b'\n_START_ARTICLE_\nAxioma\n_START_PARAGRAPH_\nUn axioma tradicionalment \xc3\xa9s un argument que, o b\xc3\xa9 \xc3\xa9s totalment cert per si mateix, o b\xc3\xa9 com a m\xc3\xadnim segons els coneixements actuals es pot donar per innegable. Si l\'axioma \xc3\xa9s una frase provinent d\'un sil\xc2\xb7logisme, aleshores tant les premisses com l\'estructura interna del sil\xc2\xb7logisme han de ser innegables com aquesta mateixa conclusi\xc3\xb3. I aix\xc3\xad successivament si s\'encadenen m\xc3\xa9s sil\xc2\xb7logismes._NEWLINE_L\'axioma es diferencia del dogma en la mirada o punt de vista. \xc3\x89s a dir, en el sentit que, simplificant, el primer es basa en premisses l\xc3\xb2giques i cient\xc3\xadfiques, mentre que el segon es basa en una autoritat o uns arguments morals, freq\xc3\xbcentment religiosos._NEWLINE_Al m\xc3\xa8tode cient\xc3\xadfic es considera que una suposici\xc3\xb3 pr\xc3\xa8via a un raonament \xc3\xa9s una premissa i, si \xc3\xa9s tal en la qual es basa tota una ci\xc3\xa8ncia aleshores \xc3\xa9s un axioma. Aix\xc3\xad, alguns axiomes donats com a tals per la ci\xc3\xa8ncia moderna s\xc3\xb3n, de fet, arguments molt s\xc3\xb2lids per\xc3\xb2 fora d\'esquemes l\xc3\xb2gics estrictes, i per tant, no necess\xc3\xa0riament innegables, com algunes proposicions de la f\xc3\xadsica.\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb2ria\n_START_PARAGRAPH_\nEls primers sistemes d\'axiomes coneguts s\xc3\xb3n els escrits per Euclides en els seus "Elements d\'Euclides". Tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s interessant l\'evoluci\xc3\xb3 dels axiomes que f\xc3\xa9u Arist\xc3\xb2til en la seva an\xc3\xa0lisi del sil\xc2\xb7logisme (amb el problema que les teories d\'Arist\xc3\xb2til romangueren petrificades durant segles). Els estudis duts a terme especialment durant el segle XIX pels matem\xc3\xa0tics alemanys varen portar a noves conclusions de l\'axiom\xc3\xa0tica, les quals feren evolucions en el coneixement (com l\'\xc3\xa0lgebra moderna i la geometria no euclidiana).\n_START_SECTION_\nPrimers desenvolupaments a Gr\xc3\xa8cia\n_START_PARAGRAPH_\nEl m\xc3\xa8tode l\xc3\xb2gico-deductiu pel qual les conclusions (coneixement nou) s\'obt\xc3\xa9 a partir de premisses (coneixement vell) a trav\xc3\xa9s de l\'aplicaci\xc3\xb3 d\'arguments contundents (sil\xc2\xb7logismes, regles d\'infer\xc3\xa8ncia), va ser desenvolupat pels antics grecs, i s\'ha convertit en el nucli principal de les matem\xc3\xa0tiques modernes. Excloses les tautologies, res no es pot deduir si res no s\'assumeix. Els axiomes i els postulats s\xc3\xb3n les suposicions b\xc3\xa0siques subjacents a un cos donat de coneixement deductiu. S\'accepten sense demostraci\xc3\xb3. Totes les altres assercions (teoremes, si es tracta de matem\xc3\xa0tiques) han de ser demostrades amb l\'ajut d\'aquestes suposicions b\xc3\xa0siques. Tanmateix, la interpretaci\xc3\xb3 de coneixement matem\xc3\xa0tic ha canviat de temps antics als moderns, i en conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia els termes \xc2\xabaxioma\xc2\xbb i \xc2\xabpostulat\xc2\xbb tenen un significat lleugerament diferent per als matem\xc3\xa0tics d\'avui en dia, del que tenien per Arist\xc3\xb2til i a Euclides._NEWLINE_Els grecs antics consideraven la geometria nom\xc3\xa9s com una d\'unes