b"\n_START_ARTICLE_\nGrup simple\n_START_PARAGRAPH_\nUn grup simple \xc3\xa9s un grup sense cap subgrup autoconjugat. \xc3\x89s un grup en el qual els \xc3\xbanics subgrups normals s\xc3\xb3n el mateix grup i el format per l'element neutre. _NEWLINE_Un grup que no \xc3\xa9s simple pot ser fraccionat en dos grups m\xc3\xa9s petits, un grup normal i un grup quocient, el proc\xc3\xa9s es pot seguir fent amb els nous grups obtinguts. Si el grup \xc3\xa9s finit, quan el fraccionem en dos subgrups cont\xc3\xadnuament arribarem a un determinat i \xc3\xbanic grup simple pel teorema de Jordan-H\xc3\xb6lder.\n_START_SECTION_\nGrups simples infinits\n_START_PARAGRAPH_\nExisteixen grups simples d'ordre infinit com els grups simples de Lie i els grups infinits de Thompson, T i V s\xc3\xb3n exemples d'aix\xc3\xb2.\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb2ria\n_START_PARAGRAPH_\nLa teoria de grups, encara que va tenir resultats importants anteriors, \xc3\xa9s una teoria moderna en la hist\xc3\xb2ria de la matem\xc3\xa0tica. En el segle XXI, est\xc3\xa0 plenament consolidada com a disciplina matem\xc3\xa0tica, convertida en un cl\xc3\xa0ssic en el curr\xc3\xadculum acad\xc3\xa8mic._NEWLINE_Les tres \xc3\xa0rees en les quals va sorgir el concepte de grup s\xc3\xb3n: en la geometria al comen\xc3\xa7ament del segle XIX, en la teoria de nombres al final del segle XVIII i en la teoria d'equacions algebraiques al final tamb\xc3\xa9 del devuit i que va conduir a l'estudi de les permutacions. _NEWLINE_La geometria havia estat estudiada des del temps dels grecs, i \xc3\xa9s la primera teoria a formular-se formalment i el paradigma de totes les teories matem\xc3\xa0tiques. Que va passar al principi del segle XIX?. Havia comen\xc3\xa7at a perdre el seu car\xc3\xa0cter m\xc3\xa8tric, amb la geometria projectiva i les geometries no euclidianes. L'estudi de la geometria en n dimensions va conduir a una abstracci\xc3\xb3 en la geometria mateixa. La diferenciaci\xc3\xb3 entre la geometria m\xc3\xa8trica i la geometria incidental va comen\xc3\xa7ar a gestar-se amb el treball de Gaspard Monge, el seu alumne Lazare Nicolas Marguerite Carnot i m\xc3\xa9s encara amb Poncelet. Les geometries no euclidianes van ser estudiades per Lambert, Gauss, Lobachevsky i J\xc3\xa1nos Bolyai entre altres. August Ferdinand M\xc3\xb6bius en 1827, encara que sense adonar-se'n del concepte de grup, va comen\xc3\xa7ar a classificar geometries segons propietats que romanen invariants sota un determinat grup de transformacions. Jakob Steiner en 1832, va estudiar nocions de geometria sint\xc3\xa8tica que poden formar part de l'estudi de certs grups de transformacions. En 1761, Euler va estudiar l'aritm\xc3\xa8tica modular. En particular, va analitzar les restes m\xc3\xb2dul n, de pot\xc3\xa8ncies d'un nombre. Encara que el treball d'Euler no ho va establir en termes de teoria de grups, ell va donar un exemple de descomposici\xc3\xb3 d'un grup abeli\xc3\xa0 finit en classes adjuntes, segons un subgrup i va provar un cas especial del resultat (avui conegut com a teorema de Lagrange): l'ordre d'un subgrup divideix a l'ordre del grup. Gauss, en 1801, va dur el teorema d'Euler molt m\xc3\xa9s enll\xc3\xa0 i va provar resultats d'aritm\xc3\xa8tica modular que s\xc3\xb3n especialitzacions de teoremes generals de grups abelians. Va estudiar l'ordre dels elements i va provar que (encara que no amb aquesta notaci\xc3\xb3)existeix un subgrup per a cada divisor de l'ordre d'un grup c\xc3\xadclic. Gauss tamb\xc3\xa9 va examinar altres grups abelians. Va analitzar les formes quadr\xc3\xa0tiques bin\xc3\xa0ries, amb coeficients sencers, i les va estudiar sota transformacions i substitucions. Les va classificar en classes d'equival\xc3\xa8ncia i va definir un producte de classes. Gauss va provar que l'ordre del producte (de 3 formes) \xc3\xa9s immaterial; en el llenguatge actual va provar la propietat associativa del producte de classes. De fet, Gauss va obtenir un grup abeli\xc3\xa0 finit. M\xc3\xa9s tard, en 1869, Schering que va editar el treball de Gauss, va trobar un sistema de generadors per a aquest grup abeli\xc3\xa0. _NEWLINE_La teoria de grups va cobrar import\xc3\xa0ncia quan es van publicar els llibres, primer els dos toms d'\xc3\xa0lgebra, Lehrbuch der Algebra en 1895, de Heinrich Weber (un estudiant de Dedekind) i el llibre de Burnside, Theory of groups of finite order, publicat en 1897. Aquests llibres van influenciar a la seg\xc3\xbcent generaci\xc3\xb3 de matem\xc3\xa0tics i van impulsar l'important desenvolupament que va tenir la teoria de grups en el segle XX."