b"\n_START_ARTICLE_\nTrekant\n_START_SECTION_\nSidelengder og vinkler\n_START_PARAGRAPH_\nDet eksisterer en rekke m\xc3\xa5ter for \xc3\xa5 regne ut sidelengder og vinkler i en trekant.  Enklest er det i rettvinklede trekanter.  Forhold mellom sidelengder og vinkler danner grunnlaget for definisjon av trigonometriske funksjoner.\n_START_SECTION_\nHalveringslinjesetningen\n_START_PARAGRAPH_\nHalveringslinjesetningen sier at i en trekant ABC vil en linje gjennom C dele sidekanten AB i et forhold lik AC/BC hvis og bare hvis linjen halverer vinkelen C.\n_START_SECTION_\nTangeringssirkler\n_START_PARAGRAPH_\nEnhver trekant har tre ytre tangeringssirkler, tre sirkler som hver for seg tangerer \xc3\xa9n sidekant og forlengelsen av de to andre.  Tangeringssirklene ligger utenfor trekanten._NEWLINE_Innsenteret til trekanten og sentrene i de tre tangeringssirklene danner sammen et s\xc3\xa5kalt ortosentrisk system.  Dette er et system av fire punkter, der ett av punktene er ortosenter i en trekant med hj\xc3\xb8rner i de tre andre punktene. Systemet er symmetrisk, slik at uansett hvilke tre punkt en velger for \xc3\xa5 definere trekanten, s\xc3\xa5 er det fjerde punktet ortosenteret.\n_START_SECTION_\nFigurer innskrevet i en trekant\n_START_PARAGRAPH_\nEn figur er innskrevet i en trekant dersom figuren har felles punkt med trekanten og ingen punkt som ligger utenfor trekanten.  Et innskrevet polygon skal ha alle hj\xc3\xb8rnene p\xc3\xa5 trekantsidene.  Innsirkelen omtalt i avsnittet over er et eksempel p\xc3\xa5 en figur innskrevet i en trekant.  Et klassisk problem i geometri fors\xc3\xb8ker \xc3\xa5 finne sidelengden i et kvadrat innskrevet i en gitt trekant.  _NEWLINE_En innskrevet trekant definert ved at hj\xc3\xb8rnene ligger p\xc3\xa5 tangeringspunktet mellom innsirkelen og trekanten kalles for kontakttrekanten._NEWLINE_En innellipse er en ellipse innskrevet i en trekant.  I Steiners innellipse ligger senterpunktet til innellipsen i trekantens tyngdepunkt og ellipsen tangerer midtpunktet p\xc3\xa5 hver av de tre sidene. _NEWLINE_En medialtrekant er en innskrevet trekant som har hj\xc3\xb8rner p\xc3\xa5 midtpunktene til de tre sidekantene i den opprinnelige trekanten. Begrepet mediantrekant blir brukt delvis synonymt med medialtrekant, delvis om en trekant der sidekantene er parallelle med og like lange som medianene i en annen trekant.\n_START_SECTION_\nEuler-linjen\n_START_PARAGRAPH_\nI en trekant som ikke er likesidet er den s\xc3\xa5kalte Euler-linjen en rett linje som g\xc3\xa5r gjennom ortosenteret, omsenteret, tyngdepunktet, det s\xc3\xa5kalte Exeter-punktet og i tillegg senteret i nipunktsirkelen.  Den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler viste i 1765 at de tre f\xc3\xb8rstnevnte punktene ligger p\xc3\xa5 \xc3\xa9n og samme rette linje.  I en likebeint trekant ligger ogs\xc3\xa5 innsenteret p\xc3\xa5 Euler-linjen.\n_START_SECTION_\nTrekanter i ikke-euklidsk geometri\n_START_PARAGRAPH_\nI ikke-euklidsk geometri gjelder ikke parallellaksiomet, og trekantegenskaper velkjente fra klassisk geometri trenger ikke lenger v\xc3\xa6re tilstede.  Ikke-euklidsk geometri vil opptre i geometri for generelle flater, for eksempel andregradsflater._NEWLINE_Geometri p\xc3\xa5 en kuleflate kalles sf\xc3\xa6risk geometri, og en trekant kalles tilsvarende en sf\xc3\xa6risk trekant.   