b'\n_START_ARTICLE_\nDerivada covariant\n_START_SECTION_\nIntroducci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nIntroduirem primer el cas de . Suposem que tenim  n  camps vectorials que en cada punt formen una base vectorial  i un camp vectorial contravariant addicional  de tal manera que aquest camp pot expressar en termes de la base anterior:_NEWLINE_On  s\xc3\xb3n les components del vector en aquesta base. Si s\'utilitzen coordenades curvil\xc3\xadnies , els vectors tangents a les corbes coordenades canvien de punt a punt. Aix\xc3\xb2 implica que encara que el camp vectorial sigui constants en general les seves coordenades a la base escollida no seran constants i en general succeir\xc3\xa0 que la derivada covariant ():_NEWLINE_Ja que tamb\xc3\xa9 cal considerar la variaci\xc3\xb3 d\'orientaci\xc3\xb3 de la base vectorial en passar d\'un punt a un altre, \xc3\xa9s a dir, per avaluar la derivada (covariant) anterior necessitem avaluar:_NEWLINE_On el terme segon addicional d\xc3\xb3na compte de com canvia la base vectorial en rec\xc3\xb3rrer una l\xc3\xadnia coordenada curvil\xc3\xadnia. \xc3\x89s a dir quan s\'usen coordenades cartesianes en  les l\xc3\xadnies coordenades s\xc3\xb3n l\xc3\xadnies rectes paral\xc2\xb7leles als eixos coordenats, i d\'alguna manera en cada punt la base vectorial escollida per a mesurar les coordenades d\'un camp vectorial en tots els punts estan "sincronitzades". Per\xc3\xb2 en coordenades curvil\xc3\xadnies en passar d\'un punt a un altre, els vectors tangents a les l\xc3\xadnies coordenades usats com a base no coindir\xc3\xa1n d\'un punt a un altre i \xc3\xa9s necessari calcular la seva variaci\xc3\xb3 en canviar de punt. En general els vectors  no nom\xc3\xa9s depenen del punt cal especificar com es "connecten" els vectors en diferents punts i per a aix\xc3\xb2 es defineix una connexi\xc3\xb3 que en el cas de  pot representar-se com un conjunt de coeficients:_NEWLINE_Els coeficients  es diuen s\xc3\xadmbols de Christoffel i defineixen localment la connexi\xc3\xb3. Juntant els resultats de(1)i(2)la derivada covariant parcial d\'un camp vectorial pot expressar-se mitjan\xc3\xa7ant:_NEWLINE_Usant el conveni de sumaci\xc3\xb3 d\'Einstein i renomenant els \xc3\xadndexs l\'expressi\xc3\xb3 anterior es pot escriure simplement com:_NEWLINE_L\'expressi\xc3\xb3 entre par\xc3\xa8ntesis representa les components de la derivada covariant del vector contravariant . An\xc3\xa0logament donada una corba  es defineix la derivada covariant temporal al llarg d\'aquesta corba com:\n_START_SECTION_\nCas euclidi\xc3\xa0\n_START_PARAGRAPH_\nLa necessitat de la generalitzaci\xc3\xb3 de la derivada ordin\xc3\xa0ria en  s\'aprecia quan s\'utilitzen coordenades curvil\xc3\xadnies com s\'ha dit. Per a evidenciar-ho n\'hi ha prou expressant el moviment d\'una part\xc3\xadcula primer en coordenades cartesianes i despr\xc3\xa9s en coordenades polars; per exemple, considerem una massa puntual que es mou al llarg d\'una recta distant de l\'origen d i formant la recta dist\xc3\xa0ncia d un angle  amb l\'eix OX. Les seues equacions horaries i la traject\xc3\xb2ria dedu\xc3\xafda d\'elles tot eliminant-ne el temps seran:_NEWLINE_El punt es mou al llarg de la recta amb una velocitat  uniforme  com es pot veure\'s de manera senzilla, si es calculen les velocitats i les acceleracions de la part\xc3\xadcula:_NEWLINE_On s\'ha fet servir la notaci\xc3\xb3  i ._NEWLINE_Ara considerem el c\xc3\xa0lcul de l\'acceleraci\xc3\xb3 en coordenades polars. Com que la part\xc3\xadcula es mou sobre una recta les seues dist\xc3\xa0ncia a l\'origen i angle polar estaran relacionats mitjan\xc3\xa7ant la relaci\xc3\xb3:_NEWLINE_Les coordenades de la velocitat de la part\xc3\xadcula en aquestes coordenades es poden determinar mitjan\xc3\xa7ant c\xc3\xa0lcul directe o canviant de base a partir de la components cartesianes:_NEWLINE_Com que la part\xc3\xadcula es mou a velocitat constant el vector acceleraci\xc3\xb3 hauria de resultar nul. D\'acord amb el que s\'ha discutit anteriorment, les components del vector acceleraci\xc3\xb3 poden obtenir-se mitjan\xc3\xa7ant les coordenades covariants:_NEWLINE_\xc3\x89s important notar com en aquest cas les derivades parcials ordin\xc3\xa0ries no coincideixen amb les components de l\'acceleraci\xc3\xb3:_NEWLINE_Ja que en coordenades polars els vectors de la base varien de punt a punt, i \xc3\xa9s per aix\xc3\xb2 que nom\xc3\xa9s utilitzant la derivada covariant s\'obt\xc3\xa9 un vector d\'acceleraci\xc3\xb3 nul tal com es podia esperar a partir del c\xc3\xa0lcul en coordenades cartesianes.\n_START_SECTION_\nCas general\n_START_PARAGRAPH_\nEn una varietat diferenciable o una hipersuperficie de , d\'altra banda, el concepte de derivada direccional es defineix a partir de l\'espai tangent a cada punt. En el cas general en presentar la varietat o la hipersuperficie curvatura, els espais tangents de cada punt difereix del dels punts propers i per tant es necessita alguna manera de "connectar" o identificar vectors de diferents espais vectorials, mitjan\xc3\xa7ant una connexi\xc3\xb3 sobre la varietat._NEWLINE_En una varietat riemanniana comunament es tria una connexi\xc3\xb3 (sense torsi\xc3\xb3) que sigui compatible amb la m\xc3\xa8trica, expressada per les components del tensor m\xc3\xa8tric , en el sentit que:\n_START_SECTION_\nDerivada covariant d\'un tensor\n_START_PARAGRAPH_\nEn les seccions anteriors la discussi\xc3\xb3 de la derivada covariant s\'ha limitat a un camp vectorial contravariant. Per\xc3\xb2 la derivada covariant es pot estendre a altres tipus de camps tensorials definits sobre una varietat de Riemann. Per estendre la definici\xc3\xb3 usa el fet que la derivada parcial d\'un escalar coincideix amb la derivada covariant parcial d\'aquest escalar, \xc3\xa9s a dir:_NEWLINE_Aix\xc3\xad per a calcular la derivada covariant parcial d\'unel 1-forma  es considera la seva contracci\xc3\xb3 amb un camp vectorial contravariant i tenint en compte que la derivada covariant en una derivaci\xc3\xb3 per a la qual val la regla del producte:_NEWLINE_Aix\xc3\xb2 porta a la seg\xc3\xbcent relaci\xc3\xb3 entre components:_NEWLINE_Per a un tensor de tipus (p, q) general s\'haur\xc3\xa0:'