b'\n_START_ARTICLE_\nBrahmagupta\n_START_SECTION_\nVida\n_START_PARAGRAPH_\nSe suposa que va n\xc3\xa9ixer a Bhinmal (Rajasthan), fill de Jisnu Gupta, encara que alguns autors ho q\xc3\xbcestionen, ja que es basen en interpretacions de comentaristes posteriors. Probablement fou un adorador de Xiva._NEWLINE_L\'any del seu naixement \xc3\xa9s indubtablement el 598, ja que ell mateix diu en una de les seves obres que la va escriure l\'any 550 de l\'era Saka (o sigui, el 628 dC) quan tenia 30 anys. Tamb\xc3\xa9 menciona en una de les seves obres que era fill de Jisnu. _NEWLINE_No sabem res dels seus mestres, per\xc3\xb2 les seves fonts inclouen les obres d\'Aryabhata, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira i altres matem\xc3\xa0tics indis antics amb els quals \xc3\xa9s molt cr\xc3\xadtic._NEWLINE_Brahmagupta va arribar a ser el cap de l\'Observatori Astron\xc3\xb2mic d\'Ujjain, el m\xc3\xa9s important centre cient\xc3\xadfic de l\'\xc3\x8dndia en aquell temps.\n_START_SECTION_\nAritm\xc3\xa8tica\n_START_PARAGRAPH_\nLes quatre operacions fonamentals (addici\xc3\xb3, subtracci\xc3\xb3, multiplicaci\xc3\xb3 i divisi\xc3\xb3) ja eren conegudes en moltes cultures abans de Brahmagupta. El sistema actual est\xc3\xa0 basat en el sistema de nombres indoar\xc3\xa0bic que apareix per primer cop al Siddhanta de Brahmasputa. All\xc3\xa0 hi descriu la multiplicaci\xc3\xb3 com \xe2\x80\x9cel multiplicand \xc3\xa9s repetit com una corda per a bestiar, tants cops com a parts hi ha al multiplicador i es multiplica repetidament per aquests i els productes se sumen junts. \xc3\x89s la multiplicaci\xc3\xb3. O el multiplicand es repeteix tantes vegades com a parts hi hagi al multiplicador\xe2\x80\x9d._NEWLINE_L\'aritm\xc3\xa8tica \xc3\xadndia va ser coneguda a l\'Europa medieval com a Modus Indoram o m\xc3\xa8tode dels indis. En el Brahma Sphuta Siddhanta, la multiplicaci\xc3\xb3 va ser anomenada Gomutrika. Al comen\xc3\xa7ament de cap\xc3\xadtol dotze del llibre, titulat C\xc3\xa0lcul, Brahmagupta detalla operacions en fraccions. S\'espera que el lector conegui les operacions aritm\xc3\xa8tiques b\xc3\xa0siques, aix\xc3\xad com l\'arrel quadrada, tot i que explica com trobar el cub i l\'arrel c\xc3\xbabica d\'un enter i despr\xc3\xa9s d\xc3\xb3na regles per facilitar el c\xc3\xa0lcul de quadrats i arrels quadrades. Tamb\xc3\xa9 aporta regles per tractar cinc tipus de combinacions de fraccions, , , , , i .\n_START_SECTION_\nS\xc3\xa8rie\n_START_PARAGRAPH_\nBrahmagupta tamb\xc3\xa9 va proporcionar la suma dels quadrats i cubs del primer n enters._NEWLINE_12.20. La suma dels quadrats \xc3\xa9s aquella [suma] multiplicada per dues vegades el [nombre de] pass[es] incrementades per un [i] dividit per tres. La suma dels cubs \xc3\xa9s el quadrat d\'aquella [suma]. Piles d\'aquests amb id\xc3\xa8ntiques pilotes [tamb\xc3\xa9 poden ser comptades]._NEWLINE_Aqu\xc3\xad, Brahmagupta mostra el resultat en termes de la suma dels primers n enters, m\xc3\xa9s que en termes de n com \xc3\xa9s en la pr\xc3\xa0ctica moderna._NEWLINE_Aportava la suma dels quadrats dels primers n nombres naturals com n(n+1)(2n+1)/6 i la suma dels cubs dels primers n nombres naturals com (n(n+1)/2)\xc2\xb2.\n_START_SECTION_\nZero i nombres negatius\n_START_PARAGRAPH_\nEl Brahma Sphuta Siddhanta \xc3\xa9s el primer llibre que esmenta el zero com a nombre; per aix\xc3\xb2, Brahmagupta \xc3\xa9s considerat el primer a formular aquest concepte. Va donar regles d\'utilitzaci\xc3\xb3 del zero amb nombres negatius i positius. Zero m\xc3\xa9s un nombre positiu \xc3\xa9s un nombre positiu i afegint un nombre negatiu al zero \xc3\xa9s un nombre negatiu, etc. Al text, es tracta el zero com un nombre en si mateix, m\xc3\xa9s que com un simple marcador de d\xc3\xadgits en la representaci\xc3\xb3 d\'un altre nombre, com varen fer els babilonis o com un s\xc3\xadmbol que expressa la manca de quantitat com va fer Ptolemeu i els