quants ci\xc3\xa8ncies, i tenien els teoremes de geometria al mateix nivell dels altres fets cient\xc3\xadfics. Com a tal, van desenvolupar i emprar el m\xc3\xa8tode\xc3\xb2gico-deductiu com a mitj\xc3\xa0 devitar errors, i per estructurar i comunicar el coneixement. L\'obra d\'Arist\xc3\xb2til Anal\xc3\xadtica posteriora \xc3\xa9s una exposici\xc3\xb3 definitiva del punt de vista cl\xc3\xa0ssic._NEWLINE__NEWLINE_Un "axioma", en terminologia cl\xc3\xa0ssica, es refereix a una suposici\xc3\xb3 evident com\xc3\xba a moltes branques de ci\xc3\xa8ncia. Un bon exemple seria l\'afirmaci\xc3\xb3 de qu\xc3\xa8 _NEWLINE_Quan es detrau una quantitat igual d\'iguals, en resulten iguals._NEWLINE_ _NEWLINE_En la fonamentaci\xc3\xb3 de diverses ci\xc3\xa8ncies hi ha certes hip\xc3\xb2tesis addicionals que s\'acceptaven sense prova. Tals hip\xc3\xb2tesis es qualificaven de postulats. Mentre que els axiomes eren comuns a moltes ci\xc3\xa8ncies, els postulats de cada ci\xc3\xa8ncia particular eren diferents. La seva validesa s\'havia d\'establir per mitj\xc3\xa0 de l\'experi\xc3\xa8ncia al m\xc3\xb3n real. En efecte, Arist\xc3\xb2til adverteix que el contingut d\'una ci\xc3\xa8ncia no es pot comunicar adequadament, si l\'aprenent dubta sobre la veritat dels postulats._NEWLINE_L\'enfocament cl\xc3\xa0ssic queda ben il\xc2\xb7lustrat pels Elements d\'Euclides, on es d\xc3\xb3na una llista de postulats (fets geom\xc3\xa8trics de sentit com\xc3\xba obtinguts de la nostra experi\xc3\xa8ncia), seguit d\'una llista de "nocions comunes" (afirmacions molt b\xc3\xa0siques i evidents).\n_START_SECTION_\nDesenvolupament modern\n_START_PARAGRAPH_\nUna lli\xc3\xa7\xc3\xb3 apresa pels matem\xc3\xa0tics durant els 150 darrers anys \xc3\xa9s que \xc3\xa9s \xc3\xbatil despullar de significat les assercions matem\xc3\xa0tiques (axiomes, postulats, proposicions, teoremes) i definicions. Aquesta abstracci\xc3\xb3, es podria fins i tot dir formalitzaci\xc3\xb3, fa el coneixement matem\xc3\xa0tic m\xc3\xa9s generals, capa\xc3\xa7 de m\xc3\xbaltiples significats, i per aix\xc3\xb2 \xc3\xbatil en contexts m\xc3\xbaltiples._NEWLINE_Els matem\xc3\xa0tics estructuralistes van m\xc3\xa9s enll\xc3\xa0, i desenvolupen teories i axiomes (p. ex. teoria de cossos, teoria de grups, topologia, espais vectorials) sense cap aplicaci\xc3\xb3 particular al cap. La distinci\xc3\xb3 entre un "axioma" i un "postulat" desapareix. Els postulats d\'Euclides estan motivats perqu\xc3\xa8 condueixen a una gran quantitat de fets geom\xc3\xa8trics. La veritat d\'aquests fets complicats es recolza sobre l\'acceptaci\xc3\xb3 de les hip\xc3\xb2tesis b\xc3\xa0siques. Tanmateix, rebutjant el cinqu\xc3\xa8 postulat d\'Euclides s\'obtenen teories que tenen significat en contexts m\xc3\xa9s amplis, la geometria hiperb\xc3\xb2lica per exemple. Nom\xc3\xa9s cal estar preparats per fer servir etiquetes com "l\xc3\xadnia" i "paral\xc2\xb7lel" amb una flexibilitat m\xc3\xa9s gran. El desenvolupament de la geometria hiperb\xc3\xb2lica va ensenyar als matem\xc3\xa0tics que els postulats s\'haurien de considerar com declaracions purament formals, i no com fets basats en l\'experi\xc3\xa8ncia._NEWLINE_Quan els matem\xc3\xa0tics empren els axiomes d\'un cos, les intencions s\xc3\xb3n fins i tot m\xc3\xa9s abstractes. Les proposicions de teoria