I en sf\xc3\xa6risk trekant er sidekantene sirkelbuer.  I en slik trekant vil vinkelsummen v\xc3\xa6re st\xc3\xb8rre enn 180\xc2\xb0.  Det er for eksempel mulig \xc3\xa5 definere en trekant der alle tre vinklene er lik 90\xc2\xb0! Jordkloden er tiln\xc3\xa6rmet lik en kuleflate, og rettvinklede sf\xc3\xa6riske trekanter spiller en viktig rolle i navigasjon.  _NEWLINE_Sidelengdene i en sf\xc3\xa6risk trekant m\xc3\xa5les vanligvis med vinkelm\xc3\xa5l, ikke lengeenheter.  En form for cosinussetningen gjelder ogs\xc3\xa5 for sf\xc3\xa6riske trekanter.  _NEWLINE_I motsetning til en plan trekant, s\xc3\xa5 vil en sf\xc3\xa6risk trekant v\xc3\xa6re entydig bestemt n\xc3\xa5r de tre vinklene i trekanten er gitt.  En plan trekant er entydig bestem dersom en kjenner to sidelengder og de motst\xc3\xa5ende vinklene, men dette er ikke tilfelle for en sf\xc3\xa6risk trekant._NEWLINE_I hyperbolsk geometri vil det eksistere en trekant der vinkelsummen er mindre enn 180\xc2\xb0.  Sidelengdene i et hyperbolsk triangel kan bli uendelig store, men arealet er alltid mindre enn \xcf\x80.\n_START_SECTION_\nTrekanter i fagverk\n_START_PARAGRAPH_\nTrekanter er mye brukt i ulike konstruksjoner, p\xc3\xa5 grunn av formens evne til \xc3\xa5 ta imot trykk og strekk.  I et s\xc3\xa5kalt fagverk er trekanten et grunnleggende element.  Fagverk er et rammeverk brukt i brobygging, husbygging, t\xc3\xa5rn og heisekraner.\n_START_SECTION_\nTriangulering i landm\xc3\xa5ling\n_START_PARAGRAPH_\nVed triangulering i landm\xc3\xa5ling bestemmes avstanden til et punkt ved hjelp av trekantgeometri.  Vinkelen til punktet fra begge endene av en grunnlinje m\xc3\xa5les.  Posisjonen til det tredje punktet kan s\xc3\xa5 bestemmes fra en trekant med kjent grunnlinje og to kjente vinkler.\n_START_SECTION_\nTriangulering i datagrafikk\n_START_PARAGRAPH_\nI datagrafikk kan triangler brukes til \xc3\xa5 beskrive legemer som skal visualiseres.  Legemet visualiseres s\xc3\xa5 som en samling av trekanter.  Visualisering av trekanter kan gj\xc3\xb8res sv\xc3\xa6rt raskt, og det eksisterer mange effektive algoritmer for beregninger som inng\xc3\xa5r.  Bruk av trekanter er et spesialtilfelle av polygonbasert visualisering.\n_START_SECTION_\nTriangulering i elementmetoder\n_START_PARAGRAPH_\nEndelig-elementmetoder er numeriske metoder for tiln\xc3\xa6rmet l\xc3\xb8sning av partielle differensialligninger.  Omr\xc3\xa5det der differensialligningene er definert kan trianguleres, og ligningene kan diskretiseres p\xc3\xa5 den gitte trianguleringen.  Metodene b\xc3\xb8r v\xc3\xa6re slik at dess mindre trekantene er, dess mer n\xc3\xb8yaktig er den tiln\xc3\xa6rmede l\xc3\xb8sningen.    _NEWLINE_L\xc3\xb8sning av partielle differensialligninger med trekant-baserte endelig-element-metoder har sv\xc3\xa6rt mange anvendelsesomr\xc3\xa5der innenfor teknikk og vitenskap, for eksempel i styrkeberegninger for konstruksjoner.\n_START_SECTION_\nTern\xc3\xa6rdiagram\n_START_PARAGRAPH_\nEt tern\xc3\xa6rdiagram eller tern\xc3\xa6rplott er en grafisk framstilling i en likebeint trekant av forholdet mellom tre variable som alltid summerer seg til en konstant verdi.  En slik grafisk framstilling er vanlig for eksempel i kjemi og mineralogi, n\xc3\xa5r det er behov for \xc3\xa5 studere en sammensetning av tre komponenter.  