b"\n_START_ARTICLE_\nTeorema del punt fix de Banach\n_START_PARAGRAPH_\nDins l'entorn d'an\xc3\xa0lisi matem\xc3\xa0tica el  teorema del punt fix de Banach  (tamb\xc3\xa9 anomenat teorema de l'aplicaci\xc3\xb3 contractiva) \xc3\xa9s una de les eines m\xc3\xa9s importants per demostrar l'exist\xc3\xa8ncia de solucions de nombrosos problemes matem\xc3\xa0tics. El teorema garanteix l'exist\xc3\xa8ncia i unicitat de punts fixos de certes funcions definides en espais m\xc3\xa8trics i proporciona un m\xc3\xa8tode per trobar-los. Deu el seu nom a Stefan Banach (1892-1945), qui va ser el primer a enunciar el 1922.\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nLa demostraci\xc3\xb3 ve donada pel fet que la successi\xc3\xb3 aix\xc3\xad definida \xc3\xa9s una successi\xc3\xb3 de Cauchy per ser la funci\xc3\xb3 contractiva. Com  X  \xc3\xa9s complet, la successi\xc3\xb3 convergeix a un  de X Per ser la funci\xc3\xb3 contractiva, \xc3\xa9s cont\xc3\xadnua i de la forma en qu\xc3\xa8 s'ha definit, es dedueix que  \xc3\xa9s un punt fix de la funci\xc3\xb3 i que \xc3\xa9s \xc3\xbanic.\n_START_SECTION_\nAplicacions\n_START_PARAGRAPH_\nEs tracta d'una eina b\xc3\xa0sica en la demostraci\xc3\xb3 de l'exist\xc3\xa8ncia de solucions d'equacions diferencials (Vegeu el teorema de Picard-Lindel\xc3\xb6f). Un altre dels usos d'aquest resultat radica en l'an\xc3\xa0lisi de sistemes din\xc3\xa0mics, que t\xc3\xa9 nombroses aplicacions, per exemple en l'estudi de models de poblaci\xc3\xb3, models ca\xc3\xb2tics, etc\xc3\xa8tera. Tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s important en l'estudi de m\xc3\xa8todes iteratius utilitzats en el c\xc3\xa0lcul num\xc3\xa8ric, per exemple en alguns problemes d'enginyeria. Fins i tot determinats fractals s\xc3\xb3n punts fixos de certes contraccions."