b"\n_START_ARTICLE_\nConjunt de mesura nul\xc2\xb7la\n_START_SECTION_\nConjunts de mesura nul\xc2\xb7la en una varietat diferenciable\n_START_PARAGRAPH_\nSigui M una varietat diferenciable amb base numerable d'oberts, de dimensi\xc3\xb3\xc2\xa0m._NEWLINE_Un subconjunt A de M es diu conjunt de mesura nul\xc2\xb7la si, per a tot punt x de M, hi ha una carta (U,\xcf\x86) de M en x tal que  \xc3\xa9s de mesura nul\xc2\xb7la (aix\xc3\xb2 no dep\xc3\xa8n de la carta utilitzada)._NEWLINE_Les subvarietats regulars de M de dimensi\xc3\xb3 estrictament menor que m s\xc3\xb3n conjunts de mesura nul\xc2\xb7la._NEWLINE_Si f: M \xe2\x86\x92 N \xc3\xa9s una aplicaci\xc3\xb3 de classe C\xc2\xb9 i dim(M) < dim(N), aleshores f(M) \xc3\xa9s un conjunt de mesura nul\xc2\xb7la._NEWLINE_Segons el lema de Sard, el conjunt dels valors cr\xc3\xadtics d'una funci\xc3\xb3 llisa t\xc3\xa9 mesura zero.\n_START_SECTION_\nConjunts de mesura nul\xc2\xb7la en un espai mesurable\n_START_PARAGRAPH_\nSigui X un espai mesurable, \xce\xbc una mesura en X, i sigui N un subconjunt mesurable de X. Si \xce\xbc \xc3\xa9s positiva, llavors N \xc3\xa9s de mesura nul\xc2\xb7la si la seva mesura \xce\xbc(N) \xc3\xa9s zero. Si \xce\xbc no \xc3\xa9s positiva, llavors N \xc3\xa9s de mesura \xce\xbc-nul\xc2\xb7la si ho \xc3\xa9s respecte a |\xce\xbc|; equivalentment, si cada subconjunt mesurable A de N satisf\xc3\xa0 \xce\xbc(A) = 0. Per a mesures positives, aix\xc3\xb2 \xc3\xa9s equivalent a la definici\xc3\xb3 donada a dalt; per\xc3\xb2 per a mesures signades, aix\xc3\xb2 \xc3\xa9s m\xc3\xa9s fort que simplement demanar que \xce\xbc(N) = 0._NEWLINE_Un conjunt no mesurable es considera de mesura nul\xc2\xb7la si \xc3\xa9s un subconjunt d'un conjunt mesurable de mesura nul\xc2\xb7la. Tanmateix algunes refer\xc3\xa8ncies exigeixen que un conjunt de mesura nul\xc2\xb7la sigui mesurable. _NEWLINE_Per a subconjunts de l'espai euclidi\xc3\xa0 R\xe2\x81\xbf, la definici\xc3\xb3 donada anteriorment correspon a usar la mesura de Lebesgue.\n_START_SECTION_\nPropietats\n_START_PARAGRAPH_\nEl conjunt buit \xc3\xa9s sempre un conjunt de mesura nul\xc2\xb7la. M\xc3\xa9s generalment, qualsevol uni\xc3\xb3 numerable de conjunts de mesura nul\xc2\xb7la t\xc3\xa9 mesura nul\xc2\xb7la. Qualsevol subconjunt mesurable d'un conjunt de mesura nul\xc2\xb7la t\xc3\xa9 mesura nul\xc2\xb7la. Plegats, aquests fets mostren que els conjunts de m-mesura nul\xc2\xb7la de X formen un sigma-ideal en X. Semblantment, els conjunts mesurables de mesura nul\xc2\xb7la formen un sigma-ideal de la sigma-algebra dels conjunts mesurables.\n_START_SECTION_\nUsos\n_START_PARAGRAPH_\nEls conjunts de mesura nul\xc2\xb7la tenen una import\xc3\xa0ncia cabdal en la definici\xc3\xb3 de la integral de Lebesgue i en la definici\xc3\xb3 dels espais L\xe1\xb5\x96. Si dues funcions f i g s\xc3\xb3n igual excepte en un conjunt de mesura nul\xc2\xb7la, llavors f \xc3\xa9s integrable si i nom\xc3\xa9s si g ho \xc3\xa9s, i les seves integrals s\xc3\xb3n iguals._NEWLINE_Una mesura en la qual tots els subconjunts dels conjunts de mesura nul\xc2\xb7la s\xc3\xb3n mesurables es diu completa. Qualsevol mesura no completa es pot completar per formar una mesura completa establint que els subconjunts dels conjunts de mesura nul\xc2\xb7la tamb\xc3\xa9 tenen mesura nul\xc2\xb7la. La mesura Lebesgue \xc3\xa9s un exemple d'una mesura completa, i en algunes construccions es defineix com la compleci\xc3\xb3 d'una mesura no completa."