De tre variablene kan for eksempel v\xc3\xa6re andelen av hvert stoff, og summen er 1 eller 100%.  _NEWLINE_De tre variablene a, b og c skal alltid ha en fast sum K, slik at a + b + c = K.  Er to variable kjent, s\xc3\xa5 er dermed den tredje ogs\xc3\xa5 bestemt.  Siden systemet har to frihetsgrader, s\xc3\xa5 kan sammenhengen framstilles i planet.  Langs en sidekant i trekanten er en av variablene lik null.\n_START_SECTION_\nHistorie\n_START_PARAGRAPH_\nGeometri, inkludert studiet av trekanter, har dype r\xc3\xb8tter i matematikkens oldtid.  If\xc3\xb8lge historikeren Herodot ble geometrien f\xc3\xb8dt i Egypt, da man hadde behov for \xc3\xa5 m\xc3\xa5le opp jordbruksland som var blitt oversv\xc3\xb8mt av Nilen.\n_START_SECTION_\nEgypt og Mesopotamia\n_START_PARAGRAPH_\nDen ber\xc3\xb8mte Rhind-papyrusen fra Egypt omkring 1650 f.Kr inneholder blant mye annet en metode for \xc3\xa5 beregne arealet av en likebeint trekant.  I bygging av pyramider var det behov for \xc3\xa5 bygge sidene med konstant stigningstall, og egypterne utviklet en primitiv form for trigonometri.  Det er blitt hevdet at egypterne kjente til Pythagoras' l\xc3\xa6resetning, men det finnes ikke direkte bevis for dette i etterlatte manuskript._NEWLINE_I en tavle med kileskrift fra Mesopotamia forekommer en rekke med tre og tre tall, som alle oppfyller Pythagoras' l\xc3\xa6resetning, s\xc3\xa5kalte pythagoreiske tripler  Tavlen g\xc3\xa5r under navnet Plimpton 322 og er tidfestet til \xc3\xa5 v\xc3\xa6re fra tidsperioden 1900 - 1600 f.Kr.   Det finnes ikke indikasjoner p\xc3\xa5 at babylonerne kjente beviset for l\xc3\xa6resetningen.  B\xc3\xa5de babylonerne og egypterne brukte egenskaper til formlike trekanter.\n_START_SECTION_\nAntikken fram til Euklid\n_START_PARAGRAPH_\nDen greske filosofen Thales fra Milet levde omkring 600 f.Kr og blir tillagt \xc3\xa5 ha f\xc3\xb8rt bevis for at vinklene ved grunnlinjen i en likebeint trekant er like.  Han skal ogs\xc3\xa5 ha bevist at to trekanter med to parvis like store vinkler og to like sider er kongruente.  Thales arbeid er bare kjent indirekte, gjennom andres omtale._NEWLINE_Pythagoras var en gresk filosof, mystiker og matematiker i fra \xc3\xb8ya Samos, f\xc3\xb8dt ca. 580 f.Kr.  I Kroton i Italia grunnla han en skole der elevene m\xc3\xa5tte studere b\xc3\xa5de matematikk, religion og filosofi.  Pythagoreerne var et fellesskap der renselse av sjelen skulle oppn\xc3\xa5s gjennom et strengt levesett og gjennom religi\xc3\xb8se ritualer.  I ritualene inngikk elementer av b\xc3\xa5de filosofi og matematikk.  _NEWLINE_Antagelig fikk pythagoreerne kunnskap om det som i dag kalles for Pythagoras' l\xc3\xa6resetning fra Babylon.  I antikken ble Pythagoras gitt \xc3\xa6ren for \xc3\xa5 ha bevist denne l\xc3\xa6resetningen, men det finnes ikke direkte bevis p\xc3\xa5 at dette var tilfelle._NEWLINE_Pythagoreerne rangerte aritmetikk over geometri, og bevegelsen fikk stor innflytelse p\xc3\xa5 utvikling av matematikk i hundre\xc3\xa5rene som fulgte.  Trekantgeometri spilte likevel en viktig rolle i en rekke arbeid i fra denne perioden, ikke minst i studiet av proporsjoner.  Platon grunnla omkring 387 f.Kr et akademi i Athen, kjent for innskriften  \xc2\xabLa ingen som er uvitende i geometri komme inn her\xc2\xbb._NEWLINE_Den greske matematikeren Euklid blir ofte kalt \xc2\xabgeometriens far\xc2\xbb.  