b'\n_START_ARTICLE_\nStereografinen projektio\n_START_PARAGRAPH_\nStereografinen projektio on geometrinen kuvaus, joka kuvaa koko pallopinnan tasolle yht\xc3\xa4 pistett\xc3\xa4 lukuun ottamatta. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in pallopinnalta valitaan yksi kiinte\xc3\xa4 piste projektiopisteeksi, ja jokaista muuta pallopinnan pistett\xc3\xa4 vastaa se piste, jossa t\xc3\xa4m\xc3\xa4n projektiopisteen ja annetun pisteen kautta kulkeva suora leikkaa tason._NEWLINE_T\xc3\xa4m\xc3\xa4 kuvaus on m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty kaikissa pallonpinnan pisteiss\xc3\xa4 paitsi projektiopisteess\xc3\xa4. Funktio on m\xc3\xa4\xc3\xa4rittelyjoukossaan sile\xc3\xa4 ja bijektio. Se on my\xc3\xb6s konforminen, koska siin\xc3\xa4 kulmat pysyv\xc3\xa4t alkuper\xc3\xa4isen suuruisina. Toisaalta se ei kuvaa tarkasti pinta-alaa, varsinkaan projektiopisteen l\xc3\xa4hell\xc3\xa4._NEWLINE_Intuitiivisesti stereo\xc2\xadgrafinen funktio on siis tapa kuvata pallopinta tasolle, mit\xc3\xa4 tosin ei mitenk\xc3\xa4\xc3\xa4n voida tehd\xc3\xa4 niin, ett\xc3\xa4 kaikkien pallopinnan alueiden muodot ja koot s\xc3\xa4ilyisiv\xc3\xa4t. Koska pallopinta ja taso esiintyv\xc3\xa4t monilla matematiikan aloilla, on stereo\xc2\xadgrafisella projektiollakin monia erilaisia sovelluksia: sit\xc3\xa4 k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n kompleksianalyysiss\xc3\xa4, karttaprojektiona, geologiassa ja valokuvauksessa. K\xc3\xa4yt\xc3\xa4nn\xc3\xb6ss\xc3\xa4 stereo\xc2\xadgrafinen projektio voidaan toteuttaa tietokoneella tai k\xc3\xa4sin erityisell\xc3\xa4 tavalla ruudutetulla paperilla, jota sanotaan stereo\xc2\xadgrafiseksi verkoksi, lyhemmin stereoverkoksi tai Wulffin verkoksi.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nStereografisen funktion tunsivat ainakin jo Hipparkhos ja Ptolemaios, mutta mahdollisesti se tunnettiin Egyptiss\xc3\xa4 jo ennen heit\xc3\xa4. Sit\xc3\xa4 nimitettiin alkujaan planisf\xc3\xa4\xc3\xa4riprojektioksi. Ptolemaioksen teos Planisphaerium on vanhin s\xc3\xa4ilynyt kirjallinen l\xc3\xa4hde, jossa sit\xc3\xa4 kuvataan. Sit\xc3\xa4 k\xc3\xa4ytettiin varsinkin t\xc3\xa4hti\xc2\xadkartoissa.  Er\xc3\xa4st\xc3\xa4 t\xc3\xa4htikartta\xc2\xadtyyppi\xc3\xa4 sanotaan nykyisinkin planisf\xc3\xa4\xc3\xa4riksi._NEWLINE_Stereografista projektiota k\xc3\xa4ytetiin 1500-luvulta l\xc3\xa4htien yleisesti my\xc3\xb6s maapallon kartoissa. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in projektio\xc2\xadpisteet olivat p\xc3\xa4iv\xc3\xa4ntasaajalla. Maapallo jaettiin kahteen pallon\xc2\xadpuoliskoon, joiden keskipisteet olivat p\xc3\xa4iv\xc3\xa4n\xc2\xadtasaajalla vastakkaisilla puolilla maapalloa, ja kumpikin kuvattiin t\xc3\xa4ll\xc3\xa4 projektiolla omalle ympyr\xc3\xa4n\xc2\xadmuotoiselle alueelleen. Ensimm\xc3\xa4inen t\xc3\xa4llaisen maailman\xc2\xadkartan laati tiett\xc3\xa4v\xc3\xa4sti Gualterius Lud vuonna 1507, my\xc3\xb6hemmist\xc3\xa4 vastaavan\xc2\xadlaisista kartoista tunnetuimpia ovat Jean Rozen vuonna 1542 ja Rumold Mercatorin vuonna 1595 laatimat. Varsinkin 1600-luvulla projektio oli maailman\xc2\xadkartoissa hyvin suosittu._NEWLINE_Fran\xc3\xa7ois d\'Aguilon antoi stereo\xc2\xadgrafiselle projektiolle sen nykyisen nimen vuonna 1613 teoksessaan Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles ("Kuusi sek\xc3\xa4 filosofeille ett\xc3\xa4 matemaatikoille hy\xc3\xb6dyllist\xc3\xa4 kirjaa optiikasta")._NEWLINE_Vuonna 1695 Edmond Halley, jota kiinnosti ennen kaikkea projektion k\xc3\xa4ytt\xc3\xb6 t\xc3\xa4htikartoissa, julkaisi ensimm\xc3\xa4isen matemaattisen todistuksen sille, ett\xc3\xa4 t\xc3\xa4m\xc3\xa4 kuvaus on konforminen.  