b'\n_START_ARTICLE_\nRang (\xc3\xa0lgebra lineal)\n_START_PARAGRAPH_\nEn \xc3\xa0lgebra lineal, el rang d\'una matriu A \xc3\xa9s una mesura de la "singularitat" del sistema d\'equacions lineals i de la transformaci\xc3\xb3 lineal vinculada a A. Existeixen moltes definicions possibles pel rang d\'una matriu, entre d\'altres la grand\xc3\xa0ria de la col\xc2\xb7lecci\xc3\xb3 m\xc3\xa9s gran de columnes linealment independents de A. En aquest article tamb\xc3\xa9 presentarem definicions alternatives. El rang \xc3\xa9s un dels conceptes b\xc3\xa0sics a l\'hora d\'analitzar les dades d\'una matriu._NEWLINE_Habitualment, el rang d\'una matriu A s\'escriu com a rg(A) o rang(A), o fins i tot rang\xc2\xa0A.\n_START_SECTION_\nDefinicions principals\n_START_PARAGRAPH_\nEn aquesta secci\xc3\xb3 donarem tres definicions pel rang d\'una matriu. M\xc3\xa9s endavant podeu consultar una llista de definicions alternatives._NEWLINE_El rang per columnes d\'una matriu A \xc3\xa9s el nombre m\xc3\xa0xim de vectors columna linealment independents de A. El rang per files de A \xc3\xa9s el nombre m\xc3\xa0xim de vectors fila linealment independents de A. Equivalentment, el rang per columnes de A \xc3\xa9s la dimensi\xc3\xb3 de l\'espai de columnes de A, mentre que el rang per files de A \xc3\xa9s la dimensi\xc3\xb3 de l\'espai de files de A._NEWLINE_Dit d\'una altra manera, per a una matriu de m files i n columnes amb elements en un anell A, el rang per columnes \xc3\xa9s el rang del conjunt de columnes de la matriu, considerades com a elements del A-m\xc3\xb2dul lliure . De manera paral\xc2\xb7lela, el rang per files de la matriu \xc3\xa9s el rang del conjunt de files de la matriu, considerades com a elements del A-m\xc3\xb2dul lliure ._NEWLINE_Un resultat fonamental en \xc3\xa0lgebra lineal \xc3\xa9s que el rang per columnes i el rang per files sempre s\xc3\xb3n iguals (vegeu-ne dues demostracions m\xc3\xa9s endavant). Aquest nombre (\xc3\xa9s a dir, el nombre de files o columnes linealment independents) s\'anomena simplement el rang de A._NEWLINE_El rang tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s la dimensi\xc3\xb3 del recorregut de la transformaci\xc3\xb3 lineal donada per la multiplicaci\xc3\xb3 per A. En general, si un operador lineal en un espai vectorial (eventualment de dimensi\xc3\xb3 infinita) t\xc3\xa9 recorregut de dimensi\xc3\xb3 finita (per exemple, un operador de rang finit), llavors el rang de l\'operador es defineix com la dimensi\xc3\xb3 del recorregut.\n_START_SECTION_\nC\xc3\xa0lcul num\xc3\xa8ric\n_START_PARAGRAPH_\nEn l\'\xc3\xa0mbit del c\xc3\xa0lcul num\xc3\xa8ric en coma flotant, el m\xc3\xa8tode d\'eliminaci\xc3\xb3 de Gauss (descomposici\xc3\xb3 LU) pot portar a resultats inestables, i hom aplica llavors una descomposici\xc3\xb3 que mostri el rang. Una alternativa efectiva \xc3\xa9s la descomposici\xc3\xb3 en valors singulars, per\xc3\xb2 existeixen altres m\xc3\xa8todes menys costosos, com la descomposici\xc3\xb3 QR amb pivotatge, que tamb\xc3\xa9 \xc3\xa9s m\xc3\xa9s robusta que l\'eliminaci\xc3\xb3 gaussiana. La determinaci\xc3\xb3 num\xc3\xa8rica del rang d\'una matriu requereix decidir quan un valor, com per exemple un valor singular, s\'ha de tractar com a 0; aix\xc3\xb2 acostuma a dependre de la matriu i de l\'aplicaci\xc3\xb3 en q\xc3\xbcesti\xc3\xb3.