b"\n_START_ARTICLE_\nCoordenades polars\n_START_PARAGRAPH_\nEn la matem\xc3\xa0tica, el sistema de coordenades polars \xc3\xa9s un sistema de coordenades de dues dimensions en el qual cada punt en un pla est\xc3\xa0 determinat per un angle i una dist\xc3\xa0ncia. El sistema de coordenades polars \xc3\xa9s especialment \xc3\xbatil quan la relaci\xc3\xb3 entre dos punts s'expressa m\xc3\xa9s b\xc3\xa9 en termes d'angles i dist\xc3\xa0ncies. En el sistema m\xc3\xa9s conegut, el cartesi\xc3\xa0 o de coordenades rectangulars, aquestes relacions cal trobar-les a partir de les funcions trigonom\xc3\xa8triques. _NEWLINE_Com que el sistema de coordenades \xc3\xa9s de dues dimensions, cada punt ve determinat per dues coordenades polars: la coordenada radial i la coordenada angular. La coordenada radial (normalment denotada per r) denota la dist\xc3\xa0ncia del punt al punt central (conegut com a pol i equivalent a l'origen en el sistema cartesi\xc3\xa0). La coordenada angular (tamb\xc3\xa9 anomenada angle polar o angle azimutal, i normalment denotat per \xce\xb8 o t) denota l'angle positiu (o angle mesurat en sentit antihorari) per arribar al punt a partir de l'eix polar o radi de 0\xc2\xb0 (que \xc3\xa9s equivalent a l'eix x positiu en les coordenades cartesianes).\n_START_SECTION_\nRepresentaci\xc3\xb3 dels punts en coordenades polars\n_START_PARAGRAPH_\nCada punt en un sistema de coordenades polars es pot descriure amb les dues coordenades polars, les quals es diuen habitualment  (la coordenada radial) i \xce\xb8 (la coordenada angular, angle polar, o angle azimutal, que de vegades es representa com \xcf\x86 o ). La coordenada  representa la dist\xc3\xa0ncia radial al pol, i la coordenada \xce\xb8 representa l'angle (mesurat en sentit contrari de les agulles del rellotge) respecte del radi d'angle 0\xc2\xb0 (anomenat de vegades l'eix polar), conegut com la part positiva de l'eix x en el sistema de coordenades cartesi\xc3\xa0._NEWLINE_Per exemple, les coordenades polars (3, 60\xc2\xb0) indiquen el punt ubicat a 3 unitats de dist\xc3\xa0ncia del pol sobre el radi que forma 60\xc2\xb0 respecte de la part positiva de l'eix x. Les coordenades (\xe2\x88\x923, 240\xc2\xb0) tamb\xc3\xa9 indiquen aquest mateix punt perqu\xc3\xa8 una dist\xc3\xa0ncia radial negativa s'identifica amb una dist\xc3\xa0ncia positiva mesurada sobre el radi oposat (el radi reflectit respecte de l'origen, que es diferencia de l'original en un gir de 180\xc2\xb0)._NEWLINE_Un aspecte important del sistema de coordenades polar, que no es d\xc3\xb3na en el sistema de coordenades cartesianes, \xc3\xa9s que un \xc3\xbanic punt es pot expressar amb un nombre infinit de coordenades diferents. Aix\xc3\xb2 \xc3\xa9s a causa del fet que es pot donar un nombre qualsevol de voltes senceres entorn del pol sense afectar la posici\xc3\xb3 dels punts representats. En general, el punt (, \xce\xb8) es pot representar com (, \xce\xb8 \xc2\xb1 \xc3\x97360\xc2\xb0) o (\xe2\x88\x92, \xce\xb8 \xc2\xb1 (2 + 1)180\xc2\xb0), on  \xc3\xa9s qualsevol enter. _NEWLINE_Les coordenades (0, \xce\xb8) es fan servir, per convenci\xc3\xb3, per representar el pol, at\xc3\xa8s que independentment de la coordenada \xce\xb8, qualsevol punt sobre un radi de longitud 0 estar\xc3\xa0 sempre al pol. Per obtenir una representaci\xc3\xb3 \xc3\xbanica de cada punt, \xc3\xa9s habitual de limitar  als nombres no negatius  \xe2\x89\xa5 0 i \xce\xb8 a l'interval [0, 360\xc2\xb0) o (\xe2\x88\x92180\xc2\xb0, 180\xc2\xb0] (o, en