b'\n_START_ARTICLE_\nVarietat (matem\xc3\xa0tiques)\n_START_SECTION_\nAltres corbes\n_START_PARAGRAPH_\nLes varietats no necess\xc3\xa0riament han de ser connexes (tot "d\'una pe\xc3\xa7a"); un exemple \xc3\xa9s un parell de circumfer\xc3\xa8ncies separades. No cal que siguin tancades; aix\xc3\xad un segment de recta sense els seus punts extrems \xc3\xa9s una varietat. I s\xc3\xb3n no numerables; aix\xc3\xad una par\xc3\xa0bola \xc3\xa9s una varietat. Combinant aquestes possibilitats, dos exemples m\xc3\xa9s de varietats s\xc3\xb3n: una hip\xc3\xa8rbola (dues peces obertes, infinites) i el lloc geom\xc3\xa8tric de punts de la corba c\xc3\xbabica y\xc2\xb2\xc2\xa0=\xc2\xa0x\xc2\xb3\xe2\x88\x92x (una pe\xc3\xa7a formant un lla\xc3\xa7 tancat i una pe\xc3\xa7a oberta infinita)._NEWLINE_Tanmateix, s\'exclouen de ser varietats exemples com dos cercles que es toquen en un \xc3\xbanic punt per formar un figura de 8; perqu\xc3\xa8 fins i tot amb la deformaci\xc3\xb3 que permet la topologia, en el punt compartit no es pot crear una carta satisfact\xc3\xb2ria. La proximitat del punt compartit s\'assembla a un encreuament "+", i no una l\xc3\xadnia (un + no \xc3\xa9s homeomorf a un interval tancat (segment de recta), ja que suprimint el punt central del + d\xc3\xb3na un espai amb quatre components (\xc3\xa9s a dir peces) mentre que suprimint un punt d\'un interval tancat d\xc3\xb3na un espai amb dues peces com a m\xc3\xa0xim; les operacions topol\xc3\xb2giques sempre conserven el nombre de peces).\n_START_SECTION_\nCercle enriquit\n_START_PARAGRAPH_\nEnriquint una varietat a base d\'afegir-li altes estructures s\'obtenen diferents tipus de varietats._NEWLINE_Des del punt de vista del c\xc3\xa0lcul infinitesimal, la funci\xc3\xb3 de transici\xc3\xb3 de la circumfer\xc3\xa8ncia T (\xc3\xa9s a dir la funci\xc3\xb3 que fa correspondre als punts del cercle els del segment) \xc3\xa9s simplement una funci\xc3\xb3 entre intervals oberts, aix\xc3\xb2 d\xc3\xb3na significat a l\'afirmaci\xc3\xb3 de qu\xc3\xa8 T \xc3\xa9s diferenciable. La funci\xc3\xb3 de transici\xc3\xb3 T \xc3\xa9s diferenciable a (0, 1); per aix\xc3\xb2, amb aquest atles el cercle \xc3\xa9s una varietat diferenciable. Tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s cont\xc3\xadnuament derivable i anal\xc3\xadtic perqu\xc3\xa8 aquesta funci\xc3\xb3 de transici\xc3\xb3 tamb\xc3\xa9 t\xc3\xa9 aquestes propietats._NEWLINE_Altres propietats de la circumfer\xc3\xa8ncia permeten satisfer els requisits de tipus m\xc3\xa9s especialitzats de varietat. Per exemple, la circumfer\xc3\xa8ncia permet la noci\xc3\xb3 de dist\xc3\xa0ncia entre dos punts: la llargada de l\'arc entre els punts; per aix\xc3\xb2 \xc3\xa9s una varietat riemanniana.\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb2ria\n_START_PARAGRAPH_\nL\'estudi de les varietats combina moltes \xc3\xa0rees importants de matem\xc3\xa0tiques: generalitza conceptes com el de corba i superf\xc3\xadcie i els combina amb idees procedents de l\'\xc3\xa0lgebra lineal i la topologia.