b"\n_START_ARTICLE_\nDivisibilitat\n_START_PARAGRAPH_\nLa Divisibilitat \xc3\xa9s la part de l'aritm\xc3\xa8tica que estudia les condicions que han de satisfer els nombres naturals per poder estar continguts en altres._NEWLINE_La divisibilitat es divideix en general i particular.\n_START_SECTION_\nPropietat general de la divisibilitat\n_START_PARAGRAPH_\nUn nombre A est\xc3\xa0 incl\xc3\xb2s en altre B quan A repetit una quantitat de vegades com sumand dona B._NEWLINE_Exemple: 5 est\xc3\xa0 incl\xc3\xb2s en 20, ja que 20=5+5+5+5=4 vegades 5=4*5_NEWLINE_El nombre 5, de l'exemple anterior, es diu divisor de 20 i el 20 es diu m\xc3\xbaltiple de 5, llavors podem enunciar:_NEWLINE_Propietat general de la divisibilitat_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisor d'un altre si aquest \xc3\xa9s m\xc3\xbaltiple i per ser m\xc3\xbaltiple d'un nombre aquest haur\xc3\xa0 de ser-ne divisor._NEWLINE_Exemple: 40=8+8+8+8+8=8*5, perqu\xc3\xa8 5 i 8 s\xc3\xb3n divisors de 40 en ser 40 m\xc3\xbaltiple d'ells i 40 \xc3\xa9s m\xc3\xbaltiple de 5 i 8, ja que aquest s\xc3\xb3n divisors de 40.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat general\n_START_PARAGRAPH_\nLa divisibilitat general estudia les caracter\xc3\xadstiques que han de tenir les operacions aritm\xc3\xa8tiques, en general, a la fi de ser divisibles per alguns nombres.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat de la suma\n_START_PARAGRAPH_\nPropietat 1._NEWLINE_Si un nombre divideix a tots els sumands d'una suma o addici\xc3\xb3 divideix al total._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una suma A+B=C, on suposem que D divideix a A i B donant A=(D*E) i B=(D*F), resultant que A+B=(A*E)+(A*F)=A*(E+F)=C; i com veiem que D est\xc3\xa0 continguda (E+F) vegades en C, llavors C \xc3\xa9s divisible per D._NEWLINE_Propietat 2._NEWLINE_Si un nombre no divideix a un sumand i s\xc3\xad als altres, llavors no divideix el total._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una suma A+B=C, on suposem que D divideix a A i no a B donant A=(D*E) i B=(D*F)+R, resultant que A+B=(A*E)+((A*F)+R)=(A*(E+F))+R=C; i com veiem que D est\xc3\xa0 continguda (E+F) vegades en C i d\xc3\xb3na un residu R, llavors C no \xc3\xa9s divisible per D._NEWLINE_Propietat 3._NEWLINE_Si un nombre no divideix a cap sumand, solament dividir\xc3\xa0 al total si divideix l'addici\xc3\xb3 dels residus que resulten de dividir els sumands per l'esmentat nombre._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una suma A+B=C, on suposem que D no divideix A ni B donant A=(D*E)+R1 i B=(D*F)+R2, resultant que A+B=((A*E)+R1)+((A*F)+R2)=(A*(E+F))+(R1+R2)=C; i com veiem que D est\xc3\xa0 continguda (E+F) vegades en C i d\xc3\xb3na un residu R1+R2 en C, llavors C ser\xc3\xa0 divisible per D si divideix a R1+R2, segons l'esmentada propietat 1 de la suma.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat de la resta\n_START_PARAGRAPH_\nPropietat 4.Si un nombre divideix al minuend i subtrahend d'una resta divideix la difer\xc3\xa8ncia._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una resta A-B=C, on suposem que D divideix a A i B donant A=(D*E) i B=(D*F), resultant que _NEWLINE_A-B=(A*E)-(A*F)=A*(E-F)=C; i com veiem que D est\xc3\xa0 continguda (E-F) vegades en C, llavors C \xc3\xa9s divisible per D._NEWLINE_Propietat 5._NEWLINE_Si un nombre no divideix a un terme d'una resta i s\xc3\xad a l'altre, no divideix la difer\xc3\xa8ncia._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una resta A-B=C, on suposem que D no divideix a A i si a B donant A=(D*E)+R i B=(D*F), resultant que _NEWLINE_A-B=((A*E)+R)-(A*F)=(A*(E-F))+R=C; i com veiem que D est\xc3\xa0 continguda (E-F) vegades en C i d\xc3\xb3na un residu R, llavors C no \xc3\xa9s divisible per D._NEWLINE_Propietat 6._NEWLINE_Si un nombre no divideix a cap terme d'una resta, solament dividir\xc3\xa0 la difer\xc3\xa8ncia si la resta dels residus que resulten de dividir el minuend i subtrahend per l'esmentat nombre \xc3\xa9s zero, \xc3\xa9s a dir, quan els residus s\xc3\xb3n iguals._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una resta A-B=C, on suposem que D no divideix A ni B donant A=(D*E)+R i B=(D*F)+R, resultant que_NEWLINE_A-B=((A*E)+R)+((A*F)+R)=(A*(E-F))+(R-R)=(A*(E-F)+0=C; i com veiem que D est\xc3\xa0 continguda (E-F) vegades en C, llavors C ser\xc3\xa0 divisible per D.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat de la multiplicaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nPropietat 7._NEWLINE_Si un nombre divideix a un o tots els factors d'una multiplicaci\xc3\xb3 divideix el total._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una multiplicaci\xc3\xb3 A*B=C, on suposem que D divideix a A i no B donant A=(D*E) i B=(D*F)+R, resultant que A*B=(D*E)*((D*F)+R)=(D*D*A*F)+(D*E*R)=C; i com veiem que D est\xc3\xa0 continguda en tots els sumands, llavors segons la propietat 1 de la suma C \xc3\xa9s divisible per D._NEWLINE_Segons la propietat commutativa de la multiplicaci\xc3\xb3 A*B=B*A, perqu\xc3\xa8 si D divideix els dos factors, amb m\xc3\xa9s motiu dividir\xc3\xa0 al total._NEWLINE_Propietat 8._NEWLINE_Si un nombre no divideix cap dels factors d'una multiplicaci\xc3\xb3, dividir\xc3\xa0 al total si divideix el producte dels residus, que resulten de dividir cada un dels termes per l'esmentat nombre._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una multiplicaci\xc3\xb3 A*B=C, on suposem que D no divideix A ni B donant A=(D*E)+R1 i B=(D*F)+R2, resultant A*B=((D*E)+R1)*((D*F)+R2)=(D*E*D*F)+(D*E*R2)+(R1*D*F)+(R1*R2)=C; i com veiem que D est\xc3\xa0 continguda en el 3 primers sumands i no sabem si ho est\xc3\xa0 en (R1.R2), llavors segons la propietat 1 de la suma C \xc3\xa9s divisible per D si (R1*R2) ho \xc3\xa9s.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat de la divisi\xc3\xb3 exacta\n_START_PARAGRAPH_\nLa divisi\xc3\xb3 exacta una vegada que estigui resolta es pot expressar en forma de multiplicaci\xc3\xb3, aix\xc3\xad A/B=C ho podem posar A=B.C, llavors les propietats de la multiplicaci\xc3\xb3 hi s\xc3\xb3n aplicables a la divisi\xc3\xb3 exacta._NEWLINE_Propietat 10._NEWLINE_Si un nombre divideix un altre dividir\xc3\xa0 tamb\xc3\xa9 als que divideixi aquest._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Sigui un divisor D, una divisi\xc3\xb3 A/B=C que posada en forma de multiplicaci\xc3\xb3 dona A=B*C, si D divideix a B o C tamb\xc3\xa9 dividir\xc3\xa0 a A, segons la propietat 7 de la multiplicaci\xc3\xb3, llavors tots els nombres que continguin A, hi seran divisibles per D, segons la propietat general de la divisibilitat.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat de la divisi\xc3\xb3 inexacta\n_START_PARAGRAPH_\nLa divisi\xc3\xb3 inexacta una vegada que estigui resolta es pot expressar en forma de multiplicaci\xc3\xb3, aix\xc3\xad si A/B=C i un residu R, podem posar A=(B*C)+R, llavors les propietats de la suma hi s\xc3\xb3n aplicables a la divisi\xc3\xb3 inexacta.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat de la potenciaci\xc3\xb3 i les arrels\n_START_PARAGRAPH_\nCom la potenciaci\xc3\xb3 \xc3\xa9s una multiplicaci\xc3\xb3 de diversos factors i les arrels \xc3\xa9s l'operaci\xc3\xb3 inversa de la potenciaci\xc3\xb3, llavors podem dir que les propietats de la multiplicaci\xc3\xb3 s\xc3\xb3n aplicables a les dues operacions.