b'\n_START_ARTICLE_\nGroep (wiskunde)\n_START_PARAGRAPH_\nIn de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een bepaalde algebra\xc3\xafsche structuur. Een groep bestaat uit een verzameling  en een operatie (groepsbewerking), die altijd op twee elementen van  werkt, dus een  binaire operatie. Groepen voldoen aan een aantal voorwaarden of axioma\'s. Er zijn vier groepsaxioma\'s: de operatie is gesloten, de operatie is associatief, er is in de groep een neutraal element voor de operatie, de identiteit, en ieder element in de groep heeft een inverse. Een voorbeeld van een groep vormen de gehele getallen met de optelling als operatie._NEWLINE_De axioma\'s gelden voor alle groepen, maar groepen onderling kunnen heel verschillend zijn. Zij vormen het onderwerp van de groepentheorie. Met groepen kunnen de structurele aspecten van objecten van uiteenlopende oorsprong op uniforme wijze worden bestudeerd. De alomtegenwoordigheid van de groepen op tal van gebieden, zowel binnen als buiten de wiskunde, maakt van groepen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde._NEWLINE_Groepen delen een fundamentele verwantschap met het begrip symmetrie. Een symmetriegroep codeert symmetrie-eigenschappen van een meetkundig object: Hij bestaat uit de verzameling van transformaties die het object ongewijzigd laten, en als operatie het na elkaar uitvoeren van twee van zulke transformaties. Zulke symmetriegroepen, in het bijzonder de continue Lie-groepen, spelen een belangrijke rol in tal van academische disciplines. Matrixgroepen worden bijvoorbeeld gebruikt om de natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie en symmetrie-fenomenen in de moleculaire scheikunde, te begrijpen._NEWLINE_Het concept van een groep is ontstaan uit de studie van vergelijkingen. \xc3\x89variste Galois in de jaren 1830 was een van de wiskundigen die hieraan rekenden. De theorie die het verband legt tussen polynomen en groepen, is naar hem genoemd. Na bijdragen vanuit andere gebieden, zoals de getaltheorie en de meetkunde, kreeg het begrip groep in de wiskunde zijn algemene vorm, en kreeg de groepentheorie rond 1870 een stevige basis. Om groepen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen gedefinieerd die het mogelijk maken om groepen op te breken in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoals ondergroepen, quoti\xc3\xabntgroepen en enkelvoudige groepen. Naast de abstracte eigenschappen van groepen bestuderen groepstheoretici ook de verschillende manieren waarop een groep concreet kan worden uitgedrukt (haar groepsrepresentaties), zowel vanuit een theoretisch als een computationeel standpunt. Er heeft zich een bijzondere rijke theorie van de eindige groepen ontwikkeld, die culmineerde in de classificatie van eindige enkelvoudige groepen, die werd voltooid in 1983. Sinds het midden van de jaren 1980 is de meetkundige groepentheorie, die eindig gegenereerde groepen als meetkundige objecten bestudeert, uitgegroeid tot een bijzonder actief onderzoeksgebied binnen de groepentheorie.\n_START_SECTION_\nDerde voorbeeld\n_START_PARAGRAPH_\nDe groep van alle permutaties van een rij van n elementen heet de symmetrische groep . De naam van deze groep is niet ontleend aan de symmetrie in de groep.\n_START_SECTION_\nDeling\n_START_PARAGRAPH_\nIn een groep is het mogelijk een deling uit te voeren; bij gegeven elementen  en  en van de groep  bestaat er precies \xc3\xa9\xc3\xa9n oplossing  van de vergelijking . Door rechtsvermenigvuldiging met  volgt de oplossing . Op gelijke wijze is er precies \xc3\xa9\xc3\xa9n oplossing  van de vergelijking , namelijk . In het algemeen komen  en  niet met elkaar overeen.