b'\n_START_ARTICLE_\nPhilosophy of Mathematics: An Introduction\n_START_PARAGRAPH_\n"Philosophy of Mathematics: An Introduction" on David Bostocki filosoofiline raamat, mis ilmus 2009. aastal Blackwell-Wiley v\xc3\xa4ljaandena.\n_START_SECTION_\nA. Platon: 1. Sokraatiline taust\n_START_PARAGRAPH_\nSokratesele avaldas muljet, et headuse, ilu ja vooruse ning \xc3\xbcksikute vooruste m\xc3\xb5isteid ei osata seletada. Sokrates n\xc3\xa4itas, et \xc3\xbckski pakutud vastustest ei saa olla t\xc3\xb5ene, ning j\xc3\xb5udis j\xc3\xa4reldusele, et me ei tea, millest me r\xc3\xa4\xc3\xa4gime. Ta pidas end teistest targemaks ainult selle poolest, et ta teab, et ei tea ("Sokratese apoloogia" 21b\xe2\x80\x9323b). Teised m\xc3\xb5tlejad olid pakkunud oma lahendusi, sageli subjektivistlikke v\xc3\xb5i isegi nihilistlikke. V\xc3\xa4ideti n\xc3\xa4iteks, et \xc3\xb5iglus on seaduste j\xc3\xa4rgimine ning on seet\xc3\xb5ttu eri riikides erinev. Kuna seadused on inimeste leiutis, siis ka \xc3\xb5iglus on inimeste leiutis. Sama lugu on kogu moraaliga. K\xc3\xbc\xc3\xbcnilisemate j\xc3\xa4rgi pole seet\xc3\xb5ttu p\xc3\xb5hjust moraali t\xc3\xb5siselt v\xc3\xb5tta; kel j\xc3\xb5ud, sel \xc3\xb5igus. (Kallikles Platoni "Gorgiases" (482c\xe2\x80\x93486c), Thrasymachos Platoni "Riigis" (336b\xe2\x80\x93339a), Antiphon, DK 44A). Sokrates ja Platon olid aga veendunud, et moraal peab olema kuidagi objektiivne, kokkulepetest s\xc3\xb5ltumatu. Aga miks siis on nii raske moraali k\xc3\xbcsimustes t\xc3\xb5de v\xc3\xb5i rahuldavat vaadet leida? Bostocki arvates l\xc3\xa4htus Platon sellest, et asi on selles, et selles maailmas pole selgeid n\xc3\xa4iteid. Tavaliselt antakse s\xc3\xb5na (n\xc3\xa4iteks "punane") t\xc3\xa4hendus n\xc3\xa4idetega, aga \xc3\xb5ige ja v\xc3\xa4\xc3\xa4ra puhul see pole v\xc3\xb5imalik. See, mis \xc3\xbches kontekstis on \xc3\xb5ige, v\xc3\xb5ib olla teises kontekstis v\xc3\xa4\xc3\xa4r. Ja v\xc3\xa4idetavad n\xc3\xa4ited tekitavad vaidlusi, mille lahendamiseks pole \xc3\xbcldtunnustatud protseduure. Aga kuidas me siis nendest s\xc3\xb5nadest aru saame ja kuidas arusaamist saab parandada? Bostock arvab, et see tekitaski Platonil huvi matemaatika vastu: ka matemaatikas pole selgeid tajutavaid n\xc3\xa4iteid n\xc3\xa4iteks arvude kohta, kuid ometi on matemaatiline teadmine v\xc3\xb5imalik.\n_START_SECTION_\n2. Meenutusteooria\n_START_PARAGRAPH_\nMeno 80b\xe2\x80\x9386d _NEWLINE_"Menoni" esimeses pooles on jutt sellest, mis on voorus. Sokrates on mitu Menoni vastust tagasi l\xc3\xbckanud ning Menon k\xc3\xbcsib, kuidas \xc3\xbcldse vastust otsida ja \xc3\xb5iget vastust \xc3\xa4ra tunda. Sokrates toob n\xc3\xa4ite matemaatikast, et see lootust tooks. Ta v\xc3\xa4itis, et t\xc3\xb5eline teadmine on "meenutus". Ta kutsus \xc3\xbche Menoni orjapoisi, kes geomeetriat ei tundnud, ja k\xc3\xbcsis, kuidas leida antud ruudust poole suurema pindalaga ruutu. P\xc3\xa4rast paari vale vastust lahendas Sokrates \xc3\xbclesande, lastes poisil k\xc3\xbcsimustele vastata. Poiss vastab igale k\xc3\xbcsimusele \xc3\xb5igesti, nagu ta juba teaks. J\xc3\xa4reldus on see, et poiss teadis iga vastust arutelus, ja k\xc3\xbcsimused ainult meenutasid talle seda. Platon muidugi liialdab, sest isegi kui poiss k\xc3\xb5iki eeldusi juba teadis, pole alust arvata, et ta ilma Sokratese k\xc3\xbcsimusteta oleks osanud neist j\xc3\xa4relduse teha. Aga see polegi t\xc3\xa4htis. Keegi pidi ju selle teoreemi esimesena avastama. Ja Platon ei \xc3\xbctle, et poiss ei v\xc3\xb5tnud teadmist jooniselt, mille Sokrates liiva sisse tegi. T\xc3\xb5epoolest, t\xc3\xb5estust v\xc3\xb5ib taibata ka ebat\xc3\xa4pselt jooniselt, selle v\xc3\xb5ib \xc3\xbcle kanda ka k\xc3\xb5igile teistele ruutudele ning me n\xc3\xa4eme, et see on paratamatu t\xc3\xb5de, aga joonis ei saa seda n\xc3\xa4idata. Platon tahtis kindlasti \xc3\xb6elda, et t\xc3\xb5estuse \xc3\xb5igsusest saadakse aru aprioorselt, "vaimusilmaga". T\xc3\xb5en\xc3\xa4oliselt tahab ta ka \xc3\xb6elda, et ka eeldusi teatakse aprioorselt. Sel juhul on kogu matemaatika aprioorne. (T\xc3\xb5si k\xc3\xbcll, "Riigis" ta enam nii ei arvanud.) Ja kindlasti tahtis ta \xc3\xb6elda, et see teadmine peab olema kaasas\xc3\xbcndinud. Sellest ta j\xc3\xa4reldab, et hing pidi eksisteerima enne s\xc3\xbcndi ning on surematu.  _NEWLINE_Phaidon 72e\xe2\x80\x9377d _NEWLINE_"Phaidon" r\xc3\xa4\xc3\xa4gib hinge surematusest. \xc3\x9cks argumentidest selle kasuks tuletab meelde "Menoni" meenutusteooriat, kuid esitab siis teistsuguse argumendi, nimelt m\xc3\xb5istetest arusaamise kohta. Sama probleem on \xc3\xb5igluse jms m\xc3\xb5istetega. Me saame aru v\xc3\xb5rdsuse m\xc3\xb5istest, kuid seda ei saa seletada selles maailmas tajutud n\xc3\xa4idetega, sest \xc3\xbchem\xc3\xb5ttelisi n\xc3\xa4iteid ei ole. K\xc3\xb5ik v\xc3\xb5rdne on ka ebav\xc3\xb5rdne, sellep\xc3\xa4rast nende m\xc3\xb5istete erinevus n\xc3\xa4idetest ei ilmne. N\xc3\xa4htavasti tajuti \xc3\xbchem\xc3\xb5ttelisi n\xc3\xa4iteid teises maailmas, kust me m\xc3\xa4lestuse kaasa v\xc3\xb5tsime. Sama peaks k\xc3\xa4ima k\xc3\xb5igi m\xc3\xb5istete kohta, mis on Platoni silmis problemaatilised. Platon ei selgita, mis puudus tajutavatel v\xc3\xb5rdsuse n\xc3\xa4idetel on. \xc3\x9che t\xc3\xb5lgenduse j\xc3\xa4rgi on n\xc3\xa4iteks tikkudel v\xc3\xb5i kividel alati mingid tajutavad erinevused. Bostock ei pea seda t\xc3\xb5en\xc3\xa4oliseks, sest tikud v\xc3\xb5ivad olla eristamatud, ja mikroskoopi erinevuste n\xc3\xa4gemiseks kasutada ei saanud. (Sellest, et kaks tikku on pikkuse poolest eristamatud, piisaks ju v\xc3\xb5rdsuse n\xc3\xa4iteks v\xc3\xa4hemalt pikkuse poolest.) Usutavamaks peab Bostock teist t\xc3\xb5lgendust, mille j\xc3\xa4rgi asjad on alati millegi poolest erinevad, v\xc3\xa4hemalt asukoha poolest. Puhta matemaatika objektidel aga asukohta pole. N\xc3\xa4iteks kaks \xc3\xbchte on t\xc3\xb5eliselt v\xc3\xb5rdsed. Ja \xc3\xbcldse, matemaatika objektidel ei ole selles maailmas rahuldavaid n\xc3\xa4iteid. N\xc3\xa4iteks aritmeetika r\xc3\xa4\xc3\xa4gib t\xc3\xa4iesti v\xc3\xb5rdsete jagamatute \xc3\xbchikute kogumitest, aga maailmas neid pole ("Riik" 525d\xe2\x80\x93526a, "Philebos" 56de). Geomeetria r\xc3\xa4\xc3\xa4gib t\xc3\xa4iuslikest ruutudest, ringidest jne, mida piiravad paksuseta jooned, aga selle maailma asjad on parimal juhul nende j\xc3\xa4medad l\xc3\xa4hendused ("Riik" 510d\xe2\x80\x93511a). Nii et matemaatika k\xc3\xa4ib metafoorselt teise maailma kohta. Nii et matemaatikast arusaamist saab seletada ainult juhul, kui postuleerida "kogemus teisest maailmast", mis selle teooria j\xc3\xa4rgi leiab aset enne s\xc3\xbcndi. Bostock lisab, et meenutus teisest maailmast on enamasti \xc3\xa4hmane. Sellep\xc3\xa4rast enamik inimesi ei oska \xc3\xb6elda, mis on headus, \xc3\xb5iglus v\xc3\xb5i isegi v\xc3\xb5rdsus. Me saame neist m\xc3\xb5istetest mingil m\xc3\xa4\xc3\xa4ral aru, sest me oskame neid kasutada, kuid see pole t\xc3\xa4ielik arusaamine, mis v\xc3\xb5imaldaks neid defineerida. Filosoofi \xc3\xbclesanne on meeltetajule selg p\xc3\xb6\xc3\xb6rata ja endas peidus olev teadmine v\xc3\xa4lja tuua; teisiti pole arusaamine v\xc3\xb5imalik. Matemaatika n\xc3\xa4itab, et see on v\xc3\xb5imalik. Sellep\xc3\xa4rast on ka eetikas lootust.\n_START_SECTION_\n3. Platonism matemaatikas\n_START_PARAGRAPH_\nPlatonism t\xc3\xa4nap\xc3\xa4eva matemaatikafilosoofias v\xc3\xa4idab, et 1) matemaatika r\xc3\xa4\xc3\xa4gib reaalsetest objektidest, mis eksisteerivad (metafoorselt) teises maailmas (objektid ei ole meeltega tajutavad, vaid intelligiiblid), ja 2) teadmine nende kohta ei p\xc3\xa4rine tajust (on aprioorne teadmine). Esimest, ontoloogilist v\xc3\xa4idet peetakse teise, epistemoloogilise v\xc3\xa4ite j\xc3\xa4relmiks, kuid ta ei j\xc3\xa4reldu sellest. Teist v\xc3\xb5idakse pidada esimese j\xc3\xa4relmiks, kuid ka siin pole j\xc3\xa4reldumist. Platonismi keskne probleem on see, kuidas neid kahte v\xc3\xa4idet omavahel lepitada. Kui objektid on teises maailmas, kuidas me siis nende kohta nii palju teame ja saame \xc3\xbcha rohkem teada. "Aprioorne teadmine" on sellise teadmise nimi, mitte seletus. Platon pakub seletuseks meenutuse. See teooria pole kunagi olnud veenev, nii sellep\xc3\xa4rast, et see v\xc3\xb5tab kahte maailma s\xc3\xb5na-s\xc3\xb5nalt, kui ka sellep\xc3\xa4rast, et meil pole mingit ettekujutust sellest, mis tunne on teises maailmas olevat matemaatilist objekti kogeda. Teised filosoofid pole seda teooriat toetanud, kuigi n\xc3\xa4iteks Ren\xc3\xa9 Descartesi kaasas\xc3\xbcndinud ideede teooria on sarnane. Ka Platon ise \xc3\xbctles n\xc3\xa4htavasti sellest lahti, v\xc3\xa4hemalt ei maini ta seda "Riigis" ega "Theaitetoses", ja ka Aristoteles ei maini seda. Teistsugust seletust matemaatilise teadmise v\xc3\xb5imalikkuse kohta Platon ei andnud.\n_START_SECTION_\nB. Aristoteles. 5. \xc3\x9cldine positsioon\n_START_PARAGRAPH_\nAristoteles l\xc3\xbckkab Platoni teooria matemaatika loomusest tagasi (Metaf\xc3\xbc\xc3\xbcsika 13.3; F\xc3\xbc\xc3\xbcsika II.2, 193b22\xe2\x80\x93194a12; De anima III.7, 43lb12\xe2\x80\x9317; Metaf\xc3\xbc\xc3\xbcsika 11.3, 1061a28\xe2\x80\x93b4.) Platon eksis, kui ta lahutas teadmise objektid tavalistest selle maailma objektidest. Selles oli tal k\xc3\xbcll \xc3\xb5igus, et on olemas ideed (vormid), ning teadmine k\xc3\xa4ib nende kohta, kuid need ei eksisteeri eraldi oma n\xc3\xa4idetest selle maailmaga. N\xc3\xa4iteks inimese idee (vorm) on ainult tegelikes inimestes. Ei ole kahte maailma, vaid ainult \xc3\xbcks maailm, ja matemaatika k\xc3\xa4ib selle maailma kohta. Kui r\xc3\xa4\xc3\xa4gitakse n\xc3\xa4iteks ringi omadustest, siis on v\xc3\xa4ga \xc3\xbcldises ja abstraktses keeles jutt k\xc3\xb5igi tavaliste ringikujuliste objektide \xc3\xbchistest omadustest, mis neil on ringikujulisuse t\xc3\xb5ttu. Geomeetrias ei m\xc3\xb5elda kujundeid asjadena, millel oleks temperatuur v\xc3\xb5i m\xc3\xb5ni muu f\xc3\xbc\xc3\xbcsiline omadus. See tuleb sellest, et jutt on ainult geomeetrilistest omadustest. Teisi omadusi ignoreeritakse, sest need ei puutu asjasse. N\xc3\xa4htavasti on Aristotelese j\xc3\xa4rgi ka aritmeetika puhul nii. Kuigi tundub, et me tegeleme arvudega kui eriliste objektidega, millel pole \xc3\xbchtegi sellist omadust nagu tavalistel meeltega tajutavatel objektidel, tegeldakse tegelikult \xc3\xbcldisel ja abstraktsel moel "kehastunud arvudega", n\xc3\xa4iteks lehmade arvuga karjamaal. (Bostock, "Aristotle\'s Philosophy of Mathematics", The Oxford Handbook on Aristotle.) V\xc3\xb5rreldes Platoniga tundub see nagu s\xc3\xb5\xc3\xb5m v\xc3\xa4rsket \xc3\xb5hku. Meie teadmine sellistest t\xc3\xb5dedest on tavaline empiiriline teadmine, mis p\xc3\xb5hineb tajul suuresti samamoodi nagu muugi teaduslik teadmine. Kui juba erilisi objekte pole, siis pole ka tarvis erilist aprioorse teadmise v\xc3\xb5imet. _NEWLINE_Kuigi palju argumente Aristoteles ei esita. Ta esitab k\xc3\xbcll sageli vastuv\xc3\xa4iteid ideede\xc3\xb5petusele \xc3\xbcldiselt, aga see pole piisav, sest Platon hakkas matemaatika objekte eristama ideedest enestest. Kui ka ideid Platoni moodi ei ole, v\xc3\xb5ivad eraldi matemaatilised objektid sellegipoolest olla, sest need on lihtsalt t\xc3\xa4iuslikud n\xc3\xa4ited. Ja v\xc3\xb5ib-olla matemaatika ikkagi vajab t\xc3\xa4iuslikke n\xc3\xa4iteid, mis on olemas lahus selle maailma ebat\xc3\xa4iuslikest n\xc3\xa4idetest. Sellest r\xc3\xa4\xc3\xa4gib Aristoteles ainult "Metaf\xc3\xbc\xc3\xbcsika" 13. raamatu 2. peat\xc3\xbckis, ja tema argumendid ei ole veenvad. Kohtades 1076b11\xe2\x80\x9339 ja 1076b39\xe2\x80\x931077al4 esitab Aristoteles kaks p\xc3\xb5hilist argumenti selle kasuks, et kui me peame eeldama nende vahepealsete objektide olemasolu, siis me peame ka eeldama paljude teiste vahepealsete objektide olemasolu, see aga t\xc3\xa4hendaks uskumatut ja tarbetut entiteetide kahekordistamist. Aga ta ei \xc3\xbctle, miks Platonil neid vahepealseid objekte tarvis oli, ega esita vastuv\xc3\xa4iteid tema p\xc3\xb5hjenditele. Tavaliselt seletatakse asja nii, et Platon l\xc3\xa4htus sellest, et matemaatika r\xc3\xa4\xc3\xa4gib t\xc3\xa4iuslikest n\xc3\xa4idetest, ning j\xc3\xa4reldas matemaatika t\xc3\xb5esusest, et t\xc3\xa4iuslikud n\xc3\xa4ited peavad olemas olema. Ent meeltega tajutavad n\xc3\xa4ited ei ole t\xc3\xa4iuslikud, j\xc3\xa4relikult peavad kuskil olema mittetajutavad n\xc3\xa4ited, mis on k\xc3\xa4ttesaadavad ainult arule, mitte tajule. Oletame, et see ongi Platoni argument. Sel juhul on Aristotelese vastuargumentide p\xc3\xb5hiline n\xc3\xb5rkus see, et need ei \xc3\xbctle, mis Platoni argumentidel viga on. Bostock otsib n\xc3\xbc\xc3\xbcd, mida saaks Aristotelese eest \xc3\xb6elda.\n_START_SECTION_\n6. Idealisatsioonid\n_START_PARAGRAPH_\nPole kindel, kas Aristoteles n\xc3\xb5ustus Platoni eeldusega, et selles maailmas ei saa olla t\xc3\xa4iuslikke n\xc3\xa4iteid. ("Metaf\xc3\xbc\xc3\xbcsika" 2. raamatus 997b35\xe2\x80\x93998a6 ta \xc3\xbctleb, et meeltega tajutavad jooned ei ole kunagi t\xc3\xa4iuslikult sirged ega t\xc3\xa4iuslikult ringikujulised, kuid seal pole alust arvata, et ta ise seda v\xc3\xa4idet toetab. Raamatus "De anima" I.1 403a12\xe2\x80\x9316 ta paistab v\xc3\xa4itvat, et materiaalne sirge \xc3\xa4\xc3\xa4r puutubki materiaalset kerapinda t\xc3\xa4pselt \xc3\xbches punktis, kuid Bostock on umbusklik selle autentsuse suhtes, sest j\xc3\xa4\xc3\xa4b arusaamatuks, milleks seda seal \xc3\xb6elda (Bostock, "Aristotle\'s Philosophy of Mathematics", The Oxford Handbook on Aristotle.). Ta oleks pidanud selle eeldusega geomeetria puhul n\xc3\xb5ustuma, geomeetria puhul mitte.  _NEWLINE_Aritmeetika_NEWLINE_Gottlob Frege \xc3\xb5petuse valguses on selge, et Platon eksis, arvates, et aritmeetika toob sisse idealisatsioone. Eksitus tuleb eeldusest, et kui arve meeltega tajutavatele objektidele rakendatakse, siis \xc3\xb6eldakse, et objektil endal on mingi arv. Frege j\xc3\xa4rgi aga v\xc3\xa4idab "arvuv\xc3\xa4ide" midagi m\xc3\xb5iste kohta, mitte objekti kohta: \xc3\xbctleb, mitu objekti selle m\xc3\xb5iste alla k\xc3\xa4ib. (Alternatiivse vaate j\xc3\xa4rgi k\xc3\xa4ivad arvud f\xc3\xbc\xc3\xbcsiliste objektide hulkade kohta ning \xc3\xbctlevad, mitu elementi hulgas on.) Enamasti saab seda t\xc3\xa4iesti \xc3\xbcheselt \xc3\xb6elda ja sellises arvu rakenduses pole midagi "ebat\xc3\xa4iuslikku". V\xc3\xb5ib \xc3\xb6elda, et "\xc3\xbchikuteks" on lehmad karjamaal, ilma et lehm peaks olema jagamatu ja lehmad peaksid omavahel v\xc3\xb5rdsed olema. Ja loendada saab ka m\xc3\xb5ne teise m\xc3\xb5iste ja \xc3\xbchikuga, n\xc3\xa4iteks lehmade paar v\xc3\xb5i lehmakilo. Aristoteles sai sellest aru. Ta v\xc3\xb5rdleb loendamist sageli m\xc3\xb5\xc3\xb5tmisega: m\xc3\xb5lemal juhul valitakse miski \xc3\xbchikuks ja k\xc3\xa4sitletakse seda jagamatuna. (Metaf\xc3\xbc\xc3\xbcsika 14.2, 1088a8\xe2\x80\x939; 1016b17\xe2\x80\x9324; 1052bl5\xe2\x80\x9317, 1053a24\xe2\x80\x9330, 1054a4\xe2\x80\x939, 1082bl6\xe2\x80\x9319, 1087b33-1088a14, 1052b31\xe2\x80\x931053a2, 1092bl9\xe2\x80\x9320, 220a19\xe2\x80\x9322.) Ent ta ei esita seda kunagi Platoni kriitikana. Ta esitab k\xc3\xbcll vastuv\xc3\xa4ited Platoni j\xc3\xa4reldusele ning n\xc3\xa4itab raskusi seisukohas, et arv on eraldi olevate t\xc3\xa4iuslike \xc3\xbchikute paljus ([[Metaf\xc3\xbc\xc3\xbcsika 13:6\xe2\x80\x938), kuid ei k\xc3\xbcsi, mis Platoni eksiteele viis. Ja pole selge, mida t\xc3\xa4pselt ta asemele pakub. _NEWLINE_Geomeetria_NEWLINE_Geomeetria idealiseerib, kuid see, mida ta t\xc3\xa4iuslike ringjoonte kohta \xc3\xbctleb, v\xc3\xb5ib kehtida ka ebat\xc3\xa4iuslike ringjoonte kohta, sest seda v\xc3\xb5ib m\xc3\xb5ista h\xc3\xbcpoteetliselt: kui t\xc3\xa4iuslikud ringjooned on olemas, siis nad n\xc3\xa4iteks saavad t\xc3\xa4iuslikku sirgjoont puutuda ainult \xc3\xbches punktis. V\xc3\xb5idakse k\xc3\xbcsida, kuidas geomeetria saab praktikas nii kasulik olla, kui entiteete, millest ta r\xc3\xa4\xc3\xa4gib, pole olemas, aga see k\xc3\xbcsimus tekib ka platonistil ja igatahes on sellel lihtne vastus. Paljud teooriad idealiseerivad. N\xc3\xa4iteks ideaalne gaas j\xc3\xa4rgiks t\xc3\xa4pselt Boyle\'i-Mariotte\'i seadust ning see teooria aitab reaalsetest gaasidest aru saada, sest ta ideaalne teooria lihtsustab olukorda, ignoreerides teatud omadusi, millest palju ei olene (ideaalse gaasi teooria ignoreerib molekulide m\xc3\xb5\xc3\xb5tmeid ning nendevahelisi t\xc3\xb5mbe- ja t\xc3\xb5ukej\xc3\xb5ude.) Ometi oleks absurdne eeldada, et ideaalsed gaasid kuskil olemas on. Umbes sama lugu on geomeetria idealisatsioonidega. Puusepp teeb laua, mis on t\xc3\xa4iuslikule ruudule nii l\xc3\xa4hedal, et ta saab kasutada geomeetriat. Nii et geomeetriat v\xc3\xb5ib v\xc3\xb5tta meeltega tajutavate asjade ruumiliste omaduste uurimisena. Ta k\xc3\xbcll idealiseerib neid mingil \xc3\xa4\xc3\xa4ral, kuid see ei anna alust \xc3\xb6elda, et ta ei uurigi tajutavaid objekte, vaid mittetajutavaid ideaalseid objekte. K\xc3\xb5ik see aga s\xc3\xb5ltub eeldusest, et geomeetriat v\xc3\xb5ib m\xc3\xb5ista h\xc3\xbcpoteetiliselt. Siis ligikaudsetel ruutudel ja ringjoontel on ideaalsete kujundite omadused ligikaudselt. Aga kas mitte geomeetria ei v\xc3\xa4ida, et t\xc3\xa4iuslikud ringjooned on olemas?\n_START_SECTION_\n7. Keerukused\n_START_PARAGRAPH_\nKohas 1078a2\xe2\x80\x935 \xc3\xbctleb Aristoteles, et matemaatika ei ole tajutava uurimine, isegi kui uuritav on juhtumisi tajutav. Kohas 1078a17\xe2\x80\x9325 \xc3\xbctleb ta, et matemaatika postuleerib midagi lahus olevana, kuigi see ei ole lahus. Ta lisab, et sellest ei tulene v\xc3\xa4\xc3\xa4rus, n\xc3\xa4htavasti sellep\xc3\xa4rast, et matemaatik ei v\xc3\xb5ta lahusolemist eelduseks. Kohas 193b31\xe2\x80\x935 \xc3\xbctleb ta, et kuna matemaatik ei tegele omadustega, mis on tema uurimise seisukohast aktsidentaalsed, siis ta lahutab need, sest m\xc3\xb5ttes saab need lahutada; ja sellest ei tulene v\xc3\xa4\xc3\xa4rus. Selline fiktsionaalne lahutamine on matemaatikas ja mujal just abiks (1078a21\xe2\x80\x9331). Ta ei \xc3\xbctle, mis laadi asjana lahutatud matemaatilist objekti m\xc3\xb5eldakse. Bostock arvab, et k\xc3\xbcllap oma lahutatud maailmas intelligiiblina. T\xc3\xb5en\xc3\xa4oliselt m\xc3\xb6\xc3\xb6nab Aristoteles, et tajutavad objektid pole geomeetriliste omaduste t\xc3\xa4iuslikud n\xc3\xa4ited, ja k\xc3\xbcllap siis vaimne lahutatus silub ebat\xc3\xa4iuslikkuse. (Bostock arvab, et lahutatud kujundit m\xc3\xb5eldakse ka intelligiiblist mateeriast koosnevana (1036a1\xe2\x80\x9312, 1036b32\xe2\x80\x931037a5; 1045a33\xe2\x80\x9336). Sellep\xc3\xa4rast saab m\xc3\xb5elda mitmest t\xc3\xa4iesti \xc3\xbchesugusest kujundist: iga\xc3\xbchel on erinev intellektuaalne mateeria.) Aristoteles m\xc3\xb5tleb peamiselt geomeetria peale, kuid eeldab ilmselt, et midagi sarnast kehtib ka aritmeetika puhul: matemaatik m\xc3\xb5tleb arve lahutatud entiteetidena, kuigi see on fiktsioon. Ja k\xc3\xbcllap siis ka arve m\xc3\xb5eldakse idealiseeritutena, k\xc3\xbcllap t\xc3\xa4iuslikult v\xc3\xb5rdsetest ja jagamatutest \xc3\xbchikutest koosnevatena. Aristoteles p\xc3\xb5hjendab, miks arvud ei saa sellised olla, ent v\xc3\xb5ib-olla ta m\xc3\xb6\xc3\xb6nab, et matemaatikud v\xc3\xb5tavad neid nii._NEWLINE_Aristoteles \xc3\xbctleb, et matemaatika objektid ei eksisteeri tegelikkuses, vaid v\xc3\xb5imalikkuses ("mateeria moodi", 1078a28\xe2\x80\x9331). N\xc3\xa4htavasti ta peab silmas, et lahus eksisteerivatena m\xc3\xb5eldavad objektid saavad eksisteerida tegelikult, st tegelike f\xc3\xbc\xc3\xbcsiliste objektidena. M\xc3\xb5ned v\xc3\xa4ga keerulised kujundid, n\xc3\xa4iteks korrap\xc3\xa4rane ikosaeeder, tegelikkuses ei eksisteeri, v\xc3\xb5imalikkuses aga k\xc3\xbcll. Sama lugu on v\xc3\xa4ga suurte arvudega. Keerulisemaks teeb asja ka see, et matemaatilisest objektist m\xc3\xb5tlemine teeb selle tegelikuks. Igatahes \xc3\xbctleb Aristoteles 1051 a21\xe2\x80\x9323, et geomeetrid kasutavad t\xc3\xb5estustes uute joonte konstrueerimist ning see on v\xc3\xb5imaliku tegelikuks tegemine. N\xc3\xa4htavasti just m\xc3\xb5ttes konstrueerimine loebki, sest ta \xc3\xbctleb seletuseks, et m\xc3\xb5tlemine on tegelikkus. Ta m\xc3\xb6\xc3\xb6nab, et matemaatilisi objekte on (v\xc3\xb5imalikkuses) palju rohkem kui need, mis on tegelikult olemas ja mida tegelikult m\xc3\xb5eldakse._NEWLINE_Aristotelese j\xc3\xa4rgi uurib matemaatika tavaliste tajutavate objektide teatud omadusi v\xc3\xa4ga \xc3\xbcldiselt, p\xc3\xb6\xc3\xb6ramata t\xc3\xa4helepanu nende mittematemaatilistele omadustele. Seet\xc3\xb5ttu on mugav fiktsioon eeldada, et ta tegeleb mingite eriliste objektidega, millel on ainult matemaatilised omadused. Ei tee kahju kujutleda, et need on olemas, ning ka v\xc3\xa4lja siluda f\xc3\xbc\xc3\xbcsiliste objektide geomeetrilised ebakorrap\xc3\xa4rad ning lisada geomeetrilisi ja aritmeetilisi omadusi, mida f\xc3\xbc\xc3\xbcsilistel objektidel ei pruugi olla. Asi on selles, et nendel objektidel on v\xc3\xa4hemalt v\xc3\xb5imalik (potentsiaalne) olemasolu. Matemaatika aluseks j\xc3\xa4\xc3\xa4vad ikkagi f\xc3\xbc\xc3\xbcsilised kehad, millest arusaamine peab algama. Mitu k\xc3\xbcsimust j\xc3\xa4\xc3\xa4b siin vastamata ning v\xc3\xb5ib ainult oletada, mida Aristoteles vastaks. N\xc3\xa4iteks arvab Bostock, et "7 + 5 = 12" ei k\xc3\xa4i Aristotelesel "arvude eneste" kohta, vaid \xc3\xbcldistab selliseid asju: kui \xc3\xbchel karjamaal on 7 lehma ja teisel 5, siis m\xc3\xb5lemal karjamaal kokku on neid 12. Bostock arvab, et Aristotelese j\xc3\xa4rgi saadakse teada, et _NEWLINE_7 + 5 = 12, lehmade loendamise jms abil. Aristoteles ei vasta Platoni v\xc3\xa4itele, et teadmine peab olema aprioorne, vaid piirdub \xc3\xbcldiste \xc3\xbctlustega. "Teise anal\xc3\xbc\xc3\xbctika viimases peat\xc3\xbckis (II.19) ta v\xc3\xa4idab, et igasugune teadmine p\xc3\xa4rineb kogemusest. Tajutakse \xc3\xbcksikuid asju (partikulaar), kuid m\xc3\xa4lu v\xc3\xb5imaldab mitut \xc3\xbcksikut juhtumit meeles hoida, ja see annab arusaamise universaalidest. Niiviisi haaratakse induktsiooni teel mis tahes teaduse algprintsiibid. "Metaf\xc3\xbc\xc3\xbcsika" I raamatu I peat\xc3\xbckist (981 a1\xe2\x80\x933, b20\xe2\x80\x9325) selgub, et see k\xc3\xa4ib ka matemaatika kohta. Aristoteles ei seleta, kuidas me aru saame, et need algprintsiibid on paratamatud t\xc3\xb5ed. Mujal \xc3\xbctleb Aristoteles, et algprintsiipide leidmiseks kasutatakse ka "dialektikat", kuid \xc3\xbcksikasjad ei selgu. Igatahes on matemaatika teadmine (nagu igasugune teadmine) Aristotelese j\xc3\xa4rgi empiiriline. (Kas ka loogika teadmine on empiiriline?)    _NEWLINE_Kuidas saab olla, et matemaatikas kasutatakse l\xc3\xb5pmatuse m\xc3\xb5istet? Kuidas see on v\xc3\xb5imalik, kui matemaatika p\xc3\xb5hineb tajul? L\xc3\xb5pmatust ju ei tajuta.\n_START_SECTION_\n8. Probleemid l\xc3\xb5pmatusega\n_START_PARAGRAPH_\nL\xc3\xb5pmatusest r\xc3\xa4\xc3\xa4gib Aristoteles "F\xc3\xbc\xc3\xbcsika" III raamatu 4.\xe2\x80\x938. peat\xc3\xbckis. Ta \xc3\xbctleb, et ei ole ega saa olla l\xc3\xb5pmata suurt keha. Asi on selles, et maailm on l\xc3\xb5plik kera, mis ei saa paisuda ega kokku t\xc3\xb5mbuda, nii et maailma m\xc3\xb5\xc3\xb5tmeid ei saa \xc3\xbcletada. V\xc3\xa4ljaspool maailma ei ole isegi mitte t\xc3\xbchja ruumi. J\xc3\xa4relikult peab ta eitama Eukleidese "Elementide" 2. postulaati, et iga sirgjoont saab m\xc3\xb5lemas suunas pikendada. Siis ta ei saa ka aktsepteerida Eukleidese definitsiooni, et paralleelsed sirgjooned on need, mis ei l\xc3\xb5iku, \xc3\xbcksk\xc3\xb5ik kui kaugele neid pikendatakse. Aga paralleelsust saab ka teisiti defineerida, ja Eukleidese geomeetriat saab rakendada ka l\xc3\xb5plikule ruumile: matemaatikud ei vaja l\xc3\xb5pmatut pikkust ega ka luba l\xc3\xb5plikku pikkust alati pikendada. T\xc3\xb5estamisel saab alati kasutada v\xc3\xa4iksemat sarnast kujundit ning t\xc3\xb5estatu \xc3\xbcle kanda suuremale sarnasele kujundile. Aristoteles nimetab kolm p\xc3\xb5hjendust, miks l\xc3\xb5pmatus peab olemas olema: muidu on ajal algus ja l\xc3\xb5pp, muidu ei ole suurused l\xc3\xb5putult suurusteks jagatavad ja muidu arve ei ole l\xc3\xb5putult (206a9\xe2\x80\x9312). Mingis m\xc3\xb5ttes (kuigi mitte absoluutselt) peab saama \xc3\xb6elda, et need asjad on l\xc3\xb5pmatud. Aristoteles \xc3\xbctleb sageli, et l\xc3\xb5pmatus on alati potentsiaalne (v\xc3\xb5imalik), nii et siis n\xc3\xa4htavasti mitte kunagi aktuaalne (tegelik). Ta ei v\xc3\xa4ljendu p\xc3\xa4ris t\xc3\xa4pselt: \xc3\xb5igupoolest peab ta silmas, et l\xc3\xb5pmatu tervik saab eksisteerida ainult l\xc3\xb5pmatu protsessi tulemusena, aga l\xc3\xb5pmatu protsess ei j\xc3\xb5ua tulemuseni. L\xc3\xb5petamata l\xc3\xb5pmatu protsess saab olla, selle tulemust aga mitte. Enamik protsesse l\xc3\xb5peb, kuigi need on potentsiaalsed l\xc3\xb5pmatud, sest nad saaksid alati j\xc3\xa4tkuda. M\xc3\xb5ned protsessid ei l\xc3\xb5pe kunagi (n\xc3\xa4iteks p\xc3\xa4eva j\xc3\xa4rgnemine p\xc3\xa4evale), ja need on tegelikult l\xc3\xb5pmatud protsessid. Aristoteles rakendab seda seisukohta l\xc3\xb5pliku joone l\xc3\xb5putule osadeks jagatavusele. Osasid, milleks joont jagatakse, ja punkte, mis neid jagavad, ei ole tegelikult olemas enne tegelikku jagamist. T\xc3\xb5epoolest, kui need oleksid olemas, siis tuleks l\xc3\xb5pliku vahemaa l\xc3\xa4bimiseks l\xc3\xa4bi teha l\xc3\xb5putu jada v\xc3\xa4iksemaid liikumisi (iga\xc3\xbcks eelmisest poole v\xc3\xa4iksem), mis on Aristotelese meelest v\xc3\xb5imatu. Kui lihtsalt pidevalt liikuda teatud vahemaa, siis ei tehta tegelikuks (aktuaalseks) \xc3\xbchtki punkti sellel. Selleks tuleks m\xc3\xb5nes punktis peatuda, m\xc3\xa4rk maha panna v\xc3\xb5i l\xc3\xa4bitavat punkti loendada. Bostock arvab, et selleks et punkti tegelikuks teha, tuleb Aristotelese j\xc3\xa4rgi teha midagi, mis selle \xc3\xbcmbritsevatest punktidest v\xc3\xa4lja eraldab, ja l\xc3\xb5pliku ajaga pole v\xc3\xb5imalik teha l\xc3\xb5pmata palju selliseid tegusid (seda viimast Bostock ("Aristotle, Zeno, and the Potential Infinite") eitab.). J\xc3\xa4relikult ei sisalda l\xc3\xb5plik joon kunagi l\xc3\xb5pmata palju tegelikke punkte, kuigi ta on potentsiaalselt l\xc3\xb5putult jagatav. Kreeka geomeetrias olid punktid, sirged, tasandid ja kehad k\xc3\xb5ik fundamentaalsed. K\xc3\xb5ige fundamentaalsem oli keha (sest tasand on keha piir, sirge tasandi piir ja punkt sirge piir), k\xc3\xb5ige v\xc3\xa4hem fundamentaalne punkt, ning sirgete jne konstrueerimiseks pole tarvis l\xc3\xb5pmata palju punkte. ("F\xc3\xbc\xc3\xbcsika" VI raamatus p\xc3\xbc\xc3\xbcab Aristoteles n\xc3\xa4idata, et