b'\n_START_ARTICLE_\nBase de Gr\xc3\xb6bner\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa0tiques, i m\xc3\xa9s espec\xc3\xadficament en computaci\xc3\xb3 algebraica, geometria algebraica computacional, i \xc3\xa0lgebra commutativa computacional, una base de Gr\xc3\xb6bner (o base est\xc3\xa0ndard) \xc3\xa9s un cas particular de conjunt generador d\'un ideal en un anell de polinomis sobre un cos K[x\xe2\x82\x81, ..., x\xe2\x82\x99]. El fet de disposar d\'una base de Gr\xc3\xb6bner permet deduir f\xc3\xa0cilment moltes propietats importants de l\'ideal i de la varietat algebraica associada, com la dimensi\xc3\xb3 i el nombre de zeros quan \xc3\xa9s finita. El c\xc3\xa0lcul d\'una base de Gr\xc3\xb6bner \xc3\xa9s una de les eines principals per a la resoluci\xc3\xb3 de sistemes d\'equacions polin\xc3\xb2miques, aix\xc3\xad com pel c\xc3\xa0lcul d\'imatges de varietats algebraiques per projeccions._NEWLINE_Es pot interpretar el c\xc3\xa0lcul de bases de Gr\xc3\xb6bner com una generalitzaci\xc3\xb3 multivariant i no lineal tant de l\'algorisme d\'Euclides per al m\xc3\xa0xim com\xc3\xba divisor de polinomis, com de l\'eliminaci\xc3\xb3 gaussiana per a sistemes lineals._NEWLINE_A la seva tesi doctoral de 1965, Bruno Buchberger introdu\xc3\xad la noci\xc3\xb3 de base de Gr\xc3\xb6bner, juntament amb un algorisme per calcular-les (algorisme de Buchberger). Les bases de Gr\xc3\xb6bner reben aquest nom pel matem\xc3\xa0tic austr\xc3\xadac Wolfgang Gr\xc3\xb6bner, tutor de Buchberger. L\'any 2007, Buchberger fou guardonat amb el Paris Kanellakis Theory and Practice Award de l\'Association for Computing Machinery per la seva obra._NEWLINE_Tanmateix, el matem\xc3\xa0tic rus Nicolai Maksimovic Gjunter introdu\xc3\xad una noci\xc3\xb3 similar l\'any 1913, publicada en diverses publicacions matem\xc3\xa0tiques russes. Aquestes publicacions van ser ignorades per la comunitat matem\xc3\xa0tica fins a la seva redescoberta l\'any 1987 per Bodo Renschuch et al. El 1964, Heisuke Hironaka desenvolup\xc3\xa0 un concepte an\xc3\xa0leg per a anells locals, amb el nom de bases est\xc3\xa0ndard._NEWLINE_Diversos autors han ampliat la teoria de les bases de Gr\xc3\xb6bner. Algunes generalitzacions inclouen la seva aplicaci\xc3\xb3 a polinomis sobre anells d\'ideals principals o anells de polinomis, aix\xc3\xad com a algunes classes d\'anells no commutatius i \xc3\xa0lgebres, com \xc3\xa0lgebres d\'Ore.\n_START_SECTION_\nPropietats i aplicacions de les bases de Gr\xc3\xb6bner\n_START_PARAGRAPH_\nSi no es diu el contrari, els resultats presentats en aquesta secci\xc3\xb3 s\xc3\xb3n certs per a qualsevol ordre monomial._NEWLINE_Hi ha la idea generalitzada, encara que incorrecta, de qu\xc3\xa8 \xc3\xa9s necessari emprar l\'ordre lexicogr\xc3\xa0fic per a algun d\'aquests resultats. De fet, l\'ordre lexicogr\xc3\xa0fic acostuma a ser m\xc3\xa9s cost\xc3\xb3s de calcular, i, quan s\'escull, es realitzen molts c\xc3\xa0lculs que s\xc3\xb3n, en comparaci\xc3\xb3, m\xc3\xa9s senzills fer-los amb l\'ordre lexicogr\xc3\xa0fic de grau invers (grevlex), o, de ser necess\xc3\xa0ria l\'eliminaci\xc3\xb3, amb l\'ordre d\'eliminaci\xc3\xb3 (lexdeg), que restringeix grevlex en cada bloc de variables.\n_START_SECTION_\nIgualtat d\'ideals\n_START_PARAGRAPH_\nLes bases de Gr\xc3\xb6bner redu\xc3\xafdes s\xc3\xb3n \xc3\xbaniques per a qualsevol ideal i qualsevol ordre monomial. Per tant, dos ideals s\xc3\xb3n iguals si i nom\xc3\xa9s si tenen la mateixa base de Gr\xc3\xb6bner redu\xc3\xafda.