\n_START_SECTION_\nS\xc3\xadntesi\n_START_PARAGRAPH_\nLes investigacions de Niels Henrik Abel i Carl Gustav Jacob Jacobi sobre inversi\xc3\xb3 d\'integrals el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques en la primera part dl segle XIX els portaren a estudiar tipus especials de varietats complexes, ara conegudes com a Jacobianes. Bernhard Riemann contribu\xc3\xafa a la seva teoria, aclarint el significat geom\xc3\xa8tric del proc\xc3\xa9s de extensi\xc3\xb3 anal\xc3\xadtica de funcions de variables complexes, encara que aquestes idees eren fo\xc3\xa7a avan\xc3\xa7ades al seu temps._NEWLINE_Una altra font important de varietats en les matem\xc3\xa0tiques del segle XIX va ser la mec\xc3\xa0nica anal\xc3\xadtica, tal com la van desenvolupar Sim\xc3\xa9on Denis Poisson, Jacobi, i William Rowan Hamilton. Els estats possibles d\'un sistema mec\xc3\xa0nic es veuen com a punts d\'un espai abstracte, l\'espai de fase en les formulacions lagrangiana i hamiltoniana de la mec\xc3\xa0nica cl\xc3\xa0ssica. Aquest espai \xc3\xa9s, de fet, una varietat de dimensi\xc3\xb3 superior, la seva dimensi\xc3\xb3 correspon als graus de llibertat del sistema i els punts s\'especifiquen per les seves coordenades generalitzades. Per a un moviment sense restriccions de part\xc3\xadcules lliures la varietat \xc3\xa9s equivalent a l\'espai euclidi\xc3\xa0, per\xc3\xb2 les diverses lleis de conservaci\xc3\xb3 el restringeixen a formacions m\xc3\xa9s complicades. La teoria d\'un cos s\xc3\xb2lid que gira, desenvolupada al segle XVIII per Leonhard Euler i Joseph Lagrange, d\xc3\xb3na un exemple on la varietat \xc3\xa9s no trivial. Els aspectes geom\xc3\xa8trics i topol\xc3\xb2gics de la mec\xc3\xa0nica cl\xc3\xa0ssica van ser emfasitzats per Henri Poincar\xc3\xa9, un dels fundadors de la topologia._NEWLINE_Riemann va ser el primer de fer un treball extensiu que generalitza la idea d\'una superf\xc3\xadcie a dimensions superiors. El nom catal\xc3\xa0 varietat ve del terme alemany original de Riemann, Mannigfaltigkeit (multiplicitat, varietat, diversitat) en angl\xc3\xa8s en diuen "manifolds" perqu\xc3\xa8 William Kingdon Clifford va traduir "Mannigfaltigkeit" com "manifoldness". En la seva confer\xc3\xa8ncia inaugural de G\xc3\xb6ttingen, Riemann descrivia el conjunt de tots els valors possibles d\'una variable amb certes restriccions com a "Mannigfaltigkeit", perqu\xc3\xa8 la variable pot tenir una "varietat" de valors. Distingeix entre "stetige Mannigfaltigkeit" i "diskrete Mannigfaltigkeit" (varietat de valors continua i varietat de valors discontinua), depenent de si els valor canvien cont\xc3\xadnuament o no. Com a exemples continus, Riemann es refereix a no nom\xc3\xa9s a colors i les localitzacions d\'objectes en espai, sin\xc3\xb3 tamb\xc3\xa9 a les formes possibles de la figura en l\'espai. Emprant la inducci\xc3\xb3 matem\xc3\xa0tica, Riemann construeix un n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit (varietats esteses n vegades o varietats n-dimensionals) com una pila cont\xc3\xadnua de varietats (n - 1)-dimensionals. La idea intu\xc3\xaftiva de Riemann d\'un "Mannigfaltigkeit" ha evolucionat en el que avui es coneix com a varietat. A les varietats riemannianes i a les superf\xc3\xadcies de Riemann se\'ls anomena aix\xc3\xad en honor a Bernhard Riemann._NEWLINE_Hermann Weyl va donar una definici\xc3\xb3 intr\xc3\xadnseca per a varietats diferenciables en el seu curs sobre superf\xc3\xadcies de Riemann en 1911-1912, obrint el cam\xc3\xad al concepte general d\'espai topol\xc3\xb2gic que es desenvoluparia en breu. Durant els anys 1930 Hassler Whitney i altres aclarien els aspectes fonamentals del tema, i aix\xc3\xad les intu\xc3\xafcions que es remuntaven a l\'\xc3\xbaltima meitat del segle XIX esdevenien precises, i es desenvolupaven a trav\xc3\xa9s de la geometria diferencial i la teoria de grups de Lie.\n_START_SECTION_\nTopologia de varietats\n_START_PARAGRAPH_\nLes varietats bidimensionals, tamb\xc3\xa9 conegudes com a superf\xc3\xadcies, van ser tractades per Riemann amb l\'enfocament de superf\xc3\xadcies de Riemann. Poul Heegaard i Max Dehn les van classificar rigorosament a comen\xc3\xa7aments del segle XX. Henri Poincar\xc3\xa9 fou pioner en l\'estudi de varietats tridimensionals i plantejava una q\xc3\xbcesti\xc3\xb3 fonamental sobre elles, que avui es coneix com la conjectura Poincar\xc3\xa9. Despr\xc3\xa9s de gaireb\xc3\xa9 un segle d\'esfor\xc3\xa7 de molts matem\xc3\xa0tics, comen\xc3\xa7ant amb Poincar\xc3\xa9 mateix, el consens entre els experts (a partir de 2006) \xc3\xa9s que Grigori Perelman ha demostrat la conjectura Poincar\xc3\xa9 (vegeu soluci\xc3\xb3 de la conjectura Poincar\xc3\xa9). El programa de geometrizaci\xc3\xb3 de Bill Thurston, formulat durant els anys 1970, proporcionava una ampliaci\xc3\xb3 de gran abast de la conjectura Poincar\xc3\xa9 a les varietats tridimensionals generals. Les varietats de dimensi\xc3\xb3 quatre assolien el primer pla d\'investigaci\xc3\xb3 matem\xc3\xa0tica durant els anys 1980 per Michael Freedman i en una escena diferent, per Simon Donaldson, qui estava motivat pels progressos recents en f\xc3\xadsica te\xc3\xb2rica (teoria de gauge), on serveixen com a substitut de l\'espaitemps \'pla\' ordinari. Anteriorment, Ren\xc3\xa9 Thom, John Milnor, Stephen Smale i Sergei Novikovhavien fet treballs importants en varietats de dimensi\xc3\xb3 superior, incloent-hi analogies de la conjectura de Poincar\xc3\xa9. Una de les t\xc3\xa8cniques m\xc3\xa9s penetrants i flexibles subjacent a molt del treball sobre varietats topol\xc3\xb2giques \xc3\xa9s la teoria de Morse.\n_START_SECTION_\nCartes, atles, i funcions de transici\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nLa Terra esf\xc3\xa8rica es navega utilitzant mapes plans o cartes, recollides en un atles. De forma similar, una varietat diferenciable es pot descriure utilitzant funcions, anomenades cartes coordenades, recollides en un atles matem\xc3\xa0tic. Generalment No \xc3\xa9s possible descriure una varietat nom\xc3\xa9s amb una carta, perqu\xc3\xa8 l\'estructura global de la varietat \xc3\xa9s diferent de l\'estructura simple de les cartes. Per exemple, cap mapa pla \xc3\xbanic pot representar pr\xc3\xb2piament la Terra sencera. Quan una varietat es construeix a partir de m\xc3\xbaltiples cartes que s\'encavalquen, les regions on s\'encavalquen comporten informaci\xc3\xb3 essencial per a entendre l\'estructura global.