paljastest punktidest joont konstrueerida ei saa.) Aga kas siis geomeetria postulaadid ei eelda, et punktid, jooned jne on ka siis, kui need pole v\xc3\xa4lja eraldatud. See pole ilmne, v\xc3\xa4hemalt Eukleides ei n\xc3\xb5ua seda. Jutt on ainult sellest, et n\xc3\xa4iteks \xc3\xbchest punktist teise on v\xc3\xb5imalik t\xc3\xb5mmata sirgl\xc3\xb5ik, mitte ei \xc3\xbctle, et see on juba olemas. Kreeka matemaatika on "konstruktiivne", ta ei eelda, et on olemas kujund, mida ei saa joonlaua ja sirkliga konstrueerida. (Platon (527a\xe2\x80\x93b) aga leiab, et jooni ei pea t\xc3\xb5mbama, et nad olemas oleksid.) Tundub, et Aristotelesel on \xc3\xb5igus eeldada, et konstrueeritud objekti ei ole, enne kui see on kirjeldatud. Siis ei ole kunagi l\xc3\xb5pmata palju kujundeid. _NEWLINE_Aga vaevalt v\xc3\xb5ib kreeka aritmeetikat pidada konstruktiivseks, ja siin on suurem raskus. Arve on l\xc3\xb5pmata palju, sest arvud ei l\xc3\xb5pe m\xc3\xb5ttes otsa (203b22\xe2\x80\x9325); f\xc3\xbc\xc3\xbcsiliselt need Aristotelese j\xc3\xa4rgi l\xc3\xb5pevad siiski otsa, sest maailm on l\xc3\xb5plike m\xc3\xb5\xc3\xb5tmetega ja f\xc3\xbc\xc3\xbcsilisi esemeid ei saa tegelikult l\xc3\xb5pmatuseni jagada. Ka arvude m\xc3\xb5tlemine ei aita, sest l\xc3\xb5pmata palju arve ei j\xc3\xb5ua m\xc3\xb5elda. Platonisti j\xc3\xa4rgi on k\xc3\xb5ik arvud tegelikult olemas lahus tajutavatest asjadest. Aristoteles eeldab, et sel juhul peab olema k\xc3\xb5igi arvude arv, mis on l\xc3\xb5pmatu arv; aga see on v\xc3\xb5imatu, sest 1) muidu saaks l\xc3\xb5pmatuseni loendada (207b7\xe2\x80\x9310) ja 2) iga arv peab olema paaris v\xc3\xb5i paaritu, aga l\xc3\xb5pmatu arv pole kumbki (1083b37\xe2\x80\x931084a4). Aga tundub, et samad vastuv\xc3\xa4ited kehtivad ka Aristotelese arvukontseptsiooni puhul: ka f\xc3\xbc\xc3\xbcsiliste esemete kogumites olemasolevaid arve ei saa olla l\xc3\xb5pmata palju. J\xc3\xa4relikult on arve ainult potentsiaalselt l\xc3\xb5pmata palju. Aga selle j\xc3\xa4reldusega ei saa rahul olla. Naeruv\xc3\xa4\xc3\xa4rne on \xc3\xb6elda, et praegu on nii-ja-niipalju arve. Kas Aristoteles saaks seda kriitikat v\xc3\xa4ltida? Bostock pakub, et saaks, kui ta r\xc3\xa4\xc3\xa4giks siin idealiseerimisest, nagu ta peaks tegema geomeetria puhul: aritmeetika "idealiseerib", eeldades, et igal arvul on reaalselt j\xc3\xa4rgmine arv. Nii ta silub v\xc3\xa4lja meie maailma ebat\xc3\xa4iuslikkuse. V\xc3\xb5ib loota n\xc3\xa4idata, et sellise idealiseeritud teooriata l\xc3\xa4bi ei saa.     _NEWLINE_\xc3\x9cks raskemaid probleeme empiirilise matemaatikateooriaga on see, kuidas seletada l\xc3\xb5pmatust. Ja kui vastust ei ole, kas siis tuleb platonismi juurde tagasi minna?\n_START_SECTION_\nC. Ettevaated\n_START_PARAGRAPH_\nHilisemad platonistid on \xc3\xb6elnud, et matemaatika r\xc3\xa4\xc3\xa4gib platonistlikult t\xc3\xb5lgendatud universaalidest, et omadustest, suhetest, funktsioonidest jne. T\xc3\xa4nap\xc3\xa4eval levinud versiooni j\xc3\xa4rgi r\xc3\xa4\xc3\xa4gib see hulkadest (puhastest hulkadest, mille koosseisu ei mahu tajutavaid hulki. Peale meenutusteooria on ka teisi aprioorse teadmise teooriaid. Platon n\xc3\xa4gi seda raskust, et matemaatilised t\xc3\xb5estused alustavad aksioomidest. Platonistid on v\xc3\xa4ga erinevalt seletanud, kust me teame, et aksioomid on t\xc3\xb5esed. Aristoteles l\xc3\xa4htub sellest, et erilisi objekte pole tarvidust postuleerida, ja \xc3\xbctleb, et seda ei tuleks teha. Et veenvalt n\xc3\xa4idata, et saab l\xc3\xa4bi tavaliste objektidega, tuleb \xc3\xb6elda, kuidas matemaatika propositsioone t\xc3\xb5lgendada propositsioonidena tavaliste objektide kohta, ja seda Aristoteles ette ei v\xc3\xb5ta. Bostock arvab, et ta pidas seda geomeetria puhul ilmseks ning eeldas ilma pikemata, et aritmeetikas on asi sarnane. Hiljem on raskuspunkt nihkunud aritmeetikale. Kuidas Aristotelese raamistikus seletada n\xc3\xa4ilist osutamist arvudele? Esimese k\xc3\xb5nev\xc3\xa4\xc3\xa4rse katse vastata tegi Bertrand Russell, ja see katse n\xc3\xa4itas, et probleem ei ole lihtne. Matemaatika epistemoloogias oli Aristotelese p\xc3\xb5hiidee, et matemaatika meetod p\xc3\xb5him\xc3\xb5tteliselt ei erine loodusteaduse meetodist. Selline teadmine on empiiriline, ja pole selge, mis \xc3\xb5igustab selle nimetamist teaduseks ja kuidas t\xc3\xa4pselt selleni j\xc3\xb5utakse. Siin on kaks k\xc3\xbclge: vaadeldavateks peetavate s\xc3\xbcndmuste vaatlemine ning nende vaatluste seletamiseks ja ennustamiseks teooriate loomine. Aristoteles pole viimase kohta head k\xc3\xa4sitlust andnud ning hiljem on sellele rohkem t\xc3\xa4helepanu p\xc3\xb6\xc3\xb6ratud. Aristotelese empiiriline l\xc3\xa4henemine on seniajani k\xc3\xa4ibel. Nii Platoni ontoloogia ja epistemoloogia omavahel kui ka Aristotelese ontoloogia ja epistemoloogia omavahel k\xc3\xa4ivad h\xc3\xa4sti kokku: kui matemaatika objektid on tavalised, siis on loomulik eeldada; et teadmise allikaks on taju; kui matemaatika objektid on erilised, intelligiiblid, siis on loomulik eeldada, et allikaks on erilist laadi m\xc3\xb5tlemine. Aga need seosed pole v\xc3\xa4ltimatud. N\xc3\xa4iteks Russelli l\xc3\xa4henemini \xc3\xbchitab Aristotelese ontoloogiat Platoni epistemoloogiaga. Russell t\xc3\xb5lgendab matemaatilisi v\xc3\xa4iteid \xc3\xbcldistustena tavaliste objektide kohta, aga ta ei pea neid tavalisteks empiirilisteks \xc3\xbcldistusteks, vaid aprioorseteks loogikat\xc3\xb5dedeks. On ka v\xc3\xb5imalik \xc3\xbchitada v\xc3\xa4idet, et igasugune teadmine on empiiriline, v\xc3\xa4itega, et matemaatika r\xc3\xa4\xc3\xa4gib abstraktsetest objektidest: selliseid objekte eeldavad meie loodusteaduslikud teooriad, ja ilma selle eelduseta ei ole f\xc3\xbc\xc3\xbcsikan\xc3\xa4htuste tavalised seletused v\xc3\xb5imalikud (Willard Van Orman Quine\'i ja Hilary Putnami h\xc3\xa4davajalikkusargument). _NEWLINE_Peale Platoni ja Aristotelese l\xc3\xa4henemise on matemaatikafilosoofias veel idee, et matemaatika objektid on olemas ainult vaimus.\n_START_SECTION_\n1. Keskaeg\n_START_PARAGRAPH_\nP\xc3\xa4rast Aristotelest kuni Ren\xc3\xa9 Descartesini p\xc3\xb6\xc3\xb6rati matemaatika loomusele v\xc3\xa4he t\xc3\xa4helepanu. Matemaatika t\xc3\xb5desid peeti igavesteks, muutumatuteks, paratamatuteks, kuid v\xc3\xa4ga v\xc3\xa4hesed k\xc3\xbcsisid, kust me neid teame ja mis on matemaatika objektide ontoloogiline staatus._NEWLINE_See-eest k\xc3\xbcsiti universaalide ontoloogiline staatuse kohta \xc3\xbcldiselt. Porphyrios k\xc3\xbcsis, kas universaalid on olemas; kui jah, kas v\xc3\xa4ljaspool vaimu v\xc3\xb5i vaimuentiteetidena; kui v\xc3\xa4ljaspool vaimu, kas kehaliste v\xc3\xb5i kehatutena; kas nad on meeltega tajutavates asjades v\xc3\xb5i neist lahus. Realistide j\xc3\xa4rgi on universaalid v\xc3\xa4ljaspool inimese vaimu inimese m\xc3\xb5tlemisest s\xc3\xb5ltumatult. Platon ja Aristoteles olid realistid. Matemaatikafilosoofias olid Gottlob Frege ja Kurt G\xc3\xb6del Platoni t\xc3\xbc\xc3\xbcpi realistid, John Stuart Mill oli Aristotelese t\xc3\xbc\xc3\xbcpi realist. Viimaste hulgas on ka Penelope Maddy raamatus "Realism in Mathematics" ja Philip Kitcher ("Arithmetic for the Millian", The Nature of Mathematical Knowledge). Kontseptualisti j\xc3\xa4rgi on universaalid \xc3\xbcksnes vaimus, vaim loobki neid, v\xc3\xb5ib-olla reaktsioonina tajumustele, v\xc3\xb5ib-olla tajumustest s\xc3\xb5ltumatult. K\xc3\xb5ikide universaalide kontseptualistid tavaliselt n\xc3\xb5ustuvad, et \xc3\xbcldideed on tajumuste tulemus, aga matemaatika puhul seda sagel eitatakse. Uuema aja matemaatikakontseptualistid, n\xc3\xa4iteks intuitsionistid, kalduvad \xc3\xbctlema, et me ise loome arvud, toetumata tajule. Nominalistid \xc3\xbctlevad, et universaale \xc3\xbcldse pole. Keskajal oli sel v\xc3\xa4he pooldajad, viimasel ajal on arvudenominaliste rohkem. "Reduktiivsed nominalistid" \xc3\xbctlevad, et s\xc3\xb5nad, mis n\xc3\xa4iliselt universaalide kohta k\xc3\xa4ivad, on tegelikult kasutusel l\xc3\xbchendina keerulistest v\xc3\xa4ljenditest, mis saavad l\xc3\xa4bi ilma sellise osutamiseta. Bertrand Russell pooldas sellist v\xc3\xa4idet arvude kohta. Teine nominalismi variant on veateooria, mille j\xc3\xa4rgi n\xc3\xa4iliselt universaalile osutavad laused on mittet\xc3\xb5esed, sest selliseid asju ei ole olemas. N\xc3\xa4iteks Hartry Field on sellisel seisukohal arvude puhul. Sel juhul tuleb seletada, miks neid lauseid peetakse t\xc3\xb5esteks ja miks nad on nii kasulikud, kui nad t\xc3\xb5esed ei ole.\n_START_SECTION_\n2. Descartes\n_START_PARAGRAPH_\nRen\xc3\xa9 Descartes otsis kindlust ning alustas m\xc3\xb5ttest, et matemaatikast leiame kindlust. Ta p\xc3\xbc\xc3\xbcdis seda kindlust laiendada teistele valdkondadele. Ta k\xc3\xbcsis, miks just matemaatikas kindluseni j\xc3\xb5utakse. N\xc3\xa4iteks tavalistes uskumustes f\xc3\xbc\xc3\xbcsilise maailma kohta saab m\xc3\xb5istusp\xc3\xa4raselt kahelda, sest meeled m\xc3\xb5nikord petavad. Ei saa t\xc3\xb5estada, et nad alati ei peta, j\xc3\xa4relikult saab kahelda, kas f\xc3\xbc\xc3\xbcsiline maailm \xc3\xbcldse on olemas. _NEWLINE_Kui matemaatikal on kindlus, mida uskumustel f\xc3\xbc\xc3\xbcsilise maailma kohta ei ole, siis matemaatika t\xc3\xb5ed ei saa k\xc3\xa4ia f\xc3\xbc\xc3\xbcsilise maailma kohta, vaid peavad olema t\xc3\xb5ed meie ideede kohta v\xc3\xb5i Jumala vaimu omadus, mis need ideed m\xc3\xa4\xc3\xa4rab. Ideed, millega matemaatika tegeleb, on erinevalt enamikust teistest ideedest eriti selged ja aredad. Sellep\xc3\xa4rast me ei saagi nendes kahelda ning saame lihtsatest matemaatilistest ideedest pika deduktsiooni teel j\xc3\xb5uda keerulisemate m\xc3\xb5teteni, kaotamata algset kindlust. Ta alustas ka teistes valdkondades kindluse otsingut selgetest ja aredatest ideedest, et deduktsiooni teel edasi minna. Descartes pidas selgeid ja aredaid ideid, millel matemaatika p\xc3\xb5hineb, kaasas\xc3\xbcndinuteks. Need ei ole mujalt tulnud ega minu leiutatud, vaid tulenevad minu loomusest, n\xc3\xa4iteks mis on mingi asi, mis on t\xc3\xb5de ja mis on m\xc3\xb5tlemine (kolmas meditatsioon). Loomulik on eeldada, et nende hulgas on ka arusaamine, mis on arv, tasand, sirge, punkt jne. Vastuses Hyperaspidesele \xc3\xbctles Descartes, et lootel on Jumala ja iseenda idee ja k\xc3\xb5ikide enesestm\xc3\xb5istetavate t\xc3\xb5dede ideed samamoodi nagu t\xc3\xa4iskasvanul, kes neile t\xc3\xa4helepanu ei p\xc3\xb6\xc3\xb6ra; need oleks tal ka siis, kui ta kehast vabaneks. (Lapse hing ei pane kaasas\xc3\xbcndinud ideid t\xc3\xa4hele, enne kui ta on piisavalt k\xc3\xbcps, et meelte m\xc3\xb5just mitte v\xc3\xa4lja teha.) Viiendas meditatsioonis \xc3\xbctleb Descartes, et ta leiab endast arvutult ideid asjadest, mida k\xc3\xbcll v\xc3\xa4ljaspool teda ei ole olemas, kuid mis ei ole tema leiutatud, vaid on t\xc3\xb5ese ja muutumatu loomusega, n\xc3\xa4iteks kolmnurga m\xc3\xa4\xc3\xa4ratletud loomus. Jumal on selle temasse pannud. Descartes ei \xc3\xbctle Platoni kombel, et nende ideede allikas on kogemus teises maailmas ja kolmnurgad peavad olemas olema. Matemaatika ei r\xc3\xa4\xc3\xa4gi abstraktsetest objektidest, mis on igasugusest m\xc3\xb5tlemisest ja vaimust s\xc3\xb5ltumatud, vaid vaimuobjektidest, ideedest, mis saavad olla ainut vaimus. Ent m\xc3\xb5lema teooria j\xc3\xa4rgi on need s\xc3\xb5ltumatud tajutavast. Nende teadmine ei s\xc3\xb5ltu tajukogemusest, vaid on t\xc3\xa4iesti aprioorne. M\xc3\xb5lemad alustavad m\xc3\xb5ttest, et matemaatiline teadmine on kindel ja kaheldamatu, suurem osa matemaatilisest teadmisest tuleb t\xc3\xb5estustest ja t\xc3\xb5estused ei ole kaheldavad. M\xc3\xb5lemad taipasid, et t\xc3\xb5estusel peavad olema t\xc3\xb5estamata l\xc3\xa4htekohad; Platon kahtles, kas neid teatakse kindlalt, Descartes oli aga selles veendunud ning esitas selgete ja aredate ideede teooria. See aga j\xc3\xa4tab palju k\xc3\xbcsimusi vastuseta.