b'\n_START_ARTICLE_\nHyperbolinen geometria\n_START_SECTION_\nYhdensuuntaiset suorat\n_START_PARAGRAPH_\nKoska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirt\xc3\xa4\xc3\xa4 useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. T\xc3\xa4st\xc3\xa4 seuraa, ett\xc3\xa4 monet euklidisessa geometriassa yhdensuuntaisille suorille tunnetut asiat eiv\xc3\xa4t p\xc3\xa4de hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei t\xc3\xa4ydy olla yhdensuuntaisia kesken\xc3\xa4\xc3\xa4n, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lis\xc3\xa4ksi suorasta l vakioet\xc3\xa4isyydell\xc3\xa4 olevat pisteet eiv\xc3\xa4t muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa._NEWLINE_Euklidisessa geometriassa kaikki yhdensuuntaisten suorien v\xc3\xa4liset et\xc3\xa4isyysjanat  ovat kohtisuorassa eli suoran ja et\xc3\xa4isyysjanan v\xc3\xa4linen kulma on 90\xc2\xb0. Hyberpolisessa geometriassa kulmien suuruus vaihtelee.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nKahden tuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja my\xc3\xb6hemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittiv\xc3\xa4t todistaa paralleeliaksioomaa. Koska heid\xc3\xa4n yrityksens\xc3\xa4 ep\xc3\xa4onnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobat\xc5\xa1evski kehittiv\xc3\xa4t ep\xc3\xa4euklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisi\xc3\xa4 malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobat\xc5\xa1evski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.\n_START_SECTION_\nHyperbolisen geometrian malleja\n_START_PARAGRAPH_\nHyperbolisessa geometriassa on nelj\xc3\xa4 yleisesti k\xc3\xa4ytetty\xc3\xa4 mallia: Kleinin malli, Poincar\xc3\xa9n kiekkomalli, Poincar\xc3\xa9n puoli-taso \xe2\x80\x93malli ja Hyperboloidimalli, joista kolme ensimm\xc3\xa4ist\xc3\xa4 ovat Beltramin kehitt\xc3\xa4mi\xc3\xa4, eiv\xc3\xa4tk\xc3\xa4 Kleinin ja Poincar\xc3\xa9n, joiden mukaan mallit on nimetty.'