b"\n_START_ARTICLE_\nTeoria de nombres\n_START_SECTION_\nCivilitzaci\xc3\xb3 v\xc3\xa8dica\n_START_PARAGRAPH_\nEls matem\xc3\xa0tics de l'\xc3\x8dndia es varen interessar en la recerca de solucions d'enters d'equacions diof\xc3\xa0ntiques des del per\xc3\xadode v\xc3\xa8dic. L'\xc3\xbas geom\xc3\xa8tric m\xc3\xa9s antic de les equacions diof\xc3\xa0ntiques es pot trobar als Sulba Sutras, que varen ser escrits entre el segle VIII aC i el segle VI aC. Baudhayana va trobar dos conjunts de solucions enteres positives a un sistema d'equacions diof\xc3\xa0ntiques, i va utilitzar tamb\xc3\xa9 els sistemes d'equacions diof\xc3\xa0ntiques de quatre inc\xc3\xb2gnites. Apastamba (aproximadament, 600 aC) va utilitzar els sistemes d'equacions diof\xc3\xa0ntiques de cinc inc\xc3\xb2gnites.\n_START_SECTION_\nCivilitzaci\xc3\xb3 grega\n_START_PARAGRAPH_\nLa teoria dels nombres va ser un estudi favorit entre els matem\xc3\xa0tics grecs d'Alexandria, Egipte, a partir del segle III aC, que van tenir consci\xc3\xa8ncia del concepte d'equaci\xc3\xb3 diof\xc3\xa0ntica en nombrosos casos particulars. El primer matem\xc3\xa0tic hel\xc2\xb7l\xc3\xa8 a estudiar aquestes equacions va ser Diofant d'Alexandria._NEWLINE_Diofant tamb\xc3\xa9 va cercar un m\xc3\xa8tode per trobar les solucions enteres per a les equacions indeterminades lineals, equacions per a les quals falta informaci\xc3\xb3 suficient per a produir un conjunt \xc3\xbanic de respostes discretes. L'equaci\xc3\xb3  \xc3\xa9s d'aquesta mena. Diofant va descobrir que moltes equacions indeterminades es poden transformar en una forma en qu\xc3\xa8 una certa categoria de solucions \xc3\xa9s coneguda mentre que una soluci\xc3\xb3 espec\xc3\xadfica no ho \xc3\xa9s.\n_START_SECTION_\nL'\xc3\xa8poca cl\xc3\xa0ssica a l'\xc3\x8dndia\n_START_PARAGRAPH_\nLes equacions diof\xc3\xa0ntiques van ser estudiades de manera intensiva pels matem\xc3\xa0tics indis del per\xc3\xadode medieval, que van ser els primers a buscar sistem\xc3\xa0ticament m\xc3\xa8todes per a la determinaci\xc3\xb3 de solucions enteres d'equacions diof\xc3\xa0ntiques. Aryabhata (el 499) va donar la primera descripci\xc3\xb3 expl\xc3\xadcita de la soluci\xc3\xb3 entera general de l'equaci\xc3\xb3 diof\xc3\xa0ntica lineal , que apareix en el seu text Aryabhatiya. Aquest algorisme kuttaka \xc3\xa9s considerat com una de les contribucions m\xc3\xa9s significatives d'Aryabhata en matem\xc3\xa0tiques pures, que va trobar les solucions d'equacions diof\xc3\xa0ntiques en termes de fraccions cont\xc3\xadnues. La t\xc3\xa8cnica va ser aplicada per Aryabhata per donar les solucions enteres d'un sistema d'equacions diof\xc3\xa0ntiques lineals, un problema amb importants aplicacions en astronomia. Va trobar tamb\xc3\xa9 la soluci\xc3\xb3 general de l'equaci\xc3\xb3 lineal indeterminada utilitzant aquest m\xc3\xa8tode._NEWLINE_Brahmagupta, el 628, va manipular les equacions diof\xc3\xa0ntiques m\xc3\xa9s dif\xc3\xadcils. Va utilitzar el m\xc3\xa8tode chakravala per a resoldre les equacions diof\xc3\xa0ntiques quadr\xc3\xa0tiques, incloent-hi formes de l'equaci\xc3\xb3 de Pell-Fermat, tal com . El seu Brahmasphutasiddhanta va ser tradu\xc3\xaft a l'\xc3\xa0rab el 773 