\n_START_SECTION_\n3. Locke, Berkeley, Hume\n_START_PARAGRAPH_\nKuigi Descartes oli ratsionalist ning John Locke, George Berkeley ja David Hume olid empiristid, olid nad matemaatika loomuse p\xc3\xb5hik\xc3\xbcsimustes \xc3\xbchel meelel: matemaatika k\xc3\xa4ib ideede kohta ja matemaatiline teadmine on aprioorne. Erinevalt Berkeleyst usub Locke, nagu Descarteski, et peale ideede on olemas vaimud ehk vaimsed substantsid ja materiaalsed substantsid; matemaatika ei tegele materiaalsete asjadega, kui just mitte tuletuslikult. Ka Hume\'il on sarnane positsioon. Locke\'i j\xc3\xa4rgi on igasugune teadmine meie ideede koosk\xc3\xb5la v\xc3\xb5i mittekoosk\xc3\xb5la tajumine, ja see k\xc3\xa4ib ka matemaatilise teadmise kohta. Matemaatika t\xc3\xb5ed on \xc3\xbcldised, ja \xc3\xbcldisi t\xc3\xb5desid on Locke\'i j\xc3\xa4rgi v\xc3\xb5imalik teada ainult juhul, kui teadmine oleneb ainult ideede suhtest, mitte sellest, mida saab teada vaatlusest ja katsest; viimaste p\xc3\xb5hjal saab parimal juhul \xc3\xb6elda, et \xc3\xbcldine t\xc3\xb5de on t\xc3\xb5en\xc3\xa4oline (An Essay Concerning Human Understanding IV: III, 28; VI, 6\xe2\x80\x9313). Ka Hume r\xc3\xa4\xc3\xa4gib suuresti samas m\xc3\xb5ttes nagu Locke ideede suhete teadmisest, kuid vastandab seda fakti- ja olemasoluasjade teadmisele, j\xc3\xa4ttes ruum kogemusel p\xc3\xb5hinevale teadmisele. Selles, et matemaatikas on teadmine, on nad \xc3\xbchel meelel, kuid on lahkarvamusel sellest, kuidas matemaatikas k\xc3\xa4sitletavad ideed omandatakse. Empiristide j\xc3\xa4rgi saadakse need kogemusest. Locke\'i "abstraheerimisteooria" j\xc3\xa4rgi saadakse n\xc3\xa4iteks abstraktne inimese idee, v\xc3\xb5rreldes ideid \xc3\xbcksikute inimeste kohta ja j\xc3\xa4ttes alles k\xc3\xb5igile inimestele \xc3\xbchise ning j\xc3\xa4ttes \xc3\xbclej\xc3\xa4\xc3\xa4nu v\xc3\xa4lja (abstraheerimine; John Mackie ("Problems from Locke") j\xc3\xa4rgi t\xc3\xa4hendab v\xc3\xa4ljaj\xc3\xa4tmine valikulist t\xc3\xa4helepanu). Sama k\xc3\xa4ib n\xc3\xa4iteks kolme v\xc3\xb5i kolmnurga abstraktse idee kohta (Essee III: III, 6\xe2\x80\x9310). N\xc3\xa4htavasti ei pidanud Locke abstraktset ideed (enamasti) mingit laadi kujutluseks, vaid teatud tunnuste v\xc3\xa4ljaj\xc3\xa4tmise t\xc3\xb5ttu m\xc3\xa4\xc3\xa4ratletamata ideeks. Berkeley aga pidas ideid kujutlusteks ning \xc3\xbctles, et Locke\'i abstraktsed ideed on v\xc3\xb5imatud. Ka Hume oli siin Berkeleyga \xc3\xbchel n\xc3\xb5ul: on ainult hulk ideid konkreetset laadi kolmnurkadest. Neid hoiab koos assotsiatsioon s\xc3\xb5naga "kolmnurk"; kui seda s\xc3\xb5na kasutatakse, siis tuleb vaimu ainult \xc3\xbcks hulga idee, kuid vaimul on kalduvus manada silme ette teisi ideesid sellest hulgast, kui m\xc3\xb5tte edasiminek seda vajab._NEWLINE_Igatahes omistavad empiristid matemaatika puhul kogemusele olulise osa, mida ratsionalistid eitavad. Empiristi jaoks ei ole aprioorne teadmine kogemusest t\xc3\xa4iesti s\xc3\xb5ltumatu: teadmises on alati ideesid, ja ideed p\xc3\xa4rinevad otseselt v\xc3\xb5i kaudselt kogemusest (Hume\'i j\xc3\xa4rgi on lihtideed kogemusest saadud muljete koopiad, liitideed moodustatakse lihtideede kokkupanemisel). Empiristlik aprioorse teadmise kriteerium on j\xc3\xa4rgmine: kui teadmise formuleerimiseks vajalikud ideed on moodustatud, siis teadmine ei vaja t\xc3\xa4iendavat kogemust. Millised ideede suhted saavad anda aprioorse teadmise? Locke\'i j\xc3\xa4rgi ei anna "t\xc3\xbchised" ehk "s\xc3\xb5nalised" propositsioonid ("inimene on inimene", "hobune on neljajalgne") uut teadmist maailma kohta, aga matemaatikas leidub selliseid ideede suhteid nagu "iga kolmnurga v\xc3\xa4lisnurk on suurem kummastki vastassisenurgast", mis t\xc3\xa4psest liitideest j\xc3\xa4reldub, kuigi ei sisaldu sellest, ning on reaalne t\xc3\xb5de, mis annab \xc3\xb5petlikku reaalset teadmist. Ent ta ei \xc3\xbctle, milles need keerukamad suhted seisnevad ega kuidas neid \xc3\xa4ra tunda. Ka Berkeley ega Hume ei \xc3\xb6elnud selle kohta midagi. Hume teeb asja isegi segasemaks. Sellised propositsioone saab avastada pelga m\xc3\xb5tlemisega, s\xc3\xb5ltumatult maailmas olemasolevast. Kui ka ringi v\xc3\xb5i kolmnurka (ka arvud ja kujundid on ideed) maailmas kunagi ei oleks, j\xc3\xa4\xc3\xa4ksid Eukleidese t\xc3\xb5estatud t\xc3\xb5ed ikkagi kindlaks ja ilmseks. Teised m\xc3\xb5istuse objektid on t\xc3\xb5siasjad, mille t\xc3\xb5esusel ei ole niisuguseid t\xc3\xb5endeid nagu ideede suhetel; nende v\xc3\xa4\xc3\xa4rus ei ole vastuoluline ning on sama h\xc3\xb5lpsasti ja aredalt kujutletav kui t\xc3\xb5esus. Hume samastab v\xc3\xb5imalikkuse, mittevastuolulisuse, aredalt kujutletavuse ja arusaadavuse. Aga neid tuleb eristada. Esiteks, v\xc3\xb5imatu ei pruugi olla vastuoluline (nagu ka Immanuel Kant leidis). Teiseks, v\xc3\xb5imalik ei pruugi olla selgelt kujutletav. Kolmandaks, ka vastuolud on arusaadavad, muidu ei saaks need v\xc3\xa4\xc3\xa4rad olla. Kant teeb nende m\xc3\xb5istete lahkul\xc3\xb6\xc3\xb6misel edusamme, kuigi see tal l\xc3\xb5puni ei \xc3\xb5nnestu.   _NEWLINE_Descartes laiendas geomeetria traditsioonilist valdkonda, v\xc3\xb5ttes sisse ka ajalised m\xc3\xb5isted, nii et ka liikumine j\xc3\xa4i matemaatika valda. Ta pakkus v\xc3\xa4lja liikumisseaduste aprioorse deduktsiooni ainult ruumiliste ja ajaliste m\xc3\xb5istete abil. Ta lootis, et matemaatika neelab endasse ka f\xc3\xbc\xc3\xbcsika ning v\xc3\xb5ib-olla l\xc3\xb5puks ka teised teadused, nii et kogu loodusteadus muutub aprioorseks. Locke\'il oli palju v\xc3\xa4hem optimismi. Ta oli kursis Isaac Newtoni f\xc3\xbc\xc3\xbcsikaga ning teadis h\xc3\xa4sti, et enamik loodusteaduslikust teadmisest ei ole puhtaprioorselt saadav. Ta oli ka \xc3\xbclearu skeptiline selle teadmise laiendamise v\xc3\xb5imalikkuse suhtes, sest ta arvas, et selleks tuleb avastada k\xc3\xb5igi kehade pisikeste koostisosakeste loomus, aga inimesed seda iialgi ei suuda, sest tavataju j\xc3\xa4\xc3\xa4b selleks kaugelt liiga viletsaks. K\xc3\xbcll aga oli ta nagu Descarteski kindel, et t\xc3\xb5eline matemaatika on t\xc3\xb5elise ja kaheldamatu teadmise reaalne allikas. Berkeleyl ja Hume\'il seda kindlust ei olnud. Nendeaegsesse matemaatikasse kuulus Newtoni ja Leibnizi diferentsiaal- ja integraalarvutus, mis r\xc3\xa4\xc3\xa4kis l\xc3\xb5pmata v\xc3\xa4ikestest suurustest, mis ei sarnane millegi tajutavaga. Sellep\xc3\xa4rast nad leidsid, et matemaatika on liiga kaugele l\xc3\xa4inud, nii et ta on n\xc3\xbc\xc3\xbcd v\xc3\xb5imatute vastuolude allikas. Neil oli \xc3\xb5igus, ja Berkeley r\xc3\xbcnnak diferentsiaal- ja integraalarvutusele teoses "The Analyst" sisaldab hulga asjakohaseid vastuv\xc3\xa4iteid. Ka Hume arvas, et matemaatika ei saa l\xc3\xb5pmatusest ilma paradoksideta r\xc3\xa4\xc3\xa4kida. Descartesi keeles \xc3\xb6elduna leidsid nad \xc3\xb5igusega, et sealsed ideed ei ole selged ja aredad ning sellep\xc3\xa4rast ei ole \xc3\xbcheseltm\xc3\xb5istetavaid ideede suhteid, mis moodustaksid teadmise aluse.\n_START_SECTION_\n4. M\xc3\xa4rkus kontseptualismi kohta\n_START_PARAGRAPH_\nEi Descartes, Locke, Berkeley ega Hume ei p\xc3\xb5hjendanud oma kontseptualistlikku v\xc3\xa4idet, et matemaatika r\xc3\xa4\xc3\xa4gib ideedest; n\xc3\xa4htavasti pidasid nad seda vaieldamatuks. Aga selline samastamine on ikkagi imelik: ei ole ju loomulik \xc3\xb6elda n\xc3\xa4iteks, et \xc3\xbcks idee on teise kuupjuur ning kuupi t\xc3\xb5stetuna on ta see teine (v\xc3\xb5i teisega v\xc3\xb5rdne) v\xc3\xb5i et m\xc3\xb5nel ideel on kuus tahku ja 12 serva. Siin v\xc3\xb5ib pareerida, et seda ei tule v\xc3\xb5tta s\xc3\xb5na-s\xc3\xb5nalt._NEWLINE_Esiteks, m\xc3\xb5te, et arv on lihtsalt idee, tuli p\xc3\xa4he esimesena Platonile. Platoni keeles \xc3\xbctleb kontseptualism, et ideed on lihtsalt m\xc3\xb5tted inimeste vaimus. Platon l\xc3\xbckkas selle tagasi argumendiga, et m\xc3\xb5te on alati m\xc3\xb5te millestki ning idee ei ole mitte m\xc3\xb5te, vaid see, mille kohta see m\xc3\xb5te k\xc3\xa4ib (Parmenides, 132b\xe2\x80\x93c). Seda saab p\xc3\xb5hjendada sellesama argumendiga, et kuubi ideel ei ole kuus tahku. Teine p\xc3\xb5hjendus on see, et idee on privaatne, aga see, mille kohta ta k\xc3\xa4ib, tavaliselt ei ole. Minu ja sinu idee ei saa olla sama asi. Ja eri inimeste ideed ei ole p\xc3\xa4ris sarnased. Aga k\xc3\xb5ik m\xc3\xb5tlevad ja r\xc3\xa4\xc3\xa4givad samast asjast.  _NEWLINE_Teiseks, arvu olemasolu ei s\xc3\xb5ltu mingi vaimse entiteedi olemasolust. Seda saab p\xc3\xb5hjendada mitut moodi. Esiteks, oli aeg, mil m\xc3\xb5tlevaid olendeid ei olnud, aga me ei taha \xc3\xb6elda, et millalgi arve ei olnud ja aritmeetilised t\xc3\xb5ed ei olnud t\xc3\xb5esed. Teiseks, mingil hetkel olemasolevaid v\xc3\xb5i teatud ajani olemas olnud ideesid on l\xc3\xb5plik arv, aga arve on ju l\xc3\xb5pmata palju. (Aristotelese jutt, et arve on potentsiaalselt l\xc3\xb5pmatult, ei lohuta.)_NEWLINE_Need on lihtsad ja ilmsed vastuv\xc3\xa4ited, kuid tollal ei pidanud \xc3\xbckski filosoof neid vastamisv\xc3\xa4\xc3\xa4rseks. Kontseptualism pole kadunud, kuigi see tavalise k\xc3\xb5ne- ja m\xc3\xb5tteviisiga h\xc3\xa4sti ei klapi.\n_START_SECTION_\n5. Kant: probleem\n_START_PARAGRAPH_\nImmanuel Kant uskus, et matemaatika t\xc3\xb5ed on \xc3\xbchtaegu aprioorsed ja s\xc3\xbcnteetilised, ja probleemiks oli seletada, kuidas see on v\xc3\xb5imalik. "Puhta m\xc3\xb5istuse kriitika" sissejuhatuses ta selgitab neid m\xc3\xb5isteid ning esitab oma v\xc3\xa4ited, kuid ei seal ega mujal ta neid kuigi palju ei p\xc3\xb5hjenda. Kant defineerib aprioorse teadmise oodatult kui kogemusest s\xc3\xb5ltumatu teadmise, kuid lisab ootamatult, et aprioorsuse tunnused on paratamatusena m\xc3\xb5eldavus ja range \xc3\xbcldisusega m\xc3\xb5eldavus. Kogemus ei saa \xc3\xb6elda, mis peab olema, ega seda, et kas j\xc3\xa4\xc3\xa4b nii, nagu seni on olnud. Kant v\xc3\xa4idab, et need kaks kriteeriumi langevad paratamatult kokku, nii et iga aprioorne t\xc3\xb5de on \xc3\xbcle\xc3\xbcldine t\xc3\xb5de. Nendel kriteeriumidel on see ilmne n\xc3\xb5rkus, et propositsiooni v\xc3\xb5idakse m\xc3\xb5elda paratamatuna ja range \xc3\xbcldisusega, kuigi see pole paratamatu, rangelt \xc3\xbcldine ega isegi mitte t\xc3\xb5ene. M\xc3\xb6\xc3\xb6name, et Kant v\xc3\xb5ib lisada tingimuse, et propositsioon on t\xc3\xb5ene ja see on teada, kuid sellest ei j\xc3\xa4reldu, et erandid pole v\xc3\xb5imalikud, ja isegi kui erandid ei ole v\xc3\xb5imalikud, ei pea nende teadmine sellep\xc3\xa4rast olema kogemusest s\xc3\xb5ltumatu. (Saul Kripke ("Nimetamine ja paratamatus") t\xc3\xb5i mitu n\xc3\xa4idet propositsioonidest, mille puhul me teame aprioorselt, et kui see on t\xc3\xb5ene, siis see on paratamatu, ning teame empiiriliselt, et see on t\xc3\xb5ene, nii et teatakse, et see on paratamatu, ent seda propositsiooni ei teata aprioorselt.)    _NEWLINE_J\xc3\xa4tame praegu need kahtlused ajutiselt k\xc3\xb5rvale ja eeldame, et Kant m\xc3\xb5istab aprioorset teadvust samamoodi nagu teised. Ta v\xc3\xa4idab, et matemaatika propositsioonid on aprioorselt teatavate propositsioonide selged n\xc3\xa4ited. Ta ei p\xc3\xb5hjenda seda, pidades seda n\xc3\xa4htavasti vaieldamatuks. Tahaks siiski, et ta oleks esitanud veenvama argumendi kui see, et paljud peavad neid paratamatuteks ja rangelt \xc3\xbcldisteks. _NEWLINE_Kanti j\xc3\xa4rgi on matemaatilised t\xc3\xb5ed s\xc3\xbcnteetilised. (Teatud m\xc3\xb5ttes oli tema eelk\xc3\xa4ijaks Locke, sest Locke r\xc3\xb5hutas, et matemaatilised t\xc3\xb5ed ei ole "t\xc3\xbchised" ehk "s\xc3\xb5nalised".) Kanti kontseptsioon ei ole hoolikalt esitatud ja seda on sageli kritiseeritud. Kant ei r\xc3\xa4\xc3\xa4gi lihtsalt ideedest, vaid eristab kaemusi (\xc3\xbcksikettekujutused \xc3\xbcksikesemetest) ja m\xc3\xb5isteid (\xc3\xbcldisi m\xc3\xb5isteid esemete liigitamiseks ja kirjeldamiseks). (Need ei ole "vaimupildid".) Nagu Locke \xc3\xbctleb, et \xc3\xbcks idee on teise osa, \xc3\xbctleb Kant, et \xc3\xbcks m\xc3\xb5iste on teise osa. T\xc3\xb5eses otsustuses kujuga "K\xc3\xb5ik A-d on B-d" kas predikaat B sisaldub subjektis A v\xc3\xb5i on v\xc3\xa4ljaspool A-d. Esimesel juhtumil on otsustus anal\xc3\xbc\xc3\xbctiline, teisel juhul s\xc3\xbcnteetiline. (A6 = BlO) N\xc3\xa4iteks "K\xc3\xb5ik kehad on ulatuvad" on anal\xc3\xbc\xc3\xbctiline, "K\xc3\xb5ik kehad on rasked" on s\xc3\xbcnteetiline. (A7 = Bll) Tavaliselt v\xc3\xa4idetakse vastu, et see definitsioon sobib ainult propositsioonide kohta, millel on kuju "K\xc3\xb5ik A-d on B-d". Siiski on selge, miks see definitsioon n\xc3\xa4itab, miks anal\xc3\xbc\xc3\xbctiline t\xc3\xb5de on aprioorne: tarvis on ainult anal\xc3\xbc\xc3\xbcsida m\xc3\xb5isteid, ja see ei s\xc3\xb5ltu kogemusest. S\xc3\xbcnteetilise otsustuse puhul m\xc3\xb5istete vaatlusest ei piisa, sest need ei ole osa ja terviku suhtes. Ent Kanti j\xc3\xa4rgi on m\xc3\xb5ned s\xc3\xbcnteetilised t\xc3\xb5ed aprioorsed, ja matemaatika t\xc3\xb5ed on selged n\xc3\xa4ited (B14). (Nende seas ei ole definitsioonid, ja on veel erandeid (B16, B17).) Kuidas seda seletada? Kant ei p\xc3\xb5hjenda matemaatika t\xc3\xb5dede aprioorsust ja peab n\xc3\xa4htavasti ka nende s\xc3\xbcnteetilisust n\xc3\xa4htavasti \xc3\xbcsna ilmseks (ka Locke\'ile oli see ilmne), kuid siiski p\xc3\xb5hjendab seda n\xc3\xa4idete varal. _NEWLINE_Aritmeetikas on n\xc3\xa4iteks "7 + 5 = 12" (Kant v\xc3\xb5tab seda n\xc3\xa4htavasti \xc3\xbcldjaatava otsustusena). 