b"\n_START_ARTICLE_\nEspai vectorial topol\xc3\xb2gic\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa0tiques, un espai vectorial topol\xc3\xb2gic \xc3\xa9s una estructura b\xc3\xa0sica que combina l'estructura algebraica d'un espai vectorial amb una estructura topol\xc3\xb2gica. _NEWLINE_El cos subjacent d'un espai vectorial topol\xc3\xb2gic \xc3\xa9s un cos topol\xc3\xb2gic, que en les aplicacions acostuma a ser el cos dels nombres reals R o el dels nombres complexos C._NEWLINE_Els espais vectorials topol\xc3\xb2gics s\xc3\xb3n eines fonamentals en an\xc3\xa0lisi funcional. En aquest camp els elements dels espais vectorials topol\xc3\xb2gics s\xc3\xb3n t\xc3\xadpicament funcions definides en certs espais topol\xc3\xb2gics, o operadors lineals entre altres espais vectorials topol\xc3\xb2gics, i la topologia de l'espai \xc3\xa9s definida sovint per tal de captar una noci\xc3\xb3 particular de converg\xc3\xa8ncia de successions de funcions._NEWLINE_Alguns tipus particulars molt importants d'espais vectorials topol\xc3\xb2gics s\xc3\xb3n els espais de Banach i els espais de Hilbert.\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nUn espai vectorial topol\xc3\xb2gic X \xc3\xa9s un espai vectorial sobre un cos topol\xc3\xb2gic K (sovint el cos de nombres reals o complexos amb les seves topologies est\xc3\xa0ndards) que \xc3\xa9s dotat d'una topologia tal que l'addici\xc3\xb3 vectorial X \xc3\x97 X \xe2\x86\x92 X i el producte per un K \xc3\x97 X \xe2\x86\x92 X s\xc3\xb3n funcions cont\xc3\xadnues._NEWLINE_Alguns autors (p. ex., Rudin) exigeixen que la topologia de X sigui un espai de Hausdorff, i alguns tamb\xc3\xa9 exigeixen que la topologia de X sigui localment convexa (p. ex. un espai de Fr\xc3\xa9chet. Perqu\xc3\xa8 un espai vectorial topol\xc3\xb2gic sigui un espai de Hausdorff n'hi ha prou que l'espai sigui T\xe2\x82\x80; llavors se segueix que l'espai tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s T3\xc2\xbd._NEWLINE_La categoria d'espai vectorial topol\xc3\xb2gic sobre un cos topol\xc3\xb2gic donat K es nota habitualment TVSK o TVectK. Els objectes s\xc3\xb3n els espais vectorials topol\xc3\xb2gics sobre K i els morfismes s\xc3\xb3n les aplicacions K lineals cont\xc3\xadnues d'un objecte en un altre.\n_START_SECTION_\nExemples\n_START_PARAGRAPH_\nTots els espais vectorials normats, i per tant tots els espais de Banach i tots els Espais de Hilbert, s\xc3\xb3n exemples d'espais vectorials topol\xc3\xb2gics._NEWLINE_Tanmateix, hi ha espais vectorials topol\xc3\xb2gics la topologia dels quals no sorgeix d'una norma per\xc3\xb2 s\xc3\xb3n d'inter\xc3\xa8s en an\xc3\xa0lisi. Exemples de tals espais s\xc3\xb3n espais de funcions holom\xc3\xb2rfiques sobre un domini obert, espais de funcions infinitament diferenciables, els espais de Schwartz, els espais de Funcions de test i els espais de distribucions. Tots aquests s\xc3\xb3n exemples d'espais de Montel._NEWLINE_Un cos topol\xc3\xb2gic \xc3\xa9s un espai vectorial topol\xc3\xb2gic sobre cada un dels seus subcossos.\n_START_SECTION_\nEspais vectorials producte\n_START_PARAGRAPH_\nUn producte cartesi\xc3\xa0 d'una fam\xc3\xadlia d'espais vectorials topol\xc3\xb2gics, quan est\xc3\xa0 dotat de la topologia producte \xc3\xa9s un espai vectorial topol\xc3\xb2gic. Per exemple, el conjunt X de totes les funcions f\xc2\xa0:R\xc2\xa0\xe2\x86\x92 R. X es pot identificar amb l'espai de producte R\xe1\xb4\xbf i comporta una topologia producte natural. Amb aquesta topologia X es converteix en un espai vectorial topol\xc3\xb2gic, anomenat l'espai de converg\xc3\xa8ncia puntual. La ra\xc3\xb3 per a aquest nom \xc3\xa9s la seg\xc3\xbcent: si (f \xe2\x82\x99) \xc3\xa9s una successi\xc3\xb3 d'elements en X, llavors f \xe2\x82\x99 t\xc3\xa9 l\xc3\xadmitf en X si i nom\xc3\xa9s si f\xe2\x82\x99(x) t\xc3\xa9 l\xc3\xadmit f(x) per a tots els nombres reals x. Aquest espai \xc3\xa9s complet, per\xc3\xb2 no normable: en efecte, tots els ve\xc3\xafnatges de 0 en la topologia producte contenen l\xc3\xadnies, \xc3\xa9s a dir, conjunts K\xc2\xa0f per f \xe2\x89\xa0\xc2\xa00.