\n_START_SECTION_\nCartes\n_START_PARAGRAPH_\nUna funci\xc3\xb3 de coordenades, una carta de coordenades, o simplement una carta, d\'una varietat \xc3\xa9s una funci\xc3\xb3 matem\xc3\xa0tica invertible entre un subconjunt de la varietat i un espai simple tal que tant la funci\xc3\xb3 com la seva inversa conserven l\'estructura pel cas d\'una varietat topol\xc3\xb2gica, l\'espai simple \xc3\xa9s algun espai euclidi\xc3\xa0 R\xe2\x81\xbf i l\'inter\xc3\xa8s se centra en l\'estructura topol\xc3\xb2gica. Aquesta estructura es conserva pels homeomorfismes: funcions invertibles que s\xc3\xb3n cont\xc3\xadnues en les dues direccions._NEWLINE_En el cas d\'una varietat diferenciable, un conjunt de cartes anomenats un atles permeten aplicar el c\xc3\xa0lcul infinitesimal a les varietats. Per exemple, les coordenades polars, formen una carta del pla R\xc2\xb2 traient l\'eix d\'abscisses positiu i l\'origen. Un altre exemple d\'una carta \xc3\xa9s la funci\xc3\xb3 \xcf\x87dalt esmentada en la secci\xc3\xb3 de m\xc3\xa9s amunt que \xc3\xa9s una carta pel cercle.\n_START_SECTION_\nAtles\n_START_PARAGRAPH_\nLa descripci\xc3\xb3 de la majoria de les varietats exigeix m\xc3\xa9s d\'una carta (una \xc3\xbanica carta \xc3\xa9s adequada nom\xc3\xa9s per les varietats m\xc3\xa9s simples). S\'anomena un atles a una col\xc2\xb7lecci\xc3\xb3 espec\xc3\xadfica de cartes que cobreix una varietat. Un atles no \xc3\xa9s \xc3\xbanic mentre donat que toes les varietats es poden cobrir de m\xc3\xbaltiples maneres fent servir diferents combinacions de cartes. Dos atles es diu que s\xc3\xb3n C\xe1\xb5\x8f equivalents si la seva uni\xc3\xb3 tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s un atles C\xe1\xb5\x8f._NEWLINE_L\'atles que cont\xc3\xa9 totes les cartes possibles coherents amb un atles donat s\'anomena l\'atles m\xc3\xa0xim (\xc3\xa9s a dir una classe d\'equival\xc3\xa8ncia que cont\xc3\xa9 l\'atles donat sota la relaci\xc3\xb3 d\'equival\xc3\xa8ncia definida en el par\xc3\xa0graf previ). A difer\xc3\xa8ncia d\'un atles ordinari, l\'atles m\xc3\xa0xim d\'una varietat donada \xc3\xa9s \xc3\xbanic. Encara que \xc3\xa9s \xc3\xbatil per a definicions, \xc3\xa9s un objecte abstracte i no es fa servir directament (per exemple en c\xc3\xa0lcul infinitesimal).\n_START_SECTION_\nFuncions de transici\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nLes cartes d\'un atles es poden encavalcar i pot resultar que un \xc3\xbanic punt d\'una varietat es representi en unes quantes cartes al mateix temps. Si dues cartes s\'encavalquen, hi ha parts seves que representen la mateixa regi\xc3\xb3 de la varietat, tal com un mapa d\'Europa i un mapa d\'\xc3\x80sia poden contenir Moscou tots dos. Donades dues cartes que s\'encavalquen, es pot definir una funci\xc3\xb3 de transici\xc3\xb3 que va d\'una bola oberta a R\xe2\x81\xbf a la varietat i llavors retrocedeix a un altre (o potser la mateixa) bola oberta a R\xe2\x81\xbf. La funci\xc3\xb3 que en resulta, com la funci\xc3\xb3 T en l\'exemple de la circumfer\xc3\xa8ncia de m\xc3\xa9s amunt, s\'anomena un canvi de coordenades, una transformaci\xc3\xb3 de coordenades, una funci\xc3\xb3 de transici\xc3\xb3, o un mapa de transici\xc3\xb3.