b"\n_START_ARTICLE_\nMetrische tensor\n_START_SECTION_\nVlakke ruimte\n_START_PARAGRAPH_\nEen metrische tensor op een eindig-dimensionale vectorruimte is in elk punt van de ruimte dezelfde symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte, en wordt dus gegeven door \xc3\xa9\xc3\xa9n bilineaire vorm op de ruimte zelf. Dit is enerzijds een bijzonder geval van een gladde vari\xc3\xabteit, en is anderzijds van toepassing op elke raakruimte van een gladde vari\xc3\xabteit._NEWLINE_Als g positief-definiet is dan is g een inwendig product, en is de wortel dus een norm en een metriek in de strikte zin van een metrische ruimte. Er is dan een basis ten opzichte waarvan de co\xc3\xb6rdinatenruimte de euclidische ruimte van de betreffende dimensie is, en de metriek dus de gewone metriek is. Er geldt dan dus voor basisvectoren , de kronecker-delta. De lengte van een kromme in termen van de betreffende metriek is dan de lijnintegraal . Dit kan ook kortweg worden genoteerd , met  de lengte van een lijnelement._NEWLINE_Een ander belangrijk geval is de minkowski-ruimte, dat is in de speciale relativiteitstheorie de ruimte van positieviervectoren met de bilineaire vorm  (hier met tijdachtige tekenconventie, dat wil zeggen dat de bilineaire vorm positief is op een wereldlijn). De metrische tensor is hier de minkowskitensor. Bij een tijdachtige scheiding geldt , met  de eigentijd. Deze  is dus lorentzinvariant (ook bij ruimteachtige scheiding)._NEWLINE_De tweedimensionale variant is een vereenvoudigde versie van de minkowskitensor waarbij een (tweedimensionaal) minkowski-diagram verhelderend kan werken; er is symmetrie tussen de co\xc3\xb6rdinaten ct en x, in de zin dat bij verwisseling alleen het teken van de bilineaire vorm wisselt; er is dus (wiskundig gezien) vergaande symmetrie tussen tijd en ruimte. Natuurkundig is er nog steeds het verschil dat een tijdachtige ruimtetijdkromme in principe een mogelijke wereldlijn van een object is, een andere kromme niet._NEWLINE_De driedimensionale variant is een meer geavanceerde, iets minder vereenvoudigde versie van de minkowskitensor, waarbij de ruimte een tijdas en twee ruimteassen heeft. Deze ruimte is gemakkelijker om zich voor te stellen dan de vierdimensionale ruimtetijd, maar wel voldoende om bepaalde eigenschappen en formules die in een tweedimensionale ruimtetijd niet voorkomen duidelijk te maken.\n_START_SECTION_\nVari\xc3\xabteit\n_START_PARAGRAPH_\nDe metrische tensor is zoals gezegd gedefinieerd op een gladde vari\xc3\xabteit, met raakruimtes, die vectorruimtes zijn, maar is zelf in het algemeen geen vectorruimte._NEWLINE_Bij een riemann-vari\xc3\xabteit is de symmetrische bilineaire vorm op elke raakruimte positief-definiet, dus is iedere raakruimte een metrische ruimte. De booglengte van een kromme is weer de lijnintegraal , of ook weer , met  de lengte van een lijnelement. De afstand tussen twee punten kan dan in principe worden gedefinieerd als de lengte van de kortste kromme tussen de punten, waarmee de vari\xc3\xabteit zelf een metrische ruimte wordt._NEWLINE_Verschillende andere meetkundige noties, zoals de hoek, oppervlak of inhoud, kromming, de gradi\xc3\xabnt van een functie en divergentie van een vectorveld kunnen  ook op een riemann-vari\xc3\xabteit worden gedefini\xc3\xaberd._NEWLINE_Een voorbeeld is de eenheidscirkel  in . De raakruimte van  in een punt  is de raaklijn aan  in . Als de oorsprong van de vectorruimte  nemen we het raakpunt  zelf. De metriek is die van de euclidische ruimte , een deelverzameling van een metrische ruimte is met daarbinnen dezelfde afstanden zelf een metrische ruimte. De afstand tussen twee punten op de cirkel wordt nu gedefinieerd als de lengte van de kortste kromme langs de cirkel tussen de punten. Dit is een andere metriek dan rechtstreeks volgens de metriek van .