b'\n_START_ARTICLE_\nRegelmatig veelvlak\n_START_PARAGRAPH_\nEen regelmatig veelvlak of platonisch lichaam is een veelvlak waarvan de zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. Regelmatige veelvlakken zijn convex en alle hoeken tussen de vlakken zijn onderling gelijk. Er bestaan vijf regelmatige veelvlakken. De kubus is het bekendste voorbeeld. De vijf zijn: het viervlak, de kubus, de octa\xc3\xabder, de dodeca\xc3\xabder en de icosa\xc3\xabder.\n_START_SECTION_\nGeschiedenis\n_START_PARAGRAPH_\nDe regelmatige veelvlakken worden sinds de romantiek ook wel platonische lichamen genoemd, omdat ze voor het eerst door Plato zijn beschreven. Pythagoras wist in 520 v.Chr. al van het bestaan van drie van de vijf regelmatige veelvlakken af: het viervlak, de kubus en de dodeca\xc3\xabder. Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. Kepler bracht ze twee millennia later, in de tussentijd waren de halfregelmatige veelvlakken al ontdekt, in verband met de structuur van het zonnestelsel. In die tijd waren behalve de Aarde slechts vijf planeten bekend. Daarin vergiste hij zich.\n_START_SECTION_\nDe vijf regelmatige veelvlakken\n_START_PARAGRAPH_\nEuclides wist al dat er vijf convexe regelmatige veelvlakken waren._NEWLINE_Dit valt in te zien met het volgende bewijs:_NEWLINE_Een regelmatig veelvlak wordt volledig bepaald door het soort van regelmatige veelhoek en het aantal van die veelhoeken, dat in een hoekpunt bij elkaar komt. Bovendien moeten de hoeken die in \xc3\xa9\xc3\xa9n hoek samenkomen samen minder dan 360\xc2\xb0 zijn. Dit kunnen drie driehoeken: 3\xc3\x9760\xc2\xb0=180\xc2\xb0, vier driehoeken 240\xc2\xb0 of vijf driehoeken 300\xc2\xb0 zijn, maar niet meer. Het kunnen ook drie vierkanten: 3\xc3\x9790\xc2\xb0=270\xc2\xb0 of drie vijfhoeken: 3\xc3\x97108\xc2\xb0=324\xc2\xb0 zijn. Lichamen met zes driehoeken: 6\xc3\x9760\xc2\xb0=360\xc2\xb0, vier vierkanten: 4\xc3\x9790\xc2\xb0=360\xc2\xb0, met drie zeshoeken: 3\xc3\x97120\xc2\xb0=360\xc2\xb0 of met regelmatige veelhoeken met nog meer hoeken zijn onmogelijk._NEWLINE_Er zijn ontaarde regelmatige veelvlakken denkbaar met maar twee zijvlakken in een hoekpunt of zes driehoeken in ieder hoekpunt. In beide gevallen wordt het een platte figuur,\n_START_SECTION_\nOnderlinge relatie\n_START_PARAGRAPH_\nVerbindt men de middens van de zijvlakken van een veelvlak met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een ander veelvlak. Een viervlak blijft een viervlak, maar een kubus wordt een octa\xc3\xabder en omgekeerd. Een dodeca\xc3\xabder wordt een icosa\xc3\xabder en omgekeerd. De kubus en de octa\xc3\xabder zijn het duale veelvlak van elkaar, de dodeca\xc3\xabder en de icosa\xc3\xabder ook._NEWLINE_Kiest men vier hoekpunten van een kubus, zodanig dat geen twee hoekpunten op dezelfde ribbe van de kubus liggen, en verbindt men ze met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een regelmatig viervlak._NEWLINE_Er kunnen met ieder regelmatig veelvlak drie bollen worden geassocieerd: de ingeschreven bol rakend aan de zijvlakken, de bol rakend aan de ribben en de omgeschreven bol rakend aan de hoekpunten.\n_START_SECTION_\nVeelvlakken met een ingewikkelder structuur\n_START_PARAGRAPH_\nBehalve regelmatige bestaan er ook halfregelmatige veelvlakken._NEWLINE_Bij een ruimere definitie van veelvlak, waaronder ook zelfdoorsnijdende en samengestelde veelvlakken vallen, is een regelmatig veelvlak een veelvlak dat hoekpunt-, ribbe- en zijvlaktransitief is. Er zijn dan 14 regelmatige veelvlakken: de vijf regelmatige veelvlakken, die het onderwerp van dit artikel zijn, de vier kepler-poinsot-lichamen en vijf regelmatige samengestelde veelvlakken.'