\n_START_SECTION_\nEl rang per columnes \xc3\xa9s igual al rang per files\n_START_PARAGRAPH_\nEl fet que el rang per columnes i el rang per files s\xc3\xb3n iguals \xc3\xa9s una part important del teorema fonamental de l\'\xc3\xa0lgebra lineal. Aqu\xc3\xad presentarem dues demostracions d\'aquest resultat. La primera \xc3\xa9s breu, i usa algunes propietats b\xc3\xa0siques de les combinacions lineals de vectors; a m\xc3\xa9s, \xc3\xa9s v\xc3\xa0lida sobre qualsevol cos. La segona demostraci\xc3\xb3 \xc3\xa9s un argument elegant que usa l\'ortogonalitat i \xc3\xa9s v\xc3\xa0lida per matrius sobre els nombres reals; es basa en Mackiw (1995).\n_START_SECTION_\nEsb\xc3\xb3s de l\'argument\n_START_PARAGRAPH_\nEl fet que una mateixa matriu representi un cert homomorfisme  i el seu homomorfisme dual,  i que les imatges d\'ambd\xc3\xb3s homomorfismes tinguin la mateixa dimensi\xc3\xb3 fa que el rang per files i el rang per columnes siguin iguals i, per tant, que es pugui parlar, simplement, del rang de la matriu.\n_START_SECTION_\nPrimera demostraci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nSigui A una matriu m\xc2\xa0\xc3\x97\xc2\xa0n amb rang per columnes igual a r. Llavors, la dimensi\xc3\xb3 de l\'espai de columnes de A \xc3\xa9s r. Sigui  una base qualsevol de l\'espai de columnes de A, i col\xc2\xb7loquem aquests vectors com a vectors columna, formant aix\xc3\xad la matriu m\xc2\xa0\xc3\x97\xc2\xa0r . Per definici\xc3\xb3 de base, tot vector columna de A \xc3\xa9s una combinaci\xc3\xb3 lineal de les r columnes de C. Sigui R la matriu on l\'entrada (i, j)-sima \xc3\xa9s el coeficient de c\xe1\xb5\xa2 quan la j-sima columna de A s\'expressa com a combinaci\xc3\xb3 lineal de les r columnes de C. Per definici\xc3\xb3 de producte matricial, aquesta matriu R (de dimensi\xc3\xb3 r\xc2\xa0\xc3\x97\xc2\xa0n) satisf\xc3\xa0 A = C R. (Aix\xc3\xb2 es coneix com a factoritzaci\xc3\xb3 de rang de A.)_NEWLINE_Ara b\xc3\xa9, com que A = C R, tot vector fila de A \xc3\xa9s una combinaci\xc3\xb3 lineal dels vectors fila de R. (En particular, l\'entrada (i, j)-sima de C \xc3\xa9s el coeficient del j-sim vector fila de R quan la i-sima fila de A s\'expressa com a combinaci\xc3\xb3 lineal de les r files de R.) Aix\xc3\xb2 vol dir que l\'espai de files de A est\xc3\xa0 contingut en l\'espai de files de R. Per tant, el rang per files de A no pot ser m\xc3\xa9s gran que el rang per files de R. Per\xc3\xb2 com que R t\xc3\xa9 r files, el rang per files de R \xc3\xa9s, com a m\xc3\xa0xim, r, que \xc3\xa9s el rang per columnes de A. Aix\xc3\xb2 demostra que el rang per files de A \xc3\xa9s m\xc3\xa9s petit o igual al rang per columnes de A. Apliquem ara el resultat per la transposada de A per obtenir la desigualtat contr\xc3\xa0ria: el rang per columnes de A, que \xc3\xa9s igual al rang per files de A\xe1\xb5\x80, \xc3\xa9s m\xc3\xa9s petit o igual al rang per columnes de A\xe1\xb5\x80, que al seu torn \xc3\xa9s igual al rang per files de A. Aix\xc3\xb2 demostra que el rang per files de A \xc3\xa9s m\xc3\xa9s gran o igual al rang per files de A i viceversa, amb la qual cosa tots dos rangs s\xc3\xb3n iguals, com vol\xc3\xadem demostrar.