\n_START_SECTION_\nCriteri general de divisibilitat\n_START_PARAGRAPH_\nSabem que tot nombre natural es pot descompondre en un producte \xc3\xbanic de factors primers._NEWLINE_Si dos nombres descompostos en productes de factors primers tenen els mateixos termes s\xc3\xb3n iguals._NEWLINE_Exemple: 30=3*5*2, 5*2*3=30, 2*3*5=30 ..._NEWLINE_Si un producte de nombres primers est\xc3\xa0 incl\xc3\xb2s en altre, el producte major \xc3\xa9s m\xc3\xbaltiple del menor i aquest \xc3\xa9s divisor del m\xc3\xa9s gran._NEWLINE_Exemple: 2*3*5=30 i 2*3*5*7=210, llavor 210 \xc3\xa9s m\xc3\xbaltiple de 30 i 30 \xc3\xa9s divisor de 210, ja que 210=(2*3*5)*7, on 7 \xc3\xa9s el quocient de dividir 210 per 30 i el factor (2*3*5) hi estar contingut 7 vegades en 210._NEWLINE_De tot el que s'ha dit en les l\xc3\xadnies precedents podem dir el seg\xc3\xbcent criteri general de divisibilitat:_NEWLINE_Un nombre divideix a un altre si ambd\xc3\xb3s descompostos en productes de factors primers, el m\xc3\xa9s petit est\xc3\xa0 incl\xc3\xb2s en el m\xc3\xa9s gran.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat particular\n_START_PARAGRAPH_\nLa divisibilitat particular estudia les propietats de divisibilitat d'uns nombres concrets.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat de la unitat seguida de zeros\n_START_PARAGRAPH_\nLa unitat seguida de X zeros divideix a tot nombre que acabi en X zeros o m\xc3\xa9s._NEWLINE_Exemples:_NEWLINE_El 10 divideix al 20,40,120,50,1000...._NEWLINE_El 100 divideix el 1200, 200, 2300, 4000..._NEWLINE_El m\xc3\xa9s important \xc3\xa9s el 10, que divideix tot els nombres que acabin en un o m\xc3\xa9s zeros._NEWLINE_Com el 10 cont\xc3\xa9 als factors primers 2 i 5, llavors tot nombre acabat en zero \xc3\xa9s divisible per 10, i degut aix\xc3\xb2, ho ser\xc3\xa0 per 2 i per 5.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat del 2\n_START_PARAGRAPH_\nEl 10 \xc3\xa9s divisible per 2, ja que 10=2*5_NEWLINE_A tot nombre que li traiem les unitats acabar\xc3\xa0 en zero._NEWLINE_Els d\xc3\xadgits divisibles per 2 s\xc3\xb3n: 2,4,6,8; llavors la unitat seguida d'un zero m\xc3\xa9s qualsevol d\xc3\xadgits parell, ser\xc3\xa0 divisible per 2, tenint en compte la propietat 1 de divisibilitat de la suma, ja que ambd\xc3\xb3s sumands s\xc3\xb3n divisibles per 2._NEWLINE_Segons tot el que s'ha dit en l\xc3\xadnies precedents podem escriure:_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisible per 2 si acaba en zero o xifra parell.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat del 3\n_START_PARAGRAPH_\nSabem que 10=(3*3)+1, 100=(33*3)+1, 1000=(333*3)+1, \xc3\xa9s a dir, la unitat seguida de zeros \xc3\xa9s igual a un m\xc3\xbaltiple de 3 menys 1._NEWLINE_Sigui el nombre CDU=(C*100)+(D*10)+U, com 3 d\xc3\xb3na un residu d'1 amb qualsevol unitat seguida de zeros, el residu final ser\xc3\xa0 (C*1)+(D*1)+(U)=C+D+U, llavors si aquesta suma la divideix el 3, el nombre CDU ser\xc3\xa0 divisible per 3 segons la propietat 3 de divisibilitat de la suma._NEWLINE_De tot el que hem dit podem escriure:_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisible per 3 si la suma dels valors relatius de les seves xifres \xc3\xa9s m\xc3\xbaltiple de 3.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat del 4\n_START_PARAGRAPH_\nEl 100 \xc3\xa9s divisible per 4, ja que 100=4*25_NEWLINE_A tot nombre que li traiem les desenes acabar\xc3\xa0 en dos zeros._NEWLINE_L'addici\xc3\xb3 de qualsevol nombre acabat en 2 zeros m\xc3\xa9s un m\xc3\xbaltiple de 4 de dues xifres ser\xc3\xa0 m\xc3\xbaltiple de 4, segons la propietat 1 de divisibilitat de la suma, ja que ambd\xc3\xb3s sumands s\xc3\xb3n divisibles per 4._NEWLINE_Despr\xc3\xa9s de tot el que s'ha dit podem escriure:_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisible per 4 si acaba en dos zeros o les dues \xc3\xbaltimes xifres s\xc3\xb3n m\xc3\xbaltiples de 4.