7 + 5 m\xc3\xb5iste ei sisalda 12 m\xc3\xb5istet (B15). Liitmine tuleb kas v\xc3\xb5i n\xc3\xa4ppude peal \xc3\xa4ra teha. Suuremate arvude puhul on see veel ilmsem (B16). Bostock lisab argumendi, et kumbagi m\xc3\xb5istet saab omada ilma teist m\xc3\xb5istet omamata; v\xc3\xb5idakse osata loendada, tundmata liitmist; v\xc3\xb5idakse tunda liitmist ja v\xc3\xa4ikseid arve, kuid mitte suuri arve. Loomulik on vastu v\xc3\xa4ita, et see n\xc3\xa4ide n\xc3\xa4itab lihtsalt, et Kantil on valed definitsioonid. Millegip\xc3\xa4rast anal\xc3\xbc\xc3\xbcsib Kant ainult subjekti, mitte predikaati. Kui m\xc3\xb5lemat anal\xc3\xbc\xc3\xbcsida, siis v\xc3\xb5ib-olla selgub, et nad peavad kokku langema. V\xc3\xb5tame n\xc3\xa4iteks "2 + 2 = 4". Leibniz (Nouveaux Essais, IV, vii, 10) t\xc3\xb5estab seda nii (Charles Parsons ("Kant\'s Philosophy of Arithmetic") arutab v\xc3\xb5imalust, et Kant teadis seda t\xc3\xb5estust.). Ta defineerib 2 = 1 + l; 3 = 2 + l; 4=3+1 ning saab 2+2=2+1+1=3+1=4 (loogikareeglid on: a = a; kui b = c, siis a + b =a+ c ja b +a= c +a). "2 + 2" ja "4" anal\xc3\xbc\xc3\xbcsitakse samade m\xc3\xb5istete abil ning saadakse samasus. Sellele esitatakse tavaliselt vastuv\xc3\xa4ide, et tuleb lisada sulud ning siis tuleb v\xc3\xa4lja, et eeldatakse, et 2 + 2 = 2 + (1+1) = (2 +1) + 1=3+1, st eeldatakse liitmise assotsiatiivsust. Kas assotsiatiivsust saab ehk t\xc3\xb5estada liitmise definitsiooni p\xc3\xb5hjal? Igatahes on Kanti anal\xc3\xbc\xc3\xbctilisuse definitsioon liiga lihtsustatud, et asja \xc3\xbcle otsustada._NEWLINE_Geomeetrias on n\xc3\xa4iteks: "Sirge joon kahe punkti vahel on l\xc3\xbchim." V\xc3\xb5idakse vastu v\xc3\xa4ita, et see ongi sirge joone definitsioon, kuid Kant \xc3\xbctleb, et tema sirge joone m\xc3\xb5istes pole kvantiteeti, vaid ainult kvaliteet (Bl6). N\xc3\xa4htavasti alustab Kanti m\xc3\xb5iste joone v\xc3\xa4limusest. Tarvis on aga t\xc3\xa4psustusi. Et joonel ei ole paksus, tuleb m\xc3\xb5elda n\xc3\xa4htava joone \xc3\xbchte \xc3\xa4\xc3\xa4rt, kujutleda seda nii, et ta on ka mikroskoobi all selge ja sirge. \xc3\x9ches\xc3\xb5naga, p\xc3\xbc\xc3\xbcame sirgena paistmist idealiseerida. Ent saab vastu v\xc3\xa4ita, et sirgena paistmine ja sirge olemine on t\xc3\xa4iesti erinevad m\xc3\xb5isted (vrd vees murtuna paistvat sirget keppi). Teise oletuse j\xc3\xa4rgi aga eeldab Kant niisugust \xc3\xb5pikudefinitsiooni: sirge joon on joon, mille moodustab punkt, mis liigub alati samas suunas. Siin saab vastu v\xc3\xa4ita, et suuna m\xc3\xb5iste on keerulisem kui sirguse m\xc3\xb5iste. Et Kant oma sirguse m\xc3\xb5istet ei selgita, siis pole selge, mida tema n\xc3\xa4itega peale hakata. Bostock asendab selle v\xc3\xa4hem vaieldava n\xc3\xa4itega: mis tahes kahe punkti vahel on \xc3\xbcks ja ainult \xc3\xbcks l\xc3\xbchim joon. Selle mitteanal\xc3\xbc\xc3\xbctilisus tundub Bostockile ilmne. Kahtlane on aga selle aprioorsus. _NEWLINE_Kantil on \xc3\xb5igus, et m\xc3\xb5ned tavalise geomeetria propositsioonid on mitteanal\xc3\xbc\xc3\xbctilised. Aga t\xc3\xa4nap\xc3\xa4eval neid anal\xc3\xbc\xc3\xbctilisteks ei peeta. Aritmeetika v\xc3\xa4iteid aga peetakse t\xc3\xa4nap\xc3\xa4eval tavaliselt aprioorseteks, kaheldav aga on see, kas nad on mitteanal\xc3\xbc\xc3\xbctilised.\n_START_SECTION_\n6. Kant: lahendus\n_START_PARAGRAPH_\n(Charles Parsons, "The Transcendental Aesthetic", The Cambridge Companion to Kant; Kant\'s Philosophy of Mathematics.) Lahenduse annab Kant kahes osas. Esimene on transtsendentaalne esteetika (A19\xe2\x80\x9349, B33\xe2\x80\x9373). Kant v\xc3\xa4idab, et ruum on v\xc3\xa4lismeele vorm ja aeg on sisemeele vorm. Teine on "Puhta m\xc3\xb5istuse distsipliin selle dogmaatilises rakenduses" (A712\xe2\x80\x93738, B740\xe2\x80\x93766). Kant v\xc3\xa4idab, et matemaatiline m\xc3\xb5tlemine p\xc3\xb5hineb kaemusel. _NEWLINE_V\xc3\xa4lismeel on kogemus, mis esineb tavaliselt siis, kui me arvame, et me tajume. Iseloomulik on see, et me arvame, et tajume endast "v\xc3\xa4ljaspool" olevaid asju. Kant v\xc3\xa4idab, et siis me tajume neid alati ruumilisi omadusi omavatena. Kanti idee on, et asjade ruumiline organiseeritus tuleb meist, mitte asjadest enestest. See tuleb inimloomusest, ja teised olendid tajuvad v\xc3\xb5ib-olla teistmoodi. Ta ei v\xc3\xa4ida, et igasugune v\xc3\xa4liskogemus peab olema ruumiline v\xc3\xb5i isegi sarnane sellega, vaid ainult seda, et inimeste puhul see faktiliselt nii on. See tundub vaieldamatu, kuid vaieldav on see, et ruumivormi surub meie kogemustele peale inimloomus. Kanti j\xc3\xa4rgi k\xc3\xbcll stimuleerivad teadvust mujalt tulevad andmed, kuid n\xc3\xa4htumused tulevad ainult osalt andmete loomusest, osalt aga sellest, kuidas vaim reageerib. N\xc3\xa4htumuste ruumilised omadused p\xc3\xa4rinevad inimeselt, mitte andmete ruumilistelt omadustelt. Kanti p\xc3\xb5hiline argument p\xc3\xb5hineb eeldusel, et geomeetriateadmine on aprioorne. Geomeetria uurib ruumi, seega on meil aprioorne teadmine ruumi loomusest. Kui kogemused oleksid ruumilised lihtsalt sellep\xc3\xa4rast, et andmed on ruumilised, siis peaks teadmine ruumi loomusest olema empiiriline. _NEWLINE_Kas Kanti teooria annab parema seletuse? John Locke ja teised eristasid objektide primaarseid ja sekundaarseid kvaliteete. See, kuidas sekundaarsed kvaliteedid (n\xc3\xa4iteks v\xc3\xa4rvus, heli, l\xc3\xb5hn) n\xc3\xa4htuvad, ei sarnane millegagi esemetes, mis neid p\xc3\xb5hjustaks; primaarsed kvaliteedid (n\xc3\xa4iteks m\xc3\xb5\xc3\xb5tmed, kuju) n\xc3\xa4htuvad sellistena, nagu nad reaalselt on. N\xc3\xa4iteks \xc3\xbcmmargused esemed n\xc3\xa4htuvad \xc3\xbcmmargustena lihtsalt sellep\xc3\xa4rast, et nad on \xc3\xbcmmargused, aga punased esemed n\xc3\xa4htuvad punastena sellep\xc3\xa4rast, kuidas nende pinna aatomid valgust neelavad ja peegeldavad, ja sellel p\xc3\xb5hjusel ei ole mitte mingit arusaadavat seost n\xc3\xa4htumusega, mis on nende tagaj\xc3\xa4rg. Kanti seisukohta v\xc3\xb5ib t\xc3\xb5lgendada v\xc3\xa4itena, et ka esemete n\xc3\xa4htuvad ruumilised omadused on sekundaarsed kvaliteedid: meil ei ole alust oletada, et objekti tunnus, mis paneb ta n\xc3\xa4htuma n\xc3\xa4iteks \xc3\xbcmmargusena, sarnaneks kuidagi selle n\xc3\xa4htumusega. See, kuidas me helisid tajume, v\xc3\xb5imaldab eristada liht- ja liithelisid. Igal lihthelil on kindel k\xc3\xb5rgus ja helik\xc3\xb5rgused paigutuvad \xc3\xbchem\xc3\xb5\xc3\xb5tmelisele skaalale. See vastab helilainete lainepikkuste skaalale, kuid katab ainult osa sellest skaalast. V\xc3\xa4rvusi me tajume aga nii, et ei saa eristada liht- ja liitv\xc3\xa4rvusi. V\xc3\xa4rvitoonid ei moodusta \xc3\xbchem\xc3\xb5\xc3\xb5tmelist skaalat, kuid neid saab kujutada kerapinnal. Sellel v\xc3\xa4rvitoonide korrastusel puudub vaste valguslainete lainepikkuste korrastusena. V\xc3\xa4rvitoonidel ja lainepikkuste kombinatsioonidel on keeruline suhe; paljud erinevad kombinatsioonid n\xc3\xa4htuvad sama toonina. Kant v\xc3\xa4idab, et midagi sarnast kehtib ruumitaju puhul. N\xc3\xa4iteks me tajume ruumi kolmem\xc3\xb5\xc3\xb5tmelisena, kuid see, mis s\xc3\xa4\xc3\xa4rase taju tekitab, ei pruugi olla kolmem\xc3\xb5\xc3\xb5tmeline. Oletame, et see peab paika. Kuna punktid, jooned ja kujud n\xc3\xa4htuvad sellistena osalt meie panuse t\xc3\xb5ttu kogemusse, siis see kogemus ("kaemus") on aprioorne kaemus. Et see kaemus on aprioorne, siis on aprioorsed ka otsustused, mis sellest kaemusest l\xc3\xa4htuvad, ja seda oligi tarvis seletada. \xc3\x9cldine idee on selline: kui m\xc3\xb5ni meie kogemuse tunnus tuleb meist endist, siis see annab aprioorse teadmise selle tunnuse kohta. Tundub aga, et Kant peaks \xc3\xbctlema helide ja v\xc3\xa4rvuste kohta sedasama mis ruumi kohta: see, kuidas me helisid ja v\xc3\xa4rvusi kogeme, tuleb osalt inimloomusest, nii et neid kogemusi peaks pidama aprioorseteks kaemusteks ning nendest peaksid tulenema aprioorsed otsustused. Kuigi Kant "Prolegomenides" (\xc2\xa7 13) seda paralleeli m\xc3\xb6\xc3\xb6nab, eitab ta "Puhta m\xc3\xb5istuse kriitikas" (A28\xe2\x80\x9330, B44\xe2\x80\x9345) relevantset sarnasust sekundaarsete kvaliteetidega: need peavad olema erinevad, sest \xc3\xbche kohta meil on aprioorne teadmine, teise kohta mitte. See on petitio principii, sest see ei seleta, kuidas see erinevus on v\xc3\xb5imalik. A-tr\xc3\xbckis lisab Kant, et v\xc3\xa4rvusi v\xc3\xb5i maitseid tajub ainult \xc3\xbcks meel ning et millegi v\xc3\xa4lisena tajumise tarvilik tingimus ei ole see, et me tajuksime seda v\xc3\xa4rvust v\xc3\xb5i maitset omavana. Tundub, et esimene argument eraldi v\xc3\xb5etuna ei ole relevantne, aga koos teisega on m\xc3\xb5eldud v\xc3\xb5ib-olla seda, et selleks et tajuda asju v\xc3\xa4listena, tuleb neid tajuda ruumilistena, aga pole tarvis tajuda (teisi?) sekundaarseid kvaliteete omavatena. Aga isegi kui see nii oleks, ei seletaks see ikka, kuidas meil on v\xc3\xb5imalik aprioorselt teada ruumilisi omadusi, mida tajutavad objektid alati ilmutavad, ja pealegi on m\xc3\xb5istlik kahelda, kas see on t\xc3\xb5ene. (Peter Frederick Strawson (Individuals, ptk 2) kirjeldab maailma, kus tajutakse ainult helisid, kuid neid tajutakse v\xc3\xa4listena, ja see on vastun\xc3\xa4ide.) B-tr\xc3\xbckis j\xc3\xa4etakse m\xc3\xb5lemad argumendid \xc3\xa4ra, v\xc3\xb5ib-olla Kant sai aru, et need argumendid pole relevantsed. N\xc3\xa4htavasti tal muid argumenti polnud. J\xc3\xa4relikult esimene osa Kanti vastusest pole \xc3\xb5nnestunud._NEWLINE_Kas meil on aprioorset teadmist helide, v\xc3\xa4rvuste v\xc3\xb5i ruumi loomuse kohta? Ei. Seda, et kuuldavatel helik\xc3\xb5rgustel on \xc3\xbchem\xc3\xb5\xc3\xb5tmeline kord, v\xc3\xa4rvitoonidel aga mitte, teame \xc3\xbcksnes kogemusest. Sama kehtib ka kujude ja teiste ruumiliste suhete teadmise kohta. Ilma kogemuseta me ei tea, et need n\xc3\xb5uavad kolme m\xc3\xb5\xc3\xb5det. Tundub, et sama vastuse saame siis, kui rakendame Kanti enda selgitust, et aprioorne teadmine on see, mida m\xc3\xb5eldakse paratamatuna ja rangelt \xc3\xbcldisena. Pole alust uskuda, et k\xc3\xb5ikidel helidel, mida me kunagi kuuleme, peab olema k\xc3\xb5rgus tuttaval skaalal, v\xc3\xb5i et k\xc3\xb5igil v\xc3\xa4rvustel, mida me kunagi n\xc3\xa4eme, peab olema juba tuttav v\xc3\xa4rvitoon. (Osalt sellep\xc3\xa4rast, et me peame v\xc3\xb5imalikuks, et inimloomus v\xc3\xb5ib muutuda, nii et me hakkame n\xc3\xa4iteks n\xc3\xa4gema infrapunaseid v\xc3\xa4rvusi. Ka sellep\xc3\xa4rast, et me peame v\xc3\xb5imalikuks, et see, kuidas me v\xc3\xa4rvusi tajume, s\xc3\xb5ltub osalt ka asjadest enestest (need v\xc3\xb5ivad muutuda).) N\xc3\xa4htavasti kehtib see ka ruumiliste omaduste ja suhete kohta. Loomus v\xc3\xb5ib muutuda, \xc3\xa4rritajad v\xc3\xb5ivad muutuda, v\xc3\xb5ib-olla sellep\xc3\xa4rast, et ruum muutub k\xc3\xb5veramaks. Paistab, et siin aprioorset teadmist ei ole. Ent need kaalutlused n\xc3\xa4itavad ainult, et helide, v\xc3\xa4rvuste ja ruumi tajutavad omadused ei ole tegelikult paratamatud. Aga Kant r\xc3\xa4\xc3\xa4gib sellest, kas neid m\xc3\xb5eldakse paratamatutena. Teistsuguseid helide, v\xc3\xa4rvuste ja ruumi omadusi ei suudeta kujutleda. Bostock arvab, et see ongi Kant v\xc3\xa4ite taga, et meie ruumitunnetus on aprioorne._NEWLINE_Kant r\xc3\xb5hutab matemaatikas rakendatava m\xc3\xb5tlemise vastandlikkust teistes valdkondades, eriti metaf\xc3\xbc\xc3\xbcsikas rakendatava m\xc3\xb5tlemisega. Tema meelest on matemaatilisel m\xc3\xb5tlemisel eelis selle p\xc3\xa4rast, kuidas ta kasutab kaemust. Ruum ja aeg on aprioorsed kaemused, ruumi- ja ajam\xc3\xb5isted konstrueeritakse kaemuses. On v\xc3\xb5imalik tuua mingi m\xc3\xb5iste n\xc3\xa4ide kujutluses v\xc3\xb5i paberil ning p\xc3\xb6\xc3\xb6rata t\xc3\xa4helepanu ainult nendele n\xc3\xa4ite tunnustele, mis selle m\xc3\xb5istega antud on. Peale selle, selleks et t\xc3\xb5estada m\xc3\xb5ni teoreem n\xc3\xa4iteks kolmnurga kohta, konstrueerib ta peale kolmnurga veel jooni. Kanti j\xc3\xa4rgi on tegu l\xc3\xa4binisti kaemusest juhinduvate j\xc3\xa4relduste ahelaga. Kas Kant arvab, et geomeetrilise t\xc3\xb5estuse puhul konstrueeritakse alati lisajooni? On ka t\xc3\xb5estusi, mis seda tehnikat ei rakenda. V\xc3\xb5idakse kasutada kolmnurkade nihutamist. Sageli \xc3\xb6eldakse, et sellise meetodi kasutamine on Eukleidese t\xc3\xb5estuste puudus, sest see ei tule aksioomidest. Aga see on hea n\xc3\xa4ide kaemuses konstrueerimisest. N\xc3\xa4htavasti k\xc3\xb5ik huvitavad geomeetrilised t\xc3\xb5estused n\xc3\xb5uavadki mingit laadi konstrueerimist. Ruumikaemusele tuginedes me n\xc3\xa4eme, et konstruktsioon on alati v\xc3\xb5imalik ja sellel on soovitav tulemus. Seda, et Eukleides toetub kaemusele, peetakse tema aksiomaatika puuduseks. Aga Kant arvas vist, et geomeetria aksiomaatika, mis midagi kujutluse hooleks ei j\xc3\xa4ta, pole v\xc3\xb5imalik. Geomeetria tollast taset arvestades on see m\xc3\xb5istlik m\xc3\xb5te. Alles David Hilbert (1899) andis geomeetria ammendava aksiomaatika. Kanti j\xc3\xa4rgi n\xc3\xb5uab geomeetriline arutlus kujutluses kujundite konstrueerimist, ja t\xc3\xb5estused tuginevad sellele, mis on kujutletav.     _NEWLINE_Kant \xc3\xbctleb, et me saame teada, et 7 + 5 = 12, ainult kujutledes 5 asja ning liites need \xc3\xbckshaaval kujutlusele 7 asjast. See on n\xc3\xa4htavasti kaemuses konstrueerimine. Aga kuidas saada teada, et 700 + 500 = 1200? Siin tuleb kasutada \xc3\xbcldisi liitmise reegleid, kuigi paistab, et Kant nende olemasolu ei tunnista. Ta \xc3\xbctleb, et aritmeetikas ei ole aksioome, n\xc3\xa4htavasti sellep\xc3\xa4rast, et iga v\xc3\xb5rdus tehakse kindlaks eraldi konstruktsiooniga. (Selliseid propositsioone, nagu "kui v\xc3\xb5rdsetele liidetakse v\xc3\xb5rdsed, saadakse v\xc3\xb5rdsed" ta peab anal\xc3\xbc\xc3\xbctilisteks ega pea neid aksioomideks.) Kant vihjab, et aritmeetikal on eriline seos ajaga (A139 = B178). Ta m\xc3\xa4rgib ka, et algebra on tuletuslikult konstruktsioon kaemuses (A717 = B745, A734 = B762). Bostock arvab, et see t\xc3\xa4hendab, et tehted s\xc3\xbcmbolitega on legitiimsed ainult sellep\xc3\xa4rast, et need representeerivad tehteid suurustega, mida p\xc3\xa4ris kaemus saab kontrollida.\n_START_SECTION_\nPeat\xc3\xbckk 3. Reaktsioonid Kantile\n_START_PARAGRAPH_\n"Puhta m\xc3\xb5istuse kriitikast" kuni Williard Van Orman Quine\'i artiklini "Empirismi kaks dogmat" oli \xc3\xbcks matemaatikafilosoofia keskseid k\xc3\xbcsimusi, kas Kantil oli \xc3\xb5igus selles, et matemaatika t\xc3\xb5ed on s\xc3\xbcnteetilised ja aprioorsed. Empiristid tahtsid seda eitada, nii et neil tuli n\xc3\xa4idata kas seda, et need on anal\xc3\xbc\xc3\xbctilised, v\xc3\xb5i seda, et need on aposterioorsed. Esimene oli populaarsem; teise v\xc3\xa4ljapaistev esindaja oli John Stuart Mill. Ta p\xc3\xb6\xc3\xb6ras t\xc3\xa4helepanu ainult geomeetriale ja elementaararitmeetikale. Geomeetria osas oli tal \xc3\xb5igus, aritmeetika osas mitte.