b'\n_START_ARTICLE_\nCylindrisk koordinatsystem\n_START_PARAGRAPH_\nEt cylindrisk koordinatsystem ogs\xc3\xa5 kaldet et semipol\xc3\xa6rt koordinatsystem, er en type af koordinatsystem indenfor matematikken som udvider id\xc3\xa9en for de todimensionale pol\xc3\xa6re koordinater. Denne type af koordinater er prim\xc3\xa6rt velegnet til at fremstille cylindere i tre dimensioner._NEWLINE_Tilsvarende for de pol\xc3\xa6re koordinater i det todimensionale tilf\xc3\xa6lde, udvides denne type af koordinatsystem som sagt ved at tilf\xc3\xb8je en h\xc3\xb8jde til hver af koordinaterne. Dermed kr\xc3\xa6ver det alts\xc3\xa5 tre parametre for at kunne angive et specifikt punkt. Disse er henholdsvis \xcf\x81, som angiver afstanden fra origo til det p\xc3\xa5g\xc3\xa6ldende punkt. \xcf\x86 som angiver vinklen i forhold til x-aksen i xy-planen. Samt h, som alts\xc3\xa5 angiver den retvinklede afstand fra xy-planen til punktet, op ad z-aksen. Definitionen p\xc3\xa5 punkterne bliver da s\xc3\xa5ledes:_NEWLINE_x = \\rho \\cdot \\cos(\\varphi)_NEWLINE_y = \\rho \\cdot \\sin(\\varphi)_NEWLINE_z = h \\;\n_START_SECTION_\nEksempel\n_START_PARAGRAPH_\nSom allerede n\xc3\xa6vnt har denne type af koordinater sin styrke i fremstillingen af cylindere, som der her vil blive vist et eksempel p\xc3\xa5. Man skal s\xc3\xa5ledes have parametrene til at l\xc3\xb8be mellem nogle definerede gr\xc3\xa6nser, s\xc3\xa5 lad os sige at vi \xc3\xb8nsker en massiv halvcylinder, med radius 2, og h\xc3\xb8jden 4._NEWLINE__NEWLINE_\\left._NEWLINE_\\begin{matrix}_NEWLINE_x = \\rho \\cdot \\cos(\\varphi)\\\\_NEWLINE_y = \\rho \\cdot \\sin(\\varphi)\\\\_NEWLINE_z = h_NEWLINE_\\end{matrix}_NEWLINE_\\right\\} \\quad , \\rho \\in [0,2] \\quad , \\quad \\varphi \\in [0 , \\pi] \\quad , \\quad h \\in [ 0 , 4 ]\n_START_SECTION_\nRetvinklede koordinater til semipol\xc3\xa6re koordinater\n_START_PARAGRAPH_\nLigesom for to dimensioner er det alts\xc3\xa5 muligt at transformere sine kartesiske koordinater til cylindriske koordinater. Dette g\xc3\xb8res p\xc3\xa5 f\xc3\xb8lgende m\xc3\xa5de:_NEWLINE_ \\rho = \\sqrt{x^2 + y^2} _NEWLINE_ \\varphi = \\arctan \\left( \\frac{y}{x} \\right)  _NEWLINE_h = z \\;\n_START_SECTION_\nJacobideterminant\n_START_PARAGRAPH_\nIndenfor de semipol\xc3\xa6re koordinater, kan det lade sig g\xc3\xb8re at bestemme Jacobi-determinanten generelt. Dette g\xc3\xb8res ved at opstille definitionerne p\xc3\xa5 koordinaterne som vi allerede har gjort, og dern\xc3\xa6st opstille det vi kalder Jacobi-matricen. Man kan alts\xc3\xa5 forestille sig at man opstiller definitionerne p\xc3\xa5 koordinaterne i tre s\xc3\xb8jler i en matrix, for derefter at differentiere f\xc3\xb8rste s\xc3\xb8jle med hensyn til \xcf\x81, anden s\xc3\xb8jle med hensyn til \xcf\x86 og tredje s\xc3\xb8jle med hensyn til h. N\xc3\xa5r alt dette er gjort, opst\xc3\xa5r f\xc3\xb8lgende matrix, som alts\xc3\xa5 som sagt kaldes Jacobi-matricen:_NEWLINE_J_F(\\rho,\\varphi,h) =  \\left[ _NEWLINE_ \\begin{matrix} _NEWLINE_  \\cos \\left( \\varphi \\right) &-\\rho\\,\\sin \\left( \\varphi \\right) &0\\\\ _NEWLINE_  \\sin \\left( \\varphi \\right) & \\rho\\,\\cos \\left( \\varphi \\right) &0\\\\_NEWLINE_  0&0&1_NEWLINE_ \\end{matrix}_NEWLINE_\\right] _NEWLINE_Det er alts\xc3\xa5 denne matrix vi tager determinanten af, n\xc3\xa5r vi finder jacobi-determinanten:_NEWLINE_ \\textrm{det} ( J_F(\\rho,\\varphi,h) ) =  \\left| _NEWLINE_ \\begin{matrix} _NEWLINE_  \\cos \\left( \\varphi \\right) &-\\rho\\,\\sin \\left( \\varphi \\right) &0\\\\ _NEWLINE_  \\sin \\left( \\varphi \\right) & \\rho\\,\\cos \\left( \\varphi \\right) &0\\\\_NEWLINE_  0&0&1_NEWLINE_ \\end{matrix}_NEWLINE_\\right|_NEWLINE_= \\cos(\\varphi)^2\\cdot \\rho+\\sin(\\varphi)^2\\cdot \\rho = \\underline{\\underline{\\rho}}_NEWLINE_Jacobi-determinanten for semipol\xc3\xa6re koordinater er alts\xc3\xa5 ganske enkelt \xcf\x81.'