i va ser tradu\xc3\xaft m\xc3\xa9s tard a llat\xc3\xad, el 1126. L'equaci\xc3\xb3  va ser m\xc3\xa9s tard posada com un problema el 1657 pel matem\xc3\xa0tic franc\xc3\xa8s Pierre de Fermat. La soluci\xc3\xb3 general d'aquesta forma particular d'equaci\xc3\xb3 de Pell-Fermat va ser trobada m\xc3\xa9s de 70 anys m\xc3\xa9s tard per Leonhard Euler, mentre que la soluci\xc3\xb3 general de l'equaci\xc3\xb3 de Pell-Fermat va ser trobada m\xc3\xa9s de 100 anys m\xc3\xa9s tard per Joseph Louis Lagrange, el 1767. Molts segles abans, la soluci\xc3\xb3 general de l'equaci\xc3\xb3 de Pell-Fermat havia sigut escrita per Bhaskara II el 1150, utilitzant una versi\xc3\xb3 modificada del m\xc3\xa8tode chakravala de Brahmagupta, que va utilitzar tamb\xc3\xa9 per trobar la soluci\xc3\xb3 general d'altres equacions quadr\xc3\xa0tiques intermedi\xc3\xa0ries indeterminades i de les equacions diof\xc3\xa0ntiques quadr\xc3\xa0tiques. El m\xc3\xa8tode chakravala de Bhaskara per a trobar la soluci\xc3\xb3 general de l'equaci\xc3\xb3 de Pell-Fermat era m\xc3\xa9s senzill que el m\xc3\xa8tode utilitzat per Lagrange 600 anys m\xc3\xa9s tard._NEWLINE_Bhaskara va trobar tamb\xc3\xa9 solucions per a altres equacions indeterminades quadr\xc3\xa0tiques, c\xc3\xbabiques, qu\xc3\xa0rtica i de les equacions polin\xc3\xb2miques de grau m\xc3\xa9s elevat. Narayana Pandit va perfeccionar encara el m\xc3\xa8tode chakravala i va trobar m\xc3\xa9s solucions generals per a les altres indeterminades quadr\xc3\xa0tiques, aix\xc3\xad com per a les equacions polin\xc3\xb2miques de grau m\xc3\xa9s elevat.\n_START_SECTION_\nLa civilitzaci\xc3\xb3 isl\xc3\xa0mica\n_START_PARAGRAPH_\nA partir del segle IX, els matem\xc3\xa0tics isl\xc3\xa0mics van tenir un viu inter\xc3\xa8s en la teoria de nombres. El primer d'aquests matem\xc3\xa0tics \xc3\xa0rabs va ser Th\xc3\xa0bit ibn Qurra, que va descobrir un teorema que permetia trobar parells de nombres amics, \xc3\xa9s a dir, dos nombres que s\xc3\xb3n cadascun la suma dels divisors propis de l'altre._NEWLINE_Al segle X, Al-Baghdad\xc3\xad va descobrir una lleugera variant del teorema de Th\xc3\xa0bit ibn Qurra. Ibn al-H\xc3\xa0ytham sembla haver estat el primer a intentar classificar tots els nombres perfectes parells (nombres iguals a la suma dels seus divisors propis), com els de la forma  en qu\xc3\xa8  \xc3\xa9s primer. Al-H\xc3\xa0ytham \xc3\xa9s tamb\xc3\xa9 la primera persona a haver establert el teorema de Wilson, concretament que si p \xc3\xa9s primer llavors  \xc3\xa9s divisible entre . No est\xc3\xa0 clar si sabia com demostrar aquest resultat. Aquest teorema porta el nom de teorema de Wilson a causa d'un comentari fet per Edward Waring el 1770, segons el qual John Wilson havia observat el resultat. John Wilson indica a Waring que no sap demostrar aquest resultat, Waring no en troba tampoc cap prova. Tanmateix, la primera demostraci\xc3\xb3 coneguda prov\xc3\xa9 de Leibniz, que no jutja \xc3\xbatil de publicar-la, i Euler en va publicar una prova._NEWLINE_Els nombres amics han jugat un gran paper en les matem\xc3\xa0tiques isl\xc3\xa0miques. Al segle XIII, el matem\xc3\xa0tic persa Al-Faris\xc3\xad va donar una nova demostraci\xc3\xb3 