b"\n_START_ARTICLE_\nGrup lineal especial\n_START_SECTION_\nInterpretaci\xc3\xb3 geom\xc3\xa8trica\n_START_PARAGRAPH_\nEl grup lineal especial SL(n, R) es pot caracteritzar com les transformacions lineals de R\xe2\x81\xbf que preserven el volum i l'orientaci\xc3\xb3; aix\xc3\xb2 correspon a la interpretaci\xc3\xb3 del determinant com a mesura del volum i l'orientaci\xc3\xb3.\n_START_SECTION_\nSubgrup de Lie\n_START_PARAGRAPH_\nQuan F \xc3\xa9s R o C, SL(n, F) \xc3\xa9s un subgrup de Lie de GL(n, F) de dimensi\xc3\xb3 n\xc2\xb2 \xe2\x88\x92 1. L'\xc3\xa0lgebra de Lie  de SL(n, F) consisteix de totes les matrius n \xc3\x97 n sobre F amb tra\xc3\xa7a nul\xc2\xb7la. El par\xc3\xa8ntesi de Lie ve donat pel commutador.\n_START_SECTION_\nTopologia\n_START_PARAGRAPH_\nQualsevol matriu invertible es pot representar de manera un\xc3\xadvoca, d'acord amb la descomposici\xc3\xb3 polar, com el producte d'una matriu unit\xc3\xa0ria i una matriu herm\xc3\xadtica amb valors propis positius. El determinant de la matriu unit\xc3\xa0ria \xc3\xa9s a la circumfer\xc3\xa8ncia unitat, mentre que el determinant de la matriu herm\xc3\xadtica \xc3\xa9s real i positiu i, com que en el cas d'una matriu del grup lineal especial el producte dels determinants \xc3\xa9s 1, llavors cadascun dels dos determinants ha de ser 1. Per tant, una matriu lineal especial es pot escriure com el producte d'una matriu unit\xc3\xa0ria especial (o una matriu ortogonal especial en el cas real) i una matriu herm\xc3\xadtica  definida positiva (o matriu sim\xc3\xa8trica en el cas real) amb determinant 1._NEWLINE_Aix\xc3\xad, la topologia del grup SL(n, C) \xc3\xa9s el producte de la topologia de SU(n) i la topologia del grup de matrius herm\xc3\xadtiques amb determinant unitat i amb valors propis positius. Una matriu herm\xc3\xadtica amb determinant unitat i valors propis positius es pot expressar de forma un\xc3\xadvoca com l'exponencial d'una matriu herm\xc3\xadtica sense tra\xc3\xa7a, i per tant la seva topologia \xc3\xa9s la de l'espai euclidi\xc3\xa0 de dimensi\xc3\xb3 (n\xc2\xb2 \xe2\x88\x92 1)._NEWLINE_La topologia de SL(n, R) \xc3\xa9s el producte de la topologia de SO(n) i la topologia del grup de matrius sim\xc3\xa8triques amb valors propis positius i determinant unitat. Com que aquest \xc3\xbaltim tipus de matrius es poden expressar un\xc3\xadvocament com l'exponencial de matrius sim\xc3\xa8triques sense tra\xc3\xa7a, aquedta \xc3\xbaltima topologia \xc3\xa9s la de l'espai euclidi\xc3\xa0 de dimensi\xc3\xb3  (n + 2)(n \xe2\x88\x92 1)/2._NEWLINE_El grup SL(n, C), de la msteixa manera que SU(n), \xc3\xa9s simplement connex, mentre que SL(n, R) no ho \xc3\xa9s, igual que SO(n). SL(n, R) t\xc3\xa9 el mateix grup fonamental que GL\xe2\x81\xba(n, R) o SO(n), \xc3\xa9s a dir, Z per n = 2 i Z\xe2\x82\x82 per n > 2."