b'\n_START_ARTICLE_\nDeterminant\n_START_PARAGRAPH_\nEn determinant er et tal, der karakteriserer en matrix. En determinant kan kort beskrives som "arealet" af den flade som vektorerne(s\xc3\xb8jlerne) udsp\xc3\xa6nder. Her er det vigtigt at holde sig for \xc3\xb8je, at det godt kan v\xc3\xa6re et negativt tal. Der findes flere forskellige m\xc3\xa5der at bestemme determinanter p\xc3\xa5, og flere forskellige nyttige regneregler for determinanter, som er gennemg\xc3\xa5et herunder.\n_START_SECTION_\nBestemmelse af determinanter\n_START_PARAGRAPH_\nDeterminanter er kun definerede for kvadratiske matricer. For en matrix \\underline{\\underline{A}}_{n \\times n} siger man, at determinanten \\det \\underline{\\underline{A}} er af n\'te orden.\n_START_SECTION_\nBeviser\n_START_PARAGRAPH_\nI dette afsnit vil vi bevise nogle af de overst\xc3\xa5ende p\xc3\xa5stande, men vi starter med en simpel definition af determinanter:\n_START_SECTION_\nDefinition\n_START_PARAGRAPH_\nLad A \\in \\mathrm{Mat}_n(\\mathbb{F}). Hvis n = 1 defineres \\det(A) = a_{11}. Hvis n > 1 defineres determinanten rekursivt ved_NEWLINE_\\det(A) = \\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{1i} \\det(A_{1,i})_NEWLINE_hvor A_{i,j} fremkommer af A ved at fjerne i\'te r\xc3\xa6kke og j\'te s\xc3\xb8jle.\n_START_SECTION_\nEns r\xc3\xa6kker\n_START_PARAGRAPH_\nHvis A har to ens r\xc3\xa6kker er \\det(A) = 0._NEWLINE_Dette er nemt at indse. Dan B ved at bytte om p\xc3\xa5 de to ens r\xc3\xa6kke i A, da har vi at \\det(A) = -\\det(B) men A og B er jo ens, s\xc3\xa5 \\det(A) = -\\det(A), dette kan kun lade sig g\xc3\xb8re hvis \\det(A)=0\n_START_SECTION_\nR\xc3\xa6kkeskalering\n_START_PARAGRAPH_\nHvis B er dannet af A, ved at gange i\'te r\xc3\xa6kke igennem med r (ikke 0), da er \\det(B) = r \\det(A)_NEWLINE_Dette kan bevises som f\xc3\xb8lger. Som f\xc3\xb8r kan vi af r\xc3\xa6kkeombytnings-egenskaben og uden tab af generalitet antage at i=1, s\xc3\xa5  \\det(B) = \\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} r a_{1i} = r \\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{1i} = r \\det(A)\n_START_SECTION_\nInvertibilitet\n_START_PARAGRAPH_\nMatricen A er invertibel hvis og kun hvis \\det(A) \\neq 0._NEWLINE_Der findes H i RREF s\xc3\xa5 A \\sim H, denne transformation fremkommer som en f\xc3\xb8lge af r\xc3\xa6kkeoperationer af de foreg\xc3\xa5ende regler ved vi at \\det(A) = r \\det(H) hvor r \\neq 0 men  \\det(A) \\neq 0 \\Leftrightarrow \\det(H) \\neq 0 Men \\det(H) \\neq 0 pr\xc3\xa6cis har H har fuld rang, og H har fuld rang pr\xc3\xa6cis n\xc3\xa5r A er invertibel.\n_START_SECTION_\nDeterminant af produkt\n_START_PARAGRAPH_\nOm matrixprodukter g\xc3\xa6lder at \\det(AB) = \\det(A)\\det(B)._NEWLINE_Her g\xc3\xa6lder f\xc3\xb8lgende bevis. Hvis A er diagonal f\xc3\xb8lger det af r\xc3\xa6kkeskalationsreglen at_NEWLINE_\\det(AB) = a_{11} \\ldots a_{nn} \\det(B)_NEWLINE_Hvis A er singul\xc3\xa6r er AB singul\xc3\xa6r. Af invertabilitetsreglen f\xc3\xb8lger s\xc3\xa5, at de begge har determinant 0, ellers m\xc3\xa5 A v\xc3\xa6re invertibel, og med r\xc3\xa6kkeaditioner og r r\xc3\xa6kke ombytninger kan man danne D fra A s\xc3\xa5 D er diagonal. Af de ovenst\xc3\xa5ende regler ses at_NEWLINE_\\det(A) = (-1)^r \\det(D)_NEWLINE_Lad E v\xc3\xa6re produktet af de tilh\xc3\xb8rende r\xc3\xa6kkeoperationsmatricer s\xc3\xa5 EA = D, men s\xc3\xa5 m\xc3\xa5_NEWLINE_E(AB) = (EA)B = DB_NEWLINE_i kan alts\xc3\xa5 udf\xc3\xb8re de samme r\xc3\xa6kkeoprationer p\xc3\xa5 AB, s\xc3\xa5_NEWLINE_\\det(AB) = (-1)^r \\det(DB) = (-1)^r \\det(D) \\det(B) = \\det(A) \\det(B)\n_START_SECTION_\nDeterminant af invers\n_START_PARAGRAPH_\nHvis A er invertibel vil \\det(A) = \\det(A^{-1})^{-1}_NEWLINE_Med overst\xc3\xa5ende regel er det nemt at se, da I = A^{-1} A s\xc3\xa5 1 = \\det(I) = \\det(A^{-1}) \\det(A)'