b'\n_START_ARTICLE_\nCriptografia de corba el\xc2\xb7l\xc3\xadptica\n_START_PARAGRAPH_\nLa Criptografia de Corba El\xc2\xb7l\xc3\xadptica (CCE) \xc3\xa9s una variant de la criptografia asim\xc3\xa8trica o de clau p\xc3\xbablica basada en les matem\xc3\xa0tiques de les corbes el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques. Els seus autors argumenten que la CCE pot ser m\xc3\xa9s r\xc3\xa0pida i usar claus m\xc3\xa9s curtes que els m\xc3\xa8todes antics - com RSA - al mateix temps que proporcionen un nivell de seguretat equivalent. La utilitzaci\xc3\xb3 de corbes el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques al xifratge va ser proposada de forma independent per Neal Koblitz i Victor Miller el 1985.\n_START_SECTION_\nIntroducci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nEls sistemes de criptografia asim\xc3\xa8trica o de clau p\xc3\xbablica utilitza dues claus diferents: una d\'elles pot ser p\xc3\xbablica, l\'altra \xc3\xa9s privada. La possessi\xc3\xb3 de la clau p\xc3\xbablica no proporciona prou informaci\xc3\xb3 per determinar quina \xc3\xa9s la clau privada. Aquest tipus de sistemes es basen en la dificultat de trobar la soluci\xc3\xb3 a certs problemes matem\xc3\xa0tics. Un d\'aquests problemes \xc3\xa9s l\'anomenat logaritme discret. Trobar el valor de b donada l\'equaci\xc3\xb3 , quan a i c s\xc3\xb3n valors coneguts, pot ser un problema de complexitat exponencial per certs grups finits de grans dimensions, mentre el problema invers, l\'exponenciaci\xc3\xb3 discreta pot ser avaluat eficientment usant per exemple exponenciaci\xc3\xb3 bin\xc3\xa0ria_NEWLINE_Una corba el\xc2\xb7l\xc3\xadptica \xc3\xa9s una corba plana definida per una equaci\xc3\xb3 de la forma_NEWLINE_._NEWLINE_Amb el conjunt de punts G que formen la corba (\xc3\xa9s a dir, totes les solucions de l\'equaci\xc3\xb3 m\xc3\xa9s un punt O, anomenat punt a l\'infinit) m\xc3\xa9s una operaci\xc3\xb3 additiva +, es forma un grup abeli\xc3\xa0. Si les coordenades x i i s\'escullen des d\'un camp finit, aleshores estem en pres\xc3\xa8ncia d\'un grup abeli\xc3\xa0 finit. El problema del logaritme discret sobre aquest conjunt de punts (PLDCE) es creu que \xc3\xa9s m\xc3\xa9s dif\xc3\xadcil de resoldre que el corresponent als camps finits (PLD). D\'aquesta manera, les longituds de claus en criptografia de corba el\xc2\xb7l\xc3\xadptica poden ser m\xc3\xa9s curtes amb un nivell de seguretat comparable.\n_START_SECTION_\n\xc3\x9as en criptografia\n_START_PARAGRAPH_\nEn l\'\xc3\xbas criptogr\xc3\xa0fic, es tria un punt base G espec\xc3\xadfic i publicat per utilitzar amb la corba L ( q ). Es tria un nombre enter aleatori k com a clau privada, i llavors el valor P = k * G es d\xc3\xb3na a con\xc3\xa8ixer com a clau p\xc3\xbablica (noteu que la suposada dificultat del PLDCE implica que k \xc3\xa9s dif\xc3\xadcil de deduir a partir de P ). Si Maria i Pere tenen les claus privades k A i k B , i les claus p\xc3\xbabliques P A i P B , llavors Maria podria calcular k A * P B = ( k A * k B ) * G ; i Pere pot obtenir el mateix valor, ja que k B * P A = ( k B * k A ) * G ._NEWLINE_Aix\xc3\xb2 permet establir un valor "secret" que tant Maria com Pere poden calcular f\xc3\xa0cilment, per\xc3\xb2 que \xc3\xa9s molt complicat de derivar per a una tercera persona. A m\xc3\xa9s, Pere no aconsegueix esbrinar res de nou sobre k A durant aquesta transacci\xc3\xb3, de manera que la clau de Maria continua sent privada._NEWLINE_Els m\xc3\xa8todes utilitzats en la pr\xc3\xa0ctica per a xifrar missatges basant-se en aquest valor secret consisteixen en adaptacions d\'antics criptosistemes de logaritmes discrets originalment dissenyats per ser usats en altres grups. Entre ells es podrien incloure Diffie-Hellman, ElGamal i DSA._NEWLINE_La realitzaci\xc3\xb3 de les operacions necess\xc3\xa0ries per executar aquest sistema \xc3\xa9s m\xc3\xa9s lenta que per a un sistema de factoritzaci\xc3\xb3 o de logaritme discret m\xc3\xb2dul sencer de la mateixa mida. De tota manera, els autors de sistemes de CCE creuen que el PLDCE \xc3\xa9s significativament m\xc3\xa9s complicat que els problemes de factoritzaci\xc3\xb3 o del PLD, i aix\xc3\xad es pot obtenir la mateixa seguretat mitjan\xc3\xa7ant mides de les claus molt m\xc3\xa9s curtes utilitzant CCE, fins al punt que pot resultar m\xc3\xa9s r\xc3\xa0pid que, per exemple, RSA. Els resultats publicats fins ara tendeixen a confirmar aix\xc3\xb2, encara que alguns experts es mantenen esc\xc3\xa8ptics._NEWLINE_La CCE ha estat \xc3\xa0mpliament reconeguda com l\'algorisme m\xc3\xa9s fort per a una determinada longitud de clau, de manera que podria ser \xc3\xbatil sobre enlla\xc3\xa7os que tinguin requisits molt limitats d\'amplada de banda._NEWLINE_NIST i ANSI X9 han establert uns requisits m\xc3\xadnims de mida de la clau de 1024 bits per a RSA i DSA i de 160 bits per ECC, corresponents a un bloc sim\xc3\xa8tric de clau de 80 bits. NIST ha publicat una llista de corbes el\xc2\xb7l\xc3\xadptiques recomanades de 5 mides diferents de claus (80, 112, 128, 192, 256). En general, la CCE sobre un grup binari requereix una clau asim\xc3\xa8trica del doble de mida que el corresponent a una clau sim\xc3\xa8trica._NEWLINE_Certicom \xc3\xa9s la principal empresa comercial de CCE, aquesta organitzaci\xc3\xb3 t\xc3\xa9 130 patents, i ha atorgat llic\xc3\xa8ncies sobre tecnologia a la National Security Agency (NSA) per 25 milions de d\xc3\xb2lars. Certicom tamb\xc3\xa9 ha patrocinat diversos desafiaments a l\'algorisme CCE. El m\xc3\xa9s complex resolt fins ara, \xc3\xa9s una clau de 109 bits, que va ser trencat per un equip d\'investigadors a principis de 2003. L\'equip que va trencar la clau va utilitzar un atac massiu en paral\xc2\xb7lel basat en el \'birthday attack\', mitjan\xc3\xa7ant m\xc3\xa9s de 10.000 PC de tipus Pentium funcionant cont\xc3\xadnuament durant 540 dies. S\'estima que la longitud de clau m\xc3\xadnima recomanada per CCE (163 bits) requeriria 10 \xe2\x81\xb8 vegades els recursos utilitzats per resoldre el problema amb 109 bits.'