b"\n_START_ARTICLE_\nEspai af\xc3\xad\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa0tiques, un espai af\xc3\xad \xc3\xa9s una estructura que generalitza el concepte d'espai euclidi\xc3\xa0. Hist\xc3\xb2ricament, la noci\xc3\xb3 d'espai af\xc3\xad neix del problema creat per l'aparici\xc3\xb3 de noves geometries, perfectament coherents, per\xc3\xb2 diferents de la d'Euclides, i del seu axioma del paral\xc2\xb7lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonitzaci\xc3\xb3, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidi\xc3\xa0, excloent-hi el concepte de dist\xc3\xa0ncia, i tot el que aix\xc3\xb2 representa, com longitud i angle. El resultat de tot aix\xc3\xb2, va ser una geometria af\xc3\xad, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'\xc3\xa0lgebra lineal.\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb2ria\n_START_PARAGRAPH_\nLa demostraci\xc3\xb3 del cinqu\xc3\xa8 postulat d'Euclides va originar la creaci\xc3\xb3 de les anomenades geometries no-euclidianes. Durant aquesta revoluci\xc3\xb3 Euler va desenvolupar una nova geometria basada \xc3\xbanicament en certs teoremes basats en els postulats I,II,V d'Euclides, d'aquesta formulaci\xc3\xb3 va esdevenir la geometria Af\xc3\xad._NEWLINE_Estudiada primerament per Euler i, de gran import\xc3\xa0ncia actual, ja que \xc3\xa9s utilitzada en la Geometria de Minkowski de l'espai-temps, amb la geometria Af\xc3\xad ens aproximem al que passa en l'espai f\xc3\xadsic, on aparentment, no hi ha punts millors que altres. En aquesta geometria estudiarem objectes com rectes i plans y propietats com el paral\xc2\xb7lelisme que respon a conceptes estudiats fa temps en geometria.\n_START_SECTION_\n2\xc2\xaa definici\xc3\xb3 d'espai af\xc3\xad\n_START_PARAGRAPH_\nUn resultat que ens proporciona una caracteritzaci\xc3\xb3 equivalent d'un espai af\xc3\xad per\xc3\xb2 m\xc3\xa9s c\xc3\xb2mode en segons quines circumst\xc3\xa0ncies, \xc3\xa9s que tot espai af\xc3\xad es pot definir com a conjunt de translacions._NEWLINE__NEWLINE_Sigui  un espai Af\xc3\xad. Donat , anomenarem translaci\xc3\xb3 de vector  a l'aplicaci\xc3\xb3:_NEWLINE_\xc3\x89s a dir,  \xc3\xa9s un punt  tal que _NEWLINE_PROPIETATS:_NEWLINE_1)  _NEWLINE_2) Si existeix  tal que , aleshores _NEWLINE_3)Donat . Existeix un, i nom\xc3\xa9s un  tal que\n_START_SECTION_\nSuma de varietats lineals\n_START_PARAGRAPH_\nLa uni\xc3\xb3 de dues varietat lineals no \xc3\xa9s, en general, una varietat lineal. En el seu lloc, pot considerar-se la varietat m\xc3\xadnima que conte un conjunt de varietats lineals donandes i que es defineix com, considerant  i :_NEWLINE_on  \xc3\xa9s l'espai vectorial generat pel vector . Aquesta varietat m\xc3\xadnima o generada per  i  s'anomena tamb\xc3\xa9 varietat suma de  i . En aquest cas notarem .\n_START_SECTION_\nNoci\xc3\xb3 de paral\xc2\xb7lelisme\n_START_PARAGRAPH_\nEn un espai af\xc3\xad , dues varietats lineals  s\xc3\xb3n paral\xc2\xb7leles si o ._NEWLINE_Cinqu\xc3\xa8 axioma d'Euclides\xc2\xa0: En un espai af\xc3\xad, donat un punt  i una direcci\xc3\xb3 qualsevol , existeix una \xc3\xbanica varietat que passa pel punt , i t\xc3\xa9 a  com a direcci\xc3\xb3."