b'\n_START_ARTICLE_\nMatrix (wiskunde)\n_START_SECTION_\nGetallenlichaam\n_START_PARAGRAPH_\nHet getallenlichaam  is meestal  (re\xc3\xable matrix) of  (complexe matrix).\n_START_SECTION_\nBerekenbaarheidsaspecten\n_START_PARAGRAPH_\nNaast de theoretische kennis van de eigenschappen van matrices en hun relaties tot andere deelgebieden van de wiskunde, is het om praktische doeleinden belangrijk om matrixberekeningen doeltreffend en nauwkeurig uit te voeren. Het domein binnen de wiskunde dat deze zaken bestudeert, wordt de numerieke lineaire algebra genoemd. Zoals ook in andere numerieke onderzoeksgebieden zijn de twee belangrijkste aspecten de complexiteit van algoritmen en de numerieke stabiliteit. Veel problemen kunnen worden opgelost door zowel directe algoritmen als iteratieve benaderingen. Zo kunnen eigenvectoren worden berekend door het vinden van een rij vectoren  die convergeert naar een eigenvector, als  naar oneindig gaat.\n_START_SECTION_\nAbstracte algebra\xc3\xafsche aspecten\n_START_PARAGRAPH_\nMatrices kunnen op verschillende manieren worden veralgemeend. De abstracte algebra gebruikt matrices met elementen die niet uit getallen, maar uit de meer algemene velden of zelfs ringen bestaan, terwijl de lineaire algebra eigenschappen van matrices in de notie van lineaire afbeeldingen codificeert. Het is ook mogelijk om matrices met oneindig veel kolommen en rijen in beschouwing te nemen. Een andere uitbreiding vormen de zogenaamde tensoren, die als hoger-dimensionale arrays van getallen gezien kunnen worden, dit in tegenstelling tot vectoren, die vaak als rijen van getallen (eendimensionale vectoren) kunnen worden gerealiseerd, terwijl matrices rechthoekige of tweedimensionale arrays van getallen zijn. Matrices kunnen onder bepaalde voorwaarden een groep vormen. Deze staan bekend als matrixgroepen.\n_START_SECTION_\nDomein van de elementen\n_START_PARAGRAPH_\nWanneer met matrices wordt gerekend, moet zijn bepaald uit welke verzameling de elementen in de matrix komen. Dat kunnen de re\xc3\xable- (), de complexe () of de rationale getallen () zijn. Ook kan een eindig lichaam/veld worden gekozen, in de coderingstheorie gebeurt dit. Het lichaam waaruit de elementen worden gekozen moet gesloten zijn._NEWLINE_Wanneer het alleen nodig is twee matrices bij elkaar op te kunnen tellen of te vermenigvuldigen, is het een voldoende eis dat de elementen uit een ring komen. Wanneer van een vierkant matrix ook de inverse moet kunnen worden bepaald, moeten de matrices over een lichaam zijn gedefinieerd.\n_START_SECTION_\nOneindige matrices\n_START_PARAGRAPH_\nHet is ook mogelijk om matrices met oneindig veel rijen en/of kolommen te beschouwen ook al kan men een oneindig aantal objecten, uit de aard van de zaak, niet expliciet als een matrix opschrijven. Het enige dat telt, is dat voor elk element uit de verzameling die de rijen indiceert, en elk element uit de verzameling die de kolommen indiceert, er een goed gedefinieerd element bestaat (de indexverzamelingen hoeven geen deelverzamelingen van de natuurlijke getallen te zijn). De belangrijkste operaties van optellen, aftrekken, scalaire vermenigvuldiging en transpositie kunnen probleemloos gedefinieerd worden, maar matrixvermenigvuldiging kan echter oneindige sommaties vereisen om de resulterende elementen te defini\xc3\xabren, en deze zijn in het algemeen niet gedefinieerd._NEWLINE_Als oneindige matrices worden gebruikt om lineaire afbeeldingen te beschrijven, kunnen alleen die matrices worden gebruikt waarvan alle kolommen een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 hebben. Wil een matrix  een lineaire afbeelding  beschrijven, dan moeten er in beide ruimten een basis worden gekozen. Dit betekent dat elke vector in de ruimte uniek geschreven kan worden als een eindige lineaire combinatie van basisvectoren. Nu beschrijven de kolommen van  de beelden onder \' van individuele basisvectoren van  uitgedrukt in de basis van  wat alleen zinvol is als deze kolommen slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 hebben. Er bestaat echter geen beperking op de rijen van  in het product  zijn er slechts een eindig aantal niet-nulzijnde co\xc3\xabffici\xc3\xabnten van  betrokken, zodat elk van zijn elementen, zelfs als deze worden gegeven als een oneindige som van de producten, slechts eindig veel termen ongelijk aan 0 betreffen en daarom goed zijn gedefinieerd. Bovendien komt dit neer op de vorming van een lineaire combinatie van de kolommen van  die effectief slechts een eindig aantal van hen betreft, vandaar dat het resultaat slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 heeft, omdat elk van deze kolommen slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 heeft. Men ziet ook dat producten van twee goedgedefinieerde matrices van het gegeven type weer van hetzelfde type zijn (op voorwaarde dat zoals gewoonlijk de kolom- en rij-indexverzamelingen overeenkomen) en overeenkomen met de samenstelling van lineaire afbeeldingen._NEWLINE_Oneindige matrices kunnen ook worden gebruikt om operatoren op Hilbert-ruimten te beschrijven. Hier komen convergentie- en continu\xc3\xafteitsvragen naar voren, die opnieuw resulteren in een aantal beperkingen, die moeten worden opgelegd. en in plaats daarvan worden de abstracte en meer krachtige instrumenten uit de functionaalanalyse gebruikt.