b'\n_START_ARTICLE_\nC\xc3\xa0lcul l\xc3\xb2gic\n_START_PARAGRAPH_\nEl c\xc3\xa0lcul l\xc3\xb2gic o derivaci\xc3\xb3 l\xc3\xb2gica \xc3\xa9s un algorisme que permet c\xc3\xb2moda i f\xc3\xa0cilment inferir o deduir un enunciat veritable a partir d\'un altre o altres que es tenen com a v\xc3\xa0lidament veritables. La infer\xc3\xa8ncia o deducci\xc3\xb3 \xc3\xa9s una operaci\xc3\xb3 l\xc3\xb2gica que consisteix a obtenir un enunciat com-conclusi\xc3\xb3-a partir d\'una altra (s)-premissa (s) - mitjan\xc3\xa7ant l\'aplicaci\xc3\xb3 de regles d\'infer\xc3\xa8ncia. Es diu que alg\xc3\xba infereix-o dedueix-"T" de "R" si accepta que si "R" t\xc3\xa9 valor de veritat V, llavors, necess\xc3\xa0riament, "T" t\xc3\xa9 valor de veritat V._NEWLINE_Les persones en la nostra tasca di\xc3\xa0ria, utilitzem constantment el raonament deductiu, partim d\'enunciats emp\xc3\xadrics-suposadament veritables i v\xc3\xa0lids - per concloure en un altre enunciat que es deriva d\'aquells._NEWLINE_La l\xc3\xb2gica, com a ci\xc3\xa8ncia formal, s\'ocupa d\'analitzar i sistematitzar les regles que permeten la transformaci\xc3\xb3 d\'uns enunciats-premisses-en d\'altres-conclusions-a fi de convertir les operacions deductives en un c\xc3\xa0lcul rigor\xc3\xb3s i efica\xc3\xa7._NEWLINE_En aplicar les regles d\'aquest c\xc3\xa0lcul l\xc3\xb2gic als enunciats que formen un argument, mitjan\xc3\xa7ant la simbolitzaci\xc3\xb3 adequada de f\xc3\xb3rmules o Expressions ben formades (EBF) constru\xc3\xafm un model o sistema deductiu que, referit al llenguatge ordinari, anomenem de c\xc3\xa0lcul de deducci\xc3\xb3 natural.\n_START_SECTION_\nSistematitzaci\xc3\xb3 d\'un c\xc3\xa0lcul\n_START_PARAGRAPH_\nLa representaci\xc3\xb3 gr\xc3\xa0fica dels s\xc3\xadmbols no est\xc3\xa0 normalitzada, la qual cosa porta a vegades a certes dificultats d\'interpretaci\xc3\xb3.\n_START_SECTION_\nConcepte de model\n_START_PARAGRAPH_\nQuan en un C\xc3\xa0lcul C, s\'estableix una "correspond\xc3\xa8ncia" de cada s\xc3\xadmbol amb elements determinats individuals distingibles entre si, d\'un Univers L, real, (tal univers L no \xc3\xa9s un conjunt buit, per les mateixes condicions que hem establert) LLAVORS es diu que L \xc3\xa9s un model de C.\n_START_SECTION_\nEl llenguatge natural com a model d\'un c\xc3\xa0lcul l\xc3\xb2gic\n_START_PARAGRAPH_\nEl c\xc3\xa0lcul l\xc3\xb2gic \xc3\xa9s \xc3\xbatil perqu\xc3\xa8 pot tenir aplicacions. Per\xc3\xb2 qu\xc3\xa8 \xc3\xa9s o com es fan aquestes aplicacions? Per al c\xc3\xa0lcul d\'enunciats podem considerar que el llenguatge natural \xc3\xa9s un model de C si es pot sotmetre, \xc3\xa9s a dir, aplicar una correspond\xc3\xa8ncia en C. Aquest proc\xc3\xa9s \xc3\xa9s el que s\'anomena formalitzaci\xc3\xb3 del llenguatge. El