b'\n_START_ARTICLE_\nDerivasjon\n_START_SECTION_\nInnledning\n_START_PARAGRAPH_\nGrunnbegrepet i differensialregning er den deriverte til en funksjon._NEWLINE_Med geometrisk terminologi kan den deriverte beskrives som en generalisering av stigningen til en funksjon. Det geometriske_NEWLINE_begrepet stigning er opprinnelig bare definert for line\xc3\xa6re funksjoner, alts\xc3\xa5 hvis grafen er en rett linje. Den_NEWLINE_deriverte til en vilk\xc3\xa5rlig funksjon  i et punkt  definerer man som stigningen til tangenten_NEWLINE_til  i punktet ._NEWLINE_Med aritmetisk terminologi angir den deriverte i et punkt  til en funksjon _NEWLINE_hvor stor den line\xc3\xa6re andelen av endringen til  er n\xc3\xa5r  endres med et_NEWLINE_vilk\xc3\xa5rlig lite lite tall . For den eksakte formuleringen av dette, brukes begrepet_NEWLINE_grenseverdi.\n_START_SECTION_\nDen deriverte som en funksjon\n_START_PARAGRAPH_\nDen deriverte til en funksjon  i punktet , betegnet som_NEWLINE_, beskriver den lokale atferden til funksjonen i omegnen til  . _NEWLINE_Vanligvis er ikke  det eneste punktet hvor_NEWLINE_ er deriverbar. Man kan da fors\xc3\xb8ke \xc3\xa5 tilordne til ethvert tall  i definisjonsmengden_NEWLINE_til  den deriverte i dette punktet (alts\xc3\xa5 ). _NEWLINE_P\xc3\xa5 denne m\xc3\xa5ten f\xc3\xa5r man en ny funksjon , _NEWLINE_hvis definisjonsmengde er en delmengde av definisjonsmengden til  . _NEWLINE_Eksempelvis har kvadratfunksjonen  i et vilk\xc3\xa5rlig punkt_NEWLINE_ den deriverte . _NEWLINE_Dermed er den tilh\xc3\xb8rende derivasjonsfunksjonen_NEWLINE_ gitt ved ._NEWLINE_Derivasjonsfunksjonen er normalt en annen enn den opprinnelige funksjonen; det eneste unntaket er eksponentialfunksjonen_NEWLINE_og dens multipla._NEWLINE_Er den deriverte kontinuerlig, kalles  kontinuerlig deriverbar. Siden rommet av kontinuerlige_NEWLINE_funksjonen betegnes  kalles rommet av kontinuerlig deriverbare funksjoner_NEWLINE_.\n_START_SECTION_\nUtregning av den deriverte\n_START_PARAGRAPH_\nUtregningen av den deriverte til en funksjon kalles derivasjon; man sier at man deriverer funksjonen._NEWLINE_For \xc3\xa5 regne ut den deriverte til element\xc3\xa6re funksjoner (for eksempel  og ) _NEWLINE_holder man seg til definisjonen angitt ovenfor, beregner eksplisitt en differansekvotient og lar s\xc3\xa5_NEWLINE_ g\xc3\xa5 mot null. _NEWLINE_Riktignok fullf\xc3\xb8rer en typisk matematikkbruker denne utregningen bare et par ganger i l\xc3\xb8pet av livet._NEWLINE_Deretter kjenner han eller hun den deriverte til de viktigste element\xc3\xa6re funksjonene utenat, og sl\xc3\xa5r opp_NEWLINE_den deriverte til andre, ikke fullt s\xc3\xa5 vanlige, funksjoner i en tabell.\n_START_SECTION_\nMiddelverdisetningen\n_START_PARAGRAPH_\nEn annen sentral sats i derivasjonsregning er middelverdisetningen som ble bevist av Cauchy._NEWLINE_La  v\xc3\xa6re en funksjon som er kontinuerlig p\xc3\xa5 et lukket intervall  (med ). _NEWLINE_Videre antar vi at  er deriverbar i det \xc3\xa5pne intervallet . _NEWLINE_Da finnes minst ett punkt , slik at .