b'\n_START_ARTICLE_\nHomomorfialause\n_START_SECTION_\nRyhmien homomorfialause\n_START_PARAGRAPH_\nRyhmien tapauksessa homomorfialause kuuluu seuraavasti: Olkoot  ja  ryhmi\xc3\xa4,  homomorfismi n\xc3\xa4iden v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 ja  :n ydin. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in tekij\xc3\xa4ryhm\xc3\xa4  on isomorfinen :n kuvan kanssa. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 isomorfismi on kuvaus , ._NEWLINE_Lauseen todistuksessa tutkitaan ensin, ett\xc3\xa4  on hyvinm\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty ja osoitetaan se sitten isomorfismiksi toteamalla se homomorfismiksi, injektioksi ja surjektioksi. Osoitetaan nyt  hyvinm\xc3\xa4\xc3\xa4ritellyksi. Jos :n ja :n m\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4\xc3\xa4m\xc3\xa4t sivuluokat ovat samat, niin  eli , miss\xc3\xa4  on ytimen alkio. Nyt _NEWLINE_, _NEWLINE_eli  on hyvinm\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty. N\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n sitten, ett\xc3\xa4  on isomorfismi.  on homomorfismi, sill\xc3\xa4 kun :n ja :n m\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4\xc3\xa4m\xc3\xa4t sivuluokat kuuluvat tekij\xc3\xa4ryhm\xc3\xa4\xc3\xa4n , niin . Homomorfismi ryhmien v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 on injektio silloin ja vain silloin, kun . Jos , niin  eli . Silloin  ryhm\xc3\xa4n ykk\xc3\xb6salkio eli  on injektio.  on surjektiivinen, sill\xc3\xa4 kun  k\xc3\xa4y l\xc3\xa4pi koko :n niin  k\xc3\xa4y l\xc3\xa4pi koko :n kuvan. Siis  on isomorfismi.'