b'\n_START_ARTICLE_\nAritmetisk f\xc3\xb8lge\n_START_SECTION_\nAritmetiske f\xc3\xb8lger i Ramsey-teori\n_START_PARAGRAPH_\nFlere problemer i Ramsey-teori handler om aritmetiske f\xc3\xb8lger. En generell formulering er at en mengde  med naturlige tall er gitt, og problemet er \xc3\xa5 finne ut hvor lange aritmetiske f\xc3\xb8lger som er inneholdt i ._NEWLINE_La  v\xc3\xa6re et naturlig tall, og anta at man fargelegger alle tallene fra 1 til  med  farger, slik at hvert tall f\xc3\xa5r \xc3\xa9n farge. Van der Waerdens teorem\xc2\xa0fra 1927 sier at hvis  og  er gitt, s\xc3\xa5 kan  alltid velges s\xc3\xa5 stor at det helt sikkert finnes en aritmetisk f\xc3\xb8lge med  elementer, slik at alle elementene i f\xc3\xb8lgen har samme farge. En slik f\xc3\xb8lge kalles monokromatisk._NEWLINE_En ekvivalent formulering av dette teoremet sier at hvis man fargelegger alle de naturlige tallene med  farger, s\xc3\xa5 vil det finnes vilk\xc3\xa5rlig lange monokromatiske f\xc3\xb8lger. _NEWLINE_I 1975 beviste Szemer\xc3\xa9di en generalisering av dette teoremet, som er kjent som Szemer\xc3\xa9dis teorem. Han viste at for enhver tetthet , hvor , og ethvert naturlig tall , s\xc3\xa5 finnes et tall  slik at hvis , s\xc3\xa5 vil enhver delmengde av  med minst  elementer inneholde en aritmetisk f\xc3\xb8lge av lengde ._NEWLINE_Mer generelt  v\xc3\xa6re en delmengde av de naturlige tallene. Et problem som har f\xc3\xa5tt en del opperksomhet er sp\xc3\xb8rsm\xc3\xa5let om hvilke karakteristikker av  som garanterer at  inneholder vilk\xc3\xa5rlig lange aritmetiske f\xc3\xb8lger. Szemer\xc3\xa9dis teorem garanterer at det er tilstrekkelig at  har s\xc3\xa5kalt positiv \xc3\xb8vre tetthet. En ber\xc3\xb8mt formodning er Erd\xc5\x91s\xe2\x80\x99 formodning\xc2\xa0som sier at hvis summen av inversene til elementene i  divergerer, s\xc3\xa5 vil  inneholde vilk\xc3\xa5rlig lange aritmetiske f\xc3\xb8lger. Erd\xc5\x91s har tilbudt 3000 dollar for l\xc3\xb8sningen av denne formodningen. Green\xe2\x80\x93Taos teorem\xc2\xa0fra 2004 sier at primtallene inneholder vilk\xc3\xa5rlig lange aritmetiske f\xc3\xb8lger. Siden summen av inversene til primtallene divergerer, er dette teoremet et spesialtilfelle av Erd\xc5\x91s\xe2\x80\x99 formodning.'