radians, [0, 2\xcf\x80) o (\xe2\x88\x92\xcf\x80, \xcf\x80])._NEWLINE_Els angles, quan es fa servir la notaci\xc3\xb3 polar, en general s'expressen tant en graus com en radians, fent servir la conversi\xc3\xb3 2\xcf\x80 rad = 360\xc2\xb0. La tria dep\xc3\xa8n fonamentalment del context. En navegaci\xc3\xb3 mar\xc3\xadtima es fan servir els graus, mentre que en algunes aplicacions en f\xc3\xadsica (especialment en mec\xc3\xa0nica de rotaci\xc3\xb3) i gaireb\xc3\xa9 tota la literatura sobre c\xc3\xa0lcul infinitesimal fan servir els radians.\n_START_SECTION_\nEquacions polars\n_START_PARAGRAPH_\nD'una equaci\xc3\xb3 que defineix una corba algebraica expressada en coordenades polars, se'n diu equaci\xc3\xb3 polar. En molts casos, aquesta equaci\xc3\xb3 es pot especificar a base de definir  com una funci\xc3\xb3 de \xce\xb8. Llavors, la corba que en resulta consisteix en punts de la forma ((\xce\xb8), \xce\xb8) i pot ser considerada com la gr\xc3\xa0fica de la funci\xc3\xb3 polar ._NEWLINE_A partir de l'equaci\xc3\xb3 d'una funci\xc3\xb3 polar  es poden deduir diferents formes de simetria. Si (\xe2\x88\x92\xce\xb8) = (\xce\xb8) la corba ser\xc3\xa0 sim\xc3\xa8trica respecte del radi horitzontal (0\xc2\xb0/180\xc2\xb0), si (\xcf\x80\xe2\x88\x92\xce\xb8) = (\xce\xb8) ser\xc3\xa0 sim\xc3\xa8trica respecte del radi vertical (90\xc2\xb0/270\xc2\xb0), i si (\xce\xb8\xe2\x88\x92\xce\xb1\xc2\xb0) = (\xce\xb8) tindr\xc3\xa0 simetria de rotaci\xc3\xb3 \xce\xb1\xc2\xb0 en sentit contrari de les agulles del rellotge al voltant del pol._NEWLINE_A causa de la naturalesa circular del sistema de coordenades polars, moltes corbes es poden descriure amb una equaci\xc3\xb3 polar bastant simple, mentre que la seva forma cartesiana \xc3\xa9s molt m\xc3\xa9s complicada. Entre les m\xc3\xa9s conegudes d'aquestes corbes hi ha la rosa, l'espiral d'Arquimedes, la Lemniscata, el cargol de Pascal, i la cardioide._NEWLINE_Per al cas del cercle, la recta que passa pel pol, i la rosa que s'estudien tot seguit, s'ha d'entendre que no hi ha restriccions ni en el domini ni en el recorregut de les corbes.\n_START_SECTION_\nC\xc3\xa0lcul\n_START_PARAGRAPH_\nEl c\xc3\xa0lcul es pot aplicar a equacions expressades en coordenades polars. En aquesta \xc3\xa0rea, la coordenada angular \xce\xb8 s'expressa en radians.\n_START_SECTION_\nTres dimensions\n_START_PARAGRAPH_\nEl sistema de coordenades polars es pot estendre a tres dimensions de dues formes diferents que donen lloc a dos sistemes de coordenades diferents, el sistema de coordenades cil\xc3\xadndriques i el sistema de coordenades esf\xc3\xa8riques: tots dos inclouen com subconjunt el sistema de coordenades polar. En ess\xc3\xa8ncia, el sistema de coordenades cil\xc3\xadndriques est\xc3\xa9n el sistema de coordenades polar a base d'afegir-li una coordenada addicional de tipus dist\xc3\xa0ncia, mentre que el sistema de coordenades esf\xc3\xa8riques l'est\xc3\xa9n a base d'afegir-li una coordenada addicional de tipus angular.