b'\n_START_ARTICLE_\nMonisto\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nHistoriallisesti moniston k\xc3\xa4site sai alkunsa k\xc3\xa4yrien ja pintojen teoriasta, kun matemaattisia m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelmi\xc3\xa4 t\xc3\xa4smennettiin. Vanhoja geometrian l\xc3\xa4hteit\xc3\xa4 tarkasteltaessa on siis otettava huomioon, ett\xc3\xa4 esimerkiksi k\xc3\xa4sitteit\xc3\xa4 joukko-oppi, funktio, jatkuvuus ja topologia joko ei tunnettu tai ne olivat ep\xc3\xa4t\xc3\xa4sm\xc3\xa4llisesti. Esimerkiksi Riemann, Gauss ja Poincar\xc3\xa9 m\xc3\xa4\xc3\xa4ritteliv\xc3\xa4t monistot yht\xc3\xa4l\xc3\xb6\xc2\xadryhmien ratkaisuina, jotka nykyisen terminologian mukaan ovat alimonistoja. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 n\xc3\xa4kyy vanhoissa differentiaaligeometrian kirjoissa (esim. ). Klassiset monistot olivat usein polynomisten yht\xc3\xa4l\xc3\xb6iden ratkaisuja ja niin ollen niin kutsuttuja algebrallisia varistoja, joita tutkitaan algebrallisessa geometriassa. Vanhin l\xc3\xa4hde, jossa monisto on m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty kutakuinkin nykyiseen tapaan, on Whiteheadin ja Veblenin kirjasta vuodelta 1936 . My\xc3\xb6hemmin Whitney osoitti, ett\xc3\xa4 monet aikaisemmat m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4t olivat ekvivalentteja Whiteheadin ja Veblenin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4n kanssa. Historiallisesta ep\xc3\xa4t\xc3\xa4sm\xc3\xa4llisyydest\xc3\xa4 seurasi, ett\xc3\xa4 useita vanhoja lauseita on jouduttu todistamaan uudelleen ja tarkentamaan niiss\xc3\xa4 esiintyvi\xc3\xa4 oletuksia.\n_START_SECTION_\nM\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nRiippuen siit\xc3\xa4 paljonko stuktuuria monistolta oletetaan, saadaan eri luokkia monistoista, joilla kullakin on oma teoriansa.\n_START_SECTION_\nAffiini varisto\n_START_PARAGRAPH_\nAlgebrallisessa geometriassa on samanlainen m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4 kuin yll\xc3\xa4, miss\xc3\xa4 koordinaattimuunnokset ovat rationaalisia kuvauksia ja koordinaattijoukko  korvataan jollakin varistolla . T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in ei k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4 yll\xc3\xa4 esitetyn kaltaista topologiaa, vaan nk. Zariskin topologiaa .\n_START_SECTION_\nSile\xc3\xa4n moniston struktuureita\n_START_PARAGRAPH_\nT\xc3\xa4ss\xc3\xa4 osiossa tarkastelemme sile\xc3\xa4lle monistolle m\xc3\xa4\xc3\xa4riteltyj\xc3\xa4 struktuureita, joita tutkitaan syv\xc3\xa4llisemmin Riemannin geometriassa. Oletamme t\xc3\xa4ss\xc3\xa4 aina, ett\xc3\xa4  on sile\xc3\xa4 monisto jollain sile\xc3\xa4ll\xc3\xa4 kartastolla. Tarvitsemme ensin tangenttiavaruuden k\xc3\xa4sitteen.\n_START_SECTION_\nTangenttiavaruus\n_START_PARAGRAPH_\nOlkoon  mielivaltainen piste. On olemassa jokin kartta , jolle . Lokaalisti t\xc3\xa4lle pisteelle m\xc3\xa4\xc3\xa4rittelemme tangenttivektorit . Kun tarkastelemme koordinaatteja , niin  vastaa suuntavektoria  jonka kanta on pisteess\xc3\xa4 . Voimme my\xc3\xb6s ajatella sit\xc3\xa4 suoran , miss\xc3\xa4 , nopeusvektorina.  Ongelma tosin on, ett\xc3\xa4 monistoilla kaiken pit\xc3\xa4isi olla m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty invariantisti. Mit\xc3\xa4 siis, jos ottaisimme toiset koordinaatit  samalle pisteelle. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in sanomme, ett\xc3\xa4 vektorit  ja  ovat ekvivalentteja, jos_NEWLINE_T\xc3\xa4ss\xc3\xa4 oikeanpuoleinen derivaatta on funktion  derivaatta lineaarisena kuvauksena. N\xc3\xa4in kullekin moniston pisteelle on yksi ja vain yksi tangenttiavaruus, jota merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n , joka on isomorfinen :n kanssa. Edellisest\xc3\xa4 m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4st\xc3\xa4 on mahdollista m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4 sile\xc3\xa4 tangenttimonisto, joka sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 kaikki tangenttiavaruudet  yhteen, ja sit\xc3\xa4 merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n  . Tangenttiavaruus on esimerkki  vektorikimpusta. Moniston karttakuvaukset indusoivat karttakuvaukset seuraavasti. Olkoon  kartasto monistolla . Sitten m\xc3\xa4\xc3\xa4rittele_NEWLINE_ja translaatiokuvaukset  on annettu koordinaateissa kaavalla_NEWLINE_Nyt jos m\xc3\xa4\xc3\xa4rittelemme topologisen avaruuden , miss\xc3\xa4 samaistamme pisteet, jotka vastaavat toisiaan jollain translaatiokuvauksella. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in inkluusiot  ovat karttakuvauksia, ja lukija voi tarkistaa vektorikimpun aksioomat.'