b'\n_START_ARTICLE_\nPrincipia Mathematica\n_START_PARAGRAPH_\nPrincipia Mathematica on kolmiosainen matematiikan perusteita k\xc3\xa4sittelev\xc3\xa4 teos, jonka kirjoittivat Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell ja joka julkaistiin vuosina 1910\xe2\x80\x931913.  Se pyrkii johtamaan kaikki matemaattiset totuudet joukosta hyvin m\xc3\xa4\xc3\xa4riteltyj\xc3\xa4 symbolisen logiikan aksioomia ja p\xc3\xa4\xc3\xa4ttelys\xc3\xa4\xc3\xa4nt\xc3\xb6j\xc3\xa4._NEWLINE_Principia Mathematica sai innoituksensa Gottlob Fregen varhaisemmista logiikan t\xc3\xb6ist\xc3\xa4, jotka johtivat Russellin havaitsemiin paradokseihin (Russellin paradoksi). Principia Mathematica v\xc3\xa4ltti n\xc3\xa4m\xc3\xa4 rakentamalla yksityiskohtaisen tyyppiteorian: joukolla on korkeampi tyyppi kuin sen osilla, eik\xc3\xa4 n\xc3\xa4in voida puhua "kaikkien joukkojen joukosta" ja muista rakennelmista, jotka johtivat paradokseihin._NEWLINE_Principia Mathematica luetaan yleens\xc3\xa4 yhdeksi merkitt\xc3\xa4vimmist\xc3\xa4 ja uraauurtavimmista teoksista matemaattisen logiikan ja filosofian alalla. Modern Libraryn mukaan se oli 1900-luvun 23. merkitt\xc3\xa4vin teos.\n_START_SECTION_\nSis\xc3\xa4lt\xc3\xb6\n_START_PARAGRAPH_\nTeos k\xc3\xa4sittelee ainoastaan joukko-oppia, kardinaalilukuja, ordinaalilukuja ja reaalilukuja. Siihen ei kuulunut reaalianalyysin syv\xc3\xa4llisempi\xc3\xa4 teoreemoja, mutta kolmannen osan loppuun menness\xc3\xa4 asiantuntijoille oli selv\xc3\xa4\xc3\xa4, ett\xc3\xa4 suuri osa tunnettua matematiikkaa oli periaatteessa kehitelt\xc3\xa4viss\xc3\xa4 k\xc3\xa4ytetyll\xc3\xa4 formalismilla. Oli my\xc3\xb6s selv\xc3\xa4\xc3\xa4, kuinka pitk\xc3\xa4 t\xc3\xa4llaisesta esityksest\xc3\xa4 tulisi._NEWLINE_Whitehead ja Russell suunnittelivat nelj\xc3\xa4tt\xc3\xa4 geometriaa k\xc3\xa4sittelev\xc3\xa4\xc3\xa4 osaa, mutta my\xc3\xb6nsiv\xc3\xa4t ty\xc3\xb6n k\xc3\xa4yneen ylivoimaiseksi kolmannen osan valmistuttua.\n_START_SECTION_\nAvoimia kysymyksi\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nTeos j\xc3\xa4tti avoimeksi sen, voitaisiinko sen aksioomista johtaa ristiriitoja (johdonmukaisuus), ja sen, olisiko olemassa matemaattinen v\xc3\xa4itt\xc3\xa4m\xc3\xa4, jota ei voitaisi sen enemp\xc3\xa4\xc3\xa4 todistaa kuin kumotakaan j\xc3\xa4rjestelm\xc3\xa4n avulla (t\xc3\xa4ydellisyys)._NEWLINE_Propositiologiikka itsess\xc3\xa4\xc3\xa4n tiedettiin sek\xc3\xa4 johdonmukaiseksi ett\xc3\xa4 t\xc3\xa4ydelliseksi, mutta sama ei ollut selv\xc3\xa4\xc3\xa4 Principian joukko-opin aksioomista (katso Hilbertin toinen ongelma)._NEWLINE_G\xc3\xb6delin ep\xc3\xa4t\xc3\xa4ydellisyyslause tarjosi odottamatonta lis\xc3\xa4valaistusta n\xc3\xa4ihin kahteen toiseensa liittyv\xc3\xa4\xc3\xa4n kysymykseen. G\xc3\xb6delin ensimm\xc3\xa4inen ep\xc3\xa4t\xc3\xa4ydellisyyslause osoitti, ettei Principia voinut olla sek\xc3\xa4 johdonmukainen ett\xc3\xa4 t\xc3\xa4ydellinen. Lauseen mukaan jokaista riitt\xc3\xa4v\xc3\xa4n vahvaa loogista j\xc3\xa4rjestelm\xc3\xa4\xc3\xa4 (kuten Principiaa) kohtaan oli olemassa v\xc3\xa4ite G, joka pohjimmiltaan sanoo "V\xc3\xa4itt\xc3\xa4m\xc3\xa4\xc3\xa4 G ei voida todistaa". T\xc3\xa4llainen v\xc3\xa4itt\xc3\xa4m\xc3\xa4 on er\xc3\xa4\xc3\xa4nlainen catch-22 -keh\xc3\xa4p\xc3\xa4\xc3\xa4telm\xc3\xa4ristiriita: jos G on todistettavissa, se on ep\xc3\xa4tosi, jolloin j\xc3\xa4rjestelm\xc3\xa4 on ep\xc3\xa4johdonmukainen; ja jos G ei ole todistettavissa, se on tosi, jolloin j\xc3\xa4rjestelm\xc3\xa4 on ep\xc3\xa4t\xc3\xa4ydellinen. Toisin sanoen v\xc3\xa4itt\xc3\xa4m\xc3\xa4\xc3\xa4 "Principian j\xc3\xa4rjestelm\xc3\xa4ss\xc3\xa4 ei ole ristiriitoja" ei voi todistaa todeksi tai ep\xc3\xa4todeksi Principian j\xc3\xa4rjestelm\xc3\xa4ss\xc3\xa4, ellei siin\xc3\xa4 ole ristiriitoja._NEWLINE_G\xc3\xb6delin toinen ep\xc3\xa4t\xc3\xa4ydellisyyslause osoitti, ettei aritmetiikkaa voida k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4\xc3\xa4 todistamaan sen omaa sis\xc3\xa4ist\xc3\xa4 johdonmukaisuutta, jolloin sit\xc3\xa4 ei voida k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4\xc3\xa4 varsinkaan mink\xc3\xa4\xc3\xa4n sit\xc3\xa4 vahvemman johdonmukaisuuden todistamiseen.'