\n_START_SECTION_\nPertinen\xc3\xa7a i inclusi\xc3\xb3 d\'ideals\n_START_PARAGRAPH_\nLa reducci\xc3\xb3 d\'un polinomi f per la base de Gr\xc3\xb6bner G d\'un ideal I d\xc3\xb3na 0 si i nom\xc3\xa9s si f pertany a I. Aix\xc3\xb2 permet comprovar la pertinen\xc3\xa7a d\'un element a un ideal. Un altre m\xc3\xa8tode consisteix a verificar que la base de Gr\xc3\xb6bner de G\xe2\x88\xaa{f} \xc3\xa9s igual a G._NEWLINE_Per tal de verificar si l\'ideal I generat per f\xe2\x82\x81, ...,f\xe2\x82\x96 est\xc3\xa0 contingut en l\'ideal J, n\'hi ha prou amb comprovar que tot f\xe1\xb5\xa2 pertany a J. Tamb\xc3\xa9 es pot verificar la igualtat de les bases de Gr\xc3\xb6bner redu\xc3\xafdes de J i J\xe2\x88\xaa{f\xe2\x82\x81, ...,f\xe2\x82\x96}.\n_START_SECTION_\nEliminaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nEl c\xc3\xa0lcul de bases de Gr\xc3\xb6bner per a un ordre monomial d\'eliminaci\xc3\xb3 permet aplicar la teoria de l\'eliminaci\xc3\xb3 computacional. Aix\xc3\xb2 est\xc3\xa0 basat en el teorema seg\xc3\xbcent._NEWLINE_Sigui un anell de polinomis , on les variables estan dividides en dos subconjunts X i Y. Considerem tamb\xc3\xa9 un ordre monomial d\'eliminaci\xc3\xb3 que "elimini" X, \xc3\xa9s a dir, un ordre monomial per al qual es comparen dos polinomis en primer lloc mitjan\xc3\xa7ant la comparaci\xc3\xb3 de les parts X i, nom\xc3\xa9s en cas d\'igualtat, comparant despr\xc3\xa9s les parts Y. Aix\xc3\xb2 implica que un monomi que cont\xc3\xa9 una variable de X \xc3\xa9s m\xc3\xa9s gran que qualsevol monomi independent de X._NEWLINE_Si G \xc3\xa9s una base de Gr\xc3\xb6bner d\'un ideal I per a aquest ordre monomial, llavors  \xc3\xa9s una base de Gr\xc3\xb6bner de  (hom acostuma a dir que aquest ideal \xc3\xa9s l\'ideal d\'eliminaci\xc3\xb3). \xc3\x89s m\xc3\xa9s, un polinomi pertany a  si i nom\xc3\xa9s si el seu terme principal pertany a  (aix\xc3\xb2 fa m\xc3\xa9s senzill el c\xc3\xa0lcul de , ja que nom\xc3\xa9s cal comprovar els monomis principals)._NEWLINE_Aquesta propietat d\'eliminaci\xc3\xb3 t\xc3\xa9 diverses aplicacions, algunes de les quals es veuen m\xc3\xa9s endavant._NEWLINE_Una altra aplicaci\xc3\xb3, en geometria algebraica, \xc3\xa9s que l\'eliminaci\xc3\xb3 materialitza l\'operaci\xc3\xb3 geom\xc3\xa8trica de projecci\xc3\xb3 d\'un conjunt algebraic af\xc3\xad sobre un subespai de l\'espai ambient: amb la notaci\xc3\xb3 anterior, la (clausura de Zariski de la) projecci\xc3\xb3 del conjunt algebraic definit per l\'ideal I sobre el subespai Y ve definida per l\'ideal ._NEWLINE_L\'ordre lexicogr\xc3\xa0fic tal que  \xc3\xa9s un ordre d\'eliminaci\xc3\xb3 per a qualsevol partici\xc3\xb3 . Aix\xc3\xad, una base de Gr\xc3\xb6bner per a aquest tipus d\'ordre t\xc3\xa9 molta m\xc3\xa9s informaci\xc3\xb3 que la que es necessita habitualment. Aquest fet pot explicar que les bases de Gr\xc3\xb6bner per a un ordre lexicogr\xc3\xa0fic siguin m\xc3\xa9s dif\xc3\xadcils de calcular.\n_START_SECTION_\nSaturaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nQuan es modelitza un problema mitjan\xc3\xa7ant equacions polin\xc3\xb2miques, \xc3\xa9s freq\xc3\xbcent suposar que algunes quantitats siguin no nul\xc2\xb7les perqu\xc3\xa8, si s\xc3\xb3n iguals a zero, el problema esdev\xc3\xa9 molt diferent. Per exemple, quan tractem amb triangles, moltes propietats no s\xc3\xb3n certes si el triangle \xc3\xa9s degenerat, \xc3\xa9s a dir, si la longitud d\'un costat \xc3\xa9s igual a la suma de les longituds dels altres costats. En aquestes