\n_START_SECTION_\nDeriverte av h\xc3\xb8yere orden\n_START_PARAGRAPH_\nHvis den deriverte til funksjonen  ogs\xc3\xa5 er deriverbar, kan man definere den andrederiverte eller dobbeltderiverte til  som den deriverte til den f\xc3\xb8rstederiverte._NEWLINE_Tilsvarende kan man definere den tredje og fjerde definerte, og s\xc3\xa5 videre._NEWLINE_Den andrederiverte kan tolkes geometrisk som krumningen til grafen. Den har mange fysiske anvendelser._NEWLINE_For eksempel er den f\xc3\xb8rstederiverte til en strekning  etter tiden  momentanhastigheten, mens den andrederiverte_NEWLINE_er akselerasjonen. Fra fysikk kommer skrivem\xc3\xa5ten  som betegner den deriverte til en funksjon med hensyn p\xc3\xa5 tiden.\n_START_SECTION_\nVannrette tangenter\n_START_PARAGRAPH_\nHar en funksjon  med  sin st\xc3\xb8rste verdi i et punkt , _NEWLINE_gjelder det for alle  i dette intervallet at , _NEWLINE_og er  deriverbar i punktet , so m\xc3\xa5 den deriverte v\xc3\xa6re lik null i dette punktet: . _NEWLINE_Et tilsvarende utsagn gjelder hvis  har sin minste verdi i punktet ._NEWLINE_Den geometriske beskrivelsen av denne Fermats sats er at tangenten til funksjonen i et lokalt ekstremalpunkt er parallell til -aksen, eller med andre ord vannrett._NEWLINE_For deriverbare funksjoner er det dermed en n\xc3\xb8dvendig betingelse for et ekstremalpunkt, at den deriverte i punktet er lik 0:_NEWLINE_Omvendt kan man ikke slutte at et punkt er et ekstremalpunkt bare fordi den deriverte er null i det punktet; det kan for eksempel ogs\xc3\xa5 v\xc3\xa6re et s\xc3\xa5kalt sadelpunkt.\n_START_SECTION_\nDr\xc3\xb8fting\n_START_PARAGRAPH_\nVed hjelp av deriverte kan man ogs\xc3\xa5 analysere andre egenskaper til en funksjon, som vendepunkter, sadelpunkter og konveksitet._NEWLINE_Dette kalles kurvedr\xc3\xb8fting.\n_START_SECTION_\nAndre anvendelser\n_START_PARAGRAPH_\nKoblede hastigheter\n_START_SECTION_\nKompleks deriverbarhet\n_START_PARAGRAPH_\nFor deriverbarheten til funksjoner med komplekse argumenter, bruker vi_NEWLINE_definisjonen med linearisering. Overraskende nok er betingelsen langt strengere her enn i det relle tilfellet._NEWLINE_For eksempel er absoluttverdifunksjonen ikke komplekst deriverbar i noe punkt._NEWLINE_Samtidig er en kompleks funksjon som er deriverbar i en omegn, automatisk vilk\xc3\xa5rlig mange ganger deriverbar.\n_START_SECTION_\nDerivasjon av flerdimensjonale funksjoner\n_START_PARAGRAPH_\nTil n\xc3\xa5 har vi bare betraktet funksjoner med \xc3\xa9n variabel. Funksjoner som avbilder vektorer p\xc3\xa5 vektorer eller skalarer,_NEWLINE_kan ogs\xc3\xa5 ha deriverte. Riktignok er ikke tangenten til en slik funksjon entydig bestemt, da den kan ha flere forskjellige_NEWLINE_retninger. Her beh\xc3\xb8ves alts\xc3\xa5 en generalisering av det tidligere derivasjonsbegrepet.'