b"\n_START_ARTICLE_\nHomomorfisme\n_START_SECTION_\nInformele discussie\n_START_PARAGRAPH_\nOmdat de abstracte algebra verzamelingen met operaties bestudeert, die interessante structuren of eigenschappen op deze verzameling genereren, zijn de interessantste functies diegene die operaties bewaren. Zulke functies staan bekend als homomorfismen._NEWLINE_Beschouw bijvoorbeeld de natuurlijke getallen met optellen als operatie. Een functie die een optelling bewaart moet de eigenschap hebben dat: f(a + b) = f(a) + f(b)._NEWLINE_f(x) = 3x is bijvoorbeeld zo'n homomorfsme, aangezien f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b). Merk op dat dit homomorfisme de natuurlijke getallen afbeeldt in zichzelf._NEWLINE_Homomorfismen hoeven niet te mappen tussen verzamelingen die dezelfde operaties hebben. Er bestaan bijvoorbeeld operatie-bewarende functies tussen de verzameling van de re\xc3\xable getallen met de operatie optelling en de verzameling van de positieve re\xc3\xable getallen met de operatie vermenigvuldiging. Een functie die een operatie bewaart, vereist hier dan de eigenschap dat:f(a + b) = f(a) \xc2\xb7 f(b), aangezien optelling de operatie in de eerste verzameling en vermenigvuldiging de operatie in de tweede verzameling is. Gegeven de wetten van het machtsverheffen, voldoet f(x) = e\xcb\xa3 aan deze voorwaarde\xc2\xa0: 2 + 3 = 5 vertaalt zich in e\xc2\xb2 \xc2\xb7 e\xc2\xb3 = e\xe2\x81\xb5._NEWLINE_Een bijzonder belangrijke eigenschap van homomorfismen is dat wanneer een identiteitselement aanwezig is, dit altijd bewaard zal blijven. Dit neutrale element wordt namelijk op zichzelf afgebeeld. Merk op dat in het eerste voorbeeld f(0) = 0 en dat 0 dan de additieve identiteit is. In het tweede voorbeeld is f(0) = 1, aangezien 0 hier de additieve identiteit, en 1 de multiplicatieve identiteit is._NEWLINE_Als we meerdere operaties op een verzameling in overweging nemen. dan moeten alle operaties bewaard blijven wil een functie als homomorf worden gezien. Eenzelfde functie, kan bijvoorbeeld in de groepentheorie (verzamelingen met \xc3\xa9\xc3\xa9n enkele operatie) homomorf zijn, terwijl dezelfde functie in de ringtheorie (verzamelingen met twee gerelateerde operaties) niet homomorf is, bijvoorbeeld omdat deze functie de extra operatie, die in ringtheorie wordt bestudeerd, niet bewaart."