b"\n_START_ARTICLE_\nConstrucci\xc3\xb3 dels nombres reals\n_START_SECTION_\nConstrucci\xc3\xb3 per les successions de Cauchy\n_START_PARAGRAPH_\nAquesta construcci\xc3\xb3 \xc3\xa9s m\xc3\xa9s dif\xc3\xadcil d'abordar per\xc3\xb2 ofereix dos avantatges: la construcci\xc3\xb3 de les operacions \xc3\xa9s m\xc3\xa9s natural i t\xc3\xa9 el m\xc3\xa8rit de generalitzar-se a tot espai m\xc3\xa8tric.\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3 en tant que conjunt\n_START_PARAGRAPH_\nLa idea de Cantor (i alguns anys abans d'ell de M\xc3\xa9ray) resideix en el fet que es pot tendir cap a tot nombre real per una successi\xc3\xb3 de Cauchy. \xc3\x89s a dir una successi\xc3\xb3  que verifiqui el criteri de converg\xc3\xa8ncia seg\xc3\xbcent:_NEWLINE_L'element l\xc3\xadmit al qual caldr\xc3\xa0 donar un sentit ser\xc3\xa0 el que es definir\xc3\xa0 com a nombre real. El conjunt de les successions de Cauchy, que s'escriu  sembla tanmateix massa vast. En efecte, per exemple per a un de racional donat, existeix una infinitat de successions de Cauchy que convergeixen cap a aquest l\xc3\xadmit. Cal agrupar aquest espai amb una relaci\xc3\xb3 d'equival\xc3\xa8ncia entre les successions. Aquesta relaci\xc3\xb3 d'equival\xc3\xa8ncia entre dues successions s'escriu  i es defineix de la manera seg\xc3\xbcent:_NEWLINE_Es pot observar que la relaci\xc3\xb3 relation  \xc3\xa9s reflexiva, ja que la successi\xc3\xb3 nul\xc2\xb7la convergeix cap a 0, sim\xc3\xa8trica ja que si una successi\xc3\xb3 convergeix cap a 0, llavors la successi\xc3\xb3 oposada convergeix tamb\xc3\xa9 cap a 0, i la propietat transitiva \xc3\xa9s una conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia de la desigualtat triangular sobre el valor absolut en . Si ,  i  s\xc3\xb3n tres successions racionals, es t\xc3\xa9 en efecte:_NEWLINE_Tota relaci\xc3\xb3 d'equival\xc3\xa8ncia sobre un conjunt defineix una partici\xc3\xb3 d'aquest conjunt. Un element d'aquesta partici\xc3\xb3 es diu nombre real, i el conjunt dels nombres reals s'escriu . Observaci\xc3\xb3\xc2\xa0: aqu\xc3\xad, quan es fa tendir alguna cosa cap a un l\xc3\xadmit, \xc3\xa9s pels  racionals, ja que no es disposa encara dels reals!"