b'\n_START_ARTICLE_\nDin\xc3\xa0mica del s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid\n_START_SECTION_\nCentre de gravetat\n_START_PARAGRAPH_\nEl centre de massa d\'un sistema continu \xc3\xa9s el punt geom\xc3\xa8tric definit com:_NEWLINE_En mec\xc3\xa0nica del s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid, el centre de massa s\'usa perqu\xc3\xa8 prenent un sistema de coordenades centrat en ell, l\'energia cin\xc3\xa8tica total  pot expressar-se com:_NEWLINE_sent  la massa total del cos,  la velocitat de translaci\xc3\xb3 del centre de masses i  l\'energia cin\xc3\xa8tica de rotaci\xc3\xb3 del cos, expressable en termes de velocitat angular i el tensor d\'in\xc3\xa8rcia.\n_START_SECTION_\nMoment angular o cin\xc3\xa8tic\n_START_PARAGRAPH_\nArticle principal: Moment angular_NEWLINE_El moment angular \xc3\xa9s una magnitud f\xc3\xadsica important perqu\xc3\xa8 en molts sistemes f\xc3\xadsics constitueix una magnitud conservada, que sota certes condicions de les forces que s\'apliquen al cos \xc3\xa9s possible associar-li una llei de conservaci\xc3\xb3. El fet que el moment angular, sota certes circumst\xc3\xa0ncies, sigui una magnitud constant, pot ser aprofitat en la resoluci\xc3\xb3 de les equacions de moviment. En un instant donat, i fixat un punt de l\'espai en el punt origen O, es defineix el moment angular  d\'un sistema de part\xc3\xadcules respecte a aquest punt com la integral seg\xc3\xbcent:_NEWLINE_On  \xc3\xa9s el volum del s\xc3\xb2lid,  \xc3\xa9s la densitat m\xc3\xa0ssica en cada punt,  s\xc3\xb3n la velocitat d\'una part\xc3\xadcula del cos i el vector de posici\xc3\xb3 respecte a O. Conv\xc3\xa9 recordar que el valor de  dep\xc3\xa8n del punt O que es tri\xc3\xaf. Per a l\'estudi de s\xc3\xb2lids r\xc3\xadgids en moviment conv\xc3\xa9 escollir un "punt m\xc3\xb2bil" (\xc3\xa9s a dir, per a cada instant del temps considerarem un punt diferent de l\'espai). Per exemple podem avaluar el moment angular respecte al centre de masses  del s\xc3\xb2lid:_NEWLINE__NEWLINE_On s\'ha introdu\xc3\xaft l\'abreujament .\n_START_SECTION_\nEspai de configuraci\xc3\xb3 d\'un s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid\n_START_PARAGRAPH_\nLa mec\xc3\xa0nica lagrangiana per descriure un sistema mec\xc3\xa0nic amb un nombre finit de graus de llibertat es defineix com una varietat diferenciable anomenada espai de configuraci\xc3\xb3. El moviment del sistema es descriu com un conjunt de traject\xc3\xb2ries al llarg de l\'espai de configuraci\xc3\xb3. Per a un s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid amb un punt imm\xc3\xb2bil (nom\xc3\xa9s existeix rotaci\xc3\xb3) l\'espai de configuraci\xc3\xb3 ve donat per la varietat diferenciable del grup de rotaci\xc3\xb3 SO(3). Quan el s\xc3\xb2lid t\xc3\xa9 translaci\xc3\xb3 i rotaci\xc3\xb3 de tots els seus punts l\'espai de configuraci\xc3\xb3 \xc3\xa9s E\xe2\x81\xba(n), el subgrup d\'isometria del grup euclidi\xc3\xa0 (combinacions de translacions i rotacions).\n_START_SECTION_\nAngles d\'Euler\n_START_PARAGRAPH_\nArticle principal: angles d\'Euler_NEWLINE_Els angles d\'Euler s\xc3\xb3n tres coordenades angulars que permeten relacionar l\'orientaci\xc3\xb3 d\'un sistema d\'eixos respecte a un altre. En mec\xc3\xa0nica del s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid es consideren normalment dos sistemes de refer\xc3\xa8ncia: un sistema d\'eixos fix o associat a un observador inercial i un altre m\xc3\xb2bil respecte al primer per\xc3\xb2 solidari amb el s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid. Encara que t\xc3\xa8cnicament \xc3\xa9s possible plantejar les equacions de Newton per al sistema inercial relacionant les magnituds del sistema associat al s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid mitjan\xc3\xa7ant la matriu de rotaci\xc3\xb3 associada als angles d\'Euler, resulta un sistema d\'equacions poc pr\xc3\xa0ctic a causa que en aquest sistema el tensor d\'in\xc3\xa8rcia varia amb el temps. D\'altra banda, els \xc3\xa0ngles d\'Euler proporcionen tres coordenades generalitzades adequades per descriure el moviment de s\xc3\xb2lids r\xc3\xadgids mitjan\xc3\xa7ant els m\xc3\xa8todes de la mec\xc3\xa0nica lagrangiana.