\n_START_SECTION_\nBasisconcepten\n_START_PARAGRAPH_\nOm groepen op een niveau te begrijpen dat verdergaat dan louter symbolische manipulatie, moeten meer structurele concepten worden ingezet. Er is een conceptueel uitgangspunt dat ten grondslag ligt aan al de volgende begrippen: om te profiteren van de structuur die door groepen wordt geboden, een structuur die niet aanwezig is in "structuurloze" verzamelingen, moeten aan groepen gerelateerde constructies verenigbaar zijn met de groepsbewerking. Deze compatibiliteit manifesteert zichzelf op verschillende manieren in de volgende begrippen. Men kan bijvoorbeeld groepen aan elkaar relateren met behulp van functies die groepshomomorfismen worden genoemd. Door het genoemde principe zijn ze verplicht om de groepsstructuren in een precieze betekenis te respecteren. De structuur van de groepen kan ook worden begrepen door groepen in stukken op te breken. Deze stukken noemt men deelgroepen en quoti\xc3\xabntgroepen. Het principe van het "behoud van structuur" - een terugkerend onderwerp door de hele wiskunde - is een instantie van werken met een categorie, in dit geval de categorie van groepen.\n_START_SECTION_\nIsomorfie\n_START_PARAGRAPH_\nTwee groepen worden isomorf genoemd als er een groepsisomorfisme tussen hen bestaat. Isomorfe groepen hebben in feite dezelfde structuur.\n_START_SECTION_\nVoorbeelden en toepassingen\n_START_PARAGRAPH_\nVoorbeelden en toepassingen van groepen zijn er in overvloed. Een startpunt is de hierboven ge\xc3\xafntroduceerde groep Z van de gehele getallen met optelling als groepsbewerking. Als men in plaats van optelling vermenigvuldigen als groepsbewerking neemt, verkrijgt men multiplicatieve groepen. Deze multiplicatieve groepen zijn voorlopers van belangrijke constructies in de abstracte algebra._NEWLINE_Ook in vele andere wiskundige deelgebieden maakt men gebruik van groepen. Wiskundige objecten worden vaak onderzocht door groepen met deze objecten te associ\xc3\xabren en vervolgens de eigenschappen van de corresponderende groepen te bestuderen. Henri Poincar\xc3\xa9 kwam bijvoorbeeld op het spoor van wat nu de algebra\xc3\xafsche topologie wordt genoemd, door de invoering van de fundamentaalgroep. Door het leggen van deze verbinding konden topologische eigenschappen, zoals nabijheid en continu\xc3\xafteit vertaald worden in eigenschappen van groepen. Elementen van de fundamentaalgroep worden bijvoorbeeld weergegeven door lussen. Het onderste plaatje aan de rechterkant laat enkele lussen in een vlak minus een punt zien. De blauwe lus wordt als nul-homotoop (en dus niet relevant) gezien, dit omdat deze lus continu tot een punt kan slinken. De aanwezigheid van het gat voorkomt echter dat de oranje lus ook tot een punt kan worden geslonken. De fundamentaalgroep van het vlak, waaruit een punt is verwijderd, blijkt, gegenereerd door de oranje lus (of enige andere lus die zich eenmaal rondom het gat windt), oneindig cyclisch te zijn. Op deze manier detecteert de fundamentaalgroep het gat._NEWLINE_In recentere toepassingen werkt deze invloed ook omgekeerd. Men bestudeert nu meetkundige constructies die worden onderbouwd door een groeptheoretische achtergrond. In dezelfde geest maakt de meetkundige groepentheorie gebruik van meetkundige concepten, bijvoorbeeld in de studie van hyperbolische groepen. Andere deelgebieden, waar groepen een cruciale rol spelen zijn de algebra\xc3\xafsche meetkunde en de getaltheorie._NEWLINE_Naast de bovengenoemde theoretische toepassingen, bestaan er vele praktische toepassingen van groepen. Cryptografie bijvoorbeeld berust op een benadering gebaseerd op de abstracte groepentheorie, samen met algoritmische kennis, verkregen uit de computationele groepentheorie, in het bijzonder wanneer deze wordt ge\xc3\xafmplementeerd voor eindige groepen. Toepassingen van de groepentheorie beperken zich niet tot de wiskunde, ook de natuurwetenschappen, zoals de natuurkunde, de scheikunde en de informatica profiteren van het concept.\n_START_SECTION_\nGetallen\n_START_PARAGRAPH_\nVeel getalsystemen, zoals die van de gehele - en de rationale getallen beschikken over een natuurlijk gegeven groepsstructuur. In sommige gevallen, zoals bij de rationale getallen, leiden zowel de operaties optellen en vermenigvuldigen tot een groepsstructuur. Dergelijke getallensystemen zijn voorlopers van meer algemene algebra\xc3\xafsche structuren die bekendstaan als ringen en velden. Verdere abstract algebra\xc3\xafsche concepten, zoals modulen, vectorruimten en algebra\'s vormen ook groepen.