del teorema de Th\xc3\xa0bit ibn Qurra, introduint noves idees en relaci\xc3\xb3 amb la descomposici\xc3\xb3 i els m\xc3\xa8todes combinatoris. Va donar tamb\xc3\xa9 el parell de nombres amics 17.296, 18.416, que han estat atribu\xc3\xafts a Euler, per\xc3\xb2 se sap que eren coneguts abans d'Al-Faris\xc3\xad, potser fins i tot per Th\xc3\xa0bit ibn Qurra mateix._NEWLINE_Al segle XVII, Muh\xc3\xa0mmad Baqir Yazdi va donar el parell de nombres amics 9.363.584 i 9.437.056 for\xc3\xa7a abans de la contribuci\xc3\xb3 d'Euler.\n_START_SECTION_\nLa teoria anal\xc3\xadtica dels nombres\n_START_PARAGRAPH_\nLa teoria anal\xc3\xadtica dels nombres empra les eines del c\xc3\xa0lcul infinitesimal i de l'an\xc3\xa0lisi complexa per a tractar les q\xc3\xbcestions sobre els enters. En s\xc3\xb3n exemples el teorema dels nombres primers i la hip\xc3\xb2tesi de Riemann, que hi est\xc3\xa0 relacionada. El problema de Waring (\xc3\xa9s a dir: per a un nombre donat, \xc3\xa9s la suma de quadrats, de cubs, etc\xc3\xa8tera.), la conjectura dels nombres primers bessons (trobar una infinitat de parells de nombres primers la difer\xc3\xa8ncia entre els quals \xc3\xa9s 2) i la conjectura de Goldbach (escriure els enters parells com a suma de dos nombres primers) s'ataquen amb \xc3\xa8xit amb els m\xc3\xa8todes d'an\xc3\xa0lisi. Les demostracions de la transcend\xc3\xa8ncia de les constants matem\xc3\xa0tiques, com \xcf\x80 o e, tamb\xc3\xa9 es classifiquen com formant part de la teoria anal\xc3\xadtica dels nombres. Mentre que els resultats a prop\xc3\xb2sit dels nombres transcendents sembla que es treuen de l'estudi dels enters, estudien realment els valors possibles de polinomis de coeficients enters avaluats a, diguem, e; tamb\xc3\xa9 estan connectats fermament amb el camp de l'aproximaci\xc3\xb3 diof\xc3\xa0ntica, que investiga \xc2\xabde quina manera correcta\xc2\xbb un nombre real donat es pot aproximar per un nombre racional.\n_START_SECTION_\nTeoria geom\xc3\xa8trica de nombres\n_START_PARAGRAPH_\nTradicionalment anomenada geometria dels nombres, la teoria geom\xc3\xa8trica de nombres incorpora totes les formes de la geometria. Comen\xc3\xa7a amb el teorema de Minkowski a prop\xc3\xb2sit de xarxes de punts (enreixat) en els conjunts convexos i investiga sobre els apilaments compactes. La geometria algebraica, i especialment la teoria de les corbes el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques, tamb\xc3\xa9 poden ser utilitzades. El c\xc3\xa8lebre darrer teorema de Fermat va ser demostrat amb aquestes t\xc3\xa8cniques.\n_START_SECTION_\nTeoria combinat\xc3\xb2ria de nombres\n_START_PARAGRAPH_\nLa teoria combinat\xc3\xb2ria de nombres s'ocupa dels problemes de teoria de nombres que impliquen idees combinat\xc3\xb2ries en les seves formulacions o les seves solucions. Paul Erd\xc5\x91s \xc3\xa9s el principal fundador d'aquesta branca de la teoria de nombres. Els temes caracter\xc3\xadstics inclouen el sistema de cobertura, els problemes a suma zero, diverses sumes de conjunts restringides i les progressions aritm\xc3\xa8tiques en el conjunt dels enters. Els m\xc3\xa8todes algebraics o anal\xc3\xadtics s\xc3\xb3n potents en aquest camp d'estudi."