b'\n_START_ARTICLE_\nDiofantische vergelijking\n_START_PARAGRAPH_\nIn de wiskunde is een diofantische vergelijking een algebra\xc3\xafsche vergelijking in twee of meer geheeltallige onbekenden. Een diofantische vergelijking is daarmee een onbepaalde vergelijking, waarin een polynoom met gehele (of rationale) co\xc3\xabffici\xc3\xabnten in twee of meer geheeltallige variabelen gelijk aan 0 wordt gesteld. Diofantische problemen hebben minder vergelijkingen dan onbekende variabelen. De oplossing bestaat erin om getallen te vinden, die voor alle vergelijkingen werken. Meer formeel gesproken definieert een oplossing van een diofantische vergelijking een algebra\xc3\xafsche kromme, een algebra\xc3\xafsch oppervlak of een meer algemeen object._NEWLINE_Dit type vergelijkingen is genoemd naar de derde-eeuwse Hellenistische wiskundige Diophantus van Alexandri\xc3\xab (omstreeks 250 n. Chr), die in zijn studies van deze vergelijkingen als een van de eersten symbolen in de algebra introduceerde. De wiskundige studie van diofantische problemen, die door Diophantos van Alexandri\xc3\xab werd ingeluid, wordt nu de "diofantische analyse" genoemd. Een lineaire diofantische vergelijking is een vergelijking tussen twee sommen van eentermen van graad nul of een._NEWLINE_Hoewel individuele diofantische vergelijkingen al door de hele geschiedenis heen zijn onderzocht, is het formuleren van algemene theorie\xc3\xabn van diofantische vergelijkingen, behalve de theorie van de kwadratische vormen, een twintigste-eeuwse prestatie.\n_START_SECTION_\nDiofantische analyse in India\n_START_PARAGRAPH_\nIndia\'s bijdrage aan integrale oplossingen van diofantische vergelijkingen kan men terugvinden in de Sulba Sutra, teksten die door Indiase wiskundigen tussen 800 v.Chr. en 500 v.Chr geschreven zijn. Baudhayana, rond 800 v.Chr., vond twee verzamelingen van positieve integrale oplossingen voor een verzameling van simultane diofantische vergelijkingen, en poogde ook simultane diofantische vergelijkingen met tot vier onbekenden op te lossen. Apastamba, rond 600 v.Chr, probeerde simultane diofantische vergelijkingen met tot vijf onbekenden op te lossen._NEWLINE_Diofantische vergelijkingen werden later in het middeleeuwse India uitgebreid bestudeerd door wiskundigen, die de eersten waren die systematisch naar methoden zochten om de integrale oplossingen van diofantische vergelijkingen te bepalen. Systematische methoden voor het vinden van geheeltallige oplossingen van diofantische vergelijkingen kunnen vanaf de tijd van Aryabhata, rond 499 n.Chr, in Indiase wiskundige teksten worden gevonden. De eerste expliciete beschrijving van de algemene integrale oplossing van de lineaire diofantische vergelijking ay + bx = c komt men in zijn tekst, de Aryabhatiya, tegen. Dit algoritme wordt beschouwd als een van de belangrijkste bijdragen van Aryabhata aan de zuivere wiskunde. De techniek werd door Aryabhata toegepast om integrale oplossingen van simultane diofantische vergelijkingen van de eerste orde te vinden, een probleem met belangrijke toepassingen in de astronomie._NEWLINE_Aryabhata beschreef het algoritme in slechts twee strofen van zijn Aryabhatiya. Zijn cryptische verzen werden in de 6e eeuw door Bhaskara I in zijn commentaar Aryabhatiya Bhasya uitgewerkt. Bhaskara I illustreerde de regel van Aryabhata met diverse voorbeelden, waaronder 24 concrete problemen uit de astronomie. Zonder de uitleg van Bhaskara I zou het moeilijk zijn geweest om Aryabhata\'s verzen juist te interpreteren. Bhaskara I noemde de methode treffend kuttaka: verpulvering. Het idee van de kuttaka werd later door de Indiase wiskundigen in eerste instantie zo belangrijk geacht dat zij hele onderwerp van de algebra aanvankelijk kuttaka-ganita, of simpelweg kuttaka noemden._NEWLINE_Brahmagupta, in 628, behandelde moeilijkere diofantische vergelijkingen. Hij onderzocht de vergelijking van Pell. In zijn Samasabhavana legde hij een procedure uit om diofantische vergelijkingen van de tweede orde, zoals 61x\xc2\xb2 + 1 = y\xc2\xb2 op te lossen. Deze methoden waren op dat moment in het westen onbekend. Deze zelfde vergelijking werd in 1657 door de Franse wiskundige Pierre de Fermat als een probleem gesteld, de oplossing werd zeventig jaar later door Leonhard Euler gevonden. In India was de oplossing van deze vergelijking echter al eeuwen eerder door Bh\xc4\x81skara II gevonden, rond 1150. Dezelfde wiskundige vond ook de oplossing voor de vergelijking van Pell. Hierbij maakte hij gebruik van een aangepaste versie van de methode van Brahmagupta.