llenguatge cient\xc3\xadfic necessita "formalitzar el llenguatge" per tal d\'evitar ambig\xc3\xbcitats en les expressions i en els continguts sem\xc3\xa0ntics de les paraules._NEWLINE_Quan \xc3\xa9s possible s\'arriba a una formalitzaci\xc3\xb3 completament sotmesa a regles pr\xc3\xa8viament establertes, com es pret\xc3\xa9n en aquest cas, i els elements que constitueixen les Expressions ben formades (EBF) s del llenguatge natural es poden substituir per variables sense significat, sense contingut sem\xc3\xa0ntic algun perqu\xc3\xa8 realitzarien la mateixa funci\xc3\xb3 que qualsevol paraula de la llengua que compleixi la funci\xc3\xb3 sint\xc3\xa0ctica de l\'expressi\xc3\xb3. Llavors podem procedir com en un c\xc3\xa0lcul._NEWLINE_No sempre \xc3\xa9s possible, per\xc3\xb2 \xc3\xa9s, seria, el llenguatge ideal de la ci\xc3\xa8ncia, perqu\xc3\xa8 evitaria la necessitat de "interpretaci\xc3\xb3". No hi hauria m\xc3\xa9s que substituir variables per variables ling\xc3\xbc\xc3\xadstiques i constants per les seves expressions ling\xc3\xbc\xc3\xadstiques formalitzades._NEWLINE_\xc3\x89s el que es pret\xc3\xa9n en aquest apartat: sotmetre les expressions del llenguatge natural a unes variables simb\xc3\xb2liques mitjan\xc3\xa7ant unes regles de simbolitzaci\xc3\xb3:\n_START_SECTION_\nRegles del c\xc3\xa0lcul de deducci\xc3\xb3 natural. C\xc3\xa0lcul proposicional\n_START_PARAGRAPH_\nEn aquest c\xc3\xa0lcul la proposici\xc3\xb3 l\xc3\xb2gica \xc3\xa9s considerada com un tot en la seva condici\xc3\xb3 de poder ser V, veritable, o F, falsa. Es distingeixen les regles primitives i les derivades. Les derivades s\xc3\xb3n producte de les primitives, per\xc3\xb2 faciliten i redueixen els passos de la deducci\xc3\xb3. Aix\xc3\xad mateix, les de reempla\xc3\xa7ament signifiquen que una expressi\xc3\xb3 pot ser substitu\xc3\xafda directament pel seu equivalent, de vegades com a definici\xc3\xb3.\n_START_SECTION_\nRelacions entre les classes\n_START_PARAGRAPH_\na) identitat o equival\xc3\xa8ncia\xc2\xa0: pot passar que tots els membres d\'una classe ho siguin tamb\xc3\xa9 d\'una altra, i viceversa. Per exemple:_NEWLINE_;_NEWLINE_  ; _NEWLINE_A = Tots els nens que tenen un any d\'edat._NEWLINE_B = Tots els nens nascuts fa un any._NEWLINE_Posem atenci\xc3\xb3 en qu\xc3\xa8 l\'equival\xc3\xa8ncia es refereix a l\'extensi\xc3\xb3 dels individus que pertanyen a la classe, per\xc3\xb2 formalment la propietat que la defineix pot ser diversa. Per aix\xc3\xb2 t\xc3\xa9 sentit dir A = B com classes diferents, per\xc3\xb2 equivalents._NEWLINE_b) Inclusi\xc3\xb3\xc2\xa0: quan tots els membres d\'una classe pertanyen a una altra_NEWLINE_;_NEWLINE_; _NEWLINE_c) Disjunci\xc3\xb3\xc2\xa0: quan cap element de B pertany a A, ni cap