b'\n_START_ARTICLE_\n3-vari\xc3\xabteit\n_START_PARAGRAPH_\nIn de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een 3-vari\xc3\xabteit een driedimensionale vari\xc3\xabteit. De topologische, stuksgewijs lineaire en gladde categorie\xc3\xabn zijn alle equivalent in drie dimensies, zodat er meestal weinig onderscheid wordt gemaakt tussen bijvoorbeeld topologische 3-vari\xc3\xabteiten en gladde 3-vari\xc3\xabteiten._NEWLINE_Verschijnselen in drie dimensies kunnen opvallend anders zijn dan verschijnselen in andere dimensies. Daarom zijn er speciale technieken die geen generalisatie hebben in hogere dimensies dan drie. Deze speciale rol heeft geleid tot de ontdekking van nauwe banden met een diversiteit aan andere gebieden, zoals knopentheorie, meetkundige groepentheorie, hyperbolische meetkunde, getaltheorie, Teichm\xc3\xbcller-theorie, topologische kwantumveldtheorie, ijktheorie, Floer-homologie en parti\xc3\xable differentiaalvergelijkingen. De theorie van 3-vari\xc3\xabteiten wordt beschouwd als een deel van laagdimensionale topologie of meetkundige topologie._NEWLINE_Een basisgedachte van de theorie is om een 3-vari\xc3\xabteit te bestuderen aan de hand van speciale oppervlakken die erin ingebed zijn. Men kan kiezen voor mooi geplaatste oppervlakken in de 3-vari\xc3\xabteit, wat leidt tot het idee van onsamendrukbare oppervlakken en de theorie van Haken-vari\xc3\xabteiten, of men kan de complementaire delen zo mooi mogelijk kiezen, wat leidt tot structuren zoals Heegaard-decomposities, die ook nuttig zijn in de niet-Haken gevallen. De bijdragen van William Thurston aan de theorie maken het in veel gevallen mogelijk de extra structuur die door een van de acht specifieke Thurston-meetkundes wordt gegeven te bestuderen. De meest voor de hand liggende meetkunde is de hyperbolische meetkunde. Het is in veel gevallen vruchtbaar gebleken een meetkunde in aanvulling op speciale oppervlakken te gebruiken. De fundamentaalgroepen van 3-vari\xc3\xabteiten geven in sterke mate de meetkundige en topologische informatie weer die bij een 3-vari\xc3\xabteit hoort. Er bestaat dus een wisselwerking tussen groepentheorie en topologische methoden.'