\n_START_SECTION_\n1. Mill geomeetriast\n_START_PARAGRAPH_\nMilli p\xc3\xb5hiv\xc3\xa4ide on see, et paratamatus ja eriline kindlus, mis matemaatika t\xc3\xb5dedele omistatakse, on illusioon. Nagu peaaegu k\xc3\xb5ik filosoofid enne Saul Kripke raamatut "Nimetamine ja paratamatus", samastab Mill (System of Logic) paratamatut t\xc3\xb5de ja aprioorset teadmist, seega ta eitab ka matemaatika t\xc3\xb5dede aprioorsust. Mill kasutab peamiselt vastuargumente. Esiteks, geomeetria t\xc3\xb5dede paratamatust on p\xc3\xb5hjendatud sellega, et geomeetria on t\xc3\xa4is idealisatsioone, sellep\xc3\xa4rast r\xc3\xa4\xc3\xa4gib ta ideedest meie vaimus. Mill vastab, et ka vaim ei suuda idealisatsioone ette kujutada. (Tegelikult saab: musta ja valge ala piir on paksuseta.) Geomeetriat saab k\xc3\xa4sitada tavaliste esemete geomeetriliste omaduste uurimisena, isegi kui neid m\xc3\xb5nev\xc3\xb5rra idealiseeritakse; Bostocki meelest on see parem kui eeldada puhtvaimseid objekte. Mill aktsepteerib, et geomeetriateadmine saadakse deduktsiooni teel aksioomidest ja definitsioonidest. Kui eeldused oleksid aprioorsed, siis ka j\xc3\xa4reldused oleksid aprioorsed. Ta aktsepteerib ka, et definitsioone v\xc3\xb5ib v\xc3\xb5tta stipulatsioonidena ning need on seet\xc3\xb5ttu paratamatud ja aprioorsed. Ta on ka valmis m\xc3\xb6\xc3\xb6nma, et m\xc3\xb5ned aksioomideks peetavad v\xc3\xa4ited saab s\xc3\xb5nastada definitsioonidena v\xc3\xb5i asendada definitsioonidega, millest need j\xc3\xa4relduvad. Aga ta r\xc3\xb5hutab, et deduktsioonid tuginevad ka ehtsatele aksioomidele, mis on sisulised v\xc3\xa4ited, mitte varjatud definitsioonid. Tema lemmikn\xc3\xa4ide on: "Kaks sirget ei saa kaks korda l\xc3\xb5ikuda." Selliseid aksioome saab Milli j\xc3\xa4rgi teada ainult kogemuse p\xc3\xb5hjal. Ta m\xc3\xb6\xc3\xb6nab, et asi pole lihtsalt selles, et me pole s\xc3\xa4\xc3\xa4rast l\xc3\xb5ikumist kunagi kogenud, vaid ka selles, et me ei saa seda ette kujutada. Aga viimane pole lisat\xc3\xb5end, sest see, mida saab kujutleda, on piiratud sellega, mida on tajutud, ja kogemus on n\xc3\xa4idanud, et see, mida saab kujutleda, esineb, ja see, mida ei saa kujutleda, ei esine. Ruumilise kujutletavuse seost ruumilise v\xc3\xb5imalikkusega ei saa aprioorselt kindlaks teha. (Kui olukorda, mida kujutab m\xc3\xb5ni Maurits Cornelis Escheri joonistus, on v\xc3\xb5imalik kujutleda, on v\xc3\xb5imalikkuse ja kujutletavuse seosel erandeid). Millegi m\xc3\xb5eldavuse all m\xc3\xb5istab Mill meie v\xc3\xb5imet aru saada, et see v\xc3\xb5ib t\xc3\xb5ene olla. Ta m\xc3\xb6\xc3\xb6nab, et tavaliste geomeetria aksioomide v\xc3\xa4\xc3\xa4rus on m\xc3\xb5eldamatu, kuid v\xc3\xa4idab et sellest ei saa legitiimselt j\xc3\xa4reldada ei seda, et meie teadmine selle kohta ei p\xc3\xb5hine kogemusel, ega seda, et selle v\xc3\xa4\xc3\xa4rus on v\xc3\xb5imatu: ka seda, mida inimene saab m\xc3\xb5elda, piirab see, mida ta on kogenud, see, mille uskumiseni ta on viidud, ja tema loova m\xc3\xb5tlemise n\xc3\xb5rkus. Mill mainib juhtumeid, kus midagi praegu t\xc3\xb5eseks peetavat on kunagi peetud m\xc3\xb5eldamatuks. Aristotelese liikumisseadus \xc3\xbctleb, et selleks et asja liikumine j\xc3\xa4tkuks, tuleb sellele j\xc3\xa4tkuvalt j\xc3\xb5udu rakendada, praegu pole aga lastelgi raske uskuda inertsiseadust. Teine n\xc3\xa4ide on kaugm\xc3\xb5ju, mida Newtoni gravitatsiooniteooria paistab n\xc3\xb5udvat, mida kartesiaanid aga ei suutnud uskuda ja asendasid p\xc3\xb6\xc3\xb6riste teooriat; ja mida Gottfried Wilhelm Leibnizu ei uskunud; ja mida Isaac Newton ise ei uskunud, aga meie lapsed usuvad. Mill toob veel n\xc3\xa4iteks aine j\xc3\xa4\xc3\xa4vuse seaduse, mille v\xc3\xa4\xc3\xa4rus oli kaasaegsetele t\xc3\xb5sistele teadlastele m\xc3\xb5eldamatu, mida aga relatiivsusteooria eitab. Selliseid n\xc3\xa4iteid pakuks ka kvantteooria. Bostock on kindel, et Mill ei teadnud mitteeukleidilistest geomeetriatest. Praegu on \xc3\xbcldtunnustatud, et see, milline geomeetria k\xc3\xa4ib tegeliku ruumi kohta, on empiiriline k\xc3\xbcsimus. T\xc3\xa4nap\xc3\xa4eva f\xc3\xbc\xc3\xbcsikud peavad ruumi k\xc3\xb5veraks, nii et Eukleidese aksioomid ei kehti. Matemaatik \xc3\xbctleb, et see pole tema asi, milline geomeetria tegelikult t\xc3\xb5ene on. Matemaatik v\xc3\xb5ib v\xc3\xa4ita, et pole m\xc3\xb5tet r\xc3\xa4\xc3\xa4kida aksiomaatikate t\xc3\xb5esusest. V\xc3\xb5i ta v\xc3\xb5ib v\xc3\xa4ita, et on m\xc3\xb5tet r\xc3\xa4\xc3\xa4kida k\xc3\xbcll, aga vastamine pole tema, vaid f\xc3\xbc\xc3\xbcsiku p\xc3\xa4devuses.  _NEWLINE_Praegu on \xc3\xbcldtunnustatud, et me saame k\xc3\xb5ik aru, mis on Eukleidese ruum, ja oskame selle raames arutada, n\xc3\xa4iteks \xc3\xb6elda, millised aksioomid selle kohta kehtivad, ning et igap\xc3\xa4evane ruumikogemus n\xc3\xa4itab, et see on ligil\xc3\xa4hedaselt Eukleidese ruum, kuigi see ei n\xc3\xa4ita, kas see on t\xc3\xa4pselt nii. Sellep\xc3\xa4rast tundubki Eukleidese geomeetria nii intuitiivne ja me t\xc3\xb5lgendame oma kogemust automaatselt selle j\xc3\xa4rgi (see on lihtsaim ja tavaelus k\xc3\xb5ige t\xc3\xb5husam). Poleks aga ime, kui f\xc3\xbc\xc3\xbcsikud j\xc3\xb5uaksid j\xc3\xa4reldusele, et ruumi kui terviku geomeetria on teistsugune.\n_START_SECTION_\n2. Mill ja Frege aritmeetikast\n_START_PARAGRAPH_\nEt geomeetria oli deduktiivne teadus, sai Mill keskenduda aksioomidele. Aritmeetika aga polnud veel aksiomatiseeritud, nii et polnud selge, millised propositsioonid on aksioomid. Tundub, et ta arvas, et elementaararitmeetika s\xc3\xb5ltub ainult \xc3\xbcksikute arvude definitsioonidest ning printsiipidest "v\xc3\xb5rdsete summad on v\xc3\xb5rdsed" ja "v\xc3\xb5rdsete vahed on v\xc3\xb5rdsed". (Praegu on selge, et on ka teisi.) Mill v\xc3\xa4idab, et need printsiibid on kogemuse \xc3\xbcldistused f\xc3\xbc\xc3\xbcsilise liitmise ja lahutamise kohta. Ta \xc3\xbctleb ka, et \xc3\xbcksikute arvude definitsioonid on kogemuse \xc3\xbcldistused, ja selles tal m\xc3\xb5ttekaaslasi pole olnud. K\xc3\xb5igepealt l\xc3\xbckkab ta tagasi "nominalismi", mille j\xc3\xa4rgi aritmeetikatehted on puhts\xc3\xb5nalised, keelelised teisendused, n\xc3\xa4iteks "3" asendamine "2 + 1"-ga. \xc3\x95petust, et fakte saab avastada keelelise manipuleerimisega, peab ta terve m\xc3\xb5istuse vastaseks, nii et ainult filosoof saab seda uskuda. Ta peab silmas \xc3\xb5petust, et n\xc3\xa4iteks "3" ja "2 + 1" on sama t\xc3\xa4hendusega. Edasi v\xc3\xa4idab ta, et k\xc3\xb5ik arvud on millegi arvud, pole abstraktseid arve, aga sellep\xc3\xa4rast on need mille tahes arvud. J\xc3\xa4relikult ka propositsoonid \xc3\xbcksikute arvude kohta on tegelikult \xc3\xbcldistused, n\xc3\xa4iteks "2 + 1 = 3" t\xc3\xa4hendab \'Mis tahes kaks ja mis tahes \xc3\xbcks on kokku kolm.\' Aga sellest veel ei j\xc3\xa4reldu, et neid \xc3\xbcldistusi teatakse empiiriliselt. Mill \xc3\xbctleb, et kui v\xc3\xb5tta kolme definitsiooniks "kolm on kaks pluss \xc3\xbcks", siis seda kasutavad arvutused ei s\xc3\xb5ltu mitte definitsioonist, vaid eeldatud teoreemist, et on olemas niisugused objektide kogumid, mis paistavad meeltele kolmena ja mida saab lahutada kaheks ja \xc3\xbcheks. Gottlob Frege ("Aritmeetika alused") naerab v\xc3\xa4lja m\xc3\xb5tte, et kui me ei saaks seda lahutamist teha, siis 2 + 1 ei oleks 3. Ta lisab, et Milli j\xc3\xa4rgi tuleb v\xc3\xa4lja, et pole korrektne r\xc3\xa4\xc3\xa4kida kolmest kellal\xc3\xb6\xc3\xb6gist, kolmest maitsest ja v\xc3\xb5rrandi lahendamise kolmest meetodist. Milli t\xc3\xb5lgendus liitmisele ei ole kaitstav. V\xc3\xb5ib proovida teisi t\xc3\xb5lgendusi, mis ei viita paistmisele vms, kuid lubaks siiski \xc3\xb6elda, et liitmised tehakse kindlaks kogemusega. V\xc3\xb5iks n\xc3\xa4iteks oletada, et "7 + 5 = 12" t\xc3\xa4hendab umbes: \'Kui loendada \xc3\xbcks kogum ja saada summaks 7 ning loendada teine kogum, milles pole esimesega \xc3\xbchiseid elemente, siis kui loendada need kaks kogumit koos, siis tuleb summaks 12.\' See on k\xc3\xbcll empiiriline propositsioon, kuid v\xc3\xa4\xc3\xa4r, sest tuleb lisada tingimus, et loendatakse \xc3\xb5igesti. N\xc3\xbc\xc3\xbcd tekib k\xc3\xbcsimus, kas \xc3\xb5ige loendamise m\xc3\xb5istet tuleb empiiriliselt selgitada. Ei tule. V\xc3\xb5tame n\xc3\xa4iteks "2 + 2 = 4". Predikaatloogikas saab seda v\xc3\xa4ljendada nii, et kui on t\xc3\xa4pselt 2 F-i ja t\xc3\xa4pselt 2 G-d ja \xc3\xbckski indiviid pole F ja G, siis on F-e ja G-sid kokku t\xc3\xa4pselt 4. Selle kindlakstegemiseks pole aga loendamiskogemust tarvis, sest see on predikaatloogika teoreem. Teiste naturaalarvude summadega on sama lugu. Frege \xc3\xbctleb veel, et n\xc3\xa4iteks seda, et 7000 + 5000 = 12 000 on t\xc3\xb5ene, me ei usu mitte sellep\xc3\xa4rast, et oleme palju kordi loendanud ning leidnud, et iga kord tuleb see tulemus. Kuidas empirist saab seda teadmist seletada? On ilmne, et summa ei ole saadud mitte loendades, vaid arvutades: 7000 + 5000 = (7 \xc3\x97 1000) + (5 \xc3\x97 1000) = (7 + 5) \xc3\x97 1000 = 12 \xc3\x97 1000 = 12 000. Esimest ja viimast sammu on m\xc3\xb5istlik v\xc3\xb5tta araabia numbrite definitsioonidest tulenevatena. Kolmas samm tuleb propositsioonist 7 + 5 = 12 koos printsiibiga, et v\xc3\xb5rdsete korrutised v\xc3\xb5rdsetega on v\xc3\xb5rdsed. Teine samm tuleb distributiivsuse printsiibist: (x \xc3\x97 z) + (y \xc3\x97 z) = (x + y) \xc3\x97 z. Aga kuidas me teada saame, et see \xc3\xbcldine printsiip on t\xc3\xb5ene? See k\xc3\xbcsimus k\xc3\xa4ib ka teiste \xc3\xbcldiste printsiipide kohta. Paistab, et selleks et see teadmine oleks Milli vaimus empiiriline, ei ole muud v\xc3\xb5imalust, kui et printsiibid tuleb v\xc3\xa4ikeste arvude peal katseliselt kontrollida ning siis kasutada induktsiooni. Ent sel juhul me poleks nii kindlad, et need printsiibid v\xc3\xa4ga suurte arvude puhul kehtivad. Kokkuv\xc3\xb5tteks, Frege kriitikal on kaks p\xc3\xb5hirubriiki. Esiteks, tehteid ei saa lihtsalt samastada f\xc3\xbc\xc3\xbcsiliste operatsioonidega, sest sellega, et f\xc3\xbc\xc3\xbcsilised operatsioonid ei anna alati sama tulemust, ei saa aritmeetika propositsioone \xc3\xbcmber l\xc3\xbckata, ja viimaseid saab rakendada ka mittef\xc3\xbc\xc3\xbcsilistele operatsioonidele mittef\xc3\xbc\xc3\xbcsiliste objektidega. Aritmeetika lauset ei tohi \xc3\xa4ra segada selle rakendustega. Tavaliselt on empiiriline k\xc3\xbcsimus, kas konkreetne rakendus t\xc3\xb6\xc3\xb6tab, aga aritmeetika ise sellest ei s\xc3\xb5ltu. Teiseks, me oleme kindlad, et aritmeetika seadused k\xc3\xa4ivad ka suurte arvude kohta, aga seda on empiristil raske seletada. Kolmandana lisab Bostock: kuidas empirist seletab uskumust, et arve on l\xc3\xb5pmata palju? Milli teooria j\xc3\xa4rgi tundub see uskumus v\xc3\xa4\xc3\xa4r.        _NEWLINE_Frege leidis, et geomeetria osas oli Kantil \xc3\xb5igus, aga aritmeetika t\xc3\xb5ed on anal\xc3\xbc\xc3\xbctilised. Anal\xc3\xbc\xc3\xbctiliseks t\xc3\xb5eks nimetas Frege t\xc3\xb5de, mis on t\xc3\xb5estatav puhta loogika ning m\xc3\xb5istete definitsioonide p\xc3\xb5hjal. Ta v\xc3\xa4itis, et see definitsioon v\xc3\xa4ljendab Kanti m\xc3\xb5tet selgemalt. _NEWLINE_Frege kriitika Milli empirismi aadressil aritmeetika vallas on otsustav. Tema enda positsioon on esialgselt ligit\xc3\xb5mbav. Kuidas tuleb anal\xc3\xbc\xc3\xbctilisus defineerida, et Kanti v\xc3\xa4ited \xc3\xbcmber l\xc3\xbckata?\n_START_SECTION_\n4. Kokkuv\xc3\xb5tvad m\xc3\xa4rkused\n_START_PARAGRAPH_\nKant tuli m\xc3\xb5ttele, et anal\xc3\xbc\xc3\xbctiliste t\xc3\xb5dede aprioorne teadmine on t\xc3\xa4iesti arusaadav, seletada on aga tarvis s\xc3\xbcnteetiliste t\xc3\xb5dede aprioorset teadmist. Ta ei n\xc3\xa4idanud k\xc3\xb5igile veenvalt, et viimane olemas on. Ta p\xc3\xb6\xc3\xb6ras p\xc3\xb5hit\xc3\xa4helepanu geomeetriale ja eksis selles. Tavalise geomeetria v\xc3\xa4ited ei ole anal\xc3\xbc\xc3\xbctilised ega aprioorsed. Millil oli selles \xc3\xb5igus, \xc3\xbcldtunnustatuks sai see hiljem. Aritmeetika puhul on Kanti v\xc3\xa4ide p\xc3\xbcsima j\xc3\xa4\xc3\xa4nud, kuigi tema argumente ei peeta enam veenvateks. Frege t\xc3\xb5estas \xc3\xbcksikasjalikult, et aritmeetika v\xc3\xa4iteid tuleb pidada anal\xc3\xbc\xc3\xbctilisteks. Ent ta pidas ilmseks, et kui aritmeetika t\xc3\xb5ed on anal\xc3\xbc\xc3\xbctilised, siis nad peavad olema aprioorsed. Ta ei p\xc3\xbc\xc3\xbcdnudki seda p\xc3\xb5hjendada, ja tema anal\xc3\xbc\xc3\xbctilisuse definitsiooni korral tekib kaks raskust. Esiteks, mida pidada anal\xc3\xbc\xc3\xbcsiks ja kuidas kindlaks teha, kas v\xc3\xa4ljapakutud anal\xc3\xbc\xc3\xbcs on \xc3\xb5ige? Teiseks, kuidas seletada loogika teadmist? Matemaatika teadmise saab taandada anal\xc3\xbc\xc3\xbcside teadmisele ja loogika teadmisele, aga see pole veel probleemi lahendus.\n_START_SECTION_\nPeat\xc3\xbckk 4. Matemaatika ja selle alused\n_START_PARAGRAPH_\nBostock p\xc3\xbc\xc3\xbcab n\xc3\xa4idata, et matemaatikal on alused ja ta vajab aluseid, st p\xc3\xb5hiprintsiipe, millel k\xc3\xb5ik \xc3\xbclej\xc3\xa4\xc3\xa4nu p\xc3\xb5hineb.