b"\n_START_ARTICLE_\nP-grup\n_START_PARAGRAPH_\nEn el camp matem\xc3\xa0tic de la teoria de grups, donat un nombre primer p, un p-grup \xc3\xa9s un grup en el qual tot element t\xc3\xa9 ordre una pot\xc3\xa8ncia de p. \xc3\x89s a dir, per a cada element g d'un p-grup, existeix un nombre natural n tal que el producte de p\xe2\x81\xbf c\xc3\xb2pies de g, i no menys, \xc3\xa9s igual a l'element neutre. Els ordres d'elements diferents poden ser diferents pot\xc3\xa8ncies de p. Aquests grups tamb\xc3\xa9 s'anomenen p-primaris o simplement primaris._NEWLINE_Un grup finit \xc3\xa9s un p-grup si i nom\xc3\xa9s si el seu ordre (el nombre dels seus elements) \xc3\xa9s una pot\xc3\xa8ncia de p. Donat un grup finit G, els teoremes de Sylow garanteixen que, per a tota pot\xc3\xa8ncia primera p\xe2\x81\xbf que divideixi l'ordre de G, existeix un subgrup de G amb ordre p\xe2\x81\xbf.\n_START_SECTION_\nPropietats\n_START_PARAGRAPH_\nTot p-grup \xc3\xa9s peri\xc3\xb2dic, ja que, per definici\xc3\xb3, tot element t\xc3\xa9 ordre finit.\n_START_SECTION_\nAutomorfismes\n_START_PARAGRAPH_\nEls grups d'automorfismes dels p-grups han estat objecte d'un extens estudi. De la mateixa manera que tot p-grup finit t\xc3\xa9 un centre no trivial, i per tant el grup d'automorfismes interns \xc3\xa9s un quocient propi del grup, tot p-grup finit t\xc3\xa9 un grup d'automorfismes externs propi. Tot automorfisme de G indueix un automorfisme sobre G/\xce\xa6(G), on \xce\xa6(G) \xc3\xa9s el subgrup de Frattini de G. El quocient G/\xce\xa6(G) \xc3\xa9s un grup abeli\xc3\xa0 elemental i el seu grup d'automorfismes \xc3\xa9s un grup lineal general. William Burnside estudi\xc3\xa0 l'aplicaci\xc3\xb3 del grup d'automorfismes de G en el seu grup lineal general, i demostr\xc3\xa0 que el nucli d'aquesta aplicaci\xc3\xb3 \xc3\xa9s un p-grup.\n_START_SECTION_\nExemples\n_START_PARAGRAPH_\nEls p-grups del mateix ordre no tenen per qu\xc3\xa8 ser isomorfs; per exemple, el grup c\xc3\xadclic C\xe2\x82\x84 i el grup de Klein V\xe2\x82\x84 s\xc3\xb3n 2-grups d'ordre 4, per\xc3\xb2 no s\xc3\xb3n isomorfs._NEWLINE_Tampoc no \xc3\xa9s cert, en general, que un p-grup sigui abeli\xc3\xa0; el grup diedral Dih\xe2\x82\x84 d'ordre 8 \xc3\xa9s un 2-grup no abeli\xc3\xa0. No obstant aix\xc3\xb2, tot grup d'ordre p\xc2\xb2 \xc3\xa9s abeli\xc3\xa0._NEWLINE_Els grups diedrals s\xc3\xb3n, en un sentit, for\xc3\xa7a semblants i, en un altre sentit, for\xc3\xa7a diferents dels grups de quaternions i als grups semidiedrals. La uni\xc3\xb3 dels grups diedrals, els grups semidiedrals i els grups de quaternions conformen els 2-grups de classe maximal, \xc3\xa9s a dir, grups d'ordre 2\xe2\x81\xbf\xe2\x81\xba\xc2\xb9 i classe de nilpot\xc3\xa8ncia n.