\n_START_SECTION_\nCo\xc3\xb6rdinaten\n_START_PARAGRAPH_\nDe tensor heeft twee covariante indices, genoteerd als onderindices. Hij kan worden voorgesteld als een vierkante, niet-singuliere n bij n symmetrische matrix, waarbij n de dimensie is van de ruimte, niet te verwarren met de dimensie van een eventuele hogerdimensionale ruimte waarin de ruimte ingebed wordt gedacht om de kromming te illustreren. De matrix is een functie van het punt in de ruimte. De componenten worden aangeduid met g\xe1\xb5\xa2\xe2\xb1\xbc, waarbij de indices i en j lopen van 1 tot en met n; in de relativiteitstheorie worden vaak Griekse letters voor de indices gebruikt. De componenten vormen dus een vierkante n maal n matrix. Ze zijn de waarden van de bilineaire vorm bij toepassing op twee eenheidsvectoren in een gegeven lokaal co\xc3\xb6rdinatenstelsel, en dus afhankelijk van de keuze daarvan. In einstein-/tensornotatie is de bilineaire vorm  of . In de natuurkunde geldt dat als v en w positieviervectoren zijn,  de dimensie lengte in het kwadraat heeft. De dimensie van  is in het algemeen afhankelijk van . De dimensie is bijvoorbeeld lengte of tijd, of het gaat bijvoorbeeld om een dimensieloze grootheid. Uit het voorgaande volgt dat de dimensie van  is: lengte in het kwadraat, gedeeld door de dimensie van de 'de co\xc3\xb6rdinaat, en gedeeld door de dimensie van de 'de co\xc3\xb6rdinaat (zie bijvoorbeeld de schwarzschildmetriek in bolco\xc3\xb6rdinaten). De notatie van covariante en contravariante indices sluit hierbij aan: een bovenindex betekent vermenigvuldigen met, een onderindex delen door de betreffende dimensie om de dimensie van het resultaat te bepalen.  Bij toepassing op een positieviervector en zichzelf krijgen we  met dimensie lengte in het kwadraat. De metrische tensor kan niet alleen op positieviervectoren, maar ook op andere viervectoren worden toegepast, mede omdat de dimensies van de componenten van een viervector een vaste verhouding hebben met de dimensies van de componenten van de positieviervector. Voor bijvoorbeeld de viersnelheid V van een object heeft  de dimensie van de 'de co\xc3\xb6rdinaat van de positieviervector, gedeeld door tijd, en geldt . De dimensie van een viervector U is de wortel van de dimensie van ._NEWLINE_, dus zonder de exponent -1, is de notatie voor de inverse matrix van de metrische tensor. Het verhogen van de twee indices van een matrix betekent echter alleen bij de metrische tensor het inverteren van de matrix. In het algemeen geldt voor een door een matrix gegeven tensor: . Verder geldt  (dimensieloos)._NEWLINE_De metrische tensor in de relativiteitstheorie is een symmetrische 4 bij 4 matrix, die dus door 10 re\xc3\xable functies van de vier ruimtetijdvariabelen is gegeven._NEWLINE_Een lijnelement van een ruimtetijdkromme is tijdachtig  als bij de mostly minus conventie  (einsteinnotatie, dus de som over de indices) positief is. Anders gezegd: een ruimtetijdkromme is tijdachtig in een punt van de kromme als voor de raaklijn door dat punt aan de kromme geldt dat  positief is. Het lijnelement is 'lichtachtig' als  nul is. Het lijnelement is 'ruimteachtig' als  negatief is. Een ruimtetijdkromme is 'tijdachtig' enzovoort. als elk lijnelement dat is (in de andere formulering: als de ruimtetijdkromme dat in elk van zijn punten is). Een tijdachtige ruimtetijdkromme is in principe een mogelijke wereldlijn van een object, afhankelijk van de niet-gravitatiekrachten die erop werken. Een wereldlijn van een object waarop geen niet-gravitatiekrachten werken is niet alleen tijdachtig, maar ook een geodeet._NEWLINE_De lengte van een tijdachtige of ruimteachtige kromme is de lijnintegraal , en is resp. c maal de eigentijd, of de eigenafstand (bij een riemann-vari\xc3\xabteit kunnen de absolute-waardestrepen weggelaten worden en krijgen we , de afstand langs de kromme). Bij een tijdachtige scheiding en een tijdachtige tekenconventie kan de metrische tensor dus beschreven worden met een notatie van de vorm . Daarmee ligt de tensor vast en kan die ook worden toegepast bij een ruimteachtige scheiding._NEWLINE_Voor een gladde vari\xc3\xabteit zijn niet altijd globale co\xc3\xb6rdinaten mogelijk. Bij de genoemde integraal kan het co\xc3\xb6rdinatenstelsel dus wisselen langs de kromme. Dit gebeurt zo dat de integraal eenduidig bepaald blijft, zie ook onder._NEWLINE_Voor de minkowskiruimte is er naast de tekenconventie en de conventie voor de positie van de co\xc3\xb6rdinaat die de tijd representeert (op de eerste of laatste plaats) nog de keuze of deze inderdaad dimensie tijd heeft, en het diagonaalelement in absolute waarde de lichtsnelheid c in het kwadraat is, of dat deze dimensie lengte heeft, door de tijd te vermenigvuldigen met c, en het diagonaalelement in absolute waarde het dimensieloze getal 1 is.  wordt hier genoteerd"