\n_START_SECTION_\nEstructura addicional\n_START_PARAGRAPH_\nUn atles tamb\xc3\xa9 es pot fer servir per definir estructura addicional en la varietat. L\'estructura es defineix primer a cada carta separadament. Si tots els mapes de transici\xc3\xb3 s\xc3\xb3n compatibles amb aquesta estructura, l\'estructura es transfereix a la varietat._NEWLINE_Quest \xc3\xa9s la forma est\xc3\xa0ndard de definir les varietats diferenciables. Si les funcions de transici\xc3\xb3 d\'un atles d\'una varietat topol\xc3\xb2gica conserven l\'estructura diferencial natural de R\xe2\x81\xbf (\xc3\xa9s a dir, si s\xc3\xb3n difeomorfismes), l\'estructura diferencial es transfereix a la varietat i la converteix en una varietat diferenciable. Les varietats complexes es defineixen d\'una manera an\xc3\xa0loga exigint que les funcions de transici\xc3\xb3 d\'un atles siguin funcions holomorfes._NEWLINE_L\'estructura en la varietat dep\xc3\xa8n de l\'atles, per\xc3\xb2 de vegades hi ha atles diferents que causen a la mateixa estructura. Tals atles s\'anomenen compatibles._NEWLINE_Aquestes idees es fan precises en general amb l\'\xc3\xbas de pseudogrups.\n_START_SECTION_\nConstrucci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nUna \xc3\xbanica varietat es pot construir de maneres diferents, cada una accentua un aspecte diferent de la varietat, aix\xc3\xad condueix a un punt de vista lleugerament diferent.\n_START_SECTION_\nCartes\n_START_PARAGRAPH_\nPotser la manera m\xc3\xa9s simple de construir una varietat \xc3\xa9s la que s\'ha fet servir a l\'exemple de dalt de la circumfer\xc3\xa8ncia. Primer, s\'identifica un subconjunt de R\xc2\xb2, i llavors es construeix un atles que cobreix aquest subconjunt. El concepte de varietat va cr\xc3\xa9ixer hist\xc3\xb2ricament des de construccions com aquesta. Aqu\xc3\xad es presenta un altre exemple, aplicant aquest m\xc3\xa8tode a la construcci\xc3\xb3 d\'una superf\xc3\xadcie esf\xc3\xa8rica:\n_START_SECTION_\nApeda\xc3\xa7at\n_START_PARAGRAPH_\nUna varietat es pot construir enganxant peces de forma coherent, convertint-les en cartes que s\'encavalquen. Aquesta construcci\xc3\xb3 \xc3\xa9s possible per qualsevol varietat i per aix\xc3\xb2 s\'utilitza sovint com a caracteritzaci\xc3\xb3, especialment per varietats diferenciable i varietats riemannianes. Se centra en un atles, com que els peda\xc3\xa7os proporcionen cartes de forma natural, i com que no hi ha cap espai exterior implicat aix\xc3\xb2 condueix a una visi\xc3\xb3 intr\xc3\xadnseca de la varietat. _NEWLINE_La varietat es construeix especificant un atles, el qual ve definit per les funcions de transici\xc3\xb3. per aix\xc3\xb2 un punt de la varietat \xc3\xa9s una