b"\n_START_ARTICLE_\nTeorema xin\xc3\xa8s del residu\n_START_PARAGRAPH_\nEl teorema xin\xc3\xa8s del residu \xc3\xa9s un resultat d'aritm\xc3\xa8tica modular que tracta de la resoluci\xc3\xb3 de sistemes de congru\xc3\xa8ncies. Aquest resultat establert inicialment sobre Z/nZ es generalitza en teoria d'anells. Aquest teorema es fa servir en la teoria de nombres.\n_START_SECTION_\nInterpretaci\xc3\xb3 mec\xc3\xa0nica\n_START_PARAGRAPH_\nLa resoluci\xc3\xb3 del sistema seg\xc3\xbcent:_NEWLINE_d'inc\xc3\xb2gnita x passa pel c\xc3\xa0lcul del mcm de a i b._NEWLINE_Aquest problema matem\xc3\xa0tic \xc3\xa9s una modelitzaci\xc3\xb3 d'un problema d'engranatges: una roda dentada de a dents engrana amb una cremallera horitzontal. Quantes dents han de passar perqu\xc3\xa8 la seva r-\xc3\xa8sima dent coincideixi amb la s-\xc3\xa8sima dent d'una altra roda dentada que engrana amb la mateixa cremallera i que t\xc3\xa9 b dents?_NEWLINE_El mcm dels dos nombres a i b \xc3\xa9s el que permet comprendre el comportament peri\xc3\xb2dic d'aquest sistema: \xc3\xa9s el nombre de dents que separa dos contactes del mateix parell de dents (s\xc3\xb3n les dents de la cremallera que s\xc3\xb3n congruentsal mateix temps amb les dentes de les dues rodes dentades). Es pot doncs trobar la soluci\xc3\xb3, si n'hi ha una, en l'interval [1,mcm(a,b)]. Hi ha una soluci\xc3\xb3 si el mcd(a, b) divideix r - s._NEWLINE_Es pot entendre de manera senzilla per qu\xc3\xa8 el c\xc3\xa0lcul sobre rodes dentades fa intervenir aritm\xc3\xa8tica modular, fixant-se que el conjunt de les dents d'una roda que en t\xc3\xa9 n es pot parametritzar pel conjunt de les arrels n-\xc3\xa8simes de la unitat, que t\xc3\xa9 una estructura de grup isomorf de forma natural amb la de Z/nZ.\n_START_SECTION_\nAls anells Z/nZ\n_START_PARAGRAPH_\nEl teorema xin\xc3\xa8s t\xc3\xa9 una versi\xc3\xb3 m\xc3\xa9s abstracta: si n1..., nk s\xc3\xb3n dos a dos primers entre ells llavors, notant n el producte de n\xe1\xb5\xa2, l'aplicaci\xc3\xb3_NEWLINE_\xc3\xa9s un isomorfisme d'anells._NEWLINE_Per demostrar-ho cal fixar-se primer en qu\xc3\xa8 els dos conjunts  i  tenen el mateix nombre d'elements. Com que  \xc3\xa9s un morfisme d'anells, n'hi ha prou amb veure que \xc3\xa9s injectiu per deduir-ne que \xc3\xa9s un isomorfisme. Per veure aix\xc3\xb2 n'hi ha prou amb mostrar que el nucli es redueix a 0\xc2\xa0: si  per a , \xc3\xa9s a dir si  \xc3\xa9s un m\xc3\xbaltiple de cada , llavors , \xc3\xa9s a dir  \xc3\xa9s un m\xc3\xbaltiiple del producte . Aix\xc3\xb2 resulta de la hip\xc3\xb2tesi que els  s\xc3\xb3n primers dos a dos._NEWLINE__NEWLINE_En el cas on els n\xe1\xb5\xa2 no s\xc3\xb3n primers entre ells, n \xc3\xa9s el seu mcm i el morfisme de m\xc3\xa9s amunt no \xc3\xa9s que injectiu. Existeix una soluci\xc3\xb3 al problema inicial si i nom\xc3\xa9s si les dades s\xc3\xb3n a la imatge, \xc3\xa9s a dir que el mcd de n\xe1\xb5\xa2 i n\xe2\xb1\xbc divideix  per a tota parella i,j.\n_START_SECTION_\nResultat per als anells generals\n_START_PARAGRAPH_\nUna de les formes m\xc3\xa9s generals del teorema xin\xc3\xa8s del residu es pot formular en termes d'anell i d'ideal (per l'esquerra o per la dreta). Si R \xc3\xa9s un anell i I\xe2\x82\x81, ..., I\xe2\x82\x96 ideals de R que s\xc3\xb3n primers entre ells dos a dos (aix\xc3\xb2 vol dir que I\xe1\xb5\xa2 + I\xe2\xb1\xbc = R quan i \xe2\x89\xa0 j), llavors l'ideal producte I d'aquests ideals \xc3\xa9s igual a la seva intersecci\xc3\xb3, i l'anell quocient R/I \xc3\xa9s isomorf a l'anell producte R/I\xe2\x82\x81 x R/I\xe2\x82\x82 x ... x R/I\xe2\x82\x96 via l'isomorfisme de  en  que a  li associa .\n_START_SECTION_\nExemple dels polinomis\n_START_PARAGRAPH_\nUn cas freq\xc3\xbcent que il\xc2\xb7lustra el par\xc3\xa0graf precedent es d\xc3\xb3na per l'anell  dels polinomis. Si x\xe2\x82\x80, x\xe2\x82\x81, ..., x\xe2\x82\x99 s\xc3\xb3n n+1 elements de  diferents dos a dos, llavors es pot prendre U\xe1\xb5\xa2 = X - x\xe1\xb5\xa2. Els polinomis U\xe1\xb5\xa2 s\xc3\xb3n primers entre ells dos a dos, i el teorema xin\xc3\xa8s del residu s'aplica. Es prenen per E\xe1\xb5\xa2 els polinomis d'interpolaci\xc3\xb3 de Lagrange, definits per: _NEWLINE_._NEWLINE_Per a j diferent de i, E\xe1\xb5\xa2 \xc3\xa9s divisible entre U\xe2\xb1\xbc, de manera que E\xe1\xb5\xa2 \xe2\x89\xa1 0 m\xc3\xb2dul U\xe2\xb1\xbc. D'altra banda, m\xc3\xb2dul U\xe1\xb5\xa2, X \xe2\x89\xa1 x\xe1\xb5\xa2, de manera que E\xe1\xb5\xa2 \xe2\x89\xa1 1 m\xc3\xb2dul U\xe1\xb5\xa2._NEWLINE_Dir que un polinomi P \xc3\xa9s tal que P(x\xe1\xb5\xa2) = y\xe1\xb5\xa2 per a tot i, \xc3\xa9s equivalent a dir que P \xe2\x89\xa1 y\xe1\xb5\xa2 m\xc3\xb2dul U\xe1\xb5\xa2. Tal polinomi P ve donat per . Cosa que es pot verificar per c\xc3\xa0lcul directe.\n_START_SECTION_\nAplicacions\n_START_PARAGRAPH_\nEl teorema xin\xc3\xa8s del residu es fa servir en particular en l'algoritme RSA en criptografia._NEWLINE_Permet representar grans nombres enters com n-tuples de residus de divisions euclidianes. Sota aquesta forma, operacions com l'addici\xc3\xb3 o la multiplicaci\xc3\xb3 es poden fer en paral\xc2\xb7lel en temps constant. En canvi, la comparaci\xc3\xb3 o la divisi\xc3\xb3 no s\xc3\xb3n trivials."