b'\n_START_ARTICLE_\nAritmetikkens fundamentalteorem\n_START_SECTION_\nBevis\n_START_PARAGRAPH_\nVi skal vise at enhvert naturlig tall  p\xc3\xa5 en entydig m\xc3\xa5te kan skrives som produktet av primtall (om man ser bort i fra rekkef\xc3\xb8lgen faktorene skrives i). Vi beviser f\xc3\xb8rst at man kan skrive et vilk\xc3\xa5rlig tall p\xc3\xa5 denne m\xc3\xa5ten. Etterp\xc3\xa5 beviser vi at denne representasjonen er entydig._NEWLINE_Enten er  et primtall eller ikke. Hvis  er et primtall s\xc3\xa5 er det ikke noe mer \xc3\xa5 bevise. Om  ikke er noe primtall, s\xc3\xa5 finnes det et heltall  som deler , hvor . Blant alle slike , velg  som det minste. Da m\xc3\xa5  v\xc3\xa5re et primtall. Ellers ville ogs\xc3\xa5 det tallet hatt en divisor  hvor , noe som motsier at  er det minste tallet som deler ._NEWLINE_Vi kan dermed skrive . Hvis  er et primtall er det ikke mer \xc3\xa5 bevise. Hvis ikke kan vi gjenta argumentasjonen og produsere et nytt primtall  slik at ._NEWLINE_Dette kan vi fortsette med lenge, men  kan ikke fortsette evig, s\xc3\xa5 til slutt vil  v\xc3\xa6re et primtall vi kan kalle ._NEWLINE_For \xc3\xa5 bevise at denne representasjonen er unik, anta at  kan skrives som produktet av primtall p\xc3\xa5 to m\xc3\xa5ter, la oss si , der , og  og  er primtall skrevet i stigende rekkef\xc3\xb8lge slik at  og ._NEWLINE_Fordi  deler  m\xc3\xa5  for en eller annen . Men da er . Om vi argumenterer p\xc3\xa5 lignende m\xc3\xa5te f\xc3\xa5r vi ogs\xc3\xa5 at , og dermed at . Om vi gjentar denne prosessen f\xc3\xa5r vi at , alts\xc3\xa5 at . Om  f\xc3\xa5r vi at , noe som er absurd, og dermed er , og , , noe som gj\xc3\xb8r de to faktoriseringene identiske. Beviset er dermed fullf\xc3\xb8rt.'