de cossos no afacten una aplicaci\xc3\xb3 particular qualsevol; el matem\xc3\xa0tic ara introdueix l\'abstracci\xc3\xb3 completa. Hi ha molts exemples de cossos; la teoria de cossos d\xc3\xb3na un coneixement correcte sobre tots ells. _NEWLINE_No \xc3\xa9s correcte dir que els axiomes de teoria de cossos s\xc3\xb3n "proposicions que es veuen com veritables sense prova." M\xc3\xa9s aviat, els axiomes de cos s\xc3\xb3n un conjunt de restriccions. Si qualsevol sistema donat amb addici\xc3\xb3 i multiplicaci\xc3\xb3, satisf\xc3\xa0 aquestes restriccions, llavors s\'est\xc3\xa0 en una posici\xc3\xb3 de saber instant\xc3\xa0niament gran quantitat d\'informaci\xc3\xb3 extra sobre aquest sistema._NEWLINE_Les matem\xc3\xa0tiques modernes formalitzen els seus fonaments de tal manera que les teories matem\xc3\xa0tiques es poden considerar com objectes matem\xc3\xa0tics, i la l\xc3\xb2gica mateixa es pot considerar com una branca de les matem\xc3\xa0tiques. Frege, Russell, Poincar\xc3\xa9, Hilbert, i G\xc3\xb6del s\xc3\xb3n alguns dels protagonistes clau en aquest desenvolupament._NEWLINE_En la visi\xc3\xb3 moderna, un conjunt d\'axiomes \xc3\xa9s qualsevol conjunt d\'assercions formalment establertes a partir de les quals s\'obtenen unes altres assercions formalment descrites per l\'aplicaci\xc3\xb3 de certes regles ben definides. En aquesta visi\xc3\xb3, la l\xc3\xb2gica es converteix nom\xc3\xa9s en un altre sistema formal. Un conjunt d\'axiomes haurien de ser coherents; hauria de ser impossible obtenir una contradicci\xc3\xb3 dels axiomes. Un conjunt d\'axiomes tamb\xc3\xa9 haurien de ser no redundants; una asserci\xc3\xb3 que es pot deduir d\'uns altres axiomes no cal considerar-la un axioma._NEWLINE_L\'esperan\xc3\xa7a inicial dels l\xc3\xb2gics moderns era que les diverses branques de les matem\xc3\xa0tiques, potser totes les matem\xc3\xa0tiques, es podrien obtenir d\'una conjunt coherent d\'axiomes b\xc3\xa0sics. Un primer \xc3\xa8xit del programa de formalistes va ser la formalitzaci\xc3\xb3 de Hilbert de la geometria euclidiana, i la demostraci\xc3\xb3 de la consist\xc3\xa8ncia dels seus axiomes._NEWLINE_En un context m\xc3\xa9s ampli, hi va haver un intent de basar tota la matem\xc3\xa0tica en la teoria de conjunts de Cantor. Aqu\xc3\xad l\'aparici\xc3\xb3 de la paradoxa de Russell, i antin\xc3\xb2mies similars de la teoria de conjunt ing\xc3\xa8nua va portar a la possibilitat que qualsevol sistema d\'aquest tipus podria resultar ser inconsistent._NEWLINE_El projecte de formalista va patir un contratemps decisiu, quan el 1931 G\xc3\xb6del va demostrar que \xc3\xa9s possible, per qualsevol conjunt suficientment gran d\'axiomes (Els axiomes de Peano, per exemple) construir una declaraci\xc3\xb3 de la veritat de la qual \xc3\xa9s independent d\'aquell conjunt d\'axiomes. Com a corol\xc2\xb7lari, G\xc3\xb6del demostrava que la consist\xc3\xa8ncia d\'una teoria com l\'aritm\xc3\xa8tica Peano \xc3\xa9s una asserci\xc3\xb3 indemostrable dins de l\'abast de la mateixa teoria._NEWLINE_\xc3\x89s raonable creure en la consist\xc3\xa8ncia de l\'aritm\xc3\xa8tica de Peano perqu\xc3\xa8 aquests axiomes els satisfan el sistema de nombres naturals, un sistema formal infinit per\xc3\xb2 intu\xc3\xaftivament accessible. Tanmateix, actualment, no hi ha cap manera coneguda de