b'\n_START_ARTICLE_\nEsf\xc3\xa8riques (Teodosi de Bit\xc3\xadnia)\n_START_SECTION_\nLes Esf\xc3\xa8riques\n_START_PARAGRAPH_\nL\xe2\x80\x99obra m\xc3\xa9s important que ens ha arribat de Teodosi de B\xc3\xadtinia est\xc3\xa0 formada per tres llibres titulat Les esf\xc3\xa8riques. Cont\xc3\xa9 seixanta teoremes i problemes sobre l\xe2\x80\x99esfera amb les seves demostracions i solucions geom\xc3\xa8triques. La mat\xc3\xa8ria del llibre est\xc3\xa0 limitada a les propietats de l\xc3\xadnies tra\xc3\xa7ades sobre l\xe2\x80\x99esfera per plans secants i se n\xe2\x80\x99exclouen les seves pr\xc3\xb2pies propietats. Aquesta exclusi\xc3\xb3 s\xe2\x80\x99explica en el fet que Teodosi era astr\xc3\xb2nom i nom\xc3\xa9s ge\xc3\xb2metra per necessitat, i que l\xe2\x80\x99objectiu de l\xe2\x80\x99obra era establir unes proposicions destinades a facilitar l\xe2\x80\x99estudi de l\xe2\x80\x99esfera celeste. _NEWLINE_L\xe2\x80\x99esfera en la tradici\xc3\xb3 antiga pertany m\xc3\xa9s a l\xe2\x80\x99astronomia que a la geometria, de manera que el tractat de Teodosi sempre va ser considerat un llibre d\xe2\x80\x99astronomia i no de geometria. De fet, l\xe2\x80\x99esfera queda gaireb\xc3\xa9 exclosa de Els elements d\xe2\x80\x99Euclides, l\xe2\x80\x99obra can\xc3\xb2nica de la geometria grega. Nom\xc3\xa9s apareix com a construcci\xc3\xb3 auxiliar lligada als poliedres regulars i no \xc3\xa9s fins a l\xe2\x80\x99\xc3\xbaltima proposici\xc3\xb3 del llibre XII que es demostra una de les seves propietats: que la relaci\xc3\xb3 entre el volum de dues esferes \xc3\xa9s el cub de la difer\xc3\xa8ncia dels seus di\xc3\xa0metres.\n_START_SECTION_\nLlibre primer\n_START_PARAGRAPH_\nEl primer llibre de l\xe2\x80\x99obra de Teodosi recull vint-i-tres proposicions, precedides de sis definicions. La primera definici\xc3\xb3 \xc3\xa9s per a l\xe2\x80\x99esfera: \xe2\x80\x9cL\xe2\x80\x99esfera \xc3\xa9s una figura s\xc3\xb2lida compresa sota una superf\xc3\xadcie \xc3\xbanica, els punts de la qual estan tots a la mateixa dist\xc3\xa0ncia d\xe2\x80\x99un punt interior.\xe2\x80\x9d Aquesta definici\xc3\xb3 \xc3\xa9s radicalment diferent de la proposada per Euclides al llibre XI de Els elements. En aquesta \xc3\xbaltima la definici\xc3\xb3 \xc3\xa9s constructiva i purament geom\xc3\xa8trica, i consisteix a fer girar un semicercle al voltant del seu di\xc3\xa0metre fins a arribar a la posici\xc3\xb3 inicial. Les cinc altres definicions s\xc3\xb3n per al centre, el di\xc3\xa0metre, els pols donat un di\xc3\xa0metre, els pols donat un cercle situat a l\xe2\x80\x99esfera i l\xe2\x80\x99\xc3\xbaltima \xc3\xa9s per a relacionar inclinacions de plans semblants. \xc3\x89s interessant remarcar que en la definici\xc3\xb3 del di\xc3\xa0metre s\xe2\x80\x99hi afegeix: \xe2\x80\x9c(...) recta fixa al voltant de la qual l\xe2\x80\x99esfera girar\xc3\xa0\xe2\x80\x9d. Tot i que no est\xc3\xa0 clar que aquesta frase fos escrita per Teodosi, ens indica que la intenci\xc3\xb3 de l\xe2\x80\x99obra va m\xc3\xa9s enll\xc3\xa0 de la geometria._NEWLINE_Les 23 proposicions del primer llibre s\xc3\xb3n bastant b\xc3\xa0siques i segurament eren conegudes des d\xe2\x80\x99abans del temps de Teodosi. L\xe2\x80\x99autor les recupera i les ordena per a poder-les utilitzar despr\xc3\xa9s en les demostracions dels llibres seg\xc3\xbcents. La primera proposici\xc3\xb3 demostra que tota secci\xc3\xb3 plana d\xe2\x80\x99una esfera \xc3\xa9s un cercle. La segona est\xc3\xa0 plantejada com al problema de trobar el centre d\xe2\x80\x99una esfera donada. Les seg\xc3\xbcents proposicions del llibre s\xc3\xb3n una generalitzaci\xc3\xb3 per a les esferes de les propietats del cercle que apareixen a Els elements.\n_START_SECTION_\nLlibre segon\n_START_PARAGRAPH_\nEl segon llibre comen\xc3\xa7a amb una definici\xc3\xb3 sobre els cercles d\xe2\x80\x99una esfera tangents entre ells i a partir d\xe2\x80\x99aquesta desenvolupa vint-i-tres proposicions que tracten les relacions entre els cercles en una esfera. La primera demostra que dos cercles paral\xc2\xb7lels en una esfera tenen el mateix pol i a partir d\xe2\x80\x99aqu\xc3\xad la complexitat dels enunciats va augmentant fins a les tres \xc3\xbaltimes, on s\xe2\x80\x99utilitzen tots els resultats anteriors per a donar relacions entre dos cercles en una esfera inclinats. Aquestes tres \xc3\xbaltimes proposicions s\xc3\xb3n tant complexes que els traductors \xc3\xa0rabs van decidir incorporar-hi tres teoremes previs.\n_START_SECTION_\nLlibre tercer\n_START_PARAGRAPH_\nEl tercer i \xc3\xbaltim llibre de l\xe2\x80\x99obra no cont\xc3\xa9 definicions pr\xc3\xa8vies i nom\xc3\xa9s inclou catorze proposicions. Les dues primeres s\xc3\xb3n teoremes sobre els segments de cercle independents de l\xe2\x80\x99esfera que s\xe2\x80\x99utilitzaran m\xc3\xa9s tard. Els dotze teoremes restants donen resultats rellevants per la seva aplicaci\xc3\xb3 en l\xe2\x80\x99astronomia i estan demostrats de manera impecable.'