\n_START_SECTION_\n1. Geomeetria\n_START_PARAGRAPH_\nVana-Kreekat loetakse matemaatika h\xc3\xa4lliks, sest seal hakati otsima t\xc3\xb5estusi. T\xc3\xb5estuse n\xc3\xb5uet v\xc3\xb5ib v\xc3\xb5tta kindluse n\xc3\xb5udena v\xc3\xb5i seletuse n\xc3\xb5udena. T\xc3\xa4nap\xc3\xa4eval on t\xc3\xb5en\xc3\xa4oliselt enamiku matemaatikute jaoks valdav esimene, muinaskreeklaste jaoks oli aga Bostocki arvates valdav esimene, v\xc3\xa4hemalt alguses. Muidu oleks imelik, et nad otsisid t\xc3\xb5estust ammu teada asjadele. Ja see l\xc3\xa4heb kokku ka loodusteaduse ja filosoofia algusega, sest need on seotud seletuse otsimisega. T\xc3\xb5estuse n\xc3\xb5ue viib aksioomide otsimisele, sest iga t\xc3\xb5estus n\xc3\xb5uab eeldusi. M\xc3\xb5nikord piirdutakse konsensusega selles, mis ei vaja t\xc3\xb5estust, nagu Vana-Kreeka aritmeetikas. Eukleides taandab "Elementides" arvud joontele, mist\xc3\xb5ttu ta ei esita nende kohta eraldi aksioome. Esimese t\xc3\xb5siseltv\xc3\xb5etava katse naturaalarvude teooria aksiomatiseerida tegi Richard Dedekind ("Was sind und was sollen die Zahlen?"). Sellegipoolest avastati ka varem palju huvitavaid t\xc3\xb5estusi. Geomeetrias aga hakati aluseid otsima ammu enne Eukleidest. Eukleides esitab k\xc3\xb5igepealt hulga definitsioone, millest m\xc3\xb5nesid ta kunagi ei kasuta, ning seej\xc3\xa4rel m\xc3\xb5ned teesid, mida ta nimetab postulaatideks, ning m\xc3\xb5ned teesid, mida ta nimetab \xc3\xbcldisteks arusaamadeks. Viimased on p\xc3\xb5hiliselt samasuse seadused, esimeste seas on m\xc3\xb5ned olemasoluv\xc3\xa4ited ja kaks v\xc3\xa4idet, mis koos moodustavad paralleelide aksioomi. Need on m\xc3\xb5eldud ammendavate alustena, kuigi t\xc3\xa4nap\xc3\xa4eval peetakse neid mitteammendavateks. "Elementide" \xc3\xbclej\xc3\xa4\xc3\xa4nud sisu p\xc3\xb5hineb nendel. Platon, Aristoteles, Galileo Galilei ja Isaac Newton samastasid t\xc3\xb5elist matemaatikat geomeetriaga, sest geomeetrias tuleb k\xc3\xb5ik t\xc3\xb5estada. Eukleides avastaski, et on tarvis paralleelide postulaati v\xc3\xb5i selle ekvivalenti, mis paistis millelegi lihtsamale mitte taanduvat. See postulaat ei tundu nii ilmsena kui teised. Hiljem p\xc3\xbc\xc3\xbcti edutult seda millelegi lihtsamale taandada, ja avastati hoopis mitteeukleidilised geomeetriad. See andis t\xc3\xb5uke formalismile. Alternatiivsete geomeetriate avastamine muutis kahtlaseks eelduse, et Eukleidese geomeetria on universumi ruumi teooria. Matemaatik pidi n\xc3\xbc\xc3\xbcd m\xc3\xb6\xc3\xb6nma, et ta ei saa seda k\xc3\xbcsimust lahendada ning see tuleb j\xc3\xa4tta f\xc3\xbc\xc3\xbcsikule. Oli ebaselge, kas Eukleidese geomeetrial on mudel, mille jaoks ta oli m\xc3\xb5eldud. Ent juba Ren\xc3\xa9 Descartesi ajast oli teada, et tal on mudel, millele polnud m\xc3\xb5eldud, nimelt Descartesi koordinaadid: tasandi iga punkti v\xc3\xb5ib t\xc3\xb5lgendada reaalarvude j\xc3\xa4rjestatud paarina, sirget mingi lineaarv\xc3\xb5rrandi lahendite hulgana jne. Punkti ja sirge m\xc3\xb5iste ei olnud algselt nii m\xc3\xb5eldud, aga matemaatikut see ei h\xc3\xa4irinud, sest uus t\xc3\xb5lgendus osutus geomeetria uurimisel v\xc3\xa4ga kasulikuks. (Sarnased t\xc3\xb5lgendused on olemas ka mitteeukleidiliste geomeetriate jaoks.) See julgustab m\xc3\xb5tet, et pole m\xc3\xb5tet k\xc3\xbcsida, kas geomeetria aksioomid on t\xc3\xb5esed, sest neid t\xc3\xb5lgendatakse mitmeti ning \xc3\xbches t\xc3\xb5lgenduses on need t\xc3\xb5esed, teises v\xc3\xa4\xc3\xa4rad. Siit tuleb m\xc3\xb5te, et matemaatikat huvitab ainult see, mis aksioomidest j\xc3\xa4reldub v\xc3\xb5i ei j\xc3\xa4reldu. See on loomulik reaktsioon mitteeukleidiliste geomeetriate avastamisele. Mitteeukleidilist aritmeetikat pole avastatud. Kas sellel oleks samasugune m\xc3\xb5ju?\n_START_SECTION_\n2. Erinevad arvude liigid\n_START_PARAGRAPH_\nKlassikalises kreeka matemaatikas on ainult naturaalarvud alates 1-st. Me \xc3\xbctleksime, et geomeetrias l\xc3\xa4heb tarvis ka ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Aga kreeka matemaatika ei omista pikkustele arve, vaid r\xc3\xa4\xc3\xa4gib pikkuste proportsioonidest ning v\xc3\xb5rdleb neid naturaalarvude jagatistega. T\xc3\xb5en\xc3\xa4oliselt peeti algul enesestm\xc3\xb5istetavaks, et n\xc3\xa4iteks igale pikkuste proportsioonile vastab naturaalarvude jagatis, kuid siis avastati, et see nii ei ole. N\xc3\xa4iteks ruudu k\xc3\xbclje ja diagonaali proportsioonile \xc3\xbckski naturaalarvude jagatis ei vasta (see on meie m\xc3\xb5istes irratsionaalarv). Nii et tarvis oli \xc3\xbcldist proportsioonide teooriat, selle esitas Eudoxos ning seda kirjeldab Eukleidese "Elementide" V raamat. Keskne idee oli j\xc3\xa4rgmine. Kaht proportsiooni (a:b ja c:d) saab samastada: _NEWLINE_a:b\xc2\xa0:: c:d ehk a suhtub b-sse nagu c d-sse. Iga pikkust (v\xc3\xb5i pindala v\xc3\xb5i muud suurust) saab korrutada naturaalarvuga, nii et n\xc2\xb7a on n korda pikem kui a. Kui n ja m on naturaalarvud ja a:b\xc2\xa0:: c:d, siis n\xe2\x80\xa2a\xc2\xa0:: m\xe2\x80\xa2b parajasti siis, kui n\xe2\x80\xa2c\xc2\xa0:: m\xe2\x80\xa2d ehka:b\xc2\xa0:: m:n parajasti siis, kui c:d\xc2\xa0:: m:n. Kui n\xc3\xbc\xc3\xbcd v\xc3\xb5tta a:b ja c:d reaalarvudeks, siis see definitsioon \xc3\xbctleb, et need on sama arv siis ja ainult siis, kui neil on k\xc3\xb5ik needsamad suhted (suurem, v\xc3\xb5rdne, v\xc3\xa4iksem) ratsionaalarvudega. Teiste s\xc3\xb5nadega, need on sama, kui need teevad ratsionaalarvudesse sama "l\xc3\xb5ike". See on peaaegu sama mis Dedekindi l\xc3\xb5ige. Ainult et kreeka teooria ei n\xc3\xa4ita, et igale l\xc3\xb5ikele vastab reaalarv. Kreeka teooria seletas ka, kuidas proportsioonidega tehteid teha. M\xc3\xb5lema teooriaga sai teha enam-v\xc3\xa4hem samu asju. Kreeklased andsid oma teooriale "aluse", aga meie reaalarvude teooria pidi alust kaua ootama. Hiljem tunnistati \xc3\xbcha rohkem liike asju arvudeks, aga aksiomaatikaid ei p\xc3\xbc\xc3\xbctud rajada. Kreeklased ei andnud naturaalarvude aksiomaatikat ja n\xc3\xa4htavasti ei vajanud seda.    _NEWLINE_Kreeka teooria esimesed laiendused olid null ja negatiivsed t\xc3\xa4isarvud. Need tulid n\xc3\xa4htavasti Indiast araablaste kaudu hiliskeskajal. Null v\xc3\xb5imaldas positsioonis\xc3\xbcsteemi (araabia numbrid). Negatiivsetele arvudele seisti vastu, kuid need osutusid kasulikuks. Varsti defineeriti nendega arvutamise reeglid. Aga neid reegleid t\xc3\xa4pselt dedutseerida ei p\xc3\xbc\xc3\xbctud. _NEWLINE_J\xc3\xa4rgmine t\xc3\xa4htis m\xc3\xb5isteline uuendus oli proportsioonidest arvude tegemine. Juba Kreekas praktikas arve ja proportsioone alati rangelt ei eristatud. Kaasa aitas algebra t\xc3\xa4htsuse kasv. Algebralise v\xc3\xb5rrandi muutujaid v\xc3\xb5eti sageli geomeetriliste suuruste (pikkused, pindalad) kohta k\xc3\xa4ivatena, kuid neid saadi v\xc3\xb5tta ka naturaalarvude v\xc3\xb5i murdude v\xc3\xb5i negatiivsete arvude kohta k\xc3\xa4ivatena. K\xc3\xb5igil neil juhtudel tuleks muutujate v\xc3\xa4\xc3\xa4rtusteks pidada arve, kui kaasa arvata ka reaalarvud, sest see ei takista algebra rakendamist geomeetria probleemidele, vaid julgustab seda, ja see tehnika osutub v\xc3\xa4ga produktiivseks, nagu selgus Descartesi t\xc3\xb6\xc3\xb6dest ja hilisematest rakendustest. Nii et arvu m\xc3\xb5iste haarab siis peale naturaalarvude siis nulli, negatiivseid t\xc3\xa4isarve ning positiivseid ratsionaal- ja reaalarve. Miski ei takista lisamast negatiivseid ratsionaal- ja reaalarve, eriti kui v\xc3\xb5rranditega tegeldakse vanal viisil. Tee on lahti ka n\xc3\xa4iteks imaginaararvudele, eriti kui algebra\xc3\xbclesanded paistavad neid vajavat. Arvu m\xc3\xb5iste laiendamine toimus pikkam\xc3\xb6\xc3\xb6da ja vaidluste saatel. 17. sajandiks oli arvu m\xc3\xb5iste tunduvalt laienenud. Aga keegi ei otsinud sellele laienenud teooriale alust. Paistab, et aluste teemat ignoreeriti t\xc3\xa4ielikult, kuni diferentsiaal- ja integraalarvutus hakkas n\xc3\xa4itama, et aluseid on t\xc3\xb5esti tarvis.\n_START_SECTION_\n3. Diferentsiaal- ja integraalarvutus\n_START_PARAGRAPH_\nDiferentsiaal- ja integraalarvutuse t\xc3\xa4htis eelk\xc3\xa4ija oli geomeetria tehnikate laiendamine ajale (Ren\xc3\xa9 Descartes, Pierre de Fermat). Liikumine oli n\xc3\xbc\xc3\xbcd matemaatika vallas ja seda sai kujutada graafikuna. See joon kujutas funktsiooni ning funktsioonide uurimine muutus aina t\xc3\xa4htsamaks. Algne m\xc3\xb5te oli see, et punktid joonel n\xc3\xa4itavad liikuva eseme asukohta igal hetkel, nii et \xc3\xbchtlast liikumist kujutab sirge, kiirenevat v\xc3\xb5i aeglustuvat liikumist k\xc3\xb5ver. Eseme hetkkiirust igal hetkel kujutab k\xc3\xb5vera t\xc3\xb5us, st k\xc3\xb5vera puutuja t\xc3\xb5us selles punktis. Matemaatikud said esimest korda t\xc3\xb5husalt m\xc3\xb5elda muutumise kiirusest teatud hetkel. Seda tehnikat saab rakendada igasugusele pidevale muutumisele, aga t\xc3\xbc\xc3\xbcpn\xc3\xa4ide on asukoha muutumine ajas. N\xc3\xa4iteks kui on teada, kui kaugele kukkuv ese on mingi aja jooksul j\xc3\xb5udnud, siis saab \xc3\xb6elda, kui kiiresti ese igal hetkel kukkus. Tuleb lihtsalt leida puutuja igas punktis. K\xc3\xb5verate omadused olid matemaatikuid alati huvitanud, aga n\xc3\xbc\xc3\xbcd selgus, et need on olulised f\xc3\xbc\xc3\xbcsika jaoks. Difeentsiaal- ja integraalarvutuse leiutamine oli suuresti motiveeritud rakendustega f\xc3\xbc\xc3\xbcsikas. Need rakendused olid kindlasti t\xc3\xa4htsad Isaac Newtonile ja Gottfried Wilhelm Leibnizile, kes selle leiutasid. Nad said aru, et see meetod annab palju kasulikke tulemusi, kuid ei saanud aru, kuidas see meetod t\xc3\xb6\xc3\xb6tab. Oletame, et funktsiooniga y = f(x) on antud k\xc3\xb5ver, n\xc3\xa4iteks y\xc2\xb2. Me tahame leida puutuja t\xc3\xb5usu muutuja x iga v\xc3\xa4\xc3\xa4rtuse korral. Olgu dx v\xc3\xa4ike lisandus muutuja x v\xc3\xa4\xc3\xa4rtusele, nii et see on n\xc3\xbc\xc3\xbcd x + dx. Olgu dy vastav lisandus muutujale y, nii et y + dy = f (x + dx). Et y = f(x), siis dy= f(x + dx) -f(x). V\xc3\xa4ljendada v\xc3\xb5rrandi parema poole dx-i kordsena: dy = (x + dx)\xc2\xb2 \xe2\x80\x93 x\xc2\xb2 = (x\xc2\xb2 + 2x(dx) + (dx)\xc2\xb2) \xe2\x80\x93 x\xc2\xb2 = dx(2x + dx). Jagades v\xc3\xb5rrandi m\xc3\xb5lemad pooled dx-ga, saame dy/dx = 2x+dx. Et dx v\xc3\xb5ib v\xc3\xb5tta kui tahes v\xc3\xa4ikseks, siis j\xc3\xa4\xc3\xa4b j\xc3\xa4rele dy/dx = 2x. See t\xc3\xa4hendab, et x-i mis tahes v\xc3\xa4\xc3\xa4rtuse korral on puutuja t\xc3\xb5us 2x. Sellel lihtsal juhtumil ja paljudel teistel juhtumitel saab vastust kontrollida vanade meetoditega. Miks see nii on? Arutlus on ju vastuoluline: dx-iga jagamisel eeldasime, et dx ei v\xc3\xb5rdu nulliga (nulliga jagada ei saa), aga l\xc3\xb5pus lugesime selle nulliks. Ja kui dx on 0, siis ka dy on 0, aga dy/dx on 0/0, mis on m\xc3\xb5ttetus. Ometi me saame siin ja teistel vanade meetoditega kontrollitavatel juhtumitel \xc3\xb5ige vastuse. Miks? Vastuse leidmiseni l\xc3\xa4ks peaaegu kakssada aastat. Leibniz lihtsalt soovitas seda meetodit, teadmata, miks see t\xc3\xb6\xc3\xb6tab. Mandri matemaatikud tegid selle abil palju avastusi, saamata aru, mida nad teevad. Newton muretses seletuse puudumise p\xc3\xa4rast, ja inglise matemaatikud j\xc3\xa4tkasd seletuse otsimist. H\xc3\xa4da paistis olevat selles, et s\xc3\xbcmbol dx v\xc3\xa4ljendab nii positiivset suurust kui ka nulli, ja sellep\xc3\xa4rast hakati seda pidama millekski vahepealseks, nimelt l\xc3\xb5pmata v\xc3\xa4ike suurus. Seda peeti nullist suuremaks, kuid igast l\xc3\xb5plikust suurusest v\xc3\xa4iksemaks, ja see tundub arusaamatu. Meetodi arendamine viis l\xc3\xb5pmatute jadadeni, mille puhul osutus oluliseks koonduvus, sest ilma selleta standardsed meetodid ei t\xc3\xb6\xc3\xb6tanud. koonduvuse esimese selge definitsiooni andis Augustin-Louis Cauchy piirv\xc3\xa4\xc3\xa4rtuse m\xc3\xb5iste abil. Ta r\xc3\xb5hutas ka, et see m\xc3\xb5iste on t\xc3\xa4htis nii funktsiooni pidevuse defineerimiseks kui ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse meetodite seletamiseks (dy/dx ei ole mitte l\xc3\xb5pmata v\xc3\xa4ikeste suuruste jagatis, vaid 2x+dx piirv\xc3\xa4\xc3\xa4rtus, kui dx l\xc3\xa4heneb nullile). Cauchyl ei tulnud asi siiski h\xc3\xa4sti v\xc3\xa4lja, sest ta arvas, et l\xc3\xb5pmata v\xc3\xa4ikeste suuruste kasutamine on n\xc3\xbc\xc3\xbcd p\xc3\xb5hjendatud, aga see viis teda m\xc3\xb5nikord eksiteele. Alles Karl Weierstrass tegi asja t\xc3\xa4iesti selgeks ja pagendas l\xc3\xb5pmata v\xc3\xa4ikesed suurused._NEWLINE_L\xc3\xb5pmata v\xc3\xa4ikese suuruse m\xc3\xb5iste ulatub tagasi Archimedeseni, kes kasutas seda heuristilise vahendina, mida tuleb traditsiooniliste meetoditega kontrollida. Ka Newton lootis sellisele seletusele (see osutus asjatuks lootuseks). Meetodit kasutati veel kakssada aastat, teadmata, miks see t\xc3\xb6\xc3\xb6tab. L\xc3\xb5puks leiti, et on reaalseid probleeme, mida ei saa lahendata ilma alusteta.