b'\n_START_ARTICLE_\nVermoeden van Mertens\n_START_PARAGRAPH_\nIn de wiskunde is het vermoeden van Mertens een bewering over het asymptotisch gedrag van de mertensfunctie. Het vermoeden is genoemd naar Franz Mertens, die in 1897 zijn vermoeden uitsprak. In 1985 werd dit vermoeden echter weerlegd. Als het vermoeden van Mertens waar zou zijn geweest, zou daarmee ook de Riemann-hypothese zijn bewezen.\n_START_SECTION_\nWeerlegging\n_START_PARAGRAPH_\nIn 1985 weerlegden Andrew Odlyzko en Herman te Riele het vermoeden van Mertens. Later werd aangetoond dat het kleinste argument voor een tegenvoorbeeld kleiner moet zijn dan  (Pintz 1987), maar groter dan  (Kotnik en Van de Lune 2004). De bovengrens is inmiddels verlaagd tot  (Kotnik en Te Riele 2006), maar er is nog geen expliciet tegenvoorbeeld bekend._NEWLINE_Stieltjes beweerde in 1885 een zwakker resultaat te _NEWLINE_hebben bewezen, namelijk dat  begrensd was, maar hij publiceerde dit bewijs niet. Hoewel de begrensdheidsclaim van Stieltjes in het artikel uit 1985 nog als "zeer onwaarschijnlijk" werd betiteld, is deze hypothese nog niet weerlegd._NEWLINE_Als de M\xc3\xb6biusfunctie  wordt vervangen door een willekeurige rij van 1\'en en \xe2\x88\x921\'en, volgt uit de wet van de iteratieve logaritmen dat de orde van groei van de parti\xc3\xable sommen van de eerste  termen (met kans 1) ongeveer gelijk is aan , hetgeen suggereert dat de orde van de toename van  ergens rond  zou kunnen liggen._NEWLINE_De werkelijke orde van groei zou iets kleiner kunnen zijn, zoals vermoedt door Steve Gonek in de vroege jaren 1990, namelijk . Dit werd in 2004 gedeeld door Ng, gebaseerd op een heuristisch argument.'