b"\n_START_ARTICLE_\nM\xc3\xa8tode dels m\xc3\xadnims quadrats\n_START_PARAGRAPH_\nEl m\xc3\xa8tode de m\xc3\xadnims quadrats \xc3\xa9s el procediment matem\xc3\xa0tic est\xc3\xa0ndard per a l'ajust de corbes. Donat un n\xc3\xbavol de punts corresponent a les dades es busca una corba que passi tan a prop com sigui possible dels punts de les dades. Les dades poden representar mesures f\xc3\xadsiques, valors econ\xc3\xb2mics o similars, mentre que la corba pertany a una fam\xc3\xadlia de corbes param\xc3\xa8triques adequada al problema que es pret\xc3\xa9n modelitzar. El m\xc3\xa8tode dels m\xc3\xadnims quadrats consisteix llavors a determinar els par\xc3\xa0metres de la corba de manera que sigui m\xc3\xadnima la suma de les desviacions elevades al quadrat entre els valors de la corba i els dels punts observats. Les desviacions s'anomenen residus._NEWLINE_Al gr\xc3\xa0fic de l'exemple s'han representat els punts de les dades. En una primera etapa se selecciona una classe de funci\xc3\xb3 que hauria de correspondre al problema i a les dades, aqu\xc3\xad una funci\xc3\xb3 log\xc3\xadstica. Llavors els seus par\xc3\xa0metres es determinen de tal manera que la suma dels quadrats de les desviacions e entre les observacions i els valors de la funci\xc3\xb3 sigui m\xc3\xadnima. Al gr\xc3\xa0fic es representa la desviaci\xc3\xb3 e al lloc t com la dist\xc3\xa0ncia vertical entre l'observaci\xc3\xb3 y i el valor de la corba._NEWLINE_El m\xc3\xa8tode s'aplica sovint en estad\xc3\xadstica, en particular en an\xc3\xa0lisi de regressions. El m\xc3\xa8tode \xc3\xa9s atribu\xc3\xaft sovint a Carl Friedrich Gauss (1795), encara va ser publicar per primer cop per Adrien-Marie Legendre. El m\xc3\xadnims quadrats corresponen al criteri de m\xc3\xa0xima versemblan\xc3\xa7a si els errors experimentals tenen una distribuci\xc3\xb3 normal i tamb\xc3\xa9 es pot obtenir com un estimador del m\xc3\xa8tode dels moments. L'an\xc3\xa0lisi de regressi\xc3\xb3 est\xc3\xa0 disponible en molts paquets de programari estad\xc3\xadstic.\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb2ria\n_START_PARAGRAPH_\nEl dia d'any nou de 1801 l'astr\xc3\xb2nom itali\xc3\xa0 Giuseppe Piazzi va descobrir l'asteroides Ceres. Durant 40 dies li va poder seguir la traject\xc3\xb2ria, llavors Ceres va desapar\xc3\xa8ixer darrere del sol. En el transcurs de l'any molts cient\xc3\xadfics van intentar sense \xc3\xa8xit calcular l'\xc3\xb2rbita mitjan\xc3\xa7ant les observacions de Piazzi - suposant una \xc3\xb2rbita circular, ja que en aquella \xc3\xa8poca nom\xc3\xa9s es podien determinar matem\xc3\xa0ticament els elements orbitals per aquest tipus d'\xc3\xb2rbites a partir de les posicions observades al cel. En canvi Gauss que llavors tenia 24 anys tamb\xc3\xa9 podia calcular \xc3\xb2rbites el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques a partir de tres observacions individuals. Com que tanmateix existien clarament m\xc3\xa9s punts d'\xc3\xb2rbita, va fer servir el seu m\xc3\xa8tode dels m\xc3\xadnims quadrats per augmentar aix\xc3\xad l'exactitud. Quan Franz Xaver von Zach i Heinrich Wilhelm Olbers al desembre de 1801 retrobaven el petit planeta exactament al lloc predit per Gauss, no va ser nom\xc3\xa9s un \xc3\xa8xit per a Gauss: Tamb\xc3\xa9 es va restaurar la reputaci\xc3\xb3 de Piazzi que havia quedat greument afectada en no trobar el planeta en els punts predits per l'ajust a l'\xc3\xb2rbita circular._NEWLINE_Gauss havia desenvolupat les bases del seu procediment ja el 1795 a l'edat de 18 anys. Es basava en una idea de Pierre-Simon Laplace de sumar les magnituds dels errors de manera que el total don\xc3\xa9s zero. Gauss, en comptes d'aix\xc3\xb2, agafava els quadrats de l'error i podia ometre l'exig\xc3\xa8ncia addicional artificial que la suma d'errors fos zero. De forma independent el franc\xc3\xa8s Adrien-Marie Legendre va desenvolupar el mateix m\xc3\xa8tode per primera vegada l'any 1806 al final d'una petita obra sobre el c\xc3\xa0lcul de les \xc3\xb2rbites de cometes i va publicar-ne un segon tractat l'any 1810. D'aqu\xc3\xad en ve el nom m\xc3\xa9thode des moindres carr\xc3\xa9s (M\xc3\xa8tode dels m\xc3\xadnims quadrats)._NEWLINE_El 1809 Gauss va publicar la segona part de la seva obra Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, incloent-hi el procediment i les equacions normals i el M\xc3\xa8tode de reducci\xc3\xb3 de Gauss. Respecte a aix\xc3\xb2 mencionava, que ho havia descobert abans que Legendre i l'havia fet servir, aix\xc3\xb2 va conduir a un conflicte de prioritat entre