b'\n_START_ARTICLE_\nRiemann-z\xc3\xa8ta-functie\n_START_PARAGRAPH_\nIn de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Riemann-z\xc3\xa8ta-functie, genoemd naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, een belangrijke functie vooral vanwege haar verband met de verdeling van priemgetallen. De functie heeft ook toepassingen op andere terreinen, zoals de natuurkunde, kansrekening en de statistiek._NEWLINE_De Riemann-z\xc3\xa8ta-functie werd als een functie van een re\xc3\xabel argument in de eerste helft van de achttiende eeuw  ge\xc3\xafntroduceerd en bestudeerd door Leonhard Euler. In die tijd bestond er nog geen complexe functietheorie. In 1859 breidde Bernhard Riemann in zijn publicatie "\xc3\x9cber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr\xc3\xb6sse" Eulers definitie uit naar de complexe variabelen. Ook bewees hij de meromorfe voortzetting, definieerde hij de functionaalvergelijking van de Riemann-z\xc3\xa8ta-functie en stelde hij een relatie vast tussen haar nulpunten en de de verdeling van priemgetallen._NEWLINE_De waarden van de Riemann-z\xc3\xa8ta-functie op even positieve gehele getallen werden al berekend door Euler. De eerste ervan, \xce\xb6(2), biedt een oplossing voor het Bazel-probleem. In 1979 bewees Roger Ap\xc3\xa9ry de irrationaliteit van \xce\xb6(3). De waarden op negatieve gehele getallen, ook gevonden door Euler, zijn rationale getallen en spelen een belangrijke rol in de theorie van de modulaire vormen. Er bestaan veel veralgemeningen van de Riemann-z\xc3\xa8ta-functie, zoals de Dirichletreeks, Dirichlet-L-functies en L-functies.'