H\xc3\xa4n k\xc3\xa4ytti t\xc3\xa4h\xc3\xa4n Isaac Newtonin v\xc3\xa4h\xc3\xa4n aikaisemmin keksimi\xc3\xa4 differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmi\xc3\xa4.\n_START_SECTION_\nSuorien ja tasojen havainnollistus\n_START_PARAGRAPH_\nKaikki kolmiulotteisen avaruuden origon kautta kulkevat suorat muodostavat avaruuden, jota sanotaan reaaliseksi projektiiviseksi tasoksi. T\xc3\xa4t\xc3\xa4 avaruutta on vaikea havainnollistaa, koska sit\xc3\xa4 ei voi upottaa kolmiulotteiseen avaruuteen._NEWLINE_Kuitenkin se voidaan "melkein" havainnollistaa levyll\xc3\xa4 seuraavaan tapaan. Jokainen origon kautta kulkeva suora leikkaa etel\xc3\xa4isen pallonpuoliskon z\xc2\xa0\xe2\x89\xa4\xc2\xa00 pisteess\xc3\xa4, joka voidaan stereografisesti projisoida levylle. Vaakasuorat viivat leikkaavat pallopinnan kahdessa pisteess\xc3\xa4 p\xc3\xa4iv\xc3\xa4ntasaajalla, joista kumpi tahansa voidaan projisoida tasolle; on ymm\xc3\xa4rrett\xc3\xa4v\xc3\xa4, ett\xc3\xa4 vastakkaiset sivut levyn reunalla esitt\xc3\xa4v\xc3\xa4t samaa suoraa. Kyseess\xc3\xa4 on tekij\xc3\xa4topologia. Niinp\xc3\xa4 jokainen origon kautta kulkevien suorien joukko voidaan melkein t\xc3\xa4ydellisesti kuvata pistejoukolle levyll\xc3\xa4._NEWLINE_Samoin jokainen origon kautta kulkeva taso leikkaa yksikk\xc3\xb6kiekon jotakin isoympyr\xc3\xa4\xc3\xa4 my\xc3\xb6ten, jota sanotaan tason j\xc3\xa4ljeksi. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 ympyr\xc3\xa4 voidaan kuvata kiekon ympyr\xc3\xa4lle stereografisella projektiolla. Tn\xc3\xa4in t\xc3\xa4m\xc3\xa4 projektio tekee mahdolliseksi esitt\xc3\xa4\xc3\xa4 tasoja ympyr\xc3\xa4nkaarina levyll\xc3\xa4. Ennen kuin tietokoneita oli k\xc3\xa4ytett\xc3\xa4viss\xc3\xa4, isoympyriden stereografinen projektio johti usein suuris\xc3\xa4teisten kaarien piirt\xc3\xa4miseen, mihin tarvittiin erityist\xc3\xa4 piirustusv\xc3\xa4linett\xc3\xa4. Nykyisin t\xc3\xa4m\xc3\xa4 voidaan suorittaa tietokoneen avulla paljon helpommin._NEWLINE_Jokaiseen tasoon liittyy my\xc3\xb6s yksik\xc3\xa4sitteinen suora, tason napa, joka kulkee origon kautta ja on kohtisuorassa tasoa vastaan. T\xc3\xa4t\xc3\xa4 suoraa vastaa piste levyll\xc3\xa4 samoin kuin jokaista origon kautta kulkevaa suoraa. Niinp\xc3\xa4 stereografisella projektiolla voidaan my\xc3\xb6s havainnollistaa tasoja levyn pistein\xc3\xa4. Kun on kuvattavana useita tasoja, niiden napojen kuvaaminen johtaa v\xc3\xa4hemm\xc3\xa4n sekavaan kuvaan kuin niiden j\xc3\xa4lkien kuvaaminen._NEWLINE_T\xc3\xa4t\xc3\xa4 konstruktiota k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n kristallografiassa ja geologiassa usein suuntatietojen havainnollistamiseen  j\xc3\xa4ljemp\xc3\xa4n\xc3\xa4 kuvatulla tavalla.\n_START_SECTION_\nMuita havainnollistuksia\n_START_PARAGRAPH_\nStereografista projektiota k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n my\xc3\xb6s polytooppien havainnollistamiseen. Schlegelin diagrammisa avaruuden  n-ulotteinen polytooppi projisoidaan n-ulotteiselle pallolle, joka sen j\xc3\xa4lkeen projisoidaan stereografisesti avaruudelle .  