classe d\'equival\xc3\xa8ncia dels punts que es corresponen els uns amb els altres per les funcions de transici\xc3\xb3. Cada carta fa correspondre les classes d\'equival\xc3\xa8ncia a punts d\'un \xc3\xbanic peda\xc3\xa7. Normalment hi ha demandes dures sobre la consist\xc3\xa8ncia de les funcions de transici\xc3\xb3. Per a varietats topol\xc3\xb2giques s\'exigeix que siguin homeomorfismes; si tamb\xc3\xa9 s\xc3\xb3n difeomorfismes, la varietat que en resulta \xc3\xa9s una varietat diferenciable._NEWLINE_Aix\xc3\xb2 es pot il\xc2\xb7lustrar amb la funci\xc3\xb3 de transici\xc3\xb3 t = \xc2\xb9\xe2\x81\x84\xe2\x82\x9b de la segona meitat de l\'exemple de la circumfer\xc3\xa8ncia. Es comen\xc3\xa7a amb dues c\xc3\xb2pies de la l\xc3\xadnia. Es fa servir la coordenada s per a la primera c\xc3\xb2pia, i t per a la segona copia. Llavors, s\'enganxen les dues c\xc3\xb2pies identificant el punt t de la segona c\xc3\xb2pia amb el punt \xc2\xb9\xe2\x81\x84\xe2\x82\x9b de la primera c\xc3\xb2pia (el punt t = 0 no s\'identifica amb cap punt de la primera c\xc3\xb2pia). Aix\xc3\xb2 d\xc3\xb3na una circumfer\xc3\xa8ncia.\n_START_SECTION_\nPunt de vista intr\xc3\xadnsec i extr\xc3\xadnsec\n_START_PARAGRAPH_\nLa primera construcci\xc3\xb3 i aquesta construcci\xc3\xb3 s\xc3\xb3n molt similars, per\xc3\xb2 representen punts de vista bastant diferents. En la primera construcci\xc3\xb3, la varietat es veu com submergida en algun espai euclidi\xc3\xa0. Aquesta \xc3\xa9s la vista extr\xc3\xadnseca. Quan una varietat es veu d\'aquesta manera, \xc3\xa9s f\xc3\xa0cil d\'utilitzar la intu\xc3\xafci\xc3\xb3 des d\'espais euclidians per definir estructura addicional. Per exemple, en un espai euclidi\xc3\xa0 \xc3\xa9s sempre clar si un vector \xc3\xa9s tangent o normal a una superf\xc3\xadcie en un punt donat._NEWLINE_La construcci\xc3\xb3 d\'apeda\xc3\xa7ament no necessita submergir, sin\xc3\xb3 que simplement veu la varietat com a espai topol\xc3\xb2gic per si mateix. Aquest punt de vista abstracte s\'anomena el punt de vista intr\xc3\xadnsec. Aix\xc3\xb2 pot fer m\xc3\xa9s dur imaginar-se qu\xc3\xa8 podria ser un vector tangent.\n_START_SECTION_\nProductes cartesians\n_START_PARAGRAPH_\nEl producte cartesi\xc3\xa0 de varietats \xc3\xa9s tamb\xc3\xa9 una varietat. _NEWLINE_La dimensi\xc3\xb3 de la varietat del producte \xc3\xa9s la suma de les dimensions dels seus factors. La seva topologia \xc3\xa9s la topologia producte, i un producte cartesi\xc3\xa0 de cartes \xc3\xa9s una carta de la varietat de producte. Aix\xc3\xad, un atles de la varietat de producte es pot construir fent servir atles per als seus factors. Si aquests atles defineixen una estructura diferencial en els factors, l\'atles corresponent defineix una estructura diferencial en la varietat producte. El mateix \xc3\xa9s cert per a qualsevol altra estructura definida en els factors. Si un dels factors t\xc3\xa9 un l\xc3\xadmit, la varietat de producte tamb\xc3\xa9 t\xc3\xa9 un l\xc3\xadmit. Els productes cartesians es poden fer servir per construir tors i cilindres finits, per exemple, com S\xc2\xb9\xc2\xa0\xc3\x97\xc2\xa0S\xc2\xb9 i S\xc2\xb9\xc2\xa0\xc3\x97\xc2\xa0[0,\xc2\xa01], respectivament.