demostrar la consist\xc3\xa8ncia dels moderns axiomes de Zermelo-Fraenkel per a la teoria de conjunt. L\'axioma d\'elecci\xc3\xb3, una hip\xc3\xb2tesi clau d\'aquesta teoria, roman una suposici\xc3\xb3 molt controvertida. A m\xc3\xa9s, fent servir t\xc3\xa8cniques de for\xc3\xa7ar-los (Cohen) es pot demostrar que la hip\xc3\xb2tesi del continu (Cantor) \xc3\xa9s independent dels axiomes de Zermelo-Fraenkel. Aix\xc3\xad, ni tan sols aquest conjunt for\xc3\xa7a general d\'axiomes no es poden considerar com la fonamentaci\xc3\xb3 definitiva de les matem\xc3\xa0tiques.\n_START_SECTION_\nL\xc3\xb2gica matem\xc3\xa0tica\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa0tiques un axioma \xc3\xa9s una afirmaci\xc3\xb3 que serveix de punt de partida per demostrar les altres. Es poden distingir dos sentits relacionats per\xc3\xb2 diferents d\'axioma: Els axiomes l\xc3\xb2gics i els axiomes no l\xc3\xb2gics. Els axiomes l\xc3\xb2gics o tautologies s\xc3\xb3n afirmacions que s\xc3\xb3n certes independentment de quins siguin els objectes a qu\xc3\xa8 fa refer\xc3\xa8ncia, per exemple: si A i B llavors A, \xc3\xa9s veritat independentment que qu\xc3\xa8 siguin A i B. Els axiomes no l\xc3\xb2gics defineixen propietats per una teoria matem\xc3\xa0tica espec\xc3\xadfica, per exemple a * b = b * a \xc3\xa9s un axioma en teoria de grups abelians._NEWLINE_Els axiomes d\'Euclides tenen un sentit diferent del concepte matem\xc3\xa0tic actual d\'axioma. La geometria d\'Euclides \xc3\xa9s una matem\xc3\xa0tica aplicada a la mesura de l\'espai f\xc3\xadsic. En aquest context els axiomes s\xc3\xb3n el lligam entre la matem\xc3\xa0tica i la f\xc3\xadsica. L\'afirmaci\xc3\xb3 de qu\xc3\xa8 els axiomes siguin evidents vol dir que descansen en l\'experi\xc3\xa8ncia que tothom t\xc3\xa9 de l\'espai f\xc3\xadsic. El fet que Euclides separi aquests axiomes procedents de l\'experi\xc3\xa8ncia al m\xc3\xb3n f\xc3\xadsic de la resta del desenvolupament, permet un proc\xc3\xa9s de raonament rigor\xc3\xb3s, en for\xc3\xa7ar que totes les altres afirmacions s\'hagin d\'obtenir a partir d\'aquestes sense admetre res m\xc3\xa9s procedent de l\'experi\xc3\xa8ncia._NEWLINE_En el camp de l\xc3\xb2gica matem\xc3\xa0tica, es fa una distinci\xc3\xb3 clara entre dues nocions d\'axiomes: \'axiomes l\xc3\xb2gics\' i \'axiomes no l\xc3\xb2gics\' (una mica similar a la distinci\xc3\xb3 antiga entre "axiomes" i "postulats" respectivament)\n_START_SECTION_\nAxiomes l\xc3\xb2gics\n_START_PARAGRAPH_\nAquests s\xc3\xb3n certes f\xc3\xb3rmules en un llenguatge formal que s\xc3\xb3n universalment v\xc3\xa0lides, \xc3\xa9s a dir, f\xc3\xb3rmules que es satisfan per totes les assignacions de valors. Normalment es considera com axiomes l\xc3\xb2gics pel cap baix algun conjunt m\xc3\xadnim de tautologies que \xc3\xa9s suficient per demostrar totes les tautologies en el llenguatge; en termes de l\xc3\xb2gica de predicats calen m\xc3\xa9s axiomes l\xc3\xb2gics que aquests, per demostrar veritats l\xc3\xb2giques que no s\xc3\xb3n tautologies en el sentit estricte.\n_START_SECTION_\nL\xc3\xb2gica matem\xc3\xa0tica\n_START_PARAGRAPH_\n\'Axioma d\'igualtat.