\n_START_SECTION_\nEstructura topol\xc3\xb2gica\n_START_PARAGRAPH_\nUn espai vectorial \xc3\xa9s un grup abeli\xc3\xa0 respecte a l'operaci\xc3\xb3 d'addici\xc3\xb3, i en un espai vectorial topol\xc3\xb2gic l'operaci\xc3\xb3 inversa \xc3\xa9s sempre cont\xc3\xadnua (ja que \xc3\xa9s el mateix que la multiplicaci\xc3\xb3 per \xe2\x88\x921). Per aix\xc3\xb2, cada espai vectorial topol\xc3\xb2gic \xc3\xa9s un grup topol\xc3\xb2gic d'abeli\xc3\xa0._NEWLINE_Sia X un espai vectorial topol\xc3\xb2gic. Donat un subespai , l'espai quocient X/M amb la topologia quocient habitual \xc3\xa9s un espai vectorial topol\xc3\xb2gic Hausdorff si i nom\xc3\xa9s si M \xc3\xa9s tancat. Aix\xc3\xb2 permet la construcci\xc3\xb3 seg\xc3\xbcent: donat un espai vectorial topol\xc3\xb2gic X (que \xc3\xa9s probablement no Hausdorff), forma l'espai quocient X / M on M \xc3\xa9s la clausura de . X / M \xc3\xa9s llavors un espai topol\xc3\xb2gic vectorial Hausdorff que es pot estudiar en comptes de X._NEWLINE_En particular, els espais vectorials topol\xc3\xb2gics s\xc3\xb3n espais uniformes i aix\xc3\xad es pot parlar de completesa, converg\xc3\xa8ncia uniforme i continu\xc3\xaftat uniforme. (Aix\xc3\xb2 implica que tots els espais vectorials topol\xc3\xb2gics Hausdorff siguin completament regulars.) Les operacions d'addici\xc3\xb3 i la multiplicaci\xc3\xb3 per un escalar en un espai vectorial s\xc3\xb3n de fet uniformement cont\xc3\xadnues. A causa d'aix\xc3\xb2, es pot completar cada espai vectorial topol\xc3\xb2gic i aix\xc3\xad \xc3\xa9s un subespai lineal dens d'un espai vectorial topol\xc3\xb2gic complet. _NEWLINE_Un espai vectorial topol\xc3\xb2gic es diu que \xc3\xa9s normable si la seva topologia pot ser provocada per una norma. Un espai vectorial topol\xc3\xb2gic \xc3\xa9s normable si i nom\xc3\xa9s si \xc3\xa9s Hausdorff i t\xc3\xa9 un ve\xc3\xafnatge fitat convex de 0._NEWLINE_Si un espai vectorial topol\xc3\xb2gic \xc3\xa9s semi-metrizable, \xc3\xa9 a dir la topologia es pot donar per una semim\xc3\xa8trica, llavors la semim\xc3\xa8trica es poden escollir perqu\xc3\xa8 sigui invariant per la translaci\xc3\xb3. Tamb\xc3\xa9, un espai vectorial topol\xc3\xb2gic \xc3\xa9s metrizable si i nom\xc3\xa9s si \xc3\xa9s Hausdorff i t\xc3\xa9 una base local comptable (\xc3\xa9s a dir, una base al ve\xc3\xafnatge de l'origin)._NEWLINE_Un operador lineal entre dos espais vectorials topol\xc3\xb2gics que \xc3\xa9s continu en un punt \xc3\xa9s continu en tot el domini. A m\xc3\xa9s, un operador lineal f \xc3\xa9s continu si f(V) est\xc3\xa0 fitat per a algun ve\xc3\xafnatge V de 0._NEWLINE_Un hiperpl\xc3\xa0 en un espai vectorial topol\xc3\xb2gic X \xc3\xa9s o dens o tancat. Un funcional lineal f en un espai vectorial topol\xc3\xb2gic X t\xc3\xa9 el nucli o b\xc3\xa9 dens o b\xc3\xa9 tancat. A m\xc3\xa9s f \xc3\xa9s continu si i nom\xc3\xa9s si el seu nucli \xc3\xa9s tancat._NEWLINE_Tot espai vectorial topol\xc3\xb2gic Hausdorff de dimensi\xc3\xb3 finita \xc3\xa9s isomorf a K\xe2\x81\xbf  (on  o ). En particular, un espai vectorial topol\xc3\xb2gic Hausdorff \xc3\xa9s de dimensi\xc3\xb3 finita si i nom\xc3\xa9s si \xc3\xa9s localment compacte.\n_START_SECTION_\nEspai dual\n_START_PARAGRAPH_\nCada espai vectorial topol\xc3\xb2gic V t\xc3\xa9 un conjunt dual el conjunt V\xe2\x88\x97 format per tots els funcionals lineals continus, \xc3\xa9s a dir les aplicacions lineals cont\xc3\xadnues de l'espai al cos base K. Es pot definir Una topologia sobre el dual de forma que sigui la topologia m\xc3\xa9s gran tal que l'aparellament dual V \xe2\x88\x97\xc2\xa0\xc3\x97\xc2\xa0V \xc2\xa0\xe2\x86\x92\xc2\xa0K sigui continu. Aix\xc3\xb2 converteix el dual en un espai vectorial topol\xc3\xb2gic localment convex. Aquesta topologia s'anomena la topologia feble. Aquesta pot no ser l'\xc3\xbanica topologia natural en l'espai dual; per exemple, el dual d'un espai Banach t\xc3\xa9 una norma natural. Tanmateix, \xc3\xa9s molt important en aplicacions per les seves propietats de compacitat (vegeu teorema de Banach\xe2\x80\x93Alaoglu)."