b'\n_START_ARTICLE_\nBorel-joukko\n_START_PARAGRAPH_\nBorel-joukot muodostavat matematiikassa laajan kokoelman joukkoja, joihin kuuluu mm. avoimet, suljetut, kompaktit, - ja -joukot. Borel-joukkoja k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n paljon erityisesti mittateoriassa helpon l\xc3\xa4hestytt\xc3\xa4vyyden vuoksi. Esimerkiksi avaruudessa  Borel-joukot muodostavat hyvin laajan Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelman.\n_START_SECTION_\nM\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nOlkoon  topologinen avaruus. Kutsumme kokoelmaa_NEWLINE_joukon  Borelin perheeksi. T\xc3\xa4m\xc3\xa4n perheen alkioita kutsutaan Borel-joukoiksi. Borelin perhe on siis m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4ns\xc3\xa4 mukaan suppein niist\xc3\xa4 joukon  sigma-algebroista, jotka sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4v\xc3\xa4t :n avoimet joukot eli topologian . Erityisesti Borelin perhe on :n topologian viritt\xc3\xa4m\xc3\xa4 sigma-algebra .\n_START_SECTION_\nOminaisuuksia\n_START_PARAGRAPH_\nVoidaan osoittaa, ett\xc3\xa4 jokainen avaruuden  avoin joukko on Lebesgue-mitallinen. T\xc3\xa4st\xc3\xa4 seuraa, ett\xc3\xa4 jokainen :n Borel-joukko on Lebesgue-mitallinen eli_NEWLINE_Nimitt\xc3\xa4in mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran  ja Borelin perhe  on saatu leikkaamalla kaikki ne sigma-algebrat, jotka sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4v\xc3\xa4t avoimet joukot._NEWLINE_Koska Borelin perhe on sigma-algebra, joka sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 kaikki avoimet joukot, niin se sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 my\xc3\xb6s kaikki suljetut joukot. Lis\xc3\xa4ksi sigma-algebran ominaisuuksista n\xc3\xa4emme, ett\xc3\xa4 Borelin perhe sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 my\xc3\xb6s kaikki numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset avoimista ja suljetuista joukoista. T\xc3\xa4st\xc3\xa4 seuraa, ett\xc3\xa4 leikkaamalla, yhdist\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 ja komplementoimalla saadaan lukemattomia erilaisia joukkoja. Siksi on itse asiassa vaikea konstruoida joukkoa, joka ei ole Borel. Ei-Borel-joukkoja on kuitenkin olemassa. T\xc3\xa4llainen saadaan muun muassa seuraavalla esimerkill\xc3\xa4, jonka vaiheiden perustelut l\xc3\xb6ytyv\xc3\xa4t tarkemmin l\xc3\xa4hteest\xc3\xa4: _NEWLINE_Olkoon  ja  (yleisi\xc3\xa4) Cantorin joukkoja :ss\xc3\xa4. Oletetaan, ett\xc3\xa4 esimerkiksi  positiivimittainen ja  on nollamittainen. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in Lebesguen ulkomitan ominaisuuksista seuraa, ett\xc3\xa4  sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 ei-Lebesgue-mitallisen joukon . Koska Cantorin joukot ovat kesken\xc3\xa4\xc3\xa4n homeomorfisia, niin on olemassa homeomorfismi . T\xc3\xa4st\xc3\xa4 seuraa, ett\xc3\xa4 joukko  ei itse asiassa ole Borel-joukko. Nimitt\xc3\xa4in jos se olisi Borel, niin olisi funktion f jatkuvuuden nojalla joukko  Borel (homeomorfismit ovat erityisesti jatkuvia, joten ne ovat Borel-kuvauksia). Toisaalta funktion f bijektiivisyyden nojalla , joten joukko A olisi t\xc3\xa4ll\xc3\xb6in Borel. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 on mahdotonta, sill\xc3\xa4 oletimme, ett\xc3\xa4 A ei ole Lebesgue-mitallinen joukko ja siis ei erityisesti Borel-joukkokaan. Toisaalta voidaan osoittaa, ett\xc3\xa4 se taasen on mm. Lebesgue-mitallinen, mik\xc3\xa4 osoittaa sen, ett\xc3\xa4 Borelin perhe  on aito osajoukko Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelmasta .\n_START_SECTION_\nBorel-funktiot\n_START_PARAGRAPH_\nOlkoon  topologinen avaruus ja joukko . Kutsumme funktiota  Borel-funktioksi jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa f on Borel-joukko. _NEWLINE_T\xc3\xa4m\xc3\xa4 m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4 voidaan my\xc3\xb6s lausua muodossa: joukko  on Borel-joukko ja joukko_NEWLINE_on Borel-joukko kaikilla . Borel-funktioita kutsutaan joskus kirjallisuudessa Bairen funktioiksi._NEWLINE_Voidaan osoittaa, ett\xc3\xa4 jokainen jatkuva kuvaus on Borel-kuvaus. Lis\xc3\xa4ksi jokaisessa Borel-kuvauksessa jokaisen Borel-joukon alkukuva on Borel._NEWLINE_Lis\xc3\xa4ksi jos annettu topologia  on metristyv\xc3\xa4, niin voidaan osoittaa, ett\xc3\xa4 jokainen t\xc3\xa4m\xc3\xa4n topologian Borel-funktio on mitallinen jokaisen Borel-mitan suhteen.'