Kutistaminen :sta :\xc3\xa4\xc3\xa4n voi tehd\xc3\xa4 polytoopin helpommaksi havainnollistaa ja ymm\xc3\xa4rt\xc3\xa4\xc3\xa4.\n_START_SECTION_\nStereografinen projektio karttaprojektiona\n_START_PARAGRAPH_\nKartografian perusongelma on, ett\xc3\xa4 kuvattiinpa pallopinta tasolle mill\xc3\xa4 tavalla tahansa, eiv\xc3\xa4t kartassa voi sek\xc3\xa4 kulmat (ja n\xc3\xa4in ollen alueiden muodot) ett\xc3\xa4 pinta-alojen suhteet n\xc3\xa4ky\xc3\xa4 oikein. On kuitenkin olemassa karttaprojektioita, joissa pinta-alojen suhteet ovat oikein, ja toisia, joissa kulmat ovat oikein. Edelliset soveltuvat varsinkin tilastollisiin karttoihin, j\xc3\xa4lkimm\xc3\xa4isi\xc3\xa4 navigointiin._NEWLINE_Stereografinen projektio kuuluu j\xc3\xa4lkimm\xc3\xa4iseen luokkaan. Jos projektion keskukseksi valitaan pohjois- tai etel\xc3\xa4napa, sill\xc3\xa4 on lis\xc3\xa4etuna, ett\xc3\xa4 kaikki pituuspiirit n\xc3\xa4kyv\xc3\xa4t navasta l\xc3\xa4htevin\xc3\xa4 suorina viivoina, kaikki leveyspiiri taas napaa ymp\xc3\xa4r\xc3\xb6ivin\xc3\xa4 saman\xc2\xadkeskeisin\xc3\xa4 ympyr\xc3\xb6in\xc3\xa4. Nyky\xc3\xa4\xc3\xa4n t\xc3\xa4t\xc3\xa4 projektiota k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4nkin ennen kaikkea napaseutujen kartoissa.  _NEWLINE_Stereografisessa projektiossa kaikki pallopinnan ympyr\xc3\xa4t kuvautuvat ympyr\xc3\xb6iksi paitsi projektio\xc2\xadpisteen kautta kulkevat suoriksi. T\xc3\xa4m\xc3\xa4n vuoksi se soveltuu my\xc3\xb6s Kuun ja vieraiden planeettojen karttoihin, joissa kraatterit ovat tyypillisi\xc3\xa4 piirteit\xc3\xa4. USGS onkin k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4nyt t\xc3\xa4t\xc3\xa4 projektiota Kuun, Merkuriuksen ja Marsin kartoissa.\n_START_SECTION_\nValokuvaus\n_START_PARAGRAPH_\nJotkin kalansilm\xc3\xa4linssit k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4v\xc3\xa4t stereografista projektiota ottaakseen laajakulmaisia n\xc3\xa4kymi\xc3\xa4. Verrattuna vanhemman tyyppisiin kalansilm\xc3\xa4linssehin, joissa k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n oikeapintaista projektiota, l\xc3\xa4hell\xc3\xa4 reunoja olevat alueet s\xc3\xa4ilytt\xc3\xa4v\xc3\xa4t muotonsa ja suorat viivat kaareutuvat v\xc3\xa4hemm\xc3\xa4n. Steregrafiset kalansilm\xc3\xa4\xc2\xadlinssit ovat yleen\xc3\xa4 kuitenkin kalliimpia valmistaa.  Kuvien uudelleen\xc2\xadmuotoiluun tarkoitetuilla ohjelmilla kuten Panotools voidaan my\xc3\xb6s oikeapintaisella kalan\xc2\xadsilm\xc3\xa4ll\xc3\xa4 otetut kuvat automaattisesti muuntaa stereografiseen projektioon._NEWLINE_Stereo\xc2\xadgrafista projektiota on k\xc3\xa4ytetty pallomaisten n\xc3\xa4kymien kuvaamiseen. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 johtaa ilmi\xc3\xb6ihin, joita sanotaan pieneksi planeetaksi (kun projektion keskus on nadiirissa) tai putkeksi (kun projektion keskus on zenitiss\xc3\xa4)._NEWLINE_Sen, ett\xc3\xa4 stereografista projektiota k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n n\xc3\xa4kymien kuvaamiseen enemm\xc3\xa4n kuin muita taso\xc2\xadprojektioita, katsotaan johtuvan siit\xc3\xa4, ett\xc3\xa4 projektion konformisuuden vuoksi siin\xc3\xa4 muodot s\xc3\xa4ilyv\xc3\xa4t.'