b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema d\'Euclides\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3 d\'Euclides\n_START_PARAGRAPH_\nEn els seus Elements, Euclides demostra que de tres nombres primers diferents se\'n pot ser dedu\xc3\xaft un quart. La demostraci\xc3\xb3 es generalitza immediatament a tota enumeraci\xc3\xb3 finita de nombres primers. Dedueix que de nombres primers n\'hi ha una quantitat m\xc3\xa9s gran que tota quantitat finita. L\'infinit que s\'evidencia en aquesta prova \xc3\xa9s doncs un "infinit potencial", compatible amb la doctrina aristot\xc3\xa8lica._NEWLINE_Actualitzada, la seva demostraci\xc3\xb3 es presenta com segueix: suposem que p\xe2\x82\x81,p\xe2\x82\x82,p\xe2\x82\x83,...,p\xe2\x82\x99 sigui una llista finita de nombres primers diferents. Si N designa el seu producte, els nombres primers ja enumerats no poden dividir N+1; ara b\xc3\xa9, tot nombre posseeix un factor primer, per tant existeix un nombre primer que no forma part de la successi\xc3\xb3 donada. El resultat segons el qual tot nombre posseeix un factor primer es demostra en la proposici\xc3\xb3 20 llibre IX dels Elements, avui en dia es despr\xc3\xa8n directament del teorema fonamental de l\'aritm\xc3\xa8tica._NEWLINE_L\'argumentaci\xc3\xb3 emprada per Euclides permet construir per recurr\xc3\xa8ncia una successi\xc3\xb3 injectiva (p\xe2\x82\x99) de nombres primers: p\xe2\x82\x99 es defineix com el factor primer m\xc3\xa9s petit de ._NEWLINE_Com senyala G\xc3\xa9rald Tenenbaum, la demostraci\xc3\xb3 d\'Euclides \xc2\xab\xc3\xa9s massa senzilla per ser efectiva\xc2\xbb (en el sentit de caracteritzar l\'abund\xc3\xa0ncia de nombres primers en el conjunt dels nombres naturals, en el sentit de demostrar que n\'hi ha infinits \xc3\xa9s perfectament efectiva). De fet, la construcci\xc3\xb3 mostra que l\'en\xc3\xa8sim nombre primer p\xe2\x82\x99 \xc3\xa9s inferior o igual a .\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3 d\'Euler\n_START_PARAGRAPH_\nEl matem\xc3\xa0tic su\xc3\xads Leonhard Euler va proposar una altra demostraci\xc3\xb3. Aquesta demostraci\xc3\xb3 es recolza en el teorema fonamental de l\'aritm\xc3\xa8tica. Si P designa el conjunt dels nombres primers, Euler escriu:_NEWLINE_ _NEWLINE_S\'utilitzen per aix\xc3\xb2 la suma d\'una s\xc3\xa8rie geom\xc3\xa8trica i el desenvolupament (\xc3\xbanic) en factors primers d\'un nombre natural (en altres paraules, el teorema fonamental de l\'aritm\xc3\xa8tica). Llavors la diverg\xc3\xa8ncia de la s\xc3\xa8rie harm\xc3\xb2nica demostra que la suma (de la dreta) tendeix cap a l\'infinit: per tant el producte (de l\'esquerra) no pot ser finit, hi ha per tant una infinitat de nombres primers.'