\' Sia  un llenguatge de primer ordre. Per a tota variable , la f\xc3\xb3rmula_NEWLINE_\xc3\xa9s universalment v\xc3\xa0lida._NEWLINE_Aix\xc3\xb2 vol dir que, per a qualsevol s\xc3\xadmbol variable x, la f\xc3\xb3rmula  pot ser considerada com a axioma. Tamb\xc3\xa9, en aquest exemple, perqu\xc3\xa8 aix\xc3\xb2 no caigui en una vaguetat i una s\xc3\xa8rie infinita d\'"idees primitives", o b\xc3\xa9 cal una idea precisa de qu\xc3\xa8 significa , o cal for\xc3\xa7ar un \xc3\xbas purament formal i sint\xc3\xa0ctic del s\xc3\xadmbol , que nom\xc3\xa9s fa refer\xc3\xa8ncia a una cadena i nom\xc3\xa9s una cadena se s\xc3\xadmbols, i la l\xc3\xb2gica matem\xc3\xa0tica efectivament \xc3\xa9s aix\xc3\xb2 el que fa._NEWLINE_Un altre exemple d\'esquema d\'axiomes m\xc3\xa9s interessant, \xc3\xa9s el que subministra el que es coneix com a \'Instanciaci\xc3\xb3 Universal\':_NEWLINE_\'Esquema d\'axiomes per la Instanciaci\xc3\xb3 Universal.\' Donada una f\xc3\xb3rmula  en llenguatge de primer ordre , una variable  i un terme  que \xc3\xa9s substitu\xc3\xafble per  en , la f\xc3\xb3rmula_NEWLINE_\xc3\xa9s universalment v\xc3\xa0lida._NEWLINE_...on el s\xc3\xadmbol  representa la f\xc3\xb3rmula  amb el terme  substitu\xc3\xaft per . En termes informals, aquest exemple permet manifestar que, si se sap que una certa propietat  es compleix per cada  i que  representa un objecte particular en l\'estructura, llavors s\'hauria de poder afirmar . De nou, s\'est\xc3\xa0 reivindicant que la f\xc3\xb3rmula  \xc3\xa9s v\xc3\xa0lida, \xc3\xa9s a dir, s\'ha de poder donar una "prova" d\'aquest fet, o m\xc3\xa9s pr\xc3\xb2piament parlant, una met\xc3\xa0fora. De fet, aquests exemples s\xc3\xb3n metateoremes de la teoria de l\xc3\xb2gica matem\xc3\xa0tica ja que s\'est\xc3\xa0 tractant amb el mateix concepte de prova. A banda d\'aix\xc3\xb2, tamb\xc3\xa9 es pot tenir la Generalitzaci\xc3\xb3 Existencial:_NEWLINE_\'Esquema d\'axioma per la Generalitzaci\xc3\xb3 Existencial.\' Donada una f\xc3\xb3rmula  en un llenguatge de primer ordre , una variable  i un terme  que \xc3\xa9s substituible per  en , la f\xc3\xb3rmula_NEWLINE_\xc3\xa9s universalment v\xc3\xa0lida.\n_START_SECTION_\nAxiomes no l\xc3\xb2gics\n_START_PARAGRAPH_\nEls \'axiomes no l\xc3\xb2gics\' s\xc3\xb3n f\xc3\xb3rmules que juguen el paper de suposicions espec\xc3\xadfiques de la teoria. Raonar sobre dues estructures diferents, per exemple els nombres naturals i els enters, podt implicar els mateixos axiomes l\xc3\xb2gics; els axiomes no l\xc3\xb2gics aspiren captar el que \xc3\xa9s especial sobre una estructura particular (o conjunt d\'estructures, com per exemple els grups). Aix\xc3\xad els axiomes no l\xc3\xb2gics, a difer\xc3\xa8ncia d\'axiomes l\xc3\xb2gics, no s\xc3\xb3n tautologies. Un altre nom per a un axioma no l\xc3\xb2gic \xc3\xa9s postulat._NEWLINE_Gaireb\xc3\xa9 cada teoria matem\xc3\xa0tica moderna comen\xc3\xa7a a partir d\'un conjunt donat d\'axiomes no l\xc3\xb2gics, i es pensava que en principi totes les teories podrien ser axiomatitzades d\'aquesta manera i ser formalitzades fins a deixar-les en el llenguatge nu de f\xc3\xb3rmules l\xc3\xb2giques. Aix\xc3\xb2 ha resultat ser impossible (vegeu m\xc3\xa9s avall); tanmateix \xc3\xbaltimament aquesta aproximaci\xc3\xb3 s\'ha ressuscitat en forma de neologicisme._NEWLINE_Sovint, en parlar dels axiomes no l\xc3\xb2gics, s\'anomenen simplement axiomes en el discurs matem\xc3\xa0tic. Aix\xc3\xb2 no significa que s\'afirmi que s\xc3\xb3n