematikk)\n_START_SECTION_\nHistorie\n_START_PARAGRAPH_\nHistorien om begrepet funksjon i matematikken blir beskrevet av Ponte (1992). Som et matematisk ord ble \xc2\xabfunksjon\xc2\xbb f\xc3\xb8rst brukt av Gottfried Leibniz i 1694 for \xc3\xa5 beskrive kvantitet i forhold til en kurve. Funksjonene Leibniz betraktet blir i dag kalt deriverbare funksjoner, og det er den typen funksjoner som er best kjent for allmennheten. For denne typen funksjon kan man snakke om grenser og derivasjon; begge disse er en m\xc3\xa5ling av utfallet eller forandringen i utfallet som er bestemt av det man setter inn eller forandringen i det man setter inn.  Slike funksjoner er sentrale for fagomr\xc3\xa5det matematisk analyse._NEWLINE_Ordet funksjon ble senere brukt av Leonhard Euler i midten av det 18. \xc3\xa5rhundre for \xc3\xa5 beskrive et uttrykk eller en formel som inneholder forskjellige argumenter, f.eks. f(x) = sin(x) + x\xc2\xb3._NEWLINE_I l\xc3\xb8pet av det 19. \xc3\xa5rhundre, begynte matematikere \xc3\xa5 formalisere alle de forskjellige grenene av matematikk. Weierstrass hevdet at det er mer riktig \xc3\xa5 bygge matematisk analyse p\xc3\xa5 aritmetikk enn p\xc3\xa5 geometri, noe som favoriserte Eulers definisjon over Leibniz\xe2\x80\x99._NEWLINE_I begynnelsen var ideen om \xc2\xabfunksjon\xc2\xbb begrenset. Joseph Fourier, for eksempel, hevdet at alle funksjoner har en Fourier-rekke, noe ingen matematikere i dag vil hevde. Ved \xc3\xa5 utvide definisjonen av en funksjon har matematikere v\xc3\xa6rt i stand til \xc3\xa5 studere merkelige matematiske objekt, slik som ikke-deriverbare kontinuerlige funksjoner. Disse funksjonene ble f\xc3\xb8rst antatt bare \xc3\xa5 v\xc3\xa6re av teoretisk interesse og ble kalt \xc2\xabmonstre\xc2\xbb til s\xc3\xa5 sent som det 20. \xc3\xa5rhundre. Men kraftige teknikker fra funksjonsanalyse har vist at disse funksjonene p\xc3\xa5 noen m\xc3\xa5ter er \xc2\xabvanligere\xc2\xbb enn deriverbare funksjoner. Slike funksjoner har i ettertid blitt brukt for \xc3\xa5 modellere fysiske fenomener som brownske bevegelser. _NEWLINE_Mot slutten av det 19. \xc3\xa5rhundret startet matematikere \xc3\xa5 formalisere all matematikk ved hjelp av mengdel\xc3\xa6re, og de s\xc3\xb8kte \xc3\xa5 definere alle matematiske objekter som mengder. Dirichlet og Lobachevsky ga uavhengig av hverandre, og nesten samtidig, den moderne definisjonen av funksjon. I denne definisjonen er en funksjon et s\xc3\xa6rtilfelle av en relasjon. Spesielt er en funksjon en relasjon hvor hvert f\xc3\xb8rste element har et unikt andre element._NEWLINE_Hardy (1908:side 26\xe2\x80\x9328) definerer en funksjon som en relasjon mellom to variabler x og y som at det \xc2\xabtil noen verdier av x alltid korresponderer verdier av y\xc2\xbb (org. sitat uten oversettelse: \xc2\xabto some values of x at any rate correspond values of y\xc2\xbb).  Han verken krevde at funksjonen skulle dekke alle verdier av x eller forbinde hver verdi av x til  en enkel verdi av y. Denne brede definisjonen av en funksjon omfatter flere relasjoner enn den vanlige, samtidige matematikken betraktet.\n_START_SECTION_\nMatematisk definisjon\n_START_PARAGRAPH_\nDen uformelle ideen av en funksjon som en regel har blitt brukt siden gamle tider og er fremdeles brukt som definisjonen av en funksjon i en del innledende l\xc3\xa6reb\xc3\xb8ker i matematisk analyse. Et typisk eksempel p\xc3\xa5 denne uformelle definisjonen, gitt av Tomas og Finney (1995), er at en funksjon er en regel som tildeler hvert element av en mengde D ett enkelt element av en mengde C. Denne uformelle definisjonen er tilstrekkelig for mange form\xc3\xa5l, men den st\xc3\xb8tter seg p\xc3\xa5 