b"\n_START_ARTICLE_\nTeorema de les unitats de Dirichlet\n_START_PARAGRAPH_\nEn teoria de nombres algebraics, el teorema de les unitats de Dirichlet determina l'estructura del grup de les unitats d'un cos de nombres dels enters algebraics d'un cos de nombres K . El grup de les unitats designa el conjunt dels elements invertibles d'un anell commutatiu unitari. Un cos de nombres \xc3\xa9s una extensi\xc3\xb3 finita dels nombres racionals Q , \xc3\xa9s a dir un subcos dels nombres complexos C que, en tant que espai vectorial sobre Q \xc3\xa9s de dimensi\xc3\xb3 finita. Un enter algebraic del cos de nombres \xc3\xa9s un element el polinomi m\xc3\xadnim del qual \xc3\xa9s de coeficients en Z, l'anell dels nombres enters._NEWLINE_El teorema de les unitats estipula que el grup de les unitats \xc3\xa9s isomorf al producte d'un grup c\xc3\xadclic i d'un grup abeli\xc3\xa0 finit. Si r\xe2\x82\x81 designa el nombre de morfismes injectius del cos K en R el cos dels nombres reals i r\xe2\x82\x82 el nombre de parelles de morfismes injectius conjugats del cos K en el conjunt C , llavors la dimensi\xc3\xb3 del grup finit \xc3\xa9s igual a r\xe2\x82\x81 + r\xe2\x82\x82 - 1. El grup c\xc3\xadclic \xc3\xa9s un subgrup del grup de les arrels de la unitat.\n_START_SECTION_\nPreliminars\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\xa9s equivalent al de l'an\xc3\xa0lisi del grup de les classes d'ideals d'OK. Breument:_NEWLINE_Els elements del grup de Galois del cos de descomposici\xc3\xb3 de K (l'extensi\xc3\xb3 de Galois m\xc3\xa9s petita que cont\xc3\xa9 K ) es noten \xcf\x83\xe2\x82\x81... \xcf\x83d. La numeraci\xc3\xb3 segueix l'ordre seg\xc3\xbcent: els automorfismes amb valors reals es numeren d'1 a r\xe2\x82\x81, si 2r\xe2\x82\x82 designa el nombre d'automorfismes que tenen un component imaginari no nul, llavors el conjugat de la funci\xc3\xb3 \xcf\x83\xe1\xb5\xa3\xe2\x82\x81 \xe2\x82\x8a \xe2\x82\x99 \xc3\xa9s \xcf\x83\xe1\xb5\xa3\xe2\x82\x81 \xe2\x82\x8a \xe1\xb5\xa3\xe2\x82\x82 \xe2\x82\x8a \xe2\x82\x99._NEWLINE_El conjunt KR designa l'espai vectorial R\xca\xb3\xc2\xb9 x C\xca\xb3\xc2\xb2 i \xce\xa3 el morfisme de Q \xc3\xa0lgebra seguint:_NEWLINE_es defineix igualment una funci\xc3\xb3 NR de KR amb valors en R per:_NEWLINE_La norma NR correspon a la mitjana geom\xc3\xa8trica dels diferents valors absoluts o m\xc3\xb2duls si la coordenada \xc3\xa9s complexa._NEWLINE_Si NK designa la funci\xc3\xb3 que a un element de K li associa la seva norma relativa element de Q , s'obt\xc3\xa9 el diagrama commutatiu:_NEWLINE_Es proveeix KR de la norma seg\xc3\xbcent:\n_START_SECTION_\nImatge i nucli del morfisme restringit a E(K)\n_START_PARAGRAPH_\nL'isomorfisme ve donat per l'aplicaci\xc3\xb3\xc2\xa0:   La imatge est\xc3\xa0 indexada per a immersi\xc3\xb3 dels reals de K (r primers components), i per la tria d'un representant de cada parella de immersi\xc3\xb3 complex conjugat (s \xc3\xbaltims components)._NEWLINE_La idea de la demostraci\xc3\xb3 \xc3\xa9s d'ensenyar que les arrels de la unitat formen el nucli d'aquest morfisme, i que la imatge \xc3\xa9s una graella d'un hiperpl\xc3\xa0 de l'espai d'arribada, via el teorema de Minkowski._NEWLINE_Aquesta caracteritzaci\xc3\xb3 de r\xe2\x82\x81 i de r\xe2\x82\x82 es basa en el fet que existeixen n maneres d'incloure (o de submergir, d'aqu\xc3\xad el terme immerssi\xc3\xb3 ) K al cos dels nombres complexos, on  \xc3\xa9s el grau del cos K . Aquestes immersions poden ser incloses al cos dels nombres reals, o posen no ser-ho pas; i aquest \xc3\xbaltim tipus d'immersi\xc3\xb3 succeeix per parells enlla\xc3\xa7ades per la conjugaci\xc3\xb3 complexa. Aix\xc3\xad\xc2\xa0: ._NEWLINE_En el cas d'un cos quadr\xc3\xa0tic real, el rang del grup de les unitats \xc3\xa9s doncs 1 (0 en el cas complex). La teoria de les unitats per als cossos quadr\xc3\xa0tics reals \xc3\xa9s essencialment la teoria de l'equaci\xc3\xb3 de Pell-Fermat. Per a tot cos de nombres diferent de  ell mateix i els cossos quadr\xc3\xa0tics imaginaris, el rang del grup de les unitats \xc3\xa9s >0._NEWLINE_La mida de les unitats es mesura per un cert determinant, anomenat regulador. D'altra banda, el c\xc3\xa0lcul de bases per a la part lliure del grup de les unitats \xc3\xa9s efectiva, per\xc3\xb2 xoca a la pr\xc3\xa0ctica amb la complexitat dels c\xc3\xa0lculs a mesura que el grau del cos K augmenta (els problemes sobrevenen generalment abans del grau 100)._NEWLINE_El teorema admet generalitzacions en diversos eixos: estudi del grup de les S-unitats , per a S un conjunt d'ideals primers, \xc3\xa9s a dir, grollerament parlant, dels elements els components dels quals seguint tots els factors s\xc3\xb3n inversibles, excepte un cert nombre prescrit; o molts car\xc3\xa0cters per a l'acci\xc3\xb3 d'un grup de Galois sobre aquests grups d'unitats."