veritables en algun sentit absolut. Per exemple, en alguns grups, l\'operaci\xc3\xb3 de grup \xc3\xa9s commutativa, i aix\xc3\xb2 es pot afirmar amb la introducci\xc3\xb3 d\'un axioma addicional, per\xc3\xb2 sense aquest axioma es pot desenvolupar for\xc3\xa7a b\xc3\xa9 (la m\xc3\xa9s general) teoria de grups, i fins i tot es pot agafar la seva negaci\xc3\xb3 com a axioma per a l\'estudi dels grups no commutatius._NEWLINE_Aix\xc3\xad, un axioma \xc3\xa9s una base elemental per un sistema l\xc3\xb2gic formal que juntament amb les regles d\'infer\xc3\xa8ncia defineix un sistema deductiu.\n_START_SECTION_\nExemples\n_START_PARAGRAPH_\nEn aquesta secci\xc3\xb3 es donen exemples de teories matem\xc3\xa0tiques que es desenvolupen totalment a partir d\'un conjunt d\'axiomes no l\xc3\xb2gics (d\'ara endavant, axiomes). Un tractament rigor\xc3\xb3s de qualsevol d\'aquests temes comen\xc3\xa7a amb una especificaci\xc3\xb3 d\'aquests axiomes._NEWLINE_Teories b\xc3\xa0siques, com l\'aritm\xc3\xa8tica, l\'an\xc3\xa0lisi real i l\'an\xc3\xa0lisi complexa sovint s\xc3\xb3n introdu\xc3\xafdes de forma no axiom\xc3\xa0tica, per\xc3\xb2 impl\xc3\xadcitament o expl\xc3\xadcitament, generalment hi ha la suposici\xc3\xb3 que els axiomes que es fan servir s\xc3\xb3n els axiomes de teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel amb l\'axioma d\'elecci\xc3\xb3, abreujada ZFC, o algun sistema molt similar de teoria axiom\xc3\xa0tica de conjunts, molt sovint la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-G\xc3\xb6del, abreujada NBG. Aix\xc3\xb2 \xc3\xa9s una ampliaci\xc3\xb3 conservadora de la ZFC, amb teoremes id\xc3\xa8ntics respecte a conjunts, i per tant relacionada de molt a prop. A vegades es fan servir teories una mica m\xc3\xa9s dures com la teoria de conjunts de Morse-Kelley o la teoria de conjunts amb un cardinal inaccessible que permet l\'\xc3\xbas d\'un univers de Grothendieck, per\xc3\xb2 de fet la majoria dels matem\xc3\xa0tics poden demostrar tot el que necessiten en sistemes m\xc3\xa9s febles que la ZFC, com per exemple l\'aritm\xc3\xa8tica de segon ordre._NEWLINE_L\'estudi de topologia en matem\xc3\xa0tiques s\'est\xc3\xa9n per tot arreu a trav\xc3\xa9s de la topologia de conjunts de punts, la topologia algebraica, la topologia diferencial, i tota la faramalla relacionada, com ara la teoria d\'homologia, o la teoria d\'homotopia. El desenvolupament de l\'\xc3\xa0lgebra abstracta porta a la teoria de grups, anells i cossos._NEWLINE_Aquesta llista es podria expandir per incloure molts camps de les matem\xc3\xa0tiques, entre ells la teoria axiom\xc3\xa0tica de conjunts, la teoria de la mesura, la teoria erg\xc3\xb2dica, la probabilitat, la teoria de la representaci\xc3\xb3, i la geometria diferencial.\n_START_SECTION_\nGeometria euclidiana\n_START_PARAGRAPH_\nProbablement la m\xc3\xa9s antiga, i m\xc3\xa9s famosa, llista d\'axiomes s\xc3\xb3n els 4 + 1 postulats d\'Euclides de geometria plana. Es parla dels axiomes com "4 + 1" perqu\xc3\xa8 durant gaireb\xc3\xa9 dos mil\xc2\xb7lennis el cinqu\xc3\xa8 (el postulat de les paral\xc2\xb7leles) ("a trav\xc3\xa9s d\'un punt exterior a una recta hi passa exactament una paral\xc2\xb7lela") se sospitava que es podia deduir a partir dels primers quatre. Finalment, es va trobar que el cinqu\xc3\xa8 postulat