\n_START_SECTION_\nProductes de corona iterats\n_START_PARAGRAPH_\nEls productes de corona iterats de grups c\xc3\xadclics d'ordre p s\xc3\xb3n exemples importants de p-grups. Denotem el grup c\xc3\xadclic d'ordre p per W(1), i el producte de corona de W(n) amb W(1) per W(n\xc2\xa0+\xc2\xa01). Llavors W(n) \xc3\xa9s el p-subgrup de Sylow del grup sim\xc3\xa8tric Sim(p\xe2\x81\xbf). Els p-subgrups maximals del grup lineal general GL(n,Q) s\xc3\xb3n productes directes de diversos W(n). T\xc3\xa9 ordre p\xe1\xb5\x8f, on k\xc2\xa0=\xc2\xa0(p\xe2\x81\xbf\xc2\xa0\xe2\x88\x92\xc2\xa01)/(p\xc2\xa0\xe2\x88\x92\xc2\xa01). T\xc3\xa9 classe de nilpot\xc3\xa8ncia p\xe2\x81\xbf\xe2\x81\xbb\xc2\xb9, i les seves s\xc3\xa8rie central descendent, s\xc3\xa8rie central ascendent, s\xc3\xa8rie central d'exponent p descendent i s\xc3\xa8rie central d'exponent p ascendent s\xc3\xb3n iguals. Est\xc3\xa0 generat pels seus elements d'ordre p, per\xc3\xb2 el seu exponent \xc3\xa9s p\xe2\x81\xbf. El segon grup d'aquest tipus, W(2), tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s un p-grup de classe maximal, ja que t\xc3\xa9 ordre p\xe1\xb5\x96\xe2\x81\xba\xc2\xb9 i classe de nilpot\xc3\xa8ncia p, per\xc3\xb2 no \xc3\xa9s un p-grup regular. Com que els grups d'ordre p\xe1\xb5\x96 s\xc3\xb3n sempre grups regulars, aquest n'\xc3\xa9s tamb\xc3\xa9 un exemple m\xc3\xadnim.\n_START_SECTION_\nGrups diedrals generalitzats\n_START_PARAGRAPH_\nQuan p\xc2\xa0=\xc2\xa02 i n\xc2\xa0=\xc2\xa02, llavors W(n) \xc3\xa9s el grup diedral d'ordre 8, de tal manera que, en un cert sentit, W(n) proporciona un an\xc3\xa0leg al grup diedral per a tots els primers p quan n\xc2\xa0=\xc2\xa02. No obstant aix\xc3\xb2, per a n m\xc3\xa9s gran, l'analogia esdev\xc3\xa9 for\xc3\xa7ada. Existeix una fam\xc3\xadlia diferent d'exemples que \xc3\xa9s paral\xc2\xb7lela als grups diedrals d'ordre 2\xe2\x81\xbf, per\xc3\xb2 requereix una mica de feina pr\xc3\xa8via. Denotem per \xce\xb6 una arrel p-sima primitiva de la unitat al pla complex, sigui Z[\xce\xb6] l'anell dels enters ciclot\xc3\xb2mics generat per \xce\xb6, i sigui P l'ideal primer generat per 1\xe2\x88\x92\xce\xb6. Sigui G un grup c\xc3\xadclic d'ordre p generat per un element z. Definim E(p) com el producte semidirecte de Z[\xce\xb6] i G on z actua com a la multiplicaci\xc3\xb3 per \xce\xb6. Les pot\xc3\xa8ncies P\xe2\x81\xbf s\xc3\xb3n subgrups normals de E(p), i els grups exemple s\xc3\xb3n E(p,n)\xc2\xa0=\xc2\xa0E(p)/P\xe2\x81\xbf. El grup E(p,n) t\xc3\xa9 ordre p\xe2\x81\xbf\xe2\x81\xba\xc2\xb9 i classe de nilpot\xc3\xa8ncia n, de tal manera que \xc3\xa9s un p-grup de classe maximal. Quan p\xc2\xa0=\xc2\xa02, llavors E(2,n) \xc3\xa9s el grup diedral d'ordre 2\xe2\x81\xbf. Quan p \xc3\xa9s senar, tant W(2) com E(p,p) s\xc3\xb3n grups irregulars de classe maximal i ordre p\xe1\xb5\x96\xe2\x81\xba\xc2\xb9, per\xc3\xb2 no s\xc3\xb3n isomorfs.