b"\n_START_ARTICLE_\nAlgebraisk kurve\n_START_SECTION_\nMatematiske egenskaper\n_START_PARAGRAPH_\nPolynomet som definerer kurven, er en sum av monomer av formen y\xe1\xb5\x8fx\xe1\xb5\x90. Hvert slikt monom sies \xc3\xa5 ha en grad som er lik med summen k + m. Graden til hele polynomet er definert som graden til det monomet som har den h\xc3\xb8yeste graden. Denne definisjonen er i overstemmelse med at ligningen til en rett linje har grad 1, mens kjeglesnittene er kurver av andre grad. Desto h\xc3\xb8yere graden til kurven er, desto mer komplisert og innholdsrik er den. Dette blir klart allerede ved betraktning av \xc2\xabkubiske kurver\xc2\xbb, det vil si beskrevet ved polynom av tredje grad._NEWLINE_Hvordan kurven y = f(x) forandrer seg fra sted til sted er gitt den deriverte y' = dy/dx. Selv om funksjonen ikke er kjent p\xc3\xa5 eksplisitt form, kan likevel denne finnes ved derivasjon av polynomligningen F(x,y\xe2\x80\x89) = 0. Det gir F\xe2\x82\x93dx + Fydy = 0\xe2\x80\x89 hvor F\xe2\x82\x93 = \xe2\x88\x82F/\xe2\x88\x82x og Fy = \xe2\x88\x82F/\xe2\x88\x82y er de partiellderiverte av F. Herav f\xc3\xb8lger at dy/dx = - F\xe2\x82\x93/Fy\xe2\x80\x89 som er stigningstallet for tangenten til kurven i hvert punkt. I et punkt p\xc3\xa5 kurven hvor tangenten skifter retning, er den andre deriverte d\xc2\xb2y/dx\xc2\xb2 = 0 og kalles for et vendepunkt.\n_START_SECTION_\nSingul\xc3\xa6re punkt\n_START_PARAGRAPH_\nDer minst en partiellderiverte F\xe2\x82\x93 eller Fy er forskjellig fra null for punkt p\xc3\xa5 kurven, sies den \xc3\xa5 v\xc3\xa6re glatt. Det er i overensstemmelse med den vanlige oppfatningen av at kjeglesnittene er glatte kurver. _NEWLINE_Er begge disse deriverte lik med null, sies dette \xc3\xa5 v\xc3\xa6re et singul\xc3\xa6rt punkt p\xc3\xa5 kurven. Da er verdien til stigningstallet dy/dx = 0/0 ubestemt. Det betyr at i et singul\xc3\xa6rt punktet eksisterer det to eller flere tangenter, noe som skyldes at kurven skj\xc3\xa6rer seg selv i punktet. Desto flere tangenter der er i punktet, desto mer singl\xc3\xa6rt er det. Den enkleste singulariteten er et dobbeltpunkt hvor kurven har to tangenter. _NEWLINE_I det spesielle tilfellet at de to tangentene faller sammen, er det en mer komplisert singularitet som kalles en spiss eller \xc2\xabcusp\xc2\xbb p\xc3\xa5 engelsk. Egenskapene til denne singulariteten er inneholdt i verdiene til de andrederiverte av polynomet F(x,y) i dette punktet.\n_START_SECTION_\nLemniskaten\n_START_PARAGRAPH_\nDenne komplekse utvidelsen i det projektive planet er ogs\xc3\xa5 av stor nytte i beskrivelsen av andre kurver. For eksempel, lemniskaten er beskrevet ved ligningen (x\xc2\xb2 + y\xc2\xb2)\xc2\xb2 = x\xc2\xb2 - y\xc2\xb2 som har grad d = 4. Da den ser ut til \xc3\xa5 ha kun et dobbeltpunkt i origo,  skulle det tilsi at den har genus g = 2. Men da det er kjent at den har en rasjonal parameterfremstilling, m\xc3\xa5 den ha genus g = 0. Grunnen er at den har to ekstra dobbeltpunkt som er de sirkul\xc3\xa6re punktene (1, \xc2\xb1\xe2\x80\x89i, 0) i det projektive planet. Lemniskaten er derfor unikursal."