\n_START_SECTION_\n6 J\xc3\xa4lle alused\n_START_PARAGRAPH_\nGeorg Cantor kasutas oma avaldatud t\xc3\xb6\xc3\xb6des hulga m\xc3\xb5istet ebakriitiliselt. Varsti selgus, et see viib probleemideni. _NEWLINE_Esimene oli Burali-Forti paradoks (1897). Et seal on keerulisi eeldusi ordinaalarvude ja t\xc3\xa4ielikult j\xc3\xa4rjestatud jadade kohta, siis arvati algul, et piisab sellest, kui eeldusi pisut revideerida. K\xc3\xb5igi ordinaalarvude jada on ise t\xc3\xa4ielikult j\xc3\xa4rjestatud jada. Aga igal t\xc3\xa4ielikult j\xc3\xa4rjestatud jadal on ordinaalarv, nimelt see, mis tuleb neid ordinaalarve, mis nummerdavad jada elemente. Praegusel juhul need nummerdavad ordinaalarvud on need ordinaalarvud ise. J\xc3\xa4relikult kogu jada ordinaalarv on k\xc3\xb5igist ordinaalarvudest suure ordinaalarv. See on vastuolu._NEWLINE_Varsti ilmusid teised ja lihtsamad paradoksid, mis puudutasid ka juba hulga m\xc3\xb5istet ennast. \xc3\x9cks v\xc3\xa4ga lihtne on niisugune. Vaatleme k\xc3\xb5igi asjade hulka. Siis peavad selle elementide seas olema ka selle alamhulgad, aga Cantor t\xc3\xb5estas, et hulgal on rohkem alamhulki kui elemente. See on vastuolu._NEWLINE_Selle \xc3\xbcle m\xc3\xb5eldes j\xc3\xb5udis Bertrand Russell veel lihtsama paradoksini (Russelli paradoks). Universaalhulk (kui see olemas on) peaks olema iseenda element, ja see idee tekitab juba paradoksi. Vaatleme k\xc3\xb5igi niisuguste hulkade hulka, mis ei ole iseenda elemendid (on "normaalsed"). See peaks olema hulk, mis on iseenda element parajasti siis, kui ta ei ole iseenda element. See on vastuolu, millel pole mingit pistmist l\xc3\xb5pmatute arvude olemasoluga. See n\xc3\xa4itab, et tuleb uurida hulga m\xc3\xb5istet ennast v\xc3\xb5i p\xc3\xbc\xc3\xbcda ilma selleta l\xc3\xa4bi saada. _NEWLINE_Cantori teooria ilmselt eeldab hulkade alusteooriat, mida keegi polnud p\xc3\xbc\xc3\xbcdnud formuleerida. Ka arvude alusteooriad eeldavad hulgateooriat. 1900. aasta paiku oli ilmne, et sellist teooriat on tarvis, j\xc3\xa4lle on tarvis "aluseid". Kogu j\xc3\xa4rgnev matemaatikafilosoofia on sellest probleemist h\xc3\xa4sti teadlik, ja osalt sellep\xc3\xa4rast hakkavad teooriad \xc3\xbcha enam loogikale toetuma.\n_START_SECTION_\nPeat\xc3\xbckk 5. Logitsism\n_START_PARAGRAPH_\nRichard Dedekind nimetas aritmeetikat (algebrat, anal\xc3\xbc\xc3\xbcsi) loogika osaks, et ta pidas arvu m\xc3\xb5istet t\xc3\xa4iesti s\xc3\xb5ltumatuks ruumi- ja ajakaemusest. Selles m\xc3\xb5ttes v\xc3\xb5ib teda nimetada logitsistiks. Et ta iseloomustas naturaalarvude jadade struktuuri, v\xc3\xb5ib teda nimetada strukturalistiks. Ta v\xc3\xa4itis, et arvud on inimvaimu vaba looming, mis on saadud abstraheerimisel; see on kontseptualistlik m\xc3\xb5te. _NEWLINE_Logitsism v\xc3\xa4idab, et matemaatika on laias laastus Gottlob Frege m\xc3\xb5ttes anal\xc3\xbc\xc3\xbctiline, st on ainult loogika ja definitsioonide asi. Frege ei pidanud seda t\xc3\xb5eseks kogu matemaatika kohta, vaid pidas geomeetriat ruumi teooriaks ning ruumikaemusele tuginevaks. K\xc3\xbcll aga v\xc3\xa4itis ta seda elementaarariteetika kohta. Hilisemad logitsistid v\xc3\xa4itsid, et kogu matemaatika on loogika, sest nad ei pidanud matemaatika asjaks, milline geomeetria k\xc3\xa4ib tegeliku ruumi kohta. Praktikas r\xc3\xa4\xc3\xa4kisid nad ainult elementaargeomeetriast. Nad lootsid, et saavad kaasata ka v\xc3\xa4hemalt osa Georg Cantori l\xc3\xb5pmatute arvude teooriast.\n_START_SECTION_\n1. Frege\n_START_PARAGRAPH_\nGottlob Frege esimene ja Bostocki arvates suurim panus matemaatikafilosoofiasse on moodsa loogika leiutamine. Ta esitas selle "M\xc3\xb5istekirjas" (1879). Osalt kohmaka kahem\xc3\xb5\xc3\xb5tmelise notatsiooni t\xc3\xb5ttu ei p\xc3\xb6\xc3\xb6ratud sellele algul v\xc3\xa4\xc3\xa4rilist t\xc3\xa4helepanu. Paljud selle p\xc3\xb5hiideed taasavastasid s\xc3\xb5ltumatult peagi Giuseppe Peano ja Bertrand Russell. Varsti tunnustas ja soovitas Russell Frege t\xc3\xb6\xc3\xb6d ning see sai \xc3\xbcldtuntuks. _NEWLINE_Loogika jaguneb Fregel viieks osaks: 1) t\xc3\xb5ev\xc3\xa4\xc3\xa4rtusfunktorite (eitus, konjunktsioon, disjunktsioon, materiaalne implikatsioon) loogika (lauseloogika), 2) esimest j\xc3\xa4rku kvantorite (\xc3\xbcldisuskvantor, olemasolukvantor) loogika (esimest j\xc3\xa4rku predikaatloogika), 3) v\xc3\xb5rdusm\xc3\xa4rgi loogika, 4) teist j\xc3\xa4rku kvantorite loogika (teist j\xc3\xa4rku predikaatloogika), 5) \xc3\xbcks katastroofiline eeldus hulkade kohta. Otsustav on kehtivuse m\xc3\xb5iste. Valem on kehtiv, kui ta on t\xc3\xb5ene k\xc3\xb5igis (lubatud) interpretatsioonides. Sekvents (loogika)|is on vasakul \xc3\xbcks v\xc3\xb5i mitu v\xc3\xb5i mitte \xc3\xbchtegi valemit ja paremal \xc3\xbcks v\xc3\xb5i mitte \xc3\xbchtegi valemit. Sekvents on kehtiv, kui ta s\xc3\xa4ilitab t\xc3\xb5esuse k\xc3\xb5igis (lubatud) interpretatsioonides, st kui ei ole (lubatud) interpretatsiooni, milles k\xc3\xb5ik valemid vasakul on t\xc3\xb5esed ja valem paremal on v\xc3\xa4\xc3\xa4r. Interpretatsioonina me lubame \xc3\xbcksk\xc3\xb5ik millist lauset\xc3\xa4htedele t\xc3\xb5ev\xc3\xa4\xc3\xa4rtuste omistamise viisi, mida kasutatakse t\xc3\xb5ev\xc3\xa4\xc3\xa4rtusfunktorite loogikas, t\xc3\xb5ev\xc3\xa4\xc3\xa4rtusfunktsioonid aga peavad j\xc3\xa4rgima oma t\xc3\xb5ev\xc3\xa4\xc3\xa4rtustabeleid. Seal, kus on m\xc3\xa4ngus subjektit\xc3\xa4hed, predikaadit\xc3\xa4hed ja kvantorid, v\xc3\xb5ib valida mis tahes objektide universumi (tavaliselt see ei tohi k\xc3\xbcll t\xc3\xbchi olla) ning iga subjektit\xc3\xa4hte interpreteeritakse m\xc3\xb5nd universumi elementi t\xc3\xa4histavana ning iga predikaadit\xc3\xa4hte m\xc3\xb5nede universumi elementide v\xc3\xb5i nende ennikute korral t\xc3\xb5esena, teiste korral v\xc3\xa4\xc3\xa4rana. Kvantoreid tuleb interpreteerida etteantud viisil ning v\xc3\xb5rdusm\xc3\xa4rki v\xc3\xb5rdumisena. Teist j\xc3\xa4rku kvantoreid interpreteeritakse analoogselt esimest j\xc3\xa4rku kvantoritega. Kehtivuse definitsioon j\xc3\xa4\xc3\xa4b alati samaks: interpreteeritakse k\xc3\xb5igis lubatud interpretatsioonides t\xc3\xb5eseks v\xc3\xb5i t\xc3\xb5esust s\xc3\xa4ilitavaks. Edas tuleb otsida t\xc3\xb5esusreegleid. Need peavad olema koosk\xc3\xb5lalised (k\xc3\xb5ik t\xc3\xb5estatav on kehtiv) ja v\xc3\xb5imaluse korral t\xc3\xa4ielikud (k\xc3\xb5ik kehtiv on t\xc3\xb5estatav). Frege andis t\xc3\xb5estusreeglid k\xc3\xb5igi eelnimetatud loogika osade kohta. K\xc3\xb5ik olid koosk\xc3\xb5lalised, t\xc3\xa4ielikkus ei ole teist j\xc3\xa4rku predikaatide korral v\xc3\xb5imalik. Frege ise esitas oma loogikat pisut teisiti. Ta ei defineerinud kehtivust ega m\xc3\xb5istnud selle all t\xc3\xb5esust k\xc3\xb5igis interpretatsioonides k\xc3\xb5igis universumites. Ta eeldas, et universum on alati sama, nimelt k\xc3\xb5igi objektide universum. Ta m\xc3\xb5tles loogikast alati t\xc3\xb5estuse kaudu. Praegu on teada, et teise tasandi teoorias ei pruugi t\xc3\xb5estus ja kehtivus kokku langeda, kuid see ei tulnud Fregele p\xc3\xa4he. (N\xc3\xa4iteks defineeris Frege anal\xc3\xbc\xc3\xbctilist t\xc3\xb5de t\xc3\xb5ena, mis on t\xc3\xb5estatav ainult loogika ja definitsioonide p\xc3\xb5hjal. Ta oleks pidanud \xc3\xbctlema, et see on t\xc3\xb5de, mis on loogika ja definitsioonide p\xc3\xb5hjal kehtiv.) (Frege j\xc3\xa4rgi osutab predikaat m\xc3\xb5istele ja predikaadikvantori juures on tarvis r\xc3\xa4\xc3\xa4kida k\xc3\xb5igist m\xc3\xb5istetest.)_NEWLINE_Frege ei \xc3\xbctle otseselt midagi Richard Dedekindi naturaalarvude teooria aluste kohta. Ta nimetab Dedekindi teost k\xc3\xb5ige p\xc3\xb5hjalikumaks t\xc3\xb6\xc3\xb6ks aritmeetika aluste kohta, mis talle hiljuti teatavaks on saanud. Ta m\xc3\xa4rgib, et Dedekind j\xc3\xb5uab ruttu kaugele peamiselt sellep\xc3\xa4rast, et ta ei formuleeri oma alusloogikat ega esita t\xc3\xb5estusi k\xc3\xb5igis \xc3\xbcksikasjades. Seda tahtis Frege teha. Ta ei \xc3\xbctle midagi Peano postulaatide aluseks oleva Dedekindi "lihtsalt l\xc3\xb5pmatu s\xc3\xbcsteemi" iseloomustuse kohta, tema t\xc3\xb5estuse kohta, et need postulaadid on kategoorilised, ega tema rekursiooniteoreemi kohta, mis lubab funktsioone ja seoseid defineerida rekursiooni abil. Fregel on k\xc3\xb5igist neist teoreemidest oma versioon, kuid see on v\xc3\xa4hetuntud, sest need ilmuvad alles "Aritmeetika p\xc3\xb5hiseaduste" esimese k\xc3\xb6ite l\xc3\xb5pu eel.   _NEWLINE_Mis laadi asi arv on? Aritmeetikas on loomulik k\xc3\xa4sitada arvs\xc3\xb5nu nimedena, kuigi igap\xc3\xa4evakeeles on neil teine funktsioon, need on n\xc3\xa4iteks omaduss\xc3\xb5nad v\xc3\xb5i osa sellistest kvantoritest nagu "on olemas 2". Frege m\xc3\xa4rgib, et lauseid saab alati \xc3\xbcmber s\xc3\xb5nastada nii, et arvs\xc3\xb5na oleks nimis\xc3\xb5na. N\xc3\xa4iteks "Jupiteril on 4 kaaslast" ja "on olemas 4 Jupiteri kaaslast" saab \xc3\xbcmber s\xc3\xb5nastada kujule "Jupiteri kaaslaste arv on 4". See viimane on identsusv\xc3\xa4ide, aga identsust tuleb Frege meelest alati m\xc3\xb5ista objektide vahelise suhtena. Seda, et arvud on objektid, ta millegi muuga ei p\xc3\xb5hjenda, aga see ei ole kuigi veenev: Frege ei k\xc3\xbcsi, kas mitte ei v\xc3\xb5i sama h\xc3\xa4sti \xc3\xbcmber s\xc3\xb5nastada ka teises suunas (objektidest kvantorite osadeks). Frege deduktsioonid on v\xc3\xb5imalikud ainult eeldusel, et arvud on objektid (Michael Dummett, Frege: Philosophy of Mathematics). L\xc3\xbchendame v\xc3\xa4ljendi "niisuguste objektide x arv, et Fx" kujule [Nx:Fx]. See on objekti v\xc3\xa4ljend, ja Frege eeldab, et niisugune arv on alati olemas, \xc3\xbcksk\xc3\xb5ik mis predikaat F-i asemele panna. Nagu Georg Cantorgi, pakub ta selliste objektide identsuskriteeriumiks, et F-ide arv ja G-de arv on sama parajasti siis, kui on F-ide ja G-de vahel on \xc3\xbcks\xc3\xbchene vastavus. Frege teoreemiks nimetatakse sageli v\xc3\xa4idet, et Peano postulaadid saab teise tasandi loogikas neist eeldustest ("Hume\'i printsiibist") tuletada. Selleks on tarvis defineerida 0, j\xc3\xa4rglane ja naturaalarv. Frege defineerib need nii. 0 on niisuguste x-ide arv, et x ei ole iseendaga identne. See, et n on m-i j\xc3\xa4rglane, t\xc3\xa4hendab, et leiduvad niisugused F ja y, et Fy, n on niisuguste x-ide arv, et Fx, ja m on niisuguste x-ide arv, et Fx ja x ei ole identne y-iga. See, et x on naturaalarv, t\xc3\xa4hendab, et iga F-i korral kui F0 ja iga n-i ja m-i korral kui n on m-i j\xc3\xa4rglane, siis kui Fm, siis Fn, siis Fx. Viimane \xc3\xbctleb, et naturaalarvud on need asjad, mille kohta k\xc3\xa4ib matemaatiline induktsioon alates 0-ist j\xc3\xa4rglasesuhte kaudu. Siit v\xc3\xb5ib kergesti saada k\xc3\xb5ik Peano postulaadid, v\xc3\xa4lja arvatud v\xc3\xa4ide, et igal arvul on j\xc3\xa4rglane. Selleks on tarvis keerulisemat argumenti, sest sisuliselt l\xc3\xb5pmatuse aksioom: iga naturaalarv on millegi arv. Frege t\xc3\xb5estab, et iga arv on endast v\xc3\xa4iksemate arvude arv. Frege eeldustel on see matemaatilise induktsiooni printsiibi otsene rakendus. _NEWLINE_Frege tunnistab, et tema eeldused ei \xc3\xbctle, mis objektid arvud on. _NEWLINE_Seda nimetatakse Julius Caesari probleemiks: kas selle teooria j\xc3\xa4rgi v\xc3\xb5ib Julius Caesar olla arv? Talle endale on t\xc3\xa4htsam, et ta ei saa Hume\'i printsiipi ilma \xc3\xb5gustuseta lihtsalt eeldada. Ta tahab ju tuletada aritmeetikat loogikast ja abidefinitsioonidest, ja Hume\'i printsiip ei ole definitsioon ega loogika alusel t\xc3\xb5estatav. Aga edasi tuleb katastroof. Frege eeldab, et on olemas hulgad (mida ta ise nimetab m\xc3\xb5istete ekstensioonideks). Ta eeldab, et hulk on ka ise objekt ning mis tahes tingimuse korral on olemas t\xc3\xa4pselt nende objektide hulk, mis seda tingimust t\xc3\xa4idavad. Ta eeldab ka standardset hulkade identsuskriteeriumi: hulgad on samad parajasti siis, kui nende elemendid on samad, (ekstensionaalsuse aksioom). Neid eeldusi ta v\xc3\xa4ljendab ooma aksioomis V. Ta peab hulga m\xc3\xb5istet v\xc3\xa4ga \xc3\xbcldiseks ja teemaneutraalseks, nii et see v\xc3\xb5ib pretendeerida loogilisusele, ja seda aksioomi \xc3\xbcldtunnustatuks. Peale selle saab ta (m\xc3\xb5nev\xc3\xb5rra kunstlikult) defineerida F-ide arvu sama asjana mis k\xc3\xb5ikide m\xc3\xb5istega F samaarvsete m\xc3\xb5istete ekstensioonideks olevate objektide arv. See definitsioon v\xc3\xb5imaldab tuletada Hume\'i printsiibi ning viib seega Frege projekti n\xc3\xa4iliselt l\xc3\xb5pule.           _NEWLINE_Aga siin oli otsustav viga, sest aksioom, mille Frege hulkade kohta sisse toob, ei ole koosk\xc3\xb5laline ning viib otse vastuolule (nagu Bertrand Russell kirjas temale 1902. aastal m\xc3\xa4rkis (Russelli paradoks)). Frege defineerib elemendiks olemise nii: see, et x on y-i element, t\xc3\xa4hendab, et on olemas niisugune F, et y on predikaadiga F defineeritud hulk ja Fx. Siis on lihtne tuletada hulkade abstraheerimise piiramatu printsiip: iga F-i korral on olemas niisugune y, et iga x korral x on y-i element siis ja ainult siis, kui Fx. V\xc3\xb5tame erijuhu, kus Fx t\xc3\xa4hendab, et x ei ole iseenda element. Saame: on olemas niisugune y, et iga x korral x on y-i element siis ja ainult siis, kui x ei ole iseenda element. Sellest j\xc3\xa4reldub vastuolu: leidub niisugune y, mis on iseenda element siis ja ainult siis, kui ta ei ole iseenda element. _NEWLINE_Siin peab olema midagi v\xc3\xa4ga valet. Kas logitsismi saab p\xc3\xa4\xc3\xa4sta? Frege p\xc3\xbc\xc3\xbcdis seda lisas kiiruga p\xc3\xa4\xc3\xa4sta, muutes oma V aksioomi. _NEWLINE_See muudatus ei ole usutav, ja varsti ta leidis, et see ei v\xc3\xb5imalda t\xc3\xb5estada k\xc3\xb5ike, mida ta tahtis t\xc3\xb5estada. Hiljem n\xc3\xa4idati, et muudetud versioon ei taastagi koosk\xc3\xb5lalisust (Williard Van Orman Quine, "On Frege\'s Way Out").'