b"\n_START_ARTICLE_\nComplex getal\n_START_SECTION_\nInleiding\n_START_PARAGRAPH_\nComplexe getallen voorzien in de behoefte oplossingen te hebben van alle (algebra\xc3\xafsche) vergelijkingen, dus bijvoorbeeld ook vergelijkingen van de vorm  voor negatieve getallen ._NEWLINE_E\xc3\xa9n benadering is het introduceren van een denkbeeldige, imaginaire oplossing, aangeduid met , van imaginair, van de vergelijking . Men stelt dus dat deze vergelijking per definitie een oplossing heeft. Die oplossing wordt  genoemd. Door de re\xc3\xable getallen uit te breiden met dit denkbeeldige getal , waarmee verder op de normale manier wordt gerekend, ontstaat de verzameling  van de complexe getallen. Deze uitbreiding bevat met  vanzelf ook alle uitdrukkingen van de vorm  waarin  en  re\xc3\xable getallen zijn. Hiermee is het gewenste resultaat bereikt: binnen de complexe getallen is elke algebra\xc3\xafsche vergelijking oplosbaar._NEWLINE_De andere benadering is het construeren van de verzameling, waardoor het beeld verdwijnt dat de nieuwe getallen niet echt bestaan. De aanduiding imaginair, overgenomen van de eerste benadering, wordt wel gebruikt, maar hoeft niet letterlijk te worden genomen. Wel is het zo dat klassieke natuurkundige grootheden een re\xc3\xable numerieke waarde hebben. Dit neemt niet weg dat complexe getallen daarbij een handig hulpmiddel kunnen zijn, zie onder.\n_START_SECTION_\nGeschiedenis\n_START_PARAGRAPH_\nDe formule van de Italiaanse wiskundigen Scipione del Ferro en Niccolo Fontana Tartaglia voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking plaatste de wiskundigen van de zestiende eeuw voor een enorm nieuw probleem. Wanneer zo'n vergelijking drie verschillende (re\xc3\xable) oplossingen heeft, komen in die formule namelijk wortels voor uit negatieve getallen. En in die tijd waren wortels uit negatieve getallen nog niet gedefinieerd. Het is geen wonder dat de naam 'imaginaire getallen' snel gevonden was, en de gewone getallen heetten vanaf toen 're\xc3\xabel'. Aan het einde van de 18e eeuw legden de grote wiskundigen Leonhard Euler en Carl Friedrich Gauss de basis voor de getallenleer en de functietheorie waarmee dit probleem en vele andere zouden worden opgelost.\n_START_SECTION_\nNotaties voor complexe getallen\n_START_PARAGRAPH_\nDoor de definitie van complexe getallen als elementen van een twee-dimensionale ruimte zijn er een tweetal notaties voor complexe getallen die voor de hand liggen. Deze notaties worden beide gebruikt, vaak naast elkaar.\n_START_SECTION_\nOrdening\n_START_PARAGRAPH_\nOp de complexe getallen bestaat geen standaardordening zoals op de re\xc3\xable getallen. Een uitspraak als  is betekenisloos, tenzij men speciaal een bepaalde ordening definieert.\n_START_SECTION_\nHoofdwaarde\n_START_PARAGRAPH_\nZijn we ge\xc3\xafnteresseerd in een unieke oplossing voor de wortelfunctie, dan kunnen we die waarde kiezen die gebaseerd is op de hoofdwaarde van  en daar weer de hoofdwaarde van nemen. In het bijzonder vinden we zo als 'unieke' wortel voor \xe2\x88\x921 de waarde ._NEWLINE_Merk op dat de bekende rekenregels niet gelden voor complexe wortels. Zo geldt niet\xc2\xa0:.\n_START_SECTION_\nComplexe getallen in de elektrotechniek en elektronica\n_START_PARAGRAPH_\nWisselstroom is een periodiek verschijnsel, zodat complexe getallen ook hier het rekenwerk sterk vereenvoudigen. Toepassingen liggen bijvoorbeeld in de signaalanalyse, meet- en regeltechniek, analoge en digitale geluids- en beeldbewerking, telecommunicatie, etc. De faseverschuiving (in elektrotechnische spreektaal vaak wat slordig cosinus \xcf\x86 genoemd) valt met deze complexe rekenwijze eenvoudig te berekenen. Ook het begrip impedantie kan als complexe grootheid worden beschreven (zie ook complexe impedantie), waardoor de wet van Ohm herschreven kan worden als: complexe spanning = complexe impedantie maal complexe stroom. Hierbij wordt de modulus van de impedantie vermenigvuldigd met de amplitude  van de stroom en het argument van de impedantie opgeteld bij de fase  van de stroom._NEWLINE_Fourieranalyse wordt veelvuldig gebruikt voor de analyse van tijdafhankelijke signalen, in het bijzonder voor stationaire periodieke signalen. Voor in- en uitschakelverschijnselen, die niet zuiver periodiek zijn, is de Laplacetransformatie, een uitbreiding van de Fouriertransformatie, onontbeerlijk. Zowel de Fourieranalyse als de Laplacetransformatie maken deel uit van de functietheorie, voor quasi-stationaire signalen, zoals golfpakketten, zijn er analytische signaalfuncties._NEWLINE_Opmerking: In de elektrotechniek en elektronica wordt de imaginaire eenheid j genoemd, om verwarring met de i voor de stroomsterkte te voorkomen.\n_START_SECTION_\nComplexe getallen in de natuurkunde\n_START_PARAGRAPH_\nOok in de natuurkunde worden complexe getallen en de bijbehorende complexefunctietheorie vooral gebruikt om trillingen en golven te beschrijven, zoals in de geluidsleer, de elektromagnetische-golftheorie, de fysische optica (een tweedimensionale versie van de fourieranalyse is toepasbaar op afbeeldingen en buigingspatronen), evenals in de kwantummechanica, waarin golffuncties waarschijnlijkheidsverdelingen beschrijven.\n_START_SECTION_\nRelativiteit\n_START_PARAGRAPH_\nIn het speciale en de algemene relativiteitstheorie worden een aantal formules voor de ruimtetijd eenvoudiger als men de tijdsvariabele imaginair weergeeft. (Dit is niet langer standaard in klassieke relativiteit, maar wordt wel gebruikt in de kwantumveldentheorie.) Complexe getallen zijn essentieel voor spinors, die een veralgemening van de tensoren die worden gebruikt in de relativiteitstheorie.\n_START_SECTION_\nFractals\n_START_PARAGRAPH_\nBepaalde fractals worden weergegeven in het complexe vlak, bijvoorbeeld de Mandelbrotverzameling en de Juliaverzameling.\n_START_SECTION_\nDriehoeken\n_START_PARAGRAPH_\nElke driehoek heeft een unieke Steiners ingeschreven ellips -een ellips binnen de driehoek, die raakt aan het midden van de drie zijden van de driehoek. De brandpunten van driehoekige Steiners ingeschreven ellips kan als volgt worden gevonden, volgens de stelling van Marden: Noteer de hoekpunten van de driehoeken in het complexe vlak als, ,  en . Schrijf de derdegraadsvergelijking , neem haar afgeleide en stel de (kwadratische) afgeleide gelijk aan nul. De stelling van Marden zegt dat de oplossingen van deze vergelijking, complexe getallen zijn die de locaties van de twee brandpunten van de Steiners ingeschreven ellips weergeven."