b'\n_START_ARTICLE_\nTrigonometria esf\xc3\xa8rica\n_START_PARAGRAPH_\nLa trigonometria esf\xc3\xa8rica \xc3\xa9s un conjunt de relacions an\xc3\xa0logues a les de la trigonometria plana, per\xc3\xb2 en aquest cas, amb angles i dist\xc3\xa0ncies disposades sobre una esfera. Les regles habituals de la trigonometria plana ja no seran v\xc3\xa0lides; per exemple la suma dels angles d\'un triangle situat sobre una esfera \xc3\xa9s superior a  i els segments de rectes es transformen en arcs de cercles m\xc3\xa0xims. La paraula deriva del grec\xcf\x84\xcf\x81\xce\xaf\xce\xb3\xcf\x89\xce\xbd\xce\xbf\xce\xbd trig\xc5\x8dnon, "triangle" i \xce\xbc\xce\xad\xcf\x84\xcf\x81\xce\xbf\xce\xbd metron, "mesurar" .\n_START_SECTION_\nContext hist\xc3\xb2ric\n_START_PARAGRAPH_\nHi ha evid\xc3\xa8ncia que fins i tot els babilonis i els egipcis es van preocupar pels problemes de trigonometria esf\xc3\xa8rica fa 4.000 anys per poder calcular la traject\xc3\xb2ria de les estrelles, no obstant aix\xc3\xb2, no podien resoldre\'ls. De fet, la hist\xc3\xb2ria de la trigonometria esf\xc3\xa8rica est\xc3\xa0 tant estretament relacionada amb l\xe2\x80\x99astronomia, que en el moment en qu\xc3\xa8 els grecs van comen\xc3\xa7ar a emprar-la per als seus c\xc3\xa0lculs, aproximadament el 350 aC, es va convertir en la ci\xc3\xa8ncia base per ajudar als astr\xc3\xb2noms a predir els moviments dels astres._NEWLINE_El text m\xc3\xa9s antic sobre trigonometria esf\xc3\xa8rica data d\'aquest per\xc3\xadode, va ser el grec Autolykos de Pitane i cont\xc3\xa9 frases sobre cercles esferoidals. Al voltant del 140 aC. Hipparc de Nicea, va fer estudis sobre m\xc3\xa8todes, tant computacionals com gr\xc3\xa0fics, per crear diagrames estel\xc2\xb7lars i realitzar nous c\xc3\xa0lculs astron\xc3\xb2mics. Menelau d\'Alexandria, el 98 aC.va transferir les primeres f\xc3\xb3rmules del triangle pla als triangles sobre l\'esfera i va trobar que el valor de la suma dels angles d\'un triangle esf\xc3\xa8ric era 270\xc2\xb0._NEWLINE_Entre el 125 i el 150 dC, Ptolemeu d\'Alexandria va trobar els m\xc3\xa8todes per a calcular triangles esf\xc3\xa8rics tant rectangles com oblics. Des de l\'\xc3\x8dndia, van arribar les primeres aproximacions a la f\xc3\xb3rmula del cosinus. Entre els matem\xc3\xa0tics \xc3\xa0rabs que, basant-se en la recerca feta pels indis i grecs van continuar els estudis sobre la trigonometria esf\xc3\xa8rica, val la pena esmentar Al-Battan\xc3\xad (al voltant de 900 n. Chr.) I Nasir Eddin Tusi (al voltant de 1250 n. Chr.), que va plasmar per primera vegada el teorema del sinus i el triangle polar en  f\xc3\xb3rmules matem\xc3\xa0tiques. Al segle XV, Johannes M\xc3\xbcller regiomontanus va ampliar el coneixement grec, indi i \xc3\xa0rab amb la funci\xc3\xb3 tangent les investigacions en trigonometria esf\xc3\xa8rica van facilitar els grans viatges de descobriment al poder determinar millor la posici\xc3\xb3 d\'un vaixell al mar, permetent tra\xc3\xa7ar les noves rutes mar\xc3\xadtimes cap a l\'\xc3\x8dndia, Am\xc3\xa8rica i el Pac\xc3\xadfic._NEWLINE_Vieta es troba al segle XVI sobre el triangle polar Winkel kosinussatz. John Napier (Napier, 1550-1617) va portar les formules trigonom\xc3\xa8triques a regles f\xc3\xa0cilment aplicables (el Pent\xc3\xa0gon de Neper). Finalment Leonhard Euler (1707-1783), va redactar la trigonometria esf\xc3\xa8rica actual d\'una forma clara._NEWLINE_Despr\xc3\xa9s d\'Euler molts altres matem\xc3\xa0tics han ampliat la trigonometria esf\xc3\xa8rica, establint noves relacions entre els costats i els angles d\'un triangle esf\xc3\xa8ric, entre altres: Simon L\'Huilier (1750-1840), Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749-1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Adrien-Marie Legendre (1752-1833) i David Hilbert (1862-1943).  