element d\'A part de B._NEWLINE_;_NEWLINE_  ; ;\n_START_SECTION_\nProposicions tipus\n_START_PARAGRAPH_\nLa cl\xc3\xa0ssica classificaci\xc3\xb3 aristot\xc3\xa8lica:_NEWLINE__NEWLINE_ Tipus A\xc2\xa0: tot S s\xc3\xb3n P. "Tots els homes s\xc3\xb3n mortals", s\'interpreta com: _NEWLINE_Tipus E\xc2\xa0: cap S \xc3\xa9s P. "Cap home \xc3\xa9s mortal", s\'interpreta com:_NEWLINE_  _NEWLINE_Tipus I\xc2\xa0: algun S \xc3\xa9s P. "Algun home \xc3\xa9s mortal", s\'interpreta com_NEWLINE_  _NEWLINE_Tipus O\xc2\xa0: algun S \xc3\xa9s No-P. \'"Algun home no \xc3\xa9s mortal", s\'interpreta com\n_START_SECTION_\nRegles del c\xc3\xa0lcul cuantificacional. C\xc3\xa0lcul de predicats\n_START_PARAGRAPH_\nQuan l\'argument no es fonamenta en les relacions connectives entre les proposicions com un tot, sin\xc3\xb3 en l\'an\xc3\xa0lisi de les proposicions, es fa necessari l\'ampliaci\xc3\xb3 del c\xc3\xa0lcul l\xc3\xb2gic com s\xc3\xb3n, ara, les regles de quantificaci\xc3\xb3, per el c\xc3\xa0lcul quantificacional._NEWLINE_La quantificaci\xc3\xb3 permet explicitar l\'\xc3\xa0mbit d\'aplicaci\xc3\xb3 d\'un predicat a un subjecte o conjunt de subjectes. Pel que el c\xc3\xa0lcul segons aquesta manera d\'an\xc3\xa0lisi de la proposici\xc3\xb3 es coneix com a "c\xc3\xa0lcul de predicats".\n_START_SECTION_\nRegles de simbolitzaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nL\'expressi\xc3\xb3    denota qualsevol proposici\xc3\xb3 o funci\xc3\xb3 proposicional._NEWLINE_Sent    un predicat que s\'aplica a una variable individual   ._NEWLINE_  = ser quadrat;    = qualsevol cosa;    = qualsevol cosa quadrada_NEWLINE_Una funci\xc3\xb3 proposicional sense cap quantificaci\xc3\xb3 no pot tenir valor de veritat V o falsedat F i no \xc3\xa9s, per tant, una proposici\xc3\xb3._NEWLINE_L\'expressi\xc3\xb3    denota la idea de   a   . Sent a, b, c, d, i .... constants individuals._NEWLINE_  = ser quadrat;    = aquesta taula;    = Aquesta taula \xc3\xa9s quadrada_NEWLINE__NEWLINE_En aquest cas    \xc3\xa9s una proposici\xc3\xb3 singular, en qu\xc3\xa8    =  , i    pot tenir valor V o F._NEWLINE_Una proposici\xc3\xb3 no pot tenir ocurr\xc3\xa8ncies lliures, variables sense quantificar, per poder tenir valor V o F._NEWLINE_La substituci\xc3\xb3 d\'una variable    en una funci\xc3\xb3 proposicional    s\'ha de fer sota la condici\xc3\xb3 que la variable < big> , com a variable d\'individus, ha d\'estar lliure a    en tots els llocs en qu\xc3\xa8    passa lliure a   . (Si    no cont\xc3\xa9 ocurr\xc3\xa8ncies lliures de  , llavors    i    s\xc3\xb3n id\xc3\xa8ntiques;    i    s\xc3\xb3n el mateix)._NEWLINE_Una ocurr\xc3\xa8ncia lliure \xc3\xa9s la idea d\'una variable  ,  ,  ,  , etc. no sotmesa a l\'abast d\'un quantificador universal