\n_START_SECTION_\n17e en 18e eeuw\n_START_PARAGRAPH_\nIn 1637 krabbelde Pierre de Fermat in de marge van zijn exemplaar van de Arithmetica de opmerking dat de vergelijking  geen oplossingen heeft voor enige n groter dan twee. Hij schreef daarbij: Hiervoor heb ik een werkelijk schitterend bewijs, de marge van deze bladzijde is echter niet groot genoeg om dit bewijs te bevatten. Een dergelijk bewijs ontging wiskundigen echter eeuwenlang. Als een onbewezen vermoeden werd de stelling bekend als de laatste stelling van Fermat. Pas in 1994 wist de Britse wiskundige Andrew Wiles deze laatste stelling van Fermat te bewijzen._NEWLINE_In 1657 probeerde Fermat de diofantische vergelijking , die reeds meer dan 1000 jaar eerder door Brahmagupta was opgelost, op te lossen. De vergelijking werd in het begin van de 18e eeuw door Leonhard Euler opgelost. Deze Zwitserse wiskundige slaagde er ook in een aantal andere diofantische vergelijkingen op te lossen.\n_START_SECTION_\nHilberts tiende probleem\n_START_PARAGRAPH_\nIn erkenning van hun diepte, classificeerde David Hilbert de oplosbaarheid van alle diofantische problemen als het tiende van zijn 23 problemen. Dit tiende probleem van Hilbert werd in 1970 opgelost. De stelling van Matijasevitsj, een nieuw resultaat in wiskundige logica, toonde aan dat een diofantische vergelijking geen algemene oplossing heeft._NEWLINE_Het standpunt van Diofantische meetkunde, dat wil zeggen de toepassing van technieken uit de algebra\xc3\xafsche meetkunde op dit gebied, is als gevolg hiervan blijven groeien; aangezien de behandeling van willekeurige vergelijkingen een doodlopende weg is, wendde de aandacht zich op vergelijkingen, die ook een meetkundige betekenis hebben. De centrale gedachte van diofantische meetkunde is die van een rationeel punt, namelijk een oplossing voor een veeltermvergelijking of een stelsel van lineaire vergelijkingen, een vector in een voorgeschreven lichaam K, waar K niet algebra\xc3\xafsch gesloten is.\n_START_SECTION_\nModern onderzoek\n_START_PARAGRAPH_\nEen van de weinige algemene benaderingen is door middel van het principe van Hasse. De traditionele methode, die van de oneindige afdaling, heeft echter een lange weg afgelegd en is volledig uitgenut._NEWLINE_De diepte van de studie van de algemene diofantische vergelijkingen blijkt wel uit de karakterisering van diofantische verzamelingen als recursief aftelbaar. Het algemene probleem van de diofantische analyse is in andere woorden universeel, dit houdt in, dat algemene diofantische vergelijkingen niet kunnen worden opgelost door het probleem opnieuw te formuleren in andere termen._NEWLINE_Het onderwerp van de diofantische benadering gaat over gevallen van diofantische ongelijkheden. Hier worden de variabelen nog steeds geacht geheel te zijn, maar mogen sommige co\xc3\xabffici\xc3\xabnten irrationale getallen zijn en wordt het gelijkheidsteken vervangen door de boven- en ondergrenzen._NEWLINE_De meest gevierde vraag in het veld, het vermoeden dat bekendstond als de laatste stelling van Fermat, werd in 1994 bewezen door Andrew Wiles. Wiles maakte hierbij geen gebruik van instrumenten uit de getaltheorie, binnen welk deelgebied van de wiskunde het vermoeden oorspronkelijk werd geformuleerd, maar hij benutte integendeel een heel scala van instrumenten uit de analyse, die bijna alle pas in de afgelopen eeuw waren ontwikkeld. Andere belangrijke resultaten, zoals de stelling van Faltings, hebben oude vermoedens uit de weg geruimd.\n_START_SECTION_\nExponenti\xc3\xable diofantische vergelijkingen\n_START_PARAGRAPH_\nWanneer een diofantische vergelijking extra variabele(n) heeft in de vorm van exponenten, noemt men dit een exponenti\xc3\xable diofantische vergelijking. Een voorbeeld hiervan is de vergelijking van Ramanujan-Nagell, 2\xe2\x81\xbf\xc2\xa0-\xc2\xa07\xc2\xa0=\xc2\xa0x\xc2\xb2. Dergelijke vergelijkingen kennen geen algemene theorie; voor specifieke gevallen, zoals het vermoeden van Catalan heeft men een oplossingsmethode gevonden, maar voor de meerderheid van de gevallen heeft men alleen door middel van ad-hocmethoden, zoals de stelling van St\xc3\xb8rmer of zelfs door trial-and-error, oplossingen kunnen vinden.'