b'\n_START_ARTICLE_\nGenus (matematiikka)\n_START_PARAGRAPH_\nGenus on topologiassa pinnan niin sanottujen kahvojen lukum\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4. Genus on siis kokonaisluku, joka kertoo montako erillist\xc3\xa4 silmukkaa my\xc3\xb6ten pinnan voi leikata auki niin ett\xc3\xa4 se pysyy yhten\xc3\xa4isen\xc3\xa4.\n_START_SECTION_\nM\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nSeuraavat m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4t aritmeettiselle ja geometriselle genukselle l\xc3\xb6ytyv\xc3\xa4t Qing Liun kirjasta "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves":_NEWLINE_Olkoon  projektiivinen k\xc3\xa4yr\xc3\xa4 yli algebrallisesti suljetun kunnan . T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in :n aritmeettinen genus on m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n Eulerin karakteristikan avulla_NEWLINE_joka riippuu :sta. Jos  on sile\xc3\xa4 projektiivinen varisto yli :n, niin :n geometrinen genus on_NEWLINE_ miss\xc3\xa4  on dualisoituva (tai kanoninen) lyhde ja  tarkoittaa :n nollatta \xc4\x8cechin kohomologiaryhm\xc3\xa4\xc3\xa4._NEWLINE_Yleisesti ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa  m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n korkeampiuloitteisten ja ei-jaottoman variston aritmeettinen genus asettamalla_NEWLINE_miss\xc3\xa4  on rakennelyhteen Eulerin\xe2\x80\x93Poincar\xc3\xa9n karakteristika._NEWLINE__NEWLINE_Kun X on algebrallinen k\xc3\xa4yr\xc3\xa4, jonka kuntana on kompleksiluvut, ja X:ll\xc3\xa4 ei ole singulaarisia pisteit\xc3\xa4, molemmat m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4t kuvaavat pinnan kahvojen lukum\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4\xc3\xa4. Sen sijaan yleisess\xc3\xa4 tapauksessa aritmeettinen genus voi olla my\xc3\xb6s negatiivinen luku.'