b'\n_START_ARTICLE_\nGeometria projectiva\n_START_PARAGRAPH_\nLa geometria projectiva \xc3\xa9s la branca de les matem\xc3\xa0tiques que estudia les nocions intu\xc3\xaftives de "perspectiva" i d\'"horitz\xc3\xb3". Analitza les propietats de les figures invariants per projecci\xc3\xb3.\n_START_SECTION_\nConsideracions hist\xc3\xb2riques\n_START_PARAGRAPH_\nLa geometria projectiva troba els seus or\xc3\xadgens en el treball de Pappos d\'Alexandria (segle III) que va introduir la proporci\xc3\xb3 no harm\xc3\xb2nica i fa refer\xc3\xa8ncia a un treball anterior d\'Apol\xc2\xb7loni de Perge (segle III aC)._NEWLINE_Posteriorment, la geometria projectiva va ser estudiada en el segle XVII per matem\xc3\xa0tics com Pascal o Desargues. Per\xc3\xb2 va ser Poncelet, ja en el segle XIX que en el seu "Tractat de les propietats projectives de les figures" va recuperar definitivament la idea de la geometria projectiva. Finalment Felix Klein, ja a finals del segle XIX, en el seu treball "Una revisi\xc3\xb3 comparativa de les recerques recents en la geometria", va aclarir el lligam entre la geometria euclidiana i la geometria projectiva. Avui dia \xc3\xa9s \xc3\xa0mpliament utilitzada pels sistemes de visi\xc3\xb3 per ordinador i de representaci\xc3\xb3 gr\xc3\xa0fica (OpenGL).\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3 af\xc3\xad\n_START_PARAGRAPH_\nLa definici\xc3\xb3 m\xc3\xa9s formal d\'un espai projectiu no ens ha de fer perdre de vista que aquesta noci\xc3\xb3 surt de la projecci\xc3\xb3 central i \xc3\xa9s, abans que res, una noci\xc3\xb3 geom\xc3\xa8trica. Per posar un exemple de l\'espai projectiu de , es pot observar en l\'adjunt dibuix que els punts m, n i r pertanyen al pla (P\'). Imaginem-nos un observador situat a O. Aquest observador veu tots els punts de la recta (OM) en m, tots els de la recta (ON) en n, i tots els de la recta (OR) en r. En canvi, les rectes del pla (P) no s\xc3\xb3n vistes com a punts del (P\'). Hi ha, doncs, una bijecci\xc3\xb3 entre les rectes vectorials de  no paral\xc2\xb7leles a (P) i els punts del pla (P\')._NEWLINE_L\'espai projectiu de  \xc3\xa9s bijectiu amb la uni\xc3\xb3 del pla af\xc3\xad (P\') i el conjunt de rectes vectorials de (P). Aix\xc3\xad doncs, un pla projectiu  est\xc3\xa0 format per un pla af\xc3\xad (P\') que cont\xc3\xa9 el conjunt de punts propis de  i a m\xc3\xa9s, totes les rectes vectorials (o direccions) de (P\'). Cada punt del segon conjunt, s\'anomena punt impropi de  o punt de l\'infinit._NEWLINE_Aquesta noci\xc3\xb3 permet parlar, en un pla, d\'interseccions entre dues rectes qualsevol: les rectes es trobaran en un punt propi de (P\') o en un punt impropi, en el cas de rectes paral\xc2\xb7leles._NEWLINE_Noci\xc3\xb3 que es pot generalitzar a tot espai projectiu  de dimensi\xc3\xb3 n, sigui quin sigui el valor de n. Sempre, aquest espai projectiu, es podr\xc3\xa0 considerar com a l\'espai af\xc3\xad (P) de dimension n, en el que s\'ha adjuntat el conjunt de les direccions de (P)._NEWLINE_En particular, si (P) = K, la recta projectiva associada \xc3\xa9s el conjunt  en el qual  \xc3\xa9s un punt exterior a , allargant les operacions algebraiques de la seg\xc3\xbcent forma: , _NEWLINE_Aquesta doble relaci\xc3\xb3 entre un espai vectorial quocient i un espai af\xc3\xad complementat, d\xc3\xb3na tota la riquesa a l\'estudi de la geometria projectiva. Fins i tot, aquest doble aspecte ser\xc3\xa0 important en el moment que es tractar\xc3\xa0 de posar coordenades als punts de l\'espai projectiu.\n_START_SECTION_\nTransformaci\xc3\xb3 projectiva o homografia\n_START_PARAGRAPH_\nArticle \xc3\xa0 desenvolupar: Transformaci\xc3\xb3 projectiva Les transformacions projectives o homografies s\xc3\xb3n transformacions estudiades en la geometria projectiva. S\'obtenen com a composici\xc3\xb3 d\'un nombre finit de projeccions centrals. Descriuen all\xc3\xb2 que arriba a les posicions observades de diferents objectes quan l\'ull de l\'observador canvia de lloc. Les transformacions projectives no conserven sempre les dist\xc3\xa0ncies ni els angles per\xc3\xb2 conserven les propietat d\'incid\xc3\xa8ncia i la ra\xc3\xb3 doble (dues propietats importants en geometria projectiva). Es troba transformacions projectives sobre rectes en plans i en l\'espai._NEWLINE_Propietat fonamental\xc2\xa0: En dimensions finites, una transformaci\xc3\xb3 projectiva est\xc3\xa0 totalment determinada per la imatge d\'una base de l\'espai projectiu.\n_START_SECTION_\nTopologia\n_START_PARAGRAPH_\nSi E \xc3\xa9s un espai vectorial sobre  o  de dimensi\xc3\xb3 finita, es pot definir a E una topologia generada per la dist\xc3\xa0ncia ._NEWLINE_Aquesta topologia indueix l\'espai quocient . D\'aqu\xc3\xad resultar\xc3\xa0 l\'espai projectiu P(E) d\'aquesta topologia. Aix\xc3\xb2 permet parlar de morfisme et fer notar que la recta projectiva real \xc3\xa9s homomorfa a un cercle, i la recta af\xc3\xad complex \xc3\xa9s homomorfa a una esfera.\n_START_SECTION_\nDualitat\n_START_PARAGRAPH_\nSi E \xc3\xa9s un K-espai vectorial de dimensi\xc3\xb3 finita n, el seu dual E* \xc3\xa9s tamb\xc3\xa9 un K-espai vectorial de dimensi\xc3\xb3 n. Es pot doncs, associar a l\'espai projectiu P(E), al seu dual P(E*). Una recta de P(E*) correspondr\xc3\xa0 a un feix d\'hiperplans a P(E). El pas al dual permet capgirar un gran nombre de propietats geom\xc3\xa8triques.\n_START_SECTION_\nPer a qu\xc3\xa8 serveix la geometria projectiva\xc2\xa0?\n_START_PARAGRAPH_\nLa geometria projectiva ha perm\xc3\xa8s simplificar teoremes de la geometria plana com ara el teorema de Papon o el teorema de Desargues._NEWLINE_Prove\xc3\xaft d\'una topologia i d\'una estructura diferenciable, l\'espai projectiu \xc3\xa9s un objecte d\'inter\xc3\xa8s en la topologia i la geometria diferencial_NEWLINE_Amb el desenvolupament de la representaci\xc3\xb3 en 2D,objectes en 3D, la geometria projectiva ha evidenciar el poder de les eines que entren en joc.'