Han var virksom i Alexandria omkring tre hundre \xc3\xa5r f\xc3\xb8r Kristus.  Fem manuskript er kjent fra Euklid, og i arbeidet Deling av figurer dr\xc3\xb8fter han et problem der en vilk\xc3\xa5rlig trekant skal deles i to av en linje parallell med grunnlinjen, slik at arealet av trekanten blir delt i n\xc3\xb8yaktig to like deler.  Mest kjent er imidlertid Euklid for verket Elementene, der han som den f\xc3\xb8rste matematikeren bygger opp teorien fra et sett av aksiomer.  De f\xc3\xb8rste seks kapitlene er dedikert til plangeometri.  Her gir Euklid blant annet et bevis for Pythagoras' l\xc3\xa6resetning, og ogs\xc3\xa5 for det \xc2\xabinverse\xc2\xbb teoremet.  Senere har en rekke andre former for bevis blitt utledet._NEWLINE_I Elementene bok II, problem 13, gir Euklid ogs\xc3\xa5 en form for cosinussetningen.  _NEWLINE_Sammen med Euklid regnes Arkimedes og Apollonios fra Perge som de tre store matematikerne i perioden 300 - 200 f.Kr.  Apollonios er spesielt kjent for arbeid i geometri.  Teoremet som er oppkalt etter han er f\xc3\xb8rste gang beskrevet i verket Almagest, skrevet av Klaudios Ptolemaios omkring to hundre \xc3\xa5r etter Kristus.\n_START_SECTION_\nAntikken etter Euklid\n_START_PARAGRAPH_\nI studiet av geometri som fulgte Euklid vokste det ogs\xc3\xa5 langsomt fram former for trigonometri - teori for sammenheng mellom trekantsider og vinkler.  Bidragene kom fra en rekke matematikere, men Hipparkus fra Nikea (ca. 180-ca. 125 f.Kr) har f\xc3\xa5tt tilnavnet  \xc2\xabtrigonometriens far\xc2\xbb, som den f\xc3\xb8rste som satte sammen en trigonometrisk tabell.  Den tidlige trigonometrien var i hovedsak knyttet til korder i en sirkel, ikke til trekanter.  Hipparkus var motivert av problem i astronomi, og ogs\xc3\xa5 den videre utviklingen av trigonometri var i sv\xc3\xa6rt lang tid tett knyttet til astronomi, landm\xc3\xa5ling og navigasjon.  F\xc3\xb8rst p\xc3\xa5 1600-tallet inns\xc3\xa5 en at trigonometri kunne ha et langt videre bruksomr\xc3\xa5de, for eksempel i fysikk. _NEWLINE_Heron levde som Euklid i Alexandria, men tre til fire hundre \xc3\xa5r senere, omkring 10-70 e.Kr.  Han var b\xc3\xa5de ingeni\xc3\xb8r og matematiker, og som det siste er han mest kjent for formelen for \xc3\xa5 beregne arealet av en trekant fra sidelengdene.  Formelen opptrer for f\xc3\xb8rste gang i Herons arbeid Metrica, men var antageligvis kjent ogs\xc3\xa5 f\xc3\xb8r Herons tid.  Heron er den f\xc3\xb8rste som er kjent for \xc3\xa5 bruke piktogrammet \xce\x94 som symbol for en trekant i tekst.  _NEWLINE_Blant matematikerne fra Alexandria var ogs\xc3\xa5 Menelaos, som i verket Sphaerica studerte trekantgeometri p\xc3\xa5 en kuleflate.  Dette er det eneste arbeidet som er bevart etter Menelaos, som levde omkring 100 e.Kr. _NEWLINE_Ptolemaios' verk Almagest er en sv\xc3\xa6rt viktig kilde til kunnskap om gresk geometri og trigonometri.  Verket er skrevet omkring 200.  Som Hipparkus var Ptolemaios motivert av astronomi.  _NEWLINE_Ogs\xc3\xa5 Pappos  (c. 290 - c. 350) var fra Alexandria, og han regnes som en av de siste store greske matematikerne.  I det mest kjente arbeidet Synagoge (\xc2\xabSamling\xc2\xbb ) gir han et bevis for en utvidet form for Pythagoras' l\xc3\xa6resetning, for en vilk\xc3\xa5rlig trekant.