\n_START_SECTION_\nVarietat amb frontera\n_START_PARAGRAPH_\nUna varietat amb frontera \xc3\xa9s una varietat amb un cant\xc3\xb3. Per exemple un full amb cantonades arrodonides \xc3\xa9s una 2-varietat amb un frontera unidimensional. La frontera d\'una n-varietat \xc3\xa9s una (n-1)-varietat. Un cercle (circumfer\xc3\xa8ncia m\xc3\xa9s l\'interior) \xc3\xa9s una 2-varietat amb frontera. La seva frontera \xc3\xa9s una circumfer\xc3\xa8ncia, una 1-varietat. Una bola (esfera que inclou l\'interior) \xc3\xa9s una 3-varietat amb frontera. La seva frontera \xc3\xa9s una superf\xc3\xadcie esf\xc3\xa8rica, una 2-varietat. (Vegeu tamb\xc3\xa9 frontera (topologia))._NEWLINE_En el llenguatge t\xc3\xa8cnic, una varietat amb frontera \xc3\xa9s un espai que cont\xc3\xa9 tant punts interiors com punts de la frontera. Tots els punts interiors tenen un entorn homeomorf a la n-bola oberta {(x\xe2\x82\x81, x\xe2\x82\x82, \xe2\x80\xa6, x\xe2\x82\x99) | \xce\xa3 x\xe1\xb5\xa2\xc2\xb2 < 1}. Tots els punts de la frontera tenen un entorn homeomorf a la "mitja" n-bola de {(x\xe2\x82\x81, x\xe2\x82\x82, \xe2\x80\xa6, x\xe2\x82\x99) | \xce\xa3 x\xe1\xb5\xa2\xc2\xb2 < 1 and x\xe2\x82\x81 \xe2\x89\xa5 0}. L\'homeomorfisme ha d\'assignar als punts de la frontera un punt amb x\xe2\x82\x81 = 0.\n_START_SECTION_\nG\xc3\xa8nere i caracter\xc3\xadstica d\'Euler\n_START_PARAGRAPH_\nPer a les varietats bidimensionals, una propietat invariable clau \xc3\xa9s el g\xc3\xa8nere, o el "nombre de nanses" que hi ha en una superf\xc3\xadcie. Un tor \xc3\xa9s una esfera amb una nansa, un tor doble \xc3\xa9s una esfera amb dues nanses, etc\xc3\xa8tera. En efecte \xc3\xa9s possible caracteritzar plenament les varietats compactes bidimensionals en base al g\xc3\xa8nere i l\'orientabilitat. En les varietats de dimensi\xc3\xb3 superior el g\xc3\xa8nere es reempla\xc3\xa7a per la idea de caracter\xc3\xadstica d\'Euler.\n_START_SECTION_\nAplicacions de les varietats\n_START_PARAGRAPH_\nLes aplicacions de les varietats en matem\xc3\xa0tiques s\xc3\xb3n nombroses. S\'esmentaran nom\xc3\xa9s alguns exemples. Per comen\xc3\xa7ar, l\'an\xc3\xa0lisi real cl\xc3\xa0ssic i l\'an\xc3\xa0lisi funcional han vist estendre\'s el seu terreny d\'investigaci\xc3\xb3 de forma l\xc3\xb2gica dels espais vectorials topol\xc3\xb2gics a les varietats. Igualment, els processos estoc\xc3\xa0stics, per exemple en el moviment browni\xc3\xa0, s\'estenen dels espais reals de dimensi\xc3\xb3 finita a les varietats. Les varietats tamb\xc3\xa9 apareixen de manera espor\xc3\xa0dica en estad\xc3\xadstica. Encara m\xc3\xa9s, hi ha conjunts interessants que tenen a la vegada una estructura algebraica i una estructura de varietat compatibles. Aix\xc3\xad el conjunt de les rotacions en un espai de 3 dimensions forma una 3-varietat i un grup. La teoria dels grups de Lie estudia aquestes varietats amb propietats algebraiques. La teoria dels espais homogenis estudia les seves accions transitives.'