b'\n_START_ARTICLE_\nEdwardskromme\n_START_PARAGRAPH_\nIn de wiskunde is een Edwardskromme een soort elliptische kromme. Edwardskrommen werden ge\xc3\xafntroduceerd door Harold M. Edwards in 2007. Het concept van elliptische krommen over een eindig lichaam wordt veel gebruikt in de cryptografie. Deze toepassingen van Edwardskrommen in cryptografie zijn voornamelijk ontworpen door Bernstein en Lange: zij toonden aan dat de Edwardsvorm enkele voordelen heeft ten opzichte van de bekende Weierstrassvorm. Versleutelingen gebaseerd op elliptische krommen zijn in opkomst binnen de cryptografie, omdat ze sneller kunnen plaatsvinden.\n_START_SECTION_\nOperaties op punten van een Edwardskromme\n_START_PARAGRAPH_\nHet is mogelijk verschillende operaties uit te voeren op de punten van een elliptische kromme, zoals optelling, vermenigvuldiging, etc. Zo ook op de punten van een Edwardskromme, al gaat het hier iets anders in zijn werk. In de volgende secties zal steeds een operatie worden uitgelegd en voorgedaan aan de hand van een uitgewerkt voorbeeld.\n_START_SECTION_\nOmschrijven van een Edwards kromme, naar een Weierstrass kromme\n_START_PARAGRAPH_\nElke elliptische kromme is birationaal equivalent met een elliptische kromme in Weierstrass vorm. Als K eindig is, dan kan een noemenswaardig deel van alle elliptische krommen over K, geschreven worden als een Edwards kromme en door middel van de hierboven beschreven omschrijving, dus als een Weierstrass kromme._NEWLINE_Neem de betreffende Edwards kromme en schrijf hem eerst in de Montgomery vorm zoals hierboven beschreven. Dit resulteert in een elliptische kromme in de Montgomery vorm:_NEWLINE_M_{A,B}: By^2 = x^3 + Ax^2 + x,_NEWLINE_Deze kan dan op de volgende manier in Weierstrass vorm geschreven worden: Deel elke term van de vergelijking voor M_{A,B} door B^3 en substitueer de variablene x en y, met u=\\frac{x}{B} en v=\\frac{y}{B}. Dit resulteert in:_NEWLINE_v^2 = u^3 + \\frac{A}{B}u^2 + \\frac{1}{B^2}u._NEWLINE_Om vanuit hier een Weierstrass vorm te bereiken, is het belangrijk u te vervangen met de variabele t-\\frac{A}{3B}:_NEWLINE_v^2 = \\left(t-\\frac{A}{3B}\\right)^3 + \\frac{A}{B}\\left(t-\\frac{A}{3B}\\right)^2 + \\frac{1}{B^2}\\left(t-\\frac{A}{3B}\\right);_NEWLINE_Uiteindelijk geeft dit de vergelijking in Weierstrass vorm:_NEWLINE_v^2 = t^3 + \\left(\\frac{3-A^2}{3B^2}\\right)t + \\left(\\frac{2A^3-9A}{27B^3}\\right).'