\n_START_SECTION_\nGrups de matrius triangulars\n_START_PARAGRAPH_\nEls subgrups de Sylow dels grups lineals generals s\xc3\xb3n una altra fam\xc3\xadlia fonamental d'exempled. Sigui V un espai vectorial de dimensi\xc3\xb3 n amb una base { e\xe2\x82\x81, e\xe2\x82\x82, \xe2\x80\xa6, e\xe2\x82\x99 } i definim V\xe1\xb5\xa2 com l'espai vectorial generat per { e\xe1\xb5\xa2, e\xe1\xb5\xa2\xe2\x82\x8a\xe2\x82\x81, \xe2\x80\xa6, e\xe2\x82\x99 } per 1 \xe2\x89\xa4 i \xe2\x89\xa4 n, i definim V\xe1\xb5\xa2 = 0 quan i > n. Per a cada 1 \xe2\x89\xa4 m \xe2\x89\xa4 n, el conjunt de transformacions lineals invertibles de V que porten cada V\xe1\xb5\xa2 a V\xe1\xb5\xa2\xe2\x82\x8a\xe2\x82\x98 forma un subgrup de Aut(V) denotat per U\xe2\x82\x98. Si V \xc3\xa9s un espai vectorial sobre Z/pZ, llavors U\xe2\x82\x81 \xc3\xa9s un p-subgrup de Sylow de Aut(V) = GL(n, p), i els termes de la seva s\xc3\xa8rie central descendent s\xc3\xb3n, precisament, els U\xe2\x82\x98. En termes de matrius, U\xe2\x82\x98 s\xc3\xb3n matrius triangulars superiors amb valors 1 a la diagonal i valors 0 a les primeres m\xe2\x88\x921 superdiagonals. El grup U\xe2\x82\x81 t\xc3\xa9 ordre p, classe de nilpot\xc3\xa8ncia n, i exponent p\xe1\xb5\x8f on k \xc3\xa9s l'enter m\xc3\xa9s petit m\xc3\xa9s gran o igual a logaritme en base p de n.\n_START_SECTION_\nClassificaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nEls grups d'ordre p\xe2\x81\xbf per 0 \xe2\x89\xa4 n \xe2\x89\xa4 4 ja van ser classificats en la hist\xc3\xb2ria inicial de la teoria de grups, i les investigacions m\xc3\xa9s recents han ampliat aquestes classificacions a grups amb ordre divisor de p\xe2\x81\xb7, encara que el nombre de fam\xc3\xadlies d'aquest tipus creix tan r\xc3\xa0pidament que hom pensa que \xc3\xa9s dif\xc3\xadcil copsar-ne una classificaci\xc3\xb3 completa. Per exemple, Marshall Hall Jr. i James K. Senior van aconseguir classificar els grups d'ordre 2\xe2\x81\xbf per a n \xe2\x89\xa4 6 l'any 1964._NEWLINE_Com a alternativa a una classificaci\xc3\xb3 dels grups per ordre, Philip Hall propos\xc3\xa0 utilitzar una noci\xc3\xb3 d'isoclinisme de grups que agrupava els p-grups finits en fam\xc3\xadlies basades en quocients i subgrups._NEWLINE_Un altre m\xc3\xa8tode completament diferent classifica els p-grups finits per la seva coclasse, \xc3\xa9s a dir, la difer\xc3\xa8ncia entre la seva longitud de composici\xc3\xb3 i la seva classe de nilpot\xc3\xa8ncia. Les anomenades conjectures sobre coclasses descriuen el conjunt de tots els p-grups finits de coclasses fixades com a pertorbacions d'una quantitat finita de pro-p grups. Les conjectures sobre coclasses es van demostrar en la d\xc3\xa8cada dels 1980 emprant t\xc3\xa8cniques relacionades amb les \xc3\xa0lgebres de Lie i els p-grups potents. Les demostracions finals dels teoremes de coclasses es deuen a A.\xc2\xa0Shalev i a C.R.\xc2\xa0Leedham-Green, tots dos de forma independent l'any 1994._NEWLINE_Tot grup d'ordre p\xe2\x81\xb5 \xc3\xa9s metabeli\xc3\xa0.