els dos. El m\xc3\xa8tode dels m\xc3\xadnims quadrats es convertia r\xc3\xa0pidament en el procediment est\xc3\xa0ndard per al tractament de registres astron\xc3\xb2mics o geod\xc3\xa8sics._NEWLINE_Llavors Gauss va fer servir el procediment intensivament en el seu mesurament per triangulaci\xc3\xb3 del regne de Hannover. Entre 1821 i 1823 apareix la seva obra Theoria Combinationis, on Gauss va poder proporcionar una argumentaci\xc3\xb3 de per qu\xc3\xa8 el seu procediment tenia tant d'\xc3\xa8xit en comparaci\xc3\xb3 amb els altres: El m\xc3\xa8tode dels m\xc3\xadnims quadrats \xc3\xa9s \xc3\xb2ptim en un sentit ampli, per tant \xc3\xa9s millor que altres m\xc3\xa8todes. L'afirmaci\xc3\xb3 exacta es coneix com a teorema de Gauss-Markow, ja que la feina de Gauss va trobar poca consideraci\xc3\xb3 i va ser redescoberta finalment al segle XX per Andrei Andrejewitsch Markow qui el va donar a con\xc3\xa8ixer. Theoria Combinationis tamb\xc3\xa9 cont\xc3\xa9 progressos substancials en la resoluci\xc3\xb3 eficient dels sistemes d'equaci\xc3\xb3 lineals que hi apareixen, com el m\xc3\xa8tode de Gauss-Seidel i la descomposici\xc3\xb3 LR._NEWLINE_L'oficial de mesurament franc\xc3\xa8s Andr\xc3\xa9-Louis Cholesky va desenvolupar durant la Primera Guerra Mundial la factoritzaci\xc3\xb3 de Cholesky que va representar un altre augment considerable d'efici\xc3\xa8ncia davant els procediments de soluci\xc3\xb3 de Gauss. En els anys 1960 Gene Golub va desenvolupar la idea de resoldre els sistemes d'equacions lineals que hi apareixen mitjan\xc3\xa7ant la descomposici\xc3\xb3 QR.\n_START_SECTION_\nRequisits de les dades\n_START_PARAGRAPH_\nL'acceptaci\xc3\xb3 de la distribuci\xc3\xb3 normal per la variable dependent y no \xc3\xa9s absolutament necess\xc3\xa0ria. Nom\xc3\xa9s cal que no hi hagi multicolinealitat de les mesures, ja que distorsionen els resultats de l'estimaci\xc3\xb3. A m\xc3\xa9s \xc3\xa9s desfavorable la correlaci\xc3\xb3 entre els par\xc3\xa0metres, ja que aix\xc3\xb2 causa problemes num\xc3\xa8rics. D'altra banda els valors de les variables que s\xc3\xb3n lluny dels altres tamb\xc3\xa9 poden influir fortament en els resultats de l'estimaci\xc3\xb3.\n_START_SECTION_\nMulticolinealitat\n_START_PARAGRAPH_\nLa multicolinealitat apareix si les mesures de dues variables donades t\xe1\xb5\xa2 i t\xe2\xb1\xbc estan altament correlacionades, s\xc3\xb3n doncs gaireb\xc3\xa9 linealment dependents. En el cas lineal aix\xc3\xb2 significa, que el determinant de la matriu de l'equaci\xc3\xb3 normal  \xc3\xa9s molt petit i la norma de la inversa \xc3\xa9s molt gran, per tant la matriu  est\xc3\xa0 fortament mal condicionada. Llavors les equacions normals s\xc3\xb3n dif\xc3\xadcils de resoldre num\xc3\xa8ricament. Els valors de la soluci\xc3\xb3 es poden fer inversemblantment grans i petites modificacions en les observacions causen grans modificacions en els valors estimats.\n_START_SECTION_\nValors at\xc3\xadpics\n_START_PARAGRAPH_\nEs defineix com valors at\xc3\xadpics (Ausrei\xc3\x9fer en alemany; outliers en angl\xc3\xa8s) els valors de les dades que no encaixen en una s\xc3\xa8rie de mesures. Aquests valors tenen una forta influencia en el c\xc3\xa0lcul dels par\xc3\xa0metres i distorsionen el resultat. Per evitar aix\xc3\xb2, les dades s'han d'examinar cercant observacions defectuoses. Els valors at\xc3\xadpics descoberts per exemple poden ser eliminats de la s\xc3\xa8rie de mesures o s'han d'utilitzar procediments alternatius de c\xc3\xa0lcul tolerants a valors at\xc3\xadpics com la regressi\xc3\xb3 ponderada o el procediment de tres grups._NEWLINE_En el primer cas, despr\xc3\xa9s d'un primer c\xc3\xa0lcul dels valors estimats per tests estad\xc3\xadstics, es comprova si hi ha valors at\xc3\xadpics en la s\xc3\xa8rie de mesures. S'eliminen aquests valors at\xc3\xadpics  i es torna a calcular els valors estimats. Aquest procediment es convenient nom\xc3\xa9s si hi ha pocs valors at\xc3\xadpics._NEWLINE_Amb la regressi\xc3\xb3 ponderada es ponderen les variables dependents y en funci\xc3\xb3 dels seus residus. Els valors at\xc3\xadpics, \xc3\xa9s a dir observacions amb residus grans, reben un pes baix que pot estar graduat segons mida del residu. Amb l'algoritme a Mosteller i Tukey (de 1977) es ponderen valors poc problem\xc3\xa0tics amb 1 i se suprimeixen els at\xc3\xadpics ponderant-los amb 0. Amb la regressi\xc3\xb3 ponderada per regla general s\xc3\xb3n necess\xc3\xa0ries diverses passes d'iteraci\xc3\xb3 fins que ja no canvia la quantitat de valors at\xc3\xadpics detectats."