b'\n_START_ARTICLE_\nPriemideaal\n_START_PARAGRAPH_\nIn de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het begrip priemideaal een veralgemening van zowel een priemgetal als een irreducibele polynoom. Priemidealen zijn "ondeelbaar" in de zin dat ze niet geschreven kunnen worden als product van twee andere idealen._NEWLINE_Tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, gaat dit artikel over priemidealen in een commutatieve ring  met eenheidselement 1 verschillend van nul.\n_START_SECTION_\nVoorbeelden  en tegenvoorbeelden\n_START_PARAGRAPH_\nIn de gehele getallen vormt de verzameling -vouden een priemideaal wanneer  een priemgetal is. De viervouden vormen een ideaal, maar geen priemideaal: _NEWLINE_In de ring der re\xc3\xable polynomen in \xc3\xa9\xc3\xa9n variabele, vormen de polynomen die een vast gegeven re\xc3\xabel getal  als nulpunt hebben, een priemideaal._NEWLINE_Zij  een commutatief lichaam/veld, en  de ring der polynomen in \xc3\xa9\xc3\xa9n variabele met co\xc3\xabffici\xc3\xabnten in  Het ideaal voortgebracht door een polynoom  is een priemideaal dan en slechts dan als die polynoom irreducibel is, dat wil zeggen niet het product is van twee polynomen van lagere graad._NEWLINE_De re\xc3\xable polynomen die een veelvoud zijn van  vormen een ideaal, maar geen priemideaal. De polynoom   is namelijk het product van   en  maar geen van beide factoren behoort tot het ideaal.\n_START_SECTION_\nElementaire eigenschappen\n_START_PARAGRAPH_\nEen ideaal   van  is een priemideaal dan en slechts dan als de factorring   een integriteitsdomein is._NEWLINE_De ring  is zelf een integriteitsgebied als en slechts als het singleton {0} een priemideaal is._NEWLINE_Het invers beeld van een priemideaal onder een homomorfisme (van commutatieve ringen met eenheidselement) is een priemideaal.\n_START_SECTION_\nMaximaal ideaal\n_START_PARAGRAPH_\nEen maximaal ideaal is een ideaal dat niet bevat is in een ander ideaal, met uitzondering van de ring  zelf. Ieder maximaal ideaal is priem, maar niet omgekeerd.\n_START_SECTION_\nStelling\n_START_PARAGRAPH_\nAls S een multiplicatieve verzameling is, en I een ideaal dat disjunct is met S, dan bestaat er een priemideaal dat I omvat en dat nog steeds disjunct is met S.\n_START_SECTION_\nSpectrum\n_START_PARAGRAPH_\nHet spectrum van een ring is de verzameling van alle priemidealen, genoteerd\n_START_SECTION_\nZariskitopologie\n_START_PARAGRAPH_\nHet spectrum van R wordt uitgerust met een topologie door als gesloten verzamelingen te nemen: de ruimte R zelf, en elke verzameling priemidealen die een vast gegeven ideaal I omvatten. Dit heet de Zariski-topologie van\n_START_SECTION_\nVoorbeeld\n_START_PARAGRAPH_\nIn de ring der vierkante nxn-matrices over een lichaam K is het triviale ideaal (dat bestaat uit alleen de nulmatrix) een priemideaal, maar geen compleet priemideaal.'