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat del 5\n_START_PARAGRAPH_\nEl 10 \xc3\xa9s divisible per 5, ja que 10=5*2_NEWLINE_A tot nombre que li traiem les unitats acabar\xc3\xa0 en zero._NEWLINE_Els d\xc3\xadgits divisibles per 5 solament \xc3\xa9s el 5; llavors la unitat seguida d'un zero m\xc3\xa9s el 5, ser\xc3\xa0 divisible per 5, tenint en compte la propietat 1 de divisibilitat de la suma, ja que ambd\xc3\xb3s sumands s\xc3\xb3n divisibles per 5._NEWLINE_Segons tot el que hem dit en l\xc3\xadnies precedents podem escriure:_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisible per 5 si acaba en zero o 5.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat del 6\n_START_PARAGRAPH_\nCom que 6=2*3, llavors tot aquell nombre que sigui divisible per 2 i per 3 ser\xc3\xa0 divisible per 6._NEWLINE_Els nombres divisibles per 2 s\xc3\xb3n aquells que acaben xifra parella i els divisibles per 3 s\xc3\xb3n aquells en qu\xc3\xa8 l'addici\xc3\xb3 dels valors relatius de les xifres d\xc3\xb3na un m\xc3\xbaltiple de 3; per tant podem dir:_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisible per 6 si \xc3\xa9s parell i la suma dels valors relatius de les seves xifres \xc3\xa9s un m\xc3\xbaltiple de 3.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat del 8\n_START_PARAGRAPH_\nEl 1000 \xc3\xa9s divisible per 8, ja que 1000=8*125_NEWLINE_A tot nombre que li traiem les centenes acabar\xc3\xa0 en tres zeros._NEWLINE_L'addici\xc3\xb3 de qualsevol nombre acabat en 3 zeros m\xc3\xa9s un m\xc3\xbaltiple de 8 de tres xifres ser\xc3\xa0 m\xc3\xbaltiple de 8, segons la propietat 1 de divisibilitat de la suma, ja que tots dos sumands s\xc3\xb3n divisibles per 8._NEWLINE_Despr\xc3\xa9s de tot el que s'ha dit podem escriure:_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisible per 8 si acaba en tres zeros o les tres \xc3\xbaltimes xifres s\xc3\xb3n m\xc3\xbaltiples de 8.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat del 9\n_START_PARAGRAPH_\nSabem que 10=9+1, 100=99+1, 1000=999+1, \xc3\xa9s a dir, la unitat seguida de zeros \xc3\xa9s igual a un m\xc3\xbaltiple de 9 menys 1._NEWLINE_Sigui el nombre CDU=(C.100)+(D.10)+U, com 9 d\xc3\xb3na un residu d'1 amb qualsevol unitat seguida de zeros, el residu final ser\xc3\xa0 (C.1)+(D.1)+(U)=C+D+U, llavors si aquesta suma la divideix el 9, el nombre CDU ser\xc3\xa0 divisible per 9 segons la propietat 3 de divisibilitat de la suma._NEWLINE_De tot el que hem dit podem escriure:_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisible per 9 si la suma dels valors relatius de les seves xifres \xc3\xa9s m\xc3\xbaltiple de 9.\n_START_SECTION_\nDivisibilitat del 11\n_START_PARAGRAPH_\nSabem que 10=11-1, 100=99+1, 1000=(990+11)-1, 10000=9999+1, 100000=(99990+11)-1, \xc3\xa9s a dir, la unitat seguida de zeros parells \xc3\xa9s igual a un m\xc3\xbaltiple d'11 menys 1 i la de xifres imparell \xc3\xa9s un m\xc3\xbaltiple d'11 m\xc3\xa9s 1._NEWLINE_Sigui el nombre MCDU=(M.100)+(C.100)+(D.10)+U, com 11 d\xc3\xb3na un residu de +1 o -1 si la unitat seguida de zeros \xc3\xa9s parell o imparell; el residu final ser\xc3\xa0 (M.-1)+(C.+1)+(D.-1)+(+U)=-M+C-D+U, llavors si aquesta suma la divideix l'11, el nombre MCDU ser\xc3\xa0 divisible per 11 segons la propietat 3 de divisibilitat de la suma._NEWLINE_De tot el que hem dit podem escriure:_NEWLINE_Un nombre \xc3\xa9s divisible per 11 si la suma dels valors relatius de les xifres de llocs parells menys la dels llocs imparells d\xc3\xb3na un m\xc3\xbaltiple d'11."