romans._NEWLINE_Al cap\xc3\xadtol divuit del seu Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta descriu operacions amb nombres negatius. Primer descriu l\'addici\xc3\xb3 i la subtracci\xc3\xb3,_NEWLINE_18.30. [La suma] de dos positius \xc3\xa9s positiu, de dos negatius, un negatiu; d\'un positiu i un negatiu [la suma] \xc3\xa9s la seva difer\xc3\xa8ncia; si s\xc3\xb3n iguals, ser\xc3\xa0 zero. La suma d\'un negatiu i zero \xc3\xa9s negatiu, [i] d\'un positiu i zero, \xc3\xa9s positiu, [i] de dos zeros, \xc3\xa9s zero. _NEWLINE_[...] _NEWLINE__NEWLINE_18.32. Un negatiu menys zero \xc3\xa9s negatiu, un positiu [menys zero], positiu; zero [menys zero] \xc3\xa9s zero. Quan un positiu \xc3\xa9s restat d\'un negatiu o un negatiu d\'un positiu, llavors el resultat \xc3\xa9s l\'addici\xc3\xb3. _NEWLINE_Va descriure la multiplicaci\xc3\xb3:_NEWLINE_18.33. El producte d\'un negatiu i un positiu \xc3\xa9s negatiu, de dos negatius \xc3\xa9s positiu, i de positius \xc3\xa9s positiu; el producte de zero i un negatiu, o zero i un positiu, o de dos zeros \xc3\xa9s zero. _NEWLINE_Per\xc3\xb2 la seva descripci\xc3\xb3 de divisi\xc3\xb3 entre zero difereix de la nostra comprensi\xc3\xb3 moderna:_NEWLINE_18.34. Un positiu dividit per un positiu o un negatiu dividit per un negatiu \xc3\xa9s positiu; un zero dividit per un zero \xc3\xa9s zero; un positiu dividit per un negatiu \xc3\xa9s negatiu; un negatiu dividit per un positiu \xc3\xa9s [tamb\xc3\xa9] negatiu. _NEWLINE__NEWLINE_18.35. Un negatiu o un positiu dividit per zero t\xc3\xa9 aquest [zero] com el seu divisor, o zero dividit per un negatiu o un positiu [t\xc3\xa9 aquest negatiu o positiu com el seu divisor]. El quadrat d\'un negatiu o d\'un positiu \xc3\xa9s positiu; [el quadrat] de zero \xc3\xa9s zero. All\xc3\xb2 del qual [el quadrat] \xc3\xa9s el quadrat \xc3\xa9s [la seva] arrel quadrada. _NEWLINE_Aqu\xc3\xad, Brahmagupta fixa que  i quant a la q\xc3\xbcesti\xc3\xb3 de  en qu\xc3\xa8 , no ho va definir. Les seves regles aritm\xc3\xa8tiques per als nombres negatius i el zero s\xc3\xb3n bastant properes a la definici\xc3\xb3 moderna, exceptuant que en les matem\xc3\xa0tiques modernes la divisi\xc3\xb3 per zero queda indefinida.\n_START_SECTION_\nTernes pitag\xc3\xb2riques\n_START_PARAGRAPH_\nDins el cap\xc3\xadtol dotze del seu Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta situa les ternes pitag\xc3\xb2riques:_NEWLINE_12.39. L\'al\xc3\xa7ada d\'una muntanya multiplicada per un multiplicador donat \xc3\xa9s la dist\xc3\xa0ncia a una ciutat; no esborrar-lo. Quan \xc3\xa9s dividit pel multiplicador augmentat per dos, \xc3\xa9s el salt d\'un del dos que fan el mateix viatge. _NEWLINE_O, en altres paraules, per a una longitud donada m i un multiplicador arbitrari x, sigui a = mx i b = m + mx/(x + 2). Llavors m, a, i b formen una terna pitag\xc3\xb2rica.\n_START_SECTION_\nTaula de sinus\n_START_PARAGRAPH_\nDins el cap\xc3\xadtol 2 del seu Brahmasphutasiddhanta, sota el t\xc3\xadtol Longituds planet\xc3\xa0ries reals, Brahmagupta presenta una taula de sinus:_NEWLINE_2.2-5. Els sinus: els progenitors, bessons; Ursa Major, bessons, el Vedas; els d\xc3\xa9us, focs, sis; sabors, daus, els d\xc3\xa9us; la lluna, cinc, el cel, la lluna; la lluna, fletxes, sols [...]  _NEWLINE_Aqu\xc3\xad, Brahmagupta fa servir noms d\'objectes per a representar els d\xc3\xadgits dels nombres de valor posicional, que era com\xc3\xba amb dades num\xc3\xa8riques en els tractats en s\xc3\xa0nscrit. Els progenitors representa els 14 progenitors ("Manu") en cosmologia \xc3\xadndia o 14, "els bessons" significa (2), "Ursa Major" representa les set estrelles d\'Ursa Major (7), "Vedas" es refereix al 4 Vedas (4), els daus representen el nombre de costats del dau tradicional (6), etc\xc3\xa8tera. Aquesta informaci\xc3\xb3 pot ser traslladada a la llista de sinus, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, i 3270, amb el ser de radi 3270.'