rea independent dels primers quatre. En efecte, es pot suposar que no hi ha cap paral\xc2\xb7lel que passi a trav\xc3\xa9s d\'un punt exterior a una recta, que n\'hi ha exactament una, o que n\'hi ha una quantitat infinita. Aquestes eleccions donen formes alternatives de geometria en les quals els angles interiors d\'un triangle sumen menys que, exactament, o m\xc3\xa9s que 180\xc2\xa0\xc2\xb0 respectivament i es coneixen com a geometries el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques, euclidianes, i hiperb\xc3\xb2liques.\n_START_SECTION_\nAn\xc3\xa0lisi real\n_START_PARAGRAPH_\nEl seu objecte d\'estudi s\xc3\xb3n els nombres reals. Els nombres reals queden determinats de forma \xc3\xbanica (fins a l\'isomorfisme) per les propietats d\'un cos de Dedekind completament ordenat, aix\xc3\xb2 vol dir que qualsevol conjunt no buit de nombres reals amb una fita superior t\xc3\xa9 un suprem (existeix un nombre que \xc3\xa9s la m\xc3\xa9s petita de totes les fites superiors). Tanmateix, expressar aquestes propietats com axiomes exigeix \xc3\xbas de l\xc3\xb2gica de segon ordre. Els teoremes de L\xc3\xb6wenheim-Skolem diuen que si el discurs es restringeix a la l\xc3\xb2gica de primer ordre, qualsevol sistema d\'axiomes per als reals admet altres models, entre els quals hi ha tant models que s\xc3\xb3n m\xc3\xa9s petits que els reals com a models que s\xc3\xb3n m\xc3\xa9s grans. Alguns d\'aquests \xc3\xbaltims s\'estudien en l\'an\xc3\xa0lisi no est\xc3\xa0ndard.\n_START_SECTION_\nSistemes deductius i completesa\n_START_PARAGRAPH_\nUn sistema deductiu consisteix, en un conjunt  d\'axiomes l\xc3\xb2gics, un conjunt  d\'axiomes no l\xc3\xb2gics, i un conjunt  de regles d\'infer\xc3\xa8ncia. Una propietat desitjable d\'un sistema deductiu \xc3\xa9s que sigui complet. Es diu que un sistema \xc3\xa9s complet si, per a totes les f\xc3\xb3rmules ,_NEWLINE_\xc3\xa9s a dir, per a qualsevol afirmaci\xc3\xb3 que \xc3\xa9s una conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia l\xc3\xb2gica de  existeix una deducci\xc3\xb3 de l\'afirmaci\xc3\xb3 de . Aix\xc3\xb2 s\'expressa a vegades com "tot all\xc3\xb2 que \xc3\xa9s veritable \xc3\xa9s demostrable", per\xc3\xb2 s\'ha d\'entendre que "veritable" aqu\xc3\xad vol dir "fet veritable pel conjunt d\'axiomes", i no per exemple "veritable en la interpretaci\xc3\xb3 desitjada". El teorema de completesa de G\xc3\xb6del estableix la completesa d\'un cert tipus de sistema deductiu comunament utilitzat. _NEWLINE_Fixeu-vos que "completesa" t\xc3\xa9 un significat diferent aqu\xc3\xad que el que t\xc3\xa9 en el context del primer teorema d\'incompletesa de G\xc3\xb6del, que estableix que cap conjunt recursiu, consistent d\'axiomes no l\xc3\xb2gics  de la Teoria Aritm\xc3\xa8tica \xc3\xa9s complet, en el sentit que sempre existir\xc3\xa0 una afirmaci\xc3\xb3 aritm\xc3\xa8tica  tal que ni  ni  poden ser demostrades a partir del conjunt donat d\'axiomes._NEWLINE_Per tant hi ha, per una banda, la idea de completesa d\'un sistema deductiu i d\'altra banda la de completesa d\'un conjunt d\'axiomes no l\xc3\xb2gics. El teorema de completesa i el teorema d\'incompletesa, malgrat els seus noms, no es contradiuen l\'un a l\'altre.