b'\n_START_ARTICLE_\nKompleks analyse\n_START_PARAGRAPH_\nKompleks analyse eller kompleks funktionsteori er den gren indenfor matematikken, som unders\xc3\xb8ger funktioner af komplekse tal. Man studerer specielt s\xc3\xa5kaldte holomorfe funktioner, funktioner som er afledede i kompleks betydning. Kompleks differentiabilitet har meget st\xc3\xb8rre konsekvenser end almindelig reel differentiabilitet. Fx er hver holomorf funktion repr\xc3\xa6senterbar som en potensr\xc3\xa6kke i enhver \xc3\xa5ben skive i sin definitionsm\xc3\xa6ngde. Specielt er holomorfe funktioner uendeligt differentierbare, hvilket er langt fra tilf\xc3\xa6ldet for reelle differentierbare funktioner. De fleste element\xc3\xa6re funktioner s\xc3\xa5som polynomier, eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner er holomorfe.\n_START_SECTION_\nVigtige resultater\n_START_PARAGRAPH_\nEt centralt v\xc3\xa6rkt\xc3\xb8j indenfor den komplekse analyse er kurveintegralet. Integralet rundt i en lukket kurve af en funktion, som er holomorf p\xc3\xa5 kurven og omr\xc3\xa5det den favner, er altid nul. Dette er Cauchys integrals\xc3\xa6tning. V\xc3\xa6rdien af en holomorf funktion indeni en skive kan beregnes med et speciel kurveintegrale p\xc3\xa5 skivens rand (Cauchys integralformel)._NEWLINE_Kurveintegraler i det komplekse plan anvendes ofte til at bestemme komplicerede reelle integraler, og her er teorien om residualer brugbar. Om en funktion har en pol eller singularitet ved noget punkt, det vil sige at der ikke eksisterer nogen endelig v\xc3\xa6rdi ved dette punkt, kan man definere funktionens residuale ved denne pol, disse residualer kan anvendes til at beregne kurveintegraler g\xc3\xa6ldende funktionen. Dette er indeholdet af den kraftfulde residuales\xc3\xa6tning. Den bem\xc3\xa6rkelsesv\xc3\xa6rdige opf\xc3\xb8rsel af holomorfe funktioner n\xc3\xa6r singulariteter beskrives af Weierstrass-Casoratis s\xc3\xa6tning. Funktioner som kun har poler, men ingen singulariteter kaldes meromorfe. Laurentr\xc3\xa6kker ligner Taylorr\xc3\xa6kker, men kan anvendes til at unders\xc3\xb8ge funktioners opf\xc3\xb8rsel n\xc3\xa6r singulariteter._NEWLINE_En begr\xc3\xa6nset funktion, som er holomorf i hele det komplekse talplan kan kun v\xc3\xa6re konstant. Dette er Liouvilles s\xc3\xa6tning. Denne s\xc3\xa6tning kan anvendes til at give et naturligt og kort bevis af algebraens fundamentals\xc3\xa6tning, som siger at kroppen af de komplekse tal er algebraisk lukket.\n_START_SECTION_\nHistorie\n_START_PARAGRAPH_\nKompleks analyse er et af de klassiske omr\xc3\xa5der indenfor matematikken med r\xc3\xb8dder i 1800-tallet og i visse henseendener endda tidigere. Vigtige navne er Ahlfors, Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, og mange flere p\xc3\xa5 1900-tallet.'