\n_START_SECTION_\nAplicacions\n_START_PARAGRAPH_\nLes coordenades polars s\xc3\xb3n bidimensionals i per tant nom\xc3\xa9s es poden fer servir quan els punts pertanyen a un \xc3\xbanic pla bidimensional. S\xc3\xb3n m\xc3\xa9s apropiades en qualsevol context on el fenomen que es vol estudiar est\xc3\xa0 lligat inherentment a la direcci\xc3\xb3 i la dist\xc3\xa0ncia respecte d'un punt central. Per exemple, en els casos de m\xc3\xa9s amunt es mostra com equacions polars elementals s\xc3\xb3n suficients per definir corbes -com ara l'espiral d'Arquimedes- per les que l'equaci\xc3\xb3 en coordenades cartesianes seria molt m\xc3\xa9s complicada. A m\xc3\xa9s, molts sistemes f\xc3\xadsics \xe2\x80\x93com ara els relatius a cossos que es mouen entorn d'un punt central o a fen\xc3\xb2mens originats a partir d'un punt central \xe2\x80\x94 s\xc3\xb3n m\xc3\xa9s senzills i m\xc3\xa9s intu\xc3\xaftius de modelitzar fent servir coordenades polars. El motiu original per la introducci\xc3\xb3 dels sistemes de coordenades polars va ser l'estudi del moviment circular i del moviment orbital.\n_START_SECTION_\nPosici\xc3\xb3 i navegaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nLes coordenades polars es fan servir sovint en navegaci\xc3\xb3, at\xc3\xa8s que la destinaci\xc3\xb3 o la direcci\xc3\xb3 del viatge es poden donar com un angle i una dist\xc3\xa0ncia a partir de l'objecte que s'est\xc3\xa0 considerant. Per exemple, un avi\xc3\xb3 fa servir una versi\xc3\xb3 lleugerament modificada de les coordenades polars per la navegaci\xc3\xb3. En aquest sistema, el radi de 0\xc2\xb0 se'n diu normalment direcci\xc3\xb3 360, i els angles segueixen el sentit de les agulles del rellotge en comptes de la direcci\xc3\xb3 contr\xc3\xa0ria d'aquestes, tal com es fa en el sistema matem\xc3\xa0tic. La direcci\xc3\xb3 360 correspon al pol nord magn\xc3\xa8tic, mentre que les direccions 90, 180 i 270 corresponen a l'est, sud i oest magn\xc3\xa8tics respectivament. Aix\xc3\xad, un avi\xc3\xb3 que viatgi 5 milles n\xc3\xa0utiques direcci\xc3\xb3 est estar\xc3\xa0 viatjant 5 unitats en direcci\xc3\xb3 90 (pronunciat niner-zero pel servei de control del tr\xc3\xa0fic aeri).\n_START_SECTION_\nModelitzaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nEls sistemes que presenten simetria radial ofereixen un escenari natural pel sistema de coordenades polars, amb el punt central actuant com pol. Un exemple principal d'aquest \xc3\xbas \xc3\xa9s l'equaci\xc3\xb3 de flux d'aig\xc3\xbces subterr\xc3\xa0nies quan s'aplica a pous amb simetria radial. Sistemes amb forces radials s\xc3\xb3n tamb\xc3\xa9 bons candidats per fer servir els sistemes de coordenades polars. Aquests sistemes inclouen els camps gravitacionals, en qu\xc3\xa8 una dada \xc3\xa9s inversament proporcional al quadrat d'una altra dada, aix\xc3\xad com sistemes amb fonts puntuals com ara antenes de r\xc3\xa0dio._NEWLINE_Els sistemes que s\xc3\xb3n radialment asim\xc3\xa8trics tamb\xc3\xa9 es poden modelitzar fent servi coordenades polars. Per exemple, els patrons polars d'un micr\xc3\xb2fon il\xc2\xb7lustren la seva resposta proporcional a un so entrant provinent d'una direcci\xc3\xb3 donada, i aquests patrons es poden representar com corbes polars. La corba per un micr\xc3\xb2fon cardioide est\xc3\xa0ndard, el micr\xc3\xb2fon unidireccional m\xc3\xa9s com\xc3\xba, es pot representar com r = 0.5 + 0.5 sin \xce\xb8. El patr\xc3\xb3 es modifica passant cap a l'omnidireccionalitat a freq\xc3\xbc\xc3\xa8ncies baixes._NEWLINE_La modelitzaci\xc3\xb3 tridimensional dels patrons de sortida dels altaveus es pot utilitzar per predir les seves prestacions. Calen uns quants diagrames polars dibuixats en una \xc3\xa0mplia selecci\xc3\xb3 de freq\xc3\xbc\xc3\xa8ncies perqu\xc3\xa8 els patrons canvien molt amb la freq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia. Els diagrames polars ajuden a mostrar que molts altaveus tendeixen a comportar-se com omnidireccionals a baixes freq\xc3\xbc\xc3\xa8ncies."