b'\n_START_ARTICLE_\nPolinomis d\'Hermite\n_START_PARAGRAPH_\nEls polinomis d\'Hermite s\xc3\xb3n un exemple de polinomis ortogonals que troben el seu principal \xc3\xa0mbit d\'aplicacions en mec\xc3\xa0nica qu\xc3\xa0ntica, sobretot en l\'estudi de l\'oscil\xc2\xb7lador harm\xc3\xb2nic unidimensional. S\xc3\xb3n nomenats aix\xc3\xad en honor a Charles Hermite.\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nEls polinomis d\'Hermite:_NEWLINE_es defineixen com els polinomis d\'Hermite probabil\xc3\xadstics o, de vegades, com els polinomis d\'Hermite f\xc3\xadsics:_NEWLINE_Aquestes dues definicions no s\xc3\xb3n exactament equivalents, una \xc3\xa9s un reescalat trivial de l\'altra:_NEWLINE_._NEWLINE_Els polinomis f\xc3\xadsics poden expressar-se com:\n_START_SECTION_\nOrtogonalitat\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\xa9s un polinomi de grau n, amb n = 0, 1, 2, 3,... Aquests polinomis s\xc3\xb3n ortogonals respecte de la funci\xc3\xb3 pes (mesura):_NEWLINE_ (probabilista)_NEWLINE_o_NEWLINE_ (f\xc3\xadsica)_NEWLINE_\xc3\xa9s a dir,_NEWLINE_ (probabilista)_NEWLINE_o_NEWLINE_ (f\xc3\xadsica)_NEWLINE_on \xce\xb4   \xe1\xb5\xa2\xe2\xb1\xbc   \xc3\xa9s la delta de Kronecker, que val la unitat quan n = m i zero en un altre cas. Els polinomis probabil\xc3\xadstics s\xc3\xb3n ortogonals respecte de la funci\xc3\xb3 de densitat de probabilitat normal.\n_START_SECTION_\nF\xc3\xb3rmules de recurr\xc3\xa8ncia\n_START_PARAGRAPH_\nEls polinomis d\'Hermite (en la seva forma "f\xc3\xadsica") satisfan les seg\xc3\xbcents relacions de recurr\xc3\xa8ncia:\n_START_SECTION_\nDescomposici\xc3\xb3 en s\xc3\xa8rie de funcions\n_START_PARAGRAPH_\nTota funci\xc3\xb3 f cont\xc3\xadnua pot expressar-se com s\xc3\xa8rie infinita en termes de polinomis d\'Hermite:_NEWLINE_On les constants de l\'anterior s\xc3\xa8rie venen donades per:\n_START_SECTION_\nEquaci\xc3\xb3 diferencial d\'Hermite\n_START_PARAGRAPH_\nEls polinomis d\'Hermite s\xc3\xb3n solucions de l\'equaci\xc3\xb3 diferencial d\'Hermite:_NEWLINE_que en forma can\xc3\xb2nica es pot escriure com:'