b"\n_START_ARTICLE_\nOrtocentre\n_START_SECTION_\nOrtocentre d'un triangle\n_START_PARAGRAPH_\nS'anomena ortocentre el punt on es troben les tres altures (o les seves prolongacions) d'un triangle. El terme prov\xc3\xa9 del grec \xce\xbf\xcf\x81\xce\xb8\xce\xbf (orto), recte, en refer\xc3\xa8ncia a l'angle format entre les bases i les altures. L'ortocentre jau a la recta d'Euler ensems amb el circumcentre i el baricentre del triangle.\n_START_SECTION_\nExist\xc3\xa8ncia\n_START_PARAGRAPH_\nVegem que les tres altures d'un triangle es tallen, efectivament, en un punt.Ho deduirem del fet que les tres mediatrius d'un triangle es tallen en un punt, el circumcentre:_NEWLINE_A partir del triangle , construim el triangle  tot tirant rectes paral\xc2\xb7leles als costats del triangle  pels respectius v\xc3\xa8rtexs oposats. Aleshores, els quadril\xc3\xa0ters ,  i  s\xc3\xb3n paral\xc2\xb7lelograms perqu\xc3\xa8 tenen costats paral\xc2\xb7lels dos a dos. Per tant,_NEWLINE_i els punts ,  i  s\xc3\xb3n, respectivament, els punts mitjans dels costats ,  i  del triangle . D'altra banda, com que les altures ,  i  del triangle  s\xc3\xb3n respectivament perpendiculars als costats ,  i , tamb\xc3\xa9 ho s\xc3\xb3n a les seves paral\xc2\xb7leles, \xc3\xa9s a dir als costats ,  i  del triangle  respectivament, just en els seus punts mitjans. En conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia, ,  i  s\xc3\xb3n les mediatrius del triangle , que \xc3\xa9s tallen en el seu circumcentre, \xc3\xa9s a dir, en el punt\n_START_SECTION_\nPosici\xc3\xb3 segons el tipus de triangle\n_START_PARAGRAPH_\nSi el triangle \xc3\xa9s acutangle, totes les altures s\xc3\xb3n a l'interior del triangle i, per tant, tamb\xc3\xa9 hi \xc3\xa9s l'ortocentre. Si el triangle \xc3\xa9s obtusangle, hi ha dues altures, les corresponents als costats de l'angle obt\xc3\xbas, fora del triangle i, en conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia, l'ortocentre \xc3\xa9s fora del triangle. En un triangle rectangle, per\xc3\xb2, cada catet \xc3\xa9s l'altura corresponent a l'altre catet, cosa que fa que l'ortocentre coincideixi amb el v\xc3\xa8rtex de l'angle recte.\n_START_SECTION_\nAngles iguals, triangles semblants i quadril\xc3\xa0ters c\xc3\xadclics determinats per les altures\n_START_PARAGRAPH_\nEn els triangles , un acutangle i l'altre obtusangle, els punts ,  i  s\xc3\xb3n els respectius peus de les altures ,  i  en els costats ,  i  (o prolongacions, en el cas del triangle obtusangle).\n_START_SECTION_\nAngles iguals i triangles semblants\n_START_PARAGRAPH_\nConsiderem els triangles rectangles  i . Com que ambd\xc3\xb3s comparteixen l'angle agut , els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles s\xc3\xb3n iguals: , els triangles  i  s\xc3\xb3n triangles semblants_NEWLINE_Fem el mateix amb els triangles rectangles  i . Ambd\xc3\xb3s, tamb\xc3\xa9, comparteixen l'angle agut  i, per tant, els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles s\xc3\xb3n iguals: , i els triangles  i  s\xc3\xb3n semblants._NEWLINE_Igualment, els triangles rectangles  i  comparteixen l'angle agut . Aleshores, els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles s\xc3\xb3n iguals: , els triangles  i  s\xc3\xb3n semblants.\n_START_SECTION_\nQuadril\xc3\xa0ters c\xc3\xadclics\n_START_PARAGRAPH_\nEn el triangle acutangle , els quadril\xc3\xa0ters ,  i  contenen, cadascun d'ells, una parella de v\xc3\xa8rtexs oposats que s\xc3\xb3n els peus de dues altures del triangle. Per tant, en aquests v\xc3\xa8rtexs, l'angle \xc3\xa9s recte i la suma dels angles de v\xc3\xa8rtexs oposats fa  i, en conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia, aquests tres quadril\xc3\xa0ters s\xc3\xb3n quadril\xc3\xa0ters c\xc3\xadclics._NEWLINE_A m\xc3\xa9s, la igualtat dels angles  fa que el quadril\xc3\xa0ter  tamb\xc3\xa9 sigui c\xc3\xadclic, com ho s\xc3\xb3n  i  per les igualtats respectives  i ._NEWLINE_En  el triangle obtusangle , els quadril\xc3\xa0ters c\xc3\xadclics s\xc3\xb3n , , , ,  i .