b'\n_START_ARTICLE_\nNombre \xcf\x80\n_START_SECTION_\nTeoria de nombres\n_START_PARAGRAPH_\nLa probabilitat que dos nombres triats aleat\xc3\xb2riament siguin coprimers \xc3\xa9s de 6/\xcf\x80\xc2\xb2._NEWLINE_La probabilitat que un enter triat aleat\xc3\xb2riament no tingui cap factor primer elevat a una pot\xc3\xa8ncia superior a 1 (sigui lliure de quadrats) \xc3\xa9s de 6/\xcf\x80\xc2\xb2.\n_START_SECTION_\nPrimeres mil xifres del nombre pi\n_START_PARAGRAPH_\nAquestes s\xc3\xb3n les primeres mil xifres del nombre pi:_NEWLINE_3,_NEWLINE_1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510_NEWLINE_5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679_NEWLINE_8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128_NEWLINE_4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196_NEWLINE_4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091_NEWLINE_4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273_NEWLINE_7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436_NEWLINE_7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094_NEWLINE_3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548_NEWLINE_0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912_NEWLINE_9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798_NEWLINE_6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132_NEWLINE_0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872_NEWLINE_1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235_NEWLINE_4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960_NEWLINE_5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859_NEWLINE_5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881_NEWLINE_7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303_NEWLINE_5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778_NEWLINE_1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989\n_START_SECTION_\nIrracionalitat\n_START_PARAGRAPH_\nEl 1761 Johann Heinrich Lambert va demostrar que \xcf\x80 \xc3\xa9s irracional. Aix\xc3\xb2 vol dir que \xc3\xa9s un nombre real que no es pot expressar com a quocient de dos nombres enters. Al segle XX es van trobar demostracions que no necessiten coneixements que vagin m\xc3\xa8s enll\xc3\xa0 del c\xc3\xa0lcul integral. Una d\'aquestes demostracions, la deguda a Ivan Niven, \xc3\xa9s amplament coneguda. Una demostraci\xc3\xb3 similar lleugerament anterior la va obtenir Mary Cartwright.\n_START_SECTION_\nTranscend\xc3\xa8ncia\n_START_PARAGRAPH_\nA m\xc3\xa9s, \xcf\x80 tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s un nombre transcendent, tal com ho va demostrar Ferdinand von Lindemann el 1882 i a conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia del teorema de Lindemann-Weierstrass. Aix\xc3\xb2 vol dir que no hi ha cap polinomi amb coeficients racionals tal que \xcf\x80 sigui una de les seves arrels. Una conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia important del fet que \xcf\x80 sigui transcendent \xc3\xa9s que no \xc3\xa9s constru\xc3\xafble. Com que les coordenades de tots els punts que es poden construir amb regle i comp\xc3\xa0s s\xc3\xb3n nombres constructibles, \xc3\xa9s impossible de quadrar el cercle: \xc3\xa9s a dir, \xc3\xa9s impossible, fent servir nom\xc3\xa9s comp\xc3\xa0s i regle, construir un quadrat tal que la seva \xc3\xa0rea sigui igual que l\'\xc3\xa0rea d\'un cercle donat. Hist\xc3\xb2ricament, aix\xc3\xb2 \xc3\xa9s significatiu, at\xc3\xa8s que la quadratura del cercle \xc3\xa9s un dels problemes f\xc3\xa0cils d\'entendre de geometria elemental que van quedar pendents de resoldre de l\'antiguitat.\n_START_SECTION_\nQ\xc3\xbcestions obertes\n_START_PARAGRAPH_\nLa q\xc3\xbcesti\xc3\xb3 oberta m\xc3\xa9s estudiada sobre \xcf\x80 \xc3\xa9s si \xc3\xa9s o no un nombre normal\xe2\x80\x94si qualsevol successi\xc3\xb3 de xifres de l\'expressi\xc3\xb3 de \xcf\x80 es d\xc3\xb3na amb la freq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia que s\'esperaria d\'una successi\xc3\xb3 completament "aleat\xc3\xb2ria", i si aix\xc3\xb2 \xc3\xa9s cert en qualsevol base, no nom\xc3\xa9s en base 10. El que se sap actualment d\'aquest tema \xc3\xa9s molt feble; \xc3\xa9s a dir, ni tan sols se sap si algun dels d\xc3\xadgits 0,\xe2\x80\xa6,9 apareix infinites vegades en l\'expressi\xc3\xb3 decimal de \xcf\x80._NEWLINE_Bailey i Crandall van demostrar l\'any 2000 que l\'exist\xc3\xa8ncia de la f\xc3\xb3rmula de Bailey-Borwein-Plouffe (F\xc3\xb3rmula que permet calcular directament qualsevol xifra de l\'expressi\xc3\xb3 decimal de pi sense haver de calcular primer les xifres anteriors) implica que la normalitat en base 2 de \xcf\x80 i d\'unes quantes constants m\xc3\xa9s es pot reduir a una conjectura plausible de la teoria del caos._NEWLINE_Tampoc se sap si \xcf\x80 i e s\xc3\xb3n algebraicament independents, tot i que Yuri Nesterenko va demostrar la independ\xc3\xa8ncia algebraica de {\xcf\x80, e\xcf\x80, \xce\x93(1/4)} el 1996.\n_START_SECTION_\nAplicacions en matem\xc3\xa0tiques i f\xc3\xadsica\n_START_PARAGRAPH_\n\xcf\x80 apareix a tot arreu en matem\xc3\xa0tiques, fins i tot en llocs on no hi ha cap connexi\xc3\xb3 \xc3\xb2bvia amb les circumfer\xc3\xa8ncies de la geometria euclidiana.'