\n_START_SECTION_\nKina og India\n_START_PARAGRAPH_\nDel eldste kinesiske matematiske skriftene indikerer at ogs\xc3\xa5 kinesisk geometri er vokst fram fra praktiske problem i landm\xc3\xa5ling.  I verket Ni kapitler om den matematiske kunst (Ji\xc7\x94zh\xc4\x81ng Su\xc3\xa0nsh\xc3\xb9) omhandler det siste kapittelet geometri for rettvinklede trekanter.  Verket er ikke n\xc3\xb8yaktig tidfestet, men er antagelig satt sammen f\xc3\xb8r 200 f.Kr. Her forekommer det s\xc3\xa5kalte \xc2\xabBrukne-bambus-problemet\xc2\xbb:  En rett bambusplante 10 enheter lang er brukket, slik at toppen av treet danner en hypotenus i en trekant og treffer bakken 3 enheter fra foten av treet.  Problemet er \xc3\xa5 bestemme h\xc3\xb8yden opp til bruddstedet, og l\xc3\xb8sningen krever bruk av Pythagoras' l\xc3\xa6resetning.  _NEWLINE_Basert p\xc3\xa5 gresk matematikk videreutviklet indiske matematikere trigonometri, og sinusfunksjonen ble introdusert i det indiske astronomiske verket Siddhanta fra omkring 400.\n_START_SECTION_\nEtter antikken\n_START_PARAGRAPH_\nEtter den greske storhetstiden l\xc3\xa5 det meste av geometri lenge nede, utenfor interesseomr\xc3\xa5det til vitenskapen.  Arabiske matematikere tok imidlertid vare p\xc3\xa5 interessen for trigonometri og astronomi, og ble formidlere av b\xc3\xa5de indiske, gresk og egen kunnskap til Europa.  Th\xc4\x81bit ibn Quarra (826-901) ga flere alternative bevis for Pythagoras' l\xc3\xa6resetning og ogs\xc3\xa5 en generalisering av l\xc3\xa6resetningen til generelle trekanter.  Perseren Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) var den f\xc3\xb8rste som behandlet trigonometri uavhengig av astronomi og skrev et systematisk fem-binds verk om plan- og sf\xc3\xa6riske trigonometri.    _NEWLINE_Leonardo Fibonacci (1170-1250) er kjent for \xc3\xa5 ha introdusert arabiske tall i vesten, i verket Liber Abaci.  Han utga i 1220 ogs\xc3\xa5 boka Practica Geometriae, der han blant annet beviser at medianene i en trekant deler hverandre i forholdet 1:2.  Boka inneholder ogs\xc3\xa5 en analog til Pythagoras' l\xc3\xa6resetning i tre dimensjoner.  _NEWLINE_Boka De triangulis omnimodus (\xc2\xabOm trekanter av alle slag\xc2\xbb), av den tyske matematikeren, astronomen og biskopen Regiomontanus (1436-1476), var et av de f\xc3\xb8rste rene verkene om trigonometri i Europa. Boka ble utgitt i 1533, etter Regiomontanus' d\xc3\xb8d, men verket er skrevet omkring 1464.  Arbeidet til Regiomontanus ble gjort kjent ikke minst p\xc3\xa5 grunn av videreformidling av astronomen Nikolaus Kopernikus (1473-1543).  Georg Joachim Rheticus (1514-1574) var elev hos Kopernicus, og i tobindsverket Opus palatinum de triangulis fortsatte han arbeidet til Regiomontanus og Kopernikus: Her ble trigonometri for f\xc3\xb8rste gang knyttet til en rettvinklet trekant og ikke til en sirkelkorde.  _NEWLINE_F\xc3\xb8rst p\xc3\xa5 1600-tallet begynte interessen for geometri \xc3\xa5 ta seg opp for fullt i Europa.  Ren\xc3\xa9 Descartes (1596-1650) innf\xc3\xb8rte med verket La G\xc3\xa9om\xc3\xa9trie analytisk geometri, en kombinasjon av geometri og algebra.  Arkitekten og ingeni\xc3\xb8ren Girard Desargues (1591-1661) arbeidet med problemer knyttet til perspektiv og kan regnes som en grunnlegger av projektiv geometri, studiet av geometriske egenskaper som er bevart under transformasjon av figurer.  