\n_START_SECTION_\nLes altures com a cevianes\n_START_PARAGRAPH_\nLes altures d'un triangle s\xc3\xb3n l\xc3\xadnies cevianes. De les semblances de triangles rectangles ,  i , se'n dedueixen aquestes proporcions:_NEWLINE_Aleshores,_NEWLINE_i, segons el teorema de Ceva, les tres altures es tallen en un punt: l'ortocentre del triangle.\n_START_SECTION_\nQuadril\xc3\xa0ters c\xc3\xadclics i exist\xc3\xa8ncia de l'ortocentre\n_START_PARAGRAPH_\nL'examen d'alguns dels quadril\xc3\xa0ters c\xc3\xadclics que es formen en tirar les altures d'un triangle proporciona encara una altra demostraci\xc3\xb3 de l'exist\xc3\xa8ncia de l'ortocentre. Siguin els triangles , l'un acutangle i l'altre obtusangle, amb al punt  com a intersecci\xc3\xb3 de les dues altures  i  Per veure que el punt  \xc3\xa9s l'ortocentre a cada triangle, cal demostrar que la recta que passa pel v\xc3\xa8rtex , pel punt  i que talla al costat  en el punt , \xc3\xa9s perpendicular al costat  en aquest punt  i que, per tant, cont\xc3\xa9 la tercera altura del triangle.\n_START_SECTION_\nEn el triangle acutangle\n_START_PARAGRAPH_\nEls triangles rectangles  i  comparteixen l'angle  i, per tant, els seus altres respectius angles aguts s\xc3\xb3n iguals: . Aix\xc3\xb2 fa que el quadril\xc3\xa0ter  sigui c\xc3\xadclic i, aleshores, , de manera que ._NEWLINE_D'altra banda, en el quadril\xc3\xa0ter , els v\xc3\xa8rtexs oposats  i  s\xc3\xb3n, respectivament, els peus de les altures  i  i ho s\xc3\xb3n d'angles rectes, la suma dels quals \xc3\xa9s . Per tant, aquest quadril\xc3\xa0ter \xc3\xa9s c\xc3\xadclic i ._NEWLINE_Finalment, en el triangle rectangle  tenim:  i en el triangle  resulta  i . En conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia, el triangle  \xc3\xa9s un triangle rectangle en el v\xc3\xa8rtex , l'angle  \xc3\xa9s recte,  \xc3\xa9s la tercera altura del triangle  i el punt  n'\xc3\xa9s l'ortocentre.\n_START_SECTION_\nEn el triangle obtusangle\n_START_PARAGRAPH_\nEls triangles rectangles  i  comparteixen l'angle suplementari de l'angle . Aleshores, els seus altres respectius angles aguts s\xc3\xb3n iguals: . Per tant, el quadril\xc3\xa0ter  \xc3\xa9s c\xc3\xadclic i , o sigui que ._NEWLINE_A m\xc3\xa9s, en el quadril\xc3\xa0ter , els v\xc3\xa8rtexs oposats  i  s\xc3\xb3n, respectivament, els peus de les altures  i  i ho s\xc3\xb3n d'angles rectes, la suma dels quals \xc3\xa9s . Aquest quadril\xc3\xa0ter \xc3\xa9s, doncs, c\xc3\xadclic i ._NEWLINE_Per acabar, en el triangle rectangle  s'esdev\xc3\xa9 que  i en el triangle  tenim que  i . Per tant, el triangle  \xc3\xa9s un triangle rectangle en el v\xc3\xa8rtex , l'angle  \xc3\xa9s recte,  \xc3\xa9s la tercera altura del triangle  i el punt  n'\xc3\xa9s l'ortocentre.\n_START_SECTION_\nEl triangle \xc3\xb2rtic\n_START_PARAGRAPH_\nPer a un triangle no rectangle, el triangle que t\xc3\xa9 com a v\xc3\xa8rtexs els peus de les seves tres altures s'anomena el triangle \xc3\xb2rtic del primer. En un triangle rectangle, els catets s\xc3\xb3n dues de les altures i els dos peus respectius coincideixen en el v\xc3\xa8rtex de l'angle recte i, per tant, no hi ha triangle \xc3\xb2rtic per a triangles rectangles. Les propietats del triangle \xc3\xb2rtic divergeixen per a triangles acutangles i triangles obtusangles."