det udefinerte begrepet \xc2\xabregel\xc2\xbb. P\xc3\xa5 slutten av 1800-tallet kom sp\xc3\xb8rsm\xc3\xa5let om hva som utgj\xc3\xb8r en gyldig regel i definisjonen av en funksjon i forgrunnen. Konsensusen blant moderne matematikere er at ordet \xc2\xabregel\xc2\xbb b\xc3\xb8r bli tolket i den mest generelle mening som er mulig: som et vilk\xc3\xa5rlig bin\xc3\xa6rt forhold._NEWLINE_F\xc3\xb8lgelig er det vanlig i avansert matematikk (se Bartle (2001) for et eksempel) \xc3\xa5 formelt definere en funksjon f fra en mengde D til en mengde C som \xc3\xa5 v\xc3\xa6re en mengde  av ordnede par (x,y) i det kartesiske produkt . Det kreves for hver x i D at det er h\xc3\xb8yst ett par (x,y) i mengden . \xc2\xabRegelen\xc2\xbb for funksjonen er: gitt x i D, hvis det er et par (x,y) i  da er f(x) = y, og ellers er ikke f(x) definert. Mengden av x som f er definert av kalles definisjonsmengden til f; hvis definisjonsmengden av f er alle elementene i D, kalles f total og notasjonen  blir brukt. Mengden C blir kalt verdiomr\xc3\xa5det til funksjonen; dette m\xc3\xa5 bli spesifisert fordi det blir ikke fastsatt av . Mengden  kalles grafen til funksjonen._NEWLINE_I de fleste omr\xc3\xa5dene i matematikken blir ordet funksjon brukt til \xc3\xa5 bety en total funksjon, skj\xc3\xb8nt ikke-totale funksjoner er viktige i funksjonsanalyse, matematisk logikk og kategoriteori_NEWLINE_Variasjoner av denne formelle definisjonen er av og til mer tilpasset for spesifikke disipliner. I noen kontekster av kategoriteori blir mengden D kalt definisjonsmengden til f, selv om funksjonen f ikke er definert for hvert element i D. I mengdel\xc3\xa6ren er det vanlig \xc3\xa5 identifisere funksjonen f med dens graf ; denne identifikasjonen fjerner behovet for spesifisere D eller C i den formelle definisjonen.\n_START_SECTION_\nRepresentasjoner av funksjoner\n_START_PARAGRAPH_\nVi har fire sentrale representasjonsformer for funksjoner og vil her nevne noen eksempler. For \xc3\xa5 se pedagogiske tiln\xc3\xa6rminger i forhold til representasjonsformene, se pedagogiske teorier lengre ned p\xc3\xa5 siden.\n_START_SECTION_\nGraf\n_START_PARAGRAPH_\nHer kan man se hvordan forskjellige formler visualiseres gjennom grafer. Grafer tegnes som regel i et koordinatsystem.\n_START_SECTION_\nFormel\n_START_PARAGRAPH_\nFunksjoner blir ofte identifisert med matematiske uttrykk (formler) for funksjoner. Et eksempel kan v\xc3\xa6re 2x+b\n_START_SECTION_\nEksempler p\xc3\xa5 funksjoner\n_START_PARAGRAPH_\nHer vil vi se p\xc3\xa5 noen av de mest vanlige funksjonene og se kort om de. Under hver overskrift vil du f\xc3\xa5 muligheter til \xc3\xa5 g\xc3\xa5 inn p\xc3\xa5 sidene til de aktuelle funksjonene for mer informasjon. For en fullstendig oversikt over funksjonene, se Kategori:Funksjoner\n_START_SECTION_\nDerivasjon\n_START_PARAGRAPH_\nDen deriverte angir den momentane endringen til en funksjon. For reelle funksjoner av en variabel kalles denne verdien for funksjonens stigningstall. Stigningstallet er definert som stigningen til tangenten til funksjonen i det aktuelle punktet._NEWLINE_I bildet til h\xc3\xb8yre kan man se en rett linje g\xc3\xa5 igjennom et punkt i funksjonen. Linjens stigningstall vil ogs\xc3\xa5 v\xc3\xa6re punktets stigningstall.\n_START_SECTION_\nIntegrasjon\n_START_PARAGRAPH_\nI kalkulus er integralet av en funksjon et utvidet begrep av en sum. Prosessen brukes vanligvis for \xc3\xa5 finne volum, masse, forskyvning, osv., n\xc3\xa5r inndelingen eller endring per tid med respekt til en annen mengde er spesifisert._NEWLINE_I bildet til h\xc3\xb8yre kan vi se det merkede omr\xc3\xa5det under kurven som er et eksempel p\xc3\xa5 integral.'