\n_START_SECTION_\nConsist\xc3\xa8ncia, independ\xc3\xa8ncia i models\n_START_PARAGRAPH_\nEs diu que un sistema axiom\xc3\xa0tic \xc3\xa9s consistent si els axiomes no s\xc3\xb3n contradictoris entre si, \xc3\xa9s a dir si no es pot deduir del sistema d\'axiomes una afirmaci\xc3\xb3 i tamb\xc3\xa9 deuir la seva negaci\xc3\xb3._NEWLINE_En un sistema d\'axiomes es diu que un axioma \xc3\xa9s independent si no \xc3\xa9s un teorema que es pugui demostrar a partir dels altres axiomes del sistema. Es diu que un sistema d\'axiomes \xc3\xa9s independent si cada un dels seus axiomes \xc3\xa9s independent._NEWLINE_Un model per a un sistema axiom\xc3\xa0tic \xc3\xa9s un conjunt ben definit, que assigna significat als termes indefinits que apareixen al sistema d\'axiomes, d\'una manera que \xc3\xa9s correcta amb les relacions definides en el sistema. L\'exist\xc3\xa8ncia d\'un model concret comprova la consist\xc3\xa8ncia d\'un sistema d\'axiomes. (M\xc3\xa9s que una demostraci\xc3\xb3 en el sentit d\'arribar a la conclusi\xc3\xb3 seguint les regles del mateix sistema, \xc3\xa9s una comprovaci\xc3\xb3, en el sentit que si el sistema fos inconsistent no hi podria haver cap model que compl\xc3\xads els axiomes, per tant el fet de presentar un model permet comprovar que els axiomes s\xc3\xb3n consistents)._NEWLINE_Els models tamb\xc3\xa9 es poden fer servir per mostrar la independ\xc3\xa8ncia d\'un axioma en el sistema. Construint un model v\xc3\xa0lid per a un subsistema sense un axioma espec\xc3\xadfic, mostra que l\'axioma om\xc3\xa8s \xc3\xa9s independent si no \xc3\xa9s isomorf a cap model del sistema complet d\'axiomes._NEWLINE_Es diu que dos models s\xc3\xb3n isomorfs si es pot trobar una correspond\xc3\xa8ncia exacta entre els seus elements (\xc3\xa9s a dir es pot fer correspondre a cada element d\'un model un i nom\xc3\xa9s un element de l\'altre), d\'una forma que conserva les seves relacions (\xc3\xa9s a dir si dos elements compleixen una relaci\xc3\xb3 en un model els elements que hi estan relacionats tamb\xc3\xa9 compleixen la relaci\xc3\xb3 en l\'\xc3\xa0ltre model). Un sistema axiom\xc3\xa0tic per al qual tots els models s\xc3\xb3n isomorfs entre ells s\'anomena categ\xc3\xb2ric, i la propietat de categoricitat assegura la completesa d\'un sistema._NEWLINE_Es diu que un model \xc3\xa9s concret si els significats assignats s\xc3\xb3n objectes i relacions del m\xc3\xb3n real, en oposici\xc3\xb3 a un model abstracte que es basa en altres sistemes axiomatics._NEWLINE_Abans els matem\xc3\xa0tics es referien a la geometria axiom\xc3\xa0tica com un model de l\'espai f\xc3\xadsic, i \xc3\xb2bviament consideraven que nom\xc3\xa9s hi n\'hi podia haver un de model. La idea que hi poguessin haver sistemes matem\xc3\xa0tics alternatius creava moltes dificultats als matem\xc3\xa0tics del segle XIX i els que desenvolupaven sistemes com ara l\'\xc3\xa0lgebra de Boole feien grans esfor\xc3\xa7os per deuduir-la a partir de l\'aritm\xc3\xa8tica tradicional. Galois va demostrar que aquests esfor\xc3\xa7os eren en gran part en va. Finalment, es va veure que els paralal\xc2\xb7lelismes abstractes entre els sistemes algebraics eren m\xc3\xa9s importants que els detalls i va n\xc3\xa9ixer l\'\xc3\xa0lgebra abstracta. Des del punt de vista modern s\'agafen com axiomes qualsevol conjunt de f\xc3\xb3rmules a voluntat, en la mesura en qu\xc3\xa8 no se s\xc3\xa0piga que siguin inconsistents.'