b"\n_START_ARTICLE_\nDelingsalgebra\n_START_PARAGRAPH_\nIn de abstracte algebra is een delingsalgebra een algebra over een lichaam waarin, eenvoudig gezegd, deling mogelijk is, behalve natuurlijk door 0.\n_START_SECTION_\nDefinitie\n_START_PARAGRAPH_\nEen algebra  over een lichaam/veld wordt een delingsalgebra genoemd als er voor elke twee elementen  de vergelijkingen  en  eenduidige oplossingen  hebben._NEWLINE_Een element  kan als het ware uitgedeeld worden._NEWLINE_Een associatieve algebra over een lichaam is een delingsgalgebra dan en slechts dan als het een multiplicatief identiteitselement  heeft en elke  een multiplicatieve inverse heeft.\n_START_SECTION_\nAssociatieve delingsalgebra's\n_START_PARAGRAPH_\nDe meest bekende voorbeelden van associatieve delingsalgebra's zijn de eindig-dimensionale re\xc3\xable delingsalgebra's, d.w.z. algebra's over het lichaam  van de re\xc3\xable getallen die eindigdimensionaal zijn als een vectorruimte over de re\xc3\xable getallen. De  stelling van Frobenius zegt dat er op isomorfisme na slechts drie van zulke algebra's bestaan: de re\xc3\xable getallen zelf (dimensie 1), de complexe getallen (dimensie 2) en de quaternionen (dimensie 4)._NEWLINE_De kleine stelling van Wedderburn zegt dat elke eindige delingsalgebra een eindig lichaam/veld is._NEWLINE_Over een algebra\xc3\xafsch gesloten lichaam  (bijvoorbeeld de complexe getallen ) zijn er geen eindig-dimensionale associatieve divisiealgebra's, behalve natuurlijk  zelf._NEWLINE_Associatieve delingsalgebra's hebben geen nuldelers. Een eindig-dimensionale unitaire associatieve algebra (over elk willekeurig lichaam) is een delingsalgebra dan en slechts dan als deze delingsalgebra's geen nuldelers heeft._NEWLINE_Als  een associatieve unitaire algebra over het lichaam  en  een simpele module over  is, dan is de endomorfismering van  een delingsalgebra over ; elke associatieve delingsalgebra over  treedt op deze manier op._NEWLINE_Het centrum van een associatieve delingsalgebra  over het lichaam  is een lichaam dat  bevat. De dimensie van zo'n algebra over zijn centrum is een perfect kwadraat (tenminste als dit centrum eindig is): het is gelijk aan het kwadraat van de dimensie van een maximaal deellichaam van  over het centrum. Gegeven een lichaam , kunnen de (isomorfisme klassen) van associatieve delingsalgebra's, waarvan het centrum  is en die eindig-dimensionaal zijn over , in een groep worden omgezet, de Brauer-groep van de lichaam ._NEWLINE_Een manier om eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's over willekeurige lichamen te construeren wordt gegeven door de quaternion algebra's (zie ook quaternionen)._NEWLINE_Voor eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's zijn de belangrijkste gevallen die waar de ruimte een redelijke topologie heeft. Beschouw bijvoorbeeld de genormeerde delingsalgebra's en Banach-algebra's."