\n_START_SECTION_\nLege matrix\n_START_PARAGRAPH_\nEen lege matrix is een matrix, waarin het aantal rijen of kolommen (of beide) nul zijn. Een lege matrix heeft geen elementen, maar heeft wel een duidelijk omschreven aantal rijen en kolommen, die nodig zijn voor bijvoorbeeld de definitie van het matrixproduct. Dus als  een 3\xc3\x970-matrix is en  een 0\xc3\x973-matrix, dan is  de 3\xc3\x973-matrix (die overeenkomt met de nulafbeelding van een driedimensionale ruimte  op zichzelf die wordt verkregen als de samenstelling  van de unieke afbeelding  van  op een 0-dimensionale ruimte  gevolgd door de nulafbeelding  van  terug op ), terwijl  de 0\xc3\x970 matrix is (overeenkomend met de unieke afbeelding van  op zichzelf die wordt verkregen als de samenstelling ). Er is geen gemeenschappelijke notatie voor lege matrices, maar in de meeste computeralgebrasystemen kan men lege matrices defini\xc3\xabren en kan men ermee rekenen. Merk op dat de determinant van de 0\xc3\x970-matrix 1 is (en niet 0, wat op het eerste gezicht meer voor de hand zou liggen): de Leibniz-formule geeft deze waarde als een som over de unieke permutatie van de lege verzameling, met een leeg product als de term; de Laplace-expansie voor een 1\xc3\x971-matrix maakt duidelijk dat de waarde van de 0\xc3\x970-minor als 1 moet worden genomen. Deze waarde is ook consistent met het feit dat de identiteitsafbeelding van enige eindigdimensionale ruimte op zichzelf determinant 1 heeft, een feit dat vaak gebruikt wordt als onderdeel van de karakterisering van determinanten.\n_START_SECTION_\nLineaire combinaties van kwantumtoestanden\n_START_PARAGRAPH_\nHet eerste model van de kwantummechanica ( Heisenberg, 1925) representeerde de operatoren van de theorie door oneindigdimensionale matrices die inwerkten op kwantumtoestanden. Dit eerste model staat ook bekend als de matrixmechanica. Een bijzonder voorbeeld is de dichtheidsmatrix, die de "gemengde" toestand van een kwantumsysteem als een lineaire combinatie van elementaire, "zuivere" eigentoestanden karakteriseert._NEWLINE_Een andere matrix dient als een belangrijk instrument voor het beschrijven van de verstrooiingsexperimenten, die de hoeksteen vormen van de experimentele deeltjesfysica: botsingreacties, zoals deze plaatsvinden in deeltjesversnellers, waar niet-interagerende deeltjes op elkaar af stormen en vervolgens in een kleine interactiezone op elkaar botsen, met als resultaat een verzameling van niet-interagerende deeltjes, kunnen worden omschreven als het scalair product van uitgaande deeltjestoestanden en een lineaire combinatie van inkomende deeltjestoestanden. De lineaire combinatie wordt gegeven door een matrix, die bekendstaat als de S-matrix. Deze S-matrix codeert voor alle informatie over de mogelijke interacties tussen deeltjes.\n_START_SECTION_\nMeetkundige optica\n_START_PARAGRAPH_\nDe meetkundige optica kent ook matrixtoepassingen. In deze benaderingswijze wordt het golfkarakter van het licht buiten beschouwing gelaten. Het resultaat is een model waarin lichtstralen inderdaad meetkundige stralen zijn. Als de lichtstralen kleine hoeken maken met de optische as (de zgn. paraxiale benadering), kan men voor dunne lenzen volstaan met de eenvoudige lenzenformule. Is de lens dikker, of heeft men een lenzenstelsel, dan kan de werking van een brekend of reflecterend oppervlak op een gegeven lichtstraal worden beschreven met een vermenigvuldiging van een tweedimensionale vector met een 2\xc3\x972-matrix: de componenten van de vector zijn de hellingshoek van de lichtstraal en de afstand tot de optische as, terwijl de matrix de breking of reflectie beschrijft. Deze matrix wordt de brekingsmatrix genoemd (reflectie is een bijzonder geval van breking, met brekingsindex = \xe2\x88\x921). Daarnaast gebruikt men een translatiematrix voor de verplaatsing van het referentievlak naar een volgend brekend of refecterend oppervlak, dat weer zijn eigen brekingsmatrix heeft. Het optische systeem, dat uit een combinatie van lenzen en/of reflecterende elementen bestaat, wordt nu simpelweg gekarakteriseerd door de productmatrix van de achtereenvolgende brekings- en translatiematrices.\n_START_SECTION_\nElektronica: vierpoolmodel\n_START_PARAGRAPH_\nIn de analyse van lineaire elektrische en elektronische netwerken wordt het gedrag van veel elektronische componenten beschreven met het zgn. vierpoolmodel (ook wel tweepoortmodel genoemd). Daarin worden de ingangsspanning en -stroom als een kolomvector  beschouwd, en de uitgangsspanning en -stroom als een kolomvector . Dit levert een matrixvergelijking , waarin  een 2\xc3\x972-matrix is met \xc3\xa9\xc3\xa9n impedantie-element , \xc3\xa9\xc3\xa9n admittantie-element  en twee dimensieloze elementen  en . Het doorrekenen van schakelingen komt dan neer op het vermenigvuldigen van matrices.\n_START_SECTION_\nTypen matrices\n_START_PARAGRAPH_\nMen onderscheidt de volgende typen matrices:'