\n_START_SECTION_\nGehele getallen\n_START_PARAGRAPH_\nDe groep van gehele getallen  onder de optelling, aangeduid met , is hierboven beschreven. De gehele getallen, met in plaats daarvan de operatie van vermenigvuldiging in plaats van optellen, , vormt geen groep. Aan de groepsaxioma\'s van geslotenheid, associativiteit en identiteit wordt voldaan, maar er bestaat geen inverse. De enige oplossing van bijvoorbeeld de vergelijking  is , en dat is geen geheel getal. Dus heeft niet elk element van  een (multiplicatieve) inverse.\n_START_SECTION_\nRationale getallen\n_START_PARAGRAPH_\nBreuken  van gehele getallen, met , staan bekend als rationale getallen . _NEWLINE_Onder de optelling is  een groep. Omdat het getal 0 geen multiplicatieve inverse heeft vormen de rationale getallen geen groep onder de vermenigvuldiging. Laat men de 0 weg, dan is er geen probleem:  is een abelse groep._NEWLINE_De verwevenheid van de groepsbewerkingen optellen en vermenigvuldigen  levert ingewikkeldere wiskundige structuren op die ringen worden genoemd en waarbij deling mogelijk is.\n_START_SECTION_\nModulair rekenen\n_START_PARAGRAPH_\nVoor elk priemgetal , levert modulair rekenen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulo . Haar elementen zijn gehele getallen die niet deelbaar zijn door , modulo p, dat wil zeggen dat twee getallen als gelijkwaardig worden beschouwd, indien hun verschil deelbaar is door . Deze groepen zijn van cruciaal belang voor de publieke sleutelcryptografie.\n_START_SECTION_\nSymmetrie\n_START_PARAGRAPH_\nIedere groep heeft een bepaalde symmetrie. Dat betekent dat bij twee geconjugeerde elementen  en  van de groep  een permutatie  van  bestaat die  op  afbeeldt, zodanig dat  en  isomorf zijn. Op die manier is  symmetrisch.\n_START_SECTION_\nGroepen met additionele structuur\n_START_PARAGRAPH_\nVeel groepen zijn tegelijkertijd groepen en voorbeelden van andere wiskundige structuren. In de taal van de categorietheorie zijn ze groepsobjecten in een categorie, wat betekent dat ze objecten zijn (dat wil zeggen, voorbeelden van een andere wiskundige structuur) die verschijnen met transformaties (morfismen genoemd), die de groepsaxioma\'s nabootsen. Elke groep, zoals hierboven gedefinieerd, is bijvoorbeeld ook een verzameling, een groep is dus een groepsobject in de categorie van verzamelingen, Set.\n_START_SECTION_\nGeneralisaties\n_START_PARAGRAPH_\nIn de abstracte algebra kunnen meer algemene wiskundige structuren worden gedefinieerd door een aantal van de groepsaxioma\'s, die een groep defini\xc3\xabren, af te zwakken. Als men bijvoorbeeld de eis, dat elk element een inverse moet hebben, laat vallen, wordt de dan resulterende algebra\xc3\xafsche structuur een mono\xc3\xafde genoemd. De natuurlijke getallen  (inclusief 0) vormen voor de groepsbewerking optelling een mono\xc3\xafde, net als de gehele getallen ongelijk aan 0 doen onder de groepsbewerking vermenigvuldiging , zie hierboven. Er is een algemene methode om op formele wijze inversen van elementen op te tellen bij elke (abelse) mono\xc3\xafde, bijna op dezelfde manier als  wordt afgeleid van . Het resultaat van deze formele methode staat bekend als de Grothendieck-groep._NEWLINE_Groepo\xc3\xafden zijn vergelijkbaar met groepen, behalve dat de groepsbewerking  niet hoeft te worden gedefinieerd voor alle  en . Zij ontstaan in de studie van meer ingewikkelde vormen van symmetrie, vaak in topologische en analytische structuren, zoals de fundamentele groupo\xc3\xafde. Ten slotte is het mogelijk om elk van deze concepten te generaliseren door de binaire operatie te vervangen door een operatie met een willekeurige ariteit  (dat wil zeggen een operatie waarbij  argumenten in het spel zijn). Met de juiste generalisatie van de groepsaxioma\'s geeft dit aanleiding tot een groep met ariteit .'