b"\n_START_ARTICLE_\nLagrange'i keskv\xc3\xa4\xc3\xa4rtusteoreem\n_START_PARAGRAPH_\nLagrange'i keskv\xc3\xa4\xc3\xa4rtusteoreem on \xc3\xbcks matemaatilise anal\xc3\xbc\xc3\xbcsi p\xc3\xb5hilisi tulemusi. K\xc3\xb5lab ta j\xc3\xa4rgnevalt: kui funktsioon f on pidev l\xc3\xb5igus [a, b] ning tal leidub l\xc3\xb5plik tuletis vahemikus (a, b), siis leidub c \\in  (a, b) nii, et f'(c)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\n_START_SECTION_\nGeomeetriline t\xc3\xb5lgendus\n_START_PARAGRAPH_\nGeomeetriliselt \xc3\xbctleb Lagrange'i keskv\xc3\xa4\xc3\xa4rtusteoreem, et kui funktsioon f on pidev mingis l\xc3\xb5igus [a, b] ning diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub a ja b vahel niisugune arv c, et funktsiooni f graafiku puutuja kohal c on paralleelne punkte (a,f(a)) ning (b,f(b)) l\xc3\xa4biva l\xc3\xb5ikajaga.\n_START_SECTION_\nF\xc3\xbc\xc3\xbcsikaline t\xc3\xb5lgendus\n_START_PARAGRAPH_\nLagrange'i keskv\xc3\xa4\xc3\xa4rtusteoreemi eeldustel leidub niisugune c \\in  (a, b), et funktsiooni f v\xc3\xa4\xc3\xa4rtuse muutumise kiiruseks punktis c on teatavas m\xc3\xb5ttes funktsiooni f v\xc3\xa4\xc3\xa4rtuse keskmine muutumise kiirus l\xc3\xb5igus [a, b]. Olgu n\xc3\xa4iteks funktsiooniks f auto l\xc3\xa4bitud teepikkuse s\xc3\xb5ltuvus ajast. Eeldame, et autol on igal ajahetkel olemas l\xc3\xb5plik hetkkiirus (s. t. funktsioon f on k\xc3\xb5ikjal diferentseeruv; diferentseeruvusest j\xc3\xa4reldub ka pidevus). Lagrange'i keskv\xc3\xa4\xc3\xa4rtusteoreem \xc3\xbctleb n\xc3\xbc\xc3\xbcd, et kui auto keskmine kiirus teekonna jooksul oli 60 km/h, siis mingil ajahetkel selle teekonna jooksul oli auto hetkkiiruseks 60 km/h.\n_START_SECTION_\nT\xc3\xb5estus\n_START_PARAGRAPH_\nOlgu t\xc3\xa4idetud Lagrange'i keskv\xc3\xa4\xc3\xa4rtusteoreemi eeldused. M\xc3\xa4\xc3\xa4ratleme l\xc3\xb5igus [a, b] uue funktsiooni g(x):=f(x)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a). Paneme t\xc3\xa4hele, et siis g(a)=g(b) ning funktsioon g on l\xc3\xb5igus [a,b] pidev ja omab vahemikus (a,b) l\xc3\xb5plikku tuletist, kusjuures iga x \\in (a,b) korral g'(x)=f'(x)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. Rolle'i teoreemi p\xc3\xb5hjal leidub seega c \\in (a, b) nii, et g'(c) = 0 ehk f'(c)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0, m. o. t. t."