b'\n_START_ARTICLE_\nMaat (wiskunde)\n_START_PARAGRAPH_\nIn de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een maat intu\xc3\xaftief gesproken een afbeelding die een grootte, volume of kans toekent aan objecten. Het resultaat is steeds positief of eventueel 0. Meer formeel gezien is een maat op een verzameling een systematische manier om aan elke geschikte deelverzameling een getal toe te kennen dat kan worden gezien als de grootte van deze deelverzameling. In die zin is een maat een veralgemening van de begrippen lengte, oppervlakte en volume. Een belangrijk voorbeeld is de lebesgue-maat op een euclidische ruimte die de conventionele begrippen lengte, oppervlakte en volume van de euclidische meetkunde aan geschikte deelverzamelingen van   toekent. De lebesgue-maat van bijvoorbeeld het interval [0,1] in de re\xc3\xable getallen is zijn lengte met de waarde 1._NEWLINE_Niet iedere functie die een niet-negatief re\xc3\xabel getal of de waarde oneindig toekent aan de  deelverzamelingen van een verzameling, kan fungeren als maat. Een belangrijke eigenschap van een maat is de sigma-additiviteit, die stelt dat de maat van de vereniging van een aftelbare rij disjuncte deelverzamelingen gelijk is aan de som van de maten van de afzonderlijke deelverzamelingen. In het algemeen is het echter onmogelijk om op consistente wijze een maat te associ\xc3\xabren met elke deelverzameling van een gegeven verzameling, en tegelijkertijd ook te voldoen aan de andere eisen die aan een maat gesteld worden. Dit probleem werd opgelost door een maat slechts te defini\xc3\xabren op een geschikte deelcollectie van alle deelverzamelingen; de deelverzamelingen waarop de maat wordt gedefinieerd, worden meetbaar genoemd. Zij dienen een sigma-algebra te vormen, wat betekent dat de verenigingen, doorsneden en complementen van rijen van meetbare deelverzamelingen ook meetbaar zijn. Niet-meetbare verzamelingen in een euclidische ruimte, waarop de lebesgue-maat niet consequent kan worden gedefinieerd, zijn per definitie zo complex dat zij bijna onbegrijpelijk zijn, er is in zekere zin een ondoorzichtige mix van de verzameling en zijn complement. Men kan stellen dat hun bestaan een niet-triviaal gevolg is van het keuzeaxioma._NEWLINE_Maattheorie werd in opeenvolgende fasen in de late 19e en de vroege 20e eeuw tot ontwikkeling gebracht door onder andere \xc3\x89mile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon en Maurice Ren\xc3\xa9 Fr\xc3\xa9chet. De belangrijkste toepassingen van maten zijn in de grondslagen van de lebesgue-integraal en in Andrei Kolmogorovs axiomatisering van de kansrekening. In de integraalrekening staat het specificeren van een maat het toe om integralen te defini\xc3\xabren op ruimten die algemener zijn dan deelverzamelingen van de euclidische ruimte. Verder zijn integralen met betrekking tot de lebesgue-maat op de euclidische ruimten algemener en hebben zij een rijkere theorie dan hun voorganger, de riemann-integraal. De kansrekening bestudeert maten die aan de gehele ruimte de maat 1 toewijzen, en beschouwt meetbare deelverzamelingen daarvan als gebeurtenissen, waarvan de kans door de maat wordt gegeven.\n_START_SECTION_\nEigenschappen\n_START_PARAGRAPH_\nUit de sigma-additiviteit van de maat kunnen verschillende eigenschappen worden afgeleid.\n_START_SECTION_\nProductmaat\n_START_PARAGRAPH_\nAls twee verzamelingen zijn uitgerust met elk een \xcf\x83-algebra en een bijhorende maat, dan bestaat er een canonieke constructie om ook hun cartesisch product van een \xcf\x83-algebra en een maat te voorzien, met de eigenschap dat de maat van een product gelijk is aan het product van de maten (met de afspraak dat )._NEWLINE_De lebesguemaat op  is de productmaat van   keer de lebesguemaat op . Ze geeft een exacte en zeer algemene definitie aan de klassieke noties oppervlakte en inhoud.\n_START_SECTION_\nVerband met integraalrekening\n_START_PARAGRAPH_\nMet elke maat komt een natuurlijk begrip "integreerbare functie" overeen. Dat zijn de functies van de dragerverzameling  naar  (of , of soms een algemenere topologische vectorruimte) die meetbaar zijn voor de gegeven \xcf\x83-algebra  en waarvan de absolute waarde kan geschreven worden als een stijgende limiet van zogenaamde enkelvoudige functies: zie Lebesgue-integraal.'