situacions, \xc3\xa9s for\xc3\xa7a complicat deduir informaci\xc3\xb3 del sistema algebraic si no se\'n descarten les solucions degenerades. M\xc3\xa9s precisament, el sistema d\'equacions defineix un conjunt algebraic que pot tenir diverses components irreductibles, i hom ha d\'eliminar les components on les condicions de degeneraci\xc3\xb3 s\xc3\xb3n zero arreu._NEWLINE_Aix\xc3\xb2 s\'aconsegueix per saturaci\xc3\xb3 de les equacions amb les condicions de degeneraci\xc3\xb3, la qual cosa es pot realitzar emprant la propietat d\'eliminaci\xc3\xb3 de les bases de Gr\xc3\xb6bner.\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3 de saturaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nLa localitzaci\xc3\xb3 d\'un anell consisteix en afegir-li els inversos d\'alguns elements. Aquesta secci\xc3\xb3 tracta del cas d\'un sol element, o equivalentment d\'un nombre finit d\'elements (afegir els inversos de diversos elements \xc3\xa9s equivalent a afegir l\'invers del seu producte). La localitzaci\xc3\xb3 d\'un anell R per un element f \xc3\xa9s l\'anell , on t \xc3\xa9s una nova indeterminada que representa l\'invers de f. La localitzaci\xc3\xb3 d\'un ideal I de R \xc3\xa9s l\'ideal  de . Quan R \xc3\xa9s un anell de polinomis, el c\xc3\xa0lcul de  no \xc3\xa9s eficient, a causa de la necessitat de tractar els denominadors. Per tant, l\'operaci\xc3\xb3 de localitzaci\xc3\xb3 se sol substituir per l\'operaci\xc3\xb3 de saturaci\xc3\xb3._NEWLINE_La saturaci\xc3\xb3 respecte de f d\'un ideal I de R \xc3\xa9s la imatge inversa de  per l\'aplicaci\xc3\xb3 can\xc3\xb2nica . \xc3\x89s l\'ideal  consistent en tots els elements de R tals que, multiplicats per alguna pot\xc3\xa8ncia de f, pertanyen a I._NEWLINE_Si J \xc3\xa9s l\'ideal generat per I i 1-ft a R[t], llavors . Una conseq\xc3\xbc\xc3\xa8ncia \xc3\xa9s que, si R \xc3\xa9s un anell de polinomis, el c\xc3\xa0lcul d\'una base de Gr\xc3\xb6bner que elimini t permet calcular una base de Gr\xc3\xb6bner de la saturaci\xc3\xb3 d\'un ideal per un polinomi._NEWLINE_La propietat m\xc3\xa9s destacada de la saturaci\xc3\xb3, que assegura que elimina, del conjunt algebraic definit per l\'ideal , les components irreductibles on el polinomi  \xc3\xa9s zero, \xc3\xa9s la seg\xc3\xbcent: La descomposici\xc3\xb3 prim\xc3\xa0ria de  consisteix en les components de la descomposici\xc3\xb3 prim\xc3\xa0ria de  que no contenen cap pot\xc3\xa8ncia de .\n_START_SECTION_\nNullstellensatz efectiu\n_START_PARAGRAPH_\nEl Nullstellensatz de Hilbert t\xc3\xa9 dues versions. La primera afirma que un conjunt de polinomis t\xc3\xa9 un conjunt buut de zeros comuns en una clausura algebraica del cos de coeficients si i nom\xc3\xa9s si l\'1 pertany a l\'ideal generat. Aix\xc3\xb2 es pot comprovar f\xc3\xa0cilment mitjan\xc3\xa7ant el c\xc3\xa0lcul d\'una base de Gr\xc3\xb6bner, perqu\xc3\xa8 1 pertany a un ideal si i nom\xc3\xa9s si 1 pertany a la base de Gr\xc3\xb6bner de l\'ideal, per a qualsevol ordre monomial._NEWLINE_La segona versi\xc3\xb3 afirma que el conjunt de zeros comuns (en una clausura algebraica del cos de coeficients) d\'un ideal est\xc3\xa0 contingut en la hipersuperf\xc3\xadcie dels zeros d\'un polinomi f, si i nom\xc3\xa9s si una pot\xc3\xa8ncia de f pertany a l\'ideal. Aix\xc3\xb2 es pot comprovar mitjan\xc3\xa7ant saturaci\xc3\xb3 de l\'ideal per f; de fet, una pot\xc3\xa8ncia de f pertany a l\'ideal si i nom\xc3\xa9s si la saturaci\xc3\xb3 per f proporciona una base de Gr\xc3\xb6bner que nom\xc3\xa9s contingui 1.'