o existencial._NEWLINE_Per exemple:_NEWLINE_Substituint la variable    = ser una roda, per la variable    = ser una roda de bicicleta, respecte al predicat    = ser rod\xc3\xb3, quan l\'univers, o context que es tracta \xc3\xa9s el de les bicicletes:_NEWLINE_  i per tant    =\n_START_SECTION_\nQuantificadors\n_START_PARAGRAPH_\nGeneralitzat Universal _NEWLINE_\xc3\x89s el resultat del producte de a /\\ b /\\ c /\\ d /\\ i /\\ f ... ... .... en totes les ocurr\xc3\xa8ncies possibles de x. Equival a "Tots els possibles x"_NEWLINE_ particularitzat existencial _NEWLINE_\xc3\x89s el resultat de l\'addici\xc3\xb3 a \\/ b \\/ c \\/ d \\/ i \\/ f ..... en totes les ocurr\xc3\xa8ncies possibles de x. Equival "Hi ha alguns, o almenys un individu que verifica P x._NEWLINE_Instanciaci\xc3\xb3 _NEWLINE_Substituint en una funci\xc3\xb3 proposicional les variables d\'individus x, i, z, ... per constants a, b, c ..... com a individus: Pere, Joan, aquest llibre, etc._NEWLINE__NEWLINE_Exemples:_NEWLINE_P = Ser quadrat x = qualsevol cosa a = aquesta taula_NEWLINE_ x P x = Per tot x, per a qualsevol x, x \xc3\xa9s quadrat_NEWLINE_ x P x = Per algun x, es d\xc3\xb3na P x. Hi ha almenys un x tal que x \xc3\xa9s quadrat_NEWLINE_P x = Ser quadrat P a = Aquesta taula \xc3\xa9s quadrada\n_START_SECTION_\nClasses de proposicions\n_START_PARAGRAPH_\nSingulars\xc2\xa0:_NEWLINE__NEWLINE_M a Sent M = ser mortal a = Antonio M a \xe2\x86\x94 Antonio \xc3\xa9s mortal_NEWLINE_Generals\xc2\xa0:_NEWLINE__NEWLINE_Sent:_NEWLINE_P = Ser home M = Ser mortal x = variable individual, qualsevol individu_NEWLINE_ x (P x \xe2\x86\x92 M x) Per a tot x si P x llavors M x \xe2\x86\x94 Tots els homes s\xc3\xb3n mortals_NEWLINE_ x (P x /\\M x) Hi ha algun x per al qual P x /\\M x \xe2\x86\x94 Algun home \xc3\xa9s mortal_NEWLINE_ x (P x \xe2\x86\x92 \xc2\xac M x) Per a tot x si P x llavors \xc2\xac M x \xe2\x86\x94 Cap home \xc3\xa9s mortal_NEWLINE_ x (P x /\\\xc2\xac M x) Hi ha algun x tal que P x /\\\xc2\xac M x \xe2\x86\x94 Algun home no \xc3\xa9s mortal_NEWLINE_Proposicions m\xc3\xbaltiplement generals\xc2\xa0:_NEWLINE_Enunciats compostos els components s\xc3\xb3n proposicions generals amb m\xc3\xa9s d\'una variable d\'individus i/o amb proposicions singulars._NEWLINE_Sigui el cas de la proposici\xc3\xb3:_NEWLINE_ x (P x \xe2\x86\x92 L x)] \xe2\x86\x92 L d Que podria equivaler a: Si tots els gossos borden, aleshores Desk (el meu gos) borda._NEWLINE_Si fos el cas  x (P x \xe2\x86\x92 L x) \xe2\x86\x92 L i _NEWLINE_P x i L x, s\xc3\xb3n ocurr\xc3\xa8ncies lligades, sotmeses a l\'abast d\'un quantificador._NEWLINE_L i en canvi \xc3\xa9s una ocurr\xc3\xa8ncia lliure, i per aix\xc3\xb2 pot substituir per una altra variable o per una constant, com L d.'