\n_START_SECTION_\nAplicacions\n_START_PARAGRAPH_\nUna aplicaci\xc3\xb3 \xc3\xbatil del c\xc3\xa0lcul del rang d\'una matriu \xc3\xa9s el c\xc3\xa0lcul del nombre de solucions d\'un sistema d\'equacions lineals. Segons el teorema de Rouch\xc3\xa9-Frobenius, el sistema \xc3\xa9s inconsisten si el rang de la matriu ampliada \xc3\xa9s m\xc3\xa9s gran que el rang de la matriu de coeficients. Si, per altra banda, els rangs d\'aquestes dues matrius s\xc3\xb3n iguals, llavors el sistema t\xc3\xa9 almenys una soluci\xc3\xb3. La soluci\xc3\xb3 \xc3\xa9s \xc3\xbanica si i nom\xc3\xa9s si el rang \xc3\xa9s igual al nombre de variables. Altrament, la soluci\xc3\xb3 general t\xc3\xa9 k par\xc3\xa0metres lliures, on k \xc3\xa9s la difer\xc3\xa8ncia entre el nombre de variables i el rang. En aquest cas (i suposant que el sistema d\'equacions \xc3\xa9s als reals o als complexos), el sistema d\'equacions t\xc3\xa9 infinites solucions._NEWLINE_En teoria de control, el rang d\'una matriu es fa servir per determinar si un sistema lineal \xc3\xa9s controlable o observable.\n_START_SECTION_\nGeneralitzaci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nExisteixen diverses generalitzacions del concepte de rang quan es vol aplicar a matrius sobre anells arbitratis. En aquestes generalitzacions, el rang per columnes, el rang per files, la dimensi\xc3\xb3 de l\'espai de columnes i la dimensi\xc3\xb3 de l\'espai de files poden ser diferents, o fins i tot poden no existir._NEWLINE_Si pensem en matrius com a tensors, el rang tensorial es pot generalitzar a tensors arbitraris; notem que, per tensors d\'ordre m\xc3\xa9s gran a 2 (les matrius s\xc3\xb3n tensors d\'ordre 2), \xc3\xa9s for\xc3\xa7a complicat calcular el rang._NEWLINE_En l\'\xc3\xa0mbit de la topologia diferencial, existeix una noci\xc3\xb3 de rang per funcions cont\xc3\xadnuament diferenciables entre varietats diferenciables. \xc3\x89s igual al rang lineal de l\'aplicaci\xc3\xb3 derivada total.\n_START_SECTION_\nMatrius vistes com a tensors\n_START_PARAGRAPH_\nEl rang de matrius no s\'ha de confondre amb l\'ordre d\'un tensor, que hom anomena rang tensorial. L\'ordre d\'un tensor \xc3\xa9s el nombre d\'\xc3\xadndexs necessaris per escriure un tensor, i aix\xc3\xad totes les matrius tenen ordre 2. De forma m\xc3\xa9s precisa, les matrius s\xc3\xb3n tensors de tipus (1,1), ja que tenen un \xc3\xadndex per les files i un \xc3\xadndex per les columnes; hom tamb\xc3\xa9 diu que s\xc3\xb3n covariants d\'ordre 1 i contravariants d\'ordre 1; vegeu Tensor#Covari\xc3\xa0ncia i contravari\xc3\xa0ncia per m\xc3\xa9s detalls._NEWLINE_Notem que el rang tensorial d\'una matriu tamb\xc3\xa9 pot significar el nombre m\xc3\xadnim de tensors simples necessaris per expressar la matriu com una combinaci\xc3\xb3 lineal, i que aquesta definici\xc3\xb3 concorda amb el rang matricial que hem vist en aquest article.'