\n_START_SECTION_\nEntre grups\n_START_PARAGRAPH_\nEl nombre de classes d'isomorfisme dels grups d'ordre p\xe2\x81\xbf creix a un ritme de , que al seu torn estan dominades per les classes nilpotents en dos passos. A causa d'aquest creixement tan r\xc3\xa0pid, existeix una conjectura popular que afirma que gaireb\xc3\xa9 tots els grups finits s\xc3\xb3n 2-grups: la fracci\xc3\xb3 de classes d'isomorfisme de 2-grups entre les classes d'isomorfisme de grups amb ordre n com a m\xc3\xa0xim tendeix, suposadament, a 1 quan n tendeix a infinit. Per exemple, dels 49.910.529.484 grups diferents d'ordre com a m\xc3\xa0xim 2.000, 49.487.365.422 (m\xc3\xa9s del 99%) s\xc3\xb3n 2-grups d'ordre 1.024.\n_START_SECTION_\nDins d'un grup\n_START_PARAGRAPH_\nTot grup finit amb ordre duvisible per p cont\xc3\xa9 un subgrup que \xc3\xa9s un p-grup no trivial: un grup c\xc3\xadclic d'ordre p generat per un element d'ordre p obtingut a partir del teorema de Cauchy. De fet, cont\xc3\xa9 un p-grup del m\xc3\xa0xim ordre possible: si  on p no divideix m, llavors G t\xc3\xa9 un subgrup P d'ordre , anomenat p-subgrup de Sylow. Aquest subgrup no t\xc3\xa9 per qu\xc3\xa8 ser \xc3\xbanic, per\xc3\xb2 tots els subgrups d'aquest ordre s\xc3\xb3n conjugats, i tot p-subgrup de G est\xc3\xa0 contingut en un p-subgrup de Sylow. Els teoremes de Sylow proporcionen una demostraci\xc3\xb3 d'aquestes i altres propietats.\n_START_SECTION_\nAplicaci\xc3\xb3 a l'estructura d'un grup\n_START_PARAGRAPH_\nEls p-grups s\xc3\xb3n una eina fonamental per a la comprensi\xc3\xb3 de l'estructura dels grups i en la classificaci\xc3\xb3 dels grups simples finits. Els p-grups apareixen com a subgrups i com a quocients. Com a subgrups, donat un nombre primer p, hom t\xc3\xa9 els p-subgrups de Sylow P i el p-cor , i d'altres. Com a quocients, el p-grup quocient m\xc3\xa9s gran \xc3\xa9s el quocient de G pel subgrup p-residual .\n_START_SECTION_\nControl local\n_START_PARAGRAPH_\nLa majoria de l'estructura d'un grup finit est\xc3\xa0 incorporada en l'estructura del que es coneix com a subgrups locals, els normalitzadors de p-subgrups no trivials._NEWLINE_Els subgrups abelians elementals d'un grup finit tenen control sobre el grup emprat en la demostraci\xc3\xb3 del teorema de Feit-Thompson. Algunes extensions centrals de grups abelians elementals, anomenades grups extraespecials, ajuden a descriure l'edtructura dels grups per acci\xc3\xb3 sobre espais vectorials simpl\xc3\xa8ctics._NEWLINE_Richard Brauer va classificar tots els grups pels quals els seus 2-subgrups de Sylow s\xc3\xb3n el producte directe de dos grups c\xc3\xadclics d'ordre 4, i John Walter, Daniel Gorenstein, Helmut Bender, Michio Suzuki, George Glauberman i altres van classificar els grups simples que tenen 2-subgrups de Sylow abelians, diedrals, semidiedrals o de quaternions."