b'\n_START_ARTICLE_\nAnalytische voortzetting\n_START_PARAGRAPH_\nIn de complexe analyse, een onderdeel van de wiskunde, is analytische voortzetting een techniek om het domein van de definitie van een gegeven holomorfe functie uit te breiden. Door gebruik te maken van analytische voortzetting slaagt men er vaak in om verdere waarden van een functie vast te stellen, bijvoorbeeld in een nieuw gebied, waar een weergave als een oneindige reeks in termen van zijn oorspronkelijke definitie divergeert._NEWLINE_De stapsgewijze voortzettingstechniek kan stuiten op moeilijkheden. Deze kunnen van topologische aard zijn, wat kan leiden tot inconsistenties (het defini\xc3\xabren van meer dan \xc3\xa9\xc3\xa9n waarde). De moeilijkheden kunnen ook te maken hebben met de aanwezigheid van wiskundige singulariteiten._NEWLINE_In het geval dat er meer dan \xc3\xa9\xc3\xa9n complexe variabele is, is het anders, aangezien singulariteiten dan geen ge\xc3\xafsoleerde punten kunnen zijn. Onderzoek daarnaar was een belangrijke reden voor de ontwikkeling van de schoofcohomologie.\n_START_SECTION_\nToepassingen\n_START_PARAGRAPH_\nEen veel voorkomende manier om functies in de complexe analyse te defini\xc3\xabren bestaat eruit de functie eerst alleen op een klein domein te defini\xc3\xabren om dit vervolgens met behulp van analytische voortzetting uit te breiden. In de praktijk wordt deze voortzetting vaak uitgevoerd door eerst een functionaalvergelijking op dit kleine domein vast te stellen en vervolgens met behulp van deze vergelijking dit domein uit te breiden. Voorbeelden daarvan zijn de riemann-z\xc3\xa8ta-functie en de gamma-functie._NEWLINE_Het begrip universele dekking is voor het eerst ontwikkeld om een natuurlijke domein voor de analytische voortzetting van een holomorfe functie te defini\xc3\xabren. Het idee om de maximale analytische voortzetting van een functie te vinden heeft op zijn beurt geleid tot de ontwikkeling van het idee van de riemann-oppervlakken._NEWLINE_Een en ander wordt veralgemeend door het idee van een kiem. De algemene theorie van de analytische voortzetting en zijn veralgemeningen staan bekend als schoventheorie.\n_START_SECTION_\nVierkantswortel\n_START_PARAGRAPH_\nStel dat voor een holomorfe functie  geldt dat . Dit geldt dan en slechts dan als  met , dus  is  plus een veelvoud van . Analytische voortzetting van  tot een domein  is daarom dan en slechts dan mogelijk als  geen contour om het punt 0 bevat. In het domein  ontbreekt dus minimaal een kromme van het punt 0 naar oneindig._NEWLINE_De vierkantswortel kan ook gedefinieerd worden op een riemannoppervlak dat bestaat uit twee exemplaren van het complexe vlak, die op een geschikte manier op elkaar worden aangesloten. Na een omwenteling om het punt 0 loopt de functie door op het tweede exemplaar, en na nog een omwenteling sluit dit weer aan op het eerste exemplaar. Zo wordt meerwaardigheid van de vierkantswortel voorkomen. Het illustreert tevens de potenti\xc3\xable meerwaardigheid van de vierkantswortel op het complexe vlak.'