\n_START_SECTION_\nEquacions d\'Euler\n_START_PARAGRAPH_\nArticle principal: Equacions d\'Euler_NEWLINE_Quan les equacions del moviment d\'un s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid s\'expressen en un sistema de refer\xc3\xa8ncia no inercial solidari amb els eixos principals d\'in\xc3\xa8rcia del s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid prenen una f\xc3\xb3rmula particularment simple coneguda com a equacions d\'Euler. En general, en aquest sistema de refer\xc3\xa8ncia \xc3\xa9s molt m\xc3\xa9s senzill integrar les equacions de moviments que en un sistema de refer\xc3\xa8ncia inercial i no solidari amb el cos. Les equacions d\'Euler per al moviment d\'un s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid tenen la forma:_NEWLINE_on , s\xc3\xb3n les components vectorials del moment o torque total aplicat, , s\xc3\xb3n els moments principals d\'in\xc3\xa8rcia i  s\xc3\xb3n les components del vector velocitat angular  segons els eixos principals d\'in\xc3\xa8rcia.\n_START_SECTION_\nBaldufa sim\xc3\xa8trica\n_START_PARAGRAPH_\nEs diu baldufa sim\xc3\xa8trica a un s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid de revoluci\xc3\xb3, amb dos dels seus moments d\'in\xc3\xa8rcia principals iguals . Com en una baldufa sim\xc3\xa8trica es poden escollir arbitr\xc3\xa0riament els eixos 1 i 2, conv\xc3\xa9 aprofitar aquest fet per simplificar les expressions prenent l\'eix 1 paral\xc2\xb7lel a la l\xc3\xadnia nodal dels angles d\'Euler la qual cosa equival a . La qual cosa fa que les velocitats angulars en el sistema de refer\xc3\xa8ncia no inercial vinguin donades per:_NEWLINE_L\'energia cin\xc3\xa8tica de rotaci\xc3\xb3 una baldufa sim\xc3\xa8trica pot expressar-se en termes dels angles d\'Euler senzillament:_NEWLINE_D\'altra banda si es pren l\'eix Z del sistema de refer\xc3\xa8ncia alineat amb el moment angular del s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid es t\xc3\xa9 de les components del moment angular i la relaci\xc3\xb3 amb la velocitat angular s\xc3\xb3n:_NEWLINE_Escrivint component a component aquestes equacions es t\xc3\xa9 que:_NEWLINE_La primera equaci\xc3\xb3 ens diu que en el moviment lliure d\'una baldufa sim\xc3\xa8trica aquesta no remata, \xc3\xa9s a dir, no hi ha moviment de nutaci\xc3\xb3, ja que l\'angle format per eix de rotaci\xc3\xb3 i el moment angular es mant\xc3\xa9 constant en el moviment. La segona descriu el moviment de precessi\xc3\xb3 d\'acord amb el qual l\'eix de rotaci\xc3\xb3 (que coincideix amb la direcci\xc3\xb3 de la velocitat angular) gira al voltant de la direcci\xc3\xb3 del moment angular (eix Z). La tercera equaci\xc3\xb3 d\xc3\xb3na la velocitat de rotaci\xc3\xb3 del s\xc3\xb2lid al voltant del seu tercer eix d\'in\xc3\xa8rcia.\n_START_SECTION_\nBaldufa asim\xc3\xa8trica\n_START_PARAGRAPH_\nUna baldufa asim\xc3\xa8trica \xc3\xa9s un s\xc3\xb2lid r\xc3\xadgid tal que cap dels seus tres moments principals d\'in\xc3\xa8rcia t\xc3\xa9 el mateix valor, \xc3\xa9s com\xc3\xba anomenar en ordre ascendent com: . En el moviment de gir lliure d\'una baldufa t\xc3\xa9 dues integrals de moviment:_NEWLINE_Com que nom\xc3\xa9s hi ha tres coordenades angulars i existeixen aquestes dues restriccions, les components del moment angular nom\xc3\xa9s poden variar al llarg d\'una corba donada per la intersecci\xc3\xb3 de l\'el\xc2\xb7lipsoide (14a) i l\'esfera (14b). Aix\xc3\xad mateix, es pot veure que el gir al voltant dels eixos d\'in\xc3\xa8rcia associat als moments  \xc3\xa9s estable mentre que l\'associat a  \xc3\xa9s inestable, \xc3\xa9s a dir, qualsevol petita pertorbaci\xc3\xb3 canvia dr\xc3\xa0sticament les traject\xc3\xb2ries del moviment. Per  les equacions param\xc3\xa8triques de variaci\xc3\xb3 de les velocitats angulars v\xc3\xa9nen donades per les funcions el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques de Jacobi:_NEWLINE_amb:_NEWLINE_Si  n\'hi ha prou intercanviar els sub\xc3\xadndexs 1 i 3 en les anteriors expressions._NEWLINE_Finalment conv\xc3\xa9 observar que quan  les funcions el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques de Jacobi es redueixen a funcions trigonom\xc3\xa8triques ordin\xc3\xa0ries, i les equacions del moviment es redueixen a les d\'una baldufa sim\xc3\xa8trica:'