Gr\xc3\xa0cies al treball d\'aquest matem\xc3\xa0tics, que van descobrir nous m\xc3\xa8todes, o en van aplicar d\'antics, com els logaritmes de Napier, es va facilitar el desenvolupament de la geometria esf\xc3\xa8rica en camps com per exemple, la topografia de la terra o la cartografia moderna. En els segles XIX i XX tamb\xc3\xa9 es van descobrir altres geometries no euclidianes que junt amb la trigonometria esf\xc3\xa8rica van trobar la seva aplicaci\xc3\xb3 en la teoria de la relativitat.\n_START_SECTION_\nTriangle esf\xc3\xa8ric\n_START_PARAGRAPH_\nSi tres punts de la superf\xc3\xadcie esf\xc3\xa8rica s\xc3\xb3n units per arcs de cercle m\xc3\xa0xim menors a 180 \xc2\xba, la figura obtinguda s\'anomena triangle esf\xc3\xa8ric. Els costats del pol\xc3\xadgon aix\xc3\xad format s\'expressen per conveni\xc3\xa8ncia com a angle el v\xc3\xa8rtex \xc3\xa9s el centre de l\'esfera i no per la seva longitud. Aquest arc mesurat en radians i multiplicat pel radi de l\'esfera \xc3\xa9s la longitud de l\'arc. En un triangle esf\xc3\xa8ric els angles compleixen que: P 180 \xc2\xb0 <++ <540 \xc2\xb0\n_START_SECTION_\nF\xc3\xb3rmules fonamentals\n_START_PARAGRAPH_\n: angle format entre els arcs AC i AB._NEWLINE_: angle format entre els arcs AB i BC._NEWLINE_: angle format entre els arcs AC i BC.\n_START_SECTION_\nF\xc3\xb3rmula de Bessel\n_START_PARAGRAPH_\nDes de les f\xc3\xb3rmules dels cosinus, obtingudes en la secci\xc3\xb3 anterior, es poden obtenir de_NEWLINE_immediat un conjunt de diverses f\xc3\xb3rmules conegudes com a "relacions del sinus pel cosinus"_NEWLINE_o tamb\xc3\xa9 anomenades F\xc3\xb3rmules de Bessel, o tercera f\xc3\xb3rmula de Bessel. Van ser dedu\xc3\xafdes per primera vegada pel gran_NEWLINE_matem\xc3\xa0tic Friedrich Wilhelm Bessel (Westf\xc3\xa0lia, Alemanya, 1784 - Kaliningrad, R\xc3\xbassia, 1846):_NEWLINE_cos a/k = cos b/k \xc2\xb7 cos c/k+sin b/k \xc2\xb7 sin c/k \xc2\xb7 cos A_NEWLINE_cos b/k = cos c/k \xc2\xb7 cosa/k+sin c/k \xc2\xb7 sin a/k \xc2\xb7 cos B_NEWLINE_cos c/k = cos a/k \xc2\xb7 cos b/k+sin a/k \xc2\xb7 sin b/k \xc2\xb7 cos C_NEWLINE_El conjunt de les f\xc3\xb3rmules de Bessel es pot escriure, per a l\'esfera de radi unitat, aix\xc3\xb2_NEWLINE_\xc3\xa9s, l\'esfera trigonom\xc3\xa8trica de la forma:\n_START_SECTION_\nTriangle esf\xc3\xa8ric rectangle\n_START_PARAGRAPH_\nEn triangle esf\xc3\xa8ric amb almenys un angle recte, se l\'anomena triangle rectangle. En un triangle esf\xc3\xa8ric seus tres angles poden ser rectes, en aquest cas la suma \xc3\xa9s 270 \xc2\xb0. En tots els altres casos aquesta suma excedeix els 180 \xc2\xb0 ja aquest exc\xc3\xa9s se l\'anomena exc\xc3\xa9s esf\xc3\xa8ric; s\'expressa per la f\xc3\xb3rmula:  E: E  = ++ - 180 \xc2\xb0._NEWLINE_Qualsevol triangle esf\xc3\xa8ric pot descompondre\'s en dos triangles esf\xc3\xa8rics rectangles.\n_START_SECTION_\n\xc3\x80rea del triangle esf\xc3\xa8ric\n_START_PARAGRAPH_\nUn aspecte remarcable \xc3\xa9s l\'\xc3\xa0rea del triangle esf\xc3\xa8ric, que es calcula molt f\xc3\xa0cilment a partir dels tres angles:_NEWLINE_on  \xc3\xa9s el radi de l\'esfera, i els angles van expressats en radians.'