Arbeidet ble ikke forst\xc3\xa5tt og langt p\xc3\xa5 vei neglisjert i samtiden.  Desargues' teorem gir vilk\xc3\xa5r for at to trekanter skal v\xc3\xa6re i perspektiv og ble f\xc3\xb8rst publisert av Abraham Bosse etter Desargues' d\xc3\xb8d.  Boss var en venn og elev av Desargues.   _NEWLINE_Giovanni Ceva (1648-1734) var en italiensk professor i matematikk ved universitetet i Mantova.  Han var spesielt interessert i geometri og er i dag mest kjent for \xc3\xa5 bevise teoremet som b\xc3\xa6rer navnet hans.  Han gjenoppdaget og publiserte ogs\xc3\xa5 det s\xc3\xa5kalte Menelaos' teorem for en trekant._NEWLINE_Bruk av bokstavene a, b og c for trekantlengdene og A, B og C for de motst\xc3\xa5ende hj\xc3\xb8rnene ble introdusert av den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler (1707-1783).  Han brukte ogs\xc3\xa5 bokstavene r, R og s for henholdsvis radien i en innsirkel, radien i en omsirkel og semiperimeteren.  Formelen for radien i en omsirkel ble f\xc3\xb8rst utledet av Euler._NEWLINE_De to franskmennene Gaspard Monge (1746-1818) og Lazare Carnot (1753-1823) regnes som grunnleggere av moderne geometri.  Fransk var ogs\xc3\xa5 Jean-Victor Poncelet (1788-1867) som  etter at arbeidet til Desargues var g\xc3\xa5tt i glemmeboken kan sies \xc3\xa5 ha \xc2\xabgjenf\xc3\xb8dt\xc2\xbb projektiv geometri. Sammen med Charles Brianchon (1785-1864) publiserte han i 1820-21 et artikkel som for f\xc3\xb8rste gang omtaler nipunktssirkelen.  N\xc3\xa5r sirkelen ofte blir gitt navn etter Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), s\xc3\xa5_NEWLINE_skyldes dette at Feuerbach publiserte mer omfattende teori i 1822.  Imidlertid beskrev ogs\xc3\xa5 han bare seks av punktene knyttet til sirkelen.  Det s\xc3\xa5kalte Feuerbachs teorem knytter sammen nipunktssirkelen, innsirkelen og de tre ytre tangeringssirklene forbundet med en trekant, et resultat som er blitt karakterisert som \xc2\xabdet vakreste teorem i element\xc3\xa6r geometri som er blitt oppdaget siden Euklid\xc2\xbb.   Et alternativt bevis for dette teoremet ble gitt i 1842 av Olry Terquem (1782-1862), som ogs\xc3\xa5 utvidet antall karakteristiske punkt knyttet til nipunktssirkelen fra seks til ni.    _NEWLINE_Nipunktssirkelen ble uavhengig av andre arbeid ogs\xc3\xa5 oppdaget av Jakob Steiner (1796-1863), som i tillegg har gitt navnet til \xc2\xabSteiners innellipse\xc2\xbb. Steiner var f\xc3\xb8dt i Sveits, men var utdannet og arbeidet i Tyskland.  Han regnes som en av de betydeligste matematikerne innenfor fagomr\xc3\xa5det geometri i moderne tid.  _NEWLINE_Den tyske matematikeren Moritz Pasch (1843-1930) ga i 1882 ut Vorlesungen \xc3\xbcber neuere Geometrie, der han blant annet viser at Euklid implisitt brukte geometriske egenskaper som ikke var dekket av postulatene han ga.  Det som senere er blitt kalt Pasch' aksiom ble lansert for \xc3\xa5 komplettere Euklid.  L\xc3\xb8st kan dette formuleres som at n\xc3\xa5r en linje krysser en trekantside, s\xc3\xa5 m\xc3\xa5 linjen ogs\xc3\xa5 krysse en av de andre to sidene i trekanten.  I 1899 publiserte David Hilbert (1862-1943) Grundlagen der Geometrie, der han bygger opp geometri aksiomatisk.  Aksiomene skal gi et moderne fundament for euklidsk geometri. Ett av aksiomene omhandler kongruens av trekanter."