b'\n_START_ARTICLE_\nNoetherse ring\n_START_PARAGRAPH_\nIn de abstracte algebra wordt een ring Noethers genoemd als zijn idealen aan een bepaalde voorwaarde van eindigheid voldoen. Men spreekt in dit verband ook uitdrukkelijk over ringen die voldoen aan de stijgende ketenvoorwaarde._NEWLINE_Noetherse ringen zijn genoemd naar Emmy Noether.\n_START_SECTION_\nToepassing\n_START_PARAGRAPH_\nDe basisstelling van Hilbert is het uitgangspunt voor de algebra\xc3\xafsche meetkunde. In feite zegt ze dat de oplossingsverzameling van een willekeurig aantal algebra\xc3\xafsche vergelijkingen altijd met een eindig aantal vergelijkingen kan worden beschreven.\n_START_SECTION_\nHoogte en Krulldimensie\n_START_PARAGRAPH_\nDe hoogte van een priemideaal I in een Noetherse ring A is de lengte van de langste strikt stijgende keten priemidealen die eindigt in I. Met "lengte" bedoelen we het aantal inclusies, dus \xc3\xa9\xc3\xa9n enkel priemideaal is een keten van lengte 0._NEWLINE_De Krull-dimensie van A is de grootst mogelijke hoogte van een priemideaal van A, m.a.w. de lengte van de langst mogelijke keten priemidealen van A. Ze is genoemd naar Wolfgang Krull.\n_START_SECTION_\nVoorbeeld\n_START_PARAGRAPH_\nIn de gehele getallen zijn alle niet-triviale priemidealen maximaal, dus de Krull-dimensie is 1. Dit geldt algemener voor elk hoofdideaaldomein dat geen lichaam is._NEWLINE_Lichamen hebben Krull-dimensie 0. De ring der polynomen in n veranderlijken over een lichaam k heeft Krull-dimensie n. De ring der polynomen in n veranderlijken over een Noetherse ring met Krull-dimensie m heeft Krull-dimensie m+n.\n_START_SECTION_\nPrimaire ontbinding\n_START_PARAGRAPH_\nEen primaire ontbinding van een ideaal I in een ring R is een schrijfwijze van I als doorsnede van een eindig aantal primaire idealen van R._NEWLINE_In een Noetherse ring heeft ieder ideaal, behalve de ring zelf, een primaire ontbinding. Dit is een abstracte veralgemening van de hoofdstelling van de rekenkunde, als men bedenkt dat de primaire idealen van de ring der gehele getallen precies de idealen zijn die worden voortgebracht door een macht van een priemgetal.'